Physique de la turbulence: Des tourbillons aux ondes 9782759825660

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S´ ebastien Galtier

Physique de la Turbulence Des tourbillons aux ondes

Dans la même collection Comprenons-nous vraiment la mécanique quantique ? 2e édition Franck Laloë Mécanique Quantique - Tomes 1, 2 et 3 - Nouvelle édition Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu et Franck Laloë La théorie statistique des champs François David Physique quantique, information et calcul Pascal Degiovanni, Natacha Portier, Clément Cabart, Alexandre Feller et Benjamin Roussel Le temps dans la géolocalisation par satellites Pierre Spagnou et Sébastien Trilles Retrouvez tous nos ouvrages et nos collections sur http://laboutique.edpsciences.fr

Illustration de couverture : Simulations numériques directes de la turbulence forte en hydrodynamique 2D (bas) et de la turbulence faible d’ondes gravitationnelles (haut). Sont montrées respectivement la vorticité signée et les fluctuations d’une composante de la métrique espace-temps. Imprimé en France c 2021, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de

Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS Éditions, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. EDP Sciences ISBN (papier) : 978-2-7598-2535-6, ISBN (ebook) : 978-2-7598-2566-0 CNRS Éditions ISBN (papier) : 978-2-271-13783-8, ISBN (ebook) : 978-2-271-13785-2

Table des matières Préface

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Avant-propos

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Première partie : Turbulence forte

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1 Introduction 1.1 Bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Premières avancées cognitives . . . . . . 1.1.2 Loi de Kolmogorov et intermittence . . . 1.1.3 Théories spectrales et fermetures . . . . . 1.1.4 Cascade inverse . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Essor de la simulation numérique directe 1.1.6 La turbulence aujourd’hui . . . . . . . . 1.2 Chaos et imprédictibilité . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Transition vers la turbulence . . . . . . . . . . . 1.4 Outils statistiques et symétries . . . . . . . . . . 1.4.1 Moyenne d’ensemble . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Autocorrélation . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Distribution et densité de probabilité . . 1.4.4 Moments et cumulants . . . . . . . . . . 1.4.5 Fonctions de structure . . . . . . . . . . . 1.4.6 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Lois de Kolmogorov en hydrodynamique 2.1 Les équations de Navier-Stokes . . . . . . . 2.2 Turbulence et chauffage . . . . . . . . . . . 2.2.1 Expérience de Joule . . . . . . . . . 2.2.2 Taux moyen de dissipation d’énergie 2.2.3 Brisure spontanée de symétrie . . . 2.3 Équation de Kármán-Howarth . . . . . . . . 2.4 Hypothèse de localité et cascade . . . . . . 2.5 Loi exacte de Kolmogorov . . . . . . . . . . 2.6 Phénoménologie de Kolmogorov . . . . . . . 2.7 Dissipation inertielle . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Conjecture d’Onsager . . . . . . . . 2.7.2 Formulation faible . . . . . . . . . . 2.8 Intermittence . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Qu’est-ce que l’intermittence? . . .

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Physique de la Turbulence 2.8.2 Modèle fractal . . . 2.8.3 Modèle log-normal . 2.8.4 Modèle log-Poisson 2.8.5 Contraintes exactes Bibliographie . . . . . . . . . . .

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3 Théorie spectrale en hydrodynamique 3.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Tenseur spectral . . . . . . . . 3.1.2 Spectre d’énergie . . . . . . . . 3.2 Conservation détaillée de l’énergie . . 3.3 Théorie statistique . . . . . . . . . . . 3.3.1 Flux et transfert . . . . . . . . 3.3.2 Spectre de Kolmogorov . . . . 3.3.3 Hiérarchie infinie d’équations . 3.3.4 Fermeture QN . . . . . . . . . 3.3.5 Fermetures EDQN et EDQNM 3.3.6 Fermeture DIA . . . . . . . . . 3.4 Turbulence bi-dimensionnelle . . . . . 3.4.1 Phénoménologie de Fjørtoft . 3.4.2 Conservation détaillée . . . . . 3.4.3 Solutions en loi de puissance . 3.4.4 Flux d’énergie et d’enstrophie 3.5 Cascade duale . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Modèle de diffusion non-linéaire . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Application : la turbulence magnétohydrodynamique 4.1 Turbulence du vent solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 La MHD incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Lois exactes des 4/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Dissipation inertielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Intermittence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Hélicité magnétique et cascade inverse . . . . . . . . . . 4.7 Conjecture d’équilibre critique . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Perspective : la turbulence compressible 5.1 Turbulence supersonique du milieu interstellaire . 5.2 Loi exacte en turbulence compressible . . . . . . 5.3 Phénoménologie compressible . . . . . . . . . . . 5.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Table des matières Exercice et correction I 1. Turbulence HD 1D : l’équation de Burgers . . . . . . . . . . . . . 2. Turbulence HD 2D : la conservation détaillée . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Deuxième partie : Turbulence d’ondes

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6 Introduction 6.1 Bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Préhistoire . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Interactions d’ondes résonnantes . . . . 6.1.3 Méthode des échelles multiples . . . . . 6.1.4 Spectre de Kolmogorov-Zakharov . . . 6.1.5 Applications de la turbulence d’ondes . 6.2 Méthode des échelles multiples . . . . . . . . . 6.2.1 Équation de Duffing . . . . . . . . . . . 6.3 Modèle faiblement non-linéaire . . . . . . . . . 6.3.1 Équation fondamentale . . . . . . . . . 6.3.2 Relation de dispersion et résonance . . 6.3.3 Développement asymptotique uniforme Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 Théorie de la turbulence d’ondes capillaires 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Phénoménologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Théorie analytique : équation fondamentale . . . 7.4 Théorie analytique : approche statistique . . . . 7.5 Conservation détaillée de l’énergie . . . . . . . . 7.6 Solutions exactes et transformation de Zakharov 7.7 Nature des solutions exactes . . . . . . . . . . . . 7.8 Confrontation avec l’expérience . . . . . . . . . . 7.9 Simulation numérique directe . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 Application : les ondes inertielles 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Que savons-nous sur la turbulence en rotation? 8.2.1 Expériences de laboratoire . . . . . . . 8.2.2 Simulations numériques . . . . . . . . . 8.2.3 Théories . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Ondes inertielles hélicitaires . . . . . . . . . . . 8.4 Prédictions phénoménologiques . . . . . . . . . 8.5 Théorie de la turbulence d’ondes inertielles . . 8.6 Interactions triadiques locales . . . . . . . . . . 8.6.1 Équation de diffusion non-linéaire . . . 8.6.2 Solutions stationnaire et auto-similaire

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Physique de la Turbulence 8.6.3 Étude numérique . . . . . . . . . . 8.6.4 Universalité de l’anomalie spectrale 8.7 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 Application : les ondes d’Alfvén 9.1 La MHD en variables d’Elsässer . . . . . . . . . . . 9.2 Phénoménologie d’Iroshnikov-Kraichnan . . . . . . 9.2.1 Fondement de la phénoménologie triadique 9.2.2 Phénoménologie anisotrope . . . . . . . . . 9.3 Théorie de la turbulence d’ondes d’Alfvén . . . . . 9.3.1 Variables canoniques . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Condition de résonance . . . . . . . . . . . 9.3.3 Équations cinétiques . . . . . . . . . . . . . 9.3.4 Traitement du mode 2D (k = 0) . . . . . 9.3.5 Autres résultats . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Simulation numérique directe . . . . . . . . . . . . 9.5 Application : la couronne solaire . . . . . . . . . . 9.6 Au-delà de la MHD standard . . . . . . . . . . . . 9.7 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 Perspective : la turbulence d’ondes gravitationnelles 249 10.1 Turbulence d’ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 249 10.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Exercice et correction II 257 1. Modèle MHD de diffusion non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2. Turbulence d’ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Annexe : formulaire

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Index

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Pr´ eface C’est bien sˆ ur avec grand plaisir que j’´ecris cette pr´eface. S´ebastien Galtier est un sp´ecialiste mondial des ´ecoulements turbulents dans le contexte de la g´eophysique et de l’astrophysique, et il est l’auteur de plusieurs ouvrages sur diff´erents aspects de ce vaste sujet. Ce nouveau manuel p´edagogique sur la turbulence, r´edig´e en fran¸cais, est tout `a fait bienvenu mˆeme si, comme l’auteur le pr´ecise dans l’introduction, de nombreux livres, particuli`erement en anglais mais aussi en russe, existent d´ej`a, sans pour autant traiter des mˆemes sujets dans le d´etail. Une particularit´e importante de ce livre est qu’il fait la part (`a peu pr`es) ´egale a` la turbulence forte, pour laquelle nous n’avons toujours pas de solution compl`ete, et a` la turbulence faible en pr´esence d’ondes, pour laquelle des progr`es substantiels ont ´et´e r´ealis´es d`es les ann´ees 1960, en Union Sovi´etique en ce qui concerne en particulier la physique des plasmas, et aux U.S.A. o` u les recherches ont ´et´e plus centr´ees sur la physique de l’atmosph`ere et des oc´eans, c’est-` a-dire en pr´esence de rotation et de gravit´e, et pour des param`etres d’interaction relativement faibles (rapport de la p´eriode des ondes aux temps caract´eristiques des tourbillons non-lin´eaires). Cela lui permet de faire des analogies, loin d’ˆetre uniquement formelles, entre ces deux aspects de la turbulence, et c’est un des points forts du livre. Une autre particularit´e de ce manuel est que, dans le dernier chapitre, on trouve le traitement de la turbulence faible d’ondes gravitationnelles. De ce point de vue, ce texte p´edagogique vient ´evidemment `a point nomm´e 100 ans apr`es la d´emonstration th´eorique de l’existence de telles ondes par Einstein. L’exp´erience de l’auteur, depuis de nombreuses ann´ees, dans diff´erents domaines de la turbulence, faible et forte, fluide ou en pr´esence de champs magn´etiques, l’a amen´e `a un effort de synth`ese qui est le bienvenu, et qui de plus rend la lecture fort agr´eable. Je ne peux attester les faits d´ecrits dans la partie historique de l’introduction, mais ce que j’y lis correspond en effet a` la geste traditionnelle sur ce sujet. Le livre s’appuie ´egalement sur les nombreux progr`es r´ealis´es `a propos des ´ecoulements fortement turbulents dans les trente derni`eres ann´ees. Il est donc utile pour se maintenir au courant de ces d´eveloppements au niveau Master et au-del` a, avec un large domaine d’applications pour ce qui est de l’ing´enierie, de la g´eophysique et de l’astrophysique. S´ebastien Galtier discute avec un certain degr´e de d´etail plusieurs points d´elicats ou obscurs dans le traitement analytique de la turbulence faible, et

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en faisant d’ailleurs des analogies avec la turbulence forte (par exemple pour ce qui est du spectre pr´ecurseur aux spectres auto-similaires exacts). Ceci devra s’av´erer tr`es utile aux juniors (et s´eniors) s’int´eressant `a la turbulence d’ondes, sujet qui suscite de nouveau beaucoup d’int´erˆet apr`es les premiers succ`es des ann´ees 1960, ceci ´etant dˆ u a` une puissance accrue des ordinateurs, a des mesures de laboratoire plus pr´ecises et `a un ´elargissement des domaines ` d’application. Enfin, je signale que quelques exercices ponctuent le livre. En conclusion, S´ebastien Galtier a r´edig´e un manuel int´eressant et fort utile, donnant un tour d’horizon moderne et une ouverture sur la litt´erature actuelle concernant plusieurs aspects nouveaux des ´ecoulements turbulents, omnipr´esents dans l’Univers. Annick Pouquet Laboratory for Atmospheric and Space Physics, Boulder (Research Scientist) National Center for Atmospheric Research (Emeritus)

Avant-propos L’encre, cette noirceur d’o` u sort une lumi`ere. Derni`ere Gerbe – Victor Hugo, 1856. Qui a pris l’avion sait d´efinir une zone de turbulences : elle se caract´erise par des secousses impr´evisibles, parfois violentes, souvent d´esagr´eables, allant jusqu’` a cr´eer une certaine angoisse chez le passager. Pour le physicien, au contraire, la turbulence est un sujet a` la fois agr´eable, fascinant et myst´erieux. Cet ouvrage propose un voyage dans le monde de la turbulence au cours duquel nous d´evoilerons, peu `a peu, les principales lois fondamentales r´egissant la physique de la turbulence de divers syst`emes. Nous verrons que depuis la premi`ere exp´erience historique de Reynolds en 1883 sur les liquides, la turbulence a ´et´e ´etudi´ee dans de tr`es nombreux syst`emes. De l’eau aux ondes gravitationnelles, en passant par les plaques m´etalliques vibrantes ou les plasmas astrophysiques, la turbulence est omnipr´esente en physique. La turbulence forte et la turbulence d’ondes sont les deux r´egimes que nous pouvons rencontrer dans la nature. L’attention des m´ecaniciens des fluides ´etant focalis´ee avant tout sur l’hydrodynamique incompressible, c’est g´en´eralement le premier r´egime qui est trait´e dans les ouvrages sur la turbulence. Cependant, les physiciens s’int´eressent `a des syst`emes bien plus vari´es, o` u des ondes sont souvent pr´esentes. Dans ce cas, le second r´egime devient pertinent. Le parti pris dans cet ouvrage est de traiter, a` parts ´egales, la turbulence forte (partie I) et la turbulence d’ondes (partie II). Le cadre th´eorique retenu sera celui de la turbulence statistiquement homog`ene pour laquelle un comportement universel est attendu. Chaque partie d´ebute pas un bref historique sur l’´evolution des id´ees, et l’´emergence des principaux concepts et r´esultats (chapitres 1 et 6). La premi`ere partie est consacr´ee aux lois fondamentales de la turbulence forte (chapitres 2 a` 5). Nous nous limiterons aux r´esultats les plus importants, en commen¸cant par l’hydrodynamique incompressible et les lois de Kolmogorov. Ondes et turbulence sont les deux piliers de la seconde partie. Nous verrons que le r´egime de turbulence d’ondes offre la possibilit´e de d´evelopper une th´eorie analytique (chapitres 7 a` 10). Au-del`a de sa beaut´e math´ematique, cette th´eorie spectrale permet de comprendre en profondeur un syst`eme faiblement non-lin´eaire et de d´evelopper une intuition sur la physique de la turbulence forte d’ondes. Nous verrons que ces deux r´egimes de turbulence ne sont pas ind´ependants l’un de l’autre. Au contraire, l’un peut

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Physique de la Turbulence

´emerger de l’autre au cours du processus de cascade ; les deux r´egimes peuvent ´egalement coexister et ˆetre en interaction permanente. Bien que non-exhaustif, ce livre offre un tour d’horizon relativement large sur la turbulence qui devrait permettre aux chercheurs d´ebutants d’acqu´erir une connaissance fondamentale sur des sujets, parfois en plein d´eveloppement. Cet ouvrage s’est construit `a partir d’un enseignement de turbulence que ´ je d´elivre depuis plusieurs ann´ees `a l’Ecole polytechnique a` des ´etudiants de Master 2 (Master de Physique des Plasmas d’Ile-de-France sous la tutelle de l’Universit´e Paris-Saclay, l’Institut Polytechnique de Paris et SorbonneUniversit´e). Il est donc, en partie, le r´esultat d’interactions fructueuses avec mes ´etudiants que je tiens `a remercier. Je remercie ´egalement Vincent David pour sa lecture attentive du manuscrit, et C´ecile pour son aide dans la mise en forme finale. Enfin, je tiens `a remercier tous mes coll`egues avec qui je partage ma passion sur ce sujet et qui ont contribu´e, `a leur fa¸con, `a l’´ecriture du pr´esent ouvrage ; je remercie, en particulier, Nahuel Andr´es, Supratik Baner´ ¨ ur G¨ jee, Amitava Battacharjee, Eric Buchlin, Stephan Fauve, Ozg¨ urcan, Lina Hadid, Romain Meyrand, Sergey Nazarenko, Alan Newell, H´el`ene Politano, Annick Pouquet et Fouad Sahraoui. S´ebastien Galtier, avril-juillet 2020

Chapitre 1 Introduction La turbulence est souvent d´efinie comme l’´etat chaotique d’un fluide. L’exemple qui nous vient imm´ediatement `a l’esprit est celui de l’eau : les turbulences dans l’eau prennent la forme de tourbillons dont la taille, la localisation et l’orientation varient constamment. Un tel ´ecoulement est caract´eris´e par un comportement tr`es d´esordonn´e difficile `a pr´evoir, et par l’existence de multiples ´echelles spatiales et temporelles. Les exp´eriences de la vie quotidienne sont nombreuses o` u l’on peut v´erifier la pr´esence de turbulences : les mouvements agit´es d’un cours d’eau en aval d’un obstacle, ceux de la fum´ee s’´echappant d’une chemin´ee, ou bien encore les zones de turbulence que nous traversons parfois en avion. Exp´erimenter la turbulence a` notre ´echelle semble ais´e puisqu’il n’est pas n´ecessaire d’utiliser de puissants microscopes ou t´elescopes. Une compr´ehension analytique d´etaill´ee de la turbulence reste cependant limit´ee `a cause de la difficult´e intrins`eque `a la physique non-lin´eaire. De ce fait, on peut souvent lire que la turbulence est l’un des derniers grands probl`emes non-r´esolus de la physique classique. Cette affirmation longtemps v´ehicul´ee, que l’on trouve par exemple dans l’ouvrage de Feynman et al. (1964), ne correspond plus a` la vision moderne. En effet, mˆeme si la turbulence reste un sujet de recherche tr`es actif, nous disposons a` ce jour de nombreux r´esultats th´eoriques, num´eriques, exp´erimentaux et observationnels qui nous permettent de comprendre de mani`ere d´etaill´ee la physique de la turbulence. Cet ouvrage a pour objectif de pr´esenter les principales lois fondamentales de la turbulence en r´eunissant pour la premi`ere fois 1 les r´egimes de turbulence forte (partie I) et de turbulence d’ondes (partie II). Nous verrons que beaucoup de r´esultats ont ´et´e obtenus depuis les premiers pas r´ealis´es notamment par Richardson (1922), il y a pr`es d’un si`ecle. Les nombreux exemples abord´es dans cet ouvrage r´ev`elent que la pr´esentation classique de la turbulence, faite a` partir des ´equations de Navier-Stokes (Frisch, 1995 ; Lesieur, 1997 ; Chassaing, 2000), s’av`ere tr`es r´eductrice car la turbulence se retrouve dans divers milieux, 1. Cette remarque concerne avant tout les ouvrages en anglais car un seul ouvrage didactique sur la turbulence forte (essentiellement sur l’hydrodynamique incompressible) a ´et´ e publi´e en fran¸cais (Chassaing, 2000).

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Physique de la Turbulence

sous diverses formes. Si on se restreint `a l’exemple standard de l’hydrodynamique incompressible, la simple introduction d’une rotation uniforme pour d´ecrire des fluides g´eophysiques modifie drastiquement la physique de la turbulence en y ajoutant de l’anisotropie. En astrophysique, 99 % de la mati`ere visible de l’univers est sous forme de plasma qui est en g´en´eral tr`es turbulent, or la turbulence dans les plasmas m´elange ondes et tourbillons. Le r´egime de turbulence d’ondes, d´ecrit dans la partie II, peut ´emerger d’une plaque m´etallique vibrante ; ici, on est loin de l’image classique des tourbillons de l’eau. Enfin, les ´etudes les plus modernes r´ev`elent que l’inflation cosmologique qui a suivi le Big Bang pourrait trouver son origine dans la turbulence forte d’ondes gravitationnelles. L’objectif de cette premi`ere partie est de pr´esenter les lois fondamentales de la turbulence forte. Nous nous limiterons aux lois physiques les plus importantes. Le cadre th´eorique retenu sera celui d’une turbulence statistiquement homog`ene pour laquelle un comportement universel est attendu. Les probl`emes d’inhomog´en´eit´es inh´erents aux exp´eriences de laboratoire ne seront donc pas ` travers les exemples abord´es, nous d´evoilerons peu a` peu l’´etat des trait´es. A connaissances en turbulence. Pour nous aider dans cette tˆ ache, nous commen¸cons par une br`eve pr´esentation historique.

1.1 1.1.1

Bref historique Premi` eres avanc´ ees cognitives

L´eonard de Vinci fut probablement le premier a` introduire le mot turbulence (’turbulenza’) au d´ebut du XVIe si`ecle pour d´ecrire les mouvements tumultueux de l’eau. Cependant, le mot turbulence ne fut employ´e couramment par les scientifiques que bien plus tard 2 . La premi`ere avanc´ee scientifique notable dans le domaine de la turbulence peut ˆetre attribu´ee `a Reynolds (1883) : celui-ci mit en ´evidence exp´erimentalement que la transition entre les r´egimes laminaire et turbulent ´etait li´ee `a un nombre sans dimension – le nombre de Reynolds 3 . L’exp´erience, qu’on peut facilement reproduire en laboratoire, consiste `a faire s’´ecouler dans un tube rectiligne transparent un filet color´e du mˆeme liquide que celui qui circule dans le tube (voir la figure 1.1). On peut montrer que la transition vers la turbulence a lieu lorsque le nombre de Reynolds devient sup´erieur `a une valeur critique. Une ´etape importante dans cette d´ecouverte est le fait de constater que la tendance `a former des tourbillons augmente avec la temp´erature de l’eau, or, Reynolds savait que dans ce cas la viscosit´e diminuait. Il montra ´egalement le rˆ ole important jou´e par le d´eveloppement d’instabilit´es dans cette transition vers la turbulence. La Premi`ere Guerre mondiale fut propice a` de nouvelles avanc´ees importantes. Les efforts de guerre en Allemagne et, en particulier, sous 2. Par exemple, l’ouvrage de Boussinesq (1897) porte encore le titre ´evocateur : « Th´ eorie de l’´ ecoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes a ` grande section. » 3. Le nombre de Reynolds mesure le rapport entre la force d’inertie et la force visqueuse. Nous reviendrons plus loin sur cette d´efinition.

1. Introduction

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Fig. 1.1 – Exp´erience historique de Reynolds (1883) (en haut) et ses observations (en bas). L’appareil original est conserv´e ` a l’Universit´e de Manchester.

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Physique de la Turbulence

l’influence de Prandt a` G¨ ottingen, ont orient´e les recherches dans le domaine de l’a´erodynamique avec l’´etude de la chute des bombes dans l’air ou l’eau. Il s’agit ici d’´etudier, par exemple, la traˆın´ee d’une sph`ere ; ces travaux furent ensuite utilis´es pour la conception d’avions. Apr`es la guerre, les recherches en turbulence se sont accrues : on peut citer, par exemple, les r´esultats sur les effets inhomog`enes dus aux parois dans les exp´eriences en soufflerie (Burgers, 1925). Mais c’est avec Richardson (1922) qu’arrive une seconde avanc´ee majeure en turbulence : dans son ouvrage sur les pr´edictions m´et´eorologiques et le calcul num´erique 4 , Richardson introduisit le concept fondamental de cascade d’´energie. Inspir´e par l’´ecrivain irlandais J. Swift, Richardson ´ecrivit (page 66) : « Big whirls have little whirls that feed on their velocity. Little whirls have lesser whirls and so on to viscosity - in the molecular sense ». Nous trouvons ici l’id´ee d’une cascade de tourbillons des grandes vers les petites ´echelles spatiales. C’est probablement en ayant en tˆete cette id´ee que Richardson (1926) formula la loi empirique 5 des 4/3 pour d´ecrire le processus de diffusion turbulente. Cette loi diff`ere de celle propos´ee par Einstein en 1905 sur la diffusion de petites particules dans un liquide (le mouvement Brownien) qui, manifestement, n’´etait pas en accord avec les exp´eriences de turbulence, lesquelles montraient une diffusion nettement plus ´elev´ee 6 . La nouvelle loi propos´ee est caract´eris´ee par une diffusivit´e D non-constante et d´ependant de l’´echelle consid´er´ee, telle que : (1.1) D ∼ 4/3 . Cette relation traduit le fait que dans un liquide turbulent la diffusivit´e augmente avec la s´eparation moyenne  entre les paires de particules. Cette loi d’´echelle est fondamentale car nous y trouvons les pr´emices de la loi exacte des 4/5 de Kolmogorov (1941a) avec laquelle elle est en accord dimensionnellement. C’est toujours au cours de cette p´eriode de l’entre-deux-guerres qu’ont ´emerg´e les premiers travaux bas´es sur les corr´elations 7 en deux points (Taylor, 1935) et l’analyse spectrale des fluctuations par transform´ee de Fourier qui sont devenus les fondements de la recherche moderne en turbulence (Motzfeld, 1938 ; Taylor, 1938). L’approche par les corr´elations aboutit, en particulier, a` l’´equation de von Karman et Howarth (1938) pour une turbulence hydrodynamique incompressible, statistiquement homog`ene et isotrope 8 . Cette ´equation d´ecrit la dynamique du fluide a` travers des corr´elateurs – des mesures en deux points dans l’espace physique. Comme nous le verrons plus loin, ce r´esultat est central pour l’´etablissement de la loi exacte des 4/5 de Kolmogorov (1941a) qui 4. On entends ici par calcul num´erique, le calcul r´ealis´ e` a la main avec une m´ethode essentiellement bas´ee sur les diff´erences finies. 5. Cette loi empirique ne doit pas ˆetre confondue avec la loi exacte des 4/3 qui porte sur les fonctions de structure (voir le chapitre 2). 6. Il est connu qu’un nuage de lait se dilue plus rapidement dans le th´e si on donne un coup de cuiller. 7. C’est le britannique Francis Galton (1822-1911) qui semble avoir ´et´ e le premier ` a introduire correctement le concept de corr´elation pour des ´etudes statistiques en biologie. 8. C’est l’isotropie forte qui est consid´er´ ee ici sur laquelle nous reviendrons plus loin.

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1. Introduction

n’est pas une ´equation dynamique, mais une solution statistique des ´equations de Navier-Stokes.

1.1.2

Loi de Kolmogorov et intermittence

Dans les ann´ees 1930 et sous l’impulsion du math´ematicien Kolmogorov, ` cette ´epoque, Kolmogol’´ecole sovi´etique devint tr`es active en turbulence. A rov travaillait sur les processus stochastiques et les fonctions al´eatoires. C’est donc naturellement qu’il se pencha sur la turbulence o` u un vivier de donn´ees ´etait disponible. En s’inspirant de certains travaux d´ecrits plus haut, Kolmogorov et son ´etudiant Obukhov s’attel`erent `a ´elaborer une th´eorie pour le cas standard de la turbulence hydrodynamique incompressible, statistiquement homog`ene et isotrope. En s’appuyant, en particulier, sur l’´equation de von Karman et Howarth (1938), Kolmogorov (1941a,b) ´etablit la premi`ere loi statistique exacte de turbulence – dite des 4/5 – qui fait le lien entre une fonction de structure d’ordre trois 9 faisant intervenir la diff´erence de la composante selon la direction  de la vitesse entre deux points distants de  , la distance  et le taux moyen de dissipation de l’´energie cin´etique ε : 4 − ε = [u (x +  ) − u (x)]3  . 5

(1.2)

Pour ´etablir cette loi universelle, Kolmogorov suppose que la turbulence pleinement d´evelopp´ee devient isotrope a` une ´echelle suffisamment petite et ce, quelle que soit la nature de l’´ecoulement moyen. Il suppose aussi que ε devient ind´ependant de la viscosit´e dans la limite des grands nombres de Reynolds (c’est-`a-dire d’une faible viscosit´e). Apr`es plusieurs ann´ees de recherche, une premi`ere loi exacte est ´etablie pour laquelle il a ´et´e possible de s’affranchir du probl`eme de fermeture non-lin´eaire. L’astuce utilis´ee pour y parvenir fut de relier le terme non-lin´eaire cubique a` la dissipation moyenne de l’´energie dans la zone inertielle, c’est-` a-dire dans un intervalle de distance born´e entre les plus grandes ´echelles o` u les effets inhomog`enes peuvent se faire sentir, et les plus petites ´echelles o` u la viscosit´e amortit les fluctuations de mani`ere efficace. Nous reviendrons longuement sur la loi (1.2) dans le chapitre 2. La loi de Kolmogorov resta inaper¸cue plusieurs ann´ees (hors URSS). C’est Batchelor (1946) qui fut le premier a` d´ecouvrir l’existence des articles 10 de Kolmogorov : il r´ealisa imm´ediatement l’importance de ces travaux dont il fit part a` la communaut´e scientifique lors du VIe congr`es de Math´ematiques Appliqu´ees tenu a Paris en 1946 (Davidson et al., 2011). ` De son cˆot´e, ind´ependamment de Kolmogorov mais en s’inspirant des id´ees de Richardson (1922), de Taylor (1938) ainsi que des travaux de Millionschikov (1939, 1941) – un autre ´etudiant de Kolmogorov, Obukhov (1941) proposa une 9. Kolmogorov fut probablement le premier ` a s’int´eresser aux fonctions de structure qui sont construites ` a partir des diff´erences et non des produits d’un champ (ici le champ de vitesse) comme ce fut le cas avec l’´equation de von Karman et Howarth (1938). 10. La version anglaise des articles russes ´etait parvenue ` a la biblioth`eque de Cambridge Philosophical Society.

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Physique de la Turbulence

th´eorie (non-exacte) spectrale de la turbulence bas´ee sur la relation : ∂E +D =T , ∂t

(1.3)

avec E le spectre d’´energie, D la dissipation visqueuse et T le transfert d’´energie (dans l’espace de Fourier). La fermeture artificielle propos´ee repose sur une moyenne sur les petites ´echelles. Il obtint alors comme solution le spectre 11 : E(k) ∼ k −5/3 ,

(1.4)

qui est compatible dimensionnellement avec la loi exacte de Kolmogorov. En prolongeant cette ´etude, Obukhov fut ensuite capable d’apporter une justification th´eorique a` la loi d’´echelle empirique de diffusion de Richardson (1926). Plus tard, Yaglom (1949) obtint une nouvelle loi exacte appliqu´ee cette fois au scalaire passif : ce mod`ele d´ecrit comment ´evolue un scalaire, par exemple la temp´erature ou la concentration d’un produit, dans un fluide turbulent pour lequel la vitesse est donn´ee. Pendant une courte p´eriode, Kolmogorov pensa que le taux moyen de dissipation de l’´energie ´etait la clef pour ´etablir une loi exacte plus g´en´erale d´ecrivant la statistique a` n’importe quel ordre en termes de fonction de structure de la vitesse. Cette loi g´en´erale aurait permis d’obtenir une solution statistique compl`ete au probl`eme de turbulence hydrodynamique. Mais en 1944, Landau 12 pointa la faiblesse de la d´emonstration (propos´ee par Kolmogorov lors d’un s´eminaire) sur laquelle nous reviendrons plus tard dans le chapitre 2 : elle ne prend pas en compte les possibles fluctuations locales de ε, une propri´et´e appel´ee intermittence. Il fallut une vingtaine d’ann´ees pour que Obukhov (1962) et Kolmogorov (1962) proposent, en r´eponse `a Landau, un mod`ele (et non une loi exacte) de l’intermittence bas´e sur une statistique log-normale qui incorpore la loi exacte des 4/5 comme un cas particulier. La r´eponse de Kolmogorov fut donn´ee (en fran¸cais) lors d’une conf´erence tenue `a Marseille en 1961 pour c´el´ebrer l’ouverture de l’Institut de m´ecanique statistique de la turbulence. Cette conf´erence est devenue c´el`ebre car elle regroupait pour la premi`ere fois tous les grands sp´ecialistes (am´ericains, europ´eens et sovi´etiques) du sujet. C’est ´egalement au cours de cette conf´erence que le premier spectre d’´energie en k −5/3 mesur´e en mer fut annonc´e (Grant et al., 1962). Fondamentalement, la notion d’intermittence est li´ee `a la concentration de la dissipation dans des structures localis´ees de vorticit´e. Comme le mentionna Kolmogorov, l’intermittence peut modifier l´eg`erement l’exposant −5/3 du spectre d’´energie, mais sa contribution la plus importante est attendue pour des quantit´es statistiques d’ordres plus ´elev´es (la loi exacte n’´etant bien sˆ ur pas affect´ee). Cette nouvelle formulation est `a l’origine de travaux, en particulier, sur le concept de dimension fractale 11. En g´ en´ eral, cette solution est appel´ee spectre de Kolmogorov mais il serait plus juste de la nommer spectre de Kolmogorov-Obukhov. Ce spectre fut obtenu ind´ependamment par d’autres chercheurs comme Onsager (1945) ou Heisenberg (1948). 12. La remarque de Landau (Landau et Lifshitz, 1987) se trouve dans l’ouvrage original de 1944 (Davidson et al., 2011).

1. Introduction

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comme mod`ele de l’intermittence (Mandelbrot, 1974 ; Frisch et al., 1978) – voir le chapitre 2. Il est int´eressant de remarquer que nous trouvons d´ej`a la trace du concept de dimension fractionnaire dans l’ouvrage de Richardson (1922) o` u il est question de l’´etude des fronti`eres g´eographiques.

1.1.3

Th´ eories spectrales et fermetures

En cette p´eriode de l’apr`es-guerre, les fondements th´eoriques de la turbulence commencent `a s’´etablir. Le premier ouvrage exclusivement d´edi´e `a ce sujet est celui de Batchelor (1953) qui demeure encore une r´ef´erence en la mati`ere : il ` partir des ann´ees y est question de turbulence statistiquement homog`ene. A 1950 une question majeure semblait a` la port´ee des th´eoriciens : d´evelopper une th´eorie pour la turbulence homog`ene et isotrope afin d’obtenir rigoureusement le spectre d’´energie. Les travaux de Millionschikov (1941) (voir aussi Chandrasekhar (1955)) bas´es sur l’approximation quasi-normale (QN) avaient ouvert la voie : cette approximation – on parle de fermeture – suppose que les moments d’ordre quatre et deux sont reli´es comme dans le cas d’une distribution normale (gaussienne) sans pour autant faire cette approximation pour les moments d’ordre trois (qui seraient alors nuls, rendant le probl`eme trivial). Kraichnan (1957) fut le premier `a souligner que cette fermeture ´etait inconsistante car elle violait certaines in´egalit´es statistiques (les conditions de r´ealisabilit´e) et Ogura (1963) d´emontra num´eriquement que cette fermeture pouvait mener `a un spectre d’´energie n´egatif pour certains nombres d’onde. Dans cette quˆete, Kraichnan (1958, 1959) proposa une th´eorie sophistiqu´ee n’ayant pas les d´efauts que nous venons de mentionner : il s’agit de l’approximation d’interaction directe (DIA) qui est bas´ee sur des m´ethodes de th´eorie des champs, domaine o` u Kraichnan 13 avait ´et´e form´e initialement. L’id´ee fondamentale de cette approche est qu’un fluide perturb´e sur un intervalle de nombres d’onde va voir sa perturbation s’´etaler sur un grand nombre de modes. Dans la limite L → +∞, avec L le cˆot´e du cube dans lequel est confin´e le fluide, cet intervalle devient de taille infinie ce qui sugg`ere que le couplage de modes devient alors infiniment faible. La r´eponse `a la perturbation peut alors se traiter de mani`ere syst´ematique. Sous certaines hypoth`eses, deux ´equations int´egro-diff´erentielles sont obtenues pour les fonctions de corr´elation en deux points d’espace et deux de temps, et la fonction r´eponse. La pr´ediction d´eduite pour le spectre d’´energie, en k −3/2 , n’est cependant pas en accord dimensionnel avec la th´eorie de Kolmogorov, ni avec les principales mesures spectrales. Des am´eliorations ont ensuite ´et´e apport´ees (approche lagrangienne) pour r´esoudre certains probl`emes (non-invariance par transformation galil´eenne al´eatoire, spectre de Kolmogorov) (Kraichnan, 1966) : cette nouvelle th´eorie peut ˆetre vue comme le mod`ele de fermeture le plus 13. Kraichnan s’int´eressa ` a la turbulence au d´ebut des ann´ees 1950 alors qu’il ´etait postdoctorant d’Einstein. Ensemble, ils recherchaient des solutions non-lin´eaires aux ´equations des champs unifi´es.

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Physique de la Turbulence

sophistiqu´e 14 . Ces travaux ont donn´e lieu, en particulier, au d´eveloppement du mod`ele de fermeture EDQNM (eddy-damped quasi-normal Markovian) encore largement utilis´e de nos jours (Orszag, 1970) sur lequel nous reviendrons au chapitre 3.

1.1.4

Cascade inverse

La turbulence hydrodynamique bi-dimensionnelle est le premier exemple o` u une cascade inverse fut suspect´ee. La motivation pour l’´etude d’un tel syst`eme peut sembler a priori surprenante, mais plusieurs travaux montraient qu’une approche bi-dimensionnelle pouvait rendre compte de mani`ere assez satisfaisante de la dynamique atmosph´erique (Rossby et al., 1939). On sait aujourd’hui que la rotation, ou la stratification, de l’atmosph`ere terrestre a tendance a confiner sa dynamique non-lin´eaire dans des plans horizontaux 15 . Les pre` miers travaux sur la turbulence hydrodynamique bi-dimensionnelle remontent aux ann´ees 1950 avec, par exemple, Lee (1951) qui d´emontra qu’une cascade directe d’´energie violerait la conservation de l’enstrophie (proportionnelle a` la vorticit´e au carr´e) qui est le second invariant inviscide (c’est-` a-dire a` viscosit´e nulle) des ´equations. Batchelor (1953) avait aussi not´e `a la fin de son ouvrage que l’existence de ce deuxi`eme invariant devait contribuer a` faire ´emerger, par agr´egation, des tourbillons de plus en plus gros. Il conclut en affirmant la tr`es grande diff´erence entre la turbulence bi- et tri-dimensionnelle. En utilisant les deux invariants inviscides, ´energie et enstrophie, Fjørtoft (1953) fut capable, quant a` lui, de d´emontrer par des arguments d’ordre dimensionnel que l’´energie devait avoir tendance a` cascader pr´ef´erentiellement vers les grandes ´echelles. C’est dans ce contexte manifestement en faveur d’une cascade inverse ` l’aide d’´energie que Kraichnan s’int´eressa `a la turbulence bi-dimensionnelle. A d’un d´eveloppement analytique des ´equations de Navier-Stokes dans l’espace de Fourier, l’utilisation de sym´etries et sous certaines hypoth`eses comme l’invariance d’´echelle des moments triples, Kraichnan (1967) d´emontra rigoureusement l’existence d’une cascade duale – c’est-`a-dire dans deux directions diff´erentes – de l’´energie et de l’enstrophie (voir le chapitre 3). Cette pr´ediction est en accord avec les analyses pr´ec´edentes et l’existence d’une cascade directe d’enstrophie et d’une cascade inverse d’´energie pour laquelle le spectre propos´e est en k −5/3 . L’existence dans un mˆeme syst`eme de deux cascades diff´erentes ´etait tout a` fait nouveau en turbulence forte. Cette pr´ediction a depuis ´et´e v´erifi´ee avec pr´ecision a` la fois au niveau exp´erimental et num´erique (Leith, 1968 ; Pouquet et al., 1975 ; Paret et Tabeling, 1997 ; Chertkov et al., 2007). 14. En turbulence forte, aucune th´eorie spectrale exacte avec une fermeture analytique n’a ´ et´ e trouv´ee ` a ce jour. Cette situation contraste avec le r´egime de turbulence d’ondes pour lequel une fermeture asymptotique est possible (voir le chapitre 6). 15. Le chapitre 8 est consacr´e ` a la turbulence (hydrodynamique incompressible en rotation uniforme et rapide) d’ondes inertielles pour laquelle on peut d´emontrer rigoureusement que la cascade se r´eduit essentiellement ` a la direction transverse ` a l’axe de rotation. Cependant, on peut d´emontrer dans ce cas que la cascade d’´energie est directe.

1. Introduction

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Le deuxi`eme syst`eme le plus connu o` u une cascade inverse existe est celui de la magn´etohydrodynamique (MHD) : en utilisant certains arguments de Kraichnan (1967), Frisch et al. (1975) d´eduisirent dans le cas tri-dimensionnel, la possible existence d’une cascade inverse d’h´elicit´e magn´etique, une quantit´e qui joue un rˆ ole majeur dans le processus de dynamo en astrophysique (voir ` ce jour, nous connaissons plusieurs exemples de syst`eme turle chapitre 4). A bulent produisant une cascade inverse (voir, par exemple, l’article de revue de Pouquet et al. (2019)). La d´ecouverte de Kraichnan (1967) fut r´ealis´ee `a une p´eriode o` u la th´eorie de la turbulence d’ondes, r´egime qui fait l’objet de la partie II de cet ouvrage, commen¸cait `a produire des r´esultats importants. Le bref historique du chapitre 6 permet d’appr´ecier l’´evolution des id´ees sur ce sujet qui trouve une grande partie de ses fondements en turbulence forte (approche spectrale, zone inertielle, cascade, probl`eme de fermeture). Dans ce cadre, un probl`eme qui focalisa beaucoup d’attention fut celui de la turbulence d’ondes de gravit´e (qui est un exemple d’ondes de surface). Ce probl`eme traite d’interactions r´esonnantes `a quatre ondes : dans ce cas, il est possible d’avoir deux invariants inviscides, l’´energie et l’action d’onde. Le premier est caract´eris´e par une cascade directe et le second par une cascade inverse. L’´etude r´ealis´ee 16 par Zakharov et Filonenko (1966) (voir aussi Zakharov et Filonenko (1967)) se concentra uniquement sur le spectre d’´energie. Les auteurs obtinrent la solution exacte en loi de puissance associ´ee `a l’´energie, mais curieusement ils ne s’int´eress`erent pas `a la seconde solution et ne r´ealis`erent donc pas imm´ediatement qu’elle correspondait a` un nouveau type de cascade. En partant d’une ´etude similaire (qui fait intervenir des interactions r´esonnantes `a quatre ondes) sur la turbulence d’ondes de Langmuir faite par Zakharov (1967) et dans laquelle le spectre d’´energie avait ´et´e aussi obtenu, Kaner et Yakovenko (1970) trouv`erent la seconde solution exacte correspondant `a une cascade inverse d’action d’onde. C’est donc dans le domaine des plasmas que finalement l’existence d’une cascade duale fut d´emontr´e en turbulence d’ondes 17 . Soulignons ici une diff´erence majeure entre les deux r´egimes de turbulence : a la diff´erence de la turbulence forte, la th´eorie de la turbulence d’ondes est ` analytique (voir le chapitre 6). Dans ce cas, on peut d´evelopper une th´eorie asymptotique uniforme et obtenir les ´equations dynamiques du syst`eme puis, si elles existent, ses solutions spectrales exactes. Il est alors possible d’apporter la preuve analytique du type de cascade (directe ou inverse). On peut aussi prouver le caract`ere local de la turbulence (par une ´etude de convergence d’int´egrales) et donc ˆetre en accord avec une des hypoth`eses fondamentales de Kolmogorov. Pour cette raison, les solutions exactes non-triviales de turbulence d’ondes sont appel´ees spectres de Kolmogorov-Zakharov. Il existe plusieurs exemples en turbulence d’ondes o` u l’on a une cascade inverse d’action d’onde ; 16. Plusieurs autres ´etudes ont ´et´ e consacr´ees ` a la turbulence d’ondes de gravit´e. Le chapitre 6 expose certaines d’entre elles. 17. La seconde solution exacte correspondant ` a une cascade inverse d’action d’onde pour les ondes de gravit´e fut publi´ee par Zaslavskii et Zakharov (1982).

12

Physique de la Turbulence

au chapitre 10, nous pr´esentons le cas de la turbulence d’ondes gravitationnelles (Galtier et Nazarenko, 2017). Il est plus rare d’obtenir une cascade inverse dans le cas d’interactions r´esonnantes `a trois ondes. Un exemple est donn´e par la turbulence MHD en rotation : l’´energie cascade directement et l’h´elicit´e hybride (une h´elicit´e magn´etique modifi´ee) cascade inversement (Galtier, 2014). Pour conclure cette partie, remarquons que Robert Kraichnan et Vladimir Zakharov re¸curent en 2003 la m´edaille Dirac pour 18 : « their contributions to the theory of turbulence, particularly the exact results and the predictions of inverse cascade, and for identifying classes of turbulence problems for which in-depth understanding has been achieved ».

1.1.5

Essor de la simulation num´ erique directe

` partir des ann´ees 1970, une nouvelle m´ethode d’analyse de la turbulence A ´emerge : il s’agit de la simulation num´erique directe (Patterson et Orszag, 1971 ; Fox et Lilly, 1972). On entend par directe, la simulation des ´equations fluides elles-mˆemes et non un mod`ele de ces ´equations. Nous avons d´ej`a cit´e comme mod`ele l’approximation EDQNM utilis´ee en hydrodynamique (Orszag, 1970) ; il y a aussi le cas de la MHD avec l’´etude de la cascade inverse d’h´elicit´e magn´etique (Pouquet et al., 1976). Il existe d’autres mod`eles comme celui de la diffusion non-lin´eaire (Leith, 1967) ou ceux en coquille – on parle de « shell-model » (Biferale, 2003) – que nous aborderons dans le chapitre 3. Depuis ses d´ebuts, la simulation num´erique directe n’a cess´e de progresser. Elle repr´esente actuellement un moyen d’´etudier tr`es finement la turbulence ; elle constitue aussi un compl´ement indispensable aux ´etudes exp´erimentales. Il est impossible de r´esumer en quelques lignes les nombreux r´esultats obtenus dans le domaine du num´erique. Signalons simplement que l’augmentation r´eguli`ere de la r´esolution spatiale permet d’accroˆıtre le nombre de Reynolds et de d´ecrire des structures de plus en plus fines (voir la figure 1.2). Il est int´eressant de comparer la situation actuelle avec les premi`eres simulations num´eriques directes de turbulence hydrodynamique tri-dimensionnelle incompressible. Par exemple, Orszag et Patterson (1972) utilis`erent une r´esolution spatiale de 643 et, comme l’expliquent les auteurs, chaque pas de temps exigeait alors un temps de calcul de 30 s ! Il est aussi int´eressant de constater que la diffusion des connaissances prend un certain temps : par exemple, la premi`ere simulation num´erique directe de turbulence magn´etohydrodynamique tri-dimensionnelle incompressible fut r´ealis´ee par Pouquet et Patterson (1978) avec une r´esolution spatiale de 323 . De nos jours, une simulation num´erique directe standard de turbulence se fait, en g´en´eral, avec un code pseudo-spectral, dans une boˆıte p´eriodique et avec une r´esolution spatiale de l’ordre de 2 0483 – la plus ´elev´ee a ce jour ´etant de 16 3843 (Iyer et al., 2019). Pour plus d’informations sur le ` sujet, le lecteur peut consulter l’article de revue de Alexakis et Biferale (2018) 18. leurs contributions ` a la th´eorie de la turbulence, en particulier les r´esultats exacts et les pr´ edictions de cascade inverse, et pour l’identification des classes de probl`emes de turbulence pour lesquels une compr´ehension approfondie a ´et´ e obtenue.

1. Introduction

13

Fig. 1.2 – Simulation num´erique directe tri-dimensionnelle de magn´etohydrodynamique (voir le chapitre 4). L’image, en r´esolution spatiale 2048 × 2048, montre la norme du courant ´electrique dans un plan perpendiculaire au champ magn´etique uniforme impos´e. Simulation r´ealis´ee par R. Meyrand. o` u de nombreux exemples de simulation num´erique directe sont pr´esent´es dans le contexte de diverses ´etudes de turbulence.

1.1.6

La turbulence aujourd’hui

Dans l’histoire des sciences de la turbulence le d´ebut des ann´ees 1970 constitue un basculement. Tr`es sch´ematiquement, nous pouvons consid´erer que la th´eorie de la turbulence s’est construite pendant les ann´ees 1920-1970, p´eriode durant laquelle les principaux concepts ont ´et´e introduits permettant l’obtention des premiers r´esultats exacts. Les ouvrages de Monin et Yaglom (1971, 1975) r´esument bien la situation. Apr`es cette p´eriode que l’on peut qualifier d’exploration, les ann´ees 1970-2020 constituent plutˆot une p´eriode

14

Physique de la Turbulence

d’exploitation pendant laquelle les r´esultats de l’hydrodynamique incompressible ont ´et´e g´en´eralis´es `a d’autres syst`emes souvent bien plus complexes. Il serait cependant r´educteur de limiter a` une simple exploitation cette deuxi`eme p´eriode car de nouveaux concepts ont aussi ´emerg´e et nos connaissances se sont consid´erablement affin´ees grˆace, en particulier, aux nombreuses exp´eriences et simulations num´eriques directes. Aujourd’hui, la physique de la turbulence apparaˆıt dans de tr`es nombreux domaines (physique, g´eophysique, astrophysique, cosmologie, a´eronautique, biologie) et il est impossible de dresser une liste exhaustive de ses applications. Compte tenu de la difficult´e du sujet, le recours `a des mod`eles simples – voire simpliste – de turbulence est assez commun. Le r´esultat le plus connu est sans doute le spectre d’´energie de Kolmogorov. Alors qu’il n’y a aucune raison de penser que cette forme de spectre apparaisse dans d’autres probl`emes de turbulence, elle est souvent mentionn´ee voire utilis´ee. En revanche, les lois exactes bas´ees sur des mesures en deux points dans l’espace physique sont souvent m´econnues. C’est l’objectif de cet ouvrage de montrer toute la diversit´e des r´esultats (exacts) en turbulence. Dans la premi`ere partie de cet ouvrage consacr´ee `a la turbulence forte, une attention particuli`ere sera port´ee sur les lois exactes (chapitre 2). La loi de Kolmogorov sera pr´esent´ee sous une forme moderne dont la d´erivation revient a Antonia et al. (1997). Nous verrons ensuite comment cette loi peut se g´en´e` raliser au cas de la MHD (chapitre 4). L’intermittence sera ´egalement discut´ee dans le chapitre 2, alors que le traitement de la turbulence dans l’espace de Fourier sera pr´esent´e dans le chapitre 3 (le cas de la turbulence bi-dimensionnelle sera expos´e dans le d´etail). Nous aborderons ensuite (chapitre 5), dans le cadre des perspectives en turbulence forte, le cas compressible avec une illustration tir´ee du milieu interstellaire. La seconde partie de l’ouvrage est consacr´ee `a la turbulence d’ondes : apr`es une introduction g´en´erale sur le sujet et une liste non-exhaustive des applications de ce r´egime (chapitre 6), diff´erents exemples seront trait´es dans les chapitres 7 `a 10. Cet ouvrage est une introduction `a la physique de la turbulence. Le parti pris est de pr´esenter des r´esultats fondamentaux en se limitant au cas de la turbulence statistiquement homog`ene. De ce fait, les probl`emes d’inhomog´en´eit´e que nous rencontrons, en particulier, dans les exp´eriences de laboratoire ne seront pas discut´es. Les r´esultats d’exp´erience de laboratoire seront n´eanmoins r´eguli`erement pr´esent´es, comme ceux obtenus `a partir d’observations ou de simulations num´eriques.

1.2

Chaos et impr´ edictibilit´ e

D´efinir pr´ecis´ement la turbulence n´ecessite l’introduction d’un certain nombre de notions que nous allons en partie d´efinir dans ce chapitre. Sans rentrer dans le d´etail, on peut remarquer que l’aspect d´esordonn´e – ou chaotique – semble ˆetre la caract´eristique premi`ere des ´ecoulements turbulents. La nature chaotique d’un syst`eme est bien sˆ ur li´ee aux non-lin´earit´es. On dit

15

1. Introduction

souvent qu’un syst`eme est chaotique lorsque deux points tr`es proches initialement l’un de l’autre dans l’espace des phases se s´eparent exponentiellement au cours du temps. Comme nous le verrons plus loin, cette d´efinition peut s’´etendre au cas des fluides. L’origine du succ`es m´ediatique de la th´eorie du chaos remonte a` l’ann´ee 1961. C’est en effet `a cette date que le m´et´eorologue Lorenz du MIT d´ecide d’utiliser son ordinateur (un Royal McBee LGP-300, sans ´ecran, capable d’effectuer soixante op´erations par seconde) afin d’int´egrer num´eriquement un syst`eme d’´equations diff´erentielles non-lin´eaires – le syst`eme de Lorenz – qui est une version simplifi´ee des ´equations fluides de convection thermique et dont la forme est : dX = σ(Y − X) , dt dY = ρX − Y − XZ , dt dZ = XY − βZ , dt

(1.5a) (1.5b) (1.5c)

avec σ, ρ et β des param`etres r´eels. Sur la figure 1.3 nous montrons l’´evolution au cours du temps des trois variables X(t), Y (t) et Z(t). Par un pur hasard, Lorenz (1963) constate 19 que deux conditions initiales tr`es proches l’une de l’autre divergent assez rapidement. Les fonctions lin´eaires impliquant des r´esultats proportionnels aux incertitudes initiales, la divergence observ´ee ne pouvait s’expliquer que par la pr´esence de termes non-lin´eaires dans les ´equations du mod`ele. Lorenz comprend alors que mˆeme si certains ph´enom`enes non-lin´eaires sont r´egis par des lois rigoureuses et parfaitement d´eterministes, des pr´edictions pr´ecises sont impossibles du fait de la sensibilit´e aux conditions initiales, ce qui est comme on le sait un probl`eme majeur en m´et´eorologie. Pour bien faire comprendre ce r´esultat, Lorenz eut recours `a une image qui contribua au succ`es m´ediatique de la th´eorie du chaos : celle de son fameux effet papillon. Il expliqua que les lois de la m´et´eorologie sont si sensibles aux conditions initiales, que le simple battement d’ailes d’un papillon au Br´esil peut d´eclencher une tornade au Texas. Lorenz venait ainsi de d´emontrer que l’avenir est impr´evisible ou impr´edictible. Mais ce qui est impr´evisible, n’est pas forc´ement chaotique (c’est-`a-dire d´esordonn´e) comme le d´emontre, par exemple, l’existence d’attracteurs ´etranges (H´enon, 1976) : on parle alors de chaos d´eterministe. Dans l’espace des phases, cela se traduit par des trajectoires irr´esistiblement attir´ees par des figures g´eom´etriques complexes. Ces syst`emes errent au hasard autour de ces figures, sans repasser deux fois par le mˆeme point. Sur la figure 1.4, nous montrons l’attracteur ´etrange de Lorenz : celui-ci apparaˆıt lorsque l’on trace la fonction f (X, Y, Z) au cours du temps. 19. Lorenz n’est pas le premier ` a s’interroger sur l’impr´edictibilit´e. Henri Poincar´e aborde la question d`es la fin du XIXe si` ecle dans son ´etude sur la stabilit´e du syst`eme solaire (Poincar´ e, 1889). Plus tard, Richardson (1922) s’interroge aussi sur l’effet des conditions initiales sur la pr´edictibilit´e des ´ecoulements atmosph´eriques.

16

Physique de la Turbulence

Fig. 1.3 – Simulation num´erique du syst`eme de Lorenz (1.5) avec σ = 10, ρ = 28 et β = 8/3. Les trois variables X(t), Y (t) et Z(t) manifestent un caract`ere al´eatoire, ou impr´edictible, au niveau des variations ou des changements de signe.

Les ´ecoulements turbulents n’´echappent pas non plus a` l’impr´edictibilit´e. Deux conditions initiales tr`es proches l’une de l’autre divergent assez rapidement au cours du temps. Bien que les ´equations – comme celles de NavierStokes – r´egissant le mouvement des fluides soient d´eterministes, il n’est pas possible de pr´edire exactement l’´etat du fluide turbulent a` un instant ult´erieur lointain. Une distinction existe cependant entre turbulence et chaos : le mot chaos est de nos jours principalement utilis´e en m´ecanique pour d´ecrire un syst`eme dynamique d´eterministe avec un petit nombre de degr´es de libert´e. En turbulence, les ´ecoulements ont un tr`es grand nombre de degr´es de libert´e qui se traduit, par exemple, par l’excitation non-lin´eaire d’une large gamme d’´echelles spatiales. Comme nous le verrons plus loin, la turbulence est en revanche pr´edictible au sens statistique, d’o` u l’importance d’´etudier la turbulence avec des outils statistiques.

1. Introduction

17

Fig. 1.4 – L’attracteur ´etrange de Lorenz apparaˆıt lorsque l’on trace la fonction

f (X, Y, Z) au cours du temps, avec X(t), Y (t) et Z(t) donn´es par la r´esolution du syst`eme de Lorenz.

1.3

Transition vers la turbulence

L’observation de la turbulence en m´ecanique des fluides rel`eve souvent d’exp´eriences de la vie courante. De fait, c’est sous ce r´egime que se pr´esentent la plupart des ´ecoulements naturels des fluides terrestres usuels que sont l’air et l’eau. Il existe une tr`es grande vari´et´e d’´ecoulements turbulents : citons comme exemple les ´ecoulements g´eophysiques (vent atmosph´erique, courants fluviaux), astrophysiques (soleil, vent solaire, nuage interstellaire), les fluides biologiques (sang), quantiques (superfluide) ou encore les ´ecoulements industriels (a´eronautique, hydraulique, chimique). En d´epit de cette diversit´e, ces ´ecoulements turbulents pr´esentent un certain nombre de propri´et´es communes. L’exemple d’´ecoulement turbulent le plus familier est probablement celui d’un cours d’eau rencontrant un obstacle, comme par exemple un rocher. On observe en aval un mouvement al´eatoire de l’eau caract´eris´e par la pr´esence de tourbillons de diff´erentes tailles. Comme nous le verrons plus loin, le tourbillon est le concept central dans l’analyse de la turbulence et, en particulier, dans la description ph´enom´enologique de la cascade d’´energie vers des ´echelles spatiales, en g´en´eral plus petites. Sur la figure 1.5, on voit sch´ematiquement comment un tel ´ecoulement passe du r´egime laminaire a` faible nombre de Reynolds Re , au r´egime de turbulence pleinement d´evelopp´ee pour lequel le nombre de Reynolds exc`ede le millier. En particulier, lors de cette transition une all´ee dite de Von Karman se forme pour Re ∼ 100. Historiquement, c’est Reynolds

18

Physique de la Turbulence

Fig. 1.5 – Transition entre les r´egimes laminaire (en haut) et turbulent (en bas) en fonction du nombre de Reynolds Re pour un ´ecoulement venant de la gauche et rencontrant un obstacle (symbolis´e par un disque). Figure adapt´ee de Feynman et al. (1964).

19

1. Introduction

qui fut le premier `a ´etudier en 1883 la transition entre ces deux r´egimes et qui a donn´e son nom au param`etre adimensionnel – le nombre de Reynolds – mesurant le degr´e de turbulence d’un ´ecoulement. Ce nombre traduit l’importance relative des effets non-lin´eaires par rapport aux effets dissipatifs dans les ´equations de Navier-Stokes ; il s’´ecrit : Re =

UL , ν

(1.6)

avec respectivement U et L une vitesse et une longueur caract´eristiques de l’´ecoulement, alors que ν est la viscosit´e cin´ematique du fluide.

1.4

Outils statistiques et sym´ etries

Nous avons ´evoqu´e l’importance d’aborder la physique de la turbulence par des outils statistiques afin de mieux appr´ehender son caract`ere al´eatoire. Dans cette section, nous rappelons certains de ces outils que l’on introduit en g´en´eral dans le cours de physique statistique.

1.4.1

Moyenne d’ensemble

La moyenne d’ensemble X d’une quantit´e X est celle obtenue en r´ealisant N exp´eriences o` u l’on mesure cette quantit´e (avec N  1) : X =

N 1  Xn . N n=1

(1.7)

Si la quantit´e moyenn´ee est par exemple le champ de vitesse, on a : u(x, t) =

N 1  un (x, t) . N n=1

(1.8)

L’op´eration de moyenne commute avec les d´erivations de toutes sortes, comme par exemple :   ∂u(x, t) ∂u(x, t) . (1.9) = ∂x ∂x L’op´erateur de moyenne d’ensemble est analogue `a celui utilis´e en thermodynamique statistique. G´en´eralement, ce n’est pas ´equivalent a` une moyenne spatiale ou temporelle, sauf dans des cas particuliers. Par exemple, quand la turbulence est statistiquement homog`ene, l’hypoth`ese ergotique peut ˆetre utilis´ee pour calculer la moyenne d’ensemble comme une moyenne spatiale (Galanti et Tsinober, 2004). Remarquons qu’aucune preuve du th´eor`eme d’ergodicit´e n’existe `a ce jour pour les ´equations de Navier-Stokes.

20

Physique de la Turbulence

Fig. 1.6 – Illustration de la signification de l’´echelle de corr´elation Tc `a partir d’une fonction d’autocorr´elation donn´ee : la surface + est par d´efinition ´egale ` a la surface − (voir la relation (1.11)).

1.4.2

Autocorr´ elation

Afin de caract´eriser le d´esordre dans un signal u(x, t), on utilise la notion de corr´elation. La fonction de corr´elation la plus simple est l’autocorr´elation : R(x, t, T ) = u(x, t)u(x, t + T ) ,

(1.10)

qui mesure la ressemblance de la fonction avec elle-mˆeme, ici `a deux instants diff´erents. La quantit´e u(x, t) (par exemple une composante de la vitesse) est une fonction al´eatoire. Pour qu’il y ait ind´ependance statistique entre u(x, t) et u(x, t + T ), T ne peut pas ˆetre trop petit car on s’attend a priori ` a une certaine m´emoire du signal : T doit donc ˆetre plus grand qu’une valeur Tc que l’on appelle temps de corr´elation. Une analyse similaire peut se faire pour deux points de mesure non pas en temps, mais en espace. Dans ce cas, on arrive `a la notion de longueur de corr´elation Lc (on parle aussi d’´echelle int´egrale). Ainsi, un ´ecoulement al´eatoire se caract´erise par une m´emoire spatio-temporelle dont l’horizon se mesure par Tc et Lc . ´ Etudier la turbulence consiste `a extraire des informations sur la m´emoire spatio-temporelle de l’´ecoulement qui ne peut donc ˆetre r´ev´el´ee que si nous nous pla¸cons sur des ´echelles de corr´elation spatio-temporelles relativement petites. La figure 1.6 illustre la notion de temps de corr´elation ; par d´efinition, nous avons :  +∞ 1 R(T )dT , (1.11) Tc ≡ R(0) 0

21

1. Introduction

o` u l’on a oubli´e la d´ependance en t par hypoth`ese d’homog´en´eit´e statistique.

1.4.3

Distribution et densit´ e de probabilit´ e

Soit Fy (x) la probabilit´e de trouver une fluctuation de la variable al´eatoire y dans l’intervalle ] − ∞, x] : la fonction Fy est par d´efinition une distribution de probabilit´e. D’apr`es cette d´efinition, nous avons : • Fy (x) est une fonction croissante, • Fy (x) est une fonction continue, • Fy (−∞) = 0 et Fy (+∞) = 1. Si cette fonction est diff´erentiable, alors Fy (x) d´efinit une densit´e (ou loi) de probabilit´e, c’est-`a-dire que Fy (x) est la probabilit´e de trouver y dans l’intervalle ]x, x + dx]. Dans le cadre de l’´etude de l’intermittence (chapitre 2), nous verrons que la loi de probabilit´e normale (ou gaussienne) et la loi de Poisson jouent un rˆ ole central.

1.4.4

Moments et cumulants

Les moments d’une distribution de probabilit´e sont les moyennes des puissances :  +∞ n xn Fy (x)dx . (1.12) Mn = y  = −∞

On peut noter que le moment d’ordre un est la moyenne ou esp´erance math´ematique. Les moments de y − y sont dits centr´es. La variance est le moment centr´e d’ordre deux : (1.13) (y − y)2  , alors que l’´ecart quadratique moyen est la racine de la variance. Le cumulant d’ordre n ≥ 3 d’une variable al´eatoire est la diff´erence entre son moment d’ordre n et le moment d’ordre n de la distribution gaussienne qui a mˆeme variance et moyenne que la variable al´eatoire en question.

1.4.5

Fonctions de structure

Une fonction de structure d’ordre n d’une quantit´e f (x) s’´ecrit : Sn = (f (x1 ) − f (x2 ))n  = (δf )n  ,

(1.14)

o` u x1 et x2 sont deux positions dans l’espace. Nous verrons plus loin que les lois fondamentales de la turbulence font intervenir des fonctions de structure en deux points de l’espace (et non en temps). Par exemple, la premi`ere loi rigoureuse ´etablie en turbulence par Kolmogorov (1941a) fait intervenir la fonction de structure d’ordre trois d’une composante de la vitesse en deux points de l’espace.

22

1.4.6

Physique de la Turbulence

Sym´ etries

Afin de simplifier l’´etude analytique de la turbulence, on impose souvent certaines sym´etries `a l’´ecoulement. Sauf mention explicite, les sym´etries ci-dessous sont prises au sens statistique. • Homog´ en´ eit´ e : c’est l’invariance par translation dans l’espace. C’est l’hypoth`ese la plus classique qui n’est v´erifi´ee qu’au cœur de la turbulence, c’est-`a-dire loin des parois d’une exp´erience. Cette hypoth`ese est essentielle dans le traitement th´eorique de la turbulence car elle apporte des simplifications importantes. • Stationnarit´ e : c’est l’invariance par translation en temps. C’est une hypoth`ese tr`es classique dans la mesure o` u un syst`eme trouve en g´en´eral son ´equilibre entre les forces impos´ees ext´erieurement et la dissipation qui se produit en g´en´eral par dissipation visqueuse `a petite ´echelle. • Isotropie : c’est l’invariance par rotation. C’est une hypoth`ese classique en hydrodynamique standard qui est moins justifi´ee d`es lors qu’un agent ext´erieur est pr´esent comme, par exemple, une stratification ou une rotation. • Sym´ etrie par r´ eflexion (ou miroir) : c’est l’invariance par r´eflexion par rapport a` un plan. Cela correspond a` l’invariance par rapport a` un changement de signe de tous les vecteurs (x → −x, u → −u, etc.). Elle permet l’´elimination de quantit´es telle que l’h´elicit´e cin´etique. On parle d’isotropie forte lorsque la turbulence est `a la fois isotrope et sym´etrique par r´eflexion. • Invariance d’´ echelle : c’est l’invariance par une transformation du type u(x, t) → λh u(λx, λ1−h t). Cette sym´etrie n’est pas de nature statistique. Les solutions des ´equations de Navier-Stokes ne satisfont cette sym´etrie que si h = −1. Si la viscosit´e est nulle, alors h peut ˆetre quelconque. En pratique, dans le r´egime de turbulence pleinement d´evelopp´ee cette sym´etrie peut ˆetre v´erifi´ee si les ´echelles consid´er´ees sont grandes devant celles o` u agit la viscosit´e. Les sym´etries statistiques que nous venons de d´efinir peuvent ´emerger dans un fluide lorsque le nombre de Reynolds est suffisamment grand. Un retour `a la figure 1.5 est instructif : la comparaison entre les sch´emas 1) et 5) montre en fait que les sym´etries initiales du fluide disparaissent a` un nombre de Reynolds interm´ediaire pour faire apparaˆıtre d’autres sym´etries `a grand nombre de Reynolds.

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1. Introduction

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Chapitre 2 Lois de Kolmogorov en hydrodynamique 2.1

Les ´ equations de Navier-Stokes

Dans ce chapitre, nous allons nous int´eresser `a la turbulence hydrodynamique incompressible. Les ´equations associ´ees sont celles de Navier-Stokes : ∂u + u · ∇u = −∇P/ρ0 + ν∆u , ∂t ∇ ·u = 0,

(2.1a) (2.1b)

o` u u est la vitesse de l’´ecoulement, P la pression, ρ0 la densit´e de masse qui est suppos´ee constante et ν la viscosit´e cin´ematique. La deuxi`eme ´equation assure l’incompressibilit´e du fluide. Nous supposerons que le lecteur connaˆıt les bases de la m´ecanique des fluides. Bien que ce syst`eme soit relativement simple, il concentre d´ej` a toutes les difficult´es propres au traitement de la turbulence avec la pr´esence d’un terme non-lin´eaire. L’importance relative de ce terme se mesure en g´en´eral avec le nombre de Reynolds (voir le chapitre 1) : Re ≡

|u · ∇u| UL ∼ , |ν∆u| ν

(2.2)

o` u U et L sont respectivement une vitesse et une longueur caract´eristiques de l’´ecoulement. Par la suite, nous supposerons que le nombre de Reynolds est tr`es grand : en pratique, cela signifie que la limite Re → +∞ sera prise.

