System der Arithmetik und Algebra als Leitfaden für den Unterricht in höheren Schulen [Reprint 2021 ed.] 9783112430781, 9783112430774

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System der

Arithmetik und Algebra als

Leitfaden für den Unterricht in

höheren Zehnten.

Dr. Hermann Schubert, Oberlehrer an der Gelehrtenschule der JohanneumS in Hamburg.

Potsdam, 1885.

Verlag von Aug. Stein.

Alle Rechte vorbehalten.

Seinem früheren Lehrer,

Herrn Professor Dr. Kronrcker, Mitglied der Akademie der Wissenschaften zu Berlin,

ass Seichen der

Dankbarkeit und Verehrung

gewidmet

vom Verfasser.

Vorwort. Die günstige Aufnahme, welche meine „Sannnlung von arith­

metischen

und

algebraischen

Fragen

und

Aufgaben"

bei

den

Mathematikern gefunden hat, darf ich zum nicht' geringen Teil der strengen, aber doch faßlichen Methode zuschreiben, nach welcher

in den die Paragraphen dieser Sammlung einleitenden theoretischen Erörterungen die Begriffe, Zahlarten, Formeln und Lehrsätze der

„Prinzip der

Arithmetik aus dem

systematisch anfgebaut sind.

AnsnahmSlosigkeit"

heraus

Als mir daher von Fachgenossen,

welche diese Art des Aufbaus für die pädagogisch und wissen­ schaftlich beste halten, der Wunsch ausgesprochen wurde, daß der

theoretische Teil meines Buches (ohne Anhang) auch für sich als Leitfaden erscheinen möchte, unternahm ich es gern, behufs Er­ füllung dieses Wunsches, jenen theoretischen Teil verbessernd und

ergänzend durchzuarbeitcn, um daraus ein in sich geschlossenes

Ganze herzustellen.

Das Resultat dieser Bearbeitung ist das

vorliegende „System der Arithmetik," das als Leitfaden für alle

höheren Lehranstalten, namentlich auch für solche, in denen bereits eine besondere Aufgabensannulung benutzt wird, brauchbar sein

dürfte.

Ermutigt durch das Urteil vieler Schul- und Universitäts-

Mathematiker, habe ich die Gesichtspunkte, welche mich bei der Abfassung des theoretischen Teils meiner „Sannnlung" geleitet haben, auch in diesem „Leitfaden" festgehalten, und an einigen

Stelle» sogar noch schärfer zur Geltung zu bringen versucht. Diesen, Streben verdankt z. B. der hier neu hinzngekommene

§ 36 seine Entstehung.

Derselbe enthält einen Überblick über die

VI arithmetischen Operationen und Zahlarten, und dürfte daher in

Prima bei einer erweiternden Repetition der sieben Operationen willkommen sein. Ein Teil dieses Paragraphen, sowie einige andere

Stellen deS BuchcS, sind in eckige Klammern cingcschlossen, nm anzudeuten, daß die auf solche Weise kenntlich gemachten Erörte­

rungen beim ersten Unterricht übergangen werden können.

Überall, wo es mir aus didaktischen Gründen notwendig oder auch nur wünschenswert erschien, habe ich den theoretischen

Anweisungen vorgerechnete Musterbeispiele hinzugefügt. Schließlich fühle ich mich verpflichtet, allen denjenigen Herren Dank zu sagen, welche, teils in Rezensionen, teils in Briefen,

über den Inhalt meiner „Sammlung" eingehend geurteilt haben, da ich ihren Bemerkungen und Vorschlägen einen Teil der Ver­

besserungen und Ergänzungen verdanke, welche dieser Leitfaden gegenüber der „Sammlung" zeigt.

Hamburg, im Januar 1885.

Hermann Schubert.

Inhalts-Verzeichnis. Seite

Erster Abschnitt: Einführungin die arithmetische Sprache

1

§ 1. Die vier Species in arithmetischer Sprache................................ § 2. Reihenfolge der Rechengeschäfte.................................................... § 3. Buchstaben - Ausdrücke................................................................... § 4. Buchstaben - Gleichungen........................ '..................................... Historisches zu Abschnitt I.......................................................................

1 3 G 7 9

Zweiter Abschnitt: Operationen erster Stufe.........................10 § 5. Begriff der Zahl........................................................................... § 6. Begriff der Additton....................... § 7. Begriff der Subtraktion . . . ..................................................... § 8. Gesetze der ersten Stufe............................................................... § 9. Erste Erweiterung des Zahlengcbiets. (Null u. negative Zahlen) Historisches zu Abschnitt II...........................................

10 13 17 20 25 31

Dritter Abschnitt: Operationen zweiter Stufe..................... 32

§ 10. Begriff der Multiplikation........................................................... § 11. Begriff der Division................................................................... § 12. Gesetze der zweiten Stufe........................................................... § 13. Zweite Erweiterung des Zahlcngebicts. (Gebrochene Zahlen) Historisches zu Abschnitt HI...................................................................

32 41 46 53 66

Vierter Abschnitt: Anwendungen der Gesetze der Ope­ rationen erster und zweiter Stufe . . 66

14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Wichtige Verwandlungsformeln............................................... 66 Die kanonische Form der Ausdrücke ....................................... 69 Propottionen.................................................................................. 71 Eigenschaften der natürlichen Zahlen....................................... 77 Zahlsysteme und Zahlzeichen...................................................... 84 Dezimalbrüche.............................................................................. 86 Maße.............................................................................................. 93 Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten in artthmettscher Sprache............................................................... 99 § 22. Eingekleidcte Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten 103 § 23. Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten in attthmettscher Sprache................................................................... 106 § 24. Eingekleidete Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbe-. kannten . ............................................................................... 111 § 25.Arithmetische Reihenerster Ordnung..................................................112 Historisches zu Abschnitt IV ....................................................................... 114 § § § § § § § §

VIII Sette

Fünfter Abschnitt; Quadratisches..................................................115 Das Quadrieren und seine Umkehrung.......................................... 115 Einfache quadratische Gleichungen................................................... 122 Dritte Erweiterung des Zahlengebiets. (Irrationale Zahlen.) Rechnen mit irrationalen Quadratwurzeln..........................129 § 29. Vierte Erweiterung des Zahleugebiets. (Imaginäre Zahlen) . 138 § 30. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten, teilweise mit irrationalen mib imaginären Wurzeln.................................. 144 § 31. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten .... 150 Historisches zu Abschnitt V................................................................................ 154

§ 26. § 27. § 28.

Sechster Abschnitt; Die drei Operationen dritter Stufe § 32. § 33. § 34. §35. § 36.

156

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten................................156 Wurzeln ................................................................................................160 Potenzen mit gebrochenen und irrationalenExponenten... 166 Logarithmen...................................................................................169 Überblick über die arithmetischen Operationen undZahlarten 178

Geometrische Reihen und ihre Anwendung auf die Zinseszinsund Rentenrechnung...........................................................182 Historisches zu Abschnitt VI............................................................................188 § 37.

Siebenter Abschnitt: Kombinatorik, Kettenbrüche, Diophantische Gleichungen........................ 189 § 38. Permutationen....................................................................................... 189 § 39. Kombinationen und Variationen..................................................... 190 § 40. Wahrscheinlichkeitsrechnung.............................................................. 195 § 41. Der binomische und der polynomischeLehrsatz.............................. 201 § 42. Kettenbrüche...........................................................................................204 § 43. Diophantische Gleichungen..................................................................213 Historisches zu Abschnitt VH............................................................................221

Erster Abschnitt. Einführung in die arithmetische Sprache.

8 1. Die vier Species in arithmetischer Sprache. A) Das Zeichen: liest man:

B) Namen der vier Species oder Operationen:

Addition Subtraktion Multiplikation Division

+ gleich Beispiel:

plus

minus

mal

durch.

Die erste Zahl, Die zweite Zahl, Namen des hier 12, heißt: hier 4, heißt: Resultats:

12 + 4 = 10 Summand Summand Summe 12-4 = 8 Minuend Subtrahend Differenz 12 . 4 = 48 Faktor Faktor Produkt Quotient. 12 : 4 = 3 Divisor Dividend

Summand plus Summand gleich Summe. Minuend minus Subtrahend gleich Differenz.

Faktor mal Faktor gleich Produkt. Dividend durch Divisor gleich Quotient.

Addition und Subtraktion heißen Operationen erster Stufe. Multiplikation und Division heißen Operationen zweiter Stufe.

C) Bei jeder Operation findet man aus zwei Zahlen eine dritte. Diese dritte Zahl heißt je nach der Operation Summe, Differenz, Produkt, Quotient; sie kann auf doppelte Weise darge­ stellt werden, entweder aus gerechnet, wie in den obigen vier

Beispielen:

16, 8, 48, 3 oder unausgerechnet, wie:

12 4-4, 12 — 4,

12-4, 12:4.

Unausgerechnet dargestellte Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten nennt man Ausdrücke. Zwei Ausdrücke sind gleich,

wenn sie dieselbe Zahl darstellen, z. B.:

15 — 6 = 3-3, Schubert, Elem.-Mathem. L

20 4- 8 = 56 : 2. 1

§ 1.

2

Die vier Species in arithmetischer Sprache.

D) Jeden arithmetischen Ausdruck kann man auch rückwärts lesen. Dann hat man das Plus- und Mal-Zeichen ebenso zu übersetzen, wie beim Lesen von links nach rechts, also mit „plus" und „mal". Dagegen hat man dann das Minus-Zeichen mit „von" Durch-Zeichen mit „in" zu übersetzen, z. B.: 7 — 4 mit „4 von 7"

72 : 6 mit „6 in 72".

E) Ist eine Zahl nicht gleich einer andern, so ist sie ent­ weder größer oder kleiner. Auch für „größer als" und für „kleiner als" hat man zwei Zeichen, nämlich:

> und b c = d (subt.) a — c > b —d

2)

a = b c > d (subt.) a —c < b — d

a > b c < d (subt.) a — c > b —d

Z)

b c (subt.) b — d < a —c.

6)

Dabei ist natürlich vorausgesetzt, daß c d}‘ [c ---- d4-p}' wo p die Zahl bedeutet, um welche c

größer ist als d. b — d — p.

Durch Subtraktion kommt dann: a — C —

Also ist a — c < b — d, nämlich um p.

25

(Erste Erweiterung des Zahleagediew. ZS.

F) Bei dem Verfahren, nach welchem man im ersten Rechen­

unterrichte die Subtraktton mehrziffriger Zahlen lernt, wendet man die oben in C mit 5) bezeichnete Formel an.

Z. B.:

76 — 24 --- (7 • 10 4- 6) — (2 • 10 4- 4) = (7*10-2.10) + (6—4) = 5 • 10 4- 2 = 52. G) Wie mit Hilfe der Formeln diese- und der vorhergehenden

Paragraphen Buchstaben-Ausdrücke

umgeformt werden können,

zeigen folgende Beispiele:

1) 4a — 3b 4-2a 4- 10b -- (4a4-2a)4-(10b—3b) = 6a4-7b, 2) 9a — (5a4-b) — 9a—5a —b — 4a — b, 3) x — (x—3)4-(x4-7)4-(4 — x) = x —x-|-34-x-+-74-4 —x = 3 + 7 + 4 + 2x —2x ----- 14.

§9.

Erste Erweiterung des Iahleugebiets. (Aull uud negative Zahlen.) Definition: (a — b) 4- b — a, anch wenn a nicht größer al» b ist. I) Definition der Rull: a — a = b — b = O. II) Definition der negative« Zahle«: a — (a4-n) — — n — 0 — n. III) a-t-0 — a, O-t-a — a, a —0 — a. IV) a4- (— n) — a — n, a— (— n) — a 4- n, (— n) — a = -(»+»)• A) AuS der Definition der Subtraktton als der Umkehrung der Addition ergiebt sich, daß a — b, wenn a gleich oder kleiner

als b ist, eine bloße Vereinigung dreier Zeichen ist, welche zwar die Form einer Differenz hat, aber insofern noch sinnlos ist, alS sie keine Zahl im Sinne deS § 5 (kein Ergebnis des Zählens)

darstellt.

Hierin liegt aber noch kein Grund, solche Differenz­

formen auS der Arithmettk zu verbannen; um so weniger, al» die Zulassung derartiger

Differenzformen

Arithmetik wesentlich vereinfacht.

auch wenn a gleich

die

Sprache

der

Wir erklären deshalb,

oder kleiner ist als b, a — b als

eine

Zeichenvereinigung, welche, wenn sie auch keine Zahl darstellt, doch der Definitionsformel der Subtraktion

(a — b) 4- b = a

26

§ 9. Erste Erweiterung des Zahlengebiet«.

gehorchen soll.

Hieraus folgt dann auch, daß die Formeln

des § 8, welche ja einzig und allein auf die Definitionsformel

a — b4-b = a gestützt sind, auch für solche Differenz­ formen gelten, bei denen der Mnuendus gleich oder kleiner als der Subtrahend»« ist. Mit (7 — 9) verspricht man also, daß man für 7 —9 4- 9 die Zahl 7 setzen will. Man setzt deshalb 7 — 9 auch gleich jeder andern Differenzform, von welcher sich bei Anwendung

der Rechengesetze nachweisen läßt, daß sie ebenfalls, mit 9 durch ein Pluszeichen verbunden, die Zahl 7 liefern muß. Z. B. setzt man 7 — 9 gleich 3 — 5, und meint damit nur, daß 3 — 54-9 bei Anwendung der Formeln des § 8 auch die Zahl 7 liefert, nämlich 3 — 54-9 = 94-(3 — 5) = 94-3 — 5 = 12-5=7. Indem wir 7 —9 = 3 — 5

setzen, lernen wir eigentlich einen neuen Gebrauch des Gleich­ heitszeichens kennen. Denn hier sind nicht zwei Zahlen einander gleichgesetzt, sondern nur zwei Zeichenvereinigungen,

aus denen man erst dadurch gleiche Zahlen erhält, daß man erklärt, es soll die Definitionsformel der Subtraktion auf 7 — 9 und 3 — 5 anwendbar sein, und daß man mit Rücksicht hierauf

dann die Zahl 9 auf beiden Seiten addiert. B) Aus den Formeln V des § 8 folgt, daß jede Diffe­ renzform gleich jeder andern gesetzt werden darf, deren Minuend und Subtrahend

um n größer

oder

kleiner ist, als ihr eigener Minuend und Subtrahend.

