Topologie: Band 1 Allgemeine Topologie [Reprint 2021 ed.] 9783112416600

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

1181

TOPOLOGIE von DR. W O L F G A N G F R A N Z o. Professor der Mathematik an der Universität Frankfurt

I ALLGEMEINE

TOPOLOGIE

Mit 9 Figuren

®

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals C. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J. GuUentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trtbner • Veit & Comp. BERLIN

1960

Die Darstellung umfaßt folgende Bände : Band I:

Allgemeine Topologie ( B a n d 1181)

B a n d II: Algebraische Topologie ( B a n d 1182)

© Copyright 1960 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. - Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. - Archiv-Nr 111181. - Satz u n d Druck: Walter de Gruyter KeHHH H BeKTOpHbix nojieii. Trudy Mat. Inst. Steklow, No. 47 (1955). Englische Übersetzung: V. B. B o l t y a n s k i , Homotopy Theory_of continuous mappings andof vectorfields. Amer. Math. Soc. Translations, Ser. 2, Vol. 7. n . C. AjieKcaHapoB, B B E A E M I E B oSmyio Teopmo M H O > K C C T B H (JiynKUHH. Moskau 1948. Deutsche Übersetzung: P. S. A l e x a n d r o f f , Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktionen, Berlin 1956.

Einleitung Das Wort Topologie leitet sich von dem griechischen Wort TÖTTOS ab, welches Stelle, Ort oder Raum bedeutet. Die Topologie ist demgemäß Wissenschaft vom Raum, sie analysiert den Raumbegriff und untersucht die Eigenschaften allgemeiner Räume. Sie ist also ein Teilgebiet der Geometrie. Dem steht nicht entgegen, daß sie zu den anderen großen Teilgebieten der Mathematik, der Analysis und der Algebra, in enger und fruchtbarer Beziehung steht. Sie liefert der Analysis die geometrischen Grundlagen; sie empfängt andererseits von der Analysis wesentliche Impulse (Algebraische Funktionen, Algebraische Geometrie) und entwickelt sich in gewissen Gebieten gemeinsam mit der Analysis weiter (Funktionalanalysis). Der Algebra als der fundamentalen Grund- und Hilfsdisziplin der Mathematik entnimmt sie wesentliche Hilfsmittel (Lineare Algebra, Gruppenund Modultheorie) und führt ihr ihrerseits wichtige neue Ergebnisse zu (Homologische Algebra). Das eigentliche Ziel der Topologie ist jedoch stets die Gewinnung geometrischer Erkenntnisse. Der Raumbegriff wird in der Topologie so allgemein wie möglich gefaßt, er soll möglichst alles umfassen, was im weitesten Sinne des Wortes den Namen Raum verdient. Dazu gehören außer dem fundamentalen Grundmodell, dem gewöhnlichen euklidischen 3-dimensionalen Raum R3 und dem n-dimensionalen Rn mit n = 1, 2, 3 , . . . und allen Teilmengen des Rn auch der unendlich-dimensionale Hilbertsche Raum H, die nichteuklidischen Räume und die Räume der Riemannschen Geometrie, aber auch allgemeinere Bildungen, wie z. B. die 4-dimensionale Menge der Geraden im R3, die Menge der Ellipsoide im Rn, die Phasenräume der Physik, Matrizen- und Funktionenräume und noch sehr viel allgemeinere hier nicht zu beschreibende Räume. Natürlich handelt es sich nicht um die besonderen Eigenschaften des einen oder des anderen dieser Beispiele, sondern um die allen diesen Räumen gemeinsamen charakteristischen

Einleitung

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Eigenschaften. Indem die Topologie so eine möglichst tief eindringende Analyse des Raumbegriffes erstrebt, hat sie nicht nur mathematischen, sondern, besonders in den grundlegenden Teilen, auch philosophisch-erkenntnistheoretischen Charakter. Während eine viel diskutierte klassische philosophische Lehre (I. Kant, 1724—1804) behauptet, daß die Euklidische Geometrie des R3 die denknotwendige Form menschlicher Raumanschauung sei, zeigen die ersten Kapitel der folgenden Darstellung, wie weit die neuere Forschung sich von diesem Standpunkt entfernt. Der Ausgangspunkt und die Methoden der Topologie ebenso wie ihre Beziehungen zu ihren Nachbardisziplinen lassen sich an einem besonders wichtigen Beispiel erläutern, nämlich dem Bereich der reellen Zahlen, der j a auch für viele andere Teile der Mathematik von grundsätzlicher Bedeutung ist. Reelle Zahlen lassen sich addieren und multiplizieren, und die Gesetze, denen Addition und Multiplikation gehorchen, lassen sich aus wenigen Grundgesetzen, den sogenannten Körpergesetzen, ableiten. Die A l g e b r a untersucht diese Grundgesetze und ihre Konsequenzen. Sie betrachtet allgemeinere axiomatisch definierte Bereiche, in denen' ähnliche Verknüpfungsoperationen wie Addition und Multiplikation mit denselben oder ähnlichen Grundgesetzen als Axiomen vorliegen und gelangt so zu den Begriffen Körper, Ring,. Gruppe und anderen und zur Theorie dieser algebraischen Strukturen. An den Verknüpfungsoperationen der reellen Zahlen und ihren Verallgemeinerungen ist die T o p o l o g i e nicht oder jedenfalls zunächst nicht interessiert. Sie richtet vielmehr ihr Augenmerk auf solcheJEigenschaften, die den reellen Zahlen als eindimensionalem Raum oder als Zahlgeraden zukommen, etwa auf die Tatsache, daß die Zahlenfolge 1, f , . . . den Grenzwert Null hat. Sie hat es mit den Begriffen Umgebung, Nachbarschaft, Offenheit oder Abgeschlossenheit von Mengen reeller Zahlen, Stetigkeit reeller Funktionen und mit ähnlichen Begriffen zu tun. Unter diesen Begriffen wählt sie möglichst einfache und möglichst wenige als axiomatische Grundbegriffe und unter den Eigenschaften dieser Grundbegriffe möglichst einfache

s

Einleitung

und wenige als Axiome aus und gelangt so, ganz analog zu dem oben beschriebenen Verfahren der Algebra, zu dem grundlegenden Begriff des allgemeinen topologischen Raumes. Man vergleiche etwa die späteren Definitionen 2.1 oder 4.1. Das eigentliche Gebäude der Topologie besteht in den aus diesen Axiomen abzuleitenden Eigenschaften dieser topologischen Räume und solcher Klassen spezieller Räume, •die sich aus ihnen durch weitere einschränkende Axiome ableiten lassen. — Von diesem Standpunkt aus stellt sich im übrigen die Rolle der Analysis, der Theorie der Funktionen auf der reellen Geraden, wie folgt dar: Sie ist eine zusammengesetzte Struktur, die teils auf algebraischen, teils auf topologischen Axiomen beruht und infolgedessen ein komplizierteres Gepräge zeigt als Algebra und Topologie. Genau genommen spielt noch eine weitere, eine Anordnungsstruktur, dabei eine Rolle, auf die hier nicht eingegangen wird. Da im folgenden ein axiomatischer Aufbau der Topologie gegeben wird, sind zum Verständnis Vorkenntnisse aus anderen Gebieten grundsätzlich nicht erforderlich. Es wird aber nichtsdestoweniger erwartet, daß der Leser mit den Grundtatsachen der reellen Analysis, der Algebra und der elementaren Geometrie einigermaßen vertraut ist, und zwar aus den folgenden beiden Gründen: Zunächst trägt es wesentlich zum Verständnis und zur richtigen Würdigung der Gedankenführung eines axiomatischen Gebäudes bei, "wenn man bereits eine ungefähre Vorstellung wenigstens von den rohesten Umrissen des zu Erwartenden hat und wenn man die Tragweite und die Gültigkeit oder Nichtgültigkeit allgemeiner Sätze an Hand eines bereits bekannten speziellen Modells vergleichend beurteilen kann. Zum anderen müssen wir von Anfang an bei den Beispielen zur allgemeinen Theorie gewisse Grundtatsachen aus den genannten Gebieten als bekannt voraussetzen und benutzen. — Für den in der Lektüre mathematischer Literatur weniger Erfahrenen sei noch folgendes bemerkt: Die Ausführungen und insbesondere die Beweise-sind im allgemeinen knapp gehalten, sie erfordern ein genaues Durchdenken aller Einzelheiten,

§ 1. Vorbereitung: Metrische Räume

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auch solcher, die nicht bis ins letzte ausgeführt sind. Dies geschieht am besten, indem man die Schlüsse selbständig im einzelnen nachvollzieht (mit*Papier und Bleistift!) und insbesondere reichlich Figuren und Lageskizzen anfertigt, die hier aus Platzmangel nur in wenigen Fällen beigefügt werden konnten. I. Teil

Theorie der allgemeinen topologischen Räume Kap. 1. Axiomatische Grundlegung § 1. Vorbereitung: Metrische Bäume In diesem Paragraphen behandeln wir noch nicht allgemeine topologische Räume, sondern als Vorstufe eine etwas einfachere, zugleich aber besonders wichtige spezielle Klasse von Räumen, die sogenannten metrischen Räume. Diese Einführung dient zunächst dazu, Beispiele bereitzustellen und auf die später aufzustellenden Axiome der topologischen Räume hinzuführen, so daß sie dem Leser vollständig plausibel erscheinen. Erst in Kapitel 6 werden wir die Theorie der metrischen Räume um ihrer selbst willen eingehender entwickeln. 1.1 Definition: Eine Metrische Struktur, kurz eine Metrik, über einer Menge R ist gegeben, wenn jedem Paar x, y von Elementen von R eine reelle Zahl d(x, y)^ 0 zugeordnet ist mit den Axiomen M 1] d(x, y) = 0 dann und nur dann, wenn x = y. M 2 d(y, x) = d(x, y). M 3] Dreiecksaxiom: d(x, z) iS d(x, y) + d(y, z). 1.2 Definition: Eine Menge R zusammen mit einer Metrik über R heißt ein metrischer Raum. Man sagt, die Metrik sei der Menge R aufgeprägt. Die Menge R heißt die dem metrischen Raum zugrunde liegende Menge. Die Elemente von R heißen Punkte, d(x, y) heißt der Abstand oder die Entfernung der Punkte x und y.

