Topologie: Band 2 Algebraische Topologie [Reprint 2019 ed.] 9783111375939, 9783111018003

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

1182/1182a

TOPOLOGIE von

DR. W O L F G A N G F R A N Z o. Professor der M a t h e m a t i k an der Universität F r a n k f u r t

Ii

ALGEBRAISCHE

TOPOLOGIE

WALTER D E GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

B E R L I N 1965

Die Darstellung umfaßt folgende Bände: B a n d i : Allgemeine Topologie (Band 1181) Band II: Algebraische Topologie (Band 1182/a)

©

Copyright 1964 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagahandlung - J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Beimer - Karl J . Trübner Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Hechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, yon der Verlagshandlung vorbehalten. — ArchivNr. 7714 619. - Satz: Mercedes-Druck, Berlin 61. Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

Literaturverzeichnis Einleitung

5

§ 1 Analytische und Algebraische Topologie § 2 Probleme und Beispiele

7 11

I. Teil Simplizialkomplexe Kap. 1. Geometrie des Simplizialkomplexes § § § §

3 4 5 6

Hülle und Stern Baryzentrische Sterne Simpliziale Abbildungen Benachbarte Abbildungen

17 20 22 27

Kap. 2. Homologie- und Kohomologiegruppen § 7 § 8 § 9 § 10 § 11

Orientierung, Inzldenzzahlen Homologiegruppen Beispiele und Anwendungen Kohomologiegruppen Homotope Abbildungen

30 32 36 43 49

II. Teil Kettenkomplexe und ihre Anwendungen Kap. 3. Allgemeine Theorie § 12 Homologiegruppen von Kettenkomplexen § 13 Teil- und Faktorkomplexe § 14 Der Randoperator

52 55 60

Kap. 4. Freie Kettenkomplexe § 15 Moduln und Dualmoduln § 16 Abbildungen und duale Abbildungen § 17 Freie Kettenkomplexe, kanonische Basen

62 64 70

III. Teil Zellkomplexe, Invarianz Kap. 5. Zellkomplexe § 18 Zellzerlegungen § 19 Die Homologiegruppen von Zellzerlegungen § 20 Normalunterteilungen

79 84 87

Inhaltsverzeichnis

4

Kap. 6. Invarianz der Homologiegruppen § 21 § 22 § 23 § 24

Invarianzbeweia Ergänzungen, Verallgemeinerungen Ergebnisse und Anwendungen Lokale Homologiegruppen

91 94 98 107

IV. Teil Ausbau der Theorie Kap. 7. Produkte in Polyedern § 25 Der Kohomologiering § 26 Das cap-Proiukt

113 121

Kap. 8. Mannigfaltigkeiten § 27 Definitionen § 28 Komplementäre Zellzerlegungen §29 Der Poincar6sche Dualitätssatz

126 130 133

Kap. 9. Der Homologiering einer Mannigfaltigkeit § 30 Produkte in Mannigfaltigkeiten § 31 Produktmatrizen

Index

141 146

152

Literaturverzeichnis Es werden nur die wichtigsten Werke genannt, die zur Ergänzung und Vertiefung des in diesem Bändchen behandelten Stoffes dienen können, soweit sie noch nicht im Literaturverzeichnis von Bd. I vorkommen. 1. P . S. A l e x a n d r o f f , Einfachste Grundbegriffe der Topologie, Berlin 1932. 2. K . R e i d e m e i s t e r , Einführung in die kombinatorische Topologie, Braunschweig 1932. 3. H . S e i f e r t , W. T h r e l f a l l , Lehrbuch der Topologie, Leipzig und Berlin 1934. 4. K . R e i d e m e i s t e r , Topologie der Polyeder, Leipzig 1938. 5. S. L e f s c h e t z , Algebraic Topology, New York 1942. 6. S. L e f s c h e t z , Introduction to Topology, Princeton 1949. 7. S. E i l e n b e r g , N . S t e e n r o d , Foundations of Algebraic Topology, Princeton 1952. 8. H . C a r t a n , Seminaire 1948/49,Topologiealgébrique,Paris 1955. 9. E . M. P a t t e r s o n , Topology, London 1956. 10. P . S. A l e x a n d r o f f , Combinatorial Topology, I—III, Rochester 1956, 1957, 1960. (Übersetzung aus dem Russischen.) 11. A. H . W a l l a c e , An Introduction to Algebraic Topology, London 1957. 12. P . S. A l e x a n d r o f f , Die topologischen Dualitätssätze, Berlin 1959. (Übersetzung aus dem Russischen.) 13. P . J . H i l t o n , S. W y l i e , Homology Theory, Cambridge 1960. 14. J . H o c k i n g , G. Y o u n g , Topology, London 1961. 15. H . S c h u b e r t , Topologie, Eine Einführung, Stuttgart 1964.

Einleitung § 1. Analytische und Algebraische Topologie

In der „Allgemeinen Topologie11, im Bändchen I, haben wir möglichst weit umfassende Klassen von Räumen behandelt und ihre Eigenschaften aus wenigen Axiomen deduktiv hergeleitet. Man bezeichnet diesen Zweig der Topologie daher auch als „Analytische Topologie". Die Aussagen der allgemeinen Topologie sind demgemäß sehr weitreichend und umfassend, dafür jedoch verhältnismäßig wenig konkret. Im vorliegenden Bändchen I I behandeln wir den anderen Zweig der gegenwärtigen Topologie, die „Algebraische Topologie". Hier werden wir auch speziellere Probleme behandeln und besonderen Wert auf Begriffe und Sätze legen, die der unmittelbaren geometrischen Anschauung nahestehen. Dabei müssen wir allerdings innerhalb des hier gegebenen Rahmens den Bereich der zugrunde gelegten Räume wesentlich einschränken: Wir betrachten fast ausschließlich Polyeder. Der eigentliche Unterschied zwischen den beiden Zweigen der Topologie besteht in der Methode. Der Name „Algebraische Topologie" deutet an, daß zur Behandlung topologischer Fragen algebraische Hilfsmittel herangezogen werden. Wir können das dabei anzuwendende Verfahren schon jetzt in groben Zügen erläutern. Wir betrachten eine sogenannte Kategorie 9t, die aus Räumen und stetigen Abbildungen besteht, und zwar aus den Räumen einer festen Klasse, etwa aus allen hausdorffschen Räumen oder allen Kompakten oder wie in unserem Fall aus allen Polyedern R, S, . . . u n d aus allen stetigen, nicht notwendig monomorphen oder epimorphen Abbildungen / : R - + S unter ihnen. Jedem Räume R von 9t werden wir mittels eines später zu entwickelnden Verfahrens für jede Dimension q = 0,1,2 . . . eine abelsche Gruppe Hq(R) zuordnen, die sogenannte g-dimensionale Homologiegruppe von R. Weiter werden

8

Einleitung

wir jeder stetigen Abbildung / : R S für jedes q einen Homomorphismus : Hg(R) Hg(S), den sogenannten durch / induzierten Homomorphismus der zugehörigen Homologiegruppen zuordnen. Diese doppelte Zuordnung — Gruppen zu Räumen, Homomorphismen zu Abbildungen — hat folgende Eigenschaften: (I) Ist i: R R die identische Abbildung, die jedem Punkt von R ihn selbst zuordnet, so ist \ für jedes q der identische Homomorphismus von Hq(R), der jedes Gruppenelement in sich selbst überführt. (II) Sind f:R->S und g: S T stetige Abbildungen von Räumen aus 9t und ist gf-.R^-T die zusammengesetzte Abbildung, so ist (gf)+ = ; der zusammengesetzten Abbildung entspricht also der zusammengesetzte Homomorphismus. Man faßt die Klasse aller abelschen Gruppen H, G, . . . samt allen ihren Homomorphismen derart zuordnet, daß die Eigenschaften (I) und (II) erfüllt sind, nennt man einen Funktor von 9t nach $). Die von uns beschriebene Zuordnung ist von dieser Art, man nennt sie den Homologiefunktor H von 9t nach H übersetzt topologische Fragen über Räume und Abbildungen der Kategorie 9t in algebraische Fragen über Gruppen und Homomorphismen der Kategorie Die Definition und das Studium dieses Homologiefunktors H und seiner Verallgemeinerungen und Verfeinerungen ist der Inhalt der Homologietheorie, die ihrerseits der wichtigste Grundpfeiler der algebraischen Topologie ist. Das Studium von H bildet auch, innerhalb des hier gegebenen Rahmens, den Inhalt dieses Bändchens. Die Methode der Algebraischen Topologie ähnelt in gewisser Weise der Analytischen Geometrie, in der ebenfalls geometrische Tatsachen in algebraische übersetzt werden. Ein wesentlicher Unterschied besteht jedoch darin, daß die Abbildung durch den Homologiefunktor H nicht treu ist. Verschiedene Räume R haben nicht notwendig verschiedene Homologiegruppen Hq(R), verschiedenen stetigen Abbildungen / entsprechen nicht notwendig verschiedene von / induzierte Homomorphismen Man kann dieses als einen Nachteil ansehen,

