Vektor analysis [7., wesentlich veränderte Auflage, Reprint 2020] 9783112315866, 9783112304709

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S A M M L U N G G Ö S C H E N B A N D 354

VEKTORANALYSIS Von

DR. S I E G F R I E D VALENTINER Prof. emer. für Physik an 4er Bergakademie Clausthal

Mit 19 Figuren Siebente, wesentlich veränderte Auflage

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. vormals C . J . Göschen'sche Verlagshandlung * J . Gut teilt ag, Verlagsbuchhandlung * Georg Reimer * Karl J . Trübner • Veit & Comp.

Berlin 1950

Alle Rechte, insbesondere das

Übersetzungerecht,

von der Ver 1 agsb andlung

vorbehalten

Archiv-Nr. 1103S4 Satz und Druck von Oswald Schmidt GmbH., Leipzig M 118

Inhaltsverzeichnis Schrifttum Einleitung

6

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems . . .

7

I. T e i l Rechnungsregeln der Vektoranalysis § 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe.. § 3. Addition, Subtraktion von Vektoren, Multiplikation der Vektoren mit skalaren Größen § 4. Zerlegung von Vektoren § 5. Gleichungen zwischen Vektoren § 6. Multiplikation von Vektoren § 7. Skalares Produkt § 8. Anwendungen § 9. Vektorielles Produkt § 10. Anwendung auf die Statik § 11. Multiplikation von mehr als zwei vektoriellen Faktoren § 12. Skalares Produkt eines polaren und eines axialen Vektors, oder c [a i>] § 13. Vektorprodukt eines polaren und eines axialen Vektors, oder [a [b c]] § 14. Produkte zweier axialer Vektoren § 15. Reziproke Vektortripel § 16. Produkte im schiefwinkligen Bezugssystem § 17. Über die Erweiterung des Vektorbegriffs auf den mehrdimensionalen Raum § 18. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe § 19. Satz vom kleinsten statischen Moment

13 16 19 21 22 24 26 27 31 33 34 36 37 40 42 42 47 48

Inhaltsverzeichnis

4

§20. Der Gradient einer skalaren Funktion § 21. Differentiation einer Skalaren nach einer Skalaren in einer vorgegebenen Richtung § 22. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe in einer vorgegebenen Richtung § 23. Die Operation V bei vektoriellem Argument . . . . § 24. Die skalare Operation V bei vektoriellem Argument. Integralsatz von Gauß § 25. Anwendungen. Die Bezeichnung Divergenz § 26. Die vektorielle Operation V • Die Rotation § 27. Satz von Stokes § 28. Anwendung § 29. Impulssätze § 30. Mehrfache Anwendung der Differentialoperation V §31. Die Differentialoperationen bei Benutzung rechtwinkliger, krummliniger Koordinaten

49 51 53 54 57 61 62 65 69 71 72 74

II. Teil Anwendung in einigen physikalischen Gebieten §32. Einteilung

81 Kapitel 1

E i n i g e S ä t z e der P o t e n t i a l t h e o r i e § 33. § 34. § 35. § 36.

Bedeutung des Potentials in der Mechanik Newtonsches Potential Hilfssätze von Green Ableitung der Potentialfunktion V aus den charakteristischen Bedingungen § 37. Deutung der einzelnen Glieder der Lösung

83 84 85 88 90

Kapitel 2 E i n i g e S ä t z e der H y d r o d y n a m i k § 38. § 39. § 40. §41. §42.

Einführung der Flächenkräfte 92 Eulersche Gleichungen für reibungslose Flüssigkeiten 95 Sätze von Helmholtz über die Wirbelbewegung . . . 96 Solenoidaler Vektor 99 Flächenwirbel 101

Inhaltsverzeichnis

5

Kapitel 3 E i n i g e s a u s d e r T h e o r i e der E l e k t r i z i t ä t § 43. Berechnung eines beliebigen Vektorfeldes 104 § 44. Elektromagnetische Gleichungen von MaxwellLorentz 105 §45. Biot-Savartsches Gesetz 107 III. T e i l Lineare Vektortunktionen, D jaden, Tensoren § 46. §47. §48. §49. 150. § 51. § 52. § 53. §54. § 55. § 56.

Lineare Vektorfunktionen Die Dyade Anwendung Einige Regeln für die Rechnung mit Dyaden Reduktion der vollständigen Dyaden auf ein und zwei Glieder Normalform der vollständigen Dyade Das totale Differential eines Vektors Anwendung auf die unendlich kleinen Verrückungen kontinuierlich verbreiteter Massen Hauptdüatationsachsen. Reine Volumendilatation.. Die skalare und die rotorische Dyade Benutzung der Dyaden bei den dreifachen Vektorprodukten

109 114 116 116 119 120 123 124 128 131 133

A n h a n g : Zusammenstellung einiger wichtiger Formeln.. 135

Schrifttum Aus der ersten Zeit der Entwicklung M ö b i u s , Der baryzentrische Kalkül, ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbes. auf die Bildung neuer Klassen von Aufgaben und die Entwicklung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet. Leipzig 1827. G r a ß m a n n , Die Ausdehnungslehre von 1844 oder die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik. 2. Aufl. Leipzig 1878. — Die Ausdehnungslehre. Berlin 1862. H a m i l t o n , Elemente der Quaternionen; deutsch von Gfan. Leipzig 1884. T a i t , Elementares Handbuch der Quaternionen; deutsch von v.Scherff. Leipzig 1880.

Die moderne Behandlung der Vektoranalysis und ihrer Verwendungsmöglichkeit findet man in zahlreichen Lehrbüchern der Vektorrechnung; mehr oder weniger ausführlich dargestellt ist sie in allgemeinen Hand- und Lehrbüchern der Mathematik und in Lehrbüchern der theoretischen Physik.

Einleitung § 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems Die Vektoranalysis ist eine mathematische Disziplin, die sich in ihrem Aufbau fast so vollkommen an die Anschauung anlehnt wie die Geometrie selbst: sie bildet ihre Begriffe und Schlüsse gerade denen der Geometrie nach. Inwiefern sie dadurch zu einer knapperen, übersichtlicheren und anschaulicheren Darstellung aller solcher Erfahrungen führt, die auf den zwei- oder dreidimensionalen Raum sich beziehen, als die gewöhnliche Analysis, will ich in dem ersten Paragraphen an einem Beispiel zeigen. Dasselbe ist zugleich geeignet, den Unterschied der beiden wichtigsten Begriffe der Vektoranalysis: der skalaren Größe und des Vektors, hervortreten zu lassen. Es mögen an n Punkten eines freien, starren Körpers f 1 . . . f n die Kräfte P1... Pn angreifen. Ein solches System von Kräften läßt sich ersetzen durch eine resultierende Einzelkraft und ein Kräftepaar, das von dem Angriffspunkt der Einzelkraft abhängig ist. Der analytische Ausdruck der Einzelkraft und des Kräftepaars wird gewonnen, indem man die Kräfte in die Komponenten nach den drei Richtungen, z. B. eines rechtwinkligen Koordinatensystems zerlegt und diese in geeigneter Weise zu drei resultierenden Komponenten einer Einzelkraft und eines Kräftepaars wieder zusammensetzt. So lehrt es die analytische Mechanik. Anschaulicher und, man möchte sagen, direkter wird die Aufgabe auf geometrischem Wege ohne Zerlegung in Komponenten in folgender Weise durch wiederholte Anwendung der Sätze vom Parallelogramm der Kräfte und der statischen Momente gelöst.

8

Einleitung

Man denkt sich (vgl. Fig. 1) zwei neue Kraftsysteme dem ursprünglichen P l . . . P n zugefügt, die dadurch gewonnen werden, daß man in einem und demselben,

Fig. 1 aber beliebigen Punkt Kräfte Pi...P'n angreifen läßt, die den gegebenen gleich und gleich gerichtet sind, und solche P'i... P'n , die ihnen gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Das System P[... P'n setzt man nach dem Satz vom

Flg. 2

Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

9

Parallelogramm der Kräfte oder, wie man kurz zu sagen pflegt, durch geometrische Addition zu der Resultierenden R zusammen: (1)

R = P i ( + ) • • • (+)P'n,

wo das Zeichen (+) anzeigen soll, daß die Kräfte geometrisch zu addieren sind, also mit Rücksicht auf die Richtung der Kraft, wie es z. B. auf dem Zeichenbrett gesche-

Sichtrichturig ] Drehachse Fig. 2 b

hen kann. Die beiden anderen Kraftsysteme stellen ein System von Kräftepaaren dar, deren statische Momente dem absoluten Betrage nach, also abgesehen vom Richtungssinn, den Wert haben:

PiU sin ) oder a& ein Symbol ist und nicht das Produkt der beiden Größen a und t>, sondern das Produkt der einen mit der Projektion der anderen auf die erste darstellt.

