Précis de neutronique [1 ed.] 2868836372, 9782868836373

Citation preview

PRECIS DE NEUTRONIQUE

Cette page est laissée intentionnellement en blanc.

GENIE ATOMIQUE

Precis de Neutronique Paul Reuss

SCIENCES 17, avenue du Hoggar Pare d'activites de Courtaboeuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France

Illustration de couverture : Echelles de modelisation neutronique d'un reacteur a eau sous pression (document CEA / DEN / DM2S / SERMA) Composition sous IM^X : ScripT^X

ISBN : 2-86883-637-2 Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction par tous precedes, reserves pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n'autorisant, aux termes des alineas 2 et 3 de Particle 41, d'une part, que les « copies ou reproductions strictement reservees a I'usage prive du copiste et non destinees a une utilisation collective », et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, «toute representation integrale, ou partielle, faite sans le consentement de I'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinea 1er de I'article 40). Cette representation ou reproduction, par quelque precede que ce soit, constituerait done une contrefagon sanctionnee par les articles 425 et suivants du code penal. © EDP Sciences 2003

Introduction a la collection « Genie Atomique » Au sein du Commissariat a I'energie atomique (CEA), I'lnstitut national des sciences et techniques nucleaires (INSTN) est un etablissement d'enseignement superieur sous la tutelle du ministere de ('Education nationale et du ministere de ('Industrie. La mission de I'lNSTN est de contribuer a la diffusion des savoir-faire du CEA au travers d'enseignements specialises et de formations continues, tant a I'echelon national, qu'aux plans europeen et international. Cette mission reste centree sur le nucleaire, avec notamment ('organisation d'une formation d'ingenieur en « Genie Atomique ». Fort de I'interet que porte le CEA au developpement de ses collaborations avec les universites et les ecoles d'ingenieurs, I'lNSTN a developpe des liens avec des etablissements d'enseignement superieur aboutissant a I'organisation, en co-habilitation, de trente-huit enseignements de 3e cycle (DEA et DESS). A ces formations s'ajoutent les enseignements des disciplines de sante : les specialisations en medecine nucleaire et en radiopharmacie, ainsi qu'une formation destinee aux physiciens d'hopitaux. La formation continue constitue un autre volet important des activites de I'lNSTN, lequel s'appuie aussi sur les competences developpees au sein du CEA et chez ses partenaires industriels. Dispense des 1956 au CEA Saclay, ou ont ete baties les premieres piles experimentales, la formation en « Genie Atomique » (GA) Test egalement depuis 1976 a Cadarache ou a ete developpee la filiere des reacteurs a neutrons rapides. Depuis 1958, le GA est enseigne a I'Ecole des applications militaires de I'energie atomique (EAMEA) sous la responsabilite de I'lNSTN. Depuis sa creation, I'lNSTN a diplome plus de 4000 ingenieurs que I'on retrouve aujourd'hui dans les grands groupes ou organismes du secteur nucleaire frangais : CEA, EDF, Framatome, Technicatome, Cogema, Marine nationale. De tres nombreux etudiants etrangers provenant de differents pays ont egalement suivi cette formation. Cette specialisation s'adresse a deux categories d'etudiants : civils et militaires. Les etudiants civils occuperont des postes d'ingenieurs d'etudes ou d'exploitation dans les reacteurs nucleaires, electrogenes ou de recherches, ainsi que dans les installations du cycle du combustible. Us pourront evoluer vers des postes d'experts dans I'analyse du risque nucleaire et de ('evaluation de son impact environnemental. La formation de certains officiers des sous-marins et porte-avions nucleaires frangais est dispensee par I'EAMEA.

2

Introduction a la collection « Genie Atomique »

Le corps enseignant est forme par des chercheurs du CEA, des experts de I'lnstitut de radioprotection etde surete nucleaire (IRSN), des ingenieurs de ('Industrie (EDF, AREVA, ...) Les principales matieres sont: la physique nucleaire et la neutronique, la thermohydraulique, les materiaux nucleaires, la mecanique, la protection radiologique, ^instrumentation nucleaire, le fonctionnement et la surete des reacteurs a eau sous pression (REP), les filieres et le cycle du combustible nucleaire. Ces enseignements dispenses sur une duree de six mois sont suivis d'un projet de fin d'etude, veritable prolongement de la formation realise a partir d'un cas industriel concret, se deroulent dans les centres de recherches du CEA, des groupes industriels (EOF, Framatome, Technicatome, etc.) ou a I'etranger (EtatsUnis, Canada, Royaume-Uni, ...) La specificite de cette formation repose sur la large place consacree aux enseignements pratiques realises sur les installations de I'lNSTN (reacteur Ulysse, simulateurs de REP, laboratoires de radiochimie, etc.) Aujourd'hui, en pleine maturite de I'industrie nucleaire, le diplome d'ingenieur en « Genie Atomique » reste sans equivalent dans le systeme educatif frangais et affirme sa vocation : former des ingenieurs qui auront une vision globale et approfondie des sciences et techniques mises en ceuvre dans chaque phase de la vie des installations nucleaires, depuis leur conception et leur construction jusqu'a leur exploitation puis leur demantelement. L'INSTN s'est engage a publier I'ensemble des supports de cours dans une collection d'ouvrages destines a devenir des outils de travail pour les etudiants en formation et a faire connaTtre le contenu de cet enseignement dans les etablissements d'enseignement superieur frangais et europeens. Edites par EDP Sciences, acteur particulierement actif et competent dans la diffusion du savoir scientifique, ces ouvrages sont egalement destines a depasser le cadre de I'enseignement pour constituer des outils indispensables aux ingenieurs et techniciens du secteur industriel. Joseph Safieh Responsable general du cours de Genie Atomique

Table des matieres AVANT-PROPOS

19

AUTEUR

21

CHAPITRE 1 1.1

PARTIE 1 BASES DE PHYSIQUE NEUTRONIQUE

23

INTRODUCTION : GENERALITES SUR L'ENERGIE NUCLEAIRE

25

Rapide historique

25

1 .1 .1 1 .1 .2 1 .1 .3

25

La pile de Fermi La conclusion d'une longue histoire... ... et le point de depart d'une formidable aventure

26 28

1 .2

Principe d'une centrale nucleaire

30

1 .3

La fission

31

1 .4

Principe de la reaction en chaTne

32

1 .5

Principaux moderateurs et caloporteurs ; filieres de reacteurs

34

1 .6

Controle-commande des reacteurs

36

1 .7

Cycle du combustible nucleaire

37

1 .8

Surete nucleaire et radioprotection

37

1 .9

Programmes nucleates ; perspectives

39

CHAPITRE 2

PHYSIQUE NUCLEAIRE A L'USAGE DU NEUTRONICIEN

43

Introduction

43

A. Structure de la matiere et energie de liaison des noyaux

44

2.1

Structure de la matiere

44

2.1 .1

Image classique de I'atome

44

2.1 .2 2.1 .3 2.1 .4

Elements et isotopes Notation des nucleides Noyaux stables et instables

44 45

2.1 .5

Systematique des noyaux stables

47

45

4

2.2

2.3

Table des matieres

Energie de liaison des noyaux

47

2.2.1

Defaut de masse et energie de liaison des noyaux

47

2.2.2

Unites nucleates

48

2.2.3

Forces nucleates

49

2.2.4

Modele de la goutte

49

2.2.5

Nombres magiques et modele en couches

51

2.2.6

Spinetparite

52

2.2.7

Niveaux excites des noyaux (etats isomeriques)

52

2.2.8

Autres modeles nucleates

52

Principe de la liberation d'energie nucleaire

53

2.3.1

Recombinaisons nucleaires

53

2.3.2

Energie de reaction

54

2.3.3

Principe de la fusion et de la fission

54

B. Radioactivite

57

2.4.1

Zones d'instabilites

57

2.4.2

Principaux types de radioactivite

58

2.4.3

Loi de la radioactivite

59

2.4.4

Exemples de decroissances radioactives

61

2.4.5

Instabilite alpha

62

2.4.6

Instabilite beta

63

2.4.7

Instabilite gamma

64

2.4.8

Filiations radioactives

64

2.4.9

Equations devolution par radioactivite

64

C. Reactions nucleaires

66

2.5

Generalites sur les reactions nucleaires

66

2.5.1

Reactions spontanees et reactions induites

66

2.5.2

Exemples de reactions nucleaires

66

2.5.3

Lois de conservation

67

2.5.4

Section efficace

68

2.5.5

Section efficace macroscopique

69

2.6

2.7

Reactions par neutrons

70

2.6.1

Generalites

2.6.2

Diffusions et « vraies » reactions

70 71

2.6.3

Principales reactions induites par les neutrons dans les reacteurs

72

2.6.4

Sections efficaces partielles et additivite des sections efficaces

72

2.6.5

Allure des sections efficaces neutroniques

73

Pourquoi des resonances?

77

2.7.1

Sections efficaces resonnantes : loi de Breit et Wigner

80

2.7.2

Sections efficaces resonnantes : aspects statistiques

84

2.7.3

Sections efficaces dans le domaine thermique

84

5

Table des matieres

2.8

Sources de neutrons 2.8.1

Sources spontanees

2.8.2

Reactions induites par radioactivite

2.8.3 2.8.4

Reactions de fusion Reactions de spallation

85 86 86 86 86

D. Fission nucleaire

88

2.9

88 88 90 91 91

2.1 0

Fission spontanee et fission induite 2.9.1 2.9.2

Notion de barriere de fission Seuils associes a la fission

2.9.3

Influence de la parite

2.9.4

Effets quantiques : effet « tunnel » et effet « anti-tunnel »

Les produits de la fission 2.10.1

Les neutrons

2.10.2

Les fragments de fission

2.10.3

L'energie

92 92 94 96

E. Evaluation et traitement des donnees nucleates de base

98

2.1 1

98 98 99 99

Mesures de donnees de base neutroniques 2.11.1

Sources de neutrons

2.1 1 .2

Detection des neutrons

2.1 1 .3 2.1 1 .4

Mesure de la section efficace totale Mesure des sections efficaces partielles et du nombre de neutrons emis par fission

2.1 1 .5

Mesures integrates

100 100

2.12

Evaluation et bibliotheques de donnees nucleates

100

2.13

Traitement des donnees nucleates pour les codes de neutronique

101

CHAPITRE3 3.1

3.2

3.3

INTRODUCTION A LA NEUTRONIQUE

103

3.1.1 3.1 .2

Sections efficaces (rappels) Densite neutronique, flux neutronique, taux de reaction

3.1.3

Notion de flux en phase

103 103 104 104

3.1.4 3.1.5 3.1 .6

Notion de courant Notion d'opacite Premiere approche de ('equation de Boltzmann

105 107 108

Representation generate d'une population neutronique

109 109 110

Les interactions neutron-matiere

3.2.1

Variables a introduire

3.2.2

Notion generate de flux neutronique

3.2.3

Equation de Boltzmann

3.2.4

Resolutions probabiliste et deterministe de I'equation de Boltzmann

110 112

Spectres et bilans des neutrons

113

3.3.1 3.3.2

113 113

Reacteurs a neutrons rapides et reacteurs a neutrons thermiques Bilans neutroniques : « formule des quatre facteurs » et variantes

Table des matieres

6

CHAPITRE 4

CINETIQUE PONCTUELLE

117

Introduction

117

4.1

Cinetique sans neutrons retardes

117

4.1.1

Premiere approche

117

4.1.2 4.1.3

Equations devolution Reactivite

118 119

4.2

4.3

Cinetique avec neutrons retardes 4.2.1 Parametres des neutrons retardes 4.2.2 Aspects qualitatifs

120

4.2.3

Equations devolution

121

4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.2.7 4.2.8 4.2.9 4.2.10

Equation de Nordheim Cas des faibles reactivites Cas des fortes reactivites L'unite « naturelle » de reactivite : le « dollar » Proportion effective des neutrons retardes Modele de cinetique rapide Modele de cinetique lente

121

119 119

122 123 124 124 125 125

Etude de quelques problemes

126

4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4

Cinetique avec terme de source Arret d'urgence Creneau de reactivite Rampe de reactivite

126 127

EQUATION DE LA DIFFUSION

131

CHAPITRE 5

127 128

Introduction

131

5.1

Etablissement de ('equation de la diffusion

132

5.1.1

Bilan neutronique

132

5.1 .2 5.1 .3 5.1 .4 5.1 .5

Evaluation du courant : « loi » de Pick Equation de la diffusion Condition initiale ; conditions aux limites ; conditions d'interface Limite exterieure : distance d'extrapolation du corps noir ; surface extrapolee Approche a partir de ('equation integrale Conditions de validite de I'approximation de la diffusion Correction de transport

133

5.1 .6 5.1 .7 5.1.8 5.2

136 136 137 138 138 139

Etude de quelques problemes

139

5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5

139 142

Noyaux de ['equation de la diffusion en milieu homogene et infini Generalisation : notion de fonction de Green Notion d'albedo Calcul de I'albedo d'une plaque Utilisation de I'albedo comme condition a la limite

143 143 144

Table des matieres

7

5.2.6

Calcul des configurations decrites par une seule variable d'espace

144

5.2.7

Exemple de configuration ou le flux se factorise

145

5.2.8

Reacteur homogene et nu : fonctions propres de I'operateur laplacien

145

5.2.9

Probleme stationnaire : calcul du flux par decomposition sur les fonctions propres de I'operateur laplacien

147

Etude de la cinetique apres injection d'une bouffee de neutrons

148

5.2.1 0

THEORIE A UN GROUPE- DIFFUSION

151

Introduction : qu'est-ce que la theorie a un groupe?

151

6.1

Etude de quelques problemes en theorie a un groupe - diffusion

152

6.1.1

Allure des solutions

152

6.1.2

Pile nue homogene et spherique

153

6.1 .3

Autres exemples de piles nues homogenes

154

6.1 .4

Interpretation de la condition critique

155

6.1 .5

Notion d'economie de reflecteur

156

6.1 .6

Calcul de ('economic de reflecteur pour un reacteur « plaque »

157

6.1 .7

Traitement des geometries decrites par une seule variable d'espace

158

6.1 .8

Exemple de probleme ou le flux est factorise

159

CHAPITRE6

6.2

Principe des principales methodes numeriques de traitement de I'equation de la diffusion

160

6.2.1

Generalites sur les traitements numeriques

160

6.2.2

Probleme a source et problemes critiques

160

6.2.3

Differences finies

161

6.2.4

Elements finis

163

6.2.5

Methodes nodales

166

6.2.6

Methodes de synthese

166

CHAPITRE7

RALENTISSEMENT DES NEUTRONS

169

Introduction

169

7.1

170

Lois du choc diffusant 7.1 .1

Diffusions elastiques et inelastiques

170

7.1.2

Lois du choc elastique

171

7.1 .3

Lois du choc elastique et isotrope

173

7.1.4

Lethargic

174

7.1 .5

Evaluation du nombre de chocs necessaires pour ralentir un neutron

175

7.1 .6

Comparaison des principaux moderateurs

176

7.1 .7

Lois du choc inelastique

178

7.1.8

Equation du ralentissement

179

7.1 .9

Premiere forme de I'equation du ralentissement

179

7.1.10

Deuxieme forme de I'equation du ralentissement

181

Table des matieres

8

7.2

Etude de quelques problemes

182

7.2.1

General ites

182

7.2.2

Degradation du spectre des neutrons par diffusions successives

183

7.2.3

Ralentissement sans absorption

184

7.2.4

Ralentissement dans I'hydrogene

186

7.2.5

Ralentissement en presence de trappes

187

7.2.6

Ralentissement en presence d'absorption faible et lentement variable

189

7.2.7

Couplage espace-energie : theorie de I'age

191

CHAPITRE8

ABSORPTION RESONNANTE DES NEUTRONS (ASPECTS PHYSIQUES)

193

Introduction

193

8.1

Absorption resonnante en situation homogene...

196

8.1.1

Autoprotection en situation homogene

196

8.2

8.3

8.4

8.5

8.1.2

Interpretation de la formule du facteur antitrappe

197

8.1.3

Factorisation du flux et notion de section efficace effective

197

8.1.4

Formule pratique du facteur antitrappe en situation homogene

198

Prise en compte du ralentissement par le materiau absorbant

199

8.2.1

Equation de la structure fine du flux en situation homogene

200

8.2.2

Modeles de ralentissement pour les noyaux resonnants

201

Absorption resonnante en situation heterogene

202

8.3.1

Equations des flux et de la structure fine en situation heterogene

202

8.3.2

Approximations de Wigner et de Bell-Wigner ; notion d'equivalence heterogene-homogene

205

8.3.3

Cas d'un combustible contenant un melange

206

8.3.4

Effet Dancoff

207

8.3.5

Formule du facteur antitrappe en situation heterogene

208

L'effet Doppler

209

8.4.1

Interet de I'effet Doppler

209

8.4.2

Origine de I'effet Doppler

210

8.4.3

Calcul de I'effet Doppler

211

Perspectives : les problemes que devra resoudre (...) resonnante

213

8.5.1

devaluation du facteur de Bell

213

8.5.2

L' equivalence continu-multigroupe

213

8.5.3

La prise en compte de geometries plus compliquees

214

8.5.4

Les situations a plusieurs noyaux resonnants

214

8.5.5

La definition et le calcul de temperatures effectives

214

9

Table des matieres

CHAPITRE9

THERMALISATION DES NEUTRONS

215

Introduction

215

9.1

216

9.2

9.3

Aspects qualitatifs de la thermalisation 9.1 .1

Qu'est-ce qui differencie le domaine thermique du domaine du ralentissement?

216

9.1.2

Spectre de Maxwell

218

9.1 .3

Principe de microreversibilite

218

9.1.4

Lois de diffusion

219

9.1 .5

Equation de thermalisation

219

Allure et caracterisation du spectre thermique

220

9.2.1

220

Ecart entre le spectre des neutrons thermiques et le spectre de Maxwell

9.2.2

Exemples

222

9.2.3

Sections efficaces moyennes

224

9.2.4

Traitement d'une situation heterogene

225

Bilan des neutrons thermiques

225

9.3.1

Generalites

225

9.3.2

Facteur d'utilisation thermique

226

9.3.3

Facteur de reproduction

226

9.3.4

Optimum de moderation

227

9.3.5

Problematique de ('utilisation du bore en solution dans le circuit primaire des reacteurs a eau sous pression

230

Problematique de I'utilisation du plutonium dans les reacteurs a eau sous pression

231

9.3.6

CHAPITRE 10- THEORIE MULTIGROUPE

235

Introduction

235

10.1

Principe de la theorie multigroupe

235

1 0.2

Mise en ceuvre de la theorie multigroupe

236

1 0.3

Exemples de decoupages multigroupes

237

10.4

Theorie diffusion-multigroupe

239

1 0.5

Calcul en theorie a deux groupes d'une pile cylindrique reflechie

240

CHAPITRE 1 1 EMPOISONNEMENT PAR LES PRODUITS DE FISSION

243

Introduction

243

11.1

Generalites sur les produits de fission

244

11.1.1

Equations regissant les produits de fission

244

11.1.2

Pseudo-produits de fission

245

1 1 .1 .3

Notion d'empoisonnement

247

Table des matieres

10

1 1 .2

1 1 .3

L'effet xenon

248

11.2.1

Chame du xenon 135

248

1 1 .2.2

Equations simplifiees de la chame du xenon 1 35

248

1 1 .2.3

Demarrage, equilibre et arret du reacteur

249

1 1 .2.4

Instabilites spatiales dues au xenon 1 35

251

L'effet samarium

252

11.3.1

Chame du samarium 149

252

1 1 .3.2

Equations simplifiees de la chame du samarium 149

252

1 1 .3.3

Demarrage, equilibre et arret du reacteur

253

CHAPITRE 12

EVOLUTION DU COMBUSTIBLE (NOYAUX LOURDS)

255

Introduction

255

1 2. 1

256

1 2.2

12.3

Chaines et equations devolution 12.1.1

Chaines d'evol ution

256

12.1.2

Equations devolution

259

12.1.3

Fluence neutronique

260

1 2.1 .4

Variation des sections efficaces

261

1 2.1 .5

Combustion massique et taux de combustion

262

12.1 .6

Exemple de bilan des noyaux lourds (reacteur a eau sous pression)

263

Evolution du facteur de multiplication

265

12.2.1

Evolution du facteur de multiplication infini

265

12.2.2

Gestion d'un coeur en frequence multiple

266

1 2.2.3

Autres problemes de gestion de coeur (reacteurs a eau sous pression)

268

Conversion et recyclage de matieres

270

12.3.1

Noyaux fissiles, fertiles et steriles

270

12.3.2

Facteur de conversion ; gain de regeneration

271

12.3.3

Recyclage du plutonium

273

12.3.4

Cycle thorium-uranium 233

275

12.3.5

Incineration en reacteurs de dechets nucleates

275

CHAPITRE 1 3 EFFETS DE TEMPERATURE

277

Introduction

277

13.1

277

Boucle des centre-reactions

1 3.2

Definition des coefficients de temperature

278

1 3.3

Effets physiques contribuant aux coefficients de temperature

279

1 3.4

Effets de temperature sur la reactivite dans les reacteurs a eau sous pression

281

1 3.5

Apergu sur les effets de contre-reaction dans les reacteurs a eau sous pression 283

13.6

Effets de temperature dans les autres reacteurs

287

Table des matieres

PARTIE II ELEMENTS SUR LES CALCULS DE NEUTRONIQUE

11

289

CHAPITRE 14 EQUATION DE BOLTZMANN

291

Introduction

291

14.1

Les deux formes de I'equation de Boltzmann

292

14.1 .1 14.1.2

Densite entrante, densite sortante et flux neutronique Operateur de collision

292

1 4.1 .3 14.1 .4

Operateur de transport (forme integrale) Operateur de transport (forme differentielle)

293

1 4.1 .5 14.1.6

Equivalence entre les deux formes de I'operateur de transport Les deux approches deterministes de I'equation de Boltzmann

296

1 4.1 .7

Approche probabiliste de ('equation de Boltzmann

297

293 294 296

1 4.2

Traitement de I'operateur de collision

297

1 4.3

Traitement de I'operateur de transport sous sa forme integrale

298

14.3.1 1 4.3.2 14.3.3 14.3.4

298

Hypothese du choc isotrope Correction de transport Probabilites de premiere collision Relations de reciprocite et de complementarite entre les probabilites de premiere collision 14.3.5 Probabilites faisant intervenir une surface 14.3.6 Relations de reciprocite et de complementarite entre les probabilites faisant intervenir une surface 1 4.3.7 Allure des probabilites de premier choc pour un corps convexe homogene 1 4.3.8 Calcul des probabilites de collision en geometric x et en geometric x — y

1 4.4

14.5

300 301 303 303 304 305 305 307

14.3.9 Calcul des probabilites dans un reseau infini de cellules identiques 1 4.3.1 0 Cylindrisation des cellules 14.3.1 1 Principe des calculs en geometries « multicellules »

310

Traitement de I'operateur de transport sous sa forme differentielle

314

1 4.4.1

314

Traitement de I'operateur de diffusion

311

1 4.4.2 Methode des harmoniques spheriques 14.4.3 Approximation de la diffusion et correction de transport 1 4.4.4 Methode des harmoniques spheriques simplifiees

315

1 4.4.5 14.4.6 14.4.7

320

Methode des ordonnees discretes Effets de raies Traitements de la variable d'espace

318 319 321 322

Notion de mode fondamental

326

14.5.1 14.5.2

326

14.5.3

Pourquoi s'interesser au mode fondamental? Quelques solutions analytiques de ('equation de Boltzmann en theorie monocinetique Notion de mode fondamental dans un milieu homogene, en theorie monocinetique

326 329

Table des matieres

12

1 4.6

1 4.5.4

Interpretation physique du mode fondamental

331

1 4.5.5

Existence et calcul du coefficient de fuite

332

14.5.6

Bilan en mode fondamental

334

14.5.7

Generalisation au cas a spectre

335

14.5.8

Notion de mode fondamental dans un reseau regulier

337

Utilisation des techniques de Monte-Carlo en neutronique

338

1 4.6.1

Principe general de la methode de Monte-Carlo

338

1 4.6.2

Simulations analogues et simulations non analogues

338

14.6.3

Apergu sur les problemes d'echantillonnage

340

14.6.4

Simulations analogues du cheminement d'un neutron

342

1 4.6.5

Estimation du facteur de multiplication

343

1 4.6.6

Simulations semi-analogues du cheminement des neutrons

344

CHAPITRE 1 5 THEORIE DE L'ABSORPTION RESONNANTE DES NEUTRONS

347

Introduction

347

15.1

347

1 5.2

15.3

15.4

1 5.5

Echelles en energie des differents problemes de neutronique Inequivalence heterogene-homogene : choix du facteur de Bell

348

1 5.2.1

Principe des pre-tabulations (rappel)

348

1 5.2.2

Principe de ['equivalence heterogene-homogene

349

1 5.2.3

Definition du probleme simplifie

349

1 5.2.4

Mise en ceuvre avec le modele « resonance etroite »

350

1 5.2.5

Mise en oeuvre avec le modele « resonance large »

350

1 5.2.6

Examen de la largeur des resonances : I'exemple de I'uranium 238

351

1 5.2.7

Equivalence macrogroupe par macrogroupe

351

(.'equivalence continu-multigroupe

352

1 5.3.1

Pourquoi calculer le flux reel et non le flux macroscopique?

352

1 5.3.2

Principe de ['equivalence continu-multigroupe

352

Le traitement « un par un » des situations a plusieurs noyaux resonnants

354

1 5.4.1

Necessite de trailer des situations a plusieurs noyaux resonnants

354

1 5.4.2

Principe du traitement « un par un »

355

Les extensions de la theorie Livolant-Jeanpierre

355

1 5.5.1

Prise en compte de la capture eventuelle du moderateur

355

1 5.5.2

Autoprotection dans le domaine thermique

356

1 5.5.3

Autres modeles de ralentissement

356

1 5.5.4

Traitement des geometries a plusieurs zones moderatrices

357

1 5.5.5

Traitement des situations a plusieurs zones resonnantes

358

1 5.5.6

Traitement du cas general

359

1 5.5.7

Le probleme des interferences entre resonances

360

13

Table des matieres

1 5.6

1 5.7

15.8

La methods des tables de probabilite

361

15.6.1

Introduction

1 5.6.2

Principe d'une table de probabilite

361 361

1 5.6.3

Table des sections efficaces partielles

1 5.6.4

Traitement des melanges

363 364

15.6.5

Conclusion

365

Le traitement de I'effet Doppler

365

1 5.7.1

Calcul de I'elargissement Doppler des resonances

1 5.7.2

Prise en compte des gradients de temperature

366 366

Perspectives

367

1 5.8.1

La validation des calculs d'autoprotection

367

1 5.8.2

Quelques problemes encore en suspens

368

CHAPITRE 16

THEORIE DES PERTURBATIONS

369

Introduction

369

1 6.1

Notion de flux adjoint

370

1 6.1 .1

Importance neutronique

1 6.1 .2

Definition mathematique du flux adjoint

16.1.3

Exemples

370 370 371

1 6.1 .4

Definition physique du flux adjoint

372

16.2

16.3

16.4

Formules des perturbations

372

16.2.1

Reacteur critique associe

372

1 6.2.2

Formule exacte des perturbations

1 6.2.3

Formule au premier ordre des perturbations

373 374

Exemples d'applications

375

16.3.1

Equivalent plutonium 239

1 6.3.2

Efficacites differentielle et integrale d'une barre de commande

375 376

1 6.3.3

Erreurs dues aux incertitudes nucleaires et technologiques

378

Theorie generalised des perturbations

380

CHAPITRE 1 7 APERQU GENERAL SUR LE « SCHEMA DE CALCUL »

381

Introduction

381

17.1

Donnees nucleaires

382

17.2

Les tabulations pour le traitement de I'autoprotection des resonances

382

1 7.3

Les calculs d'assemblage

383

1 7.4

Le calcul du reflecteur

387

17.5

Le calcul de cceur

387

1 7.6

Le probleme de I'homogeneisation et de la condensation

390

1 7.7

Lequivalence transport-diffusion

391

17.8

Generalisation : la notion d'equivalence en neutronique

392

Table des matieres

14

17.9

Prise en compte de revolution et des centre-reactions

393

17.10 Prise en compte de la cinetique rapide

394

1 7.1 1 Recapitulation des principales approximations du schema de calcul

395

17.12 Validation des schemas de calcul

397

17.13 Qualification des schemas de calcul

398

17.14 Recherches de tendances

398

17.15 Conclusions

403

CHAPITRE 1 8 APERQU SUR LES PROBLEMES DE CONCEPTION DES CCEURS

405

Introduction

405

18.1

18.2

18.3

Elements generaux de conception des cceurs

405

1 8.1 .1

Objectif du reacteur

406

18.1.2

Choix d'une filiere

406

1 8.1 .3

Elements pour le dimensionnement du reseau

406

1 8.1 .4

Elements pour le choix de la dimension du coeur et pour le choix du reflecteur

408

Generalites sur le pilotage et la gestion des cceurs

410

1 8.2.1

Notions sur le pilotage

410

18.2.2

Bilan de reactivite

413

18.2.3

Gestion d'un coeur

414

18.2.4

Recyclage du plutonium

414

Perspectives de I'energie nucleaire

418

1 8.3.1

Elements de strategie

418

18.3.2

Utilisation du combustible nucleaire

418

1 8.3.3

Multirecyclage du plutonium dans les reacteurs

420

1 8.3.4

Etude des filieres de la prochaine generation

423

18.3.5

Les reacteurs hybrides

424

1 8.3.6

La problematique de la gestion des dechets

430

1 8.3.7

Nucleaire et developpement durable

434

ANNEXES ANN EXE A A.1

BIBLIOGRAPHIE COMMENTED

437 439

Introduction a I'energie nucleaire et contexte

440

A. 1.1

Generalites

440

A. 1.2

Aspects historiques

441

A. 1.3

Risques, surete et accidents

441

A.I. 4

Communication

441

Table des matieres

15

A.1 .5 A.1 .6

Cycle du combustible Defense nucleaire et risque de proliferation

441

A. 1.7

Fusion nucleaire

442

A.1 .8

Le phenomene d'Oklo

442

442

A.2

Ouvrages generaux sur la physique des reacteurs

442

A.3

Ouvrages de I'auteur sur la neutronique

443

A.4

Physique nucleaire, donnees nucleaires et qualification

443

A. 4.1

Generalites sur la physique nucleaire

443

A.4. 2

Radioactivite et radioprotection

443

A.4. 3

La fission

444

A.4. 4

La physique nucleaire utile a la neutronique

444

A.4. 5

La mesure des donnees nucleaires

444

A. 4. 6 A.4. 7

445

A.4. 8

Compilation et traitement des donnees nucleaires Les mesures integrales et leur utilisation pour la qualification des donnees nucleaires La demarche generale de qualification des donnees nucleaires

