Teoria funcţiilor de o variabilă complexă: culegere de probleme

Citation preview

�INISTERUL INVĂŢĂMIN TULUI

GH. MOCANU

GH. STOIAN

.. ECAT. VIŞINESCU

- · TEORIA - FUNCTIILOR DE O. VARIABIL{ COMPLEX( CULEGERE DE PROBLEME

�Q ·.

EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ - BUCU REŞ TI, 1970

Tehnoredactor : TiMPĂU_:ANA Coperta de: E. PALADE

INTRODUCERE

Culegerea de faţă conţine exerciţii şi probleme referitoare la conceptele şi rezultatele fundamentale de teoria funcţiilor de o variabilă complexă. Împărţirea materialului pe capitole §i paragrafe s-a făcut avîndu-se în vedere atît conceptele şi rezultatele la care se referă cît şi metoda sau schema de raţionament în care se încadrează.

Capitolul I cuprinde în special exerciţii privind operaţiile:: cu numere complexe, avînd ca scop familiarizarea cititorului cu funcţiile remarcabile definite pe mulţimi de numere complexe, cum sînt: „modulul", argumentul", "conjugatul", ,,exponenţiala", ,,funcţiile logaritmice", ,,funcţiile putere", ,,funcţiile trigonometrice" etc. Un număr însemnat de exerciţii este consacrat şirurilor convergente şi şirurilor sumabile de numere complexe şi de funcţii. Un grup de exerciţii se referă la elemente de topologia planului. Ultimul paragraf al acestui capitol este consacrat prezentării conceptului de drum şi relaţiei de omotopie. În prima parte a capitolului II se găsesc exerciţii privind conceptele de „serii de puteri formale" şi „serii formale convergente" precum şi exerciţii care au ca scop familiarizarea cititorului cu operaţiile uzuale cu serii de puteri formale. A doua parte a capitolului II conţine exerciţii şi probleme referitoare la conceptul de „funcţie olomorfă" şi la teoremele fundamentale privind funcţiile olomorfe, cum ar fi: teoreme de identitate, principiul maximului, teorema de invarianţă a domeniului etc. · Capitolele III şi IV cuprind exerciţii referitoare la conceptele de funcţie armonică şi legătura ei cu cel de funcţie C-derivabilă, la integrala Cauchy, la calculul indexului unui drum, la calculul rezidu~or şi la aplicaţiile teoremei reziduurilor la calculul anumitor integrale reale improprii şi la sumarea unor serii. Exerciţii privind 11

s

transformarea conformă a domeniilor simplu conexe şi dublu conexe se găsesc în capitolul V. · Capitolul VI cuprinde exerciţii privind unele proprietăţi specifice algebrei de funcţii continui pe închiderea cercului unitate a căror restricţie la cercul unitate sînt olomorfe. Exerciţiile propuse ca şi cele rezolvate introduc pe cititor într-unul din capitolele noi legate de teoria funcţiilor olomorfe. Capitolele lucrării au fost elaborate după cum urmează: capitolul I-Gk. Stoian (§ 1-5) şi Gh. Mocanu (§ 6); capitolul I I - Gh. Stoian (§ 1-2) şi Ecat. Vişinescu ( § 3-4); capitolele III, IV~ VI - Gh. Mocanu; capitolul V - Ecat. Vişinescu. Autorii

CAPITOLUL I

ELEMENTE DE TOPOLOGIA PLANULfil ŞI FUNCŢII DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ § 1.

Mulţimea

numerelor complexe

1. ln cele ce urmează vom presupune cunoscută noţiunea de real. Fie R mulţimea numerelor reale. ln mulţimea C = R x R se defineşte relaţia de egalitate în felul urmă tor: (x, y} = (x', y') (m) x = a;' şi y = y'. număr

Faţă

de

următoar~e

legi de

compoziţie

+ (x', y'} = {x + x', y + y'} Înmulţirea: (x, y) • (x', y') = (xx' - yy', xy' + x'y) Adunarea: (x, y}

este uşor de verificat că mulţimea C formează un corp comutativ, avîn O. vom nota cu K,(a) mulţimea K,(a)={zeC; lz-al=r} numită

cerc cu centrul în punctul a şi de rază r. , Fie K,(a) un cerc şi z un număr complex. Numărul complex z• care are proprietatea (z - a) (z* - a) = r 2 numeşte simetricul lui z în raport cu cercul K,(a). Din definiţie rezultă că orice număr complex diferit de a are un simetric şi numai unul, dat de egalitatea:

se

•

,.2

z=a+--· (z - a)

Dacă

(z*)* 6

=

z• este simetricul lui z atunci z este simetricul lui z•. Deci: z.

