Exerciții și probleme de geometrie analitică și diferențială [I]

Citation preview

MINISTERUL INVĂŢĂMîNTULUI

Prof. univ.

C. IONESCU-BUJOR

Conf. univ.

O. SACTER

Exercifii şi probleme de geometrie analitică şi diferenfială Voi. I

Editu.ra didactică şi pedagogică Bucureşti-1963

Tehnoredactor: TIMPAU ANA

Dat la cules 15.08.1962. Bun de tipar 20.03./963. Apărut /963. Tiraj 5000+120 leg '/1 ptnză, Htrtie velină 80 g/m, 16/70x/00; Coli editoriale 30,839, Coli de tipa; 31.25. A. 02596. C.Z. pentru bibliotecile mari 516(075,8). C.Z. pentru bibliotecile miel 51. Intreprinderea Poligrafică „13 Decembrie 1918", str. Grigore Alexandrescu 03-95, Bucurcsti-R.P.R. Comanda nr. 2028.

PREFAŢA

ln procesul de înţelegere şi învăţare a matematicii, exerciţiile şi problemele, în general, au un rol de prim ordin. · Astfel se explică de ce în învăţămîntul superior numărul orelor de seminar la cursurile de matematici este aproape egal cu acel al orelor de curs. Iar studiul individual al matematicilor este eficient atunci cînd realizează un număr important de aplicaţii, în măsură să acopere toate aspectele teoriei învă­ ţate, în măsură să cuprindă întregul cîmp aplicativ al acestei teorii. Exerciţiile şi problemele formează deprinderea de calcul şi dezvoltă capacitatea de gîndire. Rezolvarea lor constituie primii paşi în construirea capacităţii personale de muncă CYeatoare, însuşire esenţială pentru specialistul pregătit în învăţămîntul superior din statul nostru socialist. Trebuie să menţionăm şi /aptul că obiectivul principal al studiului matematicilor în· învăţămîntul tehnic superior este acela al folosirii cunoştinJelor de ,matematici la disciplinele de cultură generală tehnică, la disciplinele de ~specialitate. De aceea pregătirea studenţilor în această direcţie se în/ăptuieşte mai ales printr-o bună însuşire a părţii aplicative a cursurilor de matematici. Din scurta prezentare făcută reiese importanţa materialului bibliografic necesar aplicaJiilor la matematici, deci a colecţiilor de exerciţii şi probleme. Aceste considerente au fost în atenţia autorilor la elaborarea ,Ptezcmtei lucrări, care conţine exerciţii şi probleme de geometrie analitică şi diferenţială, structurate pe programa cursului predat în învăţămîntul tehnic superior. Am căutat ca materialul dat să acopere pe cît posibil întregul ·domeniu de aplicaţii al cursului şi să asigure studenţilor exersarea minimală a noţiunilor şi metodelor învăţate la curs. Totodată, am considerat că este util, pentru a forma gîndirea studenţilor, să dăm în fiecare capitol un număr de exerciţii şi probleme cu soluţii expuse concentrat, însă în măsură să explice metodele de rezolvare şi necesitatea_ aplicării acestor metode. 1ntinderea lucrării a impus împăt'ţirea ei în două volume. Autorii mulţumesc tova1'ăşilor cat'e prin observaţiile şi sugestiile ce vor face vor contribui la îmbunătăţirea lucrării. aplicaţiile

·-.

.)

EXPLICAŢIA

UNOR

NOTAŢII

Numerotarea exerciţiilor este făcută cu două numere separate prin punct. Primul număr arată capitolul, al doilea arată ordinea exerciţiilor tn . capiţol. J:?e exemplu 1.56 înseamnă. exerciţiul 56 din capitolul I. Figurile poartă numărul exerciţiului la care se referă.. Referirile la exerciţiile din această· 1ucrare se fac prin notarea. numărulu~ exerciţiului respectiv în paranteză ( ). De exemplu (3.125) . !nseamnă referire .la. exerciţiul 125 din cap. III. Referirile la. explicaţii teoretice cuprinse ln alte manuale. se fac prin notarea numărului pe care n are manualul respectiv -ln bibliografia dată la. sfîrşitul lucrării,. urmat de indicarea capitolului sau paginii, închise în paranteză [ ]. De exemplu (1. Cap. IÎI) înseamnă a se vedea în lucrarea numerotată 1 în bibliografie, capitolul III.

\..

Capitolul I

VECTORI 1.1. Din calculul sumei vectoriale MA+ MB+ MC, unde M este oarecare, iar ABC un t-riu1tgki, să se deducă că medianele triunghi"ului sînt concurente. R. : Dacă A1, B1 , C1 sînt mijloacele laturilor BC, CA, AB, avem

MA + MB + MC

= (MA + MB) + MC = 2MC + MC. 1

La fel

MA + MB +MG= (MA + MC) +MB=

2MB1

ţ MB

2MA1

+ MA.

şi

M~

+

MB

+ MC = (MB + MC) + MA

=

Se constată astfel că rezultanta sumei fil + MB + MC trece printr-un punct determinat, care se află simultan pe fiecare din medianele AA1 , BB1, CC1, ceea ce demonstrează. că

medianele triunghiului ABC sînt concurente.

1.2. Dacă G este punctul de întîlnire al, medianelor triunghiu/tei ABC şi M un punct oa'fecare, să se demonstreze că avem ,elaţia vectorială

MA+ MB+ MC =3MG. R: Considerînd A' mijlocul lui BC

şi

A 1 mijlocul lui AG, vom awa

MA +MB+ MC =MA+ 2MA' = 2MA 1 - MG+ 2MA' . = 2(MA 1 + MA') -MG =2(2M.G) - MG= 3MG.

1.3. Fiind dat triunghiul ABC, condiţia fie centrul d~ g,r_eutate al t,iungkiului este ca GA

=

necesară şi suficientă

ca G

să

+ GB +_ GC = O.

R. : 1) Condiţia este necesară. Presupunem că G este centrul de greutate al triunghiului, iar A', B', C' - mijloacele laturilor BC, AC, AB.

1n acest caz avem: GA +GB= 2GC', de unde rezultă. GA + GB+ GC = 2GC' +GC. Deoarece G este centrul de greutate, avem CG ceea ce înseamnă că 2GC' + GC = O şi, prin urmare, GA GB + GC = O.

+

= 2GC',

J

6

EXERCIŢII

2)

Condiţia

ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

suficientă. Să co~siderăm

este

MA Să demonstrăm că

rece există relaţia

ŞI

DIFERENŢIALA

un punct M, pentru care avem

+ MB + MC =

O.

în acest caz M trebuie să fie centrul de greutate al triunghiului. Deoa+ MB = 2 MC', rezultă ..:ă avem MC + 2 MC' = O, sau CM =

MA

MC' sînt coliniari, astfel că CM = 2. Punctul M MC' se află deci pe mediana CC', pe care o împarte în două segmente, dintre care CM este dublul segmentului MC'. ln consecinţă, punctul M coincide cu G, centrul de greutate al triunghiului.

=

2 MC'. Deducem astfel

că vectorii CM" şi

două triunghiuri oarecare în spaţiu, ABC şi A'B'C', ale de greutate sînt ,-espectiv G şi G', să se demonstreze că are loc 'felaţia

1.4. Fiind date căror centre vectorială

AA'

+ BB' + CC' = 3 ·GG'.

R.: Scriem egalităţile vectoriale: AA' = AG + GG' + G'A'; BB' = BG CC' = CG + GG' + G'C', de unde rezultă: AA' + BB' + CC' = (AG CG) +(G'A' + G'B' +G'C') + 3GG' = 3GG'.

+ G' B',

+

+ GG' + + BG +

1.5. Să se afle vectorul de poziţie ral mijloculuiM al unui segment AB, cunoscînd vectorii. de poziţie : ri ai punctului A şi 9 al punctului B.

r

R. : ,,,

=

-1 (r1 2

+ -"2) •

c,

1.6. Care este condiţia pe cate trebuie s-o satisfacă t-rei vectori, a, b, pentru ca ei să formeze un t1'iunghi ? R.: Dacă a, b, c formează laturile unui triunghi ABC, şi nottnd a =/1c: b = ~A .şi- C = A B' rezultă : a + b + C = o. Această condiţie este suficientă. lntr-adevăr, dacă avem ; + Î + c = O, deducem a = I b + c I < b + c, b = I ; + & I

=9-

34

= -

25.

e) v(3u - 2w),

8'

lO

ŞI

EXERCITU

S-ar mai putea calcula, dedu ctnd în prealabil vectorul

3u - 2w.

cu + v'>.ev" - w> = ; . ii-;.; + ;. ; - ;-. ; = s 1.18. Fiind

daţi

+ 42

- 11

=

28.

vectorii

u = a1 - 4] + 51, v= 4i + a"] să

- 10

51,

w

= 'l + l + -i.

se calculeze u, v, w. R.: Fiind dat vectorul

·avem

Cu

această formulă U

1.19. Fiind

daţi

OA

să

se arate

= 5 \12,

V

=

5

Y-i,

W

= Y[

vectorii

= 12i - 4] + 3k, OB ·=3i + 12] ~ .4k, oe = 2l + 3] -=- 4k,

că

a) Triunghiul AOB este isoscel, b) Triunghiul AOC este dreptunghic,·

c)

Să

se calculeze perimetrul

triutţghiului

ABC,

d) Să se calculeze AB • .BC. R. : a) Avem: OA

b)

OA

=

.oe= o;,

13,

deci:

= 13. OA .L oe.

OB

= OB - OA; deci:~ AB11 = (OB - OA) 9 = OB9 + OA 2 - 2OA •OB = · = 2-169 - 48 = 290 :. AB~ = V29o; AC =·oe -OA= - toî + 1J- 7h :. AC = = Y 100 + 49 + 49 = Y19s; BC = oe - oB = - i .- 9J :._ BC =-Yt +.8f= ffi: rezultă deci AB + BC + AC = Y290 + Y198 + ffa d) AB • BC = (OB - OA) (OC - OB) = ( - 9Î + 16J - 7h} • (- f - 9j) = - 135. c) AB

VECTORI

Să

1.20.

li

se afle unghiul J~r.mat":de vectorii

u= r+ i R. : Fiind daţi vectorii : dat de ega]itatea

4k

şi

v= i - 2] + 2k.

u == ~Î + b1J+ &.ik, U •V

==

;;

== r;i + ·bJ + cJ;',

unghiul lor oe este

UV COS CX,

de unde

tn

~

cazul problemei avem: cos (u, v)

1

= - -•

l'2

1.21. Care este proiecţia' vectorului'

torulu_i b = R.:

i + 5] - 21 i

=

135°.:•

a= 2i - i} - 5k

pe direcţia vec-

'a.ii -3. pra·=-·-=--·

b·

1.22.

pe-

..:":'deci (u, v)

Să

direcţia

f30

b -

se calculeze

proiecţia

vectorului

a=5i-if + Bk

vectorului

li = 4i + sJ - 3k. R. : pra

b

1.23.

; .b 60 = -- = - -- •

V89

b

Să

se afle proiecţia vectorului

a.=ai-sJ+4"f

Pe direcţia vectorului -

R.:

să

pia

;.;; =-b-

5

= Vt4 •

1.24. Să se determine un vector de lungime 26 situat în planul xoz, care fie perpendicular pe vectorul

a= 12i + 1[ R.:

±

5k.

(107 + 24k).

=a• li" +ia• c + b· c, ştiind că a+ b + c= 37 -1 + sii I aI = \li I = I ci = a. scalar; suma ; + b + c= 3i - J + 5k, de unde se obţine

· 1:2s. Să se calculeze: E

şi R. : Ridicăm la pătrat,

(31 _-; + sii)B - t'âa + b2 + ,BJ E=--""----C----~----

2

35 - 21

2

=

_ 4

12

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

+ ~).·

1.26. Să se deducă, vectorial, cos (ex

R. : Luăm, de o parte . şi de alta a axei O:r, doi vectori, unul ă;. care face unghiul « cu Ox, şi altul

=

a;,cbx

+ a1 b1

b, care formează unghiul (3 cu aceeaşi axă. Înlocuind în expresii echivalente, obţinem · ab cos (ex (3) = a cos ex• b cos (3 sin ex• (-b sin (3),

+

+a

1

de unde,

după

simplificare cu ab,

cos (ot

+ (3)

=

1.27.

(a· c)b -

Să

cos ex cos (3 -

+

rezultă

sin

se demonstreze

a. b=

ot

că

sin (3.

vectorul

(b· c)a este perpendicular pe

vectorul c. R.: Avem:

=

că. c>

e. [(a. c)b -

(b. i)ă]

=

cii. c) - = o.

1.28. Ffo ax, a, , a z proiecţi#e oblice ale vectorului pe trei axe, Ox, Oy,· Oz, astfel că ~· (Ox, Oy) = y, ~ (Oy,

~-

a

Fig. 1.26

=

ex şi ~ (Oz, Ox) =· ~Să se determine modulul vectorului ă în. J~ncţie de ax, a,, az şi unghiurile ex, ~, y. Oz)

R. : Fie

u, 'v, wversorii axelor Ox. Oy, Oz; vom avea

- = axu- + ayv- + azW. a. a= (axu + a,v + azw)ll = a! + a! + a! + 2a.~a,u • v+ 2axazU • w+ a

Rezultă :

+ 2a1 azu • w, sau

1.29. Fiind date proiecţiile oblice (ax, a1 , ai), (bx, by, bz) a doi vectori, a, ~ pe trei axe, Ox, Oy, Oz, avînd ~ (Ox, Oy) = y, ~ ·(Oy, Oz) _ ~ şi ~ (Oz, Ox) = ~, să se determine expresia analitică a produsielui scalar a • b. R. : Dacă

u, ;, wsînt versorii axelor O:r, Oy, Oz, avem ;; =

axii

+ a,,v + azi

şi b = bxtl + b:yv + bzW.

Rezultă

;; • b =

axbx

-1- a 1 b1 -1- a 2 bz

+ (axby + a1 bx) cos y + (axbz + azbx) cos (3 +

+ (a 1 bz + azb-y)

cos oe.

VECTORI

13

1.30. F#nă tţat trapezul isoscel ABCD (fig. 1.30) şi cunos~nă ci AD = a, iar AB = b; să se· exprime vectorul DC în funcţie de a· şi b.·· R.: Vectorul BC fiind coliniar -cu AD, avem: . BC = ).a, iar BD = AD - AB

= a-'ii.

Ir--,\

Rezuită : DC

= BC - BD = ).7' - (-; - b) = = (A - 1) a+ b. că AB şi DC au aceeaşi lungime, DC 0DC = AB.

Scriind . obţinem pe Â.

+ 2(). -

(Â - 1)[(). - 1)

.

Astfel că avem ).1 2ă.;;

· '-a = 1 ·-:- - - - · as

Aşadaţ,

AB,

Ecuaţia: ((). _ 1) a + b_]2 =· ;;2 ne dă

(Â- 1) 2;;2

sau

8

=

1)

7J •îi +

i,ii

C

A

= b2•

O

Fig. 1.30

a + 2a • b] = o. 2

1 (care corespunde cazului cînd ABCD este un paralelogram) şi

. · ..

(cînd ABCD este trapez isoscel).

avem

-

DC=

2"ă. i; ---a+b.

;2

1.31. Să se demonstreze, vectorial, orice n întreg mai mare ca 2 relaţia

.,

că

avem pentru

cos"+ cos(«+

orice ex -şi

:i + cos(«+ 4:):

+ cos ( ! 6: ) + .... + cos [ + + 2(n :1)1t] = O. IX

IX

R. : Aşezăm un poligon regulat A 1A 2A 3 ... An, convex, cu n laturi, în planul a două axe Ox, Oy, astfel ca latura A1 A2 să formeze cu Ox unghiul ex, şi" să considerăm pe laturi vectorii · Ar

o~--------------x Avem

Fig. 1.31

A 1A 2 , A 2A 3 , A 3 A, , .... , An_1An, -

+ A 2A 3 + A 3A, + ..... + An-iAn = O. înmulţind ambii membri ai acestei egalităţi, scalar, cu versorul i al axei Ox, ob~em ~ i• A 1A 2 + Ţ. A 11 A 3 + Î • A 3A 4 + ... + i An_1An .= O, A 1A 2

0

sau

1 • I cos

ct

+ 1 • I cos

("'

+ :") +

1 , I cos ("

+ : ) + .... + 1 • I cos ["' + 2(n:1h,] = O

unde l este lungimea laturii poligonului. Rezultă, după simplificarea cu l, tocmai relaţia de demonstrat.

14

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

1.32. Dacă A,B,C sînt vîrfurile unui triunghi, A', B', C' mijl . cu x

c)

d) i X u;

e)

VX

J;

w).

vectorii

a = a,:Î + ayJ + azk,

b=

bxi

+ byJ + bzk,

avem a X

b=

i

j

1

ax

ay

az

bx

by

bz

=

(aybz - azby)

i + (azbx

-

axbz) J

+ (axby -

ayb;)

/t_

,

15

VECTORI· Rezultă

a)

b)

c)

U X V=

u X w

V

X

W

=

=

;;

i

j

3

4

-2

6

8

1

i

j

ii

3

4

-2

3

-2

1

i

j

ii

6

8

1

3

-2

1

=

20'7 - 15J,

= - 9J- 1sii,

=

3]"-

10'7 -

36k,

i X u = ix: (3t + 4J - 2k) = 4t X j - 2[ X k = 4k+ 2]; e) v X j = (6i + 8J + k) X J = 6i X J + k X ] = 6 Î - i,

d)

1>

cu x v> • cu x w> = (2ru - 1s1> • = 1as.

vectorii

u= 2i + 3] + 5k, v= 4i + 6] să

se arate că vectorii u X

-

V,

'ţi,

X W,

w= 6i +, 9J + 2k,

f, 'J)

X W

sînt coUniari. R.: Avem

u X °v = Notfnd ;;

= -

-

33i + 22[,

~

u X w=

-

39Î + 26J,

3Î + 2]: rezultă

u xv= 11;:

u X w=

v x w= 217 -

-v x·w- = - ?a.-

13a,

1.37. Fiind daţi vectorii

u = r,.i + ~l + ai;, v= )..r,.i + Â~J + bk, w= (J.r,.i + (J.~.1 + ck, să

se a,ate

că

vectorii u X v,

u

X

-

w, v X w sînt coliniari'.

R.: Avem

uX v= (3(b -

a ').)i - a. (b - a').jj

= (b

- a).) [~T

Analog

u X w= (c VX

;; = ().b -

a.j), (f>Î - a.J),

aµ) ((31 µa)

de unde rezultA. că cei trei vectori sint coliniari cu~ -

«J:

- ~].

14J.

16

EXERCITU ŞI PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

1.38..

Să

se determine aria paralelogramului ale

a = 2i + J -

cărui

laturi sînt

3k şi b = 47 + J+ 3k.

R. : Aria paralelogramului este egală cu modulul produsului vectorial

a x b.

Dar ;

X

b ==

1

i

j

2

1 -3 = 61- 1s"J-2k 1 3

4 şi

I a X b I = 2 V9 + 81 + 1 = 2 Yoo..

+ ~}.

1.39. Să se stabilească, vectorial, formula pentru sin (ot R. : Considerăm vectorii şi b formtnd cu axa Ox, de o parte şi de alta a axei, unghiu-

a

rile

ot şi

~.

După

1.40.

Să

aceea'

calculăm

a X b în

1.41.

2că Să

se demonstreze

R. : Se ţine seamă că

1.42. !

bj x (a - li).

x b).

(ax 7i) 2

R.

moduri. ·

se calculeze

(a +

R. : -

două

Dfn

I aXb I =

egalitatea

+(a. b} ,,,,,..._

ab: sin

precedentă să

Dacă notăm proiecţiile vectorilor

se

,,,,,..._

cos

(a~ b).

ded-ucă

identitatea lui Lagrange; avem x·b = a2bi> k, a• b = ~bl +· a3bz + aaba şi ii4 • b1 =

aşi b cu ("1,, a2, aa), (b1, b2, b:J,

= (~ba - tsabz) i + ~(aab1 _. ti1ba) J + (a1b2 = (ai + al + a~} (bi + b} + bi) etc.... 1.43. Să se calculeze

(a, b),

= "ă2 E"2 • iar (a . b) = ab

2

a

a· b - IaX b I, ştiind că avem

a= 2f- 3J - 5k şi b = i + 2] + 3k. + Vt71). a, b, C: a', b', c' fiind nişte. vectori oarecare, să

R.: - (19

1.44. relajiile 1) 2)

se demonstreze

Ea (b' - c') + Ea' (b - c) = o, E; x w- c') - Ea' x· (fi - c) = o.

R.: 1) Se efectuează produsele şi se fac reducerile. 2) Se efectuează produsele ţinînd seamă că x b =

a

- b X aşi se fac

reducerile.

1.45. Să se determine rezultanta generală R şi momentul rezultant L.0 în raport cu originea axelor de coordonate O ale unui sistem de forje reprezentate de laturile succesive ale unu,i poligon plan, ştiind că vectorul ariei acestui poligon este S. R. : R = o, I;, = 2.s.

17

VECTORI

a,

1.46. Fiind date proiecţiile oblice (ax, a,,, az), (bx, b1 , bz) a doi vectori astfel.că avem ~ (Ox, Oy) = y; ~ (Oy, Oz)·==« şi ~ (Oz, Ox) = ~, să se determine expresia analitică a produsului yectorial -b.

b pe trei axe Ox, Oy, Oz,

ax

R. : .Avem ă X

a„v + azw) X (b~• + byv + bzw)~

b == (axu +

a

v.

sau X ;; :::I (a„bz - l.lzb,)v X ;; + (azbx - axbz)W X ii+ (axby - aybx)U X Expresia produsului vectorial se poate deci scrie sub forma. determinantului si~bolic

-a

- xw

wxu

V

Xb=

u X

ax

a„

az

hx

b~

b„

V

1.47. Fiind_ d'!_te _proiecţiile oblice (ax, a1 , az), (b,0 b1 ~ bz), (ex, c,,, c1J a trei vectori a, b, c, pe trei axe Ox, O,,, Oz, astfel ca ~ (0, 0 1 ) = y ; ~ (01 , Oz) = « şi . ;;J ;; - ree x -;> • aJ-;; x (a x c)1•

X e) = [{a X b) • ~a - [(-; X b} • "ăjc= [{a = [a • (b X c)]a, de unde rezultă i., E = {b x ă>. (ăbciâ = (ab ,)2 •

X

b) • cjă =

se demonstreze relaţia (a ~ c). (x y z)

x•a

x•c

= y .a

y. C

z•a

Z • C

•

R.: Se pun ăbc şi :iţ y 8 sub formă de determinanţi cu ajutorul componentelor scalare. Dupl ce înmulţim cei doi determinanţi, obţinem membrul drept al identităţii.

1.61.

Să

se demonstreze (ă

R. : Identitatea

; = b şi Z-=;: 1.62.

Să

li c)2 -

propusă.

se

se demonstreze

(ax b) x

b

ă2

ă··

b•a

iji

c•a

c·b

obţine

a·c

b·c

.

.,2

din identitatea

precedentă,

- = a;--

în care facem x

identităţile

cc x el) =cca l'd) - "ilca5c> = b(a-; ii)

- ă(bct).

R. : Aplicînd dublul produs vectorial~ avem

(ax_ b) X

(c X

d) = [(a

X

b) • d] C -

[(;

X b) •

cj d = (ă ij ii) C- (ă b c) d :... etc.

·vECTORl

.u = (a X

1.63. Să se calcukze:

21

b)

X (o X

d).

R. : Pe baza formulei dublului produs v~torial avem

; =

[a. (c X d)] î -

Din compararea celor

-

(ii b c)

-

[b • (c X d)] d. Dezvoltind după vectorii Cşi d, u = [d. (ci X b)] C- [~. ~ X b)] ;f. două

aflăm

rezultate,

(d b c)

(d ă ii)·-

(d Ca) -

avem

-

(a d c) -

(a bd) -

d=-- a+-- b+-- c=-- a+-- b+--c. 2 + Ţintnd

2c; x b) • fa x c",.

(1)

scama de identitatea lui Lagrange

·(u X f1 = u2t,2 9

(u . v)S,

-

egalitatea (1) devine

a'(b9

+ rfl, + 2b • c) - (; • b + ă • c) 2 = a2b2 - ~ • b) 2 + a2c2 + 2 • că x c>·

-

(a •c) + 2

c2>

Efectuînd reducerile în (2), deducem 2a2(b prin urmare

• c) -

(a X

2(a • b) (ă • c)

b) • (a

X

c} =

a=

=

2(a X

b) • (ă'

X

~;

(b. c) - (a • b)

(a. c).

a•

a·d

1.65. Să se demonstreze identitatea

P

= (a x bj • (c x d) =

C

b· c b·d (c X d) = ;, avem (-; X b) • e= a. (b X e) = ă. [b X (c X tÎ)] = = a. [(b • d) c- (b. cî dj = (a . e> (ii • d) - (a . d) (b. c), ~.c;t.d.

