Surfaces Aleatoires: Mesure Geometrique des Ensembles de Niveau (Lecture Notes in Mathematics, 1147) (French Edition) 3540156887, 9783540156888

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

1147 Mario Wschebor

Surfaces Aleatoires Mesure Geornetrique des Ensembles de Niveau

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

1147 Mario Wschebor

Surfaces Aleatoires Mesure Geornetrique des Ensembles de Niveau

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Auteur

Mario Wschebor Universidad Simon Bolivar Departamento de Mathematicas Apartado Postal No. 80659 Caracas, Venezuela

Mathematics Subject Classification (1980): 60G60, 60D05 ISBN 3-540-15688-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo ISBN 0-387-15688-7 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin Tokyo

CIP-Kurztitelaufnahmeder Deutschen Bibliothek. Wschebor. Mario: Surfaces aleatoires: mesure geometro des ensembles de niveau 1 Mario Wschebor .. Berlin: Heidelberg; New York: Springer, 1985. (Lectures notes in mathematics; Vol. 1147) ISBN 3-540-15688-7 (Berlin ...) ISBN 0-387-15688-7 (New York ...) NE:GT This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1985 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2146/3140-543210

INTRODUCTION

SoH {X(t) : t E Rd } un processus stochastique et a valeurs reel1es.

a

d-parametres reels

Nous allons etudier un certain nombre de prob1emes lies

aux ensembles de niveau des trajectoires : {t: X(t)

= u}

Sous des conditions de regu1arite nous pouvons definir 1a mesure (a1eatoire) d'aire

(d-l)-dimensionnel1e de cet ensemble (nombre des points si

longueur de courbe si

d

=

2, aire de 2-surface si

d

=

d = 1,

3 et ainsi de suite)

et ca1cu1er ses moments par des formu1es integra1es, dans le meme sens que ce qui a ete fait dans le cas d

I,

a partir

ds travaux de pionnier de

S.D. Rice ([R2J) de 1944-45. Or, dans le cas general i1 nous faut d'abord bien definir cette mesure, avoir des outi1s pour pouvoir 1'estimer de principales proprietes.

convenable et etudier ses

Ceci est fait dans 1e chapitre 1, base sur des idees

deve Ioppees par E. Oe Gi orgi ([02], [03]) . Dans le chapitre 2 nous abordons 1a question du comportement local des trajectoires d'une surface a1eatoire pres d'un niveau donne, qui est etroitement liee

a 1a

geometrie de 1'ensemble de niveau.

de ce chapitre depend de

La demonstration du Theoreme 4

essentielle des proprietes geometriques fines

des perimetres definis au chapitre 1.

IV

Dans le chapitre 3 nous exposons les resultats principaux, a savoir les fonmules de type Rice pour les moments des variables aleatoires (cf.

chapitre 1 pour la definition). Dans le cas d = 1 on retrouve bien sOr les formules classiques exposees,

par exemple, dans [C5] pour les processus gaussiens stationnaires et [M2] en general. Dans le cas d > I, la fonmule pour le premier moment de

a ete

connue pour certains processus gaussiens stationnaires avec des trajectoires suffisamment regulieres deja par M.S. Longuett-Higgins dans [L3] et demontree aussi dans IBSJ et [W3]. Un probleme apparente est considere dans [Zl]. Sauf pour certaines situations

de

expresse,

nous nous sommes en general places dans le cadre des processus qui p.s. ont des trajectoires qui sont des fonctions de classe C1• Les formules de Rice ont ete demontrees sous des conditions un peu plus generales dans le cas d [B6'1

=1

dans

et [M2]. Neanmoi ns, puisque nous serons surtout i ntsresses au cas d > 1,

nous restons dans des conditions qui, avec les techniques que nous allons employer, sont celles qui s'adaptent mieux aux "vraies" surfaces (i.e. au cas d > 1). Le chapitre 4 decrit un exemple d'application des methodes exposees avant, a 1'approximation du temps local du processus de Wiener a d parametres (d

1).

En general le choix des sujets reflete plutot les interEits recents de 1'auteur qu'une vue d'ensemble sur la theorie des surfaces aleatoires.

11 s'agit aussi du

developpement de methodes de calcul qui soient independantes d'un ordre prefixe sur l'espace parametrique, qui, en general, n'est pas donne de

naturelle.

