Exercices de neutronique 9782759801619

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EXERCICES DE NEUTRONIQUE

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GENIE ATOMIQUE

Exercices de Neutronique Paul Reuss

SCIENCES 17, avenue du Hoggar Pare d'activites de Courtabceuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France

Illustration de couverture : © Photo CEA/ Patrick Dumas Composition sous blgX : ScripT^X

ISBN : 2-86883-706-9 Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction par tous precedes, reserves pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n'autorisant, aux termes des alineas 2 et 3 de I'article 41, d'une part, que les « copies ou reproductions strictement reservees a I'usage prive du copiste et non destinees a une utilisation collective », et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, «toute representation integrale, ou partielle, faite sans le consentement de I'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinea 1er de I'article 40). Cette representation ou reproduction, par quelque procede que ce soit, constituerait done une contrefagon sanctionnee par les articles 425 et suivants du code penal.

EDP Sciences 2004

Introduction a la collection «Genie Atomique » Au sein du Commissariat a I'energie atomique (CEA), I'lnstitut national des sciences et techniques nucleaires (INSTN) est un etablissement d'enseignement superieur sous la tutelle du ministere de ('Education nationale et du ministere de ('Industrie. La mission de I'INSTN est de contribuer a la diffusion des savoir-faire du CEA au travers d'enseignements specialises et de formations continues, tant a I'echelon national, qu'aux plans europeen et international. Cette mission reste centree sur le nucleaire, avec notamment ('organisation d'une formation d'ingenieur en « Genie Atomique ». Fort de I'interet que porte le CEA au developpement de ses collaborations avec les universites et les ecoles d'ingenieurs, I'INSTN a developpe des liens avec des etablissements d'enseignement superieur aboutissant a ('organisation, en co-habilitation, de nombreux enseignements de niveau mastere. A ces formations s'ajoutent les enseignements des disciplines de sante : les specialisations en medecine nucleaire et en radiopharmacie, ainsi qu'une formation destinee aux physiciens d'hopitaux. La formation continue constitue un autre volet important des activites de I'INSTN, lequel s'appuie aussi sur les competences developpees au sein du CEA et chez ses partenaires industriels. Dispense des 1956 au CEA Saclay, ou ont ete baties les premieres piles experimentales, la formation en « Genie Atomique » (GA) I'est egalement depuis 1976 a Cadarache ou a ete developpee la filiere des reacteurs a neutrons rapides. Depuis 1958, le GA est enseigne a I'Ecole des applications miiitaires de I'energie atomique (EAMEA) sous la responsabilite de I'INSTN. Depuis sa creation, I'INSTN a diplome plus de 4000 ingenieurs que I'on retrouve aujourd'hui dans les grands groupes ou organismes du secteur nucleaire frangais : CEA, EDF, Framatome, Technicatome, Cogema, Marine nationale. De tres nombreux etudiants etrangers provenant de differents pays ont egalement suivi cette formation. Cette specialisation s'adresse a deux categories d'etudiants : civils et miiitaires. Les etudiants civils occuperont des postes d'ingenieurs d'etudes ou d'exploitation dans les reacteurs nucleaires, electrogenes ou de recherches, ainsi que dans les installations du cycle du combustible. Us pourront evoluer vers des postes d'experts dans ('analyse du risque nucleaire et de 1'evaluation de son impact environnemental. La formation de certains officiers des sous-marins et porte-avions nucleaires frangais est dispensee par I'EAMEA.

Introduction a la collection « Genie Atomique

Le corps enseignant est forme par des chercheurs du CEA, des experts de I'lnstitut de radioprotection et de surete nucleaire (IRSN), des ingenieurs de (Industrie (EDF, AREVA,...). Les principales matieres sont: la physique nucleaire et la neutronique, la thermohydraulique, les materiaux nucleaires, la mecanique, la protection radiologique, 1'instrumentation nucleaire, le fonctionnement et la surete des reacteurs a eau sous pression (REP), les filieres et le cycle du combustible nucleaire. Ces enseignements dispenses sur une duree de six mois sont suivis d'un projet de fin d'etude, veritable prolongement de la formation realise a partir d'un cas industriel concret, se deroulant dans les centres de recherches du CEA, des groupes industriels (EDF, Framatome, Technicatome, etc.) ou a I'etranger (EtatsUnis, Canada, Royaume-Uni,...). La specificite de cette formation repose sur la large place consacree aux enseignements pratiques realises sur les installations de I'INSTN (reacteur Ulysse, simulateurs de REP, laboratoires de radiochimie, etc.). Aujourd'hui, en pleine maturite de I'industrie nucleaire, le diplome d'ingenieur en « Genie Atomique»reste sans equivalent dans le systeme educatif frangais et affirme sa vocation : former des ingenieurs qui auront une vision globale et approfondie des sciences et techniques mises en ceuvre dans chaque phase de la vie des installations nucleaires, depuis leur conception et leur construction jusqu'a leur exploitation puis leur demantelement. L'INSTN s'est engage a publier I'ensemble des supports de cours dans une collection d'ouvrages destines a devenir des outils de travail pour les etudiants en formation et a faire connattre le contenu de cet enseignement dans les etablissements d'enseignement superieur francais et europeens. Edites par EDP Sciences, acteur particulierement actif et competent dans la diffusion du savoir scientifique, ces ouvrages sont egalement destines a depasser le cadre de I'enseignement pour constituer des outils indispensables aux ingenieurs et techniciens du secteur industriel. Joseph Safieh Responsable general du cours de Genie Atomique

Sommaire

AVANT-PROPOS

7

AUTEUR

9 ENONCES

PARTIE I • BASES DE PHYSIQUE NEUTRONIQUE CHAPITRE 1 • INTRODUCTION : GENERALITY SUR L'ENERGIE NUCLEAIRE CHAPITRE2 • PHYSIQUE NUCLEAIRE A L'USAGE DU NEUTRONICIEN

11

13 15 18

2.1

Structure de la matiere et energie de liaison des noyaux

18

2.2

Radioactivite

20

2.3

Reactions par neutrons

21

2.4

Fission

23

CHAPITRE 3 • INTRODUCTION A LA NEUTRONIQUE

24

CHAPITRE 4 • CINETIQUE PONCTUELLE

28

CHAPITRE 5 • EQUATION DE LA DIFFUSION

31

CHAPITRE 6 • THEORIE A UN GROUPE - DIFFUSION

34

CHAPITRE 7 • RALENTISSEMENT DES NEUTRONS

38

CHAPITRE 8 • ABSORPTION RESONNANTE DES NEUTRONS (ASPECTS PHYSIQUES)

42

CHAPITRE 9 • THERMALISATION DES NEUTRONS

45

CHAPITRE 10 • THEORIE MULTIGROUPE

49

CHAPITRE 11 • EMPOISONNEMENT PAR LES PRODUITS DE FISSION

51

CHAPITRE 12 • EVOLUTION DU COMBUSTIBLE (NOYAUX LOURDS)

55

CHAPITRE 13 • EFFETS DE TEMPERATURE

59

4

Sommaire

PARTIE II • ELEMENTS SUR LES CALCULS DE NEUTRONIQUE CHAPITRE 14 • EQUATION DE BOLTZMANN

63 65

14.1

Etude de ('equation de Boltzmann

65

14.2

Traitement de I'energie et du temps

67

14.3

Probabilites de collision

68

14.4

Traitement de la forme integrodifferentielle

72

14.5

Mode fondamental

74

14.6

Methode de Monte-Carlo

77

CHAPITRE 15 • THEORIE DE L'ABSORPTION RESONNANTE DES NEUTRONS CHAPITRE 16 • THEORIE DES PERTURBATIONS

79 82

CHAPITRE 17 • APERQU GENERAL SUR LE « SCHEMA DE CALCUL»

84

CHAPITRE 18 • APERgU SUR LES PROBLEMES DE CONCEPTION DES COEURS

91

PARTIE III • SUJETS D'EXAMEN

95

EXAMEN DE DECEMBRE1994

97

EXAMEN DE DECEMBRE 1995

101

EXAMEN DE DECEMBRE 1996

105

EXAMEN DE DECEMBRE 1997

109

EXAMEN DE DECEMBRE 1998

112

EXAMEN DE DECEMBRE 1999

115

EXAMEN DE MARS 2000

119

EXAMEN DE DECEMBRE 2000

122

EXAMEN DE MARS 2001

125

EXAMEN DE DECEMBRE 2001

128

EXAMEN DE MARS 2002

131

EXAMEN DE DECEMBRE 2002

134

EXAMEN DE MARS 2003

138

EXAMEN DE NOVEMBRE 2003

142

EXAMEN DEFEVRIER 2004

145

5

Sommaire

SOLUTIONS PARTIE I • BASES DE PHYSIQUE NEUTRONIQUE

149 151

CHAPITRE1 • INTRODUCTION : GENERALITY SUR L'ENERGIE NUCLEAIRE

153

CHAPITRE 2 • PHYSIQUE NUCLEAIRE A L'USAGE DU NEUTRONICIEN .

155

2.1

Structure de la matiere et energie de liaison des noyaux

155

2.2

Radioactivite

157

2.3

Reactions par neutrons

158

2.4

Fission

161

CHAPITRE 3 • INTRODUCTION A LA NEUTRONIQUE

163

CHAPITRE 4 • CINETIQUE PONCTUELLE

168

CHAPITRE 5 • EQUATION DE LA DIFFUSION

172

CHAPITRE 6 • THEORIE A UN GROUPE - DIFFUSION

179

CHAPITRE 7 • RALENTISSEMENT DES NEUTRONS

189

CHAPITRE 8 • ABSORPTION RESONNANTE DES NEUTRONS (ASPECTS PHYSIQUES)

194

CHAPITRE 9 • THERMALISATION DES NEUTRONS

198

CHAPITRE 10 • THEORIE MULTIGROUPE

202

CHAPITRE 11 • EMPOISONNEMENT PAR LES PRODUITS DE FISSION

205

CHAPITRE 12 • EVOLUTION DU COMBUSTIBLE (NOYAUX LOURDS)

210

CHAPITRE 13 • EFFETS DE TEMPERATURE

216

PARTIE II • ELEMENTS SUR LES CALCULS DE NEUTRONIQUE CHAPITRE 14 • EQUATION DE BOLTZMANN

221 223

14.1

Etude de ('equation de Boltzmann

223

14.2

Traitement de I'energie et du temps

227

14.3

Probabilites de collision

228

14.4

Traitement de la forme integrodifferentielle

233

14.5

Mode fondamental

238

14.6

Methode de Monte-Carlo

240

CHAPITRE 15 • THEORIE DE L'ABSORPTION RESONNANTE DES NEUTRONS

242

CHAPITRE 16 • THEORIE DES PERTURBATIONS

246

CHAPITRE 17 • APERQU GENERAL SUR LE «SCHEMA DE CALCUL»

248

CHAPITRE 18 • APERQU SUR LES PROBLEMES DE CONCEPTION DES CCEURS

256

Sommaire

6

PARTIE III • SUJETS D'EXAMEN

263

EXAMEN OE DECEMBRE 1994

265

EXAMEN DE DECEMBRE 1995

269

EXAMEN DE DECEMBRE 1996

275

EXAMEN DE DECEMBRE 1997

280

EXAMEN DE DECEMBRE 1998

284

EXAMEN DE DECEMBRE 1999

287

EXAMEN DE MARS 2000

290

EXAMEN DE DECEMBRE 2000

293

EXAMEN DE MARS 2001

296

EXAMEN DE DECEMBRE 2001

299

EXAMEN DE MARS 2002

303

EXAMEN DE DECEMBRE 2002

307

EXAMEN DE MARS 2003

312

EXAMEN DE NOVEMBRE 2003

317

EXAMEN DEFEVRIER 2004

322

TABLE DES MATIERES

327

Avant-Propos

Ce recueil d'exercices a ete congu a ('intention des eleves de deuxieme annee de la formation d'ingenieurs en Genie Atomique pour leur permettre d'approfondir leurs cours de neutronique et de se preparer aux epreuves de controle des connaissances. Le plan de ce recueil est caique sur celui du Precis de neutronique presentant les principaux elements theoriques de cette branche de la physique. Dans le Precis, nous nous sommes limites aux apports theoriques et a quelques applications essentielles. Dans le present recueil d'exercices, on pourra trouver d'autres applications et calculs d'ordres de grandeur utiles pour etayer les notions theoriques. Aux dix-huit chapitres correspondant a ceux du Precis ont ete ajoutees les sujets proposes en examen ces dernieres annees(1): ils permettront aux eleves de mieux se rendre compte de ce qui est attendu d'eux. II nous a paru utile de permettre au lecteur une autocorrection. C'est pourquoi les solutions des exercices et problemes sont donnees, sous une forme parfois simplified, parfois plus detaillee, pour qu'il puisse verifier ses conclusions. Nous lui suggerons tres expressement de ne pas aller trop vite aux solutions : certes, aboutir a des raisonnements et des resultats justes — et pouvoir s'en assurer — est I'objectif final; mais, qu'elles soient correctes ou inexactes, les errances dans les reflexions sur un probleme sont seules reellement formatrices.

P. R. Saclay, juin 2004.

1. La formation de Genie Atomique a ete repensee en 1999. Seuls les examens des annees scolaires 19992000 et au-dela correspondent exactement au nouveau syllabus concretise par le Precis de neutronique.

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Auteur

Paul Reuss est ancien eleve de I'Ecole polytechnique et docteur es sciences physiques. II a mene toute sa carriere au Commissariat a I'energie atomique (CEA), a Saclay et a Fontenay-aux-Roses, se partageant entre les activites de recherche et developpement, I'enseignement et la formation. Ses activites de recherche ont porte sur ('amelioration, la validation et la qualification des codes de calcul pour ordinateur utilises par les ingenieurs pour la conception et le suivi des cceurs des centrales nucleaires, notamment CORECRAF (reacteurs a uranium naturel et a graphite) et APOLLO (reacteurs de tous types et, specialement, reacteurs a eau). Parmi les developpements auxquels il a participe, on retiendra I'etude physique du recyclage du plutonium dans les reacteurs a eau (objet de sa these de doctorat d'Etat), la generalisation de la theorie de ('absorption resonnante des neutrons, et la « recherche de tendances », c'est-a-dire ('exploitation des mesures de neutronique faites sur les experiences critiques et sur les reacteurs de puissance pour ameliorer la connaissance des donnees nucleaires. Plus d'une centaine de publications techniques peuvent etre mises a son actif. Apres avoir suivi le DEA de Physique des reacteurs nucleaires, Paul Reuss est rapidement intervenu comme charge de cours, puis comme professeur responsable de ce DEA. II a aussi anime de nombreux autres enseignements. II est aujourd'hui le professeur coordinateur de I'enseignement de neutronique au Genie atomique. Outre ce « Precis de neutronique », il est I'auteur de plusieurs ouvrages pedagogiques sur la neutronique et la physique nucleaire, notamment, avec Jean Bussac, du Traite de neutronique qui a ete et reste I'ouvrage de reference pour les etudiants et les specialistes. Paul Reuss a suivi les travaux d'une vingtaine de doctorants et a participe a plus de cent jurys de these. Parmi ses autres activites liees a la formation, notons qu'il a ete pendant deux ans responsable de formation a I'lnstitut de protection et de surete nucleaire (IPSN, maintenant IRSN), qu'il a anime, au CEA et surtout a Electricite de France, de nombreux seminaires sur la physique neutronique, sur la theorie du transport des neutrons et sur I'absorption neutronique, et qu'il a redige les tres complets polycopies associes.

10

Auteur

Ouvrages de Paul Reuss parus en librairie : • Traite de neutronique, Hermann, 1978 et 1985, 670 pages (en collaboration avec Jean Bussac). • Elements de physique nucleaire a I'usage du neutronicien, coll. « Enseignement », CEA/INSTN, 1981, 1987 et 1995, 91 pages. • Elements de neutronique, coll. « Enseignement», CEA/INSTN, 1986 et 1995, 175 pages. • Clefs pour la neutronique des reacteurs a eau, coll.« Enseignement», CEA/INSTN, 1990, 348 pages. • L'Energie nucleaire, coll. « Que sais-je?», n°317, PUF, 1994 et 1999, 128 pages. • La Neutronique, coll. « Que sais-je?», n°3307, PUF, 1998, 128 pages. • Precis de neutronique, coll. « Genie atomique », EDP Sciences, 2003, 533 pages.

ENONCES

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Partie I

BASES DE PHYSIQUE NEUTRONIQUE

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1

Introduction: generalites sur I'energie nucleaire

Exercice 1.1 : masses fissionnees On considere un reacteur nucleaire produisant, a partir de fissions d'uranium 235, 1 000 MWe avec un facteur de charge moyen de 70% et un rendement de la chaleur en electricite de 33% : calculer, en utilisant la formule d'Einstein, la masse de matiere convertie en energie pendant une annee et la masse d'uranium fissionnee (rappels : une fission fournit environ 200 MeV et 1 eV = 1,602.10~19 J). Comparer a la masse de charbon necessaire pour fournir la meme quantite d'electricite avec un rendement de 50% (rappel : une tonne d'equivalent charbon = 29,3 GJ). Exercice 1.2 : taux de combustion en fission dans un REP Un reacteur a eau sous pression (REP) « brule » en moyenne son combustible jusqu'a 40000 MWj/t (1 MWj = 86400 x 106 joules de chaleur; la masse considered est la masse initiale des noyaux lourds charges en cceur). Quel est le taux de combustion en fission (TCP), c'est-a-dire la proportion des noyaux initiaux qui aura ete fissionnee? N.B. : pour les calculs d'ordres de grandeurs de masses dans cet exercice et dans ceux qui suivent, on pourra confondre les masses de tous les actinides consideres et adopter, par exemple, 235 unites de masse atomique par atome. Exercice 1.3 : quels sont les noyaux qui ont subi la fission? L'uranium mis dans le cceur considere est enrichi a 3,7% en uranium 235. Comment expliquer que le nombre de noyaux lourds fissionnes (cf. exercice precedent) depasse le nombre de noyaux d'uranium 235 charges dans le cceur? (Noter qu'en outre le combustible decharge du cceur contient encore a peu pres 1 % d'uranium 235.) Exercice 1.4 : consommation d'uranium nature! Combien faut-il d'uranium naturel (teneur en isotope 235 : 0,71 %) pour fabriquer 1 kg d'uranium enrichi a 3,7%, si la teneur de rejet a I'usine d'enrichissement est prise egale a 0,25 %? (lei, les teneurs sont en masse.)

16

Exercices de neutronique — Enonces

Exercice 1.5 : TCP par rapport a ('uranium naturel En utilisant les resultats des exercices 1.2 et 1.4, calculer la proportion des atomes d'uranium naturel fissionnes par le reacteur considere. Exercice 1.6 : reserves d'uranium On rappelle que les ressources identifiers d'uranium exploitable sont de I'ordre de 4 millions de tonnes. En utilisant les resultats des exercices 1.1 et 1.5, evaluer le nombre d'annees x reacteurs que ces ressources permettront de couvrir si les reacteurs sont du type de celui considere a I'exercice 1.1. Que devient le resultat si I'on adopte des reacteurs surgenerateurs permettant de porter le TCP a 50%? Exercice 1.7 : controle-commande d'une reaction en chaine a) Si le facteur de multiplication d'un reacteur est amene a 1,001 (reactivite positive de 100 pcm), combien faut-il de generations de neutrons pour augmenter la puissance d'un facteur 2 ? Combien de temps cela prendra-t-il si le temps de generation est : • 0,1 (is (reacteur a neutrons rapides sans tenir compte des neutrons retardes); • 20 IJLS (reacteur a eau sans tenir compte des neutrons retardes); • 0,1 s (en tenant compte des neutrons retardes). b) Si le facteur de multiplication est ramene a 0,99 (anti reactivite de 1 000 pcm), combien faut-il de generations pour faire decrottre la puissance d'un facteur 2 ? Meme question pour un facteur 1 000. Exercice 1 .8 : probabilite d'amonpage d'une reaction en chaine Soit co la probabilite pour qu'un neutron emis par fission dans un reacteur induise une nouvelle fission et soit pn la probabilite pour que n neutrons soient emis lors de cette fission (ce nombre n de neutrons secondaires peut aller de 0 a 7). Quel est le nombre moyen v de neutrons emis par fission? Quel est le facteur de multiplication /c? On note a la probabilite pour qu'un neutron place dans le reacteur y declenche une reaction en chame illimitee (probabilite dite d'amorgage) et e = 1 — a la probabilite pour que la chaine de fissions s'arrete apres 0, 1, 2... ou un nombre fini de generations (probabilite d'extinction). En raisonnant en termes de probabilites, expliciter I'equation, dite de Hansen :

donnant la probabilite d'extinction. Etudier P(e), F(0), F (1 ), F' (1 ), F (oo) ; en deduire la localisation de la solution de I'equation de Hansen. Evaluer par un calcul au premier ordre la valeur de a pour un systeme tres legerement surcritique caracterise par sa reactivite p. Quel est le nombre minimum N de neutrons qu'il faut injecter dans le systeme pour que la probabilite d'amorgage depasse une valeur donne P?

1 - Introduction : generates sur I'energie nucleaire

17

Donnees pour les applications numeriques (valeurs fictives donnant I'ordre de grandeur du facteur v pour I'uranium 235):

• • • • • • • •

po = 0,09 pi =0,15 p2 = 0,30 ps = 0,26 p4 = 0,10 p5 = 0,05 p6 = 0,03 p7 = 0,02

On pourra prendre comme exemple : p = 100 pcm et P = 0,999.

2

Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

2.1 Structure de la matiere et energie de liaison des noyaux Exercice 2.1 : taille des atomes et des noyaux Dans cet exercice, on assimile I'atome a une sphere inscrite dans un cube de volume V, et on caracterise sa taille par le diametre D ainsi deduit d'une evaluation de V. a) Taille de I'atome d'hydrogene : dans I'eau liquide de masse specifique 1 g/cm3, on admet que les atomes d'hydrogene et d'oxygene ont la meme taille, done que les deux tiers du volume de I'espace sont occupes par des atomes d'hydrogene; evaluer V et D pour un atome d'hydrogene. b) Taille de I'atome d'uranium : evaluer V et D pour un atome d'uranium dans I'uranium metallique de masse specifique 18,95 g/cm 3 ; comparer la taille des atomes d'hydrogene et d'uranium. c) Taille des noyaux : on assimile un noyau forme de A nucleons a une sphere de rayon R = r0./\1/3 avec r0 = 1,2.10~15 m. Evaluer par cette formule les diametres des noyaux d'hydrogene et d'uranium et comparer aux diametres des atomes correspondants. Exercice 2.2 : equation de la ligne de stabilite des noyaux En negligeant le terme de parite dans la formule de Bethe et Weizsacker, rechercher la valeur de Z correspondant a la masse minimum des isobares de nombre de masse A fixe; on traitera Z comme une variable continue et on explicitera le resultat par une expression de la forme :

N - Z = f(A). Montrer qu'en pratique, cette expression peut etre approximee par: N-Z=kA5/3. En deduire les expressions analytiques des termes de volume, surface, coulombien et d'asymetrie en fonction de A.

