NUMEROS E OPERAÇOES - CONTEÚDO E METODOLOGIA DA MATEMÁTICA 8526221159

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Série Didática - Classes de Magistério.

CONTEÚDO E METODOLOGIA DA MATEMÁTICA

NUMEROS

E OPERAÇOES

MARÍLIA CENTURIÓN Bacharelada e licenciada em Matemática; professora de Matemática no 1? e no 2? grau; ministra cursos de atualização de professores pela FUNBEC.

editora scipione

■

editora scipione DIRETORES

Luiz Esteves Sallum Maurício Fernandes Dias Vicente Paz Fernandez Patrícia Fernandes Dias José Gallafassi Filho Antonio Nicolau Youssef Joaquim Nascimento GERÊNCIA EDITORIAL

Aurelio Gonçalves Filho RESPONSABILIDADE EDITORIAL

Lidia Chaib GERÊNCIA DE PRODUCÃO

Cláudio Espósito Godoy REVISÃO

chefia - Sâmia Rios assistência - Miriam de Carvalho Abões preparação - Maria Sílvia Gonçalves revisão - Márcio Della Rosa e Vera Lúcia Pereira Della Rosa ARTE

chefia - Antonio Tadeu Damiani coordenação - Maria do Céu Pires Passuello assistência - Yong Lee Kim e Sueli Ribas Loça capa - João Luiz Farias dos Santos ilustrações - Cor e Forma Studio de Artes Gráficas, Cassiano Rõda, Yang Lee Kim e Sueli Ribas Loça pesquisa iconográfica - Alice Reiko Haga fotos - Laureni Fochetto COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO

José Antonio Ferraz COMPOSICÃO E ARTE-FINAL

Diarte Editora ·e Comercial de Livros coordenação geral - Nelson S. Urata diagramação ·e coord. de arte-final - Sílvio Vivian coord. de composição - Armando F. Tomiyoshi composição - Nelson T. Dehira arte-final - João Passos, Marta de Souza e Rejane Mota IMPRESSÃO E ACABAMENTO

Prol - Editora Gráfica Ltda. Editora Scipione Ltda. MATRIZ

Praça Carlos Gomes, 46 . 01501-040 São Paulo SP DIVULGACÃO

Rua Fagundés, 121 O1508-030 São Paulo SP Te!. (011) 239 1700 Telex ( 11) 26732 Caixa Postal 65131 1994

ISBN 85-262-2115-9

Agradecimentos Este livro não poderia ter sido escrito sem a participação de muitas pessoas. Algumas, grandes mestres que tive o prazer de conhecer ao longo de minha vida, contribuíram, não só na elaboração destas páginas, mas em todo o meu caminhar e repensar de minha prática pedagógica. Devo agradecer também a minha editora, Lidia Chaib, pois este trabalho, seguramente, foi feito a quatro mãos. Ao amigo Valdemar Vello, pelas idéias e pelo desprendimento com que me sugeriu a bibliografia e colocou seus livros a minha disposição. Ao Nilson José Machado, por toda a colaboração, sugestões e apresentação deste livro. Ao Paulo Figueiredo, pelo grande incentivo, e por todas as sugestões que, generosamente, me fez. Ao Roberto, Renata e Lígia, pelas inúmeras leituras. À minha mãe e primeira mestra de matemática, que soube despertar em mim a paixão.

SUMÁRIO APRESENTAÇÃO POR NILSON JOSÉ MACHADO _ _ INTRODUÇÃO_____________ 1. ASSIM NASCE A CIÊNCIA DOS NÚMEROS _ _ _

6 8 9

• Os números também têm sua história _ _ _ _ _ _ 10 - A idéia de quantidade _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 10 - Um, dois, ... muitos!____________ 11 - Comparando para ''contar'' - a correspondência umpara-um _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13 - O senso numérico _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16 - Aprendendo a escrever quantidades - agrupando é mais fácil _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 17 - Números e suas representações _________ 19 • Os antigos sistemas de numeração ________ 21 - O sistema de numeração egípcio ________ 21 - O sistema de numeração da Babilônia ______ 23 - O sistema de numeração romano ________ 26 - O método chinês de escrever números ______ 29 • O sistema decimal de numeração ou sistema de numeração indo-arábico_______________ 32 - Características do sistema de numeração indo-arábico _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 33 • O ábaco__________________ 41 - Como uttfizar o ábaco ____________ 45 • Bases___________________ 47 2. CONJUNTOS_____________

• A palavra numérica_____________ • Conjuntos_________________ - A linguagem comum e a linguagem matemática _ • Conjuntos especiais ______________ • Igualdade e desigualdade entre conjuntos_____ - Igualdade______________ - Desigualdade _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Equivalência ou equipolência entre conjuntos ___ • Operações com conjuntos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Intersecção _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Reunião ou União _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - A diferença entre dois conjuntos ________

53 54 55 56 59 59 60 60 60 63 64 65 68

3. O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS E SUAS OPERAÇÕES_____________

73

• O conjunto dos números naturais _ _ _ _ _ _ _ _ • O número cardinal e o número ordinal ______ • Os elementos do conjunto dos números naturais__

74 77 81

- "Um a mais": a sucessão dos números naturais__ • As operações aritméticas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - As operações e seu significado _________ - Adição_________________ - Multiplicação ________________ - Subtração _____________ - Divisão ___________________ • As operações diretas e suas inversas ________ • A propriedade comutativa _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • A propriedade associativa ____________ • A propriedade distributiva _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • A propriedade de fechamento ___________ • O número zero e as operações __________ • O número um e as operações _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Expressões e sentenças matemáticas ________ 4. MÚLTIPLOS E DIVISORES _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Múltiplos de um número natural _________ - Conjunto de múltiplos de um número _____ - Conjunto de múltiplos comuns a dois ou mats números ___________________ • Divisores de um número natural _ _ _ _ _ _ _ __ - Conjunto dos divisores de um número ______ - Conjunto dos divisores comuns a dois ou mais números ___________________ • Os números primos e os números compostos ____ - A decomposição de um número em fatores primos _ • O menor múltiplo comum ou mínimo múltiplo comum - mmc _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • O maior divisor comum ou máximo divisor comum mdc _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Números primos entre si ___________

82 88 88 90 91 93 94 99 100 103 106 109 111 113 115 121 122 122 123 128 128 130 133 13 5 140 143 146

5. OS ALGORITMOS DAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS _ 149 • Algoritmos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 150 • Os algoritmos matemáticos ___________ 151 - Cálculo mental e algoritmos _ _ _ _ _ _ _ _ _ 151 • O algoritmo da adição _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 152 -Adição com transporte ____________ 155 • O algoritmo da multiplicação __________ 165 • O algoritmo da subtração ____________ 181 - Subtração com recurso ____________ 184 • O algoritmo da divisão _____________ 191 - A divisão exata _______________ 191 - A divisão não exata _____________ 200 - Grandezas discretas e grandezas contínuas _ _ _ _ 206

6. SURGE UM NOVO TIPO DE NÚMERO: O NÚMERO FRACIONÁRIO _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • A medida e o surgimento das frações _______ • As unidades de medida ____________ - Medidas de compn·mento ___________ - Medidas de área _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Medidas de volume _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Medidas de cap11Cidade _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Medidas de massa _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • A unidade fracionária _____________ • Fração ___________________ - Frllfões de grandezas discretas e frllfões de grandezas contínuas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Frações próprias, frações impróprias e frações aparentes _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • As frações equivalentes _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • A comparação de frações _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • As operações com frações _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - A adição e a subtr11Ção de frações _ _ _ _ _ _ _ - Multiplic11Ção e divisão de frllfões _ _ _ _ _ _ _ • Inverso ou recíproco de um número _ _ _ _ _ _ _ • Os algoritmos das operações com ,frações _ _ _ _ _ - Adição e subtração _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Multiplicação _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Divisão _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • O número fracionário e a notação decimal _____ - Fr11Ções ordinárias e frllfões decimais _ _ _ _ _ _ - Números decimais _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Dízimas penôdicas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • As operações com números decimais e seus algoritmos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Adição e subtração _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Multzplicação _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Divisão __________________ 7. O UNIVERSO DO NÚMERO _ _ _ _ _ _ _ _ • A ampliação dos campos numéricos e as propriedades das operações _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Os números negativos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Os números irracionais _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Quadro da ampliação dos campos numéricos ____ • Alguns fatos imponances da história do número _ _ BIBLIOGRAFIA _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

209 210 211 213 214 215 215 216 217 220 225 227 230 23 7 243 243 250 258 260 260 261 262 266 266 270 272 276 276 280 286 291 292 294 297 300 301 307

RESPOSTAS DAS ATIVIDADES _ _ _ _ _ _ _ _ 310

APRESENTAÇÃO

NILSON JOSÉ MACHADO é professor-doutor da Faculdade de Educação da USP. Autor, entre outros de Matemática e reali-

dade, 1987, Matemática e língua materna, 1990 e Matemática e educação, 1992.

Um dos maiores desafios enfrentados na importante tarefa de escrever para alunos/professores consiste, sobretudo, em dimensionar, adequadamente, o canal de comunicação no que se refere à linguagem a ser utilizada. Em tal situação, duas são as vias mais freqüentes. Numa delas, o autor permanece em seu patamar de professor e dirige-se aos leitores como se fossem alunos, transformando a leitura em uma lição a ser aprendida e correndo o risco calculado de subestimação de competências e experiências. Na outra via, os leitores são tratados efetivamente como professores, mas a eles o autor se dirige como se ascendesse a um novo patamar, de onde discorre sobre os temas em exame, articulando relações ou pensamentos filosóficos que supõe esclarecedores. Não se pode pretender que haja algo de intrinsecamente indesejável em qualquer.das duas vias. Ocorre que, no entanto, mesmo quando o aluno/professor não dispõe de maior fundamentação com relação aos conteúdos curriculares, suas carências quase sempre são peculiares, distintas das necessidades de um aluno regular. Por outro lado, ao situar-se em um patamar superior, o autor corre o risco de desligar-se do chão das práticas pedagógicas, onde, em princípio, estaria mais seguro, quase sempre sem alcançar a sistematização ou o poder de síntese do texto filosófico, e correndo o risco de cegar pelo excesso de luz. No presente texto, outra foi a via escolhida para o estabelecimento de um canal de comunicação com o leitor e dessa escolha decorreram, em grande pa·rte, os inúmeros méritos da obra de Marília Centurión: em cada página, em cada atividade, a perspectiva da autora não é nem paternalista nem erudita, mas a de uma professora amadurecida pela prática fecunda e criativa que, através de uma linguagem coloquial, partilha suas experiências de modo fraterno com o leitor. Assim, com um texto fluente, quase inteiramente desprovido de tecnicidades, as noções fundamentais do conteúdo matemático das séries iniciais vão paulatinamente sendo construídas, sem degraus excessivamente altos. O ritmo, às vezes lento, com muitas idas e vindas, nem sempre segue o caminho mais curto. Entretanto, nesta perspectiva, a lógica da construção é mais importante que a rapidez na obtenção de resultados. Em decorrência, o texto apresenta freqüentemente outras leituras, escolhidas de forma criteriosa, que aprofundam ou simplesmente reiteram o que está sendo analisado, sempre de modo enriquecedor. Um ponto que merece especial destaque, ao longo do texto, é a constante referência a uma grande diversidade de materiais didáticos, como o ábaco, os blocos lógicos, os materiais Cuisenaire e de Montessori, entre outros. Tais recursos, associados à grande variedade e à criatividade nos numerosos exercícios, contribuem decisivamente para a compreensão efetiva d,•s noções em construção. Em razão das características supramencionadas, a trajetória natural desta obra aponta para a ocupação de um lugar de destaque entre os textos de Matemática destinados aos alunos do curso de Magistério. Sua contribuição é significativa e seu sucesso será, sem dúvida, amplamente merecido. NILSON JOSÉ MACHADO

INTRODUÇÃO A matemática que é ensinada na escola espera desenvolver a atividade intelectual do aluno. No entanto, muitas vezes, o que se observa é uma seqüência de regras prontas, acabadas, e a matemática aparece como uma ciência já construída, exata, que basta a si mesma, não exigindo do aluno nenhuma atividade intelectual, mas sim uma grande capacidade de memorização para armazenar dados, regras, algoritmos, definições. O aluno, em vez de produtor intelectual, passa a ser um receptor passivo. O que a escola tem feito para levar em consideração o que o aluno já sabe, respeitando e estimulando a construção de seu conhecimento? Como explicar o fracasso escolar em relação ao aprendizado da matemática, quando a criança está sendo bem-sucedida nas tarefas de seu cotidiano que envolvem o desenvolvimento das estruturas lógicomatemáticas? Este livro propõe uma forma de encaminhar a abordagem dos conteúdos de matemática trabalhados nas séries iniciais do 1? grau, de tal modo que os alunos de Magistério - futuros professores - possam repensar esses conteúdos que, com certeza, já dominam, porém sob um novo enfoque: o da construção das idéias de números e operações. O fio condutor dessa construção/reconstrução é a História da Matemática. Uma história construída pelo homem de maneira não-linear, num caminhar cheio de incertezas, intuições, tentativas, erros e acertos. A partir do conhecimento das dificuldades enfrentadas nessa caminhada, tem-se uma melhor compreensão das dificuldades enfrentadas pelos alunos, ao ,percorrerem um caminho com os mesmos obstáculos. Não se pode ignorar que nosso jovem aluno está imerso nesse processo de evolução do conhecimento, ou seja, faz p·arte da cultura em construção. O lado mais proveitoso desse recurso é o de poder reproduzir situações análogas às que originaram a construção de conceitos matemáticos e aprender o modo como se dá a evolução dasidéias matemáticas, através da resolução de problemas, onde a intuição e a lógica desempenham papel muito importante. Procuramos também mostrar a visão de muitos autores acerca dos assuntos aqui abordados, como participação ativa no texto, além de relacionar uma extensa bibliografia como sugestão para leituras posteriores. Este livro pretende que o futuro professor vivencie os conteúdos que trabalhará com seus alunos de maneira crítica. Esperamos que este caminho o auxilie tanto a ser construtor de seu conhecimento, como também a ser um mediador na construção de conhecimentos dos seus alunos, incentivando-o a ser um professor crítico e participativo da prática educativa. A você, futuro mestre, dedicamos este trabalho.

OS NÚMEROS TAMBÉM TÊM SUA HISTÓRIA

A idéia de quantidade Uma das atividades mais importantes do nosso dia-a-dia é contar: contamos os dias, as horas, contamos quanto dinheiro temos, quanto estamos devendo, enfim, contamos, contamos. No entanto, houve um tempo em que não se sabia contar! Mas as necessidades da vida das sociedades mais primitivas fizeram com que o homem precisasse reconhecer e comparar quantidades: quantos animais tinha o seu rebanho? Quantos haviam nascido? Quantas luas se haviam passado? Quantas pessoas moravam em sua tribo? Assim, o homem primitivo desenvolveu o ato de contar para responder a essas e a outras questões. Portanto a idéia de quantidade está diretamente ligada às perguntas: QUANTOS? QUANTAS?

Hoje em dia, para responder a estas perguntas, usamos um número. No entanto, os números não existiam tal como os conhecemos

hoje. Nem mesmo a idéia de número existia. O conceito de número é abstrato e seu desenvolvimento deu-se através de um processo bastante lento e complexo, envolvendo diversas civilizações e muitos milhares de anos. Procuraremos, no decorrer deste primeiro capítulo, estudar a fantástica história dos números. Mas, antes, para que você entenda bem a idéia de número e sua relação com a quantidade de objetos contados, responda à seguinte pergunta: O QUE É "CINCO"? A maneira como esta questão foi formulada incomoda às pessoas. Experimente perguntá-la a alguns amigos e a crianças de várias idades e diferentes classes sociais e você ficará surpreso com as reações e com as diversas respostas. Muitas pessoas ficam sem reação, considerando a pergunta fácil demais para ser respondida, porém não encontrando a forma adequada para fazê-lo. Qual é a resposta ideal para explicar o "cinco"? Certamente algumas pessoas olharão para as próprias mãos, identificando cinco dedos. De fato, a palayra "cinco" pode identificar uma determinada quantidade de objetos, dependendo do contexto em que está inserida. Podemos, por exemplo, pensar em muitas coleções com cinco elementos:

10

E, ao identificarmos várias coleções de objetos, a partir da palavra "cinco", estamos atribuindo uma propriedade comum a todas elas: a mesma quantidade de objetos. Hoje, o símbolo que usamos para representar esta quantidade é 5. O cinco pode, também, em outras situações, representar relações diferentes. Por exemplo, na chapa de um carro: MP 0154. Neste caso, o 5 é parte de um código de identificação. Da mesma maneira, num elevador que possui os seguintes botões: SS, PG, T, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... o 5 representará o andar e não uma quantidade·de andares do prédio. Podemos ver também que, na base dez, por exemplo, no número 525, um dos 5 representa 5 unidades e o outro 5 centenas.

ATIVIDADES 1. Você pode ter uma dúzia de ovos, doze lápis e uma dúzia de amigos. O que há de comum em todas essas coleções? Isso depende da natureza dos elementos das suas coleções?

2. Podemos estabelecer uma relação entre as seguintes coleções: • os anões da Branca de Neve • as notas da escala musical • os dias da semana. Que relação é essa? Essa relação depende dos objetos considerados? Cite duas outras coleções entre as quais você possa estabelecer uma relação do mesmo tipo. Para aprofundar o debate sobre esta questão, leia as páginas 1 2 a 1 6 do livro O desenvolvi-

3. Para responder às questões anteriores você precisou PERCEBER, ABSTRAIR e GENERALIZAR. A percepção ocorre sensorial e mentalmente, de maneira imbricada. Você concorda com essa afirmação? Explique e depois discuta com a classe.

mento dos conceitos matemáticos e científicos de Kurt Lovell.

na criança,

Um, dois, ... muitos! Houve um tempo em que o homem não sabia contar. O homem pré-histórico não conseguia perceber que havia algo em comum entre coleções com a mesma quantidade de elementos. BERTRAND RUSSELL, p. 10-11, (521.

Devem ter sido necessárias muitas eras para·a descoberta de que um casal de faisões e um par de dias constituíam, ambos, instâncias do número 2: o grau de abstração envolvido está longe de ser imediato.

Devido a esta dificuldade, nossos ancestrais conseguiam apenas diferenciar coleções com um objeto daquelas que tinham dois. Coleções com mais de dois objetos eram identificadas como de "muitos" objetos, independentemente de sua quantidade.

Inúmeras línguas e escritas, antigas ou modernas, trazem·as marcas evidentes destas limitações primitivas. A começar, evidentemente, por esta distinção gramatical que vários povos fizeram (ou ainda fazem) entre o singular, o dual e o plural. Assim, em grego antigo, ho /ukos significa "o lobo", to luko, "os dois lobos" e hoi /ukoi, "os lobos". Em árabe moderno, emprega-se igualmente a forma raju/un para "um homem", raju/ani para "dois homens" e rija/un para "homens". Conhecemos, do mesmo modo, uma "ortografia" consignada nas inscrições pictóricas do Egito dos faraós. Ela consistia em repetir três vezes um mesmo hieroglifo (ou ainda em acrescentar três pequenos traços verticais à imagem correspondente): não apenas para figurar três exemplares do ser ou do objeto assim representado, mas também para indicar o seu plural.

ou

"Um escaravelho"

"Escaravelhos"

< 3 - 3 2 >< 3

=6

3 >< 3 - 9 ou

- □□

4 >< 3 • 12

E assim por diante. Obsenaçio: na falta do material dourado, voce pode construir um material semelhante, utilizando folha de papel quadriculado para reconat as placas, barras e cubinhos:

D 126

ATIVIDADES -

Observação: não se esqueça dos agrupamentos e das trocas.

-

-

1. Com o material dourado, ou papel quadriculado, dê os múltiplos de: d) 7 e) 8 f) 9

a) 2 b) 5 e) 6

Você sabia? Os números pares podem ser visualizados quando os representamos cm forma de pares de pontos alinhados dentro de retângulos. Veja:

2- e:=)- 2x1 4-1•• •• 1- 2)( 2 6-1•• •• •• 1- 2)( 3 s- j •• ..• •• •• 1- 2)( 4 10-I .• .• .• •• .• 1- 2x

5, etc .

Os números ímpares silo aqueles que não preenchem o retingulo na forma de pares de pontos, sobf2I1do sempre um pomo sem estar ' 1 pareado'':

1-[:J- 2xo+1 • • 1-2x1+1 3 -1• ,-1•• •• • 1-2x2+1 1-I •• •• •• • 1-2x3+1 9-1•• •• •• •• • l-2x4+1 Genericamente, sendo n um número natural qualquer, podemos representar um número par ou um número rmpar deste modo: • número par: ~ • número impar:

j 2·a+l 121

DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Podemos expressar o número 12 como um produto de fatores de várias formas: 12

=

1

X

12 = 2

Note que •se2x6

X

6 = 3

X

4

12 + 12 + •se3x4= 12, então 12 + 12 + • se 1 x 12 = 12, então 12 + 12 + 12, então

6 2 ou 2 6 4 3 ou 3 4 12 = 1 ou 1 = 12.

