Structures de Fredholm Sur Les Varietes Hilbertiennes (Lecture Notes in Mathematics, 259) (French Edition) 3540057897, 9783540057895

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Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A Oold, Heidelberg and B. Eckmann, ZOrich Series: Institut de Mathernatique, Faculte des Sciences d'Orsay Adviser: J. P. Kahane

259 Nicole Moulis Universite Paris-Sud, Centre d'Orsay - Mathematique, Orsay/France

Structures de Fredholm sur les Varietes Hilbertiennes

Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· NewYork 1972

Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A Oold, Heidelberg and B. Eckmann, ZOrich Series: Institut de Mathernatique, Faculte des Sciences d'Orsay Adviser: J. P. Kahane

259 Nicole Moulis Universite Paris-Sud, Centre d'Orsay - Mathematique, Orsay/France

Structures de Fredholm sur les Varietes Hilbertiennes

Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· NewYork 1972

AMS Subject Classifications (1970): 57 A20, 58B 15, 58G05

ISBN 3-540-05789-7 Springer-Verlag Berlin' Heidelberg· New York ISBN 0-387-05789-7 Springer-Verlag New York· Heidelberg· Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § s4 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher. © by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1972. Library of Congress Catalog Card Number 72-75726. Printed in Germany.

Offsetdruck: Julius Beltz, HemsbachJBergstr.

INTRODUCTION Le point de depart de ce travail a ete les conferences donnees par J. EELLS, K. D. ELWORTHY et

N. H.

KUIPER au Congres International des Mathematiciens a Nice en 1970

([5J

et [10J). Les structures de Fredholm sur les varietes Banachiques s'introduisent naturellement dans l'etude des operateurs elliptiques [11] . Dne etude purement abstraite a ete faite dans [7J ' Mais Ie probleme de la classification de ces structures sur une variete donnee n'y etait pas resolu. Pour les varietes munies seulement d'une structure de les resultats prouves dans [2] , [61 et [9J montrent que deux varietes

classe

hilbertiennes de classe

COO

homotopiquement equivalentes sont diffeomorphes, La con-

jecture enoncee au Congres de Nice en 1970 etait que les structures de Fredholm de classe

sur une variete hilbertienne sont classifiees par leur type d'homotopie

tangentiel. J. EELLS et K. D. ELWORTHY donnaient un schema de demonstration base sur les resultats deja demontres dans

[101 et sur Ie theoreme tres court mais fondamental

de Douady [3]. lIs remarquaierlt aussi que cette conjecture est fausse dans Ie cas d'un espace de Banach quelconque (contre­exemple : C ([0,1]) ). C'est ce schema que j'ai developpe dans un cours de 3eme cycle a Orsay en 1971, en me limitant

a l'etude

de varietes purement abstraites. Ce cours, s'adressant

a

des etudiants n'ayant aucune notion sur les varietes de dimension infinie prend la theorie

a son

debut et la developpe jusqu'a la demonstration finale de la conjecture

toutes les etapes etant explicitees sans qu'il soit necessaire d'avoir recours

a une

bibliographie. Pour la clarte de l'expose, je me suis limitee au cas des varietes de classe

COO

modelees sur un espace de Hilbert separable. GrAce

a l'introduction

de

mettiques Finsleriennes, il semble facile suivant les methodes de [8] d'etendre les demonstrations au cas des varietes modelees sur d'autres espaces (en particulier c Les notes de ce cours que j'ai

o

),

redigees constituent Ie present travail.

Table des matieres

Chapitre I.

Definition et proprietes fondamentales des structures de Fredholm sur un fibre vectoriel •••••••••••••••••••••••••

Chapitre II.

Contractibilite du groupe lineaire d'un eSpace de Hilbert

Chapitre III.

Definition et proprietes fondamentales des structures de Fredholm et des structures etalees sur une variete Hilber-

19

"" .. "..

28

Chapitre IV.

Diffeomorphismes etales fondamentaux •••••••••••••••••••••••

41

Chapitre V.

Existence de voisinages tubulaires •••••••••••••••••••••••••

53

Chapi tre VI.

Theoreme d'isotopie ambiante etalee des voisinages tubu-

tienne

"

"

laires

"

""........

61

Plongement de varietes etalees •••••••••••••••••••••••••••••

73

Chapi tre VIII. Theoreme de stabili te •••••••••••••••••••••••••.••••••••••••

93

Chapitre VII.

Chapitre IX.

"

"

Theoreme de Mazur et classification des structures de Fredholm sur une variete Hilbertienne •••.••••••••••••••••••

114

Appendice

"." .."..""".....

121

o.

123

"

Bibliographie ••. "

"""." .. " "....••••. "."""

""

"

CHAPITRE I

DEFINITION ET PROPRIETES FONDAli1ENTALES DES STRUCTURES DE FREDHOLM ET ETAl,EES SUR UN FIBRE VECTORIEL

Ce chapitre est un rappel de definitions et de proprietes demontrees dans Ie cadre plus general des espaces de Banach dans Dans toute cette etude

E

[7] et f9).

designera un espace de Hilbert separable de di-

mension infinie. Nous designerons par E(r)

IdE

la boule ouverte de rayon

l'application identique de r

de

E

dans

E, par

E.

1. RAPPELS D' ANALYSE LINEAlRE

Nous definissons les ensembles suivants d'applications lineaires de

E

dans

E

E dans E.

L(E)

Ensemble des applications lineaires continues de

J(E)

Le sous-ensemble de

LeE)

forme des applications de rang fini.

C(E)

Le sous-ensemble de

L(E)

forme des applications

est compac te , GL(E)

Groupe des elements inversibles de

E.

f

compac tes x

(r(E(l))

2

Sous-groupe de

a

appartient

GL(E)

forme des elements de la forme

0:

J(E)

est dense dans

ou

element de

a

appartient

0:

L(E)

une application de (respectivement

a

cu

0:

C(E) le sous-groupe de

IdE +

+0:

C(E) ,

GL (E) c

forme des elements de la forme

[10],

J(E) • Nous rappelons GLJ(E)

sans demonstration que GL (E) c

n t as t pas ferme dans

une

L(T)

application (respectivement une

E

dans

E

de la forme

T + ex

ou

0:

C(T)

T est un

• Si

application) est

appartient

a

J(E)

C(E)).

Denni tion 1. Un element

T de

L(E)

1)

ker T

est de dimension finie.

2)

Coker T est de dimension finie.

Nous definissons llindice i(T)

est un Operateur de Fredholm si

i(T)

dlun operateur

Fredholm par

dimension (ker(T)) - dimension (coker(T)).

Nous appelerons

l'ensemble des Operateurs de Fredholm de

le sous-ensemble de

des operateurs d'indice

E

dans

E.

n

Les proprietes suivantes des Operateurs de Fredholm sont bien counues, nous rappelons leur demonstration pour memoire : Proposi tion 1. L1application indice

i

Z

est continue.

Demons tra tion. Soit

T un operateur Fredholm.

Soit

E

Posons

1

un supplementaire de

ker

T.

3 11 existe un vuisinage de

la restriction de

F; Soit

a El

TI

Posons

T' (E )

Posons

T' (E)

l

tel que, quel que soit

dimension

F;

E 2

= dimension F

= dim(ker

dim(coker T') i (TI)

=

F' •

FI •

.dans

situe dans Ie supplementaire de

ker T'

tel que

2

est un supplementaire de

i(T)

Q,

= F'

un supplementaire de

T')

dans

soit injective.

est un sous-espace de codimension finie de

F'2

T'

= F;

II existe un sous-espace

Done

weE)

dans

Q

T

ker TI •

T) - dim E

2

2

dim(coker T) - dim F

e

Proposi tion 2. Soit

T un element de

n

(E)

a

un element de

(T +

C(E)

a)

appartient

a wn (E)

D'

la proposition 1 et la pz-o pr i e te de densite de

J(E)

suffit de demontrer les deux points suivants : ler point : (T + a)

est un Operateur de Fredholm.

2eme point: La proposition 2

est vraie si

Montrons Ie premier point. ker(T + a) Soit

la boule unite fermee de

a

est de rang fini.

dans

C(E)), i l

4

Soit

{xnl

(n

W)

une suite de points de

De la suite

E 2(1)

nous pouvons extraire une suite

{a(x qui converge. n)} p

ker

etant de dimension finie et

T

extraite de la suite

l

Ix

n

, il existe une suite

p

de dimension finie. On demontre de mE\me qu'il existe un sous-espace dimension finie qui soit supplementaire de tous les espaces ker(T + (T + ex)(E

(T + ex)

E

est de co-

[O,lJ)

est un sous-espace de codimension finie de

1)

l

q ker(T + ex)

est compacte,

qui converge

[xn

E

d'apres la proposition 1.

est un operateur de Fredholm.

a demontrer.

1e deuxieme point est trivial

Proposi tion 3. Tout operateur de Fredholm d'indice

0

est la somme d'un operateur inver-

sible et d'un operateur de rang fini.

Demonstra tion. Soit

T un operateur de Fredholm d'indice

supplementaire de

E

E

1

sur

F

1

codim F un Soit

u

de

F

1

1

•

A une application lineaire bijective de

est un operateur inversible de

e t Image (T - u) c F

E = ker T 2

2

T induit une bijection de

Soit

O. Soit

2

E

dans

E

E

2

sur

F

2

5

Proposi tion 4. est l'ensemble des operateurs inversibles, modulo les operateurs compacts. Demonstra tiona Soit

T un element de

o

(E)

11 existe deux operateurs a"

T'

et

T"

,et deux operateurs oompaots

a'

et

tels que :

(1)

ToT'=Id+a'

(2)

Ttl

Id + a'

T

0

!d + a"

=

et

Id + a"

"

Donc De (1) De (2) Donc

o

(E). de

dim ccker (T) " dim (coker (Id + al ) )

ncus deduisons

"

sont deux elements de

dim ker (T)

"

.$ dim (ker (Jd + a"))

T est un operateur de Fredholm. nous deduisons

"

"

dim(ker T)

"

T est un

dim(ooker T)

dim (ker T) dim (coker T)

- Operateur.

