Statik der Baukonstruktionen: Band 1 Grundlagen [2., neubearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111626222, 9783111248295

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Statik der Baukonstruktionen i Grundlagen

von Dr.-Ing. Alfred Teichmann em. Professor an der Technischen Universität Berlin und Dipl.-Ing. Gerhard Pohlmann Oberingenieur an der Technischen Universität Berlin

mit 51 Abbildungen und 5 Formtafeln

2., neubearbeitete Auflage

w DE

Sammlung Göschen Band 4119

Walter de Gruyter & Co Berlin 1971

Für freundliche Unterstützung sprechen wir Herrn Dipl-Ing. Max Oberneyer unseren Dank aus. Die Verfasser

© Copyright 1971 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagahandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr.: 7 6 1 0 7 0 8 — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin. — Printed in Germany.

Inhalt Bezeichnungsregeln I.

4

Fesselung

A. Vorbemerkung B. Drehungen und Wege C. Fesselbedingungen D. Erfüllung der Fesselbedingungen II.

8 8 15 18

Gleichgewicht

A. Vorbemerkung B. Kräfte und Momente C. Eingeprägte Lasten und Fessellasten D. Gleichgewichtsbedingungen E. Resultierende Kraft und resultierendes Moment F. Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen G. Beispiele H. Prinzip der virtuellen Verrückungen

20 21 26 28 32 32 34 44

I I I . Stab

A. Allgemeines 1. Vorbemerkungen 2. Schnittlasten 3. Aufgabenstellung

40 46 48 50

B. Gerader Stab 1. Elementarstab 2. Andere Stäbe

50 50 67

C. Krummer Stab 1. Krummer Elementarstab 2. Dreigelenkbogen 3. Andere Stäbe

70 70 79 84

D. Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen 1. Vorbemerkungen 2. Beziehungen aus der Kinematik 3. Beispiele 4. Einflußlinien Sachverzeichnis

. .

84 84 86 88 94 97

Bezeichnungsregeln Bezeichnung A.

Begriff

Allgemeines 7.

x,y,z x, z

X, Y,Z X T.Z

X, z £>

i

b i x', y', z' ä' t, i , f

ex^ * C^ ^y * o"^ ^z

x,y,z X

z o u W. (?) (r) x

1

Koordinatensysteme

allgemeines räumliches Koordinatensystem Koordinaten am ebenen Stabwerk Stabkoordinaten Richtung der Stabachse Richtungen der Trägheitshauptachsen des Querschnitts Stabkoordinaten am ebenen Stabwerk Koordinaten von Lastangriffsstellen Koordinaten von Lastangriffsstellen bei ebenen Stabwerken Koordinaten entgegen x, y, z Koordinaten entgegen J, t), 5 Einheitsvektoren der Richtungen x, y, z Einheitsvektoren der Richtungen X , Y, Z Komponenten von e* analog: II.

i,i+

Bemerkung

Rechtssystem ggf. h entgegen z Rechtssystem

Ebene Z, X in Ebene z, x Rechtssystem ggf. I) entgegen j "I Koordinatenursprung J am rechten Stabende

Fußzeiger

Richtung oder Achse | bei ebenen Systemen horizontal vertikal J vorwiegend oben unten Kennzeichnung von Stellen z . B . B(j) am linken bzw. rechten Stabende Lastangriffsstelle „hervorgerufen durch" (Kurzzeichen) zum Feld i,i + 1 gehörend

Bezeichnungsregeln Bezeichnung

Begriff

Bemerkung

I I I . Kopfzeiger virtuell eingeprägt

I F

z.B. A" — virtuelle Arbeit

Eessellast

(*). (y)> 00 [...] cc

IV. Besondere Zeichen funktionale Zuordnung (auf Zeile) hervorgerufen durch

Ii* • •

Bezeichnung von Gleichungen

; to

zur Kennzeichnung einer Einflußlinie Differenz, Determinante allgemeine Stelle

A i, k, j

s. a. als Fußzeiger unter I I z. B. „ P Z. B. By(j); m

in Fraktur oder überätricliene griechische Buchstaben V e k t o r e n

Summenzeichen l

linkes Stab-Ende

r

rechtes Stab-Ende Stellen unmittelbar links bzw. rechts von i linkes bzw. rechtes Schnittufer eines Schnittes in j

i', i"

il,r

B. Geometrische Größen usw. s

Spannweite (bzw. Stab-Länge)

b d

Breite Balkenhöhe

h r at

Höhe Radius Temperatur-Koeffizient

Lt. DIN 1080 Temperatur-Dehnzahl

Bezeichnungsregeln

6 Bezeichnung C. Lasten %

aß 1

Begriff

Bemerkung

äußere Kräfte eingeprägte Kräfte Fesselkräfte

(Vektoren) (Vektoren) (Vektoren)

pl rp! p f pi' ry Komponenten von iß' bzw. iß-F x y> Komponenten von iß1 bzw. iß-f PLPI r

