Culegere de probleme de teoria probabilităților și statistică matematică: pentru licee

Citation preview

︲ ︲ ， ／ ∼１１ ヽ 一 ︲ ，ヽ／ ・ 八 一

Corina Rei:tt1er

\

Anca Slmboan'

メ

θ

J ●゛

Editura di口 aCtiCL,I PedagOglCユ

ー

BuCure,ti

Corina

Reischer

Prof.

Anca Simboan

univ,

Cercetltor gtiinfific

CulBOore

lo

problo而 lo

ll口 ria

rrl:L:lbilitali:口 1

statlstil由

matlmatitta pentru !icee

Editura didacticl gi pedagogici

-

Bucureqti, 1972

!ntroducere ・.ヽ ヽ｀ ホ ち Ⅲ

CalCulul probabilitユ ti10r,i statistica matematicユ

sht raIILun deOξ ebit

de importante ,i actuale ale matematicii. Contactul lor pemanent cu alte nu de mult,,ncEMLtematinbile``,a ,tiinle, chiar,i cu cele considerate pinユ dus la o lmbogユ tire,i ev01utie impresionallttt a acestor discipline. LIIodelele probabilistice ,i metodele statistice de cotttare a acestor n modele・ cu realitatea obiect市 嵐 ofertt procedee de mvestl露 tie≠ 11・ tⅢ C江 全 sectoare de activitate dintre cele mai diferite. Aceasta explicユ importanta deOSebittt care se acordこ teonel probabilitう ti10r ,i StatiSticii matematice m tara nOastrユ .Introducerea m cadd hvユ !益 min― tului de culturtt generaltt a unOr elelnente de teoria probabilitttti10r■ statistic江

matematictt a corespuns unor cerinte stringente ale unui invユ

t五

Πttnt modern

si eficient.

Prezenta culegere vine stt umple,in parte,un gol(翔

ustcnt ttn lteratura de

specialitate,Ca orice disciplintt matematic江 ,teoria probab■ 饉椰orメ Statistica matematicユ cer ca msu,■ ea notiunilor teOretice sユ fie mto呻 tこ de efectua― rea llnui numttr mare de exercit五 ,i prObleme.Cu alutOml10r se aprofundeaz嵐 ,i Se lmbogユ le,te COntinutul teoretic,se dau sugest五 de apline in Practic江 a nOtiuni10r, se forllneaztt tehnica de rezolvare a pFOblemdor.

Culegerea acoperユ in intregime programa actualtt pentm lh田 ,dar con― tine,i multe chestiuni in plus.Pritt aceasta,all■ urlnこ五t sa o facOrn utilこ ,i profesori10r din liceu,i unor Categorii foarte largi de td回 たれ壼iゞ ingineri care se intilnesc cu probleme de acest tip m cadrul procesului de reciclare. ￨

in acest scOp am considerat util ca primul paragraf din fiecare capitol sこ COntillユ

nOtiunile teOretice care sttnt amintite foarte pe scurt5 o pondere mai

mare a fost acordattt paragrafului inttti din capitolul de ,,Elemente de statis― ticユ matematicユ “,avind in vedere tocmai aplicatiile Statis色 面i m practic五

.

in gmeral fiecare capitol cuprinde o gamtt largtt de probleme dispuse din fiecare gradat in Ordinea dificultユ ti10r crescmde.Paragraful al

… tipul de pro― capitol cuprillde probleme rezolvate,Pentru a se sesiza md bine

/

blem嵐 ,an■ preferat stt folosiln,in special in capitolul II,Inodelul clasic furnizat de urlle cu bile, Inodel utilizat cu succes in literatura didactictt universal沈

.

Pentru a lega probabilitユ tile de celelalte discipline matematice care se

predauヽ o liceu,am introdus,in capitolul III, O serie de probleme, care pot servi,i drept probleme recapitulative,deoarece cer cuno,tinte de aritmeticユ algebJl, geometrie analiticこ , mecanictt etc.

,

in capit01ul IV,la fiecare problemtt am pornit de la date reale luate direct din produclie sau din cercetarea,tiintifiCユ .Am urmこ rit in special interpretarea rezultatelor.Dat fiind caracterul complex al realitttt五 ,in unele

probleme apar tabele mai lungi ,i calCule mai greoaie. in multe probleme

am dat h enllnt rezultatul calculelor,i am Cerut numai interpretarea.Pnn aceste probleme am urmttrit sユ stimulttlln interesul in desprinderea aspectului probabilistic,i statistic,ln IInatё

matizarea anunlitOr situat五

金 nt21nite

in practicう

,

deoarece dacユ este important sユ Poti rez01va O problemユ Propusユ de cineva, este譴 嵐mult lnai important stt poti fOrmula singur o problemユ pe care apoi s―

o rezolvi. Prin va五 etatea domeniilordin care sint culese datele am cttutat sユ

sugerttm

o idee asupra a五 ei deosebit de vaste a aplicatii10r posibile ale statistic五 Dupこ ellllntul fiecこ rei probleme din capitolul Iヽ r,apare,金 n Parantezこ ,Sursa .

a furnizat datele.Dorim stt multumim,i Cu aCeastユ ocazie tuturor

care ne―

acelora care ne― au pus la dispozitie datele. Sprilinul acestora ne―

a fost

foarte preti∝・

in anexa l s2nt prezcntate probleme(cu reZ01Vttri)date la concursu五

le

ncepind din anul 1969, iar 2n anexa II de matematicこ din tara nOastr五 全 sllll prop“ e dteva probleme de probabilitttti geOmetrice;ele pot fi utile ele―

vilor din clasele speciale de matematicユ ,i din cercurile de matematic江

.

in text trimite五 le s― au fこ cut in felul urlntttor:,n cadrul aceluia,i para― graf s― a indicat numai numこ rul prOblemei, ln cadrul aceluia,i capitOl 1l prOblemei,i al paragrafului, iar in capitole diferite, numユ ¨ s― a dat num独■

rtll problemei, al paragrafului,i al capitolului.

Recomandこ nl

cititorlllui sユ

consulte in prealabil lista de notatii princiPale

care apare la mceputul culeger五

.

De asemenea recoman《 hm cititorilor urmこ toarele noastrこ

lucrユ ri apこ rute ln tara

:

ι γ,'Sι α ι づづ %ι %ι ιル ′ ο ο ら αみ づ 夕″ ι θ θ グ.P/ο ルε Mih∝ ,Gh.,Micu,N。 一 Eι ι ι ι /り α φγ ″ιttα %%α Jφ θ %″ %θ Jα sα αXfr― α .Editura didactic沈 ,i pedagogic益 S″

,

Bucurq)ti, 1966. ιθγゲ αψ/θ ιαbづ 妨 ″げ ι MihOc,Gh.′ Micu,N。 一 I%ノ γο″%θ ι7ι θγ.Editura tehnic五 `%″ Buclre,ti, 1970. jι ″′ りs″ グθ″ %α ′ ι%α ιJθ α.θ χ― rθ ογげα ψ γθろαιヴι りJο γ s,s″ α′ Ciucu,G.,SambOan,G.一 ｀ J`gι %″ ι夕 γ θら ″ ι %ι .Editura tehnicこ , Bucure,ti, 1962. ,

4

C逓 LG"Cr」 LG"SttcdL■ _ε 絶筆 :rifi″

励 協ιれ

″勿

αら滋 み

篭t「#IЪ琳瘍;月 、 ″ ″ 売 れα ttα 姥 晟Editwa"ら adaclcュ 夕 GuCL G"認 許:雪 Lι 見 楊 競場 為 :形 φ 御 ろ α ″グ ゐ γ ″ れα み ジs励 歳 ,i pedagogicこ , Bucure,ti, 1971. Gazeta mategζ 「 Gucu,G"そ

:房

:ヵ

:1lIIal_idaCtiCこ

`:」

lu驚

=観

lTi::露 鷺 鳳躍

observatii ne vOr aiuta tt blttuttm tユ

tim,isこ eXtindem cOntinlltul. ′ ′ο7i` “

/

Cuprins lntroducere.…

… .… ,… .… ・…・…・…・…・…・… … …・・ ・… … … … … … … … … …

Lista de notatii princiPale..… … … … … … … … … … … … … … … … … 。 ・… … …・… … …・…

3 9

Capitolul I CiMP FINIT DE EVENIMENTE §1. 2. § 3. § 4. §

Notiuni de baz五 . Definitii si prOpriethti・ ・・ ・.... .・ ・・・ ・ ・・・・・ ・・‐ ・ ・・・・ ・・・・・・・ ・・

11

Exercitii,i prObleme rezolvate .… …………… ……………・…・・ ・・……・… ……・・ Exercitii,i probleme propuse …… .… ………………・…・ …・……… … ……… …… … Indicatii,i rxPunSuri .....・ ・ ・ ・…・・・・・・・・・ ・・… ・・ ・・・・・・ ・ ・・・・ ・・・‐‐ ・・・・・ ・・ ・・

20

14

23

CaPitolul II CiMP DE PROBABILITATE FINIT § Notiuni de bazう . Definitii si prOprietati......…

.. ・・ ・ ・・ ・・・・・・・・ ・・・・ ・・・・・ ・・ ・・・ 2. Exercttii,i probleme rezolvate § …… … ……… .… ……・………・…………・―・… 3. Exercitii si prObleme prOpuse § ……=… ………………… ………………………Ⅲ…・…・・ § 4. Indicatii,irぅ spunsuri .........・ ・ ・・・・・・ ・ ・ ・・ ・・・・・ ・・・・・ ・・・・・・ ・ ・・ ・・・・・・・ ・ 1.

27

33 54 65

CaPitOlul III VARIABILE ALEATOARE §1. Noliuni de bazう Definitii si prOprietユ ti・ ・ ・… … … ...・ ・・・・・・・ ・・・ ・・・・・・・・・・・・ ・・ §2 Exercilii,i prObleme rezolvatc

・

誰

・

鷲

樹

Iま

∬製 富

fr° :lド

.…

.… … … … … … ‥ … …・ ・… … … … …・… … …・

74 81

.IIIIIIIIIIIII: H:

CaPitolul IV ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATIcÅ Notiuni Ce bazd ale statisticii matematice Exercifii gi probleme rezolvate Exercifii gi probleme propuse

123 140

Indicalii gi rispunsuri

187 204

Anexa I Anexa 2

171

Probleme date la concur;uri tle maternaticd . .. . . - Probabillt6ti geomctrice. Proble::re pentru cercuri de Eatematice 2ll -

Lista de notalii principal,e ,* '

: A, q : l, n Ak, k:Ti E @ A, B, C A ACB AUB An B A- B {E, R} P (A) P, p Q, q h h

Pa@), P(A lB) P(n; w) P(n; mr, ..,, m6) Pn P* (u,9) X, Y M(X) Dz(X) o(.Y)

\ ' ?

indicele fr ia valorile 0, l, 2, ,..,tt indicele fr ia valorile l, 2, ..,, n

{Ar, Ar,..., An) eveniment sigur eveniment imposibil evenimente aleatoare evenimentul contrar lui I evenimentul I implicS, evenimentul B reuniunea eveuimentelor A qi B intersecfia evenimentelor A gi B diferenfa evenimentelor A gi B cimp de evenimente probabilitatea evenimentului I notalie generich pentru probabilitatea, unui eveniment notafie genericS, pentru probabilitatea unui eveniment contrar probabilitatea evenimentului I condifionatd, de evenimentul B probabilitdfi ln schema Bernoulli.

probabilitili tn

schema polinomialS,

probabilitdfi ln schema Poisson

probabilitdfi in schema bilei neintoarse variabile aleatoare valoarea medie a variabilei aleatoate X dispersia variabilei aleatoare X abaterea medie pd,tratici a variabilei aTeatoare X momentul inifial de ordin ft al variabilei aleatoate