§ 1. Vorbereitung: Metrische Räume

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auch solcher, die nicht bis ins letzte ausgeführt sind. Dies geschieht am besten, indem man die Schlüsse selbständig im einzelnen nachvollzieht (mit*Papier und Bleistift!) und insbesondere reichlich Figuren und Lageskizzen anfertigt, die hier aus Platzmangel nur in wenigen Fällen beigefügt werden konnten. I. Teil

Theorie der allgemeinen topologischen Räume Kap. 1. Axiomatische Grundlegung § 1. Vorbereitung: Metrische Bäume In diesem Paragraphen behandeln wir noch nicht allgemeine topologische Räume, sondern als Vorstufe eine etwas einfachere, zugleich aber besonders wichtige spezielle Klasse von Räumen, die sogenannten metrischen Räume. Diese Einführung dient zunächst dazu, Beispiele bereitzustellen und auf die später aufzustellenden Axiome der topologischen Räume hinzuführen, so daß sie dem Leser vollständig plausibel erscheinen. Erst in Kapitel 6 werden wir die Theorie der metrischen Räume um ihrer selbst willen eingehender entwickeln. 1.1 Definition: Eine Metrische Struktur, kurz eine Metrik, über einer Menge R ist gegeben, wenn jedem Paar x, y von Elementen von R eine reelle Zahl d(x, y)^ 0 zugeordnet ist mit den Axiomen M 1] d(x, y) = 0 dann und nur dann, wenn x = y. M 2 d(y, x) = d(x, y). M 3] Dreiecksaxiom: d(x, z) iS d(x, y) + d(y, z). 1.2 Definition: Eine Menge R zusammen mit einer Metrik über R heißt ein metrischer Raum. Man sagt, die Metrik sei der Menge R aufgeprägt. Die Menge R heißt die dem metrischen Raum zugrunde liegende Menge. Die Elemente von R heißen Punkte, d(x, y) heißt der Abstand oder die Entfernung der Punkte x und y.

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Kap. 1. Asomatische Grundlegung

Über einer Menge R können sehr wohl verschiedene Metriken durch verschiedene Abstandsfunktionen d(x, y) und d'(x, y) gegeben sein, wie es die später folgenden Beispiele zeigen. Die Abstandsfunktion d(x, y) befolgt zwei weitere, der Dreiecksungleichung ähnliche Regeln: | d{x, z) — d(z,

y)\^d{x,y) (2. Dreiecksungleichung) | d(x, y) — d(x', y') \ ^ d(x, x') + d(y, y') (Vierecksungleichung).

Hier bedeuten die senkrechten Striche den absoluten Betrag der betreffenden reellen Zahlen. — Die 2. Dreiecksungleichung ergibt sich aus der 1.: Es ist d(x, z) —d(z, y)^d(x, y); durch Vertauschung von x und y und Zusammenfassung der beiden Ungleichungen folgt die 2. Dreiecksungleichung. — Die Vierecksungleichung ergibt sich aus d(x, y)^d(x, x') + d(x', y') + d(y\ y), also d(x, y) — d(x', y') iS d(x, x ) + d(y, y'); durch Vertauschung von x mit x' und von y mit y' und Zusammenfassung der beiden Ungleichungen folgt die Vierecksungleichung. 1.3Definition: Ist p ein Punkt von R unds>0, die Menge U e (p) = {x | d(x, p) y} eine Aufteilung von A in zwei nichtleere offene Teilmengen, wie sie nach der Definition des Zusammenhanges nicht existieren. Mit je zwei Punkten x1, x2 e A gehört also das ganze Intervall [xlt x2] zu A. — (2) Sei a = inf A, b = sup A, a< b und x e (o, b). Nach der Definition von inf und sup existieren x,, x2 eA mit a S ' x I < 3 ; < i ! g i i , nach (1) folgt x € A. Es dürfte klar sein, wie diese Ungleichungen gemeint sind, wenn a — — oo oder 6 = + 0 0 ist. Daher ist A = (a, b) oder = [a, b] oder = (o, fc] oder = [a, b), w. z. z. w. Unter einem Polygon im euklidischen Rn mit den Ecken x 0 , . . . , xm versteht man die Vereinigungsmenge der endlich vielen Strecken [x,_j, x¡] für i = 1 , . . . , m. Hierbei ist zugelassen, daß

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Kap. 2. Ausbau der Theorie

die Strecken sich überschneiden. Man sagt, x 0 und xm seien durch das Polygon verbunden. 8.2 Satz: Eine offene Menge 0 im Rn ist dann und nur dann zusammenhängend, wenn je zwei ihrer Punkte durch ein Polygon in 0 verbindbar sind. Beweis: Ein Polygon ist eine zusammenhängende Menge, wie man erkennt, wenn man Satz 7.5 endlich oft anwendet. Sind je zwei Punkte von 0 durch ein Polygon verbindbar, so ist 0 nach Satz 7.5 zusammenhängend. — Sei nun umgekehrt 0 zusammenhängend. Sei a e 0 und C die Menge aller x e 0, die mit a durch ein Polygon Verbunden werden können. C ist zusammenhängend und nicht leer. Wenn wir zeigen, daß C in 0 offen-abgeschlossen ist, so folgt daraus nach Definition 7.1, (5), daß C = 0 , der Satz also richtig ist. Wir zeigen zunächst, daß C offen ist: xe C ist mit a durch ein Polygon verbindbar. Da 0 offen ist, gibt es eine s-Umgebung U von x, die in 0 enthalten ist. Jeder Punkt y e U ist mit x durch eine gradlinige Strecke, also mit a durch ein Polygon verbindbar, gehört also'zu C, womit die Behauptung bereits bewiesen ist. Wir zeigen weiter, daß C abgeschlossen ist: Ist y e 0 Berührungspunkt von C, so gibt es in jeder e-Umgebung UC. Damit ist die Abgeschlossenheit von C und zugleich der Satz bewiesen. — Legt man in der vorstehenden Betrachtung an Stelle des Begriffes des Polygons den des e i n f a c h e n Polygons, bei dem die obengenannten Strecken [xt-1, x,] sich nicht überschneiden dürfen, zugrunde, so bleibt der Satz 8.2 unverändert gültig; sein Beweis bietet keine grundsätzlichen Schwierigkeiten. 8.3 Satz: Die Zusammenhangskomponenten einer offenen Menge im Rn sind offen, also Gebiete. Beweis: Die Menge C sei eine Zusammenhangskomponente der offenen Menge 0, x e C. Dann gehört eine e- Umgebung U von x ebenfalls zu 0. U ist zusammenhängend und hat mit der zusammenhängenden Menge C gemeinsame Punkte. Daher ist C zusammenhängend, und wegen der Maximaleigenschaft von C folgt U - enthält also Punkte aus /¿-Intervallen eines Ranges < n.

§9. Dichte

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Es sei nun C C, > C. , 5 C ( 1 1 > . . . '1 *1 "2 1 2H von C-Intervallen, die sämtlich 'p enthalten. So entsteht aus p eine eindeutig bestimmte Folge ^»¡»a. . . aus Zahlen 0 oder 1. Umgekehrt entspricht jeder solchen Folge ein eindeutig bestimmter Punkt p e 'B. "B ist also umkehrbar eindeutig bezogen auf die Menge aller dieser Folgen, und da diese Menge die Mächtigkeit c des Kontinuums hat, hat auch 7j diese Mächtigkeit. Daraus folgt insbesondere, da 'S! abzählbar ist, daß "B2 nicht leer ist, vielmehr sogar selbst die Mächtigkeit c hat. — (5) ^ ist nirgends dicht in [0,1], denn jede offene Menge Von [0,1] oder jedes offene Intervall von [0,1] enthält Punkte von B("), wenn n so groß ist, daß ^ n kleiner ist als die Länge des Intervalls. — (6) 'S ist nulldimensional, worunter folgendes verstanden wird (vgl. § 32, 33): Für jedes reelle e > 0 ist *B darstellbar als Summe endlich vieler abgeschlossener disjunkter Teilmengen eines Durchmessers < e. Solche Teilmengen,

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Kap. 3. Beziehungen verschiedener Topologien zueinander

und zwar vom Durchmesser

TT, bilden offensichtlich die Mengen

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C, . . . in, wenn Ct . .. ,n alle C-Intervalle n-ten Ranges durchläuft. — Ohne Beweis bemerken wir noch, daß man "B in formal besonders einfacher Weise definieren kann als Menge aller derjenigen reellen Zahlen a, die sich als triadische Brüche a = 0, VjVa. . . schreiben lassen, die nur die Ziffern 0 und 2, nicht aber die Ziffer 1 benutzen.

Kap. 3. Beziehungen verschiedener Topologien zueinander § 10. Basen Eine Topologie % über einer Menge R ist vollständig bestimmt durch das System D der offenen Mengen bzw. durch die Systeme U(p) der Umgebungen der P u n k t e p. Diese Systeme sind umgekehrt durch % eindeutig bestimmt. F ü r manche Zwecke, insbesondere zur Konstruktion von Topologien über einer gegebenen Menge, ist es erwünscht, % durch weniger umfassende, wenn auch nicht eindeutig durch 2 bestimmte Systeme zu beschreiben. Dies geschieht durch Raumbasen und Umgebungsbasen, die wir jetzt einführen. 10.1 Definition: Ein System SS = { Bv | v aus einer Indexmenge N} von offenen Teilen Bv des topologisehen Raumes R heißt eine Basis von R oder eine Basis von wenn jede offene Menge von R Vereinigungsmenge von Elementen von 33 ist. Wir weisen darauf hin, daß wir 0 in jedem Falle als Vereinigungsmenge (siehe Index) mitrechnen; 0 braucht also nicht in 83 vorzukommen. — Beispiele: (a) D selbst ist Basis von R. — (b) In einem metrischen Raum R bilden sämtliche Kugelumgebungen aller P u n k t e von R eine Basis. Ist nämlich 0 eine offene Menge von R, x 6 0 , so gibt es eine Umgebung Ux = Vie(x) mit x€Ux sei das System aller Vereinigungsmengen von Mengen Bv, einschließlich 0 . Wenn es eine Topologie der verlangten Art gibt, muß D das System der offenen Mengen bei % sein. Es gibt also höchstens eine Topologie % der verlangten Art. — Andererseits genügt D tatsächlich den Axiomen [01] und [02], definiert also wirklich eine Topo-

