Séminaire Pierre Lelong (Analyse): Année 1974-75 3540077871, 9783540077879
128 44 11MB
French Pages 222 [231] Year 1976
Recommend Papers
- Author / Uploaded
- P. Lelong (editor)
File loading please wait...
Citation preview
Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Oold and B. Eckmann
524 Seminaire Pierre Lelong
(Analyse) Annee 1974n5
Edite par Pierre Lelong
Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1976
Lecture Notes m Mathematics For information about Vols. 1-342, please contact your book· seller or Springer-Verlag.
Vol. 371: V. Poenaru, Analyse Differentielle. V, 228 pages. 1974.
Vol. 343: Algebraic K-Theory Ill, Hermitian K·Theory and Geo· metric Applications. Edited by H. Bass. XV, 572 pages. 1973.
Vol. 372: Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups 1973. Edited by M. F. Newman. VII, 740 pages. 1974.
Vol. 344: AS. Troelstra (Edt lor), Metamathematicallnvestigation of lntutltontslic Arithmetic and Analysis. XVII, 485 pages. 1973.
Vol. 373: A. E. R. Woodcock and T. Poston, A Geometrical Study of the Elementary Catastrophes. V, 257 pages. 1974.
Vol. 345: Proceedings of a Conference on Operator Theory. Edi!ed by P. A Fillmore. VI, 228 pages. 1973.
Vol. 374: S. Yamamuro, Differential CaiLulus tn Topologtcal Ltnear Spaces. IV, 179 pages. 1974.
Vol. 346: Futik et al., Spectral Analysis of Nonlinear Operators. II, 287 pages. 1973.
Vol. 375: Topology Conference. Edited by R. F. Dickman Jr. and P. Fletcher. X, 283 pages 1974.
Vol. 34 7: J. M. Boardman and R. M. Vog~ Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces. X, 257 pages. 1973.
Vol. 376: I. J. Good and D. B. Osteyee, Information, Weight of Evidence. The Singularity between Probability Measures and Signal Detection. XI, 156 pages. 1974.
Vol. 348: A M. Mathai and R. K. Saxena, Generalized Hyper· geometric Functions with Applications in Statistics and Physical Sciences. VII, 314 pages. 1973. Vol. 349: Modular Functions of One Variable II. Edited by W. Kuyk and P. Deligne. V, 598 pages. 1973. Vol. 350: Modular Functions of One Variable Ill. Edited by W. Kuyk and J.-P. Serre. V, 350 pages. 1973. Vol. 351: H. Tachikawa, Ouasi·Frobenius Rings and Generaliza· lions. XI, 1 72 pages. 1973.
.
Vol. 352: J. D. Fay, Theta Functtons on Riemann Surfaces. V, 137 pages. 1973.
Vol. 377: A M. Fink, Almost Periodic Dtfferenltal Equations. VIII, 336 pages. 1974. Vol. 378· TOPO 72 - General Topology and tis Appltcattons. Proceedings 1972. Edited by R. A Al6, R. W. Heath and J. Nagata. XIV, 651 pages. 1974. Vol. 379: A Badrikian et S. Chevet, Mesures Cyltndnques, Espaces de W1ener et Fonct1ons Aleato1res Gaussiennes. X, 383 pages. 1974. Vol. 380: M. Petnch, Rings and Semtgroups. VIII, 182 pages. 1974. Vol. 381. Seminatre de Probabilttes VIII. Edtte par P. A. Meyer. IX, 354 pages. 1974 .
Voi. 353: Proceedings of the Conference.. on Orders, Group Rings and Related Topics. Organized by J. S. Hsia, M. L. Madan and T. G. Railey. X, 224 pages. 1973.
Vol. 382: J. H. van Lint, Combtnatorial Theory Semtnar Etnd· hoven University of Technology. VI, 131 pages. 1974.
Vol. 354: K. J. Devlin, Aspects of Constructibility. XII, 240 pages. 1973.
Vol. 383: Seminaire Bourbaki - vol. 1972/73. Exposes 418-435. IV, 334 pages. 1974.
Vol. 355: M. Sion, A Theory of Semigroup Valued Measures. V, 140 pages. 1973.
Vol. 384: Functtonal Analysts and Appltcattons, Proceedtngs 1972. Edtled by L. Nachbtn. V, 270 pages. 1974.
Vol. 356: W. L. J. van der Kallen, Infinitesimally Central Exten· sions of Chevalley Groups. VII, 14 7 pages. 1973.
Vol. 385: J. Douglas Jr. and T. Dupont, Collocation Methods for Parabolic Equations in a Single Space Vanable (Based on C '· Piecewtse-Polynomial Spaces). V, 147 pages. 1974.
Vol. 357: W. Borho, P. Gabriel und R. Rentschler, Primtdeale in Einhlillenden aufli:isbarer Lie-Aigebren. V, 182 Seiten. 1973. Vol. 358: F. L. Williams, Tensor Products of Principal Series Representations. VI, 132 pages. 1973. Vol. 359: U. Stammbach, Homology in Group Theory. VIII, 183 pages. 1973. Vol. 360: W. J. Padgett and R. L. Taylor, Laws of Large Numbers for Normed Linear Spaces and Certain Frechet Spaces. VI, 111 pages. 1973. ·
Vol. 386: J. Tits, Buildings of Sphencal Type and Ftntle BN· Pairs. X, 299 pages. 1974. Vol. 387. C. P. Bruter, Elements de Ia Theone des Matrotdes. V, 138 pages. 1974. Vol. 388 R. L. Ltpsman, Group Representations. X, 166 pages. 1974. Vol. 389: M.-A. Knus et M. Ojanguren, Theorie de Ia Descente et Algebres d' Azumaya. IV, 163 pages. 1974.
Vol. 361: J. W. Schutz, Foundations of Special Relativity: Kinematic Axioms for Minkowski Space-Time. XX, 314 pages. 1973.
Vol. 390: P. A Meyer, P. Pnouret et F. Spitzer, Ecole d'Ete de Probabtltles de Samt-Fiour Ill - 1973. Edite par A Badnktan et P.·L. Hennequtn. VIII, 189 pages."1974.
Vol. 362: Proceedings of the Conference on Numerical Solution of Ordinary Differential Equations. Edited by D.G. Bettis. VIII, 490 pages. 1974.
Vol. 391: J. W. Gray, Formal Category Theory: Adjointness for 2· Categones. XII, 282 pages. 1974.
Vol. 363: Conference on the Numerical Solution of Differential Equations. Edited by G. A Watson. IX, 221 pages. 1974. Vol. 364: Proceedings on Infinite Dimensional Holomorphy. Edited by T. L. Hayden and T. J. Suffridge. VII, 212 pages. 1974. Vol. 365: R. P. Gilbert, Constructive Methods for Elliptic Equa· lions. VII, 397 pages. 1974. Vol. 366: R. Steinberg, Conjugacy Classes in Algebraic Groups (Notes by V. V. Deodhar). VI, 159 pages. 1974. Vol. 367: K. Lang mann und W. Llitkebohmert, Cousinverteilun· gen und Fortsetzun\lssii.tze. VI, 151 Seiten. 1974. Vol. 368: R. J. Milgram, Unstable Homotopy from the Stable Point of View. V, 109 pages. 1974. Vol. 369: Victoria Symposium on Nonstandard Analysis. Edited by A Hurd and P. Loeb. XVIII, 339 pages. 1974. Vol. 370: B. Mazur and W. Messing, Universal Extensions and One Dimensional Crystalline Cohomology. VII, 134 pages. 1974.
Vol. 392: Geometne Dtfferentteile, Colloque, Sanltago de Compostela, Espagne 1972. Edite par E. Vtdal. VI, 225 pages. 1974. Vol. 393: G. Wassermann, Stabiltly of Unfoldings. IX, 164 pages. 1974. Vol. 394: W. M. Patterson, 3rd, Iterative Methods for the Solution of a Ltnear Operator Equalton tn Hilbert Space - A Survey. Ill, 1-83 pages. 1974. Vol. 395: Numensche Behandlung ntchtlmearer lntegrodtfferen· !tal· und Dtfferenltalgletchungen. Tagung 1973. Herausgegeben von R. Ansorge und W. Ti:irnig. VII, 313 Seiten. 1974. Vol. 396: K. H. Hofmann, M. Mislove and A. Stralka, The Pontry· agin Duality of Compact O·Dimensional Semilalltces and its Applications. XVI, 122 pages. 1974. Vol. 397 · T. Yamada, The Schur Subgroup of the Brauer Group. V, 159 pages. 1974. Vol. 398: Theones de l'lnformalton, Actes des Rencontres de Marseille-Luminy, 1973. Edite. par J. Kampe deFeriet etC.-F. Picard. XII, 201 pages. 1974. continuation on page 225
Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Oold and B. Eckmann
524 Seminaire Pierre Lelong
(Analyse) Annee 1974n5
Edite par Pierre Lelong
Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1976
Editor Pierre Lelong
Universite Paris VI Mathematiques
11, Quai Saint-Bernard Paris 5 e/France
AMS Subject Classifications (1970): 31 CXX, 32-XX, 46AXX, 46BXX, 46EXX, 46 FXX, 46GXX, 46HXX, 53BXX ISBN 3-540-07787-1 ISBN 0-387-07787-1
Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York Springer-Verlag New York· Heidelberg· Berlin
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.
© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1976. Library of Congress Catalog Card Number 74-644531. Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr.
A V ANT - PRO P 0 S
Seminaire 1974-1975 fait suite aux precedents publies aux
Le
Lectures-Notes:
71
(1968),
(1969), 205 (1970), 275 (1971),
(1972), 410 (1973), 474 (J974). Le sujet du Seminaire est l'analyse complexe et plusieurs exposes concernent l'extension a la dimension infinie. On notera aussi que l'expose n° tion
a
9 peut constituer une introduc-
des problemes de theorie des nombres ou interviennent les pro-
prietes arithmetiques des fonctions de plusieurs variables complexes. Concernant la table des matieres elle comprend la liste de tous les exposes faits au Seminaire mais trois d'entre eux ont ete
publies
ail leurs selon les desirs des auteurs. L'expose N° 2 de BOCHNAK (3.) singularites donnees
216 (3)
t.
a
1975
sur "Te s ensembles analytiques
a
priori" est publie dans Mathematische Annalen l'expose N°
I I
sur fIla divisibilite des fonc-
tions differentiables" paraitra dans -Symposium Bex
les Plans-, Mars
1975, Lecture-Notes Springer. L'expose N° 10 de Madame VERGNE (M.)
"Several complex varia-
bles" est publie dans les "Proceedings of the American Mathematical Society", Williamstown,
1975.
Nous remercions la Librairie SPRINGER qui edite Ie Seminaire dans les Lecture-Notes et
contribue ainsi efficacement
a
la diffusion de
resultats originaux dont une premiere redaction est souvent donnee grace
a
ce seminaire. Pierre L E LON G
TABLE
DES
MAT1ERES
1.
TRAUTMANN (G.). - Deformations of coherent analytic sheaves with finite singularities
3.
RAPP (A.). - L' equation "a" avec decr'o'i.asance au bord sur certains ouverts convexes d'un espace de Banach
21
4.
STEHLE (J.-L.). - Faisceaux F-quasi-coherents en geometrie analytique
30
Un cas particulier de Faisceau F-quasi-coherent avec nullite des Tor
1
55
5.
MAZET (P.). - Definition d'une application universelle sur un espace analytique en dimension finie
67
6.
RISIER (J .-J.). - Resultats recents sur les fonctions de Nash
79
7.
SERVIEN (C.). - Sur la topologie d'un espace de fonctions entieres avec poids
90
8.
ERMINE (J.-L.). - Holomorphe-convexite des fibres analytiques Stein et a fibre dans [
9.
WALDSCHMIDI' (M.). - Proprietes arithmetd.ques de fonctions de plusieurs variables (I)
106
12.
BERNER (P.). - A global factorization property for holomorphic functions of a domain spread over a surjective limit ••
130
13.
TOGNOLI (A.). - A desingularisation theorem for real analytic varieties
156
14.
KREE (P.). - Theories des distributions et calculs differentiels sur un espace de Banach
163
15.
SCHACHERMAYER (W.). - Sur un theoreme de Grothendieck
193
16.
