Electrodynamique et propagation des ondes radio-électriques

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V. Nikolski

ÉLECTRODY N A M I Q U E E T P R O PAGAT I O N DES ONDES RADIOÉLECTRIQUES

Éditions Mir Moscou

B. HHKOJIbCKHfl

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V. NIKOLSKI

ÉLECTRODYNAMIQUE ET PROPAGATION DES ONDES RADIO-ÉLECTRIQUES

EDITIONS MIB ■ MOSCOU

Traduit du russe par V. KOLIMÊEV

l

Ha (ppaHify3CKOM subute

à symétrie axiale; dans l'autre (6)>

D,E (croissance)

' fJDJE(décroissance)

nB yH (décroissance)

B , N (croissance)

b)

Fig. 3.3. c'est le vecteur dB/dt qui fait de même. On voit sur la fig. que les lignes de force magnétique (a) ou électrique (6)*sont des circonférences fermées et que le carac­ tère de structure du champ est différent suivant que le champ décroît ou croît. Expliquer cette figure en partant des équations de Maxwell. I n d i c a t i o n : se servir de la méthode utilisée dans l'exemple 1 du § 2. 3. Par quelle voie et sous quelles hypothèses l'équation (3.1) peut-elle être obtenue à partir de (2.1)?

IL PROPRIÉTÉS DES MILIEUX ET CONDITIONS AUX LIMITES § 4. Polarisation et aimantation 4.1. Traits généraux des phénomènes électromagnétiques dan9 des milieux matériels. — Généralement, les phénomènes électro­ magnétiques qui se déroulent à l ’intérieur de la substance sont en moyenne si équilibrés qu’ils ne produisent pas par eux-mêmes de champ qui soit observable à l ’échelle macroscopique. Il ne peut

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y avoir exception que pour certains milieux, les ferromagnétiques par exemple: tout le monde connaît l ’action des aimants permanents dont les champs sont dus justement aux phénomènes spontanés intérieurs. Pourtant, lorsque les particules chargées de la matière sont soumises à l ’action d’un champ extérieur, la compensation mutuelle des champs intérieurs se trouve plus ou moins troublée. On peut affirmer que quand un corps est placé dans un champ électri­ que extérieur il s’y produit une certaine déformation ainsi qu’une réorientation d’atomes et de molécules dont les charges restent liées dans l’ancienne structure de la substance. Cependant, par suite de ces écarts, il apparaît un champ intérieur de valeur telle qu’en se superposant au champ extérieur, il le modifie notablement. Ce phénomène se produisant dans un champ électrique extérieur porte le nom de polarisation du milieu. Un phénomène analogue qui se manifeste dans un champ magnétique extérieur s’appelle aiman­ tation. Au sixième chapitre nous étudierons les phénomènes inté­ rieurs dont divers milieux sont le siège. Pour l’instant limitonsnous à une description purement phénoménologique et examinons le sens physique des équations de mécanique dans le système d’équa­ tions de Maxwell. Si E est l’intensité de champ électrique, l’induction électrique dans le vide sera D 0 = EqE. Pourtant, dans un milieu matériel, on observera pour la même intensité E une induction D et l’examen de la différence D — Z) 0 présentera un certain intérêt. De même, on peut considérer la différence B — B0, où B 0 = PqJÎ est l ’induc­ tion magnétique dans le vide pour une certaine intensité H et B est l’induction dans le milieu étudié pour la même intensité. En utilisant les notations P = D - D 0 et M = B - fi0, (4.1) nous appellerons P la polarisation électrique et M Y aimantation (ou polarisation magnétique) 1). La polarisation et l ’aimantation d’un milieu interviennent généralement comme des phénomènes indépendants l ’un de l’autre si bien qu’on peut écrire P = P (£), M = M (H),

D = D ce ), B = B (//).

(4.2)

L’interprétation la plus simple de ces formules est que, par exemple, la polarisation P (r, t) est entièrement définie par l ’intensité de champ E (r. /) au même point de l ’espace A (r) et au même instant t (il en est de même de M). En d’autres termes, la polarisation et *) Par souci d’uniformité nous renonçons ici à la définition traditionnelle du vecteur aimantation d’après laquelle M = JL B — H.