Un texte equilibre devrait contenir -entre autres- certains aspects de la description geometrique des ensembles de niveau des surfaces aleatoires qui ne sont pas mentionnes iei (voir, par exemple, !A2], 134], 1W2I et references ci tees}. Aussi, 1'etude de 1'integration stochastique a plusieurs parametres et les sujets qui 1ui sont 1i es

(tZ),{G]J, [121 ) •

v Dans cette monographie nous avons inclu tres peu d'exemples et d'applications. En particulier, nous allons revenir ail leurs sur les applications de la theorie exposee ici

a divers

problemes de statistique, notamment

a des

questions de mode-

lisation de phenomenes naturels. Le texte est une version corrigee du cours que j'ai fait au Laboratoire de Mathematique d'Orsay en mai­juin 83.

Je tiens

a

remercier J. Bretagnolle et

D. Dacunha­Castelle et aux autres membres de l'equipe de statistique qu'ils dirigent par 1 'excellent climat technique et humain dont j'ai pu profiter pendant mon sejour de l'annee 1983. Specialement

a

Dominique Picard qui a lu une premiere ver-

sion du manuscrit et fait des observations qui ont contribue

a 1 'ameliorer

et

a

Nicole Parvan et Anne­Marie Baillet pour leur impeccable travail de secretariat.

r·lario Wschebor

TABLE

I NTRODUCTI ON . • • .

I

•

I

DES

MATIERES

••••

•••••

I

I

I

I

I

CHAPITRE

I.

d PERIMETRES D'ENSEMBLES BORELl ENS DANS IR .

CHAPITRE

2.

EXISTENCE D'EXTREMA LOCAUX

I

•

...

I

3.

14

FORMULES DE RICE • • • • • • •

I

I

I

• •

J

4.

31 37 39

51 59

APPROXIMATION DU TEMPS LOCAL DU PROCESSUS DE WI ENER A d-PARAMETRES

BIBLI OGRAPH IE

•

I

•••

I

I

INDEX DES NOTATIONS . . . . INDEX DES TERMES . . .

I

I

••

I

•

I

•

I

I

•

I

•

•

•

I

•

I

••

,

•

I

•

I

I

I

I

•••••

•

I

•

•

•

I

I

•••

•

•

•

88

107 110

"

•

28 28

3.1. Notations et hypotheses 3.2. Finitude des moments du nombre de passages par un niveau (d = 1) ..... 3.3. Commentaires sur H1• K et HZ K • 3.4. Premier moment de QT(A X u) 3.5. Moments d'ordre superieur de QT(AC) 3.6. Remarques diverses sur les formules de Rice

CHAPITRE

11 12

2.1. Le cas gaussien . 2.2. Le cas general

CHAPITRE

1

•

III

CHAPITRE 1 d D'ENSEMBLES BORELl ENS DANS m

Pour 1'expose de ce chapitre nous suivons de tres pres le livre de M. Miranda [M3]. DEFINITION. Soient 0 un ensemble ouvert et B un bore l ten dans appeler "per imetre relatif de B par rapport

a

0"

Nous allons

(fini ou infini)

(O))d indique 1'ensemble des fonctions de lR d

ou

lR d.

dans

a:

]Rd. de classe

COO

et support compact contenu dans O. (dt)

dans

]Rd - pour laquelle on va employer auss i parfois la notation lld(dt)II. II est la norme euclidienne dans lRd•

et

est 1a mesure de Lebesgue

Nous allons enoncer les proprietes dont nous allons nous servir dans 1es chapitres suivants. et demontrer la p1upart d'entre elles.

PROPOSITION l. 0, 0;

indiquent des ouver-ts ,

B. B i

des bore l iens dans

R

d et XB

la fonction indicatrice de B.

(i i)

01 c O2 => 0 (B) 01

(i i i )

Bc 01 => QO(B) = °on01(B).

(; v)

XB -+ XB => QO(B) n

OO/B)

et On to=> Q (B) t 00(B). On

lim inf QO(B n). n

2

La demonstration est immediate, d'apres la definition (1). Nous allons employer la notation suivante : so i t 'l' : lR d...,.. lR+ une approxtE d, mation COO de 1 'unite dans lR ces t-a-dtre que pour chaque E > 0, 'l'E est une fonction de classe Pour chaque fonction

PROPOSITION 2. Soi ent (a)

JlR d'l'

Coo,

E

(t)dt = 1, supp(v )cB(O; E)

9ELioc(lRd)

E

{t :

Ilt[[ 6} . Demonstration. ------------(a) Supposons v: lRd"""lRd, de classe Coo,

1

';J

tElR

d

et

supp(v) compact et contenu dans O. Alors

JBdiv(v(t) )dt (( . ,. )

1 im

n-co

flR d

9 (t)div(v(t) )dt n

note 1e produit scala ire usue1 dans

= -

lR d)

Or,

et (2) se deduit de la definition du perimetre.