MON (R.). - Compact polynomials and ccmpact differentiable mappings between Banach spaces
213
a base
de
96
L' expose W 2 de BOCHNAK (J.) sur "Les ensembles analytiques a singularites donnees a priori" est publie dans Mathematische Annalen t. 216 (3), 1975; l'expose N° 11 sur "La divisibilite des fonctions differentiables" paraitra dans -Symposium Bex les Plans-, Mars 1975, Lecture Notes Springer. L' expose W 10 de Madame VERGNE (M.) sur "Several complex variables" est pubLi.e dans les "Proceedings of the American Mathematical Society", Williamstown, 1975.
Seminaire P.LELONG (Analyse) 15e annee 1974/75
29 Octobre 1974 5 Novembre 12 Novembre
DEFORMATIONS OF COHERENT ANALYTIC SHEAVES WITH FINITE SINGULARITIES
by GUnther Trautmann
The set of singularities of a coher-ent; analytic sheaf 'f: on a complex space X is defined as the set S 0=) = {x E X, T not free and f + O}. x x It is well known that S(1) is an analytic set of X. We will consider the case when S(T) is finite. If S(t) is finite, then (locally on X) Thas a semi-universal flat deformation. If X
=
complete families
of deformations of all types of singularities are given. These families are global, but not unique. They are given by relations of canonically defined matrices, which generalize the matrices of syzygies of Hilbert. Complete proofs of the main results cannot be given in this exposition. but will appear elsewhere. O. Notations: a) I f "P +1" is an V-homomorphism of (J-sheaves on a complex space (X,I?). a.
we identify a with the column S of the defining sections by P• l a(f) = fuS" L: f. s., if f = (fl .... is a row ing If T=0 ; -S p
will be a p x q - matrix with entries in r(X,e». We identify Pq (X) with the space of holomorphic p x q - matrices on X. r(X, " AVEC DECROISSANCE AU BORD SUR CERTAINS OUVERTS CONVEXES D'UN ESPACE DE BANACH A. RAPP
Dans un article [3J intitule "l'equation ";) avec croissance polynomiale",
w dans laquelle a et w sont des formes differentielles de type (0 q) et (0 q+1) , w etant fermee; w et a sont a croissance polynomiale et definies respec\ tivement sur un espace de BANACH B et sur un espace d'HILBERT H qui s'envoie dans B par une injection J telle que (H,J,B) so it une paire de WIENER (4J. C. J. HENRICH prouve l'existence d'une solution de l'equation
Dans ce travail, nous prouvons l'existence de solutions sur des ouverts
w definie sur U satisfait a des conditions de decroissance au bord de U. Lorsque la norme de 1 E est de classe C sur E\{O} , nous etendons nos resultats a des ouverts convexes non bornes, si l'on rajoute a la condition precedente une condition d'unireguliers, bornesconvexes, U d'un espace de BANACH
forme integrabilite de
It
w dana une direction
Universite de Nancy I Departement de Mathematiques Case Officielle 140 54037-NANCY CEDEX
X
o
E lorsque
par rapport
a la
meaure
22
I - Notations. Soient
espace de BANACH complexe et
un
E
On note U
a valeurs
(C et de classe
On note k
E .
l'espace des formes differentielles de degre
(k dans
U un ouvert de
k
•
C
est
=
a support
borne} • Si
w
1 , on pose Dw (C) (X1 •• ,Xn+1 ) Dw
. 1 = n+1 (-1 ) 1+
"
) ( X .•• X • ,X ) w' (C 1 i· n+1
(U) •
w£
Soit
,w sera appelee une forme de type
(pJq)
avec
(cequel'onnote w£.n.(p/q)(u)) si VCE-U et 'V(x ... X ) . En 1 n Vz £(t w(C) (zX1 .•• zXn) = zP zq w(C) (x, ...xn ) . Soit f une fonction de classe C1 de U dans , on pose
()Z(X)
_j>J:_ =
Operateur
k
, c'est l'application de
PZ:1 (-1 )k+1 k=1
Lorsque west seulement dans de dimension finie dans w dans
s'il existe finie. On qui coincide avec Ie Xo
(X1 .••
.• 'Xp+q)
, pour tout sous-espace vectoriel
E, la restriction de
?H(w) = 3(wl uOH)
Etant donne
Soit
dans
definie par
';) w(C) (X1 •• ,Xp+q+2) =
on posera
et
2
';): Lorsque
J1(p q+1)(u) k-1
p + q = n
= ;(f'(C).X-if'(C).iX)
()Z(X)
un
sur
n
w
a
H
un H definit un courant C1J
au sens des courants.
!l(p/q)(u) , on dira que o tel que = que si
w
w admet globalement un
'
pour tout , alors
H sous-espace de
w admet globalement
d habituel.
est un vecteur non nul de
E. A toute forme differentielle dans
... / ...
23
, on associe la forme
"x
o
definie par
de
(/;;X ••. X = w(/;;X •.• X n_1) 1 n_1) o
xo (/;;X 1 ••• Xn_ 1 ) = U
W
Lorsque l'application
t
r--> Wx (I:;+t
X
o
o
ala mesure du plan complexe Eq- 1 , on pose : k (w) (/;) q
< O} .
Jr
=
Xo
Soient
{-e:
o
< V.(I:;) < J. La
0
e
V.1. , V.1..,":> r O} , {t
,
q
< V.(I:;+t
dans
q 1
U et
dans
X -
o
V l'ouvert par morceaux si
(V.)
V
de fonctions continuement
J.
o
soit
X0 )
I:;
V est
sur V et non nulle sur la
0
.tl-e:
est integrable par rapport
E, on note
V.1,..., r les ouverts
respectivement par:
i
definie sur I U Soient
R3
X
rlf'
I
t Xo+r
..... v
par :
I:; E. V et
t
vo;n
Vo] • On introduit la fonction
= V.(I:;+(x+iy) X ) 0
x
000
+ i Y
0
6.
E;
posons
a = I:;
+A . + t
X
000
• Alors
0
l'une des derivees partielles
";)y
nulle.
0
,O,x ,y ) 0
0
0
ou
;)x
0
En effet, si l'une et l'autre etaient nulles, on aurait quel que soit Ie nombre complexe Ker V!(a)
et Ie point
1
Autrement dit, la droite
serait dans l'hyperplan
1:;0
fait cet hyperplan ne peut couper l'interieur de contradiction Soit
h
°
V pour
0
est non
0
V!(I:; 0 +t X0 ).A X0
at
=0
serait dans
X o
a + Ker V!(a) . Montrons qu'en
Vi' ce qui etablira la
Vi(a).h O < 0 puisque V.(a+a h 0 ) = a V2' ( a ) h +e(a) ° pour est contenu dans V 0 assez petit et disjoint
tel que o Ie segment Ja,a+a h J de
,O,x ,y)
0
assez petit.
a
h 1 tel que a + h E. (a+Ker V:i(a)) () V , alors l'intervalle J a,a+h 1] 1 Vi ' Ie plan P defini par coupe Vi suivant un convexe o pour point frontiere, puisque a + a h est disjoint de Vi pour a < 0 o assez petit. La tangente d'appui en a est situee dans Ie 2eme et 4eme quaSoit
est dans ayant a
drants. Le bord de -:JV.
= V! (a) h
0
P
N
se fait par recurrence comme dans
=
I
-sur
f K
I
f
1 vI V
z
+ R
,z c
C
OJ
I
I
donc
wI' vI
sup \ flwll'sup Iflvd'sup \fvI\"c I K K -K K -K I I 0 I 0 -sur KZ-K I donc
sup K
-
sup K
Z
C
: sup If I WII, sup \ fv Z \ x i KZ-K KZ-K I I \fIW I
C
Z
RIWII,su p
KZ-K
\ Rlwd I
z
,
z
4-2-
ce qui etablit (I) pour j
+ sup K
I
I
Rlwd
t
93
donc sup K
+ c2
' ce qui etablit (2)
2
- sup !R1V 1 K -K n, n n-l
sup K -K n n-l
On suppose alors que ces proprietes sont realisees a l'ordre N-l, c'est-a-dire f
f
R N_ 1
f
on ecrit
+ .,
1 N
.
+ f + R N- 1 N_ 1
et ( I ) ,
(2) ,
(3)
vraies et
+ R ce qui conduit a l'obtention des proprietes N
a l'ordre N. LEMME 5. On reprend les hypotheses i)
ii) du lemme 4, plus iii) il
existe un indice M et une constante positive B tels que
(5)
s u pn If.(Z)w.(z)1 (c. + c'+l J J Il: .... J J sUR
SUP!RNWN
e
KN + I
I
+ sup \RNW N ",KN + I
I RNw N l'cN+c N+ I IRNw N .j; N+l IfWN I + J-l sup
d ' a p r e s (2)
sup
z-
j = I, ... ,N
N
sup ... KN+1
sup \fW N ,..,K N+1 W N v N
I {.
sup \
-vK N+ 1
v N+1 N
:N
N
NK N + 1
!su p \fV M KN+1
\,B
c N+ 1 c M
2 (J + Us.,,\2 ) N M v c N N et pour sur ""K N+ I v N+1 c N+1 v
If jWN
I"
sup \
rvK N+ 1
.
! (N+ I) sup
:N I c
c N+1 v
v V
M M
M
4 .cc N
I I fWN
M
v N+1 N
NK N + 1
1 N 2 N(I+lIz\l2) donc
M , ce qui etablit (4)
94 Pour obtenir (5) on procederait de cas o il j
Met
analogue en distinguant les
j" M
LEMME 6. est borne pour chaque n
If(z)\, 2
si
c o mme
aonc
vI (z)"
If(z)l, n
2
I
n
(I
2 n
\Izl\ )
+
sur
vn+l(z)
It
n
==9'
2 1/2
O+[\zll ) n
(vn+l(z))
il suffit de poser
2n+l
et m2 tel que
(v n +1)
2n+1 m
=
m
pour avoir 2
et on utilise Le lemme 2. Demonstration du theoreme. On considere un convexe U de E qui absorbe chaque borne donc particulier ; convexe (
U n
il existe des constantes B') n
n
n
>0
telle que
en
U :>env.
il faut trouver une fonction k de K telle que If ( z )
I
k - I (z)
Vz } ,
a lor s
f
Eo e
. c.
(U).n B ) e t U
sera un voisinage de 0 pour T. LEMME 7. Construction de k (suivant
(11)
Soit (c ) ' I une suite strictement d e c r o i s s a n t e de c o n s t a n t e s o 0 telles n nz que c
al
c
n
bl
c
cl
si
dl
so it une sui te croissante de n
n+1 n
+ c n+ 1 K n
[z
c N+ I + c N +
An 2n(n+l) vn(z) ; vn+l(z) c N+ I M
I
n
"
N
"
c c
n
n+1
}alors
K C K n+ 1 n
(et K
0
pour N>M
une telle sui te est construite par recurrence dans
[I) .
0)
95 On definit alors une fonction k par v , (z) _J_ _
k(z) = inf j I
a
k appartient Sur K
n
- K
n-I'
v
donc
c
,
n n
c. J
K puisque
v
on a
c
__
__ n_
vn+1
cn+1
v
Vn + 1
et
cn+1
On c o n s Ld e r e alors f
1 v. (z) • c. J J v n_ 1 et
k(z)
c
v
v (z)
n_ 1 =;>k(z) ,, _ _
n
c
n
n_
Uk' qui donne
lemme 4 sont alors realisees avec
n
c
J
sup
K -K
n
.xK •
n
v
f
=
j
If v
n-I
I
(C
n ....
i( )CK.
n les hypotheses du
n
e.)f
+
J
J
est la plus petite regularisee continue de la fonction caracteris-
J
tique de K. et 9. un nombre complexe de module (I J
J
existe B et M tels que
• Comme f
£
E, i 1
sur en et les hypotheses du lemme 5
sont aussi verifiees. On en deduit :
A.
sup If.w.\,c. + c. I en J J J J+ N Lf. I J
1
J
J+
donc
I)
j(j+l)f
I
J.
l!2 a
J.
soit
e.c.(U>. B') n n
Pour sup an f
6
e v c , (U'\nBn)'
Terminons par un exemple ; la suite c suites telles que c au minimum
cn
si on prend En = [f ;
vn
If(z)1
e-
n n2
e n -r
ou
= n
c
n
Kn ={::+I ,e
alors
II
zll
doit decroitre rapidement, les n e- n sont exclues il faut considerer
on aura K n
2 n+ l}
(I}
et
llzll+ O(I)} c'est-a.-dire que l'on obtient les fonc-
tions de type exponentiel. Bib 1 i
OJ
0
g rap hie
TAYLOR (B.A.). - A semi-norm topology for some DF-spaces of entire functions. Duke Math. Journal 38, p. 379-385,
1971.
