Systemtheorie 2: Mehrdimensionale, adaptive und nichtlineare Systeme 9783486599046, 9783486240238

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ML

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Systemtheorie 2

Mehrdimensionale, adaptive und nichtlineare Systeme von

Professor Dr.-Ing. Dr. h.c. Rolf Unbehauen

7., überarbeitete und erweiterte Auflage mit 318 Bildern und 65 Aufgaben mit Lösungen

R.Oldenbourg Verlag München Wien 1998

Dr.-Ing. Dr. h.c. Rolf Unbehauen o. Professor, Lehrstuhl für Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik der Universität Erlangen-Nümberg Bisher erschien das Werk in einem Band. Der vorliegende Band 2 ergänzt den bereits erschienenen Band 1: Systemtheorie 1, 7., überarbeitete und erweiterte Auflage 1997, ISBN 3-486-24022-6

Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme -

Unbehauen, Rolf: Systemtheorie / von Rolf Unbehauen. Oldenbourg

München ; Wien

:

-

2. Mehrdimensionale,

adaptive und nichtlineare Systeme : mit 65 Aufgaben samt Lösungen. 7., überarb. und erw. Aufl. 1998 -

ISBN 978-3-486-24023-8

-

© 1998 R. Oldenbourg Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen.

Lektorat: Elmar Krammer Herstellung: Rainer Hartl

Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Papier Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München

Gedruckt auf säure- und chlorfreiem

V

INHALT Vorwort

.

xiii

Kapitel VII: Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme.

1

Signale. Standardsignale. Weitere spezielle Signale. Darstellung allgemeiner Signale mittels Sprung- oder Impulsfunktion.

1 2 3 5

2. Zweidimensionale Systeme.

6

1. Zweidimensionale 1.1. 1.2.

1.3.

Systemeigenschaften. Systemcharakterisierung durch die Impulsantwort. Systembeschreibung mittels Differenzengleichung.

6 7 10

Signal- und Systembeschreibung im Bildbereich.

14

Die zweidimensionale Z-Transformation. Eigenschaften der zweidimensionalen Z-Transformation. Die zweidimensionale Fourier-Transformation. Lineare, verschiebungsinvariante Systeme im Frequenzbereich. Zweidimensionale Abtastung, Abtasttheorem. Die diskrete Fourier-Transformation. Definition und Eigenschaften. Praktische Durchführung. Das komplexe Cepstrum.

Grundlegende Beziehungen. Numerische Berechnung. Stabilitätsanalyse.

15 17 20 22 24 28 28 30 32 32 36 38

4. Strukturen zweidimensionaler Digitalfüter.

42

Viertelebenen-und Halbebenenfilter. Nichtrekursive FUter. Rekursive Filter. Getrennte Realisierung von Zahler und Nenner. Gemeinsame Realisierung von Zähler und Nenner. Stufenform.

42 43 47 47 51 52 55

Entwurfskonzepte.

61

Entwurf von FIR-Filtern.

61

2.1. 2.2. 2.3. 3.

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.6.1. 3.6.2. 3.7. 3.7.1. 3.7.2. 3.8.

4.1. 4.2. 4.3. 4.3.1. 4.3.2. 4.4. 4.5. 5.

5.1.

Zustandsraum-Darstellung.

vi

Inhalt

5.2. 5.3.

Entwurf von IIR-Filtern.

Teilseparable Filter.

66 73

Kapitel VIII: Nichtlineare Systeme.

78

Beschreibung im Zustandsraum. 1.1. Vorbemerkungen. 1.2. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. 1.3. Empfindlichkeit der Lösungen. 1.4. Linearisierung.

79

1.

2. Stabilität autonomer

Systeme. 2.1. Hinreichende Stabilitätsbedingungen und Lyapunovsche Analyse. 2.2. Suche nach Lyapunov-Funktionen. 2.3. Instabilitätskriterium und Lyapunovsche Linearisierung. 2.4. Lyapunov-Analyse linearer, zeitinvarianter Systeme. 2.5. 2.6. 2.7. 2.7.1. 2.7.2. 2.7.3. 2.7.4.

3.

Stabile und instabile

Mannigfaltigkeiten. Zentrumsmannigfaltigkeiten. Bereich der Anziehung eines Punktattraktors. Das Einzugsgebiet. Schätzung von Einzugsgebieten.

79

80 82 84 92

93 94 97 100 103 105 110 110 111

Das Theorem von LaSalle.

115

Ergänzende Bemerkung.

119

Grenzzyklen.

119

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.4.1. 3.4.2.

Grundsätzliches. 119 Stabilität von Grenzzyklen. 128 Stabilität invarianter Mengen. 129 Poincare-Schnitte. 130 Anwendung auf Grenzzyklen. 130 Besonderes Verhalten von Trajektorien im dreidimensionalen Raum. 134

4. Bifurkationen.

139

4.1. 4.2. 4.3.

Bifurkationen von Gleichgewichtszuständen. Bifurkationspunkt mit nur einem Eigenwert auf der imaginären Achse

139

4.4.

Weitere Bifurkationen.

Beispiele.

I47 151

Systeme. Grundlegende Stabilitätsbegriffe.

155

5. Nichtautonome 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

141

Hinreichendes Stabilitätskriterium.

Linearisierung. Instabilitätskriterien.

156 157 160 164

vii

Inhalt

Systemschwankungen.

166 168

6. Passivität.

172

Die Definition. Lineare Systeme. Kaiman- Yakubovich-Lemma.

172 174 177

Analyseverfahren. 7.1. Stückweise lineare Darstellungen. 7.2. Die Methode der Beschreibungsfunktion. 7.2.1. Einfache nichtlineare Systeme. 7.2.2. Grenzzyklen in autonomen Rückkopplungssystemen. 7.2.3. Rechtfertigung der Methode der Beschreibungsfunktion. 7.2.4. Nichtautonome Systeme. 7.3. Störungsrechnung. 7.3.1. Die klassische Vorgehensweise.

185

5.5. 5.6.

6.1. 6.2. 6.3. 7.

Existenz von Lyapunov-Funktionen.

185 189 189 194 198 204 208 208 213

7.3.2. Die Verwendung mehrfacher Zeitskalen. 7.3.3. Nichtlineare Effekte am Beispiel des harmonisch erregten Van der Polschen Oszillators. 218 7.3.4. Hystereseerscheinungen. 227

Systeme. 8.1. Zustandsraumbeschreibungen. 8.2. Abtastsysteme.

230

Eingang-Ausgang-Beschreibung nichtlinearer Systeme mittels Volterra-Reihen. 9.1. Quadratische Systeme. 9.2. Kubische Systeme.

237

8. Nichtlineare diskontinuierliche

9.

230 233

238 244

Kapitel IX: Rückgekoppelte dynamische Systeme. 247 1.

Aufgabenstellung und Vorbemerkungen.

248

2.

Stabilisierung mittels Jacobi-Linearisierung.

252

3.

Eingangs-Zustands-Linearisierung.

253

Mathematische Hilfsmittel. Exakte Linearisierung.

253 260 266

3.1. 3.2. 3.3. 4.

Beispiele.

Eingangs-Ausgangs-Linearisierung.

273

Inhalt

viii

4.1. 4.2.

4.3. 4.4. 4.5.

Die Grundidee. 273 Transformation auf Normalform. 275 Die Nulldynamik. 279 Rückkopplungen. 282 Erweiterung auf Systeme mit mehreren Eingängen und Ausgängen. 290

Homotopieverfahren. 5.1. Vorbemerkungen. 5.2. Die Grundidee der Homotopieverfahren. 5.3. Der offene Regelkreis. 5.4. Der geschlossene Regelkreis. 5.5. Stabilität des geschlossenen Regelkreises. 5.6. Synthese der Rückkopplung. 5.7. Approximative Synthese der Rückkopplung.

301

6. Das erweiterte Kaiman-Filter.

325

5.

301 301 302 310 313 316 318

6.1. Das kontinuierliche erweiterte Kaiman-Filter. 326 6.1.1. Schätzung von Zuständen stochastisch erregter nichtlinearer Systeme. 326 6.1.2. Schätzung von Zuständen deterministisch erregter nichtlinearer Systeme. 331 6.2. Das diskontinuierliche erweiterte Kaiman-Filter. 337

Kapitel X: Adaptive Systeme. 348 1.

Adaptive Filter. 1.1. Einleitung. 1.2. Das Kriterium des kleinsten mittleren Fehlerquadrats. 1.2.1. Die Normalgleichung. 1.2.2. Eigenschaften der Lösung. 1.3. Die Methode des steüsten Abstiegs. 1.3.1. Die Iteration und ihre Konvergenz. 1.3.2. Zeitkonstanten der Adaption. 1.4. Der Algorithmus des kleinsten mittleren Quadrats (LMS).

1.4.1. Das Verfahren. 1.4.2. Der Restfehler. 1.4.3. Varianten des LMS-Algorithmus. 1.5. Rekursionsalgorithmus der kleinsten Quadrate. 1.6. Prädiktion durch Kreuzglied-Filter. 1.6.1. Der Durbin-Algorithmus. 1.6.2. Realisierung durch Kreuzglieder. 1.6.3. Optimierung der Reflexionskoeffizienten. 1.6.4. Beispiel: Identifikation eines Systems. 1.7. Der LS-Algorithmus für Kreuzglied-Filter. 1.7.1. Lineare Vektorräume für adaptive Filter.

348

348 351 351 353 355 355 357 358 358 360 361 362 366 366 369 372 374 376 377

K

Inhalt

1.7.2. Der Algorithmus. 379 1.8. Adaptive rekursive Filter. 387 2.

Adaptive rückgekoppelte Systeme. 2.1. Adaption von Systemen mit meßbarem Zustand. 2.1.1. Lineare Systeme. 2.1.2. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.4. 2.4.1. 2.4.2. 2.4.3. 2.5.

391

392 393 Nichtlineare Systeme. 399 Adaption von linearen Systemen bei alleiniger Messung des Ausgangssignals. 403 Vorbetrachtung. 403 Der Fall einer SP-Modellstrecke. 406 Regelstrecken mit relativem Grad größer als Eins. 413 Adaptive Beobachter. 421

Vorbereitung. Das Beobachterkonzept. Systeme mit Selbsteinstellung der Regler. Vorbereitungen.

421 426

432 433 Schätzverfahren. 436 Abschließende Bemerkungen. 442 Kombinierte Adaption. 443

Kapitel XI: Chaos. 447 1. Der Satz von Liouvüle. 2.

448

Messung von Chaos. 450 2.1. Korrelationsanalyse. 450 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

452 457 459 Dimension. Fraktale Korrelationsdimension. 462

Lyapunov-Exponenten. Entropie-Dimension.

3. Hamiltonsche Systeme. 463 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.4.

Einiges aus der Mechanik. Die Hamiltonschen Gleichungen. Kanonische Transformationen. Stabilität von Torus-Trajektorien. Die KAM-Theorie. Das Poincare-Birkhoff-Theorem. Periodisch zeitvariant gestörte Hamilton-Systeme. Die Systembeschreibung. Der Mel'nikov-Abstand.

Folgerungen. Duffing-Systeme.

464 464 467 471 471 474 476 477 480 482 483

Inhalt

x

3.4.1. Die Systembeschreibung. 483 3.4.2. Typische Verhaltensformen. 485 3.4.3. Chaotisches Aufbrechen einer Homoklinen. 492 4.

Dssipative Systeme. 4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.1.4. 4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.3. 4.3.1. 4.3.2.

Das

494

Lorenz-System.

494 494 496 498 499 Das Chua-Netzwerk. 504 De Beschreibung des Netzwerks im Zustandsraum. 504 Computer-Simulation. 506 Das Rössler-System. 509 De Systembeschreibung im Zustandsraum. 509 Computer-Simulation. 511

De Systembeschreibung im Zustandsraum. De Gleichgewichtspunkte. Globales Verhalten. Ergebnisse numerischer Experimente.

5. Dskontinuierliche

Systeme. 512 5.1. De logistische Abbildung. 512 5.1.1. Definition des Systems. 512 5.1.2. De Fixpunkte. 514 5.1.3. De Bifurkationskaskade. 515 5.1.4. Chaotisches Verhalten. 520 5.2. De Henon-Abbildung. 520

6. Vom Chaos

Ordnung. 523 Einführung. 523 zur

6.1. 6.2. Das gesteuerte Duffing-System. 6.2.1. Ein nichtlinearer Regler. 6.2.2. Ein linearer Regler. 6.2.3. Computersimulation. 6.3. Zustandsgrößenrückkopplung des Lorenz- und des Chua-Systems. 6.3.1. Rückkopplung des Lorenz-Systems. 6.3.2. Rückkopplung des Chua-Systems. 6.4. Zustandsgrößenrückkopplung der Henon-AbbUdung.

526 526 528 530 530 532 533 537

Kapitel XII: Neuronale Systeme. 538 1. Das Neuron als Grundbaustein. 538 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Ein statisches Neuronenmodell. 539 Das Adaline. 542 Das einschichtige Perzeptron. 544 Ein dynamisches Modell eines Neurons: Das Hopfield-Neuron. 546

a

Inhalt

1.5. 1.6. 1.7.

548 Verallgemeinerte Modelle eines Neurons. 548 Diskontinuierliche Modelle für Neuronen. 550 Ein modifiziertes

Hopfield-Neuron.

2. Neuronale Netzwerke.

552

Das nichtrückgekoppelte mehrschichtige Perzeptron. De Netzwerkstruktur. Der Back-Propagation-Algorithmus. De Approximationsfähigkeit des mehrschichtigen Perzeptrons. Das kontinuierliche Hopfield-Netzwerk. De Netzwerkarchitektur.

553 553 555 558

Anwendungen neuronaler Netzwerke.

574

2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.2.6. 3.

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.6.1. 3.6.2.

558 558 Zustandsdarstellung und Stabilitätsanalyse. 560 Der symmetrische Fall. 561 Der unsymmetrische Fall. 563 Modifikation des neuronalen Hopfield-Netzwerks. 567 Dskontinuierliche neuronale Hopfield-Netzwerke. 572

Klassifikation von Mustern. 574

581 583 Prädiktion. 584 Identifikation nichtlinearer Systeme. 591 Regelungstechnische Anwendung. 592 Vorbemerkung. 592 De Aufgabe. 593 3.6.3. Lösung der Aufgabe mit Hilfe eines neuronalen Netzwerks. 596 3.6.4. Numerische Simulation. 599

Signaldekomposition. Systemmodellierung.

Anhang A: Kurzer Einblick in die Dstributionentheorie. 603 1 De Delta-Funktion. 2 Dstributionentheorie. 3 Einige Anwendungen. 4 Verallgemeinerte Fourier-Transformation.

603

Anhang B: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1 Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit. 2 Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Dchtefunktion.

610

604 607 609

610

612 615 Kovarianz. 3 Erwartungswert, Varianz, 4 Normalverteilung (Gaußsche Verteüung). 616

Anhang C: Einiges aus der linearen Algebra. 617 1 Vorbemerkungen. 617 2 De Jordansche Normalform.

619

xii

Inhalt 2.1. Eigenvektoren und verallgemeinerte Eigenvektoren. 619 2.2. Transformation auf Normalform. 625 2.3. Minimalpolynom. 627 3 Matrix-Funktionen. 629 4 Definite und indefinite Matrizen und quadratische Formen. 630

Anhang D: Einiges aus der Funktionentheorie. 1 Funktionen, Wege und Gebiete. 2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit. 3 Das Integral. 4 Potenzreihenentwicklungen. 5 Rationale Funktionen. 6 Residuensatz.

633

Aufgaben. Kapitel VII. Kapitel VIII. Kapitel IX. Kapitel X. Kapitel XI. Kapitel XII.

640 640 642 645 646 649 651

Lösungen.. Kapitell. Kapitelll. Kapitel III. Kapitel IV. Kapitel V. Kapitel VI.

653 653 657 666 679 682 690 700 706 712 716

Kapitel VII. Kapitel VIII. Kapitel IX. Kapitel X. Kapitel XI. Kapitel XII. Literatur

633 634 634 636 637 638

721 724

(Ergänzung zu Band 1).

728

Stichwortverzeichnis.