Ax, Az A tJ

Fesselkraftkomponenten, wenn positiv gezählt entgegen den Koordinaten x bzw. z bzw. y

H

Horizontalschub beim Dreigelenkbogen

SKI M* MY, Ml M*,M{ ,Mf D* DX,DY ML,

©, %

a den Winkel bedeutet, um den der den Vektor

darstellende Pfeil um seinen Fußpunkt zu drehen ist, bis er die Richtung und den Richtungs-Sinn des Einheitsvektors et kurz statt r 0 G l . „Miö)":

PFa [ r * . e j it

2 a

+

2 d

M*

td e«

+ 2 [r)

. ez(5) ' mit P f folgt aus Gleichung 45 a die gedachte Fesselkraft Ax(r) (= Ax(5)). Gleichung 46 liefert schließlich: pF

A-x(l)

6

_

=

Px(x)

+

•

X

c) Weiterer Sonderfall

Bei der in Abschnitt I I G 2 a behandelten Konstruktion seien beide Fesseln an der Stelle r schräg gerichtet: Fessellinien 4—4 und 5—5, Einheitsvektoren e 4 , e5 auf die Anschlußpunkte weisend. Die in ihnen wirkenden Fesselkräfte ißf und 9ßf bilden dann eine resultierende Fesselkraft W mit den Komponenten

=

P f

+

P i h

A(r) = — P f e xW — P f eX(5), A ( r ) = — P f e (4) — P f ^(5), Az(r) = — P f eZ(4) — P f e2 aus Gleichung 46. Wird die Fesselung an der Stelle r — gleichbedeutend mit dem Voranstehenden — als Weg-Verschieblichkeit, parallel einem Einheitsvektor e, beschrieben („Linienführung", s. Abb. 10e), so ist damit ausgesprochen, daß von ^ßf die Komponente ißf e gleich Null ist, d. h.: Ax(r)ex + Ayir)ev

+ Amez

= 0.

(48)

Wiederum gilt Gleichung 46 und bleiben die Gleichungen 44 b, . . . f unverändert. Aus letzteren ergeben sich wiederum die Fessellasten A y ^ , A z m , DX(i), ferner die gedachten Fesselkräfte Ay(r) und ^4z(r). Anschließend ergibt sich Ax(r) aus Gleichung 48 und damit AX(V) aus Gleichung 46. H. Prinzip der virtuellen Verrückungen Statt nach den Gleichungen 35, 36 und ihren Abwandlungen können Fesselkräfte und Fesselmomente auch in folgender Weise ermittelt werden: Nur e i n e Wegfessel, z. B. mit der Fessellinie 1—1, oder nur e i n e Drehfessel, z. B. mit der Fessellinie I—I, wird zerschnitten, und an ihrer Stelle wird die von ihr auf die Konstruktion ausgeübte Reaktionskraft bzw. das von ihr ausgeübte Reaktionsmoment üOif (mit zunächst unbekanntem

H. Prinzip der virtuellen Verrückungen

45

positivem Betrag P f bzw. Mf wirkend) angenommen. Der durch das Zerschneiden der Fessel beweglich gewordenen Konstruktion wird eine kleine, mit den noch vorhandenen Fesseln verträgliche Verschiebung erteilt gedacht : sog. virtuelle Verrückung (s. Abb. 25). Die Angriffspunkte der an der Konstruktion wirkenden Lasten beschreiben dabei Wege tt>® und Drehungen cp". Da an der Konstruktion Gleichgewicht herrschtest die von den Fessellasten (Reaktionen) und eingeprägten Lasten bei der virtuellen Verrückung insgesamt geleistete „virtuelle Arbeit" gleich Null (Prinzip der virtuellen Verrückungen 15 ). Bei der virtuellen Verrückung können die Stellen der Konstruktion, an denen n i c h t zerschnittene Wegfesseln anschließen, nur Wege tü® s e n k r e c h t zu den betreffenden Wegfessel-Linien (sowie Drehungen) ausführen; desgl. können Stellen, an denen n i c h t zerschnittene Drehfesseln anschließen, nur Drehungen cp" um Achsen s e n k r e c h t zu den betreffenden Drehfessel-Linien (sowie Wege) ausführen. — Die von n i c h t zerschnittenen Fesseln auf den Körper ausgeübten Fessellasten (Reaktionen) leisten daher bei der virtuellen Verrückung k e i n e Arbeiten. Falls eine Wegfessel (1—1) zerschnitten wurde, gilt also 16 +

