Topologie: Band 1 Allgemeine Topologie [2., verb. Auflage. Reprint 2020] 9783112320679, 9783112309490

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

1181

TOPOLOGIE DR. W O L F G A N G

FRANZ

o. Professor der Mathematik an der Universität F r a n k f u r t

I ALLGEMEINE TOPOLOGIE Mit 9 Figuren 2., verbesserte Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen'sdie Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

BERLIN 1965

D i e Darstellung u m f a ß t folgende B ä n d e : B a a d I:

Allgemeine Topologie ( B a n d 1181)

B a n d I I : Algebraische Topologie ( B a n d 1182)

© Copyright 1964 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Ileimer — Karl J. Trübner —• Veit & Comp., Berlin 30. •— Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7712641. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis

Seite

Literaturverzeichnis Einleitung

5 6 I. Teil

Theorie der allgemeinen topologischen Bäume Kap. 1. Aromatische Grundlegung § § § §

1 2 3 4

Vorbereitung: Metrische Räume Topologische Räume Dualitätsprinzip U-, O- und K-Topologien

9 15 20 27

Kap. 2. Ausbau der Theorie § § § § §

5 6 7 8 9

Abbildungen und Funktionen Spurtopologie Zusammenhang Zusammenhang im R n Dichte

31 37 39 43 45

Kap. 3. Beziehungen verschiedener Topologien zueinander § 10 Basen § 11 Grobe und feine Topologien § 12 Produkt- und Quotiententopologien

48 52 54

II. Teil Spezielle Klassen von Räumen Kap. 4. Durch Trennungsaxiome definierte Räume § 13 Hausdorffsche Räume § 14 Reguläre Räume § 15 Normale Räume

58 62 63

Kap. 5. Durch Überdeckungseigenschaften definierte Räume: Kompakte Räume § § § § 1«

16 17 18 19

Kompaktheit Teilräume kompakter Räume Abbildungen kompakter Räume Lokalkompakte Räume. Kompaktifizicrung

66 70 72 74

4

Inhaltsverzeichnis III. Teil Metrische Bäume

Kap. 6. Theorie des metrischen Raumes § 20 Abstand von P u n k t e n und Mengen § 21 Grenzwerte, Vollständigkeit § 22 Durchmesser, Beschränktheit

Seite 75 79 83

Kap. 7. Kompakten § 23 Kennzeichnung der Kompakten § 24 Abstand, Überdeckungen, Zusammenhang § 25 Abbildungen von Kompakten

86 88 92

Kap. 8. Metrisierung topologischer Räume § 26 Die Hauptsätze § 27 Notwendige Bedingungen § 28 Hinreichende Bedingungen

95 99 101

IV. Teil Anfänge der Dimensionstheorie Kap. 9. Polyeder § 29 Das Simplex § 30 Simplizialkomplexe und Polyeder § 31 Unterteilungen

106 112 117

Kap. 10. Dimension von Kompakten § § § §

32 33 34 35

Pflasterdimension Nulldimensionale Kompakten Pflastersatz Einbettungssatz

Grundformeln aus der Mengenlehre Index

122 127 132 135

140 141

Literaturverzeichnis Es werden nur die wichtigsten Werke genannt, die zur Vertiefung oder Ergänzung des in diesem Bändchen behandelten Stoffes dienen können. 1. 2. 3. 4. 6.

6. 7.

8. 9. 10. 11. 12. 13.

14.

F. H a u s d o r f f , Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914. F. H a u s d o r f f , Mengenlehre, 3. Ausg., Berlin 1935. P. A l e x a n d r o f f und H. H o p f , Topologie I, Berlin 1935. W. H u r e w i c z und H. Wallman, Dimension Theory, Princeton 1941. n . C. AneKcaHflpoB, K0M6nHaT0pnaH TonojioriiH. (P. S. A l e x a n d r o f f , Kombinatorische Topologie), Moskau und Leningrad 1947. Englische Übersetzung: P. S. A l e x a n d r o v , Combinatorial Topology I, II, III, Rochester 1956, 57, 60. 0. K u r a t o w s k i , Topologie I, II, Warschau 1948, 1950. N. B o u r b a k i , Eléments de Mathématique, Livre III: Topologie générale. Chap. I: Structures topologiques, Paris 1951, Chap. II: Structures uniformes, Paris 1951, Chap. IX: Utilisation des nombres réels en topologie générale, Paris 1948. Jl. C. floHTpHrmr, OCHOBH KOM6HH3TOPHOH TonojioruK Englische Übersetzung: L. S. P o n t r j a g i n , Foundations of Combinatorial Topology, Rochester 1952. G.Nöbeling, Grundlagen der Analytischen Topologie, BerlinGüttingen—Heidelberg 1954. D. W. H a l l und G. L. S p e n c e r , Elementary Topology, New York—London 1955. J. L. K e l l e y , General Topology, Toronto—New Y o r k London 1955. E. K a m k e , Mengenlehre. Slg. Göschen 999/999a. Berlin 1955. B . r. EOJITHHCKHH, roMOTOimiecKaH TeopHH HenpepbiBHbix OTOöpa>KeHHH h BeKTopHbix nojieü. Trudy Mat. Inst. Steklow, No. 47 ( 1 9 5 5 ) . Englische Übersetzung: V. B. B o l t y a n s k i , Homotopy Theory of continuous mappings and of vector fields. Amer. Math. Soc. Translations, Ser. 2, Vol. 7. n . C. AneKcaiiflpoB, BBEFLEHWE B oGmyio Teopmo MHOTKCCTB h (Jtymau-iH. Moskau 1948. Deutsche Übersetzung: P. S. A l e x a n d r o f f , Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktionen, Berlin 1956.

Einleitung

Das Wort Topologie leitet sich von dem griechischen Wort TÖTTOS ab, welches Stelle, Ort oder Raum bedeutet. Die Topologie ist demgemäß Wissenschaft vom Raum, sie analysiert den Raumbegriff und untersucht die Eigenschaften allgemeiner Räume. Sie ist also ein Teilgebiet der Geometrie. Dem steht nicht entgegen, daß sie zu den anderen großen Teilgebieten der Mathematik, der Analysis und der Algebra, in enger und fruchtbarer Beziehung steht. Sie liefert der Analysis die geometrischen Grundlagen; sie empfängt andererseits von der Analysis wesentliche Impulse (Algebraische Funktionen, Algebraische Geometrie) und entwickelt sich in gewissen Gebieten gemeinsam mit der Analysis weiter (Funktionalanalysis). Der Algebra als der fundamentalen Grund- und Hilfsdisziplin der Mathematik entnimmt sie wesentliche Hilfsmittel (Lineare Algebra, Gruppenund Modultheorie) und führt ihr ihrerseits wichtige neue Ergebnisse zu (Homologische Algebra). Das eigentliche Ziel der Topologie ist jedoch stets die Gewinnung geometrischer Erkenntnisse. Der Raumbegriff wird in der Topologie so allgemein wie möglich gefaßt, er soll möglichst alles umfassen, was im weitesten Sinne des Wortes den Namen Raum verdient. Dazu gehören außer dem fundamentalen Grundmodell, dem gewöhnlichen euklidischen 3-dimensionalen Raum R3 und dem ra-dimensionalen Rn mit n = 1, 2, 3 , . . . und allen Teilmengen des Rn auch der unendlich-dimensionale Hilbertsche Raum E, die nichteuklidischen Räume und die Räume der Riemannschen Geometrie, aber auch allgemeinere Bildungen, wie z. B. die 4-dimensionale Menge der Geraden im R3, die Menge der Ellipsoide im R", die Phasenräume der Physik, Matrizen- und Funktionenräume und noch sehr viel allgemeinere hier nicht zu beschreibende Räume. Natürlich handelt es sich nicht um die besonderen Eigenschaften des einen oder des anderen dieser Beispiele, sondern um die allen diesen Räumen gemeinsamen charakteristischen

Einleitung

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Eigenschaften. Indem die Topologie so eine möglichst tief eindringende Analyse des Raumbegriffes erstrebt, hat sie nicht nur mathematischen, sondern, besonders in den grundlegenden Teilen, auch philosophisch-erkenntnistheoretischen Charakter. Während eine viel diskutierte klassische philosophische Lehre (I. Kant, 1724—1804) behauptet, daß die Euklidische Geometrie des Ä3 die denknotwendige Form menschlicher Raumanschauung sei, zeigen die ersten Kapitel der folgenden Darstellung, wie weit die neuere Forschung sich von diesem Standpunkt entfernt. Der Ausgangspunkt und die Methoden der Topologie ebenso wie ihre Beziehungen zu ihren Nachbardisziplinen lassen sich an einem besonders wichtigen Beispiel erläutern, nämlich dem Bereich der reellen Zahlen, der ja auch für viele andere Teile der Mathematik von grundsätzlicher Bedeutung ist. Reelle Zahlen lassen sich addieren und multiplizieren, und die Gesetze, denen Addition und Multiplikation gehorchen, lassen sich aus wenigen Grundgesetzen, den sogenannten Körpergesetzen, ableiten. Die A l g e b r a untersucht diese Grundgesetze und ihre Konsequenzen. Sie betrachtet allgemeinere axiomatisch definierte Bereiche, in denen ähnliche Verknüpfungsoperationen wie Addition und Multiplikation mit denselben oder ähnlichen Grundgesetzen als Axiomen vorliegen und gelangt so zu den Begriffen Körper, Ring, Gruppe und anderen und zur Theorie dieser algebraischen Strukturen. An den Verknüpfungsoperationen der reellen Zahlen und ihren Verallgemeinerungen ist die T o p o l o g i e nicht oder jedenfalls zunächst nicht interessiert. Sie richtet vielmehr ihr Augenmerk auf solche Eigenschaften, die den reellen Zahlen als eindimensionalem Raum oder als Zahlgeraden zukommen, etwa auf die Tatsache, daß die Zahlenfolge 1, . . . den Grenzwert Null hat. Sie hat es mit den Begriffen Umgebung, Nachbarschaft, Offenheit oder Abgeschlossenheit von Mengen reeller Zahlen, Stetigkeit reeller Funktionen und mit ähnlichen Begriffen zu tun. Unter diesen Begriffen wählt sie möglichst einfache und möglichst wenige als axiomatische Grundbegriffe und unter den Eigenschaften dieser Grundbegriffe möglichst einfache

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Einleitung

und wenige als Axiome aus und gelangt so, ganz analog zu dem oben beschriebenen Verfahren der Algebra, zu dem grundlegenden Begriff des allgemeinen topologischen Raumes. Man vergleiche etwa die späteren Definitionen 2.1 oder 4.1. Das eigentliche Gebäude der Topologie besteht in den aus diesen Axiomen abzuleitenden Eigenschaften dieser topologischen Räume und solcher Klassen spezieller Räume, die sich aus ihnen durch weitere einschränkende Axiome ableiten lassen. — Von diesem Standpunkt aus stellt sich im übrigen die Rolle der Analysis, der Theorie der Funktionen auf der reellen Geraden, wie folgt dar: Sie ist eine zusammengesetzte Struktur, die teils auf algebraischen, teils auf topologischen Axiomen beruht und infolgedessen ein komplizierteres Gepräge zeigt als Algebra und Topologie. Genau genommen spielt noch eine weitere, eine Anordnungsstruktur, dabei eine Rolle, auf die hier nicht eingegangen wird. Da im folgenden ein axiomatischer Aufbau der Topologie gegeben wird, sind zum Verständnis Vorkenntnisse aus anderen Gebieten grundsätzlich nicht erforderlich. Es wird aber nichtsdestoweniger erwartet, daß der Leser mit den Grundtatsachen der reellen Analysis, der Algebra und der elementaren Geometrie einigermaßen vertraut ist, und zwar aus den folgenden beiden Gründen: Zunächst trägt es wesentlich zum Verständnis und zur richtigen Würdigung der Gedankenführung eines axiomatischen Gebäudes bei, wenn man bereits eine ungefähre Vorstellung wenigstens von den rohesten Umrissen des zu Erwartenden hat und wenn man die Tragweite und die Gültigkeit oder Nichtgültigkeit allgemeiner Sätze an Hand eines bereits bekannten speziellen Modells vergleichend beurteilen kann. Zum anderen müssen wir von Anfang an bei den Beispielen zur allgemeinen Theorie gewisse Grundtatsachen aus den genannten Gebieten als bekannt voraussetzen und benutzen. — Für den in der Lektüre mathematischer Literatur weniger Erfahrenen sei noch folgendes bemerkt: Die Ausführungen und insbesondere die Beweise sind im allgemeinen knapp gehalten, sie erfordern ein genaues Durchdenken aller Einzelheiten,

§ 1. Vorbereitung: Metrische Räume

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auch solcher, die nicht bis ins letzte ausgeführt sind. Dies geschieht am besten, indem man die Schlüsse selbständig im einzelnen nachvollzieht (mit Papier und Bleistift!) und insbesondere reichlich Figuren und Lageskizzen anfertigt, die hier aus Platzmangel nur in wenigen Fällen beigefügt werden konnten. I. Teil

Theorie der allgemeinen topologischen Räume Kap. 1. Axiomatische Grundlegung § 1. Vorbereitung: Metrische Räume In diesem Paragraphen behandeln wir noch nicht allgemeine topologische Räume, sondern als Vorstufe eine etwas einfachere, zugleich aber besonders wichtige spezielle Klasse von Räumen, die sogenannten metrischen Räume. Diese Einführung dient zunächst dazu, Beispiele bereitzustellen und auf die später aufzustellenden Axiome der topologischen Räume hinzuführen, so daß sie dem Leser vollständig plausibel erscheinen. Erst in Kapitel 6 werden wir die Theorie der metrischen Räume um ihrer selbst willen eingehender entwickeln. 1.1 D e f i n i t i o n : Eine Metrische Struktur, kurz eine Metrik, über einer Menge R ist gegeben, wenn jedem Paar x, y von Elementen von R eine reelle Zahl d(x, y) Si 0 zugeordnet ist mit den Axiomen

[M 1] d(x, y) = 0 dann und nur dann, wenn x = y. [M 2] d(y,x) = d(x,y). [i¥ 3] Dreiecksaxiom\ d(x, z) rgj d(x, y) + d(y, z). 1.2 D e f i n i t i o n : Eine Menge R zusammen mit einer Metrik über R heißt ein metrischer Raum. Man sagt, die Metrik sei der Menge R aufgeprägt. Die Menge R heißt die dem metrischen Raum zugrunde liegende Menge. Die Elemente von R heißen Punkte, d(x, y) heißt der Abstand oder die Entfernung der Punkte x und y.