734

xiii

VORWORT

Mit dem vorliegenden zweiten Band der Systemtheorie wird die in Band 1 begonnene Darstellung dieses Gebietes für Ingenieure fortgeführt und damit der bisherige Themenbereich wesentlich erweitert. Dabei ist ein besonderes Anliegen, sowohl der in der jüngeren Vergangenheit stattgefundenen schnellen Fortentwicklung der Systemtheorie als auch der Erweiterung des Feldes systemtheoretischer Anwendungen Rechnung zu tragen. In diesem Zusammenhang ist vor allem die gestiegene Bedeutung der Theorie nichtlinearer Systeme zu nennen deren Entwicklung und Anwendungen in erheblichem Maße durch den Computer gefördert wurden. Der Inhalt des vorliegenden Buches ist abgesehen von einigen Anhängen in sechs Kapitel gegliedert, die in Fortsetzung der Kapitelnumerierung in Band 1 von VII bis XII weitergezahlt werden. Kapitel VII, mit dem das Buch beginnt, knüpft unmittelbar an die Thematik des ersten Bandes an Es werden nämlich mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme (von denen letztere als linear betrachtet werden) behandelt, wobei man zahlreiche Analogien zur Theorie der in Band 1 besprochenen eindimensionalen diskontinuierlichen Signale und Systeme finden kann. Praktische Anwendungen dieses Kapitels sind in fast allen Bereichen zu sehen, die im Zusammenhang mit der digitalen Bildverarbeitung stehen. Der Inhalt der nachfolgenden fünf Kapitel läßt sich in zwei Themenbereiche zusammenfassen: in den Bereich der nichtlinearen Systeme im allgemeinen und den der adaptiven Systeme, die spezielle nichtlineare Systeme darstellen. Der erstgenannte Themenbereich umfaßt die Kapitel VIII, IX und XI. Grundlegende Probleme nichtlinearer Systeme wie die Stabilität der Gleichgewichtszustände und spezielle Verhaltensformen wie Grenzzyklen Bifurkationen unterschiedlicher Art, Sprungphänomene und subharmonische Schwingungen sowie Verfahren zur Analyse nichtlinearer Systeme werden im Kapitel VIII behandelt, das insoweit als Basis für ein Studium nichtlinearer Systeme zu betrachten ist. Kapitel IX beschäftigt sich mit dem Entwurf rückgekoppelter nichtlinearer Systeme, wie sie vor allem in der Regelungstechnik von Bedeutung sind, sowie mit der Behandlung von Problemen wie der Zustandsbeobachtung, die mit der Rückkopplung unmittelbar zusammenhängen. Kapitel XI ist der Untersuchung besonderer (seltsamer) Verhaltensformen nichtlinearer Systeme gewidmet, die unter der Bezeichnung Chaos bekannt geworden sind. Der Bereich der adaptiven Systeme wird in den Kapiteln X und XII behandelt, wobei im erstgenannten Kapitel Verfahren vorgestellt werden von denen ein Teil vorzugsweise für Anwendungen in der digitalen Signalverarbeitung, der andere Teil für die Lösung regelungstechnischer Aufgaben entwickelt wurde und die inzwischen als klassisch zu betrachten sind. Das abschließende Kapitel XII ist als Eüifühning in die neuronalen Netzwerke gedacht, die eine spezielle Klasse adaptiver Systeme bilden. De wichtigsten Ergebnisse werden durch Beispiele erläutert und erprobt. In den Anhängen findet der Leser eine kurze Einführung in die Distributionentheorie, einige Grundbegriffe der elementaren Wahrscheüilichkeitsrechnung sowie verschiedene wichtige Grundtatsachen aus der linearen Algebra und der Funktionentheorie. Damit soll ein schneller Zugang zu wichtigen mathematischen Hilfsmitteln ermöglicht werden, die für das Verständnis der Thematik und die praktische Anwendung der Methoden beider Bände nützlich sind. -

-

Vorwort

xiv

Übungsaufgaben

am Ende des hingewiesen werden soll auf die zahlreichen die der des Textes und dazu Buches, geordnet gedacht sind, entsprechend Kapiteleinteilung den Leser zur Mitarbeit zu motivieren. Den Abschluß des Buches bildet eine Sammlung von Lösungsvorschlägen für aUe 213 Aufgaben beider Bände. Auch Band 2 der Systemtheorie hätte in der vorhegenden Form nicht ohne tatkräftige Unterstützung einer Schar von Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern vollendet werden können. In diesem Zusammenhang sei an erster Stelle Herr Dr.-Ing. U. Forster genannt, der den Text außerordentiich kritisch prüfte und an zahlreichen Stellen Korrekturen, Präzisierungen und Verbesserungen einbrachte. Hervorgehoben sei auch, daß Herr Dr.-Ing. K Reif vor allem bei der Behandlung der Homotopieverfahren und des erweiterten Kaiman- FUters in Kapitel IX nützliche Anregungen gegeben und wertvolle Beiträge geliefert hat. Weiterhin sei die sehr wichtige und konstruktive Mitwirkung von Frau S. He sowie der Herren Dipl.-Ing. H. Brandenstein, Dpl.-Ing. S. Günther, Dpl.-Ing. M. Lendl, Dr. F.-L. Luo, Dr.-Ing. H. Roßmanith und Dpl.-Ing. A Zell genannt. Bei den durchgeführten Computersimulationen und der Entwicklung schwieriger graphischer DarsteUungen haben Herr Dpl.-Ing. H. Weglehner und Herr Ing. (grad.) G. Triftshäuser kontinuierlich mitgeholfen. De Übertragung des Manuskripts auf den Computer und die äußere Gestaltung des Buches mittels eines Textverarbeitungssystems und eines Graphiksystems besorgte Frau H. Schädel mit viel Fleiß, Geschicküchkeit und großer Geduld, wobei sie von Frau H. Geisenfelder-Göhl und bei der HersteUung der Bilder von Frau R. Schwarz aktiv unterstützt wurde. Mit viel Sorgfalt fertigte Frau B. Scholz das Stichwortverzeichnis an. Allen genannten Damen und Herren und auch den nichtgenannten Helfern sei an dieser SteUe für das unermüdliche Engagement herzücher Dank ausgesprochen. Dem Lektor vom R. Oldenbourg Verlag, Herrn Dpl.-Ing. E. Krammer, wird für die ausgezeichnete Zusammenarbeit und die verlegerische Betreuung des Vorhabens gedankt. Hinweise sowie konstruktive Kritik und Vorschläge werden vom Verfasser dankbar entge-

Besonders

gengenommen.

Erlangen, Oktober 1997

R. Unbehauen

1

VII

Mehrdimensionale diskontinuierliche

Signale und Systeme

Von einem mehrdimensionalen Signal spricht man, wenn das Signal eine Funktion von mehreren unabhängigen Variablen ist. Beispiele hierfür sind BUdsignale, die von zwei Ortskoordinaten und im Fall eines bewegten Büdes auch noch von der Zeit abhängen, oder geophysikalische Daten, die über ein bestimmtes Zeitintervall von verschiedenen örtüch verteilten Sensoren empfangen werden. Derartige Signale werden meistens ihrer Natur entsprechend

mehrdimensional behandelt und mit Hilfe mehrdimensionaler Systeme verarbeitet. Hierauf wird im folgenden eingegangen, wobei mit Blick auf die Bedeutung für die Signalverarbeitung im wesentlichen nur diskontinuierliche Signale und Systeme betrachtet werden. Es erfolgt eine Bescluänkung auf zweidimensionale Signale und Systeme. De meisten Konzepte, die für den zweidimensionalen Fall beschrieben werden, lassen sich direkt auf höherdimensionale Signale und Systeme übertragen. Es wird sich immer wieder die große Ähnlichkeit zum eindimensionalen Fall zeigen. Man muß jedoch beachten, daß der Übergang vom eindimensionalen zum zweidimensionalen bzw. mehrdimensionalen Fall oft grundsätzlich neue Überlegungen und Verfahrensweisen erfordert. Ein wesentlicher Aspekt in diesem Zusammenhang ist, daß mehrdimensionale Polynome im Gegensatz zu eindimensionalen Polynomen im allgemeinen nicht in Elementarfaktorpolynome zerlegt werden können. (Der Hauptsatz der Algebra ist auf emdimensionale Polynome beschränkt.)

1

Zweidimensionale

Signale

Unter einem zweidimensionalen diskontinuierlichen Signal /, auch zweidimensionale Folge oder zweidimensionales Feld genannt, versteht man eine Funktion in Abhängigkeit eines geordneten Wertepaares (nx, n2), wobei nx und n2 ganzzahlige Werte sind. Man schreibt gelegentüch für eine solche Funktion

/: (nx,n2)

h->

f[nx,n2]

;

(«1(n2)£ZxZ.

De Funktionswerte / [nx, n2 ] können reeU oder komplex sein. In der ingenieurwissenschaftüchen Literatur bezeichnet man mit / [ nx, n2 ] meistens die komplette Funktion. Es ist zweckmäßig, ein zweidimensionales Signal über der voUständigen Menge ZxZ zu definieren, selbst wenn es zunächst nur auf einer Teilmenge spezifiziert ist. In einem solchen Fall erklärt man die Funktionswerte außerhalb der Teilmenge zu NuU. Man kann eine reeüe zweidimensionale Funktion als Stabdiagramm über der (nx, n2 )-Ebene nach Büd 7.1a oder der besseren Anschauung wegen durch Punkte auf einer Fläche über der (nx, n2 )-Ebene im dreidimensionalen Raum geometrisch darsteüen (Büd 7.1b). De Wertepaare (nx,n2) werden dabei durch diskrete Punkte in der (nx, n2 )-Ebene dargesteüt, die Achsen für die Koordinaten /ij und n2 stehen orthogonal zueinander. De beiden unabhängigen ganzzahligen Variablen nx und n2 können unterschiedliche physikalische Bedeutung haben. Sie können eine Ortskoordinate, die Zeit, die Geschwindigkeit etc. bedeuten.

2

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

Bild 7.1:

1.1

Darstellung zweidimensionaler Signale: (a) Stabdiagramm, (b) Fläche

STANDARDSIGNALE

In diesem Abschnitt werden keit sind.

einige Standardsignale eingeführt, die im weiteren von Wichtig-

(a) Die harmonische Exponentielle Dieses zweidimensionale Signal ist durch die Folge

f[nx,n2] := e+ ü2"j) e'""" e'"2"2 cos^n, + u2n2) + j sin^n, + oj2n2) (7.1) =

=

erklärt. Sie hat ähnliche Bedeutung wie die eindimensionale harmonische Exponentielle und kann als Sonderfall der Exponentialfolge a"1 bn* für a e und b eJ"2 betrachtet wer=

=

den.

(b) Die Sprungfunktion Unter der zweidimensionalen Sprungfunktion, auch Einheitssprung genannt, versteht die Folge 1 für n, Z 0 und n2 ^ 0,

*[*H.«a]:-

Man kann

j[rti]s[«2] gezeigt.

Jo

sonst.

(7-2)

mit Hilfe der eindimensionalen Sprungfunktion s[n] in der Form erzeugen. Im Bild 7.2 ist der Verlauf der zweidimensionalen Sprungfunktion

s[nltn2]

n2

Bild 7.2:

man

Graphische Veranschaulichung der zweidimensionalen Sprungfunktion s[n1,n2]. In allen durch einen kleinen Kreis (•) markierten Punkten des ersten Quadranten hat die Funktion den Wert 1, an den übrigen mit einem Punkt (•) gekennzeichneten Stellen den Wert Null

1.2 Weitere spezielle Signale

3

(c) Die Impulsfunktion Die zweidimensionale Impulsfunktion, auch Einheitsimpuls genannt, wird durch die Folge

ö[n,,n2]

:=

1

für n,

0

sonst

=

n2

=

0

,

(7-3>

erklärt. Man kann ö[nx,n2] mit Hilfe der emdimensionalen Impulsfunktion ö[n] als Produkt 2=-K2

v[«i,n2]= £

v2\

v,, n2 -

-

=

0'i.i'0*(o,o)

(7.28)

2.3 Systembeschreibung mittels Differenzengleichung

11

Der Sonderfall ßVl„2 =0, falls (i/,, u2) ^(0.0) gilt, repräsentiert die Klasse der nichtrekursiven (FIR-) Filter. De Form der Dfferenzengleichung nach Gl. (7.28) ist dazu geeignet, den Werty [n,, n2 ] des Ausgangssignals zu berechnen, vorausgesetzt das Eingangssignal und die auf der rechten Seite der Gl. (7.28) auftretenden Werte des Ausgangssignals sind verfügbar. Wenn auf diese Weise alle Werte des Ausgangssignals eines Systems für beliebig vorgegebenes Eingangssignal gewonnen werden können, heißt das System rekursiv berechenbar. Ob ein System rekursiv berechenbar ist oder nicht, hängt wesentlich vom Koeffizientenfeld ßu v von der Lage der Anfangswerte für das Ausgangssignal und der Reihenfolge der Berechnung der Ausgangssignalwerte ab. Des soll im folgenden näher besprochen werden. Zunächst wird die Gl. (7.28) etwas umgeschrieben und zwar in der Form

geschrieben werden.

,

ni

+Ki

£

y[n,,n2]=

Ml ="1

£ Ki =rt\

n2

+K2

S

-Li

ßl =«2

-Ni

ic2 =n2

-1*2

"l -Ml,"2-M2

£ pV -N2

(7.29)

-*2y[*i. Kz]

(*i.«i)*(«l.»i)

Aufgrund dieser Darstellung hegt es nahe, sich über einer (px, p^ )-Ebene das Eingangssignal x [ px, ] und über einer (k, k2 )-Ebene das Ausgangssignal y [/c,, /c2 ] vorzustellen. ,

Es werden die Fensterfunktionen

falls n,-L, % p, ^ und n2-L2 ^ p^ ^

1,

^[>l,M2l

n, +

K,

n2+K2

,

0

sonst

1,

^ «i + Mt falls «, JVX 5 und n2-N2 ^ /c2 n2+M2 aber (icuk2) * (nx,n2),

,

=

(7.30a)

und -

=

W[k,,k2]

=

0

(7.30b)

sonst

Das Fenster Wx [ p,, p^ ] wird nun auf die (px, p^ )-Ebene des Eingangssignals, das Fenster Wy[ic,, k2] auf die («,, /c2)-Ebene des Ausgangssignals gelegt. Dadurch erfolgt in der (p,, p^ )-Ebene die Ausblendung eines Teils des Eingangssignals. Nun werden die ausgeblendeten Werte x [ p,, p? ] mit aB] Ml, „2 M2 gewichtet. Sodann wird die Summe der gewichteten Werte des Eingangssignals gebüdet, was der ersten Doppelsumme auf der rechten Seite der Gl. (7.29) entspricht. In analoger Weise läßt sich die zweite Doppelsumme auf der rechten Seite der Gl. (7.29) erzeugen indem man in der (/e,, k2 )-Ebene einen Teil der Werte y [k, k2 ] mit Wy [k, k2 ] ausblendet, mit ßni -*,,«,-«, gewichtet und anschließend die Summe der gewichteten Werte des Ausgangssignals bildet. De Differenz der beiden Doppelsummen liefert schließlich den Wert y[n,,n2]. Des ist im Bild 7.8 schematisch angedeutet. De Größe der beiden Fenster wird durch K,,K2,L,, L2 bzw. MX,M2, Nx, N2 bestimmt; ihre genaue Position hängt von (nx, n2) ab. De Fenster heißen auch Eingangsbzw. Ausgangsmaske. Mit variierenden Wertepaaren (nx, n2) werden die zwei Masken über

eingeführt.

_

,

,

_

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

12

+jUvjy[n1,n2]

Bild 7.8: Zur

Erläuterung der Gl. (7.29)

die beiden Ebenen geschoben und jeweils der beschriebene Rechenprozeß wiederholt. Ziel des Vorgangs ist es, die Gesamtheit aller Werte des Ausgangssignals y [ nt, n2) zu erzeugen. Eine Schwierigkeit entsteht dann, wenn die durch das Fenster Wy[kx, /c2] in der (/c,, /c2)Ebene ausgeblendeten y Werte nicht verfügbar sind. Dabei ist zu beachten, daß y Werte nur entweder als spezifizierte Anfangswerte oder als Resultate vorausgegangener Berechnungen bereitstehen. Dabei spielt offenbar die Reihenfolge für die Wahl der Wertepaare (/i,,«2) zur Berechnung des Ausgangssignals eine entscheidende Rolle. Es kann vorkommen, daß infolge der Beschaffenheit der Ausgangsmaske eine rekursive Berechnung grundsätzlich unmöglich ist. Als einfaches Beispiel für eine Ausgangsmaske sei Wy [kx, tc2 ] nach Gl. (7.30b) mit Mj M2 0 genannt. Bild 7.9 zeigt diese Maske in der (icl, ic2 )-Ebene. Falls die Werte des Ausgangssignals y [icx, ic2] im Bereich, der im Bild 7.9 durch offene Kreise gekennzeichnet ist, gegeben sind, können die Werte vony [«1;n2] berechnet werden, indem man beispielsweise zuerst «! 0, n2 =0,1,2,... und dann n, 1, n2 =0,1,2,... usw. wählt. Dabei wird die Ausgangsmaske Spalte für Spalte von unten nach oben bewegt und alle y -Werte nach und nach berechnet beginnend mit der k2 -Achse -, ohne daß jemals ein unbekannter y -Wert im Fenster erscheint. De y -Werte können auch zeilenweise berechnet werden, indem man n2 0, nx =0,1,2,... und dannn2 = \,nx 0,1,2,... usw. wählt. Das Fenster wird dabei Zeile für Zeile von links nach rechts bewegt, wobei die "Nord-Ost-Ecke" des Fensters zunächst entlang der nichtnegativen ac, -Achse streicht. De y -Werte können auch durch diagonale Bewegung des Fensters berechnet werden. Man kann sich leicht davon überzeugen, daß die Ausgangswerte unabhängig von der Art der Fensterbewegung sind. -

=

-

=

=

=

-

=

=

2.3 Systembeschreibung mittels Differenzengleichung

13

o o o o •.•.

•oooo o o o o

oooo •OOOO •

n2

. •

•.

••••.•.
, e >"2 )X(e M e >"2) =

,

(7.57)

.

Dabei existiert der

formation werden. Wählt

von

man

Frequenzgang wegen der vorausgesetzten Stabilität. Durch RücktransY(z,,z2) oder Y(e)0l,eJ"2) kann das Ausgangssignal y[nl,n2] erhalten

als

Eingangssignal

x[nun2]

=zx

z22

,

wobei das Wertepaar (z,,z2) im Konvergenzgebiet der Übertragungsfunktion liegen möge, und führt dieses Signal in Gl. (7.17) ein, dann erhält man für das Ausgangssignal

E AlMi^l^'^?"'1'

vK,n2]= S Ml

oder mit Gl.

M2

(7.54)

znx'zn22H(z,,z2) Deses Ergebnis besagt, daß Zi'z"2 Eigenfunktionen des Systems sind und die Übertragungsy[n,,n2]

=

.

funktion den zugehörigen Eigenwert repräsentiert. Der Frequenzgang H(e'Ul, e1"2) ist im allgemeinen eine komplexwertige Funktion von cj, und u2. Man kann daher sowohl den Betrag (die Amplitude) als auch den Winkel (die Phase) über einer kartesischen (u,, u2 )-Ebene auftragen und je als Fläche veranschaulichen

(Bild 7.12). Ist die Impulsantwort h[nx,n2] stems eine separierbare Funktion h[n,,n2] dann erhält dukt

man

=

den

eines

h,[n,]h2[n2]

linearen verschiebungsinvarianten und stabilen Sy-

(7.58a)

,

Frequenzgang gemäß

Gl.

H(e'"< ,e'"2) =//1(ej"' )H2(e'U2) der als existent vorausgesetzten Spektren H,

,

(7.54) mit z, e,Ul =

und z2

=

eJ"2 als Pro-

(7.58b)

(eJUl) und H2 (e '"2) von hx [nx ] bzw. h2 [ n2 ].