2.2 2.2.1

Turbulence et chauffage Exp´ erience de Joule

Joule est un physicien connu pour ses ´etudes sur la conversion de l’´energie sous forme de chauffage. Nous connaissons tous l’effet Joule qui traduit la

30

Physique de la Turbulence

Fig. 2.1 – Claude Louis Marie Henri Navier (`a gauche) et George Gabriel Stokes (`a droite) ont ´etabli les ´equations ´eponymes qui d´ecrivent les fluides visqueux (Navier, 1823 ; Stokes, 1845). manifestation thermique de la r´esistance ´electrique qui se produit lors du passage d’un courant ´electrique dans un mat´eriau conducteur. Mais il s’est aussi int´eress´e `a la m´ecanique. Dans une c´el`ebre exp´erience, Joule (1850) mesura avec pr´ecision l’´equivalent m´ecanique de la chaleur. Cette exp´erience, qu’il fit chez lui dans sa cave, est relativement simple dans sa conception (Young, 2015). Une roue a` aubes plac´ee dans une cuve contenant de l’eau est entraˆın´ee par une corde rattach´ee `a l’autre extr´emit´e `a une masse (voir la figure 2.2). La chute de la masse d’une hauteur donn´ee permet d’´evaluer le travail m´ecanique. Par ailleurs, le chauffage de l’eau mis en mouvement par les pales peut ˆetre d´eduit de l’augmentation de la temp´erature, mesur´ee `a l’aide d’un thermom`etre plac´e dans la cuve. Pour obtenir une augmentation de temp´erature mesurable (de 0.5 a` 2 o F), l’exp´erience, c’est-`a-dire la chute de la masse, pouvait ˆetre r´ep´et´ee une vingtaine de fois d’affil´ee. Joule fut ainsi capable de mettre en ´evidence l’´equivalent m´ecanique de la chaleur. Quel est le lien entre l’exp´erience de Joule et la turbulence ? Si l’on regarde cette exp´erience sous un angle diff´erent, on peut voir l`a une preuve exp´erimentale du transfert de l’´energie cin´etique du fluide des grandes ´echelles vers les petites ´echelles visqueuses `a partir desquelles l’´energie est dissip´ee et le fluide chauff´e 1 . L’interpr´etation est alors la suivante : la mise en mouvement du fluide par les pales se caract´erise par des tourbillons dont la taille est comparable `a celle des pales, puis, par un processus de cascade directe, l’´energie associ´ee `a ces gros tourbillons se retrouve finalement aux plus petites ´echelles sous forme 1. Bien sˆ ur, il est possible qu’une partie du chauffage de l’eau soit de nature diffusive avec une transmission directe entre les objets chauff´es (par frottement avec la corde par exemple) et l’eau.

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

31

Fig. 2.2 – Exp´erience de Joule (1850) pour mesurer la conversion de l’´energie m´ecanique en chaleur. La chute de la masse ` a droite induit la mise en mouvement de pales dans une cuve contenant de l’eau (` a gauche). La temp´erature de l’eau est mesur´ee a l’aide d’un thermom`etre (tige verticale ` ` a gauche de la cuve). Cette exp´erience a permis de d´emontrer l’´equivalence entre travail et chaleur. Du point de vue de la turbulence, nous pouvons interpr´eter cette exp´erience comme une manifestation du transfert de l’´energie des grandes ´echelles (mouvement des pales) vers les petites ´echelles visqueuses ` a partir desquelles l’´energie est dissip´ee et le fluide chauff´e.

de petites fluctuations de la vitesse, ou dans le langage de la turbulence sous forme de petits tourbillons, lesquels se d´esagr`egent par frottement visqueux. Sans le savoir, Joule a probablement ´et´e le premier `a mettre en ´evidence une propri´et´e fondamentale de la turbulence.

2.2.2

Taux moyen de dissipation d’´ energie

L’exp´erience de Joule met en ´evidence le processus de chauffage par frottement visqueux. Que se passe-t-il lorsque la viscosit´e du fluide est plus faible ? En d’autres termes, en r´egime de turbulence pleinement d´evelopp´ee, lorsque le nombre de Reynolds est de plus en plus grand, et pour des conditions d’exp´erience identiques, on peut se demander si la dissipation (ou chauffage) par frottement visqueux diminue de telle sorte qu’elle devient nulle dans la limite

32

Physique de la Turbulence

Re → +∞. Si tel est le cas, les tourbillons les plus petits, g´en´er´es suite a` une cascade, devraient s’accumuler puisque moins dissip´es. Cette exp´erience de pens´ee nous am`ene `a une conclusion surprenante : dans la limite des grands nombres de Reynolds, une turbulence pleinement d´evelopp´ee excit´ee `a grande ´echelle devrait se caract´eriser par des tourbillons essentiellement de petite taille et par l’impossibilit´e d’atteindre un r´egime statistiquement stationnaire car l’´equilibre entre un for¸cage a` grande ´echelle et la dissipation visqueuse `a petite ´echelle deviendrait impossible. Ce comportement va `a l’encontre des mesures exp´erimentales o` u la stationnarit´e de la turbulence est constat´ee. Il est difficile de savoir si Kolmogorov (1941b) a suivi le mˆeme raisonnement, cependant, on peut constater qu’une de ses hypoth`eses est que le taux moyen de dissipation d’´energie cin´etique ε devient ind´ependant de la viscosit´e dans la limite des grands Re . Remarquons au passage, que Taylor (1935) arriva aussi a` cette conclusion en proposant une d´emonstration semi-ph´enom´enologique pour interpr´eter certaines donn´ees exp´erimentales. ` Voyons ce que cela signifie au niveau de la conservation de l’´energie. A partir des ´equations de Navier-Stokes, on obtient : ∂u ρ0 ∂u2 = ρ0 u · = ρ0 u · (−u · ∇u − ∇P/ρ0 + νΔu) . 2 ∂t ∂t

(2.3)

L’utilisation d’identit´e vectorielle (voir l’annexe) nous permet d’´ecrire dans le cas incompressible : u · Δu = −u · (∇ × w) = ∇ · (u × w) − w2 , avec w ≡ ∇ × u la vorticit´e ; nous obtenons alors :  2 u ρ0 ∂u2 = −ρ0 u · ∇ − ∇ · (P u − ρ0 ν u × w) − ρ0 ν w2 . 2 ∂t 2

(2.4)

(2.5)

Apr`es quelques manipulations, nous arrivons finalement a` la forme locale de la conservation de l’´energie cin´etique (E ≡ ρ0 u2 /2) : ∂E = −∇ · ∂t



ρ0 u2 +P 2





u − ρ0 ν u × w − ρ0 ν w 2 .

(2.6)

La variation de l’´energie cin´etique est donc due `a deux types de terme : un flux F et une source S. La source (dernier terme de droite) est n´egative et d´epend de la viscosit´e. En d’autres termes, c’est une source de dissipation irr´eversible d’´energie pour le syst`eme qui est nulle dans le cas inviscide (ν = 0). Dans l’op´erateur divergence, nous trouvons un flux d’´energie et une contribution visqueuse non-lin´eaire d´ependant de la vitesse. La forme int´egrale de la conservation d’´energie cin´etique s’´ecrit :    d E dV = −  F · n dS − ρ0 ν w2 dV . (2.7) dt

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

33

Dans le cas particulier d’une int´egration sur un volume suffisamment grand pour contenir tout le fluide (de telle sorte que sur la surface de ce volume u = 0), le flux s’annule si bien qu’il ne reste plus qu’une contribution purement visqueuse de dissipation. Par la suite, nous allons consid´erer la moyenne d’ensemble qui peut ˆetre calcul´ee par une moyenne spatiale lorsque la turbulence est statistiquement homog`ene (voir le chapitre 1). Si l’on pense a` une simulation num´erique directe r´ealis´ee dans une boˆıte p´eriodique, c’est ´equivalent a` prendre la moyenne spatiale sur cette boˆıte. Dans ce cas, et avec les notations introduites pr´ec´edemment, nous obtenons la relation exacte : dE = −ρ0 νw2 ≡ −ε(ν) . dt

(2.8)

Avec ce calcul, le taux moyen de dissipation d’´energie ε est maintenant bien d´efini 2 . L’expression (2.8) permet d’introduire une quantit´e souvent utilis´ee : il s’agit de l’enstrophie 3 , Ω ≡ w2 /2.

2.2.3

Brisure spontan´ ee de sym´ etrie

Sur l’expression pr´ec´edente, il n’est pas manifeste que ce taux devienne ind´ependant de la viscosit´e dans la limite des grands nombres de Reynolds. Cette affirmation suppose qu’il y ait, en mˆeme temps, une augmentation de la vorticit´e telle que w2 ∝ 1/ν. Physiquement, ce comportement n’est pas en contradiction avec l’id´ee de cascade directe puisqu’`a des petits tourbillons, sont associ´es des fluctuations petites et rapides de la vitesse. La vorticit´e faisant intervenir une d´eriv´ee spatiale, on peut se convaincre que son module augmente lorsque l’on se dirige vers les petites ´echelles. Cependant, cette propri´et´e de ε ne peut pas ˆetre d´emontr´ee rigoureusement. En revanche, elle peut ˆetre mise en ´evidence num´eriquement. Sur la figure 2.3, nous reportons les r´esultats de quatre simulations num´eriques en d´ecroissance libre, c’est-` a-dire sans for¸cage ext´erieur. La condition initiale consiste a` exciter l’´ecoulement `a grande ´echelle en d´eposant de l’´energie uniquement sur quelques (petits) modes de Fourier. Les param`etres du calcul sont les mˆemes, seule change la viscosit´e et donc le nombre de Reynolds qui varie par puissance de 10 entre Re = 102 et Re = 105 . Nous voyons que les courbes tendent manifestement a` se superposer lorsque Re augmente, ce qui d´emontre qu’effectivement ε(t) tend a` devenir ind´ependant de la viscosit´e. La forme asymptotique de cette courbe traduit le fait que la turbulence passe tout d’abord par une phase de d´eveloppement caract´eris´ee par un taux de dissipation essentiellement nul. C’est la p´eriode pendant laquelle la turbulence se d´eveloppe : la cascade directe g´en`ere des tourbillons de plus en plus petits ; lorsque les plus 2. Habituellement, c’est le taux moyen de dissipation d’´energie par unit´e de masse, ε/ρ0 , qui est utilis´e. La comparaison avec le cas compressible (voir le chapitre 5) d´emontre que notre d´efinition est en fait plus universelle. 3. Le mot enstrophie vient du grec στ ρωϕ´ η qui veut dire ’tourner’.

34

Physique de la Turbulence

Fig. 2.3 – Variation temporelle du taux moyen de dissipation d’´energie ε pour

diff´erents nombres de Reynolds : Re = 102 (pointill´es), 103 (tiret-point), 104 (longs tirets) et 105 (trait plein). Simulation num´erique en d´ecroissance libre.

petits modes sont atteints, la dissipation visqueuse devient significative et ε augmente brusquement. La derni`ere phase de d´ecroissance est li´ee au fait que le syst`eme n’est pas forc´e : par cons´equent, l’´energie dissip´ee n’est pas renouvel´ee et le taux de dissipation ne peut que diminuer et tendre vers z´ero au bout d’un temps infini. En pr´esence d’une force ext´erieure stationnaire, le comportement est diff´erent : le syst`eme turbulent s’ajuste afin que le taux d’injection et de dissipation d’´energie se compensent en moyenne ; dans ce cas ε devient aussi ind´ependant du temps. Le fait que le taux moyen de dissipation d’´energie tende vers une valeur finie a` grand Re est aussi observ´e exp´erimentalement avec un nombre de Reynolds qui peut approcher les 108 en utilisant des superfluides (Ravelet et al., 2008 ; Saint-Michel et al., 2014). Supposons donc que ε devienne asymptotiquement ind´ependant de la visa-dire celles de cosit´e `a grand Re . Par ailleurs, les ´equations d’Euler, c’est-` Navier-Stokes `a viscosit´e nulle, conservent a priori l’´energie (nous reviendrons sur ce point plus loin). Par cons´equent, avec l’expression (2.8) nous obtenons la propri´et´e : lim

ν→0

dE = −ε = 0 . dt

(2.9)

Cette propri´et´e constitue une loi fondamentale de la turbulence – appel´ee loi « z´eroi`eme ». Derri`ere ce r´esultat, se cache une propri´et´e physique remarquable. La viscosit´e est le param`etre qui brise la sym´etrie du syst`eme en ´evacuant de l’´energie de mani`ere irr´eversible par chauffage ou, en d’autres termes, par production d’entropie. La viscosit´e induit donc une brisure de sym´etrie du

35

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

renversement du temps dans les ´equations de Navier-Stokes. Or, la relation (2.9) nous indique que lorsque le param`etre ν, a` la source de cette brisure de sym´etrie, tend vers z´ero, son effet (la brisure de sym´etrie) reste non-nul : nous avons ici un exemple de brisure spontan´ee de sym´etrie 4 . En turbulence, on parle d’anomalie dissipative.

2.3

´ Equation de K´ arm´ an-Howarth

La premi`ere loi exacte en turbulence fut obtenue par Kolmogorov (1941a) : il s’agit de la loi des 4/5 dont le nom tient simplement a` la valeur de la constante qui apparaˆıt dans l’expression. Le chemin emprunt´e par Kolmogorov demande de passer par une d´elicate analyse tensorielle qui – bien qu’´el´egante et historique – tend a` alourdir le formalisme. Nous choisissons de suivre, ici, un chemin plus moderne qui permet d’obtenir avec moins de calculs une loi exacte dont la forme est l´eg`erement diff´erente : il s’agit de la loi de Kolmogorov dite des 4/3 obtenue par Antonia et al. (1997). Ces lois de Kolmogorov expriment comment les fonctions de structure d’ordre trois en vitesse sont reli´ees `a la distance entre les deux points de mesure dans le cas d’une turbulence statistiquement homog`ene et isotrope. Pour y parvenir, nous devons passer par l’´equation de von Karman et Howarth (1938). ´ Ecrivons les ´equations de Navier-Stokes aux points x et x de l’espace pour respectivement les composantes i et j. En utilisant les notations indicielles d’Einstein, nous obtenons : 2 ui , ∂t ui + ∂k (uk ui ) = −∂i P/ρ0 + ν∂kk

∂t uj + ∂k (uk uj ) = −∂j P  /ρ0 +

2 ν∂  kk uj

(2.10a) ,

(2.10b)

o` u la condition d’incompressibilit´e s’´ecrit ∂k uk = 0. Pour simplifier l’´ecriture, nous posons u(x) ≡ u, u(x ) ≡ u , ∂/∂x ≡ ∂  et nous allons consid´erer que les fluctuations de la vitesse sont de moyenne nulle, c’est-`a-dire u = 0. On multiplie la premi`ere ´equation par uj et la seconde par ui . L’addition des deux ´equations nous donne, en prenant la moyenne d’ensemble, une ´equation dynamique pour le tenseur des corr´elations d’ordre deux : ∂t ui uj + ∂k (uk ui uj ) + ∂k (uk uj ui ) =

(2.11)

2 −∂i (P uj /ρ0 ) + ∂j (P  ui /ρ0 ) + ν∂kk (ui uj ) + ∂  2kk (uj ui ) .

Pour obtenir cette expression, nous avons utilis´e la relation : ∂k uj = ∂k ui = 0. Par la suite, nous allons utiliser abondamment des propri´et´es valables en turbulence statistiquement homog`ene. Une synth`ese de ces propri´et´es est pr´esent´ee dans l’ouvrage de Batchelor (1953). Dans la mesure o` u la turbulence est statistiquement homog`ene, les tenseurs de corr´elation en deux points ne d´ependent que de la distance relative  , avec x = x +  , et non des positions absolues x et x (voir la figure 2.4). 4. La turbulence est le premier exemple en physique ou une telle brisure est report´ee. Le second arrivera plus tard en ´electrodynamique quantique (Schwinger, 1951).

36

Physique de la Turbulence

Fig. 2.4 – En turbulence statistiquement homog`ene, seule la position relative entre les deux points de mesure M et M  est pertinente. En particulier, nous avons : ∂k (uk ui uj ) = −∂k uk ui uj ,

(2.12a)

∂k (uk uj ui )

(2.12b)

=

∂k uk uj ui ,

d’o` u l’expression : ∂t ui uj + ∂k uk uj ui − uk ui uj = +∂i P uj /ρ0



− ∂j P ui /ρ0 +

(2.13)

2ν∂2k k ui uj .

Nous allons maintenant nous restreindre `a la trace du tenseur de corr´elation double. Dans ce cas, l’´equation se simplifie pour deux raisons car, d’une part, la contribution de la pression disparaˆıt par incompressibilit´e : ∂i P ui /ρ0 = ∂i (P ui /ρ0 ) = (P/ρ0 )∂i ui = 0 ,

(2.14)

et d’autre part, nous avons par homog´en´eit´e : ∂k uk ui ui ()

≡ ∂k uk (x)ui (x)ui (x +  ) = ∂k uk (x −  )ui (x −  )ui (x) ≡ ∂k uk ui ui (−) = −∂k uk ui ui () . (2.15)

37

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique D’o` u l’expression : ∂t ui ui

= −2∂k uk ui ui + 2ν∂2k k ui ui = −2∇ · ui ui u + 2ν∂2k k ui ui .

(2.16)

L’introduction de la fonction de structure d’ordre trois donne (avec l’hypoth`ese d’homog´en´eit´e) : (δu · δu)δu

≡

(ui − ui )2 (u − u)

=

−2ui ui u + 2ui ui u + ui 2 u − ui u . (2.17)

2

Par incompressibilit´e, puis homog´en´eit´e, nous obtenons : ∇ · (δu · δu)δu

= =

−2∇ · ui ui u + 2∇ · ui ui u −4∇ · ui ui u .

(2.18)

D’o` u finalement, l’´equation dynamique pour une turbulence homog`ene :  ∂t

ui ui 2

 =

1 ∇ · (δu · δu)δu + 2ν∂2k k 4



ui ui 2

 .

(2.19)

C’est l’´equation de K´ arm´ an-Howarth obtenue par ces derniers en 1938 5 qui traduit l’´evolution dynamique de la corr´elation de la vitesse en deux points.

2.4

Hypoth` ese de localit´ e et cascade

Pour aller plus loin dans l’analyse et obtenir la loi exacte de Kolmogorov, il est n´ecessaire d’introduire une hypoth`ese de localit´e. Cette hypoth`ese affirme qu’il existe un intervalle d’´echelles – appel´e zone inertielle – o` u la physique de la turbulence est insensible (i) aux mouvements de l’´ecoulement `a grande ´echelle, dont la dynamique est corr´el´ee en particulier a` l’action d’une force ext´erieure non-universelle, et (ii) aux mouvements a` petite ´echelle dont la dynamique est r´egie par la dissipation visqueuse. En pratique, cela signifie que la zone inertielle 6 se situe sur l’intervalle : diss  0 ,

(2.20)

u s’applique une force ext´erieure et diss l’´echelle avec 0 l’´echelle typique o` typique o` u la dissipation visqueuse devient importante. La zone inertielle est donc le domaine o` u la physique non-lin´eaire domine ; c’est ici que nous pouvons esp´erer trouver une certaine universalit´e dans le comportement de l’´ecoulement. 5. En fait, sa forme originale ´etait l´ eg` erement diff´erente car elle faisait intervenir les corr´ elations longitudinale et transversale (von Karman et Howarth, 1938). 6. La d´ enomination inertielle provient bien sˆ ur du terme d’inertie, u · ∇u, des ´ equations de Navier-Stokes.

38

Physique de la Turbulence

Fig. 2.5 – La turbulence hydrodynamique tri-dimensionnelle se caract´erise par une cascade de tourbillons des grandes vers les petites ´echelles. Ce processus de transfert d’´energie se fait d’´echelle en ´echelle ` a partir de l’´echelle d’injection d’´energie 0 via un for¸cage ext´erieur, jusqu’` a sa dissipation par frottement visqueux ` a partir d’une ´echelle typique diss . La zone inertielle se situe sur l’intervalle diss    0 . Une hypoth`ese fondamentale propos´ee par Kolmogorov (1941b) est que, dans cet intervalle d’´echelles, la turbulence peut ˆetre consid´er´ee comme statistiquement homog`ene et isotrope. Remarquons que l’hypoth`ese d’homog´en´eit´e statistique a d´ej`a ´et´e utilis´ee pour l’obtention de l’´equation de von Karman et Howarth (1938) : l’´echelle de corr´elation  dans cette ´equation est donc suppos´ee ˆetre suffisamment petite. Sur la figure 2.5, nous repr´esentons sch´ematiquement la physique de la turbulence dans la zone inertielle : elle se caract´erise par une cascade de tourbillons des grandes vers les petites ´echelles. Cette image classique du processus de cascade a, avant tout, une dimension p´edagogique car la r´ealit´e est un peu diff´erente. Une illustration des structures tourbillonnaires r´eellement pr´esentes en turbulence hydrodynamique est visible sur la figure 2.6 : les simulations num´eriques directes montrent plutˆ ot que nous avons des tubes de vorticit´e imbriqu´es (telles des poup´ees russes) qui s’amincissent au cours du temps. Une interpr´etation ph´enom´enologique plus r´ealiste de la cascade fut propos´ee par Taylor (1937). Son raisonnement repose sur la conservation topologique d’un tube de vorticit´e dans le cas inviscide. Nous savons qu’en turbulence deux points ont tendance statistiquement `a s’´eloigner l’un de l’autre par diffusion ` partir de cette propri´et´e, on peut se convaincre qu’un tube de turbulente. A vorticit´e aura tendance `a s’´etirer au cours du temps. Le volume du tube ´etant conserv´e par incompressibilit´e, un ´etirement de ce tube implique en mˆeme

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

39

Fig. 2.6 – Simulation num´erique directe des ´equations de Navier-Stokes en r´esolution

spatiale 1024 × 1024 × 1024. Deux iso-surfaces de la vorticit´e sont trac´ees dans une r´egion localis´ee de la boˆıte de simulation. R´esultats provenant de la base de donn´ees “JHU turbulence database cluster ”; http://turbulence.pha.jhu.edu.

temps un amincissement. Par ailleurs, nous savons que le flux de vorticit´e dans le tube est conserv´e (th´eor`eme de Kelvin), par cons´equent, un amincissement du tube implique un accroissement de la norme de la vorticit´e. (On peut montrer que cette norme augmente proportionnellement `a l’allongement du tube.) Ce processus s’arrˆete lorsque le rayon du tube atteint l’´echelle de dissipation visqueuse. Le tube de vorticit´e est alors d´etruit. Il est int´eressant de rapprocher l’augmentation de la vorticit´e `a petite ´echelle avec la relation (2.8) : lorsque ν → 0, le syst`eme va fabriquer des tubes de vorticit´e de plus en plus minces tel que w2 → +∞. On trouve ici un d´ebut d’explication a` l’anomalie dissipative. Nous reviendrons sur cette question `a la section 2.7.1.

2.5

Loi exacte de Kolmogorov

L’´equation de K´ arm´ an-Howarth a ´et´e obtenue sans l’introduction d’une force ext´erieure ; c’est aussi la situation consid´er´ee par Kolmogorov (1941a). Cependant, le calcul suppose dans sa r´esolution finale la stationnarit´e de la turbulence ; il est donc plus consistant d’introduire une force ext´erieure pour maintenir la turbulence pleinement d´evelopp´ee. En pratique, cela revient a` ajouter a` droite dans les ´equations de Navier-Stokes (2.1a) un terme f . Cette force est suppos´ee de nature al´eatoire, homog`ene et stationnaire. L’´equation

40

Physique de la Turbulence

de K´ arm´ an–Howarth est alors modifi´ee de la mani`ere suivante :     ui ui ui ui 1 2 2 ∂t = ∇ · (δui ) δu + 2ν∂k k + F () , 2 4 2

(2.21)

avec le corr´elateur F () = fi ui + fi ui /2. Pour appr´ecier sa forme, nous devons revenir a` l’´equation de la conservation d’´energie. En pr´esence de f , nous obtenons : dE = ρ0 f · u − ε = ρ0 F (0) − ε . (2.22) dt Le r´egime stationnaire correspond donc a` un ´equilibre statistique entre le for¸cage et la dissipation. Nous allons nous placer dans la zone inertielle afin de mettre en ´evidence le comportement universel de la turbulence. Nous supposerons que la force ext´erieure n’agit qu’aux plus grandes ´echelles du syst`eme. Dans ce cas, nous pouvons ´evaluer sa contribution par un simple d´eveloppement de Taylor : F () F(0) +  · ∇ F () ,

(2.23)

avec ρ0 F (0) = +ε. Par cons´equent, sous l’hypoth`ese de stationnarit´e nous obtenons :   ui ui 1 2 (2.24) 0 = ∇ · (δui ) δu + 2ν∂k k + ε/ρ0 . 4 2 La relation (2.24) est valable pour une turbulence homog`ene, stationnaire et tel que  0 (ce qui n’est pas ´equivalent a` la limite  → 0). Elle se simplifie davantage si on suppose par ailleurs que diss  afin de se retrouver en plein cœur de la zone inertielle (ce qui signifie qu’on consid`ere la limite ν → 0). Dans ce cas, le terme de dissipation de l’´equation (2.24) est n´egligeable et la loi « z´eroi`eme » de la turbulence peut ˆetre utilis´ee. On obtient une forme primitive de la loi de Kolmogorov : −4¯ ε = ∇ · (δui )2 δu ,

(2.25)

avec ε¯ ≡ ε/ρ0 le taux moyen de dissipation d’´energie par unit´e de masse. Cette expression est valable en turbulence non-isotrope 7 . La loi exacte de Kolmogorov, sous sa forme classique, peut ˆetre obtenue en supposant finalement que la turbulence est statistiquement isotrope. Dans ce cas, il ne reste plus qu’`a int´egrer l’´equation (2.25) sur une boule de rayon  ; on obtient la loi des 4/3 valable lorsque diss  0 : 4 − ε¯ = (δui )2 δu , 3

(2.26)

o` u u est la composante longitudinale de la vitesse, c’est-`a-dire celle le long de la direction de s´eparation  entre les deux points de mesure. Comme d´ej` a 7. Remarquons que cette forme primitive n’est pas unique : en particulier, il est possible d’obtenir une loi sans la pr´esence de l’op´erateur de divergence (Banerjee et Galtier, 2017).

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

41

Fig. 2.7 – Reproduction sch´ematique de mesures exp´erimentales en soufflerie (Antonia et Burattini, 2006) : la loi des 4/5 de Kolmogorov est d’autant mieux v´erifi´ee que le nombre de Reynolds est ´elev´e.

indiqu´e, la loi originalement obtenue par Kolmogorov est un peu diff´erente : c’est la loi exacte des 4/5 qui s’´ecrit : 4 − ε¯ = (δu )3 , 5

(2.27)

avec les mˆemes conventions de notation. Remarquons que cette loi est du point de vue exp´erimental plus facile d’utilisation car elle n´ecessite de connaˆıtre qu’une seule composante de la vitesse. Contrairement aux apparences, le lien math´ematique entre la loi des 4/3 et celle des 4/5 n’est pas trivial : il faut prendre garde `a bien projeter les composantes de la vitesse avant de calculer leur valeur statistique. La loi de Kolmogorov (2.27) est le premier r´esultat exact en turbulence. C’est une loi universelle, invariante par transformation galil´eenne, qui d´ecrit (dans la zone inertielle) la turbulence hydrodynamique statistiquement homog`ene, stationnaire et isotrope. On entend par exacte, une loi obtenue rigoureusement apr`es un calcul analytique. Bien sˆ ur des hypoth`eses ont ´et´e faites, mais elles sont toutes math´ematiquement bien d´efinies. Les lois de Kolmogorov sont bien v´erifi´ees 8 num´eriquement et exp´erimentalement (Moisy et al., 1999 ; Antonia et Burattini, 2006) : sur la figure 2.7, nous reportons sch´ematiquement une s´erie de mesures exp´erimentales de la loi des 4/5. Depuis, 8. Remarquons qu’il est plus facile de mettre en ´evidence la loi dimensionnelle (nonexacte) (δu )2  ∝ 2/3 pour la fonction de structure d’ordre deux car celle-ci est une quantit´e d´ efinie positive (Antonia et Burattini, 2006).

42

Physique de la Turbulence

d’autres lois exactes ont ´et´e obtenues : il s’agit essentiellement d’une extension de la loi des 4/3 ` a d’autres fluides incompressibles. Remarquons que la premi`ere loi exacte compressible n’a ´et´e obtenue que 70 ans apr`es Kolmogorov : elle d´ecrit la turbulence hydrodynamique compressible dans le cas isotherme (Galtier et Banerjee, 2011). Les applications les plus int´eressantes de cette loi concernent la turbulence dans les nuages interstellaires o` u se forment les ´etoiles. En effet, les mesures montrent que le nombre de Mach turbulent dans ces nuages approche la centaine (voir le chapitre 5).

2.6

Ph´ enom´ enologie de Kolmogorov

Pour obtenir la loi exacte des 4/3, nous avons fait une analyse rigoureuse qui est, par cons´equent, assez longue. Cette loi peut en fait se retrouver plus rapidement par une approche ph´enom´enologique – donc moins rigoureuse. Cette approche est toutefois tr`es utile car elle met en exergue les grandeurs essentielles pour d´ecrire la physique de la turbulence. Nous allons nous appuyer sur la figure 2.5 en nous concentrant sur le transfert d’´energie dans la zone inertielle a` une ´echelle  telle que diss  0 . Nous pouvons associer `a cette ´echelle un tourbillon de taille . La vitesse de ce tourbillon est not´ee u : on parle parfois de la vitesse de retournement du tourbillon. On peut aussi d´efinir cette vitesse par la relation (δu )2 . ` partir de ces deux grandeurs, on peut construire un temps (non-lin´eaire) A de retournement du tourbillon τN L ∼ /u . Remarquons que c’est aussi le temps qui ´emerge dimensionnellement des ´equations de Navier-Stokes. Dans cette approche ph´enom´enologique, nous allons associer τN L au temps caract´eristique de la cascade d’´energie `a l’´echelle . Par cons´equent, le taux moyen de transfert d’´energie de l’´echelle  vers une ´echelle plus petite peut s’´ecrire (ρ0 = 1) : ε¯ ∼

u2 dE u3 ∼  ∼ , dt τN L 

(2.28)

avec E l’´energie du tourbillon ´etudi´e. Comme dans la zone inertielle, l’´energie n’est ni inject´ee, ni dissip´ee, le taux moyen de transfert d’´energie ε doit ˆetre ´egal au taux moyen d’injection ou de dissipation de l’´energie ε. Cela nous am`ene finalement `a la relation ph´enom´enologique : ε¯ ∼ u3 ,

(2.29)

qui est l’analogue dimensionnel de la loi exacte de Kolmogorov (4/3 ou 4/5). Pour l’obtention de l’expression (2.29), nous avons utilis´e la localit´e de la cascade, ainsi que l’hypoth`ese d’isotropie. Nous verrons plus loin comment cette derni`ere hypoth`ese peut ˆetre relˆach´ee pour permettre de pr´edire le bon spectre d’´energie en turbulence anisotrope (voir le chapitre 8).

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

2.7 2.7.1

43

Dissipation inertielle Conjecture d’Onsager

Dans cette section, nous allons discuter des cons´equences de l’anomalie dissipative (2.9) qui affirme que le taux moyen de dissipation de l’´energie tend vers une valeur positive non-nulle lorsque ν → 0+ . On se place toujours dans le cas tri-dimensionnel. Puisque nous avons par d´efinition ε = ρ0 νw2 , l’anomalie dissipative implique n´ecessairement que la vorticit´e (ou l’enstrophie) tende a` devenir infinie au moins en un point de l’´ecoulement dans la limite ν → 0+ . Remarquons tout d’abord qu’avec la ph´enom´enologie de Taylor (1937) pr´esent´ee `a la section 2.4, nous obtenons bien une vorticit´e qui tend vers l’infini dans la limite inviscide. Ce comportement est ´egalement appuy´e par une analyse ph´enom´enologique de l’´equation de la vorticit´e ; celle-ci s’´ecrit : ∂ω Dw ≡ + u · ∇w = w · ∇u , Dt ∂t

(2.30)

avec D/Dt la d´eriv´ee lagrangienne. Puisque dimensionnellement ∇u ∼ w, on obtient : Dw ∼ w2 , (2.31) Dt dont la solution est de la forme |w| ∼ 1/(t∗ − t). Cette solution implique une explosion de la vorticit´e en un temps fini t∗ 9 . Les travaux d´edi´es `a l’apparition de singularit´es en m´ecanique des fluides sont de nature diverse. Par exemple, il y a ceux bas´es sur une technique spectrale qui permet de suivre une singularit´e complexe au cours du temps, et de mesurer sa proximit´e `a l’axe des r´eels. Si celle-ci touche l’axe r´eel, elle devient une vraie singularit´e. En pratique, seule une tendance peut ˆetre d´egag´ee car, dans le cas inviscide, les simulations num´eriques directes deviennent instables en un temps fini, alors qu’en pr´esence de viscosit´e le mouvement de la singularit´e est contrari´e par celle-ci en un temps fini (Sulem et al., 1983 ; Brachet et al., 1983 ; Fournier et Galtier, 2001). Remarquons qu’un nouveau sc´enario physique a ´et´e propos´e r´ecemment : l’apparition de singularit´es dans les ´equations d’Euler pourrait ˆetre li´ee `a la collision de tube de vorticit´e et leur transformation en nappes (Brenner et al., 2016). Mais a` ce jour, la preuve de l’apparition de singularit´e en un temps fini n’a pas encore ´et´e obtenue. C’est aussi un sujet de recherche majeur pour les math´ematiciens 10 . 9. Pour la turbulence bi-dimensionnelle, la situation est diff´erente puisque l’´equation de la vorticit´e (qui est alors une fonction scalaire) devient une simple ´equation de transport. Dans ce cas particulier, des th´eor` emes sur l’existence et l’unicit´e des solutions peuvent ˆetre ´ etablis (Bardos, 1972). 10. La question de la r´egularit´e sous-jacente du champ de vitesse, ` a tout instant, constitue l’un des 7 probl`emes math´ematiques du mill´enaire propos´es par l’Institut Clay. Une r´ecompense d’un million de dollars est promise pour une avanc´ee significative sur cette question.

44

Physique de la Turbulence

Fig. 2.8 – Fluctuations de la vitesse pour trois nombres de Reynolds Re . Avec l’augmentation de Re , le caract`ere irr´egulier du champ ´emerge sous forme de discontinuit´es. Un comportement singulier de la vorticit´e peut sembler difficile a` accepter physiquement : cela signifie en particulier que la vitesse devient un champ irr´egulier dans la limite ν → 0+ (voir la figure 2.8 pour une illustration). Les op´erations de d´eriv´ee ne sont alors plus applicables et l’expression (2.25) devient inappropri´ee. Cette situation fut envisag´ee par le math´ematicien Leray (1934) qui introduisit la notion de solution faible pour les ´equations de Navier-Stokes (derri`ere cela se cache le concept de distribution formalis´e plus tard par L. Schwartz). L’id´ee sous-jacente de cette approche est d’introduire une moyenne locale des valeurs du champ dans un volume de plus en plus resserr´e autour du point d’´etude. En pratique, on calcule une moyenne du champ pond´er´e par une fonction ϕ sur une boule de rayon  tel que :   u (x, t) ≡ ϕ (ξξ )u(x + ξ , t)dξξ , (2.32) R3

avec :

ϕ(ξξ /) . (2.33) 3 Par d´efinition, ϕ ∈ C∞ , et est `a support compact sur R3 , paire, positive et

telle que R3 ϕ(ξξ )dξξ = 1. Ces propri´et´es nous assurent que ϕ tend vers la distribution δ(ξξ ) dans la limite  → 0 et que par cons´equent : ϕ (ξξ ) ≡

u (x, t) −−−→ u(x, t) . →0

(2.34)

Avec cet outil math´ematique, il est possible d’obtenir une version liss´ee `a petite ´echelle des ´equations de Navier-Stokes en gardant intacte l’information provenant des plus grandes ´echelles : dans le langage math´ematique, on parle d’une formulation faible (ou r´egularis´ee) des ´equations. La figure 2.9 montre les cons´equences de l’op´eration de lissage sur une image. Comme nous allons le voir dans la section suivante, il est possible de d´emontrer a` l’aide de cet outil qu’un champ de vitesse irr´egulier peut mener a` une dissipation locale de l’´energie. Ce r´esultat a ´et´e prouv´e par les math´ematiciens

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

45

Fig. 2.9 – L’op´eration de convolution (2.32) appliqu´ee `a l’image de gauche se traduit par une nouvelle image d’autant plus floue que  est grand (images de droite). Images r´ealis´ees par V. David.

fran¸cais Duchon et Robert (2000), mais c’est en fait Onsager (1949) (voir aussi Eyink et Sreenivasan (2006)) qui fut le premier `a conjecturer que de l’´energie pouvait ˆetre dissip´ee sans assistance de la viscosit´e, par le simple fait des irr´egularit´es du champ de vitesse. Cette dissipation de l’´energie est appel´ee dissipation inertielle par opposition a` la dissipation visqueuse. L’importance de cette conjecture tient au fait que l’anomalie dissipative en turbulence pourrait trouver son origine dans les irr´egularit´es du champ de vitesse des ´equations d’Euler 11 .

2.7.2

Formulation faible

Dans cette section, nous allons ´etablir l’expression de la dissipation inertielle DI . Pour cela, appliquons l’op´erateur de lissage aux ´equations de NavierStokes : (2.35) ∂t u + ∂j (uj u) = −∇P  /ρ0 + νΔu . Apr`es multiplication par u (une solution faible) et quelques manipulations, nous obtenons : ∂t (u · u ) + u · ∂j (uj u) + u · ∂j (uj u) = −u · ∇P  /ρ0 − u · ∇P/ρ0 + νu · Δu + νu · Δu . Avec la relation :

 ∇ · (u · u)u = ui uj ∂j ui + ui ∂j (ui uj ) ,

(2.36)

(2.37)

et la condition de divergence nulle sur la vitesse, nous pouvons r´e´ecrire l’expression pr´ec´edente sous la forme :  ∂t (u · u ) + ∇ · (u · u )u + (P  /ρ0 )u + (P/ρ0 )u = −ui ∂j (ui uj ) + ui uj ∂j ui + νu · Δu + νu · Δu .

(2.38)

11. Le physicien peut cependant se demander si cette origine math´ematique de l’anomalie dissipative est pertinente physiquement car les irr´egularit´es en question impliquent une description physique ` a une ´echelle infiniment petite pour laquelle les ´equations d’Euler ne sont en th´eorie plus valables.

46

Physique de la Turbulence

On d´efinit la dissipation inertielle (par unit´e de masse) `a partir de la fonction de structure d’ordre trois : DI ≡

1 4



 ∇ϕ (ξξ ) · (δu)2 δu dξξ .

(2.39)

Apr`es une int´egration par partie et le d´eveloppement de la fonction de structure, nous obtenons : 4DI = −∂j (u2 uj ) + 2ui ∂j (ui uj ) + uj ∂j (u2 ) − 2ui uj ∂j ui . L’introduction de cette expression dans la relation (2.38) donne :      u · u u · u P  u + P u ∂t = +∇· u+ 2 2 2ρ0 1  ν ν ∂j uj (u2 ) − (u2 uj ) − DI + ui Δui + ui Δui . 4 2 2

(2.40)

(2.41)

Apr`es utilisation d’identit´es vectorielles (voir l’annexe), on trouve l’´equation exacte de la conservation d’´energie (par unit´e de masse) :  ∂t

u · u 2



+ ∇ · J = −DI − Dν ,

(2.42)

o` u par d´efinition le flux d’´energie (par unit´e de masse) est : J ≡

P  u + P u (u2 u) − u(u2 ) u · u νu × w + νu × w u+ + , (2.43) − 2 2ρ0 2 4

et la dissipation visqueuse (par unit´e de masse) : Dν ≡ ν w · w .

(2.44)

L’expression (2.42) peut ˆetre vue comme une formulation faible de l’´equation de ` la diff´erence de la c´el`ebre ´equation, la formulation K´ arm´ an-Howarth (2.19). A faible ne fait pas usage de moyenne d’ensemble : c’est donc une forme locale de la conservation de l’´energie. La corr´elation se fait a priori entre un champ a la position x et un autre champ moyenn´e sur une boule de rayon  centr´ee ` au point x ; cette corr´elation peut se r´e´ecrire sous la forme :  ϕ (ξξ )u(x)u(x + ξ )dξξ . (2.45) u · u = R3

Avec cette nouvelle expression, nous voyons qu’il s’agit d’une corr´elation similaire a` l’´equation de K´ arm´ an-Howarth mais moyenn´ee localement. Les deux termes de droite de l’expression (2.42) ont aussi un ´equivalent : on peut les associer aux termes inertiel (apr`es int´egration par partie) et dissipatif (apr`es

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

47

quelques manipulations vectorielles). En revanche, le flux d’´energie `a gauche n’a pas d’´equivalent dans l’´equation de K´ arm´ an-Howarth : c’est une contribution purement locale qui disparaˆıt en moyenne (Dubrulle, 2019). Nous pouvons maintenant prendre la limite  → 0 (au sens des distribution) de l’expression (2.42). Dans ce cas, les deux derniers termes du flux d’´energie se compensent et nous obtenons l’´equation (c’est un th´eor`eme) de Duchon et Robert (2000) :  ∂t

u2 2



 +∇·

 P u2 u + u − νu × w = −DI − Dν , 2 ρ0

(2.46)

avec par d´efinition : DI ≡ lim DI →0

et Dν ≡ lim Dν = νw2 . →0

(2.47)

L’´equation (2.46) prend toute son importance lorsque ν = 0 : dans le cas des ´equations d’Euler, la dissipation inertielle est le seul terme pr´esent `a droite. L’´evaluation de cette dissipation ne pose pas de probl`eme puisque la d´eriv´ee est appliqu´ee (avant de prendre la limite) sur la fonction ϕ et les ´eventuelles discontinuit´es du champ de vitesse sont aborb´ees lors du calcul de l’int´egrale. On arrive donc a` une conclusion surprenante pour le physicien : un champ irr´egulier peut a priori contribuer a` dissiper de l’´energie. L’anomalie dissipative pourrait donc trouver son origine dans la non-r´egularit´e du champ de vitesse. Comme mentionn´e plus haut, les exp´eriences de laboratoire sont compatibles avec cette id´ee : en effet, les mesures montrent que le taux moyen de dissipation d’´energie tend vers une valeur finie dans la limite des grands nombres de Reynolds (Re ∼ 108 ) (Ravelet et al., 2008 ; Saint-Michel et al., 2014). Remarquons que des ´ev´enements extrˆemes potentiellement li´es `a la dissipation inertielle ont pu ˆetre identifi´es exp´erimentalement (Saw et al., 2016). D’un point de vue math´ematique, l’absence d’anomalie dissipative requiert de v´erifier une condition de continuit´e dite de H¨older 12 . Introduisons δu ≡ supξ 1/3, DI → 0 quand  → 0 et l’´energie est conserv´ee dans le cas inviscide. En revanche, pour h ≤ 1/3, nous sommes en pr´esence 12. Voir aussi les travaux des math´ematiciens Constantin et al. (1994) r´ ealis´ es dans l’espace de Besov. 13. Pour un champ de vitesse r´egulier, l’utilisation d’un d´eveloppement de Taylor nous donne h = 1. Dans ce cas, DI → 0 lorsque → 0.

48

Physique de la Turbulence

d’une anomalie dissipative. On constate que la loi de Kolmogorov est dimensionnellement compatible avec h = 1/3 et donc, avec l’existence d’une anomalie dissipative. Sous certaines conditions math´ematiques concernant le champ de vitesse, on peut montrer par ailleurs que DI ≥ 0 (Duchon et Robert, 2000 ; Eyink, 2008). Les ´equations d’Euler et de Navier-Stokes tri-dimensionnelles ont fait l’objet de nombreuses ´etudes math´ematiques. Par exemple, dans le premier cas, il a ´et´e d´emontr´e que si une solution non-r´eguli`ere existe alors la vorticit´e n’est pas born´ee (Beale et al., 1984) ; dans le second cas, il a ´et´e prouv´e que la r´egularit´e de la vitesse est assur´ee si celle-ci reste born´ee, et que la singularit´e associ´ee `a la non-r´egularit´e est n´ecessairement ponctuelle en temps et espace (Caffarelli et al., 1982 ; Constantin, 2008). Pour le physicien, le r´esultat sur Euler est intuitif, en revanche, celui sur Navier-Stokes avec l’apparition de singularit´es furtives semble peu physique car la vitesse de la lumi`ere constitue une limite infranchissable. Pour conclure, remarquons que l’anomalie dissipative peut ˆetre calcul´ee exactement dans le cas de l’´equation de Burgers qui est un mod`ele unidimensionnel de turbulence (voir la section Exercice I). Dans ce cas, on peut montrer que DI = ε. Ce r´esultat nous donne une indication – mais pas une preuve – que pour l’hydrodynamique tri-dimensionnelle la situation pourrait ˆetre la mˆeme. Cependant, la tˆ ache requise pour mener une telle analyse, par exemple avec des donn´ees, semble irr´ealisable car elle n´ecessite d’´etudier localement tous les ´ev´enements afin de sommer toutes les contributions `a la dissipation inertielle. Comme le sugg`erent des travaux analytiques sur la magn´etohydrodynamique o` u l’´equation de Duchon et Robert (2000) a ´et´e g´en´eralis´ee (Galtier, 2018), une des applications les plus pertinentes est probablement l’´etude d’´ev´enements individuels, comme par exemple des discontinuit´es du champ magn´etique dans les plasmas spatiaux, afin d’´evaluer leurs contributions au chauffage local du plasma (voir le chapitre 4).

2.8

Intermittence

L’intermittence est une propri´et´e encore mal comprise de la turbulence. C’est souvent la raison pour laquelle il est affirm´e que la turbulence est un probl`eme encore non-r´esolu. Cette affirmation est cependant d´ementie par l’immense connaissance acquise sur le sujet depuis plus de 50 ans. Par exemple, nous avons a` notre disposition des mod`eles d’intermittence qui peuvent reproduire correctement les donn´ees exp´erimentales pour des fonctions de structure d’ordre p ≤ 15. Mˆeme si `a ce jour notre connaissance reste limit´ee, nous sommes capables de comprendre une partie importante de la physique de l’intermittence. L’objectif de cette section est de pr´esenter, tout d’abord, un mod`ele simple et p´edagogique bas´e sur la notion de fractale. Puis, nous pr´esenterons les deux mod`eles d’intermittence les plus connus : les mod`eles log-normal et log-Poisson. De plus amples informations sur l’intermittence sont disponibles dans le chapitre ´eponyme de l’ouvrage de Frisch (1995).

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

49

Fig. 2.10 – Reproduction de mesures exp´erimentales (symboles §) des exposants ζp

des fonctions de structure Sp de la vitesse. La loi auto-similaire de Kolmogorov (K41) est trac´ee pour comparaison. L’´ecart a ` la loi auto-similaire est appel´e intermittence.

2.8.1

Qu’est-ce que l’intermittence ?

` partir de la loi exacte des 4/5 de Kolmogorov (2.27), on peut se demanA der s’il est possible d’´etendre le d´eveloppement analytique a` des fonctions de structure d’ordres plus ´elev´es 14 . En pratique, toutes les tentatives ont jusqu’` a maintenant ´echou´e et il semble que le probl`eme de fermeture soit insurmontable (voir le chapitre 1). On peut, cependant, introduire une hypoth`ese simple d’auto-similarit´e pour ´etendre dimensionnellement la loi de Kolmogorov (1941a) aux ordres sup´erieurs. Dans ce cas, on obtient :

avec :

Sp () ≡ (δu )p = Cp (ε)ζp ,

(2.50)

ζp = p/3 ,

(2.51)

pour satisfaire la loi analytique sur les fonctions de structure d’ordre trois. Il est maintenant reconnu que le mod`ele auto-similaire de Kolmogorov n’est pas satisfaisant parce que les fonctions de structure d’ordre ´elev´e (p > 3) montrent, sans ambiguit´e, une d´eviation importante des exposants d’´echelle. Sur la figure 2.10 nous illustrons sch´ematiquement cette propri´et´e : l’´ecart entre les mesures et la loi de Kolmogorov est d’autant plus grand que l’ordre est ´elev´e. Cet ´ecart est appel´e intermittence. Par ailleurs, on parle d’anomalie d’exposants pour les ζp car ces derniers ne peuvent pas ˆetre pr´edits par de simples arguments dimensionnels. 14. En g´ en´ eral, une variable al´eatoire suit une loi de probabilit´e dont la forme est d’autant mieux d´etermin´ee que l’on connaˆıt ses moments d’ordre ´elev´ e. Dans notre cas, c’est l’incr´ement longitudinal de la vitesse δu qui sert de variable al´eatoire de base.

50

Physique de la Turbulence

Fig. 2.11 – Repr´esentation sch´ematique de la variation spatiale d’une vitesse turbu-

 (bas) pour lente u(x) (haut), de sa d´eriv´ee (milieu) et de sa densit´e de probabilit´e Fδu diff´erentes s´eparations . Les ailes non-gaussiennes les plus marqu´ees correspondent aux s´eparations les plus petites.

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

51

Une mani`ere relativement simple de visualiser l’intermittence est de tracer la variation spatiale de la vitesse ainsi que sa d´eriv´ee. Sur la figure 2.11, nous voyons sch´ematiquement que le caract`ere intermittent est amplifi´e sur la d´eriv´ee avec la pr´esence de bouff´ees intermittentes, c’est-` a-dire l’apparition soudaine de fluctuations de grandes amplitudes. Une fonction al´eatoire gaussienne a, en revanche, le mˆeme comportement que sa d´eriv´ee. Si l’on trace maintenant la densit´e de probabilit´e de l’incr´ement de vitesse δu , on constate que des ailes non-gaussiennes apparaissent. Ces ailes sont d’autant plus marqu´ees que la s´eparation entre les deux points de mesure est petite. En d’autres termes, les ´ev´enements turbulents de grande amplitude sont plus probables que si la vitesse en un point r´esultait de la somme d’´ev´enements al´eatoires ind´ependants (qui sont eux distribu´es selon une gaussienne). Physiquement, cela signifie que dans un ´ecoulement turbulent les fluctuations de la vitesse en un point r´esultent de la superposition de l’influence d’un grand nombre de tourbillons qui op`erent `a des ´echelles diff´erentes. Ces tourbillons ne sont pas totalement ind´ependants les uns des autres, mais ont une m´emoire spatiotemporelle dont l’origine se trouve dans le processus de cascade.

2.8.2

Mod` ele fractal

Parmi les mod`eles d’intermittence existant, l’un des plus simples est sans doute le mod`ele fractal, dit « mod`ele β », introduit par Frisch et al. (1978) (voir aussi Mandelbrot (1974)). Comme nous allons le voir, ce mod`ele est bas´e sur l’id´ee d’une cascade fractale ; c’est donc par nature un mod`ele auto-similaire. Cependant, comme les exposants des fonctions de structure ne sont pas ceux pr´edits par la loi auto-similaire de Kolmogorov (2.50), on parle d’intermittence et d’anomalie d’exposants. L’id´ee sous-jacente au mod`ele fractal β est celle de la cascade de Richardson (voir la figure 2.5) : a` chaque ´etape de la cascade, le nombre de tourbillons « enfants » est choisi de telle sorte que le volume (ou la surface dans le cas bidimensionnel) occup´e par ces tourbillons d´ecroˆıt d’un facteur β (avec 0 < β < 1) par rapport au volume (ou surface) du tourbillon parent. Le facteur β est un param`etre du mod`ele inf´erieur `a un pour traduire le fait que le facteur de remplissage n’est pas le mˆeme suivant l’´echelle consid´er´ee : les tourbillons les plus petits occupant moins d’espace que les plus grands. On d´efinit par n les ´echelles discr`etes de notre syst`eme : la cascade fractale est caract´eris´ee par des sauts de l’´echelle n `a l’´echelle n+1 . On montre un exemple de cascade fractale sur la figure 2.12 : a` chaque ´etape de la cascade, l’´echelle ´el´ementaire est divis´ee par deux 15 . Nous avons donc : n =

0 , 2n

(2.52)

15. Dans la mesure o` u une cascade inverse se produit en turbulence hydrodynamique bi-dimensionnelle, la figure 2.12 doit ˆetre vue comme une simple illustration de la notion de cascade fractale. Sur la Fig. 2.14, c’est bien un mod`ele fractal tri-dimensionnel qui est consid´ er´ e.

52

Physique de la Turbulence

` chaque ´etape Fig. 2.12 – Cascade fractale en dimension deux pour β = 1/2. A de la cascade, l’´echelle ´el´ementaire est divis´ee par deux et les tourbillons enfants ` l’´echelle int´egrale n’occupent qu’une fraction β de la surface du tourbillon parent. A (non montr´ee), un seul tourbillon occupe toute la surface disponible. La dimension fractale de cette cascade est D = 1.

avec 0 l’´echelle int´egrale, c’est-` a-dire l’´echelle la plus grande de la zone inertielle. Soit pn la probabilit´e de trouver une r´egion « active » apr`es n ´etapes (c’est notre facteur de remplissage), d’o` u: pn = β n .

(2.53)

On suppose qu’initialement p0 = 1, autrement dit que dans l’´etat initial (` a l’´echelle int´egrale) nous avons un seul tourbillon de la taille du syst`eme. On peut montrer que : pn = β

ln(n /0 ) ln(1/2)

.

(2.54)

53

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique On cherche maintenant une expression de la forme :  pn =

n 0

d−D ,

(2.55)

o` u d est la dimension du syst`eme et D sa dimension fractale. Dans notre cas, une autre fa¸con d’introduire la dimension fractale est de d´efinir la relation suivante entre le nombre d’enfants N que donne chaque parent et D : N = 2d β ≡ 2D .

(2.56)

Cela nous donne finalement la relation g´en´erale : D = d+

ln β . ln 2

(2.57)

L’exemple de la figure 2.12 correspond donc a` une dimension fractale D = 1, alors que celui de la figure 2.13 correspond a` D = ln 3/ ln 2 1.585. ` partir de ce mod`ele fractal, il est possible de pr´edire les lois d’´echelle A pour le spectre d’´energie et plus g´en´eralement pour les fonctions de structure d’ordre p. Les tourbillons de taille n ne remplissent qu’une fraction pn du volume consid´er´e (nous ´etudions uniquement le cas tri-dimensionnel et prenons d = 3). Par cons´equent, on peut supposer que l’´energie, par unit´e de masse, associ´ee aux mouvements `a l’´echelle n est telle que : En =

u2n pn

=

u2n



n 0

3−D .

(2.58)

En suivant la ph´enom´enologie usuelle de Kolmogorov, on obtient : ε∼

u3n pn . n

(2.59)

u30 , 0

(2.60)

On a en particulier : ε∼ d’o` u:

 u n ∼ u 0

n 0

(D−2)/3 .

(2.61)

Finalement, on arrive a` la pr´ediction spectrale suivante : En ∼ E(k)k ∼

u20



n 0

(5−D)/3 ,

(2.62)

soit en d’autres termes : E(k) ∼ k −5/3−(3−D)/3 .

(2.63)

54

Physique de la Turbulence

Fig. 2.13 – Cascade fractale en dimension deux pour β = 3/4 (voir les commentaires de la figure 2.12). La dimension fractale de cette cascade est D  1.585.

Le spectre d’´energie associ´e `a la cascade fractale est donc plus pentu (puisque D < 3) que celui de Kolmogorov. Nous pouvons g´en´eraliser ce r´esultat au cas des fonctions de structure d’ordre p ; on obtient :  ζp n p p p , (2.64) Sp (n ) = (δun ) ∼ pn un ∼ u0 0 avec la loi fractale : ζp = p/3 + (3 − D)(1 − p/3) .

(2.65)

Comme attendu, ce mod`ele fractal – donc auto-similaire – nous donne une relation lin´eaire entre les exposants d’´echelle. Cette correction est nulle pour

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

55

Fig. 2.14 – Reproduction sch´ematique de mesures exp´erimentales (symboles §) des exposants ζp des fonctions de structure Sp de la vitesse (d’apr`es Anselmet et al. (1984)). Quatre mod`eles th´eoriques de r´ef´erence sont trac´es pour comparaison : le mod`ele auto-similaire de Kolmogorov (K41), le mod`ele fractal β tri-dimensionnel avec D = 2.8 (tirets), le mod`ele log-Poisson avec β = 2/3 (tiret-points) et le mod`ele log-normal avec µ = 0.2 (pointill´es).

p = 3 : on retrouve ainsi la loi exacte des 4/5 de Kolmogorov. Pour p = 2, on trouve un r´esultat compatible avec le spectre d’´energie que nous avons calcul´e juste avant. On remarque, par ailleurs, que la loi de Kolmogorov est obtenue pour D = 3 : une dimension fractale identique `a la dimension de l’espace signifie simplement que tout l’espace est rempli de tourbillons. Dans le cas contraire (pour D < 3), la correction apport´ee est n´egative et correspond bien quantitativement aux mesures faites o` u, par exemple, D ≃ 2.8 a ´et´e mesur´e pour p < 8 (voir la figure 2.14). Ce mod`ele a, par la suite, ´et´e g´en´eralis´e au cas bi-fractal, puis multi-fractal afin de mieux d´ecrire la courbure de la fonction ζp . Dans le cas le plus trivial, le mod`ele bi-fractal correspond `a la combinaison de la loi de Kolmogorov pour p ≤ 3 et du mod`ele fractal pour p > 3.

2.8.3

Mod` ele log-normal

Nous venons de voir que le mod`ele fractal β donne une loi diff´erente de celle de Kolmogorov en introduisant l’id´ee fondamentale que l’intermittence trouve son origine dans la r´epartition non-uniforme des structures turbulentes dans l’espace. Cette propri´et´e s’observe tr`es bien dans les simulations num´eriques directes avec l’apparition d’amas de filaments de vorticit´e (Kaneda et Ishihara, 2006). Comme nous le voyons sur la figure 2.14, le mod`ele fractal β devient cependant moins pertinent pour des valeurs ´elev´ees de p o` u les donn´ees montrent clairement une courbure de la fonction ζp (p). Le mod`ele log-normal que nous allons pr´esenter dans cette section apporte cette

56

Physique de la Turbulence

am´elioration en pr´edisant une loi non-lin´eaire en p. En fait, c’est historiquement le premier mod`ele d’intermittence : il a ´et´e introduit par Kolmogorov (1962) et Oboukhov (1962) afin de r´epondre a` une critique de Landau (voir le chapitre 1) sur les probl`emes potentiels de la th´eorie auto-similaire de Kolmogorov. L’id´ee nouvelle introduite dans le mod`ele log-normal est de r´e´ecrire la relation (2.50) sous la forme : p/3

p

Sp () ≡ (δu ) = Cp ε p/3 ,

(2.66)

avec par d´efinition : ε ≡

1 4/3π3

 ξ |≤ |ξ

ε(x + ξ )dξξ ,

(2.67)

qui est la dissipation (locale) d’´energie moyenn´ee dans une boule de rayon  centr´ee en x. Notons au passage que nous avons la relation triviale ε = ε. De cette fa¸con, nous allons prendre en consid´eration la remarque de Landau sur les fluctuations possibles de la dissipation : par exemple, ε p sera d’autant plus diff´erent de εp que les fluctuations de ε seront fortes, or ces fluctuations ont tendance `a augmenter lorsque le volume diminue puisque c’est aux petites ´echelles que les structures dissipatives se concentrent. Dans ce mod`ele, on fait l’hypoth`ese que la densit´e de probabilit´e de ε suit une loi log-normale, c’est-`a-dire que la densit´e de probabilit´e de ln(ε ) est une gaussienne de variance σ , centr´ee en m :   1 (ln(ε /ε) − m )2  Fln(ε ) ≡ exp − . (2.68) 2σ2 2πσ2 L’hypoth`ese log-normal trouve son origine dans une ´etude d’Oboukhov sur la pulv´erisation de minerai (Davidson et al., 2011). Dans ce processus, les morceaux de minerai deviennent de plus en plus petits. Apr`es n ´etapes, la taille du minerai est εn , produit entre la taille initiale ε et les n facteurs al´eatoires de fragmentation fi : εn = εf1 f2 ...fn , avec fi < 1. Si ces facteurs sont suppos´es ˆetre ind´ependants, alors log εn est une somme de nombres al´eatoires ind´ependants. Lorsque n augmente, la statistique de cette somme tend vers une distribution gaussienne (ou normale) avec une variance proportionnelle a` n. L’analogie entre la taille des fragments et celle des tourbillons permet de justifier cette hypoth`ese car le taux dissipation est fondamentalement li´e aux structures filamentaires de vorticit´e (voir la figure 2.6). Par un changement de variables 16 , on obtient :   1 1 (ln(ε /ε) + σ2 /2)2  Fε ≡ exp − , (2.69) ε 2πσ2 2σ2 16. On rappelle la propri´et´ e math´ematique suivante : la probabilit´e d’une surface diff´eren tielle reste invariante par changement de variables, c’est-` a-dire |Fln(ε d ln(ε )| = |Fε dε |. ) 

57

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

o` u nous avons utilis´e la relation m = −σ2 /2 qui permet de v´erifier, ε = ε. On en d´eduit 17 :   2 nσ n n ε =  exp (n − 1) . (2.70) 2 Dans la mesure o` u l’on recherche des solutions en loi de puissance, il est commode d’introduire la forme suivante pour la variance :   0 2 σ ≡ μ ln , (2.71)  o` u μ est une constante suppos´ee universelle. On introduit (2.70) dans (2.66), ce qui donne finalement :  ζp  , (2.72) Sp () = Cp (ε0 )p/3 0 avec la loi log-normale : ζp =

μ p − p(p − 3) . 3 18

(2.73)

Les premi`eres mesures d’intermittence ont permis d’obtenir avec pr´ecision les exposants ζp pour p < 10 et de conclure que μ 0.2. Des mesures plus r´ecentes ont montr´e cependant que pour p > 10 une divergence nette apparaissait (voir la figure 2.14), invalidant du coup le mod`ele log-normal. Malgr´e ces limitations, il est int´eressant de regarder de plus pr`es la pr´ediction pour u le spectre : p = 2 ; nous obtenons, S2 () = C2 ε2/3 2/3 (/0 )μ/9 , d’o` E(k) ∼ ε2/3 k −5/3 (k0 )−μ/9 .

(2.74)

On voit que le spectre d’´energie de Kolmogorov subit une l´eg`ere correction d’environ −0.02 (avec μ 0.2) et devient donc plus pentu. C’est effectivement une tendance observ´ee dans les exp´eriences et les simulations num´eriques directes. En conclusion, nous pouvons dire qu’en premi`ere approximation, la distribution log-normale est relativement bien observ´ee (Anselmet et al., 2001). Cependant, le mod`ele montre des signes de faiblesse pour p > 10 : ce constat a motiv´e de nouveaux travaux qui ont abouti au mod`ele log-Poisson.

2.8.4

Mod` ele log-Poisson

Le mod`ele log-Poisson d’intermittence a ´et´e propos´e par She et Leveque (1994). C’est actuellement le mod`ele le plus utilis´e dans la mesure o` u il reproduit tr`es bien les donn´ees jusqu’`a des valeurs de p 16. Il repose sur les trois hypoth`eses suivantes : 17. Nous rappelons que :

 +∞ −∞

exp(−αx2 − βx)dx =



π/α exp(β 2 /4α), avec α > 0.

58

Physique de la Turbulence • Existence d’une loi d’´echelle pour les fonctions de structure : p/3

p

Sp () ≡ (δu ) = Cp ε p/3 ,

(2.75)

• Existence d’une relation de r´ecurrence entre les moments de la distribution de la dissipation d’´energie locale ε : εp+1  p = Ap ε∞ ε  

εp

p−1 ε∞  ε

β ,

0 < β < 1,

(2.76)

p+1 /εp est une quantit´e esseno` u Ap sont des constantes et ε∞  ≡ limp→∞ ε tiellement sensible `a la queue de la distribution de ε . (Nous avons toujours ε = ε.) • Existence d’une loi d’´echelle limite : −2/3 lim ε∞ .  ∼

(2.77)

→0

En introduisant la relation d’´echelle εp ∼ τp , l’expression (2.76) m`ene `a la relation de r´ecurrence suivante : 2 τp+1 − (1 + β)τp + βτp−1 + (1 − β) = 0 . 3

(2.78)

En posant τp = −2p/3 + 2 + fp , nous obtenons une forme simple de suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2 : fp+1 − (1 + β)fp + βfp−1 = 0 ,

(2.79)

que l’on peut r´esoudre facilement ; on trouve fp = λ + μβ p . Les coefficients λ et μ sont d´etermin´es `a partir des conditions initiales τ0 = τ1 = 0, d’o` u:   2 1 − βp −p . (2.80) τp = 3 1−β Finalement, on obtient la loi log-Poisson (par d´efinition Sp () ∼ ζp ) : ζp =

p 2 + 3 3



1 − β p/3 p − 1−β 3

 .

(2.81)

On constate que limβ→1 ζp = p/3 : le param`etre β mesure le degr´e d’intermittence dans ce sens que plus sa valeur est petite, plus l’intermittence est forte. Le meilleur accord avec les donn´ees est obtenu pour β = 2/3 (voir la figure 2.14). a environ p = 16, La loi log-Poisson pr´edit correctement les exposants ζp jusqu’` mais les mesures les plus r´ecentes montrent qu’au-del` a une divergence apparaˆıt r´ev´elant les limites du mod`ele. Cette conclusion doit cependant ˆetre temp´er´ee

59

2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

par le fait que l’incertitude de la mesure augmente avec l’ordre p (car les ´ev´enements intenses sont alors plus rares et donc la convergence de la statistique plus lente). Le mod`ele log-Poisson doit son nom au fait que la r´ecurrence (2.76) peut s’interpr´eter comme une propri´et´e statistique sous-jacente `a la distribution ε (Dubrulle, 1994). R´e´ecrivons cette r´ecurrence pour la variable, π = ε /ε∞  ; nous obtenons par une simple substitution : πp+1 = Ap

πp β+1

πp−1 β

.

(2.82)

On montre ais´ement que :

πp

πp−2 β+1

β+1

=

Ap−1

=

β +β+1 ... = Ap−1 Aβ+1 ...A0β p−2 Ap−3

=

Ap−2

πp−3 β

Bp π

1−β

=

πp−2 β

2

1−β p

1

p−1

+...+1

p−2 β 2 +β+1 β+1 π Ap−1 Ap−2 p−3 π β(β+1)

π β

p−1

+...+1

,

(2.83)

o` u les coefficients Bp d´ependent des Aq (avec 0 ≤ q < p). La distribution Fπ  correspondant aux moments (2.83) est une distribution de Poisson g´en´eralis´ee pour la variable Y = ln π / ln β, a` savoir : FY =

e−λ λY , Y!

(2.84)

avec λ la variance. Avec le changement de variables, nous obtenons : πp = =



πp

e−λ λY −Y e Y!

ln β

 dπ =

epY

ln β e

−λ Y

p

λ dY = e−λ Y!

e−λ(1−β ) .



(λβ p )Y dY Y! (2.85)

La condition au limite p = 0 fixe la variance : λ= d’o` u finalement : πp = e

1 lnπ , β−1

1−β p 1−β

lnπ 

= π

(2.86)

1−β p 1−β

.

(2.87)

On peut ´egalement montrer que la relation (2.83) est encore v´erifi´ee si la distribution FY est le produit de convolution d’une distribution de Poisson et d’une distribution quelconque. Dans ce cas, un coefficient apparaˆıt dans le calcul et Bp = 1.

60

2.8.5

Physique de la Turbulence

Contraintes exactes

Pour conclure sur le sujet de l’intermittence, signalons qu’il existe des contraintes exactes que doivent satisfaire les exposants ζp des fonctions de structure (Constantin et Fefferman, 1994), (Frisch, 1995). La premi`ere est d’´evidence ζ3 = 1. Une seconde est la contrainte de convexit´e : (p3 − p1 )ζ2p2 ≥ (p3 − p2 )ζ2p1 + (p2 − p1 )ζ2p3 ,

(2.88)

pour des ordres d’exposant tels que p1 ≤ p2 ≤ p3 . Une troisi`eme affirme que si : ζ2p > ζ2p+2 , (2.89) alors les fluctuations de la vitesse deviennent non-born´ees. Il est par cons´equent n´ecessaire de consid´erer des exposants qui ne d´ecroissent pas strictement pour s’assurer que ces fluctuations restent subsoniques. On constate, en particulier, que le mod`ele log-normal ne v´erifie pas cette troisi`eme contrainte alors que c’est bien le cas pour le mod`ele log-Poisson.

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2. Lois de Kolmogorov en hydrodynamique

63

She Z.-S., Leveque E. (1994) Universal scaling laws in fully developed turbulence. Phys. Rev. Lett., 72, 336–339. Stokes G.G. (1845) On the theory of the internal friction of fluids in motion and the equilibrium and motion of elastic solids. Trans. Cam. Phil. Soc, 8, 287–319. Sulem C., Sulem P. L., Frisch H. (1983) Tracing Complex Singularities with Spectral Methods. J. Comp. Physics, 50(1), 138–161. Taylor G.I. (1935) Statistical Theory of Turbulence. Proc. Roy. Soc. Lond. Series A, 151(873), 421–444. Taylor G.I. (1937) The statistical theory of isotropic turbulence. J. Aero. Sci., 4(8), 311–315. von Karman T., Howarth L. (1938) On the Statistical Theory of Isotropic Turbulence. Proc. Roy. Soc. Lond. Series A, 164(917), 192–215. Young J. (2015) Heat, work and subtle fluids : a commentary on Joule (1850) ‘On the mechanical equivalent of heat’. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 373(2039), 20140348.

