Einführung in die Zahlentheorie [2. Aufl. Reprint 2019] 9783111683096, 9783111296197

Citation preview

SAMMLUNG GÖSCHEN

BAND

1131

EINFÜHRUNG IN D I E Z A H L E N T H E O R I E von

DB. A R N O L D S C H O L Z f Dozent der Mathematik an der Unreraität Kiel überarbeitet und herausgegeben von

DR. B R U N O

SCHOENEBERG

Privatdt Je.nt der Mathematik an der Universität Hambarg

2. Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Götchen'sche VerlagBhandlung • J . Gattentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

B E R L I N 1955

Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien u n d Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Copyright 1955 by W A L T E R DE G R U Y T E R & CO. Berlin W 35, Genthiner Straße 13

Archiv-Nr. 1111 31 Druck: Kahmann-Druck, Berlin-Steglitz Printed in Germany

Inhalt I. T e i l b a r k e i t s e i g e n s c h a f t e n § § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Seite

Der Ring der ganzen Zahlen Teilbarkeit, Primzahlen, F u n d a m e n t a l s a t z Größter gem. Teiler, kleinstes gem. Vielfaches Division m i t l i e s t , Moduln Euklidischer Algorithmus Klassischer Beweis des F u n d a m e n t a l s a t z e s Primzahlverteilung Spezielle Primzahlen Zahlentheoretische F u n k t i o n e n

5 9 12 16 i9 24 25 29 32

II. Kongruenzen, Restklassen § § § § § § § § § §

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Rechnen mit Kongruenzen, Restklassenring Kongruenzdivision, Bruchdarstellung, Restklassenkörper . Ein Satz von Thue. Wilsonscher Satz Simultane Kongruenzen Kongruenzrechnung mit Polynomen R e d u k t i o n der Moduln bei algebraischen K o n g r u e n z e n . . Der F e r m a t s c h e Satz Primitivwurzeln, Restklassengruppe Potenzreste Darstellung d u r c h Q u a d r a t s u m m e n

37 41 44 46 49 52 56 60 64 67

III. Quadratische Reste § § § §

20. 21. 22. 23.

Z u r ü c k f ü h r u n g der quadratischen Kongruenzen Legendre-Symbol, Eulersches K r i t e r i u m Gaußsches Lemma. Erweitertes Legendre-Symbol . . . Die F r a g e nach den Moduln bei gegebenen quadratischen Resten § 24. Das quadratische Reziprozitätsgesetz § 25. Der d r i t t e Gaußsche Beweis des Beziprozifcätsgesetzes . . § 26. Anwendungen. Biquadratische Reste

75 77 80 84 88 93 94

IV. Quadratische Formen § jf § § § §

27. 28. 29. 30. 31. 32.

Klassen quadratischer F o r m e n Diskriminanten Darstellbarkeit R e d u k t i o n der definiten F o r m e n R e d u k t i o n der indefiniten F o r m e n A u t o m o r p h e Substitutionen. Pellsche Gleichung

Sach- und Namenverzeichnis

. . . .

97 102 104 108 112 121

127

Literatur D i c k s o n - B o d e w i g : Einführung in die Zahlentheorie. Leipzig 1931. D i r i c h l e t - D e d e k i n d : Vorlesungen über Zahlentheorie. 3. Aufl. 1879; 4. Aufl. 1894 (Braunschweig). S. auch Dedekind, Ges. Werke. G a u ß : Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig 1801. Übersetzung von Maser: Untersuchungen über höhere Arithmetik. Berlin 1889. H a s s e : Vorlesungen über Zahlentheorie. Berlin 1950. H e c k e : Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen. Leipzig 1923. 2. Aufl. 1964. H i l b e r t : Bericht über die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Jahresber. d. Dtsch. Math. Vgg. 4 (1894). S. auch Hilbert, Ges. Werke. K r a i t c h i k : Theorie des nombres I. Paris 1922, II 1926. Recherches sur la . . . ; 1924. N a g e i l : Introduction to Number Theory. Stockholm 1961. T r o s t : Primzahlen. Basel 1953.

I. Teilbarkeitseigenschaften § 1. Der Ring der ganzen Zahlen Gegenstand der elementaren Zahlentheorie sind in erster Linie die natürlichen Zahlen 0,1, 2, 3, 4 . . . . Die axiomatische Grundlegung der Lehre von den natürlichen Zahlen ist indes nicht Aufgabe der Zahlentheorie. Für sie stehen Existenz der natürlichen Zahlen und ihre Hauptverknüpfungsarten, Addition und Multiplikation, mit ihren Gesetzen schon fest. Auch die Erweiterung des Bereichs der natürlichen Zahlen zum Bereich der ganzen Zahlen . . . , — 3, — 2, — 1, 0,1, 2, 3 , . . . mit seinen Gesetzen der Anordnung und Rechnung wird als vollzogen angesehen. Wir wollen alles zusammenstellen, was wir von den ganzen Zahlen als bekannt voraussetzen, und zwar in einer Form, die eine axiomatische Grundlegung der Lehre von den ganzen Zahlen andeutet. Dabei haben wir gleichzeitig Gelegenheit, später häufig auftretende Begriffe zu erklären. A. Definition der natürlichen Zahlen 1. Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge Z von unterschiedenen Elementen. Je zwei ihrer Elemente a, b sind entweder identisch, a = l, oder voneinander verschieden, a 4= b. 2. Je zwei verschiedene Elemente a, i aus Z stehen zueinander in einer durch „vor" oder „kleiner" ausgedrückten Beziehung derart, daß entweder „a vor 6" oder ,,b vor a" gilt. Für ,,a vor b" schreiben wir a a sollen dasselbe bedeuten, und a f¿ b ist eine abkürzende Schreibweise für „a < b oder a = b". 3. Wenn für Elemente aus Z die Beziehungen a < b und b 0 positiv, ein a < 0 negativ und bezeichnet als absoluten Betrag \a\ die natürliche Zahl n, für die a = + n oder a = —• n ist.

D. Der Ring der ganzen Zahlen In der geordneten Menge r der ganzen Zahlen lassen sich zwei Verknüpfungsarten erklären, die gewissen Gesetzen genügen. Die Menge r wird damit zum Ring F . Die Erklärung der Verknüpfungsarten setzen wir als bekannt voraus. Wir geben aber eine Definition des allgemeinen Ringes. Seine Elemente besitzen gewisse, gleich anzugebende Eigenschaften; von einer inhaltlichen Bedeutung wird abgesehen. Ein Ring ist eine Menge R von mindestens zwei unterschiedenen Elementen, für die zwei Verknüpfungsarten definiert sind. Jedem geordneten Elementepaar a, b aus R ist durch die erste Verknüpfung ein Element c und durch die zweite Verknüpfung ein Element d aus R zugeordnet. Die erste Verknüpfung nennen wir Addition und schreiben a + 6 = c und die zweite Verknüpfung Multiplikation, a • 6 = d.

Von diesen beiden Verknüpfungen wird verlangt, daß sie für beliebige Elemente aus R folgenden Gesetzen genügen: 1. 3. 4. 5.

«+6 = 6 + «, (a + b) + c = a (ab)c = a(bc) (a - f b)c = ac +

2. ah = ba (Kommutativgesetze); + {b + c), (Assoziativgesetze); bc (Distributivgesetz).

8

Teilbarkeitseigenschaften

6. Zu jedem geordneten Elementepaar a, b aus R existiert ein eindeutig bestimmtes Element e aus R, so daß a + c = b ist (Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Substraktion). Aus diesen Gesetzen können die bekannten Regeln des Buchstabenrechnens hergeleitet werden, ohne daß den auftretenden Zeichen eine inhaltliche Bedeutung beigelegt wird. Man spricht auch von einem Ring, wenn die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation nicht gefordert wird. Den hier definierten Ring nennt man dann kommutativen Ring.

E . Monotoniegesetze Für die ganzen Zahlen gelten folgende Gesetze: 1. Es ist a + c < b + c, wenn a 0 ist (Monotoniegesetz der Multiplikation). Insbesondere gilt a b > 0, wenn a > 0 und 6 > 0 ist. Allgemein gilt a b 4= 0, wenn a =j= 0 und b =)= 0 ist. In F ist ein Produkt von zwei Faktoren dann und nur dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist. Daraus folgt sofort die Eindeutigkeit der Division: Aus ab = ab' und « =)= 0 folgt b = b'. Anders formuliert: Die' Gleichung a x = c besitzt für a 4= 0 höchstens eine Lösung. Ist für a =|= 0 die Gleichung a x = c in r lösbar, so liegt eine Besonderheit vor, die uns ausführlich beschäftigen wird. Wir sagen dann, daß c durch a teilbar ist. Einen Ring, in dem ein Produkt von zwei Elementen nur dann gleich 0 ist, wenn mindestens ein Faktor gleich 0 ist, bezeichnet man als „Ring ohne Nullteiler". In ihm ist die Gleichung a x = c bei a 4= 0 auf höchstens eine Weise lösbar. Dejui aus ax = ax' folgt a (x — x') = 0 und wegen der Nullteilerfreiheit x — x' — 0. Gibt es außerdem in dem Ring ein „Einselement" e, so daß a e = a für alle Elemente a des Ringes ist, so bezeichnet man den Ring als Integritätsbereich. Der Ring T der ganzen Zahlen ist Integritätsbereich.

Teilbarkeit, Primzahlen, Fundamentalsatz

9

§ 2. Teilbarkeit, Primzahlen, Fundamentalsatz Wir wenden uns jetzt der Teilbarkeitslehre im Integritätsbereich r zu. Alle vorkommenden kleinen lateinischen Buchstaben sollen Zahlen aus F bedeuten. Wir nennen die Zahl a durch b teilbar oder ein Vielfaches von b, wenn die Gleichung a = b x lösbar ist. Zugleich heißt b ein Teiler von a oder eine in a aufgehende Zahl. Daß b ein Teiler von a ist, bezeichnen wir durch 6 1 a; das Gegenteil bezeichnen wir durch b -f a. Für die Teilbarkeit gelten folgende Beziehungen, die unmittelbar aus ihrer Definition und den Eigenschaften von r folgen: a, ¿ 1 1 a, a10 für jedes a, 0| a nur für a = 0, a \ i 1 nur für a = i 1, aus c| b ur.d b\a folgt c\ a, aus b11 a1, b2 \ a2 folgt 21 a1a2, aus cb [ ca folgt b [ a, wenn c =j= 0, aus b «j, 51 a 2 folgt b\ma1 + na2 für beliebige m, n, aus b a u;id a\ b folgt b = ±a. Jedes a hat die trivialen Teiler± 1 ,±a. Gilt t \ a, so nennt man t einen wesentlichen Teiler von a, wenn i=|= i 1 ist, und einen echten Teiler von a, wenn 14= ± a ist- Besteht für a 4= 0 die Gleichung a = b c, also auch die Gleichung | a | = | b || c |, so folgt | b | | a |. Jedes a =t= 0 hat also nur endlich viele Teiler. Es gibt Zahlen, die nur triviale Teiler besitzen: ¿ 1 , ^ 2 , ^ 3 , ^ 5 , . . . . Da für jedes a aus r eine der beiden Zahlen ^ a eine natürliche Zahl ist und mit b \ a auch — b\a gilt, beschränken wir uns für Teiler und Vielfache auf den Bereich der natürlichen Zahlen. Wir stellen uns die Aufgabe, für eine gegebene natürliche Zahl n > 1 eine Darstellung als Produkt von möglichst vielen Faktoren, die alle größer als eins sind, aufzusuchen. Zu diesem Zweck teilen wir die natürlichen Zahlen n > 1 ein: Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, wenn p > 1 ist und nur triviale Teiler besitzt. Die übrigen natürlichen Zahlen n > 1 heißen zusammengesetzte oder zerlegbare Zahlen.