Simetrica unei mulţimi A faţă de cercul K,(a) este mulţimea -punctelor simetrice cu punctele lui. A.. 9. Raportul anarmonic. Pentru orice sistem de patru numere complexe (z;)t ~, ~ 4, z; =f=. ZJ(i =f=. J) vom nota cu (z1 , z2 , Z8 , z,) numărul complex z3

-

z1 • z4

-

z1

z3

-

z8 z4

-

z2

numit raportul anarmonic al celor patru numere. Un calcul direct arată că raportul anarmonic a patru puncte are cel mult şase valori esenţial distincte corespunzătoare celor 41 = 24 de permutări ale punctelor. · 10. Exemple de mulţimi de numere complexe a) Discul cu centrul în punctul a E C şi de rază r > O:

U,(a)={zeC; lz-al O: K,(a) = {zEC; Iz-al= r}. circulară

c) Coroana

W,,p(a) = {zEC ;r O există un număr natural ne astfel ca: I Zn I > e pentru orice neN, n n,.. Şi în acest caz se foloseşte notaţia: lim Zn = 00 sau Zn -+ oo. număr

>

n➔ oo

4. Despre un şir care este convergent sau tinde spune că are limită.

către oo

se mai

5. Dacă pentru fiecare e > O există un număr natural ne astfel ca pentru orice pereche de numere naturale p ~ n8 , q ne să avem: I Zp - Zq I < e, se spune că (zn)neN este şir Cauchy.

>

6. Şirul (zn) este mărginit dacă ca: IZn I~ A pentru orice neN. 7. Se numeşte subşir al şirului şirul (z7in)neN

2 -

Teoria

funcţiilor

< A(n + 1)

un

număr Â

(zn)neN corespunzător

1 O aplicaţie k:N-+ N o vom·ilumi rale dacii. tndeplineşte condiţia:

A(n)

există

contracţie

a

mulţimii

>

O astfel

contracţiei

k1

numerelor natu-

pentru orice nEN

de o variabili complexl -

c. 310

17

8. Punctul a E Coo se numeşte limită parţială a şirului (zn)neN un subşir (z1in)neN al şirului (zn)neN cu limita a.

dacă există

9. Dacă (zn)neN limită şi limita sa 10. bolul mai

are o singură limită parţială atunci (zn)neN are coincide cu limita.parţială.

*

Fiecărui şir (zn)neN

E

numit serie

Zn

de numere complexe i se

asociată şirului (zn)•

asociază

sim-

Tot pentru serii se

neN

utilizează şi următoarele notaţii: 00

E Zn

sau

n=l

E Zn

sau z1

+ z + ... + Zn + ... 2

n;;;iit

Şirului (zn)neN n următor: sn

i se mai

asociază şirul (sn)neN

definit în modul

E z„ numit şirul sumelor parţiale ale seriei E Zn, Dacă şirul (sn) neN este convergent, se spune că seria E Zn este =

h=l

neN

convergentă. Numărul

seriei date şi se scrie:

= s= s

lim sn se

numeşte

co

E

sau s

Zn

1I. Seria

L, Zn

E

Zn, În caz con-

neN

n=l

trar, seria este - prin

=

nen

în acest caz suma·

definiţie

-

divergentă.

convergentă dacă

este absolut

seria

neN

E

IZn I este

neN

convergei:ită.

12. Seria

mutarea

E

Zn neN

este comutativ

p: N_-+ N,

seria

E

convergentă dacă

Zpn

este

oricare ar fi per-

convergentă.

neN

13. Despre o serie convergentă Ezn pentru care seria

este 18

divergentă

se spune

că

este

neN

semiconvergentă.

EI Zn I

neN

14.. Fiind date două serii sul) seriilor date este seria

E Zn, E tm suma neN

nEN

~ Wn

unde

(respectiv produ-

neN

Wn

=

15. Fie (zn) un

Zn

+ tn (respectiv Wn = E Zp~) • p+q=n

şir

de numere complexe astfel ca:

=I= O pentru orice nEN

a)

Zn

b)

Iz„ I~ IZn+i I- pentru orice

c)

Zn

➔

neN

00

Dacă există

un

număr

real 11. astfel ca

ot) seria ~ - - să fie convergentă pentru orice a lznl 0 ·

> Â,

~) seria ~ - - să fie divergentă pentru orice a lznr ·


O fiind dat există nsEN astfel ca pentru orice neN, n ~ n" să avem: lz,,-zJ < Dacă P >, ne şi q ~ ne atunci

f

IZp -

Zq

I ~ I Zp - z I + IZg - z I
n 0 să avem: Iz,; - Zn 0 I < 1. Dacă ex = max Iz„ I şi  = max {oe, 1 IZn0 I} l~k~no

atunci H

Iz„ I ~ Â pentru orice neN.