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

24

(b) Bild 7.12:

Betrag (a) und Phase (b) eines Frequenzgangs

Beispiel 73: Es sei die separierbare Impulsantwort n[nltn2\ mit 0


i.to)- IdetAT I £ I

S ^.[j(^i +"u

I

periodisiert, wobei die Koeffizienten nn, n12, n21, n22 HTM

=

+

«i2^).j{"2 + "ai

+

««^2)]

(7.67)

„2,__

als Elemente der Matrix N

gegeben sind, die durch

2ttE

definiert ist. Man kann in der Darstellung von/„ (f,, r2) gemäß Gl. (7.61) 0,1, + cj2t2 552]f aufgrund obiger Beziehungen durch [cj,, cj2]n cj,«, + cj212 und außerdem dcj1d£32 durch du,dcj2/ I detJlf | ersetzen. Dadurch läßt sich die Integration in Gl. (7.61) über die gesamte (cö,, D2)-Ebene durch eine unendliche Doppelsumme von Integralen über Quadrate der Länge 2tt in der (co,, u2 )-Ebene ersetzen. Hierbei wird wegen der Beziehung =

=

[S,, S, ]T

=

(AT) [w, -'

,

u, ]T

=

± N [co,, co2 ]T

[£3,,cj2]t gegebene Paar von Kreisfrequenzen im Spektrum F0(j£3,, j £32) N[vitv2]r substituiert, wobei (V\,v2) die Menge ZxZ durchläuft und nunmehr

das durch +

durch [cö1,ü2]T cj, und cj2 bloß

tt und tt variieren. Führt man in die Darstellung von /, (r,, t2) noch die Funktion Fp (jcj,, jcj2) aus und berücksichtigt die 27t-Periodizität der Exponentiellen e+ "J"j) bezüghch cj, und u2, so ein Gl. (7.67) gelangt man schließlich zu einer Darstellung von fa(t,,t2) und damit von/[n,,n2] in einer Form gemäß der

zwischen

-

Gl. (7.63). Dabei zeigt sich, daßT^jcj,,\u2) nach Gl. (7.67) im Fall der Bandbegrenzung von/„(r,, t2) und bei passender Wahl der Elemente der Matrix M mit dem Spektrum F(e, ei"2 ) übereinstimmt. Damit kann man das Abtasttheorem in erweiterter Form aussprechen. Durch geeignete Wahl der Matrix N bzw. M kann die Zahl der zur vollständigen Darstellung erforderlichen Abtastwerte pro Fläche minimiert werden. Die oben besprochene Abtastung mit einer Rechteckgeometrie ist durch M

tT, =

U

0

o 7-21> w-1[2TT/T, 2TT/r2J>

0

i

i

IdetJfi-r.r,

gekennzeichnet. Ein weiterer interessanter Fall ist die durch

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

28

7, 7, 72 -72

f

1

tt/7,

tt/7,

Itt/7 -7t/72J

•

Idettf |

=

27,72

charakterisierte Hexagonalabtastung.

3.6 DIE DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION

3.6.1

Definition und

Eigenschaften

wichtiges Hilfsmittel zur praktischen Durchführung der Transformationen zwischen Original- und Spektralbereich ist die diskrete Fourier-Transformation (DFT), die in diesem Abschnitt für zweidimensionale Funktionen vorgestellt werden soll. Es wird ein rechteckig periodisches Signal / [n,, n2] mit der Eigenschaft Ein

/["i.«2J =/["i + N,,n2]

flnl,n2]=f[n1,n2+N2]

und

(7.68a,b)

betrachtet. Das zweidimensionale Intervall D

=

{(/2,,«2);0 ^

n,

1,0 ^

^ N, -

n2

i N2

1}

c

ZxZ

-

(7.69)

heißt Grundperiode von / [ ri,, n2 ]. Es ist nun möglich, die periodische Funktion / [«j, n2 ] in der Form

/[«i,«2]

=

ttV /VlyV2

/V,-l /V2-l

S=0 Z F[m„m2]e

m,

j2„(-+-)

(7.70)

m2=0

mit

_j2Tr(^L ^) "2

W,-1N2-1

F[Wl,m2]

=

+

£=0 £ /[*,,«jle

«!

(7.71)

n2=0

darzustellen. Des sind die Grundgleichungen der diskreten Fourier-Transformation. Die Verknüpfung gemäß den Gin. (7.70) und (7.71) laßt sich dadurch Gl. (7.71) in die Gl. (7.70) einsetzt. Dadurch erhält man

12

»1-1 Ml-'

"I

ßi «0 M2 "°

/»l =0

i

jln"1'"1""'1

">

beweisen, daß man F[ml,m2] gemäß '

l2r,m2("2 "n)

m2 »0

Die innere Summe über m, ist gemäß den Gin. (4.44), (4.45) nur im Fall fa n, von Null verschieden, und gleich N,; ebenso verschwindet die Summe über m2 nur für fa n2 nicht, und sie liefert dann N2. Damit ergibt sich insgesamt tatsächlich / [n,, n2). =

=

zwar

De durch die Gin. (7.70) und (7.71) gegebene diskrete Fourier-Transformation ist in folgendem Sinne zu verstehen: Es werden die NXN2 Zahlen f[nun2] (0 ^ tt, ^ W, -1, 0 g n2 ^ N2 1) in die N,N2 Zahlen F[mum2] (0^m1^N1- 1, 0 ^ m2 ^ N2 1) transformiert und umgekehrt. Insofern spielt die vorausgesetzte Periodizität von f[n,,n2] und die ersichtliche Periodizität von F[mx,m2] keine Rolle. Nur wenn Verschiebungen von f[nltn2] oder F[m,,m2] erfolgen (wie sie vor allem bei Faltungen vorkommen), sollen -

-

29

3.6 Die diskrete Fourier-Transformation

entsprechende Werte aus der betreffenden periodischen Fortsetzung in das Intervall D nach Gl. (7.69) gelangen. Die durch die Gin. (7.70) und (7.71) gegebene Zuordnung sei kurz in der Form

/[«i>«2j

F[mx,m2]

i—

N\, N2

geschrieben; das Zahlenpaar (TV,, N2) kennzeichnet die Ordnung der Transformation. Hat ein Signal f[n,,n2] von Null verschiedene Werte ausschließlich im Intervall D nach Gl. (7.69), dann stimmt sein Spektrum F(e, e '"2) nach Gl. (7.45) an den diskreten Stellen cj, 2nmx/Nx, cj2 2nm2/N2 (0 ^ mx ^ N, 1, 0 ^ m2 ^ N2 1) mit F[mx,m2] nach Gl. (7.71) überein.1) Betrachtet man die Abtastwerte des Spektrums F(e)tJl, e>Ul) für cj, 27t«i, /Nx, cj2 2rr m2 /N2 (0 ^ mx ^ Nx 1, 0 i m2 ^ N2- 1) eines nicht auf das Intervall D begrenzten Signals / [nx, n2 ] als diskrete Fourier-Transformierte F[mx, m2 ], so entspricht dieser nach Gl. (7.70) nicht das Signal f[nx,n2], sondern vielmehr eine Funktion f [nx,n2], die durch Superposition aller Signale /[nx + vxN,, n2 + v2N2] (-°° < vx < °°, < u2 < oo) erzeugt werden kann, wie sich durch eine kurze Rechnung zeigen läßt. De Abweichung von f [nx,n2] gegenüber /[nx,n2] ist also auf den Aliasing-Effekt zurückzu=

=

-

-

=

=

-

oo

-

führen. De DFT besitzt eine Reihe von Eigenschaften die den Grundgleichungen (7.70) und (7.71) direkt entnommen werden können. Hierauf soll nun kurz eingegangen werden.

(a) Linearität Aus

/i[«i.«2]

i—

N\ ,N2

Fx[mx,m2]

,

/2[rti,n2]

i—

N\, N2

F2[mx,m2]

folgt mit beliebigen Konstanten c, und c2 stets i— cxFx[mx,m2]+c2F2[mx,m2]. Ci/i["i,«2] +c2/2["i.W2j NUN2 (b) Verschiebung Aus

f[nx,n2]

F[mx,m2]

,—

m\k\

f[nx-kx,n2-k2]

r—

e

m2k2 "2

Ni,N2

F[mx,m2]

(7.72)

und «1*1

e

«2*2

j27T(—- + —-) "2

f[nx,n2]

F[mx kx, m2 k2]. -

r—

NUN2

(7.73)

-

(c) Faltungssatz Aus

fx[nx,n2]

i—

F,[m1,/n2]

,

/2[n,,n2]

i—

F2[m,,m2]

folgt 1) Man beachte, daß das Symbol F zur Bezeichnung von zwei verschiedenen Funktionen verwendet wird. Diese Vereinfachungsmaßnahme dürfte jedoch kaum zu Verwechslungen führen.

30

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme Ni -1 N2-l

£ £ /l lVl>V2 ]/2 [«1-^,12

I-

F1[/M1>Wl2]JF2['«l.'W2]

(7.74)

und

/i[«i."2]/2[ni.n2]

-1

j

h—

n2 -1

£ £ /MMi./^j^"!,-Mi,^-/^]. (7.75)

^t-tt-

Aus der Korrespondenz (7.75) kann in der üblichen Weise ein Parsevalsches Theorem abgeleitet werden. Von den weiteren Eigenschaften der DFT seien noch die folgenden Korres-

pondenzen genannt. Ist f[nl,n1] reell und F[ml,m2] die zugehörige diskrete Fourier-Transformierte Ordnung (/V,, /V2), so gilt F* [m„ffl2]

=

F[A^j -m^,N2-m2\

der

.

Aus der Korrespondenz

F[mltm2]

/["i'^] folgt /[«2,"l]

Fl^i,^]

i—

,

f[Nx-nun2]

i—

F[Nl-ml,m2\

,

f[nltN2-n2]

r—

F[m,,iV2-m2]

,

F*[«1(n2]

i—

N\, N2

#1^2/* [""i,^]

Bemerkung: Sollen

•

zwei Signale /, [ n2 ] und f2 [ nx, n2 ] mit Träger {(«j, n2); 0 i nx 0 bzw. 1, I n2 g /Vi1) 1} $ {(«,, /t2); 0 ^ /ij ^ /Virchführung der DFT die Ordnung (N1, N2) hinreichend groß wählen, und zwar

N[l)

-

-

/Vj ä

3.6.2

,

+

/V{2)

-

1 -

,

N2

Z

7V2(1) + 7V2(2)

1

-

.

-

Praktische Durchführung

De Berechnung der diskreten Fourier-Transformierten F[mx, m2 ] eines Signals / [nx, n2 ] kann durch direkte Auswertung der Gl. (7.71) erfolgen. Ebenso ist es möglich, die inverse Transformation durch Auswertung der Gl. (7.70) dmchzuführen. Geht man davon aus, daß die Exponentialfaktoren verfügbar sind, dann benötigt man für die Berechnung von Nl N2 Werten von F[ml, m2 ] genau (Afi Af2)2 Multiplikationen im aUgemeinen komplexer Zahlen und eine ähnliche Anzahl von Additionen. Man kann die Gl. (7.71) auch auf die Form

3.6 Die diskrete Fourier-Transformation

31

Ni-l

F[m1,m2]= £ G[ni,«2]e

'Jit"'"1' *

'

"

(7.76a)

mit rt2fn2

/V -1

G[n„m2]

"2

£=0 /[«„iijle

=

(7.76b)

»2

bringen. Die Gin. (7.76a,b) lassen sich als emdimensionale DFT auffassen, d. h. als

f[n,,n2]

i—

^2

G[n1,m2]

i—

G[num2] (n, fest)

,

F[mltm2] (m2 fest)

.

Damit läßt sich

F[m,,m2] dadurch gewinnen, daß man zunächst der Reihe nach für 1 das Signal f[n,,n2] bezüglich der Variablen n2 eindimensional transformiert. Auf diese Weise entsteht das Feld G[nl,m2]. Jetzt wird diese Folge der Reihe nach für m2 0,1,..., iV2 1 bezüglich der Variablen nx emdimensional transformiert. So entsteht die Funktion F[m,,m2] durch alleinige Anwendung eindimensionaler DFT. Anstelle der Gin. (7.76a,b) kann eine ähnliche Darstellung von F[ mx, m2 ] verwendet werden, bei deren praktischer Auswertung / [«,, n2 ] zunächst für n2 0, 1,..., N2 1 der Transformation bezüglich n, unterworfen wird. In beiden Fällen sind iVfiV, + NjN2 /V, N2 (AT, + N2) Multiplikationen erforderlich. Man kann diesen Aufwand erheblich reduzieren wenn man die erforderlichen DFT mittels FFT durchführt. Gilt N,=N2=N 2S und wendet man bei den eindimensionalen Transformationen die FFT gemäß Kapitel IV an,

«,

=

0,1,..., iV,

-

=

-

=

-

=

=

dann braucht man insgesamt N2s komplexe Multiplikationen. Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, die zweidimensionale DFT aufwandsparend durchzuführen. Dabei wird im einfachsten Fall vorausgesetzt, daß N, und N2 miteinander übereinstimmen und durch 2 teilbar sind. Man kann dann F[m,,m2] mit N,=N2=N als Summe 2tt

F[m,,m2] Foofm,, m2] =

+

F01 [m, ,m2]

e

.271

+

Fw[mum2]c

-j-rrmi

27T

+Fu[m1,m2]e

+m2) "JTr(mi s ^

.

(7.77)

darstellen wobei die Grundfunktionen N/2-1 N/2-1

Foolm,,^]^ £

Kl =0

£=0 /[2i/„2i/2]e

_j^(l/im, N

N/2-1 N/2-1

(7.78a)

,

-i^kyimt N

+

vim,, ,

(7.78b)

K2

N/2-1 N/2-1

F10[m1(m2]:= £

l/2m2)

l/2

F01[m„m2]:= £ E /[2i/„2i/2 +l]e =0 =0 Kl

+

£ /[2i/, + l,2i/2] e

-jiH(l/imi "

+

„2m2) ,

(7.78c)

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

32

N/1-1 N/2-1

Fn[mlym2]:= £

£ f\2vx + 1, 2v2 + 1] e

-j-TT-f."!'»!

+

(7.78d)

in beiden Variablen m, und m2 periodisch mit der Grundperiode ZV/2 sind. Hat man die Basisfunktionen F00, F01, F,0 und Fu, von denen jede in den vier Punkten (m1,m2), (m, + N/2, m2), (m,, m2 + N/2) und (mx + N/2, m2 + N/2) den gleichen Wert hat, für (m,, m2) berechnet, so ergibt sich der Funktionswert für F im Punkt (mx,m2) und zugleich in den Punkten (m, + N/2, m2), (mx, m2 + N/2), (m, + N/2, m2 + N/2) direkt nach Gl. (7.77) durch gewichtete Additionen, wobei zu beachten ist, daß e ~jTT -1 gilt. Damit kann man sich bei der Berechnung von F[mx, m2 ] im wesentlichen auf die Auswertung von vier DFT der Ordnung (N/2, N/2), nämlich der Gin. (7.78a-d) beschränken. Man kann sich leicht davon überzeugen, daß die Berechnung von F an den vier Stellen (/«!, m2), (mx + N/2, m2), (m,,m2 + N/2), (m, + N/2, m2 + N/2) aus den Werten F00, F01, Fio, Fu an der Stelle (mx,m2) durch drei komplexe Multiplikationen und acht komplexe Additionen möglich ist. Diese Berechnung ist insgesamt an (N/2)2 Stellen (m,,m2) auszuführen. Ist N eine Zweierpotenz, dann kann jede der vier Funktionen F00 [m,, m2 ], F01 [m1,m2 ], Fw[mx, m2] und Fn [m,, m2] durch vier Transformationen der Ordnung (/V/4, AT/4) dargestellt werden, und man kann in dieser Weise fortfahren, bis sclüießUch nur noch DFT der Ordnung (2, 2) durchzuführen sind, die keine Multiplikation erfordern. Güt N 2S, dann liegen s Berechnungsstufen vor. In jeder Stufe müssen (N/2)2 Operationen ausgeführt werden, die, wie bereits gesagt, jeweils drei komplexe Multiplikationen und acht komplexe Additionen umfassen. Insgesamt benötigt man so 3(N/2)2s komplexe Multiplikationen und 8(N/2)2s komplexe Additionen. Im FaU der Verwendung der eindimensionalen FFT braucht man N2s komplexe Multiplikationen im Vergleich zu nur (3/4)N2s Multiplikationen hier. Die schnelle Durchführung der DFT kann verschiedentlich modifiziert werden. Gilt beispielsweise Nt b\ und N2 b\ mit blt b2 e M, dann kann die DFT der Ordnung (A7!, N2) auf Transformationen der Ordnung (/3,, b2) zurückgeführt werden. Es ist offenkundig, daß die beschriebenen Verfahren zur schnellen Berechnung der diskreten Fourier-Transformierten nicht nur für die Auswertung der Gl. (7.71) geeignet sind, sondern auch zur Berechnung von / [«,, n2 ] aus F[m,, m2 ] nach Gl. (7.70) verwendet werden können. =

=

=

=

3.7 DAS KOMPLEXE CEPSTRUM

Zusammenhang mit der Behandlung verschiedener systemtheoretischer Probleme (Filterung, Entfaltung, Stabilisierung, Faktorisierung) ist das Konzept des Cepstrums ein nützliIm

ches

Werkzeug (auch im eindimensionalen FaU).

3.7.1

Grundlegende Beziehungen

Es sei f[nltn2] ein zweidimensionales Signal mit der Z-TransformiertenF(zj,z2), die ein bestimmtes Konvergenzgebiet G besitze. Das zweidimensionale (komplexe) Cepstrum von f[nitn2] ist die Funktion f[nx,n2], deren Z-Transformierte mit lnF(z1,z2) überein-

33

3.7 Das komplexe Cepstrum

stimmt.1) Es gilt also

f[nl,n2}

=

1^§§mF{zl,z2)z^VflAzlAz1 (ZTTj )

(7.79)

.

Sicherung der Existenz von f [nl,n2] muß ein Gebiet existieren, in dem \nF(zx,z2) eindeutig und analytisch ist, und die Integration muß dort so geführt werden können, daß der jeweilige Ursprung einmal positiv umlaufen wird und \nF(z1, z2) beim mehrmaligen Durchlaufen periodisch ist. Entsteht ein Signal / [ nx, n2 ] durch Faltung Zur

/["i.«2l =/i["i.n2]**/2["i."2] zweier

Signale fx[nx,n2] und f2[nx,n2] mit den Z-Transformierten F1(z1,z2) F2(Zj,z2) und besitzt f[nx,n2] selbst die Z-Transformierte F(zx,z2), so güt

F(zx,z2)=Fx(zx,z2)F2(zx,z2)

bzw.

(7.80a)

und damit

lnF(z,,z2)

=

lnF1(z1,z2) + InF2(z,,z2)

,

also für die Cepstren

f[nx,n2] =f1[nx,n2]+f2[nx,n2]

(7.80b)

.