A.4. 9

Bases de donnees sur les experiences integrales

446

445 445

A.5

Cinetique des reacteurs

446

A.6

Ralentissement, thermalisation et absorption resonnante des neutrons

447

A. 6.1

Generalites sur I'absorption resonnante

447

A. 6. 2

La methode des taux de reaction effectifs

447

A. 6. 3 A. 6. 4

La methode des tables de probabilite L'effet Doppler

447

A. 6. 5 A. 6. 6

Validation et qualification La thermalisation des neutrons

448

448 449

A.7

Traitement du spectre neutronique - Theorie multigroupe

449

A.8

Traitement de I'operateur de transport

450

A.8.1

Ouvrages generaux

450

A.8. 2

Quelques litres sur I'approche franchise

451

A.9

A.10

Technique de Monte-Carlo

451

A.9.1

Ouvrages generaux

451

A. 9. 2

Exemples de codes Monte-Carlo

452

A. 9. 3

Quelques developpements frangais

452

Equivalence, homogeneisation et calcul des reflecteurs

453

A. 10.1 Homogeneisation

453

A. 10.2

454

Calcul des reflecteurs

A.1 1 Traitement des fuites de neutrons

454

A. 12 Calculs de perturbation

455

A.1 3 Techniques mathematiques et analyse numerique

456

Table des matieres

16

A. 14

Developpement de logiciels

457

A.1 4.1

Calcul des probabilites de premiere collision

457

A.1 4.2

Les codes APOLLO-1 et APOLLO-2

457

A.1 4.3

Les calculs de cceur en transport simplifie

457

A. 14. 4

Les calculs deterministes des protections radiologiques

458

A. 15 Validation de logiciels et schemas de calcul

458

A. 1 6

459

Design et etudes appliquees

ANNEXE B

CONSTANTESET TABLES PHYSIQUES

461

B.1

Table des elements

461

B.2

Constantes physiques

461

B.2.1

Unites usitees en physique nucleaire

461

B.2.2

Principales constantes physiques utilisees en neutronique

463

B.3

Selection de donnees nucleates

463

B.3.1

Donnees relatives aux elements

463

B.3. 2

Donnees relatives aux nucleides

466

B.3. 3

Energies liberees par fission

467

ANNEXE C C.1

C.2

C.3

COMPLEMENTS MATHEMATIQUES

469

Distribution de Dirac

470

C.1.1

Definition intuitive

470

C.1 .2

Definitions mathematiques

470

C.1 .3

Definitions en tant que laplaciens

470

C.1. 4

Generalisations

471

Operateurs lineaires

471

C.2.1

Definition

471

C.2. 2

Tout operateur lineaire est integral

471

C.2. 3

Operateur adjoint

472

C.2. 4

Elements propres d'un operateur

472

Transformation de Fourier

473

C.3.1

Operateurs invariants par translation

473

C.3. 2

Definitions de la transformee de Fourier d'une fonction

474

C.3. 3

Transformee de Fourier d'un produit de convolution

475

C.3. 4

Exemples a une dimension (convention a)

475

C.3. 5

Transformers de Fourier dans I'espace a 2 ou 3 dimensions

476

C.3. 6

Transformers de Fourier des fonctions symetriques (convention a)

476

C.3. 7

Formule sommatoire de Poisson

477

C.3. 8

Valeurs propres des operateurs invariants par translation

478

C.3. 9

Operateurs lineaires en reseau infini et regulier

478

Table des matieres

C.4

C.5

Harmoniques spheriques C.4.1

I nvariance par rotation

C.4. 2 C.4. 3 C.4. 4

Polynomes de Legendre Harmoniques spheriques Operateurs invariants par rotation

Fonctions propres de I'operateur laplacien C.5.1

C.6

Definition

C.5. 2

Operateur laplacien

C.5. 3 C.5. 4

Solutions generales factorisees Fonctions propres du laplacien s'annulant a la surface d'un domaine

Fonctions de Bessel C.6.1 C.6. 2 C.6. 3 C.6. 4

Equations de Bessel Developpements a I'origine Developpements asymptotiques Relations de recurrence

C.6. 5

Integrates

C.6. 6 C.6. 7

Wronskiens Fonction generatrice des /„

C.6. 8

Representations par une integrate definie

C.6. 9 C.6. 10

Formules d'addition Base complete de fonctions definies dans I'intervalle [0,1]

C.6.1 1 Transformation de Fourier dans le plan C.6. 12 Fonctions d'ordre demi-entier C.6. 13 Quelques valeurs numeriques C.7

C.8

Operateur d'advection C.7.1 Coordonnees cartesiennes C.7. 2

Coordonnees cylindriques

C.7. 3

Coordonnees spheriques

Operateur de Peierls C.8.1 C.8. 2 C.8. 3

C.9

C.10 C.11

Geometric a trois dimensions (x,y,z) Geometric a deux dimensions (x,y) Geometric a une dimension (x)

Fonctions exponentielles integrates C.9.1 C.9. 2

Definitions Relations de recurrence

C.9. 3

Developpements a I'origine

C.9. 4

Developpements asymptotiques

C.9. 5

Transformees de Fourier en cosinus

17

479 479 481 483 484 485 485 485 486 486 488 488 491 492 492 493 493 494 494 494 494 495 495 495 496 496 496 497 497 498 498 498 499 499 499 500 500 500

Fonctions de Bickley-Naylor

501

Formules de quadrature

502 502 503 505

C.11.1 General ites C.11. 2 Formules a pas constant C.11. 3

Formules de Gauss

Table des matieres

18

ANNEXED D.1

D.2

D.3

D.4

D.5

D.6

VADE-MECUM

509

Unites et constantes

509

D.1.1 D.1 .2

509 510

Unites Quelques constantes physiques

Physique nucleaire

510

D.2.1 D.2.2 D.2. 3 D.2 .4 D.2. 5 D.2. 6

510 510 511 511 511 511

Caracteristiques d'une particule (non relativiste) Constitution d'un atome Energie de liaison des noyaux Radioactivite Fission Reactions par neutrons

Diffusion des neutrons

512

D.3.1 D.3.2 D.3. 3

Facteur de multiplication Cheminement des neutrons Population des neutrons

512 512 512

D.3. 4 D.3. 5 D.3. 6

Equation du transport Approximation de la diffusion Theorie a un groupe de neutrons

512 513 513

Spectre des neutrons

514

D.4.1 D.4.2 D.4. 3

514 514 515

Facteur de multiplication infini des reacteurs a neutrons thermiques Ralentissement elastique Spectre de Maxwell

Cinetique des reacteurs

515

D.5.1 D.5.2

Reactivite Situation surcritique par neutrons prompts

515 515

D.5. 3

Evolution au voisinage de la criticite

516

Fonctionnement des reacteurs

516

D.6.1 D.6. 2

Effets de temperature Empoisonnement par les produits de fission

516 517

D.6. 3

Evolution des noyaux lourds

517

INDEX ETGLOSSAIRE

519

Avant-Propos

Ce Precis de neutronique a ete concu a I'intention des eleves de seconde annee de la formation d'ingenieurs en « Genie Atomique » pour leur permettre d'acquerir les bases de ce domaine scientifique. Le plan de ce livre suit celui du « syllabus » propose aux intervenants aux differents cours de « Genie Atomique » de Saclay, Cadarache et Cherbourg. Son contenu reprend non seulement une partie de mes publications anterieures sur la neutronique mais s'inspire aussi des documents et polycopies de mes collegues enseignants : je tiens done a les remercier collectivement pour I'aide que toute cette matiere m'a apportee. Pour les personnes qui n'ont jamais suivi de formation sur I'energie nucleaire, je conseille vivement de commencer par mon petit livre L'Energie nucleaire (« Que sais-je?», 1 7, PUF, 1999) ou sont presentees des notions de base sur I'energie et la structure de la matiere, ainsi que le descriptif des centrales nucleaires et I'analyse de la problematique de cette energie. On pourra aussi consulter I'autre petit livre de la meme collection, La Neutronique (PUF, « Que sais-je?» , 1998), dans lequel les notions developpees dans le present Precis de neutronique sont presentees de fagon certainement plus accessible. La lecture ce precis pourra utilement etre completee par celle des Exercices de neutronique qui en font le pendant selon, la aussi, le plan du « syllabus ». Je rappelle enfin que I'ouvrage que j'ai ecrit avec Jean Bussac, le Traite de neutronique (Hermann, 1978 et 1985), bien que deja un peu ancien, reste une reference pour ceux qui souhaitent plus de details ou des complements sur les aspects physiques. Je n'ai pas repris ici, en effet, un certain nombre de theories analytiques qui etaient utilisees a I'epoque — la theorie du facteur de fission rapide, la theorie « ABH » (Amouyal-Benoist-Horowitz), le modele secondaire de thermalisation de Cadilhac, etc. — mais qui sont aujourd'hui quelque peu tombees en desuetude; en revanche, j'ai presente avec davantage de details les techniques de resolution de ('equation de Boltzmann, en me limitanttoutefois, sur ces aspects, auxprincipesgeneraux, puisquecetouvrageest davantage destine aux utilisateurs des codes de calcul sur ordinateurs qu'aux specialistes qui les developpent.

20

Avant-Propos

Remerciements : une version provisoire de ce Precis de neutronique a ete diffusee sous forme de polycopie aux eleves de « Genie atomique » de I'annee 2001-2002 et a leurs enseignants. Ce polycopie a egalement ete relu avec grand soin par mon collegue et ami Jean-Claude Lefebvre : je tiens a remercier chaleureusement tous ces lecteurs qui m'ont propose de nombreuses ameliorations dans le document et ont debusque les inevitables erreurs materielles. J'exprime aussi ma gratitude aux Editions EDP Sciences qui ont accepte de publier ce manuscrit en y apportant, la encore, des ameliorations dans la presentation.

P. R. Gif-sur-Yvette, mai 2003.

Auteur

Paul Reuss est ancien eleve de I'Ecole polytechnique et docteur es sciences physiques. II a mene toute sa carriere au Commissariat a I'energie atomique (CEA), a Saclay et a Fontenay-aux-Roses, se partageant entre les activites de recherche et developpement, I'enseignement et la formation. Ses activites de recherche ont porte sur I'amelioration, la validation et la qualification des codes de calcul pour ordinateur utilises par les ingenieurs pour la conception et le suivi des cceurs des centrales nucleaires, notamment COREGRAF (reacteurs a uranium nature! et a graphite) et APOLLO (reacteurs de tous types et, specialement, reacteurs a eau). Parmi les developpements auxquels il a participe, on retiendra I'etude physique du recyclage du plutonium dans les reacteurs a eau (objet de sa these de doctorat d'Etat), la generalisation de la theorie de I'absorption resonnante des neutrons, et la « recherche de tendances », c'est-a-dire ('exploitation des mesures de neutronique faites sur les experiences critiques et sur les reacteurs de puissance pour ameliorer la connaissance des donnees nucleaires. Plus d'une centaine de publications techniques peuvent etre mises a son actif. Apres avoir suivi le DEA de Physique des reacteurs nucleaires, Paul Reuss est rapidement intervenu comme charge de cours, puis comme professeur responsable de ce DEA. II a aussi anime de nombreux autres enseignements. II est aujourd'hui le professeur coordinateur de I'enseignement de neutronique au Genie atomique. Outre ce « Precis de neutronique », il est I'auteur de plusieurs ouvrages pedagogiques sur la neutronique et la physique nucleaire, notamment, avec Jean Bussac, du Traite de neutronique qui a ete et reste I'ouvrage de reference pour les etudiants et les specialistes. Paul Reuss a suivi les travaux d'une vingtaine de doctorants et a participe a plus de cent jurys de these. Parmi ses autres activites liees a la formation, notons qu'il a ete pendant deux ans responsable de formation a Plnstitut de protection et de surete nucleaire (IPSN, maintenant IRSN), qu'il a anime, au CEA et surtout a Electricite de France, de nombreux seminaires sur la physique neutronique, sur la theorie du transport des neutrons et sur I'absorption neutronique, et qu'il a redige les tres complets polycopies associes.

Auteur

22

Ouvrages de Paul Reuss parus en librairie : Traite de neutronique, Hermann, 1978 et 1985, 670 pages (en collaboration avec Jean Bussac). Elements de physique nudeaire a /'usage du neutronicien, coll. « Enseignement », CEA/INSTN, 1981, 1987 et 1995, 91 pages. Elements de neutronique, coll. « Enseignement», CEA/INSTN, 1986 et 1995, 1 75 pages. Clefs pour la neutronique des reacteurs a eau, coll. « Enseignement», CEA/INSTN, 1990, 348 pages. L'Energie nudeairef coll. « Que sais-je? », La Neutronique, coll. « Que sais-je? »,

, PUF, 1994 et 1999, 128 pages. , PUF, 1998, 128 pages.

Partie I

BASES DE PHYSIQUE NEUTRONIQUE

Cette page est laissée intentionnellement en blanc.

1

Introduction: generalites sur I'energie nucleaire

1.1 Rapide historique 1.1.1 La pile de Fermi 2 decembre 1942 : pour la premiere fois, I'Homme realise une reaction en chame de fissions. Le merite en revient a I'equipe de Chicago, animee par Enrico Fermi (19011954). Ce jour-la, la population neutronique diffusant dans la « pile » s'amplifia tout doucement, meme apres le retrait de la source. Puis, prudemment, Fermi commanda ('insertion de la barre de commande en cadmium, ce qui stoppa la « divergence » : la puissance nucleaire avait atteint environ 0,5 watt! Personne n'avait pense a inviter un photographe! L'evenement fut immortalise par un tableau et un dessin, reproduit ci-dessous (voir figure 1.1, page suivante). On y voit que la « condition critique » (la configuration permettant I'auto-entretien de la reaction en chame) a ete obtenue quand 400 tonnes de graphite, 6 d'uranium metallique et 58 d'oxyde d'uranium eurent ete empilees(1) selon une disposition bien choisie. Quelques grands principes que nous retrouverons dans tous les reacteurs — de recherche comme de puissance — sont deja mis en ceuvre dans la pile de Fermi. 1/ Le controle-commande, symbolise par les deux operateurs, en bas : celui de gauche, surveillant les cadrans des detecteurs, incarne la fonction de controle; celui de droite, pouvant manceuvrer la « barre de commande » en cadmium, incarne la fonction de commande. Le cadmium est un materiau capturant efficacement les neutrons; si I'on enfonce la barre, on augmente le nombre de neutrons captures dans le cadmium et I'on reduit done le nombre de neutrons provoquant des fissions de I'uranium : la reaction en chame s'etouffe; inversement, si la barre est legerement extraite, davantage de neutrons deviennent disponibles pour provoquer des fissions : la reaction en chaine s'amplifie. Le dialogue entre le controle et la commande (ici simplement verbal) permet de piloter le systeme comme souhaite. 1. D'ou le terme de « pile atomique » souvent utilise par la suite pour designer un reacteur nucleaire, aujourd'hui un peu desuet.

26

Precis de neutronique

Figure 1.1. La pile de Fermi (document Argonne National Laboratory).

2/ La surete repose d'abord sur un bon controle-commande. Mais on y ajoute aussi un dispositif d'arret d'urgence en cas d'incident. II est assure, dans cette experience, par un personnage que I'on ne voit pas, place au-dessus de I'empilement. Arme d'une hache, il peut, au signal de Fermi, trancher la corde qui maintient en equilibre un bac et repandre ainsi dans I'empilement la solution d'acide borique qu'il contient: le bore est un puissant absorbant neutronique; dans cette hypothese, il aurait instantanement arrete la reaction en chame. 3/ La radioprotection est, ici, assuree par le detecteur suspendu devant la pile : il mesure le niveau de rayonnement ambiant. Le signal est transmis par le cable courant le long du plafond jusqu'a un cadran place sous les yeux de Fermi en personne, au balcon. Fermi s'assure ainsi que ses collaborateurs et lui-meme ne courent pas le risque d'une irradiation excessive et, si necessaire, il peut commander I'arret d'urgence.

1.1.2 La conclusion d'une longue histoire... La divergence de la pile de Fermi conclut un demi-siecle de recherche tres active dans le domaine de la physique nucleaire. On fait generalement demarrer I'histoire de la physique nucleaire en 1896 avec la decouverte, presque fortuite, de la radioactivite par Henri Becquerel (1852-1908), intrigue par des plaques photographiques voilees bien que placees a I'abri du soleil dans un tiroir (il se trouve qu'elles avaient ete mises au voisinage d'echantillons d'uranium). Limitons-nous a quelques jalons de cette histoire. 1898 : decouverte du polonium et du radium par Marie Sklodowska (1867-1934) et son mari Pierre Curie (1859-1906). 1913 : premiers modeles de I'atome elabores par Ernest Rutherford (1871-1937) et Niels Bohr (1885-1962).

1

- Introduction : generalites sur I'energie nucleaire

27

La notion d'atome, elle-meme, impregnait la physique et la chimie depuis longtemps : deja imaginee par Democrite (v. 460-v. 370 av. J.-C.), elle apparatt tres clairement dans les travaux de chimistes tels que John Dalton (1766-1844) ou Louis Joseph Gay-Lussac (1778-1850) et permet seule de comprendre la classification des elements proposee en 1869 par Dmitri Ivanovitch MendeleVev (1834-1907). 1932 : mise en evidence du neutron par James Chadwick (1891-1974). 1934 : decouverte de la radioactivite artificielle par Frederic Joliot (1900-1958) et son epouse Irene Curie (1897-1956) : par I'action des particules alpha sur raluminium 27 (('aluminium usuel), un neutron et un phosphore 30 sont produits; ce dernier se desintegre par radioactivite beta en deux minutes et demie, ce qui fut mis en evidence lors de cette experience. 1934-1938 : etude des reactions induites par neutron. Des que Ton sut creer des rayonnements neutroniques, a la suite des travaux de Chadwick notamment, les physiciens nucleates s'interesserent aux reactions entre ces particules et les divers elements de la table de MendeleVev. Comme le neutron n'a pas de charge electrique, il peut s'approcher facilement des noyaux des atomes, et ('experience montre que la capture du neutron est assez frequente. On obtient de la sorte un isotope du noyau initial qui, parfois, est radioactif et se transforme en un autre element par decroissance beta (les processus radioactifs seront decrits plus en detail au chapitre suivant). Fermi, en particulier, s'interessait a ces reactions et se disait qu'en bombardant, par des neutrons, I'uranium — le dernier element de la table de MendeleVev, de numero 92 —, il devrait ainsi creer de nouveaux elements artificiels prolongeant la liste des elements connus. L'experience montra effectivement que la reaction donnait des produits radioactifs mais manifestement beaucoup plus nombreux que ce qui etait attendu. 1938 : decouverte de la fission. L'experience de Fermi fut reprise dans d'autres laboratoires. II fallut quatre ans pour que I'explication correcte du phenomene soit donnee a la suite de la mise en evidence, par Otto Hahn (1879-1968) et Fritz Strassmann, de la presence de baryum dans les produits de la reaction : le baryum etant un element de masse intermediaire, cela apportait la preuve que le noyau d'uranium, apres absorption du neutron, s'etait carrement brise en deux. La decouverte de la fission fut annoncee par Lise Meitner (1878-1968) qui calcula que cette brisure devait s'accompagner d'un degagement considerable d'energie, ce qui la rend done vraisemblable. 1939 : brevets d'un « dispositif de production d'energie ». Des I'annonce de la decouverte de la fission, I'experience est reprise dans differents laboratoires — la physique nucleaire est extremement active, comme on le voit, au cours de ces annees 1930. En particulier, Joliot et ses collaborateurs, Hans von Halban et Lew Kowarski (1907-1979), mettent en evidence ['emission de neutrons secondaires lors de la fission et en mesurent le nombre moyen, environ trois (ce qui est un peu optimiste, comme le montreront les mesures faites par la suite). Us comprennent rapidement que cela devrait permettre de realiser une reaction en chaine auto-entretenue, les fissions liberant des neutrons susceptibles d'induire de nouvelles fissions. Avec leur collegue Francis Perrin (1901-1992), qui introduit la notion de taille critique, ils congoivent un dispositif et deposent les brevets de ce que Ton appellera plus tard un reacteur nucleaire. Avec ('invasion allemande, I'equipe est dispersee quelques semaines apres et ces brevets restent secrets pendant toute la duree de la guerre.

28

Precis de neutronique

Les recherches se poursuivirent tres activement en Grande-Bretagne, au Canada et aux Etats-Unis. La crainte que PAIIemagne nazie acquiere un avantage decisif avec la realisation d'une arme « atomique » ( 1 ) — crainte exprimee notamment dans la lettre adressee, sur ('impulsion de Leo Szilard (1898-1964) et Eugene Wigner (1902-1995), par Albert Einstein (1879-1955) au President Roosevelt le 2 aout 1939 — conduisit les Etats-Unis a entreprendre le gigantesque programme « Manhattan ». 1945 : Hiroshima et Nagasaki. Ce programme, anime par Robert Oppenheimer (1904-1967), explora les deux voies possibles (nous en reparlerons), celle de I'uranium 235 et celle du plutonium 239. La voie du plutonium (element numero 94 que recherchait Fermi mais qui fut, en fait, decouvert par Glenn Seaborg [1912-1999] en 1940) conduisit a I'essai Trinity a Alamogordo (Nouveau-Mexique) le 16 juillet 1945, puis a la bombe de Nagasaki (9 aout 1945). La voie de I'uranium 235 mena a la bombe de Hiroshima (6 out 1945).

1.1.3 ... et le point de depart d'une formidable aventure II est certain que les developpements de I'energie nucleaire qui ont suivi la guerre sont restes empreints, dans ('opinion publique, de ce « peche originel ». Et cela d'autant plus que la capitulation du Japon ne mit pas fin, bien au contraire, a la course aux armements, non seulement aux Etats-Unis, mais aussi dans quelques autres pays developpes, notamment I'URSS. II ne fallut que quelques annees (resp. 1952 et 1953) pour que ces deux grandes puissances mettent au point une arme encore plus terrifiante, la bombe « H » a fusion. Notre propos, ici, est de parler des developpements pacifiques de I'energie nucleaire. Des la fin des hostilites, la plupart des grands pays industriels s'interesserent a cette nouvelle energie et entreprirent, pour certains, des programmes tres ambitieux. La premiere production d'electricite nucleaire date de 1951 : elle fut realisee a Chicago dans un petit reacteur a neutrons rapides EBR-1. En France, une ordonnance signee par le General de Gaulle, le 18 octobre 1945, crea le CEA. Trois ans plus tard seulement (15 decembre 1948), les « savants atomistes » frangais faisaient diverger la pile Zoe (uranium nature! et eau lourde) au fort de Chatillon a Fontenay-aux-Roses (Hauts-de-Seine). Apres Fontenay, trois autres grands centres d'etudes nucleaires furent crees a Saclay (Essonne), Grenoble (Isere) et Cadarache (Bouches-duRhone), ainsi que plusieurs centres de la direction des applications militaires. Apres Zoe, la France developpa la filiere UNGG (uranium nature!, graphite, gaz) avec les prototypes G1, G2 et G3, puis six reacteurs de grande puissance, aujourd'hui tous arretes. Elle s'interessa aussi a la filiere a eau lourde (Brennilis, aujourd'hui demantelee) et aux reacteurs a neutrons rapides (Phenix et Superphenix, ce dernier arrete en 1997). A la fin des annees 1970, la decision fut prise de reorienter tout I'effort sur la filiere des reacteurs a eau sous pression et a uranium (legerement) enrichi : 58 centrales de 900, 1 300 ou 1 450 MWe fournissent actuellement environ les trois quarts de la production d'electricite franc_aise. 1. Crainte qui s'avera non fondee.

1 - Introduction : generates sur I'energie nucleaire

29

TABLEAU 1 .1 . Pare electronucleaire mondial : puissance installee en GWe (nombre d'unites) au 31/12/2000 et part du nucleaire dans la production d'electricite en 2000. (Source : ELECNUC, edition 2001). PAYS

Installe

En construction

Commande

-

Electricite nucleaire

France

63,2 (59)

-

Japon

43,5 (53)

4,5 (4)

5,8 (5)

Allemagne

21,3 (19)

-

Russie

19,8 (29)

10,6 (12)

Canada

14,9(21)

-

Coree du Sud

12,9(16)

3,8 (4)

Slovaquie

2,4 (6)

0,8 (2)

Chine

2,1 (3)

6,3 (9)

Bresil

1,9 (2)

-

Afrique du Sud Hongrie

1,8 (2) 1,8 (4)

Mexique Argentine

0,9 (2)

0,7(1)

Roumanie

0,7(1)

2,5 (4)

Slovenie

0,6(1)

0,8 (2)

Pays-Bas Pakistan

0,5(1) 0,4 (2)

-

-

Armenie

0,4(1)

-

-

20% 76% 35% 31% 15% 12% 41% 23% 45% 40% 28% 55% 25% 49% 38% 74% 4% 30% 20% 53% 1% 1% 7% 41% 5% 7% 10% 24% 4% 2% 33%

1,9 (2)

-

-

1,0(1)

-

40,2 (48)

17,0(21)

16%

Etats-Unis

98,1 (104)

9,4(11)

-

3,8 (4) -

Espagne

7,5 (9)

-

-

Belgique

5,7 (7)

-

Taiwan

4,9 (6)

2,6 (2)

Bulgarie

3,5 (6)

Suisse

3,2 (5) 2,8 (2)

-

2,7(15)

0,9 (2)

3,6 (8) -

Royaume-Uni

12,5 (33)

-

Ukraine

11,2(13)

3,8 (4)

Suede

Lituanie Inde Finlande

2,6 (4)

-

Rep. Tcheque

2,5 (5)

0,9(1)

Coree du Nord Iran MONDE

1,3 (2)

357,2 (444)

Le tableau 1.1 detaillant le pare mondial des centrales electronucleaires (plus de 400 reacteurs, produisant environ 16% de I'electricite) montre que la France se singularise par un equipement nucleaire remarquable : la raison en estevidemment I'absence presque totale d'autres sources d'energie sur le territoire national (hormis I'hydraulique, mais deja saturee). Une situation assez similaire est observee au Japon, pays qui n'a pas non plus de ressources energetiques. On pourra noter des situations tres contrastees selon les pays, en particulier au sein de I'Union europeenne.

30

Precis de neutronique

A ce pare, il convient d'ajouter des centaines de petits reacteurs de caracteristiques tres diverses, devolus a des applications energetiques (propulsion navale, dessalement, spatial...) ou a la recherche (irradiations technologiques, imagerie par neutrons...), a ('Industrie (production de radioelements) et a 1'enseignement.

1.2 Principe d'une centrale nucleaire Dans son principe, une centrale electronucleaire est tres similaire a une centrale classique a charbon, fuel ou gaz : une source de chaleur porte un gaz a haute temperature; celui-ci se detend ensuite dans une turbine convertissant son energie en energie mecanique, elle-meme transformed en electricite grace a un alternateur couple a la turbine; ce gaz, refroidi, est en general recycle vers la source de chaleur, suivant ainsi un cycle thermodynamique. Le rendement de la conversion de chaleur en energie mecanique (et, a fortiori, en electricite) ne peut pas depasser une valeur maximale, dite rendement de Carnot, donnee par la formule :

ou les deux temperatures (absolues) qui apparaissent sont celles de la source chaude et de la source froide. Dans une centrale nucleaire, la source chaude resulte non pas de la combustion chimique d'un combustible fossile avec I'oxygene, mais d'une « combustion^ » nucleaire, celle de noyaux lourds fissionnes par des neutrons et liberant ainsi une grande quantite d'energie — en pratique, sous forme de chaleur. Pour realiser une reaction en chaine, un choix entre plusieurs materiaux et plusieurs agencements est possible, conduisant a autant de «filieres (2) »; il y a, de meme, des variantes dans les cycles thermodynamiques pour la conversion de la chaleur en electricite. A titre d'exemple, la figure 1.2, page ci-contre, est relative aux reacteurs a eau sous pression(3) qui, en France, a une exception pres, produisent toute I'electricite d'origine nucleaire. Le cceur est la partie du reacteur ou se produisent les reactions nucleaires et ou se libere done la chaleur. lei, il est enferme dans une cuve capable de supporter la pression de quelque 150 bars du circuit primaire. Ce circuit est un circuit ferme d'eau maintenue liquide malgre sa forte temperature (environ 280 degres C a I'entree du cceur et 320 a la sortie) grace a cette pression (regulee par le pressuriseur). L'eau quittant le cceur est repartie entre trois (pour les reacteurs de 900 MWe) ou quatre boucles (pour les reacteurs de 1 300 ou 1 450 MWe) comportant chacune un generateur de vapeur et une pompe primaire de recirculation. Les generateurs de vapeur sont des echangeurs thermiques ou I'eau du circuit primaire cede sa chaleur a I'eau du circuit secondaire. Cette derniere, entrant sous forme liquide, est vaporisee; la vapeur produite par chacune des boucles est regroupee pour etre envoyee 1. Par analogic avec la combustion usuelle, les techniciens du nucleaire ont pris I'habitude de parler de « combustion » nucleaire ou de « combustible » nucleaire, mais il s'agit d'un abus de langage! 2. « Filiere : Ensemble des elements constitutifs (notamm. combustible, moderateur et caloporteur) caracteristiques d'un type de reacteur nucleaire » (Petit Larousse). 3. Pour plus de details, voir I'ouvrage de la meme collection sur les reacteurs a eau sous pression.

1 - Introduction : genera/ties sur I'energie nucleaire

31

Figure 1.2. Schema de principe d'une centrale type REP (reacteur a eau sous pression).

dans une serie de turbines, haute puis basse pression, directement couplees sur un arbre commun avec I'alternateur; la vapeur est finalement condensee avant d'etre reprise — sous forme liquide — par les pompes secondaires et renvoyee vers les generateurs de vapeur. Le condenseur est aussi un echangeur thermique : il est refroidi par un troisieme circuit d'eau ouvert, lui, vers I'environnement : suivant les cas, il s'agit d'un prelevement fait dans un fleuve ou dans la mer, ou d'un circuit lui-meme refroidi par un aerorefrigerant. Compte tenu des temperatures, notamment celle de I'eau pressurisee du circuit primaire qui conditionne toutes les autres, le rendement global d'une centrale nucleaire n'est pas tres bon : environ 33% (pour 3 joules liberes par les fissions, 1 est convert! en electricite et 2 sont disperses dans I'environnement sous forme de chaleur), a comparer a environ 50% pour les centrales thermiques classiques ou la vapeur est produite a plus haute temperature. Ce handicap n'est pas redhibitoire : on peut concevoir des reacteurs nucleaires ayant un meilleur rendement, par exemple les reacteurs a neutrons rapides et les reacteurs a graphite dits a haute temperature (HTR).