X

+

X

= 0

(49a)

1 6 Aus der Mechanik als bekannt vorausgesetzt; s. z . B . W.Müller, Dynamik I ; Sammlung Göschen, Bd. 902. 1 9 Virtuelle Arbeit = inneres Produkt aus K r a f t und virtuellem Weg bzw. aus Moment und virtueller Drehung.

III. Stab

46 oder

- P f w l ( l ) + 2J {PX(X) WX(X) +

+ MxM

(64e") (64f')

,

= -Bz(i-) — Qy(i,i+1) (%i + l — i ) — Mz(i), (64f") • • • MZ(i) = äußere Lasten an der Stelle i (eingeprägte und ggf. aus Fesseln herrührende Lasten).

Bz(i+1-)

x

PX(i),

21 Die Formeln 64a e', f' können auch anschaulich aus den Gleichgewichtsbedingungen eines kleinen, die Stelle i enthaltenden Stababschnittes hergeleitet werden, die Formeln 64 e", f" entsprechend aus den Gleichgewichtsbedingungen des Abschnitt? i-, i + 1\

61

B. Gerader Stab

Die Gleichungen 64 werden „Rekursionsformeln für die Schnittlasten" genannt 22 . Wird jenseits des linken Stab-Endes 0 noch ein gedachter Abschnitt —1,0 angenommen (s. Abb. 33), so gilt für diesen: $(-1,0) — Qy(-1,0)

— Qz(~ 1,0) — 0 ,

2V!,0) 1,0) = B By(V( o) 0)

= B z ( o-)

= 0.

(65)

Unter Beachtung dieser „Anfangswerte" vom Betrage Null können die Schnittlasten in den Abschnitten i, i + 1 bzw. an den Stellen . . , v , i " , . . . bequem an Hand der Rekursionsformeln berechnet werden („Rekurrente" Berechnung; Schema s. in Tafel 4). Die Biegemomente an jeder Stelle j z w i s c h e n zwei aufeinander folgenden Last-Angriffsstellen i und i - f 1 ergeben sich anschließend zufolge ihres geradlinigen Verlaufes zwischen den Stellen i" und i + 1'Aus den Rekursionsformeln für die Biegemomente können noch Ausdrücke der folgenden Art 2 3 entwickelt werden: By(i

+ !•) — -By(i') xi+l

xi

By(r)— Bv(j-!•) xi

xi-1

(66)

Ist die eingeprägte Belastung linienhaft verteilt, so können die Gleichungen 61 bis 66 unverändert benutzt werden, sofern die Belastung lt. Abschnitt H I B I b a durch E i n z e l l a s t e n ersetzt wird. Soll letzteres n i c h t geschehen, so gilt folgendes: Analog dem in Abschnitt H I B I b a Ausgeführten sind die in den Summenformeln 61, 62 enthaltenen e i n g e p r ä g t e n Lasten P, M durch d\, m ( j ) djc zu ersetzen. (Die Fessellasten bleiben unverändert als Einzellasten stehen.) — Z. B . in den Ausdrücken werden dann diejenigen Anteile der Summen, die sich über Glieder mit dem Faktor djc erstrecken, zu Integralen, erstreckt von J = 0 bis 5 = Xj (s. Tafel 3). 82 23

Oder auch: „Differenzengleichungen 1. Ordnung für die Schnittlasten". „Differenzengleichungen 2. Ordnung für die Biegemomente".

III. Stab

62

Aus den Gleichungen 51c, ö l e (vgl. Abb. 29): %=s+v

Ml)

=

T

E = s + »

fPzil)

Mr)

( S - E ) dh

%=—U

T

=

/Pz(E) 1 dh

£ = — U

Aus den Gleichungen 61c, 61 e (vgl. Abb. 33): im Bereich

X Q(x) = - f pz(s)dt 0

OsiSif: X[.. ^ x < xr: xr.