§ 10. Basen

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logie F ü r [Ol] ist das klar. Um auch 102] zu beweisen, wählen wir 0lt 02 € D . W e n n , ist d a m i t [ 0 2 ] bewiesen. Ohne genauer auf die verschiedenen Basen eines topologischen Raumes Ii einzugehen, bemerken wir noch, daß die kleinste unter den Mächtigkeiten dieser Basen das Gewicht des Raumes R heißt; eine solche kleinste Mächtigkeit existiert, da die Menge der Kardinalzahlen wohlgeordnet ist (vgl. E. Kamke, Lit.-Verz. Nr. 12 § 44, Satz 3). Nur der Fall abzahlbaren Gewichtes soll noch kurz behandelt werden. 10.6 Satz; Besitzt der topologische Raum Reine abzählbare Basis, so gibt es in R eine abzahlbare dichte Funktmenge. Beweis: Ist 58 = {B, \ i = 1, 2, . . . } eine abzählbare Basis von R, so wähle man in jedem Bt einen Punkt pt. Die abzählbare Menge der pt ist dann in R dicht: Ist nämlich 0 offen, so gibt es ein Bt 0, allgemeine Umgebungen seien alle Obermengen von Streifenumgebungen. Die Umgebungsaxiome sind erfüllt, es handelt sich also hier um einen topologischen Raum. In jeder Umgebung von (x0, j/0) liegen alle Punkte («„, y0 + c) mit beliebig reellem c der Senkrechten durch (x0, y0). Diese Senkrechte ist also die abgeschlossene Hülle der aus dem Punkt (»0, y0) allein bestehenden Punktmenge. Die aus (x 0 , y0) bestehende Punktmenge ist nicht abgeschlossen. — Wir werden jetzt unseren Räumen nacheinander eine Reihe von immer stärker einschränkenden Axiomen auferlegen, wodurch Räume wie die oben angeführten ausgeschlossen werden. Die so definierten Räume sind spezieller als die bisher behandelten, besitzen daher eine ausgeprägtere Struktur, die sich in den Sätzen äußert, die zu der bisherigen Theorie hinzukommen. — Wir wollen zunächst durch ein Axiom ausschließen, daß sämtliche Umgebungen eines Punktes p noch andere Punkte außer p gemeinsam haben. 13.1 Definition: Ein topologischer Raum, R heißt ein hausdorffscher Raum, und seine Topologie % heißt hausdorffsch, wenn eines der beiden folgenden, gleichwertigen Axiome erfüllt ist:

§ 13. Hausdorffsche Räume

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[ffd] Sind p 4= q zwei Punkte von R, so gibt es Umgebungen Z7€ll(p) und 7 € U(g) mit Ur^V = 0 (hausdorffsches Trennungsaxiom). [Hd'] Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Umgebungen eines Punktes p enthält nur p. [Hd] heißt Trennungsaxiom, weil es die beiden Punkte p und q durch die Umgebungen U und 7 trennt; es ist nach F. Hausdorff benannt, der seine Bedeutung zuerst erkannte. — Man kann übrigens in [Hd], ohne den Inhalt zu ändern, U und 7 als offen annehmen. — Wir werden im folgenden fast ausschließlich hausdorffsche Räume behandeln. Beweis der Gleichwertigkeit: [Hd] [Hd']: Sei [Hd] erfüllt und p ein fester Punkt aus R. x durchläuft alle Punkte 4= p von R. Es gibt nach [Hd] Umgebungen Ux € ll(p) und Vx £ U(a)), die wir als offen annehmen, mit Uxr\ Vx = 0. CVX ist abgeschlossene Umgebung von p, die x nicht enthält. Dies beweist [Hd']. — [Hd'] \Hd]: Ist p =)=q, so gibt es eine abgeschlossene Umgebung U iU{p), die q nicht enthält. CU ist dann offen und wegen q € CU Umgebung von 2; es ist UQU = 0 , w. z. z. w. ist

13.2 Satz: Jeder Teilraum eines hausdorffsehen Raumes hausdorffsch. Der Beweis folgt unmittelbar aus [Hd] und Satz 6.4.

13.3 Satz: In einem hausdorffsehen Raum ist jede nur aus einem Punkt bestehende Menge abgeschlossen. Der Beweis folgt aus [Hd'] und Axiom [A 1]. 13.4 Satz: Jede Topologie über einer Menge R, die feiner ist als eine hausdorffsche Topologie über R, ist selbst hausdorffsch. Der Beweis folgt ohne weiteres aus [Hd] und Satz 11.2, (2). 13.5 Satz: Das Produkt R =IIRV einer beliebigen Menge von topologischen Räumen Rv 4= 0 (mit den Indexen v) ist dann und nur dann hausdorffsch, wenn alle Faktoren hausdorffsch sind.

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Kap. 4. Durch Trennungsaxiome definierte Räume

Beweis: Seien alle Rv hausdorffsch und p, q 6 R, p 4= q. Dann sind f ü r mindestens einen Index v die Projektionen n0. Wenn die Folge einen Limes besitzt, heißt sie konvergent in R. Man beachte, daß die P u n k t e einer Folge nicht alle verschieden zu sein brauchen. Zum Beispiel kann eine Folge von einem n an konstant = p sein; dann hat sie sicher p als Limes. Eine Folge braucht selbstverständlich keinen Limes zu haben. — Eine Teilfolge einer konvergenten Folge ist wieder konvergent mit demselben Limes. 13.7 Satz: In einem hausdorffschen Raum hat eine Folqe höchstens einen Limes. Beweis: Ist p Limes der Folge xt, x.z, . . . und q =(= p, so gibt es Umgebungen U i IX (p) und V € U ( i ) mit Ur^V = 0 . F ü r alle n > nB ist xn(:lJ, also i , ( F , daher kann q nicht Limes der Folge sein. 13.8 Satz: Ist f : R S eine bei p € R stetige Abbildung, so gilt: Aus lim xn = p folgt lim f(xn) = f(p).

§ 13. Hausdorffsche Räume

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Beweis: Sei V € VL(f(p)). U = j-\V) ist wegen der Stetigkeit bei p Umgebung von p. Es gibt ein w0, das von U, also von V abhängt, derart, daß xn € U, wenn n> n0. Es folgt f(xn) 6 V für diese n, womit die Limes-Gleichung bewiesen ist. 13.9 Definition: Ist A ein Teil von R, so heißt p € R Limespunkt von A, wenn p Limes einer Punktfolge aus A ist. Hiernach ist ein Limespunkt von A sicher ein Berührungspunkt von A. Das Umgekehrte gilt nicht allgemein. Wir zeigen das an dem Funkt-ionenraum, den wir unmittelbar vor Definition 2.4 als Beispiel angeführt haben. A sei die Teilmenge von R, die aus den Funktionen f besteht, die fast überall den Wert 1, nur an endlich vielen Stellen nicht 1, sondern 0 als Wert haben, f habe überall den Wert 0. f ist sichtlich Berührungspunkt von A, aber, so behaupten wir, nicht Limespunkt von A. Ist nämlich fl, / 2 , . . . irgendeine Folge aus A mit dem Limes /*, so kann /* höchstens an den Stellen 0 sein, an denen eine der Funktionen / 2 ,... . 0 ist, und das sind für jede dieser Funktionen endlich viele, insgesamt also höchstens abzahlbar viele. An allen anderen Stellen hat f* den Wert 1, es ist also /* =|= f. Will man die Berührungspunkte ähnlich wie die Limespunkte einer Menge durch Grenzbildungen erfassen, so hat man sogenannte „Filter" einzuführen, die jedoch außerhalb unserer Darstellung liegen. (Vgl. Lit.-Yerz. Nr. 7.) In einem hausdorffschen Raum kann man von den Häufungspunkten p einer Menge A über die Definition 3.11 hinaus noch etwas mehr aussagen. Ist nämlich U1 eine Umgebung von p, so liegt in U1 definitionsgemäß noch ein Punkt x1 =|= p von A. Ist U2 eine Umgebung von p gemäß [Hd], die x, nicht enthält, so liegt entsprechend in U1 ^ U2 ein x2 =t= p, x2 =(= x1. So fortfahrend erhält man innerhalb U1 eine Folge xv x2, . . . voneinander verschiedener Punkte von A. Wir können also sagen: 13.10 Satz: In einem hausdorffsehen Raum liegen jeder Umgebung eines Häufungspunktes p einer Menge unendlich viele Punkte von A.

in A

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Kap. 4. Durch Trennungsaxiome definierte Räume § 14. Reguläre Bäume

14.1 Definition: Ein topologischer Raum R und seine Topologie % heißen regulär, wenn R hausdorffsch ist und eine der drei folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllt: [.%] Zu jeder abgeschlossenen Menge A \Rg"\: Die Umgebung U von p enthält nach [ . % ' ] die abgeschlossene Umgebung V von p. V enthält (Satz 3.4) eine offene Umgebung W von p. Dann ist lFU1. — Induktiv fortfahrend nehmen wir an, daß für alle ganzen Zahlen 0,1, . . ., n bereits offene Mengen U

v 2n

mit v = 1, . . ., 2" und U „_i 2

n

U„ 2n

konstruiert seien, wie sie eben für n = 0 konstruiert wurden. Wir wählen gemäß [Nm"] offene Umgebungen

§ 15. Normale Räume

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ra

U2v-i mit v — 1, . . 2 von U, , so daß Uv-i->U2v-i +l 2n 2n * So von ti zu « + 1 u n d so weiter f o r t f a h r e n d erhalten wir f ü r alle dyadischen Brüche r mit 0 5S r 1 offene Umgebungen UT von B m i t UT > Ur', wenn r Ur' folgt U% ^ IIa>. Setzen wir noch UX = R f ü r oc < 0 u n d Ua — 0 f ü r oc > 1, so gilt f ü r alle reellen oc Ua > Ua', wenn oc < oc'. Die Menge derjenigen « , f ü r die ein gegebener P u n k t x € R in II a liegt, ist offenbar eine linke Halbgerade auf der reellen Achse, die durch eine reelle Zahl f(x) erzeugt sei. Diese F u n k t i o n f(x), b e h a u p t e n wir, erfüllt das Urysohnsche Axiom [U]. Sicher ist f(x) = 0 f ü r x € A u n d f(x) = 1 f ü r a ; € B . Die Stetigkeit von f(x) ist sofort einzusehen: U m | f(q) — f(p) | ^ e zu erhalten, h a t m a n q n u r innerhalb der Menge ¡7/(P)_ \ J B m . m = 1 2« 2n 2n 2n Dann bleibt die Bestimmung der 1/2,-1 die gleiche bis auf 2 n+l U i : Diese Menge wird gewählt als offene Umgebung von _2n+1