R. : Notînd

1.66. Condiţia necesară şi suficientă ca trei puncte distincte M1 (r1). M~d;2), Ms (rs) să fie coliniare, unde avem

rs = rfft

este

+

~2,

ot+~=1. R.: Condiţia este necesară pentru că. din

+ (Â + 1) ;; şi avem « + ~ = -

+: ~ = 1 rezultă. ~ = - ex (Ya - fi), ceea

or.

Â

+ (Â + 1) =

r

3 -

;;

= A(,-2

-

r1 )

rezultă ;;

= - Ar1 +

1. Condiţia este suficientă pentru că din

= 1 - ex şi, prin urmare, r3

= IXY1 + (1 - IX) ~. sau ce dovedeşte că M 1 (rJ, M 2 (~). M 3 (Ys) sînt coliniare.

Ya -

"2

=

22

. EXERCITU

ŞI PROBLEME DE G_EOME'FRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

1.67. Ecuaţia pe care o satisface orice punct M(,) de pe dreapta deter„ minată de punctele M 1 {r1), M 2 {rJ este:

'i .

rxr1 unde ex este un parametru oarecare.

+ .(1 -

rx)rz,

R.: Aceasta rezu~ţă din problema. preced~ntă, pentru _că M 1 puncte coliniare. . . :

1.68.

Condiţia necesară şi suficientă

(r1),

M 1 (r2), M (;) stnt trei -- ___ .

pentru ca patru puncte ,distincte

M1 (11), M 2 (r2), M 3 (r3), M 4 (r4) să/ie coplan~re, unăe_avenţ

= rxri + ~;;2 + rrs,

~

este ca

«+~+y~

R.:

Demonstraţia.

se f~ce ichmtic caJa.

1.

exerciţiul 1.66.

1.69. Ecuaţia pe care o satisface orice punct M(r), situat" în pianul determinat de punctele M1 (ii), M 2 (r2) şi M 3 (r3),- este·-

r = rxr1

+ ~r2 + (1 -

« - -~)ra,_

~_nde ex şi ~ sînt parametri oarecare.. R. : Aceasta. rezultă din problema precedentă pentru că M 1 sînt patru puncte coplanare.

(Y1), M 2 (r2), · ··

M 8 (ra), M (;) ·

1.70. Dacă r este vectorul de poziţie al unui punct variabil într-'ţf,n plan, a un vector dat în acelaşi plan, iar bun scalar dat, să se demonstreze că orice dreaptă

şi

are o

ecuaţie vectorială

de forma

a•r+b

reciproc.

=O

R.: Fie A(ro} un punct al dreptei şi-; un vector perpendicular pe dreapta. D dată. ln acest caz, dacă -;,••e~te ·un ·vector: de poziţie al unui putlct variabil de pe dreaptă, avem

. ci= O, sau a• r-:-- a•

+ b =. O reprezintă. o dreaptă. caz

(r -

~ := o;·adică . o ecuaţie de forma dată. Reciproc, să arătăm că

r

0) •

a•'; +

Fie A 1 (;;), A 1 ('3) două puncte care verifică ecuaţia; în acest

rezultă

; • cr"1 ceea ce

demonstrează

~> = o.

reciproca.

1.71. Dacă r este vectorul de poziţie al unui punct variabil în spaţiu; a 'lfn vector dat, iar b un scalar · d(l,t, să se demonstreze că orice plan are o

ecuaţie vectorială deforma

a•r+b=O şi

reciproc. R.:

Aceeaşi demonstraţie

ca la

exerciţiul

1.70.

23

VECTORI

1.72. Care este ecuaţiâ vectorială a dreptei care trece prin· M(f1) şi este paralel,ă cu vectorul dat

a?

R. : Da.că. r- este un vector de poziţie oa.re'car.e al unui" punct de pe dreaptă, trebuie să a.vem coliniar cu a, astfel că ecuaţia. este (r X =· O.

r - r;

ri) a

1.73. Să se scrie ecuaţia vectorială a pla1,ului dus prin A{r1) paralel

cu vectorii aşi b.

(YJ

R. : Trebuie să. scriem că un vector ca.re uneşte pa A cu un punct oarecare din plan M(r) este perpendicular pa produsul vectorial al vectorilor a- şi iJ: Ecuaţia căut:âtă ·este deci t-; - ril . că x ii) = o. Să se găsească ecuaţia vectorială a unui plan dus prin A(, 1) perpendicular pe un vector dat a.

1.74. să fie

şi

.

care

R. : Dacă. ; este un v~~tor de poziţiee al ;unui punct oarecare din pla.n, atunci r • .. fi este perpendicular pe ă: Scriem a.cest lucru vectorial ş.~ avem : (; - ;;.) • ă = O, sau

-

r • a= r 1 • a.

1. 75. Să se scrie, vectorial, ecuaţia planului mediator al segmentului care punctele A (i 1), B (r 2). __ _

uneşte

R. : Trebuie si 'avem : [; -: .: (;, + 'al] r • (r2

a• r ţia·

-

;.· r1 )

•.· (Y, ~ 'il.:= O,_ do unde rezultA

=.. -1 (r-i2 2

1.76; · Să se determine vectorul de

-:,

- r )• X

poziţie

al

intersecţiei

+ b = Oşi dreapta care uneşte punctele A1(r1), A

dintre planul

2 (,2 ).

+ )..(~ - ;;:),

R.: Ecuaţia. vectorială a dreptei A 1A 2 ester=~ planului, obţinem Â

= _ a•;; +

b"

Substituind ;

în ecua-

•

; . c;; - ~> Rezultă că.

vectorul de

poziţie

r

1.77.

b. i == ~ = lâ'

m

=

Să

-

= "1

al

intersecţiei

; . ;1 +;; -

= r•

dreaptă. şi

plan este

-

- - - - - - (f'2 - r1)•

a.

se determine vectorul de

şi ; . i

dintre

poziţie

al intersecţiei planelor a ·r

:::::::1

ex,

,-==

R.: Metoda I. Aflăm pe ; descompus după. vectorii reciprocia', b;; c'. Punînd + m'J-;- + n;,, p3 ca.re îl înlocuim în "fiecare dintre cele trei ecuaţii, obţinem Z = ex,. ~ şi n = y; astfel avem

; = ria' + ~11 + ro'-= a.(b x ~ + ~(c x-ă'>+ r. +r~ + 2ă. r0 ·+ b = O. O

i.s au produsul ~

:A,. la :::::: ro ceea ce

demonstrează

+ 2a- • -r0 + b,

proprietatea puterii pentru cerc

şi sferă..

1.117. Să se scrie ecuaţia vectorială a axului radical sau planului radical ale cercurilor sau sferelor r2 + 2a1 • +~b1~= O; r 2 +t2a2 · + b2- =· O.

r

R. : 2(ă°i - ~) • -;

+ b1 -

ba

r

= O.

1.118. Să se demonstreze, vectorial, că axul radical, respectiv planul radical„ este perpendicular pe linia centrelor cercurilor, respectiv a sferelor. R. : Axul radical sau planul radical a cercurilor sau sferelor ra

are ecu.a,ţia vectorială

+ 2a; • ',. + bi = O,

.

ra

+ 2a2 • ,. + bI = O

36

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA Şl DIFERENŢIALA

Două puncte oarecare M 1 :

egalităţile

tan

(r1);

M2

(;;),

situate pe axul sau planul radical~,verifică simul· .

2(ă1 - ;2) • °r1 2(~ - ";2) Scăzînd

aceste

•

+ b1 -

rz + b

1 -

= O, =. O.

b2 b2

egalităţi, obţinem

2(a1 -

a~) •

c;; - ~) = o,

ceea ce demonstrează că. dreapta care uneşte două puncte oar~e M 1 , M 2 de pe axul radical respectiv planul radical, este perpendiculară pe linia centrelor C1

ai),

(-

C9

( -

'a:J •.

1.119. Să se stabilească, vectorial, condiţia ca punctele M 1 (,1), M 2 (,s) fie conjugate armonic faţă de P·unctele de inte'fsecţie ale dreptei M 1M 2 cu ien cerc sau o sferă. ·

să

+ 2a • ; + b = O = Â; în acest caz avem .1.lf ( r1 + ,_-;_, )

şi punctul M de pe M1 M1, astfel

R. : Fie cercul sau sfera ; 2 M-1 M că .-

MM2

1

Scriind

că

.1.lf se

află

+;.

pe cercul sau sfera

w

•

dată, obţinem ecuaţia

care ne

erl + 2"; • ;2 + b) ,.2 + 2c;1 • ;2 + ă . c;;. +-;2) + bJ,. + ('ri + 2 ; Condiţia rădăcinile "A1,.

să fie conjugate armonic faţă. relaţia ,-1 O, ceea ce dă

ca M 1 , M 2

"2 există

+ As =

de

;; • ~ + ; · (;; + '2) + b =

intersecţie

se

dă

• ;;.

pe).

+ bf = o.

obţine

scriind

că

între

O.

1.120. Să se scrie, vectorial, ecuaţia pola'fei faţă de ce'fc, sau a planului sferă a punctului M 0 (r 0), ecuaţia ce'fcielui sau sferei fiind

polar faţă de

r + 2a. ;; + b = o. 2

R. : ; • ;o

la

+ '; · (;- + r + b = 0)

O.

1.121. Să se scrie, vectorial, ecuaţia tangentei la cerc sau a planului tangent în punctul M 0 (r0 ), ecuaţia cercului sau sferei fiind .

sferă

r + 2a . , + b = o. 2

R. : Tangenta Ia. cerc sau planul tangent stnt, respectiv. polara sau planul polar faţă de cerc, respectiv sferă. Astfel, tangenta sau planul tangent are e~uaţia

r · Yo + ;·. f; + r + b = O. 0)

1.122. Să se demonstreze, vectorial, că tangenta sau planul tangent la cerc

sau

sferă

R. :

sînt perpendiculare pe raza punctului de contact.

Dacă ecuaţia vectorială

a cercului sau sferei este

r2 + 2; • ; + b =

O,

ecuaţia tangentei sau planului tangent în punctul M 0 {t-0 ) este

; • ;;, + ă • (r + ; 0 ) + b

=

O

37

VECTORI

Scriind că două. puncte oarecare M 1

tangent avem simultan

~ 1),

M1

{r2)

verifică ecuaţia tangentei sau a planului

ri •;;, + ar (;1 + r0) + b = O, ~ • ~ + ă':• (r2 + i-;,) + b = O. Scăzînd egalităţile, obţinem (;; -ri) • (r0 + a) = O, ceea _ce demonstrează că uneşte centrul C ( - a) cu punctul M (ro) este perpendiculară pe tangenta în

care respectiv pe orice

0

dreaptă

raza M 0,

M 1M:1 ~in planul tangent tn M 0 •

1.123. Să se determine, vectorial, locul geometric al punctelor M din plan sau spaţiu, al căror raport al distanţelor, pînă la două puncte fixe A 1, A 2 , este constant*. R.: a:::::

Să considerăm

- A (r- ), A (r- ). Din raportu I M (r), 1 2 1 2

k•, sau MA°; • MA1 =

.ilt/A1

k rezultă

.ilfA:,

2

MA --'4 -MA2

k2.

MA 2 •MA 2 Deducem sau

-

-

-:, r - k 2r2 ,,_ - 2 -1 - - - • r 1 - k2 Rezultă că

locul este un cerc, respectiv

C (;1

-

·1 - k

sferă,

.

~ ;R

raza

-

=

O.

cu centrul în

kii-2 ) pe dreapta M 1;.l/2 , astfel 3 1 - k _ _ _ _ __ _ , _ _ _

ş1

_.,

2

ri - k ri + ---= 2

că

V

CMi C.M2

=

Cr1 :-4- ktrg)a . ;j - k2;1 . k I-------- - - -2- = - -2 ,·1 2 2 (1 - k

)

1 - k

1-

k

k2

-r2 I •

1.124. Să se determine, vectorial, locul geometric al punctelor M din pentru care avem n

spaţiu,

--2

>' e:-MM-,-11,, - ~. "r'' unde. Ml sînt puncte date, R.: Notînd)u avem

e:;

=±

1, iar h o constantă.

r; vectorul de poziţie al punctului M; şi cur acela al punctului curent n

Bf!:j (;- - fj)2

= k,

l

sau

*

Aceeaşi

chestiune se

rezolvă

analitic. A se vedea problema 5.111.

M,

BXERCIŢII ŞI

38

PROBLEME DE GEOM~TRIE ANALITICA

ŞI

DIP1:~E_NT_I_ALA _ _ __

Astfel el, în general, locul este o sfera cu centrul tn

C

f ei;il ( -n

I

~e; 1

iar raza.

n

în cazul cînd ~ e; I

=

O, locul este planul

f n

(

-) _

e;r; • t'=

1 {n 2 ;

_9

)

e;r;- k •

1.125. Să se' determine locul geometric al ,!Junctelo-r 1v.l din spaţiu, pentru

ca,e avem:

Em, ·MM;= k, n

--2

1

unde M; sînt puncte date, m; - masa ataşată punctului M;, ia, k - o constantă.

R. : O sferă cu centrul în centrul de greutate (a se vedea problemele 2.93; 2.94; 2.95) al sistemului de puncte M; şi cu raza

Capitolul II

PUNCTE A. Puncte pe o

axă

2.1.· Se dau pe o axă x' x punctele următoare caracterizate prin abscisele lor

A(-4), B(B), M(-5), N(2), P(12) . ...a) Să se cal,culeze mărimile segmentelor orientate AB, NM, MP~ PN. b) Să se afle rapoartele în care punctele M,N,P,O ( originea absciselor) împart segmentul A B. c) Să se cal~uleze rapoartele în care punctele N, P împart segme~tul- BA. R. : a} Dacă pe o axă x'x stnt date punctele M 1 (xi}, M 2 (x2), lungimea segmentului orientat M 1M 2 este M 1 M 2 x2 - x1 [1, cap. II, 3.1]. · ·- · Aplicînd această formulă, găsim

=

AB

=8

-

( - 4)

=

12, NM

= -

7, MP

=

17, PN

=

-10.

b) Sînt date pe o axă x'xpunctele A (a), B (b). Se numeşte raport în care un punctM (x) AM AM x - a (1) al axei. împ arte segmentu1 AB v aloarea raportu1u1· - , ş1· avem : MB MB b-x Ţintnd seama de această definiţie, raportul în care M împarte segmentul BA este

= -- .

.!!!!.. = x MA

b • Aplictnd formula. (1)

a-x

AM

- 5 - (-4)

exerciţiului 1

dat, avem

AN .

-MB - = ----------= - 13 - , -NB - = 1, 8 - (-5) BN

c) - -

NA

=

BP 1, - PA

2.2. Se dau pe o

(AB

AP AO 1 --= -4, --=-· PB OB 2

1

= - - .

axă

4

punctele A,B,C,D.

Să

+ CD) GB + (CA + DB)DA

se arate

= BC

2

că există relaţia

+ AD

2

•

Dacă luăm A (a), B (b), C(c), D(d), atunci relaţia geometrică ce trebuie demonstrată. este echivalentă cu următoarea relaţie algebrică, obţinută fnlocuind segmentele prin mărimile lor :

R.:

(b - a

+ă -

Făctnd operaţiil~

c) (b - c)

+ (a

- c

în ambii membri, se

+b -

ă) (a - d)

constată că

= (c -

b) 2

+ (d -

aceasta este o identitate.

a) 2 •

40

EXERCITU

ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIPERENŢIALA

2.3. Se dau pe o axă trei puncte A, B, C. Să se găsească pe axă un punct M, astjel încît AM2 BM2 = AC2 BC 2 •

+

+

R.: Dacă A (a), B (b), C (c) şi M (x), condiţia. geometrică dată. este ecuaţie, obţinută înlocuind fiecare segment cu lungimea sa. :

echivalentă

cu

urmă•

toa.rea

(x - a) 2

sa.u

x2 Rezolvînd,

găsim că

-

+ (x - b) 9 = (c (a + b) x - c (c -

problema. a.re M (a

a) 2

+ (c

a - b)

- b) 2,

=

O.

două. soluţii:

+b -

c) şi C (c).

2.4. Fiind date patru pimcte oarecare, Ai, A2, A3 , A 4, pe o demonstreze că avem relaţia

+ A1 A3 • A

Ai A2 • A3 A 4 şi

4

A2 =

R.: Luînd pe axă o origine O, avem A; (a;) (i efectuînd calculele, se demonstrează relaţia.

+ Ai A

4 •

A2A3

axă,

să

se

= O.

1,2,3,4); substituind A; Ak cu ak - ai

2.5. Se dau pe axa x' x punctele A (3), B(9), caracterizate prin abscisele lor. se afle: . . a) abscisele punctelor M,N,P, care împa1·t segmentul AB, respectiv, în ra"'orirtele .!. - .!· 4 · r 2' :i ' ' Să

b) abscisele punctelor · · ·3

2

Q: T,

care împart segmentul BA în rapoartele

-5, 3° R.: Dacă pe axa x'x sînt date punctele M 1 (x1 ), M 2 (x2 ), abscisa x a punctului M, care împarte segmentul M 1M 2 în raportul k, este [1, cap. II,4. l] X=

+ kx,.•

-"t

•

l+k

ln cazul

exerciţiului

propus avem pentru punctul 1v1 1 3 + -•9 x

2

= ---- = 1

Analog,

găsim

N (18), P

b) Pentru punctul

(

5, deci M (5).

+ .!. 2

359).

g: 3

9 - -(3} 5

X = - - - - = 18, deci Q (18).

1-~ 5

3 La fel, T ( ; )

~

41

PUNCTB

2.6. Se dau pe axa x'x punctele A(6), B(-2), caracterizate prin abscisele lor. Se împarte segmentul :AB în 5 părţi egale prin punctele M,N,P,Q. Să se determine abscisele punctelor M,N,P,Q. 8/-2)

tt

P

fl

M

A/6)

o Fig. 2.6. R. : Punctul M împarte segmentul A B 1n raportul .

sa cu formula

4

dată~ exerciţul (2.5). găsim M( la fel, N ( 2 ~) . Cum A p 5 PB

.!. . Calcullnd abscisa

NîmpartesegmentulAB în raportul i. Găsim, P ( 1 .!.) , iar din AQ = 4 deducem 5 QB

4 : ) • Punctul

= .!.2 , rezultă

/

2.1. Distanţa dintre două puncte A,B este l. Dacă M,N sînt puncte a~ dreptei AB care împart segmentul AB, respectiv în raportul -k,· k, săsecal,­ culeze lungimea segmentului MN. R.: Considerînd pe AB un sens pozitiv şi luînd punctul A ·ca origineaabsciselor, avem A(O),B (l), deci

r(

kl - ) • M- -kl- ), N ( 1-h ~ 1+k Fezultă

MN

=

kl

l.

+k

_ - kl 1-k

=

2k

l.

1 - k1

2.8. Distanţa dintre două _puncte A,B este l. Dacă M,N sînt puncte ale dreptei AB care împart segmentul AB, respectiv, în raportul k, .!. , să se calcu.

k

leze lungimea seginentului MN. R. : Procedînd ca în exerciţiul (2. 7),

găsim M

1 ( ~ ) , N ( -- ) , deci

1+k

1+k

1-k

MN=·--l. 1+k

2.9. Fiind date pe o axă x'x punctele A(3), B(-5), a) mijlocul segmentului AB; b) simetricul punctuţui A în raport cu B; c) simetricul pienctului B în raport cu A . .' ,r

=

X1

+. X2 2

•

să

se afle: ·

42

EXERCIŢII Şl

ln cazul

exerciţiului,

PROBLEME DE- GEOMETRIE ANALITICA

mijloc~~ se~mentului AB este .M (

3

;

Şl DIPBRENŢIALA

6 _), deci M (-1),

.A.P Peste simetricul punctului A în raport cu B, avem PB

b)

Dacă

c)

Dacă Q

este simetricul punctului B in raport cu A, avem AQ QB

= -

2, deci P ( - 13).

= - _:_, deci

Q (11).

2

2:ţo. Co~iderînd pe o axă n puncteJ A1 (x1), A2 (x2)J ...... , An(xn), să se determine abscisa x a punctului A, pentru care avem

mi AA1_

+m

2

AA 2

+m

8

AA 3

+ ... + mn A An = O.

n ~mi ~i

R.: ~=-t_ _ n

l:: "'i t

pe o

2.11. Să se calculeze. ra-"ortul ~ atimci cînd se dau următoarele puncte 'l' CB axă

1) A(-1); B(2); C(3) 2) A(-4); B(-2); C(-3) 3) A ( ; ) ; B ( R.: 1) -.4;

2)

~);

+ 1;

C (: ) • 3

3)

13

2.12. Fiind dat AC/GB = r, să se determine valorile rapoartelor; AB/BC~· BC/CA~· BA/.AC; CB/BA; CA/AB. AB AC + CB BC - CB 1 ' R.:Avem:- = - - - = - (1 + r); - = - - = -; · BC - GB C.A. - AC r BA. BC +. CA .1 + r CB GB - 1 . CA CA

-=---=--; -=---=--, -= AC

- CA

-r

BA

+ BC

CA

1

.

+r

. .A.B

AC+ CB

-

=---· 2.13. Fiind date să

se determine . AM1

• BJ"\111 --şi--•

AM1 BM2 R.: Considerînd A originea axei pe care se află situate punctele B, M 1, M 1 şi notind cub abscisa lui B; atunci M 1

b "1 ) 1-r1

( -

AM1 AM2

şi M 2 (

=

2 - b" ) 1-r2

br1 1-r1

·

•

•

Rezultă.

1 - r2 br2

r 1 (1-r2) -

r 2 (1-r1 )

PUNCTE

43

şi

BM 1-f' . --=--· 1

2

2.14. Fiind date

M1 A/M1 B = r1 ; să se determine M8 M1 /M3M2 • (1 - "2) •

R.:

2.15. Fiind date M A

M„A

1 --=1'1,

---=r2

M 1B

şi

L - mijlocul segmentului M 1M 2 ,

să

M 8B

se determine

LA -· LB R. :

Dacă notăm

L [ - -b ( -"12 1 - "1

A (O); B (b), avem: .,11; ( - br; ) 1 - f'j

+ -"s- )] 1 - "2

i

=

şi

prin urmare

1,2

Rezultă

LA

--= LB •

"1

+ "2 (,.1

2 -

2r1Y2

+ rz)

2.16. Fiind date pe o axă x'x punctele să

A(5), B(3), C(-2), D(-7), M(i), se calculeze rapoartele ana,monice (ABCD),

(CBAM),

(CDAB),

(ABDM).

R.: Se ştie [1, cap. II, 8, 2] că raportul anarmonic a patru puncte, M 1 ,M1,M8 ,M,, ale unei axe. luate în ordinea M 1 , .111'2, M 3 , Jl.1, este citul rapoartelor în care M 3 , M, împart segmentul M 1M 8 ; deci Mi Ma • M1.t11'.a

--.--, M,M2

M3llf2

sau, lntructt nu se

schimbă

valoarea, expresia M 1M 3

•

M 1M,.

M~3

•

Ma,M,

X3 -

X1 • ~ .

X3. -

Xs

• X4 -

(1)

(2)

X:i

Prescurtat raportul anarmonic (1) se mai scrie (M1M2MaM4),

(3)

44

EXERCIŢII ŞI

ŞI DIFERENŢIALA

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

tn cazul dat avem

=

(ABCD)

La fel

AC : AD = BC BD

-7 -5 7 12 7 ---=-:-=-• -7 - 3 5 10 6

-2 - 5 -2 -3

găsim

(CDAB)

7

CA

6

BA

CM

= - , (CBAM) = -

7

:-

= - -•

BM

3

'.1 = _:_ ·

(ABDM)

5

2.17. Fiind date pe o axă punctele A(-2), B(4), C(1), 111(8), N(-5), P(2), să

se calculeze valorile rapoartelor anarmonice (ABCN),

(ABCM), R.: Aplicînd

definiţia

(ABCP).

raportului anarmonic a patru puncte, avem

..... (ABC.J.1!) -

=

(ABCN)

2.18. Fiind date pe o

axă

= -

1 + 2 : :8 + 2 1 - 4~ 8 - 4

=

AC : AJl-l BC Bl\f

(ABCP)

3;

= _

2~ 5

= ...!_ • 2

punctele

+ 2r), D(a + 3r),

A(a), B(a+r), C(a să

şi să

se calculeze valoarea raportului anarmon-ic (ABCD) sa nu depinde de a şi r.

se arate

că

valoarea

R.: Avem (.-lBCD)

2.19. Fiind date pe o

axă

A (a),

AC

= -

BC

AD

:-

BD

4

= -• 3

pimctele

B(aq),

C(aq 2), D(aqa),

să se calculeze valoarea raportului anarmonic (A BCD) şi să se arate că valoarea nu depinde de a. Să se arate că nu putem avea puncte reale, astfel încît (ABCD) = - 1.