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Kap. 1. Aromatische Grundlegung

Über einer Menge R können sehr wohl verschiedene Metriken durch verschiedene Abstandsfunktionen d(x, y) und d'(x, y) gegeben sein, wie es die später folgenden Beispiele zeigen. Die Abstandsfunktion d{x, y) befolgt zwei weitere, der Dreiecksungleichung ähnliche Regeln: | d{x, z) — d(z, y) | U, so F e U(p). Wenn Uv U2 e U(p), so U^ U2 e 11 (p); R e U(p). Zu U e ll(p) gibt es ein V e VL(p) so, daß U e U(i/) für alle y e V.

2.2 Definition: Eine Menge R zusammen mit einer Topologie 2 über R heißt ein topologischer Raum. % heißt der Menge R aufgeprägt; die Menge R heißt die dem topologischen Raum zugrunde liegende Menge. Die Elemente von R heißen Punkte des topologischen Raumes. Die Axiome [U 1] — [ZJ 4] sind bis auf geringfügige Änderungen die Hausdorff sehen Umgebungsaxiome, die von F. Hausdorff in seinem klassischen Werk über Mengenlehre (Lit.-Verz. Nr. 1) der Topologie zugrunde gelegt worden sind. — Man beachte, daß für jeden Punkt p e R das System ll(p) nicht leer ist, denn es ist jedenfalls R € U(p). Die

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Kap. 1. Axiomatische Grundlegung

leere Menge 0 gehört wegen [ U 1 ] sicher zu keinem System U(p). Die Umgebung V in [U 4] ist Teilmenge von U, denn jeder Punkt y tV hat JJ zur Umgebung, ist also nach [U 1] in U enthalten. Jeder metrische Raum wird zu einem topologischen Raum, wenn man Umgebungen so definiert, wie es am Schluß von § 1 geschehen ist; dort haben wir gerade nachgewiesen, daß die Umgebungen der Punkte eines metrischen Raumes die Axiome [U 1] — [U 4] erfüllen. Man sagt kurz, jeder metrische Raum sei auch ein topologischer Raum, eine metrische Struktur über einer Menge R induziere eine topologische Struktur. Die im folgenden entwickelte Theorie der topologischen Räume liefert also zugleich Sätze über metrische Räume; unsere Beispiele für metrische Räume sind zugleich Beispiele für topologische Räume. Entsteht so aus jeder metrischen eine topologische Struktur, so kann man keineswegs sagen, daß auch umgekehrt jede topologische Struktur aus einer geeigneten metrischen Struktur hervorgeht. Wir definieren in diesem Sinne: 2.3 Definition: Eine gegebene topologische Struktur % über R bzw. ein topologischer Raum R heißt metrisierbar, wenn es eine metrische Struktur über R gibt, die diese topologische Struktur £ induziert. Zwei metrische Strukturen über derselben Menge R heißen topologisch äquivalent, wenn sie dieselbe topologische Struktur induzieren. Mit dem Problem der Metrisierbaikeit eines topologischen Raumes werden wir uns im Kapitel 8 beschäftigen.

Als ein Beispiel einer trivialen Topologie, die über jeder Menge R eingeführt werden kann, nennen wir die diskrete Topologie, die jedem Punkt p von R jede p enthaltende Menge als Umgebung zuordnet. Man verifiziert sofort, daß bei dieser Festsetzung die Axiome [¡71]—[U 4] erfüllt sind. Diese Topologie ist metrisierbar, nämlich durch die diskrete Metrik, die durch d(x, y) = 1 für x 4= y definiert ist. In der Tat ist bei dieser Metrik jeder Punkt Umgebung seiner selbst und daher jede Menge Umgebung aller ihrer Punkte. Wir geben noch ein weniger triviales Beispiel eines topologischen Raumes R, und zwar eines solchen, der nicht metrisierbar ist. Der

§ 2. Topologische Räume

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Beweis für die Nichtmetrisierbaikeit ist nicht schwer; wir lassen ihn aber bis zur grundsätzlichen Behandlung solcher Fragen im Kapitel 8 beiseite. Die Menge R bestehe aus allen reellen, nicht notwendig stetigen Funktionen f über der reellen Geraden R1. Als Umgebungen eines Punktes / von R sollen zunächst die folgenden Mengen von Funktionen h von R gelten: ü = U(s\Xj,...,

xn) = {h 11 h(x() - fix,) | < e für i = 1 , . . . , n } .

FernersollenaHeObermengensolcherUmgebungenZ7(e;®[,... ,xn) Umgebungen von f sein. Man sieht leicht, daß bei dieser Festsetzung die Umgebungsaxiome erfüllt sind. [TJ1] und [Z7 2] liegen auf der Hand. Der Durchschnitt von TJ{b-,o^, . . . , xn) und U(e'; . . . , xJi,) enthält ersichtlich eine Umgebung U(tj; xn, x[,..., x'm) mit einem t\ g e, e', woraus man [17 3] erschließen kann. Auch [U 4] ist unschwer (nach dem Muster der Überlegung bei (Z7 4) am Schluß von § 1) zu beweisen. — Wir vermerken noch folgende Eigenschaft von R: Sind f e R,g € + g, so gibt es eine Umgebung ü von / und eine Umgebung V von g mit U r\ V = 0 ; gilt nämlich für die reelle Zahl a;0 die Ungleichung f(x0) 4= g(x0), so kann man mit jedem e der Eigenschaft 8 < \ I f(xo) — g(xo) I offenbar U als Umgebung U(e; x0) von / und V als Umgebung U(e;x0) von g nehmen. — Wir werden diesen Raum noch verschiedentlich als Beispiel heranziehen.

2.4 Definition: A sei eine Teilmenge des Raumes R.

topologischen

(1) Ein Punkt p e R heißt innerer Punkt von A, wenn es eine Umgebung TJ e ll(p) gibt, die ganz zu A gehört. Die Menge aller inneren Punkte heißt das Innere oder der Kern von A, bezeichnet als A. (2) Ein Punkt p e R heißt äußerer Punkt in bezug auf A, kurz zu A, wenn es eine Umgebung U e tt(p) gibt, die ganz zum Komplement CA gehört. Die Menge der äußeren Punkte von A heißt das Äußere von A. (3) Ein Punkt p e R heißt Randpunkt von A, besser in bezug auf A, wenn in jeder Umgebung von p Punkte von A und Punkte von CA vorkommen. Die Menge aller Randpunkte heißt der Rand von A, bezeichnet als qA. 2

F r a n z , Topologie J .

Kap. 1. Asomatische Grundlegung

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Für einen Punkt p e R trifft genau eine der drei Möglichkeiten in Definition 2.4 zu: Wenn (1) eintritt, kann nicht auch (2) eintreten, da sonst der Durchschnitt der beiden dort genannten Umgebungen eine Umgebung von p wäre, die zugleich zu A und CA gehörte; auch (3) kann dann natürlich nicht eintreten. Ebenso schließt der Fall (2) die Möglichkeiten (1) und (3) aus, und trivialerweise schließt (3) die Fälle (1) und (2) aus. — Umgekehrt muß für jeden Punkt p e R einer der drei Fälle eintreten: Wenn (1) und (_2) nicht eintreten, folgt das Eintreten von (3). — Das Außere von A stimmt mit dem Inneren von CA überein. Die Randpunkte von A zerfallen in die zu A gehörigen und die nicht zu A gehörigen. 2.5 Definition: Ein Punkt p e R heißt Berührungspunkt von A, wenn in jeder Umgebung von p Punkte von A vorkommen. Die Menge aller Berührungspunkte heißt die Hülle von A, bezeichnet als A. Die Hülle A ist hiernach die Vereinigungsmenge von A und QA. Wir vermerken als einfache Folgerungen die nachstehenden wichtigen Gleichungen und Ungleichungen, deren jede man sorgfältig an Hand der beiden letzten Definitionen nachprüfe: A . Die verschiedenen unter den Intervallen Ix sind also disjunkt. — (3) Ein Endpunkt a eines Intervalles Ix kann nicht zu 0 gehören, denn sonst hätten I x und I a gemeinsame Punkte ohne übereinzustimmen, im Gegensatz zu (2). — Damit ist der Satz bewiesen, wenn wir noch zeigen, daß höchstens abzählbar viele verschiedene Intervalle I x in Frage kommen. Dies zeigt der folgende, etwas allgemeinere Satz. 3.14 Satz: Jedes System disjunkter offener Mengen im Rn ist endlich oder abzählbar.

§ 4. U-, 0 - und K-Topologien

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Beweis: Man nehme in jeder der offenen Mengen einen rationalen Punkt, d. h. einen solchen, dessen sämtliche Koordinaten rational sind. Dadurch wird das System der offenen Mengen umkehrbar eindeutig bezogen auf eine Teilmenge der rationalen Punkte. Da die Menge der rationalen Punkte im Rn abzählbar ist, ergibt sich ohne weiteres die Behauptung des Satzes. § 4. U-, 0 - und K-Topologien I m Vorangegangenen haben wir eine Topologie % über einer Menge R eingeführt, die sich auf den Umgebungsbegriff, genauer auf die f ü r jeden P u n k t p € R gegebenen Umgebungssysteme l l ( p ) als axiomatischen Grundbegriff stützte. Wir werden jetzt eine andere Art Topologie über derselben Menge R kennenlernen, die sich auf den Begriff „ o f f e n " als axiomatischen Grundbegriff stützt. Dabei treten die Begriffe „ U m g e b u n g " , „offen", „ K e r n " usw. in beiden Topologien auf u n d beziehen sich in beiden Fällen auf Teilmengen derselben Menge -R. U m hier von vornherein jede Verwechslung auszuschließen, bezeichnen wir — nur f ü r die Zwecke dieses Paragraphen — die bisher entwickelte, auf dem Umgebungsbegriff basierende Topologie als Umgebungstopologie %v oder kurz als U-Topologie u n d versehen alle Begriffe und Bezeichnungen mit einem kennzeichnenden U, sprechen also von ZT-Umgebungen, dem System Ui?(p), von [/-offenen Mengen, dem [/-Kern usw. I m Gegensatz dazu definieren wir jetzt, zunächst völlig unabhängig vom Bisherigen, eine neue O-Topologie wie folgt: 4.1 Definition: Eine O-Topologie %o über einer Menge R ist definiert, wenn in R ein System, Do von Teilmengen von R, den O-Mengen, ausgezeichnet ist derart, daß folgende Axiome gelten: [01] Die Vereinigung von O-Mengen ist wieder eine 0Menge. 0 ist O-Menge. [ 0 2] Der Durchschnitt endlich vieler O-Mengen ist wieder eine O-Menge. R ist O-Menge. Die O-Mengen werden auch O-offen genannt.