10

Teilbarkeitseigenschaften

Satz 1: Jede natürliche Zahl a > 1 besitzt mindestens einen Primteiler. Beweis: Die Menge aller natürlichen Teiler t > 1 von a ist nicht leer, denn a | a. 'In ihr gibt es ein kleinstes Element q. Gilt nun p | q, so folgt p \ a. Da q der kleinste wesentliche Teiler von a ist, folgt p = q, wenn p > 1 ist. Also ist q ein Primteiler von a. Die Menge der Primzahlen ist entweder endlich, d. h. auf einen echten Abschnitt der natürlichen Zahlenreihe abbildbar oder sie ist unendlich und auf die ganze natürliche Zahlenreihe abbildbar. Wir beweisen mit Euklid Satz 2: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis: Ist q eine Primzahl, in der mit 2, 3, 5, 7 beginnenden natürlichen Reihenfolge etwa die n-te, q = pn, so bilde man das Produkt P = p1p2.. .pn der ersten n Primzahlen bis q. Der, kleinste wesentliche Teiler von P -f 1 ist dann eine neue Primzahl r > q. Denn r ist ein Primteiler von P + 1, und alle Primzahlen px, p2,. . ., pn = q gehen in P, aber, weil sie größer als 1 sind, nicht in P + 1 auf. Also haben wir in r eine Primzahl > q, und daraus folgt die Existenz einer unmittelbar auf q folgenden Primzahl. (Das ist nicht notwendig r.) Die Bedeutung der Primzahlen für den multiplikativen Aufbau der natürlichen Zahlen zeigt der Satz von der eindeutigen Primzerlegung, der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie. Satz 3: Jede natürliche Zahl a > 1 ist als Produkt von Primzahlen darstellbar: (1) a = p1 p2 . . . ps (s ^ 1). Die Darstellung ist, abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren, eindeutig. Beweis: Die Aussagen der Existenz und der Eindeutigkeit sind für a = 2 richtig. Wir setzen voraus, daß beide Aussagen für alle a!, wo 2 a' < a ist, zutreffen. Die Existenz einer Zerlegung in Primfaktoren folgt nun für jedes a^ 2 daraus, daß a einen kleinsten Primteiler besitzt. Entweder ist a = p selbst Primzahl, womit eine

Teilbarkeit, Primzahlen, Fundamentalsatz

11

Zerlegung gegeben ist, oder es besitzt eine Zerlegung a = p1a' mit dem kleinsten Primteiler p1 von a und 1 < a' < a. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt a' eine Primzerlegung und damit auch a. Dieser Beweis liefert zugleich ein bestimmtes Verfahren, eine Zerlegung für a zu gewinnen. Man spaltet vom übrigbleibenden Faktor a' wieder den kleinsten Primteiler p2 ab, af =pia", und wiederholt dieses Verfahren, bis nur noch ein Primfaktor übrigbleibt. So erhält man eine bestimmte Zerlegung a = p1 pz... ps, und zwar ist p1 5S p2 • • • 5S ps. Denn hätte in einer Teilzerlegung a = p1... pef der Restfaktor / einen Primteiler p < pe, so wäre auch p\pef und somit pe nicht der kleinste Teiler von pe f . Man braucht also für die Zerlegung von / nur Primzahlen p ^ pe daraufhin zu untersuchen, ob sie in / aufgehen. Es genügen solche, deren Quadrat / nicht übersteigt; denn soll / = ph, zerlegbar sein, und ist p2 > /, so ist h ein Teiler von / mit der Eigenschaft h2 < p. F a ß t man in dieser Zerlegung gleiche Primzahlen zu Potenzen zusammen, so erhält man die kanonische Zerlegung von a: (2) a = p? mit p1 < p2< •• • < pr und positiven Exponenten. — Diese Zerlegung nach aufsteigenden Primfaktoren besagt aber noch nicht die Eindeutigkeit der Zerlegung (1) überhaupt. Wir beweisen jetzt die Eindeutigkeit nach Zermelo. Angenommen, die Primzerlegung sei nicht für alle a eindeutig. Dann gibt es eine kleinste Zahl m, die wenigstens zwei verschiedene Zerlegungen besitzt. Eine Zerlegung ist die kanonische Zerlegung. In ihr kommt der kleinste Teiler q von m vor; dadurch ist sie eindeutig bestimmt. Denn in m = q k gibt es f ü r k, da k q\ sei m = pl. Jetzt bilde man (3) m' = m — ql = (p — q)l. Wegen p > q und 2 2 ist 2 m' < m, und m' ist eindeutig zerlegbar. Nun ist m' — q(k — l).

12

Teilbarkeitseigenschaften

Wegen der eindeutigen Zerlegbarkeit von m' kommt also q in der Zerlegung der rechten Seite von (3) vor. Da l nur Primteiler hat, die größer als q sind, tritt q in der Zerlegung von p — q auf. Aus p — q = qr folgt p = q (r + 1). Das ist ein Widerspruch zur Primzahleigenschaft von p. — Also hat auch m nur eine Zerlegung. Der Fundamentalsatz gibt uns Aufschluß über sämtliche Teiler einer Zahl a, wenn ihre Primzerlegung (2) bekannt ist. Alle Zahlen (4)

m = pi 1

pc2'...

pes m i t 0 ^

Cj 5S a{

und nur diese sind Teiler von a. Daß diese m Teiler von a sind, ist klar. Daß andere Primteiler als p1:. . ., pr in der Zerlegung eines Teilers t von a nicht vorkommen, folgt aus dem Fundamentalsatz. Und schließlich treten in der Zerlegung eines Teilers t keine Exponenten c( > a{ auf; denn sonst hätten wir etwa Pil + 1 I ' I a u n d damit a = p®1 + 1 v, daraus würde der Widerspruch p1\p(2 • • • VrT folgen. Die Anzahl aller Teiler von a einschließlich a und 1 ist daher (5) T(n) = (a 1 + l ) ( « s + l ) . . . ( a r + l ) , dem Produkt der Zahlen, die angeben, wieviel Möglichkeiten für das einzelne c( bestehen. § 3. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches Wir fragen jetzt nach den natürlichen Zahlen, die zugleich Teiler von zwei positiven Zahlen a und b sind. Die verschiedenen Primzahlen, die entweder Teiler von a oder von b sind, seien pv p2,. . ., pr. Dann lassen sich a und b eindeutig in folgender Form schreiben: a = Pil Vi'--7. e, P,

V/, ßr

Hier sind die a, und /3, natürliche Zahlen, die gleich 0 sind,

Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches

13

wenn p,- in der Zerlegung von a oder b nicht vorkommt. Damit eine Zahl i zugleich die Zahlen a und b teilt, ist nach (4) notwendig und hinreichend, daß t die Form t = Vi Vi ••• Vrr hat, wo gleichzeitig 0 ^ iS a ( und 0 ^ i; fS ß( erfüllt sind. Die größte unter diesen Zahlen hat die Exponenten t( = min (a,-, ßi); sie ist ein Vielfaches jedes gemeinsamen Teilers von a und b. Damit gilt Satz 4: Zu zweifpositiven Zahlen a und b gibt es eine und, nur eine positive Zahl d mit den beiden Eigenschaften: 1. d\a, d\b,2. aus t\a, t\b folgt t\d und umgekehrt. Sie ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b und wird mit d = (a,b) bezeichnet. Aus diesen beiden Eigenschaften folgt schon, ohne daß die Primzerlegung herangezogen wird, die eindeutige Bestimmtheit von d. Denn wenn d! auch 1. und 2. erfüllt, folgt d'\d und d\d', also d' = d. Der gr. g. T. von mehr als zwei positiven Zahlen, auch von unendlich vielen, wird entsprechend definiert: d = O j , . . . , a„). Ergänzend definieren wir (%, o 2 , . . . , an) für den Fall, daß ein a( = 0 ist. Man streiche alle a( = 0 und bilde den gr. g. T. für die übrigen Zahlen, falls es solche gibt; sonst wird (%, a2, . . . , « „ ) = 0 gesetzt. Auch für diese Ergänzungen treffen 1. und 2. zu. Dagegen ist (0, 0 , . . . , 0) nicht mehr der gr. g. T. im Sinne der Anordnung. Die Frage nach den gemeinsamen natürlichen Vielfachen zweier positiven Zahlen a und b ist in analoger Weise zu beantworten. Schreiben wir wieder a und b in der eben verwendeten Form, so hat eine Zahl v, die zugleich Vielfaches von a und b ist, offensichtlich die Gestalt v. VM v = pj1 p2'... p/, wo die v( gleichzeitig v( ^ ait ^ erfüllen. Das kleinste derartige v hat die Exponenten v( = max (a f , ßi) und ist ein Teiler aller gemeinsamen Vielfachen von a und b. Damit gilt

14

Teilbarkeitseigenschaften

Satz 5: Zu zwei natürlichen Zahlen a und b gibt es eine und nur eine positive Zahl e mit den leiden Eigenschaften: 1. a\e, b\e, 2. aus a\v, b\v folgt e\v und umgekehrt. Sie ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a, b und wird mit [a, 6] bezeichnet. Das kl. g. V. von mehr als zwei, aber endlich vielen Zahlen wird entsprechend definiert. Durch die Eigenschaften 1. und 2. ist e eindeutig festgelegt. Für beliebige ganze a( sollen das kl. g. V. und der gr. g. T. eingeführt werden durch die Forderung, daß sie sich nicht ändern, wenn ein at durch — at ersetzt wird. Im übrigen werden als gemeinsame Vielfache und Teiler nur die natürlichen betrachtet. Aus den Definitionen des gr. g. T. und kl. g. V. ergeben sich ohne Schwierigkeiten folgende Rechenregeln bei beliebigen ganzen at und t: (a l5 . . ., a„) und [a1: . . ., Reihenfolge der «,-,

sind unabhängig von der

(al5..., an) = (av (a2,..., «„)), [a1,...,an\ = [aly [a2,...,an]\, ( ®1> • • •> ®») I (®1> • • ' [®1> • • an] | [®0> aV • • •> ®n] ' (0, av ..., an) = (a1;..., a„), [1, ax,..., an] = [a^ ..., a„], (1, an) = 1, [0, an] = 0. Diese Regeln sind für die Bestimmung des gr. g. T. und kl. g. V in konkreten Fällen oft von Nutzen. Zwischen dem kl. g. Y . und dem gr. g. T. zweier natürlicher Zahlen besteht die Beziehung ab = (a, b) [a, b] durch welche die Bestimmung des kl. g. V. auf die Bestimmung des gr.g.T. zurückgeführt wird. Sie ist enthalten in dem Satz 6: Für A — a1q1 = a2q2 = • • • = anq„ ig 0 gilt A = («!, . . ., an) fft, . . .,qn] = [a15 ...,«„] (qv . ..,?„).

Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsame» Vielfaches 15 Beweis: F ü r A = 0 folgt die Behauptung unmittelbar aus unseren Definitionen. Für A 4= 0 schreiben wir unter Verwendung des Produktzeichens

A = n

r=1

v>,

at=

n v=1

?. =

n v —= 1

Dann ist K.

= II Pavv,öv = min (a l v ,

[«!, . . . , « „ ] = n (?i> •••>?»») = n

...,ocnv),

= max (a1V) ...,«„»), Ö

V }, d'v= min («„— a l v , . . . , a„— «„„),

[?i> • ••,?«] = II Vi", e'v= max (a„— a l r , . . . , a„ — a„„). Wegen m i n ( « v — a l v , . . . , a„ — aB1>) = a v — max ( a l v , . . . , a BV ) und max (a„ — a l i ; , . . . , xv — anv) =

+ arx

0, n >

Primteiler.

Dabei heißt eine Primzahl p Primteiler von A(x), p\ A(a) für irgendein ganzzahliges a.

0)

wenn

Beweis: Wir konstruieren eine Folge von ganzen Zahlen x0, xlt . . . derart, daß die Zahlen y0 = A(x0), yx = A(xx), y2 = A(x2),. . . immer neue Primteiler aufweisen. Wir wählen ein x0 > 4 m a x ^ l ) . Die weiteren Z; bestimmen wir rekursiv: x1 = x0 + y\, allgemein xs+1 = xs + y\. Zunächst ist y0 = A{x0) > 1, besitzt also mindestens einen Primteiler. Denn wegen x0 > 4 m a x (|a,|) ist A (x0) ^

(17)

> anxo tn

,n—1

an

— | a„-i | x'0 ^

j(

an xo ~~ Y

>

x

"

(xo

h l ) = ani ~ 1)

>

a»

Y > 1•

Sei nun p irgendein Primteiler von yQ = A(x0). Dann geht p in y1 in derselben Potenz wie in y0 auf. Das folgt aus y-i = A (zo + vi)

=

A

ixo) + 2/o

B

(«o- Vo) =

= «/o(l + 2/o ß ( oiVo)) • x

Also ist y1 = 2/o*?i m i t (?i,2/o) = 1- Wenn q1 überhaupt Primteiler besitzt, dann nur solche, die nicht in y0 aufgehen, also neu sind. Das ist wirklich der Fall, da qx > 1 ist. E s ist nämlich i =

x

xn

y2n

a + 2 / o > 4 m a x ( | a , | ) , y1 > a „ y > -f

x

>

y0.

Spezielle Primzahlen

29

Ebenso gilt allgemein ys = q3 mit (qs, ys~i) = 1 und qs > 1. Jedesmal kommt wenigstens ein neuer Primteiler hinzu. Obendrein haben wir den Satz gewonnen: Die Wertfolge .4(0), .4(1), . . A ( n ) . . . eines Polynoms besteht nicht aus lauter Primzahlen, sondern enthält auch zusammengesetzte Zahlen. Euler entdeckte, daß das Polynom A{x) = x2 + x + 41 für x — 0 , 1 , . . . , 39 Primzahlen liefert. Das Polynom A(x) = x*—x + 41 stellt für x = 0 , 1 , . . . , 40 Primzahlen dar. W. H. Mills hat 1947 eine Funktion konstruiert, die nur Primzahlwerte annimmt: [A3*] ist bei bestimmtem A > 1 für x = 1, 2, 3 , . . . stets Primzahl.

Bezeichnet jt(x) die Anzahl der Primzahlen 7i2(x) die Anzahl der Primzahlzwillinge x, so ist

x und

n (100000) = 9552, n (1000000) = 78498, 7r2(100000) = 1224, JT2(1000000) = 8164. Die Anzahl n (109) hat man berechnet, ohne die Primzahlen ig 10® einzeln zu kennen. Es ist (10°) = 50 847 478. § 8. Spezielle Primzahlen Die natürliche Zahl N heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten natürlichen Teiler ist, z. B. 6 = 1 + 2 + 3. Bezeichnen wir die Summe aller Teiler von N durch a (N) = so ist die Definition der vollkommenen d/N Zahl N durch a(N) = 2 N gegeben. Bei Euklid findet sich folgender Satz 19: Wenn N = 2i(2 1, so ist 2«ß — 1 = (2« — 1) (2« (0- 1 ) + • • • + 2« + 1) keine Primzahl, wenn ß > 1. Primzahlen der Form p = 2"—l heißen Mersennesehe Primzahlen. Zu solchen Primzahlen p führen die Primzahlen n = 2,3, 5, 7 , 3 3 , 1 7 , 1 9 , 31, 61, 89,

Spezielle Primzahlen

31 83

107,127. Dagegen gilt 2312" — 1, 47|2®> — 1,16712 — 1, 223|2" — 1, 233|2 29 - 1, 43112« — 1. Auch die übrigen 7i iS 257 ergeben zusammengesetzte Zahlen. Soweit hat Mersenne die Exponenten untersucht, dabei allerdings fünf Fehler gemacht. Die elektronische Rechenmaschine SWAC hat in ihrem Mersenne-Programm noch fünf weitere Primzahlen 7t, die zu Mersenneschen Primzahlen führen, ermittelt: 7i = 521, 607,1279, 2203, 2281. Die Zahl (2 2281 — 1) ist die größte, bisher bekannte Primzahl, die Zahl 2 2280 (2 2281 — 1) die größte bekannte vollkommene Zahl. Von größerem Interesse, nämlich für die Frage der Kreisteilung mit Zirkel und Lineal, sind die Fermatschen Primzahlen p = 2" + 1. Hier gilt Satz 22: Die Zahl p = 2" + 1 ist höchstens dann Primsahl, wenn v eine Potenz von 2 ist, v = 2™. Ist nämlich v = au mit ungeradem u > 1, so ist ('2au + 1) = (2a + 1) (2«("-1) — 2a 1 enthalten: v — 28. Man kennt nur fünf Primzahlen dieser Gestalt: p = 3, 5,17, 257, 65537 mit s = 0,1, 2, 3, 4. Die Zahlen s = 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,15,18, 23, 36, 38, 73 führen zu zusammengesetzten Zahlen; dabei sind für s = 7, 8 keine Teiler bekannt. Nach Gauß gelingt die ¿-Teilung des Kreises mit Zirkel und Lineal für ungerades t nur, wenn t ein quadratfreies Produkt Fermatscher Primzahlen ist. Die maximal bisher mögliche Ungeradteilung ist die in 3 • 5 • 17 • 257 • 65537 = 232 — 1 gleiche Teile. Allgemein kann man von den Fermatschen Zahlen F t = 22" + 1 wenigstens sagen, daß sie unendlich viele Primteiler t>esitzen. Denn alle Primteiler der Fs mit s < r gehen in deren Produkt ]J F, = 2 2r — 1 = Fr — 2 auf, also nicht in Ft. Daher besteht

» 0, s 0, als Lösungszahlen: r a(m) = 2 für s = 0 , 1 ; a(m) = 2r+1 für s = 2; a(m) = 2'+ 2 für s > 2. Beispiele zu x2 = 1 mod m: m = 45, a j = ± l , ± 1 9 ( 4 5 ) , a(45) = 4 . m = 1 2 0 , a; = ± l , ± 1 9 ( 3 0 ) [zusammengefaßt], a(120) = 1 6 . Wir wollen jetzt die Reduktion der Moduln hei algebraischen Kongruenzen weiterführen und dieLösungvonA(x) = Omodpe, e > 1, auf die Lösung mod p e _ 1 zurückführen. Jede Lösung r' von A(x) = 0 mod pe ist Lösung von A(x) = 0 mod Dabei können verschiedene Lösungen mod pe in eine mod pe~1 zusammenfallen. Auf jeden Fall besteht bei r' =r mod pe~x die Kongruenz (52)

r' = r + ype-^ mod pe

mit einem y, das mod p bestimmt ist. Sei nun umgekehrt r eine Lösung von A{x) = 0 mod Dann ist (53)

A {x) ={x—r)

Q{x) + A (r) mit pe~1\A (r).

Für Air) gilt noch A(r) = ap*'1 mod

mit einem mod p

Reduktion der Moduln bei algebraischen Kongruenzen

55

bestimmten a. Ersetzen wir nun x durch r' mod pe, so wird aus (53) (54) A (r") = (f — r)Q ( / ) + A (r) mod pe • Wir versuchen jetzt y mod p in r' = r + ypß~1 mod pe so zu bestimmen, daß A(r') = 0 mod pe wird. Zunächst ist Q{r') = Q(r) mod p, da r' = r mod p ist. Damit nimmt (54) die Form A{r") = yp«-1 Q(r) + ap«-1 = (yQ(r) + a)

mod pe

an. Jetzt müssen zwei Fälle unterschieden werden: Entweder ist Q(r) äp 0 mod p und es gibt genau ein y mod p, so daß yQ(r) + a = 0 mod p ist. Dann gibt es zu jeder Lösung r von A(x) = 0 mod pe~x genau eine Lösung r' von l ( i ) = 0 mod pe. Der Zusammenhang von r' und r wird durch (52) gegeben. Oder es ist Q(r) = 0 mod p. Dann wird die Kongruenz yQ(r) + a = 0 mod p durch kein y mod p befriedigt, wenn a^O(p) ist, oder durch alle y mod p, wenn a == 0 (p) ist. In diesem zweiten Fall gibt es zu einer Lösung r von A (x) = 0 mod keine Lösung oder p Lösungen von A (a) = 0 mod pe. Entscheidend für das eindeutige Aufsteigen von einer Lösung r mod p" - 1 zu einer Lösung r' mod pe ist das Bestehen der Kongruenz Q(r)^ 0 mod p. Man sagt in diesem Fall, r sei eine einfache Lösung von A(x) = 0 mod p, während man bei Q(r) = 0 mod p von einer mehrfachen Lösung spricht. Von den einzelnen Kongruenzwurzeln mod p zu denen mod pe in e — 1 Schritten aufsteigend, erhält man insgesamt: Satz 38: Sind rlt . . . , rk sämtliche Kongruenzwurzeln von A(x) = 0 mod p und alle einfach, ist also A(x) = (x — tj) (x — r2)...