X J Pjfe) (x-t)di 0

B(x)

=

-

I!(x)

=

- /

X

Q(x) = - f }>2{i-(M+S)}

zwischen l und r gilt: Q =

—

Ar,

B

=

Ar

$

;

rechts von r gilt: _ 12

'

S

=

pr-

Rechts von r gilt: = Po» f + ^

i ' = x ' / v , i = x / s

4" p>»

Po»! +

( —

rs

P'8' i-. 6 +

C

)

-

-

{

•

'

z w i s c h e n l u n d r g i l t : Q = A/, B = ¿ ¡ s - f ; links von l gilt: Q = 0, B = 0. Tafei 6 b, c. Querkräfte Biegemomente

B. Gerader Stab

65

In den Rekursionsformeln 64 wird zunächst jeweils das erste Glied der rechten Seite auf die linke Seite gebracht, so daß dort Schnittlasten-Differenzen wie in Gleichung 63 erscheinen. An die Stelle dieser Differenzen treten dann die Schnittlasten-Differentiale dS, dQy, . . ., und an die Stelle der Abszissen-Differenzen Xi_t — Xt treten Differentiale dx. An die Stelle von Qy(i,i+i) bzw. Qz(»,i+1) tritt Qy{x) bzw. Qz (x). Damit ergeben sich Differentialgleichungen 1. Ordnung (s. Tafel 3), deren Gesetzmäßigkeit jedoch an den Stellen l und r wegen der dort eingeleiteten Fessellasten unterbrochen ist. An die Stelle der Gleichungen 66 treten Differentialgleichungen 2. Ordnung (s. Tafel 3). Einige gebrauchsfertige Formeln, die sich für naheliegende Belastungsfälle aus den so gewonnenen Integralausdrücken und Differentialgleichungen ergeben, sind in Tafel 5 a bis c zusammengestellt. Gebrauchsfertige Formeln für weitere Belastungsfälle enthalten die einschlägigen Hand- und Taschenbücher. ß) Einflußlinien Zur Ermittlung der Einflußlinien der Schnittlasten bei j ist analog dem in Abschnitt I I I B 1 hß Dargelegten der Sonderfall einer wandernden Einzellast zu betrachten, die sich momentan an der beliebigen Stelle m der Systemlinie befindet (s. Abb. 35). Dabei ist zu beachten, ob die wandernde Last momentan auf dem linken oder auf dem rechten Teilstab steht. Ausdrücke für die zu jeder Laststellung gehörenden Schnittlasten ergeben sich aus Gleichgewichtsbetrachtungen am linken oder am rechten Teilstab, wie sie zu den Gleichungen 6 1 6 2 führten. Natürlich können die sich ergebenden Ausdrücke auch unmittelbar aus diesen Gleichungen entnommen werden. So ergeben sich z. B. aus der Betrachtung einer wandernden Einzelkraft Pz — 1 die folgenden Ausdrücke .m, ;m, deren Darstellung lt. Abb. 35 die gesuchten „Einflußlinien der Querkraft und des Biegemomentes an der Stelle j zu Kräften P" wiedergeben. J e nach bequemster Darstellungsmöglichkeit werden dabei teils die Abszissen £, j', Xj, x'j, teils die Abszissen X) X , CC jy CCj verwendet (s. Abb. 32a). 6

Teichmann und Pohlmann, Statik der Baukonatruktionen

III. Stab

66 Einflußlinien

der Schnittlasten an einer Stelle j zwischen l und r (s. Abb. 35a) Wenn £ < X j M : wenn £ > xf bzw. = Az(l);m> (67 a) Qz(j);m — = bzw. = Az(l)',m ' (67 b) By{j); m Xj

r'dtr'Abb. 36. Einflußlinien der Schnittlasten zu K r ä f t e n P -

1

r

T — I Z (1); m

"J I flzljl.-m j

iL

t

z{r); m I ; Oz[jl ; m

TI

"yljliUi

Diese Einflußlinien ergeben sich also aus Abschnitten der Einflußlinien AZ(r).m und A z ^ ; m (s. Abb. 31a), indem deren Ordinaten mit —1 bzw. + 1 , mit Xj bzw. x] multipliziert werden (s. die Eintragungen in Abb. 35a). Einflußlinien

der Schnittlasten an einer Stelle j auf dem linken „Kragarm" (s. Abb. 35b) Wenn j < Xj26: | wenn j > Xj26: Qz(i)-,m = — 1 bzw. = 0, (68 a) B

*J);r* = —1 •

— I)

bzw

-

=

(68b)

" Wandernde K r a f t links von j ; s. die Gleichungen 62 c bzw. e für den Teilstab rechts von j. 86 Wandernde K r a f t rechts von j; s. die Gleichungen 61 c bzw. e für den Teilstab links von j. Siehe die Gleichungen 61c bzw. e für den Teilstab links von ).