Fallen die Richtungen der Vektoren zusammen, so ist das skalare Produkt der Vektoren gleich dem Produkt der absoluten Beträge. Im besonderen ist (3) a 2 =a2. Hieraus folgen für die Einheitsvektoren t, j, t die Beziehungen : (4)

iii = i i = H = l , lij=jl=ii=0. Sind die Vektoren a und b durch die Einheitsvektoren i, j, f ausgedrückt, /c\ ia = a t i + a 2 i + a 3 i ,

{>

so kann auf Grund der Gleichungen (4) das skalare Produkt geschrieben werden:

(6) und

ab = «i &i + o2 b2 + o3 b3. a 2 = a 2 = a\ + a\ + a\.

26

Rechnungsregeln der Vektoranalysis Der absolute Betrag a eines Vektors a ist also:

(7)

| a| = a = +

+ a | + a§.

Durch Multiplikation der Gleichung (5X) mit dem Einheitsvektor t, resp. j, t, erhalten wir: *

I

ö j = ai = a cos (a, i), a 2 = a j = a cos (a, j), a3 = at = a cos (a, f),

woraus die Bedeutung dieser skalaren Komponenten als der mit dem absoluten Betrag a des Vektors multiplizierten Richtungskosinus zu erkennen ist. Sind die Vektoren durch drei nicht in einer Ebene liegende, s c h i e f w i n k l i g zueinanderstehende Vektoren 1, m, n ausgedrückt : a = % 1 + a 2 m + a 3 n, b = ftil-f &2m + M > so nimmt das Produkt die Form an: (9)

ab = a A + a2bt + a3b3 + (aYbt + b!«,) ml + («2&3 + 6 2 a 3 ) nm + (ogbi + 63%) In.

§ 8. Anwendungen 1. In nebenstehendem Dreieck (Fig. 7) ist (l) a + b + c=0, also a 2 = b2 + 2 bc + C2; in die Sprache der gewöhnlichen Analysis übersetzt, ist das der Kosinussatz: o 2 = 62 + c2 + 2bc cos (180 — a) = 62 + c2 — 26c cos a. 2. Multiplizieren wir Gleichung (1) mit dem Einheitsvektor von a, so kommt: —a = b cos (6 a) + c cos (c a), eine bekannte Dreiecksformel. 3. In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate

Vektorielles Produkt

27

der Diagonalen gleich der doppelten Summe der Quadrate der nichtparallelen Seiten: c2 = ( a + b)2, t>s = ( a - t v ) 2 , c2 + b2 = 2 (a 2 + b 2 ); ferner: c2 - b 2 = 4 a b .

§ 9. Vektorielles P r o d u k t D a s zur Ableitung der Definition gewählte Beispiel zeigt, wie die Definition selber, d a ß wir die f r ü h e r m i t axial bezeichneten Vektoren als P r o d u k t e zweier polarer Vektoren auffassen können u n d u m g e k e h r t , wenn freilich auch aus der A n g a b e dieses axialen Vektors noch nicht die beiden polaren Vektoren eindeutig b e s t i m m t sind. D i e D e f i n i t i o n d e s V e k t o r p r o d u k t e s l a u t e t in vektoranalytischer Schreibweise: (1)

c = [a, 6] = ab sin (a, £>) c,

wenn c ein E i n h e i t s v e k t o r senkrecht zu der E b e n e der Vektoren et u n d 6 u n d so gerichtet ist, d a ß f ü r diese Richt u n g die kürzeste D r e h u n g des Vektors a in die R i c h t u n g 6 in d e m f r ü h e r definierten Sinn positiv g e n a n n t werden k a n n ; c b e s t i m m t der Größe u n d R i c h t u n g nach ein P a r -

28

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

allelogramm und ist, wenn a und 6 polare Vektoren sind, ein axialer Vektor 1 ). 1. Da sin (ab) = — sin(ba) so gilt für dieses Produkt n i c h t das k o m m u t a t i v e Ges e t z , es ist (2) [ab] = - [ba]. Die Multiplikation mit einer skalaren Größe, eine Operation, die sich ja nur auf den absoluten Betrag der Vektoren, nicht auf die Richtung beziehen kann, muß wieder der d i s t r i b u t i v e n Regel folgen: [ z a , b] = [a, ab] = x [a, b]. Ebenso behält das d i s t r i b u t i v e G e s e t z f ü r d i e v e k t o r i e l l e P r o d u k t b i l d u n g m e h r e r e r V e k t o r e n Gültigkeit, d. h. es ist (3) [a + b, c] = [a, c] + [b, c]. E r s t e r F a l l . Es sei c nicht komplanar mit a und b. Wir setzen a + b = b. D e r Einfachheit halber nehmen wir an, c sei ein Einheitsvektor c; dann ist der Vektor [b, c] seinem absoluten Betrag nach gleich (Fig. 8) | [bc] | = d sin (bc) Ebenso: | [ae] | = a sin (ac) = a', | [bc] | = b sin (bc) = b ' . Die Richtungen der drei Vektoren sind senkrecht zu den Parallelogrammen: (b, c) resp. (a, c), (b, c)- d', a', b' sind gleich den absoluten Beträgen der Projektionen b', a', b', durch welche die Vektoren b, a, b in einer zu c senkrechten Ebene abgebildet werden; da nun die drei Vektoren a, b, — b ein geschlossenes Dreieck bilden, so bilden auch die Projektionen in ein und dieselbe Ebene ein geschlossenes Dreieck, und es ist a' + b' = b ' . *) Man spricht hier zuweilen von „Plangrößen" und meint damit das durch a und b gebildete Flächenstück mit bestimmtem Umlaufssinn; den dazu senkrechten Vektor c nennt man dann die „Ergänzung der 1; langröße".

Vektorielles Produkt

29

Drehen wir um c als Drehungsachse das Dreieck um 90°, so fallen die Seiten b', a', b' der Größe und Richtung nach mit den Vektoren [a+M],[ac],[&e] zusammen, so daß die Richtigkeit der obigen Gleichung und damit die Gültigkeit des distributiven Gesetzes für den ersten Fall erwiesen ist.

Z w e i t e r F a l l , c, a und 6 liegen in einer Ebene, dann sind alle Richtungen der Vektoren [a + i>, c], [ac], [6 c] parallel, und für die absoluten Beträge, die gleich dem

30

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

F l ä c h e n i n h a l t der P a r a l l e l o g r a m m e ( a + 6, c), (ac), (6c) sind, gilt die Beziehung: also ist

| [ a c ] | + | [6c] | = | [a + 6, c] |, [ac] + [bc] = [a + b, c].

2. Der F l ä c h e n i n h a l t eines Parallelogramms ab sin (a, 6) mit. parallelen Seiten (a, b) ist Null wegen sinO° = 0 , es k a n n also (4)

[ab] = 0

als der A u s d r u c k d e r P a r a l l e l i t ä t z w e i e r V e k t o r e n b e t r a c h t e t werden. D a g e g e n i s t d e r a b s o l u t e B e t r a g des P r o d u k t e s senkrechter Vektoren gleich dem P r o d u k t der absoluten Beträge. F ü r die Einheitsvektoren i, j, i folgt h i e r a u s : (

'

["] =[ii] =[**] = 0 , l[ti] = - [ i i ] = t , [ i f ] = - [ f j ] = i , [ f i ] = - [ i f ] = j .