{2J BIERSTEDT (K.D.). - Induktite limites gewichteter R,aume stetigen und & ME IS E (R • ) . e An g , Mat h • ('a par•.) holomorpher f unk t . Lo n e n c " J'o u r n v f u r Re i.n Universite P.et M.Curie Mathematiques,U.E.R.48 4,Pl.Jussieu 75005-PARIS
Semina ire P.LELONG (Analyse) 15e annee, 1974/75.
18 Fevrier 1975
/
,
,
/
HOLOMORPHE CONVEXITE DES FIBRES ANALYTIQUES A BASE DE STEIN ET A FIBRE DANS ¢. = par Jean-Louis ERMINE
1. Introduction.
Le but de ce qui suit est de demontrer que tout fibre analytique ayant pour base un espace de Stein et pour fibre un domaine de ¢ est holomorphiquement convexe (cas particulier d'une conjecture de Serre). Le resultat est deja connu, puisque Y.-T.Siu a demontre que tout ouvert de ¢ est de Banach-Stein
et que G.Fischer a prouve que tout fi-
bre analytique a base de Stein et
a
fibre de Banach-Stein est de Stein
Cependant, en appliquant au resultat de Siu une methode due J.-L.Stehle
a
[6] on obtient une solution simple du probleme dans ce cas
particulier. C'est cette solution que nous allons exposer ici. L'expose se divise en trois parties: dans la premiere, nous donnons la demonstration du theoreme de Koebe (
[11
c f , aussi
[3]
et
[4J
) qui est
la base du theoreme de Siu, dans la seconde nous demontrons ce dernier avec quelques developpements utiles par la suite, la troisieme est la resolution du probleme proprement dit en appliquant les resultats de J.-L.Stehle. II. Le
theoreme de Koebe.
Dans tout Le texte,l1
e designe
Le disque de rayon
e centre
a 1 'origine
dans ¢, et Se designe son bord. I
\
THEOREME. - Soit f une fonction holomorphe injective de Ie que f(O)
=
0 et f'(O)
=
I. L'image de f
contient
dans.C, tel-
97
LEMME (un critere de convergence). -
g une fonction holomorphe
injective sur {lzJ> I}admettant un developpement de Laurent de la forme g(z) -
+00
b
o
z
z +
:
Demonstration du lemme Le domaine
-
est limite par la courbe differentiable g(Se)'
Son complementaire est compact (g(z) est equivalent soit
z
a
l'infini),
son aire. En posant
e . rr
dx
e
i. ( 2
Soit encore
6>e=
)g (S
[
i @e= -2 [ - TT(
)
n-I
L
z
00
W
+co
e vers
-L n-I
:+1 b
2
-.E.)
n-O zn
e e2 - [n Ib n\2
en faisant tendre
•
b
L.n (z+
II dy
g (z) i'("ZT d'i"
+el
g'(z) = I -
d ' ou
a
(L
z2
I -) e2n
n b
+00
-:L n-I
n+T
z car zz n f-n+2
b
n
z
n-I
2'il
n
e
) dz
(en calculant Ie coefficient de lIz)
I on obtient Ie resultat
Demonstration du theoreme : La fonction f admet un developpement dans fez) '" z + a 2z
2
+ a
3
3z
de la forme
+ ...
Considerons la "fonction racine" h(z) '"
elle admet pour develop-
pement dans h(z) - z + De plus h(z) est injective 2
'" -h(zl)
n'admet que 0 pour zero dans
z3 +
en effet
£(z2) impaire, h(zl)
a2 T
*:1: 2
z2,comme h est
h(zl) • D'ou l'injectivite de h.
car h , comme f,
98
1
Considerons g(z) ..
8
2 I
T z
.. z -
h(.!.)
+
g reppnd aux conditions du
...
z
lernme On en deduit donc Soit Zo un point de
o
et considerons un automorphisme de
sur Zo par exemple
w + z
z ..
o
I +wz
z .. z 0
(I
+
-
qui envoie
2
I z 0 1 ) w - 0 (I
Iz 0 )2 )
-
z0 w
2
+
•••
faisons un developpement en serie de f au point z
o 2
(z - z ) o
+ •••
2
Considerons 1. fonction F( co )
-
-IZi) f'(zo)
(I
C'est une fonction holomorphe injective du disque unite tel que
F(O) - 0 et F'(O) .. I; elle admet comme developpement f ll (z ) F (w)
- w+
1
2" [ f
i
(z
0
o
)
(I
Donc d'apres Ie resultat qui precede
Soit encore
I z
I
fll(ZO) ff(z)
(I
-lzl - 2i"0
z
I
,4.
fll(:O) - 2 "2 o f'(zo) 1 - zol "'I - Zo
On en deduit par tout point z de eD ( Jt;«
\zo\2) - 2i"oJul +
-
f" (z)...
4r
+
de module
Izl- r
2
(2-r) -2r2 " 2 r 1""=r2 .
1 - r 1 - r Si l'on ecrit z .. re i & on a pour toute fonction holomorphe g de z
or
a 1 ors
b(z) sinon ce nombre est negatif et l'inegalite est triviale)
I
""4
b (Z')
log b(z)
d'ou Ie lemme II.
On compare ainsi la metrique introduite avec la "distance au bord" et on montre en particulier que si z est fixe et d(z,Z')
z se
rapproche du bord
tend vers l'infini. Un sous-ensemble de D est done relativement com-
pact dans D si et seulement si son diametre est fini pour cette metrique. J
\
THEOREME. Tout domaine D de Demonstration.
est de Banach-Stein.
Soitc,>g'= {f e e(D)
au Zo est un point fixe de D.
101 I I est clair
un espace de Banach.
1°/
est continue.
Pour tout compact K de D
d(z,zo)
z
I I
sup fez) ZEiD
0
2° /
tf/; est
LK
) e -4d(z ' z 0
ce qui prouve que l'inclusion
est mino-
1
re par une constante positive ainsi 1\ f
e- 4 d(z,zo)
est majore, done
1
L
K
sup zeK
IfCz)!
=
1
L
K
Ilfll K
est continue.
stable par Aut D
Pour tout automorphisme g de D Sup zeD
If
0
g(z)\
e- 4 d(z,zo)
4 d(g(z),g(zo)) Sup \f(g(Z))/ ezED Sup f ( z )1 e-4d(z,g(zo)) = Ilf!1 g(z ) o zeD
I
comme
- d(g(z),zo) done
done si f est
en est de meme de fog
3°/ D
i.e. pour toute suite infinie sans point d'accu-
mulation dans D, il existe une fonction
bornee sur cette suite.
Deux cas se presentent selon que la suite admet ou non un point d'accumulation dans 11:.
1
a/ La suite admet
comme point dlaccumulation dans 11:, 1
au bord de D , la fonction f 1 (z)
appartient alors
est alors holomorphe dans D et
nlest pas bornee sur la suite. Montrons qu'elle appartient =
sup z eD
Iz
-
a
e- 4 d(z,z )
o Iz - ¥/
'it
e-
l og
b (z ) o
1
=
b (z)
Iz - z/ bTZT o
comme par definition de b(z), on a
ij fIll
I
b""(Z)
z o
o
ce qui prouve que f
1
appartient
b/ La suite n'admet pas de point d'accumulation dans t.
a rIf.
102
Z'
Soit alors
D (on suppose
a:)
D .;.
ici
,
la fonction f
2
(z)
=
z -
est holomorphe dans D et n'est pas bornee sur la suite, Montrons qu'elle appartient 11 Soit D' d
11::
=
a: -
f
D,
on d e f i n Lt sur D'
les distances d '
et b'
analogues 11
et b Comme
aussi de
toute fonction injective et holomorphe de
A]
dans D,
l'est
dans D'
donc ,
alors
(z)!e- 4 d'(z,zo) I b'(z) N og b"'TZ) , "I z - z e 0 If
2
I -
= Iz donc On sait de plus que
a:
polynomes de
Le
IV,
b'(zo) b' (z)
appartient
est de Banach-Stein (on prend t
des
h e o r e me est vrai donc pour tout domaine de
a:,
Convexite holomorphe des fibres 11 fibre dans (1;,11 base de Stein,
Nous allons construire sur un domaine D different de
a:,
donc de Banach-
Stein, une fonction plurisousharmonique d'epuisement, verifiant certaines hypotheses qui permettront de resoudre Ie probleme envisage, Soit 1
0 /
"" z
o
(z)
lj.J z e s t b o r n e e localement : o
Considerons l'application composee
rJf} ,-+fJ( D)
----- C
f
- ) - f (z)
f
IR
---+
log If (z)1
Elle est continue donc l'image de la boule unite est bornee ainsi
Sup
Bf/l N,B,
z" o
(Log If (y)j)
.(. +
00
1
est Ie log de la norme du morphisme d'evaluation z o qui apparait comme un element du dual I.j/z
est continue, o
f----9f(z)
103
Nous allons montrer que
f
z
o
(y)
= Sup
f
If (z)\
'
f a
cit [r] z
I}
tinue ce qui nous donnera Ie resultat cherche, en ne
pas sur D (il suffit de prendre
t
D qui verifie
que Z
-
oJ
z
r=z o
f(z)
avec
est con9'z
(y) 0
,I et ne s'annule pas sur D). o
K un compact de D et U un ouvert relativement
LEMME. - Soit f E
compact dans K. Alors il existe une constante M telle que
Demonstration. f(z) Lbqui s'annule en zl
-
f(z})
d'apres Ie lemme de Schwarz
If ( z ) or
liz}
II z I ' Zz iii Z6
donc
26
E
est une fonction holomorphe au voisinage de
f ( z 1)
I
I
z -
(K)
d(z},
d
!f(z})-f(zz)1
M
I
z1
I
I II
d ( z 1 CK) f K
k
('ib, (K)
II f II
ce qui demontre Ie lemme.
K IZI-zzl
On sait qu'il existe une constante que l'on a notee L
donc dans la boule unite ded:
v
Ainsi
z} ,z Z E
d'ou
l'Pz
o
U
If (z I) -
(zl) -Cf'z
0
Ilfll K
f (z z)
(zz)!
I
Ainsi
M LK
,M LK
Ce qui d e mon t r e la c o n t i nu i t e de
L
IZI
N,
Log
sup !.
L'implication (I)M
a
la fonction G avec N,
6
m IGN(!.)j«- M .
SM+ 1
est une consequence du lemme 1.2. applique et
• On majore Log IflR
115
par
mn
I
Log If R «M m, ce qui est negligeable devant M
-2 [K :
Log
1.,(/ '
- - +e d
a
grace
N
§
a
est identique
m;
'
+1)
est une consequence de la proposition 4.3 ...
6. - Valeurs algebriques de sous-groupes analytiques de varietes
de groupe. Soit G une variete de groupe (ou groupe algebrique connexe) definie sur le corps
Q
des nombres a l geb r i.ques , Soi t
ep:
a: n
un homomorphisme
differentiable du groupe additif a: n dans la variete G, dont la differentielle
a
l'origine est injective; il existealors une application li-
neaire injective2de
a: n
dans l'espace tangent
a
l'origine de G,
telle
124 que
eXPG
0
2.
On dit que
est un sous-groupe I n
on appelle dimension a Lg e b r i q u e de
'f
de G,
et
la dimension de. la p l u a petite a o u s «
variete de groupe de G contenant l'image
Ccette dimension est superieu-
re ou egale In).
5.1. permet de majorer la dimension algebrique d'un
Le sous-groupe
a
n
d'une variete lineaire au abelienne, en
fonction du nombre de points algebriques
independants que
ce sous-groupe contient. Nous etudierons ici les valeurs de tels sousgroupes en des points algebriques oil les r e s u Lr a t s de THfoREME 6.1. corps
des nombres
tres de G,
[6J
sont am e l Lo r e s ) .
- Soient G une variete de groupe definie sur Ie algebriques,
un sous-groupe I n
de dimension
des elements
"
rement independants de
Pour N
(l'etude generale est faite dans
tels que
on note r'N = {k l
.. +
; k. e Z J
et on suppose qu'il existe un nombre reel), tel que pour
N
-+ -s co
!.e"N !."£, Alors I.
si
G
est une variete lineaire, on a
2.
si G est une variete abelienne, on a tCn+b'-I) 425' + 2(n+O)Cn-I)C)..+I). COROLLAIRE 6.2, -
Sous les hypothises du
6.1., quand G est
une variete abelienne, on a
A f Cen effet, avec
•zn:
on obtient
.f -
2n
1 + 4n(n-l) (i-2n) .
