Grundkurs Topologie [3 ed.] 9783662678275, 9783662678282

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Gerd Laures Markus Szymik

Grundkurs Topologie 3. Auflage

Grundkurs Topologie

Gerd Laures · Markus Szymik

Grundkurs Topologie 3. Auflage

Gerd Laures Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum Bochum, Deutschland

Markus Szymik School of Mathematics and Statistics University of Sheffield Sheffield, UK

ISBN 978-3-662-67827-5 ISBN 978-3-662-67828-2  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. 1.Auflage © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 2.Auflage © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Abbildungen: Thomas Epp und die Autoren Planung/Lektorat: Nikoo Azarm Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

für Christina und Kirsten

Vorwort zur dritten Auflage

Wieder wurden einige Kleinigkeiten verbessert. Wir danken insbesondere Birgit Richter, Yang Shao, Steffen Wittkamp und nochmals Marcus Zibrowius. Bochum Sheffield Mai 2023

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Vorwort zur zweiten Auflage

Die freundliche und positive Aufnahme unseres Lehrbuchs hat zu dieser Neuauflage geführt. Viele Verbesserungsvorschläge wurden aufgenommen und die festgenommenen Druckfehler korrigiert. Wir bedanken uns beim Spektrum Verlag für die hilfreiche Unterstützung. Besonderer Dank auch an Jan Holz, Sebastian Miele und Marc Lange. Bochum Trondheim Oktober 2014

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Vorwort

Zur Topologie. Die Topologie, als Teilgebiet der Mathematik, beschäftigt sich mit den qualitativen Eigenschaften geometrischer Objekte. Ihr Begriffsapparat ist so mächtig, dass kaum eine mathematische Struktur nicht mit Gewinn topologisiert wurde. Dementsprechend gibt es auch kaum ein Gebiet der modernen Mathematik, welches nicht mit der Topologie in Verbindung steht. Topologie lernen heißt Mathematik lernen. Zu diesem Buch. Dieses Buch versteht sich als Brücke von den einführenden Vorlesungen der Analysis und Linearen Algebra zu den fortgeschrittenen Vorlesungen der Algebraischen und Geometrischen Topologie. Dabei wird das topologische Grundwissen vermittelt, welches alle Studierenden der Mathematik im Laufe des Studiums erwerben sollten. Es eignet sich besonders dazu, Studierende in einem Bachelor- oder Masterstudiengang, deren Studienplan vielleicht nur eine einsemestrige Vorlesung zur Topologie zulässt, bei einer solchen Veranstaltung zu begleiten. Es kann aber auch zum Selbststudium verwendet werden, etwa für mathematisch interessierte Naturwissenschaftler. Zu seiner Geschichte. Der vorliegende Text entstand im Rahmen der einführenden Vorlesungen zur Topologie, welche die Verfasser in den Sommersemestern 2006 und 2008 an der Ruhr-Universität Bochum hielten. Wir legten dabei besonderen Wert auf eine moderne Sprache, welche die vorgestellten Ideen vereinheitlicht und den Zugang zu ihnen somit erleichtert. Zur modernen Sprache. Bereits zu Beginn des Mathematikstudiums wird von den Studierenden erwartet, dass sie mit den Begriffen Menge und Abbildung umgehen können. Das bedeutet nicht, dass sie zuerst Mengenlehre studieren sollen, es bedeutet nur, dass sie die Mengensprache beherrschen sollten, um den Vorlesungen folgen zu können. Diesem Zweck dient auch die Kategoriensprache, die man als Verallgemeinerung der Mengensprache auffassen kann: Kategorien sind wie Mengen, deren Elemente allerdings Objekte genannt werden und nicht isoliert stehen, sondern durch Morphismen verbunden sind. Die Kategoriensprache eignet sich sehr gut dazu, häufig wiederkehrende Phänomene und Konstruktionen in einen einheitlichen konzeptionellen Rahmen zu fassen. Dadurch werden unter anderem Definitionen leichter merkbar und

XI

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Vorwort

Sätze prägnanter formulierbar. Kurz gesagt: Das Lernen der ‚Vokabeln‘ macht sich sehr schnell bezahlt. Zum Inhalt. Die ersten fünf Kapitel behandeln die grundlegenden Begriffe der mengentheoretischen Topologie. Kap. 6 und 7 benutzen Wege, um topologische Räume zu studieren. Zusammen mit der Theorie der Überlagerungen, welche in Kap. 8 ausgeführt wird, bildet dies den Stoff, an dem keine einführende Vorlesung zur Topologie vorbeikommt. Die abschließenden drei Kapitel zu Bündeln, Garben und simplizialen Methoden, welche heute zu den Grundbegriffen der Geometrie und Topologie gehören, bilden Sprungsteine in weiterführende Vorlesungen zur höheren Topologie. Nebenbei werden viele Abschnitte durch kurze Einblicke in weiterführende Themen ergänzt, die einen Ausgangspunkt für Studienarbeiten oder Seminarthemen bieten. Der folgende Leitfaden deutet die Abhängigkeiten der einzelnen Kapitel voneinander an. Es sei auch auf die Einleitungen der Kapitel verwiesen, die jeweils eine erste Übersicht vermitteln.

Zu den Beispielen und Bildern. In ihren Definitionen ist die Topologie eher abstrakt. Das schuldet sie zum einen ihrer inzwischen über hundertjährigen Geschichte, zum anderen ihrem Anspruch auf ein größtmögliches Anwendungsgebiet. Insofern ist dies nicht zu ändern, sondern sogar wünschenswert. Um dieses Niveau für Studenten erreichbar zu machen, ohne den Nutzwert einzuschränken, wurden Definitionen stets mit vielen Beispielen unterlegt, und das Studium der Beispiele ist unerlässlich für das Verständnis der Theorie. Ohne einen hinreichend großen Beispielschatz ist jede Theorie wertlos. Ferner wurden die Kernideen mit zahlreichen Bildern illustriert. Während Bilder allein nichts beweisen und in ihrer Suggestivkraft auch verwirren können, sind sie ab und an doch eine Hilfe bei der Erfassung des sprachlich Dargestellten. Die Dosis macht das Gift. Zu den Übungen. Eine besondere Rolle bei der Aneignung mathematischen Wissens spielt der eigene kreative Umgang mit den neu erworbenen Begriffen und Methoden. Darum enthält dieses Buch 175 explizite (und weitere implizite) Übungen, welche zum selbstständigen Umgang mit dem Stoff anregen sollen. Ein nur passives Aufnehmen von Wissen durch die Lektüre von Büchern, mögen sie noch so gut geschrieben sein, ist leider nicht möglich. Heutzutage findet sich natürlich alles irgendwo im Internet, so

Vorwort

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auch die Lösungen zu einem Teil der Aufgaben hier: Die Website des Buches (unter link.springer.com) biete denen Hilfe, die gar nicht mehr weiter wissen. Aber nach dem vorher Gesagten sollte klar sein, dass das Finden von Lösungen, wenn es einen Lerneffekt haben soll, auf anderem Wege erfolgen muss. Es kommt eben nicht darauf an, möglichst viele Lösungen zu kennen, sondern möglichst viele Lösungen selbst gefunden zu haben. Über Schulen. Wenn es so etwas wie topologische Schulen in Deutschland gibt, dann gehören die Autoren am ehesten zur Heidelberger Schule, die von Threlfall über Seifert zu Puppe führte, von dem wir beide direkt und indirekt viel lernten. Lehrbücher dieser Schule sind [ST34], [Sch64], [Dol72], [tD91] und [Lüc05]. Aus der Bonner Schule von Hirzebruch sind [Jän05], [Oss92] und [Kre10] zu nennen. Und es gibt auch eine Bochumer Schule: [vQ79] und [SZ94]. Aus all diesen Quellen haben wir selbst viel gelernt. Das vorliegende Buch grenzt sich von den genannten dadurch ab, dass es die Stoffauswahl dem heutigen Lehrplan anpasst, und dass es von Beginn an auf die kategorielle Sprache setzt, in der heute Topologie betrieben wird. Danksagung. Dank an Achim Beckers, Andreas Kuhlo, Marcus Zibrowius und vielen weiteren unserer Studenten für sachdienliche Hinweise, die zur Festnahme von Fehlern führten. Dank auch an Sieglinde Fernholz für das Abtippen einiger handschriftlicher Notizen, Bianca Alton und Andreas Rüdinger vom Verlag für die gründliche Durchsicht des Textes und die Anmerkungen und an Thomas Epp für die gelungene Erstellung der Abbildungen. Bochum–Querenburg Dezember 2008

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Inhaltsverzeichnis

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Grundbegriffe der Topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Metrische Räume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Topologische Räume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Abgeschlossene Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Die Kategoriensprache. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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Universelle Konstruktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Teilräume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Produkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Summen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Identifizierungen und Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

Zusammenhang und Trennung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Trennung und stetige Fortsetzbarkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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Kompaktheit und Abbildungsräume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1 Kompaktheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Eigentliche Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3 Der Satz von Tychonoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4 Abbildungsräume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5 Lokal kompakt erzeugte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Transformationsgruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1 Grundbegriffe der äquivarianten Topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2 Homogene Räume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3 Eigentliche Operationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

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XVI

Inhaltsverzeichnis

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Wege und Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.1 Wegeräume und Schleifenräume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2 Der Wegekomponentenfunktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3 Der Homotopiebegriff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.4 Selbstabbildungen des Kreises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7

Die Fundamentalgruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.1 Das Fundamentalgruppoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2 Der Satz von Seifert und van Kampen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.3 Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8 Überlagerungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.1 Die Kategorie der Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2 Der Hochhebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.3 Fasertransport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.4 Der Klassifikationssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.5 Topologische Galois-Theorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 9

Bündel und Faserungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.1 Faserbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.2 Prinzipalbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.3 Prinzipalbündel mit diskreter Strukturgruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.4 Vektorraumbündel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 9.5 Faserungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

10 Garben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.1 Prägarben und Garben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.2 Halme und Etalräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 10.3 Garbifizierung und Pullbacks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 11 Simpliziale Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.1 Simpliziale Objekte und Morphismen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.2 Singuläre Simplizes und Realisierungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.3 Ausblicke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

1

Grundbegriffe der Topologie

Inhaltsverzeichnis 1.1 1.2 1.3 1.4

Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abgeschlossene Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Kategoriensprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7 11 15

Die Topologie ist das Teilgebiet der Mathematik, welches sich dem Studium der stetigen Abbildungen widmet. Der Begriff der stetigen Abbildung stellt sich schon in der Analysis als wichtig heraus, etwa wenn es darum geht, Abbildungen zwischen metrischen Räumen zu untersuchen, die mit der Grenzwertbildung verträglich sind. An diesen Kontext soll hier zunächst erinnert und dann angeknüpft werden.

1.1

Metrische Räume

Definition Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildung d : X × X → R, welche die folgenden drei Axiome erfüllt: (M1) Positive Definitheit: Für alle Punkte x, y gilt d(x, y)  0 und d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y. Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_1.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_1

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1 Grundbegriffe der Topologie

(M2) Symmetrie: Es gilt d(y, x) = d(x, y) für alle Punkte x, y. (M3) Dreiecksungleichung: Für je drei Punkte x, y, z ist d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) erfüllt. Die Zahl d(x, y) wird der Abstand (d wie engl. distance) von x und y genannt. Ein metrischer Raum ist ein Paar (X , d), bestehend aus einer Menge X und einer Metrik d auf X . Üblicherweise wird statt des Paares (X , d) meistens nur X geschrieben.  Beispiele Die Menge Rn der reellen n–Tupel zusammen mit der euklidischen Metrik  d(x, y) = x − y; x = x12 + x22 + · · · + xn2 ist ein metrischer Raum. Jede Teilmenge X des Rn wird ein metrischer Raum, wenn man die Abstandfunktion d auf X einschränkt. Man spricht in diesem Fall von der induzierten Metrik. Ein weiteres Beispiel für einen metrischen Raum ist eine Menge X zusammen mit der diskreten Metrik  1 f¨ur x  = y d(x, y) = . 0 f¨ur x = y Definition Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen heißt stetig in einem Punkt x aus X ,wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x  aus X mit d(x, x  ) < δ gilt: d( f (x), f (x  )) < ε. Stetige Funktionen schlechthin sind solche, die in jedem Punkt stetig sind.



Beispiele Beispiele für stetige Abbildungen zwischen euklidischen Räumen sollten aus der Analysis geläufig sein: Konstante Abbildungen sind stetig. Die Identität ist stetig. Summen und Produkte stetiger Abbildungen sind stetig (wieso nochmal?). Also sind Polynome stetig. Die Exponentialfunktion ist stetig... Trägt der Definitionsbereich einer Abbildung die diskrete Metrik, so ist sie immer stetig. Anschaulich bedeutet Stetigkeit, dass man die Argumente der Abbildung in einer kleinen Umgebung variieren kann, ohne zu große Schwankungen der Funktionswerte zu erhalten. Es lohnt sich, die Definition einer stetigen Abbildung mit ihren vier Quantoren dergestalt zu ändern, dass man die vielen Symbole durch Begriffe ersetzt, welche die Anschauung in die Situation transportieren. Das soll nun geschehen.

1.1

Metrische Räume

3

Definition Ist x ein Punkt in einem metrischen Raum X und ε > 0, so heißt die Teilmenge der Punkte aus X , deren Abstand zu x kleiner als ε ist, die ε–Umgebung von x in X . Allgemeiner ist eine Umgebung von x eine Teilmenge von X , die eine ε–Umgebung von x enthält (Abb. 1.1).  Unter Verwendung dieser Begriffe liest sich die obige Definition wie folgt: Notiz Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen ist stetig in x, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass die δ–Umgebung von x in die ε–Umgebung von f (x) abgebildet wird. Weil man erst das ε und dann dazu das δ wählt, sollte man das vielleicht auch so herum aufziehen. Notiz Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen ist stetig in x, wenn die Urbildmenge jeder ε–Umgebung V , also f −1 V = { x ∈ X | f (x) ∈ V }, eine δ–Umgebung von x enthält. Nun kann man sogar auch noch auf ε und δ verzichten. Satz 1.1 Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen ist stetig in x, wenn die Urbildmenge jeder Umgebung von f (x) eine Umgebung von x ist. Definition Die Teilmengen von X , die mit jedem Punkt auch eine δ–Umgebung dieses Punktes enthalten, heißen offen. Anders gesagt, eine offene Menge ist eine Teilmenge, die jeden ihrer Punkte umgibt. 

Abb. 1.1 Das ist keine Umgebung von x

x

4

1 Grundbegriffe der Topologie

Beispiele Die leere Menge und X selbst sind immer offen. Die ε–Umgebung eines beliebigen x ∈ X ist offen, denn mit jedem ihrer Elemente y liegt auch die δ–Umgebung von y für δ = ε − d(x, y) noch ganz in X . Dies folgt aus der Dreiecksungleichung; siehe Abb. 1.2. Bei einer offenen Menge stellt man sich vor, dass es um jeden Punkt noch etwas Platz gibt, der auch in der offenen Menge liegt. Jedenfalls kann man nun sagen: Satz 1.2 Eine Abbildung zwischen metrischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbildmenge jeder offenen Menge offen ist. Die mit diesem Satz gewonnene Charakterisierung der stetigen Abbildungen kann nun als Ausgangspunkt zur Verallgemeinerung dienen. Die Verallgemeinerung ist dabei nicht als Selbstzweck zu sehen. Wenn die Menge der stetigen Abbildungen nicht von der Metrik, sondern nur vom System der offenen Teilmengen abhängt, sollte man dieser Struktur auch einen Namen geben. Es stellt sich heraus, dass die Verallgemeinerung es zulässt, Hilfsräume zu konstruieren, die zwar keine metrischen Räume sind, aber beim Studium der metrischen Räume helfen. Auf diese Hilfe wird man ungern verzichten wollen.

Ergänzungen Folgenstetigkeit In metrischen Räumen sind stetige Abbildungen genau diejenigen, die mit der Grenzwertbildung von Folgen verträglich sind: Eine Folge (xn ) von Elementen des metrischen Raumes X heißt konvergent gegen x aus X , falls jede Umgebung von x fast alle Folgenglieder enthält. Eine Abbildung f von X nach Y heißt folgenstetig wenn konvergente Folgen auf ebensolche abgebildet werden. Stetige Abbildungen sind immer folgenstetig, denn das Urbild einer Umgebung von f (x) ist eine Umgebung von x und enthält somit fast alle Folgenglieder. Umgekehrt folgt auch aus der Folgenstetigkeit die Stetigkeit, Abb. 1.2 Die ε–Umgebungen sind offen

y x

δ

ε

1.1

Metrische Räume

5

denn angenommen f wäre nicht stetig. Dann gibt es eine Umgebung V von f (x), deren Urbildmenge U keine Umgebung von x ist. Konstruiere eine Folge (xn ) von Elementen außerhalb von U , wobei der Abstand von xn zu x eine Nullfolge ist. Diese Folge konvergiert gegen x, aber kein Wert f (xn ) liegt in V . Das erste Abzählbarkeitsaxiom Metrische Räume erfüllen das erste Abzählbarkeitsaxiom, welches besagt, dass es zu jedem Punkt x eine abzählbare Menge B(x) von Umgebungen von x mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jeder Umgebung U von x existiert ein V ∈ B(x) mit V ⊆ U . Zum Beispiel erfüllt B(x) = { U1/n (x) | n ∈ N } die Voraussetzungen. (Ein zweites Abzählbarkeitsaxiom gibt es auch; es wird in Abschn. 1.2 erwähnt.) Die Existenz dieser abzählbar vielen Umgebungen ermöglichte die Konstruktion der Folge in dem obigen Beweis für die Äquivalenz zwischen Stetigkeit und Folgenstetigkeit. Das erste Abzählbarkeitsaxiom weist den metrischen Räumen aber auch ihre Grenzen zu: Man kann zeigen, dass jedes System von Umgebungen auf der Menge aller Abbildungen vom Einheitsintervall [0, 1] nach R, welches die punktweise Konvergenz von Funktionen erzeugt, das Axiom verletzt (vgl. Abschn. 2.2). Insbesondere kann es keine Metrik zur punktweisen Konvergenz geben.

Übungen Ü1 – Symmetrie Sei X eine Menge. Eine Funktion d : X × X → R ist genau dann eine Metrik, wenn (M1’) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, (M2’) d(x, y)  d(x, z) + d(y, z) für alle x, y, z aus X gilt. Gilt das auch, wenn (M2’) durch die übliche Dreiecksungleichung (M3’) d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) ersetzt wird? Ü2 – Äquivalente Topologien Für Punkte x = (x1 , x2 ) der Ebene R2 seien x1 = |x1 | + |x2 |, x2 = (x12 + x22 )1/2 , x∞ = max{|x1 |, |x2 |} die üblichen Normen und d1 , d2 , d∞ die durch d? (x, y) = x − y? definierten Metriken auf R2 . Zeigen Sie, dass diese den gleichen Konvergenzbegriff erzeugen.

6

1 Grundbegriffe der Topologie

Ü3 – Beschränktheit Sei X ein metrischer Raum mit der Metrik d. Zeigen Sie, dass durch d  (x, y) =

d(x, y) 1 + d(x, y)

eine weitere Metrik d  definiert wird, die zu d topologisch äquivalent ist (d. h. zum gleichen Konvergenzbegriff führt wie d). Ü4 – Französisches Eisenbahnnetz Für je zwei Punkte x, y auf der Kreisscheibe D 2 = { x ∈ R2 | x  1 } sei d(x, y) = |x − y, falls x und y auf derselben Gerade durch den Nullpunkt liegen, sonst d(x, y) = x + y. Zeigen Sie, dass d eine Metrik ist und dass sie auf dem Teilraum S 1 = { x ∈ R2 | x = 1 } die diskrete Metrik induziert. Wie sehen die Umgebungen von (0, 0) und ( 21 , 0) aus? Ü5 – Längen Bekanntlich lässt sich jede Permutation f von {1, . . . , n} als Produkt von Transpositionen benachbarter Elemente schreiben, also f = (a1 , a1 + 1) ◦ · · · ◦ (ak , ak + 1) mit k  0 und a j ∈ {1, . . . , n − 1} für alle j ∈ {1, . . . , k}. Eine solche Darstellung ist aber nicht eindeutig. Die Länge L( f ) von f ist das minimale k, für welches es eine Darstellung wie oben gibt. Berechnen Sie die Längen aller Permutationen von {1, 2, 3}. Zeigen Sie, dass durch d L ( f , g) = L( f −1 ◦ g) eine Metrik d L auf der Menge der Permutationen von {1, . . . , n} definiert wird. Ü6 – Fixpunkte Für eine Permutation f von {1, . . . , n} sei M( f ) die Anzahl der Nichtfixpunkte von f . Zeigen Sie, dass durch d( f , g) = M( f −1 ◦ g) eine Metrik d auf der Menge der Permutationen von {1, ..., n} definiert wird. Ü7 – Bewertungen Sei p eine Primzahl. Für eine ganze Zahl a  = 0 sei v p (a) = max{n ∈ N | p n teilt a}. Für ganze Zahlen x und y sei

1.2 Topologische Räume

7

 d p (x, y) =

p −v p (x−y) x  = y

0

x = y.

Dann ist d p eine Metrik auf Z. (Für die mathematische Allgemeinbildung: Die Vervollständigung von Z bezüglich dieser Metrik ist wieder ein Ring, der Ring Z p der ganzen p–adischen Zahlen. In diesem Kontext nennt man v p (a) die p–adische Bewertung von a.) Ü8 – Identität und Auswertung Sei F die Menge aller stetigen Funktionen [0, 1] → R. Durch d∞ ( f , g) : = sup | f (x) − g(x)| x   1 ( f (x) − g(x))2 d x d2 ( f , g) = 0

werden zwei Metriken d∞ , d2 auf F definiert. Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen stetig sind: (a) (b) (c) (d)

id : (F, d∞ ) −→ (F, d2 ) id : (F, d2 ) −→ (F, d∞ ) ev0 : (F, d∞ ) −→ R; f → f (0) ev0 : (F, d2 ) −→ R; f → f (0)

Ü9 – Unstetigkeitsstellen Geben Sie Beispiele von Funktionen f : R → R an, die an folgenden Stellen stetig sind: (a) (b) (c) (d)

nirgends, auf der Menge aller irrationalen Zahlen R \ Q und sonst nicht, an der Stelle 0 und sonst nicht. Gibt es eine Funktion, die auf Q stetig ist und sonst nicht?

Ü10 – Das kleine Einspluseins Gibt es eine Abbildung f : R → R, welche den Bedingungen f (x + y) = f (x) + f (y) und f (x · y) = f (x) · f (y) für alle reellen Zahlen x und y genügt, und die nicht stetig ist?

1.2

Topologische Räume

Sobald erkannt ist, dass man die Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen durch Verwendung der offenen Mengen charakterisieren kann, ist es leicht, von stetigen Abbildungen f : X → Y zu sprechen, selbst wenn X und Y nicht notwendig metrische Räume sind: Es reicht, wenn gewisse Teilmengen von X und Y als offen ausgezeichnet

8

1 Grundbegriffe der Topologie

sind. Es hat sich bewährt, von der Menge der offenen Teilmengen einige Eigenschaften zu fordern. Definition Eine topologische Struktur oder kurz Topologie auf einer Menge X ist eine Menge T von Teilmengen von X , die offen genannt werden, so dass die folgenden drei Axiome gelten: (T1) Die Teilmengen ∅ und X sind offen. (T2) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (T3) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. Ein topologischer Raum ist ein Paar (X , T ), bestehend aus einer Menge X und einer topologischen Struktur T auf X . Üblicherweise wird ein topologischer Raum (X , T ) einfach mit X bezeichnet. Eine Teilmenge M eines topologischen Raumes X heißt Umgebung von x ∈ M , falls es eine offene Menge U gibt, die x ∈ U ⊆ M erfüllt.  Mit (T3) ergibt sich das folgende Resultat: Notiz Die offenen Mengen eines topologischen Raumes sind genau diejenigen, die jeden ihrer Punkte umgeben. Beispiele Es gibt viele Möglichkeiten, eine Menge mit einer Topologie zu versehen. Zum Beispiel zeigt Abb. 1.3 alle möglichen Topologien (ohne Permutationen der Elemente) einer dreielementigen Menge.

Beispiele Sei (X , d) ein metrischer Raum. Dann ist die Menge T (d) der offenen Mengen eine topologische Struktur auf X . Es ist vielleicht schon klar, wieso man nicht auch fordert, dass die Durchschnitte beliebig vieler offener Mengen wieder offen sein sollen. Das ist nämlich in metrischen Räumen nicht richtig: Für jeden Punkt x ist zwar {x} der Durchschnitt der ε–Umgebungen von x, aber deswegen ist die Teilmenge {x} noch lange nicht offen. Für X = R mit der Standardmetrik stimmt das etwa nicht. Ferner beachte man, dass es auf derselben Menge X verschiedene Metriken d  = d  geben kann, so dass die dazugehörenden Topologien übereinstimmen: T (d) = T (d  ) (vgl. hierzu Übungen aus 1.1). Beispiele Ist X eine beliebige Menge, so definiert die Potenzmenge von X eine Topologie auf X . Sie wird die diskrete Topologie genannt und X heißt diskreter Raum. Diese Topologie stimmt mit der Topologie zur diskreten Metrik überein.

1.2 Topologische Räume

9

Abb. 1.3 Die verschiedenen Topologien auf einer dreielementigen Menge

Beispiele Die Klumpentopologie auf einer Menge besteht nur aus der leeren Menge und dem Raum selbst. Die Topologien auf einer Menge X sind durch Inklusion geordnet. Man sagt, eine Topologie T1 sei gröber als eine Topologie T2 und T2 dann entsprechend feiner als T1 , wenn T1 ⊆ T2 gilt, wenn also jede offene Menge von (X , T1 ) auch offen in (X , T2 ) ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Identität (X , T2 ) −→ (X , T1 ) stetig ist. Die Klumpentopologie ist die gröbste Topologie auf X , die diskrete ist die feinste. Beispiele dazwischen – und das sind die meisten interessanten Topologien – sind durch die metrischen Räume gegeben. Weitere folgen in den Übungen und im Verlauf dieses Buches. Definition Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heißt stetig in x, wenn die Urbilder der Umgebungen von f (x) Umgebungen von x sind. Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt stetig, wenn die Urbildmengen offener Mengen offen sind bzw. wenn f in jedem Punkt stetig ist.  Diese Definition wurde im vorangegangenen Abschnitt motiviert, und sie soll hier nur der Deutlichkeit wegen nochmals wiederholt werden. Es sollte nie vergessen werden, dass es die stetigen Abbildungen sind, die in der Topologie studiert werden; die topologischen Räume treten nur als deren Tragflächen auf. Dennoch ist es beim Einstieg in die Topologie oft so, dass der Begriff der stetigen Abbildung schon aus der Analysis mit Anschauung behaftet ist, während die topologischen Räume in ihrer Allgemeinheit noch unvertraut sind. Deswegen

10

1 Grundbegriffe der Topologie

werden in den nächsten Abschnitten die topologischen Räume noch etwas im Vordergrund stehen, bevor sich dann nach und nach die Erkenntnis durchsetzen wird, dass man diese doch nur mit Hilfe der stetigen Abbildungen verstehen kann.

Ergänzungen Metrisierbarkeit Ein topologischer Raum (X , T ) wird metrisierbar genannt, wenn es eine Metrik d auf X gibt, so dass T = T (d) gilt. Wir haben in den Ergänzungen des letzten Kapitels gesehen, dass hierzu das erste Abzählbarkeitsaxiom notwendig ist. Hinreichend (für Räume, die das dritte Trennungsaxiom erfüllen, siehe Abschn. 3.2) ist das zweite Abzählbarkeitsaxiom, welches besagt, dass man die abzählbare Menge B(x) unabhängig von x wählen kann. Dieses ist allerdings nicht notwendig. Ein exaktes Kriterium wurde von Bing, Nagata und Smirnov gefunden, siehe 10.B in [vQ79]. Konvergenz Der Konvergenzbegriff von Folgen in topologischen Räumen ist wie bei metrischen Räumen über die Umgebungen definiert. Allerdings kann es in allgemeinen topologischen Räumen, anders als in metrischen Räumen, Folgen geben, die gegen zwei verschiedene Grenzwerte konvergieren. Versieht man die Menge {0, 1} mit der Klumpentopologie, so konvergiert beispielsweise die Folge 0, 0, . . . gegen 0 und gegen 1. Erfüllt X die HausdorffEigenschaft, lassen sich also je zwei Punkte durch Umgebungen trennen (siehe Abschn. 3.2), so ist der Grenzwert immer eindeutig.

Übungen Ü11 – Endliche-Komplemente-Topologie Zeigen Sie: Ist X eine Menge, so bilden alle Teilmengen von X , deren Komplemente endlich oder ganz X sind, eine Topologie auf X . Ü12 – Ordnungstopologie Sei X eine linear geordnetete Menge. (Das kann man auf in Abschn. 1.4 nachschlagen.) Wir schreiben a < x wenn a  x und a  = x. Man betrachte Teilmengen der Form {x ∈ X | a < x < b} sowie die beiden Teilmengen {x ∈ X | k < x} und {x ∈ X | x < g}, wenn es ein kleinstes Element k oder ein größtes Element g gibt. Die Menge der Vereinigungen solcher Mengen ist eine Topologie auf X . Ü13 – Mengenlehre Sei f : X → X  eine Abbildung zwischen den Mengen X und X  . Untersuchen Sie, ob die folgenden Aussagen immer gelten; und wenn nicht, so geben Sie möglichst einfache Bedingungen für f an, die notwendig und hinreichend sind.

1.3

Abgeschlossene Teilmengen

(a) (b) (c) (d) (e)

f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) f (X \ A) = X  \ f (A) f −1 ( f (A)) ⊆ A f −1 ( f (A)) ⊇ A

11

(a’) (b’) (c’) (d’) (e’)

f −1 (A ∪ B  ) = f −1 (A ) ∪ f −1 (B  ) f −1 (A ∩ B  ) = f −1 (A ) ∩ f −1 (B  ) f −1 (X  \ A ) = X \ f −1 (A ) f ( f −1 (A )) ⊆ A f ( f −1 (A )) ⊇ A

jeweils für alle A, B ⊆ X bzw. alle A , B  ⊆ X  . Ü14 – Die Zariski-Topologie Sei A ein kommutativer Ring mit Eins. Sei Spec(A) die Menge der Primideale von A. Eine Nullstelle eines Elementes f von A ist ein Primideal P, so dass f /P = 0 im Restklassenring A/P gilt, also wenn f in P enthalten ist. Für jedes f in A sei N ( f ) ⊆ Spec(A) die Nullstellenmenge von f . Für jede Teilmenge S von A  sei N (S) = f ∈S N ( f ) und U (S) das Komplement davon. Dann ist {U (S) ⊆ Spec(A) | S ⊆ A} eine topologische Struktur auf Spec(A). Solche Topologien spielen in der algebraischen Geometrie eine grundlegende Rolle.

1.3

Abgeschlossene Teilmengen

Definition Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes X heißt abgeschlossen in X , wenn ihr Komplement X \ A offen in X ist.  Damit ist abgeschlossen‘ also nicht das Gegenteil von offen‘. Eine Teilmenge kann sowohl ’ ’ offen in X als auch abgeschlossen in X sein, wie etwa ∅ und X in jedem Raum X . Und es gibt Teilmengen, die weder offen noch abgeschlossen sind, etwa Q in R. Hier lauern vermeidbare Anfängerfehler. Notiz Beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Dies folgt direkt aus den DeMorganschen Regeln: Das Komplement der Vereinigung ist der Durchschnitt der Komplemente. Das Komplement des Durchschnittes ist die Vereinigung der Komplemente.

In Formeln:

12

1 Grundbegriffe der Topologie

X\



 Ui = (X \ Ui )

i∈I

X\



Ui



i∈I

= (X \ Ui )

i∈I

i∈I

Außerdem gilt die folgende Aussage (vgl. Ü9): Notiz Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen X und Y ist genau dann stetig, wenn die Urbilder der abgeschlossenen Teilmengen von Y alle abgeschlossen in X sind. Deswegen hätte man die mengentheoretische Topologie auch auf dem Begriff der abgeschlossenen Menge statt auf dem der offenen Menge aufbauen können. Definition Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die M enthalten, ist wieder eine abgeschlossene Teilmenge von X , die M enthält. Sie wird der Abschluss von M in X genannt und mit M bezeichnet. Eine Teilmenge M eines topologischen Raumes heißt dicht  in X , wenn M = X gilt. Beispiele Anschaulich entspricht der Abschluss von M der Menge aller Punkte, welche die Menge M berühren (vgl. hierzu auch die nachfolgende Ergänzung). Beispielsweise ist der Abschluss der Teilmenge M = { 1/n | n ∈ N } von R die Menge M ∪ {0}. Jede abgeschlossene Menge A muss nämlich mit M auch den Nullpunkt enthalten, weil sonst X \ A eine offene Umgebung von 0 ist, die M nicht schneidet. Ähnlich kann man argumentieren, um einzusehen, dass der Abschluss von [0, 1[ in R das Intervall [0, 1] ist oder dass Q dicht in R liegt. Notiz Eine Teilmenge M ist genau dann abgeschlossen, wenn M = M gilt. Insbesondere ist M = M. Definition Die Menge

◦

M = X \ (X \ M) heißt das Innere von M. Ihr Komplement ◦

∂M = M \ M heißt der Rand der Menge M in X . ◦

Notiz Die Menge M ist die größte offene Menge, die in M enthalten ist.



1.3

Abgeschlossene Teilmengen

13

Beispiele Der Rand von Q in R ist R. Der Rand eines nichtausgearteten Intervalls sind dessen Grenzen. Definition Eine stetige Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen X und Y heißt abgeschlossen (beziehungsweise offen), wenn das Bild jeder abgeschlossenen (beziehungsweise offenen) Menge von X abgeschlossen (beziehungsweise offenen) in Y ist.  Beispiele Die Abbildung f : R −→ R, x → x ist sowohl abgeschlossen als auch offen. Die Abbildung f : R −→ R, x → 0 ist abgeschlossen, aber nicht offen. Die Abbildung f : R −→ R, x → arctan(x) ist nicht abgeschlossen, aber offen. Die Abbildung f : R −→ R, x → | arctan(x) | ist weder abgeschlossen noch offen.

Ergänzung Berührpunkte Ein Punkt x eines topologischen Raumes X heißt Berührpunkt von M ⊆ X , wenn jede Umgebung von x die Menge M schneidet (Abb. 1.4). Die Menge der Berührpunkte enthält M und ist abgeschlossen, denn angenommen x hat eine Umgebung U , die M nicht schneidet, dann können wir ohne Einschränkung U als offen annehmen. Das Komplement von U ist also abgeschlossen und enthält M. Also enthält es auch M. Weil U also auch den Abschluss nicht schneidet und x beliebig war, ist das Komplement der Berührpunkte offen. Elemente im Abschluss sind also stets Berührpunkte. Die Umkehrung gilt ebenfalls: Jede abgeschlossene Menge A, die M enthält, enthält auch die Berührpunkte, denn das Komplement von A ist eine offene Umgebung, die M nicht schneidet.

Übungen Ü15 – Ränder Bestimmen Sie die Ränder der folgenden Teilmengen des R2 : (a) M = { (x, y) | x > 0 und y  = 0 }

14

1 Grundbegriffe der Topologie

Abb. 1.4 Das ist ein Berührpunkt von M

M

(b) M = { (x, y) | 0  x 2 − y 2 < 1 } Ü16 – Verklebung stetiger Funktionen Sei X = A ∪ B, und A, B seien abgeschlossen. Seien f : A → Y und g : B → Y stetig und f (x) = g(x) für alle x im Durchschnitt A ∩ B. Zeigen Sie, dass dann die Abbildung h : X → Y mit h(x) = f (x) für x ∈ A und h(x) = g(x) für x ∈ B wohldefiniert und stetig ist. Ü17 – Dreimal ist einmal Ist A eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raumes X , so auch A = X \ A. Es gilt A = A . Ü18 – Sport Wieviele Mengen lassen sich aus einer Teilmenge M von R durch Abschlussund Komplementbildung höchstens bilden? Ü19 – Kuratowskis Hüllenaxiome Seien X eine Menge und h eine Abbildung der Potenzmenge P X in sich mit folgenden Eigenschaften: (K1) (K2) (K3) (K4)

h(∅) = ∅ A ⊆ hA hh A = h A h(A ∪ B) = h A ∪ h B

für alle A, B ⊆ X . Es gibt genau eine Topologie auf X , so dass für jede Teilmenge A in X die Menge h A der Abschluss von A bezüglich dieser Topologie ist. Ü20 – Abschluss Eine Abbildung f zwischen topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn für alle Teilmengen M der Quelle f (M) ⊆ f (M) gilt.

1.4

1.4

Die Kategoriensprache

15

Die Kategoriensprache

Wie schon zuvor betont, wird die Klasse der topologischen Räume erst dadurch interessant, weil man zwischen je zwei topologischen Räumen die Menge der stetigen Abbildungen betrachten kann. Die folgende Notiz ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Stetigkeit. Ihre Bedeutung ist deswegen aber nicht gering, ermöglicht sie es doch, komplizierte stetige Abbildungen aus einfachen stetigen Abbildungen zusammenzusetzen. Notiz Ist X ein topologischer Raum, so ist die Identität id X : X → X eine stetige Abbildung. Sind f : X → Y und g : Y → Z stetige Abbildungen, so ist auch die Komposition g f : X → Z stetig (Abb. 1.5). Mit gelehrten‘ Worten gesagt: Die Klasse der topologischen Räume bildet zusammen mit ’ den stetigen Abbildungen zwischen ihnen eine Kategorie. In diesem Abschnitt soll erklärt werden, was das bedeutet. Die Kategoriensprache eignet sich gut dazu, häufig wiederkehrende Phänomene und Konstruktionen in einen einheitlichen, konzeptionellen Rahmen zu fassen. Das Lernen der neuen Vokabeln wird sich schnell bezahlt machen. Die Standardreferenz ist [Mac98]. Definition Eine Kategorie C besteht aus den folgenden Daten. Zunächst einer Klasse, deren Elemente Objekte genannt werden. Dann für je zwei Objekte X und Y einer

f −1 g −1 (W ) = (gf )−1 (W )

g −1 (W ) f

x

f (x)

X

Y

g

gf

gf (x) Z W Abb. 1.5 Die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig

16

1 Grundbegriffe der Topologie

Menge Mor C (X , Y ), deren Elemente Morphismen genannt werden. Statt f ∈ Mor C (X , Y ) schreibt man oft f : X → Y . Für je drei Objekte X , Y und Z braucht man eine Verknüpfung Mor C (Y , Z ) × Mor C (X , Y ) → Mor C (X , Z ), (g, f ) → g f , genannt Komposition. Schließlich muss es zu jedem Objekt X ein Element id X in Mor C (X , X ) geben, die Identität von X . Die einzigen Axiome, denen diese Daten genügen sollen, sind die Assoziativität der Komposition h(g f ) = (hg) f und die Neutralität der Identitäten f id X = f = idY f .  Bevor hier erste Beispiele für Kategorien genannt werden, soll das Wort Klasse‘ kom’ mentiert werden. Es wird in der Definition verwendet, weil die Objekte vieler Kategorien keine Menge bilden und weil man die berühmten Widersprüche der Mengenlehre vermeiden will. So kann man von einer Klasse sprechen, deren Objekte die Mengen sind, nicht aber von der Menge aller Mengen. Kategorien, deren Objekte eine Menge bilden, werden klein genannt. Es sei an dieser Stelle empfohlen, ohne schlechtes Gewissen über diese Feinheit hinwegzusehen, um sich gleich auf die interessanten Beispiele zu stürzen. Beispiele Beispiele für Kategorien gibt es in Hülle und Fülle. In vielen Beispielen von Kategorien sind die Objekte Mengen mit Struktur‘ und die Morphismen sind die struktur’ ’ erhaltenden‘ Abbildungen. So gibt es etwa die Kategorie Sets der Mengen und Abbildungen, die Kategorie Grp der Gruppen und Gruppenhomomorphismen, die Kategorie AbGrp der abelschen Gruppen und ihrer Homomorphismen und die Kategorie der Ringe und Ringhomomorphismen. Ist K ein Körper, so gibt es die Kategorie der K –Vektorräume und K – linearen Abbildungen. Kurz gesagt: Die Algebra ist voller Kategorien. Und die Topologie beginnt damit, die Kategorie Top der topologischen Räume und stetigen Abbildungen zu definieren. Die algebraische Topologie beschäftigt sich unter anderem damit, diese oder ähnliche Kategorien topologischer Objekte‘ in Kategorien algebraischer Objekte‘ abzubilden, um ’ ’ topologische Probleme dann mit algebraischer Hilfe zu bearbeiten. Die Abbildungen zwischen Kategorien haben übrigens einen eigenen Namen: Funktoren. Sie werden aber erst dann erklärt, wenn wir sie unbedingt brauchen: in Abschn. 6.2. Aus jeder Kategorie C kann die entgegengesetzte (engl. opposite) Kategorie C op produziert werden, indem man die Pfeilrichtungen umkehrt. Beide Kategorien haben also dieselben

1.4

Die Kategoriensprache

17

Objekte, aber die Morphismen X → Y in C op sind durch die Morphismen Y → X in C gegeben. Das sieht auf den ersten Blick nicht sehr interessant aus, ist aber für theoretische Zwecke sehr nützlich. So gibt es zu jeder Vokabel der Kategoriensprache einen sogenannten dualen‘ Begriff, den man durch Umdrehen aller Pfeile erhält; der eine Begriff unterscheidet ’ sich dann von dem anderem oft nur durch die Vorsilbe ko-‘. Beispiele werden wir alsbald ’ kennenlernen: Produkte und Koprodukte, Faserungen und Kofaserungen, simplizial und kosimplizial… Definition Ein Morphismus f : X → Y einer Kategorie C wird ein Isomorphismus genannt, wenn wenn es einen Morphismus g : Y → X in die umgekehrte Richtung gibt, so dass g f = id X und f g = idY gelten. (Man zeige, dass ein solches Inverses, falls existent, immer eindeutig ist.) Die Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen werden übrigens Homöomorphismen genannt.  Zwei topologische Räume X und Y sind demnach homöomorph, wenn es stetige Abbildungen f : X → Y und g : Y → X gibt, so dass g f = id X und f g = idY gelten. Zwei homöomorphe Räume werden in der Topologie als gleichwertig angesehen, und eines der Grundprobleme der Topologie besteht darin, zu unterscheiden, ob zwei gegebene Räume homöomorph sind oder nicht. Wenn sie dann homöomorph sind, stellt sich gleich darauf die Frage, wieviele Homöomorphismen es denn zwischen ihnen gibt. Eine wichtige Warnung gleich an dieser Stelle: Homöomorphismen sind automatisch bijektiv, aber nicht jede stetige Bijektion ist ein Homöomorphismus. Beispielsweise können wir jede Menge mit der diskreten Topologie und mit der Klumpentopologie versehen. Die Identität ist dann eine stetige Abbildung von der diskreten Topologie in die Klumpentopologie. Sobald die Menge mindestens zwei verschiedene Elemente hat, ist die Umkehrabbildung aber nicht stetig. Es gibt aber Klassen topologischer Räume, zwischen denen stetige Bijektionen schon Homöomorphismen sind. Ein entsprechender Satz findet sich in Abschn. 4.1. Definition Ein Morphismus f : X → X , also ein Endomorphismus von X , der auch ein Isomorphismus ist, heißt auch ein Automorphismus von X . Die Automorphismen bilden eine Gruppe bezüglich der Komposition, mit der Identität als neutralem Element, die Auto morphismengruppe Aut C (X ). Viele Gruppen treten als Automorphismengruppen in Erscheinung. So sind die symmetrischen Gruppen die Automorphismengruppen der Menge {1, . . . , n}, und die Automorphismengruppen der K –Vektorräume K n sind die allgemeinen linearen Gruppen G L(n, K ). Beispiele Jede Gruppe G tritt als Automorphismengruppe eines Objektes einer Kategorie auf. Beispielsweise kann man die Kategorie betrachten, die genau ein Objekt hat, und deren (einzige) Morphismenmenge gerade G ist. Die Komposition und Identität sind dann durch die Gruppenstruktur gegeben. Das ist dann eine kleine Kategorie, denn sie hat nur ein

18

1 Grundbegriffe der Topologie

Objekt. Die Automorphismengruppe dieses Objektes ist die Gruppe G. Deswegen wird diese Kategorie selber auch mit G bezeichnet. Gruppen sind im Wesentlichen dasselbe wie kleine Kategorien, mit genau einem Objekt, dessen Endomorphismen alle Isomorphismen sind. Ist eine Komposition

s

r

X −→ Y −→ X die Identität von X , also r s = id X , so heißt s ein Schnitt (oder Rechtsinverses) von r und r eine Retraktion (oder Linksinverses) von s. Man nennt X dann auch ein Retrakt von Y .

Ergänzung Partiell geordnete Mengen Eine partiell geordnete Menge ist eine kleine Kategorie, in welcher die Morphismenmengen jeweils höchstens ein Element haben, und in welcher jeder Isomorphismus eine Identität ist. Es wird X  Y geschrieben, wenn es einen Pfeil X → Y gibt. Eine partiell geordnete Menge ist linear geordnet, wenn es zwischen je zwei Elementen genau einen Morphismus gibt. Ist (X , T X ) ein topologischer Raum, so ist die Topologie T X eine Kategorie durch die Inklusionen der offenen Teilmengen untereinander. Das ist eine partiell geordnete Menge, die im Allgemeinen nicht linear geordnet ist. Diese Kategorien spielen in Kap. 10 eine große Rolle. Die partiell geordnete Menge {0  1  2  · · ·  n} wird mit [n] bezeichnet. Sie ist linear geordnet. Diese Kategorien spielen in Kap. 11 eine große Rolle. Die Objekte von [n] sind die n +1 Zahlen 0, . . . , n. Es steht n demnach nicht für die Anzahl der Objekte, sondern für die Dimension‘ der Kategorie: Man stellt sich die Objekte von [n] als die Ecken eines ’ n–Simplizes vor (siehe dort).

Übungen Ü21 – Rechts- und Linksinverse Seien f , g, h Morphismen in einer Kategorie C , für die g f = id und f h = id gelte. Zeigen Sie, dass dann f ein Isomorphismus ist und g = h gilt. Ü22 – Homöomorphie Wieviele paarweise nicht homöomorphe topologische Räume mit zwei Elementen gibt es? Im Allgemeinen ist die genaue Bestimmung der Anzahl der Homöomorphieklassen endlicher Räume mit vorgegebener Zahl von Elementen ein bisher ungelöstes Problem. Siehe etwa [Ern74] und auch [Sto66] für mehr zu endlichen topologischen Räumen.

1.4

Die Kategoriensprache

19

Ü23 – Dreimal ist keinmal Sei T eine Topologie auf der Menge X = {1, 2, 3}. Dann ist die Homöomorphismengruppe von (X , T ) eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe mit 3! = 6 Elementen. Man zeige: Es gibt keine Topologie T deren Homöomorphismengruppe genau drei Elemente hat. Gibt es überhaupt einen topologischen Raum, dessen Homöomorphismengruppe genau drei Elemente hat?

2

Universelle Konstruktionen

Inhaltsverzeichnis 2.1 2.2 2.3 2.4

Teilräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identifizierungen und Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 26 30 32

Im ersten Kapitel wurde die Kategorie topologischer Räume und stetiger Abbildungen vorgestellt. In diesem Kapitel sollen Konstruktionen beschrieben werden, die es erlauben, neue topologische Räume zu konstruieren. Dabei stellt sich heraus, dass es gar nicht so wichtig ist, die Punkte und offenen Mengen der neuen Räume genau zu kennen. Viel wichtiger ist es zu verstehen, wie die neuen Räume mit den alten in Verbindung stehen, also welche stetigen Abbildungen es in die neuen Räume hinein oder aus ihnen heraus gibt. Das wird in jedem Falle durch die sogenannte universelle Eigenschaft der neuen Räume beschrieben. Erfahrungsgemäß fällt es den Lernenden schwer, sich gedanklich von den konkreten Punkten und offenen Mengen zu lösen und stattdessen mit den universellen Eigenschaften zu arbeiten. Letzteres ist aber in der Topologie (und übrigens auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik) unerlässlich und muss deswegen so früh es geht eingeübt werden.

2.1

Teilräume

Sei X ein topologischer Raum, M eine Menge und Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_2.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_2

21

22

2 Universelle Konstruktionen

f : M −→ X eine Abbildung. Dann wäre es wünschenswert, wenn man auf M auch eine topologische Struktur hätte, und zwar nicht irgendeine, sondern eine solche, dass die Topologie auf M etwas mit der auf X und mit f zu tun hat. Dieser Abschnitt klärt, welche Forderungen vernünftigerweise an eine solche Topologie zu stellen sind, und zeigt, dass diese auf genau eine Weise erfüllt werden können. Die Topologie auf M sollte jedenfalls die Abbildung f stetig machen. Das ist genau dann der Fall, wenn für jede offene Teilmenge U von X die Teilmenge f −1 U offen in M ist. Mindestens diese Mengen müssen also offen in M sein. Durch diese Forderung ist die topologische Struktur aber noch nicht festgelegt; man könnte jederzeit mehr Teilmengen als diese offen nennen, und f wäre immer noch stetig. Beispielsweise ist jede Abbildung stetig bezüglich der diskreten Topologie auf M. Um eine topologische Struktur auf M auszuzeichnen, muss also noch eine Bedingung gestellt werden, die besagt, dass es in M nicht zu viele offene Mengen geben darf. Nun stellt man leicht fest, dass das System I = { f −1 U | U ist offen in X } von Teilmengen bereits eine topologische Struktur auf M bildet. Nach dem eben Gesagten ist es die gröbste Topologie auf M, bezüglich der f stetig ist. Definition Die Topologie I heißt die von f induzierte Topologie. Ist f die Inklusionsabbildung einer Teilmenge M ⊆ X , d. h. f : M −→ X ; x  → x, so nennt man I die Teilraumtopologie oder Unterraumtopologie. In diesem Fall hat I die Form (Abb. 2.1) { U ∩ M | U ist offen in X }. 

Abb. 2.1 Die Teilraumtopologie

U ∩M

M

U

2.1 Teilräume

23

Beispiele In dem Teilraum M = [0, 1] ∪ {2} von R ist {2} eine offene Teilmenge, obwohl sie nicht offen in R ist. Es gilt nämlich {2} = M∩ ]1, 3[, und das offene Intervall ]1, 3[ ist offen in R. Ähnlich überlegt man sich, dass auch ]0, 1] in M offen ist. Übrigens entspricht diese Teilraumtopologie auf M genau der Topologie der induzierten Metrik. Dies gilt für jeden Teilraum M eines metrischen Raumes X , denn die ε–Umgebungen von M sind dann genau die Schnitte der ε–Umgebungen von X mit M. Weil sich jede offene Menge als Vereinigung von ε–Umgebungen schreiben lässt, erzeugt also die induzierte Metrik die induzierte Topologie. Die induzierte Topologie kann auch durch die Gesamtheit aller stetigen Abbildungen nach M charakterisiert werden. Und das geht so: Wenn f stetig ist, so ist für jede beliebige stetige Abbildung g : T −→ M auch die Komposition f g : T −→ X stetig. M

f

X

g fg

T (Das T steht übrigens für Testraum; die Abbildung g von T nach M testet M.) Der folgende Satz besagt, dass es genau eine topologische Struktur auf M gibt, welche auch die umgekehrte Eigenschaft erfüllt. Satz 2.1 (Universelle Eigenschaft der induzierten Topologie) Die von f induzierte Topologie ist die einzige Topologie auf M mit der Eigenschaft, dass jede Abbildung g : T → M genau dann stetig ist, wenn die Komposition f g : T → X stetig ist. Beweis Angenommen M trägt die induzierte Topologie und f g ist stetig. Sei U  eine offene Teilmenge von M. Dann ist U  das Urbild einer offenen Menge U unter f . Also ist auch das Urbild von U  unter g offen, denn es gilt g −1 U  = g −1 f −1 U = ( f g)−1 U . Es folgt, dass die induzierte Topologie jedenfalls die Eigenschaft erfüllt. Die Eindeutigkeit der Topologie erkennt man, indem man die Bedingung auf das g anwendet, welches die Identität auf M bezüglich potentiell verschiedener Topologien ist. Genauer: Seien I und I zwei Topologien auf M, welche der Voraussetzung genügen. Dann ist f bezüglich jeder der beiden Topologien auf M stetig, weil die Identitätsabbildung zwischen identischen topologischen Räumen immer stetig ist. Das Diagramm

24

2 Universelle Konstruktionen

(M, I) id

f

Y

f

(M, I ) zeigt, dass dann auch die Identität auf M von I nach I stetig ist. Es folgt I ⊆ I . Vertauschen  der Rollen von I und I liefert dann sogar Gleichheit. Eine Eigenschaft, welche ein Objekt durch die Morphismen hinein oder hinaus charakterisiert, wird oft eine universelle Eigenschaft genannt. Der obige Satz gibt also die universelle Eigenschaft der induzierten Topologie an. Weitere Beispiele für universelle Eigenschaften werden folgen. Wenn nichts anderes geschrieben steht, werden Teilmengen topologischer Räume von nun an immer mit der Unterraumtopologie versehen. Bei dieser Gelegenheit kann auch nochmal erwähnt werden, dass offen‘ und abgeschlossen‘ relative Begriffe sind: Jeder ’ ’ Unterraum X eines topologischen Raumes Y ist offen und abgeschlossen in X , aber natürlich nicht notwendig auch in Y . Schließlich sei bemerkt, um der Sprachverwirrung entgegenzuwirken, dass in Vektorräumen, die eine Topologie tragen, also etwa im Rn , jeder Untervektorraum natürlich ein Unterraum im Sinne der Topologie ist, dass aber nicht jeder Unterraum auch ein Untervektorraum zu sein braucht. Interessante Unterräume sind etwa die Sphären S n = {x ∈ Rn+1 | x = 1}. Die Topologie ist weit davon entfernt, alle Fragen über stetige Abbildungen zwischen Sphären beantworten zu können; das ist allerdings auch nicht ihr alleiniges Ziel. Definition Eine stetige Abbildung f : X → Y ist eine Einbettung, wenn f injektiv ist und X die von f induzierte Topologie trägt.  Notiz Eine stetige Abbildung f : X −→ Y ist genau dann eine Einbettung, wenn sie ein Homöomorphismus auf ihr Bild ist. Dabei trägt das Bild die Unterraumtopologie. Beispiele Ein Knoten ist ein in R3 eingebetteter Kreis S 1 . Im Schaubild sind die Kleeblattschlinge (Abb. 2.2) und der Achterknoten (Abb. 2.3) dargestellt. In der Knotentheorie untersucht man, wann zwei solche Knoten durch eine stetige Bewegung ineinander übergeführt werden können, ohne die Knoten zu zerschneiden. Dies ist offensichtlich eine topologische Frage. Eine lesenswerte Einführung in die klassische Knotentheorie bietet [BZ03].

2.1 Teilräume

25

Abb. 2.2 Die Kleeblattschlinge

Abb. 2.3 Der Achterknoten

Übungen Ü24 – Ein Konsistenztest Sei X eine Teilmenge eines metrischen Raumes Y . Dann ist auch X ein metrischer Raum durch Einschränkung der Metrik. Die dazugehörende Topologie auf X ist die Unterraumtopologie. Insbesondere sind Unterräume metrisierbarer Räume selbst metrisierbar. Ü25 – Induzieren ist transitiv Sei X ein topologischer Raum. Präzisieren und beweisen Sie: Jeder Teilraum eines Teilraumes von X ist auch Teilraum von X . Ü26 – Teilraumbeschreibung Charakterisieren Sie die Teilraumtopologie durch (a) abgeschlossene Mengen, (b) Abschlussbildung, (c) Umgebungen. Ü27 – Eine Reise nach Babylon Sei X ein Unterraum eines topologischen Raumes Y . Die Inklusion ist genau dann offen, wenn X offen in Y ist. Gilt das auch für abgeschlossen‘ an ’ Stelle von offen‘? ’ Ü28 – Die von der Parabel induzierte Topologie Beschreiben Sie die offenen Mengen der Topologie auf R, welche von der Abbildung x 2 : R −→ R

26

2 Universelle Konstruktionen

induziert wird. Gibt es eine Metrik auf R, welche die gleiche Topologie erzeugt? Ü29 – Alphabet Betrachten Sie die Buchstaben des Alphabets als Teilräume des R2 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ und benennen Sie alle Buchstaben, die homöomorph zueinander sind.

2.2

Produkte

In diesem Abschnitt wird die Situation vom letzten Abschnitt auf mehrere Abbildungen verallgemeinert. Gegeben seien topologische Räume X i für eine Indexmenge I , eine Menge M und Abbildungen M

fi

Xi

für jedes i ∈ I . Gesucht ist wieder eine möglichst grobe Topologie I auf M, so dass alle f i stetig sind. Hierzu muss das System  S= { f i−1 (U ) | U ist offen in X i } i∈I

von Teilmengen von M in I enthalten sein. Leider bildet S im Allgemeinen keine Topologie, weil S nicht abgeschlossen gegenüber endlichen Durchschnitten sein muss. Aber der Durchschnitt aller Topologien auf M, die S enthalten, ist eine Topologie I. Sie besteht aus allen endlichen Durchschnitten von Elementen aus S und deren Vereinigungen. Sie ist die gröbste Topologie, für die alle f i stetig sind. Definition Die Topologie I heißt die von ( f i | i ∈ I ) induzierte Topologie.



Satz 2.2 (Universelle Eigenschaft der induzierten Topologie) Die induzierte Topologie ist die einzige Topologie auf M mit der Eigenschaft, dass jede Abbildung g : T → M genau dann stetig ist, wenn alle Kompositionen f i g : T → X i stetig sind. Der Beweis des letzten Abschnitts überträgt sich ohne große Änderungen auf mehrere Abbildungen. Beispiele Seien X und Y topologische Räume. Zum kartesischen Produkt M = X × Y gehören Projektionsabbildungen X

pr X

X ×Y

pr Y

Y,

2.2

Produkte

27

die einem Paar (x, y) jeweils seine Komponenten zuordnen. Das System S besteht hierfür aus −1 den Streifen der Form pr −1 X (U ) = U ×Y für offene Mengen U von X und pr Y (V ) = X × V für offene Menge V von Y . Schnitte dieser Streifen liefern offene Rechtecke, und die induzierte Topologie besteht aus Vereinigungen solcher Rechtecke (Abb. 2.4). Für metrische Räume X , Y werden diese offenen Mengen von der Produktmetrik d((x, y), (x  , y  )) = max{d(x, x  ), d(y, y  )} erzeugt. Definition Das kartesische Produkt

 i∈I

X i von Mengen X i ist die Menge aller I –Tupel

( xi | i ∈ I ) mit xi ∈ X i . Die von allen Projektionen  pr j : X i −→ X j ; ( xi | i ∈ I )  → x j i∈I

induzierte Topologie auf dem kartesischen Produkt heißt Produkttopologie.   Beispiele Ein Element im Produkt [0,1] R von Kopien der reellen Zahlen über der Indexmenge I = [0, 1] entspricht einer beliebigen Funktion auf dem Einheitsintervall f : [0, 1] −→ R; x  → f x . Die Projektionen pr x wenden dann f auf die Zahl x an. Eine Folge f (n) konvergiert im Pro duktraum [0,1] R gegen ein f (im Sinne von 1.2) dann und nur dann, wenn sie punktweise für jedes x konvergiert. Dies sieht man am besten mithilfe der universellen Eigenschaft des

Abb. 2.4 Die Rechtecke in der Produkttopologie

Y

V

U ×V

U

X

28

2 Universelle Konstruktionen

Produktes: Sei T der Teilraum von R, der aus den Folgengliedern der Nullfolge 1/n und deren Grenzwert 0 besteht. Dann definiert eine Folge ( f (n) ) eine Abbildung  g : T −→ R; 1/n  → f (n) , 0  → f . [0,1]

Konvergiert die Funktionenfolge punktweise, so ist die Komposition pr x g in dem Diagramm 

pr x

R

g

R

pr x g

{1/n| n ∈ N} ∪ {0} für alle x stetig, weil dann das Bild der Nullfolge 1/n (und aller anderen Nullfolgen in T ) gegen f (x) konvergiert. Mit der universellen Eigenschaft ist dann auch g stetig und somit ist das Bild ( f (n) ) der Nullfolge (1/n) unter g konvergent. Die Umkehrung ist klar, denn Bilder konvergenter Folgen unter stetigen Abbildungen, insbesondere unter den Projektionsabbildungen, sind immer konvergent. Also erzeugt die Produkttopologie auf der Menge aller reellen Abbildungen die punktweise Konvergenz. Bei der folgenden Definition werden die Konzepte Teilraum‘ und Produkt‘ miteinander ’ ’ verbunden. Weil es sich in beiden Fällen um induzierte Konstruktionen handelt, kann man wieder eine universelle Eigenschaft erwarten. Definition Sind p : X → B und q : Y → B zwei stetige Abbildungen in denselben topologischen Raum B, so wird der Unterraum X × B Y = {(x, y) ∈ X × Y | p(x) = q(y)} des Produktraumes das Pullback (oder Faserprodukt) von p und q genannt.