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Kap. 1. Axiomatische Grundlegung

Man erkennt, daß die Axiome [0 1], [0 2] in Analogie zu den Behauptungen (01) und (0 2) von Satz 3.1 gebildet sind. 4.2 Definition: Eine Menge U heißt O-Umgebung eines Punktes p, wenn es eine O-Menge 0 gibt mit p € 0 U O-Umgebung von p. (U 3) Der Durchschnitt endlich vieler O-Umgebungen von p ist wieder O-Umgebung von p. R ist O-Umgebung von p. (U 4) Ist U O-Umgebung von p, so gibt es eine O-Umgebung V von p derart, daß U O-Umgebung aller Punkte y von V ist. (U 1) und (U 2) sind nach der Definition der O-Umgebungen klar. (U 3) verifiziert man sofort unter Benutzung von [0 2]. (U 4) endlich beweist man dadurch, daß man als O-Umgebung V, die dort verlangt wird, gerade die 0offene Menge 0 von Definition 4.2 nimmt, die ja selbst sicher Umgebung von p ist. Damit sind die Sätze (U1)— (U 4) bewiesen. 4.3 Satz: Eine Menge ist dann und nur dann O-offen, wenn sie O-Umgebung aller ihrer Punkte ist. Beweis: Ist die Menge A 0-offen, so ist A nach Definition 4.2 O-Umgebung für jeden Punkt x € A. — Ist umgekehrt A O-Umgebung aller Punkte x € A, so gibt es zu jedem x eine O-offene Menge 0X mit x € 0X U; da £7 6 U(ic), ist auch / - 1 ( F ) 6 U(a;) nach [£7 2]. — Ist umgekehrt (2) erfüllt, so wähle man / _ 1 (F) als diejenige Umgebung, deren Existenz in (1) verlangt wird; es ist ja /(/-i(F)) (3): / erfülle (2'). Ä sei ein Teil von R und p ein Berührungspunkt von A. Zu beweisen ist f(A) c f(A) oder f(p) 6 f{A). Nun ist / _ 1 ( / ( J . ) ) nach Voraussetzung (2') abgeschlossen, mit A gehört also auch der Berührungspunkt p zu f~1(f(A)). Dies bedeutet gerade f(p) €f(A). (3)=*-(2'): / erfülle (3). B sei ein abgeschlossener Teil von S, p ein Berührungspunkt von / - 1 ( ß ) . Zu zeigen ist, daß abgeschlossen ist oder daß p € / _ 1 ( B ) . Nun ist f(p) Berührungspunkt von / ( / - 1 ( S ) ) nach Voraussetzung (3). D a f(j~1(B)) offen; jedes Intervall auf [0,1] von einer Länge > g n enthält Punkte von

Wir bilden

Ct ,»2 : i3 .. 12 von C-Intervallen, die sämtlich p enthalten. So entsteht aus p eine eindeutig bestimmte Folge 2i3... aus Zahlen 0 oder 1. Umgekehrt entspricht jeder solchen Folge ein eindeutig bestimmter Punkt p e 15. 15 ist also umkehrbar eindeutig bezogen auf die Menge aller dieser Folgen, und da diese Menge die Mächtigkeit c des Kontinuums hat, hat auch 15 diese Mächtigkeit. Daraus folgt insbesondere, da ISj abzählbar ist, daß 152 nicht leer ist, vielmehr sogar selbst die Mächtigkeit c hat. — (5) 15 ist nirgends dicht in [0,1], denn jede offene Menge von [0,1] oder jedes offene Intervall von [0,1] enthält Punkte von jB(«), wenn n so groß ist, daß ^ ö kleiner ist als die Länge des Intervalls. — (6) 15 ist nulldimensional, worunter folgendes verstanden wird (vgl. § 32, 33): Für jedes reelle e > 0 ist 15 darstellbar als Summe endlich vieler abgeschlossener disjunkter Teilmengen eines Durchmessers < e. Solche Teilmengen,

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Kap. 3. Beziehungen verschiedener Topologien zueinander

und zwar vom Durchmesser gj - n , bilden offensichtlich die Mengen 15/-» C^ . . . i n , wenn C^ . . . ¡ n alle C-Intervalle n-ten Ranges durchläuft. — Ohne Beweis bemerken wir noch, daß man 15 in formal besonders einfacher Weise definieren kann als Menge aller derjenigen reellen Zahlen a, die sich als triadische Brüche « = 0 , . . . schreiben lassen, die nur die Ziffern 0 und 2, nicht aber die Ziffer 1 benutzen. K a p . 3. Beziehungen verschiedener Topologien zueinander § 10. Basen Eine Topologie % über einer Menge R ist vollständig bestimmt durch das System £> der offenen Mengen bzw. durch die Systeme U(p) der Umgebungen der Punkte p. Diese Systeme sind umgekehrt durch % eindeutig bestimmt. Für manche Zwecke, insbesondere zur Konstruktion von Topologien über einer gegebenen Menge, ist es erwünscht, % durch weniger umfassende, wenn auch nicht eindeutig durch % bestimmte Systeme zu beschreiben. Dies geschieht durch Raumbasen und Umgebungsbasen, die wir jetzt einführen. 10.1 Definition: Ein System SB = { By \ v aus einer Inäexmmge N} von offenen Teilen Bv des topologischen Raumes R heißt eine Basis von R oder eine Basis von % wenn jede offene Menge von R Vereinigungsmenge von Elementen von 83 ist. Wir weisen darauf hin, daß wir 0 in jedem Falle als Vereinigungsmenge (siehe Index) mitrechnen; 0 braucht also nicht in 35 vorzukommen. — Beispiele: (a) D selbst ist Basis von R. — (b) In einem metrischen Raum R bilden sämtliche Kugelumgebungen aller Punkte von R eine Basis. Ist nämlich 0 eine offene Menge von R, x € 0 , so gibt es eine Umgebung Ux = Vie(x) mit x€Ux ¡D'. Im allgemeinen wird von zwei Topologien iE und X' über Ii nicht die eine feiner als die andere sein, D und D' werden sich beliebig überschneiden. — Man beachte, daß auch im Falle % = 2/ % feiner als heißt. — Ein Beispiel wird durch die beiden Topologien von § 1, Beispiel (c) und (c') geliefert. Die Topologie von (c) ist gröber als die von (c'), und zwar nicht gleich, wie man sich leicht klar machen kann. Dagegen sind die Topologien der Beispiele (a), (a') und (a") die gleichen, nur von verschiedenen Metriken erzeugt. Die Metriken d (x,y), d'(x, y) undd"(a;, y) in diesen drei Fällen sind topologisch äquivalent (Definition 2.3). Es gibt eine feinste Topologie über einer Menge R, die feiner als alle übrigen Topologien über R ist, nämlich offenbar die diskrete Topologie, die wir bereits im Anschluß an Definition 2.3 betrachtet haben. In ihr besteht £) aus der Menge aller Teile von R, alle Teilmengen von R sind offen, alle abgeschlossen. ll(p) besteht aus allen Mengen, die p enthalten. Für jede Teilmenge Aa R ist A = A = A. — Es gibt ferner eine gröbste Topologie über R. In ihr besteht D nur aus 0 und R, und dies sind auch die einzigen abgeschlossenen Mengen. Jeder Punkt hat nur R als Umgebung, für beliebige A 4= 0 , 4= R ist A= 0 , A = R. 11.2 Satz: % und %' seien zwei Topologien über derselben Menge R. Dann ist £ feiner als %' dann und nur dann, wenn eine der folgenden, einander gleichwertigen Bedingungen erfüllt ist: (1) Für die Systeme der offenen Mengen in % und %' gilt D > D'. (1') Für die Systeme der abgeschlossenen Mengen in % und %' gilt 81 =>21'. (2) Für die Umgebungssysteme in und %' gilt ll(p) >U'(p) für jedes p e R.

§ 11. Grobe und feine Topologien

53

(3) Der Kern in % einer Menge A enthält den Kern in von A. (3') Die Hülle in £ einer Menge A ist enthalten in der Hülle in %' von A. Der Beweis ergibt sich aus den Sätzen der § 2, 3, die die Grundbegriffe „offen", „abgeschlossen", „Umgebung" usw. gegenseitig charakterisieren. So ist etwa der Kern A die größte offene Teilmenge von A; da D mehr offene Mengen enthält als D', ist der Kern in % von A umfassender als der Kern in 11.3 Satz: Sind die Systeme 33 und 58' Basen der Topologien £ und über derselben Menge R, so ist £ dann und nur dann feiner als %', wenn es zu jeder Menge B'ß e 33' und jedem p e Jj'ß ein Bt e 58 gibt mit ptBv< £y Beweis: Ist % feiner als so ist B'^ Vereinigung von Mengen B„, und mindestens eine dieser Mengen Bv muß p enthalten, p e Bvn0 ist xn € U, also xn(V, daher kann q nicht Limes der Folge sein. 13.8 Satz: Ist f:R-+S eine hei p € R stetige Abbildung, hausdorffscher Räume R, S, so gilt Aus lim xn = p folgt lim f(xn) = f(p). n-->-00

«—a

§ 13. Hausdorffsche Räume

61

1

Beweis: Sei V € U(/(p)). U = / - ( 7 ) ist wegen der Stetigkeit bei p Umgebung von p. Es gibt ein n 0 , das von U, also von V abhängt, derart, daß xn€U, wenn n> na. Es folgt f(xn) € V für diese w, womit die Limes-Gleichung bewiesen ist. 13.9 Definition: Ist A ein Teil von R, so heißt p € R Limespunkt von A, wenn p Limes einer Punktfolge aus A ist. Hiernach ist ein Limespunkt von A sicher ein Berührungspunkt von A. Das Umgekehrte gilt nicht allgemein. Wir zeigen das an dem Funktionenraum, den wir unmittelbar vor Definition 2.4 als Beispiel angeführt haben. A sei die Teilmenge von R, die aus den Funktionen / besteht, die fast überall den Wert 1, nur an endlich vielen Stellen nicht 1, sondern 0 als Wert haben. / habe überall den Wert 0. f ist sichtlich Berührungspunkt von A, aber, so behaupten wir, nicht Limespunkt von A. Ist nämlich ft,f2, ••• irgendeine Folge aus A mit dem Limes /*, so kann f* höchstens an den Stellen 0 sein, an denen eine der Funktionen , / , , . . . 0 ist, und das sind für jede dieser Funktionen endlich viele, insgesamt also höchstens abzahlbar viele. An allen anderen Stellen hat f* den Wert 1, es ist also f* /. Will man die Berührungspunkte ähnlich wie die Limespunkte einer Menge durch Grenzbildungen erfassen, so hat man sogenannte „Filter" einzuführen, die jedoch außerhalb unserer Darstellung liegen. (Vgl. Lit.-Verz. Nr. 7.) In einem hausdorffschen Raum kann man von den Häufungspunkten p einer Menge A über die Definition 3.11 hinaus noch etwas mehr aussagen. Ist nämlich U1 eine Umgebung von p, so liegt in U1 definitionsgemäß noch ein Punkt x1 =(= P von A. Ist U2 eine Umgebung von p gemäß [Hd], die x1 nicht enthält, so liegt entsprechend in U1 r\ U2 ein x%A=P> 4= x i • So fortfahrend erhält man innerhalb U1 eine Folge xv x2, . . . voneinander verschiedener Punkte von A. Wir können also sagen: 13.10 Satz: In einem hausdorffschen Raum liegen in jeder Umgebung eines Häufungspunktes p einer Menge A unendlich viele Punkte von A.