125
Demonstration du theoreme 6.1.
Li n e a i r e
Le cas f n+ 1 , .. ·,f S
'
[9] est facile: on c o n s i d e r e S-n fonctions
c o o r d o n n e e s deep,
telles que zl"",zn,fn+I, ... ,f
soient algebriquement independantes.
Gomme les f. J
polynomes exponentiels, elles sont d'ordre pot hes e s
du t h e o r e me 5. I.
= I)
el
(avec
= .. ,
S
sont donnees par des
et la verification des hyf.. ,
= en
("n+1 =
•••
a ='-Ft
ne pres_nte aucune difficulte.
Pour demontrer Ie cas abelien jectives deep,
soient
, on considere des coordonnees proavec'l'o(Q)
Ie degre de transcendance sur
I- O. On
d e mo n t r e d'abord que
du corps
, CPo est superieur ou egal an +
f;
deux demonstrations de ce resultat m'ont ete com-
muni quee s ; I' une par Serge LANG , montre que, quand varietes de groupes soit constante
,
B" A
est un produi t
de
tel que toute application rationnelle de B dans A
et quand G est une sous-variete de groupe du produit,
dont la projection sur chaque facteur est surjective, alors G =
BxA i
on applique ceci a la fermeture Zariskienne du graphe du sous-groupe a n parametres. L'autre,
par David Masser,
consiste a se ramener au cas n=l,
puis
a utiliser la periodicite de la fonction theta de la variete abelienne, ainsi que Ie principe des tiroirs. Gonsiderons done b+ 1 c o o r d o n n e e s projectives
CPo' ... , erOde ep ,
telles que les fonctions Z
n'
Cpl Cpo '
... ,
soient algebriquement independantes sur
Soit
@J: a;D une application theta de surjectif dont
Ie noyau est un r e s e au
groupe a D parametre,
L
",n --,--",D
'"
1\ de
homomorphisme analytique
(autrement dit un sous-
OU D est la dimension de A). Gomme 1 es t un sous-
groupe a n parametres, ..
la variete abelienne A,
il existe une application lineaire injective
I
tel e que cp=®oL.
126
(8, ... ,B)
Considerons les c o o r d o n n e e s projectives que
ei
Cpi =
0
L
°
,
i t,
b.
\f:
(j;D -+(j;
t'
o
de 6,
telles
Soit q une forme quadratique sur (j;D
telle que la fonction
1-+ admette tre
e x p q(z)
1\ pour groupe de p e r i o d e s , s o i c Zi e n e boule fermee de
et de rayon >0,
ne contenant aucun zero de
eo
q;D,
de c e n-:
Si
s designe la surjection canonique, s -los
la fonction
I
est bornee sur
/yJ(z))
(,:1).
Notons -(
0
s
(6)
}
.
On aura done
Grace au principe de Dirichlet, on a
[9 ]
Card enfin la forme quadratique de Neron Tate permet d'obtenir
On applique alors
av e c
e1 =... = en
=
Ie theoreme 5.1.
+1
0,
=... =
en + S
=
2
aux fonctions
, d
un corps de nombres sur lequel A est definie, des
=
n +
C;
0
contenant
n c hoi sit po u r
K
les coordonnees
et tel que Nous allons appliquer r
distribue,
est tres bien
c'est-a-dire quand les hypotheses sont satisfaites pour tout
A verifiant ;
Ie theoreme 5.1. pour ameliorer Ie theoreme
Ie cas o ii Ie s o u s g r o u p e e ng e n d r e par
6.1. dans
reel
[4J
\
THEOREME 6.2.
A>max)O
L '
-
2n
-
I} .
Soient G une variete de groupe definie sur Ie
des nombres algebriques,
(j;
n
un sous-groupe a n
127
tres de G qui n'est pas une fonction rationnelle de !, elements de
independants, dont
On suppose que,
A> max
"
des
••
les images par
pour tout reel
to, - J' I
on a
II.d oil k , e if i,
Alors on a
.1{,2n. Demonstration du theoreme 6.2. (On peut remarquer que,
si G est une variete abelienne,
corollaire 6.2. donne Lmme d i a t em e n t
I e resultat).
Si G est une variete lineaire, rationnelle de
,
d'appliquer Le
comme
nlest pas une fonction
l'une des c o o r d o n n e e s affine de
fonction transcendante sur t h e o r em e
= lC(zl"'"
5.1.
Ie
zn)
ep,
soi t
f I ' est une
• II suffit alors
aux fonctions z l " " , z n '
Considerons maintenant Ie cas d'une variete de groupe quelconque. II existe un sous-groupe lineaire maximal L de G tel que GIL soit une variete abelienne A definie sur
Notons IT: G
nonique; l'applicationTIest a Lg e b r i q u e , Notons
n·
c I est
r
l'homomorphisme ca-
a-r d i r e envoie
l'homomorphisme induit sur les espaces tangents
n SOitft: II: -;>Te(G) Si l'image tenue dans L,
l'application Li n e a i r e telle quecp= eXPG contenue dans Te(L), alors l'image
et on est ramene au cas lineaire.
0
£ . con-
128
Supposons donc \.jJ = eXPA
0« 0 £
core une fois
e"
de
ral, un sous-groupe
o!l '" o.
rr'"
dans AQ;'
(Cette application n'est pas en gene-
n
de A ; c'est pourquoi nous allons en-
revenir au
5.1.). Considerons des coordonnees pro-
('t"o, ... , \fJ))) de '-V
j ect i ves
Considerons l'application
avec
O.
Comme
est composee d'une appli-
cation theta.
(ou D
=
dim A)
et d'une application lineaire non nulle
nant d 'un isomorphisme T (A) e
Q!
q:D),
l'une des fonctions
5.1.
aux fonctions
(prove, soit
est transcendante sur On applique a Lo r s calculs
a
Le
t h e o r e ma
zl' ... ,zn'
Les
faire sont essentiellement les memes que dans la demonstration
du t h e o r e me 6.1.
dans
l e cas a b e Li e n , __
I
f
REF ERE N C E 5
L'etude des proprietes arithmetiques des fonctions de plusieurs variables est developpee dans les articles suivants, presentes par ordre chronologique.
[U
SCHNEIDER (Th.).
-
Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale;
J.reine angew. Math.,
183
(1941),
110-128.
(5.). - Algebraic values of meromorphic functions 3 SERRE
(1 965),
(J.-P.).
183- 1 91 •
- Dependance d'exponentielles p-adiques.
Pisot-Poitou, 7e annee LANG (5.).
-
Topology,
(1965-66), n
o
Sem. Delange-
15.
Introduction to transcendental numbers. Addison Wesley,
1966 , Chapitre IV. BAKER (A.).
- A note on integral integer-valued functions of several
variables
(6)
;·Proc. Camb. Phil.
BOMBIERI (E.) and LANG (5.). Invent. Math.
11
soc , ,
63
(1967),715-720.
- Analytic subgroups of group varieties;
(1970),
1-14.
129
BOMBIERI (E.). - Algebraic values of meromorphic maps
Inventiones
Math., 10 (1970), 267-287.
LELONG (P.). - Valeurs algebriques d'une application meromorphe ; Sem. Bourbaki, 23e a n n e e , 1970-71, n " 384, Lecture-Notes in Math., vol. 244 (1971).
WALDSCHMIDT (M.). - Dimension algebrique de sous-groupes analytiques de varietes de groupe; Anna1es Instit. Fourier,
(1975).
p , 23-33. D'autre part, 1es zeros de fonctions ana1ytiques de plusieurs variables complexes sont etudies dans les ouvrages suivants (ou l'on trouvera des bibliographies plus detaillees, avec en particulier des references aux travaux de P.LELONG et W.STOLL). LELONG (P.). -
al
Fonctions plurisousharmoniques et formes differentiel-
les positives, Gordon Breach, New-York, et Dunod, Paris, 1967.
bl
Fonctions entieres et fonctionnel1es analytiques,
Presses de Montreal,
1968.
01] RONKIN (L.I.). - Introduction to the theory of entire functions of several variables; Trans1. Math. Monographs, vol. 44, A.M.S., 1974. STOLL (W.). - Normal families of non negative divisors
Math,Zeitschr.
84, p , 154-218, 1964. 2 Enfin, la theorie des L estimees qu'uti1ise BOMBIERI dans see in extenso dans Ie livre suivant
DJ est expo-
[J3] HORMANDER (L.). - An introduction to c ompl e x analysis in several variab1es; North-Holland, Mathematical Library,vol.7,second edition, 1973.
Michel WA L D S C H MID T Analyse complexe et Geometrie (Lab.Associe au C.N.R.S.,n· 213) Universite Pierre et Marie Curie (PARIS VI) Mathematiques, Tour 45-46 4, Place Jussieu
75230 - PARIS CEDEX 05
P. Lelong (Analyse) 15e annee 1974/75
18 mars 1975
A GLOBAL FACTORIZATION PROPERTY FOR HOLOMORPHIC FUNCTIONS OF A DOMAIN SPREAD OVER A SURJECTIVE LIMIT By Paul Berner
An open surjective limit, that is a directed projective limit E = ,lim (Eo(,n;;{,1"rO/ A
)A >. ot
projection mappings,
are both open and surjective, exibits
of locally convex spaces where the
II"
the following local
1(0/'
factorization property: U -?-I!: be a
Let U be an open subset of E and let f ho1omorphic function. Vx of
X
i'1 U, an 00
13
a connected Den '-7-"
W -Eo
D and
CfID : D -'fCw) + 6 ra is a homeomorphism) ,
-Cl
is called pseudo-convex iff
-log dsiC.Q)(E, Remark:
lw:w--'PCw) is a
homeomorphism and since £fCW) = CfCV) + rr-1Co) we have shown that Jl has a 1[-uniform chart at each tion 2 ,2 I f C.D., 1T-projection, then:
w- ..o...
ep, E) is 1r-uniform and
1l.n:.n. -1("D
is its
140
= "o
and d Proof: and
Let
a-E
W -G
1(l(a).
If
0
is a homeomorphism.
1'l"'ep l'IT
-
F V 1S a complex space on which is defined an antiinvolution '\,
a : V
'\,
V such that V = {x
'\,
E: Vla(x)
= x} then on V is defined a
structure of real analyti c space gi ven by the subsheaf
generated
158
by the real and imaginary parts of the holomorphic functions zero on "v
V. On the contrary if there exists a structure of real analytic spa=
ce (V, OV) on V we may complexify (V,OV) (see [2])and construct a "v
complex space V and an antiinvolution as above. Lemma 1.
Let (X,OX) be a real analytic space or a real analytic va=
riety and V an irreducibile analytic subset, of dimension q,coherent or not coherent of the first kind. "v
Let (V, Oy) be a quasi reduced complexification of V then V has in "v
"v
V an open neighbourhood V' such that: i)
"v
(V: 0V') is a reduced complex space "v
ii)
V' = dimRV
iii) for any x of the germ if i
E:
"v
(11 Iy1) U (U be the decomposition tc JEJ "v. in the irreducible germs and suppose dim =q E:
I and dim
V let tv.
I') V)
dimR V the set of the regular points of V does'nt inte= "v
rsect V (see [2J), hence V is contained in the singular locus of V and this is impossible by the;maximality of the coherent ideal that "v
defines V "v
iii) V is irreducible, hence we may suppose Vito be irreducible of dimension q. The components The components
"v.
-v
are reduced of dimension q.
are reduced of dimension q hence(by minimality)
they are the complexification of
and the lemma is proved.
In the following part of this paper all spaces are supposed to be paracompact. Lenrna 2. X",= {x
Let (X,OX) be a real analytic variety of dimension E:
X[dtm Xx =tL
t
and
159
at any point of X ' then there exists an
Suppose X to be
f
an open set U:> Xt such that (U,OXtu) has a structure (U,Oy) of real analytic space. X let UX be an open neighbourhood such that t re exists a complex, normalJreduced analytic space '" UX of dimension
Proof. For any x
-t and an antiinvolution
ax: '"UX
->
'"UX
such that UX =
'"
Clearly such a local complexification exists because the normality condition is open. Any '"UX defines on UX a structure of real analytic space (see remark 1) that we shall lenote (UX, 0Ux). Let now z
X+flUx
n Uy
we remark
that
'"
and '" are both the complexification of Xz(we remember that
'"U2
'"
are normal reduced of dimension
'
= dim Xz), hence there 0Uxz - > 0U Yz .
exist canonical isomorphisms By coherence the i somorphi sms of z in UX. Let Vt
=
{U
x·
f
I
I
pX,y can be extended to a neighbourhood z
be an open, locally finite covering of X and UX;
as above. Xi such that {W Xi = WXiflX}id is a co Xi be an open set of U Let W Xi C UXi. For any x X there exists an open nei= vering of X and W ghbourhood VX in X such that i )'>FVX() WXi => x UXi X ,' ,' ) VX', nt ts l ersec on y U iI, • • • • • • iii) the isomorphisms
Uxis
defined above define isomorphisms
(VXnWXinwxk, 0UXi) Using the
,
->
(Vxf\WxinW xk, 0Uxk) i,k = il,. .. i s
we may glue together the coherent sheaves 0UXilwXi and on
define a coherent sheaf 0u definedVan open neighbourhood U of X . By construction (U,OXI ) is the reduced real analytic variety associa U
ted to (U, aU) and the lemma is proved,
-
160
§2.