1

67

B. Gierader Stab

Einflußlinien

der Schnittlasten an einer Stelle j auf dem rechten „Kragarm" (s. Abb. 35c)

Wenn j

Xj,

wenn £ > Xj

(s' > s;-) 27 : Qz(j)-,m — 0 =

0

Zur Auswertung und Bedeutung dieser Einfluß linien gilt Gleiches, wie im Abschnitt I I I B lbß ausgeführt. Ähnlich können auch die Einflußlinien der Schnittlasten zu Kräften Px, Py sowie zu Momenten M x , Mv, ilf, ermittelt werden.

T

(

I

2. Andere Stäbe a) Mittelbar belasteter Stab Wirkt die Belastung an einem Stab „mittelbar", d . h . an „Zwischenträgern" i", i + 1 " nach Abb. 36, so bestehen die am Stab selbst angreifenden Lasten aus den Aktionskräften dieser Zwischenträger. Wirkt z. B. eine Einzelkraft Pz = 1 an der Stelle m eines Zwischenträgers 47

Abb. 36. Mittelbar belasteter Stab, Einflußlinien zu Kräften P,

Siehe die Gleichungen 62 c bzw. e für den Teilstab rechts von j.

III. Stab

68

i", i + l - , so sind jene Aktionskräfte des Zwischenträgers (s. Abb. 36): P

—

1 ' f /U,i + 1

P

—

X

'E

+1

also linear abhängig von f ' und j . Polglich ändern sich die durch Pz = 1 hervorgerufenen Fessel- und Schnittlasten des Stabes geradlinig, wenn Pz = 1 über den Zwischenträger i",i-\- 1* wandert, d . h . : Die Einflußlinien der Fessel- und Schnittlasten eines mittelbar belasteten Stabes verlaufen geradlinig28 zwischen den Anschlußpunkten i " und i + 1" des Zwischenträgers (s. Abb. 36). Entsprechendes gilt, wenn die Belastung über einen „Schleppträger" a, b' oder c",d lt. Abb. 36 auf den Stab ausgeübt wird. b) Gerber-Träger Sind, wie in Abb. 37 a angedeutet, an einem Elementarstab weitere Stäbe gelenkig angeschlossen, so können diese nach Abb. 37b als Schleppträger aufgefaßt werden. Die Einflußlinien einer solchen Konstruktion ergeben sich durch — nötigenfalls wiederholte — Anwendung des voranstehend Ausgeführten. Formeln für die Fessel- und Schnittlasten solcher Konstruktionen, sog. Gerber-Träger, lassen sich dann bedarfsweise leicht aus den gewonnenen Einflußlinien ablesen: Die Ordinaten rj an irgendeiner Stelle werden mittels des Strahlensatzes durch die bei l, r usw. angeschriebenen Größen (s. Abb. 37 c, d, e) ausgedrückt. c) Stab mit schräger Fessel Liegt an der Anschlußstelle r die eine Fessel parallel y, die andere dagegen schräg in der Ebene zx (s. Abb. 24), so ergibt sich für die Einflußlinien der F e s s e l k r ä f t e zu Kräften Pz nach Abschnitt I I G 2 b :

-Az (l);m Nicht bei Einzelmomcnten M ' .

=

1' >

B. Gerader Stab

69

gedachte Fesselkraft •Az(r);m -d-z(5);m — 1 ' ~ > P*

~

1

s

•

— e2(5) '

gedachte Fesselkraft 4 — -^liö):»» ^ _ •^«(r);)» — —

F „ _ 11 . ~E ~ ~ ~ ~ 6:m e a;(5) — s

rp

+ 0= ^¡rfr); m

- l

ei(5) ez(5)

Abb. 37. Gerber-Träger, EinfluBlinien zu Kräften

Für die Einflußlinien der S c h n i t t l a s t e n an einer Stelle j zwischen l und r zu Kräften Pz gilt folgendes: 8(j);m = Ax(l);m

(nach Gleichung 61 a),

Qz(j)-,m s. Gleichung 67 a, Byfj);m

s. Gleichung 67b.