62

Kap. 4. Durch Trennungsaxiome definierte Räume

§ 14. Reguläre Bäume 14.1 Definition: Ein topologischer Raum, R und seine Topologie % heißen regulär, wenn R hausdorffsch ist und, eine der drei folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllt: [Rg] Zu jeder abgeschlossenen Menge Ac R und jedem Punkt p { A gibt es Umgebungen U von A und V von p mit Ur^V = 0 . [.%'] Jede Umgebung eines Punktes p enthält eine abgeschlossene Umgebung von p; m. a. W. die abgeschlossenen Umgebungen von p bilden eine Umgebungsbasis von p. [Rg"] Jede Umgebung U eines Punktes p enthält eine offene Umgebung W von p mit W Ua', woraus wegen Ur>Ur' folgt Ua > Us'. Setzen wir noch Ua = R für « < 0 und U a = 0 für « > 1, so gilt für alle reellen « C^« ^ i^«' i wenn ; man sagt auch, 2)' sei in 2) enthalten. Eine Überdeckung (5 = { Eß \ ¡j, € M =} von R heißt eine Verfeinerung der Überdeckung ® von R, wenn zu jedem Eß € (£ ein Dv € 2) existiert mit E„czDv. Ist A eine Teilmenge von R, so sagt man, das System ® = { Z ) F | r C N } von Teilmengen von R überdecke A, wenn A < UDV. — Im Hinblick auf den Heine-Borelschen Überdeckungssatz über Punktmengen im R" definieren wir: 16.1 Definition: Ein topologischer Raum R und seine Topologie £ heißen kompakt, wenn R hausdorffsch ist und eins der folgenden, gleichwertigen Axiome erfüllt: \Kp\ Jede offene Uberdeckung von R besitzt eine endliche Teilüberdeckung. [Kp'] Jedes System 21 von abgeschlossenen Teilmengen von R vom Durchschnitt 0 besitzt ein endliches Teilsystem vom Durchschnitt 0. [Kp"~\ Ein System 91 von abgeschlossenen Teilmengen von R, von dem jedes endliche Teilsystem nichtleeren Durchschnitt hat, hat selbst einen nichtleeren Durchschnitt. Die Gleichwertigkeit dieser Axiome liegt auf der Hand. \Kp'] ist dual zu [Kp\, ist die Formalumkehrung von [Kp'\. Als Beispiele für kompakte Käume führen wir an: (1) Jede endliche Menge mit einer hausdorffschen Topologie. — (2) Eine konvergente Folge einschließlich ihres Limes; man erkennt die Kompaktheit sofort aus der Definition des Limes. — (3) Im Rn sind die kompakten Mengen identisch mit den zugleich abgeschlossenen und beschränkten Mengen. Der Heine-Borelsche Überdeckungssatz der Analysis nämlich zeigt auf der einen Seite, daß diese Mengen kompakt sind, während andererseits Satz 17.2 unten zeigt, daß eine kompakte Menge des Rn abgeschlossen ist, und man sofort sieht, daß eine nicht beschränkte Menge des Rn nicht kompakt sein kann. Einen unabhängigen Beweis für diese Behauptung werden wir in § 23 kennenlernen. 6»

68

Kap. 5. Durch Überdeckungseigenschaften definierte Räume

16.2 Definition: Eine Teilmenge Ac:R kompakt, wenn A als Teilraum kompakt ist.

von

R

heißt

16.3 Satz: Eine Teilmenge A. . . nichtleerer abgeschlossener Teilmengen von R hat nichtleeren Durchschnitt. Kompakte Mengen haben diese Eigenschaften. Beweis: ( 1 ) = » ( 2 ) : Angenommen, die unendliche Menge A habe keinen Häufungspunkt. A0 = { xt \ i = 1, 2 , . . . } sei eine abzählbare Teilmenge von A aus lauter verschiedenen Punkten x{. Auch A0 hat keinen Häufungspunkt, ist also abgeschlossen, C^40 also offen. Zu jedem x( gibt es eine offene Umgebung Ut € II (x(), die außer x{ keinen Punkt von A0 enthält. CA0 und die U{ bilden eine offene abzählbare Überdeckung von R, die nach (1) eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Das ist aber offensichtlich unmöglich, unsere Annahme war also falsch.

§16. Kompaktheit

69

(2) (3): Wenn in der gegebenen Folge nichtleerer abgeschlossener Mengen A{ (i = 1, 2 , . . . ) von einem Index an alle At einander gleich sind, ist sicher fli,- 4= 0 . Andernfalls kann man eine Teilfolge sämtlich voneinander verschiedener Aj auswählen; wir dürfen annehmen, daß von vornherein A( 4= Ai+1. Man wähle dann je einen Punkt a,- £ A{ — Ai+l und nach (2) einen Häufungspunkt a der unendlichen Menge der a{. at und alle a,- mit j > i liegen in A^ Wegen der Abgeschlossenheit von At ist also a € A{, a € HAi, womit D 4 , als nichtleer erkannt ist. ( 3 ) ^ ( 1 ) : 2) = { D( | i = 1, 2 , . . . } sei eine abzählbare offene Überdeckung von R. Die Mengen A{ = C(D1...Di) bilden für i = 1, 2,. . . eine abnehmende Folge abgeschlossener Mengen vom Durchschnitt 0 . Daher ist nach (3) sicher ein An = 0 , also 0 = C(D1 w . . . w f l , ) , R = D t V-A . . w D „ womit eine endliche Teilüberdeckung von % konstruiert ist. — Daß kompakte Mengen diese Eigenschaften haben, zeigt die Bedingung (1) ohne weiteres. Ein hausdorffscher Raum mit den Eigenschaften (1)—(3) braucht nicht kompakt zu sein. Ein Beispiel eines nicht kompakten hausdorffschen Raumes mit (1)—(3) findet man etwa bei Alexandroff-Hopf, Lit.-Verz. Nr. 3, S. 86 *). Es gilt aber: 16.5 Satz: Ein hausdorffscher Raum mit äbzählbarer Basis, der eine der Eigenschaften (1)—(3) des letzten Satzes besitzt, ist kompakt. Beweis: 58 = { Bt \ i = 1, 2 , . . . } sei eine abzählbare Basis von R, 3) = { A> | v € N } mit beliebiger Indexmenge N eine offene Überdeckung von R. Wir haben eine endliche Teilüberdeckung von R zu konstruieren. — Jede *) In der russischen Literatur und bei Alexandroff-Hopf (Lit.-Verz. Nr. 3) werden die kompakten Räume als „bikompakt" bezeichnet, während hausdorffsche Räume mit den Eigenschaften (1) — (3) „kompakt" genannt werden. Die durch diese Eigenschaften charakterisierten „russisch-kompakten" Räume (eine sachlich begründete Bezeichnung wäre „^„-kompakt") bilden also eine etwas größere Klasse als die kompakten Räume. Da jedoch russischkompakte aber nicht kompakte Räume nur eine geringe Bedeutung haben, empfiehlt sich die russische Bezeichnungsweise kaum. Für Räume mit abzählbarem Gewicht (Satz 16.5) und für metrische Räume (Satz 23.2) fallen beide Begriffe zusammen.

70 Kap. 6. Durch Überdeckungseigenschaften definierte Bäume Menge Dv ist als Vereinigungsmenge gewisser Basismengen B( darstellbar. Das System aller bei diesen Darstellungen der Dv auftretenden B¡ bildet offenbar eine abzählbare offene tjberdeckung von R. Von dieser abzahlbaren Überdeckung genügt nach (1) ein endliches Teilsystem S>' = { B'v ..., B'n } zur Überdeckung von R. Jede Menge Bj ( j = 1 , . . . , n) ist in mindestens einer Menge Dv enthalten. Diese n Mengen Dv bilden ersichtlich eine endliche Teilüberdeckung von 3). § 17. Teilräume kompakter Bäume Die beiden folgenden Sätze bilden ein zusammengehöriges Satzpaar. 17.1 Satz: In einem kompakten schlossene Menge kompakt.

Raum ist jede abge-

17.2 Satz: In einem hausdorffschen Raum ist jede kompakte Menge abgeschlossen. Beweis von Satz 17.1: R sei kompakt, A< R, A abgeschlossen. Wir beziehen uns auf [ K p ' ] : 31 = { Av \ v aus einer Indexmenge N } sei ein System A-abgeschlossener Teilmengen von A vom Durchschnitt 0 . Da A abgeschlossen ist, sind die Av auch Ä-abgeschlossen (Satz 6.3, 2. Hälfte). [Kp'], angewandt für R, besagt, daß 2Í ein endliches Teilsystem vom Durchschnitt 0 besitzt. Dies bedeutet aber auch, daß [Kp'] für den Raum A gilt, d. h. daß A kompakt ist. Beweis von Satz 17.2: A sei ein kompakter Teil des hausdorffschen Raumes R. Wir zeigen, daß CA offen ist. Sei p 3 A; wir zeigen, daß eine ganze Umgebung von p zu CA gehört, x durchlaufe die Punkte von A. Nach [Hd\ existieren Umgebungen Ux € ll(a;), Vx € 11 (p) mit Uxr\Vx — 0 . Ux und Vx können als offen angenommen werden. Endlich viele dieser U x , etwa U X l , . . . , U X n , reichen zur Überdeckung von A aus. Dann sind

ü = uutl, v = nvx. i-l

'

i=l

'

§ 17. Teilräume kompakter Räume

71

offen, also Umgebungen von A und p mit Ur\ V = 0 . Insbesondere ist V Umgebung von p, die A nicht trifft, w. z. z. w. — Unser Beweis ergab etwas mehr, nämlich daß A und p trennende Umgebungen besitzen, was wir gleich noch benötigen werden. — In einem kompakten Raum sind nach den beiden letzten Sätzen die Begriffe „abgeschlossen" und „kompakt" gleichbedeutend. 17.3 Satz: Ein kompakter Raum ist normal. Wir beweisen zunächst die Regularität, dann die Normalität. — Sei R kompakt, A < R, A abgeschlossen, p $ A. Wir beweisen [Ägr]: Nach Satz 17.1 ist A kompakt. Nach der Schlußbemerkung des letzten Beweises existieren Umgebungen U von A und V von p mit Ur\ V = 0 , w. z. z. w. — Seien A, B disjunkt und abgeschlossen, also kompakt in R. Wir beweisen [Nm\: Sei y € B. Wie eben existieren offene Umgebungen Uy von A und Vy von y mit Uyr\ Vu = 0. Endlich viele der Vv, etwa VSi,..., Vyn, reichen zur Überdeckung von B aus. Dann sind

u = r\u,t,

y = uYy.

offene Umgebungen von A und B mit Ur\ 7 = 0 , sie in [iVm] verlangt werden.

wie

17.4 Satz: In einem hausdorffschen Raum ist mit A und B auch A^-/B und Ar\ B kompakt. Beweis: (1) ® _= {Dv | v aus einer Indexmenge N } sei eine offene "Überdeckung von i u B durch Mengen Dvcz R (im Sinne von Satz 16.3). ® überdeckt auch A, und endlich viele der D, reichen zur Überdeckung von A aus. Dasselbe gilt von B, also reichen auch insgesamt endlich viele der Dy zur Überdeckung von 4 u £ aus. — (2) A und B sind abgeschlossen nach Satz 17.2, A r\ B ist ^-abgeschlossener Teil der kompakten Menge A, also nach Satz 17.1 ebenfalls kompakt. 17.5 Satz: Das Produkt R0 = R X 8 zweier topologischer Räume ¿24= 0 , £=(= 0 ist dann und nur dann kompakt, wenn leide Faktoren R und S kompakt sind.

72 Kap. 6. Duich Uberdeckungseigenschaften definierte Räume Beweis: Zunächst ist R dann und nur dann hausdorffsch, wenn R und 8 hausdorffsch sind (Satz 13.5). — Sei R0 kompakt. Die Projektionsabbildungen g ^ u n d ^ sind stetig. Nach Satz 18.1, den wir hier vorausnehmen können, hat daher R0 kompakte Bilder R, S. — Seien umgekehrt R und S kompakt. ® = { D„ I v € N } sei eine offene Überdeckung von iü0, N eine geeignete Indexmenge. Es ist zu zeigen, daß ® eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Jedes Dv ist Vereinigung von Mengen der Form 0 = A x B mit offenem A < R und offenem B =zS. £> sei die Menge aller dieser 0. D ist ebenfalls Überdeckung von R0, und zwar Verfeinerung von es genügt offenbar zu zeigen, daß 0 eine endliche Teilüberdeckung besitzt. — Sei x € R und Sx = x X Sx ist homöomorph zu S, also kompakt. D ist auch Überdeckung von S x , es gibt also endlich viele Mengen A(x B( (i = 1 , . . . , r) aus D, die Sx treffen und überdecken. Setzen wir Ax = f"M,-, genommen über i = 1 , . . ., r, so ist Ax offene Umgebung von x, und die Mengen yl, x überdecken auch Tx = Ax x S. Der Beweis wird geführt sein, wenn wir zeigen, daß R0 durch endlich viele Mengen der Form Tx, entsprechend endlich vielen Punkten x € R, überdeckt wird. — Jedem x € R wird durch das beschriebene Verfahren eine Umgebung Ax zugeordnet. Wegen der Kompaktheit von R reichen endlich viele Ax zur Überdeckung von R aus. Die entsprechenden endlich vielen Tx überdecken dann R0. Damit ist der Satz vollständig bewiesen. Der Satz überträgt sich ohne weiteres auf endliche Produkte von kompakten Räumen. Er gilt auch in der gleichen Form für unendliche Produkte (Satz von Tychonoff); wir benötigen aber diese Verallgemeinerung im folgenden nicht und gehen daher auf den etwas schwierigeren Beweis, der den Wohlordnungssatz benutzt, hier nicht ein. (Vgl. etwa Lit.-Verz. Nr. 11).

§ 18. Abbildungen kompakter Bäume 18.1 Satz: Ist /: R S eine stetige Abbildung eines kompakten Raumes R in den hausdorffschen Raum S, so ist die Bildmenge f(R) kompakt.