§ 1 Analytische und Algebraische Topologie

9

da auf diese Weise nicht alle topologischen Eigenschaften durch entsprechende algebraische Eigenschaften wiedergegeben werden. Es ist aber auch ein Vorteil insofern, als man auf diese Weise schwierige und vielleicht zur Zeit unlösbare geometrische Probleme in einfachere, dafür aber eventuell lösbare algebraische Fragen übersetzen .und so jedenfalls zu Teilresultaten kommen kann. Insbesondere kann man hoffen, so zu feststellbaren oder sogar nachrechenbaren Kriterien zu gelangen. Jedenfalls hat man damit zu rechnen, daß der Funktor H bei der Untersuchung topologischer Fragen im allgemeinen nur zu notwendigen, aber nicht immer zu hinreichenden algebraischen Kriterien führt. Es hängt von dem jeweiligen geometrischen Problem ab, ob man durch schrittweise Verfeinerung der algebraischen Methoden schließlich zur vollständigen Lösung und zu hinreichenden Kriterien gelangt; in jüngster Zeit sind in dieser Richtung einige bemerkenswerte Erfolge erzielt worden. — Bei der Ausbildung der algebraischen Hilfsmittel für die Topologie haben sich gelegentlich auch Methoden von selbständigem algebraischen Interesse ergeben, die eine Zusammenfassung in der „Homologischen Algebra" gefunden haben. Wir weisen aber, ebenso wie in der Einleitung von Bd. I, auch hier besonders darauf hin, daß es uns hier ausschließlich um die Gewinnung geometrisch-topologischer Erkenntnisse zu tun ist. Ordnet man topologischen Räumen oder allgemeiner irgendwelchen topologischen Gebilden algebraische Begriffe zu, wie es z. B. durch den Homologiefunktor H geschieht, so tritt stets die Frage nach der Invarianz dieser Begriffe auf. Wir erläutern diese Frage am Beispiel der Homologiegruppen Hq = Hq(R), die wir einem Polyeder R zuordnen werden. Die Konstruktion von Hq(R) wird an einer speziellen Darstellung des Raumes R vor sich gehen. Die Konstruktion muß aber so geschehen, daß bei Zugrundelegung eines anderen, zu R homöomorphen Raumes R' und bei Anwendung derselben Konstruktionsmethode auf R' anstelle von R dieselbe oder jedenfalls eine isomorphe Homologiegruppe Hq m Hq(R') herauskommt. Erst damit ist erreicht, daß Hq dem Raumtypus von R invariant, d. h. unabhängig von der speziellen Darstellung von R zugeordnet

10

Einleitung

ist, oder daß Hq(R), wie man sagt, eine Invariante des Raumtypus von R ist. Schon in der allgemeinen Topologie haben wir invariante Bildungen kennengelernt, z. B. die Begriffe hausdorffsch, regulär, normal und kompakt. Auch die Dimension dim R eines Kompaktums R haben wir in Bd. I, § 32, ausdrücklich als Invariante des Raumtypus R erkannt. In der Theorie der Polyeder spielt die Frage nach der Invarianz eine besondere Rolle. Ein Polyeder R ist mit Hilfe eines Simplizialkomplexes K, nämlich als dessen Körper R = [ K | erklärt. Die Bausteine von K, die Simplexe, lassen sich ohne weiteres übersehen. Alle topologischen Eigenschaften des Raumes müssen sich daher in der Art und Weise widerspiegeln, wie diese endlich vielen Bausteine zusammengefügt sind, mit anderen Worten in den Inzidenzbeziehungen zwischen diesen Simplexen. Da es sich dabei nur um endlich viele Inzidenzen handelt, ergibt sich so ein gewissermaßen kombinatorisches Problem. Die Kombinatorische Topologie stellt sich die ebenso reizvolle wie schwierige Aufgabe, aus dem endlichen kombinatorischen Schema der Inzidenzen von K die Eigenschaften des Polyeders R = I K | abzuleiten. Die Hauptschwierigkeit liegt dabei in der Invarianzfrage. Ist nämlich K' eine andere Simplizialzerlegung des Polyeders R = | K | = | K' |, so ist die gegenseitige Lage der beiden Simplizialkomplexe K und K', worauf wir schon in Bd. I, § 30 hinwiesen, im allgemeinen so kompliziert, daß ein Schluß von der einen auf die andere große Schwierigkeiten macht. Die sogenannte „Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie" behauptete zwar, daß es Unterteilungen Kx von K und K t ' von K' gäbe, derart daß Kj und K/ isomorph sind. Aber diese Vermutung scheint sich, nachdem sie viele Jahrzehnte lang offen war, nicht zu bestätigen. Sie kann jedenfalls nicht zur Grundlage der Kombinatorischen Topologie gemacht werden. Man ist daher darauf angewiesen, solche Eigenschaften von K aufzusuchen, die Invarianten des Polyeders R = J K | sind, d. h. solche Eigenschaften, die sich in gleicher Weise aus jeder anderen Simplizialzerlegung K' von R ablesen lassen. Die Frage, ob eine gegebene Eigenschaft von K invariant ist oder nicht und gegebenenfalls der Beweis für die Invarianz, wird auch in unserem

§ 2 Probleme und Beispiele

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Aufbau eine wichtige Rolle spielen und bisweilen einen erheblichen Aufwand erfordern. Man kann den Begriff der topologischen Invarianz noch von einer anderen, etwas spezielleren Seite her beleuchten. Sei etwa der topologische Raum R Teilraum eines euklidischen R". R werde durch eine isotope Deformation innerhalb von R" in den Raum R' übergeführt, d. h. durch eine Deformation, bei der das Bild von R auch bei allen Zwischenlagen homöomorph zu R bleibt. Die topologischen Invarianten von R sind natürlich auch Invarianten von R!, sie erscheinen jetzt als Invarianten gegenüber isotoper Deformation. Man könnte danach versucht sein, die Topologie als Theorie der Invarianten gegenüber isotopen Deformationen zu charakterisieren, sie gewissermaßen als Geometrie der elastischen Deformationen oder als „Kautschuk-Geometrie" aufzufassen. Diese Auffassung ist allerdings nach dem zuvor Gesagten etwas zu eng und in ihrer Vergröberung nicht ganz zutreffend. Sie gibt aber nichtsdestoweniger ein anschauliches und für die erste Orientierung förderndes Bild von der Tendenz topologischer Untersuchungen. In diesem Bändchen kann nur ein kleiner Abriß der Algebraischen Topologie gegeben werden. Es handelt sich im wesentlichen um die Grundlagen der Homologietheorie, die den ältesten und am weitesten entwickelten Zweig der Algebraischen Topologie darstellt und die heute für viele Teile der Mathematik unentbehrlich ist. Im folgenden § 2 der Einleitung geben wir eine Einführung in eine Reihe von wichtigen topologischen Problemen und erläutern sie an Beispielen, auf die wir später vom Standpunkt der Homologietheorie aus zurückkommen. § 2. Probleme und Beispiele

Wir betrachten Abbildungen f : R - > S eines topologischen Raumes R in einen topologischen Raum S, die, ohne daß es stets besonders gesagt wird, als stetig vorausgesetzt sind. R und S werden später als Polyeder angenommen. Die Abbildungen / brauchen weder monomorph noch epimorph (Bd. I, § 5) zu sein. Unter ihnen spielen die konstanten Abbildungen eine besondere Rolle, die jeden Punkt von R in ein und den-