Der

Faltung im Originalbereich entspricht also die Addition im Cepstralbereich. Des ist eine wichtige Eigenschaft des Cepstrums. Ein separierbares Signal

f[nx,n2] =f[nx]g[n2] besitzt, wie man zeigen kann, das Cepstrum

f[nx,n2] =f[nx]ö[n2]+g[n2]ö[nx]

,

a

a wobei / [nx ] undg[«2] die eindimensionalen Cepstren von/ [nx] bzw.^[«2] bedeuten. De Z-Transformierte F(zx,z2) eines Signals f[nx,n2] sei auf \zx | |z2 | =1 analytisch und von Null verschieden. Dann kann für das Cepstrum =

2TT

f[nx,n2}

=

27T

-^T f /lnF(ei''\ejUl)ej('""l

Uj"j)dcJldÜ2

(7.81)

lnF(eJ"', eJ"2)

eine in ux und cj2 doppelperiodische stetige Funktion ist. Letzteres ist gegeben, wenn die sogenannte entrollte ("unwrapped") Phase von F(eJUl, e '"2) eine in cjx w2 doppelperiodische stetige Funktion ist.

geschrieben werden,

sofern

+

,

Der Begriff der entrollten Phase soll für den eindimensionalen Fall erläutert werden. Eine Übertragung auf den zweidimensionalen Fall ist naheliegend. Es sei /r(e'") =A (c^e'*1"' das als stetige, endliche und nirgends verschwindende Funktion angenommene Spektrum eines reellen diskontinuierlichen Signals /[«]. Mit $(0) 0 soll ^(cj) zunächst als eine in cj stetige Funktion verstanden werden. Schränkt man den Wertebereich =

von

1)

Das eindimensionale

Cepstrum wird ganz entsprechend definiert.

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

34

*,(«):= Im{lnF(e'")} auf das Intervall [ tt, tt) ein, das dem Hauptwert der Logarithmusfunktion entspricht, dann treten an den Kreisfrequenzen Phasensprünge auf, bei denen die Ortskurve F(e>°) die negativ reelle Achse der komplexen F -Ebene überschreitet. In diesem Sinne spricht man von der eingerollten Phase des Spektrums. Schränkt man den Wertebereich der Phase nicht ein, dann können die möglichen Phasensprünge beseitigt werden, so daß $(cj) überall stetig wird. Man erreicht dies dadurch, daß man an den Sprungstellen der eingerollten Phase den Zweig der ln-Funktion wechselt, mit der (cj) dargestellt wurde. Die so entstandene Phasenfunktion $(cj) heißt entrollt. Da die entrollte Phase durch die Abbildung des Einheitskreises vermöge F(egeliefert wird, unterscheidet sich der Kurvenverlauf von 4>(u) im cj-Intervall [ 2rr, 4tt) von dem im Intervall [ 0, 2n) nur um eine Konstante 2ttZ mit Z£Z. Dieselbe Differenz tritt zwischen dem Verlauf im Intervall [4rt, 6tt) und dem Intervall [2tt, 4tt) auf usw. Dabei ist Z nach Satz V.4 gleich N P, wobei N die Zahl der Nullstellen und P die Zahl der Pole von F(z) in \z | < 1 bedeutet. Damit kann die entrollte Phase stets in einen 2rr-periodischen stetigen Anteil (u) und einen linearen Anteil Z co gemäß -

-

(cj) %(cj) +Zcj =

zerlegt werden. Praktisch erhält man Z Z27T

=

aus

der

Beziehung

"2+>'2A/2]

N2

zur

'

Approxima-

•

Vi'-" v2-—*

Dabei ist zu beachten, daß der Träger vong [ns, n2 ] unendliche Ausdehnung hat. Eine weitere Möglichkeit zur (exakten) Berechnung des Cepstrums bietet ein Rekursionsalgorithmus, der im folgenden beschrieben wird. Dabei ist vorauszusetzen, daß f[nltn2] ein Mindestphasensignal mit dem ersten Quadranten als Träger ist. Zur Herleitung der Rekursion schreibt man die Gl. (7.82b) in der Form

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

38

F(c>u\z^) d^V"'^"2) d ux

flF(el",,ei'») du-,

-

_

Durch Überführung dieser Beziehung in den Originalbereich erhält man

£

£ f[n\-Vi>ih-Vi\viflv\,V2\ =»i/[ni.«2]

oder, wenn man beachtet, daß / [n,, n2] ein Mindestphasensignal mit dem ersten Quadranten als Träger ist und damit der erste Quadrant auch einen Träger von / [«„, n2 ] darstellt, »I

»2

A

£=0 £=0 /[«i-^i."2-^1 "l/K-^] «i/["i>"2] =

(7-98)

•

i/2

Zieht

man

den Summanden für (vx,

v2)

=

(«,, n2) aus der Summe heraus, so liefert die Gl.

(7.98) /v

/ ["l, «2]

=

1

1

{/[«l."2]-— TtTT^ /lü-üj "l

"2

£ £ /[«l

I/.-0 k2=0

/\

^1,«2-

/K> ^2]}

("i,n)»e(»i,«2)

(m,

(7 99)

0). Entsprechend ergibt sich

# a

/t"'-^]

=

1 1 £ 7rrTnT{^[ni''l2]~ir £ £

a

/[«1

"1,"2 -

~

"2] ^2 / K. "2]}

f..-2) *(»,.»,)

(7100) («2 * 0). Den Wert / [0,0] erhält man mittels des zweidimensionalen Anfangswertsatzes als lim lnF(z1,Z2) /[0,0]= Zi,z2->~

=

ln/[0,0]

.

/\

'

Der Imaginärteil von / [0,0] ist nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2tt bestimmt. Mit Hilfe der Gl. (7.100) lassen sich nun sukzessiv die Werte / [0, n2 ] und mit Hilfe der Gl. (7.99) die Werte / [n,, 0] ermitteln. Anschließend erhält man die Werte von / [n,, n2 ] für n, > 0 und n2 > 0 mittels einer der Formeln (7.99) und (7.100). Außerhalb des ersten Quadranten verschwindet f[nx,n2] identisch. Wenn die Voraussetzung, daß/[n,, n2] ein Mindestphasensignal mit erstem Quadranten als Träger ist, nicht zutrifft, streben die Werte des Cepstrums im Verlauf der Rekursion über alle Grenzen.

3.8

STABILITÄTSANALYSE

Begriff der Stabilität eines Systems eingeführt, und es wurde als Stabilitätskriterium zur Prüfung luv arer, verschiebungsinvarianter Systeme die Forderung der absoluten Summierbarkeit der Impulsantwort gefunden. Da die Anwendung dieses Kriteriums die Kenntnis der Impulsantwort voraussetzt, sollen im folgenden weitere Möglichkeiten zur Stabilitätsprüfung besprochen werden Träger der Impulsantwort h [nx, n2] eines rekursiv berechenbaren Systems ist ein Keügebiet. Im Abschnitt 2.2 wurde gezeigt, wie eine solche Funktion linear in eine andere Funktion abgebildet werden kann, so daß der erste Quadrant Träger der abgebüdeten Funktion ist. Es kann gezeigt werden daß h [nx, n2] absolut summierbar, das betreffende System also stabil Im Abschnitt 2 wurde der

3.8 Stabilitätsanalyse

39

ist, wenn das abgebildete Signal absolut summierbar ist. Die Stabilitätsprüfung eines Filters, dessen Impulsantwort einen keMörrnigen Träger hat, läßt sich also auf die Stabilitätsprüfung eines FUters zurückführen, dessen Impulsantwort den ersten Quadranten als Träger besitzt. Daher sei die Stabilitätsanalyse auf FUter mit einer derartigen Impulsantwort, d. h. auf kausale Füter beschränkt, und es wird eine rationale Übertragungsfunktion vorausgesetzt. De Stabilität eines kausalen Füters wird wesentlich durch die Nullstellen des Nenners nach Gl. (7.56) (mitM1=M2 0) bestimmt. B(z1,z2) der In gewissen Fällen beeinflußt auch noch der Zähler A (z,, z2) die Stabilität. EUminiert man zunächst den Einfluß des Zählers A(zl,z2) von //(z,,z2), indem man sich auf den Sonderfall^ (z,, z2) 1 beschränkt, dann ist ein kausales FUter genau dann stabü, wennB(z,,z2) ^OfüraUePunkte(zuz2) mit |z, | £ 1, \z2 | £ 1 gilt (BUd 7.13).

ÜbertragungsfunktionH(zx,z2)

=

=

1

0 Bild 7.13:

1

Veranschaulichung des Stabilitätskriteriums für zweidimensionale Filter

Diese Tatsache läßt sich folgendermaßen beweisen. Entwickelt tenzreihe nachz,"1 undz2~', d. h. in

man

//(z^Zj) 1/B(z,,z2) =

in eine Po-

M".,«.]*."1*;

"(2,,22)= E E

konvergiert diese überall im Hyperkreisgebiet | Z, | ä 1, | z2 | k 1, insbesondere für | z, | | z2 | 1 absolut, vorausgesetzt 5(z,,z2) ^0 gilt für |z, | § 1, |z2 | 2 l. Hieraus folgt unmittelbar die absolute Summierbarkeit der Impulsantwort h [n,, n2]. Andererseits impliziert die absolute Summierbarkeit von h[nun2] die Konvergenz der Potenzreihe und damit ß ( 2,, z2) ^0 für alle (z,, z2) im Gebiet 12,16 1, | z2 | 2 1. so

=

=

Eine direkte Prüfung dieser Eigenschaft ist schwierig. Im folgenden werden einige MögUchkeiten zur praktischen Stabüitätsprüfung vorgesteUt. Die Beweise sind im Schrifttum zu finden [Hui, Ocl, Shl, St2]. Satz VIL2: Ein zweidimensionales kausales System mit der vorgegebenen Übertragungsfunktion H(zl, z2) l/B (zl, z2) ist genau dann stabü, wenn eines der folgenden äquivalenten Kriterien (a), (b) oder (c) erfüllt ist: =

(a) Shanks-Kriterium (ai) B (zx, z2) ^ 0 (aii) f?(z,,z2) * 0,

,

für aUe z,, z2 mit für alle zx,z2 mit

| z, | ^ 1, | z2 | \zx | 1, |z2 | ^

=

=

1 und 1 ;

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

40

(b) Huang-Kriterium (bi) ß (z,,z2) ^ 0 (bii) ß (a, z2) * 0,

für alle für alle mit | a DeCarlo-Strintzis-Kriterium (ci) ß(z,,z2)#0, für alle (cii) ß(a,z2)^0, für alle (ciii) B (zx, b) * 0 für alle ,

(c)

,

zx, z2 rnit | zx \ Z. 1, | z2 \ 1 und z2 mit | z21 ^ 1 und für ein beliebiges, aber festes =

|^

a

1 ;

zx, z2 mit |zj|=»l, |z2|=lund z2 mit | z21 ^ 1, a beliebig, aber fest mit z, mit | zx | ^ 1, b beliebig, aber fest mit

|a\ \ b\

=

=

1 und 1.

beachte, daß es sich bei den Forderungen (bii), (cü) und (ciii) um eindimensionale Prüfbedingungen handelt. Dabei kann man a 1 und b 1 wählen. De Anwendung der Bedingung (ci) erfordert zu prüfen ob ß(e)IJl, e1"2) für 0 S cjj < 2rr und 0 ^ cj2 < 2tt 1" den nicht verschwindet. Außerdem ist zu beachten, daß alle Betragsbedingungen Man

=

=

Punkt Unendlich umfassen. Man kann die Nullstellen des Polynoms B (zx, e>Ul) bei festem cj2 berechnen. Läßt man w2 das Intervall [0, 2tt) durchlaufen, so bewegen sich die Nullstellen des Polynoms auf bestimmten Ortskurven in der zx -Ebene, wobei w2 als Ortskurvenparameter auftritt. Ebenso kann man die Nullstellen des Polynoms B (e)IJ', z2) für jedes feste ux ermitteln. Läßt man cjx das Intervall [0, 2rr) durchlaufen dann bewegen sich die Nullstellen des Polynoms auf bestimmten Ortskurven in der z2 -Ebene. Auf diese Weise erhält man Wurzelortskurven in der zx -Ebene und in der z2 -Ebene. Wenn keine der Wurzelortskurven in der zx -Ebene und keine der Wurzelortskurven in der z2 -Ebene den Einheitskreis schneidet oder erreicht, ist die Bedingung (ci) erfüllt. De Bedingungen (cii) und (cüi) verlangen, daß die Wurzelortskurven in beiden Ebenen ausschließlich innerhalb des Einheitskreises liegen. Wenn im Rahmen der Prüfung von Bedingung (ci) festgestellt wurde, daß die Wurzelortskurven den Einheitskreis nicht schneiden, genügt es zu prüfen, ob alle Wurzeln der zwei emdimensionalen Polynome B(zx, 1) und ß(l,z2) innerhalb des Einheitskreises liegen. De Bedingungen (bi) und (bü) sind erfüllt, wenn die Wurzelortskurven in beiden Ebenen innerhalb des Einheitskreises verlaufen. Das Kriterium (c) von Satz VII.2 läßt sich unter Verwendung des Satzes vom logarithmischen Residuum (Satz V.4) praktisch anwenden. Dazu werden zunächst die Ortskurven

ß(l,eJtJ2) (0^cj2i

(M= 1,2,..., L)

(7.140)

4.5

59

Stufenform

Bild 7.25: Stufenform für das Signalflußdiagramm

aus

Bild 7.22

verwendet, die noch gemäß

in zwei Teilmatrizen

fi^z und ilßx

»oK.«2l:=

mit qh

+

qv bzw. m

Spalten aufgeteilt werden. Mit

z[nun2]

[X[„1(rt2]

erhält man

wM["i'n2] nMwo["i,"2l nMz*[«i-"2] + IWK.^l =

=

(7.142)

für fi= 1,2,..., L mit

zjn, + 1,«2] z„[nu nj+l] y[«i-"2]

(7.143)

Außerdem gilt

wM["i."2l =-pMi/A1-1[/ii,n2]

•

Für verschiedene Anwendungen (Skalierung, Rauschoptimierung etc.) ist es zweckmäßig, die Knotenvektoren zu transformieren, ohne daß das Übertragungsverhalten des Systems verändert wird. Dies ist möglich mittels nichtsingulärer Matrizen 7"M (/4=0,1,..., L) mit M 0

To

=

0 Er

M 0

und

TL

=

geeigneter Ordnung, wobei Ex Dann erhält

man

als

neue

By

und Ey Einheitsmatrizen der Knotenvektoren

«Vl>i>"2] T^vß[nun2] =

0

Ordnung m bzw. r bedeuten.

(/a=0,1,..., L)

(7.144)

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

60

und als transformierte Chan-Matrizen

Pli=T-1PllTll.1

f> l,2,...,L)

(7.145a)

=

mit der Eigenschaft

»«["i>«2J Es wird

=^m"u-iK>"2J

die Gl. die Matrix Abkürzung nun

(7.137)

(7.145b)

•

für den Fall zh [0,

v2] 0, zv [ux, 0] = =

0 betrachtet und

zur

0

*[«1,«2]

= -

l.«2l

+

*K,n2 U B2

(7.146)

-

eingeführt, wobei mit den Matrizen Bx und Ä2 dem Fall eines Systems mit mehreren Eingängen und Ausgängen Rechnung getragen wird. Damit erhält man mit Gl. (7.142) für

0,n2g

0 "1

w«["i.«2]

=

»2

E E

1/1=0 l/2=0

"i."2 -

^J^K- "2] + ßu*x[«i.«2J (7.147) •

-

Realisierung eines Digitalfüters in Festkomma-Arithmetik ist der Zahlenbereich (Dynamikbereich) auf das Intervall [ -1,1] beschränkt. Daher ist für eine Implementierung eine Skalierung erforderlich, so daß alle Knotensignale den Dynamikbereich nicht verlassen. Dabei wird vorausgesetzt, daß | xK [nx, n2] | 1 für k- 1,..., m güt. An Hand der Gl. (7.147) kann man dann mit |a:k[«i,«2] | 1 den maximalen Betrag jedes Knotensignals abschätzen. Unter Verwendung dieser Schranken können dann mit Hilfe von DiagonalTransformationsmatrizen Tß Skalierungen einfach in der Weise durchgeführt werden, daß Bei der

=

=

die transformierten Knotensignale den Dynamikbereich nicht verlassen. Die Stufenform ermögncht es, lineare, zeitinvariante mehrdimensionale Systeme einschließlich Halbebenenfüter bei beliebiger Anzahl von Eingängen und Ausgängen zu beschreiben. Sie liefert eine übersichtliche DarsteUung bestimmter Strukturmerkmale, z. B. der Parallelität und der Anzahl von Berechnungsstufen, was für Echtzeit-Realisierungen von Bedeutung ist. Es ist mögüch, strukturabhängige Eigenschaften realer Systeme durch geschlossene mathematische Ausdrücke zu erfassen, z. B. das Rundungsrauschen, die Stabilität, die Übersteuerungseffekte und die Empfindlichkeit. Dies spielt für die Realisierung in Festkomma-Arithmetik eine große RoUe. Es ist weiterhin mögüch, Systemeigenschaften durch Skaüerung, durch Strukturtransformation, durch eine Optimierung des Verhaltens bezüglich des Rundungsrauschens etc. mittels Matrixmethoden zu verbessern bzw. verändern. Schließlich sei auf die Mögüchkeit hingewiesen, gängige Zustandsraummethoden anzuwenden, z. B. zur Berechnung von Übergangsmatrizen, Übertragungsfunktionen und Impulsantworten. Die Analyse des realen Systems mit Hilfe der Chan-Matrizen bietet eine mathematisch fundierte Alternative zur häufig angewendeten Methode der Systemsimulation. Insbesondere können auch eindimensionale Digitalfüter in eleganter Weise analysiert werden.