M*(4 I f

PoPulalie statisticS,

ni

frecvenfi

ry I

frec'iren!6 absolut6 cumulatS, cresci,toare

{(*, f(x))' x €?}

qT fe

frI h{ t6

o

X

caracteristici pe o populafie statistici repartifie empiricS, sau serie statisticS, absolutS,

frecvenfS, absolutS, cumulati descrescltoare frecvenfS, relativi

frecvenld relativ5, cumulati crescdtoare frecvenfS, relativd, cumulatd, descrescd,toare media unei selecfii dispersia unei selecfii abaterea medie p5,tratic5,

9

″

modul

″ ′

mediaDe

%′

n lactotiali ni : l. 2, .,..n

C″

combinari de z elementeluate cile

?n

nl m!(n ゴ″

aranjamente de

.ifr

tLn--

-

(n

"l

-

z

elemente

ltate cite m

m)t

permutdri de

z

elemente

?n:

7x1

、    ¨ ´ ヽ     ＾ ●

9,

rn)l

-

Capitolul

I

CiMP FINltt DE EVENIMENttE

§￨.Notiuni de bazこ 。Definitii,i

Proprietttti

l.Experien“ ,pЮ bこ ,Cveniment

●10r sttnt studiate experientele cu rezultat inimpl嵐 ― ι α α ι ο α ι づ ι ′ ι π ι γ .Le vom numi maiscurt ι γ ι ・ ″ 夕ι ″ι ψ ″

in teoria probabilitユ

tor,numite

Jι

Rezultatele posibile ale unei expe五 ente se numesc夕 γ θ ι ろ ・

Experientele pOt avea un numttr finit de probe sau un numこ r infinit de probe. Ne vom referi numaila experiente cu un numこ r finit de probe, fユ

rtt a lnai specifica ulterior aceasta. in legttturtt cu o experient嵐 ,nulnim

ι υ ι %ク ι %ι α ι ι α ι ο γsau 2多

lnai scurt

ι υ ι %づ ―

α ι γ グ ι づ rα ι ,α ″ ″ 夕ι ″ι りOrice situatie care se poate realiza p五 n una sau mai multe probe. Vom■ ota evenillnentele aleatOare∠ , 3, θ,.… ,∠ .,.… Un eveniment este,deci,determinat prm multimea probelor prin care se realizeaz嵐 ,prin urmare ttl putem interpreta ca o submultime a multim五 %ι %ノ

tuturor probelor experientei・

De aceea dacユ un evenilnentノ 4 se poate realiza

prin probeleづ ,ノ ,・・ ・ ,ん vom nota uneori

И =(け ,ノ ,… ,り・

Evenilnentele care se realizeazユ prin o singurユ probユ se numeSC ιυι %o‐・ %づ %ι %ι ι θ %ι %″ ι ι Jθ %ι %″ α γ ι,celelalte ιυι θ響夕%Sι・

Din motive care vor apttrca clar mai departe ttn legttturユ se considerユ ,i urmtttoarele douユ evenilnente:

cu o experie叫 こ

一‐eVenimentul care se realizeazユ pFin oricare dinprobe,numit ι ッι %ク ι %滅 2多

Sな %γ ,i notat cu E.Acestui eveniment ii corespunde multimea tuturor prO―

belor experientei lpartea tOtalユ

);

′

υ ι %づ ″ 多 レ タ ― evenilnentul care nu se realizeazユ prh nici o prob益 , nulnit ι 協″づ ″ Sづ bづ ι .Acestui eveniment tti ё orespunde partea宙 と ,0,a multim五 de ψο probe ale experientei,de aceea notユ m evenimelltul imposibil cu O.

2.Evenilnente contrare Eυ ι πク ι %ι %ι θ θ%ι γαγι %グ z4,sau%θ %-24 este evenilnentul care se realizeazこ atunci,i numai atul■ ci cttnd nu se realizeazユ _4. Evenilnentul contrar lui∠ ,多

1l vom nota cu И*).se Observこ cユ Z=∠ 。submultillnile de prObe ata,ate evenimentelor∠ ,i∠ sint complementare fatこ de multimea tuturor probe― 10r experie● 3。

ei.

Rela,i intre evenimente

づ α ι υ ι %づ %ι %ι ι ο γ a)Eθ ん υ ι ι .Este firesc stt numim evenimente echiva― グα ι lente evenilnentele care se realizeazこ silnultano Aceasta re宙 ne la egalitatea

multimi10r de probe care corespund evenimentelori se noteaztt

И =B.

b)I″ 夕

θ αι %づ %ι %″ ι θγ.Spunem ctt evenimentul И implictt evenimen― υι ι ″づ tul B,dacユ realizarea evenimentului И atrage realizarea evenimentului B; se noteaztt cu И cIB。 Zづ

De observat cこ z4⊂ :β revine la faptul cこ Orice probユ care realizeaz五

evenimentul∠ ,realizeazユ ,i eVenimentul B, adictt la incluziunea rnultim五 de probe ata,attt eVenimentului И in multimea de prObe ata,atこ evenimen― tului 3,ceea ce iuStificユ notatia_4⊂ B,i aCCeptiunea Ctt evenimentul impo― sibil implictt orice evenilnent,adicユ 0(=24,oricare ar fi evenilnentul z4.Orice evenilnent z4 implicユ evenilnentul sigur E, deci И cIE, iar un evenilnent ele―

mentar este implicat numai de el insu,i ,i de evenilnentul imposibil. Relatia de implic4ie se bucurこ de propriet41le unei relatii de Ordine, adic江

:

1. reflexivitatea: ∠ (=И , pentru o五 ce eveniment ∠ 2.antisimetria:dacユ И ⊂ β ,iB⊂ И,atunci∠ =B 3.tranzitivitatea: dacユ И cB ,i Bc=θ , atunci z4⊂ ε .

И,β din mul,imea eVenimente― lor ata,ate unei experiente,pentru care И￠B,iB￠ И,relatia de inlplicatie dintre evenilnente este o γ ι ι α′ ″ ιαιφαγ あαι αο γ αο %α γ ι Deoarece e対 stこ perechi de evenimente

.

4. Operalii cu evenilllente ln multilnea evenilnentelor ata,ate unei experiente Se pot introduce rnai

multe operat五

:

a)Rι %%j%″ ιαιυι%り %ι %′ ιJο γ.Fiind date dOutt evenimente,∠

,iB,numim

reuniunea lor evenilnentul care se realizeaztt atunci cttnd se realizeaztt cel

intersectia 10r evenilnentul care se realizeazこ

atunci cind se realizeaztt silnul―

tan evenimOntele И ,iβ .Intersectia evenimentelor∠ ,i3se nOteazユ cu И∩β ,i Se cite,te,,И Dθ %あ ι ι И 'iβ あづ υ ι %ル ι %ι ι ι ιdac嵐 ∠∩B=O adicユ dactt nu ,i β gntづ %ε θ 響夕α″ se pot realiza sirnultan; 貧 n caz contrar evenilnentele sint θ θ づ ろι 響夕αι ``。

jι

.

*) 12

Se mai ttTlizeazd.

notaliile A", CA, A*

ヽ     ，    ビ

putin unul dintre evenimentele И ,i3・ Reuniunea evenimentelor И ,iβ se noteaztt cu И uβ ,i Se cite,te"И Sau B``. b)rπ ι ι γ sι ″ り αι υ %ι %ι ι ι ι θ γ .Fiind date dOuこ evenimente И ,iB,numim ηづ

Operat五 le de reuniune,i intersectie se extind pentru orice numユ de evellimente, fie ele Иl,.… ,И ぉ;avelln corespunztttor

∠lU,¨

UИ π =‖ ∠ がi∠・n…

r finit

一 4J. ∩И“ 日

Aceste operat五 sint COmutative ,i asociative.

C)Dグ診γι″ α ιυι%づ 響ι%″ ιιθγ.Numim diferenta evenimentelor nilnentul care se realizeaztt atunci cind se realizeaztt

И ,iβ ′eve―

И dar′ nu se realizeazユ B.

1l nOtttm prin∠ 一 β.Avem:

И 一 B=И ∩」 si И =E_И SublinieIIIl faptul cユ

.

dacユ unui evenilnent tti ata,こ m

multilnea de probe

prin care se realizeazユ , atunci operat五 le dintre evenilnente revin la ope― rat五 le respective dintre multilnile de probe corespunzユ toare,i deci rezultatele operat五 lor Cu evenilnente ata,ate unei experiente sttnt evenilllente ata,ate aceleia,i experiente. 5。

Cimp de evenimente

Fie E={El,…・Eπ ),multimea tuturor evenimentelor elementare cores― punzユ toare unei experiente.

Dグリ %″づ ι o Se nume,te θ 夕 ″ ιι υ ι %り %ι η ι ιル%jι ,multimea tuturor sub― multimi10r hi E,la care se `響 adaugユ multimea E insユ § i,i multimea vidユ

,

{E.),… ,{Eπ ) ,{Eπ _1,E2), (El,E2),… ・

ln numar de

のαα

deci

(E.,E2,E3),… {E.,… .,E2_1),..・ (E.,¨・,Eπ ),

0

" ,, "1

" " " 0称 1 ,, " " °券

Un dmp de evenimente contine deCi l+α λ+… +α 劣=(1+1)'=2燿 evenilnente,llnde %este nullnttrul de evenilnente elementare.

Un cimp de evenimente se noteatt cu(E,K}・ cu douユ evenilnente 24 一 β,iar Odatユ cu un eveni―

Se observtt cユ fun cnlnp de evenilnente, odatる

i B contine,i evenimentele∠ 。

uB,∠ ∩β,И

Inent∠ contine peス ;se lmai spune cこ un cttmp de evenilnente este ttnchis iSpect市 e.

fa,こ de Operatiile・

in ё ttmpul de evenimente,O este evenimentulimposibil,iar E lmultimea evenimentelor elementare)eSte evenimentul sigur. ― り″ιε リ ノ ιο り γ θγ γ ογ ι ι α ノ グ ιυ θ γづ %″ α%α グ%%膨 ιι υ ι %り %ι %″ ι ι S″ 夕 %%θ ,υ O%ψ γ `%ι θ ″ι Zι α り %α θ ι ι %り α り θ ι ι ワ ι %り %ι %″ ι 》 う %%υ グ ι θ θ α ι γ ι S α θ ι O%%α s′ ″ 夕γ ′ ゞ ジ ッ ,ル ″

ι %θ γ %。

`%″

13

§2.Exercitil,i prObleme rezolvate l.θ α γ ιs参 %ι ψγ θ ι ι ι ι%γ%″ ″ θ α γ ι りι /Jι ″ ι ι%%%%%あ γ″ グ ι″ ο %″ ε ι 「Sι Sθ γ ″ 夕ι グレ α おι グ %θ ″ ια ι ι sι 厖 り %“ ″ α γ ι″ ″ %ι γ tt θ ι l,3,4. 夕ι グレ Jι

Rι zο Zυ α γ ιo

=6.

este d者

b″

Scrierea numere10■ : 13, 14, 31, 34,41,43. Numユ rul prObe10r

jι 2.θ α/ι s'%ι 夕γθろι Jθ %γ %妨 ο αγ ι づι ι γ γ αsづ %%ι ノ απ″ α ″ο%″ ￠gι γι 均う ″ι∫ιχι ― θ″グ ι %ι γ θ%″%″ θ %3 ろグιιαJろ ιsi 2 ろグJι π ιP

`gγ ■otユ m cu αl, α2, α3bilelc albe,i cu %1, %2 bilele negre. PIObele(evenimentele elementare)experientei Sttnt:extragerea bile10r αl,i α2pe Care o notユ m simbolic cu(α .,α 2)'i(α l,α 3);(α l,%1);(α .,%J;(α 2,α3); Numユ rul prObe16r este a: _10. (α 2,%■ l;(α 2,%2);(α3,%1);(α 3,%2);(%lj%2)・

υ α γ ιr S嵐 Rι zο ι

｀ 、

_ メ

― 3.Dj%″ γ θ%γ %″ θ 傷 3 bづ Jι αι ι%9γ ιsι ι ろ ιsj 2 bグ ι χ″ι %″ η夕 ι αル ば,ι αε ,

′ο%″ ろづ ι ι .