(x — rL) Q(x) mod p

mit Q(r) ^ 0 (p) für alle r mod p, so gibt es auch genau 1c Lösungen mod pe. Ist allgemein r{ eine einfache, tj eine mehrfache Wurzel mod p, ist also Q(r() ^ 0, Q,{r]) = 0 mod p, so hat A(x) = 0

56

Kongruenzen. Restklassen

mod pe genau eine Wurzel, die = r, mod p ist, dagegen keine Wurzel, die = r,- mod p ist, oder Scharen von je p Wurzeln, die demselben Rest mod pe~x kongruent sind. Beispiel (p = 3): 1. x2 + 11 = 0 mod 3e. Zwei einfache Wurzeln i = ± 1, 4, 4, 31, 31, 274 . . . mod 3, 9, 27, 81, 243, 729 2. x2 + x + 1 = 0(3 e ). Eine mehrfache Wurzel + 1 mod 3, schon keine Wurzel mod 9. 3. x3 —19 = 0(3e). Mehrfache Wurzel: x = 1 mod 3; 1, 4, 7 mod 9; 7,16, 26 mod 27; . . . Die unterstrichenen Lösungen sind diejenigen, aus denen die Lösungen der höheren Potenz hervorgehen. 4. x(x — 1) (x — 4 ) = 0 (3e). Eine einfache Wurzel 0 mod 3«; eine mehrfache Wurzel x = 1 mod 3; 1, 4, 7 mod 9; 1, 4,10,13, 19, 22 mod 27; 1, 4, 28, 31, 55, 58 mod 81; . . . . Wie die Beispiele 3, 4 zeigen, kann von zwei Lösungen mod p e ~ \ die aus einer mehrfachen Wurzel mod p hervorgehen, sehr wohl die eine ohne die andere Lösung mod pe sein. § 16. Der Fermatsche Satz Wir kommen nun zu dem Satz der Kongruenzlehre, der f ü r fast alle weiteren Ergebnisse grundlegend ist, dem Fermatschen Satz: Satz 39: Für jede Primzahl p und jeden Rest x mod p gilt die Kongruenz (55) xv = x mod p. Daraus folgt sofort: F ü r jeden zu p teilerfremden Rest r gilt (56)

r P - 1 = 1 mod p.

Umgekehrt h a t (56) die Kongruenz (55) zu Folge. Dieser von F e r m a t (1601—1665) aufgestellte u n d bewiesene Satz wird oft der „kleine F e r m a t " g e n a n n t ; dagegen wird als „großer F e r m a t " die von F e r m a t aufgestellte, immer noch unbewiesene B e h a u p t u n g bezeichnet, d a ß xn + yn = zn f ü r w > 2 in ganzen Zahlen x, y, z unlös-

Der Fermatsche Satz

57

bar sei. Für einzelne n ist der Beweis gelungen, oft mit großen Schwierigkeiten; für n = 4 vgl. § 19. An Wichtigkeit ist der große Fermat dem kleinen Fermat weit unterlegen. Um den Fermatschen Satz zu beweisen, beachte man, daß allgemein (57) (x + y)P = xv + yP mod p für Zahlen und Polynome x, y gilt. Denn in der Binomialontwicklung von (x + y)t> hat xf-' y' für i = 1, 2, . . . , p — 1 den Koeffizienten P(P — 1) • • • (P — i + 1) = 0 mod p , 1-2 ...i (?) da alle Faktoren im Nenner < p sind und deshalb das p im Zähler nicht durch Kürzen fortfallen kann. Für y = 1 gilt also bei beliebigem Rest x die Kongruenz

(x + 1)p =

XP +

1 mod p.

p

Aus x = x(p), was für x = 0 zutrifft, folgt (x + l)r' = x+1 mod p. Wir haben damit für (55) einen Beweis durch Induktion, deren Anwendung auf ein vollständiges Restsystem mod p beschränkt werden darf. Ein anderer Beweis liefert zugleich den allgemeineren Eulerschen Satz: Satz 40: Für jeden zum Modul m teilerfremden Rest r gilt (58)

rn m ) = 1 mod m.

Die Eulersche Funktion p-1 = 1 + ap und (65)

wf"1 (1 + y p)P~1 = (1 + a p) (1 + (p — 1) y p + = 1 + {a — y)p mod p2\

zp2)

w(l + yp) besitzt also für a = y mod p die Ordnung p — 1 und ist daher keine Primitivwurzel mod p2. Die übrigen v = w(l + yp) sind wirklich Primitivwurzeln mod p2\ das kleinste h > 0 mit vh = 1 (p2) hat die Form h = l(p — 1), da v = w(p) Primitivwurzel mod p ist. Nun folgt aus (65) durch Potenzieren

62

Kongruenzen. Restklassen

(66) vte-W = 1 + l (a — y) p mod p2 und das ist bei a ^ y(p) erst für l = p kongruent 1 mod p 2 ; diese v haben also die Ordnung (p — 1) p = (q^},. . . ,

(m) mod m ; denn v = 1 mod 2B77g,( erfordert %p(2e)\h, = 1 mod m. Wichtiger ist folgende Anwendung simultaner Kongrusnzen auf Primitivwurzeln: E s sei TO = 2e qx. .. qs und r ein teilerfremder Rest mod TO. D a n n sind die Systeme von je zwei simultanen Kongruenzen (68)

r 0 = r mod 2C, r0 = 1 mod qx... q,; r,- = r mod qh r f = 1 mod m : qt

lösbar, da die beiden Moduln jeweils teilerfremd sind. Mit diesen r 0 , r ( ist r = r0rl - • • r, mod m. Nun sei ein Primitivrest mod q{, der die Kongruenz «¡ = 1 mod m : q( erfüllt. Einen solchen gibt es wegen (qh m : q() = 1. D a n n ist rt = vi* mod m; ct mod

1 brauchen wir nur: Zu jedem p gibt es ein m | p, so daß (76)

pm = x2 + y2 + z2 + w2

lösbar ist. Die Zahl m soll jetzt auf 1 herabgedrückt werden. Sei a = x(m) der kleinste Absolutrest von x mod m, entw sprechend b, c, d für y, z, w, also | a | , . . , -g- • Dann ist pm = x2 + y2 + z2 + w2 = a2 + b2 + c2 + d2 = 0 mod m; a2 + b2 + c2 + d2 = mm'. Nach (75) gilt jetzt pm2 m! = (x2 + y2 + z2 + w2) (a2 + b2 + c2 + d2) = = A2 + B2 + C2 + D2. Setzt man für A,.., D die Ausdrücke aus (75) ein und beachtet a = x,. . , d = w(m), so folgt A = • • = D = 0(m) und damit eine Darstellung von pm' als Summe von vier Quadraten. Für m = folgt aus | a | , . . , [a| Tfl ^ — jetzt m' m. Wenn m' < m ist, haben wir f ü r ein ¿t kleineres Multiplum von p eine Darstellung. Die Gleichung m! = m gilt nun genau dann, wenn | a | , . . , | < J | = - y . Dann ist 2a = -- = %d = 2x = -- = 2w = Q mod m. Aus der Darstellung von pm folgt jetzt 4 pm = i m 2 , also m | 4 p und, da (m, p) = 1 ist, schließlich m|4. Ist m' = m

Darstellung durch Quadratsummen

69

--= 4, so sind alle Summanden in der Darstellung (76) für 4 p durch 4 teilbar, woraus eine Darstellung für p folgt. Ist m' = w = 2, so folgt aus einer Darstellung für 2 p eine solche für 4 p = (1 + 1 + 0 + 0) 2 p mit durch 4 teilbaren Summanden, also wieder eine für p. Zu jedem pm, m > 1, das als Summe von Quadraten dargestellt werden kann, gibt es ein pm!, m' < w, mit derselben Eigenschaft. Der Beweis ergibt, wenn eine Lösung von (74) bekannt ist, einen Darstellungsalgorithmus für p. Beispiel: p = 79. — 1 = 157 = I I 2 + Ö2; I I 2 + 6 2 + l 2 + 0 2 = 2 • 79; 2 = l 2 + 0 2 + l 2 + 0 2 ; 4 • 79 = 12 2 + 6 2 + 102 + 6 2 ; 79 = ü2 + 5 2 + 3 2 + 3 2 . Die Zahl 79 braucht wie alle Zahlen der Form 8w + 7 wirklich vier Quadrate zu ihrer Darstellung. Denn bei x+ y2 + z2 + w2 = 7 (8) müssen drei Quadrate ungerade sein und dann je = 1 (8), und das vierte muß = 4 (8), also =|= 0 sein. Ebenso sind für das Vierfache einer Zahl, die vier Quadrate zur Darstellung braucht, wieder vier Quadrate erforderlich. Wenn nämlich 4TO durch drei Quadrate dargestellt werden kann, sind alle Summanden notwendig gerade, also auch durch 4 teilbar, und durch Wegheben von 4 entsteht eine Darstellung von m durch drei Quadrate. Also brauchen alle. Zahlen der Gestalt 41' (8n + 7) vier Quadratsummanden. Alle übrigen kommen mit drei Quadratsummanden aus; aber das ist nicht so leicht zu zeigen. Satz 50: Eine Primzahl p ist genau dann in der Form p = x2 + y2 darstellbar, wenn z2 = — 1 mod p lösbar ist. Beweis (ohne Verwendung des Vorigen): Sei e die kleinste Zahl mit e2 > p. Ist z2 = — 1 (p) lösbar, so ist eine Lösung nach Thue (Satz 29) als Bruch y mit 0 < x,y 2/ ^ (e — l) < P darstellbar. Dann ist x + y = 0(p), also x2 + y2 = mp\ wegen 0 < x2, y2 < p muß m = 1 sein. Umgekehrt folgt aus der Lösbarkeit von p = x2 + y2 die Lösbarkeit von z2 = — 1 (p). Nach der Kongruenz (30) des Wilsonschen Satzes ist z2 = — 1 (p) für p = 1 (4) lösbar. Nach Satz 50 ist sie für 2

