Handbuch der Statik fester Körper: Band 3 Theorie derjenigen transcendenten krummen Linien, welche vorzüglich bei statischen Untersuchungen vorkommen [2. Aufl. Reprint 2020] 9783111629230, 9783111250762

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Handbuch

der

Statik fester Körper. M i t

vorzüglicher Rücksicht auf ihre Anwendung in der Architektur.

Aufgesetzt von

D. I. A. Eytelwein, Ktnigl. Preuß. Ober-Landes-Baudirektor; Ritter des rothen Adlerund des k. niederländ. Löwenordens; ordentlichem Mitglieds der Aka­ demie der Wissenschaften und des Senats der Akademie der Künste zu Berlin, des National-Instituts der Wissenschaften und Künste zu Amsterdam- der Gesellschaft der Experimental-Philosophie ju Rotter­ dam, u. m. cu- Gesellschaften Mitglieds

Zweite

Auflage.

Dritter Band, welcher als Anhang zur Statik, die Theorie einiger transcendenten krummen Linien enthält.

Mit fünf Äupfertafeln.

Berlin. Gedruckt und verlegt bei G. Reimer. 18 32.

Theorie derjenigen

transcendenten krummen Linien/ welche vorzüglich

bei statischen Untersuchungen vorkommen.

Von D. I. A. Eytelwein.

Zweite Auflage.

Mit fünf Kupfertafeln.

Berlin. Gedruckt und verlegt bei G. Reimer. 1832.

Inhalt L Abschnitt. Radlinie.

Von der Cykloide -der

Erklärungen.

1.

Gleichungen für die Cykloide.

.

.

§.2 — 3.

.

Zeichnung derselben.................................................................... §.4.

Lage der Tangente..................................................................... §.5. Rektifikation.................................................................... §.6. Krümmungshalbmesser.........................................................§.7.

§.8 — 9.

Quadratur................................................................

Verkürzte Cykloide.

Zeichnung derselben.

.

§. io.

Gleichungen.....................................................................§.11. Gestreckte Cykloide......................................................... §.12.

II. Abschnitt. Von der Epicykloide und Hypocykloide. (I) Die gemeine Epicykloide. Erklärungen.

.

.

.

.

Zeichnung........................................... ........... Gleichungen.

.

.

§.13.

§.14—15.

......§. 16.

Inhalt

VI

Lage der Tangente............................................................................ 17. Rektifikation....................................................................§.18.

Krümmungshalbmesser................................................... §. 19 — 20.

21.

Quadratur.

(II) Die verkürzte Epicykloide. Erklärungen und Zeichnung.

Gleichungen.

.

.

Lage des Doppelpunkt-.

.

.

§.22.

.

.

§. 23.

(III) Die gestreckte Epicykloide. Erklärung.

Zeichnung.

Lage de» Wendung-punkt».

§. 24.

(IV) Die Hypocykloide. Erklärung.............................................................................

§. 25.

Zeichnung.............................................................................

§. 26.

Wenn solche eine grade Linie wird.

§. 27.

Gleichungen.

Tangente.

.

.

.

Berührung der Hypocykloide und Epicykloide

§. 28 — 29. §. 30— 31.

(V) Die sphärische Epicykloide. Erklärungen..........................................................

32.

Halbmesser der Kugeloberfläche, zum Beschreiben 1-er

Epicykloide.....................................................................§. 33 — 34.

Zeichnung...........................................................................§. 35 — 36. Rektifikation..........................................................

Wie solche eine gemeine Epicykloide wird.

§. 37.

§. 38 — 40.

Lage der Tangente...............................................

§. 41.

III. Abschnitt. Von der Evolvente oder Abwickelungslinie deS Kreises. Erklärungen. Zeichnung.

................................................................... §. 42.

§. 43.

vii

Inhalt.

Krümmungshalbmesser............................................... §.44. Tangente. . ..................................... §.45. Rektifikation. . . . . . §.46. Quadratur................................................................ §.47.

Don der logarithmischen

IV. Abschnitt. Linie.

Erklärung. Gleichungen. . . . §. 48—49. Zeichnung................................ ........ . . §.50. Tangente......................................... ........ . §. 51. Krümmungshalbmesser. . . . . . §.52. Rektifikation................................................... §.53. Quadratur....................................... ........ . §.54.

V. Abschnitt. Erklärungen.

Von den Spirallinien. .

.

.

.

.

§.55.

(I) Von der linearen oder archimedischen Spi­ rallinie. Gleichung................................... ........ §. 56 — 57. Zeichnung. .......................................................... §.58. Tangente. . §.59. Rektifikation................................................... §.60. Krümmungshalbmesser...................................... §.61. Quadratur. . . . . . . . §.62.

(II) Von der parabolischen Spirallinie. Gattungen und Arten derselben. . . . §.63. Gleichung für die erste Art. . , . §. 64 — 65. Tangente. . .................................. §.66. Rektifikation. . . . . . . §.67. Krümmungshalbmesser. . . . . . §.68.

vnl

Inhalt.

Quadratur.

.

.

.

§. 69.

.

.

.

Gleichung für die zweite Art.