§ 18. Abbildungen kompakter Räume

73

Beweis: Es sei 80 = /(ß)._ ® = { Dv \ v aus einer Indexmenge N } sei eine offene Überdeckung von S0. Dann sind die Mengen 1{D„) offen, und das System {/ - 1 (D,) } bildet eine offene Überdeckung von R. Endlich viele der /_1(-DV) reichen zur Überdeckung von R, daher reichen die entsprechenden endlich vielen Dv zur Überdeckung von S0. — Die stetigen Abbildungen eines kompakten Raumes R in einen hausdorffschen Raum S sind hiernach abgeschlossen (vgl. die Bemerkung auf S. 36). 18.2 Satz: Eine monomorphe stetige Abbildung /: R^-S eines kompakten Raumes R in einen hausdorffschen Raum S ist ein Homöomorphismus von R auf einen Teilraum von 8. Eine sowohl mono- als auch epimorphe stetige Abbildung f von R in S ist ein Homöomorphismus von R auf S; eine solche Abbildung erweist R und S als homöomorph. Wir beweisen den ersten Teil des Satzes, der zweite ist ein Spezialfall davon. Es muß die Stetigkeit der reziproken Abbildung / _ 1 :/(Ä)->Ä bewiesen werden. Nun bildet /, die reziproke Abbildung zu / - 1 , abgeschlossene Mengen von R in kompakte, also abgeschlossene Mengen von f (R) ab, wie wir soeben festgestellt haben. Daher ist f'1 nach dem Kriterium (2') von Definition 5. 4 stetig. Sei / eine stetige reelle Funktion auf einem kompakten Raum R, also eine stetige Abbildung von R in die reelle Gerade R1. f(R) ist eine kompakte Teilmenge von R1. f(R) ist beschränkt, denn eine unbeschränkte Teilmenge von R1 erfüllt sicher nicht das Kompaktheitsaxiom [Kp]; außerdem ist f(R) abgeschlossen (Satz 17.2). Daher hat f(R) eine endliche untere und eine endliche obere Grenze a und 6, und diese beiden Zahlen sind selbst Funktionswerte a = f(x), b = f(y) mit x, y € R. Also gilt 18.3 Satz: Eine reelle stetige Funktion f(x) über einer kompakten Menge R besitzt ein endliches Maximum und ein endliches Minimum, die je an mindestens einer Stelle von R angenommen werden. Ist j{x) überdies auf R stets positiv, so gibt es ein ö > 0 mit der Eigenschaft f(x) > d(x, B)} wegen der Stetigkeit von d(x, A) und d(x, B) nach derselben Schlußweise wie etwa bei Satz 15.2 offen. Für x 6 A ist d(x, A) = 0, aber d(x, B) > 0 nach Satz 20.4. Daher ist A n0.

Für alle

m > ñ 0 gilt daher mit einem passenden n¡ > n 0 , « 0 die Ungleichung d(xm, x) ^ d(xm, x„() + d{x,l{, x) V') < fi> 80 daß d(x, y) d(x, x') + d(x', y') + d(y', y) < d{x', y') + 2e ^ d{Ä) + 2s. D_a dies für jedes e > 0 gilt, folgt d(x, y) ¿(-4), also d(Ä) = sup d(x, y) 5S d(A), womit der Satz bewiesen ist. Eine Überdeckung ® = {D„ | v aus einer Indexmenge N } eines Kaumes R oder einer Menge 4 c : R heißt e-Überdeckung, wenn alle d{Dv) < e. 6»

84

Kap. 6. Theorie des metrischen Raumes

22.3 Definition: Eine Menge 4 < R heißt lotalbeschränkt, wenn sie für jedes s > 0 eine endliche s-Überdeckung gestattet. Eine totalbeschränkte Menge A ist auch beschränkt. Ist nämlich für irgendein festes e > 0 ® = { D( \ i = 1 , . . . , m } eine endliche e-Überdeckung von A und at ein fest gewählter Punkt in Dh ist ferner d = Max d(a(, ak) für i, k = 1 , . . . , m, so gilt für je zwei Punkte x, y € A und passende i und k, daß d(x, y) iS d(x, at) + d(ah ak) + d (ak, y) d 2 e . — Umgekehrt braucht eine beschränkte Menge nicht totalbeschränkt zu sein, wie die Menge der Einheitspunkte Cj = ( 0 , . . . , 0,1, 0 , . . . ) im Hilbertschen Raum zeigt, die den Durchmesser hat, aber keine endliche 1-Überdeckung gestattet. 22.4 Satz: Der metrische Raum R ist dann und nur dann totalbeschränkt, wenn jede Folge aus R eine Cauchysche Teilfolge hat. Beweis: Sei zunächst R totalbeschränkt. Wir gehen von einer beliebigen Folge (Cty • • • clUS. Für n = 1, 2 , . . . betrachten wir endliche --Überdeckungen

®„ von

R.

Mindestens eine der endlich vielen Mengen von enthält unendlich viele Glieder der Folge; es seien dies (in neuer Bezeichnung) die Punkte der Teilfolge (i)

411- 4 1 1 .

••••

Diese Folge, genauer die Menge der Punkte der Folge, hat einen Durchmesser < 1. Mindestens eine der endlich vielen Mengen von ® 2 enthält unendlich viele Glieder der Folge (1); es seien dies, in wieder neuer Bezeichnung, die Punkte der Teilfolge von (1) (2)

4 2) > 4 2 ) - 4 2 )

Diese Folge hat einen Durchmesser

So fortfahrend

erhalten wir für jedes natürliche n eine Folge (n); wenn

§ 23. Kennzeichnung der Kompakten

85

n > n', so ist die Folge (n) Teilfolge der Folge (n') und alle Folgen sind Teilfolgen der Ausgangsfolge. Die Folge (n) hat einen Durchmesser < - . Wir behaupten nun, daß die Diagonalfolge

„(1) „(2) 1 „(3) 1 ' 2 3 ' '' * eine Cauchysche Teilfolge der Ausgangsfolge ist. Jedenfalls ist die mit x ^ beginnende Teilfolge eine Teilfolge der Folge (k), hat also einen Durchmesser < j . Wenn also n, n' > w0, 1 so folgt x ^ ) < —, womit die Behauptung und «o damit der 1. Teil des Satzes bewiesen ist. Sei umgekehrt R nicht totalbeschränkt. Dann gibt es für ein hinreichend kleines e = e 0 keine endliche e-Überdeckung £ von R. Der Punkt ax sei beliebig in R gewählt. Die ^-Umgebung von a t hat einen Durchmesser < e, kann also nicht ganz R überdecken. a 2 sei außerhalb dieser £

Umgebung gewählt. Die Vereinigung der beiden g-Umgebungen von und a2 kann R nicht ganz überdecken. Also läßt sich a 3 außerhalb davon wählen. So fortfahrend erhält man eine Folge alt a2,..., bei der je zwei Punkte £ einen Abstand ^ haben. Eine solche Folge hat offensichtlich keine Cauchysche Teilfolge, womit auch der zweite Teil des Satzes bewiesen ist. Kap. 7. K o m p a k t e n § 23. Kennzeichnung der Kompakten 23.1 Definition: ein Kompaktum.

Ein kompakter metrischer Raum

heißt

86

Kap. 7. Kompakten

23.2 Satz: Die Kompakten können auch erklärt werden als diejenigen metrischen Räume R, die eine der drei folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllen: (1) Jede abzählbare offene Überdeckung von R besitzt eine endliche Teilüberdeckung. (2) Jede unendliche Teilmenge von R hat mindestens einen Häufungspunkt. (3) Jede abnehmende Folge Ax > Ä2 >... nichtleerer, abgeschlossener Teilmengen von R hat einen nichtleeren Durchschnitt. Beweis: Daß Kompakten diese Eigenschaften haben, wurde schon früher (Satz 16.4) festgestellt. Um zu zeigen, daß umgekehrt jede der Eigenschaften (1)—(3) die Kompaktheit von R nach sich zieht, genügt es nach Satz 16.5 zu zeigen, daß ein metrischer Raum R mit der Eigenschaft (2) eine abzählbare Basis besitzt. Zu dem Zweck wählen wir ein e > 0 . Die Existenz unendlich vieler Punkte a t € R mit d(ait Uj) ^ s (i, j = 1, 2 , . . . ) widerspräche offenbar (2), es gibt also endlich viele Punkte a( (i — 1,..., k) derart, daß jeder Punkt x € R von mindestens einem a,- einen Abstand d(x, aj) < e hat. Ein solches, endliches Punktsystem heißt ein e-Netz. Wählt man für jedes e = (n = 1, 2 , . . . ) ein e-Netz, so bekommt man ersichtlich insgesamt eine abzählbare, in R dichte Menge. Nach Satz 10.7 hat daher R eine abzählbare Basis, w. z. z. w. 23.3 Satz: Die Kompakten können auch erklärt werden als metrische Räume R mit der Eigenschaft: Jede Punktfolge in R hat eine konvergente Teilfolge. Beweis: Sei R ein Kompaktum und x( (i = 1, 2 , . . . ) eine Punktfolge aus R. Entweder sind die x( insgesamt nur endlich viele v e r s c h i e d e n e Punkte; dann kommt einer von ihnen in der Folge unendlich oft vor und repräsentiert eine konvergente Teilfolge. Oder man kann aus der Folge der Xi eine Teilfolge aus lauter verschiedenen Punkten herausgreifen und dann gleich annehmen, daß die x f selbst

§ 23. Kennzeichnung der Kompakten

87

sämtlich voneinander verschieden sind. Sie bilden eine unendliche Menge, die wegen der K o m p a k t h e i t von R einen H ä u f u n g s p u n k t p h a t . W ä h l t man f ü r n = 1, 2 , . . . in der Umgebung i l i ( p ) je ein xit so ist die so ausgewählte Teiln folge der x{ konvergent gegen p, die Eigenschaft des Satzes ist also bewiesen. — Umgekehrt möge der metrische R a u m R die Eigenschaft des Satzes haben. Ist A eine unendliche Menge, so kann man aus A eine Folge x{ (i = 1, 2 , . . . ) von lauter verschiedenen P u n k t e n herausgreifen, die dann eine gegen einen P u n k t p konvergente Teilfolge h a t . p ist H ä u f u n g s p u n k t der Menge der x ( u n d damit H ä u f u n g s p u n k t von A. Nach der Bedingung (2) des vorigen Satzes ist also R kompakt. 23.4 S a t z : Ein metrischer Raum ist dann und nur dann ein Kompaktum, wenn er vollständig und totalbeschränH ist. Beweis: Sei R ein K o m p a k t u m . Der vorige Satz zeigt, daß jede Folge aus R jedenfalls eine Cauchysche Teilfolge hat, was nach Satz 22.4 die Totalbeschränktheit von R bedeutet. Eine Cauchy-Folge h a t nach dem vorigen Satz eine konvergente Teüfolge, konvergiert also selbst (Satz 21.3); dies bedeutet die Vollständigkeit. — Ist umgekehrt R vollständig und totalbeschränkt, so h a t jede Folge eine Cauchysche Teilfolge (Satz 22.4) u n d diese konvergiert. Daher ist R k o m p a k t (Satz 23.3). Für den reellen R" besagt dieser Satz, da im Rn die vollständigen Mengen mit den abgeschlossenen identisch sind (Satz 21.5, 21.6 und anschließende Bemerkung), daß die Kompakten im R" mit den beschränkten abgeschlossenen Mengen identisch sind, womit ein schon in § 16 vorweggenommenes Resultat bewiesen ist. Wir bemerken noch, daß der Hilbert-Quader Q (Beispiel (b) in § 1) kompakt ist. Da Q nach § 12 dem unendlichen Produkt 1™ von abzahlbar vielen Einheitsstrecken homöomorph ist, würde das aus dem (von uns nicht bewiesenen) Tychonoffschen Satz (am Schluß von § 17) folgen. Einen unabhängigen Beweis kann man so führen, daß man für Q das Kriterium von Satz 23.3 nachweist, oder so, daß man die Vollständigkeit des Hilbertschen Baumes H und die Totalbeschränktheit von Q beweist. Beides ist ohne besondere Schwierigkeit möglich.