1.3 La fission Deux types de forces s'exercent entre les nucleons — protons et neutrons — constituant les noyaux des atomes. La premiere est bien connue a I'echelle macroscopique : c'est la force electrique ou coulombienne. lei, elle s'exerce uniquement entre les protons, seuls porteurs d'une charge electrique; elle est repulsive, car associee a des charges toutes positives, et a longue portee, puisque en 1/r2. La seconde force peut, seule, expliquer

32

Precis de neutronique

la stabilite des edifices nucleaires : c'est la force nucleaire. Cette derniere, qui s'exerce entre tous les nucleons quel que soit leur type, est attractive et a courte portee. Tres grossierement, on peut I'imaginer comme une sorte de « colle forte » qui maintient tres fermement ensemble les nucleons des qu'ils sont mis en contact. (En fait, la force nucleaire est la manifestation d'interactions plus fondamentales — les interactions forte et faible — entre les constituants des nucleons, c'est-a-dire les quarks. Mais, en ce qui concerne I'etude de la neutronique, on peut en rester, sans inconvenient majeur, a des images tres classiques et approximatives de ce genre.) La proportion observee dans les noyaux entre protons et neutrons resulte du meilleur equilibre possible entre ces deux forces (si la proportion n'est pas optimale, le noyau est radioactif) : le rapport neutrons/protons, a peu pres egal a 1 pour les noyaux legers, augmenteprogressivementjusqu'a environ 1,5 pour les noyaux lourds. Malgre la meilleure « dilution » des charges electriques qui se repoussent ainsi obtenue, I'energie de liaison moyenne par nucleon devient plus faible pour les noyaux lourds, puisque, toutes choses egales par ailleurs, I'energie negative due a la repulsion coulombienne des protons est evidemment proportionnelle au carre du nombre de charges. Ces deux remarques elementaires ont deux consequences immediates : 1/ les noyaux lourds sont un peu moins lies que les noyaux intermediaires; autrement dit, la fission d'un noyau lourd en deux fragments augmente I'energie de liaison et par consequent libere de I'energie vers I'exterieur. (Rappelons que I'energie de liaison est I'energie ejectee lors de la formation de la liaison, ou, si I'on presente les choses a I'envers, I'energie qu'il faudrait fournir au systeme pour briser la liaison.) L'experience montre que la fission libere environ 200 MeV (200 millions d'electronvolts), ce qui est gigantesque : a titre de comparaison, une reaction chimique peut liberer une energie de I'ordre de quelques electronvolts par atome (exemple : 4,08 eV pour la combustion d'un atome de carbone); 2/ du fait d'une proportion des neutrons par rapport aux protons, a I'equilibre plus faible pour les noyaux intermediaires que pour les noyaux lourds, il est logique que quelques neutrons « s'evaporent» lors de la fission, c'est-a-dire soient emis a I'etat libre. Comme la repartition des nucleons entre les fragments, ce nombre de neutrons emis est variable, entre zero et sept : ce qui importe, c'est sa valeur moyenne v. Par exemple, pour la fission d'uranium 235 (induite par neutron), la mesure donne v de I'ordre de 2,4.

1.4 Principe de la reaction en chame La notion de reaction en chame appartient a la vie courante. Par exemple, le feu est une reaction en chame dans laquelle la chaleur induit une reaction chimique — la combustion —, cette derniere produisant de la chaleur, qui poursuivra la combustion produisant a nouveau de la chaleur, et ainsi de suite. Comme nous I'avons vu, des qu'ils decouvrirent que la fission — induite par neutron — emettait aussi quelques neutrons, les physiciens entrevirent la possibilite d'une reaction en chame : Neutrons => Fissions => Neutrons => Fissions => Neutrons

etc.

permettant de liberer une quantite phenomenale d'energie... pour un usage pacifique ou pour une arme redoutable.

1 - Introduction : generates sur I'energie nucleaire

33

Pour une production pacifique d'energie, il faut, comme dans une chaudiere classique, mattriser le rythme de la reaction; pour une arme, comme dans une bombe utilisant un explosif chimique, il faut, au contraire, provoquer une amplification rapide de la reaction. Le comportement de celle-ci va dependre du facteur de multiplication k que nous aliens maintenant definir. Soit co la probabilite pour qu'un neutron place dans le systeme provoque une fission (la probabilite complementaire 1 — co est la probabilite que le neutron ou bien soit capture dans le systeme sans provoquer une fission, ou bien s'echappe, c'est-a-dire soit capture a I'exterieur). S'il y a fission, celle-ci emet, en moyenne, v nouveaux neutrons. Le produit k = cov est le nombre moyen de neutrons descendants directs d'un neutron place dans le systeme. En raisonnant dans I'autre sens sur ces deux facteurs (une fission donne v neutrons, chacun ayant la probabilite CD de provoquer une fission), on voit que k est aussi le nombre moyen de fissions resultant d'une fission initiale. Autrement dit, en raisonnant sur un (grand) nombre N de fissions, on peut dresser le schema d'evolution suivant: N fissions N k fissions N k2 fissions N k3 fissions N k4 fissions etc.

Figure 1.3. Evolution d'une reaction en chaine.

11 montre que le comportement de la reaction en chame va dependre de la valeur de ce facteur de multiplication k comparee a I'unite : - si k > 1, la reaction s'emballe; - si k < 1, la reaction s'etouffe; - si k = 1, la reaction s'auto-entretient a un rythme constant. La premiere configuration sera celle qui sera recherchee pour une arme. La troisieme configuration, dite « configuration critique », caracterisee par un facteur de multiplication exactement egal a I'unite, sera celle qui sera realisee dans un reacteur en fonctionnement stable. Lorsqu'on voudra demarrer ou augmenter le niveau de puissance d'un reacteur, on le rendra momentanement (legerement) sur-critique (k > 1), et lorsqu'on voudra abaisser le niveau de puissance ou I'arreter, on passera a une configuration sous-critique (k < 1). Nous avons vu que Fermi reglait finement la valeur du facteur de multiplication en ajustant la position d'une barre de commande; cette methode est toujours celle qui est le plus couramment utilisee.

34

Precis de neutronique

1.5 Principaux mode rate urs et caloporteurs; filieres de reacteurs Comme le facteur v est (pour I'uranium 235) de I'ordre de 2,4, il faut viser une probabilite oo de I'ordre de 1/2,4 ~ 42% pour atteindre la criticite (et un petit peu plus si Ton projette de realiser une arme). Cela est-il concretement possible? Telle est la question que les physiciens se poserent a la fin des annees 1930. Les elements permettant de repondre etaient deja connus, dans leurs grandes lignes, a I'epoque : 1/ I'uranium est le seul element de la nature susceptible de subir la fission sous I'impact des neutrons ; 2/ cet element est forme de deux isotopes : I'uranium 238 et I'uranium 235. Le premier ne peut pas etre fissionne (sauf peut-etre tres rarement avec des neutrons tres energetiques); le second, en revanche, subit facilement la fission quelle que soit I'energie cinetique du neutron incident; 3/ malheureusement, dans I'uranium naturel, I'isotope fissile 235 ne represente que 0,72 % du total (soit 1/139 en nombres de noyaux), I'autre isotope constituant 99,28 % du total (1) ; 4/ les neutrons emis par les fissions le sont a une energie de I'ordre de 2 MeV, soit environ 20000km/s; 5/ a cette energie, les sections efficaces(2) des deux isotopes de I'uranium sont du meme ordre de grandeur; 6/ par diffusions successives(3) dans les materiaux peu capturants, les neutrons sont susceptibles de se ralentir jusqu'a un equilibre thermique approximatif avec la matiere : les neutrons «thermiques » ont une energie de I'ordre de 1/40 eV, soit 2 ou 3 km/s, si la matiere qui les a thermalises est a temperature usuelle; 7/ pour les neutrons, dans cette plage de vitesses, la section efficace de I'uranium 235 est beaucoup plus grande que celle de I'uranium 238, d'un facteur 250 environ. Ainsi, deux voies possibles se degagent pour une reaction en chame : 1/ la voiede I'uranium enrich! et des neutrons rapides: el le utilise les neutrons a I'energie a laquelle ils sont produits par les fissions, en evitant done de les ralentir, avec un combustible fortement enrich! en isotopes fissiles, uranium 235 ou succedane artificiel tel le plutonium 239; 2/ la voie de I'uranium peu enrichi et des neutrons thermiques : elle utilise les neutrons apres les avoir ralentiset thermalises par un materiau adequat appele « moderateur»; il est alors possible de s'accommoder d'un combustible pauvre en isotopes fissiles, voire, a la limite, d'uranium naturel. En effet, meme dans ce cas, un neutron lent traversant 1. On trouve aussi des traces d'isotope 234 dans I'uranium naturel, mais cela peut etre neglige. 2. La notion de section efficace sera definie precisement au chapitre suivant; ici, on peut retenir que la section efficace represente, a un facteur pres, la probabilite qu'un neutron incident interagisse avec un noyau se trouvant dans son voisinage. 3. La diffusion d'un neutron par un noyau est une collision analogue a celle d'une boule de billard sur une autre.

1 - Introduction : generates sur I'energie nucleaire

35

I'uranium a plus de chances d'etre absorbe par I'isotope 235 et de le fissionner que d'etre capture (sans fission) par I'isotope 238, puisque le handicap d'un facteur 139 sur les concentrations est plus que compense par le facteur 250 observe sur les sections efficaces. Ces deux voies furent ouvertes pendant les annees de guerre : la seconde fut introduite par la pile de Fermi, a uranium naturel, que nous avons vue. Cette voie peut aboutir a un reacteur nucleaire mais non, directement, a une bombe : la duree necessaire pour ralentir et thermaliser les neutrons est trop longue pour une explosion efficace et, en outre, la necessite de placer un moderateur conduirait a un engin bien trop encombrant. Cependant, cette voie donne du plutonium a partir des captures sans fission de neutrons par I'uranium 238. Ce sous-produit de la reaction en chame peut etre recupere par retraitement chimique du combustible, puis utilise a la place de I'uranium 235 pour une arme. (Rappelons que les explosions d'Alamogordo et de Nagasaki furent celles d'armes a plutonium.) La premiere voie fut aussi ouverte par le programme « Manhattan » : plusieurs precedes de separation isotopique de I'uranium furent explores, notamment une separation electromagnetique et I'enrichissement progressif par diffusion gazeuse. (L'arme qui detruisit Hiroshima etait une bombe a uranium tres enrichi en isotope 235.) Un moderateur doit etre constitue, nous I'avons dit, d'un materiau peu capturant pour les neutrons de fagon a ne pas gaspiller ceux qui sont fournis par les fissions. Ajoutons qu'il faut aussi qu'il contienne des noyaux legers, ralentissant mieux les neutrons(1). II faut enfin que ce materiau soit suffisamment dense, c'est-a-dire qu'il contienne suffisamment de noyaux ralentisseurs, ce qui amene a choisir un liquide ou un solide et a exclure les gaz. En pratique, ces criteres conduisent a un choix assez restreint de moderateurs : - les materiaux hydrogenes liquides ou solides, en particulier I'eau; - Peat/ lourde (eau dans laquelle tout I'hydrogene est du deuterium); - le beryllium ou son oxyde BeO, la glucine; - le carbone sous forme de graphite. Comme I'hydrogene est legerement capturant, les materiaux hydrogenes ne permettent pas ('utilisation d'uranium nature! (une teneur au moins de I'ordre de 2 % en isotope 235 est necessaire). Malgre la necessite, done, d'un enrichissement, ces materiaux, bon marche, sont souvent choisis a cause de la grande efficacite de I'hydrogene pour ralentir les neutrons. L'utilisation d'uranium naturel est possible, en revanche, avec les trois autres moderateurs. Le graphite est le moins efficace sous I'angle neutronique, mais il est relativement facile a obtenir(2) et assez peu couteux : ce fut le choix fait par Fermi. Le beryllium et la glucine sont rarement utilises a cause de leurs mauvaises proprietes metallurgiques. L'eau lourde est le meilleur moderateur sous I'angle neutronique, mais c'est un materiau couteux,

1. Pour la meme raison que le ralentissement d'une boule de billard percutant une boule placee sur la table est plus efficace si les deux boules sont de masses egales ou voisines. 2. II faut atteindre une haute purete chimique, notamment vis-a-vis du bore qui capture grandement les neutrons.

36

Precis de neutronique

puisqu'il necessite une separation isotopique de I'hydrogene (I'hydrogene naturel contient un atome d'hydrogene lourd, ou deuterium(1), sur 6500 environ). Dans un reacteur de puissance, il convient de faire circuler un fluide pour extraire la chaleur produite par les fissions : ce fluide s'appelle le « caloporteur ». Ce peut etre un gaz (gaz carbonique, helium...) ou un liquide (eau(2), eau lourde, metal liquide...). Le choix du moderateur (ou de I'absence de moderateur, s'il s'agit d'un reacteur a neutrons rapides), du caloporteur et du combustible (matiere fissile, forme physico-chimique, geometric) et de son gainage definit un concept de reacteur nucleaire. Ce concept peut deboucher sur une technologic : on parle alors de « filiere » de reacteurs.

1.6 Controle-commande des reacteurs Nous avons vu que le controle-commande est une necessite que Fermi, deja, avait bien comprise : la stabilisation de la reaction en chame suppose, en effet, que le facteur de multiplication k soit exactement regie sur la valeur 1. Ce role de pilotage de la reaction en chame est la premiere des fonctions que doivent remplir les moyens de commande. Le plus souvent, on utilise, comme Fermi, une ou plusieurs barres contenant un materiau capturant les neutrons (bore, cadmium, etc.). Notons que, dans les reacteurs de puissance, il existe des contre-reactions liees aux variations de temperature : ces variations peuvent modifier, en effet, I'intensite des reactions neutroniques et done le facteur de multiplication k. En pratique, les contre-reactions font baisser ce facteur de multiplication si la puissance augmente, d'ou une autoregulation du systeme. Les actions de pilotage, dans ces conditions, ne sont necessaires que pour modifier le niveau de la puissance d'equilibre, ou pour demarrer ou arreter la reaction en chaine. Les moyens de commande ont, en realite, plusieurs fonctions :

- le pilotage; - les compensations des evolutions a long terme du facteur de multiplication dues aux variations des concentrations (produits de fission et noyaux lourds); - Vaplatissement de la nappe de puissance (eventuellement); - la surete : il est necessaire qu'a chaque instant I'operateur dispose, en cas d'incident, de la possibilite d'arreter tres rapidement la reaction en chame par insertion d'une forte capture neutronique. En pratique, la surete ne repose pas seulement sur la vigilance de I'operateur. Dans tous les reacteurs, il existe aussi des dispositifs automatiques d'arret rapide des qu'une anomalie est detectee par les systemes de controle. Ces differentes fonctions peuvent etre assurees par un meme systeme ou par des systemes specifiques. Cependant, le dispositif d'arret d'urgence est toujours specifique. 1. Les noyaux de deuterium sont formes d'un proton et d'un neutron. Les noyaux d'hydrogene usuel sont formes d'un seul proton. 2. Dans les reacteurs a eau sous pression ou a eau bouillante, I'eau joue a la fois le role de moderateur et celui de caloporteur.

1 - Introduction : generates sur I'energie nucleaire

37

1.7 Cycle du combustible nucleaire L'irradiation en reacteur n'est qu'une petite partie, certes essentielle, de I'histoire de la matiere combustible : en effet, elleestforcementprecedee, en amont, d'un certain nombre d'etapes jusqu'a la fabrication de ('element de combustible qui sera charge dans un cceur de reacteur : extraction de ('uranium d'une mine, concentration et purification, changements des formules chimiques et, s'il y a lieu, enrichissement. L'aval peut se reduire a un entreposage(1) plus ou moins long en attendant la decision d'un stockage definitif, en I'etat, des assemblages irradies : c'est, par exemple, la politique actuelle des Etats-Unis (dans ce cas, le combustible ne suit pas, a proprement parler, un « cycle »). Dans d'autres pays, en France notamment, le combustible des centrales nucleaires est, pour I'essentiel, retraite apres quelques annees d'entreposage laissant le temps a la radioactivite de s'attenuer. Le retraitement permet de separer et de recuperer les matieres energetiques pour un recyclage; il permet egalement de separer les dechets radioactifs selon leur nature — notamment les produits de fission constitues de noyaux de masses intermediates et presentant une radioactivite(2) beta et les actinides(3) « mineurs » (non recyclables) presentant surtout une radioactivite alpha — pour un conditionnement specifique et adapte a un entreposage puis un stockage adequats. La figure 1.4, page suivante, montre, a titre d'exemple et de fagon simplified, le cycle du combustible des reacteurs a eau sous pression frangais. On voit que I'on peut recycler I'uranium qui contient encore une quantite notable — environ 1 % — d'uranium 235 et qui peut etre re-enrichi (mais cela n'est pas fait actuellement, a grande echelle, pour Electricite de France) et, surtout, le plutonium provenant des captures de neutrons par I'uranium 238 et, lui non plus, pas totalement consomme lors de ('irradiation. En France, I'essentiel du plutonium obtenu au retraitement des combustibles a uranium est recycle sous la forme d'un combustible dit « MOX », oxyde mixte de plutonium et d'uranium a faible teneur en uranium 235 (4) . En revanche, les assemblages de combustible MOX irradies ne sont pas, actuellement, retraites.

1.8 Surete nucleaire et radioprotection Comme toutes les autres, I'industrie nucleaire presente des risques qu'il convient d'analyser et de circonscrire : nous avons vu que, sur cet aspect egalement, Fermi etait deja parfaitement conscient des problemes. La specificite du risque nucleaire tient evidemment a la radioactivite des matieres mises en ceuvre, en particulier celle des « cendres » des reactions nucleaires, produits de fission et actinides. La nocivite des rayonnements radioactifs est aujourd'hui bien connue; la seule incertitude concerne I'effet des faibles doses pour lequel il est pratiquement impossible de savoir, pour 1. Le terme d'« entreposage » se refere a une situation transitoire, eventuellement de longue duree. Par definition le « stockage » a un caractere definitif. 2. Les differents modes de radioactivite seront decrits au chapitre 2. 3. Actinide : element de la serie de I'actinium, c'est-a-dire de numero atomique 89 et au-dela. 4. La problematique du plutonium sera detaillee aux chapitres 12 et 18.

38

Precis de neutronique

Figure 1.4. Le cycle du combustible nucleaire des reacteurs a eau sous pression.

des raisons de faible statistique, s'il est nul ou si le risque (probabilite de cancer radioinduit) est proportionnel a la dose : en pratique, on retient evidemment, par precaution, la seconde hypothese. Le coefficient est determine a partir d'observations de « cohortes » ayant ete soumises a des doses faibles mais non tres faibles, notamment les rescapes de Hiroshima et Nagasaki : pour la population generale et tous risques confondus (cancers

1 - Introduction : generalites sur I'energie nucleaire

39

mortels, cancers non mortels et effets hereditaires) le coefficient a ete estime a 7,3.10 2 par sievert. Par exemple, une personne soumise pendant 50 ans a ('irradiation naturelle moyenne en France (2,4 mSv/an), soit 50 x 0,0024 = 0,12 Sv, a, dans cette hypothese, une probabilite 7,3.10~2 x 0,12 = 0,00876, soit moins de 1 %, d'avoir un cancer radioinduit. (A titre de comparaison, 25 % des deces sont dus, en France, a un cancer. Comme la forme d'un cancer ne depend pas de sa cause, il est ainsi pratiquement impossible de separer ce qui est du a la radioactivite et ce qui est du aux autres causes.) En utilisant un tel coefficient et en se fixant un seuil de « risque acceptable », on definit des doses maximales admissibles et, de la, des « limites annuelles d'incorporation » des divers radionucleides, puis une reglementation rigoureuse de radioprotection a laquelle doit se soumettre, en particulier, I'industrie nucleaire. Le probleme de la surete se pose en des termes differents, puisqu'elle traite non pas les situations normales mais les situations accidentelles. Le risque existe au niveau des reacteurs et des autres installations du cycle du combustible et des transports de matiere. Sans developper ce theme, qui ne fait pas partie de I'objectif de ce livre, gardens a I'esprit que la « philosophie de la surete » se decline selon deux plans : - la prevention : limiter autant que faire se peut I'occu/rence d'un accident, ce qui a des consequences sur la conception des installations, la construction, I'exploitation, la maintenance et, done, la formation du personnel; - la mitigation : limiter autant que faire se peut les consequences d'un accident au cas ou il se produirait en depit de toutes les precautions prises, ce qui conduit d'abord a la notion de « defense en profondeur», comme, par exemple, I'interposition de barrieres successives (au moins trois) entre la radioactivite et l'environnement(1), ensuite a des plans d'urgence testes par des exercices de crise.

1.9 Programmes nucleaires; perspectives Le tableau 1.1, page 29, donne un apergu de la situation de I'equipement nucleaire des divers pays. On sera sans doute frappe par le petit nombre de reacteurs en construction, et surtout en commande, si on le compare aux chiffres de la colonne « Installe ». Les implications actuelles dans I'energie nucleaire sont, on le remarquera, extremement diverses. La France, notamment, a une position dominante quant a la participation du nucleaire dans sa production d'electricite. Cela est incontestablement la consequence du grand enthousiasme que suscitait, dans les decennies qui ont precede et suivi la guerre, tout ce qui portait I'appellation d'« atomique » ou de « nucleaire », enthousiasme que les decisions politiques ont su ensuite efficacement relayer. A tres court terme, il est peu vraisemblable que cette situation se modifie beaucoup, hormis peut-etre dans quelques pays d'Extreme-Orient qui sont actuellement les seuls a 1. Par exemple, dans les reacteurs a eau, la premiere barriere est constitute par les gaines des combustibles, concues pour confiner pratiquement tous les produits radioactifs resultant des reactions nucleaires; la deuxieme barriere est constitute par le circuit primaire, en particulier la cuve : en cas de rupture de gaine(s), elle devrait confiner les produits actifs, puisque ce circuit est completement isole des autres; en cas de rupture de cette deuxieme barriere (breche sur une tuyauterie primaire), la troisieme barriere constitute par I'enceinte de confinement du reacteur interviendrait. L'accident de Three Mile Island a montre I'efficacite de cette troisieme barriere apres rupture des deux premieres.

40

Precis de neutronique

faire preuve d'un certain dynamisme en la matiere. Cependant, avec quelques annees de decalage par rapport a la situation observee dans les pays occidentaux, ces pays voient apparaTtre les reticences d'une partie de ('opinion vis-a-vis de I'energie nucleaire. Cette reticence, exacerbee par des mouvements s'appuyant souvent sur des argumentations peu rationnelles, est, toutefois, loin d'etre generale. Dans le grand public — comme le revelent les sondages d'opinion — et, surtout, parmi les elus, beaucoup comprennent que I'energie de la fission n'est pas aussi diabolique que le laisseraient penser certains propos, qu'elle presente meme des avantages tres serieux en terme de preservation de I'environnement et qu'en tout cas, elle est, dans beaucoup de pays, a peu pres « incontournable ». On peut done penser qu'a moyen terme, un regain d'interet pour I'energie nucleaire se manifestera. Quelques premices sont observees aux Etats-Unis qui, apres un demarrage ambitieux, n'ont plus construit de nouveaux reacteurs depuis pres de trente ans. En France, il sera important de bien preparer ('opinion quand il faudra renouveler — en centrales nucleaires ou non nucleaires — les reacteurs aujourd'hui en fonctionnement. II est evidemment hasardeux de se prononcer sur le long terme. II est clair qu'a une echeance d'un siecle ou deux, les sources fossiles (hormis le charbon) seront a peu pres epuisees. Il est vraisemblable que les « energies nouvelles » (en realite exploiters depuis toujours) — solaire (thermique ou photovoltaTque), eolien, biomasse, geothermie... — seront davantage developpees, tout en conservant, cependant, une contribution au total relativement modeste, pour des raisons a la fois techniques et environnementales. Peutetre que I'energie de fusion thermonucleaire sortira enfin des limbes — tout en restant sans doute a un niveau modeste compte tenu de sa gigantesque complexite technologique. Peut-etre que de nouvelles formes d'energie seront decouvertes ou inventees... Retenons que, dans ce paysage fort flou, I'energie nucleaire de fission reste et restera un atout disponible sur une duree pratiquement illimitee. En effet, le risque de penurie d'uranium, qui semble se dessiner a une echeance de moins d'un siecle si Ton se contente de diviser les ressources repertoriees par la consommation annuelle, n'existe pas en realite. II y a a cela deux raisons. La premiere est la possibilite de surgeneration. Dans les reacteurs usuels exploites aujourd'hui, notamment les reacteurs a eau, seul, en gros, est utilise I'uranium 235, soit 0,7% de I'uranium naturel; nous disons « en gros » car, d'une part, tout I'uranium 235 n'est pas consomme (le reacteur devant rester critique doit toujours contenir une certaine masse de matiere fissile) et, d'autre part, un petit peu d'uranium 238 est fissionne apres avoir ete convert! en plutonium. II est possible, par exemple mais pas uniquement, dans des reacteurs a neutrons rapides tel Superphenix, d'accrottre le taux de conversion d'uranium 238 en plutonium par rapport a la consommation de matiere fissile jusqu'a atteindre, voire depasser, le seuil de surgeneration ou la masse de matiere fissile produite depasse celle qui est consommee. Dans ces conditions, tout I'uranium et pas seulement I'uranium 235 pourrait etre utilise, aux pertes pres dans les operations de retraitement : ainsi, cinquante a soixante fois plus d'energie pourrait etre produite avec les ressources en uranium... ce qui repousserait fort loin la penurie. La deuxieme raison est que le chiffrage des ressources — environ 4 millions de tonnes — ne correspond pas a I'uranium existant mais seulement aux gisements prouves ou vraisemblables exploitables aux conditions economiques actuelles (130 $ par kg). En realite, I'uranium est un element relativement abondant, qui serait disponible en bien plus grande

1 - Introduction : generates sur I'energie nucleaire

41

quantite si I'on acceptait de le payer plus cher. En particulier, la masse d'uranium dissoute, bien qu'en faible concentration, dans I'eau de mer est gigantesque. Aux conditions actuelles, cet uranium serait beaucoup trop cher a exploiter. Mais, en cas de crise, il est disponible. Cela serait meme economiquement raisonnable avec la surgeneration, c'est-a-dire une production d'energie 50 fois plus importante par unite de masse.

Nous avons ouvert cette introduction avec Fermi... Concluons en notant que Fermi n'a pas, a proprement parler, cree le reacteur a fission. En exploitant le gisement d'uranium d'Oklo (Gabon), on a, en effet, decouvert en 1972 des anomalies de teneur isotopique. Les premieres enquetes conclurent rapidement que I'explication ne pouvait etre qu'une reaction en chame spontanee. Les analyses et etudes approfondies qui suivirent montrerent qu'une quinzaine de foyers de reactions nucleaires s'etaient « allumes » et avaient lentement « mijote » pendant probablement des centaines de milliers d'annees, il a de cela pres de deux milliards d'annees, juste apres la mise en place du gisement. Le phenomene s'explique par des circonstances exceptionnelles, essentiellement son anciennete (plus on remonte dans le passe, plus la teneur en isotope 235 dans I'uranium est elevee) et la forte teneur du minerai... ainsi qu'une stabilite geologique remarquable qui a permis de conserver jusqu'a nous ces vestiges de «reacteurs fossiles ».

Cette page est laissée intentionnellement en blanc.

2

Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

Introduction La neutronique est 1'etude du cheminement des neutrons dans la matiere et des reactions qu'ils y induisent, en particulier la generation de puissance par la fission de noyaux d'a tomes lourds(1). La neutronique est une branche de la physique qui a la particularite d'etre intermediaire entre le macroscopique et le microscopique. Fondamentalement, c'est la description de I'interaction de particules elementaires — les neutrons — avec les noyaux des atomes de la matiere. A ce titre done, la neutronique derive de la physique nucleaire. Mais, la population des neutrons etant tres nombreuse, on est amene a la traiter de fagon globale en I'assimilant a un « fluide » continu, comme cela est fait en mecanique des fluides. Cette approche amene a reprendre, pour traiter la population neutronique, une equation ecrite, dans le cadre de ses travaux sur la mecanique statistique, par Ludwig Boltzmann (1844-1906) en 1879, soit plus d'un demi-siecle avant la decouverte du neutron ! L'etude et le traitement numerique de ('equation de Boltzmann pour les neutrons est le principal defi pose aux neutroniciens. On trouve, dans cette equation, deux operateurs mathematiques traduisant les deux facettes de la migration des neutrons : Voperateur de transport et Voperateur de collision. De leur emission jusqu'a leur absorption, le cheminement des neutrons est, en effet, une alternance de parcours en ligne droite, sans interaction avec la matiere (en terme technique, c'est le «transport» de ces particules), et d'interactions avec un noyau atomique (dans I'image d'un projectile venant percuter une cible, c'est une « collision »). C'est au niveau des collisions qu'intervient I'aspect microscopique du probleme. Pour ecrire, puis tenter de resoudre ('equation de Boltzmann, seule une description purement phenomenologique — essentiellenient en terme de section efficace — est utile. Ainsi, la neutronique, d'une part, va au-dela de la physique nucleaire, puisqu'elle traite du transport des particules, et, d'autre part, est loin de couvrir toute la physique nucleaire, 1. Voir P. REUSS, La Neutronique, Quesais-je?,

, PUF, 1998.

Precis de neutronique

44

puisqu'elle ne considere que ce qui entre et sort des reactions sans traiter en detail ce qui se passe dans la « boTte noire ». Cest ce dernier aspect qui est aborde dans ce chapitre, sous-titre « a I'usage du neutronicien » pour rappeler qu'il ne traite pas, et de loin, toute la physique nucleaire. Pour comprendre un minimum du « pourquoi » des entrees-sorties des reactions nucleaires regissant la neutronique, nous regarderons un tout petit peu dans la « botte noire », mais en nous limitant aux aspects essentiels et elementaires. Remarque : On trouvera, dans ce chapitre, quelques valeurs numeriques ou ordres de grandeur. Des tables plus completes et plus precises figurent dans I'annexe « Constantes et tables physiques ».