Po

3*

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NOTIONS DE LA THÉORIE DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

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l'aimantation sont regardées comme des phénomènes locaux et dépourvus d'inertie : en tout point M (r) ils sont indépendants de l ’état du milieu environnant et de plus, ils ne sont pas liés à « l’évo­ lution antérieure » de cet état. Pour le moment nous adopterons ce point de vue en posant aussi que P = 0 pour E = 0 et M = 0 pour H — 0, c’est-à-dire que la polarisation et l ’aimantation spontanées n’interviennent pas. 4.2. Susceptibilités et permittivités des milieux. — Dans la plupart des cas les vecteurs P, E et Z), de même que les vecteurs M, / / et B , sont colinéaires, si bien qu’on peut écrire commodément P = x% E et M = xmHoff, (4.3) où xe et Xra sont des coefficients sans dimension appelés respective­ ment la susceptibilité électrique et la susceptibilité magnétique du milieu. Ils expriment la « mesure de la réponse » du milieu à un phénomène électromagnétique extérieur. En utilisant les égalités (4.1), on obtient les relations D = ee0E et B = pp 0ZT, (4.4) où e = 1 + Xe et p = 1 r y.m, (4.5) qui ne sont autres que les équations de mécanique que nous avons incorporées dans le système d’équations de Maxwell (3.12) ; rappelons que les paramètres e et fi ont été appelés permittivité électrique et pennittivité (ou perméabilité) magnétique. On les appelle aussi permittivités relatives, alors que les coefficients ea = e0e et pa = . = p0p s ’appellent respectivement permittivité absolue et perméabilité absolue. 4.3. Classification des milieux. — Le caractère des permittivités e et |.i que nous considérons pour l’instant comme des coefficients scalaires intervenant dans les relations (4.4) correspond à la nature du milieu. Il est évident que dans le cas d’un milieu homogène, c’est-à-dire ayant les mêmes propriétés physiques en tout point de l’espace, e et p sont des grandeurs qui ne dépendent pas des coordonnées, alors que pour un milieu non homogène ce sont des fonctions des coordonnées e = e (r), p = p (r). Si 8 et p ne dépendent pas du champ, les relations entre les inductions et les intensités (4.4) sont linéaires; le milieu est alors dit linéaire (au sens des phénomènes de polarisation). Bien entendu, des milieux parfaitement linéaires n’existent pas dans la nature. La non-linéarité ne se manifeste, dans la plupart des cas, que pour des intensités de champ extrêmement élevées. C’est ainsi, par exemple, que l’on a affaire à la non-linéarité élec­ trique des milieux soumis à des champs électromagnétiques produits par des lasers de puissance. Pourtant, pour des champs relativement

§4]

POLARISATION ET AIMANTATION

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faibles, la non-linéarité est propre aux ferromagnétiques et à cer­ tains autres milieux. En général, lorsque e et p, ne dépendent pas du champ, les équations (4.4) doivent être considérées comme des relations « linéarisées » de forme plus générale. Soit, par exemple, la dépendance D = D (E) qui se réduit à la dépendance scalaire : D = D (.E). En représentant cette dépendance sous forme de série de Taylor suivant les puissances de E , on obtient en l'absence de polarisation spontanée (D (0) = 0) : D (E) = e0e (E) E ,

(4.6)

e (E) = el + eiE + s zE2+ . . . + z nEn+ . . . , dD /m 1 dn^ D /m

(4.6')

où

£ l~

dE

&n

(» + !)!