12

Einleitung

selben Punkt geSabbilden. Die Abbildungen / : R - > R heißen Selbstabbildungen von R. Unter ihnen spielt die identische Abbildung i = iR eine besondere Rolle, die jeden Punkt von R in sich selbst abbildet. Ist Ac R ein Teilraum von R, so nennt man die Abbildung / : A -> R, die jeden Punkt von A in sich abbildet, die Inklusionsabbildung von A in R; sie ist von iA : A -> A wohl zu unterscheiden. — Wir nennen zunächst die beiden wichtigsten allgemeinen Probleme für topologische Räume, das Homöomorphieproblem und das Homotopieproblem. A. Das Homöomorphieproblem. Zwei Räume Äund S heißen homöomorph, in Zeichen R ^ S (Bd. I, Def. 5.1), wenn es eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Punkten von R und den Punkten von S gibt, die die topologische Struktur von R, etwa die offenen Mengen oder Umgebungen in R, in die topologische Struktur von S überführt. Es gilt der Satz (Bd. I, Satz 5.6), daß R und S dann und nur dann homöomorph sind, wenn es eine umkehrbar eindeutige, d. h. monomorphe und epimorphe Abbildung f : R - > S gibt, die samt ihrer Umkehrung / _ 1 : S R stetig ist. Wenn R ein Kompaktum, speziell ein Polyeder ist, kann auf die zuletzt genannte Forderung über verzichtet werden, sie ist in diesem Falle eine Folgerung aus den übrigen Forderungen (Bd. I, Satz 18.2). Das Homöomorphieproblem verlangt die Entscheidung darüber, ob zwei vorgelegte topologische Räume R und S homöomorph sind oder nicht. Rechnet man zwei homöomorphe Räume zum selben Raumtypus, so ist also zu entscheiden, ob R und S zum selben Raumtypus gehören oder nicht. Es wird ferner verlangt, für jeden Raumtypus einen speziellen Raum R als Repräsentanten, auch Normalform genannt, anzugeben. — In dieser Form ist das Homöomorphieproblem zurZeit ungelöst. Wir werden im folgenden mit Hilfe der Homologietheorie nur verhältnismäßig grobe notwendige Bedingungen für die Homöomorphie zweier Räume aufstellen können. Nur für die sehr spezielle Klasse der zweidimensionalen Flächen werden wir eine Lösung des Homöomorphieproblems einschließlich der Konstruktion von Normalformen angeben.

§ 2 Probleme und Beispiele

13

B. Das Homotopieproblem. 2.1 Definition: Zwei stetige Abbildungen /, g: R->S heißen homotop, in Zeichen f ^ g , ausführlicher f~g:R^*S, wenn eine der beiden folgenden gleichwertigen Bedingungen erfüllt ist: (1) Es gibt eine Schar von Abbildungen F(p, t): R-> S, die stetig von den beiden Variablen peR und der reellen Zahl t aus dem Intervall 0 5S t ^ 1 abhängen, derart daß F (p, 0) = / (p) undF(p, 1) = g(p) ist. (2) Es gibt eine stetige Abbildung F: Rx 1 -> S des Produktraumes Rx I von R und der Einheitsstrecke I des reellen Intervalls O ^ K l i » den Raum 8 derart, daß für jeden Punkt peR gilt F(p X 0) = f{p), F{p x 1) = g{p). Die Abbildungsschar F(p, t) bzw. die Abbildung F heißt eine Homotopie, genauer eine f und g verbindende Homotopie. Es ist zu beachten, daß unter (1) die simultane Stetigkeit in den beiden Variablen p und t gefordert wird. - Daß ( l ) u n d (2) gleichwertig sind, liegt auf der Hand. — Man sagt auch kurz, / sei stetig in g deformierbar. Die nebenstehende Figur gibt eine Skizze für den Fall, daß R eine R Strecke und 8 ein Rechteck ist; Figur 1 die punktierten Linien deuten die Bahnkurven an, die das Bild F(p, t) eines festen Punktes peR beschreibt, wenn man t, etwa als Zeit gedeutet, von 0 bis 1 laufen läßt. Beispiele: (a) R = 8 = R2 sei die euklidische Ebene, / = iR sei die identische Abbildung, g = g(x, y) = (0,0) die konstante Abbildung in den Punkt (0,0). Es ist f ^ g , eine verbindende Homotopie ist F(x,y\t) = ((1 — t)x, (1 — t)y). — (b) R = 8 = Sn sei die w-Sphäre (n 1), / = iR die identische Abbildung, g die Antipodenabbildung, die jeden Punkt von Sn, als Einheitssphäre im euklidischen R"+1 gedeutet, in seinen Gegenpunkt überführt. Für n = 1 ist offenbar f~g.— Gegenbeispiele: (c) R = S und ebenso / und g seien wie unter (b) definiert. Für n = 2 ist n i c h t / ^ g, wie wir in § 23 sehen

Einleitung

14

werden. — Allgemeiner ist in (b) f für ungerade n, / + g für gerade n. — (d) Bei denselben Gegebenheiten wie unter (b) sei / = iR und g eine konstante Abbildung. Es ist / + g. 2.2 Satz: Die Beziehung der Homotopie unter den Abbildungen eines Raumes R in einen Raum S ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Beweis: F(p, t) = f(p) für alle Punkte p e R und alle mit sich selbst verbindende 0 iS t ^ 1 ist eine f:R->S Homotopie, es ist also f. — Ist F(p, t) eine f:R-+Smit g: R-+S verbindende Homotopie, so istF'(p, t) = F(p, 1 — t) eine g mit / verbindende Homotopie; aus f^ g folgt also /. — Sei nun F(p, t) wie eben definiert, und G(p, t) eine g mit h: R ^ - S verbindende Homotopie. Dann verbindet die Homotopie H(p,t)

=

F(p, 2 0 für 0 ^ t ^ i

wie man sofort nachprüft, / mit h. Aus f~g,g~h folgt also / ~ h. — Der Beweis läßt sich kurz so beschreiben: In der Zeiteinheit kann man / in g und ebenso g in h deformieren; daher kann man in der Zeiteinheit auch / in h deformieren, indem man mit doppelter Geschwindigkeit erst / in g und anschließend g in h deformiert. Auf Grund dieses Satzes zerfallen bei gegebenem R und S die sämtlichen Abbildungen f: R->S in Hassen homotoper Abbildungen, die sogenannten Homotopieklassen oder Äbbildungsklassen. Das Homotopieproblem verlangt, bei gegebenen R und S zu entscheiden, ob zwei Abbildungen f,g:R-+S homotop sind, und ferner die sämtlichen Abbildungsklassen von R und S aufzuzählen, etwa durch Angabe von Normalformen. Das Problem ist in dieser Allgemeinheit, auch für Polyeder R und S, ungelöst. Nur in sehr speziellen Fällen, z. B. für Sphären R = 8 = Sn, kennt man alle Abbildungsklassen. Beispiele werden wir in § 23 kennenlernen. — Wir beweisen noch folgenden für später wichtigen Satz. 2.3 Satz: Ist f ~ f : R^S R-+T.

undg~

g': S-> T, so ist gfo^ g'f:

§ 2 Probleme und Beispiele

15

Beiceis: Ist F(p, t) eine / mit f verbindende Homotopie, so ist g(F(p, von K zusammen mit A die Sternbedingung bezüglich f erfüllen. Beweis: Die sämtlichen Eckensterne stq,- von A (j = 1, ..., ß) bilden eine offene Überdeckung von | A | , die sämtlichen

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Kap. 1. Geometrie des Simplizialkomplexes