88

Kap. 7. Kompakten § 24. Abstand, Überdeckungen und Zusammenhang

24.1 Satz: Für beliebige Teile A ^ 0 , -5=1=0 eines metrischen Raumes R gilt: (1) Ist A kompakt, B beliebig, so gibt es einen Punkt p € A mit d{A, B) = d(p, B). (2) Ist A kompakt, B abgeschlossen, A r\ B = 0 , so ist d(A, B)>0. (3) Sind A und B kompakt, so gibt es Punkte p € A, q € B mit d(A, B) = d(p, q). (4) Ist A kompakt, so gibt es Punkte x,y £ A mit d(A) = d(x, y). Beweis: (1) d(x, B) mit x € A ist eine reelle stetige Funktion (Satz 20.5) auf der kompakten Menge A. Nach Satz 18.3 nimmt sie ihr Minimum an mindestens einer Stelle p € A an. — (2) d(p, B) = 0 würde besagen (Satz 20.4), daß p € B, entgegen der Voraussetzung i n j = 0 . — (3) d(x, y) mit x € A, y € B stellt eine reelle stetige Funktion auf dem kompakten Raum A x B (Satz 17.5) dar. Sie nimmt ihr Minimum an mindestens einer Stelle p X q von A x B an. Es ist dann d(p, q) = d(A, B). — (4) Entsprechend schließt man über das Maximum der Funktion d(x, y) mit x, y € A auf der kompakten Menge A x A. 24.2 Satz: (Lebesguesches Lemma): Zu jeder offenen Überdeckung ® = { Dv | v aus einer Indexmenge N } eines Kompaktums R gibt es eine reelle Zahl X > 0 derart, daß jede Menge A< R mit einem Durchmesser d(^) < X ganz in einer Menge Dv enthalten ist. Jede Zahl X dieser Art heißt eine Lebesguesche Zahl von Beweis indirekt: Angenommen, ein solches X existierte nicht. Dann gibt es zu jedem X = r (k — 1, 2 , . . . ) eine 1 Menge Ak mit d(Ak) < die nicht ganz in einem Dy enthalten ist. Wir wählen in jedem Ak einen Punkt ak und suchen den Limes a einer konvergenten Teilfolge der Folge der at auf. a liegt in einer Menge Dy, und auch eine ganze

§ 24. Abstand, Uberdeckung, Zusammenhang

89

e-Umgebung il £ (a) mit passendem e > 0 ist in diesem Dv G 1 £ enthalten. Für alle k, für die (1) d(ak, a) < (2) ^ < ^ ist, liegen ak und Ak ganz in D„ im Widerspruch zu unserer Annahme. 24.3 Satz: In einem Kompaktum R gibt es zu jedem System 21 = { Av \ v aus einer Indexmenge N } von abgeschlossenen Mengen Av mit einem Durchschnitt f)Av = 0 ein e > 0 derart, daß das System 2i£ und das System 2le 8t, = { B, = 11.(4,) | v € N }, % = { B, = VtfÄJl ebenfalls den Durchschnitt

v € N}

fl2?„ = 0 und f\Bv = 0 haben.

Beweis: Es genügt, die Behauptung DB„ = 0 zu beweisen. — Angenommen, es gäbe ein s der verlangten Art n i c h t . Dann haben für jedes e = g (k = 1, 2 , . . . ) die Mengen B„ des Systems 2li einen Durchschnitt, der minh destens einen Punkt ak enthält. Die Punktfolge der ak besitzt im Kompaktum R mindestens eine konvergente Teilfolge, sie möge gegen den Punkt a konvergieren. ak und alle ae mit e > k gehören zum Durchschnitt der Mengen von 9li, also gilt dasselbe von a. Dann gilt für jeden Index „ * 2 v t N: In jeder ^-Umgebung von a liegen Punkte von Av. Wegen der Abgeschlossenheit der A„ liegt also auch a in Av. Daher gehört a auch zum Durchschnitt f l A v , entgegen der Voraussetzung flA v = 0 . Damit ist der Satz bewiesen. Für Kompakten läßt sich der Begriff des Zusammenhangs etwas einfacher erklären als für beliebige Räume. Wir definieren zunächst: Ist e > 0 eine reelle Zahl, so heißen zwei Punkte x, y eines metrischen Raumes R e-verkettet, wenn es eine endliche Punktfolge x = x0, xlt ..., xn = y in R gibt mit d x{) < e; i = 1 , . . . , Für jedes feste e > 0 bedeutet die e-Verkettung eine Äquivalenzrelation unter den

90

Kap. 7. Kompakten

Punkten von R. Die Klassen e-verketteter Punkte heißen die e-Komponenten Ct von R; jeder Punkt x € R liegt in einer und nur einer e-Komponente Ge = Cc(x), die alle Punkte von R enthält, die mit x e-verkettet sind. Die e-Komponenten Ce sind offen; denn mit jedem x € Ce gehören auch alle Punkte der Kugelumgebung tl e (a;) offenbar zu Ce. Die Mengen Ge sind auch abgeschlossen, denn CGc ist Vereinigung aller von Cc verschiedenen e-Komponenten von R, also Vereinigung offener Mengen und daher selbst offen. Die Ge sind also offen-abgeschlossen. Wenn nun R zusammenhängend ist, kann R nur eine einzige e-Komponente, nämlich sich selbst enthalten. Damit ist gezeigt 24.4 Satz: In einem, zusammenhängenden metrischen Raum sind je zwei Punkte für jedes e > 0 e-verkettet. Für Kompakten R läßt sich der Satz umkehren und liefert die angekündigte Kennzeichnung des Zusammenhangs: 24.5 Satz: Ein Kompaktum R ist dann und nur dann zusammenhängend, wenn je zwei seiner Punkte für jedes e > 0 e-verkettet sind. Es ist noch zu leweisen, daß in' einem nichtzusammenhängenden Kompaktum R die Bedingung des Satzes nicht erfüllt ist, d. h. daß es in R Punkte x, y und ein reelles e > 0 gibt derart, daß x und y nicht e-verkettet sind. In der Tat, wenn R nicht zusammenhängend ist, gibt es eine Aufteilung R — R1-\- R2 in zwei nichtleere offen-abgeschlossene Teile R1 und R2. Rl und R2 sind kompakt, und es ist d(Rv Ä2) = 2e > 0 (Satz 24.1 (2)). Offensichtlich ist kein Punkt von Rx mit einem Punkt von e-verkettet. Damit ist der Satz bewiesen. — Daß der Satz nicht allgemein für metrische Räume gilt, zeigt der (unzusammenhängende) Raum der rationalen Zahlen. 24.6 Satz: In einem Kompaktum R ist die Zusammenhangskomponente C(x) eines Punktes x identisch mit dem Durchschnitt D(x) aller x enthaltenden offen-abgeschlossenen Teilmengen von R und identisch mit dem Durchschnitt D'(x) aller e-Komponenten Ce(x) für alle e > 0.

§ 24. Abstand, Überdeckung, Zusammenhang

91

Beweis: Ersichtlich ist (sogar f ü r beliebige metrische Räume) C{x)F zu zeigen. Hierfür endlich genügt es, wegen der Maximaleigenschaft der Komponente C(x), die Mengei 1 als zusammenhängend nachzuweisen. — U m dies auf indirektem Wege zu zeigen, nehmen wir an, daß F nicht zusammenhängend sei. Dann gibt es in F, als Teilraum betrachtet, nicht leere disjunkte abgeschlossene Teile A, B mit F = A\J B. Da die Ge.(x) und daher auch F abgeschlossen sind, sind A und B auch B-abgeschlossen und kompakt, und es ist cl(A, B) = e > 0. Der P u n k t x liege etwa in A, y sei ein beliebiger P u n k t aus B. Wir bilden U = V i , ( Ä ) , 7 = 11,(5), G = R - {U^ V). i « g Es ist d(U,V)7t. 51 . Nun sind x und y e r v e r k e t t e t f ü r e

jedes e,-. Sobald e {
n0 und alle x. (Dies bedeutet die „gleichmäßige Konvergenz" der Abbildungsfolge fx(x), f2(x), ... gegen / (x), woraus wir nun die Stetigkeit in bekannter Weise schließen.) Es ist d(f(x), f(x0))^d(f(x), fn(x)) + d(fn(x), fn(x0))+d(f„(x0), f(x0)). Nach dem Bewiesenen sind der erste und der dritte Summand jS e, wenn n > n 0 bei beliebigem z; der mittlere Summand ist wegen der Stetigkeit von f„(x) kleiner als e, wenn d(x, a;0) < 0 und f:R->S eine stetige Abbildung eines metrischen Raumes R in den metrischen Raum S, so heißt f eine e-Abbildung, wenn d(f~1(y)) < e für alle y € f{R). Bei einer e-Abbildung folgt also aus /(a^) = f(x2), daß d(xlt xz) < s, oder anders gewendet, aus d(x1,x2)^.e, daß /(xj) 4= / ( x 2 ) ; man beachte aber, daß dies für das Erfülltsein der Definitionsbedingung d(f~1(y)) 0 oderüber alle e = -

(n = 1, 2 , . . . ) genommen, gleich dem Raum

der monomorphen stetigen Abbildungen von R in S. 25.4 Satz: Zu jeder s-Abbildung f des Kompahlums R in den metrischen Raum S existiert ein rj > 0 mit der Eigenschaft: Aus d(f(x1), f(x2)) < rj folgt d(xly z2) < e.

95

§ 26. Die Hauptsätze

Wir beweisen, daß d(x1, x 2 ) ^ e nach sich zieht, daß d(/(%), / ( z 2 ) ) 5 : rj > 0. Die Menge Ä der P u n k t e XX des k o m p a k t e n Raumes R x R mit d(xv x2) e ist abgeschlossen, also k o m p a k t . d(f(x1), f(x2)) ist eine positive, reelle stetige F u n k t i o n über A. Daraus ergibt sich (Satz 18.3) die Existenz eines rj > 0 der verlangten Art. 25.5 S a t z : Ist R ein Kompahtum und S ein beliebiger metrischer Raum, so ist %e(R, S) ein offener Teilraum von Beweis: Sei /

S) u n d d(f,

v

mit der reellen

Zahl rj > 0 aus dem vorigen Satz. Wir zeigen, daß auch g e-Abbildung ist, womit dann der Satz bewiesen ist. — Nehmen wir f ü r x1,x2^R an g(x1) = g(x2) = y. D a n n folgt /(**)) ^ d(f(x0, g{xj) + digixj, +

d(g(x2), / ( ^ X f + O +

g{x2)) f ^ ^ .

Nach dem vorigen Satz folgt d(x1, x2) < e. Hieraus k a n n man zunächst nur d(g~1(y))^s schließen. Nun ist aber g~x(y) als Urbild einer abgeschlossenen Menge selbst abgeschlossen, also k o m p a k t . Unter Heranziehung von Satz 24.1, (4) erhält man daher d(g~1(y)) < e, wie zu zeigen war.

K a p . 8. M e t r i s i e r u n g topologischer B ä u m e § 26. Die Hauptsätze Wir stellten schon in § 2 fest, daß jede Metrik über einer Menge R eine Topologie über R induziert, ferner daß sehr wohl verschiedene Metriken über R dieselbe Topologie über R induzieren können. Umgekehrt ist jedoch nicht jede Topologie % über einer Menge R metrisierbar (vgl. Definition 2.3), das heißt, nicht jede Topologie wird durch eine Metrik induziert. Wir fragen in diesem Kapitel danach,

96

Kap. 8. Metrisierung topologischer Räume

welche Topologien % metrisierbar sind. Notwendig für die Metrisierbarkeit von % ist jedenfalls die Normalität von % (Satz 20.6), ferner daß es für jeden Punkt von R eine abzählbare Umgebungsbasis gibt. Aber diese Bedingungen sind im allgemeinen nicht hinreichend. Die erste Antwort zum Metrisationsproblem wurde von P. Urysohn gegeben, der die beiden folgenden Sätze bewies. 26.1 Erster Satz von Urysohn: Ein topologischer Raum, der normal ist und eine abzahlbare Basis besitzt, ist einer Teilmenge des Eilbertsehen Raumes homöomorph, also metrisierbar. 26.2 Zweiter Satz von Urysohn: Ein kompakter topologischer Raum ist dann und nur dann metrisierbar, wenn er eine abzählbare Basis besitzt. Wir werden beide Sätze in diesem Kapitel im Rahmen des allgemeinen M e t r i s a t i o n s s a t z e s beweisen. Dieser Satz, der die vollständige Lösung des Metrisationsproblems in der Form einer notwendigen und hinreichenden Bedingung gibt, wurde, nachdem man vorher lange vergebliche Anstrengungen in dieser Richtung gemacht hatte, in den Jahren 1950—51 von Y. Smirnov, J. Nagata und R. H . Bing unabhängig voneinander entdeckt. Um ihn angemessen formulieren zu können, führen wir zunächst einige Definitionen und Hilfsbetrachtungen ein. 26.3 Definition: Ein System von Teilmengen % = {Dv \ v aus einer Indexmenge N } eines topologischen Raumes R heißt ein diskretes Mengensystem, wenn es zu jedem x€ R eine Umgebung U von x gibt, die höchstens ein D„ trifft. Ein System von Teilmengen © = { Eß \ ¡x aus einer Indexmenge M } heißt ein lokal-endliches Mengensystem, wenn es zu jedem x 6 R eine Umgebung U von x gibt, die höchstens endlich viele Eß trifft. Die Mengen E ß der Definition sind nicht als notwendig von einander verschieden gemeint, d. h. es kann sehr wohl fi € M, fi' € M, p 4= /i' aber E^ = sein. Man kann auch so sagen: Jedem Index p € M ist eine Teilmenge E ß < R

§ 26. Die Hauptsätze

97

zugeordnet, dabei verschiedenen Indexen nicht notwendig verschiedene Teilmengen. Solche Systeme werden bisweilen „indizierte Systeme" genannt. — Diese Bemerkung gilt entsprechend für alle im folgenden betrachteten- Mengensysteme. — Die Mengen Dv unter 26.3 sind dagegen gemäß ihrer Definition disjunkt. Die sämtlichen einpunktigen Teilmengen von R bilden ein Beispiel eines disj unkten, aber im allgemeinen weder diskreten noch lokal-endlichen Systems. Ein diskretes Mengensystem ist lokal-endlich aber nicht umgekehrt. Jedes Teilsystem eines diskreten Systems ist wieder diskret, jedes Teilsystem eines lokalendlichen Systems ist wieder lokal-endlich. 26.4 Satz: Ein lokal-endliches Mengensystem und erst recht ein diskretes Mengensystem eines kompakten Raumes R ist endlich. Beweis: Zu jedem x € R gibt es eine Umgebung Ux von x, die nur endlich viele Eß (in der Bezeichnung von Definition 26.3) trifft. Endlich viele Ux bedecken R, es kann also nur endlich viele Eß geben. 26.5 Satz: Für ein lokal-endliches zeichnung von Definition 26.3 gilt m

ß

System

in

der

Be-

= U Eß.