Bn+1, deren Hülle in U0 enthalten ist. Fahren wir 2n im übrigen fort wie oben, so ergibt sich für jedes reelle x eine offene Menge U a mit « 1 Ua > Ua', wenn a < S eines kompakten Raumes R in einen hausdorffschen Raum S ist ein Homöomorphismus von R auf einen Teilraum von S. Eine sowohl mono- als auch epimorphe stetige Abbildung f von R in S ist ein Homöomorphismus von R auf S; eine solche Abbildung enveist R und S als homöomorph. Wir beweisen den ersten Teil des Satzes, der zweite ist ein Spezialfall davon. Es muß die Stetigkeit der reziproken Abbildung / _ 1 :/(Ä)->-Ä bewiesen werden. Nun bildet /, die reziproke Abbildung zu / _ 1 , abgeschlossene Mengen von R in kompakte, also abgeschlossene Mengen von f(R) ab, wie wir soeben festgestellt haben. Daher ist / _ 1 nach dem Kriterium (2') von Definition 5. 4 stetig. Sei / eine stetige reelle Funktion auf einem kompakten Raum R, also eine stetige Abbildung von R in die reelle Gerade R1. f(R) ist eine kompakte Teilmenge von Rl. f(R) ist beschränkt, denn eine unbeschränkte Teilmenge von R1 erfüllt sicher nicht das Kompaktheitsaxiom [Kp]; außerdem ist f(R) abgeschlossen (Satz 17.2). Daher hat f(R) eine endliche untere und eine endliche obere Grenze a und b, und diese beiden Zahlen sind selbst Funktionswerte a — f(x), b = f(y) mit x, y 6 R. Also gilt 18.3 Satz: Eine reelle stetige Funktion f(x) über einer kompakten Menge R besitzt ein endliches Maximum und ein endliches Minimum, die je an mindestens einer Stelle von R angenommen werden. Ist f(x) überdies auf R stets positiv, so gibt es ein ö > 0 mit der Eigenschaft f(x) > tix)) < wenn d(x', x) < d.

§ 20. Abstand von Punkten und Mengen

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Ä'-offen. Damit ist bestimmt. — Es kann also nur eineTopologie iE' der verlangten Art geben. V. Konstruktion von iE': Wir lassen nun die Annahme unter A. fallen und konstruieren eine Menge £>' als Summe zweier Mengen und £)£, die definiert sind wie unter A. gesperrt angegeben ist. Man prüft leicht nach, daß für O' die Axiome [0 1] und [0 2] erfüllt sind (man verwende die Grundformeln (1), (1') bis (3), (3')), so daß D' wirklich eine Topologie in R' definiert. — iE' ist hausdorffsch, es gilt das Axiom [fl tix)) < wenn d(x', x) < d.

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Kap. 6. Theorie des metrischen Raumes

Man mache sich den Unterschied zur Definition der gewöhnlichen Stetigkeit (Def. 5.3 (1) bzw. Def. 5.4 (1)) ausdrücklich klar; die Zahl ó = d(e) ist gleichmäßig, d. h. für alle x € R als dieselbe wählbar. — Gelegentlich brauchen wir auch den Begriff der Stetigkeit und den Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit für Funktionen f(x, y), die jedem Paar x, y von Punkten von Ii einen Punkt p = f(x, y) von S zuordnen. Die Bedingung für die gleichmäßige Stetigkeit etwa lautet hier in Analogie zu Definition 20.1 d(f(x', y'),f(x,

y)) < e, wenn d(x', x) < (5und 0 gibt es ein y = y(e) € A mit d(x', y) 5S d(x', A) + e. d(x, y)

d(x, x') + d(x', y) ig d(x, x') + d(x', A) + e.

Wegen d(x, A)

d{x, y) folgt

d(x, A) rg d(x, x') + d(x', A) + s. Da dies für jedes e > 0 gilt, bleibt es auch für e = 0 gültig: d(x, A) — d(x', A) ^ d(x, x'). Zusammen mit der durch Vertauschung von x und x' entstehenden Ungleichung folgt | d{x, A)—d(x',A)

| ^ d(x,

x'),

woraus man die gleichmäßige Stetigkeit von d(x, A) abliest. 20.6 Satz: Ein metrischer Raum ist normal. Wir beweisen das Axiom [ATm]: Sind A und B abgeschlossene disjunkte Mengen, so sind die Mengen U = { x | d(x, A) < d(x, B) }, V = { x j d(x, A) > d{x, B)} wegen der Stetigkeit von d(x, A) und d(x, B) nach derselben Schlußweise wie etwa bei Satz 15.2 offen. Für x € A ist d(x, A) = 0, aber d(x, B) > 0 nach Satz 20.4. Daher ist Acc U, ebenso S i V. Somit erfüllen U, V das x\xiom [Nm]. Wir verallgemeinern jetzt den Begriff der e-Umgebung (§ 1) UE und führen gleichzeitig eine analoge Bildung Ae

78

Kap. 6. Theorie des metrischen Raumes

durch folgende Definition ein. A sei eine beliebige Teilmenge von R. Es sei H £ ( 4 ) = { x | x € 11,(29) für ein p € A } = U H f ( p ) , AS(Ä) = { ® | U , ( a O < A } = C C U e ( C ^ ) ) / € j 1 H £ ( 4 ) enthält A, ist nach der zweiten Darstellung o f f e n , ist also Umgebung von A. Wenn A=|= 0 , so ist auch — Die Gleichwertigkeit der beiden Darstellungen von Ae(A) bedarf eines Beweises: Wir zeigen, daß C A e ( A ) = H e ( C 4 ) : Daß ein P u n k t x zur linken Seite gehört, also nicht zu At{A), bedeutet, daß die e-Kugel um x einen P u n k t y € CA enthält. Dies besagt, daß x in einer e-Kugel um y liegt, und das heißt, daß x zur rechten Seite gehört. Die zweite Darstellung v.on Ae(A) zeigt, daß At(A) abgeschlossen ist. Selbstverständlich ist Ac ( 4 ) n0. Wir bemerken zu dieser Definition entsprechend wie bei der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit zu Beginn des

80

Kap. 6. Theorie des metrischen Raumes

vorigen Paragraphen, daß in allgemeinen topologischen Räumen keine Möglichkeit besteht, den Begriff der CauchyFolge zu definieren. — Jede Teilfolge einer Cauchy-Folge ist offensichtlich wieder eine Cauchy-Folge. — Man lasse sich nicht durch den üblicherweise in der elementaren Analysis bewiesenen Satz verwirren, nach welchem jede Cauchy-Folge im Raum R 1 der reellen Zahlen konvergent ist und einen Limes besitzt; dieser Satz gilt nicht in beliebigen metrischen Räumen. Auf der rationalen Geraden R z. B. bildet die Folge der Dezimalnäherungsbrüche für |/2 eine Cauchy-Folge, die in R nicht konvergent ist. — Eine konvergente Folge xv x2,. . . in einem metrischen Raum ist stets eine Cauchy-Folge. Zu jedem e > 0 nämlich g gibt es ein w0, so daß für den Grenzwert x gilt d(xn. x) < 1 E

d(xn', x)

wenn n,n'>n0;

es folgt

d(xn,xn') 0 gibt es dann ein n 0 mit d(xn., x) < 5 für n¡ > n0 und ein n0 mit d(xn,

£

®

xn-) < ^ für n, n'>

Li

n0.

Für

alle

m > w0 gilt daher mit einem passenden n, > w0, ñ 0 die Ungleichung d{xm, x) ^ d(xm, xn¡) + d(x,H, x) < e. Es gibt somit zwei Sorten von Cauchy-Folgen, die konvergenten, bei denen auch jede Teilfolge konvergent mit demselben Limes ist, und die nichtkonvergenten, bei denen auch keine Teilfolge konvergiert. Wir definieren: 21.4 Definition: Der metrische Raum R heißt vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert. Ein Beispiel für einen vollständigen Raum bildet die reelle Gerade Ä 1 , ein Beispiel für einen nicht vollständigen

§ 21. Grenzwerte, Vollständigkeit

81

Kaum bildet die rationale Gerade.' — Es folgt ein Satzpaar ähnlich den beiden Sätzen 17.2 und 17.1. 21.5 Satz: In einem metrischen Raum ist ein diger Teilraum abgeschlossen.

vollstän-

21.6 Satz: In einem, vollständigen Raum ist ein abgeschlossener Teilraum vollständig. Beweis von Satz 21.5: Sei A vollständiger Teil des metrischen Raumes R und p beliebig aus A. Nach Satz 21.1 gibt es eine Folge xlt x2, . . . in A mit dem Limes p. Die Folge ist eine Cauchy-Folge und hat, wegen der Vollständigkeit von A, auch in A einen Limes. Wegen der Eindeutigkeit des Limes ist er gleich p, also p £ A, womit der Satz bewiesen ist. Beweis von Satz 21.6: Sei R vollständig und A abgeschlossener Teil. Ist xv x2, . . . eine Cauchy-Folge in A, so hat sie in R einen Limes p. p ist Berührungspunkt von A = A, womit die Vollständigkeit von A nachgewiesen ist. Aus dem Satzpaar folgt, daß in einem vollständigen Raum, z. B. im reellen R1, die Begriffe „vollständig" und „abgeschlossen" inhaltlich übereinstimmen. — Der folgende Satz ist für den Ausbau vieler Teilgebiete der Topologie wichtig und wird auch von uns später (§ 35) an entscheidender Stelle benutzt. 21.7 Satz: (Bairescher Dichtesatz): R sei ein vollständiger Raum und Bt für i = 1, 2, . . . seien abzählbar viele offene in R dichte Mengen. Dann ist der Durchschnitt f l ß , nicht leer und sogar dicht in R. Beweis: p sei ein beliebiger Punkt von R, f / 0 sei eine beliebige (offene) Kugel-Umgebung von p. Wir werden zeigen, daß in U0 mindestens ein Punkt a aus fl Bt enthalten ist, womit dann der Satz bewiesen ist. — U 0 r \ B x ist offen und wegen der Dichte von B1 nicht leer. Man kann daher at € U0r\ Bl und, wegen der Regularität von R, IJ1 als offene Kugelumgebung von a1 so wählen, daß U1 in U0r\ Bt enthalten ist. Überdies kann man den Radius von U1 kleiner als 1 wählen. U^ B2 ist wiederum offen und wegen der 6

F r a n z , Topologie I.