Die beiden Projektionen des Produktes liefern durch Einschränkung ein Diagramm X ×B Y

pr Y

pr X

Y q

X

p

B,

welches kommutiert (d. h. es gilt p pr X = q pr Y ). Beispiele Ist B ein Einpunktraum, so ist das Pullback nach Definition das gewöhnliche Produkt. In diesem Sinne verallgemeinert das Pullback das gewöhnliche Produkt zweier

2.2

Produkte

29

Räume. Ist X = {b} ein Punkt von B und p die Inklusion, so ist {b} × B Y homöomorph zum Teilraum q −1 (b) von Y , der Faser von q über b. Pullbacks treten in vielen verschiedenen Situationen auf. Es lohnt sich besonders im Hinblick auf spätere Konstruktionen, Vertrautheit mit ihnen zu erlangen. Satz 2.3 (Universelle Eigenschaft des Pullbacks) Seien f : T → X und g : T → Y stetige Abbildungen mit p f = qg. Dann gibt es genau eine stetige Abbildung T → X × B Y , welche das Diagramm g

T

X ×B Y

Y

f

q

X

p

B

kommutieren lässt. Beweis Die Abbildung muss durch t  → ( f (t), g(t)) gegeben sein. Stetigkeit ergibt sich unmittelbar aus den universellen Eigenschaften des Produktes X × Y und des Unterrau mes X × B Y davon. Ist p : X → B eine stetige Abbildung, so nennt man B auch die Basis von p. Ist f : B  → B stetig, so sagt man, dass die Abbildung B  × B X → B  der Basiswechsel von p entlang f sei. Er sollte nicht mit dem Basiswechsel der linearen Algebra verwechselt werden.

Übungen Ü30 – Assoziativität Die Räume (X 1 × X 2 ) × X 3 und X 1 × (X 2 × X 3 ) sind homöomorph. Ü31 – Produkt von offenen Mengen Ist das Produkt



[0,1] (0, 1)

offen in



[0,1] R?

Ü32 – Produkt und Abschluss Sei ( X i | i ∈ I ) eine Familie topologischer Räume und seien Mi ⊆ X i für i ∈ I irgendwelche Teilmengen. Zeigen Sie die Gleichheit  i∈I

Mi =

 i∈I

Mi .

30

2 Universelle Konstruktionen

Ü33 – Projektionen Seien X und Y topologische Räume. Ist die Projektion pr Y : X × Y −→ Y immer abgeschlossen? Ist sie immer offen? Ü34 – Produktregel Seien F ein Unterraum von X und G ein Unterraum von Y . Gilt dann ∂(F × G) = (∂ F) × G ∪ F × (∂G)? Ü35 – Primräume Ist R homöomorph zu einem Produkt X ×Y , so ist X oder Y einpunktig.

2.3

Summen

Der Begriff der coinduzierten Topologie ist dual zum Begriff der induzierten Topologie. Die Dualität, die hier gemeint ist, bezieht sich darauf, dass man von einem zum anderen Begriff kommt, indem man die Pfeilrichtungen umkehrt. Sei M eine Menge, ( X i | i ∈ I ) eine Familie von topologischen Räumen und f i : X i −→ M für jedes i ∈ I eine Abbildung. Gesucht ist eine Topologie T auf M, für die alle f i stetig sind. Hierzu muss das System von Teilmengen von M  Iop = {U ⊆ M| f i−1 U ist offen in X i } i∈I

die Topologie T enthalten. Das System Iop ist selbst eine Topologie (nachprüfen!) und somit die feinste ihrer Art. Eine Teilmenge von M bezüglich dieser Topologie ist also genau dann offen, falls alle Urbilder offen sind. Definition Iop heißt die von der Familie ( f i | i ∈ I ) coinduzierte Topologie.  Satz 2.4 (Universelle Eigenschaft der coinduzierten Topologie) Die coinduzierte Topologie ist die einzige Topologie auf M mit der Eigenschaft, dass jede Abbildung g : M → T genau dann stetig ist, wenn alle Kompositionen g f i : X i → T stetig sind.

2.3

Summen

31 fi

Xi g fi

M g

T Beweis Es wurde schon erwähnt, dass die Abbildungen f i stetig sind. Mit g sind also auch die Kompositionen g f i stetig. Sind umgekehrt die Abbildungen g f i stetig, so ist für jedes offene U in T die Menge g −1 (U ) ein Element von Iop , denn es gilt f i−1 (g −1 (U )) = (g f i )−1 (U ), und somit ist g stetig. Die Eindeutigkeit erkennt man leicht, wenn man für g die Identität auf M bezüglich potentiell verschiedener Topologien betrachtet. Das geht, wie schon für die induzierte Topologie diskutiert.  Definition Sei (X i | i ∈ I ) eine Familie topologischer Räume. Ihre disjunkte Vereinigung oder Summe ist die Menge  X i = {(x, i) | x ∈ X i } i∈I

zusammen mit der von den Abbildungen in j : X j −→



X i ; x  → (x, j)

i∈I

coinduzierten Topologie. Man beachte, dass die Bilder dieser Abbildungen paarweise disjunkt sind und ihre Vereinigung die ganze Menge ist. Bei zwei Summanden X und Y wird auch oft die Notation X + Y für die Summe verwendet.    Eine Teilmenge von i X i ist also offen, wenn sie die Form i∈I Ui für eine Familie offener Teilmengen Ui ⊆ X i hat. Die Abbildungen in j sind offene Einbettungen (Abb. 2.5). Abb. 2.5 Die Summe von drei Kreisen

S1

+

S1

+

S1

32

2 Universelle Konstruktionen

Beispiele Der Teilraum [0, 1] ∪ ]2, 3[ von R ist homöomorph zur Summe [0, 1] + ]2, 3[: Jede offene Teilmenge in der Vereinigung ist die disjunkte Vereinigung einer offenen Teilmenge von [0, 1] mit einer offenen Teilmenge von ]2, 3[. Notiz (Universelle Eigenschaft der Summe) Eine Abbildung g : dann stetig, wenn alle Einschränkungen g in j : X j → T stetig sind. Xj

in j

 i∈I



X i → T ist genau

Xi g

gin j

T

Übungen Ü36 – Diskretion Ist jeder Raum X i einelementig, so ist die Summe zur Menge I mit der diskreten Topologie.

 i∈I

X i homöomorph

Ü37 – Typisch Sei S 1 = {z ∈ C | z = 1} und q : S 1 → S 1 die durch q(z) = z 2 gegebene Abbildung. Dann ist das Pullback S 1 × S 1 S 1 von q entlang q zu S 1 + S 1 homöomorph. Ü38 – Summe von offenen Mengen Ist die Summe

2.4



[0,1] ]0, 1[

offen in



[0,1] R?

Identifizierungen und Quotienten

Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der zu Einbettungen dualen Konstruktion. Definition Sei X ein topologischer Raum. Eine Surjektion p : X → Y heißt Identifizierung, falls Y die von p coinduzierte Topologie trägt.  Beispiele Sei M die Menge aller Ursprungsgeraden in Rn+1 . Der Raum Rn+1 \ 0 bildet sich surjektiv auf M ab, indem man einem Vektor x = 0 die von x aufgespannte Gerade zuordnet. Die Menge M zusammen mit der coinduzierten Topologie heißt reeller projektiver Raum und wird mit RP n bezeichnet. Analog wird die Menge CP n der Geraden in Cn+1 zu einem topologischen Raum, dem komplexen projektiven Raum. Viele Beispiele für Identifizierungen entstehen dadurch, dass man verschiedene Punkte in topologischen Räumen gleichmacht. Um diese Aussage zu präzisieren, wird zunächst an folgende Begriffe erinnert:

2.4

Identifizierungen und Quotienten

33

Definition Eine Zerlegung von M ist eine Menge M von Teilmengen von M, so dass (Z1) A = ∅ f¨ur alle A ∈ M  (Z2) A∈M A = M (Z3) A = B =⇒ A ∩ B = ∅ f¨ur alle A, B ∈ M



Definition Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Teilmenge R ⊆ M × M mit folgenden Eigenschaften: (R1) reflexiv: R ⊇  M = { (x, x) | x ∈ M } (R2) symmetrisch: R ⊇ R −1 = { (x, y) | (y, x) ∈ R } (R3) transitiv: R ⊇ R R = { (x, z) | es gibt ein y ∈ M mit (x, y), (y, z) ∈ R } Eine Zerlegung M definiert eine Relation 



A × A,

A∈M

und umgekehrt definiert eine Äquivalenzrelation R eine Zerlegung M/R = { [x] | x ∈ M } in die Äquivalenzklassen [x] = { y ∈ M | (x, y) ∈ R }. Notiz Zerlegungen und Äquivalenzrelationen entsprechen einander umkehrbar eindeutig. Definition Die Menge M/R heißt Quotientenmenge von M nach der Äquivalenzrelation R. Die Abbildung pr : M −→ M/R, x  → [x] heißt kanonische Projektion.  Definition Ein Quotientenraum eines topologischen Raumes X ist eine Quotientenmenge X /R von X zusammen mit der durch die kanonische Projektion coinduzierten Topologie.  Beispiele Definiere eine Äquivalenzrelation auf dem Intervall [0, 1], bei der zwei Elemente äquivalent sind, wenn sie gleich sind oder zum Rand {0, 1} gehören. In dieser Situation sagt man, dass die Äquivalenzrelation von der Relation

34

2 Universelle Konstruktionen

0∼1 erzeugt ist. Der Quotientenraum entsteht also aus dem Intervall durch das Identifizieren von 0 mit 1. Dieser Raum ist homöomorph zur Kreislinie, denn [0, 1] −→ S 1 ; x  → exp(2π ix) ist eine stetige Abbildung, die über den Quotientenraum faktorisiert, weil exp(2π i · 0) = 1 = exp(2π i · 1), und die induzierte Abbildung [0, 1]/∼ → S 1 eine offene stetige Bijektion ist. Als weiteres Beispiel sei X das Einheitsquadrat [0, 1] × [0, 1] in R2 . Die vertikalen Kanten sollen in umgekehrter Richtung miteinander identifiziert werden. Die dazugehörige Äquivalenzrelation wird also erzeugt von (0, t) ∼ (1, 1 − t) für alle t im Intervall. Der Quotientenraum heißt Möbius-Band (Abb. 2.6). Als letztes Beispiel sei X wieder das Einheitsquadrat, bei dem die jeweils gegenüberliegenden Kanten identifiziert werden sollen. Die Äquivalenzrelation ist also erzeugt von (0, t) ∼ (1, t); (s, 0) ∼ (s, 1) für alle s, t im Intervall. Der Quotientenraum ist der Torus (Abb. 2.7). Nach diesem kleinen Exkurs über Quotientenabbildungen widmen wir uns nun wieder der allgemeinen Theorie von Identifizierungen p : X → Y . Die folgende Notiz liefert wieder eine Bedingung, die das Abbildungsverhalten von Y durch das Abbildungsverhalten von X bestimmt.

a a

∼ = a

Abb. 2.6 Das Möbius-Band

2.4

Identifizierungen und Quotienten

35

b a

a

∼ = a

b

b

Abb. 2.7 Der Torus

Notiz (Universelle Eigenschaft von Identifizierungen) Sei p : X → Y eine Identifizierung. Jede Abbildung f : Y → T ist genau dann stetig, wenn die Komposition f p : X → T mit p stetig ist. p

X

Y f

fp

T Oft treten stetige Surjektionen auf, die man gern als Identifizierungen erkennen würde. Der folgende Satz liefert ein Kriterium dafür. Satz 2.5 Eine stetige Surjektion, die offen oder abgeschlossen ist, ist eine Identifizierung. Beweis Ist f : X → Y stetig, so sind jedenfalls die Urbilder offener Mengen offen. Sei nun V eine Teilmenge von Y mit offenem Urbild. Dann ist f ( f −1 (V )) eine offene Teilmenge von Y , wenn f offen ist. Da f surjektiv ist, gilt aber f ( f −1 (V )) = V . Also ist V offen und f eine Identifizierung. Ist f abgeschlossen, so argumentiert man ähnlich.  Beispiele Betrachte die Surjektion von der Sphäre in den projektiven Raum p : S n −→ RP n , welche einem Vektor der Länge 1 die erzeugte Gerade zuordnet. Diese Abbildung ist offen, denn ist U eine offene Teilmenge des Rn+1 \ {0}, die keine gegenüberliegende Punktepaare {x, −x} enthält, so ist p(U ∩ S n ) offen, weil das Urbild dieser Menge in dem Raum Rn+1 \ {0} offen ist.

36

2 Universelle Konstruktionen

Beispiele Die Umkehrung des Satzes gilt nicht. Beispielsweise kann man R in zwei Äquivalenzklassen aufteilen, bestehend aus den beiden Mengen A = {x ∈ R | x  0} und U = {x ∈ R | x > 0}. Die offenen Mengen der Quotiententopologie auf Y = {A, U } sind ∅, {U } und Y . Das liefert also eine Identifizierung R → {A, U }, die weder abgeschlossen noch offen ist: Das Bild von ]−2, −1[ ist nicht offen und das Bild von [1, 2] ist nicht abgeschlossen. Abschließend sollen der zum Pullback duale Begriff und einige seiner Spezialisierungen vorgestellt werden. Definition Sind f : A → X und g : A → Y zwei Abbildungen mit der gleichen Quelle, so wird ihr Pushout als Quotientraum von X + Y nach der von f (a) ∼ g(a) 

für a ∈ A erzeugten Äquivalenzrelation konstruiert.

Die folgende Charakterisierung des Pushout ergibt sich unmittelbar aus den universellen Eigenschaften der Summe und des Quotientraumes. Satz 2.6 (Universelle Eigenschaft des Pushouts) Seien p : X → T und q : Y → T stetige Abbildungen mit p f = qg. Dann gibt es genau eine stetige Abbildung X + A Y → T , welche das Diagramm A

g

Y

f

q

X

X +A Y

p

T

kommutieren lässt. Beispiele Ist A = ∅, so stimmt das Pushout mit der Summe überein. Ist A ein Unterraum eines topologischen Raumes X , so schreibt man oft X /A für den Pushout der Inklusion A ⊆ X und der Abbildung von A auf den Einpunktraum:

2.4

Identifizierungen und Quotienten

37

A

⊆

X

X /A.

∗

Man sagt, der Raum X /A entstehe aus X durch Zusammenschlagen von A zu einem Punkt. Das ist leicht irritierend, wenn A selbst gar keinen Punkt hat; es gilt nämlich X /∅ ∼ = X + ∗. Andernfalls lässt sich X /A auch als Quotientraum von X nach der Äquivalenzrelation, die je zwei Punkte von A miteinander identifiziert, realisieren. Eine stetige Abbildung auf X /A ist dann dasselbe wie eine stetige Abbildung auf X , die auf A konstant ist. Beispiele für Räume, welche man auf diese Weise erhält, sind [0, 1]/{0, 1} ∼ = S1, welches oben schon betrachtet wurde, und allgemeiner D n /S n−1 ∼ = Sn , wobei D n = { x ∈ Rn | x  1 } die n–dimensionale Scheibe (D für engl. disk) ist (Abb. 2.8). Ein einfaches Argument dafür, warum die im Schaubild angedeutete stetige Bijektion ein Homöomorphismus ist, wird in Abschn. 4.1 gegeben. Es gibt also ein Pushout-Diagramm S n−1

∗

⊆

Dn

Sn .

Ähnlich zeigt man, dass es auch ein Pushout-Diagramm p(U )

S n−1

S n−1

U

∼ = Dn

Abb. 2.8 Die Sphäre S n als Quotient D n /S n−1

p

−→ Dn

Sn

38

2 Universelle Konstruktionen

S n−1

⊆

Dn

⊆

Sn

Dn

gibt; dabei wird die n–Sphäre in zwei zu D n homöomorphe Hälften zerlegt, die sich in einer gemeinsamen äquatorialen S n−1 treffen. Definition Für eine stetige Abbildung f : S n−1 → X definiert man den Raum X + f D n als Pushout von f und der Inklusionsabbildung der Sphäre S n−1 in die Scheibe D n . Insbesondere ist das Diagramm S n−1

⊆

Dn

f

X + f Dn

X

ein Pushout-Diagramm. Man sagt, der Raum X + f D n entstehe aus X durch Anheften einer n– Zelle mittels f : S n−1 → X (Abb. 2.9).  Es ist unmittelbar klar, dass es für die Konstruktion von Räumen mittels Anheftung von Zellen wichtig ist, Abbildungen von Sphären in topologische Räume zu verstehen. Umgekehrt kann man Abbildungen auf Sphären studieren, indem man die dazugehörenden Pushouts betrachtet. Übrigens sagt die universelle Eigenschaft von Pushouts genau, was eine Abbildung X + f D n → Y ist: eine stetige Abbildung g : X → Y und eine stetige Fortsetzung von g f : S n−1 → Y auf D n . Man stößt hier also sofort auf die Frage, welche Abbildungen auf Sphären sich auf Scheiben fortsetzen lassen. Dazu bereits im nächsten Kapitel mehr. Das Anheften von Zellen kann iteriert werden. Räume, welche durch iteriertes Anheften von Zellen gewonnen werden können, haben schöne Eigenschaften. Unmittelbar aus der

Zelle“ ”

Abb. 2.9 Ein neuer Raum entsteht aus X durch Anheften einer n–Zelle

X

S n−1

2.4

Identifizierungen und Quotienten

39

Definition folgt etwa, dass man gut stetige Abbildungen auf ihnen definieren kann. Man versucht oft, beliebige Räume durch solche schönen Räume aufzulösen‘. Überhaupt steht ’ man in der Topologie oft vor dem Problem, topologische Räume mit gewissen Eigenschaften zu konstruieren. Diese werden dann meist aus Zellen konstruiert.

Ergänzungen Köcher Man kann auch mehrere Zellen gleichzeitig anheften. Der einfachste Fall ist der folgende: Ein Köcher Q = (Q 0 , Q 1 , s, t) besteht aus einer Menge Q 0 von Ecken, einer Menge Q 1 von Kanten sowie zwei Abbildungen s, t : Q 1 → Q 0 , welche jeder Kante zwei Eckpunkte zuordnen. Ein Köcher ist dasselbe wie ein gerichteter Graph mit Schleifen und Mehrfachkanten. Jeder dieser Köcher hat eine Realisierung |Q|, definiert als Pushout 

Q 1 {0, 1}

⊆



Q 1 [0, 1]

(s,t)

Q0

|Q|.

Der topologische Raum |Q| ist also das, was durch den Köcher Q in diskreten Daten beschrieben wird. Chirugie Eine dem Anheften von Zellen eng verwandte Konstruktion ist die Chirurgie. Sie hat den Vorteil, dass sie die Dimension‘ des Raumes unverändert lässt. Sie basiert auf der ’ Beobachtung, dass der Rand des Quadrates‘ D m × D n als Teilmenge von Rm × Rn die ’ Vereinigung S m−1 × D n ∪ D m × S n−1 ist. Die beiden Teile der obigen Zerlegung sollte man sich als verdickte Sphären vorstellen: Während diese Sphären verschiedene Dimension haben können, sind die Verdickungen aber gleichdimensional. Der Durchschnitt der beiden Teile ist S m−1 × S n−1 . Diese Situation kann nun wie folgt ausgenutzt werden. Ist X ein Raum, und e : S m−1 × D n −→ X eine Einbettung einer solchen verdickten Sphäre, so kann man das Innere‘ des Bildes ’ entfernen. Es entsteht eine Kante, die durch e mit S m−1 × S n−1 identifiziert werden kann. Folglich kann man D m × S n−1 an diese Kante kleben. Der neue Raum entsteht so durch Chirurgie an X mittels e. Es lohnt sich, dieses für X = S 1 + S 1 und Einbettungen e : S k × D 1−k → X mit k = 0,1 sowie für X = S 2 + S 2 und Einbettungen e : S k × D 2−k → X mit k = 0, 1, 2 zu durchdenken (Abb. 2.10).

40

2 Universelle Konstruktionen

Die Chirurgie spielt eine große Rolle in der Differentialtopologie. Beispielsweise kann man zeigen, dass eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand genau dann Rand einer kompakten Mannigfaltigkeit ist, wenn sie durch Chirurgie aus einer Sphäre entsteht, siehe etwa [Mil65]. Es gibt auch Verallgemeinerungen dieser Konstruktion, welche unter anderem eine prinzipielle Beschreibung aller 3- und 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ermöglichen, siehe dazu [Kir78] oder [Kir89].

Übungen Ü39 – Bastelei Seien a < b < c < d reelle Zahlen. Seien X = [a, d] und A = [b, c]. Zeigen Sie, dass auch X /A zu einem abgeschlossenen Intervall homöomorph ist. f

Ü40 – Kegeln Sei X ⊆ Rn und f : X × [0, 1] −→ Rn+1 durch (x, t)  → ((1 − t)x, t) gegeben. Beschreiben Sie das Bild Y von f . Untersuchen Sie dann, ob f eine Identifizierung X × [0, 1] → Y induziert, wenn man Y als Teilraum von Rn+1 betrachtet. Ü41 – Abbildungstori Ist X ein topologischer Raum und h : X → X ein Homöomorphismus, so ist sein Abbildungstorus T (X , h) der Quotient des Zylinders [0, 1] × X nach der durch (1, x) ∼ (0, h(x)) bestimmten Äquivalenzrelation. Gibt es ein Paar (X , h), so dass T (X , h) homöomorph zum gewöhnlichen Möbius-Band ist?

Abb. 2.10 Chirurgie macht aus einer 2–Sphäre einen Torus

D1 × S 1

S 0 × D2

2.4

Identifizierungen und Quotienten

41

Ü42 – Fixpunkte Sei X ein topologischer Raum, h : X → X ein Homöomorphismus und x ein Fixpunkt von h in X , also h(x) = x. Zeigen Sie, dass es dann stetige Abbildungen zwischen dem Kreis S 1 und T (X , h) gibt, so dass die Komposition S 1 −→ T (X , h) −→ S 1 die Identität ist. Ü43 – Mehrfach verdrehte Möbius-Bänder Ein Möbius-Band entsteht durch Verkleben der Enden eines Papierstreifens, nachdem man dessen Enden halb verdreht hat. Allgemeiner entsteht das n/2–fach verdrehte Möbius-Band durch Verkleben eines Papierstreifens, nachdem man dessen Enden n/2–fach verdreht hat (n ∈ Z). In wie viele Teile zerfällt das n/2–fach verdrehte Möbius-Band, wenn man es in der Mitte längs der Bandrichtung aufschneidet? Sind die Teile wieder verdrehte Möbius-Bänder? Ü44 – Überdeckend Sei (U j | j ∈ J ) eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes X . Dann ist die durch die Inklusionen gegebene Abbildung  U j −→ X j∈J

eine Identifizierung. Ist sie offen? Ist sie abgeschlossen? Ü45 – Verdrehte Sphären Sei h : S n−1 → S n−1 ein Homöomorphismus. Dann liefert das Pushout S n−1

⊆

Dn

h S n−1 ⊆

Dn

 n (h)

einen zu S n homöomorphen Raum  n (h). (Übrigens gibt es Diffeomorphismen h, so dass  n (h) zwar homöomorph, aber nicht diffeomorph zu S n ist, siehe [Mil56].) Ü46 – Äquivalenzrelationen und Kategorien Verifizieren Sie die Aussage: Eine Äquivalenzrelation ist eine kleine Kategorie mit höchstens einem Morphismus zwischen je zwei Objekten, der dann stets ein Isomorphismus sein muss. Ü47 – Anheften Zeigen Sie, dass die kanonische Abbildung X −→ X + f D n

42

2 Universelle Konstruktionen

für jede Anheftungsabbildung f : S n−1 −→ X eine abgeschlossene Einbettung ist. Ü48 – Saturiert oder nicht Sei p : X −→ X  eine Identifizierung. Zeigen Sie, dass die durch p induzierte Abbildung p : A −→ p(A) eines Teilraumes A von X auf den Teilraum p(A) von X  selbst dann keine Identifizierung zu sein braucht, wenn A saturiert ist, d. h. A = p −1 p(A).

3

Zusammenhang und Trennung

Inhaltsverzeichnis 3.1 3.2

Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trennung und stetige Fortsetzbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 49

In diesem Kapitel werden Eigenschaften topologischer Räume untersucht, die sich von einem Raum auf jeden anderen hierzu homöomorphen Raum übertragen. Solche Eigenschaften nennt man topologisch. Die wichtigsten sind Zusammenhang, Trennungsaussagen und Kompaktheit. Die ersten beiden werden in diesem Kapitel diskutiert, die letzte dann im nächsten Kapitel.

3.1

Zusammenhang

Definition Ein nicht leerer topologischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn es keinen Homöomorphismus von X mit einer Summe X 1 + X 2 zweier nicht leerer topologischer  Räume X 1 und X 2 gibt. Diese Definition erklärt die Bedeutung des Begriffes, sie ist allerdings keine große Hilfe, wenn es darum geht, zusammenhängende Räume als solche zu erkennen. Das leistet der folgende Satz.

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_3.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_3

43

44

3 Zusammenhang und Trennung

Satz 3.1 Für einen topologischen Raum X sind äquivalent: (Z) Der Raum X ist zusammenhängend. (OA) Die beiden Teilmengen ∅ und X von X sind die einzigen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. (D) Jede stetige Abbildung von X in einen diskreten Raum ist konstant. (S) Jede stetige Abbildung nach S 0 = {−1, +1} ist konstant. Beweis Ist A eine offene und abgeschlossene (also eine abgeschloffene‘) Teilmenge von X , ’ so ist X die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen A und X \ A. In diesem Fall ist also eine Menge in X genau dann offen, wenn es ihre Schnitte mit A und X \ A sind. Es folgt, dass X homöomorph zur Summe der Teilräume A und X \ A ist. Wird X als zusammenhängend vorausgesetzt, so muss einer dieser Räume leer sein und somit gilt (OA). Dies zeigt die erste Aussage des Ringschlusses. Als Nächstes nehmen wir an, dass (OA) gilt. Sei f eine stetige Abbildung von X in einen diskreten Raum und sei x ∈ X . Dann ist f −1 f (x) eine abgeschloffene und nicht leere Teilmenge. Weil diese mit ganz X übereinstimmen muss, ist f konstant. Der Schluss von (D) nach (S) ist trivial. Schließlich gelte (S), und X sei homöomorph zur Summe der Räume X 1 und X 2 . Betrachte die stetige Abbildung X∼ = X 1 + X 2 −→ S 0 , welche x ∈ X 1 auf 1 abbildet und x ∈ X 2 auf −1. Weil f konstant ist, muss einer der beiden  Räume X 1 oder X 2 leer sein. Es ist unmittelbar klar, dass es sich beim Zusammenhang um eine topologische Eigenschaft handelt: Mit einem topologischen Raum ist auch jeder dazu homöomorphe zusammenhängend. Beispiele Zur Erinnerung: Eine Teilmenge I von R ist ein Intervall, wenn für je drei reelle Zahlen a < b < c gilt: Sind a und c in I , so ist auch b in I . Jedes Intervall I ist zusammenhängend, denn ist f : I −→ S 0 eine stetige Abbildung, und sind a < b in I , so folgt nach dem Zwischenwertsatz der Analysis f (a) = f (b). Also ist f konstant. Ist umgekehrt X kein Intervall, so kann man ohne große Mühe eine stetige Abbildung nach S 0 angeben, die nicht konstant ist. Also sind die zusammenhängenden Teilräume von R genau die Intervalle. Weil Intervalle zusammenhängend sind, werden Zusammenhangseigenschaften topologischer Räume oft mittels Intervallen untersucht. Dieser Zugang führt auf den Begriff des Wegzusammenhangs, der in Abschn. 6.2 ausführlich diskutiert wird.

3.1

Zusammenhang

45

Beispiele Wir betrachten den Teilraum X = (Q × [0, +∞[) ∪ ((R \ Q) × ]−∞, 0[) von R2 und wollen zeigen, dass er zusammenhängend ist. Angenommen man hat eine Zerlegung des Raumes in abgeschloffene Teilmengen X 1 und X 2 , und es sei (r , 0) ∈ X 1 . Dann liegt auch das gesamte Intervall {r } × [0, ∞[ noch in X 1 , weil es zusammenhängend ist und also nicht abgeschloffen zerlegt werden kann. Weil X 1 offen ist, liegt auch noch ein ganzer vertikaler Streifen in X 1 (Abb. 3.1). Genauso sieht man, dass auch X 2 aus vertikalen Streifen bestehen muss. Sollte eine der beiden Mengen nicht leer sein, so berühren diese Streifen einander im oberen oder unteren Bereich, und dies steht im Widerspruch zur Offenheit der Mengen. Nun sollen noch einige Aussagen bewiesen werden, die es erlauben, aus den bekannten Beispielen zusammenhängender Räume weitere zu konstruieren. Folgerung 3.2 Sei f : X → Y eine stetige Surjektion. Ist X zusammenhängend, so auch Y . Beweis Ist g : Y → S 0 stetig, so auch die Zusammensetzung f g : X → S 0 . Diese ist also konstant. Weil f surjektiv ist, muss dann auch g konstant sein.  Insbesondere ist das Bild eines Intervalls I unter einer stetigen Funktion I → R wieder ein Intervall: Der Zwischenwertsatz der Analysis erscheint hier als Spezialfall.

Abb. 3.1 Vertikale Streifen

46

3 Zusammenhang und Trennung

Folgerung 3.3 Die Vereinigung einer Familie zusammenhängender Unterräume eines topologischen Raumes, welche paarweise nicht disjunkt sind, ist selbst zusammenhängend. Beweis Seien (Z i | i ∈ I ) die Familie von Unterräumen und  f: Z i −→ S 0 i∈I

eine stetige Abbildung, so ist deren Einschränkung auf jeden Unterraum Z i konstant. Weil die paarweisen Durchschnitte nicht leer sind, muss also f konstant sein.  Folgerung 3.4 Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X . Unter allen zusammenhängenden Teilräumen von X , die x enthalten, gibt es einen größten, und dieser ist abgeschlossen. Beweis Die Vereinigung Z (x) aller zusammenhängenden Teilräume, die x enthalten, ist nach der letzten Folgerung selbst zusammenhängend und auch maximal unter diesen. Sie ist auch abgeschlossen, denn ist f : Z (x) −→ S 0 eine stetige Abbildung, so ist ihre Einschränkung auf Z (x) konstant. Das Urbild dieses Wertes ist eine abgeschlossene Teilmenge von Z (x). Weil diese auch abgeschlossen in X ist und Z (x) enthält, liegt auch der Abschluss von Z (x) darin. Also muss f konstant sein.  Definition Die maximale zusammenhängende Menge Z (x), die x enthält, heißt Zusammenhangskomponente von x.  Beispiele Sei Q ⊂ R der Teilraum der rationalen Zahlen, und sei r ∈ Q. Ist r ∈ Z (r ) eine weitere rationale Zahl und q eine irrationale Zahl zwischen r und r , dann ist f : Z (r ) −→ S 0  −1 f¨ur x < q x → +1 f¨ur x > q eine nicht konstante stetige Abbildung. Also gilt Z (r ) = {r }. Räume, deren Zusammenhangskomponenten nur aus einem Punkt bestehen, nennt man übrigens total unzusammenhängend. Das Beispiel zeigt, dass Räume nicht die topologische Summe ihrer Zusammenhangskomponenten sein müssen, denn Q ist nicht diskret. Andererseits gilt:

3.1

Zusammenhang

47

Folgerung 3.5 Falls es nur endlich viele Zusammenhangskomponenten in X gibt, so ist X deren topologische Summe. Beweis Jede Komponente von X ist offen, denn ihr Komplement ist die endliche Vereinigung der anderen Zusammenhangskomponenten, und diese sind abgeschlossen.  Folgerung 3.6 Ein Produkt X × Y ist genau dann zusammenhängend, wenn beide Faktoren X und Y es sind. Beweis Die eine Richtung ist einfach, denn X und Y sind stetige Bilder von X × Y . Seien nun X und Y zusammenhängend. Dann wählen wir irgendeinen Punkt (x, y) im Produkt und betrachten die Zusammenhangskomponente Z (x, y). Es reicht also zu zeigen, dass diese ganz X × Y ist. Sei dazu (u, v) irgendein Punkt des Produktes (Abb. 3.2). Dann ist (X × {v}) ∪ ({x} × Y ) ein zusammenhängender Unterraum des Produktes, welcher (x, y) und (u, v) enthält. Beide Teile sind homöomorph zu X oder Y , also zusammenhängend nach Voraussetzung, und ihr Durchschnitt enthält (x, v), ist also nicht leer. Mit diesem Raum liegt also auch (u, v) in Z (x, y). 

Abb. 3.2 Punkte im Produktraum

v

(x, v) (u, v)

Y y

(x, y)

u X

x

48 Abb. 3.3 Der Sinuskurvenraum

3 Zusammenhang und Trennung

sin(1/x)

x

Ergänzung Lokal zusammenhängend Ein topologischer Raum X heißt lokal zusammenhängend, falls jede Umgebung eines Punktes noch eine zusammenhängende umfasst. Zum Beispiel ist R\0 lokal zusammenhängend, aber nicht zusammenhängend. Der Sinuskurvenraum X = 0 × R ∪ { (x, sin(1/x)) ∈ R2 | x > 0 } ⊂ R2 ist zusammenhängend, aber nicht lokal zusammenhängend (Abb. 3.3). Lokal zusammenhängende Räume haben offene Zusammenhangskomponenten.

Übungen Ü49 – Schneidend Sei A eine Teilmenge und Z eine zusammenhängende Teilmenge von X . Zeigen Sie: Falls Z sowohl A als auch X \ A schneidet, dann schneidet Z den Rand ∂ A. Ü50 – Berührend Sei M ein zusammenhängender Unterraum eines topologischen Raumes X und M der Abschluss von M in X . Ist M ⊆ N ⊆ M, so ist auch N zusammenhängend. Ü51 – Nicht gegenbeispiellos Seien M und N zusammenhängende Unterräume eines topologischen Raumes X . Muss M ∩ N dann auch zusammenhängend sein? Und M ∪ N ? Ü52 – Verbindend Sei X ein topologischer Raum. Zu je zwei Punkten aus X gebe es eine stetige Abbildung R → X , welche beide trifft. Dann ist X zusammenhängend. Ü53 – Graziös Beweisen Sie, dass für alle X ⊆ R und alle f : X → R folgende Aussagen äquivalent sind.

3.2 Trennung und stetige Fortsetzbarkeit

49

(I) Die Menge X ist ein Intervall und f ist stetig. (G) Der Graph von f ist sowohl zusammenhängend als auch lokal zusammenhängend (siehe Ergänzung).

3.2

Trennung und stetige Fortsetzbarkeit

Trennungseigenschaften sichern die Existenz genügend vieler offener Mengen, um gewisse Teilmengen des Raumes voneinander zu trennen. In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass sie auch die Existenz bestimmter stetiger reellwertiger Funktionen liefern, die an verschiedenen Stellen in der Mathematik zum Einsatz kommen. Definition Für einen topologischer Raum X werden folgende Eigenschaften eingeführt (Abb. 3.4): (T1) Zu je zwei verschiedenen Punkten von X gibt es jeweils Umgebungen, die den anderen Punkt nicht enthalten. (T2) Zu je zwei verschiedenen Punkten von X gibt es jeweils Umgebungen, die sich nicht schneiden. (T3) Zu jedem Punkt und jeder abgeschlossenen Menge von X , die den Punkt nicht enthält, gibt es disjunkte Umgebungen. (Eine Umgebung einer Teilmenge ist eine Obermenge einer offenen Menge, welche die Teilmenge enthält.) (T4) Zu je zwei abgeschlossenen disjunkten Mengen von X gibt es disjunkte Umgebungen. Ein topologischer Raum X ist ein Hausdorff-Raum, wenn er die Eigenschaft T2 hat. Erfüllt ein topologische Raum alle Trennungseigenschaften, so nennt man ihn normal.  Abb. 3.4 Die Trennungsaxiome

T1

T2

T3

T4

50

3 Zusammenhang und Trennung

Die Hausdorff-Eigenschaft wird besonders im Zusammenhang mit der Kompaktheit im nächsten Kapitel eine entscheidende Rolle spielen. Beispiele Jeder metrisierbare Raum ist ein Hausdorff-Raum, denn die ε–Umgebungen zweier verschiedener Punkte sind disjunkt, falls ε höchstens die Hälfte des Abstandes der beiden Punkte ist. Jeder Hausdorff-Raum erfüllt offensichtlich auch T1. Die erste Trennungseigenschaft ist übrigens auch äquivalent mit der Aussage, dass jede einelementige Teilmenge von X abgeschlossen ist (Übung!). Versieht man die natürlichen Zahlen mit der Komplemente-endlicher-Teilmengen’ Topologie‘, so sind Punktmengen abgeschlossen, aber alle anderen Trennungseigenschaften gelten nicht. An dieser Stelle sei auf das Buch [SS95] verwiesen, in dem man viele Beispiele topologischer Räume finden kann, die nur manche Trennungseigenschaften haben. Wir wollen uns aber nicht in solchen Spitzfindigkeiten verlieren. Wenn wir eine Trennungseigenschaft fordern, wird das meistens die Hausdorff-Eigenschaft sein, machmal auch Normalität. Wir haben bereits gesehen, dass metrisierbare Räume die Hausdorff-Eigenschaft haben. Tatsächlich sind sie sogar normal. Um das einzusehen, wird zunächst ein weiterer Begriff eingeführt. Definition Seien A und B abgeschlossene disjunkte Mengen eines topologischen Raumes X . Eine stetige Funktion f : X → [0, 1] heißt Urysohn-Funktion zu A, B, falls f auf A konstant 0 ist und konstant 1 auf B (Abb. 3.5).  Urysohn-Funktionen sind hilfreich, wenn man eine reelle Funktion g auf X zerlegen möchte. Ist beispielsweise X = U ∪ V , mit U , V offen, und f eine Urysohn-Funktion zu A = X \U und B = X \ V , so liefert g = f g + (1 − f )g eine Zerlegung von g in stetige Funktionen, die jeweils außerhalb von U beziehungsweise V verschwinden. Natürlich kann man statt zweier Mengen auch endlich viele offene Teilmengen betrachten. Dies kann gerade bei der Untersuchung von Funktionen auf Mannigfaltigkeiten nützlich sein. Abb. 3.5 Eine Urysohn-Funktion [0, 1]

A

B

3.2 Trennung und stetige Fortsetzbarkeit

51

Beispiele Ist X ein metrischer Raum, so gibt es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen eine Urysohn-Funktion: Definiert man den Abstand eines Punktes zur Menge A durch d A (x) = inf d(x, a), a∈A

so hat f = d A /(d A + d B ) die gewünschte Eigenschaft. Hierbei ist zu beachten, dass die Abstandsfunktion d A außerhalb von A (beziehungsweise B) strikt positiv ist und der Nenner von f somit niemals verschwindet. Hat man eine Urysohn-Funktion f , so erhält man auch trennende Umgebungen der abgeschlossenen Mengen A, B durch f −1 [0, 1/2[ und f −1 ]1/2, 1]. Insbesondere folgt damit, dass metrische Räume die Eigenschaft T4 haben. Der folgende Satz sagt, dass T4 auch hinreichend ist für die Existenz von Urysohn-Funktionen. Man kann also in T4-Räumen die auf A ∪ B vorgegebene Funktion stetig auf X fortsetzen. Er besagt außerdem, dass dann auch Fortsetzungen zu allen anderen reellwertigen Funktionen auf abgeschlossenen Teilmengen existieren. Satz 3.7 (Tietze-Urysohn) Für jeden topologischen Raum X sind äquivalent: (T4) Der Raum X erfüllt T4. (UE) Zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen A, B von X existiert eine UrysohnFunktion. (TE) Zu A ⊆ X abgeschlossen und f : A → R stetig gibt es eine stetige Abbildung F : X → R, die mit f auf A übereinstimmt. Beweis In T4-Räumen kann man zu je zwei abgeschlossenen disjunkten A, B eine Menge C finden, die ◦ A ⊆ C ⊆ C¯ ⊆ X \ B erfüllt. Hierzu muss man nur A und B durch disjunkte Umgebungen U , V trennen und U = C wählen. Und weil das gut funktioniert, kann man auch beliebig oft eine Menge dazwischen legen. Eine Kette A = (A = A0 ⊆ A1 ⊆ · · · ⊆ Ak ⊆ X \ B) ◦

heiße zulässig, falls stets A¯ i ⊆ Ai+1 und A¯ k ⊆ X \ B gilt. Jede zulässige Kette kann in X zu einer zulässigen Kette A0 ⊆ A 0 ⊆ A1 ⊆ A 1 ⊆ · · · ⊆ Ak ⊆ A k ⊆ X \ B

52

3 Zusammenhang und Trennung

der doppelten Länge verfeinert werden. Auf diese Weise kann man eine Folge (An | n ∈ N) von zulässigen Ketten finden, wobei An+1 eine Verfeinerung doppelter Länge von An ist und A0 = (A ⊆ X \ B). Zu An definiert man eine Treppenfunktion durch f n (x) = k2−n f¨ur x ∈ Ak \ Ak−1 , wobei A−1 = ∅ und A2n = X gesetzt wird. Die Funktionenfolge ist monoton fallend und beschränkt. Sie konvergiert somit punktweise gegen eine Grenzfunktion f . Auf A ist f konstant 0 und auf B konstant 1, denn dies gilt für jedes f n . Das Erstaunliche ist nun, dass f stetig ist und somit eine Urysohn-Funktion, obwohl keines der f n es sein muss. Hierzu beachte man | f n (x) − f n+1 (x)|  2−(n+1) ◦

und bezüglich der Kette An gilt für alle x, y ∈ Ak+1 \ Ak−1 | f n (x) − f n (y)|  2−n . Es ergibt sich | f (x) − f (y)|  | f (x) − f n (x)| + | f n (x) − f n (y)| + | f n (y) − f (y)| ∞ ∞   2−k + 2−n + 2−k = 3 · 2−n .  k=n+1

k=n+1 ◦

Wählt man also ein n, welches ε > 3·2−n erfüllt, so kann x in der offenen Umgebung Ak+1 \ Ak−1 variiert werden, ohne Schwankungen größer als ε zu erhalten (Abb. 3.6).

◦

¯k−1 Ak+1 \A

A

B

fn ≡ 0

fn ≡ k2−n fn ≡ (k + 1)2−n

Abb. 3.6 Zur Stetigkeit von f

fn ≡ 1

3.2 Trennung und stetige Fortsetzbarkeit

53

Nun wird gezeigt, dass aus der Urysohn-Eigenschaft (UE) die Tietze-Eigenschaft (TE) folgt. Zunächst sei f : A → [−1, 1] eine stetige Funktion, die in das beschränkte Intervall abbildet. Wähle eine Urysohn-Funktion G auf X zu den disjunkten abgeschlossenen Teilmengen f −1 [−1, −1/3] und f −1 [1/3, 1]. Die Funktion F1 = 2/3G − 1/3 : X → R erfüllt dann | f (x) − F1 (x)|  2/3 f¨ur x ∈ A |F1 (x)|  1/3 f¨ur x ∈ X . Dies prüft man am besten mit einer Fallunterscheidung der Form x ∈ f −1 [−1, −1/3], x ∈ f −1 ]−1/3, +1/3[ , x ∈ f −1 [1/3, 1] nach. Die Funktion F1 ist zwar auf X definiert, stimmt aber mit f nur annähernd auf A überein. Um eine bessere Näherung zu erhalten, wendet man das Verfahren auf die Fehlerfunktion f : A −→ [−2/3, 2/3]; x → f (x) − F1 (x) an und erhält ein F2 : X → R, welches | f (x) − F2 (x)|  (2/3)2 f¨ur x ∈ A |F2 (x)|  1/3 · 2/3 f¨ur x ∈ X erfüllt. So fortfahrend entsteht eine Funktionenfolge (Fn | n ∈ N) mit | f (x) −

n 

F j (x)|  (2/3)n f¨ur x ∈ A

j=1

|Fn (x)|  1/3 · (2/3)n−1 f¨ur x ∈ X .  Die Reihe n Fn konvergiert gleichmäßig gegen eine stetige Funktion F, die mit f auf A übereinstimmt. Damit ist (TE) jedenfalls für beschränkte Funktionen gezeigt. Für den allgemeinen Fall einer Funktion f kann man den Homöomorphismus arctan : R −→ ]−π/2, +π/2[ benutzen, um die Funktion f in eine beschränkte Funktion zu transformieren: Mit dem bereits Bewiesenen kann man also die Funktion 2/π arctan( f ) : A −→ [−1, 1] zu einer Funktion F : X → [−1, 1] erweitern. Leider ist eine Rücktransformation nicht mehr möglich, weil die Werte −1 und 1 von F eventuell angenommen werden. Um dieses Problem zu umgehen, wähle man sich eine Urysohn-Funktion G, die auf A den Wert 1 hat

54

3 Zusammenhang und Trennung

und auf F −1 {−1, 1} verschwindet. Die gesuchte Erweiterung von f ist dann gegeben durch die Formel: F = tan(π/2 · G · F ). Der Beweis ist damit geführt, denn bereits vor dem Satz wurde gezeigt, wie man von (UE) und somit erst recht von (TE) nach (T4) gelangt.  Als kleine Anwendung des Satzes werden wir ein Resultat über Komplemente abgeschlossener Teilmengen der euklidischen Räume zeigen. Zunächst sei dazu bemerkt, dass es homöomorphe abgeschlossene Teilmengen des Rn gibt, die nicht homöomorphe Komplemente haben. Beispiele sind etwa durch den trivialen Knoten, die Kleeblattschlinge und den Achterknoten (siehe Abschn. 2.1) gegeben, die paarweise nicht homöomorphe Komplemente haben – auch wenn das vielleicht im Moment noch nicht so leicht zu sehen ist. Tatsächlich gilt, dass das Komplement einen Knoten bestimmt, siehe [GL89]. Es gilt jedoch das folgende Resultat, welches zeigt, dass das Komplement einer abgeschlossenen Teilmenge nur in einem stabilen Sinne von ihr abhängt. Satz 3.8 Seien A ⊆ Ra und B ⊆ Rb zwei abgeschlossene Teilmengen, welche homöomorph sind. Dann sind die Komplemente von A ∼ = A × 0 und B ∼ = 0 × B in Ra+b ∼ = Ra × Rb homöomorph. Beweis Sei ϕ : A → B ein Homöomorphismus. Nach dem Satz von Tietze-Urysohn gibt es eine Erweiterung  : Ra → Rb . Entsprechend sei  : Rb → Ra eine Erweiterung des Inversen ψ von ϕ. Dann sind L : Ra × Rb −→ Ra × Rb , (x, y) −→ (x, y − (x)) und R : Ra × Rb −→ Ra × Rb , (x, y) −→ (x − (y), y) Homöomorphismen mit offensichtlichen Inversen. Hierbei hat der Homöomorphismus L die Eigenschaft, dass er den Graphen von ϕ homöomorph auf A × 0 abbildet. Und R bildet homöomorph auf 0 × B ab. Also ergibt sich ein gewünschter Homöomorphismus durch die Komposition R L −1 eingeschränkt auf das Komplement von A × 0 mit Werten im Komplement von 0 × B.  Zum Schluss sei bemerkt, dass sich auch für metrische Räume nicht alle stetigen Funktionen erweitern lassen, wenn der Zielbereich verändert wird: Zum Beispiel sagt der Zwischenwertsatz der Analysis, dass es keine Erweiterung der identischen Abbildung von {0, 1} auf [0, 1] gibt:

3.2 Trennung und stetige Fortsetzbarkeit

{0, 1}

55 ⊆

[0, 1] .

id

{0, 1} Um Funktionen nach R zu erweitern, kann auch nicht auf die Abgeschlossenheitsbedingung in (TE) verzichtet werden: Zum Beispiel lässt die Funktion f : R \ 0 → R, die konstant 0 für negative Zahlen und konstant 1 sonst ist, keine stetige Erweiterung zu.

Ergänzung Regularität Ein topologischer Raum X heißt regulär, wenn er die Eigenschaften (T1) und (T3) erfüllt. Er heißt vollständig regulär (T3,5), wenn es zu x ∈ X und jeder abgeschlossenen Teilmenge A von X ein stetiges f : X → [0, 1] gibt, welches f (x) = 0 erfüllt und konstant 1 auf A ist. Vollständig reguläre Räume sind regulär, aber nicht notwendigerweise normal. Tychonoff konnte zeigen, dass diese Räume bis auf Homöomorphie genau die Unterräume  eines Quaders I [0, 1] für geeignete Indexmengen I sind, siehe zum Beispiel [Eng68].

Übungen Ü54 – Vererbung Zeigen Sie, dass sich die Hausdorff-Eigenschaft auf Unterräume und Produkte vererbt. Zeigen Sie dies auch für die Regularität. Ü55 – Diskretion Ein endlicher topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er diskret ist. Ü56 – Pünktlichkeit Ein topologischer Raum X ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn für jeden Punkt x der Durchschnitt seiner abgeschlossenen Umgebungen gleich {x} ist. Insbesondere sind die einpunktigen Teilmengen dann abgeschlossen. Gibt es einen topologischen Raum, dessen einpunktige Teilmengen abgeschlossen sind, der aber kein Hausdorff-Raum ist? Ü57 – Der ganze Zariski Ist Spec(Z) ein Hausdorff-Raum? Ü58 – Separierte Abbildungen Sei f : X → Y stetig. Das Bild der Diagonalen

: X −→ X ×Y X

56

3 Zusammenhang und Trennung

ist genau dann abgeschlossen, wenn je zwei Punkte x  = x mit f (x) = f (x ) disjunkte offene Umgebungen in X haben. Solche Abbildungen werden separiert genannt. Die Fasern separierter Abbildungen sind Hausdorff-Räume. (Zunächst den Fall Y = ∗ betrachten?) Ü59 – Verallgemeinerte Punkte Sei f : X → B separiert. Ist s : B → X ein Schnitt von f , also f s = id B , so ist s eine abgeschlossene Einbettung. Das verallgemeinert die Tatsache, dass einpunktige Teilmengen von Hausdorff-Räumen abgeschlossen sind. Ü60 – Trennungsalgebra Angenommen X hat die Eigenschaften T2 und T3, und A ist abgeschlossen in X . Erfüllt X /A dann die Eigenschaft T2? Ü61 – Surjektionen Sei f : X → Y eine surjektive, stetige Abbildung. Muss Y normal sein, wenn X normal ist? Ü62 – Getrennte Geraden Zeigen Sie, dass die projektiven Räume Hausdorff-Räume sind. Ü63 – Der bessere Hausdorff Zeigen Sie, dass in regulären Räumen (siehe Ergänzung) je zwei Punkte durch offene Umgebungen getrennt werden können, deren Abschlüsse noch disjunkt sind.

4

Kompaktheit und Abbildungsräume

Inhaltsverzeichnis 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigentliche Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lokal kompakt erzeugte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 65 69 73 79

In diesem Abschnitt wird zunächst der Begriff der Kompaktheit topologischer Räume eingeführt. Danach wird er zu dem Begriff der eigentlichen Abbildung relativiert. Es folgt ein technischer Anschnitt über den Satz von Tychonoff, der bei der ersten Lektüre übergangen werden kann. Anschließend widmen wir uns den Abbildungsräumen: Wie es schon in der Analysis vor allem die Funktionenräume sind, denen das Interesse gilt, so sind es auch in der Topologie die Räume von stetigen Abbildungen, welche äußerst wichtige Beispiele von topologischen Räumen liefern. Das Kapitel wird von einem technischen Abschnitt über die Kategorie der (lokal) kompakt erzeugten Räume abgeschlossen, der zunächst auch übergangen werden kann.

4.1

Kompaktheit

Aus der Analysis ist vielleicht in Erinnerung, dass kompakt‘ etwas mit abgeschlossen ’ ’ und beschränkt‘ zu tun hat. Das stimmt auch, und der entsprechende Satz findet sich in Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_4.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_4

57

58

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Abschn. 4.2. Aber die mengentheoretische Topologie fußt nunmal auf den offenen Mengen, und deshalb wird der Begriff zunächst mit diesen definiert: Definition Sei X ein topologischer Raum. Eine Familie (U j | j ∈ J ) offener Teilmengen von X ist eine offene Überdeckung, wenn jeder Punkt von X in einer der Mengen U j liegt. Ist I eine Teilmenge der Indexmenge J , so dass auch (U j | j ∈ I ) eine offene Überdeckung ist, so spricht man von einer Teilüberdeckung. Eine offene Überdeckung heißt endlich oder abzählbar, wenn dies auf die Indexmenge zutrifft. Hat jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung, so wird X kompakt genannt.  Kompaktheit ist offenbar eine topologische Invariante, sind zwei Räume also homöomorph zueinander, so ist der eine kompakt genau dann, wenn der andere es ist. Beispiele Das Intervall [0, 1] ist kompakt, auch wenn das mit der eben gegebenen Definition nicht offensichtlich ist und deswegen auch begründet werden soll. Sei dazu (U j | j ∈ J ) eine offene Überdeckung von [0, 1]. Wir betrachten die Teilmenge M = {s ∈ [0, 1] | Es gibt eine endliche Teil¨uberdeckung von [0, s].} von [0, 1]. Jedenfalls liegt 0 darin. Ferner gilt: Liegt s in M, so liegt das ganze Intervall [0, s] darin. Sei nun t das Supremum von M. Dann gibt es eine Überdeckungsmenge, die t enthält. Diese enthält dann aber auch einen Punkt s aus M. Die Überdeckungsmenge und die endliche vielen Mengen, die [0, s] überdecken, überdecken dann zusammen [0, t]. Somit liegt t in M. Das Argument zeigt aber auch, dass t nicht kleiner als 1 sein kann, denn sonst lägen Punkte in M, die größer als t sind. Also ist t = 1. Weil t in M liegt, gibt es dann eine endliche Teilüberdeckung von [0, 1]. Somit ist [0, 1] kompakt. Bevor wir uns mit weiteren Beispielen beschäftigen, sollten wir uns davon überzeugen, dass Kompaktheit eine nützliche Eigenschaft topologischer Räume ist. Das aber zeigen die folgenden Sätze. Satz 4.1 Jede abgeschlossene Teilmenge jedes kompakten Raumes ist als Unterraum kompakt. Beweis Sei A abgeschlossen im kompakten Raum X . Ist dann (U j | j ∈ J ) eine offene Überdeckung von A, so gibt es nach Konstruktion der Unterraumtopologie offene Teilmengen V j in X mit U j = A ∩ V j . Die V j bilden dann nicht notwendig eine offene Überdeckung von X , aber man erhält eine solche, wenn man noch die offene Teilmenge X \ A von X hinzufügt. Nach Voraussetzung reichen dann endlich viele davon aus, um X zu überdecken.  Die entsprechenden endlich vielen U j überdecken A.

4.1

Kompaktheit

59

Satz 4.2 Jeder kompakte Unterraum eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen in diesem. Beweis Sei X ein Hausdorff-Raum und K ein kompakter Unterraum. Es reicht zu zeigen, dass das Komplement X \ K offen in X ist. Ist x ein Punkt in diesem Komplement, dann gibt es zu jedem Punkt k von K zwei disjunkte offene Umgebungen Uk und Vk von k und x. Dann ist (Uk | k ∈ K ) eine offene Überdeckung von K . Nach Voraussetzung gibt es also eine endliche Teilüberdeckung (Uk | k ∈ K 0 ) davon. Dann ist aber  Vk k∈K 0

eine offene Umgebung von x, die K nicht schneidet. Weil eine solche somit zu jedem x aus X \ K existiert, ist das Komplement von K offen in X (Abb. 4.1). 

Satz 4.3 Das Bild jedes kompakten Raumes unter jeder stetigen Abbildung ist ein kompakter Unterraum. Beweis Sei X ein kompakter Raum und f : X → Y eine stetige Abbildung in einen weiteren Raum Y . Dann ist behauptet, dass f (X ) ein kompakter Unterraum von Y ist. Sei also (U j | j ∈ J ) eine offene Überdeckung von f (X ). Nach Konstruktion der Unterraumtopologie gibt es offene Teilmengen V j von Y mit U j = f (X ) ∩ V j . Die Urbilder liefern eine offene Überdeckung ( f −1 (V j ) | j ∈ J ) von X . Nach Voraussetzung hat sie eine endliche Teilüberdeckung ( f −1 (V j ) | j ∈ J0 ). Es reicht nun zu zeigen, dass (U j | j ∈ J0 ) eine offene Überdeckung von f (X ) ist. Das sieht man so: Ist y in f (X ), so gibt es ein x in X mit y = f (x). Das x liegt in einem f −1 (V j ) mit einem j aus J0 . Dann liegt aber y  in f ( f −1 (V j )) = V j ∩ f (X ) = U j mit diesem j aus J0 . Für die nächste Folgerung wird jeder der drei vorangegangenen Sätze verwendet.

Abb. 4.1 Zum Beweis von Satz 4.2

Uk Vk

k

x Vk

k Uk

60

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Folgerung 4.4 Eine stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ist abgeschlossen. Beweis Seien X kompakt, Y ein Hausdorff-Raum und f : X → Y stetig. Ist dann A abgeschlossen in X , so ist A kompakt, also f (A) kompakt. Dann ist f (A) aber abgeschlossen.  Folgerung 4.5 Eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ist ein Homöomorphismus. Beweis Die Abbildung ist nach der vorigen Folgerung abgeschlossen. Das bedeutet aber, dass die Umkehrabbildung stetig ist, denn bei ihr sind Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen.  Für den kommenden Satz wird vorausgesetzt, dass X ein metrischer Raum ist. Für solche Räume lässt sich Kompaktheit auch anders formulieren. Definition Ein δ > 0 heißt Lebesgue-Zahl einer offenen Überdeckung U von X , falls zu jedem x ∈ X ein U ∈ U existiert, welches die δ–Umgebung von x enthält.  In dem Schaubild 4.2 ist jedes Kästchen in einer der Überdeckungsmengen enthalten. Lebesgue-Zahlen werden später bei der Konstruktion von stetigen Abbildungen nützlich sein. Die Bedeutung des folgenden Begriffes wird erst durch den anschließenden Satz klar. Definition Ein metrischer Raum X heißt total beschränkt, falls zu jedem ε > 0 eine endliche  Menge E ⊆ X existiert, so dass {Uε (a) | a ∈ E} eine Überdeckung ist. Satz 4.6 Für metrische Räume X sind die folgenden Aussagen äquivalent. Abb. 4.2 Jedes Kästchen ist in einer Überdeckungsmenge enthalten

4.1

Kompaktheit

61

(K) Der Raum X ist kompakt. (PK) Jede reelle stetige Funktion auf X ist beschränkt. (TL) Der Raum X ist total beschränkt, und zu jeder offenen Überdeckung U von X gibt es eine Lebesgue-Zahl. Beweis Zunächst ist klar, dass jede reellwertige Funktion f auf einem kompakten X beschränkt sein muss, denn f (X ) ist kompakt. Ist U eine offene Überdeckung von X , so definiert f : X −→ R; x  → sup {min{1, d X \U (x)}} U ∈U

eine strikt positive reelle Abbildung. Hierbei bezeichnet d A die Abstandsfunktion zur Menge A (siehe Abschn. 3.2). Die Abbildung f ist stetig, sogar kontrahierend | f (x) − f (y)|  d(x, y) für alle x, y in X . Dies sieht man ein, indem man Infimum und Minimum auf die Dreiecksungleichung d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) anwendet und die Ungleichung umstellt. Die Eigenschaft (P K ) für 1/ f liefert also ein δ > 0 mit f (x)  δ für alle x. Diese Zahl ist eine Lebesgue-Zahl, denn ist x ∈ X und U ∈ U so gewählt, dass d X \U (x)  δ , so folgt Uδ (x) ⊆ U . Aus (P K ) folgt auch die totale Beschränktheit, denn sonst gibt es ein ε > 0 und eine Folge von Elementen (an ) von X mit d(an , am )  ε. Sei f die Funktion  3n ε ( − d(x, an )) f¨ur x ∈ U 3ε (an ) f (x) = ε 3 0 sonst. Dann ist f stetig aber nicht beschränkt, denn f (an ) = n. Schließlich folgt die Kompaktheit direkt aus (T L), indem man sich zu einer Überdeckung ( U j | j ∈ J ) eine Lebesguesche Zahl δ und anschließend mithilfe der totalen Beschränktheit zu δ eine endliche Teilmenge E wählt, so dass ( U j | j ∈ E ) eine endliche Teilüberdeckung wird.  Ein topologischer Raum, auf dem jede stetige Funktion beschränkt ist, wird auch als pseudokompakt bezeichnet. Für metrische Räume ist das also zu deren Kompaktheit äquivalent. Abschließend stellen wir eine lokale Version des Kompaktheitsbegriffs vor, welche insbesondere in der Behandlung von Abbildungsräumen nützlich sein wird.

