147 107 8MB
Romanian Pages 415 [413] Year 1962
SOCIETATEA DE STIINTE MATEMA TICE SI FIZICE DIN R.P.R.
GEORGE CIUCU
GABRIEL SÎMBOAN
TEORIA PROBABILITÂJILOR SI STATISTICÂ MATEMATICÂ Culegere de probleme
EDITURA TEHNICÂ BUCURESTI - 1962
PREFATA Aceastd culegere de exercifii �i probleme cuprinde �apte capitole # anume: �ase de Calculul probabilitiifilor �i unul de Statisticii matematicii. Exercifiile �i problemele din calculul pro babilitiifilor se refera la evenimente �i probabilitcïfi, probabilitiifi geometrice, funqii de repartifie, valori caraderistice, conver genfa �irurilor de variabile aleatoare # lanturi Markov. Capi tolul de Statisticcï matematicii cuprinde probleme �i exercifii pri vind teoria seleqiei, teoria estimafiei, regiunile de incredere, teoria corelafiei �i teoria asiguriirilor. Toate exercifiile # proble mele au solufii complete, numeroase au aplicatii practice imediate. Fiecare capitol este precedat de o scurtii prezentare a principalelor notatii # definifii utilizate. Pentru o intelegere mai prof undii, propunem cititorilor sii studieze capitolele respective din tratatele: Calculul probabilitcïfilor de O. Onicescu, G. Mihoc, C. T. lonescu-Tulcea, Editura Academiei R.P.R., 1956, Calcalul probabilitiifilor de O. Onicescu, Editura Tehnicii, 1956, �i Let:fii de statisticcï matematicii de O. Onicescu, G. Mihoc, Edüura Tehnicii, 1958. Exercifiile �i problemele au fost luate din diferite lucriiri, menfionate in bibliografie. lndeosebi am folosit valorosul »Ma nual de inviitiimint superior• ,, Valosziniiségszamitas" al prof. Rényi Alfréd din Budapesta. Sintem convin# cii aceastii culegere va fi utilii acelora care vor sii se consacre studiului Calculului probabilitcïfilor # Statistidi .matematice.
Aducem mulfumirile noastre prof. O. Onicescu # prof. O. Mihoc, pentra ajutorul fi tndramdrile pe care ni le-au dat. AlTTORO
bilitatea ca sà avem in lotul de 100 piese examinate k piese de2 /1: 98 )IOIJ-k fecte �ste ( 100 ) ( 100 • Probabilitatea cerutà este:
c:oo
IOO
P=
� doo
f1�} (:) t
100-k
10. Evenimentul A constà in aparitïa cel pupn o datà a fetei 6, aruncînd un zar de patru ori, �i evenimentul B constâ in aparipa fetei 6 cel pupn de doua. _ori, aruncind de 24 ori cite douâ zaruri. Care din cele douâ evenimente este mai probabil? S o l ut i e. Probabilitatea ca aruncînd un zar sà nu apari niciodatà fata 6 este
! , iar ca sâ nu aparà fata 6, aruncind patru
zaruri, este P(A)= ( �
r.
Rezulta cà probabilitatea ca aruncînd .aparà fata 6 cel pupn o datà este
p (A) = 1- ( �
r·
un
zar de patru ori sà_
Pentru calculul probabilitàtii evenimentului B, vom evalua probabilitatea evenimentului B. Interpretàm aparipa fetei 6 a unui
zar,
ca o urnà
cu
douà stàri,
una
!.
,,fata 6"
eu p=
! p alta ,,non
fata 6" .cu probabilitatea q=Aruncàrile fiiDd iDdependente, in loc sà aruncàm de doua. ori cite 24 de :zanui, putem sà aruncàm 48 de zaruri o singura data. Atunci, dupà formula urnei, probabi litatea evenimentului B ca in 48 de aruncan sà obpnem sau de zero ori tata 6 sau o data fata 6 este p(B) =
(!f
8
+48· ! . ( !f
7
Comparînd p (A) eu p(B), avem p(B)
p(A)
=
53 f 5 ),rr 6• 6
(:r
) +(vil}) +(vi0 > t.
Presup unem cà densitatea de probabilitate a celor 3N viteze e)>P(l;-p.>e, l;'-p.�0) = =P(l;-p.>E)•P(l;'-p.
! P(!;-11>&) ·
Deci (1) este demonstratl. Daca in (1) inlocuim I; cu -1;, rezultâ (11
� P( 11;-flÇI >e) 6).
losi P( 1 �l> e) = P( 1(1;-a)+(l;'-a) 1 >r;)s)e) ; ) •
Dacà in (2) înlocuim pe � eu I;n , rezaltl imediat cl daCi . P atanc1 çn-an�• Fa- O ... p
§1.
11► an- t""an -0
.
. 34. 0 � contïne B bile albe §i N bile negre. _Se f�c � sene de extrat:tü, astfel încît dupa fiecare extracpe se 1nlOCUI� bila extrasl eu o biJâ de culoare contrari. Fie Y · DIIDlùal de bile albe ie!jite in n extractü succesi" li Pn probabilitatea de a obpne o bila albl in extractïa de or· dinai n. Sà se arate cl 1 Hm -= .., limcPn=n ll➔ 2.
-•
Sol ut le. Dapl n extracpi vom avea in ami
+
8-2v n bile albe 262
li
N+ 2v-n
bile
negre.
Pl:/'
probabilitatea ca, pleclnd de la corn· � Vom insenma prin pozitïa Ch , si ajungem in n extractii la compozipa C1 �i eu PJr' probabilitatea t:a, plecînd de la compozipa C1 , sà ajungem dupà _m operapi la compozitïa Ck , indicele j putind lua una din valorile 0, 1, 2, ... , r. Dupà teorema probabilitatilor compuse avem (m+nJ
Phk
= '{"' p p(m) h/ • Jk • .l.J J=O
Vom nota eu P; =PC'; scriind aceastâ formula pentru n-1 1 � m= 1, avem r
r
Cn)= '{"' pCn-JJ p(n-1) '{"' p"" LJ hJ ·P,1c = .l.J Ph,· Jlt • =O J=O J Dacâ se CDDOSC probabilitaple (p ). atunci ij cula P1,2l, •••
•
putem cal-
La fiecare operape numârul bilelor albe · varia zâ eu o unitate, deci PiJ= O, dacâ li-jj>l, iar pentru probabilitltile P'(j> avem proprietatile : >
daca
>
I i-j 1 -Jj :>o,
Pf; =o,
>n.
Si presupanem câ avem compozitïa Ct ; probabilitatea de 3 1 scoate clin U o bila alba este .!.... , iar din v este A - ; atund. 0 u mmind legea de extractïe, ·. P1,1+1
Jar
=
l
P,, •-1 = a . l (A-t)
P,., = ïi Se vede cl
(l-
D
�)•(A;i)
(t - A-IJ u•
A-/) + ( 1- t ,) ( 1--D -. ,,
sau De aici rezultà
pJh (n)-e-