Seminaire Pierre Lelong Analyse Annee 1973/74/ Pierre Lelong Seminar Analyse Year 1973-1974 354007189X, 9783540071891

Citation preview

Lecture Notes 1n Mathematics Vols. 1·246 are also available. For further information, please contact your book-seller or Springer-Verlag. Vol. 247: Lectures on Operator Algebras. Tulane University Ring and Operator Theory Year, 1970-1971. Volume II. XI, 786 pages. 1972. DM44,Vol. 248: Lectures on the Applications of Sheaves to Ring Theory. Tulane University Ring and Operator Theory Year, 1970-1971. Vol· ume Ill. VIII, 315 pages. 1971. DM 29,Vol. 249: Symposium on Algebraic Topology. Edited by P. J. Hilton. VII, 111 pages. 1971. OM 18,-

Vol. 277: Seminaire Banach. Edite par C. Houzel. VII, 229 pages. 1972. DM 22 1Vol. 278: H. Jacquet, Automorphic Forms on GL(2) Part II. XIII, 142 pages. 1972. OM 18,Vol. 279: R. Bolt, S. Gitler and I. M. James, Lectures on Algebraic and Differential Topology. V, 174 pages. 1972. DM 20,Vol. 280: Conference on the Theory of Ordinary and Partial Differential Equations. Edited by W. N. Everitt and B. D. Sleeman. XV, 367 pages. 1972. OM 29,-

Vol. 251: The Theory of Arithmetic Functions. Edited by A. A. Gioia and D. L. Goldsmith VI, 287 pages. 1972. DM 27,-

Vol. 281: Coherence'" Categories. Edited by S. Mac Lane. VII. 235 pages. 1972. DM 22,Vol. 282: W. Klingenberg und P. Flaschel, Riemannsche Hilbertman· nigfaltigkeiten. Periodische Geodatische. VII, 211 Seiten. 1972. DM 22,-

Vol. 252: D. A. Stone, Stratified Polyhedra. IX, 193 pages. 1972. DM 20,-

Vol. 283: L. lllusie, Complexe Cotangent et Deformations II. VII, 304 pages. 1972. OM 27,-

Vol. 253: V. Komkov,Optimal ControiTheoryfortheDamping ofVibra· lions of Simple Elastic Systems. 5 fig. V, 240 pages. 1g72. OM 22,-

Vol. 284: P. A. Meyer, Martingales and Stochastic Integrals I. VI, 89 pages. 1972. DM 18,-

Vol. 254: C. U. Jensen, Les Foncteurs Derives de lim proj. et leurs Applications en Theorie des Modules. V, 103 paget"l972. OM 18,Vol. 255: Conference in Mathematical Logic- London '70. Edited by W. Hodges. VIII, 351 pages.1972. DM 2g,-

Vol. 285: P. de Ia Harpe, Classical Banach-Lie Algebras and BanachLie Groups of Operators in Hilbert Space. Ill, 160 pages. 1972. DM 18,-

Vol. 250: B. Jonsson, Topics in Universal Algebra. VI, 220 pages. 1972. OM 22,-

Vol. 256: C. A. Berenstein and M. A. Dostal, Analytically Uniform Spaces and Their Applications to Convolution Equations. VII, 130 pages. 1972. OM 18,-

Vol. 286: S. Murakami, On Automorphisms of Siegel Domains. V, 95 pages. 1972. DM 18,Vol. 287: Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations. Edited by H. Komatsu. VII, 529 pages. 1973. DM 40,-

Vol. 257: R. B. Holmes, A Course on Optimization and Best Ap· proximation. VIII, 233 pages. 1972. OM 22,-

Vol. 288: Groupes de Monodromie en Geometrie Algebrique. (SGA 7 1). Dirige par A. Grothendieck. IX, 523 pages. 1972. DM 55,-

Vol. 258: Seminaire de Probabilites VI. Edited by P. A. Meyer. VI, 253 pages. 1972. OM 24,-

Vol. 289: B. Fuglede, Finely Harmonic Functions. Ill, 188. 1972. DM 20,-

Vol. 259: N. Moulis, Structures de Fredholm sur les Variates Hilber· tiennes. V, 123 pages. 1972. DM 18,-

Vol. 290: D. B. Zagier, Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to Orbit Spaces. IX, 130 pages. 1972. DM 18,-

Vol. 260: R. Godement and H. Jacquet, Zeta Functions of Simple Algebras. IX, 188 pages. 1972. DM 20,Vol. 261: A. Guichardet, Symmetric Hilbert Spaces and Related Topics. V, 197 pages. 1972. DM 20,Vol. 262: H. G. Zimmer, Computational Problems, Methods, and Results in Algebraic Number Theory. V, 103 pages. 1972. DM 18,Vol. 263: T. Parthasarathy, Selection Theorems andTheir Applications.VII,101 pages.1972.DM18,Vol. 264: W. Messing, The Crystals Associated to Barsotti-Tate Groups: With Applications to Abelian Schemes. Ill, 190 pages. 1972. DM 20,Vol. 265: N. Saavedra Rivano, Categories Tannakiennef. II, 418 pages. 1972. DM 2g,Vol. 266: Conference on Harmonic Analysis. Edit~d by D. Gulick and R. L. Lipsman. VI, 323 pages. 1972. DM 27,Vol. 267: Numerische Li:isung nichtlinearer partieller Differential· und lntegrodifferentialgleichungen. Herausgegeben von R. An· sorge und W. Tornig. VI, 339 Seiten. 1g72. DM 2g,Vol. 268: C. G. Simader, On Dirichlet's Boundary Value Problem. IV, 238 pages. 1972. OM 22,Vol. 269: Theorie des Topos et Cohomologie Etale des Schemas. (SGA 4). Dirige par M. Arlin, A. Grothendieck et J. L. Verdier. XIX, 525 pages. 1972. OM 55,Vol. 270: Theorie des Topos et Cohomologie Etale des Schemas. Tome 2. (SGA 4). Dirige par M. Arlin, A. Grothendieck et J. L. Verdier. VI, 418 pages. 1972. DM 55,Vol. 271: J.P. May, The Geometry of Iterated Loop Spaces. IX, 175 pages. 1972. DM 20,Vol. 272: K. R. Parthasarathy and K. Schmid,,-Positive Definite Ker· nels. Contmuous Tensor Products, and Central Limit Theorems of Probability Theory. VI, 107 pages.1972. DM 18,Vol. 273: U. Seip, Kompakt erzeugte Vektorraume und Analysis. IX, 119 Seiten. 1972. DM 18,Vol. 274: Toposes, Algebraic Geometry and Logic. Edited by. F. W. Lawvere. VI, 189 pages. 1972. DM 20,Vol. 275: Seminaire Pierre Lelong (Analyse) An nee 1970-1971. VI, 181 pages. 1972. DM 20,Vol. 276: A. Borel, Representations de Groupes Localement Compacts. V, 98 pages. 1972. DM 18,-

Vol. 291: P. Orlik, Seifert Manifolds. VIII, 155 pages. 1972. OM 18,Vol. 292: W. D. Wallis, A. P. Street and J. S. Wallis, Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices. V, 508 pages. 1972. DM 55,Vol. 293: R. A. DeVore, The Approximation of Continuous Functions by Positive Linear Operators. VIII, 289 pages. 1972. DM 27,Vol. 294: Stability of Stochastic Dynamical Systems. Edited by R. F. Curtain. IX, 332 pages. 1972. DM 29,Vol. 295: C. Dellacherie, Ensembles Analytiques Capacites. Mesures de Hausdorff. XII, 123 pages. 1972. DM 18,Vol. 296: Probability and Information Theory II. Ed1ted by M. Behara, K. Krickeberg and J. Wolfowitz. V, 223 pages. 1973. DM 22,Vol. 297: J. Garnett, Analytic Capacity and Measure. IV, 138 pages. 1972. DM 18,Vol. 298: Proceedings of the Second Conference on Compac!Transformation Groups. Part 1. XIII, 453 pages. 1972. DM 35,Vol. 299: Proceedings of the Second Conference on Compac!Transformation Groups. Part 2. XIV, 327 pages. 1972. OM 29,Vol. 300: P. Eymard, Moyennes lnvariantes et Representations Unitaires. II, 113 pages. 19-72. DM 18,Vol. 301: F. Pittnauer, Vorlesungen uber asymptotische Reihen. VI, 186 Seiten. 1972. DM 18,Vol. 302: M. Demazure, Lectures on p-Divisible Groups. V, 98 pages. 1972. OM 18,Vol. 303: Graph Theory and Applications. Edited by Y. Alavi, D. R. Lick and A. T. White. IX, 329 pages. 1972. DM 26,Vol. 304: A. K. Bousfield and D. M. Kan, Homotopy Limits, Comple· lions and Localizations. V, 348 pages. 1972. OM 29,Vol. 305: Theorie des Topos et Cohomologie Etale des Schemas. Tome 3. (SGA 4). Dirige par M. Arlin, A. Grothendieck et J. L. Verdier. VI, 640 pages. 1973. DM 55,Vol. 306: H. Luckhardt, Extension;ll Godel Functional Interpretation. VI, 161 pages. 1973. DM 20,Vol. 307: J. L. Bretagnolle, S. D. Chatterji et P.-A. Meyer, Ecole d'ete de Probabilites: Processus Stochastiques. VI, 198 pages. 1973. DM 22,Vol. 308: D. Knutson, ,\-Rings and the Representation Theory of the Symmetric Group. IV, 203 pages. 1973. DM 22,-

continuation on page 185

Lecture Notes in ,Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

474 Serninaire Pierre Lelong (Analyse) Annee 1973/74

Edite par Pierre Lelong

Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1975

Editor Prof. Pierre Lelong Universite Paris VI Mathematiques 11, Quai Saint-Bernard Paris France

se

AMS Subject Classifications (1970): 31 CXX, 32-XX, 46AXX, 46 BXX, 46EXX, 46 FXX, 46GXX, 46HXX, 53BXX ISBN 3-540-07189-X Springer-Verlag Berlin' Heidelberg· New York ISBN 0-387-07189-X Springer-Verlag New York' Heidelberg' Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher. © by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1975. Library of Congress Catalog Card Number 74-644531. Printed in Germany. Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.

A V ANT - PRO P 0 S

Le aUK Lecture-Notes:

1973-1974 fait suite aUK precedents publies

l!

(1968),

!!!

(1969),

(1970), 275 (1971),

332 (1972), 410 (1973). Le sujet du Seminaire est l'analyse complexe et plusieurs exposes concernent son extension

a

la

dimension infinie. Nous remercions la Librairie SPRINGER qui edite Ie Seminaire dans les Lecture-Notes et contribue ainsi efficacement

a

sa

diffusion.