R.: Avem (ABCD) Condiţia

(A BCD)

=

AC : AD BC BD

= -

=

2

aq aq 2

-

~

-

aq

:

aq3 - a aq

=

aq3

1 duce la valori complexe pentru q.

+ t)' • + q+1

(q

q2

45

PUNCTE

2.20. Fiind .date punctele

A(xJ; B(x2); C(x3) să

şi

(ABCD)

= r,

se dete,mine abscisa x a punctului D. R. : Din

Xs -

Xi :

x 3 - x2

x

=

x2 (x3

x3

-

x1) -Yx1 (x3

-

x1

r (x3

-

x-

Xi

X -

Xa

=

x 2)

-

(A)+

xJ

-

rezultă

=r

(AB) • (ABC} (ABC) - (ABCD)

unde am notat cu (A) abscisa lui A, cu (AB) segmentul AB

şi

cu (ABC) raportul AC/BC.

2.21. Fiind date punctele

A(-1), B(2), C(3) să

şi

(ABCD)

= - 1,

se determine abscisa x a punctului D. R. : Se va aplica formula din exerciţiul (2.20); se

2.22. Fiind date pe o

găseşte x =

2.. • 5

axă

pienctele A(5), B(-4), C(8),

să se .determine punctele M,N,P, astfel încît

(ABCM)

=

(ABCN)

...!_, 3

·

= -- ~. 4

(ABCP)-:- -1.

R. : Procedtnd ca în exerciţiul 2.20, obţinem

M (32), N (

1: )' p ( 156 ) •

2.23. Se dau patru piencte, A,B,C,D, pe o anarmonic

dreaptă şi

se

jo,mează

,aport,zel

r = (ABCD) = ;~ : :~ · Să se demonstreze că 1' se bucitră de următoarele proprietăţi : a) Cînd se schimbă între ele două litere simultan cit scliimbarea între ele a celorlaUe două, expresia 1' .1'ămîne neschimbată. b) Dacă în expresia lui r se schimbă între ele prima literă cu a doua sau ~a t1'eia cu a patra, obţinem un 1'aporl anarm~nic egal cu

+•

c) Dacit în expresia lui 1' se schimbă între ele litera a doiea cu a ~reia, valoarea raportului anarmonic devine 1 - r. d) Pe baza celor stabilite mai sus să se determine (ABDC}, (ACBD), (ACDB), (ADCB), (ADBC), ştiind că (ABCD) = r. R. : a) Se poate scrie AC

f'=-!

AD

BC

-

BD

CA

=-

CB

:

DA - = (CDAB) etc. DB

46

EXERCIŢII ŞI

b) Din

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

definiţie rezultă

(BACD)

·BC

:AC

BD

AD

= '- : -

=-

1

etc.,

r

c) Avem (ABCD)

=

Să

r

1

,.

2.24.

AB (AD - AC):= 1 etc. AD•BC

AC(AD - AB) AD•BC

1 ~. -,

d):

AC ~BC AB CB + (ACBD) =AD -:: : - + - : = ·BD AD CD

: r -1

;1 - ,. .L.;-:--i.i.,-,.- • se demonstreze

R.: Avem (ABCD) AC

+

că

(ABCD) AC

+

(ACBD) AB

= 2__ (BD+

= ...!._.

(ACBD) AB

AD

AD BC

CD) CB

= ...!._ • AD

~ = .2_ • BC

AD

2.25. Fiind date p'e o axă Punctele există ,elaţia

= (M1M~3M5)•

(M1M~aMJ • (M1MaAf4M5)

R. : Se exprimă valorile rapoartelor anarmonice din membrul I şi se efectuează înmulţirea sau se foloseşte exprimarea (ABCD) (ABC)/(ABD), unde (ABM) înseamnă AM/BM. 1:2

2.26.

Dacă

A1 , A 2 , A3 , A, sînt patru puncte pe o_ axă şi {A 1 A 2 A3 AJ

există

=-

A,

relaJia 1+ 1 . --=--+--· AA A A, AA Â

1 1

şi

Â

1

1 8

R. : NOtînd A1 (xi), A 2 (xJ, Aa (x3), A, (x.)

transformtnd

relaţia

geometric! de dovedit în

relaţie

"'·'

·

algebrici între abscisele celor 4 puncte

lntrucit

se

obţine

(x8 - x8) (x, - x1) - (x3 - xi} (x, - x1) (x1 - x1 ) (x3 - x2) (x, - x1 )

=

1

(x, -

X1)

(x8

care este o identitate. Se mai poate demonsi;ţa. substituind

Â

-

(x8 - Xi) (x, - x1) xJ (x3 - x1} (x, -

= -

X1)

(A1 As A8} /(A1 Aa .A,)

şi ţintnd seamă că A1 A8 • (A 1AaA 8 ) = A1A3 , iar As A, • (A 1AaA 4 ) = AiA,.

2.27.

Dacă

= 1.,2,3,4,5) sînt 5 puncte pe o; axă şi dacă

Ai (i

'

(A 1A~ 3A4)

=-

(A~Asfl,aAs)

.. -:- _Â,

;··· ' ···

există relaţia

.

'

p..

_A~~•

A1A2 ~- A1A3 .·. (~-~ µ).. A 1A 4 A 1A 1 . . . ·, ; :_A 1As

R.:

Ţinînd

seamă. 'de prprietate.a.- :.-2;~6, -~yâlţl , 1

.\

: '-..~

+ Â ". 1 - ).. q ·--=-+-··, A1~2. JA1;Âs' '.·,· r . . . . A~A,,. ....... , . 1 + .fJ- ~ 1_ ·+· ·, I-'--, I i --.- - - - - :'~'?-• ~1

'

A 1A 2

de unde - prin

scădere

-

().. -

rezultă

µ)· (

Dacă

A 1A 3

i••

·

1

1)

7i;A; -- ·A 1 A 3

Făcînd operaţiile, obţinem relaţia

2.28.

A 1A 5

A,B,C, M;(i

1

=

•·,

·

A A~ 1

1

A A,· • 1

enunţ,

clin

= 1.,2,3) sînt şase puncte pe o axă şi dacă

=-

(ABCM;)

.

!'

Â;1,

există relaţia

.[(A M1 M2 Ms)

=

A1-Âa • Â1-Âa

R.: Avînd în vedere problema (2.27), putem scrie luînd

=-

(ABCM1 ) AB

-·-

A1 , (ABCM3 )

= -

Âa,

AC

--=

(1)

AM8

De asemenea cu avem

~ AM1

•~ = '(At AM 1

Âa) _!!E_ \ M 1M 1

Împărţind expresiile din (1). (2), rezultă ;AM8

).

-"8

M M

1 1 1 - =)..-•-· AM ->.a M M

8

1

1

8

dr 'tuae

MaA • MsM1

Ma.A • MaAf1 sau

c::a

At-Âa • Âa-Âa

(2)

48

EXERCITU

ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

Şl DIFERENŢIALA

Schimb!nd tn raportul anarmonic perechea de puncte M 2,M3 cu A, :.1111, valoarea. raportului anarmonic nu se schimbă; deci

2.29. Fiind date pe o

axă

A(-3), B(S), C (:) , D (- V2J,

punctele

să se determine

abscisele conjugatelor armo-

nice ale punctelor

1) A 4) D

faţă faţă

de B,C; de A,C;

2) B faţă de A,C; 5) C faţă de A,B;

3) A 6) D

faţă

faţă

de B,D,· de B,C,

R.: 1) Nottnd cu XA abscisa conjugatului armonic al lui A faţă de B, C şi cu A-: abscisele punctelor A, B, C, D, trebuie să avem în cazul 1) (XA

de unde

+ A)

(B

B, C, jj _

+ C} = 2 (Ă 'XA + .B•C),

rezultă

s•..:. - ( (s

XA

-_ _ 2• -3) + ~) 2 B. C - A (B + C) 3 3 = ------- =--------B + c- 2 A 5 + .=.. _ 2 (- 3)

71

35

3

Ca verificare, dacă notăm cu A' conjugatul lui A faţă de B, C, trebuie să avem

BA

BA'

= - -Â'C -· AC =-

Substituind BA= (-3) - 5

8;

AC= ..:__ ( - 3) 3

=

..!.!... 3 '

, 71 104 2 71 143 BA = - - 5 = - - • A'C = - - - = - - , 35 35 ' 3 35 105 obţinem

104 11

35 --. 143

3

105

-8

care este adevărată. Procedind ca mai sus, găsim răspunsu'rile la celelalte puncte

23 37

2)--•

3> 139 -

12sV2. 4> _ 2-:_ _ 47 •

6> 1a6

+ 160 V2 217

2.30. Fiind date pe o axă punctele A (x1 ), B (x2), C(x3), să se determine abscisa conjugatului armonic al fiecăruia din cele trei puncte în raport cu celelalte două, în funcţie de abscisele Xi, x 2 , x3 •

49

PUNCT~

R. : între abscisa x A a conjugatului armonic al lui A faţă. de B, C şi celelalte abscise trebuie să

avem

relaţia

Rezultă XA

2x s

Xz

Analog

aflăm

+x)

x (x

-

2 3 1 2 3 = ----------------•

+ x3 -

2X1

faţă

abscisa XB a conjugatului punctului B XB

şi

xc

de A, C:

= _.:;;._ 2x1 x3____________ x 2 (x1 + x___ 3) x1 + x3 - 2x2 = __________ 2X1 Xg - Xa........ c.~1________ + Xa)__

+ X2 -

X1

2

X3

2.31. Fiinddatepeoaxăpunctele A(-3), B(i), să se deter111,ine punctele M de pe dreapta AB ale căror conjugate armonice faţă de A,B se află la depărtarea 3 de M. . · R.: Se

găsesc

patru puncte M: 1\tl1 (-5); M 2 (-2); M 3 (0); M 4 (3).

2.32. Să se determine,pe dreapta determinată' de punctele A,B, doită puncte M 1 , M 2 conjugate armonic faţă de A,B, •astfel ca segmentul M 1 M 2 să aibă o lungime dată, d. R.: Luăm dreapta AB ca aceea a lui M 2 este

axă

cu A (O)

şi

B (a).

Dacă notăm

abscisa lui M 1 cu x, atunci

ax ·1n cazul problemei trebuie să avem

....!!:!_ - x 2x-a

=±

d.

Rezultă

a± d + Va 2 + d3

X=-------•

2 Există

deci patru perechi de puncte M 1 , M 2 conjugate armonic

IM1 Ma I = ă •

2.33. Fiind date punctele M(x) şi M' (x') de pe avem relaţia axă cărora

R.: Pentru puncte M' confundate cu cisele acestor puncte verifică ecuaţia.

trebuie

4-2028

..tl.f

să

O.

(1)

le corespund puncte J.vl' con-

avem x'

+ b (x + x) + c =

că

între abscisele

+ b (x + x') + c = O,

să se determine acele puncte M de pe fundate cu M.

ax •x

de A, B, astfol

aceeaşi axă,

cărora

axx'

faţă

= x,

de unde

rezultă că

abs-

50

EXERCIŢII ŞI

Există

deci

două

al doilea

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIPBRBNŢJALA

puncte M 1 , M 2 avînd drept abscise, x 1 , x2 ,

rădăcinile ecuaţiei

+ 2bx + c =

ax2 cărora

care

de gradul

O,

Ie corespund puncte M~, M~ confundate, respectiv, cu M 1 • M 2 • x, x' se numeşte involutivă, iar punctele M 1, M 2 ,

Obseroaţie. Corespondenţa (1) între au drept abscise rădăcinile ecuaţiei

ax2

+ 2bx + c =

O,

se numesc punctele duble ale relaţiei (1). Aceste puncte pot fi reale şi distincte, imaginare sau confundate, după cum b2 - ac este, respectiv, pozitiv, negativ sau nul.

2.34. Să se demonstreze că două puncte M(x), M'(x') ale sînt legate prin relaţia involutivă

axx'

+ b(x +

x')

sînt conjugate armonic cu punctele duble ale

=

abscise

+c=O relaţiei.

R.: Fie x 1, x2 abscisele punctelor duble. Trebuie să demonstrăm că (x 2 (xx'

căror

+ x1 x2}-

+ x')

(x1

+ x2) =

Ţinînd seamă că

x1

+ .x-2 = - -2b a

.

Şl

c

X1 X 2

=- • a

rezultă

Substituind aceste expresii ale lui b

După

simplificarea cu a

demonstrează afirmaţia

2.35. Se

gruparea

+ x')

(x

ceea ce

şi

şi c

(x1

din

în

relaţia involutivă,

convenabilă

+ x2) =

2 (xx'

aceasta devine

a termenilor,

obţinem

+ x1 x2),

enunţ.

consideră două relaţii

involutive pe o

aceeaşi axă

+ b(x + X) + c = O, a' xX + b'(x + X) + c' = O, axX

(1)

(2)

care fac, fiecare, să corespundă un punct de abscisă, X, altuia de abscisă, x. Să se determine relaţia dintre coeficienţii a,b,c, a', b', c', astfel ca punctele duble ale relaţiei (1) să fie conjugate armonic cu punctele duble ale relaţiei

(2).

R.: Dacă x1 ,x2 sînt abscisele punctelor duble ale relaţiei (1), iar x'1 , x'2 -abscisele punctelor duble ale relaţiei (2), trebuie să. avem (x1

+ x 2)

(x~

+ x~) = 2 ( x 1 x 2 +

¾~

x~) •

PUNCTE

51

Ţinlnd seamă că.·

x1

. , ., c' . . +... + x 2 = - -2ba ; x 1x 2 = -ac ; x1, + x2, = - -2b' - ş1 x1 x2 = - , obţinem re1a,-. ~ ~

_ ~a •(- 2b') = ~

sau a'c

+ ac' -

2 (_:_ · a

2 bb'

=

+ ~) , ~

O.

2.36. Dacă punctele M 1 , M 2 de pe o axă au abscisele x1 , x2 , date de rădacinile ecuaţiei · 2 {a1 A a2) x 2 (b1 rl- A b2) x c1 A c2 = O, să se demonstreze că există pe axă două puncte fixe care formează cu M 1 , M 2 o diviziune armonică, oricare ar fi val,oarea parametrului A.

+

+

+ +

. ţiil R. : Eliminînd pe A dintre reia „ e x 1 + x 2 obţinem

2

[

x1

X2

+

1=

b1 Ca - c 1 b2 --=--=---=-a:.

a1 ba - a 2 b1

-2(b1 +Ab2 ) = --..:....:.--=a 1 + Â a2 c1 a2 - a 1 c2 --=--=---=--.:... "i b2 - a2 b1

(

X1

şi x 1 x 2

c1 +ic21 + A aa

a1

+ x2) •

Această relaţie ne arată ci."L 11f1 (x1), M 2 (x2) sînt conjugate armonic cu punctele fixe A (ce),

B (~). ale

căror

abscise sînt

(a1 b2

-

rădăcinile ecuaţiei

.

a 2b1) :X2

a1 c2) x

-

(a2 c1

-

+ b1 c2 -

b2 c1

=

O.

B. Coordonate carteziene Să se scrie coordonatele vîrfurilor ,zenui dreptunghi ABCD, avînd a, AD =b, a) dacă se iau axele de coordonate AB ca Ox, AD ca Oy; b) dacă se ia originea axelor de coordonate în centrul dreptunghiului axele Ox, Oy paralele cit AB, AD, ca în figura 2.37.

2.37~

AB şi

=

R.: a) A (O, O), B (a, O), D (O, b), C (a, b), b) A

•( _!!_ 2

c) C (

!!_), B (!!:..., 2 2

f •: ),

D (-

.!!_)' 2

i ,,Î) •

Observa/ie. Alegerea convenabilă a axelor de coordonate faţă cu o figură dată simplifică valorile coordonatelor punctelor figurii, deci şi calculele prin care se deduc proprietăţile ce trebuie demonstrate pe cale analitică. Exerciţiul de faţă exemplifică această afirmaţie. Se scriu mai simplu coordonatele vîrfurilor dreptunghiului în primul caz. ln exerciţiile ce urmează arătăm pentru alte figuri modul cel mai simplu de alegere a axelor de coordonate.

y'

Fig. 2.37

EXERCIŢII

52

AB

$1 PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

2.38. Să se scrie coordonatele mrfurilor unui" paralelogram ABCD, avînd = a, AD = d şi 4 BAD = « < 90° dacă se ia dreapta AB ca axă x' x şi perpendiculara din D pe AB 1 ca axă y'y, ca în figura. 2.38

o

R. : Din 6, AOD avem: AO = el = d sin cc • Deci · A ( - d cos «, O), B (a - d cos «, O D (O, d sin ct), C (a, d sin ct). ,

~-------o

A

=

('

B

y' Fig. 2.38

2.39. Să se scrie ·coordonatele vîrfurilor unui triunghi oarecare, ABC, cînd se ia : a) Ca axă x' x - dreapta AB şi ca axă y'y - perpendiculara din C pe AB (fig. 2.39,a). ca axă y'y - perpendiculara ridicată,

b) Ca axă x'x - dreapta AB şi în A pe AB (fig. 2.39,b). c) Ca axă x' x - dreapta A B şi ca y C

d cos cc, OD

axă y' y perpendiculara ridicată p(A B în mijlocul său, O (fig. 2.39,c). R :'-a) Să presupunem, că sînt cunos~ cute lungimile segmentelor orientate O.A. = = a, OB = b, oe = h; în'.,.,acest caz avem

A(a,o), B(b,o), C(o,h).

b) Să. presupunem că shlt _cunoscute lungimile segmentelor AB = b, AD!,= d, CD.= c; atunci avem "..,A(o,o), B(b,o),

C(ă,c).

tFig. 2.89, a

y

y

y'

y' Fig. 2.39, b

Fig. 2.39, c

PUNCTE

c)

Să

că

presupunem

53

stnt cunoscute segmentele

=

AB 2a, OD = d, DC A(-a,O), B(a,O) C(d,h).

=

h, deci avem

2.40. Să se scrie coordonatele vîrfurilor unui triunghi isoscel ABC, avînd baza BC = 2a şi înălţimea h, cînd se ia ca axă x' x dreapta BC şi ca axă y'y- înălţimea OA, ca în figura 2.40. R. : Deoarece BO

= oe,

avem A (O, h), B (- a, O), C (a,O). 1

y

t I

A

A

:J'

·'

Fig. 2.41

Fig. 2.40

2.41. Să se scrie coordonatele unui triunghi echilateral ABC avînd latura a, cînd se ia ca axă x' x una dintre laturi şi ca axă y'y - înăl­ ţimea corespunzătoare acestei laturi. R.: Deoarece înălţimea triunghiului ABC este aV3 ,

t o

2

lutnd axele ca tn figura 2.41, avem

--

2.42. Să se scrie coordonatele vîrfurilor uniei

romb· ale

cărui

~·---1,---~----1----A

r

C

diagonale au lungimile a,b. ·

R.: Se consideră rombul ABCD (fig. 2.42), avînd AC == a, BD = b. Întrucît diagonalele rombului stnt perpendiculare şi se taie tn părţi egale, se aleg ca axe ?:'x, y'y chiar diagonalele AC, BD, ca în figura 2.42. Avem

/

54

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

2.43. Să se scrie coordonatele vîrfurilor unui trapez dreptunghic A BCD i se cunosc bazele şi înălţimea, cînd se ia ca axă x' x baza mare şi ca axă y'y - latura perpendiculară pe baze, 11 ca în figura 2.43.

căruia

T

R. : Se cunosc AB = b, DC = c, AD = h. Avem r A (0,0), B (b,0), D (O, li), C (c, li).

o1 - - - - - ( '

x

-~A----t--------8---- x y

Fig. 2.43

2.44. Să se scrie coordonatele vîrfurilor unui trapez isoscel ABCD, căruia i se cunosc bazele şi înălţimea, cînd se ia ca axă x' x baza mare şi ca axă y'y axa de simetrie a trapezului, ca în figura 2.44. · R. : Dacă A B = 2a, DC = 2c şi înălţi­ mea este li, atunci avem A (- a, O), B (a,O), D ( -c, li), C (c, /,), 1

y

,..0-----1~--c

x·------------1-----~---x A O 8 Fig. 2.44

y'

Fig. 2.45

2.45. Să se scrie coordonatele vîrfurilor imui hexagon regulat, a cărui latură are lungimea 2a, cînd se ia originea O a axelor de coordonate în centrul său, axa x' x pe o diagonal,ă mare şi ca axă y'y perpendiculara ridicată în O pe această diagonală, ca în figura 2.45.

y

~ ..__

J'

R. : Considerăm hexagonul A BCDEF şi axele de ___,;;..+---....;..'----- I coordonate ca în figura 2.45. Deoarece latura hexago-. nului este egală cu raza. cercului circumscris âpotema. '.este. a'· V[ avem

A,

şi

cum

A ( - 2 a, O), B (-a, - aV3), C (a, - a'V3}, D (2a, O), E (a, a Vij, F (- a, a Vi).

y'

Fig. 2.46.

2.46. Să se determine coordonatele vîrfur,ţ. lor hexagonului regulat cu latura 2 din fig. 2.46, cînd alegem pe OA 5 ca Ox şi pe OA 2 ca Oy. R. : o (O, O) : A1 ( -1 : - Yij: A,a (O; - 2 Ysj ; Â3 (2; - 2 J/3); A, (3; - Yij: Â5 (2; O).

PUNCTE

55

2.47. Se dă paralelogramul ABCD, avînd AB = b, AD = d. Să se scrie coordonatele vîrju,ilor paralelogramului luînd sistemul de axe oblice, în care axa x'x este pe AB, iar axa y'y este pe AD, ca în figura 2.47. R. : Avem A (0,0), B (b, O), D (O, tl), C (b, tl). Se observă că exprimarea coordonatelor paralelogramului este mai simplă în coordonatele oblice dectt în coordonatele dreptunghiulare (vezi exerciţiul 2.38). De aceea în probleme asupra paralelogramului în care nu intervin distanţe, unghiuri sau arii (care se exprimă. mai complicat !n axe oblice decît în axe perpendiculare) se folosesc coordonate oblic~. La fel pentru triunghiul oarecare. J

A3

Fig. 2.47

A~

Fig. 2.48

2.48. Să se scrie coordonatele vîrjurilor hexagonului regulat cu latura 2, cînd alegem ca sistem de axe oblice două laturi consecutive ale hexagonului, ca în figura 2.48. .Y

R. : O (0,0) : A1 ( - 2, O) : A 2 ( - 4, - 2) : A 3 { - 4; -4): A, (-2; -4); A 6 (O;- 2).

2.49. Să se determine coordonatele vîrjurilor unui hexagon regulat cu latura 2a faţă de un sistem de axe Ox, Oy, oblice, formate cu două laturi consecutive ale hexagonului şi astfel ca vîrful opus originii să aibă abscisa negativă, iar ordonata pozitivă (fig. 2.49). R.: (O; O}: (O; 2a); (-2a, 4a); (-4a; 4a); ( - 4a; 2a); (- 2a; O).

x•------~----► K

J' Fig. 2.49

'

56

AD

EXERCIŢII ŞI PROBLEME DE GEOMETRIE

ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

2.50. Se dă paralelipipedul dreptunghic avînd dimensiunile A B = L, = l, AA' = h (fig. 2.50). Să se scrie coordonatele vîrfurilor dacă se iau axele de coordonate : x' x pe AB, y'y pe z AD şi z'z pe AA', ca în figură. R.: Avem A (O, O, O,), B (L, O, O), C (L, l, O), D (O, l, O)• A' (O, O, h), B' (L, O, h), C' (L, l, h), D' (O, l, h).

O'

C.

Distanţa

dintre în plan şi în

I

I I I I I I

I

-----~c ''

Să

Fig. 2.50 Aplicînd

se calculeze lungimile segmentelor AB, AC, BC, BD.

R. : Se ştie [1, cap. II, 3.1] că distanţa dintre punctele M 1 (x1 , y 1 ), M 2 (x2 , Y:1) din planul xoy este dată de formula d = (x1 - X2)8 + (Y1 - Y2) 9•

J

z'

V

această formulă, găsim

= V(5-2)2 + (7-3) 2 = V31 + 42 = AC= 5, BC = 10, BD= 13.

AB

2.52. Să

puncte

spaţiu

2.51. Faţă cu sistemul de axe per„ pendiculare Ox, Oy, se dau punctele A (2,3), B(5,7), C(-1, -1), D(O, -5).

I

J

două

Faţă

5,

cu sistemul de axe perpendiculare Ox, Oy, se dau punctele A(-2,1), B(5,2), C(1,5).

se arate că triu,nghiul ABC este isoscel.