Chapitre 3 Th´ eorie spectrale en hydrodynamique L’approche spectrale en turbulence forte offre une voie d’´etude compl´ementaire indispensable ` a celle bas´ee sur les corr´elations dans l’espace physique (voir le chapitre 2). Le recours ` a l’espace spectral se justifie en particulier d’un point de vue (i) th´eorique avec la possibilit´e d’analyser les m´ecanismes d’interaction et d’´echange d’´energie (pour ne mentionner que cet invariant) entre nombres d’onde, (ii) de la mod´elisation avec l’introduction d’hypoth`eses de fermeture statistique (EDQNM, DIA), et (iii) de la simulation num´erique directe r´ealis´ee avec des codes de type spectral. Comme nous le verrons dans la partie II, la turbulence d’ondes s’´etudie principalement dans l’espace spectral, par cons´equent les trois points mentionn´es sont ´egalement au cœur de la probl´ematique de ce r´egime. Nous allons tout d’abord d´efinir quelques outils statistiques indispensables, puis discuter de la mesure spectrale la plus utilis´ee : le spectre d’´energie. Nous d´emontrerons quelques r´esultats exacts de la th´eorie spectrale en hydrodynamique incompressible, et nous consid`ererons en particulier le cas bidimensionnel pour lequel nous pouvons d´emontrer la pr´esence d’une cascade duale. Enfin, les mod`eles de fermeture les plus connus seront pr´esent´es ainsi que le mod`ele ´el´ementaire de diffusion non-lin´eaire.

3.1 3.1.1

Cin´ ematique Tenseur spectral

La transform´ee de Fourier tri-dimensionnelle d’une fonction sommable f (x) est par d´efinition : fˆ(k) ≡ fˆk ≡

1 (2π)3

ZZZ f (x) e−ik·x dx ,

(3.1)

66

Physique de la Turbulence

avec k un vecteur d’onde (sa norme sera not´ee k) et la transform´ee de Fourier inverse :  (3.2) f (x) ≡ fˆk eik·x dk . ` partir de ces d´efinitions, on construit le corr´elateur : A fˆ(k)fˆ(k ) =

1 (2π)6

 R6





f (x)f (x ) e−i(k·x+k ·x ) dxdx ,

(3.3)

avec  la moyenne d’ensemble (voir le chapitre 1). Nous allons consid´erer une turbulence homog`ene, dans ce cas nous pouvons d´efinir : Q() ≡ f (x)f (x ) = f (x)f (x +  ) ,

(3.4)

ce qui nous permet d’´ecrire : fˆ(k)fˆ(k ) = = =

   1 Q() e−i(k+k )·x e−ik · dxd 6 (2π) R6   1 Q() e−ik · δ(k + k )d (2π)3 ˆ ) , δ(k + k )Q(k

(3.5)

ˆ  ) le corr´elateur spectral en deux points. avec Q(k En turbulence, nous sommes essentiellement int´eress´es par le champ de vitesse. Le tenseur spectral tri-dimensionnel du champ de vitesse pour une turbulence homog`ene se d´efinit comme : Φij (k) ≡

1 (2π)3



Rij () e−ik· d ,

(3.6)

avec Rij () ≡ ui (x)uj (x +  ) le tenseur des corr´elations de la vitesse. Cette quantit´e est bien d´efinie math´ematiquement (fonction sommable) dans la mesure o` u la corr´elation entre deux points tend vers z´ero lorsque ces deux points s’´eloignent infiniment. Nous avons la propri´et´e hermitienne : Φji (k) = Φij (−k) = Φ∗ij (k) ,

(3.7)

o` u le symbole ∗ signifie le complexe conjugu´e (nous utiliserons c.c. lorsqu’il s’agit d’un terme plus compliqu´e). Cette propri´et´e s’´etablit en utilisant la relation d’homog´en´eit´e spatiale : Rij () = Rji (−). Dans notre cas, comme nous supposons que la turbulence est incompressible, nous avons en outre la relation : ki Φij (k) = 0 .

(3.8)

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

3.1.2

67

Spectre d’´ energie

Nous allons maintenant d´efinir une des quantit´es les plus ´etudi´ees en turbulence, a` savoir le spectre d’´energie cin´etique (on suppose ρ0 = 1). Nous avons :  1 1 1 E ≡ u2  = Rii (0) = Φii (k)dk . (3.9) 2 2 2 ` partir de cette relation, nous d´efinissons le spectre d’´energie : A 1 Φii (k) , (3.10) 2 qui rend compte de la distribution de l’´energie par bande spectrale [k, k + dk]. Dans le cas particulier d’une turbulence isotrope, le tenseur spectral ne d´epend plus que de la norme de k. La d´efinition du spectre unidimensionnel d’´energie se r´eduit a` :  (3.11) E(k) ≡ Ek =  E(k)dS(k) = 2πk 2 Φii (k) , E(k) ≡

o` u S(k) est une sph`ere de rayon k dans l’espace de Fourier. L’´energie cin´etique moyenne du syst`eme se retrouve alors par une simple int´egration selon k :  +∞ E = Ek dk . (3.12) 0

3.2

Conservation d´ etaill´ ee de l’´ energie

Dans cette section, nous allons ´etudier une propri´et´e fondamentale de la turbulence : la conservation d´etaill´ee des invariants. Pour illustrer notre propos, nous allons consid´erer les ´equations hydrodynamiques tri-dimensionnelles de Navier-Stokes (2.1) et montrer que l’´energie cin´etique se conserve par triade d’interaction. Pour cela, appliquons une transform´ee de Fourier `a ces ´equations 1 (on utilise les notations indicielles d’Einstein et nous n’explicitons pas la variable temporelle) :  ∂t u ˆi (k) + um ∂m ui (k) = −iki Pˆ (k)/ρ0 − νk 2 uˆi (k) , ki uˆi (k) = 0 .

(3.13a) (3.13b)

Nous pouvons r´e´ecrire le terme non-lin´eaire en faisant apparaˆıtre un produit de convolution de transform´ees de Fourier 2 :  ∂m ui (k) um

= u ˆm  ∂ m ui (k)  = i uˆm (p)qm u ˆi (q)δ(k − p − q)dpdq .

(3.14)

1. L’application d’une transform´ee de Fourier aux ´equations de Navier-Stokes suppose qu’il soit math´ematiquement possible de d´efinir la transform´ee de Fourier du champ de vitesse, c’est-` a-dire que ce champ d´ecroisse suffisamment vite ` a l’infini. Nous faisons ici cette hypoth`ese. Dans le cas contraire, nous devons utiliser la th´eorie des distributions.  ` partir de maintenant l’int´egrale multiple sera not´ee simplement . 2. A

68

Physique de la Turbulence

Fig. 3.1 – Exemples d’interactions triadiques locale (milieu) et non-locales (droite et gauche).

En appliquant l’op´erateur de divergence `a l’´equation (3.13a), on obtient :  iki um ∂m ui (k) = k 2 Pˆ (k)/ρ0 , d’o` u l’expression de la pression :  kn Pˆ (k)/ρ0 = − 2 ˆn (q)δ(k − p − q)dpdq . u ˆm (p)qm u k

(3.15)

(3.16)

La condition d’incompressibilit´e nous permet d’affirmer que pour une triade ˆm (p) = km u ˆm (p). On obtient alors : d’interaction qm u  ∂t u ˆi (k) = −ikm Pin

un (q)δ(k − p − q)dpdq − νk 2 uˆi (k) , (3.17) uˆm (p)ˆ

avec Pin = δin −ki kn /k 2 l’op´erateur projection qui assure l’incompressibilit´e du fluide. L’expression (3.17) est souvent le point de d´epart de l’analyse spectrale : il s’agit des ´equations spectrales de Navier-Stokes. Elles font intervenir des triades d’interaction et donc un aspect g´eom´etrique des ´equations (voir la figure 3.1). Pour montrer la conservation d´etaill´ee de l’´energie, nous allons ´ecrire une ´equation d’´evolution pour le module de la vitesse qui n’est rien d’autre que l’´energie cin´etique (par unit´e de masse et) par mode : u(k)|2 + 2νk 2 |ˆ u(k)|2 = ∂t |ˆ  ∗ −ikm Pin u ˆ (k)ˆ um (p)ˆ un (q)δ(k − p − q)dpdq  i ∗ ˆi (k)ˆ um (p)ˆ u∗n (q)δ(k − p − q)dpdq . +ikm Pin u

(3.18)

Apr`es d´eveloppement, nous avons en ´ecriture vectorielle : 

(3.19)

∂t |ˆ u(k)|2 + 2νk2 |ˆ u(k)|2 = ∗

∗

∗

ˆ (p))(ˆ ˆ (q)) − (k · u ˆ (p))(ˆ ˆ (q))]δ(k − p − q)dpdq . −i [(k · u u (k) · u u(k) · u

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

69

ˆ (−k) = u ˆ ∗ (k) et en jouant Cette ´equation se simplifie en utilisant la relation u sur les variables muettes p et q ; nous obtenons : −i



∂t |ˆ u(k)|2 + 2νk 2 |ˆ u(k)|2 = (3.20) ∗ ˆ (q)) − (k · u ˆ (p))(ˆ ˆ (q))] δ(k + p + q)dpdq [(k · u (p))(ˆ u (k) · u u(k) · u  ˆ (p))(ˆ ˆ (q))δ(k + p + q)dpdq + c.c. , = i (k · u u(k) · u ˆ∗

∗

avec c.c. le complexe conjugu´e. En sym´etrisant l’´equation par rapport aux variables p et q, on peut finalement ´ecrire :  ∂t |ˆ u(k)|2 + 2νk 2 |ˆ u(k)|2 = S(k, p, q)δ(k + p + q)dpdq , (3.21) avec par d´efinition : ˆ (p))(ˆ ˆ (q)) + (k · u ˆ (q))(ˆ ˆ (p))] , S(k, p, q) ≡ −[(k · u u(k) · u u(k) · u

(3.22)

et  la partie imaginaire. La conservation d´etaill´ee de l’´energie s’obtient en utilisant les propri´et´es de sym´etrie de l’op´erateur S(k, p, q). Apr`es quelques manipulations et utilisation de la condition d’incompressibilit´e, nous arrivons a la relation exacte par triade d’interaction : ` S(k, p, q) + S(p, q, k) + S(q, k, p) = 0 .

(3.23)

La conservation de l’´energie cin´etique (par unit´e de masse) peut s’´ecrire :   ∂t 12 |ˆ u(k)|2 dk = u(k)|2 dk + νk 2 |ˆ (3.24)  1 [S(k, p, q) + S(p, q, k) + S(q, k, p)]δ(k + p + q)dkdpdq = 0 . 6 Lorsque ν = 0, il y a comme attendu, conservation de l’´energie cin´etique car l’int´egrale `a droite (seconde ligne) est nulle, mais en fait cette conservation est r´ealis´ee localement (avant int´egration) par triade d’interaction : l’´energie est ´echang´ee par triade d’interaction sans perte, ni gain. Cette propri´et´e remarquable fut d´ecouverte par Kraichnan (1959) 3 dans ses travaux sur l’approximation d’interaction directe (DIA). Ce r´esultat exact est important car il nous informe sur la mani`ere dont est redistribu´ee l’´energie entre modes. La conservation d´etaill´ee est une propri´et´e qui est v´erifi´ee pour tous les invariants d’un syst`eme (sans dissipation) et ce, quel que soit le r´egime consid´er´e. Par exemple, en turbulence d’ondes (voir le chapitre 6) cette conservation d´etaill´ee est r´ealis´ee pour des interactions (triadiques, quartiques, etc) r´esonnantes. Cette propri´et´e trouve ses racines en dehors de la physique statistique puisque la moyenne d’ensemble n’est pas appliqu´ee pour obtenir l’expression 3. Kraichnan fut un chercheur original dont les travaux influenc`erent profond´ement notre compr´ehension de la turbulence. Son originalit´e tient en particulier au fait qu’il obtint sa th` ese de doctorat ` a l’ˆ age 21 ans, puis qu’il quitta le monde acad´emique en 1962 pour devenir chercheur ind´ependant, d´ecrochant r´eguli` erement des financements d’agences am´ericaines.

70

Physique de la Turbulence

(3.24) ; elle doit donc aussi ˆetre v´erifi´ee en moyenne statistique. Sur la figure 3.1 nous montrons des exemples d’interactions triadiques : nous pouvons distinguer les (deux) interactions non-locales de celle qui est locale. L’´energie est ´echang´ee `a l’int´erieur de chaque triade : la cascade directe nous sugg`ere, qu’en moyenne, les modes les plus petits c`edent de l’´energie aux modes les plus grands.

3.3 3.3.1

Th´ eorie statistique Flux et transfert

Appliquons la moyenne d’ensemble `a l’´equation (3.21) ; nous obtenons :  ∂t |ˆ u(k)|2  + 2νk 2 |ˆ u(k)|2  = S(k, p, q)δ(k + p + q)dpdq . (3.25) Il est facile de d´emontrer que cette ´equation conserve l’´energie de mani`ere d´etaill´ee. En introduisant le spectre d’´energie, nous obtenons une ´equation dont la forme fut sugg´er´ee par Batchelor (1953) (voir aussi Obukhov (1941b)) : ∂t E(k) + 2νk 2 E(k) = T (k) , avec par d´efinition la fonction de transfert :  1 S(k, p, q)δ(k + p + q)dpdq . T (k) ≡ 2

(3.26)

(3.27)

L’´equation (3.26) est exacte : elle exprime l’´evolution au cours du temps du spectre tri-dimensionnel d’´energie. L’exactitude de cette ´equation ne doit pas faire croire que nous avons r´esolu le difficile probl`eme de la fermeture : en fait, tout le probl`eme maintenant est de trouver une forme analytique pour la fonction de transfert T (k). Simplifions le probl`eme et supposons que la turbulence soit statistiquement isotrope. Nous arrivons alors a` l’´equation d’´evolution temporelle du spectre unidimensionnel d’´energie :

avec par d´efinition :

∂t E(k) + 2νk 2 E(k) = T (k) ,

(3.28)

 T (k) ≡  4πk 2 T (k)dS(k) ,

(3.29)

o` u l’int´egrale est r´ealis´ee sur une sph`ere S de rayon k. La fonction de transfert peut s’exprimer comme un terme de flux d’´energie Π(k) avec la d´efinition suivante (Kraichnan, 1959) : T (k) ≡ −

∂Π(k) . ∂k

(3.30)

71

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

´ Fig. 3.2 – Evolution temporelle du spectre d’´energie en ´echelles lin´eaires. En g´en´eral, on pr´ef`ere montrer ce spectre en ´echelles logarithmiques (insertion) o` u il est plus facile de distinguer la zone inertielle.

La conservation d´etaill´ee de l’´energie (3.23) nous permet d’affirmer que : 

+∞ 0

T (k)dk = 0 ,

(3.31)

par cons´equent, nous avons les relations flux-transfert :  Π(k) =

+∞ k

T (k  )dk  = −

 0

k

T (k  )dk  ,

(3.32)

avec la condition Π(0) = Π(+∞) = 0. Cette condition est satisfaite dans la mesure o` u l’´energie tend vers z´ero dans la limite des petits et grands nombres d’onde. Sur la figure 3.2 nous montrons sch´ematiquement l’´evolution du spectre d’´energie entre les instants t = 0 et t = 1. L’´energie localis´ee initialement sur une zone ´etroite ` a petits nombres d’onde, s’´etale principalement vers les grands nombres d’onde. Cette ´evolution s’explique par un flux d’´energie Π(k) en moyenne positif. Le probl`eme de l’anomalie dissipative se retrouve ´egalement dans l’espace de Fourier (voir la discussion au chapitre 2). Apr`es int´egration sur k de l’´equation (3.28), nous obtenons (ρ0 = 1) : 1 ∂u2  = −2ν 2 ∂t

 0

+∞

k 2 E(k)dk ≡ −ε(ν) −−−→ −ε . ν→0

(3.33)

72

Physique de la Turbulence

Introduisons maintenant une force ext´erieure F homog`ene, stationnaire et localis´ee `a petit nombre d’onde autour de k0 . Nous pouvons ´ecrire : ∂E(k) ∂Π(k) + = F δ(k0 ) − 2νk 2 E(k) , ∂t ∂k

(3.34)

ce qui nous donne apr`es int´egration sur k et dans la limite ν → 0 : 1 ∂u2  = F −ε. 2 ∂t

(3.35)

L’´etude des solutions en turbulence se fait en g´en´eral dans le cas stationnaire. Nous voyons que cela implique n´ecessairement que le taux moyen de dissipation s’ajuste au taux moyen d’injection d’´energie F . Revenons maintenant `a l’´equation (3.34) et pla¸cons-nous dans la zone inertielle, c’est-` a-dire a` une ´echelle k telle que : k0 k. Nous voyons que dans la limite d’une viscosit´e petite, le terme de dissipation va pouvoir ˆetre n´eglig´e et par cons´equent : ∂E(k) ∂Π(k) + = 0. (3.36) ∂t ∂k ` une turbulence stationnaire correspond donc un flux d’´energie Π constant. A Pour trouver cette valeur, il nous reste `a int´egrer l’´equation (3.34) :  k  k  k  k ∂E(k  )  ∂Π(k  )   dk + dk = F δ(k0 )dk − 2ν k 2 E(k  )dk  , (3.37)  ∂t ∂k 0 0 0 0 avec k k0 . Pour une turbulence stationnaire a` grande ´echelle, la relation se simplifie :  k k 2 E(k  )dk  . (3.38) Π = F − 2ν 0

Dans la limite d’une faible viscosit´e, nous obtenons finalement : Π=F =ε .

(3.39)

Le flux d’´energie dans l’espace spectral est donc pr´ecis´ement le taux moyen de dissipation d’´energie dont nous avons longuement discut´e au chapitre 2. Le flux associ´e `a une cascade directe est donc positif. Remarquons que dans le cas d’une cascade inverse avec une force agissant `a petite ´echelle, on montre ` partir des facilement `a partir de l’expression (3.37) que ce flux est n´egatif. A relations flux-transfert (3.32), nous voyons que pour un nombre d’onde fix´e k, la fonction de transfert T est positive pour des nombres d’onde sup´erieurs a` k et n´egative pour des nombres d’onde inf´erieurs a` k.

3.3.2

Spectre de Kolmogorov

La ph´enom´enologie de Kolmogorov d´evelopp´ee au chapitre 2 nous a permis d’obtenir la relation d’´echelle (ρ0 = 1) : ε ∼ u3 ,

(3.40)

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

73

` partir de valable pour une turbulence statistiquement homog`ene et isotrope. A cette relation et une simple analyse dimensionnelle, nous pouvons en d´eduire : u2 ∼ (ε)2/3 ∼ ε2/3 k −2/3 ∼ kEk ,

(3.41)

d’o` u la pr´ediction spectrale : Ek = CK ε2/3 k −5/3 ,

(3.42)

avec CK la constante dit de Kolmogorov ; les mesures les plus r´ecentes donnent CK 0,5 (Sreenivasan, 1995 ; Welter et al., 2009). Le flux d’´energie qui intervient ici est celui que l’on va mesurer dans l’espace spectral. Remarquons qu’avec une pure analyse dimensionnelle ne faisant intervenir que Ek , ε et k, nous arrivons a` la mˆeme pr´ediction sur les exposants. Bien que propos´e pour la premi`ere fois par Obukhov (1941a), ce spectre est connu sous le nom de spectre de Kolmogorov. Il est tout `a fait remarquable de constater qu’en d´epit de son origine ph´enom´enologique, cette pr´ediction est tr`es bien observ´ee en mer (Grant et al., 1962) et dans de nombreuses exp´eriences de laboratoire (Saddoughi et Veeravalli, 1994), avec une loi de puissance sur plusieurs ordres de grandeur comme le montre la figure 3.3. En utilisant notre analyse dans l’espace physique et la ph´enom´enologie de Kolmogorov, nous pouvons interpr´eter la figure 3.3 de la mani`ere suivante. Le spectre en k −5/3 r´esulte d’un ´equilibre entre l’injection d’´energie `a petits nombres d’onde et sa dissipation a` grands nombres d’onde. Entre les deux, nous avons une zone inertielle o` u la turbulence se comporte de mani`ere universelle. Cette zone inertielle est travers´ee par un flux d’´energie qui connecte les grandes et les petites ´echelles : c’est la r´egion o` u l’´energie cascade. Le processus de cascade signifie que l’´energie s’´ecoule d’une ´echelle `a l’autre de mani`ere continue. Le spectre de Kolmogorov n’est donc pas constitu´e d’un ensemble de raies, mais d’une r´epartition continue de l’´energie. Remarquons que la partie dissipative du spectre a fait l’objet de nombreuses ´etudes pour trouver sa forme. Un mod`ele simple est celui propos´e par Pao (1965) dans lequel le spectre est simplement la loi en −5/3 pond´er´ee par une fonction exponentielle dont le coefficient d´epend de l’´echelle de dissipation, appel´ee ´echelle de Kolmogorov. L’un des objectifs des th´eoriciens est de trouver une justification rigoureuse au spectre de Kolmogorov (dans la zone inertielle), ce qui exige l’obtention d’une ´equation spectrale auto-consistante. Malgr´e les nombreuses tentatives des physiciens et des math´ematiciens, `a ce jour, aucune solution a` ce probl`eme n’a ´et´e trouv´ee en turbulence forte. Le probl`eme est fondamentalement li´e aux non-lin´earit´es et `a l’absence de fermeture de la hi´erarchie d’´equations. Nous verrons dans la partie II de cet ouvrage qu’il est en revanche possible de trouver une solution analytique a` ce probl`eme dans le r´egime de turbulence d’ondes.

74

Physique de la Turbulence

Fig. 3.3 – Spectre d’´energie issu de mesures exp´erimentales : une loi universelle en k−5/3 est identifi´ee sur environ quatre ordres de grandeur. D’apr`es Saddoughi et Veeravalli (1994).

3.3.3

Hi´ erarchie infinie d’´ equations

Regardons de plus pr`es le probl`eme de fermeture. Celui-ci ´etant fondamentalement li´e aux non-lin´earit´es, pour simplifier, nous allons oublier le terme lin´eaire visqueux qui peut ˆetre r´eintroduit trivialement a` la fin du calcul. ` partir des ´equations spectrales de Navier-Stokes (3.17), nous obtenons A l’´equation pour le moment d’ordre deux :

−ikm Pin



ui (k)ˆ uj (k ) = ∂t ˆ ˆ uj (k )ˆ um (p)ˆ un (q)δ(k − p − q)dpdq

   −ikm ˆ ui (k)ˆ Pjn um (p)ˆ un (q)δ(k − p − q)dpdq .

(3.43)

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

75

Cette ´equation fait intervenir un moment d’ordre trois dont l’´equation d’´evolution est : ∂t ˆ ui (k)ˆ uj (k )ˆ ul (k ) =  −ikm Pin ˆ uj (k )ˆ ul (k )ˆ um (p)ˆ un (q)δ(k − p − q)dpdq     ui (k)ˆ ul (k )ˆ um (p)ˆ un (q)δ(k − p − q)dpdq −ikm Pjn ˆ    ui (k)ˆ −ikm Pjn ˆ uj (k )ˆ um (p)ˆ un (q)δ(k − p − q)dpdq .

(3.44)

Nous avons maintenant besoin d’´ecrire l’´equation pour le moment d’ordre quatre, etc : nous nous retrouvons avec une hi´erarchie infinie d’´equations. C’est en g´en´eral a` ce niveau que sont introduites les fermetures spectrales. Nous allons pr´esenter ci-dessous les principales m´ethodes de fermeture, a` savoir les approximations, QN, EDQN, EDQNM, puis DIA. Il en existe d’autres comme l’approximation lagrangienne de la DIA appel´ee LHDIA (Kraichnan, 1965), ou encore celle bas´ee sur des mod`eles stochastiques (Kraichnan, 1961).

3.3.4

Fermeture QN

Le premier mod`ele de fermeture fut propos´e par Millionschikov (1941) : il repose sur l’approximation quasi-normale (QN) qui consiste `a n´egliger purement et simplement la contribution du cumulant d’ordre quatre, et donc faire comme si le moment d’ordre quatre ´etait celui d’une distribution gaussienne. On rappelle que le cumulant d’ordre quatre apparaˆıt lors de la r´e´ecriture du moment d’ordre quatre comme produits de moment d’ordre deux (voir le chapitre 1). Avec des notations plus simples, nous avons la relation statistique : ˆ2 u ˆ3 uˆ4  ˆ u1 u

= ˆ u1 uˆ2 ˆ u3 uˆ4  + ˆ u1 u ˆ3 ˆ u2 u ˆ4  + ˆ u1 u ˆ4 ˆ u2 u ˆ3  (3.45) ˆ4 } , + {ˆ u1 uˆ2 uˆ3 u

o` u le terme de la deuxi`eme ligne est le cumulant d’ordre quatre. Dans le cas d’une distribution statistique gaussienne, ce terme est par d´efinition nul ; il en est de mˆeme pour tous les moments impairs (qui sont aussi des cumulants). L’hypoth`ese faite par Millionschikov (1941) n’est donc pas l’hypoth`ese de gaussianit´e qui trivialiserait le probl`eme (avec des moments d’ordre trois nuls), mais une hypoth`ese proche, d’o` u le nom de fermeture (ou approximation) quasi-normale. Sch´ematiquement, nous obtenons ensuite :  ∂t ˆ ui (k)ˆ uj (k )ˆ ul (k ) = ˆ uuˆˆ uu ˆ . (3.46) Avec cette hypoth`ese, nous voyons qu’il est possible, apr`es une int´egration en temps, d’obtenir une ´equation auto-consistante pour le moment d’ordre deux, et donc en particulier pour le spectre d’´energie. Kraichnan (1957) d´emontra cependant que cette fermeture ´etait inconsistante car elle violait certaines in´egalit´es statistiques (les conditions de r´ealisabilit´e), puis Ogura (1963) d´emontra num´eriquement que cette fermeture pouvait mener `a un spectre d’´energie n´egatif pour certains nombres d’onde. Le

76

Physique de la Turbulence

spectre d’´energie ´etant une quantit´e d´efinie positive, ce comportement constitue un d´efaut majeur du mod`ele qui fut par cons´equent abandonn´e. L’origine du probl`eme fut compris par Orszag (1970) : en absence de cumulant d’ordre quatre, l’impact des produits de moment d’ordre deux sur le moment d’ordre trois est surestim´e. En r´ealit´e comme le montre les mesures exp´erimentales, ces derniers saturent. Le cumulant d’ordre quatre a donc pour rˆ ole d’amortir les moments d’ordre trois.

3.3.5

Fermetures EDQN et EDQNM

Afin de rem´edier au d´efaut de l’approximation QN, une fermeture plus sophistiqu´ee fut propos´ee par Orszag (1970) : il s’agit de l’approximation EDQNM (pour Eddy-Damped Quasi-Normal Markovian), elle-mˆeme bas´ee sur l’approximation EDQN. Dans cette approximation, le cumulant d’ordre quatre est mod´elis´e par un terme d’amortissement lin´eaire (Eddy-Damped). Ainsi, l’´equation sch´ematique (3.46) est remplac´ee par :  ui (k)ˆ uj (k )ˆ ul (k ) = ˆ uuˆˆ uu ˆ . (3.47) (∂t + μkk k )ˆ Le coefficient μkk k a la dimension de l’inverse d’un temps et est nomm´e taux d’amortissement des moments d’ordre trois. La d´efinition de ce taux est ph´enom´enologique : nous avons μkk k = μk + μk + μk et

μk ∼

 k 3 Ek .

(3.48) (3.49)

Dans le cas isotrope et apr`es r´eintroduction de la viscosit´e, nous obtenons sch´ematiquement l’´equation EDQN :   ∂t + 2νk 2 E(k, t) = (3.50) t  −[μkpq +ν(k2 +p2 +q2 )](t−τ ) dpdqdτ , ˆ uu ˆˆ uu ˆ(τ )e 0 Δ o` u Δ est le domaine d’int´egration correspondant a` la relation triadique k = p + q. Cependant, les ´equations obtenues avec cette fermeture conservent la faiblesse du mod`ele QN : elles ne garantissent pas la r´ealisabilit´e statistique dans toutes les situations. Le spectre peut donc devenir n´egatif. Le dernier raffinement apport´e `a cette fermeture spectrale est appel´e markovianisation (M) : il s’agit de prendre en consid´eration le fait que le temps caract´eristique d’amortissement lin´eaire est plus court que le temps caract´eristique non-lin´eaire de variation des produits de moment d’ordre deux. Cette diff´erence d’´echelle en temps est utilis´ee pour justifier une moyenne s´epar´ee sur les temps courts de la contribution de μk au niveau de l’expression des moments d’ordre trois. Concr`etement, l’´equation (3.50) devient :     2 ˆ uuˆˆ uu ˆ(t)dpdq , (3.51) ∂t + 2νk E(k, t) = θkpq Δ

77

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique avec

 θkpq =

t

0

e−[μkpq +ν(k

2

+p2 +q2 )](t−τ )

dτ .

(3.52)

L’expression finale de l’´equation spectrale EDQNM, dans le cas d’une turbulence non-h´elicitaire, s’´ecrit (Lesieur, 1997) :   ∂t + 2νk 2 Ek =

 Δ

bkpq Eq (k 2 Ep − p2 Ek )θkpq dpdq ,

(3.53)

avec le coefficient g´eom´etrique (on consid`ere les angles int´erieurs au triangle kpq) : 1    bkpq = [cos (p, q) cos (k, q) + cos3 (k, p)] . (3.54) q Une derni`ere hypoth`ese simplificatrice est faite pour ´evaluer θkpq : on suppose que le taux d’amortissement ne varie pas sur le temps d’int´egration, d’o` u l’expression : 2 2 2 1 − e−[μkpq +ν(k +p +q )]t . (3.55) θkpq = μkpq + ν(k 2 + p2 + q 2 ) Comme nous le verrons au chapitre 6, la fermeture asymptotique de turbulence d’ondes est bas´ee sur une s´eparation d’´echelles en temps entre la p´eriode des ondes et le temps non-lin´eaire de variation des moments. Il existe donc une certaine proximit´e entre les deux approches. Notons que la fermeture EDQNM, qui est post´erieure a` celle de turbulence d’ondes dont le d´eveloppement date du milieu des ann´ees 1960, ´emane en fait de r´eflexions men´ees par Kraichnan a la fin des ann´ees 1950 sur une autre m´ethode de fermeture appel´ee DIA. `

3.3.6

Fermeture DIA

L’approximation d’interaction directe (DIA) fut propos´ee par Kraichnan (1958, 1959) afin de rem´edier a` certains d´efauts de la fermeture QN (Millionschikov, 1941), comme la non-conservation de l’´energie (Kraichnan, 1957) 4 . Cette approche, qui n’a pas de param`etre ajustable, est bas´ee sur une m´ethode de th´eorie des champs. L’id´ee fondamentale est qu’un ´ecoulement perturb´e sur un intervalle de nombres d’onde va voir sa perturbation s’´etaler sur un grand nombre de modes. Dans la limite L → +∞, avec L le cˆot´e du cube dans lequel est confin´e le fluide, cet intervalle devient de taille infinie ce qui sugg`ere que le couplage de modes devient infiniment faible. La r´eponse `a la perturbation peut alors se traiter de mani`ere syst´ematique. Sous certaines hypoth`eses, deux ´equations int´egro-diff´erentielles sont obtenues pour les fonctions de corr´elation en deux points, d’espace et de temps, et la fonction r´eponse. 4. Kraichnan cru un moment que sa th´eorie ´etait exacte, ce qui n’est pas le cas comme le d´ emontre la non-invariance de ses ´equations par transformation galil´eenne al´ eatoire. L’origine du probl`eme vient de la troncation du d´eveloppement en s´erie (Kraichnan, 1975).

78

Physique de la Turbulence

En pratique, on s’int´eresse `a l’´evolution de deux champs de vitesse. Le premier u ˆi est g´en´er´e par une force ext´erieure fˆi qui est introduite pour maintenir la turbulence stationnaire. Le second est une petite perturbation (de la vitesse ui g´en´er´ee par une petite perturbation (de la force fˆi ) δ fˆi . L’´equation u ˆi ) δˆ associ´ee `a la perturbation s’´ecrit : ˆ m (q, t)) = δ fˆi (t) . ui (k, t) − Mijm (ˆ uj (p, t), δu (∂t + νk 2 )δˆ

(3.56)

Si on suppose que les deux champs de vitesse sont ind´ependants, alors M est un op´erateur lin´eaire dont la forme peut ˆetre d´eduite des ´equations spectrales de Navier-Stokes (3.17). La lin´earit´e de l’´equation (3.56) est justifi´ee tant que les perturbations restent relativement petites. La solution a` cette ´equation est la r´eponse `a une perturbation infinit´esimale :  t ˆ ij (k, t, t )δ fˆj (k, t )dt , G (3.57) δˆ ui (k, t) = −∞



avec, pour t ≥ t : ˆ ij (k, t, t ) − M(ˆ ˆ ij (q, t, t )) = Pij (k)δ(t − t ) . ui (p, t), G (∂t + νk 2 )G

(3.58)

ˆ ij est appel´e tenseur de r´eponse infinit´esimale. Nous voyons que ces ´equations G spectrales font appel a` deux temps : elles ont donc une m´emoire temporelle, ce qui n’est pas le cas avec l’approche EDQNM. Bien que plus sophistiqu´ee que l’approche EDQNM, la m´ethode DIA demeure une approximation. Bri`evement, on peut dire que cette technique consiste `a d´evelopper le champ de vitesse et le tenseur de r´eponse infinit´esimale en s´erie de puissance de (donc du nombre de Reynolds). Le terme d’ordre 0 de la vitesse est suppos´e ˆetre une variable al´eatoire avec une statistique gaussienne. La fermeture DIA consiste a` s’arrˆeter dans le d´eveloppement `a l’ordre non-trivial le plus bas possible, puis a` prendre = 1, ce qui implique de subtils probl`emes de divergence de s´erie (Leslie, 1973 ; Kraichnan, 1975). On parle d’interaction directe dans le sens o` u toutes les ´equations sont tronqu´ees `a un ordre donn´e et que l’on suppose qu’il n’y a pas d’interaction indirecte entre l’ordre de la troncation et un ordre plus ´elev´e. On obtient finalement deux ´equations int´egro-diff´erentielles coupl´ees (dont l’allure ressemble aux ´equations EDQNM) qui pr´eservent la conservation d´etaill´ee de l’´energie. La pr´ediction d´eduite pour le spectre d’´energie, en k −3/2 , n’est cependant pas en accord dimensionnel avec la th´eorie de Kolmogorov, ni avec les principales mesures spectrales. Des am´eliorations ont ensuite ´et´e apport´ees, avec une approche lagrangienne – appel´ee Lagrangian History Direct Interaction Approximation (LHDIA) – pour r´esoudre certains probl`emes comme la non-invariance par transformation galil´eenne al´eatoire (Kraichnan, 1966) : cette nouvelle th´eorie peut ˆetre vue comme le mod`ele de fermeture le plus sophistiqu´e. Cependant, son degr´e de complexit´e est tel que son utilisation reste rare (Nakayama, 1999, 2001). De nos jours, la m´ethode de fermeture spectrale la plus utilis´ee demeure

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

79

l’EDQNM car c’est une th´eorie spectrale d’une complexit´e raisonnable avec laquelle il est relativement ais´e de faire de la simulation num´erique (Lesieur, 1997).

3.4

Turbulence bi-dimensionnelle

La motivation pour l’´etude de la turbulence hydrodynamique bi-dimensionnelle ´emane de travaux montrant qu’une approche bi-dimensionnelle pouvait rendre compte relativement bien de la dynamique atmosph´erique (Rossby et collaborators, 1939). On sait aujourd’hui que la rotation (ou la stratification) de l’atmosph`ere terrestre a tendance a` confiner sa dynamique non-lin´eaire dans des plans horizontaux (voir le chapitre 8). De nombreux travaux sont d´edi´es `a ce sujet ; pour les aspects fondamentaux, nous renvoyons le lecteur aux revues de Boffetta et Ecke (2012) et Alexakis et Biferale (2018). Tr`es tˆot, la turbulence hydrodynamique bi-dimensionnelle fut suspect´ee de se comporter diff´eremment du cas tri-dimensionnel. Par exemple, Lee (1951) d´emontra que l’existence d’une cascade directe d’´energie violerait la conserva` la tion de l’enstrophie qui est un invariant des ´equations bi-dimensionnelles. A fin de son ouvrage, Batchelor (1953) remarque que l’existence de ce deuxi`eme invariant devrait contribuer a` faire ´emerger, par agr´egation, des tourbillons de plus en plus gros et conclut en affirmant la tr`es grande diff´erence entre la turbulence bi- et tri-dimensionnelle. En utilisant l’´energie et l’enstrophie, Fjørtoft (1953) fut capable, quant a` lui, de d´emontrer par des arguments d’ordre dimensionnel que l’´energie devait avoir tendance a` cascader pr´ef´erentiellement vers les grandes ´echelles. C’est dans ce contexte manifestement en faveur d’une cascade inverse ` l’aide d’´energie que Kraichnan s’int´eressa `a la turbulence bi-dimensionnelle. A d’un d´eveloppement analytique des ´equations de Navier-Stokes dans l’espace de Fourier, l’utilisation des sym´etries et sous certaines hypoth`eses comme l’invariance d’´echelle des moments double et triple, Kraichnan (1967) apporta des arguments quantitatifs majeurs en faveur d’une cascade directe d’enstrophie et d’une cascade inverse d’´energie, pour laquelle le spectre propos´e est en k −5/3 . L’existence dans un mˆeme syst`eme de deux cascades diff´erentes – on parle de cascade duale – ´etait tout a` fait nouveau en turbulence forte. Cette pr´ediction a depuis ´et´e v´erifi´ee avec pr´ecision a` la fois au niveau exp´erimental (Couder, 1984 ; Kellay et Goldburg, 2002) et num´erique (Leith, 1968 ; Pouquet et al., 1975 ; Chertkov et al., 2007). Une illustration de ce qui se passe dans l’espace physique est donn´ee sur la figure 3.4 : il s’agit d’un r´esultat d’une simulation num´erique directe des ´equations de Navier-Stokes 2D. Nous voyons l’´evolution temporelle de la vorticit´e (normalis´ee) qui permet de suivre la formation de tourbillons. Ces derniers ont tendance `a s’agglom´erer pour ne laisser place finalement qu’`a quelques structures. Ce m´ecanisme de fusion peut ˆetre vu comme une signature de la cascade inverse.

80

Physique de la Turbulence

´ Fig. 3.4 – Evolution temporelle de la vorticit´e (normalis´ee) produite par une simulation num´erique directe des ´equations de Navier-Stokes 2D. Des tourbillons se forment rapidement avec un sens de rotation variable (direct en noir et r´etrograde en blanc), puis s’agglom`erent pour ne laisser finalement que quelques structures. Ce m´ecanisme de fusion peut ˆetre vu comme une signature de la cascade inverse. La boˆıte num´erique utilis´ee, de r´esolution spatiale 1024 × 1024, est p´eriodique dans les deux directions.

3.4.1

Ph´ enom´ enologie de Fjørtoft

Il est possible de d´emontrer l’existence d’une cascade duale par des arguments d’ordre dimensionnel. Nous rappelons que l’enstrophie moyenne se d´efinit comme :   1 1 2 Ω≡ (3.59) w dx ≡ (∇ × u)2 dx . 2 2 Dans le cas bi-dimensionnel, cette d´efinition se r´eduit a` la composante trans verse : Ω ≡ 12 wz2 (x, y)dxdy. Cette quantit´e est reli´ee dimensionnellement a l’´energie par la relation spectrale : k 2 Ek ∼ Ωk . Supposons qu’un flux ` d’´energie εi et d’enstrophie ηi soient inject´es dans le syst`eme `a une ´echelle ki . Pour notre d´emonstration, nous allons supposer l’existence de dissipation a grande et petite ´echelles, not´ees respectivement k0 et k∞ , et telles que ` 0 < k0 < ki < k∞ < +∞. La dissipation a` grande ´echelle peut ˆetre vue,

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

81

par exemple, comme la cons´equence de la friction entre les tourbillons et les parois d’une exp´erience. Nous supposons que le syst`eme s’´equilibre dynamiquement (hypoth`ese de stationnarit´e statistique) et que l’injection compense en moyenne la dissipation des invariants. Dans ce cas, par conservation des invariants nous avons : εi = ε0 + ε∞ ,

(3.60a)

ηi = η0 + η∞ ,

(3.60b)

avec ε0 , η0 , ε∞ et η∞ les valeurs des flux d’´energie et d’enstrophie aux ´echelles mentionn´ees ci-dessus. Par ailleurs, nous avons la relation dimensionnelle : k2 ε ∼ η ,

(3.61)

qui est valable aux trois ´echelles en question. La combinaison des diff´erentes relations nous donne : k 2 /k 2 − 1 ε0 ∼ ∞ i2 2 , ε∞ 1 − k0 /ki k 2 /k 2 − 1 η0 ∼ i ∞2 2 . η∞ 1 − ki /k0

(3.62a) (3.62b)

Dans la limite d’une large zone inertielle, 0 < k0 ki k∞ < +∞, nous obtenons : k2 ε0 ∼ ∞ → +∞ , ε∞ ki2 η0 k2 ∼ 02 → 0 , η∞ ki

(3.63a) (3.63b)

ce qui signifie que les flux d’´energie et d’enstrophie ont une orientation oppos´ee. En d’autres termes, nous avons une cascade directe d’enstrophie et une cascade inverse d’´energie. La loi spectrale peut ˆetre obtenue par la ph´enom´enologie de Kolmogorov pr´esent´ee `a la section 3.3.2 qui ne tient pas compte de la direction de la cascade. Dans le cas de l’´energie, la pr´ediction reste identique et nous obtenons un spectre a` grande ´echelle en Ek ∼ ε2/3 k −5/3 pour la cascade inverse. Il nous faut ensuite adapter la ph´enom´enologie `a l’enstrophie. Nous avons dans la zone inertielle : Ω Ω ∼ ∼ Ω3/2 ∼ (kΩk )3/2 , (3.64) η∼ τ /u d’o` u le spectre d’enstrophie a` petite ´echelle pour la cascade directe : Ωk ∼ η 2/3 k −1 .

(3.65)

En utilisant la relation dimensionnelle entre les deux spectres, nous obtenons celui de l’´energie `a petite ´echelle : Ek ∼ η 2/3 k −3 .

(3.66)

82

Physique de la Turbulence

´ Fig. 3.5 – Evolution sch´ematique du spectre d’´energie dans le cas bi-dimensionnel entre l’instant initial t = 0 et t = 1. Une force ext´erieure appliqu´ee ` a une ´echelle interm´ediaire injecte du flux d’´energie ε et du flux d’enstrophie η. Une cascade duale ´emerge et le spectre d’´energie est caract´eris´e par deux pentes spectrales diff´erentes.

La d´ependance en η est l`a pour nous rappeler que cette loi spectrale est la cons´equence de la cascade d’enstrophie et non de l’´energie. Sur la figure 3.5 nous montrons le spectre d’´energie de la turbulence bi-dimensionnelle qui est donc caract´eris´e par deux pentes spectrales diff´erentes : alors que la loi de puissance a` grande ´echelle est la cons´equence de la cascade inverse d’´energie, celle `a petite ´echelle doit ˆetre interpr´et´ee comme une signature d’une cascade directe d’enstrophie. Remarquons, pour conclure, que la formation du spectre d’´energie en −5/3 est plus lente pour une cascade inverse que pour une cascade directe. L’origine de cette diff´erence est la capacit´e infinie du syst`eme `a accumuler de l’´energie aux petits modes k, alors qu’elle est finie pour les grands modes.

3.4.2

Conservation d´ etaill´ ee

La th´eorie analytique propos´ee par Kraichnan (1967) permet d’aller plus loin dans la description. Nous avons besoin pour cela d’utiliser la conservation d´etaill´ee de l’´energie et de l’enstrophie. Remarquons que la d´emonstration que nous allons faire diff`ere l´eg`erement de celle de Kraichnan car nous allons utiliser la fonction de courant ψ telle que : u ≡ ez × ∇ψ ,

(3.67)

83

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

avec ez un vecteur unitaire dans la direction transverse au plan 2D. En Fourier, cette relation s’´ecrit : ˆ (k) = iψˆk ez × k . u (3.68) Avec l’utilisation de la fonction de courant la condition de divergence nulle sur la vitesse est automatiquement satisfaite. Il en r´esulte une ´ecriture plus simple des ´equations. Nous avons aussi : ˆ (p) = iψˆp ez · (p × k) , k·u ˆ (q) = iψˆq ez · (q × k) , k·u ˆ (k) · u ˆ (p) = −ψˆk ψˆp k · p , u ˆ (k) · u ˆ (q) = −ψˆk ψˆq k · q . u

(3.69a) (3.69b) (3.69c) (3.69d)

Par cons´equent, l’expression (3.22) s’´ecrit : S(k, p, q) = [(k · p)(ez · (p × q)) + (k · q)(ez · (q × p))] [ψˆk ψˆp ψˆq ] , (3.70) avec  la partie r´eelle. En utilisant la relation triadique, la relation se simplifie : S(k, p, q) = [(q 2 − p2 )(ez · (p × q))] [ψˆk ψˆp ψˆq ] , avec l’´equation de conservation d’´energie par mode :  2 2 2 u(k)| + 2νk |ˆ u(k)| = S(k, p, q)δ(k + p + q)dpdq . ∂t |ˆ

(3.71)

(3.72)

Par ailleurs, on peut d´emontrer (voir la partie Exercice I) que la conservation d’enstrophie par mode s’´ecrit :  2 2 2 ˆz (k)| + 2νk |w ˆz (k)| = k 2 S(k, p, q)δ(k + p + q)dpdq . (3.73) ∂t |w Pour cela, nous devons utiliser la relation : w ˆz (k) = −k 2 ψˆk ez .

(3.74)

` partir de ces expressions, il est possible de d´emontrer la conservation d´etaill´ee A de l’´energie et de l’enstrophie (voir la partie Exercice I) par triade d’interaction ; ces lois de conservation s’´ecrivent respectivement : S(k, p, q) + S(p, q, k) + S(q, k, p) = 0 , 2

2

2

k S(k, p, q) + p S(p, q, k) + q S(q, k, p) = 0 .

(3.75a) (3.75b)

Ces deux relations se g´en´eralisent au cas d’une turbulence statistiquement isotrope (voir la partie Exercice I). Dans ce cas, nous avons : T (k, p, q) + T (p, q, k) + T (q, k, p) = 0

(3.76)

84

Physique de la Turbulence

et k 2 T (k, p, q) + p2 T (p, q, k) + q 2 T (q, k, p) = 0 ,

(3.77)

avec les ´equations d’´evolution des spectres unidimensionnels d’´energie E(k) et d’enstrophie Ω(k) :  ∂t E(k) + 2νk 2 E(k) = T (k) = T (k, p, q)dpdq , (3.78a) Δ  ∂t Ω(k) + 2νk 2 Ω(k) = k 2 T (k) = k 2 T (k, p, q)dpdq , (3.78b) Δ

o` u Δ signifie une int´egrale v´erifiant la relation triadique k + p + q = 0 et : T (k, p, q) = 2πk(q 2 − p2 )

pq ez · (ep × eq )ψˆk ψˆp ψˆq  , sin θk

(3.79)

avec ep et eq deux vecteurs unitaires orient´es selon p et q respectivement et θk l’angle oppos´e `a k dans le triangle k + p + q = 0.

3.4.3

Solutions en loi de puissance

Nous allons suivre une m´ethode diff´erente de celle de Kraichnan (1967) et faire usage de la transformation de Zakharov. Habituellement, cette transformation n’est utilis´ee qu’en turbulence d’ondes pour obtenir les solutions exactes des ´equations cin´etiques (voir le chapitre 6). Nous allons supposer l’invariance d’´echelle : T (ak, ap, aq) = ax T (k, p, q)

(3.80)

et introduire les variables sans dimension : ξp = p/k et ξq = q/k. On s’int´eresse tout d’abord a` l’´energie ; nous avons dans la zone inertielle :  1 k 2+x [T (1, ξp , ξq ) + T (1, ξp , ξq ) + T (1, ξp , ξq )]dξp dξq . (3.81) ∂t E(k) = 3 Δ On applique ensuite les transformations suivantes respectivement aux deux derniers int´egrands (voir la figure 3.6) : 1 ξp ξp ξp → ξq ξp →

ξq , ξp 1 et ξq → , ξq et ξq →

(3.82a) (3.82b)

ce qui donne : k2+x 3

=

k

2+x

3

∂t E(k) =

 Δ



[T (1, ξp , ξq ) +

Δ [T (1, ξp , ξq )

ξp−3−x T (ξp , 1, ξq )

(3.83) +

ξq−3−x T (ξq , ξp , 1)]dξp dξq

+ ξq−3−x T (ξq , 1, ξp ) + ξp−3−x T (ξp , ξq , 1)]dξp dξq .

85

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

Fig. 3.6 – Transformation conforme de Zakharov pour des interactions `a trois ondes. La bande gris´ee infiniment ´etendue correspond aux solutions de la relation triangulaire k + p + q = 0 (les fronti`eres correspondent ` a des triangles aplatis). La transformation consiste en l’´echange des quatre r´egions s´epar´ees par des tirets. Les transformations (3.82a) et (3.82b) sont montr´ees ` a droite et ` a gauche respectivement. Les lois de conservation d´etaill´ee de l’´energie et de l’enstrophie nous donnent les relations : 1 − ξp2 T (ξq , 1, ξp ) = 2 , T (1, ξp , ξq ) ξp − ξq2

(3.84a)

ξq2 − 1 T (ξp , ξq , 1) = 2 . T (1, ξp , ξq ) ξp − ξq2

(3.84b)

Avec l’introduction de ces relations, nous obtenons :

k

=

2+x

k2+x 3





∂t E(k) = 1−ξp2 ξp2 −ξq2

ξq2 −1 ξp2 −ξq2



(3.85)

dξp dξq T (1, ξp , ξq ) 1 + ξq−3−x + ξp−3−x

 (ξp ξq )3+x (ξp2 −ξq2 )+ξp3+x −ξp5+x +ξq5+x −ξq3+x dξp dξq . T (1, ξ , ξ ) p q 3+x 2 2 (ξp ξq ) (ξ −ξ ) Δ

3

Δ

p

q

La solution stationnaire exacte a` flux constant correspond donc a` x = −3. Quel est le spectre d’´energie E(k) associ´e ? Pour r´epondre a` cette question, il est n´ecessaire d’introduire une hypoth`ese de similarit´e. Dimensionnellement, nous avons : [E(k)]3/2 k 3/2 = [T (k)] = k x+2 . (3.86) Si nous supposons que E(k) ∼ k y nous obtenons la relation d’´echelle : 3y = 2x + 1. La solution stationnaire correspond donc a` y = −5/3 : c’est le spectre de Kolmogorov. Cette solution n’est cependant pas exacte car nous

86

Physique de la Turbulence

avons fait une hypoth`ese de similarit´e qui n’est pas vraie en turbulence comme le d´emontre la pr´esence d’intermittence (voir le chapitre 2). Cependant, la correction intermittente a` ce niveau statistique est relativement faible. Int´eressons nous maintenant `a l’enstrophie ; nous avons dans la zone inertielle :  1 ∂t Ω(k) = k 4+x [T (1, ξp , ξq ) + T (1, ξp , ξq ) + T (1, ξp , ξq )]dξp dξq . (3.87) 3 Δ On applique la transformation de Zakharov :

=

k4+x 3

∂t Ω(k) =

 Δ

[T (1, ξp , ξq ) +

ξq−3−x T (ξq , 1, ξp )

(3.88) +

ξp−3−x T (ξp , ξq , 1)]dξp dξq

.

L’utilisation des lois de conservation d´etaill´ee nous donne :

=

k4+x 3

 Δ

T (1, ξp , ξq )



∂t Ω(k) = (ξp ξq )3+x (ξp2 −ξq2 )+ξp3+x −ξp5+x +ξq5+x −ξq3+x (ξp ξq )3+x (ξp2 −ξq2 )



(3.89) dξp dξq .

La solution stationnaire exacte a` flux constant correspond donc a` x = −5, soit un spectre d’enstrophie en Ω(k) ∼ k −1 . On retrouve la pr´ediction ph´enom´enologique. L`a encore ce r´esultat n’est pas exact car nous avons eu recours `a une hypoth`ese de similarit´e – non valide en pr´esence d’intermittence.

3.4.4

Flux d’´ energie et d’enstrophie

Nous pouvons ensuite ´etudier le signe du flux d’´energie. Nous avons :  Π(k) =

+∞

k

k 2+x  k 3+x dk I(x) = − I(x) , 3 3(3 + x)

(3.90)

avec : 

I(x) ≡

(3.91)

(ξp ξq )3+x (ξp2 −ξq2 )+ξp3+x −ξp5+x +ξq5+x −ξq3+x dξp dξq Δ T (1, ξp , ξq ) (ξp ξq )3+x (ξp2 −ξq2 )

.

Nous avons suppos´e implicitement que les contributions des triades d’interaction pour k → +∞ tendaient vers 0 (et donc que Π(+∞) = 0) : c’est une hypoth`ese de localit´e dont la validit´e doit ˆetre v´erifi´ee a posteriori. Le flux constant s’obtient dans le cas stationnaire, c’est-` a-dire lorsque x = −3. Pour prendre cette limite, il est n´ecessaire d’utiliser la r`egle de l’Hospital puisque I(−3) = 0. Avec z = x + 3, nous avons : lim Π(k) = ε = −

z→0

1 dI(z) |z=0 , 3 dz

(3.92)

87

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique avec :

dI(z) (3.93) dz |z=0 = −z 2 −z 2 −z −z  −ξ ln(ξq )+ξp ξq ln(ξq )−ξq ξp ln(ξp )+ξp ln(ξp ) T (1, ξp , ξq ) q dξp dξq |z=0 ξp2 −ξq2 Δ

=



Δ

T (1, ξp , ξq )

(ξp2 −1) ln(ξq )−(ξq2 −1) ln(ξp ) dξp dξq ξp2 −ξq2

.

Nous obtenons l’expression exacte pour le flux d’´energie :  ε=

Δ

avec :

T (1, ξp , ξq )A(ξp , ξq )dξp dξq ,

(3.94)

1 (ξp2 − 1) ln(ξq ) − (ξq2 − 1) ln(ξp ) . 3 ξq2 − ξp2

A(ξp , ξq ) =

(3.95)

Pour aller plus loin, on peut ´eventuellement introduire l’expression (3.79) normalis´ee : T (1, ξp , ξq ) = (ξq2 − ξp2 )ξp ξq

ez · (ep × eq ) [2πψˆ1 ψˆξp ψˆξq ] . sin θk

(3.96)

Un d´eveloppement de Taylor au voisinage du point ξp = ξq = 1 donne A(ξp , ξq ) − 13 ξp ξq , par cons´equent A(1, 1) = 0. Par ailleurs, on constate que A(ξp , ξq ) est nul pour ξp = 1 ou ξq = 1. Ainsi la bande gris´ee de la figure 3.6 sur laquelle nous nous trouvons peut se d´ecouper en quatre r´egions avec une sym´etrie axiale selon la diagonale ξp = ξq sur laquelle A = 0. Le signe de A dans chaque r´egion est donn´e en fait par l’estimation au voisinage du point (1, 1) (voir la figure 3.7). Le flux de l’enstrophie s’´ecrit :  +∞ 4+x k k 5+x dk  J(x) = − J(x) , (3.97) η(k) = 3 3(5 + x) k avec : 

J(x) ≡ (ξp ξq )3+x (ξp2 −ξq2 )+ξp3+x −ξp5+x +ξq5+x −ξq3+x T (1, ξp , ξq ) dξp dξq (ξp ξq )3+x (ξp2 −ξq2 ) Δ

(3.98) .

Une ´etude similaire au cas pr´ec´edent nous donne l’expression exacte :  η= avec : B(ξp , ξq ) =

Δ

T (1, ξp , ξq )B(ξp , ξq )dξp dξq ,

1 ξq2 (ξp2 − 1) ln(ξq ) − ξp2 (ξq2 − 1) ln(ξp ) . 3 ξq2 − ξp2

(3.99)

(3.100)

88

Physique de la Turbulence

Fig. 3.7 – Fonctions A(x, y) (haut) et B(x, y) (bas). Seules les valeurs sur la bande gris´ee de la figure 3.6 sont pertinentes. On distingue quatre r´egions sur lesquelles A et B sont de signe oppos´e.

Un d´eveloppement de Taylor au voisinage du point ξp = ξq = 1 donne B(ξp , ξq ) 13 ξp ξq , donc B(1, 1) = 0. Comme pour A, on constate que B(ξp , ξq )

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

89

est nul pour ξp = 1 ou ξq = 1. Ainsi la bande gris´ee de la figure 3.6 peut aussi se d´ecouper en quatre r´egions avec une sym´etrie axiale selon la diagonale ξp = ξq sur laquelle B est nul. Le signe de B dans chaque r´egion est donn´e en fait par l’estimation au voisinage du point (1, 1). Comme le montre la figure 3.7, A et B sont toujours de signe oppos´e. Remarquons que Kraichnan (1967) est arriv´e a cette conclusion sans utiliser la transformation de Zakharov mais en manipu` lant l’int´egrale (3.90) : il montre que le flux peut se r´eduire a` la contribution de la r´egion triangulaire en haut a` gauche de la bande gris´ee de la figure 3.6 (partie droite). Au passage, la comparaison des deux approches met en ´evidence une relation non-triviale au niveau des contributions au flux 5 . Avec ces r´esultats nous arrivons a` un r´esultat majeur : les flux ε et η sont n´ecessairement de signe oppos´e. En d’autres termes, la turbulence hydrodynamique 2D se caract´erise par une cascade duale d’´energie et d’enstrophie. La turbulence 2D est historiquement le premier exemple de syst`eme o` u ce ph´enom`ene est observ´e. Nous savons maintenant qu’il en existe d’autres comme en magn´etohydrodynamique o` u l’h´elicit´e magn´etique cascade inversement (voir le chapitre 4). L’utilisation de simulation num´erique confirme la ph´enom´enologie : nous avons une cascade directe d’enstrophie et une cascade inverse d’´energie (Leith, 1968 ; Pouquet et al., 1975 ; Chertkov et al., 2007). Remarquons, pour terminer, que nous avons fait une hypoth`ese relative `a la convergence d’int´egrale (hypoth`ese de localit´e). Or il se trouve qu’une correction logarithmique doit ˆetre apport´ee au spectre a` petite ´echelle pour v´erifier cette hypoth`ese (Kraichnan, 1971). Ce type de correction n’est pas rare : on la trouve aussi dans le r´egime de turbulence d’ondes (voir par exemple D¨ uring et al. (2017)).

3.5

Cascade duale

Nous venons de voir que la turbulence hydrodynamique bi-dimensionnelle est caract´eris´ee par une cascade d’´energie inverse, alors qu’elle est directe en trois dimensions. D’un point de vue th´eorique, on peut se demander si la transition entre une cascade d’´energie directe et une cascade inverse arrive brutalement lorsque l’´epaisseur du fluide diminue, ou si elle se fait progressivement. Des ´etudes num´eriques sur le sujet montrent que le second sc´enario est le bon : il existe un intervalle d’´epaisseur sur lequel la transition se fait progressivement (Benavides et Alexakis, 2017). Dans le cas tri-dimensionnel, la d´ecomposition du champ de vitesse sur une base h´elicitaire complexe (Craya, 1954) permet de s´eparer les triades d’interaction par classe et de mettre en ´evidence celles qui contribuent `a des flux d’´energie positif et n´egatif (Sahoo et al., 2017 ; Alexakis et Biferale, 2018). On peut montrer que ce comportement est li´e `a la quantit´e d’h´elicit´e cin´etique inject´ee dans le syst`eme (Plunian et al., 2020). Remarquons que l’introduction d’une force ext´erieure, comme la force de Coriolis, peut changer 5. L’approche d´evelopp´ee ici ` a partir de la transformation de Zakharov est originale et n’a ´ et´ e publi´ee nulle part.

90

Physique de la Turbulence

fondamentalement la physique tri-dimensionnelle avec l’´emergence d’une cascade inverse (Smith et Waleffe, 1999) (voir le chapitre 8). La dualit´e, cascade directe / cascade inverse, demeure un sujet tr`es ´etudi´e en turbulence hydrodynamique, mais aussi dans bien d’autres syst`emes. Une revue sur ce th`eme est propos´ee par Pouquet et al. (2017), 50 ans apr`es la d´ecouverte de Kraichnan (1967).

3.6

Mod` ele de diffusion non-lin´ eaire

Dans cette section, nous allons pr´esenter un mod`ele ph´enom´enologique de turbulence bas´e sur l’id´ee d’une diffusion turbulente dans l’espace spectral. L’approche est diff´erente des m´ethodes de fermeture, type EDQNM, dans ce sens que nous cherchons `a exprimer directement le processus de cascade sans passer par la hi´erarchie d’´equations. Ce type de mod`ele fut propos´e pour la premi`ere fois par Leith (1967). Il a depuis ´et´e g´en´eralis´e `a d’autres syst`emes dans le r´egime de turbulence forte (Leith, 1968 ; Zhou et Matthaeus, 1990 ; Connaughton et Nazarenko, 2004 ; Matthaeus et al., 2009 ; Thalabard et al., 2015) et de turbulence d’ondes (Hasselmann et al., 1985 ; Dyachenko et al., 1992 ; Zakharov et Pushkarev, 1999 ; Boffetta et al., 2009 ; Galtier et al., 2019). Remarquons que dans ce dernier cas, l’´equation de diffusion non-lin´eaire peut ˆetre obtenue par un calcul rigoureux a` partir des ´equations cin´etiques dans l’approximation d’interactions locales. Dans le chapitre 8, une telle limite est discut´ee dans le contexte de la turbulence hydrodynamique en rotation. Dans cette approche, la cascade est mod´elis´ee par un processus de diffusion dans l’espace spectral. Nous allons consid´erer l’´equation de diffusion de l’´energie valable dans la zone inertielle : ∂t E(k) = −∇ · Π(k) ,

(3.101)

avec Π(k) le flux d’´energie. Nous supposons que la turbulence est statistiquement isotrope, par cons´equent nous pouvons ´ecrire : 1 ∂(k 2 Πk (k)) , (3.102) k2 ∂k avec Πk la composante radiale du flux en coordonn´ees sph´eriques. Cette composante est mod´elis´ee de la mani`ere suivante : ∂t E(k) = −

∂E(k) , (3.103) ∂k o` u D est un coefficient de diffusion. Dimensionnellement, nous trouvons : Πk = −D

k2 , (3.104) τN L avec τN L le temps caract´eristique de transfert d’´energie. Son expression ph´enom´enologique est donn´ee par la relation (voir le chapitre 2) : D=

τN L ∼

 . u

(3.105)

3. Th´eorie spectrale en hydrodynamique

91

On introduit le spectre d’´energie unidimensionnel, E(k) = 4πk 2 E(k). Le coefficient de diffusion peut alors s’´ecrire :  (3.106) D ∼ k 3 kE(k) . Apr`es quelques manipulations, on obtient finalement l’´equation de diffusion non-lin´eaire suivante dans laquelle nous avons introduit un terme de dissipation pour inclure les ´echelles dissipatives : ∂t E(k) =

∂ ∂k

  ∂(E(k)/k 2 ) k 11/2 E(k) − 2νk 2 E(k) . ∂k

(3.107)

Cette ´equation mod´elise la turbulence hydrodynamique tri-dimensionnelle, homog`ene et isotrope. Nous aurions pu introduire une constante de proportionalit´e devant le terme de droite, cependant, on peut toujours renormaliser le temps pour faire disparaˆıtre cette constante. En d’autres termes, l’´echelle de temps caract´eristique de cette ´equation de diffusion est normalis´ee par le temps caract´eristique de la cascade. Nous pouvons v´erifier que cette ´equation a pour solution le spectre de Kolmogorov. Pour cela introduisons le spectre : E(k) = Ak x ,

(3.108)

avec A > 0 car le spectre d’´energie est une quantit´e d´efinie positive. L’expression du flux prend alors la forme : √ ∂(Ak x−2 ) = A3/2 (2 − x)k (5+3x)/2 . Πk (k) = − Ak (11+x)/2 ∂k

(3.109)

La solution a` flux constant non-nul correspond donc a` x = −5/3 : c’est bien le spectre de Kolmogorov. On constate que pour cette valeur de x, nous avons : Πk = ε =

11 3/2 A , 3

(3.110)

qui est positif comme attendu pour une cascade directe. Il n’est pas difficile de simuler num´eriquement l’´equation de diffusion non-lin´eaire et d’obtenir le spectre de Kolmogorov sur plusieurs d´ecades comme le montre la figure 3.8. Remarquons que l’acc`es `a une zone inertielle ´etendue permet d’aborder num´eriquement le probl`eme du r´egime non-stationnaire au cours duquel le spectre form´e peut ne pas ˆetre celui du r´egime stationnaire. Dans le cas hydrodynamique, un spectre l´eg`erement plus pentu, autour de -1.85, a ´et´e mesur´e. Ce spectre est actuellement compris comme une solution auto-similaire du second type, c’est-`a-dire une solution que nous ne pouvons pas pr´edire exactement (Connaughton et Nazarenko, 2004 ; Thalabard et al., 2015). Cette solution se caract´erise par une propagation explosive du spectre vers les grands nombres d’onde : on peut montrer que la solution auto-similaire atteint en principe

92

Physique de la Turbulence

´ Fig. 3.8 – Evolution sch´ematique du spectre de l’´energie avec un mod`ele de diffusion non-lin´eaire.

k = +∞ en un temps fini. Nous reviendrons sur cette question dans le chapitre 8 dans le cadre de l’hydrodynamique en rotation. Pour conclure, signalons qu’il existe un autre type de mod`ele de turbulence qui a souvent ´et´e utilis´e par le pass´e : il s’agit du mod`ele en couches. Comme pour l’´equation de diffusion, dans ce mod`ele les interactions non-lin´eaires sont suppos´ees ˆetre locales. La vitesse est mod´elis´ee dans l’espace de Fourier par un scalaire complexe d´ependant du nombre d’onde et dont l’´evolution temporelle est r´egie par une ´equation diff´erentielle ordinaire construite de mani`ere ad hoc. Malgr´e sa simplicit´e, ce mod`ele hydrodynamique poss`ede des propri´et´es d’intermittence non-triviales. Dans le cas de la magn´etohydrodynamique, des renversements chaotiques de polarit´e magn´etique ont ´et´e observ´es. Pour de plus amples informations, nous renvoyons le lecteur aux articles de revue de Biferale (2003) et Plunian et al. (2013) pour les cas hydrodynamique et magn´etohydrodynamique, respectivement.

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Chapitre 4 Application : la turbulence magn´ etohydrodynamique La magn´etohydrodynamique (MHD) est une branche de la physique consacr´ee ` l’´etude des mouvements des fluides conducteurs de l’´electricit´e en pr´esence a de champs magn´etiques. On peut voir la MHD comme une g´en´eralisation des ´equations de l’hydrodynamique que l’on couple avec celles de l’´electromagn´etisme de Maxwell. Les fluides MHD sont essentiellement de deux natures diff´erentes : d’une part nous avons les m´etaux liquides tels que le sodium qui est utilis´e, par exemple, dans des exp´eriences de laboratoire pour ´etudier le m´ecanisme de g´en´eration du champ magn´etique – l’effet dynamo – qui se produit naturellement au cœur de notre plan`ete via les mouvements turbulents du fer liquide, et d’autre part nous avons les gaz (partiellement) ionis´es – appel´es plasmas – dont les propri´et´es diff`erent profond´ement de celles des gaz neutres. La MHD est utilis´ee avant tout en astrophysique puisqu’environ 99 % de la mati`ere visible de l’univers est constitu´ee de plasma. Les exemples d’application sont nombreux : on peut citer les magn´etosph`eres plan´etaires, le Soleil, les ´etoiles, les vents solaires et stellaires, les nuages interstellaires, les disques d’accr´etion et les galaxies. La plupart de ces milieux sont tr`es turbulents avec par ailleurs pour le milieu interstellaire un nombre de Mach turbulent souvent de plusieurs dizaines (voir le chapitre 5). La fusion thermonucl´eaire contrˆ ol´ee est le deuxi`eme domaine d’application le plus connu de la MHD dont le projet phare est le r´eacteur ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) `a Cadarache. En effet, la maˆıtrise des plasmas de fusion confin´es magn´etiquement passe n´ecessairement par des ´etudes d’´equilibre et de stabilit´e `a grande ´echelle dont le cadre th´eorique est fondamentalement la MHD. L`a aussi de la turbulence est d´etect´ee : celle-ci, de nature inhomog`ene et non-MHD, est consid´er´ee comme nuisible car elle constitue un obstacle au confinement du plasma. Parmi les nombreux exemples astrophysiques, le vent solaire occupe une place privil´egi´ee car des mesures in situ non-intrusives d’une grande pr´ecision peuvent y ˆetre r´ealis´ees par des sondes spatiales. De ce fait, la turbulence du vent solaire est au cœur de nombreuses questions relatives `a la turbulence

98

Physique de la Turbulence

dans les plasmas. Nous allons commencer ce chapitre en pr´esentant quelques propri´et´es turbulentes du vent solaire. Nous verrons ensuite comment les r´esultats obtenus aux chapitres 2 et 3 peuvent se g´en´eraliser au cas de la MHD. De nouvelles propri´et´es propres `a la turbulence MHD seront ´egalement expos´ees (cascade inverse d’h´elicit´e magn´etique, conjecture d’´equilibre critique). Nous supposerons le lecteur familier avec les ´equations de la MHD ; dans le cas contraire, nous recommandons la lecture de l’ouvrage de Galtier (2013) qui est le seul disponible en fran¸cais. Sa version anglaise a ´et´e publi´ee r´ecemment (Galtier, 2016).