Pierre L E LON G

TAB L E

DES

MAT I

RES

[ 1 J LELONG (P.). - Topologies semi-vectorielles et topologies pseudo-convexes sur un espace vectoriel complexe ••••. [ 2]

KRtE (P.). -

Solutions faibles d' equations aux derivees

fonctionnelles II [ 3 ] TURPIN (Ph , ) . g a Lb e s

•..................................

16

Espaces et o p e r a t e u r s exponentiellement

•••.••...•..••..••..••..••.••.•••••••.••••.••• 48

[ 4 J NOVERRAZ (Ph.). - Pseudo-convexite et base de Schauder dans les e v l [ 5 J

LASCAR (B.). -

v

c •...•••••.•••••••..•••.•••••••••.••••• 63

Op e r a t e u r s pseudo-differentiels d 'une infi-

nite de variables [ 6 J

KAJIWARA (J.). -

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . 83

Op e r a t e u r s d" dans les espaces de Hilbert

avec croissance polynomiale [ 7]

•••.••.••.••••••••••••••• 91

BOLAND (Ph.-J.). - Holomorphic functions on$FN{Dual of 109

Frechet Nuclear) spaces

[ 8 J

DINEEN (S.). -

Equivalent definitions of holomorphic func114

tions in infinite dimensions [ 9]

BONNIN (O.). - Representation holomorphe des distributions temperees • Transformation de Fourier-Borel • Operateurs de derivations partielles de type Hilbert-Schmidt en dimension infinie (d'apres Thomas A.W.DWYER,III)

•• 123

VI

[ 10 I

KANTOR (J.-M.). - Le complexe de Dolbeault-Grothendieck 142

sur les espaces analytiques [ I I

I

STEHLE (J.-L.). - Fonctions plurisousharmoniques et convexitl holomorphe de certains fibrls analytiques

(12]

..•••.•. 155

MAZET (P.). - Rectificatif concernant l'exposl :"Un theoreme d'image directe propre". publie dans Ie Seminaire P.LELONG,1972/73.N° 410

180

Seminaire P.LELONG (Analyse) 14e annee, 1973/74.

4 Decembre 1973

TOPOLOGIES SEMI-VECTORIELLES ET TOPOLOGIES PSEUDO-CONVEXES SUR UN ESPACE VECTORIEL COMPLEXE par Pierre

1. -

Introduction. Les topologies localement convexes sur un espace

a

vectoriel E sont adaptees

l'etude des formes lineaires f eE* et

a

celIe

de la dualite. Quand on considere des classesPplus etendues de fonctions definies sur E (fonctions polynomes, fonctions analytiques ..• ) on est conduit

a

introduire sur E des topologies plus fines,

invariantes par

les translations. Par exemple on demandera que Ie filtre ges de l'origine ait une base B = tVo( ,olGA}, et ou la jauge po( de Pg«x) = sup.

J

tiennent

a P.

l'f

o

des voisina-

Vo< =(xEE ;

plus convexe ; elle est definie par .(x)\

• < oJ

, ou les f_1

•

"\, J

Rappelons que dans

ne sont plus lineaires, mais appar-

(4b] nous avons considere Ie cas ou

les V« sont pseudo-convexes et leurs jauges

sont plurisousharmoni-

ques sur un espace complexe E; de telles topologies peuvent etre appelees pseudo-convexes (ou plurisousharmoniques). Les des conditions etudiees par C.-O.KISELMAN

(3b] pour que

doivent verifier o

soit un fil-

tre de voisinage de 0, et d'autres plus precises pour que la topologie invariante par translation qu'on en deduit soit vectorielle. Les topologies pseudo-convexes constituent une generalisation des topologies 10calement convexes,

toute semi-norme bornee sur un voisinage de l'origi-

ne etant une fonction plurisousharmonique continue. On se limitera ici

a

l'etude de la classe suivante - notee

de topologies sur un espace vectoriel E.

e -

2

Dans cette situation on est conduit soit a ne plus exiger que 1a topo1ogie T definie a partir des

soit vectorie11e,

c'est-a-dire ren-

de continues toutes 1es operations structurales (addition et mu1tip1ication)

sur E,

soit a chercher des conditions sur 1es

pour que 1es

definissent une topologie vectorie11e. On resumera ici des resu1tats recents so it a parattre [4d] mi me o g r a p h i e s

[3a]

et

soit

[3b]. Leur principa1e motivation est l'extension de

l'ana1yse comp1exe aux espaces vectorie1s topo1ogiques E . On dira qu'une topo1ogie T sur E est semi-vectorie11e si e11e induit sur chague sousespace de dimension finie une topo1ogie

Soit }\(E) l'ensemb1e

des sous-espaces de dimension finie de E , An(E) ceux qui sont de dimension n : A(E) =GlAn(E). On d e s i g n e r a par T

M

la topo1ogie vectorielle se-

paree sur M. Si l'on veut que l'ana1yse comp1exe en dimension infinie rejoigne par restriction aux sous-espaces M 6.A(E)

l'ana1yse classique, une

certaine necessite apparatt de ne considerer sur E que des topologies semi-vectorielles invariantes par 1es translations. Un element maximal de 1a c1asse des topologies semi-vectorie11es est 1a topo1ogie finiment ouverte T

f

definie comme suit: weE est T

pour tout M 6A(E), sur M pour T

M

ouvert si et seu1ement si

f

l' intersection W ('1M est un ouvert (eventuel1ement vide)

; la topo1ogie T

f

est 1a limite inductive stricte (en ge-

neral non d e n o mb r ab La ) des topologies (M,

T

M)

, pour McA(E). En effet, soit

{eAr une base de E, A c L. A toute partie finie He L correspond M He.ll(E) engendre par 1es eA

>. e H

stricte des M quand H' H

l'espace (E, T

f)

est 1a limite inductive

L-H parcourt 1e fi1tre sur L des complementai-

res des parties finies. La topo1ogie T

f

sur E est separee car el1e est

plus fine que la topo1ogie produit des sous-espaces IT Ke>.. qui est separee.

Si K = R ou

et (E, T

f)

,

et si Lest denombrab1e, T

est loca1ement convexe

est limite inductive stricte d'une suite d'espaces loca1ement

convexes. Dans

[2] S.KAKUTANI et V.KLEE ont etab1i 1a continuite de la

multiplication sur (E, T (x,y)

A

f

f)

si K = R,

ainsi que ce11e de l'addition

si x ou y demeure dans un sous-espace de dimension finie.

3 Mais l'addition n'est pas continue sans restriction si card. L n'est pas pas denombrable

; T

est done une topologie semi-vectorielle separee qui

f

est non vectorielle et elle est la plus fine des topologies semi-vee torielles. La

topologie T

intervient d'une maniere naturelle. Donnons quel-

f

ques exemples ou Ie corps de base K de E est R ou

1°/ Le dual algebrique E· de E est Ie dual topologique de

2°/ Les formes polynomiales E tinues sur (E, T 3°/

si

sont les formes

f). les .f o n c t Lo n s E

K

analytiques au sens de GATEAUX,

c'est-a-dire analytiques sur les droites affines, les sous-espaces de dimension finie tions analytiques sur (E, T 4°/ Soit P(G) semble Gc.E,

polynomiales con-

sont analytiques sur

ce sont done exactement les fonc-

f).

Ie cone des fonctions plurisousharmoniques sur un en-

o ii G est ouvert pour des topologies T)

tion croissante de la topologie,

et l'on a p)(G)c.P

et T

P(G) est fonc-

2,

pour T) cT

2(G)

2.

Dans

ces conditions, on appellera fonction plurisousharmonique sur E (sans preciser la topologie) dire toute fonction

toute fonction de la classe maximale, c'est-a-

definie sur un

continue superieurement pour T ment pour T

M

f

ensemble Tf-ouvert G et semi-

[c'est-a-dire semi-continue superieure-

sur tout M IOA(E)] et qui v e r i f Le l'inegalite du disque

(IT

1

0e

Jo

(1)

sur les disques

x,y

x + Dy

=

[z

EO

Y

Eo E

-

to}

eG. On rappelle qu'un disque dans E est l'image

lineaire du disque unite D de =

x .. E,

E,

z

=

et s'ecrit

x+uy,

pour

On commencera ici par donner des resultats sur une classe Q de topologies qui rendent continues la multiplication [4d], puis on donnera

4 pour les topologies pseudo-convexes des conditions obtenues par C.-O.KiSELMAN

[3b]

portant sur les

pour que la topologie definie

plus haut soit vectorielle et qu'elle rende continues les

2.

-

.

Topologies rend ant continues la multiplication et invariantes

par translation.

On partira de la definition suivante (cf.

DEFINITION ).

e

dite de classe

[4d])

- Une topologie T sur un espace vectoriel E sera

si elle est invariante par les translations et si elle

rend continue la multiplication (u,x)

application K x E ---+E, o il

ux,

K est Ie corps de base de E. Proprietes de la classe Q.

De la definition d e c ou l e n t

(d. [4d])

al - Une topologie de classe e sur E induit sur les sous-espaces de E une topologie de classe 9.

bl -

Si T)

et T

2

sont de classe Q,

de meme T

sup(T!,T ) est de classe 2

3

9.

cl -

Sur les sous-espaces M de dimension

sont vectorielles ;

les topologies de classe 9

elles induisent soit la topologie separee T

M,

soit

celIe dans laquelle M est Ie seul ouvert non vide.

dl -

Si M est un sous-espace de (E, T) ou Test une topologie

=

logie quotient sur ElM

E)

est une topologie

e,

la topo-

B.

Dans l'etude des fonctions analytiques et des fonctions plurisousharmoniques la continuite des points du disque riables x, u,

x,Y

(x eE, u e (J:) joue un role important. On appellera (K)

propriete suivante introduite par C.-O.KISELMAN dans (K) -

par rapport aux va-

Pour tout y 6E, (u,

l'application Kx E --.+-E definie par

x) ----,>f

y

(u, x ) = x + uy

est continue. On a alors

(cf.

[3a]

[4d])

la

5 I

,

THEOREME I. -

Pour qu'une topologie T sur E soit une topologie

il faut et il suffit qu'elle verifie la propriete

3. - Topologies

e

duisent sur tout M

I

,

vectorielle ,

On peut se de-

plus haut les topologies Q in-

une topologie vectorielle. La r e p o n s e est d o n n e e

par l'enonce donne dans THEOREME 2. -

(K).

et topologies semi-vectorielles.

mander si, a la suite de la propriete a)

e,

[4dJ.