La reciproque resulte de la proposition 3 • Nous pouvons donc construire le

fondamental suivant qui resume les resul-

tats precedents. GL (E)

C(E)

C(E)

I

lj

lj

c

GL(E) n

1

GL(E)/GL (E)-+ c

0

(E)

1

L(E)

i

1P

lp

p

L(E)/C(E)

G

G

0

nest la projection de

C(E)

GL(E)

sur

GL(E)/GL (E) c

pour la structure multiplicative.

6

pest la projection de

L(E)

sur

G

G = \P(E)/C(E)

pour la structure additive.

L(E)/C(E)

\P (E)/C (E) •

=

o

0

0

Proposition 5. L(E) P- L(E)/C(E)

La fibration

est une fibration triviale de fibre con-

tractile. Demonstration. a)

La contractibilite de

C(E)

est evidente.

b)

La trivialite de la fibration resulte du theoreme de Michael [15] • Nous

en redonnons une demonstration tres simplifiee dans ce cas particulier. Nous construisons par recurrence une suite de sections verifiant les proprietes a)

p

b)

s

s

0

c)

Is

>0 ,

e

- s

7

suivantes:

1 n- 1

i l existe

I s n (x)

n )

est appelee

GL(n)

un drapeau de

avec le so us-groupe de

inversibles qui sont l'identite sur Il existe grace

i $. n )

E.

E.

est dense dans

U E nEN n

"

e.

a cette

GL(E)

forme des operateurs

En globalement invariant.

et laissent

identification une inclusion naturelle de

GL(n)

dans

GL(n + 1)

= lim GL(n)

Posons Soit

i

l'injection de

GL (E) c

Theoreme 2. est l111e equivalence d'homotopie •

i

Pour une demonstration plus detaillee et des complements nous renvoyons

a

[10] • Lemme 1. est une equivalence d'homotopie.

L'inclusion naturelle Il suffit, ces tout

n

espaces etant des

une bijection de

A.N.R.

de demontrer que

n (GLF(E» dans n (GL (E» nne

j

induit pour

• Soit [Sn,GLF(E)]

14

(respectivement [sn , GL (E)])

les classes d'homotopie d'applications de

c

GLF(E)

(respectivement de

Sn

dans

GL (E». c

est une bijection: En effet toute classe d'homotopie induit un fibre etale sur d'homotopie sur

Sn+l!(n)

Si

f'

=j

(fl)

d'application de

n+l'

f'l c

f

0

Sll

Sn+1 1(n) dans

n+l '

GL (E) c

(f)

d'applications de

Sn

f}F

• De meme toute classe

induit un fibre de Fredholm

d'apres le theoreme 1 , ces deux fibres sont equivalents et re-

ciproquement. Done

* jn

est une bijection.

Lemme 2. L'inclusion

it GL(oo)

GLF(E)

est une equivalence d'homotopie.

X un espace topologique compact,

Soit

A un ferme de

X. 11 suffit de

montrer que toute application :

a une

est homotope

application ft:

et l'image de

A

fl :

(X,A)

(GL(oo) , GL(oo»

par cette homotopie est dans

Par definition, quel que soit

x

dans

GL(oo).

X, il existe un operateur ax

de rang

fini tel que : f(x) = 1d + ax Si

x

est un point de

A il existe un entier

Considerons un recouvrement de telle que Dans chaque x , EA.

f(U.) a

p

tel que

(1d + a ) E i(GL(p» x

X par une famille finie d'ouverts 'V.a (i E I)

soit contenue dans un ouvert convexe de

U ' nous chQisissons un point i

Xi

tel que si

GL(oo). U

i

n

A

f.

¢

alors

15

I

Soit ouverts

(i

I)

une partition de l'unite subordonnee au recouvrement par les

U.

Posons :

f

l

(X)

Id + LP.. (x)a.

et d'apres la condition de convexite,

f

11 existe un entier m tel que

C

Em

et Jes images d'operateurs

finie de

E.

Soit

Ie sous-espace de

F

2

Em

f (A)

l

ax.

est homotope

tel que

Un point de

f

2

2

1

dans

2

f.

l'espace engendre par

1

est un sous-espace de dimension

l

= Em

+ F

2

• Posons

r

E

m

telle que guel gue soit

E

est determinepar J

composantes

(u + a ' (u,v »), v + a"(u,v ,w) ,w) x x

f 1 (x) (u,v,w)

[1,2]

t

f

F

F

a

x

la restriction

a

G

l

soit I' iden ti te.

....

Pour

a

I).

F

F

i (GL(m)) • Soit

(i

un supplementaire de

est lineairement homotope

1

et

(u,v,w)

a" x

u

est nul si

Em

x

A

posons

est l'application cherchee. est homotope

Soit phisme de

F

F2

Posons On verifie que

3

a

fl

un sous-espace

f'

a

fl

F

2

laissant fixe

sur f I (x)

et

est un element de

con tenu dans E

m

et

T

est l'application cherchee.

mr E +

GLem + r).

Em (\ E • Soi t m+r , homotope

T

un isomor-

a l'identite.

16

Corollaire 5. 1t

o

(GL (E)) '" 71 c 2

Ce corollaire est tres important car il permet de definir une orientation sur les varietes de Fredholm. Soit

X un espace topologique paracompact, nous definissons

Ie foncteur representab1e de la de Grothendick des fibres de base

de base

rJ

X

semble des classes d'equivalences de

K-theorie reelle (Si

= Ker

KO(X) G1 (E) c

K(X)

(K(X) -

est Ie groupe

-

K (X,E) c

l'en-

fibres vectoriels localement triviaux

X.

Corollaire 6. rI

II existe une correspondance biunivoque entre

KO(X)

et

K (X,E) •

c

Corollaire 7. Si

GL(E)

est contractile, il existe une bijection entre les classes d'homo-

topies d'application de L'application de Ie theoreme

qui

X dans

et

[X, \Ii (E)]

a toute

o

dans

KO(X) • KO(X)

(f)

classe d'homotopie

associe une structure de Fredholm notee

{X,f}

c

est l'application naturelle d'apres d'application de sur Ie fibre trivial

X dans

@

Xx E

Cette application est appelee indice. Cette bijection est une consequence de la suite exacte plus generale d'ensembles pointes [X,G1(E)] - [X, @o (E)] VB(X,E)

-

Kc (X,E) - VB(X,E)

est l'ensemble des fibres vectoriels de base

X et de fibre

E.

o

(E)

17

IV. MlTRIQUE RIEMANIENNE SUR UN FIBRE ETALE Suivant Lang [13] ,

E

etant un espace de Hilbert, soit

formes bilineaires continues symetriques sur base

X et de fibre

de fibre

L

2(E)

E. Nous definissons Le fibre

et de base

s

(n)

E. Sait 2 s

2 L (E ) s

l'ensemble des

X un fibre etale de 2 s'

a

(1t ) : '!. - X aaeoca e

(1t)

,)

X.

Defini t i.ori, Une metrique Riemanienne telle que, quel que soit

x

g

(1t) est une section de

sur

dans

X,

2 (n ) s

la forme quadratique associes

continue

a

g(x)

soit

definie positive. Si

rest une application continue de

l'ensemble

z

(en identifiant Si

(n)

t(r)

l:. tels que

de

g(x)

Xx E- X

X dans R+, nous noterons

avec la forme quadratique assaciee).

est un fibre trivial de base

que Riemanienne triviale

g

(n)

une metri-

definie par

g(x,y) = [yl Dans ce cas particulier, si

X, il existe sur

2

•

rest une application continue de

X dans

ffi , nous

noterons

X(X) E(r)

{(x,y)

Proposi t Lon, 11 existe sur tout fibre de base metrique Riemanienne En

X un espace paracompact , de fibre

g.

outre si le fibre est un fibre de classe

de classe

00

C

la

E, une

g

est de classe

COO ayant pour base une variete 00

C

X

18

Demonstration. SoH

(i tel que les

un systeme de trivialisations du fibre donne forment un recouvrewent ouvert localement fini de

Q

i

M • Sur le fibre trivial Soit

une partition de l'unite subordonnee

a ce

recouvrement.

L'ensemble des metriques Riemaniennes formant un c8ne convexe,

g

est une

metrique Riemanienne. Dans le cas ou le fibre considere est le fibre tangent classe

cO:>

classe

cO:>

M.

la metri.que

est de classe

Riemanienne sur

M.

g 0:>

C

a une

TM

variete de

ainsi def i.n i.e a I' aide de partitions de I' uni te de • NOlls dirons par extension que

g

est une metrique

CHAPITEE II

CONTRACTIBILlTE DU GROUPE LlNEAIEE D'UN ESPACE DE HILBERT

Soit

E

un espace de Hilbert de dimension infinie, separable

nous demon-

trons le theoreme suivant

The o r-eme ,

GL(E) : groupe des elements inversibles de

L(E)

est contractile (pour la

topologie de la norme des operateurs continus). La demonstration que nous donnons est celIe de pres la redaction donnee dans

no us suivrons de tres

[11J •

De ce theoreme nous deduisons immediatement

2 corollaires.