5.1

Entwurf von FIR-Filtern

5

Entwurfskonzepte

5.1

61

ENTWURF VON FIR-FILTERN

Dem Entwurf eines nichtrekursiven (FIR-) Filters liegt in der Regel eine Wunschvorschrift m H0 (e, e1UJ) für den Frequenzgang H(e e>Ul) oder eine Forderung h0 [ n,, n2 ] für die Impulsantwort h [nx,n2] des Systems zugrunde. Dabei wird für das zu entwerfende FIRFilter gewöhnlich ein Trägergebiet in der (nx, n2 )-Ebene spezifiziert. De Vorschrift H0 (e, eJ"2) kann z. B. der Frequenzgang eines idealen Tiefpasses sein. ,

Fensterung Eine häufig benutzte Methode zur Ermittlung eines realisierbaren Frequenzganges oder einer realisierbaren Impulsantwort besteht darin, die gewünschte Impulsantwort h0[nx, n2] oder bei Vorgabe von H0 (e>u', eJ"2) die Rücktransformierte h0 [nx, n2] dieser Frequenzfunktion mit einer Fensterfunktion w[nx,n2] zu multiplizieren und das Produkt der beiden Funktionen als h [ nx, n2 ] bzw. die Fourier-Transformierte des Produkts als H(e>u>, e)"2) zu wählen. Dabei versteht man unter einer Feristerfunktion ein Signal w[nx,n2] mit (in der Regel endlichem) Träger R. De so entstehende Übertragrmgsfunktion kann nach der Korrespondenz (7.51) in der Form

H(zx, z2)

=

-L- f f W(t, e 47T

) H0 (Zl e

" ,

z2 e

"J ^

) d"\e^)-H0(ej"', ej"2) | 4tt

2

du, dc2

(7.149)

_„ _n

eingeführt wird (der Faktor 1/4tt2 Bedeutung), wobei

hat im Hinblick auf

spätere Betrachtungen nur formale

62

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

H(e,u\eiu>)

=

(n,,/>2)eS

die

ftln»,«,]^-*"»"0

(7.150)

nR-Übertragiongsfunktion

mit den gesuchten Koeffizientenh[nltn2] (Impulsantwort) und dem zugehörigen Träger S bedeutet. Die Gin. (7.149) und (7.150) lassen erkennen, daß E2 eine in den Parametern h [nx, n2 ] quadratische Funktion ist. Durch Miriimierung von E2 in bezug auf diese Parameter erhält man eine optimale und zwar im wesentlichen aufgrund der Lösung eines linearen Gleichungssystems. Da angesichts der Gl. (7.53) der mittlere quadratische Fehler mit der Rücktransformierten h0[nx,n2] der Vorschrift H0 (eJUl, e '"2) auch in der Form

Übertragungsfunktion,

£2= EE

|ä[«i,«2]-*oI«i,«2]|2

(n,,n2)£S

+

EE IM"i.«2]|2

(nltn2)iS

(7.151)

ausgedrückt werden kann, sieht man, daß die optimale Lösung in der Wahl h[nr,n2]

=

|/i0[ni,n2] 0

für

(nun2)eS

Üti(nhn2)$S

besteht. Die Einführung des mittleren quadratischen Fehlers nach Gl. (7.149) hat den Vorteü, daß im Rahmen der Minirnierung auch Nebenbedingungen einfach berücksichtigt werden können. Soll die gesuchte Übertragungsfunktion //(e)tJl e'"2) NuUphasen-Eigenschaft erhalten und die Impulsantwort h [nx, n2 ] reell werden, so schreibt man Gl. (7.150) wegen h[nx,n2] h[-nlt -n2] zunächst als ,

=

H(t'u> ,e'"2) =h[0,0] + YlTl^2hlni'n2]cos(u1n1 +u2n2) (n,,n2)e? wobei S Punkten

,

(7.152)

dem Teil des gewünschten Trägers S besteht, für welchen nx > 0 gilt, und den (0,n2) mit n2 > 0 von S. Jetzt wird Gl. (7.152) in Gl. (7.149) emgeführt und die Integration ausgeführt, so daß E2 als ein quadratischer Ausdruck in den unbekannten Parametern /i[0,0] und h[nltn2] ((nltn2)^S) und mit bekannten Koeffizienten erscheint. BUdet man die partiellen Differentialquotienten dieser Darstellung von E2 nach den einzelnen Parametern und setzt sie gleich Null, so erhält man ein lineares algebraisches Gleichungssystem zur Berechnung der unbekannten Parameter. Anstelle des mittleren quadratischen Fehlers kann auch ein anderer Fehler verwendet werden, z. B. Ep, der sich von E2 dadurch unterscheidet, daß in Gl. (7.149) der Exponent 2 durch p e N ersetzt wird. Der Grenzübergang/? -»°° liefert die Tschebyscheff-Norm aus

E„:=

sup

Man kann insbesondere

|//(ej"',e^)

-

H0 (e, ej"2) |

.

(7.153)

Ermittlung des kleinsten Fehlers Em in Abhängigkeit der Parameter ein Iterationsverfahren heranziehen. In der Definitionsgleichung (7.153) ist das Supremum über einem kompakten Gebiet der (cj^ cj2)-Ebene, bei einem frequenzselektiven Filter über dem Durchlaß- und dem Sperrbereich einschließUch der Ränder zu bestimmen. In zur

diesem

kompakten Gebiet kann man in praktisch bedeutsamen Fällen endlich viele (geeignet auszusuchende) Punkte wählen und die Berechnung des Fehlers bezügüch dieser Punkte beschränken. Dadurch läßt sich der Rechenaufwand wesenthch reduzieren.

5.7

63

Entwurf von FIR-Filtem

Kaskadenansatz Im Gegensatz zu eindimensionalen Filtern ist es bei mehrdimensionalen Systemen allgemein nicht möglich, eine Übertragungsfunktion speziell eine FIR-Übertragungsfunktion durch eine Kaskade von elementaren Teilfiltern zu realisieren. Eine Kaskaden-Realisierung läßt sich jedoch erreichen wenn man von vornherein die Übertragungsfunktion des zu ermittelnden Filters als Produkt mehrerer Übertragungsfunktionen ansetzt und die Parameter dieser Teilübertragungsfunktionen nach einem numerischen Verfahren derart ermittelt, daß die Gesamtübertragungsfunktion die geforderten Spezifikationen erfüllt. Die Kaskadenanordnung der Systeme, welche die Teilübertragungsfunktionen realisieren liefert dann eine Verwirklichung der Gesamtübertragungsfunktion die jedoch zu einer eingeschränkten Klasse realisierbarer Übertragungsfunktionen gehört.

Singulänvertzerlegung Möglichkeit, ein FIR-Filter aufgrund einer Vorschrift ha [nx,n2 ] nh" die Impulsantwort zu ermitteln, beruht auf der aus der Algebra bekannten Singulärwertzerlegung (SVD, "singular yalue decomposition") einer Matrix. Hierauf soll im folgenden eingegangen werden. Es wird angenommen daß h0[n,,n2] einen rechteckigen Träger (0 i n, i N, 1; 0 ^ n2 N2 1) der Länge N, und der Breite N2 ^ N, besitzt. De in diesem Träger auftretenden Funktionswerte der Vorschrift für die Impulsantwort werden zu einer Matrix

Eine weitere

-

=

-

(7.154)

H0 =[h0[nun2]]

mit N, Spalten und N2 Zeilen zusammengefaßt, so daß h0 [n,, n2] in der (n, + l)-ten Spalte und (n2 + l)-ten Zeile steht. Der Rang von H0 sei N,. Nun werden die Eigenwerte X,, X2, \Ni der positiv-definiten quadratischen Matrix H0 mit der Anordnung ...,

Ai

=

^2

A/v,

'''

=

=

>

0

sowie hierzu gehörende Eigenvektoren h,, h2,..., hNl ermittelt; letztere müssen so bestimmt werden, daß sie ein Orthonormalsystem büden. Weiterhin werden die Vektoren

mit

II gfj. II

=

=

1

(7.155)

(M= 1,2,..., /V,)

H0K

eingeführt. Damit ist es möglich, die Matrix H0

in der Form

"o=SVX;gM*T

(7.156)

auszudrücken. Ein einzelner Summand in Gl. (7.156) kann als Kaskade eines FIR-Systems und eines FIR-Systems mit der Impulsantwort h^n,] mit der Impulsantwort realisiert werden wobei der Funktionswert von gM[n2] (0 ^ n2 i N2 1) als (n2 + l)-te Komponente des Vektors gM und der von h^n, ] (0 ^ n, ^ Nx 1) durch die («, + l)-te Komponente des Vektors AM gegeben ist, so daß im Einklang mit Gl. (7.156)

^f\^gu.[n2]

-

-

*o[»i,«2]

=

t ^KsMh^n,]

gilt mit h^n,] =gM[«2]

=

0 für

n,

(7.157)

{ { 0,1,..., Nx 1}, n2 $ { 0,1,..., N2 1}. -

-

De

vor-

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

64

geschriebene Impulsantwort wird dann insgesamt durch die Parallelanordnung der genannten Kaskaden nach Bild 7.26 realisiert. Es handelt sich um eine Parallelschaltung von sepa-

rierbaren Einzelfiltern. Besonders interessant wird dieses Verfahren, wenn Summanden in Gl. (7.157) vernachlässigbar sind, etwa solche, die zu vergleichsweise kleinen Eigenwerten

gehören.

Transformation eindimensionaler FIR-Filter Zweidimensionale FIR-Filter können auch durch Transformation emdimensionaler FIRFilter erzeugt werdea Soll ein Nullphasen-FIR-System ermittelt werden, so geht man von einem emdimensionalen Nullphasen-FIR-Füter aus, dessen Impulsantwort h[n] die Eigenschaft

h[n] für alle daß die

=

h* [-n]

man sich auf eine reelle Impulsantwort, dann bedeutet dies, des Übertragungsfunktion emdimensionalen FUters die Form n

eZ hat. Beschränkt

H(e'u)

=

h[0] +/t[l](e-j£J + ei")+/i[2](e-i2u*, e'"2) aus Gl. (7.168), d.h. als das mit (1/4tt2) multiplizierte Integral über das Betragsquadrat der Fehlerfunktion bezüghch des IntervaUs -rr ^ tt, -tt cj2 rr, oder als entsprechende Summe über das Quadrat von Ah [«,, n2] aus Gl. (7.169). Man sieht, daß E2 eine quadratische Funktion der Parameter a[nx,n2] und ß[nx, n2] ist. Büdet man dann sämtüche partieUen Differentialquotienten von E2 nach diesen Parametern und setzt sie gleich Null, dann erhält man ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der optimalen a[nltn2] und ßln\, n2 ]• Des ist zwar eine sehr einfache Vorgehensweise, man muß jedoch beachten, daß sich der Fehler £2 wesentlich vom Fehler £2 unterscheidet: Es ist | B (e, e>Ul) | 2 gewissermaßen als Gewichtsfunktion in F2 nach Gl. (7.172) zusätzlich eingeführt worden. Eine weitere Möghchkeit besteht darin, als Fehler die Norm £2 nach Gl. (7.173) zu verwenden. Der Fehler £2 ist zwar keine quadratische Funktion der Parameter a[nx,n2] und ß[«!, n2 ], da neben B (e1u>, z2

w2

-

=

Uz2

+

z

'"2

7-) z2

speziell die Werte wx läßt sich durch Anwendung der Transformation

so

w

=

=

=

e

y[-l +w, +w2

+

(7.178a,b) =

cos

w, bzw. w2

=

cos

u2

wxw2]

liefern,

(7.179)

Übertragungsfunktion H(z) nach Gl. (7.176) eine zweidimensionale Nullphasenconst im zweidimenÜbertragungsfunktion erhalten. Im BUd 7.28 sind die Kurven aus

der

w

sionalen Intervall -1 ^ wl

1, -1

=

1, das dem Frequenzintervall -rr^

tv2 tt, entspricht, dargesteUt. Andererseits zeigt Büd 7.29 die Abbüdung der Kreise cjj + cj2 r2 (für Werte 0 r tt) aus der (u,, w2 )-Ebene in die (w1, w2 )-Ebene. Hieraus Icarm man Nieder- und Hochfrequenzbereiche in der (w1, w2 )-Ebene deutlich erkennen. Zusammen mit Büd 7.28 kann man den Bezug zum Verhalten des emdimensionalen Referenzfüters hersteUen, was für den Entwurf wichtig ist. Es ist möglich, die Füterstruktur der späteren Realisierung bereits in der Entwurfsphase zu beeinflussen, indem man die Übertragungsfunktion in spezieüer Form ansetzt. In Frage kommen vor aUem die Produktform tt

=

cj2 ^

=

tt

-

=

=

=

=

=

=

5.2 Entwurf von HR-Filtern

Bild 7.28:

Darstellung der Kurven w

71

=

const

Bild 7.29: Bildkurven der Kreise CJ? + ui r2 =

H(zuz2)=K l\HK(zx,z2)

(7.180)

(K const) und die Übertragungsfunktion mit separierbarem Nenner =

n(zuz2)

=

A(z,,z2) Bx(zx)B2{z2)

(7.181)

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

72

ß2(°°) 1). In beiden Fällen wird keinesfalls die Gesamtheit aller zweidimensionalen Übertragungsfunktionen erfaßt. Im Fall der Produktform wählt man gewöhnlich als Teilübertragungsfunktionen =

=

i

e

-

d00 D

=

4)1

«0L2

VII Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme

76 zusammen, so

gilt bei Verwendung der Matrizen

Gix., (~)

Gio(-) Gio Gx

Mi

1

0 beschrieben. Die Hechte benötigen die Karpfen, um zu überleben; denn bei Abwesenheit von Karpfen (z2 0) sterben die Hechte aus, was durch die Differentialgleichung dz,/dt -Az, mit A >0 beschrieben werden kann. Als einfachste von der Anzahl z2 von Karpfen verwendet man bei BerücksichAnzahl Hechten und zwischen der z, Kopplung zwischen den der beiden Tierarten die Differentialgleichungen Räuber-Beute-Beziehung tigung =

=

=

=

dz, dt

dz2

=z,(-i4 + 6,z2),

=

at

z2(ß-b2z,)

—

—-

(b,, b2 > 0), die ein nichtlineares System darstellen. Dadurch wird zum Ausdruck gebracht, daß die Anzahl der Karpfen abnimmt, wenn die Anzahl der Hechte groß ist, und daß die Anzahl der Hechte abnimmt, wenn die Zahl der Karpfen klein ist. Das System hat zwei Gleichgewichtszustände, nämlich die Punkte £ 0 und £ [B/b2 A/bt ]T. Die Jacobi-Matrix des Systems lautet =

=

A

=

i-^+b,z2 b2z2

l

-

woraus zu

senportrait

B

b,z, b2z,

l

I'

-

erkennen ist, daß £ ein Sattelpunkt und z ein Zentrum ist. Bild 8.4 zeigt ein entsprechendes Phades Systems. Für das betrachtete Beispiel sind nur die Trajektorien im ersten Quadranten bedeut-

sam.

Ermittlung der Trajektorien eines nichtlinearen Systems erfordert häufig die Verwendung numerischer Verfahren zur Integration der betreffenden Differentialgleichungen. Oft genügt es, sich nur einen Überblick über den Trajektorienverlauf zu verschaffen. Dazu kann man sich im Fall autonomer Systeme sogenannter Isoldinen bedienen. Unter einer Isokline versteht man eine Kurve, die von Trajektorien stets unter demselben charakteristischen WinDie

1.4

91

Linearisierung

Bild 8.4:

für das RäuberBeute-Problem mit den Gleichgewichtszuständen z undz

Phasenportrait

kel geschnitten wird. Verschiedene IsokJinen unterscheiden sich durch verschiedene charakteristische Winkel. Bezeichnet man die Komponenten des Vektors /(z) auf der rechten Seite der Gl. (8.3) mit/A1(z) (/z= 1,2,..., q), so kann man diese Gleichung in der Form

[dz, dz2

•••

dz,] [/!(*) /, 0 ein ö 0 angegeben werden kann, so daß jede Lösung bil, von Gl. (8.3) mit ^(0, z0) z0 und || z0 ze \\ < ö die e-Umgebung von ze tp( t, z0) für alle t 2 0 nicht verläßt, d. h. ||

0 und

ß

>

0

heißt

exponentieU stabil,

wenn

zwei reelle Konstanten

existieren, so daß

\\z(t)-ze II $a\\z(0)-zt He""1 für alle? >0 und alle z(0) in einer Umgebung

||z(0)-ze ||

ö

gilt. Der Zustandsvektor eines Systems mit einem exponentieU stabilen Gleichgewichtszustand ze konvergiert schneller gegen ze als eine Exponentialfunktion. De Konstante ß heißt Rate der
°°

-» °°

dV/dz den Zeilenvektor mit den Ele-

VIII Nichtlineare Systeme

94

V(z) < 0 für alle z *0 gilt, ist z 0 global asymptotisch stabil. =

Eine Funktion V(z) mit den Eigenschaften (8.29) heißt positiv-definit in G. Wird statt V(z) > 0 nur K(z)§0inG- {0} erfüllt, dann spricht man von einer positiv-semidefiniten Funktion in G. Sinngemäß läßt sich die Eigenschaft der negativen Definitheit und die der negativen Semidefinitheit definieren. Insoweit besagt Satz VIII.6, daß der Ursprung einen stabilen Gleichgewichtszustand darstellt, wenn eine stetig differenzierbare positiv-definite Funktion V(z) in G angegeben werden kann, so daß V(z) in G negativ-semidefinit ist. Eine solche Funktion heißt Lyapunov-Funktion. Ist eine Lyapunov-Funktion derart beschaffen, daß V(z) negativ-definit in G ist, dann steUt der Ursprung einen asymptotisch stabüen

Gleichgewichtszustand dar.

Man kann sich den Mechanismus, der Satz VIII.6 zugrunde hegt, für den Fall q 2 leicht vorsteUen, indem man sich in der Nähe des Ursprungs die sogenannten Lyapunov-Kurven V(z) =c für verschiedene positive Konstanten c =clt c =c2 usw. denkt. Diese stellen bei > 0 eine Schar von ineinander geschachtelten geschlossenen Kurven Wahl von Cj > c2 > dar (BUd 8.5), die sich mit cM -* 0 (/z -»°°) auf den Ursprung zusammenziehen. Die Eigenschaft V( z) ^ 0 längs einer Trajektorie, die zu einem Zeitpunkt t' mit einem Punkt der Lyapunov-Kurve V(z)=c' zusammenfällt, impliziert, daß die betrachtete Trajektorie die Punktmenge {zeR2; K(z)^c'} für flf' niemals verläßt. Falls F(z)2nün-272

gilt, dann ist K( f) in f/ positiv-definit, und nach Satz VIII.8 istz

)-(7.

l)2>0

72

+

=0 instabil.