82

Kap. 6. Theorie des metrischen Raumes

Dichte von B2 nicht leer, so daß man analog wie oben a2 und U2 wählen kann. So fortfahrend lassen sich für i = 1, 2 , . . . Punkte et; und Kugelumgebungen U, wählen mit den Eigenschaften € t / , ; Ui U,^ rs B,; Radius von Ui kleiner als - . ' i Ist n0 eine natürliche Zahl und sind n, n' > n0, so sind 2 an, an> 6 Un , also ist d(an, an;) < — . Die Folge ax, a2,. . . o n0 ist somit eine Cauchy-Folge und hat in dem vollständigen Raum R einen Limes a. — Die Teilfolge a„ al+1, . . . hat ebenfalls den Limes a. Alle ihre Glieder sind in £/,• enthalten, und da Uf abgeschlossen ist, ist auch a in U( enthalten. Dies bedeutet a € U, «c U^ r\ Bt «c Bt. Daher ist auch a € H B j , w. z. z. w. Man kann zeigen, daß es zu jedem metrischen Raum R einen R enthaltenden vollständigen Raum R gibt. Die Konstruktion von R aus R verläuft nach dem Muster des bekannten CantorMerayschen Verfahrens zur Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen mit Hilfe der rationalen Cauchy-Folgen (auch Fundamentalfolgen genannt). Diese Konstruktion ist von grundlegender Wichtigkeit für viele Gebiete der Mathematik. Wir formulieren die Tatsache zunächst etwas genauer: 21.8 Satz: Jeder metrische Raum R läßt sich in einen vollständigen Raum R einbetten; genauer: zu jedem metrischen Raum R gibt es einen vollständigen Raum R, der R als Teilraum enthält und in dem R dicht liegt. R ist durch diese beiden Forderungen bis auf Isometrien eindeutig bestimmt. Da wir diesen Satz im folgenden nicht benötigen, führen wir den etwas langwierigen Beweis nicht im einzelnen aus, sondern geben nur sechs einzelne Beweisschritte an, von denen jeder nicht allzu schwer zu beweisen ist. (1) Zwei Cauchy-Folgen xlt x2> • • • und , y 2 , . . . werden als äquivalent erklärt, wenn die reelle Folge d(xn, yn) eine Nullfolge ist; R sei die Me'nge der Äquivalenzklassen. (2) Eine Metrik in R erklärt man dadurch, daß zwei beliebigen, wie oben bezeichneten Cauchy-Folgen der Abstand

§ 22. Durchmesser, Beschränktheit

83

d = lim d(yn, xn) zugeordnet wird. Man hat zu zeigen, daß dieser Limes existiert und nur von der Äquivalenzklasse der Cauchy-Folgen abhängig ist, ferner daß die Axiome [M 1 \ — [M 3] erfüllt sind. So wird R zu einem metrischen Raum. (3) R enthält den Teilraum R0 der konstanten Folgen, genauer derjenigen Äquivalenzklassen, die konstante Folgen enthalten. R0 ist zu R isometrisch und darf mit R identifiziert werden,so daß R< R gilt. (4) R ist vollständig. Um das zu zeigen, hat man eine Cauchy-Folge aus Cauchy-Folgen von R zu bilden und deren Konvergenz im Sinne der soeben eingeführten Metrik zu beweisen. Man erhält den Limes als die Diagonalfolge aus den vorliegenden Folgen. (5) Rist dicht in R. (6) Eindeutigkeit: Zwei Räume R1 und R2 der im Satz genannten Art sind isometrisch. § 22. Durchmesser, Beschränktheit 22.1 Definition: Ist A=¡= 0 Teil eines metrischen Raumes R, so heißt die obere Grenze d(Ä) = sup d(x, y), genommen über beliebige x, y € A, sofern sie endlich ist, der Durchmesser d{A) von A, und A heißt in diesem Falle beschränkt. Ist die obere Grenze nicht endlich, so heißt A unbeschränkt. d(Ä) = 0 besagt, daß A nur aus einem Punkt besteht. — Der Durchmesser eines Dreiecks im R 2 ist gleich der Länge seiner längsten Kante (siehe auch den späteren Satz 29.2). 22.2 Satz: Fiir jede Menge A 4= 0 ist d(A) = d(A). Beweis: Sicher ist d(A) Sä d(A). — Sei x,y€A, dann gibt es zu jedem e > 0 Punkte x', y' 6 A mit d(x, x') < e, d(y, y') < e, so daß d{x, y) d(x, x') + d(x', y') + d(y'> V) < d(x', y') + 2e ig d(A) -f 2e. Da dies für jedes b > 0 gilt, folgt d(x, y) ^ d{A), also d{A)\ = sup d(x, y) rS] d{A),. womit der Satz bewiesen ist. Eine Überdeckung ® = { Dv \ v aus einer Indexmenge N } eines Raumes R oder einer Menge R heißt e-Überdeckung, wenn alle d(Dv) < s. 6«

84

Kap. 6. Theorie des metrischen Raumes

22.3 Definition: Eine Menge i c R heißt totalbeschränkt, ivenn sie für jedes e > 0 eine endliche e-Überdeckung gestattet. Eine totalbeschränkte Menge A ist auch beschränkt. Ist nämlich für irgendein festes £ > 0 2) = { ö , | i = 1 , . . . , m } eine endliche e-Überdeckung von A und a, ein fest gewählter Punkt in Dt, ist ferner d = Max d(at, ak) für i, k, = 1 , . . . , m, so gilt für je zwei Punkte x,y€A und passende i und k, daß d(x, y) ^ d(x, a,) + d(ab ak) + d (ak, y) ig d + 2e. — Umgekehrt braucht eine beschränkte Menge nicht totalbeschränkt zu sein, wie die Menge der Einheitspunkte Cj = ( 0 , . . ., 0 , 1 , 0 , . . . ) im Hilbertschen Raum zeigt, die den Durchmesser / 2 hat, aber keine endliche 1-Überdeckung gestattet. 22.4 Satz: Der metrische Raum R ist dann und nur dann totalbeschränkt, wenn jede Folge aus R eine Cauchysche Teilfolge hat. Beweis: Sei zunächst R totalbeschränkt. Wir gehen von einer beliebigen Folge xv x2,. .. aus. Für n = 1, 2 , . . . betrachten

wir endliche --Überdeckungen

2) n

von

R.

Mindestens eine der endlich vielen Mengen von enthält unendlich viele Glieder der Folge; es seien dies (in neuer Bezeichnung) die Punkte det Teilfolge (i)

4 X ) . 4 J ) - 4 1 } > ••••

Diese Folge, genauer die Menge der Punkte der Folge, hat einen Durchmesser < 1. Mindestens eine der endlich vielen Mengen von ¿D2 enthält unendlich viele Glieder der Folge (1); es seien dies, in wieder neuer Bezeichnung, die Punkte der Teilfolge von (1) (2)

*,

42\

....

Diese Folge hat einen Durchmesser < g-

fortfahrend

erhalten wir für je^es natürliche w eine Folge (w); wenn

§ 23. Kennzeichnung der Kompakten

85

n > n', so ist die Folge (n) Teilfolge der Folge (w') und alle Folgen sind Teilfolgen der Ausgangsfolge. Die Folge (n) hat einen Durchmesser < - . Wir behaupten nun, daß die Diagonalfolge

„(1) „(2) „(3) i ' 2 ' 3 ' •• • eine Cauchysche Teilfolge der Ausgangsfolge ist. Jedenfalls ist die mit xf> beginnende Teilfolge eine Teilfolge der Folge (fc), hat also einen Durchmesser < Wenn also n, n' > w0, 1 so folgt < —, womit die Behauptung und damit der 1. Teil des Satzes bewiesen ist. Sei umgekehrt R nicht totalbeschränkt. Dann gibt es für ein hinreichend kleines e = £0 keine endliche e-Überdeckung £ von R. Der Punkt % sei beliebig in R gewählt. Die ^-Umgebung von a x hat einen Durchmesser

< e,

kann also nicht ganz R überdecken. a 2 sei außerhalb dieser Umgebung gewählt. Die Vereinigung der beiden ^-Umgebungen von a1 und a 2 kann R nicht ganz überdecken. Also läßt sich a 3 außerhalb davon wählen. So fortfahrend erhält man eine Folge alt a2, . . ., bei der je zwei Punkte £ einen Abstand ^ haben. Eine solche Folge hat offensichtlich keine Cauchysche Teilfolge, womit auch der zweite Teil des Satzes bewiesen ist. Kap. 7. Kompakten § 23. Kennzeichnung der Kompakten 23.1 Definition: ein Kompaktum.