1 im

n-co

JlR d (grad(g n (t)),v(t))dt ;

en i ntegrant par parties.

3

(b)

Supposons

v comme avant, sauf que, en plus, supp(v) eO_

8

.

Nous avons :

= ou w(s) On a bien «e E:

=-

< 8

I

B

I

lR d 'PE(t-s)v(t)dt.

))d, supp(w)eO

supp('P e B(O ; 8)E)

div(w(s))ds

-parce que

supp(v)eO_

8

et

et auss i

Donc,

JlRd (v(t),

(4)

grad(xB) (t) )dt : : 00(B). E-

Un argument d'approximation montre que le deuxieme membre de (3) peut etre approche d111Ssi pres que l'on veut par des i nteqra l es de la forme

JlR d (v(t) ,grad(XB) E (t))dt et Ilv(t)ll;; 1 'r/ tElR d.

ou Soit de

Be lR d

un bore l ien dans

lR d.

Donc,(4) implique (3).

On definit la "f'ront f ere essentielle"

B par

a notant la frontiere usuelle. PROPOSITION 3. (Cas particuliers importants). (a)

Soit

B une d-variete differentiable avec bord

pour chaque ouvert

0, nous avons

aB

dans

d

lR .

Al ors ,

4

ou

0d_1

indique la mesure d'aire ordinaire.

(b) Soit d = 1.

Dans ce cas 'V

# (aB nO) .

QO(B)

(6)

Soit

1 V t lR

d•

D'apres la formule

de Green :

JB div(v(t»dt = JaB no (v(t),n(t»

(7)

ou

note la normale unitaire

n(.}

a

dod_1(t)

aB orientee vers l'exterieur de B.

Il s 'ensuit que et done, que

en utilisant la definition (I). Pour prouver (5) on construit un champ vectoriel vE IIv(t)ll; 1 d et tel que le deux i eme membre de (7) approxime 0d_1 (aB n 0) d'arbiV t E lR trairement pres.

Pour faire cela on observe qu'il suffit de faire l'approxima­

tion localement et ceci est possible en prenant pour v(.) n(.)

une approximation de

au voisinage de chaque point de aBnO. Pour demont rer (b), si

(a), quitte

a remplacer

qui ne change pas QO(B)

'V

aBnO est un ensemble fini, il suffit d'appliquer

B par un ensemble de la forme B!::J. N, ]11 (N) = 0, ce (cf. prop. 1, (i».

'V

Si aB n 0 est infini, nous pouvons raisonner de la marriere suivante Pour chaque m (m = 1,2, ... ) prenons m prrints 'l"""m appartenant 'V

ss n o et m intervalles ll' ... ,l m, 2 a 2 disjoints, 'iEli' (i = 1, .•. ,m). D'apres la proposition 2 (b),

no us avons pour o
0 :

Or. grad(g ) = [(1- (XE ) n grad«XE ) ) + [(1- (XE ) )]grad«xE ) ) £ 2£ 1£ 1£ 2£ et puisque 0

(XE

i)£

; 1 (i = 1.2). on conclut :

6

en utilisant la partie (b) de la Proposition 2.(9} decoule alors, de la Proposition 1 (ii), en faisant Quant

a

(8), s i

f u(DE

O.

6

v

div(v(t)}dt = lim

N..-ro

n=l n

d

II v(t) II

(O))d,

1 V tE lR , nous avons :

f uN En div(v(t})dt

lim inf

n=l

1

En)

N


a

p)).

Demonstration. Soit ------------{p: p>O, QB(O;p)(E) < oo }. Si cet ensemble est vide il n'y a rien

a prouver

et s'il est non-vide et son

supremum est p, il suffit de prouver (10) sur l'intervalle Q>

(e.,p), pour chaque

0, puisque (10) est trivialement verifiee pour p > p, quand

pest fini.

Pour d = 1, soit 'V

'V

F ={p : p>O pEdE ou -p E aE} Il est clair que P

'V

'V

F => a(E n B(0 ; p)) = aE n B(0 ; p)

et d'apres la Proposition 3 (b) (10) s'ensuit. et par consequent, 1'ensemble des

p,

p


0

"I

r s r.

En plus A cause de la separabilite de T on a bien ( 1)

au, pour chaque sous-ensemble V de T nous avons mis MV = sup Z(t) tEV mV = inf Z(t) tET

13

et 1 'union qui figure dans (1) est sur une famille denombrable de sous-ensembles ouverts de T. 11 suffira donc de montrer que (2)

P(M y = v)

(2' )

P(m y

=0

= v) = 0

pour chaque ouvert y, pour avoir la conclusion du Theoreme. Nous prouverons (2), la demonstration de (2') etant essentiellement la meme. Soit t 1,t2...

une suite de points dans y, dense dans y.