6 Teichmann and Pohlmami, Statik der Bankonstruktlonen

III. Stab

70

d) Kragträger Ein Stab sei nach Abb. 38 an einem Ende „eingespannt" (vgl. Abb. 10): sog. „Krag-Träger" oder „Krag-Balken". Er kann als überkragender Arm eines Elementarstabes angesehen werden, d. h.: J e nachdem der Kragträger rechts oder links eingespannt ist, ergeben sich seine F e s s e l l a s t e n als (—l)-fache bzw. ( + l ) - f a c h e Schnittlasten an der Stelle bzw. r" der überkragenden Arme dieses Elementarstabes; vgl. dazu die in Abb. 38a, b dargestellten Einflußlinien mit den in Abb. 35b, c dargestellten. Hf ¿r Ir

^z(b)im~^z(r"í;m

y (l); ra

Abb. 38. Kragträger, Einflußlinien zu Kräften P ,

F ü r die am entfesselten Kragträger vorzunehmende Berechnung der S c h n i t t l a s t e n gilt Gleiches wie f ü r die Berechnung der Schnittlasten am entfesselten Elementarstab. C. Krummer Stab 1. Krummer

Elementarstab

a) Vorbemerkungen Die Systemlinie des Stabes (s. Abb. 39) sei eine behebige Kurve oder auch ein (offenes) Polygon (Stabzug). Die Hauptträgheitsachsen der Stab-Querschnittsflächen seien beliebig gerichtet. — Näheres über die Fesselung und über das Koordi-

C. K r u m m e r S t a b

71

natensystem x bzw. x', y, z ist aus Abb. 39 ersichtlich. — Da bei krummen Stäben die zur Koordinatenrichtung z parallelen Ordinaten, die „Höhen", gewöhnlich entgegen -\-z als positiv angesehen werden, wird noch eingeführt: h = —z.

Abb. 39. Krummer Elementarstab

Wenn ausgesprochen werden soll, daß eine Stelle der Systemlinie eine Last-Angriffsstelle ist, werden ihre Koordinaten mit l bzw. t), j bzw. i ) ( = — j ) bezeichnet (s. Abb. 39). An einer Stelle j hegen die örtlichen Achsen X, Y, Z (s. Abb. 28c) mit den Einheitsvektoren e*, e**, e*** beispielsweise fest, wenn außer den Koordinaten Xj, yj, Zj der Stelle j noch die Koordinaten xa,ya, za eines Punktes a auf der Systemlinien-Tangente (X), ferner die Koordinaten xb, y¡,, Zt, eines Punktes b in der Ebene X Y bekannt sind. Liegt z. B. der Punkt a (s. Abb. 28c) auf dem p o s i t i v e n Ast von X und der Punkt b im p o s i t i v e n Quadranten der Ebene XY, so gilt für die nachher benötigten Komponenten der Einheitsvektoren e*, e**, e*** bezüglich x, y, z folgendes:

III. Stab

72

Die Komponenten von e* sind: »o — xj

e*

* _

ya —

+

(y, —

e* =

Vi

(70)

wobei A =

| /(*. —

y,)«

+

(za

—

Zjf

|

Strecke ja ist. Praktisch genügt es i. a., als Punkt a einen dem Punkt j nahe benachbarten Punkt auf der Systemlinie selbst — statt auf der Systemlinien-Tangente — zu wählen. Mit j und b ist ein von j nach b weisender Vektor r in der Ebene XY gegeben: Komponenten: rx = — Xj, rv = yb — y^, rz

=

zb—

Zf.

Indem aus e* und t das Vektorprodukt [e*r] gebildet wird, ergibt sich ein neuer Vektor vom Absolutbetrag ¡x — \ [e*r] |, parallel und gleichsinnig e***. Somit gilt: — d.h.: 'z e***

mit

(x

r ^ |»i ß

=

y>

= j ( e % r

y

—

(e?r*

-

—

4

rt),

(71)

e*rx)

= | /(e* rz — e* r y f + (e* rx — e* r,f

+ (ef ry — e*»

Schließlich gilt: d. h.: gsiisi« _ _ g ^ H c t i g * =

Abb. 40. Ebener krummer Elementarstab, Einheitsvektoren

e** — ^

(>%

g^fc

j

giltst % g^e ^

3* ¡/ — ey * * * e x*

(72)

73

C. Krummer Stab

Diese Beziehungen vereinfachen sich im Sonderfall, daß die Ebene ZX parallel der Ebene zx ist (s. Abb. 40); dann gilt e* =

e**

=

ef*

=

e***

=

0,

e** =

1,

und es kann geschrieben werden: e*

= cos oc, ef

e*** = sin a,

e***

= —sin oc, =

(73)

cos a

(Winkel a positiv im Drehsinn zx). b) Fessellasten oc) Allgemeine Beziehungen Die Fessellasten ergeben sich aus den Formeln 44: — Jw k