/ -1 (stqj)

also eine offene Überdeckung von | K |. A sei eine Lebesguesche Zahl für diese Überdeckung und v sei so gewählt, daß der größte Simplexdurchmesser von K 0 sind durchaus gleichberechtigt, keine läßt sich vor der anderen in natürlicher Weise auszeichnen. Wählt man aber willkürlich unter den beiden Orientierungen eine aus und bezeichnet sie als die positive und die andere als die negative, so sagt man, man habe das Simplex a q orientiert. Von den beiden zu er« gehörigen orientierten Simplexen bezeichnet man dann das mit der positiven Orientierung als sq = + s g und das mit der negativen Orientierung als — sg. Es ist zweckmäßig, auch im Falle q = 0, für die nulldimensionalen Simplexe, möglichst analog zu verfahren; man ordnet daher einer Ecke p die beiden orientierten O-Simplexe +

und —

zu, den positiv und den negativ orientierten Punkt. Während man für q > 0 eine Auswahl zu vollziehen hat, welches der beiden zu er» gehörigen orientierten Simplexe man als das positive + s 9 und welches als das negative — sq nehmen will, wird für q = 0 stets +

als der positive und — ) als der negative Punkt gewählt. Die (q — l)-dimensionalen Seiten eines g-dimensionalen orientierten Simplexes s„ mit q > 0 können wie folgt in natürlicher Weise orientiert werden. Ist s ? = so sind diese sogenannten indiozierten Orientierungen der (q — l)-dimensionalen Seitensimplexe definiert durch = ( - 1Y < P o - • • £ ? > . wobei der Zirkumflex bedeutet, daß die betreffende Ecke ausgelassen werden soll. Diese Definition ist allerdings nur dann sinnvoll, wenn sie sich als unabhängig von der speziellen Darstellung von sq erweist, d. h. wenn sie zu denselben s'g-! führt, wenn man in der Darstellung sq = < p 0 . . eine gerade Permutation vornimmt. In der Tat, nimmt man in < p 0 . . . p , ) eine Vertauschung benachbarter Ecken vor, so ändert sich in der Definition für s e n t w e d e r das Vorzeichen (—1)* oder das

32

Kap. 2. Homologie- und Kohomologiegruppen

Vorzeichen von < p 0 . . . p j . . . p ? > , je nachdem, ob eine der beiden vertauschten Ecken den Index ¿hatte oder nicht. In jedem Fall ändert s ' ^ sein Vorzeichen. D a aber jede gerade Permutation durch eine gerade Anzahl benachbarter Vertauschungen erhalten werden kann, ist damit die Korrektheit unserer Definition der induzierten Orientierungen gezeigt. Man sagt, daß die in dieser Weise orientierten Simplexe die Inzidenzzahlen [ s ? : s^-j] = + 1 haben, während [ - s „ : = [s„: — s j - i ] = —1 und [—s q : — s j - J = + 1 ist; für nicht inzidente sq und s g - ! setzt man [ s ? : s , ^ ] = 0. — Der Grund dafür, daß man die induzierte Orientierung gerade in der angegebenen Weise definiert, wird sich später zeigen, einstweilen weisen wir nur auf die nebenstehende Figur für den Fall q — 2 hin. Der angegebene Umlaufsinn des Dreiecks induziert im anschaulichen Sinne die angegebenen Richtungen Figur 2 i ergibt der Seiten I m Faiie ? = sich: die von p 0 nach p j gerichtete Strecke

induziert die Orientierungen für den Endpunkt und —

für den Anfangspunkt. — Übrigens gibt es keine Möglichkeit, in den Seitensimplexen niedrigerer als (q — l)-ter Dimension von sq eine natürliche Orientierung zu induzieren. § 8. Homologiegruppen K sei ein für den ganzen Paragraphen zugrundeliegender n-dimensionaler Simplizialkomplex. K sei orientiert, d. h. jedes Simplex von K sei in einer der beiden möglichen Weisen orientiert, die orientierten Simplexe der Dimension q seien s j (i = 1, ..., 0 den Grad 0. Die identische Abbildung h a t den Grad 1. — (2) Die Spiegelung der 2-Sphäre an ihrem Äquator h a t den Grad —1. — (3) M 1 u n d N l seien simplizial zerlegte Kreislinien, deren P u n k t e in üblicher Weise durch die Argumentwinkel

= fic ( von ¡M 1 ! in | N x | definiert. Bei simplizialer Approximation von fk ergibt sich als Abbildungsgrad y = k. Der folgende Satz ist ohne weiteres einleuchtend: 9.9 Satz: Sind f: M " N " und g: N " ->• A" simpliziale Abbildungen geschlossener orientierter n-dimensionaler Pseudomannigfaltigkeiten von den Äbbildungsgraden y und d, so hat gf: M" A n den Abbildungsgrad dy. 5. Einige spezielle Polyeder. Wir geben als Beispiele einige einfache 1-, 2- und 3-dimensionale Polyeder R = | K | und ihre Bettischen Zahlen an. Wir geben, genauer gesagt, die Bettischen Zahlen der Simplizialzerlegung K an, die zugleich, wie wir später sehen werden, dem Polyeder R invariant zugeordnet sind, also f ü r alle Simplizialzerlegungen K des Polyeders R gleich ausfallen. Wir fassen sie zu dem sogenannten Poincaröschen Polynom p (x) = 2JpQ( K ) x i zusammen, über alle Dimensionen q summiert. Dabei bedeutet

42

Kap. 2. Homologie- und Kohomologiegruppen

x eine Unbestimmte, der keine geometrische Bedeutung zukommt. Der Leser möge sich die angegebenen Werte der pq als „Anzahl der linear unabhängigen geschlossenen, aber nicht berandenden Ketten" auf geeigneten Simplizialzerlegungen K von R plausibel machen. Eine exakte Berechnung dieser Werte ist einstweilen mit den bisher von uns entwickelten Methoden noch recht mühevoll. Wir werden in den nächsten Kapiteln einfache und wirkungsvolle Berechnungsmethoden kennenlernen, sie laufen auf die Bestimmung des Ranges von Matrizen hinaus und werden bei Anwendung der Zellzerlegungen von § 18,19 (man vergleiche vor allem den letzten Absatz) besonders einfach. — (a) R sei ein einzelner Punkt: p(x) = 1. — (b) R sei eine Strecke: p(x) = 1. — (c) R sei eine Kreislinie: p(x) — 1 + x. — (d) Zwei Kreislinien mit einem gemeinsamen Punkt: p(x) = l-\-2x. — (e) Kreisscheibe: p(x) = 1. — (f) Kreisscheibe mit ausgeschnittener kleinerer Kreisscheibe (ebener Kreisring): p(x) = 1 + x. — (g) Kreisscheibe mit zwei ausgeschnittenen kleineren Kreisscheiben: p(x) = 1 + 2x. — (h) 2-Sphäre: p(x) = 1 + x2. — (i) 2-Sphäre mit zwei ausgeschnittenen Kreisscheiben (2-Sphäre mit zwei Löchern):

Figur 4

p(x) = 1 + x. - (j) Torus: p(x) = 1 + 2x + x2. — (k) Brezel (siehe Figur): p(x) = 1 + 4a; + x2. — (1) Vollkugel: p{x) = 1. — (m) Vollkugel mit ausgeschnittener kleinerer Vollkugel (Hohlkugel): p(x) = 1 + x2. - (n) Volltorus: p(x) = 1 + x. - (o) Vollbretzel:p(x) = l+ 2x. - (p) Vollkugel mit ausgeschnittenem Volltorus: p(x) = 1 + x + x2. — Man beachte, daß z. B. die Polyeder (f) und (i) homöomorph sind, ferner daß z. B. das Polyeder (c) ein Deformationsretrakt des Polyeders (f) und des Polyeders (n) ist. Weitere Beispiele