Mn 11 n'y aura pas d'inconvenient

Z(t i)

(i = 1, ... ,n)

=

Z(t i ) .

a supposer que

soient differentes deux

quelques unes sans changer Mn p.s. Alors. gn(') qui s'ecrit de la suivante : gn(x) =

n L

i=l

les variables aleatoires

a deux.

quitte

a supprimer

n a une densite de probabilite

M

_!(x-v(t.»2

P(Z(t . ) < x , j = 1.... ,n j f i/Z(t.) = x) J

1

e 2

1

I21i-

Notons Yj = Z(t j) - v(t j) Pij = E(YiY j) = Cov(Z(t i) ; Z(t j ». Nous avons Gn(x)

gn(x) = avec

1

= (21T) -2 exp (et

1

n

. . . xv(t i)-2(v(ti G (x)= l: P(Y.

0 (i=I, ... ,d)

27

X1'···'Xd)

(22) PO;O(x;x) = PO;O(X =

J a"

a

xl+..

f

PO;o(x; xl,,,,,xd!E:l=x1, ..·,E:d_1=xd_1)dxl ..·dxd_1

(i=l OU

PO;o(x; x1, .. ·, xd l

ax

d-l) E: d_ 1 = xd_ 1) note la densi te conditionnelle

xl'

ax

de X(O), ---1(0), ... , --0(0) at at

sachant que E: l = xl"'"

E: d- 1 = xd- 1·

En substituant la majoration (21) dans (22) nous obtenons :

fa' 'a' f xi;O (i=1 ....,d-1)

1 dx d-l a a-I d-1 1 1",dxd_1 (x - . L: xi ) .n a-I d-1 1=1 1=1 xi (x- L: i=1 1

et en faisant le changement de variables : 1

on arrive

l/a 1 a-I x a 0i dO i

a

= 1, ... ,d-l)

(i

f

dOl'"

..,+od-l 1 (1) . . °i (1=1" .. ,d-l) 1=1

dOd_1

(

°l ..· o d_l

) 2-[ xa-l(d+l)_d-1 a a

= const. puisque a = 1+ (d-1)/(d+l)

et un calcul el emen ta i re montre que l'integrale

est finie. Maintenant, un argument de symetrie qui tient compte de la parite de f et du fait que at

= i;.f'(E:.), 1

permet de deduire facilement que, si

1

x est suffisamment petit et xi f 0

¥ i = 1,.,.,d, alors

et nous avons une majoration analogue {(x!"" ,x d) : 3 i montre que, si

tel que xi

= o}

a

(23). Comme, pour finir, l'ensemble a mesure nulle dans Rd, nous avons

x est suffisamment· pres de 0,

PO;O(x;x)

est bornee et

done, que le processus defini par (19) verifie la condition (a).

CHAPITRE

3

FORMULES DE RICE

3.1. NOTATIONS ET HYPOTHESES. Nous allons demontrer dans ce chapitre des formules pour calculer les moments des variables aleatoires

x

QT(A u)' {X(t) ; t e ]Rd}

etant une surface a'leato ire qui verifie un certain nombre d'hypo-

theses de regularite que no us allons specifier, sous­ensemble ouvert borne de ]Rd

u un niveau fixe et T un

(pour les demonstrations on va supposer des

fois que T est un rectangle d'aretes paralleles aux axes coordonnes)(*). Les memes formules s'obtiennent pour

au lieu de

Quand on peut assurer la regularite de la frontiere de 1'ensemble aleatoire

(*)

= {t : X(t)

2m +1 et appliquer le

37

La verification des hypotheses H1,K et HZ,K pose certainement des problemes qu'il faut resoudre pour chaque cas particulier. Nous donnons dans ce paragraphe quelques exemples de criteres qui permettent de faire ces verifications dans un cadre raisonnablement pratique. PROPOSITION 1. (Processus gaussiens). SoH {X( t) : t E un processus gaussi en centre dont p. s , 1es trajectoi res 1, sont de classe C et tel que les densites qui figurent dans 1'hypothese H1,K H1,K est verifiee.

ne sont pas degenerees. Alors,

(a) est evidente. Pour verifier (b) et (c), observons que l'integrale qui apparait dans (b) n'est autre chose que

et que ( 10)