The desingularisation theorem.
Lemma 3. and X
t
Let (X,OX) be a real analytic variety of dimension
1-
= {x E xl dim XX =1'L
There exi sts an analyti c (1 ocally closed) subvari ety U::> Xl of X A
and a normal analytic variety U F._> U such that nI(U x) is normalisation of the union of the 'I' dimensional irreducible genns Xx, n is proper and n(Q)) X .
t
'O
Proof. Let V be an open set of X, V::> V a complex space on whi ch is 'O
an Let V
'O
'O
a: V > V such that V = {xEV!a (x)=x}.
'V
V
'V
the
of V, then there exists an antiin
• 'O . volution a:. V > 'OV such that, 'nO 0 a = a
We note V
=1.X E V I,;::.(x) =
}
x and
0
....P,
r21 ).
'O
n (see
rr rr tv .
A
V is the normalisation
1\
associated to the complexification V and. In general, Tris not surjective.
Let now
'If = {Vi}iEI be an open. (in X), locally. finite. covering of
X such that there exists
'O
':\Ii
ni : v
>
'OJ'
'O.
V , 0i : V'
>
'O.
Vl as above.
Moreover we shall suppose that all the VXi qre quasi reduced xifications hence for any x E X and any irreducible 1dimens;onal germ
of Xx ,
has, (for any i such that Vi
x), an i rreduci =
ble germ that is exactly the complexification of It follows that the normalisations of
(see lemma 1).
in the different Vi are ca
nonically isomorphic. Let {Wi}iEI be an open covering of X and Wi,
Wi
such that
Wi C Vi for any iEI
as above. U (Yw
For any x E X let Xx =
t
be the decomposition of
Xx into the irreducible components and suppose dim < l'
k E K and di m.
=
if
if j EJ.
For any x E X let BX be a set such that i)
BX ()
Wi F 9J
=>
Vi
j
BX
i i) BX intersects only WI, .... , 'Wi", and BX C 14 i l iii)
BX
where DR are irreducible analytic closed subset
of an open set BX 9 x such that
defines the germ
.
161
iv)
if
,,,.
is the normalisation of
in the complexification V'
then for any if ' is E(i) ,.,., there exists a canonical X (the last property may isomorphism p. , :ito k '.t " s be realised because the complexifications are quasi reduced).
.Jl
ii be the disjoint union of the Let now ii = Wi () (u iOx) i = . x,kk',EI Ti and R the equivalence relation defined by the isomorphisms p,' i f' s the quotient space. We shall denote by 0 = T/ R In a similar way the isomorphisms Pl' . define an equivalence II t,'s relation on the disjointequnion iEI 0fi the quotient space 00 is, in a natural way, a coherent sheaf on U.
-
It is now easy to verify that (U, in fact if n :
aQ) is the required normalisation,
Q-> U is the natural projection n-l(BX) is iso =
morphic to a subspace of (nil)
-1
•
(BX) and hence U is Hansdorff and
then paracompact. Finally all the maps ni : Vi -> Vi
are prooer hence n is proper.
We can now prove the desingularisation theorem : Theorem 1. lmension
Let (X,OX) be a paracompact real analytic variety of di , then there exists a real analytic paracompact manifold
y
y
X and an analytic surjective map n : X-> X such that: 1) n : n- l -> X* is an isomorphism, where Xf = set of the re= gular points of dimension t of X. 2) for any x E X n-l(x) is compact 3) X is the disjointeiunion of a
+-dimensional manifold and
lower
dimensional manifolds. By the lemma 3 there exists a normal real analytic variety
V
X such that n(Ul) X .
t
By the lemma 2 the closed set open neighbourhood
U = {x E UI dim Ux t
=r}
has an
that is the reduced variety of a real
analytic space. Hence by Hironaka (see (3) ) there exists a
1'-dimensional manifold " U and a proper surjective analytic map
11 .z., V'
162
So we have defined an analytic map 111'=.; 011 that
1I
t
(U);) Xt
U->
X such
.
The open set X- = Ix
E.:
XI dim Xx < t} is a subvariety of X.
We may repeat the above costruction and find an analytic map
_n:,..l:
U'
->
X- such that U' is a manifold, (
U') :> Ix
E.:
x-r dim
=
+- l}.
After a finite number of steps we obtain the desidered larisation. Corollary 1. fhe Plateau problem may have solutions that are not real analytic varieties. Proof. Let V be a real analytic submanifold of Rn not cohordant with zero and Wa solution of the Plateau problem having V as boundary. Suppose Wbe a real analytic manifold near to V (such a situation is realised for example in [4J ), then we wish to prove that W hasn't
a structure of real analytic variety. Suppose Wbe a real
analytic variety and "W
..,
Wa desingularisation, then it should
be possible to glue Wto the boundary V and this is impossible be cause V is not cohordant to zero. Bib 1 i
[I]
0
g rap h y
J.Frisch "Points de platitude d'un morphisme d'espace analy= tiques complexes" Inventiones math.4 pp.1l8-138 (1967). A.Tognoli "Pr-opr i eta globali degli spazi analitici reali" Annali di matematica LXXV (1967) pp.143-218.
[3]
H.Hironaka "Resolution of singularities of algebraic varieties" Annals of math. Vol.79 (1964). A.Milani "An example of minimal surface that it is not analytic" To appear F.Acquistapace, F.Broglia, A.Tognoli "Sulla normalizzazione di uno spazi o analitico reale" To appear on B.U.M.l.
Seminaire P.LELONG (Analyse) 15e annee, 1974/75.
Ier Juillet 1975
I
THEORIES DES DISTRIBUTIONS ET CALCULS
DIFFERENTIELS
SUR UN
ESPACE DE BANACH /
par Paul K R E E Soit Y un espace de Banach reel. On suppose donnee une famille d'espaces de Banach ou pour tout de /lllY'c
e
est Ie complete
par rapport a. une norme tensorielle : par exemple
rr,
ou S •••
L'objet de ce travail est d'associer a. chaque famille N une theorie des distributions sur Y et un calcul differentiel sur Y. Par exemple -
Ie cal cuI differentiel de Frechet est etendu en prenant les normes
E. e t
=
Y
pour tou t
-t.
O.
Dans Ie formalisme introduit ci-apres, une fonction derivable n'est pas forcement continue -
Ie calcul differentiel de L.GROSS
[2] correspond au cas
,
N
t
ou E
#t. =
,C'l
X' c,
X etant un certain sous-espace hilbertien dense de Y, X'c designant Ie complexifie du dual de X. L'extension du calcul differentiel ainsi obtenue est tout-a.-fait differente de l'extension du cal cuI differentiel deduite en dimension finie de la theorie des distributions. En effet, cette theorie utilise un argument de transposition:
Ie choix d'une mesure de Lebesgue sur
per-
1 n n met d' identifier L (IR ) a. un sous-espace de J)' (R ) . Les o p e r a t e u r s l oc de derivation dans J)'(R n) sont definis comme les transposes d'operateurs agissant dans
$(lR n). En dimension infinie, pour eviter Ie choix
d'une promesure particuliere sur Y,
et pour deriver vraiment des fonc-
tions, on utilise un argument de bitransposition
les transposees
d'operateurs lineaires agissant entre espaces de fonctions cylindriques, fournissent des operateurs dans les distributions ou dans les prodistributions
; leurs bitransposes fournissent des applications se
164
restreignant
a
est specifique finie,
certaines fonctions boreliennes. Le phenomene etudie
a
la dimension infinie. En effet, si Y est de dimension
toutes les normes sur
sont equivalentes. Ce travail utilise
l
Ie cadre geometrique fourni par la theorie des prodistributions et des
[4)
protenseurs distributions
[5J , L. NACHBIN nous a s i g n a Le que Le
phenomene de la diversite des types de formes lineaires apparait aussi pour les espaces de fonctions holomorphes definies sur un espace de
[8]
Banach
Definition des N-distributions.
1.
La theorie des distributions en dimension finie utilise la theorie de l'integration par rapport aux mesures de Radon scalaires sur les espaces localement compacts. La theorie des distributions en dimension infinie utilise la theorie de l'integration par rapport
a
des mesures
de Radon vectorielles definies sur des espaces completement reguliers (1.1.)
Topologie stricte. Mesures de Radon vectorielles
SoitSlun espace completement regulier et E un espace de Banach complexe. On note BO(ll, E) d e f i.n i e s
surll
a
l'espace des fonctions continues b o r n e e s
valeurs dans F • Soit BO(D.) = BO«(l,lE).
- Pour tout sous-espace vectorielX de BO( Sl,E), on note indistinctement -
teo la topologie de 1 a no rme II Cf 11 = s lJl 00 la boule uni te ;
= {
N ' m+1
(Y, ® (yr c). m
169
(1.18.)
Image par une application lineaire continue.
Soient X et Y deux espaces de Banach reels equipes respectivement des families N'
=
(EN')
I.
e
avec
X'c
-(
C
N'
E
avec fjY'c
f
C
E
N
t
une application lineaire continue de X dans Y telle que pour tout-l., _
l'application ,A'c :
.
•
n e a a r e c o n t r nu
\
f\{
E
admette un prolongement li-
e ----7'- E e .
N
N'
Alors l'application k B cy ley)
k Bcy lex)
est continue lorsque ces espaces sont munis des topologies strictes a s s o c i e e s respectivement
a
N'
et N. La t r a n s p o s e e dea(definit une ap-
plication lineaire continue
=
Dans Ie cas particulier ou X sous-espace de BNf(Y) si N'
Y,
a
on voit que B,k(y) s'identifie N
un
est plus fine que N.
a
(1.19.) Classes de distributions
decroissance.
Les definitions qui precedent peuvent etre modifiees en prenant des poids sur Y. Ainsi
cyl(Y) est defini comme Ie sous-espace de
k
Ccy ley) forme par les CP telles que Deq>soit
° -e
k , Si k
=
!&lY'C) -
'f
T
lim«(J+IiYII
-
+1:
croissance polynomiale pour
simplement OM cyl (Y). L'analogue de
+00 on ecrit
est ainsi construit, pour toute famille Soit LO(y
a
)
(BO (Y,
.f.
(Ef).e
f i.x e e
c), L N
» muni
gk
de la topologie li-
mite inductive des topologies strictes LN.On utilise Ie plongement naturel k
(1.20.)
OM cyl (Y)
pour munir
k
c.
n
-l =0
LO(y, @Y'C)
e
cyl(Y) de la topologie induite. Le dual
est forme
par les prodistributions T admettant une representation (1.14.), ou les fj sont
a
decroissance polynomiale. En particulier pour k
0M(Y) est l'espace des distributions
a
=
+00 ,
decroissance tres rapide. Natu-
rellement, on peut utiliser d'autres poids : on peut remplacer 1+ par exp(rtlytl) pour definir les distributions
a
decroissance exponentielk.
170
(1.21.) Commentaires sur la definition des distributions. De tres nombreuses definitions des distributions en dimension infinie peuvent etre proposees. La definition (1.8.) fait intervenir des fonctions d'epreuve cylindriques et des topologies strictes.