タι πι ι ι ι 「 a)Sι θθ%Sjα ι″ ιυιπグ 2ι

∠.― ο %ι γ ι α α ″θ %あ ら ι %響 γ ι “ リリ ∠2 θ り γ %α %%ι づろ ι αθ ι ιφタリ ″ ια ι ι ι ι ′ '解 g%γ ι И3 θ りづ %ι πα%%ι ′Sり π bづ ι ια ι ろ ι И4 ο り″ %ι γ θ α%%ι グSjttr%γ ιbjι ι%響 ″ ι ∠5 θ ″づ %ι γ ι αα″θ %″ bjι ιγ ο ,グ Fθ ι ο s″ 夕 〃′グリ %￨′ グ グ ι ιφ″ ι θ ″″づφι %ル ι %ι ″ θ α /ι ι υ ι %づ %ι %ι ″ α θ ″ιι夕ι″ιθφα πι αルα ″ r,sな%γ ,づ %“)θ sあ づ ι α γ ι α ι α ″ タ α ″ ιι %ι %′ α θ ル γsα tt ο 夕%S・ ,づ 夕 タ ,ι

,

,

,

.

s″

b)S″

γ4g″ sι αsθ ″γι Z%″ αι ιル ″ιJα ノ♭ %%θ ι %Jα り JOJθ Sづ %α %り %″ “づ降 ″ι夕γθろι “`Jι ιZο γ "%%″ Rι zο ι υαγιr a)И .,/2,∠ 3,∠ 4 gnt eVenimellte aleatoare deoar∝ e la o Sι

″αゞα″ ι ιυι%づ

.

efectuare a experiё ntei(O extragero o五 care din ele se poate sau nu se

poate realiza.De exelnplu:dactt rezultatul experientei este(α l,α 2),И ■nu s―

a realizat,dar dactt rezultatul expeⅡ entei eSte(777.,%21,∠

am notat bilele ca ttn problema precedentこ

lS―

a realizat,unde

Evenillnentul И 5 eSte evenilnentul imposibil,deoarece oricare ar fi rezul‐

tatul experientei ∠5 nu Se realizeazこ И. este evenilnent elementar deoarece se realizeazユ .

numai printr― o

prob五 :(%1, %2)・

242 eSte eveniment cOmpus pentru cユ

se realizeazユ

prin mai multe probe:

9.,α 2),(α 2,α 3),(α 2,π J'・ a・ ∠3, ‐ 4 4 Sint de aselllenea evenilnente compuse.

245 nu eSte nici elementar, nici compus.

b)Avem:И l― {(%.,%2)),eVeniment 14

、

.

aleator elementar. ′

.

Az:{(ar,ar), (ar,ar), (ar,nr), (ar,nr), (ar,a"), (ar,nr),(ar,nr),(a",nr), nr)} eveniment aleator ccmpus, {or, Ar: {(ar, nr), (ar, nr), (ar, nr), (ar, nr), (aa, nr), (ar, nr)},

eveniment aleator compus. Aa: {(nt, ar), (nr, ar), aleator compus.

(h, ar), (nr, ar), (nr, ar), (nr, ar)},

As:

eveniment

@,

considerd, euenirnentele Ar, Ar, Ar, An din problewa preced.entd. precizeze pereckile de eaenincente egal,e, pereckile d,e eaenirnente comfatibil,e, perechil,e de eaenimente incompatibile, perechil,e de eaeniytente contrare, perechil,e d,e eaenirnente d.in care prirnwl impl,icd. pe al, d,oilea.

4. Se

' .

Sd

se

Rezol,aare:

Ar:,4n

deoarece oblinerea unei singure bile albe (realizarea

lui ,4r) implic[ ob]inerea unei singure bile negre (realizarea 1ui .4J ;i reciproc, sau din egalitatea mulfimilor de probe atasate. Sint compatibile perechile de evenimente (Ar, Ar); (Ar, An); (A", Ad deoarece se

pot

realliza simultan.

Sint incompatibile perechile de evenimente (.4r, Ar),(Ar,4), (AL, A) deoarece ele

nu se pot (respectiv) realiza simultan.

Sint contrare evenimentele A, 9i 1., clci obfinerea a doui bile negre (realizarea tui .4r) atrage imposibilitatea oblinerii cel pulin a unei trile albe (realizarea ld Ar) gi reciproc. Relaliile ArCAn gi A,CA, sint imediate. Relalia A,CA, rezulti din aceea c5. ori de cite ori se obline o singuri bili alb5. (realizarea lui ,4r) inseamnS" cd. s-a realizat evenimentul.4, (obfinerea celpulin a uneibile aibe). Aceasta se deduce si din incluziunea dintre mullimile de probe atagate. 5. Din girulpri',meelor T0OOnwm,ere natwrale*t se alegel,ai.ntincplareun nwrnd.r. Fia A euenirnentwl ca numdrwl ales sd fie par. Ce inseatnnd eueniw.entwl A? Rezoluare. Numirul ales este impar.

' t .t

6. Se

fi,

ar

Fie A euenitnentul ca cel pwlin gi B euenim,entwl, ca cel, rnwlt dowd. din. prod.wse sd

controleazd. calitatea a cinci produse.

u?rul, d,in prod,use defecte.

sd.

fie

d,efect

Ce i,nsean+nd. euenirnentele A 9i .B? Rezol,uare. ,4. este evenimentul ca toate produsele controlate si fie bune, E eite evenimentul ca cel pulin trei produse si fie defecte.

*) Restrictia ficuti, in aceast5, problemS,, ca gi ln cele ce urmeazS, de acest tip, asigurd experienlele tnttmplS,toare considerate au un numir fioit de probe,

cd'

15

%θ θ θ づ ι %′ づ ι Z%%Jι ttα Z θ %%ゞ づθ ι づ %ι ι θ γαιgγ ααθ %ι α夕ο %θ α 7.Dづ %%%″り %ι ttψ`μ ι%% α∂ Jα γ πづ %″ ι γ υ αttι [-1000,1000]sι Sθ /づ ιι θ γαづ %ι α∂ 笏″ ι ′物 %%″ り j%ο %ル ιι υ ″ αダタγ グ %bタ υ %り %ι %′ %ι θ α夕θ %θ %%ι P(χ)Sa sι ″グ Fグ ι ι P(χ `gづ ι ι ,И ι φθ υ づ αあψγ り %χ -3.ε ι り υ αι αP′ (χ )s″ Sι αづ υ ι %j%ι %ι %ι θ α″ι γ %"2多 %ι χ-3sづ B ι 参 %s″ 夕 診 ″ι υ ι %グ%ι %″ ι И∩β,И ∪βP Zづ

)・

Jι

2多

り ι Rι zο ι αγ .Evenimentul

И∩β ttnSeamnユ

atttt P(χ )dt,iP′ (χ )Se

diVid Prin χ-3,deci polinomul P(a admite pe 3 ca rttdttcintt cel putin dublユ Evenimentul_4 u B inseamntt cユ sau P(3)=0,sau P′ (3)=0,sau 3 este o ridttcinユ comunこ pentru polinoamele P(χ ),iP′ (χ cユ

.

)・

ι笏 ι gι Jα α γ %%%%″ γ ι%α ι %γ α sι α ι γ %ι 夕 γ 夕%ι γ1 000%%%ι γ Dづ%ゞ づ 誉ι `%ι `鍋 ι α l;B υ ι %づ %ι %′ %J θ ″ α ι s s″ ε %θ ι ″ι %θ α%%%汐 %ι α ι ι∠ ι υ ι %づ %ι %ι %ι θ グ ″ φ %づ %ι θ %θ グ ′ α2. ι ι s s″ sι ″ ι γ %π %み %ι α 8。

Zι

Jο

.

F′

%%″ ιυι %づ %ι %ι %み И 一 B' イ %sι α /ι .Avem∠ ― β =∠ n」 ,deci numttrul natural ales trebuie Rι zο みα Cι

sこ

mceapこ Cu cifra l ,i sユ Se terllnine cu orice cifrtt diferitユ Dぢ %,″ γ %ι

9。

″ %ι ι ο γ2 000″ ι%%%ι /ι 夕γ

%γ α ι ιsι %α ι

de 2.

α αJ“ ιι

%%夕 αγ 2多

ι%% ψZα γ

`%″ `″

.

υ ι %づ %ι %ι %ι づ づ Zあ グ ι ″ %2;β ι %ι α ι ι s sグ ルια υ α%%%″ γ υ ι %づ %ι %ι %ι θ Fづ ιИ ι φγ α%%%あ γ %J αs s″ sι υ ι %づ %ι %″ %ι θ υ り %3;ε ι α%%%″ γ %J α ι ι s sグ ルι″ り づbグ ιφγ ε ι%′ ″ι υ ι %グ %ι %″ ι f O.θ ιγ 虎γ %づ %ι θ %θ グ′ αZι γ ψγ C)(∠ ∩ β)U(И ∩6)? b)(И ∩3)UC a)Cn(∠ uB) Rezolaare. a) Numdrulnatural ales trebuiesS setermine cuzero;i si se divid5. prin 2, sau prin 3, sau prln 6. b) Numirul natural ales trebuie sd se dividi prin 6, sau sd se termine ou zero, sau si se dividi prin 6 gi si se termine c17 zero. c) Num[ru] natural ales trebuie si se dividi prin 6 (se realizeazd' in acestcaz Ants);sau s5. se termine clTzeto(serealizeaziinacest caz AflC); sau si se dividi prin 6 ;i si se termine at zero. Jι

Zづ

zり

Jι

10. Rezistenlel,e R5 montatei,n scherna electricd' din figura 7 aw fost exl,rase fiecare l,a intiwPl,are d,in cite wn l,ot de rezistenle La, i : 1, 7. F'iecare l,ot conline rezistenle bwne

;i

d,efecte. Considerd.vn euenimentele.

A : curentul el,ectric trece de la punctul M la functul, N; Bu: Rezistenla Ru extrasd. din l,otul, Loeste bund,

,i:7,7.

a) Sd se arate

cd.

B'O(BrU BL)CA, BoO(BrU B6UB?)CA. r6

b) Sd se exqrhlre

euenirnentelo

A gi A prin

intertnediwl, eaenimentel,or Bo.

Rezol,aare. Rezistenlele R, ;i Rn sint legate in serie, iar rezistenlele Rr, R, ;i Ru, R6, Rz sint legate in paralel. a) Curentul electric trece de la punctul M la punctul .ly' atunci cind rezistenla R, ;i cel pulin una dintrb rezistenlele ft, 9i R, sint bune, deci

Brn(Bru Br)gA.