So darf z. B. gesetzt werden: 7-9 = (7 —4) —(9-4) = 3-5 ober a —(a + 2) = b - (b + 2), 19- 28 = 45 —54 = 5-14 = 1—10 ober a-(a + 9) = b-(b + 9), 20- 20=18—18 = 6 — 6 = 1 — 1 ober a —a = b —b.

Es ist daher zweckmäßig, für die ganze Reihe von Diffe­ renzformen, welche in dieser Weise einander gleichgesetzt werden

dürfen, ein einziges Zeichen einzuführen.

Für a — a setzt man das Zeichen 0 (gelesen: „null"), z.B.: 6 — 6 = 0, 8 — 8 = 0, u. s. w. Da a—(a+n) = b — (b4-n) ist, also alle Differenz­ formen einander gleichgesetzt werden dürfen, bei denen der Subtrahend um die Zahl n größer ist als der Minuend, so ist es

Erste Erweiterung de« Zahlengebiet«. § S.

27

zweckmäßig, für alle solche Differenzformen ein Zeichen zu wählen, aus welchem die genannte Zahl n ersichtlich ist. Man schreibt deshalb für:

a — (a+n) das Zeichen — n (gelesen: „minus n"), Z. B.: 7 — 9 = — 2, 19 — 28 = — 9, u. s. w. Vermindert man mit Rücksicht auf die Formel Vj des § 8 Minuend Md Subtrahend der Differenzform a — (a-|-n) um

a, so ergiebt sich 0 — n. Es tarnt also immer daS Zeichen —n auch gleich der Differenzform 0— n gesetzt werden. C) Da die meisten Gesetze der Arithmetik nicht blos auf Zahlen, sondern auch auf die eben definierten Zeichen 0 Md — n anwendbar sind, so nennt man, der Kürze wegen, auch diese Zeichen 0 und — n „Zahlen".

Wenn man die Zahlen

-1, —2, —3, -4, -5 u.s.w.

den eigentlichen Zahlen im Sinne des § 5, also 1, 2, 3, 4, 5 u. s. w. gegenüberstellt, so nennt man erstere negative, letztere positive Zahlen. Bei der graphischen AbbildMg (§ 5) der positiven Zahlen

ist das Bild der Zahl a — 1 immer um einen Schritt links vo» dem Bilde der Zahl a. Will man also diese- Abbildung-verfahren

nach links von 1 fortsetzen, so hat man den Punkt, welcher einen Schritt links von 1 liegt, mit 1 — 1, d. h. mit 0, den Punkt, welcher noch einen Schritt links von 0 liegt, mit 0 — 1, d. h. mit — 1, zu bezeichnen, und so fort. So entsteht die folgende Abbildung: —i—i—i—i—i—i—i—|—i—i—i—i—i—i—i— -5 -4 —3 —2 -I 0 1 2 3 4 5 Durch die Einführung der Null und der negativen Zahlen wird also das Zahlengebiet in dem Sinne erweitert, daß beider graphischen Abbildung nun auch Punkte links von 1 Zahlen

darstellen können.

D) Da v-l-a oder a -|-0 gleich a -H (b — b) — a-f-b—b — a und auch a — 0 — a — (b — b) = a — b H- b — a ist, so ergiebt sich der Satz:

Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie um Rull vermehrt oder vermindert. Da nun 0 — n — — n ist, und da ferner 0 + n = n ip, so liegt es nahe, für n auch +n ju schreiben.

Demgemäß sagt

§ 9. Erste Erweiterung des Zahleagebie«.

28

man statt „posittver und negattver Zahlen" auch „Zahlen mit dem Vorzeichen plnS" und „Zahlen mit dem Vorzeichen

minus." Bon den beiden Borzeichen -l- und — heißt daS eine das „umgekehrte" des andern. Mit Vorzeichen versehene Zahlen nennt man relative Zahlen. Streicht man von einer relativen Zahl das Borzeichen fort, so entsteht eine Zahl, die man den absoluten Betrag der relativen Zahl nennt. Z. B. -1-7 ist eine positive Zahl, ihr absoluter Betrag ist 7,-7 ist eine negative Zahl, ihr absoluter Bettag ist auch 7.

Eine positive und eine negative Zahl heißen „einander ent­ sprechend," wenn ihre absoluten Bettäge gleich sind, z. B. +7 und —7.

Setzt man in 0-4-n — -i-o und 0 — n = —n die Zahl n gleich null, so gelangt man zu dem Begriff von -4-0 und von —0 und zu der Erkenntnis, daß sowohl -4-0 als auch

— 0 gleich 0 zu setzen ist.

Man zählt deshalb auch die Zahl

Null zu den relativen Zahlen.

E) Je nachdem eine negattve Zahl als Summand oder als

Subttahend oder als Minuend auftritt, hat man eine der drei folgenden Regeln anzuwenden:

1) Eine negative Zahl wird addiert, indem man ihren absoluten Betrag subtrahiert, denn:

a 4- (— n) = a + (0 —n) = a + 0 —n = a —n. 2) Eine negative Zahl wird subtrahiert,

indem

man ihren absoluten Betrag addiert, denn:

a — (— n) = a — (0 — n) = a-0-4-n = a + n. 3) Bon einer negativen Zahl wird

subtrahiert,

indem man zu ihrem absoluten Betrage addiert, und die entstandene Summe negativ setzt, denn:

(— n) — a = (0 — n) — a = 0 — (n + a) = — (n 4- a). Die Zahl a in den voranstehenden drei Nummern kann

selbst posittv, null oder negattv sein.

Z. B.:

(4-4) +(-7) = (+4)-7 = (-4)+(-7) = (—4) —7 = (+ 4) — (— 7) = (+4)+ 7 = (— 4) — (— 7) = (-4)4-7 = 0 + (— 7) = 0-7 = —7, 0—(—7) = 0 + 7 = +7.

4-7 = -3, -(4 + 7)------- 11, 4 + 7 = +11. 7-4 = +3;

Erste Erweiterung bt« Zahleagebiet». § S.

29

AuS den obigen drei Regeln ergeben sich für das Rechnen mit negativen Zahlen die folgenden praktischen Regeln:

4) Statt eine relative Zahl zu subtrahieren, addiere stets die entsprechende, mit dem umgekehrten Borzeichen versehene Zahl. Z.B.: (—4) —(-t-7) — —4 man

-+- (— 7) und (— 4) — (— 7) = — 4+04-7). So wird das Subtrahieren stets in ein Addieren verwandelt. Für das Addieren hat man dann noch zu beachten: 5) Zwei positive Zahlen werden addiert, indem

man die Summe ihrer absoluten Beträge positiv setzt,

z. B.:

(+4) 4-(+7) = 4-11. 6) Zwei negative Zahlen werden addiert, indem

man die Summe setzt, z. B.:

ihrer

absoluten Beträge

negativ

(-4)+ (-7) = -11. 7) Eine

positive

Zahl

und

eine

negative

Zahl

werden addiert, indem man der Differenz ihrer abso­ luten Beträge das Borzeichen der größeren giebt, z.B.:

(-4)4-(4-7) = 4-3 und (4-4)4-(-7) = -3. F) Die Erfindung der relativen Zahlen ermöglicht es, jede-

Aggregat von p Gliedern als eine Summe von p relativen Zahlen aufzufassen.

Man nennt eine solche Summe von relativen Es ist z. B.:

Zahlen eine algebraische Summe.

9 + 4-3 — 24-18 — 14-5 eine algebraische Summe der sieben Summanden -4- 9, +4, — 3, — 2, +18, — 1, +5. Hiernach kann man die zweite Regel in § 8 B kurz so aussprechen :

Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, wird aufgelöst, indem man die Borzeichen der in ihr enthaltenen'Suvtmanden umkehrt. Ferner kann man die Berechnung eines Aggregats mit Rücksicht auf die Regeln 5), 6), 7) unter E) immer so bewerk­

stelligen, daß man die Reihenfolge der Glieder beibehält. Z. B.:

1) 11 — 3+1 — 19 + 5 berechnet man so: 11 — 3 = 8, 8+1 = 9, 9 — 19 = —10, —10+5 = —5; 2) 5 — 18 — 3 + 5 — 6 + 30 berechnet man so: 5 — 18 = —13, -13 — 3 = —16, —16 + 5 = —11, —11 — 6 = —17, -17 + 30 = +13. '

30

§ 9.

Erste Erweiterung des Zahlengcbiets.

G) Die Erfindung der Null und der negativen Zahlen er­ möglicht zunächst zweierlei: erstens die Formeln des § 7 und des § 8 auf den Fall auszudehnen, daß die darin auftretenden Minu­ enden nicht größer als die zugehörigen Subtrahenden sind, zweitens die in den Formeln von § 6, § 7 unb § 8 auftretenden Buch­ staben selbst als Null oder als negative Zahlen aufzufassen.

So hatte z. B. die Formel IV des § 8 ursprünglich nur Sinn, wenn a > b war. Jetzt hat sie auch dann Sinn, wenn a ist. Ferner hatte z. B. das Associationsgesetz a-Hb + c) = a + b 4-c ursprünglich nur Sinn, wenn a, b, c natürliche Zahlen (§ 5) waren. Jetzt hat es auch dann Sinn, wenn a, b, c null oder negativ sind. Z. B.:

4) + [(— 7) + 5] — (— 4) + (— 7) + ;>. Ebenso erhalten die Vergleichungs-Schlüsse in § 5 E, § 6 D

und § 8 E einen ausgedehnteren Sinn, wenn man auch auf Null und negative Zahlen die Ausdrücke „größer" und „kleiner" an­ wendet. Man nennt nämlich immer, gleichviel ob a und b positiv oder null oder negativ sind, a größer als b, wenn a — b positiv ist, und a kleiner als b, wenn a—b negativ ist.

Hierdurch wird es ermöglicht, erstens bei den Schlüssen in § 8 E die Beschränkung a>c, b>d fallen zu lassen, zweitens diese Schlüsse ebensowohl wie die Schlüsse in § 5 E und § 6 D auch auf den Fall auszu­ dehnen, daß die verglichenen Zahlen positiv, null oder negativ sind. Z.B.:

+ 7 > —2 — 2 > —3 +7 > —3

—4 = —4 + 1 > — 1 (add.) — 3 >■ — 5

0 < +5 +2 > — 3(fubt) — 2 < +8.

H) Wieviel geschmeidiger die arithmetische Sprache durch die Erfindung der Null und der negativen Zahlen wird, erkennt man namentlich auch bei der Lösung von Bestimmungsgleichungen. Hat man z. B. die in § 7 F gegebene Gleichung 7 — x — 5 zu lösen, so darf man aus derselben jetzt ohne Weiteres (durch Subtraktion von 7 ----7) — x = 5 — 7 = — 2 schließen, und

hieraus, indem man sich — x = — 2 von 0 = 0 subtrahiert Hierbei bemerke man, daß man überhaupt aus jeder richtigen Gleichung wieder eine richtige Gleichung erhält, wenn man zugleich allen Gliedern des die linke Seite bildenden Aggregats und allen Gliedern des die rechte Seite bildenden denkt, x — 2.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

§ 9.

Aggregats das entgegengesetzte Vorzeichen giebt.

31

Um dies einzu­

sehen, subtrahiere man die ursprüngliche Gleichung von 0 = 0. Endlich beachte man, daß Gleichungen, die vor Einführung der

Null und der negativen Zahlen als nicht lösbar erscheinen mußten, jetzt lösbar erscheinen können. Z. B. ergiebt 4 — (x

7) — 2 die Lösung: x — — 5.

J) Da die Reihe der negativen Zahlen durch wiederholtes Hinzufügen von —1 entsteht, so nennt man —1 die Einheit

der negativen Zahlen.

Die obigen Betrachtungen, welche auf die Erfindung der Null und der negativen Zahlen führten, lassen sich auch auf be­ nannte Zahlen übertragen. So ist z. B. — 9 JH eine Differenz­

form, welche ausspricht, daß man — 9 X> ~b~ (n -|— 9) X/ = n X/

setzen will.

In den Anwendungen kann man aus einer negativen

benannten Zahl durch Veränderung eines Wortes immer die ent­ sprechende positiv benannte Zahl bilden. So heißt z. B.: — a Schritte vorwärts dasselbe wie a Schritte rückwärts. — a X Vermögen dasselbe wie aX Schulden. — aX Gewinn dasselbe wie a X Verlust.

Ferner heißt z. B.: 0 Schritte vorwärts dasselbe wie keinen Schritt vorwärts und keinen rückwärts.

Historisches Z« Abschnitt H. Im Altertum kannte man Null und negative Zahlen noch nicht. Die Null tritt zuerst bei den Indern auf, und zwar ursprünglich als ein Zeichen, welches bei der Darstellung einer Zahl durch neun Ziffern (§5A, § 18) die Stelle der Einer, der Zehner, der Hunderter u. s. w. ausfüllt, wenn die darzustellende Zahl keine Einer oder keine Zehner u. s. w. besitzt. Negative Zahlen wurden von den indischen (400 bis 1200 nach Ehr. G.) und arabischen (800 bis 1200 nach Chr. G.) Mathematikern zwar beachtet, aber noch als unbrauchbar verworfen. Cardano (der 1545 seine ars magna schrieb) faßte sie als numeri auf, und nannte sie ficti im Gegensatz zu den veri (natürliche Zahlen). Aber volles Bürgerrecht in der Arithmetik erteilte ihnen erst Descartes (latinisiert Cartesius, starb 1650), der mit ihnen rech­ nete, und es wagte, für einen und denselben Buchstaben sowohl positive als auch negative Zahl«» einzusetzen.

Dritter Abschnitt.

Operationen zweiter Stufe. § io. Legriff der Multiplikation. 1)

4»a = a + a + a+a,

-)

»)

m)

«)

m*a = a+a+a+a+...+a,

4. (3 JO -- 3^+3 JK+3JK+3 JK = (4.3M = 12 J£.