D a s P r o d u k t zweier d u r c h die Einheitsvektoren i, j, i dargestellter Vektoren a u n d b läßt sich in F o r m einer D e t e r m i n a n t e schreiben: (6)

[ö, b] = [ t j ] ( a A - ® 2 & i ) + [ i i ] (« 2 & 3 ~azh) + [ i i ] («36! - ^ 6 3 ) = i (ai6 a — a ^ j ) = + i (a2b3 — asb2) + j («8&1 — »1^3)

f j ft ax a2 a 3 &l&2 6 3 •

Die U n t e r d e t e r m i n a n t e n stellen die Projektionen des d u r c h den Vektor [ab] der Größe u n d R i c h t u n g nach definierten Parallelogramms in die ji, f t , i ¡-Ebene d a r u n d sind m i t t, bzw. j, f multipliziert die K o m p o n e n t e n des Vektors [ab] in den R i c h t u n g e n i, j, f. 3. D i e S u m m e d e r d i e F l ä c h e n e i n e s T e t r a e d e r s d a r s t e l l e n d e n V e k t o r e n a 1 ( a 2 , a 3 , a4 m i t R i c h t u n g n a c h a u ß e n , vgl. Fig. 9, i s t N u l l . D e n n : Ci = b2 — b 3 , c2 = b 3 — b x , c3 = bj — b 2 ,

Anwendung auf die Statik

31

ferner Ii = + y [ M

2

L

«3 = + y [ M

3

L

«2

= + y [ M i L

also »4 = + y [ C i c 3 ] = +

y[(62-63)(b1-62)]=-a1-a2-a3

oder Ia

{

= 0.

l'"ig. 9 Allgemein gilt diese Beziehung für geschlossene Polyeder, da sie aus Tetraedern zusammengesetzt gedacht werden können. § 1 0 . Anwendung a u ! die Statik Ein System von Kräften ... , die an den Punkten Pi---Pn eines freien, starren Körpers angreifen, halten sich das Gleichgewicht, wenn die resultierende Einzelkraft und das resultierende statische Moment in bezug auf den Koordinatenanfangspunkt Null sind (vgl. § 1). Die Gleichgewichtsbedingungen lauten also: (1) ¿^¡=0, (2) ^ [ r ^ ] =0,

32

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

wenn r{ der Radiusvektor des Punktes pi von einem willkürlich gewählten Koordinatenanfangspunkt 0 ist. Ist kein Gleichgewicht vorhanden, so stellen Z resp. £ die am Bezugspunkt 0 angreifende resultierende Kraft und das resultierende statische Moment für den Bezugspunkt 0 dar. Eine Änderung des Bezugspunktes ändert im allgemeinen Z es sei der neue Bezugspunkt O' durch den Vektor a, der von O nach O' geht, gegeben, so ist (3) = + * [ « & ] + ¿7 [ r j ^ , ] , worin sich r^ auf den neuen Koordinatenanfangspunkt 0 ' beziehen soll. Ist a so gewählt, daß ¿•[a9>d =[a27g>J = 0 , d. h. fällt a in die Richtung der resultierenden Einzelkraft, so ist das statische Moment in bezug auf den neuen Koordinatenanfangspunkt 0 ' gleich dem in bezug auf 0 ; d. h. es k a n n der B e z u g s p u n k t des s t a t i s c h e n Momentes, ohne eine Ä n d e r u n g d e s s e l b e n h e r v o r z u r u f e n , in R i c h t u n g der r e s u l t i e r e n d e n E i n z e l k r a f t v e r s c h o b e n werden. Ist der Körper an dem Punkt O' drehbar befestigt, so wird am Gleichgewicht des Systems nichts geändert, wenn an diesem Punkt eine neue Kraft 5K, von welcher Größe und Richtung sie auch sei, angreift. Wählen wir 0 ' als Anfangspunkt, so lauten die Gleichgewichtsbedingungen: + 9t = 0 und £[tj,3>d + [ 0 , 9 t ] = 0 . 3{ kann nun immer so gewählt werden, daß der ersten Bedingung genügt wird, d. h. Z 1 ^ kann jeden beliebigen Wert annehmen; es b l e i b t n u r die z w e i t e B e d i n g u n g zur E x i s t e n z des G l e i c h g e w i c h t s ü b r i g : Ist der Körper an zwei Punkten O und 0 ' befestigt, also um die Achse 00' = a drehbar, so wird wieder am Gleichgewicht nichts geändert, wenn man in den Punkten 0 und 0 ' der Achse neue Kräfte 9i und 9T, von welcher Größe und Richtung sie auch sein mögen, angreifen läßt. Den Punkt 0 ' der Achse wählen wir als Bezugspunkt, dann lauten die Gleichgewichtsbedingungen: pg>4+9t+st'=o (> l E t t j - a . ^ J - t a , 9t] = 0 .

Multiplikation von mehr als zwei vektoriellen Faktoren 33 Statt der zweiten Gleichung können wir schreiben: ^ f o i J - [ a ^ J — [a, SR] = 0 oder (5) ^ [ r ^ J + toSRT = 0 , worin 9?' willkürlich gewählt werden kann. Nun ist aber [a SR'] ein zu a senkrechter Vektor. Die Gleichgewichtsbedingung (5) fordert also, daß auch Z [ t ' , ^ ] ein zu a senkrechter Vektor sei. Da Gleichung (4 t ) infolge des noch frei verfügbaren 3? stets erfüllt werden kann, heißt das, daß immer dann Gleichgewicht der Kräfte, die an einem um eine Achse drehbaren Körper angreifen, vorhanden ist und nur dann, wenn das resultierende Moment 9R = der angreifenden Kräfte der Bedingung genügt: (6) (SDU) = 0 . § 11. Multiplikation von mehr als zwei Ycktoriellcn Faktoren Wir haben in § 2 zwei verschiedene Arten von Vektoren kennengelernt, die polaren und die axialen Vektoren. In der Definition der Vektorenprodukte ist auf diesen Unterschied entsprechend der obigen Bemerkung von der Bedeutungslosigkeit des Unterschiedes für die Rechnungsregeln nicht Bezug genommen worden. Da nun die zur Ableitung der Definition benutzten Beispiele nur von Produkten handeln, die aus polaren Vektoren gebildet sind, so ist es, um die Richtigkeit der obigen Bemerkung zu beweisen, notwendig, die anderen Kombinationen zu besprechen; wir werden dabei erkennen, ob die Produkte anders gearteter Vektoren eine besondere Bedeutung haben, und speziell erkennen, ob diese Produkte axialer oder polarer Natur sind. Eine einfache Überlegung ergibt — und die Betrachtungen der folgenden Paragraphen werden das im einzelnen bestätigen —, daß ein Produkt von Vektoren stets axialer Natur sein muß (also von der Richtungsänderung der drei Bezugsachsen unabhängig ist), wenn es alle Faktoren sind oder wenn wenigstens nur eine gerade Anzahl von Faktoren polarer Natur ist (also 3

Valentiper,

Vektoranalysis

34

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

mit Änderung des Vorzeichens der Bezugsachsen das Vorzeichen ändert). Deshalb und auch imHinblick darauf, daß, wie oben bemerkt, ein axialer Vektor als das Vektorprodukt zweier polarer betrachtet werden darf, können wir Produkte aus zwei Vektoren, von denen wenigstens einer ein axialer Vektor ist, als ein Produkt von mehr als zwei polaren Vektoren ansehen. § 12. Skalares Produkt eines polaren und eines axialen Vektors oder c [ a b ] Ein axialer Vektor ist darstellbar durch die Größe eines Parallelogramms und die Richtung seiner Normalen. Das Produkt eines solchen mit einem polaren Vektor ist gleich dem Inhalt dieses Parallelogramms multipliziert mit der Projektion des polaren Vektors auf die Normale, d. h. gleich dem Inhalt des Parallelepipeds, das über dem Parallelogramm als Basis mit dem polaren Vektor als dritter bestimmender Kante errichtet werden kann. Für den axialen Vektor können wir symbolisch [ab] schreiben, so daß das skalare Produkt eines polaren und eines axialen Vektors die Form annimmt: c [ab],

wo a, b, c nun polare Vektoren vorstellen. Ist daher andererseits nicht bloß das Produkt [ab] durch Angabe eines axialen Vektors gegeben, sondern die Faktoren a und b selbst, so ist das dreifache Produkt oder „skalare Tripelprodukt" c[ab] gleich dem Inhalt des Parallelepipedes mit derf drei bestimmenden Kanten a, b, c. Wenn wir sämtliche Richtungen, auf welche die Vektoren bezogen werden, umkehren, so ändert der polare Vektor c sein Zeichen, während der axiale sein Zeichen behält. Es ändert also auch das Produkt c [a b] das Vorzeichen ; es ist daher, obgleich es als skalares Produkt eingeführt worden ist, doch von den Richtungen in gewissem Sinne abhängig. Man nennt solche skalare Größen, welche das Zeichen bei Änderung der Bezugsrichtungen in das ent-

Sklalares Produkt eines polaren und axialen Vektors 35 gegengesetzte ändern, Pseudoskalare1). Die Multiplikation eines polaren Vektors mit einer Pseudoskalaren muß danach offenbar einen axialen Vektor ergeben. Durch, zyklische Vertauschung der Achsenrichtungen wird das Vorzeichen nicht geändert, es ist also (1)

c [ab] = b [ca] = a [bc] c [ba] = —a [cb] = —b [ac].