62

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Definition Ein topologischer Raum wird lokal kompakt genannt, wenn jede Umgebung jedes Punktes noch eine kompakte Umgebung des Punktes enthält.  Beispiele Der Raum Rn ist lokal kompakt, aber auch jede offene Teilmenge von Rn . Eine allgemeinere Klasse von Beispielen liefert der folgende Satz. Satz 4.7 Sei X ein Hausdorff-Raum, dessen Punkte kompakte Umgebungen haben. Dann ist X lokal kompakt. Beweis Sei x ein Punkt von X und U eine offene Umgebung davon. Es ist eine kompakte Umgebung K ⊆ U von X zu finden (Abb. 4.3). Nach Voraussetzung gibt es jedenfalls eine kompakte Umgebung L. Dann ist L ∩ U offen in L. Das Komplement A ist abgeschlossen in L, also kompakt. Es gibt dann offene, disjunkte Teilmengen V und W von X mit x ∈ V und A ⊆ W . Dann ist K = L \ W abgeschlossen in L, also kompakt. Ferner liegt K in L \ A = L ∩ U , also in U . Und wegen L ∩ V ⊆ L \ W = K enthält K auch eine Umgebung von x. 

Folgerung 4.8 Alle kompakten Hausdorff-Räume sind lokal kompakt. Das Schaubild 4.4 gibt eine Übersicht über Implikationen zwischen verschiedenen Kompaktheitsbegriffen. Dabei ist Q+ die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von Q, die in den folgenden Ergänzungen erklärt wird. Das Schaubild 4.5 gibt eine Übersicht über Implikationen zwischen verschiedenen Trennungseigenschaften (siehe auch die folgende Übung Alles normal‘). ’ Abb. 4.3 Zum Beweis von Satz 4.7

W A

L

x K

V

U

4.1

Kompaktheit

63

Hausdorff R/[0, 1[

lokal kompakt

pt)

R

Q

(ve rk

lum

I

1}

Q+

{0 ,

kompakt

Abb. 4.4 Implikationen zwischen verschiedenen Kompaktheitsbegriffen Hausdorff

normal

)

R

pt

R

kl

um

I

{0

,1

}

(v er

I

kompakt

Abb. 4.5 Implikationen zwischen verschiedenen Trennungseigenschaften

Ergänzungen Folgenkompaktheit Ein topologischer Raum X heißt folgenkompakt, falls jede Folge in X eine konvergente Teilfolge hat. Kompakte Räume müssen nicht folgenkompakt sein. Zum Beispiel hat die durch f (n) (0, a1 a2 . . .) = an definierte Funktionenfolge, welche einem Dezimalbruch im Intervall [0, 1[ seine n–te Stelle  zuordnet, keine konvergente Teilfolge im Produkt [0,1[ {0, . . . , 9}. Eine solche lieferte nämlich für jedes a = (0, a1 a2 . . .) ∈ [0, 1[ auch eine konvergente Teilfolge (an ) in {0, . . . , 9},

64

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

was zu einem Widerspruch führt. In Abschn. 4.3 wird gezeigt, dass das verwendete Produkt kompakt ist. Für metrische Räume (allgemeiner für Räume mit erstem Abzählbarkeitsaxiom) folgt allerdings aus der Kompaktheit die Folgenkompaktheit: Jede Folge (an ) in X muss zumindest einen Häufungspunkt haben, denn sonst gibt es zu jedem x ∈ X eine Umgebung, die nur endlich viele Folgenglieder besitzt. Weil endlich viele solcher bereits X überdecken, hätte die Folge also nur endlich viele Glieder. Also sei a ein solcher Häufungspunkt. Weil a eine abzählbare Umgebungsbasis hat, kann man eine Teilfolge bilden, die gegen a konvergiert, indem man sich in jeder dieser Umgebungen ein Folgenglied auswählt. Auch die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Man erhält allerdings aus der Folgenkompaktheit die Beschränktheit aller stetigen reellen Funktion auf X : Zu jeder solchen Funktion und zu jedem n findet man sonst ein an , dessen Funktionswert größer als n ist. Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge haben. Es folgt mit dem letzten Satz, dass für metrische Räume Folgenkompaktheit dasselbe wie Kompaktheit ist. Ein-Punkt-Kompaktifizierung Jeder topologische Raum X lässt sich durch Hinzufügung eines Punktes ∞ zu einem kompakten Raum X + = X ∪ {∞} machen, in dem er als Unterraum enthalten ist: Hierzu sei eine Teilmenge U von X + offen, wenn sie in X liegt und hierin offen ist oder wenn ∞ ∈ U und X + \ U abgeschlossen in X und kompakt ist. Diese Topologie macht X + kompakt, denn zu jeder offenen Überdeckung ( U j | j ∈ J ) von X + gibt es eine Menge U j , deren Komplement kompakt ist und somit von endlich vielen der anderen Überdeckungsmengen überdeckt wird. Ist X bereits kompakt, so ist X + die topologische Summe X+ ∼ = X + {∞}. Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von Rn ist homöomorph zur Sphäre S n .

Übungen Ü64 – Vereinigt Endliche Vereinigungen kompakter Teilräume sind kompakt. Ü65 – Die topologische Quadratur des Kreises Der Kreis, also der topologische Raum S 1 = {x ∈ R2 | x 2 = 1}, ist zum Quadrat {x ∈ R2 | x ∞ = 1} homöomorph. Ü66 – Divide et impera Jede stetige Bijektion R → R ist ein Homöomorphismus.

4.2

Eigentliche Abbildungen

65

Ü67 – Der ganze Zariski Ist Spec(Z) kompakt? Ü68 – Alles normal Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal. Ü69 – Projektion abgeschlossen Beweisen Sie: Ein topologischer Raum X ist genau dann kompakt, wenn die kanonische Projektion prY : X ×Y → Y für jeden Raum Y abgeschlossen ist. Ü70 – Klein und Groß Ein topologisches Produkt von abzählbar vielen Faktoren ist genau  dann folgenkompakt (siehe Ergänzung), wenn es jeder Faktor ist. Aber: Der Raum R S 0 ist nicht folgenkompakt. Ü71 – ∞ ist 0 Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung des diskreten Raumes N ist homöomorph zum Teilraum {0} ∪ {1/n | n ∈ N} ⊆ R. Was passiert für Z statt N? Ü72 – Vollständig Sei X ein metrischer Raum. Eine Cauchy-Folge in X ist bekanntlich eine Folge ( xn | n ∈ N ) mit der Eigenschaft, dass für jedes ε > 0 gilt d(xn , xm ) < ε für genügend große n, m. Der Raum X heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert. Zeigen Sie: X ist genau dann total beschränkt, wenn in ihm jede Folge eine Teilfolge enthält, die Cauchy-Folge ist. Schließen Sie hieraus, dass ein metrischer Raum genau dann kompakt ist, wenn er total beschränkt und vollständig ist. Ü73 – Geschnitten! Seien K und L kompakte Unterräume eines topologischen Raumes. Muss dann auch der Unterraum K ∩ L kompakt sein? Ü74 – Nur rational Der Raum Q ist bezüglich der üblichen Topologie nicht lokal kompakt. Ü75 – Lokal kompaktes Produkt Ist ( X i | i ∈ I ) eine Familie topologischer Räume und  deren Produkt i∈I X i lokal kompakt, dann ist jedes einzelne X i lokal kompakt und fast alle X i sind kompakt.

4.2

Eigentliche Abbildungen

Zu wichtigen Eigenschaften topologischer Räume gibt es oft eine dazugehörende Eigenschaft für stetige Abbildungen, so dass ein Raum X die Eigenschaft genau dann hat, wenn die Abbildung X → ∗ auf einen Einpunktraum die entsprechende Eigenschaft hat. Diese Idee wurde schon bei den separierten Abbildungen angedeutet, welche die Hausdorff-Eigenschaft relativieren, siehe Übungen in Abschn. 3.2.

66

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Abb. 4.6 Die Fasern im Möbius-Band

Faser“ ”

Definition Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt eigentlich, wenn sie abgeschlossen ist und alle Punkturbilder f −1 (y) kompakt sind. (Statt Punkturbilder sagt man auch oft Fasern. Das lässt sich auch viel besser lesen.)  Beispiele Die Projektion vom Möbius-Band p : ([0, 1] × [0, 1])/((0, t) ∼ (1, 1 − t)) −→ [0, 1]/∂[0, 1] auf die erste Koordinate ist eigentlich. Die Fasern sind abgeschlossene Intervalle (Abb. 4.6). Allgemeiner ist jede stetige Abbildung von einem Kompaktum in einen Hausdorff-Raum eigentlich. Es gibt aber auch eigentliche Abbildungen, deren Quellen nicht kompakt sind. Beispielsweise sind Homöomorphismen immer eigentlich. Satz 4.9 Bei jeder eigentlichen Abbildung sind die Urbilder von Kompakta selbst wieder kompakt. Beweis Seien f : X → Y eigentlich und K ⊆ Y kompakt. Es ist zu zeigen, dass f −1 (K ) ⊆ X kompakt ist. Sei also (U j | j ∈ J ) eine offene Überdeckung von f −1 (K ). Dann gibt es offene Teilmengen V j von X mit U j = f −1 (K ) ∩ V j . Für jedes k in K ist die Faser f −1 (k) nach Voraussetzung kompakt. Es gibt also eine endliche Teilmenge J (k) von J , so dass die Faser f −1 (k) in  Vj V (k) = j∈J (k)

liegt. Diese Menge ist offen. Nach Voraussetzung ist dann W (k) = Y \ f (X \ V (k)) auch offen. Man bemerke k ∈ W (k) und f −1 (W (k)) ⊆ V (k). Das liefert jedenfalls eine offene Überdeckung (W (k) | k ∈ K ) von K . Nach Voraussetzung gibt es also eine endliche Teilmenge K 0 von K mit  W (k). K ⊆ k∈K 0

4.2

Eigentliche Abbildungen

Dann gilt

f −1 (K ) ⊆

67



f −1 (W (k)) ⊆





Vj.

k∈K 0 j∈J (k)

k∈K 0



Das liefert die gesuchte endliche Teilüberdeckung.

Die Umkehrung muss übrigens nicht gelten: Für jede endliche Menge ist die Identität eine stetige Abbildung von der diskreten Topologie in die Klumpentopologie. Alle Urbilder sind endlich, also kompakt. Jedoch ist die Abbildung nicht abgeschlossen, wenn die Menge mehr als ein Element hat. Folgerung 4.10 Die Komposition eigentlicher Abbildungen ist eigentlich. Beweis Das gilt, weil Urbilder von Kompakta unter eigentlichen Abbildungen kompakt sind.  Topologische Räume zusammen mit eigentlichen Abbildungen bilden also eine Unterkategorie der üblichen Kategorie. Der folgende Satz über eigentliche Abbildungen hat zahlreiche Konsequenzen, die man ihm zunächst nicht zutraut. Satz 4.11 Jeder Basiswechsel jeder eigentlichen Abbildung ist eigentlich. Beweis Seien p : X → B eigentlich und X

X

p

B

p f

B

ein Pullback mit X = B × B X . Die Fasern von p stimmen mit denen von p überein, denn p −1 (b ) = {(b , x) | f (b ) = p(x)} ∼ = p −1 ( f (b )). Sie sind also nach Voraussetzung kompakt. Es ist nur noch zu zeigen, dass p auch abgeschlossen ist. Seien dafür A abgeschlossen in X und b ein Punkt aus B \ p (A ). Liegt dann x in der Faser von p über f (b ), so liegt (b , x) in der Faser von p über b und somit nicht in A . Es gibt demnach offene Umgebungen U (x) von b in B und V (x) von x in X , so dass U (x) × V (x) disjunkt zu A ist (Abb. 4.7). Weil die Faser über f (b ) kompakt ist, reichen endlich viele V (x) aus, um diese Faser zu überdecken. Seien V deren Vereinigung und U der Durchschnitt der entsprechenden U (x). Dann sind auch U × V und A disjunkt.

68

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

U (x) V (x)

(b , x)

X X A V

U (

b

) U

B

Abb. 4.7 Zum Beweis von Satz 4.11

Und die Teilmenge W = B \ p(X \ V ) von B ist eine offene Umgebung von f (b ), denn nach Konstruktion enthält V die Faser von p über f (b ). Wegen der Stetigkeit von f gibt es also eine offene Umgebung U ⊆ U von b mit f (U ) ⊆ W . Dann ist U aber auch disjunkt zu p (A ): Andernfalls gäbe es nämlich einen Punkt (u , x) in A mit u aus U , also f (u ) = p(x) aus W ; das würde implizieren, dass x in V läge, ein Widerspruch  zu (U × V ) ∩ A = ∅.

Folgerung 4.12 (Produktsatz) Sind f : X → Y und f : X → Y eigentlich, so ist auch deren Produkt f × f : X × X → Y × Y eigentlich. Sind also X und X kompakt, so ist auch das Produkt X × X kompakt. Beweis Da f × f die Komposition ( f × idY )(id X × f ) ist, können wir annehmen, dass eine der beiden Abbildungen die Identität ist. Aber f × idY ist bis auf kanonische Homöomorphie der Basiswechsel von f entlang pr Y

4.3

Der Satz von Tychonoff

69

X × Y

X

f ×idY

Y × Y

f pr Y

Y 

und somit eigentlich. Als leichte Folgerung ergibt sich:

Folgerung 4.13 (Heine-Borel) Ein Unterraum des Rn ist genau dann kompakt, wenn er abgeschlossen und beschränkt ist. Beweis Da Rn ein Hausdorff-Raum ist, muss jeder kompakte Unterraum abgeschlossen sein. Zudem wird Rn von den offenen ε–Umgebungen des Ursprunges überdeckt, wenn man ausnahmsweise auch an die großen ε denkt. Jeder kompakte Unterraum liegt in endlich vielen, also in der mit dem größten ε. Somit sind Kompakta auch beschränkt. Ist umgekehrt eine Teilmenge beschränkt, so liegt sie in einem Würfel großer Kantenlänge. Dieser ist homöomorph zu einem n–fachen Produkt kompakter Intervalle, also selbst kompakt. Ist die Teilmenge darin auch abgeschlossen, so ist sie automatisch kompakt. 

Übungen Ü76 – Kompaktifizierte Abbildungen Zeigen Sie: Ist f : X → Y eigentlich, so ist die Abbildung f + : X + −→ Y+ , die f + (x) = f (x) für x ∈ X und f (∞) = ∞ erfüllt, stetig. (Die Ein-PunktKompaktifizierung X + wurde in Abschn. 4.1 definiert). Ü77 – Die Cantor’sche Wischmenge Sei W die Menge aller t ∈ [0, 1] mit 3n t − 3n t ∈ / ]1/3, 2/3[ für alle n ∈ N. (Hier bezeichnet die Gauss-Klammer x für jedes x ∈ R die größte ganze  Zahl m mit m ≤ x.) Zeigen Sie, dass W kompakt und somit zu N S 0 homöomorph ist.

4.3

Der Satz von Tychonoff

Dieser Abschnitt ist dem folgenden Satz über die Kompaktheit beliebiger Produkte gewidmet.

70

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Satz 4.14 (Tychonoff)  Das Produkt i∈I X i von kompakten Räumen X i ist kompakt – für beliebige Indexmengen I . Dieser Satz wird falsch, wenn Kompaktheit durch Folgenkompaktheit ersetzt wird (siehe Abschn. 4.1). Das liegt, etwas vage gesprochen, daran, dass beliebige Produkte abzählbarer Räume nicht wieder abzählbar zu sein brauchen; selbst der Raum {0, 1}N ist ja überabzählbar. Hier sehen wir also also einen weiteren Grund, topologische Räume nicht durch Eigenschaften von Folgen zu charakterisieren. Mit der Überdeckungseigenschaft stimmt der Satz, erfordert aber zum Beweis neue Techniken. Ein Beweis (mittels Filtern‘) wird in diesem ’ Abschnitt gegeben. Er kann bei der ersten Lektüre übergangen werden. Es werden zunächst einige Begriffe eingeführt, die zu einer weiteren Charakterisierung der Kompaktheitseigenschaft führen. Diese überträgt sich dann von den Faktoren auf das Produkt. Definition Sei X eine Menge. Ein Filter auf X ist eine Teilmenge F der Potenzmenge von X mit folgenden Eigenschaften (F1) (F2) (F3) (F4)

F ∈ F, F ⊆ F ⊆ X =⇒ F ∈ F F1 , F2 ∈ F =⇒ (F1 ∩ F2 ) ∈ F F = ∅ ∅∈ /F



Man stellt sich das am besten so vor, dass ein Filter nur Objekte einer bestimmten Größe‘ ent’ hält, die er herausfiltert‘. Zum Beispiel ist für jeden Punkt x eines topologischen Raumes X ’ die Menge U(x) der Umgebungen ein Filter auf der Menge X , der Umgebungsfilter von x. Definition Eine Filterbasis B auf X ist eine Menge von Teilmengen von X mit (B1) B1 , B2 ∈ B =⇒ es gibt ein B ∈ B mit B ⊆ B1 ∩ B2 (B2) B  = ∅ (B3) ∅ ∈ /B



Eine Filterbasis B erzeugt einen Filter. B = {F ⊆ X | Es gibt ein B in B mit B ⊆ F.} Zum Beispiel ist in metrischen Räumen {U1/n (x) | n ∈ N} = U(x). Für topologische Räume X kann man einen Konvergenzbegriff für Filter folgendermaßen einführen.

4.3

Der Satz von Tychonoff

71

Definition Ein Filter F konvergiert gegen x ∈ X , wenn F den Umgebungsfilter U(x) enthält.  Dieser Begriff ist eng mit dem gewöhnlichen Konvergenzbegriff von Folgen (xn | n ∈ N) verwandt: Ist F der Filter aller Teilmengen, die fast alle Folgenglieder enthalten, so konvergiert die Folge gegen x genau dann, wenn der Filter F gegen x konvergiert. Definition Ein Filter F auf X heißt Ultrafilter, wenn jeder andere Filter auf X , der F enthält, mit F übereinstimmt.  Das Lemma von Zorn aus der Mengenlehre besagt, dass man in teilweise geordneten Mengen immer maximale Elemente hat, solange alle geordneten Teilmengen obere Schranken besitzen. Wendet man dies auf die Menge aller Filter an, die F enthalten, so erhält man: Satz 4.15 Jeder Filter liegt in einem Ultrafilter. Beweis Die oberen Schranken erhält man hierbei durch die Vereinigungen der Filter.



Ultrafilter haben eine überraschende Eigenschaft: Satz 4.16 Seien F ein Ultrafilter auf X und A eine Teilmenge von X . Dann enthält F immer A selbst oder das Komplement von A. Beweis Wenn es ein F ∈ F gibt, welches A nicht schneidet, so umfasst das Komplement von A die Menge F und liegt nach (F1) also im Filter. Wenn andererseits alle Mengen des Filters A schneiden, so ist F = {F ∩ A | F ∈ F} ein Filter, der A und die Mengen von F enthält und stimmt also mit F überein. Somit liegt dann A im Filter.  Satz 4.17 Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jeder Ultrafilter auf ihm konvergiert. Beweis Angenommen F ist ein nichtkonvergenter Ultrafilter auf X . Dann gibt es zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung U (x), die nicht im Filter liegt. Endlich viele U (x1 ), U (x2 ), . . . , U (xn ) überdecken X , wenn X kompakt ist. Weil diese Mengen nicht im Ultrafilter liegen, müssen ihre Komplemente in F liegen. Weil aber ihr Durchschnitt leer ist, liegt hier ein Widerspruch zu (F4) vor.

72

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Ist umgekehrt (Ui | i ∈ I ) eine Überdeckung von X ohne endliche Teilüberdeckung, so definiert    Ui | E ⊆ I endlich X\ i∈E

einen Filter. Seien F ein Ultrafilter, der diesen Filter enthält, und x sein Grenzwert. Das Element x liegt in einem Ui0 und somit liegt Ui0 im Filter F. Der Filter kann aber nicht  gleichzeitig Ui0 und sein Komplement enthalten, weil deren Durchschnitt leer ist. Beweis (Satz von Tychonoff) Um den Satz von Tychonoff zu beweisen, genügt es jetzt,  die Konvergenz von Ultrafiltern im Produkt X = i X i nachzuprüfen: Ist F ein Ultrafilter, so ist auch jede von seinen Projektionen erzeugte Menge Fi = {pri F | F ∈ F} ein Ultrafilter auf X i . Zum Beispiel sieht man die Filtereigenschaft (F1) von Fi wie folgt: Sei U eine Obermenge von pri F für ein F ∈ F. Dann liegt auch die Menge pri−1 U in F, weil sie F enthält und somit gilt U = pri (pri−1 U ) ∈ Fi . Zum Nachweis der Ultrafiltereigenschaft von Fi sei Fi in einem Filter G auf X i enthalten. Dann definiert

B = (pri−1 G) ∩ F | G ∈ G, F ∈ F eine Filterbasis, die F enthält. Sie erzeugt also F, weil F ein Ultrafilter ist. Für jedes G ∈ G liegt deshalb pri−1 G in F und somit G = pri (pri−1 G) in Fi . Wegen der Kompaktheit der X i konvergiert Fi gegen ein xi ∈ X i . Setze x = (xi | i ∈ I ). Dann konvergiert F gegen x, denn ist U eine Umgebung von x im Produkt, so gibt es Umgebungen U1 von xi1 in X i1 , …, Uk von xik in X ik mit  −1 U ⊇ pri−1 . U ∩ . . . ∩ pr U 1 k ik 1 Die U j liegen im Umgebungsfilter und somit in Fi j für alle j. Also gibt es V j ∈ F mit U j = pri j V j , und damit liegen auch die Obermengen pri−1 U j von V j in F. Weil Filter abgeschlossen sind j gegenüber endlichen Durchschnitten und Obermengenbildung, liegt auch U im Filter und der Beweis der Konvergenz ist vollendet. 

4.4

Abbildungsräume

73

Ergänzung ˇ Stone-Cech-Kompaktifizierung Es gibt neben der Ein-Punkt-Kompaktifizierung noch eine weitere Kompaktifizierung, die besonders für vollständig reguläre Räume X gute Eigenschaften hat. Um diese zu beschreiben, sei F die Menge aller stetigen Funktionen von X in das Intervall I = [0, 1] und

I i : X −→ F

gegeben durch i(x) = ( f (x) | f ∈ F). Dann ist nach dem Satz von Tychonoff

 I X = i(X ) ⊆ F

ˇ kompakt. Das ist die Stone-Cech-Kompaktifizierung von X . Man kann zeigen, dass sich eine stetige Abbildung von X in ein Kompaktum immer eindeutig auf  X fortsetzen lässt.

4.4

Abbildungsräume

In der linearen Algebra ist es eine wichtige Erkenntnis, dass die Menge der linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen V und W selbst auch die Struktur eines Vektorraumes trägt. Dieser Vektorraum wird meist mit Hom(V , W ) bezeichnet. Etwas Vergleichbares gibt es in der Topologie auch: Die Menge der stetigen Abbildungen zwischen zwei topologischen Räumen X und Y kann selbst wieder mit einer topologischen Struktur versehen werden. Ein ähnliches Vorgehen ist vielleicht aus der Funktionalanalysis bekannt, wo die Funktionenräume auch mit Topologien versehen werden, um diese Strukur ausnutzen zu können. Im Gegensatz zur Funktionalanalysis ist der allgemeinere Rahmen der Topologie aber viel größer, und nur in Spezialfällen wird man die dort gewohnten Topologien hier wiedererkennen (siehe etwa Satz 4.18). Die hier vorgestellte Topologie auf Abbildungsräumen ist allerdings nicht uneingeschränkt nützlich, so dass die unten aufgeführten Sätze immer einige technische Voraussetzungen haben. Eine dieser Voraussetzungen ist die lokale Version der Kompaktheitseigenschaft. Alternativ kann man die Betrachtung auf kompakt erzeugte Räume reduzieren. Diese Vorgehensweise wird am Ende dieses Kapitels in Abschn. 4.5 genauer beschrieben. Seien X und Y topologische Räume. Die Menge Hom(X , Y ) der stetigen Abbildungen von X nach Y soll jetzt mit einer Topologie versehen werden. Ist K ⊆ X kompakt und V ⊆ Y offen, so sollte jedenfalls M(K , V ) = { f ∈ Hom(X , Y ) | f (K ) ⊆ V } offen sein.

74

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Definition Eine Teilmenge U ⊆ Hom(X , Y ) heißt offen in der KO-Topologie, wenn es zu jedem f aus U endlich viele K j und V j wie oben gibt, so dass 

M(K j , V j ) ⊆ U

j

gilt. Mit anderen Worten, die Mengen M(K , V ) bilden die Subbasis der KO-Topologie auf Hom(X , Y ).  Beispiele Um mit dieser Definition etwas vertraut zu werden, nehmen wir an, dass X = {1, . . . , n} eine endliche diskrete Menge ist. Dann ist ϕ : Hom({1, . . . , n}, Y ) −→ Y n , f  −→ ( f (1), . . . , f (n)) stetig, denn ϕ −1 (V1 × · · · × Vn ) =

n 

M({ j}, V j ).

j=1

Auch die Umkehrabbildung ψ : Y n −→ Hom({1, . . . , n}, Y ), (y1 , . . . , yn )  −→ ( j  → y j ) ist stetig, denn

ψ −1 M(K , V ) =



pr −1 j (V )

j∈K

ist immer offen in

Y n.

Damit ist Hom({1, . . . , n}, Y ) ∼ = Y n gezeigt.

Der folgende Satz besagt, dass die KO-Topologie auch in anderen, für die Analysis typischen Situationen etwas Bekanntes liefert. Satz 4.18 Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und Y ein metrischer Raum. Dann ist die KOTopologie auf Hom(X , Y ) von der Metrik der gleichmäßigen Konvergenz d( f , g) = sup d( f (x), g(x)) x∈X

induziert. Beweis Wir betrachten zunächst ein f aus einer KO-offenen Menge der Form M(K , V ). Wir wollen zeigen, dass diese Menge dann auch eine ε–Umgebung von f enthält. Es gilt jedenfalls f (K ) ⊆ V . Zu jedem Punkt y aus f (K ) gibt es ein ε(y), so dass die ε(y)– Umgebung von y ganz in V liegt. Die ε(y)/2–Umgebungen der y überdecken ganz f (K ). Es gibt also eine endliche Teilmenge Y0 ⊆ f (K ), so dass die ε(y)/2–Umgebungen der y

4.4

Abbildungsräume

75

aus Y0 ganz f (K ) überdecken. Sei ε das Minimum der ε(y) mit y in Y0 . Ist dann g in der ε/2–Umgebung von f und x aus K , so liegt g(x) in der ε/2–Umgebung von f (x), und f (x) liegt in der ε(y)/2–Umgebung eines y aus Y0 . Wegen ε  ε(y) liegt g(x) dann in der ε(y)–Umgebung von y, also in V . Das zeigt g(K ) ⊆ V . Die ε/2–Umgebung von f liegt also ganz in M(K , V ). Durch Übergang zu einem weiteren Minimum sieht man, dass auch die endlichen Durchschnitte von Mengen der Form M(K , V ) noch ε–Umgebungen ihrer Punkte enthalten. Folglich ist jede KO-offene Menge auch offen bezüglich der Metrik der gleichmäßigen Konvergenz. Seien nun f und ε vorgegeben. Für jeden Punkt x aus X sei V (x) die ε/2–Umgebung von f (x). Deren Urbild ist eine offene Umgebung von x, enthält also eine kompakte Umgebung K (x). Es gibt dann eine endliche Menge X 0 ⊆ X mit  X= K (x). x∈X 0

Nach Konstruktion liegt f in der KO-offenen Menge  M(K (x), V (x)). x∈X 0

Liegt nun g darin, so liegt g in der ε–Umgebung von f : Jedes x aus X liegt in einem K (x), und dann liegen f (x ) und g(x ) in V (x), haben also zu f (x) einen Abstand kleiner als ε/2. Ihr Abstand zueinander ist somit kleiner als ε.  Nachdem geklärt ist, wie die KO-Topologie in relevanten Beispielen aussieht, soll sie nun systematisch studiert werden. Das bedeutet insbesondere, dass man nicht einfach aus Räumen X und Y einen neuen Raum Hom(X , Y ) konstruiert; stattdessen sollte man sich auch gleich um die Verträglichkeit dieser Konstruktion mit stetigen Abbildungen kümmern. Satz 4.19 Für jede stetige Abbildung f : Y → Y wird durch f ∗ (g) = f g eine stetige Abbildung f ∗ : Hom(X , Y ) −→ Hom(X , Y ) induziert, und für jede stetige Abbildung f : X → X wird durch f ∗ (g) = g f eine stetige Abbildung f ∗ : Hom(X , Y ) −→ Hom(X , Y ) induziert. Beweis Aus und

( f ∗ )−1 M(K , V ) = M(K , f −1 (V ))

76

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

( f ∗ )−1 M(K , V ) = M( f (K ), V ) 

folgt sofort, dass die Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Sei f : X × Y → Z eine stetige Abbildung. Dann ist für jedes x aus X die Abbildung f # (x) : Y −→ Z , y  −→ f (x, y) stetig. Das liefert also eine Abbildung f # : X −→ Hom(Y , Z ).



Definition Die Abbildung f # heißt die zu f adjungierte Abbildung. Satz 4.20 Für jede stetige Abbildung ist auch die adjungierte Abbildung stetig.

Beweis Es reicht zu zeigen, dass die Urbilder der Mengen M(L, W ) offen sind, wenn L ⊆ Y kompakt und W ⊆ Z offen ist. Sei also x ein Punkt des Urbildes. Dann gilt f ({x}× L) ⊆ W . Wegen der Stetigkeit von f und der Kompaktheit von L gibt es dann sogar eine offene Umgebung U von x in X mit f (U × L) ⊆ W (Abb. 4.8). Das bedeutet aber, dass ganz U im Urbild liegt. Dieses ist damit offen.  Der vorangehende Satz zeigt die wichtigste Methode auf, stetige Abbildungen in Abbildungsräume zu definieren. Adjungieren liefert insgesamt eine Abbildung Hom(X × Y , Z ) −→ Hom(X , Hom(Y , Z )).

Abb. 4.8 Zum Beweis von Satz 4.20

L

f −1 W

(

U ) x

4.4

Abbildungsräume

77

Sie ist immer injektiv, und man kann sich fragen, unter welchen Voraussetzungen sie auch surjektiv, also bijektiv ist. Satz 4.21 (Exponentialgesetz) Ist Y lokal kompakt, so ist die Adjunktion Hom(X × Y , Z ) −→ Hom(X , Hom(Y , Z )) bijektiv. Beweis Es ist nur noch die Surjektivität zu zeigen. Sei dazu f : X ×Y → Z eine Abbildung, deren adjungierte Abbildung f # : X → Hom(Y , Z ) stetig ist. Dann reicht es, die Stetigkeit von f in jedem Punkt (x, y) zu zeigen. Weil f # (x) stetig ist und Y lokal kompakt ist, gibt es zu jeder offenen Umgebung W von f (x, y) in Z eine kompakte Umgebung L von y in Y mit f # (x)(L) ⊆ W . Da f # stetig ist, ist U = ( f # )−1 M(L, W ) = {x ∈ X | f # (x )(L) ⊆ W } eine offene Umgebung von x in X . Dann ist aber U ×L eine Umgebung von (x, y) mit f (U × L) = f # (U )(L) ⊆ W .  Quelle und Ziel der Adjunktion f  → f # tragen auch die KO-Topologie, und man kann sich fragen, ob diese Abbildung stetig, offen oder gar ein Homöomorphismus ist. Das soll an dieser Stelle aber nicht verfolgt werden. Folgerung 4.22 Ist X lokal kompakt, so ist die Auswertung ev : Hom(X , Y ) × X −→ Y , ( f , x)  −→ f (x) stetig. Beweis Die Auswertung ist zur Identität von Hom(X , Y ) adjungiert.



Folgerung 4.23 Sind X und Y lokal kompakt, so ist die Komposition Hom(Y , Z ) × Hom(X , Y ) −→ Hom(X , Z ), (g, f )  −→ g f stetig. Beweis Es reicht in jedem Falle, die adjungierte Abbildung zu betrachten. Das Diagramm

78

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Hom(Y , Z ) × Hom(X , Y ) × X

Z

Hom(Y , Z ) × Y

id×ev

ev

zeigt, dass die adjungierte Abbildung die Komposition zweier stetiger Abbildungen ist.  Zum Abschluss dieses Kapitels soll ein Anwendungsbeispiel des Exponentialgesetzes demonstriert werden, bei dem die universellen Eigenschaften aller Konstruktionen elegant zum Einsatz kommen. Folgerung 4.24 Gegeben sei ein lokal kompakter Raum Y und eine Identifizierung p : X → X . Dann ist auch das Produkt p × id : X × Y −→ X × Y eine Identifizierung. Beweis Seien T ein topologischer Raum, f : X × Y → T eine Abbildung und f ( p × id) stetig. Zu zeigen ist, dass dann auch f stetig ist. In dem Diagramm X

p

f#p

X f#

Hom(Y , T ) ist die Komposition f # p stetig, weil sie adjungiert zu f ( p × id) ist. Also folgt, dass f # stetig ist, denn p ist eine Identifizierung. Schließlich folgt die Stetigkeit für f wieder aus dem Exponentialgesetz. 

Übungen Ü78 – Konstante Abbildungen Sind X und Y topologische Räume, so kann jedem Punkt aus Y die entsprechende konstante Abbildung zugeordnet werden: Y −→ Hom(X , Y ), y  −→ (x  → y). Diese Abbildung ist stetig. Wie sieht die dazu adjungierte Abbildung aus?

4.5

Lokal kompakt erzeugte Räume

79

Ü79 – Hausdorff-Abbildungsräume Ein topologischer Raum Y ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn für alle topologischen Räume X der Abbildungsraum Hom(X , Y ) ein Hausdorff-Raum ist. Ü80 – Produkt und Summe Seien X , Y und Z topologische Räume. Die universellen Eigenschaften des Produktes und der Summe liefern Bijektionen ∼ =

Hom(X + Y , Z ) −→ Hom(X , Z ) × Hom(Y , Z ), ∼ =

Hom(X , Y × Z ) −→ Hom(X , Y ) × Hom(X , Z ). Sind diese stetig? Sind sie Homöomorphismen? Ü81 – Exponential fehlt Entsteht X aus R, indem man die Teilmenge Z zu einem Punkt identifiziert, so ist p × id : R × Q → X × Q weder abgeschlossen noch eine Identifizierung.

4.5

Lokal kompakt erzeugte Räume

In diesem Abschnitt, der bei der ersten Lektüre übergangen werden kann, wird eine Kategorie topologischer Räume eingeführt, in der die Exponentialgesetze uneingeschränkt gelten und die mit den üblichen Konstruktionen wie Teilräumen, Produkten, Summen und Identifizierungen ausgestattet ist. Die Hauptreferenz ist [McC69]. Es wird hier im Unterschied zur Originalarbeit allerdings auf die Hausdorff-Eigenschaft der Kompakta verzichtet und stattdessen mit lokal kompakten Räumen gearbeitet. Dieser Zugang ist angemessen, weil bereits eine allgemeine Form der Exponentialgesetze für alle lokal kompakten Räume bewiesen wurde. Die Darstellung wird hierdurch klarer und mehr Räume bleiben unverändert. Die klassischen kompakt erzeugten Räume erhält man, wenn man die lokal kompakten Räume durch kompakte Hausdorff-Räume ersetzt. Definition Sei K die Klasse der lokal kompakten Räume. Für einen topologischen Raum X setzt man X (K) = {s : K → X | s ist stetig und K ∈ K}. Ein topologischer Raum X heißt lokal kompakt erzeugt oder kürzer k–Raum, falls er die von X (K) coinduzierte Topologie trägt.  Eine Abbildung f : X → T in einen beliebigen Raum T ist also genau dann stetig, wenn für jede stetige Abbildung s : K → X die Komposition f s stetig ist.

80

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Beispiele Alle lokal kompakten Räume sind lokal kompakt erzeugt wie man sich schnell überlegt. Erfüllt X das erste Abzählbarkeitsaxiom (etwa weil X ein metrischer Raum ist), so ist X ein k–Raum. Um dies einzusehen, sei A ⊆ X eine Teilmenge von X , für die s −1 A abgeschlossen ist für alle s ∈ X (K). Seien ferner a ∈ A und (Un | n ∈ N) eine Umgebungsbasis von a. Konstruiere eine konvergente Folge (an ) mit an ∈ A ∩ U 1 ∩ U 2 ∩ . . . ∩ U n . Dann ist die Abbildung s : {0} ∪ {1/n | n ∈ N} −→ X mit s(n) = an und s(0) = a stetig. Das Urbild s −1 A enthält die Folge (1/n) und ist nach Voraussetzung abgeschlossen. Also liegt auch die Null im Urbild, und es gilt a ∈ A. Ist X ein beliebiger topologischer Raum, so kann man ihn immer zu einem lokal kompakt erzeugten Raum machen, indem man die Topologie wie folgt abändert: Definition Für einen topologischen Raum (X , T) bezeichne k X den Raum (X , kT), wobei kT die durch X (K) coinduzierte Topologie ist. Man nennt k X den von X lokal kompakt erzeugten Raum.  Notiz Ist f : X → Y stetig, so auch die Abbildung k f : k X −→ kY , x  → f (x). Man bemerke, dass k X mit X übereinstimmt, wenn X bereits lokal kompakt erzeugt ist. Der folgende Satz besagt, dass die volle Unterkategorie der lokal kompakt erzeugten Räume abgeschlossen gegenüber allen wichtigen universellen Konstruktionen ist. Beim Coinduzieren bleiben die Räume unverändert. Satz 4.25 (a) Ist p : X → X eine Identifizierung, so ist mit X auch X lokal kompakt erzeugt.  (b) Ist X j für jedes j ∈ J lokal kompakt erzeugt, so auch deren Summe j∈J X j . (c) Ist X lokal kompakt erzeugt und i : M ⊆ X , so hat k(i) : k M → X die universelle Eigenschaft eines Teilraumes für alle k–Räume.  (d) Ist X j für jedes j ∈ J lokal kompakt erzeugt, so hat k( j∈J X j ) die universelle Eigenschaft eines Produktes für alle k–Räume. Beweis Sei f : X → T eine Abbildung, deren Komposition mit allen s : K → X stetig ist. Dann gilt dies insbesondere für alle s von der Form ps mit s ∈ X (K). Weil X lokal

4.5

Lokal kompakt erzeugte Räume

81

kompakt erzeugt ist, muss also f p stetig sein. Schließlich muss auch f stetig sein, weil p eine Identifizierung ist. Die Aussage (b) zeigt man ganz analog. Für (c) seien f : T → k(M), T lokal kompakt erzeugt und k(i) f stetig vorgegeben. Es muss gezeigt werden, dass f stetig ist. Hierzu genügt es, die Stetigkeit von f s nachzuweisen für jedes s : K → T . In dem Diagramm M fs

i

id

K

k(M) s

k(i)

f

X

k(i) f

T ist die Abbildung f s : K → M stetig, weil M die Teilraumeigenschaft hat und k(i) f s stetig ist. Damit ist aber auch die Abbildung von K nach k(M) stetig, weil K lokal kompakt ist und eine offene Teilmenge von k(M) immer ein offenes Urbild hat unter allen stetigen Abbildungen eines Lokalkompaktums nach M. Ähnlich verfährt man bei (d).  Definition Für k–Räume X , Y setzt man X ×k Y = k(X × Y ) und M ⊆k X = k(M).  Beispiele Sind X lokal kompakt erzeugt und Y lokal kompakt, so ist X × Y lokal kompakt erzeugt, und es gilt X ×k Y = X × Y . Um dies einzusehen, sei f : X × Y → T eine beliebige Abbildung, die verknüpft mit jeder stetigen Abbildung von einem Lokalkompaktum stetig ist. Es genügt die Stetigkeit der zu f adjungierten Abbildung f # : X −→ Hom(Y , T ) nachzuweisen. Weil X lokal kompakt ist, darf diese verknüpft werden mit einem s ∈ X (K). Die Adjungierte zu f # s hat die Form K ×Y

s×id

X ×Y

f

T

und ist stetig, weil Y lokal kompakt ist. Also folgt die Behauptung wieder aus dem Exponentialgesetz.

82

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Definition Sei T die von allen Abbildungen s ∗ : Mor(X , Y ) −→ Hom(K , Y ) für s ∈ X (K) induzierte Topologie auf Mor(X , Y ), wobei die Ziele Hom(K , Y ) die KOTopologie tragen. Da die Abbildungen s ∗ stetig sind, wenn Mor(X , Y ) auch mit der KOTopologie versehen wird, ist die Topologie T möglicherweise gröber als die KO-Topologie. Die k–Abbildungsräume sind nun durch Homk (X , Y ) = (Mor(X , Y ), kT) 

definiert. Satz 4.26 (Exponentialgesetz für lokal kompakt erzeugte Räume) Für alle lokal kompakt erzeugten Räume X , Y , Z ist die Adjunktionsabbildung Homk (X ×k Y , Z ) −→ Homk (X , Homk (Y , Z )), f  → f # ein Homöomorphismus.

Beweis Zunächst muss gezeigt werden, dass mit f auch f # stetig ist. Hierzu sei s ∈ X (K). Die Komposition f # s : K −→ Homk (Y , Z ) ist genau dann stetig, wenn die gleiche Abbildung nach (Mor(Y , Z ), T) stetig ist, weil K lokal kompakt ist. Letztere ist stetig, wenn sie komponiert mit t ∗ für jedes t ∈ Y (K) stetig ist. Diese Abbildungen sind allerdings adjungiert zu f (s × t) und somit stetig. Sei jetzt f # als stetig vorausgesetzt. Sei s : K → X ×k Y eine stetige Abbildung von einem Lokalkompaktum K und seien s X = pr X s, sY = pr Y s die jeweiligen Komponenten. Dann genügt es zu zeigen, dass die Abbildung g = f (s X × sY ) : K × K −→ Z stetig ist, denn es gilt g = f s, und die Diagonalabbildung  : K → K × K ist stetig. Die Adjungierte zu g hat die Form g # = sY∗ f # s X und ist somit stetig. Damit ist die Adjunktionsabbildung jedenfalls wohldefiniert und bijektiv. Insbesondere ist die Evaluationsabbildung ev : Homk (X , Y ) ×k X −→ Y

4.5

Lokal kompakt erzeugte Räume

83

wegen ev# = idHomk (X ,Y ) stetig. Die Stetigkeit der Adjunktionsabbildung ergibt sich jetzt durch Adjungieren der Komposition Homk (X ×k Y , Z ) ×k X ×k Y

ev

Z .

Ähnlich erhält man die Stetigkeit der Inversen durch Homk (X , Homk (Y , Z )) ×k X ×k Y

ev

Homk (Y , Z ) ×k Y

ev

Z . 

Definition Ein k–Raum X heißt Schwach-Hausdorff-Raum, falls die Diagonale  = {(x, x) | x ∈ X } ⊆ X ×k X 

abgeschlossen ist.

Beispiele Ist X lokal kompakt, so ist X genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn X ein Schwach-Hausdorff-Raum ist. Im Allgemeinen gibt es aber in dem lokal kompakt erzeugten Produkt mehr abgeschlossene Teilmengen und die obige Eigenschaft ist echt schwächer. Die wichtigsten Eigenschaften der Schwach-Hausdorff-Räume sind in dem folgenden Omnibussatz zusammengefasst. Diese Klasse topologischer Räume verhält sich also abgeschlossen gegenüber allen wichtigen Konstruktionen und bietet somit in vielen Situationen der Topologie eine bequeme Arbeitsumgebung. Satz 4.27

(a) (b) (c) (d)

Jeder Schwach-Hausdorff-Raum erfüllt die Trennungseigenschaft (T1). Ist Y ein Schwach-Hausdorff-Raum, so auch Homk (X , Y ) für alle X . Alle k–Produkte und k–Teilräume erhalten die Schwach-Hausdorff-Eigenschaft. Es gelten die Exponentialgesetze Homk (X ×k Y , Z ) ∼ = Homk (X , Homk (Y , Z ))

für Schwach-Hausdorff-Räume. (e) Beliebige Summen von Schwach-Hausdorff-Räumen sind Schwach-Hausdorff-Räume. Beweis Angenommen es gibt zwei verschiedene Punkte in X , die sich nicht durch Umgebungen trennen lassen. Dann gibt es eine injektive stetige Abbildung f eines nicht diskreten Raumes Z mit zwei Punkten nach X . Das Urbild der Diagonalen  X unter f ×k f ist die

84

4 Kompaktheit und Abbildungsräume

Diagonale von Z , und diese ist somit abgeschlossen. Das ist allerdings unmöglich, weil Z kein Hausdorff-Raum ist. Der Beweis von (b) ergibt sich aus der Beschreibung der Diagonalen von Hom k (X , Y ) als Schnitt  (evx ×k evx )−1 Y Homk (X ,Y ) = x∈X

von abgeschlossenen Mengen. Für (c) sei i die Inklusionsabbildung eines k–Teilraumes M von X . Dann ist  M als Urbild der Diagonalen von X unter i ×k i abgeschlossen. Bei Produkten beachte man, dass die Diagonale der Schnitt der Diagonalenurbilder unter den Projektionsprodukten (pri ×k pri ) ist. Die Exponentialgesetze (d) ergeben sich wegen (b) und (c) jetzt unmittelbar aus den Gesetzen für k–Räume. Die Aussage (e) über Summen ergibt sich aus dem Isomorphismus        X i ×k Xi ∼ X i ×k X j , = i∈I

i∈I

i, j∈I

den man durch Überprüfen der universellen Eigenschaft aus dem Exponentialgesetz erhält.  Satz 4.28 Es gibt einen Funktor, der jedem k–Raum X einen Schwach-Hausdorff-Raum s H (X ) so zuordnet, und eine natürliche Transformation p : X → s H (X ), so dass die induzierte Abbildung Mor(s H (X ), Y ) ∼ = Mor(X , Y ) für alle Schwach-Hausdorff-Räume Y bijektiv ist. Ist q : X → X eine Identifizierung und X ein Schwach-Hausdorff-Raum, so hat X

∼ =

s H (X )

s H (q)

s H (X )

die universelle Eigenschaft einer Identifizierung in der vollen Unterkategorie der SchwachHausdorff-Räume. Beweis Sei R der Durchschnitt aller Äquivalenzrelationen auf X , die abgeschlossen in X ×k X sind. Seien s H (X ) der dazugehörige Quotientenraum und p die Projektionsabbildung. Die Menge R ist dann das Urbild der Diagonalen unter p ×k p : X ×k X −→ s H (X ) ×k s H (X ).

4.5

Lokal kompakt erzeugte Räume

85

Mithilfe der Exponentialgesetze kann man wieder erkennen, dass p×k p eine Identifizierung ist. Weil R abgeschlossen ist, muss also s H (X ) ein Schwach-Hausdorff-Raum sein. Die Äquivalenzrelation ist verträglich mit stetigen Abbildungen, weil Urbilder abgeschlossener Äquivalenzrelationen wieder solche sind. Insgesamt ergeben sich also der Funktor s H und die natürliche Transformation p : X → s H (X ). Es bleibt zu zeigen, dass jede stetige Abbildung f von X in einen Schwach-HausdorffRaum Y über s H (X ) faktorisiert. Dies ist aber klar, denn die kleinste abgeschlossene Äquivalenzrelation auf Y ist die Diagonale und somit ist Y ∼ = s H (Y ). Also liefert s H ( f ) die gewünschte Faktorisierung. Die zweite Aussage folgt wieder aus allgemeinen Gründen: Sind T ein SchwachHausdorff-Raum und f : sh(X ) → T eine Abbildung, für die s H (q) f stetig ist, so ist auch qp f : X → T stetig. Weil p und q Identifizierungen sind, muss f stetig sein und die Behauptung folgt. 

5

Transformationsgruppen

Inhaltsverzeichnis 5.1 5.2 5.3

Grundbegriffe der äquivarianten Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homogene Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigentliche Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 92 98

In diesem Kapitel werden die Symmetrien topologischer Räume untersucht. Auf diese Weise entstehen interessante neue topologische Objekte, die eine gesonderte Betrachtung verdienen. Es ist allerdings auch möglich, dieses Kapitel zunächst nur zu überfliegen und später (etwa für Kap. 8) zu ihm zurückzukehren. Für eine nähere Beschäftigung mit der Theorie der Transformationsgruppen sei [tD87] empfohlen.

5.1

Grundbegriffe der äquivarianten Topologie

Definition Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe G zusammen mit einer Topologie auf G, so dass die Abbildungen m : G × G −→ G, (g, h)  −→ gh i : G −→ G, g  −→ g −1 

stetig sind. Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_5.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_5

87

88

5 Transformationsgruppen

Beispiele Jede Gruppe ist eine topologische Gruppe bezüglich der diskreten Topologie. Auf diese Weise werden Gruppen oft topologisiert. Jede Gruppe ist allerdings auch eine topologische Gruppe bezüglich der Klumpentopologie. Das ist nicht so wichtig. Typische Beispiele für topologische Gruppen sind durch Matrizengruppen gegeben. Die Gruppe G L(2, R) der invertierbaren (2, 2)–Matrizen kann als offener Unterraum des R4 aufgefasst werden:    a b G L(2, R) = | ad − bc  = 0 . c d Multiplikation und Inversion sind durch die Formeln         aa + bc ab + bd  a b a b = c d  ca  + dc cb + dd  c d und

   −1 1 d −b a b = c d ad − bc −c a

gegeben, also ersichtlich stetig. Auch die Matrizengruppen G L(n, R) und G L(n, C) höheren Ranges sind topologische Gruppen, genauso wie ihre abgeschlossenen Untergruppen S L(n, R) und S L(n, C) derjenigen Matrizen, deren Determinante 1 ist. Die Gruppen O(n) der orthogonalen Matrizen und U (n) der unitären Matrizen sowie S O(n) und SU (n) sind sogar kompakt. Die Gruppe U (1) besteht aus den (1, 1)–Matrizen komplexer Zahlen von Einheitslänge; sie ist somit zum Kreis S 1 homöomorph. Gruppen, die gleichzeitig Mannigfaltigkeiten sind, und deren Multiplikationsabbildung glatt ist, heißen übrigens Lie-Gruppen. Sie sind auch topologische Gruppen, denn die Glattheit der Inversion folgt aus dem Satz über implizit definierte Funktionen. Topologische Gruppen treten immer da auf, wo es darum geht, stetige Symmetrien von topologischen Räumen zu untersuchen. Dazu lässt man die Gruppen auf den Räumen operieren: Definition Sind G eine topologische Gruppe und X ein topologischer Raum, so ist eine stetige Operation von G auf X eine stetige Abbildung m : G × X → X, die (g, x)  → gx notiert wird, und den Rechenregeln 1x = x sowie g(hx) = (gh)x genügt. Das Paar (X , m) wird dann ein G–Raum genannt. Genauer werden so G–Linksoperationen und G–Linksräume definiert. Analog kann man auch G–Rechtsoperationen und G– Rechtsräume durch stetige Abbildungen m : X × G −→ X definieren, die x1 = x und (xg)h = x(gh) erfüllen.



5.1

Grundbegriffe der äquivarianten Topologie

Notiz Mittels der Formel

89

xg = g −1 x

kann jeder Linksraum in einen Rechtsraum überführt werden und umgekehrt. Beispiele Die topologische Gruppe G L(n, R) operiert auf Rn durch Multiplikation. Entsprechendes gilt auch für die anderen Matrizengruppen. Ein einfaches Beispiel eines G–Raumes ist G selbst, aufgefasst als G–Raum vermöge der Multiplikation. Die Gruppe G operiert auf sich selbst aber auch durch Konjugation (g, x)  → gxg −1 . Ist G abelsch, so ist diese Operation trivial in dem folgenden Sinn: Definition Ein G–Raum X heißt trivial, wenn immer gx = x gilt.



Ist X ein G–Raum, so liefert jedes Gruppenelement g einen Homöomorphismus X → X , x  → gx von X , und die Rechenregeln besagen gerade, dass die zur Operation adjungierte Abbildung von G in die Homöomorphismengruppe ein Gruppenhomomorphismus ist. Ist X lokal kompakt, so definiert auch umgekehrt jeder stetige Gruppenhomomorphismus von G in die Homöomorphismengruppe eine Operation. In diesem Fall ist es also unwesentlich, welchen Standpunkt man einnimmt. Es stellt sich hier die Frage, ob man für G die Homöomorphismengruppe selbst und als Abbildung die Identität wählen darf. Der folgende Satz sagt, wann das geht und liefert somit weitere wichtige Beispiele für Operationen. Satz 5.1 Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum. Dann ist die Gruppe Aut(X ) der Homöomorphismen von X eine topologische Gruppe bezüglich der KO-Topologie. Sie operiert stetig auf X . Beweis Da X lokal kompakt ist, ist die Komposition Hom(X , X ) × Hom(X , X ) −→ Hom(X , X ) stetig. Durch Einschränkung folgt dann, dass auch die Gruppenmultiplikation stetig ist. Ebenso folgt die Stetigkeit der Operation aus der Stetigkeit der Auswertung für lokal kompakte Räume. Es bleibt zu zeigen, dass die Inversion i : Aut(X ) −→ Aut(X ), f  −→ f −1

90

5 Transformationsgruppen

stetig ist. Ist K ⊆ X kompakt und U ⊆ X offen, so bildet f −1 die Menge K genau dann nach U ab, wenn X \ U von f nach X \ K abgebildet wird. Es gilt also i −1 M(K , U ) = M(X \ U , X \ K ), und nach Voraussetzung an X ist X \ U kompakt und X \ K offen. Das zeigt die Stetigkeit von i. Adjunktion liefert die Stetigkeit der Operation.  Definition Sind X und Y zwei G–Räume, so ist eine stetige Abbildung ϕ : X → Y eine stetige G–Abbildung oder G–äquivariant, wenn immer ϕ(gx) = gϕ(x) gilt.  Die G–Räume bilden zusammen mit den stetigen G–Abbildungen eine Kategorie. Für den Fall der trivialen Gruppe ist das genau die Kategorie der topologischen Räume. Definition Sind X ein G–Raum und x ein Punkt darin, so ist G −→ X , g  −→ gx eine stetige G–Abbildung – als Komposition der Abbildung von G nach G × X , welche auf dem ersten Faktor die Identität und auf dem zweiten konstant x ist, und der Operation. Ihr Bild in X ist die Bahn Gx von x (Abb. 5.1). Das Urbild von x in G ist eine Untergruppe, der Stabilisator G x von x. Eine Operation heißt frei, wenn jeder Stabilisator trivial ist. In diesem Falle ist die Abbildung injektiv, liefert also eine Bijektion von G mit der Bahn durch x.  Ist X ein G–Raum, so wird die Bahnenmenge X /G = {Gx | x ∈ X } zu einem Quotientraum von X , so dass die Abbildung X → X /G, welche jedem Punkt seine Bahn zuordnet, eine Identifizierung ist. Ist U ⊆ X offen, so ist

Abb. 5.1 Bahnen der orthogonalen Gruppe O(2) in der Ebene R2

5.1

Grundbegriffe der äquivarianten Topologie

p −1 ( p(U )) =

91



gU

g∈G

offen, also p(U ) offen. Damit wurde gezeigt: Notiz Die Quotientabbildung X → X /G ist immer offen. Sie ist somit eine Identifizierung mit besonderen Eigenschaften.

Ergänzung Darstellungen Eine Darstellung einer topologischen Gruppe G ist eine Linksoperation von G auf einem Vektorraum V , für die alle Abbildungen L g : V −→ V ; v  → gv linear sind. Ist V der Vektorraum Cn , so entspricht einer Darstellung genau einem stetigen Gruppenhomomorphismus G −→ G L(n, C). Ist diese Abbildung injektiv, so spricht man von einer treuen Darstellung, und jedes Element wird dann eindeutig durch die dazugehörige Matrix dargestellt. Die Theorie der Darstellungen ist besonders gut für endliche Gruppen und für kompakte Lie-Gruppen verstanden. Zum Beispiel sagt ein Satz von Peter und Weyl, dass jede kompakte Lie-Gruppe eine treue Darstellung hat und somit eine abgeschlossene Untergruppe von G L(n, C) ist, siehe etwa [BtD95] Theorem 4.1.

Übungen Ü82 – Getrennt gruppiert Sei G eine Gruppe mit einer Topologie, die die Trennungseigenschaft (T1) hat. Zeigen Sie, dass G genau dann eine topologische Gruppe ist, wenn die Abbildung G × G −→ G; (g, h)  → gh −1 stetig ist. Ü83 – Berührpunkte multiplizieren Ist H eine Untergruppe einer topologischen Gruppe G, so sind H und H zusammen mit der Unterraumtopologie und Multiplikation in G topologische Gruppen.

92

5 Transformationsgruppen

Ü84 – Teilverklumpt und radial Beschreiben Sie den Bahnenraum C/G L(1, C). Zeigen Sie auch, dass C/U (1) homöomorph zum Intervall [0, ∞[ ist. Ü85 – Schleifengruppen Seien G eine topologische Gruppe und X ein topologischer Raum. Dann ist der Abbildungsraum Hom(X , G) eine topologische Gruppe bezüglich der punktweisen Multiplikation: ( f · f  )(x) = f (x) · f  (x). Ist X = S 1 , so ist das die Schleifengruppe von G. Ü86 – Wie es sich gehört Jede stetige G–Abbildung ϕ : X → Y induziert eine stetige Abbildung ϕ/G : X /G → Y /G zwischen den Bahnenräumen.

5.2

Homogene Räume

Ist H eine Untergruppe von einer topologischen Gruppe G, so operiert H durch Rechtsmultiplikation auf G, und der Bahnenraum G/H ist dann der Raum der Bahnen g H = {gh|h ∈ H }. Die Bahnen sind im Gegensatz zu allgemeinen Operationen immer homöomorph zueinander. Sie werden auch Rechtsnebenklassen genannt. Man beachte: Die Bezeichnung G/H wird auch für das Zusammenschlagen von H in G zu einem Punkt verwendet. Das ist im Kontext der topologischen Gruppen aber selten gemeint. Man mache sich den Unterschied am Beispiel R/Z klar. Satz 5.2 Der Raum G/H ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn H abgeschlossen in G ist. Beweis Ist G/H ein Hausdorff-Raum, so ist die einpunktige Teilmenge {1H } in G/H abgeschlossen, also deren Urbild H unter der stetigen Abbildung p : G → G/H auch. Sei nun H abgeschlossen. Dann ist auch das Urbild von H unter der stetigen Abbildung G × G −→ G, (g, g  )  −→ g −1 g  abgeschlossen. Das ist die Menge der Paare (g, g  ) mit g H = g  H , also die Äquivalenzrelation, die zu der Surjektion p gehört. Da p auch offen ist, impliziert die Abgeschlossenheit der Äquivalenzrelation, dass der Quotient ein Hausdorff-Raum ist.  Satz 5.3 Die Quotientabbildung p : G → G/H ist genau dann eigentlich, wenn H kompakt ist.

5.2

Homogene Räume

93

Beweis Ist p eigentlich, so ist das Urbild H von {1H } kompakt. Sei nun umgekehrt H kompakt. Die Fasern von p sind die Nebenklassen von H , also kompakt. Es bleibt zu zeigen, dass p abgeschlossen ist. Da p eine Identifizierung ist, reicht es zu zeigen, dass für jedes abgeschlossene A in G die Menge p −1 ( p(A)) abgeschlossen in G ist. Nun ist p −1 ( p(A)) = AH . Sei g im Komplement davon. Für alle h aus H ist G \ Ah offen und enthält g. Es gibt also offene Umgebungen U (h) von g und V (h) von 1 mit U (h)V (h) ⊆ G \ Ah, also U (h)V (h) ∩ Ah = ∅, also U (h) ∩ AhV (h)−1 = ∅. Da H kompakt ist, gibt es eine endliche Teilmenge H0 ⊆ H mit  H⊆ hV (h)−1 . h∈H0

Sei



U=

U (h).

h∈H0

Dann ist U eine offene Umgebung von g. Träfe sie AH , so gäbe es ein u aus U der Form u = ah mit einem a aus A und einem h aus H . Nun liegt h aber in h 0 V (h 0 )−1 für ein h 0 aus H0 ,  also ah ∈ Ah 0 V (h 0 )−1 . Diese Menge ist aber disjunkt zu U (h 0 ) ⊇ U . Durch Linksmultiplikation ist G/H ein G–Raum. Die Stetigkeit erkennt man am kommutativen Diagramm G×G

m

id G × p

G p

G × G/H

G/H .