H.-.

(

I)15a4-4a = 19a, ma4-pa = (m-f-p)a, II) 15a - 4a=11a, ma-pa=(m-p)a, toom>pift,

,, III) 7b 4-7c = 7(b 4- c), mb + mc = m(b4-c), 8qc,e* IV)7b-7c = 7(b-c), mb-mc = m(b-c).

V) KommutationSgesetz: ®' * VI) LffociationSgesetz: 3 • (4 • 5) = 3 • 4 • 5; a • (b • c) = a • b • c.

A) Eine Zahl a mit einer Zahl m multiplizieren heißt, ein e

Summe von m Gliedern bilden, sodaß jedes Glied a heißt.

Die Zahl a, welche als Glied einer Summe gesetzt wird,

heißt MultiplikanduS, die Zahl m, welche angiebt, wie oft die andere Zahl a als Glied einer Summe gesetzt werden soll,

heißt Multiplikator.

Der Multiplikator ist in den obigen

Formeln und hier in A bis F immer vor dm Multiplikanden gesetzt.

DaS Resultat der Multiplikation, welches man m • a oder

ma schreibt, heißt Produkt.

Hiernach kann der Multiplikator, welcher ja nur ein „wie ost" zählt, nur eine natürliche (positive) Zahl sein, während der MultiplikanduS, positiv, null und negativ sein kann.

Z. B.:

5*(—a) = (—a)4-(—a)H-(—a)-|-(—a)4-(—a) = —(5a);

5«0 = 04-04-04-0-|-0 = 0.

Man merke also:

Begriff der Multiplikation.

§ 10.

33

1) Durch Multiplikation von Null mit einer be­ liebigen Zahl erhält man wieder Null. 2) Eine negative Zahl multipliziert man, indem man ihren absoluten Betrag multipliziert, und das erhaltene Produkt negativ setzt. Insofern man a als Summe von einem Addenden auffassen kann, setzt man auch 1 • a = a. Da man nicht bloß unbenannte, sondern auch gleichbenannte Zahlen addieren kann, so kann der MultiplikanduS auch benannt sein. Dann hat das Produkt dieselbe Benennung. Z. B. 4 mal 3 Äpfel gleich 12 Äpfel. Dagegen kann der ^Multiplikator nie benannt sein. Denn man kann doch z. B. die Zahl 4 nicht 3 Äpfel

mal als Addendus setzen. Die Berechnung des Produkts zweier Zahlen ist hier in J besprochen. Wie kann man die Multiplikation einer Zahl (die positiv. Null oder negativ sein kann) mit einer natürlichen Zahl durch die graphische Darstellung der Zahlen (§5 8, § 9 C) bewerkstelligen? Für die Multiplikation gilt analog wie bei der Addition a = b (§ 6 B) der Schluß c = d (mult.) Um diesen Schluß zu bea«c — b»d. weisen, verfährt man ebenso wie in § 68 oder in § 76. Wie heißt dieser Schluß in Worten? 8) Da eine Summe von m Gliedern a, vermehrt um eine Summe von p Gliedern a, eine Summe von m + p Gliedern a darstellt, so ist die oben mit I bezeichnete Formel richtig. Dieselbe lautet in Worten: Die Summe zweier Produkte von gleichem Multiplikandus ist gleich demProdukte diese- MultiplikanduS mit der Summe der beiden Multiplikatoren. Faßt man diese- Gesetz als Rechenvorschrift auf, so kann man eS so über­ setzen: Zwei Produkte von gleichem MultiplikanduS kann man addieren, indem man die Multiplikatoren addiert und mit der erhaltenen Summe jenen Multi­ plikanduS multipliziert. Bon rechts nach links übersetzt, liefert dieses Gesetz die Regel: Mit einer Summe kann man multiplizieren, indem man mit den Summanden Schubert, Elem.-Mathem. I.

3

34

§ 10.

Begriff der Multiplikation.

einzeln multipliziert und die erhaltenen Produkte addiert. Beweise und übersetze ebenso Formel II. Der Beweis der Formel III stützt sich auf die Definition: » «) ») ■») ma — a + a + a + ... + a

der Multiplikation in folgender Weise: 1)

»>

s)

rn)

I)

y

s)

m)

mb + mc — (b4-b4- b + ....4-b)4-(c4-c4-c4-....c) — (1> 4- c) 4- (ti 4- c) 4-.... 4- (b 4- c) = m(b 4- c).

Beweise ebenso Formel IV. Die in Formel IV enthaltene Regel läßt sich so aussprechen: Zwei Produkte von gleichem Multiplikator können subtrahiert werden, indem man den MultiplikanduS des Subtrahend»- von dem MultiplikanduS des MinuenduS subtrahiert, und die erhaltene Differenz mit jenem Multiplikator multipliziert. Ebendieselbe Formel liefert, umgekehrt übersetzt, die Regel: Eine Differenz wird multipliziert, indem man den MinuenduS und den SubtrahenduS einzeln multipli­ ziert und das aus dem SubtrahenduS hervorgegangene Produkt von dem aus dem MinuenduS hervorge­ gangenen Produkte subtrahiert. Übersetze ebenso Formel in.

Aus den Distributionsgesetzen folgmden Schlüffe (vgl. § 6 D):

folgt die

Richtigkeit

der

1)

a = b c > d (mult) a*c > b*d

2)

a> b c = d (mult) a*c > b*d

3)

a>b c > d (mult) a•c > b•d

4)

a = b c < d (mult) a«c < b• d

5)

a < b c » d (mult) a•c < b•d

6)

a < b c < d (mult) a • c < b • b • d, nämlich um p • d.

Begriff der Multiplikation.

§ 10.

35

C) Nach der Definition der Multiplikation ist ein Produkt,

dessen Multiplikator Null oder negativ ist, eine sdmlose Zeichen-

Vereinigung.

Nun haben wir uns aber in § 9 verpflichtet. Null

und negative Zahlen als uneigentliche Differenzen in der arith­

Zeichensprache

metischen

Um

zuzulaffen.

also

zu

entscheiden,

welchen Sinn wir der Produktsorm (— 4) • a beizulegen haben, müssen

wir —4

als

eine Differenz

betrachten, und

deshalb

fragen, wie überhaupt mit einer Differenz multipliziert wird.

Dies lehrt aber die umgekehrt gelesene Formel II.

Wenn wir

also wünschen, daß mit 0 und negativen Zahlen nach demselben Gesetze multipliziert werden soll, wie mit ausführbaren Diffwenzen,

p ist, daS ver­

so müssen wir unter (m—p) • a, auch wenn m stehen, waS fich aus ma —pa ergiebt.

Z. B.:

(—4)• a — [c — (c 4- 4)] • a — c• a — (c4-4)• a ---- c*a — c • a — 4*a = — 4*a; 0«a — (m — m)• a --- ma —ma — 0; (—■ 7) • a — (0 — 7) • a — 0*8 — 7 • a — 0 — 7a = —7a.

Also: 1) Durch

Multiplikation

einer beliebigen Zahl

mit Null erhält man wieder Rull. 2) Mit einer negativen Zahl multipliziert man,

indem man mit ihrem absoluten Betrage multi-

pliziert,und daS erhaltene Produkt negativ setzt. Soll auch der Multiplikand»- null oder negativ wende man außerdem die beiden Regeln unter A an

sein, so

Z. B.:

0-0 — 0, weil 0-0 = (m — m)-0 --- m»0 — m»0 = 0 — 0 —= 0; 0• (—4) = 0, well 0• (—4) --- (m—m).(—4) --- m.(—4) —m.(—4) — —4m — (—4m) --- — 4m + 4m --- 0; (—4)«0 --- 0, weil (—4)-0 = (0-4)-0 = 0-0 —4-0 --- 0—0 -- 0; (—4)• (— 3) = +12, weil (-4).(—3) = (0-4).(-3) = 0-(—3) — 4.(—3) --- 0-(—12) --- 0 + 12 --- 4-12.

Hieraus ergeben sich die Regeln:

3) Ein Produkt

ist immer

gleich Rull zu setzen,

wenn Multiplikator oder Multiplikand»- oder beide gleich Null sind. 4) Zwei

relative

Zahlen

werden

multipliziert,

indem man ihre absoluten Beträge multipli­

ziert und daS Vorzeichen des Produkte» nach

§ 10. Begriff der Multiplikation.

36

der Vorschrift bestimmt: Gleiche Vorzeichen geben Plus, ungleiche Minus. Z. B.: (+4). (4-5) = 4-20, 4-4-(-5) --- -20, (-4). (4-5) = -20, (-4).(-5) -- +20. Also kurz:

Plus mal Plus giebt Plus, Plus mal Minus giebt Minus, Minus mal Plus giebt Minus, Minus mal Minus giebt PlrrS.

Die in B angeführten sechs Schlüsse gestalten sich anders, wenn die zur Vergleichung vorgelegten Zahlen sämtlich oder teil­ weise null oder negativ sind. Namentlich beachte man, daß, wenn man die beiden Seiten einer Ungleichung mit zwei gleichen nega­ tiven Zahlen multipliziert, das Ungleichheitszeichen umge­ kehrt werden muß. Z. B.: 5 c 6 — 1 = — 1 (mult.) — 5 > —6

-3 < -2 — 5 — —5 (mult.) 15 > 10

-2 = -2 a 2> b (mult) -2a < —2b.

D) Die Distributionsgesetze I bis IV lassen sich ohne weiteres auch auf alle Fälle übertragen, wo Multiplikator oder Multiplikandus oder beide beliebige Aggregate sind. Nämlich: 1) Di * a 4- iig • a 4- n3 • a — (nt 4- n2 4- n3) • a, weil n, • a-b-üg.a4-n3-a ---- (nt4-n2)• a4-n3• a — (n14-n»4-n3).a; 2) p.a4-q*a —r.a = (p4-q —r)-a, weil pa4-qa —ra — (p4-q)a —ra — (p4-q —r)a; 3) m.a4-m.b4-ni.c — m • (a 4- b 4- c), weil ma 4- mb 4- mc — m(a4-b)4-mc — m(a4- b 4- c); 4) ma — mb4-mc — m(a—b4-c), weil ma — mb4-mc — m(a —-b) 4- mc — m(a — b 4- c).

Ferner: 5) (a4- b) (c4- d) — ac 4- Md 4- bc 4- bd, well (a4-b) (c4-d) = a(c4-d)4-b(c4-d) — ac4-ad4-(bc4-bd) = ac4-ad4-bc4-bd;

6) (»4-b) (c —d) = ac —ad4-bc —bd, well (a4-b) (c —d) = a(c — d)4-b(c— d) = ac — ad4-(bc—bd) — ac —ad4-bc —bd; 7) (a —b) (c + d) = ac4-ad —be —bd, wett (a —b) (c4-d) — a(c-|-d) — b (c4-d) — ac4-ad—(bc4-bd) — ac4-ad —bc —bd; 8) (a — b) (c —d) — ac —ad —bc + bd, well (a — b) (c —d) — a(c —d) — b(c —d) — ac—ad — (bc—bd) — ac — ad — b c 4- b d.

Begriff der Multiplikation.

§ 10.

37

Faßt man sowohl Multiplikator wie Multiplikand«- als eine algebraische Summe (§ 9F) auf, so gelangt man zu der folgend«

Regel:

Allgemeine Distribution-regel: Eine algebraische Summe wird mit einer algebraischen Summe multipliziert,

indem man jedes Glied der ersten Summe mit jedem

Gliede der

und

zweiten Summe multipliziert,

da-

Vorzeichen jedesProduktes nachderVorschrift bestimmt:

„Gleiche

Vorzeichen

geben Plus,

Minus."

ungleiche

Durch Anwendung der Distribution-gesetze werden entweder

Klammern gelöst oder Klammern gebildet.

Da- letztere ist immer

möglich, sobald man eine Summe von Produkten hat, die einen Nach Bildung der Klammern nennt

gemeinsamen Faktor haben.

man

diesen

Faktor „abgesondert."

Z. B. sondert man 5 ab,

wenn man setzt:

5ad- 5b — 5c — 5(a 4-b — c). Man beachte dabei, daß jede Zahl a als Produkt von a und

1 aufgefaßt werden darf.

Z. B.:

ab — acd-ad4-a = ab — ac4-ad4-a*l — a(b — c4-d4- 1). '

E) Der Beweis

des

Kommutation-gesetze- a • b — b • a

der Multiplikation beruht auf den Distributionsgesetzen.

Nämlich:

3*4 — 4*3, weil 3*4 = 3* (14-14-14-1) — 3*14-3*14-3*1

d-3*l = 34-34-34-3 = 4*3; 1) 2) 8) e) 1) m • a = a • m, weil m • a — m* [14-14-14-.. .4-1] — (m • 1) 4») 8) a) 1) 1) 8) a) (m • 1) 4- (m • 1) 4-... 4- m • 1) — md-md-m4-.. .4-m = a • m. Ferner auch:

0 • a — a • 0, weil beide gleich 0 find, oder weil 0 • a = (m — m) • a = ma — ma — am — am — a(m — m) = a • 0. (— 4) • a — a • (— 4), weil (— 4) • a — (0 — 4) • a « 0 • a — 4 • a = a • 0 — a • 4 xä a • (0 — 4) = a • (— 4). In Worten lautet

das

Kommntationsgesetz:

Multipli-

kandus und Multiplikator dürfen vertauscht werden, ohne daß dadurch die von dem Produkte dargestellte Zahl sich ändert.

Wegen des Kommutationsgesetzes ist es bei unbenannten Zahlen

meist zwecklos,

unterscheiden.

Multiplikator und

Multiplikand«-

zu

Man bezeichnet deshalb beide mit dem gemeinsamen

Namen „Faktor" (§ 1), und schreibt sie in beliebiger Reihenfolge.

38

§ 10. Begriff der Multiplikation.

Den einen Faktor nennt man dm Koefficienten (Mitfaktor) des andern (§ 6H).