Ohne Mißverständnisse befürchten zu müssen, können wir in diesen Ausdrücken die Klammern ganz fortlassen und wie es häufig geschieht, schreiben: c [ a b ] = cab = — a c b , oder auch [ c a b ] . Sind die drei Vektoren durch die Komponenten nach den Einheitsvektoren i, j, i gegeben, so kann das skalare Tripelprodukt in der Determinantenform geschrieben werden: abc=

«i

a2

«3

f>i cx

b2 C2

t>'33 C3

Denn die Komponenten des axialen Vektors [a 6] sind die Unterdeterminanten dieser Determinante, und das skalare Produkt zweier Vektoren ist gleich der Summe der Produkte der Komponenten. Liegt c in der Ebene von a und b, so ist der Inhalt des aus den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds Null, also c [ab] = 0. Dies geht auch unmittelbar aus der Rechnung hervor, wenn wir c durch die Vektoren a und b ausdrücken, welches in dem Fall der Komplanarität möglich ist. Es sei c = xa + yb, dann lautet das Produkt: z a [ a b ] + 2/b[ab] = xb [aa] + ya[bb] = 0 . Ein wichtiges Beispiel eines solchen skalaren Produktes dreier Vektoren liefert der sogenannte Vektorfluß durch ') Klein und Timerding unterscheiden die beiden Arten durch die Bezeichnung: Skalar erster und zweiter A r t . 3*

36

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

eine Fläche. Die Wassermenge in einem Strom, die in der Zeiteinheit durch eine Fläche von beliebiger, vorgegebener Lage und Größe innerhalb des von der Wassermasse durchströmten Raumes hindurchtritt, ist gleich der Menge, die in den Zylinder hineingeht, dessen Basis die vorgegebene Fläche ist und dessen Leitlinie der Größe und Richtung nach gleich der Geschwindigkeit des Wassers an dieser Stello ist. I s t die Basis das Parallelogramm [a b], so ist die pro Zeiteinheit hindurchtretende Wassermenge, wenn dieselbe sich mit der Geschwindigkeit c bewegt, gegeben durch das skalare Produkt: c [ab]. Man nennt dasselbe den F l u ß , D u r c h f l u ß d e s V e k t o r s C, d e n G e s c h w i n d i g k e i t s f l u ß durch die Fläche. Ist c ein Kraftvektor, so spricht man von K r a f t f l u ß ; stehen z. B . zwei entgegengesetzt elektrisch geladene, unendlich große, leitende Platten einander parallel gegenüber, einen freien R a u m einschließend, so daß zwischen ihnen ein homogenes elektrisches Feld besteht, welches die Feldstärke c besitzt — d. h. auf den positiv geladenen elektrischen Einheitspol die K r a f t c an jeder Stelle des Feldes ausübt —, so ist der Kraftfluß durch eine irgendwie gelegene Fläche [ab] durch das skalare Produkt c [ab] gegeben. Man nennt den numerischen Wert dieses Produktes die Zahl der S t r ö m u n g s - oder K r a f t l i n i e n durch die Fläche von der vorgegebenen Richtung. § 13. Vektorprodukt eines polaren und eines axialen Vektors oder [ a [b C]] Nach der Definition des Vektorproduktes steht der dadurch bestimmte Vektor senkrecht auf der Ebene, die durch die vektorischen Faktoren geht, also im Fall des Produktes [a [bei] durch die Normale des aus b und c gebildeten Parallelogramms und den polaren Vektor a. E r liegt also jedenfalls in der Ebene des Parallelogramms (b, c) und muß sich schreiben lassen: (1) [ft[6c]] = z b + y c .

Produkte zweier axialer Vektoren

37

Um x und y zu finden, rechnen wir die linke Seite mit Benutzung der Komponentendarstellung der Vektoren aus. Wir legen der bequemeren Rechnung wegen den Einheitsvektor t in die Richtung des Vektors c, den Vektor j in die Ebene von b und c; dann ist c = Cji, b = & j i + b2\, 0=^1 + a2i + a3t, also: [a [6c]] = —^tgfni] = — c ^ ^ a , ^ — «ij). Die rechte Seite der letzten Gleichung muß sich in der Form xb + yC schreiben lassen, d. h. es muß sein daher:

x\i + xb2 j + i/Cji = — Cj 6a a21 + c ^ a j , x = ciai = ( c a ) , y = —a2 b2 — = — (ba).

Das Vektorprodukt aus den drei Vektoren a, b, c nimmt also die Form an: (2)

[a[f>c]] =

(ca)ö-(6a)c.

Es folgt hieraus die Beziehung: (3) [a [b c]] + [b [c a]]. + [c [a b]] = 0. Man bezeichnet die durch (2) angegebene Entwicklung als den Entwicklungssatz des „vektorischen Tripelprodukdukts", der ebenso wie die Beziehung (3) häufig Anwendung findet. In Gleichung (2) steht rechts die Differenz zweier polarer Vektoren, die mit wirklichen Skalaren multipliziert sind. Es muß daher auch das Vektorprodukt aus drei polaren Vektoren oder aus einem polaren und einem axialen Vektor ein polarer Vektor sein. § 14. Produkte zweier axialer Vektoren 1. Skalares Produkt aus zwei axialen Vektoren oder [ab] [cb]. Um diesen Ausdruck auf Produkte aus polaren Vekto-

38

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

ren zurückzuführen, setzen wir [ab] = e , dann folgt aus den beiden letzten Paragraphen, daß (1)

[ab] [cb] = = = =

e [cb] = b [ec] b [[ab] c] b{(ac) b — (Bc) a} (ac) (bb) - ( b c ) (ab).

Rechts steht zuletzt die Differenz zweier Produkte aus reinen skalaren Größen; das sl^alare Produkt zweier axialer Vektoren ist also kein Pseudoskalar. 2. Vektorprodukt aus zwei axialen Vektoren oder [[ab] [cb]]. Setzen wir wieder [ab] = e, so wird (2)

[[ab] [cb]] = = = =

[e[cb]] c (cb) - b ( e c ) c ([ab] b) — b ([ab] c) c (abb) - b ( a b c ) .

Hier sind die polaren Vektoren c und b mit Pseudoskalaren multipliziert, es muß daher die Differenz ein axialer Vektor sein. Zusammenfassend können wir sagen: D a s V e k t o r p r o d u k t a u s zwei p o l a r e n o d e r a u s zwei a x i a l e n V e k t o r e n s t e l l t e i n e n a x i a l e n V e k t o r dar, das V e k t o r p r o d u k t aus einem polaren und einem axialen V e k t o r einen polaren. Da übrigens [[ab] [cb]] = — [[cb] [ab]], so ist auch (3)

[[ab] [cb]] = —a (beb) + b (acb).

