Probleme de geometrie elementară

Citation preview

-,?I- . -

·

-

, .fy1.

Pimsner ·

S. Popa

.

PROBLEME .

DE

GEOMETRJ:E ELEMENTARA

Ministerul Educaţiei şi lnvăţămîntului

Mihai Pimsner

Sorin Popa

,

•

PROBLEME / DE· GEOMETRJ:E

ELEMENTARĂ \

EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ- BUCURESTI, 1979

Redactor Prof. Gabriela Iliescu Aehile Daniel Gtaficiaa: Nicolae S1rbu T~hP.6re(Jaeţor:

PREFAŢA

\

Culegerea dd p1obleme de gMmttrte el~mrnttird d, M~ Pim,n,r e.,te adresată ele'Pilor care se prezintă, la concursuri, la olimpiade de

,t $.

Popa

maternatkă

şi

profesorilor, care o pot folosi în activitatea lor. didacticâ şi pentru pregdtif'ea examenelor de .definitiflat sau obţinerii de grad. Ea pune la dispoziţia citi/o· rului metode' eficiente de abordare şi rezolPare a ~nor probleme de g~nm~trie de factură deosebitd, urmărind în primul rînd stimularea glndirti matematice a elepifor. Deşi problemele. âtnt de geometrie elementarlJ. 1i pt>t fi rezolva" prin fflflM[e elementare, folosind numai. cunoştinţele predate în liceu, totuşi ele au „,a. tarac· ter mai mare de abstractizate dectt cele din· manualele şcolare. Rezolvarea acestor probleme familiarizează elePul cu .noţiuni elementare de topowgie a planului şi spaţiului, ·pregăiindu-l pentru înţelegerea notiuniwr de analiza pe car, le va întîlni în clasele XI~XII şi în învătămîntul superwr. Culegerea cuprinde aproape 300 de probleme. Ea începe cu pr"ble,n, r,feri„ toare la triunghiuri şi patrulatere, fiind' urmată de inegalităţi şi de probleme de maxime şi minime geometrice. Partea cea mai consistentă ·cuprinde probleme cu poligoane şi puncte, precum şi probleme divBrse. lnvăJafea matematicii pretinde o muncă asiduă, din care o bună parte trebuie consacrată rezofrării de probleme pentru îmbogăţirea cunoştinţBl;>r şi pentru obţinerea deprinderii de a lucra şi· gîndi matematic. De aceea, culegerile de prqbfeme sînt la fel de utile ca şi manualele şcolare. Dar aceste culeg,ri nu stnt ioate la fel. Unele urmăresc un scop imediat, ca de exemplu pregătirea 'elevilor pentru diferite examene (treptele I şi I I, admitere în învăţămintul superior etc.). Nivelul problemelor din aceste culegeri este limitat chiar de scopul· urmărit. Altele sînt făcute pentru eleflii talentaţi la m~tematică; dornici de a rezolPa probleme frumoase cu un grad mai mare de dificultate. O astfel de culegere este cea de .faţd. Cartea conţine unţle pnbleme. care, la prima (Iedere, par ext,rQJJrdinar de grele, dar potfi rezo!mte surprinzător de simplu. Eleganţa soluţiiwr, ingeniozitatea lor, captivează elevul iubitor de matematică. Autorii fac parte din grupul restrîns de profesori, care au pregătit lotul de elevi, care. în anul _acesta au cucerit locul ÎT},tii.pentru ţara noastră tu Ol.foi~ piada internaţională de matematică. Din entiiziasmul lor, şi di.n dorinfa. de a îndrum~ ele"ii dotaţi pentru sţudiul "tatemaiicii a ~ezultat şi vartea de .faţă. Acad. Oh. Mihoc

3

INTRODUCERE .

.

Problemele din această culegere sînt împărţite tn: opt capitole. Primele şapte capitole conţin probleme rezolvate, soluţiile fiind date la sfîrşitul cărţii. Scopul pentru care Culegerea a fost împărţită în capitole este. mai mult de natură pedagogică. Multe din probleme pot la fel de bine să fie incluse într-un capitol sau în altul. Ordinea numerotării problemelor rezolvate, de la 1 la 188 a fost făcută în aşa fel incit problemele rezolvate pină la un anumit moment să sugereze şi să uşureze rezolvarea problemei următoare. De aceea, cititorul este sfătuit să încerce. rezolvarea problemelor în ordinea expunerii, mai ales in capitolele II-VII, deoarec,e de multe ori unele argumente Iiu mai sint repetate în detaliu şi se fac numeroase conexi• uni cu probJeniele din urmă. . Unele probleme sînt prezentate cu mai multe soluţii. Acest , lucru are atit un scop instructiv cit şi unul stimulativ, de a convinge pe eitiior să încerce pentru fiecare problemă cit mai multe soluţii. Problemele nerezolvate (cele din cap. VIII) în cea ·mai mare ·parte pot fţ făcute cu metode similare celor de la problemele din cap. I-VII. Inacest ultim capitol problemele nu respectă o ordine anumită. Autorii ţin să mulţumească, pe această cale, colegilor Mircea Martin, Sorin Rădulescu şi Cornel Pasnicu pentru fructuoasele. discuţii purtate în timpul elaborării culegerii, cît şi pentru permisiunea de a reproduce unele probleme originale ale acestora, nepublicate pînă acum. Autorii

NOTAŢII Notaţiile

sblt cele clasice folosite in geometria elementară, în afară de spe• în text.

cificările făcute

ln general vom nota: N = mulţimea numerelor naturale Z = mulţimea numerelor întregi Q = mulţimea numerelor raţionale R = mulţimea nullMlrelor reale O = mulţimea numerelor complexe SF = aria figurii F Vp = volumul- corpului P 4 (ct, /3) = unghiul dintre IX şi 13, unde IX şi 13 stnt drepte, plane sau vectori. kABC = înălţimea din A în triunghiul ABC, ( a, b) = cel mai mare divizor comun dintre a şi b. (a, b e Z).

'

" 1b = a divide pe b (a, b s

Z)

EN~JNŢURI

I. TRIUNGHIURI. PATRULATERE. CERCUL 1. Să se arate că a >

dacă şi

numai

dacă:

6, b > O, c > O stpt lungimile la.turilor u11ui triunghi

a4 + b4 + c' _,,. 2(a:=b 2 + b2r;3 + c2a~) < O. 2. Să se găsească toate triunghiurile dreptunghice cu lat.urile n.u.mere întregi. · :J. Se dau: punctul O şi trei lungimi x: y, z. Să se demonst,rer.e 'c{1. trhm~ f,!hiul echilateral ABC, astfel. ca OA x, OB =. y, OC = z, se poate couitrui dacă şi numai dacă: ' ' ·

=

+

y ~ Z, y Z ;,ii X, J + X i AB2 + Bc• + CA•. 1

58. Fie un punct M în interiorul hitinghiutul AlJC. S&. H lll'ate el:

MA

+ MB + MC ;& 2(da + d1; + di:),

a, b, respecti"' c. . 69. Fie A 0 şi An două puncte pe un Mrc. Sl se gbeascl· pt1dţia punctelor A 1 ••• An..:.1 situttt la l'înd pe \ttllil din ti~le doul arce A0 An astfel lnott unde d4 , d1i, de stnt distanţele pµnctului M la laturile

h,1ilgimea liniei frinte A 0 A 1 ••• An să fie rnat!ml. 60. Să se demonstreze că produsul T'azelor cercurilor e:x;înllcl'ise unui triunghi oarecare este inferi9r sau egal produsului laturil9r t:riuughiului înmulţit cu 3 3 • Cînd are loc egalitatea?

r

·61. Pe laturile unui p&\truiater convex .A..BCl> se iau punctele A 1,. Bi, Cu 1>1 aşa fel tnei\: 4/J •

BC _

CD ._ D.tl • n.

A.A. 1

HB1

CC,

DDi

Sâ se determine valoarea hii n pentru

care SA 1n1c1n1 e ntinimA.

62. Pri~tr•un P,unct M interior cei·cului de centru O se duc douA coarde 1AB, CD perpendiculare una pe alta. ' Cum trebuie să se ducă aceste coardA pentru ca suma ariilor triunghiurilor MAC, MBD să fie cea mai miră poi:tihili'i. 63. Care poate fi aria cea mai mare a unui triunghi de laturi a, b, c care verifică, inegalităţile:

.0

C!;; 4

< 1 l!it

'

b

~

2

1i;

C

Ee 3.

M •. Printre patrulaterele convexe care se găsesc în interiorul semfrercuhti le aueaa~ă p~ţrulaterul Ut arie inaJGÎină şî cel de perimetl'U de r~ză R maxim.

s,

u-

65. Să se găsească printre toate patrulaterele convexe ABCD .cu -laturi AB = BC =CD= 1 acela care are aria cea mai mare. 66. Să se determine într-un cerc de centru O şi raza R un triunghi de arie maximă, astfel încît una din laturile sale să treacă printr-un punct iii din interiorul cercului, unde 2MO ~ R. . 67. Fie M un punct în interiorul triunghiului ABC şi fie da, db, de distanţele lui M la BC, AC, AB. Atunci: MA· MB· MC ~ (da+ db) (dh + de) (de+ dd).

68. Să se arate că dintre patrulaterele convexe de laturi a, b, c, d, cel de arie maximă este inscriptibil. 69•. Dacă există intre poligoanele cu n laturi şi de perimetru dat p, unul de arie maximă, atunci acel poligon este regulat. ~

~

~O.. Fie O un punct pe _o dreaptă d şi OP1 , ••• , OPn vectori de lungime 1 care se găsesc in acelaşi semiplan determinat de d. Atunci n impar implică ~

I OP, şi

~-

+ ... + OPn I ~

1.

71. Fie A1 A2 ••• An un poligon înscris în cercul unitate de centru O avînd centrul de greutate tot în O. Să se arate că dacă M este un punct

oaFecare in plan avem:

En AiM ~ n.

i= 1

72. Să se arate că un polîgon convex de perimetru P are o strict mai. mare decit P/1t. ~

diagonală

~

73. Fie OV1 ,· •• • , OV32 vectori tn plan de lungime 1. Să se arate că putem extrage k vectori distincţi dintre aceştia, astfel incit suma lor să fie 1n modul mai mare declt 10.

III. POLIGOANE REGULATE 74. Se dau tn plan două triunghiuri echilaterale âABC şi -Îl.Â'B1C'• . Să se arate că. mijloacele lui AA', BB', CC' determină:un.iriunghi .echila...........,

...............

.

teral, atuncj cînd unghiurile BAC şi B' A'C' sînt rotite în acelaşi sens. 75. Se dă un hexagon convex cu centru de simetrie. Se duc pe fiecare latură a sa în interior triunghiuri echilaterale. Unirid virfurile triunghiurilor echilaterale consecutive obţinem un nou hexagon. Să s~ arate că mijloacele laturilor acestui hexagon dete1 mină un hexagon regulat. , 76. Fie A 0 A 1 ••• An vtrfurile unui poligon regulat cu n laturi înscris in cercul .unitate. Atunci:

A0 A1 • A 0 A 2

•••

A 0 An-i

= n.

77. Luăm un poligon regulat cu n laturi Pn şi coloră}Il vîrfurile sale în diferite culori astfel incit fiecare culoare să determine un· poligon regulat. Să se arate că cel puţin două astfel de poligoane nou obţinute sînt egale. 78. 1n plan se dă poligonul regulat A1A2 ••• An (n ~ 3)_. Cite triunghiuri obtuzunghice AiA;A1i se pot forma? 12

'

79. Fiind dat ·un poligon ,regulat cu n laturi 1i 1m punct M tn interiorul lui aflat la distanţele Xi, Xii, ••.., xn de laturi, să se ar.ate că: 1 1 + -+... + -1 > 2r.-a Xn

X2

X1

unde a este latura poligonului. 80. Fie h.,,, apotema poligonului' i:egulat cu n laturi, înscris tn c-ereul de rază· R. Să se demonstreze că: · ..../ (n

+ i)hn.+1- nhn > R~

81. Fie în plan un poligon regulat A1A2 ••• An-, Să se găsească toţi ;;i, m ;;i,- 1 astfel incit să ,existe în plan un punct M cu proprietatea că:

m cu n

MA 1 < MA 2

=

< ...