2 - Physique nucleaire a /'usage du neutronicien

19

Exercice 2.3 : reaction de fusion On s'interesse a la reaction de fusion :

Calculer I'energie liberee par cette reaction. En negligeant Pimpulsion initiale du deuterium et du tritium, calculer I'energie emportee par la particule alpha et par le neutron. Masses en unites de masse atomique (de Patome neutre sauf pour le neutron; on negligera I'energie de liaison des electrons) : • Deuterium : 2,014102 • Tritium: 3,016049 • Helium : 4,002603 • Neutron: 1,008665 Exercice 2.4 : reaction de fission On s'interesse a la reaction de fission symetrique de I'uranium 235 induite par neutron et des decroissances qui la suivent: 7 1 . 2 3 5 iU , , 1 ^ 236ij v ?H PH + ? n • 9 2 + O n = ^ 92U ^^ Z 46ra + Z 0 " '

Calculer I'energie liberee par I'ensemble de ces reactions. Masses en unites de masse atomique (de I'atome neutre sauf pour le neutron; on negligera I'energie de liaison des electrons): • Uranium 235 : 235,043924 • Etain117: 116,902956 • Neutron : 1,008665 Comparer au resultat obtenu en utilisant les expressions analytiques etablies a I'exercice 2.2. Exercice 2.5 : evaluation du terme coulombien a) Calculer I'energie electrostatique d'une charge Q repartie uniformement dans une sphere de rayon R. b) En deduire ('expression du coefficient ac (terme coulombien de la formule de Bethe et Weizsacker). Application numerique : prendre r0 = 1,2.10~15 m. c) Par ailleurs, evaluer ac en comparant les energies de liaison de noyaux « miroirs » azote 15 et oxygene 15. Masses en unites de masse atomique (de I'atome neutre sauf pour le neutron et ('electron; on negligera I'energie de liaison des electrons) : • Azote 1 5 : 15,000109 • Oxygene 15:15,003065 • Hydrogene : 1,007934 • Neutron: 1,008665

20

Exercices de neutronique — Enonces

2.2 Radioactivite Exercice 2.6 : activite radioactive Calculer en becquerels et en curies I'activite d'un gramme de radium 226 (periode : 1 599 ans) et d'un gramme de tritium (periode : 12,32 ans). Exercice 2.7 : equilibre seculaire Dans un echantillon provenant d'un gisement d'uranium et contenant un kilogramme d'uranium, quelle masse de radium y a-t-il? Periodes radioactives : • Uranium 238 : 4,47.109 ans • Radium 226 :

1 599 ans

Exercice 2.8 : uranium nature! a I'epoque des reacteurs d'Oklo La teneur en uranium 235 de I'uranium nature! d'aujourd'hui est de 0,72 % (en nombres de noyaux); quelle etait-elle lorsque que fonctionnaient les reacteurs d'Oklo, il y a deux milliards d'annees? Periodes radioactives : • Uranium 235 : 7,04.108 ans • Uranium 238 : 4,47.109 ans Exercice 2.9 : decroissances beta du tritium et alpha du plutonium Comparer les energies liberees dans les decroissances radioactives du tritium :

et du plutonium :

Exercice 2.10 : limite de I'instabilite alpha En utilisant la formule de Bethe et Weizsacker (et eventuellement les expressions analytiques de I'exercice 2.2), rechercher a partir de quelle masse approximativement la decroissance alpha est exo-energetique. Exercice 2.11 : filiation a trois corps Etudier revolution des concentrations des noyaux X, Y et Z en fonction des constantes de decroissance radioactive X et |x de X et Y (le nucleide Z est suppose stable) et des concentrations initiales. Application numerique pour la chafne du xenon 135 :

Periodes radioactives : • lode 135 : 6,53 heures • Xenon 135 : 9,17 heures • Cesium 135 : 2,6.106 ans (considered comme infinie)

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

21

2.3 Reactions par neutrons Exercice 2.12 : production de neutrons a partir d'un Van de Graff Une des reactions utilisees pour obtenir des neutrons a partir d'un accelerateur de type Van de Graff en vue de mesures de sections efficaces est:

Quel est le seuil de la reaction? Masses en unites de masse atomique (de I'atome neutre sauf pour le neutron): • Hydrogene: 1,007825 • Lithium 7:

7,016003

• Beryllium 7: 7,016929 • Neutron :

1,008665

Exercice 2.13 : existence ou pas d'un seuil Parmi les reactions suivantes, lesquelles sont a seuil et, dans ce cas, quel est le seuil? Production du tritium :

Production du carbone 14 atmospherique :

Controle de reactivite des REP :

Dissociation du deuterium : Jn + 2 H = ^ ] H + 2jn. Masses en unites de masse atomique (de I'atome neutre sauf pour le neutron) • Hydrogene:

1,007825

• Deuterium: 2,014102 • Tritium:

3,016049

• Helium 4 :

4,002603

• Lithium 6:

6,015121

• Lithium 7 :

7,016003

• Bore 10:

10,012937

• Carbone 14: 14,003242 • Azote 14:

14,003074

• Neutron:

1,008665

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Exercices de neutronique — Enonces

Exercice 2.14 : capture neutronique par le xenon 135 Comparer les energies liberees lors des captures radiatives d'un neutron par le xenon 135 et par le xenon 136. Qu'observez-vous? Commentez. Masses en unites de masse atomique (de I'atome neutre sauf pour le neutron) : • Xenon 135 : 134,907130 • Xenon 136: 135,907214 • Xenon 137: 136,911557 • Neutron :

1,008665

Exercice 2.15 : diffusion par I'hydrogene Montrer qu'apres une diffusion d'un neutron par un noyau d'hydrogene, le proton et le neutron partent dans deux directions formant un angle droit dans le systeme du laboratoire. (N.B. : on confondra la masse du proton avec celle du neutron.) Exercice 2.16 : extremums de la section efficace Pour un noyau presentant une resonance unique decrite par la loi de Breit et Wigner (avec g = 1), calculer les valeurs maximale et minimale de la section efficace totale. (N.B. : on negligera les variations des parametres de resonance et de t en fonction de I'energie du neutron incident.) Application numerique (parametres de la grande resonance du fer 56) :

• £0 = 27600eV • Tn = 1 409 eV • Ty = 1 eV

•CTp= 11 b Exercice 2.17 : limite de la section efficace d'absorption Pour un noyau presentant une resonance unique decrite par la loi de Breit et Wigner (avec g = 1) et pour un neutron d'energie E donnee, quelle est la plus grande valeur de la section efficace d'absorption que I'on pourrait observer? Applications numeriques pour les valeurs suivantes de E (en eV) : 0,0253 ; 1 ; 10; 100; 1 000. Exercice 2.18 : largeur pratique d'une resonance Pour un noyau presentant une resonance unique decrite par la loi de Breit et Wigner (avec g = 1), on definit la largeur pratique Fp comme I'intervalle ou la section efficace d'absorption depasse la section efficace potentielle de diffusion. Exprimer Fp et comparer a la largeur nucleaire P. Application numerique (premiere resonance de I'uranium 238) : • Eo = 6,674 eV

• Tn = 1 493 meV • Ty = 23 eV • crp = 8,90 b

2 - Physique nucleaire a I'usage du neutronicien

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2.4 Fission Exercice 2.19 : energie liberee par fission On considere la fission symetrique sans emission de neutron :

En utilisant la formule de Bethe et Weizsacker, et en negligeant le terme de parite, calculer I'energie liberee. En deduire la vitesse de chacun des deux fragments de fission. Exercice 2.20 : decroissances radioactives des produits de fission En utilisant ('equation de la ligne de stabilite des noyaux etablie a I'exercice 2.2, evaluer le nombre de decroissances radioactives que vont subir chacun des noyaux emis dans la fission sans neutron consideree a I'exercice precedent. Que devient ce nombre de decroissances si 2, 4 ou 6 neutrons sont emis, la fission restant symetrique? Exercice 2.21 : precurseur de neutrons retardes Le brome 87 est produit par fission avec un rendement relativement important (1,3 % pour la fission d'uranium 235 induite par neutron thermique); le brome 87 se desintegre par radioactivite beta avec une periode de 56 s en krypton 87, en general produit avec une energie d'excitation de 5,4 MeV. Comment expliquer qualitativement que cette energie d'excitation soit suffisante pour qu'un neutron puisse etre emis? Meme question pour la chaine iode 137 =>• xenon 137 =» xenon 136.

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Introduction a la neutronique

Exercice 3.1 : libre parcours moyen d'absorption Pour des neutrons supposes monocinetiques emis dans un milieu infini et homogene, caracterise par les sections efficaces macroscopiques Et, Es et £a, calculer: a) le nombre moyen n de parcours entre Remission et ('absorption, b) le libre parcours moyen d'absorption (parcours developpe moyen entre remission et I'absorption). Exercice 3.2 : longueur de diffusion Dans les memes hypotheses qu'a I'exercice precedent, on designe par R la distance separant le point d'absorption du point d'emission, c'est-a-dire la distance parcourue a vol d'oiseau. Calculer la valeur moyenne de R2. (Par definition de I'aire de diffusion L2, cette moyenne est 6/.2.) On supposera que les diffusions sont isotropes, ce qui entrame que les cosinus des angles formes par les directions de deux parcours elementaires sont nuls en moyenne. Exercice 3.3 : comparaison des moderateurs Pour les principaux materiaux moderateurs (eau ordinaire, eau lourde, beryllium, glucine et graphite) et pour des neutrons supposes monocinetiques y cheminant a la vitesse de 2200 m/s, calculer les sections efficaces macroscopiques, le parcours developpe (voir exercice 3.1), la duree moyenne du cheminement et la longueur de diffusion (voir exercice 3.2). Donnees (sections efficaces en barns et masses specifiques en g/cm 3 ): voir tableaux 1 et 2. TABLEAU 1 Masse (u)

Absorption (barns)

Hydrogene

Nucleide

1,00794

0,322

Deuterium

2,01410

0,00051

4,25

9,01218

0,0076

6,34

Beryllium

Diffusion (barns) 30,3

Carbone

12,0107

0,00337

4,94

Oxygene

15,9994

0,000191

3,76

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3 - Introduction a la neutronique

TABLEAU 2 Materiau

Masse specifique (g/cm3)

Eau ordinaire

0,998

Eau lourde

1,105

Beryllium

1,85

Glucine

3,01

Graphite

1,6

Exercice 3.4 : ordres de grandeur pour un reacteur de puissance Quelques ordres de grandeur pour un reacteur a eau sous pression de 900 MWe : a) Le rendement est de I'ordre de 33% : quelle est la puissance thermique nominale? Combien faut-il de fissions par seconde pour fournir cette puissance? b) Le cceur est constitue de 157 assemblages de 21,5 cm de cote et de 3,658 m de hauteur: quel sont son volume et son rayon equivalent si on I'assimile a un cylindre? II contient 82 t d'oxyde d'uranium de masse specifique 10,3 g/cm3 : quel est le volume de combustible et quelle fraction du cceur occupe-t-il? c) Quelle est la puissance specifique moyenne par unite de volume de cceur et par unite de volume de combustible? d) L'uranium est enrichi a 3 % : calculer le nombre d'atomes d'uranium 235 par unite de volume. En adoptant une section efficace microscopique de fission de I'uranium 235 egale a 582 barns et en negligeant les fissions d'uranium 238, calculer la section efficace macroscopique de fission. En deduire le flux neutronique moyen dans le combustible. e) En admettant que les neutrons ont tous une vitesse de 3 100 m/s, calculer la densite neutronique moyenne dans le combustible. Comparer au nombre d'atomes d'uranium par unite de volume.

Exercice 3.5 : resonance et «trou » du fer En assimilant le fer nature! (masse specifique : 7,86 g/cm3) a du fer 56 etudie a I'exercice 2.16, calculer les libres parcours des neutrons au pic de la resonance et au fond du «trou ».

Exercice 3.6 : comment definir le libre parcours moyen? Paradoxe du libre parcours moyen : dans un materiau donne, considerons un neutron passant en un point A. Ce neutron va aller jusqu'a un point N ou sera observee la prochaine collision : il semble juste d'affirmer que le parcours AN sera en moyenne de longueur X = 1/S, c'est-a-dire le libre parcours moyen. Cependant ce neutron est parti d'un point M situe en amont de A. Comme le parcours MA n'est pas nul, le parcours total MN = MA + AN est certainement plus grand que X : comment expliquer ce paradoxe? Pouvez-vous donner d'autres exemples de paradoxes similaires?

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Exercices de neutronique — Enonces

Exercice 3.7 : corde moyenne Theoreme de Cauchy : la corde moyenne < X > d'un corps convexe quelconque est donne par la formule :

ou V est son volume et 5 sa surface. On suppose que I'espace est vide hormis un flux uniforme et isotrope de particules (par exemple des neutrons) monocinetiques. a) Exprimer le nombre de particules se trouvant (a tout instant) dans le volume. b) Exprimer le nombre de particules entrant par unite de temps dans le volume (egal evidemment au nombre de particules en sortant). c) En deduire le temps de sejour moyen < t > d'une particule entrant dans le volume. d) Exprimer directement < t > en fonction de < X > et de la vitesse v des particules. e) En deduire le theoreme de Cauchy. Preciser selon quelle loi statistique est definie, pour ce theoreme, la moyenne de la corde X. Exercice 3.8 : etude de quelques distributions en phase a) L'espace etant suppose entierement vide, on y place une source plane de neutrons emettant f particules par unite de surface et par unite de temps. Calculer le courant en phase a travers un element de surface dS place parallelement au plan source a une distance x. En deduire le flux en phase au point ou a ete place cet element de surface. Comparer le courant en phase a celui qu'on aurait si le flux etait isotrope. b) Meme question pour une source ponctuelle emettant E particules par unite de temps et un element de surface place a une distance r de la source et perpendiculairement a I'axe u joignant le point source au point ou est place dS. Exercice 3.9 : etude du spectre de fission On rappelle que le spectre de fission peut etre approximativement represente par un spectre de Maxwell :

ou le parametre T est egal aux deux tiers de I'energie moyenne E. En adoptant E = 2 MeV (valeur pour la fission de I'uranium 235 induite par neutron thermique), calculer : a) la proportion des neutrons emis par fission au-dessus de 0,8 MeV, susceptibles d'induire une fission d'uranium 238, b) la proportion des neutrons emis par fission au-dessus de 10 MeV, negligee en general dans les calculs, par exemple ceux faits avec la bibliotheque a 99 groupes du code APOLLO.

3 - Introduction a la neutronique

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Exercice 3.10 : activation neutronique Par irradiation neutronique, le soufre 32 se transforme en phosphore 32 par la reaction :

(section efficace pour les neutrons considered : a = 0,3 b). Le phosphore 32 se retransforme en soufre 32 par decroissance radioactive :

(demi-vie : 71/2 = 14,3 j). a) En supposant qu'il n'y a pas de phosphore au debut et que I'irradiation est faite a flux constant, O = 4.109 n/(cm2.s), ecrire et resoudre les equations d'evolution. b) Au bout de combien de temps I'activite du phosphore atteint-elle 90% de sa valeur asymptotique?

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Cinetique ponctuelle

Exercice 4.1 : calcul au premier ordre du temps de doublement En ne considerant qu'un seul groupe de neutrons retardes, comparer la valeur exacte du temps de doublement de la puissance (ou de diminution d'un facteur 2) a la valeur calculee par un developpement au premier ordre autour du cas critique. Application numerique : reacteur a uranium 235 et reacteur a plutonium 239 avec un temps de vie infiniment court. Exercice 4.2 : elimination des concentrations de precurseurs En ne considerant qu'un seul groupe de neutrons retardes, ecrire ('equation differentielle du second ordre regissant le nombre de neutrons. Si la reactivite est constante, retrouver I'equation de Nordheim pour ce cas a partir de cette equation differentielle. Generaliser au cas a plusieurs groupes de neutrons retardes. Exercice 4.3 : creneau de reactivite On appelle « creneau de reactivite » le scenario qui, partant d'une situation critique et a I'equilibre, consiste a : • injecter, a I'instant pris comme origine et de fagon supposee instantanee, une certaine reactivite p (positive ou negative), • maintenir constante cette reactivite pendant un laps de temps T, • revenir, a I'instant T et de fagon supposee instantanee, a la criticite, • conserver la criticite par la suite. • Etudier ce scenario en theorie cinetique ponctuelle avec un seul groupe de neutrons retardes et un temps de vie infiniment court. Est-ce que cette theorie en donne tous les aspects qualitatifs? Exercice 4.4 : experience de chute de grappe Partant d'une situation critique et a I'equilibre, I'experience consiste a inserer tres rapidement une grappe de commande, puis a mesurer Devolution de la densite neutronique apres la chute. Dans cet exercice, le scenario est analyse en theorie ponctuelle avec un seul groupe de neutrons retardes et un temps de vie infiniment court.

4 - Cinetique ponctuelle

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a) Expliciter Devolution du nombre de neutrons au cours du temps. (On supposera la chute instantanee.) b) Calculer I'integrale de ce nombre entre I'instant de la chute et I'infini. c) Montrer que les mesures du saut prompt et de cette integrate fournissent deux informations : I'antireactivite inseree et la duree de vie moyenne des precurseurs. Exercice 4.5 : experience d'ejection de source [.'experience, un peu similaire a la precedente, consiste a partir d'une situation souscritique alimentee par une source constante, et a ejecter cette source. Reprendre les questions a, b et c de I'exercice precedent. Exercice 4.6 : experience de neutrons pulses Dans un systeme sous-critique, voire non multiplicateur, I'experience consiste a envoyer une bouffee de neutrons dans le systeme et a mesurer le coefficient de la decroissance exponentielle du nombre de neutrons qui suit. Comme cette decroissance est rapide, I'experience peut etre repetee un grand nombre de fois pour ameliorer la precision statistique des resultats de mesure. On considere ici un systeme non multiplicateur. ([/experience peut aussi etre realisee dans un milieu multiplicateur sous-critique : les informations qu'on peut en retirer sont plus riches, mais ['interpretation demande plus de soin.) a) On suppose que la bouffee de neutrons envoyes est suffisamment courte pour pouvoir etre modelisee par une distribution de Dirac : 58(0 si elle a lieu a I'instant origine. Expliciter (a un facteur pres) revolution du nombre de neutrons dans le systeme apres la bouffee. Si Ton fait deux mesures dans deux «fenetres temporelles » tres etroites centrees sur les instants t] et £2 apres la bouffee, que peut-on en deduire? b) Pour ameliorer la precision, il vaut mieux repeter les bouffees de fagon reguliere et recurrente avec un intervalle de temps T et refaire une mesure du nombre de neutrons un laps de temps t apres chaque bouffee (t < 7). Comparer cette procedure a la precedente et analyser le resultat en fonction de t et T. Exercice 4.7 : experiences d'oscillations Les exercices precedents montrent que des mesures sur des situations dynamiques peuvent etre riches d'information. Dans les experiences de chute de grappe ou d'ejection de source, on se contente de passer d'un etat A a un etat B. Dans les experiences de neutrons pulses, il estutiled'introduire une suite recurrente defa^on a ameliorer la statistique. Dans les experiences d'oscillations, on va encore plus loin : on cree une situation periodique qui se propage en changeant de niveau et de phase; la mesure de ces correlations peut conduire a des informations directement utiles aux neutroniciens et pouvant etre obtenues de fagon precise; de plus, la periode de recurrence pouvant etre modifiee, un degre de liberte supplemental^ est introduit, permettant de mieux discriminer les parametres et d'ameliorer les precisions. De nombreuses variantes peuvent etre imaginees et ont ete effectivement adoptees par les neutroniciens experimentateurs : I'excitation periodique peut etre introduite de differentes fagons; le systeme peut etre plus ou moins sous-critique ou, au contraire, etre critique; le choix de la distance entre I'excitateur et I'appareil de mesure est aussi un degre de liberte qui peut etre mis a profit.

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Exercices de neutronique — Enonces

Par exemple, on a beaucoup developpe au CEA des experiences dites d'oscillation consistant a introduire et extraire de fagon periodique un echantillon fissile ou purement absorbant : le deplacement periodique d'un pilote automatique dont le mouvement est assujetti a compenser la perturbation de reactivite est un « signal global » tres representatif de I'effet en reactivite de I'echantillon introduit; cette mesure peut etre completee par celle de la perturbation locale du flux, c'est-a-dire d'un « signal local ». L'exercice qui suit est I'etude d'un exemple simplifie de ce type d'experimentation : dans un reacteur sous-critique, on suppose qu'est placee une source ayant une composante constante dans le temps et une composante variant de facon sinusoYdale (dans les experiences reelles, si ('excitation est periodique, elle n'est en general pas sinusoYdale); I' interpretation de cette experience est faite selon le modele tres simplifie : « reacteur ponctuel ; un seul groupe de neutrons retardes ». a) Ecrire les equations du modele considere en supposant que la reactivite ne varie pas. b) La source est explicitee par la fonction :

ou SQ et s-] sont des constantes. (Comme dans les calculs concernant les courants alternatifs, cette source est represented par une fonction complexe pour faciliter les calculs, mais, bien entendu, seule la partie reelle a un sens physique; comme une source neutronique est forcement positive, on considerera que s0 est positif et que | ST | est inferieur as 0 .) On recherche la solution des equations sous la forme :

Expliciter les relations entre les quatre constantes introduites. c) On caracterise la grandeur oscillante mesuree (flux) en fonction de la grandeur oscillante imposee (source) par le parametre complexe z = n-[/(is-\) qu'on ecrira sous la forme z = x/y avec x = X + /co. Expliciter y. d) Expliciter les formules donnant le module et I'argument des nombres x, y et z. e) Etudier les variations du module et de I'argument de z en fonction de la periode T = 2]T/oo. (Pour I'etude des ordres de grandeur, on pourra prendre le cas d'un reseau type REP a uranium, sous-critique d'environ un dollar.)

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Equation de la diffusion

Exercice 5.1 : condition a I'origine Calculer les constantes de normalisation des noyaux plan, fil et point en milieu infini et homogene par la condition :

Exercice 5.2 : sources « coquilles » Dans un milieu infini et homogene, calculer le flux resultant: a) d'une source placee sur la surface d'un cylindre de rayon a emettant 5 neutrons par unite de surface et par unite de temps; b) d'une source placee sur la surface d'une sphere de rayon a emettant 5 neutrons par unite de surface et par unite de temps. Exercice 5.3 : source ponctuelle dans un milieu fini N.B. : dans cet exercice ainsi que dans tous les suivants concernant un milieu de dimensions finies, on prendra comme condition a la limite rannulation du flux a la surface (condition de corps noir avec distance d'extrapolation negligeable). Calculer le flux dans une sphere homogene de rayon R resultant d'une source ponctuelle placee en son centre emettant S neutrons par unite de temps. Exercice 5.4 : source filiforme dans un milieu fini Calculer le flux dans un cylindre homogene de rayon R et de hauteur infinie resultant d'une source filiforme placee sur son axe emettant 5 neutrons par unite de longueur et par unite de temps. Exercice 5.5 : source plane dans un milieu fini Calculer le flux dans une plaque homogene infinie d'epaisseur 2a resultant d'une source placee dans son plan median emettant 5 neutrons par unite de surface et par unite de temps.

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Exercices de neutronique — Enonces

Exercice 5.6 : sources uniformes dans un milieu fini Calculer le flux resultant d'une source uniforme emettant S neutrons par unite de volume et par unite de temps, ainsi que le « facteur de forme » F = Omaximum/^moyen : a) dans une plaque homogene infinie d'epaisseur 2a; b) dans un cylindre de rayon R et de hauteur infinie; c) dans une sphere de rayon R. Exercice 5.7 : calcul par decomposition sur des fonctions propres Calculer les flux des exercices precedents 5.3 a 5.6 par decomposition sur les fonctions propres de I'operateur laplacien dans les geometries considerees. Exercice 5.8 : source filiforme dans une plaque infinie Calculer, sous forme d'un developpement en serie, le flux dans une plaque infinie d'epaisseur 2a resultant d'une source filiforme placee dans son plan median emettant 5 neutrons par unite de longueur et par unite de temps. Exercice 5.9 : source ponctuelle dans un cylindre infini Calculer, sous forme d'un developpement en serie, le flux dans un cylindre de rayon R et de hauteur infinie resultant d'une source ponctuelle placee sur son axe emettant 5 neutrons par unite de temps. Exercice 5.10 : pile exponentielle Calculer, sous forme d'un developpement en serie, le flux dans un cylindre de rayon R et de hauteur H resultant d'un courant entrant uniformement par sa base a raison de 5 neutrons par unite de surface et par unite de temps. Exercice 5.11 : piles ref lee hies Dans un milieu infini et homogene, on place dans une zone V une source uniforme emettant 5 neutrons par unite de volume et par unite de temps; calculer le flux, ainsi que le «facteur de forme » F = 1 et/c^ > 1 ; 2) /COOT < 1 et £002 > 1 ;

3) /Cod > 1 et /c^ < 1. b) Preciser ou se trouve le maximum du flux pour chacun de ces cas. c) Montrer qualitativement que le facteur de forme du flux, defini comme F = ^maximum/^moyen/ est plus grand dans le cas 3 que dans le cas 1. d) Calculer le facteur de forme pour les cas 0, 1 et 2. e) On suppose que k^ est tres proche de 1 ; on pose u — xi a (petit) avec Xi — I /Qxn — 1 I /M2. Par developpement limite, comparer F pour les cas 1 et 2 a la valeur FQ du cas 0. Dans quelles conditions ce dernier correspond-il a un minimum du facteur de forme? Exercice 6.6 : economic de reflecteur Etablir les formules donnant Peconomie de reflecteur pour une pile cylindrique de hauteur infinie et pour une pile spherique (on supposera que I'epaisseur du reflecteur est infinie). Exercice 6.7 : piles reflechies Etudier, en fonction de I'albedo du reflecteur, la condition critique et le facteur de forme F = Omaximum/Omoyen d'une pile homogene reflechie (maximum et moyenne dans la partie cceur seulement) : a) plaque homogene infinie d'epaisseur 2a; b) cylindre de rayon R et de hauteur infinie; c) sphere de rayon R. Exercice 6.8 : pile a puissance uniforme Dans un materiau moderateur homogene et suppose s'etendre jusqu'a I'infini, on place une matiere fissile caracterisee par aa et va/- = iqaa avec une concentration N(p) fonction de la distance p a un axe, cela jusqu'a la distance R de I'axe. Determiner N(p) de fagon que la pile ainsi constitute soit critique et ait une distribution de puissance uniforme dans la zone cylindrique de rayon R. (On admettra que la presence de matiere fissile ne modifie pas le coefficient de diffusion ni la concentration du moderateur.)