Corollaire 1. Tout

GL(E)

fibre

eJt) : 't. 21

X

de fibre

E

est equivalent 11 un fibre

21

X

de fibre

E

est equivalent 11 un

trivial.

Corollaire 2. Tout

GL(E)

fibre

(n)

GL (E) c

fibre. La demonstration du theoreme se fait en plusieurs etapes (propositions 1,2,3).

20 Proposition 1. GL(n)

est contractile dans

GL(E)

pour tout entier

n.

Demonstra t.Lon; Soit

(e

N) une base orthonormale de

(i

i)

comme au chapitre 1

un

GL(E) • Soit

q

E. Cette base definit sur

et une injection canonique

i

n

de

GL(n)

la matrice dans une base orthonormale d'un element de

E

dans

GL(n). Dans

toute la suite, nous identifierons les elements du groupe lineaire et leur matrice dans la base (e

i)

•

o i

n

(qJ

Pour sin t

Identite

,

t

et cos t

dans

=

t sin t) -sint

CO S (

•••••••••

)

et sin tIes multiplications respectives par

n• R

Considerons dans

'l?t ( g,t )

soi t cost

0

GL(2n)

l'isotopie representee par

(og

(q - 1 est la matrice inverse de

q

les matrices ecrites sont des matrices

x 2n) , les multiplications se font par blocs de matrices

(n X n).

-1

C En decomposant la matrice de

i

n

(g)

en bloc d'une matrice

(n x n)

et de matrices

21

(2n x 2n)

i

n

nous obtenons

q

(q)

0

0(:

:)

0

0

0

0

.........

0

........ o •••

0

0

1 ••••••

0

0)

Or chacune des matrices ( :

est isotope

N

Done i1 existe une isoto pie

o

....

0

te11e que

(q,O) = i (q) n

... ( rr;

q,'2)

2

C :-1) 0 0

0

0

0

0

0

0

0

(: :-1)

.0.

En regroupant deux par deux 1es matrices

appliquant l'isotopie inverse de

[O,rr;]

i

n

(q)

Done

a

(n x n)

nous prolongeons l'isotopie

te1le que:

est dans GL(n)

GL(E)

isotope

est contractile dans

situees sur 1a diagona1e et en

a l'identite. GL(E).

'"

a l'interva1le

22

Nous definissons l'espace ments de

E

£2(E)

telles que la serie

cooone ensemble des suites E Ix 1 nEIN n

2

so it convergente.

{x

n

l

(n E W)

£2(E)

d'e18-

est natu-

rel1ement muni d'une structure d'espace de Hilbert separable.

Proposition 2. G1(E)

est contractile dans

GL(£2(E».

Demonstration. Soit

i

l'inclusion naturelle de

E

dans

£2(E)

i(x) = (x,a,a, •••• ) i

induit une inclusion de

En dacomposant

£2(E)

GL(E)

dans

GL(£2(E».

en somme directe hi1bertienne de sous-espaces isomorphes a

E,

nous pouvons appliquer le meme raisonnement qu'a 1a proposition 1. Le resultat en decoule. Soit

Sn

la sphere unite de

Proposi tion 3. Toute application continue de

dans

GL(E)

est homotope

a une

application

constante. Soit

f

une application continue de

Sn

dans

GL(E). Nous demontrons la pro-

position en construisant une suite finie d'applications homotopes

a

f

Lemme 1. 11 existe une decompositicn de E' que

et

E"

(E"

E en somme directe hilbertienne de 2 espaces

de dimensioJ"tfinie) et une homotcpie

F

telle

23

est l'identite sur

s

et pour tout

E".

Demonstration. 10

fest homotope Ii Wle application

)

dans un complexe simplicial fini de

P

n

est un ouvert de

L(E) •

f(S)

est un compact de

GL(E).

II existe un recouvrement de

L(E) Bn (q n ,Pn )

soit contenu

f(S) par un

de centre

qn

de rayon

telles que

Bn (q-n ,Pn ) II existe une triangulation

c

de

GL(E). S

,telle

de cette triangulation, il existe un entier

Soit

f'(S)

telle gue

GL(E).

GL(E)

nombre fini de boules de

ft

!V j }

(j

J)

ensemble fini)

quel que soit Ie simplexe

0

tel que

nCo)

l'ensemble des sommets de la triangulation

de

S • Chaque boule etant contractile, nous pouvons prolonger par linearite sur chaque simplexe de

l'application

ft

definie sur les sommets de

par

f(v .) J

Sur chaque simplexe, Soit

20

)

N'

ft

est homotope

a

Ie nombre d'elements de

Construction de

f

done globalement

f'

est hornotope

a

J.

E".

Nous construisons par recurrence a) une suite infinie de scus-ces pace s deux

a deux

Ai

de

E

de dimension

N' + 2.

orthogonaux.

b) une suite infinie de vecteurs

(a

i

Ai)

deux

a deux

orthogonaux.

f.

24 telles que

f'

a une

soit homotope

la condition:quel que soit

application

s

et

k

a

1

un vecteur unitaire de

Soit

1

GL(E) verifiant

IN

a

est colineaire

Soit

dans

f'

E.

A l'espace engendre par les vecteurs : 1

a1

fl(v j)(a

'

1

, a;

J)

) (j

est de dimension

a' 1

N' + 2 • Quel que soit

s

dans

S

f'(s) (a

1)

donc est situe dans Pour

s

fixe,

f' (s) (a

ce plan une rotation 1

De m@me

1

»

a

a

1

a

p'(s)

a

homotopies, nous obtenons une homotopie

- Pour tout

a; •

du plan

l(s)(a

s

(a; , a

1

k

»

a

1 k

' a; , f

k

telle que

1)

a

l(s)(a

1,.·.,

k

i_ 1

par une

1).

En

qui

composant ces deux

telle que

1(s,t)

est colineaire

1(s,t)

a l'identite

a

1

est l'identite sur Ie supplementaire orthogonal de

Supposons par recurrence construits les sous-espaces les homotopies

a;

•

laisse fixe les vecteurs orthogonaux

1(s,t)(f

a

telle que

'2

Chacune de ces rotations est homotope

- k

et orthogonal

engendre par les

definissent un plan.

1

Donc il existe une rotation

soit colineaire

a l'espace

definissent un plan • II existe dans

a' 1

soit colineaire

at

A 1

1t

d'angle

Pl (s )

P (s ) (f' (s)(a

et

1)

appartient

A , ••• , A i_ 1 1

et

est colineaire

25 et Soit

a

a

un vecteur orthogonal

i

pour tout possible car

a

A _1 •

est l'identite sur le supplementaire orthogonal de

k 1, l(S,t)

j E J

tous les

pour

et tout

k (1

k

1

k

i-1

i

et situe dans

i-1) • Ce choix est toujours

est situe dans une intersection finie de sous-espaces de codimen-

i

sion finie. Soit

Ai

l'espace engendfe par : f ' (v . )(a.) J 1

ou (1

est un vecteur orthogonal

a' i

(j E J) , a!

1

a

a

et

tous les

< k < i-1).

D'apres les conditions sur pour

1

k

Ai ' on verifie que A.1

est orthogonal

pie

k.(s,t)

que

k.(s,t) (f' (s)(a.))

qui est l'identite sur le supplementaire orthogonal

1

Montrons que

est continue par rapport aux deux variables

k.(s,t) 1.

,
20

-1

.

a.

sW"2

< 2k!S' - sl Done il existe une homotopie continue des sous-espaces

Ai

f

1

qui

avec

k

i

sur chacun

et telle que :

k(s,t) f'(s) (a ) i Posons

k(s,t)

pour tout

est colineaire a

i

k.(s,1)(f '(s))

est homotope a

et est l'application cherchee.

fl

Soit

E" l'espace engendre par le3 vecteurs

Soit

E'

le 8upplementaire orthogonal de fl

Montrons que

a.a,

E".

est homotope a une application

1

N).

(i

f

1

qui est l'identite sur

E".

pi

Soient

Posons : pour ft(S) f;(S) f

Or

2(s)

=

p"

et t

les projections orthogonales respectives sur [1,2J •

[(2-t)f;(s) + (t-1)Jp" + f;(S) • pi est llapplication deja definie.

= p"

+ f;(S).p' •

p"(a.) = 0 •

EI

et

E".

27

est l'application cherchee

est l'identite sur

E" •

Lemme 2. f

1

est homotope a une application

est l'identite sur

E"

et

f

laisse

2(s)

f

telle que pour tout

2

E'

s

f

2(S)

globalement invariant

Posons : pour t E [1,2J • ft(S)

(2-t)f

1(s)

+ (t-1)[p" + P'f

Pour

t

f 1 (s)

Pour

t == 2

f 2 (s) = p" + p' f

si

x

E E'

est l'application deja definie.

pll(X)

et Si

1(S).P'J

1

(S).P'

== 0

est situe dans

pll(X)

x E E"

E' •

x

Fin de la demonstration de la propriete 3. E"

etant de dimension infinie, nous pouvons appliquer la proposition 2.

