Culegere de probleme de geometrie superioară

Citation preview

MINISTERUL EDUCATIEI $1 iNVATAMiNTULUI UNIVERSITATEA BUCURE$TI

ION D. TEODORESCU

�TEFAN D. TEODORESCU

CULEGERE DE PROBLEME DE GEOMETRIE SUPERIOARA

EDITURA DIDACTIC.A $1 PEDAGOGIC.A, BUCURE$TI - 1975

· · Aceasta culegere de,. probleme e structurata pc lucra1·ea unuia dintre autori : , ,GE O�TRIE SUP ERIOARA" [ 40] ;. de fapt, o continuare a acesteia. Exercitiile � problel!lele ·au fost grupat� pc capitolele �i paragrafele acestei carti; cauttndu-se sa se asigure problematica ei· .cu material aplicativ �i complemen· tar. Se �tie c�, dtndu-se o definitie, se demonstreaza proprietati ale notiunii defi­ nite, un�l� din ele fiind caracteristice (esentiale); h1lnd o· proprietate caracteristica drept · definitie, se demonstreaza afirmatia din. definitia initiala, ea proprietate. De aceea, tn diferitc lucrari de specialitate se '.ia una sau alta din proprictatne carac­ teristice drept dcfinitie. · in prezenta culegere se porne�te de la notiunile �i rezulta­ tele lucrarii [ 40], inctt uneori se cere sa se demonstreze as�rtiuni care slnt lµate ea definitii tn uncle lucrari de specialitate. . Rezolva];'ea grafica (lntocmirea �i executarea figurilor) a fost realizata de arh. SL .D. T e o do r e s c u, con(. univ. la In s t i t u t u l d e c o n s t r u c t i i di n B u·c u r e � t i, fiind aportul acestui autor la aceastd lucrare. Pentru repre­ zcntarea curbelor plane s-a folosit sistemul cartezian ortogonal sau sistcmul polar. Curbele �i suprafctele ln spatiul tridimensional R3 au fost reprczentate tn epura de perspectiva paralela, utiliztndu-se axonometria ortogonala trimetrica.

e·

Referent ,tiinfific: .Redactor: Tehnoredactor : Graficia, :

Prof. univ. Nicolae Mihaileanu Despina Dumitru Velcovici Constanfa . Wegemcin Vict�r

,: .. B. a) PTI = y2 (1 + y'2)/y'2 = a2 •. Cu� y' = tg8, �eci dx. = ctg 8dy , ecuatia �eyine y =__./· a sin 8; de unde dy = ± a cos 8 d8, tnctt dx = ±a ctg8 =· . cos8 . ·d8 =• ± a (1/sin 8 . - sin8}d6. . ,./ . Obtinem. (fig .. 89) ·. tra.clricea (sinonim :· lractoarea) :

±

(5�):c=�a(cos�+l��-� :) +C,y= ±asin6;��-±a(ln ..

.,·

.

• ·. .

·. ·

., ,,

_Y __ a+Ya2-. y2

s

i

+fa ·::..:� -)��a

y

y A'

/'r

I \ \

'�

·----

X

Fig. 87

Fig. 88

y A

\

', x

. ,...

=

Fig. 89

b) PN ::!:uVr+ y'' =s R; integrlnd� gasim cercul x-C==i=·VR2 -- y1• ·c) P'T = ·- -y/y' = = - 1/a; obtinem curbe_le exponenfiale y=Cea=. Obs. T'P" {subtangenta relativa la Oy) = xy' = a conaiice la· curbele 1ogafitmice y er In Cx; reciproca e adevarata. · d) P'N yy' p ; JsoluVa e paraparabola y2+2p(x+C). Deci: subnormala unei parabole, relativd . . la a:ra ei, e egalll cu metrul p; ' · ' .

=

=

=

o5

X

\\

b

'\

Fig. 115

Fig. 116

53 Fie o dreapta d, un punct fix O �i o curba O. Din JJfEO se duce perpen­ dicula,ra MM' pe d; se ia pe OM punctele P �i P' astfel incit PM= MP' = .:._ MM'. Cind M descrie pe O, P �i P' descriu o curba numita veroida lui 0 de pol O Ji directoare d. Sa se afle punctele multiple ale lui .A.pl. O e: a) o dreapta; b) un cerc (0; R), cind d 00.

r,

=

r.

X

X

Fig. 159

Fig. 161

Fig. 160

R. Fie (fig. 160) C: x = f(l), y = g(t) �i d:y - d = 0; cum MM'= g - d, deducem

(99)

r: X = f ± f(g -d)/Yf'l. + g2,y = g ± g {g -d)/Yf2 + g ; p = (8) (1 ± sin 8) ± d 2

pentru C:p = p (8), caci p = OM ± MM' iar MM'= OM sin 8 - d. Fie t, radacina a ecuatiei f2

(99')

+ 2dg -.d2 = 0;

daca i=l,2,.. . ,s iar s�2, O e puncl multiplu de ordin s: nodal-dnd t, slnt radacini simple, cu ramuri cuspidale - pentru rfdAcini rr.ultiple, sau izolat -pentru radacini imaginare. Obs. Pot exista �i alte puncte multiple pcntru de exemplu,punctelc tn cared e taiata de C. Apl. a) Dad\

r;

C e dreapta (713), conform cu (992), deduccm (x 2

100)

+

y2)

(ax

+

by +

+

c)2

ea r e

= [adx

cuartica

+ {c + bd) y] 2.