Das Produkt nennt man ein Vielfaches

von jedem seiner Faktoren, und jedm Faktor einen Teiler

des Produktes. Warum kann man bei einem Produkte, dessen einer Faktor eine benannte Zahl ist, das KommutationSgesetz nicht anwenden? F) Auch der Beweis des Associationsgesetzes der Multipli­

kation a(bc) = abc beruht auf den DistributionSgesetzm. Nämlich:

3.(4-5) = 3-4.5, weil 3-(4-5) = 4-5 + 4-5+4-5 --- (4 + 4 + 4).5 = (3-4).5 = 3*4.5. n i) •) ») a• (b • c), weil a» (do) = bc + bc + ... + bc = (b + b + ... + b)c — (ab)c = abc. Ferner auch:

0.(4>5) — 0.4.5, weil beide Produkte 0 find; (—3).(4.5) = (-3).4.5, weil (- 3) - (4.5) — (0 — 3).(4.5) = 0.(4.5) —3.(4-5) = 0.4.5 —3.4.5 = (0-4 — 3.4). 5 = (0 — 3).4.5 — (—3).4.5. In Worten lautet das AffociationSgesetz: Ein Produkt kann man multiplizieren, indem man den Multipli­

kator multipliziert, und mit dem erhaltenen Produkte den Multiplikandus multipliziert. Das AffociationSgesetz nimmt viele neue Formen an, wenn

man zugleich daS KommutationSgesetz anwendet.

Nämlich:

abc — acb — bac — bca — cab — cba = a(bc) = a(cb) — b(ac) = b(ca) = c(ab) = c(ba). So gelangt man schließlich zu der folgenden praktischen Regel: Allgemeine AffociationSregel: Bei einem Ausdruck,

welcher außerhalb und innerhalb der Klammern keine anderen Operationszeichen als Malzeichen enthält, dürfen alle Klammern beliebig fortgelassen und be­ liebig gesetzt werden, und dürfen auch alle Faktoren in beliebige Reihenfolge gebracht werden (Dgl. § 6F). Z.B.:

4 • a • b • (25c) = (4 • 25) • ab c — 100 abc. G) Ein Produkt, dessen einer Faktor selbst wieder ein Produkt ist, bezeichnet man kurz als ein Produkt Don 3 Faktoren und so fort, z. B.:

abcd aaaaa a(b + c)d 4(a — bcd)

ist ist ist ist

ein ein ein ein

Produkt Produkt Produkt Produkt

von von von von

4 5 3 2

Faktoren, Faktoren, Faktoren, Faktoren.

Bkgriff der Multiplikation. § 10.

39

Eine Zahl oder eine Summe oder eine Differenz bezeichnet man wohl auch als ein Produkt von einem Faktor. H) Für ein Produkt von lauter gleichen Faktoren schreibt

man zur Abkürzung den Faktor nur einmal und stellt die Zahl,

welche

wie

angiebt,

recht- daneben.

oft

er

gesetzt ist, hoher

und

kleiner

Z. B. schreibt man statt aaaaa kürzer a5 (gelesen:

„a hoch 5") und nennt dann ein derarttg abgekürzt geschriebenes Produkt eine Potenz, die Zahl, welche als Faktor gesetzt wird, Last-, die Zahl, welche angiebt, wie oft die Basis als Faktor

gesetzt wird, Exponent. 5 der Exponent.

Es ist also in der Potenz a5: a die Basis,

Man nennt auch a5 die fünfte Potenz von a

und liest deshalb a6 auch „a zur fünften Potenz" oder kürzer „a zur fünften."

Sowie die abgekürzt geschriebenen Summen

eine neue Operation, die Multiplikatton, hervorriefen, so rufen auch die abgekürzt geschriebenen Produtte eine neue Operatton, die Potenzierung, hervor, welche jedoch erst später (§ 26, § 32) ausführlich behandelt wird.

Wie Potenzen derselben Basis zu multiplizieren sind, ergiebt

sich unmittelbar auS ihrer Definiüon, z. B.:

a3» a5 — (aaa) • (aaaaa) « aaaaaaaa — a8; ba-b* = (bb).(bbbb) = bbbbbb = b«; 27*2» = 2«; Ab. 3 ---- 3*; 73*78 = 76. Wenn also Potenzen gleicher Basis multipliziert werden

sollen, müssen ihre Exponenten addiert werden, da ein Exponent ja nur zählt, wie oft die Basis als Fattor zu setzen ist. Ist die Basis einer Potenz eine Summe, Differenz oder

Produtt, so hat man sie in eine Klammer einzuschließen.

Z. B.

(a 4- b)2. J) Die Berechnung des Produtts zweier Zahlen lernt man im

ersten Rechen-Unterricht;

und zwar rein

gedächtnißmäßig,

wenn die Faktoren beide einziffrig find (Tabelle des Einmaleins),

dagegen teils gedächtnißmäßig teils nach einem besonderen, auf unserer Schreibweise (§ 5A, § 18) der Zahlen beruhenden Ver­

fahren, wenn von den beiden Faktoren der eine oder beide mehrziffrig sind.

In wiefern man bei diesem Verfahren die DiStri-

butionSregel anwendet, geigen die folgenden Beispiele:

1) 6*94 = 6(4 + 90) — 6.4 + 6 * 90 --- (4 + 20) + (40 + 500) = 4 +(20 + 40)+ 500 — 4 + 60 + 500 — 564 giebt abgekürzt:

40

§ 10.

Begriff der Multiplikation. 94

6_ 5Ü -- 564.

2)

68.293 = (8 + 60) (3 + 90 + 200) = [(4 + 20) + (20 + 700) + (600 + 1000)] + [(80 + 100) + (400 + 5000) 4- (2000 + 10000)] = [4+(20 + 20) + (700 + 600)4-1000] + [80+(100 + 400)+(5000 + 2000)+10000] --- [4+40+300+2000]+[80+500+7000+10000] = 4 + (40 + 80) + (300 + 500) + (2000 + 7000) + 10000 = 4 + 20 + 900 + 9000 +10000 --- 19924 giebt abgekürzt: 293 ___ 68

1624 1M80

oder:

2344 1758

19924 19924. Multipliziert man 3 + 90 + 200 zuerst mit 60 und dann

mit 8, so ergiebt sich das folgende Verfahren:

293 68 1758(0) 234 4 1992 4. K) Wie mit Hilfe der Formeln dieses und der vorhergehenden Paragraphen Buchstaben-Ausdrücke umgesormt werden können, zeigen folgende Beispiele:

1) 4x-3(y+x) --- 4x-(3y + 3x) --- 4x-3y-3x = x-3y, 2) 4(3a + 2b—c) + 3(a—c) ---- 12a+8b—4c + 3a—3c = 15a+8b—7c, 3) a(b — c) + b(c — a) 4* c(a — b) — ab — ac + bc — ba + ca—cb — 0; 4) 15a 4-35b —5 -- 5(3a4-7b —1), 5) (3a — 2b) (p — q) — (p — q) (a — 6b) — (p — q) (3a — 2b — a4*6b) = (p-q) (2 a 4- 4 b) = 2(p — q) (a + 2b), 6) a — (b — c) d + (b — c)e = a — (b — c) (d — e); 7) (3a 4" 4b) (2c 4-d) = 6ac 4-3ad 4* 8bc 4-4bd; 8) 6ac 4~4ad — 3bc — 2bd = 2a(3c 4* 2d) — b(3c 4- 2d) = (2a—b) (3c4-2d); 9) (a 4-b)3 = (a 4- b) (a 4- b) = a3 4- ab4-ba4*b3 -- a34-2ab+b3, Anwen10) (a-b)2 -- (a—b) (a—b) -- a2-ab-ba+b2 = a2-2ab+b2, (b“"g 11) (a + b) (a — b) = a2 — ab + ba — b2 = a2 — b2, l ltch-r 12) (a2—ab+b2)(a+b) = a3+a2b-a3b—ab2+ab2+b3 = a3 + b3;J YnTi"

13) (a4 — a3) (a3 4- a) — a6 4" a5 — a5 — a4 — a6 — a4; 14) (a — b) (b — c) (c — a) — (ab — ac — b3 4- bc) (c — a) --- abc — a2b — ac3 4” a3c — b2c 4“ ab2 4” bc2 — abc = a2(c — b) 4- b2(a - c) 4- c2(b — a).

Begriff der Division.

§ 11.

41

DaS Multiplizieren mit relativen Zahlen zeigen folgende

Beispiele: 1) (-4).5—(7-11) (-5)+0.(4-7) -- (-20)-(+20)4-0--- -40; 2) (-1)6-(-2)< + [(-3)»(+2)3-72](-1) --- 1 —16+ [9*8—72](—1) = 1-16 + 0 = —15.

Welchen Betrachtungen dieses Paragraphen entsprechen in

§ 6 analoge Betrachtungen?

§ 11.

Segriff der Division. I) Erste Defiuitionsfonuel: (a: b)•b — a. II) Zweite Definitionsformel: (a • b): b =*= a. A) Eine Zahl a durch eine Zahl b dividiere« heißt, die Zahl finden, mit welcher b multipliziert werden muß,

damit a herauskommt.

Dies spricht Formel I aus.

12:3

bedeutet also die Zahl, mit welcher 3 multipliziert werden muß, damit 12 herauskommt, oder, was dasselbe ist, die Zahl, welche für x gesetzt werden muß, damit die Gleichung i-3 = 12

richtig wird.

Die Division entsteht also aus der Multiplikation

dadurch, daß man das Produkt und den einen Faktor als bekannt

und den andern Faktor als unbekannt und deshalb algesucht betrachtet. Man nennt deshalb die Division die Umkehrung der Multiplikation. Bei dieser Umkehrung erhält: das bekannte Produkt den Namen Dividendus, der bekannte Faktor den Namen Divisor, der gesuchte Faktor den Namen Quotient.

Hiernach besteht die Berechnung eines Quotienten im Raten

deS Wertes der Unbekannten einer Gleichung.

Um z. B. 12: 3

zu berechnen, hat man den Wert von x aus der Gleichung x • 3

— 12 zu raten.

Dieses Raten wird durch den ersten Rechen-

Unterricht teils gedächtnismäßig teil- methodisch (§ 126) gestaltet. Wie kann man die Division a: b mit Hilfe der graphischen Darstellung der Zahlen aus zweierlei Weise (vgl.ö) bewerkstelligen?

Statt „a dividiert durch b*‘ sagt man auch „b dividiert in a." Statt des aus einem Doppelpuntte bestehenden Divisionszeichen-

schreibt man auch einen wagerechten Strich, über den man dm Dividendus, und unter den man den Divisor stellt. Diese

§ 11. Begriff der Division.

42

Schreibweise macht oft Klammern überflüssig, weil der Divisions­ strich über die Reihenfolge der Operationen keinen Zweifel läßt. Z- B--

(7+9):4 = ?^;9:(10-7) =

2Cb+ d);

[a + b (c+d)]: (a - b) = - -+a-

(a4-b):c[e:(f:g)] = ^.^. Um Undeutlichkeiten zu vermeiden, muß der Divisionsstrich

immer so gestellt werden, daß seine Verlängerung vorangehende oder nachfolgende Gleichheit-- und Operation-zeichen in deren

Mitte treffen würde.

Man mache daher nach einem solchen

Zeichen lieber zuerst den Division-strich, und schreibe dann

den Dividendus darüber, den Divisor darunter.

B) Da ein Produtt zwei Fattoren hat, so könnte man auch von zwei Umkehrungen der Multiplikatton sprechen, je nachdem man nämlich den Multiplikandus

oder den Multiplikator al-

gesucht betrachtet. In der That kann man diese beiden Fälle durch

zwei verschieden lautende Fragestellungen unterscheiden. Man sucht z. B. den Multiplikand«-, wenn man, um 12:3 zu be­

rechnen, fragt, welche Zahl mit 3 multipliziert werden muß, damit da- Produtt 12 entsteht. Dagegen sucht man den Multiplikator, wenn man, um 12:3 zu berechnen, fragt, mit welcher

Zahl 3 multipliziert werden muß, damit das Produkt 12 entsteht. Die Arithmetik der unbenannten Zahlen hat es jedoch. Dank dem Kommutationsgesetz der Multiplikatton (§ 10, V), nicht nötig, die beiden Umkehrungen der Multiplikatton als verschieden zu

bettachten.

Wohl aber zeigt sich die Verschiedenheit, wenn der eine

der leiben Faktoren eine- Produkts benannt ist.

Da dieser

Fattor dann (§ 10 A) den Multiplikandus darstellen muß, und der andere Fattor als Multtplikator unbenannt fein muß, so ergiebt sich, daß überhaupt die Division in den folgenden drei

Fällen Sinn hat: 1) Dividendus und Divisor unbenannt, der Quotient wird auch unbenannt. 2) Dividendus benannt,

Divisor unbenannt. Der Quotient wird eine Zahl von derselben Benennung, wie der Divi­ dendus. In diesem Falle, wo nach einem Multiplikandus

Begriff btt Division. § 11. gesucht wird,

43

könnte man das Dividieren auch Teilen

(in gleiche Teile) oder Einteilen nennen.

Z. B.:

12 m: 3 — 4 m, 12 Menschen : 3 — 4 Menschen. 3)

Dividendus und Divisor, beide gleichbenannt. Der Quotient

wird unbenannt. plikator

gesucht

Messen nennen.

In diesem Falle, wo nach einem Multi­

wird,

könnte

man das Dividieren auch

Z. B.:

12 m :4m = 3, 12 Menschen : 4 Menschen — 3. C) Damit eine Regel ausführbar sei oder, wie man sagt, aufgehe, muß der Dividendus der Werth eine- Produktes fein, dessen einer Faktor der Divisor ist, oder waS dasselbe ist, es muß

der Dividendus ein Vielfaches des Divisors sein, oder, WaS wieder dasselbe ist, es muß der Divisor ein Teiler deS Divi­

dendus sein. Im entgegengesetzten Falle ist der die Division dar­

stellende Quotient eine zunächst sinnlose Zeichen-Vereinigung.

ES

ist z. SB. 15:4 eine Quotienten form, welcher keine der bis jetzt

definierten Zahlen gleichgesetzt werden kann. Die Arithmetik läßt jedoch auch derartige Quotientenformen in ihrer Sprache zu, und erweitert damit von neuem (s. § 9) ihr Zahlen-Gebiet (§ 13).