II convient
de motiver ce choix, de Ie comparer a d'autres choix possibles et d'etudier la stabilite de la definition (1.8.) des distributions, vis-a-vis d'une modification des topologies ou des espaces de fonctions d'epreuves. a/ Stabilite vis-a-vis d'un changement de topologie dans la source Y. Les espaces BNk(y) ne changent pas si Y fort est remplace par Y fa ible. Plus precisement, la topologie stricte TN de BO si
rN
voir
est induite par la topologie
(Y fort, E;). En fait Ie dual de
(Y) ne change pas
est remplace par la topologie stricte de BO (Y faible, E;)
[6J
Notons que ce resultat utilise Ie fait que les fonctions con-
tinues cylindriques sur Y sont faiblement continues. D'ou un interet d'utiliser des fonctions d'epreuve cylindriques. b/ Motivation de l'emploi de topologies strictes et de fonctions d'epreuve cylindriques. Un autre avantage de l'emploi de fonctions d'epreuve cylindriques est la possibibilite d'utiliser Ie formalisme des prodistributions et des protenseurs distributions et la possibilite de definir les distributions sans utiliser un cal cui differentiel particulier. Si de plus les topologies strictes sont employees, on obtient une theorie des distributions qui prolonge la theorie de la mesure et la theorie de l'integration sur Y. D'ailleurs, si on emploie des topologies too de la convergence uniforme sur tout Y, tables par des
on obtient des "distributions" represen-
mesures vectorielles definies sur Ie com-
pactifie de Stone Cech de Y. c/ Stabilite vis-a-vis d'un changement de topologie dans les buts Si les espaces (E;)' verifient RNP, l'espace BNk(Y) ne change pas si les espaces E; forts sont remplaces par les espaces E; faibles. Plus
171
precisement Ie dual de gie t
lY'C) est remplacee par la trace t N sur cet espace
sur
N
ne change pas si pour tout!, la topolo-
f ) : to
de la topologie faible stricte t'cr sur BO (Y, E la plus fine qui coincide sur uniforme sur les compacts de Y, D'ailleurs,
6
avec la topologie t
cette derniere topologie par la topologie
dl
de la convergence
Le but etant muni de
designant une partie dense de
sur les parties finies deA;
k cr
est la topologie
N
: [6)
, on peut remplacer
de la convergence uniforme
ainsi remplacee par
k et 9 N par
k
Possibilite de definir BNk(y) comme Ie dual d'un espace de fonc-
tionsnon
Cette possibilite resulte de c) et du corollaire
(2.21a).
el Choix de fonctions d'epreuves ayant d'autres types de croisk, sance. Ce qui precede concernait des fonctions d'epreuve C
telles
que toute derivee d'ordre au plus k soit uniformement bornees sur Y. Ceci peut etre generalise en prenant des poids comme il a ete fait en (1.19.).
Par exemple soit Y un espace de Hilbert separable. En combinant
cl
et
dl,
on peut definir l'espace
sance rapide sur Y,
des distributions
a
decrois-
comme Ie dual de
(1.22.)
avec N =
fl
Possibilite de definir des distributions non bornees. Les dis
tributions etudiees ici sont bornees : elles generalisent en dimension infinie, les distributions integrables de L.SCHWARTZ. On peut aussi de finir des distributions non bornees
mais si l'on travaille sur
des ouverts non cylindriques, il faut savoir qu'il existe des fonctions Nderivables (non nulles)
a
supports contenus dans ces ouverts.
172
2. Extensions du cal cuI differentiel en dimension infinie. On se propose de definir une generalisation du cal cuI differentiel sur un espace de Banach Y,
en restant dans Ie cadre des fonctions
;
c'est-a-dire sans choisir une promesure sur Y et sans considerer les fonctions comme des densites de prodistributions par rapport a cette promesure. La consideration de la transposee d'un operateur lineaire D d'un espace de fonctions d'epreuve
ne peut convenir. En effet D'
opere dans un espace de prodistributions. On considere donc la bitransposee de D pour obtenir un prolongement D" de D.
Une famille
, est supposee choisie , et a toute famille Nest associe un calcul differentiel. L'operateur D considere est Ie suivant (2.1.)
Le
!9N)ep
(Y,
(B0 ( N ) eo) c y l y,E f + 1 ' N
---> DCV
transpose est continu pour les topologies fortes,
et vue la theorie
des prodistributions, ce transpose est l'oppose de la divergence (2.2. ) L'operateur D est prolonge par son bitranspose (2.3. )
Pour simplifier l'ecriture, ce prolongement de D est encore note D. On sait aussi que pour tout espace de Banach X,
toute fonction bore-
lienne g : Y --+X" appartient a (M(Y,
X'»'
Ceci conduit a poser : (2.4.) Proposition et definition de la N-derivee d'une fonction.
l )"
Pour que deux fonctions b o r e Li e n n e s b o r n e e s g : Y ->-(E g1
Y
soient telles que Dg = g1 '
il faut et il suffit
que t..g po u r
to u t f
E
M(Y , (E
1'f>=
1 ) ')
-
tell e que d i v
et
P E. M(Y ,
(E
,)
173
Ion dit alors que g est N-derivable et que gl est la N-derivee de g. Demonstration. Po sons F = 1 Comme B (Y @Y'C) cyl '
t) s'identifie
-e
=
L)
a
un sous-espace topologique H de
x
G')
on a
F X G,
N
B 1 (Y, @ Y)
Or
G
t(Po,p)GF'X G'
H.l.=
Donc Ie bidual de B F' X G'
(F'
e
;
Po = div
l I(Y' cy
/
H...L
p}.
s'identifie aux formes lineaires sur
qui s' annulent sur H.l.
=
p, p)
t(div
En particulier Ie couple (g,gl) appartient
c=.F')( G'} .
a
ce bidual si et seulement
si -.e0
N
m.
div
r>•
donne lieu
174 (2.7.) Fonctions indefiniment N-derivable. On peut definir par recurrence sur k
a
tions k fois N-derivables En effet
l'espace
de fonc-
N-derivees bornees.
est l'espace des fonctions boreliennes bornees. Si k , D
N
; et
k+ 1
telle que div p eM(Y,
II apparait que
di v
=
-
4. Exemples de N-distributions. Aux neuf choix de N evoques en (1.Z.), il correspond neuf types de distributions et neuf calculs differentiels. Les espaces de distriet Z sur les espaces ® y'C sont notes l respectivement B,k(y), B'k(y) et BZ'k, en accord avec les notations
butions a s s o c i e s aux normesrT, TT
(1.3.). De
rr, E.
E
les espaces de distributions associes aux normes
et Z sur les espaces
X'c sont notes rrB'k(y), SB'k(y), ZB,k(y).
Et aux memes normes sur yC, il correspond ITB'k(y), ... Vu (1.18) il vient
B,k(y) +- B'k(y) IT
Z
+-
B,k(y)
1./-t/t
tfi'k(y)
t /
(4.1.)
Z+
+-
B'k(Y)
/,
lTB,k(y) +- 2 B,k(y)
EB,k(y)
Vu (Z.6.) on a des inclusions "inverses" pour les fonctions derivables
(4. Z. )
On a encadre les classes pour lesquelles Ie calcul differentiel usuel associe a deja ete etudie. En effet sous les hypotheses de (Z.19.)
-
contient un espace Bk(y) de fonctions Frechet derivables
au sens usuel.
£Bk(y) contient un espace de fonctions X-derivables au sens de (Z). ZBk(y) contient un espace de fonctions HSX-derivables etudiees par B. LASCAR [5]
184
Donc, dans ces cas l'etude des distributions peut etre affinee puisqu'on dispose alors d'un espace suffisamment riche de fonctions d'epreuves. Par exemple dans
LSJ ,
B.LASCAR defini la notion de sup-
port pour les distributions de ZB'oo(y) en utilisant l'existence de partitions de I 'unite et de fonctions non nulles
a
support compact dans
ZBOO(y). Ceci montre les proprietes des fonctions differentiables qui seraient necessaires dans chacun des neuf cas evoques.
(4.3.) THEOREME (extension d'un theoreme de Prohoroff) supllD l
On pose Pour qu'un ensemble
f={Tf'./!.E.L}
I} .On
(
suppose k fini.
de prodistributions d'ordre k sur Y
soit une partie equicontinue de
il faut et il suffit que
f
verifie les deux conditions (i)
suptl
=
J.
N a r b i.t r a i r e ,
f .
e - i (y, '() cl f.e (y) •
0 Montrons par recurrence sur k que Dk " T," 9"M(Y') et que Dk " T
=
•
(
)y
m=o
Dans cette formule,
f.
=
ill m) Or D ( ® ;h =[0
{
Donc
¢.e,
l
1;
P{
J
k
avec
hm). 1:.
h designe l'element generique de Y',
integrer par rapport a ¢'o(Y)
(y,h)k-m
=
et il faut
la fonction vectorielle
Cy,h)k-m Dill( •
1l. f.
. " ill >l )f.-ill(h ,)m 1[' Y ,Y
--::L-(,
(y) c o n s Ld e r e e comme fonction
a
si L
ill
-c:IJ •
valeurs dans 4(Y'), verifie
189
Donc l'integrale definissant
a un sens et J
est
k
a
croissance
lente. II reste
a
IO(y,h)k-m
montrer DJ
k+ 1
. II suffit de montrer
D;(l'1 ;hm)e-i(Y'l() [e-i(y,LI)
Or la relation
le
ie
1 2 chet par Z(y,ll)
bl
J
=
k
1
1 1 2
-
l+i(y,
G 1/.611.
Ll)J
i&I = < U, [iT > =
f
0 (y) d U ("(
)
a
permet d'etendre la forme lineaire associee
toute TEi
B"c
cy
l(Y) en
une forme lineaire sur l'espace des transformees de Fourier des U
GYM ( Y , ) •
Ceci peut s'appliquer en particulier si Test la prodistribution de FEYNMANN et si U est une mesure : (1] (5.6.) Formulaire pour la transformation de Fourier. 11 est le meme que pour les prodistributions et les protenseurs
distributions • Donc 1\
U
En particulier i
k
t:?
i(v,2)T(5)
On a aussi pour T E 8'M(Y)
U E.
B'M(Y)
T . 8='0
avec
¢
=
cr'u .
Comme application, on peut si Y est hilbertien resoudre le probleme de Cauchy of (t,x)
at
=
f(O,x)
Clf(t,x) =
si
t;>
°
fo(x)
ou la donnee initiale f e s t la transformee de Fourier d'un element fixe o
de 0;1 (Y).
192 BIBLIOGRAPHIE (1] ALBEVERIO (5.) and HOEGH-KROHN (R.). - Mathematical theory of Feynman paths integrals. Preprint series Institute of mathematics. University of Oslo. Octobre 1974. [2] GROSS (L.). - Potential theory on Hilbert space. Journal of Functional analysis, vol.
1, n° 2, August 1967, pp. 123-181.
(3) GROTHENDIECK (A.). - Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires. Mem.Am.Math.Soc,
[4]
16 (1955).
KRiE (P.). - Solutions faibles d'equations aux derivees fonctionnelles. Seminaire P.Lelong, Lecture
Notes in Mathematics. Springer,
I, nO 410 (1973) et II, n° 474 (1975), pp.
16-47.
[5J KRiE (P.). - Seminaire sur les equations aux derivees partielles en dimension infinie et les applications
a
la physique.
Secretariat Mathematique de l'Institut H.Poincare (1975). [6]
KRiE
(P.). - Mesures de Radon vectorielles sur les espaces complete-
ment reguliers. Comptes-Rendus Acad.Sci., Paris, Serie A (Octobre 1975). [7]
LESMES (J.). - On the approximation of continuously differentiable functions in Hilbert spaces. Revista Colombiana de Mat., vol. VIII (1974), pp. 217-223.
[8J
NACHBIN (L.). - Topology on spaces of holomorphic mappings. Collection jaune. Springer Verlag, Berlin (1968). Universite P.et M.Curie Mathematiques, Tour 45-46 4, Place Jussieu 75005-PARIS
Seminaire P.LELONG (Analyse) 14e annee, 1974/75.
Juillet 1975
I
,
SUR UN THEOREME DE GROTHENDIECK par M. Walter SCHACHERMAYER
Nous voulons presenter le theoreme suivant (d'apres la demonstration de
Gil de Lamadrid, TAMS 114 (1965), p. 98-110) :
Theoreme : Soient
E et
F
deux espaces de Banach; un dual (disons E')
doit verifier la "propriete d'approximation metrique", et un dual (c'est-adire
E' ou
F') doit
etre un "espace de Radon-Nikodym". Or (E
E' @F'
F)'
au sens d'une isomorphie isometrique
le produit scalaire est donne pour
les tenseurs finis par
• < Yi' Y I > 1 •
II Y'1l
Definition: On appelle l'espace de Banach de
E @ F , pour la norme
11 . 110
E@F, forme par l'adherence
Ie produit tensoriel inductif de
E et F.