Da p nicht nur eine Identifizierung, sondern sogar offen ist, ist auch id G × p offen, also eine Identifizierung, und pm ist stetig. Definition Jeder G–Raum X , der G–homöomorph zu einem der G–Räume G/H ist, heißt ein homogener G–Raum.  Eine G–Menge X ist transitiv, wenn sie aus genau einer Bahn besteht. Auf homogenen G– Räumen operiert die Gruppe G transitiv. Ist N ein Normalteiler in G, gilt also gN = Ng für alle g, so ist G/N nicht nur ein Raum, sondern auch eine Gruppe. Die Gruppenmultiplikation in G/N ist dann durch

94

5 Transformationsgruppen

(g N )(h N ) = (gh)N wohldefiniert. Mit einem ähnlichen Diagrammargument wie oben zeigt man, dass G/N dann auch eine topologische Gruppe ist. Ist X ein G–Raum und x ein Punkt daraus, so induziert die bereits oben erwähnte Abbildung G → X , g  → gx eine stetige G–Bijektion G/G x → Gx. In vielen Beispielen ist diese Abbildung ein G–Homöomorphismus. Beispiele Eine schöne Klasse von Beispielen wird von der linearen Algebra geliefert. Die unitäre Gruppe U (n) operiert auf Cn durch Multiplikation von Matrizen mit Vektoren. Diese Operation ist nicht transitiv, aber die Einschränkung auf die Sphäre S 2n−1 in Cn ist es, weil man jeden Vektor von Einheitslänge zu einer Orthonormalbasis ergänzen kann. Der Stabilisator eines solchen Vektors besteht aus den unitären Transformationen des orthogonalen Komplementes, kann also mit U (n − 1) identifiziert werden. Man sieht so U (n)/U (n − 1) ∼ = S 2n−1 , denn die obige Abbildung ist eine stetige Bijektion von einem kompakten in einen HausdorffRaum. Mit reellen Matrizen erhält man O(n)/O(n − 1) ∼ = S n−1 . Allgemeiner betrachtet man die Operation von U (n) auf dem k–fachen Produkt (Cn )k = Cn × · · · × Cn durch komponentenweise Operation: A(v1 , . . . , vk ) = (Av1 , . . . , Avk ). Sei nun Vk (Cn ) ⊆ Cn × · · · × Cn die Teilmenge der Orthonormalsysteme, die in diesem Zusammenhang auch k–Beine genannt werden. Dann operiert U (n) transitiv auf Vk (Cn ), und der Stabilisator eines k–Beines besteht aus den unitären Transformationen des orthogonalen Komplementes, kann also mit U (n − k) identifiziert werden. Es folgt U (n)/U (n − k) ∼ = Vk (Cn ). Die Räume Vk (Cn ) werden übrigens Stiefel-Mannigfaltigkeiten genannt. Die GrassmannMannigfaltigkeit G k (Cn ) ist die Menge der k–dimensionalen Untervektorräume von Cn . Da jeder solche Untervektorraum eine Orthonormalbasis hat, gibt es eine surjektive Abbildung

5.2

Homogene Räume

95

Vk (Cn ) −→ G k (Cn ), welche jedem k–Bein den davon erzeugten Untervektorraum zuordnet. Diese Abbildung macht die Grassmann-Mannigfaltigkeit zu einem Quotienten der Stiefel-Mannigfaltigkeit. Ein Hauch linearer Algebra zeigt, dass die Untergruppe U (k) von U (n) frei auf Vk (Cn ) operiert. Die obige Abbildung induziert einen Homöomorphismus Vk (Cn )/U (k) ∼ = G k (Cn ). Zusammen mit der Darstellung der Stiefel-Mannigfaltigkeit als homogener Raum erhält man so einen Homöomorphismus U (n)/(U (k) × U (n − k)) ∼ = G k (Cn ). Der Fall k = 1 ist besonders prominent. Der Raum G 1 (Cn ) ist der Raum der Geraden in Cn , auch bekannt als der komplex projektive Raum CP n−1 der komplexen Dimension n − 1. Wie oben gibt es einen Homöomorphismus S 2n−1 /U (1) ∼ = CP n−1 . Das Bild eines Vektors (z 1 , . . . , z n ) wird mit [z 1 , . . . , z n ] bezeichnet. Das sind die homogenen Koordinaten des Bildpunktes. Zwei Punkte (z 1 , . . . , z n ) und (z 1 , . . . , z n ) beschreiben genau dann denselben Punkt in CP n , wenn es ein a aus U (1) gibt, so dass z j = az j für alle j gilt. Man kann den projektiven Raum CP n−1 übrigens auch als Quotient von Cn \ 0 nach der Operation von G L(1, C) durch Skalarmultiplikation realisieren. Das hat zwar den Nachteil, dass der projektive Raum hier nicht unmittelbar als kompakt erkannt wird; dafür erkennt man sofort, dass das Skalarprodukt bei der Konstruktion keine wesentliche Rolle spielt. Im reellen Fall erhält man den projektiven Raum RP n−1 , der bereits in Abschn. 2.4 vorgestellt wurde: RP n−1 = (Rn \ 0)/G L(1, R) ∼ = S n−1 /O(1).

Definition Ist X ein G–Raum, so betrachtet man für jedes g aus G die Menge X g = {x ∈ X | gx = x} der Punkte, die von g festgelassen werden. Ist H eine Untergruppe von G, so ist der H – Fixpunktraum definiert durch  XH = Xh. h∈H



96

5 Transformationsgruppen

Beispiele Die Gruppe der invertierbaren Matrizen G L(3, R) enthält die Untergruppe der Matrizen, deren letzte Spalte und Zeile nur den Wert 1 auf der Diagonalen hat und sonst verschwindet. Diese Gruppe ist isomorph zu G L(2, R), und der Fixpunktraum unter der Operation auf R3 ist die dritte Achse. Der folgende Satz zeigt die enge Beziehung zwischen Quotientengruppen und Fixpunkträumen. Satz 5.4 Seien G eine kompakte Gruppe und H eine abgeschlossene Untergruppe. Dann ist der Raum Hom G (G/H , X ) der stetigen G–Abbildungen von G/H nach X zum H –Fixpunktraum X H homöomorph. Beweis Man verifiziert leicht, dass α : Hom G (G/H , X ) −→ X H ; f  −→ f (1 H ) und β : X H −→ Hom G (G/H , X ); x  −→ (g H  → gx) wohldefinierte, zueinander inverse Abbildungen sind. Es bleibt zu zeigen, dass diese stetig sind. Die Abbildung α ist Einschränkung einer Auswertungsabbildung. Da G/H als kompakter Hausdorff-Raum auch lokal kompakt ist, ist diese stetig. Die zu β adjungierte Abbildung X H × G/H → X bildet (x, g H ) auf gx ab, ist also stetig. Dann ist aber auch β stetig.  Die im Beweis angegebenen Homöomorphismen α und β sind übrigens natürlich im folgenden Sinne: Ist ϕ : X → Y eine stetige G–Abbildung, so ist das Diagramm Hom G (G/H , X )

αX

ϕ∗

Hom G (G/H , Y )

XH ϕH

αY

YH

kommutativ. Entsprechend für β.

Ergänzungen Die Weyl-Gruppe Für eine Untergruppe H von G definiert man den Normalisator N H durch

5.2

Homogene Räume

97

N H = {n ∈ G| n H = H n}. Der Normalisator ist die maximale Untergruppe von G, die H als Normalteiler enthält. Die Weyl-Gruppe ist die Quotientengruppe W H = N H /H . Die Weyl-Gruppe operiert auf G/H von rechts durch (g H )[n] = gn H . Die dazugehörigen Translationen R[n| : G/H → G/H ; g H  → gn H sind G–äquivariant. Umgekehrt ist jede G–Selbstabbildung von G/H von dieser Form für ein [n] ∈ G/H . Jedes solche n erfüllt notwendigerweise n −1 H n ⊆ H , denn es gilt dann hn H = n H für jedes h ∈ H . Ist die Selbstabbildung injektiv, so gilt außerdem n −1 H = hn −1 H für alle h ∈ H und somit n H n −1 ⊆ H . Insgesamt ist dann n ∈ N H , und die WeylGruppe entspricht also genau der G–Automorphismengruppe von G/H . Symmetrische Produkte Die symmetrische Gruppe n ist die Gruppe der Bijektionen der Menge {1, 2, . . . , n}. Sie operiert auf dem n–fachen Produkt X n eines jeden topologischen Raumes X durch die Vertauschung der Faktoren ((x1 , x2 , . . . , xn ), σ )  → (xσ (1) , xσ (2) , . . . , xσ (n) ). Der Bahnenraum ist das n–fache symmetrische Produkt S P n (X ). Zum Beispiel ist S P n (CP 1 ) homöomorph zu CP n mittels [[a0 , b0 ], . . . , [an , bn ]]  → [c0 , . . . , cn ], wobei die Zahlen ci durch die Gleichung n 

(ai x + bi y) = c0 x n + c1 x n−1 y + · · · + cn y n

i=0

bestimmt sind. Aber Achtung: Das symmetrische Produkt S P n (RP 1 ) ist nicht homöomorph zu RP n ; es bildet auf den Kreis ab, so dass die Fasern (n−1)–Simplizes (siehe Abschn. 11.2) sind.

Übungen Ü87 – Homogene untereinander Sei G eine topologische Gruppe und seien H und K Untergruppen von G. Dann ist jede G–Abbildung G/H → G/K stetig. Ü88 – Irrational Die Quotientgruppe R/Q trägt die Klumpentopologie.

98

5 Transformationsgruppen

Ü89 – Homogen und zusammenhängend Sei H eine zusammenhängende Untergruppe von G. Zeigen Sie: G ist genau dann zusammenhängend, wenn G/H es ist. Ü90 – Ein dicker Punkt Sei G eine topologische Gruppe. Dann ist der Abschluss N von {1} ein Normalteiler. Ist X ein G–Hausdorff-Raum, so liegt N in jedem Stabilisator der Operation. Ü91 – Abgeschlossene Untergruppen Zeigen Sie, dass die Stiefel- und GrassmannMannigfaltigkeiten Hausdorff-Räume sind. Ü92 – Flaggen Sei F(Cn ) ⊆ G 1 (Cn ) × · · · × G n−1 (Cn ) die Menge der (n − 1)– Tupel (U1 , . . . , Un−1 ) mit U j ⊆ U j+1 für alle j. Die Gruppe U (n) operiert komponentenweise auf F(Cn ). Ist diese Operation transitiv? Wie sehen die Stabilisatoren aus? Ü93 – Eine Verzweigung Die Untergruppe {z ∈ G L(1, C) | z n = 1} der n–ten Einheitswurzeln operiert auf C durch Skalarmultiplikation. Zeigen Sie: Der Bahnenraum ist zu C homöomorph. Ü94 – Fix Ist X ein G–Hausdorff-Raum, so sind die Fixpunktmengen X H für alle Untergruppen H ⊆ G abgeschlossen.

5.3

Eigentliche Operationen

Beim Übergang von einem G–Raum X zum Bahnenraum X /G werden jeweils zwei Punkte identifiziert, wenn sie in derselben Bahn liegen. Diese Äquivalenzrelation R ist ein Unterraum von X × X . Es stellt sich sehr oft als lohnenswert heraus, sich nicht nur zu merken, was identifiziert wird, sondern auch, wie es identifiziert wird. Im vorliegenden Fall geschieht das dadurch, dass man statt R die stetige Abbildung θ : G × X −→ X × X , (g, x)  −→ (x, gx) betrachtet, deren Bild R ist. Insbesondere ist R durch θ bestimmt, nicht aber umgekehrt. Definition Eine Operation heißt eigentlich, wenn die Abbildung θ eigentlich ist.



Wir stellen die Beispiele zurück, um zunächst mehr über eigentliche Operationen zu erfahren. Satz 5.5 Ist X ein eigentlicher G–Raum, so ist X /G ein Hausdorff-Raum.

5.3

Eigentliche Operationen

99

Beweis Es reicht zu zeigen, dass die Relation R abgeschlossen in X × X ist. Dies trifft zu, weil R das Bild der eigentlichen (also abgeschlossenen) Abbildung θ ist.  Satz 5.6 Seien X ein eigentlicher G–Raum und x ein Punkt aus X . Dann ist der Stabilisator G x kompakt und die Bahn Gx abgeschlossen. Die Abbildung G −→ X , g  −→ gx ist eigentlich und induziert einen G–Homöomorphismus G/G x = Gx. Beweis Die Abbildung entsteht aus θ durch Basiswechsel entlang der Inklusion X −→ X × X , x   −→ (x, x  ) und ist deshalb eigentlich. Der Stabilisator ist das Urbild eines Punktes, also kompakt. Die Bahn ist das Bild einer abgeschlossenen Menge, also abgeschlossen. Schließlich folgt hieraus, dass die induzierte Abbildung G/G x → Gx auch abgeschlossen ist. Stetig und bijektiv ist sie sowieso.  Es folgen nun einige Kriterien, durch welche sich viele Gruppenoperationen als eigentlich erweisen. Satz 5.7 Seien G eine kompakte Hausdorff-Gruppe und X ein G–Hausdorff-Raum. Dann operiert G eigentlich auf X . Beweis Da G kompakt ist, ist die Projektion pr X : G × X −→ X , (g, x)  −→ x eigentlich. Also ist auch die Operation m : G × X −→ X , (g, x)  −→ gx eigentlich, denn das ist die Komposition der Projektion mit dem Homöomorphismus (g, x)  → (g, gx) von G × X . Dann ist aber auch das Produkt von der Projektion und der Operation eigentlich. Die Abbildung θ ist die Komposition dieses Produktes mit der Diagonalen von G × X G×X



G×X ×G×X

pr X ×m

X×X .

Es reicht also zu zeigen, dass diese Diagonale eigentlich ist. Da sie injektiv ist, ist das äquivalent dazu, dass sie abgeschlossen ist. Sie ist immer eine Einbettung, weil sie ein einseitiges

100

5 Transformationsgruppen

Inverses hat. Mithin ist sie abgeschlossen genau dann, wenn ihr Bild abgeschlossen ist. Das ist aber äquivalent dazu, dass G × X ein Hausdorff-Raum ist.  Sei X ein freier G–Raum. Dann induziert θ eine stetige Bijektion θ  : G × X −→ R. Die Umkehrabbildung R → G × X hat die Form (x, x  )  −→ (ϕ(x, x  ), x) für eine Abbildung ϕ : R → G. Sie ordnet jedem Paar (x, x  ) aus R das (eindeutig bestimmte) Gruppenelement g zu, welches x  = gx erfüllt. Satz 5.8 Sei X ein freier G–Raum. Dann sind äquivalent: (a) Die Gruppe G operiert eigentlich auf X . (b) Die Relation R ist abgeschlossen, und θ  ist ein Homöomorphismus. (c) Die Relation R ist abgeschlossen, und ϕ ist stetig. Beweis Die Abbildung θ  ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn die Umkehrabbildung stetig ist. Deswegen sind (b) und (c) äquivalent. Andererseits ist θ  genau dann ein Homöomorphismus, wenn es abgeschlossen ist. Da R abgeschlossen ist, ist das äquivalent dazu, dass θ abgeschlossen, also eigentlich ist. Folglich sind auch (a) und (b) äquivalent.  Satz 5.9 Der G–Raum G/H ist genau dann eigentlich, wenn H kompakt ist. Beweis Weil H der Stabilisator von 1H ist, ist Kompaktheit von H sicherlich notwendig für Eigentlichkeit. Umgekehrt wird zunächst der Fall H = 1 geklärt. Für die Operation von G auf sich selbst ist R = G × G abgeschlossen. Ferner ist die Abbildung ϕ durch ϕ(g, h) = hg −1 gegeben, also stetig. Der vorangegangene Satz impliziert nun, dass G eigentlich auf sich selbst operiert. Der allgemeine Fall kann mittels des Diagrammes G×G

θG

id G × p

G × G/H

G×G p× p

θG/H

G/H × G/H

5.3

Eigentliche Operationen

101

auf den Spezialfall zurückgeführt werden. Da H kompakt ist, ist p eigentlich, und mithin sind es auch id G × p und p × p. Im Spezialfall wurde gezeigt, dass θG eigentlich ist. Dann  ist wegen der Surjektivität von id G × p aber auch θG/H eigentlich. Beispiele Abschließend soll noch ein weiteres Beispiel erwähnt werden, welches unbedingt zur mathematischen Allgemeinbildung gehört. Sei H = {z ∈ C | Im(z) > 0} die obere Halbebene. Die Gruppe S L(2, R) operiert auf H durch   az + b a b z= . c d cz + d Dies kann übrigens als Einschränkung der kanonischen Operation von G L(2, C) auf CP 1 aufgefasst werden. Für y > 0 gilt √ √ √ √  y i + x/ y y x/ y = x + iy. √ i= √ 0 1/ y 1/ y Folglich liegt jeder Punkt auf der Bahn durch i; die Gruppe S L(2, R) operiert transitiv auf H . Der Stabilisator von i ist S O(2) (nachprüfen!). Das liefert eine stetige Bijektion zwischen S L(2, R)/S O(2) und H . Die Matrix mit den Wurzeleinträgen zeigt, dass die Umkehrabbildung stetig ist. Damit gibt es einen S L(2, R)-Homöomorphismus S L(2, R)/S O(2) ∼ = H. Insbesondere zeigt das auch, dass die Operation von S L(2, R) auf H eigentlich ist. Die Gruppe S L(2, R) hat viele diskrete Untergruppen, etwa S L(2, Z). Diese operieren (durch Einschränkung) auch eigentlich auf der oberen Halbebene und liefern sehr interessante Quotienten.

Übungen Ü95 – Das ist mal wieder typisch Die Gruppe Z operiert auf dem Raum R durch Translation: (g, x)  → g + x. Diese Operation ist frei und eigentlich. Ü96 – Ein doppelter Punkt Die Gruppe G L(1, R) operiert auf der gelochten Ebene R2 \ 0 durch t(x, y) = (t x, t −1 y). Die Bahnen sind abgeschlossen. Die Operation ist frei aber nicht eigentlich. Durch (x, y)  → x y wird ein lokaler Homöomorphismus vom Bahnenraum auf R definiert. Der Bahnenraum ist aber kein Hausdorff-Raum.

102

5 Transformationsgruppen

Ü97 – Eigentlich vererbt Sei H eine abgeschlossene Untergruppe von G. Sei X ein Raum, auf dem G eigentlich operiert. Dann operiert auch H eigentlich auf X durch die Einschränkung der Operation von G. Ü98 – Eigentlich abgestiegen Operiert G eigentlich auf X , und ist f : X → Y eine surjektive eigentliche G–Abbildung, so operiert G auch eigentlich auf Y .

6

Wege und Schleifen

Inhaltsverzeichnis 6.1 6.2 6.3 6.4

Wegeräume und Schleifenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Wegekomponentenfunktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Homotopiebegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selbstabbildungen des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103 107 112 119

Topologische Probleme sind im Allgemeinen zu kompliziert, um sie direkt zu lösen. Es gibt eine ziemlich grobe Methode, sie übersichtlicher zu gestalten: Sie werden diskretisiert, indem man die Räume durch die Menge ihrer Wegekomponenten ersetzt. Feinere Diskretisierungsmethoden erhält man dadurch, dass man die Räume erst durch Hilfsräume ersetzt und dann zu den Wegekomponenten übergeht. Die resultierenden Mengen haben dann oft eine algebraische Struktur, die ihre Bestimmung leichter macht. Dies wird am Ende dieses Kapitels am Beispiel der Kreislinie angedeutet und in den nachfolgenden Kapiteln weiter ausgenutzt.

6.1

Wegeräume und Schleifenräume

Definition Sei X ein topologischer Raum. Ein Weg in X ist eine stetige Abbildung γ : I −→ X Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_6.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_6

103

104

6 Wege und Schleifen

vom kompakten Intervall I = [0, 1] nach X . Man spricht dann auch von einem Weg von γ (0) nach γ (1). Mit P X wird der Wegeraum Hom(I , X ) der Wege in X bezeichnet, er ist selbstverständlich mit der KO-Topologie versehen.  Dieser Raum ist als Hilfsraum beim Studium von X anzusehen. Er trägt neben seiner Topologie noch eine weitere Struktur, die durch folgende naheliegende Konstruktionen gegeben ist: Die Auswertungen an den beiden Endpunkten sind stetige Abbildungen ev0 : P X −→ X , γ  −→ γ (0), ev1 : P X −→ X , γ  −→ γ (1). Zu jedem Punkt gehört ein konstanter Weg, und das liefert die stetige Abbildung e : X −→ P X , x  −→ (t  → x). Zu jedem Weg γ gibt es einen inversen Weg γ − , definiert als Komposition der Inversion t  → 1 − t mit γ . Dieser Weg hat dasselbe Bild, wird jedoch in der umgekehrten Richtung durchlaufen. Insbesondere sind Anfangspunkt und Endpunkt vertauscht. Das liefert eine stetige Abbildung i : P X −→ P X , γ  −→ γ − . Schließlich kann man Wege zusammensetzen, allerdings nur, wenn der Endpunkt des ersten Weges der Anfangspunkt des zweiten Weges ist: Sind γ1 und γ2 Wege in X mit t(γ1 ) = s(γ2 ), so ist durch  t ∈ [0, 1/2] γ1 (2t) γ2 γ1 = γ2 (2t − 1) t ∈ [1/2, 1] ein Weg definiert, bei dem erst γ1 und dann γ2 durchlaufen wird, allerdings jeweils mit doppelter Geschwindigkeit, damit der gesamte Weg während des Intervalls [0, 1] geschafft wird (Abb. 6.1).

Abb. 6.1 Zusammensetzung von Wegen

γ1

γ2 γ1

γ2

6.1 Wegeräume und Schleifenräume

105

Diese Verknüpfung liefert eine Abbildung m : P X × X P X −→ P X , (γ1 , γ2 )  −→ γ2 γ1 , die auf dem Pullback der Abbildungen ev1 und ev0 definiert ist. Bemerkung Die Abbildung m ist ein Homöomorphismus. Das kann am Diagramm Hom([0, 21 ], X ) ×Hom({ 1 },X ) Hom([ 21 , 1], X ) 2

Hom([0, 21 ] +{ 1 } [ 21 , 1], X ) 2

⊆

Hom([0, 21 ], X ) × Hom([ 21 , 1], X )

Hom([0, 21 ] + [ 21 , 1], X )

eingesehen werden: Die untere Abbildung ist die Bijektion aus der universellen Eigenschaft der Summe. Sie ist jedenfalls ein Homöomorphismus, denn sie ist stetig, weil die dazugehörige Adjungierte es ist, und ihr Inverses ist stetig, weil deren Projektionen die Kompositionen mit den jeweiligen Inklusionen sind. Die linke Abbildung ist die Inklusion eines Unterraumes. Um zu zeigen, dass die obere Bijektion, gegeben durch die universelle Eigenschaft des Pushouts, auch ein Homöomorphismus ist, reicht es daher zu zeigen, dass die rechte Abbildung eine Einbettung ist. Sie ist von der Identifizierung [0, 1/2] + [1/2, 1] −→ [0, 1/2] +{1/2} [1/2, 1] induziert, also injektiv und stetig. Sie ist eine Einbettung, weil sie nach dem Exponentialgesetz die universelle Eigenschaft einer solchen besitzt. Die Abbildung m unterscheidet sich schließlich von der oberen Abbildung nur durch Homöomorphismen, ist daher selber einer. Es gibt einige Varianten der Wegeräume, die durch die Wahl von Anfangs- oder Endpunkten entstehen. Der Qual der Wahl wird man sich nur ungern stellen, aber manchmal ist es doch so nützlich, dass man das Übel als notwendig hinnimmt. Definition Sind x0 und x1 Punkte in X , so bezeichne P X (x0 , x1 ) den Unterraum von P X der Wege von x0 nach x1 . Das ist also die Faser der stetigen Auswertung (ev0 , ev1 ) : P X −→ X × X , γ  −→ (γ (0), γ (1))



106

6 Wege und Schleifen

über dem Punkt (x0 , x1 ). (Als Menge ist P X die disjunkte Vereinigung der Räume P X (x0 , x1 ); es ist aber nicht deren Summe im Sinne der Topologie.) Der Fall x0 = x1 ist ausgezeichnet und verdient eine eigene Notation. Definition Ist x ein Punkt von X , so wird (X , x) = P X (x, x) der Schleifenraum von X bei x genannt. Eine Schleife in X an x ist also ein stetiger Weg, der in x beginnt und endet. Der freie Schleifenraum L X = Hom(S 1 , X ) ist der Raum aller stetigen Abbildungen des Kreises S 1 nach X .



Das ist vielleicht auch ein guter Zeitpunkt anzumerken, dass die Notation P X in vielen Büchern für einen anderen Raum verwendet wird. Ist nämlich x ein Punkt von X , so kann man den Unterraum von P X betrachten, welcher aus den Wegen besteht, die in x beginnen. Dieser Raum wird anderswo mit P X bezeichnet, obwohl er auch von x abhängt, also genauer mit P(X , x) bezeichnet werden sollte. So wird jedenfalls hier verfahren. Dann ist (X , x) ein Unterraum von P(X , x), nämlich die Faser der Abbildung nach X , welche jeden Weg auf seinen Endpunkt abbildet.

Ergänzung Wegekategorie und Moore-Wege Der Raum P X ist eng verwandt mit der Kategorie PX der Wege in X . Allerdings lässt man bei der Definition der Wege in der Wegekategorie unterschiedliche Längen für die Intervalle zu, um die Verknüpfung von Wegen strikt assoziativ zu machen: Die Objekte von PX sind Punkte in X . Morphismen von x0 nach x1 sind Paare (l, γ ), wobei 0  l < ∞ eine reelle Zahl ist und γ : [0, l] −→ X eine stetige Abbildung mit γ (0) = x0 und γ (l) = x1 . Die Komposition zweier solcher Wege ist dann (l  , γ  )(l, γ ) = (l + l  , γ  · γ ), wobei die Hintereinanderausführung γ  · γ : [0, l + l  ] → X durch  γ (t) f¨ur t ∈ [0, l] t → γ  (t − l) f¨ur t ∈ [l, l + l  ]

6.2

Der Wegekomponentenfunktor

107

gegeben ist. Diese Verknüpfung ist assoziativ. Das Einselement id x zum Objekt x ist der Weg, der auf dem Intervall der Länge 0 durch x definiert ist.

Übung Ü99 – Zurückgezogene Wege Sei p : I → S 1 , t  → exp(2π it) die Identifikation der beiden Endpunkte. Man zeige, dass das Diagramm LX

p∗

PX (s,t)

ev1

X



X×X

die universelle Eigenschaft des Pullbacks von Abschn. 2.3 erfüllt. Insbesondere ist die Faser ev1−1 {x} der stetigen Auswertung ev1 : L X −→ X , f  −→ f (1) über x homöomorph zu (X , x).

6.2

Der Wegekomponentenfunktor

In diesem Abschnitt wird der Wegeraum benutzt, um weitere Eigenschaften topologischer Räume zu verstehen. Definition Zwei Punkte x0 und x1 eines topologischen Raumes X heißen verbindbar, wenn es einen Weg in X von x0 nach x1 gibt; kompliziert gesagt: wenn der Raum P X (x0 , x1 ) nicht leer ist. Der Raum X heißt wegzusammenhängend, falls je zwei Punkte in X durch einen Weg verbunden werden können.  Nicht jeder zusammenhängende Raum ist wegzusammenhängend, wie an dem Beispiel des Sinuskurvenraumes von Abschn. 3.1 ersichtlich wird. Die Umkehrung ist allerdings richtig: Satz 6.1 Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend. Beweis Angenommen es gäbe ein f : X −→ S 0 mit f (x0 ) = 1 und f (x1 ) = −1 für gewisse x0 , x1 ∈ X . Dann findet man einen Weg γ , der x0 mit x1 verbindet. Die Komposi-

108

6 Wege und Schleifen zusammenh¨ angend u gz we en m m sa R

S

∪

S

h¨a ng en d

RKa

R R+R lokal zusammenh¨ angend

Abb. 6.2 Implikationen zwischen verschiedenen Zusammenhangsbegriffen

tion f γ ist dann eine stetige Abbildung mit einem zusammenhängenden Definitionsbereich, deren Bild nicht zusammenhängend ist.  Das Schaubild 6.2 gibt eine Übersicht über Implikationen zwischen verschiedenen Zusammenhangsbegriffen. Dabei ist S der Sinuskurvenraum und RKa die Menge der reellen Zahlen mit der Topologie der abzählbaren Komplemente. Aus den geometrischen Konstruktionen des letzten Abschnittes, insbesondere e, i und m, folgt sofort die folgende Notiz Verbindbarkeit durch Wege ist eine Äquivalenzrelation. Definition Die Äquivalenzklasse [x] von x wird die Wegekomponente von x genannt. Die Menge der Wegekomponenten wird mit π0 X bezeichnet.  Sind f : X → Y eine stetige Abbildung und γ ein Weg, der x0 mit x1 verbindet, so ist f γ ein Weg, der f (x0 ) mit f (x1 ) verbindet. Damit ist eine Abbildung π0 f : π0 X → π0 Y durch [x]  → [ f (x)] wohldefiniert. Zuordnungen zwischen Kategorien mit diesen Eigenschaften treten sehr häufig auf. Man führt deswegen den folgenden Begriff ein: Definition Seinen C und D Kategorien. Ein Funktor F von C nach D ist eine Zuordnung, die jedem Objekt X ∈ C ein Objekt F X in D sowie jedem Morphismus f ∈ Mor C (X , Y ) einen Morphismus F f ∈ Mor D (F X , FY ) zuordnet, so dass

6.2

Der Wegekomponentenfunktor

109

(FA1) Fid X = id F X für alle Objekte X von C (FA2) F(g f ) = (Fg)(F f ) für alle komponierbaren Morphismen f , g von C 

gelten.

Beispiel Angenommen C und D enthalten jeweils nur ein Objekt und jeder Morphismus ist invertierbar. Dann sind die Morphismenmengen also Gruppen und ein Funktor entspricht genau einem Gruppenhomomorphismus nach (FA2). Beispiel Die Zuordnungen π0 : Top −→ Sets X  → π0 X f  → π0 f . definieren einen Funktor, den Wegekomponentenfunktor. Schon die Konstruktion des Wegeraumes P : Top −→ Top ist funktoriell: Ist f : X → Y eine stetige Abbildung, so wird dadurch eine stetige Abbildung P f : P X → PY , γ  −→ f γ definiert, welche den Rechenregeln P(id) = id und P( f g) = P( f )P(g) genügt. Die auf den ersten Blick vielleicht unscheinbare Konstruktion des Wegekomponentenfunktors ist tatsächlich eine der wichtigsten Konstruktionen der Topologie überhaupt. Sie liefert einen Übergang von der kontinuierlichen Welt der topologischen Räume in die diskrete Welt der Mengen. Bei geeigneter Betrachtung führt jeder solche Übergang über genau diese Brücke, etwa wenn Wegekomponenten geeigneter Hilfsräume betrachtet werden. Notiz Ist f : X → Y surjektiv, so auch π0 f : π0 X → π0 Y . Diese Aussage wird falsch, wenn surjektiv‘ durch injektiv‘ ersetzt wird. Das sieht man ’ ’ beispielsweise an der Inklusion von {−1, +1} nach S 1 . Sie selbst ist injektiv, nicht aber die induzierte Abbildung auf den Wegekomponenten. Übrigens ist ⊆

{−1, +1}

S1 z→z 2

{1}

⊆

S1

110

6 Wege und Schleifen

ein Pullback, es erfüllt die universelle Eigenschaft von Abschn. 2.3. Anders ausgedrückt: Die Abbildungen aus dem Diagramm induzieren einen Homöomorphismus {−1, +1} −→ {1} × S 1 S 1 . Es stimmt somit nicht, dass Pullbacks von π0 auf Pullbacks von Mengen abgebildet werden. Als weiteres Beispiel können die beiden Teilmengen U = R2 \ {(0, y) | y  0} und V = R2 \ {(0, y) | y  0} der Ebene betrachtet werden. Dann gilt U ∩V = R2 \R und U ∪V = R2 \0. Das Diagramm ⊆

U ∩V ⊆

V ⊆

U

⊆

U ∪V

ist ein Pullback, es bleibt aber kein Pullback, wenn π0 darauf angewendet wird. Die Schuld ist in der Unverträglichkeit mit Inklusionen zu suchen, denn π0 ist mit Produkten verträglich. Satz 6.2 Seien X und Y topologische Räume. Dann induzieren die Projektionen eine Bijektion ∼ =

π0 (X × Y ) −→ π0 (X ) × π0 (Y ). Beweis Die Abbildung ist durch [(x, y)]  −→ ([x], [y]) gegeben, also surjektiv. Gilt ([x0 ], [y0 ]) = ([x1 ], [y1 ]), so gibt es einen Weg γ in X von x0 nach x1 und einen Weg γ  in Y von y0 nach y1 . Dann ist (γ , γ  ) : I → X × Y ein Weg  von (x0 , y0 ) nach (x1 , y1 ), also [x0 , y0 ] = [x1 , y1 ]. Das zeigt Injektivität. Beispiel Ist G eine topologische Gruppe, so ist π0 G eine Gruppe durch die Multiplikation π0 (G) × π0 (G) ∼ = π0 (G × G) −→ π0 (G), ([g], [h])  −→ [gh]. Ist G = Aut(X ) die Homöomorphismengruppe eines kompakten Hausdorff-Raumes X , so ist π0 Aut(X ) die Abbildungsklassengruppe von X . Sie zu verstehen ist ein erster Schritt beim Studium von Aut(X ) selbst.

6.2

Der Wegekomponentenfunktor

111

Satz 6.3 Seien X und Y topologische Räume. Dann induzieren die Inklusionen eine Bijektion ∼ =

π0 (X ) + π0 (Y ) −→ π0 (X + Y ). Beweis Surjektivität ist wieder klar. Injektivität ergibt sich unmittelbar daraus, dass jeder Weg in X + Y entweder in X oder in Y verläuft.  Auch hier kann man sich fragen, ob nicht allgemeiner Pushouts von π0 auf Pushouts abgebildet werden. Es gibt jedenfalls immer eine Abbildung π0 (X ) +π0 (A) π0 (Y ) −→ π0 (X + A Y ), die auch immer surjektiv ist. Beim Versuch, Injektivität zu zeigen, stößt man jedoch auf das Problem, Wege ins Pushout X + A Y über X oder Y zu faktorisieren. Hier soll deswegen nur eine Situation betrachtet werden, in welcher das problemlos geht: besonders schöne‘ ’ Pushouts. Satz 6.4 (Mayer-Vietoris für Wegekomponenten) Sei X die Vereinigung der offenen Teilmengen U und V . Dann ist π0 (U ∩ V )

π0 (V )

π0 (U )

π0 (U ∪ V )

ein Pushout (von Mengen). Beweis Es ist zu zeigen, dass die Abbildung π0 (U ) +π0 (U ∩V ) π0 (V ) −→ π0 (U ∪ V ) bijektiv ist. Sie ist jedenfalls surjektiv. Sei nun γ ein Weg in X , der x0 mit x1 verbindet. Es ist zu zeigen, dass x0 und x1 auch dasselbe Element von π0 (U ) +π0 (U ∩V ) π0 (V ) repräsentieren. Die beiden offenen Teilmengen γ −1 (U ) und γ −1 (V ) überdecken I . Weil I ein kompakter metrische Raum ist, gibt es also eine Lebesgue-Zahl ε (siehe Abschn. 4.1), so dass jede ε–Umgebung in γ −1 (U ) oder in γ −1 (V ) liegt. Es gibt dann auch ein n, so dass die Intervalle [(k − 1)/n, k/n] für k = 1, . . . , n jeweils ganz nach U oder ganz nach V abgebildet werden. Es reicht nun zu zeigen, dass jeweils γ ((k − 1)/n) dasselbe Element wie γ (k/n) repräsentiert. Mit anderen Worten: Es kann angenommen werden, dass γ ganz in U oder ganz in V verläuft. Dann ist die Behauptung aber klar.  Der Satz über die Summe ist der Spezialfall U ∩ V = ∅.

112

6 Wege und Schleifen

Ergänzung Lokaler Wegzusammenhang Ein topologischer Raum heißt lokal wegzusammenhängend, wenn jede Umgebung eine wegzusammenhängende Umgebung umfasst. Zum Beispiel ist der Raum X = ({1/n | n ∈ N} × R) ∪ (R × {0}) ∪ ({0} × R) wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend. Jede offene Teilmenge eines euklidischen Raumes ist lokal wegzusammenhängend. Damit ist auch jeder topologische Raum, für den es zu jedem Punkt eine Umgebung gibt, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge eines Rn ist, lokal wegzusammenhängend. Lokal wegzusammenhängende Räume, die zusammenhängend sind, sind wegzusammenhängend. Dies sieht man wie folgt: Sei [a] die Wegekomponente von a, d. h., die Menge aller Punkte in X , die mit a verbindbar sind. Es genügt zu zeigen, dass [a] offen ist, denn dann ist auch deren Komplement, die Vereinigung der anderen Wegekomponenten, offen. Weil X zusammenhängend ist, stimmt [a] dann mit X überein. Zu b ∈ [a] wähle eine wegzusammenhängende Umgebung U . Diese liegt in [b] und somit auch in [a] = [b].

Übungen Ü100 – Wegzusammenhängend oder nicht? Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: 1. Jedes stetige Bild eines wegzusammenhängenden Raumes ist wieder wegzusammenhängend. 2. Produkte und Pullbacks wegzusammenhängender Räume sind wegzusammenhängend. 3. Summen und Pushouts wegzusammenhängender Räume sind wegzusammenhängend. 4. Der Abschluss eines wegzusammenhängenden Teilraumes ist wegzusammenhängend. 5. Die Vereinigung wegzusammenhängender Teilräume, die sich paarweise schneiden, ist wegzusammenhängend. Ü101 – Isotreu Zeigen Sie: Jeder Funktor zwischen Kategorien bildet Isomorphismen auf Isomorphismen ab.

6.3

Der Homotopiebegriff

Sind X und Y zwei topologische Räume, so haben wir die Menge der stetigen Abbildungen zwischen ihnen mit der KO-Topologie versehen und mit Hom(X , Y ) bezeichnet. Wenn dieser Raum zu kompliziert erscheint, kann zunächst die Menge π0 Hom(X , Y ) seiner Wegekomponenten studiert werden. Was bedeutet das explizit? Ein Punkt in Hom(X , Y )

6.3

Der Homotopiebegriff

113

ist eine stetige Abbildung von X nach Y . Ein Weg in Hom(X , Y ) verbindet also eine stetige Abbildung mit einer anderen. Ist X lokal kompakt, so ist die Stetigkeit eines Weges I → Hom(X , Y ) äquivalent zur Stetigkeit der adjungierten Abbildung I × X → Y .

Definition Eine Homotopie ist eine stetige Abbildung H : I × X −→ Y . Jede solche Homotopie liefert durch Adjunktion einen Weg H # in Hom(X , Y ), und man spricht dann auch von einer Homotopie von H # (0) nach H # (1). Stetige Abbildungen f , g : X → Y heißen homotop zueinander, in Zeichen: f g, falls es eine Homotopie H gibt mit H # (0) = f und H # (1) = g. Ausführlich bedeutet dies H (0, x) = f (x) H (1, x) = g(x) für alle x ∈ X (Abb. 6.3).



Beispiel Es lohnt sich, zunächst ein tautologisch anmutendes Beispiel zu betrachten. Jedes t aus I definiert eine stetige Abbildung i t : X → I × X , x  −→ (t, x). Stellt man sich I × X als Zylinder vor, so ist i 0 also die Inklusion des Bodens und i 1 die Inklusion des Deckels. Die Identität id : I × X −→ I × X

g H

I

X f Abb. 6.3 Eine Homotopie

114

6 Wege und Schleifen

g(x) R

f (x) X Abb. 6.4 Je zwei stetige Funktionen nach R sind homotop

kann als Homotopie von i 0 nach i 1 aufgefasst werden. Allgemeiner ist jede Homotopie H : I × X → Y eine Homotopie von H i 0 nach H i 1 . Beispiel Je zwei stetige Funktionen f , g von X nach R sind homotop zueinander mittels der direkten Verbindungsstrecken H (t, x) = (1 − t) f (x) + tg(x). Das Gleiche gilt für stetige Funktionen mit einer konvexen Teilmenge des Rn als Wertebereich (Abb. 6.4).

Satz 6.5 Homotopie definiert eine Äquivalenzrelation auf Hom(X , Y ). Beweis Das folgt fast sofort aus der Tatsache, dass Verbindbarkeit eine Äquivalenzrelation definiert. Es muss nur verifiziert werden, dass sogar die Adjungierten der dabei verwendeten Konstruktionen stetig sind. Ist beispielsweise f homotop zu g mittels H und g homotop zu h mittels H  , so ist auch f homotop zu h mittels  H (2t, x) f¨ur t  1/2 H  (t, x) = H  (2t − 1, x) f¨ur t ≥ 1/2. Die Symmetrie folgt aus der Homotopie

6.3

Der Homotopiebegriff

115

(t, x)  → H (1 − t, x) und die Reflexivität aus (t, x)  → f (x).  Definition Die Menge der Homotopieklassen stetiger Abbildungen X → Y wird mit [X , Y ] bezeichnet. Mit [ f ] wird die Homotopieklasse einer stetigen Abbildung f bezeichnet. Zwei Abbildungen f , g : X → Y sind also homotop wenn [ f ] = [g] gilt. Eine Abbildung heißt nullhomotop, wenn sie homotop zu einer konstanten Abbildung ist.  Beispiele Ist ∗ ein Einpunktraum, so gilt [∗, X ] = π0 Hom(∗, X ) ∼ = π0 X . Das bedeutet, dass zwei Punkte aus X , aufgefasst als stetige Abbildungen ∗ → X , genau dann homotop sind, wenn die beiden Punkte verbindbar sind. Ferner gilt [S 1 , X ] = π0 Hom(S 1 , X ) = π0 L X , und in Kürze wird klar werden, wieso [I , X ] = π0 Hom(I , X ) = π0 P X nicht so interessant ist. Satz 6.6 Sind f , f  : X → Y homotop und g, g  : Y → Z homotop, so sind auch deren Kompositionen g f , g  f  : X → Z homotop. Beweis Ist H eine Homotopie von f nach f  , so ist g H eine Homotopie von g f nach g f  . Ist K eine Homotopie von g nach g  , so ist K (id I × f  ) eine Homotopie von g f  nach g  f  .  Insgesamt folgt so g f g f  g  f  . Die Homotopierelation ist also mit der Komposition verträglich. Sie erlaubt es nun, eine Kategorie zu definieren, in welcher die stetigen Abbildungen durch deren Homotopieklassen ersetzt werden. Definition Die Objekte der Homotopiekategorie HoTop der topologischen Räume sind dieselben wie die der üblichen Kategorie der topologischen Räume, also eben diese topologischen Räume. Aber die Menge der Morphismen von X nach Y in der Homotopiekategorie

116

6 Wege und Schleifen

ist die Menge [X , Y ] der Homotopieklassen von stetigen Abbildungen X → Y . Die Komposition ist durch [g][ f ] = [g f ] gegeben. Der vorangehende Satz impliziert, dass das wohldefiniert ist. Es ist dann auch offensichtlich assoziativ. Die Identität eines Raumes ist die Homotopieklasse der Identität. Neutralität ist dann wieder offensichtlich.  Nach Konstruktion gibt es einen Funktor Top −→ HoTop, welcher auf Objekten die Identität ist und auf Morphismenmengen durch den Übergang Hom(X , Y ) → [X , Y ] zu Homotopieklassen gegeben ist. Definition Eine stetige Abbildung f : X → Y ist eine Homotopieäquivalenz, wenn [ f ] ein Isomorphismus in der Homotopiekategorie ist. Das bedeutet konkret, dass es eine Abbildung g : Y → X gibt, so dass f g und g f homotop zu den entsprechenden Identitäten sind. Die beiden Räume X und Y werden dann homotopieäquivalent genannt. Ein Raum heißt zusammenziehbar, wenn er homotopieäquivalent zu einem Punkt ∗ ist.  Beispiele Homöomorphe topologische Räume sind automatisch homotopieäquivalent. Die Umkehrung davon ist falsch. Die Abbildung Rn −→ 0 ist eine Homotopieäquivalenz. Jede Abbildung 0 → Rn ist homotopieinvers dazu, aber für die Inklusion ist das besonders einfach nachzuweisen: Die Komposition 0 → Rn → 0 ist trivialerweise die Identität, und I × Rn −→ Rn , (t, x)  −→ t x ist eine Homotopie von der Inklusion zur Identität. Ist allgemeiner A ein sternförmiger Teilraum von Rn , d. h., gibt es einen Punkt a ∈ A, für den die Verbindungsstrecke zu jedem anderen Punkt von A in A verläuft, so ist A zusammenziehbar (Abb. 6.5). Eine Nullhomotopie der Identität wird nämlich durch H (t, x) = t x + (1 − t)a gegeben. Insbesondere sind also auch alle konvexen Teilräume zusammenziehbar. Ein weiteres Beispiel für eine Homotopieäquivalenz ist die Abbildung Rn \ 0 −→ S n−1 , x  −→ x/x.

6.3

Der Homotopiebegriff

117

Abb. 6.5 Eine sternförmige Menge

a

Die Inklusion S n−1 → Rn \ 0 ist homotopieinvers dazu: Die Komposition S n−1 → Rn \ 0 → S n−1 ist die Identität, und I × Rn \ 0 −→ Rn \ 0, (t, x)  −→ (1 − t)x/x + t x ist eine Homotopie von der anderen Komposition zur Identität. Ein etwas anderes Beispiel ist der Wegeraum P X , der zu X homotopieäquivalent ist. Dazu betrachtet man die Inklusion e von X nach P X durch die konstanten Wege und die Abbildung s von P X nach X , welche jedem Weg ihren Anfangspunkt zuordnet. Dann ist se die Identität, und I × P X −→ P X , (s, γ )  −→ (t  → γ (st)) ist eine Homotopie von es zur Identität. Satz 6.7 Sind f , g : X → Y homotop, so sind π0 ( f ), π0 (g) : π0 (X ) → π0 (Y ) gleich. Beweis Das folgt sofort daraus, dass es sich bei π0 ( f ) um die Abbildung [ f ]∗ : [∗, X ] −→ [∗, Y ], [x]  −→ [ f (x)] handelt. Diese hängt offensichtlich nur von der Homotopieklasse von f ab. Es soll aber noch ein anderes Argument vorgestellt werden, welches andere wichtige Argumentationstechniken illustriert. Dabei bemerkt man zunächst, dass π0 (I ) einelementig ist. Die von der Projektion pr X : I × X → X induzierte Abbildung faktorisiert also durch Bijektionen π0 (I × X ) ∼ = π0 (I ) × π0 (X ) ∼ = π0 (X ), und ist demnach selbst bijektiv. Für jedes t aus I ist die Komposition

118

6 Wege und Schleifen pr X

it

X −→ I × X −→ X jeweils die Identität. Anwenden von π0 und Ausnutzen der Funktorialität implizieren, dass π0 (i t ) nicht von t abhängt. Insbesondere ist π0 (i 0 ) = π0 (i 1 ). Ist schließlich H eine Homotopie von f nach g, so ist f = H i 0 und g = H i 1 . Dann folgt aber π0 ( f ) = π0 (g)  aus der Funktorialität von π0 . Der vorige Satz kann auch folgendermaßen interpretiert werden. Der Wegekomponentenfunktor π0 von der Kategorie der topologischen Räume in die Kategorie der Mengen faktorisiert über die Homotopiekategorie: π0

Top

Sets

HoTop Noch anders gesagt: Die Menge der Wegekomponenten eines topologischen Raumes ist eine Homotopieinvariante.

Übungen Ü102 – Nullhomotope unter sich Je zwei nullhomotope Abbildungen f , g : X → Y sind genau dann homotop, wenn der Raum Y wegzusammenhängend ist. Ü103 – Pünktchen Ein topologischer Raum X ist genau dann zusammenziehbar, wenn die Identität id X auf X nullhomotop ist. Ü104 – Fortsetzung folgt? Eine stetige Abbildung f : S n−1 → X ist genau dann nullhomotop, wenn es eine stetige Abbildung g : D n → X mit f = g|S n−1 gibt. Ü105 – Sphärenkomplemente Ist m  n, so kann S m als Unterraum von S n aufgefasst werden. Das Komplement ist homotopieäquivalent zu einer Sphäre. Ü106 – Lineare Algebra Die Inklusion S O(2) ⊆ S L(2, R) ist eine Homotopieäquivalenz. Ü107 – Hyperebenenkomplemente Für j = 1, . . . , n ist die j–te Hyperebene im Rn durch H j = {x ∈ Rn | x j = 0} definiert. Dann ist für jede k–elementige Teilmenge K ⊆ {1, . . . , n} das Komplement von  Hk k∈K

6.4

Selbstabbildungen des Kreises

119

in Rn homotopieäquivalent zu einer diskreten Menge mit 2k Elementen. Was passiert, wenn R durch C ersetzt wird?

6.4

Selbstabbildungen des Kreises

Nach all diesen neuen Begriffen soll nun versucht werden, ein erstes interessantes Beispiel zu verstehen: stetige Abbildungen von S 1 in sich, und zwar zunächst nur bis auf Homotopie. Es geht also um die Menge [S 1 , S 1 ]. Zunächst soll zu einem allgemeineren Problem, nämlich zu [X , S 1 ] für beliebige topologische Räume X etwas gesagt werden. Wie kann man überhaupt Abbildungen X → S 1 angeben? Am einfachsten ist es vielleicht, wenn man eine Funktion X → R auf X finden kann, so dass die gewünschte Abbildung nach S 1 dann als Komposition mit der Exponentialabbildung p : R → S 1 , t  → exp(2π it) erscheint: R p

X

S1

Den gestrichelten Pfeil nennt man dann auch eine Hochhebung der Abbildung entlang p (Abb. 6.6). Abb. 6.6 Die Exponentialabbildung

R

p S1

120

6 Wege und Schleifen

Wie kann man aber eine Hochhebung finden, wenn überhaupt? Das geht sogar ganz einfach, wenn das Bild einen Punkt nicht trifft. Denn das Urbild von S 1 \ z unter p ist das Komplement der Menge {t + n | n ∈ Z}, wobei t ein Urbild von z ist. Dieses ist also die disjunkte Vereinigung von Intervallen, welche von p homöomorph auf S 1 \ z abgebildet werden. Die Inversen dieser Homöomorphismen kann man dann benutzen, um die Abbildung hochzuheben. Aber geht es allgemein? Das ist eher unwahrscheinlich: Jede Abbildung, die sich hochheben lässt, ist automatisch nullhomotop, weil R zusammenziehbar ist. Wenn sie allerdings nullhomotop ist, dann kann man sie ja so homotopieren, dass sie einen Punkt nicht trifft, weil sie überhaupt nur einen Punkt trifft. In diesem Fall hat man also berechtigte Hoffnungen, die Abbildung selber auch hochheben zu können. Dazu muss man allerdings die Frage beantworten, ob man eine Abbildung hochheben kann, wenn man schon eine dazu homotope Abbildung hochheben kann. Satz 6.8 (Hochhebungssatz) Sei X ein zusammenhängender topologischer Raum. Seien f : X → R eine stetige Funktion und H : I × X → S 1 eine Homotopie mit Anfang p f . Dann gibt es genau eine Homotopie F : I × X → R mit Anfang f und p F = H . X (0,id)

I×X

f F

R p

H

S1

Beweis (Eindeutigkeit.) Sind F und F  zwei solcher Abbildungen, so ist p(F − F  ) gleich H /H = 1, insbesondere konstant. Dann liegt das Bild von F − F  in Z, ist also auch konstant, da I × X zusammenhängend ist. Und die Konstante ist 0, denn F und F  stimmen am Anfang überein. Also gilt F = F  . (Existenz.) Zunächst betrachten wir den Fall, in dem X ein Punkt t in R ist. Dann ist H ein Weg γ in S 1 mit γ (0) = p(t). Nach dem Lebesgue-Lemma gibt es ein n, so dass γ jedes Intervall der [(k −1)/n, k/n] in eine Menge der Form S 1 \z abbildet. Der diesem Satz vorangehenden Diskussion entnimmt man nun, dass die Einschränkung von γ auf [0, 1/n] (genau) eine Hochhebung mit Anfang t hat. Den Endpunkt dieser Hochhebung benutzt man dann, um die Hochhebung über [1/n, 2/n] fortzusetzen und so weiter. So erhält man eine Hochhebung von γ über ganz [0, 1]. Im allgemeinen Fall ist nun schon klar, wie F als Abbildung auszusehen hat: Ist x ein Punkt aus X , so muss die Einschränkung von F auf I × {x} die Hochhebung der Einschränkung von H auf I × {x} zum Anfang f (x) sein. Es ist nur noch die Stetigkeit dieser Abbildung zu zeigen. Das soll auf einen späteren Zeitpunkt verschoben werden, wenn dieser Satz in größerer Allgemeinheit bewiesen wird (Abschn. 8.3). 

6.4

Selbstabbildungen des Kreises

121

Nach diesen Vorbereitungen kann damit begonnen werden, stetige Selbstabbildungen des Kreises – vorerst bis auf Homotopie – zu klassifizieren. Ist f : S 1 → S 1 eine stetige Selbstabbildung, so ist sie möglicherweise nicht nullhomotop. Die oben angedachte Strategie funktioniert also nicht ohne Weiteres. Aber die Komposition von f mit der Identifizierung q : I → S 1 , t  → exp(2π it) liefert einen Weg f q in S 1 , der wegen der Zusammenziehbarkeit von I automatisch nullhomotop ist. Diese Komposition kann dann entlang p zu einem Weg f˜ in R hochgehoben werden. R

f˜

p

I

q

S1

f

S1

Genauer: Zu jedem Urbild von f (1) unter p gibt es genau eine Hochhebung f˜ mit diesem Anfangswert. Aus dem Hochhebungssatz folgt außerdem, dass sich je zwei solche Hochhebungen zu verschiedenen Anfangswerten nur durch eine Konstante unterscheiden. Addiert man nämlich zu f˜ ganzzahlige Konstanten, so ergeben sich alle Hochhebungen. Insbesondere hängt die Differenz f˜(1) − f˜(0) nicht von der Wahl des Anfangswertes ab. Diese Differenz ist eine ganze Zahl, weil f˜(1) und f˜(0) dasselbe Bild haben. Damit wurde jeder stetigen Abbildung f : S 1 → S 1 eine ganze Zahl zugeordnet. Definition Die ganze Zahl f˜(1) − f˜(0) heißt der Abbildungsgrad deg( f ) (engl. degree) von f .  Beispiel Man betrachte die stetigen Abbildungen en : S 1 −→ S 1 , z  −→ z n für n aus Z. Eine Hochhebung davon ist e˜n (t) = nt, denn p e˜n = exp(2π int) = exp(2π it)n = en q(t). Der Anfang der Hochhebung ist 0, das Ende ist n. Also hat diese Abbildung den Abbildungsgrad n. Satz 6.9 Der Abbildungsgrad ist eine Homotopieinvariante: Sind f und g homotope Abbildungen, so gilt deg( f ) = deg(g). Beweis Sei f˜ eine Hochhebung von f q und H : I × S 1 → S 1 eine Homotopie von f nach g. Dann gibt es (genau) eine Hochhebung F von H (id I × q) mit Anfang f˜.

122

6 Wege und Schleifen f˜

I

F

(0,id I )

I×I

R

id I ×q

I × S1

p

H

S1

Das Ende von F ist eine Hochhebung von gq und kann somit dazu benutzt werden, den Grad von g zu berechnen: deg(g) = F(1, 1) − F(1, 0). Die Wege s  → H (id I × q)(s, 0) und s  → H (id I × q)(s, 1) von f (1) nach g(1) in S 1 stimmen wegen q(0) = q(1) überein. Dann sind s  → F(s, 0) und s  → F(s, 1) zwei Hochhebungen desselben Weges. Deren Differenz ist folglich konstant. Das bedeutet, dass F(s, 1) − F(s, 0) nicht von s abhängt. Mithin ist deg(g) = F(1, 1) − F(1, 0) = F(0, 1) − F(0, 0) = deg( f ), 

wie gewünscht. Der Abbildungsgrad induziert also eine Abbildung deg : [S 1 , S 1 ] −→ Z, [ f ]  −→ deg( f ). Die obigen Beispiele zeigen, dass diese Abbildung surjektiv ist.

Folgerung 6.10 Der Raum S 1 ist nicht zusammenziehbar. Insbesondere ist S 1 kein Retrakt von der Scheibe D 2 . Beweis Andernfalls hätte [S 1 , S 1 ] genau ein Element, könnte also nicht surjektiv auf Z abbilden. Zur zweiten Behauptung nehme man an, dass r : D 2 → S 1 eine Retraktionsabbildung sei, also mit der Identitätsabbildung auf S 1 übereinstimmt. Dann wähle man eine Nullhomotopie der Identität von D 2 , verknüpfe sie mit r und schränke sie auf I × S 1 ein. Hierdurch würde eine Zusammenziehung der Kreislinie resultieren, was unmöglich ist.  Folgerung 6.11 (Brouwers Fixpunktsatz für die Scheibe) Ist f : D 2 → D 2 stetig, so existiert ein Punkt x ∈ D 2 mit f (x) = x.

6.4

Selbstabbildungen des Kreises

123

Abb. 6.7 Eine Retraktion der Scheibe auf ihren Rand?

f (x) x

r(x)

Beweis Angenommen f wäre eine stetige Selbstabbildung der Scheibe ohne Fixpunkt. Dann schneidet die Verbindungsstrecke von f (x) nach x im Verlauf einen Punkt r (x) ∈ S 1 am Rand. Auf diese Weise ist eine stetige Retraktion r von der Scheibe auf die Kreislinie entstanden (Abb. 6.7).  Bemerkung Man sagt, dass ein topologischer Raum X die Fixpunkteigenschaft besitzt, wenn jede stetige Selbstabbildung f : X → X zumindest einen Fixpunkt hat. Der Satz von Brouwer besagt also, dass die abgeschlossene Scheibe D 2 die Fixpunkteigenschaft besitzt. Ebenso gilt das für jedes abgeschlossene Interval (nach dem Zwischenwertsatz aus der Analysis I). Was aber passiert, wenn man die Selbstabbildung stetig variieren lässt? Kann man dann auch immer einen Fixpunkt stetig auswählen? Diese Fragen werden in [Szy14] beantwortet. Ist die obige Zuordnung des Abbildungsgrades auch injektiv? Anders gefragt: Sind zwei stetige Abbildungen, welche denselben Grad haben, auch homotop? Um das zu beantworten, lohnt es sich, die Situation mit etwas Struktur anzureichern. Der Raum L S 1 = Hom(S 1 , S 1 ) ist eine topologische Gruppe unter punktweiser Multiplikation (Übung!). Und die Menge [S 1 , S 1 ] der Wegekomponenten erhält dann eine induzierte Gruppenstruktur. Es gilt etwa em · en = em+n , und das legt die Frage nahe, ob allgemein der Abbildungsgrad mit den Gruppenstrukturen verträglich ist. Satz 6.12 Die Abbildung deg : [S 1 , S 1 ] −→ Z ist ein Homomorphismus von Gruppen: Es gilt deg( f · g) = deg( f ) + deg(g)

124

6 Wege und Schleifen

für je zwei stetige Abbildungen f , g : S 1 → S 1 . Beweis Ist f˜ eine Hochhebung von f q und g˜ eine Hochhebung von gq, so ist f˜ + g˜ eine Hochhebung von ( f · g)q. Aus der Rechnung deg( f · g) = ( f˜ + g)(1) ˜ − ( f˜ + g)(0) ˜ ˜ ˜ = ( f (1) − f (0)) + ((g(1) ˜ − g(0)) ˜ = deg( f ) + deg(g) 

folgt dann die Behauptung. Satz 6.13 Die vom Abbildungsgrad induzierte Abbildung ∼ =

deg : [S 1 , S 1 ] −→ Z ist bijektiv, also ein Isomorphismus von Gruppen. Beweis Da es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt, reicht es zu zeigen, dass der Kern trivial ist. Sei also f : S 1 → S 1 eine Abbildung von Grad 0. Für jede Hochhebung f˜ stimmen dann Anfangspunkt und Endpunkt überein. Damit definiert f˜ eine Schleife in R, welche f faktorisiert. R

f˜

p

I

q

S1

Also ist f nullhomotop.

f

S1 

Nachdem nun die Wegekomponentenmenge von L S 1 = Hom(S 1 , S 1 ) verstanden ist, kann man versuchen, die einzelnen Komponenten zu verstehen. Weil das eine Gruppe ist, sind diese alle homöomorph. Es reicht also, sich die Komponente des neutralen Elementes anzusehen. Das neutrale Element ist die konstante Funktion mit Wert 1. Jene Komponente besteht aus allen stetigen Abbildungen vom Grad 0. Satz 6.14 Die Abbildung deg : Hom(S 1 , S 1 ) → Z ist stetig.