Dizemos, então, que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são divisores do número 12, ou ainda que 12 é divisível pelos números 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Se 12 é múltiplo de 4, então 4 é divisor de 12. Como 12 não é múltiplo de 7, então 7 não é divisor de 12. Generalizando, se um número n é múltiplo de um número a, então a é divisor de n. As idéias de múltiplos e divisores, embora intimamente interligadas, são aqui discutidas em dois tópicos distintos, pois cada uma delas se liga a uma operação (multiplicação e divisão). Além disso, em múltiplos de um número, é estudado o conceito de mmc e, em divisores de um número, o conceito de mdc. No entanto, é importante fazer atividades com as crianças para que elas percebam essa interligação.

Conjunto dos divisores de um número Para examinarmos qual é o conjunto de divisores de um determinado número, devemos considerar este número como um produto e os seus divisores serão todos os fatores deste produto. O conjunto dos divisores de um número é indicado assim:

D (

)

= [

t

'

'

, , l

número cujos divisores se deseja enumerar

Por exemplo, • o conjunto dos divisores de 15: como 15 = 1 x 15 = 3 x 5 D(15) = [1, (~ 3:" _5:,) 15]

~) J

128

X

15

=

15 /

• o conjunto dos divisores de 13: como 13 = 1 x 13 D(13) = [1,

13]

~ • o conjunto dos div,isores de 36: como 36 = 1 x 36 = 2 x 18 3 x 12 D(36)

• • • • •

= 4x9

6x6

= [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36]

6

X

6

36

4

X

9

36

3

X

12

36

2

X

18

36

1

X

36

36

Analisando estes conjuntos de divisores, podemos concluir que: Apenas o número zero tem infinitos divisores. O conjunto dos divisores dos números diferentes de zero é finito. O maior divisor de um número é o próprio número. O número zero não é divisor de número algum. Existem números que só têm dois divisores: o número 1 e o próprio número. Você sabia? Alguns números têm número ímpar de divisores e outros têm uma quantidade par de divisores. O número 36, por exemplo, tem número ímpar de divisores: 6

X

6 = 36

t

j 129

Ji o número 18 tem um número pu de divisores: 0(18) = [l, 2, 3, 6, 9, 18

Q 2 !

9 • 18

X

18 • 18

X

Os números que admirem uma quantidade lmpar de divisores são o• que resultam da multiplica-. çio de dois fatores iguais. Estes número• sio denominados quadrados perfeitos. Vejamos alguns exemplos:

1111 .. 1

ax2 • 4

J>CJ.;9

•

• • ••

• •• • ••

•••

•• ••• •••• •••• •••• ••••

• •••

•••• •••• •• ••

• • • •

Conjunto dos divisores comuns a dois ou mais números O conjunto dos divisores comuns a dois ou mais números é formado por elementos do conjunto intersecção dos conjuntos dos divisores de cada número. Veja, por exemplo, os conjuntos dos divisores de 20 e de 30: D(20) D(30)

= =

(1, 2, 4, 5, 10, 20] (1, 2, 3, 5,-6, 10, 15, 30]

Logo, o conjunto dos divisores comuns a 20 e 30 é D(20, 30) = D(20) n D(30) D(20, 30) ::;: (1, 2, 5, 10)

t Separamos os números por vírgulas.

Note que no conjunto dos múltiplos de 20 e 30 só existem elementos que pertencem a D(20) e a D(30). Este conjunto também é finito.

130

Quando temos um produto de dois f■torea Iguala, denominamos o produto obtido de qu• eirado perfeito.

ATIVIDADES l. Por que o número zero tem infinitos divisores? 2. Sem encontrar os divisores, dê exemplo de três números: a) que tenham número par de divisores; b) que tenham número ímpar de divisores. 3. Quais são os números quadrados perfeitos compreendidos entre 20 e 100? 4. Qual é o maior divisor de um número natural? Qual é o menor? 5. Qual é o único número natural que é divisor de todos os números?

6. Uma das formas, através da qual podemos encontrar os divisores de um número, é averiguar quais são todas as multiplicações de dois fatores que resultam neste número como produto. Começamos pelo um e_vamos efetuando os produtos até que um dos fatores se repita. Vamos, por exemplo, encontrar os divisores de 40: 40 = 1

X

40 = 2

X

20 = 4

X

lQ = 5

X

8 = 8

X

5

Note que os fatores começam a se repetir. Paramos aí e podemos escrever: D(40)

= [l, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40] ~

Encontre o conjunto dos divisores dos números seguintes e diga quantos elementos tem cada conjunto: a) 14 d) 25 g) 80 b) 17 e) 16 h) 64 c) 18 f) 32 i) 81 7. Que números da questão anterior apresentam apenas dois divisores? Que divisores são esses? 8. O número 3 é divisor do número 20? Por quê?.

9. O número 25 é divisível por 5? Por quê? 10. Escreva os conjuntos dos divisores comuns aos seguintes números: a) 40 e 20 d) 12 e 24 b) 15 e 30 c) 100 e 50

131

Você sabia? O material Cuiscnairc pede ser bastante cxplotado cm atividades que favoreçam • comprecnslo dos múltiplos e diviso.a de um nõmcro natual. Podemos, por Cllmlplo, tomar a barrinha vmlc-cscura (6) e verificar com quais barrinhaa de mesma cor podemos comp6-la. Siruaçio

Linguagem matemática

vente-escuro

6oulX6

l + l + l + l + l + lou6x1 1

1

1

vermelho

2+2+2ou3X2

verde-claro

3 +3ou2X 3 1

Note que tanto o aapecto de divisibilidade quanto de multiplicidade podem ser explorados ao mesmo tempo com o material Cuiscrwrc. O enfoque dependem das questões fonnuladaa pelo professor e da "composiçio" ou "decomposiçlo" de uma dada barrinha.

Se a gucstlo formulada for "Quantaa vezes voe! precisa usar a barrinha dois para a,mpor a barrinha seis?", você estará explorando a multiplicidade.

Se a questlo for: ''Qual E a barrinha que precisa ser o:cpctida duaa vezes para a,mpor o seis?'', você cstad explorando a divisibilidade. Assim, você chcgad à conclusiq de que 6 E múltiplo de 1, 2, 3 e 6, e de que os divisores de 6 são: 0(6) • {1, 2, 3, 6].

-

-

-

----

A'.TfVIDADE.S '

1. Com o material Cuisenaire, utilizando somente peças de mesma cor, decomponha e verifique quais são os divisores de: a) Uma barrinha marrom (8). b) Uma barrinha laranja (10). c) Duas barrinhas azuis (18). d) Quatro barrinhas verde-escuras (24). e) Uma barrinha preta (7). f) Uma barrinha amarela (S).

2. Verifique quais das barrinhas do exercício anterior puderam ser decompostas apenas com as barrinhas unitárias.

132

OS NÚMEROS PRIMOS E OS NÚMEROS COMPOSTOS Vimos que algumas barrinhas do material Cuisenaire só podem ser "compostas" por barrinhas unitárias. Linguagem matemática

Situação

ô=3 1

1

1

--1o

1

1

1

1

1

1

1

1

,,1

1

1

X

1

3

X

=

2

1

=

3

5

X }

=

5

7

X}

=

7

.

wne-dam 1

2

1

1

1

Outras barrinhas podem ser "compostas" por outras barrinhas de mesma cor, além das barrinhas unitárias. Por exemplo: Linguagem matemática

Situação

4

lilãs vermelho

1

1

1

2x2 4

1

_. ~

1

1

1

1

1

1

l

= =

4 4

X

1

3

X

3 = 9

9

X

1 = 9

9 1

1

1

Dizemos que os números que admitem dois e somente dois divisores distintos - o um e o próprio número - são números primos. Note que esta definição exclui o número um; logo, o número um não é primo!

Os números que possuem mais de dois divisores são os números compostos.

133

Desse modo, ao verificarmos quais são os divisores de um número, podemos classificá-lo em primo ou composto. Por exemplo: D(2) D(3) D(4) D(5) D(6) D(7) D(8) D(9)

[l, 2] [l, 3] [1, 2, [1, 5] [1, 2, !l, 7] f1, 2, [1, 3,

2 é primo 3 é primo

4]

4 é composto 5 é primo 6 é composto 7 é primo 8 é composto 9 é composto

3, 6] 4, 8] 9]

O número 2 é o único número par que é primo.

Os números primos despertaram grande interesse desde os tempos mais antigos. Para classificar um número em primo ou composto, podemos verificar quais os divisores deste número ou, então, construir tabelas de.. números primos. Um processo interessante para se obterem todos os números primos, menores que um determinado número, é o Crivo de Eratóstenes. Para chegarmos a toq_os os números primos menores que 100, por esse processo, fazemos o seguinte: 1) Escrevemos o número 2 e, em seguida, todos os números ímpares

a partir do 3. 2 3 5 7 27 29 31 33 53 ·55 57 59 79 81 83 85

9 35 61 87

11 37 63 89

13 39 65 91

15 41 67 93

17 43 69 95

19 45 71 97

21 47 73 99

23 49 75

25 51 77

2) Circulamos os números 2 e 3 e riscamos todos os outros múltiplos de 3; circulamos o 5 e riscamos todos os outros múltiplos de 5; circulamos o 7 e riscamos todos os outros múltiplos de 7, e assim por diante:

G) 0 @ @ }1 ~ ~

~

®

0

@ @ 0 76 ri @ @ ~ }5 @ }9 @ @ 'Y5 @ yj @ ® ~ ~ @ ?5 @ ~ @ @ ~ f, @ @ ~ ~ @ ?1 ?9 ~ (j) @

I

99

Portanto, o conjunto dos números primos menores que 100 é: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

134

Eratóstenes foi um matemático e astrônomo grego notável que viveu de

276 a. e. a 194 a. e .. Atribui-se a Eratóstenes o modo de se obterem números primos. conhecido como Crivo de Eratóstenes. Atribui-se a Euclides (300 a.C.) a demonstração de que a sucessão dos números primos é infinita. Dica: para riscar os múltiplos de 3, basta contar de três em três a partir do 3 e riscar o terceiro. Para achar os múltiplos de 5, conte de cinco em cinco, a partir do 5; para os múltiplos de 7. conte de sete em sete.

ATIVIDADES 1. Qual o único número primo que é par? Justifique.

2. Quantos números primos há entre 1 e 30? 3. Quantos são os números primos menores que 100? 4. O número 25 é primo? Por quê? 5. O número 17 é primo? Por quê? 6. Utilizando o material Cuisenaire, verifique se o número 19 (uma barra amarela e uma azul) pode ser composto por outras barras de uma só cor. A seguir, classifique o número 19 em primo ~u composto. 7. Expresse cada número abaixo como um produto de dois fatores, diferentes do um, quando possível. Depois classifique-os em números primos ou compostos: e) 51 a) 42 c) 23 b) 35 d) 48 f) 83

A decomposição de um número em fatores primos Podemos escrever o número 30 como um produto de fatores, de várias maneiras diferentes: 30

= 3

X

I

primo 30

= 6

30

10

~

2

X

I

30 = 2

5

X

15

\

primo

composto X

=

composto 3

X

5

/ primo /\ primo

/ \ composto primo

primo

Ao escrevermos 30 = 2 x 3 x 5, verificamos que os fatores envolvidos nesta multiplicação são todos números primos. Podemos, então, dizer que 2 x 3 x 5 é a decomposição do número 30 em fatores primos. Como a multiplicação é comutativa 30

= 2

X

3

X

5

= 3

X

2

X

5

= 5

X

2

X

3,

qualquer dessas multiplicações é uma decomposição de 30 em fatores primos. Isso equivale a dizer que 30 tem três divisores primos: 2, 3 e 5. Note que, não considerando a ordem dos fatores 2, 3 e 5, esta é a única forma de se escrever o número 30 como um produto de fatores primos.

135

Vamos enunciar um princípio fundamental da aritmética: "Todo número natural, diferente de 1, pode ser decomposto em fatores primos, de um único modo, onde apenas a ordem dos fatores pode ser alterada." ou ainda "Todo número composto pode ser escrito num produto de fatores primos." Vejamos alguns exemplos: 12 15 40

2

X

2

X

3

= 3X5 = 2x2x2x5 1()() = 2 X 2 X 5 X 5

Para encontrar os fatores primos de um número, devemos verificar se ele é divisível pelos números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... ], e quantas vezes aparece cada fator primo no número. Vamos, por exc;mplo, decompor o número 420 em fatores primos, iniciando o processo de dividir 420 pelo menor de seus divisores primos:

4201

210

Representação de um al-

2

goritmo para a decompo· sição de um número em fatores primos.

Colocamos um traço vertical ao lado do 420. Anotamos o menor número primo que divide este número e o resultado da divisão abaixo de 420. A seguir; dividimos o quociente obtido, 210, pelo seu menor divisor primo: 420 210 105

O novo primo: 420 210 105 35

2 2

quociente, 105, será dividido pelo seu menor divisor 2 2 3

Dividimos o quociente 35 pelo seu menor divisor primo, e, assim, sucessivamente, até obtermos o quociente 1: 420 210 105 35 7

2 2 3 5 7

1

Portanto, a decomposição de 420 em fatores primos é 420

136

= 2

X

2

X

3

X

5

X

7

Podemos encontrar os divisores de um número utilizando o processo prático da decomposição em fatores primos. Por exemplo, para encontrar os divisores de 30, começamos por "fatorá-lo": D(30) = ? 30 15 5

2 3 5

30 = 2x3x5

Após a fatoração, colocamos um segundo traço vertical e, ao lado deste, acima dos outros números, escrevemos o número um: 30 15

2 3

5

5

A seguir, efetuamos o produto do primeiro fator primo de 30 pelo 1: 30 15

2

5

5

2 -+ este 2 é resultado de 2 x 1

3

O segundo fator primo de 30 será multiplicado pelo 1 e pelo produto escrito abaixo do 1: 30 15

2 3

5

5

2 3, 6 -+ 3 X

3, 3

X

2

6

Finalmente, multiplicamos o terceiro fator primo de 30 por 1, 2, 3 e 6:

O menor divisor de um número sempre será um e o maior, sempre o próprio número

D130) = :1, 2, 3, 5. 6, 10, 15, 30:

30 15

2

2

3

5

5

3, 6 5, 10, 15, 30-+ 5 X 1 = 5 5X2=10 5 X 3 = •15 5 X 6 = 30

Assim, os divisores de 30 encontrados pelo processo prático são: D(30) = [l, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30]

137

Você sabia? Podemos verificar se determinado número é divisível pelos três primeiros números primos 2, 3 ou S, sem efetuar a divisão. • Divisibilidade por 2 Como vimos, todos os múltiplos de um número são divisíveis por esse número. Todos os números pares são múltiplos de dois, ponanw, rodos os números pares são divisíveis por 2.

Exemplos: Sl é ímpar. logo, não é divisível por 2. 436 é par, logo, é divisível por 2. 1 000 é par, logo, é divisível por 2. • Divisibilidade por 3 Para sabermos se um determinado número é divisível por 3, basta verificarmos se a soma de seus algarismos é um múltiplo de 3. Por exemplo, a) 45 é divisível por 3? 4 + 5 = 9, 9 é múltiplo de 3; logo, 45 é divisível por 3. b) 1 572 é divisível por 3? 1 + 5 + 7 + 2 = 15, 15 é múltiplo de 3; logo, 1 572 é divisível por 3. e) 3 846 731 é divisível por 3? 3 + 8 + 4 + 6 + 7 + 3 + 1 = 38, 38 não é múltiplo de 3; logo, 3 846 731 não é divisível por 3. Todo número, cuja soma de seus algarismos é um múltiplo de 3, é divis1vcl por 3. Vamos ver como se chega a essa regra. Primeiro, é bom lembrar que, sempre que multiplicamos um número por um múlliplo de um outro número, o produto também será múltiplo deste outro número. Por exemplo, 3 não é múltiplo de 5. 10 é múltiplo de 5. 3 x 10 = 30, que é múltiplo de 5. Em seguida, notemos que, quando uma soma é múltiplo de 3 e uma das parcelas é múltiplo de 3, então a outra parecia também deve ser: a deve ser múltiplo de 3 múltiplo de 3

múltiplo de 3

Agora vamos VC"rificar se o número 143 é divisível por 3. Sabemos que )43

= )

X

100

+4

10

X

+3

Vamos transformar 100 e 10 em adições com um múltiplo de 3. Assim, 143 = 1

X

+ 1) + 4

(99

X

(9

+

J)

+3

9

+4

Aplicando a propriedade distributiva: 143 = 1

X

99

+ 1X

J

múltiplo de 3

+4

X

X

1+ 3

múltiplo de 3

Agora, vamos aplicar a propriedade comutativa da adição e escrever primeiro os múltiplos de 3: 143 = J X 99 + 4 ~

-..._..,.

+ + -- + -----------X

9

1

4

3

" ' m~lo~e 3 / os mesmos aJgarismos Note que as parecias da adição l + 4 + 3 são iguais aos algarismos do número 143. Isso justifica a regra que diz que, para sabermos se um número é múltiplo de 3, basta adicionarmos seus algarismos, e se a soma for um múltiplo de 3 então o número é divisível por 3.

j

Este proced~memo pode ser g('neralizado para qualquer número. usando um raciodnio análogo. Por exemplo: 3 297 é divisível por.3? Aplicando a regra temos:

3+ 2+9+ 7

=

21

Como 21 é múltiplo de 3, então 3 297 é divisível por 3.

138

• Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando o último algarismo desse número é O ou 5. Para verificar como se chega a esta regra. vamos proceder da mesma forma que agimos ao procu~ rar a razão para a regra da divisibilidade por 3. Tomemos, por exemplo, o número 85:

85 = 8 1

X

(Ol,Oefo

,J

+ 5 1

J0

d,

o mesmo algarismo

~

Como 10 é múltiplo de 5, 8 x 10 também é, logo, 80 é divisível por 5. E como 5 é divisível por 5, então 85 também é divisívd por 5.

Vamos examinar agora o número 142:

?

=

+ +º"

~ ~

não é múltiplo de 5

não é múltiplo de 5

~

O número 2 não é múltiplo de 5, logo, 142 não é divisível por 5. Mai!i um exemplo:

3,=~+~~+~ múltiplo de 5

\

múltiplo de 5

. o mesmo a1 gansmo

Podemos perceber que 340 é múltiplo de 5; logo, é divisível por 5.

Ao decompor os números em múltiplos de 5, sempre o último númt·ro a ser adicionado é igual ao último algarismo do número que está sendo decomposto. Se este último algarismo for igual a O ou 5, então o número é múltiplo de 5. Isto é que justifica a regra que diz que, para um número ser divisível por 5. precisa terminar em O ou 5.

ATIVIDADES

1. O número 3 é divisor de 6 e de 9. Verifique se, no conjunto dos números naturais, 3 é divisor de: C) 6 X 9 a) 6 + 9 b) 9 - 6 d) 9 + 6 2. O número 6 é divisor de 12 e de 30. Verifique se 6 é divisor de: a) 30 + 12 b) 30 - 12 c) 30 x 12 3. Caiu um pouco de tinta no número abaixo, borrando o seu último algarismo. Verifique qual é esse algarismo, sabendo-se que esse número é divisível por 2 e por 5. 45

139

4. Escreva os seguintes números como um produto de fatores primos: e) 63 c) 39 a) 35 f) 65 b) 105 d) SS S. Qual é o menor fator primo de cada número abaixo? a) 91 c) 33 e) 95 b) 143 d) 323 f) 230

6. Quais são os fatores primos comuns a IS e 14'! 7. Encontre, pelo processo prático, o conjunto dos divisores de: a) 40 c) 18 b) 25 d) 20

O MENOR MÚLTIPLO COMUM OU MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM - mmc Uma fábrica confecciona cadarços nos seguintes comprimentos: 35 cm, S0 cm e 70 cm. Como, inicialmente, são fabricados rolos inteiros de cadarços de várias cores, para que não tenha prejuízo, a fábrica deve fazer esses rolos num comprimento tal que cada rolo possa ser cortado inteiramente em pedaços ou de 35 cm, ou de S0 cm, ou de 70 cm. Um mesmo rolo tem de ser cortado em cadarços de uma única medida. Isso significa que, para que não haja desperdício, o comprimento do rolo produzido deve ser múltiplo dos comprimentos de cada cadarço. Vamos então verificar quais são os múltiplos de 35, S0 e 70: M(3S)

=

[0,35, 70,105,140, 175,210,245,280,315,@, 385, 420, 4SS, 490, 525, S9S, 630, 665, 700, 735, •..}

M(SO)

=

[O,SO, 100.1so,200,2so,3oo,@,400,4SO,SOO,

sso, M(70)

=

600, 650, 700, 750, 800, 850, 900, 950, ..•]

[O, 70, 140, 210, 280,

@

,420, 490, 560, 630,

700,770, ...] Note que o menor número que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 35, S0 e 70 é 350. Logo, 350cm (ou 3,SOm) é o menor comprimento que o rolo deve ter para que não haja desperdício. A fábrica deve en-

140

Nas lojas que vendem tecidos a varejo, por exemplo, quase sempre sobram retalhos, pois uma mesma peça de tecido é cortada em vários tamanhos diferentes. No caso da fábrica de cadarços, não sobrarão retalhos, pois um rolo sempre será cortado em uma única medida que pode ser de 35 cm, ou de 50 cm, ou de 70 cm e o comprimento total do rolo é múltiplo desses números.

tão produzir rolos de cadarços cujos comprimentos sejam de 3,50 m ou múltiplos de 3,50: 7 m ou 10,5 m ou 14 m, etc. Todos esses comprimentos podem ser divididos nos pedaços desejados. Dizemos que 350 é o menor múltiplo comum de 35, 50 e 70 e definimos Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor número diferente de zero que é divisível por todos estes números.