4.1

Turbulence du vent solaire

Le Soleil est un objet tr`es int´eressant car il agit comme une soufflerie naturelle g´eante. Le vent solaire g´en´er´e se propage dans le milieu interplan´etaire a plusieurs centaines de km/s. En pratique, on distingue deux vents : un vent ` ´equatorial lent dont la vitesse est de l’ordre de 400km/s et un vent polaire rapide a` environ 800km/s. Les sources du vent solaire se situent souvent dans les r´egions polaires du Soleil (parties sombres de la figure 4.1). De nos jours, les propri´et´es du plasma interplan´etaire sont tr`es bien connues grˆ ace aux nombreuses mesures in situ r´ealis´ees par les sondes spatiales de l’ESA et de la NASA 1 . Sur la figure 4.2 nous montrons un spectre synth´etique des fluctuations du champ magn´etique interplan´etaire transport´e par le vent solaire. C’est un spectre en fr´equence f car les mesures in situ sont bas´ees sur un signal temporel. Puisque le vent solaire se propage relativement vite, nous pouvons supposer que le signal temporel enregistr´e donne une image assez fid`ele du plasma a` un instant donn´e car le plasma reste relativement fig´e pendant la dur´ee des mesures (c’est l’hypoth`ese de Taylor commun´ement utilis´ee en soufflerie). En d’autres termes, le spectre en fr´equence peut ˆetre interpr´et´e en premi`ere approximation comme un spectre en nombre d’onde (f ∼ k). Ce spectre fait apparaˆıtre plusieurs lois de puissance sur au total 8 d´ecades, ce qui en fait le spectre le plus ´etendu jamais mesur´e en turbulence. ` tr`es basses fr´equences (f < 10−4 Hz), nous avons une loi proche de f −1 A dont l’origine est en g´en´eral attribu´ee aux processus physiques de la basse couronne solaire : cette gamme de fr´equence peut donc ˆetre interpr´et´ee comme ` plus hautes fr´equences le domaine d’injection (ou le r´eservoir) d’´energie. A (jusqu’` a 0.5Hz), une deuxi`eme loi de puissance est observ´ee autour de f −5/3 : cette gamme de fr´equence est interpr´et´ee comme une zone inertielle MHD o` u par ailleurs des ondes MHD (d’Alfv´en) sont d´etect´ees. Apr`es un spectre de transition tr`es pentu, une deuxi`eme zone inertielle apparaˆıt sur environ une 1. Le vent solaire fut pr´edit th´eoriquement par Parker (1958) puis mesur´e par la sonde russe Luna 2 en 1960. L’article soumis par Parker ` a The Astrophysical Journal fut initialement rejet´e par les deux arbitres consid´erant ce mod`ele de vent solaire comme peu pertinent scientifiquement. C’est l’´editeur Chandrasekhar qui d´ecida de publier l’article qui est maintenant cit´e plusieurs milliers de fois. Une sonde solaire de la NASA porte mˆeme son nom : il s’agit de PSP pour « Parker Solar Probe ».

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

99

Fig. 4.1 – Le Soleil est une boule de plasma que l’on mod´elise fondamentalement par les ´equations de la MHD. Sur cette image de la couronne solaire nous pouvons distinguer des r´egions lumineuses – dites actives – constitu´ees de boucles magn´etiques chaudes ` a plus d’un million de degr´es et des zones sombres plus froides source du vent solaire. Observation r´ealis´ee par l’imageur AIA/SDO ` a la longueur d’onde 17.1 nm (raie du Fe IX). Cr´edits NASA.

d´ecade (entre ∼ 2 Hz et 40Hz) avec un spectre magn´etique souvent autour de f −8/3 . Il est manifeste qu’un ingr´edient physique suppl´ementaire est `a apporter au mod`ele MHD standard pour reproduire une telle loi valable a` des ´echelles spatiales plus petites que le rayon de Larmor des ions. Cet ingr´edient peut se mod´eliser simplement par le terme Hall, un terme dispersif, qui prend en compte le d´ecouplage entre les ions et les ´electrons sans cependant inclure les ` partir de 40 Hz, le spectre se raidit davantage : on atteint effets cin´etiques. A les ´echelles ´electroniques au-del`a desquelles les instruments actuels arrivent `a saturation.

100

Physique de la Turbulence

Fig. 4.2 – Spectre des fluctuations du champ magn´etique du vent solaire mesur´e par les sondes ACE/NASA et Cluster/ESA ` a une unit´e astronomique. Les ´echelles ρi et ρe sont les rayons de Larmor des ions et des ´electrons, respectivement. On distingue plusieurs lois de puissance dont celle de la MHD autour de f −5/3 sur pr`es de quatre d´ecades. Figure produite par L. Hadid et d’apr`es Sahraoui et al. (2020). L’´evolution du vent solaire avec la distance h´eliocentrique r offre une question int´eressante pour la turbulence. En effet, les mesures de la temp´erature ionique en fonction de r r´ev`ele une d´ecroissance en r−α avec α < 1 (et r ∈ [0.3, 10AU]), ce qui est significativement plus lent qu’un refroidissement adiabatique en r−4/3 (Marsch et al., 1982 ; Matthaeus et al., 1999). Une source locale de chauffage semble donc requise. Actuellement, de nombreuses ´etudes se penchent sur ce probl`eme en consid´erant un chauffage d’origine turbulente. L’id´ee est que la cascade turbulente est un processus efficace pour transporter l’´energie fournie par le Soleil aux plus grandes ´echelles vers les ´echelles subioniques o` u elle est dissip´ee par des effets cin´etiques. Sans connaˆıtre le d´etail des processus cin´etiques qui m`enent au chauffage du plasma, il est possible d’´evaluer le taux de chauffage en estimant le taux moyen de transfert d’´energie dans la zone inertielle MHD. On peut montrer que les valeurs mesur´ees sont proches de celle requise pour chauffer le vent solaire. Nous reviendrons plus loin sur cette question de chauffage turbulent lorsque l’´equivalent de la loi de Kolmogorov sera ´etabli en MHD.

4.2

La MHD incompressible

Nous allons consid´erer les ´equations de la MHD incompressible. Dans ce cas, la densit´e de masse ρ0 est constante et le champ magn´etique B peut

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

101

s’exprimer sous la forme d’une vitesse b avec la relation de normalisation √ b = B/ μ0 ρ0 (μ0 est la perm´eabilit´e magn´etique du vide). Les ´equations de la MHD s’´ecrivent alors (Alfv´en, 1942) 2 ∇ ·u = 0, ∂u + u · ∇u = −∇P∗ + b · ∇b + νΔu , ∂t ∂b + u · ∇b = b · ∇u + ηΔb , ∂t ∇ ·b = 0,

(4.1a) (4.1b) (4.1c) (4.1d)

avec u la vitesse, P∗ = P/ρ0 +b2 /2 la pression totale, ν la viscosit´e cin´ematique et η la diffusivit´e magn´etique. L’´equation d’induction (4.1c) est obtenue `a partir de celles de Maxwell et de la loi d’Ohm ; elle traduit la dynamique du champ magn´etique lorsque le plasma se comporte comme un mono-fluide dans une limite non-relativiste. Cette approximation MHD implique, en particulier, l’´electroneutralit´e du plasma. On peut affiner la description en y ajoutant, par exemple, le terme Hall dans l’expression (4.1c) afin de prendre en compte le d´ecouplage entre les ions et les ´electrons : on obtient alors la MHD Hall (Galtier, 2016). La turbulence MHD est caract´eris´ee par deux nombres sans dimension, le nombre de Reynolds (cin´etique) classique, Re , et le nombre de Reynolds magn´etique, Rm , tels que : Re =

UL , ν

Rm =

UL , η

(4.2)

o` u U et L sont une vitesse et une longueur macroscopiques caract´eristiques du fluide. Ces nombres sont naturellement tr`es ´elev´es en milieux astrophysiques comme nous pouvons le voir sur la figure 4.3.

4.3

Lois exactes des 4/3

Dans cette section, nous allons ´etablir la loi exacte des 4/3 en suivant les ´etapes de calcul pr´esent´ees au chapitre 2 pour le cas hydrodynamique. Tous les calculs ne seront donc pas explicit´es. Les ´equations de la MHD standard incompressible (4.1) s’´ecrivent en notation indicielle : ∂t ui + ∂k (uk ui ) = −∂i P∗ + ∂k (bk bi ) + ν∂kk ui , ∂t bi + ∂k (uk bi ) = ∂k (bk ui ) + η∂kk bi .

(4.3a) (4.3b)

2. La th´ eorie de la MHD a ´et´ e propos´ee par l’astrophysicien su`edois H. Alfv´ en qui re¸cu le prix Nobel de physique en 1970 « for fundamental work and discoveries in magnetohydrodynamics with fruitful applications in different parts of plasma physics » (pour des travaux fondamentaux et des d´ecouvertes en magn´etohydrodynamique avec des applications fructueuses dans diff´erentes parties de la physique des plasmas).

102

Physique de la Turbulence

Fig. 4.3 – Nombres de Reynolds cin´etique Re et magn´etique Rm pour divers milieux. Les diagonales correspondent ` a des nombres de Prandtl magn´etique, Pm = ν/η, constants. Pour une turbulence MHD statistiquement homog`ene, nous obtenons les ´equations dynamiques suivantes pour les tenseurs cin´etique et magn´etique des corr´elations doubles : ∂t ui uj  = −∂k uk uj ui − uk ui uj  + ∂k bk bj ui − bk bi uj 

(4.4a)

+ ∂i P∗ uj  − ∂j P∗ ui  + 2ν∂2k k ui uj  , ∂t bi bj  = −∂k uk bj bi − uk bi bj  + ∂k bk uj bi − bk ui bj  + 2η∂2k k bi bj  .

(4.4b)

En sommant la trace des tenseurs, nous obtenons apr`es simplification : ∂t ui ui + bi bi  =

−2∂k uk ui ui + uk bi bi  + 2∂k bk bi ui + bk ui bi  (4.5) +2ν∂2k k ui ui  + 2η∂2k k bi bi  .

Nous introduisons les fonctions de structure suivantes que l’on peut relier aux corr´elations en deux points : ∇ · (δu · δu)δu = −4∇ · ui ui u  , ∇ · (δb · δb)δu = −4∇ · bi bi u  ,

∇ · (δu · δb)δb = −2∇ · ui bi b + ui bi b  .

(4.6a) (4.6b) (4.6c)

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

103

L’utilisation de ces fonctions de structure nous am`ene finalement `a l’´equation de K´ arm´ an–Howarth g´en´eralis´ee `a la MHD :   1 ui ui + bi bi 1 ∇ · (δu · δu + δb · δb)δu − ∇ · (δu · δb)δb ∂t = 2 4 2     νui ui + ηbi bi +2∂k k . (4.7) 2 L’introduction d’une force ext´erieure, du taux moyen de dissipation d’´energie totale (cin´etique + magn´etique) εT et l’hypoth`ese de stationnarit´e nous permet d’obtenir la loi vectorielle suivante valable au cœur de la zone inertielle ( diss   0 ) : 0=

1 1 ∇ · (δu · δu + δb · δb)δu − ∇ · (δu · δb)δb + εT /ρ0 . 4 2

(4.8)

Remarquons que cette loi est pertinente pour les plasmas anisotropes (par exemple en pr´esence d’un champ magn´etique `a grande ´echelle). Pour une turbulence statistiquement isotrope, on int`egre cette ´equation sur une boule de rayon et on obtient la loi exacte des 4/3 de la MHD (Politano et Pouquet, 1998a,b) : 4 − ε¯T = (δu · δu + δb · δb)δu  − 2(δu · δb)δb  , 3

(4.9)

u u et b sont les composantes longitudinales de la avec ε¯T ≡ εT /ρ0 et o` vitesse et du champ magn´etique respectivement, c’est-`a-dire celles le long de la direction de s´eparation entre les deux points de mesure. La loi exacte (4.9) g´en´eralise celle obtenue par Antonia et al. (1997) pour l’hydrodynamique. Pour l’obtention de la loi (4.9), nous avons utilis´e implicitement la loi z´eroi`eme de la turbulence : lim

ν,η→0

dE T  = −ρ0 lim [νw2  + ηj2 ] = −εT , ν,η→0 dt

(4.10)

avec l’´energie totale E T ≡ ρ0 (u2 + b2 )/2 et le courant ´electrique normalis´e j ≡ ∇ × b. Les sites de dissipation de l’´energie sont donc associ´es `a la fois a` la vorticit´e et au courant ´electrique. Une illustration est donn´ee sur la figure 4.4 : il s’agit d’une simulation num´erique directe qui montre la pr´esence de nappes de courant. Les nappes (de courant et de vorticit´e) sont caract´eristiques de la MHD, alors qu’en hydrodynamique les structures dissipatives prennent la forme de filaments de vorticit´e. Remarquons qu’il existe un second invariant proche de l’´energie : il s’agit de l’h´elicit´e crois´ee H C ≡ u · b (Galtier, 2016). On peut montrer de mani`ere similaire que la loi des 4/3 pour cet invariant s’´ecrit (Politano et Pouquet, 1998a,b) :

104

Physique de la Turbulence

Fig. 4.4 – Simulation num´erique directe en r´esolution spatiale 2048 × 2048. L’image montre la composante jz du courant ´electrique normalis´e et nous informe donc sur les sites privil´egi´es de dissipation. Cette dissipation se fait essentiellement via des nappes de courant (qui apparaissent sur cette tranche sous forme de filaments).

4 − ε¯C = −(δu · δu + δb · δb)δb  + 2(δu · δb)δu  , 3

(4.11)

avec ε¯C ≡ εC /ρ0 le taux moyen d’injection d’h´elicit´e crois´ee par unit´e de masse. En fait, les deux lois exactes se condensent en une seule formule si l’on introduit les variables d’Els¨asser z± = u ± b. Dans ce cas, nous trouvons une expression proche du cas hydrodynamique : 4 − ε¯± = ((δzi± )2 δz∓  , 3

(4.12)

avec ε¯± ≡ ε± /ρ0 les taux moyens de dissipation des ´energies d’Els¨asser par unit´e de masse. Le lien avec les deux lois pr´ec´edentes se fait en notant en particulier que εT = (ε+ + ε− )/2 et εC = (ε+ − ε− )/2.

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

105

Fig. 4.5 – Variation des composantes du champ magn´etique (en nT) du vent solaire (le 20/11/2009). Donn´ees de la sonde THEMIS-B/NASA. Une ´etude statistique du chauffage sur l’intervalle 3h30–4h (Hadid et al., 2017) montre que le taux de chauffage par turbulence εT est proche de 10−16 Jm−3 s−1 lorsque la loi exacte de MHD compressible isotherme est utilis´ee.

Un int´erˆet pratique des lois exactes (4.9) ou (4.12) est qu’elles peuvent ˆetre utilis´ees pour estimer le chauffage turbulent du vent solaire (voir la discussion en introduction). En effet, les mesures r´ealis´ees par les sondes spatiales donnent acc`es, en particulier, aux fluctuations du champ de vitesse et du champ magn´etique (voir la figure 4.5). Il est par cons´equent possible d’estimer le terme de droite de la loi exacte en utilisant le temps (les mesures sont faites sur un intervalle de temps) comme proxy pour la distance . En se limitant a` la zone inertielle MHD, on peut alors estimer le taux moyen de transfert d’´energie ; la valeur mesur´ee donne εT 10−17 Jm−3 s−1 (Sorriso-Valvo et al., 2007). Si on suppose que toute l’´energie qui cascade est convertie aux plus petites ´echelles (par effets cin´etiques) en chauffage, on a alors une estimation du taux moyen de chauffage du plasma. Cette estimation peut ensuite ˆetre compar´ee au chauffage n´ecessaire pour expliquer la lente d´ecroissance de la temp´erature Ti des ions en fonction de la distance h´eliocentrique r. Pour r ∈ [0.3, 10AU], on mesure une loi Ti (r) ∼ r−α . Un mod`ele simple bas´e sur un refroidissement adiabatique nous sugg`ere alors un taux moyen de chauffage ayant l’expression : εh =

3 2



 V0 kB T (r) 4 −α . 3 mp r

(4.13)

Avec une vitesse du vent V0 = 700km/s, une temp´erature Ti = 30eV, une distance r = 1011 m et un exposant α = 0.5, on obtient (kB est la constante de Boltzmann et mp la masse du proton) εh 5 × 10−17Jm−3 s−1 (Vasquez et al., 2007). Quoique plus faible, la valeur de εT est proche de celle requise pour chauffer le plasma du vent solaire. Les recherches les plus r´ecentes montrent que l’utilisation d’une loi exacte MHD compressible (voir le chapitre 5 et Banerjee et Galtier (2013)) m`ene `a un taux de chauffage encore plus proche de la valeur requise avec un taux proche de 10−16 Jm−3 s−1 (Banerjee et al., 2016 ; Hadid et al., 2017 ; Galtier, 2018b).

106

4.4

Physique de la Turbulence

Dissipation inertielle

En suivant la m´ethode pr´esent´ee au chapitre 2, on peut g´en´eraliser la loi exacte de Duchon et Robert (2000) de l’hydrodynamique au cas de la MHD. On va donc utiliser une moyenne des champs pond´er´es par la fonction ϕ sur une boule de rayon . Par exemple, nous avons pour le champ magn´etique :   b (x, t) ≡ ϕ (ξξ )b(x + ξ , t)dξξ , (4.14) R3

o` u ϕ (ξξ ) est la fonction (2.33) d´efinie au chapitre 2. L’application de cette op´erateur de lissage sur les ´equations de la MHD nous donne : ∂t u + ∂j (uj u) = −∇P∗ + ∂j (bj b) + νΔu , 







∂t b + ∂j (uj b) = ∂j (bj u) + ηΔb .

(4.15a) (4.15b)

Nous obtenons l’´equation suivante pour la somme des corr´elateurs :   ∂t (u · u + b · b ) = −∇ · P∗ u + P∗ u − ui ∂j (ui uj ) − ui ∂j (ui uj ) +ui ∂j (bi bj ) + ui ∂j (bi bj ) − bi ∂j (bi uj ) − bi ∂j (bi uj ) + bi ∂j (ui bj )

+bi ∂j (ui bj ) + νui Δui + νui Δui + ηbi Δbi + ηbi Δbi . (4.16)

En utilisant les relations suivantes :   ∇ · (u · u)u = ui ∂j (ui uj ) + ui uj ∂j ui ,   ∇ · (u · b)b = ui ∂j (bi bj ) + bi bj ∂j ui ,

(4.17a) (4.17b)

et les conditions de divergence nulle, on arrive a` l’expression :   ∂t (u · u + b · b ) = −∇ · (u · u )u + P∗ u + P∗ u − (u · b)b −ui ∂j (ui uj ) + ui uj ∂j ui +ui ∂j (bi bj ) − bi bj ∂j ui − bi ∂j (bi uj ) − bi ∂j (bi uj ) + bi ∂j (ui bj )

+bi ∂j (ui bj ) + νui Δui + νui Δui + ηbi Δbi + ηbi Δbi .

On introduit ensuite la divergence du vecteur de Poynting :     ∇ · e × b = ∇ · (ηj − u × b) × b   = ∇ · ηj × b + u(b · b ) − b(u · b ) ,

(4.18)

(4.19)

o` u e ≡ ηj − u × b est le champ ´electrique normalis´e (on utilise la loi d’Ohm). On obtient apr`es quelques manipulations :   ∂t (u · u + b · b ) = −∇ · (u · u )u + P∗ u + P∗ u + e × b − (u · b)b +bi uj ∂j bi − ui bj ∂j bi − ui ∂j (ui uj ) + ui uj ∂j ui +ui ∂j (bi bj ) − bi bj ∂j ui − bi ∂j (bi uj ) + bi ∂j (ui bj )   +η∇ · j × b + νui Δui + νui Δui + ηbi Δbi + ηbi Δbi . (4.20)

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

107

En nous inspirant du cas hydrodynamique et de la relation exacte (4.9), on d´efinit la dissipation inertielle (par unit´e de masse) de la mani`ere suivante : DI ≡

1 4



∇ϕ (ξξ ) ·

  (δu)2 + (δb)2 δu − 2(δu · δb)δb dξξ .

(4.21)

Apr`es quelques manipulations, nous obtenons :   4DI = ∂j uj (u2 ) − (u2 uj ) + uj (b2 ) − (b2 uj ) + 2(ui bi bj ) − 2bj (ui bi ) +2ui ∂j (ui uj ) − 2ui uj ∂j ui + 2bi ∂j (bi uj ) − 2bi uj ∂j bi −2bi ∂j (ui bj ) − 2ui ∂j (bi bj ) + 2bi bj ∂j ui + 2bj ui ∂j bi .

(4.22)

L’introduction de cette expression nous permet d’arriver `a la formulation faible de l’´equation de K´ arm´ an-Howarth pour la MHD :   u · u + b · b ∂t = 2      u ·b u · u e × b P  u + P∗ u + − −∇ · u+ ∗ b 2 2 2 2   1 + ∇ · νu × w + νu × w + ηb × j 2 −DI − ν w · w − η j · j  1  + ∂j uj (u2 ) − (u2 uj ) + uj (b2 ) − (b2 uj ) + 2(ui bi bj ) − 2bj (ui bi ) . (4.23) 4 L’´etape finale consiste `a prendre la limite (au sens des distributions) → 0 ; apr`es quelques derni`eres manipulations, nous obtenons le r´esultat exact (Galtier, 2018a) :  ∂t

u2 + b2 2



 +∇·

u2 P u + u + e × b − νu × w = −DI − Dν,η , (4.24) 2 ρ0

avec par d´efinition : DI ≡ lim DI →0

et Dν,η ≡ ν w2 + η j2 .

(4.25)

L’expression (4.24) prend toute son importance lorsque ν = η = 0 : dans ce cas la dissipation inertielle est le seul terme pr´esent `a droite. L’´evaluation de cette dissipation ne pose pas de probl`eme puisque la d´eriv´ee est appliqu´ee (avant de prendre la limite) sur la fonction ϕ et les ´eventuelles discontinuit´es des champs sont absorb´ees lors du calcul de l’int´egrale. Ce r´esultat d´emontre que la conjecture d’Onsager peut en principe s’appliquer aussi a` la MHD incompressible : l’origine de l’anomalie dissipative (c’esta-dire le fait que εT (ν, η) → εT dans la limite des grands nombres de Reynolds `

108

Physique de la Turbulence

cin´etique et magn´etique) pourrait donc ˆetre la non-r´egularit´e des champs u et b. Notons que les simulations num´eriques directes 3D en MHD incompressible semblent effectivement ˆetre en faveur d’une anomalie dissipative dans les cas isotrope (Mininni et Pouquet, 2009) et anisotrope (Bandyopadhyay et al., 2018). L’expression (4.24) ´etant de nature non-statistique, elle peut ˆetre utilis´ee pour ´evaluer le chauffage produit par des structures localis´ees. Si nous revenons au cas du vent solaire, les nombreuses ´etudes r´ealis´ees `a partir des fluctuations des champs de vitesse et magn´etique nous permettent d’estimer le taux de chauffage associ´e εT . La dissipation inertielle permet en principe de compl´eter cette ´etude en ´evaluant le chauffage produit, par exemple, par des discontinuit´es du champ magn´etique g´en´er´ees lors de ph´enom`enes de reconnexion magn´etique. La figure 4.5 illustre notre propos : elle montre la variation des composantes du champ magn´etique mesur´ees dans le vent solaire `a 1UA sur un intervalle de 8h30 avec une r´esolution temporelle de 3s. La pr´esence de discontinuit´es est manifeste. Pour conclure, remarquons que le r´esultat exact (4.24) a ´et´e ´etendu au cas de la MHD incompressible avec effet Hall (Galtier, 2018a).

4.5

Intermittence

` l’instar de l’hydrodynamique, l’intermittence est une propri´et´e clairement A identifi´ee en turbulence MHD. C’est ´egalement le cas pour le vent solaire. La figure 4.6 montre sch´ematiquement des mesures r´ealis´ees dans le vent solaire lent aux ´echelles MHD (basses fr´equences) : les exposants normalis´es des fonctions de structure de la vitesse et du champ magn´etique (composantes parall`ele et perpendiculaire par rapport a` la direction du vent) r´ev`elent une intermittence plus forte pour le champ magn´etique avec une courbure plus marqu´ee. Au niveau th´eorique, le mod`ele log-Poisson a ´et´e adapt´e `a la MHD pour la premi`ere fois par Grauer et al. (1994), puis modifi´e par Horbury et Balogh (1997) pour mieux s’accorder avec les donn´ees. La difficult´e fut d’adapter le mod`ele log-Poisson (She et Leveque, 1994) a` un ´ecoulement o` u les structures dissipatives sont essentiellement des nappes de courant et de vorticit´e, alors qu’en hydrodynamique ce sont des filaments de vorticit´e. Bri`evement, nous pouvons dire que le mod`ele est construit sur les variables d’Els¨asser z± = u±b, ce qui nous am`ene `a introduire les fonctions de structure suivantes :  

p 

± p/3 p/3 ∼ ζp , = Cp± ε± Sp± ( ) ≡ δz± (4.26)  avec Cp± deux constantes. Si l’on suppose que la turbulence est ´equilibr´ee, c’esta-dire z + ∼ z − ∼ z, on peut alors oublier la d´ependance en ± ce qui simplifie le ` mod`ele. Afin de reproduire correctement les simulations num´eriques directes, il est n´ecessaire de prendre β = 1/3 (en hydrodynamique β = 2/3). On rappelle que ce param`etre mesure le degr´e d’intermittence dans ce sens que plus sa valeur est petite, plus l’intermittence est forte. On obtient la loi log-Poisson

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

109

Fig. 4.6 – Exposants normalis´es par rapport a` ζ3 des fonctions de structure (δX)p  ∼ ζp des fluctuations de la vitesse (X = u) et du champ magn´etique ` la direction (composantes parall`ele X = b et perpendiculaire X = b⊥ par rapport a du vent) mesur´es dans le vent solaire lent entre 0.3 et 1UA (donn´ees de la sonde allemande Helios) – d’apr`es Carbone et al. (2004). La loi auto-similaire de Kolmogorov en p/3 est indiqu´ee en tirets (K41).

pour la MHD :

ζpMHD =

p +1− 9

 p/3 1 . 3

(4.27)

Comme le montre la figure 4.7, cette loi s’accorde bien avec les donn´ees de simulations num´eriques directes pour des valeurs p ≤ 8 (M¨ uller et Biskamp, 2000). Sur cette figure, seules les exposants + sont montr´es car la turbulence est statistiquement ´equilibr´ee (z + ∼ z − ). Remarquons, cependant, une diff´erence importante avec le cas hydrodynamique : en MHD, nous supposons explicitement par la relation (4.26)qu’il existe une relation exacte pour les ± 3  , ce qui n’est pas d´emontr´e `a ce fonctions de structure d’ordre trois δz

jour puisque seule la loi des 4/3 (4.12) a ´et´e obtenue.

Une difficult´e suppl´ementaire apparaˆıt en MHD lorsqu’un champ magn´etique uniforme b0 est pr´esent car celui-ci brise l’isotropie statistique avec une r´eduction de la cascade le long de sa direction (voir le chapitre 9). Cette propri´et´e est li´ee `a la non-invariance des ´equations de la MHD par transformation galil´eenne par rapport a` b0 . Pour tenir compte de cette propri´et´e, nous

110

Physique de la Turbulence

+ + Fig. 4.7 – Exposants ζp+ , ζp et ζ⊥p des fonctions de structure d’ordre p des va-

riables d’Els¨ asser (d’apr`es les simulations num´eriques directes tri-dimensionnelles de M¨ uller et Biskamp (2000) et M¨ uller (2009)). Le mod`ele log-Poisson MHD est trac´e en trait plein. Les simulations sont faites en pr´esence d’un champ magn´etique uniforme normalis´e b0 (direction parall`ele) avec b0 = 5 et 10 pour des fluctuations de u et b de l’ordre de l’unit´e. Le cas b0 = 0 est ´egalement montr´e.

introduisons les fonctions de structure parall`ele et perpendiculaire : p   p/3   ± ζp p/3 ± = Cp ε± Sp± (  ) ≡ δz± ∼   ,    ±

p 

ζ⊥p p/3 p/3 ± ε± Sp± ( ⊥ ) ≡ δz±⊥ = C⊥p ∼ ⊥ ⊥ , ⊥

(4.28a) (4.28b)

o` u et ⊥ indiquent les directions parall`ele et perpendiculaire a` b0 , respectivement. Sur la figure 4.7, nous reportons les r´esultats de simulations num´eriques directes tri-dimensionnelles r´ealis´ees par M¨ uller et Biskamp (2000) et M¨ uller (2009). Nous voyons que dans le cas isotrope (b0 = 0) les exposants ζp+ suivent bien la loi log-Poisson MHD. En revanche, en pr´esence d’un champ magn´e+ et tique uniforme, nous constatons une diff´erentiation entre les exposants ζp + ζ⊥p d’autant plus marqu´ee que l’intensit´e de b0 est grande : l’intermittence est globalement plus forte (courbure plus marqu´ee) pour des s´eparations perpendiculaires au champ b0 .

4.6

H´ elicit´ e magn´ etique et cascade inverse

Par d´efinition, l’h´elicit´e magn´etique normalis´ee s’´ecrit : HM ≡ a · b ,

(4.29)

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

111

Fig. 4.8 – R´esultat sch´ematique d’une simulation num´erique de turbulence MHD d´ecrite par un mod`ele EDQNM (Pouquet et al., 1976) dans laquelle l’´energie et l’h´elicit´e magn´etique sont inject´ees ` a une ´echelle interm´ediaire kf . Il en r´esulte une cascade ` cette loi de puissance, inverse d’h´elicit´e magn´etique avec un spectre proche de k−2 . A on peut associer un spectre d’´energie en k−1 .

avec a le potentiel magn´etique normalis´e tel que b ≡ ∇ × a. L’h´elicit´e magn´etique est le troisi`eme invariant (` a ν = η = 0) de la MHD incompressible. On peut montrer que H M est conserv´ee dans un tube magn´etique et qu’elle rend compte de la topologie du fluide MHD en quantifiant l’entrelacement des tubes magn´etiques (Galtier, 2016). L’h´elicit´e magn´etique poss`ede une propri´et´e turbulente remarquable : a` l’image de l’´energie en hydrodynamique bi-dimensionnelle, on peut lui associer une cascade inverse (Frisch et al., 1975) qui a pu ˆetre mise en ´evidence pour la premi`ere fois par Pouquet et al., (1976) a` l’aide d’une simulation num´erique des ´equations EDQNM de la turbulence MHD tri-dimensionnelle statistiquement isotrope. La figure 4.8 illustre ce r´esultat : lorsque de l’´energie et de l’h´elicit´e magn´etique sont inject´ees `a une ´echelle interm´ediaire kf , une cascade inverse d’h´elicit´e se produit avec un spectre proche de k −2 . Remarquons, que la formation de ce spectre se fait sur une ´echelle de temps beaucoup plus longue que pour l’´etablissement du spectre de l’´energie (car l’h´elicit´e a une capacit´e infinie a` s’accumuler `a petit k alors qu’elle est finie pour l’´energie `a grand k).

112

Physique de la Turbulence

L’´emergence d’une loi de puissance en k −2 peut ˆetre d´emontr´ee en suivant la ph´enom´enologie de Kolmogorov 3 introduite au chapitre 3. Nous allons supposer l’´equipartition ´energ´etique u ∼ b , et utiliser le temps non-lin´eaire τN L ∼ /b . La forme du temps non-lin´eaire est similaire au cas de l’hydrodynamique puisque les ´equations sont dimensionnellement similaires. De mani`ere classique, on introduit η˜ le taux moyen de transfert d’h´elicit´e magn´etique normalis´ee : η˜ ∼

HM a b  ∼ ∼ (a b )3/2 k 3/2 ∼ (kHkM )3/2 k 3/2 , τN L /b

(4.30)

d’o` u le spectre d’h´elicit´e magn´etique : HkM ∼ η˜2/3 k −2 .

(4.31)

On peut montrer que cette loi spectrale est compatible dimensionnellement avec le spectre d’´energie Ek ∼ η˜2/3 k −1 . En d’autres termes, si une source d’´energie et d’h´elicit´e agit `a une ´echelle interm´ediaire kf , une double loi de puissance ´emerge pour le spectre d’´energie dont la nature est diff´erente : le spectre a` petite ´echelle (k > kf ) d´ecoule d’une cascade directe d’´energie alors que celui `a grande ´echelle (k < kf ) est la signature de la cascade inverse d’h´elicit´e magn´etique. Il s’av`ere que l’existence d’une cascade inverse d’h´elicit´e magn´etique est fondamentale en astrophysique car cela donne un sc´enario physique pour comprendre l’existence des champs magn´etiques plan´etaire, stellaire, voire galactique. En effet, ces milieux sont en g´en´eral tr`es turbulents, pour autant, ils sont manifestement capables de g´en´erer – par effet dynamo – des champs magn´etiques structur´es `a grande ´echelle. La description physique associ´ee `a ces milieux est, bien sˆ ur, plus complexe que le syst`eme d’´equations (4.1) : par exemple, dans le cas de la dynamo terrestre il faut prendre en consid´eration la convection et la rotation rapide (le nombre de Rossby est de l’ordre de 10−6 ). Mais fondamentalement, c’est la cascade inverse d’h´elicit´e magn´etique qui est a` la base du m´ecanisme de dynamo (Verma, 2004 ; Brandenburg et Subramanian, 2005).

4.7

Conjecture d’´ equilibre critique

La plupart des plasmas astrophysiques ´evolue dans des milieux structur´es ` grande ´echelle par un champ magn´etique. Le plasma du vent solaire illustre a bien cette situation puisqu’en moyenne le champ magn´etique interplan´etaire 3. Dans l’article de Pouquet et al., (1976) le mod`ele EDQNM est bas´e sur une fermeture utilisant une autre ph´enom´enologie bas´ee sur les ondes d’Alfv´en sur laquelle nous reviendrons au chapitre 9. Il se trouve que la pr´ediction ph´enom´enologique pour le spectre d’h´elicit´e magn´etique reste inchang´ee. Seule celle sur l’´energie est modifi´ee : au lieu d’un spectre en k −5/3 , nous arrivons ` a une pr´ediction en k −3/2 .

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

113

Fig. 4.9 – Propagation de deux paquets d’ondes d’Alfv´en le long d’un champ magn´etique quasi-uniforme. forme une spirale (dite de Parker) avec une amplitude de l’ordre des fluctuations. Le Soleil avec ses nombreuses boucles coronales (voir la figure 4.1) est un autre exemple : dans ce cas, le champ magn´etique `a grand ´echelle – le long des boucles – est significativement plus intense que les fluctuations. Il est l´egitime de se demander si la turbulence MHD se comporte de la mˆeme mani`ere parall`element et perpendiculairement a` un champ magn´etique uniforme b0 . Les analyses th´eoriques, num´eriques et observationnelles d´emontrent que ce n’est pas le cas : la turbulence MHD devient anisotrope avec une r´eduction de la cascade le long de la direction de b0 (voir le chapitre 9). Il est donc fondamental de faire cette distinction dans notre analyse – mˆeme ph´enom´enologique – de la turbulence MHD. Dans cette section, nous pr´esentons un mod`ele qui rend compte de cette dynamique lorsque b0 est mod´er´e : il s’agit de la ph´enom´enologie de l’´equilibre critique propos´ee par Goldreich et Sridhar (1995) sur les bases d’une ´etude ant´erieure de Higdon (1984) (voir Oughton et Matthaeus (2020) pour une revue critique sur le sujet). Fondamentalement, c’est une ph´enom´enologie de turbulence forte d’ondes MHD. Remarquons que Phillips (1958) proposa une conjecture similaire (l’auteur parle d’intervalle d’´equilibre) dans le cadre de la turbulence forte d’ondes de gravit´e. Pour introduire cette ph´enom´enologie, nous allons ´ecrire les ´equations de la MHD incompressible en utilisant les variables d’Els¨asser z± ≡ u ± b et introduire un champ magn´etique uniforme b0 . Nous obtenons (avec ν = η = 0) : ∂z± ∓ b0 · ∇z± = −∇P∗ − z∓ · ∇z± . ∂t

(4.32)

Sous cette forme, on constate que les champs z± peuvent ˆetre associ´es `a des paquets d’ondes (il s’agit des ondes d’Alfv´en) se propageant le long de b0 a la vitesse b0 . Un paquet d’ondes ne subit une d´eformation non-lin´eaire que ` lorsqu’il rentre en collision avec un autre paquet d’ondes se propageant en sens oppos´e (voir la figure 4.9). Nous reviendrons sur cet aspect dans le chapitre 9 consacr´e `a la turbulence d’ondes d’Alfv´en pour laquelle les collisions successives jouent un rˆ ole fondamental dans le processus de cascade.

114

Physique de la Turbulence

Avec le terme lin´eaire, `a gauche de l’´equation (4.32), apparaˆıt un nouveau temps caract´eristique ; il s’agit du temps d’Alfv´en : τA ∼

 , b0

(4.33)

qui peut s’interpr´eter comme la dur´ee de collision de deux paquet d’ondes z + et z − de longueur  . Nous supposerons, pour simplifier, que la turbulence MHD est ´equilibr´ee et que z + ∼ z − ∼ z. L’id´ee originale de l’´equilibre critique est que, dans la zone inertielle, un ´equilibre naturel s’´etablit entre le terme lin´eaire qui traduit le transport du paquet d’ondes d’Alfv´en et le terme non-lin´eaire qui traduit sa d´eformation par collision et ce, quelle que soit l’´echelle consid´er´ee. En d’autres termes, cela signifie que le temps d’Alfv´en τA s’´equilibre avec le temps non-lin´eaire τN L : τA ∼ τN L , (4.34) et qu’un transfert significatif est r´ealis´e apr`es une seule collision. Avec l’introduction de l’anisotropie, le temps non-lin´eaire s’´ecrit : τN L ∼

⊥ . z

(4.35)

Cela signifie que nous consid´erons que la cascade se fait pr´ef´erentiellement dans la direction perpendiculaire. Nous reviendrons sur ce point au chapitre ` partir de cette nouvelle 9 dans le cadre de la turbulence d’ondes d’Alfv´en. A d´efinition et de la relation (4.34), nous obtenons : z ∼ b0

⊥ . 

(4.36)

Dans la mesure o` u il y a ´equilibre entre les deux seuls temps disponibles, la ph´enom´enologie se r´eduit a` celle de Kolmogorov et on obtient classiquement : ε∼

z3 E ∼  . τN L ⊥

(4.37)

Le spectre d’´equilibre critique se d´eduit directement ; il s’´ecrit : −5/3

E(k⊥ ) ∼ k⊥

.

(4.38)

La combinaison des relations (4.36) et (4.37) donne finalement la relation d’´echelle pour l’´equilibre critique (Goldreich et Sridhar, 1995) :   ∼

b0 ε1/3



2/3

1/3 2/3 ⊥

⊥ ∼ 0

avec 0 l’´echelle (isotrope) d’injection d’´energie.

,

(4.39)

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

115

Fig. 4.10 – La relation d’´equilibre critique (4.39) peut s’obtenir a` partir des spectres ` une valeur de l’´energie correspond (en haut) d’´energie perpendiculaire et parall`ele. A un couple de nombres d’onde. La relation (4.39) ´emerge lorsque ces couples de points sont trac´es (en bas) (Bigot et al., 2008).

L’expression (4.39) exprime le fait que la cascade MHD se d´eveloppe pr´ef´erentiellement – mais pas exclusivement – dans la direction transverse au champ magn´etique b0 et que cette turbulence est plus anisotrope a` petite ´echelle comme l’illustre sch´ematiquement la figure 4.10. En pratique, la difficult´e est de d´eterminer la direction parall`ele qui peut varier l´eg`erement suivant l’´echelle sur laquelle on se place. Cependant, on peut montrer par des simulations num´eriques directes que lorsque b0 est deux `a trois fois sup´erieur aux fluctuations, cette variation est n´egligeable (Bigot et al., 2008).

116

Physique de la Turbulence

La conjecture d’´equilibre critique a ´et´e v´erifi´ee par des simulations num´eriques directes (Cho et Vishniac, 2000 ; Bigot et al., 2008 ; Beresnyak, 2011). Du point de vue observationnel, sa v´erification est plus ardue pour des raisons techniques : elle demande de mesurer le plasma dans plusieurs directions au mˆeme instant, ce qui n’est possible que si on dispose de plusieurs satellites (Osman et al., 2011) (voir cependant Luo et Wu (2010)). Le spectre d’´equilibre critique est en principe plus facile a` v´erifier puisque l’on peut se concentrer sur une seule direction transverse. En pratique, les mesures du champ magn´etique du vent solaire a` 1UA montrent un bon accord avec cette pr´ediction (voir la figure 4.2). En revanche, le spectre des fluctuations de la vitesse suit une loi de puissance d’exposant −3/2 (Podesta et al., 2007). Pour conclure, remarquons que la conjecture d’´equilibre critique a ´et´e ´etendue au cas de la MHD Hall incompressible dans la limite des petites ´echelles. Le syst`eme obtenu est appel´e ´electron MHD pour lequel l’´equilibre critique m`ene 1/3 a la relation  ∼ ⊥ . Cette relation d’´equilibre a ´et´e v´erifi´ee num´eriquement ` par Cho et Lazarian (2009).

4.8

Perspectives

Une premi`ere perspective int´eressante concerne la turbulence MHD soumise ` une rotation uniforme. Ce r´egime est pertinent dans le cadre de la g´eodynamo a o` u la force de Coriolis joue un rˆ ole central : le nombre de Rossby est en effet de l’ordre de 10−6 (voir le chapitre 8). Le m´etal liquide du noyau externe de la Terre doit donc ˆetre d´ecrit par la MHD incompressible sous rotation rapide. Cette turbulence n’a ´et´e que tr`es peu ´etudi´ee jusque maintenant (Favier et al., 2012) car en g´en´eral l’accent est mis sur la convection. La MHD en rotation et en pr´esence d’un champ magn´etique uniforme n’a en toute g´en´eralit´e qu’un seul invariant, l’´energie totale : en effet, l’h´elicit´e crois´ee et l’h´elicit´e magn´etique, les deux autres invariants de la MHD standard, perdent leur statut d’invariant a` cause de la rotation et du champ uniforme, respectivement. Cependant, dans le cas particulier o` u l’axe de rotation est parall`ele au champ magn´etique uniforme, un second invariant apparaˆıt : il s’agit de l’h´elicit´e hybride, une combinaison de l’´energie crois´ee et de l’h´elicit´e magn´etique (Shebalin, 2006 ; Galtier, 2014). Le r´egime de turbulence forte d’ondes a ´et´e ´etudi´e r´ecemment via la simulation num´erique directe (Menu et al., 2019). Il est int´eressant de constater que la cascade inverse du champ magn´etique est relativement importante pr´ecis´ement lorsque l’axe de rotation est parall`ele (ou presque) au champ uniforme. C’est la situation observ´ee pour la Terre : l’angle entre les deux axes est non-nul mais faible – environ 10o . Comprendre ce r´egime n´ecessite de plus amples ´etudes en fonction des param`etres disponibles (par exemple, le nombre de Prandtl magn´etique). Remarquons que la th´eorie de la turbulence d’ondes a ´et´e publi´ee par Galtier (2014) et simul´ee num´eriquement par Bell et Nazarenko (2019). Comme souvent, ces r´esultats peuvent servir de guide pour mieux comprendre le r´egime de turbulence forte.

4. Application : la turbulence magn´etohydrodynamique

117

Une seconde perspective int´eressante concerne la turbulence compressible que nous n’avons pas encore abord´ee jusqu’` a maintenant et qui fait l’objet du chapitre 5. La premi`ere loi exacte en MHD compressible fut publi´ee par Banerjee et Galtier (2013). Son usage pour le vent solaire comme mod`ele a permis de raffiner l’estimation du chauffage local (Hadid et al., 2017). Dans ce cadre, il serait int´eressant de quantifier pr´ecis´ement la contribution de chaque terme de la loi en utilisant des simulations num´eriques directes `a tr`es haute r´esolution, puis d’´etudier comment la cascade est affect´ee par le type de fermeture (isotherme, adiabatique, polytrope). Trouver l’expression de la dissipation inertielle issue d’un mod`ele compressible est ´egalement un sujet pertinent pour, par exemple, mieux ´evaluer le chauffage de toutes les structures pr´esentes dans les plasmas spatiaux. D’un point de vue fondamental, l’existence d’une anomalie dissipative en turbulence compressible est un probl`eme ouvert. Cette question doit ˆetre abord´ee dans un premier temps dans le cas plus simple de l’hydrodynamique avant d’ˆetre ´etudi´ee en MHD.

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Chapitre 5 Perspective : la turbulence compressible Dans ce dernier chapitre sur la turbulence forte, nous allons aborder la turbulence compressible. Les r´esultats fondamentaux sur ce sujet sont nettement plus r´eduits. On peut trouver trois raisons a` cela : (i) l’´etude de la turbulence est plus difficile dans le cas compressible, (ii) dans les exp´eriences de laboratoire o` u la compressibilit´e est forte, la turbulence est en g´en´eral statistiquement inhomog`ene ce qui limite l’universalit´e du comportement, (iii) le r´egime de turbulence homog`ene supersonique concerne principalement l’astrophysique et non la m´ecanique des fluides, domaine o` u les principales avanc´ees en turbulence ont ´et´e r´ealis´ees. Ce chapitre ´etant motiv´e par l’astrophysique, nous allons commencer par une br`eve pr´esentation de la turbulence dans le milieu interstellaire. Les observations r´ev`elent que les nuages interstellaires sont caract´eris´es par un nombre de Mach turbulent approchant souvent la centaine. Nous verrons que la turbulence joue probablement un rˆ ole essentiel dans la formation des ´etoiles en r´egulant son taux de formation. Nous allons ensuite montrer comment la loi exacte de Kolmogorov en hydrodynamique peut se g´en´eraliser au cas compressible et quelles en sont les cons´equences. Nous terminerons sur quelques perspectives int´eressantes.

5.1 5.1.1

Turbulence supersonique du milieu interstellaire Taux de formation d’´ etoiles

Comprendre la formation des ´etoiles est l’un des d´efis de l’astrophysique moderne (Mac Low et Klessen, 2004 ; McKee et Ostriker, 2007). Mˆeme s’il est bien ´etabli que les ´etoiles se forment dans les nuages mol´eculaires par effondrement, de nombreuses questions fondamentales restent controvers´ees car la formation des ´etoiles est r´egie par le cycle interstellaire qui implique une large

122

Physique de la Turbulence

gamme d’´echelles spatiales et temporelles, et une grande diversit´e de ph´enom`enes physiques coupl´es tels que la turbulence, le champ magn´etique, la gravit´e, le rayonnement et les rayons cosmiques. Un probl`eme majeur est le faible taux de formation d’´etoiles observ´e. Pour comprendre ce probl`eme, nous pouvons ´evaluer le temps de chute libre τff , c’est-`a-dire le temps que met un nuage sph´erique sans pression pour s’effondrer en un point en raison de sa propre gravit´e. Pour notre Galaxie, nous obtenons (Spizer, 1978 ; Lequeux, 2002) :  3π  4 × 106 ann´ees . (5.1) τff = 32Gρ La Voie Lact´ee contient une masse de nuages mol´eculaires d’environ Mc  2 × 109 M (avec M la masse du Soleil) (Solomon et al., 1987), ce qui nous donne un taux de formation : Mc  500 M/ann´ee . (5.2) χ∗ ∼ τff Le probl`eme est que le taux χ∗ mesur´e dans notre Galaxie est d’environ 2 M /ann´ee (Chomiuk et Povich, 2011), ce qui est plus de deux ordres de grandeur inf´erieur `a l’estimation pr´ec´edente. Bien que relativement simple, cette ´evaluation met en lumi`ere un probl`eme majeur dont l’origine pourrait bien ˆetre la turbulence : les fluctuations turbulentes pourraient agir comme une pression turbulente et freiner l’effondrement des nuages.

5.1.2

Nuages mol´ eculaires

Les premi`eres signatures observationnelles de la turbulence interstellaire remontent aux ann´ees 1950 lorsque des ´elargissements de raie spectrale, comme celle de l’atome d’oxyg`ene ionis´e OIII, ont ´et´e d´etect´es (M¨ unch, 1958). Les largeurs des raies provenant de nuages froids s’av`erent beaucoup plus importantes que ce que l’on pourrait attendre pour des gaz `a basse temp´erature. Cette anomalie est attribu´ee `a des mouvements turbulents dont la vitesse d´epasse de loin celle du son (cs ∼ 0.5 km/s) : on est donc en pr´esence d’une turbulence supersonique. Les nuages mol´eculaires ont ´et´e d´ecouverts dans les ann´ees 1970 `a partir de la d´etection d’un rayonnement d’une raie intense ´emise par la n´ebuleuse d’Orion. Cette raie fut attribu´ee `a une transition de la mol´ecule de monoxyde de carbone (CO) (Wilson et al., 1970 ; Penzias et al., 1972). On parle depuis de nuages mol´eculaires. La mol´ecule de CO est consid´er´ee comme l’un des meilleurs traceurs pour mesurer la dynamique interstellaire : par exemple, nous savons par l’analyse spectroscopique que les nuages mol´eculaires sont froids (T < 10 K) et dense (n > 109 m−3 ). De nos jours, leurs observations dans la Galaxie couvrent une vaste gamme d’´echelles de longueur, de quelques 100 pc jusqu’` a l’´echelle du millipc (on rappelle que 1pc  3 × 1016 m). L’extension des observations aux galaxies voisines r´ev`ele l’existence de nuages mol´eculaires g´eants, principalement situ´es en aval des bras spiraux, en ´etroite association avec les r´egions de formation d’´etoiles (Gratier et al., 2010 ; Egusa et al., 2011).

5. Perspective : la turbulence compressible

123

De nouveaux instruments ont ´et´e r´ecemment mis en service pour sonder la mati`ere interstellaire. Le plus important dans ce domaine est peut-ˆetre le r´eseau d’antennes ALMA (« Atacama Large Millimeter Array ») au Chili qui permet d’augmenter consid´erablement la r´esolution spatiale disponible avec les meilleurs interf´erom`etres submillim´etriques et millim´etriques. On peut ainsi cartographier des r´egions froides et sombres inobservables en optique o` u se forment de nouvelles ´etoiles et leurs syst`emes plan´etaires associ´es. En particulier, les observations donnent acc`es aux structures fines `a des ´echelles proches de l’´echelle dissipative de la turbulence dans les nuages mol´eculaires (Baudry et al., 2016).

5.1.3

Loi d’´ echelle

L’observation syst´ematique des nuages mol´eculaires dans la Voie Lact´ee a permis de mettre en ´evidence la loi d’´echelle (Heyer et Brunt, 2004) : δv ∼ +0.56 ,

(5.3)

avec δv l’incr´ement de la vitesse entre deux points distants de . Cette loi est observ´ee sur plus de trois ordres de grandeurs, entre 0.04 pc et 40 pc. Dimensionnellement, la loi (5.3) est compatible avec un spectre des fluctuations de la vitesse en : (5.4) E(k) ∼ k −2.1 , ce qui est significativement plus pentu que le spectre de Kolmogorov.

5.1.4

Filaments

L’imagerie permet par ailleurs de caract´eriser le milieu interstellaire et de montrer que ce milieu se pr´esente sous forme de gigantesques r´eseaux de filaments dans lesquels naissent les ´etoiles (voir la figure 5.1). Des mesures r´ecentes avec le t´elescope spatial Herschel/ESA (Arzoumanian et al., 2011) semblent r´ev´eler que ces filaments, qui s’´etendent sur des dizaines de parsecs, aient la mˆeme ´epaisseur (∼ 1pc) et ce, quelle que soit la densit´e ou la longueur de ces filaments. Cette ´echelle caract´eristique pourrait correspondre a` l’´echelle sonique, c’est-`a-dire l’´echelle sous laquelle la turbulence interstellaire passe d’un r´egime supersonique `a un r´egime subsonique. La turbulence compressible apparaˆıt donc comme un ingr´edient clef pour comprendre la dynamique des nuages interstellaires et en particulier le taux de formation d’´etoiles (Elmegreen et Scalo, 2004 ; Chabrier et Hennebelle, 2011).

5.1.5

Conclusion

La large gamme d’´echelles spatiales et temporelles ainsi que le grand nombre de processus physiques impliqu´es dans la formation des ´etoiles en font un probl`eme difficile `a mod´eliser. Il faut donc proc´eder pas a` pas et ´etudier, si possible, les diff´erents processus physiques s´epar´ement dans des configurations

124

Physique de la Turbulence

Fig. 5.1 – Filaments interstellaires `a une distance de 500 pc de la Terre observ´es dans le domaine de l’infra-rouge (70, 250 et 500 μm) ` a l’aide du t´elescope spatial europ´een Herschel. Les ´etoiles naissent le long de ces filaments. Cr´edits : ESA/Herschel/SPIRE/PACS. id´ealis´ees. Ainsi, l’´etude de la turbulence compressible au niveau fondamental est une ´etape n´ecessaire pour mieux comprendre la turbulence supersonique du milieu interstellaire.

5.2

Loi exacte en turbulence compressible

L’´etude de la turbulence compressible s’av`ere plus difficile que dans le cas incompressible. Nous verrons au chapitre 6 que des travaux ont ´et´e r´ealis´es en turbulence d’ondes acoustiques, c’est-` a-dire dans le cas o` u les fluctuations de la densit´e de masse sont relativement faibles et la turbulence subsonique. En revanche, dans le cas qui nous int´eresse ici, pour lequel les variations de densit´e ne sont pas limit´ees et la turbulence peut ´eventuellement ˆetre supersonique, la physique est a priori plus difficile `a comprendre. Par exemple, il n’est pas garanti qu’une zone inertielle caract´eris´ee par un taux de transfert d’´energie ε constant existe (Galtier, 2018). Pour aborder cette question, il est n´ecessaire de revenir `a la d´erivation de la loi exacte de Kolmogorov et de consid´erer le cas le plus simple, `a savoir celui de l’hydrodynamique compressible isotherme pour laquelle les ´equations s’´ecrivent : ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0 , ∂t μ ∂ρu ∇P + μΔu + ∇θ , + ∇ · (ρuu) = −∇ ∂t 3

(5.5a) (5.5b)

5. Perspective : la turbulence compressible

125

avec ρ la densit´e de masse, μ la viscosit´e dynamique et θ ≡ ∇ · u la dilatation. La fermeture isotherme se traduit par la relation pression-densit´e : P = c2s ρ ,

(5.6)

avec cs la vitesse du son qui est une constante dans cette approximation. Ce syst`eme d’´equations est souvent utilis´e pour ´etudier la turbulence supersonique interstellaire (Kritsuk et al., 2007 ; Federrath et al., 2008 ; Audit et Hennebelle, 2010). L’hypoth`ese implicite faite avec ce mod`ele est que les processus thermiques, de refroidissement et de r´echauffement, sont beaucoup plus rapides que la dynamique de la turbulence, de telle sorte qu’` a l’´echelle temporelle de la turbulence le milieu apparaˆıt isotherme. Nous verrons plus loin que les structures en filament produites en turbulence supersonique isotherme, ressemblent beaucoup aux observations de nuages mol´eculaires. On peut appliquer le formalisme pr´esent´e dans le chapitre 2 aux ´equations (5.5) afin d’obtenir une loi exacte pour la turbulence homog`ene compressible isotherme (dans ce chapitre de perspective nous ne ferons pas la d´emonstration). Cette loi, qui fut obtenue pour la premi`ere fois par Galtier et Banerjee (2011), fait apparaˆıtre un nouveau type de terme – une source S – qui s’ajoute au terme de flux F obtenu classiquement. Dans la limite stationnaire et d’un grand nombre de Reynolds, la loi exacte s’´ecrit (avec les notations habituelles) : −4ε = ∇ · F + S ,

(5.7)

avec les expressions suivantes pour le flux et la source :   2 ¯ F ≡ δρ(δu) δu , (5.8a)   1 S ≡ − (ρθ + ρ θ)(δu)2 , (5.8b) 2 ¯ ≡ (ρ + ρ )/2. Remarquons que nous montrons ici la forme o` u par d´efinition δρ moderne de la loi (Ferrand et al., 2020). La loi hydrodynamique compressible isotherme rappelle celle de Kolmogorov que l’on retrouve lorsque la densit´e est constante : en effet, dans la limite incompressible, θ → 0 et le flux s’identifie ¯ = ρ0 et utiliser a l’expression obtenue au chapitre 2 (il faut introduire δρ ` ε¯ = ε/ρ0 ). Au passage, on peut noter que les expressions (5.8) sont invariantes par transformation galil´eenne. L’expression relativement simple de la source nous permet de comprendre son rˆ ole en turbulence compressible. On constate que dans une phase de compression, θ < 0 et donc S > 0, alors que dans une phase de dilatation θ > 0 et S < 0. Par cons´equent, dans une phase de compression, S va modifier le taux ε de telle sorte que le taux effectif εeff ≡ ε + S/4 sera plus grand que ε, alors que εeff sera plus petit que ε dans une phase de dilatation. La source peut donc s’interpr´eter comme un terme dont l’effet est globalement de modifier le taux de cascade apparent, en l’augmentant ou en le diminuant suivant si la turbulence comprime ou dilate le fluide. Remarquons que la loi exacte compressible a ´et´e ´egalement ´etudi´ee dans le d´etail via la simulation num´erique (Kritsuk et al., 2013).

126

5.3

Physique de la Turbulence

Ph´ enom´ enologie compressible

On s’attend physiquement `a ce que la turbulence soit subsonique aux petites ´echelles, c’est-` a-dire, l` a o` u les fluctuations de densit´e et la source sont relativement faibles. La question est alors de savoir a` partir de quelle ´echelle la source devient comparable, voire sup´erieure, au premier terme de droite de la loi (5.7). Cette ´echelle de transition, s , peut s’´evaluer grossi`erement `a partir du rapport suivant :   3 ¯ δρ(δu) ∇ · F ∼ . (5.9) S  ρθ(δu)2  Lorsque ce rapport est de l’ordre de l’unit´e, on obtient : s ∼ δu / θ. La comparaison avec des simulations num´eriques montre que s co¨ıncide bien avec l’´echelle sonique. ` partir de la loi exacte (5.7), nous pouvons proposer une ph´enom´enologie A pour la turbulence compressible. La loi nous sugg`ere un spectre (isotrope) de la vitesse ayant la forme : E(k) ∼ εeff 2/3 k −5/3 ,

(5.10)

avec un flux d’´energie effectif εeff qui d´epend de l’´echelle consid´er´ee. Aux ´echelles supersoniques (k < ks ), ce flux varie suivant une loi d’´echelle d´eduit de la source : une estimation possible d´eduite de simulation num´erique (Ferrand et al., 2020) sugg`ere une variation de la source en k −1/2 , ce qui nous m`ene `a un spectre pour la vitesse en k −2 . Aux ´echelles subsoniques (k > ks ) ce flux effectif est approximativement constant car la source y est n´egligeable. Le spectre associ´e pourrait donc ˆetre celui de Kolmogorov en k −5/3 . Une illustration sch´ematique de ce r´egime de turbulence compressible est donn´ee sur la figure 5.2. Remarquons que nous pouvons nous attendre aussi a` observer le r´egime de turbulence d’ondes acoustiques aux ´echelles subsoniques si les conditions sont r´eunies (voir le chapitre 6). Dans ce cas, il est possible d’avoir un spectre en k −3/2 pour la composante compressible de la vitesse (Ferrand et al., 2020). Nous montrons sur la figure 5.3 le r´esultat d’une simulation num´erique des ´equations de l’hydrodynamique compressible isotherme `a tr`es haute r´esolution spatiale (10 0483 points). Une force ext´erieure compressible est appliqu´ee a grande ´echelle et le nombre de Mach turbulent est de l’ordre de 4. La vi` sualisation de la dilation θ dans une tranche du cube de simulation r´ev`ele un milieu structur´e avec de grandes r´egions o` u θ est essentiellement positif et d’autres ´etroites, sous forme de filaments, o` u θ est n´egatif. Ces filaments de compression nous font penser aux filaments du milieu interstellaire (voir la figure 5.1) o` u se forment les ´etoiles. Remarquons que les simulations num´eriques semblent converger vers une ´epaisseur universelle des filaments, de l’ordre de l’´echelle sonique (Federrath, 2016), une propri´et´e des filaments d´ecouverte `a l’aide d’observations faites a` partir du t´elescope Herschel (Arzoumanian et al., 2011).

5. Perspective : la turbulence compressible

127

Fig. 5.2 – Une ph´enom´enologie compressible bas´ee sur la loi exacte nous sugg`ere un spectre de la vitesse E u (k) caract´eris´e par un flux effectif d’´energie non-constant aux ´echelles supersoniques (k < ks ) et approximativement constant aux ´echelles subsoniques (k > ks ). Les deux spectres indiqu´es correspondent ` a une physique domin´ee par les chocs (E u (k) ∼ k−2 ) et par les tourbillons (E u (k) ∼ k−5/3 ). On peut aussi envisager une physique domin´ee par les ondes aux ´echelles subsoniques (E u (k) ∼ k−3/2 ).

5.4

Perspectives

Les perspectives les plus int´eressantes dans le domaine de la turbulence compressible concernent l’astrophysique o` u la turbulence peut ˆetre supersonique. Nous avons l` a un laboratoire unique pour tester nos id´ees th´eoriques. La loi exacte (5.7) est un premier pas ´el´ementaire pour mieux comprendre la physique du milieu interstellaire. L’extension de notre compr´ehension au cas de la MHD, avec la gravit´e et une fermeture plus complexe des ´equations (adiabatique ou polytrope) est une ´etape n´ecessaire. Des progr`es dans ce sens sont actuellement en train d’ˆetre r´ealis´es (Banerjee et Kritsuk, 2017, 2018). Ces travaux montrent cependant un degr´e de complexit´e croissant. Il serait donc int´eressant de voir si les r´esultats obtenus peuvent se simplifier significativement dans des configurations particuli`eres afin d’en extraire une image ph´enom´enologique relativement simple. Remarquons que les ´etudes num´eriques montrent que le taux de formation d’´etoiles d´ecroˆıt significativement lorsque la turbulence est effectivement incorpor´ee dans le mod`ele, mais aussi lorsque le champ magn´etique est pr´esent qui, par la pression magn´etique, contribue `a freiner l’effondrement des nuages (Federrath, 2016). La simulation num´erique est un outil indispensable pour compl´eter l’´etude des propri´et´es de la turbulence compressible. Sur la figure 5.3, nous avons une simulation que l’on peut qualifier d’exceptionnelle compte tenu de la r´esolution spatiale utilis´ee pour laquelle 52 millions d’heures de calcul ont ´et´e n´ecessaires (un record dans ce domaine) (Federrath et al., 2016). On touche ici un sujet toujours en expansion. On peut esp´erer atteindre des r´esolutions encore plus ´elev´ees `a l’avenir afin de s´eparer plus nettement la turbulence supersonique de celle subsonique. Remarquons que l’ajout du champ magn´etique et de la gravit´e introduit potentiellement d’autres ´echelles spatiales.

128

Physique de la Turbulence

Fig. 5.3 – Divergence de la vitesse (θ) dans une tranche d’un cube d’une simulation num´erique des ´equations de l’hydrodynamique compressible isotherme en r´esolution spatiale 10 0483 (Ferrand et al., 2020). Nous pouvons distinguer de grandes r´egions o` u θ est essentiellement positif (zone de dilatation) et d’autres ´etroites, sous forme de filaments, o` u θ est n´egatif (zone de compression). Image produite par R. Ferrand. Au niveau fondamental, une question majeure reste en suspens sur l’existence (ou non) d’une anomalie dissipative en turbulence compressible. Il serait int´eressant d’´etudier cette question du point de vue physique pour compl´eter (ou nuancer) les travaux r´ealis´es r´ecemment par des math´ematiciens (Eyink et Drivas, 2018).

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5. Perspective : la turbulence compressible

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130

Physique de la Turbulence

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Exercice et correction I I. Turbulence HD 1D : l’´ equation de Burgers L’´equation de Burgers (1948) est souvent consid´er´ee comme le mod`ele unidimensionnel de la turbulence hydrodynamique. Cette ´equation s’´ecrit : ∂u ∂u ∂2u +u =ν 2, ∂t ∂x ∂x avec u une vitesse scalaire et ν une viscosit´e. L’´equation de Burgers est un mod`ele simple souvent utilis´e pour tester de nouvelles id´ees en turbulence. Nous allons ici ´etudier les propri´et´es de dissipation, puis d’intermittence en utilisant les outils introduits pour les ´equations de Navier-Stokes. 1) D´emontrer que : u(x, t) =

   xL 1 x − L tanh t 2νt

est une solution exacte. 2) Trouver la limite de cette solution lorsque ν → 0. 3) Calculer le taux moyen de dissipation d’´energie ε. 4) Calculer le taux moyen de dissipation visqueuse εν . Conclure. 5) Trouver l’expression de l’´equation de Burgers liss´ee en faisant apparaˆıtre une anomalie dissipative DI . 6) Calculer l’expression de la dissipation inertielle DI avec la solution exacte. Conclure. 7) En utilisant la solution exacte dans la limite ν → 0, trouver les d’expou p ≥ 1. sants ζp en distinguant le cas p < 1 de celui o` Solutions : 1) Pour d´emontrer que : u(x, t) =

   xL 1 x − L tanh t 2νt

132

Physique de la Turbulence

´ Fig. E.1 – Evolution temporelle de la vitesse en partant de la condition initiale u(x, 0) = sin(x). La formation du choc est suivie par une phase de dissipation.

est une solution exacte, on calcule les expressions suivantes :     xL xL ∂u x L xL2 2 = − 2 + 2 tanh sech + , ∂t t t 2νt 2νt3 2νt   xL 1 L2 ∂u = − sech2 , 2 ∂x t 2νt 2νt     xL L3 xL ∂ 2u 3 = sinh sech . ∂x2 2ν 2 t3 2νt 2νt La somme pond´er´ee de ces trois termes s’annule ce qui prouve le r´esultat. 2) La solution exacte se simplifie dans la limite ν → 0 avec x = 0. On utilise l’expression asymptotique de la fonction tanh et on obtient : 1 (x − L) , t 1 x0

u(x, t) −−−−→ + ν→0

Cette solution (faible) est valable sur l’intervalle [−L, +L] autour de la discontinuit´e en x = 0. Cette discontinuit´e est un choc d’amplitude Δ = 2L/t. Une illustration est donn´ee sur la figure E.1 : il s’agit de r´esultats d’une simulation num´erique directe de l’´equation de Burgers avec initialement u(x, 0) = sin(x). La grille num´erique entre 0 et 2π est r´esolue avec 1024 points. 3) Le taux de moyen de dissipation d’´energie ε dans la limite ν → 0 peut s’obtenir a` partir de ∂u2 /2/∂t, avec une moyenne calcul´ee sur l’intervalle

133

Exercice et correction I [−L, +L]. On a :  2 u = 2 = =



+L

u2 dx −L 2 2 2  0   L x+L x−L 1 1 dx + dx 4L −L t 4L 0 t 1 2L

L2 . 6t2

D’o` u le taux moyen de dissipation d’´energie :   ∂ u2 Δ2 L2 . ε=− = 3 = ∂t 2 3t 12t Ce taux varie au cours du temps puisque le choc va se dissiper. 4) Le taux moyen de dissipation visqueuse εν s’´ecrit apr`es une int´egration par partie :  

 2  2 ∂ u ∂u εν = −ν u 2 = ν ∂x ∂x   2

1 xL L2 − = ν sech2 . t 2νt2 2νt Dans la limite ν → 0, on obtient a` l’ordre principal :  4      +L L xL xL L3 4 4 sech sech εν = = dx 4νt4 2νt 8νt4 −L 2νt 2  L2 +L /2νt sech4 (y)dy . = 4t3 −L2 /2νt En utilisant la relation : sech4 (y) = 1 − 2 tanh2 (y) + tanh4 (y) ,  on peut d´emontrer que R sech4 y dy = 4/3. D’o` u l’estimation : εν 

L2 Δ2 = . 3t3 12t

Dans la limite ν → 0, nous avons donc εν = ε qui est ind´ependant de la viscosit´e et est positif. L’´equation de Burgers est donc un mod`ele qui se comporte de mani`ere similaire a` l’hydrodynamique. 5) Nous pouvons appliquer la fonction de lissage `a l’´equation de Burgers. On obtient dans le cas inviscide (ν = 0) : ∂u 1 ∂(u2 ) + = 0, ∂t 2 ∂x

134

Physique de la Turbulence

d’o` u:

∂ ∂t



uu 2

 +

u ∂u2 u ∂(u2 ) + = 0. 4 ∂x 4 ∂x

On d´efinit l’anomalie dissipative, appel´ee aussi dissipation inertielle : DI

≡ =

 ∂ϕ 1 (δu)3 dξ 12 ∂ξ 1 1 1 u∂x (u2 ) − u2 ∂x u − ∂x (u3 ) . 4 4 12

Apr`es r´earrangement, on obtient :     ∂ uu (u3 ) ∂ u2 u + + = −DI . ∂t 2 ∂x 4 12 Dans la limite → 0, on arrive a` l’expression :     ∂ u2 ∂ u3 + = −DI , ∂t 2 ∂x 3 avec la distribution DI ≡ lim→0 DI . 6) On peut obtenir l’expression de l’anomalie dissipative avec la solution exacte dans la limite ν → 0 et pour suffisamment petit. Dans le calcul d’int´egral, il faut faire attention a` s´eparer les contributions des points situ´es `a droite et a` gauche du point de r´ef´erence x qui lui-mˆeme est plac´e au voisinage du choc. On obtient finalement :   1 1 Δ3  ∂ξ ϕ (δu)3 dξ = ∂ξ ϕ Δ3 dξ = ϕ (0) = DI 12 12 12 Δ2 Δ3 δ(x) = 2L δ(x) = 2Lεν δ(x) . −−−→ DI = →0 12 12t Pour comparer proprement avec le taux moyen de dissipation, il nous reste `a faire un calcul de moyenne : 1 DI  = 2L



+L −L

2Lεν δ(x)dx = εν .

