Teoria probabilităților și statistică matematică: culegere de probleme

Citation preview

SOCIETATEA DE STIINTE MATEMA TICE SI FIZICE DIN R.P.R.

GEORGE CIUCU

GABRIEL SÎMBOAN

TEORIA PROBABILITÂJILOR SI STATISTICÂ MATEMATICÂ Culegere de probleme

EDITURA TEHNICÂ BUCURESTI - 1962

PREFATA Aceastd culegere de exercifii �i probleme cuprinde �apte capitole # anume: �ase de Calculul probabilitiifilor �i unul de Statisticii matematicii. Exercifiile �i problemele din calculul pro­ babilitiifilor se refera la evenimente �i probabilitcïfi, probabilitiifi geometrice, funqii de repartifie, valori caraderistice, conver­ genfa �irurilor de variabile aleatoare # lanturi Markov. Capi­ tolul de Statisticcï matematicii cuprinde probleme �i exercifii pri­ vind teoria seleqiei, teoria estimafiei, regiunile de incredere, teoria corelafiei �i teoria asiguriirilor. Toate exercifiile # proble­ mele au solufii complete, numeroase au aplicatii practice imediate. Fiecare capitol este precedat de o scurtii prezentare a principalelor notatii # definifii utilizate. Pentru o intelegere mai prof undii, propunem cititorilor sii studieze capitolele respective din tratatele: Calculul probabilitcïfilor de O. Onicescu, G. Mihoc, C. T. lonescu-Tulcea, Editura Academiei R.P.R., 1956, Calcalul probabilitiifilor de O. Onicescu, Editura Tehnicii, 1956, �i Let:fii de statisticcï matematicii de O. Onicescu, G. Mihoc, Edüura Tehnicii, 1958. Exercifiile �i problemele au fost luate din diferite lucriiri, menfionate in bibliografie. lndeosebi am folosit valorosul »Ma­ nual de inviitiimint superior• ,, Valosziniiségszamitas" al prof. Rényi Alfréd din Budapesta. Sintem convin# cii aceastii culegere va fi utilii acelora care vor sii se consacre studiului Calculului probabilitcïfilor # Statistidi .matematice.

Aducem mulfumirile noastre prof. O. Onicescu # prof. O. Mihoc, pentra ajutorul fi tndramdrile pe care ni le-au dat. AlTTORO

bilitatea ca sà avem in lotul de 100 piese examinate k piese de2 /1: 98 )IOIJ-k fecte �ste ( 100 ) ( 100 • Probabilitatea cerutà este:

c:oo

IOO

P=

� doo

f1�} (:) t

100-k

10. Evenimentul A constà in aparitïa cel pupn o datà a fetei 6, aruncînd un zar de patru ori, �i evenimentul B constâ in aparipa fetei 6 cel pupn de doua. _ori, aruncind de 24 ori cite douâ zaruri. Care din cele douâ evenimente este mai probabil? S o l ut i e. Probabilitatea ca aruncînd un zar sà nu apari niciodatà fata 6 este

! , iar ca sâ nu aparà fata 6, aruncind patru

zaruri, este P(A)= ( �

r.

Rezulta cà probabilitatea ca aruncînd .aparà fata 6 cel pupn o datà este

p (A) = 1- ( �

r·

un

zar de patru ori sà_

Pentru calculul probabilitàtii evenimentului B, vom evalua probabilitatea evenimentului B. Interpretàm aparipa fetei 6 a unui

zar,

ca o urnà

cu

douà stàri,

una

!.

,,fata 6"

eu p=

! p alta ,,non

fata 6" .cu probabilitatea q=Aruncàrile fiiDd iDdependente, in loc sà aruncàm de doua. ori cite 24 de :zanui, putem sà aruncàm 48 de zaruri o singura data. Atunci, dupà formula urnei, probabi­ litatea evenimentului B ca in 48 de aruncan sà obpnem sau de zero ori tata 6 sau o data fata 6 este p(B) =

(!f

8

+48· ! . ( !f

7

Comparînd p (A) eu p(B), avem p(B)

p(A)

=

53 f 5 ),rr 6• 6

(:r

) +(vil}) +(vi0 > t.

Presup unem cà densitatea de probabilitate a celor 3N viteze e)>P(l;-p.>e, l;'-p.�0) = =P(l;-p.>E)•P(l;'-p.

! P(!;-11>&) ·

Deci (1) este demonstratl. Daca in (1) inlocuim I; cu -1;, rezultâ (11

� P( 11;-flÇI >e) 6).

losi P( 1 �l> e) = P( 1(1;-a)+(l;'-a) 1 >r;)s)e) ; ) •

Dacà in (2) înlocuim pe � eu I;n , rezaltl imediat cl daCi . P atanc1 çn-an�• Fa- O ... p

§1.

11► an- t""an -0

.

. 34. 0 � contïne B bile albe §i N bile negre. _Se f�c � sene de extrat:tü, astfel încît dupa fiecare extracpe se 1nlOCUI� bila extrasl eu o biJâ de culoare contrari. Fie Y · DIIDlùal de bile albe ie!jite in n extractü succesi" li Pn probabilitatea de a obpne o bila albl in extractïa de or· dinai n. Sà se arate cl 1 Hm -= .., limcPn=n ll➔ 2.

-•

Sol ut le. Dapl n extracpi vom avea in ami

+

8-2v n bile albe 262

li

N+ 2v-n

bile

negre.

Pl:/'

probabilitatea ca, pleclnd de la corn· � Vom insenma prin pozitïa Ch , si ajungem in n extractii la compozipa C1 �i eu PJr' probabilitatea t:a, plecînd de la compozipa C1 , sà ajungem dupà _m operapi la compozitïa Ck , indicele j putind lua una din valorile 0, 1, 2, ... , r. Dupà teorema probabilitatilor compuse avem (m+nJ

Phk

= '{"' p p(m) h/ • Jk • .l.J J=O

Vom nota eu P; =PC'; scriind aceastâ formula pentru n-1 1 � m= 1, avem r

r

Cn)= '{"' pCn-JJ p(n-1) '{"' p"" LJ hJ ·P,1c = .l.J Ph,· Jlt • =O J=O J Dacâ se CDDOSC probabilitaple (p ). atunci ij cula P1,2l, •••

•

putem cal-

La fiecare operape numârul bilelor albe · varia zâ eu o unitate, deci PiJ= O, dacâ li-jj>l, iar pentru probabilitltile P'(j> avem proprietatile : >

daca

>

I i-j 1 -Jj :>o,

Pf; =o,

>n.

Si presupanem câ avem compozitïa Ct ; probabilitatea de 3 1 scoate clin U o bila alba este .!.... , iar din v este A - ; atund. 0 u mmind legea de extractïe, ·. P1,1+1

Jar

=

l

P,, •-1 = a . l (A-t)

P,., = ïi Se vede cl

(l-

D

�)•(A;i)

(t - A-IJ u•

A-/) + ( 1- t ,) ( 1--D -. ,,

sau De aici rezultà

pJh (n)-e-