§ 10 Kohomologiegruppen

43

kann man durch Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen bilden. Ein anderes Verfahren, neue Polyeder herzustellen, ist die Bildung des topologischen Produktes; dabei multiplizieren sich die Poincaréschen Polynome, wie wir hier ohne Beweis angeben. — Alle diese Beispiele geben allerdings nur einen kleinen Ausschnitt aus der unübersehbaren Menge der Polyeder. § 10. Kohomologiegruppen Es sei wieder K ein fester n-dimensionaler Simplizialkomplex. Wir geben zunächst zwei verschiedene, aber auf dasselbe hinauslaufende Definitionen einer Kokette von K. 1. Definition: Eine q-dimensionale Kokette ci ist eine Funktion, die jedem positiv orientierten Simplex s^ (i = 1, .. .,ocQ) von K eine ganze Zahl ( V , c?) = g* als Funktionswert gl zuordnet. — Unter den Koketten kommen insbesondere die elementaren Koketten sf 0 = 1, • . . , ocq) vor, die dem Simplex sq> den Wert 1 und allen anderen q-Simplexen den Wert 0 zuordnen: (s 9 \ s f ) = ötj, wobei das Kroneckersche Symbol die 1 bezeichnet, wenn 1 = j, und die 0, wenn i j. Durch lineare Erweiterung kann man erreichen, daß eine Kokette e« sogar jeder Kette cq = 2Jh¡sq{ eine ganze Zahl zuordnet, nämlich durch die Definition (eq, e?) = (ZhiSj, C) = Zhi(sq\ c"). Hiernach ist insbesondere (—s 9 f , C) = — ( s j , cq). Man sieht, daß dann auch allgemein gilt: (10.1)

( V + eq\ c") = (cq\ c") + ( V , C).

cq vermittelt also einen Homomorphismus der Gruppe Cq in die zyklische Gruppe Z der ganzen Zahlen. Damit sind wir bei der zweiten Definition f ü r Koketten. 2. Definition: Eine Kokette ci ist ein Homomorphismus cq: Gg —> Z von Cq in die Gruppe der ganzen Zahlender jeder Kette cq e Cq eine ganze Zahl (cq, ei) zuordnet. — Ist ein solcher Homomorphismus cß gegeben und bezeichnen wir die Werte ( s j , c") mit g\ so liefert ci eine Funktion im Sinne der ersten Definition, die dann, wie eben beschrieben, wieder zum Homomorphismus cq zurückführt. Beide Definitionen laufen also auf dasselbe hinaus. Wir

44

Kap. 2. Homologie- und Kohomologiegruppen

werden je nach Zweckmäßigkeit die eine oder die andere benutzen. Wir nennen (c q , cq) auch das Kroneckersche Produkt der Kette cq mit der Kokette cq. Man kann die Funktionen c q und damit die Homomorphismen cq in bekannter Weise addieren und subtrahieren, indem man setzt (c q , — cq) = — (cq, cq) und (10.2)

(cq,

Cli

+ c2») = (cq, c j ) + (cq,

c,o).

Die Koketten cq bilden so eine Gruppe Cq. Indem man, bei gegebenem cq, wie eben die Werte (s q { , cq) — g( heranzieht, erkennt man, daß die cq eine eindeutige Darstellung durch die elementaren Koketten Siq besitzen, cq = Ugisiq, die ganz analog der Darstellung der Ketten cq = ¿ X - s / durch eine Kettenbasis sgi ist. Cq ist also wie Cq eine freie abelsche Gruppe, ein Modul, und die elementaren Koketten bilden eine Basis für ihn. Die Beziehung zwischen Cq und Cq läßt sich auch in symmetrischer Form darstellen. Das Kronecker-Produkt (cq, cq) liefert eine sogenannte Paarung von Cq und Cq, die jedem Paare cg, cq eine ganze Zahl aus Z zuordnet. Dabei gelten die Gesetze (10.1) und (10.2). Wir sagen, die Paarung durch das KroneckerProdukt sei bilinear. Wir kommen nun zum Korandoperator ó, der jeder g-dimensionalen Kokette cq eine (q + l)-dimensionale Kokette öcq = cq+1 zuordnet. Die Definition gibt für jede Kette c 9 + 1 diejenige ganze Zahl (c 9 +j.,de 9 ) an, die der zu definierende Homomorphismus dcq der Kette c i + 1 zuordnet: (10.3) (c 4+1 , dcq) = (8cq+l, cq) (Stokessche Formel). Daß dies wirklich ein Homomorphismus ist, sieht man, wenn man cq+1 durch + c\+1 ersetzt und die Wirkung auf die rechte Seite beobachtet. Zum besseren Verständnis der Stokesschen Formel schreiben wir noch den Spezialfall für eine Elementarkette s g + 1 auf: (10.4)

« i v . .p i+1 >,t und • Gq, die jedem Element von Dq dies Element selbst zuordnet. W e n d e t m a n auf i den letzten Satz des vorigen Paragraphens an, so ergibt sich der durch i induzierte Inklusionshomomorphismus W ä h r e n d i monomorph ist, gilt das gleiche nicht notwendig für wie an u n t e n folgenden Beispielen zu sehen ist. — E s gibt ferner f ü r jedes q eine natürliche Projektionsabbildung j: Gq -> G,JDq, die jeder Kette von Gg ihre Restklasse nach DQ zuordnet. Aus j ergibt sich nach dem letzten Satz der durch j induzierte Projektionshomomorphismus U:H1( ~ 0. Daher ist H0(M") 0 und wir können sagen 13.4 Satz: Die Aussage von Satz 9.8 gilt auch für nichtgeschlossene orientierbare n-dimensionale Pseudomannigfaltigkeiten M n mit Ausnahme der Behauptung über ii 0 (M"); es ist vielmehr in diesem Fall H„(Mn) ^ 0. Für spätere Anwendungen stellen wir die beiden folgenden Sätze bereit, die sich auf spezielle Subkomplexe, nämlich auf Sterne eines Simplizialkomplexes beziehen. 13.5 Satz: 0 = Stp sei ein nicht nur aus der Ecke p bestehender Eckenstern eines Komplexes, ferner sei H = H ü 0 , P = H — 0 . Dann gilt ~ ff^tP) für q^ 2, H^Q) « (fc - 1) X Z, tf„(0)~ 0, wobei k die Zahl der Komponenten von P ist. Hier bedeutet (k — 1) X Z die direkte Summe von k — 1 Summanden vom Typus Z. — Der Beweis beruht darauf, daß für q ^ 1 eine natürliche, umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den g-Simplexen sg = von 0 und den (q — 1)-Simplexen tq-y= Cpi-. .p 9 > von P besteht, durch die

§ 13 Teil- und Faktorkomplexe

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auch die Kettengruppen G q (Q) und G q -,(P) umkehrbar eindeutig aufeinander bezogen werden. Diese Beziehung ist für q 2: 2 bis auf das Vorzeichen randtreu, da bei Anwendung der modifizierten Randbildung 8' in 0 gilt d'sq = — 8tq~x, wie man sofort nachrechnet. Da die Homologiegruppen Hq nur von den Gruppen C 9 + l5 G q und C g - ! und den Berandungsrelationen zwischen ihnen abhängen, ist die erste Behauptung des Satzes einleuchtend. — Für q = 1 ist eine besondere Schlußweise nötig. C ^ Q ) und C 0 (P) sind durch die obige Beziehung umkehrbar eindeutig aufeinander bezogen; dabei entsprechen die Randketten in Gt(Q) den Randketten in C0( P). Für die Zyklen jedoch gilt: Während jede Kette von C0(P) Zyklus ist, ist eine 1-dimensionale Kette aus 0 von der Form Lg{ wo q,- die Punkte von P durchläuft, offenbar dann und nur dann Zyklus, wenn die Koeffizientensumme 27g* verschwindet. Wählt man in jeder Komponente von P einen Punkt )pj ( j = 1 , . . . , k), so stellen bekanntlich die Zyklen ( p j ) eine Basis für He( P) dar. Dann sind, wie man sofort sieht, die Ketten ( p p j ) — für j = 2, . . k Zyklen, und zwar eine Basis von Ht(Q). Damit ist auch der zweite Teil des Satzes bewiesen. — Daß H„(Q) sa 0 ist, folgt aus Ö' = —