Pour qu'une topologie T de classe 9 sur E soit semi-

0

il faut et il suffit que l'adherence

de l'origine soit

un sous-espace vectoriel. En particulier toutes les topologies Q qui sont separees sont semivectorielles. De plus on a I

,

THEOREME 3. - Les topologies Q qui sont semi-vectorielles rendent continues l'addition (x,y)

+

y quand x ou y demeure dans un sous-

espace de dimension finie. II en resulte que T

est plus fine que toute topologie Q qui est

f

semi-vectorielle (en particulier que toute topologie Les resultats qui precedent sont etablis dans seulement Ie corps de base K value, non discret, pose localement compact (en particulier K tat suivant deja etabli pour K T

f

est une topologie Q. I

,

THEOREME 4. -

=

=

R

et

& separee). [4d] en supposant

complet. K

=

Si K est supon a Ie resul-

R dans [2] par S.KAKUTANI et V.KLEE

:

II en decoule

Si Ie corps de base K est localement compact,

pologie finiment ouverte T

f

la to-

est l'element maximal unique de la classe Q.

Le probleme est ouvert de savoir si, en l'absence de la compacite locale du corps de base K (suppose value, complet, non discret), pologie T

f

la to-

rend la multiplication continue, c'est-a-dire verifie l'enonce

6

precedent: nous conjecturons que la reponse est negative. Signalons encore Le r e s u Lt a t

suivant

pose K localement compact. Soit

et

[4d)

est continue.

plication Eo( ----i-E classe g,

qui sup-

pour

ou A est muni d'un preordre

, on suppose que Eo( est un sous-espace de E


'lIxIl2).

Dans 1e chapitre III de

[15], nous avons etudie 1a transformation de

Fourier pour 1es promesures tats BOUS conduisent

a

1a :

lorsque g decrit

2

Ces resu1-

28 (5.12)

Proposition et definition de la transformation SoitA)O fixe.

Pour toute fonction v polynomiale cylindrique g

sur X,

et pour tout z = x + iy dans XC on pose

(5. 13)

(8g) (z)

Alors

ex p

e definit

8'.

(t

z2)

( g ( t ) e - i ( t , x+ i y ) d \) (t) )teX

par prolongement continu une isometrie 2

l'espace de Segal

LY(A) (X)

de

sur l'espace des fonctions holomorphes du

type Fock F1/A(X C). au second membre de

(5.13)

designe un accouplement

entre fonctions v-cylindriques et v-promesures. L'application

a

designe Ie prolongement

XC de la fonction polynomiale x -+lIxU

2

defi-

nie sur X. (5.14) Proposition. SoitA?O fixe. 2

Pour tout z

c

ou w

i X ( W) + Y ( W) g ( w) e -

zZ) y

y(w)

dans XC et tout g dans

'1

L"» (X) (X ),

(5.15) (gg)(z) =

x + iy

d P>..(W)

designent les classes de fonctions L

2

pres-

que surement lineaires canoniquement associees aux elements x et y de X. Demonstration. --------Notons

(Lg) (z)

le d e u x i e me membre de

dans Xc. L'application g

--r

(Lg)(z)

(5.15 )

et soit z fixe

est une forme lineaire definie et

2 c continue sur L» ().) (X ). Ceci resul te de I' Ln e g a Li, te de Cauchy-Schwarz et du fait que exp(y(w» voir (4.8). Les formes

est une fonction de

sommable sur1t:

Li n S a i r e s continues g f---+ (Lg) (z)

et g

coincident sur le sous-espace dense fp.rme par les fonctions polynomiales cylindriques sur X ;

elles sont donc egales.

(z)

29 (5.15}.Relation entre get les transformations A

n

Supposons que dim X = n et que h - g = 1T 2

n

n/4

h(q) exp

W 2

A=

de V.Bargmann

[13].

1/2. Alors I' application

2 n realise une I s ome t r La J de L (R )

sur

2

}. On a alors pour tout h de L (R n ) et tout z de en

(9'(Jh}) (izV2) = Done (8'(Jh»

«»!»

f

h(q} exp(-±(z2+ q2)+Vi"(t,Z»dq

(izt'2) = (A h) (z). La transformation g ---'; (9'g) (izf2) est apn

pelee la transformation de Bargmann renormalisee. Comme application on peut montrer une propriete du type Paley et la 2

surjectivite dans L (X) de certains operateurs differentiels.

(5.16) Proposition (du type theoreme de Paley), Soit el un vecteur norme de X. On munit X de la bonne famille F

t

les sous-espaces fermes de codimension finie contenus dans l'orthogonal Y du sous-espace engendre par er' d' o il X = Re I ED Y

z = x+iy

2 geL (X). Alors pour que la t-prodistribution g lJ admette pour supporteur Ie demi-espace ou xI =(x,e) il faut et il suffie qu'il existe C)O tel que pour tout YI

0,

0 et tout

reel x. (5. 17)

Demonstration. a/ On considcre d'abord Ie cas ou dim X = 1, g etant une fonction de L; Si g f t )

a

va]eurs dans l'espace de Hilbert complexe separable K.

est nulle pour t

on montre que

30

• (5.15), puis en utilisant l'inegalite de Cauchy-Schwarz,

en partant de

et une integration par parties. Reciproquement, soit G dans g

-1

= 9'

verifiant • . Pour montrer que OQ

G est nulle pour t "0, on prend

epe,JJ(IR) nulle pour t " -

00,

on ecrit (g,

qn

= fg

2(X),

v

Wcy1(X) et tel que A(C"pp) = (P(v=r

-a

de domaine

A"J

pour tout O

Vcj)eF'

II p (z) ep (z )1/

• de (A) est I A( CPr» = (g I Cf)

Par consequent, vu Hahn-Banach, l'adjoint (A ) (f

On termine en utilisant

(4.18).

c II cj> 1/ • surjectif

31

V 1. f..!...a sse s Wp , s ( 0 ,

i)

ten s e u r s dis t rib uti 0 n s con t r a v a ria n t s .

a

Soit 0 un ouvert de

frontiere orientable et

differentiable etant definie par des atlas finis. ou nul et

I ,p

O. On a pour tout entier

.f compris entre 0 et s

f.II P

dP

L

On peut donc trouver j

Donc pour tout i

--?-- 0

j(..e)

s u p e r Le u r

a

tel que pour tout i ; , j ( l )

j (0), •.. ,

d/ La premiere injection de la propri t finie.

si

j (s),

(6.7)

on a

a une image dense.

En effet,

pr c dente permet de se ramener au cas de la dimension

La deuxieme injection de

(6.7) est aussi

a

image dense.

34 I

(6.8) Definiti.on de Wp,-s(O)

al

On note Wp,s(O) o

des injections continues

et de Wp,s(O)

---

l 'adherence

a

IIp + IIp'=!.

0

cy

1(0) dans Wp,s(O). D'ou

image dense

(6.9) bl On definit wP

,

comme Ie dual de Wp,s(O). o

tion de ces injections on obtient L P' (0)

(6. 10)

:

-+ WP', -s (0)

d'ou une identification de WP ' '

S

Par transposi-

(0)

a

-+i)cB ' s

cy1

(0)

un espace de

sur O. (6.1 I) Cas des protenseurs distributions contravariants.

Si..test un entier

Wp,s(O,.£)

fois contravariants du type gp avec

j

=

est l 'espace des protenseurs k

(Djg)p

dans LP(O, ..l+j) pour

0, .•• , s.

On d e f Ln i.c naturel1ement

i3CB scy 1 (0,.1.)

et par transposition des injec-

tions -+Wp,s(O,..f.)

(6.12)

Le dual wp'·-S(o,.l)

de Wp,s(O •

.l')

stidentifie

a

seurs distributions. On definit de meme Wp,l o

un espace de protenet

wP I o

,-S

(O.-t> •

(6.13) Proposition.

Soient

J.

et s deux entiers te1s que 0 , j , s

. A10rs 1 I app1ica-

a pour transposee WP'.-s+j(O.j) -+wP',-s(O)

En effet, vu

(4.13),

>

(_l)i div. T J pour tout g deJJtB 1(0) et tout T6W P'.-s+j(O,j), cy T

35 on a (c{'T,g)

commeJ3(Q 1(0) est dense dans Wp,s(O), on a cy

=

01.,' T (6.14)

Proposition. Soit s un entier positif et 14P 1(x) J

de jauges sur E filtrante [c'est­a­dire telle que

j eJ

pour tout (i,j) il existe k et M verifiant sup t'\)i' l>j}4 M

de f i n l t

une

topologie vectorielle sur E [en d'autres termes, l'ensemble des {x eE

I

j eJ,

s s o,

constitue une base de voisinages de 0 pour

une topologie vectorielle]si et seulement si on a 'VjeJ, 3i eJ, :Ie, V(x,y),

i'j(x+y)

+ l>i(Y)]

Toute topologie vectorielle peut etre definie de cette maniere ; prendre les jauges »V(x) = inf {t> 0

I x e tV}

, V voisinage de 0 equilibre.

2/ Espaces et operateurs exponentiellemment galbes. 2.1. Soit un operateur lineaire u : E

E et F

e.v.t. On dit que

u est exponentiellement galbe quand, pour tout voisinage V de 0 dans F, il existe un voisinage U de 0 dans E verifiant u(U) c. V n')o

ou, pour tout sous­ensemble X d'un espace vectoriel et pour toute suite de scalaires

on pose (comme en

L"'

n

a

n

X

[24J) N =J2: anx n o

"t

I

Vn,x

n

eX, N = 0, I, .•. }

On dit qu'un e.v.t. E est exponentiellement galbe quand son applica­ tion identique est exponentiellement galbee.

50 Si les topologies de E et F sont respectivement definies par

2.2.

des familIes filtrantes de jauges (r.)

et • u : E i '" I J j ...J est exponentiellement galbe sit et seulement sit pour tout j aJ. il existe 1

ieI

et C;;> 0 tels que pour toute famille finie (x

y.

J

(I

u( x

»

t:. C SUp2 n

n'

o'

•••• x n ••• ) cE • on ait

nll.(x) 1 n

2.3. Pour qu'un e.v.t. E soit exponentiellement galbe. il faut et iI suffit qu'il admette une base

de voisinages de 0 verifiant ,V+Uc V

La condition est suffisante car l'inclusion ilV + Uc V entra'Lne ..N+\

fi

V + £

N

+ £ U + U c V pour tout N. d l o ii [ '

U + '"

\ • 1• le ' o < E < 2' xi s t a U

o

de 0 dans E tel que U::>U

L:: I 2 -n

U c

o

L n En I k I

t Ilk

un e n t r, e r k te 1 que

U

+ ...

o

+ U

(k

o

n+r/k

W u

= L'

2-

U • U voisinage de O.

Si

. .i n a g e e q u i.i Li.b ec un v o i.s 1 re

: on a

termes)

?

et cies Xn_E,

e

O verifiant

&n

0 quand n -?-

XU

00.

Si alors A est exponentiellement galbee at separee, A est reduite au plan complexe Preuve : on applique Ie corollaire vantes z

-

z)

-1

(LIONVILLE)

aux fonctions resol-

, x eA, z

Je ne sais pas si cette proposition reste vraie sans supposar A exponentiellement galbee. Le resultat suivant invite plutot

a

penser que

non. 11 existe un e.v.t.