(74a)

Px(k)»

=

V £ {Px(k) tyk + s k

Py{k) lk —

=

— H {— Px(k)fyk s k

+

Ay(r)

=

— s

A

=

V3 2 {Px[k)^k k

+

2{Py(k)%k

Pz(k) tyk +

z(r)

DX(1) =

k

{

Px(k) i)k +

+

Pz(k)ti

Mz(k)), +

Py(k) Xk +

(74b) (74c) (74 d) (74e)

Pz(l)lk Mx(k)}>

(74f)

£ erstreckt über die eingeprägten Lasten. k

ß) Einflußlinien Die Einflußlinien der Fessellasten ergeben sich analog dem in Abschnitt I I I B lbß Dargelegten aus der Betrachtung des Belastungszustandes „wandernde Einzellast, momentan an der Stelle m der Systemlinie". So ergibt sich z. B. für die Einfluß-

74

III. Stab

Linien der Auflagerkräfte zu Kräften Pz (Einfluß der wandernden Kraft Pz = 1): ¿x(iy,m = 0, Az(iy,m = AyW.m = o,

= 0, 1

'V '

Az(r).m

(75a, b) (75c)

= 1•y

(75d, e)

(wie am geraden Stab, s. Abb. 31), ferner: 1 -t)(E),

(75f)

d. h.: Die Einflußlinie ist gleich der Grundrißprojektion der Systemlinie (s. Abb. 39). c) Schnittlasten a) Allgemeine Beziehungen Gesucht werden die Schnittlasten S, Q**, Q***, T, B** B*** lt. Abschnitt I I I A 2 an einer Stelle j zwischen zwei Last-Angriffsstellen i und i+1. Vorbereitend wird zunächst angenommen, die inneren Fesseln zwischen den beiden Stababschnitten links und rechts von j seien parallel den Koordinaten x, y, z (s. Abb. 41). Die zu s o l c h e n inneren Fesseln gehörenden Schnittlasten Abb. 41 werden als „Hilfsgrößen" Sx, Hilfsgrößen Sx Sz und T x T y Tz Sy, Sz, Tx, Ty, Tz bezeichnet. Analog dem in Abschnitt I I I B 1 ca Ausgeführten ergeben sich zu ihrer Berechnung folgende Summenformeln und Rekursionsformeln.

C. Krummer Stab

75

Summenformeln am Teilstab links von j : S*s)= s

— 2iP*>

(76 a)

= — 2 iPy,

(76 b)

Stü)= — 2iPz,

(76 c)

T

(76d)

m

m

= — 2i {— Py {hj — i)) — pz{Vi — 9) + Mx),

Tyij) = — Hl {Px(hj — i)) + Pz{Xj — E) + My}, Tm

= — JSi {Px {Vi —t)) — P, (x, — E) + Mz],

(76e) (76f)

erstreckt über die äußeren Lasten an den Stellen 0 bis i des Teilstabes links 29 von j (einschließlich derjenigen, die aus Fesseln im Bereich 0 bis i herrühren). Summenformeln am Teilstab rechts von j : Sx(j) = S

T

Z r Px,

(77 a)

P y ,

(77 b)

i)=j;,P„

(77 c)

m

m

Tm

= 2

T

= 2r {— Py(hj — i() — Pz(Vj — t>) + Mx},

(77d)

= 2r {Px(h, — f)) — Pz(x'j — l') + My),

(77 e)

Tz0) = Zr {Px{Vi — t}) + Py (x'j — E') + M,},

(77 f)

JSV erstreckt über die äußeren Lasten an den Stellen i + 1 bis n des Teilstabes rechts von j (einschließlich derjenigen, die aus Fesseln im Bereich i 1 bis n herrühren). Rekursionsformeln 3 0 : &x(i,i + l) = 8x(i-l,i)-— Px(i);

(78 a)

Sy(i,i + 1) = Sy(i-l,i) — Py(i) >

(78b)

Sz(i,i + 1) = Sz(i-l,i) — Pz(i).

(78 c)

Tx(i-} 18 30

= TX(i-) — MX(i),

Durch X gegeben. Oder Differenzengleichungen 1. Ordnung.