La proposition 3 en resulteD

Fin de la demonstration du theoreme. GL(E)

est un ouvert d'un espace metrique complet

un "absolute neighborhood retract". (A.N.R.) GL(E)

est domine par un

etant nuls,

GL(E)

CW

L(E) • Done

d'apres la theorie des

GL(E) A.N.R.

complexe. Tous les groupes d'homotopies de

est contractile [12J •

est [10J,

GL(E)

CHAPITRE III

DEFINITION ET PROPRIETES FONDAMENTALES DES STRUCTURES DE FREDHOLM ET DES STRUCTURES ETAlEES SUR UNE VARIETE HILBERTIENNE

Dans ce chapitre et dans tous les chapitres suivants,

M designera une varie-

te paracompacte, separable modelee sur l'espace de Hilbert E , de classe particulier

M admet des partitions de l'unite de classe

Ie fibre tangent

a

co

C

Cco). Nous noterons

(En TM

M

D6fini hon 1. Une structure etalee sur (i

(Ui '

I, J

CCO

de classe

est la donnee d'un atlas maximal

ensemble d'indice) tel que l'application

I

cp.(u.tI U.) -cp.(U. (\ U.) J

M

J

soit de La forme

IdE + a ..

au

l'image

0

a ..

est loca-

lement contenue dans un espace de dimension finie.

Definition 2.

M et

Soient

N deux variete de classe (V. , 0

U i

est finiement etoile.

75 c)

est contenu dans la boule unite de

n)

• et

les projections orthogonales sur

respectiveet

Zn Ie voisinage tubulaire de l'espace engendre par

de rayon

6

Soit

Ie voisinage tubulaire de l'espace engendre par

J(E)

et

E'

n '

de rayon

6/2 • U E' nEN n

est dense dans

E' •

est dense dans

U

Done

nElN

L'application

f

Z

-

U

n - nElN

etant une

F. F

L(J) application est localement propre d'apres Ie cha-

pitre 3 , proposition 1 • D'autre part, si entier ;-1(2) n

n

tel que

K est un compact de

K c Zn • Nous allons construire l'application

soit recouvert par un nombre fini d'ouverts

chacun de ces

Vi

etant propre, nous en deduirons que

F, il existe un f

de sorte que

la restriction de

f

a

fest propre. Plus explici-

81

tement, considerons un atlas

(U i,

(i

W)

de

M pour la structure etalee tel

que : - le recouvrement par les ouverts - Sur

U.

f

l

0

l

-1

CPi

11 existe un entier

n.

tel que

l

o cp. (u.) c J(E) l

Soit

V. (i

telle que

lj\

une suite infinie

allons definir une suite d'applications de (i)

n. l

ne soit pas situe dans

j

E'

X

l

W) un recouvrernent ouvert finiernent etoile de

l

Soit

est finiment etoile.

U.

xn et k n

croissante d'entiers telle que

E'

n

toutes les fois que

F

() U.

J

i

d'applications de

M dans

M tel que

M dans

>

j

,ft

¢.

et une suite

ffi+

j

k

et Nous

n

telles que: 00

sont de classe C et n (x ) el,. k (x) l: n J J j=1

(ii) (Support

A..)cU. J J

Ik n (x) I < 6 (r (x ) ) (iv)

(f + k )(V.) c l n

(Z'

est de voisinage tuhulaire de

0

complernentaire

Construction des Posons

A.

k 0

=

o

et

A.

J(E)

k

(i) , (ii) , (iii) , (iv) Soit

Pn

Support

n

c

6'/2)

verifiant 1

i

n •

.

•

o

= 0

.

une application de classe Ii

de rayon

i

n - - - rr-

Supposons par recurrence construits tes

quel que soit

Zi_1

A.

verifiant les proprie-

n-1

00

C

de

M dans

[0,1]

telle que

82

Soit

i;n

Wle aplllication de classe

00

C

de

F

dans

IR

qui sera determinee

dans la suite. Posons:

An (x)

=

(x)

=

k

Soit

i

n

n k

i

1

(x)

n-1

i; (r(x) + n

(x)

+ A

n

(x)

kn- 1(x» e '_ n

n - 1 • e '_ n

D'apres la condition sur Ie choix de la suite An(X)

I

el

0,

n

est orthogonal

La condition (iv)

a imposer a 1 'application

soit verifiee pour l'indice

(puisque

n >,

La condition

f(x) + k _ (X) - x n 1

i;n

pour que la condition

n) •

(iv)

s'ecrit

i;

n

de classe

COO

de

telle que :

A=

Soit

Pour tout

y

Iy

i

n.

Le probleme est de construire une application dans

donc

est donc verifiee par recurrence pour les indices

Determinons les conditions (iv)

a

{jl, en tout point x ou

{y ; y

point de

E J(E) X E'_ n

A ,soit

{t; t E

it

I

y

I pn- 1(y ) 1 < 3/ 4 l'intervalle de

() ( Pn-1 (») y

R defini par:

J(E)

X E'n

83

quel que soi t reel

point de

tels que, quel que soi t

dans

Y

o

de Yo appartienne a I

A , il existe un voisinage ouvert

D'apres l'appendice, il existe un recouvrement ouvert, localement fini de des ouverts

tels que :

et

0'.

i

Y E 0i

si

0'

"X.. (i E IN)

Soi t

indice

i

Posons

I;n(Y)

Chaque

Iy

alors

nous choisissons un reel

t.

par

A

a

ce recouvrement. Pour chaque

tel que

etant convexe l'application

B 1e ferme de

y

0' cO j Y

une partition de 1 'uni te subo rdonnoe

D'autre part, soit B

no! ,j ¢

J

et un

A est llapp1ication cherchee

definie sur

A tel que y EB

quel que sait

ly ; yEA

o E Iy En chaisissant le

t.

= 0

0i

,j 0 , on peut construire l'application

si

en dehors d'un ouvert en dehors de

par les ouverts

C :

Bc

assez fin et en posant I;n

de sorte que

C c C c A . Nous pouvons done prolonger

I;n

o

I;n

0

par

A • On verifie que l'application ainsi pro1ongee est de c1asse

00

et

C

est l'application cherchee.

Fin de la Demonstration Posons

f

=

lim(f + k ) n-+oo

n

1e recouvrement par 1es

U

n

etant localement fini la suite

au voisinage de tout point et l'applicatian D'apres la condition

sur

k

n

et

A • n'

f

k

n

se stabilise

est bien definie, et de classe

00

C

84

v

Done

1u

••• u v

n

::J r-1(zf) n-1

La restriction de

a chacun

f

des

V.

est propre.

3.

r(x)

Sur

f(x) +

+ k. (x) 3.

k . (V. ) 3.

3.

est compact, done la restriction de

On en deduit que

a v.3.

f

est pro pre.

fest propre.

If(X)-f(x)!

sup nEf'!

Ik

n

(x)

I

sup 6(f(x)) nEf'! D'apres la condition (iii). L'application

fest l'application cherchee.

Fin de la demonstration du theoreme 1. Soi t Soi t

f

une

de

L(.ljaf1pJ..Lca

une application continue de

dans

R+.

le lemme 4, il existe une application propre

D'apres

!f(x) - r(x)!

Appliquant eucceae i.venren t les lemmes 2 k

F

M dans F.

f

telle que

< 6(f(x)) et 3 en determine une application compacte

telle que : et telle que

-

f + k

soit une immersion bijective. f

+ k

est une application propre.

La meme demonstration que celle faite en dimension finie montre que une immersion bijective propre est un plongement.

85

f + k = j

Posons

j

est Ie plongement cherche.

Corollaire du theoreme 1.

M une variete etalee de classe COO modelee sur E, il existe un

Soit

diffeomorphisme etale de et de base un ouvert

Q

sur l'espace total d'un fibre etale de fibre

Mx E

E

E.

de

Demonstration du corollaire. Soient dans

x

E

done

a

un L(J)

j

E x E

plongement de

Ie fibre normal du plongement1j

a un

et

voisinage ouvert

Soit

.. (M)

n:

Ie fibre tangent

aM.

La pro j ec tdon canonique

.. (M))

Soit V(M) etant

Q un voisinage tubulaire de

de la section nulle de

La restriction

E x E est Ie fibre sur M d'espace total

V(M),

a

j(M)

du fibre tan-

M x E.

V(M) .... M •

Ie fibre image reciproque par

diffeomorphe

a

du fibre tangent

Q. Nous pouvons considerer

.. (M))

aM.

comme fibre sur

Q •

Soi t

la projection

1t'

u

dans

(1)

n(u)

n'(v)} •

nous pouvons definir l'apjJlication

de

Mx E • (jl(u,v)

On verifie que

M

E (M),v E .. (M)

D'apres l'egalite n* (.. (M))

M

d'apres Ie chapitre IV corollaire 2.

V(M) SoH

gent

V(M)

Q est diffeomorphe

a

dans

E

E •

Soit j(M).

un pl.ongeruen t de

J

(jl

=u

+ v

est un diffeomorphisme etale

n* (.. (M))

est Ie fibre cherche.

86

Theoreme 2.