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Exercices de neutronique — Enonces

Exercice 6.9 : piles multicouches On considere les piles a geometric plane, cylindrique ou spherique, c'est-a-dire les piles pouvant etre decrites par une seule variable d'espace, x, p ou r. Etablir les matrices caracterisant une couche homogene comprise entre les abscisses ou rayons a et b, permettant de calculer le flux et le courant en b a partir du flux et du courant en a. Exercice 6.10 : effet d'un petit absorbant On place un petit absorbant spherique de rayon e au centre d'un reacteur spherique nu, de rayon R, initialement critique. On retablit artificiellement la criticite en remplagant vEf par vE/y/c = vE/-(1 - p) ou k < 1 est le facteur de multiplication du reacteur perturbe et p < 0 sa reactivite. a) Montrer qu'en dehors de I'absorbant le flux est de la forme :

ou C est une constante de normalisation et X un parametre caracterisant le taux d'absorption du petit absorbant introduit. Preciser I'expression mathematique des fonctions f et g. b) Sans chercher, pour le moment, a calculer X, expliciter la condition critique. On posera :

Simplifier en supposant que X et u sont petits et montrer que u est a peu pres egal a X. En deduire I'expression de p en fonction de X. c) Calculer: • le nombre de neutrons produits dans la zone multiplicatrice, • le nombre de neutrons absorbes dans la zone multiplicatrice, • le nombre de neutrons absorbes dans le petit absorbant, • le nombre de neutrons s'echappant par la surface externe, et dresser le bilan neutronique. En se limitant a des developpements au premier ordre en X et XE '• • etablir la relation donnant p en fonction de X; • montrer que I'antireactivite resultant de Pinsertion du petit absorbant est du a deux effets ayant la meme contribution : I'absorption par I'absorbant lui-meme et ('augmentation des fuites par la surface exterieure. d) On note y la probabilite qu'un neutron entrant dans I'absorbant y soit absorbe et 1 — y la probabilite qu'il ressorte : calculer X en fonction de y. (On se limitera toujours au premier ordre, mais on notera que e et D peuvent etre du meme ordre de grandeur.) e) Reprendre I'etude pour un cylindre de hauteur infinie (petit absorbant cylindrique coaxial) et pour une plaque infinie (petite plaque absorbante centree sur le plan median). Exercice 6.11 : basculement de la distribution de puissance On considere un reacteur constitue de trois plaques infinies superposees (ce pourrait etre la schematisation d'un reacteur cylindrique si Ton admet que les koo incluent les fuites

6 - Theorie a un groupe - diffusion

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radiales) : entre les cotes -a et +a, une plaque caracterisee par kOQ = '\ ; au-dessus, entre les cotes +a et +a 4-6, une plaque caracterisee par /Cooi; au-dessous, entre les cotes —a et —a — b, une plaque caracterisee par k^i- Dans ces trois plaques, D et M2 sont les memes. a) Indiquer I'allure du flux et expliciter la condition critique pour le cas symetrique b) Indiquer I'allure du flux et expliciter la condition critique pour le cas dissymetrique (/Cod / ^002)- Pour faciliter les calculs, il est conseille d'introduire les inconnues X = 4>(+a) et |x = 4>(-a). c) Calculer le rapport !/2 des flux moyens dans les plaques externes. d) On suppose que /c^ - koos et /Coo2 — k^ sont petits : par des calculs au premier ordre, etablir la relation entre ces deux quantites et montrer que 1 /O 2 est a peu pres egal a X/[i. On pourra poser u = n/2 — xi& et v = 7t/2 — fab. e) On prend a = 100 cm, b = 50 cm et M2 = 56 cm2 : evaluer i/2 pour /COOT depassant k^ de 100, 250, 500 et 750 pcm. Exercice 6.12 : propagation d'une onde Get exercice s'interesse a une experience d'oscillation idealisee. a) Dans un milieu moderateur infini et homogene, on place une source ponctuelle d'intensite sinusoVdale, representee par 8(r)e' wt : calculer le flux qui en resulte et en particulier la distance de relaxation (distance sur laquelle le flux s'attenue en module d'un facteur e) et le dephasage par rapport a la source selon la distance; examiner les cas oo tres grand et tres petit. (Remarques : comme cela est fait en electricite, on traitera la source et le flux comme des fonctions a valeurs complexes, etant entendu que seules les parties reelles ont un sens physique; pour que les fonctions flux et source soient positives, il faut considerer que la source et le flux calcules ici s'ajoutent a un mode preponderant positif.) b) Reprendre le probleme pour un milieu multiplicateur juste critique (/COQ = 1). On ne considerera qu'un seul groupe de neutrons retardes et pour simplifier les formules obtenues, on fera tendre le temps de vie I des neutrons vers zero.

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Ralentissement des neutrons

Exercice 7.1 : ralentissement par I'hydrogene En supposant que la masse du proton est rigoureusement egale a celle du neutron : a) montrer qu'apres la diffusion d'un neutron par un proton initialement immobile, les deux particules partent dans deux directions formant un angle droit; b) reprendre les formules generales explicitant les lois du choc elastique et les simplifier pour ce cas particulier. Exercice 7.2 : ralentissement par un noyau lourd Pour un choc elastique et isotrope dans le centre de masse sur un noyau de grande masse : a) expliciter les premiers termes du developpement de e et de ^ en puissances de 1 /A ; b) evaluer I'erreur commise sur ^ si I'on remplace la loi exponentielle du gain de lethargic par une loi uniforme entre 0 et £. (Cette approximation est parfois faite, par exemple pour le calcul de I'absorption resonnante par les noyaux lourds.) Exercice 7.3 : angle de deviation dans le systeme du laboratoire a) Expliciter les formules donnant |i = cos\J/ en fonction, d'une part, de X = cos6 et, d'autre part, du rapport r = Ef/E, entre I'energie du neutron dans le systeme du laboratoire apres choc et son energie initiale, puis en fonction du gain de lethargic Au du neutron. b) Expliciter en fonction de X la loi de probabilite de la variable |x si le choc est isotrope dans le systeme du centre de masse. c) Simplifier pour le cas de I'hydrogene les formules obtenues. Exercice 7.4 : loi du choc inelastique Un choc est dit « inelastique » s'il n'y a pas conservation de I'energie cinetique. Dans le probleme du ralentissement des neutrons, les chocs sont inelastiques si le noyau cible — initialement a I'etat fondamental — est excite apres I'impact du neutron (il se desexcitera par la suite par emission de photon(s)). Dans cet exercice, on note Q I'ecart, dans le

7 - Ralentissement des neutrons

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systeme du centre de masse, entre la somme des energies cinetiques avant la collision et la somme des energies cinetiques apres la collision. Les autres notations sont les notations usuelles. a) Expliciter les formules donnant Ef et cos\l> en fonction de cos6; il est conseille d'introduire le parametre :

b) Quelle la valeur minimum £seuii de I'energie £/ du neutron dans le systeme du laboratoire permettant cette reaction. c) Determiner I'energie £90 pour laquelle \Ji = rt/2 et montrer que la diffusion a toujours lieu vers I'avant lorsque £seuii < £/ < £90d) Montrer que, dans cette plage, a une valeur de \Jr correspondent deux valeurs possibles pour 0 et Ef. Exercice 7.5 : nombre de chocs necessaires pour ralentir un neutron Pour evaluer le nombre moyen n de chocs necessaires pour ralentir un neutron d'une energie £Q a une energie £1, on peut hesiter entre un raisonnement en energie :

ou p est la moyenne du rapport £/•/£/ des energies apres et avant une collision (N.B. : p = (1 - a)/2 si la collision est elastique et isotrope dans le systeme du centre de masse) et un raisonnement en lethargie :

ou ^ est (au signe pres) la moyenne du logarithme du rapport Ef/Ej des energies apres et avant une collision. a) Comparer ces deux evaluations dans le cas de I'hydrogene. b) Laquelle est correcte et pourquoi? Exercice 7.6 : evaluation de la duree du ralentissement d'un neutron Pour evaluer la duree du ralentissement (en I'absence d'absorption), remplagons la sequence stochastique par une sequence deterministe : les neutrons, emis a I'energie EQ, ont, apres n diffusions, I'energie En = E0en^; entre deux collisions, les neutrons effectuent toujours un meme parcours X. Calculer, dans ces hypotheses, le laps de temps necessaire pour que le neutron atteigne une energie donnee EN. Applications numeriques : EQ = 2 MeV; EN = 1 eV; a) Eau : $ ~ 1 et \ = 0,28 cm; b) Graphite : $ = 0,158 et \ = 2,6 cm. Exercice 7.7 : transitoire de Placzek Dans un materiau monoatomique caracterise par A et non absorbant, on s'interesse au ralentissement des neutrons par chocs elastiques et isotropes dans le systeme du centre de masse; les neutrons sont supposes etre tous emis a une energie £Q prise comme origine de la lethargie; la source est normalisee a 1 neutron par unite de temps.

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Exercices de neutronique — Enonces

a) Montrer que, dans le cadre des hypotheses adoptees, on a entre la densite de diffusion f, la densite d'arrivee p et le courant de ralentissement q la relation :

b) Montrer que pour le probleme considered le courant q(u) est egal a ('echelon unite Y(u). c) En reportant a) et b) dans I'equation du ralentissement, ecrire ('equation donnant f. d) En prenant u grand, calculer la valeur asymptotique de f. e) En derivant I'equation obtenue en c), montrer qu'on peut calculer f par morceaux — entre 0 et e, puis entre e et 2e, puis entre 2e et 3e, etc. — en integrant, pour chaque intervalle, une equation differentielle; calculer f pour les premiers intervalles. Exercice 7.8 : ralentissement dans le cas d'une absorption constante On s'interesse au ralentissement dans un materiau pour lequel la probabilite d'absorption lors d'une collision, a(u) = Ea(u)/£f(u), est independante de la lethargie u; on suppose en outre que la loi de transfert en lethargie P(Au) n'est fonction que du gain de lethargie Au. a) Expliciter I'equation integrate regissant la densite de diffusion f(u) = Es(u) 4>(u). b) Montrer qu'en I'absence de source une solution (asymptotique) de la forme f(u) = Ae~mu apparatt (A et m etant des constantes). Expliciter I'equation donnant m. c) Montrer que, si a est petit, la solution de cette derniere peut approximativement s'ecrire :

ou P] et ?2 sont les moments d'ordre 1 et 2 de la loi de choc, generalement notes £ et 2yi;. d) Expliciter I'equation donnant m et les expressions de ^ et y pour un ralentissement elastique et isotrope dans le systeme du centre de masse par un materiau monoatomique. Exercice 7.9 : theorie de I 'age La theorie de I 'age, due a Enrico Fermi, permet de trailer le couplage espace-energie pendant le ralentissement des neutrons. Elle est basee sur deux approximations : 1) en ce qui concerne I'espace, I'approximation de la diffusion, 2) en ce qui concerne I'energie, le modele dit de Fermi, consistant a negliger les transitoires de Placzek. Les fonctions decrivant la population des neutrons, le flux entre (7.1) et (7.2) I'equation regissant Q. b) Etablir la solution p(u) (probabilite d'echapper a ('absorption entre la lethargic origine et la lethargic u) pour le cas ou les fonctions sont uniformes en espace et ou la source est S(u) (emission d'un neutron a la lethargie origine). c) On pose Q = pq (q : fonction de 7et de u) et on suppose que la source est de la forme 5(7) • 8(u) : etablir I'equation regissant q pour u ^ 0 et preciser la condition initiale. d) Simplifier I'equation en remplagant la lethargie par la variable :

appelee « age de Fermi ». Quelle est la dimension de cette variable? e) Etablir les noyaux de cette equation d'age (solutions en milieu infini et homogene pour les sources unites plan, fil et point). f) Etablir la condition critique d'une pile nue et homogene (distance d'extrapolation negligee) en theorie « age + diffusion » (age pour les neutrons epithermiques et diffusion (monocinetique) pour les neutrons thermiques); on negligera les fissions induites par neutrons epithermiques. g) Au centre d'une cellule carree reflechie sur ses quatre faces et contenant un materiau homogene, on place une source ponctuelle et monocinetique de neutrons rapides. En prenant I'energie de ces neutrons comme origine de I'age, determiner la repartition spatio-energetique q(x, y, t) des neutrons sous forme d'un developpement en fonctions propres du laplacien. Pour une cellule de 15 cm de cote et un age de 300 cm2 (valeurs representatives d'un reacteur a graphite et uranium naturel pour les neutrons en fin de ralentissement), montrer que cette repartition est pratiquement uniforme.

8

Absorption resonnante des neutrons (aspects physiques)

Exercice 8.1 : largeur des resonances selon leur energie On admet dans cet exercice que les resonances de Puranium 238 peuvent etre decrites par la loi de Breit et Wigner. On se propose de comparer la largeur des resonances au gain de lethargic par diffusion elastique selon la position du pic; pour simplifier, on suppose que les resonances comparees ont toutes les memes largeurs Fn et Fy. a) Largeur nucleaire : on caracterise la largeur (en lethargie) de la resonance par y = F/£0 et le transfert par diffusion par e. Comment varie avec EQ le rapport y/e? Application numerique : F = 30 meV : determiner les intervalles ou ce rapport est superieur a 5 (resonance large), compris entre 2 et 5 (resonance plutot large), compris entre 1/2 et 2 (resonance intermediaire), compris entre 1/5 et 1/2 (resonance plutot etroite) et inferieur a 1/5 (resonance etroite). b) Largeur pratique : reprendre I'etude en caracterisant la largeur de la resonance par y = Fp/fo ou la largeur pratique Fp est I'intervalle d'energie ou la section efficace resonnante depasse la section efficace potentielle. Application numerique : F = 30 meV; section efficace potentielle : ap = 10 barns; valeur de la section efficace resonnante au pic si celui-ci etait a 50 eV : 20000 barns. Exercice 8.2 : resonance en creneau Pour simplifier cet exercice, on suppose nulles la section efficace potentielle du noyau resonnant (ce qui revient a I'inclure dans la section efficace de dilution par les noyaux non resonnants) et la section efficace resonnante de diffusion. La section efficace de capture est prise nulle partout sauf dans un intervalle d'energie [£1, £2] ou elle prend une valeur constante ar. L'hypothese « resonance etroite » est faite pour les noyaux diluants caracterises par la section efficace de dilution cr^. a) Donner les expressions de I'integrale de resonance /r, / et x definies par :

et on pose a = XxA/ : ecrire les equations de I'effet xenon dans ces conditions (on supposera que Node 135 est directement forme par fission et on negligera la production directe par fission du xenon 135). On pourra, si on le souhaite, utiliser cette forme canonique pour les exercices qui concernent I'effet xenon parmi les suivants. Pour les applications numeriques, on pourra arrondir a. a 0,7 et prendre cp egal a 3a (ordre de grandeur pour les reacteurs a eau sous pression). Exercice 11.2 : resolution analytique des equations de I'effet xenon Expliciter ['evolution de I'iode et du xenon en fonction du temps : a) au demarrage, a flux constant, d'un reacteur ne contenant initialement ni iode ni xenon, b) apres un arret effectue a partir d'une situation d'equilibre. Exercice 1 1 .3 : trajectoires dans le plan iode-xenon On etudie ('evolution de I'iode et du xenon dans un diagramme ou la concentration d'iode est portee en abscisse et celle du xenon en ordonnee : a) Determiner le lieu des points representatifs des situations d'equilibre a flux constant. b) Etudier les courbes devolution a flux constant et notamment a flux nul. Exercice 11.4 : pourquoi un pic de xenon apres arret? Contrairement a une idee souvent enoncee, ('existence d'un pic de xenon apres un arret suivant un fonctionnement a I'equilibre n'est pas due au fait que la decroissance du

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Exercices de neutronique — Enonces

xenon est plus longue que celle de I'iode : etudier la concentration d'equilibre et le pic qui seraient observes si I'on echangeait les valeurs numeriques de X/ et de Xx; comparer au cas reel. Exercice 11.5 : resolution analytique des equations de I'effet samarium a) On demarre un reacteur ne contenant initialement ni prometheum 149, ni samarium 149, en maintenant le flux constant au cours du temps : au bout de quelle duree la concentration du samarium atteint-elle 90% de sa concentration d'equilibre? b) Apres un fonctionnement a I'equilibre, on arrete de fagon instantanee un reacteur : au bout de combien de temps le surcroTt de samarium atteint-il 90% de sa valeur finale? Donnees pour les applications numeriques : • Demie-vie du prometheum 149 : 53 heures. • Section efficace d'absorption neutronique du samarium 149 : 65000 barns. • Flux:2.10 13 n/(cm2.s). Exercice 11.6 : arret d'un reacteur a quantite de samarium constante Comment faire varier au cours du temps le flux d'un reacteur pour I'arreter en maintenant constante la concentration du samarium 149? Exercice 11.7 : instabilites spatiales dues a I'effet samarium On sait que des instabilites spatiales dues a I'effet xenon peuvent se developper dans les reacteurs de grandes dimensions, par exemple dans les reacteurs a eau sous pression. Une instabilite pourrait aussi provenir de I'effet samarium. On propose dans cet exercice une modelisation simple et on I'applique au cas du samarium. La meme modelisation est reprise dans I'exercice suivant pour le cas du xenon. On calcule le flux neutronique par la theorie a un groupe :

et on prend t egal a zero, puisque ce temps de vie des neutrons est extremement court devant les constantes de temps de I'effet d'empoisonnement par les produits de fission. La constante (3 est I'effet sur le facteur de multiplication infini d'une concentration unite de samarium 149. Cette concentration est calculee en ecrivant en chaque point du reacteur les equations devolution du prometheum 149 et du samarium 149. On suppose que le reacteur est homogene et entoure d'un reflecteur parfait. a) Expliciter les relations liant entre elles les valeurs a I'equilibre OQ, PO et SQ. Montrer qu'elles sont non seulement independantes du temps mais aussi de I'espace, avec les hypotheses adoptees. b) On pose O = O0 + (p et analogue pour P et 5 : expliciter les equations regissant cp, p et s; lineariser ces equations en y negligeant les termes de second ordre si par les probabilites pn que le neutron effectue exactement n parcours (voir I'exercice 3.1), en deduire e) Montrer que I'aire de diffusion L2 =< R > /6 s'ecrit sous la forme L2 = D/Ea avec D = 1 /(3Et/.) et Etr = Et —(lEs- (II est remarquable que cette aire de diffusion, calculee ici de fagon exacte, ne fasse intervenir que le premier moment |i de la loi de choc.) Exercice 14.5 : noyau integral en geometries a une et deux dimensions On rappelle que le noyau ponctuel de Poperateur de transport sous sa forme integrale (en emissions isotropes) est e~T/(4:n;/?2). a) En integrant ce noyau selon y et z (mais en recherchant d'autres variables d'integration pour simplifier les calculs) montrer qu'il devient Ei(t x )/2 pour une geometric qui se decrit avec la variable x seulement (geometric plane). Dans cette formule, T X est la projection du parcours optique i selon I'axe x. Rappel de la definition des fonctions exponentielles integrates :

14 - Equation de Boltzmann

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b) En integrant ce noyau selon z (mais en recherchant une autre variable d'integration pour simplifier les calculs) montrer qu'il devient /C/i(TXy)/(2itp) pour une geometric qui se decrit avec les variables x et y seulement. Dans cette formule, p est la projection sur le plan xy du parcours R du neutron et rxy la projection du parcours optique t sur ce plan. Rappel de la definition des fonctions de Bickley :

14.2 Traitement de I'energie et du temps Exercice 14.6 : theorie multigroupe et traitement de la derivee temporelle a) Dans une theorie multigroupe, on est amene a remplacer toute fonction de la lethargie telle que f(u) par une suite de valeurs discretes par groupe fg (qui peuvent s'interpreter comme des moyennes) et les integrates en lethargie par des sommes sur les groupes concernes. Par exemple, pour le probleme examine a I'exercice 7.8, I'equation integrate :

est remplacee par le systeme algebrique :

ou h est pris sur les groupes de I'intervalle [u - e, u] ; on supposera ici, pour simplifier, que le decoupage en groupes est regulier avec une largeur A = e/n en lethargie ou n est entier. La solution de ces equations est de la forme :

et:

En supposant pour simplifier que la probabilite P est constante dans I'intervalle [ U - E , U ] et egale a 1/e (approximation valable pour un noyau lourd), comparer m et m selon les valeurs de a et n. b) On considere I'equation differentielle :

68

Exercices de neutronique — Enonces

et les formes discretisees avec un pas de temps A suppose constant, soit :

soit:

Comparer, de meme, les solutions exacte et approximatives (on remarquera que ce sont des fonctions exponentielles). Outre sa symetrie, quel est I'interet de la deuxieme formule de discretisation?

14.3 Probabilites de collision Exercice 14.7 : theoreme de Cauchy Soit un corps quelconque convexe de volume V et de surface 5. En prenant un point au hasard sur la surface selon une distribution uniforme et en pointant une direction vers I'interieur selon une distribution isotrope, la moyenne de la corde X traversant ce corps est donnee par la formule < X >= 4V/S. Ce theoreme est du a Augustin Cauchy (1 789-1857). II est important en neutronique car la corde moyenne multiplies par la section efficace caracterise l'« opacite » d'un volume « vu » par des neutrons. Au chapitre 3 (exercice 3.7), nous avons vu une demonstration de ce theoreme faite par un raisonnement physique base sur un decompte de particules monocinetiques (par exemple des neutrons) distributes de fagon uniforme et isotrope dans tout Pespace. Nous en proposons ci-dessous une demonstration mathematique. a) Soit AB la corde et X sa longueur. Le point A est pris au hasard sur la surface de fac.on uniforme, c'est-a-dire proportionnellement a Pelement de surface c/25. La direction £2 de la corde est prise au hasard proportionnellement a d2£2 cos6 ou 9 est I'angle entre Q et la normale entrante (cette loi correspond a I'isotropie des directions au point A), en se limitant aux directions entrantes; on en deduit le point B. Preciser la loi de probabilite regissant le choix de la corde. b) Exprimer I'integrale double donnant la corde moyenne < X >. c) Montrer que I'integrale sur c/25 est egale au volume V. En deduire le theoreme de Cauchy. Exercice 14.8 : theoreme de reciprocity (et probabilites d'absorption) Dans I'exercice 8.3, une demonstration directe de la relation de reciprocite entre les probabilites /Vs et P$v a ete proposee. Cette relation peut aussi etre obtenue par un raisonnement physique qui s'apparente a celui de I'exercice 3.7. Le volume V (suppose homogene), de surface 5, est decoupe par la pensee dans un milieu homogene et infini constitue du materiau considere absorbant et diffusant. Une source de neutrons, uniforme, isotrope et d'intensite s, est disposee dans ce milieu de sorte qu'y regne un flux O egalement uniforme et isotrope. Les neutrons sont supposes avoir tous la meme vitesse v.

14 - Equation de Boltzmann

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a) Exprimer, en fonction de la source s et des sections efficaces caracterisant le milieu, le flux O, le nombre de neutrons /_ traversant par unite de temps et dans le sens oppose a la normale un element de surface d'aire unite et la densite d'emission Q = s + ESO. b) Combien de collisions de neutrons sont-elles observees dans V par unite de temps? c) En explicitant que ces collisions sont, d'une part, celles de neutrons emis ou diffuses dans V et qui y subissent leur premiere collision et, d'autre part, celles de neutrons entrant dans V par sa surface et qui y subissent une collision, expliciter la relation entre Pvs et PSVd) En deduire la relation de reciprocite entre PW et PSV. e) En reprenant le raisonnement avec non pas les collisions mais les absorptions, deduire la relation entre les probabilites d'absorption P^v et P*sv dans le volume V (sans en ressortir) respectivement pour un neutron emis de facon uniforme et isotrope dans V et un neutron entrant de fagon uniforme et isotrope par 5. Exercice 14.9 : moments de la corde Expliciter les integrales exprimant les moments < Xn > de la corde X (moyennes pour une entree uniforme et isotrope) et effectuer les calculs pour les premieres valeurs de n pour: a) une plaque infinie d'epaisseur 2a; b) un cylindre infini de rayon R; c) une sphere de rayon R. Exercice 14.10 : probabilites de collision pour une sphere a) Calculer la probabilite P$s pour une sphere homogene de rayon R. b) En deduire les probabilites PSV, PVS et PW Exercice 14.11 : probabilites de collision dans un damier On considere un « damier infini » constitue de deux types de cellules en alternance A et B. On designe par / ou / une zone des cellules A et par k ou I une zone des cellules B. En faisant I'hypothese d'uniformite et d'isotropie des courants de neutrons traversant ('interface A-B, calculer les probabilites de premiere collision P,y, P,*, Pki et P^. Quel est I'interet de cette approximation? Exercice 14.12 : calcul du facteur de desavantage On considere une cellule constituee de deux zones, une zone 1 formee de combustible et une zone 2 formee de moderateur. On veut calculer la probabilite f (facteur d'utilisation thermique) qu'un neutron emis de fagon uniforme et isotrope dans le moderateur soit finalement absorbe dans le combustible. a) En supposant que les neutrons sont monocinetiques et en explicitant les taux de collision dans chacune des deux zones, ecrire les deux equations donnant les flux 3>i et 4>2 en fonction des sections efficaces, des volumes et des probabilites de premiere collision P,y (/', j = 1 ou 2). b) Tirer de ces deux equations le facteur de desavantage O 2 /Oi et le facteur d'utilisation thermique f. (II est conseille d'utiliser les relations de conservation et de reciprocite pour ne conserver que la probabilite PH.)