Ein kompakter metrischer Raum heißt

86

Kap. 7. Kompakten

23.2 Satz: Die Kompakten können auch erklärt werden als diejenigen metrischen Räume R, die eine der drei folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllen: (1) Jede abzählbare offene Überdeckung von R besitzt eine endliche Teiluberdeckung. (2) Jede unendliche Teilmenge von R hat mindestens einen Häufungspunkt. (3) Jede abnehmende Folge A1 > A2 > . . . nichtleerer, abgeschlossener Teilmengen von R hat einen nichtleeren Durchschnitt. Beweis: Daß Kompakten diese Eigenschaften haben, wurde schon früher (Satz 16.4) festgestellt. Um zu zeigen, daß umgekehrt jede der Eigenschaften (1)—(3) die Kompaktheit von R nach sich zieht, genügt es nach Satz 16.5 zu zeigen, daß ein metrischer Raum R mit der Eigenschaft (2) eine abzählbare Basis besitzt. Zu dem Zweck wählen wir ein e > 0. Die Existenz unendlich vieler Punkte at$. R mit d(ah a}) 22 s (i, j = 1, 2 , . . . ) widerspräche offenbar (2), es gibt also endlich viele Punkte at (i = 1 , . . ., k) derart, daß jeder Punkt x € R von mindestens einem a ; einen Abstand d(x, a,) < e hat. Ein solches, endliches Punktsystem heißt ein e-Netz. Wählt man für jedes s = (n = 1, 2, . . .) ein e-Netz, so bekommt man ersichtlich insgesamt eine abzählbare, in R dichte Menge. Nach Satz 10.7 hat daher R eine abzählbare Basis, w. z. z. w. 23.3 Satz: Die Kompakten können auch erklärt werden als metrische Räume R mit der Eigenschaft: Jede Punktfolge in R hat eine konvergente Teilfolge. Bewein: Sei R ein Kompaktum und x( (i = 1, 2, . . .) eine Punktfolge aus R. Entweder sind die xt insgesamt nur endlich viele v e r s c h i e d e n e Punkte; dann kommt einer von ihnen in der Folge unendlich oft vor und repräsentiert eine konvergente Teilfolge. Oder man kann aus der Folge der x t eine Teilfolge aus lauter verschiedenen Punkten herausgreifen und dann gleich annehmen, daß die x, selbst

§ 23. Kennzeichnung der Kompakten

87

sämtlich voneinander verschieden sind. Sie bilden eine unendliche Menge, die wegen der Kompaktheit von R einen Häufungspunkt p hat. Wählt man für n = 1 , 2 , . . . in der Umgebung I i i ( p ) je ein Xi, so ist die so ausgewählte Teiln

folge der x, konvergent gegen p, die Eigenschaft des Satzes ist also bewiesen. — Umgekehrt möge der metrische Raum R die Eigenschaft des Satzes haben. Ist A eine unendliche Menge, so kann man aus A eine Folge x, (i = 1, 2 , . . . ) von lauter verschiedenen Punkten herausgreifen, die dann eine gegen einen Punkt p konvergente Teilfolge hat. p ist Häufungspunkt der Menge der xt und damit Häufungspunkt von A. Nach der Bedingung (2) des vorigen Satzes ist also R kompakt. 23.4 Satz: Ein metrischer Raum ist dann und nur dann ein Kompaktum, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist. Beweis: Sei R ein Kompaktum. Der vorige Satz zeigt, daß jede Folge aus R jedenfalls eine Cauchysche Teilfolge hat, was nach Satz 22.4 die Totalbeschränktheit von R bedeutet. Eine Cauchy-Folge hat nach dem vorigen Satz eine konvergente Teilfolge, konvergiert also selbst (Satz 21.3); dies bedeutet die Vollständigkeit. — Ist umgekehrt R vollständig und totalbeschränkt, so hat jede Folge eine Cauchysche Teilfolge (Satz 22.4) und diese konvergiert. Daher ist R kompakt (Satz 23.3). Für den reellen Rn besagt dieser Satz, da im Rn die vollständigen Mengen mit den abgeschlossenen identisch sind (Satz 21.5, 21.6 und anschließende Bemerkung), daß die Kompakten im R n mit den beschränkten abgeschlossenen Mengen identisch sind, womit ein schon in § 16 vorweggenommenes Resultat bewiesen ist. Wir bemerken noch, daß der Hilbert-Quader Q (Beispiel (b) in § 1) kompakt ist. Da Q nach § 12 dem unendlichen Produkt 1 " von abzählbar vielen Einheitsstrecken homöomorph ist, würde das aus dem (von uns nicht bewiesenen) Tychonoffschen Satz (am Schluß von § 17) folgen. Einen unabhängigen Beweis kann man so führen, daß man für Q das Kriterium von Satz 23.3 nachweist, oder so, daß man die Vollständigkeit des Hilbertschen Raumes H und die Totalbeschränktheit von Q beweist. Beides ist ohne besondere Schwierigkeit möglich.

88

Kap. 7. Kompakten

§ 24. Abstand, Überdeckungen und Zusammenhang

24.1 Satz: Für beliebige Teile A 4= 0 , B 4= 0 eines metrischen Raumes R gilt: (1) Ist A kompakt, B beliebig, so gibt es einen Punkt p € A mit d(A, B) = d(p, B). (2) Ist A kompakt, B abgeschlossen, A B = 0 , so ist d(A, B) > 0. (3) Sind A und B kompakt, so gibt es Punkte p € A, q € B mit d(A, B) = d(p, q). (4) Ist A kompakt, so gibt es Punkte x, y € A mit d{Ä) = d{x, y). Beweis: (1) d(x, B) mit x £ A ist eine reelle stetige Funktion (Satz 20.5) auf der kompakten Menge A. Nach Satz 18.3 nimmt sie ihr Minimum an mindestens einer Stelle p 6 A an. — (2) d(p, B) = 0 würde besagen (Satz 20.4), daß p € B, entgegen der Voraussetzung Ar-\ B = 0 . — (3) d(x, y) mit x i A, y £ B stellt eine reelle stetige Funktion auf dem kompakten Raum A x B (Satz 17.5) dar. Sie nimmt ihr Minimum an mindestens einer Stelle p X q von A X B an. Es ist dann d(p, q) = d{A,B). — (4) Entsprechend schließt man über das Maximum der Funktion d(x, y) mit x, y € A auf der kompakten Menge 4 x 4 . 24.2 Satz: (Lebesguesches Lemma): Zu jeder offenen Überdeckung ® = { Dv J v aus einer Indexmenge N } eines Kompaktums R gibt es eine reelle Zahl X > 0 derart, daß jede Menge A ^ R mit einem Durchmesser d(Ä) < A ganz in einer Menge Dt enthalten ist. Jede Zahl X dieser Art heißt eine Lebesguesche Zahl von Beweis indirekt: Angenommen, ein solches X existierte nicht. Dann gibt es zu jedem X = j (k = 1 , 2 , . . . ) eine 1 ^ Menge Ak mit d(Ak) < die nicht ganz in einem D„ enthalten ist. Wir wählen in jedem Ah einen Punkt ak und suchen den Limes a einer konvergenten Teilfolge der Folge der ak auf. a liegt in einer Menge /),,, und auch eine ganze

§ 24. Abstand, Überdeckung, Zusammenhang

89

e-Umgebung i l £ ( a ) mit passendem e > 0 ist in diesem Dv E l ß enthalten. F ü r alle k, f ü r die (1) d(ak, a) (2) ^ < ^ ist, liegen ak und Ak ganz in Ü„ im Widerspruch zu unserer Annahme. 24.3 Satz: In einem Kompaktum R gibt es zu jedem System 2t = { Av \ v aus einer Indexmenge N } von abgeschlossenen Mengen A„ mit einem Durchschnitt DAV = 0 ein e > 0 derart, daß das System 9l£ und das System 2i£ 9I£ = { Bv = 11,(4.) | v 6 N }, ebenfalls den Durchschnitt

= { Bv = ÜXijl

ClBr = 0

und DBV = 0

v € N} haben.

Beweis: E s genügt, die Behauptung fl Bv = 0 zu beweisen. — Angenommen, es gäbe ein s der verlangten A r t nicht.

Dann

haben f ü r jedes e = ^ (k = 1, 2 , . . .) die

Mengen Bv des Systems 2Ii einen Durchschnitt, der mink destens einen P u n k t ak enthält. Die Punktfolge der ak besitzt im K o m p a k t u m R mindestens eine konvergente Teilfolge, sie möge gegen den P u n k t a konvergieren. ak u n d alle ae mit e > k gehören zum Durchschnitt der Mengen von Sil, also gilt dasselbe von a. Dann gilt f ü r jeden Index < 1 2 v f c N : In jeder Umgebung von a liegen P u n k t e von A„. Wegen der Abgeschlossenheit der Av liegt also auch a in Av. Daher gehört a auch zum Durchschnitt C\A„, entgegen der Voraussetzung fl A „ = 0 . Damit ist der Satz bewiesen. F ü r Kompakten läßt sich der Begriff des Zusammenhangs etwas einfacher erklären als f ü r beliebige Räume. Wir definieren zunächst: Ist e > 0 eine reelle Zahl, so heißen zwei P u n k t e x, y eines metrischen Raumes R e-verkettet, wenn es eine endliche Punktfolge x = x0, xlt ..., xn = y in R gibt mit d(xi^1, xt) < i = 1 , . . . , n. „ F ü r jedes feste e > 0 bedeutet die e-Verkettung eine Äquivalenzrelation unter den

90

Kap. 7. Kompakten

P u n k t e n von R. Die Klassen e-verketteter P u n k t e heißen die e - K o m p o n e n t e n Ce von R; jeder P u n k t x £ R liegt in einer u n d n u r einer e - K o m p o n e n t e Ge = Ce(x), die alle P u n k t e von R enthält, die mit x e - v e r k e t t e t sind. Die e - K o m p o n e n t e n Ce sind offen; denn m i t jedem x€Ce gehören auch alle P u n k t e der Kugelumgebung il £ (a;) offenbar zu C E . Die Mengen Ce sind auch abgeschlossen, denn CC £ ist Vereinigung aller von Ce verschiedenen e - K o m p o n e n t e n von R, also Vereinigung offener Mengen u n d daher selbst offen. Die Cc sind also offen-abgeschlossen. W e n n n u n R zusammenhängend ist, kann R n u r eine einzige e-Komponente, nämlich sich selbst e n t h a l t e n . D a m i t ist gezeigt 2 4 . 4 Satz: In einem zusammenhängenden metrischen Raum sind je zwei Punkte für jedes e > 0 e-verkettet. F ü r K o m p a k t e n R l ä ß t sich der Satz u m k e h r e n und liefert die angekündigte Kennzeichnung des Z u s a m m e n h a n g s : 24.5 Satz: Ein Kompaktum R ist dann und nur dann zusammenhängend, wenn je zwei seiner Punkte für jedes e > 0 e-verkettet sind. E s ist noch zu leweisen, daß in einem nichtzusammenhängenden K o m p a k t u m R die Bedingung des Satzes nicht erfüllt ist, d. h. daß es in R P u n k t e x, y u n d ein reelles e > 0 gibt derart, daß x und y n i c h t e-verkettet sind. In der T a t , wenn R nicht zusammenhängend ist, gibt es eine Aufteilung R = Rt + R2 in zwei nichtleere offen-abgeschlossene Teile u n d R2. Rx u n d R2 sind k o m p a k t , u n d es ist d(Rv Rz) = e > 0 (Satz 24.1 (2)). Offensichtlich ist kein P u n k t von Rx m i t einem P u n k t von R2 s-verk e t t e t . D a m i t ist der Satz bewiesen. — D a ß der Satz nicht allgemein f ü r metrische R ä u m e gilt, zeigt der (unzusammenhängende) R a u m der rationalen Zahlen. 24.6 Satz: In einem Kompaktum R hangskomponente C(x) eines Punktes x Durchschnitt D(x) aller x enthaltenden Teilmengen von R und identisch mit dem aller e-Komponenten Ce(x) für alle e >

ist die Zusammenidentisch mit dem offen-abgeschlossenen Durchschnitt D'{x) 0.