4.5. constante

a

separe E et une fonction f non

valeurs daus E analytique sur la sphere de Riemann.

On trouvera une demonstration complete en E est l'espace

[20]

des fractions rationnelles d'une indeterminee t

=

convenablement topologise, et fest la fonction f(z)

(t-z)-l.

On ales developpements (t-z o -z) (t-z)-I

-I

=

=

(t-z

o)

-I

N + ••• + z (t-z

-z-I -

z-N tN-I

-N-I N+I -N-I -I + z (t-z (t-z -z) o) o) o + z-N tN(t-z)-1

II suffit de munir E d'une topologie vectorielle separee {pour laquelle les restes tendent vers 0 quand N et

, respectivement,

Izi

Pour cela on considere les ensembles ,

P et Q designant des polynomes, polynomes, n un entier.

-

ClO

(n

norme sur l'espace vectoriel des

EM\{O} • ensemble de fonctions de t elR, est muni

58 de la topologie (localement

de la convergence en mesure sur

tout compact de R (pour la mesure de Lebesgue), et EM est son compactifie d'Alexandroff, avec 0 comme point

a

l'infini.

Les restes des developpements ci-dessus tendent vers 0 dans E • I On prend pour

la topologie

vectorielle

sur t(t) la plus fine in-

duisant les topologies des EM' On d e mon t r e que! est s e p a r e e , Pour cela, on applique les resultats

[24,

de

chap.

III] ou

[17]

[20,

et

chap.

I] :

E est "limite inductive"

de compacts EM + . , . + EM (quotients pat une relation d'equivalence fermee des produits E ... )( EM)' M)(

5/ Series vectorielles. 5.1.

Soit E un e v v

Disons que (x avec En

=

Itnl

t; ,

complet.

E est sommable quand toute serie

n)

0 ou I, est convergente.

Disons que (x sup

v

(ClC>,

n)

est

quand toute s e r i e

2:

00

o

t

n

x

n'

avec

est c o nv e r g e n t e .

II est important de savoir dans quels espaces toute suite sommable eat

(c'est Ie cas pour les espaces localement convexes). 5.2. Par exemple, comroe Ie suggere M.LELONG, parce que G.COEURi «(3])

considere dans des e.l.c. des "polydisques", convexes compacts de la forme

(1:'" t x 'l'Qnn

I

Vn,

It

n

I tl} lli

,

(x) n

sommable. Dans u n e v v v t , quelconque,

il faudrait supposer (x ) n

5.3. Autre argument.

tP

sill est une tribu, une mesurep.:lI--+-E est

une application

On dit que

est bornee si

r(CO

=

( A) \ A6 £t}

est borne dans E. Si toute suite sommable de E (suppose complet) est metrisable (ou, plus generalement, te des an'> 0 tels que

L'

a

n

B

et si E

si, pour tout borne B de E, il exis-

soit encore borne), ou a une bonne theorie

59

d'integration par rapport

a

L'integrale par rapport

toute mesure bornee p

ar

Precisons.

d'une fonction (numerique) simple

(tLmesurable, prenant un nombre fini de valeurs) etant trivialement de-

=

finie, un ensemble Rea.., etant r-negligeable quand P- q;n.

H(U) ou U est un ouvert equilibre de

On dira qu'un espace de Frechet separable possede 18 propriete d'approximation de Banach

(PAB) s'il existe une suite d'operateurs de rang fini qui converge en tout point

vers l'identite. Pelczinsky a montre qu'un espace de Frechet separable possMe cette propriete si et seulement si i l est isomorphe

a base.

sous-espace direct d' un espace de Frechet

Exemples de tels espaces :

cg m(U), ouvert

a un

U de

K compact de

0

m

+ 00

,

espace des fonctions

"R n muni des semi-normes p K(f) n,

U

m fois differentiables dans un = sup I a(n)f(x) 1 ' xlE K

0

n

m,

67 fl) LP , 1

appartiennent

a

des fonctions

'j m,

+00 , espace des fonctions indefiniment derivables dont les derivees

P

muni des semi-normes

COO 0

p (f) =

est l'espace

n

bornee ainsi que toutes ses derivees m

+ 00

,

espace des fonctions

m fois derivables telles que

lim (1+lxI 2 )k dnf(x)=0 pourtout kEIN et n x m etmunidessemi-normes xoo (1 +lxI 2 )k I dnf(x)/, k f IN et n m• •u.K,n (f) = sup xER n Les exemples suivants sont des espaces de Silva

- Des espaces de suites et

(am,n)

a base

de type Kl:lthe comme par exemple

L am,n /am,n+1 0,

a m,n+1

et de type moyen.

des germes de fonctions analytiques sur un compact

K equilibre

de - l'espace de Fock

Iparagraphe

21

Un ouvert

Pseudo-convexite dans les elc

a base.

U d'un elc E est dit pseudo-convexe s'il satisfait aux conditions

equivalentes suivantes : a) Pour tout sous-espace b)

F

de dimension finie,

U n Fest pseudo-convexe.

U est convexe par rapport aux fonctions plurisousharmoniques dans

c) - log du est une fonction plurisousharmonique dans par du(z,z')

= inf

':>vI

z + )..,z'

=0

tU

f.

si

z'

si

z' = O.

Ux E

ou

U.

du est definie

0

Le lecteur pourra consulter (6) pour les diverses proprietes relatives

a la

pseudo-

convexite en dimension infinie. Dans (8) nous avons preuve un certain nombre de resul.tate dans Le cadre des espaces de Banach

a base.

En examinant les demonstrations on s'aperyoit que l'on utilise unique-

68 ment Ie fait que si n

x

i=1

x.e.

(en)

est une base de Schauder alors les applications

un

telles que

sont equicontinues. Les resultats enonces sont encore valables dans les

espaces ncrmes avec une base equi-Schauder ; Le tMoreme 1 de (8) s'enonce alors :

a base

Lemme 4 : §.Qll U un ouvert pseudo-convexe d'un espace norme E alors pour tout compact

a)

c

K

U il existe un entier

.0 ,

(U)

b)

=

c

tel gue i

U

J.:)

egui-Schauder

C

(un F.)@ F

(U)

l'intersection etant decroissante. Dans ce lemme nous avons note par

e 1 , ••• ,e n (resp. e n+1 , ••• )

i

F (resp. F )

i

Le sous-espace ferme de

et par H(U) (resp. pc(U»

engendre

l'espace des fonctions

analytiques (resp. plurisousharmoniques et continues) dans de

E

U et si K est un compact

U ={x E U; If(x)1

c

(U) ={x EU,

Fi

Remarquons que Soit

E

vex)

n'est autre que

un elc dont la topologie

IfIK,

Vf E li(U)}

sup v,

'Vv EPc(U)}

K

1

u:- (0). Test definie par une famille fil trante

de normas et possedant une base de Schauder forte p (u

a

n

p

Si

U est un ouvert de

Ua

l'interieur de

H(U a)

a

(x)

\1'nEIN ,

(en)n E

'r/x fE.

Va EA.,

E, nous noterons pour tout

U dana l'espace norae

telle que

de

a

A.

(E,Pa).

l'espace des fonctions G-analytiques dans

U a

et

T-continues.

Ha(Ua) l'espace des fonctions G-analytiques dana

Ua

et

Pa-continues.

P (U ) l'espace des fonctions plurisousharmoniques dans c a

U a

et

T-continues.

(Pa)a .A.

69 pc,a (U) a

l'espace des fonctions plurisousharmoniques dans

Lemme 5 : §.Qll K un compact contenu dans un ouvert

a base a

et

Pa-continues.

U pseudo-convexe d'un elc

E

de Schauder forte et possedant une norme continue non nul.Le , Alors pour tout

A tel que

K CU a

1)

'"KPc(U ='" a)

2)

'"

3)

Ua

c

a

(U ) a

='" a (Ua ) =

a

)

Demonstration 1) Si

A

est une famille de fonctions continues sur U alors

mement sur tout compact de de

U et

fou

n

E. H(U

n Fer) n

fou

n

f

unifor-

d'ou, pour tout compact

K

U,

2) Soit A = Pc

ou H alors Aa(Ua) C A(Ua) '" Reciproquement n Un(K)A(U () a a

donc

r) @r

L'application

un

que comme opsrateur dans

KA

a

(U ):> KA(U ) a a

par 1).

etant continue consideree comma operateur dans (E,p) a

tersection de droite est egale

a

et

r

E aussi bien

1

= u- (0), i l s'ensuit par Le lemme 4 que l'inn

/\.

K (U ). Ici intervient Ie fait que Pa est une norma A aa /' '" et donc que Aa(Ua Fn ) = A(U a() Fn ) . On a donc KA(U) = KA (U) pour A = H ou Pc' a a a L'inegalite 3) provient du fait que dans l'espace norme (E,Pa) on a (voir (8) corollaire

n

/'

A

KP (U) = (U ). c,a a a a Soit maintenant E un elc quelconque et

du theoreme 1)

proposition suivante montre que pour tout Ua

de

U dans

(E,Pa)

U un ouvert pseudo-convexe de tels que

est pseudo-convexe par rapport

Pa

a up

pp

(uo:n F, Un F)

est un couple de Runge de

F.

,l'interieur

(cu

est un couple finiment de Runge c'est-a-dire pour tout sous-espace

E ; la

F

U) et que de dimension finie

70 Proposition 1 : §ill E un elc. Alors pour toute semi-nonne 1) 2)

K un compact d' un ouvert pseudo-convexe

Pcx

telle que

U de

E.

KCU cx

CUcxJ) 0 d

CUcxJ >

pcx

0

pour tout

tel que

Pf!>

pcx.

Corollaire : §i U est un ouvert pseudo-convexe d'un elc E, pour toute semi-norma (Ucx l1 F, tr

n F)

est un couple de Runge pour tout sous-espace

Dans la proposition on a note

z + A.,z'

que dans Pour tout

t

U, on sait que

U x (E - {

01 ).

Zo de

Pcx

de dimension finie.

= inf

(A,B)

P (a-b). a E: A cx bEB

(z,z') E U x (E - iO})

Demonstration: Pour tout que

d

F

Pcx'

notons

U pseudo-convexe equivaut

Soit K un compact de

U,

cx

= inf

a

-Log

tel que

1).,1

tels

plurisousharmoni-

c: Ucx

K

et

p

Pcx ;

\ K on a :

- log

sup - log z K

o

pour tout

z'

.E

-lO}.

ce qui entra1ne : inf c'est-8.-dire

d

Ceci ayant lieu pour tout

z0

Pcx

r

inf

=inf

cx

d (z, CU) Pcx 0

d

inf

inf 0

cx

Pcx

CU) = d

D'otl. Ie resul.tat en remarquant que

cx (K, CU). de

Pcx d

La partie 1 s' obtient en prenant

11>( U

A

(K, CU) Pcx

i l s' ensuit que

>0

(A, CU)

=d

Pcx

(A,

U au lieu de

Demonstration du corollaire : Si K est un compact de est de dimension finie, la proposition entra1ne que

Cu ). cx

up. U tel que C ucx

n F.