Ecrivons grad (X(t» ( 11)

sous la forme : grad(X(t» =

+ A(t)n

ou est un vecteur gaussien centre dans R d,

et n sont independants et

A(t) est une matrice de dimension d x K. Le calcul de A(t) se fait de la fagon usuelTe du processus

d} {X( t) : t E R

si

f(s,t)

est la covariance

et nous notons :

r 1j(s,t) =

as

(sl, •.. ,sd,tl, •.. ,td)

B(t) = ((rIj(t,th»)j=I, ••. ,d ' h=I, ••. ,K

(j

I, •.• ,d)

38

alors A(t) =B(t)Z-l, qui est evidemment continue comme fonction de

t , tl', .. ,t K,

(t , · .. ,t K) E EK( T) ,

1 En

(11) dans (10) pour

pl acant dans (9) pour

t = t

t

ti, t

1,

t

z,

(h = 1, .. "K)

h

(b)

on obtient (c) et en rem-

resul te ,

PROPOSITION 2. (Processus gaussiens). SoH

{X(t) : t e lR

d}

un processus gaussien centre, tel que p .s . les K2 C+

trajectoires sont de classe

(K

I),

Si pour chaque

t

et chaque

j (j=l, .."d)

les densites jointes de 8X

ne degenerent pas, alors

2

et

at J,(t)

at J 2

H2 , K est verifiee.

Appliquer le corollaire 2 du paragraphe precedent, et tenir compte de 1 'uniformite des majorations. PROPOSITION 3. SoH

{X(t) : t E lR

sont de classe

1

C

d}

un processus stochastique dont p .s . les trajectoi res

et tel que la densite

(K,t = 0,1,2.". )

Pt 1' ... , t K'·t'1,..., t'(x 1"",x K; t est une fonction continue pour

J'v

(tl'".,tK)EEK(T),

x 1,···,x K dans un voisinage du niveau

et

u.

Supposons en plus que

(12)

E{(SUP Ilgrad(X(t))// )K}
2K-2 tel que E{( sup tET Alors, H2,K est verifiee. Appliquer le corollaire 3 du paragraphe precedent.

THEOREME 2. (Cas general). [W4] So us les hypotheses

H1,1 on a la formule

(14 )

Nous considerons une autre fois la suite

{f m}

des fonctions

definies au cours de la demonstration du Theoreme 1 de ce chapitre, pour lesquelles nous savons que f (X(t)) _ m

X X(t)

A

quand

m -? co

u

D'apres la Proposition 2(a) duchapitre 1 et le lemme de Fatou

d II tEF .

40

= lim inf m+co

= lim

inf

m-e co

= lim

inf m+co

le dernier passage appartenant

a

JT_ JT_

J

a 1a

dt 8

I I

dt 8

1 d IR xIR

dt

IR

I At(x)dx

1

1 imite venant de

un voisinage de

u quand m -e- co

I Ilxll Pt.t (x,x) dx dx '

u,

At(x)

=

I

At(u)dt,

conti nue pour

T-8 et x

t

Idx tend vers l'atome unitaire au point

et du theoreme de Lebesgue.

En faisant

8

+ 0, on obtient

IT

At(u)dt

= I 1( u) .

L'inegalite inverse resul te de l'application de la partie (b) de la Proposition 2 du Chapitre 1. En effet, avec les memes notations que dans cette proposition, si 0

r p (0)

est pres de r(O) = 1.

En appliquant le lemme ci-dessus, nous avons la majoration suivante de (23)

oD C1 et C2 sont constantes. Or, cette expression tend vers zero si de la continuite de

p

-;>

a2r

at j 2

0,

m -;>

00, E:

-;>

0,

a cause

.

Ceci prouve

et acheve 1a demons tra ti on de (i). Passons

a

la demonstration de (ii).

11 suffit de considerer le cas OU

Pour chaque

Test le cube (O,l)d.

(n= 1, ... ) et chaque trajectoi re

Soit, d'abord, d=l.

X(.), notons

Xn(t ) , t

E: [0,1]

la poligonale de sommets (ih, X(ih))

OU

h = lin.

(i=O,l, ... .n)

11 est clair que, presque sDrement, NX(O,1) u

X

> Nn = u

(0,1)

Done,

la derniere egalite etant vraie

a cause

de la stationnarite du processus de depart.