ら

Fig. 1

一、 Ana10g se aratユ a doua ilnplicatic.

b)A=[β l∩ (32U

B3]U[B4∩

(β

5U B6U B7)],

И=[」 lU(F2∩ J3)]∩ [J4U(E5∩ J6n J7)]・ 11。

S″

sι

α αγ αι ιθ

a)z4uB=И ∩B*) b)И ∩ β =ス UB*) Rι zο ι υαγ ι.a)Evenimentul И u B se realizeazこ atunci cind se realizeazこ cel putin unul dintre evenilnentele И ,iB,prin urmare evenipentul COntraI И U B ttnseamnこ nerealizarea atttt a luiノ l c2t,i alui 3, adicユ realizarea luiス

コ a lui」 ,deci a luiズ ∩J,de unde ∠∪B⊂ ス∩β .

in mOd ana10g se aratユ ,i incluziunea contrar嵐 ス∩ B⊂ И Uβ

,

,

de unde relatia cerutユ la punctul a).

Punctul b)se demonstreazユ in mod analog.

12. Sd se arate

a)

cd.

,InB:Al)B

u)

dUD:cno.

。)Relatiile lui De Morgan(1806-1871)matematician englez.

2 - Culcscre de probleme de calculul probabilitな

i10r― c. 6

Rι zθ ″ υαγ ι.a)lEvenimentu1

4∩ β ttnSeaIImユ nerealizarea evenimentului∠

,i nerealizarea evenilnentului B, prill urmare, contrarul acestui evenilnent

,i anurne,ス ∩B,2nSeannnユ realizarea a cel putin unuia dintre evenimentele ∠

,i3,deci ∠oB⊂ _/4uB

(1)

Pe de a1t5. parte dac5. se realizeazd. evenimentul AUB, deci ce1 pulin unul dintre evenimentele A, B, atunci nu se rcalizeazl" AaB, prin urmare se realizeazd" An B, adicil

9)

∠∪B⊂ И∩B・

Dill(1),i12)urmeaZtt egalitatea dorith.

b)Sユ

luュ m

in egalitatea a)4=θ ,iF=D,Oblillem θ∩ D=θ

UD

si trecind la evenillllentele cOntrare ε∩ D=θ

UD

sι γ υ づ ι θろ ・Aceastユ problemユ se poate rezolva,i altfel,i anume tinind ￠ ′ seama de problema precedent益 ,i de faptul c嵐 24==ノ 4.

13. S″

sι

Jα ι αγ αι ιθ ″γ ι グ リ Jι

_4⊂ s`%″

B;B⊂ 4;_4uB=B;И

∩ B=И

ι θ カリ ッαι ι πノ ι.*)

maittntii cこ relatiile И ⊂‐ B,i」 ⊂ I sint echivalente. ∠ B, atunci realizarea lui ∠ illnplic五 Fie ⊂:」 ,i realizarea lui B, iar dactt se realizeaztt E atunci nu se poatё realiza∠ ,deci se realizeazこ ■, prin u■ ■ 1lare β ⊂ ス. Rι zο んα/ι .Ardtユ m

Fie acun■ β (=И , atunci realizarea lui B ilnplicユ ,i realiZarea lui ■,iar dacユ se realizeazユ /1 nu se poate realiza β,deci se realizeazユ B,i deci∠ ⊂:B.

Aritttm acum echivdenta relatii10r И⊂ B,iИ uB=B.Presupunem И⊂B,vOm arユ ta c五 ∠uB⊂ B Care ttmpreunユ cu implicatia evidentこ B⊂ ∠Uβ Va da ИuBI=B・ Dacユ se realizeaztt И u β atunci sau se reali―

cこ

4 ,i atunCi deoarece z4c=B se realizeazユ ,i B, deCi zeazユ β sau se realizeazユ ∠

m orice caz И uβ ⊂ β

.

Fie acum_4uβ =B.Avem

* ) Dou5. relalii M rati gi reciproc.

18

И ⊂ И ∪ B=B,deci

И ⊂ B.

gi N slnt echivalente dacd, presupunind M adevira

t5, rez'alt6.

gi

N

adev6-

acum echinlenta relatii10r∠ ⊂ B,iИ ∩β =∠・Fie iar И⊂B, И⊂И∩β,iCum И∩β⊂И urmeaztt И∩B=И o Presupunem ctt И∩B= ￢ И,atunci din И∩B⊂ B urmeazこ И⊂B,deci echivalenta doritこ ・ Stt arユ tユ m echivalenta relatii10r∠ ∪B=β ,i∠ ∩B=И .Fie∠ uB= =B,atunci din∠ =∠ ∩(β uИ )Oroprietatea de absorbtie,Vezi exercitiul 10, punctul b),§ 3)urmeaZユ И =И ∩B.ReciprOc,fic acum∠ =И ∩B atunci din B=B∪ (И ∩β)け ezi exercitiuHO punctulり ,§ 3)urmeaZこ B=β ∪И= Arユ tim

atunci

=_4UB(m baza comutativitユ

tii Operatiei de reuniune). Celelalte echivalente Se demonstreazユ analog. 14. S″

′

α/α ι ιθ ″″ι αι グ ι ι ″ ι

sι

И ∩ B=0; sa%ι

И ⊂ B;

B⊂

И′

ι θ λ′ υαJι %′ ι Rι zθ ゐα /ι .Dill∠ ∩ β =② rezultこ .

cユ evenimentele И ,i B sttnt incompa‐ resupunem cこ se realizeazユ И,aceasta implicユ nerealizarea lii B. う Dar,nerealizarea lui β ttnsealrmこ realizarea lui」 ,i deci

tibileo Sこ

И⊂β

.

Reciproc,fie И⊂ J,,i stt presupunem cユ se realizeazユ И,atunci se rea― ,iB,deci nu se realizeazユ B,cu alte cu宙 nte,И ,i β nu se pot realiza simultan,deci∠ ∩β =0. ln mOd ana10g deducem cユ din И ∩B=O rezulttt β⊂ И ,i reci「 roc.

lizeazユ

La fel se aratこ

cこ

relatiile 4⊂ 」 ,iβ ⊂4 sint echivalente.

― θ %sグ ′ ι γ ο ″ιtゝι γ グ ι %′ α″ ιι χノ /α gι γ ια″%ι グろ ι″″ α σ ″ ″ %ι γ ο%γ %″ θ γ ιθ %― ι γ %蒻 αι ι%%%ι/θ ι ろ α ″ ιθ %%%%ι γ ι ι ιl,2,3,4■ οろ づ α g″ ″%%%ι γ θ ″ α ″ ″ ″%ι 夕α "%ι θ % %%摯 多 α/%ι 5. a)Sα Sι Sθ γ′ιεε υι %づ %ι π″ ιttα ,α ιαθ ιι づι″夕ι γ り ι ・ ィタ%J″ ι ι ″′ b)Cリ ノ ιι υι %づ %ι %Jι sぢ %ι ぢ %ι ′ P 響夕 15。

Sι

Jι

S′

CI S″

Sι

Sθ ″ 売

・ ι υι %″ %ι %ι ι ιι ι ι /2ι %ι α ι 7ι

.

d)S″ Sι Sθ γ ιグ づ πι γ ιι υ ι %グ%ι %ノ ι ″ θ ″グル αげ Rι zο ι υ α γ ι .a)(E,K)={0,(ん ),(り ,ノ ),(り ,グ ,λ ),(づ ,ノ ′た,ι ),0,ノ ,た ,J,夕 ぼ), undeり ,ノ , ん ν tt iau independent valo五 le de la l la 5, dar cu restrictia , ι , 夕 Jづ

ctt h cadrul unei grupe toti indiC五 numttr de indici sユ

.

Stt fie diferiti,iar dOuユ

difere prill cel putin un indice.Am notat cu{力 )extra―

gerea bilei cu numttrulん ;evenimentele de forma{ヴ aratこ

cこ

grupe cu acela,i

am extras sau bila,sau bilaノ

(ヴ

,ノ },(づ ,ノ

,り ,(づ ,ノ ,ん ,ι ),

≠ノ )etc.,iar{グ ,ノ ,た ,ι ,%)=E

reprezlllttt evenilnentul sigur.

b)Cimpul de evenimente se compune din:

1+0:+0:+0:+0會 +ag=(1+1)5〒

25 eVenimente. 19

c)Evenimentele elcmentare sint:

(1),{2),(3),(■ ,(5}. d)(1)⊂ (1,2);(1)⊂ (1,3);{1)⊂ {1,4); (1)⊂

(1,5),

(1)⊂ (1,2,3,};.…

(2)⊂ (1,2);{η

⊂(2,3);(2)⊂ (2,4);

(2)⊂ (2,5),

{1,2)⊂ {1,2,3);

(1,2,3,4)⊂ (1,2,3,4,5),

iar evenilnentul imposibil

● implictt fiecare eveniinent.

§3.Exercitil,I PrObleme PrOPuse l. Se aruncこ silndtan douユ mOnede(una de 5 bani,i una de 10 bani) ,i se urmユ reste ce fete apar.

a)Care sint probele experientei?

b)Fie evenimentele:∠ .― aparitia Stemei pe una din monede,∠ 2monedこ 。Ce fel de evenimente sttnt И. ,i∠

aparitia stel■ ei pe cealaltこ

2・

Sint cOmpatibile sau incompatibileP 2. I)intr― o

urntt cu 10 bile dintre care 6 albe ,i 4 negre se extrag

2 bile.Fie И evenil■ entul ca intre cele douユ bile extrase sこ fie cel putin o bilこ alb五 ,

,i B evenillnentul ca ambele bile stt fie albe. Evenimentele z4 B S2nt cOmpatibile sau incompatibileP Sttnt evenilnente elementare sau 」 ,i

compuseP 3. Se aruncユ un zar. Stt notユ m cu И evenirnentul de aparitie a uneia din fetele l,2 1i cu B evenilnentul de aparitie a uneia din fetele 3, 4, 5, 6. Ce fel de evellil■ ente sht И ,i BP 4. I)intr― un

lot de piese prelucrate ttntr-O zi la un strung se extrag

deOdatこ patru Picse. Sユ notttm cu∠ evenilnentul ca toate cele patru piese extrase sユ fie bune§ i cu B evenilnentul ca cel putin o piesュ sユ fie rebut.

Ce fel de evenilnente gnt

a)И

UB

b)И ∩ BP

5.DOi elevi joactt O partidtt de,ah.Fie И evenimentul ca primul elev partida ,i 正〕 eVenilnentul ca al doilea elev sユ c全 ,tige partida.

sユ c全 ,tige

Partida s― a terrllinat rellliz嵐

:

a)S― a realizat vreunul dintre evenimentele

20

И ,i BP

b)Sユ Se scrie evenimentul realizat, prin intermediul evenimentelor И ,iB・

6. I)in ,irul prilnelor 1 000 de numere naturale se alege la intllnPlare un nullnさ 缶. Fie И ぃrenilnelltul ca numttrul ales sユ

se dividユ prin 5,iar B

evenilnentul ca numユ rul ales stt se termine cu cifra zero. Ce ttnscamnユ

nimentul И 一

eve―

BP

7.Din multimea p01il■ oamelor de grad cel mult% cu coeficienti intregi din intervalul[-5000,1000]se SCrie la intimplare un polinom,fie el P(χ Sユ considerこ m evenilnentele:

)・

Иl:polinomul

P(χ)Se diVide prin χ -1.

∠2:delivata P′ (χ )se d市 ide prin χ -1. -1. ∠3:derivata a doua P″ (χ )se diVide prin χ ‐

3:polinomul P(χ )admite pe l ca rユ dttcinユ cel putin triph. ε :PolinomuI P(χ )admite pe l exact ca rこ dこ cinユ dubl五 .

Sユ

se exprilne evenilnentele β ,i C prin interrnediul evenilnentelor И `.