+

Deoarece (z,.) ·este mărginit, oo nu este limită parţială a ac~tui Fie a şi b două limite parţiale ale şirului (z.) şi (z,.J, (z,n) două subşiruri ale sale astfel ca:

şir.

>

Numărul e O fiind dat, există , q~n săavem: lzp-z9 1 8 8

p~n

ncEN astfel ca pentru orice


1,

Fie.,,.=

seria

E

Ea„

convergentă şi

este

lim m➔ ao

~m există

ak. Deoarece lim r,, = O,

un

Ea,.=

O.

n~m

număr

natu-

k~n 1

ral m astfel ca: 1',. < - pentru n 2 P~ntru orţce n ~ 1 avem:

II m~k~m+n

(1 - ak)

>

~

1- ·

m.

E

ak

>

1 - rm

m~h~m+n

> -21 .

: În decursul demonstraţiei se ·foloseşte inegalitatea:

ex;> 1 +

X

pentru orice xER.

29

Şirul (

II (1 -

este descrescător şi mărginit inferior

ak))

m~ c). Pentru orice neN avem:

II

(1

I este absolut convergentă.

şi

139. Se consideră seria I:zn. Dacă pentru orice permutare · a :N--+- N seria I:za(n> este convergentă atunci seria :Ezn este absolut convergentă.

seria convergentă :Ezn şi o funcţie strict crescătoare cp: N--+- N astfel aleasă ca seria I:zcp(n> să fie absolut convergentă. Să se demonstreze că oricare ar fi permutarea a: N--+.N avînd proprietatea următoare: a(n) = n dacă n~cp(N) atunci seria I:z0 cn> este convergentă şi I:za(n) = I:z,.. Demonstraţie. Fie (sn) şi (tn) şirurile sumelor parţiale ale seriilor I:z„ şi I:zacn>• Oricare ar fi numărul natural n, avem:

140. Se

consideră

n

tn

=

E

l~k~n

kEcp(N)

88

-s,.

Za(k) -

= >'

n

Zo(k)-

t=(

I;

l~k~n

kEcp(N)

E zk = l~h~n B k=I kEqi(N)

Z1i

=

Za(k)

+

Intrucît seria l:Zq,(n) este absolut convergentă, conform problemei 138 urmează că,

E

· lim

Zo(q,(k))

n➔ 00 l~q,(k)~n

şi

deci: lim

tn

= lim

= lim

E

Zq,(k)

n➔ 00 l~q,(k)~n

Sn

141. Fie q>: N-+ N o funcţie strict crescătoare. Dacă seria l::n este absolut convergentă atunci şi seria I:zq,(n> este absolut convergentă.

142. Fie (ocn) şi (~n) naturale. Dacă seriile .

au

aceeaşi su1ţ1ă

două şiruri

atunci

IXn

= ~n

strict

crescătoare

de numere

pentru orice neN.

143. Fie q>: N-+ N o funcţie strict crescătoare şi a un complex dat. Să se studieze convergenţa seriei: I:aq,(n). R. Dacă I a I ~ 1 seria este este absolut convergentă.

divergentă.

număr

Pentru I a I < 1 seria

144. Fie (zn) un şir de numere complexe. seria I::! este convergentă, atunci

Să

se arate

că dacă

n

Z1

+ Z9 + ... + Zn -+ o• 11

145. Fie (zn) un şir de numere complexe astfel ca Zn -::/= O pentru orice neN. Să se arate că

z:: < 1, seria I:zn este convergentă; b) Dacă lim / z:: I> 1 seria I:zn este divergentă.

a) Dacă lim /

1

/

1

89

146.

Dacă

Il

produsul

(1

+ Zn)

este absolut convergent atunci

neN

·

II (' + Za(n>)

oricare ar fi permutarea a: N-+N, produsul ·

şi

absolut convergent

II

{1

neN

147. atunci

Dacă şi

este

neN

+ Za(n)) = II (1 + Zn)• neN

produsele infinite

II Zn şi II neN

produsele

?:n

sînt convergente,

neN

sînt convergente iar

IT

Zntn

= IT Zn • IT tn

neN

148. ar fi

Dacă

numărul

neN

Şi

neN

II

.

neN

seria l::zn este absolut

1

Zn

II - =

neNZn

convergentă

complex z, produsul infinit

l•

atunci oricare

II (1 + Znz) este absoneN

lut convergent.