X un ouvert de

Soit sur

E,h

une

F, M une variete etalee de classe

L(J) application de

R+ , il existe un

dans

)VI

L(J) plongement ferme de

< r(h(x))

Ih(X) - h(x)1

C= modelee

X et

rune application de

h

)VI

de

dans

X dans

X tel que :

,

Addend.um, Si

est un voisinage ouvert d'un sous-ensemble ferme

Q

1

restriction de

a un

h

voisinage de

h(X)Eh(Q1)

si

alors

2)

et (h(;) -h(M))f") h(Q1) h

a

egal

est un

)VI

et si la

L(J)plongement, tel que

x EQ 1

1)

On peut choisir

Q 1

G de

¢ h

G,

sur

Demonstration, Sans 1 I addendum, Ie theoreme 2

est une consequence directe des

2,3 et

4. Deincn trons l' addendum

Soient

et

02

C

tel que

G dans

deux voisinages de

02

Q1

considerons un recouvrement de

et par des ouverts

M par l'ouvert

tels que

II 6xist0 une application

r

de

les demonstrations des lernmes 2,3,4 et les ouverts la fonction que :

U. h

(i E N)

(r < r)

Q dans

telle que si nous reprenons

en utilisant Ie recouvrement de

e± en supposant,

n'est pas rnodifiee sur

Q

1

a chaque

M par

Q

1

etape de la demonstration que

' l'application

h

construite telle

87

est l'application cherchee. Determinons

n

r.

p de )( dans lR+

existe une application 10

si

)

Y

p(x)

20)

X)

0

R sur R.

cp'(e) > k

tel que

y(e)

eE:R

Nous pouvons Construire cp

y

de sorte que

etant connue, nous choisissons

y

1 + k( 1 - M)

Dans ces conditions, Done

>0

M soit arbitrairernent proche de

o

0

de sorte que:

>0

\,t

est un diffeomorphisme etale de 'l' = id

1

en dehors de

est un diffeomorphisme. N. On verifie Q

(dans ce cas

que

= 0)

90

et

(1;,1 ,1 )

est l'isotopie cherchee.

Theoreme 4. Soit

J

plongement La.nea'i.r-e d'un espace de Hilbert

F tel que

de Hilbert

L(J)

un

J(E)

E

soit de co dimension infinie. Soient

plongements homotopes d'une variete etalee 11 existe une isoto pie

q:,

de

F'

M modelee sur

,etalee, telle que

y

dans jo

un espace

et

j1

E dans

deux

F.

quel que soit

x

dans

M , on ait :

Demonstration du theoreme 4. utilisant le fait que la codimension de

jo(M)

et de

j1(M)

nous allons montrer que nous pouvons nous ramener grace au theoreme 2

est infinie,

a une

situation

dans laquelle nous appliquons le theoreme 3.

Lemme 1. II

existe une isoto pie etalee

de

N

\]1'

N x [0,2] - N x [0,2])

telle que soit une sous-variete de et de SoH

Q

o

N

disjointe d'un voisinage tubulaire de

j1(M)

un voisinage tubulaire de

j (M) o

dans

N· a pj.Ld quarrt l' addendum du

theoreme de Bessaga (chapitre IV., theoreme 1), dans chaque fibre de construisons uhe isoto pie \]1

o

o

de

N

o : N x [0,1] - N x [0,1]

'f

o

no US

telle que

(N,1) = (N - j (M),1) • 0

On verifie que

(

'f

Q

la construction de

2) •

ne rencontre pas un voisinage tubulaire de o

est la meme que celIe faite au chapitre

jo(M)

IV, corollaire

De meme

de

construisons une isotopie

ilOUS

-

La composee de

j

o

(M))

N - j (M) o

[1,2] - (N -

x

j

0

(M))

N x [0,2J - N X [0,2J

est une isotopie

et de

a

telle que la restriction de

N X 101

[1,2]

X

est l'identite et,

Posons est l'isotopie cherchee.

Lemme 2. Les hypotheses etant celles du theoreme 3 , nous supposons en outre existe un voisinage tubulaire plongement M X \0

I

j

,

MX J - e

co5:ncide avec

Qe

j (11)

1 +

e:[

disjoint tie

0

dans

N

et la restriction de

jo

j 1 (r1)

.

11 existe

, il

L(3)

tel que la restriction de j

a

M X (1)

j

un

a

coincide avec

j1

Demonstration du lermlle 2. jo

et

application

j1 f

:

etant deux plongements homotopes disjoints, il existe une

M X [0,1] - F

11 existe deux ouverts Q

o

:::l

j

0

I) dont

dans

Q. l

o

f!j\lx\ol=j o

telle que Q 1

tels que

¢ •

(M)

II existe une application M x (i

et

Q

L(J)

f

la restriction

i

de

a un

Mx R

dans

voisinage de

F / qui coincide avec M x Ii

I

sur

est un plongement f er'me

.

92

construction de Soit (i

f

cr

:

(i

U.

un recouvrement ouvert finiement etoile de co

une partition de l'unite de classe

{I}

une suite d'entiers k(U

f o (t,x) = f(x)

Posons

qui lui cst subordonnee. II existe

C

e-

telle que si nous posons

i

soit contenu dans un sous-espace supplementaire de

i)

On verifie que

f

M

f(U

i).

+ tk(x) •

est l'application cherchee.

o

f

On construit de meme

• Considerons un recouvrement de l'intervalle

1

]-E,

1 +

3 ouverts

par

Ao =] -

+

E ,

a ce

une partition de l'unite subordonnee

Soit Posons

a.(t)

r(x,t) =

E,

1 -

E [

1

+ E[

recQuvrement.

f.(x,t) •

(f 2 (x , t ) = f(x,t) f e s t une f

a

application de

L(J)

un voisinage de

r(M XJl-E , 1 + E[) • plongement de

ji

sur

M

x

lo,1}

Mx

11 x

]-E ,

1

+

E[ dans

F et

la restriction de

est un plongement ferme qui ne

Nous pouvons appliquer

J-E ,

1 +

E[

dans

F

a f

Ie theoreme

qui cotncide avec

J. o

par

2•

II existe un

sur

Mx {O}

et

M x {1} •

Fin de la demonstration du theoreme 4. Appliquant Ie lemme 1, nous construisons d'abord une isotopie quant Ie lemme 2 isoto pie

W"

Posons

= W"

et Ie theoreme 3

de

F

0

':fI'

telle que :

est l'isotopie cherchee.

W' ,. Appli-

d'isotopie de Hirsch, nous construisons une

E[

CHAPITRE VIII.

THEOREME DE STABILITE

Ce thaoreme est un des theoremes fondamentaux demontres dans ce cours. La demonstration est inspiree de celles de

et

[3]

faites dans le cas ou la

variete est un ouvert d'un espace de Banach.

E designera un espace de Hilbert muni d'une base orthonor-

Dans tout ce chapitre, male

e

, ••• , en •.. Soient

1

En

En

l'espace engendre par les vecteurs n

respectivement

1t

tels que

l'espace engendre par les vecteurs

la projection orthogonale sur

tels que

e.

l.

E

n

(i

>n)

•

Soit

(respectivement sur

Theoreme de stabilite Soit

T un isolliorphisme lineaire

E. II existe une

modelee sur

L(T)

E x E

E • Soit

diffeolllorphisme

M une variete etalee

IF: M x E

M•

I. PRINCIPES GENERAUX DE LA DEMONSTRATION

1) Suivant finie

M

n

a) b)

de M

n

U

[6] , nous construisons une famille de sous-varietes de dimension

M

(Mn

est de dimension

eM

nEt!

n+1

M

n

est dense dans

M •

n)

telles que :

94 En raffinant un peu la demonstration de

n

[0;], nous construisons pour tout entier

un voisinage tubulaire ferme D d'un compact n

de

M n

• Les

verifient les pro-

D

n

prietes suivantes

\J

D

nCIN n

M•

2 0 ) II existe pour tout

n

un

D n

L(T)

diffeomorphisme

¢n

xE-+D n

En appliquant Ie theoreme d'isotopie des plongements et Ie theoreme d'isotopie des de maniere

voisinages tubulaires, nous modifions l'application L(T)

di.f'f'ecmor pn i sme

tel que Le

CPn

D

n

L'application

Soit

de sous-varietes de a) b)

n

est 1 'inclusion de

D

n

dans

Dn+ 1 •

sera l'application cherohee.

II. CONSTRUCTION DES TUBES Proposition 1.

obtenir un

diagrarnme suivant soit commutatif pour tout n:

i

1

a

D

u

M une variete etalee modelee M,

M (n E IN)

t elles que :

n

est de dimension

U

1"1 n

M n

est dense dans

]V] •

E. II existe une famille

95

Demonstration de la proposition 1. Ie cnapitre III il existe une

D'

Ie theoreme de transversalite de Smale (Chapitre III, corollaire 3),

il existe un element

de

l' application

soit transversale a Posons

f1

tel que

E

definie par :

En

n EN.

quel que soit

M

n

Les proprietes

a)

et

Verification de la propriete Soit

X

o

un point de

finie, eontenant

x

o

II existe done un ouvert 00

E, de elasse Soit

F

l

b)

sont verifiees trivialement.

c)

M. II existe une sous-variete

et un voisinage

tielle de la restriction de

de

f:M-+E

D'

C

n

faN

Q' c Q

Q Q

tel que

de

dans

M de eodiroension

tels que la differen-

soi t injective en tout f 1 (N (\ QI) = N1

po i.n t

de

N () Q ,

soi t une soua-va r.i e t e

et de eodimension finie.

Ie sous-espaee affine de

E

tangent a

N

done transversal a teut

En

pour

n

F

l

o

= ya

• Sans

1

Done quel que so it Ie voisinage Ouvert

Done que L que soi t l' ouvert

f (x )

assez grand.

est dense dans

N tel que

en

l

est de eodimension finie,

perte de generali t.e , nous pouvons suk'poser

entier

N de

dans

de

E ,

il existe un

ne soit pas vide. Q"

con t enan t

il existe un entier

Nil

tel que

ne soit pas vide. 1e raisonnement etant valable que I que soi t Le point dans

x

a

U M nEW n

est dense

M.

Nous remarqucns que les sous-varietes

M

n

ne sont en general pas eompaetes.

96

Proposi tion 2. II existe sur

M un propagateur

s

que llapplication exponentielle exp associee

a) Dans une carte locale

Wi)

et un atlas

a

s

Wi)

(i

tels

verifie les proprietes suivantes

llapplication

exp

est de la forme

I

exp(x,v) = (x, x + v + Yi (x,v» ou

llimage de

Yi

est contenue dans un sous-espace de dimension finie

ne dependant que de

En(w.)

w.

b) Les sous-varietes

sont totalement geodesiques. Nous poserons

Demonstration Le=e 1.