Für b = C geht diese Gleichung über in [[ab] [bb]] = b (abb). Wir erhalten hieraus die wichtige Beziehung zwischen 4 Vektoren, von denen nicht drei in einer Ebene liegen: b([ab]c) = a (beb) — b (acb) + c (abb) oder, da ([ab] c) eine skalare Größe ist und Vektoren durch

Produkte zweier axialer Vektoren

39

skalare Größen dividiert werden, indem man den absoluten Betrag durch die skalare Größe dividiert, nach Division: (4)

„ 6cb , , c a b . abb b = a — r + b — r + c —r • cab cab cab

3. Endlich sei noch besonders darauf hingewiesen, daß bei der Kombination a (b c), die in § 13 schon benutzt worden ist, auf die Klammern geachtet werden muß, indem a(bc) einen Vektor darstellt von der Größe abc cos (b c) und der Richtung des Vektors a, da (b c) nichts anderes als eine skalare Größe ist. Es sind die Vektoren a(bc)

und

(ab)c

völlig verschiedene Größen. 4. Es liegt auf der Hand, zu fragen, ob auch eine Division einer skalaren Größe oder eines Vektors durch einen Vektor als eine Operation definiert werden kann, die auf ein eindeutiges Ergebnis führt. Die algebraische Definition einer Division auf die Vektorrechnung übertragen würde lauten: Eine Größe A (Skalar oder Vektor) durch einen Vektor 33 dividieren, heißt die Größe r (Skalar oder Vektor) aufsuchen, die mit dem Divisor (dem Vektor 33) nach den Regeln der Vektorrechnung multipliziert den Dividend A ergibt. Eine leichte Rechnung zeigt, daß, wenn A eine skalare Größe ist, r ein Vektor sein muß, der aber nur bis auf eine unbestimmte additive Komponente senkrecht zur Richtung von 33 angegeben werden kann, und daß, wenn A ein Vektor ist, r nur dann eine eindeutig bestimmte Größe, und zwar ein Skalar sein kann, wenn A und 33 in einer Richtung liegen. Weiter kommt man, wenn man fordert, der reziproke Wert des Vektors 33 sei ein Vektor von gleicher Richtung wie 33 und dem reziproken Betrag, und dann definiert: Eine Größe A (Skalar oder Vektor) durch einen Vektor 33 dividieren, heißt die Größe A mit dem reziproken Vektor 33' = 1/33 = S8/.B multiplizieren. Dann ist die Division durch einen Vektor eine eindeutige Operation.

4:0

Rechnungsregeln der Vektoranalysis § 15. Reziproke Vektortripel

Die Gleichung (4) des § 14 ist auch deshalb von besonderer Bedeutung, weil sie die Regel angibt, nach der wir einen Vektor t> durch drei willkürlich gewählte, nicht in eine Ebene fallende Vektoren a, b, c ausdrücken, also die Größen A, B, C in dem Ausdruck: (1) b =Aa+ Bb + Cc bestimmen können. Wir müssen, um diese Komponenten zu erhalten, bilden: v(2

)

=

M =

' abc abc abc und skalar mit b multiplizieren. Es ist eben, wie der Vergleich zeigt: ^ WO k ./ A = \ = b a usw. abc Gleichung (4) des § 14 oder mit den Abkürzungen (2): (3)

b = ( b a ' ) a + ( b f > ' ) 6 + (bc')c

schreibt man auch in der Form: (4) b = b (a'; a + b'; b + c'; c) und nennt den symbolischen Klammerausdruck einen Tensor oder eine komplette Dyade, und zwar, weil er mit dem Vektor b multipliziert den Vektor b selbst ergibt, einen E i n h e i t s t e n s o r oder eine I d e n t i t ä t s d y a d e (vgl. § 47 und 51). Es ist leicht zu sehen, daß die Vektoren a', b', c' senkrecht stehen auf den Flächen bc, ca, ab; man nennt a', b', c' das zu a, b, c „reziproke Vektortripel" mit den Beziehungen 1 ) : i a b ' = a c ' = 0 , usw. w laa' = bb' = cc' = 1. ') Diese Bezeichnung entspricht der Forderung In § 14; 4, wenn die Vektoren a, b, c aufeinander senkrecht stehen.

Reziproke Vektortripel

41

Da in (5) die gestrichelten und die ungestrichelten Buchstaben gleichwertig sind, müssen auch die a, b, c das „reziproke Vektortripel" zu a', b', c' sein, demnach auf den Flächen £>' c', c' a', a' 6' senkrecht stehen. Aus Gleichung (2) folgt

und im besonderen (ij f) = 1. Durch Benutzung der reziproken Vektortripel 'kann man sich den Übergang von einem Bezugssystem in ein anderes sehr erleichtern. Es sei ein und derselbe Vektor 2i in den beiden Bezugssystemen öj, a 2 , a 3 und b,, b 2 , b3 gegeben durch: (6)

21 ^

A

^

+

A

^

+

A

^

=

. B A +

B

\ + B

2

3

B

3

.

Zwischen den Vektoren der Bezugssysteme mögen die Transformationsgleichungen bestehen: (7)

FI»!

= A [

(b

=A'1"A1

AJ +

b2 = < 3

A2

OZ +

A ;

A3,

ax + ^ i ' c^ + A'; aj, +

A;"A2

+

A ^ ' A

.

S

Durch Multiplikation mit ax bzw. mit a2 und mit a 3 ergibt sich: A.IBK

=

A\

mit » u n d

1,2,3,

JE =

bzw.",'".

Diese AK{ sind nun zugleich die Koeffizienten in den Gleichungen, die zur Umrechnung der Größen B in die Größen A von (6) dienen. Denn die Multiplikation von (6) mit öj, a a , a3 liefert: ( A (8)

1

\ A { A

2 3

= A ; B = A ' = A

1

+

A ; ' B

2

B

1

+

A

, 3

B

1

+

A ' ; B

2

B

2 2 2

+

A ; " B

+

A " B

3

+

A ' ^ B

3

3

.

42

Rechnungsregeln der Yektoranalysis § 16. Produkte im schiefwinkligen Bezugssystem

Sind die Vektoren 2i und 58 auf die nicht komplanaren, aber unter irgendeinem Winkel zueinander stehenden Vektoren a, b, c bezogen, also 2( = Oj a + 6j b + c t c $8 = a2a + b2h + c2i, so ist [2i 58] = [ab] (a,b2 - a

2

+

[6c] (b^

- biCl)

+

[ca] (cj a 2 — CgOi) und mit Einführung des reziproken Vektortripels [2158] = (c' ( a ^ - a2bx) + a' ( 6 ^ - b2ct) + V (cxa2 ]}(Zo, und die Flußänderung durch eine g e s c h l o s s e n e Fläche ist daher

§ 29. Impulssätze Um die Bewegung eines starren Körpers, der vorgegebenen Kräften unterworfen ist, zu bestimmen, gehen wir von dem d'Alembertschen Prinzip aus. Nach diesem müssen in jedem Augenblick der Bewegung des Punktsystems die gegebenen bewegenden Kräfte unter Hinzufügen der negativ genommenen, mit den Massen multiplizierten, wahren Beschleunigungen — der sogenannten Trägheitskräfte — sich das Gleichgewicht halten. Den Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte am starren Körper entsprechend (§ 10) lauten also die Bedingungen, aus denen die Bewegung abgeleitet werden kann, wenn m i die Massen der Angriffspunkte und r4 ihre Entfernung von dem im Räume festen Bezugspunkt bezeichnen:

Diese Gleichungen lassen sich in folgende Form bringen:

(1)

U^

= i£im< h w] = TtZim^•

72

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

Man nennt ^ J

m ^ i = 9 3 die resultierende Bewegungsgröße

oder den Impuls, ^ ¿ r o ^ p , ] = U das resultierende Moment der Bewegungsgrößen oder das Impulsmoment. Die Gleichungen (1) gehen durch Einführung dieser Größen über in die die I m p u l s s ä t z e darstellenden Gleichungen:

Handelt es sich speziell wieder um die Bewegung eines um einen P u n k t drehbaren starren Körpers und wählen wir diesen wieder als Bezugspunkt, so ist (vgl. § 26):

ü=2jmi

to

D

J = ¿ j mi fo

[u

^

=2} • u - m i X i (uL-i)' oder wenn wir einen starren Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung der Dichte g vorlegen:

U =Je [rt>] dz =

' dj]j

U

~Jet

(UE)

dr

'

m i t den drei Komponenten:

I

UX =+uxfe (rl + rl)dr -uyfßrxry dr — uzferxrzdr, Uy =—uxfgry rx dr + uvfe (r« + r%) dr — ujg ryrz dt, üz =~~uxfß rzrxdr-uyfq rzry dr + u z f ß (r| + r*)dr.