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Exercices de neutronique — Enonces

c) On note Pn la probabilite qu'un neutron ne de fagon uniforme et isotrope dans un des elements de combustible subisse sa premiere collision dans cet element (done sans en sortir) et C (facteur de Dancoff) la probabilite qu'un neutron sortant d'un element de combustible de fagon isotrope et uniforme atteigne la surface d'un autre element de combustible sans choc intermedia!re dans le moderateur : en supposant I'uniformite et I'isotropie des courants de neutrons aux interfaces combustible-moderateur, exprimer Pn en fonction de ces deux probabilites et des caracteristiques physiques et geometriques de la cellule (on notera 5 I'aire de I'interface entre le combustible et le moderateur). d) La consultation de tables montrent que la valeur correcte de C pour des cellules de base carree est Cexact = 0,179 et que si I'on cylindrise ces cellules, ce facteur prend la valeur Ccy|jndre = 0,158. Sachant que f est de I'ordre de 0,94 et que 4\/2'£a2/S est de I'ordre de 0,015, evaluer I'erreur commise sur le facteur f par la cylindrisation. Cette erreur vous paratt-elle importante? Exercice 14.13 : calcul numerique des probabilites de collision La methode des probabilites de premiere collision introduit deux approximations qu'il convient de distinguer: • ('approximation dite de « flux plat» consistant a supposer que le flux (et les grandeurs liees : taux de reaction, sources...) est constant dans chaque volume elementaire (cette constante pouvant s'interpreter comme la valeur moyenne dans le volume); • I'approximation due a ['utilisation de formules de quadrature nurnerique pour le calcul des probabilites de premiere collision. Ces deux problemes sont illustres ici sur un exemple elementaire et fictif, celui de la migration de neutrons dans une geometric reellement a une dimension (disons, pour fixer les idees, ('equivalent d'une fibre optique). Si la «fibre » est homogene, si les chocs sont isotropes et si les neutrons sont monocinetiques, I'equation de Boltzmann se reduit ici a :

ou I'on a pose c = £ P r ' s ^ /^f comme unite de longueur. (On peut demontrer que, dans ce cas, I'equation de la diffusion devient rigoureuse; mais ici nous voulons examiner un traitement integral du type probabilites de collision.) a) On s'interesse au mode de relaxation O(x) = Ae~KX en I'absence de source : calculer la valeur exacte de la constante K. b) On decoupe I'axe x en intervalles de longueur h numerates par / ou / et on ecrit ('expression discretisee de I'equation considered ci-dessus :

Calculer les valeurs exactes des probabilites Py/, verifier que leur somme sur / est bien egale a un, montrer que la solution est de la forme / = /\e~ KX , ecrire I'equation donnant ic et montrer que :

14 - Equation de Boltzmann

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c) On remplace maintenant le calcul exact des probabilites par:

Reprendre le probleme precedent et montrer que par une heureuse compensation, I'erreur sur ic est plus faible que dans le cas precedent. (Cette compensation d'erreur n'est malheureusement qu'exceptionnelle!) Exercice 14.14 : approximations de Wigner, de Bell-Wigner et de Carlvik Hormis quelques exceptions telle celle de la sphere (exercice 14.10 ci-dessus), les formules donnant les probabilites de premiere collision sont le plus souvent compliquees et non analytiques. C'est la raison pour laquelle des approximations analytiques ont ete proposees. En voici trois exemples relatifs au cas du cylindre infini, geometric la plus usuelle des elements de combustible. a) On rappelle que la probabilite Pvv n'est fonction (pour une forme donnee) que de I'opacite co = S < X >, produit de la section efficace macroscopique totale par la corde moyenne. Quels sont les comportements de cette probabilite pour les faibles et les fortes opacites? (Pour les faibles opacites, revoir I'exercice 8.4; pour les fortes opacites, partir de P$s — 0, puis utiliser les relations de complementarite et de reciprocite.) b) Approximation de Wigner : elle s'explicite par:

Montrer qu'elle respecte le comportement asymptotique. c) Approximation de Bell-Wigner : elle generalise la precedente grace a un coefficient b qui peut etre different de 1 :

Quelle valeur de b adopter pour respecter le comportement a I'origine? Quelle valeur peut-on proposer pour les opacites ni tres faibles ni tres grandes? d) Approximation de Carlvik : elle generalise la precedente en utilisant non pas une mais deux fractions rationnelles :

Montrer que le jeu a = 2 ; ( 3 = 2 ; y = 1 ; 8 = 3 permet de respecter a la fois le comportement a I'origine et le comportement asymptotique. e) Comparer numeriquement ces diverses approximations aux valeurs exactes (tableau 3). TABLEAU 3. Table de la probabilite de premiere collision pour un cylindre infini.

w 0,04 0,08 0,2 0,4

P 0,02561 0,04967 0,11498 0,20697

to 0,6 0,8 1,2 2

P 0,28351 0,34838 0,45225 0,59285

fa> 3 4 5 10

P

0,69843 0,76355 0,80677 0,90077

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Exercices de neutronique — Enonces

14.4 Traitement de la forme integrodifferentielle Exercice 14.15 : inconnues du calcul « diamant » Pour les geometries ne dependant que de la variable x (symetrie plane) ou que de la variable r (symetrie spherique), ('equation du transport monocinetique ne fait intervenir qu'une seule variable angulaire, I'angle 9 entre la direction du neutron et, respectivement, I'axe x ou la direction r (ou le cosinus de cet angle, |i = cosO). En geometric plane, la seule derivee qui figure dans I'equation est par rapport a x. En geometric spherique, en revanche, une derivee par rapport a IJL apparatt aussi. Si le traitement est effectue par une technique d'« ordonnees discretes » en angle et de differences finies en espace, quelles sont les inconnues a introduire respectivement dans ces deux cas? Exercice 14.16 : maximum du pas en espace En geometric plane et pour des directions de neutrons caracterisees par une valeur donnee de |x, I'equation du transport s'ecrit :

ou S est la section efficace macroscopique totale. On considere ici la solution generale de ('equation sans second membre dans une zone homogene et pour une direction donnee, O(x, IJL) = C te e KX avec K = E/IJL. Dans un traitement par la methode des differences finies, I'equation (sans second membre) est remplacee par :

ou on a pose h = x/ - x/_i et 4>/ = 4>(x/, IJL). En supposant que le pas h est regulier, montrer que la solution reste du meme type, , = Cte eKlh avec ic au lieu de K. Comparer ces deux constantes ic et K. Quelle valeur de h ne faut-il certainement pas depasser? Pour un calcul d'une configuration homogene spherique par la methode SN et la theorie a un groupe, on adopte h = e|Xi/E ou [i] est la plus petite (en valeur absolue) des « ordonnees discretes », en choisissant e = 1 /1 0 : combien faut-il de mailles en espace? Application numerique : la configuration (solution aqueuse) a un volume de 50 litres; la section efficace macroscopique E est egale a 3 cm~1 ; comparer le nombre de mailles pour les calculs S4, SB et S16. Exercice 14.17 : probleme de Milne On s'interesse au probleme de Milne dans le cas le plus simple : • interface plane entre un milieu homogene a gauche et le vide a droite; • neutrons monocinetiques; • pas d'absorption ; • diffusion isotrope; • sources situees tres loin a gauche.

14 - Equation de Boltzmann

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a) Expliciter le systeme d'equations PN pour ce probleme. b) Examiner ^approximation P^; on comparera deux fagons d'approximer la condition a la limite 4>(0, (i) = 0 pour jx negatif, soit:

soit:

et on calculera la distance d'extrapolation dans chaque cas. c) Reprendre I'exercice en approximation PS. Exercice 14.18 : formulation paire-impaire de I'equation de Boltzmann a) Ecrire I'equation de Boltzmann sous sa forme integrodifferentielle dans les conditions suivantes : • regime stationnaire; • neutrons monocinetiques; • sources isotropes; • operateur d'advection explicite sous la forme • diffusion lineairement anisotrope, c'est-a-dire :

(Es0 est la section efficace de diffusion integree sur les angles et Ssi est le produit de Eso par le cosinus moyen de I'angle de diffusion.) b) On decompose le flux en phase O(r, fi) selon la somme de ses composantes paire \]/ et impaire x en Q, :

avec :

(Nous adoptons ici ces deux lettres \|/ et x qui rappellent la symetrie et I'antisymetrie; les notations O+ et ~ sont aussi utilisees.) En reportant dans I'equation de Boltzmann, expliciter, sous la forme de deux equations couplant \|; et x/ les parties paire et impaire en f2. c) On suppose (proviso!rement) que la diffusion est isotrope, c'est-a-dire que Ss1 est nul : en tirant x de la deuxieme equation et en reportant dans la premiere, ecrire I'equation regissant \|/ seulement.

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Exercices de neutronique — Enonces

d) Pour £2 fixe (par exemple dans le contexte d'un traitement par ordonnees discretes), comparer cette derniere a ('equation de la diffusion. e) Pour traiter la deuxieme equation pour Ss1 non nul, on fait I'hypothese « PI », c'esta-dire que I'on admet que x(// ^) peut etre ecrit approximativement sous la forme :

Calculer le vecteur u(7 ) a partir de cette deuxieme equation, puis expliciter la premiere en y reportant cette expression approximative de xf) Montrer que I'hypothese « PI » faite a la question precedente pour E5 et pour x peut n'etre, en realite, etre faite que pour Es seulement mais evitee pour x; en d'autres termes, on fait un traitement « BT » de la deuxieme equation : expliciter ce traitement et Pequation qui en resulte pour \Jf.

14.5 Mode fondamental Exercice 14.19 : fonctions propres elementaires du laplacien Si I'on combine avec le meme poids toutes les fonctions er'b -r correspondant a des vecteurs b dont I'extremite est situee : • en un point de la sphere de rayon b et ses sept syrnetriques par rapport aux plans de coordonnees, • sur deux paralleles syrnetriques par rapport a I'equateur, • sur tous les points de cette sphere, montrer qu'on obtient les fonctions propres de I'operateur laplacien s'annulant respectivement : a) sur les faces d'un parallelepipede rectangle, b) sur la surface d'un cylindre, c) sur la surface d'une sphere. Rappel :

Exercice 14.20 : coefficient de diffusion en mode fondamental Pour le mode fondamental en milieu homogene, c'est-a-dire une situation ou les flux et taux de reaction varient en espace proportionnellement a la fonction e~'6r, on constate que la loi de Pick est rigoureuse, c'est-a-dire qu'il y a proportionnalite entre le courant /(/) et le gradient du flux O(/) avec un coefficient de proportionnalite qui peut dependre de I'energie des neutrons mais non du point de I'espace; ce coefficient (au signe pres) est appele « coefficient de diffusion » ou « coefficient de fuite » selon qu'on I'associe a la migration des neutrons ou au bilan neutronique. Get exercice propose I'etude et le calcul de ce coefficient, en theorie monocinetique pour simplifier (('extension au cas polycinetique est possible).

14 - Equation de Boltzmann

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a) Le milieu etant isotrope, on peut placer le vecteur b dans n'importe quelle direction, par exemple selon I'axe x. Dans ces conditions, la source de fission et le flux en phase peuvent s'ecrire :

Expliciter I'equation regissant cp et Tintegrale donnant s a partir de (p(|x). b) On peut developper (p(|i) en polynomes de Legendre :

Montrer que le flux (integre) est 4>(x) = 2 (poe~'bx, done que la composante selon x de son gradient est —2/6(poe~' fax , que la composante selon x du courant (integre) est /x(x) = (2/3) cpi e~/bx, done finalement que la loi de Pick est effectivement verifiee avec :

c) Pour calculer cp0 et cpi, il faut reporter le developpement en polynomes de Legendre de 0) :

il faut calculer cette grandeur a partir de sa definition :

_2

Behrens a effectue le calcul de < R > en generalisant le raisonnement fait aux exercices 3.1 et 3.2 (les diffusions sont supposees isotropes) :

Pour calculer < p 2 >, il a distingue les neutrons effectuant un parcours ne traversant pas une cavite et ceux qui traversent une cavite (les parcours traversant plus d'une cavite sont supposes en nombre negligeable, ce qui est le cas dans un reseau d'un reacteur a graphite et uranium naturel). L'exercice ci-dessous reprend son raisonnement. a) En comptabilisant, pour une cellule et pour une unite de temps, le nombre de chocs et le nombre d'entrees dans une cavite, calculer la proportion y des parcours de neutrons traversant une cavite. b) Calculer < pm > et < p^ > pour un parcours ne traversant pas une cavite.

14 - Equation de Boltzmann

77

c) En distinguant les parties avant la cavite, dans la cavite et apres la cavite, le vecteur associe a un parcours de neutron traversant une cavite peut s'ecrire pmi + pc + pm2Les moyennes < pm2 > et < p^2 > sont evidemment egales aux moyennes < pm > et < p^ > calculees en b; pour une raison de symetrie par rapport a un retournement du sens d'ecoulement du temps, les moyennes < pml > et < p^ > sont egales aux moyennes < pm2 > et < p^2 >. Calculer < pc > et < p^ > en fonction des parametres 5 (surface), Vc (volume) et Q (parametre de forme; voir I'exercice 8.4); en deduire I'expression de la moyenne du carre d'un parcours traversant une cavite. d) En utilisant ces resultats, expliciter la formule du coefficient de diffusion. Mettre en evidence le rapport entre le coefficient de diffusion du reseau et celui du moderateur; montrer que ce rapport n'exprime pas une simple operation d'homogeneisation. e) Application numerique : reseau infini selon I'axe z comportant des cavites cylindriques de 10 cm de diametre dans des briques de graphite de section carree de 20 cm de cote (libre parcours des neutrons dans le graphite : 2,6 cm).

14.6 Methode de Monte-Carlo N.B. : dans les exercices qui suivent, £= designe la variable aleatoire suivant une loi uniforme dans I'intervalle [0,1 [. (En pratique, un tirage pseudo-aleatoire de cette variable peut etre effectue par les calculettes scientifiques et les programmes d'ordinateurs.) Exercice 14.22 : tirage selon la loi d'une puissance On effectue n tirages de % et on prend le maximum des n valeurs obtenues. Montrer que ce maximum est la variable aleatoire X regie par la loi de probabilite P(x) dx — nxn~1 dx dans I'intervalle [0,1 [. Comment deduire cette meme variable aleatoire X d'un seul tirage de ^. Quelle la meilleure fagon de generer X? Exercice 14.23 : tirage d'un point dans un cercle On souhaite placer au hasard et selon une probabilite uniforme un point dans un cercle de rayon unite. On effectue pour cela deux tirages ^ et ^ 2 a) On prend p = ^1 et (p = 211^2 : cela est-il correct? b) Sinon, comment deduire p et cp de ^1 et ^2 ? c) Une autre methode consiste a tirer les coordonnees cartesiennes en prenant:

et a retenir le tirage si x2 + y2 < 1 : cette methode est-elle correcte? Quel est le taux d'echec? d) Laquelle de ces trois methodes preconiseriez-vous? Exercice 14.24 : probleme de I'aiguille de Button On rappelle que I'experience de Buffon consiste a jeter une aiguille de longueur a sur un plancher forme de lattes de largeur 6 et d'observer si I'aiguille repose ou non sur une seule latte.

78

Exercices de neutronique — Enonces

a) En prenant a = b, calculer la probabilite que I'aiguille repose sur deux lattes. b) Si Ton repete I'experience n fois et si I'on compte les nombres d'evenements de chaque type (une seule latte ou deux lattes), avec quel ecart-type la valeur de TT est-elle estimee? Exercice 14.25 : evaluation d'une probabilite antitrappe a) Le ralentissement des neutrons se faisant dans un corps monoatomique par diffusions elastiques et isotropes dans le centre de masse, on s'interesse a la probabilite qu'un neutron emis a une energie elevee echappe a une «trappe noire » unique (('absorption est nulle en dehors de la trappe): donner rorganigramme d'un logiciel « Monte-Carlo » qui evaluerait la probabilite qu'un neutron echappe a cette trappe. b) Etablir ('expression analytique exacte de cette probabilite (question de cours).

1

^" •% \J

Theorie de I'absorption resonnante des neutrons

Exercice 15.1 : fonction de Bell dans I'approximation de Carlvik On rappelle (voir I'exercice 14.14) que Carlvik a propose d'approximer la probabilite de premiere collision pour un cylindre infini et isole par I'expression :

ou co est I'opacite, produit de la section efficace macroscopique totale par la corde moyenne (ici le diametre). Expliciter la fonction de Bell :

dans le cadre de cette approximation; comparer aux valeurs exactes (voir cet exercice 14.14 pour une table de la probabilite de premiere collision). Exercice 15.2 : etude de la section equivalents de dilution On s'interesse a I'autoprotection de I'uranium dans une cellule du type REP-UOX dont voici quelques caracteristiques : • Diametre de la pastille de combustible; 0,82 cm. • Concentration de I'uranium 235 : 0,75.1021 noyaux par cm3. • Concentration de I'uranium 238 : 22.1021 noyaux par cm3. • Concentration de I'oxygene dans le combustible : 45,5.1021 noyaux par cm3. • Sections efficaces potentielles de diffusion (en barns) : - uranium 235 : 13,8 - uranium 238 : 8,9 - oxygene : 3,76 • Facteur de Dancoff: 0,1.

80

Exercices de neutronique — Enonces

a) On suppose pour simplifier que la section efficace resonnante de I'uranium 238 vaut 200 barns dans les resonances et qu'elle est nulle ailleurs. Calculer I'opacite du combustible pour une energie de resonance de I'uranium 238 (pour I'uranium 235 et I'oxygene, adopter les sections efficaces potentielles). En deduire le facteur de Bell sans effet Dancoff, b+, grace a la table etablie a I'exercice precedent, puis le facteur de Bell avec effet Dancoff, b. b) Calculer les termes homogene et heterogene de la section efficace equivalente de dilution; pour le terme heterogene, comparer les valeurs sans et avec effet Dancoff. c) Reprendre I'exercice pour I'uranium 235 en adoptant une section efficace resonnante de 100 barns et commenter les differences. Exercice 15.3 : modele de ralentissement statistique Le modele statistique consiste a approximer I'operateur de ralentissement apparaissant dans ('equation de structure fine :

par la valeur moyenne du taux de diffusion :

supposee independante de la lethargie pour le groupe ou le domaine d'energie considere. En tirant

= 0 + cp et

0, les autres termes restant finis; b) /.| —> 0, les autres termes restant finis.

Examen de decembre 2001

129

3) Examiner comment varie M2 en fonction de la section efficace macroscopique d'absorption du deuxieme groupe, les coefficients de diffusion et les autres sections efficaces macroscopiques restant inchanges. 4) Donner, pour chaque cas, un exemple de situation physique ou I'hypothese peut etre faite.

TROISIEME PROBLEME : Efficacite d'un absorbant On considere un reacteur « plaque » infini selon les axes y et z et symetrique par rapport au plan x = 0. Entre les abscisses x = — a et x = +a, se trouve un cceur homogene forme d'un melange d'uranium 235 et d'eau. Au-dela, de part et d'autre et jusqu'a I'infini, se trouve un reflecteur d'eau pure. La neutronique est traitee par la theorie « un groupe - diffusion » en supposant que le coefficient de diffusion D et I'aire de migration M2 sont les memes dans les deux milieux. En notant /c^ le facteur de multiplication infini du milieu cceur, on pourra poser:

1) Expliciter la condition critique du reacteur et le flux O(x) qui y regne. (On pourra prendre A = O(0) comme constante de normalisation.) 2) En prenant M2 = 25 cm2 et en supposant que ^a est egal a rc/3, calculer a et /vx>. 3) Avec les donnees nucleaires indiquees ci-dessous, determiner le rapport de concentrations Neau/Wuranium donnant cette valeur de koo. En deduire la masse d'uranium par kg d'eau. Donnees nucleaires : • Uranium (par atome) : aa = 680 b; r\ = 2. • Eau (par molecule) : aa = 0,6 b. 4) Au melange ainsi defini, on ajoute uniformement du bore a raison de 10 ppm en masse par rapport a I'eau (on admet que les concentrations volumiques de I'eau et de I'uranium ne changent pas). Sachant que la section efficace microscopique d'absorption du bore est 760 b, calculer la diminution relative de /c^ qui en resulte. (Rappel: masse atomique du bore : 10,8.) 5) On peut admettre (dans le cadre de la theorie neutronique adoptee) que I'effet en reactivite d'un atome de bore est proportionnel au carre du flux au point ou il est mis. Avec cette hypothese, comparer a I'effet en reactivite precedent celui qu'on obtiendrait en plagant la meme quantite de bore : a) au voisinage du centre du cceur; b) au voisinage de ('interface cceur-reflecteur. 6) Partant d'une situation critique, on place — instantanement — la quantite de bore considered ci-dessus, soit au centre, soit a ['interface cceur-reflecteur : au bout de combien de temps, respectivement, le flux aura-t-il chute a 5% de sa valeur initiale? (On fera Devaluation en utilisant le modele de cinetique ponctuelle a un groupe de neutrons retardes, avec £ = 650 pcm et 1 /X = 11 s.)

130

Exercices de neutronique — Enonces

7) Le bore considere a la cinquieme question est place sous la forme d'une plaque (cas a) ou de deux plaques de meme epaisseur (cas b) contenant 1023 atomes par cm3. Evaluer les « epaisseurs optiques » de ces plaques de bore. Faut-il, a votre avis, tenir compte de I'autoprotection dans ces plaques?

Annexes A. Unites et constantes physiques fondamentales (Extraits du Handbook of Chemistry and Physics, 81st Ed., CRC Press, 2000.) • Unite de surface (barn): 1 b = 10~28 m 2 . • Unite de masse atomique : 1 u = 1,660 539.10~ 27 kg. (Rappel : 12,C = 12.) • Unite d'energie (electronvolt) : 1 eV = 1,602 176 5.10"19 J. • Vitesse de la lumiere : c = 299 792 458 m/s. • Equivalence masse-energie : 1 u = 931,4940 MeV. • Masse de ('electron : 0,0005485799 u = 0,511 MeV. • Masse du proton : 1,0072765 u = 938,282 MeV. • Masse du neutron : 1,0086649 u = 939,565 MeV. • Charge electrique elementaire : e = 1,602 1765.10~ 19 C. • Constante de Planck : h = 6,626 068.10~34 J.s. • Nombre d'Avogadro : N = 6,022 142.1023 mol"1. • Constante de Boltzmann : k = 1,380 650.10~23 J/K. • Zeroabsolu : -273,15 °C. B. Extrait d'une table de masses atomiques (en u) TABLEAU 8. Extraits de revaluation de A. H. Wapstra et G. Audi, Nucl. Phys., A432, 1,1985. Symbole

Symbole

Z

H

I 1

A 1

Masse atomique 1,007825

B

5

A 8

Masse atomique 8,024606

H

1

2

2,014102

B

5

9

9,013329

H

1

3

3,016049

B

5

10

10,012937

He

2

3

3,016029

B

5

11

11,009305

He

2

4

4,002603

B

5

12

12,014353

Li

3

6

6,015121

B

5

13

13,017780

Li

3

7

7,016003

C

6

9

9,031039

Li

3

8

8,022486

C

6

10

10,016856

Be

4

7

7,016928

C

6

11

11,011433

Be

4

8

8,005305

C

6

12

12,000000

Be

4

9

9,012182

C

6

13

13,003355

Be

4

10

10,013534

C

6

14

14,003242

Be

4

11

11,021658

C

6

15

15,010599

Examen de mars 2002 PREMIER PROBLEME : Resonance en « creneau» On s'interesse a I'equation de structure fine relative a un materiau resonnant:

avec : • ad = Cte : section efficace de dilution ; • a(u) : section efficace totale des noyaux resonnants; • cp(u) : structure fine; • r : operateur de ralentissement par le noyau resonnant:

• as(u) : section efficace de diffusion par un noyau resonnant; • P(u -> u) : loi de transfert en lethargic lors d'une diffusion par un noyau resonnant; on prendra, pour simplifier:

• e : gain maximum de lethargic lors d'une dittusion par un noyau resonnant. On s'interesse a une resonance schematisee par un « creneau » de largeur y en lethargic (avec y < e) : • pour 0 < u < y :

ou as,res, aa,res et crp sont des constantes; • en dehors de cet interval le :

132

Exercices de neutronique — Enonces

1) Montrer que pour un choc elastique et isotrope dans le centre de masse la loi de transfer! en lethargic est, approximativement, celle qui est indiquee ci-dessus, si le noyau-cible est nettement plus lourd que le neutron. 2) Montrer que pour u negatif, =< X > /v. e) Le theoreme de Cauchy s'obtient en egalant les deux expressions. Ce theoreme suppose que les particules entrent de fagon uniforme et isotrope, c'est-a-dire en definissant la corde X : • en choisissant un point d'entree uniformement sur toute la surface 5; • en choisissant une direction d'entree de fac,on isotrope sur les 2n steradians. Exercice 3.8 : etude de quelques distributions en phase a) Sur la figure 5, ou ('element de surface dS est represente en coupe sous forme du segment AB, on voit a ('evidence que le courant traversant dS est independent de x, puisqu'il n'y a pas de matiere pour arreter les neutrons; les neutrons emis dans la

Figure 5

166

Exercices de neutronique — Solutions

direction & par ('element de source dSf (decale dans la direction -£2 par rapport a dS et represente par A'B') vont traverser c/5 : par unite de temps et par unite d'angle solide, il y en a (E/4-n) dS. En identifiant a

, on voit que :

i

Noter que ce flux en phase en 1/|i (avec |x = cos0 = fi.N) devient infini dans les directions tangentielles au plan source; le flux scalaire est lui-meme infini. (Cela ne serait plus le cas, en dehors du plan source, si Ton plac,ait de la matiere : le flux sans choc serait ('expression precedente multipliee par le facteur d'attenuation exp(-Sx/jji).) b) Pour la source ponctuelle, les neutrons traversent c/5 uniquement dans le sens du vecteur u = r/r. On a alors :

Figure 6

Ces deux distributions en phase sont tres anisotropes, I'isotropie correspond a un flux en phase independant de Q. (Remarquer que, dans le premier cas, c'est le courant qui est independant de £5.) Exercice 3.9 : etude du spectre de fission En normalisant le spectre de fission, on calcule :

ou 0 est la fonction erreur. Valeurs numeriques de cette integrale / : a ) E = 0,8MeV x2 = 0,6 / = 0,24669 1 - / = 0,75331; b)f=10MeV

x2 = 7,5 / = 0,99818 1 - / = 0,00182.