Consideremos, por exemplo, os números 4, 6, 8. V.amos determinar o conjunto dos múltiplos de cada um deles e o menor múltiplo comum entre eles: M(4) = {O, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, •••] M(6) = {O, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, •••] M(8) = {O, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, .••] Portanto, o menor número que é divisível por 4, 6 e 8 é 24 e representamos: mmc (4, 6, 8)

= 24

Você sabia? Podemos encontrar o mrnimo múltiplo comum de dois ou mais números atravts de sua decomposição simultlnca cm fatores primos.

Se, por cxemplo, queremos encontrar o mmc (3, ), 6), escrevemos os tlfs números separados por vítgula e vamos dividi-los pelos seus fatores primos. Iniciamos pelo 2: 3, ,.

61

2

3, ,. 3

Como 2 s6 divide 6, os outros dois números (3 e)) slo escritos novamente. O próximo fator primo será 3: 3, ,.

61

3, ,. 3 1, ,. 1

2

3

Agora, o fator primo será ):

Como na decomposição simultllnea de três números •• b e e obtemos todos os fatores primos desses números, o produto dos fatores primos é o menor número, diferente de zero, que é divisível por •• b e e.

3, ,. 6 3, ,. 3

2 3

1, ), 1 1, 1, 1

)

O produto de todos os fatores primos obtidos na dccomposiçilo simultinca nos dá o mmc: mmc (3, ), 6) • 2 x 3 x ) • 30

141

ATIVIDADES 1. Qual é o menor número que é divisível por 6, 9 e 12? 2. Qual é o mmc de 9 e 15? 3. Renata vai ao dentista ajustar o aparelho a cada 16 dias. Lígia, que já está com o tratamento mais avançado, vai a cada 40 dias. Hoje elas se encontraram no consultório. Daqui a quantos dias elas vão se encontrar novamente? 4. Na Bahia, há muitas igrejas. Num determinado bairro, escutam-se os sinos de três igrejas: um toca a cada 15 minutos. Outro, a cada meia hora e o terceiro, a cada hora. Se os três acabam de tocar juntos, daqui a quanto tempo os três tocarão juntos novamente?

5. No grêmio da escola há eleição para presidente a cada 6 meses e para secretário, a cada 3 meses. Em janeiro de 1992, as eleições para presidente e secretário coincidiram. Em que mês e ano elas acontecerão juntas novamente? 6. Numa árvore de natal, há bolas vermelhas que piscam a cada 5 minutos, bolas verdes que piscam a cacía 3 minutos e bolas amarelas que piscam a cada 10 minutos. Ao se ligar a árvore, todas as bolas se acendem simultaneamente. Quanto tempo depois as bolas acenderão juntas novamente? 7. Três navios partem juntos de um porto. O primeiro faz viagens de 20 dias e retorna ao porto; o segundo faz viagens de 15 dias e o terceiro, de 18 dias. Daqui a quanto tempo os três navios partirão juntos novamente? Quantas viagens cada um fez neste período?

8. a) b) c)

Verifique qual é o menor múltiplo comum entre: 4 e 36 d) 7 e 12 12 e 20 e) 3 e 5 5 e 40 f) 4 e 9

9. Qual é o menor múltiplo de 6 que é divisível por 5 e por 9? 10. Qual é o menor número natural que é divisível por 5, por 7 e por 9?

ocê sabia?

um _número é múltiplo do outro, o mmc dos dois é o maior deles.

142

=-]

O MAIOR DIVISOR COMUM OU MÁXIMO DIVISOR COMUM - mdc Vamos supor o seguinte problema: Um terreno retangular tem 36 m de comprimento por 21 m de largura. 36m

____.J21m

21ml.____

36m

O dono deste terreno deseja cercá-lo com árvores plantadas a iguais distâncias uma da outra, e quer manter, entre as árvores, a maior distância possível, medida em um número inteiro de metros. Se em cada canto do terreno for plantada uma árvore, qual será a distância entre as árvores e quantas árvores ele deverá plantar? Para resolver este problema, devemos verificar qual é o maior número que divide em partes iguais tanto 36 quanto 21. Vamos calcular os divisores de 36 e de 21: 0(36)

=

[l, 2, ;:~_' ~6, 9~2, 18, 36]

! ~

(

X

\

12

= 36

2Xl8~36

'~~ 0(21)

=

Y, 3, 7, 21]

(8\ \! ;J X 21 = ~

Como o maior número que divide 36 e 21 é 3, as árvores deverão ser plantadas a cada 3 m uma da outra, e serão necessárias 38 árvores (12 + 12 + 7 + 7). 12 árvores

7 árvores

n""°'º' ~ !12W !r árvores

143

Dizemos que o máximo divisor comum de 36 e 24 é 3 e definimos: O máximo divisor comum de dois ou mais números é o maior elemento comum aos conjuntos dos divisores destes números. Consideremos, por exemplo, os números 40 e 32. Vamos determinar o conjunto dos divisores de cada um desses números, e o maior elemento que seja comum a esses dois conjuntos.

D(32l ((Ç~))21 ~

1

X

32

=

32

"----Portanto, o maior número que divide 40 e 32 é 8 e representamos: mdc (32, 40)

= 8

Na prática, para determinarmos o máximo divisor comum entre dois números, podemos utilizar o "método das divisões sucessivas". Para entender este método, vamos supor que temos duas peças de tecido, uma com 48 metros e outra com 32 metros, e queremos dividi-las em pedaços de mesmo tamanho, que deve ser o maior possível, medido num número inteiro de metros. Vamos estender as duas peças de tecido, uma sobre a outra, coincidindo em uma extremidade:

+-------

144

32

m------•I +----16 m---.1

Verificamos que "sobrou" um pedaço de 16 m sem ser recoberto. Vamos cortá-lo e verificar quantas vezes este pedaço cabe em 32 metros:

1--------- 32 m - - - - - - - - - - - +

-

1 ----- 16 m ______.1----- 16 m - - 1

Como este pedaço cabe 2 vezes em 32 metros e não "sobra" nenhum pedaço sem ser recoberto, a divisão das duas peças pode ser feita em pedaços de 16 metros, pois o pedaço de 48 metros contém 2 vezes 16 metros, mais a sobra de 16 metros.

- - - - - - - 32

m- - - - - - l - 1 6 m----.1

O método das divisões sucessivas é feito sinteticamente assim:

Como 32 "cabe" uma vez em 48 e sobra 16, verificamos quantas vezes. 16 "cabe" em 32: 2

48

32

16

o

16

Como 16 "cabe" exatamente duas vezes em 32 e não sobraresto, então dizemos que existe um maior divisor comum entre 48 e 32: é 16. Ou seja: mdc (48, 32)

16

145

ATIVIDADES 1. Qual é o maior número que divide 50, e também é divisor de 45 e 15? 2. Três peças de tecido medem, respectivamente, 112 m, 96 me 8 m. Desejando cortá-las em pedaços de mesmo comprimento, qual deverá ser esse comprimento para que os retalhos tenham o maior tamanho possível, e, portanto, sejam cortados no menor número posshiel de partes? 3. Roberto comprou mudas de árvores frutíferas para plantar no sítio: 24 pés de goiaba, 36 de laranja e 48 de tangerina. Desejando compor seu pomar com canteiros de igual número de árvores de cada fruta, pergunta-se: a) Quantos canteiros serão necessários'! b) ·Quantas árvores serão plantadas em cada canteiro? c) Quantos canteiros para cada tipo de árvore? 4. José é colecionador de moedas. Tem 36 moedas de ouro, 60 de prata e 84 de bronze. Desejando organizar sua coleção em caixas com igual número de moedas de cada tipo, de tal modo que o número de moedas seja o maior possível (para um menor número de caixas), quantas caixas serão necessárias e quantas moedas de cada tipo José deverá colocar em cada caixa? 5. MárcL, é um professor que tem um sério problema: gosta de guardar os trabalhos de seus alunos. Da turma de 1980, guardou 18 trabalhos; da turma de 81, guarqou 30 trabalhos e da turma de 82, guardou 48. Para organizar estes trabalhos, resolveu arquivá-los em pastas com igual número de trabalhos de cada turma. Para que estas pastas sejam em menor número possível, quantos trabalhos deverá conter cada uma?

Números pnmos entre si Como vimos, há números que possuem divisores comuns. Há, no entanto, números que não admitem divisores comuns, a não ser o número 1, como, por exemplo, os números -15 e 32·. Veja: D(15) = [1, 3, 5, 15}

~ J

146

X

15 = (5

0(32)

[l, 2, 4, 8, 16, 32]

(~~ ~~ 1

X

32

=

32

A intersecção entre esses dois conjuntos de divisores é 0(15)

n

0(32)

= [1]

Isso significa que apenas o número 1 é divisor tanto de 15 quanto de 32. Os números que admitem apenas, como único divisor comum, a unidade, são chamados números primos entre si. Note que dois números primos entre si podem não ser primos isoladamente. Assim, o número 15 e o 32 não são primos, mas são primos entre si.

Você sabia? Dados dois números consecutivos quaisquer, eles sempre serão primos entre si.

Assim, por exemplo, são primos entre si: 12 e 13 26 e 27

50

e

51

Genericamente, se a E N, então a e a + l são primos entre si. É bastante interessante verificar se dois números consecutivos são primos entre si utilizando o material Cuisenairc. Tomemos por exemplo as barrinhas marrom e azul, corrc:spondcntcs, rcspcctivamcnte. ao 8 c ao 9, c procuremos determinar com qua.is peças de mesma cor podemos

compô-las:

marrom

lilás vcrmdho

lilás vermelho

vermelho

azul verde claro

verde claro

verde claro

peças que compõem o 8, são os divisores de 8 e as que compõem o 9, são os divisores de Note que não há peças de: mesma cor compondo o S ou o nove:. Logo, 8 e 9 sã.o números mos entre: si, -embora nem 8 nem 9 sejam primos isoladarnc:nrc:. ------

147

ATIVIDADES

1. Verifique, utilizando o material Cuisenaire, se os seguintes números são primos entre si: c) 9 e 12 a) 6 e 9 d) 14 e 15 b) 8 e 15

Para compor o 1 6, utilize uma peça amarela e uma laranja. Para compor o 12, utilize duas peças verde-escuras.

2. Dados dois números pares quaisquer, eles serão primos entre si ou não? Por quê? 3. Diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações, justificando cada uma com três exemplos: a) Dois 'números ímpares podem não ser primos entre sj. b) Dados dois números quaisquer, sendo que um é múltiplo do outro, eles não são primos entre si. 4. Qual é o mdc de dois números primos entre si?

5_. Utilize três exemplos numéricos e justifique a afirmação: "Se um número x é múltiplo de dois números, a e b, primos entre si, então x será também múltiplo do produto a · b". 6. Sabemos que todos os múltiplos de um número dado são divisíveis por este número. Assim, os múltiplos do númoro 5 (5, IO, 15, 20, 25, •••) são divisíveis por 5. Justifique por que os números que são divisíveis por 2 e por 3 também são divisíveis por 6.

148

Compreender o que se está fazendo e por que se pode fazer alguma coisa desta ou daquela maneira é motivador e estimulante. Ao lidar com um algoritmo, isso também é verdade. Se a criança percebe por que "vai um" numa adição, por que "empresta um" numa subtração etc., ela começa a sentir melhor o significado das operações no sistema de numeração decimal e a valorizar mais o importante papel dos algoritmos. Isso é, para a criança, algo como achar o "fio da meada". Ao contrário, a apresentação dos algoritmos unicamente nas suas formas finais, acabadas e compactas, parece inibir a compreensão e a curiosidade da criança. A apresentação da origem dos algoritmos, ou seja, da sua gênese, pode ser feita "em espiral", isto é, de forma recorrente, a partir das primeiras séries do 1~ grau. Pode-se avançar, de cada vez, até onde o desenvolvimento cognitivo da criança o permita, e retomar as etapas anteriores sempre que se voltar ao assunto.

CÁLCULO MENTAL E ALGORITMOS Em geral, no ensino escolar, não se prioriza o cálculo mental. Algumas pessoas praticam o cálculo mental porque desde pequenas foram estimuladas para isto, ou porque têm necessidade de calcular sem lápis e papel, usando um algoritmo próprio. É o caso de comerciantes, caixas bancários, feirantes, etc .... Na vida prática, lidamos com números ou cálculos com números o tempo todo: no dinheiro que usamos, na medida das coisas 9ue compramos (1 f de óleo, 1/2 quilo de açúcar, 1 dúzia de laranjas, etc.), nos índices, nas taxas, etc. De algum modo próprio, aprendemos a lidar com esta série de informações numéricas de uma maneira diferente daquela que utilizamos na escola, pois muitas vezes somos obrigados a fazer cálculos rápida e mentalmente devido à necessidade de tomar decisões. CARRAHER, p. 12-13, (10).

t>

A aprendizagem da matemática na sala de aula é um momento de interação entre a matemática organizada pela comunidade científica, ou seja, a matemática formal, e a matemática como atividade humana. [... ] "Enquanto atividade humana, a matemática é uma forma particular de organizarmos os objetos e eventos no mundo. Podemos estabelecer relações entre

151

os objetos de nosso conhecimento, contá-los, medi-los, somá-los, dividi-los etc. e verificar os resultados das diferentes formas de organização que escolhemos para nossas atividades. Por exemplo, se tivermos diante de nós a tarefa de distribuir iguais quantidades do feijão obtido após uma colheita para 30 famílias, podemos contar grão por grão, dividir o número de grãos por 30, e depois contar, pará cada família, o número de grãos que lhe cabe. Mas, ao tentarmos executar esta tarefa, logo descobriremos que esta solução é absurda, embora fosse uma solução matematicamente correta. A organização dessa atividade requer um caminho mais eficiente. Podemos encher uma lata de feijão para cada família, distribuir várias latas até que não se possa mais fazer uma distribuição eqüitativa com latas maiores, e então mudar para latas menores para a divisão final. Se tivermos uma balança, podemos pesar as quantidades e proceder analogamente. A organização da divisão de uma quantidade em partes iguais é uma atividade de natureza matemática, envolve conceitos matemáticos. Mas não é totalmente idêntica à matemática: há aqui um processo de decisão que está relacionado com o que se deseja conseguir. A contagem dos grãos é um processo perfeitamente correto do ponto de vista matemático, mas inapropriado do ponto de vista da tarefa que se deseja realizar. A mensuração com latas não é um processo reconhecido na escola,. onde só lidamos com medidas convencionais, mas representa uma solução adequada, que supõe os mesmos conceitos mate1J1áticos usados se falássemos em litros."

Grande parte das crianças de nosso país, em seu dia-a-dia, utiliza o cálculo mental para resolver situações concretas. Seu processo de descoberta, a partir de tentativas, de erros e acertos, é, em essência, o mesmo dos algoritmos tradicionais ensinados na escola. "Se essas crianças não aprendem na escola, não é por incapacidade de compreender matemática."

),

~~c;.>c;.>c;.>ílílíllll c;.>c;.> 111 111

nnn nn

2 000

+

500

+ 80 + 9 = 2 589

Note que, nesta adição, não precisamos escrever os números egípcios um abaixo do outro. É necessário apenas, que se adicionem símbolos iguais: 1com 1 , íl com íl , e;.> com ~ , etc.

• Adição sem reserva utilizando o material dourado Vamos representar com as peças do material dourado, as parcelas de nossa adição:

153

(1265)

(1324)

+ CllClllll~~

Reunindo as unidades (os cubinhos), as dezenas (barrinhas), as centenas (placas) e as unidades de milhar (cubão), ficamos com 2 unidades de milhar, 5 centenas, 8 qezenas e 9 unidades:

IHI

•• 2000

+

500

+

+

80

9

1111

Lll Lll 01 01 ê'.I Lll LlJ l'.I

cr

2 589

• Adição sem reserva no ábaco Para adicionarmos, no ábaco, devemos representar a primeira parcela: 1265

UM

2

6

5

Depois adicionamos primeiro as unidades, em seguida as dezenas, as centenas e, finalmente, as unidades de milhar da segunda parcela: 1 324. Vamos adicionar as 4 unidades de 1 324 às 5 unidades de 1 265

UM

154

Agora, adicionaremos as 2 dezenas de 1 324 às 6 dezenas de l 265 ,----+2

/ UM

C

O

u

/1 1/

Vamos adicionar as 3 centenas de 1 324 às 2 centenas de 1 265 ,---+3

:

..

H

/ UM

e

/1

O

u V

Finalmente, adicionaremos a unidade de milhar de 1 324 à uni- +1 dade de milhar de 1 265

2

5

8

9

Note que, nas três formas de adição que fizemos, estava implícito o algoritmo utilizado para a adição do nosso sistema de numeração, ou seja, devemos somar as unidades com unidades, as dezenas com as dezenas, as centenas com centenas, etc .... No entanto, podemos somar da direita para a esquerda, ou da esquerda para a direita, pois isto não altera a soma. No cálculo mental, geralmente somamos da esquerda para a direita, pois é assim que lemos os números. Ao utilizarmos o material dourado, na adição sem reserva, poderíamos primeiro ter juntado as unidades de milhar (cubões), depois as centenas (placas), as dezenas (barras) e as unidades (cubinhos), e a soma teria sido a mesma. Isto também ocorreria na adição com símbolos egípcios ou com o ábaco. Experimente fazer esta adição das 2 maneiras propostas, nos dois sentidos e comprove nossa afirmação. A adição com n,serva, na qual a soma de dois algarismos ultrapassa 9 e acontece o "vai um", é também denominada adição com transporta, o que significa o "transporte" de uma dezena, uma centena, etc. Observe um exemplo:

Adição com transporte É recomendável que se efetuem, da direita para a esquerda, as adições em que a soma dos algarismos das unidades, ou das dezenas, ou das centenas, etc., ultrapase nove. Estas adições são chamadas adições com reserva ou adições com transporte. É comum, na adição com transporte, dizermos "vai um". Na verdade, o transporte é de uma dezena, uma centena, uma unidade de milhar, etc .... Para compreendermos melhor a técnica do "vai um", vamos efetuar a adição 1 345 + 1 487 de vários modos diferentes:

155

• Adição com reserva com os símbolos do sistema egípcio: Representando as parcelas desta adição no sistema egípcio, temos:

~

c;c;c; nnn 111 íl

1 000

c;c;c; nnn 111

~

li

,. e;

+

+ 300 + 40 + 5

1 000

+ 400 + 80 + 7

Adicionando as unidades ( 1), as dezenas ( íl e as unidades de milhar ( ~ ), ficamos com:

r.;r.;r.; t t r.;r.;r.; e;

nnn nnn nnn nnn

nn n111 nn 1

), as centenas ( o/),

111 111 111 111

Como no sistema egípcio de numeração a base também era dez, torna-se necessário agrupar e trocar dez símbolos iguais por um outro, que represente este agrupamento:

Depois dos agrupamentos e das trocas, ficamos com:

tt

o/ o/ o/ r.;r.;r.; o/ o/

nnn

11

2000 + 800 + 30 + 2 :; 2832 Note, portanto, a conveniência de se iniciar a adição pelas unidades, ou seja, da direita para a esquerda: facilita os agrupamentos e trocas:

• Adição com reserva com os símbolos indo-arábicos Podemos efetuar esta adição utilizando o nosso sistema de numeração, de forma similar à que acabamos de fazer com os símbolos egípcios: 156

Operações realizadas

Algoritmo 1

1

1 3 4 5 + 1 4 8 7 2 8 3 2

1000 + 300 + 40 + 5 1000+400+ 80 + 7 2000 + 700 + 120 + 12

J.,.~

Agrupamos uma dezena e uma centena.

o

2 000 + 700 + 100 + 20 + 10 + 1

i 800

1

T

30

2 000 + 800 + 30 + 2

2832_)

2) Aplicamos a propriedade associativa da adição.

Escrevemos o número no sistema posicional de numeração, onde valem os princípios aditivo e multiplicativo.

Observe que, para compreender o algoritmo da adição, principalmente a técnica do "vai um", é necessário que se conheça muito bem o nosso sistema de numeração que, como sabemos, é um sistema de base dez, onde valem os princípios aditivo e multiplicativo e a representação posicional.

• Adição com reserva, utilizando o material dourado: Vamos representar com as peças do material dourado as parcelas de nossa adição: (1 345)

(1487)

• • • • 1111 1 ·11111111 Cil Cil CJl CJl Cil Cil Cil

157

Reunindo as unidades, as dezenas, as centenas e as unidades de milhar, ficamos com: ..,;;,~

~

-

-

HílílH 1 Hílílílíl ~

1-

õJ

Devemos agora juntar 10 unidades (cubinhos) e trocá.las por uma dezena (barra) e depois juntar dez dezenas e trocá-las por uma centena (placa):

• • • •

Depois dos agrupamentos e trocas, ficamos com:

Ili 2000

+

800

+ 30

C!l C!l

+2

A utilização do material dourado pelo aluno ajuda-o bastante na compreensão da técnica do "vai um".