+

Tangenta. ln O: (c2 - a2d2) x 2 - 2ad (c bd) xy - bd {2 c bd) y2 = 0; 0 e punct izolat, nodal sau ,

--·-·-

Tabela 8:

-1 :r! y' dy

dx

dsy

d:,;S

I+ 0

0

0

1y yu " 3 Va3> " 12

"2

0 "

+

+ + +

3

-

(9 -

ex

C

1

0

3

+ + 0+

X

y

1

- ex

-«>!+co +

0

v� " aVa B

�

+

+

0

- 0

0

+

+

�

�

v: "

1

2

0

+ Va-V�

-ava"-

0

(9 -

Vaa> ex

12

-I � 0 " 0

C'

B'

A

�

-I

0

0

2

ex

3

y

0 C

X

Fig. 293

y 8

o.

Fig. 292

x.

Fig. 294

+

+ 3) - 1 = 0 au acelea�i radacini (t' �i t") daci\ y = (y 3)/x = 1; nodul pentru t = -1,95. Asimptote : x = 0, y = 0, x - y - 4 = 0, ultima taind = (24/5, 4/5); (v. tabela 9, fig. 295). c) e simetricA fat� de Ox: x (t) = -y(1r-t). Ox e asimptota la ramurile t➔O �i i➔1t (tabela 10, fig. 296). d) x' puncte singulare (tabela 11, fig. 297). e) Tabela 12 fi fig. 298. f) Tabela 13

r

=

A (4, 1) .d9g/dx1 = O pe r tn E (t 5) = x (1t - t) i,i y(t) (ex) = y'(«)=O : rare ,i fig. 299. g) te R.

=

=

151

�--

.

',�ig. 295 Pig. 297

______ _,_

1

,"""✓I

R. Daca diviziunea L\ a lui [a, b) nu con\ine pe c, formam diviziunea ll.c, ob\inuta prin adau­ garea lui c la L\; deci L\c : a=t0< .. (x) =· (3x2 + p) x - 2x2 + q = O; ' (x) = 3x2 + p = O; deci x = q/2 �i 4p 3 + 27q2 = O. b) y = h [3 (x/a)5 ...... 10 (x/a)3 + 15 (x/a)]/8. c) (x) = ax -� = 0, '(x) = =ax In a - 1 = O; deci a= el /e �i (x = e, y = e) - punct de contact.

133 Fiind date curba O:x = x(t), y = y(t) �i familia de parabole r: y = oca:2 + � x + "(, sa se determine: a) parabola osculatoare in punctul curent; b) parabolele supraosculatoare. .Apl. Sa se afle: a) parabola oscula­ toare r in punctul (n/2, 1) la sinusoida O :y = sinx; b) parabolele supraos­ culatoare r ale elipsei O: a: = a cos t, y = b sin t. R. a) C �i r au (in P) un contact de ordinul 2. b) «>'"(!) = O da valorile lui l carora le corespund punctele de contact ale parabolelor Apl. a) y = - x 2/2 + 1tx/2 + 1 - 1t2/8. b) In vtrfurile B (0, b) �i B' (0, -b) ob\inem y = - bx2/2a2 + b �i y = bx2/2a 2 -b.

134 Daca d e o dreapta fixa iar n e un numar dat, se nume�te ourbd Ribaucou1· de direotoare d 1i indice n o curba O astfel incit

(181)

PN

= nPO.,

unde 0. e centrul cercului osculator in P (arbitrar}eO, N e punctul comun normalei in P la O cu d. Sa se studieze o astfel · de curba. R. Cu d = Ox, o curba Ribaucour de indice n e data de ecua\ia diferen\ialil

(181')

y (x'u" - x"y') = nx' (x''

+ u''); yy" = n (1 + y'') CU x = �: dy/ V

(�

r· -

1,

clnd OE C (c - constanta arbitrara). Daca 1/ne Z, integrala se efectueaza prin functii elementare; astfel, puntnd n = -1/(m + 1), se ob\ine

( 181")

184

x

= (m + l)c ): sinm+l cp

dcp, y

= c sinm+l cp.

Curbele Ribaucour (181") se Impart tn 4 clase: I) Daca m + 1 e un numar tntreg pozltiv impar, C e o curba rationala de ordin 2 (m + 1), simetrica fata de d = Ox, punctele ciclice fiind m�lti- · pie de ordin m + 1. Pentru m = 0, C e un cerc. II) Clnd m + 1 e un 1ntreg pozitiv part C e transcendenta, cu o infinitate de arce de forma celor. de cicloida. Pentru m=l, se obtine 1nsa�i dcloida. III) Daca m + 1 e un tntreg impar negativ, C e transcendentd. Pentru m = -2, se gAse�te lAnti�orul. IV) Ctnd m + 1 e un lntreg par negativ, C e unicursala de ordin m + 1. Pentru m = - 3, C e o parabola.

r

135 Sa se afle conica osculatoare intr­ un punct P la o curba O. .A.pl. a) tn virful lan:(ii�orului. b) Pentru o cisoida. c) Pentru o spirala logaritmica.

r,

R. Conica depinztnd de 5 parametri, e osculatoare