K C U n F, cx

ou F

71 A

A

A

Or Kp(u () F) C Kp(U) ; 1& condition Kp(un F) C U(X

n F) =

en dimension finie) que

(X

n F entrdne (tMoreme de Runge

() F)'

Si maintenant llespace possede une base de Schauder forte et une norme continue soit

K un compact de dimension finie d'un ouvert pseudo-convexe

Ie sous-espace engendre par K et A

U. Alors si F designe

P(X une norma telle que K C U(X on a

A

0,

A

(X

A

=

(U n F) puisque dans un espace norme (X (X equi-8chauder l'application de restriction H(U) H(U () F) est surjective. 19 fait

=

que

(U) (X (X

par Ie lemme 5 ; or

(U ) = (X (X

PN soit une norme entratne que H(X (U(X () F)

= H(U(X n

Lemme 6 : Soit U un ouvert pseudo-convexe d'un elc une norma continue. Pour tout compact

F)

a base

d'Ou: de Schauder forte et possedant

K de dimension finie de

U et toute norme P(X

telle Que K C U(X , A

1) A

= 2)

est commct dans U(X

(pour la topologie initiale aU

P(X) II

A

, A

KH(up) est comtl8ct dans

U(X pour tout pp

P(X'

On peut demontrer Le resultat suivant :

Proposition 2 : Si E est un elc possedant une norma continue

0 et une base de

Schauder forte et K un compact de l'ouvert pseudo-convexe U. Alors

A

1)

A

Kp (U ) c (X A

=

Kp (Ul'l) c r

A

2) I1r(u(X) = KH(up ) Demonstra tion A

A

KH(u(X ) = KH(X (U(X ) par Ie lemme 5)

A

I1r(X (U(X ) =

n

n? n 0

toutes normae

72

or

Un(K) est de dimension finie, donc par Ie lemme 6)

-
0 fini :L P (U) pour la topologie de la convergence compacte. c 4) L'ensemble des elements

et

K de U.

f. t: H(U) a

est dense dans

5) Si E = lim E' , alors un ouvert U de E est holomorphiquement convexe (resp. n

domaine d'holomorphie, domaine d'existence) si et seulement si il en est de m8me de U pour tout

n,

n

82 BIBLIOGRAPHIE

(1)

S. DINEEN - Holomorphic functions on locally convex vector spaces II Pseudo-convex domains, Ann. Inst. Fourier, 1973, t.23, p. 155-185.

(2)

S. DINEEN - Surieties and holomorphic functions in infinite dimension, Bull. S.M.F.

(a parattre). (3)

S. DINEEN et A. HIRSCHOWITZ - Le tMoreme de Levi banachique, C.R. Acad , sc, t. 272, 1971. p. 1245-47.

(4)

S. DINEEN et Ph. NOVERRAZ - Le probleme de Levi dans certains espaces vectoriels topologiques localement convexes, C.R. Acad. Sc. t. 278. 1974, p. 693-695.

(5)

L. GRUMAN et C.O. KISEl1'IAN - Le probfsme de Levi dans les espaces de Banach

a base,

C.R. Acad. Sc. t. 274, 1972, p. 1296-98. (6)

Ph. NOVERRAZ - Pseudo-convexite, convexf.te polynomiale et domaines d'holomorphie, Notes de matematica 3, North-Holland 1973.

(7)

Ph. NOVERRAZ - Sur Le tMoreme de Cartan-Thullen-Cka, Seminaire Lelong, Springer lecture notes 332 et C.R. Acad. Sc. t. 274. 1972, p. 313-315.

(8)

Ph. NOVERRAZ - Approximation of holomorphic and plurisubharmonic function in certain Banach spaces. Proceeding on Infinite Dimensional Holomorphy, Springer Lecture notes 364.

(9)

R. POMFs - Le probleme de Levi dans les Silva, C.R. Aead , Sc. t. 278, 1974, p. 707-710.

(10) N. POPA - Sur Le probleme de Levi dans les espaces de Silva

a base,

C.R. Acad.

Sc. t. 277, 1973, p. 211-214. (11) K. YOSHINAGA - On a locally convex space introduced by J.S.E. Silva. J.

se.

Hiroshina Univ , t. 21, 1957.

UNIVERSITE DE NANCY I Case Officielle 140 54037 - NANCY CEDEX FRANCE

Seminaire P.LELONG (Analyse) 14e a nn e e , 1973/74.

12

Fevrier 1974

PSEUDO-DIFFtRENTIELS D'UNE INFINIT£ DE VARIABLES d'apres M.I.VISIK par B. LASCAR

L'objet de cet expose est de resumer et dans une certaine me sure d'expliquer certains resultats de M.I.VISIK concernant les equations

DJ

aux derivees partielles en dimension infinie obtenus dans

[3]

[2] •

[4]. (5] O.

INTRODUCTION.

-On a deux espaces de Hilbert separables H etant un operateur de Hilbert-Schmidt

a

est identifie

a

4- HI

• l'injection i

image dense. de sorte que H

une partie de HI

-On fixe dans H une base par (el •.••• e

N)

(e ) si H designe l'espace engendre N nne IN on a ainsi un systeme projectif de sous-espaces vec-

toriels de dimension f Ln i.e 1

i=1

d e s Lg n e

(+ 00)

\\"2\1 2

=.f;

t; co

OD

(resp. I

o il 1.

la norme dans H (resp. H ).

1.

-Ci) designe les fonctions avec f

=

""f

0

P

N

ou P

N

f

: HI -+IR. telles que

est la projection orthogonale de HI

est un espace de fonctions cylindriques. et

-:Jdesigne

3 N e IN

les multi-indices 0(=

(0(1"

: f(2)

.oi.n 0 ... 0).

=

sur H N•

f(jN)

84

I.

ESPACES Dg FONCTIONS SUR HI

I

DEFINITION. On designe par CL Ck+ s sur HI telles que:

k

l'espace des fonctions de classe

s

il existe une suite (f n )

on a : (i )

(ii)

s

f n

'rIR>

En notant

S

,ro

0 avec Bo(x)

+

. En outre pour

positif et Re

est un operateur

B (x) est un operateur o

avec

1°/ 2° /

L

\olr s,R

2/

L'espaceLi's est muni des s emi r-no r eie s

et g

n-+l-a>

• On a :

PROPOSITION. - Q(x,D) est un operateur continu Q(X,2)CLY's avec s

=

I!Qullt,R'-C

=0

max(t, t+[pJ)+2, k

=

guand

min(..l,l-[-p]) et on a :

qulls,R+R1 +

I\ulls,+oo) oil R

R 161R+

La demonstration de ae resultat s'obtient en remarquant que pour on a

=

Q(x,D)

sur HI.

J61

q(x-z)r(x,dz)

oil

p(x,dz) est une mesure de Radon

La mesure p(x,dz) est determinee par Ie theoreme de Prokhorof

applique au systeme projectif des mesures fN(x,dz N) H qui verifie : N

1/ sup

La condition 1/ resulte de la definition

Lorsque p

>0

1

I

(N)

N N (x,z )dz sur

O.

y II J?" R. . la condition 2/ s'ob-

GN (x,z)

on utilise l'operateur A-mQ(x,

G

J

tient par : N

=

I

"2).

N N

-

I

II

2

Q

II .( + OJ • 0

87

THEOREME I.

Composition des operaceurs pseudo-differentiels. on

=2:

Q(x, '2)

a

I ;;(!

\oIl"q

QI Do(x Q2 + Q3 (x,

On a egalement :

s,R

\\\Q21\\/R+R

P3"PI+P2- q•

A

p

PI

,c

P3's

avec

I

+

ou .feN est choisi assez grand. La demonstration s'obtient en utilisant Ie resultat classique pour Q 2(x

n,

et en estimant les termes, puis en faisant tendre n vers

l'infini. Ceci permet de

des operateurs elliptiques

.L -I PI's DEFINITION. - L'operateur Q,QErX's est elliptique si Q (x'?)&LA

avec

Ip-pd -

sous la forme :

decomposition classique

x

=

e

: 0

fonction de Heaviside pour x

, X (x \ )

c C a:l(IR)

,X =

t'

a

et on a alors

I

dz N

N

....

N

et

ou

C yN 00

ou

si

On remarque qu'il n'est plus

'(

o

. Mais l'inverse ne s'obtient plus

exige alors des conditions

comme un operateur sur les espaces CL mais comme un operateur

L'espace CSb(M,a

N)

est constitue par les fonctions f

limites d'une

suite

1/

fN(x) ---?- f(x)

2/

r-

Vx EH

sup \j;N (x ) O1xll'

•••

m!

V + 1)1 + ••• + l)n =m

I

VI»n

I ••• I)n! "i ': wn

_})I

o

n

(I

+

L

j =I

w.z.) = (I + (w.z»n J

J

est Ie noyau reproduisant de cet espace. (3.6.)

F(w)

=f(1

+

c'est-a-dire qu'on a

(w.z)]mF'(Z)dgm(z) dPt(z)dt

pour toute fonction holomorphe sur B appartenant (3.7. )

a

e - I / 2 t t -m - 2 (I + 2 t

-})n

•• , z 1 ••• II: n

LP(B.g ) OU m

a:) m

.

98 Cette formule correspond

a

F (w) = _1_.

(3.8. )

Z TTl.

f

la formule de Cauchy

--!.i!l W z

dz

bD pour une fonction holomorphe F sur D l'adherence d'un disque D du plan complexe. On se rappelle la formule de Cauchy generalisee (voir HORMANDER

[7] )

J

'd F/-az dz f\ d;

1 F(z) dz + z ZTTi bD 1 pour une fonction de la classe C sur D.

F(w)" _1_.

(3.9. )

ZTrl.

z - w

W -

C'est pourquoi on supposela formule (3.10.)

F(w) = lClOfm(t.

F(z)dPt(z)dt

pour une classe de fonctions

a

croissance polynomiale.

Sait B l'anti-espace de B au sens de SCHWARTZ ( [9] ).

(B)'

(BT) est note par B-. Soit

e

l'isomorphisme de H sur

defini par

(3.11.) pour tout zl'

Zz G

H.

lII

H'

et H etant les espaces du a l.e de H et H

l'application t r a n s p o s e e

e : H -+-H' et Sfo

=

(8')

: H"

•

on a

H. On peut de-

finir Ie produit tensoriel algebrique de g exemplaires de B et l'espace quotient oblique symetrique

Ag B . On definit l'espace des g-covecteurs

Aog(B) comme un espace de Banach des fonctionnelles lineaires f sur /\g B telles que

Une fonction continue F de B dans Aog(B) sera appelee (o.g)-forme sur B. Pour tout nombre reel positif m, telles que (3.13.)