A. STRUCTURE DE LA MATIERE ET ENERGIE DE LIAISON DES NOYAUX

2.1 Structure de la matiere 2.1.1 Image classique de I'atome Comme nous I'avons vu dans Introduction historique, la structure des atomes s'est petit a petit elaboree avec la decouverte de la radioactivite et les nombreuses experiences de physique nucleaire qui ont jalonne la premiere moitie du xx e siecle. La premiere image a peu pres pertinente est celle de I'atome de Bohr et Rutherford (1913): il y apparait comme un minuscule « systeme solaire » forme d'un noyau autour duquel gravitent des electrons comme les planetes autour du soleil. Ce modele est interessant car il introduit deux idees qui s'avereront fondamentales en neutronique : 1/ le noyau est extremement petit par rapport a I'ensemble de I'atome : son diametre est de I'ordre de 1CT13 a 10~12 cm contre 10~8 cm pour I'atome, soit ('equivalent d'une petite bille au centre d'un terrain de football! 21 ce noyau, cependant, contient presque toute la masse de 1'atome; c'est dire que sa densite est enorme : de I'ordre de 1014 g/cm 3 ! Autour du noyau gravitent des electrons, legeres particules portant chacune une charge electrique negative elemental re. Le noyau porte autant de charges electriques elementaires, mais positives, qu'il y a d'electrons, de sorte que, globalement, I'atome est normalement neutre.

2.1.2 Elements et isotopes Le nombre Z d'electrons, et done de charges electriques dans le noyau, definit un element chimique. Les liaisons chimiques, en effet, ne font intervenir que la structure electronique des atomes. Ces electrons s'organisent en couches successives qui expliquent les regularites et recurrences observees par MendeieTev dans sa classification des elements.

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

45

On ne connaissait pas la structure du noyau lorsque Bohr elabora son modele d'atome. Mais on subodora rapidement — et la preuve experimental en fut definitivement apportee par Chadwick en 1932 — que les noyaux etaient formes de deux types de particules, les protons et les neutrons, regroupees sous le terme generique de « nucleons » : - le proton, 1 836 fois plus lourd que ('electron, porte une charge electrique positive; - le neutron, presque de meme masse (1 839 fois plus lourd que ('electron), ne porte pas de charge electrique. Tres souvent, les noyaux des atomes d'un meme element, caracterise par le nombre Z de protons et d'electrons, different par le nombre N de neutrons associes aux protons : on parle dans ce cas d'« isotopes » (1) . On utilise aussi le terme de « nucleide » pour designer une espece nucleaire caracterisee par Z et N, ou, si I'on prefere, par Z (numero atomique) et A = Z + N (nombre de masse). Ce dernier nombre, en effet, caracterise en gros la masse d'un atome. La presence d'isotopes permet aux chimistes d'expliquer les masses non entieres de certains elements. Si les isotopes se ressemblent pour le chimiste, leurs proprietes nucleaires peuvent etre completement differentes. Nous en avons deja vu deux exemples au chapitre precedent: I'hydrogene (Z = 1) est forme de deux isotopes : I'hydrogene ordinaire (N = 0, A — 1) et I'hydrogene lourd ou deuterium (N = 1, A = 2); il existe aussi un hydrogene super-lourd ou tritium (N = 2, A — 3), radioactif ; - I'uranium, a I'autre extremite de la table de MendeleTev (Z = 92), est forme, pour I'essentiel, de deux isotopes naturels : I'uranium 235 (N = 143, A = 235) et I'uranium 238 (N = 146, A = 238).

2.7.3 Notation des nucleides En toutes lettres, les nucleides sont designes par le nom de I'element (sans majuscule) suivi du nombre de masse (sans trait d'union); exemple : uranium 235. En abrege, on utilise le symbole de I'element avec, en exposant a gauche, le nombre de masse A; exemple : 235 U. II peut etre utile de rappeler aussi le numero atomique Z, bien que cela soit redondant avec le symbole de I'element; dans ce cas, Z est place en indice a gauche; exemple : 2\\U. Exceptions : pour les isotopes lourds de I'hydrogene, on utilise plus generalement les symboles D (deuterium) ou T (tritium) au lieu de 2 H ou 3H.

2.1.4 Noyaux stables et instables L'observation des nucleides de la nature montre que toutes les combinaisons N-Z ne sont pas possibles. La majorite correspond a des noyaux stables c'est-a-dire eternels si on ne les detruit pas par une reaction nucleaire. Quelques-uns sont radioactifs, tel le potassium 40 : au bout d'un laps de temps plus ou moins long (caracterise par la periode radioactive, 1. Ce terme signifie « meme place » et rappelle que ces atomes differents occupent le meme emplacement dans le tableau de MendeleTev.

46

Precis de neutronique

definie precisement ci-dessous), ils se transforment spontanement en un autre nucleide. Tous les elements au-dela du bismuth (Z = 83) sont radioactifs. Une fagon parlante de visualiser I'ensemble des nucleides est de les representer chacun par un point dans un diagramme cartesien (Z-N) : c'est ce qui a ete fait dans la figure 2.1 ou sont portes les 267 nucleides stables trouves sur terre, ainsi que 19 nucleides naturels presque stables, c'est-a-dire de tres longue periode, tels que les deux principaux isotopes naturels de Turanium.

Figure 2.1. Diagramme indiquant les combinaisons Z-N conduisant a des noyaux stables (on a place aussi les noyaux instables naturels de periode superieure a 100 millions d'annees).

En observant bien, on remarquera qu'il n'y a aucun point aux abscisses Z = 43 (technetium) et Z = 61 (prometheum): ces deux elements n'ont pas d'isotope stable et n'existent pas dans la nature.

47

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

Grace a des reactions nucleates, rhomme a cree des centaines de nouveaux nucleides : ils sont tous radioactifs (autrement dit: tous les noyaux stables possibles se trouvent sur Terre) et situes au voisinage immediat du « nuage » de points de la figure. Ce nuage esquisse une ligne imaginaire qui semble correspondre a un optimum de la proportion neutrons/protons pour chaque valeur du nombre Z de protons : cette ligne est appelee « vallee de stabilite ». Le modele de la goutte (ci-dessous) essayera de rendre compte de cela.

2.1.5 Systematique des noyaux stables Si Ton examine avec soin le diagramme (figure 2.2, page suivante), on peut observer qu'il y a davantage de points aux abscisses ou ordonnees paires qu'impaires; un decompte confirme cette remarque; sur 286 nucleides stables ou presque stables, on en trouve, en effet: - 167 (58 %) pairs en protons et pairs en neutrons ; - 57 (20%) pairs en protons et impairs en neutrons; - 53 (19%) impairs en protons et pairs en neutrons; - 9 seulement (3 %) impairs en protons et impairs en neutrons. Si I'on exclut quatre noyaux legers, ]H, f Li, W5B et 1^N, seuls sont impairs-impairs; ces cinq derniers sont radioactifs.

, ^v, ^La, ^Lu et1^Ta

L'analyse de I'energie de liaison et de la radioactivite beta fournira ('explication de ces differences.

2.2 Energie de liaison des noyaux 2.2.1 Defaut de masse et energie de liaison des noyaux On s'attend a ce que la masse d'un noyau A forme de Z protons et de N neutrons soit la somme des masses de ses constituants; la mesure revele que ce n'est pas le cas. Un defaut de masse : de I'ordre du pour cent, done mesurable avec precision, est observe. Ce defaut de masse correspond, par ['equivalence masse-energie d'Einstein, a I'energie de liaison du noyau :

Cette energie W a ete prelevee sur la masse des constituants et ejectee lorsque le noyau a ete forme. Inversement, cette energie est celle qu'il faudrait apporter pour separer les nucleons assembles dans le noyau. (Imaginez le travail a fournir pour«tirer» sur les nucleons et les « decoller» les uns des autres.)

48

Precis de neutronique

Un tel defaut de masse existe pour toute liaison, par exemple, celle des electrons autour du noyau ou celle des atomes dans une molecule. Mais, dans ces exemples, le defaut de masse, c'est-a-dire I'energie de la liaison comparee a la masse des constituants, est infime. Pour les noyaux, en revanche, I'energie de la liaison est gigantesque : on peut retenir, en ordre de grandeur, que les energies des liaisons nucleaires sont typiquement un million de fois plus grandes que les energies des liaisons chimiques. Les mesures des defauts de masse, done des energies de liaison W, des differents nucleides peuvent etre portees sur un diagramme. Pour des raisons, a la fois, de commodite de representation graphique et d'analyse physique, on porte generalement non pas W en fonction du nombre de masse A, mais W/A : c'est Venergie de liaison moyenne par nucleon. Voici le diagramme (figure 2.2) ainsi obtenu.

Figure 2.2. Energie de liaison moyenne par nucleon des noyaux stables en fonction du nombre de masse (on a place aussi les noyaux instables naturels de tres longue periode).

2.2.2 Unites nucleaires Les unites SI sont peu adaptees aux ordres de grandeur rencontres en physique atomique et nucleaire. C'est pourquoi deux autres unites ont ete introduites : - Vunite de masse atomique (symbole u) definie comme le douzieme de la masse d'un atome de carbone 12, soit approximativement la masse d'un nucleon : 1 u = 1,66054.10~27 kg; - I'electronvolt (symbole eV) defini comme I'energie acquise par une charge electrique elementaire traversant une difference de potentiel de 1 volt: 1 eV = 1,60218.10~19 J, ainsi que ses sous-multiple et multiples : meV, keV, MeV, CeV, TeV. L'equivalence d'Einstein entre ces deux unites est: 1 u ~ 931,49 MeV.

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

49

2.2.3 Forces nucleates L'energie d'une liaison resulte (classiquement) du travail de forces de liaison. Quelles sont les forces intervenant au niveau des noyaux? 1/ On peutpenseraux forces e/ectr/ques (coulombiennes) bien connuesau niveau macroscopique. Ces forces sont a longue portee et decroissent comme 1/r2. Dans le noyau, elles doivent s'exercer entre protons seulement, puisque les neutrons ne portent pas de charge, et etre repulsives, puisque s'exergant entre charges de meme signe. Elles ne peuvent done certainement pas expliquer la stabilite des noyaux. 21 La cohesion des noyaux resulte d'une deuxieme force dite nucleaire, attractive et s'exergant entre tous les nucleons quelle que soit leur nature. Cette force, tres intense, est a courte portee; rappelons qu'on peut I'imaginer comme une sorte de « colle forte » assemblant les particules nucleaires lorsqu'elles sont mises en contact. Cette image (macroscopique) est evidemment grossiere. Une meilleure modelisation (introduite dans les annees 1930), mais restant phenomenologique, est celle de I'echange resonnant de mesons(1) entre les nucleons. Aujourd'hui, dans le cadre du « modele standard », les nucleons sont considered comme formes chacun de trois quarks (uud pour le proton et udd pour le neutron) et les forces nucleaires comme le resultat des interactions entre quarks, regies par la chromodynamique quantique, grace aux gluons mediateurs de ('interaction forte. Pour la physique nucleaire a « basse energie », celle qui interesse les physiciens des reacteurs, ces notions ne sont pas indispensables.

2.2.4 Modele de la goutte Le modele nucleaire, totalement phenomenologique mais restant extremement utile pour saisir I'essentiel des lois de la physique nucleaire qui nous seront utiles, est le modele de la goutte elabore en 1935 par Hans Albrecht Bethe (1906) et Carl von Weizsacker (1912). Ces deux auteurs partent de la similitude supposee du noyau — un nombre relativement important de « billes » reunies entre elles grace a des forces de contact — avec une goutte de liquide — reunion de molecules egalement rassemblees grace a des forces a courte portee (forces de Van der Waals) — et reprennent la formulation de I'energie de liaison de cette derniere en y ajoutant quelques termes specifiques. La formule proposee donnant I'energie de liaison W en fonction du nombre de masse A et du numero atomique Z est la suivante :

Le premier terme est le terme de volume : pour chaque nucleon, une certaine quantite d'energie correspond a I'energie des liaisons avec les voisins immediats, d'ou, avec un coefficient adequat, un total proportionnel au nombre de nucleons. Le deuxieme terme est le terme de surface : les nucleons situes contre la surface du noyau n'ont pas de voisins vers I'exterieur et sont done moins lies, d'ou une correction negative. En supposant, comme pour une goutte d'eau, que les « billes » 1. Particules de masse intermedia ire entre celle des electrons et celle des nucleons.

50

Precis de neutronique

sont incompressibles (leur rayon est de I'ordre de 1,2.10 15 m) et que la « goutte » est spherique, le volume est proportionnel a A, le rayon a /\1/3 et la surface — et done le nombre de nucleons concernes — a A2/3. Dans une goutte de liquide usuel, seuls ces deux termes interviennent. Dans une « goutte » de matiere nucleaire, trois autres termes correctifs sont a introduire. Le terme d'asymetrie exprime le fait que, toutes choses egales par ailleurs, la stabilite (done I'energie de liaison) est maximale si la repartition des nucleons est equitable entre protons et neutrons. Ce terme s'annule, en effet, si Z = N = A/2, et conduit a une moindre energie de liaison si la repartition n'est pas equitable. Le terme coulombien traduit la repulsion coulombienne des charges electriques positives. Un calcul elementaire d'electrostatique, fait en supposant que les charges positives sont uniformement reparties dans la « goutte » spherique, conduit a la forme indiquee. Le dernier terme, enfin, dit terme de parite, exprime qu'independamment d'un partage equitable entre les deux sortes de nucleons, les protons, d'une part, et les neutrons, d'autre part, s'assemblent par paires. La formation de chaque paire correspond a une energie de liaison. Conventionnellement, on prend le cas Z pair et N impair, ou I'inverse, comme reference (8 = 0); pour le cas pair-pair, on ajoute le terme correspondant a la liaison de la paire supplemental en prenant 8 = +1 ; pour le cas impair-impair, on retranche le terme correspondant a la liaison de la paire manquante en prenant 6 = — 1 ; le coefficient ap est choisi de fagon a ce que ('expression corresponde, en plus ou en moins, a cette derniere liaison (certains auteurs proposent une dependance vis-a-vis du nombre de masse un peu differente de /\~ 1/2 ). La presence de ce terme de parite explique evidemment le plus grand nombre de nucleides caracterises par des nombres pairs que par des nombres impairs. Certains coefficients a peuvent etre evalues theoriquement; en pratique, pour tenter de remedier aux approximations de ce modele et obtenir la formule la plus precise possible, on ajuste ces coefficients par une technique de moindres carres pour que la formule restitue le mieux possible les resultats des mesures de masse. Void, par exemple, les coefficients proposes par Luc Valentin, en MeV :

II est clair que la formule ne rend pas compte des petites irregularites observees, en particulier pour les noyaux legers... difficilement assimilables a une goutte ! Cela etant, la formule rend bien compte de la forme des courbes qu'esquissent les ensembles de points des deux figures 2.1, page 46 et 2.2, page 48. On trouve bien la va//ee de stabilite si I'on cherche, pour A fixe, la valeur de Z conduisant a la plus grande energie de liaison. En particulier, on remarque que cette vallee correspond a peu pres a la symetrie neutron-proton pour les noyaux legers. Pour les noyaux plus lourds, la proportion relative des neutrons doit augmenter, jusqu'a environ 50% de plus que les protons : on perd, certes, sur le terme d'asymetrie, mais on « dilue » les charges electriques ce qui fait gagner sur le terme coulombien. La vallee s'incurve pour realiser le meilleur compromis possible entre ces deux effets. En reportant l'« equation » de la vallee de stabilite dans la formule de Bethe et Weizsacker, on trouve bien alors la courbe d'energie de liaison par nucleon W/A.

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

51

La figure 2.3 montre, en fonction de A, la contribution des differents termes (sauf le terme de parite) a W/A. On observera notamment revolution avec A du compromis optimal entre les termes coulombien et d'asymetrie.

Figure 2.3. Energie de liaison moyenne par nucleon des noyaux stables en fonction du nombre de masse, selon le modele de la goutte: le terme de volume est la valeur constante associee au haut du cadre; les trois corrections negatives sont representees par les zones grisees; I'energie de liaison correspond a la courbe limitant la zone blanche.

2.2.5 Nombres magiques et modele en couches Nous I'avons dit, de petites irregularites ne sont pas rendues par le modele de la goutte. On observe en particulier des energies de liaison un peu plus grandes pour les noyaux ayant un « nombre magique » de protons et/ou de neutrons : 8, 20, 28, 50, 82 ou 126. En particulier, I'helium 4 (^He ou particule alpha) et I'oxygene 16 (g6O), doublement magiques, s'averent nettement plus lies que leurs voisins immediats sur la figure 2.3. On a la I'effet de « couches » liees a I'aspect quantique de la physique du noyau, similaires aux couches electroniques des atomes. Le « modele en couches » complete le modele de la goutte et tente de prendre en compte cet aspect (avec un potentiel en r2, il permet d'expliquer les trois premiers nombres magiques). Ce modele, que nous ne detaillerons pas ici, est similaire dans son principe au modele des couches electroniques des atomes : on se donne une forme simple et empirique du « potentiel nucleaire » V(r) dans lequel baignent les nucleons et I'on

52

Precis de neutronique

recherche les solutions stationnaires (fonctions propres) de ('equation de Schrodinger:

2.2.6 Spinet parite Le spin et la parite sont aussi des notions liees a I'aspect quantique. Le spin caracterise en unite ~h (constante de Planck reduite : ~h = /7/2rc) le moment angulaire intrinseque. Le proton et le neutron ont, chacun, un spin 1/2. Dans une paire, les spins des deux nucleons sont opposes, ce qui conduit a une contribution nulle au spin du noyau. Les noyaux pairs-pairs ont ainsi un spin nul. On peut aussi considerer qu'ils sont a peu pres spheriques. Pour les noyaux pairs-impairs, le spin est de la forme n + 1/2 (avec n pas necessairement nul) et, pour les noyaux impairs-impairs, le spin est entier. Un ecart par rapport a la forme spherique peut etre mis en evidence (mesure d'un moment quadripolaire). La parite (+ ou —) exprime la symetrie ou I'antisymetrie de la fonction d'onde associee au noyau par rapport a I'origine des coordonnees.

2.2.7 Niveaux excites des noyaux (etats isomeriques) Une autre consequence de I'aspect quantique de la physique nucleaire est ('existence de niveaux excites : dans son etat normal, un noyau se trouve au niveau d'energie le plus bas, dit « niveau fondamental »; mais, par exemple a la suite d'une reaction nucleaire, un noyau peut acquerir une « energie d'excitation », c'est-a-dire acceder a un niveau d'energie superieur. En general rapidement, un noyau excite ejectera, en une ou plusieurs etapes, ce supplement d'energie, le plus souvent sous forme de rayonnement gamma (photon de grande energie). Comme pour les atomes, les etats excites des noyaux se presentent sous forme d'une structure en niveaux discrets (mais I'ordre de grandeur de la distance separant les niveaux est beaucoup plus grand : on retrouve la difference d'un facteur de I'ordre de 106). Ces niveaux ont un certain « flou » : leur largeur F est liee a leur duree de vie i par la relation d'incertitude de Heisenberg : Ft 2 ~h. D'une fagon generale, les espacements entre niveaux diminuent lorsqu'on monte dans l'« echelle » des energies d'excitation, jusqu'a une zone de continuum ou les niveaux se recouvrent. On retiendra aussi que la structure generale est plus lache pour les noyaux legers — I'energie separant le premier niveau du fondamental est de I'ordre de quelques MeV — que pour les noyaux lourds — pour lesquels cette distance n'est plus que de I'ordre de quelques dizaines de keV.

2.2.8 Autres modeles nucleates La modelisation du noyau atomique presente deux difficultes : la premiere provient de la connaissance approximative de ('interaction nucleaire; la seconde vient de I'impossibilite

2 - Physique nucleaire a /'usage du neutronicien

53

pratique de resoudre le « probleme a N corps », surtout si N est grand. C'est la raison pour laquelle tous les modeles qui ont pu etre proposes ont leurs limites. Les deux modeles que nous venons d'evoquer ne sont evidemment pas les seuls : ils illustrent seulement deux approches possibles. La premiere est I'approche purement phenomenologique basee sur une analogic classique : elle est illustree par le modele de la goutte (celui qui sera le plus utile pour ce qui nous concerne). Autres exemples : le modele de Fermi ou le noyau est assimile a un gaz de fermions (protons et neutrons) dans un puits de potentiel nucleaire; le modele optique, utile pour le traitement des reactions a tres haute energie. La deuxieme approche tente d'individualiser le traitement de chaque nucleon, mais en traitant de fagon moyenne I'ensemble des interactions avec les autres : exemple, le modele en couches. On peut ameliorer la representation mathematique du champ de potentiel : exemple le plus connu, le potentiel de Woods-Saxon (permettant de retrouver tous les nombres magiques) :

ou R est le rayon du noyau, r la distance au centre, VQ (de I'ordre de 50 MeV) et a des parametres pouvant etre ajustes. Evoquons aussi, pour memoire, le modele du noyau compose que nous presenterons avec les reactions nucleaires.

2.3 Principe de la liberation d'energie nucleaire 2.3.1 Recombinaisons nucleaires Comme on le sait, I'art du chimiste est la recombinaison des atomes en de nouvelles molecules : ces atomes eux-memes ne sont pas modifies ni en nature ni en nombre; seules changent les liaisons et les energies associees. Si I'energie de liaison augmente, le supplement est evacue vers I'exterieur (en general sous forme de chaleur) : la reaction est dite « exo-thermique » (ou « exo-energetique »); par exemple, la recombinaison de deux molecules d'hydrogene H2 et d'une molecule d'oxygene O2 pour former deux molecules d'eau h^O est une reaction exo-thermique (elle est utilisee dans le chalumeau). Si I'energie de liaison diminue, la variation doit etre apportee par I'exterieur (par exemple, prelevee sous forme de chaleur) : la reaction est dite « endo-thermique »; par exemple, la dissociation de I'eau en hydrogene et oxygene. Les reactions nucleaires obeissent au meme principe general, si ce n'est qu'on travaille alors au niveau des nucleons et non plus des atomes(1). lei aussi, les reactions nucleaires sont exo- ou endo-energetiques selon le signe de la variation de I'energie de liaison. 1. Comme en chimie, le nombre de nucleons n'est pas modifie dans une reaction nucleaire; en revanche, des transformations de proton en neutron, ou I'inverse, par radioactivite beta, peuvent etre observees.

54

Precis de neutronique

Comme les energies des liaisons nucleaires sont typiquement un million de fois plus grandes que les energies des liaisons chimiques, un facteur du meme ordre de grandeur est observe sur les energies des reactions.

2.3.2 Energie de reaction Comme on dispose de tables precises des masses de tous les nucleides (ou atomes associes), il est aise de calculer I'energie d'une reaction : il suffit de faire la difference de masses entre les produits initiaux et les produits finaux, et de convertir en energie cette difference : la reaction est exo-energetique si la masse diminue, et endo-energetique dans le cas inverse. Par exemple, considerons la reaction(1) :

La consultation d'une table de masses(2) fournit: - neutron : 1,008665 u ; - azote 14 : 14,003074 u; - hydrogene leger: 1,007825 u; - carbone 14 : 14,003242 u. Le bilan massique s'en deduit: - produits initiaux : 15,011 739 u ; - produits finaux : 15,011067 u, soit un defaut de masse de 0,000672 u equivalent a 0,626 MeV. Cette reaction est done exo-energetique.

2.3.3 Principe de la fusion et de la fission Si Ton vise la production d'energie d'origine nucleaire, il faut evidemment rechercher les reactions exo-energetiques, c'est-a-dire celles qui conduisent a une augmentation de I'energie de liaison. L'examen de I'allure generale de la « courbe » donnant I'energie de liaison par nucleon (figure 2.4, page ci-contre) presentant un maximum au voisinage de la masse 60 (fer et elements voisins) laisse presager deux voies generales : - la voie de la fusion suggere de rassembler des petits noyaux pour en former de plus gros, ce qui fait passer, par exemple, de A a B avec, done, une augmentation de W/A; - la voie de la fission suggere de scinder en deux (par exemple) un gros noyau, ce qui fait passer ainsi de A' a B' avec, done, la aussi une augmentation de W/A. 1. Cette reaction se produit dans la haute atmosphere et est a I'origine du carbone 14, radioactif, en faible proportion dans le carbone de la biosphere. Les neutrons sont produits par des reactions induites par les protons du rayonnement cosmique. 2. Sauf pour le neutron, il s'agit de masses d'atomes : c'est equivalent a ('utilisation de masses de noyaux si I'on neglige les energies des liaisons electroniques, puisque le nombre d'electrons est le meme dans les deux membres de la reaction.

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

55

Figure 2.4. Energie de liaison moyenne par nucleon des noyaux stables et principe de la fusion et de la fission.

La fusion est a I'origine de I'energie des etoiles. Le mecanisme principal (mais non le seul) est une suite complexe de reactions se resumant par: 4 hydrogene 1 => helium 4, et fournissant environ 28 MeV, c'est-a-dire I'energie de liaison de I'helium 4. Pour I'ingenieur, la fusion est une operation difficile a realiser car, pour fusionner deux noyaux, il faut les mettre en contact de fagon a faire jouer les forces de liaison nucleaire, done vaincre la repulsion coulombienne entre les deux noyaux charges positivement. La reaction generalement envisagee, car presentant le moins de difficulte, est la reaction de fusion des deux isotopes lourds de I'hydrogene : deuterium (hydrogene 2) + tritium (hydrogene 3) => helium 4 + neutron . Rappelons que le deuterium est I'un des isotopes naturels de I'hydrogene. Le tritium (nucleide radioactif de periode 12 ans) doit par contre etre prealablement produit. La reaction choisie est la capture neutronique par le lithium; la reaction principale est: neutron + lithium 6 => tritium + helium 4 . (II est interessant de combiner les deux reactions en recuperant le neutron de la reaction de fusion pour regenerer le tritium consomme par cette reaction.) En pratique, pour la reaction de fusion, il faut porter les reactifs a tres haute temperature — typiquement 100 millions de degres C — de fagon a ce que leur energie cinetique soit suffisante pour que la barriere de repulsion coulombienne puisse etre franchie lors d'une

56

Precis de neutronique

collision. Trois voies sont envisageables pour communiquer la temperature necessaire, la premiere etant mise en oeuvre dans les bombes dites « H » (hydrogene) et les deux autres etant etudiees en vue d'une production pacifique d'energie thermonucleaire (autre nom de I'energie de fusion) : - ('explosion d'une bombe « atomique » a fission (uranium 235 ou plutonium 239); - la fusion magnetique : un plasma des reactifs est confine, par des champs magnetiques, loin des parois de la chambre de combustion (en general choisie de forme torique et appelee « tokamak »); differents modes de chauffage sont possibles et souvent combines : chauffage ohmique (effet Joule), injection de particules neutres energetiques, chauffage cyclotronique par ondes haute frequence; - la fusion inertielle : les reactifs, enfermes dans une petite bille d'un diametre de I'ordre du millimetre, sont brutalement portes a tres haute temperature grace a un ensemble de puissants faisceaux laser (ou, eventuellement d'autres particules), ce qui provoque a la fois une forte compression et un fort chauffage pouvant declencher la reaction de fusion. Dans ces deux derniers cas, une fois demarree, la reaction de fusion pourrait apporter la chaleur necessaire a son entretien. La voie magnetique a sans doute fait Pobjet de plus de travaux de developpement, mais la voie inertielle presente aussi des atouts; aucune de ces deux voies ne permet d'envisager une contribution significative a court terme de la fusion pour couvrir les besoins energetiques : au mieux, le projet Iter, s'il est adopte, permettra de porter un jugement sur la faisabilite d'un reacteur a fusion magnetique. Comparativement, la fission apparatt nettement plus facile... et effectivement mise en ceuvre depuis plus d'un demi-siecle. L'un des points essentiels est que I'on peut commencer par des machines de puissance modeste (rappelons-nous que le reacteur de Fermi delivrait un demi watt!), puis perfectionner petit a petit les technologies, alors qu'il est impossible de faire de la fusion exo-energetique a petite echelle, quelle que soit la voie. L'autre raison pour laquelle la fission est plus aisee est qu'il existe, comme nous I'avons vu au chapitre precedent, une reaction en chame grace aux neutrons insensibles aux forces electriques et pouvant done s'approcher sans difficulte des noyaux et s'y integrer grace a la liaison nucleaire; pour I'uranium 235, par exemple, nous savons que cela suffit pour provoquer la fission : I'energie de la liaison du neutron incident avec le noyau d'uranium 235 est dispersee au sein de I'uranium 236 ainsi obtenu; dans ce cas, cette energie s'avere suffisante pour separer la « goutte » en deux fragments. En outre, les quelques neutrons liberes simultanement pourront induire de nouvelles fissions et entretenir ainsi la reaction en chame. L'examen de la courbe d'energie de liaison (figure 2.4, page precedente) montre que la fission (supposee symetrique pour simplifier) fait augmenter I'energie de liaison d'environ 0,85 MeV par nucleon; avec, disons, 236 nucleons (uranium 235 plus le neutron incident), cela fait une energie de I'ordre de 0,85x236 ~ 200 MeV; ('experience confirmecechiffre gigantesque par rapport a toutes les formes d'energie « classiques ». Cela nous amene a parler des neutrons et des reactions qu'ils peuvent induire. Nous commencerons par quelques considerations generales sur les reactions nucleaires et, en particulier, sur les reactions spontanees que sont les disintegrations radioactives.

2 - Physique nucleaire a /'usage du neutronicien

57

B. RADIOACTIVITE 2.4.1 Zones d'instabilites Le diagramme Z-N des nucleides naturels (figure 2.1, page 46) montre que toutes les combinaisons ne conduisent pas a des noyaux stables (il n'y a pas d'autres nucleides stables que ceux trouves sur Terre). Cela ne veut pas dire que les autres combinaisons n'existent pas, mais seulement qu'elles sont instables : spontanement, au bout d'un laps de temps variable selon les exemples, un noyau instable se transforme pour donner un noyau stable... ou un noyau encore instable qui se transformera a son tour. Ce mecanisme spontane est la radioactivite; une telle transformation est appelee des integration radioactive ou decroissance radioactive (ce dernier terme rappelant que la radioactivite fait decroTtre au cours du temps le nombre de noyaux instables). On trouve quelques dizaines de nucleides radioactifs naturels et Ton connatt les caracteristiques de quelques milliers d'autres nucleides radioactifs artificiels. Tous ces noyaux sont represented par des points proches de la vallee de stabilite; sinon, leur existence seraittrop ephemere pour etre mise en evidence. Ce terme de « vallee » suggere I'idee d'une surface situee au-dessus du plan Z-N representant I'energie de liaison du noyau (ou, plus precisement, sa masse) et presentant une depression le long de la courbe en question : tout point qui n'est pas situe sur la courbe ou en son voisinage immediat aura tendance a « devaler la pente » pour tomber au fond de la vallee. Si I'on se refere a cette image, on peut distinguer trois zones d'instabilite (voir figure 2.5) : - la zone A est celle des noyaux situes a peu pres dans I'axe de la vallee, mais trop haut (on peut imaginer que la vallee monte en pente douce dans la partie correspondant

Figure 2.5. Les trois zones d'instabilite.