§ 30. Mehrfache Anwendung der Differentialoperation V Es ist schon häufig von der Bemerkung Gebrauch gemacht worden, daß das Zeichen V bei Multiplikationsrechnungen und Transformationen von Ausdrücken ebenso behandelt werden könne, als sei es das Symbol eines Vektors. Mit Hilfe dieser symbolischen Rechnungsweise, als der einfachsten Methode, mögen hier noch einige Formeln entwickelt werden, welche die Anwendung des Hamiltonschen Operators bei Produkten von Skalaren und Vektoren und die mehrfache Anwendung des Operators auf die bekannten Formen zurückführen.

Mehrfache Anwendung der Differentialoperation F

73

Es sind im folgenden der Reihe nach die verschiedenen dreigliedrigen Differentialkombinationen von Skalaren, Vektoren und dem Operationszeichen aufgeführt, beigefügte Indizes sollen die Größe bezeichnen, die in dem Differentialausdruck bei der Differentiation konstant zu halten ist. (1)

F(ab) = div(a b) = F ( a b ) s + F(ab) b = adivb + b grad a.

(2) [F(ab)]

= rot(ab) = a rotb - [b grada].

(3)

(Fab) = grad (ab) = grad(ab)„ + grad( läßt sich also jedenfalls durch einen Vektor darstellen, der wieder durch die Rotation eines neuen Vektors darstellbar ist, d. h. durch einen Vektor, dessen Divergenz Null ist. Wir dürfen daher ro in Gleichung (3) der Nebenbedingung unterwerfen: (5) div ro = 0. Dann folgt aus (4): (6) F 2 ro = —4ttu 0 . 7*

100

Einige Sätze der Hydrodynamik

Diese Gleichung ist drei analytischen Gleichungen zwischen den drei Komponenten äquivalent, und die Form dieser Gleichungen ist dieselbe, die wir in § 34 kennengelernt haben. Übertragen wir die obigen Resultate auf den vorliegenden Fall, so können wir schreiben: (7)

m = f

dr,

wenn wir von ro Stetigkeit im ganzen Raum voraussetzen und annehmen, daß es im Unendlichen wie — verschwin' r det, wodurch festgesetzt wird, daß t> wie

imUnend-

lichen verschwindet. Man bezeichnet in Analogie zu dem skalaren Potential ro als das V e k t o r p o t e n t i a l d e r Y e k t o r v e r t e i l u n g u0. Daß diese Lösung der Bedingung (5) genügt, ist durch direkte Berechnung von divj^-dr leicht zu zeigen. Da die Rechnung indessen etwas weitläufig ist, so benutzen wir zu der Verifikation von Gleichung (5) einen anderen, bequemeren Weg. Wir bilden von Gleichung (6) die Divergenz, also div F 2 ro = div grad div ro = F 2 div ro = —div 47ru0. Nun folgt aus Gleichung (2), daß also

div 4jrti 0 = 0, F 2 div tt) = 0.

Das ist nichts anderes als die Laplacesche Gleichung für div m. Da nun m wie — im Unendlichen verschwinden r soll, also div ro wie

so muß nach § 34 div tt) = 0 sein,

was wir beweisen wollten.

101

Flächenwirbel

E s l ä ß t sich somit der Geschwindigkeitsvektor o schreiben: i » = rot f ^ d T I

= r o t f r.ot

P

dr,

hierin bezieht sich die Differentiation u n t e r dem Integralzeichen auf die Ä n d e r u n g von o an der Stelle des Elementes d x in der E n t f e r n u n g r von d e m P u n k t , f ü r welchen t> b e s t i m m t wird, u n d dessen K o o r d i n a t e n die Differentiationsvariablen des Integrals sind.

§ 42. Flächenwirbel U n t e r w e r f e n wir d a s Vektorpotential n> einer allgemeineren Bedingung, nämlich der, d a ß beim Durchschreiten von gewissen Flächen die ersten Ableitungen von ro in R i c h t u n g der F l ä c h e n n o r m a l e Unstetigkeiten besitzen können, so d a ß ( ( n P ) w ) , + ( ( n F ) » ) , = 4 nx ist, so m u ß n a c h § 3 4 die Lösung , der Gleichung (6) des vorigen P a r a g r a p h e n l a u t e n : » = f

J

r

d

* ~ f

J

7

d

f -

F ü r d ergibt sich d a r a u s folgende Eigenschaft. Wir bilden d a s V e k t o r p r o d u k t des Wertes, den der Vektor o an einer Stelle des R a u m e s in u n m i t t e l b a r e r N ä h e der Unstetigkeitsfläche a n n i m m t , in die N o r m a l e der Unstetigkeitsfläche an dieser Stelle: [n, »] = [n, r o t n>] = grad (n m)„— (n V) m. Daraus folgt: i n x = (grad (n *»)„)! + (grad (n ro)n)2 - [ i i i ] , - [ n » ] a . N u n ist g r a d (n ro)n = n div ro,

102

Einige Sätze der Hydrodynamik

und div ro auf beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche Null, so daß (grad (n «)„)! + (grad (n n>)„)2 = 0 ist. Es bleibt also: [fi»]i + [n»] 2 = — D i e t a n g e n t i a l e K o m p o n e n t e von t> e r l e i d e t b e i m D u r c h t r i t t d u r c h die F l ä c h e e i n e U n s t e t i g k e i t . Die normale Komponente bleibt davon unberührt. Das ergibt sich auch aus der Bedingung, daß div o im ganzen Raum Null sein soll; denn die Annahme einer Unstetigkeit der normalen Komponente an einer Fläche würde nach § 37 die Bedeutung haben, daß die Fläche eine Flächenergiebigkeit besitzt. Zur weiteren Untersuchung der Unstetigkeit umgeben wir die Unstetigkeitsfläche mit einer sich zu beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche möglichst eng anschließenden, geschlossenen Fläche und bilden längs einer geschlossenen Linie auf derselben das Integral (f)x> • di. Der Integrationsweg soll so zu beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche verlaufen, daß jedem Linienelement auf der einen Seite ein in entgegengesetzter Richtung zu durchlaufendes, unendlich benachbartes auf der anderen entspricht. Das Integral gibt uns die Wirbelstärke durch die von dem Integrationsweg eingeschlossene Fläche, die zu einem um so schmäleren Streifen zusammenschwindet, je enger die Umschließungslinie an die Unstetigkeitsfläche sich anlegt. Das Integral können wir nun in eine Summe von Integralen zerlegen, indem wir den Integrationsweg in eine Reihe geschlossener Wege teilen (Fig. 19). Da die Normalkomponente von o beim Durchtritt durch die Fläche stetig bleibt, so können wir nämlich den Integrationsweg an jeder beliebigen Stelle der Fläche normal durch die Fläche hindurchlegen, wenn wir dieses hinzukommende Wegstück auch rückwärts durchlaufen. Wir

Flächenwirbel

103

zerlegen demgemäß die den Integrationsweg bildende Umrandung des schmalen Streifens in die Umrandungen beliebig vieler, aneinanderstoßender, schmaler Streifen, deren Gesamtflächeninhalt und Lage mit dem ursprünglichen identisch ist. Ein solches Stfeifenelement a greifen

wir heraus, es mag die Länge di und die gegen di sehr kleine Breite d n haben. Dann geht das Integral der Umrandung dieses Streifens über in: (»! — r>2) d ä = r o t o

• dn],

oder bezogen auf die Längeneinheit von d& in: (°i

= rot v [d$ d n].

