Teoria probabilităților și statistică matematică: culegere de probleme

Probability and statistics problem book; In Romanian

147 107 8MB

Romanian Pages 415 [413] Year 1962

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD PDF FILE

Table of contents :
00000001_1L
00000001_2R
00000002_1L
00000002_2R
00000003_1L
00000003_2R
00000004_1L
00000004_2R
00000005_1L
00000005_2R
00000006_1L
00000006_2R
00000007_1L
00000007_2R
00000008_1L
00000008_2R
00000009_1L
00000009_2R
00000010_1L
00000010_2R
00000011_1L
00000011_2R
00000012_1L
00000012_2R
00000013_1L
00000013_2R
00000014_1L
00000014_2R
00000015_1L
00000015_2R
00000016_1L
00000016_2R
00000017_1L
00000017_2R
00000018_1L
00000018_2R
00000019_1L
00000019_2R
00000020_1L
00000020_2R
00000021_1L
00000021_2R
00000022_1L
00000022_2R
00000023_1L
00000023_2R
00000024_1L
00000024_2R
00000025_1L
00000025_2R
00000026_1L
00000026_2R
00000027_1L
00000027_2R
00000028_1L
00000028_2R
00000029_1L
00000029_2R
00000030_1L
00000030_2R
00000031_1L
00000031_2R
00000032_1L
00000032_2R
00000033_1L
00000033_2R
00000034_1L
00000034_2R
00000035_1L
00000035_2R
00000036_1L
00000036_2R
00000037_1L
00000037_2R
00000038_1L
00000038_2R
00000039_1L
00000039_2R
00000040_1L
00000040_2R
00000041_1L
00000041_2R
00000042_1L
00000042_2R
00000043_1L
00000043_2R
00000044_1L
00000044_2R
00000045_1L
00000045_2R
00000046_1L
00000046_2R
00000047_1L
00000047_2R
00000048_1L
00000048_2R
00000049_1L
00000049_2R
00000050_1L
00000050_2R
00000051_1L
00000051_2R
00000052_1L
00000052_2R
00000053_1L
00000053_2R
00000054_1L
00000054_2R
00000055_1L
00000055_2R
00000056_1L
00000056_2R
00000057_1L
00000057_2R
00000058_1L
00000058_2R
00000059_1L
00000059_2R
00000060_1L
00000060_2R
00000061_1L
00000061_2R
00000062_1L
00000062_2R
00000063_1L
00000063_2R
00000064_1L
00000064_2R
00000065_1L
00000065_2R
00000066_1L
00000066_2R
00000067_1L
00000067_2R
00000068_1L
00000068_2R
00000069_1L
00000069_2R
00000070_1L
00000070_2R
00000071_1L
00000071_2R
00000072_1L
00000072_2R
00000073_1L
00000073_2R
00000074_1L
00000074_2R
00000075_1L
00000075_2R
00000076_1L
00000076_2R
00000077_1L
00000077_2R
00000078_1L
00000078_2R
00000079_1L
00000079_2R
00000080_1L
00000080_2R
00000081_1L
00000081_2R
00000082_1L
00000082_2R
00000083_1L
00000083_2R
00000084_1L
00000084_2R
00000085_1L
00000085_2R
00000086_1L
00000086_2R
00000087_1L
00000087_2R
00000088_1L
00000088_2R
00000089_1L
00000089_2R
00000090_1L
00000090_2R
00000091_1L
00000091_2R
00000092_1L
00000092_2R
00000093_1L
00000093_2R
00000094_1L
00000094_2R
00000095_1L
00000095_2R
00000096_1L
00000096_2R
00000097_1L
00000097_2R
00000098_1L
00000098_2R
00000099_1L
00000099_2R
00000100_1L
00000100_2R
00000101_1L
00000101_2R
00000102_1L
00000102_2R
00000103_1L
00000103_2R
00000104_1L
00000104_2R
00000105_1L
00000105_2R
00000106_1L
00000106_2R
00000107_1L
00000107_2R
00000108_1L
00000108_2R
00000109_1L
00000109_2R
00000110_1L
00000110_2R
00000111_1L
00000111_2R
00000112_1L
00000112_2R
00000113_1L
00000113_2R
00000114_1L
00000114_2R
00000115_1L
00000115_2R
00000116_1L
00000116_2R
00000117_1L
00000117_2R
00000118_1L
00000118_2R
00000119_1L
00000119_2R
00000120_1L
00000120_2R
00000121_1L
00000121_2R
00000122_1L
00000122_2R
00000123_1L
00000123_2R
00000124_1L
00000124_2R
00000125_1L
00000125_2R
00000126_1L
00000126_2R
00000127_1L
00000127_2R
00000128_1L
00000128_2R
00000129_1L
00000129_2R
00000130_1L
00000130_2R
00000131_1L
00000131_2R
00000132_1L
00000132_2R
00000133_1L
00000133_2R
00000134_1L
00000134_2R
00000135_1L
00000135_2R
00000136_1L
00000136_2R
00000137_1L
00000137_2R
00000138_1L
00000138_2R
00000139_1L
00000139_2R
00000140_1L
00000140_2R
00000141_1L
00000141_2R
00000142_1L
00000142_2R
00000143_1L
00000143_2R
00000144_1L
00000144_2R
00000145_1L
00000145_2R
00000146_1L
00000146_2R
00000147_1L
00000147_2R
00000148_1L
00000148_2R
00000149_1L
00000149_2R
00000150_1L
00000150_2R
00000151_1L
00000151_2R
00000152_1L
00000152_2R
00000153_1L
00000153_2R
00000154_1L
00000154_2R
00000155_1L
00000155_2R
00000156_1L
00000156_2R
00000157_1L
00000157_2R
00000158_1L
00000158_2R
00000159_1L
00000159_2R
00000160_1L
00000160_2R
00000161_1L
00000161_2R
00000162_1L
00000162_2R
00000163_1L
00000163_2R
00000164_1L
00000164_2R
00000165_1L
00000165_2R
00000166_1L
00000166_2R
00000167_1L
00000167_2R
00000168_1L
00000168_2R
00000169_1L
00000169_2R
00000170_1L
00000170_2R
00000171_1L
00000171_2R
00000172_1L
00000172_2R
00000173_1L
00000173_2R
00000174_1L
00000174_2R
00000175_1L
00000175_2R
00000176_1L
00000176_2R
00000177_1L
00000177_2R
00000178_1L
00000178_2R
00000179_1L
00000179_2R
00000180_1L
00000180_2R
00000181_1L
00000181_2R
00000182_1L
00000182_2R
00000183_1L
00000183_2R
00000184_1L
00000184_2R
00000185_1L
00000185_2R
00000186_1L
00000186_2R
00000187_1L
00000187_2R
00000188_1L
00000188_2R
00000189_1L
00000189_2R
00000190_1L
00000190_2R
00000191_1L
00000191_2R
00000192_1L
00000192_2R
00000193_1L
00000193_2R
00000194_1L
00000194_2R
00000195_1L
00000195_2R
00000196_1L
00000196_2R
00000197_1L
00000197_2R
00000198_1L
00000198_2R
00000199_1L
00000199_2R
00000200_1L
00000200_2R
00000201_1L
00000201_2R
00000202_1L
00000202_2R
00000203_1L
00000203_2R
00000204_1L
00000204_2R
00000205_1L
00000205_2R
00000206_1L
00000206_2R
00000207_1L
00000207_2R
00000208_1L
00000208_2R
00000209_1L
00000209_2R
00000210_1L
00000210_2R
Recommend Papers