6.4

Selbstabbildungen des Kreises

125

Beweis Es reicht zu zeigen, dass die Wegekomponenten, also die Teilmengen der Selbstabbildungen eines festen Grades, offen sind. Das muss nur für die Komponente des neutralen Elementes verifiziert werden. Weil diese Komponente eine Untergruppe ist, reicht es, eine offene Umgebung des neutralen Elementes zu finden, welche ganz in dieser Komponente liegt. Eine solche ist M(S 1 , S 1 \ −1), denn alle Abbildungen darin sind nullhomotop.  Durch Hom(S 1 , S 1 ) −→ Z × S 1 , f  −→ (deg( f ), f (1)) ist ein stetiger surjektiver Gruppenhomomorphismus gegeben. Sei H sein Kern. Er besteht aus allen stetigen Selbstabbildungen des Kreises, welche nullhomotop sind und die 1 festlassen. Dann ist   Hom(S 1 , S 1 ) → Z × S 1 × H , f  → deg( f ), f (1), f · f (1)−1 · e− deg( f ) ein Isomorphismus topologischer Gruppen mit Inversem Z × S 1 × H −→ Hom(S 1 , S 1 ), (n, z, f )  −→ en · z · f . Satz 6.15 Der Raum H ist zusammenziehbar. Beweis Die Abbildung p∗ induziert eine stetige Bijektion vom (zusammenziehbaren) Vektorraum V der Funktionen S 1 → R mit 1  → 0 nach H . Es reicht also zu zeigen, dass diese Abbildung offen (also ein Homöomorphismus) ist. Da es sich dabei um einen Gruppenhomomorphismus handelt, braucht man nur zu zeigen, dass offene Umgebungen des neutralen Elementes auf offene Umgebungen des neutralen Elementes abgebildet werden. Dazu wiederum reicht es, Mengen der Form M(K , U ) zu betrachten, wobei K ⊆ S 1 kompakt und U ⊆ ]−1/2, +1/2[ eine offene Umgebung von 0 ist. Da p offen ist, ist dann p(U ) ⊆ S 1 \ −1 offen in S 1 . Es gilt p∗ M(K , U ) = M(K , p(U )) wegen der Anfangsbedingungen, und das ist offen.  Folgerung 6.16 Der Raum Hom(S 1 , S 1 ) ist zu Z × S 1 homotopieäquivalent.

Ergänzung Umlauf- und Windungszahlen In der Funktionentheorie definiert man die Umlaufzahl einer glatten Schleife in C bezüglich eines Punktes z 0 ∈ C, der nicht im Bild von γ liegt, als  dz 1 wγ (z 0 ) = . 2π i γ z − z 0

126

6 Wege und Schleifen

z0 z0 z0 γ

γ

γ wγ (z0 ) = 0

wγ (z0 ) = 1

wγ (z0 ) = 2

Abb. 6.8 Die Umlaufzahlen einiger ebener Kurven

Zum Beispiel haben die Wege en die Umlaufzahl n um den Nullpunkt (Abb. 6.8). Man kann zeigen, dass die Umlaufzahl nur von der Homotopieklasse [γ ] ∈ [S 1 , C \ z 0 ] abhängt. Also implizieren die Ergebnisse dieses Abschnitts die Gleicheit  γ − z0 wγ (z 0 ) = deg : S 1 −→ S 1 . γ − z 0  Die Umlaufzahl ist von der Windungszahl zu unterscheiden. Eine stetig differenzierbare ebene Kurve γ : S 1 → R2 , deren Ableitung γ  : S 1 → R2 nirgends verschwindet, nennt man eine Immersion. Die Windungszahl einer Immersion ist die Umlaufzahl ihrer Ableitung um Null.

Übungen Ü108 – Der Grad von Kompositionen Sind f und g zwei stetige Selbstabbildungen des Kreises, so gilt für deren Grade deg(g ◦ f ) = deg(g) · deg( f ). Ü109 – Ein kleiner Fixpunktsatz Jede stetige Selbstabbildung f des Kreises mit deg( f )  = 1 hat einen Fixpunkt. Ü110 – Noch ein Pullback Das Diagramm PR

ev0

p∗

P S1

R p

ev0

S1

6.4

Selbstabbildungen des Kreises

127

ist ein Pullback. (Lösungsvorschlag: Um eine Abbildung P S 1 × S 1 R → PR zu finden, kann der Homotopiehochhebungssatz auf X = P S 1 × S 1 R, f = pr 2 und H (s, γ , t) = γ (s) angewendet werden.)

7

Die Fundamentalgruppe

Inhaltsverzeichnis 7.1 7.2 7.3

Das Fundamentalgruppoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Der Satz von Seifert und van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

In diesem Kapitel wird die Fundamentalgruppe eines (punktierten) Raumes als die Menge der Wegekomponenten des dazugehörigen Schleifenraumes definiert und ihre Eigenschaften studiert. Man darf sich das zunächst so vorstellen, dass Abbildungen vom Kreis S 1 in einen topologischen Raum X , welche die 1 auf einen Punkt x abbilden, immer einen verallgemei’ nerten Abbildungsgrad‘ haben, der allerdings nicht in Z, sondern eben in der Fundamentalgruppe π1 (X , x) liegt. Danach werden Techniken zur Berechnung von Fundamentalgruppen bereitgestellt, die sich durch ihr Verhalten bei Überdeckungen ergeben. Anschließend werden diese an Fundamentalgruppen von Flächen illustriert.

7.1

Das Fundamentalgruppoid

Beim Übergang von einem Raum X zur Menge π0 (X ) seiner Wegekomponenten werden Punkte identifiziert, die durch einen Weg verbunden werden können. Bei solchen Identifikationen ist es oft nützlich, nicht nur zu wissen, ob zwei Punkte identifiziert sind, sondern auch auf wieviele Arten und Weisen sie dadurch identifiziert werden können. Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_7.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_7

129

130

7 Die Fundamentalgruppe

Definition Zu einem topologischen Raum X sei die Kategorie (X ) wie folgt definiert: Die Objektmenge von (X ) ist die X zugrunde liegende Menge. Ein Objekt von (X ) ist also dasselbe wie ein Punkt von X . Die Morphismenmenge von einem Objekt x0 in ein Objekt x1 ist Mor (X ) (x0 , x1 ) = π0 P X (x0 , x1 ). Jeder Morphismus x0 → x1 wird also durch einen Weg γ von x0 nach x1 repräsentiert. Ein anderer Weg γ  von x0 nach x1 repräsentiert denselben Morphismus, wenn es eine Homotopie H : I × I −→ X mit H (0, t) = γ (t), H (1, t) = γ  (t), H (s, 0) = x0 und H (s, 1) = x1 für alle s, t ∈ I gibt. Anfangspunkt und Endpunkt bleiben also während der Homotopie fest. Man spricht auch von einer gebundenen Homotopie (Abb. 7.1). Die Komposition in (X ) soll durch das Zusammensetzen von Wegen gegeben werden. Das ist an sich nicht assoziativ, weil die Durchlaufgeschwindigkeiten beim Umklammern wechseln. Man kann sich aber allgemein überlegen, dass die Homotopieklasse eines Weges (mit festem Anfangs- und Endpunkt) nicht von der Parametrisierung abhängt. Man muss das nur für das universelle Beispiel nachweisen: Satz 7.1 Der Raum P I (0, 1) ist zusammenziehbar. Beweis Die Abbildung ∗ → P I (0, 1), welche den Punkt auf id I abbildet, ist eine Homotopieäquivalenz, denn I × P I (0, 1) −→ P I (0, 1), (s, γ )  −→ (t  → st + (1 − s)γ (t))

x1

Abb. 7.1 Eine gebundene Homotopie

γ

x0

γ

7.1

Das Fundamentalgruppoid

γ

γ

γ

γ 

e(x)

131

γ

γ

γ 

γ

Abb. 7.2 Umparametrisierungen von Wegen

ist eine gebundene Homotopie von der Identität auf P I (0, 1) zur konstanten Abbildung mit  Wert id I . Für jeden Weg γ in X und jede Umparametrisierung ϕ des Intervalls sind also γ = γ id und γ ϕ homotope Wege in X , welche denselben Morphismus in (X ) liefern. Damit ist die Assoziativität erfüllt. Die Identität eine Objektes x soll der konstante Weg e(x) bei x sein. Dieser verhält sich zwar nicht neutral bezüglich der Zusammensetzung von Wegen, wohl aber nach Übergang zu Homotopieklassen. Das sieht man wieder mit dem obigen Umparametrisierungsargument (Abb. 7.2). Damit sind alle Daten der Kategorie (X ) erklärt und alle Axiome verifiziert. Die Kategorie (X ) wird das Fundamentalgruppoid von X genannt.  Die Bezeichnung lässt sich folgendermaßen begründen. Definition Ein Gruppoid ist eine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist. Die Kategorie der kleinen Gruppoide und Funktoren zwischen ihnen wird mit Grpd bezeichnet.  Beispiele Beispiele für Gruppoide sind in der Mathematik reichlich vorhanden. So liefert jede Kategorie ein Gruppoid, wenn man alle Morphismen entfernt, die keine Isomorphismen sind. Jede Gruppe, aufgefasst als Kategorie mit einem Objekt, welches diese Gruppe als Automorphismengruppe hat, ist ein Gruppoid. In diesem Sinne sind Gruppoide „Gruppen mit mehreren Objekten“. Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge liefert ein Gruppoid mit dieser Objektmenge: Die Morphismenmenge zwischen zwei Elementen ist einelementig, wenn die Elemente äquivalent sind und leer sonst. In diesem Sinne sind Gruppoide also Äquivalenzrelationen, bei denen man sich nicht nur merkt, ob, sondern gegebenenfalls auch wie zwei Objekte äquivalent sind: durch welche Isomorphismen. Ist G eine Gruppe, welche auf einer Menge X operiert, so gehört dazu das Transportgruppoid. Seine Objektmenge ist X , und die Morphismenmenge ist G × X , wobei (g, x) ein Morphismus von x nach gx ist. Die Verknüpfung, die Identität und das Inverse sind durch

132

7 Die Fundamentalgruppe

(h, y) ◦ (g, x) = (hg, x) id x = (1, x) (g, x)−1 = (g −1 , gx) gegeben. Die für die Topologie wichtigsten Beispiele von Gruppoiden sind durch den folgenden Satz gegeben. Satz 7.2 Das Fundamentalgruppoid ist ein Gruppoid. Beweis Wege kann man bis auf gebundene Homotopie invertieren: Ist γ ein Weg von x0 nach x1 , so ist der in umgekehrter Richtung durchlaufene Weg γ − ein Weg von x1 nach x0 . Die Kompositionen γ − γ und γ γ − sind im allgemeinen nicht selbst konstant (bei x0 beziehungsweise x1 ). Sie sind aber gebunden homotop dazu. Um das einzusehen, geht man den Weg einfach nicht bis zum Ende, sondern wartet zwischendurch an einem Punkt. Während der Homotopie wartet man dann immer länger an einem Punkt, der immer näher am Anfangspunkt liegt, bis der Weg schließlich konstant ist (Abb. 7.3).  Nun ist also eine Kategorie (X ) definiert, und sofort stellt sich die Frage, welche Isomorphieklassen es gibt und wie deren Automorphismengruppen aussehen. Ersteres ist einfach. Notiz Die Menge der Isomorphieklassen von (X ) ist gleich der Menge π0 (X ) der Wegekomponenten von X . Die Menge der Isomorphieklassen von Objekten liefert also nichts Neues. Die Automorphismengruppen schon:

Abb. 7.3 Eine Homotopie von γ γ − zum konstanten Weg

 e γ(s)

γ

γ−

7.1

Das Fundamentalgruppoid

133

Definition Ist x ein Punkt aus X , so ist Aut(X ) (x) eine Gruppe, die Fundamentalgruppe von X bei x. Sie wird mit π1 (X , x) bezeichnet und hängt selbstverständlich von der Wahl von x ab.



Nach Definition ist π1 (X , x) = Aut (X ) (x) = Mor (X ) (x, x) = π0 P X (x, x) = π0 (X , x). Wir haben also nebenbei gezeigt, dass π0 (X , x) immer eine Gruppe ist. Im Raum (X , x) gibt es einen ausgezeichneten Punkt, nämlich den konstanten Weg bei x. Damit kann man die Konstruktion iterieren: 2 (X , x) = ((X , x), e(x)) Ein Element hierin entspricht also nach dem Exponentialgesetz einer Abbildung vom Quadrat I 2 = I × I nach X , welche den Rand ∂ I 2 nach x abbildet. Man kann auch noch weitermachen und den Raum n (X , x) für größere n betrachten. Die Mengen der Wegekomponenten sind aus dem gleichen Grund wie für n = 1 immer Gruppen. Definition Die höheren Homotopiegruppen von X bei x sind definiert durch πn (X , x) = π0 n (X , x).  Sie hängen von der Wahl von x ab. Zur Abrundung der Notation definiert man manchmal auch π0 (X , x), und zwar als Menge π0 (X ) mit einem ausgezeichneten Element, nämlich der Komponente von x. Die Abhängigkeit der Fundamentalgruppe vom Fußpunkt ist gut unter Kontrolle. Ist nämlich γ ein Weg von x nach x  in X , so ist durch π1 (X , x) −→ π1 (X , x  ), ω  −→ γ ωγ − ein Isomorphismus von Gruppen gegeben. Auf diese Weise wird die Zuordnung x  → π1 (X , x) zu einem Funktor (X ) −→ Grp. Die Zuordnung  : Top −→ Grpd,

134

7 Die Fundamentalgruppe

die jedem topologischen Raum X sein Fundamentalgruppoid zuordnet, ist ebenfalls funktoriell. Das bedeutet im vorliegenden Fall, dass eine stetige Abbildung f : X → Y den Funktor ( f ) : (X ) → (Y ) mit ( f )[γ ] = [ f γ ] induziert. In Satz 6.7 wurde schon bewiesen, dass der Funktor π0 homotopieinvariant ist. Wie steht es um  (und π1 )? Aus trivialen Gründen gilt: Sind f , g : X → Y stetige Abbildungen, so dass ( f ) und (g) übereinstimmen, so sind f und g gleich. Das liegt daran, dass  durch die Objekte über die Punkte Buch führt. Genauso sieht man, dass eine stetige Abbildung, welche einen Isomorphismus der Fundamentalgruppoide induziert, eine Bijektion ist. Es gilt hier also, eine andere Beziehung zwischen den induzierten Funktoren homotoper Abbildungen zu finden. Nicht deswegen, aber dafür, gibt es in der Kategoriensprache den folgenden Begriff: Definition Seien F, G Funktoren von C nach D. Eine natürliche Transformation von F nach G ist eine Zuordnung, die für jedes Objekt X von C einen Morphismus X : F(X ) −→ G(X ) von D angibt, so dass für alle Morphismen f : X → Y das Diagramm F(X )

X

Ff

F(Y )

G(X ) Gf

Y

G(Y )

kommutiert. Eine natürliche Transformation heißt natürliche Äquivalenz oder natürlicher Isomorphismus, falls X für alle X ein Isomorphismus ist.  Satz 7.3 Jede Homotopie f  g : X → Y induziert eine natürliche Transformation ( f ) ∼ = (g) : (X ) −→ (Y ) von Funktoren. Weil (Y ) ein Gruppoid ist, handelt es sich dabei automatisch um eine natürliche Äquivalenz. Beweis Sei H : I × X → Y die Homotopie. Für eine natürliche Transformation benötigt man für jedes Objekt x aus (X ) einen Morphismus von ( f )(x) nach (g)(x). Wir wählen dafür die Klasse des Weges t  → H (t, x). Die Bedingung, welche die

7.1

Das Fundamentalgruppoid

135

Morphismen erfüllen müssen, um zu einer natürlichen Transformation zu gehören, ist: Für jeden Morphismus [γ ] : x → x  in (X ) muss das Diagramm f (x)

H (?,x)

f (γ )

f (x  )

g(x) g(γ )

H (?,x  )

g(x  )

in (Y ) kommutieren. Das bedeutet, dass g(γ )H (?, x) und H (?, x  ) f (γ ) homotop relativ zu Anfangs- und Endpunkt sind. Das folgt aber daraus, dass H (id I × γ ) die durch das obige Diagramm gegebene Abbildung vom Rand des Quadrates auf das ganze Quadrat fortsetzt. In Formeln sieht eine Homotopie so aus: ⎧ t  s/2 ⎨ f (γ (2t)) (s, t)  → H (2t − s, γ (s)) s/2  t  (s + 1)/2 ⎩ g(γ (2t − 1)) (s + 1)/2  t.  Definition Ein Funktor F : C → D heißt Äquivalenz von Kategorien, wenn es ein G : D → C gibt und natürliche Äquivalenzen von G F zum Identitätfunktor von C sowie von F G zur Identität von D.  Folgerung 7.4 Ist f eine Homotopieäquivalenz, so ist ( f ) eine Äquivalenz von Kategorien. Es ist also nicht einfach so, dass der Funktor  über die Homotopiekategorie faktorisiert. Er induziert aber einen Funktor von der Homotopiekategorie in die Kategorie der Gruppoide und natürlichen Isomorphieklassen von Funktoren. Darauf ist dann wiederum der Übergang zu Isomorphieklassen von Objekten wohldefiniert, und das liefert eine Faktorisierung (lies: Verbesserung) von π0 über . Das alles soll hier aber nicht noch genauer dargestellt werden. Wie beim Wegekomponentenfunktor ist es auch hier leicht zu sehen, dass es (natürliche!) Isomorphismen (X × Y ) ∼ = (X ) × (Y ) und

(X ) + (Y ) ∼ = (X + Y )

gibt. Dabei sind Summe und Produkt von Gruppoiden in der naheliegenden Weise definiert. Die zuvor gemachte Behauptung ist auch nicht so zu verstehen, dass man eine Konstruktion

136

7 Die Fundamentalgruppe

davon kennen muss. Sie besagt nämlich, dass es Gruppoide gibt, welche die universelle Eigenschaft erfüllen. Zum Schluss dieses Abschnitts soll untersucht werden, inwiefern die Fundamentalgruppe das Fundamentalgruppoid bestimmt. Wir führen zunächst folgende Begriffe ein: Definition Ein Funktor F : C → D heißt volltreu, wenn für je zwei Objekte X und X  von C die durch F gegebene Abbildung Mor C (X , X  ) −→ Mor D (F(X ), F(X  )) bijektiv ist. Er heißt wesentlich surjektiv, wenn es zu jedem Objekt Y von D ein Objekt X von C gibt, so dass Y isomorph zu F(X ) ist.  Satz 7.5 Ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz von Kategorien, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist. Beweis Sei F : C → D volltreu und wesentlich surjektiv. Dann gilt es eine inverse Äquivalenz G : D → C zu konstruieren. Zu jedem Objekt Y von D wählt man ein Objekt G(Y ) von C mit Y ∼ = F G(Y ). Man wählt auch gleich einen Isomorphismus Y : Y → F G(Y ). Dann ist G auf den Objekten von D definiert. Sei nun g : Y → Y  ein Morphismus in D. Dann gibt es dazu genau einen Morphismus G(g) : G(Y ) → G(Y  ), welcher unter F auf die Komposition −1 Y

g

Y 

F G(Y ) −→ Y −→ Y  −→ F G(Y  ) abgebildet wird. Das definiert den Funktor G auf Morphismen. Man überprüft, dass das so definierte G funktoriell ist. Ferner wurde G gerade so definiert, dass die Isomorphismen Y eine natürliche Transformation idD → F G bilden. Um eine natürliche Transformation : idC → G F zu konstruieren, benutzt man für jedes Objekt X von C den Morphismus X : X → G F(X ), welcher von F auf F(X ) : F(X ) → F G(F(X )) abgebildet wird. Das ist (!) dann ein Isomorphismus. Um zu überprüfen, dass natürlich ist, reicht es, F auf das relevante Diagramm anzuwenden. Das resultierende Diagramm kommutiert wegen der Natürlichkeit von . Die andere Richtung folgt direkt aus der Definition.  Beispiel Das Schaubild 7.4 zeigt zwei Gruppoide. Das linke hat ein Objekt, das rechte drei, die aber alle isomorph zueinander sind. Die Automorphismengruppen aller vier Objekte sind jeweils trivial. Der Funktor von links nach rechts, welcher das Objekt auf eines der drei Objekte abbildet, ist wesentlich surjektiv und volltreu. Nach dem Satz ist es eine Äquivalenz von

7.1

Das Fundamentalgruppoid

137

 Abb. 7.4 Äquivalente Gruppoide

Kategorien (sogar von Gruppoiden). Natürlich kann man in diesem Fall auch ein Inverses explizit angeben (Übung!). Es ist nach dem Satz übrigens immer so, dass ein Gruppoid äquivalent zu jedem Untergruppoid ist, das aus ihm dadurch entsteht, dass aus jeder Isomorphieklasse ein Repräsentant ausgewählt wird, und alle anderen Objekte entfernt werden, so dass also jeder verbleibende Morphismus ein Automorphismus ist. Eine Instanz dieser Beobachtung ist auch das folgende Resultat. Folgerung 7.6 Wenn X wegzusammenhängend ist, so ist für jeden Punkt x aus X die Inklusion π1 (X , x) −→ (X ) eine Äquivalenz von Kategorien. Beweis Die Fundamentalgruppe können wir als Kategorie mit einem Objekt auffassen. Der Inklusionsfunktor ist nach Definition der Fundamentalgruppe volltreu. Er ist genau dann wesentlich surjektiv, wenn sich jeder Punkt von X mit x verbinden lässt, also genau dann, wenn X wegzusammenhängend ist. Damit ist es eine Äquivalenz von Kategorien.  Folgerung 7.7 Ist f : X → Y eine Homotopieäquivalenz, so ist für alle x ∈ X π1 ( f ) : π1 (X , x) −→ π1 (Y , f (x)) ein Isomorphismus von Gruppen. Beweis Es wurde bereits gezeigt, dass ( f ) eine Äquivalenz von Kategorien ist. Also ist die auf dem Objekt x induzierte Abbildung ( f ) : Mor (X ) (x, x) −→ Mor (Y ) ( f (x), f (x)) ein Isomorphismus.



138

7 Die Fundamentalgruppe

Definition Ein topologischer Raum X heißt einfach-zusammenhängend, wenn sein Fundamentalgruppoid äquivalent zum Gruppoid mit genau einem Morphismus ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Raum wegzusammenhängend ist und eine (und dann alle) seiner Fundamentalgruppen trivial ist.  Beispiele Jeder zusammenziehbare Raum ist einfach-zusammenhängend. Der Kreis S 1 ist wegzusammenhängend, aber nicht einfach-zusammenhängend. Das folgt aus den Resultaten von Abschn. 6.4, die implizieren, dass die Fundamentalgruppe des Kreises isomorph zu Z ist; siehe auch die anschließenden Übungen. Weitere Beispiele werden nach dem nächsten Abschnitt folgen, wenn ein Instrument zur Berechnung von Fundamentalgruppen geschaffen wurde.

Ergänzung Kommutativität der höheren Homotopiegruppen Die höheren Homotopiegruppen sind im Gegensatz zu der Fundamentalgruppe stets abelsche Gruppen. Um dies einzusehen, betrachte man ein Element aus n (X , x) als eine stetige Abbildung f : I n /∂ I n ∼ = S n −→ X . Die Addition je zwei solcher Abbildungen f , g wird durch die Unterteilung der ersten Koordinate in zwei Hälften erreicht. Eine Homotopie zwischen f + g und g + f ist für n = 2 in der Abb. 7.5 angedeutet.

Übungen Ü111 – Die Fundamentalgruppen des Kreises Für jeden Punkt z von S 1 gibt es einen Isomorphismus ϕz : Z → π1 (S 1 , z), welcher den Erzeuger 1 von Z auf die durch pz (t) = exp(2π it)z definierte Schleife abbildet. Für jede stetige Abbildung f : S 1 → S 1 ist das Diagramm

f f

g

 ∗

∗ g

∗ 

g

Abb. 7.5 Zur Kommutativität der höheren Homotopiegruppen

f  ∗

g

f

7.1 Das Fundamentalgruppoid

139

π1 (S 1 , z)

f∗

π1 (S 1 , f (z)) ϕ f (z)

ϕz

Z

deg( f )

Z

kommutativ. Ü112 – Ein Fasertransportfunktor Die Zuordnung, welche jedem Punkt z aus S 1 seine Faser p −1 (z) in R zuordnet, kann zu einem Funktor (S 1 ) → Sets erweitert werden. Für jeden Weg γ : z → z  bildet die induzierte Abbildung p −1 (z) → p −1 (z  ) einen Punkt auf den Endpunkt der Hochhebung von γ an diesen Punkt ab. Ü113 – Zweierlei Multiplikation Ist G eine topologische Gruppe mit neutralem Element 1, so ist π1 (G, 1) abelsch. Ü114 – Gegenbeispiele Es gibt eine Einbettung f : X → Y , so dass ein induzierter Homomorphismus f ∗ : π1 (X , x) → π1 (Y , f (x)) nicht injektiv ist. Es gibt eine Identifizierung, so dass ein induzierter Homomorphismus nicht surjektiv ist. Ü115 – Freiheit den Schleifen! Seien X ein wegzusammenhängender Raum und x ein Punkt darin. Dann ist die vergessliche Abbildung v : π1 (X , x) −→ [S 1 , X ] surjektiv. Zwei Elemente der Fundamentalgruppe haben genau dann das gleiche Bild, wenn sie konjugiert sind. Ü116 – Schleifen mit Ambiente? Seien X lokal kompakt und x ein Punkt darin. Dann induziert die Auswertung an x einen Gruppenhomomorphismus π1 (Hom(X , X ), id X ) −→ π1 (X , x). Das Bild liegt im Zentrum von π1 (X , x). Ü117 – Nochmal Retrakte Seien s : X → Y und r : Y → X stetige Abbildungen mit r s = id X , also etwa r ein Faserbündel mit Schnitt s. Für jeden Punkt x von X ist π1 (Y , s(x)) ein semi-direktes Produkt G  π1 (X , x) mit einer Gruppe G.

140

7.2

7 Die Fundamentalgruppe

Der Satz von Seifert und van Kampen

In diesem Abschnitt wollen wir uns dem Mayer-Vietoris-Problem für den Funktor  (und π1 ) zuwenden, nachdem Satz 6.4 die Lage bereits für π0 geklärt hat. Sei also X ein topologischer Raum, welcher von offenen Mengen U und V überdeckt wird. Dann liefern die Inklusionen ein Pushout iV

U ∩V

V jV

iU

U

U ∪ V.

jU

Anwenden von  liefert dann zumindest ein kommutatives Quadrat, und man sollte sich fragen, ob das auch ein Pushout ist. Weil dieser Begriff aber bisher nur für Mengen und topologische Räume eingeführt wurde, sollte er schnellstens verallgemeinert werden: Definition Sei C eine Kategorie. Ein Pushout oder kokartesisches Quadrat in C ist ein Diagramm der Form X0

j1

X1

j2

i1

X2

i2

X

mit der folgenden universellen Eigenschaft: Zu jedem Objekt T von C und zu je zwei Morphismen f i : X i → T , i = 1, 2, mit gleichem Ziel T und f 1 j1 = f 2 j2 gibt es genau ein f : X → T mit f ik = fk , für k = 1, 2.



Mithilfe der universellen Eigenschaft überlegt man sich: Notiz In einem Pushout ist X bis auf kanonische Isomorphie durch X1 eindeutig bestimmt.

j1

X0

j2

X2

7.2

Der Satz von Seifert und van Kampen

141

Beispiel Für die Kategorie der Gruppen und Homomorphismen betrachten wir zunächst den Fall, dass die linke obere Ecke G 0 die triviale Gruppe ist, also nur aus dem neutralen Element besteht. Dann sind die Abbildungen jk für k = 1, 2 bereits eindeutig vorgegeben, und die universelle Eigenschaft reduziert sich auf das Summendiagramm G1 f1

i1

G i2

f

T. f2

G2 Ein solche Summe liefert das sogenannte freie Produkt G = G 1 ∗ G 2 = {(g1 , g2 , . . . , gn ) | n  0, gk ∈ G 1 + G 2 }/ ∼ . Elemente im freien Produkt sind also Äquivalenzklassen von endlichen Sequenzen von Elementen in der Menge G 1 + G 2 , die man Wörter‘ nennt. Jedes Wort (g1 , . . . , gn ) wird ’ stets mit dem gekürzten Wort (g1 , . . . , gi−1 , gi gi+1 , gi+2 , . . . , gn ) identifiziert, falls die beiden Elemente gi , gi+1 in dem gleichen Summanden liegen und somit eine Multiplikation der Elemente möglich ist. Ausserdem dürfen Einselemente aus G 1 oder G 2 stets weggekürzt werden. Die Verknüpfung im freien Produkt ist durch das Hintereinanderschreiben von Wörtern gegeben:   ] = [g1 , . . . gn , g1 , . . . , gm ]. [g1 , . . . , gn ][g1 , . . . , gm Das leere Wort () repräsentiert also das neutrale Element. Die universelle Eigenschaft des freien Produktes ist schnell nachgewiesen: Der Homomorphismus f : G 1 ∗ G 2 → T hat notwendigerweise die Form [g1 , g2 , . . . , gn ]  → f ν1 (g1 ) f ν2 (g2 ) · · · f νn (gn ), wobei νk ∈ {1, 2} so gewählt ist, dass gk im Summanden G νk liegt. Weil f 1 und f 2 Homomorphismen sind, ist diese Abbildung auch wohldefiniert. Für beliebige Gruppen G 0 geht man ähnlich wie bei Mengen vor und und setzt U = { [ j1 (g)][ j2 (g)−1 ] | g ∈ G 0 } ⊆ G 1 ∗ G 2 . Sind dann f i : G i → Y , i = 1, 2 zwei Abbildungen, welche f 1 j1 = f 2 j2 erfüllen, so liegt U im Kern der Abbildung

142

7 Die Fundamentalgruppe

( f 1 , f 2 ) : G 1 ∗ G 2 −→ T . Weil der Kern eines Homomorphismus stets ein Normalteiler ist, liegt mit U sogar der von U erzeugte Normalteiler N (U ) im Kern. (Der erzeugte Normalteiler N (U ) ist U selbst, falls U ein Normalteiler ist und allgemein der Durchschnitt aller Normalteiler, die U enthalten.) Man erhält so eine wohldefinierte Abbildung f : G = (G 1 ∗ G 2 )/N (U ) −→ T . Diese Quotientengruppe G, zusammen mit den offensichtlichen Homomorphismen von G 1 und G 2 , hat die universelle Eigenschaft des Pushouts. Der Homomorphismus f wurde so konstruiert, dass er die beiden Dreiecke kommutieren lässt. Er ist auch eindeutig, weil bereits die Abbildung auf den repräsentierenden Elementen des freien Produkts eindeutig ist. Nun aber zurück zur Ausgangsfrage. Der folgende Satz ist nicht so zu verstehen, dass man dafür die Konstruktion von Pushouts von Gruppoiden schon kennen muss. Vielmehr sichert er, dass es in der vorausgesetzten Situation ein Pushout gibt und dieses konkret durch das Fundamentalgruppoid des Raumes realisiert wird. Satz 7.8 (Seifert-van Kampen für Fundamentalgruppoide) Sei X eintopologischer Raum, der von offenen Mengen U und V überdeckt wird. Dann ist das Diagramm (U ∩ V )

(i V )

(V ) ( jV )

(iU )

(U )

( jU )

(U ∪ V )

ein Pushout von Gruppoiden. Beweis Es reicht, die universelle Eigenschaft nachzuweisen. Sei dazu irgendein Gruppoid und (U ∩ V )

(i V )

(V ) ( jV )

(iU )

(U )

( jU )

FV

(U ∪ V )

FU



7.2

Der Satz von Seifert und van Kampen

143

Abb. 7.6 Eine Zerlegung eines Weges

γ2 γ4

U

γ1

γ3

V

ein Diagramm durchgezogener Funktoren, so dass das äußere Viereck kommutiert. Dann ist zu zeigen, dass es genau einen gestrichelten Funktor F : (U ∪ V ) → gibt, so dass auch die beiden Dreiecke kommutieren. Dazu betrachten wir endliche Folgen ((γn , X n ), . . . , (γ1 , X 1 )), wobei X j entweder U oder V ist, und γ j ein Weg in X j . Diese Wege sollen in U ∪ V zusammensetzbar sein. Für k = 1, . . . , n − 1 muss daher das Ende von γk mit dem Anfang von γk+1 übereinstimmen. Dann ist jedenfalls ( j X n )[γn ] ◦ · · · ◦ ( j X 1 )[γ1 ] ein Morphismus in (U ∪ V ), und die obige Folge soll für diesen Beweis eine Zerlegung heißen (Abb. 7.6). Auf zerlegbaren Morphismen muss F notwendig durch FX n [γn ] ◦ · · · ◦ FX 1 [γ1 ] definiert werden. Um die Eindeutigkeit von F zu zeigen, reicht es nun also aus, die Zerlegbarkeit aller Morphismen von (U ∪ V ) zu zeigen. Jeder Morphismus in (U ∪ V ) kann durch einen Weg γ in U ∪ V repräsentiert werden. Nach geeigneter Wahl einer Lebesgue-Zahl (siehe Abschn. 4.1) gibt es eine Unterteilung des Intervalls, so dass die Teilintervalle von γ ganz nach U oder ganz nach V abgebildet werden. Eine Umparametrisierung der Teilintervalle liefert dann Wege in U und V , deren Zusammensetzung eine Umparametrisierung von γ ist, also insbesondere homotop bei festen Anfangs- und Endpunkten. Das ist die gesuchte Zerlegung von [γ ]. Für die Existenz von F muss nun gezeigt werden, dass

144

7 Die Fundamentalgruppe

FX n [γn ] ◦ · · · ◦ FX 1 [γ1 ] nicht von der Zerlegung von ( j X n )[γn ] ◦ · · · ◦ ( j X 1 )[γ1 ] abhängt. Dazu gibt es einige Regeln, wie eine gegebene Folge modifiziert werden kann, damit sie noch den gleichen Morphismus beschreibt und auch das gleiche Element in liefert. Zunächst kann festgehalten werden, dass in jeder Zerlegung ein Paar (γ , U ) durch ein Paar (γ  , U ) ersetzt werden kann, wenn [γ ] = [γ  ] in (U ) gilt; und umgekehrt genauso für V statt U . Ferner ist klar, dass in einer Zerlegung ein Paar (γ , U ) durch ein Paar (γ , V ) ausgetauscht werden darf, falls γ ganz in U ∩ V verläuft. Das folgt sofort aus der Kommutativität des äußeren Viereckes und umgekehrt. Schließlich kann in einer Zerlegung (. . . , (γ , U ), (γ  , U ), . . . ) durch (. . . , (γ γ  , U ), . . . ) ersetzt werden; und umgekehrt. Das folgt sofort aus der Funktorialität von FU ; genauso für V statt U . Seien nun zwei Zerlegungen (. . . , (γk , X k ), . . . ) und (. . . , (γl , X l ), . . . ) desselben Morphismus von (U ∪ V ) gegeben. Es ist zu zeigen, dass die obige Konstruktion für beide denselben Morphismus von liefert. Dabei können die drei obigen Regeln verwendet werden, um eine Zerlegung in eine andere zu überführen. Zunächst kann man konstante Wege einfügen, um sicherzustellen, dass beide Zerlegungen gleichviele Teile haben. Durch Zusammensetzen der γk und der γl erhält man zwei Wege γ und γ  in U ∪ V , welche diesen Morphismus repräsentieren. Es gibt dann eine Homotopie H : I × I → U ∪V von γ nach γ  , welche Anfangs- und Endpunkt festlässt. Nach geeigneter Wahl einer Lebesgue-Zahl gibt es eine Unterteilung des Quadrates in kleinere Rechtecke, so dass H jedes der Rechtecke ganz nach U oder ganz nach V abbildet. Man kann erreichen, dass die Unterteilung der Wegekoordinate dieselbe ist wie die Unterteilung durch die Zerlegungen der Wege γ und γ  . Es reicht nun zu zeigen, dass man durch Anwenden der Regeln von der Zerlegung von γ nacheinander über jedes Rechteck zur der Zerlegung von γ  gelangen kann. Das erste Rechteck des Schaubilds 7.7 liefert eine gebundene Homotopie γ21 e(γ1 (0))  γ12 γ1 . Für eine explizite Formel siehe den Beweis zu Satz 7.3. Weil es sich dabei um eine Relation in (U ) (oder (V )) handelt und deswegen von FU (oder FV ) respektiert wird, kann man die beiden Wege vertauschen, und man gelangt zum nächsten Rechteck. Man arbeitet sich dann zeilenweise vor, um zu γ  zu gelangen. Abschließend ist zu zeigen, dass das so definierte F ein Funktor ist. Das folgt aber sofort daraus, dass dabei die Wahl der Zerlegungen schon frei ist.  Der Satz lässt folgende Verallgemeinerung zu, die im Hinblick auf die Fundamentalgruppe nützlich sein wird.

7.2

Der Satz von Seifert und van Kampen

145

Abb. 7.7 Eine Unterteilung des Quadrates in kleinere Rechtecke

γ1

γ2

γn

γ21 γ12

e(γ1 (0)) γ1

γ2

γn

Folgerung 7.9 Zu einer Teilmenge A von X sei  A (X ) das volle Untergruppoid mit Objekten in A (und gleichen Morphismenmengen). Falls A jede Wegekomponente von U ,V und U ∩ V trifft, so ist  A (U ∩ V )

(i V )

( jV )

(iU )

 A (U )

 A (V )

( jU )

 A (U ∪ V )

ein Pushout. Beweis Zunächst konstruiert man Linksinverse RU ∩V , RU , RV und RU ∪V zu den jeweiligen Inklusionsfunktoren der Untergruppoide wie folgt: Man wähle für jedes x aus U ∩ V einen Weg in U ∩ V zu einem Punkt in A, der RU ∩V (x) heißen soll. Für x ∈ A sollte dabei dieser Weg konstant sein. Danach wähle man zu jedem x aus U \ V einen Weg in U nach RU (x) ∈ A. Entsprechend für V . Die gewählten Wege zu den Punkten x aus U ∪ V werden mit x bezeichnet. Damit sind dann die Retraktfunktoren auch auf den Morphismen festgelegt (Abb. 7.8). Es gilt RU ∩V ◦ IU ∩V = id A (U ∩V ) und Entsprechendes für V , U ∪ V . Das von den Inklusionen induzierte Diagram für  A ist also insgesamt ein Retrakt des Diagramms für π . Die Behauptung folgt nun aus der

146

7 Die Fundamentalgruppe

x

Abb. 7.8 Linksinverse Retraktfunktoren

Φx R(x)

γ

A R(y)

y Φy

allgemeinen Beobachtung, dass Retrakte von Pushouts stets Pushout sind. Um dies einzusehen, sei in dem Diagramm ·

· R I

I

·

·

·

·

R

I

R

·

I

R

·

das innere Viereck Retrakt von dem Äusseren. Um einen Pfeil vom Objekt rechts unten des inneren Rechtecks zu einem anderen Objekt zu konstruieren, kann man die vorgegebenen Pfeile auf den anderen Ecken durch den Retraktionsmorphismus R auf das äussere Rechteck übertragen. Jetzt benutzt man die universelle Eigenschaft und komponiert den gewonnen Pfeil mit dem Pfeil I . Die Relation R I = id zeigt dann die Kommutativität und die Eindeutigkeit.  Beispiel Überdecke den Kreis S 1 ⊂ C durch U = S 1 \ {−i} und V = S 1 \ {i}. Dann trifft A = {−1, 1} alle Wegekomponenten der Überdeckungsmengen und des Durchschnitts. Weil U zusammenziehbar ist, besteht das Gruppoid  A (U ) aus einem Isomorphismus α1 zwischen 1 und −1, seinem Inversen und den Identitäten. In ähnlicher Weise besteht das Gruppoid  A (V ) aus einem Isomorphismus α2 zwischen −1 und 1, seinem Inversen und den Identitäten. Das Gruppoid des Durchschnitts hat nur Identitäten. Definiere das Gruppoid G mit Objektmenge A und Morphismen

7.2

Der Satz von Seifert und van Kampen

147

Mor G (1, 1) = {β n | n ∈ Z} Mor G (1, −1) = {α1 β n | n ∈ Z} Mor G (−1, 1) = {β n α1−1 | n ∈ Z}

Mor G (−1, −1) = {α1 β n α1−1 | n ∈ Z}, wobei β = α2 α1 durch den Weg e1 repräsentiert wird, der einmal im mathematisch positiven Sinn um den Kreis läuft. In dem Diagramm  A (U ∩ V )

 A (U )

 A (V )

G

sei der linke untere Funktor durch α2  → βα1−1 und der rechte vertikale Funktor durch α1  → α1 gegeben. Dieses Diagramm ist ein Pushout: Um einen Funktor F von G aus gegebenen FU und FV zu konstruieren, genügt es, seine Werte auf α1 und auf β anzugeben. Diese sind aber vorgeschrieben: F(α1 ) = FU (α1 ); F(β) = FV (α2 )FU (α1 ). Also gilt

 A (S 1 ) ∼ = G,

und wir erhalten einen weiteren Beweis für π1 (S 1 , 1) ∼ = {β n | n ∈ Z} ∼ = Z. Folgerung 7.10 (Seifert-van Kampen für Fundamentalgruppen) Sei X ein topologischer Raum, welcher von offenen Mengen U und V überdeckt wird. Sei x ein Punkt in U ∩ V , und sei U ∩ V wegzusammenhängend. Dann ist das Diagramm π1 (U ∩ V , x)

π1 (i V )

π1 ( j V )

π1 (iU )

π1 (U , x)

π1 (V , x)

π1 ( jU )

π1 (U ∪ V , x)

ein Pushout (von Gruppen). Beweis Sei X  die Wegekomponente von x in X . Setze U  = U ∩ X  und V  = V ∩ X  . Wir möchten die vorangegangene Folgerung auf X  = U  ∪ V  und A = {x} anwenden. Hierzu ist zu beachten, dass A alle Wegekomponenten trifft: zu y ∈ U  gibt es einen Weg

148

7 Die Fundamentalgruppe

Abb. 7.9 Zum Beweis von Seifert-van Kampen für Fundamentalgruppen

y

V

U

x

in X  , der y mit x verbindet. Dieser könnte allerdings Werte außerhalb von U  annehmen. Wenn dies der Fall ist, nehme man sich nur ein Anfangsstück des Weges, um nach U  ∩ V  zu gelangen. Weil U  ∩ V  wegzusammenhängend ist, kann man den Weg dann bis zu x fortsetzen, ohne ins Komplement von U  zu geraten. Genauso sieht man, dass A auch alle  Wegekomponenten von V  trifft (Abb. 7.9). Die vorangehende Folgerung impliziert, dass X einfach-zusammenhängend ist, falls es eine Überdeckung durch offene, einfach-zusammenhängende Teilmengen U und V gibt, so dass U ∩ V wegzusammenhängend ist. (Es ist nicht nötig, dass U ∩ V einfachzusammenhängend ist; die triviale Gruppe ist auch in der allgemeineren Situation das Pushout.) Aus der offensichtlichen Überdeckung der Sphären durch die Komplemente von Nord- und Südpol ergibt sich deswegen: Satz 7.11 Für n  2 ist die Sphäre S n einfach-zusammenhängend. Das Resultat über Sphären kann nun dazu verwendet werden, um das Verhalten der Fundamentalgruppe beim Anheften von Zellen an einen Raum X zu studieren. Seien dazu X wegzusammenhängend und f : S n−1 → X eine stetige Abbildung für ein n  1. Dann betrachtet man ein Pushout S n−1

⊆

Dn

f

X

Y.

Um den Raum Y mit offenen Mengen zu überdecken, geht man wie folgt vor: Die Menge V sei das Innere der n–Zelle. Die Menge U sei das Komplement des Zentrums der n–Zelle U = X + f D n \ 0.

7.2

Der Satz von Seifert und van Kampen

149

Abb. 7.10 Eine Retraktion von U auf X

Dn \ 0

X

Dann ist V zusammenziehbar, und U ist homotopieäquivalent zu X (Abb. 7.10). Der Durchschnitt ist homotopieäquivalent zu S n−1 . Den Satz von Seifert und van Kampen (in der Version für Fundamentalgruppen) kann man also nur anwenden, wenn n  2 ist. Dann erhält man ein Pushout π1 (S n−1 , p)

1

f∗

π1 (X , f ( p))

π1 (Y , f ( p))

von Gruppen. (Dabei ist p irgendein Punkt der Sphäre.) Ist n  3, so ist auch π1 (S n−1 , p) trivial; die Inklusion X → Y induziert deswegen einen Isomorphismus von Fundamentalgruppen. Ist n = 2, so ist π1 (S 1 , p) ∼ = Z, und der induzierte Homomorphismus f ∗ : π1 (S 1 , p) → π1 (X , f ( p)) bildet den Erzeuger auf die Homotopieklasse der durch f beschriebenen Schleife ab. Im Pushout Y ist diese dann nullhomotop. Das folgt aus der Kommutativität des Diagramms, sollte aber auch anschaulich klar sein: Wenn man mittels f eine 2–Zelle anheftet, kann f über diese 2–Zelle nullhomotopiert werden. Aus der universellen Eigenschaft des Pushouts folgt, dass π1 (Y , f ( p)) isomorph zur Quotientengruppe von π1 (X , f ( p)) nach dem von der eben genannten Klasse erzeugten Normalteiler ist: π1 (Y , f ( p)) ∼ = π1 (X , f ( p))/N ( f ∗ π1 (S 1 , p)) = π1 (X , f ( p))/N ( f ∗ e1 ). (Es sei bemerkt, dass nicht jedes Element einer Gruppe bereits einen Normalteiler erzeugt. Das vielleicht einfachste Beispiel findet man in den symmetrischen Gruppen. Aus einer Transposition erhält man durch Konjugation jede anderen Transposition, und diese erzeugen die ganze symmetrische Gruppe. Der von einer Transposition erzeugte Normalteiler ist also die ganze Gruppe, während die davon erzeugte Untergruppe nur zwei Elemente hat.)

150

7 Die Fundamentalgruppe

Ergänzung Realisierungen von Fundamentalgruppen Es ist nun leicht, Räume zu konstruieren, deren Fundamentalgruppen isomorph zu Z/k für k  2 sind; man heftet einfach eine 2–Zelle an S 1 an mit einer Abbildung vom Grad k, etwa ek . Diese Räume heißen übrigens n–fache Narrenkappen. Es ist bekannt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen ist. Durch Produkte von Narrenkappen lässt sich also jede solche Gruppe bis auf Isomorphie als Fundamentalgruppe realisieren. Tatsächlich lässt sich überhaupt jede Gruppe als Fundamentalgruppe eines Raumes realisieren, und zwar nicht nur ad hoc, sondern funktoriell (siehe Abschn. 11.3).

Übungen Ü118 – Freies Produkt Zeigen Sie, dass das freie Produkt zweier nicht trivialer Gruppen niemals abelsch und niemals endlich ist. Ü119 – Eine Acht Seien x, y zwei Punkte auf dem Kreis. Die Einpunktvereinigung zweier Kreise in x, y ist der Quotientenraum (S 1 , x) ∨ (S 1 , y) = (S 1 + S 1 )/x ∼ y. Berechnen Sie die Fundamentalgruppe. Ü120 – Mayer und Vietoris geben nie auf Wenn beim Satz von Seifert und van Kampen zusätzlich vorausgesetzt wird, dass alle auftretenden Fundamentalgruppen abelsch sind, gelangt man zu einer exakten Sequenz π1 (U ∩ V , x) −→ π1 (U , x) ⊕ π1 (V , x) −→ π1 (U ∪ V , x) −→ 0. (Siehe Abschn. 9.6 für den Begriff einer exakten Sequenz.) Konstruieren Sie diese Sequenz und geben Sie ein Beispiel, wo der Homomorphismus links nicht injektiv ist.

7.3

Flächen

Ziel dieses Abschnittes ist es, die zuvor dargestellte Theorie in einigen geometrisch relevanten Beispielen anzuwenden. Vereinigungen mit 1-Zellen Bevor wir zu den Flächen kommen, betrachten wir zunächst die Situation, bei der die Komponenten einer Summe X = X 1 +X 2 wegzusammenhängender Räume durch Anheften einer 1–Zelle miteinander verbunden werden. Das Pushout wird von

7.3

Flächen

151

zwei offenen Mengen U und V überdeckt, welche aus jeweils X 1 oder X 2 und dem Inneren der 1–Zelle bestehen. Der Durchschnitt ist das Innere des Intervalls, also zusammenziehbar. Die Fundamentalgruppe des resultierenden Raumes ist daher das freie Produkt π1 (X 1 , x1 ) ∗ π1 (X 2 , x2 ) der Fundamentalgruppen von X 1 und X 2 (siehe Abschn. 7.2). Sind beispielsweise X 1 und X 2 beide homöomorph zum Kreis S 1 , so erhält man die freie Gruppe Z∗Z auf zwei Erzeugern. Sind a und b die Erzeuger, so besteht diese Gruppe aus allen Wörtern in den Symbolen 1, a, a −1 , b und b−1 mit den offensichtlichen Kürzungsregeln. Ein Homomorphismus von Z ∗ Z in eine andere Gruppe G ist dann gleichwertig mit einem Paar von Elementen aus G, nämlich den beiden Bildern der Erzeuger. Weil es Gruppen gibt, die nicht abelsch sind, gilt ba  = ab in Z ∗ Z. Diese Gruppe ist also selbst nicht abelsch. Induktiv kann man so auch die freie Gruppe auf n Erzeugern konstruieren. (Der dabei verwendete Raum ist übrigens homotopieäquivalent zum Komplement von n Punkten in R2 . Allgemein kann man sich überlegen, dass die Fundamentalgruppen von (Realisierungen von) Köchern immer frei sind.) Der Torus Für den Torus S 1 × S 1 erhält man π1 (S 1 × S 1 ) ∼ =Z⊕Z aus der Verträglichkeit von π1 mit Produkten. Die Klasse zu (m, n) wird durch die Schleife z  → (z m , z n ) repräsentiert. Man kann die Fundamentalgruppe des Torus auch auf andere Weise bestimmen. Dazu bemerkt man, dass der Torus den Unterraum S 1 × {1} ∪ {1} × S 1 enthält. Dessen Fundamentalgruppe ist Z ∗ Z. Das folgt daraus, dass der Raum homotopieäquivalent zu dem Raum ist, der durch Verbinden von zwei Kreisen durch eine 1–Zelle entsteht. Man kann es aber auch direkt an einer offenen Überdeckung sehen (siehe Übung Eine ’ Acht‘ in Abschn. 7.2). Das Komplement dieses Unterraumes ist S 1 \ 1 × S 1 \ 1, also eine 2–Zelle. Wenn aber der Torus durch Anheften einer 2–Zelle an S 1 × {1} ∪ {1} × S 1 entsteht, so ist die Fundamentalgruppe des Torus isomorph zum Quotienten von Z ∗ Z nach der durch die anheftende Abbildung gegebenen Relation. Die anheftende Abbildung ist aber leicht abzulesen: Sind a und b die Erzeuger von Z ∗ Z, so ist der Rand der 2–Zelle entlang des Kommutators [a, b] = aba −1 b−1 angeheftet (Abb. 7.11).

152

7 Die Fundamentalgruppe

Abb. 7.11 Zur anheftenden Abbildung des Torus

a

f (e1 )

b

b

a

Damit ist π1 (S 1 × S 1 ) die Quotientengruppe aus der freien Gruppe in zwei Erzeugern a, b durch den Normalteiler, der von [a, b] erzeugt wird. Man schreibt hierfür auch einfach a, b | [a, b] . Man listet in dieser Schreibweise also zuerst die Erzeugenden auf und dann die Relation [a, b] = 1. Diese Gruppe ist isomorph zur freien abelschen Gruppe in zwei Erzeugern – wie bereits oben bemerkt. Zusammenhängende Summen Der zweite Zugang zur Fundamentalgruppe der Tori hat den Vorteil, dass die folgende Bemerkung evident ist: Ist z : D2 → S1 × S1 eine Einbettung, so repräsentiert die Einschränkung auf den Rand ein Element in der Fundamentalgruppe von (S 1 × S 1 ) \ z(0), und das ist gerade der Kommutator der Erzeuger – oder sein Inverses, abhängig von der Orientierung. Wenn man nun also zwei Tori mit eingebetteten Scheiben nimmt und sie durch Chirurgie (siehe Abschn. 2.4) wie im Schaubild 7.12 miteinander verbindet, so spricht man von der zusammenhängenden Summe. Sie heißt Brezelfläche und wird mit (S 1 × S 1 )#(S 1 × S 1 ) bezeichnet.

z

z



Abb. 7.12 Die Brezelfläche als zusammenhängende Summe zweier Tori

∂z

7.3

Flächen

153 b1

a1

b1

a2

z b1

b2 z

a1

a1

b2



∂z a2

b1

a2

b2

a2

a1

b2

Abb. 7.13 Die Fundamentalgruppe der Brezelfläche

Die Fundamentalgruppe der Brezelfläche lässt sich mithilfe des Satzes von Seifert und van Kampen bestimmen. Dazu überdeckt man die Fläche wieder durch eine offene Scheibe und dem Komplement U eines Punktes in der Scheibe. Weil U homotopieäquivalent zu einer Summe von vier Kreisen ist, die in einem Punkt vereinigt sind, ist die Fundamentalgruppe von U also frei auf Erzeugern a1 , b1 und a2 , b2 . Der Durchschnitt ist homotopieäquivalent zu einem Kreis, und dieser Kreis repräsentiert in U das Produkt der Kommutatoren [a1 , b1 ][a2 , b2 ] (Abb. 7.13). Die Fundamentalgruppe der Brezelfläche ist also durch a1 , b1 , a2 , b2 | [a1 , b1 ][a2 , b2 ]  beschrieben. Die vorangegangene Chirurgie kann man iterieren. Das liefert eine Fläche (S 1 × S 1 )# . . . #(S 1 × S 1 ) .    g

Sie hängt – genau genommen – von der Wahl der eingebetteten Scheiben ab. Bis auf Homöomorphie spielt die Wahl der Einbettungen aber keine Rolle. Deswegen erlauben wir uns, die Notation Fg für diese Fläche zu verwenden. Die Zahl g wird das Geschlecht der Fläche genannt; sie bezeichnet die Anzahl der verwendeten Tori. Deswegen ist F0 eine Sphäre und F1 ein Torus. Tatsächlich ist es so, dass jede zusammenhängende, orientierbare, geschlossene Fläche homöomorph zu einer Fläche Fg ist. Das soll hier aber nicht gezeigt werden. Wir begnügen uns damit, den Isomorphietyp der Fundamentalgruppe festzuhalten  g

∼ π1 (Fg ) = a1 , b1 , . . . , ag , bg | [a j , b j ] . j=1

Das folgt induktiv wie oben im Falle g = 2. Diese Gruppen sind nicht leicht zu verstehen. Man kann sie etwas vereinfachen, indem man sie verabelscht, also den von allen Kommutatoren erzeugten Normalteiler herausteilt. Die obige Relation wird dann trivial, und man erhält die freie abelsche Gruppe auf 2g Erzeugern: π1ab (Fg ) = π1 (Fg )/[π1 (Fg ), π1 (Fg )] ∼ = Z⊕2g .

154

7 Die Fundamentalgruppe

Abb. 7.14 Die projektive Ebene als Quotient der Scheibe a

a

Aus π1 (Fg ) ∼ = π1 (Fh ) folgt π1ab (Fg ) ∼ = π1ab (Fh ). Sind Fg und Fh also homotopieäquivalent, so muss g = h gelten. Ist umgekehrt g  = h, so ist Fg nicht zu Fh homotopieäquivalent – und erst recht nicht dazu homöomorph. Nicht orientierbare Flächen Als nächstes betrachten wir die projektive Ebene RP 2 . Die Scheibe D 2 bildet sich homöomorph auf die obere Hemisphäre in S 2 ab. Identifiziert man auf dem Rand der Scheibe gegenüberliegende Punkte, so liefert das übliche Argument, also wieder einmal die Folgerung von Abschn. 4.1, dass dieser Raum homöomorph zu RP 2 ist (Abb. 7.14). Das nun mehrmals angewandte Verfahren liefert π1 (RP 2 ) ∼ = a | a 2  ∼ = Z/2.

Ähnlich kann man mit der zusammenhängenden Summe mehrerer projektiver Ebenen verfahren. Ist Nk die k–fache zusammenhängende Summe so ergibt sich π1 (Nk ) ∼ = a1 , a2 , . . . , ak | a12 a22 · · · ak2 . Der Fall k = 2 ist im Schaubild 7.15 skizziert. Keine der Gruppen π1 (Nk ) ist isomorph zu einer Fundamentalgruppe einer Fläche Fg , denn selbst wenn man sie verabelscht, hat das Produkt der Erzeuger die Ordnung 2. Ein solches Element existiert nicht in einer freien abelschen Gruppe. Um zu zeigen, dass sie untereinander verschieden sind, betrachten wir die Gruppen Hom(π1 (Nk ), Z/2). Es gilt Hom(π1 (Nk ), Z/2) ∼ = Hom(π1ab (Nk ), Z/2) ∼ = Hom(Zk , Z/2) ∼ = (Z/2)k . a

b

z

z

a

b

Abb. 7.15 π1 (N2 ) ∼ = a, b | a 2 b2 

a 

b ∂z

a

b

7.3

Flächen

155

Bei der mittleren Isomorphie wurde benutzt, dass Homomorphismen f nach Z/2 immer der Relation

f a12 a22 · · · ak2 = 2( f (a1 ) + f (a2 ) + · · · + f (ak )) = 0 genügen. Also können die Flächen Nk nicht homotopieäquivalent untereinander sein.

Ergänzungen Die Automorphismengruppe des Torus Die Gruppe Aut(S 1 × S 1 ) operiert transitiv auf dem Torus. Sei (g, h) ein Punkt. Dann bildet der Homöomorphismus S 1 × S 1 −→ S 1 × S 1 , (x, y)  −→ (gx, hy) den Punkt (1, 1) auf (g, h) ab. Bezeichnet H den Stabilisator von (1, 1), so liefert die Gruppenmultiplikation einen Homöomorphismus Aut(S 1 × S 1 ) ∼ = (S 1 × S 1 ) × H . Jedes Element von H bildet den Punkt (1, 1) auf sich ab, induziert somit einen Automorphismus der dortigen Fundamentalgruppe π1 (S 1 × S 1 ) ∼ = Z ⊕ Z. Damit erhält man einen (stetigen) Homomorphismus von H nach G L(2, Z). Jede Matrix   ab cd aus G L(2, Z) liefert einen Homöomorphismus S 1 × S 1 −→ S 1 × S 1 , (x, y)  −→ (x a y b , x c y d ) von S 1 × S 1 , der auf der Fundamentalgruppe durch genau diese Matrix beschrieben werden kann. Insgesamt ergibt sich also ein Homöomorphismus Aut(S 1 × S 1 ) ∼ = G L(2, Z) × (S 1 × S 1 ) × H  , wobei H  die Untergruppe der Homöomorphismen ist, die (1, 1) festlassen und auf der Fundamentalgruppe die Identität induzieren. Man kann zeigen, dass H  wegzusammenhängend (sogar zusammenziehbar) ist. Die Abbildungsklassengruppe vom Torus ist deswegen zu G L(2, Z) isomorph. Die Determinante einer Matrix aus G L(2, Z) ist ±1. Die Homöomorphismen mit positiver Determinante sind orientierungstreu, die anderen nicht. Zopfgruppen Sind F eine Fläche und S eine endliche Teilmenge davon, so bezeichne Emb(S, F) ⊂ Hom(S, F) den Raum der Einbettungen, also der injektiven Abbildungen

156

7 Die Fundamentalgruppe

Abb. 7.16 Ein (unreiner) Zopf

von S nach F. Seine Fundamentalgruppe π1 (Emb(S, F), S) ist die reine Zopfgruppe von F auf n Strängen. Zöpfe lässen sich für F = R2 gut veranschaulichen (Abb. 7.16).

Übungen Ü121 – Nagelprobe Um ein wertvolles Gemälde an einer Wand zu befestigen, können zwei Nägel in diese geschlagen werden, über die eine Schnur läuft, welche das Bild hält. Fällt dann ein Nagel aus der Wand, so hält der andere noch das Bild – wenn auch etwas schief. Dabei kann allerdings etwas falsch gemacht werden: Zeigen Sie, dass man die Schnur so um beide Nägel wickeln kann, dass das Bild mit jedem Nagel fällt. Ü122 – Das Möbius-Band Durch M = {([x, y], (x  , y  )) ∈ RP 1 × D 2 | x  y = x y  } ist ein Modell des Möbius-Bandes gegeben. Wie kann die Fundamentalgruppe von M bestimmt werden? Welches Element wird durch die Randkurve S 1 −→ M, (x, y)  −→ ([x, y], (x, y)) beschrieben? Zeigen Sie: Entfernt man aus der projektiven Ebene RP 2 einen Punkt, so ist der Rest homöomorph zu M  = {([x, y], (x  , y  )) ∈ RP 1 × R2 | x  y = x y  }. Die projektive Ebene entsteht also durch Anheften einer 2–Zelle an das Möbius-Band entlang dessen Randlinie.