Beweis: Nach Satz 3.5 ist trivialerweise U E „ > U E ß . Um die entgegengesetzte Ungleichung zu beweisen, nehme man ein x € UEM und eine Umgebung Ux von x, die nur endlich viele Eß, etwa E0, . . . , Er trifft. Dann muß offenbar gelten x € E0 w . . . ...

VE».

26.6 Definition: Ein Mengensystem % heißt a-diskret, wenn es Vereinigung von abzählbar vielen diskreten Systemen ®B (n = 1, 2 , . . . ) ist. Ein Mengensystem 6 heißt a-lokalendlich, wenn es Vereinigung von abzählbar vielen lokal-endlichen (£„ (n = 1, 2 , . . . ) ist. 7

Franz, Topologie I.

98

Kap. 8. Metrisierung topologiseher Räume

Wir bezeichnen tr-diskrete und entsprechend cr-lokalendliche Systeme und ihre Mengen in der Form a = G ^ = Ü{öw|v€N}~{A,r|» = lf2,...;v€N}. n=l »=1 Hierbei sollte die Index-Menge N eigentlich als N„ und die Indexe v eigentlich als vn bezeichnet werden; wir sparen aber der Kürze halber den Index n, indem wir eine entsprechend größere Indexmenge N, etwa die Vereinigungsmenge solcher N„ nehmen und unter die Dnp entsprechend viele Nullmengen aufnehmen. — Jetzt können wir formulieren: 26.7 Metrisationssatz: Ein topologiseher Raum R ist dann und nur dann metrisierbar, wenn er eine der leiden folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllt: [Mb]: R ist regulär und besitzt eine a-diskrete Basis. [Mb']: R ist regulär und besitzt eine a-lokal-endliche Basis. Die Bedingung [MV] stammt von Smirnov und Nagata, [Mb] von Bing. Es erscheint erstaunlich, daß eine so einfache Bedingung die Metrisierbarkeit eines beliebigen topologischen Raumes regelt. Übrigens darf in beiden Bedingungen das Wort „regulär" durch „normal" ersetzt werden, wie die folgenden Beweise zeigen; [Mb] bezw. [MV] besagt dann als notwendige Bedingung formal etwas mehr, als hinreichende Bedingung etwas weniger. Man beachte, daß die Bedingungen [Mb] und [MV] gerade die Mitte halten zwischen der als notwendig erkannten Bedingung der abzählbaren Umgebungsbasen und der hinreichenden Bedingung abzählbarer Eaumbasen im ersten Urysohnschen Satz. Wir beweisen zunächst, daß die Urysohnschen Sätze aus dem Metrisationssatz folgen. — Ist R normal mit abzählbarer Basis 33, so ist R auch regulär und 93 ist «r-diskret. R ist also nach dem Metrisationssatz metrisierbar. Das ist der erste Urysohnsche Satz; daß R einem Teilraum des Hilbertschen Raumes homöomorph ist, zeigt der spätere Beweis. — Sei nun R ein kompakter Raum. Dann ist R

§ 27. Notwendige Bedingungen

99

normal. Hat R eine abzählbare, also eine cr-diskrete Basis, so ist R nach dem Metrisationssatz metrisierbar. Ist umgekehrt der Raum R metrisierbar, so ist er normal und besitzt nach dem Metrisationssatz eine (T-diskrete Basis. Diese ist nach Satz 26.4 abzählbare Vereinigung endlicher Systeme, also selbst abzählbar. Das ist der zweite Urysohnsche Satz. In § 27 werden wir beweisen, daß [Mb~\ für die Metrisierbarkeit notwendig ist, in § 28, daß [Mb'] für die Metrisierbarkeit hinreichend ist. Da [Mb'] eine Folge von [Mb] ist, wird damit der Metrisationssatz vollständig bewiesen sein. § 27. Notwendige Bedingungen Wir haben zu zeigen, daß ein metrischer Raum die Bedingung [Mb] erfüllt. Dies wird, wie wir sehen werden, im wesentlichen durch den folgenden, zuerst von A. H. Stone bewiesenen Satz geleistet: 27.1 Satz: Jede offene Überdeckung ® eines metrischen Raumes R besitzt eine a-diskrete Verfeinerung. Ein topologischer Raum, der die Eigenschaft besitzt, die in diesem Satz für metrische Räume ausgesprochen wird, heißt 'parakompakt. Dieser für viele moderne Untersuchungen wichtige Begriff wird im Rahmen dieses Bändchens nur implizit benutzt. Beweis: Es sei ® = { Dv \ v € N } die gegebene offene Überdeckung. Die Indexmenge N nehmen wir als wohlgeordnet an (vgl. E. Kamke. Lit.-Verz. Nr. 12, § 41), so daß von je zwei Indexen ¡j,, v € N feststeht, ob ¡x = v, [i sg v ist, und daß jede nicht leere Teilmenge von N ein erstes Element hat; 0 sei das erste Element von N. n bezeichne die natürlichen Zahlen 1, 2 , . . . und sei zunächst fest gewählt. Dann definieren wir durch transfinite Induktion (Lit.-Verz. Nr. 12, § 36) Än0 = Ai_{D0), 7«

Anv = Al(Dv

— \JAnv-).

100

Kap. 8. Metrisierung topologischer Räume

Dann ist Anv „ — UA nv ; enthalten, und die behauptete Ungleichung folgt aus Satz 20.8. Wir bilden weiter die offenen Mengen Env = 11 I (Anv), 2« t2 die jedenfalls in Dv enthalten sind, und behaupten, daß das Mengensystem = { Env} diskret ist (immer bei festem n). Sei nämlich p ein beliebiger Punkt aus R. Wir behaupten genauer, daß die ^¡^-Umgebung U von p höchstens ein Enp trifft. Angenommen nämlich, U träfe Env in einem Punkt xv und Enß mit [i 4= v in einem Punkt xß, so wäre

Nach Definition der E„v ist mit geeigneten Punkten und yß €Anii ^

yv€Anv

d(xr, y„) < gn+2' d(xii> Vit) < 2™+^' 4 Daraus würde folgen d(yv, yß) < ^ä+i

1 =

2™' ™ Wider-

spruch zu d(Anv, Anß)^ Hiernach ist das Mengensystem 6 = US„ = { Env \ n = 1, 2 , . . . ; v € N } ff-diskret. Wir beweisen, daß S eine Überdeckung von R darstellt, womit dann der Satz bewiesen ist. Sei p beliebig aus R und 1 der kleinste Index der Eigenschaft p Dann liegt auch noch eine Umgebung U von p mit geeignetem n ganz in U hat mit Anx'{X' < X) keinen Punkt gemeinsam, denn

§ 28. Hinreichende Bedingungen

101

sonst läge p in D y. Daher liegt U ganz in Dx — U A n X ' . Daher liegt p in A„x und folglich in EnX, womit der Satz bewiesen ist. — Jetzt ist es leicht, [Mb] nachzuweisen. ® m mit m = 1 , 2 . . . sei die Überdeckung von R, die aus allen^-Umgebungen aller Punkte von R besteht. Die Mengen von ® m haben einen Durchmesser

2m~l'

diskrete Überdeckung (£m sei ge-

mäß dem vorigen Satz der Überdeckung ® m einbeschrieben, die Durchmesser der Mengen aus (5m sind ebenfalls sS ^m-i6 = U G m , genommen über alle m = 1, 2 , . . . , ist ebenfalls noch cr-diskret und, so behaupten wir, Basis von R. Indem wir uns auf das Kriterium von Satz 10.2 berufen, wählen wir eine offene Menge 0 und einen Punkt p € 0 und haben nun die Existenz einer Menge E in ($ nachzuweisen mit p€E x ^ ™ Somit ^ w. z. z. w. — Da ein metrischer Raum regulär, sogar normal ist, ist damit [Mb\ vollständig bewiesen.

§ 28. Hinreichende Bedingungen In diesem Paragraphen setzen wir voraus, daß ein topologischer Raum die Bedingung [MV] erfüllt. Wir haben die Metrisierbarkeit von R zu beweisen. Die folgendet, beiden vorbereitenden Sätze stellen zunächst Teilbehauptungen fest.

102

Kap. 8. Metrisierung topologischer Bäume

28.1 Hilfssatz: Erfüllt der topologische Raum R die Bedingung [Mb'~\, so gilt: Jede offene Menge von R ist Vereinigung von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen. Zum Verständnis dieses Satzes beachte man den Satz 20.9. Beweis: Sei 0 offener Teil von R und x€0. Wegen der Regularitätsbedingung [Rg"\ existiert eine offene Umgebung V von x mit x € V nv(x) ^ 1; y>nv{x) =t= 0 dann und nur dann, wenn x fc Env; (2) bei festem n und festem x sind nur endlich viele Vnv(x) 4= 0; (3) beifestem w i s t ^ ^ v ( a ; ) < l , J£{ynv(x) — ipnt(y)f 0, aber pnv(y) = 0. p = f(x) und q = f(y) unterscheiden sich in dieser Koordinate und sind somit voneinander verschiedene Punkte von H. Damit ist gezeigt, daß / monomorph ist. (ß): x€R und e > 0 seien gegeben. Wir haben ein I f S U(x) anzugeben mit der Eigenschaft d(f(x),

f(y)f

= 2{VnM

- Vnv{x)f < e 2 , wenn y 6TF.

n, v

Für jede natürliche Zahl N gilt 2 (Pnv(y) — Pnv(x))2 = 2 n>N,v n>N 4 < v —.2 =ii>N 2™

l=i:{Wn,{y)—Wnv{x)f x

— 2N'

e2 4 wenn 2N > Wir wählen G ¿1 N so, daß dies der Fall ist. Für jedes feste n gibt es, wegen der Lokalendlichkeit von eine Umgebung Un von x, die nur endlich viele Env trifft. Durchläuft n die endlich vielen Zahlen fS N, so treffen auch nur endlich viele Env die Durchschnittsumgebung U = Dün. Diese endlich vielen En„ mögen für den Augenblick wesentliche Env heißen, ihre Anzahl sei s. Die entsprechenden s „wesentlichen" Funktionen pnv{x) sind bei x stetig, so daß man Umgebungen Vnv von x finden kann, so daß für diese pnv(x)

Diese

Summe wird

I Vnviy) — Vnvix) I
wenn man y auf U beschränkt. Bilaet man die Durchschnittsumgebung W = flVnv »=0 i =0 und die A,- sind durch 5 eindeutig bestimmt; dies ergibt n + 1 Gleichungen _ m A,- = ^fijcfai, i = 0,..., n k=1 für die m „Unbekannten" und die Lösung ist dann und nur dann eindeutig, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix m ist. — Demnach ist n -+- 1 die Maximalzahl unabhängiger Punkte in dem von p 0 , . . . , p n aufgespannten Teiliaum. 29.1 Definition: seien unabhängige Punkte des euklidischen RN. Die Menge aller Punkte j der Form Ajp,mit = 1 (summiert über i = 0 , . . . , n) und > 0 heißt das offene n-dimensionale Simplex ( 0 nur Aj ^ 0, so heißt die entsprechende Menge das abgeschlosn sene Simplex [er] = [a ] = [p 0 . . . pn]. Unter dem n-dimensionalen Simplex a = an = p0 . . . pn schlechthin versteht man das offene oder abgeschlossene Simplex. Die Menge an = [er"] —(S' 2] eine Aufteilung (vgl. Index) von R. Wir definieren im Hinblick hierauf: 30.4 Definition: Ist £ ein Punkt eines Polyeders R = | K | mit der Triangulation K, so heißt das eindeutig bestimmte Simplex von K, das als offenes Simplex j enthält, das Trägersimplex oder kurz der Träger von 5. 30.5 Definition: £ sei eine Ecke des Simplizialkomplexes K. Die Menge aller Punkte des Polyeders R = | K |, deren Trägersimplex p als Ecke hat, heißt der (offene) Stern sip von p. stp ist eine in R offene Menge. Denn es ist si^j = R — | K* |, wobei K* derjenige Simplizialkomplex ist, der aus allen Simplexen von K besteht, die p nicht als Ecke haben; | K* | ist abgeschlossen, stp also offen in R. 30.6 Satz: Die Ecken pi (t = l , . . . , m) eines Simplizialkomplexes K sind dann und nur dann Ecken desselben Simplexes von K, wenn die Sterne stpt einen Durchschnitt 4= 0 haben. Beweis: Liegen die Ecken p,- an einem Simplex von K, so ist offensichtlich flsipj 4= 0 - — Ist umgekehrt diese Ungleichung erfüllt und ist 5 ein Punkt dieses Durchschnittes, so liegen alle an dem Trägersimplex von j .