158

• Adição com reserva no ábaco Vamos representar, no ábaco, a primeira parcela de nossa adição:

UM

Adicionando as 7 unidades de 1 487 às 5 unidades de 1 345, ficamos com 12 unidades, das quais 10 serão trocadas por uma peça na segunda casa do ábaco. Restarão 2 unidades: ,-+1

UM

Vamos adicionar as 8 dezenas de 1 487 às 4 dezenas de 1 345, mais a dezena que já foi agrupada e ficaremos com 13 dezenas, elas quais 10 peças serão trocadas por uma na terceira casa do ábaco. Restarão 3 dezenas:

UM

Adicionaremos as 4 centenas de l 487 às 3 centenas de 1 345, mais a centena que já foi agrupada:

UM

Finalmente, vamos adicionar a unidade de milhar de 1 487 à unidade de milhar de 1 345:

2

8

3

2

159

Sugerimos que se faça a adição em diferentes materiais como o ábaco, o dourado, ou em outros sistemas de numeração, pois, com novos símbolos para a unidade, dezena, centena, etc., o aluno passa a refletir sobre a técnica operatória e percebe as propriedades envolvidas nesta técnica, bem como as etapas nas quais ela é desenvolvida. Sugerimos, também, que o ensino deva sempre respeitar uma certa gradação de dificuldade nas operações propostas como atividades. Como fizemos aqui, começa-se com adições sem reserva, e, somente após o entendimento destas, passa-se para as adições com transporte (a técnica do "vai um"). Lembramos, também, a importância de se estimular o cálculo mental, através do qual utilizamos, intuitivamente, uma série de propriedades.

ATIVIDADES 1. Pedro trabalha no caixa de uma loja e é ótimo no cálculo mental, dispensando lápis e papel. Para adicionar 153 a 230, por exemplo, Pedro calcula mentalmente:

230

+ 150 + 3 = 380 + 3 = 383

Sem perceber, intuitivamente, Pedro utilizou no seu cálculo duas propriedades da adição. Quais são estas propriedades e onde elas ocorreram? 2. Sem usar lápis e papel, procure encontrar a soma desta adi_ção: 327 + 140. Depois registre seu procedimento. 3. Manna, a cabeleireira, é ágil no cálculo mental. Menciona o preço e o troco, sem ter de recorrer à conta no papel. Calculando com "números redondos", ela procede assim:

160

Tente calcular mentalmente, como Marina faz, as adições propostas. Opere com "números redondos" e, depois, registre seu cálculo: a) 31 + 46 = c) 51 + 47 = b) 64 + 88 = d) 142 -1:- 315 = 4. Adicione 1 437 ao número representado no ábaco:

UM

5. Adicione as parcelas dourado:

e 2, representadas com o material

1111111111•1111 111111111111mm

Cll Cll !'.ll Cll Cll

6. Abaixo, temos dois números representados no ábaco de copos e no cartaz de pregas. Adicione-os e dê a soma.

~ 7. Represente as parcelas das seguintes adições com material dourado e dê sua soma, com o mesmo material. a) 508 + 1 992 d) 964 + 36 e) l 876 + 1124 b) 4 150 + 897 c) 875 + 1117 f) 2001 + 999

161

8. Adicione os seguintes números, representados no sistema egípcio, não se esquecendo de fazer os agrupamentos e trocas (a base é dez)

t';)';)';)ílílíllll

';)';) nnn1 nnn

';)';)';)ílílíllll

nnn111 nnn11

+

9. Adicione os números representados nos ábacos, sabendo-se que a base de contagem usada é a base cinco.

+

lil

10. Abaixo, temos dois números, representados num ábaco e num cartaz de pregas. Encontre sua soma e registre-a das duas maneiras (ábaco e cartaz de pregas): a)

e

D

u

b)

11. Complete as casas vazias da estrela mágica, com os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo a obter a soma mágica 30 em todas as lin:has da estrela.

162

Retirado da Mathematical Activities, 1982 Cambridge University Press Brian Bolt

12. Complete o triângulo mágico, 'com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7, de modo a obter, nos três lados do triângulo, a soma 14.

13. O único hexagrama mágico de que se tem notícia foi inventado pelo matemático inglês T. Vickers, que o publicou em dezembro de 1958 na "Mathematical Gazette". Tente completá-lo, utilizando os números de 1 a 19, para obter em qualquer linha, coluna ou diagonal, a soma 38.

14. Dê a soma em algarismos romanos (as parcelas também estão escritas em algarismos romanos): a) XLII

+

LXIII

b) DCCCIX + CDV c) MCMXCII + VIII d) MMI + IX 15. Nos dados usualmente utilizados nos jogos, a soma dos pontos de duas faces opostas deve ser sempre igual a 7. Observe todas as vist~s possíveis de um dado cuja face da frente têm I ponto:

-,,'

• ''

Desenhe todas as vistas possíveis de um dado que tenha 2 pontos na face da frente.

163

16. Nas adições com mais de duas parcelas, é possível que asoma das unidades, ou das dezenas, ou das centenas, etc., ultrapasse 20, e então tem-se em vez de "vai um", o "vão 2", ou "vão 3", etc. Identifique, nas adições abaixo, o transporte de mais de uma dezena ou centena, em cada caso: a) 83 + 29 + 78 b) 75 + 81 + 93 c) 62 + 80 + 95 + 71

Você sabia? Karl P. Gauss 1777-1855, desde menino um grande matemltico, foi cxlm.io calculista. Conta-se que, quando Gauss tinha 10 anos de idade, seu professor, querendo algum tempo de silencio, passou uin problema il classe: calcular a soma dos 100 primeiros números naturais 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 98 + 99 + 100 Passado pouco tempo, Gauss jl havia tenninado o problema enquanto seus colega ainda iniciavam o trabalhoso e demorado cãlculo. Com surpresa, o professor verificou que, alEm da rapidez, o cãlculo estava ceno. Pediu então que Gauss contasse como havia resolvido o problema, e o menino prodrgio explicou que pcn:ebcra a soma 101 constante nas pan:clas dos extremos: 1 + 100 • 101; 2 + 99 • 101; 3 + 98. • 101; 4 + 97 1 + 2 + 3 + 4 + 5 -t- ••• + 97 + 98

l

4+P7•101

~

J

101

+ 99 +

100

3 + 98 • 101 2 + 99 • 101 1

+

100 • 101

Dessa maneira, para encontrar a soma procurada, apenas efetuou a conta: 50

X

101 • 5 0)0

-

ATJVJDADE.S

1

1

-

-

--

-

-

-

1. Encontre a soma dos dez primeiros números naturais 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2. Qual é a soma dos dez primeiros números naturais pares'? 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 3. Encontre a soma elas dezenas: 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 +70 + 80 + 90 (atenção! neste caso, o número de parcelas é ímpar)

4. Qual é a soma dos primeiros treze números ímpares? S. Quantas toras há na pilha de lenha?

O ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO Como vimos, a multiplicação é uma adição de parcelas iguais. Assim, é fundamental que, antes de passarmos ao algoritmo da multiplicação; o da adição esteja bem compreendido. Sendo a, b e c números naturais quaisquer, a sentença matemática que traduz esta operação é: a x b

=

c

Os fatores a e b também recebem as denominações multiplicador e multiplicando. O multiplicador indica o número de vezes que o multiplicando será adicionado. Assim, no produto 3 x 7, temos: 3 multiplicador

X

= 7+7+7 =

7 multiplicando

8

21

l•j• I 10

A técnica operatória, ou algoritmo da multiplicação, sugere que se escrevam os fatores um acima do outro e que se inicie a multiplicação pelas unidades do segundo fator. Observe o algoritmo da multiplicação em que os fatores são 34 e 21: Algoritmo

3 4 2 1 3 4 6 8 o 7 1 4

X

Operações realizadas 1X 4 = 4 1 X 30 = 30 20 X 4 = 80

20 X 30 = 600 600 + 80 + 30 + 4 -----V--

= 714

110 165

Podemos entender melhor o algoritmo da multiplicação, decompondo os dois fatores e fazendo os cálculos de uma outra forma:

34

X

21

~

(30

+ 4)

X

(20

+

l)

~

= 30 X 20 + 30

X}

+ 4 X 20 + 4 X

}

'-v-'

600

+ 30 + 80 + 4

714

Ou ainda, desta maneira:

Processo abreviado

3 4 X

+4 + l - -- -

30 x 20

+

--

4 30 80 600 -

7 1 4

Jx4 l x 30 20 X 4 20 X 30

714

Compare esta última maneira de efetuar este produto, com o algoritmo tradic;onalmente utilizado. Observe que o algoritmo é o mesmo, ou seja, a técnica utilizada foi a mesma, envolvendo as propriedades válidas para o nosso sitema de numeração e para a operação de multiplicação. Podemos chamar este último processo de "processo longo" e o algoritmo tradicional, de "processo abreviado" da multiplicação. Convém que se inicie o ensino do algoritmo da multiplicação com exercícios mais simples, utilizando, por exemplo, fatores menores do que dez até que o aluno domine a tabuada. Gradativamente, o grau de dificuldade das operações propostas aos alunos pode ser aumentado iniciando-se o trabalho com o material concreto. Muitas pessoas fazem o algoritmo da multiplicação mecanicamente, sem compreensão da técnica efetuada. No entanto, quando se ensina uma técnica às crianças, é comum (e muito importante) que elas queiram saber os porquês e, para poder explicá-los com clareza, precisamos entender bem o processo. Além disso, se entendemos o processo do algoritmo, podemos fazer estimativas acerca dos resultados esperados. Voltemos ao nosso exemplo, 34 x 21. Observe alguns modos como este algoritmo vem sendo ensinado.

166

2 1

3 4 6 8 1

X

3 4 2 1

1

3 4

6 8 7 1 4

Este é um espaço que deve ser deixado vazio, mas não se explica por quê.

1

34 21

X

34

Há professores que dizem aos alunos que este sinal é aqui colocado para não deixar o 4 "escorregar" ... Esse tipo de comentário precisa ser evitado, pois confunde ainda mais a criança.

68+ 714

Na compreensão do algoritmo, percebemos claramente que o espaço deve ser ocupado por um zero, pois "2" do 21 não é "2" e sim "20" e, portanto, na multiplicação 20 x 34 o produto encontrado é 680 e não 68! Para que o algoritmo seja bem compreendido, podem ser utilizados vários processos ou métodos, além do material concreto, como o material dourado. Vamos dar alguns exemplos de multiplicação, com processos diversos:

• 3 x 15, utilizando o material dourado Antes de manusear as peças do material dourado, vamos "entender" a multiplicação proposta:

3

X

15

1

15

+

15

+

i

3

15

1

vezes

Temos, portanto:

agrupando

3 grupos de 1 dezena e 5 unidades

trocando 10 cubinhos por uma barra

4 dezenas e 5 unidades

167

Após a operação com o material dourado, convém que se efetue o algoritmo com registro no caderno:

X

15 3 15

3

X

+ 30

3

X

5 10

ou

3

X

15

=

45

1

45 • 4 x 37, utilizando o material dourado Sabemos que 4

X

37 = 37

+ 37 + 37 +

37

4 vezes

IIH IH! --------IIH IIH

agrupando

4 grupos de 3 dezenas e 7 unidades

■ 1111 H

1 centena, 4 dezenas e 8 unidades

O registro:

X

37 4 28

4

X

7

+

120

4

X

30

ou

148 • 5 x 13, utilizando o papel quadriculada"

168

O uso do papel quadriculado facilita a compreensão da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, bem como a decomposição de um número em nosso sistema de numeração. Observe as etapas desta multiplicação: 5

5X13=5Xy

X

+5X

10

3 = 50

IY

decompondo o 13

50

1

i

15

+

15 = 65

1

aplicando a propriedade distributiva

Efetuar multiplicações com o material dourado, bem como com o papel quadriculado, propiciam a compreensão dos algoritmos, e também facilitam o entendimento do "vai um", já explorado na adição. Vejamos mais alguns exemplos: • 12 x 15, utilizando papel quadriculado -··

5

10 '----

--~

]0

}OX

.

·-

1(

= 1 i>O

., ~

H

,_

lJ._2(_ 2-. =

--

..,

iso

~

.

-

-

o

~

.v

5

10

1

!

12

X

O registro desta multiplicação fica assim: = (10 + 2) X (10 + 5) = 10 X 10 + 10 X 5 + 2

15

X

10

+2X 5

~

100

+

50

+

20

+

10

180

• 105 x 27, no "processo longo"

Para iniciar este processo, devemos decompor os fatores: 105 = 100 + 5 27 = 20 + 7

169

Vamos agora efetuar o "algoritmo longo", justificando as etapas do processo, e compará-lo ao processo abreviado: algoritmo longo

X

+

100 20

+5 +7

35 700 100 2000

-

7 X 5 7 X 100 20 X 5 20 X 100

J 735 J 2 lQO

2 835 algoritmo abreviado X

+

105 27 735 - 7 X 105 2100 --20 X 105 2 835

Uma outra atividade bastante interessante e que ajuda- a criança a compreender o algoritmo da multiplicação é trabalhar com o "algarismo escondido". O objetivo desta atividade é identificar os algarismos desconhecidos nos fatores da adição. Podemos propor problemas com resposta única, ou com mais de uma resposta possível. Veja os exemplos: • Quais são os algarismos escondidos?

X

296

+DO □□

□□□□ Vamos resolver este problema por etapas. Em primeiro lugar, vamos pensar sobre o número que, multiplicado por 7, resulta num produto cujo algarismo das unidades é 6.

170

Venticando os tatos tundamenta1s do ·1 {tabuada), percebemos que o único número que satisfaz esta condição é o 8. Podemos, então, completar o primeiro D : 5

[TI

7

X

4

8

2

9

6

Como 8 x 7 = 56, "vão 5 dezenas", ou seja, é preciso retirar as 5 dezenas que tinham sido acrescentadas às 29 dezenas: 29 - 5

= 24

O número que, multiplicado por 8, resulta em 24 é 3. Vamos completar o segundo D :

Vamos voltar, agora, ao problema incial: 5

[l]

7

X

4

[[]

2

9

6

-

8

[TI [TI [TI [TI -

37

X

40

X

37

DDDD Podemos preencher os próximos quatro D com o produto: 40

X

37

= 1480

rnl 1 X

4

[[]

2

9

6

~

+ [Il [1J [[] [QJ [TI [TI [TI [TI 171

Finalmente, completamos os últimos quadradinhos com a soma: 296

X ]

480

= ] 776

[I]

7

X

4

8

2

9

6

m

[]] [Q] + O] O] [1] [1] [§] • Quais são os algarismos escondidos?

Vamos iniciar este problema, procurando o número que, multiplicado por 5, resulte num produto cujo algarismo das unidades é 5.

2

D

D

5

X

[1]

4

5

Verificando a tabuada do 5, observamos que os números ímpares, quando multiplicados por 5, resultam num produto terminado em 5: ] X

5

3

X

5

5 15

5 7

X X

5 5

25 35

9

X

5

45

Em seguida, é preciso verificar quais destes fatores ímpares satisfazem as outras condições de nosso problema, ou seja, devemos, por hipóte~s, colocar números no segundo D e verificar que se satisfaça a condição de que o algarismo das dezenas desse produto seja 4.

2

[1J 5 x

D 172

4

D5

Hipótese: aqui pode ser 1, 3, 5, 7 ou 9.

"Uma hipótese é um palpite 'orientado'. É uma solução possível para uma situação complexa. Ê uma explicação possível para um acontecimento. Muito freQüentemente é acompanhada por uma frase Que diz: se ... , então ... Se algo for feito, antlo algo acontecerá. Muitas vezes dois acontecimentos são ligados por uma hipótese em algum tipo de relação. Se eu largar a bola,. antlo ela cairá. Se eu reduzir a temperatura da água abaixo de O grau centígrado, então ela congelará. Usualmente uma hipótese supõe uma predição. Quando há uma situação problemática na sala de aula, ou Quando surge uma oponunidade ligada a um assunto Que está sendo estudado, muitas vezes é uma boa idéia pedir aos alunos que enumerem o maior número possível de soluções. Depois, os alunos podem predizer: QUe ocorrerá se eu fizer isto 7' ou 'Que acontecerá se eu fizer aQuilo 7' Depois, o alunos podem verificar suas hipóteses e apresentar perguntas do seguinte tipo: 'Esta solução foi correta 7 Pode ser aperfeiçoada 7 Deu uma explicação 7 Há outras soluções possíveis 7' " RATHS, p. 349, (51).

·o

Após todas as tentativas, percebemos que este problema admite duas soluções diferentes: 2

rnl [zJ

[§J 4

"A primeira coisa a fazer com um problema é compreendê-lo bem: quem entende mal. mal responde. Precisamos distinguir claramente a meta que desejamos al-

2

5

X

5

ou 1

[QJ

5

X

[2]

W4

5

É muito importante, no trabalho com crianças, apresentar problemas com mais de uma solução e até mesmo problemas sem solução, para que elas não se habituem a buscar sempre uma única solução possível nem tenham a falsa impressão de que há soluções para todos os problemas. Na história da Matemática, existem problemas formulados há muito tempo, sem que, até hoje, alguém tenha encontrado uma solução. Um deles é encontrar uma regra que permita identificar se determinado número, por maior que seja, é primo ou não. Note que, proposto determinado problema, podemos variar seus dados e ir analisando a correspondente variação na resposta. Uma vez alterada a questão, muda a resposta do problema. Você seria capaz de encontrar novas respostas para esta questão? Encontre os números desconhecidos:

cançar: Pense no fim antes de começar. 1... l lnfe-

lizmente, nem todos seguem este bom conselho, e as pessoas muitas vezes começam a especular, a falar e até a agir confusamente sem ter compreendido propriamente o objetivo para o qual deveriam trabalhar." POLYA, p. 140, 150).

Podemos também propor um problema que não admita solução, tal como:

Como não há múltiplos de 5 que tenham 6 no algarismo das unidades, o problema não admite solução.

Você sabia? Durante o século XII. na Índia, o algoritmo utilizado para a multiplicação era diferente do que utilizamos hoje, O método, depois também empregado pelos árabes, tem o nome cl.e gelosia. ou métodos da grade. Vejamos como utilizar este algoritmo para encontrar o produto entre os fatores 234 e 546:

234

X

546

173

Primeiro. devemos escrever os dois fatores na grade: 2

4

3

5 4

6

A seguir, multiplicamos os algarismos dos fatores, dois a dois, e vamos registtando os resultados destas multiplicações parciais na grade:

3

2

4

5 2 3 4

4

X

5

X

5 5

X

10 15 20

6

2

3

4 5

4

2x4 J X 4. 4x4

8 12 16

2

12 18 24

6

2

- 1

o o

3

4 5 X

6

J X 6 4x6

4

6

Após todas as multiplicações parciais, devemos somar os algarismos das diagonais , uma a uma, a partir do canco direito da grade :

-

174

vai uma dezena

1

/

7

e

/

/

6

/ 4

,

4

/

O produto l o número que ficou escrito a esquerda e abaixo da grade: 3

2

4

,,,

5

2'

4

,t'

6

7 7

/

234

-

8

)C

/

4

/

546 - 127 764 1

-

-

-

--

ATIVIDADES

1. Multiplique, pelo método da gelosia, os fatores: a) 206

X

78 2

O

6

~: 175

b) 1 992 x 185 9

9

2

8

5

2. Vamos efetuar 206 x 78, pelo "processo longo". Verifique o algarismo das unidades, o da dezena, o da centena, etc., do produto obtido e faça uma comparação com os algarismos que você encontrou para o produto no método da grade. Escreva sua conclusão. decompondo

206 - - - - - - X 78 - - - - - - - -

200 70

+6 +8

4 8 -8x6

1 6

Oo -

1 4

o ooo

1 6

O6 8

+

4 2

-

8 X 200 70 X6 70 X 200

3. Decomponha os fatores abaixo e efetue as multiplicações pelo processo longo: a) 200 X 325 C) 305 X 51 b) 143 x 98 d) 2001 x 13 4. Abaixo, temos representado um agrupamento de parcelas iguais, utilizando o material dourado. Registre este processo com números, escrevendo a multiplicação.efetuada e o produto obtido. õJ õJ õJ õJ

íl

~ íl ~ íl ~ íl ~· ----- ~ílílílr~·;·ir;·;·i ~~

õJ õJ õJ

õJ õJ õJ

õJ õJ õJ

õJ õJ õJ

agrupando

íl~ílílíl~ 176

• õJ õJ !i õJ õJ; õJ õJ ;õJõJ'lõJõJl õJõJ ··········••...........•

~~ _j

5. Qual é o produto? Complete os O :

~íl H íl íl H íl ~ o

a)

u)u) u) õJ

õJuJ õJõJ

QxO

r~ íl õJõJ õJõJ

CJJ CJJ [jJ

r~ íl~~ íl~~ íl~~ •

b)

õJõJ õJ CJJ õJ CJJ [jJ

~a

õJ [jJ õJ [jJ CJJ õJ uJ

õJ[jJ [jJ [jJ CJJ [jJ uJ

QxO

=

[jJ CJJ CJJ õJ õJ [jJ õJ

['jJ CJJ CJJ õJ

õJõJ [jJ

O

6. Dê o triplo dos números representados abaixo com o material dourado (se puder, faça o processo utilizando o material, não esquecendo de agrupar e trocar 10 peças iguais). a)

b)

c)