R. : lntrucît triunghiul isoscel are două laturi egale, pentru a. dovedi că l:::,. ABC este iso~ va trebui să a.rătăm că are două laturi egale; în acest scop calculăm, ca în problema (2.51), . lungimile laturilor. Avem AB = 5

2.53.

Faţă

V~

AC = 5, BC = 5.

de sistemul de axe perpendiculare Ox, Oy se dau punctele A (-1,0), B(3,1), C(5, -2), D(1, -3).

Să se arate că patrulaterul ABCD este paralelogram lungimile diagonalelor.

R. : Patrulaterul A BCD este pa.ra.lelogram gimile laturilor patrulaterului, găsim AB

= v11.

BC

=

dacă

=

v13. CD== v11. DA= 2

se calculeze

laturile opuse stnt egale. Ca.lcultnd lun-

Patrulaterul este deci paralelogram. D1ago11a.lele sînt AC

şi să

V10, BD = 2 Vs.

V13.

PUNCTE

2.54.

Faţă

57

cu sistemul de axe perpendiculare Ox, Oy, se dau punctele A(-1, -2), B (3;1).

Să se afle coordonatele unui punct M astfel încît triungMul ABM lateral.

R.: Nottnd K, y coordonatele punctului M, din condiţiile AM2 deducem sistemul de ecuaţii (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 25, (.ţ' - 3)2 (y - 1)2 = 25.

=

să

fie echi-

AB9, BM2

=

AB2

+

Rezolvind sistemul,

găsim două. soluţii

:

M,(2 -: va .-1~4Yi} M,{2 +:Va. -1-/ Va).

faţă

2.55. Să se demonstreze că triunghiul ABC, ale cărui vîrfuri raportate de un sistem de axe perpendiculare au coordonatele

A(-1, 1, 2), B(3, -1,0) şi C (: , 3, ~}, este isoscel. R.: Se

calculează distanţele

AB, AC

şi

BC

AC= BC

şi

=

se

găseşte

V269 • 4

2.56. Fiind dat triunghiul isoscel ABC şi un punct M variabil pe dreapta conţine baza BC, să se arate că expresia AM2 CM·l.fB are o valoare constantă.'

_care

+

R.: Pentru a reduce calculele, considerăm un sistem de axe avînd originea O 1n piciorul perpendicularei duse din A pe BC, ca axă Ox - dreapta BC şi ca axă Oy - dreapta A.O. Avem A (O, a), B (- b, O), C (b, O) şi M (ct, O), unde ex este o cantitate variabilă. Calculînd lungimile segmentelor care

Vr,. + a

,

= (cx9 + a 2)

-

AM=

2

2

intră

în problema

CM= cx - b, MB= - (b

Rezultă

AMD

+ CM

• .MB

dată, găsim

(ex - b) (ex

+b) = a

2

+ b2

+ ex). (constantă).

2.57. Faţă cu, un sistem de axe perpendiculare, se dau punctele A1 (O, 7), A 2 (2, O), A 3 (-7, 5). Să se determine natura triunghiului A 1A 2A 8 comparînd lungimile laturilor. R.: Avem A1A11 = Vss; A1Aa = f 53, A2A3 = Y106. Triunghiul este isoscel, cu vîrful în A1, el este

şi

şi,

cum

A 1Ai + A 1 A! dreptunghic, cu unghiul drept în A1 .

=

A 2A§,

58

să

EXERCIŢII ŞI

ŞI DIFERENŢIALA

PROBLEME DB GEOMETRIE ANALITICA

2.58. Fiind date A 1, aşezat oricum, şi A 2, A 3 , A, - trei puncte pe o se demonstreze relaţia lui Stewart

A 1AI ·A 8A 4 R. :

Luăm

+ A 1Af ·A A + A 1AJ ·A A + A A 2

2

4

şi

dreapta A 2A 3A 4 ca Ox

3

3

perpendiculară dusă

o

4

·A 4A 2 ·A 2A 3

axă

= O.

din A1 pe A 2A 3A 4 ca

axă

1n acest caz putem pune: A1 (0,a1 ), A 2(a2,0), A 3(a3,0) şi Aia.,O). Substituind A1A7

+ ai şi A i k = ak -

- ,

ai , se verifică relaţia.

Oy.

= ai +

2.59. Fiind date două puncte M 1 (x1 , y 1), M 2 (x 2 , y 2) raportate la două axe oblice Ox, Oy, care formează între ele un unghi 8, să se exprime distanţa M 1M 2 în funcţie de coordonate şi unghiul 8. R. : Fie;,;, versorii axelor Ox, Oy; în acest caz avem M1 M 2

= (x2

u+ (y

x1 )

-

2 -

) 11 )

v.

Înmulţind, scalar, cu el însuşi vectorul M1M2, obţinem .M"1Mi = (x2 +2 (x2 -x1 ) U's-)'1 ) + (y2 - y1 ) 2 v2, de unde rezultă

X1) 9

u.°v.

M1M2

= V(xa -

¾i)a

+ (Ya -

Y1)2

+ 2 (x2 -

9

x1) (Y2 - Y1) cos 8.

2.60. Să se calculeze distanţa dintre punctele M 1 (-2;3) ,aportate la axele Ox, Oy, care Jac unghiul 6 = 120°. R. : M1M2

u+

şi

M 2 (4;5)

= 2 V1.

2.61. Să se determine perimetrul triunghiului ABC, ale cărui vîrfuri au coordonatele A(-1, 3), B (2,2), C (4, -1), triunghiul fiind raportat la un sistem de axe oblice, al căror unghi este de 60°. R. : 2Vf + V21 = Vf c2 + V3). 2.62. 1n raport cu un sistem de axe oblice al căror unghi este de 60° se dau două vîrfuri, M 1 (1,3), M 2 (0,1), ale triunghiului echilateral M 1Maillf3 • Să se determine coordonatele celui de-al treilea vîrf, M 3 • R. : Pentru a determina coordonatele (x, y) ale celui de-al treilea vîrf, scriem că .tll3 Jl/1 = = :.NI3 lvl2 = M 1M 2• Avem astfel de ·rezolvat sistemul

+ (y-3) + (x- 1) (y-3) = 7, + (y-1) + (y-1) = 7, 2

(x-1)2 x2

soluţiile:

care admite Există

deci

două

2

(3, O), ( -

12 31

X

84

,

31

).

triunghiuri echilaterale, care

răspund

problemei date.

2.63. Să se determine unghiul c.> al axelor Ox, Oy, astfel ca punctele M 1 (-1,3), M 2{2,5) să fie 4. R.: Trebuie să avem: Vc2

rezultă

cos

CI)

= 2-, 4

care

dă

=

+

1) 9

+

arc cos

(5 - 3) 2

.!.. • 4

+

2 (2

+ 1}

(5 - 3) cos

distanţa

=

dintre

4, de unde

- l

59

PUNCTE

2.64. Să se exprime-distanţa dintre două puncte, M 1 (x1 , yi), M 2 (x2 ,y2), din planul a două axe oblice, Ox, Oy, determinate prin versorii respectivi e1 , e2 • R. :

Ridicăm

la

pătrat,

scalar, egalitatea.

=

(x2

=

(x2

M1 M2

Rezultă.: M 1 Mi

=

M 1Mi

+ (Ya - Y1) ei Notind : 12 = 1. ; 1 = g11, 2

Bi· ~

; 2

e;. (x2

x1 ) (y2

-

-

.Y1 )

+~

= g12 şi~

= ;; •Cs = g21, avem

= Vc11(X2 - X1) + 2 C12 (x2-X1) (Y2-Y1) + 822 (Y2-Y1)( raport cu triedrul dreptunghic Oxyz, se dau punctele A(-2,3,1), C(10, 0,5), D(2,15, -2). calculeze lungimile segmentelor BC, BD, CD. arate că avem AB = AC = AD. 2

M1M2

2.65. În B(1, -1,13), a) Să se b) Să se

x1 ) 2

y1 )

0

e

e

+ (y9 -;f + 2 ; 1

x1) ~

-

-

vectorială.

R. : a) Se ştie că distanţa dintre punctele M1 (x1 , y 1 , z1), M 2 (x2, y 2, z2), raportate la un sistem de axe perpendiculare, este

= V(x.1 -

d

Astfel

găsim

X2) 2

+ (.Y1 -

Y2) 2

+ (z1 -

z2) 2,

J BC

=

V(l0-1) 2 +(O+ 1) 2

BD= Y482,

+

(5 -

13) 2

=

V146,

CD= V338.

= 13, CA = 13, AD = 13. 2.66. Să se afle distanţa dintre punctele A (1, -3, -1) şi B (2, 2, 5) raportate la un sistem de axe perpendiculare. R.: AB = ffi, 2.67. Se dau punctele A (2, 1, -3), B (4, -3, 5), C (O, -1, 7) raportate la un sistem de axe perpendicielare. Să se găsească pe Oxy un punct M, astfel încît MA = MB = MC. R.: Notînd M(x,y,O) din MA 2 = MB 2 = MC 2, deducem sistemul de ecuaţii (x - 2) 2 + (y - 1) 2 + 9 = (x - 4) 2 + (y + 3) 9 + 25 = x 2 + (y + 1) 2 + 49,. b) Ca.lcullnd lungimile segmentelor AB, AC, AD,

găsim

AB

de unde

= - 3, y = - 6,] 2.68. Se dau punctele A (3, 2, 1), B (2, 1, 1), C (3, 1, 2), D (2, 2, 2) raportate la un sistem de axe perpendiculare. Să se arate că tetraedrul este echilateral. X

R. : Calcultnd lungimile celor 6 laturi, găsim pentru fiecare valoarea

V2.

2.69. Să se exprime distanţa dintre două puncte, M{(x 1 , y 1 , z1), M 2(x2,y2 ,z2), din spaţiu, raportate faţă de trei axe oblice, Ox, Oy, Oz, determinate prin versorii respectivi, e1, e2, ea. R. :

Ridicăm

la

pătrat,

scalar, egalitatea.

M 1M 2 Rezultă

=

e

vectorială.

(x2-xJ 1+(Ya-YJ ~+(z2-z1)

ea.

60

EXERCIŢII ŞI

Dacă

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

notăm

e:= g;; M1Af2

ŞI DIFERENŢIALA

= Yen

şi e; • e1:

= Kik,

avem

zJ"' +

(xz -x1)2 + g32 (Ya - Y1):s 1+ Caa (za -

+ 2g13 (xa -

X1) (z2 - Z1)

+ 2g23

2C11 (xa -

(Ys - Y1)

xi)

CYs - yi) +

(za - zi).

D. Raportul în care un punct împarte un segment dat 2.70. Se dau punctele A (1, 2), B (5, 4) faţă cu un sistem de axe perpendiculare Ox, Oy. Să se determine pe dreapta A B: a) punctele L, M, N, care împart segmentul AB, respectiv, în rapoar1 3 tele - · - 3 · - - • 3 '

'

5 '

b) punctele P, Q, care împart segmentul BA, respectiv, în rapoartele:~; 2. R. : Se ştie [1, cap. II, 4.1) că fiind date două puncte, lvl1 (.i-1, y1 }, .l{2 (x2 , y 2), raportate la axe dreptunghiulare sau oblice, coordonatele punctului M, care împarte segmentul M 1M 1 1n raportul

stnt (1) a) Pentru punctul L avem

1+.!..5

+-31 ·4 5 --1--=2. 2

3

x = - - - - =2, 1 1 + -

Y=

1

3

+ -3

Deci

L

(2, i) ·

Analog găsim: M (7, 5), N (- 5, -1). b) Pentru punctul P avem

5 X=

+-31 •1

----=4,

1

+ .!..

obţinem : Q

(; ,

3

1

3

Deci

La fel

4+.!.-2

: ) •

7

v=----=-•

+ .!.. 3

2

PUNCTE

61

2.71. Se dau punctele A(-3, 2), B (3, -1) fată cu un sistem de axe oblice Ox, Oy. Să se determine pe dreapta AB: a) punctele L, M, .care împart segmentul AB, respectiv, în ,apoar1

1

5;

tele

-4;

b) punctele P, Q, care împart segmentul BA, respectiv, în rapoartele 5 ;..;_ .!. • 2

-R.: Se

procedează

ca în problema

(-2, Î),

a)

L

b)

P (-:-2, : ) , Q (9,-4).

Observăm că

precedentă,

folosind formulele (1).

Obţinem

M (5, -2)

punctul L, care împarte segmentul AB în raportul

.!.. , este acelaşi

cu

5

punctul P, care împarte segmentul BA în raportul 5. Proprietatea este arăta în exerciţiul următor.

generală,

cum se va

2.72. Fiind date punctele A, B în plan sau în spaţiu, să se arate că:. · a) Punctul care împarte segmentul AB în raportul k este acelaşi cu punctul care împarte segmentul BA în raportul .!.. • k

b) Punctele care împart segmentele AB, BA în raportul k sînt simetrice faţă cu mijlocul segmentului A B. R.: a) Considerăm dreapta AB ca axă. x'x şi fie A(a), B (b). Punctul M, care împarte seg-

mentul AB în raportul MA MB în

BN

raportul NA

N au

-

aceeaşi abscisă,

= k, este M ( a 1

. -1 , arc a b sc1sa. x k

=

+ kb). +k 1 b+ k 1

Punctul N, care împarte segmentul AB · a

a+ bk - - - . întructt punctele M,

1

1

+k

ele coincid.

BP b) Punctul care împarte segmentul BA în raportul PA

Punctele

+k

M şi P sînt simetrice faţă de punctul

întructt MQ

=

a

+b

QP

=

b

1

+ ak +k

+ kb 1 +k a +b 2

a

_

2 _

Deci

= =

Q(a ;

=

b),

k este

P(b+all)• l+A

mijlocul segmentului AB,.

(1 - k) (b - a) . 2(1 + k) (1 - k) (b - a) 2 (1 k)

+

= QP. 2.73. Se dau punctele A (2, -1), B(-2, -3), C(4, 5) raportate la un sistem de axe perpendiculare . . a) Să se afle mijloacele laturilor triunghiului ABC. b) Să se afle coordonatele centrului de greietate al triunghiului. c) Să se calculeze lungimile medianelor triunghiului. MQ

62

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALtTICA

ŞI DIFERENŢIALA

R. : a) Fiind date _punctele .w.f1 (x1 , y 1 ), M 2 (x2 , y 2), raportate la un sistem de axe perpendiculare sau oblice, coordonatele mijlocului Mal segmentului M 1 M 2 sînt X

=

+

Xi

=

y

X2 •

Y1

2 Dacă

+ Y2

•

(1)

2

A', B', C' sînt mjloacclc laturilor BC, CA, AB, aplicînd formulele (1),

găsim

A'(t, 1), B' (3, 2), C' (0,-2). b) Fiind date punctele M 1 (x1 , y 1 ), M 2 (x2 , y 2), Jlf3 {x3 , y 3 ), raportate la un sistem de axe perpendiculare sau oblice, se ştie ca G - centrul de greutate al triunghiului M 1M 2M 3 [1, cap.II, 4,2:i arc coordonatele X1 + X2 + X3 X=-------,

+

tn

+

Y1 Y2 Ys y=--.;;;.._-·

3

3

~ . G (4 cazu 1 cxerc1·ţ·m l u1. gasun

, 1)• 3 3

cj AA'

= Yf.

B1J'

= sV2,

CC'=

V6'5.

2.74. Să se determine lungimile medianelor triunghiului M 1M 2M 3 , avînd coordonatele vîrfurilor M 1 (-1,3), M 2 (3, -5), M 8 (-5, 1) raportate faţă de axele oblice cu unghiul eo = 60°. R. = M1Mf = s: M2M; = .M3M~ = 2

v:m;

v1.

2.75. Se consideră pimctele A(x1 , y 1 ), B (x2 , y 2). Să se afle: a) Coordonatele simetricului punctului A faţă de B. b) Coordonatele simetricului punctului B faţă de A. R.: a) Fie P simetricul lui A

faţă

de B. Avem AP

-- = PB

deci P (2x2 - x 1 , 2y2 - )'1), b) Notînd Q simetricul lui B

faţă

2,

cu A, avem

AQ

1

QB

2'

--=

2.76. Fie A(-1, 3), B (4,-5) două vîrfuri consecutive ale unui paralelogram şi M (3, 1) pimctitl de întîlnire al diagonalelor AC, BD. Să se calculeze coordonatele punctelor C, D. R. : tntrucît diagonalele paralelogramului se taie în părţi egale, C este simetricul lui A de M şi D simetricul lui B faţă de M. Se aplică rezultatele obţinute în exerciţiul (2. 75) la a) şi se obţine C (7, -1), D (2, 7). faţă

2.77. Fiind date punctele A(2,_i), B (3, 5), C (7, 6), tele celui de-al patrulea vîrf al paralelogramului A IJCD. R. : Se

aţlă

întîi coordonatele punctului

mului. tntrucît M este mijlocul lui AC, exerciţiul

(2.75)

şi obţinem

D (6, 2).

găsim

1'\f

de

M (

intersecţie

¾, i) .

să

se afle coordona-

al diagonalelor paralelograApoi se

procedează

ca ln

PUNCTE

63

2.78. Fiind dat triunghiul ABC şi punctele A', B', C', care împart, respectiv, laturile BC, CA, AB în acelaşi raport, să se arate că triunghiurile ABC, A'B'C' au acelaşi centru de greutate. R.: Faţă. cu un sistem de axe perpendiculare sau obiice, avem A(x1 , y1 ), B(x2 , y2), C(x3 , y3 ) şi, cum BA' CB' AC'

-- =

=

k, - -

A'C

B'A

k, - -

C'B

=

le,

rezultă

A, [

+

X11

Ya

kxa ,

1+k

+

+

kya ] , B' [ xa

1+k

kx1 ,

Ya

1+k

+ ky1 ] ,

C' [

1+k

+ kx2 l+k

X1

,

Y1 + ky,_ 1 k

+

Jl •

Centrul de greutate al triunghiului ABC este

G[

X1

+ ; + Xs

Y1

•

+ Y; + Ys] .

Abscisa centrului de greutate G' al triunghiului A I B'C' este x

.!.[. x

=

3

2 + ltx3 1+/i

Ordonata lui G' este y

+

+ kx1 l+k

x3

+

+ kx2 ] l+k

x1

.,, +.,,..- +.,,3 • = 1

=

x1

+ ,i-2 + x3 • 3

3

lntrucît G, G' au aceleaşi coordonate, ele coincid.

2.79. Mijloacele laturilor unui triunghi ABC fiind: A'(-1, 3), B'(5, 7), C'(3, 1), să se afle coordonatele vîrfurilor A, B, C, respectiv opuse lui A', B', C'. R.: lntrucîtA', B', C' împartlaturile BC, CA, AB în acelaşi raport + 1, triunghiurile ABC, A'B1C' au acelaşi centru de greutate G. Cum cunoaştem coordonatele vîrfurilor triunghiului

(:!.., .!.!.). Dar A împarte segmentul A'G în raportul A'A = -

A'B'C',găsim G

astfel

găsim

3 3 A(9,5). La fel deducem B( - 3, -3), C (1, 9).

AG

!_, şi 2

2.80. Fiind date A'(6, 4), B'(3, 1), C'(4, 6) mijloacele laturilor BC, AC, AB ale triunghiului ABC, să se determine coordonat_ele vîrfurilor A, B, C. R.: A (1, 3), B (7,9), C (5,-1).

2.81. Fiind date coordonatele mijloacelor laturilor imui poligon cu un de laturi, M1 (x1, y 1 ), M 2 (x2 , y 2) , ••••• , M 2,,-1 (x 21,-1, Y2n-1), să se afle coordonatele vîrfuri'lor acestui poligon. număr impar

R. : Notînd cu A 1 A 2 latura pe care se află Jlt/1 , A2A 3 , pe care se află M 2 , ş.a.m.d. şi cu(xy) coordonatele lui A 1 , atunci A 2 are coordonatele (2x1 -x, 2y1 - y), A 3 are coordonatele (2x2 - 2x1 + x, 2y2 - 2y1 + y) etc. Punctul A 2,,_1 a.re coordonatele (2x2n_2 - 2x2n-a + + ... ; 2y2 n_2 - 2y2n-a + ... ), iar A 1 care urmează în această ordine lui A 2n_1 va avea (2~2 n-1 - 2x2n_2 + ... - x, 2y2n_1 - 2y2n_ 2 + ... - y). Scriind că X= 2x2 n-l - 2x2 n_2 ••• -x,

obţinem X

=

X2n-1 -

X2n-2

+ X2n-a··· + X1

şi analog Y

= Y2n-1-Y2n-2 + Y2n-a•·· + Y1·

2.82. Prin considerarea centrului distanţelor medii a patru puncte, Ai, A 2, A 8 , A 4 , să se demonstreze că dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse ale unui patrulater sînt concurente cu dreapta care uneşte mijloacele diagonalelor. R.:

Dacă

Ai (xi, Yi), atunci centrul C al distanţelor medii are coordonatele

x

=

X1

+ X2 + Xs + x« 4

•

y

=

Y1

+ Y11 + Ya + Y« 2

.64

EXERCIŢII ŞI

A vînd în vedere

1 - (x1 4

că

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

putem scrie

+ .i-2 + X3 + x,)

rezultă adevărul

clin

enunţ.

2.83. Să se demonstreze analitic că mediana corespimzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este jumătatea ipotemezei. R.: Considerăm triunghiul dreptunghic AOB (fig. 2.83) ale OB =b. Lutnd axele Ox pe OA şi Oy pe OB, avem A (a, O), B (O, b), de unde AB= Va 2

+ b2,

= -21

iar

cărui

catete sînt: OA

M(-2a , !!_); deci 0;1,/ = 2

y-a +b = 2

2

1

-

2

v~ 4

=

a.

+~ 4

A B.

Observa/ie. Reamintim că demonstraţia. geometrică a acestei probleme cere construcţii ajutătoare care pot forma obiectul unor încercări mai lungi pentru rezolvitori. Rezolvarea analitică este însă. directă. Această constatare formează unul dintre avantajele metodei analitice în rezolvarea problemelor de geometrie. Menţionăm însă că în unele cazuri calculele cerute de metoda analitică sînt mai lungi declt raţionamentele ce se folosesc în aplicarea metodei sintetice. J

t 8

;;-----1-:lo::;----~-·--,

I

O _ _ _ _ _ _..,A------1- x

!'

Fig. 2.84

Fig. 2.83

2.84. Să se demonstreze analitic că segmentul care uneşte 1nijloacele a laturi ale unui triimglii este paralel cu latura a treia şi egal cu j1emătatea ei.

două

R. : Considerăm triunghiul ABC (fig. 2.84) Alegem ca axă x'x dreapta BC şi axa y'y A (O, a), B (b, O), C (c, O).

şi M, N mijloacele laturilor înălţimea dusă din A. Avem

Rezultă M

A B, AC.

(!.2 , ~)• N (!..., ~) • 2 2 2

·: __ . ;·

_ PijNCTB

65

aceeaşi ordonată,

Deoarece punctele M, N au

MNll~x.

Apoi

ObservaJie. prin metoda

Demonstraţia analitică. sintetică.

este mai

simplă.

decît aceea

dată

tn cursul medi11

2.85. Să se demonstreze analitic că segmentul care uneş_te mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez este paralel cu bazele trapezului şi egaţ, ~~ semisuma lor. · _ 1 ,\

y

R. : Considefă,m trapezul A BCD (fig. 2 .85) şi luăm axele de coordonate · ::'x pe A B, y'y perpendiculara dusă din D pe AB. Avem A (a, O), B (b, O), C (o, ă), -D· (o, el)., -

.

t

I

C

M, N, fiind mijloacele laturilor AD,

BC,

rezultă.

M(;, :),

Nr;c, :)•

Deoarece M, N au aceleaşi ordonate, MN li ¾'x.

' ' - - - : - - ; ~ - - - - - - - ~ - - - -> O o '

MN=Vr~c-;)'= = C

•

I

şi

1

1 -:-(b+ c-a)=- (AB 2 2 .

Y'

+ DC).

Fig. 2.85

2.86. Se dau punctele A(-1, 2, 3) şi B (2,-1, 4). D de pe dreapta _A B, astfel ca să avem_ _ AC

GB R. :

Dacă

în raportul

M1 (x1 , y1 ,

=3

• AD şi DB

se

·

·

care împarte segmentul M 1M 1

M1M =k, MM1

are coordonatele

y= Astfel

-2028

Yt + ky2 1+k

1+k

obţinem

C ( : , ~l,

1 :)

şi D,

găsească punctele

=-2.

zJ, M 1r(.r1, y 2, z2) se ştie că punctul M ·

Să

(5, -e-4, 5). --

EXERCIŢII ŞI PROBLEME DE

66

GEd.MB'îRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

2.87. Fiind date punctele A (-2, 3, -5), B (4,· 12, 7), să se afle coordonatele următoarelor puncte ale dreptei A B a) M de abscisă 2; b) N de ordonată O; c) P de cotă -1. R. : a)

Dacă

·

. -AM k est~ raportul - - , avem ·· · MB

şi

M (2, y, z)

2

=

+

-2 + 4k, 1+k

3 12k y=---

~-

-5

1+k

Din prima ecuaţie aflăm k = 2, apoi y = 9, z . Analog afl~m N (-4, 0,-9),_P (0,_6 - 1)._

=

+

7k

t+k

3; deci M (2, 9, 3} . .