. 13.6 Satz: Der Komplex K bestehe aus einem, (r — l)-dimensionalen Simplex a = oT~x und k^il r-äimensiondlen Simplexen al = of (i = 1, ..., k), die mita inzident sind, und aus allen Seiten dieser Simplexe. Dann gilt für den Stern 0 = S t o : Hr(Q)« (k - 1) x Z, Hq(Q) ^ 0 für q^r. Beweis: Die modifizierte Randbildung d' in © ergibt, wenn man für a und die ageeignet orientierte Simplexe sr-x und s/ (i = 1 , . . ,,k) einführt, die Berandungsrelationen d's/ = s r - , Die Ketten s?1 — sr* für i = 2, ..., k sind, wie man sofort erkennt, Zyklen, und zwar eine Basis für die Gruppe Zr(Q) ^ H r (Q), woraus die Behauptung folgt. Wir wenden nun unsere Überlegungen über Teil- und Faktorkomplexe vom Anfang dieses Paragraphens auf Kohomologiegruppen an. Wir beschränken uns dabei der Kürze halber darauf, die Resultate anzugeben. A sei ein Teilkomplex des Simplizialkomplexes K. Diejenigen Koketten von Gq = C?(K),

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Kap. 3. Allgemeine Theorie

die auf A den Wert Null haben, bilden eine Untergruppe / X Der Korand einer solchen Kette ist, da K — A offen in K ist, wieder von derselben Art, d. h. d bildet T)q in T)i+1 ab. Auf diese Weise erhält man in den Dq einen Teil-Kokettenkomplex des Kokettenkomplexes der Cq. Die zugehörigen Homologiegruppen heißen die relativen Kohomologiegruppen iZ?(K/A) von K nach A. Die zugehörige Inklusionsabbildung wird hier, der Abbildung entsprechend, mit j* bezeichnet: Der Faktorkomplex aus den Gruppen C / D « liefert offenbar gerade die Kohomologiegruppen von A. Die zugehörige Projektionsabbildung ist i*:Hi{A)+-Hi(K). j* ist im allgemeinen nicht monomorph (und erst recht nicht epimorph); es gibt nichtnullhomologe Kozyklen ¿ w ß ( K / A ) , die in K Korand sind, i* ist im allgemeinen nicht epimorph (und erst recht nicht monomorph); es gibt Kozyklen in A , die in K kein Urbild haben. Dies kann man sich an ebenso einfachen Beispielen wie oben klarmachen. § 14. Der Randoperator ® n und q < 0 wird tx.q = 0 gesetzt. Die Operatorgleichung d2 = 0 besagt hier, daß 82cq = 8 Rqcq-! = Rq8cq-! = RgRq-iC9-2 = 0 ist, daß also Ä g Ä , - 1 = 0. Die zu 8 duale Abbildung ist (5: C« Sie erzeugt den zu (£ dualen Kettenkomplex o lc»i---Icii-• -i-cto. Wählt man für diese Moduln zu cq duale Basen c", so wird Gg-x, der gleich dem Rang von Rq ist, und ebenso die Elementarteiler dieser Abbildung, die gleich denen von Rq sind, eine besondere Rolle. Rang und Elementarteiler von Rqr sind gleich denen von Rq. Wir geben nun ein besonders einfaches simultanes System von Basen für alle Gq von © an, sogenannte kanonische Basen für (£, die eine Verallgemeinerung der kanonischen Basen für

§ 17 Freie Kettenkomplexe, kanonische Basen

71

eine einzelne Abbildung f : C - > D sind, wie wir sie in Satz 16.2 betrachtet haben. Die zugehörigen Berandungsmatrizen heißen kanonische Berandungsmatrizen. Aus ihnen werden wir anschließend wichtige Struktureigenschaften der Homologie- und Kohomologiegruppen ableiten. 17.1 Satz: In den Kettengruppen Gq eines freien Kettenkomplexes (£ lassen sich kanonische Basen wie folgt einführen: Die Basis von Cq (q = 0, . . n ) besteht ausocq = rq + pq + rq+l Elementen der Form V?,

V?>

c

C^-i", es ist rn+1 = r 0 = 0 zu setzen, fürq = n fehlen Basiselemente der Form und für q = 0 fehlen Basiselemente der Form a„V Die Randoperationen für diese Basen lauten für q = l, ..., n da'," = «/«>

dl j q i = 0, Öc^+i = 0,

wobei die die Elementarteiler der Abbildung 8:Cq -> Cq-X sind und die Teilerkette | e|«> | . . . J e^ bilden. Man vergleiche die zwar etwas verwickelte, aber weder nach der Behauptung noch nach dem anschließenden Beweis besonders schwierige Aussage dieses Satzes mit der beigefügten Skizze (Figur 7) für den Fall der Dimension n — 3. Dort sind die Berandungsmatrizen angedeutet. Im linken und im oberen Eingang stehen die Basiselemente, rechts und unten stehen die „Seitenlängen", d. h. die Anzahlen der Basiselemente. In den durch Doppelstriche bezeichneten Nebendiagonalen stehen die Elementarteiler eiq{i\ die sämtlich ^ 0 sind, an allen anderen Stellen der Berandungsmatrizen stehen Nullen. Den Beweis führen wir in n Schritten. Zunächst wird im Schritt (n) die Berandungsmatrix R„ auf kanonische Form gebracht, dann im Schritt (n — 1) die Matrix Rn--L und so fort bis zum Schritt (1), der R1 kanonisiert. — Schritt (n): Man wende Satz 16.2 auf d \ G „ ( ? „ - ! an. Das dortige r ist hier der Rang rn von Rn. Die ersten rn Basiselemente der kanonischen

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C n - 2 an. Da für die letzten r„ Basiselemente 4 - t von 6' n _i gilt d e W = d 2 a n " = 0, also dcn-i = 0, verschwinden bereits die letzten rn Zeilen der Berandungsmatrix, so daß die c£~ x bei der Kanonisierung nicht mehr verändert oder berücksichtigt zu werden brauchen. Die bei der Anwendung des Satzes entstehenden ersten rn kanonischen Basiselemente von Cn-t seien mit i4*q\ die nächsten (xn-x — rn — = Basiselemente mit ife^ 1 bezeichnet. Die Randgleichungen lauten Sal/Lj 1 = ' el-h 2 Die hier auftretenden Basiselemente seien, abweichend von Satz 16.2, als die letzten Tn^ kanonischen Basiselemente von Cn-2 genommen, während die ersten a „ _ 2 — rn-1 Basiselemente einstweilen unbezeichnet bleiben. Hiermit ist die kanonische Form auch der (n — l)-ten Berandungsmatrix erreicht. — In gleicher Weise fahre man fort bis zum Schritt (1). Hier bleiben die ersten oca — r t kanonischen Basiselemente von C 0 nicht unbezeichnet, sondern sie werden 6 0 J ° genannt. Damit sind die kanonischen Basen von G hergestellt. Jetzt kann man die Homologiegruppen von E aus den kanonischen Berandungsmatrizen leicht ablesen. Eine Kette d q nämlich ist offensichtlich dann und nur dann Zyklus, wenn dq in seiner Darstellung durch die kanonische Basis nur aus Basiselementen J ^ i und c\q+1 zusammengesetzt ist. Mit anderen Worten: Zq ist der durch die b\i und erzeugte Untermodul von Cq. Eine Kette dq ist offensichtlich dann und nur dann Rand, wenn d q in seiner kanonischen Basisdarstellung ein lineares Kompositum der 11 = c l q i + 1 ist. Mit anderen Worten: Bq ist der durch diese Elemente erzeugte Teilmodul von Zq. Hieraus folgt für die Faktorgruppe Hq = / / , ( £ ) m Zq/Bq: Hq ist direkte Summe der pq von den b\i als Repräsentanten erzeugten unendlichen zyklischen Gruppen und der

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Kap. 4. Freie Kettenkomplexe

rg+1 von den als Repräsentanten erzeugten endlichen zyklischen Gruppen der Ordnung — Nun folgt zunächst, daß p g = p q , der g-dimensionalen Bettischen Zahl ist. Unser Verfahren liefert die Gleichungen (17.2)

pq= 1 ist. Die Torsionszahlen von nQ((£) sind also die von 1 verschiedenen Elementarteiler der (q + 1 )-ten Berandungsmatrix. Auch sie lassen sich mit Hilfe der kanonischen Basen in endlich vielen Schritten berechnen. Hn besitzt keine Torsionszahlen, Hn ist eine freie Gruppe. Die Elemente endlicher Ordnung von H q bilden eine endliche Untergruppe von Hq, welche die q-dimensionale Torsionsgruppe Tq = von £ heißt. Tq ist nach unseren Ergebnissen die direkte Summe der von den clQi+1 erzeugten endlichen zyklischen Gruppen der Ordnung Die Faktorgruppe HqjTq wird nach unseren Ergebnissen durch die b'qi als Repräsentanten erzeugt. Sie ist eine freie Gruppe, also ein Modul mit der Bettischen Zahl pq und heißt die reduzierte Homologiegruppe = ((£) von®. Sie läßt sich, wie man ebenfalls an unseren Ergebnissen sieht, wie folgt charakterisieren: 3Sq = ¿Mq((£) sei die Gruppe derjenigen Zyklen von (£, von denen ein endliches Vielfaches Rand ist. Es ist Bq E eine Selbstabbildung des freien Kettenkomplexes & in sich, so gilt n n ff (/) = 1)« sptf.,) = 1)» s p ( / „ ) . 3=0

