Untersuchungen über einige krumme Linien, welche mit Hülfe ihrer Subtangenten rectificirt werden [Reprint 2019 ed.] 9783111659473, 9783111275062

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Untersuchungen über einige krumme Linien, welche

mit Hülfe ihrer S u k t a n g e n t e rectificirt werden, von

Moritz von Prittwitz, Äöntgl. Preuß. Ingenieur-Lieutenant.

Herausgegeben und mit Zusätzen über verwandte Curven vermehrt von

H.

W.

Brandes,

Professor in Breslau,

Leipzig, bei

Georg

Joachim Gischen, i 8 i 6-

Untersuchungen ü b er den Weg eines

gleichförmig fortrückenden Körpers, der

in jedem Augenblicke sich grade gegen einen andern gleichförmig und zugleich gradlinigt fortlaufenden Körper

hinbewegt.

Den

M. von Prittwitz.

Leipzig, bei Georg Joachim Gischen. 1816.

Vorrede. ^Oaß ich die kleine, aber gewiß sehr gehaltvolle und gelungene Arbeit eines jungen Freundes, dessen mathematisches Talent mir während der kur­

zen Zeit seines Aufenthalts auf der hiesigen Universität die größte Freude gemacht hqt, dem Publicum übergebe, bedarf gewiß keiner Entschuldigung. Die hier betrachteten krummen Linien verdienten eben so gut, als andere ein­ zelne Curven eine nähere Untersuchung, und verdienten sie um so mehr, da

sich auS nahe übereinstimmenden Voraussetzungen eine ganze Reihe mannig, faltig verschiedener Curven, die zum Theil sehr merkwürdige Eigenschaften

haben, ergeben.

UebcrdieS fehlt eS in unsern Lehrbüchern meistens gar sehr

au Beispielen solcher Linien, die aus Bestimmungen, welche zu Differen­ tialgleichungen des zweiten Grades führerr, hergeleitet werden, und ich

glaube daher Lehrern und Lernenden einen Dienst zu erweisen, wenn ich ihnen hier einen kleinen Vorrath solcher Exempel miltheile. Mehr Entschuldigung bedarf eS vielleicht, daß ich dieser Untersuchung

Zusatze beigefügt habe, die sich nicht gradrzu auf die hier betrachtete Familie

von krummen Linien beziehen.

Indeß boten sich die Fragen nach andern Cur­

ven, deren Bogen ebenfalls auf eine leichte Werse durch die Subtangente

ausgedrückt wird, und nach einigen andern Linien, die durch ihre Entfie-

Hungs-Art mit jenen verwandt schienen, als so natürlich dar, daß ich hoffe, Kreunde solcher Untersuchungen werden die wenigen Augenblicke nicht als un­

angenehm verlohren betrachten, die sie diese» wenigen Blättern widmen. ES wird mir erlaubt sein, diesen Bemerkungen noch den Wunsch beizu­

fügen, daß der Verfasser aus diesem neuen Kriege glücklich zurückkehren, und Musse und Aufmunterung finden möge, um ganz so viel, als seine ausge­

zeichneten Talente hoffen lassen, zur Erweiterung der mathematischen Wissenschäften beizutragen.

Breslau, im Mai 1815.

H. M, Brandes.

Es bewege sich (sig. i.) der Punkt c gleichförmig stets nach dem beweglichen Punkte e hin, der auf der graten Linie ed nach d zu ebenfalls gleichförmig fortrückt/ so wird der Punkt c eine krumme Linie beschreiben, deren Ekgenschaften ich jetzt untersuchen will. ES sei b der Ort des Punktes c, wenn bje Richtung dieses letztem gegen die Linie ed senkrecht ist. Die Entfernung bd der beiden Punkte von einander in diesem Augenblick fei , ferner dm die Abscifsenaxe, kh Oie Ordinatenaxe, die auf einander senkrecht stehen, re eine Tangente an den Punkt c, die zugleich die Richtung der Bewegung des Punktes angiebt, so wird der Bogen cb sich zur graden Linie ed verhalten, wie die Geschwindigkeit des Punktes c zu der Ge­ schwindigkeit deö Punktes e, weil beider Bewegungen gleichförmig angenommen sind. Nun sei die Geschwindigkeit des Punctes c, m mal größer als die des Punktes e, ferner bf=z, sc = y, bc=s, so ist s = m. ed. Nun ist gf: fc

v. pd

dy'

■ydi. dy

"a+* 'v (■+!?)

a dy 4* idy — yd't.

s

2 1

trgrale ~ log(a+z) = log (p+ /(i+ p*) y 4-log Con»t. oder (e 4L

1

--- Cp+C/(i4-pa) unb (a+z)m — 2 Cp (•4-z)m 2 1

4- C2 p* = C*

4-C2p2, folglich (a 4-z)'" •— 2 Cp (»4-z)m = C*. Nun ist p gleich.der trigonometrischen Tangente bei veränderlichen Winkels cgf und diese wird o, für 1 3 1 * X—O, folglich ist a"' — C und (a4-z)m — 2am p (-4-z) m * Wenn wir nun jetzt die Linie «ä zur Ordinatenaxe nehmen, und df=x setzen,, so ist x= 2 1 11 m •+z/