2.88. Două .-vîrfuri ale uneia din feţele unui paralelipiped sînt A (-1, 2, 2) .; B (3, 1, -1), iar punctul de intersecţie a diagonalelor aceleiaşi feţe ·este M 1 (4,3,1). . . Centrul paralelipipedului fiind M (5, O, 3), să se determine coordonatele celorlalte 6 vîrfuri ale paralelipipedulu,i. R.: C (9, 4, O); D (5, 5, 3); A' (1,-4, 6); B'(5, -5, 3); C'(ll.-2,-4); D'(7, -1, 7).

2.89 Să se arate că patru_lateru~ ABCD, avtnd A (3, -1, 2), B {-1, 1, 10), C {-1, 7, 6) D {3, 5, - 2) este un paralelogram. R.: Se poate arăta că AB = CD, AD = BC calcultnd lungimile celor 4 laturi. · Mai simplu însă este să se arate că diagonalele AC,BD·au acelaşi mijloc• .Mijlocul diagonalei AC este M 1 (1, 3, 4), iar mijlocul lui BD este M 2 (1, 3, 4); M 1 şi M 1 - avtnd aceleaşi coordonate - sînt confundate, deci A BCD este paralelogram. · ·

2.90. Segmentele care unesc mijloacele muchiilor opuse ale unui tetraedru sînt concurente în mijlocul lor. · R.: Considerăm tetraedrul A 1A 2A 3A 4 avînd A; (xi, Yi, z;), i Mijlocul muchiei A 1A 2 este punctul M

(

X1

+ Xa 2

12

Y1

'

=

+ Ya

~1 :

+ Y,

Z3; Z4) •

1, 2, 3, 4,

Zz ) ,

2

iar mijlocul muchiei A 3 A, este .IM 3-1

X3

+ X4

( ----------2

•

Y3

2

Segmentul M 12M 34 are mijlocul în

1

G [~ 4

A 1 A,

:~: :>~; . 4

1 4 ] -Ez; . 4 i=l

i=l

Analog se arată că G este mijlocul segmentelo1: formate de mijloacele muchiilor A1Aa, şi al segmentului format de mijloacele mucllillor A 1A,, A 2 A 3 •

2.91. Să se arate că într-un tetraedru dreptele care unesc vîrfurile cu centrele de greutate ale feţelor opuse sînt _cncurente. R.: Considerăm tetraedrul A 1 A 2 A 3 A, raportat la un sistem de axe perpendiculare sau oblice, şi fie A; (x;,y;, z;),i = 1,2, 3,4. Centrul de greutate al feţei A 2 A 3 A, este punctul G1 [ Xz

+ ~ + .x, •

Y2

+ y; + Y.a '

Z2

+ ~ + Z4 ]

•

7 i

, ..

! ~

•

PUNCT8

.

·

AG Luînd pe dreapta A~G1 punctul G, care împarte segmentul A1G1 în raportul-1 GG1 1 4 1 4 t 4 ] G Xi, -}'y;, z; • [ 4~ 4 4 f;;;{ I

•

.

•

= 3, avem

-E

->'

i=l

Notind G2 centrul de greutate al feţei A 1 A 3A,, se găseşte că punctul care împarte segmentul A,,.G„ în raportul 3 este tot G. La fel pentru dreptele A3 G3 , A 4G4 , unde G3 , G-a sînt centrele de greutate ale triunghiurilor A1A2 4,, A1A2A8 , Observaţie. G este punctul în care se întilnesc şi dreptele care unesc mijloacele muchiilor opuse (problema 2.90). Demonstraţie vectorială la (1.101).

2.92. Fiind date şase puncte distincte, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , situate oricum în spaţiu, să se demonstreze că dreptele care unesc centrul de greutate al fiecărui triunghi A;A;Ak (i,j,k distincţi, egali cu 1,_2, 3, 4, 5, 6) cu centrul de greutate al triunghiului format de celelalte trei puncte sînt · concurente.

= 1,

R.: Faţă de un sistem de axe, avem _A; (x;, y;, zi), i A A 1A 9A 3 şi A A,A 5A 8 • Primul are centrul de greutate G [Xi

+ Xs + Xa ,

Y1

+ Ys + Ya ,

3_

3

2, 3, 4, 5,

:6.

Considerăm

31 + z2 + za ] • 3.

Al doilea triunghi are centrul de greutate

G' [ x,

~

;

+ ~e , Y, + ~ + Ye ~ . z, + ~ + Za]

•

Mijlocul segmentului GG' este punctul 1 6 C(Xp' G p=l

1

6 E G

E

-

-:-

P=l

Yp,

6 ) •. -1 E-Zp G P=l

. .

. Deci dreapta GG' trece prin C, centrul distanţelor medii al~ -?ţl9r: şase · puncte A P•. (P, = .. ·- ' . La fel se arată. că. dreapta care uneşte centrele de greutatţ ale triunghiurilor· 4 1A1A.;,, AgA 5A 8 trece prin C. - · · · . , • i ln general, luind A A;A;Ak şi A A1AmAn (i, j, k, l, m. n distincţi, egali cu 1, 2, ;3,_ 4, 5, 6) dreapta care uneşte centrele lor de greutate · . . - · ' · , ··.. ·. ·. ·

·

·= 1, 2...6),·

G1

[.!..3 (x; + Xj + Xk),

G1'

f.!..cx,·+ Xm + Xn), 3 ·

..!._ (y; + Yj + Yk)., ..!_ 3

3

.!_ (Yl 3

+ Ym + yn),

(z;

.!_ (z1 3

+ z; + .Zk)],

+

Zm

+ Zn)]

trece prin C, intrucît C este mijlocul segmentului G1G~. lntr-adevăr, -1 (1 - (x; + x; + Xk) 2 3 La fel pentru ordonată. şi cotă,

+ . -1 3

(xz

j

6

E 6

+ x,n + Xn) = -1

x p·

P=l

E. Centre de greutate 2.93. Fiind date punctele Ai, A 2 , în care sînt aplicate masele ).m1 , ).m2, centrul de greutate G al sistemului este punctul care împarte segmentul A 1 A 2 AG m . ·· în raportul-·1 - = _a • GAa

ffli

68

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETI'{IE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

R.: Considerînd dreapta A 1 A2 ca axă. :Ix abscisa centrului de greutate G este X

=

ffliX1

m1

de unde deducem

şi

luînd A1 (xJ, Aa (.\'2), se

ştie

[7, p. 143]

că

+ ffl2X2 + m2

m care arată că G împarte segmentul A1A2 în raportul - 2 ffli

•

2.9~. Punctul G de pe A 1A 9 , pentru care avem. GA --= - -m , 1

2

GA.a

tni

este centrul de gr~utate al sistemului de _puncţe A1, A 2 , în care se masele ).m1 , ).m2 , U;nde  este un parametru oarecare. R.: Luînd pe A 1A11 ca axă. x'x

şi

X1

află,

plasate

A1 (x1), A2 (x2), G·(x), avem

t"9 ffli

+. -

Xz

'.. x=-----1 + m2

m1

+ m2

m1

deci G este centrul de greutate indicat în pro]?1emă.

2.95. Fie dat triunghiul ABC şi trei numere reale, m11 m2 , m3• Dacă A', B', C'· sînt punctele care împart laturile BC, CA, AB, respectiv, în 'f.aP..oartele .!!! , -~, .!!!! , să se arate că dreptele AA', BB', CC' sînt concurente. Putţctu.l

ms

ma

mi

.

.

·

.

·

· ·

de concuren/ă este centrul ·de greutate ·al sistemului ăe puncte A; B, C, în car.e sînt aplicate _masele m1, m2 , m3 • . · · · ·· R: Consiclerînd un sistem de axe în planul ABC, avem A (x1 , y1), B (x2, y2), C (x3 , y3).

Rezultă

AI

r

+ ffl3X3 m2 + ffla

ffl2X:

'

11J2Y2

+ ffl3'3]

ffls + ffla Notind cu Gpunctul ca.re împarte segmentul AA 1 în raportul m 2 +ma . . ffli

fi+

ffl2

+

,

i

•

coordonatei~ lui G $ t

ffl3 ffli.X1

+ ffl2X2 +• ffi:JX3 + ma + ma

m1 şi

+ + Y=-------tni + ma + ma ffl1Y1

ffla.Y2

ffla.Ys.

Dar acestea sînt tocm~ coordonatele centrului de greutate al sistemului format de pu:o,ctele A, B, C, în care sint aplicate masele )..m1 , Âffl 2 , Âm3 • · · · · · La fel se arată că G aparţine dreptelor BB', CC'.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -69 · ··

· · PUNCTE

.. 2~96: ·Medianele unui triunghi sînt concurente. R.: Consiclerăm triunghiul ABC şi notăm A'. B'. C' mijloacele laturilor .8C. CA, AB. tntructt A'. B'. C' lmpart laturile respective tn raportul 1. problema este un caz particular al ptoblemei 2.95. tn care mi= 1, m2 ~ 1. m8 = 1. Punctul de concurenţă este

(X1 + X2 +

G

Y1 + Y2 + Ys) ,

Xa ,

3

.3

care reprezintă centrul de greutate al sistemului format de putţctele A. B, C, tn care se aplică mase egale cu m. Punctul G este totodată centrul de greutate al plăcii ABC (7, p. 149] (vezi şi 1 °100).

2.97.

Să

bisectoarele interioare ale unui triunghi stnt

că

se demonstreze

concurente. şi

R.: Considerăm triunghiul ABC, ale cărei laturi sînt BC A'. B'. C' - picioarele bisectoarelor. Se ştie că BA'

c

A'C

b

GB' B'A

a

--=-, --=-, C

= a,

CA

AC' b --=-. C'B

Rezultă. că

problema este un caz particular al problemei 2.95, tn care se ia

Rezultă că

dreptele AA '• BB'. CC' sînt concurente tn punctul

m1

= a.

~

=

b,

r( ax + bx + cx

3 •

2

1

a+b+c

= b. AB = c

ffla

= c.

_ay1 + by2 + cy3) a+b+c

,

~ este cen~l de greutate al sistemului format de punctele A, B, C, în care se- aplică masele. M, )b. :Ac (vezi şi 1 • 105). · ·

. .. 2.9Ş. Fiind dat în plan sistemul de bare omogene OABC (fig. 2.98), a'Oind lungt"mile a, b, c, să se afle centrul de greutate Gal sistemului. . . R. : Considerăm un sisteiµ de axe perpendiculare-cu,-origin~a în O, faţă de care A (~1 • ·y1), B (x9 y2), · C (.i'jj,. y 3). Centrul de greutate al barei OA este tn

(-1., 2 .

mijlocul barei OA, punctul A 1

Y1-;Ys),

C'

cs:X3,

Y2;Ya) •

o

. . ·.. . _ . Centrul de greutate G este c·entrul de greutate al ,sistemului A', B'. C'. tn care se aplică .masele Âa; ).b, :Ac. Deci coordonatele lui G stnt

Âa X1-

+ ).b

X1

+ X9

2

Fig. 2.98

+. ,,; x2 .'.f- x 3

2 ·

2

X=--------------ui+"J.b+u şi

(a

+

b).t41

(a.

+ b)

y 1 + {b + c) y 2 2(a + b + c)

+ (b + c:) Xs + CXa

2 (a+ b

.

Y :-:-

IJ

8

.Yi) . Centrele 2

de greutate ale barelor AB, BC sînt mijloacele

B'(x1;Xi,

A

+ cy8

+ c)

'

70

EXERCIŢII ŞI

ŞI DIFERENŢIALA

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

2.99. Să se determine poziţia centrului de greutate al unei figuri filiforme avîndjorma şi dimensiunile din figura 2.99. · . :. R.: Luăm AB ca Ox şi mediatoarea segmentului AB ca Oy, cu sensul ppzitiv îndreptat ln jos. Procedînd ·ca în exerciţiul (2.98), centrul de greutate G situat pe Oy are ordonata· y

b2

.,, = - - - ·

.

a+

2b

f

A

o

A

8

Q

o

6

f

"

I

/J ~

N-1::l

H

},

I,

·l

o

D

,

C

o

Fig. 2.100

Fig. 2.99

Să se determine poz_iţia centrului de greutate. pentru figura fili2.100, unde AD, DC, GB ·sînt trei laturi ale unui dreptunghi, iar AEB est~. im semicerc! Dimensiunile sînt cele din figură. '

. 2.100.

formă

,

. R.: Luăm' ca Ox pe DC şi ca Oy mediatoarea segmentului DC. Din cauza simetriei figurii faţă de Oy, centrul de greutate se află. pe o.,,. Centrele de greutate ale părţilor filiforme ·stnt

(DC) cu

o (O, O);

(AD) cu M ( -

;- ' : ) ; (BC) cu N

f;-' : )şi {~EB) cu, L (O, b+;)..

[A se vedea 8, pag. 85]. Rezultă că

căutat

ordonata centrului de greutate

y

este

+ 2b2 + 1tab (2 + 1t)a + 4b,

aZ

y=

2.101. Să se determine centrul de greutate al figurii filifornJ,e formate d.~. semicercurile. AB, BC, CD, toate cu· . diametrele lor aşezate pe o aceeaşi axă. R. : Lutnd

ca axe : · dreapta BDCA şi perpendiculara în B pe dreapta BA ca Oy şi ţintnd seama că AB = a; BC = b şi CD = c, atunci coordonatele centrelor de greutate ale semicercurilor AB, BC, C!J sînt, respectiv,

8 t----~---+--,_,j11.:----- X (fig. 2.101) ca Ox

Fig. 2.101

.

L (; ;

: );

M (

i' - :);

. PUNCTE

-Rezultă

71

coordonatele centrului de greutate al figurii a +b + 2bc x=-------2(a + b + c) 1

2 -

,;1

a9

b2

-

+ c1

Y= - - - - - • n (a+ b + c)

. . 2.102.. _Să se d~termine centrul de greutate al figurii filiforme 2.102, formate .din .semicercurile de diametre AB = 4r, AC = 3r şi CB = r. R. : Luăm A B ca Ox şi perpendi• culara 1n A ca Oy (fig. 2.102). ln acest caz coordonatele centrelor de greutate L, M, N; ale semicercurilor AB~ AC, BC slnt, respectiv, ·

L_(2r,; :);• M (:·~ - : ) ; N (:·, Rezultă

: )•

A

deci coordonatele figurii

filµornie

,,

y==:-•

n

2.103. Să se determine poziţia centrului de greutate al colţarului din figura 2.103, dimensiunile fiind cele indicate pe desen.

Fig. 2.102

y

R: ~

Colţarul este format din două dreptunghiulare omogene, cu centrele de greutate tn A şi B. Dacă luăm laturile exterioare Ox şi Oy ca axe de coordonate, atunci centrele A şi B au plăci

drept coordonate A ( c B

i ) şi

+; ,

(.!...2 . .!!...) • .2

I

I

·Rezultă că centrul de colţarului are coordonatele

.

·

.ţ'

.

= d(a .

8

-

c) (a

greutate al

+ bc -

2(ad

+ bc

't::,

I I

+ 2c) + bel •

2(ad

.,4

I

-

X

q

cd)

2c d9(a - c) +_b_ y= _a.....-_;.._

•

Fig. 2.103

- cil)

2.104. Dintr-o placă omogenă plană P,. de arie a, care are centrul de greutate în A(x1, yi.) se taie o placă plană Q, de arie b, cu centrul iţe greutate îţi B (x8 , y 2). Care sînt coordonatele centrului de greutate al părţii rămase? . R ..

. ay1 _- ____. by2 ax1 - bx9 y=___,;;;. X=-----~; a -b a-b

72

de

EXERCIŢII ŞI

2.105. Dintr-o

pătrat

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

tablă pătrată (fig. 2.105), cu latura a, se decupează sfertul poziţi(!, c~ntr,iţ,lţ.1,i de greutate al părţii rămase?

AID. Care este

R.:

1

Luăm

axă

ca

Ox latura BC

şi

Oy ca perpendiculara lăsată din centrul pătratului

A

ţele

această latură,

Coordona-

C!3!1~!1Î ~e greutate al

pătratului

pe

întreg sînt I ( O, lui

f) ,

decupat M ( O,

~dică

M ( O,

5 :

),

iar ale triunghiu-

!!:... + ~ • ~ 2

3

Rezultă

2

)~

cJ. centrul

de greutate al figurii rămase, care . s~ pe axa Oy (axă de simetrie a figurii) are ordonata · ' a.flă

„ a a2 a-• - - - •

5a

2 4 6 y=------al

Fig. 2.105

tr-=- -

1.a =-·-. 18

4

2.106. O piesă în formă de raportor, ca în figura 2.106, a, are dimensiunile

OA

= r,

Să se

OB = R, iar baza şi înălţimea dreptunghiului, respecti'IJ, a determine poziţia centrului de greutate al părţii haşurate.

şi

b.

{?) Fig. 2.106 R.: Luăm ca Ox baza dreptunghiului şi ca Oy perpendiculara pc mijlocul bazei.. Aceasta din urmă trece prin centrul comun celor două semicercu~. Centrul de greutate al raportorului se află pe Oy, care este axa de simetrie a figurii. Centrul de greutate al semicercului mare OB

~

~o~rdonatele ( O, : :

dreptunghiului ( O,

+ b),

: )- Rezultrt deci

Y=

•. . .·_ Observaţie.

acel al ~cmiccrcului mic coordonatele ( O, ::

4(R 3

că

.;__

··

+

b) , iar

al

ordonata centrului d~ greutate al figu~ este

+ 31tb(R2 - r 2) + 3ab2 31t(R1 - i 2 ) + 6ab r 3)

Fm:m\lla cţe niai sus îşi g-ăseşte. apl,icare I~ aflarea centrului d~ greutate a:i unei";

2.117. Să se determine coordonatele unui punct -:p,1 raportat la axe oblice cu unghiul dintre ele = 60°, ştiind că distanţa de la M pînă la Ox este 2i, iar pînă la Oy, 3. ·.. · R.: M (

4

2V3,

ra}

2.118. Fie M(x, y) un punct raportat la sistemul de axe oblice Ox;- Oy, al căror unghi este . . . . . . . Considerînr!, sistemul de axe perpendiculare OX, OY, în care OX coincide

cu Ox, şi notînd relf;lţiil~ între X~ iaşi punct).: ·

X, Y coordonatele punctului M

faţă

cu acest sistem,

să

se afle

Y şi x, y ( dintre coordonatele- rectangulare ,şi oblice ale. acel,u·

.·

•

-

•

R. : Fie 1,7 versorii· axelor OX, OY ~i 'e;_,

-

.· ·. · ·. ,.

•a•••'

•

••

(2)

. . e; =,i şi ez = costJ>i + sin_roŢ.

Rezultă

f

ts versorii axeloi: Ox, ·oy._ Avem

OM=Xi+YT Dar

,

.. ,

• ·-: • •'

din (2)

OM= ·xT + y

cos;i

+y

◄'' \

•• •• ~)

·\

.. ,

I

'

(3)

sintJ>J.

Egallnd valorile (1), ·(3) ale lui OM; rezultă X=

X+

y

COS(J),

Y_= y sinro.

2.119. Fiind date coordonatele oblice ale vîrfurilor unui triunghi ABC A (x1, Y1);

B(x2 , Y2). şi C (xs, Ys),

.

.

.

să se determine aria triunghiului în funcţie de aceste coordonate, unghiul axelor'

fiind

(I).

R.: Luînd ca:, axe perpendiculare OX = Ox şi OY perpendiculara pe Ox în punctul 0,.i atunci A, B, C au respectiv coordonatele (X1 , Y1); {X2 , Y 2) şi (X3 , Yal• Aria triunghiului este în acest caz

ciţiul

Folosind formulele de transformare X;~ x; (2.118) (i = 1 2,3), obţinem: 8

t

=± -

· 2

I

x1 X2

x3

+ y cos + Ys COS6> + :\'a cosro 1

(J)

+ y;

y 1 sin (J) 1 Ys sin 1 y 3 sinro 1

cos şi Y;

= Yi

I ·± - - • I =

sin

2

(J)

X1

X2

sin

date în exer-

I

1 Y2 1 '

Y1

x 3 Y3 1

76

EXERCITU

ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

. 2.120. Să se determine vectorial, aria triunghiului cu vî1fu1'ile M1 (x1, yJ; M 2 (~2, yJ; M 3 (x3 , y 3) raportate la un sistem de axe oblice formînd unghiul 6). Intre ele. R.: Dacă notăm

cu uşi vversorii axelor Ox. Oy, avem M1Mz == (x2 - X1) u + (Yz - Y1) v, M 1M 8 = (x x u+ (y Y1) V: 3 ...:

de· unde

1}

3 -

rezultă

=

M1M1 X M1Ma

sau

(xs -

(Ya - Y1) ;- X ;-- (xa -

X1)

-- -- I Y2 -

M1·M2 X M1 Ma=

X9-X1

I

Y1

X3 -

X1

Ya - Y1

X1)

CY2 - Y1) -;; X

V.

I- -

u X v.

Aria triunghiului este · deci et

= .!., 2

I

M 1M 2 X M 1M 3

I = ± 2.1 :: ;: ~ ,. 2

Xa

sin

Ya 1

6>,

.

- 2:121. Axele fiind oblice, ·iar unghiul lor de 30°, să se determine aria · t1'iunghiului ABC, ştiind că A (-1, 1); B (4, 2); C (3, -1). R.:

3,5.

2.122. Axele fiind oblice cu unghiul dintre ele de 60°, să se determine de la punctul A (-1, 2) pînă la dreapta definită de punctele ,B (4,1),

distanţa

C (2,3).

. -

R. : Se împarte dublul ariei ABC la l~ngimea BC. Avem 2 aria ABC=±, şi

BC =. Y(2-4) 2

+ (3 -

1) 2

Rezultă că distanţa căutată este 2

!2 :3 }1 I sin 60° = 4'Ya

+2 fa.

(2 - 4) (3 - 1) cos 60° = 2.

2.123. Axele fiind oblice, iar ungliiul lor «, să se arate că pentru orice v_~lo~re a .lui u, punctele A (-1, u), B (u, 2) şi C (2, 1) formează un triunghi._

+

·. . . • .., (u 9 - ii 7) sin oe • • R. : Aria triungh1ulu1 ABC este egala cu ...,;._________ • Deoarece realizantul tn2

noinului ,,9 - ie + 7 este negativ, rezultă că aria nu poate fi nulă pentru orice valoare a lui u, ceea cc demonstrează afirmaţia. din enunţ. 0

se determine distanţa de la punctul M 1 (-1, 3) pînă la dreapta de segmentul M ,>I3 , ale cărui extremităţi au coordonatele M 2 (2, 1.), M 3 (3, -4). Punctele sînt raportate la im sistem de axe oblice cit imghiulru =120°. 2.124.

Să

determinată

-,

R .. : Se

calculează

aria triunghiului M 1M 2A-'I3 tl

.

şi distanţa M 2 M 3

= V(3

_: 2) 2

= ±

.!.1- ~

+ (-

2

~

!I

sin 120° 3 -4 1 ., 4 - 1) 2 + 2 (3 - 2) (- 4-1) cos 12oc:. ·· ·

.

PUNCT!! Distanţa

ptnă.

de Ia M1

.77

la M 1M 3 este egală cu 2a: 13y93

--=--· M M 62

±

1

3

. 2.125. Să se determine aria triunghiului ale cărui vîrfuri Mi (xi, Yi), M 2 (x2, yJ, M 3 {x3 , y 3) sînt raportate la un sistem de axe Ox, Oy, determinate prin vectorii respectivi ei, e2. R.:

Dacă

este unghiul axelor, se

a . Ţ=-~.... d .LUli.l

± .!

=

2

. x ă . scamei, c sin

ştie

(v. 2.119

şi

I:: ~: ! I Ya 1

Xa

2.120)

că

± 2:.. D

sin . =

2

aria este

egală

cu

sin .

- y2 2 = I ei X~ 1 = ---------= -e1-e2-- -(ei-• ~.-) -

eie2

şi notînd

ei~

ei = Cu, -;; '-;; = Cw el = C22• rezultă sin

Vc g -ci

=

2

11 22

,

iar aria ct este

egală cu

e1e2

± 2...1 ;: ;: ~ I Vguc22-ci2 . 2 şi

Xa

Ya 1

. eie:

2.126. Pe laturile triunghiului ABC. se iau punctele A' C' pe AB, a:stfel ca să avem : A 1B

B 1C

pe

BC, B' pe AC

. .1

C1A'

- =u·I - =v·' --·=w. A 1C B 1A c1c Să se exprime aria a a triunghiului A'B'C' în funcţie de aria Sa triunghiului ABC. .