8。

Rezistentele R`mOntate in schma electricこ din figura 2 au fost extrase 二 づ==1,7.Fiecare lot

fiecare la intll■ Plare din cite un lot de rezistente

`, COntine rezistente bune,i defecte. Fie И `evenilnentul rezistenta R`eXtras嵐 全 n trecerea cu― care ca constこ din lotul Zt stt fie bunこ り 1,7,i」B eVenilnelltul =二

rentului electric Prin galvanometru. Sユ

se exprime evenimentele

β,i

E cu ttutOrul ttenimetrltelor ι

R′

R」

И

:.

′ θ

Fig. 2

9, Sユ se arate c益

:

a)五 U(B∩ θ)=(И b)ス 4∩

(B∪ C)=(И

*) Proprietatea de operafia [J.

UB)n(И

Uθ )*)

∩ B)U(И ∩ C)*)

de distributivitate a operafiei

[J fa!5,-deoperafiaf-lsi a operaliei[lfa]i ， ″

― ―

― ―

―

― ―

―

101 Stt se arate C嵐

:

a)∠ U∠ =‐4*) b)∠ U(B∩ ∠)一 И **)

∠ ∩ ∠ =∠ *｀ И ∩ (BUИ )=И **)

n functie de evenilnentele∠ 11. Stt se gユ s,asc五 全

,i B eVenilnentul ε

din relatia: (θ

UИ )∪

(θ

UИ )=B

12. Stt se arate C益

UBUC=И

a)И

∩J∩ σ .

b)И ∩B∩ C=И ∪F∪ ∂.

_

0思 ∠。日 4

´

Иt=白 瓦. 0凸 t=1 =1 ″

13. Stt se arate ca

U(自 B`)=自 ∪ →∠ B`)=自 “ ∩・ ∩ リ∠ (自 “ Bハ

Bハ

14. Stt se arate cこ

И一 ∩

B`=∪

づ=1

を=1

一 B,)

(И

15. Sl se arate c嵐

a)И 一 B=И 一 ∩B)・ ∪B)一 B・ 0)И 一

B=“

“ ∩θ C)-4-に -6)=И ・

d)に U3)-6=7-θ )U(B一 ε ∩(B一 θ)=“ ∩3)一 ∩C),

)・

． ． ¨ ¨ ¨

e)И

一 岬 一徊 一

B・

到尋

ｍЩ

*) Proprietatea de idempoten!5,. **) Proprietatea de absorbfie. 22

(B一 C)=И

岬 切 ・ ］

∠―

ｍЩ

７ ・ ＞ ａり

印 刷 ﹄

24 ,i C sint incompatibile,atunci 16. Stt se arate cこ dactt evenilnentele “

｀

18。 Se arunctt o moned江 experiente.

e cinlpul de evenillnente ata,at aceStei

. Sユ se sc五

19.Sユ se scrie dmpul cle evenimente ata,at experientei de amncare a unul zar.

20,Fie∠ ,3,C relee electrice sau retele fOrmate din releё ,care se pot lega in serie sau ttn paralel.Doutt retele S￡

nt ecl■ ivalente

dacユ ,in acela,i tilnP

Prin ambele poate trece curentul electric sau nu poate trece culentul.Echi―

valenta dintre dOuユ

relatii O nOtttll■

prin seIIlllul,,==`′

.И uB inseamnユ

legarea in Paralel,iar И∩β legarea Fn serie a retele10r И ,iB.五 msearnnこ retea prin care nu trece curentul ori de cite oli trece curentul prin 4,i reci_ proc. O este reteaua prin care curentul nu trece niciodatユ ,iar E retea■la prin

care curentul trece tOtdeauna.*) Stt se verifice prOprietこ tile (И

∪3)∩ θ =(_4∪ ε)∩ (BUθ

(И

∩ B)Uθ =(_4∩ ε)u(B∩ ε)

)

construindu-se ;i schemele respective. Propunem cititorului ca prin acela;i procedeu sd rrerifice;i alte egalitifi

care apar

in

exercifiile precedente.

§4.lndに atil,i l・

ttSpunsuri

a)Probele sint:

pc ambcle monede apare stema: pe ambele apare banul;

pe moneda de 5 apare stema ,i pe cCa de 10 apare banul; Pe mOneda de 5 aPare ba■ lul ,i pe cea de 10 stcma,simbolic:(S,S)(B,3);

(S,3);(B,S). b)И l,i И2 Sint evenilnelllte aleatoare deoarece la o efectuare a experientei

И. ,i И2 Se

pot sau nu realiza,sint evenilllente cOmpuse deoarece fiecare se pOate realiza prm dOuこ

Probc・

Evenimentele И.,i И2 Sint Compatibile lntie ele, deoarece sc pot realiza simultan (prin PrOba (S, S)). 2. И ,i B Sint evenilnente compatibile,deoarece se pot produce in acela,i timP ,i anume cind extragem din urnユ doul bile albe. И ,i B sint evenilnente compus」 .

3. Evenilnentele И ,i3 Sint contrare deoarece dacこ se realizeazユ И nu se va realiza F ,i reCiproc. Evcnimentele И ,i B Sttnt ,i incOmpatibile.

4.a)evenimentul sigur.b)evcnimentul imposibil.

*) Interpretarea relelelor ca evenimente a permis ap)icarea in teoria schemelor cu contacte si relee.

evenimente

proprietS.filor unui cimp de

5.a)Nu. b)И ∩E=∠ UB. 6. Numarul natural alcs trebuie stt se termine cu cifra 5。

7.B=И l∩ И2∩ И

3'

C=(И l∩ И2)∩ ′ 8.B=(∠ lU∠ 2)∩ И8∩ [(И 4nИ 5∩ ∠6)UИ 7)]' 3・

」=(′ .∩ 4 2)UZ3U[(Z4UИ 5U′ ∂nИ

7)]・

9.ホ )a)Realizarea cvenimentului И∪(B∩ C)inSeamntt realizarea evenimentului∠ sau a eve‐ nimentului」B,iC, ceea ce implica attt realizarea evenimentuluiノ 4 sau B cit ,i realizarea eve-

nimentului∠ sau C,deci a evenimentului(∠ UB)∩

(И

UC)prin urmare

И u(B∩

UC).

∩ “

ReciprOc se arati cユ

=(И Uβ )∩ (И ∪C)・

uB)∩ (И UC)⊂

И U(B∩

C),dC unde deducem

И u(B∩

C)=

“

b)Se demOnstreazi analog. 10・

a)Se aratこ implicatiile

ИuИ ⊂∠ ,i∠ ⊂′UИ

,i respect市

И∩И⊂И ,iИ ⊂И∩И .

b)La fcl ca la punctul a)pentru evenimentele Иu(B∩ И),i Иrespectiv И∩(BuИ ),14t ll. Se trece la evcnimcntele contrare ,i se folose,te diStributivltatea

。鮮ine C=」 И,B,C

,i absorbtia. Se

.

12.a)Evenimentul ИuBuC ttnseamna realizarca cel putin a unuia dintre evenimentele I contrariul sユ u,И uBuCinseamnユ realizarea lui Z∩ 」∩∂,deci И∪B∪ ε⊂И∩」∩σ

La fel se aratう ,i implicatia contrar五 , de unde rezulti egalitatea doritya

b)Se prOcedeazこ ca la punctul a) C)d)Se f。

1。

se,te inductia completユ . Pentru cazul a dou乙 ,i trei evenimente relatiile se

verific沈 (eXerciliul ll,

§2, ,i reSpectiv punctele a),lb)din aCeasttt problemう

).

Se presupune adevう rattt relatia pentru (%― -1) eVenimente ,i apoi Se demonstreazユ pentru % evenimente. 13. Se demonstreaztt Prin induclie fo10Sind ProPriettttile de distHbutivitate ale operatiilo

U,i∩ 14.И 一 ∩

J=1

=t」 `=1

B`=И ∩ (3.∩ B2∩ …∩B')=

(И

∩Jじ )=lJ(И ―B`)・ じ=1

*) Interpretind evenimentele ca fiind mullimile de probe prin care se tealizeazi. tezolvarea acestui exercifiu, precum gi a celor ce urmeazS, de acelagi tip, revine la a demonstra egalitatea de mulfimi. Pentru a obignui pe cititor cu rafionamentul propriu teoriei ptobabilit6filor, am preferat demonstrafiile Pe care le indicim.

24

1 ・

C)⊂ (И UB)n

a)Rcalizarea evenimentului∠ 一 B inseamntt realizarea lli∠ ,i nerealizarea lui 3, И∩B,Prin urmare se realizeaztt И一 Иn3)de unde rezulta c江

15。

deci nu se realizeaztt nici

И― B⊂И― (И ∩B)・

ReciprOc,realizarea lui∠

― (И ∩B)全 nSeamntt

realizarea evenimentului

И ,i

nerealizarea

evenimentului∠ ∩B,dCCi nerealizarea lui 3,,i,prin urmare,realizarea evenimentului∠ Deci

― B.

И― (И ttB)⊂ И― B b),i C)食 n mOd analog ca la punctul a).

d)Evenimentul(И ∪3)一 lnseamna realizarea lui ИuB,i nerealizarea lui C,deci reali‐ ― C)∪ (B― C),prin urmare C‐

zarea lui(И

檸 U3)一 C⊂]解 ― C)U(B― Reciproc se aratる

C)・

c江 (∠

一 C)U(3-C)⊂

(∠

U3)一 ε

de unde rezulta 解

C=に

UB)一

一

C)U(B一

C)・

C)Se arata in mOd analog ca la punctul d). 16.AveIII И

―

(B―

C)=∠

一

(B∩

0)=И

∩

(B∩

σ

)=И

=(И ∩」)U(И ∩C)=И ― B,deOarece И∩C=②

∩

(」 UD=И

17.a)Se aPliCtt prOprietatea de distributivitatc,i aVem[И

=(И U② )∩ (И UO)=И ∩′ =②・

∩

(3 ∪

C)=

U(B∩ 」)]∩ [И ∪(B∩ 層)]=

b)in mOd analog ca la punctul a). 18。

Notう m cu B,i S eVCnimentele dc aparitie a banului rcspectiv a stcmei.Avem

{E,κ }=(② ,B,S′ E)unde E={B,S}・ Sint 22==4 evenimente. 19。

Cimpul de evenilnentc va fi

{E,K)={0,{ん };(ヴ ,ブ };{j,グ

ん,);{づ ,ノ ,力 ,り

;(づ ,ブ ,1,J,%},E}′

aiciグ ,ブ ,た ,J, ,夕 ,iau independent toate valorile dc la l la 6(vezi rCStrictia fttCuti la problema 15,

punctul a),§

2).Am notat cu{力 }aparilia felei cu numぅ rulた ,cu{づ ,ノ }evenimentul care

arattt cこ a ie,it sau fata Cuづ

Puncte sau fata cuノ

puncte,adicこ

{づ ,ノ

),={`}U(プ )etc.