149. Oricare ar fi

numărul

IT (1 + z")

complex z : Iz I < 1, produsele

IT 150. Fie (zn) un

(1

şi

+ z") • II (1-z2n-t) = 1~ neN

şir:;:de:numere

. o: Oastfel ca: Ur(z)cG. Evident, pentru fi~care ze C, un sistem fundamental de vecinătăţi al acestui punct îl constituie J(z). Mulţimea numerelor complexe înzestrată .cu topologia definită mai sus o vom numi planul numerelor complexe sau simplu planul. 2. Compactificarea planului numerelor complexe. Este uşor de observat că planul C al numerelor complexe nu este comp~ct. · într-adevăr, familia de discuri (Un(O))neN constituie o acoperire deschisă a lui" C, dar ea nu conţine nici o acoperire finită. Fie oo un element diferit de toate numerele complexe şi Geo = = CU{oo}. Vom nota cu J(oo) mulţimea discurilor de rază pozitivă cu centrul în punctul 00 1 • Se constată că pentru fiecare zECoo, familia tV(z) a supramulţimilor mulţimilor din J'(z) verifică axiomele vecinătăţilor. Prin urmare, există o topologie Goo pe Geo şi numai una astfel ca pentru fiecare ze Geo, l'V(z) să repre1 Prin disc de rază. ,, > O cu centrul în punctul 00 Ur(oo) = {zEC: l.rl > f'}U{oo}.

înţelegem

mulţimea

41

mulţimea vecinătăţilor lui z. Pentru fiecare ze Co:,, J(z} reprezintă un sistem fundamental de vecinătăţi al punctului z. 3. Din modul cum au fost definite, observăm că spaţiile C şi Co:, sînt separate iar C este subspaţiu al lui Coo. 4. Mulţimea C00 înzestrată cu topologia definită mai sus este un spaţiu compact ; vom numi planul complex sau sfera lui

zinte

n

Riemann.

_-5. Spaţiul mulţimea

R". Pentru fiecare Rn

Vom numi

bulă

=

număr

natural n,

notăm

R X R X ..• X R . de n ori

cu centrul în punctul a e R" de

mulţimea

= {xE Rn;

Sr(a)

cu R"

p(x, a)

rază

r

>O

< rE

Mulţimea R" se topologizează exact ca multimea numerelor complexe înlocuind doar discul cu bula. .' Pentru n ~ 2, compactificarea lui Rn se face ca la compactificarea planului. 6. Compactificarea mulţimii numerelor reale. Spre deosebire de spaţiile Rn(n ;;ai: 2), compactificarea mulţimii numerelor reale o vom realiza prin adăugarea a două puncte. Fie deci - oo şi + oo două elemente diferite între ele şi diferite de orice număr reat iar R = RU{- oo, + oo}• Fiecărui element xeR i se asociază familia de mulţimi

J(x)

1

+ e:) ; e: > O} dacă x -4= - oo, + oo - J(- oo) = {(- oo, a); aeR}U{- oo} J(+ oo) = {(a, + oo); aER}U{+ oo} •

= {(x -

e:, x

Fiind date punctele

x şi

Y

numărul

=

(x1 , .x2,

••• ,

Xn) ER"

= (Y1, Y2, ···• Yn) ERn, 1

p(x, y)

se

42

numeşte

distanţa

dintre x

= şi

(tf•-11)")2 y.

Pentru fiecare. element xe.R, familia O}• Rezolvare. a) Fie bE Ur(a) şi p = r - I a - b 1. Dacă zE Up(b) atunci: I z - a I ~ I z - b I I b - a I < p I b - a I = r şi deci

+

+

ze U,(a); b). Considerăm un punct be Wr p(a) şi numărul a= =min{p-la-bl1 la-bl-r}. Dacă zeUa(b) atunci:

r O}

şi r

= Im a.

lb-al < r de unde Im a-Im b < r

Dacă şi

be U,(a) avem:

deci: Im b > O.

153. Pentru fiecare mulţime din problema precedentă să se determine: interiorul1 aderenţa 1 mulţimea derivată şi frontiera. Aceleaşi întrebări pentru mulţimea punctelor din plan cu ambele coordonate raţionale. o ~

Rezolvare. Potrivit problemei precedente avem: U,.(a)

= U,(a)1

o

....-._

Wr,p(a) = Wr,p(a), {zeC: Im z > O} ={~eC: Im z > O}. a) Fie un punct bE U,(a) şi un număr p > O. Avem: Up(b) U,(a) -::f= ţZS. Să considerăm un punct ze Up(b) U,(a).

n

n

Evaluăm· diferenţa:

I b-al

~

I b-zl +Iz-al< p + r. Prin

urmare: I b - a I < p + r oricare ar fi numărul p > O. De aici I b - a_ I < r. Am stabilit că:

rezultă că:

U,(a)c{zeC: Iz-al< r}• Fie acum un punct bE{zeC: Iz-al-~ r. Dacă lb-al < r atunci bE U,(a) şi deci be U,(a). Să ne situăm în cazul: I b-a I= r. Considerăm un număr p > O şi discul Up(b). Dacă p > 'f atunci aE Up(b) n U,(a). Dacă p < r alegem un număr Â: 1 1

- .f..

< A
O), â(Im z > O) =

R.