7.3

Flächen

157

a

b a

b

b



 b

b

a a

Abb. 7.17 Die Klein’sche Flasche

Ü123 – Und so weiter Zeigen Sie, dass auch für n  3 der projektive Raum RP n durch Anheften einer n–Zelle an RP n−1 entsteht. Die Inklusionen induzieren deswegen Isomorphismen π1 (RP 2 ) ∼ = π1 (RP 3 ) ∼ = π1 (RP 4 ) ∼ = ... ∼ = π1 (RP ∞ ). Ü124 – Die Klein’sche Flasche Die Klein’sche Flasche K erhält man durch die Identifikation des Randes eines Quadrates nach dem im Schaubild 7.17 angegebenen Schema. Zeigen Sie π1 (K ) ∼ = a, b | aba −1 b. Zeigen Sie auch, dass K homöomorph zu N2 ist, indem Sie das Quadrat entlang einer Diagonalen aufschneiden und die zwei Teile in b wieder zusammenkleben. Ü125 – Zusammenhängende Summe Sei X durch zwei offene Mengen U und V überdeckt, so dass U ∩ V homöomorph zu S 1 × R ist. Was besagt der Satz von Seifert und van Kampen für diese Situation? Benutzen Sie dies, um (noch einmal) die Fundamentalgruppe der Brezelfläche zu bestimmen. Ü126 – Heegaard kocht Linsen Sei L das Pushout S1 × S1

⊆

D2 × S1

f

S1 × D2

L,

158

7 Die Fundamentalgruppe

wobei f (z, w) = (z a wb , z c wd ) mit ganzen Zahlen a, b c, d und ad − bc = ±1 ist. Dann ist die Fundamentalgruppe von L zu Z/a isomorph. (Der Raum L wird als L(a; p, q) für geeignete p und q in Abschn. 9.3 wiederkehren. Ein solches Diagramm wird eine HeegaardZerlegung von L genannt, nach dem Mathematiker, der in seiner Dissertation zeigte, dass sich alle Dreimannigfaltigkeiten ähnlich zerlegen lassen.)

8

Überlagerungen

Inhaltsverzeichnis 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Die Kategorie der Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Hochhebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fasertransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Klassifikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Topologische Galois-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159 167 170 175 179

Bei der Bestimmung der Fundamentalgruppe des Kreises in Abschn. 6.4 haben wir die Exponentialabbildung betrachtet, welche die reellen Zahlen wie eine Helix über die Kreislinie legte und sie damit überlagerte‘. Solche Abbildungen sollen in diesem Kapitel betrachtet ’ werden. Das Hochhebungsverhalten von Wegen in Überlagerungen kann genutzt werden, um Fundamentalgruppen auszurechnen. Die Verbindung zwischen Fundamentalgruppe und Überlagerungen ist allerdings noch enger und führt zur Klassifikation von Überlagerungen durch die Struktur der Fundamentalgruppe. Die Theorie ist analog zur Galois-Theorie von Körpererweiterungen.

8.1

Die Kategorie der Überlagerungen

Definition Eine Überlagerung eines Raumes B ist eine stetige Abbildung p : X → B mit folgenden Eigenschaften: (Übl 1) Diskret: Für jedes b ∈ B ist p −1 (b) diskret. (Übl 2) Lokal trivial: Für jedes b ∈ B gibt es eine Umgebung U und einen Homöomorphismus h U von p −1 (U ) nach U × p −1 (b), der das Diagramm © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_8

159

160

8 Überlagerungen

hU

p −1 (U )

U × p −1 (b) prU

p

U kommutativ macht. Die Urbildmenge p −1 (b) heißt Faser in b und die Abbildung h U heißt Trivialisierung. Weil die Faser diskret ist, ist U × p −1 (b) eine Summe; es gibt einen Summanden U für jeden Punkt der Faser. Die Summanden werden auch Blätter der Überlagerung genannt (Abb. 8.1). 

Aus der lokalen Trivialität folgt die Notiz Eine Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus.

Beispiele Einfachste Beispiele von Überlagerungen von B sind Homöomorphismen B  ∼ = B und die Projektionen pr B : B × F → B mit diskreten Räumen F. Es sei bemerkt, dass eine Überlagerung nicht surjektiv sein muss, wie das Beispiel ∅ → B zeigt. Interessantere Überlagerungen sind die Abbildungen S 1 −→ S 1 , z  −→ z n für n  = 0. Jede Faser besteht aus n Elementen. Als Trivialisierungsumgebungen können alle offenen Kreisbögen der Länge kleiner als 2π/n genommen werden (Abb. 8.2).

Abb. 8.1 Die Blätter einer Überlagerung

p−1 (U )

p

U

8.1

Die Kategorie der Überlagerungen

161

Abb. 8.2 Die Überlagerung z  → z 3 des Kreises S 1 S1 ( ( (

) ) ) z3

S1 (

)

Die Exponentialabbildung R −→ S 1 , t  −→ exp(2π it) ist eine Überlagerung mit abzählbarer Faser. Hier kann man sogar offene Kreisbögen der Länge kleiner als 2π nehmen. Die Identifizierung S n → RP n ist eine zweiblättrige Überlagerung, denn ist V eine offene Teilmenge der S n ohne Antipodenpunkte, so gilt für U = p(V ) p−1 U = V + (−V ) ∼ = U × Z/2. Das Schaubild 8.3 zeigt eine 2-blättrige Überlagerung der Klein’schen Flasche durch den Torus. a

a

b

b

a

p

b

b

a

Abb. 8.3 Eine 2-blättrige Überlagerung der Klein’schen Flasche durch einen Torus

162

8 Überlagerungen

Diese Beispiele sind alle nur lokal trivial, nicht aber global, denn die überlagernden Räume sind zusammenhängend, und die Fasern bestehen aus mehreren Elementen. Es gibt viele Konstruktionen, um aus gegebenen Überlagerungen weitere zu konstruieren, zum Beispiel gilt: Notiz Jeder Basiswechsel einer Überlagerung ist eine Überlagerung. Das liegt natürlich daran, dass Produkte mit diskreten Räumen unter Basiswechsel erhalten bleiben. Die Komposition von Überlagerungen braucht keine Überlagerung zu sein. Unter einer zusätzlichen Voraussetzung ist das allerdings richtig. Satz 8.1 Sind p : X → B und f : B → C Überlagerungen, und hat f endliche Fasern, so ist auch die Komposition f p : X → C eine Überlagerung. Beweis Seien c ein Punkt von C und V eine offene Umgebung, über der f trivial ist. Eine Trivialisierung f −1 (V ) ∼ = V × f −1 (c) liefert dann zu jedem Punkt b der Faser f −1 (c) eine offene Umgebung Ub von b in B, welche unter f homöomorph auf V abgebildet wird. Jedes Ub enthält dann eine offene Umgebung Ub von b, so dass p auf Ub trivial ist. Dann ist V =



f (Ub )

b∈ f −1 (c)

eine offene Umgebung von c in C, die in V enthalten ist. Folglich ist f über V  trivial und p  über f −1 (V  ) trivial. Somit ist aber f p über V trivial. Während man also Überlagerungen entlang jeder stetigen Abbildung zurückziehen kann, so kann man sie nur entlang von endlichen Überlagerungen vorwärts schieben. Definition Man nennt f p auch den Transfer von p entlang f . Es sei bemerkt, dass sich beim Transfer die Mächtigkeit der Fasern ändern kann. Notiz Sind p : X → B und p : X  → B  Überlagerungen, so sind auch p + p : X + X  → B + B  und Überlagerungen.

p × p : X × X  → B × B 



8.1

Die Kategorie der Überlagerungen

163

Definition Die Konstruktionen der vorangehenden Notiz werden auch externe Summe und externes Produkt genannt, weil die Basis sich dabei entsprechend verändert. Das interne Produkt von zwei Überlagerungen p : X → B und q : Y → B über der gleichen Basis erhält man aus dem externen Produkt durch Basiswechsel entlang der Diagonalen  = (id, id) : B −→ B × B. Die Faser im internen Produkt über einem Punkt b von B ist dann das Produkt der Fasern der Faktoren über b. Die interne Summe von zwei Überlagerungen p : X −→ B und q : Y → B über der gleichen Basis erhält man aus der externen Summe durch Transfer entlang der Kodiagonalen ∇ = (id, id) : B + B → B. Die Faser der internen Summe über einem Punkt b von B ist dann die Summe der Fasern der Faktoren über b.  Beispiel Betrachte das externe Produkt des Homöomorphismus R −→]0, ∞[, x  → exp(x) mit der Überlagerung R −→ S 1 , y  → exp(iy). Dieses stimmt nach der Komposition mit dem Homöomorphismus ]0, ∞[ × S 1 −→ C \ 0, (t, z)  → t z mit der komplexen Exponentialfunktion R × R = C −→ C \ 0, z = x + iy  → exp(z) = exp(x) exp(iy) überein. Insbesondere ist die komplexe Exponentialfunktion exp eine Überlagerung. (Das Schaubild 8.4 zeigt, wie sich dabei die imaginäre Achse {0} × R über den Einheitskreis abwickelt, während die reelle Achse R × {0} wie üblich abgebildet wird.) Man kann also lokal immer ein Blatt wählen, welches sich homöomorph auf ein offenes Gebiet der gelochten Ebene abbildet. Die Umkehrfunktion dieser Abbildung nennt man auch einen Zweig des Logarithmus. Mehr zu Überlagerungen in der Funktionentheorie findet sich in der Ergänzung. Die Gesamtheit aller Überlagerungen eines topologischen Raumes B organisiert man am besten in einer Kategorie.

164

8 Überlagerungen

R×0 0×R

p

C\0

Abb. 8.4 Zweige des Logarithmus

Definition Die Objekte der Kategorie Cov(B) sind die Überlagerungen p : X → B von B. Die Morphismen von p : X → B nach q : Y → B sind die stetigen Abbildungen f : X → Y , welche das Diagramm f

X

Y q

p

B kommutativ machen.



Das Klassifikationsproblem für Überlagerungen besteht nun darin, zu einem gegebenen topologischen Raum B die Kategorie seiner Überlagerungen zu beschreiben. Um einen Überblick über die möglichen Isomorphieklassen zu gewinnen, müssen überhaupt die Mor-

8.1

Die Kategorie der Überlagerungen

165

phismen zwischen Überlagerungen verstanden werden. Insbesondere sind wieder die Automorphismengruppen interessant. Dazu schon jetzt einige erste Bemerkungen. Definition Ist p : X → B eine Überlagerung, so ist die Automorphismengruppe von p in der Kategorie der Überlagerungen von B eine Untergruppe der Homöomorphismengruppe von X . Sie wird die Decktransformationsgruppe von p genannt und mit der diskreten Topologie versehen.  Die Decktransformationsgruppe operiert stetig auf X . Die Fasern von p sind invariant. Man erhält also eine stetige Abbildung X /Aut( p) −→ B. Diese ist allerdings nur in bestimmten Fällen ein Homöomorphismus, wie wir in Satz 8.15 sehen werden.

Ergänzung Riemann’sche Flächen In der Funktionentheorie treten oft mehrwertige Funktionen‘ auf, ’ etwa die Wurzelfunktion oder der schon weiter oben diskutierte Logarithmus. Diese Konstrukte werden einwertig‘, also zu tatsächlichen Funktionen gemacht, indem zu Überlage’ rungen des Definitionsbereiches übergegangen wird. Dies soll im Folgenden kurz skizziert werden. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass die mehrwertige Funktion‘ durch ’ eine polynomiale Gleichung r (x, y) = 0 in zwei komplexen Variablen implizit definiert ist. √ Im Fall der Wurzelfunktion y = x ist das etwa y 2 = x, also r (x, y) = x − y 2 . Ein anderes interessantes Beispiel ist etwa r (x, y) = x 3 − x − y 2 . Ist y = f (x) für eine ein’ wertige‘ polynomiale Funktion f , so ist natürlich r (x, y) = y − f (x). Im Normalfall kann die Gleichung r (x, y) = 0 aber nicht nach y aufgelöst werden, so dass man also auch keine Funktion C → C erhält. Stattdessen betrachtet man die Lösungsmenge R der Gleichung r (x, y) = 0 in C2 zusammen mit ihren beiden Projektionen nach C: R

pr 2

C

pr 1

C Ist r durch eine Funktion f gegeben, so ist R ihr Graph, und es gilt f pr 1 = pr 2 , was durch den gestrichelten Pfeil angedeutet wird. Im Allgemeinen gibt es so ein f nicht, und man wird das Diagramm so interpretieren, dass durch pr 1 der Definitionsbereich erweitert wurde, so dass durch pr 2 eine Funktion auf R definiert werden kann. Man nennt R dann die

166

8 Überlagerungen

Riemann’sche Fläche zur durch r gegebenen mehrwertigen Funktion‘. Selbstverständlich ’ muss man weitere Voraussetzungen an r stellen, damit es sich tatsächlich um eine glatte Fläche (2-dimensionale Mannigfaltigkeit) handelt: In den Punkten (x, y) von R dürfen nicht beide Ableitungen ∂r /∂ x und ∂r /∂ y verschwinden. In den Punkten mit ∂r /∂ y  = 0 ist pr 1 ein lokaler Homöomorphismus. Wenn man nur diese Punkte von R betrachtet, liefert die Einschränkung von pr 1 dort eine Überlagerung ihres Bildes. In den anderen Punkten hat pr 1 lokal die Form z  → z n für ein n  2. In der Funktionentheorie spricht man dann von verzweigten Überlagerungen. Das sind also keine Überlagerungen in dem von uns definierten Sinne, sondern Verallgemeinerungen davon.

Übungen Ü127 – Wenn das Negative fehlt Die Abbildung ]0, ∞[−→ S 1 , t  → exp(2π it) ist keine Überlagerung. Ü128 – Reguläres Seien X und Y kompakte Hausdorff-Räume, und sei f : X → Y ein lokaler Homöomorphismus. Dann ist f eine Überlagerung mit endlichen Fasern. Ü129 – Irreguläres Geben Sie ein Beispiel für einen surjektiven lokalen Homöomorphismus, der keine Überlagerung ist. Ü130 – Entworren Beschreiben Sie explizit eine zweifache Überlagerung des MöbiusBandes durch das entworrene Bd. S 1 × I . Ü131 – Wiederholung Sei p : X → Y eine Überlagerung. Beweisen oder widerlegen Sie: 1. 2. 3. 4.

Ist Y kompakt, so auch X . Ist X kompakt, so auch Y . Ist Y ein Hausdorff-Raum, so auch X . Ist X ein Hausdorff-Raum, so auch Y .

Ü132 – Komplex, aber nicht komplex Gibt es eine Polynomfunktion p : C → C mit grad( p)  2 welche eine Überlagerung ist? Ü133 – Kreisverkehr Für n  = 0 sei en : S 1 → S 1 die durch z  → z n gegebene Überlagerung. Dann sind en und e−n isomorphe Überlagerungen von S 1 . Wieviele Elemente und welche Struktur hat die Gruppe Aut(en ) der Decktransformationen von en ?

8.2

Der Hochhebungssatz a2

167 b2 p

b3

a1

b1

a3

a

b

Abb. 8.5 Eine dreiblättrige Überlagerung von S 1 ∨ S 1

Ü134 – Noch mehr Kreise Die Abb. 8.5 beschreibt eine dreiblättrige Überlagerung der Einpunktvereinigung zweier Kreise S 1 ∨ S 1 . Beschreiben Sie die Decktransformationsgruppe.

8.2

Der Hochhebungssatz

In Abschn. 6.4 haben wir schon Wege und Schleifen in der Überlagerung p : R → S 1 betrachtet. Dabei fußte die Diskussion auf dem Hochhebungssatz, der auch für allgemeine Überlagerungen zur Verfügung steht und nicht viel anders bewiesen wird. Allein bei der Eindeutigkeitsaussage wurde dort benutzt, dass die Exponentialabbildung ein Gruppenhomomorphismus ist; das muss für allgemeine Überlagerungen anders gelöst werden. Satz 8.2 Seien p : X → B eine Überlagerung und Z ein zusammenhängender topologischer Raum. Dann stimmen je zwei Abbildungen F, F  : Z → X mit p F = p F  überein, wenn sie nur in einem Punkt übereinstimmen. Beweis Sind x und y zwei Punkte in X mit p(x) = p(y), so liegen sie in verschiedenen Blättern unter jeder Trivialisierung. Also können sie durch disjunkte Umgebungen getrennt werden. Dies impliziert, dass die Diagonale in X × B X abgeschlossen ist. (Überlagerungen sind separiert, siehe Abschn. 3.2 für diesen Begriff.) Sind also F und F  stetige Abbildungen nach X , deren Kompositionen mit p übereinstimmen, so ist (F, F  ) eine stetige Abbildung nach X × B X . Das Urbild der Diagonalen ist die Menge der Punkte, auf denen F und F  übereinstimmen. Diese Menge ist somit abgeschlossen. Nach Voraussetzung ist sie nicht leer. Wegen des Zusammenhanges von Z reicht es nun zu zeigen, dass sie offen ist. Sei dazu z irgendein Punkt mit F(z) = F  (z) = x. Dann gibt es eine offene Umgebung V von p(x) in B, über der p trivial ist. Sei h : p −1 (V ) → V × p −1 ( p(x)) eine Trivialisierung. Es gibt dann wegen der Stetigkeit von F und F  eine offene Umgebung U von z mit h F(U ) ⊆ V × {x} und h F  (U ) ⊆ V × {x}. Bis auf den Homöomorphismus V × {x} ∼ = V stimmen h F und h F  dann auf U mit f überein. Da h ein Homöomorphismus ist, stimmen F und F  auf U überein. 

168

8 Überlagerungen

Satz 8.3 (Hochhebungssatz) Seien p : X → B eine Überlagerung und Z ein zusammenhängender topologischer Raum. Seien f : Z → X eine stetige Abbildung und H : I ×Z → B eine Homotopie mit Anfang p f . Dann gibt es genau eine Homotopie F : I × Z → X mit Anfang f und p F = H . Z (0,id)

I×Z

f

X

F

p H

B

Beweis Die Eindeutigkeit folgt sofort aus dem vorangehenden Resultat. Es bleibt, die Existenz zu zeigen. Zunächst betrachten wir den Fall, dass Z ein Punkt x in X ist. Dann ist H ein Weg γ in B mit γ (0) = p(x). Nach Lebesgue (Abschn. 4.1) gibt es ein n, so dass γ jedes Intervall der Form [(k − 1)/n, k/n] in eine offene Teilmenge von B abbildet, über der p trivial ist. Die Einschränkung von γ auf [0, 1/n] hat dann (genau) eine Hochhebung mit Anfang x. Den Endpunkt dieser Hochhebung benutzt man dann, um die Hochhebung über [1/n, 2/n] fortzusetzen und so weiter. So erhält man eine Hochhebung von γ über ganz [0, 1]. Im allgemeinen Fall ist nun schon klar, wie F als Abbildung auszusehen hat: Ist z ein Punkt aus Z , so muss die Einschränkung von F auf I × {z} die Hochhebung der Einschränkung von H auf I × {z} zum Anfang f (z) sein. Es ist nur noch die Stetigkeit dieser Abbildung zu zeigen. Dazu zunächst eine Vorbemerkung. Sei J ein in I offenes Intervall, sei U ⊆ Z offen, und sei H (J × U ) in einer der offenen Teilmengen von B enthalten, über denen p trivial ist. (Jeder Punkt (t, z) von I × Z hat eine solche Umgebung.) Bis auf Homöomorphie hat F auf J × U dann die Form (G, H ) mit einer Abbildung G von J × U in die Faser und der Abbildung H von J × U nach B wie oben. Die Stetigkeit von F auf J × U ist äquivalent zu der von G. Nach Konstruktion ist G konstant auf Mengen der Form J × {u}. Die Stetigkeit von G auf ganz J × U folgt deswegen, wenn es nur ein t aus J gibt, so dass G auf {t} × U stetig ist. Zusammengefasst: Ist die Einschränkung von F auf eine Menge der Form {t} × U stetig, so ist F auf ganz J × U stetig. Jetzt kann die Stetigkeit von F gezeigt werden. Für z aus Z sei dazu T (z) die Menge der t in I , so dass es eine Umgebung von (t, z) in I × Z gibt, auf der F stetig ist. Dann reicht es, die Gleichheit T (z) = I für alle z zu zeigen. Weil I zusammenhängend ist, muss man dazu nur wissen, dass T (z) offen, abgeschlossen und nicht leer ist. Das wird nun gezeigt. Nicht leer: Wir zeigen, dass 0 in T (z) liegt. Zu (0, z) gibt es jedenfalls eine Umgebung der Form J ×U wie in der Vorbemerkung. Auf {0}×U ist F durch die stetige Anfangsbedingung gegeben. Nach der Vorbemerkung ist dann F auf J × U stetig. Offen: Das folgt unmittelbar aus der Definition: Ist t in T (z), so gibt es eine Umgebung der Form K × V von (t, z), auf der F stetig ist. Dann ist aber die ganze Umgebung K von t in T (z) enthalten.

8.2

Der Hochhebungssatz

169

Abgeschlossen: Sei t im Abschluss von T (z). Zu (t, z) gibt es eine Umgebung J × U wie in der Vorbemerkung. In J liegt auch ein Punkt t  aus T (z). Es gibt deswegen eine Umgebung K × V von (t  , z), auf der F stetig ist. Dann ist F auf {t  } × V stetig, also insbesondere auf {t  }×(U ∩V ). Nach der Vorbemerkung ist F dann aber auf ganz J ×(U ∩V ) stetig. Damit liegt t in T (z).  Als erste Anwendung des Hochhebungsatzes erhalten wir das folgende Resultat. Folgerung 8.4 Sei p : X → B eine Überlagerung. Dann ist der Funktor p∗ : (X ) −→ (B) injektiv auf Morphismenmengen, also treu. Beweis Seien γ und γ  Wege in X von x nach x  , so dass pγ und pγ  homotop bei festen Endpunkten sind. Dann kann (nach dem Hochhebungssatz) die Homotopie hochgehoben werden. Das liefert eine Homotopie von γ zu einer Hochhebung von pγ  . Die Endpunkte sind hierbei fix, weil es keine nicht konstanten Wege in der Faser gibt. Wegen der Eindeutigkeit  muss also die Hochhebung von pγ  mit γ  übereinstimmen.

Ergänzung Noch ein Hochhebungssatz Der Hochhebungssatz lässt folgende Variante zu: Sei Y wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Sei p : X → B eine Überlagerung. Sei f : Y → B eine stetige Abbildung und seien y ∈ Y , x ∈ X zwei Punkte mit der Eigenschaft f (y) = p(x). Dann hat f genau dann eine Hochhebung F : Y → X mit F(y) = x, wenn das dazugehörige algebraische Problem π1 (X , x) p∗

π1 (Y , y)

f∗

π1 (B, b)

lösbar ist, d. h., falls f ∗ (π1 (Y , y)) ⊆ p∗ (π1 (X , x)) gilt. Zur Konstruktion von F in einem Punkt y  wählt man wieder einen Weg vom Grundpunkt y nach y  und hebt sein Bild unter f in x hoch. Der Endpunkt dieses Weges gibt dann die Hochhebung F(y  ).

170

8 Überlagerungen

Die Wohldefiniertheit dieser Abbildung F folgt aus der algebraischen Bedingung: Je zwei Wege von y nach y  unterscheiden sich bis auf eine gebundene Homotopie nur durch eine Schleife in y. Deren Bild unter f lässt sich aber zu einem geschlossenen Weg hochheben und verändert somit den Endpunkt nicht. Die Stetigkeit der Abbildung F folgt aus dem lokalen Wegzusammenhang von Y : Sind y  ∈ Y und U ein Blatt von p, welches F(y  ) enthält, so gibt es eine wegzusammenhängende Umgebung V von y  mit f (V ) ⊆ p(U ). Es genügt zu zeigen, dass F(V ) ⊆ U gilt. Hierzu wähle man sich einen Weg γ von y nach y  . Um einen Weg von y zu einem beliebigen Punkt y  ∈ V zu erhalten, kann man γ mit einem Weg γ  fortsetzen, der ganz in V verläuft. Eine Hochhebung von f (γ  γ ) in x ergibt sich aus einer Hochhebung von f (γ ) in x gefolgt von einer Hochhebung von f (γ  ) in F(y  ). Deren Endpunkt liegt offensichtlich in U .

Übungen Ü135 – Kreuz und quer Finden Sie alle Hochhebungen des diagonalen Weges γ : I −→ K , t  → [(t, t)] in der Überlagerung der Klein’schen Flasche K durch den Torus in Abschn. 8.1. Skizzieren Sie diese hochgehobenen Wege im Torus nach der Identifizierung auf dem Rand des Quadrats. Ü136 – Auf das Ende sehen Sei p : X → B eine Überlagerung, wobei X wegzusammenhängend und B einfach-zusammenhängend sind. Zeigen Sie, dass p ein Homöomorphismus sein muss. (Hinweis: Verbinden Sie zwei Punkte in der Faser durch einen Weg und heben Sie eine Nullhomotopie der dazugehörigen Schleife in B hoch.) Ü137 – Schleudertrauma Sei p : X → B eine Überlagerung. Sind zwei Punkte x und x  über b in der gleichen Wegekomponente von X , so sind die Untergruppen p∗ π1 (X , x) und p∗ π1 (X , x  ) in π1 (B, b) konjugiert.

8.3

Fasertransport

Ist p : X → B eine Überlagerung, so ist jede Faser p −1 (b) ein diskreter Raum, also eine Menge. Diese Zuordnung kann unter Verwendung des Hochhebungssatzes zu einem Funktor M p : (B) −→ Sets

8.3

Fasertransport

171

ausgebaut werden: Die Objekte von (B) sind die Punkte von B. Einem Punkt b ordnet man die Faser M p (b) = p −1 {b} zu. Der Klasse eines Weges γ : b → b muss eine Abbildung von M p (b) nach M p (b ) zugeordnet werden, die M p [γ ] oder einfach [γ ] notiert wird. Das macht man so, dass man x den Endpunkt der (eindeutig bestimmten) Hochhebung γ˜ von γ mit Anfang x zuordnet: M p [γ ](x) = γ˜ (1). In dem Schaubild 8.6 ist angedeutet, warum dieser Endpunkt tatsächlich nur von der Klasse von γ abhängt: Hebt man eine gebundene Homotopie hoch, so dass alle Wege der Homotopie in x starten, so müssen die Wege auch den gleichen Endpunkt haben, weil sonst ein nicht konstanter Weg in der diskreten Faser über b entstehen würde. Damit sind die Daten eines Funktors gegeben. Die Funktoraxiome verifiziert man durch geschickte Wahl geeigneter Vertreter für die Identität und die Komposition: Die Identitäten werden durch konstante Wege repräsentiert; die Hochhebungen kann man dann auch konstant wählen, und sie liefern dann als Fasertransport auch die Identitäten. Sind γ : b → b und γ  : b → b zwei zusamγ  γ mensetzbare Wege und  γ sowie  γ  Hochhebungen davon mit Anfängen x und x  , so ist    eine Hochhebung von γ γ mit Anfang x. Deswegen bilden M p [γ ]M p [γ ] und M p [γ  γ ] beide den Punkt x auf den Endpunkt von γ˜  ab. Definition Der Funktor M p ist der Fasertransportfunktor (oder Monodromiefunktor) von p. 

Abb. 8.6 Hochhebungen von Wegen

p−1 {b }

X

p−1 {b}

p

b

h

b

B

172

8 Überlagerungen

Abb. 8.7 Zwei dreiblättrige Überlagerungen der Klein’schen Flasche durch sich selbst

Beispiele Ist p = pr B : F × B → B, so ist M p isomorph zum konstanten Funktor mit Wert F. Das Schaubild 8.7 zeigt zwei dreiblättrige Überlagerungen der Klein’schen Flasche durch sich selbst. (Die linke Überlagerung war auf der Titelseite der ersten Auflage dieses Buches nochmal anders dargestellt.) Die Fasern über dem Anfangswert der beiden Schleifen a, b wurden nummeriert. Die Schleifen operieren also auf der Faser {1, 2, 3}. Für die linke Überlagerung wird der Fasertransport in diesem Punkt durch a  → (123), b  → id in der üblichen Zyklenschreibweise beschrieben: (123) bedeutet 1  → 2, 2  → 3 und 3  → 1. In der rechten Überlagerung gilt a  → (23), b  → (132).

8.3

Fasertransport

173

Definition Ein Funktor von (B) in die Kategorie der Mengen wird auch eine (B)– Menge genannt. Die (B)–Mengen bilden eine Kategorie. Morphismen zwischen zwei (B)–Mengen M und N sind die natürlichen Transformationen. Ein Morphismus wird auch einfach eine (B)–Abbildung genannt.  Eine (B)–Abbildung  : M → N macht Folgendes: Jedem Punkt b aus B ordnet sie eine Abbildung (b) : M(b) → N (b) so zu, dass für jeden Morphismus [γ ] : b → b das Diagramm M(b)

(b)

M[γ ]

M(b )

N (b) N [γ ]

(b )

N (b )

kommutiert. Satz 8.5 Die Zuordnung p  → M p , die jeder Überlagerung von B ihren Fasertransportfunktor zuordnet, ist selbst ein Funktor M : Cov(B) −→ (B)–Sets. Beweis Ist nämlich f ein Morphismus von der Überlagerung p : X → B in die Überlagerung q : Y → B, so bildet f die Fasern M p (b) und Mq (b) ineinander ab. Ist γ˜ eine Hochhebung von γ in x ∈ X bezüglich p, so ist f γ˜ eine Hochhebung von γ in f (x) bezüglich q. Also gilt f M p [γ ](x) = f γ˜ (1) = Mq [γ ]( f (x)), und man erhält einen Morphismus M p → Mq von (B)–Mengen. Die Funktorialität von M ergibt sich ebenso.  Es lohnt sich, hier noch einmal explizit festzuhalten, dass man durch Einschränkung für jeden Punkt b von B einen Funktor von π1 (B, b) in die Kategorie der Mengen erhält, welcher das Objekt b auf die Faser über b abbildet. Anders gesagt: π1 (B, b) operiert auf der Faser über b durch Fasertransport. Die folgenden Resultate geben genauere Auskunft über diese Operation. Satz 8.6 Sei p : X → B eine Überlagerung. Für jeden Punkt x von X ist der induzierte Gruppenhomomorphismus

174

8 Überlagerungen

p∗ : π1 (X , x) −→ π1 (B, p(x)) injektiv. Das Bild ist der Stabilisator von x bei der Operation von π1 (B, p(x)) auf der Faser durch x. Zwei Punkte dieser Faser liegen genau dann in der gleichen Bahn dieser Operation, wenn sie in der gleichen Wegzusammenhangskomponente von X liegen. Beweis Die Injektivität von p∗ auf Fundamentalgruppen folgt sofort aus der Injektivität von p∗ auf den Fundamentalgruppoiden. Ist γ eine Schleife in B an p(x), so ist [γ ]x = x gleichbedeutend damit, dass die Hochhebung von γ mit Anfang x auch in x endet. Liegt nun [γ ] im Stabilisator von x, so ist die Hochhebung von γ eine Schleife, und [γ ] ist dann das Bild dieser Schleife unter p∗ . Ist umgekehrt [γ ] im Bild, so ist γ Bild einer Schleife an x. Das ist dann aber automatisch die Hochhebung von γ mit Anfang x. Somit stabilisiert [γ ] den Punkt x. Liegt x  in der Bahn von x, etwa x  = [γ ]x, so ist also x  der Endpunkt der Hochhebung von γ mit Anfang x. Diese Hochhebung ist dann ein Weg von x nach x  . Ist umgekehrt x  ein Punkt in der gleichen Faser wie x, und gibt es einen Weg von x nach x  in X , so wird dieser auf eine Schleife γ in B an p(x) abgebildet, deren Hochhebung er ist. Es folgt  [γ ]x = x  . Ein Spezialfall des letzten Satzes ist besonders hervorzuheben. Folgerung 8.7 Sei p : X → B eine Überlagerung. Ist X wegzusammenhängend, so operiert jede Fundamentalgruppe von B transitiv auf der entsprechenden Faser. Die in diesem Abschnitt gewonnenen Resultate haben interessante Anwendungen auf Überlagerungen, die aus Gruppenoperationen entstehen. Das wird in Abschn. 9.3 verfolgt.

Übungen Ü138 – Reifen und Transport Beschreiben Sie die Operation der Fundamentalgruppe der Basis auf der Faser im Fall der Überlagerung p der Klein’schen Flasche durch den Torus in Abschn. 8.1. Bestimmen Sie auch die von p induzierte Abbildung auf den Fundamentalgruppen. Ü139 – Paginiert Zeigen Sie, dass die Blätterzahl einer wegzusammenhängenden Überlagerung p : X → B mit dem Index der Untergruppe p∗ π1 (X , x) in π1 (B, p(x)) übereinstimmt. Ü140 – Wieder reine Zöpfe Die n–te reine Zopfgruppe wurde als Fundamentalgruppe des Raumes Emb(n, R2 ) der Einbettungen einer n–elementigen Menge in die Ebene definiert.

8.4

Der Klassifikationssatz

175

Auf diesem Raum operiert die symmetrische Gruppe auf n Elementen frei. Der Quotient ist der Raum Sub(n, R2 ) der n–elementigen Teilmengen der Ebene. Seine Fundamentalgruppe wird die n–te (volle) Zopfgruppe genannt. Zeigen Sie: Die n–te (volle) Zopfgruppe bildet surjektiv auf die symmetrische Gruppe ab, und der Kern ist isomorph zur reinen Zopfgruppe. Ü141 – Reise nach Jordanien Sei p : X → B eine Überlagerung mit endlicher Blätterzahl n  2 und nicht leeren, wegzusammenhängenden Räumen X und B. Dann gibt es eine Schleife in B, welche sich nicht zu X hochheben lässt. (Das entsprechende gruppentheoretische Resultat wurde von Jordan bewiesen, siehe [Ser03].)

8.4

Der Klassifikationssatz

Sei B ein topologischer Raum. In diesem Abschnitt soll versucht werden, die Kategorie der Überlagerungen von B zu beschreiben. Dazu kann der Funktor M : Cov(B) −→ (B)–Sets verwendet werden, welcher jeder Überlagerung ihren Fasertransportfunktor zuordnet. Notiz Der Funktor M ist treu. Ist nämlich p : X → B eine Überlagerung von B, so ist die X zugrundeliegende Menge die disjunkte Vereinigung der Fasern M p (b). Die einer Abbildung f

X

Y q

p

B von Überlagerungen zugeordnete natürliche Transformation M( f ) : M p → Mq ist gerade durch Anwenden von f definiert. Die Frage ist, ob dieser Funktor auch voll ist, ob sich also jede natürlich Transformation M p → Mq durch einen Morphismus f von Überlagerungen realisieren lässt. Ist eine natürliche Transformation M p → Mq gegeben, so gibt es jedenfalls eine Abbildung f zwischen den X und Y zugrundeliegenden Mengen, so dass das obige Diagramm kommutiert. Ein Punkt x wird dabei auf das Bild von x unter der Abbildung M p ( p(x)) → Mq ( p(x)) abgebildet. Es stellt sich also nur die Frage, ob die so definierte Abbildung f auch stetig ist, denn dann ist M f eben diese natürliche Transformation. Dies kann unter Verwendung einer zusätzlichen Voraussetzung beantwortet werden.

176

8 Überlagerungen

In Abschn. 6.2 haben wir einen topologischen Raum B lokal wegzusammenhängend genannt, wenn in jeder Umgebung jedes seiner Punkte eine wegzusammenhängende Umgebung liegt. Ist X → B eine Überlagerung, so sind X und B lokal homöomorph; deswegen ist X lokal wegzusammenhängend, wenn das für B gilt. Wenn die Überlagerung surjektiv ist, so gilt auch die Umkehrung. Satz 8.8 Sei B ein lokal wegzusammenhängender topologischer Raum. Eine Abbildung f zwischen Überlagerungen p : X → B und q : Y → B von B ist genau dann stetig, wenn die durch x  → f (x) definierten Abbildungen M p (b) → Mq (b) eine (B)–Abbildung definieren. Beweis Die eine Richtung ist klar: Ist f stetig, so wird dadurch eine (B)–Abbildung induziert. Sei nun umgekehrt f eine Abbildung, welche mit den Fasertransporten verträglich ist. Es ist zu zeigen, dass f stetig ist. Sei also x ein Punkt von X und f (x) sein Bildpunkt. Sei V eine offene Umgebung von f (x). Nach Verkleinerung ist q ein Homöomorphismus zwischen V und q(V ). Sei t : q(V ) ∼ = V sein Inverses. Wegen der Stetigkeit von p gibt es eine offene Umgebung U von x mit p(U ) ⊆ q(V ). Weil X lokal wegzusammenhängend ist, ist U nach Verkleinerung wegzusammenhängend. Es reicht nun zu zeigen, dass f (U ) ⊆ V gilt. Sei dazu x  ein weiterer Punkt aus U . Dann gibt es einen Weg γ von x nach x  in U . Dann ist pγ ein Weg von p(x) nach p(x  ) in p(U ) ⊆ q(V ). Nach der Definition des Fasertransportes ist deswegen M p [ pγ ](x) = x  . Die Verträglichkeit von f mit dem Fasertransport impliziert dann Mq [ pγ ]( f (x)) = f (M p [ pγ ](x)) = f (x  ). Es ist also nur noch zu zeigen, dass der Fasertransport Mq [ pγ ]( f (x)) in V landet. Aber t pγ ist eine Hochhebung von pγ entlang q mit Anfang f (x), und der Endpunkt davon liegt in V .  Daraus folgt, wie zuvor erläutert, die Antwort auf unsere Frage nach der Stetigkeit. Folgerung 8.9 Sei B ein lokal wegzusammenhängender topologischer Raum. Dann ist der Funktor M : Cov(B) −→ (B)–Sets, welcher jeder Überlagerung ihren Fasertransportfunktor zuordnet, volltreu. Insbesondere sind zwei Überlagerungen von B genau dann isomorph, wenn sie isomorphen Fasertransport haben.

8.4

Der Klassifikationssatz

177

Als Nächstes soll versucht werden, mithilfe des Fasertransports M die Isomorphieklassen von Überlagerungen von B zu beschreiben. Zu einer Isomorphieklasse von Überlagerungen von B gehört demnach eine Isomorphieklasse von (B)–Mengen. Es stellt sich jetzt die Frage, ob auch alle (B)–Mengen bis auf Isomorphie als Transportfunktoren realisiert werden können, ob also der obige Funktor wesentlich surjektiv ist. Diese kann unter Verwendung einer weiteren Voraussetzung beantwortet werden. Definition Ein topologischer Raum B heißt semi-lokal einfach-zusammenhängend, falls B von wegzusammenhängenden, offenen Mengen U überdeckt wird, so dass der von der Inklusion induzierte Homomorphismus π1 (U , u) −→ π1 (B, u) für alle u aus U konstant ist. Eine äquivalente Formulierung ist: Je zwei Wege von u nach u  in U definieren den gleichen Morphismus in (B).  Beispiel Die Bedingung ist insbesondere dann erfüllt, wenn jeder Punkt eine einfachzusammenhängende Umgebung hat. Insbesondere gilt dies für Flächen oder allgemeiner für Mannigfaltigkeiten. Satz 8.10 (Hauptsatz der Überlagerungstheorie) Sei B ein lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum. Dann ist der Funktor M : Cov(B) −→ (B)–Sets, welcher jeder Überlagerung ihren Fasertransportfunktor zuordnet, eine Äquivalenz von Kategorien. Beweis Es wurde schon gezeigt, dass M volltreu ist (siehe die Folgerung zuvor). Wegen Satz 7.5 bleibt nur noch zu zeigen, dass M auch wesentlich surjektiv ist. Sei S : (B) → Sets eine (B)–Menge. Dann muss eine Überlagerung p S : X S −→ B konstruiert werden, deren Fasertransportfunktor isomorph zu S ist. Dazu seien  XS = S(b) b∈B

und p S auf S(b) konstant mit Wert b. Seien b ein Punkt von B und U eine wegzusammenhängende offene Umgebung von b in B, so dass π1 (U , b) → π1 (B, b) trivial ist. Nach Voraussetzung überdecken solche

178

8 Überlagerungen

Umgebungen ganz B. Ist dann γ ein Weg in U , welcher b mit einen Punkt u verbindet, so hängt S[γ ] : S(b) −→ S(u) nicht von [γ ] ab, weil je zwei Wege den gleichen Morphismus in (B) definieren und S durch diesen bestimmt ist. Das erlaubt es, eine Abbildung j(b, U ) : U × S(b) −→ p −1 S (U ) durch (u, x)  → S[γ ](x) zu definieren. Diese Abbildung ist bijektiv. Sei h(b, U ) : p−1 S (U ) −→ U × S(b) die Umkehrabbildung. Eine Teilmenge von X S wird offen genannt, wenn ihr Bild nach Schnitt mit p −1 S (U ) unter h(b, U ) für jedes (b, U ) offen ist. Das definiert eine topologische Struktur auf X S , für die alle h(b, U ) Homöomorphismen sind. Die Abbildung p S ist dann stetig, und die h(b, U ) liefern Karten, die zeigen, dass p S eine Überlagerung ist. Es bleibt zu zeigen, dass der Fasertransport von p S : X S → B zu S isomorph ist. Zunächst halten wir fest, dass der Fasertransport und S auf Objekten übereinstimmen: Die Faser von p S über b ist der Summand S(b) von X S und wird durch die kanonische Inklusion mit S(b) identifiziert. Sind nun γ ein Weg in B und γ˜ die Hochhebung davon entlang p S mit Anfang x, so soll γ˜ (1) durch S[γ ](x) gegeben sein. Es reicht, das für Wege γ zu verifizieren, die in einer Menge U wie oben verlaufen und b als Anfangspunkt haben, denn jeder Weg ist eine Komposition solcher Wege. Über U liegt nun aber eine Trivialisierung j(b, U ) vor, und für die Hochhebung gilt somit γ˜ (t) = j(b, U )(γ (t), x). Das Ende dieser Hochhebung ist S[γ ](x) nach Definition von j(b, U ) .



Es wäre auch nicht schwer, eine inverse Äquivalenz anzugeben. Dazu müsste man sich nur überlegen, dass die Zuordnung S  → ( p S : X S → B) aus dem Beweis des Satzes funktoriell in S ist. Das soll hier aber nicht vertieft werden. Der folgende Abschnitt wird dazu dienen, diesen Satz zu erläutern, indem er – unter weiteren Voraussetzungen an den Zusammenhang der Räume – interpretiert und variiert wird.

Übungen Ü142 — Klein-Kram Zeigen Sie, dass die beiden Selbstüberlagerungen der Klein’schen Flasche von Abschn. 8.3 nicht isomorph zueinander sind, indem Sie die dazugehörigen Fasertransporte untersuchen.

8.5 Topologische Galois-Theorie

179

Ü143 — Das kommt vor Wieviele Isomorphieklassen von zusammenhängenden Überlagerungen von RP 2 × RP 2 gibt es? Wieviele Morphismen gibt es zwischen ihnen jeweils? Ü144 — Basiswechsel Seien f , g : B  → B zwei homotope Abbildungen zwischen lokal wegzusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Räumen. Zeigen Sie für jede Überlagerung p : X → B, dass die Basiswechsel von p entlang f und g isomorph zueinander sind.

8.5

Topologische Galois-Theorie

Es stellt sich heraus, dass die Überlagerungstheorie der Topologie viele formale Ähnlichkeiten mit der algebraischen Galois-Theorie der Körpererweiterungen hat. Dieses wird besonders deutlich, wenn die auftretenden Räume als hinreichend zusammenhängend vorausgesetzt werden. In diesem Abschnitt sei deswegen B immer ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum. Ist B ein wegzusammenhängender Raum, so sind nicht nur (B) und π1 (B, b) äquivalent, sondern auch die Kategorien der (B)–Mengen und π1 (B, b)–Mengen für jeden Punkt b. Das folgt aus allgemeinen Gründen, kann aber für diese Situation auch explizit begründet werden. Es gilt dabei, eine inverse Äquivalenz zum Einschränkungsfunktor von der Kategorie der (B)–Mengen in die Kategorie der π1 (B, b)–Mengen zu konstruieren. Sei dazu N eine π1 (B, b)–Menge. Nach Voraussetzung gibt es zu jedem Punkt c einen Weg ϕc von c nach b. Der zu N gehörende Funktor soll dann durch N (c) = N auf Objekten gegeben sein. Die [γ : c → d] zugeordnete Abbildung N (c) → N (d) ist durch die Operation von [ϕd γ ϕc−1 ] gegeben. Man verifiziert, dass dies eine (B)–Menge definiert, die auch funktionell von N abhängt. Ist N = M(b) für eine (B)–Menge M, so ist die zu N gehörende (B)–Menge zu M isomorph. Eine (B)–Bijektion ist durch die Wege ϕc gegeben. Folgerung 8.11 Sei B ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfachzusammenhängender topologischer Raum. Ist b ein beliebiger Punkt in B, so liefert der Fasertransportfunktor eine Äquivalenz Cov(B) −→ π1 (B, b)–Sets von Kategorien. Bei dieser Äquivalenz werden die zusammenhängenden Überlagerungen auf die transitiven π1 (B, b)–Mengen abgebildet. Jede solche ist äquivalent zu einer homogenen π1 (B, b)– Menge der Form π1 (B, b)/H für eine Untergruppe H von π1 (B, b).

180

8 Überlagerungen

Definition Die Orbitkategorie Orb(G) einer Gruppe G hat als Objekte die homogenen G– Mengen G/H und als Morphismen die G–Abbildungen.  Folgerung 8.12 Sei B ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfachzusammenhängender topologischer Raum. Ist b ein beliebiger Punkt in B, so gibt es eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der zusammenhängenden Überlagerungen von B und der Orbitkategorie von π1 (B, b). Im Folgenden sollen nur Überlagerungen betrachtet werden, deren Totalräume nicht leer sind. Beispiele Sei B ein lokal wegzusammenhängender und einfach-zusammenhängender topologischer Raum. Dann ist jede Fundamentalgruppe trivial und folglich auch deren Orbitkategorie; es gibt genau ein Objekt und genau einen Morphismus, nämlich die Identität des Objektes. Das bedeutet, dass jede zusammenhängende Überlagerung von B isomorph zu id B ist. Anders gesagt: Jede zusammenhängende Überlagerung von B ist ein Homöomorphismus. Sei B ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfachzusammenhängender topologischer Raum, dessen Fundamentalgruppen isomorph zur Gruppe G = Z/2 sind. Beispiele sind RP n für n  2. Dann hat die Orbitkategorie zwei Objekte G/1 und G/G = ∗. Es gibt zwei Morphismen, die keine Identitäten sind: Den Automorphismus von G/1, der die beiden Elemente vertauscht, und die Abbildung G/1 → G/G. Der Raum B hat also bis auf Isomorphie genau eine nicht triviale zusammenhängende Überlagerung, deren Decktransformationsgruppe die Ordnung 2 hat, wie S n → RP n für n  2. Sei B ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfachzusammenhängender topologischer Raum, dessen Fundamentalgruppen isomorph zu Z sind. Ein Beispiel ist der Kreis S 1 . Dann sind die Objekte der Orbitkategorie durch Z/n für alle n = 0, 1, 2, 3, . . . gegeben. Dabei ist Z/0 ∼ = Z und Z/n genau n–elementig, wenn n  1. Die entsprechenden Überlagerungen von B = S 1 sind en : S 1 → S 1 mit en (z) = z n für n  1 und die Exponentialabbildung e0 : R → S 1 für n = 0. Jede zusammenhängende Überlagerung ist zu einer solchen isomorph. Man kann sich auch leicht überlegen, wieviele Morphismen es zwischen diesen Überlagerungen gibt. Einen Morphismus em → en gibt es genau dann, wenn m ein Vielfaches von n ist. (Und zwar genau n Stück, wenn n  0.) Die Automorphismengruppe von en ist zu Z/n isomorph, da Z abelsch ist. Es sei empfohlen, sich auch einmal ein nicht abelsches Beispiel anzuschauen. Dazu bietet sich die symmetrische Gruppe auf drei Elementen an. Dort gibt es in der Orbitkategorie sechs Objekte, von denen drei allerdings isomorph zueinander sind. (Diese Redundanz der Orbitkategorie ist der willkürlichen Auswahl von Isomorphieklassen vorzuziehen.) Diese drei Objekte, obwohl nicht trivial, haben übrigens triviale Automorphismengruppen. Dies

8.5 Topologische Galois-Theorie

181

ist überhaupt eine günstige Gelegenheit, den Automorphismengruppen wieder mehr Aufmerksamkeit zu schenken. Wir erinnern an die Weyl-Gruppen aus der Ergänzung in Abschn. 5.2. Ist H eine Untergruppe einer Gruppe G, so ist H normal in seinem Normalisator N H , und der Quotient N H /H ist die Weyl-Gruppe W H von H in G. Die Bedeutung dieser Gruppen erklärt sich daraus, dass die Automorphismengruppe der G–Menge G/H isomorph zur Weyl-Gruppe von H in G ist. Der Klasse n H entspricht dabei dem Automorphismus g H  → gn −1 H . Folgerung 8.13 Sei B ein zusammenhängender und lokal wegzusammenhängender topologischer Raum. Sei p : X → B eine zusammenhängende Überlagerung von B. Für jeden Punkt x aus X ist Aut( p) zur Weyl-Gruppe von p∗ π1 (X , x) in π1 (B, p(x)) isomorph. Damit sind die Automorphismengruppen zusammenhängender Überlagerungen durch die Fundamentalgruppen beschrieben. Wie operieren sie auf dem Totalraum der Überlagerung? Dazu zunächst ein technisches Resultat, welches den Klassifikationssatz nicht benutzt. Entsprechend können die speziellen Voraussetzungen weggelassen werden. Satz 8.14 Sei p : X → B eine Überlagerung. Ist X zusammenhängend, so operiert die Decktransformationsgruppe Aut( p) frei auf X , und für jede Untergruppe H von Aut( p) ist f : X → X /H eine Überlagerung. Ist X auch lokal wegzusammenhängend, so ist zudem die induzierte Abbildung q : X /H → B eineÜberlagerung, und f ist ein Morphismus von p nach q. Beweis Sei h ein Automorphismus von p. Dann sind h und id X Hochhebungen von p entlang p. Gibt es also einen Punkt x aus X mit h(x) = x, so ist h = id X wegen der Eindeutigkeit solcher Hochhebungen. Ist U eine Umgebung von x, welche von p homöomorph abgebildet wird, und liegt x  in U ∩ hU für einen Automorphismus h von p, so liegen x  und h(x  ) in hU und haben das gleiche Bild in B. Sie stimmen also überein, was h = id X impliziert. Ist X lokal wegzusammenhängend, so auch B. Deswegen wird B von wegzusammenhängenden offenen Teilmengen U überdeckt, über denen p trivial ist. Es reicht zu zeigen, dass auch q über diesen Teilmengen trivial ist. Weil U wegzusammenhängend ist, gilt p−1 (U ) ∼ = U × π0 ( p −1 U ), und die Automorphismen operieren darauf durch Permutation der Komponenten, also nur auf dem zweiten Faktor. Daraus ergibt sich aber  schon q −1 (U ) ∼ = U × (π0 ( p −1 U )/H ).

182

8 Überlagerungen

Ist B nun ein zusammenhängender und lokal wegzusammenhängender topologischer Raum, so lässt sich also jede zusammenhängende Überlagerung p : X → B für jede Untergruppe H von Aut( p) als Komposition zweier Überlagerungen X −→ X /H −→ B faktorisieren. Insbesondere für H = Aut( p) stellt sich nun wieder die Frage, ob q : X /Aut( p) → B ein Homöomorphismus ist. Das ist nicht immer der Fall. Das folgende Resultat charakterisiert die positiven Fälle. Satz 8.15 Sei p : X → B eine zusammenhängende Überlagerung des zusammenhängenden und lokal wegzusammenhängenden Raumes B.Dann sind äquivalent: (a) (b) (c) (d) (e)

Die Abbildung q : X /Aut( p) → B ist ein Homöomorphismus. Die Gruppe Aut( p) operiert transitiv auf jeder Faser. Die Gruppe Aut( p) operiert transitiv auf einer Faser. Die Gruppe p∗ π1 (X , x) ist normal in π1 (B, p(x)) für ein x. Die Gruppe p∗ π1 (X , x) ist normal in π1 (B, p(x)) für alle x.

Beweis Zu (a) ⇒ (b): Für jede Faser F besteht F/Aut( p) nur aus einem Punkt. Also ist die Operation transitiv. Zu (b) ⇒ (a): Operiert Aut( p) frei und transitiv auf X , so ist X /Aut( p) → B eine stetige offene Bijektion, also ein Homöomorphismus. Für jeden Punkt b ist nach dem Klassifikationssatz Aut( p) isomorph zur Automorphismengruppe der Faser als π1 (B, b)–Menge. Die Faser ist wegen Satz 8.6 als π1 (B, b)– Menge isomorph zu π1 (B, b)/ p∗ π1 (X , x) für jeden Punkt x über b. Die Äquivalenz von (b) bis (e) folgt nun daraus, dass die Automorphismengruppe davon die Weyl-Gruppe von p∗ π1 (X , x) in π1 (B, b) ist. Sie operiert genau dann transitiv, wenn p∗ π1 (X , x) normal in  π1 (B, b) ist. Definition Eine Überlagerung mit den im Satz 8.15 genannten Eigenschaften heißt regulär oder normal oder eine Galois-Überlagerung. (Diese entsprechen den Galois-Erweiterungen in der Algebra.)  Beispiele Wir betrachten noch einmal die Überlagerung der Klein’schen Flasche durch den Torus von Abschn. 8.1. Es gibt eine offensichtliche Decktransformation f , welche das linke Quadrat halb dreht und anschließend entlang der Vertikalen auf das rechte Quadrat spiegelt. Diese bildet jedes Element einer Faser auf das andere Element der Faser ab. Also ist diese Überlagerung regulär.

8.5 Topologische Galois-Theorie

183

Im Falle der Selbstüberlagerung der Klein’schen Flasche im linken Teil des Schaubildes in Abschn. 8.3 kann die gerade beschriebene Abbildung f genutzt werden, um die Quadrate jeweils um eins nach oben zu bewegen, wobei das obere Quadrat ungespiegelt nach unten gebracht wird. Auf der Faser entspricht diese Decktransformation also dem Zykel (132) und die Operation ist somit transitiv. Weil die Hochhebungen von b geschlossen sind, gilt [b] = 1 im Quotienten π1 (K )/ p∗ (π1 (X )). Diese Gruppe ist also zyklisch erzeugt von [a]. Die Relation [a]3 = 1 kann man an der Schleife a˜ 3 a˜ 2 a˜ 1 erkennen. Es gibt universelle Beispiele für Galois-Überlagerungen, welche in der Algebra mit den algebraischen Abschlüssen vergleichbar sind. Um diese zu beschreiben, sei B wieder ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfachzusammenhängender topologischer Raum. Dann gibt es nach dem Klassifikationssatz Überlagerungen p : X → B, auf deren Fasern die Fundamentalgruppen frei und transitiv operieren. Nach Wahl eines Punktes b ist etwa ?  → Mor (B) (b, ?) eine (B)–Menge, welche zu solch einer Überlagerung gehört. Mit Satz 8.6 ergibt sich: Notiz Genau dann operieren die Fundamentalgruppen frei und transitiv auf den Fasern, wenn X einfach-zusammenhängend ist, also selbst keine nicht trivialen Überlagerungen zulässt. Definition Jede Überlagerung mit einfach-zusammenhängendem Totalraum X von B wird eine universelle Überlagerung von B genannt.  Je zwei solche Überlagerungen sind zueinander isomorph; es gibt allerdings im Allgemeinen keinen ausgezeichneten Isomorphismus, da die Decktransformationsgruppen zu den Fundamentalgruppen von B isomorph sind. Universelle Überlagerungen sind GaloisÜberlagerungen. Beispiele Die Exponentialabbildung R → S 1 und die Identifizierung S n → RP n für n  2 sind universelle Überlagerungen. Die universelle Überlagerung der Einpunktvereinigung S 1 ∨ S 1 zweier Kreise ist ein unendlicher Graph, von dem ein Ausschnitt im Schaubild 8.8 dargestellt ist. Die Ecken des Graphen werden auf den Schnittpunkt der Kreise abgebildet. Von hier aus schließen sich je vier Kanten an, die zu den verschiedenen Richtungen gehören, die vom Schnittpunkt ausgehen. Der universelle Überlagerungsraum der Klein’schen Flasche ist die Ebene R2 , die wie in Abb. 8.9 angezeigt in Quadrate zerlegt ist. Nun soll erklärt werden, welche universelle Eigenschaft universelle Überlagerungen haben. Dabei wird die Notation Hom B (X , Y ) für die Menge der Morphismen von einer Überlagerung X → B in eine Überlagerung Y → B verwendet.

184

8 Überlagerungen

Abb. 8.8 Die universelle Überlagerung von S 1 ∨ S 1

Abb. 8.9 Die universelle Überlagerung der Klein’schen Flasche

b

b

b

b

b

a b

a

a

a

a

b

a

a

a

a

a

a

a

b

b

Satz 8.16 (Die universelle punktierte Überlagerung) Sei B ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfachzusammenhängender topologischer Raum. Seien p : X u → B eine universelle Überlagerung von B und q : Y → B eine beliebige Überlagerung. Dann liefert jeder Punkt x aus X u über b aus B eine Bijektion Hom B (X u , Y ) −→ q −1 (b), f  −→ f (x). Diese ist natürlich in Überlagerungen q : Y → B über B. Beweis Ist G = π1 (B, b), so liefert der Klassifikationssatz eine Bijektion

8.5 Topologische Galois-Theorie

185

Hom B (X u , Y ) −→ AbbG ( p −1 (b), q −1 (b)), f  −→ f | p −1 (b). Bei der universellen Überlagerung ist die G–Menge p −1 (b) isomorph zu G/1. Ferner gibt es genau eine G–Bijektion, welche x auf 1 abbildet. Das liefert eine natürliche Bijektion AbbG ( p −1 (b), q −1 (b)) −→ AbbG (G/1, q −1 (b)) ∼ = q −1 (b). Die Komposition dieser natürlichen Bijektionen ist die im Satz genannte.



Die geneigte Leserschaft wird versuchen, die universelle Eigenschaft als eine Aussage über das Pullback X u × B Y zu formulieren. Das Resultat kann aber auch noch auf andere Weisen interpretiert werden. Sei dazu wieder B ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum. Der Fasertransportfunktor, welcher jeder Überlagerung von B ihre Faser über b (mit ihrer π1 –Operation) zuordnet, ist eine Äquivalenz von Kategorien. Ist nun p : X u → B eine universelle Überlagerung, so liefert jeder Punkt x einen natürlichen Isomorphismus zwischen dem Faserfunktor und dem Funktor Hom B (X u , ?). Letzterer hat den Vorteil, dass er nicht von der Wahl von b abhängt. Für jede Überlagerung q : Y → B ist Hom B (X u , Y ) auf natürliche Weise eine Aut( p)–Menge durch g( f ) = f g −1 . Folgerung 8.17 (Hauptsatz der topologischen Galois-Theorie) Sei B ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semi-lokal einfachzusammenhängender topologischer Raum. Sei p : X u → B eine universelle Überlagerung von B. Dann ist der Funktor Hom B (X u , ?) : Cov(B) −→ Aut( p)–Sets, welcher jeder Überlagerung q : Y → B die Menge Hom B (X u , Y ) zuordnet, eine Äquivalenz von Kategorien. Beweis Sei G = π1 (B, b) für einen Punkt b aus B. Nach dem Hauptsatz der Überlagerungstheorie ist Aut( p) ∼ = AbbG ( p −1 (b), p −1 (b)). Ein Punkt x aus X u über b liefert einen Isomorphismus AbbG ( p −1 (b), p −1 (b)) ∼ = AbbG (G/1, G/1) ∼ = W1 ∼ = G. Insgesamt ergibt das einen Isomorphismus Aut( p) ∼ = π1 (B, b). Dieser hängt von der Wahl von x ab. Er induziert einen Isomorphismus Aut( p)–Sets −→ π1 (B, b)–Sets.