■ 11111 li • Ili

CJJCJJ CJJCJJ CJJCJJ

CJJCJJ CJJCJJ

OJCJJ CJJCJJ CJJCJJ CJJCJJ

d)

1111

CJJ oi CJJOJ

CJJ

177

7. Utilizando papel quadriculado, calcule (escreva os produtos parciais dentro dos retângulos): a) 13 X 5 3

10

b) 26 x 17 10

10

10

7

8. Quantas intersecções há entre as retas? a)

1111111 c)

178

d)

6

9. Complete as multiplicações com os algarismos que estão faltando: (Observação: as multiplicações estão no processo longo.) a)

4

7

X

D

Os

b)

--Ox7 DDD--Ox40 6

+ l

D

l

8

6

O

O

8

□□□

□□ X

□□

3

□□□ c)

6

X

DD D

d) X

+

2

l

2

4

o

DDD

□□□

10. Complete os quadrados com os "algarismos escondidos", verificando se o problema admite uma única solução, várias soluções ou nenhuma solução:

b)l d)A

a)™ X

D

□ s

e)~~+ X

D

D

9

+

D

D

6

5

X

03D 3

e)

X

D

D 5 DD o DD 4 D 2 D D D

D

f)

X

3

+

D 9

6

D

D D

2 2

D DDD 6

6

179

11. Utilizando somente os algarismos l, 2, 3 e 4 para formar dois fatores com dois algarismos cada, responda: a) Qual é o maior produto que se pode obter? b) Qual é o menor produto que se pode obter? 12. Qual é o dobro do produto: 7 x 3 x 5? 13. Uma piscina tem a capacidade de l 8 000 litros e é enchida por duas fontes. Uma fonte dá 28 litros por minuto e outra, 34. a) Quantos litros de água ainda faltam para encher a piscina, se as fontes já estão ligadas há 3 horas? b) A piscina estará cheia depois de 4 horas em que as fontes fo• ram ligadas? 14. Lígia ganha S 500 mil por mês; gasta S 350 mil e guarda o resto de seu salário para fazer uma viagem, cujo preço é de $ l milhão e $ 800 mil. Sem usar lápis e papel, verifique daqui a quanto tempo Lígia poderá fazer a esperada viagem. (Observação: desconsidere a inflação!) 15. Para estimular os estudos de Lia, s'eu pai prometeu pagarlhe $ I 000 toda vez que ela tivesse nota superior a 8 nas provas. Em contrapartida, Lia deveria pagar S 500, toda vez que tivesse notas inferiores a 8. Após ter feito 8 provas, Lia ficou com$ 5 000. Em quantas provas Lia teve nota 8 ou superior a 8? 16. Num dia de chuva, Renata ouviu o estrondo de um raio, 7 segundos depois de tê-lo visto. Sabendo-se que a velocidade do som é 340 metros por segundo, a que distância de Renata caiu o raio? 17. Dois micróbios foram colocados em um recipiente, às nove horas da manhã. O número de micróbios duplica a cada minuto. Sabendo-se que o recipiente ficou cheio de micróbios às 11 horas da manhã, pergunta-se: a que horas os micróbios ocuparam a metade da capacidade do recipiente? 18. Qual é o número que, multiplicado por 8, produz o quádruplo de 6? 19. Qual é o número que, multiplicado por 9, produz o triplo de 15?

180

20. O produto de dois números é 280. Multiplicando-se o primeiro fator por 5 e o segundo por 4, qual é o novo produto? E se multiplicarmos o primeiro fator por 4 e o segundo por 5, qual será o produto? 21. Calcule as idades de André, Letícia e Gabriel, sabendo-se que Gabriel tem o dobro da idade de André e este tem o triplo da idade de Letícia, que tem 8 anos. 22. Uma caixa-d'água é alimentada por duas torneiras: a primeira despeja 12 litros por minuto e a segunda, 27. A saída de água desta caixa é de 35 litros por minuto. Deixando abertas as duas torneiras e a saída, a caixa-d'água estará cheia em 8 horas e meia. Qual a capacidade da caixa-d'água?

O ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO Vimos que a subtração está ligada às idéias de tirar, comparar e completar. Na subtração 8 - 6, por exemplo, podemos ter as seguintes interpretações: • idéia de retirar De 8, tiro 6, restam ... • idéia de comparar

Quanto 8 é maior que 6? ou Quanto 6 é menor que 8? • idéia de completar

Tenho 6 para completar 8, faltam ... Como estas três idéias estão associadas à mesma operação, convém que estudemos problemas envolvendo ora uma, ora outra idéia. Sendo a, b e c números quaisquer, a sentença matemática que traduz esta operação é: a - b = c a é o minuendo, b é o subtraendo, c é o resto ou diferença. No conjunto dos números naturais, para que seja possível efetuarmos a diferença entre dois números, é preciso que o minuendo seja maior que o subtraendo. No nosso exemplo,

a> b A técnica operatória ou algoritmo da subtração sugere que se escreva o subtraendo abaixo do minuendo e se subtraia da direita para a esquerda. Observe o algoritmo da subtração, onde o minuendo é 375 e o subtraendo é 234:

181

Algoritmo

-

Operações realizadas

5- 4 = J 70 - 30 = 40 300 - 200 = 100

3 7 5 2 3 4 1 4 1

Para entender o processo utilizado no algoritmo, vamos efetuar esta mesma subtração de vários modos: • Subtração sem recurso com os símbolos do sistema egípcio Vamos escrever o minuendo (375) e o subtraendo (234) com símbolos egípcios:

,,,nnn111 nnn11

1

+

70

+

53

,,nnn111

n

300

4

.::.11. 16

1 +

200

5

+4

30

Retirando-se 4 unidades das 5, resta uma unidade:

111 11

111 = 1

Para completar 7 dezenas, com as 3 que temos, faltam 4 dezenas:

nnn nnn - nnn

nnn

=

n

n

Três centenas têm uma cel"tena a mais que duas centenas:

Portanto, a diferença obtida é:

,,,nn-n111 nnn11

,,nnn 111

n 300

182

+ 70 + 5

Dizemos que uma sub• tração é com recurso. quando o subtraendo apresenta, em qualquer posição (unidade, dezena, centena, etc.), núme• ros maiores do que o mi• nuendo. Observe um exemplo:

1

200

+ 30 + 4

=

,nnn1 n

100

+ 40 + 1

Quando isso nlo aconte· ce a subtração é sem re-

curso.

• Subtração sem recurso utilizando material dourado Inicialmente, vamos representar com as peças do material dourado, o minuendo 375, do qual desejamos subtrair 234.

375

•

1111111

Lll l'.'lJ l'.'lll'.'ll Lll

Vamos agora· retirar 4 unidades, 3 dezenas e 2 centenas do minuendo e restará:

• Subtração sem recurso no ábaco Para subtrair 234 de 375, vamos primeiro representar 375 no ábaco:

Jil 3

7

5

Vamos subtrair, em seguida, as 4 unidades de 234 das 5 unidades de 375:

Subtraímos as 3 dezenas de 234 das 7 dezenas de 375:

Por fim, subtraímos as 2 centenas de 234 das 3 centenas de 375 e lemos o resultado final da subtração:

183

Note que, na subtração sem recurso, poderíamos ter iniciado a operação da esquerda para a direta, no mesmo sentido em que lemos os números, pois é assim que fazemos o cálculo mental. Da mesma maneira, ao operarmos com os símbolos numéricos egípcios, poderíamos ter tirado o/ o/ de o/ o/ o/ , antes de tirarmos

m

111

I de li , ou mesmo antes de tirarmos

nnn

de

nnn n n n. n

Ao fazermos a subtração utilizando o material dourado, também poderíamos ter primeiro subtraído as placas, depois as barras e então os cubinhos, assim como poderíamos, no ábaco, ter começado a operação da esquerda para a direita. Experimente fazer esta conta mentalmente, sem o uso de lápis e papel: 375 - 234

de 300, tiro 200, sobra 100 de 70, tiro 30, sobra 40 de 5, tiro 4, sobra 1. Fácil! 141...

No entanto, no caso das subtrações com recurso ou com.reserva será necessário iniciar as operações pelas unidades. Subtração com recurso

Vejamos um exemplo da subtração com recurso: 457 - 273 Algoritmo

Operações realizadas

í57 - 2 7 3

7- 3 = 4 50 - 70 = ? 150 - 70 = 80 300 - 200 = 100

1

l 8 4

Observação: é comum, na subtração com recurso, usar-se a expressão: "empresta um". Na verdade, não se "empresta" nada, pois quem empresta alguma coisa, supõe-se, deveria devolvê-la. Na verdade, este procedimento no algoritmo apóia-se nas propriedades do nosso sistema decimal e posicional de numeração. O que se faz na subtração

184

é decompor uma dezena em 10 unidades e acrescentá-las às unidades, ou decompor uma centena em 10 dezenas e acrescentá-las às dezenas, etc. Para entendermos melhor este algoritmo, vamos efetuar esta subtração de outros modos: • Subtração com recurso com os símbolos egípcios Vamos escrever, com símbolos egípcios, o minuendo e o subtraendo de nossa subtração:

(457)

(273)

,,, nnn , nn

,, nnn nnn

111 111

n

1

+

400

Retirando-se

50

+7

+

de

nn

+3

70

n~n

Como não podemos retirar

em

200

Ili Ili Ili de Ili , restam 1

nnn nnn nnn n

111

ílílíl

n

, que são acrescentados aos

ílílíl , decompomos o/

ílílíl :

nn ,,, nnn nnn 111 nn nnn 111 nnn n 1

retiramos

o/ o/· dos o/ o/ o/ , restando o/

Por fim, retiramos A diferença obtida é:

c;c;c; e;

nnn nn

111 111

c;c;

1

400

+ 50 + 7

200

nnn nnn 111 n + 70 + 3

e; =

nnn nn

111

ílílíll 100

+ 80 + 4 185

• Subtração com recurso usando o material dourado Vamos representar com as peças do material dourado o minuendo 457:

,r

,r õJ õJ õJ õJ õJ õJ õJ

4 centenas

5 dezenas

7 unidades

Como não podemos retirar 7 dezenas de 5 dezenas, decompomos 1 centena em 10 dezenas e acrescentamos às 5 dezenas que tínhamos.

Assim, após o desagrupamento de uma centena em dez dezenas, ficamos com: (3 157)

HílílHílHHílHíl 3 centenas

15 dezenas

CTl CTl o'l o'l ô o'l IJ)

7 unidades

Retirando 2 centenas, 7 dezenas e 3 unidades, restam: (184)

oJ oJ õJ oJ 1 centena

8 dezenas

4 unidades

Para que os desagrupamentos e trocas possam ser feitos e entendidos pelo aluno, no algoritmo da subtração com reserva, é preciso que este aluno tenha compreendido muito bem nosso sistema de numeração posicional de base dez, no qual um algarismo à esquerda de outro vale dez vezes mais do que valeria se ocupasse aquele lugar. É isto que nos permite desagrupar uma centena e transformá-la em dez dezenas; desagrupar uma dezena e transformá-la em dez unidades.

186

• Subtração com recurso no ábaco Vamos representar, no ábaco, o minuendo 457:

Subtraindo as 3 unidades de 273, ficamos com:

!il

Como não podemos subtrair as 7 dezenas (de 273) das 5 que temos no ábaco, trocamos uma bolinha das centenas por l O bolinhas na casa das dezenas, e ficamos, então, com 15 dezenas:

Retirando 7 dezenas das 15, restam 8 dezenas:

lil lli

Finalmente, retiramos 2 centenas das 3, restando:

8

4

O algoritmo da compensação Nas contas efetuadas até agora, explicamos o algoritmo, bastante utilizado, de decompor uma centena, ou dezena em 1O dezenas ou unidades, respectivamente. No entanto, há um outro processo de se efetuar a subtração com recurso, que é justificado no princípio: Adicionando-se a mesma quantidade ao minuendo e ao subtraendo, a diferença não se altera.

187

Podemos exemplificar esta propriedade com um exemplo simples: se a diferença entre as idades de duas pessoas for 5 anos. Acrescentando-se 3 anos à idade de cada uma (daqui a 3 anos) esta diferença continuará sendo 5 anos. Vamos então efetuar a subtração entre 457 e 273, aplicando esta técnica: Algoritmo

Operações realizadas

1

7 - 3 = 4 150 - 70 = 80 400 - 300 = 100

4 5 7 3

j. 7 3 8 4

A justificativa deste processo, também denominado algoritmo da compensação, reside no princípio de que aumentando-se uma centena a 457 e. uma centena a 273, a diferença não se altera. Observe o algoritmo:

400

+~ 50 + 7

~+

- 200

70

+3

...

400

+ 150 + 7

+ 70 + 3 100 + 80 + 4

- 300

184

ATIVIDADES 1. Subtraia 231 dos números representados nos ábacos: a)

c)

188

b)

!li

d)

ili

2. Abaixo, temos 4 números representados no cartaz de pregas e no ábaco de copos: a)

b)

~ e)

mffl ~~~~~ ~~~~~ d)

Responda: a) Quanto falta para o número representado no ábaco d se igualar ao do ábaco a? b) Quem é maior, a ou e? Quanto a mais? c) Tirando b de d, quanto sobra? d) Qual a diferença entre o maior dos 4 números e o menor? 3. Com material dourado, construa este número:

oJ

~~

i:r: oJ

CJJ

Agora, deste número, subtraia 1 435. 4. Efetue as subtrações abaixo pelos dois processos: • decomposição e troca • compensação Verifique qual processo é mais adequado a cada uma das operações: c) 8 000 - 3 584 a) 247 - 159 d) l 347 - 879 b) 2001 - 1992

189

5. Calcule de quanto o menor número de 4 algarismos supera o maior número de 3 algarismos. 6. Se eu fosse 12 anos mais velho, teria 51 anos. Quantos anos tem meu irmão, se minha idade excede a dele em 17 anos? 7. a) b) c) d) e)

Quantos anos se passaram entre: O descobrimento do Brasil e a proclamação da Independência? A proclamação da Independência e a da República? A Primeira e a Segunda Guerras Mundiais? A invenção da imprensa e o ano atual? A inauguração de Brasília e a morte de Juscelino Kubitschek?

8. Qual a alteração do resto de uma subtração, nos seguintes casos: a) Quando se aumenta o minuendo e o subtraendo de 3 unidades. b) Quando se aumenta o minuendo de 10 unidades e o subtraendo permanece-o mesmo. c) Quando se aumenta o subtraendo de 10 unidades e o minuendo permanece igual. d) Quando se aumenta o minuendo de 5 unidades e se diminui o subtraendo de 3 unidades. e) Quando se diminui o minuendo de 4 unidades e se aumenta o subtraendo de 7 unidades. 9. A diferença entre dois números é 51. Aumentando-se o minuendo em 8 unidades e diminuindo-se o subtraendo de 2 unidades, qual será a nova diferença? 10. Qual é o princípio que permite utilizarmos a regra da compensação nas subtrações? 11. Qual a parcela oculta, para que se tenha a soma indicada? a) [==:J b) 1 500 + 324 + c:=.=J --~~-·---~~1 000 c)

1 882

+c:--::::J

1992 1 700

d)

+

247

345

[===:J

3000

1992

12. Do dobro de um número subtrai-se o próprio número. Qual o resto? 13. Do triplo de um número subtrai-se o próprio número. Qual a diferença?

190

14. A diferença entre dois números é 50. O maior número é o triplo do menor. Quais são os números? 15. A diferença entre dois números é 32 e o subtraendo é 24. Qual o minuendo? 16. A diferença entre dois números é 51 e o minuendo é 80. Qual o subtraendo? 17. Quando Renata nasceu, seu pai tinha 23 anos. Hoje, Rena ta tem 18 anos. Quantos anos tem seu pai? 18. Qual é a diferença entre dois números pares e consecutivos? E entre dois números ímpares e consecutivos? 19. Numa subtração, o minuendo e o subtraendo têm dois algarismos. Utilizando, apenas uma vez, cada um dos algarismos l, 2, 3 e 4, encontre: a) a diferença mínima. b) a diferença máxima. 20. Qual o "algarismo escondido"? a)

b)

10 □

__ 05 69

4

21. Qual a diferença entre o maior número de dois algarismos e o menor número também com dois algarismos?

O ALGORITMO DA DIVISÃO A divisão exata Dados .dois números inteiros, chama-se divisão exata entre estes números a operação que nos fornece um terceiro número, que indica quantas vezes o primeiro contém o segundo. 18 ..;- 6 16 ..;- 2 Onde a é o dividendo, b é o divisor lb O) e q é o quociente.

*

Se se quer divisão exata é necessário que o dividendo seja um múltiplo do divisor.

3 8

pois 3 x 6 pois 8 x 2

18 16

Sendo a, b e c três números quaisquer, a sentença matemática que traduz esta operação é: a ..;- b = q significa que a = b x q Para que haja a possibilidade de um quociente inteiro, devemos ter o dividendo igual ou maior que o divisor: a ~ b

191

A divisão está ligada a duas idéias: a idéia de repartir em partes iguais e a idéia de medir, ou seja, a de verificar "quantos cabem". Assim como na subtração discutimos uma a uma as idéias envolvidas, é importante que salientemos em nossos exercícios estas duas diferentes idéias. Vejamos exemplos de cada uma: • Idéia de repartir Distribua igualmente 42 folhas de sulfite para 7 alunos. Primeiro, dê uma folha para cada aluno. Depois outra, e outra até que se acabem as folhas. Cada criança recebe, n~ final, 6 folhas. • Idéia de medir Neste caso, o quociente indica o número de vezes que o divisor está contido no dividendo. É a idéia de "quantas vezes?". Vamos supor a seguinte situação: Temos 42 folhas de papel sul fite para distribuir, para cada criança, em pacotes de 6 folhas. Quantos pacotes serão formados? Quantas crianças receberão 6 folhas? Podemos simplificar a pergunta para: "Quantas vezes cabe o 6 em 42?". O número de pacotes de 6 folhas é o quociente da divisão de 42 por 6: 42 folhas + 6 folhas = 7 pacotes Na prática, o que se faz é ir distribuindo 6 folhas de cada vez, até que se acabem as 42 folhas, quando, então, teremos o número de pacotes que identifica a quantidade de crianças que poderão receber 6 folhas. Podemos montar uma tabela que indique esta divisão nas suas etapas. o'? de crianças

n'? de folhas distribuídas

o

o

42

1

6

36

2

12

30

3

18

24

4

24

18

5

30

12

6

36

6

7

42

o

• Algoritmo das subtrações sucessivas

192

folhas que restaram

Esta tabela é reproduzida na conta feita pelo algoritmo das subtrações sucessivas:

J? resto 2? resto 3? resto 4? resto

-

42 6

-

36 6

-

-

-

6? resto fim da distribuição

""' +1

30

+1

6

24 - 6 -

5? resto

6

+

1

18 6

+1

12 6

+1

6 6

+

o

7 crianças receberão 6 folhas

1

7

Podemos fazer uso da estimativa e retirar mais de um grupo de 6 folhas de cada vez: 42 -30 12

u 1

5

1

ainda sobraram 12 folhas

pela estimativa, percebemos que 5 crianças podem inicialmente receber 6 folhas, pois "cabem" 5 x 6 em 42 ...

Continuando a divisão, percebemos que mais duas crianças podem receber 6 folhas, das 12 que restaram: 42 (folhas) - 30 I? resto

-

12 12

2? resto

-

O

6 (folhas)

+

5 2

-

l ~ distribuição 2~ distribuição

7

-

total de crianças

193

A capacidade da estimativa é adquirida lentamente pela criança. Ao iniciar o aprendizado do algoritmo da divisão pelo processo das subtrações sucessivas, a tendência da criança é ir colocando um, depois mais um, mais um, etc. Com o tempo, a pergunta que se deve fazer é "Cabem dez?", "E cem?", "E mil?" O processo, então, fica bem mais rápido, e acriança fica satisfeita por acabar a conta em menos tempo. Vejamos um exemplo, ao efetuarmos esta divisão: 13 325-;- 41. Como 41 x 100 = 4100, com certeza, "cabem" 100 x 41 em 13 325 e iniciamos nossa divisão:

13 325 4100 1? resto

41 l 00

-+-

1~ distribuição

9 225

-+-

Agora, verificamos que "cabem" mais 100 x 41 no resto 9 225 e continuamos nossa divisão: 13 325 4100 l? resto

-+-

2? resto

-

9 225 - 4100

41 100 -+l 00 -

1 ~ distribuição 2 ~ distribuição

5 125

"Cabem" mais 100 x 41 em 5 125:

1? resto 2? resto 3? resto

20

X

9225 - 4100

41 100 +100 +100

5 125 - 4100

-+-

---

1! distribuição 2~ distribuição 3~ distribuição

l 025

Já não "cabem" mais 100 x 41 em l 025, mas podemos tentar 41:

1? resto 2? resto 3? resto

4? resto

194

-

13 325 4100

-

13 325 4100 9225 - 4100 5 125 - 4100 ----

l 025 820 205

41 ~100 +100 +100 + 20

---

1~ 2? 3~ 4~

distribuição distribuição distribuição distribuição

Finalmente, como 41 x 5 mos mais 5:

1? resto 2? resto 3? resto 4? resto

-

= 205, na última distribuição coloca-

13 325 4100 9225 - 4100 5 125 - 4100

fim da distribuição

1 025 820

-

41 100 +100 +100 + 20 + 5 325

---

1~ 2~ 3~ 4~

distribuição distribuição distribuição distribuição 5 ~ distribuição

205 205

o

Portanto, 13 225 -;- 41 = 325 O uso do algoritmo das subtrações sucessivas para efetuar divisões aumenta a capacidade de fazer estimativas. Na última operação que fizemos, poderíamos ter estimado logo na primeira distribuição que 300 x 41 = 12 300. Veja como a conta ficaria menor:

1? resto 2? resto

-

fim da distribuição

13 325

41

12 300

300

1025 820

-

-

20 -

205 205

+ 5

o

325

1~ distribuição: X 41 = 12 300 2~ distribuição: 20 X 41 = 820

300

3~ distribuição: 5 X 41 = 205

O algoritmo das subtrações sucessivas também é bastante útil qüando o quociente é um número com "zero" na casa das dezenas, ou centenas, etc. Vamos a um exemplo: 2472-;- 24. Podemos iniciar esta divisão com 100, pois 24 x 100 Observe: 2472 - 2400 I? resto

-

2400.