48

Pour estimer cette esperance nathemat ique, observons que {Xn(t), tELO,hl} est la restriction

a

[O,h]

d'un processus dont les trajectoires sont des lignes droites

La deuxieme partie de la demonstration du Theoreme 2, montre alors que X E(N u n [O,h])

foh E

I /X

h

= u)

(t )

dt =

IX (t)-X(D) t I/Xn(t) =

=f E( n o

(u) dt

ou rin) (u) note la densite de Xn(t) au point u. Pour minorer 1 'esperance conditionnelle qui figure dans l'integrale, nous appliquons l'inegalite evidente

pour toute variable gaussienne Z dans

avec variance

0

2 .

Done,

i

u) et

Var (X(O)/Xn(t)

= u)

1 -

{var (X(O)/Xn(t)

u)

1/ 2 }

{E(X(O) Xn(t)}2

De la definition de Xn(.) : Xn(t)

X(O)

+

*

il vient que

E (X(O) Xn(t»

o

(X(h) - X(D)

=1+

t

h)

*

(r(h) - 1)

2 2t (1- r(h» E (Xn(t» = 1 - 11

t (1 - n)

,

et,en remplacant dans 1'esperance conditionnelle :

x (t)-X(O)

E ( I- n

t

I /Xn(t) = u)

/'?

v=- {!z 1T

h

(1-

ro.» V/ 2

Puisque pin) (u) est bornee inferieurement par une constante positive(des que

en resumant, pour h suffisamment petit:

49

C une constante positive. Or, A2 = + ro implique que le deuxieme membre de cette inegalite tende vers l'infini avec n, a cause de 1- r( h)

h2

et du lemme de Fatou.

-

-

J JR

1

- coshx h2

r

(x)

Ceci prouve (ii) quand d=l.

Soit maintenant d

> 1, et supposons que

Employons une fois encore la Proposition 2 (b)

du Chapitre 1, cette fois-ci

avec

ou

et

sont deux approximations COO

respectivement, ce support contenu dans 2 + E: 2 < E: 2 E: 1

de 1'unite dans JRl

{l t 11

< E:1} '

E:


-+co Pour cela, nous appliquons la formule de Rice

t2

> 0)

68

L'integrand est fonction seulement de la difference

La decomrosition orthogonale (41), appliquee

X(O)

OU

a notre

T

= t z-t1 et

cas, nous donne

s + (X(O) a + X(T) 13)

s, s* sont variables aleatoires gaussiennes, centrees, independantes de

(X(O), X(r)),

a

= r(T) 2r(r) 1-r (r ) r(r)

13 = - 1-r Z(r )

On va noter

s1* = s* = u (a+l3)

Divisons l'integrale double au second membre de (53) en trois parties selon

ou 6 (0 < 6

La demonstration de ces formules est essentiellement contenue dans celle des formules de Rice.

On commence par conserer le cas ou fest la fonction indica-

trice d'un ensemble ouvert dans R S mules en faisant appel

a des

,

et puis, on prolonge la validite des for-

arguments standard de theorie de la mesure.

Le theoreme suivant est une consequence directe des formules de Rice generalisees comme nous venons de l'indiquer. THEOREME 8 [ell.

SoH {X(t), Y(t): tERd} un couple stationnaire de processus a-

d-parametres reels qui satisfait les hypotheses H1,2 et H2,2 modifiees pour pouvoir assurer la validite des formules de Rice pour les deux premiers moments de l'integrale stochastique J pour le niveau

M et chaque rectangle T.

77

Notons

£1, .•• t d la longueur des cotes de T et Jf

1 = -:7ITT J

Nous supoosons aussi que le processus dant (n

J

•

{(X(t),y(t»: tE lR d} est

> 0) ce qui veut dire que, si IIti-tjll

k,£ = 1,2, ••• ),

n-depen-

n (i=1, ... ,k j, j=1, ... ,£

a10rs les vecteurs aleatoires

sont independants. A10rs, si

(i i t )

j

d} ....

+

co ,

nous avons :

est une fonction fixe, dependante des processus de deoar-t {X(t)

ou Ht {Y(t) (ii)

inf {£j: 1

tE lR d } dont 1e support est contenu dans {t: IItll Jf

converge vers

E(Jf)

Jf-E(J f)

1/2

o(f,f) (ii)

t E lR

d}

n},

en probabi1ite. converge en loi vers 1a loi normale (0,1).

est une consequence immediate de (i).

Pour demontrer (i), on

ecrit la formule de Rice pour

et on utilise d'abord la stationnarite, puis la

n-dependance pour factoriser l'in-

tegrand comme nous avons fait dans la demonstration du Theoreme 7 (seulement,c'est plus simple ici parce que

est fixe), et, finalement, la

tendent vers 1'infini, pour passer Quant

a

,

a la

dont les

£j

limite.

(iii) la preuve est egalement simple.