§ 24. Abstand, Überdeckung, Zusammenhang

91

Beweis: Ersichtlich ist (sogar für beliebige metrische B ä u m e ) C ( I ) C D ( I ) < D ' ( I ) . E s genügt zu zeigen, daß C(x)>D'(x). Durchläuft e( (i = 1 , 2 , . . . ) eine monoton abnehmende Nullfolge und ist F = F(x) = C\Ge.(x), so genügt es sogar, C(x)>F zu zeigen. Hierfür endlich genügt es, wegen der Maximaleigenschaft der Komponente C(x), die MengeF als zusammenhängend nachzuweisen.—Um dies auf indirektem Wege zu zeigen, nehmen wir an, daß F nicht zusammenhängend sei. Dann gibt es i n F , als Teilraum betrachtet, nicht leere disjunkte abgeschlossene Teile A, B mit F = A w B. D a die Ce.(x) und daher auch F abgeschlossen sind, sind A und B auch Ä-abgeschlossen und kompakt, und es ist d(A, B) = e > 0 . Der Punkt x liege etwa in A, y sei ein beliebiger P u n k t aus B. Wir bilden V = U,(£), Q = R — ( U v V ) .

U = U£(A), 4

Es

ist

£

4

Nun sind x und y £,-verkettet für

^

jedes

£

gf. Sobald et < g,

muß

offenbar

mindestens

ein

P u n k t einer x und y verbindenden Punktfolge mit dem sukzessiven Abstand n0 bei beliebigem x; der mittlere S u m m a n d ist wegen der Stetigkeit von fn(x) kleiner als e, wenn d(x, x0) < d. Somit ist d(f(x), f(x0)) < 3e f ü r d(x, x0) < 0 und f : R -> S eins stetige Abbildung eines metrischen Raumes R in den metrischen Raum S, so heißt f eine s-Abbildung, wenn d{f~\y)) < e für alle y € f(R). Bei einer e-Abbildung folgt also aus /(iCj) = f(x2), daß d(xvx2) 0 mit der Eigenschaft: Aus d (/(%), f(x2)) < f j folgt d(xv x2) < s.

§ 26. Die Hauptsätze

95

Wir beweisen, daß d(xv x2) 2g e nach sich zieht, daß d(/(zi), f(x2)) ^ rj > 0. Die Menge Ä der Punkte des kompakten Raumes R x R mit d(xv a ; 2 ) = £ ist abgeschlossen, also kompakt. d(f(x1), f(x2)) ist eine positive, reelle stetige Funktion über A. Daraus ergibt sich (Satz 18.3) die Existenz eines rj > 0 der verlangten Art. 25.5 Satz: Ist R ein Kompaktum und 8 ein beliebiger metrischer Raum, so ist %S(R, S) ein offener Teilraum von 8). 71 Beweis: Sei / € %e{R, S) und d(J, g) < ^ mit der reellen Zahl rj > 0 aus dem vorigen Satz. Wir zeigen, daß auch g e-Abbildung ist, womit dann der Satz bewiesen ist. — Nehmen wir für x2 € R an g(x1) = g(x2) = y. Dann folgt d(f(xj,

f{x2)) ^ difixj, + d(g(x2),

g(xj)

+ digixj),

f(x2))
% v (x) < 1, ( ( x ) — fnv ( y ) f < 2, beide Summen über alle v € N erstreckt. M

_

104

Kap. 8. Metrisierung topologischer Räume

(3) folgt aus der Definition von tpnv ( x ) und durch Auflösen der K l a m m e r n in b e k a n n t e r Weise. Mit der Menge aller I n d e x p a a r e (n, v) bilden wir n u n einen verallgemeinerten Hilbertschen R a u m H. Ein P u n k t p von H sei ein System von reellen Zahlen pnv, eine f ü r jedes I n d e x p a a r (n, v), die die Koordinaten von p heißen; nur abzählbar viele Koordinaten eines P u n k t e s p seien =f= 0, die S u m m e 2Jpnv über alle Koordinaten von p sei konvergent. H wird zu einem metrischen R a u m durch die Definition d(p, q) =

n> v

J/H{qnv~Vnvf,

s u m m i e r t über alle I n d e x p a a r e (n, v). D a ß die S u m m e endlich, d(p, q) also wohldefiniert ist, u n d daß die Axiome [M 1] —[M 3] gelten, erkennt m a n genau wie im gewöhnlichen Hilbertschen R a u m (§ 1, Beispiel (b)). Dieser fällt als Spezialfall mit u n t e r unsere jetzige K o n s t r u k t i o n , wenn N n u r aus einem einzigen E l e m e n t besteht. Wir definieren eine Abbildung f : R ^ H , i n d e m wir dem P u n k t x 6 R den P u n k t p = f(x) € H zuordnen, dessen Koordinaten gegeben sind durch

I n der T a t sind f ü r jedes x wegen (2) n u r a b z a h l b a r viele Pnv(x) 4= 0, u n d in der T a t ist die S u m m e 2dVnv= ^(ö^)' /I \ » ' x nac JjVm( ) h (3) kleiner als J Z y ^ J = 1 u n d konvergent, so daß auf diese Weise wirklich ein P u n k t p = f(x) von H b e s t i m m t wird. Über / beweisen wir n u n : ( a ) / ist monom o r p h . ( ß ) f ist stetig. - (y) f-1 ist stetig. D a m i t ist dann / als homöomorphe Abbildung von R in einen Teil von H erkannt, u n d die Metrik von H induziert ersichtlich eine Metrik von R, wie wir sie konstruieren wollten. ( a ) : Sind y zwei P u n k t e von R, so gibt es eine Umgebung von x, die y nicht enthält, u n d daher gibt es eine

§ 28. Hinreichende Bedingungen

105

Menge Env, die x, aber nicht y enthält. Dann ist 0 seien gegeben. Wir haben ein W € Ufa;) anzugeben mit der Eigenschaft ä(/(x), f(y)f

= H(Pnv(y)

-

n, v

Vn,{x)Y

< e\ wenn y ZW.

Für jede natürliche Zahl N gilt 2!

n>N,v

(Pnviy)
N

6

v —. 2

—

2"

2» •

ri>N

v

lzü{Wnv{y)—Wnv{x)f

4 wenn 2N > -5. Wir wählen 2 e2 N so, daß dies der Fall ist. Für jedes feste n gibt es, wegen der Lokalendlichkeit von @ B) eine Umgebung Un von x, die nur endlich viele Env trifft. Durchläuft n die endlich vielen Zahlen N, so treffen auch nur endlich viele Env die Durchschnittsumgebung U = HUn. Diese endlich vielen Env mögen für den Augenblick wesentliche Env heißen, ihre Anzahl sei s. Die entsprechenden s „wesentlichen" Funktionen pnr(x) sind bei x stetig, so daß man Umgebungen Vnv von x finden kann, so daß für diese pnv(x) Diese

Summe

wird

e2

I Pnviy) — Pnv{x) |
0 nur Ii ^ 0 , so heißt die entsprechende Menge das abgeschlossene Simplex [er] = [er™] = [£„ . . . Unter dem n-dimensionalen Simplex a = an = p0 . . . \pre schlechthin versteht man das offene oder abgeschlossene Simplex. Die Menge an = [an] — (an) heißt der Simplexrand von an. Die „Dimension" n des » - S i m p l e x e s an wird zum Unterschied gegen die im nächsten Kapitel einzuführende geometrische Dimension auch die algebraische Dimension von an genannt. — Das « - S i m p l e x ist für n = 0 ein Punkt, für n = 1 ein offenes Intervall (a, b) oder ein abgeschlossenes Intervall [a, b], für n = 2 ein Dreieck, für n — 3 ein Te-

110

Kap. fl. Polyeder

traeder. a n kann als die einfachste n-dimensionale F i g u r der Geometrie des R N angesehen werden. — Ks ist [ 0 sind, sind auch alle I,- > 0 , d. h. j liegt in (a m ). — Die Ecken ff« eines Simplexes a' von K' erlauben gemäß (b) eine natürliche Anordnung, nämlich nach der Dimension v( der zugehörigen Simplexe a t = o"i. a 0 heißt die „erste" Ecke von ff', a m die „letzte". Man mache sich dies an sämtlichen Simplexen a ' der obigen Figur ausdrücklich klar.

§ 31. Unterteilungen

119

Es ist zu beweisen, daß die Simplexe a' einen Simplizialkomplex K' bilden, d. h., daß [ S l ] und [ £ 2] gelten, ferner daß K' Unterteilung von K ist, d . h . , daß [T1] und [T 2] gelten. [ 0 gibt es endliche abgeschlossene e-Überdeckungen von R der Ordnung 1, d. h. Überdeckungen durch disjunkte Mengen. — Als Beispiele für nulldimensionale Kompakten führen wir an: (a) endlich viele Punkte mit diskreter Topologie, (b) die Menge der Zahlen 0, - (n = 1, 2, . . .) auf

der reellen Geraden,

(c) das

Cantorsche Diskontinuum die Nulldimensionalität von TS haben wir schon in § 9 als Eigenschaft (6) von festgestellt. 33.1 Satz: Ein nicht leeres Kompaktum R ist dann und nur dann nulldimensional, wenn' es eine der folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllt: (1) Zu jedem e > 0 gibt es eine endliche abgeschlossene e-Überdeckung von R aus disjunkten Mengen. (2) Zu je zwei Punkten x=\= y aus R gibt es disjunkte offenabgeschlossene Teilmengen A, B von R mit x e A, y e B. (3) R ist total-unzusammenhängend.