dE™

Lorsque les valeurs absolues de E sont suffisamment petites, on peut considérer que la permittivité électrique e (E) est indépendante de E et est égale à la permittivité linéarisée e\. Jusqu’ici nous avons vu des milieux pour lesquels les vecteurs P, E et D ainsi que Af, H et B étaient colinéaires (v. plus haut n° 4.2). On peut ajouter que généralement ils sont non seulement colinéaires mais aussi parallèles (les permittivités sont positives). D’après leur sens, les formules (4.4) sont indifférentes à la direction du champ. De tels milieux sont dits isotropes. Mais on est souvent amené à considérer aussi des milieux anisotropes, c’est-à-dire des milieux dont les propriétés physiques varient suivant la direction du champ. L’anisotropie ne doit pas être confondue avec l’inhomogénéité: un milieu anisotrope, de même qu’un milieu isotrope, peut être non homogène ou homogène ; dans ce dernier cas ses pro­ priétés en tout point varient suivant la direction de la même façon. Les cristaux sont anisotropes. En radiotechnique, on utilise large­ ment des ferrites aimantés qui sont anisotropes dans un champ à très haute fréquence. Les couches ionisées de l ’atmosphère sont aussi anisotropes (sous l’action du magnétisme terrestre), fait dont on tient compte lors de l ’analyse de la propagation des ondes radio­ électriques. Lorsqu’il y a anisotropie (polarisation électrique ou magnétique), les vecteurs inductions et intensités deviennent non colinéaires. 4.4. Description de l’anisotropie. — Dans le cas d’un milieu anisotrope les équations de mécanique (4.4) conservent leur forme mais par permittivité e et \i on doit entendre des matrices (du troi­ sième ordre) appelées respectivement tenseur de permittivité élec­ trique et tenseur de perméabilité magnétique. Ecrivons, pour un certain système de coordonnées cartésiennes, les tenseurs de permit-

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NOTIONS DK LA THÉORIE DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

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tivités sous la forme ( ZXX E.yy e xr\

/H-.tx H.v// PxA e//x eyy eyz I ©t P — I Ur/x Pyy P-r/r J . ®rx

c zz'

(4- /)

V^zac V’zy M’z z'

Ainsi, les propriétés d’un milieu sont décrites à l ’aide d’une col­ lection de nombres : chaque tenseur se caractérise par neuf éléments qui sont des constantes pour un milieu homogène et des fonctions des coordonnées pour un milieu non homogène. Dans la plupart des cas, parmi les éléments des tenseurs e et p, il existe des zéros. Prenons une des équations de mécanique pour illustrer son écriture en projec­ tion sur les axes de coordonnées dans le cas d’un milieu anisotrope: Dx

=

ZxxEx + t xtJh y

Dy = SyXEx

-f- t xzE z,

SyyEy "j"^IJ Z’

= t ZXE x 4" EzyEy “1“ E'ZZ^'Z* Chaque composante du vecteur induction peut dépendre de toutes les trois composantes du vecteur intensité (si la ligne correspondante du tenseur de permittivité ne comporte pas de zéros). Aux tenseurs de permittivités e et p. correspondent des tenseurs de susceptibilités %e et ym. Ces grandeurs sont toujours reliées entre elles par les formules (4.5) dans lesquelles l’inité doit être remplacée par le symbole de la matrice unité du troisième ordre (I). 4.5. Quelques renseignements numériques. — Indiquons, avant de clore ce paragraphe, quelques renseignements numériques sur les propriétés des substances répandues. Les renseignements figurant dans les deux tableaux sont valables pour une température t = = 20 °C et une pression normale (cette dernière caractéristique est importante dans le cas des gaz). Le tableau 4.1 indique les résultats de la mesure de e dans divers champs variables ainsi que dans le champ statique (de « fréquence 0 »). Le tableau 4.2 est donné pour mettre en évidence ce fait que la perméabilité magnétique de la plupart des substances est voisine de l’unité. On y a indiqué quelques paramagnétiques (p ,;> l) et diamagnétiques (p, < 1). Dans des champs constants et assez lente­ ment variables, la perméabilité magnétique des ferromagnétiques (en particulier du fer) est très supérieure à l ’unité; sa variation en fonction du champ suit une loi assez complexe. Signalons que le titanate de baryum indiqué dans le tableau 4.1 se range dans la classe de matériaux ferro-électriques dont les propriétés électri­ ques sont formellement analogues aux propriétés magnétiques des ferromagnétiques (en particulier, ils peuvent se polariser spontané­ ment). Le tableau indique la perméabilité linéarisée.