4 patrulatere inscriptibile. · 167. Fie P un paralelipiped dreptunghic de Jaturi 6, 5, 41 care este ,umplut ,.Cu paralelipipede dreptunghice de latul'i 3, 2, 1. Să se· arate că există un punct 1Jf pe o faţă a paralelipipedului P ·astfel tnctt perpendiculara ridicată în M pe acea faţă să nu intersecteze ·niei un paralelipiped mic în intei-ior.· 168. Fie un dreptunghi de laturi 7 şi respectiv 10. Din colţu~i·le hti sroal!l,em cite un ·pătrat -de' latură 1. Să se arate că figura rt1.fîus,1 nu po~te fi pl:\rdosită cu dreptunghiuri de laturi 3 şi 1. · · 169.·· Fie un paralelipiped dreptunghic de laturi 8 x 8 x 7. Din capetele. unei ·diagonale mari scoatem cite un cub de lat.ură '1.. Să se arate că volu.~ m.ul nou obţinut nu poate fi umplut· cu paralelipipede dreptunghice de laturi 1;. 1 şi 2. ., 170. Să ae arate că un pătrat poate fi împărţit în n pătrate pentru orice n # 2, 3, 5. 171. Fiind dat un cub să se arate că el nu poate fi umplut cu n „cuburi 8ricare două neegale (n ~ 2). 172. Să se arate că un cub poate fi impă1•ţit în n cuburi pentru oriGe n ~ 58. · 173. Să ,se arate că nu se poate face o pardosire a planului cu poligoane convexe egale, cu mai mult de 16 laturi. · ' 174. Se poate inscrie înt.r~o reţea p1ană de pătrate de laturii 1 ·un dreptunghi de laturi numere întregi, astfel incit virfurile sale să fie pe drepte distincte ale reţe1lei? 175. Să se găsească toate poligoanele regulate care pot fi înscrise într-o reţea plană de pătrate. ' 176~ Se poate înscrie .un tetraedru regulat într-o reţea spaţială de .cuburi'? .

W. PROPRIETĂŢI ALE TETRAEDULUI ŞI PROQLEME DIVERSE 1'17. Să se demonstreze că suma distantelor virfurilor unui tetraedl'u. regulat. la centrul sferei circumscrise este m~i mică decît suma distanţelor aceloraşi vîrfuri la oricare alt punct al spaţiului. 178. Fie .T un tetraedru. Să se arate că există. un vîrf astfel incit ou ' muchiile· oare pleacă din el să se poată construi -qn triunghi. 179. Dacă o muchie şi numai una a unui tetraedru are lungimea mai mare oa 1, să se demonstreze c·ă volumul tetraedrului nu depăşeşte 1/8. 180. Se dă un tetraedru ABCD în care suma a două muchii opuse este aceeaşi, AB + CD = AC + BD = AD + BC. Să se arate că cercurile -înscrise în :triunghiurile llABC, llBCD, ·llACl>, 4ABD sînt două_ cite două tangente. 181.. Pe fţiţele,,,,......__ unui tetraedru regulat AB(;D se consideră două puncte P şi Q. Atunci PAQ E;; 60°. 182. Să se arate că suma unghiurilor diedre ale unui tetraedru este mai mare decît 21r. 183. Există triunghiuri astfel încît să nu se poată· construi tetrae(lre cu toate feţele triunghiuri egale cu I acesta? · ·· 184. Intr-un tetraedru muchiile opuse sînt două cîte două perpendiculare. Să se arate că cele 6 mijloace ale muchiilor se află pe aceeaşi sferă. . 180. Să se determine volumul piramidelor posibile în care toate muchiile stnt de lungime 1. ' · 186. Fie A, B, C, D patru puncte în spaţiu, oricare trei necoliniare. Atunci SABM SBcM + ScnM = ct. oricare ar fi M pe AD, intre A şi D, impJic ă A, B, C, D sînt coplanare. 187. Să se arate că dacă proiecţiile unui corp pe două plane sint cercuri atunc~ aceste _două cercuri sînt egale. _ t · 188. Considerăm o cale ferată închisă formată din p~:r.ţ_iu11i .9!=' ~os.~a ~B;ui sfert de cerc de rază R puse cap la cap. Să se arate că numărul de porţiuni folosite e divizibil cu 4. ·

.

+

Vili. PROBLEME· PROPUSE PENTRU REZOLVARE . 189. Să se.arate că un poliedru convex în care oricare două vîr(uri se pot uni printr-o muchie, este tetraedru . . rno. Să se arate că nu există poliedre convexe cu toate feţele. poligoane cu cel puţin şase laturi. 191. Să se arate că un poliedru convex are două feţe poJigoane cu acelaşi număr de laturi. 192. Să se arate că o mulţime îh spaţiu, care intersectată cu orice plan dă un cerc (sau eventual mulţimea vidă) este o sferă. 193.. Este adevărat că orice poliedru cu toate feţele pătrate este cub? 194. Să se arate că nu există poliedre în spaţiu cu proprietatea că proiecţia lor pe orice dreaptă este un segment de lungime 1. Există şi alt~ corpuri 20

geometrice cu această proprietate ln atară de sferă? Ce se poate spune ·despre ;problema analoagă în plan? . 195. Există poliedre care proiectate pe orice plan să dea ,un triunghi? 196. Să se arate că oricare ar fi un poligon în plan şi 2n puncte distincte, există un poligon asemenea cu cel dat ·care lasă n din puncte în interior si n in exterior. · . 197. Să se arate că un poligon convex cu 13 laturi nu poate fi umplut cu un număr finit de paralelograme disjuncte. 198. Fie in plan un sistem de axe ortogonale xOy şi un poligon, nu neapărat convex, de arie mai mică decît 1 (strict). Să se arate că se poate translata poligonul astfel încît să nu conţină nici un punct de coordonate întregi. · 199. Fie in plan două mulţimi de puncte A şi B, A cu 2n puncte, iar B cu 2m puncte, astfel incit oricare trei în ansamblul lor sînt necoliniare. Să se arate că există o dreaptă care· împarte planul în două regiuni, astfel încît fiecare regiune să conţină n puncte din A şi m din B. 200. Fiind date n 2 + 1 segmente pe o dreaptă, să se arate că, fie există n + 1 printre ele astfel incit oricare două să nu aibă puncte comune, fie există n 1 care să aibă intersecţie nevidă. · 201. Fiind dat un pentagon convex cu toate laturile egale cu 1, sii se arate că există un triunghi echilateral de latură 1 tn interiorul pentagonului; 202. Fiind date două poligoane în plan, P 17 P 2 , să se arate că există A 1 E P 1 şi A 2 E P 2 astfel incit A 1 A 2 ~ B 1 B 2 oricare ar fi alte două punote B1 E P 1 şi B2 E P 2• 203. In pătratul de latură 1 se dau n 2 puncte. Să se arate că există o linie frintă cu virfur,ile in aceste puncte şi de lungime mai nHcă decît 3n. 204. Diametrul unui cerc este împărţit de n + 1 puncte în n părţi egale. Fie M un punct de pe. cerc., Să se arate că suma pătratelor distanţelor lui M la cele n + 1 puncte nu depinde de poziţia lui M pe cerc. 205. Fie A, B, C şi D puncte în plan astfel incit pentru orice punct P din plan să avem PA+ PD~ PB + PC. Să se ărate că A, B, C, D sînt coliniare şi AC= BD, C şi D fiind intre punctele A, B. 206. Să se arate că există în plan o infinitate de cercuri egale între ele, astfel incit orice dreaptă ·să· taie cel mult două dintre ele. 2()7. Să se arate că există o infinitate de pentagoane convexe neegale astfel incit ariile tuturor triun~hiurilor formate de trei vîrfuri consecutive să fie 1. Să se arate că toate aceste pentagoane au ariile egale. 208. Fie ABCD un patrulater convex. Să se arate că există o infinitate de patrulatere inscriptibile. MNPQ cu M pe AB, N pe BC, P pe· CD şi Q pe DA şi astfel incît M, N, P şi Q să fie distincte de virfurile patrulaterului :ABCD. 209. Să se arate că pentru oricare două mulţimi finite, disjuncte, de puncte din plan, există o linie frîntă închisă, care nu se întretaie, avînd segmentele consecutive perpendiculare, astfel incit să lase o mulţime in interior şi alta în exterior. 210. Să se arate că oricare ar fi n puncte în plan, oricare trei necoliniare, există un poligon avînd drept vîrfuri aceste n puncte, astfel incit laturile sale să nu s.e întretaie.

+

21

211. Se dau 5 segrnente- astfel tnctt cu of'jco.ffl 1trei se poate (lonstMii un triun~hi.

Să

se arate

că

cel

puţin

unul dintra .aceste triungbiuri este

un;gh1c. 1 • 212. Se dau in plan un număr finit de puncte, astfel tncit

ascuţit-

distanţele dintre oricare două să fie distincte. Fiecare punct se uneşte cu ceLmai apropiat de el. Să se găsească numărul maxim de segmente care pot pleca dintr•un singur punct. Să se formuleze şi să se demonstreze un enunţ analog în spaţiu.

213.

Să

se arate

că

într-un cerc de

rază

1 nu pot exista mai mult d~.

5 puncte, astfel tncit distanţa dintre oricare două să fie mai mare decît 1.

214. Fje a, b, c > O şi astfel incit alt, b", cit pot fi mârimile laturilor unui triunghi, oricare ar fi R E N. Să se araţe că două din numerele date ilnt egale. 216. lntr•un cub de muchie 1 eint aşezate 2 050 puncte. Să se demon• atreze că din aceste puncte, măcar 5 se pot plasa într-o slerl de ruă 1/9. 216. lntr.un:păţrat de latură 1 km, se găseşte o pădure .cu 4500 steja11i de diametru 50 cm. Să se arate că se poate duce tn interiorul pătratului, un dreptunghi de dimensiuni 10 m X 20 m, care aă nu întretaie ti să nu conţină nici un copac. . 2J7. lntr~,m pătrat de latură 1. sînt desenate citeYa cercuri cu suma lungimilor egală cu 12. Să se arate că se poate duce o dreapt11 care sl secţioneze cel mu)t patru cercuri. ' . . 218. Dacă planul este acoperit cu n semiplane, cu ii > 3, atunci poate fi acoperit numai cu trei dintre aQl!i;ţe · semi plane. 219. Un dreptunghi se pardoseşte cu bucăţi dreptunghiular& 4 X i şl 2 X ~- Se poate filee o repardosire, înlocuind o placă 4 X 1 cu o placă 2 X 2? 220. Un segment de dreaptă de h.ţngime 1 este a c laturile ·unui triunghi. ABC şi O urt.. punct interiot'· -triunghiului. Notăm cu D, E, F inters_ecţîile dreptelor AO, BO, CO ~\l BC; CA şi respectiv AB. Să se arate că

.oarecare..

Să

c-m.

v:a)

OD

243. Se

dă

+ OE + OF < a.

un triunghi AP.C si St=l

notează

cu O cent,;ul cercului oiroum11cr-i11,

Ştiind 2) orier.re tr-ei necolirtiare. Intre aceste 2n puncte se duc n 2 1 segmente. Să se· arate că se fo1·mead ~el

puţin

un .triu11ghi.

+

23 .

246~ Fiin'd date 7 puncte în plan să se arate că există un triunghi neisoscel cu vîrfurile în ·3 din aceste puncte. · · 247. Să se arate că o figură plană care are o infinitate de axe de simetrie este un cerc. 248. Un cerc este împărţit. printr-o linie frîntă în două regiuni de arii egale. Să se arate că lungimea liniei frînte este cel puţin cit diametrul cercului. 249. Să se arate că pentru ori~e n > 3, nu putem avea în plan n puncte, cu distanţa dintre oricare două număr impar. 260. Se dă un dreptunghi ABCD cu laturile numere întregi impare. Să se arate că cel puţin una din lungimile OA, OB, OC, OD este iraţională. 261. Se dă o linie frîntă A1 A2 ••• An astfel incit

2Ai-i Ai ,:;;; Ai Ai+1, pentru i

= 2,

••• , n - 1

"

~ Ai+i ,:;;; Ai Ai+ 1 Ai+2, pentru i = 2, ••• , n r- 2. Să se arate că linia nu se întretaie. 25~. Să se arate că ·un triunghi echilateral poate fi înscris într-un pătrat şi un pătrat ,într-un pentagon regulat. Dar un pentagon regulat poate fi înscris · întra un hexagon regulat? · 253. Să se arate că, notînd cu a, b, c, d, e, f muchiile unui tetraedru şi cu V volumul său, avem inegalitatea şi AH Ai

V ,:;;; ~ V abcdef 6 lf 2 2M. Fie un pătrat de latură 33,4 şi in inţeriorul său 157 segmente de lungime cel mult ~. Să se arate că există un cerc de rază 1 în interiorul 21

pătratului, care să .nu int }rsecteze nici un segment.