On approxime J f par une somme de variables independantes de merne 10i, voire des integrales stochastiques de meme type que J f , mais sur des ensembles

de la forme

78

NT

'\,

T= u

i='

ou tous les i' 1- i",

Ti sont des rectangles translates de T" '\, I'd (T-T) = 0 (l'd(T)) et NT+m .

dist (Ti"

Ti")

n si

Note: Par les memes techniques elementaires, (i) s'ensuit si au lieu de n-dependance on a la condition 2

2

IPt"t2;t1,t2;t1,t2(u,u;x"X2;Y1'Y2)avec

f

T=t2-t1

f

G(T) dT+O quand n++m et

dy

JRs

f

Ilxll

dx

< rn

JRd

E.- Densite des valeurs des maxima locaux (d = 1). Soit classe

{X(t) : t E lR 1} un processus stochastique stationnaire a trajectoires de

C2.

Un exemple classique d'application des formules de Rice est le suivant

[C3]

H",

Admettons que les hypotheses

soient verifiees pour le processus

: tElR'} et le niveau u=O, et prenons dans l'exemple D ci-dessus XL), yet) = (X(t), x·tt))

pour

(x}. X(D,+m)(y) . 1,u 2) (T) (u, < u Si MX u, ,u 2 2) est le nombre des maxima locaux de X(.) sur 1 'intervalle T de JR' dont la valeur est comprise entre u1 et u2' on a bien:

( 67)

et f(x,y) = X(u

E(M

U"U 2

f(x) po(';';')

I , f(x) dx u

X

(T))

I

o -m

= I',(T)

Izi

2

,

u

(x;O;z) dz

p

0

notant la densite jointe de X(O), X(D), XeD)

Si, en plus, le processus est gaussien centre, la densite g(x)

f'{x ) 1

[L+mm

f(X)dX]

se calcule explicitement par la formule

(68)

g(x)

1

[

9 (x) =(21TA)tt2 e e s o

1 (w) 2

- 7 -

s

, 2 - 2 w

2 '/2

+(1- 0)

o

(x

< 0)

tend vers la dens i te normale cent ree avec variance egale

F.- Estimation de 1 1 anisotropie locale. L'exemple suivant est largement inspire par le travail de E.M. Cabana [e1] , oD d'autres questions liees sont aussi considerees ; les estimations que nous donnons ici sont neanmoins, differentes. {Y(t) : T E lR d } est "tsotrcpe" s il

Nous dirons que le processus a l eato ire

1

est stationnaire et si, en plus, pour toute isomHrie de

tl' .•. ,t

kElR

d

(y (Ut ) , ..• ,Y(Ut

1

Proposition: de classe

k»

Soit

C1 et

(k

= 1,2, ... ),

les lois jointes de

sont les memes.

U de

lR d

et tout choix

(Y(t 1), •.. ,Y(t k»

On va utiliser le resultat suivant :

{Y(t) : t E lR d } un processus a l ea to i re avec des trajectoires P( IIgrad(Y(t)

II

=

0)

=0

pour chaque

tElR

d•

Notons ( ) _ grad (Y(t» - IIgrad (Y(t))

vY t Alors, si

et

II

d-1 E S

{y(t): t E lR d} est isotrope, les vecteurs a l ea to i res

80

Vy(O)

(Y(O), IIgrad(Y(O) II )

sont independants, et la distribution de vy(O)

est uniforme sur Sd-1"/ , 1 e., 1a

mesure d'aire normalisee. une i sometrie de IR d

et vl' ... , vdune base orthonord male de IR • D'apres la definition d'isotropie, les vecteurs Soit

U

Y(hv 1) - Y(O)

(Y(O)

h

, ... ,

---.::---

Y(hUv,) - Y(O)

(Y(O),

Y(hUv d) - Y(O) h

ont meme loi dans IR d+ 1 , flour chao,ue h

> O.

)

En faisant h -+ 0 il vient que

(Y(O), grad (Y(O»)) " (Y(O) , Ilgrad(Y(O)) II vy(O)) (Y(O), Ut grad (Y(O))) ont la meme distribution.

(Y(O), IIgrad(Y(O» II ut vy(O))

Done, la loi conditionnelle de vy(O)

Y(O), IIgrad(Y(O)) II reste invariante sous toute i sometr ie

etant donne U de JR d, et on a bien

la conclusion. Si {Y(t): t

JRd} est isotrope et X(t) " Y(At), ou A est une transformation 1ineaire non singul iere de IR d , nous dirons que {X(t): t JRd } est un processus "affin".

E:

On va supposer A auto-adjointe et dHinie positive.