Auf der linken Seite steht die Differenz der Tangentialkomponenten von o in der Richtung d $ zu beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche, welche nach unserer obigen Annahme einen endlichen Wert haben soll; also ist auch der auf der rechten Seite stehende Ausdruck von endlichem Wert. Derselbe ist gleich der Wirbelkomponente durch die unendlich kleine Fläche [e£ g d n] in der Normalenrichtung dieser kleinen Fläche. Es fließt also in der Unstetigkeitsfläche ein Wirbel von unendlich großer Stärke, so daß das

104

Einiges aus der Theorie der Elektrizität

Produkt aus dem Querschnitt der Fläche in die Wirbelstärke aber von endlichem Betrage ist, d. h. von der Größenordnung einer Raumwirbelstärke. Man nennt solche in der Fläche verlaufende Wirbel F l ä c h e n w i r b e l und schreibt 9iot ü statt rot o. Kapitel 3 Einiges aus der Theorie der Elektrizität § 43. Berechnung eines beliebigen Vektorfeldes In § 36 wurde aus der Angabe der Quellen das wirbelfreie Vektorfeld berechnet, in § 41 aus der Angabe der Wirbel das quellenfreie Gebiet. Da wir, wie in § 32 gezeigt ist, jedes Vektorfeld in ein wirbelfreies und in ein quellenfreies zerlegen können, so steht der Berechnung eines beliebigen Vektorfeldes, dessen Quellen und Wirbel angegeben sind, und welches die oben geforderten Bedingungen erfüllt, nichts im Wege, und wir können die Lösung, d. h. den Wert des Vektors in einem beliebigen Punkt sofort hinschreiben. Der Vektor besteht aus der Summe des Gradienten eines skalaren Potentials V und der- Rotation eines Vektorpotentials ro: (1)

SB = g r a d 7 + rotro;

V und ro sind durch die Ausdrücke in § 36 und 41 gegeben. Für den ersten Teil hat man, von Unstetigkeiten des Vektors und seiner Ableitungen absehend, die Bezeichnung New Q eingeführt. Für den zweiten Teil benutzt man eine ähnliche Schreibweise. Der Vektor ro ist das Potential der Vektorverteilung u0; analog der Bezeichnungsweise V = Pot Q (3)

ro = Pot u,o >

Elektromagnetische Gleichungen

105

so daß Gleichung (1) die Form annimmt: (4)

2ß = P P o t £ + [PPotUo],

statt dessen schreibt man auch: Newp + Lap u 0 . Die zweite Abkürzung ist in Erinnerung an den Namen L a p l a c e eingeführt. Es ist neben der v e k t o r i e l l e n V e r b i n d u n g des Hamiltonschen Operators mit einem Vektorpotential noch eine zweite, die s k a l a r e V e r b i n d u n g von Wichtigkeit; auch für diese hat man eine bequemere Bezeichnung gefunden und schreibt M a x w e l l zu Ehren: V P o t u 0 = Maxu 0 .

§ 44. Elektromagnetische Gleichungen von Maxwell-Lorentz Die wichtigste Anwendung in der mathematischen Physik hat die Vektorentheorie seit Maxwell bei der Darstellung der elektrischen und magnetischen Erscheinungen gefunden. Die Maxwellsche Beschreibung dieser Erscheinungen verwendet die folgenden Vektoren. ® resp. Jp die e l e k t r i s c h e , r e s p . m a g n e t i s c h e F e l d s t ä r k e , welche der Größe und Richtung nach die Kraft eines elektrischen, resp. magnetischen Feldes auf die Elektrizitätsmenge e, resp. den magnetischen Pol m, an dem betreffenden Punkt bestimmt, nachdem wir die Kraft durch Division mit e resp. 'm auf die Einheitsladung reduziert haben (e resp. m als klein und von unendlich kleiner materieller Ausdehnung vorausgesetzt). Die Einheitsladung ist dadurch festgesetzt, daß die Größe der abstoßenden Kraft zweier in der Entfernung r befindlicher Körper mit den Ladungen e und e', resp. m und m! ee' 4 nr2'

beträgt.

les

P-

mm' ^ n ri

106

Einiges aus der Theorie der Elektrizität

X> die e l e k t r i s c h e E r r e g u n g oder die d i e l e k t r i s c h e V e r s c h i e b u n g . Dieser Vektor wird so gewählt, daß der Vektorfluß durch das Flächenelement do, also £>d d gleich ist der Elektrizitätsmenge, welche das Element seit der Zeit durchflössen hat, zu welcher die Materie keinen elektrischen und magnetischen Einflüssen ausgesetzt war. In der Elektrostatik ist also

die gesamte elektrische Erregung durch eine geschlossene Fläche gleich den gesamten von der Fläche umschlossenen elektrischen wahren Ladungen. Für isotrope Körper mit der Dielektrizitätskonstante e besteht zwischen £> und (£ die Beziehung X) = e, die der Gleichung a = 0 -b genügen. Dann können wir mit dem Produkt a' • b" folgende Umformung vornehmen: a'b" = tf>b'. b" = b'0c • b"= b'& • b" = V- a". Definiert also z. B. a den Spannungszustand innerhalb eines unendlich kleinen Bezirkes eines Körpers in den verschiedenen durch b gegebenen Bichtungen, so sagt die Gleichung aus: Jede der beiden Spannungen a' und a " liefert bei der Projektion auf die zur anderen Spannung gehörigen Richtung die gleiche Projektion. Stehen die Richtungen b' und b" senkrecht aufeinander, so sagt die Gleichung, daß die einander zugeordneten Schubspannungen gleich sind, eine Aussage, die mit der

c zusammenfällt. § 49. Einige Regeln für die Rechnung mit Dyaden Die Dyade W = c'; f angewandt auf den Vektor ¡:, oder wie man sagt, die Multiplikation der Dyade mit dem Vektor c ergibt die Vektorfunktion: (1) a = (c';f) r = (eif + cifl + cft) (fr).

Einige Regeln f ü r die Rechnung mit D y a d e n

117

Zwei Dyaden lassen sich addieren, wenn ihre Antezedenten oder Konsequenten übereinstimmen, durch Addition der anderen Glieder; es ist, wenn V " = c"; f ist: (2) V't + V"t = (W + V")t = ((C + c"); f) t . Mit Benutzung dieser Formel ist leicht zu zeigen, daß sich eine Summe von beliebig vielen Dyaden stets auf die Summe von höchstens drei Dyaden zurückführen lassen muß, da wir einen beliebigen Vektor stets auf die Summe dreier Vektoren von nicht komplanaren, vorgegebenen Richtungen zurückführen können. E s sei z. B. (3)

f +

V=c;

b; fl + e; i) +

0; p.

Wir schreiben P = Pif + P2S + P3I) u n d erhalten (4)

! P = ( c + cPl);

f + ( b +

op 2 ); 9 + (e +

cpa);

i);

u n d daraus folgt, daß die F o r m (6) des § 47 die allgemeinste Dyade darstellt. Ganz allgemein können wir die vollständige Dyade einer Dyadensumme (5)

X=2J

t

*'*t

stets sofort explizite hinschreiben, sobald entweder die Richtungen der drei Antezedenten oder der Konsequenten gewählt sind. Sollen z. B. die drei Konsequenten, wie in Gleichung (4), wieder f, 9, I) sein, so folgen, da nach § 14 der Vektor sich durch die Vektoren f, g, 1) in der nachstehenden Weise ausdrücken l ä ß t : ,

f

[gl)] ftflW

+ 9

¿[I)f] T [ i ) f . r

c + -Be);g). Sind dagegen die Konsequenten als drei nichtkomplanare Vektoren gegeben, so läßt sich die rechte Seite von (2) immer nur dann in die Summe zweier Glieder zusammenziehen, wenn die eine der drei Antezedenten sich durch die anderen beiden