6

Sint l+Σ C8=26=64ぃ にnimente. S・‐ 1

20。 Se constati direct ctt retelele Rl ,i R2 Sint echivalente, in sensul cこ P五 n ambele retele curentul trece sau nu trecein acela,i tilnP,unde Rleste reteaua pe care o obtinem lCgind

25

in paralel pe И ,iB 'i pe aCeasta din urmる ln serie cu C,iar R2 este rctea■ a pe care O obli― nem legttnd ln paralel pe Иsi C,i in paralel pe,,iC,i aceste doua retele dinur■ a le leFユ

m

m seriと deci(И uB)∩ C=(И ∩ C)∪ F∩ C).Analog se arati a dolla egalttat9.Se obtin,Che_ mele din figura 3. И ′

jダ hθ

=“

∩θ 僧∩の 'υ

3,Uθ =`4 Uθ ,n fθ Uθ リ `4∩

′

=

―

θ 1//U‐

―

Fig. 3

―

θ

Capiqolul ll

CiMP DE PROBAB:LITAttE FINI丁

§l.Noliuni de baz五 .Definitii,i ン

Proprietttti

1. Definitia claSiCこ a probabilitこ tii

Sd considerttm O experientユ Cu%evenimente elementare(deCi Cu%probe) αι夕° Sあ ″ ι ι ′,i fie И un evenilnent oarecare(ata,at eXperientei),Care Se pOate reaHza prin%prObe,多 く %. αろ ι ι Dグ%″ グ ι θ ι グ 夕α″ ι αι υ %グ %%ι π %グ И′ numttul ι ・Se nume,te夕 γ 26・

〓

％一  ％

И Ｐ

raportul dintre numttrul cazurilor faミ、rabile realizこ rii lui z4,i numユ rul cazurilor egal Posibile. adicこ

υ Oι sι γ ι .Definitia りづ

claSiCユ

a prObabilit4ii se pOate folosi deci numai

pentru experientele cu evenilnente elementare cgal posibile.Pentru calcularea probabilitこ t五 unui evenil■ ent oarecare И,trebuie sユ deternlinttln numerele de: ―¨cazuri favorabile,adictt numユ rul de elemente din multilnea de probe ce se ata,eaZtt evenillnentului z4, 一 cazu五 posibile,adicこ numttrul de elemente din multimea totalユ de

probe ce se ata,azユ evenilnentului sigur E, 一 probabilitatea P/)fiind raportul acestor dOutt numere. 、 Probabilitatea unui evenilnent elcmentar al unei aStfel de experiente eSte

÷ (% fiind numユ

rul probelor),i aCeea,i Pentru toate evenilnentele ele―

mentare; deoarece pentru orice cvcnilnent el(mcntar n■ ・Inユ rul cazurilor favorabile este egal cu l.

Probabilitatea unui evenillncnt se bucurtt de urmtttoarele proprietユ ti: 1・

0く

P(‐/4)く

1;in adevttr O≪

2.P(E)=1;%=%. 3.P(_4∪ B)=P/)十 tibile,adicこ И ∩ B=0. 4.Pに )=1-P(И

%≪

%・

P(B)daCユ evenimentele И ,i B sint incompa‐

)・

27

5. P@) :0. 6. P(A\ < P(B) dacd" ACB. 2. Definifia axiomaticl a probabilitetii'8) O probabilitate P definiti pe cimpul de evenimente {E, I{.} este o fr,rnc}ie care asociazd fiecirui eveniment Ae{E, Kr\ un num5.r real P(z{) care satisface Ia urmd.toarele axiome: l) P(A) ) 0 pentru orice eveniment Ae{E, R}, 2) P(E) : l, E fiind evenimentul sigur, 3) P(AUB) : P@) + P(B) pentru orice A, Be {E,K} cu AflB : a. Axioma 3 se extinde prin recuren![ Ia orice num5.r finit de evenimente

incompatibiledouicitedou[,decidac[AufiAi:ai+j,i,j:t,n,

atunci

p(u.e,J : l,_r I ir@;. ;r Se va observa

ci definilia

clasic5. a

probabilit5lii satisface toate axiomele

definiliei axiomatice. 3. Cimp ile probabilitate finit Un ci,mp de probabi,litate este un cimp de evenimente {.E, K} inzestrat cu o probabilitate P; se noteazi cu {E', K,P}.Ne ocupdm ajci numai de cimpwri d.e probabilitate finite, adic5. acelea pentru care cimpul de evenimente este o mullime finiti de evenimente. Ut sistern complet de eaenimente este o mu\ime de evenimente, /*, h : l, ?n care satisfac la urmltoarele condilii : t. A** a, h: t,m. 2. AknA,: A h *j; k, j : t,n. fl

5' U Ao: t:l

E'

И

Ｐ

〓

“ Σ日

И

〓

Ｐ

Ｅ

〓

Ｐ

“ ∪日

LTrmeazS. cI dac[ evenimentele Ay, h:7,mformeazd. un sistem complet de evenimente atunci

Obseraalie, Mulfimea tuturor evenimentelor elementare atagatd unei experienle f.ormeazd" un sistem complet de evenimente.

4. Probabilitifi contlifionate Fie B un eveniment cu P(B) >

0.

*r AceastS, clefinifie axiomatic6 a probabilitilii a fost dat6 in anrl 1929 de matematicianul sovietic N. A. Kolmogorov (n. 19t3). 28

Se nume,te

ら ろ ο α グ あ′ α ″ αι ι υ ι %グ %ι %″ %ι %ゲ ∠ θ θ %″ り %α ι θ ″ ιθ %″ %ι %姥 ″ υ ι B, ψγ ,′

nuln遇 静ul

OPメ4=Ц И燭 =Ψ

a>Q

』

Dacこ P(∠ )>O Se poate defini in mOd analog prObabilitatea eveni― mentului B cOnditiOnatユ de evelumentul И, dcci

=T,ス

O PXO=RB的 _ 、

｀

4>Q

Din formulele(1),i(2)Obtinem P(И ∩B)=P(B)・ PB(4),P(И ∩B)=P(И )。 P4(3) Sl

P(И

)。

P4(B)=P(3)。

PB(∠ )

formulユ care leagこ probabilittttile cOnditiOnate reciprOc de douユ

evenilnente。

Probabilitatea conditiOnatこ P(И ′ 3)are urlntttoarea interpretarei este probabilitatea evenilnentului z4 presupunind ctt evenillnentul B s― a realizat. Din compararea prObabilitttti10r P(∠ ),iP(И ′ B)Se pOate vedea dactt reali‐ zarea cvenilnentului B influenteazこ sau nu realizarea evenilnentului 24. 5。

Evenilnente independente

Douユ evenirnente z41 ,i ∠ 42 Sint independente dac沈 P(И l∩ И2)=P(И Dacこ P(И l∩

.)。

P(И 2)・

И2)≠ 0'i eVenimentele_41,i И2 Sint independente atunci P/2(И

,i reCiproc dactt PИ

2(И

l)=P(∠ .)Si

F)И l(∠ 2)=P(И

l)=P(И l)atunci evenimentele

2)

Иl,i∠ 2 Sint indcpen―

dente.

Evenilnentele Иた, ん ==1,%slnt independente dac嵐

P(41∩ pentru orice indici lく

"

・… ∩ ∠κ s)=P(ん

ん .4)=1-P(布 く ″J「 ezi prOЫ ema 2o.

27.a)P(″

ema 26,pentru%=1.

28.Se ottne ca un caz PartiCultt din ProЫ

29.Se obline Ca un caz particular din problema 26,pentru

つ∴+孔 =∴ ;0∴・ ∴ p:。 ‐0:・ :つ ÷ n ulL精 電露e:∬ lril.Tl畔 嘆ポ こ +1 m⇒

π

=“

.

:・

:。

:・

exttacthた ,atund忍 …

ti:驚

r訛

鴫∬ 犠鼻 ∬塁 :∫

=:nl「 t= d。 五 ョИ )=tdユ menutatea λ

pobtttle■ 蹴彙 驚ufttlaFTtiel馳 蟹晨 驚t∬ よ』 儀 霧:よ ら(ら

1(α

b)

(b―

%+1)

+b)(α 十 ら-1)¨ 。(α +ろ ―

sau calcullnd direct probabilitatea cerutこ

+ 卜 十… 」 尤 [十『耳 I二

-1)…

J:CaCultnd h側

%+1)

,obtinem

0(b-1)… (α

Se egaleazS, cele doud expresii ale

(ら

一

十 ら -1)(α 十 ら-2)…

%+1) (α

+ら

一 ″ +1)

probabilitifii calculate la punctul

a), 6ア

34.Da“

no践hn

cuク ″prObabilitatea de extragere a unei bile albe din urna

九 ‐ =詰

九

+論

ん=L%一

は一 幼

ん, atunci

L

deoarece

A=ホ '∝ 蝉“九=尤・ 3ユ

→

Pギ

め 嗣饉向er・ 田2… 4蓼 N―n_ぃ ∝ Ⅳ bilユ ,

亀voraЫ eい ‐

.Penttu exttagereaこ nt■ o dngurtt urnt tnt y cazu五 D¨

う se extte¨ um tte o

din fiecare din cele % urne′ extractiile fiind independente, probabilitatea cttutaa cste

produsul probabilitユ lii COrespunzう toare extractii10r din fiecare urnこ

｀

り0=1-P=1-零 ・

,deci翌π

.

〕 √

c)Fie p″ prObabil■ tatea ca cel mai mare numtt extras tt fie egal cuル rezultatul do la punctul a), aVCm:

P=p.+夕 2+… +p■f=ギ

チ

,ね

rpl+夕 2+… +夕M■ =堅

■ デ

.Atunci folosind

,de unde P五 n

SCう dere

夕 ″=零 -1等 ギr

Se Ob,“

″

36.al P=(Ⅳ

+1)π

;cazurile favorab■ le pentru extragerea dintr‐ o dngurユ

嘔rnこ sint bilele numerotate cu ■イ, ■イ+ 1,...,N deci N一

]イ

b)Fle夕 κprObabllltatea ca cel mai mic numtt extras sう

+ l caZuri favorabile. fie egal cuル .Atulllci tidnd

seama de punctul a)avem:

P=ク

И

p4.十

+夕 ″_+… +夕 Ⅳ =T,転

夕脇

em中

2+… +夕 Ⅳ =弔

い ぬ ““

“ 夕y=Ψ C)夕 1+夕 2+… 37.Pば

∩

⊃

一

∞ 叫

he

・

弔

+ク ″・ =P((E―

∠

)∩

」

)=P(J―

(И

∩

J))=P(J)一

P(И

∩

J)=P(J)一 レ

―

P(∠

∩

(E―

B))=P(」

)一

P(И )一

P(И

∩

B)=P(J)一

P(И )―

P(И )P(D)=P(′

)P(J).

38. Fie∠ ,i B evenimentul ca tragこ tOrul sユ nilnereascユ in prima tintこ la p五 ma tragere respectiv ttn a doua tintユ la a doua tragere. И ,i B Sttnt evenilnente independente. AveEl

Pに na=ョ

4Ц 助

剛

:― :Ц い

dЦ 助 =:・

39.Fie Иた eveniIFlentul ca sう nu iastt din circuit elementulた ,ル ,=1,3.P=P(∠ )P(И 2)P(И 3)=(1 ク 1)(1-ク 2)(1-ク3)=0'336. 口И2∩ И3)=Pに ■

68

in

40. Primele

z-

1

l6mpi inlocuite trebuie s5, fie bune

P:(1-P)"-rP. 41. a) Pentru ca o persoani de r arl.i si fie ln fie ln viafd dup6 I ani gi apoi, ajunglnd la virsta i:ncd u al;.i, deci puP*: tft'ufo+t b) fit: P*-r Pa+r rt P"+r : Ps+il-z ?s+z

2ク

viatう

;r a n-a lampd

sd

Iie

defect5,, deci

dupう ′+% ani,trebuie ca intii sユ

i fie ttn via,l dupa de ″+′ ani sa n践 、

多+`― ■ 多 +ι -2=夕 α +ι _2・ 夕

,l inmul,ind aceste egal± 4i membru cu membru se obtine egalitatea cerutユ

42.Urmeazユ din:P(И )P(3/И

.

)=P(3)Pに ′B)・

43. Fie И ,i B eveninlentul ca piesa extrasう sる fie bunう , respectiv de prilna calitate_ Atunci P(И )=0,95,P(3/И )=0,68,i deoarece B⊂ И ,P(3)=P(И ∩ B)=0,95・ 0,68=0,646.