D) Die Regel in § IOC über die Multiplikation zweier relativer Zahlen ergeben für die Division die Regel:

1) Zwei relative Zahlen werden dividiert, indem man ihre absoluten Beträge dividiert,

und daS Vor­

zeichen nach der Regel bestimmt: Gleiche Vorzeichen

geben plus, ungleiche minus.

Oder in Buchstaben:

H-a):(+b) --- + (a:b): (+a):(-b) --- — (a:b); (- a) : (4- b) --- — (a:b); (- a): (- b) = + (a: b). Also kurz: Plus durch Plus giebt PluS, Plus durch Minus giebt Minus, Minus durch PluS giebt MtnuS. Minus durch Minus giebt PluS.

Der Beweis ist (wegen Formel I) geführt, sobald man ge­ zeigt hat, daß die linke Seite, mit dem Divisor recht- multipliziert, den Regeln des § 10 gemäß, den Dividendus giebt.

Z. B.:

(+a):(-b) = -(a:b), weil [- (a: b)]. (- b) - + [(a: b) • b] — + a.

Da 0-w stets 0 ist, gleichviel, ob m positiv oder negativ ist, so ergiebt sich die Regel:

§ 11.

44

Begriff der Division.

2) Null dividiert durch eine positive oder negative Zahl, giebt immer Null. Macht man bei der Gleichung 0 • m = 0 nicht m, sondern

0 zum Divisor, so ergiebt sich: 3) Null dividiert durch Null, kann jeder beliebigen Zahl gleichgesetzt werden. Dieselbe kann positiv, negativ und außerdem auch 0 sein, weil 0• 0 auch 0 ist. 0:0 ist

daher eine vieldeutige Quotientenform. ES fragt sich noch, waS für einer Zahl a;0 gleichzusetzen

ist, wenn a positiv oder negativ ist. Da daS Produkt von 0 mit keiner von den bis jetzt definierten Zahlen eine positive oder negative Zahl ergiebt, so muß a:0 zunächst für unausführbar

erklärt werden. Aus diesen Betrachtungen geht hervor: 4) Eine Division ist immer eindeutig, wenn der Divisor nicht null ist. Ist der Divisor null, und der Dividendus auch null, so ist die Division vieldeutig. Ist der Divisor null und der Divi­ dendus nicht auch null, so ist die Division unaus­ führbar. AuS der Eindeutigkeit der Division in jedem Falle, wo der Divisor nicht null ist, folgt (s. § 68; §70; § 10A) der Satz: 5) Gleiches durch Gleiches dividiert, giebt Gleiches, wenn die Divisoren von null verschieden sind.

Oder:

Au- a = b und c = d folgt a: c — b: d, wenn c und

d nicht null sind. Wo liegt also der Fehler in der folgenden Schlußweise: „b sei eine beliebige Zahl, da- Doppelte derselben heiße a. Dann ist 4b = 2a, also 14b —10b = 7a —5a, also 5a—10b = 7a — 14b oder 5(a —2b) = tf(a — 2b), also 5 = 7?" E) Aus der ursprünglichen Definitionsformel der Division a:b«b = a folgt die abgeleitete a» b:b = a. Denn a• b:b

soll ja die Zahl bedeuten, welche, mit b multipliziert, a • b giebt.

Diese Bedingung erfüllt aber die Zahl a, und zwar nur die

Zahl a, wenn b von null verschieden ist.

jede beliebige Zahl sein.

Dagegen kann a«0:0

Die beiden Definitionsformeln der

Subtraktion liefern die Regel:

Begriff der Division. § 11.

45

Multiplikation und Division mit derselben Zahl

heben sich auf, wenn diese Zahl nicht Rull ist. Man

nennt

deshalb

Multiplikation

und

Division

auch

entgegengesetzte Operationen.

F) Bei der Division zweier Potenzen mit gleicher Basis hat man darauf zu achten, daß die Exponenten subtrahiert

Denn es ist z. B.:

werden müssen.

as:a3 = (a-a.a-a-a):(a«a»a) ---- (a»a)»(a-a«a):(a-a«a) = a«a = a» y8:y3 = ys»y3:y3 = ys; x7 :x = xs • x: x = x6. G) Daraus, daß x — a;b und x • b = a ganz dasselbe, nur in zwei verschiedenen Schreibweisen, aussagen, ergiebt sich die

für die Lösung von Gleichungen wichtige TranSPofitionsregel zweiter Stufe: Eine Zahl, welche

auf der einen Seite einer Gleichung Faktor ist, kann

dort

fortgelassen

und

auf

der

anderen

Seite

der

Gleichung als Divisor geschrieben werden; und umge­

kehrt.

Man nennt dann die Zahl transponiert.

Z. B.:

Aus x-4 = 12 folgt X = 12:4 — 3, Aus 7 • x = 28 folgt x --- 28:7 -- 4, Aus x: 9 = 3 folgt x — 3«9 ) 10) 11) iax

9hP

53

= 4a 4- 3b — (6a — 2b) = 5b — 2a,

i + y | x — y _ 2i 2 + 2 2 5x + y x — 4y 6x — 3y = = 3, 2x — y 2x — y 2x - y abc __ a2 . d2 . c2 _ a2 4- b2 4- c2 bc ac ab abc + Sc + abc abc 3a4-b —c 4a4-2b4-c 6a 4-2b — 2c—4a—2b—c 2a—3c 3 6 ~ 6 “ 6 ' 8a —b 9a 4-b 42a — 24a 4-3b— 18a — 2b b 14 21 ™ 42 42' a+c a (a+c)b a(b+c) ab-pbc—ab—ac bc—ac c(b—a) b4^""b-'b(b+c) b(b+c) b(b+c) ~ b(b+c)~b(b+c)'

13)

= d2 + xy + y2) 4- (x2 - 2iy + 4y2) — 2x2 — xy 4- 5y3 (Vergl. die Divisions-Aufgaben in G).

Die Lösung von Gleichungen, die Quotienten enthalten, zeigen folgende Beispiele: }

70 —5(x-3) 10 70 —5(x —3) 70-5x 4- 15 45 x

2) = = — =

40 40 5x 9;

-18 , 24 -3 “ x —2 64-2 =

24 x —2

8(x - 2) = 24 x —2 = 3 x — 5; 3) a2 — x(a — 3 b) = 3ab — ac 4- 3bc, a2 — 3ab 4- ac — 3bc — x(a — 3b) a(a — 3b) 4- c(a — 3b) a — 3b — 1 x = a 4" c.

Welchen Betrachtungen dieses Paragraphen entsprechen in § 8 analoge Betrachtungen?

§ 13.

Zweite Erweiterung -es Zahlengebiets. (Gebrochene Zahle«.) Definition: I)

• b = a, auch wenn b kein Teiler von a ist

in • _ _ a:m . ’ b — b.n' b b:m *

8 13. Zweite Erweiterung des Zahlmgebiet».

54

HI a b=a + b »_b = a-b P P PPP P TVX a c ac a c ad IV)b*d = bd' b-d=b*c; V)

= m-|- -, wo r — a — mb ist.

A) Aus der Definition der Division als der Umkehrung der Multiplikation ergiebt sich, daß a: b, wenn a kein Vielfaches von bist, eine bloße Zeichen-Bereinigung ist, welche zwar die Form

eines Quotienten hat, aber insofern noch sinnlos ist, als sie keine Zahl im Sinne des § 5 und auch keine Zahl int Sinne

des § 9 darstellt. Hierin liegt aber noch kein Grund, solche Quotientenformen aus der Arithmetik zu verbannen, umso­ weniger, als die Zulassung derartiger Quotientenformen die Sprache der Arithmetik wesentlich vereinfacht.

Wir erklären deshalb, auch

wenn a kein Vielfaches von b ist, a: b als eine Zeichenver­

einigung, welche der Definitionsformel der Division a:b »b — a gehorchen soll. Hieraus folgt dann auch, daß die Formeln

des § 12, welche ja auf die Definitionsformel der Division ge­ stützt sind, auch für solche Quotientenformen gelten, bei denen der Dividendus kein Vielfaches des Divisors ist. Mit 7;3 verspricht man also, daß man für (7:3) • 3

die Zahl 7 setzen will.

Man setzt deshalb 7:3 auch gleich

jeder andern Ouotientenform, von welcher sich bei Anwendung

der Rechengesetze nachweisen läßt, daß sie ebenfalls mit 3 durch ein Mal-Zeichen verbunden, die Zahl 7 liefert. Man setzt also z. B. 7:3 gleich 14:6 und meint damit nur, daß (14:6) • 3

bei Anwendung der Formeln des § 12 auch die Zahl 7 liefert, nämlich:

(14 :6) *3 = 3* (14:6) = 3*14:6 = 42:6 = 7.

Wegen der Formel V, des § 12 kann man immer bei jeder

Quotientenform, deren Dividendus und Divisor noch einen ge­ meinsamen Teiler haben, durch diesen Teiler heben, d. h. Divi­ dendus und Divisor durch diesen Teiler dividieren, und die.erhaltene Quotientenform gleich der ursprünglichen setzen. Z. B.: 14 1_ 60_j4 32 __2 112 2 12 1_ 6 — 3 ' 75 — 5 ' 112 — 7 ' 392 7 ' 108 9 ‘

Zweite Erweiterung de« Zahleugebiet«. § 13.

55

B) Da die meisten Gesetze der Arithmetik nicht bloß auf Zahlen, sondern auch auf die eben definierten Ouotientenformen

anwendbar sind, so nennt man diese und zwar

„Zahlen,"

eigentlich

der Kürze

wegen

auch

gebrochene Zahlen

oder

eigentliche Brüche im Gegensatz zu den Zahlen des § 5 und

des

§ 9,

ganze

welche

Zahlen

Da

heißen.

aber

ganze

Zahlen auch in Quotientenform geschrieben werden können, z. B.

5 — y= y, so ist es zweckmäßig, für ganze und eigentlich gebrochene Zahlen, insofern sie beide in Quotientenform gedacht

find, einen gemeinsamen Namen zu haben.

Wir nennen deshalb

gebrochene Zahl oder Bruch jede in Quotientenform

geschriebene Zahl, mag sie nun ganz oder eigentlich gebrochen

Wollen wir dagegen besonders ausdrücken, daß bei einer

sein.

der

Quotientenform

Divisors

ist,

so

Dividendus

setzen

wir das

sicher

Wörter Bruch oder gebrochene Zahl.

Bruches

kein

des

Vielfaches

„eigentlich" vor die

Adjektiv

Unter „Betrag" eines

wollen wir, wenn derselbe eine ganze Zahl darstellt,

diese ganze Zahl verstehen, und, wenn derselbe ein eigentlicher

Bruch ist, denjenigen ihm gleichen Bruch, bei welchem Zähler

und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben.

12 3 1 ii7 Der Betrag von y ist 3, von y ist y, von

Man findet

Z. B.:

den Betrag eines Bruches immer durch Heben.

9

von

o

ist 0.

Dabei beachte man, daß, wenn zwei Brüche gleich sind, von

denen sich keiner mehr heben läßt, ihre Zähler ebenso wie chre Nenner unter sich gleich sein müssen. Bei unserer graphischen Abbildung der Zahlen werden die

eigentlich gebrochenen Zahlen durch Punkte dargestellt, die zwischen den Punkten liegen, welche die ganze Zahlen darstellen.

Um z. B.

das Bild von -g zu erhalten, hat man sich einen Punkt aufzu­ suchen, der so beschaffen ist, daß man auf die Zahl 7 stößt, wenn

man die Strecke zwischen 0 und dem gesuchten Punkte von 0 aus 3 mal nach rechts abträgt. —8 5

—4

—3

-2

So entsteht die folgende Abbildung:

—3 4

-1

1 2

0

7 2

7 3

1

2

3

4

5

§ 13.

56

Zweite Erweiterung des Zahlengebiet».

Durch die Einführung der gebrochenen Zahlen wird also

das Zahlengebiet in dem Sinne erweitert, daß bei der graphischen Abbildung auch solche Punkte Zahlen darstellen können, die in den Zwischenräumen zwischen den Punkten liegen, welche positive Zahlen, Null und negative Zahlen abbilden. Beim Schreiben der gebrochenen Zahlen wendet man als

den wagerechten Strich und nicht den Statt Dividendus sagt man auch „Zähler," statt Divisor „Nenner". Statt „a dividiert durch b" sagt man Divisionszeichen

meist

Doppelpunkt an.

meist „a d-tel" („tel" entstanden aus „Teil") z. B. fünf achtel, sieben drittel. Statt „zweitel" sagt man „halbe." Einen Bruch umkehren heißt, einen neuen Bruch bilden, dessen Zähler der Nenner des ursprünglichen Bruchs ist, und dessen Nenner der Zähler des ursprünglichen Bruchs ist, z. B. y umgekehrt giebt

y,

y

umgekehrt giebt

•

Der Bruch, welcher durch Umkehrung eines andern entsteht, heißt sein reziproker Wert.

ES ist z. B. y ber reziproke

Wert von C) Da eigentliche Brüche nichts anderes als unausführbare Quotienten sind, und auch wie Quotienten geschrieben werden, so

sind die in § 12 entwickelten Rechen-Gesetze für ausführbare Quotienten in Inhalt und Form zugleich die Rechen-Gesetze für eigentliche Brüche. Bei der Anwendung der Rechen-Gesetze braucht man daher keine Rücksicht darauf zu nehmen, ob die vor­

kommenden Quotienten ausführbar sind oder nicht.

Für das praktische Rechnen mit Brüchen reicht man mit den folgenden Bruchregeln aus: 1) Jede Zahl kann als Bruch betrachtet werden,

dessen Zähler sie selbst, und dessen Nenner 1 ist. Denn:

2) Ein Bruch bleibt seinem Werte nach ungeändert,

wenn man ihn erweitert oder hebt (reduziert), d. h. wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert. Denn:

_a_ a • n 3 15 5^ b" ~ bTE; T "" "8 : 9 — 3 ?