§4]

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POLARISATION ET AIMANTATION

Tableau 4.1

Perm ittivité électrique [K.2J Substance

Air Eau — — — — — — Paraffine Quartz fondu Verre de plomb Stéatite Marbre Styrène Polyéthylène Mica Titanate de baryum

Fréquence. Hz

e

0 à 3-1010 0 10® 109 3*10° 101# 1,9* 1010 2,4-10l° 106 à 109 103 à 10® 103 à 10® 106 à 10^ 106 10® à 10° 10® à 109 103 à 10* 10®

1,000536 81,10 80 80 78 64 44 35 2,2 3,8 6,9 6 8 2,55 2,30 7 1200

Le quartz fondu (tableau 4.1) est une substance amorphe et isotrope. Les cristaux de quartz sont des cristaux uniaxes et le monocristal de quartz est un milieu anisotrope caractérisé par le tenseur de permittivité électrique [K. 2] /4 ,5 5 0 0 \ e= 0 4,55 0 . 0 0 4,49/

V

Tableau 4.2

Perméabilité magnétique [K.2] Substance

Hydrogène Oxygène Eau

“ 0,99999999776 1,00000191 0,99999095

|

Substance

1 Cuivre Argent Aluminium

u 0,99999044 0,9999736 1,0000222

Exemples et exercices 1. L'égalité div H = 0, pour auels milieux est-elle valable? 2. Quel appareil formel est-il necessaire pour décrire un milieu anisotrope inhomogene et non linéaire?

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NOTIONS DE LA THÉORIE DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

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3. On a indiqué ci-dessus le tenseur de permittivité électrique du quartz pour un système de coordonnées cartésiennes convenablement orienté. Cette notation est-elle valable pour un système de coordonnées cylindriques ayant le même axe des z? 4. Pour quelles orientations du vecteur E le vecteur D dans un cristal de quartz ne lui sera-t-il pas parallèle?

§ 5. Conductibilité électrique 5.1. Courant et champ. Loi d’Ohm. — Dans la grande majorité des problèmes traités en électrodynamique la densité de courant de conduction / est une certaine fonction de l ’intensité de champ élec­ trique /= /(£ ), (5.1) et cette fonction caractérise le milieu au point de vue de sa conducti­ bilité électrique. La forme la plus simple et assez répandue de cette relation (5.1) / = oE (5.2) a été incluse plus haut dans le système d’équations de Maxwell (3.12). Pour des milieux qui sont isotropes en conductibilité électrique, la conductivité a est un coefficient scalaire (ou une fonction des coordonnées si le milieu est inhomogène). Pour des milieux anisotro­ pes, a est une matrice

appelée tenseur de conductivité. Montrons que dans le cas des milieux isotropes, linéaires en conductibilité électrique (a est indépendant du champ), l’équation de mécanique (5 .2 ) n’est rien d’autre qu’une forme d’écriture de la loi d’Ohm adaptée à une description locale du phénomène. Isolons dans un certain milieu un domaine cylindrique (f ig. 5.1, a) de manière que le vecteur / puisse être considéré, à l ’intérieur de ce domaine, comme invariable en grandeur (à l ’instant donné t) et orienté le long de l ’axe du cylindre (en vertu du (5.2) on peut dire la même chose au sujet du vecteur E). Intégrons sur le volume V du cylindre les deux membres de l ’équation de mécanique (5.2)

Puisque / est constant, l ’intégrale du premier membre est j l = = jS l = v0/Z o ù v 0 est le vecteur unitaire indiquant le sens du courant et / = jS est le courant. De même, au second membre, on a oEV = oESl = v 0oSEl = v 0oSU où U = E l peut être appelée.

§5]

CONDUCTIBILITÉ ÉLECTRIQUE

41

en utilisant le terme adopté en électrotechnique, chute de tension dans le tronçon Z. Ainsi, l’égalité précédente des intégrales donne U = 1$

{.# = 1/aS),

(5.4)

ce qui est précisément l ’expression de la loi d'Ohrn pour une portion de circuit. La grandeur M = IfaS est la résistance électrique du cylindre considéré (qui pourrait être représenté par un morceau.