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8 Überlagerungen

Dieser Isomorphismus kann nun benutzt werden, um den Funktor aus der Aussage des Satzes mit dem Faserfunktor zu b zu vergleichen. Das geschieht mittels der natürlichen Bijektion Hom B (X u , Y ) ∼ = q −1 (b), f  → f (x), welcher auch von x abhängt. Die Aussage folgt nun aus dem Hauptsatz der Überlagerungstheorie, wenn gezeigt ist, dass die natürliche Bijektion mit den Aut( p)– und π1 (B, b)– Operationen in der oben beschriebenen Weise verträglich ist. Ist f : X u → Y ein Morphismus und g ein Automorphismus von p, so bildet einerseits der Morphismus f g −1 den Punkt x nach f (g −1 (x)) ab. Andererseits operiert das g entsprechende Element [γ ] der Fundamentalgruppe auf q −1 (b) und bildet f (x) auf Mq [γ ] f (x) ab. Wegen der Verträglichkeit von f mit dem Fasertransport ist Mq [γ ] f (x) = f (M p [γ ]x). Und die Beziehung g −1 (x) = M p [γ ]x wird bei anderer Gelegenheit, nämlich im Beweis von Satz 9.6, erklärt.  Ein Inverses zu der Äquivalenz in der vorangehenden Folgerung ist übrigens auch nicht schwer zu beschreiben: Das wird in Abschn. 9.2 geschehen. Beispiel Mit den Mitteln der linearen Algebra lässt sich leicht eine zweifache Überlagerung SU (2) −→ S O(3) konstruieren (siehe etwa [Brö03], Abschn. IX.3). Die topologische Gruppe SU (2) ist als Raum zu S 3 homöomorph, also einfach-zusammenhängend. Damit ist das die universelle Überlagerung von S O(3). Die Fundamentalgruppe von S O(3) ist demnach zu Z/2 isomorph. (Und tatsächlich ist S O(3) zu RP 3 homöomorph.) Die Gruppe S O(3) enthält eine zur alternierenden Gruppe A5 isomorphe Untergruppe: die Gruppe der Symmetrien eines Dodekaeders oder Ikosaeders. Sei G ihr Urbild in SU (2). Dann operiert G frei auf SU (2) ∼ = S 3 , und S 3 ist die universelle Überlagerung des Quoti3 enten P = S /G. Das ist die berühmte Poincaré-Sphäre, deren Fundamentalgruppe zu G isomorph ist. Nach dem Hauptsatz werden Überlagerungen q : Y → P durch die G–Menge der stetigen Abbildungen S 3 → Y über P klassifiziert. Beispiel Sei T = (S 1 )n der n–dimensionale Torus. Seine Fundamentalgruppe ist zu Zn isomorph, und eine universelle Überlagerung ist durch die n–fache Exponentialfunktion Rn → T gegeben. Nach dem Hauptsatz werden Überlagerungen q : Y → T durch die Zn –Menge der stetigen Abbildungen Rn → Y über T klassifiziert.

8.5 Topologische Galois-Theorie

187

Ergänzungen Algebraische Galois-Theorie Die im Hauptsatz der topologischen Galois-Theorie angegebene Äquivalenz ist in mehrerer Hinsicht intrinsisch: Sie hängt nicht von der Wahl von Punkten ab, und – das ist noch entscheidender – sie nimmt keinen Bezug auf die Fundamentalgruppe oder das Fundamentalgruppoid. Weil die Algebra keine Wege kennt, wird der Hauptsatz der algebraischen Galois-Theorie oft in dieser Form angegeben. Ist k ein algebraischer Abschluss und G = Aut(k|k) die Galois-Gruppe von k, so wird jeder Körpererweiterung K |k die G–Menge der k–Einbettungen K → k zugeordnet. Umgekehrt liefert jede G–Menge M die k–Algebra AbbG (M, k); ist M ∼ = G/H transitiv, so ist H AbbG (M, k) ∼ = AbbG (G/H , k) ∼ =k

der Fixkörper. Unter geeigneten Voraussetzungen handelt es sich bei diesen beiden Konstruktionen um Äquivalenzen von Kategorien (siehe [Dre95] für eine prägnante Darstellung des Hauptsatzes der algebraischen Galois-Theorie von diesem Standpunkt aus). Der Klassifikationssatz in der punktierten Welt In der Topologie ist es oft hilfreich, statt der Kategorie der topologischen Räume die Kategorie der punktierten topologischen Räume zu verwenden, damit gewisse Konstruktionen funktoriell werden. Ein punktierter topologischer Raum ist ein Paar (X , x), bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Punkt x aus X . Ein Morphismus f : (X , x) → (Y , y) ist ein stetige Abbildung f : X → Y mit f (x) = y. Die punktierten topologischen Räume bilden in naheliegender Weise eine Kategorie, welche zur Kategorie der Räume unter dem Einpunktraum isomorph ist. Dabei wird (X , x) mit der Abbildung ∗ → X identifiziert, welche den Wert x annimmt. Auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist π1 ein Funktor. Ein Morphismus p : (X , x) → (B, b) punktierter topologischer Räume ist eine punktierte Überlagerung, wenn p : X → B eine Überlagerung ist. Ist p : (X , x) → (B, b) eine punktierte Überlagerung von (B, b), so ist die punktierte Faser ( p −1 (b), x) eine punktierte π1 (B, b)–Menge. (Eine punktierte G–Menge ist ein Paar (M, m), bestehend aus einer G–Menge M und einem Element m. Das Element m muss kein Fixpunkt sein.) Der Klassifikationssatz für punktierte hinreichend zusammenhängende Basisräume (B, b) besagt nun in dieser punktierten Fassung, dass der Fasertransportfunktor, der einer punktierten Überlagerung p : (X , x) → (B, b) die punktierte π1 (B, b)–Menge ( p −1 (b), x) zuordnet, eine Äquivalenz von Kategorien ist. Aus der Beobachtung, dass es zwischen den punktierten G–Mengen (G/H , 1/H ) und (G/H  , 1/H  ) höchstens eine punktierte G–Abbildung gibt, und zwar genau dann, wenn H ⊆ H  gilt, ergibt sich damit, dass die Kategorie der zusammenhängenden punktierten Überlagerungen von (B, b) äquivalent zur Kategorie der Untergruppen von π1 (B, b) und ihrer Inklusionen ist. Eine Äquivalenz ordnet p : (X , x) → (B, b) die Untergruppe p∗ π1 (X , x) zu.

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8 Überlagerungen

Übungen Ü145 – Das war’s Untersuchen Sie, ob auch die rechte Selbstüberlagerung der Klein’schen Flasche im Schaubild in Abschn. 8.3 regulär ist. Zeigen Sie, dass es keine anderen wegzusammenhängenden 3-blättrigen Überlagerungen der Klein’schen Flasche gibt, außer diesen beiden. Ü146 – Mehr als 99 Luftballons Beschreiben Sie eine universelle Überlagerung der Einpunktvereinigung S 1 ∨ S 2 . Ü147 – Trotz Orientierung Wieviele 2-blättrige wegzusammenhängende Überlagerungen der Brezelfläche gibt es? Ü148 – Was die können Wählen Sie aus einem Algebra-Buch einen Hauptsatz der GaloisTheorie, übersetzen Sie ihn (möglichst wörtlich) in ein Resultat der Überlagerungstheorie, und folgern Sie dieses aus der topologischen Galois-Äquivalenz.

9

Bündel und Faserungen

Inhaltsverzeichnis 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Faserbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzipalbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzipalbündel mit diskreter Strukturgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorraumbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faserungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189 196 200 203 205

Bündel sind eine wichtige Klasse von Abbildungen, die Überlagerungen verallgemeinern: In einem allgemeinen Faserbündel muss die Faser nicht mehr diskret sein, sondern kann ein beliebiger topologischer Raum sein. Wichtige Beispielklassen von Faserbündeln sind Prinzipalbündel und Vektorraumbündel, deren Fasern topologische Gruppen und Vektorräume sind. Dieses Kapitel ist eine Einführung in diese Begriffswelt.

9.1

Faserbündel

Es ist oftmals zweckmäßig, eine stetige Abbildung p : X → B als eine stetige‘ Familie ’ ( p −1 (b) | b ∈ B) von Räumen, nämlich ihrer Fasern, aufzufassen. Diese Betrachtungsweise steht in diesem Kapitel im Vordergrund. Sie soll nochmal etwas kühner formuliert werden: Eine stetige Abbildung p liefert eine stetige‘ Abbildung b  → p −1 (b) von B in einen Raum aller ’ ’ Räume‘. Hier soll nicht versucht werden, dies zu präzisieren; es kann aber an mancher Stelle die Phantasie anregen. Ist etwa

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_9

189

190

9 Bündel und Faserungen

X

X

p

p

B

B

f

ein Pullback, also p  ein Basiswechsel von p, so ist die Faser von p  über b kanonisch homöomorph zu der Faser von p über f (b ). Die p  entsprechende Abbildung in den Raum ’ aller Räume‘ ergibt sich deswegen aus der von p durch Komposition mit f (und einer kanonischen Homöomorphie). Das erklärt die Rolle der Basiswechsel bei dieser Betrachtungsweise. Die einfachste Situation liegt vor, wenn X ein Produkt B × F und p die Projektion ist. Dann sind alle Fasern (kanonisch) homöomorph (zu F). Definition Eine stetige Abbildung p : X → B wird trivial mit typischer Faser F genannt, wenn es einen Homöomorphismus h : X → B × F gibt, so dass das Diagramm X p

h

B×F pr B

B kommutiert. Ein solcher Homöomorphismus h heißt dann eine Trivialisierung oder eine Karte von p. Eine Abbildung ist genau dann trivial, wenn sie ein Basiswechsel einer Abbildung F → ∗ ist.  Beispiel Das Tangentialbündel der Kreislinie ist der Teilraum T S 1 = {(z, v)| v ⊥ z} ⊆ S 1 × C zusammen mit der Projektion (z, v)  → z auf die erste Koordinate in S 1 . Diese Abbildung ist trivial, mit typischer Faser R. Eine Trivialisierung ist durch   v 1 1 T S −→ S × R; (z, v)  → z, iz gegeben (Abb. 9.1). Je zwei Trivialisierungen X ∼ = B × F einer Abbildung X → B unterscheiden sich durch einen Automorphismus von B × F, welcher in der ersten Komponente die Identität ist und in der zweiten Komponente durch eine stetige Abbildung  : B × F −→ F

9.1

Faserbündel

191

Abb. 9.1 Das Tangentialbündel des Kreises S 1

iz

z

v

gegeben ist. Für jedes b ist die Abbildung f  → (b, f ) ein Automorphismus von F. Die zu  adjungierte Abbildung ist demnach eine stetige Abbildung B −→ Aut(F), b  −→ ( f  → (b, f )). Ist F lokal kompakt, so kann umgekehrt jede solche Abbildung dazu benutzt werden, um Trivialisierungen zu modifizieren. Beispiele Nicht jede stetige Abbildung, deren Fasern alle homöomorph sind, ist trivial. Ein vielleicht wenig interessantes Beispiel ist die identische Abbildung von R nach R, wobei die Quelle die diskrete und das Ziel die übliche Topologie trägt. Ein etwas interessanteres Beispiel ist die Abbildung q : S 1 → S 1 mit q(z) = z 2 . Diese ist nicht trivial. Mindestens zwei Argumente sollte man inzwischen dafür kennen. Erstens: Wäre die Abbildung trivial, so wäre die Quelle S 1 homöomorph zu zwei Kopien von S 1 . Ein Widerspruch. Zweitens: Ist p : X → B trivial und die typische Faser nicht leer, so gibt es einen Schnitt von p, also eine stetige Abbildung s : B → X mit ps = id B . Wenn nun die Abbildung q einen Schnitt hätte, so wäre der Abbildungsgrad der Identität gerade. Auch ein Widerspruch. Die Abbildung q ist zwar nicht trivial, sie ist aber lokal trivial im folgenden Sinne: Definition Eine stetige Abbildung p : X → B heißt lokal trivial mit typischer Faser F, wenn es eine Überdeckung von B gibt, so dass der Basiswechsel von p auf jede Überdeckungsmenge trivial mit typischer Faser F ist. Mit anderen Worten: Für jede dieser Überdeckungsmengen U gibt es ein Diagramm p−1 (U ) p

hU

U×F

prU

U, wobei h ein Homöomorphismus ist.



192

9 Bündel und Faserungen

Abb. 9.2 Das Möbius-Band ist lokal trivial über der Kreislinie

Schnitt M

b

b

I/∂I

Beispiele Jede triviale Abbildung ist lokal trivial. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie wir bereits bei den Überlagerungen gesehen haben. Überlagerungen sind lokal trivial mit diskreter Faser. Ein anderes Beispiel einer lokal trivialen Abbildung ist das Möbius-Band über der Kreislinie, welches im Schaubild 9.2 dargestellt ist. Die typische Faser ist ein Intervall. Entfernt man aus der Basis S 1 einen Punkt, so wird die eingeschränkte Abbildung trivial. Die Abbildung selbst ist nicht trivial, denn je zwei Schnitte berühren sich nach dem Zwischenwertsatz stets in mindestens einem Punkt. Auch die Klein’sche Flasche über der Kreislinie (Abb. 9.3) ist nur lokal trivial mit typischer Faser S 1 , denn die Fundamentalgruppe der Klein’schen Flasche ist nicht isomorph zu der des Torus. (Siehe die Übung zur Klein’schen Flasche in Abschn. 7.3.) Abb. 9.3 Die Klein’sche Flasche ist lokal trivial über der Kreislinie

9.1

Faserbündel

193

Definition Eine Menge von Karten (U , h U ) für Basiswechsel von p auf offene Teilmengen U ⊆ B ist ein Atlas von p, wenn die Mengen U ganz B überdecken. Jede lokal triviale Abbildung hat einen Atlas. Ist ein Atlas gewählt, so können dessen Karten über den Durchschnitten U ∩ V verglichen werden. Das liefert stetige Abbildungen U V : U ∩ V −→ Aut(F), welche die zweite Komponente der oberen Zeile im Diagramm

(U ∩ V ) × F

h −1 V

p −1 (U ∩ V )

hU

(U ∩ V ) × F

U ∩V beschreiben. (Die erste Komponente ist die Identität.) Als Formel: U V (b)( f ) = pr F h U h −1 V (b, f ). Dieses sind die Übergangsfunktionen oder Kartenwechsel des Atlanten.



Die Übergangsfunktionen beschreiben, welche Symmetrien von F verwendet werden, um von einer Karte zu einer anderen zu wechseln. Es gibt Situationen, in denen man schon gewisse Symmetrien von F kennt und auch nur solche für die Übergangsfunktionen zulassen möchte. Das führt zum nächsten Begriff. Definition Sei G eine topologische Gruppe, die auf dem Raum F effektiv (oder treu) operiert, d. h., der zur Operation adjungierte Gruppenhomomorphismus G −→ Aut(F) soll injektiv sein. (Er muss keine Einbettung sein.) Sei ferner p : X → B eine lokal triviale Abbildung mit typischer Faser F. Ein Atlas von p ist ein G–Atlas, wenn es stetige Abbildungen gU V : U ∩ V −→ G

194

9 Bündel und Faserungen

gibt, so dass die Übergangsfunktionen des Atlanten durch die Komposition der gU V mit dem Gruppenhomomorphismus G → Aut(F) gegeben sind: gU V

G

U V

Aut(F)

U ∩V

 Wegen der Effektivität der Operation sind die gU V durch die Übergangsfunktionen eindeutig bestimmt; es stellt sich also nur die Frage, ob das Bild aller U V im Bild von G → Aut(F) liegt und, wenn dies der Fall ist, ob die dadurch gegebenen Abbildungen gU V dann stetig sind. Zwei G–Atlanten heißen äquivalent, wenn ihre Vereinigung wieder ein G–Atlas ist. Jede Äquivalenzklasse von Atlanten enthält einen maximalen Atlas. Definition Ein G–Faserbündel mit typischer Faser F ist eine lokal triviale Abbildung p : X → B mit typischer Faser F zusammen mit einem maximalen G–Atlas von p. Die Gruppe G wird oft die Stukturgruppe des Faserbündels genannt. Der Raum X heißt Totalraum, der Raum B der Basisraum und p die Projektion.  Man beachte, dass es nicht reicht, G und F zu kennen, um von G–Faserbündeln mit typischer Faser F sprechen zu können; man muss auch die Operation von G auf F kennen, also den Homomorphismus G → Aut(F). Jedes G–Faserbündel mit typischer Faser F ist lokal trivial mit typischer Faser F. Umgekehrt kann versucht werden, jede lokal triviale Abbildung mit typischer Faser F als ein Faserbündel mit typischer Faser F und Stukturgruppe Aut(F) aufzufassen. Das funktioniert dann, wenn Aut(F) eine topologische Gruppe ist, die auf F stetig operiert, wenn etwa F ein kompakter Hausdorff-Raum ist. Beispiele Das obige Beispiel der Klein’schen Flasche über der Kreislinie ist ein Beispiel eines Z/2–Faserbündels mit typischer Faser S 1 , wobei Z/2 −→ Aut(S 1 ) das Element −1 auf die Spiegelung z  → z abbildet. Entsprechend ist das Möbius-Band ein Z/2–Faserbündel mit typischer Faser ein Intervall, auf dem die Gruppe Z/2 durch Spiegelung am Mittelpunkt operiert.

9.1

Faserbündel

195

Ergänzung Bündelkonstruktionen Sei G eine topologische Gruppe, die effektiv auf F operiert. Seien ferner eine Überdeckung eines Raumes B gegeben und für je zwei Überdeckungsmengen U , V stetige Funktionen gU V : U ∩ V −→ G, die den Kozykelbedingungen der anschließenden Übungsaufgabe Ü150 genügen. Man kann sich fragen, ob es ein G–Faserbündel mit typischer Faser F gibt, dessen Übergangsfunktionen mit den gU V in Aut(F) übereinstimmen. Dies ist tatsächlich der Fall und soll hier kurz angedeutet werden: Als Totalraum X nehme man die topologische Summe der Produkte U × F für jedes U aus der Überdeckung und führe folgende Äquivalenzrelation ein: Für alle b ∈ U ∩ V und alle f ∈ F sei (b, f )V ∼ (b, gU V (b) f )U . Wegen der Kozykelbedingung ist dies eine Äquivalenzrelation. Die Abbildung von X nach B, die ein [(b, f )U ] auf b abbildet, hat die gewünschten Eigenschaften.

Übungen Ü149 – Kozykel Die Übergangsfunktionen gU V : U ∩ V → G eines G–Faserbündels erfüllen gU V gV W gW U = id auf U ∩V ∩W . Insbesondere gelten gV U = gU−1V und gUU = id. Ü150 – Koränder Seien gU V : U ∩ V → G die Übergangsfunktionen eines trivialen G– Faserbündels. Dann gibt es stetige Abbildungen fU : U → G auf den Überdeckungsmengen U des Atlanten, so dass gU V = fU f V−1 auf U ∩ V gilt. Ü151 – Ein verdrehter Torus Führen Sie auf dem Rand des Zylinders I × S 1 die Identifikation (0, z) ∼ (1, −z) für alle komplexen Zahlen z ∈ S 1 durch. Zeigen Sie, dass die Projektion nach S 1 auf die erste Koordinate trivial ist. Ü152 – Ist so typisch Die diskrete Gruppe G operiere frei und eigentlich auf dem topologischen Raum E. Dann ist der Basiswechsel von p : E → E/G entlang p : E → E/G trivial. Ü153 – Zurückgezogen Sei p : X → B ein Faserbündel und

196

9 Bündel und Faserungen

X

X

p

p

B

B

ein Pullback davon. Dann ist auch p  in geeigneter Weise ein Faserbündel mit der gleichen typischen Faser und Strukturgruppe wie p.

9.2

Prinzipalbündel

Jede topologische Gruppe G operiert auf sich selber durch Multiplikation G −→ Aut(G), g  −→ ( f  → g f ). Definition Die zu diesen Symmetrien gehörenden G–Faserbündel mit typischer Faser G heißen G–Prinzipalbündel. Das sind also stetige Abbildungen p : E → B, zusammen mit Karten p−1 (U )

hU

U ×G prU

p

U eines Atlanten, so dass die Übergangsfunktionen von p bezüglich dieses Atlanten durch stetige Abbildungen gU V : U ∩ V −→ G 

gegeben sind. Die Gruppe G operiert stetig auf den Produkträumen U × G durch g(b, f ) = (b, f g −1 ). Die Kartenwechsel sind G–äquivariant wegen −1 −1 h U h −1 V (g(b, f )) = (b, gU V f g ) = g(b, gU V f ) = gh U h V (b, f ).

Also sind sie G–Homöomorphismen. Das erlaubt es, eine stetige G–Operation auf E zu definieren, so dass die Karten G–Homöomorphismen sind: Für x ∈ E mit b = p(x) ∈ U sei h U (x) = (b, g). Dann ist die Operation gegeben durch die Formel −1 g x = hU (b, gg −1 ).

9.2

Prinzipalbündel

197

Satz 9.1 Ist p : E → B ein G–Prinzipalbündel, so ist die eben beschriebene Operation frei. Die von p induzierte Abbildung vom Bahnenraum E/G nach B ist ein Homöomorphismus. Beweis Aus g  x = x folgt die Gleicheit gg −1 = g und somit g  = 1. Das zeigt die erste Behauptung. Man hätte natürlich auch viel schneller und ohne Formeln argumentieren können: Die Operation ist fasernweise und jede Faser ist G–homöomorph zum freien G– Raum G. Diese Beobachtung zeigt dann auch gleich, dass die von p induzierte Abbildung auf dem Bahnenraum bijektiv ist. Um zu zeigen, dass die Umkehrabbildung stetig ist, genügt es, sich auf offene Mengen U in B zu beschränken, über denen das Bündel trivial ist. Die Abbildung hat dann die Form U∼ = U × {1}

⊆

U ×G

−1 hU

p −1 (U )

p −1 (U )/G

⊆

E/G 

und ist somit stetig.

Beispiele Prinzipalbündel mit diskreter Strukturgruppe sind uns bereits bei den Überlagerungen begegnet und werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals gesondert betrachtet. Ein anderes Beispiel eines Prinzipalbündels ist die Abbildung p : Vk (Rn ) −→ G k (Rn ), die einem k–Bein den davon erzeugten Unterraum zuordnet (siehe Abschn. 5.2). Sie ist ein O(k)-Prinzipalbündel: Seien V ein k-dimensionaler Unterraum von Rn , V ⊥ sein orthogonales Komplement und pV : Rn → V die orthogonale Projektion. Sei U die offene Menge aller Untervektorräume W mit W ∩ V ⊥ = 0. Dann ist die Verknüpfung pV

A W : W ⊆ Rn −→ V für alle W ∈ U ein linearer Isomorphismus. Wählt man also eine orthogonale Basis in V , so wird diese unter A−1 W auf eine Basis von W abgebildet. Das Gram-Schmidt-Verfahren liefert sogar eine orthogonale Basis von W . Insgesamt ergibt sich also ein lokaler Schnitt s : U −→ p −1 (U ) ⊆ Vk (Rn ). Eine Trivialisierung über U ist damit durch U × O(k) −→ p −1 (U ), (W , A)  → s(W )A−1 gegeben. Nach diesen Beispielen für Bündeln sollen nun die Beziehungen zwischen diesen Objekten geklärt werden.

198

9 Bündel und Faserungen

Definition Eine Bündelabbildung zwischen G–Prinzipalbündeln p und p  ist eine G– Abbildung der Totalräume f : E −→ E  . Sind p und p  über demselben Basisraum B definiert, so heißt f Bündelabbildung über B, falls die von f induzierte Abbildung auf dem Basisraum die Identität ist, also falls p = p  f gilt.  Offensichtlich bilden Prinzpalbündel zusammen mit Bündelabbildungen eine Kategorie. Satz 9.2 Jede Prinzipalbündelabbildung über B ist ein Isomorphismus. Beweis Wir betrachten zunächst den Fall, dass p und p  Produktbündel B × G → B sind. Für eine Bündelabbildung f setze α : B −→ G, α(b) = pr G f (b, 1). Dann gilt Also ist

f (b, g) = g −1 f (b, 1) = (b, α(b)g). (b, g)  → (b, α −1 (b)g)

die inverse Abbildung und offensichtlich stetig. Für den allgemeinen Fall folgt damit, dass es eine Überdeckung durch offene Mengen von B gibt, über denen die Bündelabbildung invertierbar ist. Weil f die Fasern von p bijektiv auf die Fasern von p  abbildet, muss f auch bijektiv sein, und die Behauptung folgt.  Prinzipalbündel sind unter anderem deswegen so bedeutend, weil aus einem G– Prinzipalbündel p : E → B und aus einem effektiven G–Raum F ein Faserbündel mit typischer Faser F und Strukturgruppe G konstruiert werden kann: Die Gruppe G operiert auf E und F, folglich auch auf E × F durch die Produktoperation g(e, f ) = (ge, g f ). Sei E ×G F der dazugehörige Bahnenraum. Die Abbildung p induziert eine Abbildung E ×G F → B. Karten für diese Abbildung erhält man aus denen von p und den Homöomorphismen (U × G) ×G F −→ U × F, ((b, x), f )  −→ (b, x f ). Die Übergangsfunktionen des Faserbündels E ×G F → B sind die gleichen wie die von p.

9.2

Prinzipalbündel

199

Definition Das Bündel E ×G F → B heißt das zu E assoziierte Faserbündel mit typischer Faser F.  Diese Konstruktion funktioniert übrigens genauso für G–Räume F, auf denen G nicht effektiv operiert. Das erlaubt es, die Definition von Faserbündeln auf solche G–Räume zu erweitern. Wir notieren die allgemeine Definition, obwohl wir im Folgenden nur effektive Operationen betrachten werden. (Man vergleiche diese Definition auch mit der Definition in Abschn. 9.1.) Definition Ein G–Faserbündel mit typischer Faser F ist eine Abbildung p : X → B, zusammen mit einem G–Prinzipalbündel q : E → B und einem Isomorphismus h von E ×G F nach X , der die Fasern von E ×G F auf die Fasern von X abbildet: h

E ×G F

X

q

p

B. Eine Bündelabbildung von Faserbündeln besteht aus einer stetigen Abbildung der Totalräume f : X → X  und einer Prinzipalbündelabbildung g : E −→ E  , welche das Diagramm f

X

h

h

E ×G F kommutativ machen.

X

g×G id F

E  ×G F 

An dieser Stelle können wir nun auch – wie versprochen – ein Inverses zur Äquivalenz aus Satz 8.16 angeben. Es ist durch den Funktor M  → U ×G M gegeben. Dabei wird die universelle Überlagerung p : U → B als Aut( p)–Prinzipalbündel aufgefasst, und U ×G M ist das assoziierte Faserbündel mit typischer Faser M, wie in Abschn. 9.2 beschrieben.

Übungen Ü154 – Assoziiert Die Gruppe Z/2 operiert auf S 1 durch komplexe Konjugation. Das zu q : S 1 → S 1 , q(z) = z 2 assoziierte Faserbündel ist die Klein’sche Flasche. Ü155 – Trivialisiert Ein Prinzipalbündel ist genau dann trivial, wenn es einen Schnitt hat.

200

9 Bündel und Faserungen

Ü156 –Multipliziert Zeigen Sie, dass das Produkt p × p  eines G–Prinzipalbündels p und eines G  –Prinzipalbündels p  ein G × G  –Prinzipalbündel ist.

9.3

Prinzipalbündel mit diskreter Strukturgruppe

Im Folgenden seien X ein freier G–Raum und G diskret. Ist die Abbildung X → X /G dann ein G–Prinzipalbündel? Um diese Frage zu beantworten, erinnern wir an die Abbildung θ : G × X −→ X × X , (g, x)  −→ (x, gx). Sie liefert eine stetige Bijektion θ  von G × X auf die zur Surjektion X → X /G gehörende Äquivalenzrelation R. Die Umkehrabbildung R → G × X hat die Form (x, x  )  −→ (ϕ(x, x  ), x) für eine Abbildung ϕ : R → G. Sie ordnet jedem Paar (x, x  ) aus R das Gruppenelement g zu, welches x  = gx erfüllt. Die Gruppe G operiert eigentlich auf X , wenn θ eigentlich ist. Das ist genau dann der Fall, wenn R abgeschlossen in X ×X ist und θ  ein Homöomorphismus ist. Das ist genau dann der Fall, wenn R abgeschlossen in X × X ist und ϕ stetig ist (siehe Abschn. 5.3). Satz 9.3 Die diskrete topologische Gruppe G operiere frei auf dem Raum X . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. (a) (b) (c) (d)

Die Abbildung ϕ : R → G ist stetig. Das Urbild ϕ −1 (1) ist offen. Jeder Punkt x aus X hat eine Umgebung U mit gU ∩ U = ∅ für alle g = 1. Die Abbildung p : X → X /G ist ein G–Prinzipalbündel.

Beweis (a) ⇒ (b) Weil G diskret ist, ist {1} offen und damit auch das Urbild unter der stetigen Abbildung ϕ. (b) ⇒ (a) Es reicht zu zeigen, dass für jedes Gruppenelement g die Menge ϕ −1 (g) offen ist. Aber durch (x, y)  → (x, gy) ist ein Homöomorphismus von R gegeben, der ϕ −1 (1) auf ϕ −1 (g) abbildet. (b) ⇒ (c) Sei x gegeben. Zum Punkt (x, x) aus ϕ −1 (1) gibt es dann eine Umgebung der Form (U × U ) ∩ R mit einer offenen Umgebung U von x in X , die ganz in ϕ −1 (1) liegt. Ist U ∩ gU nicht leer, so gibt es einen Punkt u aus U , so dass gu auch in U liegt. Dann liegt aber (u, gu) in (U × U ) ∩ R ⊆ ϕ −1 (1), und das bedeutet g = 1.

9.3

Prinzipalbündel mit diskreter Strukturgruppe

201

(c) ⇒ (b) Sei (x, y) aus ϕ −1 (1), also x = y. Ist U eine Umgebung von x wie vorausgesetzt, so ist (U ×U )∩ R eine offene Umgebung von (x, y) in R. Sie ist ganz in ϕ −1 (1) enthalten; ist nämlich u  = gu mit u und u  in U , so folgt U ∩ gU = ∅, also g = 1. (c) ⇒ (d) Ist U eine solche Umgebung von x, so ist p(U ) offen in X /G, da p offen ist. Die Einschränkung von p auf U liefert eine stetige, offene Surjektion U → p(U ). Sie ist auch injektiv, denn aus p(u) = p(u  ) folgt u  = gu für ein Element g aus G, also U ∩ gU = ∅, also g = 1, und somit u  = u. Das liefert einen Homöomorphismus U → p(U ). Sei s : p(U ) → U invers dazu. Dann ist p(U ) × G −→ p−1 p(U ), (b, g)  −→ gs(b) ein Homöomorphismus mit Inversem p −1 p(U ) −→ p(U ) × G, x  −→ ( p(x), ϕ(x, s( p(x)))−1 ). Das liefert eine lokale Trivialisierung über p(U ). (d) ⇒ (c) Solche Umgebungen werden sofort von den lokalen Trivialisierungen geliefert.  Die Abgeschlossenheit der Relation R bei eigentlichen Operationen wird demzufolge nicht benötigt, um die Quotientenabbildung als Prinzipalbündel auszuweisen. Sie dient vielmehr dazu, die Hausdorff-Eigenschaft des Bahnenraumes zu sichern (siehe Abschn. 5.3). Folgerung 9.4 Die diskrete Gruppe G operiere frei und eigentlich auf dem Raum X . Dann ist die Abbildung X → X /G ein G–Prinzipalbündel und der Bahnenraum X /G ein Hausdorff-Raum. Jede Operation jeder kompakten Hausdorff-Gruppe auf jedem Hausdorff-Raum ist eigentlich (siehe wieder Abschn. 5.3). Folgerung 9.5 Die endliche Gruppe G operiere frei auf dem Hausdorff-Raum X . Dann ist die Abbildung X → X /G ein G–Prinzipalbündel und der Bahnenraum X /G ein Hausdorff-Raum. Beispiel Seien m ∈ Z und p1 , p2 ganze Zahlen, die teilerfremd zu m sind. Dann sind ζ j = exp(2π i p j /m), j = 1, 2 zwei primitive m–te Einheitswurzeln, und die Operation auf S 3 ⊂ C2 , gegeben durch Z/m × S 3 −→ S 3 , (k, (z 1 , z 2 ))  → (ζ1k z 1 , ζ2k z 2 ), ist frei. Der Bahnenraum heißt Linsenraum L(m; p1 , p2 ). Die Projektion S 3 −→ L(m; p1 , p2 )

202

9 Bündel und Faserungen

ist ein Z/m–Prinzipalbündel. Abschließend soll erklärt werden, wie sich die Fundamentalgruppen bei Prinzipalbündeln mit diskreter Strukturgruppe verhalten. Auch das ist im Lichte der Überlagerungstheorie zu lesen. Satz 9.6 Sei G eine diskrete Gruppe, und sei p : E → B ein G–Prinzipalbündel mit wegzusammenhängendem Totalraum E. Für jeden Punkt e aus E bezeichne αe die Bijektion αe : G −→ M p ( p(e)), g  −→ g −1 e zwischen G und der Faser durch e und βe : π1 (B, p(e)) −→ M p ( p(e)), [γ ]  −→ [γ ]e die durch den Fasertransport gegebene Abbildung. Dann ist p∗

αe−1 βe

1 −→ π1 (E, e) −→ π1 (B, p(e)) −→ G −→ 1 eine exakte Sequenz von Gruppen und Gruppenhomomorphismen. Mit anderen Worten: p∗ ist injektiv, αe−1 βe ist surjektiv und Kern(αe−1 βe ) = Bild( p∗ ). Insbesondere ist p∗ π1 (E, e) normal in π1 (B, p(e)). Beweis Wichtig ist hier allein, dass es sich bei der Abbildung um einen Homomorphismus handelt. Sei dazu γ ein Schleife an p(e). Ist γ˜ eine Hochhebung von γ mit Anfang e, so ist γ  → g gleichbedeutend mit γ˜ (1) = g −1 e. Sei nun γ  eine weitere Schleife an p(e) und γ˜  eine Hochhebung davon mit Anfang e und Ende (g  )−1 e. Dann ist g −1 γ˜  ein Hochhebung von γ  mit Anfang g −1 e und Ende g −1 (g  )−1 e = (g  g)−1 e. Dann ist aber g −1 γ˜  ◦ γ˜ eine Hochhebung von γ  ◦ γ mit Anfang e und Ende (g  g)−1 e. Es folgt γ  γ  → g  g. Die übrigen Aussagen folgen unmittelbar aus dem Satz zuvor. Injektivität von p∗ wurde dort gezeigt. Der Kern von αe−1 βe ist genau der Stabilisator von e bei der Operation durch Fasertransport, also gleich dem Bild von p∗ nach dem Satz zuvor. Weil E wegzusammenhängend ist, operiert π1 (B, p(e)) transitiv auf der Faser nach dem Satz zuvor. Dann ist βe aber surjektiv.  Ein Spezialfall des vorangehenden Satzes ist besonders hervorzuheben: Folgerung 9.7 Sei p : E → B ein G–Prinzipalbündel einer diskreten Gruppe G. Ist E einfachzusammenhängend, so ist jede Fundamentalgruppe von B zu G isomorph.

9.4 Vektorraumbündel

203

Es sei betont, dass es auch in dieser Situation keinen ausgezeichneten Isomorphismus gibt. Um π1 (B, b) mit G zu identifizieren, musste ein Punkt e über b gewählt werden, und der durch diese Wahl bestimmte Isomorphismus hängt von e ab. Beispiele Der Satz und seine Folgerung können verwendet werden, um die Fundamentalgruppen vieler Räume zu bestimmen. So ergibt sich etwa auch auf diesem Wege nochmals π1 (S 1 ) ∼ = Z, aber auch π1 (RP n ) ∼ = Z/2 für n  2.

Übung Ü157 – Gelinst Für die Linsenräume (vgl. Abschn. 9.3) gilt π1 (L(m; p, q)) ∼ = Z/m.

9.4

Vektorraumbündel

Die Gruppe G L(n, R) operiert kanonisch auf dem Vektorraum Rn . Definition Die zu diesen Symmetrien gehörenden G L(n, R)–Faserbündel mit typischer Faser Rn sind die reellen Vektorraumbündel vom Rang n. Das sind also lokal triviale Abbildungen p : V → B mit typischer Faser Rn , zusammen mit Karten p −1 (U )

hU

U × Rn prU

p

U eines (maximalen) Atlanten für p, dessen Übergangsfunktionen durch lineare Isomorphismen des Rn gegeben sind. Man kann dann die Vektorraumstruktur auf dem Rn benutzen, um die Struktur eines Vektorraumes auf jeder Faser zu definieren. Genauso definiert man komplexe Vektorraumbündel mit C statt R.  Beispiele Wichtige Beispiele von Vektorraumbündeln sind durch die Tangentialbündel von glatten Mannigfaltigkeiten gegeben. So ist die Projektion von {(b, x) ∈ S n × Rn+1 | b, x = 0} auf den ersten Faktor das Tangentialbündel der n–Sphäre. Die Faser über einem Punkt ist das orthogonale Komplement der durch diesen Punkt verlaufenden Geraden. Eine Karte über U j = {b ∈ S n | b j = 0} ist durch das Inverse von

204

9 Bündel und Faserungen

U j × Rn −→ p −1 (U j ), (b, y)  → (b, νb (y1 , . . . , y j , 0, y j+1 , . . . , yn )) gegeben, wobei νb (x) = x − b, xb der zu b normale Anteil von x ist. Bei festem b ist diese Abbildung linear und bildet die Standardbasis in eine Basis des Tangentialraumes in b ab. Es gibt auch wichtige, andere Beispiele von Vektorraumbündeln: Die Projektion auf G k (Rn ) von {(V , v) ∈ G k (Rn ) × Rk | v ∈ V } wird tautologisches Bündel genannt, weil die Faser über V der Vektorraum V selbst ist. Es ist offensichtlich isomorph zum Bündel, welches zum O(k)–Prinzipalbündel Vk (Rn ) (siehe das Beispiel in Abschn. 9.2) die Faser Rk assoziiert und ist somit auch lokal trivial. Für k = 1 und n = 1 ist das darin enthaltende Intervallbündel, also die Menge aller (V , v) mit |v|  1, das Möbius-Band. Das Studium der Vektorraumbündel über einem Raum B ist lineare Algebra über B‘, so ’ wie Vektorraumbündel über einem Punkt dasselbe sind wie Vektorräume. Viele Konstruktionen für Vektorräume gibt es auch für Vektorraumbündel: Direkte Summe, Tensorprodukt, Dualität und allgemeine Hom-Bündel. (Besonders wichtig für den Cartan-Kalkül der Analysis auf Mannigfaltigkeiten sind die äußeren Potenzen von Vektorraumbündeln.) Bei dieser Betrachtungsweise treten neue Phänomene auf, welche über B = ∗ nicht sichtbar sind. So ist etwa jeder Vektorraum orientierbar, aber nicht jedes Vektorraumbündel. Genauso ist zwar jeder endlich-dimensionale Vektorraum zu seinem Dualraum isomorph, aber nicht jedes Vektorraumbündel endlichen Ranges ist isomorph zu seinem Dual. Manche Konstruktion ist also nur lokal durchführbar, aber nicht global. Abschließend sei bemerkt, dass es sich bei der Untersuchung von Vektorraumbündeln anbietet, die Dimension der Fasern nicht vorher festzulegen. Wenn etwa die Basis eine Summe topologischer Räume ist, so kann die Faserdimension auf den Summanden unterschiedlich sein und diese Summanden somit unterscheiden. Ein Vektorraumbündel in diesem Sinne über einem Raum B ist eine stetige Abbildung p : V → B mit der Struktur eines Vektorraumes auf jeder Faser, so dass jeder Punkt b aus B eine Umgebung U hat, über welcher es eine Trivialisierung p −1 (U ) ∼ = U × p −1 (b) gibt, die in jeder Faser ein Isomorphismus von Vektorräumen ist. Die Übergangsfunktionen sind dann automatisch durch Isomorphismen von Vektorräumen gegeben.

Ergänzungen Klassifikation von Vektorraumbündeln Die tautologischen Bündel spielen bei der Klassifikation von Vektorraumbündeln eine entscheidende Rolle. Hierzu sei nur das folgende Resultat erwähnt: Ist p : X → B ein reelles Vektorraumbündel der Dimension k über einem kompakten Hausdorff-Raum B, so gibt es für genügend große n immer eine stetige Abbildung f : B → G k (Rn ), so dass das Bündel, welches durch Zurückziehen des tautologischen

9.5

Faserungen

205

Bündels entlang f entsteht, isomorph zu p ist. Die Abbildung f kann hierbei durch jede homotope Abbildung ersetzt werden und ist auch eindeutig bis auf Homotopie bestimmt. Auf diese Weise ergibt sich eine Bijektion zwischen Isomorphieklassen von Vektorraumbündeln und Homotopieklassen von Abbildungen in die Grassmann-Mannigfaltigkeiten (für Details siehe zum Beispiel [Hus94]). Flache Vektorraumbündel Wenn Vektorraumbündel als G L(n, R)–Faserbündel mit typischer Faser Rn interpretiert werden, so ist es wichtig, die Matrizengruppe G L(n, R) als topologische Gruppe mit der üblichen Topologie zu versehen. Man hätte sie auch mit der diskreten Topologie versehen können. Das hätte zum Begriff des flachen Vektorraumbündels von Rang n geführt. Jedes flache Vektorraumbündel ist ein Vektorraumbündel, weil die Identität G L(n, R) → G L(n, R) stetig ist, wenn die Quelle die diskrete und das Ziel die klassische Topologie trägt. Es gibt aber Vektorraumbündel, die nicht flach sind.

Übungen Ü158 – Tangential an Geraden Das Tangentialbündel von RP n ist das Quotientbündel aus dem Tangentialbündel von S n , wobei (b, x) mit (−b, −x) identifiziert wird. Konstruieren Sie einen Atlas. Ü159 – Basen von Vektorraumbündeln Zeigen Sie, dass ein k–dimensionales Vektorraumbündel V → B genau dann trivial ist, wenn es k–Schnitte v1 , v2 , . . . , vk gibt, deren Werte v1 (b), v2 (b), . . . , vk (b) für jedes b in der Faser über b eine Basis bilden. Nur triviale Vektorraumbündel haben also Basen.

9.5

Faserungen

In diesem Abschnitt wird der Begriff einer Faserung topologischer Räume eingeführt. Dies sind Abbildungen, die Hochhebungeigenschaften bezüglich Homotopien haben. Im Unterschied zu den Überlagerungen fordert man aber nur noch die Existenz (nicht aber die Eindeutigkeit) von Hochhebungen. Außerdem wird die exakte Sequenz aus Satz 9.6 in diesem Zusammenhang verallgemeinert. Definition Sei p : X → Y eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann heißt p Faserung (oder genauer: Serre-Faserung), falls p die folgende Hochhebungseigenschaft hat: In jedem kommutativen Diagramm mit durchgezogenen Pfeilen der Form

206

9 Bündel und Faserungen







Abb. 9.4 Ein relativer Automorphismus

{0} × I n−1 i

X l

In

p

Y

existiert eine Hochhebung l, welche die beiden Dreiecke kommutativ macht.



Es gibt einen Automorphismus von I n , welcher den Teilraum {0} × I n−1 ∪ I × ∂ I n−1 auf den Teilraum {0} × I n−1 abbildet. Ein solcher ist im Schaubild 9.4 dargestellt. Damit erhält man: Notiz Eine Abbildung ist genau dann eine Faserung, wenn sie die Hochhebungseigenschaft für alle Inklusionen der Form {0} × I n−1 ∪ I × ∂ I n−1 ⊆ {0} × I n−1 hat. Beispiele Jede Überlagerung ist eine Faserung nach dem Hochhebungssatz 8.3. Hier erfüllen die Hochhebungen sogar eine Eindeutigkeitsaussage. Jede triviale Abbildung pr B : B × F → B ist eine Faserung, weil eine Hochhebung l : I n → B × F in dem ersten Faktor bereits vorgeschrieben ist und weil eine Abbildung I n−1 sich stets auf I n mittels der Projektion erweitern lässt. Weitere Beispiele erhält man durch den folgenden Satz. Satz 9.8 Jedes Faserbündel p : X → B ist eine Faserung. Beweis Es genügt die folgende Aussage zu überprüfen: Ist (U j | j ∈ J ) eine offene Überdeckung von B derart, dass alle Einschränkungen p −1 U j → U j Faserungen sind, so gilt dies auch für p. Um dies einzusehen, wähle man für ein Hochhebungsproblem eine Unterteilung des Würfels I n−1 in Teilwürfel (Wi | i ∈ I ) und eine Zerlegung des Intervalls t0 = 0 < t1 < · · · < tm = 1 mit der Eigenschaft, dass die Homotopie jeden einzelnen Teilwürfel [tk , tk+1 ] × Wi bereits in ein U j abbildet (siehe Lebesgue-Zahl, Abschn. 4.1). Jeder Teilwürfel Wi wird selbst für jedes d in seine d–dimensionalen Seiten Wik zerlegt und nach der Dimension angeordnet. Jetzt löst man sukzessive das Hochhebungsproblem

9.5

Faserungen

207

{tl } × Wik ∪ [tl , tl+1 ] × ∂ Wik

p −1 U j

[tl , tl+1 ] × Wik

Uj. 

Dies ist nach der Notiz möglich. Es gibt auch Faserungen, die nicht von Faserbündeln kommen:

Satz 9.9 Für jedes k und jeden Raum X ist die von der Inklusion i : ∂ I k → I k induzierte Abbildung zwischen den Abbildungsräumen i∗ : X I → X∂I k

k

eine Faserung. Beweis Das Hochhebungsproblem {0} × I n−1 i

XI

k

l

In

X∂I

k

ist mit dem Exponentialgesetz äquivalent zu dem Erweiterungsproblem {0} × I n−1 × I k ⊆

In × Ik

X.

⊆

In × ∂Ik Dieses ist stets lösbar, weil der Teilraum {0} × I n−1 × I k ∪ I n × ∂ I k ein Retrakt von I n × I k ist. Eine Retraktion ist in dem Schaubild 9.5 angedeutet.  Beispiel Der Fall n = 1 entspricht der Abbildung (s, t) : P(X ) = X I −→ X ∂ I = X × X

208

9 Bündel und Faserungen

Abb. 9.5 Eine Retraktion

von Abschn. 6.1 und wird Wegeraumfaserung genannt. Sie ordnet einem Weg in X seinen Anfangs- und Endpunkt zu. Hat man einmal eine Faserung gefunden, so lassen sich leicht weitere konstruieren: Satz 9.10 Faserungen bleiben unter Basiswechsel erhalten. Beweis Seien X

X

p

Y

p

Y

ein Pullback und p eine Faserung. Sei ferner ein Hochhebungsproblem der Form {0} × I n−1

X p

In

Y

vorgegeben. Dann können die beiden Quadrate horizontal verknüpft werden, und man erhält eine Hochhebung l : I n → X . Mit der universellen Eigenschaft des Pullbacks definieren  dann l und der Morphismus von I n nach Y  die gesuchte Hochhebung l  : I n → X  . Folgerung 9.11 Für x ∈ X sei P(X , x) der Raum der Wege in X , die in x starten. Dann ist die Abbildung t : P(X , x) −→ X , die einem Weg seinen Endpunkt zuordnet, eine Faserung. Die Faser über x ist (X , x).

9.5

Faserungen

209

Beweis Das Diagramm P(X , x)

P(X ) (s,t)

X

(x,id)

X×X 

ist ein Pullback. Die folgende Beobachtung verallgemeinert die exakte Sequenz aus Satz 9.6.

Satz 9.12 (Exakte Sequenz einer Faserung) Seien p : X → Y eine Faserung und i : F = p −1 (y) ⊆ X Inklusion der Faser über einem Punkt y ∈ Y . ist für jedes x ∈ F die Sequenz ···

p∗

πn+1 (Y , y)

∂

πn (F, x)

πn (X , x)

i∗

p∗

πn (Y , y)

∂

πn−1 (F, x)

i∗

···

exakt. Die Abbildungen ∂ : πn (Y , y) → πn−1 (F, x) sind dabei durch ∂[γ ] = [t  → γ˜ (1, t)] gegeben, wobei γ˜ eine Hochhebung der Abbildung γ : I n → Y nach X ist, welche den Teilraum {0} × I n−1 ∪ I × ∂ I n−1 in den Grundpunkt abbildet. Die Sequenz ist natürlich bezüglich Basiswechsel. Beweis Zunächst ist zu zeigen, dass die angegebene Randabbildung wohldefiniert ist. Angenommen γ  ist ein weiterer Repräsentant einer Klasse in πn (Y , y), und γ˜  sei eine Hochhebung. Dann sollen die Einschränkungen auf die hintere Seite gebunden homotop in F sein. Eine solche Homotopie erhält man durch Hochheben einer Homotopie h zwischen γ und γ  , bei der alle Seiten außer der hinteren vorgeschrieben sind (siehe Schaubild 9.6). Abb. 9.6 Eine hochgehobene Homotopie

γ˜ 

e(x)

˜ h

γ˜

210

9 Bündel und Faserungen

γ˜

p

Nullhomotopie von γ ˜ (1) in F

γ

e(y)

Abb. 9.7 Eine Verknüpfung einer Hochhebung mit einer Nullhomotopie

Die Kompositionen von je zwei Abbildungen sind trivial. Dies ergibt sich unmittelbar aus ihrer Definition. Die Inklusion von Kern(i ∗ ) ⊆ Bild(∂) ergibt sich durch die Projektion einer Nullhomotopie in X eines Repräsentanten von πn (F, x) nach Y . Die Inklusion von Kern( p∗ ) ⊆ Bild(i ∗ ) sieht man ein, wenn man eine Nullhomotopie in Y nach X zum gegebenen Anfang hochhebt. Schließlich bleibt die Inklusion von Kern(∂) ⊆ Bild( p∗ ), die man durch die Verknüpfung einer Hochhebung der Abbildung nach Y mit einer Nullhomotopie in F erhält (siehe Schaubild 9.7).  Beispiel Im Fall der Wegeraumfaserung p : P(X , x) → X ergibt sich die Sequenz

...

πn+1 (X )

∂

πn ( (X , x))

i∗

πn (P(X , x))

p∗

πn (X )

∂

... ,

wobei der Grundpunkt nicht notiert wurde. Der Randoperator ∂ ist in diesem Fall ein Isomorphismus. Die Homotopiegruppen von P(X , x) verschwinden also. Tatsächlich lässt sich sogar leicht eine Zusammenziehung von P(X , x) hinschreiben. Die Abbildung I × P(X , x) −→ P(X , x), (w, t)  → (s  → w(st)) ist eine solche.

Ergänzungen Kofaserungen Man kann sich fragen, welche Abbildungen sich denn noch hochheben lassen, außer Homotopien zu vorgegebenen Anfangswerten. Dabei landet man schnell beim Begriff der Kofaserung. Dies sind genau diejenigen Abbildungen i : A → B, für die das Hochhebungsproblem X A p ∼

i

B

Y

jedenfalls für alle azyklischen Faserungen p lösbar ist. In diesem Zusammenhang heißt eine Abbildung azyklisch, wenn sie auf allen Homotopiegruppen Isomorphismen liefert. Falls B

9.5

Faserungen

211

durch Anheften von Zellen an A entsteht, so hat B diese Eigenschaft. Ist i zudem azyklisch, so hat i die Hochhebungseigenschaft für alle Faserungen. Homotopiegruppen von Sphären Es wurden bereits π0 und π1 der Sphären S n bestimmt. Wie aber steht es um die höheren Homotopiegruppen πm S n für m  2? Die lange exakte Sequenz zur Exponentialfaserung zeigt πm S 1 = 0, für alle m  2. Es brauchen uns also auch nur noch die n  2 zu interessieren. Von nun an seien also m, n  2. Man kann zeigen, dass πm S n = 0 gilt, falls m < n erfüllt ist. Eine wichtige Argumentationsstrategie dabei ist die folgende: Man zeigt, dass sich jede stetige Abbildung zu einer Abbildung homotopieren lässt, die in einer besonders einfachen Klasse von Abbildungen liegt; und dann zeigt man, dass alle diese einfachen Abbildungen nullhomotop sind. Man kann auch zeigen, dass πm S n isomorph zu Z ist, falls m = n gilt. Isomorphismen sind durch die Einhängung gegeben: Ist f : S m → S n stetig, so auch deren Einhängung E( f ) : S m+1 → S n+1 , welche durch (t, v)  −→

 √ (t, 1 − t 2 f (v/v)) v = 0 (t, 0)

v=0

definiert ist. Der Einhängungssatz von Freudenthal (siehe [Hat02]) besagt, dass die durch Einhängung gegebenen Homomorphismen πm+k S n+k → πm+k+1 S n+k+1 → πm+k+2 S n+k+2 → · · · bijektiv sind, falls k  m − 2n + 2 gilt. Der gemeinsame Wert hängt dann nur von der Diffest renz m−n ab und wird oft mit πm−n bezeichnet. Das sind die stabilen Homotopiegruppen der Sphären. Man erhofft sich, dass diese einfacher zu berechnen sind, als die einzelnen πm S n . Das stimmt zwar auch, aber einfacher bedeutet nunmal nicht gleich einfach. Die folgende Tabelle gibt den Isomorphietyp einiger dieser Gruppen an. k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 πkst Z Z/2 Z/2 Z/24 0 0 Z/2 Z/240 Z/2 ⊕ Z/2

Die stabile Homotopietheorie beschäftigt sich (unter anderem) damit, eine Ordnung in dieser Struktur zu finden.

212

9 Bündel und Faserungen

Übungen Ü160 – Die Hopf-Abbildung Man benutze das Faserbündel S 3 → CP 1 ∼ = S 2 mit 1 Faser S , um einen Isomorphismus π3 (S 2 ) ∼ = π3 (S 3 ) zu konstruieren.

Garben

10

Inhaltsverzeichnis 10.1 Prägarben und Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.2 Halme und Etalräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 10.3 Garbifizierung und Pullbacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Der Garbenbegriff gehört zum Grundvokabular der modernen Geometrie und Topologie. Er dient der Formalisierung des Überganges vom Lokalen zum Globalen. Richtig betrieben kann die Garbentheorie sogar zum Studium von Grundlagen der Logik verwendet werden. Nach diesen Sätzen ahnt man schon die Allgemeinheit dieser Theorie. Wir werden hier deswegen nur versuchen, eine Einführung zu geben, welche die Grundideen auf einer Spazierfahrt vermittelt, ohne den Anspruch zu haben, die kategorientheoretische Maschine richtig auszufahren. Deswegen werden wir natürlich auch nicht so weit kommen wie etwa [MM94], ein Buch, das sich gut zur Weiterbildung in dieser Richtung eignet.

10.1

Prägarben und Garben

Eine Motivation für den Garbenbegriff ist dadurch gegeben, dass man durch sie die Punkte des Raumes vernachlässigen kann und sich ganz den offenen Teilmengen, ihren Inklusionsbeziehungen und Überdeckungseigenschaften widmen kann. Dieses wird wie folgt formalisiert. Definition Für einen topologischen Raum X sei U(X ) die Unterkategorie der Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen, die aus den offenen Teilmengen U von X und den Inklusionen zwischen ihnen besteht. Das ist der zu X gehörende Ort.  © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_10

213

214

10 Garben

Man kann viel allgemeiner definieren, was ein Ort ist, und dann Garben darauf betrachten. Das soll hier aber nicht geschehen, um sich nicht auf Umwege zu begeben, noch bevor die Reise ins Garbenland begonnen hat. Definition Sei X ein topologischer Raum. Die Kategorie Pr(X ) der Prägarben auf X ist die Kategorie der Funktoren von U(X ) in die entgegengesetzte Kategorie der Mengen Setsop (siehe Abschn. 1.4).  Diese Definition wollen wir nun kurz ausbreiten. Eine Prägarbe M ordnet jeder offenen Teilmenge U von X eine Menge M(U ) zu. Die Elemente von M(U ) werden oft die Schnitte von M über U genannt. Ist U ⊆ V , so ordnet die Prägarbe M dieser Inklusion eine Abbildung M(V ) → M(U ) zu. Das Bild eines Schnittes s über V unter dieser Abbildung heißt Einschränkung von s auf U , und wird meist schlicht mit s|U bezeichnet. Beispiele Zu jedem Raum X gehört die Prägarbe C der stetigen R–wertigen Funktionen auf X . Dabei ist C(U ) die Menge der stetigen Funktionen U → R. Und die Einschränkungsabbildungen sind eben durch Einschränkung von Funktionen gegeben. Die folgende Beispielklasse ist von überragender Wichtigkeit. Man könnte fast sagen, und das wird weiter unten in Satz 10.2 präzisiert, dass es keine weiteren Beispiele gibt. Sei dazu p : E → X eine stetige Abbildung. Das definiert eine Garbe, die leicht missverständlich mit hE bezeichnet wird, durch hE(U ) = {s : U → E | ps(u) = u f¨ur alle u} auf Objekten, sowie durch Einschränkung von Abbildungen auf den Morphismen. Besonders interessant aus systematischer Sicht sind hier übrigens die Abbildungen p : E → X der Form U ⊆ X ; diese liefern die darstellbaren Prägarben. Ist M irgendeine Menge, so kann man die konstante Prägarbe M(U ) = M betrachten. Ihre Einschränkungsabbildungen sind durch id M gegeben. Die Morphismen zwischen Prägarben sind durch die natürlichen Transformationen zwischen ihnen gegeben. Ein Morphismus ϕ : M → N besteht also aus einer Familie von Abbildungen ϕ(U ) : M(U ) → N (U ), eine für jedes U , so dass für jede Inklusion U ⊆ V das Diagramm M(U )

M(V )

ϕ(U )

ϕ(V )

N (U )

N (V )

10.1

Prägarben und Garben

215

kommutiert. Der Begriff der Prägarbe auf X ist für sich zu allgemein, um topologische Eigenschaften von X zu speichern. Er benutzt von X nur die Inklusionsbeziehungen der offenen Teilmengen, nicht aber die Information, wann und wie sich diese überdecken. Dem trägt der Begriff der Garbe Rechnung. Definition Sei X ein topologischer Raum. Die Kategorie Sh(X ) der Garben (englisch: sheaves) auf X ist die volle Unterkategorie der Kategorie der Prägarben M auf X mit der folgenden Eigenschaft: Ist (U j ⊆ X | j ∈ J ) eine Überdeckung von einer offenen Teilmenge U ⊆ X , so gibt es zu jeder Familie (s j ∈ M(U j ) | j ∈ J ) von Schnitten mit s j |(U j ∩ Uk ) = sk |(U j ∩ Uk ) für alle j, k genau einen Schnitt s ∈ M(U ) mit s j = s|U j für alle j.



Eine Garbe ist also eine Prägarbe, deren Schnitte lokal bestimmt sind und auch lokal vorgegeben werden können. Beispiele Die Prägarbe hE von Schnitten einer stetigen Abbildung E → X ist immer eine Garbe auf X . Man erhält so einen Funktor h von der Kategorie Top(X ) der Räume über X in die Kategorie Sh(X ). Die Garbe der Schnitte der Projektion pr X : X × R → X ist isomorph zur Prägarbe C der stetigen R–wertigen Funktionen auf X . Insbesondere ist die Prägarbe C eine Garbe. Und die darstellbaren Prägarben sind deswegen auch Garben. Eine konstante Prägarbe muss keine Garbe sein, weil eine Zuordnung, die lokal konstant ist, nicht global konstant sein muss. Konstanz‘ ist also eine Eigenschaft, die sich nicht lokal ’ überprüfen lässt; Stetigkeit‘ dagegen schon. Ist M eine Menge, so kann man aber die Garbe ’ der lokal konstanten Funktionen mit Werten in M definieren; das ist einfach die Garbe der stetigen Abbildungen nach M, wenn M mit der diskreten Topologie versehen wird. Ist M eine Garbe auf X , die mindestens einen Schnitt hat, so ist M(∅) einpunktig. Je zwei Einschränkungen von Schnitten stimmen auf der leeren Teilmenge überein. Produkte von Prägarben können objektweise gebildet werden:     Mλ )(U ) = (M(Uλ ) . λ

λ

Hierbei ist das Produkt von Garben wieder eine Garbe.

216

10 Garben

Übungen Ü161 – Garbenpullback Das Pullback von Prägarben wird objektweise gebildet und erhält die Garbeneigenschaft. Wie sieht es denn mit Pushouts aus? Ü162 – Verallgemeinerte Mengen Die Kategorie Sh(∗) der Garben auf dem Einpunktraum ist isomorph zur Kategorie der Mengen. In diesem Sinne sind Garben also verallgemeinerte Mengen. Ü163 – Einschränkungen auch von Garben Sind M eine Garbe auf X und U ⊆ X eine offene Teilmenge, so ist durch Einschränkung des Funktors M von U(X ) auf die offenen Teilmengen von U eine Garbe M|U auf U definiert. (Es ist vom jetzigen Standpunkt noch nicht absehbar, wie sich diese Konstruktion auf beliebige Teilmengen von X – oder sogar stetige Abbildungen von irgendeinem Raum nach X – verallgemeinern lässt. Das werden die Pullbacks von Garben leisten, die in Abschn. 10.3 definiert werden.) Ü164 – Die Morphismengarbe Seien M, N Garben auf X . Zeigen Sie, dass die Prägarbe U  → Mor Sh(X ) (M|U , N |U ) eine Garbe ist. Ü165 – Verklebegarbe Angenommen (U j | j ∈ J ) ist eine offene Überdeckung von X und M j sind Garben auf U j . Seien ϕi j : Mi |(Ui ∩ U j ) −→ M j |(Ui ∩ U j ) Morphismen mit ϕii = id und ϕik = ϕ jk ϕi j auf allen Ui ∩ U j ∩ Uk . Dann gibt es genau eine Garbe auf X und Isomorphismen ψi : M|Ui −→ Mi mit ψ j = ϕi j ψi auf allen Ui ∩ U j .