M un atlas

II existe sur

w.

(i) Les etoile de

(i

N)

(W.,

verifiant les proprietes suivantes :

forment un recouvrement ouvert ddnombrable finiement

M •

(ii)

et Image de

est contenue dans un sous-espace

(iii)

f

est contenue dans n

n

o,a )

(v) La restrictioL de (i)

a (v)

ne de pendant que de '\iIj.

-1

0

et llimage de (iv) Soit

En(W.) a

et

f

z

a. w.a,

sera dit fortement etale.

un element de

E •

est pro pre • Un atlas verifiant les proprietes

97

Demonstration de l'existence d'un atlas fortement etale Quel que soit tangente

a

existe

U x

versale

a

f

en

x

x

il existe un en tier

E

En effet,

x 0

que pour tout

0;

x

n

Done

x

soit trans-

U

x

(ul' x

une carte locale (iii)

et (iv)

U

f)(x)

est une application lineaire surjective

x

U· c x

C

U) x

telle

soient verifiee.

etant choisis posons

m == n

et une carte

x

Ux -

x

E _ Em •

x

telle

x

0

C

E • m est done verifiee.

>m x

(U ) n (z + E ) == CPx x n

0

(car les deux sous-espaces ont merne projection sur

Nous pouvons extraire du recouvrement par les ouverts denombrable par des ouverts tes

• Done i l

Y E 'P (U )

La propriete (iii) Si

>

et

Done il existe un ouvert

et Image

dans

y

n

n

que dans cette carte les proprietes

'It

pour tout

tel que quel que so it

x

II existe au voisinage du point

m

tel que l'application lineaire

x

soit transversale a-

T f x

voisinage de

n

(i), (iii)

(Vi)

(iv), (v) • Soit

tel que l'atlas

(w.) J

(j

En

1t(Z».

un recouvrement plus fin ' Vi)

verifie les pr­o pri.c--

un reoouvrement plus fin verifiant

la condi t i on : quel que soit

j , i1 existe un entier

i(j)

tel que

w.J n

W.! J

1= ¢ en-

98

traine

W.,cv.(.) J

f ¢

W n W j j,

Supposons

W j

Wj l

J

l

n

W. , J

Done

c Vi(j)

(1d + a.) J

et

n.

J

sont majores par

nj l

If'j = (10 + ex.,) J

0

If'j

La pr-o pr i e t e

,le diagraoone suivant est eommutatif

(ii)

-1

0

0

a. c E

Image

a

n.

J

j

J

1

cE

nl'

n(vi(j))

If' '. J

1d + a' l - a.

If'jl

Image

J

J

0

If'j

0

-1

If'jl

est done verifiee pour l'atlas

(If'j

, W) j

.

Fin de la d6monstra tion de la 'Jroposi tion 2. Soit

une vartition de l'unite subordonnee au reeouvrement

fli

par les ouverts

sur

W. l

eonsiderons le propagateur trivial

s .•

Po s oris

l

D'apres les calculs faits au chapitre1fet la Jropriete ment etales la propriete

b)

exp(x,v)

au

Image

est verifiee

= (x,x

dans la carte

(ii) des atlas forte-

,.(W.) J

J

+ v + y. (x,v)) l

Yi c En(W.) l

si

(v + y.(x,v)) E E W. ) l n(

v E

DI a pr-ss les proprietes

.) l

l

(iii)

et (iv)

des atlas fortement etales, nous en

99

deduisons que si une geodesique joint 2 points

xl ), de

et

le

M

neW. ) J.

vecteur

v

correspondant (tel que (exu(x ,v) = • 0

est situe dans

E

n(W,)

done

J.

tout le segment de geodesique joignant

Construction, a l'aide du propagateur

x

s

et

o

est situe dans

x

Mn(W. ) J.

d'une famille de voisinages tubulaires de

1e=e 2.

11 existe uns application fibres S

restriction de

n

du plongement de

x En

SaM

n

S: M x E

TM

telle que l'application

soit une trivialisation de

V(M) n

fibre normal

M.

dans

Demonstration. Considerons l'application

a

Wi

: Wi x E

J.

aM,

du fibre tangent

est la restriction

TM/ W.

definie par :

S.(x,v) J.

est l'application tangente

Soit ouverts Posons

Wi)' S(x,v) = Z

SoH Dans la carte

W.

IJ.. (x)

S. (x,v)

J.

J.

un ouvert d'une carte tel que

J

(W

j

q>j )

Posons (I). o S(x,v)

E-VC). J.

une partition de l'unite subordonnee au recouvrement par les

iElN

J

a 1 'application

exprimons

T q>j

(1)/ z

J.

..

TW. J

'application q>.(W.) x E J

(x) (1)-:-1 (q>. (x), v)) J.

J.

\'1. oM n J

J

S •

1=

¢.

100

a l'ensemble

La sommation est etendue E.

J

\l?

J

0

S(x,v) = E iEE

d'indice I;.] J

l

j

v + p. (x)(v)) J

Pj

ou Image

C

Done la restriction

En(W.) J

SaM x En n n

est un fibre transverse

a

de

S est injective et l'image de

M x n

• Le lemme en resulte :

T

posons

n

est un diffeomorphisme d'un voisinage de la section nulle de

T

n

sur un voisinage de

M n

dans

M•

Proposi tion 3. II existe une application continue

quel que soit

n

r

la restriction

morphisme sur un voisinage de

M

n

dans

a

telle que

M (x) En(r) n

de

T

n

est un diffeo-

M •

Demonstra t i on, SoH

une carte, d'apres 1e lemme 2

dans cette carte l'application

ou

l'image de

'rn

et l'expression de

oJ

exp,

est de 1a forme

est contenue dans le sous-espace de dimension finie

(w.) l

D'autre part

D -r. (x,O) x

l

de points

Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une suite de

et une suite d'entiers

(w.

Plagons nous dans une carte points de Soit

Pour 2 E.

1.

J

J

M et leur image par

m (lim m. = x:) telle que i

l

l

au voisinage de dans

x. Nous identifions les

E.

la distance (mesuree dans

E.

i-=

a

de

E

m.

)

l

assez grand, i l existe un point

N.

J.

et tel que le segment

est assez grand

'Yi)

Xi ' Y ' x i

x. l

de

tel que

E

m.

. Si lP/ W j ) J.

soit contenu dans

sont situes dans un ouvert

D

d(y. ,x. )< J. l

l'indice

du recouvrement

u

i

de-

fini precedemment.

m.

Or

V.

1.

a)

lv.l 1.

=

r(x.)j2 J. appartient au segment (x., Y.) 1.

1.

de

E

1.

tel que

103

LYi

m.

E

l

U

@x

n lN

l

Posons

l

E m. a

+

lim i

-'.!'

co

E. l

.

= 0

z. = lim l i ....

= x 00

.

Tn

1:. l

(x. , v.) l

et Image

l

i C En(W.) •

1:

J

J

l

a pour limite

nn(x)

n (z.)

n

n (x )

n

l

lim i->oo

n

o

lim

De la suite

(xil

Iv.1 =lim

li->""

etant fortement continue

It

nous pouvons extraire une suite

(xi l p

x

M

n = n(W.) • nn(z.)

Done

lim i-.,.oo

l

D'apres l'expression de

est dense dans

n

Done

x.

z. = x. +

M

o r(x. ) l

converge vers

r(x) 0

P

lim

r(x.)

p .... oo

D'ou une contradiction.

l

P

>0 O.

•

convergent vers un point

104 corollaire.

o

u = U n nEW

U' n

M

•

Proposi tion 5. II existe une suite

de voisinages tubulaires d'un ferme de

D

n

telle

M n

que

U D

et

M

nEW n

Lemme 3. II existe une application quel que soit

p

de

dans

M

R+

telle que

n

Demonstration du lemme 3.

nNn

D'apres la proposition 4 , Done il existe pour tout

n

U

contient un voisinage ouvert de

p

une application continue

de

M n

dans

lR+

M n

telle

que :

T (M (X) En(p )) c

n

Montrons que les applications

Pn

n

n

n

p de

la meme application continue

x

reel

Px

x

>0

et de rayon

p

peuvent etre choisies COWlle

dans

une boule de centre 2a

x

Ie voisinage de

x

et de rayon

telle que la boule

soit contenue dans

x

tel que pour tout

n

induites par

R+.

M ,soit

etant un point donne de

proposition 3 • Soit de centre

M

U

Q ' x

ax

defini

par la

Montrons qu'il existe un

T ((M f'Q') x En(p)) cQ nnx x x

• (Si

M 0Q' = ¢ nx

la condition est automatiquement verifiee). En effet, supposons que

Px n'existe pas, alors il existerait une suite

105

d'entiers

tendant vers l'infini, une suite de points

et une suite n E P telloo que

°,

de reels positifs tendant vers

d(T

n

(x p

,v), x) > 2

p

{x

p

I

dans

vecteurs

et

p

Plagons nous dans une carte locale ce que l'on peut toujours supposer si px

T (x , v ) n p p p

+ v p + ". (x p , vp)

Or

°

D".(x,O) x (x ,0) p

0

(x ,v ) p p

lim

-t .

lim

Iv p I

p-+co

p-+co

°

d(T (x , v ), x ) n p p p

et lim £p P -+ co


a ,

r

soit 1

E • II existe un diffeomorphisme etale

...