266. O figură convexă plană are proprietatea că orice coardă care o secţia:. în două părţi echivalente are lungime cel mult 1. Să. se arate că figura are arie cel mult 2. 256. Care este numărul minim de triunghiuri dreptunghice 1n care se poate descompune poligonul regulat cu n laturi (n > 12)? 267. h plan se consideră im poligon cu frontiera o linie frintă fără puncte de autointersecţie, astfel incit laturile sînt exprimate prin numere întregi, iar laturile consecutive sînt perpendiculare. Să se găsească maximul .şi minimul ariei poli 6onului, qacă perimetrul este dat şi este egal cu 4 n. 258. Pentru un poligon convex cu 1970 de laturi se construiesc toate triun~ ghiurile care au v~rfurile printre vîrfurile poligonului. Să se arate că orice punct din interiorul poligonului care nu se află pe nici o diagonală este acoperit cu un număr par 'de triunghiuri. 2o9. lntr-un cub există un corp convex cu propriet\tea că proiecţiile sale pe feţele cubului sînt exact aceste feţe. Să se arate că volumul .corpului este · cel puţin o treime din volumul cubului. 260. Să se arate că aria unui pătrat a.flat în interiorul unui triunghi nu depăşeşte jumătate din aria acestui triunghi. 261. Să se arate că într-un cerc de rază 1 nu pot fi aşezate două triun„ ghiuri disjuncte de arie mai mare ca 1. nează

24

cu 2n laturi (n > 2) există o laturi. 263. Se dau în plan un număr de dirnuri ce formează o figură de arie 1. Să se arate că se pot alege dihtre aceste discuri cîteva, disjuncte cu suma ai·iilor · cel ,puţin 1/9. 264. lntr-un cerc pe rază R se consideră un poligon înscris de arie S. Pe fiecare din laturile sale se consideră cite un punct. · Să se arate că perimetrul acestui nou poligon format este cel puţin 2Sf R. 265. Se consideră· n segmente în spaţiu astfel incit oricare trei să nu fi_e paralele cu un acelaşi plan şi astfel incit dreptele care trec prin mijloacele a două segmente să fie perpendicular~ pe acestea. Să. se găsească toate valorile pe care le poate lua n. 266. Să se găsească cel mai .mic număr n astfel incit orice poligon convex cu 100 de vîrfuri să . poată fi obţinut ca intersecţie de n triunghiuri. 267. lntr-un poligon convex cu 2n laturi se consideră un punct P. Se duc toate dreptele care trec prin P şi prin cite un virf a.I poligonului. Să se arate că există o latură a poligonului, care nu se intersectează cu niciuna , din aceste drepte, în interior. 268. Fie F o figură convexă în plan, care poate fi obţinută ca reuniunea unui număr finit de discuri. Să se arate că F este tot un disc . . 269. Fie P un poligon 'cu proprietatea că toate drepteie re impart poligonul în două figuri de arii egale sînt concurente. Rezultă oare de aici· că P are un centru de simetrie? Să ise studieze acelaşi enunţ punlnd „perimetru" în loc de „arie". 270. Fie P un poligon convex. se arate că există douii drepte perpen-:. diculare care să împartă poligonul în patru poligoane de arii egale. 262. Să se, arate că intr-un poJigoii convex diagonală ·care nu .e paralelă cu nici una din

s,

SOLUŢII ;;ii. b ~ c > O. o impiie~ţie este suficient să arăt'ăm că a < b + c, h < C + (J şi c 411 + b2 - ţ2 < 2ab:;:;. (a..,... b)3 < c2 c .a -'-- b O B + OC = BC. " 4. Fie H, D şi M intersecţ,iile infdţirnii. bisect.oarei. J'Pspectiv ale medianei duse din 4. Pacă AB =;= AC, atunci 'JJ D M. Să presupu A

= =

A

nem B > C Dar:

=:i,

AC >AB. DB =~~,.~ ;.i: k ;.i: 1. Aplicînd teorema lui Menelaus în âAA'C şi în .AAA'B => · M

k A'N => = CN :,A'N k . AG A'N BM i BN == 2(k - 1) ŞI A'G • BN • AM BM lr-f AM k

AP

CN A'G

CP. A'lV AG = 0

1

2

=

.,.

-=-=>-· =-AM

AB

k

2k-1

AP k -=-·-AC k +1 AM•AP

SAMB

.

k2

AB •AC = SAEC = (k + 1) (2k 4k + A ;;a; O „ 9k2 ;.i. 8kB + 4k - 4 „

Dar k

2 ......

.

__!_

~

2

SAMB.~

~i=>_!_,~

S ABC

9

2

8BCPM S ABC

1)

k• . 2k2+k-1

~ _!, 9

de unde rez.ultă enunţul. _ . ' . 9. Vom_ tncepe cu, observaţie. Dacă MN este o astfel de dreaptă atunci dreapta PQ unde AP = AN şi AQ = AM are aceeaşi proprietate. Deoarece MN intersectează pe PQ pe bisectoarea dusă din A, este normal să încerc·ăm să demonstrăm că punctul de intersecţie căutat este centrul cercului înscris. Fie O = MN n AH unde AH este _bisectoarea interioară a unghiului .A. Fie r distanţa lui O la laturile AC şi AB. -·

..; !. SABC =

SAMN

2

AM· r +AN· r 2

2

=' .!. (A-M + AN)r = !. pr =- r = 2

2

8 ABC

p

~eea ce arată că şi distanţa lui O la BC este egală cu r, adîc_ă O este intersecţia bisectoarelor triunghiului ABC. ' · „10. Notăm .c1ţ Ai, ... , A 6 vîrfurile ·he~agonului Ji cu. Bi ·-:··:c, ,..;B6 IilIJJ?acele latu!llor ~ 1~a, •.•• , AJiA 6 , respe?_tiv A 11 A 1• Fie C ş1_ D p1moareJe med1anelor trmngh1uril0r B 2 B 4 B 6 respectiv BjB3B 5 , pe B 2 B 4 respectiv B 1B~. Notăm cu O punctul lor de intersecţie. Vom arăta că: · . . - I B 30 == B 80 = 2 OD

OC

A

A, ·Fig. 9

l'llg. 10

eMa ce este eohivalent ou

A. &pune el O este centrul de greutate ·al. ambelor ttiun:ghîuri. Fie E mijlocul diagonalei A2A6 • EV'ident B 1E li A 1A 5 li B 5 B8 şi B 1E = ~ Br,B8 - A 1A 5 /2 ceea ee dovedeşte că patrulate:r'ul B 1EB5 B 6 este paralefogtiun. Deoarece B 1D .... DB5 obţinem că D este intersecţia diagonalelor acestui paralelogram. Obţinem că B3D este mediană în triunghiul EB6 B3 • Ana.log considerind paralelogramul EB.,ft8B, obţinem că şi B 6C· este mediana

tn triunghiul EB8 B3

şi obţinem:

= 2.

.!!.f!.. =- B,O OD. oe

/

11. Fie Jf intersecţia medianelor din A şi B în triunghiuriJe ADK, res. pectiv BEF. Prin M ducem paralele PQII AB, SR' 11 BC, TU li AC. Să mai notăm .A.D = BE = c, l!F = CG = a, CH = AK = b. Este evident că: a

B()

MS

. b

AK

MP

C

BS

MQ

C

AD

MT

- _........._ ------ fi~ - - -- - . Pentru a demonstra că media.Ra' dusă din C în triunghiul CGH'ttMe prin M este suficient să arătăm că: , RC .. HC CU= CG

Awm

următoarele relaţii

MU

AC

MQ

AB

_..._III-.....-.

MQ --........ MS

b

=;•

evidente: c

=m - ,

ca

MS ~ M.T

/

-

BO

-.··--· f

AC

M'I'

___,_,..__

MP

b

=: _...., o

JJ!P

MR

AB

==

BC.

I~mulţind obţintţm

MU

b

dat şi deci HG

MU RC -.M~ --=i:-, CU,

..

MC, care din construcţie trece prin mi}lo~ul lui RU (deoarece .M V RC este paralelogram), va trece şi prin mijlocul lui 1:{G. 12. Deoarece CD nu e diametru rezultă că tangentele fa C şi D au un Eunct de intersecţie. De asemenea AC şi BD au un punct de intersecţie: In caz contrar ar trebui ca AC şi BD să fie paralel_e, deci ABCD să ·fie trapez inscriptibil, adică isoscel; de unde ar urma AB = CD, adică CD să

li B:U. Prin urmare

fie diaiµetru, ceea ce este contradictoriu.

Fig:

12

D

Analog dovediw. că BC şi A.D se inter· Fie

+

SAoB

+

+ Socn = ..!..2 R (AB+ CD)=_!_2

R (BC +AD)= SoBc

+ S0 ,rn, ~

de unde obţinem egalitatea (3). Vom arăta că locul geometric al punctelor M cu proprietatea S.urn + Sc'f.m = SABCD este o d1•eaptă ceea-ce im·

!...

.

plic!i_ evident că- .lJfu O, .IJ.-12 sînt coliniare. Fie N punctul de intersecţfo al laturilor AB şi CD (le-am presupus neparalele). Fie P un. punct pe NA şi Q unul pe ND· astfel incit NP = AB şi NQ = CD. Vom avea: SNPM = SABM şi SNQM = ScDM· Fie acum 111 care îndeplineşte eondiţia SABM + Scm1= . . SABCD. Dar SAn111 + Scm1·' = SNPM + SNQJI = SMPNQ = = SNPQ + S.,cPQ• .Aţ~il.e SNPQ şi SABCD fiind constante înseamnă dă şi aria triunghiului PQ1lf trebuie să fie constantă ceea ce înseamnă că ilf se deplasează pe o dreaptă paralelă cu PQ care .trece prin O, M1, Jl,f 2. 17~ ln ~BO notăm semiperimetrul cu p 1 şi aria cu S 1

!

;:a>

'1 = -pS

1

1

1 => r1

+ BO.+ OA = OAAB·OB sin~AOB j

B

A

I)

Fig. 16

Fig. 1:;

33

Făctnd consideraţii

obtinem (x)

analoage ,pentru celelalte triunghiuri· BCO, CDO, 1).Af),

ţinînd cont că sin _!__

AOB = sin MC = sin COD= sin DOA:

+ ~ = ...!..+ ...!..,_

r1

r3

•

r4

r2

AD +OA +OD

+

QA•OD

+

AR +OB +OA CD +oc+OD OA ·(!B OC •OD BC +OB +oe AB CD OB•OC

AD OA•OD

OA•OB+OC•OD -

BC

+ OB•OC

dar

\ AD. OA B.C = uc

=

OD OB => OA · OB

.

= OC • OD _şi

ABC~ este c4-cu:aµicripţibil /,.D

deci: (x)

(=) AB

+ OD = AD + BC

OA •OB

AD

==

?D OB

+ BC = AB + DC \

._

UD •OC

0 ? + BC • + IJ.C. = AD· OA

deoarece

+ 11'J.. • OA •OJJ OB •OC . AD

= AD•

BC AD

+· BC • . AD = .A.D + BC• BO ·

frintr-un. şir (j.e. ec)livalenţe am ajuns deci la o relaţie adevărată. Pr•n urmare relaţia de ]a care am plecat este ade't'ărată_, adică:

.!.. + .!.. == _!_ + _!_.

,

r1

r3

. r2

·

r•

18. Fie MNPQ mijloacele laturilor patrul_Aterului inscriptibil ciat şi fi~ MP n NQ · MNPQ este paralelogram iar S este oentruJ său. · De aceea M şi P, N şi Q s-înt respectiv simetrice faţă de S. Perpendicularele ridicate tn M, N, P, Q pe laturile respective se .intersectează ip punctul T, care ei,te. ceptru] cercului circumscris. Perpendicularele coborîte din M, N, P, Q pe laturile opqse sînt paralele cu oele ridicate pe laturile respective de aqlea se intersectează şi ele intr-un p@ct T' şi anume 11imetricul lui T faţă ;de · S. · . 19. Fie ABC D un patrulater inscriptibil eu proprietatea din enunţ. Mt N, P; Q sj·nt mijloacel~. ta,ţurilor AB, 8,C, CD respe?tiv DA. Deci Ş=

D

Fig. 18

Fig. 19

=

MP _J_ NO. Evident' MN PQ- AC/~. MQ' ~ N:P. I>l'J/2 deci ·.pfiJruIaterul MNPQ este paralelogram. Deoro•ece NQ J_ MP rezultă el .MNPQ este ·romb

=>

JJN

= JJJQ => AC = ,,,-....