3 - Introduction a la neutronique

167

Exercice 3.10 : activation neutronique a) En designant par 5 et P les concentrations, les equations s'ecrivent:

On resout en reportant dans I'une des equations :

et il vient:

Comme 0O est tres petit devant X, on peut ecrire :

b) On atteint 90% de la valeur asymptotique lorsque e~xt = 0,1, soit a t = 47,5 jours.

Cinetique ponctuelle Exercice 4.1 : calcul au premier ordre du temps de doublement Si le temps de vie est pris egal a zero, les valeurs premier ordre oo^) et exacte ooex de la pulsation sont respectivement:

Le tableau 15 donne quelques valeurs numeriques de 7 = In 2/ | co |. TABLEAU 15

Reacteur a uranium Exact

Reacteur a plutonium

p {pern)

C^-Ire 1

Ord*et

fxact

-200

26,6

34,5

8,78

16,6

-150

35,4

43,3

11,7

19,5

-100

53,2

61,1

17,6

25,4

-50

106

114

35,1

43,0

-10

532

540

176

183

+ 10

532

524

176

168

+50

106

98,6

35,1

27,3

+100

53,2

45,4

17,6

9,72

+150

35,4

27,6

11,7

3,87

+200

26,6

18,8

8,78

0,0940

Exercice 4.2 : elimination des concentrations de precurseurs Les equations initiales sont:

4 - Cinetique ponctuelle

169

Derivons la premiere equation et ecrivons la somme des deux equations :

En eliminant dc/dt, il vient:

Si p est independent du temps, on peut chercher une solution de la forme ae wf : on retrouve ainsi evidemment I'equation de Nordheim. Dans le cas a g groupes de neutrons retardes, il faudrait retrouver, si la reactivite est constante, une equation de Nordheim sous la forme d'un polynome de degre g + 1 egal a zero (ce polynome est obtenu en reduisant au meme denominateur I'equation sous sa forme usuelle) : on doit done s'attendre a ce que I'equation de n soit une equation differentielle d'ordre g + 1... done compliquee ! Exercice 4.3 : creneau de reactivite devolution du precurseur est decrite par une fonction continue : • t< 0:

c = CQ ;

• 0 80 secondes :

• Si X «; oo «; p/£, c'est-a-dire 0,02 seconde FQ) si les expressions entre crochets sont positives : c'est le cas pour la premiere si X est situe en dehors de I'intervalle [0,890; 1,271] entre les zeros, et pour la seconde si X se trouve dans I'intervalle [—1,504; +1,504] entre les zeros. Comme X est positif, on conclut: • Si X < 0,890 : le cas 0 est optimum. • Si 0,890 < X < 1,271 : ('optimum est a rechercher parmi les cas 1. • Si 1,271 < X < 1,504 : le cas 0 est optimum. • Si X > 1,504 : I'optimum est a rechercher parmi les cas 2.

6 - Theorie a un groupe - diffusion

183

Void, a titre indicatif, quelques resultats (calculs exacts) illustrant ces quatre cas, tous obtenus avec u = 0,25 : TABLEAU 19

X

1/3

|

1/2

1

3/4

2

4/3

a

3/4

2/3

4/7

1/2

3/7

1/3

p

1/4

1/3

3/7

1/2

_4/7

2/3

F0

1,0999

1,1378

1,1845

1,2220

1,2621

1,3197

FI

1,1042

1,1401

1,1849

1,2217

1,2623

1,3244

F2

1,1178

1,1539

1,1972

1,2312

1,2663

1,3141

N.B. : en pratique, c'est le facteur de forme sur la puissance et non sur le flux qui est examine; la discussion est alors plus compliquee car le rapport puissance/flux n'est pas le meme dans les deux zones et, de plus, depend des k^. Exercice 6.6 : economic de reflecteur Posons :

Les formules donnant I'economie de reflecteur 5 sont: Pile plane :

Pile cylindrique :

Pile spherique :

Exercice 6.7 : piles reflechies Posons :

Les formules sont les suivantes avec D = Dcoeur ' a) Plaque :

b) Cylindre :

184

Exercices de neutronique — Solutions

c) Sphere :

On verifie dans les trois cas que xa ou x/? tend vers 0 et que F tend vers 1 si p tend vers 1. Exercice 6.8 : pile a puissance uniforme Le rayon R peut etre choisi. La loi de concentration doit alors etre :

ou Eam et K 2 = ^am/D caracterisent le moderateur. Exercice 6.9 : piles multicouches Posons :

et : u — valeur de t en a; v = valeur de t en b; f(t) et g(0 : solutions particulieres de ('equation du flux. Les matrices de passage de a a b s'ecrivent:

avec :

Pour la premiere couche (courant nul a Torigine pour des raisons de symetrie), il faut ecrire : avec : si I'on a choisi comme fonction f la solution presentant une derivee nulle a I'origine. Pour les differentes geometries et selon le signe de koo — 1 : Plaque; k^ > 1 :

6 - Theorie a un groups - diffusion

185

Plaque; k^ < 1 :

Cylindre; A^ > 1 :

Cylindre; k^ 1 :

Cf

Sphere; /c^ < 1 :

Exercice 6.10 : effet d'un petit absorbent a) En geometrie spherique :

b) Condition critique :

d'ou :

c) Integrale du flux :

avec :

186

Exercices de neutronique — Solutions

En se limitant au premier ordre :

Fuite totale par la surface exterieure :

Fuite totale par la surface de I'absorbant:

D'ou le bilan : Productions :

Absorptions :

Fuites :

Soit, pour les termes principaux :

et, pour les termes du premier ordre :

ce qui confirme le resultat obtenu en b. La premiere contribution vient de I'absorbant (fuites internes) et la seconde des fuites vers I'exterieur : ces deux effets apportent chacun la meme contribution a I'effet en reactivite. d) En ecrivant:

on trouve :

e) En geometries cylindrique et plane, les formules sont moins simples; en particulier, on ne trouve plus I'egalite entre I'effet des fuites internes et celui des fuites externes. Exercice 6.11 : basculement de la distribution de puissance a) Le flux est plat en zone centrale et suit une demi-arche de sinus dans chacune des zones externes. La condition critique est Xs£> = rc/2.

6 - Theorie a un groupe - diffusion

187

b) Le flux est lineaire en zone centrale :

et se prolonge par des arcs de sinus dans les zones externes :

La continuite des fonctions et derivees donne la condition critique :

(en supposant les deux k^ superieurs a 1); d'ou :

Variante d'ecriture :

c) « Facteur de basculement» :

d) Par developpement limite, on trouve :

avec :

et:

e) Pour le calcul de ce dernier rapport, il vaut mieux conserver la formule exacte :

car le coefficient devant u est tres grand : TABLEAU 20

p(pan)

u

X/t*.

100

-0,0150

1,105

250

-0,0375

1,318

500

-0,0750

1,979

750

-0,1125

4,179

188

Exercices de neutronique — Solutions

Exercice 6.12 : propagation d'une onde a) L'equation a resoudre est:

En ce qui concerne I'espace, le flux ne depend que de la distance r au point source. Posons : ou

b = 1,43%; • 0 = 1015 n/(cm 2 .s)=>6 = 12,64%. Pour des flux de I'ordre de 1015 n/(cm2.s) ou plus, cette perte devient appreciable. Exercice 12.3 : effet de surcroTt d'uranium 233 a) A I'equilibre (voir I'exercice precedent) :

Apres I'arret du reacteur, ces deux nucleides se transformeront en uranium 233 : AA/23 = N03 + NT 3 (en pratique, la concentration du thorium 233 est negligeable devant celle du protactinium 233). En derivant I'expression du facteur de reproduction :

il vient:

Applications numeriques : r) = 1,628 et: . AN23/N23 =0,08%; ATJ/TI = 2 4 p c m ; • O = 1Q13 n/(cm2.s) => AN23/N23 = 0,80%; ATI/TI = 235 pern; • 4> = 1014 n/(cm2.s) ==> AN23/N23 = 7,94%; ATI/TI = 2318pcm; • d> = 1015 n/(cm2.s) =» AN23/N23 = 70,3%; ATI/TI =20544 pern. (Pour ce dernier exemple, le calcul au premier ordre ne suffit evidemment pas.) Remarque : il y a aussi une augmentation de T] due a la disparition de la capture par le protactinium 233 :

Ce deuxieme effet represente 18% du premier : pour les applications numeriques precedentes, il faudrait multiplier par 1,18 les effets en reactivite. b) Pour le cycle uranium-plutonium, I'effet de surcroTt est:

Application numerique : r\ = 1,861 et: • = 1012 n/(cm2.s) => ATI/TI = 0,4 pcm; • ATI/TI = 3,9 pcm; • d> = 1014 n/(cm2.s) => ATI/TI = 39 pcm; • • ATI/TI = 386 pcm. Pour les niveaux de flux usuels, I'effet est negligeable.

212

Exercices de neutronique — Solutions

c) Pour un flux O egal a 2.1013 n/(cm2.s) (ordre de grandeur du REP), I'effet samarium est de I'ordre de —250 pcm. Sa cinetique est voisine de celle de I'effet du plutonium, alors que celle de I'uranium 233 est plus de dix fois plus longue : • Effet uranium 233 (27 jours) : 1,18 x 469 = 553 pcm; • Effet plutonium 239 (2,1 jours) : 77 pcm; • Effet samarium 149 (2,2 jours) : —250 pcm. Exercice 12.4 : compositions d'equilibre a) II suffit d'annuler, dans les equations devolution du plutonium, les derivees des concentrations par rapport au temps (ou a la fluence) pour obtenir les concentrations d'equilibre. b) Celles-ci se calculent de proche en proche :

Application numerique : Npu/(Nu + Npu) = 5,1 %; composition isotopique du plutonium : • Plutonium 239 : 25 %. • Plutonium 240 : 25 %. • Plutonium 241 : 5%. • Plutonium 242 : 50 %. c) Le facteur de multiplication infini s'exprime uniquement en fonction des rapports T] = vaf/oa et y = ac/aa caracterisant les noyaux du combustible et du facteur f = 1/1,05 caracterisant les captures dans les autres materiaux :

Application numerique : /CQO = 1,031. d) Cette valeur est malheureusement trop faible pour compenser les fuites (environ 3 000 pcm) et surtout I'empoisonnement par les produits de fission (environ 10 000 pcm en moyenne cceur en fin de cycle) : on ne peut done pas travailler a combustible constant. II faudrait, en outre, etudier les coefficients de temperature dans une telle configuration tres chargee en isotopes pairs du plutonium.

12 - Evolution du combustible (noyaux lourds)

213

e) Pour le cycle thorium 232-uranium 233, on trouve dans les memes hypotheses (noter que le rapport ac3/aa3 n'intervient pas si on neglige les produits formes par capture neutronique par ['uranium 233) :

et:

Application numerique : Nu/(NTh + NU) = 3,2%; k^ = 1,095. Cette derniere valeur est plus elevee que celle obtenue avec le cycle uranium-plutonium et presque suffisante pour compenser les fuites et les produits de fission. On peut en tout cas s'attendre a ce que la perte de reactivite en evolution dans un reacteur a thorium 232-uranium 233 soit assez faible. (Cela a, par exemple, ete souligne par Carlo Rubbia dans son projet d'amplificateur d'energie de 1995.) Exercice 12.5 : Derivee a I'origine du facteur de reproduction a) En differential la formule de r\ autour du point origine (sans plutonium) et en notant que, par definition, ANg = —C ANs, on trouve :

avec :

Si I'on admet que r]g ~ r\s, la formule se simplifie :

Comme la section efficace d'absorption du plutonium 239 depasse celle de I'uranium 235, cette derivee est positive des que C depasse a a 5/a a g — 2/3, c'esta-dire meme dans un systeme sous-generateur. Par exemple, en prenant C egal a 0,85 (ordre de grandeur pour les reacteurs de la filiere UNGG), on trouve 1/(a a5 s).(Ari/Ti)= 0,093. b) Dans les reacteurs a eau, on est au-dessous de cette limite pour C et la derivee est negative : par exemple, 1 /(aas s).(Ar|/Ti) = —0,01 7 pour C = 0,6. Remarques : en rnultipliant les expressions precedentes par la teneur e en isotope 235 de I'uranium, on obtient, a un facteur pres, les derivees non pas par rapport a la fluence s mais par rapport a la combustion massique t; pour les deux exemples precedents, on calcule, dans ces conditions, respectivement 0,00067 et -0,00063 : les valeurs absolues sont pratiquement les memes. Noter que pour avoir la derivee du facteur de multiplication, il faudrait aussi prendre en compte la variation du facteur d'utilisation thermique et, surtout, I'empoisonnement par les produits de fission.

214

Exercices de neutronique — Solutions

Exercice 12.6 : temps de doublement d'une filiere surgeneratrice a) Le modele propose conduit a :

d'ou:

Le temps de doublement est:

b) Si I'on introduit le delai d, I'equation differentielle doit etre ecrite :

La solution est encore une exponentielle :

avec :

Le temps de doublement est:

Application numerique : 1/ot0 = 50 ans et D0 = 34,7 ans; 1/a = 54,8 ans et D = 38,0 ans. Exercice 12.7 : utilisation d'une matiere fertile a) Pour une unite de masse de matiere, la quantite tp est fissionnee et on obtient en fin d'irradiation la quantite t(1 - p + Cp) de matiere fissile et la quantite 1 — t - tCp de matiere fertile. On peut recycler la matiere fissile : en I'utilisant completement, on peut faire, a partir du retraitement d'un assemblage, x nouveaux assemblages, ou x est tel que :

(bilan de la matiere fissile). Pour faire ces x assemblages, on reprend la quantite x(1 — t) de matiere fertile parmi celle qui provient du retraitement et, par consequent, le reste, soitp(1 - t — C) n'est pas utilise (ce reste est positif, sauf si C est tres proche de 1, car t est faible en pratique : c'est la teneur en isotope 235 de ('uranium extrait des mines). Si le recyclage est repete indefiniment, on pourra fabriquer:

assemblages au lieu d'un seul en « cycle ouvert». La quantite de matiere initiale qui sera finalement fissionnee sera :

au lieu de tp en « cycle ouvert».

12 - Evolution du combustible (noyaux lourds)

215

• Pour la filiere REP : respectivement 1,6 % et 0,48 % (g = 3,3). • Pour la filiere UNGG : respectivement 4,8 % et 0,48 % (g = 10). b) Si le reacteur est surgenerateur, il produit lors d'une irradiation plus de matiere fissile qu'il n'en aura besoin pour le cycle suivant (I'excedent t(1 — p + Cp) — t = t(C — 1)p pourra etre « vendu » a I'exterieur ou utilise pour accrottre la capacite du pare : voir I'exercice precedent). Si I'on recycle au maximum la matiere fertile, on pourra faire, a partir du retraitement d'un assemblage, x nouveaux assemblages, ou x est tel que la matiere fertile dechargee d'un assemblage est la matiere fertile chargee dans x assemblages neufs :

Au lieu d'un seul en « cycle ouvert », le nombre total d'assemblages qu'on fera finalement sera :

• Exemple 1 : x = 0,9952 etg = 207. • Exemple 2 : x = 0,8824 et g = 8,5. Pour evaluer la duree de consommation de toute la matiere, on peut admettre qu'elle est finalement totalement fissionnee a raison de la quantite tp par cycle. Le nombre n de cycles est de I'ordre de 1 /tp et la duree D de I'ordre de nT. • Exemple 1 : n = 208 et D = 2 080 ans. • Exemple 2 : n = 10 et D = 100 ans.

1

^ \^

Effets de temperature

Exercice 13.1 : variation du coefficient Doppler avec la temperature Le coefficient de temperature a est inversement proportionnel a la racine carree de la temperature absolue : • 7 = 293 K =>• a = -4,4 pcm/K; • T = 573 K =^ a = -3,1 pcm/K; • T = 900 K => a = -2,5 pcm/K. Exercice 13.2 : stabilite d'un reacteur a) La loi proposee explicite le coefficient de temperature negatif avec les relations de proportionnalite adoptees. b) En reportant dans ('equation de la cinetique lente :

il vient:

c) En integrant:

Cette expression permet de tracer les courbes d'evolution a partir de la valeur N(0) placee a I'abscisse t = 0. Quel que soit le choix de N(0), on constate que ces courses tendent vers I'asymptote horizontale d'ordonnee N0 (correspondant a la reactivite nulle). d) En remplagant p — p par p, il vient:,

13 - Effete de temperature

217

d'ou :

avec :

e) On trouve t = 10,6 secondes : ^approximation de cinetique lente peut effectivement etre faite. Exercice 13.3 : accident de reactivite a) Dans le modele de la cinetique ponctuelle et en negligeant le terme des neutrons retardes, I'equation des neutrons se reduit a :

On peut y remplacer N par P si I'on admet que ces deux grandeurs sont proportionnelles. b) Toute I'energie produite sert a echauffer le combustible :

c) En reportant dans I'equation de Pet en remplagant p-p par r—aQ, on obtient I'equation differentielle :

En remplagant la fonction inconnue 0 par h :

d) Une premiere integration est immediate :

soit, avec la notation proposee pour la constante d'integration :

e) On remarque que les variables se separent, ce qui permet d'integrer une deuxieme fois :

218

Exerclces de neutronique — Solutions

f) En revenant a la puissance par dh/dt = P/(mQ, on obtient :

Pour t = to, cela donne :

d'ou:

et, en reutilisant 0 = r/a. + h :

g) En prenant, dans cette derniere expression, 0 nul a I'instant t,, on calcule la tangente hyperbolique a cet instant; en reportant dans ('expression de P prise a I'instant t/, il vient (compte tenu de I'identite rappelee) :

d'ou : soit, si I'on suppose que P0 est tres grand devant P, (Po ~ (mCr2)/(2£a) et Argch x ~ In2x):

h) La puissance augmente de I'instant initial t/ jusqu'a I'instant to ou elle atteint PO et ou la reactivite « prompte » s'annule. La puissance decroTt ensuite selon une courbe symetrique de celle de la croissance. L'elevation de temperature, elle, suit une courbe antisymetrique par rapport a I'instant f 0 - Si la puissance initiale est faible, ces courbes sont decrites depuis un point situe loin a gauche, pratiquement sur ('asymptote. Dans ces conditions, la moitie de ('elevation de temperature a lieu pendant la croissance de la puissance et I'autre moitie pendant la decroissance. i) En supposant que la puissance initiale est faible, on a :

Le laps de temps entre I'instant initial t, et celui du pic to est d'autant plus long que la puissance initiale est faible. Plus significative est la constante de temps qui apparatt dans ('argument des fonctions hyperboliques :

et qui peut caracteriser la duree du « flash ».

13 - Effets de temperature

219

Application numerique : • P0 = 58GW;

• 00 = 36 0 C;e oo = 72°C; • t = 15 ms; • to - tj = 6,2t = 95 ms. La puissance au pic est gigantesque, mais comme le « flash » est tres court, I'elevation de temperature est modeste et les consequences de I'accident sont minimes, au moins pour cet exemple. Exercice 13.4 : condition pour un coefficient de dilatation negatif En designant par p la densite d'eau, les coefficients de temperature sont respectivement:

et la condition pour que le coefficient global soit negatif est:

puisque la derivee de p est elle-meme negative. Cette plerivee n'intervient pas car elle est en facteur pour chaque composante. a) Avec les valeurs proposees, cette condition est remplie. b) Le bore affecte le facteur f. La valeur limite de ee facteur (0,752)^51 atteinte pour environ 2 300 ppm de bore., Exercice 13.5 : effet de dilatation sur les fuites On peut ecrire :

Avec les hypotheses faites, chacun des deux termes est egal, en valeur absolue, aux deux tiers de la variation de la densite d'eau p :

d'ou:

a) Reacteur de puissance : -1,33 x 0,029 x 250 = -9,7 pcm/K. b) Experience critique : —1,33 x 0,231 x 50 = -15,4 pcm/K.

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Partie II

ELEMENTS SUR LES CALCULS DE NEUTRONIQUE

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1

A /•

Equation

^m

de Boltzmann

14.1 Etude de ('equation de Boltzmann Exercice 14.1 : equivalence des deux formes de I'operateur de transport a) La forme integrate de I'operateur de transport s'ecrit:

avec :

L'integrale exprimant O explicite le parcours sans choc sur une distance 5 des neutrons de vitesse v et de direction Q depuis le point d'emission jusqu'au point ou est considere le flux : Q est la densite d'emission; e~T est la probabilite que le neutron fasse le parcours sans choc; I'integrale additionne toutes les contributions possibles. b) Pour expliciter un deplacement dans la direction & du point ou est exprime le flux, il est plus commode de fixer un point sur la droite de parcours des neutrons pour definir I'origine de I'abscisse s (pas forcement la position ou est considere le flux) et de re-ecrire ces formules dans ces conditions en plagant ('observation du flux a I'abscisse s :

avec :

Pour eviter les confusions, s (integrale exprimant I'operateur de transport) a ete remplace par 5' et 5' (integrale exprimant le parcours optique) par s".

224

Exercices de neutronique — Solutions

c) II suffit alors de differentier par rapport a s pour toutes les apparitions de ce parametre :

Dans le troisieme terme, I'exponentielle est a prendre pour T = 0 et n'a done pas ete ecrite. Pour le quatrieme terme, ds £ peut sortir de I'integrale; on reconnatt alors dans cette derniere ('expression du flux O. Finalement, en simplifiant par ds, en changeant les signes et en prenant 5 = 0, I'equation s'ecrit:

On reconnaTt I'expression differentielle de I'operateur de transport. Rappel :

Figure 7

d) Les deux termes de gauche expriment la difference entre deux decomptes en deux points separes de £!c/s (voir la figure 7) : ce sont presque les memes neutrons qui sont comptabilises — mais en deux points distants de ds et en deux instants decales de ds/v —, sauf — ce qu'expriment les termes de droite — : • les neutrons emis le long du petit segment de droite joignant les deux points, vus par l'« observateur» en aval mais non par l'« observateur» en amont; • les neutrons subissant un choc quelque part sur ce petit segment, vus par l'« observateur » en amont mais non par l'« observateur» en aval. Exercice 14.2 : solution exacte en ('absence d'absorption L'equation a resoudre s'ecrit:

14 - Equation de Boltzmann

225

Une solution lineal re en x et en |x apparait:

ou A et a sont des constantes quelconques et Etr = £ — |IEs la section efficace de transport (ici, Ss = £). II est remarquable que seuls les moments d'ordre 0 et 1 de la loi de diffusion interviennent. Exercice 14.3 : longueur de relaxation a) [.'equation a resoudre est la meme qu'a I'exercice precedent (mais avec Es ^ £). Une solution factorisee $>(x, JJL) = cp(|x) e~KX apparaTt avec :

b) Si la diffusion est isotrope :

En divisant par £ - K|X, puis en integrant sur IJL, on obtient en notant / I'integrale de (p(|i) :

d'ou, en simplifiant par /, ['equation donnant K :

c) Sous sa forme integrale et pour ce probleme, I'equation s'ecrit:

avec :

(Pour I'etablissement de cette forme, voir I'exercice 14.5 ci-dessous.) En remplagant 4>(x) par /4e~ KX , puis en simplifiant par Ae~KX, on trouve I'equation donnant K. Si I'on calcule les integrales doubles en integrant d'abord sur x' et ensuite sur IJL, on retrouve I'equation du paragraphe b.