58

Precis de neutronique

aux noyaux intermediaires, puis s'eleve selon une pente de plus en plus accentuee) : c'est la zone des noyaux trop gros; - la zone B est celle des noyaux situes sur la «rive droite » : c'est la zone des noyaux qui ont trop de neutrons par rapport aux protons; - la zone C est celle des noyaux situes sur la « rive gauche » : c'est la zone des noyaux qui ont trop de protons par rapport aux neutrons.

2.4.2 Principaux types de radioactivite Les principaux modes de decroissance radioactive sont associes, respectivement, a ces trois zones d'instabilite. - Pour les noyaux de la zone A, la decroissance se fait le plus souvent(1) par radioactivite alpha (a) : au sein du (gros) noyau une particule alpha — qui n'est autre qu'un noyau d'helium 4 forme de deux protons et de deux neutrons — « s'isole », puis est ejectee; en designant par X et Y les symboles chimiques des noyaux initial et final, la reaction s'ecrit done : - Pour les noyaux de la zone B, ayant trop de neutrons, I'un des neutrons se transforme en proton selon un processus d'interaction faible :

ou ('electron et I'antineutrino sontejectes. Pour I'observateur, cette reaction, dite radioactivite beta-moins ($~), s'ecrit:

Pour les noyaux de la zone C, ayant trop de protons, le processus symetrique pourra se produire : ou le positon (antielectron) et le neutrino sont ejectes. Pour I'observateur, cette reaction, dite radioactivite beta-plus (f3+), s'ecrit:

Pour ces noyaux de la zone C, ayant trop de protons, un autre processus, n'ayant pas de symetrique, pourra aussi se produire : c'est la capture electronique (CE), c'est-a-dire la capture par un proton du noyau d'un des electrons les plus proches :

Pour I'observateur, la reaction s'ecrit:

et se distingue de la precedente par le fait que seul un neutrino (non detecte en pratique) est ejecte; cependant, un rayonnement X resultant du rearrangement du cortege electronique pourra aussi etre vu. 1. Parmi les autres processus rares, citons la fission spontanee dont nous reparlerons.

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

59

- Pour ces divers modes de decroissance, le noyau Y est tres souvent obtenu non pas dans son etat fondamental, mais dans un etat excite Y*, dit isomere de I'etat fondamental. La duree de vie d'un isomere est, sauf exception, extremement breve, la decroissance se faisant par emission d'un photon gamma (si le noyau retombe directement sur le niveau fondamental) ou plusieurs (s'il transite par un ou plusieurs niveaux intermediaire(s)). Cette decroissance, appelee radioactivite gamma (y) accompagne done (ou, plus exactement, suit) la plupart des autres types de decroissances radioactives. Les particules ejectees constituent des rayonnements qualifies comme les decroissances qui les ont produits : - le rayonnement alpha est arrete dans la matiere usuelle sur une distance de I'ordre du dixieme de millimetre, en y deposant son energie, de I'ordre de 5 MeV ou plus; - le rayonnement beta est arrete dans la matiere usuelle sur une distance de I'ordre du millimetre. L'energie emportee par la particule et deposee dans la matiere peut aller, selon les exemples, de quelques keV a quelques MeV. Dans le cas de la radioactivite beta-plus, le positon s'annihile avec un electron en emettant a 180 degres deux photons de 511 keV, c'est-a-dire I'energie correspondant a la masse de chacune de ces particules; - les antineutrinos ou neutrinos se partagent I'energie des disintegrations radioactives beta avec les electrons ou les positons(1). Ces particules n'interagissent pratiquement pas avec la matiere et s'echappent sans etre detectees; - les photons gamma de la radioactivite peuvent avoir des energies de quelques keV jusqu'a plusieurs MeV. Leurs parcours, d'autant plus longs que I'energie est elevee, sont typiquement de I'ordre du decimetre. Certains photons peuvent aller fort loin car la longueur du parcours est aleatoire selon une loi exponentielle, au contraire des particules chargees dont le parcours est pratiquement fixe, une fois precises I'energie de la particule et le materiau traverse. Ce sont done ces rayonnements gamma qui posent les principaux problemes de radioprotection.

2.4.3 Loi de la radioactivite En depit de la variete des processus de decroissance, la loi mathematique qui regit la radioactivite est universelle : c'est la loi exponentielle. Cette loi resulte du fait que I'instant de la transformation est aleatoire et exprime le fait qu'un noyau radioactif ne « vieillit » pas mais « meurt» a un moment imprevisible. La notion seule pertinente est done la notion de probabilite de disintegration radioactive durant I'intervalle de temps elementaire dt a venir, soit \dt: cette probabilite infinitesimale est evidemment proportionnelle a I'intervalle infinitesimal dt; la constante de proportionnalite \ est appelee « constante de decroissance (ou de disintegration) radioactive ». Le fait qu'un noyau instabie ne « vieillit» pas mais est seulement susceptible de « mourir » se traduit par le fait que \ ne depend pas (si Ton sait qu'il est encore « vivant») de I'age de ce noyau, c'est-a-dire du moment ou il a ete produit. L'experience montre, en outre, que cette constante ne 1. Bien avant qu'elle ait pu etre mise en evidence experimentalement (1953), I'existence de ces particules avait ete postulee par Pauli, puis par Fermi dans sa theorie de la radioactivite beta, pour preserver le principe de conservation de I'energie. Leur presence dans les formules des reactions est egalement necessaire pour conserver le moment cinetique : leur spin est 1/2. Leur masse est, sinon nulle, en tout cas tres faible.

60

Precis de neutronique

depend pas des conditions physico-chimiques du noyau concerne, c'est-a-dire qu'elle est reellement une caracteristique nucleaire. En revanche, bien entendu, cette constante n'est pas la meme selon les processus et les noyaux instables. Considerons une population nombreuse de noyaux radioactifs d'un type donne. Soit N(f) I'effectif a I'instantt. Entref eit+dt, chacun des noyaux a la probabilite "kdt dedisparattre; done : On en deduit la loi exponentielle en integrant:

La figure 2.6 indique I'allure de la courbe representative de cette fonction exponentielle et introduit la notion de « periode radioactive » (le terme de « demi-vie » est a eviter) : c'est le laps de temps au bout duquel la moitie de I'effectif a disparu (au bout de deux periodes, I'effectif est reduit au quart; au boutdetrois periodes, au huitieme... au bout de dix periodes au millieme environ, et ainsi de suite).

Figure 2.6. Loi de la decroissance radioactive.

Cette periode est donnee par la formule :

II convient de la distinguer de la vie moyenne 1/X, laps de temps moyen au bout duquel se desintegrera un noyau instable observe a un instant donne.

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

61

I'activite d'une matiere radioactive est le nombre de disintegrations par unite de temps, done : Elle s'exprime en becquerels (Bq) : 1 Bq = 1 disintegration par seconde. Ancienne unite : le curie (Ci): 1 Ci = 37 milliards de Bq. On remarquera que I'activite decroTt au cours du temps selon la meme loi que le nombre N de noyaux instables.

2.4.4 Examples de decroissances radioactives Parmi la multitude d'exemples qui pourraient etre choisis, en voici quelques-uns pour illustrer la variete des processus, la tres vaste plage des periodes et la diversite des domaines scientifiques et medicaux concernes par la radioactivite : -

226

-

235

-

238

-

232

-

1

-

3

-

11

Ra : le radium 226, descendant indirect de I'uranium238, setrouveen faiblequantite dans les minerais d'uranium; ce radionucleide alpha de periode / 620 ans est celebre depuis qu'il fut decouvert par Marie et Pierre Curie en 1898, puis isole par Marie Curie et Andre Debierne en 1910. On notera que I'activite de 1 gramme de radium est egale a 1 curie : ce fut la definition initiale de cette unite (definition actuelle : 3,7.1010 Bq) ; U : I'uranium 235, seul noyau fissile par neutron lent parmi les nucleides naturels, est un emetteur alpha de longue periode : 710 millions d'annees;

U : I'autre isotope, I'uranium 238, est un emetteur alpha de plus longue periode encore : 4,5 milliards d'annees. Ces tres longues periodes font que ces nucleides existent encore en quantite significative sur Terre depuis qu'ils ont ete crees (dans ['explosion d'une etoile supernova), il y a quelque 5 milliards d'annees. La periode plus courte de I'uranium 235 explique sa moindre abondance. On notera aussi que ces noyaux tres lourds peuvent egalement subir la fission spontanee, mais a un rythme tres lent : par exemple, 26 fissions spontanees se produisent par heure et par gramme d'uranium 238;

Th : le thorium naturel n'est forme que de ce seul isotope thorium 232, emetteur alpha de tres longue periode : 14 milliards d'annees. Avec les deux nucleides precedents, isotopes de I'uranium, ce sont les seuls noyaux presque stables, c'est-a-dire de tres longue periode, parmi les elements au-dela du bismuth (Z = 83). Si Ton trouve dans la nature les elements intermediaires, pourtant de periodes plus courtes, c'est parce qu'ils sont regeneres en permanence a partir de I'un de ces trois nucleides; n : paradoxalement, le neutron a I'etat libre est instable, alors qu'insere dans un noyau stable, il est stable; avec une periode de 12 minutes, il se desintegre par decroissance beta-moins. Dans les reacteurs, la duree de vie des neutrons a I'etat libre est de I'ordre de la milliseconde ou moins : la probabilite de decroissance pendant cette duree est infime et cette radioactivite est totalement negligeable en physique des reacteurs; H : le tritium est I'un des reactifs de la reaction de fusion D + T (I'autre, le deuterium, est stable). Sa duree de vie est de 72 ans; il se transforme en helium 3 par decroissance beta-moins. Apres qu'il ait ete produit, il faut I'utiliser assez rapidement (tokamak) ou le renouveler regulierement (arme); C : le carbone a deux isotopes stables, le carbone 12 (99 %) et le carbone 13 (1 %). On peut s'attendre a ce que I'isotope 11, presentant un deficit en neutrons, soit emetteur beta-plus : c'est effectivement le cas; la periode est de 20 minutes. Le carbone 11 fait

62

Precis de neutronique

partie des radio-isotopes utilises en imagerie medicale, en 1'occurrence en tomographie par emission de positons(1) (TEP), utilisee notamment pour etudier le metabolisme cerebral : le positon s'annihile avec un electron, pratiquement a I'endroit meme de la decroissance, en emettant deux gamma de 511 keV qui sont detectes a 180 degres et en coincidence; cela donne I'axe sur lequel s'est produite la disintegration. Apres un grand nombre d'evenements de la sorte, un traitement mathematique fournit une carte de la concentration du carbone 11. On met en ceuvre le precede en fabriquant le carbone 11 grace a un accelerateur sur les lieux memes, en marquant les molecules auxquelles on s'interesse (par exemple du glucose), en les injectant au patient et en effectuant la tomographie, tout cela pendant les quelques dizaines de minutes disponibles avant la disparition du radionucleide; 14 C : cet isotope a, lui, trop de neutrons et est ainsi emetteur beta-moins; sa periode est de 5700 ans. Comme on I'a deja dit (cf. note 1, page 54), le carbone 14 se trouve en quantite faible, mais a peu pres constante, dans le carbone naturel de la biosphere car il est genere en permanence par des reactions nucleates induites dans la haute atmosphere par le rayonnement solaire. Tout organisme vivant — animal ou plante — contient done du carbone 14. Apres la mort, en revanche, le carbone 14 n'est plus renouvele et disparaTt par radioactivite. En mesurant la concentration restante, on peut estimer la date de la mort. Compte tenu de la periode, cette methode convient pour determiner des ages compris entre quelques centaines et quelques dizaines de milliers d'annees, ce qui est bien adapte, par exemple, aux recherches archeologiques; - 97Tc : le technetium 97, de periode 2,7 millions d'annees, est un exemple de radionucleide decroissant (pour I'essentiel) par capture electronique. C'est I'isotope de plus longue periode de cet element. Comme cette periode est courte par rapport a I'age de la Terre (4,5 milliards d'annees), il n'y a pas de technetium naturel; -

16

-

60

N : exemple d'emetteur surtout connu pour son emission gamma, apres une decroissance beta-moins. La periode est courte : 7 secondes. Cet emetteur est produit dans les reacteurs a eau par reaction (n,p) sur I'oxygene usuel (oxygene 16); la periode est malheureusement telle que Permission gamma se produit en majorite hors du cceur, en particulier dans les generateurs de vapeur des reacteurs a eau sous pression; mais cela permet aussi une mesure du debit d'eau primaire;

Co : autre exemple d'emetteur beta-moins/gamma; la periode est de 5,7 annees. Ce radionucleide a ete tres utilise dans les « bombes au cobalt» de la cancerotherapie : en irradiant un cancer, on detruit davantage les cellules malignes — plus radiosensibles — que les cellules saines. (Aujourd'hui, on utilise d'autres radionucleides, choisis selon les types de cancers.) Ce radionucleide est aussi le principal contributeur a I'activation des structures en acier soumises au flux neutronique.

2.4.5 Instabilite alpha [/enumeration de ces quelques exemples va nous permettre d'introduire quelques remarques de caractere general sur les processus alpha et beta. En ce qui concerne le premier, on observe que les periodes sont presque toujours longues, sauf pour les elements 84 a 89 et les noyaux (artificiels) les plus lourds, et que les energies 1. On parle aussi de positrons, mais c'est un anglicisme incorrect.

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

63

des disintegrations sont de I'ordre de 5 MeV ou un peu plus : en negligeant le recul du noyau, cette energie est communiquee a la particule alpha si elle est seule, ou partagee entre la particule alpha et le ou les rayonnement(s) gamma. On note enfin que seuls des noyaux lourds subissent des decroissances alpha. Cela vient de I'energie de la reaction :

ou I'energie de liaison de la particule alpha, W(4,2), est egale a 28,3 MeV : en faisant le calcul a partir de la formule de Bethe et Wiezsacker pour divers points situes sur I'axe de la vallee de stabilite, on observe que Q n'est positif que pour A superieur a 150 environ. Comme le suggere ('intuition, des calculs de physique quantique montrent que la periode est d'autant plus courte que Q est eleve : en pratique, les decroissances alpha ne deviennent significatives que si Q depasse 4 ou 5 MeV, ce qui correspond a un nombre de masse de I'ordre de 220.

2.4.6 Instability beta En ce qui concerne I'instabilite beta, ce n'est pas, en revanche, le nombre de masse qui joue le role essentiel mais la proportion entre les neutrons et les protons comparee a sa valeur optimale. En utilisant a nouveau la formule de Bethe et Wiezsacker pour mener I'analyse, on doit fixer /\ (1) — non modifie dans une decroissance beta ou une capture electronique— et examiner les variations de I'energie de liaison W — ou de la masse M — en fonction de Z : - si A est impair, le terme de parite 8 est nul pour toutes les repartitions entre protons et neutrons : tous les points representatifs de M en fonction de Z se situent sur une parabole dont I'equation est donnee par le modele de la goutte. En principe, seul est stable le noyau correspondant au point le plus proche du fond de la parabole, les noyaux representes par des points plus a gauche etant instables par radioactivite beta-moins et les noyaux representes par des points plus a droite etant instables par radioactivite beta-plus et/ou par capture electronique. Compte tenu de la petite difference de masse entre le neutron et le proton qu'il faut prendre en compte pour faire un bilan exact de la reaction, il y a quelques fois deux noyaux stables; - si A est pair, le terme de parite 8 peut valoir, selon les combinaisons, +1 ou -1 : les points se placent alors, alternativement, sur deux parabolas decalees en ordonnee de deux fois I'energie associee au terme de parite. II peut, dans ce cas, y avoir jusqu'a trois isobares stables. Les periodes beta sont, en regie generale, plus courtes que les periodes alpha (mais il y a des exceptions) et d'autant plus courtes que I'energie de la decroissance est elevee (mais la parite joue aussi : les transitions sans changement de parite se font plus « facilement» que les transitions avec changement de parite). En terme de nombre d'isotopes (c'est-a-dire a Z fixe), ces considerations montrent que les elements pairs ont plus d'isotopes que les elements impairs. Un examen systematique etablit que : 1. Les noyaux de meme nombre de masse sont qualifies d'« isobares

64

Precis de neutronique

- si Z est pair, il y a au moins deux isotopes stables, a une exception pres, le beryllium (Z = 4) qui n'a qu'un seul isotope stable, le beryllium 9; - si Z est impair, il y a au plus deux isotopes stables.

2.4.7 Instabilite gamma Rappelons (cf. p. 52) que les noyaux ont des etats excites ou etats isomeriques (isomere : memes nombres A et Z). Les decroissances alpha et beta peuvent donner differents isomeres du meme nucleide. Les isomeres se desintegrent en general rapidement jusqu'au nucleide fondamental par emission de photons gamma. Les spectres de ces emissions gamma sont d'autant plus compliques et riches que la decroissance alpha ou beta aura place le noyau «fils » ( 1 ) sur un niveau de rang eleve : c'est dire que la structure des emissions gamma sera souvent plus compliquee pour les noyaux lourds que pour les noyaux legers.

2.4.8 Filiations radioactives II arrive souvent que le noyau Y, obtenu par decroissance d'un noyau radioactif X, soit luimeme radioactif et se desintegre vers un noyau Z. En particulier, derriere chacun des trois noyaux lourds presque stables de la nature se trouve une longue chame de descendants, presentant parfois des bifurcations. A titre d'exemple, on trouvera ci-dessous (figure 2.7, page ci-contre) la chame partant de ['uranium 238 comportant quinze nucleides instables avant le produit final 206Pb stable. Ces chames comportent des decroissances alpha, qui font baisser A de quatre unites, et beta, qui ne font pas varier A. Toutes les valeurs de A d'une chame sont done de la forme soit 4n (chame du thorium 232), soit 4n + 1 (chaine n'existant pas dans la nature), soit 4n + 2 (chaine de ['uranium 238), soit 4n + 3 (chame de I'uranium 235).

2.4.9 Equations d'evolution par radioactivite Les equations regissant les nombres d'atomes X, Y, Z... lies par une chaine de decroissances radioactives : generalised ('equation de la decroissance d'un nucleide : hormis le maillon de tete, il faut ajouter un terme de production au terme de disparition(2) :

1. Les anglo-saxons disent « fille » (daughter)! 2. On peut visualiser la chame par une suite de reservoirs se deversant les uns dans les autres. Les equations s'obtiennent en explicitant tous les flux entrants (signe +) et sortants (signe -).

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

65

Figure 2.7. ChaTne radioactive de I'uranium 238.

La solution generale est une combinaison d'exponentielles e Xf . Les constantes s'obtiennent, d'une part, en reportant dans le systeme, d'autre part en prenant en compte les conditions initiales (si la chame est lineaire, les equations peuvent se resoudre de proche en proche).

Precis de neutronique

66

Si la periode du nucleide de tete est beaucoup plus longue que toutes les autres — ce qui est le cas pour les chaines du thorium 232, de I'uranium 235 et de ('uranium 238 —, les concentrations tendent vers une situation d'« equilibre seculaire » : pour cet equilibre, atteint lorsque tous les nucleides sont restes en place depuis un temps long devant toutes les periodes sauf la premiere, toutes les activites sont les memes :

et les concentrations sont done inversement proportionnelles aux periodes. Elles sont, en outre, pratiquement independantes du temps sur des durees courtes devant la premiere periode.

C. REACTIONS NUCLEAIRES 2.5 Generalites sur les reactions nucleaires 2.5.1 Reactions spontanees et reactions induites La radioactivite peut etre qualifiee de « reaction nucleaire spontanee ». Mais le terme de « reaction » est plutot utilise lorsque la reaction est induite, en pratique par un « projectile » venant percuter une « c/6/e ». (En realite, le projectile et la cible jouent des roles parfaitement symetriques, comme on s'en rend compte si I'on se place dans le systeme du centre de masse.) En designant par a le projectile et par A la cible, et en supposant, par exemple, que deux objets sont issus de la reaction, un « gros » B et un « petit» b, on peut ecrire : ou, de fagon plus concise :

2.5.2 Exemples de reactions nucleaires Voici quelques exemples utiles a connattre pour qui s'interesse a I'energie nucleaire (la plupart ont deja ete cites) : - reaction la plus couramment utilisee dans les sources de neutrons (obtenue en melangeant un quelconque emetteur alpha avec du beryllium) :

- reaction a I'origine de la decouverte de la radioactivite artificielle en 1934 par Joliot

- reaction produisant le carbone 14 :

67

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

- reaction de la fusion thermonucleaire :

- production du tritium necessaire pour cette reaction :

- reaction de fission : deux fragments de fission + quelques neutrons; - reaction de capture radiative d'un neutron qui peut se produire sur tous les noyaux : photon(s) gamma, (pour cet exemple, le noyau obtenu, uranium 239, se transforme, apres deux decroissances beta-moins de courtes periodes, en plutonium 239 fissile); - autre reaction de capture neutronique :

(cette reaction est utilisee dans les reacteurs, notamment les reacteurs a eau sous pression, pour reguler la reactivite).

2.5.3 Lois de conservation Dans ces reactions, comme dans tous les processus physiques, un certain nombre de grandeurs se conservent; les principals sont: - le nombre de nucleons; - le nombre (algebrique) de charges electriques; - I'energ/e; - I'impulsion; - le moment cinetique. (.'utilisation des deux premieres lois permet, par exemple, de retablir B si I'on connatt a, A et b. C'est ainsi que Ton peut retrouver, si on I'a oublie, que la reaction (n,a) de capture des neutrons par le bore 10 donne du lithium 7. Dans la troisieme loi, il faut comptabiliser la masse avec les autres formes d'energie (cinetique et excitation). En pratique, elle permet d'etablir des bilans energetiques de reaction a partir des tables de masses des nucleides. La quatrieme loi permet de trouver la repartition de I'energie sortante : par exemple, pour la reaction de fusion D + T, I'energie de 1 7,6 MeV de la reaction (troisieme loi) se repartit a raison de 3,5 MeV pour la particule a et 14,1 pour le neutron, comme on le voit en supposant que I'impulsion est negligeable a I'entree et done aussi a la sortie de la reaction. Les troisieme et quatrieme lois suggeraient la presence, outre I'electron, d'une particule «fantome» dans la des integration beta (le neutrino). La conservation du moment cinetique I'impose aussi : le neutrino doit avoir un spin 1/2.

68

Precis de neutronique

2.5.4 Section efficace La notion de section efficace est necessaire si Ton veut quantifier le nombre de reactions entre un flux de particules a et des cibles A, ou si I'on prefere, la probabilite d'une interaction. Une section efficace peut etre « microscopique », c'est-a-dire caracteristique d'une « cible » individuelle, ou « macroscopique », c'est-a-dire caracteristique d'un materiau contenant un grand nombre de cibles. Differentes presentations de ces notions sont possibles. Nous proposons au lecteur de presenter prealablement les deux notions, puis d'examiner comment elles sont reliees. Nous introduirons pour cela des images de la mecanique classique faisant appel a I'intuition. C'est evidemment reducteur (mais non faux), aussi inclurons-nous les nuances necessaires. La figure 2.8 introduit de fagon intuitive la definition d'une section efficace (ici pour une cible et un projectile supposes spheriques) : une collision se produira si et seulement si la trajectoire du projectile amene son centre a passer a une distance du centre de la cible inferieure a la somme des rayons, c'est-a-dire a traverser le cercle du plan de la figure ayant comme rayon la somme des rayons des deux objets. La section efficace est I'aire a de ce cercle.

Figure 2.8. Notion intuitive de section efficace.

Cette aire est liee a une probabilite : si I'on place, dans le plan de la figure, non pas une cible mais un nombre quelconque n de cibles reparties dans un contour d'aire 5 et si I'on envoie au hasard le projectile a travers 5, la probabilite qu'il percute I'une des cibles est I'aire de ('ensemble des cercles tiretes rapportee a I'aire totale soit na/S. En physique nucleaire et en neutronique, la definition intuitive est trop simpliste : on s'en rend compte si I'on remarque que la section efficace neutronique a peut differer considerablement entre des noyaux a priori peu differents (par exemple, les isotopes 235 et 238 de I'uranium) et que, pour un noyau donne, elle peut varier enormement selon la vitesse du neutron. Toutefois, I'image montre que I'ordre de grandeur des sections efficaces devrait tourner autour de 10~24 cm2, puisque le rayon des noyaux est le I'ordre de 10~12 cm, ce que confirment les mesures. C'est la raison pour laquelle la physique nucleaire exprime les sections efficaces en barns : En revanche, la definition probabiliste de a reste correcte en physique quantique.

2 - Physique nucleaire a /'usage du neutronicien

69

2.5.5 Section efficace macroscopique Imaginons un neutron voyageant dans la matiere, qu'il « voit» pratiquement comme du vide, puisqu'il « ignore » les electrons. Son parcours se poursuit done en ligne droite a vitesse constante jusqu'a ce qu'il percute un noyau se trouvant sur la trajectoire. Pour un petit parcours dx cette probabilite de collision est infinitesimale et proportionnelle a dx, (par exemple, le neutron a deux fois plus de chance de percuter un noyau sur un parcours de 2 |xm que sur un parcours de 1 (xm) : nous pouvons I'ecrire Edx en notant E le coefficient de proportionnalite adequat, appele « section efficace macroscopique ». Les neutroniciens, usuellement, adoptent le centimetre comme unite de longueur dans leurs calculs et, par consequent, expriment les sections efficaces macroscopiques en crrr1. Cette definition permet de calculer la loi de probabilite regissant la distance x entre le point de depart du neutron et le point ou il va subir sa premiere collision. Cette premiere collision a lieu a la distance x a dx pres, c'est-a-dire entre les distances x et x + c/x : 1/ si le neutron n'a pas subi de collision entre 0 etx, soit Q(x) cette probabilite; 21 et si le neutron subit une collision entre x et x + dx, cette deuxieme probabilite est, par definition, Edx. La probabilite de cet evenement est done : p(x) dx = Q(x) x E dx. Pour calculer Q(x), remarquons que Q(x -+- dx), probabilite qu'il n'y ait pas de collision sur la distance x + dx est le produit de : I/ la probabilite qu'il n'y ait pas de collision entre 0 et x, soit Q(x) ; 21 la probabilite qu'il n'y ait pas de collision entre x e t x + dx, soit, par definition, 1 — Edx. Soit: Q(x + dx) = Q(x) x (1 - £ dx). En simplifiant, en integrant et en remarquant que Q(0) est, par definition, egal a 1, on obtient: d'ou :

L'inverse de la section efficace macroscopique, X = 1/E, est le libre parcours moyen des neutrons, c'est-a-dire la valeur moyenne de la distance x a laquelle se produit la premiere collision. En effet:

Les mesures montrent que, dans les materiaux usuels et pour les neutrons, les sections efficaces macroscopiques sont souvent de I'ordre du cm~1 et les libres parcours de I'ordre du cm. La probabilite elementaire Sdx d'interaction avec la matiere pour un parcours dx est evidemment proportionnelle au nombre d'« obstacles » que le neutron est susceptible de rencontrer, done au nombre N de noyaux par unite de volume. En notant a le coefficient de proportionnalite, cela amene a ecrire :

Precis de neutronique

70

Ce coefficient a, qui sera appele « section efficace microscopique » (par opposition a macroscopique) est effectivementtres petit si on I'exprimeavec les unites usuelles, puisque N a I'ordrede grandeur du nombre d'Avogadro. L'unite adequate sera done lebarn. Notons surtout que cette deuxieme definition de la section efficace microscopique est coherente avec la definition intuitive proposee ci-dessus. Pour nous en convaincre, evaluons, en utilisant I'image du projectile et de la cible, la probabilite d'interaction avec la matiere pour une particule y faisant un parcours dx : a ce parcours, nous pouvons associer le petit cylindre de hauteur dx et ayant comme base le cercle tirete de la figure 2.8, page 68, c'est-a-dire une surface d'aire a. Le volume de ce cylindre est adx. La particule subit une collision sur le parcours dx si et seulement si un centre de noyau atomique se trouve dans ce volume : s'il y a N noyaux par unite de volume, la probabilite que ce soit le cas est N x a dx. En rapprochant de ('expression £ dx cette probabilite, on retrouve bien H = No.

2.6 Reactions par neutrons 2.6.1 Generalites Parmi les exemples de reactions nucleaires que nous avons donnes (cf. p. 66), ceux qui concernent les neutrons montrent que plusieurs processus existent. Avant de recenser ceux qui interessent la physique des reacteurs, c'est-a-dire ceux qui concernent des neutrons d'energie comprise entre zero et une dizaine de MeV, notons deux points importants pour la neutronique : 1/ les interactions neutron-electron sont negligeables car, d'une part, la section efficace est infime (seule une interaction faible est possible entre ces deux particules) et, d'autre part, le rapport des masses est tel qu'une collision d'un neutron avec un electron ne modifierait guere sa trajectoire. Consequence : le parcours des neutrons est tres long (a leur echelle), typiquement de I'ordre du centimetre; autrement dit : un neutron traverse environ cent millions d'atomes avant de rencontrer, par hasard, un noyau avec lequel il a une interaction. (Pour reprendre une image proposee p. 44, on peut dire qu'en traversant un « terrain de foot», le neutron ne peut « voir » que la petite bille centrale : il faut done qu'il en traverse un grand nombre avant de risquer une collision avec cette bille.) Remarque : Comme il ne considere pas les interactions neutrons-electrons, le neutronicien n'a pas besoin d'introduire une modelisation precise des corteges electroniques des atomes. L'image du « systeme solaire », par exemple, peut suffire; 2/ les interactions neutron-neutron sont egalement negligeables, non pas pour une question de section efficace(1) mais pour une question de densite. En ordres de grandeur, on trouve 1022 noyaux atomiques par cm3 dans la matiere usuelle et seulement 108 neutrons par cm3 dans un reacteur de grande puissance : un neutron voyageant dans 1. Les sections efficaces de diffusion pour les interactions p-p, n-p et n-n sont du meme ordre de grandeur.

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

71

le systeme a done, en gros, 1014 fois plus de chances de rencontrer un noyau qu'un autre neutron et cette derniere eventualite peut ainsi etre negligee. La consequence de cela est que I'equation de Boltzmann qui regit la densite neutronique est lineaire, ce qui simplifie son etude mathematique et les traitements numeriques. Si el les devaient etre prises en compte, les interactions neutron-neutron s'exprimeraient, en effet, par un terme proportionnel au carre de la densite, done non-lineaire.