Remarque : En general on n'a plus une description simple du dual comme on 1 'avait pour
(E
@F)'
E
F [ (E
t§;
£,(E, F')] . On a t ouj our s , que
£ :f(E, F'), comme E0F est dense dans E@F et la norme
11 .
est plus grande que la norme Definition:
Les applications T
F'), qui appartiennent a (E @F)'
sont appelees applications integrales (au
sens de Buchwalter)
ment un espace de Banach pour la norme integrale
elles for-
II n
1< L
sup n 11
L
x, i.
e
'®
1
I}
Remarque : II est notre but de montrer, que les operateurs integraux et les operateurs nucleaires coincident sous les conditions donnees plus haut. Exemple;
Nous donnons, toute suite un exemple d'une application integrale,
qui n'est meMe pas campacte, Soit
E
F
i E .,[
• Soit
=
(t 1
Pour que
i
a
fortiori pas nucleaire.
i:
l'injection canonique.
I) ,
soit une application integrale (c'est-a-dire i
197
de norme Lnt eg r a Le
II in1l8,
sont des applications integrales de norme En effet, la boule unite de (r: si l'on a une suite
{in}:=1
....
F) •
est
0
(J( (E
F)', E
dans la boule unite de ( E Chaque
in
L
k=l
0' ((I: •
t2I
, elle converge
F)j
(I:'
•
f'j ,tIii coaverge
t
VUIi . .
f)
[,ar exemp Le
'Wi.,
n
L
>
tIIlique
i
iF)'. 1
definit une fonctionnelle lineaire
0 Yk' i
n
J " ) - compacte
I) , •
(J( (E. F)', I:
00
F')" , i l suffit de demontrer
(J
que I.' image par boule de
E' 18> F' est
j' de la boule de
(E@F)'
(J
*
-
partout dense dans la
=i(E, F').
Comme la boule unite de
F') est
coincide sur la boule avec la topologie
(J
(J
*-compacte,
(£ (E,
cette topologie
F'), E" F) •
Mais pour cette derniere topologie, c'est la "p.a.m.", qui nous permet a conclure, que la boule unite de E' uni te de
nua II
:f (E,
F' est deja
(J
* -dense
dans la boule
F') : On a une suite generalisee {u }crEI E E' @ E, a
avec
I, qui tende uni.f ormement; sur les compacts (a fortiori sur les en-
sembles finis) vers l'identite. n
Or pour chaque
f E :f(E, F') et chaque
iII Xi fi) Yi E E f;) F
on a n
IL
lim a E I
i=1
Comme
f
0
< f u
0
u a (xi) - f (xi) , Yi >
I
o .
appartient a la boule unite de
a
E'
0 F', la demonstration
est achevee. Corollaire 1 : Si E
E' 18> F'
E
separen t les points de
Demonstration : Soit d'apres
ver i f i a la
j
E
18> F
x' 0 y'
ils sep ar en t les points de (E'
(E'
® F')'
l'injection isometrique
E
forment un sys t eme total dans F') "
done aussi les points de
(important)
Corollaire 2
E @F
E 41> F .
prop. 4.
Comme les elements
Si
"p , a.m.", alors les elements x ' 0 y'
verifie la "p.a.m.", alors l'injection canonique
:feE',
Demonstr ation
F) est injective.
Consequence immediate du corollaire I.
E' @ F', E @ F.
202 c) .MESURES VECTORIELLES
Definition: et
Soit
S
un espace compact separe, B(S) 1a fami11e des bore1iens
F
I e' (S)
IIY' II
n
sup
lIy'll:Sf
sup
:f'ee'(S)
• lli)}
i=l
n
" i=1 L
Yi • llill N(S, F)
Cette Lsome t r i a sur Le sous-espace dense unique
a 'C' (S)
0F
e' (S) @ F
Proposition 7 : La restriction de l'injection sous-espace
-e' (5)
@F j
se prolonge d 'une f acon
j : (;'(S)
de£ini tune injection Ls ome t r i que
'f:' (S) Bl F
1---+
M(S, F)
N(S, F) au
205
Demonstration : L'application bilineaire w : '(, (S) x F
I---;).
M(S , F)
(l!. ,y)
1--+
11. Y
est de norme
1. D'apres la definition du produit tensoriel projectif on a
11 j II = 1, c 'est-a.-dire
pour chaque
t
e' (S)
E:
)F
Pour montrer l'inegalite inverse, il suffit de la faire pour n
t= JI11i@YiE't'(S) )F. Soit V
une mesure positive sur
sont absolument continues.
On
Comme
11 i
11 " " 1
(;'(S)
est image d 'un
.fi
E
d'apres Radon-Nikodym.
Test une isometrie, l'application T
est de norme pour
) id
(de nouveau d'apres la propriete universelle, cette fois
F). Pour chaque
j (t ) (A)
n
A E B(S) on a
(J A f i (s)
JI
Yi
n
avec
par rapport a. laquelle
a une injection isometrique
T
et chaque
S
f(s)
J
y . • 1.(s)
.
11 n
206
• On app Li• que la p ropo s i• t i.on I
[Lv1
lj(t)1 (S) = {lI f
IIIj(t)1lI M(S,F)
D.
161
F = Lv1( F )J : n
(s)1I dv(S)
.:fi@yJ
..
L1
@F
F
v
III j(t) III
Or
Proposition 8 : Une mesure par 1 'injection
j
e
:
I
M(S,F) >,.
mE N(S , F)
(S)
0 F 1---+
II t II ® est l'image d'un element t E t'CS)
N(S , F),
f
:f
@F
ssi
f(S) dm S
est une transformation compacte.
-
on a t'(S) ® F =---:>
Demonstration: D'apres prop. 6
t:' (S)
revient it dire, que dans
®F
Si
F
verifie
'C, (S)
Soi t
est de la forme
R N P, on a
7
il suffit de montrer, que chaque
jet) avec
t E
't"
(S)
J
F.
m E M(S , F) ; d' ap res proposi cion 5 on peut trouver
fortement mesurable,
IIgll
m= /ml(S)
Comme
x.
J
II
Nous avons ainsi
(E @ F)'
E' (g) F'
et la demonstration est achevee.
APPENDIX Le theoreme de Singer: Comme je ne peux pas lire en russe, l'article original
de Singer [Linear functionals on spaces of continuous mappings of
a compact Handooff (1957) , p , 309-315]
space into a Banach space, Rev. Math. Pures et Appl. 2 n'est pas accessible
a mo i
,
Mais je vais donner une demonstration en admettant les trois enonces suivants : Theoreme 1 : [voir Buchwalter
, Cours de D.E.A. 1975, Integration vectorielle
et theoreme de Radon-Nikodym, p. 121] : Soit
a
S
compact sep ar e ,
valeurs dans un Banach
T: £(S)
E un oper at eur faiblement com-
E; il existe une unique
t.q. (a)
T(f)
J S
f (s )
dm (5)
VfE e(S)
E-mesure de Radon
m
210
(b)
I TI!£.(,£(S),
(c)
T' x'
(d)
meA) [ T" (I A)
x'
E) 0
=
IIm\l
(la norme de la semivarisation) lfx'EE'
m
A E B(S)
1,'
est bien un element de
envoi 'C'''(S) dans
E, comme
T, etant faiblement compact,
E.]
Le deuxieme enonce, dont nous avons besoin est une consequence (tres faible) de la theorie de la factorisation des applications [voir Perrson, Pietsch: p-nukleare Raeumen
und
p-sommantes
p-integrale Abbildungen in Banach-
Studia Math. XXIII (1969), p.19-62] : chaque application integrale
se factorise A travers un espace de Hilbert. Done Chaque application - d 'un element de
(E
T : E
0 F) ']
F'
integrale
[c'est-A-dire image
est faiblement compaete.
Aussi nous avons besoin d'un theoreme de
Orlicz-Pettis , que chaque
F-mesure de Radon "faible" m [(c'est-A-dire notre definition, que yom
y E
F'
est une mesure de Radon] est dejA une mesure de Radon pour la topologie
forte de 1,'
et
1,'
F:
A E B(S)
G ouvert
meA)
1I
lim
II .!I{m(G)
meG)
lim
Theoreme de I. Singer:
Soit
1,'
.n{ m(K)
lim
S
K
compact, separe,
au sens d'une isometrie. A chaque
n
I i=1
t E
< x.
1
JS
K:::: A}
: G ouvert,
E»'
m E M(S , E') , t , q. t n (*) < I fi@x i, t> i=\
compact,
cC
G
A}
E un Banach
alors
M(S , E') (S)
" @ E) ,
fi(s) dmt(s)
correspond
f. @x. E t'(S) @E. 1
1
211
Demonstration : Chaque
®E)
t E
definit une application Lnt egr al,e
I
T : t'(S)
Le theoreme une
et Ie lemme donnent deja la representation de
E'-mesure de Radon
reme
E' •
m t
T par
(*). Aussi Ie theo-
et on verifie toute suite
donne
IITlli( 'G'(S),
E')
=
II
= Ilmil
Le theoreme de Singer dit, que l'on a aussi =
En effet
"'mill
n
III mill
{I
Ilm(A.) II
sup
{I
1/
sup
{i=1 I
sup
{I IIIS f.(S)dmll i=1
sup
i=1 n
partition finie de S, AiE B(S)}
L
i=1 n /Im(G i)
II
KI , · · ., Kn : G
I,·
n
.. , G
n
{I I
sup
{I
i=1
1
mE M (S , E ') donne.
La relation
definit une forme Li.neair e
un operateur correspondant
f(s)
I
f(s) dm . S
,
)
n
I
i=1
If. (s ) I
n :
I
i=1
If. (s )
I
I,
I}
II xi II
1
Inversement soit (*)
ec
t
m
sur 't'(S) @ E , et
I}
212
Soit
11.11
00
B(S)
tion et
E'"
'If:
V
m
=
I----? E' la 7T 0 Til a
p r oj ection
J.j
m
sur
I
m
avec
B(S)
t"(S) L' i nj e c-
t7T )
T
E') = (B(S) ®E)'.
Comme
: B(S)
E' Til
coincide sur
j
canonique et def Lrris sons
v
: B(S)
m
i'"(S) V
Borel - mesurables muni de la norme
'C(S) (nE) for
(?(n E i C).
On H(EiF), we put either of the locally convex topologies or 't'..., defined in
[6J,
and on
,,(nE iF) we put the natural
Banach space norm: PE" (nE;F).-... II plI = It will be useful for us to recall that 6>( to
of s(nE i F),
L =
II p (x) 1\
: II xlls 1 }. is isomorphic
the space of continuous n-linear symmetric
mappings of Ex ••• x
via the mapping
n times
A
£.s
(n E i F ) -7-
Ac Q(nE i F), where A(x) = A(x, .•• ,x). The space £s (nE i F) is in turn a complemented subspace of o{(n E i F), the space of continuous n-linear mappings of Ex ••• x E--+ F.
J
In [1 r the space of compact ho l.omoxpht c mappings from E to F was defined. A function f E H (E iF) is said to be compact if for each x E E, there is a neighborhood Vx of x such that f (Vx) is relatively compact in F. Proposition
CD
Let f
e
H (EiF).
The following conditions are
equivalent: (a). f is compact. (b). There is a O-neighborhood V
o
in E such that f(Vo ) is
relatively compact in F. (c). For each n c N and each xEE, the nth Taylor coefficient of f at x,
maps the unit ball of E into a
relatively compact subset of F. (d). There is a compact set LCF such that feE) C span L. The space of compact holomorphic mappings (resp
continuous n-
homogeneous polynomials) from E to F is denoted HK(EiF)
•
(resp
Research partially supported by the Instituto de Matem£tica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Brasil, Conselho Nacional
de Desenvolvimento Cient{fico e Tecnologico (CNPq) and Financiadora de Estudos e Proj etos
(FINEP).
214
The equivalence of the following assertions, the first two of which are analogous to the linear case, was obtained in [1 Theorem.
J.
The following conditions are equivalent: (H (E) , 'C) has the (Grothendieck) approximation
(a).
property. (b). For every complex Banach space F, H (E) in (H (EiF) , 'l:) • K (c). For every n e fill,
® F is dense
(?(nE) has the approximation
property. From these results, several questions naturally arise. First, there are many interesting examples of non-trivial pairs of Banach spaces (E,F)
such that every continuous linear mapping
from E to F is compact (see, for example, [4).
Are there
non-trivial (i.e. non finite-dimensional) pairs (E,F) such that HK(EiF) = H(EiF)?