On constate donc que l’anomalie dissipative moyenn´ee est identique `a εν dans le cas de l’´equation de Burgers. Ce mod`ele unidimensionnel de turbulence est int´eressant car il nous permet de mener les calculs analytiques jusqu’au bout. Sa compr´ehension fine peut nous aider `a interpr´eter (sans pour autant constituer une preuve) le cas beaucoup plus difficile de la turbulence tri-dimensionnelle. Ainsi, il semblerait que pour qu’il y ait ´egalit´e entre εν et DI , il soit n´ecessaire de se retrouver dans une situation extrˆeme dans laquelle il n’y a plus du tout de fluctuations r´eguli`eres mais seulement des discontinuit´es.

135

Exercice et correction I 7) On cherche l’expression de la fonction de structure d’ordre p : Sp = |δu|p  , en utilisant les relations (5.12). On obtient : ( − 2L)/t si 0 ∈ [x, x + ] , δu ≡ u(x + ) − u(x) =

/t sinon . On obtient : Sp

= = 



  p  0  L  p     − 2L p      dx +    dx t  t  dx + t −L − 0  p    p 





Δp 1− + 1− 2L 2L 2L 2L  p 



Δp + avec L . 2L 2L 1 2L

−

Il nous reste `a distinguer le cas p < 1 de celui o` u p ≥ 1. On arrive finalement aux expressions : ⎧ p ⎨ ( /2L) si 0 < p < 1 , p Sp = Δ ⎩

/2L si p ≥ 1 . Par cons´equent : ζp =

⎧ ⎨ p ⎩

1

si 0 < p < 1 , si p ≥ 1 .

Ce r´esultat diff`ere notablement de la turbulence tri-dimensionnelle avec des exposants ζp qui saturent rapidement et un spectre d’´energie en k −2 (compatible avec ζ2 = 1). On peut cependant noter que la figure 2.14 n’est pas incompatible avec une saturation des exposants pour p  1.

II. Turbulence HD 2D : la conservation d´ etaill´ ee Dans le cas bi-dimensionnel, les ´equations de Navier-Stokes se simplifient et il est possible de d´emontrer analytiquement l’existence d’une cascade duale de l’´energie et de l’enstrophie (voir le chapitre 3). Pour cela, nous devons utiliser les lois de conservation d´etaill´ee de ces invariants. L’objectif de cet exercice est d’obtenir ces deux lois. Nous allons introduire la fonction de courant ψ, telle que u ≡ ez ×∇ψ. Avec l’utilisation de cette fonction la condition de divergence nulle sur la vitesse est automatiquement v´erifi´ee et les calculs se simplifient. ´ 1) Ecrire l’expression spectrale de la conservation d’enstrophie. 2) D´emontrer la conservation d´etaill´ee de l’enstrophie en utilisant les relations sur le triangle form´e par k, p et q.

136

Physique de la Turbulence

3) Refaire la d´emonstration pour l’´energie. 4) G´en´eraliser le r´esultat au cas d’un turbulence statistiquement isotrope. Solutions : 1) Dans le cas bi-dimensionnel, l’´equation de la vorticit´e s’´ecrit : ∂t wz + u · ∇wz = νΔwz , ce qui donne en Fourier : ∂t w ˆz (k) + νk 2 w ˆz (k) = −

 ˆ (p) · iqw u ˆz (q)δ(k − p − q)dpdq .

Avec l’introduction de la fonction de courant, nous avons w ˆz (k) = −k 2 ψˆk , et donc :  ∂t (k 2 ψˆk ) + νk 4 ψˆk = − ψˆp q · (ez × p)q 2 ψˆq δ(k − p − q)dpdq . L’´equation pour l’enstrophie est donc : ∂t (k 4 |ψˆk |2 ) + 2νk 6 |ψˆk |2 = − k 2 q 2 [ψˆk∗ ψˆp ψˆq + ψˆk ψˆp∗ ψˆq∗ ]q · (ez × p)δ(k − p − q)dpdq . 

En utilisant la relation ψˆk∗ = ψˆ−k et en manipulant les variables muettes p et q, on arrive a` l’expression : ∂t (k 4 |ψˆk |2 ) + 2νk 6 |ψˆk |2 = − k 2 q 2 [ψˆk∗ ψˆp∗ ψˆq∗ + ψˆk ψˆp ψˆq ]q · (ez × p)δ(k + p + q)dpdq  = k 2 q 2 ψˆk ψˆp ψˆq q · (ez × p)δ(k + p + q)dpdq + c.c. , 

o` u c.c. signifie le complexe conjugu´e. Nous pouvons rendre sym´etrique l’´equation en p et q :  1 2

∂t (k 4 |ψˆk |2 ) + 2νk 6 |ψˆk |2 = k 2 ψˆk ψˆp ψˆq [q 2 ez · (p × q) + p2 ez · (q × p)]δ(k + p + q)dpdq + c.c.  = k 2 S(k, p, q)δ(k + p + q)dpdq ,

avec par d´efinition : S(k, p, q) ≡ [(q 2 − p2 ) (ez · (p × q))] [ψˆk ψˆp ψˆq ] . Nous retrouvons l’expression de S du chapitre 3. 2) La conservation d´etaill´ee de l’enstrophie n´ecessite d’´ecrire l’expression pr´ec´edente sous la forme :   ∂t k 4 |ψˆk |2 dk + 2ν k 6 |ψˆk |2 dk =  2 1 2 2 3 [k S(k, p, q) + p S(p, q, k) + q S(q, k, p)]δ(k + p + q)dkdpdq .

Exercice et correction I

137

Fig. E.2 – Angles associ´es `a une triade d’interaction k + p + q = 0. On va d´emontrer que l’int´egrand est nul. Avec la d´efinition de S, nous avons : k 2 S(k, p, q) + p2 S(p, q, k) + q 2 S(q, k, p) = [ψˆk ψˆp ψˆq ] ez · [k 2 (q 2 − p2 )(p × q) + p2 (k 2 − q 2 )(q × k) + q 2 (p2 − k 2 )(k × p)] . Introduisons les angles int´erieurs θk , θp et θq associ´es au triangle k + p + q = 0 (voir la figure E.2 ; en utilisant des identit´es sur le triangle, on obtient : k 2 S(k, p, q) + p2 S(p, q, k) + q 2 S(q, k, p) = [ψˆk ψˆp ψˆq ] pq sin θk [(q 2 − p2 )k 2 + (k 2 − q 2 )p2 + (p2 − k 2 )q 2 ] = 0 , d’o` u la conservation d´etaill´ee de l’enstrophie. 3) Pour d´emontrer la conservation d´etaill´ee de l’´energie, nous allons utiliser la fonction de courant. On a (voir le chapitre 3) :  ∂t |ˆ u(k)|2 + 2νk 2 |ˆ u(k)|2 = S(k, p, q)δ(k + p + q)dpdq . On obtient :  1 3

  ∂t |ˆ u(k)|2 dk + 2ν k 2 |ˆ u(k)|2 dk = [S(k, p, q) + S(p, q, k) + S(q, k, p)]δ(k + p + q)dkdpdq ,

avec : S(k, p, q) + S(p, q, k) + S(q, k, p) = [ψˆk ψˆp ψˆq ] ez · [(q 2 − p2 )(p × q) + (k 2 − q 2 )(q × k) + (p2 − k 2 )(k × p)] . Avec les relations sur le triangle, on obtient finalement : S(k, p, q) + S(p, q, k) + S(q, k, p) = [ψˆk ψˆp ψˆq ] pq sin θk [(q 2 − p2 ) + (k 2 − q 2 ) + (p2 − k 2 )] = 0 , d’o` u la conservation d´etaill´ee de l’´energie.

138

Physique de la Turbulence

4) Avec la moyenne d’ensemble, nous obtenons :  2 S(k, p, q)δ(k + p + q)dpdq ∂t E(k) + 2νk E(k) =  = (q 2 − p2 )pq ez · (ep × eq ) ψˆk ψˆp ψˆq pdθq dp , Δ

o` u le symbole Δ signifie que l’int´egrale est calcul´ee en v´erifiant la relation triangulaire et ep et eq sont des vecteurs unitaires orient´es selon p et q respectivement. La relation d’Al Kashi sur le triangle : q 2 = k 2 + p2 − 2kp cos θq , nous donne, a` k et p fix´es, qdq = kp sin θq dθq , d’o` u l’expression :  pq ∂t E(k) + 2νk 2 E(k) = (q 2 − p2 ) ez · (ep × eq ) ψˆk ψˆp ψˆq dpdq . sin θk Δ Si la turbulence est statistiquement isotrope, on peut introduire le spectre d’´energie unidimensionnel, E(k) = 2πkE(k), d’o` u: ∂t E(k) + 2νk 2 E(k) = T (k) , avec par d´efinition :  pq T (k) ≡ 2πk(q 2 − p2 ) ez · (ep × eq ) ψˆk ψˆp ψˆq dpdq sin θk Δ  ≡ T (k, p, q)dpdq . Δ

La conservation d´etaill´ee de l’´energie se d´emontre facilement `a partir de la relation :   1 T (k)dk = [T (k, p, q) + T (p, q, k) + T (q, k, p)]dkdpdq . 3 Nous avons pour une triade donn´ee : T (k, p, q) + T (p, q, k) + T (q, k, p) = 2πkpq[(q − p2 ) + (k 2 − q 2 ) + (p2 − k 2 )] ψˆk ψˆp ψˆq  = 0 , 2

d’o` u la conservation d´etaill´ee statistique de l’´energie. Pour l’enstrophie, on introduit le spectre Ω(k) ≡ k 4 |ψˆk |2  et nous obtenons de mani`ere similaire :  k 2 S(k, p, q)δ(k + p + q)dpdq ∂t Ω(k) + 2νk 2 Ω(k) =  pq k 2 (q 2 − p2 ) ez · (ep × eq ) ψˆk ψˆp ψˆq dpdq . = sin θk Δ

139

Exercice et correction I Pour le spectre d’enstrophie unidimensionnel, cela nous donne :  2 2 ∂t Ω(k) + 2νk Ω(k) = k T (k) = k 2 T (k, p, q)dpdq . Δ

Nous avons alors :   1 [k 2 T (k, p, q) + p2 T (p, q, k) + q 2 T (q, k, p)]dkdpdq , k 2 T (k)dk = 3 avec par triade : k 2 T (k, p, q) + p2 T (p, q, k) + q 2 T (q, k, p) = 2πkpq[k 2 (q 2 − p2 ) + p2 (k 2 − q 2 ) + q 2 (p2 − k 2 )] ψˆk ψˆp ψˆq  = 0 , ce qui d´emontre la conservation d´etaill´ee statistique de l’enstrophie.

Bibliographie Burgers J.M. (1948) A mathematical model illustrating the theory of turbulence, Adv. Appl. Mech. 1, 171-199.

Chapitre 6 Introduction Ondes et turbulence sont les deux piliers de cette seconde partie. Comme nous allons le voir, le r´egime de turbulence d’ondes offre la possibilit´e de d´evelopper une th´eorie analytique. Au-del` a de sa beaut´e math´ematique, la th´eorie spectrale obtenue permet de comprendre en profondeur un syst`eme faiblement non-lin´eaire et de d´evelopper une intuition sur la physique de la turbulence forte d’ondes. Par essence, le r´egime de turbulence d’ondes ne concerne que les syst`emes dans lesquels des ondes peuvent ˆetre excit´ees, ce qui exclut les ´equations de Navier-Stokes de l’hydrodynamique incompressible 1 . Nous avons vu dans la premi`ere partie que ces ´equations sont fondamentales en turbulence : en effet, c’est a` partir d’elles et d’exp´eriences de laboratoire bas´ees sur l’eau ou l’air, que les premi`eres avanc´ees th´eoriques (concepts, lois exactes) ont ´et´e r´ealis´ees. C’est une des raisons 2 qui explique que les ouvrages sur la turbulence portent essentiellement – voire en totalit´e – sur l’hydrodynamique incompressible, excluant ainsi un pan entier d’applications o` u les ondes apportent une contribution majeure a` la dynamique. Le pr´esent ouvrage fait figure d’exception car c’est le premier a` consacrer, `a parts ´egales, les r´egimes de turbulence classique et de turbulence d’ondes. Comme nous le verrons plus loin, les syst`emes turbulents qui poss`edent en leur sein des ondes sont tr`es nombreux. Par contraste, l’hydrodynamique incompressible apparaˆıt bien singulier. A priori, on peut distinguer deux r´egimes en turbulence d’ondes : celui o` u les ondes sont de faible amplitude et celui o` u elles ne le sont pas. Le r´egime qui nous concerne ici est celui de la turbulence faible (premier cas). Le lecteur est invit´e `a consulter la partie 1 (chapitre 4) de cet ouvrage o` u le r´egime de turbulence forte d’ondes, appel´e ´equilibre critique, est abord´e. Pour simplifier et suivre les usages sur le sujet, nous parlerons de turbulence d’ondes au sens de turbulence faible. L’existence d’un petit param`etre – l’amplitude des ondes – permet une approche syst´ematique du probl`eme. L’id´ee g´en´erale est que 1. Nous entendons ici les ´equations de Navier-Stokes non modifi´ees. Si par exemple on y ajoute la force de Coriolis, les ondes inertielles apparaissent. Dans la limite d’un petit nombre de Rossby, on obtient le r´egime de turbulence d’ondes inertielles qui fait l’objet du chapitre 8. 2. Une autre raison est que les ouvrages sur la turbulence (qui sont essentiellement en anglais) sont souvent r´edig´es par des m´ecaniciens des fluides et non par des physiciens.

144

Physique de la Turbulence

la faible amplitude des ondes permet de faire la distinction entre l’´evolution temporelle de l’amplitude, de celle de la phase, la premi`ere ´evoluant plus lentement que la seconde. Cette s´eparation d’´echelles en temps permet d’obtenir une fermeture asymptotique de la hi´erarchie d’´equations. Un bref historique va nous permettre de comprendre comment s’est construite la th´eorie de la turbulence d’ondes. Nous appliquerons sur un exemple simple, puis, sur un mod`ele d’´equation non-lin´eaire, la m´ethode des ´echelles multiples qui permet de justifier l’uniformit´e du d´eveloppement asymptotique. La m´ethode syst´ematique de turbulence d’ondes sera ensuite pr´esent´ee de mani`ere exhaustive sur l’exemple probablement le plus simple, `a savoir celui des ondes capillaires (chapitre 7). C’est un chapitre technique mais n´ecessaire pour celles et ceux qui d´esirent s’approprier la m´ethode. Les chapitres 8 et 9 seront consacr´es `a l’hydrodynamique en rotation rapide, puis a` la MHD en champ magn´etique fort. Une pr´esentation synth´etique des principales propri´et´es y est faite. Le dernier chapitre porte sur un sujet aux confins de notre connaissance : il s’agit de la turbulence d’ondes gravitationnelles qui pourrait jouer un rˆ ole fondamental dans le m´ecanisme `a l’origine de l’inflation cosmologique apparue aux premiers instants de l’univers apr`es le Big Bang.

6.1 6.1.1

Bref historique Pr´ ehistoire

C’est essentiellement dans le domaine de l’oc´eanographie et de l’´etude des ondes de surface que nous trouvons les pr´emices de la th´eorie de la turbulence d’ondes (Phillips, 1981). Ces travaux d´ebutent vers la fin des ann´ees 1950, `a une ´epoque o` u les ondes de surface ´etaient trait´ees essentiellement de mani`ere lin´eaire, les spectres comme une superposition d’ondes lin´eaires et les effets non-lin´eaires restreints, par exemple, a` des ph´enom`enes de distortion d’ondes p´eriodiques d´ecrits depuis longtemps par Stokes (Stokes, 1847). On entend par ondes de surface, les ondes de gravit´e – c’est-`a-dire les vagues sur l’oc´ean. Remarquons qu’un second type d’onde de surface existe : il s’agit des ondes capillaires qui font l’objet du chapitre suivant. Ce sont donc les ´equations de Navier-Stokes modifi´ees par la force de gravit´e qui constituent le cadre th´eorique a` partir duquel les premi`eres r´eflexions ´emergent. Pour simplifier le probl`eme, les mouvements sont en g´en´eral suppos´es irrotationnels : cela correspond a` une interface air-eau perturb´ee par un vent soufflant de mani`ere unidirectionnelle – condition typique rencontr´ee en pleine mer. Le probl`eme se r´eduit alors a` l’´equation de Bernoulli appliqu´ee `a la surface libre du fluide a` laquelle on ajoute une ´equation lagrangienne pour d´ecrire la d´eformation de la surface du fluide et une autre pour traduire l’hypoth`ese suppl´ementaire dite d’eau profonde (voir le chapitre 7).

6. Introduction

6.1.2

145

Interactions d’ondes r´ esonnantes

Les travaux de la fin des ann´ees 1950 et du d´ebut des ann´ees 1960 aboutirent ` une avanc´ee th´eorique majeure avec la d´ecouverte de l’existence d’interaca tions r´esonnantes 3 entre ondes non-lin´eaires de faible amplitude. Les ondes en question sont bien sˆ ur les ondes de gravit´e. L’id´ee trouve son origine dans les travaux de Phillips (1960), Longuet-Higgins (1962) et Hasselmann (1962) qui tent`erent de comprendre comment les interactions non-lin´eaires entre ondes de gravit´e pouvaient redistribuer l’´energie initialement pr´esente dans ces modes. L’id´ee sous-jacente est que dans la phase initiale du d´eveloppement de la turbulence ce sont les interactions r´esonnantes qui fournissent le m´ecanisme dominant de transfert d’´energie d’une onde a` une autre. La phase ultime de d´eveloppement avait d´ej`a ´et´e ´etudi´ee auparavant par Phillips (1958) qui, a` l’aide d’une analyse dimensionnelle, fut capable de faire une pr´ediction spectrale de turbulence forte (d’ondes) toujours utilis´ee `a l’heure actuelle (voir le chapitre 4 sur l’´equilibre critique). Apr`es de long calculs bas´es sur un d´eveloppement perturbatif classique, il fut possible de d´emontrer que cette redistribution d’´energie ´etait g´en´eralement n´egligeable pour des interactions impliquant moins de quatre modes, mais qu’elle devenait importante pour quatre modes si la relation de r´esonance suivante ´etait satisfaite :  k1 + k2 = k3 + k , (6.1) ω1 + ω2 = ω3 + ω , avec la relation de dispersion ω 2 = g|k| (g ´etant l’acc´el´eration de la gravit´e). La d´emonstration exp´erimentale de l’existence des interactions r´esonnantes fut ensuite publi´ee par Longuet-Higgins et Smith (1966) et McGoldrick et al. (1966). Bien que l’existence d’interactions d’ondes r´esonnantes ait sembl´e r´eelle, leur interpr´etation ´etait alors sujette `a d´ebat car l’´echange d’´energie entre modes menait aussi `a un accroissement lin´eaire 4 (en temps) de l’amplitude des ondes brisant in fine l’hypoth`ese sous-jacente `a l’existence des interactions r´esonnantes, a` savoir la pr´esence d’ondes de faible amplitude ; dans ce cas, le d´eveloppement perturbatif ne serait plus valide. Il n’´etait donc pas clair que ce transfert d’´energie puisse ˆetre r´eellement efficace. Une r´eponse `a cette question fut propos´ee pour la premi`ere fois de mani`ere statistique par Hasselmann (1962) qui consid´era un ensemble al´eatoire d’ondes de gravit´e. Mais l’hypoth`ese des faibles non-lin´earit´es est alors utilis´ee pour justifier une autre hypoth`ese, celle d’une statistique gaussienne permettant de simplifier grandement les calculs en ´eliminant en particulier les moments d’ordre impair (voir aussi Drummond et Pines (1962)). 3. Remarquons que des ´etudes ant´erieures sur la r´esonance ` a trois et quatre ondes avaient d´ ej` a´ et´ e r´ ealis´ees, par exemple, dans le domaine de la conduction thermique dans les cristaux (Peierls, 1929). 4. On parle de termes s´eculaires dont une illustration est donn´ee ` a la section suivante ` a partir de l’´equation de Duffing. Cet accroissement peut aussi ˆetre non-lin´eaire en tα (α > 0) pour les termes correctifs d’ordre sup´erieur.

146

6.1.3

Physique de la Turbulence

M´ ethode des ´ echelles multiples

Une seconde avanc´ee th´eorique majeure survint avec les travaux de Benney qui montrent que le probl`eme de turbulence d’ondes est analogue a` celui, en m´ecanique, des oscillateurs faiblement coupl´es (Akylas, 2020). Avec une nouvelle technique math´ematique d’analyse de trains d’ondes dispersives, impliquant deux ´echelles de temps, Benney (1962) obtint une forme relativement simple pour les ´equations (discr`etes et non statistiques) qui gouvernent l’´evolution temporelle des modes r´esonnants. Dans cette approche, les termes s´eculaires disparaissent : ils sont en quelque sorte absorb´es par la variation lente de l’amplitude des ondes. Ces travaux montrent, de mani`ere simple, comment l’´echange d’´energie entre quatre ondes de gravit´e est r´ealis´e : cet ´echange se fait en conservant l’´energie. On retrouve, ici, une propri´et´e de la turbulence forte, celle de la conservation d´etaill´ee (voir le chapitre 3). Cette approche ouvrit la voie vers l’utilisation d’une nouvelle technique math´ematique, appel´ee m´ethode des ´echelles multiples (Sturrock, 1957 ; Nayfeh, 2004), qui permit de d´emontrer que les ´equations (continues) statistiques de turbulence d’ondes poss`edent une fermeture naturelle li´ee `a la s´eparation d’´echelles en temps. Comme le d´emontrent Benney et Saffman (1966) pour des non-lin´earit´es quadratiques et Benney (1967) pour des non-lin´earit´es cubiques, les ´equations de turbulence d’ondes sont asymptotiquement valides sur des temps longs et ne requi`erent pas l’hypoth`ese statistique de gaussianit´e faite par Hasselmann (1962). La m´ethode des ´echelles multiples en temps offre un cadre th´eorique syst´ematique et consistant dans lequel la proc´edure d’expansion permet en principe de d´eterminer le lent taux de variation de l’amplitude des ondes a` n’importe quel ordre en  (Benney et Newell, 1967, 1969). L’´equation dite cin´etique de la turbulence d’ondes de gravit´e prend alors la forme int´egro-diff´erentielle sch´ematique suivante :  ∂N (k) = 4 S(k, k1 , k2 , k3 )[N1 N2 (N + N3 ) − N3 N (N1 + N2 )] ∂t δ(ω1 + ω2 − ω3 − ω)δ(k1 + k2 − k3 − k)dk1 dk2 dk3 , (6.2) avec N ≡ N (k) = E(k)/ω le spectre de l’action d’onde 5 et E(k) le spectre de l’´energie. Les deux Dirac traduisent la condition de r´esonance (6.1) discut´ee plus haut. La pr´esence du facteur 4 signifie que l’´echelle de temps (normalis´ee a la p´eriode des ondes ∼ 1/ω) sur laquelle les spectres sont modifi´es par la ` dynamique non-lin´eaire est de l’ordre de O(1/4 ). C’est donc un temps relativement long.

6.1.4

Spectre de Kolmogorov-Zakharov

Parall`element aux travaux men´es dans le monde occidental, des avanc´ees th´eoriques majeures furent aussi r´ealis´ees `a l’Est. D`es le d´ebut des ann´ees 1960, 5. Par analogie avec la physique des plasmas, l’action d’onde est souvent associ´ee ` a des particules. C’est une quantit´e qui est parfois conserv´ee dans les processus ` a quatre ondes. C’est le cas par exemple en turbulence d’ondes gravitationnelles (voir le chapitre 10).

6. Introduction

147

l’´ecole sovi´etique s’est int´eress´ee `a la turbulence d’ondes principalement par le biais de la physique des plasmas (Sagdeev et Galeev, 1966 ; Vedenov, 1967) d’o` u ont ´et´e emprunt´ees certaines notations ainsi que le vocabulaire (on parle, par exemple, d’´equation cin´etique ou d’int´egrale de collision). Au passage, il est curieux de constater que ces travaux ont ´et´e men´es simultan´ement par les deux parties du monde sans qu’elles ne communiquent beaucoup. En particulier, par la m´ethode dite de l’approximation de la phase al´eatoire, des ´equations cin´etiques de turbulence d’ondes furent propos´ees sous une forme primitive par Kadomtsev et Petviashvili (1963) pour un probl`eme de physique des plasmas, puis sous une forme moderne par Zakharov et ses collaborateurs (Zakharov, 1965 ; Zakharov et Filonenko, 1966 ; Zakharov et Filonenko, 1967 ; Zakharov, 1967). Ces travaux sont en g´en´eral bas´es sur une approche hamiltonienne du probl`eme alors que c’est l’approche eul´erienne qui fut surtout utilis´ee `a l’Ouest. L’approximation de la phase al´eatoire aboutit, en pratique, aux mˆemes ´equations cin´etiques que par la m´ethode (plus rigoureuse) des ´echelles mul` partir de ces ´equations int´egro-diff´erentielles, une avanc´ee majeure tiples. A fut r´ealis´ee avec la d´ecouverte d’une transformation conforme, pour extraire des ´equations cin´etiques, les solutions exactes en loi de puissance. Cette transformation – qui porte maintenant le nom de transformation de Zakharov 6 – a tout d’abord ´et´e propos´ee pour la turbulence d’ondes capillaires qui fait intervenir des interactions triadiques (Zakharov et Filonenko, 1966 ; Zakharov et Filonenko, 1967), puis pour la turbulence d’ondes de Langmuir o` u les interactions sont quartiques (Zakharov, 1967 ; Kaner et Yakovenko, 1970). Pour plus de d´etails sur la transformation de Zakharov, nous renvoyons le lecteur au chapitre suivant sur la turbulence d’ondes capillaires, dans lequel cette transformation est utilis´ee. Cependant, nous pouvons d´ej` a remarquer qu’il existe deux types de solution : celle `a flux nul et celle `a flux constant non-nul. Le premier cas correspond a` la solution thermodynamique. Dans le second cas, il s’agit de la solution la plus int´eressante car non-triviale : on parle du spectre de Kolmogorov-Zakharov. Remarquons que nous avons d´ej` a fait usage de la transformation de Zakharov dans le cadre de l’´etude de la turbulence hydrodynamique bi-dimensionnelle (voir le chapitre 3).

6. Zakharov fut l’´etudiant de Sagdeev. Il soutint sa th`ese de doctorat sur les ondes de surface en 1966 avec, ` a son actif, plusieurs r´esultats fondamentaux en turbulence d’ondes, comme la d´ecouverte de solutions exactes des ´equations cin´etiques. Cette d´ecouverte est relat´ ee dans l’article de Zakharov (1965) dans lequel l’auteur v´erifia tout d’abord que l’int´egrale de collision (obtenue ` a partir d’un mod`ele ad hoc relativement simple d’interactions ` a trois ondes) tendait vers ±∞ pour deux valeurs d’exposant de loi de puissance. Il d´emontra alors que la solution (le spectre d’´energie) associ´ee ` a l’indice situ´e exactement au milieu de cet intervalle annulait non-trivialement l’int´egrale de collision : Zakharov venait de d´ecouvrir une solution stationnaire exacte. La d´ecouverte de la transformation dite de Zakharov vint peu apr`es (Zakharov et Filonenko, 1966).

148

6.1.5

Physique de la Turbulence

Applications de la turbulence d’ondes

Les exemples d’application de la turbulence d’ondes sont nombreux. Nous dressons, ci-dessous, une liste non-exhaustive des applications accompagn´ees de quelques r´ef´erences. • Ondes de surface : Il s’agit des premi`eres applications de la turbulence d’ondes. On y trouve les ondes capillaires et les ondes de gravit´e. Les premi`eres impliquent des interactions a` trois ondes dont la th´eorie a ´et´e publi´ee en anglais par Zakharov et Filonenko (1967) dans la limite « eau profonde ». Ce sujet fait l’objet du chapitre 7 dans lequel de nombreuses r´ef´erences sont donn´ees. Remarquons que la limite « eau peu profonde » fait aussi l’objet d’´etudes (voir par exemple Clark di Leoni et al. (2014)). La turbulence d’ondes de gravit´e est un probl`eme qui doit se traiter a` quatre ondes (Hasselmann, 1962) et pour lequel, des mesures en pleine mer sont possibles (Hwang et al., 2000). Les deux sujets ´etant li´es, plusieurs exp´eriences traitent de l’interaction entre ces ondes (voir le chapitre 7). Globalement, c’est un sujet toujours tr`es ´etudi´e. • Onde interne de gravit´ e : Ces ondes sont une variante des pr´ec´edentes au sens o` u nous nous int´eressons ici aux ondes de gravit´e dans les oc´eans. Ces ondes contribuent dynamiquement au transport turbulent de chaleur qu’il est important de mieux comprendre pour bien ´evaluer l’impact des oc´eans sur le climat (MacKinnon, 2017). La turbulence d’ondes internes de gravit´e est un probl`eme anisotrope a` trois ondes, dont la th´eorie eulerienne a ´et´e d´evelopp´ee par Caillol et Zeitlin (2000). • Onde inertielle : C’est l’exemple le plus proche du cas standard de turbulence forte au sens o` u les ´equations sont celles de Navier-Stokes que l’on modifie simplement en ajoutant la force de Coriolis. La turbulence d’ondes inertielles est un probl`eme `a trois ondes, anisotrope, dont la th´eorie a ´et´e publi´ee par Galtier (2003). Le chapitre 8 est consacr´e `a ce sujet : les principales propri´et´es de ce r´egime y sont expos´ees et une revue des nombreux travaux, num´eriques et exp´erimentaux, est faite. • Onde de Rossby : Ces ondes apparaissent en situation de rotation diff´erentielle. Elles entrent dans la mod´elisation `a grande ´echelle des atmosph`eres plan´etaires, de l’int´erieur des plan`etes gazeuses et des ´etoiles ; on parle souvent d’ondes plan´etaires (Longuet-Higgins et Gill, 1967). Dans le cadre de la turbulence d’ondes, la dynamique est dirig´ee par des processus `a trois ondes avec une domination des interactions non-locales (Balk et al., 1990a,b). • Ondes plasmas : Comme indiqu´e plus haut, nous trouvons des pr´emices de la turbulence d’ondes dans le domaine de la physique des plasmas (Sagdeev et Galeev, 1966 ; Vedenov, 1967). Dans ce tr`es vaste domaine, les ondes sont l´egion. Dans le chapitre 9 nous pr´esentons le cas particulier de la turbulence d’ondes d’Alfv´en qui s’appuie sur le mod`ele le plus simple de la physique des plasmas, `a savoir la MHD (voir le chapitre 4). La th´eorie `a trois ondes a ´et´e publi´ee par Galtier et al. (2000) : c’est un cas o` u l’anisotropie est si forte que la cascade est compl`etement inhib´ee dans une direction, celle du

6. Introduction

149

` la fin du chapitre 9, d’autres exemples de fort champ magn´etique appliqu´e. A physique des plasmas sont mentionn´es et accompagn´es de r´ef´erences. • Onde g´ eodynamo : On entend par ondes g´eodynamos, les ondes pr´esentes dans le noyau liquide externe de la Terre. Ces ondes prennent part `a l’effet dynamo, c’est-`a-dire, au m´ecanisme physique qui maintient le champ magn´etique terrestre (Finlay, 2008). Il s’agit des ondes magn´etostrophiques et des ondes inertielles. La th´eorie `a trois ondes mod´elise un milieu homog`ene `a petit nombre de Rossby (Galtier, 2014) : dans ce cadre, une cascade inverse anisotrope d’h´elicit´e hybride est pr´edite, laquelle pourrait ˆetre a` l’origine de la reg´en´eration du champ magn´etique `a grande ´echelle (Menu et al., 2019). • Onde acoustique : La turbulence d’ondes acoustiques est a priori conduite par des interactions `a trois ondes, or, ces ondes ne sont pas dispersives. C’est une situation critique pour l’application de la turbulence d’ondes car l’uniformit´e du d´eveloppement n’est pas garantie. Les premiers travaux sur le sujet remontent au d´ebut des ann´ees 1970 (Zakharov et Sagdeev, 1970). La mani`ere dont est subtilement modifi´ee l’asymptotique est discut´ee par Newell et Aucoin (1971), puis par L’vov et al. (1997). On peut montrer, pour ce r´egime, que l’´energie est au mieux redistribu´ee selon des rayons (dans l’espace de Fourier tri-dimensionnel). • Onde ´ elastique : Il s’agit d’une turbulence produite par une fine plaque ´elastique. On entre, ici, dans un domaine bien diff´erent de la traditionnelle turbulence produite par un fluide. Les vibrations d’une plaque peuvent, en th´eorie, produire une turbulence faible ou forte, selon l’excitation. La th´eorie de turbulence d’ondes a ´et´e publi´ee par D¨ uring et al. (2006) : c’est un probl`eme a quatre ondes caract´eris´e par une cascade directe d’´energie. Bien que l’action ` d’onde ne soit pas conserv´ee dans ce probl`eme, des simulations num´eriques directes montrent une cascade inverse qui semble s’´etablir de mani`ere explosive (D¨ uring et al., 2015). Des exp´eriences de laboratoire `a partir de plaques m´etalliques ont ´et´e r´ealis´ees afin de reproduire avec un succ`es vari´e les pr´edictions th´eoriques (Boudaoud et al., 2008 ; Mordant, 2008 ; Cobelli et al., 2009 ; Mordant, 2010). • Onde optique : La turbulence d’ondes se retrouve aussi dans le domaine de l’optique non-lin´eaire. L’´equation de Schr¨odinger non-lin´eaire multidimensionnelle peut ˆetre utilis´ee pour d´ecrire l’´evolution d’enveloppe d’onde plane quasi-monochromatique (Sulem et Sulem, 1999). L’´etude r´ealis´ee par Dyachenko et al. (1992) expose la th´eorie : on montre que cette turbulence d’ondes est r´egie par des interactions `a quatre ondes et qu’un m´ecanisme d’intermittence, caract´eris´e par un ph´enom`ene d’effondrement (ou collapse) dans l’espace physique, peut se produire. Dans le cas d’une r´eduction du probl`eme `a une dimension, on peut montrer que les interactions r´esonnantes dominantes sont a` six ondes, impliquant une dynamique non-lin´eaire beaucoup plus lente (Laurie et al., 2012). L’ensemble de ces travaux rentrent dans le cadre de l’´etude des effets non-lin´eaires sur la propagation de faisceau optique incoh´erent (Mitchell et al., 1996 ; Picozzi et al., 2014).

150

Physique de la Turbulence

• Onde quantique : Ce sujet est tr`es proche du pr´ec´edent au sens o` u le mod`ele utilis´e est une variante de l’´equation de Schr¨odinger non-lin´eaire : en changeant le signe du terme non-lin´eaire, l’interaction devient r´epulsive et la physique de la turbulence est modifi´ee. L’´equation associ´ee – souvent appel´ee ´equation de Gross-Pitaevskii – d´ecrit un gaz de Bose `a tr`es basse temp´erature. Remarquons que l’´emergence de la turbulence dans un condensat de BoseEnstein oscillant a pu ˆetre mise en ´evidence exp´erimentalement (Henn et al., 2009). Le r´egime de turbulence d’ondes est d´ecrit par Dyachenko et al. (1992) : les interactions a` quatre ondes conservent l’´energie et l’action d’onde. La cascade inverse associ´ee `a cette derni`ere m`ene `a la formation d’un condensat stable, c’est-` a-dire, a` l’accumulation d’action d’onde au mode k = 0. Des simulations num´eriques directes bi- (Nazarenko et Onorato, 2006, 2007) et tridimensionnelles (Proment et al., 2009, 2012) illustrent ce r´egime. • Onde de Kelvin : Les ondes de Kelvin sont ´etudi´ees dans le cadre des superfluides dont la temp´erature est proche du z´ero absolu. Ces ondes peuvent se propager le long de filaments de vorticit´e et modifier la dynamique de la turbulence (Vinen, 2000 ; Kivotides et al., 2001). La th´eorie de turbulence d’ondes de Kelvin a ´et´e propos´ee par Kozik et Svistunov (2004) : elle fait intervenir des processus `a six ondes qui conservent a` la fois l’´energie et l’action d’onde. Ces processus de cascade ´etant extrˆemement lents, il est particuli`erement int´eressant de consid´erer un mod`ele local de diffusion non-lin´eaire (Nazarenko, 2006). • Onde gravitationnelle : Cet exemple illustre toute l’´etendue des applications possibles de la turbulence d’ondes. Il s’agit ici de cosmologie et plus pr´ecis´ement de la naissance de l’univers : les ondes gravitationnelles primordiales pourraient ˆetre a` l’origine de la phase d’inflation de l’univers, question toujours ouverte a` ce jour et qui touche les confins de notre connaissance (Galtier et al., 2020). La th´eorie a ´et´e publi´ee par Galtier et Nazarenko (2017) : la dynamique est r´egie par des processus `a quatre ondes suffisamment sym´etriques pour conserver l’action d’onde. Cette derni`ere est caract´eris´ee par une cascade inverse explosive (Galtier et al., 2019). Il est int´eressant de remarquer que ce r´egime est proche de celui des ondes ´elastiques dans la limite de forte tension comme le montrent les travaux th´eoriques, num´eriques et exp´erimentaux de Hassaini et al. (2019). Le chapitre 10 est consacr´e `a ce sujet cosmologique. Pour aller plus loin, le lecteur est invit´e `a consulter les ouvrages de Zakharov et al. (1992) et de Nazarenko (2011) dans lesquels d’autres exemples sont pr´esent´es.

151

6. Introduction

6.2

M´ ethode des ´ echelles multiples

6.2.1

´ Equation de Duffing

6.2.1.1

D´ eveloppement perturbatif classique

L’objectif de cette section n’est pas d’exposer de mani`ere rigoureuse et compl`ete la d´emonstration de la validit´e th´eorique de la turbulence d’ondes, mais plutˆ ot de montrer au lecteur les principales ´etapes, et ce, de mani`ere sch´ematique. Pour illustrer notre propos, nous allons tout d’abord consid´erer l’´equation de Duffing : d2 f + f = −f 3 , (6.3) dt2 avec  un petit param`etre (0 <   1) qui mesure l’intensit´e de la nonlin´earit´e et f une fonction du temps uniquement. La solution principale de cette ´equation est un oscillateur harmonique. Cette solution va, cependant, ˆetre l´eg`erement modifi´ee au cours du temps par la pr´esence de la petite perturbation non-lin´eaire (terme de droite). Utilisons tout d’abord la th´eorie standard des perturbations et introduisons le d´eveloppement en s´erie de puissances suivant : f=

+∞ 

i fi .

(6.4)

i=0

Nous obtenons alors un syst`eme infini d’´equations qui, pour les trois premiers ordres, s’´ecrit : O(0 ) : O(1 ) : O(2 ) :

d2 f0 + f0 = 0 , dt2 d2 f1 + f1 = −f03 , dt2 d2 f2 + f2 = −3f02 f1 . dt2

(6.5a) (6.5b) (6.5c)

On voit que la solution a` un ordre donn´e va affecter celle `a l’ordre sup´erieur. La premi`ere solution est trivialement f0 = A cos(t+φ). En introduisant celle-ci dans la seconde ´equation, on peut en d´eduire la solution exacte pour f1 . Si on s’arrˆete `a cet ordre, la solution s’´ecrit :   1 3 3 cos(3t + 3φ) + O(2 ) . (6.6) f (t) = A cos(t + φ) + A − t sin(t + φ) + 8 32 En premi`ere approximation, ce syst`eme se comporte bien comme un oscillateur harmonique. La condition a` v´erifier est que la perturbation non-lin´eaire reste de faible amplitude et le temps consid´er´e, relativement court. En revanche, sur des temps longs de l’ordre de O(1/), cette solution est modifi´ee de mani`ere non-n´egligeable. Le terme qui en est `a l’origine, en t, est dit s´eculaire. Pour des temps encore plus longs, l’expansion devient mˆeme divergente ; cette divergence

152

Physique de la Turbulence

est d’autant plus forte que certains termes s´eculaires d’ordre sup´erieur viennent la renforcer. L’analyse peut se poursuivre pour ´evaluer la p´eriode des oscillations. Pour cela, on int`egre l’´equation de Duffing, qui a ´et´e au pr´ealable multipli´ee par la d´eriv´ee de f :  2 1 df 1 1 + f 2 + f 4 = E , (6.7) 2 dt 2 4 o` u E est une constante. On obtient : df dt = . 2E − f 2 − 12 f 4

(6.8)

Cette ´equation peut s’int´egrer sur une p´eriode T . En posant f = a sin θ, on obtient l’expression suivante qui est exacte sous sa forme int´egrale :    π/2 dθ 3 2 2 4 T =4 = 2π 1 − a + O( a ) . (6.9) 8 0 1 + a2 (1 − 12 cos2 θ) Un d´eveloppement de Taylor est utilis´e pour ´evaluer l’int´egrale. On constate que la p´eriode de 2π de l’oscillateur harmonique est corrig´ee par la perturbation non-lin´eaire. Cette correction est d’autant plus petite que la non-lin´earit´e est faible. Quelles sont les informations utiles pour notre probl`eme ? Ce syst`eme tr`es simple illustre sch´ematiquement les probl`emes que nous pouvons rencontrer dans un d´eveloppement perturbatif classique. Un tel d´eveloppement doit nous permettre, en principe, de suivre l’´evolution de la dynamique de la turbulence d’ondes a` divers ordres en . Le principal probl`eme est de s’assurer que le d´eveloppement reste bien ordonn´e (ou uniforme). En d’autres termes, cela signifie qu’il faut s’assurer qu’aucun terme s´eculaire d’ordre n ne vienne s’immiscer dans la dynamique `a un ordre m tel que m < n afin de ne pas se retrouver dans la mˆeme situation que Hasselmann (1962), c’est-`a-dire en pr´esence de terme s´eculaire. Ce type de terme constitue un obstacle `a la fermeture de la hi´erarchie d’´equations. La m´ethode plus sophistiqu´ee des ´echelles multiples va nous permettre de r´esoudre ce probl`eme. 6.2.1.2

M´ ethode des ´ echelles multiples

Reprenons l’´equation de Duffing et introduisons les variables temporelles ind´ependantes suivantes : T n ≡ n t

avec n = 0, 1, 2, ... .

(6.10)

Le d´eveloppement en s´erie de puissances de la variable f s’´ecrit alors : f=

+∞  i=0

i fi (t, T1 , T2 , ...) ,

(6.11)

153

6. Introduction et la d´eriv´ee en temps devient une somme de d´eriv´ees partielles : +∞  d ∂ = n . dt n=0 ∂Tn

(6.12)

L’introduction des relations (6.10)–(6.12) dans l’´equation de Duffing donne : 

2 ∂ ∂ 2 ∂ + + + ... (f0 + f1 + 2 f2 + ...) ∂t ∂T1 ∂T2

(6.13)

+(f0 + f1 + 2 f2 + ...) = −(f0 + f1 + 2 f2 + ...)3 . Nous obtenons un syst`eme infini d’´equations qui, pour les deux premiers ordres, s’´ecrit : O(0 ) : O(1 ) :

∂ 2 f0 + f0 = 0 , ∂t2 ∂ 2 f1 ∂ 2 f0 + f + 2 = −f03 . 1 ∂t2 ∂t∂T1

(6.14a) (6.14b)

On constate la pr´esence d’un nouveau terme dans l’´equation d’´evolution temporelle de f1 dont l’importance ´emerge aux temps longs. Nous allons rechercher une solution de la forme : f0 = A(T1 , T2 , ...) cos(t + φ(T1 , T2 , ...)) ,

(6.15)

avec une amplitude A et une phase φ qui peuvent varier lentement en temps. L’introduction de l’expression pr´ec´edente dans (6.14b) donne l’´equation :   ∂ 2 f1 ∂A ∂φ 3 3 + f1 = 2 sin(t + φ) + 2A − A cos(t + φ) ∂t2 ∂T1 ∂T1 4 3 A cos(3(t + φ)) . (6.16) − 4 Pour que la solution f1 ne comporte pas de terme s´eculaire, il faut imposer les conditions suivantes : ∂A = 0 et ∂T1

∂φ 3 = A2 , ∂T1 8

(6.17)

ce qui donne φ = (3/8)A2 t + θ. La solution s’´ecrit alors :     9 A3 3 cos 3t + A2 t + 3θ + O(2 ) , (6.18) f (t) = A cos t + A2 t + θ + 8 32 8 ` l’ordre de la troncation, on peut donc avec A(T2 , T3 , ...) et θ(T2 , T3 , ...). A consid´erer que A et θ sont constants. Remarquons que ce d´eveloppement est compatible avec le pr´ec´edent (6.6) pour t ≤ O(). Cet exemple illustre le fait

154

Physique de la Turbulence

Fig. 6.1 – Variation de f (t) (courbe en trait plein) obtenue par une simulation num´erique de l’´equation de Duffing avec  = 0.01. Les solutions (6.6) et (6.18) sont trac´ees en bleue (tiret-point) et rouge (tiret), respectivement. que nous pouvons obtenir un d´eveloppement perturbatif uniforme, et ce de mani`ere syst´ematique en utilisant la m´ethode des ´echelles multiples. Nous montrons sur la figure 6.1 le r´esultat d’une simulation num´erique de l’´equation de Duffing avec  = 0.01. La fonction f (t) est trac´ee en noir (trait plein). En haut, nous voyons l’´evolution pour t ∈ [0, 200] et en bas, nous montrons un agrandissement de la fin de la simulation. Les solutions math´ematiques (6.6) et (6.18) sont trac´ees en bleue (tiret-point) et rouge (tiret), respectivement. On constate la divergence avec t de la solution (6.6) dont l’origine est le terme s´eculaire. Comme attendu, cette divergence se fait sur un temps t de l’ordre de O(1/) (le temps de r´ef´erence est la p´eriode de l’onde).

155

6. Introduction

En revanche, la solution (6.18) reste proche de la solution r´eelle jusqu’au temps final.

6.3 6.3.1

Mod` ele faiblement non-lin´ eaire ´ Equation fondamentale

Pour aller plus loin, consid´erons maintenant le mod`ele inviscide suivant : ∂u(x, t) = L(u) +  N (u, u) , ∂t

(6.19)

o` u u est une fonction al´eatoire de moyenne nulle, L est un op´erateur lin´eaire qui assure que des ondes dispersives sont solutions lin´eaires du probl`eme, et N est un op´erateur non-lin´eaire quadratique impliquant donc des interactions triadiques. Le coefficient  est un petit param`etre (0 <   1) qui mesure l’amplitude des non-lin´earit´es. On introduit les transform´ees de Fourier directe et inverse :  (6.20a) u(x, t) ≡ A(k, t)eik·x dk ,  1 A(k, t) ≡ (6.20b) u(x, t)e−ik·x dx . (2π)3 La transform´ee de Fourier de l’´equation (6.19) prend la forme sch´ematique suivante :    ∂ (6.21) + iω A(k, t) =  Hkpq A(p, t)A(q, t)δ(k − p − q)dpdq . ∂t ` gauche nous retrouvons ω qui est fix´e par la relation de dispersion alors A qu’` a droite Hkpq est un op´erateur qui d´epend de la forme des non-lin´earit´es et qui est sym´etrique en p et q. Nous rappelons que la pr´esence du Dirac trouve son origine dans le produit de convolution et la nature quadratique des nonlin´earit´es m`ene `a des triades d’interaction. L’´equation se simplifie en faisant le changement de variables suivant (on simplifie au passage l’´ecriture) :   as (k, t)e−isωk t = ask e−isωk t , (6.22) A(k, t) = s

s

avec s = ±. On obtient l’´equation fondamentale :  ∂ask = Hkpq aspp asqq eiΩk,pq t δk,pq dpdq , ∂t s s

(6.23)

p q

avec δk,pq ≡ δ(k − p − q) et Ωk,pq ≡ sωk − sp ωp − sq ωq . Cette ´equation met en lumi`ere l’´evolution temporelle de l’amplitude de l’onde : cette ´evolution est a priori relativement lente puisqu’elle induit un terme non-lin´eaire proportionnel

156

Physique de la Turbulence

Fig. 6.2 – Condition de r´esonance pour une relation de dispersion du type ωk ∼ kx avec x > 1 (droite) et 0 < x < 1 (gauche).

` . Nous retrouverons cette propri´et´e par la m´ethode des ´echelles multiples. a La pr´esence de l’exponentielle complexe est fondamentale pour la fermeture asymptotique : puisque nous allons nous int´eresser `a la dynamique aux temps longs compar´es `a la p´eriode des ondes, la contribution de cette exponentielle est essentiellement nulle. Seuls certains termes vont survivre : ce sont ceux pour lesquels Ωk,pq = 0. Avec la condition impos´ee par le Dirac, nous obtenons la condition de r´esonance :  k = p + q, (6.24) sωk = sp ωp + sq ωq .

6.3.2

Relation de dispersion et r´ esonance

La condition de r´esonance triadique (6.24) n’a pas toujours de solution. Il est facile de s’en rendre compte, nous pouvons repr´esenter g´eom´etriquement cette condition dans le cas bi-dimensionnel et isotrope : la figure 6.2 montre une relation de dispersion (axisym´etrique) du type ωk ∼ k x , avec x > 1 `a droite et 0 < x < 1 a` gauche. Les solutions de la condition de r´esonance (6.24) correspondent `a l’intersection entre la surface ω(p) (qui s’identifie a` celle de ω(k)) et la surface ω(q). Nous constatons que cette intersection n’existe que pour une relation de dispersion convexe (x > 1). Le cas concave correspondant a 0 < x < 1 est celui rencontr´e a priori avec les ondes de gravit´e. ` Le cas particulier x = 1 est celui des ondes non-dispersives. Nous voyons facilement que la seule solution possible est celle o` u les trois vecteurs d’onde sont align´es. Bien qu’une solution a` la condition de r´esonance triadique existe, nous ne sommes pas assur´es de l’existence d’une fermeture asymptotique de la hi´erarchie d’´equations. Physiquement, on peut comprendre ais´ement ce probl`eme : deux ondes non-dispersives se propagent a` la mˆeme vitesse, par

157

6. Introduction

cons´equent, si elles se chevauchent initialement leurs interactions vont ˆetre fortes, alors que dans le cas contraire elles n’interagiront jamais. Avec la m´ethode des ´echelles multiples pr´esent´ee dans la section suivante, on peut montrer qu’une contribution des termes non-lin´eaires est possible sur une ´echelle de temps de l’ordre de T1 alors que la fermeture se fait sur une ´echelle de temps plus longue en T2 (Benney et Saffman, 1966). Ce probl`eme se retrouve dans le cas de la turbulence d’ondes acoustiques discut´e bri`evement dans la section 6.1.5. Pour conclure, remarquons que dans le cas d’interactions a` quatre ondes, la situation est moins contraignante car de nouvelles possibilit´es s’offrent `a nous. Ainsi, les ondes de gravit´e peuvent ˆetre analys´ees `a cet ordre. Dans le cas d’un probl`eme `a quatre ondes de nature non-dispersive, il est ´egalement possible de d´evelopper une th´eorie de turbulence d’ondes car les quatre vecteurs d’onde associ´es ne sont pas n´ecessairement colin´eaires. Un exemple sera trait´e dans le chapitre 10 : il s’agit des ondes gravitationnelles pour lesquelles la relation de dispersion est ωk = ck, avec c la vitesse de la lumi`ere.

6.3.3

D´ eveloppement asymptotique uniforme

` l’image de notre analyse de l’´equation de Duffing, nous souhaitons faire A un d´eveloppement en s´erie de puissances de l’´equation (6.23) en suivant la m´ethode des ´echelles multiples en temps. On introduit une s´erie d’´echelles en temps, T0 , T1 , T2 , ..., qui seront trait´ees comme des variables ind´ependantes, avec : (6.25) T0 ≡ t, T1 ≡ t, T2 ≡ 2 t, ... . Nous obtenons :   ∂ ∂ ∂ + + 2 + ... ask = ∂t ∂T1 ∂T2   Hkpq aspp asqq eiΩk,pq t δk,pq dpdq .

(6.26)

sp sq

La variable ask doit ˆetre aussi d´evelopp´ee en puissance de  et faire apparaˆıtre les diverses ´echelles en temps : ask =

+∞ 

n ask,n (t, T1 , T2 , ...) = ask,0 + ask,1 + 2 ask,2 + ... .

(6.27)

n=0

Il faut ensuite introduire cette expression dans l’´equation fondamentale (6.26). Nous obtenons pour les trois premiers termes : ∂ask,0 = 0, ∂t  s ∂ask,0  ∂ak,1 sp sq iΩk,pq t =− + aq,0 e δk,pq dpdq , Hkpq ap,0 ∂t ∂T1 s s p q

(6.28a) (6.28b)

158

Physique de la Turbulence

 ∂ask,1 ∂ask,0 ∂ask,2 sp sq iΩk,pq t =− − +2 aq,1 e δk,pq dpdq . (6.28c) Hkpq ap,0 ∂t ∂T1 ∂T2 s s p q

Pour all´eger l’´ecriture la d´ependence en temps des variables a ´et´e omise. Penchons-nous sur les solutions ; nous obtenons apr`es int´egration sur t : ask,0 = ask,0 (k, T1 , T2 , ...) , ∂ask,0 ask,1 = −t + bsk,1 , ∂T1 ∂ask,1 ∂ask,0 t2 ∂ 2 ask,0 −t − + bsk,2 , ask,2 = −t ∂T1 ∂T2 2 ∂T12 avec bsk,1 ≡



s

(6.29a) (6.29b) (6.29c)

s

p q aq,0 Δ(Ωk,pq )δk,pq dpdq , Hkpq ap,0

sp sq

(6.30)

et bsk,2 un terme dont la forme int´egrale ne sera pas explicit´ee car peu utile pour notre propos. On peut r´e´ecrire l’expression (6.30) dans la limite des temps longs en utilisant le lemme de Riemann-Lebesgue pour les distributions (ce qui correspond a` un m´elange de phase) :  Δ(X) = =

t

eiXt dt

0 iXt

e

− 1 t → +∞ −−−−−→ πδ(X) + iP iX



1 X

 .

(6.31)

Cette limite des temps longs signifie que nous consid´erons une ´echelle de temps beaucoup plus longue que la p´eriode des ondes lin´eaires (∼ 1/ω) ; cette ´echelle de temps reste cependant plus courte que n’importe quel temps d’interaction. On constate que la premi`ere solution (6.29a) est compatible avec l’hypoth`ese que l’amplitude et la phase n’´evoluent pas sur la mˆeme ´echelle de temps : la phase ´evolue sur une ´echelle de temps t plus courte que celle de l’amplitude (qui est sur T1 ou plus long). Dans la relation (6.22), l’amplitude et la phase sont donc deux variables s´epar´ees en temps. Nous devons maintenant d´efinir les conditions qui nous permettrons d’assurer l’uniformit´e du d´eveloppement. Ici le d´eveloppement qui nous int´eresse concerne des objets statistiques : les cumulants et moments. En pratique, on souhaite disposer d’un d´eveloppement uniforme aux temps longs pour les cumulants. Nous obtenons a` partir de l’expression (6.29b) : 

 ask,1 ask ,0

+

 ask,0 ask ,1

∂ask,0 ask ,0   = −t + ask ,0 bsk,1 + ask,0 bsk ,1 , ∂T1

(6.32)

avec  la moyenne d’ensemble. Nous supposerons une turbulence statistiquement homog`ene. Les termes de gauche sont des moments (ou cumulants) en deux points. Ce sont des quantit´es qui sont physiquement born´ees (on peut

159

6. Introduction

voir ces termes comme des spectres d’´energie). Le deuxi`eme terme de droite est aussi born´e dans la limite des temps longs. Par cons´equent, pour assurer l’uniformit´e du d´eveloppement nous devons ´eliminer le terme potentiellement s´eculaire et imposer la condition : 

∂ask,0 ask ,0 ∂T1

= 0.

(6.33)

En d’autres termes, cela signifie que les cumulants (en deux points) d’ordre z´ero ´evoluent sur une ´echelle de temps plus longue que T1 . L’analyse doit se poursuivre a` l’ordre sup´erieur avec la solution (6.29c). Nous pouvons obtenir : 

 s s ∂a ∂a ∂ask,0 ask ,0  ,1    k k,1 s s s s s s −t + ak ,0 ak,2 ak ,0 + ak,0 ak ,2 = −t ak,0 ∂T1 ∂T1 ∂T2

  ∂ 2 ask ,0 ∂ 2 ask,0   t2 s ask,0 − + a (6.34) + ask ,0 bsk,2 + ask,0 bsk ,2 .  k ,0 2 2 2 ∂T1 ∂T1 Une condition sur l’uniformit´e du d´eveloppement ´emerge apr`es quelques manipulations suppl´ementaires – parfois subtiles 7 – et r´eutilisation de l’expression (6.29b) (voir Benney et Saffman (1966)). On peut alors montrer que l’expression pr´ec´edente se simplifie (par exemple, le premier terme de la deuxi`eme ligne est nul). Les termes de gauche (cumulants) sont consid´er´es comme physiquement born´es au temps long, ce qui nous am`ene finalement `a une condition d’uniformit´e non-triviale : 

∂ask,0 ask ,0    = Ct bsk,1 bsk ,1 + Ct ask ,0 bsk,2 + ask,0 bsk ,2 , ∂T2

(6.35)

o` u Ct f signifie le coefficient proportionnel a` t de f . Cette relation implique, en particulier, que le spectre d’´energie (cumulant en deux points `a l’ordre z´ero) ´evolue sur l’´echelle de temps T2 : c’est sur cette ´echelle de temps que les modes peuvent donc ´echanger de l’´energie. La suite de l’´etude consiste `a ´evaluer le terme de droite de l’´equation (6.35). Pour comprendre le principe, nous allons uniquement nous concentrer sur la contribution du premier terme de droite de cette expression. Ce terme fait apparaˆıtre des moments en quatre points d’ordre z´ero. Ces moments se d´ecomposent en sommes de produits de cumulants en deux points (d’ordre z´ero) et de cumulants en quatre points (d’ordre z´ero). Par cons´equent, nous avons :   sp sq sr ss aq,0 ar,0 as,0 Δ(Ωk,pq )Δ(Ωk ,rs ) Hkpq Hk rs ap,0 Ct bsk,1 bsk ,1 = Ct si

δk,pq δk ,rs dpdqdrds ,

(6.36)

7. Il faut faire usage de plusieurs relations qui m´elangent par exemple des produits (` a la limite des temps longs) de Δ introduit plus haut. Il y a par exemple la formule de Poincar´ e1 ∂ Bertrand ou bien encore la relation, Δ(X)Δ(−X) ∼ 2πtδ(X) + 2P X , dans laquelle ∂X nous avons une contribution s´eculaire. Pour plus de formules, voir Benney et Newell (1967).

160

Physique de la Turbulence

avec : s

s

s sq sr ss

p q r s aq,0 asr,0 ass,0 = q0p ap,0

(p, q, r, s)δ(p + q + r + s)

s s +q0p q (p, q)q0sr ss (r, s)δ(p s s s s +q0p r (p, r)q0q s (q, s)δ(p s s s s +q0p s (p, s)q0q r (q, r)δ(p



(6.37)

+ q)δ(r + s) + r)δ(q + s) + s)δ(q + r) .

Dans cette ´ecriture q0ss est un cumulant en deux points d’ordre 0 tel que   q0ss (k, k )δ(k + k ) = ask,0 ask ,0 . On peut alors montrer en manipulant les s s s s produits de Dirac que la contribution du cumulant q0p q r s `a la dynamique est nulle, c’est-` a-dire, qu’il n’est pas possible de faire ´emerger, a` partir de ce terme, une contribution lin´eaire en t. En effet, les deux fonctions Δ sont ind´ependantes ; on doit donc utiliser la relation (6.31) sous forme de produit. En revanche, une contribution non-nulle peut venir des produits de cumulant en deux points : plus pr´ecis´ement, ce sont des produits du type Δ(X)Δ(−X) qui donnent une contribution lin´eaire en t. Une analyse du second terme de droite de l’´equation (6.35) aboutit a` la mˆeme conclusion. Par cons´equent, la contribution proportionnelle a` t que nous recherchons ne fait pas intervenir le cumulant d’ordre quatre. On rappelle que pour une distribution gaussienne le cumulant d’ordre quatre est nul. La situation que nous avons ici est donc similaire, en apparence, a` celle d’une distribution gaussienne, cependant, nous n’avons pas fait l’hypoth`ese de gaussianit´e. Ce r´esultat n’interdit pas une contribution a` la dynamique de la partie non-gaussienne de la statistique : en principe, elle peut intervenir dans la dynamique en modifiant lentement le spectre mais a` un ordre plus ´elev´e en . La d´emonstration pr´esent´ee ci-dessus est seulement esquiss´ee. Pour plus d’information, on peut se reporter aux travaux de Benney et collaborateurs (Benney et Saffman, 1966 ; Benney, 1967 ; Benney et Newell, 1967, 1969) o` u le cas d’interactions a` quatre ondes est ´egalement ´etudi´e. En particulier, on y montre pour des interactions a` trois ondes que le d´eveloppement est uniform´ement valide pour des temps ωt  O(1/4 ), avec la p´eriode de l’onde comme temps de r´ef´erence. En r´esum´e, nous pouvons dire que la turbulence d’ondes se caract´erise par une dynamique sur deux ´echelles de temps. Sur des temps courts, de l’ordre de la p´eriode des ondes, nous avons un m´elange de phase qui conduit, a` cause de la nature dispersive des ondes, au d´ecouplage des corr´elations initialement pr´esentes et `a une statistique qui se rapproche de la gaussianit´e comme le pr´evoit le th´eor`eme central limite. (On suppose toutefois qu’il n’y a pas initialement de structures coh´erentes induisant une trop forte corr´elation comme cela peut ˆetre le cas en turbulence forte.) Sur une ´echelle de temps plus longue, le couplage non-lin´eaire – faible sur des temps courts – devient non-n´egligeable `a cause du m´ecanisme de r´esonance. Ce couplage m`ene `a une r´eg´en´eration des cumulants via le produit de cumulants d’ordre inf´erieur. Ce sont ces termes qui sont a` l’origine du m´ecanisme de transfert d’´energie. Leur contribution est telle qu’une fermeture asymptotique uniforme en temps est r´ealisable. Comme nous le verrons au chapitre suivant sur la turbulence d’ondes capillaires – pour

161

6. Introduction

laquelle les interactions sont a` trois ondes – le d´eveloppement analytique peut se faire en pratique directement a` partir de l’´equation fondamentale (6.23) en supposant la s´eparation d’´echelle en temps, entre la phase et l’amplitude. Il faut cependant garder `a l’esprit que c’est la d´emonstration de l’uniformit´e du d´eveloppement asymptotique par la m´ethode des ´echelles multiples qui permet de justifier rigoureusement la th´eorie de la turbulence d’ondes. Dans cet ouvrage, nous supposerons implicitement que les syst`emes ´etudi´es sont de taille infinie et qu’ils peuvent donc ˆetre trait´es de mani`ere continue. Remarquons que la simulation num´erique avec sa grille de points ´echappe `a cette description. Des effets (g`ele de la cascade) li´es `a la discr´etisation de l’espace de Fourier peuvent ´emerger car les conditions de r´esonance sont a priori plus difficile `a satisfaire (voir par exemple Connaughton et al. (2001) pour les ondes capillaires). En th´eorie, ces effets sont d’autant plus importants que les non-lin´earit´es sont faibles. Par exemple, en turbulence d’ondes inertielles, Bourouiba (2008) a montr´e que les effets de discr´etisation deviennent pr´epond´erants lorsque le nombre de Rossby, Ro , est plus petit que 10−3 . Au-del`a de cette valeur, mais toujours pour un petit Ro , ces effets sont n´egligeables `a cause des quasi-r´esonances qui contribuent, avec les r´esonances, `a transf´erer l’´energie. Pour terminer, nous donnons la forme sch´ematique de l’´equation cin´etique de turbulence d’ondes pour des interactions a` trois ondes dispersives :



2

∂N (k) ∂t

=

(6.38)

S(k, p, q)(Np Nq − N Np − N Nq )δ(ω − ωp − ωq )δ(k − p − q) ,

avec N ≡ N (k) = E(k)/ω le spectre de l’action d’onde et E(k) le spectre de l’´energie. Cette ´equation sch´ematique d´ecrit la dynamique a` une ´echelle de temps ωt ∼ O(1/2 ). Cette ´echelle de temps est donc plus courte que dans le cas d’interactions a` quatre ondes. Des contributions nouvelles, d’ordre sup´erieur, peuvent ´emerger sur des temps plus longs (`a partir de O(1/4 )), alors que sur des temps plus courts la dynamique de la turbulence d’ondes n’a pas le temps de se d´evelopper. Remarquons que l’action d’onde n’est pas conserv´ee pour des interactions a` trois ondes : elle peut l’ˆetre uniquement si les interactions sont paires (4 ondes, 6 ondes, etc.). On rencontre souvent dans la nature des probl`emes `a trois ondes. Les chapitres 7, 8 et 9 correspondent a` ce genre de situation alors que le chapitre 10 pr´esente un probl`eme `a quatre ondes. Comme nous l’avons mentionn´e, on peut parfois se retrouver avec des probl`emes de degr´e plus ´elev´e (jusqu’` a six ondes). Malgr´e la diversit´e des situations, l’´equation cin´etique prend une forme universelle dans ce sens o` u elle s’´ecrit (`a l’ordre principal) : ∂N (k) = 2n−4 T (k) , ∂t

(6.39)

pour un processus d’interactions `a n ondes, avec T la fonction de transfert (ou int´egrale de collision). Le temps caract´eristique du transfert τtr est donc

162

Physique de la Turbulence

d’autant plus long que le degr´e d’interaction est ´elev´e ; il se caract´erise par la relation : (6.40) ωτtr ∼ O(1/2n−4 ) . Dans la mesure o` u le temps caract´eristique des ondes est τω ∼ 1/ω et que le petit param`etre n’est autre que le rapport entre ce temps et le temps nonlin´eaire τN L , nous arrivons a` l’expression ph´enom´enologique suivante pour le temps de transfert : τ 2n−4 τω L τtr ∼ 2n−4 ∼ N . (6.41)  τω2n−5 2 Pour des interactions a` trois ondes, nous utiliserons l’expression : τtr ∼ ωτN L. Dans le chapitre 9, nous montrerons comment ce temps caract´eristique peut se retrouver par une ph´enom´enologie de collisions de paquets d’onde.

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Chapitre 7 Th´ eorie de la turbulence d’ondes capillaires 7.1

Introduction

Dans ce chapitre nous allons traiter en d´etail le cas de la turbulence d’ondes capillaires. C’est un chapitre technique qui est, cependant, n´ecessaire pour celles et ceux qui souhaitent maˆıtriser la th´eorie de la turbulence d’ondes. Pour les autres, les ´etapes de calculs peuvent ˆetre ignor´ees. Avec les ondes de gravit´e, les ondes capillaires constituent les principales ondes de surface rencontr´ees dans la nature. Les secondes ont un avantage par rapport aux premi`eres dans ce sens qu’elles sont plus faciles `a traiter analytiquement dans le r´egime non-lin´eaire. C’est le choix que nous faisons dans ce chapitre pour pr´esenter la th´eorie de la turbulence d’ondes. Nous allons consid´erer un fluide incompressible (∇ · u = 0) (comme par exemple l’eau) sujet a` des mouvements irrotationnels (u = ∇φ avec φ le potentiel). Cette condition

Fig. 7.1 – Superposition d’ondes capillaires (rides) sur des ondes de gravit´e (vagues) en mer m´editerran´ee.