2.6.2 Diffusions et« vraies » reactions Dans les interactions des neutrons avec la matiere, il convient d'abord de distinguer les « vraies » reactions et les diffusions potentielles : dans la diffusion potentielle, il n'y a pas, a proprement parler, mise en contact du neutron avec le noyau-cible (c'est-a-dire mise en jeu des forces nucleaires), mais seulement diffusion par le champ nucleaire de I'onde associee au neutron. D'un point de vue phenomenologique, le processus est strictement semblable au choc elastique entre deux boules de billard, c'est-a-dire avec conservation de I'impulsion et de I'energie cinetique(1). Par opposition, dans une « vraie » reaction, il y a penetration du neutron dans le noyau. Dans la gamme des energies qui nous concerne, la reaction peut etre decrite par le modele du noyau compose. Dans ce modele, trois etapes successives sont distinguees : "I/ la vote d'entree : incorporation par le noyau-cible du neutron incident, donnant I'isotope de rang immediatement superieur et acquisition par cet isotope d'une energie d'excitation egale a la somme de I'energie de liaison du neutron supplementaire (travail des forces nucleaires de liaison) et de Venergie cinetique apportee par le neutron; II la «vie» proprement dite du noyau compose, isotope du noyau-cible : son existence est breve a notreechelle — del'ordrede 10~14 s — mais longuea I'echelle nucleaire, c'esta-dire du laps de temps necessaire pour que s'etablisse la nouvelle liaison nucleaire — de I'ordre de 10~22 s. L'energie d'excitation peut ainsi s'« uniformiser » au sein du noyau compose; en d'autres termes, celui-ci vit un temps suffisant pour « oublier » comment il a ete cree, c'est-a-dire la voie d'entree : ce qui va suivre sera independant du processus qui a cree le noyau compose (absorption d'un neutron, d'un proton, d'un gamma...); 3/ la voie de sortie : le noyau compose excite va rapidement (a notre echelle) se desintegrer par un processus de type radioactif; avec I'energie acquise lors de I'absorption d'un neutron, plusieurs mecanismes sont possibles et entrent en competition (nous les detaillons ci-dessous). Cette energie d'excitation du noyau compose est, en effet, importante : I'energie de la liaison du neutron supplementaire est de I'ordre de I'energie de liaison moyenne par nucleon, done entre 5 et 10 MeV environ (2) et I'energie cinetique que le neutron apporte peut aller de zero a quelques MeV. 1. Pour etablir les lois du choc, au ch. VII, nous utiliserons cette image. 2. L'energie de liaison du dernier nucleon est un peu plus grande que la moyenne dans la zone ou la courbe de W/A en fonction de A est croissante et un peu plus petite que la moyenne dans la zone ou la courbe decroTt, notamment la zone des noyaux lourds tel I'uranium.

72

Precis de neutronique

2.6.3 Principales reactions induites par les neutrons dans les reacteurs Le tableau 2.1 synthetise les principales reactions qui peuvent etre observees dans les reacteurs. TABLEAU 2.1. Principales reactions subies par les neutrons dans les reacteurs. Interaction sans formation d'un noyau compose

n + A => n + A

Diffusion potentielle (elastique)

Toujours possible

Interactions passant par la formation d'un noyau compose Diffusion resonnante elastique Diffusion resonnante inelastique Reaction (n,2n) Capture radiative Reaction (neutron, particule chargee)

n + A => n + A n + A => n' + A* A* => A + y

n + A ==» n' + n" + (A - 1 ) n + A = > y + (A+1)

n + A => p + B n + A => a + C

Toujours possible Seuil : premier niveau de A Seuil : energie de separation d'un neutron de A Toujours possible Le plus souvent avec seuil; parfois sans seuil

etc. Fission

n + A=^ Noyaux lourds : sans seuil si N PF' + PF" + quelques neutrons impair, avec seuil si N pair; effet (En moyenne, v, entre 2 et 3) « tunnel ».

Outre la diffusion potentielle, deux reactions sont toujours possibles, quel que soit le noyau-cible et quelle que soit I'energie du neutron : 1/ la diffusion resonnante elastique, c'est-a-dire passant par la formation d'un noyau compose (I'energie apportee par le neutron incident est integralement restituee — une partie pour briser la liaison, I'autre sous forme d'energie cinetique — a un neutron ejecte); 2/ la capture radiative (I'energie d'excitation du noyau compose est integralement ejectee sous forme de photon(s)). Certaines reactions sont le plus souvent a seuil, mais pas toujours : 1/ la fission (voir ci-dessous p. 88); 2/ les reactions ou une particule chargee est ejectee. Les autres reactions sont toujours a seuil : 1/ la diffusion (resonnante) inelastique laissant le noyau residue! dans un etat excite apres ejection du neutron (le seuil est I'energie du niveau excite considere, done au minimum celle du premier niveau); 21 les reactions (n,2n) (ejection de deux neutrons : le seuil est I'energie de liaison du deuxieme neutron a prelever pour le separer), (n,np)t (n,3n), etc.

2.6.4 Sections efficaces partielles et additivite des sections efficaces Les sections efficaces microscopiques a ou macroscopiques S que nous venons de definir caracterisent toute interaction d'un neutron dans la matiere : c'est la raison pour laquelle

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

73

elles sont qualifiees de «totales » (si necessaire, on ajoute I'indice « t » pour eviter toute ambiguYte). Nous venons de voir que, pour les neutrons, il y a toujours plusieurs types d'interactions possibles : on est ainsi amene a caracteriser chacun de ces processus par une section efficace partielle ar ou Zr, ou r designe la reaction. Par definition, le rapport ar/a ou S r /E est la probabilite que I'interaction neutron-matiere, si elle se produit, se fasse selon le processus r. Par consequent, la somme des sections efficaces partielles est la section efficace totale. En neutronique, on a pris I'habitude de distinguer la diffusion — indice s comme I'equivalent anglais scattering — et {'absorption — indice a — selon que le neutron est reemis ou pas apres la reaction (les processus (n,2n) sont considered comme des diffusions) :

et, parmi les absorptions, les fissions et toutes les autres absorptions qualifiees de captures :

Dans les materiaux composites, on pourra distinguer le type de noyau avec lequel le neutron aura interagi, par exemple uranium 235, uranium 238 et oxygene s'il s'agit d'oxyde d'uranium. La section efficace macroscopique du melange (totale ou partielle) sera la somme des sections efficaces macroscopiques E^ = Nk = 0 a la limite extrapolee que la condition de derivee logarithmique a la surface reelle. Comme cela ne complique pas les choses, on en profite pour remplacer le coefficient 2/3 dans ('expression de d par un coefficient plus precis obtenu en traitant exactement le probleme du corps noir(2), sans faire I'approximation de la diffusion :

1. Si les coefficients de diffusion sont differents, le trace du flux est continu mais presente un « angle passage de I'interface : c'est un artefact du a I'approximation de la diffusion. 2. Ce probleme est appele «probleme de Milne ».

138

Precis de neutronique

Figure 5.2. Distance d'extrapolation.

5.1.6 Approche a partir de /'equation integrate A titre d'exercice, voici une autre fagon d'obtenir I'equation de la diffusion (en regime stationnaire, pour simplifier). Nous laissons au lecteur le soin de mener les calculs en detail : - on part de ('equation integrale de Boltzmann en diffusion isotrope (cf. p. 110) :

- on suppose le materiau homogene autour de r dans la zone qui contribue a I'integrale (E constant); - on remplace, pour calculer I'integrale, Q(r') par son developpement au second ordre en serie de Taylor autour de r; - pour le calcul du laplacien qui apparatt alors, on fait ('approximation Q ~ E, c'esta-dire : AQ ~ £A.

5.1.7 Conditions de validite de /'approximation de la diffusion La « demonstration » de la loi de Pick que nous avons presentee ci-dessus montre que I'approximation de la diffusion est valable dans la mesure ou les variations (en espace et en temps) sont lentes. Concretement, c'est le cas : - s'il y a peu d'heterogeneites geometriques; - si la section efficace d'absorption est faible devant la section efficace de diffusion ; - si I'on ne se place pas trop pres des interfaces (au moins a quelques libres parcours); - si I'on ne se place pas trop pres des sources « concentrees ».

5 - Equation de la diffusion

139

5.1.8 Correction de transport Une bonne partie de I'erreur commise par ^approximation de la diffusion provient de I'hypothese d'isotropie des diffusions. (Cette hypothese est necessaire pour aboutir a la forme simple de ('equation integrale du transport utilisee ci-dessus; elle a aussi ete faite pour etablir la loi de Pick lorsque nous avons admis qu'un neutron quittant dV avait la probabilite d2Q/4n de « viser » dS, d2Q etant Tangle solide sous lequel est vue dS depuis le point d'emission.) La correction de transport, qu'on etablit a partir de la forme differentielle de I'operateur de transport, permet de remedier a I'essentiel de cette erreur. Comme elle est simple a introduire, elle sera toujours faite en pratique. Elle consiste, en effet, dans ('expression du coefficient de diffusion, a remplacer la section efficace totale E par la section efficace dite de « de transport » :

ou |i est le cosinus moyen de I'angle de deviation du neutron au cours d'une collision : c'est une donnee nucleaire qu'il faut simplement ajouter aux autres. (Nous verrons au ch. 7 qu'une bonne approximation pour un noyau A fois plus lourd que le neutron est |i = 2/[3/\].) Les formules a utiliser sont done :

5.2 Etude de quelques problemes 5.2.1 Noyaux de I'equation de la diffusion en milieu homogene et infini On appelle « noyaux » d'une equation (ici equation de la diffusion) les solutions elementaires obtenues pour les milieux les plus simples et les « seconds membres » (ici les sources) les plus simples. Nous aliens examiner, dans ce paragraphe, le milieu le plus simple qu'on puisse rencontrer dans les problemes de neutronique : le milieu homogene et sans frontiere, c'est-a-dire infini. Nous examinerons trois sources elementaires pouvant schematiser des sources reelles : la source ponctuelle emettant S neutrons par unite de temps; la source filiforme (disposee sur une droite) emettant 5 neutrons par unites de longueur et de temps et la source plane emettant 5 neutrons par unites de surface et de temps. 1/ Source « point » : plagons cette source a I'origine des coordonnees et utilisons les coordonnees spheriques; pour des raisons de symetrie, les variables angulaires n'interviennent pas et I'equation a resoudre se reduit a :

En dehors du point origine, la source est nulle. En recherchant une solution de la forme (J> = f/r, on voit que la solution generale s'exprime avec deux constantes A et B :

140

Precis de neutronique

avec :

La constante B doit etre nulle car le flux ne peut pas croitre indefiniment quand on s'eloigne de la source. Reste a determiner la constante A. - Premiere methode : le nombre net 4Tie2 /(e) de neutrons sortant d'une sphere de rayon e doit tendre vers I'intensite S de la source si e tend vers zero. En faisant le calcul avec :

on trouve A = S/4nD, soit:

- Deuxieme methode : la source peut etre representee mathematiquement par 58(7) ou S est la distribution de Dirac a trois dimensions; pres de I'origine, le flux est equivalent a A/r, puisque I'exponentielle est a peu pres egale a 1; or, on a la formule :

En equilibrant les coefficients des deux distributions de Dirac apparaissant ainsi dans I equation, on voit qu'il faut que A soit egal a 5/4irD. 2/ Source « fil » : plagons cette source le long de I'axe z et utilisons les coordonnees cylindriques; seule la variable p intervient et ('equation a resoudre se reduit a :

En dehors de I'axe z, la source est nulle. La solution generale s'exprime avec deux constantes A et B : ou /C0 et /0 sont deux fonctions de Bessel (voir annexes). La constante B doit etre nulle puisque la fonction /0 croTt comme une exponentielle et que le flux ne peut pas croitre indefiniment quand on s'eloigne de la source. La constante A peut etre determinee de fagon similaire a ce que nous avons fait pour la source « point». - Premiere methode : analogue en considerant un cylindre de rayon e et de hauteur unite : on trouve A = S/2uD, soit:

Deuxieme methode : la source peut etre representee mathematiquement par 58(p) ou 8 est la distribution de Dirac a deux dimensions; sachant que, pres de I'origine, la fonction K0(u) est equivalente a — In u et qu'on a la formule :

on retrouve la valeur de A en equilibrant les coefficients des deux distributions de Dirac apparaissant dans ('equation.

5 - Equation de la diffusion

141

3/ Source « plan » : plagons cette source dans le plan d'equation x = 0 et utilisons les coordonnees cartesiennes; seule la variable x intervient et Pequation a resoudre se reduit a :

En dehors du plan origine, la source est nulle. Supposons x strictement positif. La solution generale s'exprime avec deux constantes A et B :

La constante B doit etre nulle puisque le flux ne peut pas crottre indefiniment quand on s'eloigne de la source. Pour x strictement negatif, le flux est la fonction symetrique, ce que Ton peut prendre en compte en introduisant la valeur absolue de x :

La constante A peut etre determinee de fagon similaire a ce que nous avons fait precedemment. - Premiere methode : considerons deux plans infiniment voisins du plan source en x = —0 et x = +0; comme la moitie des neutrons est emise vers la droite et la moitie vers la gauche, nous avons :

d'ou :

En utilisant la loi de Fick, on en deduit A = S/2&D et

- Deuxieme methode : la source peut etre represented mathematiquement par 58(x) ou 8 est la distribution de Dirac a une dimension; en utilisant la formule :

on retrouve la valeur de A en equilibrant les coefficients des deux distributions de Dirac apparaissant dans ['equation.

Carres moyens des distances parcourues a vol d'oiseau Apres multiplication par Za, ces noyaux representent la densite d'absorption, parexemple par unite de volume pour le premier; on pourra verifier que Pintegrale de E a O respectivement sur r (entre zero et I'infini), sur p (entre zero et I'infini) et surex (entre — oo et +00) est bien egal a 5, done qu'il y a, par unite de temps, autant de neutrons absorbes que de neutrons emis. En ponderant r2 — resp. p2 et x2 — par cette densite d'absorption, on obtient la moyenne du carre de la distance parcourue a vol d'oiseau par un neutron de

142

Precis de neutronique

son emission jusqu'a son absorption — resp. de la projection du parcours sur le plan x-y et s u r l ' a x e x — ; on trouve ainsi (enprenant5= 1, la densite d'absorption est normalisee):

avec L2 = 1/K2 = D/Ea; cette grandeur, qui a la dimension d'une surface, est appelee « a/re de diffusion ». On remarquera que la deuxieme formule, puis la premiere, se deduisent de la troisieme par application du theoreme de Pythagore.

5.2.2 Generalisation : notion de fonction de Green Une source filiforme peut etre consideree comme un ensemble de sources ponctuelles situees sur un axe; de meme pour une source plane. Comme la neutronique est lineaire, on peut calculer le flux resultant d'un ensemble de sources en sommant les flux elementaires dus a chacune des sources : on pourra retrouver ainsi les noyaux « fil » et « plan » en effectuant les integrates adequates du noyau « point ». Cela peut etre generalise au cas d'un reacteur quelconque heterogene et/ou fini. Une source quelconque 5(r') peut etre consideree comme un ensemble (infini) de sources ponctuelles : dans I'element de volume c/V se trouve une source elementaire S^crV qui peut etre assimilee a une source ponctuelle. Si I'on apu calculer le flux g(r,r') au point 7du a une source ponctuelle et unite placee au point r', le flux du a I'ensemble S(r') des sources peut en etre deduit par I'integrale :

Le flux elementaire g(r, r') est la fonction de Green de Pequation de la diffusion(1). En theorie monocinetique, on ne change pas la physique neutronique si I'on inverse le sens d'ecoulement du temps; il en resulte que la fonction de Green est symetrique :

c'est-a-dire que I'on trouve le meme resultat en plagant une source emettant un neutron par unite de temps au point r' et en mesurant le flux au point r, et en plagant une source emettant un neutron par unite de temps au point ret en mesurant le flux au point r'. Ce resultat est evidemment faux en theorie a spectre : en pratique, les neutrons se ralentissent dans les reacteurs; en retournant le sens du temps, ils y seraient acceleres ! 1. La notion de fonction de Green est generale et s'applique a toute equation lineaire reliant une fonction inconnue 0 a une fonction donnee 5.

5 - Equation de la diffusion

143

5.2.3 Notion d'albedo On place en general autour du coeur d'un reacteur une couche d'un materiau « reflecteur» dont le role est de renvoyer vers le coeur des neutrons qui en sortent et qui, sinon, seraient perdus. On ameliore ainsi le facteur de multiplication. Les materiaux utilises comme reflecteurs sont souvent les memes que ceux qui sont choisis comme moderateurs puisque la caracteristique d'un bon reflecteur est de diffuser les neutrons — jusqu'a ce qu'ils retournent eventuellement vers le cceur — sans trop les capturer. Un reflecteur est caracterise par son coefficient de reflexion, ou albedo, defini comme la proportion des neutrons sortant du cceur renvoyes vers le cceur, c'est-a-dire :

formule ou les courants sont pris a I'interface cceur-reflecteur avec la normale orientee du cceur vers le reflecteur. (Dans les problemes ou les courants dependent du point sur I'interface, ces courants sont pris soit localement, soit en moyenne.)

5.2.4 Calcul de I'albedo d'une plaque Remarquons que I'albedo peut etre exprime avec le flux de la zone cceur (a sa limite) ou avec le flux de la zone reflecteur (id.) puisqu'il y a continuite des deux courants. En pratique, on calculera I'albedo en se placant dans le reflecteur et on Vutilisera pour le calcul du flux du cceur. A titre d'exemple, calculons I'albedo d'une plaque infinie selon y et z et comprise entre les plans x = 0 et x = e. Nous supposons que les neutrons entrent uniformement par la face x = 0, done que le flux ne depend que de x. II n'y a pas de sources au sein du reflecteur. L'equation a resoudre est:

La solution generale s'exprime avec deux constantes A et B :

Si nous supposons que I'epaisseur e inclut la distance d'extrapolation au-dela du reflecteur, la condition a cette limite est I'annulation du flux; pour la prendre en compte, il vaut mieux, dans cet exemple, ecrire la solution generale sous une forme equivalente faisant intervenir les fonctions hyperboliques au lieu des exponentielles :

puisque la condition en x = e conduit immediatement a B = 0. La constante A peut se calculer si Ton se donne le courant entrant en x = 0. lei, ce calcul n'est pas necessaire puisque nous voulons obtenir un rapport: en utilisant cette expression du flux et les formules donnant les courants partiels (cf. p. 135), on trouve :

(Le parametre y est, au signe pres, deux fois le rapport courant/flux a I'interface.)

144

Precis de neutronique

On voit que I'albedo est d'autant meilleur que I'epaisseur du reflecteur est grande, ce qui est bien naturel (moins de fuites vers I'exterieur). Toutefois, une asymptote est atteinte a partir d'une epaisseur de 2 ou 3 longueurs de diffusion L = 1/K. Le tableau 5.1 donne quelques ordres de grandeur de cette valeur asymptotique de I'albedo :

TABLEAU 5.1. Albedos pour les neutrons thermiques de quelques materiaux usuels (sous une grande epaisseur). D(cm)

L (cm)

Graphite

0,8

55

P 0,94

Beryllium

0,5

21

0,91

Materiau

Glucine

0,6

30

0,92

Eau lourde

0,8

130

0,97

Eau ordinaire

0,2

2,8

0,80

5.2.5 Utilisation de I'albedo comme condition a la limite Si nous nous plagons maintenant du cote du coeur et si nous supposons connu I'albedo du reflecteur, nous pouvons utiliser cette information pour exprimer la condition a la limite :

ou les courants sont a exprimer avec le flux dans le cceur. En pratique, il est plus aise d'expliciter cette condition sous une forme faisant intervenir la derivee logarithmique du flux:

Nous verrons un exemple d'application de cette technique au chapitre suivant (economic de reflecteur).

5.2.6 Calcul des configurations decrites par une seule variable d'espace Pour tous les exemples que nous avons traites jusqu'ici, le calcul a pu etre mene de fagon analytique car ces problemes ne faisaient intervenir c\u'une seule variable d'espace, r, p ou x. D'une fagon generate, tous les problemes de ce type, meme heterogenes, peuvent etre resolus dans la mesure ou il est possible d'expliciter la solution generale de ('equation de la diffusion dans chacune des zones, c'est-a-dire si la fonction 5 n'est pas trop compliquee (ou est nulle) et permet de trouver une solution particuliere. En effet, lorsqu'une

5 - Equation de la diffusion

145

seule variable d'espace intervient, I'equation de la diffusion se reduit a une equation differentielle du second ordre au lieu d'une equation aux derivees partielles : la solution generale dans chaque zone du systeme s'exprime alors comme la somme d'une solution particuliere avec la source et de la combinaison lineaire de deux solutions de l'« equation sans second membre » (sans source). Ensuite, les conditions aux interfaces et aux limites permettent de calculer de proche en proche les deux constantes d'integration qui apparaissent pour chaque zone (coefficients de la combinaison lineaire).

5.2.7 Exemple de configuration ou le flux se factorise Ce type de calcul analytique peut etre etendu aux configurations a deux, voire trois dimensions, si la geometric du systeme et la distribution des sources sont telles que le flux se factorise. II faut dire que cette circonstance est assez rare. A titre d'exemple de probleme ou le flux se factorise, citons celui d'un reacteur cylindrique vertical compris entre les plans z = — H/2 et z = +H/2 (y compris distances d'extrapolation), constitue de differents materiaux disposes en couronnes concentriques et alimente par une source proportionnelle a cosnz/H avec un coefficient de proportionnalite qui peut varier d'une zone a I'autre ou etre nul.

5.2.8 Reacteur homogene et nu: fonctions propres de I'operateur laplacien Dans le cas d'un reacteur homogene et nu, la methode de la decomposition sur les fonctions propres du laplacien permet, au moins theoriquement, de trailer le probleme pour n'importe quelle source. Avant de les utiliser, definissons d'abord ces fonctions et indiquons, sans demonstration, les principales proprietes(1). Definition : le reacteur considere, suppose homogene et nu (ou entoure d'un corps noir), occupe un domaine D de I'espace limite par sa surface 5; sur 5, la fonction qui nous interesse (le flux) doit s'annuler (nous supposons que 5 est la surface extrapolee). Cela nous amene a introduire le probleme purement geometrique (done mathematique) suivant: trouver des fonctions f(r) du point de I'espace definies dans D telles que : a) elles soient fonctions propres de I'operateur laplacien A, c'est-a-dire solutions de I'equation : ou |JL est un nombre appele valeur propre(2) associee a f; b) elles verifient les conditions aux limites a savoir I'annulation sur S. 1. La plupart de ces proprietes sont generales : autre operateur lineaire, autres conditions aux limites. Nous choisissons ici I'operateur qui apparaft dans I'equation qui nous interesse (I'operateur laplacien) et nous adoptons les conditions aux limites du probleme physique que nous voulons trailer (annulation a la surface). 2. En general, en mathematiques, on appelle « valeur propre » le nombre X. = — JJL; ici, c'est (x que nous appellerons « valeur propre » pour des raisons de commodite : ce nombre est toujours positif.

146

Precis de neutronique

Existence des solutions : il existe une suite infinie de solutions; cette suite est denombrable, c'est-a-dire qu'il est possible de les numeroter avec un indice n:fn;\in. (L'equation definissant f etant homogene, nous conviendrons de considerer comme identiques deux fonctions ne differant entre elles que par un facteur multiplicatif.) Proprietes des valeurs propres : les valeurs propres sont toutes reel les et positives. Elles peuvent etre, ou non, degenerees (I'ordre de la degenerescence est le nombre de fonctions propres lineairement independantes associees a une meme valeur propre). Mode fondamental : la plus petite valeur propre, |X0 est non degeneree et la fonction propre associee, f0, conserve le meme signe, par exemple positif, dans tout le domaine D. Les autres fn sont appelees « harmoniques ». Orthogonalite et normalisation des fonctions propres : deux fonctions propres /y et /^ associees a deux valeurs propres differentes sont orthogonales (leur produit scalaire est nul) :

(si - les fonctions sont a valeurs complexes, I'asterisque designe I'imaginaire conjuguee). Pour une valeur propre IJL/ degeneree m fois, il est toujours possible de choisir une suite de fonctions /y/y- orthogonales deux a deux :

Dans ces conditions, les fonctions propres sont toutes orthogonales deux a deux, quelles que soient les valeurs propres associees. Enfin, comme les fonctions propres sont definies a un facteur pres, il est toujours possible de choisir ce facteur de fagon a ce que chaque fonction propre soit normee (produit scalaire avec elle-meme egal a 1); dans ces conditions, rorthonormalisation des fonctions propres se resume par: ou Sy/c est le symbole de Kronecker. Completude de la base : la suite des fonctions fn est complete, c'est-a-dire suffisamment « riche » pour permettre de developper en serie toute fonction ou distribution utile en physique; cela signifie qu'a n'importe quelle fonction(1) (r, 0) (verifiant la condition a la limite). 1/ Cherchons le flux sous la forme d'un developpement en fonctions propres du laplacien :

2/ Connaissant ; I'equation qui reste ne concerne que la seule structure fine cp :

On a I'habitude de la diviser par la concentration N0 du materiau resonnant, d'introduire la section efficace de dilution :

et de poser r0 = Ko/N0 (operateur ecrit avec as/0 au lieu de Ss,o)- Elle prend alors la forme canonique :

Si nous ecrivons un code de calcul pour resoudre numeriquement cette equation, en tenant compte de toutes les resonances, nous pouvons I'utiliser pour calculer I'integrale effective associee a

convient pour les memes raisons (nous pouvons adopter indifferemment les indices « 1 » ou « m ») :

Comme precedemment, nous pouvons faire ^approximation :

En reportant ces trois relations dans I'equation exprimant le taux de collision dans le combustible, nous constatons encore la simplification par *I> et obtenons I'equation de structure fine :

En remarquant que Vm£m x Pmc = VCT,C x Pcm (relation de reciprocite) et que Pcm — 1 —Pcc (conservation), elle s'ecrit plus simplement:

lei, nous pouvons remplacer I'ecriture Pcc parP 0 o/ puisque le volume d'emission «/'»(combustible) peut indifferemment etre denomme « c » ou « 0 » et que le volume du premier choc (combustible egalement) est suppose ne contenir que des noyaux du type « 0 » :

En divisant par P0o et par la concentration volumique N0 du materiau resonnant, nous retrouvons une equation de structure fine formellement identique a celle que nous avions dans le cas homogene : avec seulement le remplacement de la section efficace de dilution par une « section efficace equivalente de dilution » :

Cette remarque formelle ne semble cependant guere operationnelle : nous avions note que tout I'interet de cette approche residait dans le fait que aj etait une constante et que, par consequent, une pre-tabulation de I'integrale effective faite une fois pour toutes pouvait

8 - Absorption resonnante des neutrons (aspects physiques)

205

etre envisages. Maintenant, le parametre ae qui remplace 0j n'est plus une constants, mais une fonction certainement compliquee de la lethargic, puisque son expression contient la section efficace resonnante a0 (noter que P0o depend aussi, entre autres, de cette section efficace). Cependant, a y bien regarder, on s'apergoit que ae est presque une constants. Si Ton fait done ('approximation de la remplacer par une constante ae, nous pourrons calculer I'integrale effective homogene pour cette valeur en utilisant la table et obtenir ainsi une approximation de I'integrale effective heterogene. Examinons cela.

8.3.2 Approximations de Wigner et de Bell-Wigner; notion ^equivalence heterogene-homogene En etudiant les courbes donnant Pcc en fonction de Ec pour quelques geometries usuelles, Wigner remarqua qu'elles pouvaient etre approximees de fagon assez correcte par I'expression :

ou I = 4VC/SC, quatre fois le quotient du volume du combustible par sa surface est la corde moyenne de cette region, c'est-a-dire'la moyenne de la distance de deux points pris au hasard sur la surface (ce resultat est le theoreme de Cauchy). Si I'on introduit cette approximation dans la formule de ae on trouve :

c'est-a-dire une valeur effectivement constante ! Mais quelle est la precision de cette approximation? Pour I'apprecier, tragons ae en fonction de ££ c pour quelques exemples : c'est ce que nous avons fait dans la figure 8.5, page suivante. On peut demontrer que la valeur asymptotique ae/0o est I'expression de Wigner : c'est pourquoi c'est b = ae/cre,oo qui a ete porte en ordonnee (facteur ou, plus precisement, fonction de Bell). On voit que remplacer la fonction b par une constante b ne doit pas conduire a une tres grosse erreur, surtout si cette constante est bien choisie (ce probleme sera examine au chapitre 15). Cette approximation dite de Bell-Wigner conduisant a :

ou, si Ton prefere, a :

permet d'etablir une « equivalence heterogene-homogene » : la geometrie reelle est ramenee a une geometrie homogene equivalente en terme d'autoprotection pour laquelle I'integrale effective peut etre simplement relevee dans une table.

206

Precis de neutronique

Figure 8.5. Fonction de Bell pour quelques geometries (I'opacite est le produit de la corde moyenne par la section efficace totale).

8.3.3 Cas d'un combustible contenant un melange Bien souvent, le combustible contient, outre le noyau resonnant, un autre materiau qui lui est intimement melange, par exemple I'oxygene avec I'uranium dans un oxyde. Pour en tenir compte dans les equations, il faut remplacer Rcc+R'cC/'Z'C est a peu pres egal a *I> (le flux macroscopique est a peu pres « plat» a la fois en espace et en lethargic) et que les collisions dans le combustible se repartissent au prorata des sections efficaces totales, c'est-a-dire que :

8 - Absorption resonnante des neutrons (aspects physiques)

207

on retrouve la meme equation de structure fine avec la meme definition de la section equivalents que precedemment, a savoir:

Avec ^approximation de Bell-Wigner, cela conduit a :

Dans cette formule, le premier terme est le «terme heterogene » precedent et le second le «terme homogene », c'est-a-dire (a un detail de notation pres) celui que nous avions en situation homogene : on voit qu'il suffit d'ajouter ces deux termes.