,,,,,-..,

/JD. Fie arcul de cerc ÂBC. Din AC = BD;

...-...

,,,,-...

.-...

fie BCD = ABC, _fie BAD = ABC. Să presupunem BCD _ _ . ,-... -~ -'-"~· ~ ~ ~ ~-~ =ABC• BAI)= 11DC; AB .:__ ABC-BC = BCD- BC = CD=>

deducem·

că

"

~ = ACB .=> AD li BC, deci condiţia neeesară ea un patrula:ter itţscripCAD tibU să aibă 11toprtetate11 din e:p.unţ t;,ste ~a el să, fie tr~pe~ iiQsc~l. $vident această condiţie este suficientă,. · 20. Fie-IE şi F mijloacele di~gonalelor AC şi llD. Fie G centrul de gr~utate al triunghiului -BCp. Demonstră,m c'ă. M = AG n EF este JDijlocul lui EF. Într~adevâr, dacă H este mijlocu! lui CG, atunci deearece AE = EC => EH ll'AG şi cum FG = GH => FM.= M.E. De aceea MG= 1/2 • EH = 1/4 • .A.G flJG = 1/3 AM. Fie O centrul cercului şi O' -punctul situat pe dreapta OM astfel iri.cit O'-M = 1/3 · O.M şi .M ~ă se afle t.Atre O şi O' atunci AOMA .......

=

-.... ~O'MG

OA

. ~- ----AM -

,-

O'C

I

OA R e: = -8 = --- -3

...,.,.._ MG s:>. ()- -

unde R este raza cercului iniţial. . şe ~ată că distanţa de la Qelelâ.Jţe cf):ntre d~ greutate la BA'+ AB' ..-...

,-...,.,.

~

.......... :ţ:. ACB ~ Aţ:~

.

.

I! A'C şi qin BB'

+ Â'c = ÂB =>

N

=

A' 1H

n

BC e lq.. mijlocul luiI BC.

'

A A

8 Fig. 23

36

=

Fig. 25

O.' A

B

~::::::::::b~=====~c B'

.Fig. 27

Fig. !!6

26. Ducem deasupra laturii AB, triunghiul echilateral AO' B. Vom avea deci:

~ BOO' = ~ 1100' = ~ BOA/2 = p

\

1800 - 300 2

=

75°

=

60°

+ 15° .=

~ O' BA.+ ,< ABO = ~ O_BO' = ~ OAO' => aO' BO şi 6-0'0A isoscele O'B = 0'0 . O'A = AB = BC =AD=> BC 1-::00' :1::. AD= O'B = şi O'A = OD => aOCD echilateral. 27. DU:cemp1•inE,EB' __:__1UBşiEC' '1 1.YC =>•CC' '1 • ENşi BB' = JIE' => => BB' 11 CC', deci BB'CC' paralelogram~ F E B'C' şi B'F = C'F. Dar EB' = EC' => aB'C'E isoscel şi EF mediană, deci bisectoare şi cum EB' 11.AB şi EC' li AC rezultă că EF e paralelă cu bisectoarea lui A. 28. Fie ABC triunghiul şi BE, respectiv CF cele două bisectoare egale (vezi fig. 28). . Să presupunem că unghiul :r:_ABC este mai mare decît unghiul :ţ;_ACB. Construim atunci BO paralel cu .4C şi CO parale! cu BE. Deoarece FC = OC ......... ........... ........... .........._ ........... şi FC B ~ OCB => .F B ~ O B BFO _;;?; FO B. Deoarece unghiurile OFC şi ........... ........... ........... ........... ' FOC sînt egale rezultă că BFC ~ BOC= BEC. Considerind aceste unghiuri .............. /',._ ...................... în triunghiurile BF.~J respectiv obţinem FlHI ~ MCE =>ABC~ ACB dar ........... ........... . ........... ........... .-1CB " .ABC, conform presupunerii = ABC = ACB = triunghiul _este isos•~el. 29. Dintr-un punct P, pe cerc se duce un arc de cerc care taie cercul dat în A şi B. Cercurile de centru A şi raza AP, respectiv B şi BP se taie in C. Cercul de rază CP şi centru C taie cercul de centru P şi raza PA în K şi .F. Cercurile do centre şi raze respectiv E, EP, F, FP se taie

oe

=

Îil

o.

într-adevăr, dreapta PCO trece prin AB şi EF şi le înjumătăţeşte. De asemenea PCO .L AB şi PCO .L EF. Deci intîlneşte cercul dat şi cel

37,

p~

A

o

.. Fig. 28

Fig. ~9

opus~·· P' şi Q lui P. 'Fie de centru C 9i razi CP in punctele. diametral ,. G=PC n EF. APAP' şi APEQ dau: 2 PAia =PI)· PP' şi PE"== PA ·= p(; · PQ. l:>in construcţie C şi' O sînt _şimetricele lui P in raport cu AB şi respectiv EF, deci PQ :__ 2PC = 4PD~ ' PG = P0/2 ~ PP' = 2PO. 30. Solufia 1. Ducem BE la 20° faţă de BC. Avem f!C BE. Din triunghiul isos681 BCN cu unghiurile de 80°, 50°, 50°, ,BC == BN. lnsă = 601;i deci triunghiul 1JNE este echilateral. Din triunghiul isoscel :4EM (are, unghiurile 40°, 100°, 40°) BE = ME. Rezultă NE= ME~ triunghiu! N ME este is.oscel. Unghiul lui din E fiind de 40°(180° - 60" ...... 80") rezultă

=

=

.NBE

d'ii'E =70°.

Scăzînd

BME· = 40°

obtinem

fiii= 30°

(vezi fig. 30.1).

Soluţia 2. a) Observăm, că punct~l M se găseşte pe· perpendiculara

ridicată

in mijlocul P al laturii AB.

A

J:l'ig. 30.1

A

b) Prellffl:~im c!tea~ta CN şi di!'l pttt\ctul A ~oboi'tm această

pe

.........

· dreaptă.

.........

Observăm

că

,AR= 1/2AC

~ petiţ,~ttdfoullt'I

= 1/2AB,

AR

unghiul

RAC == 609 iar RA B = 40°. c) Prelungim·dreapta P M pină taie pe CN în punctul Q şi unim Q cu A. Obt!lervăm că triunghiurile dreptunghice ARQ _şi APQ sint egale, avind ipotenuzele egale {comune) şi , catetele AR = AP.

..........

.

Remită că

.

AQ este bisectoarea unghiului RAB. Aşadar fiecare din cele trei unghiuri care se formează în virful _A are 20". Rezultă că CQĂ == 110d. d) Unim Q cu B. Patrulaterul AMBQ este romb deoarece QP == P M Cdin egalita.tea triu~hiurilor dreptunghice QAP şi MAP care au cite o eatetă comună şi un unghi da 20"), iar QM este perpendiculară pe mijlocul .......... . ........... . lui A B. Rezultă că unghiul AQ B are 140°. De aici reiese că BQC :!!fi 30°.

.

...........

...........

-~

3o

0 Dâr . BQC :!iii N MB. Aşadar 1V MB • {ve:ti fi~. 30.2). . Soluţţa 3. Ducem _din A perpen4iculara AR pe NC; avem. AC= 2AR (ttiutighmJ dreptunghic 011 un.,.ungh1 de 306) d.eo1:

AC

=2

AR.

AN AN Ducem prin B dreapta BE care formează un unghi de 40° cu BM. Avem BE = BC (triunghiul BEC are ung.hiurile de 20\ 80", 80°) deai BM • T.r1ung . · h'ul . I• Ducindu-1. tnwţuneâ xl • ,,,, Avem . -BM =- ....-.-=. 1 BME est e 1sosoe Er BC BE · · BM == 2B'F• D.ec1. BM BC · = ·.,__JJf ~.

Insă ;{iy AR BF „ JJB

(douaw t r1ung ,. · h'__ 1ur1· dtept-

unghiM fieoare ou. un unghi de 40°). Reztiltl · A .ANC \

= BM D .........

deci stnt. aeemenea triunhhiurile · a

ACN •i bMN y

de unde·

N 1J,J B = 30". Sl. Notlm A = 31lC• .P • 3~1 C - 3y~ Din A + B + C ·,. 18(t-deducem « + ~ + y • 60°. Fie T punctul de interseoţi~ al dr~ptelor A :Y şi BX.

rezultă

A

ln triunghiul A B T, AZ şi Bi strit bisectoare deci şi TZ tn plus:. _.~: ATZ = :ţ:_ ZTB

= -::,J-ATB = 180° -

Fie U pe BT

şi

=

2oc-:- 2;3 2

2

V pe AT astfel incit :ţ:.UZT

60°

+ 2y = 300 + y. 2

= ~TZV = 30°.

Din ega·

~

litatea triunghiurilor ZTV şi ZTU obţinem ZU = ZV. Dar VZU = ~p deci triunghiu] ZUV este echilateral. Vom arăta că U = X şi V= Y ceea ce demonstrează pl'Oblema. Fie P şi Q simetricele punctului Z faţJ de B U .......... ........... ........... .......... şi A V.· Din egalitatea unghiurilor ZBU = UBC şi ZA V= V A(,'. deducem că P ·este situat pe BC şi· Q pe AC. Din i:;imetrie rezo.Iţă că PU = lJZ = 0

= =

UV 60°

== ZV =

+ y.

..........

DBC ;::>BD> CD (2). Din (1) .şi (2) ;::> AB BD > AC CD (fals). . 34. Fie A, B, C intersecţiile drumului cu Ox, Oy, Oz, muchiile triedrului. Voiri desfăşura in plan triedrul. Punem:

+

şi

40

+

/

o /

z/ Fig. 34-.1

Fig. 34.:!

drumul. cel mai scurt. ce_rut :in profilernă va fi cel mai scurt· drum între şi Mi deci segmentul .M1 J1,J;_. , 3o. Fie Ox' şi N' simetricele lui Ox şi N faţă de Oy. At"Qnci AJJf + + MN = A.Jl.1 + MN' ;;?; AN1 unde A Ni ..L Ox' cu N 1 E Ox'. Fie M 1 = = AN1 n Oy =>AM+ MN;;?; AM 1 +· M){i, VM E Oy, NE Ox. Ducem acum _N1 simetricul lui Ni faţă de Oy şi care împreună cu Mi, reprezintă punctele dorite. . . .-.. 36. Fie MN PQ chiar patrulaterul de perimetru minii::n. Dacă AMQ ::; =>.

1111

.-..

+

::; NMB am-putea micşora QM MN. Intr-adevăr, fie Q' simetricul lui Q faţă de AB şi-M' ~ Q'N nAB => QM MN = Q' M + MN ~-Q' M' +it'N

+ .-., .

cu egalitate doar cind M = JJ:1',· adică QMA Analog. trebuie să avem: ~

.-..

.-..

.,........

= (l MA= BMN = 1. ·

"

llfNB= PNG= 2

.-..

.-..

"

.........

.-..

"

NPC=DPQ =3 DQP=AQM=4 C

x' Fig. 35

Fig. 36

...

41

'

A

A

"-

J\

A

,.. 2" + B= " t+

~

,,2+a+c= " "

n

A

A

A

A

A.

"'-A

A

A

1+2+3+4+A+C~k"1+2+i+4+B+D•A+C~ A

A

= B + I) şi i;;;.

a,dică

ABCD este inscriptibil.

3'7. Fie ABC triunghiul ascuţitunghic dat şi fie A' pe BC, B' p@ AC C' pe AB. -Fie A; şi A 2 simetricele lui A' faţă de AP ~i AC=-> A1A2 ~ A;C' • C'B' + B'A2 -A'C' + C'B' + B.'A' cu egalitate~ dQ4.r Q1nd AB n ÂÎÂ; ti B' ""' AC () AiA;.

c· ..

............