R.: Luînd ca axe oblice Ox latura AB şi Oy latura AC (fig. 2.126), notăm coordonatele vîrfurilor triunghiului A(0,0), B(b,O) şi C (0,c). Atunci coordonatele punctelor A', B', C' vor fi

A' (-b-, .::::!!!...), B'(o, _c_)şic'(1-u

1-u

bw,o) • 1-w

1-v

bcsinA

b

- cu

1-u

1-u

o -bw 1-w

de unde

Fig. 2.126

·

··

·

± -- , iar aria. 8: a triunghiului A'B'C' este 2

Aria S a triunghiului ABC este

. 1 8:=±2.

B_lb;o)

/)'

C

1-v

o

1 1· sin A=

± bc

sin A (1 - uvw)

2(1 - u) (1 - v) (1 _: w)

1

rezultă

S (1-uvw)

a = ---.....:...--~-(1 - u) (1 - v) (1 - w)

,

EXERCIŢII ŞI PROBLEME DE . Gl:OMETRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

.7d

2.127. Să se determine aria triunghiului format de picioarele bisectoarelor exterioare ale unghiurilor A, B şi de cea interioară a unghiului C ale triunghiului ABC, cu11,oscînd BC = a, AC = b şi AB = c. R.: Dacă notăm cu A'B' picioarele bisectoarelor exterioare ale unghiurilor A, B piciorul 'bisectoarei interioare a unghiului C, avem ·

A' B c --=-; A'C. b

a c

B'C

. C'A OB

şi

C'

b

-=-Şl--=--•

B'A

a

Aplicînd formula S(1 - uvw) • (1 - u) (1 - v) (1 - w)

a __ cc.

o

,

bţin

2.abc S (b-c) (c - a) (a

L:r

cm

= --------

l,";4,

+ b)_

2.128. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca trei puncte A', B', C' situate, respectiv, pe laturile BC, AC, AB ale triunghiului ABC să fie coliniare este A 1B

B 1C

CIA

-·-·- = A 1C B 1A CIB R. : Dadi

1.

A'B C'A B'C = u, - - =V, - - = w, atunci aria triunghiului A' B'C' A'C C'B B'A

notăm

--

va fi d

= s. ____1_-_u_vw-_ _ (1 - u) (1 - v) (1 - w)

Pentru ca A', B', C' uvw = 1, avem el = O,

2.129.

Să

să fie şi deci

.coliniare trebuie ca a= O, deci uvw A', B', C' stnt coliniare.

= 1.

Reciproc,

dacă

se determine aria triunghiului ABC, cunoscînd A (-1, 1, 2); B (2, 3, -1); C (1, -2, O).

R. : Aria triunghiului este

I

egală cu ~ AH

X

AC

I·Ţinînd seamă că AB

=3

"i' + 2T -3A

şi AC= 2r - 3J - 2'i°; rezultă. că ·AB

xAC=j f2 -3~ -2 -~

: pnn .- urmare, ana . triunghi uIm. est e

şi,

2.130.

Să

1

2

I

j

= -13T+oJ-13î

A-B X AC

.

I= - V2 13

2

- •

se calculeze aria triunghiului format de A (-1; 2, 3), B (2, -1, -1) şi C (3, 3, 2).

. V443 • R. • 2 să

2.131. Fiind date punctele A (x1 , y 1 , z1), B (x2 , y 2 , z2) şi C (xa, Ya, za). se exprime aria triunghiului ABC în funcţie de coordonate.

½IAB AC I· Rezultă VI :: t: ! + !

R. : Avem aria ct =

ct = : . ...

X

xa Ya 1

l:a

I :: ::

Xa. Za 1

2

l

2

+I

t: :: !1 l

.Ya za

/ r,. •.

PUNCTE

79

2~132. Să se determine distanţa de la punctul dreapta·defin#ă de punctele B (O, 1, 3) şi C (-1, 2,

pînă

A· (2, - 1, 1)

la

2).

R..: Se împarte dublul ariei triunghiului ABC la l~ngimea BC. Distanţa căutată este 4~ 6 • . . 2.133. Săse calculeze aria totală a tetraedruliti ABCD, ştiind că A (-3, 2, 1), B (1, O, -4), C (6, 3,-1), D (-1, O, 1). (2.129), găsim . 934 , aria ABD = 3 Vif. aria ACD

R.: Procedînd ca în aria ABC . .

1

Vi .2

=

exerciţiul

·

=

6

, · aria BCD

\'3,

1

= -Vî222 2

etc.

·. 2.134. Să şe calculeze ·volumuţ lţtraedrului ABCD, cunoscînd A (-1, 1, O); B (2, -1, 3) C (3, 3, 1) şi D (4·, 2, 2). R. : Volumul V al tetraedrului este egal cu 1- --6AB· (AC X AD). 'finind seamă că

AB

ar- 27 + 3k;

AC =

4i

+

2j +

k şi AD = 5i +

r+ 2k.

rezultă.

±

1

V=--

·

2.135.

6

. 3 -2 4

s

2 1 1 2

15

I

1

,V=-• 2

Să

se calculeze volumul tetraedrului format de A (1, 1, -3), B (2, -1, -1), C (3 3, 1) şi D (-1, 4, 2). 1

R.: V= 9. Să se calculeze dista11,ţa de la punctul D (2, 3 8) pînă la planul definit de punctele . . A (-1, 4, 2), B (4, 3, -1) şi C (2, 2,1).

· . 2.136.

1

R. : Se împarte volumul paralelipipedului construit pe vectorii BA, · pe vectoru ·· BA , parale1ogramu1m· construit

2.137. Să se determine definit de punctele_

distanţa

B (-1, O, 2);

BC,

BD la aria

-r;-c n·1Stanţa est e egală c uY'io ~•

·

53

D

•

de la punctul 4(3, 2, 1)

pînă

.

la planul .

C (2, -1; -1) şi D (O, 1, -~).

R. : Se împarte triplul volumului tetraedrului A BCD la aria triunghiului BCD. Distanţa pînă la BCD este 2l Vm . .

de la A

73

G. Schimbarea axelor de coordonate 2.138. ln raport cu axele perpendiculare Ox, Oy, se consideră punctele 4 (3, -5), B (-4, 3), C (6, 7), D (-2_, -2).· Să se scrie coordonatele acestor puncte de axe se translatează în Ax'; Ay'.

şi

ale punctului O

dacă

I

/

sistemul'

80

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

R.: Se ştie [1, cap. III, 5.1] că, notlnd cu (x, y) coordona~e unui punct f~ţă de axele perpendiculare "Ox, Oy şi cu (x', y') coordonatele aceluiaşi punct faţă de axele O'- x' ,O' y', obţinute din Ox, Oy printr-o translaţie care duce pe O tn O', dacă O' (a, b), tn raport cu axele iniţiale, avem: X=

a+ K,

y

= b + y',

sau

= - a+ x, avem a = 3, b = x'

În cazul exerciţiului dat

= -

y'

b

(1)

+ y.

(2)

5 şi, aplicînd formulele (2), găsim

A (O, O), B"i,(- 7, 8), C (3, 12), DJ - 5, 3), O ( - 3, 5).

2.139. Sistemul de axe Ox, Oy se deplasează paralel cu ele înseşi, devenind axele Ix', Iy' cu originea în ,I(x0 , y 0 ). Care sînt coordonatele punctului O · faţă de ax~le Ix', Iy'~ R.: O (K = - x 0 ; y' = - Y0 ), 2.140. Se dau punctele

.M (4, 6), N (-2, 3), raportate la axele perpendiculare Ox, Oy. Să se determine o translaţie a axelo, de coordonate, astfel încît punctele M, N să aparJină, respectiv, noilor axe O'x', O'y'. . Generalizare. R. :

Dacă

O (a, b),

avem

relaţiile

x =a+ x',

y

= b + y'.

(1)

Punctul M aparţine axei O' x' dacă are y' = O. Deci pentru M, a doua relaţie (1) trebuie să fie 6 = b + O. · . · · Punctul N aparţine axei O'y' dacă. are x' = O. Deci pentru N, prima relaţie (1) trebuie să fie - 2 = a + O. Conchidem: O' (- 2, 6). · - · · în general, dacă M (.x-1 ,_y~), N' (x2 , y 2), translaţia trebuie să ducă pe O în O' (x1 , yJ.

2.141. Se ·consideră punctele M (x, y) din plan ale căror coordonate sînt

legate prin

.· ··· 3x + 2y - 4 =0. Ce relaţie există între coordonatele (x', y') ale punctelor M faţă de. sîste~l de axe O' x', O'y', obţinut din .sistemul dat printr-o translaJie care aduce originea ·O în O' (-2, 5) ? . relaţia..

R. : · Relaţiile între coordonatele (x,· y) şi (x', y') sînt . X

= -

2

+ x',

j'

= 5 + y'.

Înlocuind pe x şi y în relaţia dată, deducem 3- x' relaţie

mai

simplă.

2.142. St:

legate prin

decît cea

dată.

consideră

relaţia

2x2

+ 2y' = O,

punctele· M (x, y) din plan ale ' · ·.

+ 4xy -

3y2

-

16x

+ 14y -

3

căror

= O„

coordonate sînt

PUNcm·

81

Ce relaţie există între coordonatele (x', y') ale punctelor M faţă de sistemul de axe O' x', O'y', obJinut .din sistemul ilat _printr-o translaţie care aduce originea O în 0'(1, 3)? R.: Procecllnd c~ în

exer~iţiul (2.141), se obţine 2.ţ'S

relaţie

mai

simplă

decît cea

+ 4.ţ'y' -.3y'S + 20 = 0,

dată.

2.143. Se consideră punctele M (x, y) din plan a/,e căror coordonate· sînl ; egate_ prin relajia. . 2 2 · ... , ---~ _. . __ 5x - 2xy +.y + 6x + 2y -·3 = O. · Să se determine translaţia axelor de coordonate, astfel încît relaţia dintre coordonatele (x', y') ale punctelor M să nu aibă termeni de gradul I. · _ . -R.: Fie .01 ·(a, b) originea n~>1il~j ·sistem de a:l"(e. A determiil~ nate

~e~ă. a

afla _pe a, b_ în

condiţµle ţ,roblemei~

translaţia

axelor de-coordo-

Ayem

;,; =a+ x',

y

=

+ y',

b

înlocuind în relaţia dată, 9bţinem 5 ~~

+ ;.r)9 -

2(a

+ x')

(b

+ y') + (b + y'} 2 + 6 (a + .ţ') + 2 (b + YÎ

- 3

=:==

O.

Punînd condiţia ca termenii de gradul I în x' şi y' să aibă coeficienţii nuli, rezultă. · · 5a - b

- a+ b + 1 =

+ 3 = O,

O,

de unc~ Translaţia cerută

a=-:-- 1,

b

= -

2.

+ x',

y

= -

2

este 1

X= -

+ y'.

2.144. În raport cu axele perpendic-ulare Ox, Oy, se consideră punctele

A ( Vă, 1), B (-V2, 2),

c.,· (O, -2), 1J

Să se scrie coordonatele acestor puncte cu unghiul

a)

= . :. . ,

90°). R.: a) Punctele se găsesc la' distanţa R de O, deci "aparţin unei sfere. b) Punctele se proiectează pc planul xOy pe o semidreaptă OD, care face unghiul a cu Ox, deci aparţin semiplanului format de Oz cu /l. In cazul 8 = 90° avem semiplanul yOz, pentru 8 = ·1so0 -:- semiplanul x'Oz, pentru 8 = 270° ...:.. semiplanul y'Oi. · . . : -. . . c) Dacă/< 90°, porţiunea de suprafaţă. conică avînd vîrful în O şi ale cărei generatoare sînt semidreptele OE, care fac unghiul/ cu Oz; · dacă q, = 90°, locul geometric este planul xOy; •·· .\ · ,·. dacă f >. 90°, porţiunea de suprafaţă conică avînd vîrful în O şi ale cărei generatoare stnt semidreptele OF, care fac unghiul/ cu Oz. ·

2.178. Fiind date, în cqordonate sferice, punctele M(r,6, cp), locul geometric al punctelor M, care· au r\ • : ·•; .a) R ·. ==· 5 ; .. · . .. . . · : · · ... · b) 8 = 3J 0 ; c) cp = 120°; d) R = 5 şi 6 = 30°; . -· e) R = 5 şi cp = 120°; f) 8 = 30°, cp = 120°.

să

se afle

R.: a) Sfera ·(s) cu centrul O şi raza 5. b) Semiplanul P, format de ,axa Oz cu s~miclrcapta OD, situată în planul xOy, înctt xOD = 30°.

astfel

94

EXERCIŢII ŞI PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

c) Porţiunea de suprafaţă conică (C) cu vîrful în O, ale cărei generatoare fac unghiuri de 120° cu semiaxa Oz. ·· d) Intersecţia sferei (S) cu semiplanul P, deci un semicerc. e) Intersecţia sferei (S) cu supra.faţa conică (C), ca.re este un cerc. f) Generatoarea. supra.feţei (C) afla.tă în semiplanul P.

2.179. Fiind date, în coordonate carteziene, punctele M(x,y), A(3, +5), B(-1, 2), C(4,3), D(0, -8), E(4, O), 0(0,0), să se afle coordonatele omogene ale acestor puncte. R.: Nottnd cu X, Y, Z coordonatele omogene ale punctului M, se ştie că.

y

X

y=-·

X=-,

deci X

(1)

z '

z

y

z

y

1

-=-=-· Putem lua deci X

=

 x, Y

= Â y,

Z

=Â

(2)

(A parametru}. Astfel găsim

(8)

A(3)., 5A , ).) sau mai simplu: A(3 , 5 , 1). B(- 7>.., 2A, 1), C(4Â, 3Â , ).), D (O , - 8 Â , ).),

E (4A , O, ).), O (O , O, Â ).

2.180. Fiind date, în coordonate omogene, punctele M(X, Y,Z), A(3, -5, 2), B(4Â, 8A, 5A), C(-9, -3, 3), D(0, 5, 4), E(-4, O, 4), F(3, 4, O), 1(1, i, O), J(-1, i, O), să se scrie coordonatele carteziene ale acestor piencte. R. : Notînd cu x, y coordona.tele carteziene a.le punctului M, avem X

y= -

.X=-,

z

y

•

z

Analog

A(!,-:), B(:, !)·

C(-3, - 1),

n(o, })· E

(-1,

O).

Punctele F, I, J sînt puncte la infinit.

2.181. Se consideră punctele M din plan ale ziene (x, y) verifică relaţia

9x -. 2y

+3

=

+ 1 = O,

a) x 2 y 2 - 2x - 6y b) 3x2 5y2 - 15 = O, c) xs + y3 - axy = O. R. : lntrucît

X x=-,

z

coordonate carte-

O.

Ce relaţie verifică (X, Y, Z), coordonatele Aceeaşi problemă cînd relaţia dată este

+ +

căror

y jl= - .

z

omogene ale acestor puncte?

PUNCTE

înlocuind în

relaţia dată, găsim

9X- 2Y

(ecuaţia.

·95

omogenă.

de gradul I).

La fel găsim a) X 9 + ya - 2XZ -- 6YZ b) axs 5ya - 15 zs = o, c) X 8 Y8 - aXYZ = O (ecuaţii omogene).

+ +

2.'182. Se gene (X, Y, Z)

+ 3Z = O

+ Z = O, 2

consideră punctele M din verifică relaţia omogenă

plan ale

căror

coordonate omo-

+ 8Z = O.

12X - 5 Y

relaţie verifică (x, y), coordonatele carteziene Aceeaşi problemă dacă relaţia omogenă dată este

Ce

ale acestor puncte?

a) X 2 -4XY+8Y2 -5XZ+6YZ-Z2 =0;

b) X 3

+ 2Y3 -

6Z3

+ 5X2 Y -

3YZ2 =0.

R.: lntrucît (x, y, 1) repr~zintă un sistem de coor

V3

f3

şi

cosinusurile directoare cos _cx1 =

11i

Va-:1 . = - _ i-_J

- Vă" , sin cx1 = - 2..2 . Versorul 2

axei (A1) este .

7

2

2

Pentru (A2) : m2 -

= -

1, parametrii directori (1; - 1), cos cx2

= _!__, sin cx2 = - _!__

V2

·

Vi'

1 -

V2

i -

Pentru (A 3 ): m3 2

-:-

5

=~.

parametrii directori (2; 5), cos cx3

2

=:-

2

, sin cea

=-

5

•

V29

V29

-:-

Ua= - - - i - - - J. V29

V29

Pentru (A,):

m,= _2., parametrii directori (3; -7}, cos ex, = 3

-

u,

1 = --:=-

3

, sin

Vss

ex,= - _ 7_

V5s

(3 i - 7 j).

Vss

3.61. Să se afle în coordonate omogene punctele la infinit ale dreptelor {Â1) y = mx n, {Â 2) Ax By C = O, (Â3) avînd parametrii directori (a,b).

+

+ +

R.: Pentru !A1), trecînd la coordonate omogene, Y

=

mX

+ nZ.

ecuaţia

dreptei este

•

125

DREAPTA IN PLAN

lntersectînd cu dreapta Z = O, rezultă punctul la infinit 811 (1; m; O). Observăm că primele două coordonate sînt chiar parametri direcţori ai dreptei (.6.1 ). Ţinînd seamă de acest rezultat, avem pentru (.6. 2) 1 2 (B; - A; O) şi pentru (.6.3) $ 8 (a; b; O).

3.62.

Să

(â1) R. :

se calculeze măsura unghiurilor pe care le x Y + 2 = o, . c~2) x - Y â(a) X + y 1 = 0.

Dacă

va -

două

V este unghiul format de

formează

dreptele

va - 5 = o,

va+

drepte care au

coeficienţii

unghiulari m, m',

.avem

-V=---• + m-m'

00

1 mm' ln cazul problemei, avem pentru dreptele .6.1 , .6.2, .6.3 , respectiv

=

m1

Va ,

m2

= V~ •ma = -

~ ~ /'... Notînd V1 = (.6. 2 , .6.8 ), V2 = (.6.3 , .6.1 ), V3 = (.6.1 , .6.2 ),

Î3' · rezultă

.l

Vi .... Va 1 tg V3 = - - - - = - - = • + n-.2-

t -deci V 3 = 30°. La fel, V1 3.63. Să

1/3

V3

= 60°, V 2 = 90°. se calculeze măsura unghiurilor triunghiului ABC, - 11-3). A (1; 1), B(3 ;3), C(4 - V3;

R.: Se calculează coeficienţii unghiulari ai dreptelorAB, BC,AC~cuformula m

ştiind că

=

.Ya-.Y1

•

X2-X1

dată

.apoi unghiurile cu formula (l) Avem pentru (BC)

în

ml=

pentru {CA)

exerciţiul

3-

3.62.

Va

3-(4-Vf} 1

ma= pentru (AB) · Âvem astfel

ffl3

=

Vi"' 1. 1 - _1_

tg A =

= __V_3_ =2- Va.·. A=150. 1 + m2m3 1 1 + -1'3

tg B Rezultă

C

=

150°.

ffl3 -

=

1112

ma -

1

mi

+ nJiffl3

=2

-

V3. ·· B =

15°1

3._64. Să se scrie ecuaţia unei drepte duse prin originea axelor de coordonate şi care face cu dreapta

-un unghi ~e 60°.

2x-y+3=0

126

EXERCIŢII ŞI

R.: Este necesar

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

să

ŞI DIFERENŢIALA

se afle coeficientul unghiular ,n al dreptei cerute. Avem m-2 tg 60° = - - 1

+ 2m

de unde ni Ecuaţia

O

dreptei este y

altă soluţie obţinem

= - s + 11s

= - s +11sV3

X.

Va.

•

considcrînd

tg

60°

y

=

2- m

= --1

+ 2m

Găsim

X.

să se ducă o dreaptă care un unghi de 45°. .

3.65. Prin pimctul A(-1; -1)

dreapta x R. :

+ 2y + 5 = O,

Obţinem două

drepte, ale

căror ecuaţii

să

formeze cu

sînt

= 3x + y + 4 = O, (D') = 3y - 2 = 0. (D)

X -

3.66. Să se scrie ecuaţiile dreptelor care trec prin punctul A(-1;3) şi fac un unghi de 45° cu dreapta 2x + y + 1 = O. R. : 2x + 3 y - 7 = O şi 3x - y + 6 = O. 3.67. Să se determine ecuaţiile a două drepte care trec prin M ( - : ; : } şi

care formează cu dreapta· x'x unghiuri de 30°. R.: y -

.!. = ± Va 4

3.68. Se

3

(x + ~) . 3

dă

triunghîul ABC avînd A(2; -1), B(3; 5), C(-1; 3). Să se scrie ecuaţiile paralelelor  1 ,  2 ,  3 duse prin dreptele BC, CA, AB.

A,B,C, respectiv, la

R. : Este necesar să se afle coeficienţii unghiulari ai dreptelor A1 , A2 , A3 • Cum două drepte paralele au coeficienţii unghiulari egali, aflăm coeficienţii unghiulari ai dreptelor A1 , A2 , Aa

calculînci pe acei ai paralelelor lor. Astfel, pentru (BC), m

= 2:...;

deci

2

(A1) y

+ 1 = -1

Analog

găsim :

2

(x - 2). (A 2) y - 5

= - :

(x - 3)

şi

(A3) y - 3

=

6 (x

+ 1).

3.69. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin A(2; -2) cu dreapta determinată de B(3; -1) şi- C (-1; 2). R. : 3x + 4y + 2 = O.

paralelă

şi

este

DREAPTA IN PLAN

Să

3. 70.

se arate

că

127

dreptele:

ax -':- 2y + 6 = o, 6x ~ 4y + 1 =·0,

(Âi) {Â3)

formează un paralelogram. Să se afle coordonatele vîrfurilor paralelogramului. R.: A1 li As pentru că au coeficienţii unghiulari.:_ ; A2 li A4 pentru că au coeficienţii 2

unghiulari -

.!._ ;

deci patrulaterul este paralelogram.

este

intersecţia

3

Dacă. A .

2-); As, A se l.ntersectează

tează în B (...!... •

4

22 ' 22

găsim :

dreptelor A1, A2,

în C ( -

A (-

29

~•

_!_) ; A

11'11

2,

As, se interse c-

; - ~) ; A4 , A1 se

66

22

inteÎsectează

tn · D (- ~ - ~ ) • 33 '11

3. 71. Sînt date dreptele {A1 ) 4x - 3y + 2 = O, (Â2) 5x

+ 4y -

1 = O, {Â3) 6x-:- y +.2 = O.

a) Să se calculeze coeficienţii unghiulari ai dreptelor perpendiculare pe dreptele date. b) Să se scrie ecuaţiile perpendicularelor duse din origine pe dreptele date. R.: a)

Dacă

o

pendicularei este m'

dreaptă.

(A) are coeficientul unghiular m, coeficientul unghiular al per-

= - ..!.. • m

Astfel, întrucit (A1) are coeficientul unghiular m1 perpendiculare pe A1 este

, m1

= .!. , coeficientul unghiular al oricărei 3

3

= - - • 4

,

4

La fel pentru perpendiculara pe A2, m2= -

, iar pentru perpendiculara

pe A:P

5

,

ms

1

= - -· 6

b) Dacă A~ J_ 6 1,(Af) :Y

(A's) y

= - ..!_ x. 5

Să se scrie ecuaţia unei drepte care trece prin A (1; -3) cu dreapta 3x - 4y - 5 = O. R. : 3:r - 4y - 15 = o. J

3.72.

şi

este

paral,elă

3.73. Să se scrie ecuaţia perpendiculară pe dreapta

unei drepte care trece prin A(-1; -3)

2x - 3y -1 R. : 3:r

+ 2y + 9 = o.

= O.

şi

este

129

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

3.74. Să se afle ecuaţiile înălţimilor unui triunghi cu vîrfurile A(-1; -1), B(3; -2), C(1; 5). R. : În'ilţimea din A : 7x + 2y + 9 = O, din B : 3x - y - 11 = O,

+ 4y -

din C : x

21

= O.

3. 75. Să se scrie ecuaţia mediatoarei segmentului determinat de punctele A(i; 2), B(3; 4). R. : X + y - 5 = 0. 3. 76. Să se scrie ecuaţiile mediatoarelor triunghiului ABC A(-1; 3), B(3;1), C(1; -3). R. :

3y

X -

= 0;

3. 77. Prin

+ 2y = 0;

X

2x - y

= 0.

intersecţia

dreptelor 3x - y - 1 = O; să se ducă o dreaptă perpendiculară pe

2x

X+ 2y + 3

R. : 10x - 5y - 6

=

+y +2 = O

=0.

O.