Fie M mulţimea punctelor din plan cu ambele coordonate rationale, un punct aeM şi un număr r > O. Să punem: a= a 1 + + ia" unde a', a" EQ şi să considerăm un număr iraţional be(a' -r, a'+ r). Avem evident b + ia"rAM şi l(b + ia")-al = = I b-a' I< r. Prin urmare: oricare ar fi numărul ,, > O,

M = fZ5; în Cţ>ntinuare vom arăta C. într-adevăr, fie aeC (a= a'+ ia") şi un

U,(a) ncM =p fl5. Urmează că:

1 că: M'

= M=

(a' - i, a' + b"e(a" -f, a"+ f ),

disc U,(a). Să considerăm un număr raţional b'E

+f), b' +a'

şi

număr raţional

un

b" =I= a". Avem: b'

+ ib" =I= a,

b'

+ ib"eM

-(a' + ia") I ~-I b' -a' I+ I b" - a" I rezultă că aeM'. în consecinţă M' că: M' = M. = C.

=

şi

I (b'

+ ib")-

< .!..2 + .!..2 = r de unde

C. Intrucît M'cM urmează

In sfîrşit, cu raţionamente similare celui precedent se arată oM=C.

că:

154. Fiecare punct mărabil

.

de

Demonstraţie.

Fie aeC

ale punctului a. definiţiei, există

r

ae C

posedă

un sistem fundamental nu-

vecinătăţi.

şi

Dacă V este un număr r

(Ul (a))neN o familie de

o

n vecinătate

a punctului a, potrivit

> O astfel ca:

> O fiind dat există un număr natural

vecinătăţi

U,(a)cV.

Numărul

n 0 astfel ca

..!.. < r şi 110

deci: U .!. (a)C U,(a) O astfel ca discul Ur(a)

să

nu conţină puncte ale mulţimii

M, diferite de a, concluzie care contrazice ipoteza

160. Orice mulţime de acumulare.

infinită şi mărginită

I

are cel

că

puţin

aeM'.

un punct

•

Demonstraţie.

Fie a1 EM, a 2 EM - {a1}, a3 EM - {a1 , a 2}, ••• , anEM - {a1 , a 2, ••• , an-1),···Şirul (an) fiind mărginit, el conţine uh subşir convergent. Limita acestui subşir este punct de acumulare al mulţimii M.

161. O mulţime numărabilă.

care are un singur punct de acumulare O, a şi b pot fi unite cu un e-lanţ în K atunci a şi b aparţin aceleiaşi componente conexe a lui K. Demonstraţie. Pentru fiecare n E N să notăm cu Kn mulţimea punctelor di~ K ce pot fi unite cu a printr-un ..!.. - lanţ. Avem: n

a, bEKn pentru orice nEN. Prin urmare: a, bE

n

să arătăm că mulţimea

n Kn. Rămîne

nEN

Kn este conexă. În acest scop să obser-

neN este descrescător.

· văm că şirul {K,,) Mai departe, mulţimile Kn sînt închise. într-adevăr, să considerăm o mulţime Km şi un punct ZE Km. Conform definiţiei punctului aderent, există un punct ~EKm astfel ca: 1-z- ~ I < ...!... • Întrucît ~EKm, el poate fi unit .

m

cu a printr-un ...!... - lanţ, de unde zEKm (aici a intervenit fapm

tul că mulţimea K este compactă deoarece z trebuie să aparţină lui K). Mulţimile Km fiind închise, ele sînt compacte. Să fixăm acum un număr natural n 0 • Pentru orice n > n 0 , Kn este ..!.. - conexă n

·şi deci_!__ - conexă. Deci (Kn)n~no este un şir descrescător de no

compacte, nevide şi...!... - conexe. Conform problemei 200,

= n~l n Kn

no

este o mulţime compactă şi...!... - conexă. Intrucît n 0 a

fost ales arbitrar, urmează că

n Kn

n~l

n K„ este conexă, continută în K

n~l

203. Fie K o 86

n Kn =

n~no

1

11 0

este conexă. în consecinţă şi

cantine punctele a, b. '

mulţime compactă şi două

puncte a, beK.

Dacă punctele a, b aparţin la componente conexe diferite ale acestei mulţimi atunci există două mulţimi A şi B închise şi disjuncte astfel ca:

aeA, beB, AUB

= K.

Demonstraţie. Conform problemei precedente, deoarece a şi b aparţin la componente conexe diferite, există un număr e: O astfel că a şi b nu pot fi unite în K prin nici un e:-lanţ. Fie A mulţimea punctelor din K ce pot fi unite cu a printr-un e:-lanţ şi B K-A. Avem: aeA, beB şi AUB K. Mai avem de arătat că A şi B sînt închise. Pentru aceasta este suficient să se arate că A şi B sînt deschise în K, fapt care rezultă imediat.