A

Avem că AA; = AA' = AA; şi A;AA 3= 2A constŞ,nt şi d~i AjA 2 v~ Ci minim ciu4 .A.A'. este mi11i1:R, deci ctnd AA' ...1.. BC. ·T:riµnghiµJ cu p1t1im.etr\l m.in.im vi fi deei EFO ou AE ..L BC fi E 1, E• 1.1imetricelli1 aaJe faţă de .A.8 şi .AC coUnia.re eu G şi F; se observi că ace!ta este· şi unic din. conşiclţraţiile preeedeµte. Dar analog putem. îw;e 1' A' B = 2 si A' B~ A' ill' + + llf' B = A 1l1' + Al' B cu egalitate doar cînd \ M M' = O. Dar 111A + MB ~ 2 cu egalitate doar cînd urumul este chiar AMB. în final 2 -' M' A+ .M' B ~ A' ---~ ~ MA+ MB~ 2 deci peste tot în inegalită·ţile anterioare avem egalitate deci },f = M' = O şi Fig. 40 t,ot drumul AMB este de aceeaşi parte a lu'i r.' cu A şi B. 41. Fie ED II AB şi ED= AM; la fel FC IIAB şi FC= MB. Fie .......... ~ .................... P = EF n DC. Deoarece ED= FC, EDP = PCF şi DPE = }'PC rezultă că triunnghiurile EDP şi PCF sînt egale=> N = P şi MN este .mediană în .triunghiul EMF => EM +FM ;.i, 2MN dar EM = AD şi FJ.l! = BC => =>AD+BC ;.i, MN. 2 EgŞ;litatea

adică AD

42.

(a

are loc

' dacă şi

numai

dacă

E M. MN

li MN li BC => ABCD trapez.

(a.1

+ b + c)r = 2S = ';~ ; dar ac ,E:;

c)ll

şi

MF se suprapun

= b•

de unde b3

3br -' -

2R

=>

b2

;.i:

6r R.

Egalitatea are loc dacă şi numai dacă a = c = b deci dacă şi numai triunghiul este echilateral. 43. Ducînd perpendiculare din B, li! şi C pe AD şi ţ,inînd cont că perpendiculara din M este media aritmetică a celorlalte două, se o.bservă că aria "tritinghiului ADM este egală cu suma ariilor triunghiurilor ANB şi NDC. Scăzînd ariile triunghiurilor ANP şi NQD obţinem relaţia din enunţ.. dacă

4

F

o A

C

Fig. 41

44

Fig. i3

44. Fie M, N, P, Q respectiv mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA ale. paralelogramului dat, iar O punctul de/intersecţie al diagonalelor. ln dABC medianele CM şi AN se înttlnesc pe BO, BO fiind la rîndul ei mediană. Bţ,E::::;_;..___...i.::._ _ _ _~ Analog pentru toate triunN C Fig. M ghiurile avtnd două. laturi formate din laturile paralelogramului, iar a treia dată de diagonală, obţinem patru vîrfuri ale octogonului aflate pe cele două diagonale. Patrulaterul AQNB este la rîndul lui paralelogram, deci diagonalele lui BQ şi , AN se înjumătăţesc într-un punct M' aflat la jumătatea lui MO. Analog N' pe ON, P' pe OP,. Q' pe OQ. Octogonul format este deci A'M'B'N'C'P'D'Q'. Avem astfel: SoA'M' SoAM

s:::a

OA'• OM' OA • OM

1 1 1 ===---==-· 3 2 6

Avem evident: SoAM I

= SoAQ = SoDQ = . ~. = SoBM

de unde de.ducem că raportul căutat, este 1/6. ,...46. Fie DC' li AB. şi cu C' E AC~ în ABC'D trapez avem: AM/AB -.= C'N'/c1D·=!.= CN/cD 3

unde N' = MN n DC'~ tn dC'DC, NN' li CC' ceea ce nu se poate decît dacă C' = C. Obser9aţie. ln Ioc de 1/3 putem lua 1 > k > O• .... 46. Peatru calculul ariilor unor triunghiuri vom folosi metoda următoare:

..-..

-+-I

~ SEFG- EF•EG 2sia FEG == -1 -, EF X EG 2

- ---=---

A

8 Fig. 45

Fig. k > O. 47. Evident, dacă Q == AB n CD (ca tn fîJUfl) Scp11 şi Sumtnd => ...

> SAMD

SBNP '

SBNPC

.

> SpqM > SAM(JP ~-~~ ;;;I! A.I n q11. ,. .:.

48. Jolositn totlqi metodl oa· îtt ptoblema 4~ .

-+

ill/ 'li. "i/Q + PQ x PN ~ !.l/ -+

-+

-+

CD

+AD+ DQ) + T

-

~

.,..

-,.,;,11';34;

-

·

ŞB('! ·a4 \I'"~

49.

~

(PO + CIJ + III.V)• •:,a·;.T ..."..,. +

= 11,t.MD: St,!fC + $qJVp

\

t-

-'li,

x ~ + Pf X i!J == 4 x + i/11' ~ .,.. f/2 OE~+ OCi -li< __ •

> o,

adică:

f .EOI + 3 oe•-~ 4

~~

2

·

+b

8 -

11 420/JI ...... 1/2.c•. :Oar :e• =2 QA.

~-ci (01 eatei dublui medianei th LlOAB) ~ 3 OA 11 + â f)Jş. -- 3/2 ţ* + + 3 OC2 > a2 + Ir - 1/2 c2 ,au i(QA 2 + Q/Jli + Q(:2) > ,; + b2 + f'. Qblvvaţie. )\elaţia din enunţ

Fi~

-.,~

.

. _

'"ii

este mai ~ilerş]J. Ea s.~ eµunţă tn telul urm.ă.tor: 0 1 4l .•. , An, n + ţ p\iiji:ltEJ tn şpaţiu, e.tunc,i

n't, OAf ~ E At A1 i-1

i 2S (S aria triunghi'ului). Dar M'A = MA~ ad'+ aMA > 2S. . Pe de altă parte 2S = cdb + bde + ad; de unde deducem aMA ~ cdb + bde-~ MA.;;;, ~ db + .!. de;

+

a

analog MB ;;;, ; da

a

+ : de

___ ··-----

şi MC > :

d& +,

~ ăa."''

şi obţinem: MA + MB + MC > (: + : ) da +(: + : ) db + + (~.b + !) de dar! + ~ > 2 etc., de unde rezultă inegalitatea din enunţ.G C b · Aclunlm

69. Poziţia punctelor este în aşa fel incit ele să împartă arcul A 0 An in_ n egale. Vom arăta că oricum vor fi aşezate punctele Ai, .•• , An,-J. lungimea liniei frtnte A 0 A 1 ••• An va fi mai mică tleclt cea determinată de punctele în poziţia de mai sus.

părţi

Va fi suficient să considerăm numai acele poziţii pentru care oricare· ar fii= 1; •.• , n (cu convenţia ca arcele

să

se

măsoare

-

Ai-iAi ~ n întotdeauna

,._ pe acel arc A 0 An fixat de la început). Intr-adevăr, dacă AiAi+1 > n atunci sau Ai ,:fa A 0 sau Ai+i ,:fa An- Să presupunem A,+1 ::fa An şi să notăm cu Bi+l punctul diametral opus lui Ai. Atunci AiBi+i > AiAi+l şi Bi+iAi+a > > Ai+1Ai+il. A

B

C Fig. 58

52

Fig. 59

1n acest caz proQlema este evident

cu următoarea. Fiind date n. coarde li paralele între ele şi situate in acelaşi semic.ere şi astfel incit ,--... 'Sli = A 0 An suma lungimilor este maximă atunci şi numai atunci cînd ,--... li = A 0 A 11 fn, i = 1 n (unele coarde vor putea fi reduse la un pµnct, caz în care ele vor fi situate în vîrful semicercului). Să facem acum urmă­ toarea observaţie: dacă .MN şi PQ sînt două coarde paralele într-un semi-

-

echivalentă

-

cerc (vezi fig. 59) şi considerăm punctele C', E' E

PAI şi D, F E NQ PQ + .1.1f~V egalitatea

....-... ..-..., EP ~DN= FQ

.,-.....

,-.

astfel CJl'l = atunci CD+ EF ~ avînd Joc dacă şi numai dacă C = M, E = P, D = N şi F = Q. ÎntMţdevăr, fie C', E', respectiv D', F' proiecţiile punctelor C, E, D, F pe__ 111P res.,-...... ,,-... ..-.. ...-.... pectiv pe NQ. Deoarece CM= EP = FQ = DN obţ.inetn J!C' = EP' = = OF' = N D' de unde deducem, considerînd trapezul isoscel Jl{N PQ că ..-..

../",...

../",...

~mv + PQ = C'D' + E'F' (pentru cazul din figwa Ş4,2) QC' + + CC' ;;i, BC, AD' ;;i, Ad, CD' ;;i:. CD şi

+

+

=-

So11c '.'iii So13c· SoAD < So,tn· SA13C'D' ;); S.4.BC0 şi la fel pentru periD,1etru. D~ei pute.dl c;oµ.si(ţera n1,un~i patrulatere de a()est din urmi tip • '

+ So~B + S0A1> •

Su()D • SoBc

şi

.

(ein «+sin ~+sin y)

lJ!. j

= 2R + 2R(sin ; + ~in : +sin.!) + (,). + = 180° ~ + !2 + J_'2, =. 90° =>

P ABCD

cu..

ot

'V'

r'

/'

..

=o,

:

eonfQl'fll problemei 69 maximul 'lui SAP.C:o şi al lui P,ţBCQ se realbează pentru ct - , - y ,.. n/3; deoi pentru ABCD, jumăţ~tea. uaui h~JCegon 1 regulil.t. · S ' sin ct· sin şl\BC + SNJD ~-,,,,.,AC, · · .. · 2 2

=

+ ·. ·. ·. · '. •

=

unde ot ~ ABC, Se o~servi ţal, pentru SABCD .s;; -sin

ct

2

ot

fixat SAIJCDE e muimă ·pentru~ ACD sin('lt' - ct) +sin.!. + sin 2.. 2 2 == - - - - - - - - 2 2

+ sm . -

ct

+'i + ; = ~ pentru oe = 7' deci

şi conform problemei 59, deoarece- n - «

,e atinge pentru

f ; ; ;:

1t -

0t

.-= ;

Notăm

cu

3, .

r.

2

3

-· sm ___,

maximul lui SABcD

n •

estE! Q jumltato dintM1n hexagon regulat. ·66. Fie AABC înscris în cerc şi ME AB.

~

= 90° ~

patru.latfflll ot

"'

ţJut•t

unghiul subintins \

de coarda oe trece prin M, perpendiculară pe O Al => ot ~ C ~- n - oe cu ot E E dar din 2MO ~ R => ot ~ 60'1 şi avem lplicînd inep.lit11.tea me·

(o, ;]

diilor aritmetice

şi

geometriQe: A

Ş,u:,c ;'N·

== AC .. .•. BO.2 • sin. ,'C :16;

2]l2

r

. " . " . ", 2/i.2 sm A• am JJ: sm C . A

şin A

A.

+ si~ B + sin

A.

C

r

· => S,p•c ~ ....

1

A

A

A

(cu egalitate pentru sin A = sin B .:_ sin C cînd şi membrul d,rept e .maxim conform problemei 59). Deci triunghiul de arie maximă înscris in c~rc cu o latură trecînd prin 111, este un triunghi echilateral. 67. Avem: da MC

-.-=

..........

•

~=sin 1~1

MCB,

S1Il

MC

' şi analoagele =>

,

+ db)

{db + de) (de MA·MB•MC

. (da

..........

..........

+ da) = (sin ..........

·(si_n MAC+ sin MAB) (sin 1l4BA

+ sin AfCB) ·

AJCA

..........

~

+ sin

MBC) ~- ( ~ sin MCA) 3 /27.

Dar suma acestor rmghiuri este 180°. Deci conform problemei 59, maximul expresiei din dreapta se atinge cind toate unghiurile sînt egale cu !: 6

(da

+ d1.)

+

(db d(.) (d,. MA· MB •.Jl,lC

+ da)

=1

~ ~

27

şi

egahtate avem pentru ABC echilateral şi M centrul său. 68. ,Pentru rezolvarea acestei probleme vom găsi mai intîi o expresie generală pentru· aria unui patrulater convex, dată în funcţie 4e laturi şi de suma unghiuri1or opuse. Fie acest patrulater ABCD, AB = a, CD= c, BC-:= b, DA= d. Aplicînd teorema lui Pitagora in triunghiurile A/3C şi DBC: 2 + d,2 - 2aţl cos A = b2 + c2 --~bc cos C =>

a

=>

(a1

+ d2 -

h2

-

c2) 2

= 4a2d2

cos2 A

+ 4b c

2 2

cos2 C - Babcd cos A cos C.

Dar => 16S~

=

4S = 2ad sin A + 2bc sin C ~ 4a2d2 sin2 A 4b 2c2 sin2 C 8abcd sin A 1:un C.