Teoria probabilităților și statistică matematică: culegere de probleme

  • 0 0 0
  • Like this paper and download? You can publish your own PDF file online for free in a few minutes! Sign Up
File loading please wait...
Citation preview

SOCIETATEA DE STIINTE MATEMA TICE SI FIZICE DIN R.P.R.

GEORGE CIUCU

GABRIEL SÎMBOAN

TEORIA PROBABILITÂJILOR SI STATISTICÂ MATEMATICÂ Culegere de probleme

EDITURA TEHNICÂ BUCURESTI - 1962

PREFATA Aceastd culegere de exercifii �i probleme cuprinde �apte capitole # anume: �ase de Calculul probabilitiifilor �i unul de Statisticii matematicii. Exercifiile �i problemele din calculul pro­ babilitiifilor se refera la evenimente �i probabilitcïfi, probabilitiifi geometrice, funqii de repartifie, valori caraderistice, conver­ genfa �irurilor de variabile aleatoare # lanturi Markov. Capi­ tolul de Statisticcï matematicii cuprinde probleme �i exercifii pri­ vind teoria seleqiei, teoria estimafiei, regiunile de incredere, teoria corelafiei �i teoria asiguriirilor. Toate exercifiile # proble­ mele au solufii complete, numeroase au aplicatii practice imediate. Fiecare capitol este precedat de o scurtii prezentare a principalelor notatii # definifii utilizate. Pentru o intelegere mai prof undii, propunem cititorilor sii studieze capitolele respective din tratatele: Calculul probabilitcïfilor de O. Onicescu, G. Mihoc, C. T. lonescu-Tulcea, Editura Academiei R.P.R., 1956, Calcalul probabilitiifilor de O. Onicescu, Editura Tehnicii, 1956, �i Let:fii de statisticcï matematicii de O. Onicescu, G. Mihoc, Edüura Tehnicii, 1958. Exercifiile �i problemele au fost luate din diferite lucriiri, menfionate in bibliografie. lndeosebi am folosit valorosul »Ma­ nual de inviitiimint superior• ,, Valosziniiségszamitas" al prof. Rényi Alfréd din Budapesta. Sintem convin# cii aceastii culegere va fi utilii acelora care vor sii se consacre studiului Calculului probabilitcïfilor # Statistidi .matematice.