3.78. Ortocentrul unui triunghi are coordonatele (1; 2), iar două vîrfuri ale triunghiului sînt în B(-1; -1) şi C(3; 1). Să se afle ecieaţiile laturilor acestui triunghi. R.: (AB) 2x - y + 1 = O; (AC) 2x + 3y - 9 = O;

=

x - 2y - 1

(BC)

O.

3. 79. Un paralelogram are centrul în (2; 3), iar ecuaţiile a două din laturi sînt : y = 2x şi y = 3x - 1. Să se afle ecuaţiile celorlalte două laturi. R. :

=

y

2x - 2

şi

_v

=

3x -

3.80. Să se scrie ecuaţiile laturilor unui triunghi cunoscînd coordonatele unuia din vîrfurile sale A(-4; 2) şi ecuaţiile a două mediane: (M8 ) 3x - 2y 2 = O şi (Mc) 3x 5y - 12 = O.

+

R. : La

secţia faţă

intersecţia

dreptelor date se

paralelei din A la Mc cu MB se

de G. La fel se

găseşte

(AB) x - 3y

Să

+

C (4 ;O).

+ 10 = O;

află centrul

află

punctul L (- : ,

Ecuaţiile

(AC) x

de greutate G ( : ,

O) ,

2) ,

iar Ia inter•

simetricul lui B (2:4)

laturilor sînt

+ 4y -

4

= O;

(BC) 2x

+y

- 8

= O.

3.81. Un patrulater are vîrfurile A(-3; 5), B(1;6), C(0;10), D(-4;9). se arate că el este un pătrat şi să se afle ecuaţiile diagonalelor sale. R.:

Ecuaţiile

3.82. depărtate

diagonalelor (AC) 5x - 3y

Să se determine punctele extremităţile segmentuliei

de

R.: M (

~ ; O), N (O;

- :: )•

+ 30 =

O, (BD) 3x

+ 5y -

33

=

O.

M, N de pe axele de coordonate egal AB: A(-1; 3), B(2 ;-5)

129

DREAPTA IN PLAN

să

3.83. Să se determine punctele M de pe Ox, astfel ca tr-iimghiul MAB fie dreptunghic.

A ( 4; - ~ ) , B (2; 8). R.:

Dacă

unghiul drept se

drept este în A, atunci M 3

M4 ( -

află

în M, atunci M 1 {O; O), M 2 {5; O); în cazul cînd unghiul

(~:;O J ; dacă

~ O) •

presupunem

că

B este vîrful unghiului drept,

Y

,

C

3.84. Un pătrat are două vîrjuri consecutive în A(x1 , yi) şi B (x2 , y 2). Care sînt coordonatele celorlalte vîrfuri? R. : Coordonatele celorlalte două vtrfuri sînt : C [x2 + Y1 - Y2: x,.= + Y2 - X1] şi D [x1 + Y1 - Y2; X2 + Y1 - X1], sau E [ X2 + ''a - Y1; X1 + Ya - .xJ şi F [x1 + Y2 - Y1, .X1 + Y1 - .X2].

E

3.85. Fiind date punctele A1 (1 u; O), A 2 (u;u) As (2u -1; 2 - u),

F

+

şi

Fig. 3.84

să

se determine coordonatele lor, astfel ca triunghiul A 1 A 2 As unghie. R.: A 1 (O; O), A 2 (-1; -1}

şi

să

fie drept„

A 8 {-3; 3) etc.

A(-1; 4), B(3; 7) sînt două vîrjuri opuse ale unui romb a cărui latură este egală cu 5 Vs , să se determine coordonatele celorlalte două 3.86.

Ştiind că

2

vîrfuri. R. : C

(4; 23) ŞL. D (-

2;

219 ).

3.87. Cînd volumul unui gaz rămîne constant, presiunea sa ·creşte cu temperatura, după legea lui Gay„Lussac, astfel : dacă temperatura se urcă cu un grad, presiunea se măreşte cu _.!_ din presiunea gazului cu acelaşi volitm 273

şi

cu temperatura 0°. Să se reprezinte grafic

variaţia

presiunii cu temperatura I

R. : Dacă notăm cu p0 presiunea. la. care se află gazul la. 0°, cu :,; temperatura şi cu y presiunea. la această temperatură, atunci legea enunţată mai sus se concretizează tn relaţia.

Y Aceasta.

reprezintă, faţă

= Po:( 1 + _:_) · 273

de un sistem de axe perpendiculare, o

ln (-273; O), iar pe Oy în (O,p0). Panta. dreptei este tg ot 9-2028

= A• 273

dreaptă

care taie O;;

130

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

3.88. Pe două drepte paralele A'A, B' B se înscriu scările funcţiilor µloga; Y2 = µ log b. Unind punctele M,N corespunzătoare valorilor a, respectiv b (A'M = = µ. log a; B'N = µ. log b), se cere lungimea segmentului OL, determinat de MN pe mediatoarea OL a segmentului A' B'. Cum poate fi folosit rezultatul pentru construcţia unei nomograme?

Y1

=

Y

R.: Luăm A' B' ca Ox şi mediatoarea segmentului A' B' ca Oy. Dacă A' B' = 2 l, atunci M (- l, y1 ) şi N(l; y 2). Dreapta MN de

B N

ecuaţie y - y 1 = pe OL,

adică

Ys - Yt 21

• (x

+/) intersectează.

pe Oy în Y1

+2 Ya

)

,

sau

---A~---~o~--·a"!"'"·------ x L [ O, :

Fig. 3.88

Rezultă de aici că prin construcţia oricărei funcţii y

log (ab) ] •

== h.. log

.

x se obţine. un mijloc

2

foarte simplu de calcul al unui produs. Astfel, dacă vrem să efectu:lm produsul a două numere p,q, vom căuta pe A' A şi B'B diviziunile M', N', corespunzătoare numerelor p şi q, şi apoi aşezăm o riglă care să treacă prin M', N'. Acolo unde se află intersecţia riglei cu linia dreaptă OL se va citi produsul pq. Să se afle ecuaţiile laturilor unui triunghi, ştiind că două din înăl­ au ecuaţiile x y 3 = O şi 3x - 2y - 5 = O, iar unul- din 'IJÎrfuri este A (1; 1). · R. : x - y == O; 2x + 3y - 5 = O; 2x + 13 y - 75 == O. 3.90. Axele fiind oblice, iar unghiul lor (1) 1 să se determine vectorial tg « unde oe este unghiul dreptei

3.89.

+ +

ţimi

Ax+ By cu

direcţia pozitivă

+ C =0

a axei Ox.

u

:u :;;

R.: Dacă şiv sînt versorii axelor, avem = cos cu. Lutnd două puncte pe dreapta determinată de M1 (x1 , y1 ) şi M 2 (x2, y 2) ai căror ve(?tori de poziţie sînt, respectiv, ri, ; 2, avem M1 M2

Din

(x2 -

X1)

u + (Y2 -

u.i, + CY2 u.;;- + (y

•u = M1Ma

M1M2 M 1 M2 •

==

Y1)v,

relaţiile

v == M M 1

coscx = (x2 - X1) cos ( cu-·«) = (x2 -x.1)

2

yi) U;

= (x2-X1) + CY2 - Y1) cos == (x2 - x1) cos 6> + y2 - y 1

2 -_o/1) ~:;;

·rezultă

( ex) -cos-cos -- = COS « (I) -

Din

relaţiile:

Ax1

(I)

+ Sin .

6)

tg CX

==

+ ........a-----------------• + (.x2 -x1 ) cos CI) (y2 -y1 ) (x2 -x1 ) (y2 -y1 ) cos CI)

+ By1 + C = Ax2 + By2 + C = O

c,)I

DREAPTA tN PLAN

131

avem

:V'! - Y1 -A

B Acestea substituite mai sus ne dau .

B

COS (I)+ SID(I)

COS(!)

-A

tg ex= - - - B - A COS(!)

sau A sin ro tgcx= - - - - - · B-A COS(I)

3.91. Axele fiind oblice, iar unghiul lor w, să se determine unghiul u al dreptelor avînd ecuaţiile (D) = Ax + By + C = O, (D') = A' x + B'y + C' = O. R. : Notînd cu ex unghiul dreptei (D) cu Ox _şi cu ex' unghiul dreptei (D') cu Ox, avem unghiul ascuţit Ua al dreptelor, egal cu Ua = I ex' - ex I, Aplicînd tangentele în ambii membri ai relaţiei precedente şi ţinînd seamă de expresiile pentru tg ex şi tg a.', obţinem (AB' - A'B) sin (I) tg Ua = ---~---.;...._ ____ • AA' + BB' - (AB' + A'B) cos ro

·

I

I

3.92. Axele fiind oblice, iar unghi·ttl lor w, să se perpendicularitate a dreptelor · (D) = Ax + By + C = O, (D') =A'x + B'y + C' =0. AA' + BB' R.: - - - AB' + A'B

= cos

găsească condiţia

de

(I),

3.93. Axele fiind oblice, iar unghiul lor , să se determine m2 în de m1 , ştiind că dreptele y = m1 x + ni; y = m2x + n2 sînt perpendiculare.

funcţie

R. : Scriind condiţia de 1 + ffli cos (I) ~=- -ffli -+ ~ -cos (I)

perpendicularitate a. două drepte în coordonate oblice, găsim : ·

y

3.94. Axele fiind oblice, iar unghiul

lor să se exprime coordonatele oblice x,y ale unui punct M, cunoscînd coordonatele carteziene rectangulare X, Y şi, invers, ale aceluiaşi punct faţă de axele Ox luată ca OX şi OY dusă din O perpendicular pe Ox.

y

1

R.:

i

Y

= y sin

= X-

ro;

Yctg

(I);

X= x

y

=

+y

cos

I

M (: -ţ}

(I);

1 --•Y. sin ro

Fig. 3.94

132

EXERCITU

ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

a

3.95. Să se determine, vectorial, proiecţiile oblice ale unui vector efectuate paralel cu fiecare din axele Ox; Oy, care formează între ele un unghi c.>, şi cunoscînd că vectorul 7i formează unghiul

să

3. 96. Fiind date pimctul A (2; 3) şi dreptele (Â1) 2x - y 2 = O, (Â 2) 3x 2y - 1 = O,

+

+

se determine R. :

proiecţiile

punctului A pe dreptele {d1), (Â 2).

Proiecţia

din A pe â 1 .

punctului A pe â 1 este A 1, lntrucît (AA 1)·

y - 3 La fel se

= - .!..: (x 2-

g~cştc că proiecţia

-· 2), rezultă A1

(-

__?_ • .!.?..) 13 ' 13

3.97. Să se determine coordonatele pe dreapta 3x - y -3 =0.

Să

se determine

X= Xi-

•

proiecţiei

P a punctului M(-2; 3)

proiecţia

AD1 ------'a..-; Y A2

3.99. Fiind şi

(i5 •' ~) • 5

5 ' 5

D

(d)

dusă

p (~. ~).

3.98. R.:

dreptei â 1 cu p::?rpendiculara

lui A pe â 2 este A2

R.:

intersecţia

+ B2

dată

2.x - 3y

punctul A(3; 4), cu (d).

=

punctului M(x 1 , y 1) pe dreapta Ax By C = O.

=

Y1

+

+

dreapta

+1 =O să

se afle coordonatele simetricului punctului A în raport .

133

DREAPTA IN PLAN

R.: Se află. proiecţia A1 a punctului A pe ll.. Apoi se calculează. coordonatele simetricului punctului A în raport cu A 1 • Avem A 1 (1 ;1). Dacă A 2 (x,y) este simetricul cerut, avem; 1=3+x,1=4+Y. 2 2 ' A 2 (O; - 2).

deci

3.100. Fiind date dreptele (Â1) 5x y - 6 = O,

+

( Â 2) şi

+2 =O

3x - y

punctul A(-4; O),

să

se afle simetricele A 1 , A 2 ale l.zti A

cu (Â1), (Â~. R. : Procedînd ca la

exerciţiul

găsim

(3.09),

în rapor

A. (6 ; 2), A 2 (2; - 2).

3.101. Fiind date punctele A(3; 1), B(1; 7) şi dreapta (Â) X - 3y 2 = 0, se afle: a) Simetricele punctelor A,B în raport cu Â. b} Ecuaţia simetricei dreptei AB, în raport cu Â.

+

să

R.: a) Simetricele punctelor A,B în raport cu ll. sînt: A'(-1; 5), B'(5;3). b) Simetrica dreptei A B este A'B' de ecuaţie x + 3y - 14 = O.

3.102. Fiind date dreptele (Â) 4x - y 5 = O, (Âi) 3x 2y - 1 = O, se afle ecuaţia simetricei dreptei  1 în raport cu Â.

+

să

+

R. : Simetrica (ll.'1 ) trece prin A, intersecţia celor două drepte, şi prin simetricul unui punct M 1 al dreptei /l.1 • Găsim A (1; -1). Luînd M 1 (3; -4) pe A1, simetricul său în raport 9 cu ll. este M { ( - : ; - : ) • Deci~ (AMf)

3.103.

Intersecţia

2x incidentă

de

+ 68y + 61 =

O.

unei oglinzi plane cu planul xOy este dreapta  de

ecuaţie

O rază

7x

lumină

+y

- 4 =0.

din ptanul xOy coincide cu dreapta X -

3y

+5

=0.

Să se afle: a) Punctul de incidenţă @ b) Ecuaţia normalei la oglindă în 8J. c} Ecuaţia dreptei cu care coincide raza

reflectată.

R.: a) Se rezolvă sistemul dat: 8J (1; 2). b) Normala este perpendiculara pe ll. în~

y -

2

= -1

2

(x - 1 ,.

EXERCIŢII ŞI PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

134

c) Unghiul de

incidenţă.

i este dat de tg

.

i

= -1 . 7

Unghiul de reflexie r are tg r

= .!. şi dacă notăm

cu ,n coeficientul unghiular al razei

7

reflectate, avem

1 m- 1 2 - =---,deci 7 1+ m

9 =-· 13

ni

2

iar

ecuaţia

razei reflectate este

y - 2

= -9

13

(x - 1).

3.104. Raza de lumină care porneşte din punctul F(a, b) întîlneşte dreapta C = O (intersecţie a planului xOy cu o oglindă planăJ. Să se determine ecuaţia razei reflectate.

Ax+ By

+

F'

Să presupunem I (x0 , y 0) punctul în incidentă intersectează dreapta. Cea reflectată este IF', care uneşte pe I cu simetricul lui F faţă de perpendiculara ridicată

R. : care raza

1

tn J pe dreaptă. Simetricul F' are cpordonatţ!le u = 2x0 2A (Aa + Bb + C) . ~ b - a+------ş1 v = 2o,-0 -

+

All+Bll

+

_o,...._____________ x

+ Bb + C) • A1 B' IF' are ecuaţia

2B (Aa

flectată

+

x - x0 x0

-

Fig. 3.104

-

Rezultă

că

raza re-

Y - Yo

a + 2Ap y 0 - b + 2Bp unde A a + Bb + C p= A 2 + B8 •

3.105. Să se determine ecuaţia razei reflectate, dacă raza incidentă trece prin F(-2; 1) şi intersectează oglinda Ox în I (3; O). R.: Avem a= - 2; b = 1; x 0 = 3; y 0 = O, A = O, B = 1, C = O şip= 1. Rezultă ecuaţia

razei reflectate

_:e_-_3 5

=

_....;;.Y_ _ -1+2

sau X -

5y - 3

=

0.

3.106. Să se determine ecuaţia razei reflectate de un cerc ( intersecţie a unei oglinzi sferice cu planul xOy,) dacă raza incidentă este dată de un punct luminos sitieat pe cerc şi este emisă în interioriel cercului.

135

DREAPTA IN PLAN

R.: Luăm cercul de rază a cu centrul tn origine şi punctul de unde pornesc razele incidente F(-a, O). Punctul I de incidenţă are coordonatele I (acos t; asin t), iar dreapta Ax+ By C = O este tangenta tn I de ecuaţie x cos t y sin t = a= O. Rezultă. că ecuaţia razei reflectate este 1 X - a COS t

+

+

-----------a cos t + a - 2 a cos t (1 + cos t)

-

y-asint a sin t -2a sin t (1 + cos/)

3.107. O rază de lumină, care din F (- 1 ; 5), întîlneşte în punctul I (1; 3) dreapta

porneşte

2x - y

+ 1 =0,

de ·unde se reflectă. Să se determine ecuaţia razei reflectate. R.: 6x

+ 7y -

=

27

O.

3.108. O

rază de lumină, care din F (O; 5), întîlneşte dreapta Fig. 3.106 y = - 3x în punctul I {-1; 3) şi se reflectă. 1n ce punct al dreptei y = 2x trebuie să ajungă raza reflectată pentru ca reflecţia acesteia să fie pe direcJia bisectoarei D a axelor. R.: Raza reflectată din I are ecuaţia x + 2y-5=0, care trebuie să cadă în I'

porneşte

iar reflectata din I' are

ecuaţia

x

+y

- 4

(!3 -.!) , ' 3

= O.

3.109. O rază de lumină porneşte din punctul F (a, b) şi întîlneşte în punctul I (x0 , y 0) dreapta de separaţie a mediilor de ecuaţie Ax+ By + C = O, de unde se refractă. Să se calculeze sinusul unghiului de incidenţă. R. :

sin i

=

-==I=B:::(:::::x:::-==a::::)=-==A==(y:::=-==-b):..:.J__ 0

0

.V(A 2

3.110. O rază de

+

B 1) [(x0

lumină

Y

-

a)l1+(y0

porneşte

-

bf2]

din F (a, b) şi întîlneşte în punctul I (x0 ,y0) dreapta de separaţie a mediilor Ax + +By + C=O, de unde se refractă. Să se determine drumul razei refractate, ştiind că indicele de refracţie este n. R.:

y - Jo=

x-,:0

= Fig. 3.110

A sin i

Vn

1 -

+

B Vn-,---sm-·-2i

,

A sin' i - B sini unde sin i este sinusul unghiului de incidenţă calculat în problema 3.109.

136

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ŞI DIFERENŢIALA

3.111. Care este drumul razei refractate dacă cea incidentă porneşte din şi întîlneşte în I (c, O) pe Ox, care este dreapta de separaţie a mediilor,

F (a, b)

ştiind că

R.:

refracţie

indicele de _Y_ x-c

=

V(n

2

-

este n.

1) (c-a) 2

+ n 2b2

•

a - c.

3.112. Care este ecuaţ1:a razei refractate a unei incidente care din F (-1 ;3) şi întîlneşte linia Ox de separaţie a mediilor în I (4;0), indicele de re•p1ractie este !3 • ~ R. :y

=_

V319

porneşte ştiind că

(x _ 4).

15

o

3 .113. O rază de lumină porneşte dintr-un focar F şi întîlneşte într-un punct I oglindă reprezentată schematic printr-o dreaptă ce se roteşte în jurul unui punct fix O. Să se stabilească drumul razei reflectate, cunoscînd că oglinda formează un

r

unghi « cu direcţia FO.

/

'

R.: Luăm ca axă Ox dreapta. FO şi o perpendiîn O pe FO ca Oy. In acest caz notăm F(-a,0), iar I(x0 , y0 ), şi atunci OI are ecuaţia y 0 x - x 0 y == O~ iar y 0 = x 0 tg ex. Ecuaţia razei reflectate este x - x0 Y - Yo x 0 + a-a sin 2« y 0 + a sin 2 ex culară

3.114. Aceleaşi date ca şi în problema precedentă. Cit de mare trebuie să fie oe pentru ca o rază care întîlneşte oglinda la o distanţă r de O să se reflecte astfel ca să treacă prin A (b, c).

Fig. 3.113 R.: Scriem

că ecuaţia

razei reflectate este b - x0 -------

Ţinînd seamă că

=

verificată

de A(b,c), de unde avem

Yo __..........;;_ y 0 + a sin 2cx c -

x 0 + a sin 2ex x0 = r cos ex şi y 11 = r sin ex, avem de rezolvat b - r cos ex c - r sin cx

a + r cos ex - a sin 2cx de unde se deduce unghiul ex.

D.

ecuaţia trigonometrică

-------r sin ex + a sin 2ex

Distanţe şi

arii

3.115. Să se găsească distanţele de la punctul A (2; 3) la dreptele (Â1) 3x + 4y + 7 =0; (ÂJ x + yV3 - 3V3 =0; (Â3) x - By + 2 =0; (Â4) 3x + y - 20 =0; {Âs) y =2x. R.:

Distanţa

de Ia punctul M(x1 , y 1 ) Ia dreapta (~) de

Ax+

By

+ C=

O

ecuaţie

137

DREAPTA IN PLAN

este

luînd semnul + sau - astfel încît d Astfel găsim

= 1;

d2

>

O.

20 da= - - ; V65

3.116. Să se scrie ecuaţia unei egală distanţă de punctele (-7; 2) şi R. :

3x - 11y

3.117.

Să

+2 =

se scrie

ecuaţia

Vio

d"

1

= -- •

Vs

drepte care trece prin (3;1) (-9; -6).

O şi 4x - y -

dintre dreptele

11 d4=--;

şi

se

află

la

11 = O.

unei drepte care trece la

jumătatea distanţei

·

2x - 3y - 1 = O şi 6x - 9y - 2 = O. R. : 12x - 18y - 5 = O. 3.118. Să se scrie ecuaţia ,zmei drepte paralele cu dreptele: 2x şi 2x + 3y = 3, care să împartă distanţa dintre ele în raport-zel

+ 3y = 1

i.

.

+ 15y - 9 = O şi 3.119. Considerînd axa Ox R. : 10x

A1 (---3, - 13), A 2

(

½, -

10x

+ 15y _: 11 =

orizontală, să

4 ) , A3

(; ,

-

se afle care din punctele: 3 ) , A 4 (0,4; -3,9) sînt situate

deasupra, dedesubtul sau pe dreapta 3x - y - 5 R.: A 1, deasupra; Ai, dedesubt; A 3• pe

şi

care este

se scrie

dreaptă;

= O.

A 4 , dedesubt.

ecuaţia

unei drepte paralele cu 3x-4y- 2 =0 care să se afle la o depărtare 1 de ea. R. : 3x - 4y + 3 = O sau 3x - 4y - 7 = O. 3.121 Să se scrie ecuaţia unei drepte paralele cu 4x-3y-12 =0 3.120.

şi

Să

O.

situată

la

R. : 4x - 3y - 2

distanţa

2 de ea.

Y

= O, sau = O.

4x - 3y - 22

3.122. O dreaptă aparţinînd unui plan, raportat la un sistem de axe oblice Ox, Oy, al căror unghi este c.>, este situată la distanţa p de O, iar normala ei face unghiul ex. cu axa Ox. Să se exprime ecuaţia dreptei.

K

Fig. 3.122

133

EXERCIŢII ŞI

R. :

Faţă

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

ecuaţia

de axele perpendiculare OX, OY (fig. 3.122),

+Y

X cos oe

sin oe - p

=

ŞI DIFERENŢIALA

dreptei este

O.

Pentru a obţine ecuaţia dreptei în coordonate oblice x,y, folosim formulele de transfor. mare X = x + y cos (I) şi Y = y sin (I), după care obţinem ecuaţia

(x

+ y cos (I))

sau X COS

«

+y

cos oe

+y

«) - p

COS ( (I) -

=

sin sin oe - p

=

O,

0.

3.123. Fiind dată dreapta de ecuaţie Ax+ By + C = O, în coordonate .obliceJ imghiul axelor fiind (l)J să se exprime distanţa pînă la dreaptă a punctului M 0 (x0 y 0). J

OX

R.: Presupunem X 0 , Y 0 coordonatele aceluiaşi punct M 0 faţă de axele perpendiculare Ox şi OY, perpendiculara din O pe Ox. Folosµid formulele de transformare, ecuaţia în coordonate oblice devine în coordonate carteziene ortogonale X, Y

=

dată

1 A(X- Yctg ) + B • - - Y sin

+ C = O,

sau

A sin · X + (B - A cos (I)) Y ni-;tanţa

ă

+ (B

== A sin (I) ·X0

±V

sin2

A2

Revenind la. x0 , y 0 , prin d

=

+ C sin

= O.

de la M 0 (X0 , Y0) este în acest caz

Asin (I) •(x 0

~Să

+ y 0 cos VA2sin

±

2

relaţiile

)

X0

+ (B -

- A cos (I)) Y 0

+

+ C sin

(B - A cos

= x0 + y 0

cos (I)

A cos ) y 0 sin (I)

(1)) 2

.

şi

Y0

=

=

(Ax0

±

(I)+ (B-A cos (1)) 3

ecuaţia

•

y 0 sin ,

obţinem

+ By0 + C) sin VA 2 +B2 -2AB cos

• CI)

se scrie unei drepte care trece prin A (1 ; 2), . astfel ca mijl~mentului determinat pe această dreaptă de ~- y - 1 = O şi 2x - y - 1 = O să se afle pe dreapta X + 3y + 1 ==:= 0. R.:

Y __ -2

3.125. tanţă pînă

R.: y

" şi

=

1s

± Vas

(x _ l).