2

2

2

2

70

Kongruenzen. Restklassen

p = 3 (4) nicht lösbar, da diese Primzahlen nicht als Summe von zwei Quadraten darstellbar sind. Daraus folgt Satz51: Alk Primzahlen p der Form4m + 1 und p — 2 und nur diese Primzahlen sind als Summen von zwei Quadraten darstellbar: p = x2 + y2. Wegen (a2 + 52) (x 2 + y2) = (ay — Ix)2 + (ax + lyf ist mit zwei Zahlen auch ihr Produkt als Summe von zwei Quadraten darstellbar. Aus Satz 51 folgt deswegen, daß alle Zahlen, die nur die Primteiler 2 und solche der Form 4 n + 1 besitzen, als Summe von zwei Quadraten darstellbar sind. Die Umkehrung trifft nicht zu: 9 = 32. + 0 und 3 4= 4w + 1; dagegen ist x2 + y2 für x =)= 0, y 4= 0. Zur Klärung dieser Verhältnisse führen wir einen neuen Begriff ein. Wir nennen die Darstellung einer natürlichen Zahl m = x2 + y2 eigentlich, wenn (x, y) = 1 ist, und sonst uneigentlich. Jetzt gilt: Satz 52: Die natürliche Zahl m mit der Primpotenzzerlegung m = 2e p[' — p"' besitzt Iceine eigentliche Darstellung m = x2 + y2, wenn e S: 2 oder ein pt = 3 (4) ist. Sie besitzt 2 8 _ 1 verschiedene eigentliche Darstellungen, wenn « = 0, 1 ist und alle = 1 (4) sind. Sei m = x2 + y2 eine eigentliche Darstellung. Dann ist mit (a;, y) = 1 auch (a:, m) = (y, m) — 1, und wegen x2 + y2 = 0 (Pi) ist

= — 1 (p(). Eine Zahl m mit einem Prim-

teiler = 3 (4) besitzt also keine eigentliche Darstellung. Wenn e S: 2 ist, besitzt sie auch keine, da dann in m = x2 + y2 die Zahlen x, y gerade sind. Sei nun zunächst e = 0 und m = p{'... p',' mit p{=1 (4). Für p1 gibt es eine Darstellung pt — x2 + y2; daß sie eigentlich ist, folgt aus (x, y)21 p 1 . Wir konstruieren jetzt für s > 1 zu einer (notwendig eigentlichen) Darstellung von tt = p1... Pi, i 6 > 0 , a ; > i / > 0 ist. Dann ist ( a x + by)2 größer als alle andern Quadrate in (77), und daher sind die beiden Darstellungen für tp verschieden. E s gelten, wie man sofort nachrechnet, folgende Kongruenzen: (78) v i

ax ay ay ax

-4- bv

= — bx 4 - bx j—= — oy

x b — mod t, = — m o d p , a ' y b . , y — m o d i , = — m o d pr . a ' x

Die Quotienten der beiden Lösungen von t • p = X2 + Y2, X X nämlich ^ und ^ r , sind modi, aber nicht modpkongruent (p > 2). Ausgehend von einer Darstellung p1 = x2 + y2 gelangt man so zu 2 S _ 1 Darstellungen für P = Vi---VtWir zeigen, daß diese untereinander verschieden sind. Der Quotient -j- mod P der Darstellungszahlen aus P = A2 + B2 ist Wurzel von z2 = — 1 ( P ) . Die 2 S Wurzeln dieser Kongruenz erhält man durch simultane Lösung von z2 = — 1 (Pi), also in der Gestalt z = ± j( (p 2 in der Form p = x- + dy2 für d = darstellbar, wenn z2 = — d m o d p lösbar ist, ferner für 13, 37, wenn außerdem p = 1 mod 4 ist. Wieder sind unter den ungeraden Zahlen durch eindeutige und eigentliche Darstellbarkeit ausgezeichnet.

2, 3, 7 d = 5, diese p zugleich

Man erhält f ü r jedes d bei Lösbarkeit der Kongruenz 2

z = —d mod p aus einer Lösung z =

mit 0
1 durch Kongruenzen entweder ausschließen oder auf m = 1 zurückführen. Wir wollen dies nur f ü r d = 3 und d = 37 ausführen. Ist z2 = — B(p) lösbar, so gibt es eine Darstellung x2 + 3 y 2 = mp mit 3. Ist m = 3, so folgt x = 0(3) und damit eine Darstellung f ü r p. Dfcr Fall m = 2 ist ausgeschlossen, da x2 + 3 y2 = 2 p nur f ü r p = 2 lösbar ist. F ü r d = 37 wollen wir den Satz von Thue in der allgemeinen F o r m verwenden. E s seien e und / die kleinsten Zahlen mit e 2 > 6 p , f2> \ p . Dann folgt aus — 37 = (—) y mit x < e, y < / die Ungleichung 0 < x> +31y2
q. Wegen P + 1 = —1(4) hat P + 1 einen Primteiler = 3(4), weil ein Produkt von Zahlen = 1(4) selbst = 1(4) ist. Dagegen hat P2 + 1 nach obigem nur Primteiler = 1(4). Also gibt es zwischen q und (g!)2 + 2 je eine Primzahl = - j - l ( 4 ) . Das gilt für jedes q (hier schon für q ^ 2), und deshalb gibt es unendlich viele Primzahlen in jeder der Progressionen 4 m ± 1. Auch P — 1 und 3 P2 + 1 haben nur Primteiler > q, und zwar hat P — 1 einen Primteiler = — 1 (3) und 3 P 2 + 1 nur Primteiler = 1 (3), woraus die Behauptung für die beiden Progressionen 3m ^ 1 folgt. Da 3m ^ 1 = 0(2), wenn m = l (2) ist, sind die Primzahlen der Form 3 m ^ 1 für m > 1 von der Form 6m ^ 1. Unabhängig vom Vorigen zeigen wir schließlich

Quadratische Reste

75 2

2

2

Satz 54: Für eine eigentliche Darstellung x + y = z mit xy =)= 0 ist notwendig eine Darstellung (79)

x = a2 — b2, y = 2ab, z = a2 + b2.

Ferner ist die Gleichung x* + yl = z2 ¿et ?/ =f= 0 unlösbar und damit die Fermatgleichung für den Exponenten 4. ^ B e w e i s : Da {x, y) = 1 sein soll, kann man x = 1(2) ansetzen; dann ist 2/ = 0(2), da es f ü r z 2 = 0(2) keine eigentliche Darstellung gibt. Jetzt ist x2 = (z — y) (2 + y) mit (z + y,z — y) = (z — y,2y) = l , da {z, 2) = (z, y) = 1 ist. Also sind z + y und z — y einzeln Quadrate: z + y =lc2, z — y = d2. Hier sind c und d ungerade, also in der Form c = a + b, d = a — b darstellbar. Das ergibt nacheinander z = a2 + b2, y = 2ab, x = a 2 — 6 2 . Den zweiten Teil des Satzes erhalten wir durch zweimalige Anwendung des ersten Teiles. Soll x* + y* = z 2 mit kleinstem z sein, so muß in x2 = A2 — B2,y2 — 2 AB, z — A2 + B2 eine der Zahlen A, B, etwa B gerade sein, und mit (a;, y) = 1 ist auch (A, B) = 1 und dann A = a2, B =2b2. Das ergibt x2 + (26 2 ) 2 = a 4 und damit 26 2 = 2 CD, a2 = G2 + D2. Wieder ist (0, D) = 1 und dann G = c 2 , D = d2. Also ist a2 = c 4 + d4. Nun ist 2 = a 4 + (26 2 ) 2 > a 4 ^ a, da mit y > 0 auch b > 0 ist, d. h. 2 wäre nicht die kleinste Zahl, deren Quadrat die Summe zweier Biquadrate ist.

III. Quadratische Reste § 20. Zurückführung der quadratischen Kongruenzen In diesem Abschnitt werden wir die Frage nach den n-ten Potenzresten mod m f ü r den Fall n = 2, für die quadratischen Reste mod m, weiter behandeln: Welches sind die quadratischen Reste mod m ? Für welche m ist eine gegebene Zahl quadratischer Rest? Hierfür haben wir zwei wichtige

76

Quadratische Reste

Kriterien, das schon behandelte Eulersche K r i t e r i u m (Satz 46) und das Gaußsche L e m m a (Satz 59), das uns eine überraschend einfache A n t w o r t geben w i r d : Ob die Zahl r f ü r eine Primzahl p quadratischer Rest ist, h ä n g t n u r ab von der Restklasse mod 4 r , in der die P r i m z a h l p liegt (Satz 63). E i n e so einfache Einteilung k o m m t bei höheren Potenzresten nicht vor. Sie liefert ferner das Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste (Satz 66), das eine Aussage über das gegenseitige quadratische R e s t v e r h a l t e n zweier Primzahlen m a c h t . "Wir werden wieder alle F r a g e n auf den Fall des Primzahlmoduls z u r ü c k f ü h r e n . Zunächst f ü h r e n wir die allgemeine quadratische Kongruenz (80) ax2 + bx + c ^ 0 m o d m auf den Fall x2 = r m o d p, p> (80) ist gleichwertig mit 4a2x2

+4abx

2, zurück. Die Kongruenz

+ Aac = (2ax + b)2 ~(b2 -4ac)=0

mod Aam.