>

=

=

204. Fie A şi B două submulţimi închise şi nevide ale unei mulţimi compacte K astfel că oricare ar fi compo~enta conexă Ma lui K,

MnA

=

$lS sau MnB

= sl5.

În aceste condiţii există două mulţimi H 1 , H 2 închise şi disjuncte astfel ca .AGH1, BcH2, H 1 UH2 = K. Demonstraţie. Vom încerca să dovedim că există un număr "IJ > O astfel că nici un punct din A nu poate fi unit cu nici un punct din B printr-un "IJ - lanţ în K. În acest scop, procedăm prin reducere la absurd. Fie pentru fiecare neN un punct anEA şi un punct bnEB care pot fi unite printr-un .!. - lanţ în K. Şirurile (an), (bn)

.

n

fiind mărginite ele conţin cîte un subşir convergent. e > Ofiind dat, există un număr r astfel ca

-1
1/(z) - /(a) I < e:. întrucît an-►, a, pentru numărul a > O determinat mai sus există zeM,

un

număr

Iz - a I
O există un număr "IJ > O astfel ca: a', a"eA, la'-a"I < "I)=) 1/(a')-/(a")I < 8.1 Deci, pentru numărul e > O există "IJ > O astfel ca: a', a" EA, I a' - a" I < "I) =) lg(/(a')) -g(f(a ")) I < b', b"eB,

Prin urmare şi

=

funcţia

continuă

g 0 / este uniform

pe

e:.

mulţimea

A.

248. Fief o funcţie definită pe mulţimea M, un punct aeM' un număr complex A. Condiţia necesară şi suficientă ca lim /(z) = A este ca pentru orice şir (a.,)CM, an

/(an)-+ A.

Indicaţie.

Se

urmează raţionamentul

=I= a, an-+ a

•➔a

să

avem:

din problema 243.

249. Fie/o funcţie definită pe mulţimeaM şi un punct aeM nM'. Condiţia necesară şi suficientă ca funcţia/ să fie continuă în punctul a este ca:

lim/(z) .a➔ a

= /(a) •

Condiţia este necesară. Fie un şir (an) CM, an =I= a, an-+ a. Întrucît / este continuă în punctul a şi an-+ a atunci/(an) -+ /(a). Conform problemei precedente, lim/(z) = /(a) •

Condiţia este suficientă.

.s ➔ a

fie un şir (an) cM, a,,-+a. Deoarece din orice subşir al şirului (/(an)) se poate extrage un şir convergent către /(a) urmează că /(an)-+ /(a) şi deci/ este continuă în punctul a. '18

Într-adevăr,

250. Fie/ o funcţie definită pe mulţimea M şi un punct aEM'. Condiţia necesară şi suficientă ca lim /(z) să existe este ca pentru a➔a

fiecare e: > O să existe un număr as > O astfel ca pentru orice pereche depunctez', z"EM-{a} pentru care Iz' -al < as şi lz"-al < ac să avem: 1/(z')-/(z")I < e:. Condiţia este evident necesară. Să dovedim suficienţa ei. Fiind dat un şir (an)CM, ·an::/= a, an~ a se arată uşor că şirul (J(an)) este şir Cauchy, deci convergent. Să mai considerăm un şir (bn) CM, bn ::/= a, bn-+ a. Întrucît 1/(an) - f(bn) I < e: începînd de la un anumit rang înainte, urmează că: lim/(an) = lim/(bn)Prin urmare oricare ar fi şirul (an) CM, an =fa a, an-+ a, şirul (/(an)) este convergent şi limita lui nu depinde de alegerea şirului (an), In consecinţă: lim /(z) există. , ➔a

251. Fie A o mulţime densă în M şi o funcţie continuă /: A -+ C. Pentru ca funcţia / să se poată prelungi la o funcţie continuă pe mulţimea M este neces~r şi suficient ca pentru orice punct aEA'nM să existe lim/(z). Prelungirea, dacă .r➔ a

există,

este unică. Condiţia este necesară. Fie M-+ C o prelungire continuă a funcţiei /, un punct a EA' M şi un şir (an) CA, an ::/= a, an-+ a. Intrucît (an)CM, avem: f (an)-+ f (a) şi deci /(an)-+ Î(a). Prin urmare: lim /(z) există.

f: n

a➔a

suficientă. Din M c A = A U A' rezultă că: M' CA' U A "CA' deoarece A' este închisă. Să considerăm funcţia f: M-+ C definită astfel: Condiţia este

/(z) dacă ZEA

f(z)

=

{ lim/(~) l; ➔.r

dacă zEM -A

Prin construcţie, f A = f. Rămîne să mai arătăm că funcţia f este continuă pe mulţimea M:_Fie un punct aeM. Dacă a~A' atunci a~M' şi deci funcţia f este continuă în punctul a. Să presupunem acum că aeA'. Prin urmare: aEA'nM. Numărul e > O fiind dat, există un număr 8 > O astfel ca: zeA, z ::/= a,

Iz-al< a=> 1/(z)-.Î(a) I O există un număr "IJ > O astfel ca: · zEA, z Alegem

+ t,

numărul "IJ

+

şi I ~ numărul

~ a Pentru

=> 1/(z)-f(~) I) = sin z

(j) cos (z

atunci

există

un

Rezolvare. a)

pentru orice zeC;

+ = cos z

pentru orice z E C,

CJ>)

număr

Rezultă

întreg n astfel ca: CJ> din problema 270.