21 T ~ T*

3) Zwei Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie durch Erweitern auf gleichen Nenner bringt, dann von den so erhaltenen Brüchen die Zähler addiert oder subtrahiert, und schließlich einen Bruch bildet, dessen Zähler die erhaltene Summe oder Diffe­ renz ist, dessen Nenner aber der gemeinsame Nenner der erweiterten Brüche ist. Tenn: ad .bc ad 4-bc . a a . c bd und b b + d ~ bd +bd = 3 , 1 4 + 9 4 —

7 11

27 , 4 + 36 36

4 1

31 36'

7 11

5 6

44 11

7 11

7 9

c d

15 18

bc bd

ad bd

14 18

1 18'

37 1r

1 2 . 1 3 8 2 13 4 + 3 + 6 = 12 + 12 + 12 - 12'

Der bei der Addition oder Subtraktion zu bestimmende, gemeinsame Nenner heißt Generalnenner (Dividuus). Bei der Addition von Brüchen mit den Nennern 4, 3, 6 ist z. B. 12 der Generalnenner, weil 12 die kleinste Zahl, die ein Vielfaches sowohl von 4, wie von 3, wie von 6 ist. 4) Zwei Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler und ihre Nenner multipliziert, und dann einen Bruch bildet, dessen Zähler das Produkt ihrer Zähler, dessen Nenner das Produkt ihrer Nenner ist. Denn: c a»c ac T — bU ~ T> ’

£ _5 _ 15 4 * 7 28 '

3^15 4 *ö 4'

4-94 9*8 8

4 9 9*8

1 2'

5) Ein Bruch wird durch einen andern Bruch dividiert, indem man den als Divisor genommenen Bruch umkehrt, und mit diesem neugebildeten Bruch den ursprünglichen Bruch multipliziert. Denn: a . c ad /e ~ , a • : -s- ~ (§ 12 D b), also auch x b d bc n ’ 1 b

a b

a m bl

3 eJ5 3 7 4 • 7 — 4 * 5

al b m 21 20’

3_._ 4 *J

a bin

c d

ad ad a , weil r- = b c bc b

t

a b

3 4 * 5

m . a 1 b

mb la

d ... ist; c ’

mb a

3 .. 3 . 4^ 20 20’ ’ 4 -°*3 - 3

§ 13.

58

Zweite Erweiterung des Zahlmgebiet».

D) Der § 7 erteilte unausführbaren Differenzen einen

Sinn, dieser Paragraph erteilt unausführbaren Quotienten einen Sinn.

Die Vereinigung der dadurch hervorgerufenen beiden Er­

weiterungen des Zahlengebiets führt auf zwei Arten von Zahl­ formen, nämlich erstens ans nnausfiihrbare Quotienten, deren Dividendus und Divisor relative Zahlen sind, z. B. =-|, zweitens auf unausführbare Differenzen, deren Minuendus und Subtra-

hendus gebrochene Zahlen sind, z. B. y — y.

Die erste

Art

von Zahlformen ist durch die obigen Betrachtungen (A) mit defi­ niert, weil die Erfindung der gebrochenen Zahlen der Erfindung der relativen Zahlen nachfolgte, also bei der Definition der ge­ brochenen Zahlen der Quotient auch von relativen Zahlen schon erklärt war. Dagegen ist die zweite Art von Zahlformen noch nicht definiert, weil in § 9 Minuendus und Subtrahendus noch nicht als gebrochen vorausgesetzt werden konnten. Wiederholen wir nun

die Erörterungen von § 9, indem wir nur immer Minuendus und Subtrahendus als ganz oder eigentlich gebrochen voraussctzen, so gelangen wir dazu, unter —

eine Differenzform zu verstehen,

welche der Definitionsformel

immer gehorcht, auch wenn a kein Vielfaches von b ist.

Indem

wir nun eine solche Differenzform wieder eine Zahl nennen, erhalten wir die Definition der negativen gebrochenen Zahl. Auf dieselbe Weise wie in § 7 gelangen wir dann zum Begriff der positiven gebrochenen Zahl, zum Begriff der relativen ge­ brochenen Zahl, zum Begriff von ihrem absoluten Betrage und schließlich zu Regeln über das Rechnen mit relafiven ge­

brochenen Zahlen, Regeln, welche mit den Rechenregeln über

relative ganze Zahlen genau übereinstimmen. Z. B.: (-3 +

Die babylonische Sexagesimalbruch-Schreibweise wird dadurch erklärlich, daß die Babylonier, in ältester Zeit, auch die Zeichen

für die ganzen Zahlen nicht dezimal, sondern sexagesimal bildeten, In la­ teinischen Bearbeitungen griechischer astronomischer Werke nannte man die Zahl in der ersten Sexagesimalstelle pars minuta prima

ohne jedoch für Null ein Zeichen anzuwenden (§ 18 B).

oder kurz minuta,

die Zahl in der zweiten Sexagesimalstelle

pars minuta secunda oder kurz secunda. Hiervon rühren die noch jetzt gebräuchlichen Ausdrücke „Minute" und „Sekunde"

für den 60ten bezw. 60 mal 60ten Teil des Grades oder der Stunde her. Überhaupt liefern die Sexagesimalbrüche der alten babylonischen Astronomen die Erklärung für die eigentümliche Er­

scheinung, daß noch heut bei der Einteilung der beiden wichtigsten astronomischen Größen, dem Winkel und der Zeit, nicht, wie sonst

bei Einteilungen, die Zahl 10 sondern die Zahl 60 maßgebend ist. (§ 20 G u. H.)

§ 20.

Maße. A. Allgemeines. Eine Größe nennt man alles, was aus gleichartigen Teilen besteht oder bestehend gedacht werden kann und deshalb einer Vermehrung und Verminderung fähig ist. Die wichtigsten Größen

sind die Raumgrößen, z. B. ein Stück Acker, die Kraftgrößen,

z. B. ein Druck, der auf eine Wagschale ausgeübt wird, und die

94

§ 20.

Maße.

Zeitgrößen, z. B. die Zeit, welche man braucht, um einen be­ stimmten Weg zu machen. Zu den Raumgrößen gehören erstens die geraden und krummen Strecken, zweitens die ebenen und gewölbten Flächen, drittens die Körper und viertens auch die

Winkel. Da Größen vermehrt oder vermindert gedacht werden können, so kann man sie auch mit unbeuannten Zahlen multipliziert denken und dadurch wieder Größen von derselben Art erhalten. Umgekehrt erhält man durch Division zweier gleichartiger Größen eine unbe­ nannte Zahl. Diese Operation nennt man Messen (§ 11 B 3), der Divisor heißt dabei das Maß oder die Maßeinheit und der Quotient die Maß zahl. Wenn mau also eine Größe mißt, so stellt man sie als Produkt einer unbenannten Zahl, der Maß­ zahl, mit einer gleichartigen Größe, der Maßeinheit, dar. Man

pflegt alle gleichartigen Größen möglichst mit einer und derselben Maßeinheit zu messen und den Namen dieser Maßeinheit un­

mittelbar hinter die Maßzahl zu setzen, sodaß eine benannte Zahl entsteht, z. B. 6| Meter, 5,46 Kilogramm. Da Größen durch benannte Zahlen darstellbar sind und das Rechnen mit benannten Zahlen auf dem Rechnen mit unbenannten beruht, so bildet die Zahlen lehre (Arithmetik) die Grundlage

für das Rechnen mit Größen. Für gewisse Vielfache und Teile einer üblichen Maßeinheit sind oft besondere Xiamen eingesührt, beispielsweise für die Teile des Meters, der Einheit des Längen­

maßes. Z. B. 34,8526 m = 34 m 8 dm 5 cm 2,6 mm. Bei verschiedenen Völkern und in verschiedenen Zeiten sind für das Messen einer und derselben Art von Größen auch ver­ schiedene Maßeinheiten üblich gewesen. Diese unter einander zu vergleichen, d. h. das Verhältnis gleichartiger Maßeinheiten aufzu­ finden, ist die Aufgabe der Metrologie.

B. Längenmaße. 1. Gegenwärtiges deutsches und französisches Längenmaß. Als Maßeinheit für das Messen von Strecken gilt in Deutsch­ land, Frankreich und einigen anderen Ländern das Meter, welches am Ende des vorigen Jahrhunderts von den Franzosen als der

Die Eintei­ lung und die Vervielfachung des Meters ist streng dezimal, nämlich:

vierzigmillionte Teil eines Erdmeridians bestimmt ist.

lkm = 10 hm

=

100

1000 m = lOOOOrfm ----- 100000 cm = 1000 000 mm.

Dm =

2. Alles preußisches Längenmaß. 1 Fuß = 12 Zoll = fr Elle = fr Nate = Meile ---- 0,3138535 m. Ferner: 1 geographische Meile = 4 Seemeilen — ^frö des Äquators = 7420,43854 m und 1 Neumeile = 7500 m.

3. Antikes griechisches Längenmaß. 1 GTatfiov = 6 7ikt&ga — 100 oqyviai — 400 — 600 nodtg — 800 GTU&aucci — 2400 ncdcuGrai — 9600 daxTukoi, — 184,98 m; 1 TtcqjaGci'y'yrjg (persisch) — 30 GTachcc — 5549 m. 4. Antikes römisches Längenmaß. «) Technische Maße. 1 cubitus — 2 pedes — 6 palmi — 24 digiti — 0,4436 m. ß) Feldmesser-Maße. 1 actus — 12 decempedae — 24 passus — 48 gradus — 120 pedes

= 35,49 m. /) Weg -Viaße. 1 Meile (mille passus) (= 8 Stadia) — 1000 passus — 5000pedes

= 1478,50 m.

€. Flächenmahe. 1. Gegenwärtiges deutsches und französisches Flächenmaß.

Als Einheit des Flächenmaßes gilt ein Quadrat, von dem jede Seite ein Meter lang ist. 1 qm — 100 qdm = 10000 qcm = 1000000 qmm; la = — 100 qm; 1 qkm = 1000 000 qm. 2. Altes preußisches Flächenmaß. 1 Quadratfuß ---- fr* Quadratrute = 144 Quadratzoll = 0,09850405 qm-, 1 Morgen == 180 Quadratruten = 2553,225 qm-, 1 geographische Quadratmeile = 55'062910 qm.

1

tiXe&qov

3. Antikes griechisch es Flächenmaß. — 10000 nodfs — 950 qm,

4. Antikes römisches Flächenmaß. 1 jugerum — 2 actus (quadrati) — 288 scripula (decempedae quadratae) — 28800 pedes quadrati — 2518,2 qm.

D. Körpermahe. 1. Gegenwärtiges deutsches und französisches Körpermaß. Als Einheit des Körpermaßes gilt ein Würfel, von dem jede Kante ein Meter lang ist.

§ 20. Maße.

96

«) Für Festes. 1 cbm — 1000 cdm — 1000000 ccm — 1000000000 cmm.

i

/?) Für Flüssiges.

V l = jöö kl = i ooo cbm.

2. Altes preußisches Körpermaß. «) Für Festes. 1 Kubikfuß ----- 0,03091584 cbm. f) Für Flüssiges. 1 Quart = 1,14503 l. 3. Antikes griechisches Körpermaß. «) Für Festes. 1 pschfwos — 6 fettig — 48 xoiwxtg — 1152 xva&oi — 0,05253 cbm. /S) Für Flüssiges. 1 ptTQi]iT}g — 12 /off — 144 xoTvkcu — 288 itTccQia — 864 xva&oi = 39,39 l.

4. Antikes römisches Körpermaß. «) Für Festes. 1 modius — 2 semodii — 16 sextarii — 32 heminae — 64 quartarii — 128 acetabula — 192 cyathi — 0,008754 cbm. ß) Für Flüssiges. 1 amphora — 2 umae — 8 congii — 48 sextarii — 96 heminae — 192 quartarii — 384 acetabula — 576 cyathi — 26,262 l.

E. Gewichte. 1. Gegenwärtiges deutsches und französisches Gewichtsmaß. Als Einheit des Gewichts gilt das Kilogramm. Ein Kilo­ gramm ist das, was ein Liter reinen Wassers bei der größten Dichtigkeit (4 Grad Celsius) wiegt. Ein Gramm ist 7^ Kilogr. 1 (j = 10 dg — 100 cg — 1000 mg-, 1 kg =

= 100 Dg = 1000

1 Centner = 100 Pfund ---- 5000 Neulot oder Dekagramm = 50000 g. 2. Antikes griechisches Gewichtsmaß. 1 TaXaviov — 60 f.tvai — 6000 d^a//zaZ — 36000 oßokov — 288 000 yakxdi — 36,156 kg.

3. Antikes römisches Gewichtsmaß. 1 libra (as) — 12 unciae — 48 sicilici — 96 drachmae (denarii) — 288 scripula — 576 oboli — 1728 siliquae — 0,32745 kge

F. Münzen. Bei dem Vergleich der Münzen ist immer, wenn kein ge­ setzlich festgestelltes Verhältnis vorhanden ist, der heutige Metall-

Maße.

wert in Mark angegeben.

§ 20.

97

Dabei ist namentlich zu beachten, daß

die Zahl, welche angiebt, wieviel mal soviel wert 1 Gewichtsteil

Gold ist,

als ein gleicher Gewichtsteil Silber, in der Neuzeit

15| bis 15 ist, im Altertume aber 13 bis 10 war. 1. Gegenwärtiges deutsches Münzmaß. IX — 100 Pf. Es giebt Goldmünzen zu 20 X, 10 X, 5 X, Sil der münzen zu 5^, 2 X, 1 X, 50 Pf, 20 Pf, Nickelmünzen zu 10 Pf, 5 Pf, Kupfermünzen ju 2 Pf, 1 Pf. Eine Goldmünze soll an Gold, an Kupfer enthalten, und das in ihr befindliche Gold soll • a y wiegen, wenn fie a X gilt. Eine Silbermünze soll mi Silber, r‘ö an Kilpfer enthalten, und das in ihr befindliche Silber soll W * a y wiegen, wenn fie a gilt.