+

+

Adunind egalităţile obţinute avem: 16S2 (a2 d2 - b2 - c2) 2 = 4a2d2

+ + + 4b c2 2

+ 4b c

16abcd cos2 A

2 2 -

Babcd • cos (A

+ c + 8 • abcd = 2

+2bc -

a2

...:.. b2 - c2

-

d2

2 2

16abcd cos2 A

+ (2ad + 2bc)

A

+ C) = 4a d +

2

~ 16S2

+ 2ad)

+ 2bc)

+2 c +

= (b2 + c2 +.

(a2

+d

2

+·2ad -

- 16abcd cos2 A

+c = 2

=(a+b+c-d) (-a·+b+c+d)· • (a Q- c d) (a - b c d) -

+

o

.8 Fig. 6?

56

+

+ +

··;; ii 2A + C · - 16abcd cos.-.2

~i tn final nottnd semiperimetrul ABCI:i "lui,_

6d

A"B+-A"C> > AB +AC= 1, absurd. Acum să considerăm poligonul cu n laturi de arie maximă şi ,perimetru dat A 1A 2 ••• An; dacă unul din triunghiurile Ak_1AkAk+l (A 0 = An şi Ân+l = A 1), nu este isoscel îl putem modifica astfel .încît Ak_1Ak+l constantă şi Ak_1Ak' + AkAk+l = constantă, pînăla un triunghi isoscel care are aria strict mai mare decît a sa conform. rezultatului ·pre-cedent. Deci cu siguranţă laturîle poligonului sînt egale. Dacă n = 3 avem un triunghi echilateral. Dacă 1i > 3, se consideră patru1atf3rul A 1A 2A 3 A 4 şi patrulaterul A 1 A;A;A 4 inscriptibil, cu A 1A2 = A 1A 2 _- A 2A 3 = A 2A3= = AaA,-:- .,.4,3.A,4. CQnform prob. precedente SA1A2A3A4 ;;,:. S,11A2A3A4 cu egalitatea doar cînd patrulaterele sînt egale. Deci A~A 2 A 3 A 4 e inscriptibil şi avînd 3 laturi egale e chiar trapez isoscel, deci -}::: A 1A 2A 3 = ~ A 2 A 3 A 4• Se observă deci că poligonul de· arie maximă are şi unghiurile alăturate egale, deci e r~gulat. · . Observaţie. Această demonstraţie im rezolvă şi problema existenţei poligonului de arie maximă. Noi am arătat că in cazul în care a_cesta există, el e cu siguranţă · poligon regulat. ·o argumentare a existenţ-ei sale se poate d'a, însă d!)păşeşte limitele culegerii. · 70. Se demonstrează prin_ Pentru n __:.. 1 problema e

inducţie faţă

de (n

+ 1)/2 E N.

b..:.nală.

- -

Pw problema adevărată pentru OP1,

OPn

cu

n ;- 1

E N şi fie in plus

vectorii OP11+1, OPn;-2, Rearanjăm indicii astfel încît unghiurile vectorilor cu una din semiax.e să fie crescători. .

-+

Fie acum S

-+

= OP2 +

-+ + OPn+i·

„

o

.

o F'ig. ,0.2

Fig 70.1 ~

.......

.

--}:

_.,

Se observă că S e intre 0P1 ş! .OPn+1 d~ei îl'ltr& OP1 ti OPn+a, dtoi faoo ou bisectoarea unghiului ~ PPPn+a · un unghi ascuţit.

Jt „ol,.... +..OPn.+a

Fle ..

~ 1 şi ~ (.fl, S)

-+

E OPi, i„

,s;,;

inducţie sţ

2) Prin

*

care este de-a lungul acestei biseot6are: Dar ...

....

906 ~ l R + I :> I S I > 1. Obs.,-"aţit: 1) Se observj că este suficient să arătăm pellti'ti. n • 1-, • 3', restul retultă· prin inl'.lucţie imediat.

Is I 1i

1

s

poate aril.ta el 16cul geometric ~l lui M ~u

iSiJ „

cu n E: N e format din regiunea din eemiplan, dintre un disc

I

de rază n cu eertttul tn O şi sernidiso:uri de rază 1 tilgtnte tnt.re ele care au centrele in _,,, + 1, -n + a, ... , n - 1. .

-71. 'Von\ da o ~

I AB ·1

_...

.

soluţie bazată

pe inegalitatea triunghiului

sot'isă

\f'ectoria.l

~

+ I BC I > I AC 1că

Avem ii

~

-

I OAi I = 1. O fiind centrul de .gre1:1tate al poligoµului, a\fem

...+

Sn .pl~s k(OAi.= O. Dacă M este un punct in plan,

1, o.veni ine~alitatea uruU..

~·

Pentru OM= I OM I < 1 fie M' pe OAi şi A~ pe dM;, astfel incit OM' . · OM şi 0Ai = =0At, avem:

Fig. ,71

_., ...... I OM' -OAi I,

-

-

- • OM - 1 =0M'~! I w-OM•OA, OM -+ OA,= OM şt. OM·OA

.-+ .-+

gzi ' obţinem:

şi a.plicind relaţia {*} pt.

"'I.-+ n

Oil!I > n \OMI n ~EI OM OM

~ OAi ~ -- -

i=

OM2

t

I==

::i0

2

i= 1

1

.-+ I OAi

> n.

Această relaţie nu face de cit să transpună in formă ;vectorială soluţia tn numere cotnplexe pe care o expunem tn continuare: Vom nota prin zi respectiv z coordonatele complexe ale lui A, res.

rt

>'

peetiv M faţă de O =>

~

= O şi

=

.

I zi I = 1, i == 1, ... ,

1izr1 .I;,. t:i n n Avem E I z - zi I ;;i; I nz - E z„ I == n I z I (* *)1 deci pentru I z l > 1 re'? 1 i= I zultă problema. Pentru z = O e evidentă. Fie O,< Iz I < 1. Avem: . l'.:zi = O şi I z-1 -- zt 1 I = I z -- Zt I I r 1 1· i=

~oriind pentru

r 1 telaţia

(**):o ii

1 -

, ... 1

--

72. Fie A 11 A2,

••• ,

z, I >n I z- I .

E Iz-

1

1

=>

A 11 virfurile poligonului, O un punct 1n plan Oi

OBt = AiAi:t-t pentru i == 1, 2, ... , n(An+1 -;- A1 ) • .n

.:.+.

:o EOBi i=f

=t=1 }"A,Ai+i 11

-

:=

.-+ > ~ (OB 1,

.-+

Fie OB, .

--+. = OBi/2 = - os;. --+-

--

Renumerotăm

~ (0C 11 OCJi'.+1 )

Avem·~ obţinem

~

--

O

---+ şi se observă că~(OBi, 0Btt+1},..

OB;,,) k

= 1,

. .• ~., 1i .- 1

-+

~.

vectorii OB;, OB'i nottn.du-i OCi,

> ~ (OC

OCi =- O şi

11

OC1t) k

== 1,

.......

OC211

flatfel tneît

n -- 1.

deoi nottnd ou l)J extre~itateâ veotot-dhii

un poligon cu 2n laturi unde

t (ici

-r

.Dzn = O. Din moduI tlllin &•a.u ordonat

-+0 n/2. Dacă j ia vaJorile 2, 3, ... , n/2 - 1, atunci, corespunză­ ţor necărui j, ~"poate lua vafo,ile n/2 - 2, n/2 - a,. 1 adică n,uiµăru.l

-

total al perechilor este

Acesta ~st~ num~l de triunghiuri

ohţuztmz.hice eu vîrful obtuz

foaţe triunghiuril~ obtuiunghice vo:r fi de n(n- 2) (,a,~) ..

·n

8

lA 4i iar

ori mai multe:

.

Fie n ii.npar.

·· ln

acest caz calculăm numărul de triunghiuri obtuzunghice AiA ;A.1i ooghiul oht1Jz în At· Ol;rţinem k-,- j > n. ~·· 1 . .

'

2

Numerele j, k fiin~ astfel ca 2 ~

nen1 ea.1ttaisus:(-n;·{

-1J+i

iar num,ll"ul triunghiurilor \Ta fi

11

;; 1

i
-1.

a2

< 1. Aceastl1 condiţie e şi suficientă deoarece luind unghiul + d• - b• - c" construim triunghiul ABD cu AB = a, AD= d => 2ad

+ 2bc

+

+

+

BD 2 = a 2 + d2 - 2ad cos A = b2 c2 2bc cos A = b2 c2 - 2bc cos (1t - A) (b c) 2 > BD 2 > (b - c) 2 => BD > BC --;. CD= b - c şi BD > CD - BC = c - b, b c = BC CD > BD, deci putem construi şi triunghiul de laturi BD, BC = c, CD= ,d care are

= +

A

unghiul C

+

+

A

= 1t -

A.

Observăm oă n-am folosit din ipotezl1 faptul că patrulaterul e convex. De fapt se poate observa cu uşurinţă că orice poligon se poate deforma la un altul convex cu laturile egale cu ale sale. E suficient să ne imaginăm laturile poligonului ca bare rigide articulate mobil intre ele. Cu un asemenea suport intuitiv putem da o justificare simplă şi problemei de mai sus. Deformăm pe ABCD pină cind să formeze un triunghi, de exemplu, A, B, C sl1 A

fie coliniare

=>

B

A

A

+D = + D > 1t

Apoi

1t.

deformăm A

figura

pînă

A

cind ABD A

A

sau BCD sînt coliniare. Deci în această situaţie A + C > 1e => B + D < n şi cum deformarea este continuă trebuie ca la un moment dat în trecerea de A

la o poziţie la alta să avem B

A

+ D = n.

Şi pentru poligoane arbitrare A 1A 2 An afirmaţia e adevărată. Pentru a justifica acest rezultat' să considerăm un cerc de centru O. Ducem pe el coardele AiA2 = A 1A2 , Ai.As = A2 A3 , ... , A~_1A~ = A~A~1 = AnA 1• Cercul e ales suficient de mare astfel incit: ~

AiA;

~

+ AiiAa +

~

Micşorăm acum cercul păstrind coardele egale (A 11 ... , A~+i alunecă pe cerc), pină clnd A; se suprapune peste A;1+1 sau pină cind una din coardele AiA,+1 devine diametru. ln acest din urmă caz mărim cercul păstrind A, ... Ai+i pe acelaşi semicerc pină oind, de asemenea .A~+l = A;.

5*

~

+ An-1An + A„A~1 ~ ,4

2n

o

o'

~

c

q

.A.

C'

C/

8 Fig. 87

67

88. Fie L linia poligonală şi A 1A2 , ... An poligonul convex. Din Ai ducem semidreptele d', şi dî cu di J_ Ai-t Ai şi d'; J_ AiAi-t-1 i = 1, 2, ... , n (A 1 = An+1), in exteriorul poligonului. Poligonul fiind convex, unghiurile sale sînt < 180°, deci semidreptele nu se intersectează. Dar porţiunea din linia L cuprinsă între două drepte ~ şi d1+1 este An este mai mic decît mai mare decît AiAi+1 deci perimetrul lui A 1A 2 lungimea lui L. Se observă că proprietatea Jămîne adevărată înlocuind L cu un drum oarecare închis care să înconjoffl-e poligonul convex. 89. La fel ca şi în problema precedentă se ridică în vîrfuri semidrepte perpendiculare pe feţe. Apoi se ţine cont că proiecţia unui poligon P dintr-un plan 1t pe un plan 1t' este Sp cos ~ (1t, 1t'). Acest lucru rezultă imediat descompunind poligonul în triunghiuri. 90. Fie A 1, •.. , A,1 vîrfurile poligonului convex. Să presupunem că are patru unghiuri ascuţite. Virfurile acestor unghiuri formează un patrulater convex A 1AkAmAn. Deoarece poligonul este convex, segmentele A 1A 1u AkAm, AmAn, AnAz se află in interiorul poligonului. Obţinem că şi unghiurile patrulaterului sînt ascuţite, ceea ce este absurd, deoarece suma lor trebuie să fie 360°. 91. Soluţia 1. Considerăm distanţele punctului P la laturile poligonului. Fie A,Ai+ 1 latura poligonului pentru care această distanţă este minimă. Să presupunem că proiecţia punctului P pe AiAi+i nu se află în interiorul segmentului A,Ai+i· Atunci distanţa de la P la Ai+1 Ai+2 este evident mai mică {vezi fig. 91.1), decît distanţ.a de la P la AiAi+1, deoarece P M < P R ~ PN. Am ajuns la o contradicţie, de unde deducem că punctul P se proiectează îr1 interiorul segmentului AiAi+t· Soluţia li. Vom r AiAi-t > AiAi+i, imposibil. La fel nu se poate ca toate vîrfurile să fie la sttnga lui d sau de o parte şi de alta a lui d şi d' şi nici unul între· d şi d'. Rezultă deci că există cu siguranţă un vîrf A;, j .,, i, i 1 între cele două drepte d şi d'. Acest vîrf se proiectează pe latura A,Aiw Dacă problema cerea să existe un vîrf care să se proiecteze în interiorul unei laturi răspunsul ar fi fost negativ. Demonstraţia de sus ne sugerează următorul contraexemplu: hexagonul regulat. Pentru poliedre problema se pune în felul următor: vîrful să se proiecteze pe o faţă a poliedrului. Răspunsul e negativ chiar pentru tetraedre. Dacă A, B, C, D, sint vîrfurile tetraedrului e suficient ca unghiurile diedre corespunzătoare muchiilor AC şi BD să fie obtuze. 94. Ducem prin toate vîrfurile poligonului paralele)a o latură fixată a pătra­ tului. Aceste paralele împart poligonul în triunghiuri şi trapeze. Dacă intersecţiile acestor drepte cu poligonul ar fi toate mai mici decît 1/2, aria poligonului ar ii < 1/2, deoarece suma înălţimilor nu .AJ poate depăşi lungimea laturii pătratului, care d d' este egală cu 1.