§ 31. Unterteilungen

117

§ 31. Unterteilungen Unter dem Schwerpunkt a = an eines Simplexes a = a" = Jj0... versteht man den Punkt, dessen sämtliche baryzentrischen Koordinaten gleich

sind. Die Ver-

bindungslinie der Schwerpunkte zweier gegenüberliegender Seitensimplexe von a, etwa ar und an~r~1, heißt eine Mittellinie von a. In Verallgemeinerung eines wohlbekannten Satzes über die Mittellinien eines Dreiecks beweisen wir: 31.1 Satz: Die Mittellinien eines Simplexes an gehen durch den Schwerpunkt von a; verbindet eine Mittellinie den Schwerpunkt von ar mit dem, Schwerpunkt von on~r~1, so wird sie durch a im Verhältnis (n — r): (r + 1) geteilt. Beweis: Die Koordinaten der Schwerpunkte von ar und an-r-1 s i n c i bei geeigneter Numerierung der Ecken von a : :

t q ^ '

• • •> ^ T J , o

i: (o, . . 0 ,

...,

o), (r + 1 Nichtnullen), (n-r

Nichtnullen).

Aus diesen beiden Vektoren kann man den soeben angegebenen Vektor von a linear kombinieren, und zwar mit den Faktoren — u n d — — , , die das behauptete Teilr n + 1 n + 1 Verhältnis in Evidenz setzen. 31.2 Definition: K sei ein gradliniger Simplizialkomplex. Der Simplizialkomplex K' heißt eine Unterteilung von K, wenn folgende beiden Bedingungen erfüllt sind: [ T 1 ] | K' | = | K |, d. h. die zugehörigen Polyeder sind identisch; \T 2] Jedes offene Simplex (a') von K' ist in einem offenen Simplex (er) von K enthalten. Der Begriff der Unterteilung überträgt sich sinngemäß auf krummlinige Simplizialkomplexe.

118

Kap. 9. Polyeder

31.3 Satz: Zu jedem, gradlinigen Simplizialkomplex K gibt es eine Unterteilung K', die sogenannte Normalunterteilung von x, mit den folgenden Eigenschaften: (a) Die Ecken von K' sind die Schwerpunkte a der Simplexe a von K. (b) Die Ecken a0, ..., am sind dann und nur dann Ecken eines Simplexes er' = a'm von K', wenn die zugehörigen Simplexe a0, . . a m von K bei geeigneter Numerierung eine Inzidenzfolge cr0 < ox am bilden. In der Figur 7 sind als Beispiele die Normalunterteilungen der Komplexe T 1 und T2 angedeutet, die der Strecke a 1 und dem Dreiecks a 2 zugeordnet sind (im Sinne der Beispiele im Anschluß an Definition 30.1). o Zum Beweise zunächst einige Fig. 7 Vorbemerkungen. Wenn a 0 < < . . . < o m , so liegen die Ecken o 0 , . . . , o m sämtlich in [crm]; sämtliche a 0 , . . . , a m sind Seitensimplexe von a m . Schreibt man die baryzentrischen Koordinaten von a 0 , . . . , a m (mit den Ecken von a m als Bezugspunkten) hin, so erkennt man die lineare Unabhängigkeit der Koordinatenvektoren und damit (§ 29, 5.) die Unabhängigkeit der Punkte a 0 , . . . , a m ; durch (b) werden also wirklich Simplexe a ' = a 0 . . . a m erklärt. — Genauer erkennt man dabei, daß (o') 0 e-Überdeckungen der Ordnung 3 gestattet. Ebenso gestattet es natürlich Überdeckungen der Ordnung 4,' 5 usw., aber man würde sich vergeblich bemühen, wenn man e-Überdeckungen der Ordnung 2 bei kleinem s zu bilden suchte. i Analoge Betrachtungen kann man I I I I I im Raum R3 anstellen; hier würde man £-Überdeckungen eines 3-di| | l l | | mensionalen Quaders der Ordnung I I I I I I I 4, 5 usw., aber keine der Ordnung „ 3 oder gar 2 finden. Diese Überlegungen motivieren die folgende Definition der Pflaster-Dimension eines Raumes R. Wir müssen uns im Rahmen dieses Bändchens allerdings auf Kompakten R beschränken. 32.3 Definition: Die ganze Zahl n heißt die Dimension des Kompaktums R, dim R — n, wenn sie die leiden folgenden Eigenschaften (an) und (bn) besitzt: (ian) Zu jedem e > 0 gibt es eine endliche abgeschlossene e-Überdeckung von R mit einer Ordnung w + 1. (b„) Es gibt ein e>0 derart, daß jede endliche abgeschlossene e-Überdeckung von R eine Ordnung S: n + 1 hat. Ein Kompaktum R, das für kein n die Eigenschaft (an) besitzt, heißt unendlichdimensional. Zum Verständnis dieser Definition sei folgendes bemerkt. Es ist klar, daß nach ihr jedes nichtleere Kompaktum R eine wohlbestimmte Dimension, nämlich unendliche Dimension oder eine ganze Zahl n = 0 oder 1 oder 2 usw. als Dimension bekommt. (Der leeren Menge 0 ordnet man üblicherweise die Dimension — 1 zu.) — Die Eigenschaft (an) besagt, daß R h ö c h s t e n s die Dimension n hat, d . h . daß dim R n, die Eigenschaft (bn) besagt, daß R m i n d e s t e n s

§ 32. Pflasterdimension

125

die Dimension n hat, d. h. daß dim Ä S; n. — Man könnte auch definieren: Es ist d i m Ä = w , wenn die Eigenschaft (an), aber nicht (a^) erfüllt ist, d. h. wenn R h ö c h s t e n s die Dimension n, aber n i c h t h ö c h s t e n s die Dimension n — 1 hat. In der Tat ist (bn) genau die Negation von («„_!), wie man sich ausdrücklich klar mache. — Die formal kürzeste Definition wäre: dim R = n, wenn n die kleinste ganze Zahl ist, für die (a n ) gilt. Zunächst zeigen wir, daß die so definierte Dimension eine topologische Invariante ist. Dazu ist zu zeigen: Sind R und R' Kompakten, dim R = n, und ist f:R R' eine umkehrbar eindeutige stetige Abbildung von R auf ganz R', so ist dim R' = n. Man kann in der Tat wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von / (Satz 25.1) bei gegebenem s > 0 ein CD{, die ebenfalls den Durchschnitt 0 haben. Die Mengen Ci 1 ! = F { sind daher abgeschlossen, sie überdecken R, und es ist D,, womit der Satz bereits bewiesen ist. 32.6 Satz (Vergrößerung abgeschlossener Überdeckungen): Ist ® = {Dj | i = 1,..., m) eine endliche abgeschlossene Überdeckung des Kompaktums R, so existiert ein 0 derart, daß die offene Überdeckung ®a und die abgeschlossene Überdeckung ®Ä = {llÄ(A) | » = 1,..., «}, = {UiMl i= 1 m} dieselbe Ordnung wie ® haben. Beweis: ® habe die Ordnung o. Da bei einer Vergrößerung der Mengen Dt die Ordnung höchstens wachsen kann, genügt es zu zeigen, daß auch bei geeignetem 0, so daß die entsprechenden Mengen 11t(/)i) den Durchschnitt 0 haben. Sucht man für jedes Teilsystem von ® der genannten Art eine zugehörige reelle Zahl e und wählt 0 gegeben. Nach (a„) existiert eine endliche abgeschlossene Überdeckung ® von R einer Ordnung

§ 33. Nulldimensionale Kompakten Nach Satz 32.6 hat bei geeignetem ö > 0 auch

127 eine Ordnung

^ n + 1. Wählt man 0 endliche e-Überdeckungen 1 ) = {Di\i=l,...,n}. Dabei darf man die Dt als abgeschlossen voraussetzen, da man andernfalls die Di durch Dt ersetzen kann und d(Di) = d(üi). — Man betrachte zunächst eine Übcrdeckung = { ¿ , J i, = 1 , . . . = 2mi} von R durch nichtleere abgeschlossene Dt von einem Durchmesser
,• zuzulassen, und in der Aufzählung einige Mengen Df wiederholt. Jedes D t j ist selbst ein nichtleeres Kompaktum. Man überdecke es durch 2m« nichtleerc abgeschlossene Mengen Z » ^ (i2 = 1 , . . . , 2 m .) mit ¿(Z), itj ) < A u c h

die

Anzahl dieser überdeckenden Mengen kann man auf eine für alle D, gleiche Zweierpotenz 2 m . bringen. Es ergibt sich eine Überdeckung ®2 = {Diiti | ¿! = 1 , . . . , 2 m i; i s = 1 , . . . , 2 m .} von R durch n 2 = 2 m i + m« Mengen. Entsprechend fortfahrend erhält man für jedes r = 1, 2, eine Uberdeckung $r = {Dh . . . ,r | iv = 1 , . . . , 2 m " mit v = 1 , . . . , r } von R durch n r = 2mi+ • •• + mr nichtleere Kompakten von einem Durchmesser < ¿t Wir führen nun in der Definition des Cantorschen Diskontinuums TS (siehe § 9) einige Modifikationen ein, um es bequem mit unserem Kompaktum R vergleichen zu können. In der Definition von betrachten wir die C-Intervalle m,-ten Ranges und bezeichnen sie in einer gegenüber § 9 veränderten Weise als

8 Franz, Topologle I

130

Kap. 10. Dimension von Kompakten

C'i (i, = 1 , . . . , 2 m i) in ihrer natürlichen Anordnung auf dem Intervall [ 0 , 1 ] . Ferner betrachten wir die « 2 = 2mi +m> C-Intervalle (w 1 + m 2 )-ten Ranges. In jedem C'i sind 2mz davon enthalten, die jetzt entsprechend mit C ' i ' i (i 2 = 1 , . . . , 2 m s) bezeichnet werden. In analoger Weise werden die nr = 2mi + ••• + ">r C-lntervalle (m, + • • • + m r )-ten Ranges mit C'i---ir bezeichnet. +• •• +mT) s e i w j e früher die Vereinigung aller C-lntervalle (m 1 + • • • - ! - m r )-ten Ranges. Dann ist •) = TT-—-———. Die Punkte x e TS werden umO

l

+ ' *' +

m

T

kehrbar eindeutig durch Folgen C'i P C'Vj bzw. durch Folgen ( h h ' " ) bestimmt, wobei x e C'i---'r und jetzt iv die Werte 1 , . . . , 2">* durchläuft. Sei nun x ein beliebiger P u n k t von TS mit der zugeordneten Folge (i]i 2 • • •)• Die Folge von abnehmenden Kompakten Di,

=>• • •

in H bestimmt dann eindeutig einen in allen diesen Mengen enthaltenen Punkt p e R, den wir als Bild p = f(x) von x bezeichnen. Wir behaupten, daß / eine epimorphe Abbildung auf K darstellt. die überdies stetig ist. Mit dem Beweis dieser Behauptung ist dann der Satz bewiesen. — Ist p 0 € Ii beliebig gegeben, so bestimme man ein Dit mit p 0 € darauf ein D,lit (mit demselben tj) mit Po6 An", l i n d so fortfahrend eine Folge />,-, > > • • die p0 als einzigen gemeinsamen P u n k t enthält. Dann suche man in % den eindeutig bestimmten P u n k t x 0 auf, der der Folge C'i s C V i rs • • • gemeinsam ist. Offenbar ist p0 = /(x 0 ), womit j(x) als epimorph nachgewiesen ist. — Sei weiter ein e > 0 gegeben und sei r so groß, daß r y
0 gegeben. Wir werden eine Alexandroff sehe e-Abbildung a R2n+l) konstruieren mit d(oc, g) < 7], womit dann alles bewiesen ist. Zunächst benutzen wir die gleichmäßige Stetigkeit von g; es gibt ein (5 > 0 derart, daß aus d(x, y)