3= 0

Diese Zahl heiße die Spureninvariante a(f) von f. Ist speziell / = i die identische Abbildung von (£, so sind auch f.q und ftq identische Abbildungen, und es gilt offensichtlich sp(/. 9 ) = ocq, s p ( / + 9 ) = pq. Daher ist ff (t) = %((£), gleich

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Kap. 4. Freie Kettenkomplexe

der Eulerschen Charakteristik von ß . Der Satz 17.4 enthält also die Eulersche Gleichung als Spezialfall. — Beweis: sp (f.q) kann mittels jeder Basis von Cq abgelesen werden. Wir verwenden hier kanonische Basen von Satz 17.1, in denen / sich in der folgenden Form ausdrücken läßt: /.(%) = (ci , + 1 . 1 ist r « wegen H0(r'') f « 0 sicher n i c h t Teilkomplex v o n K. — Beispiele v o n Zellen: (1) E i n einzelnes g-dimensionales Simplex eines Komplexes K ist eine g-dimensionale Zelle. — (2) I s t K' die N o r m a l u n t e r t e i l u n g v o n K, so m a c h e n diejenigen Simplexe v o n K', in die ein offenes ^-dimensionales Simplex von K zerfällt, eine g-dimensionale Zelle aus, wie wir in § 20 sehen werden. — (3) I m K o m p l e x Z 2 der 2-dimensionalen Sphäre ist der Stern einer E c k e eine 2-Zelle, wie m a n sich leicht k l a r m a c h t . — Weitere wichtige Beispiele werden wir s p ä t e r in den Komplementärzellen einer w-dimensionalen Mannigfaltigkeit kennenlernen. 18.2 Definition: K sei ein Simplizialkomplex. Eine Menge TT von Zellen von K heißt eine Zellzerlegung von K, wenn [ZK 1 die Zellen eine Aufteilung von K lüden und [ZK 2 der Rand rq jeder q-dimensionalen Zelle Vereinigungsmenge gewisser Zellen Tp mit p m>q ist. Wir konstruieren dann eine Kette aq aus TTm-j mit aq cq wie folgt. rm sei eine der m-dimensionalen Zellen, rm ist offen in TTm. cq läßt sich zerlegen in cq = e, 1 + cqz, wobei e / das Stück auf rm von cq ist. 8cq liegt in Dq-lt also sicher nicht in rm. Daher ist Satz 18.6 anwendbar, wonach c, 1 Zyklus auf x m ist, d. h. 8'c= 0. Da Hq{rm) = 0, folgt weiter cqx = 8cv+1 + cqr mit geeignetem cq+1 aus rm und dazu passendem cqx aus r m , also aus TT»,-!. Dann gilt eq = Cq - -[- Cq = Cg1 £q = Cq fiCq+l)

§ 1 9 Die Homologiegruppen von Zellzerlegungen

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ferner ist deq = 8eq. E s folgt eq ~ eq. ~eq verschwindet auf r m , ist aber außerhalb von Hur™ gegenüber cq unverändert. — Setzt man dies Verfahren auf alle m-dimensionalen Zellen r m von TT fort, so erhält man nacheinander Ketten cq, cq, cq usw. und schließlich eine Kette aq der gewünschten Art. — (2) Durch Fortsetzung des unter (1) befolgten Verfahrens kann man cq unter Erhaltung von dcq Schritt für Schritt auf TT»,-!, TT m - 2 usw. abdrängen, bis man schließlich eine Kette bq e TT? mit bq ~ eq erhält. — (3) Wir behaupten, daß dann bq die im Satz verlangte Eigenschaft bq e Dq besitzt. Ist nämlich Tf (j = 1, 2, . . . ) eine der (/-Zellen von TT, ferner lq = bq1 + bq2, wobei bg1 das Stück auf r,« von bq ist, so ist bqx Zyklus auf r , ? , wie man durch denselben Schluß einsieht, wie er unter (1) angewandt wurde. Wegen ff9(r,?) Zq(tjq) ^ Z ist daher hg1 von der Form gjdqi, wobei dj den Grundzyklus von Xj q und g,- eine ganze Zahl bezeichnet. Dies gilt für alle j, daher ist bq von der Form EgjäqU also aus Dq. Damit ist der Satz bewiesen. 19.2 Satz: (a) Jeder q-dimensionale Zyklus zq von K ist einem q-dimensionalen Zyklus von Dq homolog, (b) Wenn ein Zyklus yq von Dq Rand einer Kette von C?+! ist, so ist er auch Rand einer Kette von Dq+1. Beweis: Die Behauptung (a) ergibt sich aus dem vorigen Satz, wenn man ihn auf zq anstelle der dort genannten Kette cq anwendet. Die Behauptung (b) folgt ebenso, wenn man yq = 8cq+1 setzt und den vorigen Satz auf cq+1 anstelle der dort genannten Kette c q anwendet. Wir betrachten nun die Inklusionsabbildung i : ' S —>G(/i) und die von i in jeder Dimension q induzierten Homomorphismen der Homologiegruppen : Hg(^)) Hq(K). Wir behaupten, daß die sämtlichen i t Isomorphismen sind. In der Tat besagt Teil (a) des letzten Satzes, daß i * epimorph ist, und Teil (b), daß monomorph ist. — Dies Resultat läßt sich ohne weiteres von ® auf den mit ® in umkehrbar eindeutiger Beziehung stehenden Kettenkomplex (£( TT) der Zellzerlegung TT und auf dessen Homologiegruppen H q ( f ] ) übertragen. An die Stelle von i tritt dann die Unterteilungsabbildung # : Cq (TT)

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Kap. 5. Zellkomplexe

Cq(K). # induziert demgemäß in jeder Dimension q einen Isomorphismus &*:Hq(U)^Hq(K). Dieser Isomorphismus ist insofern „natürlich", als er nur von K und 17 abhängt. — Damit haben wir das Hauptresultat über Zellzerlegungen erreicht: 19.3 Satz: Die Homologiegruppen Hq{T\) einer Zellzerlegung TT eines Simplizialkomplexes K sind isomorph zu den Homologiegruppen H9(K) von K. Die Unterteilungsäblildung induziert einen natürlichen Isomorphismus vonHq(T\) auf Hq(K). Mit Hilfe der Zellzerlegungen kann man in vielen Fällen die Homologiegruppen eines vorgelegten Polyeders R ohne große Mühe berechnen. Wir skizzieren dies in einigen Fällen, insbesondere an einigen der in Paragraph 9, Nr. 5 angegebenen Beispiele. — Eine Zellzerlegung der Kreisscheibe R erhält man, indem man einen Punkt 1 der Peripherie als Zelle r°, die übrige Peripherie als Zelle T lind die ganze Kreisfläche als Zelle r 2 nimmt. Man kann nämlich als Simplizialzerlegung K von R ein krummliniges Dreieck mit seinen drei Kanten und Ecken nehmen, ferner eine der Ecken als T°, das Dreieck als r 2 und den Subkomplex der übrigen Kanten und Ecken als r 1 . Bei geeigneter Orientierung dieser Zellen, d. h. bei Auswahl passender Grundzyklen tq zu diesen Zellen T' lauten die Berandungsbeziehungen: ö 2 als Zelle erkannt. — dn liegt auf r n , 8dn =