2. Altes preußisches Münzmaß. 1 Thaler — 30 Silbergroschen — 360 alte Pfennige ----- 3 X.

3. Österreichisches Münzmaß. 1 Silber-Gulden = 100 Kreuzer = 2 X. 4.

Französisches, belgisches, italienisches und schweizerisches Münzmaß. 1 Franc — 100 Centimes (= 20 Sous) == 0,8 X.

5. Englisches Münzmaß. 1 Pfund Sterling Gold (Sovereign) — 20 Shillings — 240 Pence — 960 Farthings — 20,43 X. 6. Nord-Amerikanisches Münzmaß. 1 Gold-Dollar = 100 Cents --- 4,19 X.

7. Russisches Münzmaß. 1 Silberrubel — 100 Kopeken — 3,224 X. 8. Antikes griechisches Münzmaß.

2

Überhaupt darf bei der Auflösung der Gleichungen jeder Weg eingeschlagen werden, welcher schnell zur Isolierung der Namentlich beachte man, daß man einen ge­ meinsamen Faktor beider Seiten einer Gleichung fortlaffen darf, wenn derselbe die Unbekannte nicht enthält. Auch darf man beider­

Unbekannten führt.

seits alle freien Vorzeichen in die entgegengesetzten verwandeln, d. h. die beiden Seiten der Gleichung mit — 1 multiplizieren. D) Enthält eine Gleichung mehrere Buchstaben, so kann man

jeden als unbekannt (alle übrigen dann als bekannt) betrachten, und deshalb jeden Buchstaben durch die übrigen aus drücken.

Die Gleichung heißt dann nach dem als Unbekannte gewählten Buchstaben gelöst.

Es giebt z. B. 2 x -|- | a = 4 (b — c — *-)

nach x gelöst: x = b — c — /g a, nach a gelöst: a = '/b — ‘3-c — '3fi x, nach b gelöst: b = x + c + ^a.

E) Mit Hilfe der Gesetze der 4 Spezies kann man nur solche Gleichungen lösen, welche sich auf die Form a»x = b

bringen lassen, wo a und b bekannte Zahlen oder BuchstabcuDie Lösung von Gleichungen, welche auf andere z. B. auf cx2 -4- dx = e, führen, wird erst später be­ sprochen (§ 27). Doch können hier schon solche Gleichungen gelöst

Ausdrücke sind.

Formen,

Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten in arithmetischer Sprache. § 21.

101

werden, bei denen Glieder, die x2, x3 u. s. w. enthalten, sich fort­

heben.

Z. B. 3(x — 2) (2x -r 15) — (6x — 1) (x 4- 2) giebt

zwar zunächst 6x2 -v- 33x — 90 — 6x2 4- 11 x — 2, dann aber 33 x — 90 — 11 x — 2, also x — 4.

F) Ist in der eingerichteten Gleichung ax — b, der Koeffizient a null und bnicht null, so ergiebt sich (§ 13 H) x =oo. Z. B. 3x 4- 4 = 3x 4- 5 giebt: 0• x = 1 oder x = oo. Ist hingegen nicht nur a = 0, sondern auch b = 0, so wird x = £, d. h. x kann jeden beliebigen Wert haben (§ HD). Die Algebra macht uns also durch ihre Antwort x — -JJ- darauf auf­ merksam, daß die gegebene Gleichung keine Bestimmungsgleichung, sondern eine identische Gleichung (§ 4B) war.

-Jx + b = 7-X-— ——iß

Z. B.:

b----- — giebt 8x 4- 10b = 7x 4- 14b — 4b 4- x

oder 8x — 7x — x — 14b — 4b — 10b oder 0 • x = 0.

In der That entsteht aus der rechten Seite der ursprüng­ lichen Gleichung durch Umformung leicht die linke, nämlich: 7(x 4-2b) — (4b — x) 10 “

7x4-14b — 4b 4- x 8x 4- 10b 8 10. 10 — IÖ — T° x * O

- Jx + b.

G) Wenn ein gemeinsamer Faktor beider Seiten die Unbe­ kannte x enthält, so kann man diesen Faktor gleich null setzen, weil dadurch die beiden Seiten der Gleichung null werden,

die Gleichung also erfüllt wird. Durch das Nullsetzen des x enthaltenden Faktors gewinnt man aber eine Gleichung zur Bestimmung von x. Z. B.:

gemeinsamen,

Aus 7(x — 15 ) — |(x—15)—x 4- 15 folgt zunächst: 7(x—15) = |(x— 15) — (x— 15). Wenn man nun den gemeinsamen Faktor x — 15 gleich null setzt, so kommt auf beiden Seiten der Gleichung Null, dieselbe wird also erfüllt. Deshalb ist x — 15 — 0 oder x — 15. Man erkennt die Nichtigkeit dieses Verfahrens auch, wenn

man die Gleichung auf Null bringt, d. h. alle Glieder nach links transponiert, dann den gemeinsamen Faktor absondert, und durch den andern Faktor des links entstandenen Produktes divi­

diert.

So entsteht bei unserm Beispiel:

zuerst (x —15) (7 — ’ 4-1) = 0 und daraus x — 15 —

‘

3

, ,. 1

102

§ 21.

Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten in arithmetischer Sprache.

Der Quotient rechts hat nur den Wert null, Nenner von null verschieden ist (§ 11V 2).

weil sein

Hätte man durch den x enthaltenden Faktor x — 15 dividiert,

so hätte man 7 — { 4- 1 =

enthalten, und hieraus, da die

linke Seite nicht null ist, folgern müssen, daß auch die rechte Seite von null verschieden ist, was nur möglich ist, wenn auch x — 15 = 0 ist (Vieldeutigkeit von ").

Ist x selbst gemeinsamer Faktor auf beiden Seiten einer Gleichung, so hat man sich x = 0 zu notieren.

Es kann auch vorkommen, daß beide Faktoren des gleich null gesetzten Produktes x enthalten. Dann darf man jeden der beiden Faktoren einzeln gleich null setzen, weil ein Produkt

von zwei Faktoren auf zweifache Weise null werden

kann, erstens dadurch, daß der erste Faktor null wird,

zweitens dadurch, In diesem Falle deshalb auch zwei von x, von denen

daß der zweite Faktor null wird. erhält man zwei Gleichungen, und im allgemeinen verschiedene Werte jeder die gegebene Gleichung be­

friedigt. Z. B.: Aus x(x — 2 a) 4- c(x — 2 a) = 3b(x — 2 a) folgt (x — 2a) (x 4- c — 3b) = 0, also sowohl x — 2a = 0 wie auch x4-c — 3b = 0. Hieraus folgt einerseits x = 2a, anderer­ seits x=3b—c. Beide Werte befriedigen die gegebene Gleichung. Das Erkennen eines gemeinsamen, x enthaltenden Faktors

ermöglicht oft die Lösung auch von solchen Gleichungen, welche nicht auf die Form ax = b gebracht werden können. Z. B.: Die

Gleichung

| (x — 3) = 2(x — 5) 4- 2(x — 1)

führt bei Anwendung der gewöhnlichen Lösungsmethode auf eine

mit Hilfe der 4 Species nicht lösbare Gleichung, nämlich

auf x2— llx = — 24. Wenn man aber die Klammern nicht

auflöst, sondern links ein Produkt bildet, so kommt:

|(x —3) = 2.(2x —6) oder |(x — 3) = 4(x — 3), woraus sofort erstens x — 3 = 0, zweitens | = 4 erkennbar ist.

Deshalb ist sowohl x = 3 wie auch x = 8 eine richtige Lösung der Gleichung.

Eingekleidete Gleichungen ersten Grade« mit einer Unbekannten. § 22.

103

H) Der in A angegebene Weg zur Lösung von Gleichungen führt auch zur Lösung von Ungleichungen, d. h. dazu, aus

einer gegebenen Ungleichung eine Ungleichung von der Form x>a

oder x < a oder x > a oder x < a zu folgern, wo x die Unbe­ kannte, a eine bekannte Zahl ist. Z. B.: Die Ungleichung

2

, 1+2 ' 3

x+3 4

liefert die Lösung x > —

§ 22.

EmzeKlei)ete Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten. A) Eingekleidete Gleichungen sind Aufgaben, welche in Worte gekleidet sind, und Fragen enthalten, die durch Auflösung einer Gleichung beantwortet werden können. Die in Worten ge­ machten Angaben hat man in die arithmetische Sprache so zu

übersetzen (Ansatz), daß eine Bestimmungsgleichung entsteht, deren Auflösung die Antwort liefert. Hierzu zwei Beispiele: I) Aufgabe: Wenn man das Siebenfache einer gewissen

Zahl von 100 subtrahiert, so kommt dasselbe heraus, als wenn man das Vierfache von 85 subtrahiert.

Wie heißt jene Zahl?

Auffindung des Ansatzes: Man bezeichnet die gesuchte Zahl mit x, und sucht diejenige Stelle des Wortlauts auf, welche

arithmetisch durch ein Gleichheitszeichen auszudrücken ist. Es ist dies hier die Stelle „so kommt dasselbe heraus". Hieraus ent­

nimmt man das Gleichzusetzende, das ist hier die Zahl, welche auf doppelte Weise herauskommt. Man drückt dann diese Zahl

sowohl auf die eine Weise, wie auch auf die andere Weise (durch x) Also hier: einerseits 100—7x, andrerseits 85 — 4x. Durch Gleichsetzung der so entstandenen Ausdrücke erhält man die Gleichung. Lösung der Gleichung: 100 — 7x — 85 — 4x aus, den Angaben entsprechend.

100 — 85 — 7x — 4x

15 — 3x x = V=-5. Formulierung der Antwort: Aus der für x gefundenen

Zahl hat man durch Zurückübersetzung die Antwort zu bilden, nämlich hier: „Jene Zahl heißt fünf."

§ 22. Eingekleidete Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekanntem.

104

2) Aufgabe: Zwei Nachbarn kaufen gleichzeitig Hafer, der erste 100 hl, der zweite 85 hl. der zweite nur 4 hl.

Der erste verbraucht täglich 7 hl,

Nach wieviel Tagen sind ihre Borräte gleich

und wieviel hl hat dann Jeder? Auffindung des Ansatzes: Wir nehmen an, die Borräte seien nach x Tagen gleich. Der Erste verbraucht in 1 Tage 7 hl,

also in diesen x Tagen 7x hl.

Ihm bleiben deshalb nach Ver­

lauf dieser Zeit uoch 100 hl — 7x hl.

Der Zweite verbraucht in

1 Tage 4 hl, also in jenen x Tagen 4x hl. nach 85 hl — 4x hl.

Ihm bleiben dem­

Beide Borrat-Reste sollen gleich feilt, also:

100 hl — 7x hl — 85 hl — 4x hl.

Aus dieser Gleichung zwischen gleichbenannten Zahlen bildet man eine Gleichung zwischen unbenannten Zahlen, indem man die

gleiche Benennung rechts

und

links fortläßt,

d. h. die

beiden

Seiten der Gleichung durch 1 hl dividiert. (§ 20 A.)

Also:

100 — 7x = 85 — 4x.

Lösung der Gleichung: Man ist auf ganz dieselbe Glei­

chung geführt, wie in Aufgabe 1), erhält also x — 5. Formulierung der Antwort:

„Die Vorräte der beiden

Nachbarn sind nach 5 Tagen gleich."

Setzt man in der obigen

Gleichung x — 5, so erhält man auf beiden Seiten 65, und damit sowohl eine Probe für die Richtigkeit der Rechnung, wie auch die

Antwort auf die Frage, wie groß die Vorräte nach Verlauf jener Zeit sind, nämlich 65 hl. B) Bei der Auffindung des Ansatzes und der Deu­

tung des algebraischen Resultats hat der Anfänger namentlich folgendes zu beachten:

1) Man suche zuerst nicht allein danach, welche Größe man

paffender Weise als Unbekannte wählt, sondern auch danach, welche

Größe sich doppelt ausdrücken läßt.

Dies ist selten die Unbe­

kannte selbst. 2) Scheinen mehrere Größen unbekannt zu sein, so betrachte

man doch nur eine als die Unbekannte der aufzustellenden Glei­ chung.

Es muß dann gelingen, die anderen Größen durch die

gewählte Unbekannte auszudrücken.

3) Häufig thut man besser, nicht die Größe, nach welcher gefragt ist, als Unbekannte anzusehen, sondern eine andere Größe, durch welche die gefragte Größe ausgedrückt werden kann.

Eingekleidete Gleichungen ersten Grade« mit einer Unbekannten. § 22.

105

4) Enthält eine Angabe zwei verschieden benannte Größen, so reduciere man immer, wie beim Regeldetri-Ansatz, auf die Ein­ heit, was immer auf doppelte Weise geschehen kann. Z. B.: a) Aus der Angabe „Er macht 4 km in 45 Minuten" kann so­ wohl geschlossen werden „er braucht zu 1 km Minuten" wie auch „er macht in 1 Minute km.“ b) „1 kg kostet 18 JC “ heißt auch „ für 1 bekommt man T‘n kg.“ c) „a Arbeiter brauchen zu einer Arbeit b Tage," heißt „I Arbeiter braucht ab

Tage" oder „zur Fertigstellung in 1 Tage sind ab Arbeiter erforderlich." 5) Eine Gleichung zwischen benannten Größen hat nur* dann Sinn, wenn die Größen gleichartig sind, also entweder nur Strecken-Größen oder nur Zeit-Größen oder nur Gewichts-Größen Diese Größen hat man auf dasselbe Maß zu redu­ cieren, ehe man die Benennung fortläßt. 3.2). |(x kg -t- 400 g) — 750 g giebt: |(1000x g 4- 400 g) — 750 g, also schließlich: u. s. w.» sind.