123

Kap. 10. Dimension von Kompakten

In der Bedingung (1) kann das Wort ,,abgeschlossen" auch durch „offen" und auch durch ,,offen-abgeschlossen" ersetzt werden. . Beweis: (1) ist die Bedingung (a 0 ) der Dimensionsdefinition. — Eine überdeckende Menge D aus einer Überdeckung (1) ist als Komplement der Vereinigung der endlichvielen übrigen überdeckenden abgeschlossenen Mengen offen; jedes D ist also offenabgeschlossen, wie es am Schlüsse des Satzes behauptet wird. (1) (2): Sei d(x, y) = e > 0. Jede e-Überdeckung gemäß (1) liefert eine überdeckende Menge A mit xeA, aber, wegen d(.4) < e, y 5 A und analog eine uberdeckende Menge B mit y e B, x 4 B. A und B sind von der verlangten Art. (2) (3): Sei xt Ii und C(x) die Zusammenhangs-Komponente von x. Zu jedem y e R, y =f= x, existiert nach (2) eine offen-abgeschlossene Menge A mit x e A, y S A. Es ist C (x) 0 betrachten wir die ^-Komponente Cn(x), die eine offen-abgeschlossene Menge darstellt (siehe den Beweis von Satz 24.4). Durchläuft r/ eine monoton abnehmende Nullfolge, so bilden die Ctj (x) eine abnehmende Folge abgeschlossener Mengen innerhalb des Kompaktums Ii, und das gleiche gilt für die abgeschlossenen Mengen Cn{x) — U. Wären die Cn(x) — U sämtlich nicht leer, so hätten sie einen gemeinsamen Punkt, während doch der Durchschnitt D Cri(x) aller Cn (x) gleich der ZusammenhangsKomponente C(x) ist (Satz 24.6), die nach (3) nur aus x besteht, so daß sicher C(x) — U = 0 gilt. Also ist Cv(x) — U für hinreichend kleines rj leer, d. h. es ist für diese »y sicher Cn{x) d U. Damit haben wir das vorläufige Ergebnis: Die rj-Komponenle Ctj(x) eines Punktes x € R hat bei hinreichend kleinem rj beliebig kleinen Durchmesser. — Sei nun e die in der Behauptung (1) genannte reelle Zahl. Jedem x e R ordnen wir eine ^-Komponente Cn{x) mit d(Cn(x)) < e zu, wie es nach dem Bewiesenen durch geeignete Wahl von r} möglich ist. Diese C'v(x) bilden eine offene Überdeckung von R, aus der man eine endliche Überdeckung $ = {D( | i = 1,...,

m}

aussondern kann, die demnach aus offen-abgeschlossenen Mengen D, mit d(Di) < e besteht. Dann ist = {/>! ,Dt-D1,Dt-{D1vDt),...,Dm-(D1v...v Dm_x)} ebenfalls eine abgeschlossene «-Überdeckung, und zwar eine solche,

§33. Nulldimensionale Kompakten

129

die aus disjunkten Mengen von einem Durchmesser < e besteht, so wie es in (1) verlangt wurde. Im vorigen Paragraphen haben wir bei der Erwähnung der Peano-Kurve darauf hingewiesen, daß bei stetigen Abbildungen die Dimension zunehmen kann. Wir zeigen jetzt, daß man sogar das nulldimensionale Cantorsche Diskontinuum V stetig auf beliebig hochdimensionale Würfel, auf den oo-dimensionalen Hilbert-Quader und ein behebiges Kompaktum abbilden kann. B3.2 Satz: Jedes nichtleere Kompaktum R ist stetiges Bild des Cantorschen Diskontinuums. Beweis: R gestattet als totalbeschränkter Raum bei jedem reellen E > 0 endliche e-Überdeckungen ® = {D, \ i = 1 , . . . , n}. Dabei darf man die D.- als abgeschlossen voraussetzen, da man andernfalls die Dt durch Dt ersetzen kann und d(Dt) = d(/->,). — Man betrachte zunächst eine Überdeckung {¿¡J i 1 = l , . . . , « 1 = 2 m i} von R durch nichtleere abgeschlossene D^ von einem Durchmesser < g. Man beachte dabei, daß R nichtleer ist und daß man die Anzahl n der überdeckenden Mengen ohne weiteres auf eine beliebige Zweierpotenz 2 m i erhöhen kann, wenn man übereinkommt, in % auch gleiche Mengen D( zuzulassen, und in der Aufzählung einige Mengen D ( wiederholt. Jedes Df ist selbst ein nichtleeres Kompaktum. Man überdecke es durch 2ma nichtleere abgeschlossene 1 Mengen D ^ (i2 = l , . . . , 2 m * ) mit d ( D i i f J < Auch die Anzahl dieser überdeckenden Mengen kann man auf eine für alle Dt gleiche Zweierpotenz 2m« bringen. Es ergibt sich eine Überdeckung ® 2 = {D, i t j [ % = 1 , . . . , 2 m i; i'ü = 1 , . . . , 2 m i} von R durch ra2 = 2 m i + m ! Mengen. Entsprechend fortfahrend erhält man für jedes r — 1, 2 , . . . eine Überdeckung ®r = {Dix. ..

if

| iv = 1, . . . , 2m> mit „ = 1, . . . , r}

m +

von R durch nT — 2 i ••• +mr nichtleere Kompakten von einem Durchmesser < Wir führen nun in der Definition des Cantorschen Diskontinuums IS (siehe § 9) einige Modifikationen ein, um es bequem mit unserem Kompaktum R vergleichen zu können. In der Definition von "i betrachten wir die C-Intervalle m^ten Ranges und bezeichnen sie in einer gegenüber § 9 veränderten Weise als

9 Franz, Topologie I

130

Kap. 10. Dimension von Kompakten

i

C i (ij = 1 , . . . , 2 m i) in ihrer natürlichen Anordnung auf dem Intervall [ 0 , 1 ] . Ferner betrachten wir die n 2 = 2 m i + m > C-Intervalle (Wj + w 2 )-ten Ranges. In jedem C'i sind 2 m j davon enthalten, die jetzt entsprechend mit C V . (i 2 = 1 , . . . , 2™») bezeichnet werden. In analoger Weise werden die nr = 2mi +• • • +mr C-Intervalle (m l + • • • + »nr)-ten Ranges mit C ' i • • • i r bezeichnet. C(mi+- •• +">»•) sei wie früher die Vereinigung aller C-Intervalle (m 1 + • • • + m r )-ten Ranges. Dann ist 1 3 = n C( m i +•••+">!•) r= l

Es ist d (C'i •••"") = — - — . Die Punkte x et! werden umo i + *'* + ™r kehrbar eindeutig durch Folgen C'i > C'Vi > • • • bzw. durch Folgen ( t ! * s ' " ' ) bestimmt, wobei x e C'i---'r und jetzt t„ die Werte 1 , . . . , 2 m » durchläuft. Sei nun x ein beliebiger P u n k t von mit der zugeordneten Folge (¿!¿2 • • •)• Die Folge von abnehmenden Kompakten in R bestimmt dann eindeutig einen in allen diesen Mengen enthaltenen P u n k t p e R, den wir als Bild p = j(x) von x bezeichnen. Wir behaupten, daß / eine epimorphe Abbildung auf R darstellt, die überdies stetig ist. Mit dem Beweis dieser Behauptung ist dann der Satz bewiesen. — Ist j>0e R beliebig gegeben, so bestimme man ein Z>(i mit p0 e D,t, darauf ein D(lit (mit demselben ¿x) mit Po 6 A y , i n d so fortfahrend eine Folge Dit >Dijit > . . . , die p 0 als einzigen gemeinsamen P u n k t enthält. Dann suche man in 13 den eindeutig bestimmten Punkt x0auf, der der Folge C ' o C V i • • gemeinsam ist. Offenbar ist p0 = f(x0), womit f(x) als epimorph nachgewiesen ist. — Sei weiter ein £ > 0 gegeben und sei r so groß, daß £ j r < e - Wie eben sei

= / ( z 0 ) . Jedes x mit d (x, x0) < gm

liegt mit x0 in derselben Menge C'i---Ir. u n d p0 beide in D^...^,

+...+mr

Daher liegen auch p = f(x)

es ist also d (p, p 0 ) s i d (Dit...

fj)

< i

< e.

Damit ist auch die Stetigkeit von / und damit der ganze Satz bewiesen. Unendlich viele isolierte Punkte können kein Kompaktum bilden; ein Kompaktum kann aber sehr wohl unendlich viele isolierte Punkte enthalten, wie das Beispiel (b) zu Beginn dieses

131

§ 33. Nulldimensionale Kompakten

Paragraphen zeigt. Unter allen Kompakten sind diejenigen ohne isolierte Punkte von besonderem Interesse. Wir definieren in diesem Sinne: 38.3 Definition: Ein nulldimensionales (nichtleeres) Kompaktum ohne isolierte Punkte heißt ein Diskontinuum. Ein Beispiel bildet das Cantorsche Diskontinuum % dessen Bezeichnung „Diskontinuum" demnach mit der Definition 33.3 im Einklang steht. Es gilt nun der Satz, daß vom topologischen Standpunkt aus mit 'S bereits alle Diskontinuen erschöpft sind: 33.4 Satz: Jedes Diskontinuum R ist mit dem Cantorsehen Diskontinuum "C homöomorph. Der Beweis besteht in einer Verschärfung der Überlegungen des vorigen Beweises. Wir behaupten zunächst: Bei jedem e > 0 gestattet R e-Überdeckungen ® = {D, | i = 1 , . . . , r] durch (nichtleere) disjunkte offen-abgeschlossene Diskontinuen D(, deren Anzahl gleich einer hinreichend hohen Potenz 2m von 2 ist. — Zunächst erkennt man, daß R wegen seiner Nulldimensionalität endliche abgeschlossene e-Überdeckungen durch nichtleere disjunkte Mengen Dt gestattet. Jedes D( ist nulldimensional und als Komplement der Vereinigung der endlich vielen übrigen überdeckenden Mengen auch offen, also offen-abgeschlossen. — Kein Dt hat, als Teilxaum mit der von R in £>,- induzierten Topologie aufgefaßt, isolierte Punkte. Angenommen nämlich, p wäre ein solcher Punkt, dann gäbe es eine Dj-Umgebung U von p, die außer p keinen Punkt von D( enthielte. Da D{ offen ist, wäre U auch B-Umgebung von p (Satz 6.3), also wäre p auch isolierter Punkt von R, was der Definition des Diskontinuums widerspricht. Folglich sind die D{ Diskontinuen. — Es ist d(Dt) = e,-> 0. Zerlegt man eine Menge Dt in derselben Weise wie eben R in endlich viele disjunkte Diskontinuen mit einem Durchmesser