+

95. Se observă imediat că locul geometric al punctelor din plan care se găsesc la distanţă mai mică decît 1 de linia frîntă L, este banda rotunjită B, de lăţime 2 ca în fig. 95.1. Condiţiile problemei sint echivalente cu faptul că această bandă acoperă în întregime pătratul => => Sn ~ Spătrat•

A.-

'

Fig. 93

69

Fig. 95.1

Fig. 95.:!

Să arătăm că SB < 2l + 4 unde l este lungimea lui L. lntr-adevăr, 2l este suma ariilor dreptunghiurilor construite pe laturile liniei L (vezi fig. 95.2). Pentru a obţine aria SB trebuie ca din această sumă să scădem ariile patrulaterelor de forma OCEB, să adăugăm arii]e sectoarelor de cerc OAD şi cele două semicercuri care apar la capetele liniei L. Dar deoarece OC = = OB = OD =OA= 1 şi OC ...L CE, OB ...LBE şi ~COB= ~AOD rezultă că sectorul de cerc OCB este egal cu AOD şi inclus în patrulaterulOCBE şi deci SB "- 2l + 7C < 2l + 4 ~ 50 · 50 < 2l + 4 ~ 1248 < l. 96, Pentru un poligon convex arbitrar să găsim locul punctelor din acelaşi plan cu el la distanţă llit 1. Se observă fără dificultate că el este poligonul „rotunjit" la capete ca în figură.

Construim pentru fiecare din poligoanele din problemă locu] geometric Aria fiecăruia va fi " 7C + 7C + 21C, unde este 7C aria poligonului iniţia], al doilea 7C este aria sectoarelor de cerc care se adaugă ţa „colţuri" iar 21t este aria dintre benzile paralele. Dacă luăm acum 1n pătratul mare altul mai mic cu laturile de 36 cm~ S' = SA'B'C'D' = 363 iar suma ariilor poligoanelor va fi: S " 4 • 7C • 100 < 4 · 320 şi avem S' = 362 > 362 - 42 = (36 - 4) (36 + 4) > S. Deci S' > S ~ 3 în A' B'C' D' un punct neacoperit de poligoane. Acesta e punctul dorit. 97. Fie li un segment al liniei frtnte şi pr}i, j = 1, 2, 3 .Proiecţii]e sale pe cele trei direcţii date de laturile cubu]ui, care pleacă dm acelaşi virf. Avem: I l, < pr1l, + pr2li + pr3li corespunzător.

A_ _ _ _ _ _ __,D

A'

D'

81

c'

B Fig. 96.1

70

C Fig. 96.2

cu inegalitate strictă deoarece tn caz de egalitate segmentul ar ·fi paralel cu una din laturile cubului şi planul paralel la una din feţe şi care-l conţine satisface condiţiile

=

E li < E prili + E pr2li + E„ pr3lj

=

300

t

1

Deci 3; astfel tncit

1

E pr;li > 100. •

Cqnsiderăm

un plan variabil perpendicular pe această latură a cubului. Dacă oricare asemenea plan taie linia tn cel mult 100 de puncte ar însemna că pe latura cubului considerată se suprapun în fiecare punct proiecţiile a cel mult 100 de puncte de pe linie şi deci:

'î:.pril,

< 100,

absurd.

98. Fie A şi B capetele lui L. Fie d li di li AB şi d2 li d; .l. AB astfel tncît L să fie între di şi d1, între d2 şi ~ şi toate aceste drepte să conţinli puncte de pe linia frintli L. Fie a„ a2 distanţa dintre di şi d;, respectiv ~ şi d;. Fiind dat un segment l; al liniei frînte, notăm cu pr/i proiecţia pe d 1 şi cu prii pe d2

=

= prili + pr l,

V2l,

= E prlli + Eprzlt


=>

E AiiAii P fiind convex, odată cu A 1i şi A;; conţine şi ·segmentul AiiA;J deci şi pe .Ai;• Punctele At sint şi ele conţinute în P ~entr!-1 oă se află pe_ ~egmentele A1Aii. Astfel toate punctele se glsese hi interiorul sau pe front1el'a => Aii

lui P. Să presupunem acum ar atrage că:

oă condiţia

din

enunţ

ar fi

greşită.

Aceasta

dar

S1 + 8 2 + S3 + 84 + Ss ceea ce este evident o contradicţie.

102. edrului.

=

581

Soluţia e analogă cu Contradicţia la care

9V1

=

a problemei preced. considerlnd volumul polise ajunge este: V1 V; ~ V= 23 V1•

+

+

103. Soluţia 1. Se arată intîi că intersecţia a două axe de simi'itrie găseşte in int.eriorul poligonului. Fie m şi n două axe de simetrie oare nu intersectează în interţorul poligonului. Atunci (vezi fig. 103):

se se

~=~+~-~=~+~=>~ .14.B => A > C. Fie O= AA' n CC' Avem trei cazuri.

n B}J' n

I. (fig. 111.1.) _;i < 90°. Fie !),,,BOC' şi 6.BOA' dreptunghice. ln ele ............

A

A

.......................

,

..................................

avem: B0.1l' = C .şi A =BOC'.=> BOA' < BOC'=> OBA' > OBC'. Dar OC' este .distanţa de fa O la AB şi OA' cea de la O la BC. Deoarece patrulaterul OC' BA' este inscriptibil=> OC' < OA'. A

.li. A= 90° =>O= A. de la A la ipotenuză. A

şi

= O,

C' =A=> C'

...........

iar OA'= h este

distanţa

A

III. A > 90° =>BOC'= 2_. 90° - A. /\..

A

/'t..

,-..

Dar, 2 · 90° - A= 180° - A= B + C, etc. 112. Să presupunem că O, centrul c.ercului tnscrîs, nu se află in interiorul pătratului. Atunci el se află in interiorul sau pe ţrontiera unuia din triunghiurile AED, EBF, GFC. Dacă punctul O se află în interiorul MBF, atunci 'perpendiculara OK pe AC taie întotdeauna ambele laturi ale pă'tra~ tului şi de aceea OK > NK = FE > OM (fals)~ Să, presupu.nem că O se află in !),,,AED. Perpe·ndiculara OK ce se coboară din O pe BC poate sau să intersecteze două laturi· alăturate ale pătratului sau două laturi paralele. 1n cazul al doilea, evident, segmentul de perpendiculară închis in .inte1·iorul pătratului, nu· este mai mic decit laturile, de aceea OK ;;;:, DE > OH =

= Oli!.

In · primu~ caz fie

dK n EF = L.

Fie O' punctu~ de inte~ecţie al bisec-

toarei A" cu latura ED, fie K'

proiecţia lui O pe BC. Atunci OH " O' D' < o E M,P, o E NQ ~o=== O' şi conform unei problenie aht~rfoare, (45) ~ AB li CD. 114. Fie O un punct arbit~ar in interiorul patralater.ului.

Gel Jn!ţin until

$n + DOC + COB + BOA

:i;:

360°

dintre unghirtri e1ţte mai mafe sau. egâl

cu 9'0 Sâ pi't,•\i" puiî~îft .AtJB·;;i, §oB => b este acoperit de discul de diametru ÂB. o îiiii.d arbitr.ar' . rezulttţ. ceea ce era de demonstrat. . .... _ţ_l?\ ·Est~ stiti_cient s_ă atătţm :ee.n~r'u_ cazul i~. care h~~a pif~Îţlidei' e )Jn tr1ung~1 hcb. Fie A vîrful p1ram1de1. bucenf AM J_ E-ţn cu_ M tn planul -fl9.Q· Şe ~b~e~v~ .?ă ~~era, cu diamet_rul AB_ (re~_pectiv A/\. AD) \aie pianul BrJ(l aupă un cere ae d1a'lhetru .MJJ (respectiv 1Îl.C Mv). . Problema se reduce astfel la â arăta că ABCb e acoperit ae cer9lţţ,i}e 13 •

1

de d,iametre M,!J;,.~e.. MD, unde M e un Pl!llCt arbitrar Jn phq:i,ul een. Not!m cu.B', C', D' perpendicularele ain M pe.laturile DC, BJJ. BC ale triun@hhilui. ţ)l)servl~ imediat că indiferent de poziţia lui l'l!, patrulaterele Ă

o

D 8

Fig. H5.t

Fig: Hs.2

MBC'D', MB'(]D', 1l!B'C'D acoperă ABtJb. Aoeste patrulatere s.l.flt înscrise ih cereurile de dîainetre MB, MC, MD, care deci acoperă ABCD. 11&. Să notăm cu O un punct din intersecţia celor 6 discuri. Fie A; 3; j Ef 1, 6 ti ftumerc,tare a Mhtrelor discilrilor a~tfel intiît ţn porţiunea de

""'

.

~

.

plan deMrm.inată de unghiul AlMtH (cu APAi.+i t;;; 180°) şă nu se găsească alt centru. · ~ ........... AiOA 2 + A 20A 3 + A 60A 1 ,:! 360° => Există un unghi A1.QÂi+t
·

~ ~ _ln triunghiul A 10A* cel-pyţin ilii.Ul dhi \iftghiurile A;H./4 1 o şi A,A:1+,. o ~!te mai tn.1:1.rt:i ~au ~gat ctt_ 00°. . . Â .... .. ;;,,,;..._ .,(_,,. ' Să presupunem A3AJ+1 O--~ Şi')"0 • Deoarece A,O:A;+i ~ 60~ ,r~zultă c! A;A,+i .i.; OA 1 ~ R; unde prin llj am notat ra.za discului ou e~ntliui tn •

A

.

A; 7 A-;+1,este inclus în discul cu cehtruHn A;. Analog, da.că Ă.;+1 A10 ~ 60°, Miţlft@ffi til Aj ti~te h:tcltts lh tliseUI cu centr.u.I in A;+î· 1_17. Fit l şi 2 punct~ arbitrare din Iţlu{ţi~a E 1 (vezi .fig. ţ 17).. , _ Dacă _punetele 3 sâ1,1 4_ ar aparţ_ine ţceţeiati. ~u!J.h~~ .P~;?~!?in._ă ar tl!z~l,~ vată. Să presuptmem, d~c1. c~,pµnctel~ 3 ŞI 4 Jtparţm mulţm111 E 2• Raţltlnln(:l la fel ',"'\l~effi. pe ~în~ flă 5. E I\, 6 E E 3 şi 1 e Ei. Ati:thci puiteţel@ i 3 5, 7 sint Vll"Î'urlle unm triunghi ech1Jateral. J..iS. Pun.et'ul,_A.i aparţine uneia dintre biulţimile pa,rtiţiei. _. _ Fie aceasta Ei. Dacă punctul B1 câr.e se a/lă. mijlocul s~gfuef1.t.ului A~Aa ~·at âfla ln E 1 pr0Blefut1 ăr fi r~zol\fall~. Sk presupu~e1h ţ~ ~ 1 ~ -EJ. A(ialog presupunem A 4 E E 1 , => B 2 E E 2 "i> :A. 3 E E 1 :o punctele A1 ş1 A 3 ~~ află lâ aistahţa n'i.ai n'l.are d.eeît V&/2. 1Î9. Se rezolvă .âna.log Cl1 ))rob. precedeftt!. _120. Să notăm cele patru puncte cu A, B, 9; Oin formulă. MsiiHîaultii deducem că orice triungh1 forni.at cu trei din oele patru puncte·, este ascuţit-

.!!

pe

e,

unghfo:

-

cos_,..._.t

.:__

b•

+ !bl, ~ -

a~ 'P' ~ O => A. ~ ""

90~ ~

~ele patru puncte torme~zl \iu î)attîilater co:iNex. 7

~

/·, 3,(

/

/' / \

' \.8' '\ '

A; -

- ..4+.,

/ '2 " l~---~--..1!:::.~5 \

/

'

'.,/

•

I

Fig. tu,

...