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Kap. 5. Zellkomplexe

d&sn = §8sn liegt auf den Zellen zu den Randsimplexen von a", also n i c h t auf r". dn ist also Zyklus auf r". Da dn die nSimplexe von r n mit Koeffizienten ± 1 enthält, ist dn tatsächlich Grundzyklus von T". — Zum Beweise von (bn) haben wir nur festzustellen, daß alle r ? von TT Zellen sind; das ergibt sich für diejenigen mit 0 Cq (K)) definierte Unterteilungsabbildung, die nach den Ergebnissen von §19 den Isomorphismus H 4 ( K ' ) induziert. Damit ist der Satz 20.1 voll bewiesen. Es sei besonders darauf hingewiesen, daß wir nicht nur die Invarianz der Homologiegruppen bei Normalunterteilung bewiesen haben, sondern daß wir auch einen natürlichen, d. h. nur von K und K' abhängigen Isomorphismus : Hq(K)^ H q ( K ' ) angegeben haben. Dabei geschieht der Übergang von K zu K' durch die geometrisch besonders übersichtliche Unterteilungsabbildung {}. Wir ergänzen dies Resultat noch dadurch, daß wir auch für den Übergang von K' zu K eine geometrisch einfache Konstruktion angeben, die den reziproken Isomorphismus i)^"1: Hq(K')-> Hq(K) induziert. Das geschieht mittels einer Verschiebung r j : K' K (vgl. §5, am Schluß). Es gilt nämlich der Satz: 20.2 Satz: K sei ein Simplizialkomplex und K' seine Normalunterteilung, rj: K' - > K sei eine Verschiebung. Die Kettenabbildung rj.: E ( K ' ) - > ß ( K ) und die Unterteilungsäbbildung # : £ ( K ) ^ ( £ ( K ' ) stehen in der Beziehung rj.-d = 1, d. h. es gilt für jede Kette cq von K, daßrjßcq = cq.

Es genügt, diesen Satz für Elementarketten sq zu beweisen. Für q = 0 ist er trivial, da eine Ecke von K weder bei •& noch

§ 21 Invarianzbeweis

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bei 7]. verändert wird. Sei der Satz schon für Ketten einer Dimension < q bewiesen. sq sei ein beliebiges g-Simplex von K. Die Ecken aller Simplexe, die in §sq auftreten, gehen bei rj, gemäß der Definition von t], in Ecken von sg über. Es gilt also jedenfalls t].&sq = gsq mit einer ganzen Zahl g. Es folgt dtj.fisq = 8gsq, rj.&dsg = gdsq. In der letzten Gleichung ist, da dsg-i die Dimension n — 1 hat, nach Induktionsannahme ¡7 = 1. Daher ist rj.'&Sq = sg, womit der Satz bewiesen ist. — In diesem Satz ist übrigens das Spernersche Lemma (Bd. I, Satz 34.1) enthalten, soweit es Normalunterteilungen betrifft. Unser Satz läßt sich im übrigen ohne Mühe auf beliebige Unterteilungen verallgemeinern. — Aus dem Bewiesenen folgt nun unmittelbar 20.3 Satz: Die Verschiebung r] und die Unterteilungsabbildung ft aus dem vorigen Satz induzieren reziproke Isomorphismen Hq{ K) - > H q ( K') und ^ : H g ( K') -»• ff9(K). Es ist = 1Auch für Koketten und Kohomologiegruppen kann man entsprechende Begriffsbildungen einführen und entsprechende Sätze beweisen. Wir können aber hier nicht näher darauf eingehen. Kap. 6. Invarianz der Homologiegruppen § 21. Invarianzbeweis Wir kommen nun zu dem Invarianzbeweis für die Homologiegruppen. Wir behaupten: Ist R ein Polyeder und sind K t und K2 zwei Simplizialzerlegungen von R, so ist Hqf K^ ^ H q (K 2 ) für jedes q. Wir werden aber noch wesentlich mehr zeigen: Es gibt einen natürlichen Isomorphismus zwischen Hq (Ki) und Hq(K 2 ), jeder Homologieklasse h t e ffi(K1) ist in natürlicher Weise eine wohlbestimmte Homologieklasse h2eHg(K2) vermöge dieses Isomorphismus äquivalent zugeordnet. Wir geben zunächst eine vorbereitende Skizze, wie man eine Verbindung zwischen den beiden Simplizialkomplexen Kj und K2 herstellen kann, die ja im allgemeinen eine sehr komplizierte Lage gegeneinander haben. Wenn Kj < K2, d. h.

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Kap. 6. Invarianz der Ilomologiegruppen

wenn K, und K2 die Sternbedingung erfüllen, ist das leiclit, wenn man eine Verschiebung rj: K2 heranzieht. Ist zx ein Zyklus von Kj und rj.zL = z2 der entsprechende Zyklus von K2, SO wird man, da rj der identischen Abbildung homotop ist, zx und z2 in natürlicher Weise als äquivalent ansehen. Sind Kx und K2 beliebig, so kann man hoffen, durch Benutzung einer dritten Simplizialzerlegung K von Ii mit K < Kj und K < K2 eine Beziehung zwischen und K2 auf dem Wege über K herzustellen. Wir gehen nun daran, diese Skizze auszuführen und bedienen uns dabei eines sehr einfachen, für das folgende aber besonders bequemen algebraischen Hilfsmittels, das wir zunächst entwickeln. Die Indexe v, fi, X, . . . mögen eine Indexmenge N durchlaufen, zu jedem dieser Indexe v gebe es eine Gruppe Gp und zu jedem Indexpaar v, fx einen Isomorphismus G y derart, daß

Gv und a(0, V) : Gv —> G0 derart, daß die Transitivitätsrelationen auch dann noch erfüllt sind, wenn unter den beteiligten Indexen die Null vorkommt. Dies wenden wir auf die Menge aller Simplizialzerlegungen K„, v e N, eines Polyeders R = |K„ | an. Wir erinnern an die

§ 21 Invarianzbeweis

93

Beziehung K/( < K„ von § 5 (am Schluß). Ist sie erfüllt, so gibt es einen Homomorphismus V* =rl(v> tl) '• Hq(KJ). Er ergibt sich aus einer Verschiebung rj: K ; i - > K„ und ist unabhängig von der speziell benutzten Verschiebung (Satz 11.4). Es gilt, wie aus der Form der Sternbedingung in § 5 ohne weiteres folgt, r](v, ¡u)rj(/u, X) =r](v, X). Wenn K^ = K(m) die m-te Normalunterteilung von K„ ist, so zeigt Satz 20.3, daß rj(v,u) ein Isomorphismus ist. Jetzt zeigen wir, daß dies allgemein richtig ist. 21.1 Satz: Ist K^ < K,,, so induziert eine Verschiebung r]: K „ - > K,, stets einen Isomorphismus rjt = r](v,/u) von Hg ( K ) aufH„{ K„). Beweis: (a.)rj(v,/u) ist epimorph: Wir wählen KA = K, die m-te Normalunterteilung von K„ so, daß K A < K^ wird, wie das nach Satz 5.10 möglich ist. Dann ist r](v,X) isomorph. Wäre rj(v, fi) nicht epimorph, so könnte ersichtlich r](v, X) = 7](v, fj)rj{fi,X) nicht epimorph sein. — (b) Nach (a) ist auch r](fj,,X) epimorph. Wäre nun rj(v,/u) nicht monomorph, so könnte auch rj(v, X) =rj(v, u)rj(fi, X) nicht monomorph sein. — Aus (a) und (b) folgt der' Satz. Wir kommen überein, den zurj(v, u) reziproken Isomorphismus als rj(v, fiYx = t](/u, v) zu schreiben. Wir definieren nun für beliebige Triangulationen K„ und K/Y von R folgenden Isomorphismus: Wir wählen, wie das stets möglich ist, KA so, daß K A < K /( , K A < K„ und setzen «(v, fi) = r, (v, X) n (A, fi): Hq (K„) Hq (K„). Diese Definition bedarf einer Rechtfertigung: Ist auch K A - < K^, K,,, so ist zu zeigen, daß bei Benutzung von X' anstelle von X derselbe Isomorphismus R„{K'„'). (4) Wenn K^ < K„ K y < K y , so ist (v',/j,)x(/i, v) = (p{y',[Ä)