2

Die Zahl 1) = b — 4 a c heißt die Diskriminante von (80). Setzt m a n 2ax + b = y, so bleibt eine reine Kongruenz (81)

y2 = D m o d 4 a m mit y = b mod 2 a

zu lösen. Dabei ist die Erweiterung des Moduls m mit a nicht nötig, wenn (a, m) = 1 ist, u n d die mit 4 d a n n nicht, wenn (2, m) = 1 ist. Denn bei (a, m) = 1 ist Division durch a und bei (2, m) Division durch 2 möglich, so daß (80) bei (a, m) — (2, m) = 1 als reine quadratische Kongruenz m o d m geschrieben werden k a n n . Die Lösung von x2 = ü m o d m läßt sich auf teilerfremde Reste z u r ü c k f ü h r e n ; es gilt Satz 55: Die reine quadratische Kongruenz x2 = D mod m ist bei D — D' d, m = m'd, (D', m') = 1 und d = e2 / mit quadratfreiem f genau dann lösbar, wenn ( / , m') = 1 und fD' quadratischer Rest mod m' ist. Sei x2 = D(m) lösbar, dann ist m i t e2\D u n d e2\m auch e2\x2, also x = ey. J e t z t h a t y die Kongruenz y2 = fD' mod fm' zu erfüllen, und daraus folgt f\y2, also f\y, da /

Legendre-Symbol. Eulersches Kriterium

77

quadratfrei ist. Mit y = fz bleibt fz2 = D' mod m' zu lösen. Dafür muß zunächst wegen (Z)', m') = 1 auch (/, m') = 1 sein, und da dann fz2 = D'(m') mit f2z2 = fD'(m') gleichwertig ist, muß außerdem die Kongruenz y% = fD' mod m' lösbar sein. Ist y2 = fD' mod m' lösbar und (/, m') = 1, so hat man mit y = fz(m') die Kongruenz f2z2 = fD'(m') und damit fz2 = D'(m')\ daraus folgt e2f2z2 = e2fD' mod e2fm', also die Lösbarkeit von x2 = D mod m. Jetzt bleibt nur die Frage, ob ein gegebener teilerfremder Rest a mod m quadratischer Rest oder nicht-quadratischer Rest (Nichtrest) ist. Nach dem Hauptsatz über simultane Kongruenzen ist die Lösbarkeit von x2 = a mod m äquivalent mit der Lösbarkeit des Systems x2 = a mod pf», wo pl* die Primpotenzteiler von m sind. Die Kongruenz x2 = a mod pe ist für p > 2 nach Satz 38 genau dann lösbar, wenn x2 = a mod p lösbar ist, und nach Satz 47 für p = 2 bei e ^ 3 nur, wenn a = 1 (8) ist, bei e = 2 nur, wenn a = 1 (4) ist, und bei e = 1 immer. Es gilt demnach Satz 56: Eine Zahl a ist genau dann quadratischer Rest. mod m, wenn sie quadratischer Rest aller Primteiler von m ist und in den Fällen 4| m, 8| m selbst = 1 mod 4, 8 ist. § 21. Legendre-Symbol. Eulersches Kriterium Um bei ungeradem Primzahlmodul p das quadratische Restverhalten einer zu p primen Zahl a kurz zu beschreiben, gebraucht man das Legendre-Symbol (^j, gelesen „a n a c h p " oder „a für p'\ Es wird gesetzt mod p lösbar ist, und

= — 1, wenn x2 = o mod p nicht

lösbar ist. Für das Symbol (82)

= + 1, wenn x2 = a

gilt seiner Definition nach

wenn a = a' mod p.

78

Quadratische Reste

Ferner gilt das Eulersche Kriterium: p—i a \ = 11 _2v Satz 57: j= a mod p. p-i Zunächst ist 0 ist. Dann gilt w» ( n t i ) - ® Beweis: Mit m' = iat — m seien wieder ¡j,t und die Anzahlen der Vielfachen von a, die in das i-te Halbintervall mod m und mod m' fallen. Dann sind die Anzahlen s t , s< der Vielfachen von a, die ^ t - y und derjenigen, die ^ t ^ sind, gleich + • • • + [i{ und + ••• + Weiter ist i (4 a i — m) im (94) = ^ , 8J = , + ,{ = 2it 1. 2a Die letzte Gleichung gilt, weil 2a nicht in im aufgeht. Also ist fi1+/J,[ = 2t-1, aber ft 2 + fi'2 = [i 3 + fi'3 = • • • = + fi'a = 21, und infolgedessen (95) n + [A! = fi 2 + + ^ + (i' H + (in + fii». = = 2 rt und = (2). Damit ist Satz 64 bewiesen, und man braucht zur Kenntnis von ¡ ^ j für alle m, insbesondere für alle Primzahlen, nur die m < a.

Die Frage nach den Moduln bei gegebenem quadratischem Best 87 Beispiele: o= 7

p

=

1

3

5

9 11 13 16 17 19 23 26 27 (mod 28)

4 o = 2 8 ( y ) = + 1 + 1 —1 + 1 —1 —1 —1 —1 + 1 —1 + 1 + 1 ; o=13

p

2a=26

=

1

3

6

7

9 11 15 17 19 21 23 26 (mod 26)

= + 1 + 1 —1 —1 + 1 —1 —1 + 1 —1 —1 + 1 + 1 .

Das Schema für a = 7 muß nach Satz 64 symmetrisch ausfallen, und es muß nach Satz 63 dann die zweite Schemahälfte entgegengesetzt zur ersten verlaufen und daher das zweite Viertel antisymmetrisch zum ersten, das allein zu berechnen bleibt. Das Schema für o = 13, das nur das Intervall 1 ¿m 0. Auch ,a s ymj \m,_ ist (—1 für alle zu 4 a teilerfremden m erklärt. Die Gleichung des Symbols

= JI

dient Jacobi zur Definition

für zusammengesetzte Nenner (Jacobi-

Symbole). Zweckmäßigerweise definiert man noch: /102)

(—) — ( - i L ) _ i + 1 für a = 1 (8)

so daß jetzt mit der Definitionsgleichung von Jacobi das Symbol

für alle m 4= 0 und alle zu m teilerfremden a,

die bei m = 0(2) noch der Einschränkung a = l(4) ge/2 nügen, erklärt ist. Da nach dem 2. Ergänzungssatz l = (— 1) 8 ist, gilt = , soweit definiert ist. Mit dieser Erweiterung des Definitionsbereichs von (— gilt Satz 68: Das Symbol

ist bei a = 0 oder = 1 (4) für

positive m ein RestcharaMer mod a. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus

= _/J

in dem erweiterten Definitionsbereich und die Bestimmung v o n d u r c h m mod a aus dem Keziprozitätsgesetz. Sei zunächst a = 1(4) und m = 2am' mit m' = 1(2). Dann ist

92

Quadratische Reste

also [ ^ j durch m mod a bestimmt. Sei zweitens a = 0(4), also a = 2^ a' mit ß ^ 2 und a' = 1 (2); dann ist auch m == 1 (2). Jetzt ist

(m) ~~ ("ro ) ~~ (m) (m) ~ = (-1) —

(»- 1 o ' - 1 (-1)—

Auf der rechten Seite ist a bestimmt durch m mod a' und m-i \> (— 1) 2 durch m mod 4; der erste Faktor ist für gerades ß gleich 1 und für ungerades ß durch m mod 8 bestimmt. Die ganze rechte Seite ist also f ü r ß = 2 eine Funktion von m mod 4 a' und f ü r eine Funktion von m mod Sa', in jedem Fall eine Funktion von m mod a. Bei a = 0 , 1 (4) ist für positive m, n noch (—) = j—] sgn a, wenn m = —n(a). \m> \n ' Das Reziprozitätsgesetz liefert einen Algorithmus zur Berechnung des quadratischen Restsymbols: /19\ /79\ 13 \ . /19\ _ 19) ~ [19) " [19) ^ [3 91 \ _ /281 '8\ /2\ -1, 281 i ~ l~9T J9lj ~ \91/ 119427 \ _ /] I 2 ) in = 1 \ 118291j " — r V13/ Ufy

UJ

1

+1

Das erste Beispiel verwendet nur Legendre-Symbole; im zweiten treten zusammengesetzte Nenner, also Gauß-Symbole auf. Im dritten Beispiel wird die Gleichung (101) oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Jacobische Definition des Restsymbols gebraucht.

Der dritte Gaußsche Beweis des Reziprozitätsgesetzes

93

§ 25. Der dritte Gaußsche Beweis des Reziprozitätsgesetzes Wir bringen noch den dritten — von Eisenstein vereinfachten — der acht Gaußschen Beweise des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, der wie die meisten der zahlreichen veröffentlichten Beweise unmittelbar vom Gaußschen Lemma ausgeht, ohne den Hauptsatz der quadratischen Reste zu streifen. Er ist dadurch weniger durchsichtig als der vorausgeschickte. Es seien p und q positive ungerade Zahlen. Wir betrachten zuerst

und bilden wie im Gaußschen Lemma die

—

ersten Vielfachen (104)

qx = \qj}p+rx,

x = 1,2

Die Reste rx werden der Größe nach geordnet: (105)

rx = ava2,..

. , ax, p — c x ,. . . , p — cß,

und so bezeichnet, daß % , . . . , in der unteren Resthälfte mod p und p — c 1 ; . . . , p — in der oberen Resthälfte liegen. Die ev .., cß liegen in der unteren Resthälfte und ergeben mit den aA zusammen die Zahlen 1, p—1 2 , . . . , —g— . Setzt man A = ax + a2 -)

+ ah G = cx + c2 -j

+

so ist (106) Durch Summieren von (104) über alle x erhält man p-1 (107)

q = J; x= 1 v

r

+

A—up—C r v

j92—1 8 • = JJ — + f j , + A + C mod 2 .

Quadratische Reste

94

wegen (106) also ¡JL = 2 [ L X '• i>] m ° d 2. Es gilt dann nach dem Gaußschen Lemma, wenn man die gleiche Betrachtung für —j macht,

v-1

1

der Exponent von • 1 kongruent ^ 2 - g ist. Es gilt Daraus das Reziprozitätsgesetz für positive p, q, da sogar diefolgt Gleichheit

t- 1 2 P» p — l g —1 (108) + J? ? »= 1 y= 1 p — l g —1 Bildet man nämlich die 2 2 - Ausdrücke qx— py, von p-1 2

denen keiner gleich Null ist, so sind diese bei festem x genau für y = 1,2,,

- positiv, also für

Werte y, d. h.

die erste Summe ist gleich der Anzahl der positiven qx—py. Entsprechend ist die zweite Summe gleich der Anzahl der negativen qx — py, so daß beide zusammen die Anzahl aller Ausdrücke qx — py ergeben. § 26. Anwendungen. Biquadratische Reste Daß 2 quadratischer Eest für Primzahlen p = ± 1 (8) und 3 nichtquadratischer Rest für Primzahlen p = 5(12) ist, kann zur Entscheidung, ob eine Zahl 2m ^ 1 Primzahl ist, beitragen. Satz 69: Die Zähl 2m + 1 ist für m Si 2 dann und nur dann Primzahl, wenn • (109) 3 2 " 1 " 1 = - 1 mod 2m + 1. Wenn 2m + 1 Primzahl ist, dann ist nach Satz 22 der Exponent m = 28, also für m 2 gerade. Dann ist 2m = 4 (12) und 2m + 1 = 5(12), und damit 3 Nichtrest mod 2m + 1 . Da jetzt 2 ein Widerspruch zu (109) ist. Also ist p = 2m +1. Für die Primteiler p von 22 1. Aus j}|22S + 1 folgt nämlich 22" = — 1 (p) und daraus 22 1 und dann 2 quadratischer Rest mod p. Also ist die Ordnung 2 , + 1 von p—1 2 mod p ein Teiler von —^— ; d. h. es ist p = 1 mod 2«+2. So kommen für 232 + 1 von vornherein nur Primteiler der Form 128n + 1 in Frage, also p = 257, 641, 7 6 9 , . . . , wovon 257 als Teiler von 2 32 + 1 ausscheidet und 641 sich gleich als Teiler erweist. Ohne Verfeinerung des Verfahrens wächst die Zahl der Proben mit s allerdings sehr stark. Sind p = 4w + 3, n > 0, und q = 2p + 1 Primzahlen, so ist 2p — 1 keine Primzahl, sondern durch q teilbar. Denn dann ist q = —1(8), also 2 quadratischer Rest mod q und 2p = 1 (q). Wegen q < 2p — 1 bei p > 3 ist q echter Teiler von 2p — 1. Beispiele: p = 11, 23,83, 251. Wir bringen nun eine Anwendung auf die Theorie der biquadratischen Reste. Hier gilt zunächst Satz 70: Die Zahl — 4 ist für alle Primzahlen p — 4w + 1 und nur für diese Primzahlen biquadratischer Rest. Beweis: Für p = 3(4) ist — 4 nicht-quadratischer, also auch nicht-biquadratischer Rest. Bei p = 1(4) ist die Zahl — 1 nach Satz 46 biquadratischer Rest für p = 1(8) und Nichtrest für p = 5(8). Dieselbe biquadratische Restverteilung gilt aber für die Zahl 4; denn 4 ist als Quadrat von 2 da biquadratischer Rest, wo 2 quadratischer Rest ist. Also ist das Produkt —1 • 4 sicher für ein p = 8n + 1 biquadratischer Rest. Aber auch für p = 8ra + 5 ist — 4 biquadratischer Rest. Denn dann ist ind (— 1) = 2(4) und, weil ind