HI. Stab

76 T

x

m

= 2\(r) — 8y(i,i+l) (hi+1 — h{) — ^(¿,¿+1) (i/i+i — Vi) — M x ( i ),

TV(i+v) =

+ ^(¿,»+1) (Aj + i — hi)

i'z(i-)

— -^z(i) )

=

^(¿ + 1-) = ^ ( r ) + Är(»,» + 1) (2/i+l

(78 d)

(78 e)

(78 f)

2/t)

— 1) fci+l — xi) — ^(i), Pj(i), . . . MZ(i) = eingeprägte und ggf. aus Fesseln herrührende äußere Lasten an der Stelle i. Damit auch der Verlauf der Hilfsgrößen T zwischen je zwei Stellen i und i + 1 als geradlinig angesehen werden kann, empfiehlt es sich, die Unterteilung der Systemlinie durch Punkte . . ., i, i + 1 , . . • so eng zu wählen, daß jeder SystemAbschnitt i, i + 1 als Gerade gelten kann: Auffassung des Stabes als „Stabzug". — Stellen i, an denen dabei keine äußere Last wirkt, werden dann auch als Last-Angriffsstellen bezeichnet (nämlich als solche, an denen Lasten vom Betrage Null angreifen). Mit den Hilfsgrößen Sx, Sv, Sz liegt die r e s u l t i e r e n d e Schnittkraft © fest (Komponenten Sx, Sy, Sz), desgl. mit den Hilfsgrößen Tx, Ty, Tz das resultierende Schnittmoment % (Komponenten Tx, Ty, Tz)\ s. Abb. 28g. Die in Wirklichkeit g e s u c h t e n Schnittlasten S, Q**, Q***t T, B**, B*** lt. Abschnitt I I I A 2 sind die Komponenten von © und % bezüglich der Richtungen X, Y, Z mit den Einheitsvektoren e*, e**, e*** (s. Abb. 28): 8 Q** Q*** T ß** £***

= ©e* =©e** = ©e*** = Se* = £e** = e***

=Sxe* =Sxe** = Sxe*** = Txe* = Txe** = Txe***

+ + + + + +

Sye* Sye%* Sye*** Tye* Tye** Tye***

+ + + + + +

Szef, Szef*, Sze?**, Tzef, Tte**, Tze***,

(79)

77

C. Krummer Stab

Diese „Transformationsformeln" vereinfachen sich wesentlich, wenn es sich um einen Stab handelt, dessen Systemlinie nebst Achsen X und Z in der Ebene zx liegen und an dem nur Kräfte und Kräftepaare in dieser Ebene angreifen ( P x , Pz, My). In diesem Sonderfall des „ebenen, in seiner Ebene belasteten krummen Stabes" gilt lt. Gleichung 73 (s. auch Abb. 40): S = Sx cos a — Sz sin a, (Q*** =) Q = Sx sin x + S2 cos a,

(80)

(.B** =) B = Ty. Die übrigen Schnittlasten haben in diesem Sonderfall den Betrag Null. ß) Einflußlinien Entsprechend Voranstehendem werden zunächst die Einflußlinien der Hilfsgrößen Sx, . . . Tz ermittelt. Aus der Betrachtung des Belastungszustandes „wandernde Einzellast, momentan an der Stelle m der Systemlinie" (vgl. Abschnitt I I I B 1 cß) folgt z. B. für eine Stelle j zwischen l und r: Wenn £ < Xj 31 : Sxü);m

= 0 —

(j);m = — TX{jy,m—

|

wenn £ > Xj 32 :

bzw. = A-y{T)\m b

z

Ax(i);m,

bzw. = Ay^ym., w

.

= A z (/) ;m ,

bzw. = Dx(i)-,m—-Ay^y>mhj Az(l);m

(81)

Vjy

bzw. = A x ( i ) ; m hj + A z V ) ; m Xj, bzw. = AX(i)imt/j — AyW;m Xj. Die Einflußlinien der Hilfsgrößen S x y), . . . ergeben sich also aus Abschnitten der Einflußlinien Axyyim, . . . (s. Abschn. Wandernde Last links von s. die Gleichungen 77 für den Teilstab rechts von 7. •* Wandernde Last rechts von j; s. die Gleichungen 76 für den Teilstab links von j.

S1

III. Stab

78

I I I C lb/?), indem deren Ordinaten mit + 1 , — 1, x,, x], , hj multipliziert und, wie die Gleichungen 81 zeigen, zueinander addiert werden. Handelt es sich um die Einflußlinien zu Kräften Pz, so ist AX(i);m = 0, also: (?); m = 0, auch im Bereich £ > Xj. Die Einflußlinien