44.Folosim relatia Pに

UB)=P7)十

ョa一 烈Иm>Ц

う 剛

錨

P(3)一 P檸 ∩B),i

Ц4助 く

…

R40=Ψ

faptul cこ

Pに uB)く

‐ m回

Ψ

動

1・

Se

…

・

f%P5メ 層 うギ ξ . 〕 lt獣⊇ F∵ 〃Л ∫ ]ずし 尉 TH量 三 助 Pい 助 И 十 =Щ =P/∩ 局 Up_′ 月 11五 fFSP』 」 獣 見部野 l]2百 万 '69「 )「

=111式

V坪

46.Fie И.,i/2 evenilnentele de nilnedre la tintこ a primului, respectiv al celui de‐ all doilea trttgator.P/.uИ 2)=Pに 1)+P/2) Pに 1∩ И2)=0,7+0,8-0,7・ 0,8.

Иλevenimentu ll luИ 2U∠ 3)=P(И .)+P(И 2)+

47. Se cere probabilttatea unei rellniuni de evenilnente compatibile;fie de nimerire la linttt in tragerea力

,力

=1,3;atunci P=P(И

∩И2∩ И3)= 十 Pに 3) P/1∩ И2)一 Pに .∩ И3) P/2∩ И3)+Pに ■ 3

=⊇

P/ハ

Pり P/』 +P1/.lPrり Pに J=0,96

ー 忍

Se putea mai direct P=1-2=1-P(И l∩ ′2日 ′3)=1 P(И l)P(′ ♪P(′

3)・

48.Fie Иκevenimentul de ie,き e din retea a elementului Sκ ,力 =1,3.Calculこ m probabili‐ 、 tatea evelllimentului contrar:

∩′2)+P(И l∩ И3) 0=P(′ ェ ∩(ズ 2U′3))=P((И l∩ ′2)U(′ 1∩ ′3))=P(ズ ェ _P(И .∩ ′2∩ Иl∩ ′3)=0'7・ 0,8+0,7・ 0,8-0,7・ 0,8・ 0,8=0,772,iar P=1-2=0,228_

49.P=■ にezi 8

２ 一６

一６

一

一６

＋

３

４

一６

＋

５

一

50.P=

prOblema 24,§ 2;se cere dci PrObabnitatea evenimentului contr籠

)。

-6ぽ・ 69

, 51. Se calculeazi probabilitatea evenimentului contrar. I.ie Ap evenimentul^ ca a fie bun5, h : L,4. Evenimentele lg nu slnt independente. g : p@anAr(1A,l1An) : P(AL)P(AzlAr)P(AelArnA;. P(A|lArnAznA\) :

h-pies6

controlatS, s5,

_:x.eJ.e6.njr r:t_8. 100 99 98

97

52. Nuoerotim biletele cumpdrate ctgtigdtor. Atunci P : P(A,U ... UA"). Se calculeazS.

Q: l- P

$ fie Ay evenimentul

ca biletul

I,

a si fie

folosind formula de lnmullire a probabilitelilor,

P(A,(1...(14") : P(A)P(A,|A') ... P(A"|A'(1 ...f1Ao-,) ″ ― %+1 N一 M N― ″ -l N― %+1. N N-l N一 Q:

h,h:

:

53.Se aPlicこ formula probabilitう oi totale.Fic B.,i32 CVenimentele de a transfera din o bila albュ respectiv neagrこ ,i И evenimё ntul de extragere apoi a unei

urna び.ln umaび 2 Ыe

dt tnuma tt A“ mヨ 4=Ц ttPIZr句 +ヨ 句

ル

β 夢 =量 .

P=続 ・ +発 ・ → 編 ホ ザ境 =税・ +先・ =留 勁ο 鵠 =… 赤 岩 ;

■ 1)%2

. 55。

Se aplica fOrmula lui Bayes. Fie F evenimentul de extragere a unei bile albe ,i

Иκe“ imentu de a seexttage o Ыう」悦 dh urna鴫 ;わ

１

４

一５

一５

Pに 4′ B)

→

",i→ una r。 Pに =:,グ

=焉

■。 :‐

:・

:十 :。

:5 bile extrase tti fio una

`evenimentul de a se fi facut extractia din urnaび

I Pρ

H Pay∞ ∞ °b● ne Pr2岡

D=:;Pr lZ21=÷ “

=黒 ,Pに 30=義

P=Pに 21Bl+Pに 3β )=品 °

;

2

56. Se aplicう formula lui Bayes. Fie F evenimentul ca cele douユ ,ie,iИ

力=薦

』=:;Ц Bμ D=:,i″

Fμ D=Pげ ノ∂〒 :;ヨ Bμ J=Prノ

「

=百 Pに J=:,

;PCμ

♪

=1,3.Atunci `,づ

=i゛

P五 n

brm中

'dd PЮ b謳litatea cユ utal cste

57. Fie C evenimentul ca a dOua piesa extrasa si fie un rebut,iar B.,i32 eVenimentul de a extrage aceastさ Piesう din P■ Inul 10t, respectiv al doilea lot. APlicm fOmula probabilittttii tOtale se obtine P(C)=P(31)P(C′ Bl)+P(Bり P(Cノ B2),dar P(c′ B2)=O iar i70

ル

・

PIC/BD=÷ bШ 札 詢 面

・ PCJ∞ Ob● ne aメ thd

P陶 =PИ

」 =÷

fOrm」a hiBay‐ .■ eИ ュ゛ И2evedmettde∽ p五m

,a到

萄

=:,a到

=韓

萄

Ddョ o=÷・=岳・

即

ぅ=Pr調

=÷ ■

÷

58.Se aPlictt schema lui Bernoulli P(5;3)=e:(o,8)3(0,2)2. 59. Se apliぬ schema lui Bernouni: ´

a)1-(1-夕 b)1-(1-´

)π

1[1+(π

州 1+い 物+Ψ )・

夕 ]・

２

一３

〓

Ｃ

６

Ｐ

剖

01-ロ ー

-1)」

D Σ aЮ :め・ ■-3 5

6L P=Σ

c帥 ,Oκ ゛ ′ 00 ″・

力=3

62.a)P(20,14)=C16(0,4)■ 4(0,6)6.

D

P20;→ =Σ e3oO,Oκ p,0ル と Σ =8 =8 ル

力

18

EP(20;力 )=1-(0,4)241二

c)】 ル‐0

c:3(0,4)100,6。

16

0 Σ P20幻・ カー10

鴫→ ObServhう Pレ “ (

bl PrObabnitatea P(%:,の

;″

+⊃

COnSideratう

=7髯・ :。 ca functie de%,se compOrtt astfel:chd″

cre,te,

Pレ ,%)Cre,tO ph益 1,i atinge un mttm,dupユ care descre,te. cl Dtt ηクーf este un numXr ttntreg,atunci Pレ :π )"i atinge m通 mul,pen枷 とOuこ va_ u este un num数 lod ale lui″ ,i anume π。=η クーg,i πO+1=″ クーg+1・ Da“ ″クー `五 i anume penm htreg,atunci Pレ ;協 )1,i atinge ma刈 mul pentru o singuぬ va10are a lui%§ p“ 』,unde[″ 』 全 nseamnュ Partea ttntreagこ a numttului,deci cel mai ma」 le intreg continut in 霞 l numユ r.

64.[%。 l=[2,5]=2.

65.[40,0,3-0,η =11. 66.″ 。=16,i″0+1〓

17.

71

6Z→

″ P=Σ CloO,助 κ q。 0,8o,a9; o,am― =1-o,oЮ 一 力=2

b)7,cici

ηク ー

,=10・ 0,8-0,2=7,8 iar[7,8]=7.

68. a)(0,3)3

b)1-(0,7)3.

cl[4.0,7-0,3]=2. 69.a)P(100;4)=C10。

(0,005)4(0,995)96

6

6

0P=Σ=0 ЦЮO:0=Σ=0 ル

ん

C)[100・ 0,005-0,0051

CI。 00,00助

″ ° ,99助 Ю ρ ・

.

99.

70. Se aplicう schema lui Bernoulli cu mai multe sぬ ri.

a嘔

4っ

=蒜

oが oo知

紛 ・

71. Se aplicユ schcma lui Bernoulli cu mai multe stiri

=夕 2=´3=ク 4=7;P(4;1,1,1,1)=争 夕 ■ 1

=島・

72. Se aplicう schema lui Bernoulli cu mai multe stttri.

+…

Q助 =詰

叩 卜 叩

叩

+

“

:il.IIfI刷

fり

0,96(0101)2_

73. Se aplicう schema lui Poisson.Probabilltatea ccruth este coeficientul lui″

m岬 →毛 ″ +尉 脚 P=:・ +討 ″ 脇 +尉 儡″

:・

:十

:・

2 din p01inO_

:r:+

十 百・百・百・ 74. Se aplicユ schema lui Poisson.Probabilitatea ceruti este coeficientullui″ P(″ )=(0,05″

din POlinomul

+0,95)(0,04″ +0,96)(0,06″ +0,94)(0,03″ +0,97).

75. Se aplicユ schema lui Poisson. Probabilitatea cerutユ este coeficientul lui″ 2 an p。 11_ ■omul

P(a=(0,7″ +0,3)(0,8″ +0,2)(0,6″ +0,4).

76。

Se aPliCtt schema lui Poisson Se formeazう Polinomul

+0,2)(0,7″ +0,3)(0,4″ +0,6)(0,9″ +0,1)(0,5″ a)COefiCientul lui ″3 din P(″ ); b)Suma coeficiettilor lui/2,″ 3,i″ 4 din pOlinomul P(″ P(″ )=(0,8″

+0,5)

)

7■ s」 aPhcr∝hema

72

Ы 。α P=』 竃ぎ d nd畔

a■

=0,9666

い

が

ma

Ы d…

…

曰 メ ″― 鴫 効

れ

…

で 場

79。

Se apliCユ schema bilei nelntoarse. Sttnt 4 bile albe ,i 32 negre

80。

n una din grupe nun慟罐ul paぬ ￡

& 鋼崎=守 =儀 導η

de bttieti eSte egal cu numarul de fete,atunci acela,i de 4 elevi tii Ca intr‐ O grupユ

lucru se ttnurnP14,i cu CCalaltう grupユ Pentru gasirea probabilitユ

formata la nntimplare sa fie 2 fetc,i2bユ ieti SC aplicう schema b■ ei nelntoarse,deci

P=CtCl=笠壁 c:

.

8!24

・ 鳳P=誓 匝Fttma観 鋼 82, Se aPliCユ Schema bilei neintoarse.

P=峠 +貯・ 83.Se apliCと

Schema bilei neintoarse P=P4,32(1'2)+P4,32(2,1)+P4.32(3,0)=

∞ =峠 +峠 十 普 =τ‰ 螂 3

sau P=1-0=1-1墜

=1_0,6947∼

0,3053.

84. Numirul naturalm se gS,segte dh heg狙 ¨

>噛

← 器

脚

mu_se Cel面

五

比 atea忍 卜蜘 鷲蠣鮮>0,5

mm…

(sau

¨薇鋼

Ш …

…

mai

“

simPlu

″ ="

７′

CaPitolu: lH

VARIABILE ALEAttOARE

§ No,iuni de baz五 .Definitil,i ProPrietむ 1。

:

1,Definilia variabilei aleatoare

Fie E={El,… ,E.)multimea evenimentelor eleIElentare ale unei exPo 五ente(fiecare eveniment Et se realizeazこ

P五 ntrЮ probこ ,i numai p五 n una)。

Se reduce studiul multim五 de evenimente elementare la studiul unei multimi

de numere*)in felul urmtttor:fiecttui eveniment elementar Eぉ

(deci ie‐

cttei probe a expe五 entei)i Se ata,eaZこ un numtt rea1 4,deci expe五 entei i se ata,eazユ O multime de numere reale,fiecare numユ ra宙 nd o anumittt PrO― babilitate,i anume probabilitatea evenilnentului elementar cユ ruia tti cores―

punde.