168

Physique de la Turbulence

Fig. 7.2 – Coupe sch´ematique d’une onde capillaire en eau profonde. On suppose

que la d´eformation η de l’interface air-eau est en moyenne ` a l’altitude z = 0 et est telle que |∇η|  1, c’est-` a-dire de faible amplitude. En outre, nous supposerons que le fluide est incompressible (∇ · u = 0) et irrotationel (u = ∇φ) : dans ce cas Δφ = 0. L’hypoth`ese « eau profonde » signifie que le potentiel φ est nul ` a l’altitude z = −∞. Une illustration plus r´ealiste produite par une simulation num´erique directe est visible sur la figure 7.3.

se justifie bien lorsque l’interface air-eau est perturb´ee par un vent soufflant de mani`ere unidirectionnelle (condition typique rencontr´ee en pleine mer). Les ´equations non-lin´eaires qui d´ecrivent la dynamique des ondes capillaires s’obtiennent en remarquant tout d’abord que la d´eformation du fluide a` l’interface air-eau v´erifie la relation lagrangienne exacte : ∂φ dη = uz = |η , dt ∂z

(7.1)

o` u η(x, y, t) est la d´eformation et φ(x, y, z, t) le potentiel (voir la figure 7.2 pour une illustration). L’´equation de Bernoulli appliqu´ee `a la surface libre du fluide (` a z = η) s’´ecrit : ∂φ 1 |η = − (∇φ)2 |η + σΔη , ∂t 2

(7.2)

o` u σ = γ/ρeau avec γ le coefficient de tension superficielle (pour l’interface air-eau γ  0.07 N/m) et ρeau la densit´e de masse de l’eau. Remarquons que la densit´e de masse de l’air est n´egligeable par rapport a` celle de l’eau. Le terme de tension superficielle est obtenu en supposant que la d´eformation est relativement faible, c’est-` a-dire que |∇η|  1. Cette tension est responsable d’une discontinuit´e entre la pression du fluide au niveau de sa surface libre Pf et la pression de l’atmosph`ere Pa ; elle se mod´elise par la relation Pf − Pa = σ/R avec R le rayon de courbure de la surface libre. L’hypoth`ese de faible d´eformation (ou faible courbure) permet de simplifier la mod´elisation.

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

169

Apr`es avoir d´evelopp´e la premi`ere ´equation, nous obtenons le syst`eme suivant : ∂η ∂φ = −∇⊥ φ|η · ∇⊥ η + |η , (7.3a) ∂t ∂z 1 ∂φ |η = − (∇φ)2 |η + σΔη , (7.3b) ∂t 2 o` u le symbole ⊥ signifie que nous prenons uniquement les d´eriv´ees dans les directions x et y. Ce syst`eme d’´equations est celui qui a ´et´e utilis´e par Zakharov et Filonenko (1967) pour d´evelopper la th´eorie qui nous int´eresse dans ce chapitre. Fondamentalement, elle implique l’utilisation du potentiel φ en z = η qui peut ˆetre d´elicate `a manipuler. Une mani`ere de s’affranchir de ce probl`eme est d’utiliser un d´eveloppement de Taylor a` l’ordre quadratique pour exprimer φ en z = η `a partir de sa valeur (eul´erienne) en z = 0. Nous obtenons (Benney, 1962 ; Case et Chiu, 1977) : ∂φ ∂2φ ∂η = −∇⊥ φ|0 · ∇⊥ η + |0 + η 2 |0 , (7.4a) ∂t ∂z ∂z ∂φ ∂2φ 1 2 |0 + η |0 = − (∇φ) |0 + σΔη . (7.4b) ∂t ∂z∂t 2 Nous nous sommes limit´es `a des non-lin´earit´es quadratiques car le probl`eme de turbulence d’ondes capillaires peut se r´esoudre `a ce niveau, c’est-`a-dire pour des interactions a` trois ondes (McGoldrick, 1965). Cette situation diff`ere de celle des ondes de gravit´e qui doivent ˆetre trait´ees au niveau cubique (interactions a` quatre d’ondes). Les ´equations (7.4a)–(7.4b) sont celles que nous allons consid´erer pour d´evelopper la th´eorie de turbulence d’ondes capillaires. Elles sont compl´et´ees par la condition d’incompressibilit´e et d’irrotationalit´e du fluide : Δφ = 0 . (7.5) Sous l’hypoth`ese « eau profonde », c’est-`a-dire φ = 0 en z = −∞, nous obtenons une fonction de la forme : φ(x, y, z, t) = ψ(x, y, t)ekz ,

(7.6)

avec k la norme du vecteur d’onde, k ≡ (kx , ky ). La lin´earisation du syst`eme (7.4a)–(7.4b) va nous donner la relation de dispersion. Nous obtenons apr`es transform´ee de Fourier : −iωk ηˆk = k φˆk , −iωk φˆk = −σk 2 ηˆk ,

(7.7a) (7.7b)

avec par d´efinition :

 1 ηˆk ≡ ηˆ(kx , ky ) = η(x) exp−ik·x dx , (2π)2  ˆ x , ky ) = 1 φˆk ≡ φ(k φ(x) exp−ik·x dx . (2π)2

(7.8a) (7.8b)

170

Physique de la Turbulence

Finalement, on obtient la relation de dispersion : ωk2 = σk 3 .

(7.9)

Notons que la pr´esence de la gravit´e au niveau lin´eaire corrige cette relation u en ωk2 = σk 3 + gk.Par cons´equent, notre ´etude est valable dans le cas o` k  k∗ avec k∗ ≡ gρeau /γ (nous avons explicitement ´ecrit le coefficient de tension superficielle pour obtenir une valeur num´erique). Cela correspond a` une longueur d’onde critique λ∗  1.7 cm pour l’interface air-eau. Par cons´equent, les ondes capillaires apparaissent `a petite ´echelle. Elles sont dispersives avec √ une vitesse de phase vφ qui augmente avec le nombre d’onde (vφ ∝ k). Cette propri´et´e peut ˆetre observ´ee en perturbant l´eg`erement la surface de l’eau : les ondes de petites longueurs d’onde sont les plus rapides a` s’´echapper de la r´egion perturb´ee. Remarquons au passage que dans le cas des ondes de gravit´e nous avons la situation inverse (ais´ement v´erifiable par l’exp´erience) : ce sont les ondes de gravit´e de grandes longueurs d’onde qui s’´echappent le plus vite de la r´egion perturb´ee (mais elles sont pr´ec´ed´ees par les ondes capillaires).

7.2

Ph´ enom´ enologie

L’analyse ph´enom´enologique joue un rˆ ole fondamental en turbulence car dans le r´egime de turbulence forte c’est la m´ethode utilis´ee pour parvenir a` une pr´ediction spectrale, par exemple, pour l’´energie. Dans le cas de la turbulence d’ondes, il est possible d’obtenir analytiquement cette solution, cependant l’analyse ph´enom´enologique demeure indispensable pour, d’une part, arriver rapidement a` une premi`ere pr´ediction et, d’autre part, ˆetre capable d’expliquer simplement comment ´emerge la solution recherch´ee. Si on reprend l’´equation ´etudi´ee (7.4b) et on ne retient que la contribution non-lin´eaire, on arrive a` l’expression ph´enom´enologique suivante : φ ∼ k 2 φ2 , τN L

(7.10) 2

o` u τN L est le temps non-lin´eaire avec ∂φ/∂t ∼ φ/τN L et (∇φ) ∼ k 2 φ2 . On obtient alors : 1 τN L ∼ 2 . (7.11) k φ Une analyse similaire faite `a partir de l’´equation (7.4a) aboutit a` la mˆeme expression. On peut noter cependant que le terme non-lin´eaire η∂ 2 φ/(∂t∂z)|0 de l’´equation (7.4b) nous donne une expression suppl´ementaire lorsque celui-ci est ´equilibr´e avec le terme de d´eriv´ee temporelle (on doit aussi utiliser l’expression (7.11)), a` savoir : (7.12) kφ2 ∼ k 2 η 2 . Cela peut ˆetre interpr´et´e comme une relation d’´equipartition entre les ´energies cin´etique kφ2 et potentielle de surface k 2 η 2 .

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

171

Fig. 7.3 – Variations spatiales du potentiel de la vitesse φ(x, y) (en bas) et de la d´eformation de la surface η(x, y) (en haut) en r´egime de turbulence d’ondes. Cette simulation num´erique directe est pr´esent´ee dans la section 7.9.

Pour parvenir a` une pr´ediction pour le spectre de l’´energie totale, nous devons introduire le taux moyen de transfert d’´energie ε dans la zone inertielle : ε∼

kEk kEk kEk k 4 φ2 ∼ ∼ ∼ k 7/2 Ek2 , 2 τtr ωτN L k 3/2

(7.13)

172

Physique de la Turbulence

avec τtr le temps de transfert (ou de cascade) de la turbulence d’ondes capillaires et Ek le spectre unidimensionnel de l’´energie totale (nous supposons que la turbulence est statistiquement isotrope). Nous utilisons ici l’expression de τtr pour des interactions triadiques (voir les chapitres 6 ou 9 pour la justification). On obtient la relation : √ Ek ∼ εk −7/4 . (7.14) ` partir de cette pr´ediction et de l’information sur l’´equipartition entre les A ´energies cin´etique et potentielle de surface, nous obtenons les spectres : Ekφ ≡ |φˆk |2 ∼

√

εk −11/4

et

Eηk ≡ |ˆ ηk |2 ∼

√ −15/4 εk .

(7.15)

On peut aussi ´ecrire ces spectres en fonction de la fr´equence en utilisant la relation de dispersion ω ∼ k 3/2 . Avec la relation dimensionnelle kEk ∼ ωEω , on obtient pour l’´energie totale : Eω ∼

√ −3/2 εω ,

(7.16)

et puis : Eωφ ≡ |φˆω |2 ∼

√ −13/6 εω

et Eηω ≡ |ˆ ηω |2 ∼

√ −17/6 εω .

(7.17)

C’est souvent cette derni`ere pr´ediction qui est utilis´ee pour la comparaison avec l’exp´erience (ou la simulation num´erique directe) car elle est facilement accessible. Nous verrons plus loin que le spectre d’´energie (7.14) peut ˆetre obtenu de mani`ere analytique comme solution exacte des ´equations de turbulence d’ondes capillaires. L’approche analytique permet aussi de d´emontrer que la cascade d’´energie est directe (avec un flux d’´energie strictement positif) et d’estimer la constante de proportionnalit´e dite de Kolmogorov permettant de substituer le signe ’∼’ en ’=’ dans l’expression (7.14). Un dernier commentaire peut ˆetre fait sur le r´egime de turbulence d’ondes capillaires si on exprime le rapport χ entre la p´eriode des ondes et le temps non-lin´eaire. Avec la pr´ediction (7.15), on obtient : χ=

1/ω k2 φ ∼ ∼ k −3/8 , τN L ω

(7.18)

ce qui signifie que la turbulence est plus faible a` petite ´echelle (donc a` grand k). En d’autres termes, si a` un nombre d’onde donn´e k la turbulence est faible, elle le restera avec une cascade directe de l’´energie. Cette propri´et´e n’est cependant pas g´en´erique : par exemple, en MHD (chapitre 9) le rapport χ augmente avec le nombre d’onde de sorte qu’une turbulence initialement faible devient in´evitablement forte `a petite ´echelle (bien sˆ ur, en supposant que les effets de dissipation a` petite ´echelle restent n´egligeables). C’est ´egalement le cas pour les ondes de gravit´e (Nazarenko, 2011).

173

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

7.3

Th´ eorie analytique : ´ equation fondamentale

Pour le traitement non-lin´eaire de la turbulence d’ondes capillaires, nous allons passer dans l’espace de Fourier et utiliser abondamment les propri´et´es de la transform´ee de Fourier (spatiale). Nous allons suivre la m´ethode eulerienne propos´ee par Galtier (2020) qui est la seule d´emonstration compl`ete publi´ee `a ce jour (l’article de Zakharov et Filonenko (1967) est tr`es sommaire et il est en de mˆeme pour les suivants (Pushkarev et Zakharov, 1996, 2000) dans lesquels on note cependant quelques ´etapes suppl´ementaires ; ces articles suivent une approche hamiltonnienne). Le syst`eme (7.4a)–(7.4b) se r´e´ecrit :  ∂ ηˆk − k φˆk = [(p · q)φˆp ηˆq + p2 φˆp ηˆq ]δ(k − p − q)dpdq , (7.19a) ∂t  ∂ φˆk 1 2 + σk ηˆk = [(p · q − pq)φˆp φˆq + 2σp3 ηˆp ηˆq ]δ(k − p − q)dpdq . ∂t 2 (7.19b) Le produit de convolution s’exprime a` travers la pr´esence du Dirac δ(k−p−q). On peut remarquer, a` ce niveau d’analyse, une diff´erence avec les ´equations de Zakharov et Filonenko (1967) dont l’attribution peut ˆetre donn´ee `a notre choix initial d’utiliser un d´eveloppement de Taylor autour de la position d’´equilibre. Nous introduisons maintenant les variables canoniques Ask de ce syst`eme :  ηˆk ≡

4 σk

1/4  s

φˆk ≡ −i(4σk)1/4

Ask ,

 s

sAsk ,

(7.20a) (7.20b)

avec s = ±. Comme les fonctions η et φ sont r´eelles, on a : ∗ = ηˆk , ηˆ−k

φˆ∗−k = φˆk ,

(7.21)

∗ le complexe ce qui nous donne la relation remarquable : Ask ∗ = A−s −k (avec conjug´e). L’introduction des relations (7.20a)–(7.20b) dans (7.19a)–(7.19b) donne (nous utilisons aussi la relation triadique q = k − p pour simplifier en partie l’expression non-lin´eaire) :

 1/4  1 σk ∂Ask s (k · p)φˆp ηˆq δ(k − p − q)dpdq (7.22) + isωk Ak = ∂t 2 4  1/4  1 is [(p · q − pq)φˆp φˆq + 2σp3 ηˆp ηˆq ]δ(k − p − q)dpdq , + 4 4σk √ avec ωk = σk 3 . On voit imm´ediatement la pertinence du choix des d´efinitions des variables canoniques au niveau lin´eaire : le terme de gauche fait apparaˆıtre explicitement la relation de dispersion. L’introduction de ces variables

174

Physique de la Turbulence

au niveau non-lin´eaire nous donne : ∂As k ∂t

1/4

√ − isσ 2 2

+ isωk Ask = (7.23) 1/4  1/4   s s pk −iσ √ App Aqq δ(k − p − q)dpdq sp sq sp (k · p) q 2   pq 1/4  s s 2p3 App Aqq δ(k − p − q)dpdq . − (kpq) 1/4 sp sq sp sq (p · q − pq) k

Cette expression ne peut ˆetre utilis´ee telle quelle pour le d´eveloppement statistique : il est n´ecessaire de la simplifier et surtout de la rendre la plus sym´etrique possible afin de faciliter le travail ult´erieur. C’est un travail fondamental sur lequel le th´eoricien peut passer plus de temps que le d´eveloppement statistique – qui n’est que l’application de techniques certes sophistiqu´ees mais syst´ematiques. L’objectif ici est, par ailleurs, de retrouver l’expression propos´ee par (Zakharov et Filonenko (1967)). Cela va nous guider pour simplifier l’expression. La premi`ere remarque concerne les premier et dernier termes non-lin´eaires qui peuvent se sym´etriser en interchangeant les vecteurs d’onde p et q, et les polarisations associ´ees sp et sq ; cela nous donne :   iσ 1/4 ∂Ask sp sq Aspp Asqq δ(k − p − q) (7.24) + isωk Ask = − √ ∂t 2 2 sp sq   1/4  1/4  pq 1/4 pk qk s(p · q − pq) + sq (k · p) + sp (k · q) k q p

3 3 ssp sq (p + q ) − dpdq . (kpq)1/4 Ensuite, nous introduisons et retranchons plusieurs termes et obtenons :

 iσ 1/4 ∂Ask s s + isωk Ask = − √ sp sq App Aqq δ(k − p − q) (7.25) ∂t 2 2 sp sq

1/4

1/4  pq 1/4 pk qk + sq (k · p − kp) + sp (k · q − kq) s(p · q + pq) k q p 

  1/4 1/4  pq 1/4 pk qk ssp sq (p3 + q 3 ) − 2spq + sq kp + sp kq − dpdq . k q p (kpq)1/4

Nous allons voir que les termes de la derni`ere ligne ne contribuent finalement pas ` a la dynamique √ non-lin´eaire sur des temps longs. Pour cela, on introduit la pulsation ωk = σk 3 ; on peut alors montrer que : sp sq −2spq

 pq 1/4 k

+ sq kp

pk q

1/4

s(sp ωp + sq ωq )(sωk − sp ωp − sq ωq ) . σ(kpq)1/4

+ sp kq

qk p

1/4

ssp sq (p3 + q 3 ) − (kpq)1/4

 =

(7.26)

175

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires Finalement, on obtient : ∂Ask

iσ1/4 + isωk Ask = − √ ∂t 2 2

s(p · q + pq) −

isσ1/4 √ 2 2

 pq 1/4 k



s

s

+ sq (k · p − kp)

pk q

1/4

+ sp (k · q − kq)

 (sp ωp + sq ωq )(sωk − sp ωp − sq ωq ) σ(kpq)1/4

sp sq

(7.27)

sp sq App Aqq δ(k − p − q)

sp sq

s

qk p

1/4  dpdq

s

App Aqq δ(k − p − q)dpdq .

L’amplitude des ondes ´etant suppos´ee faible, les termes lin´eaires vont tout d’abord dominer la dynamique, et la phase des ondes va ´evoluer en conservant l’amplitude. Sur des temps plus longs, les termes non-lin´eaires ne seront plus n´egligeables et vont modifier l’amplitude des ondes. Dans ces conditions, il est opportun pour les variables canoniques de s´eparer l’amplitude de la phase (ce que nous avons d´ej` a fait pour l’obtention de la relation de dispersion). Nous rappelons que la th´eorie de turbulence d’ondes consiste a` faire un d´eveloppement asymptotique dont l’uniformit´e a ´et´e discut´ee au chapitre 6. On introduit un petit param`etre 0 <   1 et on ´ecrit : Ask ≡ ask e−isωk t ,

(7.28)

d’o` u l’expression : ∂ask ∂t

=−

iσ1/4 √ 2 2

s(p · q + pq) −

isσ1/4 √ 2 2



s

s

 pq 1/4 k

+ sq (k · p − kp)

pk q

1/4

+ sp (k · q − kq)

 (sp ωp + sq ωq )(sωk − sp ωp − sq ωq ) σ(kpq)1/4

sp sq

(7.29)

sp sq app aqq δ(k − p − q)ei(sωk −sp ωp −sq ωq )t

sp sq

s

qk p

1/4 

dpdq

s

app aqq ei(sωk −sp ωp −sq ωq )t

δ(k − p − q)dpdq .

Nous allons nous int´eresser `a la dynamique non-lin´eaire qui ´emerge au temps long. Par temps long, nous entendons un temps τ beaucoup plus long que la p´eriode des ondes, soit τ  1/ωk . Il est clair que les contributions pertinentes sont celles qui annulent le coefficient dans l’exponentielle. Par cons´equent, les contributions « s´eculaires » ne seront pas fournies par la deuxi`eme int´egrale de l’´equation (7.29) qui pr´ecis´ement s’annule pour cette condition. Nous allons donc n´egliger ce terme par la suite. Finalement, nous obtenons l’´equation nonlin´eaire suivante pour l’´evolution de l’amplitude des ondes capillaires : ∂ask = i ∂t

  sp sq

−ss s

L−kpqp q aspp asqq eiΩk,pq t δk,pq dpdq ,

(7.30)

176

Physique de la Turbulence

avec par d´efinition Ωk,pq ≡ sωk − sp ωp − sq ωq , δk,pq ≡ δ(k − p − q) et ss s Lkpqp q

≡

  1/4  pq 1/4 qk sp sq σ 1/4 √ + sp (k · q + kq) s(p · q + pq) k p 2 2  1/4  pk +sq (k · p + kp) . (7.31) q

L’´equation (7.30) gouverne la lente ´evolution temporelle des ondes capillaires de faible amplitude. C’est une ´equation non-lin´eaire quadratique : ces nonlin´earit´es correspondent aux interactions entre ondes se propageant dans les directions p et q, et dans le sens positif (sp , sq > 0) ou n´egatif (sp , sq < 0). L’´equation (7.30) est fondamentale pour notre probl`eme puisque c’est `a partir de celle-ci que nous ferons un d´eveloppement statistique sur des temps asymptotiquement longs. Ce d´eveloppement s’appuie sur les sym´etries de l’´equation fondamentale : un manque de sym´etrie est une source de complexit´e alg´ebrique suppl´ementaire (en particulier pour son traitement statistique). Par ailleurs, des simplifications apparaissent en g´en´eral plus facilement sur des ´equations sym´etriques. Dans notre cas, le coefficient d’interaction v´erifie les sym´etries suivantes (dont le nombre est suffisant, comme nous le verrons en pratique) : ss sq

Lkpqp

ss s L0pqp q ssp sq L−k−p−q −s−s −s Lkpq p q sq sp s ssq Lqpk sp ssq ssp Lpkq

7.4

ss s

= Lkqpq p ,

(7.32a)

= 0,

(7.32b)

= = = =

ss s Lkpqp q , ss s −Lkpqp q ss s Lkpqp q , ss s Lkpqp q .

(7.32c) ,

(7.32d) (7.32e) (7.32f)

Th´ eorie analytique : approche statistique

Nous passons maintenant `a une description statistique. On utilise la moyenne d’ensemble et on d´efinit les corr´elateurs spectraux (cumulants) suivants pour une turbulence homog`ene (on supposera aussi ask = 0) : 



ss   ask ask = qkk  (k, k )δ(k + k ) ,   ask ask ask 



=



ss s   qkk  k (k, k , k )δ(k

(7.33a) 



+ k + k ),

(7.33b)

  

ss s s       ask ask ask ask = qkk  k k (k, k , k , k )δ(k + k + k + k )

+

ss  s s   qkk  (k, k )qk k (k , k )δ(k

+ k )δ(k + k )

+

ss  s s   qkk  (k, k )qk k (k , k )δ(k

+ k )δ(k + k )



 







ss  s s )qk k (k , k )δ(k + k )δ(k + k ) . + qkk  (k, k

(7.33c)

177

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires ` partir de l’´equation fondamentale (7.30), nous obtenons : A  s

  s ∂ak s ∂ ask ask s ∂ak = a  + ak ∂t ∂t k ∂t    −ss s = i L−kpqp q ask aspp asqq eiΩk,pq t δk,pq dpdq

(7.34)

sp sq

+

i

  sp sq

−s s s

L−k pqp q ask aspp asqq eiΩk ,pq t δk ,pq dpdq .

` l’ordre suivant, nous avons : A    s

   s s ∂ak s s ∂ ask ask ask s ∂ak s s s ∂ak = a  a  + ak a  + ak ak (7.35) ∂t ∂t k k ∂t k ∂t     −ss s = i L−kpqp q ask ask aspp asqq eiΩk,pq t δk,pq dpdq sp sq

+

i

  sp sq

+

i

  sp sq

−s s s



−s s s



L−k pqp q ask ask aspp asqq eiΩk ,pq t δk ,pq dpdq L−k pqp q ask ask aspp asqq eiΩk ,pq t δk ,pq dpdq .

Nous faisons face ici au probl`eme classique de fermeture : une hi´erarchie d’´equations statistiques d’ordre de plus en plus ´elev´e ´emerge. Contrairement au r´egime de turbulence forte, dans le r´egime de turbulence d’ondes de faible amplitude nous pouvons utiliser la s´eparation d’´echelle en temps pour parvenir a une fermeture naturelle du syst`eme. On ins`ere les expressions (7.33a)–(7.33c) ` dans l’´equation (7.35) :  

ss s   ∂qkk  k (k, k , k ) δ(k + k + k ) = ∂t   s s ss ss −ss s i L−kpqp q [qk k pqp q (k , k , p, q)δ(k + k + p + q)

(7.36)

sp sq

 

sp sq +qks sk (k , k )qpq (p, q)δ(k + k )δ(p + q) s s

s s

s s

s s

+qk pp (k , p)qk qq (k , q)δ(k + p)δ(k + q) +qk qq (k , q)qk pp (k , p)δ(k + q)δ(k + p)]eiΩk,pq t δk,pq dpdq    (k, s) ↔ (k , s ) dpdq + i    (k, s) ↔ (k , s ) dpdq , + i o` u les deux derni`eres lignes correspondent a` l’´echange au niveau des notations entre k, s dans l’expression d´evelopp´ee et k , s (avant derni`ere ligne), puis k , s (derni`ere ligne).

178

Physique de la Turbulence

Nous allons maintenant int´egrer l’expression (7.36) a` la fois sur p et q, et sur le temps en consid´erant un temps d’int´egration long compar´e au temps de r´ef´erence (`a savoir la p´eriode de l’onde capillaire). La pr´esence de plusieurs distributions de Dirac permet de conclure que le deuxi`eme terme de droite (dans l’expression principale) ne donne aucune contribution puisqu’il correspond a` k = 0 pour lequel le coefficient d’interaction est nul. C’est une propri´et´e de l’homog´en´eit´e statistique. Les deux derniers termes de droite (toujours dans l’expression principale) m`enent a` une contrainte forte sur les vecteurs d’onde p et q qui doivent ˆetre ´egaux a` −k et −k . Pour le cumulant d’ordre quatre, la contrainte est beaucoup moins forte puisque seule la somme de p et q est impos´ee. La cons´equence est que pour les temps longs ce terme ne contribuera pas a` la dynamique non-lin´eaire (voir la discussion sur l’uniformit´e du d´eveloppement au chapitre 6). Enfin, pour les temps longs, les cumulants d’ordre deux ne sont pertinents que lorsque les polarit´es associ´ees ont des signes diff´erents. Pour comprendre cela, il faut revenir `a la d´efinition   du moment, Ask Ask = 2 ask ask exp(−i(sωk + s ωk )t), a` partir de laquelle nous voyons qu’une contribution non nulle n’est possible pour une turbulence homog`ene (k = −k ) que si s = −s (ainsi le coefficient de l’exponentielle s’annule). On obtient finalement :  

ss s       qkk   (k, k , k )δ(k + k + k ) = iΔ(Ωkk k )δ(k + k + k ) (7.37)   k  −s −s−s −s s −s   s −s   L−s−s −k−k −k + L−k−k −k qk −k (k , −k )qk −k (k , −k )      −s−s −s −s −s s −s   s−s + L−s −k −k−k + L−k −k −k qk −k (k , −k )qk−k (k, −k)     −s −s −s −s−s s−s s −s   q + L−s + L (k, −k)q (k , −k ) ,       −k −k −k k−k −k −k−k k −k

avec :

 Δ(Ω

kk k

)=

0

t1/ω



eiΩkk k t dt =

eiΩkk k t − 1 . iΩkk k

(7.38)

s−s (k, −k) = qks (k). En Nous pouvons maintenant ´ecrire sans ambiguit´e : qk−k utilisant les relations de sym´etrie du coefficient d’interaction, nous obtenons :  

q ss s  (k, k , k )δ(k + k + k ) = −2iΔ(Ωkk k )δ(k + k + k ) (7.39)  kk k   s s  s  s ss s  s s s s s s  Lss kk k qk (k )qk (k ) + Lk kk qk (k )qk (k) + Lk k k qk (k)qk (k ) , puis finalement :  

ss s       qkk  k (k, k , k )δ(k + k + k ) = −2iΔ(Ωkk k )δ(k + k + k ) (7.40)         s s  s   s  s  s s  Lss kk k qk (k )qk (k ) + ss qk (k )qk (k) + ss qk (k)qk (k ) .

La limite effective des temps longs (qui introduit l’irr´eversibilit´e) nous donne (Lemme de Riemann-Lebesgue) : Δ(x) → πδ(x) + iP(1/x) ,

(7.41)

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

179

avec P la valeur principale de l’int´egrale. L’obtention de l’´equation dite cin´etique s’obtient en injectant l’expression −s (−k) = (7.40) dans l’´equation (7.34) et en int´egrant sur k (avec la relation q−k s qk (k)) :   ∂qks (k) −ss s = 22 |L−kpqp q |2 (πδ(Ω−kpq ) + iP(1/Ω−kpq ))eiΩk,pq t δk,pq ∂t sp sq   sq sp sq sp sq qq (q)qpsp (p) − ssq qqsq (q)qks (k) − ssp qks (k)qpsp (p) dpdq   ss s + 22 |Lkpqp q |2 (πδ(Ωkpq ) + iP(1/Ωkpq ))eiΩkpq t δkpq (7.42) sp sq

  sp sq sp sq qqsq (q)qpsp (p) + ssq qqsq (q)qks (k) + ssp qks (k)qpsp (p) dpdq . En changeant de signe les variables (muettes) d’int´egration p, q, et les polarit´es associ´ees, les valeurs principales s’´eliminent. En utilisant les sym´etries du coefficient d’interaction, on arrive finalement a` l’expression suivante apr`es simplification :   ∂qks (k) ss s 2 = 4π |Lkpqp q |2 δ(sωk + sp ωp + sq ωq )δ(k + p + q) (7.43) ∂t sp sq   sp sq sp sq qqsq (q)qpsp (p) + ssq qqsq (q)qks (k) + ssp qks (k)qpsp (p) dpdq , avec : ss s |Lkpqp q |2

≡

 1/4 √   pq 1/4 qk σ s(p · q + pq) + sp (k · q + kq) 8 k p  1/4 2 pk +sq (k · p + kp) . (7.44) q

L’expression (7.43) est l’´equation cin´etique de la turbulence d’ondes capillaires obtenue pour la premi`ere fois par Zakharov et Filonenko 1967 1 . La pr´esence du petit param`etre   1 signifie que l’amplitude des non-lin´earit´es quadratiques est faible et que, par cons´equent, le temps caract´eristique sur lequel nous nous pla¸cons pour mesurer ces effets est de l’ordre de 1/2 . Comme nous l’avons vu en pratique, l’obtention de cette expression n’a ´et´e possible que grˆace aux nombreuses sym´etries du coefficient d’interaction que nous avons utilis´ees `a plusieurs reprises. C’est `a partir des invariants du syst`eme que nous pouvons faire ´emerger les principales propri´et´es de la turbulence d’ondes. L’´energie a, par cons´equent, un rˆ ole privil´egi´e puisqu’elle est toujours conserv´ee. D’autres invariants (inviscides) peuvent apparaˆıtre comme l’h´elicit´e cin´etique en hydrodynamique 1. Pour ˆ etre totalement convaincu de l’´equivalence des deux expressions, il reste ` a d´ evelopper l’int´egrand en fonction des valeurs de sp et sq en ´ eliminant le cas particulier sp = sq = s qui n’a pas de solution ` a la r´ esonance.

180

Physique de la Turbulence

incompressible soumis a` une rotation rapide (limite des faibles nombres de Rossby), condition pour ˆetre dans le r´egime de turbulence d’ondes (chapitre 8). Dans le cadre de la turbulence d’ondes capillaires, nous allons consid´erer le seul invariant pertinent, l’´energie, pour lequel la propri´et´e de conservation d´etaill´ee sera d´emontr´ee.

7.5

Conservation d´ etaill´ ee de l’´ energie

L’´equation cin´etique (7.43) d´ecrit l’´evolution temporelle de la turbulence d’ondes capillaires sur des temps asymptotiquement longs compar´es au temps de r´ef´erence qui est la p´eriode des ondes. C’est une ´equation faisant intervenir des interactions a` trois ondes qui ne donnent une contribution non nulle que lorsque la condition de r´esonance suivante est v´erifi´ee : 

sωk + sp ωp + sq ωq k+p+q

= 0, = 0.

(7.45)

Dans le cas des ondes capillaires, la condition de r´esonance a des solutions, mais ce n’est pas toujours le√ cas. Par exemple, pour les ondes de gravit´e la relation de dispersion ωk ∝ k ne permet pas de trouver de solution (voir le chapitre 6). Dans ce cas, il est n´ecessaire de consid´erer les contributions nonlin´eaires `a l’ordre suivant dans le d´eveloppement, c’est-` a-dire, les interactions a quatre ondes ; l’approche analytique devient alors plus lourde. ` Une propri´et´e remarquable que v´erifie l’´equation cin´etique est la conservation d´etaill´ee de l’´energie (voir le chapitre 3 sur la turbulence hydrodynamique bi-dimensionnelle). Pour d´emontrer ce r´esultat, il faut r´e´ecrire l’´equation cin´etique pour le spectre de l’´energie polaris´ee : es (k) ≡ ωk qks (k) .

(7.46)

On remarque en particulier que : es (k) = e−s (−k). Apr`es quelques manipulations, on obtient : ∂es (k) ∂t

=

π2 2σ sωk

avec :

  

sp sq

ss s

˜ p q |2 δ(sωk + sp ωp + sq ωq )δ(k + p + q) (7.47) |L kpq

sωk sp ω p sq ω q + + es (k)esp (p)esq (q)dpdq , es (k) esp (p) esq (q)



2 p · q + pq k · q + kq k · p + kp ssp sq 2 ˜ √ √ + |Lkpq | ≡ . + √ sk pq sp p kq sq q kp

(7.48)

En consid´erant l’int´egrale en k du spectre de l’´energie totale, e+ (k) + e− (k), et en jouant ensuite sur la permutation des vecteurs d’onde (au pr´ealable on

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

181

d´ecompose l’expression en trois int´egrales identiques), on peut montrer que : 

es (k)dk = (7.49) ∂t   ss s π2 ˜ p q |2 δ(sωk + sp ωp + sq ωq )δ(k + p + q) |L kpq 6σ ssp sq 

sωk sp ω p sq ω q (sωk + sp ωp + sq ωq ) s + sp + sq es (k)esp (p)esq (q)dkdpdq e (k) e (p) e (q) = 0. ∂

s

Cela signifie que l’´energie est conserv´ee par triade d’interaction : la redistribution de l’´energie se fait au sein d’une triade satisfaisant la condition de r´esonance (7.45). C’est une propri´et´e g´en´erale de turbulence d’ondes qui peut ˆetre utilis´ee pour v´erifier (en partie) l’exactitude de l’´equation cin´etique obtenue apr`es un long calcul.

7.6

Solutions exactes et transformation de Zakharov

Dans cette section, nous recherchons les solutions exactes de l’´equation cin´etique (7.47). Ces solutions peuvent s’obtenir par application de la transform´ee de Zakharov que nous avons d´ej`a introduit au chapitre 3. Il s’agit d’une transformation conforme appliqu´ee `a l’int´egrale (voir la figure 7.5). Remarquons que Balk (2000) a propos´e une autre m´ethode pour obtenir ces solutions sans passer par une transformation conforme. Nous allons faire l’hypoth`ese simplificatrice que la turbulence d’ondes capillaires est statistiquement isotrope. Cette hypoth`ese est raisonnable dans la mesure o` u nous n’avons pas de source d’anisotropie comme cela peut ˆetre le cas dans d’autres probl`emes (par exemple en physique des plasmas le fort champ magn´etique uniforme – support des ondes plasmas – induit une forte anisotropie). On introduit donc le spectre isotrope : E(k) ≡ Ek = 2πk



es (|k|) .

(7.50)

s

On va r´e´ecrire l’´equation cin´etique en utilisant la relation triangulaire (voir la figure 7.4) : q 2 = k 2 + p2 − 2kp cos θ ,

(7.51)

a partir de laquelle nous en d´eduisons (` ` a k et p fix´es) : qdq = kp sin θdθ. Cette relation sera ensuite utilis´ee pour r´e´ecrire l’´equation cin´etique.

182

Physique de la Turbulence

Fig. 7.4 – Triade d’interaction. On utilise les formules d’Al Kashi sur le triangle pour finalement obtenir l’expression d´evelopp´ee suivante :   2 ∂Ek ˜ ssp sq |2 δ(sωk + sp ωp + sq ωq ) = sωk |L (7.52) kpq ∂t 2σ Δ ss s p q

skωk Ep Eq + sp pωp Ek Eq + sq qωq Ek Ep  dpdq , 4k 2 p2 − (k 2 + p2 − q 2 )2 avec Δ le domaine d’int´egration (bande gris´ee de la figure 7.5) et : ss s

˜ p q |2 = |L kpq 

(7.53)

k 2 − p2 − q 2 + 2pq p2 − k 2 − q 2 + 2kq q 2 − k 2 − p2 + 2kp √ √ + + √ 2sk pq 2sp p kq 2sq q kp

2 .

On remarque que la nouvelle expression ne fait plus intervenir de vecteurs d’onde mais uniquement des nombres d’onde. Une simplification suppl´ementaire est faite en introduisant les nombres d’onde adimensionn´es ξp ≡ p/k et ξq ≡ q/k ; on obtient l’expression :   ∂Ek 2 k 5/2 ˜ ssp sq |2 δ(s + sp ξ 3/2 + sq ξ 3/2 ) √ = s|L (7.54) p q 1ξp ξq ∂t 2 σ Δ ss s p q

5/2

5/2

sEkξp Ekξq + sp ξp Ek Ekξq + sq ξq Ek Ekξp  dξp dξq , 4ξp2 − (1 + ξp2 − ξq2 )2 avec :

ss s



˜ p q |2 = |L 1ξp ξq ξp2 − 1 − ξq2 + 2ξq ξq2 − 1 − ξp2 + 2ξp 1 − ξp2 − ξq2 + 2ξp ξq    + + 2s ξp ξq 2sp ξp ξq 2sq ξq ξp

(7.55) 2 .

Nous allons appliquer la transformation de Zakharov sur cette derni`ere expression en supposant une forme en loi de puissance pour le spectre de l’´energie,

183

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

Fig. 7.5 – Transformation conforme de Zakharov pour des interactions `a trois ondes. La bande gris´ee infiniment ´etendue correspond aux solutions de la relation triangulaire k + p + q = 0 (les fronti`eres correspondent ` a des triangles aplatis). La transformation consiste en l’´echange des quatre r´egions s´epar´ees par des tirets. Les transformations (7.56) et (7.57) sont montr´ees ` a droite et a ` gauche respectivement. Ek = Ck x . En pratique, on divise en trois parties ´egales l’int´egrale et on applique sur deux des trois int´egrales une transformation diff´erente, en gardant intacte la troisi`eme int´egrale. Ces transformations de Zakharov sont : ξp →

1 , ξp

ξq →

ξq , ξp

(TZ1)

(7.56)

ξp →

ξp , ξq

ξq →

1 . (TZ2) ξq

(7.57)

et

Elles correspondent a` une transformation conforme de la r´egion d’int´egration dans l’espace (ξp ,ξq ). Dans le cas d’interactions triadiques, cette r´egion est une bande infiniment ´etendue comme l’illustre la figure 7.5. Le lecteur pourra v´erifier que ces transformations donnent : ss s

TZ1

s ss

(7.58a)

ss s

TZ2

s s s

(7.58b)

˜ p q |2 −→ |L ˜ p q |2 , |L 1ξp ξq 1ξp ξq ˜ q p |2 , ˜ p q |2 −→ |L |L 1ξp ξq 1ξp ξq TZ1

(7.58c)

TZ2

(7.58d)

δ(s + sp ξp3/2 + sp ξq3/2 ) −→ ξp3/2 δ(sp + sξp3/2 + sq ξq3/2 ) , δ(s + sp ξp3/2 + sp ξq3/2 ) −→ ξq3/2 δ(sq + sp ξp3/2 + sξq3/2 ) ,   TZ1 1/ 4ξp2 − (1 + ξp2 − ξq2 )2 −→ ξp2 / 4ξp2 − (1 + ξp2 − ξq2 )2 ,

(7.58e)

184

Physique de la Turbulence   TZ2 1/ 4ξp2 − (1 + ξp2 − ξq2 )2 −→ ξq2 / 4ξp2 − (1 + ξp2 − ξq2 )2 ,

(7.58f)

TZ1

(7.58g)

TZ2

(7.58h)

dξp dξq −→ ξp−3 dξp dξq , dξp dξq −→ ξq−3 dξp dξq . L’´equation du spectre de l’´energie se transforme ainsi : ∂Ek ∂t

=

2 C 2 k 2x+5/2 √ 6 σ



˜ ssp sq |2 δ(s + sp ξp3/2 + sq ξq3/2 )  |L 1ξp ξq  (7.59) Δ ssp sq 4ξp2 − (1 + ξp2 − ξq2 )2

[ξpx ξqx (s + sp ξp−x+5/2 + sq ξq−x+5/2 )s +ξpx ξqx (s + sp ξp−x+5/2 + sq ξq−x+5/2 )sp ξp−2x−2 +ξpx ξqx (s + sp ξp−x+5/2 + sq ξq−x+5/2 )sq ξq−2x−2 ]dξp dξq . Noter que pour obtenir l’expression pr´ec´edente, nous avons ´echang´e s et sp dans le deuxi`eme terme de l’int´egrand, et s et sq dans le troisi`eme terme de l’int´egrand. Cette manipulation est permise du fait de la somme sur les trois indices s, sp et sq . La sym´etrie des ´equations est dans ce cas d’une grande aide. Apr`es une derni`ere manipulation, on arrive a` l’expression suivante : ∂Ek ∂t

=

2 C 2 k 2x+5/2 √ 6 σ



˜ ssp sq |2 δ(s + sp ξp3/2 + sq ξq3/2 )  |L 1ξp ξq  Δ ssp sq 4ξp2 − (1 + ξp2 − ξq2 )2

(7.60)

ξpx ξqx [s + sp ξp−x+5/2 + sq ξq−x+5/2 ][s + sp ξp−2x−2 + sq ξq−2x−2 ]dξp dξq . Les solutions stationnaires pour lesquelles le terme de droite s’annule correspondent a` : x=1

et x = −7/4 .

(7.61) 3/2

En effet, pour ces deux valeurs on peut faire apparaˆıtre l’expression s+sp ξp + 3/2 sq ξq (dans la deuxi`eme ligne de (7.60)) qui s’annule exactement `a la r´esonance (condition impos´ee par le Dirac). Le solution x = 1 correspond a` l’´equilibre thermodynamique pour lequel le flux d’´energie est nul : dans ce cas chacun des trois termes de droite de l’expression (7.59) est nul et aucun transfert d’´energie n’est donc possible. La solution x = −7/4 est plus int´eressante car l’annulation du terme de droite de (7.59) s’obtient par un subtil ´equilibre de ses trois contributions : c’est la solution a` flux d’´energie fini appel´ee spectre de Kolmogorov-Zakharov. Dans ce cas, un dernier calcul doit ˆetre r´ealis´e pour justifier la pertinence de ce spectre : il s’agit de v´erifier la convergence des int´egrales dans le cas d’interactions fortement non-locales (on veut v´erifier que l’annulation du terme de droite ne provient pas de l’annulation d’int´egrale individuellement infinie). Cela correspond aux r´egions proches des deux angles droits des bandes de la figure 7.5 ainsi qu’` a la r´egion infiniment ´eloign´ee de l’origine. Dans le cas d’une divergence, la solution

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

185

trouv´ee n’est tout simplement pas pertinente et seule la simulation num´erique de l’´equation de turbulence d’ondes permet d’estimer la forme du spectre. En turbulence d’ondes capillaires, la localit´e du spectre de Kolmogorov-Zakharov a ´et´e v´erifi´ee par Zakharov et Filonenko (1967). Contrairement `a leur ´etude, notre solution a ´et´e obtenue a` partir d’une ´equation ´ecrite en nombre d’onde ; il est donc n´ecessaire d’´etablir proprement le domaine de convergence. Un calcul ´el´ementaire (on peut par exemple ´ecrire les variables ξp et ξq en coordonn´ees polaires) nous am`ene `a la condition : − 2 < x < −3/2 ,

(7.62)

o` u la borne sup´erieure est donn´ee par la condition de convergence pour un point situ´e `a l’infini sur les bandes de la figure 7.5. Ce r´esultat d´emontre donc la pertinence du spectre de Kolmogorov-Zakharov. On peut remarquer au passage que l’exposant de cette solution est plac´e exactement au milieu du domaine de convergence, ce qui est le cas en g´en´eral. La condition de convergence correspond en fait a` un crit`ere de localit´e des interactions. Dans ce sens, on retrouve une hypoth`ese faite par Kolmogorov pour l’obtention de la loi exacte des 4/3 (ou des 4/5) pr´esent´ee au chapitre 2, a` savoir que la zone inertielle d´ecrit une physique universelle ind´ependante des m´ecanismes (par exemple de for¸cage et de dissipation) op´erant aux plus grandes et aux plus petites ´echelles. C’est la raison pour laquelle on parle de spectre de Kolmogorov-Zakharov.

7.7

Nature des solutions exactes

La transformation de Zakharov nous a permis d’obtenir les solutions stationnaires exactes en loi de puissance et de mettre en ´evidence deux types de spectre : la solution thermodynamique et la solution dynamique correspondant a une cascade d’´energie. Cependant, la nature de cette cascade reste inconnue : ` s’agit-il d’une cascade directe ou inverse ? La r´eponse `a cette question n´ecessite d’approfondir notre analyse. Nous allons utiliser la relation liant le flux d’´energie Πk au spectre d’´energie : ∂Ek ∂Πk 2 C 2 =− = √ k 2x+5/2 I(x) , (7.63) ∂t ∂k σ o` u I(x) est l’int´egrale d´eduite de l’expression (7.60). On obtient : 2 C 2 k 2x+7/2 I(x) . Πk = − √ σ 2x + 7/2

(7.64)

Le sens de la cascade sera donn´e par le signe du flux d’´energie dans le cas particulier o` u x = −7/4. Mais dans ce cas, nous voyons que le d´enominateur s’annule. Heureusement, le num´erateur aussi puisque c’est pr´ecis´ement pour cette valeur que I(x) = 0. La r`egle de l’Hospital nous permet d’´ecrire

186

Physique de la Turbulence

(on utilise les notations introduites au chapitre 3 sur le flux d’´energie) : lim

x→−7/4

Πk

2 C 2 I(x) I(y) 2 C 2 lim =− √ lim , = ε=− √ σ x→−7/4 2x + 7/2 σ y→3/2 3/2 − y ∂I(y) 2 C 2 lim , (7.65) = √ σ y→3/2 ∂y

avec y = −2x − 2 et : ∂I(y) |3/2 ∂y

=

1 6



 Δ ssp sq

ss s



˜ p q |2 |L 1ξp ξq

−x+5/2

−x+5/2

ξpx ξqx [s + sp ξp =

1 6



 Δ ss s p q

+ sq ξq

]

ss s



−7/4 −7/4 ξq [s

ξp

3/2

4ξp2 − (1 + ξp2 − ξq2 )2

˜ p q |2 |L 1ξp ξq 17/4

17/4

+ sq ξq

3/2

+ sq ξq

)

∂[s + sp ξpy + sq ξqy ] dξp dξq |3/2 ∂y 3/2

4ξp2 − (1 + ξp2 − ξq2 )2 + sp ξp

δ(s + sp ξp

δ(s + sp ξp 3/2

][sp ξp

3/2

+ sq ξq

)

3/2

ln(ξp ) + sq ξq

(7.66) ln(ξq )]dξp dξq .

Le signe de l’expression pr´ec´edente peut ˆetre trouv´e num´eriquement. Un signe positif a ´et´e obtenu (Pushkarev et Zakharov, 2000) d´emontrant que la cascade d’´energie de la turbulence d’ondes capillaires est directe. Il est aussi possible de trouver la valeur num´erique de la constante de Kolmogorov CK dont l’expression est d´eduite de C dans (7.65) ; on obtient finalement : Ek = avec :

√ σ 1/4 CK εk −7/4 , 

1 CK =  . ∂I(y)/∂y|3/2

(7.67)

(7.68)

La valeur report´ee par Pushkarev et Zakharov (2000) est CK  9.85. Ainsi, l’´etude analytique nous a permis de trouver les principales propri´et´es de la turbulence d’ondes capillaires. La force de ces r´esultats est qu’ils sont analytiques.

7.8

Confrontation avec l’exp´ erience

Les ondes capillaires sont ´etudi´ees depuis longtemps comme le d´emontre les travaux de Longuet-Higgins (1963) ou de McGoldrick (1970) : dans ces exemples, il s’agissait de comprendre le rˆole des interactions d’ondes r´esonnantes ainsi que le m´ecanisme de g´en´eration d’ondes capillaires a` partir d’ondes de gravit´e. En revanche, l’´etude exp´erimentale de la turbulence d’ondes capillaires est plus r´ecente et fait encore aujourd’hui l’objet de nombreux travaux. Par exemple, Holt et Trinh (1996) ont ´et´e capables de produire une mer d’ondes capillaires a` la surface d’une goutte (d’environ 5 mm de diam`etre) en

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

187

l´evitation et constitu´ee principalement d’eau. L’exp´erience montre la formation rapide (en moins d’une seconde) par une cascade directe d’un spectre en f −3.58 (avec f la fr´equence) pour les fluctuations de l’´el´evation de la surface η. La diff´erence avec la pr´ediction th´eorique (7.17) pourrait trouver son origine dans des effets visco-´elastiques non-n´egligeables. Dans l’article de Wright et al. (1996), une nouvelle technique de mesure bas´ee sur la diffusion de la lumi`ere visible sur des sph`eres en polystyr`ene (d’un diam`etre de l’ordre du μm) est ` partir utilis´ee pour obtenir les variations de hauteur de la surface de l’eau. A de ces donn´ees les auteurs ont ´et´e capables de calculer le spectre en nombres d’onde : une ´etroite loi de puissance avec un exposant autour de −4 a ´et´e mesur´ee. Des mesures ult´erieures avec la mˆeme technique (mais avec du lait demi-´ecr´em´e) ont donn´e des r´esultats compatibles avec la pr´ediction fr´equentielle en −17/6 (Henry et al., 2000). La turbulence d’ondes capillaires a aussi ´et´e ´etudi´ee `a partir d’hydrog`ene liquide (maintenu a` 15–16 K). L’int´erˆet de ce genre d’´etude est que le liquide a une viscosit´e cin´ematique plus faible que l’eau, permettant ainsi d’accroˆıtre la taille de la zone inertielle (Brazhnikov et al., 2001, 2002). Notons cependant que dans ce probl`eme la zone inertielle est aussi limit´ee par le coefficient de tension superficielle. L’exp´erience montre que les spectres fr´equentiels pr´edits th´eoriquement peuvent ˆetre assez bien reproduits sur plus d’un ordre de grandeur, et ce malgr´e un bruit important. L’imagination des physiciens ´etant vaste, le probl`eme a aussi ´et´e abord´e en utilisant les propri´et´es de fluorescence (localis´ee essentiellement `a la surface du liquide) d’une solution ajout´ee ` l’aide d’un laser bleu projet´e sur la surface du liquide, les auteurs a l’eau. A ` (Lommer et Levinsen, 2002) ont mesur´e avec pr´ecision la loi de puissance et cette fois la solution de Zakharov-Filonenko a ´et´e tr`es bien reproduite sur deux d´ecades de fr´equences. Le r´egime de turbulence d’ondes capillaires en faible gravit´e (∼ 0.05 g) a ´et´e r´ealis´e lors de vols (Airbus A320) paraboliques d’une dur´ee de 22s (Falc´on et al., 2009). La motivation pour d´evelopper une telle exp´erience est de limiter les effets des ondes de gravit´e et ´etendre ainsi la zone inertielle purement capillaire (voir la figure 7.6). Deux d´ecades de loi de puissance en fr´equences ont ´et´e mesur´ees avec un exposant proche de la valeur attendue 2 . Remarquons que les ondes gravito-capillaires ont fait l’objet de plusieurs ´etudes exp´erimentales dans lesquelles, en particulier, la transition entre le r´egime domin´e par les ondes de gravit´e `a grande ´echelle et celui des ondes capillaires `a petite ´echelle a bien ´et´e mise en ´evidence, ainsi que les possibles interactions (nonlocales) entre ces deux types d’onde (avec des vecteurs d’onde colin´eaires) (voir par exemple Falcon et al., 2007 ; Deike et al., 2012 ; Berhanu et Falcon, 2013 ; Aubourg et Mordant, 2015, 2016 ; Berhanu et al., 2018 ; Hassaini et Mordant, 2018 ; Cazaubiel et al., 2019). 2. Une exp´erience similaire a ´et´ e faite ` a bord de la station spatiale internationale (ISS), mais le r´egime obtenu est celui de la turbulence forte d’ondes capillaires (Berhanu et al., 2019).

188

Physique de la Turbulence

Fig. 7.6 – Ondes `a la surface d’un fluide contenu a` l’int´erieur d’un r´ecipient sph´erique (de 15 cm de diam`etre) en verre lors d’exp´eriences en impesanteur (Falc´ on et al., 2009). Le fluide mouille la surface interne de la sph`ere et forme une couche de fluide sph´erique. Les ondes de surface purement capillaires sont alors engendr´ees en faisant vibrer le r´ecipient. La simulation num´erique directe est un compl´ement indispensable a` l’´etude exp´erimentale car elle permet une analyse plus fine de la turbulence d’ondes capillaires : en effet, le num´erique donne acc`es en principe a` tous les champs et permet donc un traitement du signal pr´ecis. Peu de travaux ont ´et´e r´ealis´es en comparaison aux nombreuses ´etudes exp´erimentales. Ces simulations ont tout d’abord ´et´e faites par Pushkarev et Zakharov (1996, 2000), puis plus r´ecemment par exemple par Deike et al. (2014) et Pan et Yue (2014). Les ondes de surface sont cependant sujettes a` des instabilit´es num´eriques qui rendent difficile l’obtention d’une zone inertielle ´etendue (moins d’une d´ecade a ´et´e obtenue). Par ailleurs, ces simulations avec une force ext´erieure sont particuli`erement longues pour atteindre le r´egime stationnaire pour lequel la

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

189

turbulence est pleinement d´evelopp´ee. Enfin, la discr´etisation de l’espace de Fourier induite par la simulation num´erique a aussi des cons´equences potentielles sur la turbulence dont les propri´et´es analytiques sont obtenues dans le cadre d’un milieu continu (Nazarenko, 2011 ; Pan et Yue, 2017). Paradoxalement, la simulation de turbulence d’ondes de surface, par nature bidimensionnelle, semble ˆetre plus difficile `a faire que celle en trois dimensions pour laquelle les interactions non-lin´eaires sont plus nombreuses et les instabilit´es num´eriques mieux maˆıtris´ees. Ces travaux de simulations num´eriques directes compl`etent les simulations num´eriques de Falkovich et al., (1995) faites a` partir des ´equations de turbulence d’ondes : il s’agissait d’´etudier la phase non-stationnaire en r´egime de d´ecroissance libre afin de mettre en ´evidence, en particulier, les propri´et´es d’explosivit´e du spectre. Nous reviendrons sur cette propri´et´e en turbulence d’ondes inertielles (chapitre 8).

7.9

Simulation num´ erique directe

Afin d’illustrer le r´egime de turbulence d’ondes capillaires, nous pr´esentons dans cette section des r´esultats d’une simulation num´erique directe. Pour des raisons de stabilit´e num´erique, des termes de dissipation ont ´et´e ajout´es aux ´equations primitives (7.4a)–(7.4b). Les ´equations simul´ees sont donc : ∂η ∂φ ∂2φ = −∇⊥ φ|0 · ∇⊥ η + |0 + η 2 |0 + νΔ2 η , ∂t ∂z ∂z ∂φ ∂2φ 1 2 |0 + η |0 = − (∇φ) |0 + σΔη + νΔ2 φ + f , ∂t ∂t∂z 2 Δφ = 0 ,

(7.69a) (7.69b) (7.69c)

avec ν = 3 × 10−8 une hyperviscosit´e. L’usage d’une hyperviscosit´e permet de confiner l’effet de la dissipation aux plus petites ´echelles et ainsi d’´elargir la zone inertielle. Une force ext´erieure f est appliqu´ee uniquement au potentiel de vitesse en supposant initialement l’absence de d´eformation (c’est-`a-dire η(x, y, t = 0) = 0). La force f est caract´eris´ee par un spectre a grande ´echelle, c’est-` ` a-dire, une excitation des premiers nombres d’onde k = 1, 2, 3, a` chaque pas de temps, avec une fluctuation al´eatoire des amplitudes autour d’une valeur moyenne et une phase al´eatoire. De mani`ere classique, un code num´erique pseudo-spectral est utilis´e avec des conditions de bord p´eriodiques en (x,y). La r´esolution spatiale utilis´ee est de 512 points dans chaque direction. Sur la figure 7.3, nous voyons la variation spatiale du potentiel de la vitesse φ(x, y) et de la d´eformation de la surface du fluide lorsque la turbulence est bien d´evelopp´ee. Ces champs sont caract´eris´es par des fluctuations al´eatoires. Cette premi`ere figure est int´eressante mais elle ne nous permet pas d’appr´ecier totalement la gamme d’´echelle excit´ee. En particulier, les plus petites ´echelles sont

190

Physique de la Turbulence

Fig. 7.7 – Variations temporelles de la moyenne quadratique (en espace) du potentiel φ(x, y) (en haut) et de la d´eformation η(x, y) (en bas) pendant la phase initiale de d´eveloppement de la turbulence.

impossibles `a voir. Sur la figure 7.7, nous voyons comment ces champs ´evoluent au cours du temps depuis l’instant initial pour lequel η(x, y, t = 0) = 0. Plus pr´ecis´ement, ce sont les variations temporelles des moyennes quadratiques qui sont montr´ees. Nous constatons que la r´eaction de la d´eformation au for¸cage appliqu´e au potentiel de vitesse est relativement lisse. Pour les deux champs l’amplitude s’accroˆıt au cours du temps ; sur cette fenˆetre temporelle l’´etat stationnaire n’est pas encore atteint. Cette figure montre un comportement

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

191

Fig. 7.8 – Spectres (`a diff´erents temps et en ´echelles logarithmiques) de l’´energie potentielle de surface E η (k, t) (en haut), compens´es par la solution attendue en k15/4 (au milieu), puis moyenn´es sur diff´erents temps (en bas).

qualitatif des deux champs : en effet, on constate qu’` a une augmentation d’un champ correspond une diminution de l’autre champ. Les spectres isotropes de l’´energie potentielle de surface E η (k, t) sont montr´es sur la figure 7.8 (en haut) lorsque la turbulence est bien d´evelopp´ee. Une zone inertielle se d´egage clairement avec une loi de puissance compatible avec la pr´ediction en k −15/4 comme on peut le constater sur la figure du milieu lorsque ces spectres sont compens´es par la solution attendue, ou sur la figure du bas lorsque l’on fait la moyenne de ces spectres. En effet, un plateau sur pr`es d’une d´ecade (longueur du segment) est obtenu.

192

Physique de la Turbulence

Fig. 7.9 – Spectre de l’´energie potentielle de surface E η (kx , ky , ω) construit a` partir

de ηˆk (t) avec kx = 1 et ky ∈ [0, 45]. Chaque signal dans la direction verticale est normalis´e par son maximum afin de rendre visible l’information ` a ky 1. La courbe noire correspond ` a la relation de dispersion ω = k3/2 . Le spectre est sym´etrique par rapport a ` l’axe ω = 0.

Le caract`ere ondulatoire de la turbulence d’ondes capillaires peut ˆetre r´ev´el´e en tra¸cant le spectre E η (k, ω). Ce spectre se construit a` partir du champ ηˆ(kx , ky , t). Les valeurs de la partie r´eelle et de la partie imaginaire sont enregistr´ees au cours du temps pour kx = 1 et ky ∈ [0, 45]. Une transform´ee de Fourier en temps est ensuite appliqu´ee `a ces 100 signaux pond´er´es par une fonction de Hamming afin de les rendre p´eriodique (et ainsi r´eduire le bruit produit par la non-p´eriodicit´e). Le r´esultat est expos´e sur la figure 7.9 : on trace la somme du module au carr´e des coefficients de Fourier. Nous voyons que l’information est essentiellement concentr´ee le long de la courbe ω = k 3/2 ce qui d´emontre le caract`ere ondulatoire de cette turbulence. Les non-lin´earit´es ont pour effet d’´elargir la relation de dispersion. Le spectre ω–k est souvent utilis´e comme moyen de diagnostic pour determiner le type de turbulence. Souvent la turbulence d’ondes devient forte aux ´echelles plus petites. C’est le cas par exemple en MHD (chapitre 9) : le spectre ω–k montre effectivement une transition nette entre les deux r´egimes avec un signal qui remplit une r´egion ´etendue de l’espace ω–k dans le r´egime de turbulence forte d’ondes (Meyrand et al., 2016).

7. Th´eorie de la turbulence d’ondes capillaires

193

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Chapitre 8 Application : les ondes inertielles La turbulence d’ondes inertielles est le r´egime turbulent atteint par un fluide incompressible soumis a` une rotation rapide et uniforme, dans la limite des grands nombres de Reynolds. Cette situation peut sembler ˆetre proche de celle discut´ee en premi`ere partie pour introduire les principaux concepts de turbulence – la turbulence de Kolmogorov – puisqu’il s’agit simplement d’ajouter une force bien connue aux ´equations de Navier-Stokes, la force de Coriolis. Cependant, une diff´erence majeure existe avec le cas standard : la sym´etrie sph´erique est bris´ee par la pr´esence d’un axe privil´egi´e, celui de la rotation. Cette anisotropie rend le d´eveloppement analytique de la turbulence d’ondes plus complexe que dans le cas des ondes capillaires. Dans ce chapitre, nous allons exposer les principales propri´et´es de ce r´egime.

8.1

Introduction

Les ´ecoulements turbulents en rotation int´eressent des domaines tr`es vari´es comme par exemple l’industrie (turbomachines), la m´et´eorologie ou la g´eophysique (oc´eans, atmosph`ere). Dans ce dernier cas, l’effet de la rotation terrestre se fait sentir, par exemple, dans les mouvements atmosph´eriques a` grande ´echelle. La comparaison entre la Terre et V´enus illustre bien ce propos. Les deux plan`etes, de taille similaire, tournent sur elles-mˆemes `a des vitesses tr`es diff´erentes : par d´efinition, il faut un jour pour une r´evolution terrestre alors que V´enus a besoin d’environ 243 jours 1 terrestres. Les effets de cette diff´erence sont perceptibles dans les mouvements atmosph´eriques des deux plan`etes. L’atmosph`ere terrestre a une dynamique complexe dont la signature est r´ev´el´ee, en partie, par la forme que prennent les structures nuageuses (voir la figure 8.1), alors que l’atmosph`ere v´enusienne pr´esente un aspect plus uniforme. Remarquons que la rotation joue ´egalement un rˆole important en g´eodynamo (on se restreint ici au cas de la Terre) : le champ magn´etique terrestre doit en effet son existence `a un processus de dynamo op´erant dans le noyau externe liquide 1. La tr` es lente rotation de V´enus sur elle-mˆeme fait que l’ann´ee v´ enusienne (225 jours terrestres) est plus courte que sa journ´ee !

198

Physique de la Turbulence

Fig. 8.1 – Un exemple d’´ecoulement `a faible nombre de Rossby : les mouvements atmosph´eriques terrestres ` a grande ´echelle. Image de la Terre prise le 4 septembre 2019 ; cr´edits : NASA Earth Observatory.

de la Terre, o` u le nombre de Rossby est de l’ordre de 10−6 . Des signatures d’ondes d’inertie ´emanant de ce cœur ont ´et´e d´etect´ees (Aldridge et Lumb, 1987). Une description pr´ecise des ´ecoulements g´eophysiques n´ecessite la prise en compte de nombreux param`etres (rotation, stratification, g´eom´etrie,...). La m´ethodologie souvent suivie en recherche consiste `a isoler un param`etre pour ´etudier en d´etail ses effets. De nombreux travaux ont ainsi ´et´e d´edi´es `a l’effet de la rotation sur les ´ecoulements turbulents g´eophysiques dont les ´equations de Navier-Stokes sont la plus simple repr´esentation. Celles-ci s’´ecrivent dans le cas incompressible (on suppose que la densit´e de masse ρ0 = 1) : ∂w − 2 (Ω · ∇) u = (w · ∇) u − (u · ∇) w + ν ∇2 w , ∂t

(8.1)

199

8. Application : les ondes inertielles

avec w = ∇ × u la vorticit´e, Ω le taux de rotation associ´e `a la force de Coriolis et ν la viscosit´e cin´ematique. Remarquons, qu’avec cette ´ecriture, le terme de pression (incluant les effets de la rotation) disparaˆıt. L’intensit´e de la force de Coriolis peut se mesurer par le rapport entre le terme d’advection et celui de Coriolis. Cette quantit´e adimensionnelle, Ro =

U , LΩ

(8.2)

est le nombre de Rossby. Un faible nombre de Rossby nous indique que les effets de la rotation sont dominants. Pour fixer les id´ees, prenons l’exemple d’un vent s’´ecoulant a` U = 0.1ms−1 et une ´echelle de longueur L = 10km (la taille d’une grande structure nuageuse). Avec la vitesse angulaire de la Terre, ΩT  7.3 × 10−5 rad s−1 , nous obtenons le nombre de Rossby Ro  0.1 qui est la valeur typique des ´ecoulements g´eophysiques `a grande ´echelle. Avec une viscosit´e cin´ematique ν ≈ 0.1cm2 s−1 , nous arrivons pour cet ´ecoulement au nombre de Reynolds Re = U L/ν  108 . La mod´elisation des ´ecoulements atmosph´eriques a` grande ´echelle requiert donc de consid´erer, entre autres, les propri´et´es de la turbulence en rotation. La limite qui nous int´eresse dans ce chapitre est celle o` u le nombre de Rossby Ro  1. Ce nombre nous offre un petit param`etre sur lequel va se construire la th´eorie de la turbulence d’ondes inertielles.

8.2 8.2.1

Que savons-nous sur la turbulence en rotation ? Exp´ eriences de laboratoire

De nombreuses exp´eriences de laboratoire ont ´et´e d´edi´ees `a l’´etude des ´ecoulements turbulents en rotation (voir la figure 8.2). D’un point de vue exp´erimental, il n’est pas difficile d’obtenir un petit nombre de Rossby (Ro < 1) dans une cuve en rotation rapide, en revanche, il est plus difficile d’atteindre un nombre de Reynolds sup´erieur `a 105 . Toutefois ce nombre est suffisamment ´elev´e pour que l’´ecoulement soit en r´egime de turbulence pleinement d´evelopp´ee. Ces exp´eriences (par exemple en soufflerie) ont pu mettre en ´evidence que la rotation a pour effet, lorsque Ro < 1, de bi-dimensionnaliser une turbulence initialement isotrope (Jacquin et al., 1990 ; Lamriben et al., 2011). Cela se traduit par la pr´esence de filaments de vorticit´e ayant leurs axes approximativement parall`eles `a l’axe de rotation (Ω) et par une forte corr´elation de la vitesse le long de Ω (Hopfinger et al., 1982). Une asym´etrie est ´egalement mesur´ee dans la distribution cyclones–anticyclones (les premiers dominant les seconds) ainsi qu’un ralentissement (par rapport au cas sans rotation) de la d´ecroissance temporelle de l’´energie lorsque la turbulence est libre, c’est-`a-dire, en absence de for¸cage ext´erieur (Moisy et al., 2011). Grˆ ace `a la technique PIV (Particle Image Velocimetry) qui consiste `a ´eclairer un fluide dans lequel sont introduites des petites particules sph´eriques de

200

Physique de la Turbulence

Fig. 8.2 – Plateforme tournante d´edi´ee `a l’´etude exp´erimentale de la turbulence en rotation et des ondes d’inertie. Cette plateforme m´ecanique de pr´ecision, de 2 m de diam`etre, en rotation jusqu’` a 30 tours par minute, permet d’embarquer une tonne de mat´eriel, dont la cuve remplie d’eau (700 litres, ici) o` u les ´ecoulements sont g´en´er´es. La plateforme permet de piloter ` a distance un syst`eme embarqu´e de PIV compos´e d’un laser puls´e et de plusieurs cam´eras de haute sensibilit´e. Dans l’exp´erience pr´esent´ee ici, une assembl´ee de faisceaux d’ondes d’inertie est forc´ee par 32 cylindres oscillants organis´es r´eguli`erement autour d’une sph`ere virtuelle de 80 cm de diam`etre. Cette plateforme tournante et les exp´eriences qui sont men´ees (Brunet et al., 2020) grˆ ace a ` elle, ont ´et´e d´evelopp´ees par P.-P. Cortet et F. Moisy au laboratoire FAST (CNRS et Universit´e Paris-Saclay) ` a Orsay. quelques μm de diam`etre, il est possible de mesurer avec pr´ecision la vitesse de ces particules et donc celle du fluide, dont la dynamique est suppos´ee ne pas ˆetre influenc´ee par la pr´esence de ces intrus. Une restriction existe cependant : la mesure est faite jusque maintenant dans un plan. C’est souvent le plan perpendiculaire a` l’axe de rotation qui est choisi. Les spectres d’´energie mesur´es en fonction du nombre d’onde perpendiculaire k⊥ montre un raidissement de la loi de puissance passant d’un indice proche de −5/3 (cas sans rotation a` Ro = +∞) a` une valeur de −2.2 pour la rotation la plus rapide (Morize et al., 2005). L’exp´erience r´ev`ele aussi que les fonctions de structure d’ordre p suivent une loi auto-similaire avec ξp = p/2 (Baroud et al., 2002) ou ξp = 3p/4 (van Bokhoven et al., 2009). La turbulence en rotation rapide semble donc ˆetre caract´eris´ee par une absence d’intermittence 2 au sens o` u la courbure mesur´ee en hydrodynamique a` Ro = +∞ est manifestement absente (voir le 2. Parfois, le simple ´ecart ` a la loi de Kolmogorov ξp = p/3 est consid´er´ e comme une signature d’intermittence. Cette d´efinition est cependant restrictive car elle suppose, de fait, que tout ´ecart – mˆeme auto-similaire – au spectre en −5/3 est une anomalie.