Second, for what spaces E does (H(E),
t)
have the approximation property? In
[11, it was shown that Q(njlf);:: LJ...
(H ( .Pi) , T: ) has the approximation property. shown that for (H(E)
for all n, so that Further, it was
to have the approximation property, it
is necessary that E have the approximation property.
Also, it
was mentioned that HK(g2 i jl) f unlike the linear case. In this note, we first consider a class of Banach spaces E such that both (H(E),'l:) has the approximation proper tv and
=
H(EiE'). The spaces E we consider will be of the form E = C(X), for X a d1spersed compact Hausdorff space. In fact, we show that these spaces E have the property that is not HK(EiE')
very "big", and consequently H(E) is not very "big" either, in a manner to be made precise below. In the final section, we examine the analogue of compact holomorphic mappings for the space of k-continuously (real) differentiable mappings from E to F, Ck(EiF).
It turns out that
the differentiable version of the above proposition is false in general, and that the most useful definition of compact differentiable mapping is formed by using part (c) in that proposition. Finally, we calculate Ck(E) E F, and obtain a result similar to the above theorem.
215
§2 Let X be a compact Hausdorff space. Following [7,8J, we say that X is dispersed if it satisfies one of the following equivalent conditions: (a). Every closed subset (b) •
(nE)EE', using the same argument as in [I), so that the result holds. Q.E.D. We remark that the above proof shows that dense in ets(nE;E') for every
J... s (n E
E' is
Arguing again by induction,
the following is straightforward. Corollary. If E space, then
C(X), with X a dispersed compact Hausdorff the closed span of the collection pn, fEE'.
Taking X to be the one-point compactification of a countably infinite discrete set, we see that and hence [2], has the approximation property for every n. Furthermore, from the Corollary, we see that is separable for every n, so
216
that
(H(C
,T) is separable; we do not know if (H(C ,T) has a basis. o) o) We are grateful to Richard Haydon for giving us a different proof of It clearly suffices to show that
this result, which we outline here.
has the approximation property; 9-
1
A
£'"
Ill£
the result for some (c
•••
9-
in fact, we show that Assuming
The result is trivial for n = 1.
i '
n, we have
c)'
n+l times the last space being the space of continuous linear mappings of Since
(c
•••
1
application of Theorem 9, Corollary
c ) ' is separable an
n t.Lme s
[5]
of
and the fact that a linear
operator is weakly compact if and only if its adjoint is weakly compact yields that c ; o
-
(c
•••
9- ,
c)
1
n times from which the result follows. We conclude this section with several related remarks, concerned mainly with polynomials on t(n c o)
co'
is not isomorphic to
fact that
9-
First, by the Dvoretzky-Rogers Theorem, 1
(=9-
9-00 = X(n9- ) for every n.
9- ) , in contrast to the
•••
1
1
In addition, from the fact that
1 9, does not contain an isomorphic copy of p
c
0
we obtain the following
result.
Proposition. For that by
For every
p(n c o; 9- ) =
1
¢ ((x,»
n £ Nand
1 < P < 00,
p,
-
(jJ
(nc ; 9- ) 0
p £ N, this result follows directly from the fact
PK(n c O; 9- 1 ) . for
=
In fact, if we define
(x,) £ 9"
¢
then
¢p: 9,p + 9,1
is a continuous
p J J J P P homogeneous polynomial with the property that a bounded set
is relatively compact if and only if Now, if
P £9(nc ;9,)
o
p
¢ (X)
is not a
not relatively compact, where p ¢ 0 P £ 9(n c ;9,) although pol a contradiction) •
P
XC 9-
p
is relatively compact in
polynomial, then
B
is the unit ball of
¢p
0
P(B)
p
X = P(B)
c • Hence o is not relatively compact,
is
217
As a consequence of this and (d) of the proposition in §1, we see that there is no ho1omorphic surjection of Co onto »p'
A somewhat analogous result is that by Lemma 3.6 and
Proposition 3.3 of [12J, there exists no homeomorphism with f- 1 real differentiable. Clearly,
pN
is not dispersed.
However, since Co is not
a subspace of ioo' (otherwise, by [3J in J., ), we have that Q(nC (X) 1 j"",') =
P1 would be complemented .p",,') for any K We note that there exists a
dispersed compact set X and linear mapping 1tJ :
non-compact
page 211 of [10]),
and hence
,
Q (n C (X) 1
Joo R2
2 0lp
(see, for example, is a non-compact
continuous 2-homogeneous polynomial from
loa
to
Finally, we remark that the separability of (H(C o) is a property which is not shared by many other common Banach spaces. For example, (H(
1 p)' t )
is non-separable for every p, 1:! PSoc> •
k£ ttl , P! k. For a = (an) Roo , define g (k'p p ) by P «x » = :2 a x k. Since 11 P it = 'Ii a an n n : ali follows that (;}(k i p), and hence (H ( 1 p) ,"7: ), is not separable.
T-o see this, p-ick
P
a
it
1.'1
I
A similar argument shows that for 1 S p,q !
1 for
1. Thus,
To show the continuity of the mapping xn
in E but
II 9 (xn)
- 9 (x o )1/
E.
for some E. >
m,
assume that
o. Since K =
is compact, there is a compact, convex, balanced subset L of F 9> fL o, then II j {Tg>} (x) 1 for every x E K. Thus, for
such that if
every x t K, Y e E,
Ilyll
a
1, g{x) (y) E
L
co
l xni n=O
{otherwise, there would
221
exist
Iaj (Tip) (x) (yJ\
such that
In particular, we have shown that we can find Yn
E,
(f
11
Ynll
s
(y)!
g(X)lC
1, such that
(? K(JEiF).
II g(x
1). For each
n) (y n) - g(x o) (y n) 11>
Since g(x n) (Yn) Land g(x (Y ) L, we can find subsequences n o) g(x ) (Y ).-..., zl ELand g(x o) (Yn,)->-z2(' L. Clearly, Ii Zl nj nj J so there is Cf e F' with
x
IqJ(zl) -
gJ
However,
E./2.
(Tg» (x) is continuous, by assumption, so that as
il a
j
(TP) (x
n)
-
a
j (TIj)) (x
1\-:;> o)
O.
n
- ::> x
o'
In particular,
j (Y - a (T9) (x o) (Yn.)/ n.) n.) J J J /rp(g(xn,) (yn,) - g(x o) (Yn.))/-) 0, J J J which is a contradiction. Hence,
Ia
j
X
(Tf) (x
is continuous.
Finally, we show that ajf(x) = g.(x) for j = O,l, ••• ,k. J The result is trivial for j = O. Assuming the result for t{j-1( k, we have that g. (x) I' j-1 1 J (h)l! ,-./- j Ilf(X+h) - f(x) - af(x) (h) - ... (h) --:nI : hi, J. j II I j sup [/ Tp(x+ h) - Tp(x) - (Tf) (x) (h) (x) (h)/:
a(j-H:)
a
a
Ilpll s which tends to
0 as
II 11-70,
have proved that f G CK(EiF).
by the continuity of
(If)
1) Hence we
Q.E.D.
We conclude by remarking that if Ck(E) has the approximation property, then so does
for j = O,l, ••• ,k.
We do not know
if the converse is true.
The author is grateful to Professor K. Rusek for some useful correspondence concerning this paper.
222
REFERENCES R.M. Aron and R.M. Schotten10her, Compact ho10morphic mappings on Banach spaces and the approximation property, Bull. A.M.S. Nov. 1974, Vol 80, No 6, 1245-1249J also, to appear in J. Funct. Anal. [2J S. Banach, Theorie des Operations Lineaires, Hafner Pub. Co. [3J C. Bessaga and A. pe1czynski, Some remarks on conjugate spaces containing subspaces isomorphic to the space co' Bull. Acad. Pol. Sc. VI, 4, 1958, 249-250. [4] J. Dieste1 and R. Lohman, Applications of mapping theorems to Schwartz spaces and projections, Mich. Math. J. 20, 1973, 39-44. A. Grothendieck, Sur 1es applications faib1ement compactes d'espaces du type C(K), Can. J. Math. 1953, 129-173. L. Nachbin, Topology on spaces of ho10morphic mappings, Erg. d. Math. 47, Springer-Verlag, Berlin, 1969. A. Pe1czynski, A theorem of Dunford-Pettis type for polynomial operators, Bull. Acad. Pol. Sc. XI, 6, 1963, 379-386. A. Pe1czynski and Z. Semadeni, Spaces of continuous functions III, St. Math. XVIII p 1 9 5 9 , 211-222. R. S. Phillips, On linear transformations, Trans. A.M.S., Nov. 1940, Vol 48, 516-541. H.P. Rosenthal, Quasi-complemented subspaces of Banach spaces, with an appendix on compactness of operators from to J. Funct. Anal. 4, 1969, 176-214. M.M. Vainberg, Variational methods for the study of non-linear operators, Holden-Day, San Francisco, 1964. D. Wu1bert, Approximation by Ck-Functions, in Approximation Theory, ed. G.G. Lorentz, Academic Press, 1973, 217-239. 39 Trinity College School of Mathematics Dublin 2, Ireland
Vol. 399: Functional Analysis and its Applications. Proceedings 1973. Edited by H. G. Garnir, K. R. Unni and J. H. Williamson. II, 584 pages. 1974.
Vol. 429: L. Cohn, Analytic Theory of the Harish-Chandra C-Function. Ill, 154 pages. 1974.
Vol. 400: A Crash Course on Kleinian Groups. Proceedings 1974. Edited by L. Bers and I. Kra. VII, 130 pages. 1974.
Vol. 430: Constructive and Computational Methods for Differen tial and Integral Equations. Proceedings 1974. Edited by D. L. Colton and R. P. Gilbert. VII, 476 pages.1974.
Vol. 401: M. F. Atiyah, Elliptic Operators and Compact Groups. V, 93 pages. 1974.
Vol. 431: 8eminaire Bourbaki - vol. 1973/74. Exposes 436-452. IV, 347 pages. 1975.
Vol. 402: M. Waldschmidt, Nombres Transcendants. VIII, 277 pages. 197 4.
Vol. 432: R. P. Pflug, Holomorphiegebiete, pseudokonvexe Gebiete und das Levi-Problem. VI, 210 Seiten. 1975.
Vol. 403: Combinatorial Mathematics. Proceedings 1972. Edited by D. A. Holton. VIII, 148 pages. 1974.
Vol. 433: W. G. Faris, Self-Adjoint Operators. VII, 115 pages. 1975.
Vol. 404: Theorie du Potentiel et Analyse Harmonique. Edite par J. Faraut. V, 245 pages. 1974.
Vol. 434: P. Brenner, V. Thomee, and L. B. Wahlbin, Besov Spaces and Applications to Difference Methods for Initial Value Problems. II, 154 pages. 1975.
Vol. 405: K. J. Devlin and H. Johnsbraten, The Souslin Problem. VIII, 132 pages. 1974. Vol. 406: Graphs and Combinatorics. Proceedings 1973. Edited by R. A. Sari and F. Harary. VIII, 355 pages. 1974. Vol. 407: P. Berthelot, Cohomologie Cristalline des Schemas de Caracteristique p > o. II, 604 pages. 1974. Vol. 408: J. Wermer, Potential Theory. VIII, 146 pages. 1974. Vol. 409: Fonctionsde Plusieurs Variables Complexes, Seminaire Franqois Norguet 1970-1973. XIII, 612 pages. 1974. Vol. 410: Seminaire Pierre Lelong (Analyse) Annee 197:2-1973. VI, 181 pages. 1974. Vol. 411: Hypergraph Seminar. Ohio State University, 1972. Edited by C. Berge and D. Ray-Chaudhuri. IX, 287 pages. 1974. Vol. 412: Classification of Algebraic Varieties and Compact Complex Manifolds. Proceedings 1974. Edited by H. Popp. V, 333 pages. 1974.
Vol. 435: C. F. Dunk I and D. E. Ramirez, Representations of Commutative Semitopological Semigroups. VI, 181 pages. 1975. Vol. 436: L.Auslanderand R. Tolimieri,Abelian Harmonic Analysis, Theta Functions and Function Algebras on a Nilmanifold. V, 99 pages. 1975. Vol. 437: D. W. Masser, Elliptic Functions and Transcendence. XIV, 143 pages. 1975. Vol. 438: Geometric Topology. Proceedings 1974. Edited by L. C. Glaser and T. B. Rushing. X, 459 pages. 1975. Vol. 439: K. Ueno, Classification Theory of Algebraic Varieties and Compact Complex Spaces. XIX, 278 pages. 197