(iii) Es wird vorausgesetzt, daß mindestens ein Eigenwert \oaA positiven Realteil und mindestens ein Eigenwert verschwindenden Realteil hat. Für alle Eigenwerte p, von A mit Re/)( > 0 gelte 0 < 6 < Rep,. Die Matrix A A ö E mit der Einheitsmatrix E hat als Eigenwerte die um 5 verschobenen Eigenwerte von A jedenfalls keine auf der imaginären Achse. Man kann nun nach dem Vorbild von Schritt (ü) symmetrische positiv-definite Matrizen P,, ß, angeben, die durch die Lyapunov-Gleichung PiJl + J?P, ß, miteinander verknüpft sind. Die Wahl der skalaren Funktion V(() (JPX ?, + tJP2 f2 führt bei der Gin. + 0, RepM < 0, fjb = 2,3,... verwendet. Dann gilt speziell man

-

=

=

ATvx

=

pji/j

oder

=

P\V\

,

und es folgt damit aus der linearisierten Zustandsgieichung df/df =A£ durch Multiplikation mit v T von links und Substitution von v J A durch px v T die Dfferentialgleichung

-^>iT0

*(?i)-*»(?i) 0(|| C, |D

(8.61)

=

für hmreichend kleine || d || d.h. der Approximationsgrad r des Residuums Ä sich auf A und das reduzierte System kann durch ,

^j- =^iti +ft(?i.^(?i))

+

0(ll C, ID1)-

überträgt

(8.62)

beschrieben werden. Dabei ist die Funktion R

(das Residuum) durch Gl. (8.60) definiert. De hier vorgesteUten Approximations- und Reduktionsprinzipien haben Gültigkeit auch für den allgemeinen Fall, daß die Jacobi- Matrix A zusätzüch Eigenwerte mit positivem Realteil hat. Dann kann man mit den Eigenvektoren bzw. verallgemeinerten Eigenvektoren, die zu den Eigenwerten von A mit negativem Realteü gehören, den stabilen invarianten Unterraum Es des linearisierten Systems aufspannen und mit den entsprechenden Vektoren, die zu den Eigenwerten von A mit positivem Realteü gehören, den instabüen invarianten Unterraum Eu des linearisierten Systems. Daneben wird durch die Eigenvektoren bzw. verallgemeinerten Eigenvektoren, die zu den Eigenwerten von A mit verschwindendem Realteil gehören, ein weiterer invarianter Eigenraum Ec, der Zentrumseigenraum aufgespannt. De Eigenräume Es, Eu und Ec tangieren die stabüe Mannigfaltigkeit Ms, die instabile Mannigfaltigkeit Mu bzw. die Zentrumsmannigfaltigkeit Mc des nichtlinearen Systems im betrachteten Gleichgewichtspunkt. Alle drei Mannigfaltigkeiten sind invariant bezüglich der Gl. (8.3). Es wird das System

Beispiel 8.6:

dz,

—:—= z, z,

dt

dz2

——=

,

dt

(8.63a,b) v /

-2, taz

•

(a const) betrachtet. Entsprechend Gl. (8.53) erhält man =

die Eigenwerte p, 0 und p2 -1 direkt abzulesen sind. Wie man weiterhin erkennt, hegt die Darstellung gemäß den Gin. (8.54a,b) bereits vor, d.h. es gilt Q E, f^, z,, (2 z2 und =

=

woraus

=

A, Als

=

0,

A2=-l, »({ „{,)-{,{,,

=

=

ft«i,{a)-«ff.

Eigenräume des linearisierten Systems erhält man Ei

Die Gl.

=

{[?i tiV e R2; s"2

=

°1.

E2

=

{[ 2 ist nicht möghch. Des Uegt vor allem daran, daß eine geschlossene Kurve im R2 den zweidimensionalen Zustandsraum in ein Gebiet innerhalb der Kurve und ein Gebiet außerhalb der Kurve zerlegt. Dese als Jordansches Kurventheorem bekannte Aussage ist eine Besonderheit des R2. BezügUch eines Beweises von Satz VIII.16 sei auf [Hil] verwiesen. Es ist weiterhin zu beachten, daß das Poincare-Bendixson-Theorem die Existenz mindeSatz VIII.16 wird stens eines Grenzzyklus garantiert, jedoch nicht dessen Eindeutigkeit. häufig in der Weise angewendet, daß man eine abgeschlossene Punktmenge in der Phasenebene sucht, so daß aUe Trajektorien, welche die Berandung überschreiten, ins Innere des Gebiets verlaufen. FaUs nun in diesem Gebiet kein Gleichgewichtszustand existiert, muß mindestens ein (stabiler) Grenzzyklus im Gebiet vorhanden sein. ter

°°

-

-

121

3.1 Grundsätzliches Beispiel 8.13: Die Differentialgleichung

U dt J

dt2

beschreibt ein nichtlineares :

z,

=

dt

autonomes

=

0

£ >

,

(8.72)

0

System, das sich mit den Zustandsvariablen

dy

und

y

I

I +y

(8.73)

dt

in der Form

(8.74a,b)

dt

darstellen läßt. Der einzige Gleichgewichtszustand ist der Nullzustand. Das um diesen Nullzustand linearisicrte System besitzt die Systemmatrix 0 A

=

-1

11

e]

mit

cp

+

1

=

0

als charakteristische Gleichung. Da £ ein positiver Parameter ist, stellt der Nullzustand einen instabilen Gleichgewichtszustand dar. Gemäß Gl. (8.28) erhält man aus den Gin. (8.74a,b) für die Isoklinenschar die Gleichung (8.75) (-°° 0. Aufgrund des Poincare-Bendixson-Theorems soll gezeigt werden, daß ein Grenzzyklus existiert. Dazu wird in der Zustandsebene eine geschlossene Kurve C konstruiert, die zusammen mit dem Rand einer hinreichend kleinen Kreisumgebung des Ursprungs ein (positiv) invari-

gegebene

Grenzzyklus auf.

=

=

-

Gebiet bezüglich der Trajektorien der Gin. (8.76a,b) begrenzt (Bild 8.14). Zunächst wird in die Zustandsebene die Kurve eingetragen, auf der dz2 /dt verschwindet; sie Bild der Gleichung

antes

ergibt sich als

VIII Nichtlineare Systeme

122

ß(zi.22):=*2-——57 6(1-2?)

=

(8.77)

0

aus drei Ästen. Auf dem im zweiten Quadranten (z, < 0,z2 > 0) verlaufenden Ast liegen gemäß (8.76a) nur Punkte mit dz, /dt > 0 (d22 /dt 0); d.h. alle Trajektorien, welche diesen Ast schneiden, verlaufen in Richtung zunehmender z, -Werte, also von links nach rechts. Entsprechend wird der im vierten Quadranten verlaufende Ast der Kurve Q{zi,z1) 0 nur von Trajektorien geschnitten, die von rechts nach links

und besteht Gl.

=

=

verlaufen. Nun wird versucht, ein erstes Stück einer Kurve C im Bereich 0 < z, S 1, z2 > 0 zu finden, indem von einem Punkt P, mit 2, 0 und genügend großem z2 a > 0 ausgegangen wird. Im genannten Bereich kann man die durch die Gin. (8.76a,b) gegebene Ableitung dz2 /d2, folgendermaßen abschätzen: =

=

dz2 d2,

=

-2,

+

£(l-2,2)22 £(l-2,2)22 S-

=

22

22

-

—

e(l-2,2).

Daher wird jetzt die Trajektorie des Systems

-il efl-z,2), d2,

d.h.

=

22

=

£(2, -

\z\) 3

+a

(0 1 die Abschätzung 2, "2, + £(1-Z,2)22 dz2 =

d2, durch,

22

22

_

die für 22 ^ 0

pdz,

gültig ist. Damit wird die Trajektorie des Systems d.h. 22

2,2 + 222

=

(fl+^)2+l i

betrachtet, also ein Kreis um den Ursprung durch den Punkt P2. Von diesem Kreis wird der Bogen zwischen P2 und dem Schnittpunkt P} des Kreises mit dem Ast der Kurve ß(z, ,22) 0 im vierten Quadranten als Fortsetzung des Kurvenstücks Pt P2 verwendet. Auf diesem Kurvenast Q (z,, 22) 0 soll nun die weitere Fortsetzung bis zu einem Punkt Pt erfolgen. Dieser wird festgelegt, indem für 2, #0 und 22 < 0 die Abschätzung =

=

dz2 d2,

2,

+

£(l-2,2)(-22)

gemacht und damit Pt

£fL

=

dz,

2,

+

(- 22)

_

"

"Zl

so

+

£(-22) -22

-2,

+

£22

22

gewählt wird, daß die Trajektorie des Systems "2

(8.78)

z2

den Ast der Kurve Q (2,, z2) 0 im vierten Quadranten im Punkt j°4 berührt. Für diesen Punkt erhält man daher die Tangentenbedingung durch Gleichsetzen der Ableitung dz2/dz, aus Gl. (8.77) mit der Ableitung nach Gl. (8.78): =

1-Z,2 +22,2 (1-2,2)2

1 £

Hieraus resultiert, 1

+

wenn man

-2,

+

£22

z2

die rechte

(1- £2)Z,2 +2£22?

Seite, d.h.

£2Z,6

=

c-

z,

/z2 gemäß Gl. (8.77) durch £2,2 ersetzt,

0

-

Berechnung der Abszisse 2, für P,. Die linke Seite dieser Gleichung hat für z, 1 den Wert 2 und wird für genügend große Werte von 2, negativ, weshalb für 2, > 1 eine erste Lösung der obigen Gleichung existiert, welche die gesuchte Abszisse liefert. Auf diese Weise entsteht der Punkt P,, durch den die (zweckmäßigerweise zur

=

3.1 Grundsätzliches

123

numerisch zu ermittelnde) Trajektorie der Gl. (8.78) zu legen ist, bis der Schnittpunkt P5 mit der z2-Achse erreicht ist. Der Kurvenbogen P4P5 wird von Trajektorien des zu untersuchenden Systems geschnitten, und zwar stets vom Äußeren ins Innere der zu bildenten Kurve C. Da die Gin. (8.76a,b) bezüglich des Ursprungs symmetrisch sind, braucht man jetzt die Kurve P1P2P3PtPs nur noch am Ursprung zu spiegeln, um eine geschlossene Kurve PiP2P3PlPsPxPlP3P,P^ zu erhalten. Diese bildet zusammen mit ihrem Inneren einen Bereich B, in den von außen Trajektorien eintreten, ohne daß auch nur eine Trajektorie den Bereich nach außen verläßt. Man beachte, daß die Trajektorien von Gin. (8.76a,b), die das geradlinige Kurvenstück P, P$ kreuzen, von links nach rechts verlaufen. Aus den Gin. (8.76a,b) folgt, daß der Ursprung ein Gleichgewichtszustand ist, und zwar ein instabiler Punkt, da das linearisierte System das charakteristische Polynom p2 zp + 1 besitzt. Man kann also eine genügend kleine Kreisumgebung K {z£R2; || z || 0 für alle Punkte», für die 1 -z2 4z| > 0 undz, ^0 gilt, d.h. innerhalb der Elüpsez,2 +z22/(l/2)2 1 mit Ausnahme der Punkte auf der z2-Achse (z, 0). Außerhalb dieser Ellipse und der z2 -Achse ist V(z) < 0. Darüber hinaus läßt die Zustandsdarstellung erkennen, daß der Ursprung z 0 der einzige Gleichgewichtszustand des Systems ist. Die Punkte auf der Kreislinie z2 +z2 (1/2)2 sind da-

Wie

-

=

=

=

=

durch ausgezeichnet, daß alle Trajektorien, die auf dieser Kurve starten, ins Äußere des Kreises führen. Alle Trajektorien, die auf der Kreislinie z\ +z| =1 beginnen, verlaufen ins Innere des Kreises. Daher muß im Kreisringgebiet {(z,,z2); (0,5)2 5 z,2+z22^ 1}

ein Grenzzyklus existieren. Bild 8.15 zeigt einige Kreise mit K(z) const, die genannte Ellipse und vier durch numerische Integration ermittelte Semiorbits, die sich dem Grenzzyklus asymptotisch nähern. =

Bild 8.15:

Eingrenzung eines Grenzzyklus durch ein Kreisringgebiet

eingeführte Methode der Kontaktkuruen ist gelegentlich nützlich, mögliche Systemen zweiter Ordnung zu lokalisieren. Zu diesem Zweck betrachtet man eine Schar konzentrischer Kreise um einen singulären Punkt der Zustandsebene. Es wird dann in der (z,, z2 )-Ebene der geometrische Ort aller Punkte bestimmt, in denen diese Kreise die Trajektorien des betreffenden Systems tangieren. Deser Ort ist die Kontaktkurve. Die

von

Poincare

Grenzzyklen

von

Es wird davon ausgegangen, daß die Kontaktkurve in einem beschränkten Gebiet der (z1,z2)-Ebene liegt. Falls ein Grenzzyklus existiert, muß er notwendigerweise in einem Ringgebiet mit Mittelpunkt in der gewählten Singularität liegen, dessen Ränder der innerste berührende Kreis mit Radius rmin und der äußerste berührende Kreis mit Radius rmax sind. Man kann eventuell die Grenzzyklen enger lokalisieren, wenn man statt der konzentrischen Kreise andere geeignete geschlossene Kurven verwendet.

3.1 Grundsätzliches

125

Beispiel 8.16: Es wird das System

dz,

—

z,(z,2+z,z2 + z22-l)+z2

=

dz2 ,

-

=

-z1-Zj(zi!+21z2 + z|-l)

—

betrachtet. Da der Nullpunkt singulärer Punkt ist, wird die Kreisschar

z2+z2=p2 gewählt. Aus den Systemgleichungen erhält man die Steigung

dzj_ dz,

aus

_

+z2(z2 + z,z2+z2- 1) z^z'+z^+zl-^-z, z,

der Gleichung für die Kreisschar die Steigung

dzj_ dz, Setzt

man

_

_

z2

beide Steigungen gleich, dann ergibt sich die Kontaktkurve in der Form

z,2 +z,z2 + z22

1

=

0

,

-

man

mit z,2

z,

r cos

nachdem

=

ip

+

z\ gekürzt hat.

,

z2

=

r

Führt man Polarkoordinaten

sin 0 ein 0 existiert, so daß aus || ((f„) || < ö zwangsläufig || ((t) || < c für alle t ^ t0 folgt. FaUs 0fürf^°° güt, spricht man davon, daß der orbital Grenzzyklus asymptotisch stabil ist. Da bei Grenzzyklen künftig nur die soeben eingeführten Stabüitätsbegriffe verwendet werden, wird das näher kennzeichnende Wort "orbital" im folgenden weggelassen. Für einen nicht stabüen Grenzzyklus kann eine stabüe und instabüe Mannigfaltigkeit wie bei einem statischen Gleichgewichtszustand definiert werden. Man kann wie üblich ein System um eine Trajektorie z0 (t) linearisieren und erhält

^=A(tK(t) mit A (f) (df/dz)(z =z0(t)). Wenn die Trajektorie ein Grenzzyklus ist und die Periode F hat, so ist auch>4(f) in t periodisch mit der Periode F. Mit der Übergangsmatrix +(r,f„) nach Kapitel II, für die im voriiegenden Fall #(r + nT,t0 + nT) #(/,f0) für jedes n e N güt, erhält man als Lösung zu den diskreten Zeitpunkten t nT + T (n e N) =

=

=

((nT + T)

=

*(F, 0) ((nT)

oder

((nT)

=

[*(F, 0)]" ((0)

3.3 Stabilität invarianter Mengen

129

den Erörterungen von Kapitel II folgt, ist das linearisierte System genau dann stabil, wenn alle Eigenwerte der Matrix *(r, 0) im abgeschlossenen Einheitskreis liegen wobei auf dem Einheitskreis nur einfache Nullstellen des Minimalpolynoms zugelassen sind. Eine von diesen befindet sich stets im Punkt Eins und entspricht einer Bewegung auf dem Grenzzyklus. Wenn alle übrigen Nullstellen des Minimalpolynoms im Innern des Einheitskreises auftreten dann ist der Grenzzyklus asymptotisch stabil [Co3]. Man kann mit Hilfe des eingeführten Begriffs der Stabilität eines Grenzzyklus die Stabilitätseigenschaften (nichttrivialer) periodischer Lösungen z0(t) der Gl. (8.3) definieren. Demzufolge heißt eine periodische Lösung stabil, wenn der entsprechende Grenzzyklus stabil ist. De periodische Lösung heißt asymptotisch stabil, wenn der entsprechende Grenzzyklus asymptotisch stabil ist.

Wie

3.3

aus

STABILITÄT INVARIANTER MENGEN

Es wird ein autonomes System nach Gl. (8.3) betrachtet, wobei die Funktion /(z) wenigstens in einem Teil D des Zustandsraums R? als stetig differenzierbare Abbildung erklärt sei. Man nennt, wie bereits ausgeführt, eine Menge McD eine invariante Menge des Systems nach Gl. (8.3), wenn für jede Lösung z (t) von Gl. (8.3) mit z (0) £ Af für alle t £ R die Zugehörigkeit z (t) £ M folgt. Das heißt folgendes: Wenn eine Lösung in irgendeinem Zeitpunkt zu M gehört, gehört sie in allen Zeitpunkten zu M. Gelegentlich unterscheidet man noch zwischen positiv und negativ invarianten Mengen M, je nachdem ob aus z (0) £ M die Zugehörigkeit z (f) £ M nur für alle r ^ 0 oder nur für alle t ^ 0 folgt. Wenn zu jedem e > 0 ein t0 > 0 existiert, so daß für eine Lösung z (f) des Systems nach Gl. (8.3) die Abstandsbedingung

d\t(z):=

inf

II

z

g -

II

< £

für alle t>t0

güt, sagt man z (f) nähert sich der Menge M (die nicht notwendig eine invariante Menge zu sein braucht) mit t -»°°. Ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtszustand und ein asymptotisch stabiler Grenzzyklus des Systems nach Gl. (8.3) zeichnen sich dadurch aus, daß jede Lösung z (t), die in genügender Nähe des Gleichgewichtspunktes bzw. Grenzzyklus startet, gegen diesen für t -» strebt. Gleichgewichtspunkte und Grenzzyklen wie überhaupt jede Trajektorie bilden Beispiele für eine invariante Menge. Im Falle der asymptotischen Stabilität ist die betreffende invariante Menge positive Grenzmenge jeder Lösung, die genügend nahe der Grenzmenge startet, wobei aber zu beachten ist, daß im Falle des Grenzzyklus eine solche Lösung nicht °°

gegen einen bestimmten Punkt strebt für t -> °°. Eine Invariantenmenge M des Systems nach Gl. (8.3) nennt man stabil, wenn für jedes > 0 ein 0 existiert, so daß aus z(0) mit dM(z(0)) < ö die Eigenschaft dM(z(t)) < e e für alle t ^ 0 folgt, wobei z (t) Gl. (8.3) löst. De Menge M heißt asymptotisch stabil, wenn sie stabil ist und ein ö > 0 angegeben werden kann, so daß aus z(0) mit dM(z(0)) < ö die Eigenschaft lim dM ( z (t)) 0 folgt. =

t

-. ~

Ist M ein Gleichgewichtspunkt, dann reduzieren sich obige Definitionen auf bekannte Definitionen aus Kapitel II, Abschnitt 3.5.2. Entsprechendes trifft zu, wenn Af ein Grenzzyklus ist (Abschnitt 3.2 des laufenden Kapitels).