10.2

Halme und Etalräume

In diesem Abschnitt soll einer Garbe über X ein topologischer Raum über X zugeordnet werden, der die gleichen lokalen Schnitte haben wird. Hierzu beschäftigen wir uns zunächst mit den Fasern zu dieser Konstruktion. Definition Sei M eine Prägarbe auf einem topologischen Raum X . Für jeden Punkt x aus X sei U(X , x) die volle Unterkategorie der Kategorie U(X ) der offenen Mengen von X , die x enthalten. Durch Einschränkung von M erhalten wir einen Funktor von U(X , x) in die entgegengesetzte Kategorie der Mengen. Setze

10.2

Halme und Etalräume

217

Mx =



M(U )/ ∼,

U ∈U(X ,x)

wobei ∼ die folgende Äquivalenzrelation ist: Zwei Schnitte s auf U und t auf V sind genau dann äquivalent, wenn es eine offene Umgebung W von x gibt, welche in U und in V enthalten ist, und auf der s|W = t|W gilt. Die Äquivalenzklassen [s, U ] werden Keime  genannt, und Mx heißt der Halm (oder manchmal auch die Faser) von M über x. Der Keim [s, U ] eines Schnittes s auf U merkt sich also von s nur das Verhalten in beliebig kleinen Umgebungen von x. Beispiele Die Halme der Garbe L der lokal konstanten Abbildungen auf X mit Werten in der Menge M können über den Funktionswert mit M identifiziert werden: L x −→ M, [ f , U ]  −→ f (x) ist eine Bijektion. Für die Keime von reellwertigen stetigen Funktionen ist der Funktionswert ebenfalls definiert, liefert aber keine Bijektion. Beispiel Ist y ein Punkt in Y und M irgendeine Menge, so ist eine Garbe auf Y durch  M y∈U U  −→ ∗ y∈ /U gegeben, die Wolkenkratzergarbe auf Y (mit Halm M in y). Man muss hier beachten, dass nicht nur der Halm bei y mit M identifiziert werden kann; das gilt nämlich auch für die Halme in den Punkten, welche in jeder offenen Umgebung von y liegen. Für Hausdorff-Räume ist das natürlich nur y selber. Alle anderen Halme sind einelementig. Wir werden nun jeder Prägarbe M auf X einen topologischen Raum zuordnen. Dabei werden wir so ähnlich vorgehen, wie bei der Konstruktion einer Überlagerung aus einer (X )– Menge in Abschn. 8.4. Wir betrachten also die disjunkte Vereinigung  |M| = Mx x∈X

aller Halme. Dann gibt es eine kanonische Abbildung p : |M| → X , welche den Halm Mx nach x abbildet. Wir wollen auf |M| eine Topologie definieren, so dass diese Abbildung stetig ist. Dazu betrachten wir die Schnitte s ∈ M(U ) von M. Jeder solche Schnitt definiert eine Abbildung U −→ |M|, u  −→ [s, U ],

218

10 Garben

die auch mit s bezeichnet wird. Es gilt ps(u) = u für alle u in U . Wir geben |M| die von allen Schnitten s coinduzierte Topologie. Bezüglich dieser Topologie sind die Abbildungen p : |M| → X und s : U −→ |M| stetig. Definition Der Raum |M| wird der Etalraum von M genannt (nach dem französischen Adjektiv étale).  Satz 10.1 Die Abbildung p : |M| → X ist ein lokaler Homöomorphismus. Beweis Ein Punkt von |M| ist ein Keim eines Schnittes s von M über einer Teilmenge U ⊆ X in einem Punkt. Die Menge s(U ) ist eine offene Umgebung dieses Punktes in |M|, denn ist (t, V ) ein Schnitt über V und ist w ein Punkt in t −1 (s(U )), so liegt w in U ∩ V , und wegen s(w) = t(w) stimmen s und t in einer kleinen Umgebung W ⊆ U ∩ V von w überein. Also liegt W in t −1 (s(U )) und s(U ) ist offen. Die Abbildung p bildet s(U ) homöomorph auf U ab.  Die eben beschriebene Konstruktion ist mit Garbenmorphismen verträglich. Man erhält so für jeden topologischen Raum X einen Funktor |?| : Pr(X ) −→ Et(X ) in die volle Unterkategorie Et(X ) der Kategorie Top(X ) der topologischen Räume über X , deren Strukturabbildung ein lokaler Homöomorphismus ist. Insgesamt haben wir nun einen Zirkel Sh(X )

⊆

|?|

h

Top(X )

Pr(X )

⊇

Et(X )

von Funktoren definiert. Diese sollen nun benutzt werden, um die Grundlegung der Garbentheorie abzuschließen. Das folgende Resultat ist dabei als Hauptsatz anzusehen. Satz 10.2 (Hauptsatz über Etalräume und Garben) Sei X ein topologischer Raum. Der Funktor |?| : Sh(X ) −→ Et(X ) ist linksadjungiert zum Funktor h, Mor Et(X ) (|M|, E) ∼ = Mor Sh(X ) (M, hE),

10.2

Halme und Etalräume

219

und eine Äquivalenz von Kategorien (mit Inversem h). Beweis Ist M eine Prägarbe auf X , so ordnet man einem Schnitt s von M über U die stetige Abbildung U → |M| zu, die – wie in Abschn. 10.2 beschrieben – durch diesen Schnitt definiert ist. Das liefert einen Morphismus η : M −→ h|M|, s  → [s, U ]. Ist M eine Garbe, so ist das ein Isomorphismus: Um dies einzusehen, sei s : U → |M| ein stetiger Schnitt über U . Zu x ∈ U wähle (sx , Ux ) mit s(x) = [sx , Ux ]. Ist z ∈ Ux ∩ U y , so gilt dann [s y , U y ] = s(z) = [sx , Ux ] und somit sx |W = s y |W für eine offene Umgebung W von z. Weil M eine Garbe ist, stimmen also sx und s y auf Ux ∩ U y überein, und alle zusammen definieren einen eindeutigen Schnitt s ∈ M(U ). Ist umgekehrt E ein Raum über X , so kann man für jeden Keim (in x) eines stetigen Schnittes s von E über U diesen Schnitt in x auswerten und erhält so einen Punkt in E. Das liefert eine Abbildung ε : |hE| −→ E, [s, U ]x  → s(x) über X . Sie ist stetig, weil s stetig ist. Ist E zudem lokal homöomorph über X , so ist sie sogar ein Homöomorphismus, weil dann lokal die stetige Umkehrabbildung hingeschrieben werden kann. Dies zeigt die Äquivalenz der Kategorien. Der Adjunktionsisomorphismus ist durch ( f : |M| −→ E)  → ( M

ϕ

h|M|

h( f )

hE )

in der einen Richtung und durch (ϕ : M −→ hE)  → ( |M| in der anderen Richtung gegeben.

|ϕ|

|hE|

ε

E) 

Der Satz besagt unter anderem, dass der Garbenbegriff prinzipiell überflüssig ist, weil er jederzeit durch den dazu äquivalenten des Etalraumes ersetzt werden kann. Wenn das auch logisch richtig sein mag, so ist es psychologisch von großem Vorteil, mit der Garbensichtweise vertraut zu sein. Die Begriffswelt der Garbentheorie zeigt Denkwege auf, die sich vom Standpunkt der Etalräume vielleicht nicht ganz so sehr aufdrängen.

220

10 Garben

Übungen Ü166 – Taylor fragen Für die Garbe der analytischen Funktionen auf einer offenen Teilmenge von R sind die Halme durch die Menge aller konvergenten Potenzreihen gegeben. Ü167 – Eins und Koeins Seien C

L R

D

adjungierte Funktoren, d. h., es gebe eine natürliche Bijektion Mor D (L(X ), Y ) ∼ = Mor C (X , R(Y )). Dann gibt es eine natürliche Transformation η : idC → R L und eine natürliche Transformation ε : R L → idD , für die die Kompositionen R

ηR

RL R

Rε

R, L

Lη

L RL

εL

L

Identitäten sind. Umgekehrt definieren eine Eins η und eine Koeins ε, für die diese Kompositionen Identitäten sind, immer eine Adjunktion zwischen L und R.

10.3

Garbifizierung und Pullbacks

Die Ergebnisse des vorhergehenden Abschnitts können benutzt werden, um aus einer Prägarbe eine Garbe zu machen. Dies ist offensichtlich nützlich: Immer wenn man auf eine Prägarbe trifft, der man nicht schon von Weitem ansieht, dass es sich dabei um eine Garbe handelt, garbifiziert man sie vorsichtshalber. Die Konstruktion ist besonders bei der Übertragung geometrischer Morphismen in die Welt der Garben hilfreich. Definition Sei X ein topologischer Raum. Ist M eine Prägarbe auf X , so ist h|M| eine Garbe auf X . Diese nennt man die Garbifizierung von M.  Satz 10.3 Der Garbifizierungsfunktor Pr(X ) → Sh(X ) ist linksadjungiert zum Vergissfunktor: Mor Sh(X ) (h|M|, N ) ∼ = Mor Sh(X ) (M, N ). Beweis Ist M → N ein Morphismus von Garben, so liefert Garbifizierung davon einen Morphismus h|M| → h|N |. Ist N schon eine Garbe, so ist das Ziel h|N | isomorph zu N , was durch Komposition einen Morphismus h|M| → N liefert.

10.3

Garbifizierung und Pullbacks

221

M

N ∼ =

h|M|

h|N |

Diese Zuordnung ist bijektiv; das Inverse ist durch Komposition mit dem universellen Morphismus M → h|M| gegeben.  Man darf sich also die Garbifizierung einer Prägarbe M als freie Garbe‘ auf M vorstellen, ’ wenn das der Intuition hilft. Beispiel Die Garbifizierung einer Prägarbe konstanter Funktionen ist die entsprechende Garbe lokal konstanter Funktionen. Ist f : X → Y eine stetige Abbildung, so erhält man durch Urbildnehmen (denke: Pull’ backs‘) einen Funktor f −1 : U(Y ) → U(X ), V  −→ f −1 V in die umgekehrte Richtung. Durch Komposition erhält man dann einen Funktor f ∗ : Pr(X ) −→ Pr(Y ), der wieder in die ursprüngliche Richtung geht. Notiz Der Funktor f ∗ bildet Garben auf Garben ab. Dies ist nicht schwer einzusehen: Eine Ansammlung von Schnitten s j ∈ f ∗ (M)(V j ) = M( f −1 (V j )), die auf Durchschnitten übereinstimmen, definieren nämlich einen eindeutigen Schnitt in der Vereinigung, weil dies für M der Fall ist. Beispiele Zwei ausgezeichnete Beispiele bieten sich an: X = {x} oder Y = {y}. Ist zunächst Y = {y}, so ist f ∗ M eine Garbe auf dem Einpunktraum, also eine Menge, und zwar die Menge M(X ) der globalen Schnitte von M. Ist hingegen X = {x}, so ist die Garbe M darauf einfach eine Menge. Die Garbe f ∗ M ist dann durch  M f (x) ∈ V ( f ∗ M)(V ) = ∗ f (x) ∈ /V gegeben, also durch die Wolkenkratzergarbe auf Y mit Halm M in f (x).

222

10 Garben

Ist M eine Garbe auf Y , so ist ihr Pullback durch f ∗ M = h(X ×Y |M|) definiert. Man betrachtet also einfach den zu M gehörenden Etalraum über Y und dann die zu dessen Pullback gehörende Garbe. Satz 10.4 Der Pullbackfunktor f ∗ ist linksadjungiert zu f ∗ : Mor Sh(X ) ( f ∗ M, N ) ∼ = Mor Sh(Y ) (M, f ∗ N ). Beweis Ist s ein Schnitt von N über V ⊆ Y , so kann man ihn als stetigen Schnitt von |N | über V auffassen. Die universelle Eigenschaft des Pullbacks liefert dazu einen Schnitt des Pullbacks X ×Y |N | über dem Urbild f −1 V , also eine Schnitt von f ∗ f ∗ N über V . Das definiert einen Morphismus η : N −→ f ∗ f ∗ N . Ist umgekehrt s ein Schnitt von f ∗ f ∗ M über U ⊆ X , also eine stetige Abbildung von U nach X ×Y | f ∗ M|, so liefert die zweite Komponente davon einen Schnitt von M über U . Das definiert einen Morphismus ε : f ∗ f ∗ M −→ M. Die Adjunktion folgt nun wie im Beweis von Satz 10.2, oder man benutzt die Übung von Abschn. 10.2.  Beispiele Dieselben Beispiele wie zuvor bieten sich an: X = {x} oder Y = {y}. Ist zunächst Y = {y}, so ist f ∗ N die Garbe der lokal konstanten Funktionen auf X mit Werten in N . Ist hingegen X = {x}, so ist f ∗ N eine Garbe auf dem Einpunktraum, also eine Menge, der Halm von N in f (x).

Ergänzung Abelsche Garben und so weiter und so fort Bisher haben wir nur Garben von Mengen betrachtet. Natürlich kann man auch strukturierte‘ Garben betrachten. Beispielsweise ist ’ eine abelsche Garbe auf U(X ) eine Garbe M auf U(X ) zusammen mit einer Faktorisierung

10.3

Garbifizierung und Pullbacks

223

AbGrp vergiss U(X )

M

Sets

über den Vergissfunktor. Das bedeutet, dass alle M(U ) mit der Struktur einer abelschen Gruppe versehen sind, so dass die Einschränkungsabbildungen Gruppenhomomorphismen sind. Genauso kann man dann auch Ringgarben und Modulgarben definieren und überhaupt versuchen, die ganze Algebra in diesem Kontext zu verallgemeinern.

Übungen Ü168 – Einschränkungen sind Pullbacks Ist i : U → X die Inklusion einer offenen Teilmenge, so ist i ∗ M = M|U für jede Garbe M auf X . Ü169 – Konkret Sei f : S 1 → S 1 die Abbildung z  → z 2 . Beschreiben Sie f ∗ C und f ∗ C, wobei C die Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen ist. Wie sehen die dazugehörigen Etalräume | f ∗ C| und | f ∗ C| aus? Ü170 – Nicht nur Pushouts Zeigen Sie, dass der Funktor f ∗ alle Pullbacks erhält.

Simpliziale Mengen

11

Inhaltsverzeichnis 11.1 Simpliziale Objekte und Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.2 Singuläre Simplizes und Realisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.3 Ausblicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Simpliziale Mengen sind diskrete kombinatorische Modelle für topologische Räume, welche die Konstruktion vieler Objekte in der Topologie vereinfachen. Es stellt sich heraus, dass die Homotopietheorie der simplizialen Mengen äquivalent zu der topologischer Räume ist. Die Bedeutung simplizialer Mengen für die Topologie begründet sich darin, dass viele Objekte in der Topologie von ihrer Natur her als Realisierungen simplizialer Mengen in Erscheinung treten. Einige Ausblicke darauf werden am Ende dieses Kapitels gegeben.

11.1

Simpliziale Objekte und Morphismen

Zunächst soll die simpliziale Kategorie  beschrieben werden. Sie kodifiziert die kombinatorische Struktur, welche Simplizes zugrunde liegt. Definition Für eine ganze Zahl n  0 sei [n] die kleine Kategorie, welche zu der geordneten Menge {0  1  ···  n} gehört, wie in Abschn. 1.4 dargelegt. Sei  die volle Unterkategorie der Kategorie der kleinen Kategorien, welche aus diesen Kategorien [n] besteht. Im Einzelnen: Die Morphismen von [m] nach [n] sind alle Funktoren zwischen den beiden Kategorien.  © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2_11

225

226

11 Simpliziale Mengen

Notiz Die Menge der Funktoren von [m] nach [n] besteht genau aus den Abbildungen f : [m] → [n], welche monoton im schwachen Sinn sind. Da [0] genau ein Element hat, gibt es immer genau einen Morphismus [n] → [0]. Dadurch ist uns also ein terminales Objekt, also ein leeres Produkt, in der Kategorie gegeben. Umgekehrt gibt es n + 1 Morphismen [0] −→ [n]. Allgemein gibt es   m+n+1 m+1 Funktoren von [m] nach [n]. Für jedes i ∈ {0, . . . , n} gibt es die Randabbildungen  x x i, welche i doppelt treffen. Die folgenden (kosimplizialen) Relationen dieser Morphismen prüft man schnell nach: i< j d j d i = d i d j−1 s j s i = s i s j+1 i j ⎧ i j−1 i< j ⎨d s s j d i = id i = j, j + 1 ⎩ i−1 j d s i > j +1 Satz 11.1 Jeder Morphismus f : [m] → [n] in  hat genau eine Darstellung f = d i(r ) . . . d i(1) s j(1) . . . s j(s) , wobei i(1) < · · · < i(r ) und j(1) < · · · < j(s). Beweis Es gibt eine Aufspaltung von f in die Surjektion auf das Bild und die Inklusion des Bildes. Seien [n] \ Bild( f ) = {i(1) < · · · < i(r )} und { j ∈ [m] | f ( j) = f ( j + 1)} = { j(1) < · · · < j(s)}. Dann ist

11.1

Simpliziale Objekte und Morphismen surj.

227 inj.

f : [m] −→ [n − r ] = [m − s] −→ [n] 

die gewünschte Faktorisierung.

Folgerung 11.2 Ein Funktor auf  ist durch die Werte auf den d i und s i eindeutig bestimmt. Andererseits kann er auch durch die Bilder dieser Morphismen vorgeschrieben werden, wenn die (kosimplizialen) Relationen erfüllt sind. Beweis Die Eindeutigkeitsaussage folgt direkt aus dem Satz. Für die zweite Aussage muss man zeigen, dass für jede Zuordnung F, welche die (kosimplizialen) Relationen erhält, der Ausdruck F(d i(1) ) . . . F(d i(r ) )F(s j(1) ) . . . F(s j(s) ) die Funktorialitätseigenschaft hat. Diese folgt aber aus der Beobachtung, dass man die eindeutige Faktorisierung einer Komposition von Morphismen durch Anwenden der (kosimplizialen) Relationen auf die Komposition der faktorisierten Morphismen erhält.  Definition Es sei op die Kategorie, die aus  durch Umdrehen der Pfeile entsteht (siehe Abschn. 1.4). Ist C eine Kategorie, so bezeichnet op -C die Kategorie der Funktoren F : op −→ C zusammen mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Ihre Objekte werden auch simpliziale Objekte in C genannt. Die Funktorkategorie -C = Hom(, C) ist die Kategorie der kosimplizialen Objekte in C.



Beispiele Ist C die Kategorie der kleinen Kategorien, so ist der Inklusionsfunktor  → C eine kosimpliziale Kategorie. Ist C eine beliebige Kategorie und C ein Objekt daraus, so liefert der konstante Funktor mit Bild C ein simpliziales Objekt (und auch ein kosimpliziales Objekt). Solche Objekte werden auch diskret genannt. Nun definiert man simpliziale Mengen als simpliziale Objekte in der Kategorie der Mengen. Eine simpliziale Menge X in C wird durch Mengen X n = X ([n]) und Abbildungen di = X (d i ) : X n −→ X n−1 , si = X (s i ) : X n −→ X n+1 gegeben, welche den obigen Relationen in der umgekehrten Reihenfolge, also den simplizialen Relationen

228

11 Simpliziale Mengen

di d j = d j−1 di si s j = s j+1 si ⎧ ⎨ s j−1 di di s j = id ⎩ s j di−1

i i i i i

<  < = >

j j j j, j + 1 j +1

genügen. Es wird aber nicht empfohlen, diese Relationen auswendig zu lernen und für das Wesen der Simplizialität zu halten. Vorzugsweise arbeitet man mit allen Morphismen der simplizialen Kategorie , ohne ihre Darstellung durch Erzeuger und Relationen zu verwenden. Definition Ist X eine simpliziale Menge, so heißt X n die Menge der n–Simplizes in X , ihre Bilder unter den obigen Abbildungen ihre Ränder und ihre ausgearteten Simplizes. Morphismen zwischen simplizialen Mengen werden simpliziale Abbildungen genannt.  Die Rand- und Ausartungsabbildungen der Simplizes merkt man sich am Besten durch das Schema X0

X1

X2

···

Simpliziale Abbildungen sind Abbildungen zwischen den Mengen der n–Simplizes für jedes n, die mit Rändern und Ausartungen verträglich sind. Wir kommen nun zur Definition einer Folge besonders wichtiger simplizialer Mengen: Adjungiert zum Morphismenfunktor Mor(?, ?) : op ×  −→ Sets ist die Einbettung  −→ op –Sets. Das ergibt eine kosimpliziale simpliziale Menge. Definition Das Bild von [n] ist eine simpliziale Menge, die mit n bezeichnet wird. Nach dieser Definition sind die m–Simplizes von n gerade durch Mor  ([m], [n]) = Mor op ([n], [m]) gegeben. Das ist die Menge der (schwach) monotonen Abbildungen {0  · · ·  m} −→ {0  · · ·  n}.



11.1

Simpliziale Objekte und Morphismen

229

Die 0–Simplizies von n sind also die n + 1 Objekte 0, . . . , n von [n]; die 1–Simplizes von n sind die Morphismen von [n], also die Paare (i, j) ganzer Zahlen mit 0  i  j  n; die 2–Simplizes von n sind die Paare komponierbarer Morphismen von [n] und so weiter. Beispiel Ist n = 1, so ist die Anzahl der m–Simplizes von 1 genau m + 2. Dabei sind die beiden 0–Simplizes 0 und 1. Die m–Simplizes für m  1 sind Folgen 0 → 0 → 0 → ··· → 0 → 1 → ··· → 1 → 1 von m komponierbaren Morphismen in [1]. Die Rand- und Entartungsabbildungen sind durch Komposition (Streichen von Objekten) und Einfügen von Identitäten (Verdoppeln von Objekten) gegeben. Viel bedeutender als das durch die Simplizes und Strukturabbildungen gegebene Innenle’ ben‘ von n ist allerdings ihre folgende Eigenschaft: Satz 11.3 Die Morphismen von n in eine simpliziale Menge X entsprechen eindeutig den n– Simplizes X n von X mittels der Bijektion Mor(n , X ) ∼ = X n , ϕ  → ϕ[n] (id[n] ). Beweis Der Beweis folgt aus ganz allgemeinen Überlegungen, welche den Namen YonedaLemma tragen: Sind F : C → Sets ein Funktor und C ein Objekt von C, so ist die natürliche Abbildung Mor(Mor(C, ?), F) −→ F(C),   → C (idC ) stets eine Bijektion. Dies verifiziert man schnell für jedes f : C → D an dem kommutativen Diagramm idC

Mor(C, C)

C

Mor(C, f )

f

Mor(C, D)

F(C) F( f )

D

F(D). 

Definition Das Produkt simplizialer Mengen X und Y ist durch (X × Y )n = X n × Yn und dem Produkt der Rand- und Ausartungsabbildungen gegeben. Die simpliziale Abbildungsmenge ist

230

11 Simpliziale Mengen

Hom(X , Y )n = Hom(n × X , Y ) zusammen mit der von der kosimplizialen simplizialen Menge n  → n induzierten simplizialen Struktur.  Satz 11.4 Es gibt eine natürliche Bijektion Mor(X × Y , Z ) → Mor(X , Hom(Y , Z )), f  → f # für alle simpliziale Mengen X , Y , Z . Beweis Seien f : X × Y → Z und ein Simplex x von X n gegeben. Dann ist die adjungierte Abbildung f # (x) die Komposition n × Y

x×id

X ×Y

f

Z .

Hierbei wurde der vorangegangene Satz benutzt. Diese Abbildung ist simplizial und gibt die gewünschte Bijektion. 

Übungen Ü171 – Allgemeiner Unsinn Zu jeder simplizialen Abbildung ϕ : n → m gibt es genau ein f : [n] → [m] in  derart, dass ϕ = (?, f ) gilt. Ü172 –Name gerechtfertigt Zeigen Sie, dass das Produkt simplizialer Mengen die universelle Eigenschaft besitzt. Ü173 – Exponentialgesetze Zeigen Sie, dass die oben angegebene Adjunktion einen Isomorphismus von simplizialen Mengen Hom(X × Y , Z ) ∼ = Hom(X , Hom(Y , Z )) liefert.

11.2

Singuläre Simplizes und Realisierungen

In diesem Abschnitt werden die singulären Komplexe topologischer Räume und die Realisierung simplizialer Mengen vorgestellt. Sie bilden ein adjungiertes Paar, das der Ausgangspunkt aller Vergleiche der Kategorien der topologischen Räume und simplizialen Mengen

11.2

Singuläre Simplizes und Realisierungen

231

Abb. 11.1 Der Raum ntop für n = 0, 1, 2, 3

ist. Grundlage für beide Konstruktionen ist der aus den Standardsimplizes gebildete kosimpliziale Raum. Definition Sei n  0 ganz. Der Teilraum ntop = {(t0 , . . . , tn ) ∈ Rn+1 | ti  0 f¨ur alle i = 0, . . . , n und

n 

ti = 1}

i=0

heißt das n–dimensionale Standardsimplex.



Der Raum ntop ist also eine kompakte konvexe Teilmenge des Rn+1 . Die kanonischen 1 n Basisvektoren e0 , . . . , en des Rn+1 sind seine n + 1 Eckpunkte, und n+1 i=0 ei ist sein Schwerpunkt (Abb. 11.1). Einige stetige Abbildungen ntop −→ Rk können leicht definiert werden durch Einschränkung von linearen Abbildungen Rn+1 −→ Rk . Um diese anzugeben, reicht es nämlich, die Bilder der Basis {e0 , . . . , en } anzugeben. Insbesondere haben wir stetige Abbildungen n−1 top −→ ntop , ex  → ed i (x)

und n+1 −→ ntop , ex  → es i (x) top

aus den Rand- und Ausartungsabbildungen der Kategorie . Notiz Die Zuordnung [n]  −→ ntop liefert mit den eben genannten Abbildungen einen kovarianten Funktor  → Top, also einen kosimplizialen topologischen Raum. Dies ermöglicht folgende Definition. Definition Sei X ein beliebiger topologischer Raum. Dann ist die Zuordnung [n]  −→ Singn (X ) = Mor(ntop , X ) eine simpliziale Menge Sing(X ). Die Elemente von Singn (X ) heißen singuläre n–Simplizes in X . 

232

11 Simpliziale Mengen

Die Konstruktion ist selber funktoriell, gibt uns also einen Funktor Sing : Top −→ op –Sets. Topologische Räume liefern also (wichtige!) Beispiele für simpliziale Mengen. Als nächstes wollen wir einer simplizialen Menge X einen topologischen Raum zuordnen. Definition Die Realisierung |X | einer simplizialen Menge X ist der Quotientenraum, den man aus

X n × ntop n0

durch die Relation f

(X f (x), t) ∼ (x, top (t)) für alle Morphismen f : [m] → [n] in  erhält. Hierbei trägt X n die diskrete Topologie. (Wäre X ein simplizialer topologischer Raum gewesen, so würde man für dessen Realisie rung die Topologie von X n bei der Quotientenbildung übernehmen.) Beispiel Die Realisierung der simplizialen Menge n ist homöomorph zu ntop . Hierzu beachte man, dass die Realisierung einer simplizialen Menge stets homöomorph zu dem Raum ist, der durch die Summe der {x} × ntop durch Identifizierung der Ränder entsteht, für die x ein nicht ausgearteter n–Simplex ist. In n sind nur ein n–Simplex und dessen Ränder nicht ausgeartet. Hieraus folgt die Behauptung. Eine simpliziale Abbildung ϕ : X → Y liefert eine stetige Abbildung |ϕ| : |X | −→ |Y |. Damit ist die Realisierung ein Funktor | ? | : op –Sets −→ Top. Jede simpliziale Menge beschreibt also einen topologischen Raum. Einen wichtigen Aspekt der Beziehungen zwischen der Realisierung und der singulären simplizialen Menge liefert das folgende Resultat. Satz 11.5 Die Funktoren |?| und Sing(?) sind adjungiert: Für jede simpliziale Menge X und jeden topologischen Raum Y gibt es eine natürliche Bijektion Mor(|X |, Y ) ∼ = Mor(X , Sing(Y )). Beweis Jedes f : |X | → Y definiert für jeden Simplex x aus X n einen singulären Simplex von Y durch die Komposition

11.2

Singuläre Simplizes und Realisierungen

ntop ∼ = {x} × ntop

233

|X |

f

Y .

Die Identifikationen im Quotientenraum |X | bewirken, dass diese Zuordnung simplizial ist. Hat man umgekehrt eine simpliziale Abbildung ϕ von X in die singuläre simpliziale Menge von Y gegeben, so wird durch [(x, t)]  → ϕ(x)(t) eine stetige Abbildung auf der Realisierung definiert. Diese Zuordnungen sind invers zueinander.  Die Realisierungen simplizialer Mengen sind stets sehr spezielle topologische Räume. Zum Beispiel gilt: Notiz Realisierungen simplizialer Mengen sind stets lokal kompakt erzeugt. Wegen der universellen Eigenschaft des Quotientenraumes ist eine Abbildung von einer Realisierung nämlich genau dann stetig, wenn sie eingeschränkt auf den einzelnen Simplizes stetig ist. Weil diese lokal kompakt sind, sind Realisierung also lokal kompakt erzeugt. Man kann zudem zeigen, dass Realisierungen stets Zellenkomplexe (siehe Übung Ü176) sind, also insbesondere die Hausdorff-Eigenschaft haben. Realisierungen von Produkten sind die Produkte der Realisierungen, wenn man das richtige Produkt nimmt und in der Kategorie der lokal kompakt erzeugten Räume bleibt: Satz 11.6 Die kanonische Abbildung (|pr X |, |pr Y |) : |X × Y | −→ |X | ×k |Y | ist für alle simplizialen Mengen X , Y ein Homöomorphismus. Beweis Der Beweis ist wird in mehrere Schritte unterteilt. (Schritt 1) Man betrachte zunächst den Fall X = m und Y = n . Es wird sich herausstellen, dass sich der allgemeine Fall darauf zurückführen lässt. Das wird in den folgenden Schritten geschehen. Hier versuchen wir zunächst, die nicht ausgearteten Simplizes von m × n zu verstehen: Ein k–Simplex in diesem Produkt ist eine schwach monotone Abbildung [k] → [m] × [n], wobei (a, b)  (a  , b ) in [m] × [n], falls a  a  und b  b gilt. Es ist nicht ausgeartet, wenn die Abbildung injektiv bzw. strikt monoton ist. Hiervon gibt es offensichtlich nur endlich viele und keine sobald k > m + n ist. Also ist |m × n | kompakt, und es genügt deswegen die Bijektivtät der kanonischen Abbildung nachzuweisen.

234

11 Simpliziale Mengen

Abb. 11.2 Eine Kette und eine maximale Erweiterung

Ein nicht ausgearteter k–Simplex in m ×n beschreibt eine Kette von Punkten im Gitter zwischen (0, 0) und (m, n). Eine Kette soll maximal heißen, wenn k = m +n gilt. Jede Kette lässt sich zu einer maximalen Kette erweitern, indem man geeignete Punkte wie im Schaubild 11.2 hinzunimmt. Also ist für k < n+m jeder k–Simplex Rand eines nicht ausgearteten (m+ n)–Simplex. Somit kann man sich bei der Realisierung auf solche konzentrieren. Außerdem gehören zu zwei solchen Erweiterungen einer Kette genau zwei (m + n)–Simplizes, die sich in der vorliegenden Seite schneiden. Jeder Punkt einer maximalen Kette ist mit den Zahlen 0, 1, . . . , m + n nummeriert. Sie ist vollständig bestimmt durch die Zahlen auf den Enden der m horizontalen Segmente. Zum Beispiel beschreibt (1, 4, 6) die maximale Kette des Schaubilds. Umgekehrt beschreibt jede m–elementige Teilmenge von {1, 2, . . . , m + n} eine maximale Kette. Damit  maximale Ketten. gibt es m+n m Zum Beispiel hat man für m = n = 1 die zwei 2-Simplizes (1) = {(0, 0), (0, 1), (1, 1) und (2) = {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} , und diese schneiden sich in dem 1-Simplex zur Kette {(0, 0), (1, 1)}. Die Einschränkung der kanonischen Abbildung auf einen (n + m)–Simplex zur maximalen Kette (a1 , a2 , . . . , am ) hat in dieser Schreibweise folgende Gestalt: Sei (b1 , b2 , . . . , bn ) die komplementäre maximale Kette; diese entsteht durch Spiegelung an der Diagonalen. Dann wird ein Element x von |m+n | auf (y, z) ∈ |m | × |n | abgebildet, a j+1 −1 b j+1 −1 wobei y j = k=a xk und z j = k=b xk für k  1 und am+1 = m + n + 1 = bn+1 . j j Diese Abbildung ist jedenfalls injektiv. Es bleibt zu zeigen, dass jeder Punkt (y, z) von |m | × |n | im Bild eines (n + m)– Simplex liegt, und sich je zwei solche (n + m)–Simplizes in einer Seite schneiden, die den Punkt enthält: Setze u j = y j + . . . + ym und v j = z j + . . . + z n für j  1. Ordne diese Zahlen in absteigender Reihenfolge w1  w2  · · ·  wm+n . Hierbei gibt es mehrere Möglichkeiten, wenn in dieser Folge gleiche Zahlen auftreten. Jedes u j ist also dann ein wa j . Die Zahlen (a1 , a2 , . . . , am ) definieren eine maximale Kette und somit einen n + m-Simplex. Die Koordinaten x j = w j − w j+1 in diesem Simplex bilden sich nach (y, z) ab und die Möglichkeiten der Reihenfolgen entsprechen genau den Zuordnungen von Seitenpunkten zu den n + m–Simplizes. (Schritt 2) Es sei C die Klasse aller simplizialen Mengen X , für die die kanonische Abbildung

11.2

Singuläre Simplizes und Realisierungen

235

|X × n | −→ |X | × |n | ein Homöomorphismus ist. Es wurde im ersten Schritt gezeigt, dass alle Standardsimplizes m in C liegen. Die Klasse C ist auch abgeschlossen gegenüber Pushouts, d. h., ist X0

X1

X2

X

ein Pushout simplizialer Mengen mit X j ∈ C für j = 0, 1, 2, so ist auch X ∈ C. Hierzu muss man nur beachten, dass sowohl der Realisierungsfunktor, als auch das Produkt mit n in op –Sets und mit |n | in Top Pushouts erhält (wegen der Exponentialgesetze). Aus ähnlichen Gründen ist die Klasse C auch abgeschlossen gegenüber allen Summen; ist also X j ∈ C

so auch j X j ∈ C: |



X j × n | ∼ =

j



|X j × n | ∼ =



j

|X j | × |n | ∼ =|



j

X j | × |n |.

j

Wir behaupten, dass damit alle simplizialen Mengen X schon in C sein müssen: Sei hierzu S(X ) die Kategorie aller simplizialen Abbildungen n → X . Diese entsprechen genau den n–Simplizes von X nach Satz 11.3. Morphismen in S(X ) seien kommutative Dreiecke f

m

n .

x

y

X Dann sitzt jedes X in einem Pushout-Diagramm der Form

x : n →X

n +

f : x→y

m

(id,i)

x : n →X

n

(id, j)

x : n →X

n

X.

Die Abbildungen nach X werden auf jedem Summanden durch die jeweiligen Objekte von S(X ) selbst gegeben. Die Abbildung i ist der horizontale Pfeil f des zugrunde liegenden kommutativen Dreiecks in den Summanden, der durch y gegeben ist. Die Abbildung j ist die identische Abbildung in den Summanden x. Es bleibt dem Leser überlassen, die universelle Eigenschaft des Pushout zu überprüfen. (Schritt 3) Im zweiten Schritt wurde gezeigt, dass die Standardsimplizes zur Klasse der simplizialen Mengen Y gehören, für die

236

11 Simpliziale Mengen

|X × Y | −→ |X | × |Y | ein Homöomorphismus für alle simplizialen Mengen X ist. Jetzt argumentiert man genau wie im zweiten Schritt, dass alle simplizialen Mengen Y in dieser Klasse liegen. 

Ergänzungen Mehr über Realisierung und singuläre Simplizes Die Adjunktion des Realisierungsfunktors und des Funktors Sing möchte man gerne zu einer Äquivalenz zwischen geeigneten Homotopietheorien machen. Weil die Realisierungen aber sehr spezielle Räume sind, ist nicht zu erwarten, dass jeder topologische Raum homotopieäquivalent zu einer Realisierung ist. Umgekehrt sind auch nicht alle simplizialen Mengen von der Form Sing(X ) für einen topologischen Raum X . Um das Verhältnis zwischen einem Raum X und der Realisierung |Sing(X )| genauer zu beschreiben, führt man folgenden Begriff ein: Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann heißt f schwache Homotopieäquivalenz, falls die induzierte Abbildung auf den Wegekomponenten und Homotopiegruppen f ∗ : πn (X , x) −→ πn (Y , f (x)) für alle x ∈ X und alle n  0 ein Isomorphismus ist. Zum Beispiel ist jede Homotopieäquivalenz eine schwache Äquivalenz. Das Umgekehrte gilt allerdings nicht: Der Sinuskurvenraum von Abschn. 3.1 ist nicht homotopieäquivalent zu S 0 , weil er zusammenhängend ist. Wählt man allerdings in beiden Wegekomponenten einen Punkt, so ist die Abbildung von S 0 eine schwache Homotopieäquivalenz. Es sei bemerkt, dass schwache Homotopieäquivalenzen stets Homotopieäquivalenzen sind, wenn die involvierten Räume aus Zellen aufgebaut werden können; das ist ein Satz von Whitehead (siehe [Hat02]). Um so erstaunlicher ist der folgende Satz von Quillen, für dessen Beweis auf [GJ99] verwiesen wird: Für jeden topologischen Raum X induziert die zur Identität von Sing(X ) adjungierte Abbildung |Sing(X )| −→ X eine schwache Homotopieäquivalenz. Insbesondere ist also beim Übergang von topologischen Räumen zu simplizialen Mengen und zurück zu topologischen Räumen bis auf schwache Homotopieäquivalenz keine Information verloren gegangen. Kan-Faserungen Das Konzept einer Faserung lässt sich auf simpliziale Mengen übertragen: Zu 0  r  n sei das r –te Horn rn die simpliziale Teilmenge von n , deren m– Simplizes durch ordnungserhaltende Abbildungen f : [m] → [n] gegeben sind, für die r nicht im Bild liegt. (Geometrisch erhält man |rn | von |n |, indem man das Innere von |n | und das Innere der r gegenüber liegenden Seite weglässt. Für n = 2 sieht das dann aus wie ein Horn .) Eine Abbildung p : X → Y zwischen simplizialen Mengen heißt Faserung

11.2

Singuläre Simplizes und Realisierungen

237

(oder auch Kan-Faserung), falls für jedes r und jedes kommutatives Diagramm simplizialer Mengen rn X l

i

n

p

Y,

eine Hochhebung existiert, die die beiden Dreiecke kommutativ macht. Eine simpliziale Menge X heißt fasernd, falls die Abbildung X → 0 = ∗ eine Faserung ist. Diese Definition überrascht an zwei Stellen: In der kombinatorischen Welt scheint es nicht genug zu sein, für Faserungen die Inklusion einer Seite eines Würfels oder die Inklusion eines einzigen Hornes zu betrachten. Außerdem ist die Abbildung in das Punktobjekt nicht notwendigerweise eine Faserung. Beispielsweise sind die simplizialen Mengen n für n  1 nicht fasernd: Im Schaubild 11.3 ist ein Morphismus f dargestellt, der sich nicht auf 2 erweitern lässt. Ein Beispiel für ein faserndes Objekt ist Sing(X ) für jeden topologischen Raum X . Dies folgt aus folgender Beobachtung: Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen ist genau dann eine Serre-Faserung, wenn Sing( f ) : Sing(X ) → Sing(Y ) eine KanFaserung ist. Hierzu muss man nur beachten, dass die Inklusion |rn | ⊆ n homöomorph zu {0} × I n ⊆ I n ist und die Adjunktion der Diagramme Sing(X )

rn i

l

p

n

|rn | i

Sing(Y )

X l

|n |

p

Y

ausnutzen. Simpliziale Abbildungsräume Seien Y und Z topologische Räume. Dann hatten wir schon den Raum Hom(Y , Z ) der stetigen Abbildungen von Y nach Z mit der KO-Topologie kennengelernt. Ein singuläres n–Simplex in Hom(Y , Z ) ist eine stetige Abbildung 0 = f (0)

0

f

1

Λ20

Abb. 11.3 2 ist nicht fasernd

2

1 = f (2)

2 = f (1)

238

11 Simpliziale Mengen

ntop → Hom(Y , Z ). Ist Y lokal kompakt, so ist das äquivalent zu einer Abbildung ntop × Y → Z . Das suggeriert, einen simplizialen Abbildungsraum durch [n]  → Mor(ntop × Y , Z ) zu definieren. Weil die ntop einen kosimplizialen Raum bilden, ist das eine simpliziale Menge. Man kann nun entweder mit dieser weiterarbeiten oder sie realisieren, um wieder in der Kategorie der topologischen Räume arbeiten zu können. Für lokal kompakte Quellen erhält man so den alten Abbildungsraum mit der KO-Topologie. Im allgemeinen Fall erhält man etwas, was der Anschauung genauer entspricht: Die 0-Simplizes sind genau die stetigen Abbildungen, die 1-Simplizes sind genau die Homotopien zwischen solchen und so weiter.

Übungen Ü174 – Sphärisch Sei ∂n ⊆ n der Unterkomplex, dessen m–Simplizes aus den nicht surjektiven, schwach monotonen Abbildungen von [m] nach [n] bestehen. Zeigen Sie, dass die Realisierung |∂n | homöomorph zum Rand des Standardsimplex ntop ⊆ Rn+1 ist. Ü175 – Gerüste und Zellen Für eine simpliziale Menge X sei das n–Gerüst skn (X ) ⊆ X der Unterkomplex, der alle Simplizes vom Grad  n und deren Ausartungen enthält. Es bezeichne N (X n ) ⊆ X n die Menge der nicht ausgearteten Simplizes. Zeigen Sie, dass es ein Pushout-Diagramm der Form

n x∈N (X n ) ∂ ⊆

n x∈N (X n ) 

skn−1 (X ) ⊆

skn (X )

gibt, wobei ∂n wie in der vorangehenden Übungsaufgabe definiert wird. Schließen Sie daraus, dass |skn (X )| aus |skn−1 (X )| durch Anheften von n–Zellen entsteht.

11.3

11.3

Ausblicke

239

Ausblicke

Wir beschließen dieses Kapitel (und damit dieses Buch) mit einigen Ausblicken auf das, was sich mit den dargestellten Techniken noch bewerkstelligen lässt. Wir werden (im Stile der bisherigen Ergänzungen) wieder nicht alle Aussagen im Einzelnen beweisen. Vielmehr wollen wir andeuten, dass mit dem Ende dieses Buches die Topologie noch lange nicht am Ende ist. Im Gegenteil: Wir hoffen, das die Lektüre für Viele erst der Anfang der näheren Beschäftigung mit der Topologie ist. Singuläre Homologie und Kohomologie Ist X eine Menge, so können wir die freie abelsche Gruppe  Z Z[X ] = X

über dieser Menge betrachten. Ein Element hierin ist also eine Linearkombination  λx ·x x∈X

mit λx ∈ Z und λx = 0 für fast alle x ∈ X . Dieses liefert einen Funktor Z[·] : Sets −→ AbGrp in die Kategorie der Abelschen Gruppen. Er ist linksadjungiert zum Vergissfunktor, d. h., es gilt Abb(X , A) ∼ = HomZ (Z[X ], A) für jede abelsche Gruppe A. Ein Homomorphismus Z[X ] → A ist nämlich eindeutig dadurch bestimmt, welche Werte er auf der Basis, also auf den Punkten von X , annimmt. Umgekehrt liefert jede Zuordnung von Elementen von X auch einen eindeutigen Homomorphismus. Dieser Funktor ist das Tor zum Übergang von den nichtlinearen Kategorien der Mengen, simplizialen Mengen und topologischen Räume in die lineare (genauer: additive) Kategorie der (simplizialen) abelschen Gruppen: Durch Komposition mit diesem Funktor erhalten wir auch einen Funktor Z[·] : op –Sets −→ op –AbGrp und durch Komposition mit dem singulären Komplex einen Funktor Z[Sing(·)] : Top −→ op –AbGrp, genannt Linearisierung. Wie in Abschn. 11.2 erläutert, geht beim Übergang von einem topologischen Raum X zu seinem simplizialen Komplex keine homotopietheoretisch relevante Information verloren. Einzig die Linearisierung ist hier, wie sich herausstellt, eine grobe Vereinfachung. Simpli-

240

11 Simpliziale Mengen

ziale abelsche Gruppen wirken auf den ersten Blick allerdings nicht gerade wie einfach zu handhabende Objekte. Man kann sich ihnen auf zwei äquivalenten Weisen nähern. Zum einen wird eine simpliziale abelsche Gruppe durch Vergessen der Multiplikation zu einer punktierten simplizialen Menge. Die kann man realisieren und erhält so aus X einen neuen topologischen Raum |Z[Sing(X )]|. Dessen Homotopiegruppen sind dann Invarianten von X . Zum anderen haben simpliziale abelsche Gruppen auch selber eine Homotopietheorie, welche sie äquivalent zur Kategorie der (nicht negativ graduierten) Komplexe abelscher Gruppen macht. Dabei geht also wieder keine homotopietheoretisch relevante Information verloren. In eine Richtung ist die Äquivalenz wie folgt gegeben: Ist A eine simpliziale abelsche Gruppe, so kann daraus ein Komplex ∂1

∂2

∂3

0 ←− Z[A0 ] ←− Z[A1 ] ←− Z[A2 ] ←− . . . abelscher Gruppen gebildet werden, indem ∂n =

n 

(−1)i Z[d i ]

i=0

gesetzt wird. Es folgt aus den simplizialen Identitäten von Abschn. 11.1, dass ∂∂ = 0 gilt, also dass diese Sequenz ein Komplex abelscher Gruppen ist. Mit diesem Komplex kann man nun allerlei algebraische Konstruktionen durchführen. Beispielsweise kann man seine Homologie Hn (X ; Z) =

Kern(∂n : Z[Sing(X )n ] → Z[Singn−1 (X )]) Bild(∂n+1 : Z[Sing(X )n+1 ] → Z[Singn (X )])

bilden, was dann die singulären Homologiegruppen eines Raumes X liefert. Diese algebraische Konstruktion berechnet die oben genannten Homotopiegruppen in dem Sinne, dass es einen Isomorphismus Hn (X ; Z) ∼ = πn (|Z[Sing(X )]|, 0) von abelschen Gruppen gibt. Für einen Beweis dieses Resultats siehe [GJ99]. Man kann den Komplex auch vorher mit anderen abelschen Gruppen tensorieren (man spricht dann von Koeffizienten) oder ihn in eine abelsche Gruppe hinein abbilden (man spricht dann von Kohomologie). Man sollte allerdings nicht außer Acht lassen, dass dabei weitere Information verloren gehen kann. Im Idealfall arbeitet man deswegen mit dem Komplex selber weiter, so dass die Linearisierung der einzige Prozess ist, der homotopietheoretisch relevant ist. Homologietheorie ist die Theorie dieser Linearisierung. Klassifizierende Räume In diesem Abschnitt wird erklärt, wie man jeder kleinen Kategorie (siehe Abschn. 1.4) einen Raum zuordnet, jedem Funktor eine stetige Abbildung und

11.3

Ausblicke

241

jeder natürlichen Transformation eine Homotopie. Kleine Kategorien können damit zur Beschreibung (wichtiger!) Räume benutzt werden. Sei Cat die Kategorie der kleinen Kategorien. Adjungiert zum Morphismenfunktor Mor(?, ??) : op × Cat −→ Sets ist ein Funktor B : Cat −→ op –Sets, der einer kleinen Kategorie C ihren Nerv BC zuordnet. Ein anderer Name: klassifizierender Raum. Zum Beispiel gilt B[n] = n , was mit der gegebenen Definition offensichtlich sein sollte. Im allgemeinen Falle sind die n–Simplizes von BC gerade die Funktoren von [n] nach C. Insbesondere sind die 0–Simplizes von BC die Objekte von C, die 1–Simplizes von BC sind die Morphismen von C, und die 2–Simplizes von BC sind die Paare komponierbarer Morphismen von C. Wird die Menge der Objekte mit U und die Menge der Morphismen mir R bezeichnet, so gilt BCn = R ×U R ×U · · · ×U R, mit n Kopien von R. Man mache sich die Strukturabbildungen klar. Der Funktor B vertauscht mit Produkten: B(C × D) ∼ = BC × BD. Das folgt unmittelbar aus den universellen Eigenschaften. Es ergibt sich auch daraus, dass B einen Linksadjungierten hat. Jeder Funktor C → D induziert eine simpliziale Abbildung BC → BD durch die Funktorialität von B. Weil eine natürliche Transformation zwischen zwei Funktoren C → D dasselbe wie ein Funktor C × [1] → D ist, liefert eine natürliche Transformation eine Homotopie BC × 1 = B(C × [1]) −→ BD. Daraus folgt, dass äquivalente Kategorien homotopieäquivalente klassifizierende Räume haben. Eine Kategorie mit initialem Objekt (also einer leeren Summe) oder terminalem Objekt (also einem leeren Produkt) hat einen zusammenziehbaren klassifizierenden Raum. Ist G ein Gruppoid (oder sogar eine Gruppe), so ist die Menge π0 (|BG|) der Wegekomponenten die Menge der Isoklassen von Objekten von G (siehe [GJ99]). Ist X ein Objekt von G, so gibt es einen Isomorphismus π1 (|BG|, X ) ∼ = Aut(X ) von Gruppen. Die Inklusion von Aut(X ) nach G induziert eine Äquivalenz von Kategorien auf die Komponente von X in BG. Summation liefert also eine Homotopieäquivalenz

242

11 Simpliziale Mengen

|BG|



|BAut(X )|,

[X ]

wobei die Summe über ein Vertretersystem der Isomorphieklasssen von Objekten X von G läuft. Simpliziale Auflösungen Sei f : U → X eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dazu gehört, eine (topologische) Kategorie R f mit Objektraum U und einem Morphismus u 1 → u 2 genau dann, wenn p(u 1 ) = p(u 2 ). Für die 1-Simplizes im klassifizierenden Raum BR f gilt also (BR f )1 = U × X U . Das ist die zu f gehörende Äquivalenzrelation. Ist umgekehrt eine Äquivalenzrelation auf U gegeben, so gehört dazu natürlich die Projektion von U auf die Menge der Äquivalenzklassen. Ist zum Beispiel ( U j | j ∈ J ) eine Überdeckung von X , so bildet U=



Uj

j

nach X ab, und es gilt U ×X U =



(Ui ∩ U j ).

i, j

Man wird BR f immer als Auflösung von X mittels U interpretieren, weil es einen Morphismus U

U ×X U

···

X simplizialer Räume gibt, wobei X als diskreter simplizialer Raum aufgefasst wird. (Dessen Realisierung ist wieder X .) Es lohnt, sich die beiden extremen Beispiele anzusehen: Die konstante Abbildung k : U → ∗ entspricht der Äquivalenzrelation, bei der alle Punkte äquivalent sind. Man hat (BRk )n = U n+1 , und es ist leicht zu sehen, dass (die Realisierung von) BRk in diesem Falle zusammenziehbar ist. Man fasst es als Verdickung des Punkte ∗ mittels U auf. Das andere Beispiel ist die Identität id : U → U . Sie entspricht der Äquivalenzrelation, bei der jeder Punkt nur zu sich selbst äquivalent ist. Man hat (BRid )n ∼ = U,

11.3

Ausblicke

243

für alle n, und BRid ist der konstante simpliziale Raum mit Wert U , dessen Realisierung zu U äquivalent ist. Als letztes Beispiel betrachte man eine Operation einer Gruppe G auf einem Raum U . Sie liefert eine Abbildung p : U → U /G = X und somit eine Auflösung. Die Operation von G auf sich selbst durch Linkstranslation ergibt dabei gerade die Auflösung von ∗ = G/G durch einen zusammenziehbaren Raum EG, auf dem G frei operiert. Nerven von Überdeckungen Sei X ein topologischer Raum, und sei ( U j | j ∈ J ) eine Überdeckung von X . Für eine Teilmenge I ⊆ J sei  UI = Ui , i∈I

also insbesondere U{i} = Ui . Sei U die Kategorie der nicht leeren U I mit endlichem I und den Inklusionen. Es gilt BUn ∼ = { (i 0 , . . . , i n ) | U{i0 ,...,in } = ∅ } und BU f (i 0 , . . . , i n ) = (i f (0) , . . . , i f (n) ). Ist ( U j | j ∈ J ) eine besonders schöne Überdeckung, so ist |BU| X . Für einen Beweis siehe Proposition (4.1) in [Seg68]. Es lohnt sich auch ein Blick in [BT82].

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© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2

245

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Literatur

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Stichwortverzeichnis

A Abbildung abgeschlossene, 13 adjungiert, 76 äquivariante, 90 eigentliche, 66 lokal triviale, 191 nullhomotop, 115 offene, 13 separierte, 56, 167 simpliziale, 228 stetige, 2, 9 topologische Räume, 9 triviale, 190 Abbildungsgrad, 121 Abbildungsklassengruppe, 110 Abbildungsmenge, simpliziale, 229 Abbildungstorus, 40 Abschluss, 12 Abzählbarkeitsaxiom erstes, 5 zweites, 10 Achterknoten, 24 Äquivalenz natürliche, 134 von Kategorien, 135 Äquivalenzrelation, 33 Anheften einer Zelle, 38 Atlas, 193 G-Atlas, 193 Ausartungsabbildungen, 226

B Bahn, 90 Basis, 29 Basisraum, 194 Basiswechsel, 29 Brezelfläche, 152 Bündelabbildung, 199 zwischen Prinzipalbündeln, 198

C Cantor-Menge, 69 Chirurgie, 39

D Darstellung einer Gruppe, 91 Decktransformationsgruppe, 165 DeMorgansche Regeln, 11

E Eigenschaft, universelle, 24 Einbettung, 24 Einhängung, 211 Einschränkung, 214 Etalraum, 218

F Faser, 66, 160 typische, 190, 191 Faserbündel, 194

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 G. Laures und M. Szymik, Grundkurs Topologie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67828-2

247

248 assoziiertes, 199 Faserbundel Faserbündel G-Faserbündel, 199 Faserprodukt, 28 Fasertransport, 171 Faserung, 205 Filter, 70 Konvergenz, 71 Filterbasis, 70 Fixpunkteigenschaft, 123 Fixpunktraum, 95 Fixpunktsatz Brouwer, 122 kleiner, 126 Folgenstetigkeit, 4 Fundamentalgruppe, 133 Fundamentalgruppoid, 131 Funktor, 108 volltreuer, 136 wesentlich surjektiver, 136

G Garbe, 215 darstellbare, 214 Faser, 217 Garbifizierung, 220 Geschlecht (einer Fläche), 153 Grassmann-Mannigfaltigkeit, 94 Gruppe Automorphismengruppe, 17 freie, 151 symmetrische, 97 topologische, 87 Gruppoid, 131

H Halm, 217 Hausdorff-Raum, 49 Hochhebung, 119 Homöomorphismus, 17 Homotopie, 113 HomotopieaequivalenzHomotopieäquivalenz schwache, 236 Homotopieäquivalenz, 116 Homotopiegruppen höhere, 133

Stichwortverzeichnis stabile, 211 Homotopieinvariante, 118 I Identifizierung, 32 Immersion, 126 Inneres, 12 Intervall, 44 Isomorphismus, natürlicher, 134 K Köcher, 39 Realisierung, 39 Karte, 190 Kartenwechsel, 193 Kategorie, 15 entgegengesetzte, 16 kleine, 16 simpliziale, 225 Keim, 217 Kleeblattschlinge, 24 Klein’sche Flasche, 157, 162, 170, 172, 174, 178, 182, 183, 188, 192, 194, 199 Klumpentopologie, 9 Knoten, 24 Achterknoten, 24 Kleeblattschlinge, 24 Kofaserung, 210 Kompaktheit, 58 Kompaktifizierung Ein-Punkt-Kompaktifizierung, 64 Stone-Cech-Kompaktifizierung, 73 Komposition, 16 Konjugation, 89 Konvergenz, 4, 10 Filter, 71 punktweise, 5, 28 Kuratowskis Hüllenaxiome, 14 L Lebesgue-Zahl, 60 Linearisierung, 239 Linsenraum, 157, 201 M Mayer-Vietoris-Problem, 111, 140, 150

Stichwortverzeichnis Menge (B)–Menge, 173 linear geordnete, 18 partiell geordnete, 18 simpliziale, 227 Metrik, 1 diskrete, 2 induzierte, 2 Möbius-Band, 34, 156, 204 Monodromie, 171 Morphismus, 16 Automorphismus, 17 Endomorphismus, 17 Identität, 16 Isomorphismus, 17

N Narrenkappe, 150 Nebenklasse, 92 Normalisator, 96

O Objekt, 15 kosimpiziales, 227 simpliziales, 227 terminales, 226 Operation, 88 effektive, 193 eigentliche, 98 freie, 90 transitive, 93 treue, 193 triviale, 89 Orbitkategorie, 180 Ordnungstopologie, 10 Ort, 213

P Poincaré-Sphäre, 186 Prägarbe, 214 Prinzipalbündel, 196 Produkt externes (von Überlagerungen), 163 freies, 141 internes (von Überlagerungen), 163 simplizialer Mengen, 229

249 symmetrisches, 97 von Räumen, 27 Projektion, 194 kanonische, 33 Pullback, 28 von Garben, 222 Punkte, verbindbare, 107 Pushout, 36, 140

Q Quadrat, kokartesisches, 140 Quotientenmenge, 33 Quotientenraum, 33

R Rand, 12 simplizialer, 228 Randabbildungen, 226 Raum diskreter, 8 einfach-zusammenhängender, 138 folgenkompakter, 63 homogener, 93 kompakt erzeugter, 79 lokal kompakt erzeugter, 79 lokal kompakter, 62 lokal wegzusammenhängender, 176 Raum lokal zusammenhängender, 48 metrischer, 2 metrisierbarer, 10 normaler, 49 projektiver, 32, 157 komplexer, 95 pseudokompakte, 61 topologischer, 8 punktierter, 187 regulärer, 55 semi-lokal einfach-zusammenhaengend, 177 total unzusammenhängender, 46 vollständig regulärer, 55 vollständiger, 65 wegzusammenhängender, 107 wegzusammenhängender lokal, 112 zusammenhängender, 43, 116

250 Rechteck, 27 Retrakt, 18 Riemann’sche Fläche, 166

S Satz von Seifert und van Kampen, 142, 147 von Tietze und Urysohn, 51 von Tychonoff, 69 Scheibe, 37 Schießscheibe, 90 Schleife, 106 Schleifenraum, 106 freier, 106 Schnitt, 18 Abbildung, 191 Garbe, 214 globaler, 221 Sequenz, exakte, 150, 202 Simplizes, 228 ausgeartete, 228 Sinuskurvenraum, 48 Stabilisator, 90 Standardsimplex, 231 Stiefel-Mannigfaltigkeit, 94 Struktur, topologische, 8 Strukturgruppe, 194 Summe, 31 externe (von Überlagerungen), 163 interne (von Überlagerungen), 163 zusammenhängende, 152

T Teilmenge abgeschloffen, 44 abgeschlossen, 11 dichte, 12 offene, 8 Teilraum, sternförmiger , 116 Teilraumtopologie, 22 Topologie, 8 coinduzierte, 30 feinere, 9 gröbere, 9 induzierte, 22, 26 KO-Topologie, 74 Produkttopologie, 27

Stichwortverzeichnis Torus, 34 Totalraum, 194 Transfer, 162 Transformation, natürliche, 134 Transportgruppoid, 131 Trennungseigenschaften, 49 Trivialisierung, 160, 190

U Überdeckung, 58 Übergangsfunktion, 193 Überlagerung, 159 Galois-Überlagerung, 182 normale, 182 punktierte, 187 reguläre, 182 universelle, 183 verzweigte, 166 Ultrafilter, 71 Umgebung, 8 in metrischen Räumen, 3 Umgebungsfilter, 70 Umlaufzahl, 125 Unterraum topologie, 22 Zusammenschlagen, 37 Urysohn-Funktion, 50

V Vektorraumbündel flaches, 205 komplexes, 203 reelles, 203 tautologisches, 204 Vereinigung, disjunkte, 31

W Weg, 103 Wegekomponente, 108 Wegekomponentenfunktor, 109 Wegeraum, 104 Weyl-Gruppe, 97, 181 Windungszahl, 126 Wolkenkratzergarbe, 217

Stichwortverzeichnis Z Zerlegung, 33 Zopfgruppe reine, 156

251 volle, 175 Zweig des Logarithmus, 163 Zwischenwertsatz, 45, 54, 192