S r'

se de celui donne par la pDojection stereographique diffeomorphisme de Bessaga dehors de la boule Douady B r

-+

B r

E -

de rayon

r

de

{ol

-->

E.

rons Ie diffeomorphisme

1

... S , - {x r 0

Soit

est Ie compc--

d

r

I) • Soit

soit l'identite en

tel que

E

(sri

r'

et du diffeomorphisme inverE

Ie diffeomorphisme etale de soit l'identite. Conside-

tel que la restriction de

E

la sphere de rayon

sr': E ... SrI

S - {x I r' 0

se d'un diffeomorphisme de

SrI

xE-B

r

compose des diffeomorphismes sui-

vants : -1

{jlr

B x E r

xid

-

E

1

X

R+

X

(E -

1 E x E

E-

X

{o}) x

E ... SrI X R+ x E

R+

Dans cette suite Ie diffeomorphisme de

E - {a}

sur

les coordonnees polaires. L'image par ce diffeomorphisme de SrI x ]0,1] •

Nous verifions, d'autre part que

'(;r,r ,(B r x E)

'(;

r,r I (B r

I

x E)

= Br = Br ,

•

est celui donne par Br , -

{ol

est

un

111

Posons

est un point de

{o} •

Soient

(po,t

les eoor-

o)

+ Sr' X IR •

Yo suivant

donnees polaires de

E -

Nous pouvons choisir Ie diffeomorphisme

sr' de sorte que

sr'(Yo)

o (0 origine

o• on verifie que

" r,r ,(0,0) est un

"r,r'

L( T1)

O.

d i f f eomcr-phi eme, done un

L( T)

D'apres Ie chapitre IV , addendum du theoreme 1 , differentielle en

de

0

d

d.Lf'f'eomo r-phi sme,

est isotope a l'identite, la

(0,0)

etant l'identite, la differentielle en

r

et

"r,r' est isotope a T : E x E - E d'un point rex)

de

x

M n n

K n

n

n

n

est

Dans la fibre de

de

Brex) X E ,

n

T

"rex),r' (x)

,

ou

M f\

n

Bn

K

T1

X

id

et la fibre au-des sus

n

est la boule de rayon

rex)

x, nous pouvons done appliquer un diffeomcrphisme

construit a partir de

"r(x) ,r' (x )

est fibre sur

x E

D

de

Tn En x E - E , comme l'est

est un

,r'

a partir de

diffeomorphisme de

dans

(0,0)

L'image de

par ce diffeomorphisme est

°

et la differentielle

en

(0,0)

de ce diffeomorphisme est isotope a

r

et

r'

etant deux applications de elasse

COO

de

K II

n

M

n

dans

tR+ , nous

definissons ainsi un diffeomorphisme

n

(D x E , D'n x E) - (Dn

rjJn La restriction de

rjJ (M n K ) X n n n

lo}

morphisme de paires. La restriction point de

M

n

x

lo}

est homo tope

a

est l'identite.

a la Tn.

rjJn

est

done un

fibre de la differentielle de

L(T) diffeoen tout

112

Fin de la demonstration de 1a proposition 6. Posons

fjlo '"

pour

fjl

p

'"

p

1.1

construisons Soit

en tier

P$ n

1

te1les que si nous posons :

9)p

, les diagrarrunes

4Jp

0

Wn+ 1

y

est supposons ccns t.ru i te une suite d'isotopies etalees

4JO

pour

1

p

n

soient commut.a t.i.f s ,

0

j n -- ," 'l'n+1

(i n

0

X

id)

est une application de

r

soit corrunutatif.

inX,:n

m-

0

T

D n

1

n

dans

te11e que Ie diagrarrune suivant

Dn+ 1xE

e t an t isotope

La restriction arestriction de M

n

n

K

n

isotopie

a-

(M

jn

dans

est isotope a-

n

a-

Dn +1

qp+1

de

n

K )

n

M

.

n

n

x lo} K

n

D'

"

n

est I' identi teo Done 1a

4Jn + 1

a-

M n K n

a

M

n

n K

n

i

n

de

i l existe une

de

L(T)

wn+1 o jn 1

n

D

n

dans

definissent deux voisinages tubulaires de tangent a-

,

theoreme 2,

telle que la restriction

sont deux p10ngements de

la projection du dans

et de

n

est homotope a- l'inclusion naturelle

avec 1a restriction de

i

4Jn

Le chapi tre VII

D'

Dn + 1

de

i

M

n

D + • Leurs restrictions n 1

n

dans

K

n

p

D + • Soi t n 1

M sur 1e fibre normal du plongement de

MnK n

n

M. L'application

p

0

T(",n+1 "'1

0

J") n

est isotope a-

p

0

Tj

n

qui est isotope a-

113

p

0

n+

1

0

(i

i

n

x id)

0

de

qui est elle-meme isotope

n

telle que les restrictions

co5:ncident.

Posons

On verifie de

n+1

n+1 W

d'apres la defini-

0

D1apres le theoreme 2 du chapitre 6 , il existe une isoto-

et de

tion de pie

n

= '"

""n+1

0 '"

est llisotopie cherchee.

a

D' n

de

-n+1 \P 1

0

""n+1 "'1

0

. In

et de

THEOREME DE MAZUR ET CLASSIFICATION DES STRUCTURES DE FREDHOLM SUR TINE VARIETE HILBERTIENNE

Dans ce chapitre, nous rassemblons les differents resultats demontres au cours de ces exposes pour obtenir Ie theoreme de classification annonce dans l'introduction.

1. THEOREME DE lI'LAZUR

Dans tout ce paragraphe,

designera un espace de Hilbert separable,

E

N deux varietes de Fredholm separables modelees sur E, de classe

M et

00

C

Definition. Soit

f

un morphisme de classe

00

C

de

M

dans

N , qui soit une equivalence

d'homotopie; fest une equivalence d'homotopie tangentielle si l'image reciproque par

a

f

du fibre tangent

a N I*(TN)

est un fibre isomorphe comme

(3'1 (E) o

fibre

TM.

Theoreme 1.(de Mazur). Scient

M et

tangentielle de

a un

N deux varietes de Fredholm) f

M dans

N

f

diffeomorphisme de Fredholm

x idE f

1

de

une equivalence d'homotopie

est homotope, par une homotopie de Fredholm, MX E

dans

NXE •

115

Demonstration. D'apres le chapitre V , corollaire du theoreme j, il existe deux fibres de

'i. et

Fredholm d'espaces totals Mx E

tels que

-:f.

Fosons

f

j1

Soient

et

j

Q

2

ouverts de

a

un plongement de

V(M) et

etant isomorphe

E, et

,t:(. •

a

o

Considerons la construction de Soit

Q

soit diffeomorphe, par un diffeomor¥hisme de Fredholm

soit diffeomorphe par

NxE

de bases respectives

E

un plongement de

j2

les fibres normaux respectifs de

yeN)

a

M dans

et

TM ,

(r x Ld )

Par l'application exponentielle,

et

respectivement. Nous appelerons encore

f

f

0

de

V(M) dans

sont diffeomorphes

yeN)

l'application de

o

E • ftl«(TN)

et

j1

induit une application

N dans

sur

yeN). et

Q

2

deduite

de (f X Ld ); Les diagrammes suivants sont commutatifs f

M

--0--->

f

M

* njTM

n*

2

n

* 1

TN:

1 1

f

fxid

1

N X E

(f*,f) _ _0,,-->-,

1

Tit ® V(N)

f' : o

telle que les diagrammes suivants scient commutatifs.

fl

Q

E

TM Ef) V(M)

N

Nous en deduisons une application

X

0

fl n;(TN)

n7(TM)

1

1

TMeV(M)

Q

2

0

(f*,f o)

n;(TN)

1

TN (i)V(N)

Les fleches verticales de chacun des deux diagramllles de droite etant des isomorphismes naturels dont les composes sont

et

respectivement, nous en deduisons que :

116 fl

f

o

0

Le diagramme suivant est eommutatif f

1t

1

1

1

-:fc

0

1 1t'

2

f

0

, °2

°1

et

f

sont des equivalences d'homotopie tangentielles. On verifie que

o

est un fibre de Fredholm isomorphe

a un

est homotope

a

1

Supposons demontre que

f

o

X id

,.J

diffeomorphisme de Fredholm

f

est un fibre de Fredholm isomorphe

a

,J

f*($.x E)

.

de

1

(fo x

dans

01 x E

done isomorphe

id)*(ofx E)

a'tXE. 11 existe un homotope (id N

N

X

x

a

T)-1

E

de Fredholm f

o

£1

0

homo tope

x id • Soit 0

a

(id

M

(id

f

1

de

lineaire de

E

dans

est un diffeomorphisme de Fredholm de

x T)-1

0

(f

x

X

0

idE x T

J

a

E. Dans ce cas, les fibres tangents

M et

E

,fibre,

E x E ,

MX E

done homotope

11 suffit done de demontrer le theoreme de Mazur dans le cas ou ouverts de

':ft x

dans

E

T un

x T)

N

,..J

M et

sur

a

f

N sont deux

N sont deux

GL (E) fic

bres triviaux. Nous demontrons Ie lemme suivant

Lemme 1. Soient

M et

N deux varietes etalees de classe

que les fibres tangents

a

M et

equivalence d'homotopie etalee de

a un

diffeomorphisme etale de

COO

modelees sur

E , telle;

N soient deux fibres etales triviaux. Soit M dans

Mx E

dans

N. L'application NX E

situee dans l'ensemble des morphismes etales de

f X id

f

une

est homotope

par une homotopie dont l'image est

Mx E

dans

NXE •

117

Demonstration du lemme 1.