226

Exercices de neutronique — Solutions

d) Si les chocs sont isotropes, la longueur de diffusion L est donnee par les formules :

Voici quelques valeurs numeriques en fonction de c = E s /£, I'unite de longueur etant1/E: TABLEAU 24

~~ c

I

K

I

\/L

|

|cart(%)

0,99

0,17251

0,17321

0,9

0,52543

0,54772

0,40 4,24

0,8

0,71041

0,77460

9,03

0,5

0,95750

1,22474

27,91

0,2

0,99991

1,54919

54,93

0,1

1,00000

1,64317

64,32

e) Si I'on developpe (p(ji) en polynomes de Legendre, puis qu'on projette (apres division par E - K|X) sur les deux premiers polynomes, c'est-a-dire 1 et |x, on obtient un systeme homogene regissant deux integrales /o et I] semblables a /; la compatibilite du systeme donne I'equation de K :

Exercice 14.4 : longueur de diffusion a) Pour les neutrons effectuant exactement n parcours, la somme s'explicite par:

Les differentes variables aleatoires sont independantes (la migration des neutrons est un processus markowien) :

b) En plagant p ///+1 au sommet A et en appelant cp I'angle diedre en ce sommet, ('application de la formule de la trigonometric spherique donne :

Comme la moyenne de cos (p est nulle pour des raisons de symetrie, on en deduit:

En repetant le raisonnement, on montre de meme par recurrence :

14 - Equation de Boltzmann

227

c) On en deduit:

d) Apres ponderation par les pn :

e) Ce calcui conduit ainsi a Exercice 14.5 : noyau integral en geometries a une et deux dimensions a) Poser |i = cos 6 ou 0 est I'angle entre I'axe x et le vecteur R representant le parcours des neutrons. b) Exprimer I'integrale en fonction de Tangle 9 entre I'axe z et le vecteur R. representant le parcours des neutrons.

14.2 Traitement de I'energie et du temps Exercice 14.6 : theorie multigroupe et traitement de la derivee temporelle a) La valeur exacte de m est donnee par Tequation :

soit, en posant x = me :

Si le parametre a caracterisant I'intensite de Tabsorption (a = E a /S 5 ) est petit, on trouve par developpement en serie :

Si Ton fait une discretisation reguliere a raison de n groupes dans Tintervalle e, n + 1 probabilites apparaissent dans la somme de gauche. En integrant P = 1/e sur les groupes de depart et d'arrivee, on obtient:

En reportant alors dans le systeme algebrique, on trouve que m est remplace par rh (ou x par x) tel que :

Cette formule s'applique meme pour n = 1 et n = 2, mais se simplifie dans ces cas :

228

Exercices de neutronique — Solutions

Si le parametre a est petit, on trouve par developpement en serie :

Le terme en 1/2n2 represente, en premiere approximation, I'erreur due a ('utilisation d'une theorie multigroupe. Si a n'est pas tres petit, seule une resolution numerique des equations en x et x permet de chiffrer cette erreur. Par exemple pour a = 1/2 et pour quelques valeurs de n, les resultats sont les suivants : TABLEAU 25

x

*

Erreur (%)

1 2 3 5

0,693147 0,742423 0,753381 0,759279

-9,72 -2,66 -1,22 -0,45

10

0,761830

-0,11

oo

0,762688

0

b) Les solutions sont des fonctions exponentielles, respectivement (a un facteur pres) : f = e f ; f = e/Aot et f = e'A^, ou a et (3 caracterisent les erreurs dues a un calcul numerique de derivee par quotient de differences finies (en I'absence d'erreur, ces nombres seraient egaux a 1). En reportant, on obtient les equations donnant a et (3:

< Les developpements en puissances de A :

montrent que la premiere formule donne une erreur d'ordre A tandis que la seconde donne une erreur d'ordre A 2 . (Ce calcul confirme une remarque simple : la pente d'une tangente a une courbe est mieux approximee en joignant les deux points de discretisation situes de part et d'autre du point considere plutot que le point considere et le point plus a droite.)

14.3 Probabilites de collision Exercice 14.7 : theoreme de Cauchy a) Une fois normalisee, la loi de probabilite est d2Sd2Q cos0/(TcS). b) La corde moyenne est donnee par ('integrate double :

ou T(cos9) vaut 1 si le cosinus est positif et 0 sinon.

14 - Equation de Boltzmann

229

c) On remarque que d2S cosOX est I'element de volume et que I'integrale de ce terme, compte tenu de I'echelon unite, donne le volume complet:

L'integrale double est done :

d'ou le theoreme de Cauchy. Exercice 14.8 : theoreme de reciprocity (et probabilites d'absorption) a) On a :

b) II y a V Ef O collisions dans le volume V par unite de temps. c) En explicitant les deux categories de neutrons :

d) Cela conduit a :

e) Defacon similaire :

Exercice 14.9 : moments de la corde a) Plaque : axe z pris selon la direction entrante :

Seul le premier moment b) Cylindre : axe x pris selon la direction entrante et axe z selon la generatrice :

En particulier:

230

Exercices de neutronique — Solutions

c) Sphere : axe z pris selon la direction entrante :

En particulier:

Exercice 14.10 : probabilites de collision pour une sphere En posant u = RY, :

Exercice 14.11 : probabilites de collision dans un damier ^approximation reduit le calcul aux seules probabilites sans sortie pour chacune de deux cellules :

et:

et formules symetriques pour P^, et PkiExercice 14.12 : calcul du facteur de desa vantage a) Bilan des collisions :

b) Ces deux equations permettent de calculer les deux flux 4^ et 4>2/ leur rapport ^/^i (facteur de desavantage) et le facteur d'utilisation thermique f :

14 - Equation de Boltzmann

231

c) En explicitant la serie enumerant les evenements possibles :

avec :

on obtient:

d'ou f. d) En different!ant les formules :

Application numerique : Af/f = 44 pcm; I'erreur sur f due a la cylindrisation est relativement peu importante. (II y a aussi, pour une raison similaire, une erreur de signe oppose sur le facteur p.) Exercice 14.13 : calcul numerique des probabilites de collision a) La constante de relaxation est obtenue en reportant la solution exponentielle dans I'equation sans source :

b) Les probabilites de premiere collision s'ecrivent:

On peut verifier que leur somme sur le deuxieme indice est egale a 1. La constante de relaxation ic est la solution de I'equation :

avec :

Par developpements limites, on peut obtenir la formule :

232

Exercices de neutronique — Solutions

c) Si I'on prend maintenant :

et PJJ par complementarite :

on obtient ('equation suivante pour K :

avec la meme formule pour £; puis, par developpements limites :

Par compensation d'erreurs, les termes d'ordre h2 ont, ici, disparu ! Exercice 14.14 : approximations de Wigner, de Bell-Wigner et de Carlvik a) Les comportements aux limites sont:

b) L'approximation de Wigner respecte le comportement asymptotique :

c) Pour ^approximation de Bell-Wigner:

Elle respecte le comportement a I'origine (mais non le comportement a I'infini) si I'on adopte b = 2/Q; par exemple, 3/2 pour un cylindre. d) Pour ('approximation de Carlvik, on trouve :

ce qui suggere les equations :

II n'y a que trois equations pour les quatre coefficients; le choix propose est la solution la plus simple.

14 - Equation de Boltzmann

233

e) Le tableau suivant donne quelques exemples numeriques. TABLEAU 26

&> 0,04 0,08 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 2 3 4 5 10

I

Exact 0,02561 0,04967 0,11494 0,20697 0,28351 0,34838 0,45225 0,59285 0,69843 0,76355 0,80677 0,90077

I Wigner 0,03846 0,07407 0,16666 0,28571 0,37500 0,44444 0,54545 0,66667 0,75000 0,80000 0,83333 0,90909

(%) I BeU-W. 50,18 49,13 44,95 38,05 32,27 27,57 20,61 12,45 7,38 4,77 3,29 0,92

0,02597 0,05063 0,11765 0,21053 0,28571 0,34783 0,44444 0,57143 0,66667 0,72727 0,76923 0,86957

{%) I Carlvik 1,42 1,94 2,32 1,72 0,78 -0,16 -1,73 -3,61 -4,55 -4,75 -4,64 -3,46

0,02606 0,05095 0,11932 0,21579 0,29487 0,36090 0,46429 0,60000 0,70000 0,76190 0,80357 0,89744

"(%) 1,75 2,58 3,77 4,21 4,01 3,59 2,66 1,21 0,22 -0,22 -0,40 -0,37

On y voit que Papproximation de Wigner surestime toujours la probabilite PW et tres fortement pour les faibles valeurs de I'opacite co. [.'approximation de Bell-Wigner ameliore bien la situation pour les faibles opacites, mais s'ecarte notablement des valeurs exactes, en les sous-estimant, pour les fortes opacites. ^approximation de Carlvik, elle, est precise a la fois aux faibles et aux fortes opacites sans beaucoup s'ecarter des valeurs exactes aux opacites intermedia'!res; comme pour ('approximation de Bell-Wigner, I'erreur change de signe selon co, ce qui peut laisser esperer certaines compensations, par exemple dans le probleme de I'absorption resonnante.

14.4 Traitement de la forme integrodifferentielle Exercice 14.15 : inconnues du calcul « diamant» Le traitement de Pequation de Boltzmann doit etre fait dans un rectangle defini, disons horizontalement, par xmm ^ x ^ xmax ou rmin ^ r ^ r^x et, verticalement, par -1 ^ jx ^ +1. Ce rectangle est decoupe selon les deux variables en mailles elles-memes rectangulaires, ce qui definit d'emblee deux sortes d'inconnues : les flux aux intersections des frontieres des rectangles et aux centres des rectangles. Dans le schema « diamant», on introduit en outre les flux aux milieux des cotes des rectangles. En geometrie plane, I'operateur de transport ne contient qu'une derivee par rapport a x : pour inverser I'operateur de transport, on peut se limiter aux inconnues aux centres des mailles et aux centres des cotes verticaux. En effet, lors du traitement d'une maille : • on prend la source et le taux de collision au centre de la maille, • on exprime la derivee par rapport a x a partir de la difference des flux sur les deux centres des cotes verticaux.

234

Exercices de neutronique — Solutions

Les equations se traitent de proche en proche selon x pour, successivement, les diverses valeurs discretes de |x si on les prend dans le sens du parcours des neutrons, c'est-a-dire : • en partant de la gauche et du flux entrant (en general nul) si |i est positif, • en partant de la droite et du flux entrant (en general nul egalement) si jx est negatif. N.B. : c'est pour eviter d'avoir des mailles centrees sur I'equateur (ji = 0), que Ton adopte toujours une valeur paire pour N dans la methode des ordonnees discretes. En geometrie spherique, I'operateur de transport contient non seulement une derivee par rapport a r mais aussi une derivee par rapport a |i (la raison en est que certaines des lignes de coordonnees sont courbes alors que les neutrons suivent des lignes droites) : pour inverser I'operateur de transport, il faut introduire les inconnues aux centres des mailles, aux centres des cotes verticaux (pour exprimer la derivee par rapport a r) et aussi aux centres des cotes horizontaux (pour exprimer la derivee par rapport a |i). Lors du traitement d'une maille, il faudra completer I'equation du bilan neutronique par les deux equations « diamant» permettant de calculer ces deux inconnues supplementaires : • demi-somme des flux sur les centres des cotes horizontaux = flux au centre de la maille, • demi-somme des flux sur les centres des cotes verticaux = flux au centre de la maille. Comme precedemment, les equations se traitent de proche en proche selon r pour, successivement, les diverses valeurs discretes de |x en les prenant dans le sens du parcours des neutrons. Remarque : dans le schema « diamant », les flux aux coins des mailles ne sont pas introduits. Exercice 14.16 : maximum du pas en espace Pour la solution discretisee :

Si h est petit, ic tend vers K. II ne faut certainement pas que /? depasse 2|x/E, sinon des flux deviennent negatifs. La condition est la plus contraignante pour |x = pii : si on pose h = s|Xi/E, il faut que e soit inferieur (et meme, si possible, tres inferieur) a 2. Application numerique : rayon de la sphere : 22,85 cm; avec un decoupage regulier en latitude, |ii = sin :t/(2/V).

Exercice 14.17 : probleme de Milne a) Les equations en approximation PT et PS sont respectivement:

14 - Equation de Boltzmann

235

et:

b) En approximation P-|, la solution est de la forme :

ou a et b sont des constantes. La derniere relation montre que le flux (scalaire) s'annule a I'abscisse x = d = —a/6 (distance d'extrapolation). Le flux en phase a ('interface est:

Si Ton ecrit que son integrale pour |x negatif est nulle, on obtient b = — 2aE, d'ou une distance d'extrapolation reduite Eof = 1/2. Si I'on ecrit que I'integrale pour |x negatif du courant en phase entrant |iO(0, IJL) est nulle, on obtient b = —3a£/2, d'ou une distance d'extrapolation reduite Ed = 2/3. Cette derniere valeur (qui correspond a I'approximation de la diffusion) est obtenue par un critere plus physique (courant total entrant nul): il est done logique qu'elle soit plus proche de la valeur exacte 0,710446. c) En approximation PS, a la solution precedente se rajoute un terme transitoire :

En annulant les moments 0 et 1, ou les moments 1 et 2 du flux en phase entrant, on trouve respectivement:

La deuxieme approximation est meilleure : erreur de —0,26% au lieu de +2,68%. Exercice 14.18 : formulation paire-impaire de ('equation de Boltzmann a) Dans le cadre des hypotheses proposees, I'equation qu'il faut resoudre s'ecrit:

236

Exercices de neutronique — Solutions

b) Reportons dans cette equation la decomposition 4> = \|/ + x et ecrivons les parties paire et impaire; nous obtenons :

c) Si la diffusion est isotrope, c'est-a-dire si Esi est nul, le second membre de la deuxieme equation est nul et celle-ci donne explicitement:

En reportant dans la premiere equation, celle-ci ne contient plus que I'inconnue \J; :

Remarquer que seul le flux pair est a calculer si I'on ne recherche que les taux de reactions et grandeurs associees (puissance, facteur de multiplication, etc.); c'est la raison pour laquelle il est interessant d'eliminer xL'elimination de x est I'analoguede ('elimination du courant/entre ('equation du bilan et celle exprimant la loi de Pick pour obtenir ('equation de la diffusion ne regissant que le flux 4>. d) Pour & fixe, le premier terme est unecombinaison des derivees secondes de \J/ puisqu'il peut s'ecrire :

ou k et t sont x, y et z. Get operateur est similaire a celui qui exprime I'advection en approximation de la diffusion :

Les trois autres termes de ('equation sont (hormis la substitution du flux scalaire par I'integrale d'un flux en phase) les memes que ceux qu'on aurait en theorie de la diffusion. Finalement, il apparatt que le code a developper pour resoudre ('equation du flux pair peut n'etre que la simple readaptation d'un code existant resolvant ('equation de la

14 - Equation de Boltzmann

237

diffusion : tout ce qui concerne le traitement multigroupe, les iterations, les centrereactions, revolution, etc. est, en effet, inchange; seul le traitement de la phase est a ajouter et le traitement de I'operateur d'advection a adapter. (Ce traitement peut etre fait par Tune des techniques usuelles : harmoniques spheriques completes ou simplifiees, ordonnees discretes...) Nous allons voir que cela reste vrai meme si I'anisotropie de la diffusion est pris en compte. e) Si I'on rapproche la decomposition paire-impaire de la decomposition en harmoniques spheriques, on peut dire que \J; est la somme des termes de rang n pair et x la somme des termes de rang n impair, ^approximation proposee ici consiste done a ne retenir pour X que le terme principal n = 1. (Rappel: les trois harmoniques spheriques de rang 1 peuvent etre remplacees par les trois composantes du vecteur Q, d'ou I'expression proposee.) Avec cette hypothese, le terme entre crochets de la deuxieme equation du paragraphe b est un vecteur de composantes :

puisque les integrates des termes rectangles sont nulles. Le second membre de cette equation est done egal a :

On voit ainsi que maintenant encore x s'exprime explicitement: il suffit de remplacer Et par la section efficace de transport:

dans le calcul fait au paragraphe c. f) Reprenons ('equation de x obtenue au paragraphe b. Posons :

(.'equation s'ecrit ainsi :

Multiplions-la par & et integrons sur toutes les directions Q, pour faire apparaTtre v au deuxieme terme du premier membre; nous obtenons :

(Le calcul du terme au second membre est analogue au calcul fait au paragraphe precedent.) Nous pouvons en tirer v, d'ou x(f/ ^0 en reportant dans I'equation de x et finalement I'equation de \|r seulement en reportant I'expression de x ainsi obtenue dans la premiere equation du paragraphe b. On notera que cette equation de x|/ est une equation entierement exacte si la diffusion est lineairement anisotrope.

238

Exercices de neutronique — Solutions

14.5 Mode fondamental Exercice 14.19 : fonctions propres elementaires du laplacien a) Parallelepipede rectangle d'aretes TC/U, IT/V et TI/VV, ou u, v et w sont les composantes du vecteur 6 :

b) Cylindre de rayon y'oi

et de hauteur TT/VV :

c) Sphere de rayon n/b :

Exercice 14.20 : coefficient de diffusion en mode fondamental a) Equations donnant cp et s :

b) II suffit de remarquer que :

et que Po([i) = 1 et PI(JJL) = IJL, puis de tenir compte des relations d'orthogonalite et de normalisation des polynomes de Legendre. c) En reportant le developpement en polynomes de Legendre, il vient:

d) Apres division par E — ib\i, il vient: r*~i

14 - Equation de Boltzmann

239

(II est plus interessant de faire la projection sur les polynomes de Legendre apres division par Z —/£>|i car on peut limitera peu determes le developpement de la section efficace differentielle de diffusion, alors que la projection de la forme initiale conduirait a un systeme d'equations de type PN qui necessite d'aller a un ordre relativement eleve pour le calcul du flux.) Les coefficients C peuvent etre calcules une fois pour toutes; les premiers sont:

avec :

e) En remarquant que s = 2vS/-(p 0 et en utilisant les deux premieres equations pour obtenir cpo et 91, on trouve une equation de bilan neutronique (production = absorption + fuite) et une formule donnant le coefficient de fuite :

avec :

f) Si la diffusion est supposee lineairement anisotrope, c'est-a-dire si I'on conserve les deux premiers moments Es/0 et Ss/1 = |i Es,o de la loi de diffusion, on peut encore deduire des deux premieres equations le bilan neutronique et le coefficient de diffusion; pour ce dernier, ('expression obtenue fait apparaTtre, outre la « correction de courbure » exprimee par le coefficient y, la correction de transport:

(A la limite y = 1, on trouve I'expression usuelle 1/3EtA du coefficient de diffusion.) g) Plus generalement, ^approximation dite BN consistant a retenir les moments de la loi de choc jusqu'au rang N conduit a un systeme de N + 1 equations a N + 1 inconnues cpo, cpi,..., cp/v. Sa resolution donne notamment le coefficient de diffusion en mode fondamental. Exercice 14.21 : correction de Behrens a) Le nombre de chocs (done de parcours) par unite de temps est VmSmO et le nombre d'entrees dans une cavite est 5/ avec / = O/4 : le rapport de ces deux taux est la proportion y des parcours de neutrons traversant une cavite (ce « y » est sans rapport avec celui de I'exercice precedent):

240

Exercices de neutronique — Solutions

b) Le calcul a ete fait a I'exercice 3.2 :

c) Le theoreme de Cauchy indique que :

et la definition du facteur Q que :

d'ou:

d) Les deux derniers termes du membre de droite representent I'augmentation du carre du parcours due a la traversee de la cavite. En la multipliant par y, on obtient ('augmentation moyenne du carre d'un parcours due a la presence des cavites. En multipliant, enfin, par le nombre moyen de parcours, < n >= Em/Eam, on obtient ('augmentation de I'aire de diffusion :

En combinant avec la formule d'homogeneisation de la section efficace macroscopique d'absorption, on obtient: ou Dm est le coefficient du moderateur et:

la correction d'heterogeneite. Cette derniere n'est pas une simple formule d'homogeneisation, a cause des operations de moyennes de carres. e) Pour un cylindre, Q = 4/3. On trouve h = 0,585.

14.6 Methode de Monte-Carlo Exercice 14.22 : tirage selon la loi d'une puissance Les n tirages etant independants, la fonction de repartition f(x) du maximum des valeurs obtenues est xn (probabilite que le premier tirage donne une valeur inferieure a x, multipliee par la probabilite que le deuxieme tirage donne une valeur inferieure a x,..., multiplied par la probabilite que le n'eme tirage donne une valeur inferieure a x), ce qui realise la loi de probabilite recherchee P(x) dx = dF = nxn~1 dx dans I'intervalle [0,1 [. On peut aussi poser y = xn, tirer cette variable, puis prendre sa racine r»ldme; cela peut s'averer plus long en temps de calcul.

14 - Equation de Boltzmann

241

Exercice 14.23 : tirage d'un point dans un cercle a) Ce tirage donne davantage de chances d'obtenir un point vers le centre que vers la peripherie. b) La repartition est uniforme si I'on ecrit p2 = ^ et

+00

/2

1

Observer la discontinuite de la distribution du puissance due a la discontinuite de la section efficace de production (ici, d'un facteur 2), et le pic de puissance qui en resulte a ['interface du cote du plutonium. Noter qu'avec ep = 0,8 le systeme est critique. b) Les concentrations sont maintenant telles que le taux d'absorption par la matiere fissile, et done la puissance, sont des constantes dans chaque zone (en ce qui concerne la puissance : meme valeur). En reportant aaNO = Cfe dans chacune des equations, on calcule le flux en tenant compte des conditions d'interface, puis Ton en deduit les concentrations :

ou I'on a pose a2 = EC/D. En normal isant, comme precedemment, ces fonctions a leurs valeurs asymptotiques en x = —oo (zone a uranium), on a les valeurs suivantes : TABLEAU 34

x

-oo

-0

+0

KI , les termes dans les parentheses sont positifs.) En normalisant a la valeur en x = — oo, on a : TABLEAU 35

_oo

_o

+0

+00

Flux

1

V2/2

V2/2

1/2

Puissance

1

72/2

V2

1

x

7) Les equations de la diffusion s'ecrivent maintenant:

268

Exercices de neutronique — Solutions

ce qui conduit a :

En utilisant les remarques proposees, cela s'ecrit:

en posant c, = 1/(pTi/). Le tableau 36 resume les comparaisons suggerees (les concentrations N/, inversement proportionnelles aux flux O/, y sont renormalisees aux valeurs asymptotiques) : TABLEAU 36

—oo

—0

+0

-J-oo

Flux

x

1

3/4

3/4

1/2

N(zoneU)

1

N(zoneMOX)

-

4

/ -

3

2/3

1

Le zonage «ideal » trouve ici consiste a augmenter la teneur en bordure de I'assemblage standard pour remonter le « trou » (ce qui n'est pas fait en pratique) et a la diminuer en bordure de I'assemblage MOX pour ecraser le « pic » (ce qui est fait approximativement en pratique en amenageant trois zones dans cet assemblage).

Figure 10

Examen de decembre 1995 PREMIER PROBLEME : Reduction de la masse critique grace a un reflecteur PREMIERE PARTIE

1) On a:

On en deduit le rayon critique R en fonction des caracteristiques de la matiere du cceur, d'ou le volume :

2) a) Dans le reflecteur parfait, I'equation de la diffusion se reduit a :

La solution generale est:

La condition a I'infini conduit a prendre B nul, d'ou :

Dans le domaine du cceur, I'equation a resoudre est de la forme :

b) La solution reguliere a I'origine est:

ce qui conduit a :

270

Exercices de neutronique — Solutions

c) La condition de continuite de la derivee logarithmique pour r = R s'ecrit:

soit: d'ou (en tenant compte de la condition d'une tonction positive dans le domaine /•/e : la vitesse pendant le/l&me parcour* p«;t dnnr •

La duree moyenne du /eme parcours est:

avec t0 = 0,75/1,96.109 = 3,83.10~10 s.

276

6)

Exercices de neutronique — Solutions

La duree totaie du ralentissement est:

(Remarquer que la serie peut, sans erreur appreciable, etre prolongee a I'infini et done que la duree du ralentissement est pratiquement independante de I'energie des neutrons emis par fission.) 7)

En utilisant la formule rappelee : T = 10,1 cm2. En appliquant le facteur correctif qui est suggere, cette valeur passe a 30 cm2 environ.

8)

lei e et p sont egaux a 1. Done :

On obtient k^ egal a 1 et a 4/3 pour des rapports (oaH^HVCtfasNs) respectivement egaux a 1 et a 1/2, soit des rapports « U/H » de 1/2 000 et 1/1 000. 9)

Pour les neutrons thermiques, la section efficace macroscopique d'absorption dans I'eau pure est Ea = 0,0667 x 0,3 = 0,02 cm" 1 ; le libre parcours d'absorption y est egal a 50 cm. Avec I'uranium il faut multiplier ('absorption et diviser le libre parcours par 2 et 3 respectivement, ce qui donne 25 et 16,7 cm.

10) Avec la vitesse calculee en 2, on trouve 104.10"6 s et 69.10~6 s. Meme pour ce dernier cas, la duree de thermalisation depasse largement la duree du ralentissement. 11) En appliquant les formules :

on trouve pour les deux cas respectivement 8,97 et 5,85 cm2. On remarque qu'effectivement I'aire de ralentissement est la contribution la plus importante a I'aire de migration. DEUXIEME PARTIE 12) En utilisant les formules :

on obtient B2 = 0,00926 crrr2 et R = 32,6 cm.