8.3.4 EffetDancoff La figure 8.5, page ci-contre, de la fonction de Bell suppose implicitement que I'element de combustible (spherique, cylindrique ou en forme de plaque) est isole : cela veut dire qu'un neutron qui en sort, sans collision, est sur de subir sa premiere collision sur un atome du moderateur et non du combustible. En realite, dans les reseaux « serres » tels ceux des reacteurs a eau ou des reacteurs a neutrons rapides, un neutron sortant d'un element de combustible peut fort bien traverser le moderateur, entrer dans un autre element de combustible et y subir sa premiere collision... ou meme traverser cet element, puis le moderateur derriere et subir sa premiere collision dans un troisieme element... Cet effet, s'il existe, est appele « effet Dancoff» (du nom du physicien qui I'a etudie). La correction de P0o et de ae qui en resulte est la correction de Dancoff. Moyennant quelques hypotheses simples, elle s'exprime avec le facteur de Dancoff C : c'est la probabilite pour un neutron sortant d'un element de combustible de traverser sans choc le moderateur et done de revenir dans un autre element de combustible. Pour calculer cette probabilite, on suppose en general que les neutrons sortent de I'element de combustible de fagon isotrope. C'est notamment ce qui a ete fait pour les calculs relatifs a un reseau regulier carre d'elements cylindriques dans un moderateur homogene et qui ont permis de tracer les courbes suivantes (figure 8.6, page suivante). On remarquera que le facteur de Dancoff pour les reacteurs a eau est de I'ordre de 0,1 a 0,3. Notons P+c la probabilite de premiere collision dans le combustible, sans effet Dancoff, pour un neutron emis dans le combustible. Avec effet Dancoff, la serie esquissee ci-dessus donne :

ou P+ = 1 — P+c est la probabilite de sortie sans choc du combustible de naissance et P£ la probabilite de choc dans le combustible pour un neutron entrant par sa surface. On demontre (cf. ch. 14) que I'on a la relation de reciprocite :

208

Precis de neutronique

Figure 8.6. Facteur de Dancoff pour un reseau carre d'elements de combustibles cylindriques.

de sorte que toutes les probabilites P+ peuvent s'exprimer en fonction de P+c. En passant ensuite a la section equivalente, on retrouve, apres un calcul un peu fastidieux mais qui se simplifie, la relation :

avec :

ou b+ est calcule sans effet Dancoff (cf. les courbes de la figure 8.5, page 206).

8.3.5 Formule du facteur antitrappe en situation heterogene Designons par Q(tv) le courant de ralentissement integre sur tout le volume de la cellule : par definition, le facteur antitrappe est le rapport entre la valeur de ce courant a la fin du domaine du ralentissement, apres les resonances, et sa valeur initiale, juste apres le domaine de Remission par fission et avant les resonances. I/ Comme les integrales en lethargic qui definissent le courant q portent sur les memes intervalles que celles qui definissent la densite d'arrivee p, le meme phenomene de lissage intervient : ce courant est lie non pas au flux reel « accidente » 4> mais au flux macroscopique V[>. De meme, comme nous raisonnons sur le comportement

8 - Absorption resonnante des neutrons (aspects physiques)

209

macroscopique, nous pouvons negliger le transitoire de Placzek, c'est-a-dire adopter le modele dit de Fermi. Dans ces conditions, le courant integre sur la cellule est le produit du pouvoir moderateur integre sur la cellule par le flux macroscopique ^ : (on pourrait ajouter aussi le pouvoir ralentisseur du materiau resonnant lui-meme mais il est certainement negligeable devant les autres). 21 La derivee de ce courant par rapport a la lethargic est le produit du volume du combustible par le taux d'absorption moyen par unite de volume de combustible Noffa,c(u)4>c(i7). Nous avons re-ecrit ce taux sous la forme N0aa/eff(u)^(t;) apres avoir remplace c par y^> et pose a a/e ff = cra,c(p :

3/ En eliminant ^ entre ces deux equations, nous trouvons I'equation differentielle regissant Q :

En I'integrant, on obtient le rapport Qfinai/Qinitiai/ c'est-a-dire le facteur antitrappe :

en posant:

Cetteformule generalise celle que nous avions ecrite en situation homogene (cf. p. 198) et s'interprete de la meme fac.on. Pour une geometric quelconque, on obtiendrait par la meme demarche :

8.4 L'effet Doppler 8.4.1 Interet de I'effet Doppler Nous verrons au chapitre 13 qu'un certain nombre d'effets de temperature interviennent dans les reacteurs : des variations de reactivite avec les temperatures creent des contrereactions et modifient la cinetique. Parce qu'il est directement lie a I'absorption resonnante que nous traitons dans ce chapitre, nous evoquerons ici I'un de ces effets, sans doute le plus important en termes de stabilite du systeme et done de surete : comme il est lie a un probleme de vitesse relative entre les neutrons et les noyaux resonnants, cet effet est appele « effet Doppler» (1) . 1. L'effet Doppler le plus connu en pratique est celui de la modification de la frequence d'une onde si la source emettrice est animee d'une certaine vitesse par rapport a I'observateur. Par exemple, le son de la sirene d'une voiture de pompiers semble brusquement changer de frequence quand la voiture passe devant I'observateur, c'est-a-dire lorsque la vitesse relative de la source par rapport a I'observateur change de signe.

210

Precis de neutronique

Comme nous alIons le voir, ceteffetest, en pratique, caracterise par un coefficientnegat/T : si la temperature croTt, la reactivite decroTt. Cela assure la stabilite spontanee du reacteur et garantit un retour a la normale en cas d'incident. Par exemple, une augmentation intempestive de la puissance amene une augmentation de temperature et done une baisse de reactivite (si le coefficient est negatif); le reacteur, initialement critique, devient legerement sous-critique et la puissance baisse. De meme, une baisse initiale de la puissance serait suivie d'une augmentation : dans tous les cas, la contre-reaction vient annuler la perturbation initiale; le systeme retrouve son niveau de puissance d'equilibre (temperature donnant une reactivite nulle).

8.4.2 Origins de I'effet Doppler Au chapitre precedent et au cours du present chapitre, nous avons toujours considere que le noyau percute par un neutron etait initialement immobile. Cela, en effet, parait une hypothese licite car I'energie cinetique d'un neutron en train de se ralentir — des dizaines, des centaines ou des milliers d'electronvolts — est beaucoup plus grande que I'energie d'agitation thermique des noyaux-cibles — de I'ordre de quelques centiemes d'electronvolt — liee a leur temperature dans le reacteur. En ce qui concerne la diffusion(1), I'hypothese peut incontestablement etre faite et done tous les developpements que nous avons presentes ne sont par remis en cause. En ce qui concerne ('absorption, en revanche, les effets de I'agitation thermique des noyaux-cibles ne sont pas negligeables et doivent etre pris en compte dans les calculs d'integrale effective (tout le reste du formalisme n'est pas modifie). La raison fondamentale de cette sensibilite est la variation tres rapide des sections efficaces pour les materiaux presentant des resonances, c'est-a-dire essentiellement, en pratique, Vuranium 238. (Comme c'est ce materiau qui est concerne, I'effet Doppler est lie a la temperature du combustible; c'est I'effet stabilisateur principal parce que les variations de temperature du combustible suivent de fagon pratiquement instantanee les variations de puissance.) Le probleme est le suivant: si Ton tient compte, lors de ('interaction neutron-noyau, de la (faible) vitesse du noyau-cible au moment de I'impact, on modifie — tres legerement — la vitesse relative du neutron par rapport au noyau, c'est-a-dire la vitesse dans le centre de masse. La section efficace qui est fonction de la vitesse relative est done modifiee. Si la section efficace varie lentement, cette modification est minime et sans aucun doute negligeable; mais, si I'on se trouve au voisinage d'un pic de resonance, cette faible modification de la vitesse relative peut conduire a une modification tres appreciable de la section efficace. La vitesse du noyau-cible (considered dans le systeme du laboratoire) est variable en intensite et en direction (dans les solides et les liquides, I'effet de la temperature est une vibration des atomes autour d'une position moyenne). La correction peut done etre variable en signe et en valeur absolue. II faut mener un calcul complet pour savoir quel sera, globalement, I'incidence. Ce calcul est une convolution (c'est-a-dire une integrale) entre la fonction representant la section efficace dans le systeme du centre de masse et le spectre des vitesses de I'agitation thermique des noyaux-cibles, faite en prenant en 1. Prendre en compte I'effet Doppler modifie tres legerement le noyau de transfer! en energie lors d'une diffusion; mais les consequences concretes (elles ont ete chiffrees) sont negligeables.

8 - Absorption resonnante des neutrons (aspects physiques)

211

compte les formules de changement de repere. Ce calcul suppose evidemment que soit connu le spectre de I'agitation thermique.

8.4.3 Calcul de I'effet Doppler Ce spectre est simple dans les gaz : c'est le spectre de Maxwell (nous en verrons les formules au chapitre suivant) donnant la repartition des vitesses en module et \'isotropie pour les directions. Dans les materiaux solides tels ceux qui constituent les combustibles nucleates, les lois sont beaucoup plus compliquees et mal connues. C'est la raison pour laquelle ['approximation d'une agitation thermique suivant un spectre de Maxwell est souvent faite (en pratique, on tente de corriger I'erreur en remplagant la temperature vraie du combustible par une «temperature effective »). Si, en outre, on adopte la loi de Breit et Wigner pour representer les resonances dans le systeme du centre de masse, on voit, tous calculs faits, qu'il suffit de remplacer les fonctions ^ et x qui interviennent dans les formules (cf. p. 82) par des integrates qui ont ete tabulees pour les calculs pratiques :

et:

ou I'on a pose :

(A s'appelle la « largeur Doppler»). La figure 8.7, page suivante, montre I'incidence de I'effet Doppler pour la premiere et la principale resonance de I'uranium 238 (cette figure montre les variations de la fonction ^ avec ses arguments x, en abscisse, et p, lie a la temperature; la fonction x/ antisymetrique, a tendance a s'aplatir et s'elargir de fac,on similaire lorsque la temperature augmente). On notera deux caracteristiques essentielles : la resonance s'elargit; le pic s'abaisse. On peut demontrer que cela se fait a integrate de resonance (aire sous la courbe) constante. Cela pourrait laisser penser que ces deux modifications a integrale constante ne fassent guere d'effet neutronique : mais cela est faux : a cause de I'autoprotection, I'elargissement des resonances joue bien davantage que I'abaissement des pics. Cela se voit immediatement si I'on revient aux formules du facteur d'autoprotection et de I'integrale effective. En termes plus elementaires, disons que I'effet Doppler elargit les trappes offertes aux « kangourous » tout en les laissant quasiment noires malgre I'abaissement des courbes de section efficace. Ainsi, I'effet Doppler conduit a une augmentation de I'absorption resonnante; en particulier, a une augmentation de la capture resonnante par I'uranium 238 (capture sans fission) done a une diminution du facteur de multiplication : c'est la raison pour laquelle le coefficient de I'effet Doppler est en pratique negatif (ordre de grandeur: —2 a —3 pcm par degre Celsius).

212

Precis de neutronique

Figure 8.7. Elargissement par effet Doppler de la grande resonance de ('uranium 238.

Figure 8.8. Integrate effective de capture par I'uranium 238.

8 - Absorption resonnante des neutrons (aspects physiques)

213

Sur la figure 8.8, page ci-contre, on remarquera que, dans le domaine utile (section equivalente de I'ordre d'une cinquantaine de barns), I'integrale effective de capture par I'uranium 238 varie de /aeon a peu pres lineaire avec la racine carree de la section efficace de dilution. On montre aussi, en faisant des calculs a differentes temperatures, qu'elle varie de fagon egalement a peu pres lineaire avec la racine carree de la temperature absolue. On notera, en conclusion, que I'effet Doppler oblige a faire les tabulations de I'integrale effective non seulement en fonction de la section de dilution, mais aussi en fonction de la temperature.

8.5 Perspectives : les problemes que devra resoudre une theorie de ['absorption resonnante Pour conclure, enfin, ce chapitre general sur I'absorption resonnante, indiquons en quelques mots pourquoi on ne peut pas se cantonner a la formule du facteur antitrappe p que nous avons etablie et pourquoi d'autres developpements pour une theorie de I'absorption resonnante des neutrons sont necessaires (quelques elements seront apportes au chapitre 15).

8.5.1 devaluation du facteur de Bell Nous avons vu que le facteur de Bell b, constante qui remplace la fonction de Bell, permet d'etablir une equivalence entre le probleme reel, heterogene, et un probleme homogene prealablement tabule. II faudra elaborer le critere de choix de ce facteur permettant d'obtenir I'equivalence la plus precise possible.

8.5.2 Inequivalence continu-multigroupe Pour etablir la formule de p, nous avons du supposer que le flux macroscopique ^ etait « plat » a la fois en lethargic et en espace : ce n'est evidemment qu'une approximation. Un traitement multigroupe(1) relativement fin (mais tout de meme pas a I'echelle des resonances) devrait permettre de s'en affranchir... mais a la condition qu'on soit capable de definir correctement et de calculer les sections efficaces multigroupes. Ce probleme sera traite par une autre procedure d'equivalence(2) appelee « equivalence continumultigroupe ».

1. Les principes generaux de la theorie multigroupe seront presentes au chapitre 10 2. La notion generale d'equivalence, telle qu'elle est utilisee en neutronique, sera presentee au chapitre 17.

214

Precis de neutronique

8.5.3 La prise en compte de geometries plus compliquees Pour pouvoir trailer les problemes rencontres dans les reacteurs reels, il faudra pouvoir trailer des geometries plus compliquees que la simple cellule a deux zones, element d'un reseau infini et regulier, que nous avons considered ici. Deux extensions sont necessaires : 1/ pouvoir traiter plusieurs zones non resonnantes; 2/ pouvoir traiter plusieurs zones resonnantes. Nous verrons que le premier probleme est une extension simple, mais que le second necessite des developpements beaucoup plus difficiles.

8.5.4 Les situations a plusieurs noyaux resonnants Enfin, une troisieme extension s'averera indispensable : pouvoir traiter plusieurs noyaux resonnants. Ce probleme se pose, en effet, systematiquement en pratique, d'une part, parce que les combustibles nucleaires contiennent plusieurs nucleides lourds (isotopes de I'uranium, du plutonium, etc.) qui ont tous des resonances, d'autre part, parce qu'un meme nucleide peut se trouver dans des zones a des temperatures differentes(1), done avec des deformations differentes des courbes de sections efficaces.

8.5.5 La definition et le calcul de temperatures effectives Ce probleme peut etre regie approximativement en adoptant une temperature moyenne (ou « effective ») bien choisie. Encore faut-il trouver le critere de choix et pouvoir le mettre en ceuvre! Autre probleme de temperature « effective» deja evoque : tenter de remedier a I'erreur que I'on commet sur le calcul de I'effet Doppler en assimilant le spectre d'agitation thermique des noyaux resonnants a un spectre de Maxwell. La theorie de I'absorption resonnante, sans aucun doute la plus difficile de la neutronique, presente encore un certain nombre de defis qu'il faudra relever!

1. Par exemple, entre le centre et la peripherie des crayons de combustible, la temperature peut differer del !

9

Thermalisation des neutrons

Introduction Les neutrons ne se ralentiront pas indefiniment dans les reacteurs, d'une part, parce qu'ils finiront surement par etre absorbes(1), d'autre part, parce que, meme s'ils n'etaient pas absorbes, ils finiraient par atteindre un equilibre thermique avec la matiere constituant le systeme, done un certain etat d'agitation caracterise par une energie cinetique moyenne non nulle : cette moyenne(2) est kT, ou k est la constante de Boltzmann et T la temperature absolue. Par exemple, kT — 0,0253 eV, soit environ un quarantieme d'electronvolt, a temperature usuelle (20 degres Celsius) et a peu pres deux fois plus dans un reacteur industriel a eau ou ce materiau (qui joue le role de « thermaliseur » principal) est a environ . II a done une transition progressive entre le ralentissement « pur» tel que nous I'avons etudie et ce comportement asymptotique d'equilibre thermique, jamais completement atteint. Cette transition est ce que Ton appelle la «thermalisation ». Elle commence a devenir manifeste autour de quelques dizaines de fois k T, c'est-a-dire quelques electronvolts. Dans les calculs, on place, de fac,on un peu arbitraire, une energie de coupure entre le domaine du ralentissement et celui de la thermalisation. Par exemple, 2,77 eV pour la bibliotheque usuelle du code APOLLO. Le domaine d'energie que nous allons etudier dans ce chapitre se situe done au-dessous de cette coupure.

1. Essentiellement dans le domaine qui va nous concerner maintenant, mais egalement dans les resonances, s'il s'agit d'un reacteur a neutrons thermiques; presque toujours a haute energie s'il s'agit d'un reacteur a neutrons rapides. Dans ce dernier cas, le flux des neutrons au-dessous d'une centaine d'electronvolts est en general negligeable et, a fortiori, le probleme de la thermalisation ne se pose pas. 2. Attention ! nous verrons qu'il y a differentes fagons de la definir.

216

Precis de neutronique

9.1 Aspects qualitatifs de la thermalisation 9.1.1 Qu'est-ce qui differencie le domaine thermique du domaine du ralentissement? Dans le domaine du ralentissement, nous avons pu supposer, lorsque nous avons traite ('interaction neutron-noyau, que ce dernier etait parfaitement immobile avant ('interaction (seul le calcul de ('absorption dans un materiau presentant des resonances, c'est-a-dire des variations tres rapides des sections efficaces, doit tenir compte de I'agitation thermique des cibles). Par definition meme du domaine de la thermalisation, cette hypothese n'est maintenant plus acceptable. La consequence essentielle qui en resulte est que les neutrons peuvent etre non seulement ralentis mais aussi acceleres au cours d'une diffusion. A la limite, dans I'hypothese ou il n'y aurait pas d'absorption, ces deux processus s'equilibreraient, par definition de I'equilibre. Outre I'hypothese « cible immobile », il y a une deuxieme hypothese que nous avons faite, mais que nous n'avions pas explicitee, pour simplifier : c'est I'hypothese « cible libre », c'est-a-dire libre de toute « entrave » pour encaisser le recul lors du choc. Or, cela n'est pas tout a fait le cas puisque les noyaux percutes par les neutrons se trouvent au centre d'atomes lies dans des edifices — molecules ou cristaux — par des forces de nature chimique. Tant que I'energie des neutrons incidents est beaucoup plus grande que I'energie des liaisons chimiques, ces dernieres peuvent etre negligees, ainsi que nous I'avons fait. Pour des neutrons ayant une energie de I'ordre de I'electronvolt ou moins, c'est-a-dire I'ordre de grandeur des liaisons chimiques, cela n'est plus correct(1). Ces deux aspects qu'il va falloir maintenant prendre en compte — agitation thermique et liaisons chimiques des cibles — vont rendre beaucoup plus difficile le traitement des interactions neutron-matiere. Alors que, dans le domaine du ralentissement, nous avons pu traiter ('interaction par le modele phenomenologique de la mecanique classique, on ne peut plus echapper a un traitement par la physique quantique pour decrire les diffusions dans le domaine de la thermalisation. Imitant en cela ('attitude usuelle du neutronicien des reacteurs, nous n'entrerons guere dans les details de la theorie de la thermalisation, faisant confiance aux specialistes fournissant les sections efficaces et lois de transfer! a utiliser dans les codes. Si le thermaliseur etait un gaz monoatomique (pas de liaisons chimiques), son spectre d'agitation thermique serait un spectre de Maxwell (voir ci-dessous) : une simple convolution avec la vitesse du neutron fournirait alors la section efficace et la loi de transfert (ralentissement ou acceleration) en cas de diffusion. Dans une matiere condensee liquide ou solide, les modes d'agitation sont beaucoup plus complexes(2). Par exemple, dans I'eau, outre des translations et des rotations des molecules, il y a aussi des modes de vibrations internes des molecules (figure 9.1, page ci-contre) selon I'angle des liaisons oxygene-hydrogene ou selon les axes de ces liaisons, en phase ou en opposition de phase. 1. En toute rigueur, I'effet des liaisons chimiques commence a se faire sentir un peu avant la fin du domaine du ralentissement, par exemple au-dessous d'une quarantaine d'electronvolts dans du graphite, et cela est pris en compte (de facon elliptique, les specialistes parlent de « ralentissement lie »). 2. Ces modes d'agitation mecaniques, en general quantifies, s'appellent « phonons ».

9 - Thermalisation des neutrons

217

Figure 9.1. Modes de vibration interne (phonons) d'une molecule d'eau.

Comme pour le probleme du ralentissement, on distingue les diffusions elastiques, ou I'energie cinetique des deux « objets vus de 1'exterieur » est conservee, et les diffusions inelastiques, ou I'energie cinetique ne I'est pas car 1'energie interne de I'objet percute a ete modifiee. Dans le domaine du ralentissement, un choc inelastique correspond a un changement de I'energie interne du noyau; en pratique, c'est une excitation du niveau fondamental vers un niveau excite, done une perte pour I'energie du neutron. Dans le domaine thermique, un choc inelastique correspond a un changement de I'energie interne d'une molecule (telle la molecule d'eau) ou d'un cristal; ce peut etre un apport ou un prelevement d'energie interne et done une perte ou un gain pour I'energie du neutron (comme pour les chocs elastiques). Comme toute particule microscopique, le neutron a non seulement un aspect corpusculaire, mais aussi un aspect ondulatoire. Rappelons que la longueur d'onde des neutrons thermiques est du meme ordre de grandeur que les distances interatomiques. C'est pourquoi, dans les materiaux presentant une certaine regularite, notamment les cristaux (1) , mais aussi des liquides tels I'eau lourde(2), des effets d'interference entre les ondes diffusees par chacune des cibles peuvent apparaTtre, conduisant a une diffusion qualifiee de « coherente ». A contrario, si cet aspect n'intervient pas, on parle de diffusion «incoherente ». 1. Par exemple le graphite. La condition de Bragg 2c/sin0 = n\ (d : distance entre plans atomiques; 9 : angle entre la vitesse du neutron et ces plans; X : longueur d'onde du neutron) ne peut plus etre assuree pour les neutrons d'energie inferieure a 0,004 eV : c'est la raison pour laquelle la section de diffusion est quasiment nulle au-dessous de ce seuil. 2. Interference entre les ondes diffusees par chacun des deutons.

218

Precis de neutronique

9.1.2 Spectre de Maxwell Quel que soit le thermaliseur, le spectre des neutrons (population assimilable a un gaz parfait), a I'equilibre en I'absence d'absorption, serait un spectre de Maxwell. Ce spectre, assez bien observe dans les materiaux presentant une faible capture (graphite, eau lourde...) si leur volume est suffisant, est, apres normalisation a un neutron, donne par la formule :

(proportion des neutrons dont I'energie est comprise entre f et E + dE). L'energie la plus probable [celle pour laquelle n(f) est maximum] est Ep = kT/2; I'energie cinetique moyenne est £ = 3kT/2 (c'est-a-dire kT/2 par degre de liberte et trois degres de liberte : translation selon chacune des directions de I'espace). En passant a la vitesse par la formule £ = mv2/2 de I'energie cinetique et en posant mvQ/2 = kT, le changement de variable sur cette densite donne :

(voirplus loin, figure 9.2, page 221, une repesentation graphique de cette fonction). Cette formule donne une vitesse la plus probable vp egale a la vitesse de reference v0 et une vitesse moyenne donnee par la formule :

On notera que energies et vitesses, plus probables ou moyennes, ne se correspondent pas. En ponderant par le flux nv, on obtiendrait encore d'autres coefficients. Retenons les valeurs numeriques associees a la temperature ambiante usuelle : t=

T = 293,15 K, kT = 0,0253 eV,

v0 = 2200m/s.

Cette vitesse de 2 200 m/s est souvent prise comme vitesse de reference dans les tables de sections efficaces pour le domaine thermique.

9.1.3 Principe de microreversibilite Nous avons vu que la theorie des interactions neutron-matiere dans le domaine thermique risquait d'etre compliquee; aussi ne la detaillerons-nous pas. Precisons juste deux points. Le premier est le principe dit de microreversibilite ou du bilan detaille : en ('absence d'absorption et a I'equilibre, lorsque le spectre des neutrons est le spectre de Maxwell, il y a exactement le meme nombre de transferts par diffusion d'un intervalle d'energie dE vers un intervalle d'energie dE' que de transferts inverses de dE' vers dE. Cela entrame une contrainte mathematique sur la loi de transfer! P(E' —> f) que devra imperativement respecter toute model isation :

9 - Thermalisation des neutrons

219

(On reconnattra dans chaque membre le produit de trois termes : le flux de Maxwell dans I'intervalle de depart; la section efficace de diffusion; la probabilite de transfer! vers I'autre intervalle en cas de diffusion.) On peut aussi ecrire cette relation en restreignant les diffusions a celles qui devient le neutron d'un angle \|/.

9.1.4 Lois de diffusion Le deuxieme point que nous signalerons est que la section efficace de diffusion doublement differentielle en energie et en angle (ou en cos \j/ = [i), .Y,S(E')P(E' -» f)F(|i), est une fonction de trois variables £', E et |x qui peut s'exprimer en realite par une fonction 5 de deux variables seulement:

ou a et (3 caracterisent les transferts de moment et d'energie :

Cette fonction 5 peut etre reliee au spectre de frequences(1) p(oo), c'est-a-dire a la repartition des modes de vibration mecanique (phonons) selon leur frequence ou leur pulsation ox

9.1.5 Equation de thermalisation L'equation de thermalisation est, formellement, tout a fait similaire a I'equation du ralentissement, hormis le fait qu'il faut la restreindre au domaine thermique. Prenons-la pour un cas independant de I'espace et du temps. Elle peut etre ecrite indifferemment avec la lethargic, la vitesse ou I'energie cinetique des neutrons; par exemple, avec cette derniere variable :

Cette similitude formelle traduit un processus physique analogue — des changements d'energie par diffusion — mais masque un aspect mathematique completement different: alors que, dans le probleme du ralentissement, nous avions f toujours inferieur ou egal a E' (done E en borne inferieure de I'integrale), des transferts dans les deux sens sont possibles dans le probleme de la thermalisation (I'integrale porte sur tout le domaine thermique). Si nous discretisons I'equation, nous obtiendrons, dans le premier cas, un systeme algebrique triangulaire qui se resout explicitement de proche en proche en partant de I'energie la plus haute; pour le probleme de la thermalisation, nous aurons un systeme algebrique 1. Ce spectre de frequence conditionne non seulement les proprietes neutroniques mais aussi les proprietes calorifiques (chaleur specifique) et optiques (diffusion des photons) de la matiere concernee : dans la mise au point des modeles, des informations de caractere experimental en provenance de ces differentes branches de la physique peuvent etre utiles.

220

Precis de neutronique

complet, necessitant une inversion de matrice (faite, en general et notamment dans APOLLO, par iterations). La borne superieure de I'integrale Ecoupure est I'energie adoptee pour separer le domaine de la thermalisation du domaine du ralentissement. La « source » :

n'est plus ici une veritable source mais la densite d'arrivee aux energies inferieures a I'energie de coupure due aux diffusions se produisant dans la derniere partie du domaine du ralentissement et transferant le neutron au-dela de I'energie de coupure, dans le domaine de la thermalisation. Ce terme permet d'assurer une continuite du flux au passage de tcoupure-

9.2 Allure et caracterisation du spectre thermique 9.2.1 Ecart entre le spectre des neutrons thermiques et le spectre de Maxwell L'ecart du spectre reel des neutrons par rapport au spectre de Maxwell m(x) = (4/>/rt)x2 exp(—x 2 ) se presente schematiquement comme I'indique la figure 9.2, page ci-contre. La figure a ete faite avec la vitesse reduite v/v0 ou v0 correspond a kT; en ordonnee, c'est la densite qui est portee. Pour decomposer la densite reelle n en deux composantes m (Maxwell) et e (ecart), on a normalise n et m a la meme valeur; autrement dit, I'integrale de e est nulle. Avec cette convention, on notera que : - dans la partie proprement maxwellienne du spectre — disons pour les vitesses comprises entre zero et deux fois v0 —, I'ecart est negatif : cela reflete \'absorption des neutrons qui reduit Peffectif present; - dans la partie correspondant aux vitesses plus elevees, la maxwellienne « s'ecrase » rapidement — elle est pratiquement nulle au-dela de x = 3 —, tandis que la densite reelle, tout en decroissant tres legerement, reste appreciable : nous observons la la « queue du ralentissement», c'est-a-dire les neutrons provenant des hautes energies, se ralentissant et entrant dans le domaine thermique de fac,on a compenser les disparitions par absorptions. Nous avons vu (cf. p. 186) que le flux de ralentissement est approximativement constant en lethargie et donne par la formule :

ou q est le courant de ralentissement au voisinage de I'energie de coupure et ^Es le pouvoir moderateur du materiau. Si I'on passe a la densite et si I'on fait le changement de variable, on trouve pour le comportement de la densite dans cette plage :

g _

Thermalisation des neutrons

221

Figure 9.2. Ecart entre le spectre reel et le spectre de Maxwell.

Comme le courant q est egal au nombre d'absorptions dans le domaine thermique, puisqu'il les compense, nous pouvons ecrire :

d'ou, en rapprochant les formules :

ou :

est le nombre total de neutrons et

la section efficace d'absorption dite traditionnellement«effective»: si la section efficace est en 1/v, cette section effective est simplement Ea(v0).

222

Precis de neutronique

Nous voyons done qu'en normalisant a un neutron thermique (N = 1), la densite asymptotique est:

ou le parametre :

caracterise la proportion epithermique des neutrons. II est interessant de faire apparattre ce coefficient pour renormaliser la fonction d'ecart introduite ci-dessus : On constate que la fonction e(x) (par definition equivalente asymptotiquement a 1/x2) depend peu, pour un thermaliseur donne, de la quantite de combustible associee, c'est-a-dire de I'intensite de ['absorption : on a une bonne approximation du spectre des neutrons thermiques en prenant une fonction « universelle » calculee une fois pour toutes.