de fil). Puisque la résistance se mesure en ohms [Q], la conductivité a a les dimensions [l/(Q*m)l ; son unité de mesure s’appelle le Siemens par mètre [S/m]. 5.2. Courant et vitesse de déplacement des charges. — Soit une certaine distribution de charges qui se déplacent (en moyenne) à la vitesse v, si bien qu’en tout point de l’espace il existe un courant caractérisé par sa densité /. Nous pouvons nous reporter de nouveau à la fig. 5.1, a qui représente un volume élémentaire V. Le courant passant par la base S du cylindre est I = j \ 0S = jS . D’autre part Ag dq I = lim At ~ d t' A I-0 où Aq est la charge traversant S pendant le temps At. Supposons qu’à l ’instant t le volume V = SI (fig. 5.1, a) con­ tient une charge q. Au bout du temps A/, cette charge occupera une région déplacée de Al dans la direction de j (elle est indiquée sur la fig. 5.1, b) et la charge Aq qui a traversé la base du cylindre sera répartie dans le volume AP = S AZ. Compte tenu du fait que lorsqueA f-> 0 AqlAV p et Al/At v. écrivons 1:— A? AK — 1im 1" AI

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NOTIONS DE LA THÉORIE DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

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d ’où il résulte que / = py ou, sous forme vectorielle, y = p». (5 . 5 ) Le résultat obtenu se présente sous une forme très simple (l’analy­ se du mouvement d’un liquide conduit à une relation analogue), mais l’introduction du vecteur vitesse d exige d’ajouter aux équa­ tions de Maxwell des équations complémentaires exprimant le mou­ vement des particules chargées dans un champ électromagnétique. 5.3. Conducteurs et diélectriques. — Le tableau 5.1 indique les valeurs de la conductivité pour quelques corps courants [A. 21. Tableau 5.1

Conducteurs et diélectriques [A. 2] Corps

o. S/m

Argent Cuivre recuit Aluminium indus­ triel Fer Etain Plomb Mercure

6,139-lu" 5,8005-107 3,54-107 1.0-107 0,869-lÜ7 0,48-107 0 ,1O44-107

Corps

Quartz fondu Paraffine Mica Verre Bakélite Marbre

- oo), et de diélectrique parfait dépourvu de toute conductibilité (a = 0 ). Il existe aussi des milieux qui occupent d’après leur conductivité une position intermédiaire entre les conducteurs et les diélectriques (tableau 5.2). Dans les champs électromagnétiques, ces substances ^e comportent soit comme des diélectriques, soit comme des conduc­ teurs. Pour trouver une mesure permettant d’évaluer les propriétés des milieux intermédiaires il faut d’abord saisir le sens de la diffé­ rence qualitative qui existe entre les conducteurs et les diélectriques. Comparons un diélectrique parfait et un conducteur parfait. Dans

CONDUCTIBILITÉ ÉLECTRIQUE

**1

43 Tableau 5.2

Milieux intermédiaires [F. 1] M ilieu

Sol sec Sol humide Eau distillée Eau douce naturelle Eau de mer

e

a. S/ra

3 à 6 10 à 30 35 à 80,10 (v. tableau 4.1) 80 80

1,1-10-* à 2-10-3 3-10-3 à 3-10-2 2-10-4 10-3 à 2,4-10-2 1 à 4,3

le premier milieu (a = 0 ) ne peut exister que le seul courant de déplacement, car le premier terme de l’expression donnant la densité de courant total • i àD n i àE J + i r = 0 E + 8 °8 "àr est nul. Dans le second milieu (cr->- oo), au contraire, il n’existe que le courant de conduction: le deuxième terme est infiniment petit par rapport au premier. Aussi un milieu réel doit-il être considéré comme étant voisin d’un diélectrique parfait si le courant de dépla­ cement y prédomine sur le courant de conduction et voisin d’un conducteur parfait si le courant de conduction l’emporte considé­ rablement. C’est ce critère qui distingue en électrodynamique les conducteurs réels des diélectriques réels. Comme il résulte de l’ex­ pression du courant total, le rapport des courants de conduction et de déplacement dépend non seulement des paramètres a et e des milieux mais aussi de la vitesse de variation du champ. En radiotechnique, ce sont les champs variant harmoniquement en fonction du temps qui présentent un intérêt particulier. Pour de tels champs, il n’est pas difficile d’obtenir un critère simple per­ mettant de ranger les milieux soit dans le groupe de conducteurs, soit dans celui de diélectriques. Ainsi, supposons que l’intensité d’un champ électrique soit définie par la fonction E e = Em (r) X X cos \(ùt + 9 (r)l, ce qui correspond aux oscillations harmoniques de pulsation