1(1000x4-400) - 750. 6) Wenn ein gefundener Wert von x mit der gestellten Frage unvereinbar ist, so folgt hieraus entweder, daß man sich verrechnet hat, oder daß die Aufgabe unmögliche Bedingungen enthält, oder endlich, daß man eine falsche Voraussetzung über die Größenart

von x gemacht hat. Nanientlich tritt dies ein, wenn man für x eine gebrochene oder eine negative Zahl erhalten hat, während x der Einkleidung der Aufgabe nach eine natürliche Zahl sein muß (z. B. wenn x die Zahl von Personen bezeichnet). Müßte x eine positive ganze Zahl sein, während man eine negative ganze Zahl erhält, so kann man dem Resultate oft noch dadurch

einen Sinn verleihen, daß man die Fragestellung etwas abändert. Ist z. B. gefragt, wieviel Schritte Jemand vorwärts gehen müsse, damit er um eine gewisse Zeit mit Jemand zusammentreffe, so

wird man die Zahl der vorwärts zu machenden Schritte mit x bezeichnen. Ergiebt sich dann x — — 15, so heißt dies, daß der

Betreffende nicht vorwärts zu gehen hat, sondern 15 Schritte rückwärts, damit die in der Aufgabe gestellten Bedingungen erfüllt werden. (Vgl. § 9J.) Ist die vermittelst einer Gleichung zu lösende, in Worten gegebene Aufgabe einfach genug, so kann man die Lösung auch in Worten bewerkstelligen.

Man hat dann in Worten dieselben

106

Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache. § 23.

Schlüsse zu machen, welche die arithmetische Lösung mit Hilfe von

Zahlzeichen und Operationszeichen macht. Die arithmetische Lösung ist für den Geübten viel leichter, als die Lösung in Worten, weil

die Arithmetik, welche die Schlüsse genau und übersichtlich darstellt, einen Teil der Denk-Arbeit übernimmt.

§ *23.

Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache. A) Enthält eine Gleichung zwei Unbekannte x und y, so kann man immer die eine Unbekannte, etwa x, durch die andere.Unbe­ kannte y ausdrücken (§ 21 D).

Wenn man dann für y eine

beliebige Zahl einsetzt, so muß sich für x eine zugehörige Zahl

ergeben. Deshalb giebt es unzählig viele Werte-Paare, welche eine Gleichung mit zwei Unbekannten erfüllen. Es wird z. B. die Gleichung 7x — 4y = 1 erfüllt: für x = 1,

y = 1|; für x = 2, y = 3); für x = 2\, y — 4|; für x = 7, y = 1*2; ferner auch für x — — 1, y — — 2 u. s. w. Wenn nun aber zu einer Gleichung zwischen x und y noch eine zweite Gleichung zwischen denselben Unbekannten x und y hinzutritt, so entsteht die Aufgabe, diejenigeu Wertepaare herauszufinden, welche das entstandene Gleich nngssy st em befriedigen, d. h. deren Substitution sowohl die erste wie auch die zweite Gleichung zu

einer identischen macht. Diese Aufgabe löst man dadurch, daß man aus den beiden zusammengehörigen Gleichungen eine neue Gleichung bildet, welche die eine Unbekannte gar nicht mehr enthält. Letztere nennt man dann eliminiert. Die Auflösung der nur eine Unbekannte enthaltenden neuen Gleichung ist nach § 21 zu bewerkstelligen, und liefert den Wert der einen Unbekannten. Die Substitution dieses Wertes in irgend eine der beiden gegebenen Gleichungen ergiebt dann die Möglichkeit, auch die andere Unbe­ kannte zu bestimmen. B) Für die Elimination einer Unbekannten aus einem gegebenen Gleichungssystem sind drei Methoden üblich, welche aus den folgenden Beispielen ersichtlich sind:

Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache. § 23.

107

I. Gleichsetzungsmethode.

s 's % _ 4y -- 1 3x — 1 V 5 —X“

y zu eliminieren, drückt man so4 wohl vermittelst der ersten, wie auch vermittelst der zweiten Gleichung x durch y aus, und setzt die beiden entstandenen, nur y enthaltenden Ausdrücke einander gleich. So entsteht die Elimi­ Um x aus

woraus y — 12 folgt.

nationsgleichung:

Setzt

man nun y = 12 in die rechte oder linke Seite der Eliminations­ gleichung, so erhält man in beiden Fällen x — 7. Das Werte­ paar {y = i3 bildet also die Lösung des Gleichungssystems.

II. Dubstitutionsmethode. (i-x — f-y —j— x) —|— 1 = 0 Um x aus x + v zu eliminieren, drückt y4-2(x-y) = 3

1

man nur vermittelst der einen Gleichung (wir wählen die erste) x durch y aus, und setzt den erhaltenen Ausdruck für jedes in der anderen Gleichung vorkommende x ein. Dabei ist es zweck­ mäßig, diese andere Gleichung vorher möglichst zu vereinfachen. So erhält man aus der ersten Gleichung x — |y — 3, und aus der zweiten Gleichung durch Vereinfachung 35x — 33y — 51, also durch Substitution 35 (|y — 3) — 33y = 51, woraus sich y = 8

ergiebt. Den Wert von x findet man am schnellsten, wenn man y — 8 in die Substitutionsgleichung x = |y — 3 einsetzt. So erhält man x — 9, also das Wertepaar | x = ^. iy=o

III. Additionsmethode. (Methode der gleichgemachten -Koeffizienten.) Man

bringt

die Gleichungen

beide

auf

die

geordnete

Form, d. h. auf die Form ax + by = c, wo a, b, c ganze Zahlen sind, die auch negativ sein können. Dann multipliziert man, um x zu eliminieren, beide Gleichungen derartig mit möglichst kleinen ganzen Zahlen, daß die Koeffizienten von x in den beiden entstandenen Gleichungen gleich werden oder sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Im letzteren Falle ergiebt die Addition, im ersteren Falle die Subtraktion eine von x freie Gleichung. Beide Fälle kommen auf dasselbe hinaus, weil die

Subtraktion als Addition mit umgekehrten Vorzeichen angesehen werden kann (§ 9 F). Z. B.:

108

§ 23.

Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache.

|(x + 4)-y = 8| b ü qeorbiteterJorrit: I 1®x lf>gegeben. 4(4y-l)=3x+2y (—3xH-14y = 4" Man hat hier vor der Addition die zweite Gleichung mit 6 zu multiplizieren und die erste Gleichung unverändert zu lassen.

__^x^84y — 24

Dadurch kommt zuerst

Also ist y = J.

kslnn 74y = 37.

Schließlich findet man durch Substitution von

y = | in irgend eine der beiden Gleichungen, daß x = 1 ist. Um y zu eliminieren, hätte man die erste Gleichung der geordneten Form mit 7, die zweite mit 5 multiplizieren müssen. Dann hätte

+

man

22 20 und darauf lllx= 111, also x = 1

erhalten. Der kleinste Koeffizient, welcher bei der zu eliminierenden Unbekannten erzielt werden muß, ist immer das kleinste gemein­

same Vielfache (§ 17 D) der vorliegenden Koeffizienten dieser Unbe­ kannten. Z. B.:

J21x + 25y = 47 i (4) , I28x+15y = 59 |(3) 91 0

(84x+ 100y = 188 I84x+ 45y = 177'

also 55 y — 11 oder y — |, woraus X — 2 folgt.

Sind die Koeffizienten der geordneten Form allgemeine Zahlzeichen, so ergeben sich die Unbekannten nach der Additions­ methode in folgender Weise:

lax + by = c l(b-) (a'x -b b'y = cr I (b ) ö

sab'x + bb'y = b'c la'b x + bb'y = be''

also (ab - a b)x = b c - bc, also X =

, analog y =

.

C) Wie man sich bei der Auflösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten bisweilen die Rechnung erleichtern kann,

zeigen die folgenden drei Beispiele: 1) Um {42x + y°= 7~" °° lösen, dividiere man die erste Gleichung durch

15,

und

eliminiere

erst dann.

Man

erhält

x = 3, y = 1. 2) Um {Io2x-432y = Z io92 $u lösen, bilde man dadurch,

daß man die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert, eine dritte Gleichung mit kleineren Koeffizienten, nämlich 3 x-j-y — 9, und verbinde dieselbe mit einer der beiden Gleichungen. Man

erhält x — 2, y = 3.

Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache. § 23.

3) Um {4

y "g 1

109

12 zu lösen, hat man, da das Fort-

schaffen der Bruche ein x «y enthaltendes Glied ergeben würde,

auf folgende Art

zu

verfahren.

Man betrachtet

und

als neue Unbekannte, und bezeichnet diese etwa mit u und v.

So kommt vorher

Man eliminiert nun, ohne die Brüche

fortzuschaffen,

nach

der

Additionsmethode,

und erhält

u = 7, v == |, also x — ^2 > — 0,4143. Man beachte immer (§ 26 G), daß der aus x2 — c gezogene Schluß x = | c nur dann richtig ist, wenn man weiß, daß x

positiv sein muß. Bisher war vorausgesetzt, daß bei Vc der Radikand c eine rationale Zahl ist. Man kann jedoch nun, nachdem die Irrational­ zahl eingeführt ist, den Radikand c selbst als positiv und irrational voraussetzen, also z. B. von//34ÖÖ, von Vi — /2,

von 1/7+_9.y.6-~zJ^ u. s. w. sprechen. ' 13 —1/17 Ausdrücke läßt sich

Auch für derartige Wurzel-

nach § 26 D die Berechnung rationaler

Irrationale Quadratwurzeln. § 28.

133

Grenzen leicht bewerkstelligen. Es ist z. B. 7,63 < //3400 < 7,64; 0,765 < /2 —/2 < 0,766.

E) Schon in A) ist gezeigt, wie eigentliche Quadratwurzeln den Operationen der Multiplikation und der Division zu

unterwerfen sind. Man beachte in dieser Beziehung namentlich noch Folgendes: 1) ®ci /c läßt sich jeder mehr als einmal in der ganzen Zahl c enthaltene Primfaktor vor das Wurzelzeichen setzen, z. B. /18—/9»2 = 3 /2, /1Ö8 = |/^ = 2.3/3 = 6/3. 2) Umgekehrt läßt sich der Koeffizient einer Wurzel unter das Wurzelzeichen bringen, z.B. 4 ZlT — /176, 14/3 — /588.

3) Einen Quotienten, dessen Divisor eine eigentliche Wurzel ist, pflegt man so umzugestalten, daß die Wurzel auS dem Divisor

verschwindet, indem man mit dieser Wurzel Dividendus Divisor multipliziert, z. B.:

und

—= -/S, 16 /3 48 ’ 2/6 2/6/14 2.2/21 2 /5T Tn ~ 14 14 ~ 1 V'2L

4) Man sucht also immer ein Produkt zu bilden, dessen erster Faktor eine rationale Zahl, und dessen zweiter Faktor die Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl ist, die keinen Primfaktor mch,enthält. _ äs 7 _ 21

3. 8.

sSind zwei solche Produkte einander gleich, so müssen sowohl

die rationalen Faktoren wie auch die Radikanden unter sich gleich sein. Denn aus a/r = a'/P folgt, daß ]/p = oder

p — Q y sein muß; p kann aber, da r und / keinen Primfaktor mehr als einmal enthalten sollen, keinem andern Quadrate gleich sein, als der Zahl 1. Also ist a — a' und r — /.] F) Hinsichtlich der Addition und Subtraktion von eigent­ lichen Quadratwurzeln gelten folgende Sätze:

1) Die Summe oder Differenz zweier eigentlicher Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen ist entweder irrational oder null. Denn wäre /ä±/b gleich einer

134

8 28. Dritte Erweiterung de« Zahlenzebirt«,

rationalen Zahl r, so würde folgen: Va — r ± Vb oder a — r2±2rVb4-b, also qz 2 rVb = r2 4- b— a, eine Gleichung, die, wenn Vb irrational ist, nur dadurch möglich wird, daß r

gleich null ist. 2) Die Summe oder Differenz einer von null verschiedenen rationalen Zahl und einer eigentlichen Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl ist weder rational, noch auch die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl. Denn wäre a± Vb gleich einer rationalen Zahl r, so müßte ± Vb = r — a sein, was unmöglich ist, da b kein Quadrat sein soll. Wäre ferner a ± i'b — Vc, wo c rational ist, so müßte a = Vc Vb sein, was nach Satz 1) unmöglich ist. In den beiden Zahlformen a 4- Vb und a — /b

lernt man also Irrationalzahlen kennen, die nicht Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen sind. Man nennt solche Zahlformen irrational-komplex. Zwei irrational-komplexe Zahlen, welche sich durch nichts weiter als durch das Vorzeichen vor der Quadratwurzel unterscheiden, heißen konjugiert-irrational, z. B. 3 4— Vb und 3 — i ö: — 1 4-) 2 und — 1 — V*2; — £ 4* | und —| — * V3. Bon zwei konjugiert-irrationalen Zahlen ist sowohl die Summe, wie auch das Produkt rational; denn es ist: (a 4- Vb) 4- (a — Vb) = 2a und (a 4- Vb) (a - Vb) = a2 — ( Vb)2 = a2 - b.

3) Wenn zwei irrational-komplexe Zahlen gleich sind, so müssen sowohl ihre rationalen Bestandteile, wie auch ihre irrationalen Bestandteile unter sich gleich sein; denn aus a4- Vb = c 4- Vd folgt a — c = V'd — Vb,

was nach Satz 1) nur möglich ist, wenn a — c null ist, woraus sowohl a = c, wie auch b = d folgt. Weiß man also z. B., daß x 4- Vx 4- y — 11 4- V13 ist, und daß x und y

rational sind, so folgen hieraus zwei Gleichungen, nämlich x — 11 und x4-y = 13, d. h. x ist gleich 11 und y gleich 2. G) Wie mit algebraischen Summen, deren Glieder sämtlich oder teilweise eigentliche Quadratwurzeln sind, gerechnet wird, zeigen die folgenden Beispiele:

1) V5 + V5Ö + V45-VT8 = V5 + 5V‘2 4-3V5-3V2 = 4V5 + 2V^ 2) (44-V = /ß—2/5 /34-B = /8 = 2/2, 6) (/6 4- /14) V^-~VT\ = /204-4/21 /5—M = /16 = 4. Bisweilen kaun man einen Ausdruck von der Form Va±~v^T, wo a und b rational sind, in der Form c± /d oder /c ± /d,

wo c und d rational sind, darstellen. Man benutzt dazu die Formel: /a± /a2—von deren Richtigkeit man

sich überzeugt, wenn man beiderseits quadriert und beachtet, daß q