24 1~ distribuição·

100 -

0072

Como 3 x 24 = 72, continuamos a divisão:

1? resto

-

fim da distribuição

2472 - 2400

-

72 72

o

24 +

100 3 103

--

-

1~ distribuição 2~ distribuição quociente

195

Portanto, 2 472 contém 103 vezes o divisor 24. É muito comum em contas desse tipo encontrar-se, erroneamente, o quociente 13 e não o correto 103. Através deste processo esse erro não ocorre, pois, na estimativa de "quantas vezes?", fica claro que em 2 472 cabem 100 x 24, o que é muito maior do que 13 ... Vamos agora discutir um outro algoritmo para a divisão, o algoritmo usual, comumente ensinado nas escolas (talvez este seja mais familiar a você). • Algoritmo usual Consideramos a seguinte situação: dividir 138 crianças igualmente por 6 classes. Através do algoritmo usual, vamos encontrar o quociente da divisão 138 + 6. Algoritmo

~·

138 - 12

Operações realizadas

1 centena + 6 = ? 13 dezenas + 6 = 2 dezenas restam 1 dezena e 8 unidades abaixa o 8 18 unidades + 6 = 3 unidades quociente 23

6

f-------

23

18 - 18

o

Vamos compreender cada etapa deste algoritmo. Em primeiro lugar, verificamos que uma centena dividida em 6 partes não pode dar 100 para quociente, ou seja, com 138 crianças para serem divididas por 6 classes, será impossível formar classes com mais de uma centena de alunos. Agrupamos então 1 centena de 138 com as 3 dezenas. Como 1 centena é igual a 10 dezenas, ficamos com 13 dezenas para dividirmos por 6. É por este motivo que fazemos o arco ( - ) acima dos algarismos 13, o que equivale a afirmar que, no quociente, o primeiro algarismo será o das dezenas.

138

6

- 12 restou 1 dezena

2

DU

-

13 dezenas + 6

= 2 dezenas

Restou uma dezena, que deverá ser agrupada às 8 unidades de 138:

~·

138 - 12 1 dezena

196

+ 8 unidades

-

18

6

2

DU

Finalmente, dividimos as 18 unidades por 6: ~I

138 12~ 18 18

6

2 3

DU

o Concretamente, na situação de dividir 138 crianças por 6 classes, pode-se pensar assim: • Como 20 x 6 = 120, colocamos inicialmente 20 crianças em cada classe. • Como 120 crianças já foram distribuídas, restam 18 crianças (138 - 120 = 18) que serão divididas pelas 6 classes, ficando mais 3 crianças em cada classe, que já tinha 20_ RATHS, p. 320, (51).

"Veja-se que existe a relação entre o cálculo mental do educando e a técnica operatória de cálculo escrito. Sem esse ti-

po de análise, que vai às ·aízes do próprio cálculo 11ental dos educandos, o aducador limita-se a ,onstatar a aparência do >roblema, isto é, percebe ;ornante que existe uma

Jiferença entre o proces;o de cálculo mental do iducando e a técnica ,peratória de cálculo es:rito e não percebe que ixiste uma relação entre

1mbos." ~EWTON DUARTE, p. 26, (24).

P.

"O professor que deseje acentuar o pensamento em seu ensino precisa estar ciente das diferenças entre processo e produto na educação. Em resumo, o processo é a experiência (mais os esforços) que um estudante vive ao aprender. O processo é uma atividade psicológica desigual a respeito da qual pouco se sabe, pois funciona na mente do aluno. O produto, ao contrário, é definido, tangível e é relativamente fácil identificá-lo. De modo geral, os educadores têm muita preocupação com o produto da aprendizagem, e não têm interesse suficiente pelo processo. Existem várias razões para isso. O produto, como é tangível, pode ser visto e tratado. O produto pode ser a nota num exame, um boletim, um relatório, um discurso, uma resposta a uma pergunta. Usualmente resulta de uma tarefa dada pelo professor. Muitas vezes se supõe que, quando um estudante pode responder corretamente a uma pergunta, aprendeu o que lhe foi ensinado. Muitas vezes a suposição é válida. No entanto, às vezes isso não ocorre."

Os algoritmos têm sido ensinados e reproduzidos há vários séculos. É claro que, ao fazer mecanicamente um algoritmo, não pensamos, a cada momento, o porquê do processo. No entanto, é muito importante que compreendamos a técnica, para que possamos fazê-la de várias maneiras diferentes, sabendo, a cada passo, o quê e o porquê de estarmos fazendo algo, sempre baseados nos princípios que regem o nosso sistema posicional de numeração. Acreditamos que, num primeiro momento, deva-se ensinar o algoritmo da divisão pelo processo das subtrações sucessivas, pois ele propicia que o aluno faça estimativas para determinar o quociente, e a idéia geradora de "quantas vezes?" (quotiens) estará sempre presente. As· estimativas, nesse processo, incentivam o aluno ao cálculo mental. Como você calcularia de cabeça 138 -i- 6? Observe um modo: 138 -i- 6 = ? 120 -i- 6 = 20, sobra 18. 18 -i- 6 = 3 Ah! é 23!

Na verdade, como já afirmamos antes, muitas vezes fazemos o cálculo mental utilizando as idéias básicas do nosso sistema de numeração e as propriedades das operações, sem que nos apercebamos disso. 197

ATIVIDADES 1. Sem lápis e papel, tente efetuar as divisões mentalmente, registrando só o resultado: c) 180 + 15 a) 90 + 5 b) 648 + 6 d) 294 + 7 2. Observe o número registrado no ábaco:

Distribua esta quantidade igualmente por três outros ábacos, que, inicialmente, estão vazios.

e

o

_J

u

3. Quais são as duas idéias envolvidas na operação divisão? 4. Divida a quantidade representada pelo material dourado, em 6 partes iguais.

Sugestão: comece por

decompor a placa em dez barras e compare com a divisão feita no

texto.

- , - ,-- -1- -

· -1--1--f-

Ili

CJJ UJ

LJ) CJJ (JJ

õJ

CJJ íJJ

5. Um antigo criador de ovelhas egípcio registrou a quantidade de ovelhas que possuía:

~~ílílílll Querendo distribuí-las em testamento a seus 4 filhos, qual o numeral egípcio que representa a quantidade ganha por cada um? 1QR

Sugestão: tente efetuar a conta usando os símbolos numéricos egípcios; comece por desagrupar as duas centenas

e juntá-las às 3 dezenas.

6. Divida 696 biscoitos em pacotes de 12 biscoitos cada um, através do algoritmo das subtrações sucessivas. Complete a tabela com as operações que for realizando: n '? de pacotes feitos -

~ -

-

...

o

n'? de biscoitos empacotados

n'? de biscoitos que sobraram

o

696

~

-

-

~

--~--

~

-7. Quantas vezes o número 36 está contido em 3 780? 8. Quantas vezes o número 10 404 contém o número 51? 9. O produto de dois números é 52 e um deles é o triplo do outro. Quais são os números? 10. Quantas dúzias de laranja há numa caixa com 300 laranjas? 11. Num jogo de basquete, Lígia, Renata e Carol foram as cestinhas. Lígia e Renata, juntas, fizeram 22 cestas; Renata e Carol, juntas, fizeram 16 cestas e Lígia e Carol, 20. Quantas cestas fez cada uma?

Sugestão: faça este problema de trás para fren-

te, com as operações inversas das que foram feitas aqui.

12. Pensei em um número, adicionei 7, multipliquei este resultado por 3 e, finalmente, subtraí 38. Obtive 13 como resultado. Em que número pensei? 13. Verificando os preços no mercado, constatei que duas peras têm o mesmo preço que três maçãs e que 6 maçãs equivalem a 8 laranjas. Para que eu não perca nem lucre com a troca, quantas peras devo trocar por 6 laranjas? 14. Se trocarmos 15 notas de$ 200,00, por notas de$ 1 000,00, quantas notas de mil devemos receber? 15. Numa divisão exata, o divisor é 17 e o quociente é 51. Qual é o dividendo? 16. Numa divisão exata, o dividendo é 210 e o quociente é 15. Qual é o divisor? E se o quociente fosse 14, qual seria o divisor?

199

17. Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, para quaisquer números a, b e c: a + (b + c) = a + b + a + c 18. Complete os quadrados com os "algarismos escondidos".

Os □

□□ o

D

D

□□□ o

o

o

19. Descubra o valor de cada um dos símbolos 1

-

*.

1

*8 *2 * * * *8 *2 o *3 *2 *8

4

1

***

o o o A divisão não exata Nem sempre, ao efetuarmos uma divisão, ela é exata. Se o dividendo não for múltiplo do divisor, então a divisão é inexata, e o resto é diferente de zero.

37 resto

-

~

pois 37 = 4 x 9 + 1

+

resto

Na divisão não exata, onde a é o dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto, a r q

L---º---

vale sempre a seguinte relação: a=b·q+r

200

Claro que, no caso da divisão inexata, assim como na divisão exata, estão associadas as idéias de repartição ou de medida. O resto deve ser menor que o divisor, caso contrário podemos continuar a conta. Observe o exemplo:

6 8

É verdade que 6 x 5 + 8 = 38, porém 6 não é o quociente desta divisão nem 8 é o resto, pois a conta ainda deve continuar, até que o resto seja menor que 5. O quociente de uma divisão não exata é o maior inteiro que, multiplicado pelo divisor, será inferior ao dividendo:

Estimativas: 6 x 5 30 (é pouco) 7 x 5 = 35 (deve ser o quociente) 8 x 5 = 40 (é muito) O fato de a divisão ter um resto não indica qual algoritmo deva , ser utilizado, de modo que, nas divisões com resto, podemos utilizar o algoritmo usual ou o algoritmo das subtrações sucessivas. Suponhamos a seguinte situação: "Os l08 alunos da escola resolveram fazer uma excursão. Em cada ônibus há 42 lugares e nenhum aluno deve viajar em pé. Quantos ônibus terão que ser contratados? Sobrarão lugares para alguns professores? Quantos? Para encontrar o número de ônibus, podemos ir dividindo os alunos conforme a tabela: n'.' de ônibus

n'.' de alunos nos ônibus

alunos que sobraram

o

l08

1

42

66

2

84

24

o

--

Portanto, com dois ônibus contratados, apenas 84 alunos viajarão. Para os 24 alunos que sobraram, terá de ser contratado um novo ônibus, no qual sobrarão 18 lugares para os convidados. Vamos fazer esta divisão pelo algoritmo das subtrações sucessivas:

-

l08 42

-

66 42

1~ resto alunos que sobraram

-

42

+

1 1

-+-+-

1~ ônibus 2~ ônibus

2

24

201

Uma vez constatado que são necessários três ônibus para levar os 108 alunos, poderíamos repensar esta situação,deste outro modo: "Dividindo-se 108 alunos igualmente por três ônibus, quantos alunos ficarão em cada ônibus? Quantos lugares sobràrão em cada ônibus?" Por estimativa, sabemos que podemos iniciar esta divisão com 30 alunos em cada ônibus:

108 1? resto fim da distribuição

-

3

90

30

18 18

+ 6 36

o

---

1~ divisão 2~ divisão quociente

Portanto, distribuindo-se os alunos igualmente por 3 ônibus, em cada ônibus ficárão 36 alunos e sobrarão 6 (42 - 36) lugares vazios.

ATIVIDADES 1. Complete as sentenças matemáticas abaixo, de acordo com os esquemas: 000 00

a)

32

=

0

x 9

+

0 o 00

cL::.:J >~ RRRR L.::.:J L::.:J L::.:J L.::.:J D 202

Ox □ +D

o

o

o

o

o

o

1:::: 11:::: I_I::_::1 54

=

0

x

O+ 0

2. Qual o maior resto que pode ter uma divisão cujo divisor seja 13? 3. Quais são.todos os restos possíveis de uma divisão cujo divisor é 6? 4. Qual o dividendo em uma divisão onde o quociente é 7, o divisor é 12 e o resto é 5? 5. Se, numa divisão o resto 11 é o maior possível e o quociente é 26, qual é o dividendo? 6. Qual é o número que devemos subtrair de 300 para que adiferença dividida por 8 tenha como quociente 32 e, como resto, o maior possível? 7. Na festa de aniversário, Marina levou bombons para seus amigos. Se desse 12 bombons a cada um, sobrariam 7 bombons; mas se desse 13 bombons, faltariam 3. Quantos eram os amigos de Marina? 8. O quociente entre dois números é 27 e o resto é 2. Se duplicarmos o dividendo e odivisor, o que acontecerá com o quociente? E com o resto?

Sugestão: antes de fazer o algoritmo, faça uma estimativa da resposta deste problema e, só depois, resolva-o pelo algoritmo das subtrações sucessivas.

9. Justifique com dois exemplos numéricos a seguinte propriedade da divisão: "Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero, o quociente não se altera, porém o resto, se houver, fica multiplicado ou dividido por este número." 10. Quantas dúzias de ovos pode uma granja embalar, com uma produção de 500 ovos ao dia? Sobram ovos sem embalar?

203

11. Divida estas peças do material dourado igualmente em 5 partes.

Sugestão: comece por decompor os cubões e registre a operação que você realizou com o processo das subtrações sucessivas.

ílílíl ~ ~

,,, nnn

111 111 cabe-

12. No testamento, Hamsés deixou '' íl ças de gado para seus 7 filhos. Registre quantas cabeças cada um recebeu, em numeral egípcio.

Sugestão: faça toda a operação com numerais egípcios, iniciando por decompor a

t

em

???

i?1 ??? ?

13. Para esta atividade, você vai necessitar ter o material Cuisenaire à mão. Vamos compor a barrinha marrom, utilizando apenas peças verde-escuras.

[

marrom verde-escuro

verde-escu~i_J

Notamos que "sobrou" um pedaço da barra marrom que não foi coberto, pois 3 peças verde-escuras ultrapassam a peça marrom. Vamos então verificar que peça se "encaixa" exatamente na sobra:

__ ]

marrom verde-escuro

verde- escuro

vermelha

Podemos concluir desta atividade, que: 8

barra marrom

204

=

~

1"~7 verdeescuras

+

2

a "sobra" foi preenchida com a barra vermelha

J

Use o mesmo procedimento para: a) Compor a barra laranja, utilizando peças lilás. conclusão: 10 = __ x 4 + __ b) Compor a peça azul com peças vermelhas. conclusão: 9 = __ x 2 + __ c) Compor uma peça laranja mais uma amarela, com peças verde-claras. conclusão: 15 = __ x 6 + __ d) Compor uma peça azul mais uma laranja, com peças verdeescuras. conclusão: 19 = _ _ x 3 + __ 14. Para esta atividade, você deverá fazer, em cartolina, cédulas de "dinheiro" de: 1 000 500 100 50 10 5 1 (faça no mínimo dez de cada tipo).

Agora, distribua, fazendo as trocas necessárias, e registre quanto sobrou:

a) por 6 pessoas

b) por 8 pessoas

205

Grandezas discretas e grandezas contínuas Ao trabalharmos com a divisão é necessário levar em conta o que está sendo dividido para podermos interpretar o resultado da divisão. Precisamos verificar com que tipo de grandeza estamos trabalhando; se é uma grandeza discreta ou grandeza contínua. Uma grandeza discreta, também chamada de descontínua, "não pode crescer ou decrescer segundo nossa vontade; ela cresce ou decresce por graus determinados, como um grupo de homens, um rebanho de ovelhas, etc. A grandeza descontínua não pode ser medida com unidades arbitrárias; a unidade deve ser da mesma natureza da grandeza. Se se tratar de um rebanho de ovelhas, a unidade necessariamente será ovelha". Ao dividirmos uma certa quantidade de alunos por um determinado número de salas, não podemos ter como resultado, por exemplo, lO alunos e meio, porque meio aluno não existe, não é mesmo? Tratase de uma grandeza discreta. Numa divisão de uma quantidade discreta pode sobrar um resto, mas não haveria sentido em subdividi-lo. Este tipo de divisão não exata é chamado de divisão euclidiana. Se dividirmos 53 laranjas (todo discreto) por 5 caixas, teremos lO laranjas em cada caixa e restarão 3 laranjas. Poderíamos, se quiséssemos, partir as 3 laranjas que sobraram e colocar pedaços iguais em cada uma das 5 caixas, mas isso modificaria o sentido da simples repartição inicial das laranjas (inteiras). A grandeza é contínua quando ''pode crescer ou decrescer por graus tão pequenos quanto se queira, como o comprimento de uma linha, o tempo que se escoa. A grandeza contínua é medida com unidades arbitrárias da mesma espécie". Se temos um tablete de chocolate, podemos dividi-lo em pedaços do tamanho que quisermos, que sempre teremos chocolate, não mudamos a sua natureza. O tablete de chocolate é um exemplo de grandeza contínua. Na divisão de grandezas contínuas, o resto pode ser subdividido sem alterar o significado das partes que resultarão da divisão. Ao resolver a questão 12 das atividades anteriores você deve ter verificado que, na divisão dos bois deixados por Hamsés, sobraram 6 que não puderam ser subdivididos, pois os bois deveriam ser repartidos vivos, não havendo lógica em cada filho ganhar seis sétimos de um boi, nem tampouco um receber a cabeça, o outro receber o rabo, etc. Se, no entanto, no testamento de Hamsés a divisão fosse de terras, então poderiam tê-la subdividido em quantas partes quisessem, de modo que cada filho recebesse a mesma extensão de terreno. No caso dos bois, o resto não pode ser subdividido; no caso das terras, sim. Até o presente capítulo desta obra, analisamos apenas a criação e o uso dos números naturais, que traduzem a medida de grandezas descontínuas. No próximo capítulo, introduziremos o conceito de nú-

206

< 12

3

X

84

26 • 78

- 73 e 26° 12 nao - sao - equ1va . 1entes. eorno os pro d utos 7 x 12 e 3 x 26 são d 11erentô, as f caçoes e

ou seja. das rcpre-.enram nUmeros diferentes: l

T _,_

ul 2

ATIVIDADES l _ O hexágono da figura está dividido em 12 partes iguais. A fração pintada do hexágono é 6 12

Represente as seguintes frações do hexágono: a)

b)

3

4

1

2

\__

234

e) -

2 6

d)

1 3

2. Quais das frações da questão anterior são equivalentes? Quais são irredutíveis?

3. Desenhe dois retângulos iguais de comprimento 16 cm e largura 1 cm. Represente as frações e ~ . Estas frações são

!

equivalentes?

+

e ~ são frações equivalentes, represen1 tando na unidade abaixo as duas frações:

4. Demonstre que

- comeu 10 de um bolo, e Pedro, 5. Joao

15

10

24

de um bolo seme-

lhante. Qual dos dois comeu mais? O que você conclui sobre essas duas frações? 6. Destaque, na unidade quadriculada, as frações seguir, verifique se

Sugestão : circule os pontos determinados pelas frações e conte o número de pontos circulados , em cada caso.

!

!e ;

.A

é equivalente a ;

7. Utilizando a malha pontilhada, verifique se as frações ; e ~ são equivalentes .

• • • • • 8. As frações

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

f

~ e ~ são equivalentes? Para responder a esta

questão, utilize dois processos diferentes.

235

f, podemos também determinar a classe de equivalência da fração f :

9. Assim como é possível escrever a igualdade 2

2

[ 2

4

6

8

10

T = T ' T T ' T ' -5-

' ··· '

n2n ]

=

n E IN n i'- o

Determine a classe de equivalência da fração

f

10. Represente, na reta numerada, as frações:

2

a)

3

4

5

15 5

6

7

8

9

10

11

12 13

d) __±__ 8

b) _.!&_ 4

e) _lQ___ 3

c) _.!&_ 8

f) _!.L

5

11. Represente as frações abaixo na reta numerada:

3

2

a)

20 8

b) _2_ 4 e)

_g_ 4

d)~ 6

e) _lQ___

4

f) ~ 5

12. Identifique, na questão anterior, as frações equivalentes.

½,cujo denominador é 24? 14. Qual é a fração equivalente a !~ cujo numerador é 2?