.

.

§. 70 — 71.

Tangente.......................................

.

.

.

Rectification.

.

.

.

H. 73.

.

Krümmungshalbmesser.

Quadratur.

§. 72. §. 74.

....

.

.

§. 75.

i

§. 76.

.

tz. 77.

* .

§. 78.

.

(III) Von der hyperbolischen Spirallinie. Erklärung.

Tangente.

Gleichung.

.

•

♦

Rectification. Krümmungshalbmesser

Quadratur

•

.

.

*

«

•

.

79.

.

§♦ 80.

(IV) Von der logarithmischen Spirallinie. Erklärung.

Tangente.

Gleichung.

.

Rectification

.

♦

§. 81 — 82.

H. 83 — 84. §. 85.

. •

•

.

VI. Abschnitt. Erklärung.

♦

t

Krümmungshalbmesser.

Quadratur

• 3.

*

.

§. 86.

.

§. 87.

Von der Kettenlinie.

Allgemeine Gleichungen.

Gilt auch für Gewölbsteine.

.

tz. 88—89.

....§. 90.

Gleichungen für die gemeine Kettenlinie. .

.

§. 91.

Wie solche eine Parabel wird.

.

§. 92.

.

.

Bestimmung der Constante in der Gleichung.

$. 93 — 95.

Tangente. . . Krümmungshalbmesser.

H. 96 — 97. §. 98—99.

. .

. .

. .

. .

Spannung.

loo—102. 103.

Quadratur. Quadratur von Gewölbsiächen.

.

.

104—los.

Inhalt,

IX

Kubatur....................................................................... §. 109. Krumme Oberfläche deS KettenkonoidS. . . §. 110.

VIL Abschnitt. Von der elastischen Linie. Erklärungen........................................................

$.111.

(I) Wenn die elastische Linie nur wenig gebogen ist. Die gewichtlose Ruthe an ihrem Ende belastet. §. 112. Die schwere Ruthe an einem Ende befestigt. . §. 113. Vergleichung ihrer Biegungen. . . . §. 114. Die Ruthe zwischen zwei Unterstützungspunkten be, lastet. . . » . » . . §♦ 113. Elleichungen. , ...... §* 116. Größte Ordinate............................................... $.117. Krümmungshalbmesser. . . . . tz. 118. Wenn die Last in der Mitte hängt. . . §. 119. Die schwere Ruthe an beiden Enden unterstützt. §. 120 — 121. Vergleichung ihrer Biegungen. . . . §.122. Druck auf drei Unterstützungspunkte. . §. 123 — 126, Auf vier........................................... . §. 127—130. Gleichungen, wenn die am Ende belastete Ruthe in horizontalem Boden befestigt ist. . . §. 131. Wenn die verlängerte Richtung der Last in den De» festigungspunkt fällt. .....§. 132. Kleinste Kraft zum Biegen. ....§. 133.

(II) Allgemeinere Untersuchung. Gleichungen für die am Ende belastete Ruthe. §. 134—137. Näherungsausdrücke. ....§. 138—141. Quadratur. .....§. 142. Wenn die Richtung der Last auf die ursprüngliche Richtung der Ruthe winkelrecht ist. . . §. 144.

X

Inhalt.

Befestigung der Ruthe in horizontalem Boden. H. 145.; Wenn die verlängerte Richtung der Last in den Be, festigungspunkt fällt. ....§. 146. Nähcrungsausdrücke. ....§. 147—149. Rectificalion. . .....§. 150.

Nachtrag, welcher einige Näherungsausdrücke für trigonometrische Linien enthält. Für den Sinus eines gegebenen Kreisbogens. §. Für den Kreisbogen von einem Sinus. . §. Für den Cosinus eines Kreisbogens. . . §. Den Kreisbogen durch den Sinus zu finden. §. Für das Quadrat eines Kreisbogens, welches einem Cosinus entspricht. . . . . §. Die Tangente aus dem Kreisbogen zu finde». §.

152. 153. 154. 155. -56. 157.

Crster

Abschnitt.

Von der Cykloide oder Radlinie. i. Auf einer graben Linie AD, Figur 1., welche hier

Taf. i.

die Grundlinie oder Basis heißt,

b'g. i»

befinde

sich ein

Kreis AMBA, welcher in A die Grundlinie berührt, und in einerlei Ebene auf der Grundlinie von A nach D gewälzt werde.

Kommt der Kreis AB in die Lage

M'N, und berührt die Grundlinie m M1, so muß nach

6em Begriffe der Wälzung, wenn der Punkt M des

Kreises AB in M' angelangt ist, der Bogen AM der Linie AM' gleich seyn.

Nimmt man daher den Bo­

gen M'A' = AM', so ist A' der Ort,

wo sich der

Punkt A befindet, wenn der Kreis AB ton A bis

M' gewälzt wird.

Bei der Wälzung des Kreises AB wird der Punkt A, bis er nach A' kommt, irgend eine krumme Linie AA' beschreiben, welche man die gemeine Cykloide

oder Radlinie Dritter Band.

(Trochoides.

Cycloide.

A

Roulette)

Erster Abschnitt.