VIII Nichtlineare Systeme

130

3.4 POINCARE-SCHNITTE

Von Poincar6 wurde eine Abbildung vorgeschlagen, die im Zustandsraum geometrisch einfach interpretiert werden kann und die es ermöglicht, bestimmte Verhaltensweisen dynamischer Systeme, insbesondere deren Langzeitverhalten anschaulich zu beschreiben. Dies soll im folgenden gezeigt werden.

3.4.1

Anwendung auf Grenzzyklen

Einen interessanten Einblick in das Konzept der Stabilität eines Grenzzyklus bietet die Poincare-Abbildung, bei der das betreffende (kontinuierliche) autonome System q -ter Ordnung durch ein diskontinuierliches System der Ordnung 17-1 ersetzt wird. Um dies im einzelnen zu erläutern, wählt man auf dem interessierenden Grenzzyklus C des entsprechenden durch Gl. (8.3) beschriebenen Systems einen beliebigen Punkt z0 und zusätzlich eine Hyperebene H durch diesen Punkt (Bild 8.18). Von den Komponenten z0fi (p 1,2,..., q) des Vektors z0 faßt man die ersten q -1 zum Vektor f0 zusammen. De Orientierung der Hyperebene// im Zustandsraum wird durch einen Vektor a [ax a2 gekennzeichnet, der zu H orthogonal ist und dessen erste q -1 Komponenten zum Vektor a zusammengefaßt werden. Damit lautet die Beschreibung von H =

•••

=

aT(z-z0)

=

0

mit

z0

=

0 kann stets ein ö2 > 0 angegeben werden, so daß Erkenntnis: folgender

||z[0]-z0 II 3 übertragen. Es wird davon ausgegangen daß im R3 eine Poincar6sche Schnittebene vorliegt mit der Abbildungsvorschrift f„ +1 A (f„) oder in Kom=

ponentenschreibweise CJ/i+l] =*!«-,[«], tili])

t2[«+l] =A2«-i[«].

und

die als diskontinuierliches nichtlineares System gedeutet werden kann. Der A (f * ), d. h. durch die Beziehungen durch f *

Fixpunkt f

*

ist

=

1 und | A21 > 1 ist der Fixpunkt ein Repellor und der Grenzzyklus (abstoßend) instabil.

Bild 8.19:

(a) Entstehung eines Sattelzyklus als Schnitt einer stabilen mit einer instabilen Mannigfaltigkeit; (b) Verhältnisse in der Poincare-Ebene

Sogenannte Sattelzyklen sind durch | A, | < 1, | A21 > 1 oder | Aj | > 1, | A21 < 1 gekennzeichnet. Sie spielen in der Theorie dynamischer Systeme eine besondere Rolle. Dem Sattelzyklus entspricht in der Poincare-Abbildung ein Sattelpunkt. Durch den Sattelzyklus bzw. den Sattelpunkt in der Poincarfe-Abbildung wird der Zustandsraum in besonderer Weise strukturiert. Dabei spielt die stabile und die instabile Mannigfaltigkeit eine herausragende Rolle; unter ersterer versteht man die dem Sattelzyklus bzw. Sattelpunkt zugeordnete Punkt-

136

VIII Nichtlineare Systeme

menge, auf der Trajektorien verlaufen, die mit t -» den Sattelzyklus bzw. Sattelpunkt asymptotisch erreichen; die instabile Mannigfaltigkeit ist die Punktmenge, auf der Trajektorien verlaufen, die mit t -» °° den Sattelzyklus bzw. Sattelpunkt asymptotisch erreichen. Beide Mannigfaltigkeiten bilden Grenzen verschiedener Teile des Zustandsraums. Diese Grenzen bestehen für alle Trajektorien. Trajektorien, die in der unmittelbaren Nähe, aber nicht auf der stabüen Mannigfaltigkeit verlaufen werden sich zunächst auf den Sattelzyklus zu bewegen dann aber abgestoßen wobei die Abstoßung entlang der instabilen Mannigfaltigkeit er°°

-

folgt.

Das Bild 8.19a zeigt die geschilderte Situation in der Nähe eines dreiclimensionalen Sattelzyklus und eines zweidimensionalen Sattelpunktes in der Poincare-Ebene. Der Sattelzyklus entsteht als Schnitt der beiden Mannigfaltigkeiten. Im Bild 8.19b ist der entsprechende Poincar6-Schnitt mit Sattelpunkt f * dargestellt, der als Schnittpunkt von Sattelzyklus und Poincare-Ebene gedeutet werden kann; weiterhin erkennt man die Schnittkurven der stabilen und der instabilen Mannigfaltigkeiten mit der Poincare-Ebene. Sie sind mit Ms * ) und Mu (f*) bezeichnet und heißen stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit des Sattelpunktes 0

gebracht, wobei «0 (LL)

a^ a2(/^)

=

LL2 I -f^- LL3 O (// ) \ -f^LL6 d/j.2 ^T^^+\ af! M2 0(M3),

iL LL + OLL

=

=

j^ dQ ^-^ß f,

gilt.

Eine

+

1

z

a

+

6 a

2

6 etc.

+

2

a /z

+

,

(8.99a)

+

(8.99b)

0(LL2),

(8.99c)

ati

Näherung der rechten Seite von Gl. (8.98) bis zur zweiten Ordnung, d.h. die

ausschließliche Berücksichtigung der

ersten

drei Summanden, liefert unter der Vorausset-

4.2 Bifurkationspunkt mit nur einem Eigenwert auf der imaginären Achse

zung lich

d2g/d tjf t^O durch Nullsetzen eine Approximation für die stationären Punkte, näma, ±

Va2

-

zur

4 a0 a2 -

die

gefundenen Ausdrücke für Ordnung p1/2 berücksichtigt

oder

143

wenn man

und a2 einsetzt und

a0,

Kx ± ^-2p(dg/dp)/(d2g/d(2). (Eine Berücksichtigung nur der ersten zwei Summanden der rechten würde jedenfalls für dg/d p^O keine lokale Lösung ergeben.)

nur

Terme bis

(8.100)

=

Seite

von

Gl.

(8.98)

Sattel-Knoten-Bifurkation. Unter der Voraussetzung (dg/dp)/ (d2g/d f2) < 0 ist nach Gl. (8.100) für p > 0 eine Bifurkation zu erwarten. Angesichts der Form von Gl. (8.100) wird für die stationären Punkte der Reihenansatz

fi

S ßu hW1

=

(8-101)

gemacht, der in die Gl. (8.97) eingeführt wird. Auf diese Weise lassen sich die Koeffizienten ßu ermitteln indem man berücksichtigt, daß nach Einführung des Ansatzes für f, die rechte Seite der Gl. (8.97) Null werden muß. Man erhält auf diese Weise die Gleichung

[ü+y'B^+\^ß2B+^^fh+^'By2 (dp d^dp 0 < es ll (bzw. 0) gibt in einer liinreichend kleinen Umgebung von ll 0 zwei stationäre Punkte nahe G. 0. De stationären Zustände sind für ll ^ 0 hyperbolisch, wobei der obere asymptotisch stabü und der untere instabü ist, falls d2g/d f2 für ll]t 0 für negativ ist. Sofern d2g/d f2 [fx /z]T 0 positiv ist, ist der obere der stationären Punkte instabü, der untere asymptotisch stabü. Deses Ergebnis ist im Schrifttum als Sattel-Knoten-Bifurkationstheorem bekannt. De Sattel-Knoten-Bifurkation wird gelegenthch auch Falte genannt. durch

[71 "

Da diese

'

2 a

a A*

+,

1 2

+

ö/z2 r ^ "+ a^a/z2

2

+

'

Gleichung unabhängig von ll erfüllt sein muß, wird die Bedingung

iL a ll

=

0

gefordert. Trifft man zusätzhch die Voraussetzung

(8.107)

4.2 Bifurkationspunkt mit nur einem Eigenwert auf der imaginären Achse

Ül^O ö Ci2 mit A

>

und

145

A2:=f-|!f-|2-^|^f>0 Kd^dp] cT? dp?

(8.108a,b)

a

0, dann erhält man auf die genannte Weise für den ersten Koeffizienten im Reihen-

ansatz nach

Gl.

(8.105)

-\

(8.109)

-.

Alle auftretenden Ableitungen sind im Punkt p]T 0 zu nehmen. Grundsätzlich lassen sich die weiteren Koeffizienten y2,73 ,... in entsprechender Weise durch Fortführung der Rechnung erhalten. Neben der generellen Voraussetzung nach Gin. (8.96a,b) für die Entstehung einer Bifurkation werden die Voraussetzungen (8.107) und (8.108a,b) getroffen. Damit erhält man nach Gl. (8.105) mit Gl. (8.109) für die stationären Punkte =

_

d2g/(d^dp)±A v w-^ + 0(p2), d2g/dtf

(8.110)

wobei nach wie vor alle Ableitungen im Punkt [fi p]T 0 zu nehmen sind. Mit den Gin. (8.95), (8.98) und (8.99b,c) erhält man in den Gleichgewichtspunkten nach Gl. (8.110) die =+ p A + 0(p2); aus dieser läßt sich die StabiliAbleitung dg/d ^ =a1+2a2f1 + tät der stationären Punkte ablesen wobei das Minuszeichen zu nehmen ist, wenn man in Gl. (8.110) das Pluszeichen wählt, und umgekehrt. De Gl. (8.110) lehrt nun, daß durch den Ursprung im kartesischen p, f, -Koordinatensystem zwei sich schneidende Bifurkationskurven (eine obere und eine untere Kurve) verlaufen, die den Ort der stationären Punkte d in Abhängigkeit von p beschreiben. Gilt d2g/ä < 0, dann erhält man mit dem Pluszeichen in Gl. (8.110) und für hinreichend kleines p > 0 die obere Kurve mit dg/d pL < 0, d.h. ausschließlich asymptotisch stabile Gleichgewichtspunkte und für p < 0 (| p | hinreichend klein) die untere Kurve mit ausschließlich instabilen Gleichgewichtspunkten. Gilt d2g/d > 0, so kehren sich die Aussagen um. De Ergebnisse werden folgendermaßen zusammengefaßt: =

•••

=

-

Ausgegangen wird von einem skalaren System d /dt =g(f1, p). Neben den Voraussetzungen nach Gin. (8.96a,b) werden die Annahmen gemäß Gl. (8.107) und (8.108a,b) getroffen. Dann gibt es zwei Kurven stationärer Punkte in der Umgebung 0. Dese Kurven schneiden sich im Punkt von [f, p]T p]T 0. In einer genükleinen dieser Stelle für 0 zwei es # gend Umgebung gibt jedes p hyperbolische statio=

=

Punkte, von denen der obere asymptotisch stabil und der untere instabil ist, wenn d2g/d f2 < 0 gilt, dagegen ist der obere instabil und der untere asymptotisch stabil, wenn d2g/d f2 > 0 gilt. näre

Gabel-Bifurkation. Im folgenden werden neben den generellen Voraussetzungen für das Auftreten einer Bifurkation gemäß den Gin. (8.96a,b) zusätzlich die Bedingungen

lS_=dlA=Q ^ll_^0 dp d^dp d(2

und

ilA^o dtf

gestellt. Man kann hier die stationären Punkte in der Umgebung von [f, p]T

(8.111a-c) =

0 gemäß Gl.

146

VIII Nichtlineare Systeme

(8.101)

als Reihe ansetzen und erhält bei Beachtung der Bedingungen (8.111a-c) durch Nullsetzen des Koeffizienten bei u?/2 in Gl. (8.102) (der Koeffizient bei /z verschwindet zwangsläufig angesichts der gestellten Bedingung (8.111a))

ßx

-6d1g/(dt1 du) w -\/-* .

=

±

V

8.112a)

,

und damit

0 in der u., G -Ebene, wobei G und /z kartesische Koordinaten bedeuten, eine zur /z-Achse symmetrische Kurve stationärer Punkte. Diese Kurve verläuft durch den NuUpunkt tangential zur G -Achse. Durch Betrachtung der (skalaren) Jacobi-Matrix / := dg/ä^ ai + 2a2G. + 3a3 f2 + im Ursprung erkennt man, daß im Faüe 32g/3G ö/tz > 0 (und damit d3g/3f3 < 0) diese Punkte asymptotisch stabü und im Faüe d2g/d£1du. 0 güt, existiert eine Bifurkationskurve gleicher Art für /z < 0 mit hinreichend kleinem u. (in diesem Falle verwendet man für G eine Reihenentwicklung nach Potenzen von V- u.). Gemäß den Gin. (8.113a,b) gibt es im Faüe d2g/d£l du.^0 eine durch den NuUpunkt des u., G-Koordinatensystems verlaufende Kurve stationärer Punkte. so

=

=

•

•

•

=

-

-

Zusammenfassend kann festgestellt werden: Güt unter der Voraussetzung, daß die Bedingungen (8.96a,b) und (8.111a-c) erfüllt sind, (d2g/aG du.)/ (d3g/dtf) < 0, dann gibt es in der Nähe von G. 0 drei stationäre Punkte für u. > 0, von denen das äußere Paar asymptotisch stabil und der innere Punkt instabü ist, sofern d2g/3G ö/z positiv ist; für u, < 0 existiert in der Nähe von G 0 nur ein stationärer Punkt, der asymptotisch stabil ist, sofern 32g/dG du. positiv ist. Ist ö2g/dG du. negativ, so kehren Güt (ö2g/dG ^u.)/ (33g/öG3) > 0, dann ersich die Stabüitätseigenschaften um. hält man für u. < 0 drei stationäre Punkte in der Nähe von G 0, wobei das äußere Paar (man vergleiche hierzu BUd 8.25) asymptotisch stabil und der innnere Gleichgewichtspunkt instabil ist, sofern d2g/d£läu, negativ ist, während für u. > 0 nur ein sta=

=

-

=

147

4.3 Beispiele

tionärer Punkt nahe £i 0 vorhanden ist, der asymptotisch stabil ist, falls d2g/d(ldp negativ ist. Bei positivem d2g/d(1 dp, kehren sich auch hier die Stabilitätseigenschaf=

ten um.

Die hier beschriebene Erscheinung heißt in der Literatur (Stimm-) Gabel-Bifurkation. Sie heißt superkritisch, wenn das bei der Bifurkation entstehende Paar von Gleichgewichtspunkten stabil ist, andernfalls nennt man die Bifurkation subkritisch.

4.3 BEISPIELE

De im vorausgegangenen Abschnitt behandelten Bifurkationen sollen nun an Hand von vier Beispielen erläutert werden. Bei den ersten drei Beispielen sind die Dfferentialgleichungen bereits in Normalform gegeben so daß sofort eine Bifurkationsanalyse möglich ist. Im vierten Beispiel muß zunächst die Zentramsmannigfaltigkeit berechnet werden und dann kann man erst die Bifurkationsanalyse durchführen. Beispiel 8.18: Das klassische Beispiel einer Sattel-Knoten-Bifurkation wird durch das System erster Ordnung =

tf

"

P-

d.h. für g(({, ß) f2 ß. Für ß 0 sind offensichtlich alle Bedingungen erfüllt, die für das Auftreten einer Bifurkation gemäß den Gin. (8.96a,b) unbedingt zu fordern sind; außerdem 2*0. Damit liegt für 0 zwei stationäre Punkte, die beim Durchlaufen der (p > 0) instabil, der unyU-Achse im Punkt ß 0 "geboren" werden und von denen der obere Punkt tere f, = asymptotisch stabil ist, da d2g/dtf positiv ist; dies läßt sich an Hand der Ableitung dg /d£i =2 0 im Punkt (, = man von auch einer vorhanden ist, Repellor-Attraktor-Bifurkation. spricht Gleichgewichtspunkt mit

0 ist der Ursprung zwar instabil, jedoch tritt ein asymptotisch stabiler periodischer Orbit der Periode 2 auf. Wie man sieht, wird am Bifurkationspunkt ß 0 ein Grenzzyklus geboren. Bild 8.29 dient zur Veranschaulichung; dabei wurde die Abkürzung/ (z,,m):= Zi-3z,2 /z ( z, + z f ) verwendet. =

-

=

=

-

-

155

5 Nichtautonome Systeme

(m=-l/7)

Ii

Zi

T.I.I.T.T.T.T.T.T.T.T.T 11111111

0

.

71

(m=o)

(M=l/4) Bild 8.29:

Veranschaulichung der Lösungen der Gl. (8.125) für /Li

1/7, /Li

=

=

0 und /Li

=

1/4

-

5

Nichtautonome

Systeme

In den vorausgegangenen Abschnitten wurden im wesentlichen autonome Systeme behandelt, die durch Gl. (8.3) beschrieben werden. In der Praxis treten aber auch dynamische Probleme auf, die durch nichtautonome Systeme zu beschrieben sind und gemäß den Gin. (8.1a,b) dargestellt werden können, wobei der Zeitparameter / explizit auf den rechten Seiten dieser Gleichungen auftritt. So kann es beispielsweise erforderlich werden, bei der Beschreibung der Bewegung eines Flugkörpers die Zeitabhängigkeit der Parameter wie Luftdruck und Lufttemperatur in die Systembeschreibung einzubeziehen. Darüber hinaus

156

VIII Nichtlineare Systeme

führt die Analyse der Stabilität einer Trajektorie auch dann auf die Untersuchung eines nichtautonomen Systems, wenn das ursprüngliche System autonom ist (Abschnitt 3.2). Anders als bei autonomen Systemen stellt der Anfangszeitpunkt t0 bei nichtautonomen Systemen einen wesentlichen Parameter dar. De folgenden Abschnitte sind der Frage der Stabilität nichtautonomer Systeme gewidmet. 5.1 GRUNDLEGENDE STABILITÄTSBEGRIFFE Es wird ein nichtautonomes System betrachtet, das durch die Gleichung

(8.126) beschrieben wird. Die rechte Seite/(z, t) sei in der Art beschaffen daß jedenfalls für t ^ t0 mit t0 e R Lösungen der Differentialgleichung in einem gewissen Gebiet GcR' existieren das den Ursprung z 0 enthält. Deser wird im folgenden als Gleichgewichtszustand oder Gleichgewichtspunkt des Systems betrachtet, d.h. es wird die Gültigkeit der Beziehung =

/(0,r)

=

0

für alle

t^t0

(8.127)

vorausgesetzt. Allgemein spricht man von einem Gleichgewichtszustand ze des Systems zum Zeitpunkt f0, wenn /(ze, /) 0 für alle t ^ f0 gilt. Durch Translation des Zustandsraumes =

C kann immer erreicht werden daß der Gleichgewichtszustand in den Ursprung zu kommt. Insofern darf ohne Einschränkung der Allgemeinheit im weiteren voraushegen gesetzt werden, daß sich der interessierende Gleichgewichtszustand im Ursprung des R? befindet. Weiterhin kann durch Translation der Zeitachse stets erreicht werden daß der Anfangszeitpunkt t0 mit dem Zeitnullpunkt zusammenfällt. De Definitionen von Stabilität und asymptotischer Stabilität des Gleichgewichtszustandes eines nichtautonomen Systems unterscheiden sich nur geringfügig von denen bei autonomen

z

=

ze

+

Systemen. Der Gleichgewichtszustand z 0 des Systems nach Gl. (8.126) heißt stabil zum Zeitpunkt f0 im Lyapunovschen Sinne, wenn zu jedem beliebigen e > 0 ein ö ö(c, t0) > 0 angegeben =

=

werden kann,

so

daß

aus

||z(f0)||

0 ein nur von £ abhängiges 0die Ableitung d V (z, t) /d t negativ-definit ist, genauer daß überall in diesem Gebiet mit

dK^'

0

z

||2

(8.144)

gilt. Aus den Ungleichungen (8.143) und (8.144) ergibt sich nun mit Gl. (8.139)

dK(*-0


0 e"'*3'2'2'«'-*») erhält.