F

\I m

On pose (3.14. )

sup G

t(l

+ lIzll)-m UF(z)\1

d"F dans G =

Boit ag(B) l'espace des m

(3.10.). On a m

(G) (w)

(o,g)-formes F

99 On suppose (3.14.) pour une (O,I)-forme G = dh

(3. 15. )

est

m

(G)

G.

+T!l}(d"G) m

pour une (O,I)-forme G

a

C'est ainsi qu'on suppose Ie

croissance polynomiale. suivant :

3. - Soit m un entier positif non nul. Soit

nombre

positif non nul. II existe m

: a.g(B) m

(H)

'In

et

tels que si FG

sa

m

et si d"FE (3. I 6. )

de FRECHET est

B

alors on a

F(w)

+ .fJAm(t,

de plus, si G"Q:_I_ b o r n e s de B,

dans

5 (B), g >0, sa

et si d"GEQ.g+1

m-2-

G=

(3. 17. )

F(z) dPt(z)dt ,

m

r- (B),

l>

de FRicHET est

dans

on a

G +mg+l(d"G) m

en particulier, si d"G = 0, on a (3.18. ) III

ou G est la restriction de G

a

H.

4. Noyaux des On va chercher noyaux

dans les

grales (3.16.) et (3.17.) en utilisant la transformation de Fourier. I D'abord, on cherche Ie noyau Lm(W ; dz) de £1 de f a c o n que m

(4.1.)

G (z)

=

>

I

ou , pour tout wEB, Lm(w,.) est une me sure iii valeurs dans B puisque G(z) est u n

de

thonormale de H.

1\01 (B) pour tout z

oS

B. Soit [e

i

: i

E:

I} une

base or-

100

En adoptant la notion de la theorie des distributions de SCHWARTZ. on trouve

[I

(4.2.) (z - w) = d'apres (3.4.),

(e i •

+ (w.z)] m dgm(z) +

(3.7.) et, notamment,

Dz>

ge i >

(3.16.). Pour une mesure bornee

sur B, on definit sa transformee de Fourier

1\

p

par

p(k) =

(4.3.)

pour tout k co B'. Par exemple (4.4.) '(z-w)''(k) = [e-iReb(Z_W)

e

-iRe

•

Puisque

> e -t(k,k)/2 , ( 't -< w, k)a

(4.5.) on a (4.6.) ..

(I+(w,z» (I

mJ\ . m -t(kk)/2 dPt(z)(k) = (I-a -

J:

Am(S,';}

- "3 -iRe dPt(z»A(k) = hark,h> e- t(k,k)/2

il suffit que la

soit donnee par

m

=

(4.21.)

mom

ou (4.22.)

-t-1! C,

f is continuous; and Gateaux holomorphic }. Infinite dimensional holomorphy, or the study of holomorphic mappings on locally convex topological vector spaces, has experienced a vast expansion in the past decade.

In spite of this, the field is

still relatively "new", i.e. many of the basic problems atre still only plliI'tially solved.

First atttempts in infinite dimensional ho'Lomor'phy

were made in studying H(U) where E is at Banach or Hilbert apace (aee [lOJ, [14J ).

The immenseness of H(U) led to the study of more

manageable subspaces of H(U) as well as the concept of "holomorph;r type" ([9J, [10] ,

[14J ).

The study then expanded to include arbitrary

locally convex spaces, and good results have been proved for certain classes of non-Banach locally convex spaces.

In the following I

would like to indicate why on the basis of recent results the moat appropriate or best spaces for the study of infinite dimensional holomorphy are the nuclear and more particularly the J)FN spaces. A locally convex space E is a cffFN space if it is the strong topological dual of a Frechet Nuclear space. spaces are

e ,

{o'

2. Topologies on H(U).

Some examples of ff:li'N

L: N C.

H '( C) , and

One problem which has been widely imres-

tigated in infinite dimensional holomorphy is suitable or natural topology for H(U).

which is the most

There are many candidates,

1: 0 :is the

of which the following three are the most often considered. compact open topology on H(U)o

'C'w is the ported or Nachbin topology

defined by the family of semi-norms on H(U) which are ported by a compact set.

A semi-norm p on H(U) is ported by the compact set ICc U

if for every open V where K c Vc: U there exists a constant C such that p(f)

C sup If(x)l for all f

v XeV

E;

H(U).

The?:

6

v

topology is defined

110

by the family of semi-norms p on H(U) where p has the follow:ing property:

for every countable open cover (Vn)n of U, there exist

C > 0 and m such that p(f) general, L 0

'"

1:'w

1:'0 •

f

C sup I f(x)\ for all f x,=OV

E

H(U).

In

n

However for certain Banach spaces E and

C- w c on H(U). On the other hand, combining results 6 due to Barroso, Matos and Nachbin ([2J ), and Boland ([5J), we have

U c E, L

the following Theorem. Theorem I.

If U is an open subset of the gFN space E, then

C'0 := L w := 1:[; on H(U). topologies are Frechet 3.

Moreover in the case where U = E, these topologies.

Convolution Operators on H(E).

If H(E) is endowed with a

locally convex topology ?:, a convolution operator A on (H(E), .2: ) is a contirmous linear mapping A: H(E) -7 H(E) which comrrmtes with translations.

The concept of a convolution operator is a general-

ization of that of a linear differentiaJ. operator with constant coefficient$.

When considering a convolution operator A, one often

is interested in the kernel of A and whether or not A is surjective. We will say that (H(E), L:") satisfies

(respectively M i f the 2) kernel of every convolution operator A on (H(E),I::') is the closed

linear span of the exponential polynomials in the kernel (if every non-zero convolution operator A on

is surjective).

If ,,(E) is the space of Gateaux holomorphic functions on E and 1: is the topology of uniform convergence on finite dimensional compact subsets of E, then (,,(E),C:') satisfies

and

([6J).

However, if E is aIllY specific infinite dimensionaJ. Banach space and

Y is arv of the standard topologies considered on H(E) (e sg ,

7:> ?: 0

or '[w or Y,,) it is not known if (H(E), 1:) satisfies H or l Good results have been obtained in this direction, however, by considering certain subspaces of H(E) together with appropriate topologies on these subspaces ([9],

[10]).

Moving away from the

Banach space situation, we have the following Theorem ([ 4] ). Theorem 2: topology on H(E).

Let E be a ffFN space and Then (H(E),2') satisfies

L be the compact open

M1

and M 2"

111

4.

Extending holomorphic functions from closed subspaces ,

Another problem of increasing interest in infinite dimensional holomorplly is when may one extend all of the holomorphic functions on the closed subspace F of E to functions holomorphic on E.

If F

is a topological. summand of E, then it is clear that for every f

H(F) there is an

f

H(E) which extends f.

Hence in the case

when E is a Hilbert space and F is any closed subspace of E there is no problem in extending holomorphic functions from F to E. However in the case where E =

Y..ro and F :: co' it is impossible to

extend all functions holomorphic on F to functions holomorphic on E. This follows from the result that there exists a noncompact subset which is a bounding set for H( J",,) ([8J). JJ'FN spaces have o good properties in this direction, however, as the following Theorem

B of c

([5J).

indicates

Theorem 3.

and

-r

the

Let E be a ,D'FN space, F a closed subspace of E,

compact open topology on H(E) and H(F).

Then the

restriction mapping H(E)-1 H(F) is a surjective strict morphism.

5.

Polynomials on Nuclear spaces.

One of the principal

reasons for good results in the study of holomorphic functions on rroclear and in particular ffFN spaces is the "fini te dimensional" aspect of the polynomials on these spaces. If E is a locally convex space,

and

will denote

respectively the contirroous m-homogeneous polynomials and the contd nuous m-homogeneous po.Iynomf.ake of finite type on E.

rroclear, then Pf(mE) is dense in

If E is

for the compact open topology.

In the particular case when E is a JtFN space, E can be expressed as the countable union of a sequence of compact sets (K ) • It follows n n that when E is a space and p E. then there exist (lD ) oo Do Tn n =: E' such that p(x) =

0

we can choose

such that

1x+A r:

U

I Ajs;6

cEc

1

If

c E C

N f

in which case

T (x) I c E c 1

then either

T c

(C)

ley. W. c V 1 a

is associated (as in 2.2) with

=

fez + T (z )) 1

r

C:3

fez )

for any

1

z 1 in

Y

and any

f(x+Ay) = f(x)

By (2.3)

that

in

zl

f(x+y)

=

z

for all

IAI s;

some neighbourhood of

TTL(y)

1

+ T (z )) C.a

in

L

for

all

=

and

W

y

in

such that

K U S( f).

convex balanced open subset of

E

is a

(by 2.1)

K

1

We define

f

on

TT

K

(V)

by the formula

K 1

K

y

1

+ A(y -y ) E Y a

This shows that f = f

0

if

TT

TT

1

f

K

and

f(Y

1

0

TT

1

x

where

(y) K

1

1

+ A(y -y )) = f(y)

is well defined and

a l l

G-holomorphic on

for all TT

K

1

K

(y)

1

TT

Hence

fey)

f(x)

1

y E Y.

= fez

a-local partitions of

for all (x, x+y) E Y x Y

(y)

A

in

and

in

such

a

Sf.

unity we show that f(x+y) = f(x) K

0

=

By means of the same technique and using hypocontinuous

Let

1

a

By analytic continuation it follows

for all (x, x+y) E Y x Y if

f(x)

fez

for all

a

z

and any

Y

and for any

for some

If'".

\L.

) 1

122

e

Since

is a compact surjective representation of

E

and

Y

=

IT

K

-l(IT

1

we have

IT

K

(K(Y»

1

= K (IT (y». K

This implies, since

f

K

(y»

1

is hypoanalytic, that

1

H (IT

K

(Y) ;F).

This completes the proof of the theorero.

1

(C( X) ; F) = H(C( X) ; F)

Example 5,

and any locally convex space space

for any paracompact, topological space H(C(X) ;F)

F.

X and any locally convex space

X

for any Lindelof

F.

It is now easy to constJ:uct new examples (e.g.

let

X denote a

separable

infinite dimensional Banach space in example 5) in which Silva holomorphicity coincides with (continuous) holomorphicity,

These are important as the only

previously known examples were Frechet spaces and strong duals of Frechet Schwartz spaces ([4J). Examples and counterexamples related

to the above may alSQ be found in [2J.