7

„

Să se scrie ecuaţia unei drepte care trece prin (5;1) la origine să fie 1.

=

1

şi

Sx - 12y - 13

Să se scrie ecuaţia unei drepte care trece prin cărei distanţă pînă la punctul (3 ;2) este egală cu 3.

R.: y

=

5

şi

24x

+ ?y -

11

Să se scrie ecuaţiile dreptelor care distanţă egală cu 5 de punctul (7 ; 8).

R.:

y - 3

=O

şi

punctul (- 1; 5)

= O.

3.127.

la o

a cărei dis-

= O.

3.126.

a

şi

120x - 119y

+ 957 =

trec prin ( -5 ;3)

şi

care se

află

O.

139

DREAPTA tN PLAN

+

3.128. Se dă dreapta de ecuaţie 2x - y 1 = O şi punctul A (2; 5) de pe această dreaptă. Să se afle punctele de pe aceeaşi dreaptă care se află la depărtarea V5 de punctul ,A. R. :

şi

(1 ; 3)

3.129.

Să se

(3 ; 7).

afle distanţa dintre dreptele 3x - y -1 =0 şi 6x -2y -1 =0.

R.: _1_.

2Yw

Să

3.130.

se determine

distanţa

3x - 2y - 1 = O

dintre dreptele paralele şi

6x - 4y - 1 = O.

1

R.: 2f 13-.

-

3.131. Bazele unui trapez dreptunghic au lungimile a, b, iar înălţimea este c. Să se calculeze distanţele vîrfurilor pînă la diagonale cu ajutorul ecuaţiilor acestora. "

Vaa + cs

R.:

k

;

Vaa + c2

"

k

fb2 + c2

Vb2 + cs

3.132. Să se determine regiunile planului care coordonate (x, y) verifică simultan inegalităţile

conţin

punctele ale

căror

3x-2y-6>0; 4x-7y-14., µ),cu condiţia).+ µ = a. Ecuaţia perpendicularei din B pe diagonala AC este deci

y - (a - Â)

= -Â- (x

:,

- Â),

a-Â

sau

a(y-a) care este o fix F(a; a).

= ).. (x + y

dreaptă

- 2a),

A

ce trece prin punctul

1

C Fig. 3.1M

Fig. 3.163

3.164. Barele unui mecanism în formă de paralelogram se mişcă într-un plan astjel că laturile paralelogramului sau prelungirile lor trec prin patru puncte fixe aşezate în linie dreaptă. Să se arate că şi" diagonalele paralelogramului se rotesc în acest caz în jurul unor puncte fixe. R.: Alegem dreapta cu punctele fixe O,L,M,N ca Ox şi perpendiculara în O pe Ox ca axă. Punctele fixe au în acest caz coordonatele: 0(0; O), L(l; O), M(m;O) şi N(n; O) Ecuaţiile laturilor paralel.ogramului slnt

axă

Oy

=y (BC) = y -

(AB) unde

)..

(,-ţ

(J, x

-l)

=

=

(CD) =Y - Â (x-n)

O,

(AD) s y

O,

~

=

jJ. (x - m)

O,

= O,

 şi µ slnt parametri variabili. Rezultă cele ale diagonalelor

(D1) (D2)

= (J, Mm + n - l) ·= µ).. [x(m + n - l) -

ml]

+

mn]

Â

+

(l-n)y - µniy = O Â (l ...;.n) y - µm y = O.

150·

EXERCIŢII ŞI

constată astfel că (D1)

Se

mn , m +n-l

.punctul fix Q [

3.165.

trec

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA

fiţcare

trece prin punctul fix P [

o] •

m

ŞI DIFERENŢIALA

ml

+

n -l

,

o] , iar

Să se demonstreze că bisectoarea unui unghi drept, ale prin cîte un punct dat, trece printr-un punct fix.

(D 2) prin

cărui

laturi

R. : Luăm ca axă Ox dreapta care uneşte punctele A, B fixe pe unde trec laturile AC, BC ale unghiului drept C. Mediatoarea. segmentului AB este luată ca Oy. În acest caz putem pune A( -a, O) şi B(a, O). Dacă notăm cu tx unghiul pe care-l formează perpendiculara din O pe BC, atunci ecuaţiile normale ale dreptelor BC şi AC stnt, respectiv

y

C

(BC) s

x cos a; + y sin ex - a cos a;= O,

(AC)= - x sin a;+ y cos i x - a sin a;= O. Ecuaţia

bisectoarei unghiului Cale laturi trec prin punctele A, B este deci (cos a;

+ a (sin

+ sin ex) x +

a; -

cos a;)

=

(sin

ix -

cărui

cos«) y

+

O.

Notind cos a; + sin ix sin a; - cos a;

Fig. 3.165

atunci

ecuaţia

Â,

bisectoarei este

+ a) + 'A. x =

(y care ne

=

a.rată că

O,

ea trece prin punctul fix F (O; -a).

cărui laturi scrise sub forma normală sînt: lui A; Q = O, opusă lui B; R = O, opusă lui C, să se scrie ecuaţiile medianelor. Expresiile P, Q, R sînt astfel alese ca P (A), Q (B), R (C) să fie toate pozitive. Q sin B - R sin C = O, R.: (Media.na din A)

3.166. Fiind dat un ·unghi ale

P

= O,

opusă

(Mediana din B)

R sin C -

P sin A

=

O,

(Mediana din C)

P sin A - Q sin B

=

O.

3.167. R. :

Să

se demonstreze

Păstrînd notaţiile

E,,i

= Q sin

din

că

medianele unui triunghi sînt concurente.

exerciţiul

B - R

şin

C

3.166,

=

O;

ecuaţiile

medianelor sînt

Ea= R sin C - P sin B

=

O,

Ec = P sin A - Q sin B s O. Observînd

că

E,,i

+

Ea

+ Ec == O,

rezultă că

cele trei mecliane sînt concurente.

DREAPTA IN PLAN

151

3.168. Fiind dat un triunghi ABC ale cărui laturi au ecuatiile sub formă normală: P = O, opusa lui A, Q = O, opusa lui B, şi R = opusa lui C, iar P, Q, R astfel alese ca P (A), Q (B) şi R (C) să aibă fiecare semnul Plus

o:

să se scrie ecuaţiile bisectoarelor interioare şi exterioare ale triunghiului ABC.

R. : Ecuaţiile bisectoarelor interioare slnt: cea din A : Q - R = O. cea din B : R - P = O şi cea clin C : P - Q = O. ·tntr-adevăr. Q - R = O este bisectoarea interioară din A pentru că Q = R exprimă că punctele de pe dreaptă stnt egal depăr­ tate de laturi, iar Q - R = O este interioară. pentru că avem: Q (B) - R {B) = Q (B), iar Q (C) - R (C) = - R (C) de semne contrare avînd în vedere că Q (B) şi R (C) au fost alese de acelaşi semn. Ecuaţiile Q + R = O, R + P = O şi P + Q = O reprezintă bisectoarele exterioare.

' A

C B

Fig. 3.168

3.169. Să se demonstreze că dacă un fascicul de patru drepte intersectează oarecare în patru puncte, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , raportul anarmonic r = = (A 1A2A3A4) rămîne constant.

o dreaptă

R. : Fie D1 = O, D 8 = O ecuaţiile a două din drepte; celelalte două, formînd fascicul cu primele, au ecuaţiile de forma: D 1 + Â1 D8 = O şi D1 + i. 8 D1 = O. Fie acum P = O dreapta pe care cele patru drepte : D1 = O, D 1 = O, D1 + Â1D9 = O şi D 1 + "9D2 = O o taie, respectiv. în A1• As, A 3 , A,. Să calculăm t' = (A 1 A8 A8 A,). Avem A 3 A1 A 4A1 D 1 {A1) + ).1D 2 (A 1 ) ,, = - .- --:;..:.....::;_,;,...._=--:;:;..:....~ • A 3 A2 • A 4 A 8 D1 {A 2) + ).1D2 (As)

=

D1 (A 1) + Â9 D2 (A 1) • ' D 1 (A 2) + ).2 D 2 (A 2). Avlnd în vedere că D1 (A 1) = O şi D9 (A1 ) atunci

Fig. 3.169

=

O

t'=

ceea ce

demonstrează

teorema.

3.170. Să se calculeze raportul anarmonic al fasciculului de D

+ i-. D' =0, 1

D

+ i-.sD' =0,

R.: Fie D =AN+ By + C = O şi D' tele fasciculului taie pe 0:& în punctele . ) , A 1 --C - - -- -Â-1C' -,0 ( A+ Â A' 1

D

+ i-.3D'

=A A B

1

=0 şi D

N + B'y

+ i-. D' =0.

+ C' = O.

-C - "9C' ) ---aa-•O ( A + "9A' •

drepte

4

In acest caz, drep-

I

-C - Â(C' ) -C - ">.aC' ) A3 ------- ; o I A ( -------; O • ( A ' A+Â(A' Âa A' Raportul anarmonic al fasciculului este r == (A 1 A1 A 8A,) care este egal cu (ÂiÂsÂa~•

+

3.171. Raportul anarmonic a patru drepte trecînd prin M 0 {.~o, y 0) şi care au pantele mi, m2 , m3, m, este

,, = (m1m2m3mJ.

152

EXERCIŢII ŞI

Ecuaţiile

R. :

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

celor patru drepte sînt de forma Y - Yo

Lutnd D ciţiul

(3.170),

+ m;(x0 -

x)

=

(i

O

= 1,

2, 3, 4).

=y

că

- y 0 = O şi D' = x0 - x = O, rezultă, pe baza celor arătate la exer• raportul anarmonic al celor patru drepte este r = (ffli_m2m3m&).

3.172. Fiind date dreptele de ecuaţii D = O şi D' =0, să se arate că dreptele D W' = O şi D - AD' = O sînt conjugate armonic faţă de D = O şi D' =0.

+

R.: Fie A şi B două puncte, respectiv, pe dreapta D = O şi D' tele unde D + i.. D' = O, respectiv D - i.. D' = O, taie dreapta AB. Avem MA .

+ )..D'(A)

D(A)

Ţinînd seamă că

A este situat pe D D(A)

Rezultă

.

=

= O şi

că

M

şi

O iar M

şi

N punc-

D (A) - W' (A)

= D (B) -

W' (B) •

= O: avem

B pe D'

O şi D' (B)

= O.

deci şi

MA=)... D'(A) MB D (B}

astfel

NA NB

şi

= D (B) + W' (B)

MB

=

N stnt conjugate armonic

faţă

= _

NA NB şi

de A

i.. D'(A}, D (B)

B.

3.173. O dreaptă taie laturile unui triunghi ABC în trei puncte: A' pe BC B' pe AC şi C' pe AB. Să se demonstreze că avem A 1B B 1C C'A A 1C • B 1A • C'B

R. :

Considerăm

dreapta de

A'B A'C

P (B). P (C)'

--=--

ecuaţie

P

= O;

=

+ 1.

atunci

B'C P (C} B'A = P (A)

.

şi

C'A P (A) C'B = P (B) •

Rezultă

A'B • B'C • C'A A'C B'A C'B

= P (~ P (C)

• P (C) • P (A) P (A) P (B)

=

1.

3.174. Reciproc, dacă se iau pe laturile ,z1,nui triunghi ABC trei puncte: A' pe BC, B' pe AC şi C' pe AB, astfel ca să avem A 1B B'C C'A A'C • B'A • C'B

atunci A', B', C' sînt coliniare. R. : Să. considerăm P = O ecuaţia A'B A'C

=

+ l.

dreptei A'B'; atunci :

P (B)

= P {C)

.

Şl

B'C B 1A

P (C)

= P (A)

•

Î

153

DREAPTA IN PLAN

Substituim aceste expresii in

relaţia dată.

A'B A'C.

de unde

B'C C'A·

C'A C'B

. - - • - - = + 1,

rezultă

C'A

P (A)

C'B

P (B)

--=--• ceea ce

demonstrează că

C' se

confundă

=

cu punctul unde dreapta P

O taie latura AB.

3.175. Fiind dat un triunghi ABC şi M un punct din planul său, să se demonstreze că dreptele AM, BM, CM taie laturile opuse în trei puncte. A', B', C', care determină nişte rapoarte între care avem relaţia A 1B B 1C C'A - - . - - . --=-1. 1 1 A C B A C'B

oricare ar fi punctul M, diferit de A, B, C. R.: Fie A(x1 , y1), B (x2, y2), C(x3 , y 3 ) şi M(x0 , y 0 ) vîrfurile triunghiului şi punctul M dat cu D; (x) = O ecuaţia dreptei care uneşte pe M cu unul din punctele A,B,C, (i = 1,2,3) 1 pentru MA, i = 2 pentru MB şi i = 3 pentru MC). Avem X y 1

Notăm

(i

=

Di (x)

=

x0

y0

1

Xj

Yi

1

=

O.

ln acest caz, A'B

B'C

A'C

B'A

E=--•--• Ţinînd seamă

· rezultă

că

E

=-

că

D 1 (B)

= -

C'A D D (C) D (A) --=--•--·--· C'B Di(C) D (A) D (B) 1

(B)

2

2

D 2 (A), D 1 (C)

1, ceea ce trebuia demonstrat.

=-

. 3.176. Reciproc_, fie A', B', C' trei puncte BC, AC, AB, astfel că avem A 1B

B 1C

A C

B'A

1

Să

se demonstreze

că,

C'A

. -- = C'B

Da (A)

aşezate,

3

3

şi

D 2 (C)

=-

Da (B),

respectiv, pe laturile

-1.

în acest caz, dreptele AA', BB', CC' sînt concurente.

R.: Considerăm .ilJ(x0 ,y0 ) punctul de intersecţie aceleaşi notaţii ca în problema precedentă, avem

a dreptelor AA', BB'.

sau C'A' C' B

= _ D1

(C) • D 2 (A) •

D 1 (B)

D 2 (C)

Dacă păstrăm

l

154

EXERCIŢII ŞI

Ţinînd seamă. că.

de unde se

constată că

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA ŞI DIFERENŢIALA

D 1 (B)

= -

= ..... D 3 (A)

D 2 (A}, D 1 (C}

şi

=-

D 2 (C}

D 8 (B), rezultă

C'A = _ D 3 (A) C'B D3 (B) C' se confundă. cu punctul de intersecţie a dreptei CM cu AB.

3.177. Fiind dat un ungkiformat de dreptele D = O şi D' = O şi un punct M 0 (x0 , y 0) din planul imgkiului, să se scrie ecuaţia dreptei conjugate armonic faţă de laturile unghiului, a aceleia care uneşte pe M 0 cu vîrful unghiuliti. R.:

Ecuaţia

unei drepte care trece prin vîrful unghiului are forma

= O,

D(M) - ). D'(M)

unde M (x, y) este un punct curent. Pentru ca această dreaptă să

-). D'(M0) şi

= O,

vîrf este

treacă

de unde rezultă:).= D (Mo), D'(M0 }

Rezultă. că ecuaţia

prin M 0 (x0 , y 0 ) trebuie

şi prin

urmare

să

avem: D(M0 )

-

ecuaţia dreptei care trece prin M

dreptei conjugate armonic este D (M) D (M0 )

+ D' (M) = O. D'(M0 )

3.178. Fiind date dreptele concurente

x - 2y - 3 = O şi 2x + 3y + 1 = O, să se scrie ecuaţia conjugatei armonice a dreptei care trece prin punctitl M (- 2, - 1). R. :

Ecuaţia căutată

intersecţie şi

este

2y - 3 -2-2(-1)-3 X -

+

2X + 3y + 1 2(-2)+3(-1)+1

= o,

sau.

= o. 3.179. Să se demonstreze că dreptele conjugate armonic a trei drepte concurente faţă de laturile respective ale imgkiurilor intersectează laturile triunghiului în ţrei puncte coliniare. 4.x- - y - 5

R.: Fie ABC un triunghi

şi M 0 punctul de concurenţă. a trei ceviene, AM0 , BM0 , CM0 • cu P = O, Q = O, R = O ecuaţiile respecţive ale dreptelor BC, AC, AB, conjugatele armonice ale dreptelor- AM0 , BM0 , CM0 faţă de unghiurile respective au ecuaţiile

Dacă notăm

Conjugata lui AM0 taie latura BC în punctul A', astfel

că

avem

Q (B) R(B) Q (M0 ) R (M0 } A'B --=------A'C Q (C) R (C) Q (M0 ) R(M0 ).

+ +

7

155

DREAPTA IN PLAN

=

Ţinînd seamă că P(B)

P(C) = O; Q(A)

=

şi R(A)

Q(C) =0

A'B

Q (B)

R(M

A'C

R (C)

Q (M0 )

=

R(~) = O,

rezultă

)

- = - - · - -0• Analog avem

=

B'C B'A

R (C) • P(M0 ) P (A) R (M0)

:şi

C'A P (A) Q (M --=--. __ , 0)

.., O), C(O, (L) şi că între vtrfuri se păstrează distanţele. Avem relaţiile ·

= (x - :>..)S + ys = ca' ACS = xs + (y - µfi = ba, BCS = :>.,S + µ.a = as.

A BI

Eliminînd pe )., µ între dreptele y

=±-

C

ecuaţii şi ţintnd seamă că

x.

b9

+ c2 = as,

găsim

loculformatdin·

J

b

1 A

C

--07""t------~8----

Fig. 3.205

I(

Fig. 3.206

3.206. Dacă două roţi dinţate - una cu o rază dublă faţă de a celeilalte angrenează în interior, ca în figura 3.206, se cere traiectoria unui dinte al, roţii mici în timp ce ea se mişcă angrenîndu-se cu cea mare.

se

DREAPTA tN PLAN

165

. R. : Să presupunem că dintele A' al roţii mici a fost în A pe roata mare, Ia. începutul miş­ cării, şi că luăm. ca Os pe OA şi ca Oy pe OB. perpendiculară ln O pe OA. După un tiplp, A,'. a descris un drum, iar roata mică devine tangentă la cea mare tn T. Roata :inică a,1nd raza; pe jumătatea celei mari, cercul corespunză,tor trece necontenit prin centrul O al celei mari. Rezultă că TO = 2 r şi, cum arc A'T = arc AT, avem unghiul la centru A'TT, dublul unghiului la. centru AOT, şi prin urmare~ A'OT = -q::'. AOŢ; astfel OA' coincide cu . OA, deci A' are mereu y = O; aşadar locul lui A' este axa Ox. ·,

\

care

3.207. Să se determine mulţimea punctelor di~ plan'ul axelor de coordonate 'fJerifică relaţia ·· ·

Ix I +Jy I =2. R. :

Mulţimea

X+

punctelor este

y

= 2;

X -

formată

J

=

din segmente ale dreptelor

2;

-

N

+

= 2;

y

-

pentru care suma modulelor I x I şi I y I este 2. Se găseşte astfel formată din cele ale pătratului ABCD din figura 3.207.

X -

:)1

=

2,

că mulţimea

punctelor este

1

y

A /0.2)

•Fig. 3.207

Fig,. 8.208

3.208. Să se determine muUimea punctelor din planul axelor de· coordonate pentru care avem relaţia #

lxl-lYl=i. R. :

Mulţimea

punctelor este

formată

din segmente ale dreptelor -

pentru care avem

relaţia

: Ix I

=1+

zate pe semidreptele din figura 8.208.

I y I . Se

X=

1

+ y;

găseşte

-

X==

1 -y,

astfel cil. punctele

căutate

stnt

aşe­

EXERCIŢII ŞI

166

PROBLEME DE OEOMJ;TRIE ANALITICA

3.209. Axele fiind oblice, · iar unghiul lor punctelor din planul axelor, astfel ca să avem

, să

ŞI DIFERENŢIALA

se determine

mulţimea

lxl+IYl=1. R.: Punctele de pe conturul dreptunghiului ABCD (fig.3.209).

3.210. Să se determine multimea punctelor din planul axelor 6 x, Oy, pentru care avem . cos (x

+ y)

=0.

Fig. 3.209

1

Fig. 3.210 R. :

cu x

este

+ 1)1t, + y = ----2(k

2

echivalentă

unde k este un

întreg oarecare. Rezultă că mulţimea punctelor est~ situată pe drepte pa.raJele cu bisectoarea a doua x + y = O a axelor. Mulţimea punctelor căutate este reprezentată în figura 3.210.

Fig. 3.211

3.211. Să se det~nnin,~ pentru care avem

Relaţia dată

.m'tffţirnea

punctelor din

planuţ

axelor Ox; Oy,

, sin x ;---siny. R.:

fiind verificată, dacă avem x - y = 2k1; sau x + y == (2k puncte_lor.este situată pe reţeaua de drepte. din figura 3.211.

Relaţia dată

r~ultă -că mulţimea;

+

1)n.

Capitolul IV.

PLANUL ŞI DREAPTA ÎN SPAŢIU A.

Ecuaţia

planului

. 4.1. Să se stabilească poziţia punctelor M 1 (-1; 2; 3); M 2 (O; 1; - 4); M3 (3; -1; 2); M 4 (1; 1; 1); Ms(4;2;1); M 6 (0; 2; -3) faţă

de planul P

=2x -

y

+ 3z -

6

= O şi în

raport cu planul .xOy.

· :R. : 1) Poziţia punctului M 1 { -1 ; 2 ; 3) se stabileşte astfel : căutăm coordonatele punctului N 1 de pe plan, care are acelaşi x = - 1 şi acelaşi y = 2 ca şi punctul M 1• Se găseşte

N1 ( - 1 ; 2; ~O ) • Deoarece ordonata lui M 1 este mai că· M1

se

află

situat tntre p1anul xOy

şi

planul P

= o.

mică.

adică

2) M 2 se află dedesubtul planului xOy şi al planului P 3) M 3 deasupra lui xOy şi a planului P = O. 4) M 1 între xOy şi P = O.

dectt a. punctului_ N1 , dedesubtul planului P

= O.

rezultă

= O.

5) Mr, deasupra planului xOy şi a planului P = O. 6) M 6 dedesubtul lui xOy şi al planul_ui P = O.

4.2. Să se scrie ecuaţia unui plan ABC care determinli. pe axele de· donate Ox, Oy, Oz segmentele OA =-1, OB =3, OC =-2·. R. : 6x - 2y

+

3z

coor•

+ 6 = O.

4.3. Să se determine - 4y 6z - 24 = O.

+

tăieturile

pe axele de coordonate ale planului 3x -

R.: 8; -6; 4.

4.4. Să se scrie ecuaţia.unui plan care trece prin A (1, - 3, - 2) şi·ca,e pe Oy şi Oz segnţ,entele egale, respecti11~ cu 2 şi - 3. : ·

deter~ină

R. : Ux

+ 3y -

2z - 6

= O.

4.5. Să se scrie. ecuaţia unui plan în următoarele cazurî : 1) planul trece prin M 0 (x0 , y0 , z0) şi determină, respectiv, p_e D_ţ, Oy. şeg_ment1le a şi b,· _ · · ·-'. · · · · · ·

168

EXERCIŢII ŞI

PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITICA $1

DIFERENŢIALA

2) planul trece prin M 0 ( x0 , y 0 , z0) şi determină, respectiv, pe Ox, Oz segmentele a şi c 3) planul trece prin M 0 (x0 , y 0 , z0) şi determină, respectiv, pe Oy şi Oz segmentele b şi c. · 1·

1)

R. :

2)

3)

..=.... a

+ 1.. + (1

~+ a

(1 -

b

-

Xo_ a

-=.. = 1: z

Yo ) b

0

(1 _,..:!a - !!..) • .z._y + ~c = 1; c 0

Yo - ~) • ...=..... + L b e x0 b

+ _!_ = 1. c

4.6. Să se ăeterminînd pe R. : unde şi

ei_,

scrie ecuaţia planului care trece prin punctul M 0 (x0 , y 0 , z0), axe segmente de aceeaşi lungime. • ei,x + CsY + eaz = ei.so + esYo + ea 8 0•

ea, ea

au valorile

± 1.

4. 7. Să se determine volumul tetraedrului limitat de planele de coordonate de planul a cărui ·ecuaţie este .

3x + 2y + 5z

R.: 150. şi

= 30.

4.8. Să se scrie ecuaţia unui plan care trece prin punctele M1 (x1, y 1, z1) M 2 (x2, y 2 , z2), care determină pe axele Ox, Oy segmente de pceeaşi lungime. ~

z

y

1

z

1

R.: unde ei_, e:9 au valorile

± 1,

4.9. Să se scrie ecuaţia planului care trece prin origine M1 (x1, Y1, z1), Ms (xs, Ys, Z2)• R.:

M(x, y, z) este un punct oarecare din plan, trebuie X OMii) c: O. de unde rezultă ecuaţia

Dacă

OM • (OM1

X

y

Z

X1

Y1

Z1

X2 Y11

za

să

şi

prin punctele

avem

= o,

sau 1!1 ioE