13. Qual é a fração equivalente a

15. Qual é a fração equivalente a ~~ , cujo numerador é 3?

236

16. Verifique qual número deve ser colocado nos espaços indi-' cados por O de modo a tornar as frações equivalentes:

ª) -1..S "'

D

b) D

1

12

c)

rv

d)

35

...!!.. "' .1L 28 D

12 "' D ) 84 14

e

3

.1L D "' .1.. 4

D "'_ll_

f)

13

65

A COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES Ao compararmos frações, devemos considerar três casos: • As frações têm o mesmo denominador

1

1

:

] .=] : Como a unidade foi dividida num mesmo número de partes, as partes têm o mesmo tamanho. Nesse caso, a maior fração é a que tiver maior numerador: 6

T

4

> T

• As frações têm o mesmo denominador 3

4

[

3

5

7

3

6

Como a unidade foi dividida em números diferentes de partes, o tamanho das partes não é igual, e quanto menor o número de partes em que dividirmos o todo maiores serão as partes. Portanto, a maior fração é a que tiver menor denominador:

237

• As frações têm numeradores e denominadores diferentes 2

4

3

5

Notamos, pela figura, que

!>

~ . Mas nem sempre é tão sim-

ples fazer uma comparação gráfica. Vamos então procurar uma fração equivalente a

! e uma outra fração equivalente a ;

, tendo essas duas

novas frações denominadores iguais. Essa é a maneira mais segura para compararmos quaisquer frações cujos denominadores e numeradores são diferentes, pois, dessa forma, o número de partes em que o todo foi dividido será o mesmo. No caso, poderíamos ter:

3X5

2

Como 3

4 =

tanto,

X

4

SX4 =

4xs" 15 e T2 20

8 20

8 , temos que 15 > 8 e, por= 20 20 20

3 2 4 >T

De um modo geral, comparando frações cujos numeradores e denominadores são diferentes, devemos obter frações equivalentes às frações dadas, com mesmo denominador. Para determinarmos qual deve ser este denominador comum, devemos procurar um número que seja múltiplo comum a estes denominadores, e para facilitar os cálculos podemos escolher o menor destes múltiplos, ou seja, o menor múltiplo comum aos denominadores das frações a comparar. No nosso exemplo, mmc (4, 5) ;::: 20 Sabemos, então, que as frações equivalentes às frações dadas terão o número 20 como denominador. Aplicando a propriedade fundamental, temos:

xs ~

15

3

4;::: 20

\___,) xs

E concluímos que:

238

!>

;

Você sabia?

Podemos comparar fra,;ões, utilizando papel quadriculado. Pan comparar as fnçõcs

!

e

+,

por aemplo, devemos ter um número de quadradinhos que seja, ao mesmo tempo, divisível por 4 e por ) . Este número pode ser obàdo arravEs do diculo do menor múlàplo comum entre 4 e ), que E 20. Vamos, pois, coosuuir dois rcdngulos com 4 cm de largura por ) cm de comprimento. Em cada um, representamos uma das fações a comparar:

3

2

6

4

Con=do os quadndinhos, cm ada caso, nota-se que

!

de 20 quadradinhos são 10 quadradi-

nhos e+ de 20 quadradinhos são 12 quadradinhos. Como 12 > 10, conclu1mos:

-

ATIVfDADES -

-

-

1. Qual é a fração equivalente a

~ , cujo denominador

é 15?

2. Qual é a fração equivalente a+, cujo denominador é )5?

3. Qual das frações é maior:

~

ou +

?

! do total de pontos da malha pontilhada. A seguir, compare as frações ; e ! .

4. Obtenha as frações ; e

• • • • • • • • • • • • 239

5. Quais das frações abaixo correspondem a números maiores que 2 e menores que 3? a)

2.

d) -11_

3

7

b) J1__

e) J_Q_ 8

c) ...Ll_ 4

f) _2_ 2

5

6. Reduza ao mesmo denominador e compare as frações:

a) b)

d) ~ e

..1.. e 2. 4

6

7

5'

3

15

8

8 e6

e)

7

25

5

9 e6

f) __!_e__§__ 5 7

c) 5e25

7. Sem efetuar nenhum cálculo, verifique qual a maior fração em cada caso: 3 3 3 13 7 18 a) 5 ' 7 ' 4 d) 20 'W' 20 2 4 3 4 10 12 e) 2 ' -5- ' -3b)W'W'W

5

5

3 3 11 º7'2'_5_

5

c)l0'7'8

8. Responda: a) Quanto é

~ de 32?

b) Quanto é

!

de 32?

. . 5 ou 3 c) Quem e, ma10r. 4 8

?

.

9. Desenhe um retângulo de 9 cm x 4 cm. A partir deste retângulo, coloque as frações a seguir em ordem crescente: 3

10

5

4

4'12'9'6

240

10. Desenhe um segmento AM de 12 cm, marque os números de O a 12, e depois, associe cada fração abaixo a um ponto de AM. a)

! de 12

d) ; de 12

b)

~ de 12

e)

c)

? de 12

f)

4

2 de 12 24

+

de 12

11. Desenhe um segmento AM de 10 cm. Marque os pontos associados às frações. 4

a) _1_

c) -

2 b) -4

d)-±..

5

5 5

12. Podemos resolver o exercício anterior, utilizando as barrinhas Cuisenaire. Vamos considerar a baua laranja como unidade e determinar, por exemplo, os vale 10. Para determinarmos

1desta barra que, sabemos,

1da barra laranja, devemos compô-la

com 5 barras de igual tamanho. A barra que assim compõe a laranja é a vermelha:

1l____

l~

laranja

vermel~l

vermelho

_v_•r_m_e_lh_º_~_ve_,m_e_lh_o_~_v_e_,m_el~

Agora, devemos tomar 4 destas 5 barras vermelhas e, por comparação com as outras barrinhas, verificar qual é a barra que equivale às 4 barras vermelhas: 1

vermelho

L__ - -

J_

vermelho

vermelho

vermelho

---~--

marrom

241

Como uma barra marrom (8) equivale a 4 barrinhas vermelhas, temos que:

~ da barra laranja = barra marrom ou, transformando em números, 4

S

de 10

=

8

Faça o mesmo para as frações: a)

-1.... S

c) - 1

b)

.1..

d).1.. S

2

4

13. Componha o número 12, utilizando duas barras verde-escuras: ~

A seguir, proceda da mesma forma como no exercício anterior e calcule: a)

! de 12

b)

~ de 12

c) ;

de 12

d)

-¼- de 12

14. Sabemos que uma hora tem 60 minutos. Que fração da hora é o minuto?

15. Quantos minutos há em

! da hora?

16. Marina afirma que "passa ~ do dia estudando". Quantas horas por dia Marina estuda? 17. Que fração do dia corresponde a uma hora? 18. Um mês é que fração do ano? 19. No material Cuisenaire, a barra vermelha representa qual fração da barra verde-escura? 20. Duas barras verde-claras_juntas formam que fração da barra azul? 21. Qu~ a barra correspondente a ~ da barra laranja?

242

Compare as respostas deste exercício com as do exercício 1O.

AS OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Ao estudarmos as operações no conjunto dos números naturais, vimos o significado das operações. Grande parte das idéias ligadas às operações com números naturais permanecem válidas nas operações com frações, como veremos a seguir.

A adição e a subtração de frações A adição de frações está ligada às idéias. de juntar, acrescentar. E a subtração de frações também está ligada às idéias de retirar, completar, comparar. Comecemo~. .pela adição. Vamos considerar uma unidade u e as

frações

+

e ; desta unidade:

u

u

'--..,.--.J

2

1

5

5

Acrescentando ; a

+,

temos:

3

5

-.1

_I

s

-----------

+l

3

s =s

2

s

5

Como podemos ver, as idéias de juntar e completar, válidas na adição de números naturais, continuam valendo para a adição de números fracionários. Vejamos agora as idéias ligadas à subtração. Vamos considerar a fração

~ da unidade

u e dela retiramos

+:

2

5

..1_ __ 1

s

3

5

s

2

=

s

A idéia de completar também pode ser trabalhada: se temos a fração ; da unidade, quanto falta para termos ~ desta unidade? 3

6

~

..._.,_..,

2

1

T

T

Ou ainda, a idéia da comparação: quanto ~ é maior que+?

1-1

Cf 3

15

c1-1

---.,......, _________. 1

2

T

T

Vamos agora considerar esta outra adição. de frações: _1 +-1

2

1

3

1

T

3

] __

J L._._____.._______,

Como½ e+ não representam partes iguais do todo, precisamos encontrar frações equivalentes a-½ e+ que tenham o mesmo denominador, quando então teremos o todo dividido em um mesmo número de partes nas duas frações consideradas. Na prática, dizemos que estamos reduzindo as frações ao mesmo denominador. 1

X

3

3

1

3

5

lf

----------------------3

244

2

1

2

3=6

2=6

6

1X 2

3>

Vamos multiplicar o dividendo e o divisor por um mesmo número, o que não altera o resultado:

Propriedade da existêneia do elemento inverso ou recíproco.

t>

Sabemos que um número multiplicado pelo seu inverso é igual a 1. Então:

Propriedade do elemento neutro à direita da divi-

t>

são.

"Ê muito imponante que os professores criem uma atmosfera na qual as crianças possam dizer o que pensam com convicção em todos os momentos. As "mordaças" são ruins para o desenvolvimento moral da criança, bem como para o seu desenvolvimento intelectual. Se as crianças não questionam as regras que não têm sentido para elas, elas não podem construi-las por si próprias e podem apenas seguir a vontade dos outros. Da mesma forma, se elas não questionam o

(~ . ~) Como todo número dividido por I é igual a ele mesmo, temos: a 7. c

b

a

ct=b

d c

ATIVIDADES 1. Calcule o produto abaixo, de duas maneiras diferentes:

a) pelo processo gráfico; b) pelo algoritmo. 2. Encontre a fração produto simplificada (fração irredutível) do exercício anterior.

263

3. Calcule o produto abaixo de duas maneiras diferentes, verificando se a multiplicação de números fracionários é associativa:

4. Seria a divisão de números fracionários comutativa? Verifique, efetuando: a)

+ -j+

.:_ .1... b) _1_ 3 . 5 5. Justifique cada passo do algoritmo utilizado por você na questão anterior. 6. Seria a subtração de números fracionários comutativa? Verifique, efetuando: 3 --1 a) 5 2 1--3 b) 2 5 7. Divida o numerador de uma fração qualquer por 2. O que aconteceu ao seu valor? 8. Divida por 3 o denominador de uma fração e multiplique por 3 seu numerador. O que aconteceu ao seu valor? Justifique sua resposta através de um desenho. 9. Por que, na adição de duas frações, devemos reduzi-las a um mesmo denominador comum? 10. Efetue: 3

+ ;

e depois compare esta soma com o número

. 3 2 e com a f raçao - 1mpr . ó pna . - 17- . O que voce~ po d e conmisto 5 5 cluir? 11. Dos

!

restantes de um bolo, comi

~ . Que fração do bolo

comi? 12. A fração /

264

0

é quantas vezes maior que

~ 1

?

conhecimento pré-estabelecido que não faz sentido para elas, não podem tomar-se construtores crfticos de seus próprios conhecimentos." KAMII e DEVRIES, p. 59, 136).

13. Uma garrafa contém

i de um litro. Quantos litros contêm

9 garrafas iguais a essa?

14. Qual o número que multiplicado por+ resulta, como produto, ; ?

15. Que fração devo acrescentar a ~ para obter um inteiro?

16. Que fração eu devo acrescentar a

17. Dê a fração equivalente a

i para obter

~ ?

! ,cujo denominador seja 10"

18. Dê a fração equivalente a-½- , cujo denominador seja 10.

19. Existe uma fração equivalente a+ , com denominador 10? Por quê? 2 . Quanto se deve 14 somar ao numerador para se obter uma fração equivalente? 20. Soma-se 7 ao denominador da fração

21. Quanto se deve subtrair de

i para se obter a terça parte

de 3 ?

5

~ 1 de seu comprimento, ficando com 39 metros. Quantos metros tinha esta peça antes de encolher? 22. Uma peça de fazenda, depois de molhada, encolheu

23. Imaginemos um litro de guaraná ocupado até os seus

i.

+

Supondo que se queira distribuir este guaraná em copos, cuja capacidade é de

de litro, quantos copos ficarão cheios de guaraná

e que fração de um copo sobrará?

265

24. Complete os O, tornando as frações equivalentes: 3

ª) T

b) J_ 4 c)

~~

rv

O

d) 15 20 e) _ 7_ O

10 rv _g_ 100

rv

~

f) ;

25. Qual a fração equivalente a

rv

O 100

rv

_1L 100

rv

1~

~ cujo denominador é 10? 1 5

O NÚMERO FRACIONÁRIO E A NOTAÇÃO DECIMAL

Frações ordinárias e frações decimais As frações cujos denominadores são 10 ou 100 (10 x 10) ou 1 000 (10 x 10 x 10), etc., são denominadas frações decimais. Assim, são de. . f _ 3 25 143 c1ma1s as raçoes 10 , 100 , 1 000 , etc. As frações que não são decimais são as chamadas frações ordi,. nanas, como por exemp lo, 1 , 2 , U4 , et c.

5

3

Podemos representar algumas frações ordinárias como frações decimais, bastando para isto aplicar a propriedade fundamental das frações e obter uma fração decimal equivalente à fração ordinária. Observe os exemplos: 2 5 8 40

2x2

4

5x2

10

8+4 40 + 4

1 4

1

4 2 10

42 60

=

X X

25 25

42 + 6 60 + 6

25 100 7

10

Algumas frações ordinárias não têm uma fração decimal equivalente, como por exemplo:

~ , ~ ,

! ,etc. Isto se explica pelo fato

de que os números 3, 7, 9 não são divisores nem múltiplos de 10, nem de 100, nem de 1 000, etc., enquanto os números 5, 4, 40, 60 o são. As frações irredutíveis, que podem ser transformadas em frações decimais, são aquelas que possuem como denominador um número cujos fatores primos sejam apenas 2 e 5 (que são os dois divisores de 10, exceto o próprio 10 e 1). Se os fatores primos do denominador forem diferentes de 2 e 5, a equivalência é impossível.

266

Obter uma fração decimal equivalente a outra é obter uma fração equivalente à fração dada, cujo denominador seja 1O, ou 100, ou 1 000, etc.

Vejamos alguns exemplos de frações e a possibilidade (ou não) de se obter a sua equivalente fração decimal:

5

• 8 Vamos decompor o denominador: 8

2

4 2 2

2

Como 8

2 x 2 x 2, a fração

+

possui uma fração decimal

equivalente: 5

8 =

5 8

X X

125 125

625 1000

Para obtermos o fator 125, que multiplicado por 8 resulta 1 000, efetuamos as divisões 10 + 8, 100 + 8, 1 000 + 8, até que se tenha uma divisão exata. O quociente desta divisão é o fator procurado, no caso, 125" 1000

+ 8 = 125

Aplicando-se a propriedade fundamental das frações obtemos a fração decimal desejada: 625 1000

•

15 28 Como 28 = 2 x 2 x 7, a existência do fator 7 impossibilita a divi-

sibilidade por 10, 100, 1 000, etc. Logo, a fração

1~

não possui fração

decimal equivalente.

•

13 20

1~

= 2 x 2 x 5, a fração possui fração decimal equivalente. Como 100 + 20 = 5, aplicando a propriedade fundamental das Como 20

frações, temos: 13 20

13 20

X X

5 5

65

100

267

. u7 = 2 x 2 x 3, a existência do fator 3 impossibilita a divi-

Como 12

sibilidade por 10, 100, 1 000, etc. Por isso, a fração

7 não possui 12

fração decimal equivalente. Você sabia? Na leitura de frações decimais, usamos as denominações décimos , centésimos, milésimos, crc., para denominadores respectivamente iguais a 10, 100, 1.000, etc ..

Veja a denominação de algumas frações decimais: Fração

Dcnominaçio

4

quatro décimos

10

25

vinte e cinco ccntésjmos

100 _}_I_

uinta e um milésimos

1 000

Se tivermos frações decimais impróprias, podemos lê-las como números mistos, por exemplo

Fração 45 10 }27 100

86 10

B4 100

Denominação

40 5 - + - - ~ 4 _5_ 10

lQQ..+...E._ 100

quarenta e cinco décimos, ou quatro inteiros e cinco décimos

10

10

} ..E_ 100

100

oitenta e seis décimos, ou oiro inteiros e seis décimos

~+_6_ - 8-610

10

10

quinhentos e trinta e quauo centésimos, ou cinco inteiros e trinca e quatro ccntbimos

1.QQ__+~ 100

2 001 1 000

100

2 000 + - - l i 000 1 000

uczcntos e vinte e sete centésimos, ou três inteiros e vinte e sete centésimos

2-11000

dois mil e um milésimos, ou dois inteiros e um milésimo

ATIVIDADES 1. A fração

7 pode ser transformada em fração decimal? 14

Qual? 2. A fração ~ pode ser transformada em fração decimal? Por quê?

268

3. Escreva a denominação de cada uma das frações abaixo: 7 14 734 a)

7o

c)

b)

.1!..

d) 502 10

10

100

e) 100

f) _lL

l 000

4. Transforme, se possível, em fração decimal: l 3 8 a)

T

c)

b) _!_ S

4

d) 45

60

e)

14

f) _3_

12

5. Transforme a fração 18 em decimal e dê sua denominação. 5

6. Transforme o numeral misto 3-¼ em fração decimal; a seguir, dê sua denominação. 7. a) b) c) d) e)

Qual barrinha, no material Cuisenaire, corresponde a: Dois décimos da barra laranja? Seis décimos da barra laranja? Cinco décimos da barra marrom? Cinco décimos da barra lilás? Cinco décimos da barra verde-escura?

8. Considere o cubo grande do material dourado como unidade. Qual peça deste material corresponde a: a) Décima parte do cubo grande? b) Centésima parte do cubo grande? c) Milésima parte do cubo grande? 9. Meça a barra laranja do material Cuisenaire, utilizando a barra verde-clara como unidade.

vercle-daro

verde-claro

Represente o resultado dessa medida, através de um número misto. 10. A medida obtida na questão anterior pode ser transformada em fração decimal? Por quê?

269

Números decimais O fato de nosso sistema de numeração ser posicional e ter base dez permitiu que as frações fossem representadas, na notação decimal, como números decimais. Para tanto, foi necessário que se criasse uma forma de diferenciar a parte inteira de um número, da sua parte fracionária. Ainda hoje, não existe um único símbolo para esta representação: nós utilizamos a vírgula(,) e os países anglo-saxões utilizam o ponto(.). Veja no ábaco como esta representação funciona: parte fracionária

parte inteira

~

10 +10 +10 .....---,..,,,---....,,,...--.......

1 000

100

10

1

o, 1

0,01

0,001

No ábaco é fácil percebermos que uma posição à direita de outra vale a décima parte desta outra. Se dividirmos uma unidade em 10 partes iguais, cada uma destas partes será um décimo: O, 1 ou

~ 1 da unidade. Um décimo dividido por 10 será igual a um centésimo (0,01), um centésimo dividido por 10 será igual a um milésimo (0,001) e assim por diante. "Na Europa, foi o belga Simon Stévin que, em 1582, deu o passo decisivo rumo a nossa notação atual, ao anotar do seguinte modo os nosSOS 679,567; 679(0) 5( 1) 6(2) 7(3) (simbolizando deste modo: 679 unidades inteiras, 5 "unidades decimais da primeira ordem" ou décimos, 6 "unidades decimais da segunda ordem" ou centésimos e 7 "unidades decimais da terceira ordem" ou milésimos). Dez anos depois, o suíço Jost Bürgi simplificou a notação ao eliminar a menção inútil da ordem das frações decimais consecutivas, colocando no alto das unidades simples o signo O : o

679 567. No mesmo ano, o italiano Magini substituiu esta bolinha por um ponto colocado entre o algarismo das unidades e o dos décimos. Foi assim que nasceu a notação usada até hoje nos países anglo-saxões: 679.567.

ct · T

+-ª--

a

b

c

a

ct b

e

T

~-.-;+~-.-+ a . e

b.,.. T

c . e ct.,.. T

É claro que novas definições, uma vez que não estamos obrigados pelas antigas (que não são aplicáveis), podem ser dadas como quisermos. Mas não é menos claro que convém que essas novas definições saiam, o menos possível, dos moldes das antigas, para que a introdução delas no cálculo se faça com o menor dispêndio possível de energia mental, não só no dar da definição [no definir], como nas suas conseqüências. Esta diretriz corresponde a um princípio geral de economia do pensamento que nos leva, seja nos atos elementares da labuta diária, seja nas construções mentais mais elevadas a preferir sempre, de dois caminhos que nos levam ao mesmo fim, o mais simples e curto. No caso que nos está ocupando, o que é que devemos economizar? Nós possuímos o conjunto de leis operatórias, formado pelas propriedades formais das operações - é a generalidade da aplicação desse conjunto que devemos conservar. Quer dizer: convém que as novas definições sejam dadas de modo tal que as leis formais das operações lhes sejam ainda aplicáveis. Este princípio é conhecido pelo nome de princ{pio da permanência das leis formais, ou princípio de Hankel, e não é mais, como vimos, que a aplicação particular, na Matemática, do principio geral de economia do pensamento.

Como vimos, para os números fracionários, valem as mesmas propriedades estabelecidas para as operações com números naturais mas também foram criadas propriedades específicas para esse tipo de número. Outra ampliação dos campos numéricos se deu com a criação dos números negativos.