2

§.1.

nennt, weil ein Punkt in dem Umfange eines fortge­

wälzten Rades wälzende

eine

ähnliche

AB

Kreis

heißt

Linie der

beschriebe.

Der

Erzeugungskreis

(Circulus generator. Cercle generateur), und der

Punkt A desselben, welcher die Cykloide beschreibt, der

beschreibende punEt.

Kommt der Erzeugungskreis bis C, und es ist AC

dem

halben

Kreises gleich,

Umfange

AMB

des

erzeugenden

so fällt der beschreibende Punkt in die

auf AD winkelrechte Linie CS in S, wenn CS dem Durchmesser A B gleich ist.

Wird der erzeugende Kreis

noch weiter forkbewegt, so wird der beschreibende Punkt

tnD wieder in die Grundlinie fallen, wenn CD—AC, oder wenn AD dem Umfange des erzeugenden Krei­ ses gleich ist.

Dieser

gemacht, und eine läßt sich einsehn,

har alsdann eine Umdrehung

Cykloide ASD beschrieben; auch

daß bei fortgesetzter Wälzung meh­

rere Cykloiden beschrieben werden können, welche ein­ ander gleich und ähnlich sind.

Der Punkt S heißt der Scheitel, und A soll

hier der Anfang der Cykloide heißen. Zum Bogen AM = Bogen M'A', welcher von A bis M abgewälzt ist,' gehört am Mittelpunkte G'

der Winkel A'G'M', welcher der VOalzungswinkel

genannt wird.

Setzt man denselben — P, und be­

zeichnet zugleich dadurch

denjenigen Bogen,

welcher

für den Halbmesser — 1 diesem Winkel entspricht, so ist

für A’G'=r, der abgewälzte Bogen A'M' oder die Linie

AM' = r(p.

Von der Cykloide.

3

Fällt der beschreibende Punkt A' in den Schei­

tel 8, so wird P — 5F = 3,14159 ..daher

AC — ar. §. Aufgabe.

2.

Durch den Anfang A, Figur 1der

Taf. i.

Cykloide ist auf die Grundlinie A D der Durchmesser

8'g-L

AB des erzeugenden stellt.

Kreises AMB winkelrecht ge­

Für irgend einen Punkt P auf diesem Durch­

messer sucht man den Abstand PA' eines Punkts A'

in der Cykloide. Auflösung.

Durch P sey PP' unbestimmt lang

auf AB winkelrecht gezogen, und der erzeugende Kreis werde in M geschnitten.

Man mache AM' dem Bo­

gen ALI gleich, ziehe M'P' auf Av winkelrecht, nehme

P A' — PM, so ist A' der gesuchte Punkt.

Hievon

kann man sich leicht überzeugen, wenn über M' ein er­

zeugender Kreis M'N beschrieben wird,

weil derselbe

alsdann deshalb durch den Punkt A' gehen muß, weil

M'P' — AP und P'AZ = PM ist. — Bogen AM,

Nun war AM'

also ist auch M'A' = AM', folg­

lich nach dem vorigen §. A* ein Punkt in der Cykloide.

Will man aus der Entfernung AP = x den Abstand PA' = y finden, so sey der Halbmesser des erzeugenden Kreises AG — GB — r, alsdann ist

AP = x, der Sinusversuß, welcher zum Bogen AM

gehört, also

Bogen AM = r Arc sinvers

— AM— PP.

Nach der Eigenschaft des Kreises ist ferner

A 2

4

Erster Abschnitt.

§. 3.

PM2 — BP . PA = 2rx — x$, also PM oder P'A' = 1/(2 rx — x2). Aber y --- PA' — PP' — P'A', daher

(I) y = r Arc sinvers y — "j/(2rx — x1).

Soll x und'y durch den Wälzungswinkel A1 G' M — AGM = (ß ausgedrückt werden, so erhält man, weil der Winkel MGP = 180" — (ß, also cosMGP — — cos (p ist, GP=GM.cosMGP = — r cos (ß, also x s= AP = AG + GP = r — r cos oder (II) x — r (1 — cos (ß). Nach bekannten trigonometrischen Lehren ist aber auch 1 — cos (ß == 2 sin l (ß2, daher erhält man (III) x = 2r sin £ (ß\ Ferner ist AM1 — r(ß und A'P' — G'A . sin A G P' = r sin (ß, daher y = PA' = AM' —A’P' = r(ß — rsin (ß, oder (IV) y — r (cß — sin (ß). §♦ 3. Wollte man den Scheitel 8, Figur 1., als An­ fangspunkt für die Abscisten annehmen, so sehe man SX = x', XA' = y', alsdann ist x' — 2r —x, also (I) x' = r -f- r cos (ß. Da ferner XA' = AC — PA' oder y' = 5Tr —y, so erhält man (II) y' = (ar — (ß) r + r sin (ß.

Run ist der Bogen sr — (ß — Arc sinvers

und

5

Von der Cykloide. sin

= y V(2 rx — x x1), daher auch

(III)

y' = r Arc sinvers ~ §. 4/

Aufgabe.

1/(2 r x1 — x' x)