[14] dans le cas des varietes

Cette cemonstration, in:spiLre,e de celIe de Mazur

de dimension finie, a ete pour la premiere fois donnee dans que

TM

Le s

et

TN

etant deux fibres triviaux, TM

f*(TN)

sont deux fibres eta-

isomorphes. Soit

g

un inverse homotopique de

Soit

S

l'inclusion lineaire de

f.

E dans

E x E

D'apres le chapitre V , theoreme 1, i l existe deux

k

et

[2]. Nous remarquons

de

M et

telle que

1(S)-plongements fermes

a l' application

gements, quotient de deux fibres etales triviaux est trivial. et au

pouvons done etendre Mx E

Ex E

contenant

SoH

U(n)

j(M(X) E(2 - 1)) n

V(n)

k(N(X) E(2 - 1)) n

U(n)

U

j(M(X) E(2))

V

k(N(X) E(2))

et

theoreme

et N x B

k

1

0

,k

fest une application de 0

fest homotope a un

M dans

1(J)

peut s'etewire en un diffeomorphisme etale Mx E

sur un voisinage tubulaire de

avec un diffeomorphisme de Douady plongement 3tale de meme, utilisant

U(1)

U(2)

Mx

lo}

• Or la restriction de

G

1

G

1

en deux

k

et

k(N)

f

1

de

M x {O}

est homotope a

0

F

F 1

1

G

1

k

F 0

de

defini deux plongements de

as M x

lo}

f

1

dans

V(1). quitte a composer

F11M x {o}

0

res pec-

V(1);

M dans

source, nous pouvons supposer que et

de

et

D'apres Ie chapitre V

d'un voisinage de

dans

1

V(2)

1

(M}

g, hous pouvons construire un pillongement etale

V(2) • 1a restriction a dans

dans

F

j

V(1)

plongement

f (M)

a la

j

respectivement sur deux ouverts de

sont deux voisinages tubulaires f'a rmee de

tivement.

et

j

E x E • 1e fibre normal de chacun de ces plon-

N respectivement dans

d i.f'f eomor-phi smae etales de

[o] •

E x

F

1

1

est un

f • De

V(1)

dans

M x {O}

est homotope ago f

0

j,

118

done homotope pie

de

0

G 1

dans

a

• DeUx plongements homotopes etant isotopes, il existe une isoto-

j

U(Z)

telle que

F1(U(1»

0

et

U(Z).

G

Par construction de

et de

1

F

1

l'application qui

a

tout point de

associe la differentielle Ie long de la fib re en ce point de

a la

MX {OJ

sont deux voisinages tubulaires fermes de

U(1)

(g x id)

differentie11e de

une isoto pie

de

0

(f x id), done homo tope

{o}

G o F > est homotope 1 1

a l'identite. n '"2

tel1e que 1a restriction de

U(2)

M X

0

2 1 0 G1

0

F

1

existe

a

U(1)

soit l'identite. Fosons Fosons En apv1iquant Ie merne procede pour un indice suite de plongements ouverts

F n

V(n)

G

n

o F'" n

Identite sur Identite sur

Sur Done

U(n)

'" F n

De meme

et rJ

G

n

,.J

•

et

F

n

oj

Fn+1 et

'"

V(n) U(n + 1)

U(n) • V(n) •

ont meme inverse, coincident sur

.J

Gn+ 1

Nous pouvons done poser

"

" F

co

Gcc

quelconque, nous construisons une

,oJ

U(n)---.

tels que

n

sur

= lim rr-ee

=

lim n....oo

U(n) V(n) tJ

F

n

,.J

G n

a savoir

rJ

G n

119

est un diffeomorphisme etale

U dans

est un diffeomorphisme etale de G

co

0

F

co

V dans

et

V diffeomorphe

a vx

U homo tope

a

a

f x id • g x id.

;: Id

v

a l'identite

Par un diffeomorphisIDe de Douady isotope Mx E

V homotope

Ie lemme 1

E

a

U etant diffeomorphe

est demontre.

II. THEOREME DE CLASSIFICATION DES STRUCTURES

Le theoreIDe de stabilite du ohapitre VIII

et Ie theoreme de Mazur ont pour

oonsequenoe immediate Ie theoreme suivant Theoreme 2. Soient

M et

modelees sur

N deux varietes de classe

E ,soit

fest homotope

a un

f

munies d'une structure etalee,

une equivalence d'homotopie tangentielle de

diffeomorphisme

f

1

de

M dans

M dans

N,

N.

Demonstration. Utilisant les diffeomorphismes et

de

M dans

de

N dans

MX E Nx E ,

nous posons f

de f

o

Mx E x id

Soit

f

f

o

dans

o

est une equivalence d'homotopie tangentielle

Nx E •

est homotope

a un

diffeomorphisme

T un isomorphisme Li.nea Lre de

E dans

est un diffeomorphisme de M X E dans 1 (f o x id) 0 (id x > done homo tope a f o

F

de

Mx E x E

dans

Nx E x E •

E x E • Posons

NXE

homotope

a

(id x T)-1

0

120

-1

0 f

1

0

est un diffeomorphisme de

M dans

N homotope

a

f.

APPENDICE

Dans cet appendice, nous donnons deux propositions sur les recouvrements d'espaces paracompacts separables qui ont ete utilisees dans de nombreuses demonstrations.

Proposition 1. Soit

X un espace separable, metrisable. Quel que soit le recouvrement ouvert de

X par, des ouverts

B)

U

a

(a

A) ,il existe un recouvrement ouvert plus

tel que, quel que soit

l'ensemble des indices

i

¢

tels que

so it fini • (Nous avons appele un tel recouvrement finiement etoile).

Demonstration. Soit dans

K

K

=

, d'apres le theoreme d'Urysohn.

existe une suite compact et n

1

le cube compact de Hilbert. 11 existe un plongement

IN

, ••• , n

G

n

d'ouverts de n

X

est un espace compact separable. 11

K

Done pour tout

G C G + n n 1

K

,

U G = ql(X) Gn est n N n il existe une famille finie d'indices

tels que

tels que

q

X ('\ cp-1 (G ) n

Posons

IN)

(n

ql de

V

C

(U u n

1

n.

1

?-Y'

On verifie facilement que l'ensembleYV

n.

est 1'ensemble cherchee.

1

Proposi tion 2. Soit

X un espace paracompact separable, metrisable. Soit

couvrement ouvert de

U

n

(n

IN)

un re-

X localement fini. 11 existe un recouvrement ouvert localement

122

quel que soit k

il existe un en tier

t

n(k)

verifiant la propriete

entraine

Demonstration. Soit

x

un point de

SoH

lex)

X.

l'ensemble fini des indices

II existe un recouvrement de Soit

I'6c)

n

tels que

X par des ouverts D'n

l'ensemble fini des indices

n

tels que

xEDn tels que

U'n

c trn

xED'n •

I'(x) c I(x) • Supposons

wx

xED; D' t'I (

1

,posons

n

nEI

x

U )n (X n

V

nt I'(x)n

Wx est un voisinage ouvert de x. Soit

x'

Supposons

un autre point de

WeD' x 1')

et

X, nous pouvons definir de maniere analogue un ouvert

wnw,f,¢. x x

En extrayant du recouyrement par les obtenons Ie recouvrement cherche.

W x

un redouvrement finiement etoile, nous

Bibliographie

[1]

C. BESSAGA : Every infinite dimensional Hilbert space is diffeomorphic its unit sphere. Bull. And.

[2]

D. BURGHELEA and

N.H. KUIPER

with

Sci. XIV. Hilbert manifolds - Annals of Math. 90(1969)

p.319-411. [3]

A. DUUADY : Equivalence de Fredholm entre les boules d'un espace de Hibert. Indagationes

Mathematicat.

[4]

J. EELLS: A setting for global analysis. Bull. A.M.S. 12 (1966) p.151-807.

[5]

J. EELLS and K.D. ELWORTHY : On Fredholm manifolds

[6]

J. EELLS and

I.C.M.

Nice 1970.

K.D. ELWORTHY : Open embeddings of certain Banach manifolds.

Annals of Math. 91 (1970) 465-485. [1J

K.D. ELWORTHY : Fredholm maps and differential structures on Banach manifolds. Summer institute on Global Analysis. Berkeley AMS 1968.

[8J

tl

tl

:

Embeddings, isotopy and stability of Banach manifolds. Journal

of Diff. Geometry to appear. [9]

K.D. ELWORTHY : Structures Fredholm sur les varietes Banachiques - Notes de Nicole MOULI3 Montreal

[10] N.H.

3M3. Juillet 1969.

The differential topology of separable Banach manifolds. I.C.M.

1970. [11] N.H. KUIPER

Varietes Hilbertiennes. Aspects geometriques. Montreal

S.M.S.

Juillet 1969. [12]

N.H.KUIPER:

The homotopy type of the unitary group of Hilbert space

Topo-

logy 3 (1965) p.19-30. [13]

S. LANG: Introduction to differentiable Manifolds. Interscience N.Y. 1962.

[14]

B. MAZUR: stable equivalence of differentiable manifolds. Bull. A.M.S. 61 (1961) p.377-384.

[15] MICHAEL [16J

On continuous selections. Annals of Mathematics 63 (1

p.361-382.

R. PALAIS : On the homotopy type of certain groups of Operators. Topolo5Y 3 (1965) p.271-279.

[11]

S. SMALE; An infinite dimensional version of SardIs theorem (American Journal of Math. 81(1965) p.861-866.