96

Quadratische Reste

2 = 1(2), ist auch ind 4 = 2(4), also ind — 4 = 0(4). Die Zahl — 4 ist also genau dann biquadratischer Rest mod p, wenn sie quadratischer Rest mod p ist. Von Gauß stammt Satz 71: Die Zahl 2 ist liquadratischer Rest für die Primzahlen der Form x2 + 64 y2 und unter den Primzahlen == 1 mod 4 nur für diese. Nach § 18 ist für p s 3 (4) eine Zahl genau dann biquadratischer Rest, wenn sie quadratischer Rest ist.

Beweis nach Dirichlet: Wenn p = 1(4) gilt, ist p als Summe zweier Quadrate darstellbar: p = a2 + c2 und etwa c = 26. Dann ist (110) (a + c)2 = 2ac mod p, somit bei c = ja, j2 = — l ( p ) P - i p - i (111) = ( a + c ) 2 == (2ac) 0 die Werte 4 a f (1,0) = 4a 2 und UF(—b,2a) = -4a2D verschiedene Vorzeichen. F (x, y) nimmt also bei D > 0 positive und negative Werte an. Solche Formen nennt man indefinit. Im Falle a = 0 ist D = l2 eine Quadratzahl; diesen Fall betrachten wir gesondert. Ist D < 0, so ist wegen D = b2 — iac schon a 4= 0. Auf der rechten Seite von (126) steht dann eine Summe von Quadraten, die nun für x = y = 0 verschwindet und sonst positiv ist. F(x, y) hat also hei D < 0 außer für x = y = 0 stets das Vorzeichen von a. Solche Formen nennt man definit.

Diskriminanten

103

Für D < 0 werden wir nur die positiv definiten Formen betrachten, also a und damit auch c positiv annehmen. Das reicht, weil (— a, — b, — c) immer — Je darstellt, wenn k durch (a, b, c) dargestellt wird. Die Behandlung der indefiniten Formen ist wesentlich schwieriger als die der definiten Formen. Im definiten Fall folgt aus (126), daß k = F(x, y) nur endlich viele Lösungen besitzt, was für indefinite Formen nicht mehr zutrifft. Bei quadratischer Diskriminante D = q2 und a =)= 0 wird (126) zu (127)

4a F = (2a x + (b — q)y) (2a x + (6 + q)y).

Wegen b2 — 4ac = q2 ist zunächst b = q(2), und damit ist / b—q\( i+q \ aF = ( « + - g - yj\ax H 2 y) eine Zerlegung von aF in ganzzahlige Linearformen. Da überdies

'

ist, so folgt aus ^a,

a = a, so ist c die nächste durch F, F' darstellbare Zahl, und es ist c' = c und damit 1b' [ = 161. Ist c = a, aber 161 < a, so ist c < a — 161 + c und c durch F, F' auf genau vier Arten darstellbar; es ist also wieder c' = c und | b' | = 161. Und schließlich ist der Fall | b \ — a = c dadurch gekennzeichnet, daß a durch F auf genau sechs verschiedene Arten dargestellt werden kann. Das trifft auch für F' zu, so daß sich die beiden Formen höchstens im Vorzeichen des mittleren Koeffizienten unterscheiden. Jetzt ist noch zu untersuchen, wann (a, 6, c)ro (a, — l,e) ist. Für c = a ist (a, b, a) = (a, — b, a) 8 . Sei nun c > a.

(

X V \

y WJ ist, so besteht

die Gleichung a — ax2 + bxy + cy2, die bei c > a nur die Lösungen i = ± l , y = 0 hat, d. h. - es ist a ist demnach die Anzahl der automorphen Substitutionen f ü r F gleich der Anzahl der Lösungen von a = F, also gleich 2. F ü r c = a und | b | < a gibt es 4 Lösungen von a = F, nämlich u n

d± ^

1,0) und (0, ± 1) mit den Substitutionen ^ , von denen die zweiteF

= (a,b,a) in F'

^g =(a,

— b, a) ü b e r f ü h r t , also nur f ü r 0 = 0 eine automorphe Substitution ist. Dann ist bei primitivem F notwendig a = c = 1, D = — 4. Zu F = x2 + y2 gehören die vier automorphen / o 1\" Substitutionen I ^ o) ' a = F ü r a = c = | b | gibt es nur die primitive reduzierte Form F = x2 + xy + y2 mit D = — 3. Hier h a t F = 1 die sechs Lösungen ± (1, 0), ± (0,1) und ± (1, — 1). Die zugehörigen Substitutionen sind ± , =t ( j J ) u n d 1 2 ± ( 1{ . Zu F = x + x y + y gehören die sechs auto"/ /o 1\« morphen Substitutionen L j l , a = 1, 2 , . . . , 6 . Versteht man unter einer reduzierten Form eine Form (o, b, c) mit — s o gilt noch Satz 75, und (a, a, c) ~ (a, — a, c) in Satz 77 entfällt als Äquivalenzfall reduzierter Formen. Die Klassenzahl h (D) läßt sich durch Aufstellung aller ausgezeichneten Formen leicht bestimmen: Zuerst ordne man nach | b |. E s kommt nur b = A mod 2 mit 3 b2 iS A in Frage und hier das Gleichheitszeichen nur f ü r A = 3, da es nur die Form (b, b, b) zuläßt. Also reicht 161 = 1 f ü r ungerades A ^ 27; \b\ = 1 , 3 f ü r A = 31 bis 75; |6| = 1 , 3, 5 f ü r z l = 79 bis 147; . . . J = 0 f ü r A = 4, 8 , 1 2 ; |6| = 0 , 2 f ü r gerades

112

Quadratische Formen

A = 16 bis 48 usw. Nun ist A + b2 = An = 4ae beliebig so zu zerlegen, daß (131) gilt. So erhält man alle ausgezeichneten Formen (a, b, c) mit 6 = 16| für (132), b = ± 16| sonst. Beispiele: D = — 3 D — —4 D = — 23 D = — 39 D = —156 Z) = —163

( i , i , i) ö T o T i )

( 1 , ^ 6 ) ( i , i , i o ) (i.o,3 0 der Überschuß an Teilern > | b | über die < | b \. h = H(l, 42) + H(3, 44) + H(5, 48) + H (7,54) = 7 + 2 + 2 + 0 = 11. D = — 1 6 8 . h = H(0, 42) + H(2, 43) + H(4, 46) + # ( 6 , 51) = 4 + 0 + 0 + 0 = 4. (Die Differenz aufeinanderfolgender n liegt zwischen den zugehörigen |i>|.) Beispiel:

D = —167.

§ 31. Reduktion der indefiniten Formen Wir wenden uns jetzt der schwierigeren Reduktion der indefiniten Formen F = (a, 6, c) zu. Hier ist D (a, b, c) = b2 — 4ae > 0, also D = 5, 8 , 1 2 , 1 3 , 1 7 , 20, 21,. . . Eine indefinite Form heißt reduziert, wenn für ihre Koeffizienten die Ungleichungen (135)

0 < & und / — M i n ( | 2 a | , | 2 c | ) ^

b D. Die Anzahl der reduzierten Formen zur Diskriminante D ist endlich; denn mit 0 bk + f . Ist dann auch noch bk+1 iS — f , so kann man den Schluß wiederholen und erhält so nach endlich vielen Schritten ein bn > — /. Wir zeigen weiter: Jedes auf Fn folgende Glied ist reduziert. Ist nämlich f-\2ak\^bk

und - f < b

k

< f ,

was für k = n zutrifft, so folgt, wie wir beweisen werden, / — 12 ck+11 ^ bk+1 und bk+1 > (Die Ungleichungsfolge / — | 2ak+11 bk+1 Fk+1 halbreduziert ist, so daß dann Fk+1 Wegen — / < bk < / ist b\ < D = &§ akck< 0 und D = l\ + | 4akck |. Hieraus folgt D — i| /2-ftf (13g)

8 e

l

* l = W


0 und wegen w' > 0 und r'w' > 0 auch r' > 0. Dann gilt bei s' > 0 0 < r' < r, 0 < s' < s, 0 < v' < v, 0 < w' < w, womit das Abbrechen des Algorithmus (140) gezeigt ist, und es folgt für © eine Darstellung © = (-l)"3i(?1)---8l(ii»). Jetzt ist noch (142) zu zeigen. Zunächst ist v S: w unmöglich; sonst wäre e' (a t + —| cx |) 0 nach (135) und (138). Ebenso ist s' r unmöglich; sonst wäre a' = c2r2 — b2rs' — | C l |s' 2 < (c2 — b2 —1^1) r' 2 0 sind, gelten von den restlichen Behauptungen, nämlich s' 0, w' > 0, beide oder keine. Um hierüber zu entscheiden, setzen wir (141) für F2 und % statt f ü r i ^ und © an: a'vw' — c'rs' = c2rv— c^'w'. Die rechte Seite ist > 0, weil — Cj, c2rv > 0 und s' 0 sind. (Das Gleichheitszeichen steht nun b e i © ' = 6.) Also ist

Reduktion der indefiniten Formen

119

a'vw' > e'rs', und diese Ungleichung ist mit s' < 0, w' 0 nicht verträglich. Damit ist Satz 82 bewiesen. Das Vorzeichen in ^ © ist wegen i 1 ® = F~® ohne Einfluß auf die Transformation voni 7 . Ist 7t wieder die Länge der primitiven Periode der von n