8. Application : les ondes inertielles

201

chapitre 3). Mˆeme si l’origine de ce comportement auto-similaire peut ˆetre attribu´ee `a des effets d’inhomog´en´eit´es, de mesures ou de for¸cage, il est int´eressant de mentionner que la loi ξp = 3p/4 est dimensionnellement compatible avec la solution exacte (p = 2) de la turbulence d’ondes inertielles (Galtier, 2003) ainsi que certaines simulations num´eriques directes (Pouquet et Mininni, 2010). Ces mˆemes exp´eriences montrent que les fonctions de distribution de probabilit´e des (incr´ements des) vitesses ont des ailes non-gaussiennes (Baroud et al., 2002 ; van Bokhoven et al., 2009). La technique PIV a aussi permis de mettre en ´evidence le r´egime de turbu` l’instar des lence d’ondes inertielles par la mesure du spectre en fr´equence. A ondes capillaires, ce spectre se caract´erise par un signal essentiellement concentr´e le long de la relation de dispersion des ondes inertielles (Yarom et Sharon, 2014). Cette propri´et´e est celle attendue lorsque les non-lin´earit´es sont faibles (Nazarenko, 2011). Enfin, les exp´eriences ont mis en ´evidence la pr´esence, dans la direction perpendiculaire uniquement, d’une cascade inverse `a grande ´echelle (Campagne et al., 2014) dont les propri´et´es semblent toutefois ˆetre diff´erentes de celles d’une turbulence purement bi-dimensionnelle (Kraichnan, 1967).

8.2.2

Simulations num´ eriques

Les effets de la rotation sur la turbulence hydrodynamique sont aussi ´etudi´es via la simulation num´erique. Une r´eduction du transfert non-lin´eaire dans la direction de Ω a ´et´e observ´ee ainsi que le ralentissement du d´eclin temporel de l’´energie (Bardina et al., 1985 ; Cambon et al., 1997). Un raidissement de la loi de puissance suivie par le spectre d’´energie a ´et´e mesur´e ainsi que des signatures d’une cascade inverse (Hossain, 1994 ; Smith et al., 1996). En particulier, Smith et Waleffe (1999) ont montr´e avec des simulations num´eriques directes que lorsque l’´ecoulement est forc´e tri-dimensionnellement a` un nombre d’onde interm´ediaire kf , on observe une cascade directe de l’´energie pour k > kf , avec un spectre isotrope unidimensionnel proche de k −2 , et une cascade apparemment inverse pour k < kf , avec un spectre isotrope unidimensionnel proche de k −3 . Leur analyse d´emontre que l’´energie `a grande ´echelle est principalement contenue dans l’´etat bi-dimensionnel qui se d´efinit comme les fluctuations au mode k = 0 (avec k · Ω = k Ω ; on parle aussi du mode lent), alors qu’` a petite ´echelle l’´energie est principalement contenue dans les modes tri-dimensionnels (fluctuations aux modes |k | > 0). Le spectre du mode lent observ´e pourrait ˆetre le r´esultat d’interactions non-locales entre les modes bi- et tri-dimensionnels, plutˆot que la cons´equence d’une cascade inverse bi-dimensionnelle (Bourouiba et al., 2012). Nous reviendrons sur ce probl`eme `a la fin du chapitre. Ces simulations montrent aussi que le comportement a` petite et grande ´echelle est fortement influenc´e par le rapport d’aspect entre la r´esolution verticale, le long de Ω, et horizontale : un petit rapport d’aspect, avec une faible r´esolution dans la direction verticale, m`ene `a une r´eduction du nombre de triades r´esonantes et une alt´eration importante du spectre d’´energie. Leurs simulations r´ev`elent un spectre d’´energie globalement

202

Physique de la Turbulence

en k −5/3 pour un rapport d’aspect suffisamment petit. Ce r´esultat sugg`ere que les triades r´esonantes ont un rˆ ole fondamental a` jouer en turbulence avec rotation. La domination des cyclones (tournant dans le mˆeme sens que la rotation globale) sur les anticyclones (tournant dans l’autre sens) a ´et´e ´egalement mis en ´evidence par la simulation num´erique dans le cas d’une rotation rapide (Buzzicotti et al., 2018). On peut montrer que cette asym´etrie est li´ee `a la non-stabilit´e des anticylones (Lesieur et al., 1991). La formation de structures de plus en plus grandes est ´etudi´ee `a travers la notion de condensat, c’est-`adire la capacit´e d’un syst`eme turbulent a` exciter les nombres d’onde les plus petits (Seshasayanan et Alexakis, 2018). Dans la limite d’une rotation rapide, l’utilisation des spectres en fr´equences et nombres d’onde a permis de mettre en ´evidence le caract`ere ondulatoire de la turbulence (Clark di Leoni et al., 2014). Plus de d´etails sur ce sujet, et bien d’autres questions, sont discut´es dans les revues de Godeferd et Moisy (2015) et Alexakis et Biferale (2018).

8.2.3

Th´ eories

La turbulence en rotation peut ˆetre analys´ee de mani`ere ph´enom´enologique. Les premiers travaux sur le sujet (Zeman, 1994 ; Zhou, 1995) montrent qu’un spectre pentu en k −2 est attendu aux grandes ´echelles, r´egion o` u la force de Coriolis n’est pas n´egligeable, c’est-`a-dire, pour des nombres d’onde plus petits qu’un nombre d’onde critique kΩ . On peut remarquer, cependant, que cette pr´ediction ph´enom´enologique ne fait pas apparaˆıtre l’anisotropie, une propri´et´e fondamentale de cette turbulence. En th´eorie spectrale, les avanc´ees les plus marquantes ont ´et´e obtenues au moyen du mod`ele de fermeture EDQNM (Orszag, 1970) que nous avons introduit au chapitre 3. Cambon et Jacquin (1989) ont d´evelopp´e un formalisme bas´e sur une d´ecomposition en modes propres. La fermeture ad hoc utilis´ee m`ene `a des ´equations dynamiques pour les invariants du syst`eme. La simulation de ces ´equations a permis de comprendre plus pr´ecis´ement certaines propri´et´es observ´ees comme le m´ecanisme de transfert anisotrope (voir aussi Cambon et al., 1997). Des effets d’inhomog´en´eit´e ont ´et´e introduits pour prendre en consid´eration l’existence de fronti`eres infiniment ´etendues dans la direction perpendiculaire a` l’axe de rotation (Scott, 2014). Le fluide confin´e, en rotation rapide, se comporte diff´eremment de celui libre avec essentiellement un effet de dissipation, dˆ u aux parois, qui ´emerge dynamiquement avant la dissipation volumique classique. Il est possible d’adapter la loi exacte de Kolmogorov `a ce probl`eme axisym´etrique (Galtier, 2009). Cette loi peut ˆetre utilis´ee sous sa forme non-int´egr´ee (Lamriben et al., 2011) dont l’expression est, a` l’origine, identique a` celle de l’hydrodynamique sans rotation (loi exacte (2.25)) car la force de Coriolis ne travaille pas. On peut aussi l’int´egrer moyennant une hypoth`ese d’´equilibre

8. Application : les ondes inertielles

203

Fig. 8.3 – Vue sch´ematique de tubes de vorticit´e dans le cas d’une turbulence hydrodynamique sans rotation (haut) et avec rotation (bas). La rotation polarise les tubes le long de l’axe de rotation suppos´e ˆetre ici dans la direction verticale, et le sens de rotation des tubes est majoritairement celui de la rotation. critique (chapitre 4). La loi de Kolmogorov non-int´egr´ee est aussi valable en turbulence d’ondes puisqu’elle ne fait pas appel, dans sa d´erivation, a` des hypoth`eses sur le type de turbulence. L’universalit´e de la loi de Kolmogorov se trouve ainsi renforc´ee. Pour conclure remarquons qu’une ´etude th´eorique r´ecente montre une proximit´e inattendue entre la turbulence en rotation et celle du vent solaire aux ´echelles sub-ioniques (Galtier et David, 2020). Cette proximit´e ouvre des perspectives int´eressantes qui seront discut´ees dans la derni`ere section.

204

8.3

Physique de la Turbulence

Ondes inertielles h´ elicitaires

Pour obtenir la relation de dispersion des ondes inertielles, nous partons de l’´equation incompressible (8.1), avec par d´efinition Ω ≡ Ωˆ e et ˆ e un vecteur unitaire tel que |ˆ e | = 1. En anticipant le caract`ere h´elicitaire de ces ondes, nous allons introduire une base h´elicitaire complexe (Craya, 1954) : ek × ˆ e ) × ˆ ek + is(ˆ ek × ˆ e ) , hsk ≡ hs (k) = (ˆ

(8.3)

e (k = |k|, k⊥ = |k⊥ |, |ˆ ek | = 1) et s = ± la polarit´e avec k = kˆ ek = k⊥ + kˆ directionnelle. Cette base v´erifie les propri´et´es suivantes : s h−s k = h−k ,

is(ˆ ek × hsk ) k · hsk

(8.4a)

= , = 0,



hsk · hsk =

(8.4b) (8.4c)

hsk

2 2k⊥ δ(s + s ) . 2 k

(8.4d)

En particulier, la relation (8.4c) signifie que la condition d’incompressibilit´e sera implicitement v´erifi´ee par les champs h´elicitaires. Cette propri´et´e va nous permettre d’all´eger le formalisme de turbulence d’ondes que nous allons pr´esenter bri`evement plus tard. La projection de la vitesse sur la base h´elicitaire nous am`ene `a la d´efinition suivante pour Ask :   ˆk ≡ u ˆ (k) = u As (k) hsk ≡ Ask hsk , (8.5) s

s

ˆ k la transform´ee de Fourier de la vitesse u. On en d´eduit : avec u  ˆ k ≡ w(k) ˆ ˆk = k w = ik × u s Ask hsk .

(8.6)

s

Dans le cas inviscide (ν = 0), la transform´ee de Fourier de l’´equation (8.1) nous donne : ˆk ∂w ˆ k = [(w · ∇)u − (u · ∇)w]k , − 2iΩk u (8.7) ∂t o` u l’indice k dans le terme de droite signifie la transform´ee de Fourier. Si on oublie la contribution non-lin´eaire et que l’on introduit les champs h´elicitaires (8.5) et (8.6), on obtient, apr`es projection et utilisation de la relation (8.4d) : ∂Ask = −2iΩk Ask , ∂t ce qui m`ene `a la relation de dispersion suivante : sk

ωk =

2Ωk . k

(8.8)

(8.9)

Les ondes inertielles sont des ondes transverses, dispersives et h´elicitaires de polarit´e gauche.

205

8. Application : les ondes inertielles

8.4

Pr´ edictions ph´ enom´ enologiques

Suivant la ph´enom´enologie classique pr´esent´ee au chapitre pr´ec´edent dans le cadre des ondes capillaires, nous allons d´efinir le temps non-lin´eaire `a partir des ´equations de Navier-Stokes ; on obtient trivialement : τN L ∼

1 . ku

(8.10)

Le temps de transfert (ou de cascade) pour des interactions a` trois ondes (la non-lin´earit´e est quadratique) s’´ecrit dans le cas d’une rotation rapide (voir le chapitre 6) : Ωk 2 τtr ∼ ωτN (8.11) L ∼ 3 2 . k u La difficult´e, ici, est de prendre en consid´eration l’anisotropie statistique induite par la rotation, dont la justification th´eorique sera donn´ee plus loin a` partir de la condition de r´esonance. Pour faire la distinction entre les directions perpendiculaire et parall`ele, nous introduisons le spectre d’´energie axisym´etrique suivant : (8.12) u2 ∼ E(k⊥ , k )k⊥ k . Cependant, les nombreuses exp´eriences et simulations num´eriques montrent que la cascade se fait pr´ef´erentiellement dans la direction perpendiculaire a` l’axe de rotation : cela signifie que l’´energie se transfert de pr´ef´erence dans une r´egion de l’espace de Fourier o` u k⊥ k . Nous allons nous placer dans cette r´egion et donc substituer k⊥ `a k. On introduit ensuite le taux moyen de transfert d’´energie cin´etique ε dans la zone inertielle : ε∼

5 E(k⊥ , k )k⊥ k E 2 (k⊥ , k )k⊥ k . ∼ τtr Ω

On obtient finalement la pr´ediction spectrale suivante : √ −5/2 −1/2 E(k⊥ , k ) ∼ εΩ k⊥ k .

(8.13)

(8.14)

L’effet de la rotation est donc de raidir le spectre d’´energie par rapport au cas standard (` a Ro = +∞) tout en orientant la cascade dans la direction transverse. La d´ependence en k qui apparaˆıt ici n’est donc pas tr`es pertinente du point de vue de la dynamique. Nous verrons plus loin, que le spectre (8.14) est la solution exacte des ´equations cin´etiques de turbulence d’ondes inertielles. Le rapport χ des temps lin´eaire sur non-lin´eaire nous donne une indication suppl´ementaire sur le domaine de validit´e du r´egime de turbulence d’ondes. On obtient, toujours avec k⊥ k : k2 1/ω k 2 u χ= ∼ ⊥ ∼ ⊥ τN L k Ω

 5/4 E(k⊥ , k )k⊥ k k ∼ ⊥3/4 . k Ω Ωk

(8.15)

206

Physique de la Turbulence

Comme l’´energie se transfert essentiellement a` des k⊥ de plus en plus grands, si la condition de turbulence d’ondes (χ  1) est satisfaite a` une ´echelle k⊥ donn´ee, elle le sera de moins en moins au fur et `a mesure que la cascade se d´eveloppe dans la direction perpendiculaire : au-del` a d’une ´echelle critique, k⊥c , la turbulence devient forte. On voit ici une diff´erence avec le cas de la turbulence d’ondes capillaires qui devient de plus en plus faible au fur et a` mesure que la cascade se d´eveloppe. Une autre limite de validit´e de la turbulence d’ondes existe `a petit nombre d’onde. En effet, l’in´egalit´e χ  1 signifie aussi que le nombre d’onde k ne peut pas ˆetre trop petit : en particulier, il est n´ecessaire que k > 0. Cette condition signifie que le r´egime du mode lent k = 0 est celui de la turbulence forte.

8.5

Th´ eorie de la turbulence d’ondes inertielles

Reprenons maintenant l’expression non-lin´eaire (8.7) et introduisons les champs h´elicitaires (8.5) et (8.6) ; on obtient apr`es projection et ´echange des variables muettes p et q, et sp et sq :  ∂Ask ss s s + isωk Ak = i (8.16) L−k pp qq Aspp Asqq δ(k − p − q) dpdq , ∂t s s p q

avec le coefficient d’interaction : ss s

Lk pp qq =

sk sp sq sq sp s s 2 (sp p − sq q)[(q · hp )(hq · hk ) − (p · hq )(hp · hk )] . 4k⊥

(8.17)

L’amplitude des ondes ´etant suppos´ee faible, la dynamique sur des temps courts – de l’ordre de la p´eriode des ondes 1/ω – sera dict´ee par les termes lin´eaires. Sur des temps τ plus longs, tel que τ 1/ω, les termes non-lin´eaires vont entrer en jeu en modifiant l’amplitude des ondes. Par cons´equent, on s´epare l’amplitude de la phase : Ask ≡ ask e−isωk t ,

(8.18)

avec  un petit param`etre (0 <   1) ; d’o` u l’´equation pour l’amplitude des ondes inertielles :  ∂ask ss s = i L−k pp qq aspp asqq ei(sωk −sp ωp −sq ωq )t δ(k − p − q)dpdq . (8.19) ∂t s s p q

Nous retrouvons une forme classique pour des interactions `a trois ondes avec un terme de droite de faible amplitude (proportionnel a` ), une non-lin´earit´e quadratique et une exponentielle qui, sur des temps longs, ne donnera une contribution non-nulle que lorsque son coefficient s’annule. Apr`es quelques manipulations, nous pouvons ´ecrire la condition de r´esonance de la mani`ere suivante : sq q − sp p sk − sq q sp p − sk = = . sωk sp ω p sq ω q

(8.20)

8. Application : les ondes inertielles

207

Il est int´eressant de discuter du cas particulier d’interactions fortement locales qui donnent, en g´en´eral, une contribution dominante a` la dynamique turbulente. Dans ce cas, nous avons k  p  q et l’expression pr´ec´edente se simplifie, au premier ordre, en : sq − sp s − sq sp − s   . (8.21) sk sp p  sq q Si k est non-nul, le terme de gauche ne donnera une contribution nonn´egligeable que lorsque sp = −sq . Nous ne consid´erons pas le cas sp = sq qui n’est pas pertinent au premier ordre dans le cas d’interactions locales, comme nous pouvons le constater sur l’expression du coefficient d’interaction (8.17) qui devient alors n´egligable. La cons´equence imm´ediate est que soit le terme du milieu, soit le terme de droite a son num´erateur qui s’annule (au premier ordre), ce qui implique que le d´enominateur associ´e doit aussi s’annuler (au premier ordre) pour satisfaire l’´egalit´e : par exemple, si s = sp alors q  0. Cette condition signifie que le transfert dans la direction parall`ele est n´egligeable : en effet, l’int´egration dans la direction parall`ele de l’´equation (8.19) se r´eduit alors a` quelques modes (puisque p  k ) ce qui limite fortement le transfert entre modes parall`eles. La cascade dans la direction parall`ele est donc possible mais relativement faible compar´ee `a celle dans la direction perpendiculaire. Cette situation est a` rapprocher de celle de la MHD incompressible qui sera pr´esent´ee dans le chapitre suivant : dans ce cas, le champ ole de la rotation (uniforme) en introduisant magn´etique uniforme b0 joue le rˆ un axe privil´egi´e qui brise la sym´etrie sph´erique de la turbulence. Dans le r´egime de turbulence d’ondes MHD, on peut d´emontrer qu’aucun transfert dans la direction de b0 n’est possible. Par cons´equent, la cascade directe de l’´energie totale (cin´etique + magn´etique) se fait exclusivement dans la direction perpendiculaire. Les ´equations cin´etiques de la turbulence d’ondes inertielles s’obtiennent de mani`ere classique 3 apr`es un (long) d´eveloppement syst´ematique. Elles se simplifient partiellement lorsque la limite k⊥ k est prise : cette limite se justifie pleinement par les arguments d´evelopp´es pr´ec´edemment `a propos de la faible cascade dans la direction parall`ele. Dans ces conditions, nous obtenons finalement :   Ek ∂t = (8.22) Hk    sk sp p sq q⊥ − sp p⊥ 2  2 Ω2  (sk⊥ + sp p⊥ + sq q⊥ )2 sin θ 2 p2 q 2 4 ss s Δ⊥ k⊥ ωk ⊥ ⊥ p q   Eq (p⊥ Ek − k⊥ Ep ) + (p⊥ sHk /k⊥ − k⊥ sp Hp /p⊥ )sq Hq /q⊥ sk⊥ [Eq (p⊥ sHk /k⊥ − k⊥ sp Hp /p⊥ ) + (p⊥ Ek − k⊥ Ep )sq Hq /q⊥ ] δ(sωk + sp ωp + sq ωq ) δ(k + p + q )dp⊥ dq⊥ dp dq , 3. Toutefois, une ´etape suppl´ementaire doit ˆetre consid´ er´ ee : elle consiste ` a introduire une base vectorielle orthonorm´ee locale pour chaque triade (Galtier, 2014) afin de faire apparaˆıtre toutes les sym´etries. C’est seulement apr`es que le d´eveloppement statistique peut se faire.

208

Physique de la Turbulence

avec Ek ≡ E(k⊥ , k ) = 2πk⊥ E(k⊥ , k ) et Hk ≡ H(k⊥ , k ) = 2πk⊥ H(k⊥ , k ) les spectres axisym´etriques d’´energie et d’h´elicit´e cin´etique, respectivement. Dans cette expression, θ est l’angle entre les vecteurs d’onde k⊥ et p⊥ dans le triangle k⊥ +p⊥ +q⊥ = 0 et Δ⊥ est le domaine d’int´egration (bande infiniment ´etendue) correspondant a` ce triangle. Les ´equations cin´etiques de turbulence d’ondes inertielles (8.22) ont ´et´e obtenues et analys´ees pour la premi`ere fois par Galtier (2003). Elles ont ´et´e ensuite ´etudi´ees num´eriquement par Bellet et al. (2006), puis retrouv´ees analytiquement par une m´ethode hamiltonienne par Gelash et al. (2017). Apr`es application de la transform´ee de Zakharov g´en´eralis´ee au cas axisym´etrique (Kuznetsov, 1972), nous obtenons les solutions exactes `a flux d’´energie constant non-nul (spectre de Kolmogorov-Zakharov) : −5/2 −1/2 k

,

(8.23)

−3/2 −1/2 k

.

(8.24)

E(k⊥ , k ) ∼ k⊥ et

H(k⊥ , k ) ∼ k⊥

Ces solutions correspondent a` une cascade directe d’´energie. En particulier, cela signifie que le spectre d’h´elicit´e cin´etique n’est pas la cons´equence d’une dynamique propre a` l’h´elicit´e, mais la trace d’une dynamique induite par l’´energie. Ces solutions sont dans le domaine de convergence des int´egrales pour lequel un subtil calcul est n´ecessaire (qui m´elange les modes perpendiculaire et parall`ele). Cette propri´et´e d´emontre que les spectres (8.23)–(8.24) sont pertinents pour d´ecrire ce r´egime. Les simulations num´eriques de turbulence d’ondes r´ealis´ees par Bellet et al. (2006) montrent un comportement spectral compatible avec, en particulier, la pr´ediction (8.23). Plusieurs autres propri´et´es de la turbulence d’ondes inertielles peuvent se d´eduire de l’expression (8.22). Premi`erement, nous voyons qu’un ´etat initial avec une h´elicit´e cin´etique nulle ne produira pas d’h´elicit´e, et ce quelle que soit l’´echelle. L’´energie est donc le principal moteur de la turbulence. Deuxi`emement, nous observons qu’il n’y a pas de couplage non-lin´eaire lorsque les vecteurs d’onde p⊥ et q⊥ sont colin´eaires (car alors sin θ = 0). Troisi`emement, il n’y a aucun couplage non-lin´eaire lorsque p⊥ et q⊥ sont ´egaux, si en mˆeme temps leur polarit´e sp et sq sont ´egales. C’est une propri´et´e qui semble ˆetre assez g´en´erale puisqu’elle est commune `a d’autres types d’ondes h´elicitaires (Kraichnan, 1973 ; Waleffe, 1992 ; Turner, 2000 ; Galtier et Bhattacharjee, 2003). Finalement, on rappelle que ces ´equations cin´etiques ne peuvent pas d´ecrire le mode lent (k = 0) et qu’elles ne peuvent pas d´ecrire les modes tridimensionnels trop grands (en particulier en k⊥ ) pour lesquels la turbulence d’ondes devient forte. Les ´equations cin´etiques sont donc limit´ees `a un domaine de taille fini dans l’espace de Fourier. Par ailleurs, les solutions exactes obtenues sont restreintes `a une partie de ce domaine autoris´e pour laquelle k⊥ k .

209

8. Application : les ondes inertielles

8.6

Interactions triadiques locales

8.6.1

´ Equation de diffusion non-lin´ eaire

Les ´equations cin´etiques de turbulence d’ondes inertielles peuvent ˆetre simul´ees num´eriquement pour ´etudier plus pr´ecis´ement ce r´egime. Cependant, les travaux sur le sujet (Bellet et al., 2006) d´emontrent que le probl`eme reste difficile car il requiert, en particulier, de r´esoudre proprement la condition de r´esonance, laquelle limite fortement le nombre de triades `a prendre en consid´eration. Une fa¸con de contourner cette difficult´e consiste `a ne prendre en compte que les interactions locales. Dans ce cas, les ´equations se simplifient consid´erablement. Dans notre cas, cette limite concerne avant tout les nombres d’onde perpendiculaires. Nous verrons plus loin qu’en fait il n’est pas possible de consid´erer cette limite pour les nombres d’onde parall`eles. Dans cette ´etude, nous allons nous limiter au cas particulier de l’´energie : nous supposons donc que l’h´elicit´e cin´etique est nulle. Nous avons vu que dans la limite fortement anisotrope (k⊥ k ), les ´equations cin´etiques de la turbulence d’ondes inertielles prennent la forme suivante :   ss s ∂Ek p q = dp⊥ dq⊥ dp dq , (8.25) Tkpq ∂t ss s p q

ss s

p q avec, par d´efinition, Tkpq la fonction de transfert par mode :

ssp sq Tkpq

 2 Ω2 sk sp p sq q⊥ − sp p⊥ = (sk⊥ + sp p⊥ + sq q⊥ )2 sin θ 2 p2 q 2 4 k⊥ ωk ⊥ ⊥ Eq (p⊥ Ek − k⊥ Ep )δ(sωk + sp ωp + sq ωq ) δ(k + p + q ) . (8.26)

On peut noter que le petit param`etre  a ´et´e absorb´e dans la d´eriv´ee temporelle et donc n’apparaˆıt plus explicitement : cela signifie que nous nous pla¸cons sur les temps longs de la turbulence d’ondes. La fonction de transfert v´erifie la propri´et´e de sym´etrie suivante que nous allons utiliser plus loin : s ss

ss s

p q p q = −Tkpq . Tpkq

(8.27)

Dans la limite des interactions fortement locales, nous pouvons ´ecrire : p⊥ = k⊥ (1 + p ) et q⊥ = k⊥ (1 + q ) ,

(8.28)

avec 0 < p  1 et 0 < q  1. On peut alors introduire une fonction arbitraire f (k⊥ , k ) et int´egrer l’´equation cin´etique ; on obtient : ∂ ∂t



 f (k⊥ , k )Ek dk⊥ dk

=

 

ss s

p q f (k⊥ , k )Tkpq dk⊥ dk dp⊥ dq⊥ dp dq

ssp sq

 1  ssp sq = dk⊥ dk dp⊥ dq⊥ dp dq . [f (k⊥ , k ) − f (p⊥ , p )]Tkpq 2 ss s p q

(8.29)

210

Physique de la Turbulence

Pour des interactions locales, nous avons a` l’ordre dominant (on n´eglige la contribution du nombre d’onde parall`ele) : f (p⊥ , p )

∂f (k⊥ , k ) ∂k⊥ ∂f (k⊥ , k ) = f (k⊥ , k ) + p k⊥ . ∂k⊥ = f (k⊥ , k ) + (p⊥ − k⊥ )

(8.30)

Nous obtenons :

  ∂ f (k⊥ , k )Ek dk⊥ dk = ∂t  ∂f (k⊥ , k ) ssp sq 1  − Tkpq dk⊥ dk dp⊥ dq⊥ dp dq . p k⊥ 2 ss s ∂k⊥

(8.31)

p q

Une int´egration par partie du terme de droite, nous permet d’´ecrire (apr`es simplification) : ⎛ ⎞  1 ∂ ⎝ ∂Ek ssp sq = (8.32) p k⊥ Tkpq dp⊥ dq⊥ dp dq ⎠ . ∂t 2 ∂k⊥ ss s p q

ss s

p q La forme locale de la fonction de transfert Tkpq peut ˆetre d´eduite en utilisant la localit´e dans la direction perpendiculaire. En particulier, nous avons :

2 2 2 k⊥ p⊥ q⊥ 2 sq q⊥ − sp p⊥ ωk

=

(sk⊥ + sp p⊥ + sq q⊥ )2

=



=

Eq (p⊥ Ek − k⊥ Ep ) = sin θ

=

δ(gkpq ) =

6 k⊥ ,  2 sq − sp + sq  q − sp  p 4 k⊥ , 2Ωk

(8.33)

2 (s + sp + sq )2 k⊥ , ∂(Ek /k⊥ ) 3 −p k⊥ Ek , ∂k⊥ √ 3 sin(π/3) = , 2 k⊥ δ(sk + sp p + sq q ). 2Ω

(8.35)

(8.34)

(8.36) (8.37) (8.38)

Apr`es simplification, nous arrivons a` : √ 3 ssp p ssp sq 4 = − (sq − sp + sq q − sp p )2 (s + sp + sq )2 p k⊥ Tkpq 64Ω k Ek

∂(Ek /k⊥ ) δ(sk + sp p + sq q )δ(k + p + q ) . ∂k⊥

(8.39)

L’expression pr´ec´edente nous montre que le transfert sera dominant quand sp sq = −1. Par cons´equent, nous allons seulement consid´erer ce type

211

8. Application : les ondes inertielles

d’interaction. L’expression se r´eduit alors a` : √ 3 ssp p ∂(Ek /k⊥ ) ssp sq 4 p k⊥ Ek δ(sk + sp p − sp q )δ(k + p + q ). Tkpq = − 16Ω k ∂k⊥ (8.40) La condition de r´esonance nous m`ene `a deux combinaisons possibles pour les nombres d’onde parall`eles, `a savoir : ou

k + p − q = 0

et k + p + q = 0 ,

(8.41)

k − p + q = 0

et k + p + q = 0 .

(8.42)

La solution correspond soit a` q = 0 soit a` p = 0, ce qui signifie que l’hypoth`ese de forte localit´e ne s’applique pas pour la direction parall`ele. La deuxi`eme solution annule la fonction de transfert, par cons´equent nous allons consid´erer uniquement la premi`ere solution pour laquelle nous obtenons : √    +  + 3 ∂ ∂(Ek /k⊥ ) ∂Ek 7 2 = p dp dq . (8.43) k⊥ Ek ∂t 16Ω ∂k⊥ ∂k⊥ − − Apr`es int´egration, nous arrivons finalement a` l’´equation de diffusion nonlin´eaire de l’´energie suivante :   ∂ ∂Ek ∂(Ek /k⊥ ) 7 =C , (8.44) k⊥ Ek ∂t ∂k⊥ ∂k⊥ √ avec C = 4 /(4 3Ω). Cette ´equation de diffusion non-lin´eaire d´ecrit la turbulence d’ondes inertielles dans la limite d’interactions fortement locales dans la direction perpendiculaire (Galtier et David, 2020). C’est une ´equation que l’on a d´eduit de mani`ere rigoureuse a` partir de l’´equation cin´etique. Remarquons qu’il est aussi possible d’obtenir cette ´equation de diffusion par des arguments ph´enom´enologiques. Le calcul est alors plus simple, mais il ne permet pas d’obtenir l’expression exacte de la constante C. Par la suite, nous allons renormaliser le temps et prendre C = 1.

8.6.2

Solutions stationnaire et auto-similaire

Nous allons v´erifier que l’´equation de diffusion non-lin´eaire de l’´energie (8.44) poss`ede bien les mˆemes solutions exactes que l’´equation cin´etique (8.22). Pour cela, nous introduisons dans l’´equation (8.44) le flux d’´energie Π(k⊥ ) qui se d´efinit par la relation : ∂E(k⊥ ) ∂Π(k⊥ ) =− , ∂t ∂k⊥

(8.45)

x ainsi que le spectre d’´energie cin´etique, E(k⊥ ) = Ak⊥ . Par d´efinition, A est une constante positive car le spectre d’´energie est une quantit´e d´efinie positive. On obtient : 5+2x . (8.46) Π(k⊥ ) = A2 (1 − x)k⊥

212

Physique de la Turbulence

Les solutions `a flux d’´energie constant sont donc x = 1 et x = −5/2. La premi`ere valeur annule le flux et correspond `a la solution thermodynamique qui avait ´et´e trouv´ee par Galtier (2003). La seconde valeur correspond au spectre discut´e plus haut : c’est la solution a` flux constant non-nul de Kolmogorov– Zakharov. Dans ce cas, on peut aussi montrer que : lim

x→−5/2

Π(k⊥ ) = ε =

7 2 A , 2

(8.47)

qui est bien positif comme attendu pour une cascade directe. La solution stationnaire – dite de Kolmogorov-Zakharov – est parfois pr´ec´ed´ee d’une solution transitoire non-stationnaire de nature diff´erente. Nous allons voir, dans l’´etude num´erique de la section suivante, que c’est le cas pour la turbulence d’ondes inertielles. Il s’agit d’une solution auto-similaire dont la forme est :   1 k⊥ , (8.48) Ek = a E0 τ τb avec τ = t∗ − t et t∗ le temps que prend le spectre pour atteindre le plus grand nombre d’onde disponible. Ce temps est fini, ce qui signifie qu’en principe le front du spectre de l’´energie peut atteindre l’infini en un temps fini. Cette propri´et´e nous fait penser a` la discussion du chapitre 2 sur l’´emergence d’une singularit´e en un temps fini. En introduisant l’expression du dessus dans l’´equation (8.44), nous obtenons la condition : a = 4b + 1 .

(8.49)

Une deuxi`eme condition peut apparaˆıtre en supposant que E0 (ξ) ∼ ξ m derri`ere le front. La condition de stationnarit´e nous donne alors la relation : a + mb = 0 .

(8.50)

La combinaison des deux relations nous donne finalement : m=−

1 a = −4 − . b b

(8.51)

Cette derni`ere expression signifie que nous avons une relation directe entre l’exposant du spectre en loi de puissance m et la loi de propagation du front kf ∼ τ b . Par exemple, si nous supposons que la solution stationnaire s’´etablit imm´ediatement lorsque le front se propage, alors m = −5/2 et donc b = −2/3 (et a = −5/3). Dans ce cas, la pr´ediction pour la propagation du front est : kf ∼ (t∗ − t)−2/3 .

(8.52)

En pratique, nous allons voir que la solution non-stationnaire est diff´erente : elle v´erifie bien les conditions (8.50)–(8.51), mais les valeurs de a, b, m ne sont pas pr´edictibles. On parle alors d’une solution auto-similaire du deuxi`eme type (seules les solutions du premier type sont pr´edictibles).

8. Application : les ondes inertielles

8.6.3

213

´ Etude num´ erique

L’´etude num´erique de l’´equation (8.44) ne pose pas de probl`eme particulier en mati`ere d’impl´ementation, cependant il est n´ecessaire de consid´erer un terme visqueux pour dissiper l’´energie `a petite ´echelle et ´eviter ainsi l’´emergence d’instabilit´e num´erique. Nous faisons le choix d’une hyperviscosit´e pour ´etendre la zone inertielle. L’´equation normalis´ee avec C = 1 que nous allons simuler sera donc :   ∂ ∂(Ek /k⊥ ) ∂Ek 7 6 = Ek Ek . (8.53) k⊥ − νk⊥ ∂t ∂k⊥ ∂k⊥ Cette ´equation se prˆete bien `a une discr´etisation logarithmique pour l’axe des k⊥ , avec k⊥ i = 2i/8 et i un entier variant entre 0 et 160. De mani`ere classique un sch´ema num´erique de Crank-Nicolson et Adams-Bashforth est utilis´e pour les termes lin´eaire et non-lin´eaire, respectivement. La condition initiale (t = 0) correspond a` un spectre localis´e `a grande ´echelle tel que : 3 exp(−(k⊥ /k0 )2 ) , Ek ∼ k⊥

(8.54)

avec k0 = 5. Aucun for¸cage n’est introduit dans cette simulation ; le pas de temps est ΔT = 2 × 10−13 . La figure 8.4 montre (en haut) l’´evolution du spectre d’´energie entre t = 0 −8/3 to t∗ . Durant cette phase non-stationnaire une loi de puissance en k⊥ apparaˆıt progressivement sur environ trois d´ecades. Cette phase non-stationnaire se caract´erise par un flux d’´energie non-constant (en bas de la figure 8.4). Par cons´equent, la solution ne correspond pas a` celle `a flux constant obtenue ana−1/3 quand lytiquement. En revanche, elle est compatible avec la solution ∼ k⊥ on prend x = −8/3 dans l’´equation (8.46). Afin de v´erifier si ces r´esultats correspondent `a la solution auto-similaire introduite pr´ec´edemment, on montre sur la figure 8.5 l’´evolution temporelle du front kf (t). Ce front est d´efini en prenant comme r´ef´erence E(k⊥ ) = 10−15 sur la figure 8.4. On suit alors le point d’intersection entre ce seuil et la queue ` partir de cette figure, nous pouvons d´efinir le temps singulier spectrale. A t∗ que prend le front pour atteindre le nombre d’onde maximum (en principe k⊥ = +∞). On obtient environ t∗ = 6.7537 × 10−7. Sur la figure 8.5 (insertion) nous voyons kf en fonction de t∗ − t : une loi de puissance tr`es nette apparaˆıt sur trois d´ecades avec un exposant proche de −0.750. La valeur n´egative de l’exposant illustre le caract`ere explosive de la cascade directe d’´energie. Ces valeurs sont bien compatibles avec : a = −2 ,

b = −3/4 et m = −8/3 ,

(8.55)

ce qui d´emontre la nature auto-similaire de la solution non-stationnaire. Mentionnons que la loi de puissance en −8/3 a ´et´e ´egalement obtenue par la simulation num´erique des ´equations cin´etiques de turbulence d’ondes inertielles,

214

Physique de la Turbulence

´ Fig. 8.4 – Haut : Evolution temporelle (tous les 103 ΔT ) du spectre de l’´energie −8/3

´emerge sur entre t = 0 (spectre localis´e ` a grande ´echelle) et t∗ ; un spectre en k⊥ environ trois d´ecades. Bas : le spectre du flux d’´energie (aux mˆemes instants) est −1/3 compatible avec k⊥ . Simulation r´ealis´ee par V. David.

8. Application : les ondes inertielles

215

´ Fig. 8.5 – Evolution temporelle du front du spectre kf pour t ≤ t∗ (´echelle semia partir de laquelle on logarithmique). Une augmentation brutale de kf est observ´ee ` peut d´efinir pr´ecis´ement le temps t∗ = 6.7537×10−7 . Insertion : ´evolution temporelle a de kf en fonction de t∗ − t (´echelle logarithmique). La ligne en tiret corresponds ` (t∗ − t)−0.750 . Pour comparaison deux autres valeurs de t∗ sont prises. Simulation r´ealis´ee par V. David.

lorsque le spectre est en phase de d´eveloppement, et avant que celui-ci ne soit affect´e par des d’inhomog´en´eit´es (Eremin, 2019). Sur la figure 8.6 nous montrons les ´evolutions temporelles du spectre d’´energie et du flux (insertion) pour t > t∗ , avec t proche de t∗ (haut) et t t∗ (bas). −5/2 et un La solution stationnaire est finalement obtenue avec un spectre en k⊥ flux constant. On peut remarquer que la solution stationnaire s’´etablit suite a un rebond du spectre lorsque celui-ci atteint les plus petites ´echelles. Nous ` avons ensuite une d´ecroissance auto-similaire des solutions stationnaires.

8.6.4

Universalit´ e de l’anomalie spectrale

Le comportement que nous venons de d´ecrire dans le d´etail pour la turbulence d’ondes inertielles est qualitativement universel pour les solutions a` capacit´e finie. On rappelle que ces solutions correspondent a` des spectres en loi de puissance dont l’int´egrale (depuis le mode d’excitation initial kI , jusqu’` a l’infini pour une cascade directe, ou z´ero pour une cascade inverse) est convergente. Dans le cas d’une cascade directe d’´energie, cela signifie que le syst`eme peut redistribuer l’´energie initiale au voisinage de kI , sur l’intervalle kI < k < +∞ en un temps fini (on suppose qu’il n’y a pas de for¸cage). La d´ecouverte de ces anomalies spectrales est relativement r´ecente dans l’histoire de la turbulence. La premi`ere d´etection fut r´ealis´ee dans le cadre

216

Physique de la Turbulence

´ Fig. 8.6 – Haut : Evolution temporelle (tous les 103 ΔT ) pour t > t∗ du spectre 5/2

d’´energie compens´e par k⊥ et en insertion l’´evolution temporelle du flux d’´energie ´ aux mˆemes instants (´echelle semi-logarithmique). Bas : Evolution temporelle finale de ces quantit´es pout t  t∗ . Simulation r´ealis´ee par V. David.

8. Application : les ondes inertielles

217

de l’´etude d’un processus de condensation de Bose (il s’agit ici d’une cascade inverse) avec un exposant autour de -1.24 au lieu de -7/6 pour la solution stationnaire (Semikoz et Tkachev, 1995). Une deuxi`eme d´etection fut r´ealis´ee en MHD (chapitre 9) avec un spectre d’´energie d’exposant −7/3 au lieu de −2 (Galtier et al., 2000). Dans le cas des ondes gravitationnelles (chapitre 10), l’anomalie mesur´ee pour le spectre d’action est faible : −0.6517 au lieu de −2/3. Des anomalies spectrales sont aussi d´etect´ees en turbulence forte. Par exemple, a l’aide d’un mod`ele de diffusion non-lin´eaire pour d´ecrire la turbulence hy` drodynamique incompressible tri-dimensionnelle (Leith, 1967), il est possible de montrer num´eriquement que le spectre de Kolmogorov en −5/3 est pr´ec´ed´e d’un spectre non-stationnaire autour de −1.856 (Connaughton et Nazarenko, 2004). ` ce jour, la pr´ediction exacte des anomalies d’exposant semble imposA sible (Grebenev et al., 2014). Seule la simulation num´erique peut nous aider a estimer l’exposant, par exemple, en encadrant la solution (Thalabard et al., ` 2015). Comme nous l’avons vu, cette solution est suivie par un rebond du spectre pour former finalement la solution stationnaire. On peut montrer que ce rebond est d´ecrit par une solution auto-similaire du troisi`eme type (Nazarenko et Grebenev, 2017). Y a-t-il un lien quantitatif entre ces anomalies d’exposant et l’apparition ´eventuelle de singularit´es en un temps fini (voir le chapitre 2) ? La r´eponse `a cette question constitue une perspective int´eressante.

8.7

Perspectives

R´ecemment, plusieurs ´etudes exp´erimentales ont ´et´e d´edi´ees `a la turbulence en rotation (voir, par exemple, Le Reun et al. (2017)). Une perspective int´eressante est la reproduction exp´erimentale du r´egime de turbulence d’ondes inertielles (voir Yarom et Sharon (2014)) et de comprendre, en particulier, le rˆ ole du mode lent. Les exp´eriences montrent une premi`ere difficult´e, celle d’´eviter l’excitation trop rapide du mode lent. Dans beaucoup d’exp´eriences de laboratoire d´edi´ees `a la turbulence en rotation, le mode lent est souvent excit´e par le syst`eme de for¸cage mis en place. Or nous savons que ce mode peut devenir dominant et empˆecher la d´etection des modes tri-dimensionnels. Une piste possible est d’utiliser un dispositif d’attracteur d’ondes d’inertie a partir duquel le r´egime recherch´e pourrait se d´evelopper par instabilit´e ` (Brunet et al., 2020 ; Monsalve et al., 2020). La question fondamentale sousjacente est de comprendre par quel m´ecanisme le mode lent peut ˆetre excit´e et comment celui-ci peut, en retour, modifier la dynamique de la turbulence d’ondes. Du point de vue th´eorique, l’´etude des interactions quasi-r´esonantes comme source efficace d’excitation du mode lent est une perspective int´eressante (Clark di Leoni et Mininni, 2016). Une question nouvelle concerne la proximit´e entre la turbulence d’ondes inertielles et un probl`eme en apparence tr`es diff´erent, celui de la turbulence d’ondes d’Alfv´en cin´etiques, r´egime pertinent pour comprendre le vent

218

Physique de la Turbulence

solaire aux ´echelles sub-ioniques (voir les perspectives du chapitre 9). En effet, dans l’approximation d’interactions locales, on peut montrer analytiquement que les deux probl`emes sont d´ecrits par la mˆeme ´equation nonlin´eaire de diffusion (Galtier et David, 2020). Il n’est alors peut-ˆetre pas si ´etonnant de constater que les mesures exp´erimentales de l’intermittence en rotation (van Bokhoven et al., 2009) et dans le vent solaire (Kiyani et al., 2009) donnent des exposants auto-similaires tr`es proches. Est-ce une pure co¨ıncidence, ou y a-t-il v´eritablement une physique commune ? Nous avons ici, potentiellement, un exemple d’interdisciplinarit´e aigu¨e. Un autre projet int´eressant serait de mettre en ´evidence la transition entre les r´egimes de turbulence d’ondes faible et forte qui est attendue a` petite ´echelle. Comme le pr´edit la relation (8.15), le rapport des temps augmente avec le mode k⊥ . Selon la ph´enom´enologie de Nazarenko et Schekochihin (2011), on peut s’attendre `a tomber sur le r´egime de turbulence forte d’ondes (d´ecrit par l’´equilibre critique), puis, a` une ´echelle encore plus petite, ne plus sentir la rotation et se retrouver dans le r´egime classique de turbulence forte isotrope (chapitre 2). Comme le montre l’´etude num´erique de Mininni et al. (2012) (voir aussi les travaux de Meyrand et al. (2016) pour le cas de la MHD), la mesure d’une telle transition requiert une r´esolution spatiale tr`es ´elev´ee, aux limites des capacit´es informatiques actuelles.

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Chapitre 9 Application : les ondes d’Alfv´ en L’essentiel de la mati`ere visible dans l’Univers est `a l’´etat de plasma. En g´en´eral, les plasmas astrophysiques sont mod´elis´es `a grande ´echelle par les ´equations de la MHD (voir le chapitre 4). La MHD d´ecrit un m´elange d’ions et d’´electrons comme un mono-fluide conducteur de l’´electricit´e (Galtier, 2016). Ce mod`ele peut ˆetre vu comme une g´en´eralisation des ´equations hydrodynamiques que l’on couple avec celles de l’´electromagn´etisme de Maxwell. La MHD est la colonne vert´ebrale de nombreux mod`eles astrophysiques (magn´etosph`eres plan´etaires, Soleil, ´etoiles, vents solaires et stellaires, nuages interstellaires, disques d’accr´etion et galaxies). Elle permet aussi de mod´eliser les m´etaux liquides pour ´etudier, par exemple, le processus de dynamo op´erant dans le noyau externe de la Terre. Les ondes MHD incompressibles – appel´ees ondes d’Alfv´en – jouent un rˆ ole important dans de nombreux processus car elles sont port´ees par le champ magn´etique `a grande ´echelle qui structure le milieu. Par exemple sur la figure 9.1 nous voyons des boucles coronales solaires : ces structures sont interpr´et´ees comme des boucles magn´etiques le long desquelles des ondes d’Alfv´en se propagent. L’objectif de ce chapitre est de donner les principales propri´et´es de la turbulence d’ondes d’Alfv´en.

9.1

La MHD en variables d’Els¨ asser

Nous allons utiliser les variables d’Els¨asser z± sur lesquelles est construite la th´eorie de la turbulence d’ondes. Ce sont les variables canoniques de la MHD incompressible qui nous permettent de faire ´emerger naturellement plusieurs propri´et´es de ce syst`eme. Elles ont ´et´e propos´ees par Els¨asser (1950) et se d´efinissent par la relation : (9.1) z± ≡ u ± b , o` u nous rappelons que b est un champ magn´etique normalis´e `a une vitesse (voir le chapitre 4). L’introduction de ces champs dans les ´equations (9.1) donnent : ∇ · z± = 0 , ±

∂z ∓ b0 · ∇z± + z∓ · ∇z± = −∇P∗ + ν+ Δz± + ν− Δz∓ , ∂t

(9.2a) (9.2b)

224

Physique de la Turbulence

Fig. 9.1 – Boucles coronales observ´ees le 06 juin 1999 `a 17.1 nm par le t´elescope spatial TRACE/NASA. Cr´edits NASA.

o` u ν± ≡ (ν ± η)/2. Sous cette forme, les ´equations de la MHD apparaissent compactes et sym´etriques. On voit imm´ediatement que la r´esolution lin´eaire (` a ν = η = 0) des ´equations de la MHD incompressible aboutit a` la relation de dispersion : ωk2 = (k · b0 )2 .

(9.3)

On constate que si le champ z+ = 0, le champ z− est une solution nonlin´eaire exacte des ´equations MHD (` a ν = η = 0) puisque dans ce cas : ∂z− + b0 · ∇z− = 0 . ∂t

(9.4)

La pression totale est absente car l’application de la condition de divergence nulle sur les ´equations MHD montre que P∗ est proportionnel au terme non-lin´eaire. On interpr`ete cette ´equation comme un paquet d’ondes d’Alfv´en z− se propageant le long du champ magn´etique uniforme b0 sans se d´eformer. Le raisonnement est aussi valable pour z− = 0 avec, dans ce cas, un paquet d’ondes d’Alfv´en z+ qui se propage dans l’autre sens. Par cons´equent,

225

9. Application : les ondes d’Alfv´en

on peut interpr´eter les champs z± comme des paquets d’ondes d’Alfv´en se propageant dans des directions oppos´ees (voir la figure 4.9) et qui se d´eforment non-lin´eairement lorsqu’ils entrent en collision. On touche ici une propri´et´e physique fondamentale de la turbulence MHD : ce sont les collisions entre paquets d’ondes d’Alfv´en z+ et z− , et leurs d´eformations successives qui produisent une cascade. Cette propri´et´e de collision est intrins`equement li´ee au caract`ere non-dispersif des ondes d’Alfv´en : en effet, deux ondes qui se suivent ne se rattraperont jamais et ne subiront donc aucun effet non-lin´eaire.

9.2 9.2.1

Ph´ enom´ enologie d’Iroshnikov-Kraichnan Fondement de la ph´ enom´ enologie triadique

La discussion sur les paquets d’ondes d’Alfv´en nous am`ene `a introduire une des id´ees majeures de la turbulence MHD : la ph´enom´enologie IK propos´ee ind´ependamment par Iroshnikov (1964) et Kraichnan (1965). Cette approche est int´eressante pour cette partie puisque les id´ees qui ´emergent de cette ph´enom´enologie datent de la p´eriode d’incubation de la th´eorie de la turbulence d’ondes (chapitre 6). Elles ont contribu´e `a mieux comprendre la physique de la turbulence d’ondes dans le cas d’interactions triadiques. La diff´erence majeure entre l’hydrodynamique et la MHD incompressible ` ces ondes, on peut associer un est la pr´esence d’ondes dans le deuxi`eme cas. A temps d’Alfv´en, τA , qui caract´erise la dur´ee d’interaction – c’est-`a-dire la dur´ee de collision – entre deux paquets d’ondes. Si ces deux paquets ont une longueur typique  (on suppose la turbulence isotrope ; voir la figure 4.9), alors : τA ∼

 1 ∼ , b0 ωk

(9.5)

o` u b0 est la vitesse d’Alfv´en. Mˆeme si cette hypoth`ese d’isotropie n’est pas justifi´ee physiquement, cela va nous permettre dans un premier temps de simplifier l’analyse. L’id´ee maˆıtresse de la ph´enom´enologie IK est qu’`a chaque ´echelle de la zone inertielle, les structures voient un champ magn´etique uniforme, r´esultat de la moyenne locale du champ et ce, mˆeme s’il n’existe pas de champ magn´etique uniforme `a grande ´echelle. En d’autres termes, mˆeme si le milieu est isotrope, aux ´echelles turbulentes de la zone inertielle nous allons consid´erer que la physique est r´egie par le processus d´ecrit sur la figure 4.9. Par cette approche, la collision entre paquets d’ondes d’Alfv´en devient l’´el´ement central dans l’analyse de la turbulence MHD : c’est la multiplicit´e des collisions qui d´eforme les paquets d’ondes et qui finalement transf`ere l’´energie des grandes ´echelles vers les plus petites. Nous allons nous placer dans la situation ´equilibr´ee o` u z + ∼ z − ∼ z, c’est-`a-dire lorsque les flux d’ondes se propageant dans des sens oppos´es sont approximativement ´equilibr´es. Par cons´equent : ε∼

z2 , τtr

(9.6)

226

Physique de la Turbulence

o` u ε est le taux de transfert de l’´energie dans la zone inertielle (` a l’´echelle ) et τtr est le temps de transfert associ´e. Dans le processus que nous d´ecrivons, la turbulence est suppos´ee se d´evelopper suite aux nombreuses collisions stochastiques entre paquets d’ondes d’Alfv´en. De plus, a` une ´echelle  dans la zone inertielle, le champ magn´etique uniforme localement est suppos´e ˆetre significativement plus grand que les fluctuations magn´etiques. La dur´ee de la collision ´etant d’autant plus courte que le champ b0 est intense, la d´eformation associ´ee sera d’autant plus faible que le champ est fort. Par cons´equent, le nombre de collisions n´ecessaire pour produire une cascade doit augmenter avec l’intensit´e de b0 . En champ fort, nous avons donc τtr  τA . Pour estimer le temps de transfert, ´evaluons d’abord la d´eformation d’un paquet d’ondes a` l’´echelle  produite par une seule collision. En se pla¸cant sur le paquet d’ondes, on a : z (t + τA ) ∼ z (t) + τA

∂z z2 ∼ z (t) + τA  . ∂t 

(9.7)

La d´eformation du paquet d’ondes pour une collision est donc estim´ee `a : Δ1 z ∼ τA

z2 . 

(9.8)

Cette d´eformation va croˆıtre avec le temps et pour N collisions stochastiques l’effet cumulatif peut s’´evaluer de la mˆeme mani`ere qu’une marche al´eatoire : N 

z2 Δi z ∼ τA   i=1



t . τA

(9.9)

Le temps de transfert que nous recherchons est celui `a partir duquel la d´eformation cumul´ee est d’ordre un, c’est-` a-dire du paquet d’ondes lui-mˆeme : z ∼

N 

τtr ∼



τtr . τA

(9.10)

1 2 τ2 2 ∼ N L ∼ ωτN L, 2 τA z τA

(9.11)

1

On obtient alors :

z2 Δi z ∼ τA  

o` u τN L est le temps non-lin´eaire qui ´emerge des ´equations MHD (qui est similaire a` celui de l’hydrodynamique). On voit ici pour la premi`ere fois une justification ph´enom´enologique de l’expression du temps de cascade utilis´ee pour la turbulence d’ondes capillaires et inertielles : c’est la pulsation de l’onde pond´er´ee par le carr´e du temps non-lin´eaire. Remarquons que si nous prenons comme r´ef´erence le temps de collision τA et introduisons le petit param`etre ∼ τA /τN L , nous arrivons a` l’expression : τtr ∼ −2 τA .

(9.12)

227

9. Application : les ondes d’Alfv´en

Ce temps caract´eristique fait maintenant apparaˆıtre le petit param`etre sur lequel le d´eveloppement de la turbulence d’ondes est r´ealis´e. En adaptant l’´ecriture, cette expression se g´en´eralise `a tous les probl`emes triadiques (voir le chapitre 6). Il ne reste plus qu’` a compl´eter le calcul en reprenant l’expression (9.6) ; en supposant E(k) ∼ E ± (k), on obtient : ε∼

z4 E 2 (k)k 3 z2 ∼  ∼ , 2 ωτN L b0 b0

(9.13)

d’o` u le spectre isotrope de turbulence d’ondes d’Iroshnikov–Kraichnan (IK) : E(k) = CIK

 εb0 k −3/2 ,

(9.14)

avec CIK une constante de l’ordre de l’unit´e. La pr´ediction IK isotrope diff`ere donc de celle de Kolmogorov avec un spectre l´eg`erement moins pentu. Il est int´eressant de constater que dans cette approche le temps de transfert est plus long qu’en hydrodynamique (on suppose τA  τN L ). Physiquement, c’est le fait d’avoir des collisions sporadiques entre paquets d’ondes – et non des interactions continuelles entre tourbillons – qui explique de mani`ere ph´enom´enologique le ralentissement du transfert de l’´energie vers les petites ´echelles. Ce ralentissement est observ´e, par exemple, dans des simulations num´eriques directes o` u la d´ecroissance libre de l’´energie est manifestement plus lente en MHD qu’en hydrodynamique (Biskamp et Welter, 1989 ; Kinney et al., 1995 ; Galtier et al., 1997 ; Bigot et al., 2008c). Cette d´ecroissance est bien sˆ ur li´ee `a la dissipation dont l’efficacit´e s’affaiblit lorsque le processus de cascade ralentit. Le spectre IK fait encore l’objet actuellement de discussions. Par exemple, les mesures in situ faites dans le vent solaire (voir la figure 4.2) a` une unit´e astronomique montrent un spectre en −5/3 pour les fluctuations du champ magn´etique alors qu’il est en −3/2 pour la vitesse 1 . Cependant, ces propri´et´es peuvent d´ependre de la distance h´eliocentrique, d’une part, `a cause de l’expansion du vent (Verdini et Grappin, 2015) et, d’autre part, a` cause du caract`ere ondulatoire de la turbulence qui est probablement plus marqu´e pr`es du Soleil o` u le champ magn´etique est plus fort. En g´en´eral, c’est l’´equilibre critique de la turbulence forte d’ondes qui est utilis´e pour d´ecrire le vent solaire aux ´echelles MHD. Remarquons que la situation est diff´erente aux ´echelles sub-ioniques o` u la pr´ediction de la turbulence d’ondes est en accord avec les mesures (voir, par exemple, David et Galtier (2019)). En ce qui concerne la simulation num´erique directe, la question n’est pas encore tranch´ee car la faible diff´erence entre les pr´edictions de IK et de Kolmogorov n´ecessite d’avoir une zone inertielle ´etendue (au moins deux d´ecades) pour conclure, ce qui requiert de tr`es grandes ressources num´eriques (Beresnyak, 2011). 1. La turbulence dans les m´etaux liquides est caract´eris´ ee par des spectres d’´energie cin´ etique proches de k −5/3 sur plus de trois d´ecades (Cr´ emer et Alemany, 1981).

228

Physique de la Turbulence

9.2.2

Ph´ enom´ enologie anisotrope

Nous venons de voir que la ph´enom´enologie IK m`ene `a un spectre isotrope en k −3/2 . Dans cette approche, nous avons suppos´e l’existence, localement, d’un champ magn´etique uniforme pour justifier la notion de paquet d’ondes d’Alfv´en. Comme le montre, par exemple, les simulations num´eriques directes (Oughton et al., 1994 ; M¨ uller et al., 2003 ; Bigot et al., 2008b), la pr´esence d’un champ magn´etique uniforme est source d’anisotropie 2 , ce qui rentre en contradiction avec l’hypoth`ese d’un spectre isotrope. Nous sommes ici dans une situation similaire a` celle de l’hydrodynamique en rotation (chapitre 8). Reprenons donc cette ph´enom´enologie IK en y incorporant l’anisotropie a` travers u les flux d’ondes d’Alfv´en les nombres d’ondes k⊥ et k . Dans le cas simple o` sont ´equilibr´es (z + ∼ z − ∼ z), nous obtenons pour le temps de transfert : 2 τtr ∼ ωτN L ∼

k b0 (⊥ /z )2 ∼ 2 2.  /b0 k⊥ z

(9.15)

On en d´eduit : ε∼

k 2 (E(k⊥ , k )k⊥ k )2 k 4 k E 2 (k⊥ , k ) z2 k2 z 4 ∼ ⊥  ∼ ⊥ ∼ ⊥ , τtr k b0 k b0 b0

(9.16)

d’o` u le spectre (axisym´etrique) anisotrope : E(k⊥ , k ) ∼

 −2 −1/2 εb0 k⊥ k .

(9.17)

Ce spectre MHD anisotrope est donc le r´esultat de l’effet cumul´e de collisions de paquets d’ondes d’Alfv´en se propageant en sens oppos´e. Il a ´et´e propos´e pour la premi`ere fois par Ng et Bhattacharjee (1997). La ph´enom´enologie trouve ici ses limites dans la mesure o` u la d´ependance en k n’est qu’apparente : en effet, on peut d´emontrer analytiquement que le transfert non-lin´eaire (la cascade) est totalement gel´ee le long du champ magn´etique b0 . Nous verrons plus loin −2 que la pr´ediction spectrale en k⊥ est en fait une solution exacte des ´equations de turbulence d’ondes d’Alfv´en. Ces deux r´esultats font partie de la th´eorie publi´ee par Galtier et al. (2000).

9.3 9.3.1

Th´ eorie de la turbulence d’ondes d’Alfv´ en Variables canoniques

Reprenons les ´equations de la MHD (pour ν = η = 0), et introduisons la polarisation directionnelle s = ± ; on obtient : 2. Les ´ equations de la MHD ne sont pas invariantes par transformation galil´eenne sur le champ b0 (qui a les unit´es d’une vitesse) ; elles le sont en revanche sur un champ de vitesse uniforme. L’anisotropie observ´ee peut ˆetre vue comme une cons´equence de cette propri´et´ e.

9. Application : les ondes d’Alfv´en ∂zs − sb0 · ∇zs = −z−s · ∇zs − ∇P∗ , ∂t ∇ · zs = 0 .

229 (9.18a) (9.18b)

La direction du champ uniforme b0 d´efinit la direction parall`ele. On introduit la transform´ee de Fourier du champ d’Els¨asser (par composante) :  s (9.19) zj (x, t) ≡ Asj (k, t) eik·x dk , puis la d´ecomposition : Asj (k, t) ≡ asj (k, t)e−isωk t ,

(9.20)

avec ωk ≡ k b0 et 0 <  1. L’introduction de la variable asj permet de nous placer directement sur le paquet d’ondes d’Alfv´en et de suivre sa lente ´evolution au cours du temps dont l’origine est purement non-lin´eaire. Par application de la transform´ee de Fourier sur l’expression (9.18a), on obtient la relation exacte, quelle que soit la valeur de : ∂asj (k) = −i km Pjn ∂t



s is(ωk −ωp +ωq )t δ(k − p − q) dpdq , a−s m (q) an (p) e

(9.21) o` u Pjn (k) ≡ δjn − kj kn /k 2 est l’op´erateur projection qui assure de v´erifier la condition d’incompressibilit´e (9.18b). Remarquons que l’obtention de l’expression (9.21) n´ecessite d’´ecrire au pr´ealable la pression totale en fonction des variables d’Els¨ asser. Cela est possible en appliquant l’op´erateur divergence `a l’´equation (9.18a) ; on obtient la relation : ΔP∗ = −∇ · (z−s · ∇zs ) .

(9.22)

L’expression (9.21) repr´esente les ´equations de la MHD dans l’espace de Fourier en pr´esence d’un champ magn´etique uniforme. C’est le point de d´epart du d´eveloppement analytique de la turbulence d’ondes. Nous constatons que les variables d’Els¨ asser sont les variables canoniques du probl`eme puisqu’elles font directement apparaˆıtre la forme classique avec un coefficient d’interaction relativement simple qui est, ici, essentiellement constitu´e de l’op´erateur projection. Du fait que seuls les paquets d’ondes d’Alfv´en contra-propageant donnent une contribution non-lin´eaire, la somme sur les polarit´es directionnelles se r´eduit a` une combinaison unique ne faisant intervenir au final que la polarit´e s.

9.3.2

Condition de r´ esonance

L’´equation (9.21) fait apparaˆıtre la condition de r´esonance :  ωk = ωp − ωq , k = p + q,

(9.23)

230

Physique de la Turbulence

laquelle peut se r´e´ecrire pour sa partie parall`ele : k = p ± q .

(9.24)

Par cons´equent, la seule solution possible est : q = 0

et k = p .

(9.25)

Cette condition implique l’absence de couplage entre nombre d’onde dans la direction parall`ele lorsque l’´equation (9.21) est r´esolue (un couplage de modes n’est possible que si la somme implique plusieurs modes). Par cons´equent, aucun transfert le long du champ b0 n’est possible dans ce probl`eme et la cascade se fait uniquement dans la direction perpendiculaire. La turbulence d’ondes d’Alfv´en est donc encore plus anisotrope que celle des ondes inertielles, probl`eme dans lequel le transfert parall`ele `a l’axe de rotation est faible, mais pas totalement inhib´e. Le caract`ere anisotrope de la turbulence MHD en champ magn´etique fort fut discut´e en d´etail pour la premi`ere fois par Montgomery et Turner (1981). Cette ´etude th´eorique s’est appuy´ee, en particulier, sur des mesures faites dans des exp´eriences de confinement magn´etique de type « z-pinch » ou tokamak (Robinson et Rusbridge, 1971 ; Zweben et al., 1979) o` u il a ´et´e possible de mettre en ´evidence une diff´erence importante entre la longueur de corr´elation le long du champ moyen et celles dans les directions transverses, la premi`ere ´etant plus grande que les deux autres ; les fluctuations du champ magn´etique dans la direction transverse ´etant, quant a` elles, toujours dominantes. Dans les travaux th´eoriques de Montgomery et Turner (1981), la condition de r´esonance est ´evoqu´ee mais c’est v´eritablement avec Shebalin et al. (1983) que pour la premi`ere fois l’analyse pr´esent´ee ci-dessus, bas´ee sur la turbulence d’ondes, a ´et´e propos´ee afin d’expliquer des r´esultats de simulation num´erique directe bi-dimensionnelle en champ magn´etique fort. Il est int´eressant de mentionner qu’` a la fin des ann´ees 1980 r´egnait une certaine confusion sur la nature de la turbulence MHD car manifestement la ph´enom´enologie IK bas´ee sur les ondes d’Alfv´en avait une lacune : elle ne prenait pas en consid´eration l’anisotropie. La th´eorie de la turbulence d’ondes pouvait apporter un ´el´ement de r´eponse rigoureux, mais la premi`ere tentative de Sridhar et Goldreich (1994) s’est av´er´ee erron´ee. L’erreur vient du fait que les auteurs ont consid´er´e que les fluctuations associ´ees au mode (lent) q = 0, solution de la condition de r´esonance, n’avaient pas d’´energie puisqu’elles n’´etaient pas de nature ondulatoire. Les auteurs ont donc propos´e une th´eorie `a quatre ondes ; ils ont du mˆeme coup remis en cause la ph´enom´enologie IK bas´ee sur des interactions triadiques. Apr`es de vives critiques (Montgomery et Matthaeus, 1995 ; Ng et Bhattacharjee, 1996 ; Chen et Kraichnan, 1997) expliquant pourquoi, en particulier, le mode lent pouvaient contenir de l’´energie (tout comme en hydrodynamique avec rotation), la th´eorie analytique de turbulence d’ondes d’Alfv´en fut finalement publi´ee par Galtier et al. (2000). L’importance de cet article va bien au-del`a de la r´esolution d’un probl`eme classique de turbulence

231

9. Application : les ondes d’Alfv´en

d’ondes : la th´eorie est d´emontr´ee pour des interactions a` trois ondes, ce qui par cascade valide l’approche triadique d’IK et clarifie la nature de la turbulence MHD 3 .

´ Equations cin´ etiques

9.3.3

Le formalisme de la turbulence d’ondes s’applique de mani`ere classique ` l’´equation (9.21). Notons que la d´erivation simplifi´ee de Galtier et al. a (2002) permet d’arriver plus rapidement au r´esultat. Les ´equations cin´etiques prennent la forme suivante :

2

π b0

∂es (k) ∂t



(k⊥ ·p⊥ )2 (k×q)2 2 p2 q 2 k⊥ ⊥ ⊥

=

(9.26)

e−s (q) [es (p) − es (k)] δ(q ) δ(k − p − q) dpdq ,

o` u es (k) est le spectre de l’´energie associ´ee aux ondes d’Alfv´en de cisaillement. Ces ondes correspondent aux composantes transverses des fluctuations des champs d’Els¨ asser. Les ondes associ´ees aux fluctuations parall`eles `a b0 sont appel´ees pseudo-ondes d’Alfv´en 4 . Leur dynamique est esclave de celle des ondes d’Alfv´en de cisaillement ; comme les pseudo-ondes ne portent pas la dynamique de la turbulence d’ondes d’Alfv´en elles peuvent ˆetre oubli´ees pour all´eger les calculs. On introduit le spectre r´eduit axisym´etrique E s (k⊥ ) d´efini par la relation : 2πk⊥ es (k) ≡ E s (k⊥ )f (k ) ,

(9.27)

avec f (k ) une fonction qui d´epend arbitrairement du nombre d’onde parall`ele. L’introduction d’une telle d´ependence en k est justifi´ee par l’absence de transfert dans la direction de b0 qui se traduit math´ematiquement par la pr´esence du Dirac δ(q ) dans les ´equations cin´etiques. De la mˆeme mani`ere que pour la turbulence d’ondes capillaires, on peut ensuite se ramener a` une expression ne faisant intervenir que des nombres d’onde. Apr`es simplification, on obtient : 2 f (0) 2b0

 Δ⊥

∂E s (k⊥ ) ∂t k⊥ 2 q⊥ (cos θq )

=

(9.28)

sin θp E −s (q⊥ ) [k⊥ E s (p⊥ ) − p⊥ E s (k⊥ )] dp⊥ dq⊥ ,

 avec, par d´efinition, les angles θp ≡ (k ⊥ , q⊥ ) et θq ≡ (k⊥ , p⊥ ) dans le triangle k⊥ = p⊥ +q⊥ et Δ⊥ la bande d’int´egration correspondant a` ce triangle (voir la figure 7.5). La pr´esence de f (0) correspond a` la contribution q = 0. Pour que le d´eveloppement de turbulence d’ondes reste valide, il faut que la contribution de f (0) reste finie : en d’autres termes, dans le cas d’une forte condensation la th´eorie devient invalide car le terme de droite n’est plus en O( 2 ). 3. La th´ eorie triadique de turbulence d’ondes d’Alfv´en, et ses cons´equences, furent finalement accept´ee par Lithwick et Goldreich (2003). 4. Les pseudo-ondes d’Alfv´en sont la limite incompressible des ondes magn´eto-acoustiques lentes, alors que les ondes d’Alfv´en de cisaillement restent inchang´ees dans le cas compressible : ce sont les ’vraies’ ondes d’Alfv´en.

232

Physique de la Turbulence

La solution exacte la plus simple des ´equations cin´etiques est celle qui correspond a` un flux d’´energie nul. C’est la solution thermodynamique (voir le chapitre 7) pour laquelle : E s (k⊥ ) ∼ k⊥ .