Examen de decembre 1996

277

13) Dire que le facteur de multiplication effectif est egal a 0,9 signifie que le reacteur serait critique avec un facteur de multiplication infini divise par 0,9 soit 1,481 et done un laplacien egal a 0,01337 cnrr2. Le flux est de la forme :

(la question 15 rappelle ce resultat avec une autre fagon d'exprimer les constantes) et doit s'annuler en R et en a :

La condition critique s'obtient en annulant le determinant du systeme :

soit: lei : BR = 3,78 d'ou Ba = 0,634. On en deduit a = 5,48 cm. 14) En reprenant la condition critique avec la valeur initiale de B et ce rayon a, on trouve R' = 38,1 cm. (Pour la suite on sous-entendra le « ' » de R'.) 15) Les conditions en R et a montrent que :

16) Les courants vers les corps noirs interieur et exterieur se calculent par la loi de Pick et ('emission en integrant I'expression du flux entre a et R :

(quantite negative egale a ('oppose du nombre de neutrons sortant vers I'absorbant interieur);

(quantite positive egale au nombre de neutrons sortant vers I'exterieur) et:

d

Les expressions peuvent se simplifier en y remplagant BR par Ba + -n, Les deux premiers rapports demandes sont:

278

Exercices de neutronique — Solutions

Le troisieme rapport est:

On verifie que la somme de ces trois termes est egale a 1 (bilan neutronique equilibre). Les valeurs numeriques sont: La = 0,25x0,126 = 0,031 ;LR = 0,25 x 0,874 = 0,219 eM = 0,75.

TROISIEME PARTIE 17) Les equations sont:

ou GO caracterise la temperature du systeme avec I'absorbant noir. 18) L'equilibre s'obtient en annulant les derivees, ce qui donne :

19) Apres les simplifications suggerees :

(n designant le nombre de neutrons a Tequilibre).

Examen de decembre 1996

279

20) Tout systeme lineaire a coefficients constants non degenere a des solutions exponentielles. On trouve I'equation de co en reportant les solutions exponentielles. Apres multiplication par I puis simplification en annulant ce temps de vie des neutrons prompts, on obtient une equation du second degre :

Comme a est negatif et que les autres parametres sont positifs, le produit des racines est positif et leur somme negative : la partie reelle des racines est toujours negative; I'equilibre est stable.

Examen de decembre 1997

PREMIER PROBLEMS : Facteur de multiplication d'une configuration spherique 1) L'equation de la theorie a un groupe :

peut aussi s'ecrire :

A

lcart(pcm)

12

it

24

n

0,01

0,78757

-

6

12

0,02

0,78848

118

3

6

0,04

0,79031

349

1,5

3

0,08

0,79383

796

Meme pour les intervalles de faible de largeur (petit nombre de chocs), c'est essentiellement I'integrale de la section efficace d'absorption qui compte. 4) Flagons la lethargic d'arrivee u" dans la trappe et la lethargic de depart u' avant la trappe; comme la densite des departs est ESO = 1/£ et comme la densite des arrivees pour un depart est 1 /e, on a :

d'ou :

5) Avec les valeurs numeriques proposees :

d'ou : TABLEAU 38

P

£caii'(port)

48

m

0,0025

y

0,78663

-

24

0,005

0,78663

0

12

0,01

0,78664

2

6

0,02

0,78668

6

Le terme correctif (1 - y) compense presque exactement Peffet de la variation d'exposant (a integrale constante) observe a la troisieme question. 6) La deuxieme relation suppose que la resonance est etroite. Le dernier facteur dans la premiere (section efficace d'absorption rapportee a la section efficace totale) est la probabilite d'absorption pour un neutron tombant dans la trappe. On neglige, puisque

Examen de decembre 1997

283

la trappe est supposee etroite, I'eventualite de tomber plus d'une fois dans la trappe. On ecrit done :

7) La section efficace moyenne est:

La section efficace effective est donnee par:

avec n =

U/%. On trouve les resultats suivants (le facteur d'autoprotection est

£ a ,eff/S a ) ' TABLEAU 39 Intervalle de lethargic

Nombre dereson.

Largeur des resort.

Section d'abs. vraie

Probabilite anti-trappe

Nombre de chocs

Section d'abs. effective

facteur d'autoprotection

6 12 6

48 48 24

0,003 0,003 0,006

5 5 5

0,78615 0,78615 0,78568

12 24 12

0,02025 0,01008 0,02030

0,169 0,168 0,169

6 6

48 48

0,00375 0,0027

2 12,5

0,78615 0,78615

12 12

0,02025 0,02025

0,338 0,075

On observe, comme on devait s'y attendre, des facteurs d'autoprotection a peu pres inversement proportionnels a la section efficace totale.

Examen de decembre 1998 PREMIER PROBLEME : Optimisation d'une colonne thermique 1) Les equations a resoudre ^nnt •

— ^_ — _ j_

—^_ -. j_

, —(

_ |

„.

Avec les conditions a I'infini et a la limite, la premiere donne :

On trouve ensuite pour le flux thermique :

2) Pour x petit:

Pour x grand :

Dans les deux cas, ce flux thermique passe par un maximum. Celui-ci est donne par ('equation : avec :

Examen de decembre 1998

285

3) L'indice de spectre :

est infini a I'origine ($1 fini et 4>2 nul) et decrott continuellement: • si KI < K.2, jusqu'a une valeur asymptotique :

• si K 2 < KI, jusqu'a zero. 4) Void les valeurs numeriques : • fat/: x0 = 3,05 cm; /(2x0) = 1,875; /as = 1,575. • Graphite : x0 = 30,5 cm; /(2x0) = 0,160; /as = 0. Pour le graphite, le spectre est beaucoup plus thermique; Pindice de spectre peut etre reduit autant qu'on le veut en s'enfonc.ant dans le massif, si Pon accepte un niveau de flux thermique 4>2 plus faible. Remarque : Peau lourde permettrait d'encore meilleures performances en terme d'indice de spectre. En prenant:

on trouve, en effet: • fat/ lourde : x0 = 25,6 cm; /(2x0) = 0,01 ; /as = 0.

DEUXIEME PROBLEME : Etude du facteur de multiplication infini d'un reacteur modere avec de I'eau ordinaire 1) Bilan neutronique du cas heterogene de reference :

2) Optimum de moderation : r = 5,045 (arrondi a 5). Pour cette valeur:

286

Exercices de neutronique — Solutions

3) Homogeneisation de la situation precedente :

On remarque que le gain sur le facteur f du a la disparition du facteur de desavantage est minime par rapport aux pertes sur les facteurs e et p. 4) Optimum de moderation : r = 2,909 (arrondi a 3). Pour cette valeur:

La faible valeur de /QX, resultant de la tres forte baisse du facteur r| ne laisse aucun espoir de faire fonctionner un reacteur a uranium naturel modere a I'eau.

Examen de decembre 1999

PREMIER PROBLEMS : Evaluation de la largeur de la «trappe » associee a une resonance 1) Les valeurs de x sont delimitees par:

d'ou :

2) On a:

si ad est exprime en barns et E0 en electronvolts. Voici quelques valeurs numeriques de q pour trois valeurs de £0 et quatre valeurs de a^ (pour £0 = 1 keV et a^ = 5 000 b, la largeur pratique n'existe pas) : TABLEAU 40

g

E6 = 10 eV

fpalflQeV

od = 0

0,1276

0,0403

0,0126

ad = 5 0 b

0,0521

0,0164

0,0049

ad = 500b

0,0178

0,0054

0,0004

ad = 5 000 b

0,0054

0,0004

Co»1 feeV

-

288

Exercices de neutronique — Solutions

DEUXIEME PROBLEME : Quelques ordres de grandeur relatifs a la « pile de Fermi» 1) Volume = 250 + 6 = 256 m 3 . 2) Concentrations : • Carbone : 0,0784.1024 cm-3. • Uranium 235 : 0,00000363.1024 crrr3. • Uranium 238 : 0,000500.1024 crrr3. 3) Sections efficaces macroscopiques : • £at, = 0,00382 cm"1. • Sac = 0,000267 cm"1. • vEf = 0,00505 cm"1. • £ t ~ £ t c = 0,372 cm'1, d'ou:

• / = 0,935. • T) = 1,323. • fj\ = 1,237. • D= 1/(3E,) = 0,895 cm. • L2 =219 cm2. 4) Calcul du facteurp : • Aire de migration : M1 = 619 cm2. • Cote du cube : a = 635 cm. • Laplacien geometrique : B2 = 0,0000734 crrr2. d'ou : • £00 = 1 +M262 = 1,0455. • p = 0,805. (Cette valeur est Pordre de grandeur attendu pour un reseau a graphite et uranium naturel.) 5) On peut adopter : • Vitesse des neutrons : v = 2 200 m/s. D'ou: 6) II faut 3,1.1010 fissions pour ooienir un jouie. La pne a aonc ronaionne au rytnme de 1,55.1010 fissions par seconde, soit 5 = 3,75.1010 neutrons emis par seconde. Le nombre total de neutrons presents est N = SI = 3,96.107 neutrons, soit une densite n = N/V = 0,155 neutron par cm3 seulement! 7) La probabilite de fuite est M2B2/(1 4- M2B2) = 0,0435. Done £ = 1,62.109 neutrons s'echappent par seconde, soit/ + = £/(6a 2 ) = 669 n/cm2.s. Le facteur generalement adopte est 0,05 ixSv/h/(n/cm2.s) ce qui donne ici 35 |xSv/h : une personne placee a la surface de la pile aurait regu, dans ces conditions, ('equivalent de la dose naturelle annuelle moyenne (2 mSv) en deux ou trois jours.

Examen de decembre 1999

289

8) Le calcul similaire fait pour un reacteur a eau sous pression donne environ /+ = 1,2.1013 n/cm2.s, soil vingt milliards defois plus : dans ces conditions le debit de dose serait de I'ordre de 170 Sv/s. II est evidemment exclu de s'approcher du coeur d'un reacteur de puissance en fonctionnement!

TROISIEME PROBLEME : Evaluation de I'efficacite d'une barre de commande 1) [.'equation a resoudre est:

et les conditions :

La solution generate de I'equation du flux est:

Les conditions aux limites donnent la condition critique :

2) Avec les approximations suggerees, on trouve :

•

i_^

*_

v>.

}

i \^j /

3) Avec la barre :^R=j + e = 2,527; x = 0,00702 cm"1 ; k^ = 1,0295. Sans la barre :

L'efficacite de la barre est done de 271 pcm.

QUATRIEME PROBLEME :

Etude d'une divergence Les formules a utiliser sont:

ce qui donne t = 261 s = 4 min 21 s. L'operateur dispose de quelques minutes pour agir et arreter la reaction en chame.

Examen de mars 2000 PREMIER PROBLEMS : Probabilites de collision pour une plaque infinie 1) En mesurant la colatitude 0 a partir de la normale entrante, on a :

2) En utilisant la complementarite et la reciprocite :

3) On note que, si ('argument aS tend vers I'infini, E3(aE) decroTt plus vite que e~ aE ; alors :

Voici quelques valeurs numeriques : TABLEAU 41

as

P*

1-1/(2al) feart(%)

1

0,6096

0,5

-18

2,5

0,8065

0,8

-0,8

5

0,9002

0,9

-0,02

4) En enumerant les eventualites et en sommant les series geometriques, on trouve :

et les deux formules symetriques.

Examen de mars 2000

291

DEUXIEME PROBLEME : Evaluation du nombre d'histoires a simuler dans un calcul Monte-Carlo 1) En appliquant les definitions :

d'ou : 2) L'evaluation de p est la moyenne M des n tirages. On a :

d'ou :

3) Valeurs de n en millions : TABLEAU 42 n

p = 0,60

p ssQ,,75

p = 0,90

£ = 50 pern

2,7

1,3

0,4

e = 10 pern

67

33

11

TROISIEME PROBLEME : Equivalence en reactivite La formule des perturbations a appliquer dans ce probleme est:

(En theorie a un groupe, 4>+ est egal a O, mais cette propriete n'est pas utilisee ici.) 1) Pour une modification de composition, on peut ecrire :

ou :

est I'effet en reactivite d'un noyau de type k place au point r, et ou :

est I'integrale de normalisation (associee a la source de fission).

292

Exercices de neutronique — Solutions

2) Les integrates precedentes sont a prendre sur tout le reacteur. Si la perturbation est uniforme et n'occupe qu'une zone Z, on peut ecrire :

ou :

represente le « poids statistique» de la zone ou estfaite la modification de composition. 3) Le poids Wk d'un noyau (effet en reactivite) rapporte a celui d'un noyau de reference est done donne par:

4) Avec cette formule, un atome de plutonium de « vecteur isotopique » ^ est equivalent a :

atomes de plutonium 239.

QUATRIEME PROBLEME :

Integration numerique d'une equation differentielle 1) La solution exacte est: (x, |x) = Cte e Sx/ ^, d'ou :

2) La formule elementaire conduit a :

c'est-a-dire au developpement limite au premier ordre. 3) La formule symetrique donne :

c'est-a-dire le developpement exact jusqu'au deuxieme ordre. 4) La methode de Taylor a I'ordre n donne le developpement limite a I'ordre n (ici, n = 3).

Examen de decembre 2000

Etude de la taille critique d'une solution uranifere il y a 2,5 milliards d'annees PREMIERE QUESTION Teneur de I'uranium En ecrivant:

on obtient:

DEUXIEME QUESTION Evaluation du facteur antitrappe a) La formula de Breit et Wigner donne :

(section efficace en barns et energie en electronvolts). b) En calculant le facteur antitrappe par la formule :

on trouve (en posant ad = NHan/Nu) :

294

Exercices de neutronique — Solutions

•tfmax,i= 20 847 b 23 86

• pi = 0,95635 ;

b

•tfmax,2= ° • a max/2 = 17423b

• P2 = 0,98079 ; • p3 =0,98425 ; p = 0,92321.

TROISIEME QUESTION Bilan des neutrons thermiques a) Les quatre facteurs sont les suivants :

• e= 1 ; • p = 0,92231 ; • f = 0,87019; • T] = 1,87320; b) ^00 = 1,50487.

QUATRIEME QUESTION

Taiile critique a) Systeme nu : • Ro = 27,96 cm, • 1/0 = 91,59 litres. b) Systeme reflechi : la condition critique obtenue en ecrivant le raccordement du flux et du courant a I'interface cceur-reflecteur peut s'ecrire :

ce qui donne : • /?1 = 22,46 cm, . VT =47,49 litres. c) En ecrivant:

on trouve /TOO = 0,84435. L'effet en reactivite du reflecteur est p = 16918 pcm.

ClNQUIEME QUESTION (FACULTATIVE)

Optimum de moderation Seuls les facteurs petf dependent du rapport de moderation. Le tableau 43, page ci-contre, presente quelques valeurs numeriques. Pour ('optimum (NH/Nu = 9,84), le facteur de multiplication depasse de 3400 pcm la valeur trouvee dans la troisieme question.

Examen de decembre 2000

295 TABLEAU 43

~NH/NVI

E

5

0,85133

|

0,96405

> " I

9,84

pf 0,82072

0,89184

0,93163

0,83086

10 15 20

0,89267 0,91166 0,92321

0,93059 0,89938 0,87019

0,83071 0,81933 0,80337

30 40

0,93713 0,94557

0,81715 0,77021

0,76578 0,72829

Examen de mars2001 PREMIER PROBLEME : Largeur d'une resonance La largeur pratique est:

Application numerique : • est egale au diametre, soit ici 1 cm. On veut que I'opacite oo = £ < X > soit egale a 10; il faut done avoir:

ou r est en cm. Voici quelques combinaisons envisageables : f(enp,m) f(en%)

I

10

L 20

1,3

2,7

I

50, I 1 Q O 6,7

13

t

20tt 27

I

5 0 0 I 1000 67

133

La derniere est impossible (f superieure a 100%) et I'avant-derniere peu realiste (une valeur de f proche de 100 % ne peut pas etre obtenue en entassant des spheres). 3) En utilisant les developpements asymptotiques :

4) Par complementarite et reciprocite, on obtient:

(Cette valeur est tres faible, ce qui justifie I'approximation precedente P$s — 0.)

Examen de decembre 2002

PREMIER PROBLEME : Radioactivite de I'uranium 1) A I'equilibre, les activites des elements d'une meme chaine sont les memes et les concentrations sont inversement proportionnelles aux periodes : •

226

Ra/238U:=3,58.10-7,

•

222

.

218

Rn/238U = 2,35.10-12, Po/238U = 1,32.10-15.

2) Les activites de chacun des isotopes sont proportionnelles aux teneurs et inversement proportionnelles aux periodes : •

234

U/ 238 U = 1,007 ~ 1 (equilibre seculaire);

.

235

U/238U = 0,046;

• Total/238U = 2,052. 3) a) Les teneurs des isotopes 234 et 235 sont multipliees par 4/0,72 = 5,56; d'ou les teneurs de I'uranium enrichi : . 234y _^ o,0055 x 5,56 = 0,0306%, • 235U —»4%, . 238y _^ 95^9694 o/0 (complement a 1). b) Les activites, rapportees a celles de I'uranium 238 de I'uranium naturel sont: • 234U —> 5,593, . 235(j _^ Qf256/ . 238y __^ Qf96?f

• Total—~> 6,815. c) L'activite de I'uranium enrichi est 3,3 fois plus grande que celle de I'uranium naturel, essentiellement a cause de I'enrichissement en isotope 234 (elle reste cependant faible et ne necessite pas de precautions particulieres en matiere de radioprotection); a contrario, I'activite de I'uranium appauvri est encore plus faible que celle de I'uranium naturel.

308

Exercices de neutronique — Solutions

DEUXIEME PROBLEME : Fraction apparente des neutrons retardes Considerons un element du fluide (sel fondu). II passe alternativement dans le cceur (pendant une duree a 7) et hors du coeur (pendant une duree (1 — a)T). Prenons comme origine du temps Tun des instants ou cet element entre dans le coeur. II se trouve dans le cceur dans les intervalles de temps [nT,nT + a.T] et hors du cceur dans les intervalles de temps [nT + aT, (n + 1)7] (n entier). Pour un precurseur forme a I'instant t, la probabilite de decroissance entre les instants t' (ulterieur a t) et t' + dt' est Xe~ x(f '~ f) dt'. On obtient la probabilite P en moyennant la probabilite de decroissance sur les instants d'emission t situes dans un intervalle de temps [0, o.T] et en sommant sur les instants de decroissance t', d'une part dans le meme intervalle pour les instants ulterieurs a t, d'autre part sur tous les intervalles [nT,nT + aT] a partir de n = 1 :

Les integrates se calculent analytiquement et la serie peut etre sommee :

On peut verifier que P est inferieur a 1 (les deux rapports sont positifs) et que P est positif (la fonction integree est positive). Application numerique :

Question facultative: soit T* la duree moyenne entre la creation du precurseur et remission du neutron 5/ celle-ci a lieu dans le cceur; on a :

ou / est I'integrale double similaire a celle donnant P obtenue en remplagant e~ x(f/ ~ f) dt' par (t' — 0 e~X(t/~f) dt'. Le calcul analytique est possible mais fastidieux !

TROISIEME PROBLEME : Variation de la taille critique avec ('introduction d'un absorbant 1) Le flux est une arche de cosinus s'annulant a ses deux extremites. La condition critique est:

Examen de decembre 2002

309

avec :

d'ou:

Application numerique : ao = 22,21 cm. 2) Par un calcul similaire :

Application numerique : a-\ = 31,42 cm. 3) Dans la zone non empoisonnee, le flux conserve la forme d'un cosinus avec la meme courbure qu'au paragraphe 1. Dans la zone empoisonnee, le facteur de multiplication infini est juste egal a 1 ; la variation du flux y est lineaire en fonction de I'espace. Les conditions sont I'annulation du flux aux deux extremites et la continuite du flux et de sa derivee aux interfaces entre zones empoisonnee et non empoisonnee. La figure 11, page suivante, donne I'allure du flux en fonction de x pour les trois cas. a) Dans la partie droite, la courbe de flux suit un peu plus qu'une demi-arche de cosinus, s'annulant a I'extremite droite et se prolongeant a gauche par une segment de droite s'annulant a I'extremite gauche. Le raccordement a I'origine donne :

Application numerique : u = 2,02876; a^ = 28,69 cm. b) Dans la partie centrale, le flux suit une fraction d'arche de cosinus; la courbe se prolonge par des segments de droite de part et d'autre. Le raccordement a I'origine donne :

Application numerique : v = 0,86033 ; a^ = 24,33 cm. c) Le flux presente un plateau dans la partie centrale, qui se prolonge de part et d'autre par deux demi-arches de cosinus. On a a ('evidence a4 = 2 ao = 44,43 cm. On peut remarquer en comparant les tallies critiques que I'efficacite du poison est d'autant plus importante qu'il est place pres de la partie mediane du cceur, la ou I'importance neutronique est la plus grande. 4) L'ajout d'un poison ou I'extraction de matiere fissile conduisent, par hypothese a la meme variation : les resultats des questions 2 et 3 sont inchanges.

310

Exercices de neutronique — Solutions

Figure 11 QUATRIEME PROBLEME :

Comparaison des potentialites d'incineration de quatre types de reacteurs 1) Par definition :

Voici les valeurs numeriques : TABLEAU 44 Noyau 235

U

239

Pu (thermique)

« _ 2,4

y •» 0c/^f ' '•"•?"'' 0,17

^l'*'"''

c

2,05

0,145

2,9

0,5

1,93

0,333

239

Pu (rapide)

2,9

0,20

2,42

0,167

233

U

2,5

0,09

2,29

0,083

Examen de decembre 2002

311

2) Ramenes a un neutron absorbe par la matiere fissile, on a : • Production de matiere fissile (facteur de conversion): • Production d'actinides mineurs : • Incineration d'actinides mineurs : Le tableau 45 compare ces trois terrr.^. TABLEAU 45 Reacteur

C

c

I*

REP-U

0,488

0,145

0,163

REP-Pu

0,400

0,333

0,133

RNR

0,838

0,167

0,279

HTR

0,745

0,083

0,248

3) Le volume s'obtient en divisant la puissance totale (3000 MWth) par la puissance specifique. En supposant que R = H/2, les formules permettant d'en deduire les autres caracteristiques sont les suivantes : • Volume : • Laplacien geometrique : • Fuites par neutron emis : j • Fuites par neutron absorbe dans la matiere fissile : Le tableau 46 compare ces termes. TABLEAU 46

Reacteur

|

3

V(m )

|

tf(tn)

| g2 (nr2) |

M2B2 0,0145

0,0143

0,0123 0,0105

REP-U

30

3,37

2,91

REP-Pu

\

F

\

F'

30

3,37

2,91

0,0145

0,0143

RNR

6

1,97

8,51

0,213

0,175

0,146

HTR

375

7,82

0,540

0,0324

0,0314

0,0288

Placer les cibles des dechets a incinerer dans la couverture n'est interessant que pour le RNR ou les fuites sont du meme ordre de grandeur que le taux d'incineration recherche. Dans les autres filieres considerees, les fuites sont trop faibles.

Examen de mars 2003

PREMIER PROBLEME : Efficacite d'un poison neutronique 1) La condition critique :

donne a = 22,2 cm. 2) En theorie monocinetique, le flux adjoint est egal au flux direct, soit, ici, a un facteur pres :

La formule des perturbations au premier ordre donne :

avec :

soit po = —1 000 pcm. Remarque : pour un empoisonnement homogene, ce resultat est rigoureusement exact, puisqu'il y a simplification par /0 meme si I'on utilise la formule exacte. 3) On a maintenant:

Examen de mars 2003

313

avec :

d'ou :

On voit que la zone centrale est bien plus importante que les zones peripheriques.

DEUXIEME PROBLEMS : Approximation de la diffusion 1) a) On a :

avec :

b) La transformee de Fourier de k s'ecrit:

c) On a done :

avec :

(Le calcul de y n'est pas demande.)

314

Exercices de neutronique — Solutions

d) ^approximation proposee conduit a :

soit:

e) En revenant aux notations usuelles cela donne :

soit:

Cest ('equation de la diffusion avec :

c'est-a-dire ('expression usuelle en diffusion isotrope. 2) a) Par definition, la fonction de Green est la solution (p de :

soit ici :

b) Par transformation de Fourier, on trouve :

soit:

c) Par identification on trouve :

d) On constate que I'aire de migration s'exprime avec (3 seulement; comme ('approximation de la diffusion respecte ce coefficient, elle respecte aussi I'aire de migration.