Aus dem Beweis von Satz VIII.21 geht die folgende wichtige Aussage hervor: Die skalare Funktion V(z, t) =zTP(t)z mit der beschränkten, differenzierbaren und positiv-definiten symmetrischen Matrix P (t) erfülle die Bedingungen

Ergänzung 1:

k2

||*||aSK(*,f)SiAi II * ||2

und

wobei k^,k2, k3 positive Konstanten seien und d F7dt die Ableitung von V längs der Trajektorien des Systems nach Gl. (8.126) bedeute. De Funktion f(z,t) erfülle die im Satz VIII.21 genannten Voraussetzungea Dann ist der Ursprung z 0 ein exponentieü stabiler Gleichgewichtszustand des im aUgemeinen nichtlinearen Systems nach Gl. (8.126). =

Ergänzung 2: Unter den im Satz VIII.21 genannten Bedingungen ist die Forderung, daß das linearisierte System exponentieü stabü ist, nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig dafür, daß der Ursprung ein exponentieü stabüer Gleichgewichtszustand des nichtlinearen Systems ist. Beweisskizze: Es wird das linearisierte

System in der Form

^ =f(z,t)-h(z,t)=A(t)z mit der Funktion h (z, t) nach Gl. (8.131b) beschrieben, wobei nach Ungleichung (8.132) die Abschätzung II *(z,t) II £ L II z II 2 für alle f ä t0 undz £ {z e R«; || z || 0 kann laut Voraussetzung stets einz„ mit || z„ || < 0 gilt. Da K(z,t) überall in G positiv-definit ist, gilt, solange die Trajektorie z(t) des nichtlinearen Systems innerhalb von G verläuft, für f > f0 entsprechend dem Beweis von Satz V1II.8 mit y > 0 V„( II

z

=

K(z(f),f)

=

V(z0,t0) +

f\%\ „dtf=- K(*o,'o) =

+

7( 0 eine Konstante mit ß(r0, 0) < p, und es sei G0 {z e R?; || z || 0 eine sehr kleine reelle Zahl, M e N und kx eine von c unabhängige Konstante sein soll, so ergibt sich || £(t) -z(t) \\ mit einer von c unabhängigen Konstante k2, d.h. vereinfacht ausgedrückt, die Abweichung der Lösungen voneinander ist von der gleichen Ordnung in e wie die entsprechende Störungsfunktion e (z, t). Das ursprünghche System nach Gl. (8.147) möge nun in z 0 einen gleichmäßig asymptotisch stabüen Gleichgewichtszustand haben. Damit steüt sich zwangsläufig die Frage nach der Stabilität des veränderten Systems. Um den Schwierigkeitsgrad dieses Problems in Gren0 für aüe r f0 gilt. Dies bedeutet, daß der zen zu halten, wird vorausgesetzt, daß e (0, t) einen nur nicht 0 z Ursprung Gleichgewichtszustand des ursprünglichen Systems darstellt, sondern auch einen Fixpunkt des gestörten Systems. Aufgrund von Satz VIII.25 existiert nun, 0 ein exponentieü stabüer Gleichgewichtszustand des urwenn man voraussetzt, daß z nach Gl. (8.147) ist, eine Lyapunov-Funktion V(z,t), welche die Besprünglichen Systems dingungen (8.145a-c) befriedigt. Dabei müssen noch die im Satz Vffl.25 genannten Eigenschaften von f(z,t) vorausgesetzt werden. Vom Schwankungsterm e (z, t) wird angenommen, daß seine Norm durch =

k2cM

=

=

=

=

=

II c(s,0 II -17(011*11

(8-154)

für alle z e G und aUe t t0 abgeschätzt werden kann. Hierbei bedeutet y( f) 0 eine für aUe t ^ f0 stückweise stetige Funktion. Nun wird versucht, die Lyapunov-Funktion V(z, t) des ursprüngüchen Systems auch als solche des veränderten Systems zu verwenden. Dazu muß man die Ableitung von V nach der Zeit entlang der Trajektorien des Systems nach Gl. (8.148) büden, d.h. =

=

dV df

dV

^

dt

dV dz

,.

(W

dV

.

t.

oz

wobei die beiden ersten Summanden auf der rechten Seite die zeitüche Ableitung von V( z, t) längs der Trajektorien des ursprüngüchen Systems darsteüen. Der dritte Term wird von der Systemschwankung verursacht. Aufgrund der Ungleichungen (8.145b,c) und (8.154) läßt sich folgende Abschätzung vornehmen:

dV ^ dt

-fc3 II

z

||2 +£„7(r)ll z ||2.

Nun wird davon ausgegangen, daß die Funktion 7(f) durch

(8.155)

171

5.6 Systemschwankungen

7(0* für alle

t

(8.156)

^ r0 abgeschätzt werden kann. Diese Annahme impliziert gemäß Ungleichung

(8.155)

Damit lassen sich die menfassen.

Ergebnisse

der

bisherigen Überlegungen

im

folgenden

Satz

zusam-

Satz VIII.28: Es sei z 0 ein exponentiell stabüer Gleichgewichtszustand des Systems nach Gl. (8.147), und V(z,t) sei eine zugehörige Lyapunov-Funktion, welche die Bedingungen (8.145a-c) für alle z e G { z e R?: 11 z 11 < r} und alle t ^ f0 erfüllen möge. Das System erfahre eine Änderung, die mit Hilfe der Gl. (8.148) beschrieben werden kann. Dabei soll 0 verschwinden und die Bedingungen (8.154) und (8.156) erfüllen. Dann ist e (z, r) für z 0 auch ein exponentiell stabiler Gleichgewichtszustand des veränderten Systems. Sofern z die Voraussetzungen global erfüllt sind, ist der Ursprung global exponentiell stabil. De Konstanten (fcj, k2), k3 und k4 sind durch Satz VIII.25 erklärt. =

=

=

=

Satz VIII.28 erfordert grundsätzlich nicht die explizite Kenntnis einer Lyapunov-Funktion, welche die Beziehungen (8.145a-c) erfüllt. De Existenz einer solchen Funktion ist gesichert, jedoch läßt sich die Schranke k3/k4 in der Bedingung (8.156) nicht angeben, solange eine Lyapunov-Funktion der genannten Art nicht verfügbar ist. In diesem Fall liefert Satz VIII.28 nur eine qualitative Aussage in dem Sinne, daß exponentielle Stabilität des veränderten Systems für alle Schwankungen e(z, t) garantiert werden kann, welche die Eigenschaft ||e(z,f)|| ^ y0 || z || mit hinreichend kleinem y0 aufweisen. Es sei noch der spezielle Fall eines ursprünglich linearen zeitinvarianten nichterregten Systems betrachtet, das asymptotisch stabil sein soll, d.h. der Fall f(z,t) =Az mit einer Hurwitz-Matrix A. Es gelte nun || e(z,f) || ^ y0 || z || für alle zeR' und f„. Durch Lösung der Lyapunov-Gleichung (8.37) mit einer beliebig wählbaren positiv-definiten symmetrischen q -Matrix Q erhält man die positiv-definite symmetrische q xq -Matrix P, mit deren Hilfe die Lyapunov-Funktion V(z) =zTPz gebildet wird. Für diese gilt nach

De

Anwendung von

Ungleichung (8.43) Pm,n(p) II

z

außerdem wegen Gl. dV dt

=

—-

II2 ^ V(z) i pmax(P) II

z

II2

,

(8.38b) längs der Trajektorien des linearen Systems

dV A dz .

z

=

T_ -zlQz

—

und schließlich

II woraus man

dV/dz

II

=

II 2zTF II ^ 2 II

P

II II •

z

II % 2pmax(P) II

z

II

,

längs der Trajektorien des veränderten Systems mit zTQz ^ pmin (Q) 11

z

112

172

VIII Nichtlineare Systeme W

=

-zTßz +

(«,,)*: -p^(Q)\\z ||2 + 2/;raai(F)7o || z ||2

erhält. Damit ist nach Satz VIII.28 zu erkennen, daß im Falle y0 max(F') kann durch die Wahl von Q beeinflußt werden. Nach Abschnitt 2.4 erhält man den maximalen Wert, wenn Q gleich der Einheitsmatrix gewählt wird. =

6

6.1

Passivität

DIE DEFINITION

Im folgenden soll auf das Konzept der Passivität, das in engem Zusammenhang mit dem Stabilitätsbegriff steht, kurz eingegangen werden. Dabei wird vorausgesetzt, daß das zu untersuchende System mit dem Eingangsvektor x (/) und dem Ausgangsvektor y (t) autonom ist und die gleiche Anzahl von Eingängen und Ausgängen besitzt, also r m gilt. Dann versteht man unter der Augenblicksleistung, die dem System zugeführt wird, die im allgemeinen zeitabhängige Größe zT(t)y(t). Das System nennt man passiv, wenn es eine von unten beschränkte, differenzierbare Funktion V( t) (0 ^ t < °°) und eine für alle t nichtnegative, integrierbare Funktionär) gibt, so daß die Beziehung =

*T(t)y(t) (0 ^

=

^p-+g(t)

(8.157)

°°) für alle Erregungen x(/) besteht. Man kann sich V(t) als die im System mogespeicherte Energie undg(f) ^ 0 als momentane Verlustleistung veranschaulichen (obwohl beide Funktionen kerne direkte physikalische Bedeutung zu haben brauchen). Darüber hinaus heißt ein passives System verlustbehaftet, wenn stets t
0

0

güt, d. h., anschaulich ausgedrückt, wenn die Zufuhr einer von NuU verschiedenen Energie während des Zeitintervalls [0, °°] immer zur Folge hat, daß positive "Energieverluste" auftreten.

Beispiel 8.28: Es wird das im Bild 8.32a gezeigte nichtlineare elektrische Netzwerk mit der Spannungserregung x(l), der Stromstärke y (t) als Ausgangsgröße, dem nichtlinearen Widerstand, dessen Strom-Spannungs-Kennlinie fR(y) im Bild 8.32b definiert ist, und der linearen Induktivität L betrachtet. Nach den

Grundgleichungen der Netzwerktheorie gilt

x(t)=fR(y(t))+LMp-. Multipliziert man diese Gleichung mit y (t) auf beiden Seiten, so erhält man nach kurzer Umformung

6.1 Die Definition

173

(a)

(b)

Bild 8.32: Nichtlineares elektrisches Netzwerk mit Strom-Sparmungs-Kennlinie des Widerstands

xO)y(t)=fK(y(t))y(t) +

±L^±.

Man kann nun V

=

jLy1

und

g

=

/„(y)y

wählen und erkennt

sofort, daß das Netzwerk ein passives System darstellt. Dabei spielt der Verlauf der Strom-Spannungs-Kennlinie nach Bild 8.32b eine entscheidende Rolle, da dieser Verlauf sicherstellt, daß stets g(t)2 0 gilt. Man kann außerdem erkennen, daß das Netzwerk verlustbehaftet ist. Beispiel 8.29: Ein Masse-Feder-Dämpfer-System nach Bild 8.33 wird durch die Zustandsgieichungen

dz, ~dT

dz2

~dT

*i *3 b -z2-z,-z,3 m in m ,

1

+—x,

y=z2

tri

(8.158a-c)

beschrieben. Dabei bedeutet

m die Masse des von der Kraft x in z, -Richtung bewegten Körpers, b z2 die Dämpfungskraft (mit b > 0) und A:,z, fc3z,3 die Federrückstellkraft (mit Ar, > 0 und k} > 0). Die Multiplikation von Gl. (8.158b) mity z2 liefert nach kurzer Umformung -

-

-

Mit

Feder

HWWH Dämpfer

Bild8.33: Nichtlineares Masse-Feder-Dämpfer-System unter dem Einfluß einer äußeren Kraft x(t) und mit der dynamischen Gleichung m z , + b z, + *:, z, + Ar3 z ,3 x =

174

VIII Nichtlineare Systeme V

der im

=

Imz| +^-2? +^-z,4,

System gespeicherten Gesamtenergie, und der Verlustleistung g

=f>z22>0

ist sofort zu erkennen, daß das System passiv und verlustbehaftet ist.

Man kann in der I)efinitionsgleichung (8.157) die rechte Seite zusammenfassen und die Passivität auch folgendermaßen definieren: Ein System wird passiv genannt, wenn es eine Konstante c gibt, so daß die Ungleichung

/xT(T)y(T) är^c

(8.159)

für aüe t ^ 0 und aüe Erregungen x (/) güt. Durch das Verbinden von passiven Systemen lassen sich weitere passive Systeme gen. Dies soü im folgenden Beispiel an Hand der Parallelverbindung gezeigt werden.

erzeu-

Beispiel 8 JO: Zwei passive Systeme mit den Eingangsgrößen x, bzw. x2 (gleicher Komponentenzahl) und den Ausgangsgrößen jr, bzw.y2 seien gemäß Gl. (8.157) durch die Funktionenpaare K, ,g, bzw. V2,g2 charakterisiert. Sie werden wie in Bild 8.34 gezeigt derart miteinander verbunden, daßx =x, =x2 undy =yl + y2 gilt. Für das Gesamtsystem erhält man

xTy

=xT (y^+yi)

xTjr

=

=

x,Tjr, +x2Tj2,

also dV —+g

mit

K=K,

+

K2

und

g=g,+g2

Da

K, und V2 von unten beschränkt sind, trifft dies auch für V Ungleichung g g 0. Daher ist das Gesamtsystem passiv.

zu,

und, da g, 2 0, g2 k 0 gilt, besteht auch die

JA

Id Bild 8.34:

Parallelverbindung von zwei passiven Systemen

6.2 LINEARE SYSTEME

Für lineare, zeitinvariante Systeme läßt sich die Passivität besonders einfach im Frequenzbereich kennzeichnen. Es wird ein lineares, zeitinvariantes und kausales System mit einem Eingang und einem Ausgang betrachtet. Man rtimmt an, daß das System eine rationale, reelle Übertragungsfunktion H(p) aufweist, und es wird die asymptotische Stabilität vorausgesetzt. Im folgenden wird gezeigt, daß ein solches System genau dann passiv ist, wenn

gilt.

Re/Y(ju)S0

für aüe

cj£(-°°,°°)

(8.160)

6.2 Lineare Systeme

175

Beweis: Das System befinde sich zunächst im Ruhezustand und werde vom Zeitpunkt t 0 an mit einem beliebigen Eingangssignal x(t) erregt, dessen Spektrum X(]u) existieren möge. Die dem System von t 0 bis t t, > 0 zugeführte Energie läßt sich mit dem zugehörigen Ausgangssignal y (t) in der Form =

=

=

'i

£(t,)

=

fx(t)y(t)dt fx(t)y(t)dt, -

o

ausdrücken, wobei die im zweiten Integral verwendeten Signale so zu verstehen sind, daßx(t) zwar im Intervall 0 < f < f, mit x (I) übereinstimmt, jedoch nicht nur für f < 0, sondern auch für 12 identisch verschwindet, und y(t) das zu x(t) gehörende Ausgangssignal ist. Mit Hilfe von Gl. (3.63) und der Beziehung H(](j)X( jcj) erhält man

?(jcj)

=

EM

/ff(j«)*(j«)*H«)d«,

-

(8.161)

wobei X(}U) das Spektrum voni"(t) x(t)[s(tl -t) -s(-f)] bedeutet. Da der Imaginärteil von //(jcj) eine ungerade Funktion von cj ist und daher keinen Einfluß auf den Wert des Integrals in Gl. (8.161) hat, ergibt sich jetzt, wenn man t, durch f ersetzt, =

fx(T)y(T)dT ±-fRe[H(jU)]\Xüu)\*du.

(8.162)

=

0

0

Angesichts der Gl. (8.162) ist damit folgendes zu erkennen: Ist die Bedingung (8.160) erfüllt, dann wird auch die Passivitätsforderung nach (8.159) befriedigt. Damit ist gezeigt, daß Ungleichung (8.160) eine hinreichende Bedingung für die Passivität darstellt. Um die Notwendigkeit der Bedingung zu beweisen, wird eine Kreisfrequenz cj0 > 0 angenommen, so daß Rei/(jcj0) negativ wird. Als erregendes Signal soll eine harmonische Zeitfunktion

x(t) Xcosu0t =

mit X > 0

(t>0)

gewählt werden. Zu ihr

gehört das Ausgangssignal

y(t) =y,(t) + Ycos{utt + (p)

(t>0)

mit V > 0, wobei yf (t) den für f -»00 exponentiell nach Null strebenden Anteil der Einschwingvorgänge und der harmonische Summand den stationären Anteil bedeutet. Wegen Re>7(jcj0) < 0 hegt die Nullphase ip im Intervall (7t/2, 3 tt/2). Für die Augenblicksleistung ergibt sich

x(t)y(t) =y/(f)-*coscj0r+ und damit für die

^[cos(2co„t

+