F ausgehenden Kette und bildet man das Produkt ]J 5R(ij) i=l = 9t, so ist F® = F, also 9t eine für F automorphe Substitution. Mit 91 ist auch 91" eine automorphe Substitution, und das sind alle automorphen Substitutionen. Ist nämlich P® =F, so ist ± SS±! = n 3t(?i) ein Produkt aufeinanderfolgender Nachbarsubstitutionen, wie Satz 82 für F' = F aussagt, und ein 9?( gehört die )

Automorphe Substitutionen. Pellsche Gleichung kleinste Darstellung 3

= (1,9, — 2)$' ( ),

x = 28, y = — 3;

zu

121

(10, —3, —2)

(q) = (J j ) , die Darstellung x = 1, y = 3 ;

zu G,H = (10, ±1,-1), G = (2, 9, - l ) r ( D , H = (2, 9, — l ) r w = Fs. 93' die Darstellungen x = 5 + 1 • 23 = 28, y = 23 + 1 • 106 = 129 und x = 5 + 8 • 23 = 189, y = 23 + 8 • 106 = 871. (Letzte Lösung geht bei 91"1 in x = 1189, «/ = — 1 2 9 über.) F (x, y) = IIa; 2 + 1 9 x y + 3t/ 2 = 25. D = 229. Von den Formen G = (25, —1 2 3 , . . .) und H = (25, 2 3 , . . F ist hier nur Gnu F. E s gibt darum nur eine Schar von Lösungen. Zu ihrer Bestimmung führen wir F vorwärts und G rückwärts in die K e t t e : (11,19, 3)PJ ( 3 , 1 1 , - 9 ) PJ ( - 9 , 7 , 5 ) a j (5, - 2 7 , 2 5 ) r \ j ( 2 5 , - 2 3 , . . ) 31(5)

•

SR(-l)

• SR ( - 2 )

= (

g

7) •

Hieraus die Lösung x — 1, y = — 7, nach einmaligem Rechtsumlauf x = 286, y = —1627; linksherum x = 59, y = -38. Automorph f ü r F ist hier /—29 —45> _ /0—1\ (31 135\ / 5 1 \ , , . [ 165 256/ ~ U 5/ U ö 196/ [ — 1 0 ) ' a a D e l — (45 l i e ) = 3fl C— 1)31 (2) 9t ( - 4 ) - S R (1)91 ( - 2 ) 8t (4) der Substitutionszyklus der mit (3,11, — 9) beginnenden Kette (s. 0. D = 229).

§ 32. Automorphe Substitutionen. Pellsche Gleichung Durch die Ergebnisse von § 29 und die Sätze 82 u n d 83 ist die Frage nach sämtlichen Darstellungen einer Zahl k 'durch eine1 indefinite F o r m (a, b, c) beantwortet. Die zu (a, H, 6) gehörigen automorphen Substitutionen spielen dabei ebenso wie im definiten Fall eine besondere Rolle. Man bedachte nöch: Ist 21 f ü r F automorph u n d i 1 ® =G, so ist tn, un+1 > un gültig für n 2g 0, da ^ S : 2 ist. Damit ist auch gezeigt, daß gleich der Matrix 9i aus Satz 83 ist, wenn diese so gewählt wird, daß die zu ihr gehörigen Lösungen t, u > 0 sind. Das ist möglich, weil t, — u zu 2l _ 1 gehört, wenn t, u zu 9t gehört. Also gilt: (149)

Satz 84: Die Lösungen der Peitschen Gleichung vermitteln durch (147) die eigentlich automorphen Substitutionen aller quadratischen Formen der Diskriminante D. Ihre Anzahl ist für D > 0 unendlich, und es gehen die positiven Lösungen aus ihrer kleinsten positiven durch (149) hervor. Betrachten wir noch die zweiseitigen Formenklassen, deren Formen einander also zugleich eigentlich und uneigentlich äquivalent sind! Wir zeigen, daß jede solche Formenklasse eine zweiseitige Form enthält, d. h. eine Form, die zu ihrer entgegengesetzten Form parallel ist oder, was damit'gleichwertig ist, die Gestalt (k,kl,m) besitzt. Sei nun (a, i,'e)*eine Form

unserer

zweiseitigen

Klasse

und

© =

M

mit

r w — s v = — 1 eine uneigentlich automorphe Substitution für (a,&,c); dann gilt (146) rechts folgen die auch hinreichenden Bedingungen (150)

w = — r,

av = br + es

(r 2 + s

= 1).

Wir haben jetzt eine unimodulare Substitution % so zu bestimmen, daß (a, b, c) £ eine automorphe Substitution

124 U = |q

Quadratische Formen j ) besitzt. "Wegen (a, b, c)® = (a, b, c) muß dann

S : - 1 © ^ = 11 sein oder mit % = jr v \ (x Ix ¡1 • \sw) \ y j = \ y ) VO—1

(151) E s ist also

(152)

(r — 1) x + v y = 0

., ,

> = .1

L + ( » - 1 ) 5 = 0 m l t (*>y)

zu lösen, was wegen r 2 + s v = 1 möglich ist. ^ . j ist dann zu einer unimodularen Substitution % zu ergänzen. Mit diesem % ist die Zahl unten rechts in der Matrix in (151) ganz rechts notwendig gleich —1, da rw —sv = —1 ist, und es ist 2t1 = U mit einem bestimmten II und damit (a, b, e ) s zweiseitig. Wegen (a, b, c) £ = (k, kl, m) ist k2l2 — 4 k m = D, also k\D: Die Formen einer zweiseitigen Klasse stellen Diskriminantenteiler dar. Stellt umgekehrt (a, b, c) einen Diskriminantenteiler k dar, so ist (a,b, c)r\j (k,bf, c'), und wegen b'2 —4kc' = D gilt k\b'2. Ist D eine F u n d a m e n t a l diskriminante, so folgt aus k\b'2 bei k = u oder = 2 u mit ungeradem u schon k\b'. Zahlen k = 0(4) werden nicht dargestellt. Also S a t z 85: Die Formen der ziveiseitigen Klassen und bei einer Fundamentaldiskriminante auch nur diese stellen Diskriminantenieiler dar. Wir stellen noch die Frage: W a n n ist (a,b,c)~ (—a, —b, —c)? Dann ist s t a t t (146) (153)

(rs\( \vwj\

2 a

b \ b 2c)

=

( - 2 a ~ b)(-* \— b—2c)\ s

v

-r

mit r w — v s = — l z u lösen. Das f ü h r t auf das Gleichungssystem (154) r = | (t — bu), s = au, v = — cu, w = \ (t + bu) s — mit ganzem u = — , t — w + r und (155)

4 (r w — s v) = t2 — D ü2 = — 4 .

Automorphe Substitutionen. Pellsche Gleichung

125

Umgekehrt f ü h r t eine Lösung t, u von (155) durch (154) zu einer Lösung 6 = ^ — j von (a, b, tf)3 = (—a,

— b, —c).

Wegen (a, b, c)®! = (a, b, c) transformieren die © " bei ger a d e m n die F o r m («, b, c) in sich u n d bei ungeradem n in (— a, — b, — c). Die zugehörigen W e r t e tn, un erfüllen f ü r gerades n die Gleichung (148) u n d f ü r ungerades n die Gleichung (155). Wegen © — © _ 1 = ¿(5 ist =

(gn-l ((g _ jg-1)

u n d es gelten die Rekursionsformeln (156)

= 11 in-1 + tn-2 Un = t^ ttn-1

i

gültig f ü r w 2, wenn i 0 = 2, m0 = 0 gesetzt wird. die Lösbarkeit von (155) ist noch nichts ausgesagt.

Über

S a t z 86: Ist tv w t die kleinste positive Lösung von (155), so erhält man durch (156) alle positiven Lösungen von (148) und (155). Ist nämlich so ist (a, b,

die zu i l5 u x gehörige Matrix u n d 9 i = ^q

,

= (— a, b, —c). Hier ist eine der Matrizen

± 1 , 9 ? ein 3t( g < )-Produkt, da ± t x 5R = ± V 1 _ - 1 ) und w __ _ \si iJ \wi\>\ri\ ist, und zwar bei reduziertem (a, b, c) dasjenige 9i ( g ^ - P r o d u k t , das die F o r m (a, b, c) in der K e t t e f o r t schreitend zum erstenmal in (— a, b, —c) ü b e r f ü h r t . Das folgt aus unseren Aussagen über das W a c h s t u m der Zahlen in den 9i(g,)-Produkten. E n t s p r e c h e n d ist ( — a , — (a, b, c) u n d ± dasjenige P r o d u k t , das (— a,b, —c) zum erstenmal in (a, b, c) ü b e r f ü h r t . Also ist ± ( ä j 3t) M I j ) = ± I ? = ± S I f 1 u n d bei kleinster positiver Lösung auch von (148) d a m i t = .

126

Quadratische Formen

Die F r a g e nach der L ö s b a r k e i t v o n ( 1 5 5 ) ist gleichwertig m i t der F r a g e : W a n n ist — 1 in der H a u p t k l a s s e darstellb a r ? Allgemein gilt n ä m l i c h : I s t k in der H a u p t k l a s s e darstellbar, also k = x2 + bxy + cy2 m i t D = b2 — 4 c , so wird (2x + byf — Dy2 = 4 k und u m g e k e h r t . Zur B e s t i m m u n g der kleinsten positiven L ö s u n g e n von ( 1 4 8 ) und ( 1 5 5 ) wird m a n das kleinste positive u suchen, für das Du2 ^p 4 ein ganzzahliges Q u a d r a t ist. Beispiele: t = u = D= t = m=

5

D =

8

13

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29 47 2, 6, 14, 3 4 3, 11, 3 6 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 1, 2, 5, 12 1, 3, 10 21 73 89 136 145 —, 5, —, 2 3 2 1 3 6 , 4 5 6 2 4 9 8 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 0 2 — , 70, 24, 5 7 8 — , 1, — , 5 250, 5 3 4 0 0 0 1 0 6 , 1 0 6 0 0 0 — , 6, 2, 4 8

-Aufeinanderfolgende Lösungen von (156) und (148); Striche zeigen an, daß (155) unlösbar ist. Zur F r a g e nach der L ö s b a r k e i t von ( 1 5 5 ) bewiesen wir S a t z 8 7 : Die Gleichung t2—pu2 = —4 ist für Primzahlen p = 1 (4) lösbar. Die P r i m z a h l p ist dann D i s k r i m i n a n t e , und t2 — pu2 = 4 ist daher l ö s b a r ; t l t wx sei die kleinste positive Lösung. W e g e n tf — 4 = pu\ ^ — 4 ( 1 6 ) ist tx n i c h t durch 4 t e i l b a r ; dann ist a b e r (