Aducem mulfumirile noastre prof. O. Onicescu # prof. O. Mihoc, pentra ajutorul fi tndramdrile pe care ni le-au dat. AlTTORO

bilitatea ca sà avem in lotul de 100 piese examinate k piese de2 /1: 98 )IOIJ-k fecte �ste ( 100 ) ( 100 • Probabilitatea cerutà este:

c:oo

IOO

P=

� doo

f1�} (:) t

100-k

10. Evenimentul A constà in aparitïa cel pupn o datà a fetei 6, aruncînd un zar de patru ori, �i evenimentul B constâ in aparipa fetei 6 cel pupn de doua. _ori, aruncind de 24 ori cite douâ zaruri. Care din cele douâ evenimente este mai probabil? S o l ut i e. Probabilitatea ca aruncînd un zar sà nu apari niciodatà fata 6 este

! , iar ca sâ nu aparà fata 6, aruncind patru

zaruri, este P(A)= ( �

r.

Rezulta cà probabilitatea ca aruncînd .aparà fata 6 cel pupn o datà este

p (A) = 1- ( �



un

zar de patru ori sà_

Pentru calculul probabilitàtii evenimentului B, vom evalua probabilitatea evenimentului B. Interpretàm aparipa fetei 6 a unui

zar,

ca o urnà

cu

douà stàri,

una

!.

,,fata 6"

eu p=

! p alta ,,non

fata 6" .cu probabilitatea q=Aruncàrile fiiDd iDdependente, in loc sà aruncàm de doua. ori cite 24 de :zanui, putem sà aruncàm 48 de zaruri o singura data. Atunci, dupà formula urnei, probabi­ litatea evenimentului B ca in 48 de aruncan sà obpnem sau de zero ori tata 6 sau o data fata 6 este p(B) =

(!f

8

+48· ! . ( !f

7

Comparînd p (A) eu p(B), avem p(B)

p(A)

=

53 f 5 ),rr 6• 6

(:r

) +(vil}) +(vi0 > t.

Presup unem cà densitatea de probabilitate a celor 3N viteze e)>P(l;-p.>e, l;'-p.�0) = =P(l;-p.>E)•P(l;'-p.

! P(!;-11>&) ·

Deci (1) este demonstratl. Daca in (1) inlocuim I; cu -1;, rezultâ (11

� P( 11;-flÇI >e) 6).

losi P( 1 �l> e) = P( 1(1;-a)+(l;'-a) 1 >r;)s)e) ; ) •

Dacà in (2) înlocuim pe � eu I;n , rezaltl imediat cl daCi . P atanc1 çn-an�• Fa- O ... p

§1.

11► an- t""an -0

.

. 34. 0 � contïne B bile albe §i N bile negre. _Se f�c � sene de extrat:tü, astfel încît dupa fiecare extracpe se 1nlOCUI� bila extrasl eu o biJâ de culoare contrari. Fie Y · DIIDlùal de bile albe ie!jite in n extractü succesi" li Pn probabilitatea de a obpne o bila albl in extractïa de or· dinai n. Sà se arate cl 1 Hm -= .., limcPn=n ll➔ 2.

-•

Sol ut le. Dapl n extracpi vom avea in ami

+

8-2v n bile albe 262

li

N+ 2v-n

bile

negre.

Pl:/'

probabilitatea ca, pleclnd de la corn· � Vom insenma prin pozitïa Ch , si ajungem in n extractii la compozipa C1 �i eu PJr' probabilitatea t:a, plecînd de la compozipa C1 , sà ajungem dupà _m operapi la compozitïa Ck , indicele j putind lua una din valorile 0, 1, 2, ... , r. Dupà teorema probabilitatilor compuse avem (m+nJ

Phk

= '{"' p p(m) h/ • Jk • .l.J J=O

Vom nota eu P; =PC'; scriind aceastâ formula pentru n-1 1 � m= 1, avem r

r

Cn)= '{"' pCn-JJ p(n-1) '{"' p"" LJ hJ ·P,1c = .l.J Ph,· Jlt • =O J=O J Dacâ se CDDOSC probabilitaple (p ). atunci ij cula P1,2l, •••



putem cal-

La fiecare operape numârul bilelor albe · varia zâ eu o unitate, deci PiJ= O, dacâ li-jj>l, iar pentru probabilitltile P'(j> avem proprietatile : >

daca

>

I i-j 1 -Jj :>o,

Pf; =o,

>n.

Si presupanem câ avem compozitïa Ct ; probabilitatea de 3 1 scoate clin U o bila alba este .!.... , iar din v este A - ; atund. 0 u mmind legea de extractïe, ·. P1,1+1

Jar

=

l

P,, •-1 = a . l (A-t)

P,., = ïi Se vede cl

(l-

D

�)•(A;i)

(t - A-IJ u•

A-/) + ( 1- t ,) ( 1--D -. ,,

sau De aici rezultà

pJh (n)-e-