Corespondenta dintre multimea evemmentelor elementare ale unei α ο α γ ι ι mu■ ime de numere reale se nume,te υαγ ′ αろ 夕″αι

eXPC五 ente,iO

.

Deoarece considerこ In aici numai expe五 ente Cu un numar finit de probe, variabilele aleatoare vor avea o mullilne filllltこ de valori.Unei aceleia,i exPe‐

riente i se pot ata,a mai multe vanabile deatoare(de eXemph h amncar“ zarului,ata,area numarului de puncte ie,it, sau ata,area numttrului O cmd

apare un numttr par de puncte,i numArului l

全 n caz contrar etc.)。

Vom nota variabilele aleatoare cu X,y,… ,x.,… Deci o variabih aleatoare X este o mu■ lme finitこ de numere 4,… fiecttrui numttr

χ ″corespunzindu― i o probabilitate φ.,i anume, dacユ

rui evellimeit elementar i se ata,eaZ嵐 ル =1,s:%=s(numttul

,χ ら ,

fiecユ ‐

O Valoare distinctユ , atunci タル=:,

evenimentelor elementare),iar dacュ

aceea,i Va…

loare χぉse ata,eaZtt mai multor evenilnente elementare, atuncl夕 と==翌 壼, S

unde am notat prin 、、 numう rul tuturor eveninlentelor elementare cこ rora le e) fapt care a simplificat mult rationameltele;i a permis ln special introducerea ln teoria probabilitililor a unor metode gi rezultate din alte capitole ale matematicii. 74

corespllndc aceea,i va10are為

φ Σ ″=1

=1・ Se maispune cこ

,ん

φκ

=1,%゛ Σ %κ た=1

eSte probabilitatea cu care variabila aleatoare X

“

ia valoarea為 ,i se SCrieタ ル=P(X=峰

),ん

=1,%,Schematic variabila

astfel: 〓

ψ

″Σ 日

為九

χ け

＊

O

aleatoare」F se nOteazユ

=S;deci in toate cazurile

Tabloul (1) se numegte distribwlia sau repartilia variabilei aleatoate X. Distribulia unei variabile aleatoare X poate fi reprezentati. grafic in plan prin poligonul d,e repartilie, care se obline unind printr-o linie poligonalS. punctele de coordonate (x*, i*), h: l,n; in general pe cele dou5. axe se iau unit[]i de m5.sur[ diferite.

2. Distribufii clasice Ddm citeva distribulii ale unor variabile aleatoare cu un numir finit de valori, lntiinite des in aplicalii. a) Distribu{ia binomiald corespunzdtoare schernei lwi Bernoull,i Se atageazi schemei lui Bernoulli (vezi cap. II, $1) variabila aleatoare X care reptezinti numirul de aparilii ale evenimentului 24. atunci cind se efectteazd" z experienle; X are urmS.torul tablou de distribufie

* l0

lq"

I @rrtq*-,

2

h

...n\

a

@Zpnq*-, @r!*q.n-* . . . pnJ' p.

b) Distribulia

@Lfoq"'n

:

(P + 4)"

:

1

corespunzd.toare schemei l,ui Poisson Se atageazd schemei lui Poisson (vezi cap. S 1)

II,

care reprezint[ numdrul de aparilii ale evenimentuhi

tteazd.

z

experien)e;

X are tabloul de distribulie: (0 t ... k, lL \

xt Po \

Pr

た 全 n care Pた este coeficientul lui χ ,ん P(χ )=(夕 lχ

Pk

variabila aleatoarc X A, atunci cind se efec-

l,

P^)

=0,%,din polinomul

+91)(夕 2χ +92)…

(夕

πχ +gπ ),Σ P″ カ=0

=1

αγ %ι j ろ グ ι ι づ%ι θ αγ sι θ ιsθ λι ι b″ づ αθ ο γ グ C)DJS″ γ 砂%%z″ ι `%″ 1)Variabila aleatoare X i nettntoarse(Vezi cap.II, Se ata,caztt SChemei bilё §

.) Orfinealncare se scriu valorile *1, ,,, tn nu este esenfiali, crescltoare, iar pe rindul doi probabilitifile corespunzetoate.

de obicei se scriu

in

ordine

ア5

X

are

〓

”Σ 脚

0:十 あ

聰 鍋 一

n bile extrase din urn[; ︲ ︲ ｌ ヽｌ ノ

ん C,C; た

cele

％列一 鍋

care reprezinti numirul de bile albe din tabloul de distribulie

3. Variabile aleatoare independente Fie variabilele aleatoare

"

X;i

Y cu tablourile de distribulie

G: i:)' " (',: ';).'

X ;i Y si,nt ind,ependente dacd" xo)l-l(Y : !r)): P(X: x)P(Y : !t): i&y i:T-,n, j: r,*.

Variabil,ele al,eatoare

Pl6:

Independenla r,ariabilelor aleatoare se extinde

la orice num5r finit

de

︱

χ  ス／

イ グ

“

Ｘ

′Ｉ ヽ ︲ ｉ ｌ

variabile, fie ele:

%=1,γ

′

′

,i re宙 ne la P[(X・ =χ }1)n(X2=χ 子

2)n… 0(Xr=χ ;r)]=P(Xl=χ )1)P(X2= =χ :2).… P(Xr=χ ;r),

unde九 -1,%た ,ん =1,7. Operatii cu Va五 abile aleatoare in tOate cazurile cind se vor face operatii Cu variabile aleatoare se va presupune cこ toate variabilele aleatoare sint ata,ate aceleia,i experiente,deci toate variabilele aleatoare sttnt definite pe aceea,i multiIILe de eVenilnente 4。

elementare, fttrtt stt mai precizこ IIn aceasta ulterior. O constanttt

αpoate

fi interpretatユ ca o variabiltt definitユ

pe orice rnultilne

de evenilnente elementare,i anume ctt variabila aleatoare care ia valoarea α

pentru oHce eveniment elementar,deci pe multimea tuturor evenimentelor elementare, prin urmare tabloul de distributie al cOnstantei α , interpretatこ ca variabiltt aleatoare, este

″ (〔

)・

cu Variabile aleatoare,i Din acest inOtiv se pot face totdeauna operat五 constante ,i Variabilele aleatoare X,i α sint independente. ・ )in acest caz si nn cele ce urmeaztt nu aveln legtttura obi,nuitユ dintre probabilittttile 少″,ig″ deci f″ +1‐ ―´κ;am nOtat pur,i Simplu prObabilittttile variabilei aleatoare X cu夕 κ ,

iar ale va五 abilei aleatoare y cu g″

ア6

.

in tOate cele ce urmeaztt vom presupune ctt variabilele aleatOare X,iy

au urmュ toarele tablouri de distributie:

Xけ

::1カ

),y(昔

:￨1綱

a)И ″π%α γι α υαπαろ 〃ι Jθ γ α ″ ι α′ οα/ι Va五 abila aleatoare X+y are tabloul de distributic

X+y(友

lyl友 2+夕

21友 十 夕 ′

ノ

::￨:夕 L十

ノ π )

deci

=PIX+y=為

ψ

+夕 ′ )=P[(X=銑 )口 (y=ノ ′)],iar Σ Σ タィ ′-1・ ￨=1′ -1

`′

φ =P(X+y= ノ′ )=九 グJ,iar dacユ variabilele aleatoare X,i y nu sttnt independente,

Dacユ variabilele aleatoare X,i y sint independente,atunci

=χ

`ノ

`十 atunci

=P(X′ ty=χ ・ 十 ガ =P[(X=χ c)n(y=ヵ)]=P(X=″ t)P(y= =ノノX=χ じ )=P(y=ノ ′ )P(X=イ y=ノ ′ Variabila aleatoare ,ζ ― +y se nume,te sπ 夕%α υαγグαろグιι″ο7 αιια″οαγι x,iy. 夕

`′

)・

in cazul particular dnd y=α

(α

=COnst.)se Obtine S%%α α勿 ″ι θ

θθ%s″ α%ι グ ,グ ο υαγグ αιグ ″ ″ αJι αι θ″γ ι,i avem:

X+α

+α

耽

+1,

+ら

:￨:角

deoarece P(イ +α =χ κ+α )=P[(X=χ ″ )∩

il:角 (α

=P(X″ =χ κ )=φ ″ αυ b)f%%%″ ″ι α ′ γ グ αbり ι ι ο γα ι ι α ″ ο α γ ι

=α )]=P(X″ =χ κP(α =α )= ´ )。

Variabila aleatOare Xy are tabloul de distributie

Xy崚

11:12:￨:友 ;′

￨:i免 #π

)

Cu

タリ=P(χ y=χ じ ノハ=P[(X=χ を )∩ (y=ノ ダ )].Dactt

variabilele alea―

toare X,l y sint independente atuncl夕 ′ lar dacこ variabilele alea― =φ ・ `g′ toare X,i y nu ttnt independente atunci夕 ′ X=χ P(X= ・ =φ `P(y=ノ ノ `)=g′ y=ノ =χ ). ′ `′ Variabila aleatoare Xy se numeste φγ tts%ι υ ο α α αう ι Jο γ ″ α γ ′ グ θ α ι ″ θ α γ ιX,iy. アア

in cazul PartiCular chd y=α υtttα bづ ι θα/ι α αJι αι

X

(α

=COnst。 )se Obtine夕

X=α

γο″πS%ι

α物 ″ ι

場 π α ス ／

α  スノ

４ １ α ハ／

Ｘ

α

４ “

り ο θο%sι attι α α ,i aVeln ゞ

(X=り

)PIX=為

deoarece P(α ・ ]=P(α =α 4)=P[(α =α )∩ )=φ ル Operatiile de sum益 ,i prOdus se extind la o五 ce numttr finit de vanabile alea― toare fie ele Xl,¨ ,se Obtine x.+… け Xκ ,i COrespunzこ tor Xl...xと

"Xた in cazul particular cind X.=…

=χ″=x prOdusul Xl… .X.=Xル α ″ ι %%ι グ υ α /づ α ι ι α α ″ ο α ι グ γ θcu tabloul de distributie: φ ttι

Jι

χ  ふ／

χ

: xl):

P(X : tct) : ?r c) Inaersa unei aailabile aleatoore cu aalori nenwle Dac5. variabila aleatoare X ia numai valori nenule,

deoarece P(Xh

,i

琳 九

Se Obtine

.

X

fr** 0, h: l, m, X-l cu tabloul

este variabila aleatoare ︲ ︲ ｌ ヽ ｌ ノ

■ れ九

ヽ ／ １ ︲ １ １

Ｘ

１ 一れ Ａ

atunci inversa aariabilei aleatoare de distribulie

Se observtt ctt X ■ se obtine ca un caz PartiCular din Xκ pentruん

Dactt variabila aleatoare y adnlite inversa y-1, atunci p五

n definitie

ヽ１︲︰′ノ 布一‰ 為

笙均 為

れ 一九   九

Ｘ 一ｙ

／１ＩＩヽ

脇 孝=Xy■ d “

=― -1.

Cu ノ

〓

ｙ

∩

〓

銑

Ｘ

〓

Ｐ

〓

生 均 〓 Ｘ 一ｙ Ｐ

タ

Se observd ci rezultatul oriclrei operatii cu variabile aleatoare este tot o variabili aleatoare d_efiniti pe aceeagi multime de evenimente elementare.

5. Valori tipice ale unei variabile aleatoare Fie X o variabild aleatoare cu tabloul de distributie