120

Lineare Vektorfunktionen. Dyaden. Tensoren

darstellen läßt, also die Antezedenten komplanar sind. Dann kann man sehreiben: «23' «13' «23 > «33-

und es ist r • 0 • r =v -0s (6) f ) c + ( b g ) b + (bi>)e m ( a 1 I = [ f [ c b ] ] + [0[bb]] + » [ i W ] + b ( f c + 8 t > + &e), wobei keine Voraussetzungen über die Eichtungen f, g, I) gemacht sind, nur dürfen sie nicht komplanar sein. Symbolisch schreibt m a n : j a = [ f [ c + [ g [ b + [ b [ e , b]] + Z> • b 1 = ( f c + gb + W x b + D - b . Man bezeichnet auch diese durch eckige Klammern angemerkte Operation, die durch die Schreibweise: (3) fcx und f+r angedeutet wird, als Dyade, und zum Unterschied nennt man die früher abgeleitete Form eine s k a l a r e o d e r l i n e a r e , die hier behandelte eine r o t o r i s c h e o d e r p l a n a r e D y a d e . Die Summe beliebig vieler gleichartiger Dyaden läßt sich zu einer Summe von höchstens drei Dyaden derselben Art zusammenfassen. F ü r skalare Dyaden hatten wir das in § 49 gezeigt. Für rotorische Dyaden ergibt es sich in folgender Weise. Es sei eine Summe von mehr als drei rotorischen Dyaden gegeben; wir benutzen dieselbe zur Darstellung einer linearen Vektorfunktion. J e d e lineare Vektorfunktion läßt sich aber, wie wir eben gesehen haben, in die Summe dreier rotorischer Dyaden und eines additiven, dem Argument der linearen Vektorfunktion parallelen Vektors zusammenfassen. Nun läßt sich ein variabler Vektor nicht durch ein vektorielles Tripelprodukt von der Form [a [bc]] darstellen, in welchem der betreffende Vektor selbst ein Faktor ist; es kann also der additive Vektor in der linearen Vektorfunktion auch nicht aus einer rotorischen Dyade entstanden sein, d. h. da wir nur eine Summe von rotorischen Dyaden angenommen hatten, muß der absolute Betrag dieses additiven Vektors Null sein. Die Summe ist also dargestellt durch drei rotorische Dyaden. Man bezeichnet die auf drei Glieder reduzierten, nicht weiter reduzierbaren Dyaden als v o l l s t ä n dige s k a l a r e resp. v o l l s t ä n d i g e r o t o r i s c h e Dyaden.

Benutzung der Dyaden bei den Vektorprodukten

133

§ 66. Benutzung der Dyaden bei den dreifachen Vektorprodukten Die Einführung der Dyaden in den linearenVektorfunktionen wird dadurch nahegelegt, daß die dreifachen Vektorprodukte: a(bt)

und

[a[br]]

keine Transformation in eine Form gestatten, die den variablen Vektor r e x p l i z i t e , n ä m l i c h m u l t i p l i z i e r t m i t e i n e r b e k a n n t e n F o r m d e r b e i d e n g e g e b e n e n V e k t o r e n , enthält. Mit Benutzung der dyadischen Gebilde ist dagegen jedes Produkt dreier Vektoren, unter denen ein variabler Vektor sich befindet, zurückführbar auf eine Kombination eines bekannten Gebildes der beiden gegebenen Vektoren mit dem variablen. I n einem dreifachen Produkt können nämlich die beiden konstanten Vektoren a und b n u r in den folgenden Kombinationen vorkommen: 1. ab als skalares Produkt in (ab) r 2. [ab] als vektorielles Produkt in [ a b ] r a (bl 3.

()[ als skalare Dyade in a[bt]

oder

(a; b)r

4.

in

5. ^

alsb rotorische Dyade in

und

oder

[[ab] t]

i(a;b)

[ra] b ( a x b ) l ' oder

r(axb),

wobei die Verbindung (4) sich unter (2) einordnen läßt, da a [b ¡.:] = [a b] r ist. Zur Angabe der Dyaden ist es notwendig, die Richtung der beiden Vektoren a und b und das Produkt der absoluten Beträge zu kennen. Dadurch sind auch immer die beiden ersten Kombinationen, das skalare und das vektorielle Produkt, mitbestimmt. Man bezeichnet dieselben in der Dyadenrechnung als e r s t e n S k a l a r resp. e r s t e n R o t o r d e r D y a d e . Die skalare Dyade kennzeichnet J a u m a n n , der zu der systematischen Ausgestaltung der Dyadenrechnung bemerkenswerte Beiträge geliefert hat, in der Schreibweise durch einen o b e n angefügten Index s, die rotorische Dyade durch den Index r, wenn beide Arten in der Rechnung auftreten. Es ist

134

Lineare Vektorfunktionen. Dyaden. Tensoren

also, wenn wir für ein einzelnes dyadisches Glied den Buchstaben A benutzen, A' = a (b = ab • = a; b, A' = [a [b = ab x = a + ,b. Der erste Skalar der Dyade, (a, b), wird bezeichnet durch A*, oder als eine von der rotorischen Dyade abgeleitete Form — ^ AI, so daß A\ = (ab), A', = —2 (ab). Der erste Rotor der Dyade, [ab], wird bezeichnet durch A* resp. —A'r, also A r = —A'r = [ab]. Es gibt eine Reihe interessanter Beziehungen zwischen Dyaden und Vektoren und einfache Rechnungsregeln für die Verbindung der Dyaden mit anderen Dyaden und mit Vektoren, so für die Gebilde 2 i ; S 5 ; G und 21; 33; (X; £>, die man Triaden und Tetraden nennt. Sie lassen sich nach den Regeln der Dyaden auf die nächst niederen Gebilde zurückführen, wenn sie mit Vektoren verbunden („multipliziert") werden. Es ist z. B. a (21; 83; (T) = (a 2i) 93; £ offenbar eine Dyade. Hierauf näher einzugehen, würde zu weit führen; es sei verwiesen auf das Buch von Jau mann, ,Die Grundlagen der Bewegungslehre von einem modernen Standpunkte aus dargestellt", ferner insbesondere auf Spielrein „Lehrbuch der Vektorrechnung", Runge „Vektoranalysis" und Lohr „Vektor- und Dyadenrechnung für Physiker und Techniker" (1939), Bücher, in denen sich auch zahlreiche Beispiele der Benutzung der Dyaden zur Darstellung der Differentialoperationen an Vektoren finden. In ihnen sind weiter auch Differentialoperationen an Dyaden selbst durchgeführt; es sei hier als Beispiel nur auf die Ausübung des Nablaoperators hingewiesen. Man nennt den Ausdruck V (0s), d. i. die Anwendung des Nablaoperators auf den Tensor 0s, nach Emde-Spielrein „Traktor ( bewegt. ' ) 0 = Geschwindigkeit eines materiellen Trägers.

Zusammenstellung einiger wichtiger Formeln

137

Seite

25. 26.

74 74

jj = — d2a- + — ä2a div grada S 2 dx ^ dy2 rot grad a = 0.

+

2 l d a _ w2„ _ An adz2 ~

I I . Teil 1. K a p i t e l 27.

84

diva =

28.

85

Qdr X(n F)—]df. •> r j • J \ • i Newtonsches Potential (Feld wirbelfrei,) wenn

29.

84

4tiq

30.

85

4 710) = «n V) 7>! + ((n F ) F ) , , Flächendivergenz, bestimmt durch die Unstetigkeit der ersten Ableitungen von V in Richtung der Normale einer Fläche beim Durchschreiten der Fläche.

31.

85

4 n x = V1 — F 2 Doppelquelle mit dem Moment X n ,bestimmt durch die Unstetigkeit von V an Flächen beim Durchschreiten der Fläche.

32.

86

33.

86

/ (V grad U) de =f(V div grad U)dr+ /(grad U grad V) dx j, (U grad U)da =f(U div grad U + (grad U)2) dx Nr. 32 und 33: Hilfssätze von Green.

— ^• r dr Laplacesche Gleichung.

=

0,

+

/(

= diva,

2. K a p i t e l 34.

94

35.

95

36.

96

37.

97

^

+ dy + dz u f dt2 ^ dx ^ Bewegungsgleichung bei flüssigen Körpern +

y

dt

. , 1 (t> V) D = ^ +

gradp. Eulersche Form.

div» = 0 . Inkompressibilitätsbedingung. ¿U = (u V) t>. Satz von Helmholtz über Wirbeldt bewegung.

138

Anhang Seite

38.

105

39.

108

3. K a p i t e l 2ß = grad V + rot n>. Beliebiges Vektorfeld mit Quellen und Wirbeln. = grad Pot q + rot Pot Uo = New g + La.p u0 = rot (j) — d$

di -

Biot- Savartsches Gesetz.

m

III. Teil 40.

109

41.

112

42.

113

43.

124

a2

= ijAj b2fil + b3vl | = ftjAj + b^ + bav2 >

a3

brfj,3

= Ms +

+ 63v3J

a lineare Vektorfunktion von b. a = 0

• b.

0 — 0e: symmetrische Dyade oder Tensor. 0 = < ( +