On va aussi admettre que, le niveau M etant fixe, p.s. les trajectoires du processus {X(t) : te: IR d} n'ont pas des points critiques de valeur egale a M (cf. le chapitre 2) et qu'il satisfait des conditions pour pouvoir appliquer les deux premiers moments de la mesure

formules de Rice pour

de l'ensemble de niveau M du processus. Nous considerons des estimateurs de la forme Jf

ou f

Sd-1 +JR S

=

IT

f(vX(t» Q(dt)

est bornes (1=1,2, ••• )

(d-1)-dimensionnelle

81

D'apres la formule (64), E(J f) =

(69)

JSd-1f(S)

(X)

E {llgrad(X(O)) II /X(O)=u, vx(O)=S} qo;o (u,S)dS

note la mesure d'aire norma l i see sur

ou

de

de

X(O),

vX(O)

par rapport

a

Sd-·1

et

(u.e)

dS evaluee au point

la dens i te jointe

(u,S).

De grad(X(O)) = A grad (Y(O))

il s' ensuit que IIgrad(X(O)) 11= Ilgrad(Y(O)) II

IIAvy(O) II

et

En faisant le changement de variables

dans l'integrale au second membre de (69), on obtient

E(J f) =

Jd-1

IIAal1 E {llgrad(Y(O))

II

/Y(O) = u, vy(O) = c}.

(u ,«) do.

S

Puisque

d {Y(t): t E IR } est isotrope, nous pouvons appl iquer la proposition

ut supra et E(J f) =

E {llgrad(Y(O)) II /Y(O)=u} I)(Y) (u)

o

J d-1 f S

Iinall

IIAal1

da

•

Deux cas speciaux seront interessants pour nous : a)

f

identiquement

egale

a 1.

J

1

n'est autre que la mesure d'aire

(d-1)-

dimensionnelle de 1'ensemble de niveau, par unite de volume. b)

f

dHinie de la f'acon suivante : on prend un vecteur fixe

v* E: sd-1

et

82

f

Sd-1

f

IfAalf do,

IIAalf

2A

f

=

*

2f

* {(Aa,v

{(a,w »O}

avec

Av *

IIAv * II

ada

=

(Aa)da

2 Yd AW*

et

En resumant, 2 Yd

(70)

Nous avons vu que J f converge en probabilite vers E(Jf) quand 1'ensemble T croit de facon appropriee, si nous ajoutons une hypothese de melange (voir la Jf E(Jf) remarque D). Sous ces conditions, converge en probabilite vers 1

1

On verra maintenant comment on peut profiter de ces calculs pour avoir des estimations consistantes des directions d'anisotropie et de sa valeur, basees sur J

f de -J

1'observation

1

Nous considerons seulement ici le cas ou la dimension

2

est egale

Soit

v1, v2 une base orthonormale de JR2 de vecteurs propres de A, etant les valeurs propres respectives. Soit v*=cos 80.v 1+sin 80 . V2 (voir figure).

A·.. \

\

Notre but est d'estimer 8 et A 0 2 A = X-' le rapport des valeurs propres.

\

1

Evidemrnent, il suffit de considerer n

n

- ( < 80 rapport

(

a

,

a cause

de la symetrie par

l'origine et le fait que le

Figure A.

a2 A1

.

et A2

83

changement de A en { ou

80

et

80

en

¥- 8

0

'

permet toujours de se ramener au cas

est 1'angle entre v* et le vecteur propre correspondant a la plus grande

valeur propre. Compte tenu de '(2

(70) secr t t

1/lT,

ou I(A) est l'integrale elliptique.

et en changeant de base E(Jf )

1 [

tTJ1T = TTXT

(cos

2

2-1) 2 sin 2 8 ) 1/2 v + sin 80 cos 80 (A A 80 + 0 (cos 2 80 + A2 sin28 0 )17 2

*

Notons encore 1'observation

Jf J1

/*]

par

Jf _

J1-xv

*

+Yv

**

Al ors , si le sys teme d'equations

(71)

admet une et une seule solution

A, 80

,

0

< A < 1, -

7< 8 7' 0

facilement qu'il s'agit bien d'estimateurs consistants de A , 80 , (71) implique que A doit verifier: (72)

c'est-a-dire

on demontre

84

(73)

ou

12(1..) - 1 (X 2+Y2) 12(1..)-1

x2

L 'equation (73) a une et une seule solution dans l'intervalle

effet,

f 1 est decroissante,

f 1(0+) = + ro ,f 1(1)

X2 (;)2.

0

Quant

a

tel que 0