BIBLIOGRAPHY

[1)

S. Dineen,

Holomorphic functions on locally convex topological vector

spaces II, Pseudo-convex domain, Ann. Inst. Fourier, 23(3), 155-185, 1973. [2]

S. Dineen,

Surjective limits of locally convex spaces and their applic1'1tion to infinite dimensional holomorphy (To appear in J

0 U

r • de M.at h •

pureS et appliquees).

(3)

H. Hogbe-Nlend,

Theorie des bomologies et applications, Lecture Notes

in Matheroatics, Springer-Verlag, 213, 1970.

(4J

D. Lazet, Applications analytiques dans les espaces bomologiques,

P. Lelong 197V1972, Lecture Notes in Mathe.'llatics, Springer Verlag, 332, 1-47, 1973. [5J

Ph.

Noverraz, Pseudo-convexite, convexite polynomiale et dOlllaines

d'holomorphie en dimension infinie, Notas de Materoatica, North Holland, 3, 1973. [6J

Do Pisanelli, Applications analytiques en dimension infinie, full. Se.

Math., t96, 181-191, 1972.

Seminaire P.LELONG (Analyse) 14e a n n e e , 1973/74.

23 Avril 1974

REPRESENTATION HOLOMORPHE DES DISTRIBUTIONS TEMPEREES TRANSFORMATION DE FOURIER-BOREL OPf!tATElJRS DE DERIVATIONS PARTIELLES DE TYPE HILBERT-8CHMIDT EN DIMENSION INFINIE (d lapres Thomas A.TN. Dwyer... III) par Olivier BONNIN

1.- INTRODUCTION. Cet expose est tire d'un article de Dwyer dont le titre exact est "Holanorphic Representations of tempered distributions and weighted Foclt spaces". Le but de cet article est de generaliser en dimension infinie des situations classiques en dimension finie concernant les espaces S et S' et leur dualite par rapport ii la transformee de Fourier. H etant un Hilbert, on veut dErinir S(H) et S'(H) ii partir de

:K'(H) ,

ou plUS precisement de :K'Hb(H), espace des fonctions entieres de type HilbertSchmidt borne sur (H). On se guide par des considerations concernant la dimension finie: la premiere partie de cet article consist era ii demontrer que S(Ff) est isomorphe note F... des fonctlons entleres verl'f'lant

a un sous-espace

formule

en dimension ....

a

Mais on veut, de plus, conserver la dualite entre les opErateurs - k ax et multiplication par ou entre opErateurs analogues. En mecanique quantique, ces opErateurs seront

i 2-

et

-i

i ax

(x. 2-) It

axk

qui servent ii construire des blocs pour des opErateurs qui representent les observables d "un syst1!me possedant m degres de libertes.

124

8i Ie systeme possede un nombre infini de degres de liberte (ou au cas ou des particules peuvent etre crees ou anihilees). on a besoin e. 8(R m), L2(Rm) ou 8'(Rm) et d'une

d'espaces de dimension infinie analogues transformee de Fourier-Borel. Une representation naturelle. due

e.

Fock , est 1 'espace

Foclt definit sur cet espace des paires d'operateurs verifiant les memes relations de commutations que

et

'Ii' anihi lat ion" •

ax

• les operateurs de "creation" et

Mais de la meme fa,.on on peut considErer E camne un espace de Hilbert de fonctions entieres sur l'espace de Hilbert L2(R). en effet on peut associer ;- E J('\L2(R»)

=

I

n=o

., . .r

e.

E

••• x n ) 1/I(x ••• 1/I(xn ) dx l ... dx n l

est une fonction entiere de type Hilbert Schmidt, s i L II = < r , P(D)g> < r , PI.g > = < PI(D)f, g> La preuve de ces assertions sera donnee en dimension infinie. THIDREME 1.

it existe un ieomorphieme entre s(Ff) et F)C

m).

Preuve. - Cet isanorphisme va etre detaille dans la demonstration, il sera Ie compose de plusieurs isomorphismes :

Les espaces Sr etant definis de telle fagan que S

limite projective des Sr'

126

Introduisons donc maintenant, a la suite de Bargman, les espaces m) (C des fonctions entieres f : em _ e telles que (r / f)( ) =

Uf

= (xl· ••

avec z • x+iy, x

2( )

n

r

r

.!-.r r rfD'RMRm

If(z) 12 (l+IBIF exp (-izI2)dz

xm), y • (Yl ••• Y et dz m)

= dXl

Tout ce que nous avons

e.

montrer est

Proposition 2.1. ( ljI I hrljl)

=L

(a+l)r s (41)r o 0 m) est egale B. la norme (2.3) de s(ljI) dans i.e. la norme de ljI dans S r (R Gela decoule du fait bien connu : LEMME 2.1. les valeurs propres de h sont 0+1. 0 E h l/I

o

= (a+1)l/I 0 •

JV!1.

i.e.

a.

128

Soit maintenant une fonction entiere f : C S(I{f)

F..'C

=

f m)

f{a){O) pour a

E

N m et s(f)

m

-C

on ecrira

= (sa(fl)aeN II1

•

s(f) est un isomorphiSll1e d'espaces vectoriels topologiques de sur cr et de F.... (C

II1

)

sur cr., et




= < s(f),

s{g) >.

Des considerations teChniques et sans difficulte que nous ne reproduirons pas ici lI1enent au theorell1e 1 dont nous pouvons preciser l' enonce: THEOREME II.

i/ Z'appZiaation I s ljI (x ) = 41 a a

a

s( ljI) = (s ) = s(f) a a

iiI l'applioation

f =

s

a

'l'( ilJ ) = 5* n

II

s*

n

est un isomorphisme d'e.l1.t de iii/ On a


H

II

sl Fonctions entieres. Les espaces de f'onctions entieres auxquels nous allons nous interesser sont XHb(E') et XHb(E) espaces de fonctions entieres et type Hilbert Schmidt borne sur E et E' respectivement. Une fonction serie

I

n=o

P

n

E'

--C appartient a :Kirb(E') si est La limite d'une

des p>lynomes P E PH(n E') tels que lim II n

Pn

= 0

130

n

Alors d

,(1/1'): E' ...... C E PH (n E,) en particulier dn,(O) = P

et Ie n developpement de Taylor est unique. On peut en dire de meme dans ;J{'Hb(E). Definition 3.1. Soit r E R. On appelle F de ;J{'Hb (E') telles que

I

=

n=o

r

(E') l'espace

des fonctions

< ...

(n+l)r 1II?,(0)

Proposition 3.1 •

il Une serie

... I

n=o n

P avec P E PH(n E,) converge vers une fonction entiere n n

de Fr(E') si et seulement si

iiI Fr(E') est

lID

sous-espace vectoriel de ;J{'Hb (E'

iiil ',1/1 donne s dans Fr(E'), la serie «.,1/I))r:

I

n (n+l)r(a .(0)

n=o

I -;in1/l(0))H

converge absolument, df!finissant un produit scalaire sur Fr(EI). La nome associee est notee U II

r

ivl Fr(E') muni de la nome II

II

lement si E est separable.

r

est canplet. Il est separable si et seu-

Preuve

il il suffit de verifier que (3.3) • =

1

I iii

lim sup

,'n P en a P n = d .(0) n

iiI et iiil l'application • dans

=='!>

P n

nlIn II

= 0 en posant

n.(O)II IId

est une injection de Fr(E') H)nEN des suites complexes (zn)nEN qui sont de carre sommable pour la

mesure (zn 'nEN ...... iiil est laisse

(

U1 llii!

(n+l)r zn

a.

ii et iii decoulent des proprietes de 1 2 ,

la dis cut ion du lecteur.

Definition: F...(E') (resp (F_(E)) est la limite projective topologique (resp. la limite inductive localement convexe) des espaces Fr(E')

131

(resp. F

(E)) pour Le systeme projectif donne par les injections F (E ') ..... r F...(E ') s =e ' = e 1/1' (H

C;;

m est donne par

pour tout ,dans:K'Hb(E')

et ljI' dans E'

iiI l'operateur de mUltiplication P', avec P' E PH(E) est donne par (p'. 1/1')(4))

= p'(,)

1/1'(,) pour tout 1/1' dans :K'Hb(E) et ,dans E

Si P' = ' \ ... vation dans les directions

'i E 'i ...

E', alors P'(d) est donne par la deriet nous ecrirons

donc les P'(d) se reduisent

a des

operateurs differentiels lineaires

a

coefficients constants quand E est de dimension finie. Definition 4.1'. On definit de meme P(d) et Is multiplication par P pour P =

m

L P avec Pn E PH(nE,). Us opElrent sur n=o n

et JH

P'n'

Preuve. II suffit de considerer les polyn5mes de la forme = uk+n ­­­­­k+n k (i.e. < u, > ) et 1/I'k = v' (u E E et v' E E'). Le calcul direct donne

et H

'

oil. Tn = se prolonge

(au

moins localement) en un isomorphisme des ouverts ambiants. L'assertion en resulte trivialement. Description locale. soit (f germe

l

, ... ,f

p

Supposons que l'origine de

appartienne

a

Y,

et

) un systeme de generateurs de l'ideal de definition du

(Y ,0) •

LEMME I.

al Si Ie germe (Y,O) est irreductible, on a X,O

bl

0 (f.

1

.r- J.».1 , J'-I -

,oo.p

.

Si Y est coherent en tant qu'ensemble analytique reel au

voisinage de l'origine,

e

Y,O

eo/ ( f . , f- .J ) e(;,0. 1

Rappelons que Y est coherent en tant qu'ensemble analytique reel si et seulement si les composantes irreductibles de Y en un point restent irreductibles aux points suffisamment voisins

[7J

Demonstration. Soient

(x,y)

les coordonnees reelles de en, avec

z

=

x + iy.

144

Notons encore

(x,y)

les coordonnees complexes de

2n

qui les induisent

sur

On d e f i n i.t; une application

g E:(lbO

-

g(z,z)

M(g) (z , u )

Designons par

"" (X,O)

=

.«

L ao(

-zR i

zd..

up.

l e complexifie du germe IV

( 1)

'"

(X,O) =

(X,O). On sait

[7J

que

(X,O) )( (X,O)

On en deduit que g est nulle sur

(X,O)

si et seulement si Ie germe M(g)

"" est nul sur (X,O). Or l'ideal de definition de (1) n'est autre que

L'assertion a/ en resulte. On sait ([7],

tho

3) que,

differentiable nul sur lytiques nulles sur

sous I' hypothese de b), tout germe de fonction

(X,O)

(X,O). Le

est combinaison de germes de fonctions analemme est done demontre.