(9.29)

Des simulations num´eriques montrent que sur des temps longs compar´es `a l’´echelle de temps de la cascade directe, cette solution peut apparaˆıtre aux grandes ´echelles d’un syst`eme forc´e `a une ´echelle interm´ediaire (Galtier et Nazarenko, 2008). Dans ce cas, la solution thermodynamique peut contribuer a` reg´enerer un champ magn´etique de tr`es grande ´echelle (effet dynamo). Une application envisag´ee par les auteurs est la reg´en´eration du champ magn´etique galactique. Les solutions exactes `a flux d’´energie ε constant, non nul, des ´equations (9.28) sont : n+ + n− = −4 ,

(9.30)

n

avec par d´efinition E ± (k⊥ ) ∼ k⊥± . Dans ce cas, la condition de convergence 5 implique que : − 3 < n± < −1 . (9.31) Pour le cas particulier d’une turbulence ´equilibr´ee d’ondes d’Alfv´en, la solution exacte s’´ecrit : −2 E + (k⊥ ) = E − (k⊥ ) ≡ E(k⊥ ) ∼ k⊥ . (9.32) On constate que la pr´ediction ph´enom´enologique (9.17) pr´edit bien le bon spectre pour sa partie transverse. La th´eorie permet cependant d’aller plus loin que la ph´enom´enologie et de d´emontrer que le flux est positif – la cascade est donc directe. On peut aussi trouver la forme analytique de la constante de Kolmogorov qui, dans le cas ´equilibr´e, vaut 6 : CK  1.467 , avec : E(k⊥ ) = CK

 −2 b0 εk⊥ .

(9.33)

(9.34)

Dans cette derni`ere expression, le petit param`etre 2 est absorb´e par la variable temporelle ainsi que la contribution f (0). La formation de ce spectre `a partir −2 des ´equations cin´etiques est montr´ee sur la figure 9.2 : un spectre en k⊥ apparaˆıt sur environ sept d´ecades. ` la diff´ 5. A erence du cas tri-dimensionnel, la turbulence d’ondes d’Alfv´en bi-dimensionnelle est non-locale car les solutions obtenues sont hors du domaine de convergence (Tronko et al., 2013). √ 6. On peut noter une diff´erence (en fait une correction) d’un facteur 2π avec la pr´ediction publi´ee en 2000.

233

9. Application : les ondes d’Alfv´en

´ Fig. 9.2 – Evolution temporelle du spectre d’´energie E(k⊥ ) d’une turbulence ´equilibr´ee d’ondes d’Alfv´en initialement excit´ee ` a grande ´echelle. Simulation num´erique des ´equations cin´etiques.

Une derni`ere remarque est `a faire sur la condition de validit´e de ce r´egime de turbulence d’ondes d’Alfv´en. En effet, ce r´egime n’est pas uniform´ement valable dans l’espace de Fourier car il est conditionn´e par l’in´egalit´e : χ≡

τA  1, τN L

(9.35)

sous-jacente au d´eveloppement asymptotique. En utilisant le spectre d’une turbulence ´equilibr´ee, cette condition peut se r´e´ecrire : k⊥ z ∼ χ∼ k b0



k⊥  1. k

(9.36)

En absence de cascade parall`ele, l’´energie va peupler les modes k⊥ de plus en plus grands. Si la condition sur χ est v´erifi´ee initialement dans un domaine spectral, elle ne le sera donc plus en un temps fini puisque ce rapport va 1/2 croˆıtre ∝ k⊥ avec la cascade. La turbulence deviendra forte `a petite ´echelle lorsque les deux temps caract´eristiques deviennent du mˆeme ordre de grandeur. Le r´egime peut alors ˆetre d´ecrit par la ph´enom´enologie d’´equilibre critique (Goldreich et Sridhar, 1995) pr´esent´ee au chapitre 4 dans laquelle on suppose que la relation τA ∼ τN L reste vraie dans la zone inertielle concern´ee. Cette transition a ´et´e mis en ´evidence pour la premi`ere fois par Meyrand et al. (2016).

234

9.3.4

Physique de la Turbulence

Traitement du mode 2D (k = 0)

Les ´equations cin´etiques (9.26) font apparaˆıtre le terme e−s (q) dont la contribution est r´eduite `a q = 0 a` cause de la condition de r´esonance. Puisqu’il s’agit du mode lent, ces fluctuations ne sont pas associ´ees `a une onde d’Alfv´en et l’in´egalit´e (9.35) ne peut pas ˆetre v´erifi´ee. Comment peut-on alors traiter ce terme de nature diff´erente ? Tout d’abord, il n’y a aucune raison de penser que e−s (q⊥ , q = 0) = 0 car les fluctuations a` basses fr´equences ont en g´en´eral de l’´energie (c’est le cas aussi en hydrodynamique avec rotation). Cette remarque signifie que les interactions dominantes dans ce probl`eme sont bien triadiques. Peut-on avoir une forte condensation en k = 0 qui invaliderait alors l’approche analytique ? Cette situation ne peut pas ˆetre totalement exclue, cependant elle requiert en pratique des conditions tr`es sp´ecifiques. Par exemple, un for¸cage autour du mode lent pourrait peut-ˆetre provoquer une telle condensation. D’apr`es les simulations num´eriques directes de Bigot et Galtier (2011) dans lesquelles un 3 a ´et´e utilis´e pour les modes perpendifor¸cage du type E s (k⊥ , k ) = F (k )k⊥ culaire et parall`ele 1 et 2, un accroissement de l’´energie `a k = 0 a bien ´et´e observ´e. Cet accroissement est d’autant plus fort que le champ b0 est intense. Cependant aucune forte condensation, c’est-`a-dire une tendance singuli`ere `a transf´erer de l’´energie vers le mode lent, n’a ´et´e observ´ee : apr`es une phase d’accroissement rapide, une saturation est en effet mesur´ee. Consid´erer une variation continue – sans condensation – de e−s (q) autour du mode lent semble donc ˆetre une bonne hypoth`ese. D’un point de vue th´eorique, cela signifie que l’on consid`ere des champs dont la corr´elation d´ecroˆıt avec la distance quelle que soit la direction : dans ce cas, e−s (q⊥ , 0) peut ˆetre vu comme la limite de e−s (q⊥ , k ) quand q → 0 et les solutions d´ecrites plus haut s’appliquent. Si les fluctuations du mode lent ont une dynamique propre – situation possible si l’´energie associ´ee est sup´erieure a` celles des ondes – les ´equations cin´etiques peuvent quand mˆeme nous renseigner sur les solutions. En effet, l’´equation (9.30) peut toujours ˆetre utilis´ee avec n− l’exposant du spectre d’´energie du mode lent. Par exemple, si on suppose une dynamique bi-dimensionnelle Kolmogorovienne 7 avec n− = −5/3, alors pour le spectre des ondes on obtient n+ = −7/3. Ces questions autour de la condensation ont ´et´e discut´ees dans des ´etudes ph´enom´enologique et num´erique (Boldyrev et Perez, 2009 ; Wang et al., 2011 ; Schekochihin et al., 2012).

9.3.5

Autres r´ esultats

Nous concluons par plusieurs remarques. Premi`erement, `a l’instar des ondes inertielles, les ´equations cin´etiques (9.28) peuvent ˆetre ´etudi´ees dans le cas 7. En MHD bi-dimensionnelle, la turbulence forte se comporte comme dans le cas tridimensionnel avec une cascade directe d’´energie et un spectre d’´energie en −5/3 est une solution r´ealiste.

9. Application : les ondes d’Alfv´en

235

Fig. 9.3 – Tranche en r´esolution spatiale 3072 × 3072 d’un cube d’une simulation num´erique directe de turbulence d’ondes d’Alfv´en. Nous voyons ici le module des fluctuations du champ magn´etique sur une tranche perpendiculaire ` a b0 . Simulation r´ealis´ee par R. Meyrand.

restreint d’interactions triadiques locales (voir la partie Exercice II). On peut alors montrer que les ´equations non-lin´eaires de diffusion qui ´emergent sont plus simples structurellement et poss`edent les mˆemes solutions que les ´equations cin´etiques (Galtier et Buchlin, 2010). Deuxi`emement, une solution nonstationnaire a ´et´e mis en ´evidence par la simulation num´erique de l’´equation cin´etique du cas ´equilibr´e. C’est une solution auto-similaire du second type −7/3 (Galtier et al., 2000). La nature de cette socompatible avec E(k⊥ ) ∼ k⊥ lution est identique a` celle discut´ee au chapitre 8 sur la turbulence d’ondes inertielles. Troisi`emement, lorsque le champ magn´etique b0 est trop fort la turbulence d’ondes d’Alfv´en devient trop faible et un probl`eme de discr´etisation apparaˆıt qui modifie la dynamique (Nazarenko, 2007).

236

Physique de la Turbulence

Fig. 9.4 – Lignes de courant ´electrique reconstruites dans une petite r´egion d’une tranche transverse ` a b0 . Simulation r´ealis´ee par R. Meyrand.

9.4

Simulation num´ erique directe

La simulation num´erique directe permet depuis peu de reproduire les principales propri´et´es du r´egime de turbulence d’ondes d’Alfv´en, y compris sa transition vers un r´egime de turbulence forte a` petite ´echelle (Meyrand et al., 2016). Un r´esultat d’une telle simulation est montr´e sur la figure 9.3 : le module des fluctuations du champ magn´etique est pr´esent´e sur une tranche perpendiculaire a` b0 . Contrairement au cas de la turbulence forte, nous ne voyons pas de hi´erarchie de structures coh´erentes. Cela s’explique par le m´elange de phase induit par b0 qui a tendance a` s’opposer `a l’´emergence de structures. La figure 9.4 montre un agrandissement d’une r´egion d’une (autre) tranche transverse : on y voit une reconstruction des lignes de courant ´electrique. ` partir d’une telle simulation, il est possible de construire le spectre en A ω–k pour mettre en ´evidence le caract`ere ondulatoire de la turbulence. Le r´esultat est montr´e sur la figure 9.5 : elle fait apparaˆıtre les deux branches de la relation de dispersion correspondant aux ondes d’Alfv´en. Celles-ci ont une certaine ´epaisseur dont l’origine est attribu´ee aux effets non-lin´eaires. On constate ´egalement la pr´esence d’une ´epaisse bande `a faible ω : on y trouve en particulier la contribution du mode lent. Ces ´etudes num´eriques ont permis de mettre en ´evidence le caract`ere intermittent de la turbulence d’ondes d’Alfv´en (Meyrand et al., 2015). Les fonctions de structure utilis´ees pour prendre en consid´eration le couplage entre les fluctuations Alfv´eniques de diff´erentes polarit´es sont : ζ

Sp = (δz + )p/2 (δz − )p/2 = Cp ⊥p ,

(9.37)

avec Cp une constante. Du fait de l’absence de cascade dans la direction parall`ele, seuls les incr´ements transverses (⊥ ) sont consid´er´es. Les donn´ees v´erifient

9. Application : les ondes d’Alfv´en

237

Fig. 9.5 – Spectre ω–k construit a` partir des fluctuations de l’´energie magn´etique a chaque valeur de k . Simulation r´ealis´ee par pour k⊥ = 4. Le spectre est normalis´e ` R. Meyrand. avec une grande pr´ecision la loi suivante : p/2 1 p ζp = + 1 − . 8 4

(9.38)

Cette loi a ´et´e construite en adaptant l’approche de She et Leveque (1994) a` ce probl`eme (voir le chapitre 2 et la relation (4.27) pour le cas MHD) o` u des structures orient´ees le long du champ magn´etique ext´erieur et en forme de nappe sont pr´esentes. La figure 9.6 montre ces mesures et la correspondance avec le mod`ele th´eorique. L’origine de l’intermittence est attribu´ee en partie au mode lent : en effet, la r´eduction artificielle des interactions de ce mode avec les modes d’Alfv´en r´ev`ele une r´eduction importante de l’intermittence (au niveau des PDFs). En mˆeme temps, une modification du spectre d’Els¨asser est −2 (interaction avec le mode observ´ee avec une loi de puissance passant de k⊥ −3/2 lent) a` k⊥ (sans interaction) (Meyrand et al., 2015).

9.5

Application : la couronne solaire

Le Soleil a une forte activit´e magn´etique que nous pouvons d´eceler `a travers l’apparition de taches solaires au niveau de la photosph`ere ou d’´eruptions au niveau de la couronne. Ces r´egions actives sont constitu´ees d’un r´eseau de boucles magn´etiques en perp´etuelles r´eorganisation et dont l’activit´e peut ˆetre

238

Physique de la Turbulence

Fig. 9.6 – Les mesures des coefficients ζp des fonctions de structure (9.37) r´ealis´ees ` partir d’une simulation num´erique directe montrent un tr`es bon accord avec la loi a (9.38). Simulation r´ealis´ee par R. Meyrand. mesur´ee par les ´emissions dans le domaine de l’ultra-violet ou des rayons X (Reale, 2014). Les t´elescopes ou imageurs spatiaux tel que SDO/NASA permettent de suivre cette activit´e (voir la figure 4.1), mais les instruments actuels ne permettent pas encore de r´esoudre les boucles coronales `a plus d’un million de degr´es et dont l’´epaisseur est probablement inf´erieur au km (voir la figure 9.1). La temp´erature coronale est tr`es inhomog`ene : entre les r´egions calmes et les r´egions actives, il y a pr`es d’un facteur dix d’´ecart. Un probl`eme majeur en physique solaire est de comprendre pourquoi une temp´erature aussi ´elev´ee est mesur´ee dans la couronne alors mˆeme que la photosph`ere, plus basse en altitude, est a` 6 400 K. L’´energie disponible au niveau de la surface solaire semble ˆetre largement suffisante pour compenser la perte d’´energie coronale estim´ee a environ 104 J m−2 s−1 dans les r´egions actives, et `a environ un, voire deux ` ordres de grandeur plus bas pour la couronne calme, ou les trous coronaux, qui sont situ´es essentiellement au niveau des pˆoles (voir la figure 4.1). Le principal probl`eme est de comprendre comment cette ´energie disponible a` la surface du Soleil est d´epos´ee au niveau de la couronne, puis finalement lib´er´ee pour chauffer le plasma (Priest, 2014). Les analyses spectrom´etriques des boucles coronales dans les r´egions actives r´ev`elent des mouvements du plasma `a plusieurs dizaines de km/s (Brekke et al., 1997) avec des vitesses non-thermiques qui peuvent atteindre jusqu’` a 30 km/s (Chae et al., 1998). Ces observations r´ealis´ees avec le satellite SOHO/ESA montrent, par ailleurs, que l’´elargissement des raies est dˆ u a des mouvements `a tr`es petites ´echelles spatiale et temporelle qui ne sont ` pas r´esolues par les instruments (de l’ordre de la seconde pour la r´esolution temporelle). L’omnipr´esence des ondes d’Alfv´en a aussi ´et´e mis en ´evidence par des mesures faites `a partir du satellite Hinode/JAXA (De Pontieu et al., 2007). Ces diverses observations constituent un faisceau d’indices qui plaide en

9. Application : les ondes d’Alfv´en

239

Fig. 9.7 – Chauffage d’une boucle magn´etique par turbulence d’ondes d’Alfv´en. La boucle coronale agit comme une cavit´e r´esonnante pour les paquets d’ondes d’Alfv´en g´en´er´es au niveau de la photosph`ere. La cascade directe, produite par les nombreuses collisions entre paquets d’ondes contra-propageant, m`ene finalement ` a un chauffage du plasma. faveur d’une description turbulente du plasma coronal dans laquelle les ondes d’Alfv´en jouent un rˆ ole important. ` plus basse altitude, au niveau de la photosph`ere, il est possible de mesurer A avec pr´ecision la composante du champ magn´etique transverse a` la surface du ` partir de cartes magn´etiques bi-dimensionnelles de r´egions actives, des Soleil. A fonctions de structure et des spectres peuvent ˆetre calcul´es. Dans ce cas, c’est la corr´elation dans la direction perpendiculaire (k⊥ pour le spectre) qui est accessible. Les ´etudes montrent des spectres compatibles avec les pr´edictions de turbulence d’ondes, en particulier lorsque la r´egion est en ´eruption, c’esta-dire, en phase de forte ´emission lumineuse caus´ee par une augmentation du ` chauffage. Le spectre qui est proche de −5/3 en phase calme devient nettement plus pentu avec des exposants en g´en´eral entre −2 et −2.3 (Abramenko, 2005 ; Hewett et al., 2008 ; Mandage et McAteer, 2016). Dans le sc´enario d’un chauffage coronal par de la turbulence MHD 8 , le transport d’´energie vers la couronne se fait via les ondes d’Alfv´en excit´ees au niveau photosph´erique. Ce for¸cage est en fait produit par les mouvements convectifs du plasma que l’on peut observer a` la surface du Soleil sous forme ` l’image de la figure 9.7, l’´energie transport´ee par les paquets de granules. A d’ondes d’Alfv´en cascade vers les petites ´echelles suite aux nombreuses collisions entre paquets d’ondes contra-propageant. Au final, un chauffage est produit de mani`ere intermittente. La thermodynamique nous permet ensuite de faire le lien entre chauffage et refroidissement, par conduction et radiation. De nombreux mod`eles ont ´et´e publi´es sur le sujet. Les premiers faisaient l’hypoth`ese d’une turbulence isotrope (Heyvaerts et Priest, 1992), puis 8. Le probl` eme du chauffage de la couronne solaire est suffisamment complexe pour laisser la place ` a plusieurs autres sc´enarios comme le m´ecanisme de m´elange de phase propos´e par Heyvaerts et Priest (1983).

240

Physique de la Turbulence

l’anisotropie a ´et´e introduite avec une mod´elisation num´erique en diff´erentes dimensions (1.5D, 2D ou 3D) (Einaudi et al., 1996 ; Hendrix et van Hoven, 1996 ; Galtier et Pouquet, 1998 ; Gudiksen et Nordlund, 2005 ; Buchlin et Velli, 2007 ; Cranmer et al., 2007). Le r´egime de turbulence d’ondes d’Alfv´en a ensuite ´et´e ´etudi´e par Rappazzo et al. (2007), et sur la base du mod`ele analytique isotrope de Heyvaerts et Priest (1992), un mod`ele analytique anisotrope a ´et´e propos´e par Bigot et al. (2008a) dans lequel le chauffage coronal est estim´e a partir des viscosit´es turbulentes d´eduites des ´equations cin´etiques de tur` bulence d’ondes d’Alfv´en (9.28). Dans ce cas, le taux de chauffage obtenu s’av`ere suffisamment ´elev´e pour expliquer les observations coronales. Ce taux de chauffage (int´egr´e le long de la boucle) s’´ecrit (en unit´e SI) : ε⊥ ∼ 10

3



L 106

2/3 



5/3  u 4/3 B0 ρ0 1/6 J m−2 s−1 , 103 10−2 10−12

(9.39)

o` u L est le diam`etre de la boucle coronale, u la vitesse photosph´erique des pieds de la boucle (vitesse de for¸cage), B0 le champ magn´etique coronal et ρ0 la densit´e de masse dans la couronne. Cette pr´ediction est comparable a` celle faite par Heyvaerts et Priest (1992) pour le r´egime de turbulence forte. Par cons´equent, la r´eduction de la cascade `a deux directions ne change pas fondamentalement le chauffage produit.

9.6

Au-del` a de la MHD standard

Les ondes ´etant tr`es nombreuses en physique des plasmas, la th´eorie de la turbulence d’ondes peut a priori s’appliquer a` d’autres syst`emes que celui de la MHD incompressible. L’objectif de cette derni`ere section n’´etant pas de d´ecrire dans le d´etail les r´esultats obtenus, nous nous contenterons de mentionner ces travaux. L’extension la plus imm´ediate est la MHD faiblement compressible pour laquelle des travaux ont ´et´e r´ealis´es avec une approche hamiltonienne (Kuznetsov, 2001) ou eul´erienne (Chandran, 2005). Dans les deux cas, la pression thermodynamique est n´eglig´ee devant la pression magn´etique. Comme dans le cas incompressible, nous avons des interactions triadiques. L’approximation suivante consiste a` aller vers les ´echelles plus petites o` u la MHD n’est plus valable. Le premier mod`ele qui peut ˆetre utilis´e est celui de la MHD Hall incompressible qui, dans la limite des petites ´echelles, devient l’´electron MHD. Les th´eories associ´ees (toujours pour des interactions triadiques) utilisent une base h´elicitaire complexe comme dans le cas des ondes inertielles (Galtier et Bhattacharjee, 2003 ; Galtier, 2006). Les simulations num´eriques directes de Meyrand et al. (2018) montrent que ce syst`eme est complexe avec la possibilit´e d’avoir en mˆeme temps un r´egime de turbulence faible pour les ondes de polarit´e droite (port´ees par les ´electrons) et un r´egime de turbulence forte pour les ondes de polarit´e gauche (port´ees par les ions). La MHD Hall faiblement compressible est un cas beaucoup plus difficile a` traiter

9. Application : les ondes d’Alfv´en

241

(Sahraoui et al., 2003) et, `a ce jour, aucune th´eorie compl`ete n’a ´et´e propos´ee. Seule une tentative a ´et´e faite pour le cas des ondes d’Alfv´en cin´etiques : dans l’approche MHD Hall, cela correspond a` des vecteurs d’onde tr`es obliques, c’est-`a-dire, proches de la direction perpendiculaire a` b0 (Voitenko, 1998 ; Galtier et Meyrand, 2015). ` beaucoup plus petites ´echelles spatiale et temporelle, nous pouvons citer A par exemple la turbulence d’ondes de Langmuir ´etudi´ee par Zakharov (1967) (voir aussi Zakharov, 1972; Musher et al., 1995). Il s’agit ici de d´ecrire le comportement d’un plasma lorsque l’´electroneutralit´e est momentan´ement bris´ee. La population d’´electrons va alors osciller et produire des ondes caract´eris´ees par un nombre d’onde plus petit que l’´echelle de Debye. Contrairement aux cas ´evoqu´es pr´ec´edemment, il s’agit ici d’un probl`eme `a quatre ondes.

9.7

Perspectives

Une perspective int´eressante sur la turbulence d’ondes dans les plasmas concerne le vent solaire. Il s’agit tout d’abord de la physique aux ´echelles subioniques. Comme en atteste la figure 4.2, les propri´et´es du vent solaire sont bien diff´erentes aux ´echelles plus petites que le rayon de Larmor des ions par rapport aux ´echelles MHD. Des ondes, en particulier d’Alfv´en cin´etiques, sont souvent observ´ees. En g´en´eral, la ph´enom´enologie de la turbulence d’ondes (forte ou faible) est utilis´ee pour pr´edire le comportement spectral. Cependant, force est de constater que les pr´edictions standards de turbulence (spectre des fluctuations magn´etiques d’exposants −7/3 et −2.5, pour la turbulence forte et faible, respectivement) ne correspondent pas aux observations o` u un spectre fr´equentiel d’exposant proche de −8/3 est souvent mesur´e (Alexandrova et al., 2012 ; Sahraoui et al., 2013 ; Bale et al., 2019), avec une intermittence caract´eris´ee par des exposants auto-similaires (Kiyani et al., 2009) (voir les perspectives du chapitre 8). Comprendre l’origine de cette diff´erence spectrale est un sujet difficile car le plasma interplan´etaire est peu collisionnel et, par cons´equent, la dissipation ne se mod´elise pas comme une simple viscosit´e dont l’effet est localis´e `a petite ´echelle. En particulier, cela signifie que l’on peut remettre en cause la ph´enom´enologie de la turbulence bas´ee sur l’´equilibre entre force a` grande ´echelle et dissipation a` petite ´echelle. Comme nous l’avons montr´e en turbulence d’ondes inertielles (chapitre 8), le spectre stationnaire est obtenu apr`es un rebond du spectre a` petite ´echelle qui n’est possible que si de la dissipation classique est pr´esente. Il en est de mˆeme dans les plasmas. L’article de David et Galtier (2019) nous ´eclaire un peu sur cette question : les auteurs montrent que la turbulence d’ondes d’Alfv´en cin´etiques se caract´erise, dans sa −8/3 −2.5 qui ne se transforme en k⊥ phase non-stationnaire, par un spectre en k⊥ qu’apr`es le rebond du spectre `a petite ´echelle. Que se passerait t-il sans dissipation visqueuse ? Une r´eponse possible est le maintien du spectre initial en −8/3 k⊥ , ce qui expliquerait pourquoi jusqu’` a maintenant les th´eories standards ont ´echou´e `a expliquer les donn´ees. Ce sujet est en plein cœur des questions

242

Physique de la Turbulence

actuelles relatives `a la turbulence du vent solaire o` u les effets cin´etiques de physique des plasmas ont, sans doute, aussi un rˆole `a jouer (Passot et Sulem, 2015 ; Passot et Sulem, 2019). Une seconde question concerne la physique du vent solaire pr`es du Soleil. Les deux nouvelles sondes Parker Solar Probe (NASA) et Solar Orbiter (ESA), lanc´ees en 2018 et 2020 respectivement, ont pour objectif, entre autres, de mesurer les propri´et´es turbulentes du vent solaire proche du Soleil (aussi proche qu’une dizaine de rayons solaires). On peut s’attendre a` ce que l’aspect ondulatoire du vent soit plus marqu´e pr`es du Soleil, puisque le champ magn´etique y est plus intense, et que les propri´et´es diff`erent de celles mesur´ees essentiellement `a une unit´e astronomique (Bale et al., 2019). De nouvelles questions int´eressantes devront ˆetre abord´ees comme, par exemple, sur la physique aux ´echelles ´electroniques avec la prise en compte de l’inertie des ´electrons (Roytershteyn et al., 2019). La turbulence d’ondes constitue une approche solide pour aborder cette question.

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Chapitre 10 Perspective : la turbulence d’ondes gravitationnelles La premi`ere d´etection directe des ondes gravitationnelles par la collaboration LIGO (Abbott et et al., 2016), un si`ecle apr`es leurs pr´edictions par A. Einstein, est l’un des ´ev´enements les plus importants de l’histoire de l’astronomie. Avec cette observation s’ouvre une nouvelle `ere : celle de l’astronomie gravitationnelle. Cette astronomie in´edite peut nous permettre de sonder des r´egions jusqu’alors inaccessibles par les m´ethodes observationnelles classiques, essentiellement bas´ees sur la mesure de photons. En effet, contrairement aux photons, les ondes gravitationnelles n’interagissent que faiblement avec la mati`ere – c’est d’ailleurs pourquoi il est si difficile de les d´etecter. Ainsi, l’univers primordial (qui pr´ec`ede l’´emission du fond diffus cosmologique) devient maintenant potentiellement accessible. La d´etection des ondes gravitationnelles primordiales est un enjeu majeur car elle nous permettrait de mieux comprendre la physique proche du Big Bang. Dans ce chapitre de perspective, nous abordons un sujet moderne de cosmologie : la turbulence d’ondes gravitationnelles. Cette br`eve pr´esentation sera consacr´ee aux principales propri´et´es du r´egime qui fait intervenir des interactions a` quatre ondes. En particulier, il sera question de cascade inverse explosive de l’action d’onde.

10.1

Turbulence d’ondes gravitationnelles

La th´eorie de la turbulence d’ondes gravitationnelles repose sur les ´equations de la relativit´e g´en´erale qui d´ecrivent dynamiquement comment l’espacetemps est d´eform´e par l’´energie et la mati`ere (Einstein, 1915). Ces ´equations de la gravitation relativiste s’´ecrivent, en toute g´en´eralit´e : 1 8πG Rμν − gμν R − Λgμν = 4 Tμν , 2 c

(10.1)

avec Rμν le tenseur de Ricci, R le scalaire de Ricci, gμν la m´etrique, Λ la constante cosmologique, Tμν le tenseur ´energie-impulsion, G la constante

250

Physique de la Turbulence

gravitationnelle et c la vitesse de la lumi`ere. Pour notre ´etude, nous allons n´egliger la constante cosmologique (Λ = 0). Les ´equations (10.1) mettent en relation la courbure de l’espace-temps (terme de gauche) et l’´energie-mati`ere (terme de droite). La variable fondamentale pour d´ecrire la courbure de l’espace-temps est le tenseur m´etrique 1 gμν : c’est un tenseur 4 × 4 sym´etrique en μ et ν. Il est int´eressant de faire une comparaison entre les ´equations (10.1) et celles de Navier-Stokes (2.1). Tout comme l’hydrodynamique, la relativit´e g´en´erale est d´ecrite par des ´equations diff´erentielles partielles non-lin´eaires. Les tenseurs ´etant sym´etriques en μ et ν, nous avons au total dix ´equations. Les termes de gauche de (10.1) constituent pour nous le cœur des non-lin´earit´es (la d´eriv´ee temporelle y est ´egalement pr´esente), alors que le terme de droite peut ˆetre vu comme une force ext´erieure qui excite l’espace-temps sur une gamme d’´echelle donn´ee. Pour notre ´etude, nous allons nous placer dans le vide, ce qui revient a ´eliminer le terme de droite de (10.1). Nous allons suivre ici une d´emarche ` classique en turbulence d’ondes : la force ext´erieure sera suppos´ee pr´esente pour maintenir la turbulence, mais ne sera pas trait´ee analytiquement. Dans ces circonstances, les ´equations se simplifient (dans ce cas R = 0) et nous obtenons les ´equations de la relativit´e g´en´erale dans le vide : Rμν = 0 .

(10.2)

Par d´efinition : α β α α β Rμν ≡ ∂α Γα μν − ∂μ Γαν + Γμν Γαβ − Γμβ Γαν , 1 Γijk ≡ g il (∂j glk + ∂k gjl − ∂l gjk ) , 2

(10.3a) (10.3b)

o` u Γijk est le symbole de Christofell ; la convention d’Einstein sur les indices doit ˆetre utilis´ee. Ces expressions sont suffisantes (nous ne donnerons pas de d´etail sur l’origine des diff´erents termes du tenseur de Ricci) pour nous donner une id´ee du type de non-lin´earit´e auquel nous avons affaire : elles sont quadratique et quartique. Remarquons, pour conclure, que la comparaison avec les ´equations de Navier-Stokes n’est pas compl`ete puisque les ´equations de la relativit´e g´en´erale ne font pas apparaˆıtre de terme dissipatif. Les solutions lin´eaires des ´equations (10.2) sont bien connues : il s’agit des ondes gravitationnelles (Einstein, 1916, 1918). Ces solutions sont obtenues en ajoutant une petite perturbation hμν `a l’espace-temps (plat) non-perturb´e ημν qui est alors d´ecrit par la m´etrique de Poincar´e-Minkowski tel que : ⎛ ⎞ −1 0 0 0 ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎟ ημν = ⎜ (10.4) ⎝ 0 0 1 0 ⎠. 0 0 0 1 1. La m´ etrique est ce qui permet de mesurer la distance entre deux points proches. En physique classique, cette distance peut s’´ecrire : ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = gμν dxμ dxν . Avec x1 = x, x2 = y et x3 = z, nous obtenons gμν = δμν .

10. Perspective : la turbulence d’ondes gravitationnelles

251

L’introduction de la m´etrique : gμν = ημν + hμν ,

(10.5)

dans les ´equations (10.2) lin´earis´ees nous donne la relation de dispersion (Maggiore, 2008) : ω = kc .

(10.6)

Les ondes gravitationnelles sont donc des ondes non-dispersives. Cela pourrait ˆetre un probl`eme pour le traitement non-lin´eaire car l’uniformit´e du d´eveloppement de turbulence d’ondes n’est pas garantie (voir le chapitre 6). Mais ce probl`eme potentiel intervient pour des interactions triadiques (comme pour les ondes acoustiques), or nous allons voir que la turbulence d’ondes gravitationnelles est un probl`eme qui se traite `a l’ordre suivant, pour des interactions quartiques. La th´eorie de la turbulence d’ondes gravitationnelles consiste a` introduire l’expression (10.5) dans les ´equations non-lin´eaires (10.2) en supposant : |hμν |  1 .

(10.7)

L’objectif de ce chapitre de perspective n’est pas de pr´esenter le d´eveloppement analytique de la th´eorie publi´ee par Galtier et Nazarenko (2017), mais plutˆ ot de donner une id´ee de la m´ethode pour parvenir a` l’´equation cin´etique, dont la forme est tout a` fait classique. Dans l’approximation des ondes de faible amplitude (10.7), nous voyons sur les expressions (10.3) que les termes non-lin´eaires dominant sont quadratiques. Par cons´equent, le traitement nonlin´eaire va faire apparaˆıtre une condition de r´esonance triadique similaire `a celle des ondes acoustiques, pour laquelle les solutions correspondent a` des ` partir de cette propri´et´e, il est possible rayons dans l’espace de Fourier. A de d´emontrer, en toute g´en´eralit´e, que les ´equations d’Einstein ne donnent aucune contribution a` la turbulence d’ondes (Galtier et Nazarenko, 2017). Par cons´equent, la th´eorie doit se traiter a` l’ordre suivant – pour des interactions quartiques – et prendre en compte les contributions non-lin´eaires cubiques. Le d´eveloppement d’une th´eorie `a quatre ondes est plus difficile. Les ´equations de la relativit´e g´en´erale ´etant elles-mˆemes beaucoup plus complexes que les ´equations auxquelles nous avons affaire habituellement, il convient d’essayer de simplifier l’approche. Il est connu que la recherche de solutions en relativit´e g´en´erale est facilit´ee par le choix des coordonn´ees. Par exemple, la recherche de solutions simples associ´ees `a des objets sph´eriques (type trou noir) requiert d’utiliser des coordonn´ees sph´eriques. Nous allons ici faire de mˆeme et utiliser une m´etrique introduite par Hadad et Zakharov (2014) : il s’agit d’une

252

Physique de la Turbulence

m´etrique 2 diagonale en coordonn´ees cart´esiennes qui s’´ecrit : ⎛ ⎞ 0 0 0 −(H0 )2 ⎜ 0 (H1 )2 0 0 ⎟ ⎟, gμν = ⎜ 2 ⎝ 0 ⎠ 0 0 (H2 ) 0 0 0 (H3 )2

(10.8)

avec H0 , H1 , H2 et H3 les coefficients de Lam´e. Ces coefficients d´ependent de x0 = t, x1 = x et x2 = y, mais sont ind´ependants de x3 = z, avec par d´efinition l’intervalle d’espace-temps : ds2 = gμν dxμ dxν . Les coefficients de Lam´e se d´efinissent par les relations suivantes : H0 ≡ e−λ (1 + γ) ,

H1 ≡ e−λ (1 + β) ,

H2 ≡ e−λ (1 + α)

H3 ≡ eλ , (10.9)

avec α, β, γ, λ  1. L’introduction de ces variables dans les ´equations (10.2) donne finalement le syst`eme suivant, a` l’ordre principal : ˙ x λ) , ∂x α˙ = −2λ(∂ ˙ y λ) , ∂y β˙ = −2λ(∂

(10.10a) (10.10b)

∂xy γ = −2(∂x λ)(∂y λ) ,

(10.10c)

avec : ˙ = ∂x [(1 + α − β + γ)∂x λ] + ∂y [(1 − α + β + γ)∂y λ] , (10.11) ∂t [(1 + α + β − γ)λ] o` u ˙ signifie la d´eriv´ee temporelle. Comme nous pouvons le constater sur l’´equation (10.11), les ondes gravitationnelles sont bien des solutions lin´eaires. On constate aussi que λ est la variable fondamentale pour d´ecrire ces ondes. Remarquons que la solution lin´eaire obtenue ne fait intervenir qu’une polarisation d’onde (les composantes diagonales dont la polarisation est not´ee +), alors que dans le cas g´en´eral, il y a deux polarisations (les polarisations + et × associ´ees aux composantes diagonales et non-diagonales, respectivement (Maggiore, 2008)). Cette r´eduction permet une simplification du probl`eme, tout en gardant l’´el´ement indispensable a` la th´eorie, l’onde 3 . Le d´eveloppement analytique de Galtier et Nazarenko (2017) est bas´e sur une approche hamiltonienne relativement classique. L’´equation cin´etique obtenue pour la turbulence d’ondes gravitationnelles s’´ecrit finalement : 4





3 2 | |Tkkk 1 k2

Nk Nk1 Nk2 Nk3



∂t Nk = 1 Nk

+

1 Nk3

−

1 Nk1

−

1 Nk2



(10.12) k δ03,12

ω δ03,12

dk1 dk2 dk3 ,

2. On peut v´erifier avec cette m´etrique que le tenseur de courbure de Riemann du 4` eme ordre est non-trivial ainsi que l’invariant de courbure de Kretschmann. Cela signifie que la m´etrique utilis´ee peut d´ecrire une physique non-triviale (c’est-` a-dire non-fictive) (Weber et Wheeler, 1957). 3. L’utilisation d’une m´etrique diagonale soul`eve a priori un probl`eme de compatibilit´e avec les ´ equations de la relativit´e g´ en´ erale aux nombre de dix. Cette compatibilit´e a ´ et´ e v´ erifi´ee proprement par Hadad et Zakharov (2014). En particulier, on peut constater qu’il y a autant d’´equations (10.10)–(10.11) que d’inconnues (10.9).

10. Perspective : la turbulence d’ondes gravitationnelles

253

Fig. 10.1 – Composante g11 de la m´etrique espace-temps produite en turbulence d’ondes gravitationnelles. g11 est caract´eris´ee par de petites fluctuations erratiques autour de la valeur de r´ef´erence, la m´etrique plate de Poincar´e-Minkowski. R´esultat d’une simulation num´erique directe des ´equations (10.10)–(10.11). Un code pseudospectral a ´et´e utilis´e avec une r´esolution de 1024 × 1024. k ω avec, par d´efinition, δ03,12 ≡ δ(k + k3 − k1 − k2 ) et δ03,12 ≡ δ(ωk + ωk3 − ωk1 − kk3 ωk2 ). Dans cette ´equation, Nk est l’action d’onde et Tk1 k2 un coefficient g´eom´etrique v´erifiant certaines sym´etries qu’il n’est pas utile d’expliciter. Cette ´equation poss`ede deux invariants : l’´energie et l’action d’onde. La pr´esence d’un second invariant – l’action – n’est pas automatique pour des interactions a` quatre ondes : pour cela, l’´equation cin´etique doit v´erifier certaines sym´etries (Nazarenko, 2011). En pratique, il faut que les interactions 1 ↔ 3 soient absentes, ne laissant place qu’aux interactions 2 ↔ 2. L’action est un invariant qui apparaˆıt dans d’autres syst`emes d´ecrits par des interactions quartiques comme, par exemple, en optique non-lin´eaire (Dyachenko et al., 1992) ou pour la turbulence d’ondes ´elastiques sur une membrane (Hassaini et al., 2019). C’est aussi un invariant que l’on peut retrouver dans des probl`emes `a six ondes (Laurie et al., 2012). Les solutions exactes de l’´equation (10.12) sont au nombre de trois (nous consid´erons une turbulence statistiquement isotrope). Il y a tout d’abord la solution thermodynamique Nk ∼ k 0 . Les deux autres solutions exactes sont les spectres isotropes de Kolmogorov-Zakharov pour l’action :

Nk ∼ k −2/3 ,

(10.13)

Ek ∼ k 0 .

(10.14)

et l’´energie : Ces solutions correspondent respectivement `a une cascade inverse et directe (voir l’exercice II, et sa correction, pour la d´emonstration). Remarquons que ces nouvelles solutions exactes des ´equations de la relativit´e g´en´erale sont les premi`eres de nature statistique. La forme de la solution pour l’action permet d’affirmer que la cascade inverse sera explosive (cette propri´et´e est li´ee `a la converk gence de l’int´egrale 0 f Nk dk). L’´etude de l’explosivit´e de la cascade inverse a ´et´e r´ealis´ee `a l’aide d’un mod`ele non-lin´eaire de diffusion (Galtier et al., 2019). Comme dans le cas de la rotation (chapitre 8), une solution non-stationnaire (explosive), diff´erente du spectre de Kolmogorov-Zakharov, a ´et´e observ´ee.

254

Physique de la Turbulence

´ Fig. 10.2 – Evolution temporelle du spectre de l’action N (k) avec un spectre initial

situ´e autour de k = 1022 (il n’y a pas de for¸cage). La cascade inverse produit un ´ Buchlin. spectre proche de k−2/3 sur plus de 20 d´ecades. Simulation r´ealis´ee par E.

Toutefois, la diff´erence d’exposant de la loi de puissance suivie par Nk est ici mineure ( −0.6517 au lieu de −2/3). Sur la figure 10.2, nous montrons le r´esultat de la simulation num´erique avec la formation d’un spectre N (k) sur plus de 20 d´ecades. Le sc´enario attendu en turbulence d’ondes est donc la formation rapide d’une zone inertielle a` grande ´echelle, et la formation relativement lente d’une zone inertielle a` petite ´echelle. Le domaine de validit´e de la turbulence d’ondes gravitationnelles est limit´e a une certaine gamme d’´echelles. Nous avons vu que pour les plasmas MHD ` (chapitre 9) la transition entre les r´egimes faible et fort se situe a` petite ´echelle, alors que dans le cas des ondes capillaires la turbulence devient de plus en plus faible `a petite ´echelle (chapitre 7). Pourtant, dans les deux cas, la cascade de l’invariant est directe. En turbulence d’ondes gravitationnelles, on s’attend a une transition vers le r´egime de turbulence forte d’ondes a` grande ´echelle. ` En d’autres termes, la cascade inverse d’action va n´ecessairement se retrouver (rapidement) dans le r´egime fort. Pour ce r´egime, on peut utiliser le mod`ele ph´enom´enologique d’´equilibre critique (chapitre 4) afin de pr´edire la forme du spectre d’action a` grande ´echelle (Galtier et al., 2020).

10. Perspective : la turbulence d’ondes gravitationnelles

10.2

255

Conclusion

Comme le montrent les travaux th´eoriques, num´eriques et exp´erimentaux de Hassaini et al. (2019), il existe une proximit´e forte (type d’interactions et sym´etrie des ´equations cin´etiques) entre le r´egime de turbulence d’ondes gravitationnelles et celui des ondes ´elastiques dans la limite de forte tension. On peut voir ici une perspective int´eressante : en effet, le d´eveloppement de nouvelles exp´eriences de laboratoire pourrait, peut-ˆetre, nous aider a` mieux comprendre la turbulence de l’espace-temps. Une autre perspective int´eressante concerne la simulation num´erique directe qui est n´ecessaire pour ´etudier plus finement les propri´et´es de ce r´egime. On peut penser, par exemple, a` une ´etude de l’intermittence en r´egime faible mais aussi en r´egime de turbulence forte dont une application pourrait ˆetre l’inflation cosmologique (Galtier et al., 2020). Enfin, on peut envisager d’autres applications de la turbulence (forte) d’ondes gravitationnelles comme l’environnement des trous noirs o` u la signature d’une cascade inverse semble avoir ´et´e d´etect´ee (Green et al., 2014 ; Yang et al., 2015).

Bibliographie Abbott B.P., et al. (2016) Observation of gravitational waves from a binary black hole merger. Phys. Rev. Lett., 116, 061102. Dyachenko S., Newell A.C., Pushkarev A., Zakharov V.E. (1992) Optical turbulence : weak turbulence, condensates and collapsing filaments in the nonlinear Schr¨ odinger equation. Physica D, 57, 96–160. Einstein A. (1915) Erklarung der Perihelionbewegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitatstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss, 47, 831– 839. Einstein A. (1916) N¨ aherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der K¨ oniglich Preusischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), 688–696. ¨ Einstein A. (1918) Uber Gravitationswellen. Sitzungsberichte der K¨ oniglich Preusischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), 154–167. Galtier S., Nazarenko S.V. (2017) Turbulence of weak gravitational waves in the early Universe. Phys. Rev. Lett., 119, 221101. ´ Thalabard S. (2019) Nonlinear diffusion Galtier S., Nazarenko S.V., Buchlin E., models for gravitational wave turbulence. Physica D, 390, 84–88. Galtier S., Laurie J., Nazarenko S.V. (2020) A plausible model of inflation driven by strong gravitational wave turbulence. Universe, 6(7), 98. Green S.R., Carrasco F., Lehner L. (2014) Holographic Path to the Turbulent Side of Gravity. Phys. Rev. X, 4(1), 011001.

256

Physique de la Turbulence

Hadad Y., Zakharov V. (2014) Transparency of strong gravitational waves. J. Geometry and Physics, 80, 37–48. Hassaini R., Mordant N., Miquel B., Krstulovic G., D¨ uring G. (2019) Elastic weak turbulence : From the vibrating plate to the drum. Phys. Rev. E, 99(3), 033002. Laurie J., Bortolozzo U., Nazarenko S., Residori S. (2012) One-dimensional optical wave turbulence : Experiment and theory. Phys. Rep., 514(4), 121– 175. Maggiore M. (2008) Gravitational Waves, Volume 1 : Theory and Experiments. Oxford Univ. Press. Nazarenko S. (2011) Wave Turbulence. Lecture Notes in Physics, vol. 825. Berlin Springer Verlag. Weber J., Wheeler J.A. (1957) Reality of the Cylindrical Gravitational Waves of Einstein and Rosen. Rev. Modern Phys., 29(3), 509–515. Yang H., Zimmerman A., Lehner L. (2015) Turbulent Black Holes. Phys. Rev. Lett., 114(8), 081101.

Exercice et correction II I. Mod` ele MHD de diffusion non-lin´ eaire Les mod`eles de diffusion non-lin´eaire sont souvent utilis´es en turbulence car leurs simulations num´eriques est relativement ais´ees. Nous avons d´ej` a rencontr´e ces mod`eles dans les chapitres 3 et 8. On se propose ici de d´evelopper un tel mod`ele ph´enom´enologique pour la turbulence d’ondes d’Alfv´en dans le cas ´equilibr´e. La particularit´e de l’approche est qu’elle doit prendre en consid´eration l’anisotropie. En pratique, on consid`ere l’´equation suivante : ∂E(k) = −∇ · Π(k) , ∂t o` u E(k) est le spectre d’´energie et Π(k) le flux associ´e. 1) Quelles sont les conditions de validit´e de cette ´equation ? 2) La turbulence d’ondes d’Alfv´en est fortement anisotrope. En utilisant un syst`eme de coordonn´ees adapt´e `a cette situation, r´e´ecrire l’´equation de diffusion. 3) On mod´elise la composante transversale du flux d’´energie de la mani`ere suivante : ∂E(k) Π⊥ (k) = −D(k) , ∂k⊥ o` u D est un coefficient de diffusion non-lin´eaire qui reste `a d´eterminer. Quelle est la dimension de D ? 4) On appelle τtr le temps caract´eristique de transfert de l’´energie. Exprimer τtr en fonction de E(k) et  k⊥ .  5) En utilisant la relation E(k⊥ )f (k )dk⊥ dk = E(k)dk, montrer que l’´equation de diffusion non-lin´eaire peut s’´ecrire sous la forme :   ∂E(k⊥ ) ∂ ∂(E(k⊥ )/k⊥ ) 6 =C E(k⊥ ) k⊥ , ∂t ∂k⊥ ∂k⊥ o` u C est une constante. 6) Quel est le spectre de Kolmogorov-Zakharov solution exacte de l’´equation ? Quel est le sens de la cascade ?

258

Physique de la Turbulence

Solutions : 1) L’´equation d´ecrit la physique de la zone inertielle en turbulence d’ondes. Cela signifie que la force ext´erieure agit a` une ´echelle plus grande que les ´echelles de la zone inertielle et que la dissipation agit a` une ´echelle plus petite. En mˆeme temps, nous devons v´erifier les conditions de turbulence d’ondes. Nous savons qu’une transition vers la turbulence forte est possible `a petite ´echelle. Par cons´equent, une condition suppl´ementaire existe au niveau des petites ´echelles. Celle-ci s’´ecrit τA  τN L , soit : k⊥ z  k b0 , avec b0 le champ magn´etique uniforme et z le champ d’Els¨asser. 2) On utilise les coordonn´ees cylindriques qui sont particuli`erement bien adapt´ees `a ce probl`eme. Nous obtenons dans le cas d’une turbulence axisym´etrique : 1 ∂(k⊥ Π⊥ (k)) ∂E(k) =− . ∂t k⊥ ∂k⊥ 3) Dimensionnellement, nous trouvons : D∼

2 k⊥ , τtr

avec τtr le temps caract´eristique de transfert en turbulence d’ondes d’Alfv´en. 4) Le temps de transfert vaut : 2 τtr ∼ ωτN L ∼

k b0 b0 2 z 2 ∼ k 4 E(k) . k⊥ ⊥

5) En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, on peut ´ecrire :     ∂E(k) 1 ∂ ∂ ∂E(k) 1 3 −1 ∂E(k) 7 ∼ k⊥ τtr ∼ k⊥ E(k) . ∂t k⊥ ∂k⊥ ∂k⊥ b0 k⊥ ∂k⊥ ∂k⊥ On introduit ensuite le spectre axisym´etrique : ∂(k f (k )E(k⊥ )) k f 2 (k ) ∂ ∂(k⊥ k E(k)) ∼ ∼ ∂t ∂t b0 ∂k⊥



∂(E(k⊥ )/k⊥ ) 6 E(k⊥ ) k⊥ ∂k⊥



Apr`es simplification, on obtient l’´equation de diffusion non-lin´eaire suivante : ∂ ∂E(k⊥ ) =C ∂t ∂k⊥

  ∂(E(k⊥ )/k⊥ ) 6 , k⊥ E(k⊥ ) ∂k⊥

avec C une constante d´ependant, entre autres, de b0 et f (k ). Remarquons que cette ´equation de diffusion a ´et´e obtenue directement a` partir de l’´equation cin´etique de MHD en consid´erant l’approximation d’interactions locales (Galtier et Buchlin, 2010).

.

259

Exercice et correction II

x 6) Pour trouver les solutions exactes, on introduit le spectre E(k⊥ ) = Ak⊥ (avec A > 0) et le flux Π⊥ (k⊥ ). Pour cette analyse, on prend C = 1 ce qui revient `a dire que nous nous pla¸cons sur le temps caract´eristique de la cascade de turbulence d’ondes d’Alfv´en. On obtient : 2x+4 Π⊥ = A2 (1 − x)k⊥ .

La premi`ere solution x = 1 est un spectre a` flux d’´energie nul : c’est la solution thermodynamique. La seconde solution x = −2 correspond au spectre de Kolmogorov-Zakharov; dans ce cas, Π⊥ = 3A2 > 0 . Le flux est positif et donc la cascade directe.

II. Turbulence d’ondes gravitationnelles Cet exercice a pour objectif d’obtenir analytiquement les solutions exactes de la turbulence d’ondes gravitationnelles. Nous avons vu que l’´equation cin´etique s’´ecrit (Galtier et Nazarenko, 2017) :



4



3 2 |Tkkk | 1 k2

Nk Nk1 Nk2 Nk3



∂t Nk = 1 Nk

+

1 Nk3

−

1 Nk1

−

1 Nk2



k ω δ03,12 δ03,12 dk1 dk2 dk3 ,

k ω ≡ δ(k+k3 −k1 −k2 ) et δ03,12 ≡ δ(ωk +ωk3 −ωk1 −ωk2 ). Nous devons avec δ03,12 pr´eciser les sym´etries v´erifi´ees par le coefficient g´eom´etrique. Nous avons : 3 = Tkkk 1 k2

ainsi que :

1 3 (W kk3 + Wkk13kk2 + Wkkk + Wkk23kk1 ) , 2 k1 4 k1 k2 k1 k2 3 3 Wkkk = Qkk k1 k2 + Qkk3 . 1 k2

3 La forme exacte de Qkk k1 k2 n’est pas utile (voir Galtier et Nazarenko, 2017), seule l’information sur son degr´e d’homog´en´eit´e est importante. Nous avons :

ak ak3 = Tkk1kk32 , Tak 1 ak2

ce qui signifie que ce coefficient est sans dimension. Pour des interactions a` quatre ondes, la transformation conforme de Zakharov s’´ecrit : 1 ξ3 ξ2 ξ1 → , ξ2 → , ξ3 → , (TZa) ξ1 ξ1 ξ1 ξ1 →

ξ3 , ξ2

ξ2 →

1 , ξ2

ξ3 →

ξ1 , ξ2

(TZb)

260

Physique de la Turbulence ξ1 →

ξ1 , ξ3

ξ2 →

ξ2 , ξ3

ξ3 →

1 . (TZc) ξ3

1) En appliquant ces transformations a` l’´equation cin´etique, retrouver les solutions exactes isotropes propos´ees dans le chapitre 10. 2) En d´eduire le sens des cascades. 3) Donner les expressions des constantes de Kolmogorov.

Solutions : 1) On introduit le spectre d’action isotrope : Ni ≡ 2πki Nki , avec en particulier k0 ≡ k. Nous obtenons l’´equation cin´etique : 

 3 Ckkk N0 N1 N2 N3 1 k2

∂t N0 = avec :

3 ≡ Ckkk 1 k2

4 4π 2

k k3 k1 k2 ω + − − dk1 dk2 dk3 , δ N0 N3 N1 N2 03,12



3 2 k | δ03,12 dC0 dC1 dC2 dC3 , |Tkkk 1 k2

o` u les Ci sont des cercles de rayon ki . Nous allons rechercher les solutions non-triviales en loi de puissance. On introduit, Ni = Akix (avec A > 0), et le nombre d’onde sans dimension ξi ≡ ki /k ; on obtient : 3 3x+1

∂t N0 = A k



ξ

ξ 3 (ξ1 ξ2 ξ3 )x (1 + ξ31−x − ξ11−x − ξ21−x )δ03,12 dξ1 dξ2 dξ3 . Cξ1ξ 1 ξ2

Deux solutions triviales apparaissent : x=0

et x = 1 .

Il s’agit des solutions (thermodynamiques) `a flux nul associ´ees `a l’action d’onde et `a l’´energie, respectivement. Pour trouver les solutions non-triviales, on d´ecompose l’int´egrale en quatre parties identiques et on applique les trois transformations de Zakharov sur trois int´egrales. En particulier, on va utiliser les propri´et´es suivantes : ξ

TZa

ξ ξ

ξ

3 Cξ1ξ 1 ξ2

ξ1 ξ2 2 1ξ3 −→ ξ12 C1ξ ξ3 = ξ1 Cξ 1 ξ 2 ,

ξ3 Cξ1ξ 1 ξ2

ξ3 −→ ξ22 Cξξ321ξ1 = ξ22 Cξ1ξ , 1 ξ2

ξ

3 Cξ1ξ 1 ξ2

TZb

TZc

ξ

ξ

3 −→ ξ32 Cξξ13ξ12 = ξ32 Cξ1ξ , 1 ξ2

261

Exercice et correction II

obtenues en utilisant les sym´etries du coefficient g´eom´etrique. On obtient l’expression :

 1 3 3x+1 ξ3 ξ A k (ξ1 ξ2 ξ3 )x (1 + ξ31−x − ξ11−x − ξ21−x )δ03,12 dξ1 dξ2 dξ3 ∂t N0 = Cξ1ξ 1 ξ2 4  1−x x + ξ21−x − 1 − ξ31−x ) ξ dξ1 dξ2 dξ3 ξ 3 (ξ2 ξ3 ) (ξ1 + ξ12 Cξ1ξ ξ1 δ12,03 ξ 1−x 1 2 ξ13x ξ14 ξ1  1−x 1−x 1−x x + ξ1 − ξ3 − 1) ξ dξ1 dξ2 dξ3 ξ 3 (ξ1 ξ3 ) (ξ2 + ξ22 Cξ1ξ ξ2 δ21,30 3x 1−x 1 ξ2 ξ2 ξ24 ξ2   1−x x + 1 − ξ11−x − ξ21−x ) ξ dξ1 dξ2 dξ3 ξ 3 (ξ1 ξ2 ) (ξ3 2 1ξ + ξ3 Cξ 1 ξ2 ξ3 δ30,12 . ξ33x ξ34 ξ31−x En r´earrangeant les termes, nous obtenons :  1 3 3x+1 ξ3 A k ∂t N0 = (ξ1 ξ2 ξ3 )x (1 + ξ31−x − ξ11−x − ξ21−x ) Cξ1ξ 1 ξ2 4 ξ (1 − ξ1−3x−2 − ξ2−3x−2 + ξ3−3x−2 )δ03,12 dξ1 dξ2 dξ3

= k 3x+1 I(x) . Les solutions `a flux constant non-nul sont : x=−

2 3

et x = −1 .

2) La premi`ere solution exacte correspond `a une cascade inverse d’action et la seconde `a une cascade directe d’´energie. Pour d´emontrer cette association, nous devons introduire les flux d’action Ξ et d’´energie Π. Dans le premier cas, nous avons : ∂t N0 = k 3x+1 I(x) = −

∂Ξ , ∂k

d’o` u:

k 3x+2 I(x) . 3x + 2 La solution a` flux d’action constant (non-nul) s’obtient pour x = −2/3, valeur qui annule l’int´egrale I, d’o` u (avec la r`egle de l’Hospital) : Ξ(k) = −

lim

x→−2/3

Ξ(k) ≡ ζ = −

lim

x→−2/3

∂I(z) I(x) =− |z=0 , 3x + 2 ∂z

avec z = 3x + 2. On obtient finalement :    ξ1 ξ2 A3 5/3 5/3 5/3 ξ3 ξ −2/3 ζ = − (ξ ξ ξ ) (1 + ξ − ξ − ξ ) ln dξ1 dξ2 dξ3 δ03,12 Cξ1ξ 1 2 3 3 1 2 1 ξ2 4 ξ3 = −A3 J1 .

262

Physique de la Turbulence

Une ´evaluation du signe de l’int´egrand montre que ζ < 0 : la cascade est donc inverse. Dans le second cas, nous avons E0 = kN0 et : ∂t E0 = k 3x+2 I(x) = −

∂Π . ∂k

D’o` u la relation :

k 3x+3 I(x) . 3x + 3 La solution a` flux d’´energie constant (non-nul) s’obtient pour x = −1, valeur qui annule l’int´egrale I, d’o` u: Π(k) = −

lim Π(k) ≡ ε = − lim

x→−1

x→−1

∂I(˜ z) I(x) =− |z˜=0 , 3x + 3 ∂ z˜

avec z˜ = 3x + 3. On obtient finalement l’expression :  A3 ξ3 ε = − Cξ1ξ (ξ1 ξ2 ξ3 )−1 (1 + ξ32 − ξ12 − ξ22 ) 1 ξ2 4 ξ (ξ1 ln ξ1 + ξ2 ln ξ2 − ξ3 ln ξ3 )δ03,12 dξ1 dξ2 dξ3

=

A3 J2 .

Une ´evaluation du signe de l’int´egrand montre que ε > 0 : la cascade est donc directe. 3) Pour trouver les expressions des constantes de Kolmogorov, il suffit d’exprimer A en fonction du flux. Dans le cas de l’action, nous avons : N0 = CN (−ζ)1/3 k −2/3 , −1/3

avec la constante de Kolmogorov, CN = J1

.

Pour l’´energie, nous obtenons : N0 = CE ε1/3 k −1 , −1/3

avec la constante de Kolmogorov, CE = J2

.

Bibliographie Galtier S., Buchlin E. (2010) Nonlinear diffusion equations for anisotropic magnetohydrodynamic turbulence with cross-helicity. Astrophys. J., 722(2), 1977-1983. Galtier S., Nazarenko S.V. (2017) Turbulence of weak gravitational waves in the early Universe. Phys. Rev. Lett., 119, 221101.

Annexe : formulaire Identit´ es vectorielles • Produit multiple : (a × B) · (C × D) a · (B × C) a × (B × C)

= (a · C)(B · D) − (a · D)(B · C) = B · (C × a) = C · (a × B) = B(a · C) − C(a · B)

• R`egle pour les produits avec d´eriv´ee : ∇(f g) = ∇(a · B) = ∇ · (f a) = ∇ · (a × B) = ∇ × (f a) = ∇ × (a × B) =

f (∇g) + g(∇f ) a × (∇ × B) + B × (∇ × a) + (a · ∇)B + (B · ∇)a f (∇ · a) + a · (∇f ) B · (∇ × a) − a · (∇ × B) f (∇ × a) − a × (∇f ) (B · ∇)a − (a · ∇)B + a(∇ · B) − B(∇ · a)

• R´egle pour les d´eriv´ees secondes : ∇ · (∇ × a) = ∇ × (∇f ) = ∇ × (∇ × a) =

0 0 ∇(∇ · a) − Δa

D´ eriv´ ees vectorielles Nous donnons ici la liste des d´eriv´ees vectorielles dans les trois coordonn´ees usuelles. • Coordonn´ees cart´esiennnes. d = dx ex + dy ey + dz ez dV = dx dy dz

264

Physique de la Turbulence

Fig. A.1 – Syst`emes de coordonn´ees cylindriques et sph´eriques. Gradient : ∇Ψ =

∂Ψ ∂x ex

Divergence : ∇ · u =

∂Ψ ∂y ey

+

∂Ψ ∂z ez

+

∂uy ∂y

+

∂uz ∂z

∂uz ∂y

−

+

∂ux ∂x

Rotationnel : ∇ × u =



∂uy ∂z

∂2Ψ ∂x2

Laplacien scalaire : ΔΨ =

+



ex +

∂2Ψ ∂y 2

+

 ∂u

x

∂z

−

∂uz ∂x



ey +



∂uy ∂x

−

∂ux ∂y

 ez

∂2 Ψ ∂z 2

Cas vectoriel : Δu = Δux ex + Δuy ey + Δuz ez • Coordonn´ees cylindriques. d = dr er + rdθ eθ + dz ez dV = r dr dθ dz Gradient : ∇Ψ =

∂Ψ ∂r er

Divergence : ∇ · u =

+

1 ∂Ψ r ∂θ eθ

1 ∂ r ∂r (rur )

Rotationnel : ∇ × u =  r − ∂u ∂θ ez

r ∂θ

∂Ψ ∂z ez

z + ∂u ∂z   ∂ur θ − ∂u ∂z er + ∂z −

+

 1 ∂uz

+

1 ∂uθ r ∂θ

∂uz ∂r



eθ +

1 r



∂ ∂r (ruθ )

 ∂Ψ  2 2 ∂ r ∂r + r12 ∂∂θΨ2 + ∂∂zΨ Laplacien scalaire : ΔΨ = 1r ∂r 2     uθ 2 ∂ur θ Cas vectoriel : Δu = Δur − ur2r − r22 ∂u ∂θ er + Δuθ − r 2 + r 2 ∂θ eθ + Δuz ez     u · ∇ b = u · ∇br − uθrbθ er + u · ∇bθ + uθrbr eθ + (u · ∇bz )ez • Coordonn´ees sph´eriques. d = dr er + rdθ eθ + r sin θdφ eφ

265

Annexe : formulaire dV = r2 sin θ dr dθ dφ Gradient : ∇Ψ =

∂Ψ ∂r er

Divergence : ∇ · u =

+

1 ∂Ψ r ∂θ eθ

2 1 ∂(r ur ) r2 ∂r

Rotationnel : ∇×u =   ∂ur θ) eφ + r1 ∂(ru − ∂r ∂θ

1 r sin θ



+

+

1 ∂Ψ r sin θ ∂φ eφ

∂(sin θ uθ ) 1 r sin θ ∂θ

∂(sin θ uφ ) ∂θ

−

∂uθ ∂φ



+

∂uφ 1 r sin θ ∂φ

er + 1r



1 ∂ur sin θ ∂φ

−

∂(ruφ ) ∂r

 eθ

 2 ∂Ψ    ∂ 1 ∂Ψ 1 ∂ ∂2Ψ Laplacien scalaire : ΔΨ = r12 ∂r r ∂r + r2 sin θ ∂θ sin θ ∂θ + r 2 sin2 θ ∂φ2    ∂u Cas vectoriel : Δu = Δur − r22 sin1 θ ∂(sin∂θθuθ ) + sin1 θ ∂φφ + ur er    uθ 2 cos θ ∂uφ r eθ + Δuθ + r12 ∂2u − − 2 2 sin θ sin θ ∂φ   ∂θ  uφ 2 cos θ ∂uθ r + Δuφ + r12 sin2 θ ∂u + − eφ 2 2 ∂φ sin θ ∂φ sin θ    u b +u b u · ∇ b = u · ∇br − θ θ r φ φ er + u · ∇bθ +   u b +u b cot θ eφ + u · ∇bφ + φ r rφ θ

Th´ eor` emes fondamentaux • Th´eor`eme du gradient :  a

b

(∇f ) · d = f (b) − f (a)

• Th´eor`eme de la divergence (ou d’Ostrogradski) :   (∇ · a)dV =  a · dS

• Th´eor`eme du rotationnel (ou de Stokes) :   (∇ × a) · dS = a · d

uθ br −uφ bφ cot θ r

 eθ

Index A action, 253 anomalie d’exposant, 49, 135 anomalie dissipative, 35, 71, 107, 127 auto-similaire, 218 autocorr´elation, 19

B base h´elicitaire complexe, 204 Batchelor, 9 Benney, 146 brisure spontan´ee de sym´etrie, 35 Burgers (´equation), 48, 131

C cascade, 6, 38, 51, 73 cascade directe, 186, 259, 262 cascade duale, 10 cascade inverse, 10, 79, 112, 262 chaos, 15 chauffage, 29 compression, 125 condition de r´esonance, 145, 156, 180, 206, 229 conjecture d’Onsager, 45, 107 conservation d´etaill´ee, 69, 82, 136, 180 corr´elateur spectral, 176 corr´elation, 7 cumulant, 21, 75, 159, 177

D DIA, 77 diffusion non-lin´eaire, 90, 211, 257 diffusion turbulente, 6 dilatation, 125 dissipation inertielle, 45, 106, 134 dissipation visqueuse, 46 dynamo, 112

E ´echelle sonique, 126 EDQNM, 76, 111, 202 effet Hall, 240 effet papillon, 15 enstrophie, 10, 33, 80 ´equation cin´etique, 146, 161, 179, 252 ´equation de Duffing, 151 ´equilibre critique, 113 ergotique, 19 espace-temps, 250 expansion uniforme, 152, 159 exposant de H¨older, 47

F fermeture, 70, 73, 177 fermeture DIA, 77 fermeture EDQNM, 76 fermeture QN, 75 filament, 123 flux d’´energie, 70, 86 fonction de courant, 82 fonction de structure, 21

268 fonction de transfert, 70 fractale, 51

H h´elicit´e crois´ee, 103 h´elicit´e magn´etique, 110 hypoth`ese de Taylor, 98

I impr´edictibilit´e, 15 interaction locale, non-locale, 70 interactions r´esonnantes, 145 intermittence, 8, 48, 108, 199, 218 isotherme, 124

J Joule, 29

K K´ arm´ an-Howarth (´equation), 37, 103 K´ arm´ an-Howarth (formulation faible), 46, 107 Kolmogorov, 7, 56 Kraichnan, 9, 69

L Leray, 43 Loi de Duchon & Robert, 47 loi de probablilit´e, 21 loi des 4/3, 41, 103 loi des 4/5, 41 loi exacte, 125 loi fractale, 54 loi log-normale, 57 loi log-Poisson, 59, 109 loi z´eroi`eme, 34, 103 Lorenz, 15

Physique de la Turbulence

M m´emoire spatio-temporelle, 20, 51 m´ethode des ´echelles multiples, 146, 157 MHD, 100, 223 mod`ele β, 51 mod`ele en couche, 92 mod`ele log-normal, 56 mod`ele log-Poisson, 57 mode lent, 201, 230, 234 moment, 21, 74 moyenne d’ensemble, 19, 33, 66, 158, 176

N Navier-Stokes (´equations), 29 nombre de Reynolds, 4, 19, 29, 101 nombre de Reynolds magn´etique, 101 nombre de Rossby, 199 nuage interstellaire, 42, 122

O Obukhov, 7, 56 onde acosutique, 149 onde capillaire, 148, 169 onde d’Alfv´en, 113, 224 onde de gravit´e, 148, 169 onde de Kelvin, 150 onde de Rossby, 148 onde de surface, 144 onde ´elastique, 149 onde gravitationnelle, 150, 249 onde inertielle, 148, 204 onde magn´etostrophique, 149 onde optique, 149 onde quantique, 150 op´erateur de projection, 68

P ph´enom´enologie compressible, 126 ph´enom´enologie de Fjørtoft, 80

269

Index ph´enom´enologie de Kolmogorov, 42, 72, 111 ph´enom´enologie de Taylor, 43

Q QN, 75

R relativit´e g´en´erale, 249

S simulation num´erique directe, 12, 189, 236 Soleil, 223, 237 solution faible, 43 solution non-stationnaire, 91 solution thermodynamique, 184, 232 spectre d’´energie, 67 spectre d’Iroshnikov-Kraichnan, 227 spectre de Kolmogorov, 72, 91 spectre de Kolmogorov-Zakharov, 184, 208, 253 sym´etrie, 21

temps non-lin´eaire, 42 terme s´eculaire, 152 th´eorie spectrale, 9 tokamak, 230 tourbillon, 17 transformation de Zakharov, 84, 147, 183, 260 triade d’interaction, 68 tube de vorticit´e, 38 tube magn´etique, 111 turbulence, 4 turbulence anisotrope, 110, 113, 199, 207, 228 turbulence compressible, 122, 240 turbulence homog`ene, 35, 66, 176 turbulence interstellaire, 122 turbulence isotrope, 40, 70 turbulence stationnaire, 40, 72 turbulence supersonique, 126

V variable canonique, 173, 223 variables d’Els¨asser, 104, 223 vent solaire, 98, 108, 116, 227 vent solaire (chauffage), 100, 104, 108

T

Z

taux d’amortissement, 76 taux moyen de dissipation, 33, 72

Zakharov, 11, 147 zone inertielle, 37, 72, 73, 124