Examen de mars 2003

315

TROISIEME PROBLEME : Table de probabilite d'une section efficace 1) En raisonnant sur la moitie du groupe, puisqu'il y a symetrie par rapport au centre, par exemple en prenant 0 < x < X, le calcul est simple car a(x) est monotone. D'une part, on a :

et d'autre part en differential a on trouve :

d'ou :

Cette densite P presente une asymptote pour la valeur maximale M, correspondant a la tangente horizontale de la courbe representative de a(x) en x = 0, et une autre asymptote pour a = 0; cette derniere n'est pas atteinte car la courbe de P doit etre tronquee au niveau de la valeur minimale de la section efficace : m = M/(1 +X 2 ). La courbe representative de P presente un minimum pour o = 3M/4 et vaut alors 8>/3/(9XM). 2) Par definition :

En calculant les integrates, on trouve :

3) Les deux equations a ecrire sont:

En les resolvant en 01 et a2 on obtient:

316

Exercices de neutronique — Solutions

4) L'approximation « resonance etroite » (NR) donne explicitement la structure fine :

d'ou I'integrale effective de resonance :

5) Avec la table de probabilite, la meme integrate est obtenue approximativement par:

6) On verifie que pour d tendant vers zero :

et que pour d tendant vers I'infini :

7) Applications numeriques :

La comparaison des integrates effectives (en barns) est resumee dans le tableau 47 : TABLEAU 47

tf,,,, j/;''.:.;fe«

6?

^^

1

5,77

5,74

-0,6%

5

25,30

24,73

-2,3% -3,1 %

10

44,34

42,96

50

120,92

117,92

-2,5%

100

159,85

157,67

-1,4%

500

222,87

222,58

-0,1 %

On voit que la table de probabilite donne, sur cet exemple, I'integrale effective a quelques pour cent pres sur toute la plage des dilutions.

Examen de novembre 2003

PREMIER PROBLEME : Equations devolution : production de tritium a partir de lithium 1) La reaction est:

L'equation differentialle donnant la concentration du tritium est:

et sa solution :

Application numerique : T = 0,29664 LQ. 2) Decroissance radioactive du tritium :

L'equation differentielle est maintenant:

et sa solution est:

Application numerique : T = 0,28824 L0t soit 2,8 % de moins.

318

Exercices de neutronique — Solutions

3) Capture neutronique par I'helium 3 :

Les equations differentielles a ecrire maintenant sont:

Ul

En faisant la somme des equations, on trouve :

soit:

En reportant H = OL L0 t — T dans I'une des equations initiates, on trouve I'equation differentielle regissant 7:

dont la solution est:

Application numerique : T = 0,29145 LQ, soit 1,8% de moins que le resultat trouve en 1. 4) II faut ajouter a I'equation de T ecrite en 1 celle regissant L :

La premiere s'integre immediatement:

d'ou, en remarquant que L + T = Cte = LQ :

Application numerique : T = 0,25669 LQ, soit 13,5 % de moins que le resultat trouve en 1. (Comme le lithium disparaTt, il forme moins de tritium.)

Examen de novembre 2003

319

5) Le systeme complet d'equations differentielles est:

En calculant L (voir question precedente) et en eliminant H en remarquent que L + T + H = Cte = LQ, on obtient I'equation differentielle regissant 7 :

dont la solution est:

Application numerique : T = 0,25203 LQ, soit 15,0% de moins que le resultat trouve en 1 par le calcul le plus elementaire.

DEUXIEME PROBLEME : Probabilites de collision et equation de la diffusion : etude de la depression du flux dans un absorbant 1) En raisonnant sur les collisions successives, on obtient:

Par ailleurs, par reciprocite et complementarite on a :

d'ou :

Application numerique : y = 0,375.

320

Exercices de neutronique — Solutions

2) Equation de la diffusion :

Solution generale reguliere a I'infini :

La condition a la limite p = a :

exprime la proportion des neutrons qui entrent dans le crayon et en ressortent sans avoir ete absorbes. En exprimant les courants, elle donne (en p = a):

ce qui donne :

et finalement:

On en deduit:

Application numerique : (a)/as = 0,716. 3) L'absorption dans le combustible par unite de temps peut, d'une part, etre ecrite £ao ^o ^o/ soit Sa0 Tra 2 / $o par unite de hauteur et d'autre part (toujours par unite de hauteur) 27ra/_(a)y, d'ou :

En calculant le courant entrant par la theorie de la diffusion, on trouve :

Y

Application numerique : O 0 /O as = 0,413.

Examen de novembre 2003

321

4) Le volume effectif est defini par:

Application numerique : par unite de hauteur, on a VQ = 7,1 cm3 et Veff = 76 cm3 = 10,8V0. Sens physique : placer I'absorbant dans le reacteur est equivalent a supprimer les sources dans le volume effectif. On voit que ce dernier est nettement plus grand que le volume reel de I'absorbant.

Examen de fevrier 2004

PREMIER PROBLEME : Etude d'un modele simplifie de cinetique 1) Etablissement par equivalence du modele a un seul groupe de precurseurs. a) Pour une reactivite tres petite en valeur absolue, coo est egalement tres petit et peut etre neglige devant les X/ aux denominateurs; cela conduit a :

b) Pour une reactivite sensiblement superieure a la proportion totale p des neutrons retardes, OOQ est grand et les X/ peuvent etre negliges devant OOQ aux denominateurs; cela conduit a :

ou |3 est la somme des fr. c) Avec un seul groupe de precurseurs, ces formules s'ecrivent:

Les valeurs de OOQ sont les memes pour ces deux cas limites si :

Examen de fevrier 2004

323

soit:

c'est-a-dire si le modele a un seul groupe respecte la proportion totale de neutrons retardes et le temps de vie moyen des precurseurs. d) Application numerique : J3 = 679 pcm et \ = 0,0881 s~1. 2) Ce modele est-il suffisamment precis? a) Le tableau 48 donne quelques valeurs numeriques pour un temps de vie des neutrons prompts suppose negligeable; Td est le temps de doublement du flux : TABLEAU 48

Trf(s)

1

wofe" )

pCpciti)

p(pcm)

(modele Ik 6 groupes)

(modele a 1 groupe)

5,21

5,30

e>cart(%)

1000

0,000693

100

0,00693

43,5

49,5

14,0

10

0,0693

202,1

299,0

48,0

1

0,693

464,9

602,5

29,6

6,93

630,9

670,5

6,3

673,1

678,1

0,8

0,1 0,01

69,3

1,7

b) L'erreur sur Devaluation de la reactivite par le modele a un groupe peut atteindre dans certains cas environ 50 % : cela est certainement inacceptable : le modele a un seul groupe de precurseurs ne peut pas etre considere comme suffisamment precis. (Accessoirement, on pourrait se demander si le modele a six groupes est, lui, suffisant.)

DEUXIEME PROBLEME : Notion d'equivalence en neutronique Le tableau 49, page suivante, decrit quatre exemples : celui (un peu academique) analyse dans le premier probleme et trois autres mis en ceuvre dans APOLLO. La premiere ligne indique le nom de ('equivalence et les quatre suivantes respectivement: a) le probleme reel trop difficile a calculer par le modele precis, b) le probleme simplifie sur lequel est faite I'equivalence, c) le modele precis, d) le modele simplifie.

324

Exercices de neutronique — Solutions TABLEAU 49

Condensation aungroupe de pricurseurs

Homogeneisation et condensation d'uncalcul

de neutrons retardes

d'assemblage

Relation entre p et oo0 Assemblage dans le cceur

Equivalence heterogene-homogene de la theorie LJ

Equivalence continu-multigroupe de la theorie Lj

Heterogene, ralentissement exact

Heterogene, continu, ralentissement exact

Relation dans deux cas limites

Assemblage en mode « Probleme P », modele fondamental de ralentissement

Six groupes de precurseurs

Transport integral, heterogene, multigroupe fin

Un groupe de precurseurs

Diffusion, homogene, Homogene multigroupe large

Heterogene, «probleme P » ( * )

Heterogene, probabilites Heterogene, continu de collision Heterogene, multigroupe

(*) On suppose que ce resultat a ete obtenu correctement apres I'equivalence heterogene-homogene.

TROISIEME PROBLEME : Calcul d'une configuration experimentale 1) Calculs par la methode des probabilites de premiere collision. a) Les indices / et/des probabilites de collision parcourent 8 volumes dans 300 cellules et il y a 100 groupes : cela fait 576 millions de probabilites a calculer (environ 288 millions avec les relations de reciprocite). b) On sait qu'un assemblage 17 x 17 a symetrie 8 se decrit avec 45 cellules; ici, on peut estimer a 50 le nombre de cellules dans un huitieme de la configuration (un dessin precis de la configuration donnerait le nombre exact). Pour les P,y, / parcourt 8 volumes dans 50 cellules, / parcourt 8 volumes dans 300 cellules et il y a 100 groupes : 96 millions de probabilites « compliquees » sont a calculer (environ 50 millions avec les relations de reciprocite). c) II n'y a qu'un seul type de cellule a calculer, soit 8(8 + 1)/2 = 36 combinaisons ij (les probabilites faisant intervenir la surface des cellules s'en deduisent par reciprocite et complementarite), et 100 groupes, soit 3 600 probabilites « simples ». Ce deuxieme calcul n'est sans doute pas tres precis, mais s'avere tres « economique » en comparaison du premier. Rappel: Unefois qu'ont ete calculees les probabilites du type Pt avec (parexemple) / ^ /, on obtient successivement les Pt avec / > j par reciprocite a partir des precedentes, les P^ par complementarite, les PJ par reciprocite a partir des precedentes, puis la probabilite P+ par complementarite a partir des precedentes. Les probabilites PI; (avec sortie eventuelle de la cellule d'origine) s'obtiennent par:

Examen de fevrier 2004

325

2) Calculs par la methode SN. a) II a 4 points par cellule, 50 cellules (si symetrie d'ordre 8), 80 directions angulaires et 20 groupes, soit 320000 inconnues. b) En designant le pas par p, le rayon equivalent R est donne par nR2 = 300p soit R = 9,77 p (20 points en espace). Avec 24 directions angulaires et 20 groupes, on a 9600 inconnues a calculer. Commentaire analogue a celui fait en I.e. 3) Calcul par la methode de Monte-Carlo. II faut avoir environ 10000 fissions par cellule pour evaluer a environ 1 % pres ce nombre (loi en 1/V/V). En comptant 2,4 neutrons par fission et 300 cellules, cela conduit a environ 7 millions d'histoires de neutrons a simuler. Ce calcul est envisageable si I'on peut disposer de I'ordinateur pendant environ une journee.

Cette page est laissée intentionnellement en blanc.

Table des matieres Les numeros de page renvoient respectivement a I'enonce et a la solution de I'exercice ou du probleme.

I

1

INTRODUCTION: GENERALITES SUR L'ENERGIE NUCLEAIRE 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

2

BASES DE PHYSIQUE NEUTRONIQUE

Masses fissionnees Taux de combustion en fission dans un REP Quels sont les noyaux qui ont subi la fission? Consommation d'uranium nature! TCP par rapport a ('uranium nature! Reserves d'uranium Controle-commande d'une reaction en chaine Probabilite d'amorgage d'une reaction en chame

15 15 15 15 16 16 16 16

et et et et et et et et

153 153 153 153 154 154 154 154

18 18 19 19 19

et et et et et

155 155 156 156 156

20 20 20 20 20 20

et et et et et et

157 157 157 157 157 158

PHYSIQUE NUCLEAIRE A L'USAGE DU NEUTRONICIEN 2.1 Structure de la matiere et energie de liaison des noyaux 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Tailie des atomes et des noyaux Equation de la ligne de stabilite Reaction de fusion Reaction de fission Evaluation du terme coulombien

2.2 Radioactivite 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

Activite radioactive Equilibre seculaire Uranium naturel a I'epoque des reacteurs d'Oklo Decroissances beta du tritium et alpha du plutonium Limitede I'instabilite alpha Filiation a trois corps

328

Table des matieres

2.3 Reactions par neutrons 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18

Production de neutrons a partir d'un Van de Graff Existence ou pas d'un seuil Capture neutronique par le xenon 135 Diffusion par I'hydrogene Extremums de la section efficace Limite de la section efficace d'absorption Largeur pratique d'une resonance

21 21 22 22 22 22 22

et et et et et et et

158 159 159 159 159 160 160

2.4 Fission 2.19 2.20 2.21

3

Libre parcours moyen d'absorption Longueur de diffusion Comparaison des moderateurs Ordres de grandeur pour un reacteur de puissance Resonance et«trou » du fer Comment definir le libre parcours moyen? Corde moyenne Etude de quelques distributions en phase Etude du spectre de fission Activation neutronique

24 24 24 25 25 25 26 26 26 27

et et et et et et et et et et

163 163 164 164 164 164 165 165 166 167

28 28 28 28 29 29 29

et et et et et et et

168 168 169 169 170 170 170

31 31 31 31 31 32 32 32

et et et et et et et et

172 172 173 173 173 173 173 174

CINETIQUEPONCTUELLE 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

5

23 et 161 23 et 161 23 et 162

INTRODUCTION A LA NEUTRONIQUE 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

4

Energie liberee par fission Decroissance radioactive des produits de fission Precurseur de neutrons retardes

Calcul au premier ordre du temps de doublement Elimination des concentrations de precurseurs Creneau de reactivite Experience de chute de grappe Experience d'ejection de source Experience de neutrons pulses Experiences d'oscillations

EQUATION DE LA DIFFUSION 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Condition a I'origine Sources « coquilles » Source ponctuelle dans un milieu fini Source filiforme dans un milieu fini Source plane dans un milieu fini Sources uniformes dans un milieu fini Calcul par decomposition sur des fonctions propres Source filiforme dans une plaque infinie

Table des matieres

5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18

6

et et et et et et et et et et

174 175 175 175 175 176 176 177 177 178

Calcul de laplaciens geometriques Etude d'une forme optimale de pile Etude d'une sphere creuse Etude d'une compression ou d'une dilatation Pile a deux zones Economic de reflecteur Piles reflechies Pile a puissance uniforme Piles multicouches Effet d'un petit absorbant Basculement de la distribution de puissance Propagation d'une onde

34 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36 37

et et et et et et et et et et et et

179 180 180 181 182 183 183 184 184 185 186 188

38 38 38 38 39 39 39 40 40

et et et et et et et et et

189 189 189 190 190 190 191 191 192

42 42 43 43 43

et et et et et

194 195 195 196 197

RALENTISSEMENT DES NEUTRONS 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

8

32 32 32 32 32 33 33 33 33 33

THEORIE A UN GROUPE - DIFFUSION 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12

7

Source ponctuelle dans un cylindre infini Pile exponentielle Pilesreflechies Notion d'albedo Calculs d'albedos Probabilite d'absorption Noyau cinetique en geometric plane Notion d'aire de migration Probleme du «trou noir» Longueur de relaxation

329

Ralentissement par I'hydrogene Ralentissement par un noyau lourd Angle de deviation dans le systeme du laboratoire Loi du choc inelastique Nombre de chocs necessaires pour ralentir un neutron Evaluation de la duree du ralentissement du neutron Transitoirede Placzek Ralentissement dans le cas d'une absorption constante Theorie de I'age

ABSORPTION RESONNANTE DES NEUTRONS (ASPECTS PHYSIQUES) 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Largeur des resonances selon leur energie Resonance en creneau Probabilites volume-surface et surface-volume Probabilite volume-volume pour unefaible opacite Effet de I'oxygene du combustible

330 9

Table des matieres THERMALISATION DES NEUTRONS 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

10

46 46 46 47 47 47

et et et et et et

198 198 199 199 199 200

49 49 49 50

et et et et

202 202 203 203

51 51 51 51 52 52 52 53 53

et et et et et et et et et

205 205 206 206 206 207 207 208 208

55 55 55 56 56 57 57

et et et et et et et

210 210 211 212 213 214 214

59 59 60 61 61

et et et et et

216 216 217 219 219

THEORIE MULTIGROUPE 10.1 10.2 10.3 10.4

11

Quelques valeurs moyennes et les plus probables Sections efficaces moyennes et effectives Sensibilite a la teneur en uranium 235 Optimum de moderation Problematique du bore Esquisse du formalisme de Westcott, Horowitz et Tretiakoff

Noyaux en theorie a deux groupes Condition critique en theorie a deux groupes Interface cceur-reflecteur en theorie a deux groupes Effet d'un petit absorbant en theorie a deux groupes

EMPOISONNEMENT PAR LES PRODUITS DE FISSION 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9

Forme canonique des equations de I'effet xenon Resolution analytique des equations de I'effet xenon Trajectoires dans le plan iode-xenon Pourquoi un pic de xenon apres arret? Resolution analytique des equations de I'effet samarium Arret d'un reacteur a quantite de samarium constante Instabilites spatiales dues a I'effet samarium Instabilites spatiales dues a I'effet xenon Pulsations naturelles d'un reacteur

12 EVOLUTION DU COMBUSTIBLE (NOYAUX LOURDS) 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

13

Apparition du plutonium Branchement dans la chatne aboutissant a ('uranium 233 Effet de surcrolt d'uranium 233 Compositions d'equilibre Derivee a I'origine du facteurde reproduction Temps de doublement d'une filiere surgeneratrice Utilisation d'une matiere fissile

EFFETSDE TEMPERATURE 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Variation du coefficient Doppler avec la temperature Stabilite d'un reacteur Accident de reactivite Condition pour un coefficient de dilatation negatif Effet de dilatation sur les fuites

Table des matieres

II 14

331

ELEMENTS SUR LES CALCULS DE NEUTRONIQUE

EQUATION DE BOLTZMANN

14.1 Etude de I'equation de Boltzmann 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5

Equivalence des deux formes de I'operateur de transport Solution exacte en ('absence d'absorption Longueur de relaxation Longueur de diffusion Noyau integral en geometries a une et deux dimensions

65 65 65 66 66

et et et et et

223 224 225 226 227

14.2 Traitement de I'energie et du temps 14.6

Theorie multigroupe ettraitement de la derivee temporelle

67 et 227

14.3 Probabilites de collision 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14

Theoreme de Cauchy Theoreme de reciprocite (et probabilites d'absorption) Moments de la corde Probabilites de collision pour une sphere Probabilites de collision dans un damier Calcul du facteur de desavantage Calcul numerique des probabilites de collision Approximations deWigner, de Bell-Wigner etde Carlvik

68 68 69 69 69 69 70 71

et et et et et et et et

228 229 229 230 230 230 231 232

72 72 72 73

et et et et

233 234 234 235

14.4 Traitement de la forme integrodifferentielle 14.15 14.16 14.17 14.18

Inconnues du schema « diamant» Maximum du pas en espace Problemede Milne Formulation paire-impaire de I'equation de Boltzmann

14.5 Mode fondamental 14.19 Fonctions propres elementaires du laplacien 14.20 Coefficient de diffusion en mode fondamental 14.21 Correction de Behrens

74 et 238 74 et 238 76 et 239

14.6 Methode de Monte-Carlo 14.22 14.23 14.24 14.25

Tirageselon la loi d'une puissance Tirage d'un point dans un cercle Probleme de I'aiguille de Buffon Evaluation d'une probabilite antitrappe

77 77 77 78

et et et et

240 241 241 241

15 THEORIE DE L'ABSORPTION RESONNANTE DES NEUTRONS 15.1 15.2 15.3 15.4

Fonction de Bell dans I'approximation de Carlvik Etude de la section equivalents de dilution Modele de ralentissement statistique Autoprotection et equivalence continu-multigroupe

79 et 242 79 et 242 80 et 243 80 et 243

332

Table des matieres

15.5 15.6 15.7

Effet d'interference entre noyaux resonnants Densite de probabilite d'une section efficace gaussienne Representation d'integrales effectives par table de probabilite

80 et 243 81 et 244 81 et 245

16 THEORIE DES PERTURBATIONS 16.1 16.2 16.3

Poids en reactivite d'un nucleide Ponderation axiale de I'empoisonnement par le xenon Accident de « bouchon d'eau claire»

82 et 246 82 et 246 83 et 247

17 APERQU GENERAL SUR LE «SCHEMA DE CALCUL» 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8

Evaluation des nombres d'inconnues Erreur de I'hypothese d'isotropie de courants d'interface Parametres d'un groupe equivalent de neutrons retardes Reflecteur equivalent Homogeneisation en transport Homogeneisation et equivalence transport-diffusion Effet axial des contre-reactions dans un cceur Effet axial de Devolution dans un cceur

84 86 87 87 87 88 89 90

et et et et et et et et

248 249 250 251 252 252 254 255

91 92 92 92 93 93

et et et et et et

256 257 258 258 260 260

18 APERQU SUR LES PROBLEMES DE CONCEPTION DES CCEURS 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6

Choix du diametre des pastilles Fuites effectives Choix du fractionnement et de la teneur du combustible Prolongation de cycle Usure d'un poison consommable Interface uranium-plutonium

III

SUJETS D'EXAMEN

EXAMENDEDECEMBRE1994 Etude de quelques aspects physiques du recyclage du plutonium

dans les reacteurs a eau sous pression Optimum de moderation et coefficients de reactivite Parametres caracterisant la cinetique Necessite d'un zonage des assemblages MOX

98 et 265 98 et 266 99 et 267

EXAMENDEDECEMBRE1995 Reduction de la masse critique grace a un reflecteur Quelques elements concernant la conception d'absorbants de compensation de la reactivite

101 et 269 103 et 271

Table des matieres

333

EXAMEN DEDECEMBRE 1996 Etude d'un reacteur a eau homogene

105 et 275

EXAMEN DEDECEMBRE 1997 Facteur de multiplication d'une configuration spherique Modelisation simplified de la capture resonnante des neutrons

109 et 280 110 et 281

EXAMEN DEDECEMBRE 1998 Optimisation d'une colonne thermique Etude du facteur de multiplication infini d'un reacteur modere avec de I'eau ordinaire

112 et 284 113 et 285

EXAMEN DEDECEMBRE 1999 Evaluation de la largeur de la «trappe » associee a une resonance Quelques ordres de grandeur relatifs a la « pile de Fermi» Evaluation de I'efficacite d'une barre de commande Etude d'une divergence

115 116 117 118

et et et et

287 288 289 289

EXAMEN DE MARS 2000 Probabilites de collision pour une plaque infinie Evaluation du nombre d'histoires a simuler dans un calcul Monte-Carlo Equivalence en reactivite Integration numerique d'une equation differentielle

119 et 290 120 et 291 120 et 291 121 et 292

EXAMEN DE DECEMBRE 2000 Etude de la taille critique d'une solution uranifere il y a 2,5 milliards d'annees Teneur de I'uranium Evaluation du facteur antitrappe Bilan des neutrons thermiques Taille critique Optimum de moderation

122 122 123 124 124

et et et et et

293 293 294 294 294

125 125 126 126

et et et et

296 296 297 298

EXAMEN DE MARS 2001 Largeur d'une resonance Calcul des probabilites de premiere collision Autoprotection en situation heterogene Fonctions propres de I'operateur laplacien EXAMEN DEDECEMBRE2001 Reaction de capture par le bore 10 Theorie a « un groupe et demi» Efficacite d'un absorbant

128 et 299 128 et 300 129 et 301

EXAMEN DE MARS 2002 Resonance en « creneau » Calcul du flux en phase dans une plaque Homogeneisation d'un milieu a grains

131 et 303 132 et 304 133 et 305

334

Table des matieres

EXAMEN DEDECEMBRE 2002 Radioactivite de I'uranium Fraction apparente des neutrons retardes Variation de la taille critique avec ('introduction d'un absorbant Comparaison des potentialites d'incineration de quatre types de reacteurs

134 et 307 134 et 308 135 et 308 136 et 310

EXAMEN DE MARS 2003 Efficacite d'un poison neutronique Approximation de la diffusion Table de probabilite d'une section efficace

138 et 312 138 et 313 140 et 315

EXAMEN DENOVEMBRE 2003 Equations devolution : production de tritium a partir de lithium Probabilites de collision et equation de la diffusion : etude de la depression du flux dans un absorbant

142 et 317 143 et 319

EXAMEN DEFEVRIER 2004 Etude d'un modele simplifie de cinetique Notion d'equivalence en neutronique Calcul d'une configuration experimental

145 et 322 146 et 323 146 et 324

Collection Genie Atomique Le cycle du combustible nucleaire L. Patarin, 2002, 224 pages, 39 €

L'economie de I'energie nucleaire E. Bertel et G. Naudet, 2004,448 pages, 49 €

II faut de nombreuses operations pour transformer I'uranium extrait de la mine en crayon. De meme, apres son passage dans le cceur des reacteurs, le combustible use suit un long chemin entre retraitement, recyclage et conditionnement avant de devenir un dechet ultime.

Le choix du systeme de production energetique est un enjeu fondamental, non seulement economique mais aussi strategique, social et environnemental. Un developpement durable ne peut se concevoir sans une analyse complete de I'ensemble des couts.

Precis de neutronique P. Reuss, 2003, 534 pages, 69 €

Sciences des materiaux pour le nucleaire C. Lemaignan, 2004,160 pages, 34 €

Branche essentielle de la physique nucleaire, la neutronique traite du cheminement des neutrons dans les reacteurs nucleaires et de I'ensemble des reactions qu'ils y induisent, notamment les fissions des noyaux lourds a I'origine de la reaction en chame et de la production d'energie.

Les materiaux des installations nucleaires sont soumis a des contraintes tres particulieres : temperature et pression elevees, transmutations ou deplacements atomiques induits par les rayonnements... Leur connaissance approfondie est un element crucial de la surete nucleaire.

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