.

..,.. :.,,:

Fit. U-a

Dar avem: -/'\

A

A

~

A ~·90'-', B A.

,.,.

D

,i,.,

,,..

+B + C + D = ,.,

4

"'

.,,..,

360° => A =90°, B=90°, C=90°,

= 90° => cele patru puncte sînt Obserpaţie.

ţinut

A

90°, C ~ 90°, D ~ 90° şi A+

arăta că

Se poate e un patrat.

oonciclice. patrulaterul ob-

C Fig. 121.1

121. Se observă că se pot inttmpla 4 cazuri: Cazul 1. (fig. 12-1.1) Cînd punctele formează un hexagon convex=> 3 un unghi a: al hexagqnului, intre laturile AB şi BC, astfel incit 0t ;.ii 120°. Presupunem AB ;.ii BC => => AC ;;:: V AB2 + .BCJ + AB. 'BC == "\ /( A.B ) 2 AB 1~ BC

V

BC

+

BC

+

V3 .

BC

Cazul 2. (fig. 121.2) · Cînd al şaselea punct e in interiorul unui pentagon convex

..........

'

şi

..........

fie acesta F

..........

in pentagonul ABCDE. Dacă F e în 4,ABC din BFC + BFA + AFC = 360° => => unul din. ele este mai mare ca _120° şi deci rezultă din cazul 1. .......... ........... .......... Presupunem deci că AFC = AFB + BFC < 180° şi analoagele. Dar: ............ ............ ........... .......... ........... AFC-+ BFD + CFE + DFA + EF B = 2 • 36q0 => uµul din ele, de exem..........,

2 • 360°

piu AFC ~ ·-r == 144° > ţ20° deci rezultă .Ia fel ca in cazul 1. Cazul 3. (fig. 121.3) . 2 din puncte sînt în patrulaterul convex determinat de celelaltţ 4. Fie· pri~ul dintre ple E => F este în unul din tI·iunghiurile MAB, MBC, llECD, llEAD, şi rezultă lu fel ca in cazurile 1 şi 2.

F E ilAED

=>

......

EFD

;;i,

v.-

120° (de' exemplu)=> ED/EF sau ED/PD'~'··: 3.

Ca:.ul 4. (fig. 121.4) Cînd trei puncte sînt în triunghiul format de celelalte trei, esto imediat, cu acelaşi raţ.ionament, considerînd chiar numai triunghiul şi unul din cele trei puncte din interior.

A

c.

C

D

Fig. 121.:.l

80

B

~

B Fig. 12,1.a

C

Fig.. 121.~

D

A

-

H

C Fig.. 122.1

B

C Fig. 122.2

C

8 Fig. 122.3

122. Vom nota în cele ce urmează P mulţimea punctelor din cu S(N, r) discul cu centrul în N şi de rază r. Pentru cazul întîi dacă llfB > V5/2 => => 111 E P n CS(B, V5/2) => MD ~ 112 < V5/2,

pătrat şi

n AD = E cu AE = DE şi S(B, V5i2) n DC = F cu DF =FC=> CS(B, V5/2) n CS(A, V5/2) = 0 => cel mult MB> v;s · Pentru cazul doi fie MB> 1 (fig. 122.2) =>ME P n CS(B, 1) ~ => llfD ~ 1 şi se observă că P n CS(B, 1) n CS(A, 1) =1- 0 dar P n CS(B, 1) n CS(A, 1) n CS(C, 1) = 0. deoarece S(B, V5/2)

Pentru cazul trei împărţim păt;ratul în 4 pătrate egale. Dacă 1l1. e în acelaşi pătrat cu A putem avea MB, MC, JJID > V2/2 dar MA ~ v212 cu alte cuvinte sigur una din distanţe e .mai mică decît V2/2. Pentru M =, A avexµ MD = MB = 1, MC = V2, toate mai mari strict. decit v212 deci e posibil ca trei să fie mai mari decît [/2/2. 123. a) Notăm punctele date cu A, B, C, D, E şi presupunem că din A pleacă 3 linii roşii. Fie de exemplu segmentele AB, AC, 4D. Atunci, după condiţie, segmentele BC, DB, CD trebuie să fie albastre şi prin urmare WBC devine albastru, ceea ce contrazice ipoteza. 'b) --Observăm că din fiecare punct pleacă exact două linii de fieoore culoare. Deoarece da.că ar pleca mai puţin de două linii roşii ar pleca mai mult de două linii albastre. Considerăm liniile de culoare roşie. A este unit cu două ptmcte B şi C. B nu poate fi unit cu C, deci B este unit· cu D; C nu poate fi unit cu D, deoarece cel puţin din unul din punctele A, B, C, D, ar pleca mai mult de 3 drepte, deci C este unit cu E. La fpJ B. 124. Prin inducţie după np Pentru n1 = 2 e banal. Pentru n1 + 1 separăm pe A~,+1 ştergînd segmentele, ce pleacă din el. A~ A~,+! Pen.tru restul AJ, j = 1, ... , n1 nu -....---....----se strică reţeaua. , negro , Pre~upunem că se strică pentru A! => de exemplu în el -vin numai segrosu I »t' I mente negre=> A!A~,+1 este roşu. Fie A!,+1 A! segmentul negru din Al,,+1 şi A~ Al segmentul roşu din A!. _ _ _ _ _ _A...,2,---,, Dar Al A~ este negru => lnînd j = m = n1 + 1 avem conformaţia cerută. Fig. 124

\

8

81

Dq.e§. _nu şe,1:Jţrjcă reţeaua sooţtnd p~ ...ţi,tţ, _rezulJă din ind"!1cJie. pentagon şe oh,~Ell.'Y! rm\lt\Iat ca este p(!s1b1,!, p,că pr(>blşma. s-ar··put~a.rae;,:c;ilva llentru patrulatere atupci din f~~a.-e p\ţnct c~ :pu este începutul ~~V ţi:ţ,pătul liniei ·trase cu: creio:µul, trebţiie a~ pQrn.~aşcJ -un :r;rnmăr par de segm.ente (pentr:u, fiecare pe care ne apr_opie,n do pu11Qt trtii)uie să existe unu! pe care plec~m. din punct). Deci ~u pqt..e1n a.vea ma• mult fj,e două puncte din care s~ pJece un numă.r impar de sewme!lte, iiµ- la pp,trul-ater avem 4. . · 196. P'ie -4., ft 4 1 două puncte ~istbiete ălţ, :reţelei, ~stfet ţJi~i\ JiA.i rs Jt. -J!i~ A.1i 1,m, J>"!-IU..ot ~stfel î~cît A 11 A, ~ R. Conform l?roprietij:ţii 1) 1 /1.~A? ~ B,. ConfQriµ_ propr1etăţ1~ 2) există exact un- A 1 cu l # i, aştfel înuit -;4 1A 3 E R. Am ob\b~nt a,$ţf{ll ţi" uumă,rul segme:µtelor oqre p)91pă Q1ll At eşţE) maj mare decît acela al segment13lflf 9e.re pleac;iă .dill J 1• Alli\lQg se {l~~tă fi inegalitatea i:µversă înlocuind ii.\ r~ţ~op~~~«mtul ~(t,te:ri?r . pe "i Cl;I j. . . Să presup1mern Ai/1.1 ~ ll,. j\.tutţcţ exisţă k a,ştfel. 1:q.;ni AiAh E R ş1 ~kA 1 E R. Co~form ceJcii; demonstrţtte mai sus numărul segmentelor reţ,ele.i Q~!;l · pltmct giţ1, ~ i t:lşţe. egal ţµ ap~la ~] şe~ţqţ:qte.J9r ţ&!'~ pl~~~(, .·{HP: A, Cţ\fţ la rînc,lul şă\l ef?te. egal (111 n~m.~1,11 şe,gm~ntelor care pleacă din Ai· 1~7! ~~ist~ douq puncte di!\ Q~le n; a.stfţl hwit Wl\i!;l celel"')t~ IJ(\ a.li! a,.f.l~ siţqqţ,(I f:11;1. Q t1ingur;) part~ -a gr-optei ~et~rmi:n!lte. g~ eţş, Acest@ R\Ulcle. se poi opţ,ii~~ ~ţ\ telţil qrt~ător; :mu!ţjpi~a d_e v1,1ne.ţţ1 {iÎJJ~ ~inHi1 !;l~_j~ţ;l Q pre(lJJtă asUe.l mclt toatti pu:Qcţşle· i,lţ fie ş1tua.ţe i~tr~llll l'.llP.,~l,ll' şem1ph:m dHteqninat de ea. Ar.El~ştş, ţ:1,reil-pt~ g ţ:rq11slaţJm pîn~· i.Aţi:p.g~ tjn PUlWţ şi o !'ţ:it_ini !n jv.rul ş.e.eşţţIÎ }~Unct \JÎll,~ ~re,ţ!;l vrin ~Jt P\lµQţ. Acţste :pu:qc;ite. i,înt ţ,!ţ cauta.te, ~ă le Ju)tam ţu 4 şţ B. Cşn,ş_i~e,i:Q{ţ to~tti lln~hiul'ile .AXB, uril,ie .J( aparţine. wu.lţimii t;l~ ~1,1ncte

\26~ Ptmtf\l \Ul.

1

'..,...,.,.

qate, alegeIT\ Jnmctul C astfel incit AC B s;i. fi~ m~:;jm.. Vori1 ar~ta că c;er1,1µl c~~ tree.e prin, A, B, C est~ cel, Q~Qta,ţ. ÎntF,rţqevăr,

f:~@ P.

~

.

A1l'h

riarul cercl1h1i,. :oii,ş~r~

hll Q.~

~

pyn~i din Qelt "· Qip M~J QU.IIl a fo.şt. alş, q r~~ultli Q~ -tiD!J ;=& < 1$0"' (dţoar~ţţl 4, B, ţ 1 pecoliniar~). Q~ţ~ I) s-a,r ţţf\!ţ iq ipţe-

;;ţlt.

ip,t~1 il!eQ.ţle ~

,,,,...... A(,'B.

ţtng~iulţii

hti ..jlp cu

4,DIJ ar fi ( Â} -t, ~~PQ\ll şi .

'-!ţ.) un(,le .X ~şţe p,mc"

~P:a.!o.g f,

gţ()ţ

striQt

m~i

IJ!A,rş

derlţ uţiglţiţ1l J.)~ţi ])· ş~ a,f)ă 1n extefi.o~l c;iefcţ\ţtţţ. (;1,ţm pv.pctţ1l .l) e.ra tţl'Î:>Jlr~r, l>fQP.lem~ eşţ~ rezolv(:l.t(\. .· · 128. An\t-log .......... ,•u pr9blerµa, pre9edeP,.t~ muna~ 9i, •~ a.l1;1g~ P@~\\\J 9 {l.ft1~ ' ··, . ,·· . . .

· tn~ît uf\ghiul ACB să ·•fie minim. " 129. Fac·ein ~,;ieleaşi_ oonsideraţiţ ea in p~ablea,i~ preeedenU.. ţ..ui,~ Q dreapt.ă care ti·ecş. prin 2 «;lin cele 2n -4= 3 p~ncţ,e ş\ ţar@ laşi\ \E)~te QeleJalte t punctt;i de liţţe13a,şi parte. Notăm cu B, C ·cele două p1,1µcte i,l e1J 2]l ~1'

+ A2, .•. , A2n+1 /"-.... .

pe O@lel9i~te,

4umeroţa.te a,sţ{~ hwîţ,: ~c. < ~c ·.. ·< . ?

.

< BA 2n+1 C. Consi4erăm oercql_ determ,inat de ,A. 11+\2 Ii~ C. AcesJa. vş, )4sa punctele Au .,., 4ii în. afa,ră ş1 pş 4?l+2, ••• , 4.zn+i tnJunt:rnl şau. 130. Să nu~ărăm· segme:ptţle de hmgiuw m;;i,i mir,{i st.riot get~•t 1. tho. fiecare pun