1.2. Cas des espaces analytioues. Soit X un espace analytique, muni d'un recouvrement

par des ouverts associes

a

(

145

Si on a Ie diagramme Uat

U'0( o il I' application '1"0( est un isomorphisme, d ' a p r e s la Remarque 1,

ot

D 0( •

Le

=

4'0(

a(

)

ne depend done pas du plongement 0(

(pour deux ouverts Xc( ,

bl Remarquons alors que les 0(

du recouvrement)

epo('

J3

coIncident sur

x

Xc( 0 X P

•

En effet, de l'isomorphisme

on deduit

:

dt. \

=

Xa(p

et de meme pour les faisceaux ex en un

Cette propriete permet de recoller faisceauc1t'x

(resp.

Sx)

sur X.

LEMME et DfFINITION 2. Les X.

et E.

x

ne dependent pas du recou··

On les appelle respectivement faisceau des germes de fonc-

tions analytiques reelles et differentiables sur X. Demonstration.

Soient

,

(X' )

146

deux recouvrements munis de plongements comme precedemment Co U"", Co It

Xo(

n

X'

1\

eti/l;5/.-

r--

»,j/;fi.lles faisceauxJ%'x construits

grace aux recouvrements dletdb'

Le diagramme

o

Xc(

X'

Ii

Cpo()o D ()

D'

(X')

1'01.

a(

t

(l

(D'

(X

0(

)

permet de conclure que

= D'oll Ie lemme

(de meme

Si X est reduit en x,

on a

:

(2 )

II. Complexes de formes differentielles. La construction de ces complexes est inspiree de celle de Grothen-

(31

dieck Dans

(3)

, on associe it tout schema X (resp. it tout morphisme de s c h e ma s f

un complexe de de a n n e Le s I

(X,8'x),

II est

(resp. (X, £X),

On verifie ici que les espaces sont bien des s c h em a s .

3. On appelle complexe de de Rham holomorphe

differentiable) Crespo

: X

(resp.

sur X le complexe de de Rham associe au schema

(X,rJ1f x),(X,

f;». , sa d i.f f e r e n t

Le Ll e

par d.

analytique (X,&X)

147

Ce sont des complexes d'operateurs differentiels d'ordre un. Le complexe

[I,2J

a ete etudie par plusieurs auteurs On c o n s i d e r e un germe (X,O)

a

l'origine d-e

e",

d e f i n i, par l'ideal (f.).

PROPOSITION I. Supposons remplies les deux conditions du lemme I. 1°/ Pour tout entier m,

:

m (resp. £X,O

(2)

en d e s i g n an t e n g e nd r e par les

on a

l'ideal d i f f e r e n t Le I

Crespo (f i ' f

2°/ Designons

j

E/o )

) .

(resp.

Ie faisceau des formes differentielles

qui proviennent localement dans un plongement lisse de formes aLalytiques (resp. differentiables) homogenes de type (p,q). Ce faisceau ne depend pas des plongements locaux, et les complexes de de Rham se decomposent en bicomplexes

:

$ p+q=m

e,m .. X

£:B

p+q=m

X

f.i III

Demonstration. 1°/ D'apres [3] , on a la suite exacte

ou

:

est un plongement lisse, et

X

C-.....+- u

d

148

On en deduit Ie 1°/ dans Ie cas de l'entier un, puis pour tout rn. Le de

Cx

cas

est analogue.

2°/ Designons parJlP'oq l'ensemble des formes de l'ideal differentiel X, e n g e n d r e par

On a

(f., 1.

"to) J

qui sont h omo g e n e s de type (p,q).

:

J?P' q X,O 1.'

0
I)

La fonction

11

hj+l(b)

est alors

lesquels elle est positive.

I

(I-V)-psh aux points de C

j+ 1

en

177

'"

On pose gj+l(b,y) Cette fonction est alors psh d'apres

Ie theoreme de plurisousharmo-

nicite des produits demontres en I, des qu'elle est positive. Elle est majoree par g au voisinage de l'ensemble

{h

Gj donc

I}.

par gj

au voisinage de \hj+l(b)

'" I) La fonction sup(g.,g. J J+ X .. On d e f i n i J

sur

t;

(b)

est cont inue sur X. J

prolongee continument par g. sur X j+ 1 J X.J+ 1

j+ 1

-

n

=

a} et

J

"" X J+ I et par gj+1

minoree par

El1e peut etre sur

ainsi une fonction g. I' psh sur X J+ j+I'

dont la restriction

a

continue

chaque fibre est m-psh et d'epuisement.

Comme precedemment, on pose alors g

=

h oTT+ lim g. j

J

et la fonction ainsi definie est psh et d'epuisement sur X tout entier. De plus,

si la fonction de d e p a r

t

tg e t a i t

strictement m-psh sur Y,

la

fonction g construite ici serait strictement psh sur X. Conclusion. La methode de construction de fonctions psh sur un espace fibre que nous avons developpee ici permet de montrer la conjecture de Serre (holomorphe convexite des fibres analytiques de base et fibre de Stein) dans des cas connus

(cas Banach-Stein etudie par Fischer

cas ou les automorphismes sont berger

[10]

plus forts) que,

(2) [3]

et

tres particuliers, etudie par Konigs-

, dans ce second cas on trouve d'ailleurs des r e s u Lt a t s ou dans les cas qui s'y ramenent

plus generalement,

(Hirschowitz [7]

ainsi

chaque fois que la fibre est un espace hypercon-

vexe. Le probleme se pose cependant de determiner les espaces hyper convexes. En particulier un domaine d'holomorphie borne de

interieur

de son adherence est-il toujours hyperconvexe ? Existe-t-il d'autre part des domaines hyperconvexes Y ayant des automorphismes g tels qu'il n'existe aucune fonction k strictement psh sur Y et d'epuisement,telle

178

que k

0

Y - k soit borne (done pour lesquels on ne peut resoudre Ie

probleme de Serre par la methode exposes en IV C/ Les methodes developpees ici sont cependant absolument inutilisables dans Ie cas ou la fibre est

les automorphismes du fibre etant

quelconques. Dans Ie cas ou ces automorphismes sont lineaires (fibre vectoriel). (Frenkel

Ie probleme etait deja resolu par des methodes classiques

[4] voir aussi [5] VIII C/o theoreme 9).

Dans Ie cas ou ces automorphismes sont simplement affines. Ie probleme peut se traiter soit par la methode de Konigsberger. soit par la technique expo see en IV C/

179

BIBLIOGRAPHIE

[1] Andreotti, A.: Nine lectures on complex analysis C.I.M.E. [2] Fischer. G. :

[3J

juin 1973

Hilbertraume holomorpher Funktionen (Habilitationsschrift) MUnchen 1969

Hol oa orph- vol l s t lndi ge FaserbUndel

Math Ann 180 (1969) 341-348

[ Fibres holomorphes au dessus d'un espace de Stein (Espaces analytiques Bucarest 1969 , 57-70

[4]

Frenkel,J.: Cohomologie nonabelienne et espaces fibres Bull. Soc. Math. France 85 (1957) ,135-218

[5 ] Gunning,R.C. and

Analytic functions of several complex variables (Prentice Hall 1965)

An introduction to complex analysis in several variables (Van Nostrand 1966) Notes C.R. Acad Sci., Paris 276A (1973),p 925 et 278A (1974),p 89

[8]

[9 ]

Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie Erg. d. (1956) Reelle Transformationsgruppen und invariante Metriken auf komplexen Raumen Invent Math 3 (1969),43-70

[10] KonigSberger,K.:{Uber die Holomorphie-Vollstundigkeit lokal-trivialer Faserraume Math Ann 189 (1970),178-184 Expose a Oberwolfach

Komplexe Analysis

sept 1971

[11] Lelong.P.: Fonctions plurisousharmoniques. ColI. sur les fonct. de plus. var.

Bruxelles 1953

I

21-40

FOnc t i ons plurisousharmoniques et formes differentielles . positives (Gordon and Breach 1968) { et exposes au C.I.M.E. Funzioni e varieta complesse 1963 [13] Narasimhan,R.: The levi problem for complex spaces [14] Rudin, W.: Real and Complex Analysis [15] [16]

Math Ann. 146 195-216

(McGraw-Hill 1966)

Quelques problemes globaux relatifs aux varietes de Stein ColI. fonct. de plus. var. Prolongement analytique des fonct. holomorphes bornees (Sem P. Lelong 16 janv 1973)

[17] Stehle,J.-L.

Notes C.R. Acad. Sci., Paris 279A (1974), p. 235.

RECTIFICATIF CONCERNANT L'EXPOSE :"UN THEOREME D'IMAGE DIRECTE PROPRE", publifi dans Ie Sfiminaire Pierre LELONG,

1972/73, N° 410.

Le texte publie dans Ie seminaire 1972/73 comporte une erreur de dfimonstration dans la cinquieme fitape.

En fait,

Ie

rfisultat de cette cinquieme fitape est une consfiquence de la proposition suivante

:

PROPOSITION. -

Soient F un espace localement convexe separe

sequentiellement complet, G un ouvert de analytique de G dans F n.

cP

(f l, ... ,f n) une

II existe alors, pour tout point go de G, vert G' de go' un entier m, G' de G'

dans F

m

un voisinage ou-

une application analytique (hl,···,h

et des applications analytiques a . . (I 4 i ,J

dans

de fason que l'on ait, pour tout z

n,

I

m)

j

G'

m

La . . (z)h.J (z) j=1

(I "i ,n)

- )es vecteurs hl(z), .•. ,hm(z)

sont indfipendants.

Dfimonstration. Notons A l'application linfiaire de F' &'(G)n qui,

a -l6F'

module du faisceau

Soit ci!le sous-

, associe

em

dans

engendrfi par l'image de A ; en utilisant

alors les rfisultats deFRISCH sur les proprifitfis noethfiriennes des modules de sections de I,

9' (cf.

9), on voit queeOOest

(I]

•• ,

engendrentJPau voisinage de g :

9m

Corollaire I, 8 et t h e o r e me

type fini au voisinage de go'

On peut donc trouver

faisceaux h

,

o

tm

dans F'

tels que les A(

et dfifinissent un morphisme de

est surjectif au voisinage de go

On sait alors qu'il existe un polycylindre L centrfi en go qui estclf-privilfigifi, et d o n c une application qui reIeve l'application (1J(L,

gID)

---+£CL,J!).

Considfirons l'application linfiaire C

=

BoA

continue B

m)

181

ou A

est l'application Li n e a Lr e induite par A.

F'

Montrons que,

si l'on munit F' de la topologie de Mackey f(F',F)

l'application C est continue.

II suffit pour cela de montrer que A

est continue, c'est-a-dire qu'il existe V, tel que, pour Or

fi(L)

1

dans V,

on ait

est un compact de F ;

sup L

I.e

0

voisinage de 0 dans F',

f./ o. VIII, 598 pages. 1974. DM 44,Vol 406: J. Wermer, Potential Theory. VIII, 146 pages. 1974 DM 16,Vol 409: Fonctions de Plusieurs VanablesComplexes, Seminaire Fran