9.2.2 Examples On pourra comparer la figure 9.2, page precedente, du spectre thermique aux spectres obtenus par des calculs avec le code APOLLO (figure 9.3, page ci-contre) relatifs a un reacteur a eau sous pression avec du combustible frais respectivement a uranium legerement enrichi et a plutonium sur support d'uranium naturel. Le lecteur devra s'habituer a ('utilisation de la lethargie qui est la variable adoptee par le code (nous avons tout de meme oriente I'axe des abscisses dans le sens des energies croissantes). Les spectres sont directement ceux calcules par le code en theorie multigroupe, d'ou la forme « en escalier » des courbes : le calcul a ete fait a 99 groupes d'energie, mais seuls les groupes 52 a 99 (le dernier groupe du domaine du ralentissement et les 47 groupes du domaine thermique) sont representes, c'est-a-dire le domaine au-dessous de 3,38 eV. Comme sur la figure 9.2, page precedente, nous avons normalise au meme nombre de neutrons (meme integrate de la densite sur le domaine considere) les courbes relatives au spectre du combustible a uranium et le spectre de Maxwell (ce dernier, qui est analytique, peut etre trace sans ^approximation multigroupe). On pourra noter, comme pour le schema precedent, le leger decalage des maxima, I'ecart negatif a gauche (effet de I'absorption) et positif a droite (queue du ralentissement). Hormis deux petites irregularites, dues a de petites resonances de I'uranium 235, on trouve jusqu'a 1 eV, et meme un petit peu en dessous, le flux constant en lethargie que I'on attend dans la fin du domaine du ralentissement. Nous avons conserve la normalisation d'ApoLLO — une source d'un neutron — pour tracer le spectre pour le combustible MOX : il est normal que les deux courbes partent du meme niveau tout a fait a droite puisque les deux situations sont pratiquement identiques pour les domaines rapide et epithermique : meme quantite de moderateur, a peu pres la meme quantite d'uranium 238 et meme gaine. On voit, en revanche, que dans le domaine thermique, le nombre de neutrons est beaucoup plus faible — sur cet exemple

9 - Thermalisation des neutrons

223

Figure 9.3. Spectres thermiques dans le combustible d'un reacteur a eau sous pression. 1) UOX : uranium a 3,7 % d'uranium 235. 2) MOX : oxyde mixte a 6,5 % de plutonium. En pointilles : spectre de Maxwell normalise au meme nombre de neutrons thermiques que le spectre du cas UOX.

d'un facteur 4 environ — : cela provient de la forte absorption du combustible MOX pour les neutrons thermiques en comparaison du combustible standard. II y a a cela trois raisons qui se cumulent: 1/ la teneur plus elevee du plutonium que celle de I'uranium 235 qu'il remplace puisque ce plutonium n'est qu'aux deux tiers fissile seulement; il s'agit, en effet, de plutonium obtenu par retraitement d'un combustible REP standard irradie, dont la composition isotopique est approximativement: 238/239/240/241/242 : 2/58/23/11/6 (en pour cent), (seuls les isotopes impairs 239 et 241 sont fissiles par neutrons lents); 2/ les sections efficaces microscopiques a 2 200 m/s plus elevees pour les isotopes fissiles du plutonium que pour I'uranium 235 ; 3/ la presence de tres grandes resonances pour quatre de ces isotopes : vers 0,3 eV pour les isotopes 239 et 241 ; a 1,06 eV pour I'isotope 240 et vers 2,5 eV pour I'isotope 242 (cf. les courbes de sections efficaces de ces differents nucleides presentees figure 2.14, page 78). Les resonances a 0,3 et 1,06 eV creent de spectaculaires depressions de flux : voila, a nouveau, une illustration du phenomene d'autoprotection. Pour qu'il soit a peu pres bien pris en compte par le code, la maillage multigroupe a ete affine dans ces regions.

224

Precis de neutronique

Par centre, la resonance du plutonium 242, moins abondant, est mal decrite(1). Avec une absorption aussi forte et une structure aussi complexe, la decomposition du spectre en une composante maxwellienne et une fonction d'ecart perd evidemment une grande partie de son interet!

9.2.3 Sections efficaces moyennes Si Ton souhaite caracteriser une section efficace a(£) par une valeur unique a pour effectuer, par exemple, un calcul de cceur dans I'esprit de ce que nous avons vu au chapitre 6, une regie doit etre adoptee pour la ponderation en energie. II n'y a pas de critere qui s'impose de fagon absolue; I'important est d'assurer une coherence entre la convention adoptee pour les sections efficaces et la definition du flux total , de fagon a respecter les taux de reaction, seules grandeurs physiques reellement mesurables :

La definition la plus simple du flux total, et celle qui est generalement adoptee(2), est I'integrale du flux :

Les sections efficaces associees, dans ce cas qualifiers de sections « moyennes » (3) , doivent done etre calculees par la formule :

efficaces

On peut appliquer ces formules en integrant sur toutes les energies : on aboutit ainsi a une theorie a un groupe (cf. ch. 6). Plus generalement, on isole le groupe des neutrons thermiques^ : les integrales sont prises alors entre 0 et fcoupure- Par exemple, pour un spectre de Maxwell et une section efficace en 1/v :

(Le facteur 2/^/Tt = 1,128 est la moyenne de x — v/v0 sur un spectre de Maxwell, et egalement celle de 1/x.) 1. La bibliotheque plus recente a 172 groupes raffine davantage ces resonances du plutonium et permet, en outre, de faire un traitement de I'autoprotection. 2. Autre definition possible : v0N, c'est-a-dire, a un facteur pres, le nombre total de neutrons : elle conduit aux sections dites « effectives ». L'expression du parametre r fait apparattre la section effective macroscopique d'absorption. 3. Par opposition aux sections efficaces « effectives». 4. Ce groupe sera, par exemple, le deuxieme d'une theorie a deux groupes, le premier contenant tous les neutrons rapides et epithermiques.

9 - Thermalisation des neutrons

225

9.2.4 Traitement d'une situation heterogene En pratique, le probleme de la thermalisation se presente dans une structure heterogene, par exemple un reseau de cellules. Pour traiter ce probleme, il faut coupler I'espace et I'energie. Le traitement du probleme en espace sera vu en detail au chapitre 14; mais pour en donner tout de suite un apergu, prenons Pexemple de la cellule elementaire d'un reseau suppose infini et regulier, constitute d'un crayon ou barreau de combustible entoure de moderateur (la gaine est negligee pour simplifier). Le combustible est toujours d'assez petite dimension et le traiter par la methode des probabilites de premiere collision avec I'hypothese d'un flux plat (comme nous I'avons vu au chapitre precedent [cf. p. 203] pour le probleme de ('absorption resonnante) est sans doute acceptable(1). Si le moderateur est egalement de faible volume (exemple : reacteurs a eau), la meme approximation peut etre faite. Les equations a resoudre se presentent alors sous la forme :

ou la variable E a ete omise pour simplifier I'ecriture et ou R designe maintenant I'operateur de thermalisation; la source de ralentissement 5rai (par unite de volume) a ete supposee apparaitre uniquement dans le moderateur. Si le moderateur est de grandes dimensions (exemple : reacteurs a eau lourde ou a graphite eta uranium naturel), il doit etre decoupe en volumes pluspetitssi I'on veutfaire un calcul « en transport». On peut aussi, pour simplifier, le traiter en approximation de la diffusion. Pour I'aspect energie, on fait, en pratique, un traitement multigroupe ou les probabilites de transferts sont representees sous forme matricielle(2).

9.3 Bilan des neutrons thermiques 9.3.7 Generalites Si Ton admet que toutes les sections efficaces d'absorption sont en 1/v et que toutes les sections efficaces de diffusion sont constantes, on ne commet pas une tres grosse erreur en faisant un traitement monocinetique avec les donnees nucleaires prises a la vitesse VQ, soit 2200 m/s x V77293,15. C'est ainsi qu'ont travaille Fermi et ses eleves (3) : les formules qu'ils ont utilisees, et que nous aliens presenter maintenant, leur ont servi pour calculer la partie thermique (facteurs f et TJ) du facteur de multiplication (cf. la formule des quatre facteurs, p. 113 et suivantes). 1. Sinon, il faut decouper le combustible en volumes elementaires plus petits. 2. De meme que des modeles de ralentissement ont ete elabores (cf. p. 187), des modeles differentiels de thermalisation ont ete construits : le plus elabore fut celui de Michel Cadilhac. Ces modeles sont aujourd'hui tombes en desuetude 3. Les « piles » de I'epoque etaient a uranium; dans le cas du plutonium, dont la section efficace n'est pas en 1/v, une telle approximation est plus douteuse.

226

Precis de neutronique

Aujourd'hui, les calculs sont effectues numeriquement par des codes, tel APOLLO, en couplant espace et energie. II reste cependant interessant de reproduire a posteriori ces facteursdefagonaapprehender lebilan neutronique: c'est la raison pour laquelle nous les presentons. Nous verrons ensuite trois exemples d'utilisation de ces formules elementaires pour I'analyse d'effets physiques.

9.3.2 Facteur df utilisation thermique En traitant done la population des neutrons thermiques comme si elle etait monocinetique, le taux d'absorption dans une region / s'ecrit l/,I]a,/O/. Le facteur d'utilisation thermique f qui est, par definition, la proportion des neutrons thermiques absorbee dans le combustible s'ecrit par consequent:

La discussion est souvent plus simple sous la forme :

puisqu'elle isole trois rapports : le rapport des volumes, dit « rapport de moderation », le rapport des sections efficaces et le rapport des flux dit « facteur de desavantage ». Ce dernier est ainsi nomme car il est plus grand que 1 (figure 9.4, page ci-contre), ce qui est desavantageux pour le bilan neutronique (s'il valait 1, le facteur f serait meilleur). Pour calculer ce facteur de desavantage, il faudrait ecrire et resoudre les equations en espace et en theorie monocinetique. (En formalisme avec probabilites de premiere collision, ce sont les equations ecrites ci-dessus en y remplagant R$> par ES3>).

9.3.3 Facteur de reproduction Le facteur de reproduction est, par definition, le nombre de neutrons produits par les fissions induites par neutrons thermiques, rapporte au nombre d'absorptions de neutrons thermiques dans le combustible. Dans ce rapport, le produit Vc MOX.

Avec la valeur choisie pour le rapport de moderation, le reseau comprenant du combustible MOX devient extremement sous-modere. Cela se voyait aussi sur les spectres thermiques que nous avions compares (cf. figure 9.3, page 223) ou le spectre du cas MOX apparaTt comme completement « ecrase » par la grande absorption du combustible. La consequence directe de cette forte absorption est la forte perte d'efficacite des absorbants de commande, que ce soient les grappes ou le bore en solution, d'un facteur de I'ordre de 3. [.'explication peut etre donnee, au choix, de deux points de vue equivalents : - la baisse du flux thermique (relativement au cas taux d'absorption dans les grappes ou le bore, qui domaine d'energie; - I'efficacite d'un absorbant en terme de reactivite sa section efficace d'absorption a celle du milieu

standard) entrame une baisse des capturent essentiellement dans ce est proportionnelle au rapport de environnant : si cette derniere est

9 - Thermalisation des neutrons

233

accrue sans que I'absorbant soit modifie, I'efficacite decroTt de fagon inversement proportionnelle. La perte d'efficacite du bore n'est pas tres contraignante, puisqu'on peut augmenter sa concentration(1). La perte d'efficacite des grappes, en revanche, a oblige les ingenieurs a limiter au tiers le nombre des assemblages a plutonium dans un cceur de reacteur a eau sous pression de fagon a pouvoir assurer la surete en toutes circonstances. La juxtaposition alors inevitable dans un cceur d'assemblages a uranium et a plutonium cree des discontinuites neutroniques considerables aux interfaces pour les neutrons thermiques. Comme ces discontinuites auraient induit des pics de puissance inadmissibles, il a fallu les attenuer. C'est la raison pour laquelle les assemblages MOX sont « zones » : pour « adoucir » les gradients de section efficace d'absorption dans le domaine thermique, il y a trois teneurs en plutonium, croissantes de la peripherie vers le centre de ('assemblage.

1. Avec du MOX, la marge en terme de rapport de moderation, done de concentration admissible, est accrue.

Cette page est laissée intentionnellement en blanc.

10

Theorie multigroupe

Introduction Les problemes qui ont occupe les trois chapitres precedents necessitent, si on veut les trailer avec precision, un traitement numerique de la variable « energie du neutron », E, ou d'une variable liee, la vitesse v ou la lethargic u. La demarche choisie de facon pratiquement universe!le par les neutroniciens est I'approximation qu'ils appellent « multigroupe ». Si le principe de cette approximation reste le meme selon les applications, le degre de detail de cette modelisation, c'est-a-dire le nombre de groupes, est tres variable : en pratique, cela peut aller de deux groupes a plusieurs dizaines de milliers de groupes.

10.1 Principe de la theorie multigroupe Soit f0 I'energie maximale que peuvent avoir les neutrons. Le principe de la theorie multigroupe consiste a decouper I'intervalle global d'energie [£o/0] en sous-interval les numerates de 1 a N en y placant les bornes £ 1, E2,... £/v-i / EN = 0, en pratique numerotees par energies decroissantes : le groupe de neutrons numero g est constitue par I'ensemble de neutrons dont I'energie se trouve dans I'intervalle numero g, c'est-a-dire I'intervalle [£g-i,£g]. Dans chacun des groupes d'energie, le transport des neutrons est traite comme s'ils etaient monocinetiques. Les equations propres a chacun des groupes sont couplees car, aux vraies sources emettant dans le groupe considere, s'ajoutent les taux de transferts dans ce groupe depuis les autres groupes; et aux vraies absorptions dans ce groupe s'ajoutent les transferts vers les autres groupes.

236

Precis de neutronique

10.2 Mise en ceuvre de la theorie multigroupe Bien entendu, il est possible, mais non obligatoire, d'approximer, en outre, I'operateur de transport, par exemple, en le remplagant par I'operateur de diffusion. En abregeant, on parlera respectivement de transport multigroupe et de diffusion multigroupe. De meme, le traitement multigroupe d'une situation de reacteur peut s'accompagner, ou non, d'un certain nombre d'homogeneisations. Dans tous les cas se posera le probleme de definir et de calculer les sections efficaces, dans chaque groupe et pour chaque reaction, et les probabilites de transfer! d'un groupe a I'autre. Nous examinerons ici ce probleme en supposant qu'aucune autre approximation n'est introduite par ailleurs (les problemes d'homogeneisation et de ('utilisation de I'approximation de la diffusion seront evoques au chapitre 17). Nous nous placerons, pour simplifier, dans le cas stationnaire, mais introduire le temps ne changerait pas la discussion; de meme la variable & est sous-entendue ci-dessous. Le premier point a preciser est la definition des flux multigroupes : comme il est nature! en vertu du principe meme de la methode, le flux Og(r) du groupe g au point r doit etre defini comme I'integrale sur le groupe g du flux vrai (r, f), c'est-a-dire :

Le principe de la conservation des taux de reaction conduit alors a definir les sections efficaces multigroupes comme les moyennes, en chaque point, des sections efficaces reel les ponderees par le flux reel :

On demontre qu'en calculant les flux avec ces sections efficaces, on obtiendrait les flux multigroupes exacts (1) . Outre le fait que ces sections efficaces multigroupes devraient dependre de r, meme dans un milieu homogene, et aussi eventuellement de t et de & — ce qui n'est guere pratique pour faire des calculs ! — la difficulte est que, par definition, on ne peut pas les obtenir puisque pour les calculer, il faudrait connaTtre le flux exact en espace et en energie, c'est-a-dire avoir resolu completement le probleme ! On remplace done, pour faire la ponderation permettant d'obtenir les sections efficaces multigroupes, le flux exact inconnu par un flux de ponderation (pg(f) choisi a priori et qui «ressemble » le mieux possible au flux exact:

1. Les equations multigroupes seraient tout simplement les integrates sur chacun des groupes de ('equation exacte.

10 - Theorie multigroupe

237

C'est a ce niveau, et a ce niveau seulement, que reside ['approximation multigroupe. II est evident que cette approximation est d'autant meilleure que le decoupage est fin, car la sensibilite des sections efficaces multigroupes au choix de la fonction de ponderation est d'autant plus faible que les groupes sont etroits. Le choix des spectres de ponderation depend du type de probleme; par exemple : - pour constituer une « bibliotheque » relativement fine destinee aux calculs de cellule ou d'assemblage, un spectre choisi une fois pour toutes est adopte (par exemple, pour APOLLO, on prend respectivement un spectre de fission, un flux constant en lethargic et un spectre de Maxwell pour les domaines rapide, epithermique et thermique)(1); - pour constituer une « bibliotheque » moins detaillee en energie destinee aux calculs de cceur, on utilise le spectre local (pour chaque type de cellule ou d'assemblage) obtenu a I'etape precedente(2). Remarque : Le critere du respect des taux de reaction conduit a definir les matrices de transfert approximant les probabilites de transfert par la formule :

10.3 Examples de decoupages multigroupes Sur la figure 10.1, page suivante, on pourra comparer quelques decoupages multigroupes utilises dans les calculs de neutronique et presentes selon la variable lethargic. - Le decoupage d i t « universel» est le decoupage minimal necessaire pour faire des calculs precis sans modelisation de I'autoprotection (il s'avere cependant insuffisamment detaille dans la partie a haute energie des resonances de I'uranium 238) : il donne une idee de la finesse qu'il faudrait introduire pour decrire les sections efficaces. - Les quatre decoupages suivants sont utilises par les codes APOLLO et WIMS (equivalent britannique d'ApoLLo); le decoupage a 37 groupes avait ete condense a partir du decoupage a 99 groupes en utilisant un spectre REP caracteristique et n'est plus guere utilise aujourd'hui; le decoupage a 172 groupes a ete construit pour, d'une part, detailler certaines resonances (par exemple, celle du plutonium 242 vers 2,5 eV) et, d'autre part, etre compatible avec les decoupages precedents a 99 et 69 groupes : c'est ce qui explique certaines irregularites dans le choix des bornes de groupes. - Le decoupage RNR est couramment utilise pour les calculs de cceur de reacteurs a neutrons rapides (un decoupage a 6 groupes est egalement utilise). 1. Pour ce type de calculs, le decoupage est fait avec un nombre de groupes de I'ordre de la centaine. Cela est beaucoup trop peu pour decrire les resonances des noyaux lourds : c'est la raison pour laquelle une procedure speciale d'« autoprotection » des resonances doit, en outre, etre mise en ceuvre (cf. ch. 15). 2. Outre cette « condensation en energie », c'est-a-dire le passage d'une structure multigroupe detaillee a une structure plus grossiere par regroupement des « microgroupes » en « macrogroupes », on effectue aussi souvent des homogeneisations, c'est-a-dire des moyennes non pas en energie mais en espace.

t/i V

a. 1 .2P "5 E

M> « a. 3

o u »a> o

_oo cr a>

a

2 0 est /2 ou 4> est le flux usuel integre sur les phases, car P0 = 1 ; - de meme, Qo est Q/2 ;

14 - Equation de Boltzmann

319

- Oi est 3//2 ou / est le courant usuel integre sur les phases, car P-\ — |i; - £ - £s,o — S — Es est la section d'absorption E a ; - S — Es,i = S — |IZIS est la section de transport £fr, nous voyons que ce systeme peut etre reecrit sous la forme :

La premiere equation explicite le bilan neutronique par unite de volume (toutes directions de neutrons confondues); la seconde est I'expression approximative du courant dite «loi de Pick » : J = -DgradO (cf. ch. 5, p. 133), avec la correction de transport (cf. p. 139) pour I'expression du coefficient de diffusion D = 1/3 5V Plus generalement, ^approximation PT consistant a representer le flux en phase par I'harmonique spherique d'ordre zero (une constante) et les trois harmoniques spheriques d'ordre un (combinaisons lineaires des trois composantes du vecteur £2) revienta approximer, en chaque point, le flux en phase par une expression du type :

Par identification, on voit qu'a un facteur pres, la constante scalaire A est le flux integre et la constante vectorielle B le courant integre :

Cette approche de ^approximation de la diffusion en tant qu'approximation PT est la justification mathematique de I'approche physique et intuitive que nous avions proposee au chapitre 5. Remarque : La correction de transport revient, en theorie monocinetique, a ('approximation d'une diffusion lineairement anisotrope (loi de probabilite pour la deviation du neutron au cours d'un choc lineaire en cos9); en theorie multigroupe, la correction de transport est « concentree » sur le groupe de depart alors qu'elle devrait etre « ventilee » sur les groupes d'arrivee. L'incidence pratique de cette seconde approximation s'avere peu importante.

74.4.4 Methode des harmoniques spheriques simplifiees La methode des harmoniques spheriques conduit a un nombre rapidement important de fonctions inconnues a calculer si Ton adopte un ordre N quelque peu eleve. D'un autre cote, se limiter a N = 1, c'est-a-dire a I'approximation de la diffusion, peut parfois, en pratique, s'averer un peu insuffisant(1). La methode des harmoniques spheriques « simplifiees » peut s'averer etre un bon compromis entre le cout et la precision des calculs. 1. Exemple : traitement des transitoires d'interface coeur-reflecteur ou assemblage standard-assemblage a plutonium.

320

Precis de neutronique

L'idee est de reperer en chaque point du reacteur, deceit en geometric a deux ou trois dimensions, la direction du courantj, c'est-a-dire I'axe selon lequel se fait principalement la migration, et de supposer que, selon cet axe, le flux en phase local presente une symetrie de revolution. Cette hypothese permet de le representer par un developpement en polynomes de Legendre seulement (en prenant, pour mesurer 0, un repere local, axe selon /) done sans les harmoniques dependant de cp. Dans ces conditions, a I'ordre N, cette approximation dite « SP(M » fait intervenir N + 3 fonctions inconnues au lieu (N+1)2 pour ('approximation PN standard; par exemple, 12 au lieu de 100 pour N = 9. L'avantage de I'approximation SPfM est d'ameliorer I'approximation de la diffusion avec un surcout peu important, en prenant, par exemple, N = 3 ou 5. L'inconvenient est que la solution ne converge pas vers la solution exacte lorsqu'on fait tendre N vers I'infini : adopter de tres grandes valeurs pour N n'apporte qu'une amelioration illusoire et ne permet pas de chiffrer I'erreur (pour evaluer I'erreur, il faut faire un calcul « exact », par exemple en approximation PN complete).

14.4.5 Methode des ordonnees discretes Comme nous I'avions observe au chapitre 6 (cf. p. 160), il y a deux grandes classes de methodes pour representer les fonctions par un nombre fini de valeurs numeriques : la discretisation et la representation par une serie. En ce qui concerne les fonctions de la variable £2, la methode des harmoniques spheriques illustre la representation par une serie; la methode dite des « ordonnees discretes » illustre la notion de discretisation (ici, « ordonnees » refere a la variable £2). La difficulte pour discretiser la variable £2, c'est-a-dire le point sur une sphere unite, est evidemment due a la courbure : il faut repartir le plus uniformement possible un nombre fini de points et d'elements d'aire associes sur la sphere. La technique la plus couramment utilisee est celle qui est illustree sur les schemas de la figure 14.7, page ci-contre, technique pouvant etre amelioree comme nous I'evoquerons ensuite. Pour batir ces schemas, dits « SN », on decoupe d'abord la sphere par N bandes delimitees par des cercles paralleles a I'equateur de colatitudes regulierement espacees, c'est-a-dire multiples de 7t/N. Ensuite, depuis le pole nord et jusqu'a I'equateur, ces bandes sont decoupees, a partir du meridien origine, par des segments de meridiens, respectivement en 4, 8,12 ... elements trapezo'i'daux identiques; ['hemisphere sud, est decoupe symetriquement a partir du pole sud. Les « ordonnees discretes » sont les directions Qn associees aux points places aux centres des mailles; les poids correspondants sont les aires des mailles rapportees a 4n. II faut eviter d'avoir des ordonnees discretes &n sur I'equateur, car la valeur |x = cosO = 0 risque de poser des difficultes dans les traitements numeriques : c'est la raison pour laquelle on prend toujours N pair. Une premiere amelioration possible de ce maillage consiste a remplacer le decoupage regulier en latitude par une discretisation de la variable |x selon les points de Gauss : pour N donne, ces valeurs conduisent, avec les poids de Gauss associes, a la meilleure formule de quadrature possible en |x. La discretisation en longitude est faite de la rneme fac,on que precedemment. On demontre que, pour un probleme ne dependant que de |x, les approximations SiM-Gauss et PN^ sont rigoureusement equivalentes.

14 - Equation de Boltzmann

321

Figure 14.7. Representation sur un huitieme de sphere des maillages S4, Ss, Si6 et S32 (respectivement, 24, 80, 288 et 1088 mailles, done ordonnees discretes).

Une seconde amelioration possible, mais incompatible avec la precedente, consiste a rechercher un decoupage symetrique vis-a-vis des trois axes du repere cartesian(1), ce qui n'est pas le cas des decoupages precedents qui font jouer un role particulier a I'axe z. Un maillage symetrique peut etre interessant si aucune direction ne joue un role particulier dans le probleme; ce n'est generalement pas le cas en neutronique ou I'axe z selon lequel circule le caloporteur(2) se differencie des axes perpendiculaires.

14.4.6 Effete de raies Un artefact lie a la methode des ordonnees discretes, connu sous le terme d'« effet de raies » est illustre ci-dessous (figure 14.8, page suivante) pour un exemple extreme. Pour un cas a deux dimensions, plus facile a representer, nous avons considere le probleme d'une source ponctuelle dans un milieu purement absorbant. Les fleches represented les directions des ordonnees discretes et les carres le maillage de la discretisation spatiale. Puisque les neutrons sont assujettis a voyager selon les directions discretes, on constate a I'evidence que seules les mailles grisees « verront» un certain flux neutronique, les autres ne pouvant pas recevoir de neutrons. Les raies qui en resultent sont bien visibles sur le schema. Dans les cas pratiques, I'artefact n'est jamais aussi net, puisque les sources sont reparties et qu'il y a des diffusions; il peut cependant etre repere. Le seul moyen d'y remedier est d'affiner le maillage angulaire... 1. On demontre que cela est possible; il y a meme un degre de liberte. 2. En general vertical, mais parfois horizontal comme dans les reacteurs du type CANDU.

322

Precis de neutronique

Figure 14.8. Exemple d'effet de raies.

74.4.7 Traitements de la variable d'espace Dans tout calcul de flux en phase, un traitement de la variable d'espace r est forcement associe au traitement de la variable angulaire Q. Si Ton a decide de traiter cette derniere par ordonnees discretes, il reste de nombreuses variantes possibles pour le traitement de I'espace. La methode la plus classique est connue sous le terme de « schema diamant»; plus recemment, plusieurs autres methodes ont ete pronees. Le « schema diamant » (1) est illustre sur la figure 14.9, page ci-contre, pour un cas a deux variables seulement, une variable d'espace x ou r et une variable angulaire (i(2). Au cours du processus iteratif, ('equation a traiter a chaque etape de ('iteration « interne » est, par exemple pour un probleme dependant de x et |i :

ou E est connue (emissions calculees grace au flux estime a I'etape precedente des iterations). 1. Le terme de « methode SN » est souvent associe a « ordonnees discretes + schema diamant»; nous conviendrons ici de designer par « methode SN » seulement le traitement des variables angulaires par «ordonnees discretes». 2. Noter que les problemes presentant une symetrie cylindrique, et bien entendu les problemes a deux ou trois variables d'espace, font necessairement intervenir les deux variables angulaires.

14 - Equation de Boltzmann

323

Figure 14.9. Reperage des inconnues de la methode SN + differences finies.

La variable angulaire |x a ete discretisee selon N valeurs [x,n (4 sur le schema, materialisees par les lignes horizontales de « ronds»). De fagon analogue, la variable d'espace est discretisee en P intervalles (5 sur le schema). L'equation neutronique precedente est ecrite pour chaque centre de « boite » materialise par le signe « + » et la lettre M; la derivee par rapport a x ou r est remplacee par le quotient des differences finies :

et, de meme, la derivee par rapport a IJL (qui n'apparatt pas dans ('equation ci-dessus, mais qui interviendrait dans I'equation similaire avec r, a cause de la courbure) est approximee par: [4>(B) - O(/\)]/(^e - \LA). Comme il y a plus d'inconnues — tous les « ronds », les « + » et les « x » — que d'equations — une par« + » —, on complete par les equations « diamant» (voir le bas de

324

Precis de neutronique

la figure 14.9, page precedente) qui reviennent a dire que la variation du flux dans une « boite » est supposee lineaire par rapport a chacune des variables. Dans ces conditions, la resolution de ('equation (inversion de I'operateur d'advection donnant si E est connu) est extremement rapide car on peut calculer les inconnues de proche en proche en travaillant ligne par ligne, c'est-a-dire a [x fixe, a partir du point d'entree des neutrons ou le flux en phase est connu : c'est la condition a la limite du probleme (le plus souvent, ce flux entrant est suppose nul)(1). Noter que ces valeurs connues (« ronds noirs » sur la figure 14.9, page precedente) sont situees a gauche si |x est positif et a droite si |i est negatif. Par consequent, le traitement ligne par ligne se fait de gauche a droite si |i est positif et de droite a gauche si |i est negatif(2). La methode peut etre etendue aux problemes a plus grand nombre de variables, les « boites » rectangulaires devenant des « boites » parallelepipediques a 3, 4 ou 5 dimensions, et les losanges ABCD devenant de veritables « diamants », d'ou le nom de la methode. L'inconvenient du schema « diamant» est qu'il peut conduire a des flux negatifs. On y remedie en remplagant une equation du type :

par:

et en choisissant convenablement a pour eliminer le probleme. Cela conduit inevitablement a une degradation de la vitesse de convergence des iterations. Parmi les autres methodes utilisant les ordonnees discretes, signalons : - les methodes du type elements finis (pour le principe, voir le ch. 6, p. 163); - les methodes dites « nodales ». En voici le principe pour I'exemple du probleme en geometric plane et une approximation lineaire en x :

[/equation est ecrite pour une direction [in et une maille spatiale homogene, en supposant que £(x, (jtn) a ete prealablement approximee par une expression lineaire en x :

- Cette equation est integree analytiquement en x. - La constante d'integration est calculee a partir du flux entrant, connu puisque c'est le fluxsortant de la maille precedente (ou la condition a la limite). 1. La condition a la limite est souvent aussi une condition de reflexion, auquel cas une iteration est necessaire. 2. Pour etre precis, signalons qu'il n'y a que 3PN equations pour 3PN + P inconnues; il faut done faire une hypothese supplementaire pour obtenir les P equations qui manquent.

14 - Equation de Boltzmann

325

- On en deduit le flux sortant. - Par projection sur les polynomes 1 et x, on approxime le flux qu'on a calcule dans la maille par une expression lineaire est calcule analytiquement le long de 5n en fonction de I'abscisse s sur la carateristique a partir de :

La constante d'integration est determinee grace au courant entrant dans la maille selon la direction fin. - Toutes les autres mailles spatiales sont traitees de fagon similaire; le calcul est explicite si on traite les mailles selon le parcours des neutrons pour la direction consideree. - Avec le flux ainsi obtenu, on reevalue f. Les integrales sur la direction sont evaluees par la formule de quadrature :

Vis-a-vis de Pespace, la fonction f est approximee par une constante dans chaque maille, obtenue en prenant la moyenne sur Pespace de la maille des fonctions considerees (eventuellement, pour les geometries cartesiennes, une approximation polynomiale, en pratique de degre 1 au maximum, peut etre faite). On evalue egalement de fac.on similaire les courants sortant par les faces de la maille (courants entrant dans la maille suivante). - On recalcule , puis f, puis par un flux biaise