=

2nn.

=

b) Din sin (z + CJ>) sin z rezultă, pentru z = O, sin CJ> = O şi .deci: CJ> = nn (nEZ). Prin urmare: sin (z + nn) = sin z pentru orice z E C, adică: ei(2+n1r) _

e-i(z+ni;)

= eiz _

sau: (1 - cos (nn)) • (ei• - e-i•)

e-i:c

= O.

De aici rezultă că n trebuie să fie număr par. Deci: ln mod asemănător se procedează în cazul al doilea.

273. a)

Să

Dn funcţia

se arate

că

=

2kn.

pe orice domeniu

= {(2n- l)"i
1/no(z) - /11o(a) I

Pentru zeM, Iz - a I < 8e avem: 1/(z) - /(a) I ~ 1/(z) - /,, (z) I + de unde 104

rezultă

< !.3 ·

l/n (z) - /n (a) I + l/n (a) - /(a) I < e:, 0

+

numărul e:

0

0

0

continuitatea

funcţiei

/ în punctul a;

>

O

b) Această afirmaţie este o consecinţă imediată a punctului a); c) Fie e > O. Întructt f n ~➔ J, există n0 E N astfel ca:

lf(z) - /,,0(z) I O astfel ca: 0

8e

(z', z'.' EM, Iz' - ţ" I < 8e)

=)

continuă

pe M,

există

i·

lfno(z') - fno(z") I


359. Fie S o serie formală şi un număr natural n 1. Să se arate că dacă I ~c.> (S) < oo şi So S = 5n atunci: S = xn.

Rezolvare. Din exerciţiul 352 c.>(S) = n. Din So S = sn

că:

(S' o S)-S'


(S) rezultă prin derivare:

oo

rezultă

= nSn-1 .s'.

Întrucît c.>(S') =fa oo (v. ex. 355 şi condiţia c.>(S) =fa oo) obţinem: S' o S

Inductiv se arată că s(S) = n urmează că: S = S(n) xn. Fie ( X = S(n). Avem: (tl") O (tln) = ((Xxnr sau (Xn+l • xn2 = (Xn • xn2 • Întrucît

(X

=fa O şi xn2 =fa O

urmează că

360. Fie S, T două serii formale Să se arate că dacă a) S(O)

=

T(O)

= O;

b) S(k)

=

T(k)

pţntru

atunci: S'(n

·•··

şi

orice k, 1

+ 1) = TP(n + 1)

(X

un

=

1 şi deci: S

număr

= xn.

natural n

> 2.

< k < n,

pentru orice 2

< p ~ n. 187

Rezolvare. Pentru

S2 (n

p= 2

obţinem:

n

+ 1) = E

S(k) S(n

+ 1-

k)

=

kc:11

n

=E

T(k) T(n

+ 1-

k)

=

T2(n

+ 1).

k=l

Să

că afirmaţia arăta că

presupunem

2 O),

S0

=

S.

eşte sumabilă.

familia (S,.)neN

Rezol'IJare. Afirmaţia rezultă imediat din faptul că fiind dat un număr natural m- conform exerciţiului 352 - avem:

< m} C

{neN: er>(Sn) 363. Se

consideră

seriile formale

T

=E

S2

+ T2 = I.

s= ~

(-l)n ,X2n+1, ~o (2n + 1)1

Să

se arate

{I, 2, ... , m}.

(-l)n n~ {2n) I

x2n.

că:

S'

= T, T' = -S,

Rezolvare. Egalităţile S' = T, T' = -S sînt imediate. Fie acum: U= S2 + 1'2. Avem: U' = 2S ·S' + 2T · T' = 2S • T-2T ·S = 0. Prin urmare: U = rd. Dar U(O) = S2(0) + 1'2(0) = 1 şi deci U= 1. 364. Se consideră seriile formale

Să

se arate

că:

a) EoL=l-X, b) er>(T)

Dacă

l -X'

-

S, T sînt două serii formale astfel ca c.>{S) E o (S T) = (E o S) • (E o T)

> 1 atunci:

Rezolvare. a) Fie U U'

L'- _ _ 1_.

+

Să observăm

mai întîi

că:

E'

> 1 şi

= E.

= EoL. Avem:

=

(E o L) • L'

şi

U"

=

(E o L) • (L' 2

+ L ") 189

Dar: L ' 2 = ~

-

+ 1) xn

(n

= E (n + 1) xn. n~O U =a.I+ ~X.

şi L"

n~O

Prin urmare: U" = O şi deci: Dar: U(O) = ex= E(O) = 1 şi U(l) = (3 = E(l) · L(l) = -1. consecinţă:

In

U =I-X.

Mai departe, din egalitatea E o L

=

rezultă

I- X

prin derivare

1

(EoL)·L'=-1 de unde: L ' = - - - ; 1-X

b) Avem: E

o

(S

+ T) = z. ....!.. (S + T)n = ni n~O

=E .:_ 5h · E _!__ yk = (E hI hI h~O

o

S) · (E O T).

k;?i:O

365. Să se determine inversele în raport cu operaţia de înmulţire ale următoarelor serii formale:

=

1, S(n)

b) S(O) = 1, S(l)

=

1, 5(2) = 1, S(n)

=

= O,

>2

1, S(l)

a) S(O)

n

=

O, n

>3

Rezolvare. a) Fie T inversa lui S. Avem: S · T =Ide unde: = 1 şi deci T(O) = 1, iar: S(O) • T(l) + S(l)· T(O) = O

S(O) · T(O)

n

= -1. Pentru n > 2 avem: B S(k) • T(n-k) =0. h=O Întrucît: S(k) = O pentru orice k > 2, urmează că: T(n) + + T(n-1) =o.în consecinţă: T = E (-l)nxn.

de unde: T(l)

n;?;:O

b)

Dacă

T este inversa lui S avem: S • T . I S(O) · T(O)

=

şi

deci:

1,

+ S(l) • (T(O) = O, S(O) • T(2) + S(l) · T(l) + S(2) · T(O) = O, S(O) • T(l)

de unde: T(O) = 1, T(l) = -1, T(2) = O. 140

Pentru n > 3 avem:

n

E

S(k) T(n -

k)

= O.

Deoarece S(k)

k=O

=O = O.

pentru k > 3, urmează că: T(n) + T(n - 1) + T(n - 2) De aici şi din faptul că: T(O) -;-- 1, T(l) = -1, T(2) = O, rezultă că: . T(n)

=

I

dacă

1

-1 dacă

1

= 3m; n = 3m + n

1;

O dacă n=3m+2.

Prin urmare: T=I-X+X3-X 4 +X6 -X7 + ... 366. Să se determine inversele raport cu operaţia de compunere: a) S(O) = O, S(n) = 1, n

b) S(O)

= O,

următoarelor

serii formale în

> 1;

S(l) = 1, S(2)

=

1, S(n) = O, n

> 3.

Rezolvare. a) Fie T inversa lui S în raport cu operaţia de compunere. Avem: To S = X de unde T(l) S(l) = 1 şi deci T(l) = 1 iar pentru n > 2 avem: T(l) •S(n) + T(2). S2{n) + ... T(n) · •Sn(n) = O. . Constatăm că pentru determinarea inversei seriei S este necesar să se determine diferitele puteri ale acestei serii. Prin inducţie se

+

arată că:

S"'(n)

={

(n

dacăn< m;

_o I) I

(m - l)l (n - m)

că:

se

n >m;

• S(n) + T(2) · S (n) + ... + T(n) • sn(n) = O > 2 deducem pentru n = 2: T(l) • S(2) + T(2) ·

Din relaţia: T(l) valabilă pentru n S2(2)

dacă

I

2

= O. Dar: T(l) = 1, S(2) = 1, S2(2) = (S(1))2 = 1. Urmează T(2) = -1. Pentru n = 3 deducem: T(3) = 1. Inductiv

arată că:

T(n)

=

(-t)n-1,

n

> 1.

b) Dacă Teste inversa lui S în raport cu operatia de compunere, avem: So T = X şi de~i: S(l) · T(l) = 1 de unde T{l) = 1. 141

Pentru n

>2

n

avem:

E

S(k) • Tk(n)

= O.

Deoarece S(k)

=O

k=l

pentru orice k :.> 3 urmează că: T(n) + T2(n) = O. Dacă n = 2 atunci: T(2) = - T2(2) ·-:- - (T(1))2 = -1. Dacă n = 3 atunci: T(3) + T2(3)' O. Dar: T2(3) = 2T(l) • T(2) = -2 de unde: T(3) = 2. Prin urmare:

T=X-x +2xa+ ... 2

= 1 atunci = 1 astfel ca: S = E T. formală T = L o (I - S) în-

367. Fie So serie formală. Să se arate că dacă S(O) există