293

Os números negativos Ao operar com números naturais ou fracionários, existe a impossibilidade de subtração quando o minuendo é menor que o subtraendo: 3- 5

=

?

No entanto, com a criação dos números negativos, esta subtração tornou-se possível: 3- 5

= -2

A idéia de número negativo levou muito tempo para ser aceita. Os antigos hindus (séc. VII) compreenderam que era possível interpretar subtrações como 3 - 5; bastava admitir a existência de quantidades negativas, que designavam com o nome de dívidas. Distinguiam os números positivos dos números negativos, colocando um ponto em cima do número negativo. Assim, já no século VII, os hindus representavam -2 com i. Porém, eles se recusavam a chamar as quantidades negativas de números. Consta também que os chineses diferenciavam as duas espécies de números, escrevendo os positivos em vermelho (barras vermelhas) e os negativos em preto (barras pretas), processo adotado até hoje por alguns comerciantes, para indicar saldo credor ou devedor. O Matemático italiano Fibonacci (1170-1250), no seu livro Liberabaci, considera, pela primeira vez, uma quantidade negativa como número e não como um absurdo. No entanto, a idéia de número negativo só foi plenamente aceita no século XVI (época do descobrimento do Brasil). Portanto, muito depois da criação dos números fracionários: aproximadamente 4 mil anos depois! Hoje em dia, os números negativos são bastante conhecidos e usados: comumente mencionamos temperaturas· negativas, como "três graus Celsius abaixo de zero", que se representa por -3ºC; falamos também em débito na conta bancária ou saldo negativo, etc. Você sabia? O conjunto dos números positivos e negativos constitui o conjunto dos números inteiros relativos, representado por '7L. O conjunto formado por todos os números namrais, pelos números fracionários e pelos números inteiros negativos é o conjunto dos números racionais, representado por . Assim, todos os nú-

meros naturais, bem como lodos os números inteiros são também racionais. A cada número positivo corresponde um número negativo, oposto; o zero é o "marco", ou separação entre estes dois conjuntos. O zero não é positivo nem negativo. zero números negativos

números positivos

Uma vez que o zero é a ausência de quantidade, que as quantidades positivas são maiores que zero e que as negativas são menores que zero. convencionou•se que os números positivos ficam, na reta numérica, à direita do zero e os negativos, à esquerda do zero. Assim procedendo, a5sina. Jamos sobre a reta duas seqüências infinitas de pontos, sendo cada pomo denominado imagem de um número positivo ou negativo. O ponto da reta numérica cuja imagem é o zero é denomi• nado origem.

294

Dois números, situados a igual distância do zero, um à direita e outro à esquerda, são denominadm números opostos ou simétricos. Indicamos o oposto de um número inteiro n por -n. Assim, por exemplo,

o oposto de +3 é -3

-3

+3

o oposto de -5 é +5

-'-~ -5

+5

Verifica-se, facilmente, na reta numerada que um número qualquer é maior do que os que estão à sua esquerda e menor do que os que estão à sua direita. Assim,

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

O +1

+2

-' - -' - -' +3 +4 +5

+6

+7

+3 > -J -J

-3

> -2 < -1

Valor absoluto de um número relarivo (: o número que se obtém suprimindo-lhe o sinal. Assim. o valor absoluw de + 3 é 3 o valor absoluto de - ~ é 5

25

As operações com números positivos e negativos definem-se por extensão imediata das operações já estudadas. O novo campo numérico procura manter, tanto quanto possível, o conjunto das propriedades das operações. Em relação à adição, temos dois casos a considerar: • Se adicionarmos números de sinais iguais, a soma será um número relativo de mesmo sinal, cujo valor absoluto é a soma dos valores absolutos das parcelas. Vejamos dois exemplos: (+3) + (+2)

+5

+

-5

(-3)

(-2)

• Se adicionarmos números de sinais diferentes, a soma será, em valor absoluto, igual à diferença entre os valores absolutos das parcelas e o sinal é o mesmo da parcela com maior valor absoluto. Assim, (+5) + (-3) +2 (-5) + (+3) -2 Note que a soma de dois números opostos é zero: (+5) + (-5) = O

A subtração de dois números relativos é igual à soma do primeiro com o oposto do segundo. Assim, por exemplo, (+5) (+5)

(+3) (-3)

(+5) + (-3) (+5) + (+3)

+2 +8

295

De um modo geral, no campo dos números relativos, as duas operações adição e subtração aparecem unificadas numa só, que se chama soma algébrica. Assim, por exemplo:

=

+3 -2 ~3 -4 -5 +3

+l -7 -2

O produto de dois números relativos tem como valor absoluto o produto dos valores absolutos dos fatores e seu sinal será + ou - , conforme os dois fatores tenham sinais iguais ou diferentes. Assim, por exemplo,

(+4) (-4) (+4)

X

(-4)

X

(+3) (-3)

X

(-3)

X

(+3)

+J2 +12 -12 -12

O fato de, na multiplicação e divisão de números relativos, menos com menos ser igual a mais, é uma das regras mais intrigantes. Mas pense, por exemplo, "O que é o avesso do avesso?". O avesso do avesso é o direito. Podemos estender esta idéia para a regra de sinais. No caso: (-) X (-)

=

(+)

A divisão de dois números relativos é inversa da multiplicação. Daí que, para a divisão, vale a mesma regra de sinais da multiplicação de números relativos. Por exemple,.:

(+15)

7

(+5)

+3 +3 (-5) -3 (+5) =-3

(-15) 7 (-5)

(+15) (-15)

7 7

Como já vimos, a cada ampliação dos campos numéricos é necessário que as propriedades já definidas continuem válidas. Assim, as propriedades das operações definidas para os números naturais e mantidas para os números fracionários, devem também permanecer válidas nas operações com números negativos. Agora, depois de introduzidos os inteiros negativos no sistema numérico, é preciso definir operações com eles de tal modo que as propriedades originais da aritmética se mantenham verdadeiras. Por exemplo, para manter a verdade da propriedade distributiva, é preciso ter (-1) · (-1) = +l. Porque, se (-1) · (-1) = (-1) então com a = -1, b = +l,

c

-1, temos: a · (b + c) (-1) · (+l-1) (-1) · (O)

o

296

a·b+a·c (-1) · (+l) + (-1) · (-1) -1 -1

-2

=

(+I).

Esta regra, e outras de sinais que tantas vezes são perturbadoras para as crianças escolares, juntamente com certas definições que regem as operações de inteiros negativos e frações não podem ser provadas. Elas são criadas pelo homem para pemitir liberdade de operações, preservando ao mesmo tempo as leis fundamentais da aritmética.

ATIVIDADES

1. Qual o único número inteiro que não tem um oposto ou simétrico? 2. Qual é o simétrico do número -5? 3. Calcule: a) (+12) + b) (+12) + c) (-12) + d) (-12) +

(+3) (-3) (+3)

e) (-12) - (-3) f) (-12) - (+3) g) (+12) - (-3)

(-3)

h) (+12) - (+3)

4. Calcule: a) (+8) X (+5) b) (-8) x (-5) C) (-8) X (+5)

e) (+12)-:- (-4) f) (-12)-:- (-4) g) (-12) + (+4)

=

=

=

d) (+8) x (-5)

5. Complete os espaços: a)

b) e)

D D D

X

(+3)

-18

d)

X

(-3)

+18

e)

+ (-5) = +8

f)

D D D

- (+3)

-5

+ (-2) + (+3)

+12 -5

OS NÚMEROS IRRACIONAIS

Pitágoras (580-500 a.C.) nasceu na ilha de Samos no mar Egeu.

A ampliação dos campos numéricos cria condições para a resolução de determinados problemas: com a criação dos números negativos, a subtração entre dois números não admite mais restrições, da mesma forma que, com a criação dos números fracionários: a divisão com divisor não nulo é sempre possível. Outros problemas surgiram que ocasionaram a extensão da noção de número. Na Grécia, por volta do século VI a.e., Pitágoras fundou uma sociedade mística secreta chamada Escola Pitagórica.

297

Esta sociedade existiu por alguns séculos. Os membros dessa seita, os pitagóricos, pensavam muito sobre o mundo, tentando explicá-lo. Em sua filosofia de vida, os números tinham importância fundamental. Um dos mais destacados membrós da Escola Pitagórica, Filolau, dizia que todas as coisas têm um número e que sem os números nada se pode conceber ou compreender. Para os pitagóricos, a harmonia do Universo, o movimento dos planetas, a vida animal e a vegetal, o som, a luz, tudo isso só podia ser explicado através dos números. [... ] Os pitagóricos levaram a extremos sua adoração pelos números, baseando neles sua filosofia e seu modo de ver o mundo. Foram eles quedescobriram que, em todo e qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos:

a

b2

b

+

N< 9

= 72

d) 9 >< 9 - 81

9. a)

47 ~ 63 + 360 423

b)

38 ___!_!. 48

+ 180 228

+ 240 252

ou

15

ou

12 ~ 96

ou

O 2 ~

não há solução! (não há produto 9, com um dos fatores sendo 2)

2.1..

25

2.1..

45

75

12

2..1 36

107 ou 127 ou 147

2.1..

2.1..

2.1..

535

635

735

ou 167 ou 187

~ m e s m o s algarismos

b) 3 x 324 c) 3 x 338 d) 3 x 545 7.

42 ~ 12

15 ~ 75

09

O 4 8 l 6 O O

d)

89 ~ 18 + 160 178

1

e)

2.1..

2.1..

835

935

32 ~ 160 2240

2400

f)

161 ~ 322 9660 9982

11. a) 42 >< 31 = 1 302 b) 13 x 24 - 312 (2. 2 X 7 X 3 X 5 = JO X 21 = 2)0 13. a) Em 3 horas: torneira l: 60 x 3 >< 28 = 5 040. torneira 2: 60 >< 3 >< 34 = 6 120. Faltam ainda 6 840 litros. b) Em 4 horas toneira l: 60 >< 4 >< 28 = 6 720. torneira 2: 60 >< 4 >< 34 = 8 160. A piscina não estará cheia depois de 4 horas,- pois faltarão ainda 3 120 litros para enche-la. 14. Guarda SISO mil por mês. Em 12 meses, economizará l 800 000. JS. Lígia acertou 6 questões e errou 2. (Sugestão: monte uma tabela com o número de erros e o de acertos, num total de 8 questões). 16. 2,38 km ou 2 380 metros 17. Ás IOhS9min 18. O quádruplo de 6 é 6 >< 4 = 24; o número é 3, pois 8 >< 3 = 24. 19. O triplo de 15 é 45; o número é 5, pois 5 >< 9 = 45. 20. O>< 1::. = 280 5 >< O >< 8 anos = 24 anos; Gabriel: 2 >< 24 anos = 48 anos.

22. As torneiras juntas, por minuto, despejam: 121 + 271 = 391. A saída de água faz escoar, por minuto, 35 I. A cada minuto, sobram na caixa 41. Como a caixa estará cheia de água em S lO minutos (8 x 60 + 30), temos: Sl0 x 4 = 2 040. A caixa tem, portanto, 2 0401 de capacidade.

.,m ., li p.188

1.

d) ano atual - 1 440 (ano provável da invenção da imprensa) = e) 1 976 - 1 960; 16 anos.

8. a) Não altera o resto. b) O resto aumenta em 10 qnidades. c) O resto diminui em 10 unidades. d) O resto aumenta em 8 unidades. e) O resto diminui em 11 unidades. 9. 61 10. Adicionando-se a mesma quantidade a ambos os termos de uma subtração, a diferença não se altera. c) 773, d) 45 11. a) 676, b) 492, 12. O próprio número. 13. O dobro do número. 14. Os números são 75 e 25. □

lS.

2

7

3

- 32 24 16. 80

2

d)

c)

ill ill 2

9

2

6

9

- D

17. 41 18. É 2, em ambos os casos. 41 b) 43 19. a) - 38 - 12 9 31

■■•11 4. a) 88, b) 9 (compensação), c) 4 416 (compensação), d) 468 S. l 000 - 999 = 1 (de uma unidade) 6. Sl - 12 = 39 Meu innio tem 22 anos. 39 - 17 = 22

7.

a) 1 822 - 1 SOO = 322; 322 anos. b) 1 889 - 1 822 = 67; 67 anos. c) 1 939 - 1 914; 2S anos.

b)

42 - 38 4

21. 99 - 10

=

104 ~ 69

89

p.198

3. 889

■■- Ili ■■ Ili

O subtraendo é 29.

Sl

20. a) 2. a) 19 309 b) c é maior que a em 4 022 unidades. c) 8 090 d) c - b = 31 421

O minuendo é 56.

1. a) 18,

1ll Ili Ili

Ili Ili Ili Ili Ili 1ll

b) 108,

c) 12,

d) 42

'·lil lil lil 1~~~

3. As idéias de repartir e de medir. 4.

s. nnn 111

nn

111 li

6. ..

-

Número de pacotes feitos

Número de biscoitos empacotados

Número de biscoitos que sobraram

o

o

696

50

600

96

600 + 60

36

660 + 36

o

~ -

~

50 + 5 f---

55 + 3

7. 105 vezes. 8. 204 vezes. 9. 52 + 4 = 13; um é 13 e o outro é 39. 10. 25 dúzias 11. 2 L + 2 R + 2 C = 58 L+R+C=29 como L + R = 22 22 + c = 29 = c = 1 como R + C = 16 = R = 9 como L + C = 20 = L = 13 12. [(13 + 38) + 3) - 7 = 10; o número pensado foi 10. (Este exercício é interessante para se trabalhar operação inversa com os alunos). 13. 2 P = 3 M 6M=8L=3M=4L=2P=2L IP 6 L 3P Devo trocar 6 laranjas por 2 peras. 14. 15 x 200 = 3 000; 3 notas de mil. 15. D d x q +r D = 17 x 51 + O; D = 867 16. D = d x q + r 210 = d x 15 = d = 210 + 15 d= 14 Se o quociente fosse 14, d = 210 + 14 d = 15 17. 24 + (6 + 3) = 24 + 6 + 24 + 3 2'4+9=4+8

? É falsa. 18. -

~;º~

2~4

100 - 100

12 O, I, 2, 3, 4 ou 5 )2 X 7 + 5 = 89 26 X )2 + li = 323 32 X 8 + 7 = 263 300 - 263 = 37 7. Eram 10 os amigos de Marina. 8. O quociente permanece o mesmo e o resto fica duplicado. 9. Resposta livre. 10. 41 dúzias e sobram 8 ovos. 11. 4 placas, 8 barras e 7 cubinhos.

2. 3. 4. 5. 6.

o/o/ílíl

12.

Sobram Ili cabeças. III

13. a) 10 = 2 X 4 + 2 b) 9 = 4 x 2 + 1 C) )5 = 2 X 6 + 3 d) 19 = 6 x 3 + I 14.

a)í.::7 ~

BG

GGGGCJ e] CJCJCJ Sobraram

b)BB G

GGGG 88 Sobraram

000

C] C]

p.207

19.

9 348

~_41

- 8 21 ~-.~ 7 1

228

114:

~~

1

1. Resposta livre. 2. Grandeza contínua: idade. Grandeza discreta: 4 filhos, 47 netos, 37 tataranetos. 3. É contínua, pois admite submúltiplos. 4. É discreta, pois não se pode, por exemplo, ter um filhote e meio de papagaio.

p.202

p.216

1.

1. Contando: a, d, f. Medindo: b, c, e, g. 2. Litros. 3. Contínuas: b, c. Descontínuas: a, d.

a) 3 X 9 + 5 = 32 b) 27 = 4 x 6 + 3 C) 28 = 5 X 5 + 3 d) 54 = 6 x 8 + 6

321

5 4.12

4. A definição mais atual do metro: m

ofx,

=

da distincla que a luz percorre 300 000 em I seaundo. 5. O quilograma. 6. Resposta livre. 7. Resposta livre. 8. a) Resposta livre. b) 3 a 4 toneladas. e) Resposta livre. d) Resposta livre. e) Com 4 copos de requeijão. f) 3 metros. 9. lt = 1 dm3 1 mt = 0,00lt = 1 cm3 10. 1 quilate = 2 dg DO VIÚ:UO

½ = º:l

1 dg 1g

=

5. 3 3 a>s·u b) Não. Na pizza que foi conada em 8 pedaços, eles são maiores (pois são em menor número). 6. a) Dividir um todo em 5 partes e considerar 3 destas partes. b)

a) 4 pedaços, 6 ped(lços, 9 pedaços 1 1 1

b)4•T·T e) .1.. porque a tira foi dividida num número menor de 4

quilate quilate -

é menor que o inteiro, pois o inteiro seria ;

7.

1g

=

0,25 quilate

!

1 g "'

.1..

8.

1 2 1 5 l 2 , T , 8 , 6 , 4 , etc.

ou

quilate

partes; ponanto, em pedaços maiores.

d)

9

. (resposta livre)

1 1 9·T+T

p.218 1. Resposta livre. 2. Divide-se um todo em dez partes iguais e se considera urna destas partes. Esta parte 6 um d~imo do todo. 3. Não, pois as partes não tem o mesmo tamanho. 4. a) b)

p.224 l . barra verde-clara.

2. barra vermelha. 3. barra verde-clara.

p.226 1. a) 63 pessoas, b) 45 pessoas, e) 70 pessoas, d) Não 6 possível determinar, pois 105 não 6 divisível por 8. 2. a) b)

[:

* ©

c)

6. a) Sim,

b) Não,

c) Não,

d) Sim.

3. a>

p.223 1. a)

4

6 •

b)

2

T•

c>

4

T·

3 d)4.

2

T•

b)

3

4'

4. 8

5.

9 elefantes

2. a) 5, b) 8, e) 8, d) 5. 3. Numerador: especifica o número de partes consi-

deradas. Denominador: dá nome à fração. Diz em quantos pedaçoe o todo foi dividido.

322

própria

d)

: : :]

.. .. .. .. .. .. ...... ?

C)· 7

8'

d)..!. 5

r,

b) ~o

e)

nnn1 1{'UITI llfl 111 aparente

...!!. ~ $

ffi ~ • ~w~w

EB

A&~

imprópria

aparente

6

t··: ·\ ; ,. ;_· j aparente

e) :

f)

-L

5. a) 1

+,

b) 1

4

~

,

4 3 (não são equivalen1es)

.. ... 7 .. .. .. .. ... .

e) 3

4

t,

d) 2

~

.1.. 5

+.

8. São equivalentes.

a) $

2 . Equivalentes:

~105

+,. , !

~

1 3 2 ,T ,4

f t.I- j -ª-4

105

+ +•~ •~ •~ •. . ,3: J~ E

9_

.. 1 1rr..,. ....ut1ve1s:

30

i,i

3

p.234 1.

!

1

-

3. Próprias: a, b, e. Impróprias: d, e. Aparentes: f. 7 , 4. a) 7 , b) 5 , e) d) 19 .

2

l

7.

2. a) 3 barras vermelhas, b) 2 barras vermelhas, e) 1 barra Iillis, d) 1 barra marrom + 1 barra vermelha, e) 3 barras marrons + 1 barra lilás, f) 2 barras lilases.

4

I

F--1 ·;f..:.i ;

própria

'

i

1

•

={

*N

O

10.

1[fl 111111

São equivalentes.

t

1

1

1

1

5

6

7

8

9 10 11 12 13

1

1

1

1

a.

6

8

d

4.

f

e 20

11.

8

2 3

5

3

15

9 4

12

6

4

10

15

5

4 ..1.."" .§_ 5

10

12.

.12. 8 "" .ll. 6 "" ..!º4 3

3

X

3

_g_ 4 "" .ll. 5

9

tl.T=""íx1""=2i" 6

10

14.

~~ = ~~ ! ~ = ~

" ..Y. ~ .1ll.!. = ..1.. I... 28 28 + 4 7 16. a) 21, b) 8, e) 28,

d) 42,

e) 2,

f) 7

323

11.

p.239 3

.3x3

9

a)

.1... de

10

5

b)

.1... =

_!_

1.s=sxT=u 2·

1

1

T

5

X

JxS

=

15

=

5

4

1

3 1 3-5>3

.... •

•

...!.. de 10 =

d)

.1... de

5

3 4

-> -

2 3

5

'

~ barra amarela.

b) c)

R

...11.. 1

'

..!Q_

f

13.

a)

..1. > .1... 6

b) _]_

8

c)

d)~>

4

8

> ..1.

e)

6

.1... = ...11.. 5

f)

25

.1... 5

1

.1...

c)

4

4

7

d) .M_

b)W

20

c)

b) 24

8. a) 20 10

3

d) 14.

e)

R

f)

...!!.. 5

.1... > ..l. 4

8

18.

9 ·12>4>6>9

Observação: :~ de 36 = 30 +de 36

= 27

3 de 12 a)

4

=

=

14

_!_ de 12 2

=

t9. 1 :de36=24

~

de 36

=

20

3

2

20. T 21. A verde-escura.

6

a)

.1... =

b)

10

2. d) 2 de 12 = 8

3

f)

U1

1.

9

~ de 12 = 10

7 c) - -

e)

1 60

p.246

10.

b)

-¼ barra verde-clara.

15. 45 min 16. 16 h 1 17. 24

3

5

4

barra azul.

c) ; barra marrom.

5

..1.

!

b) ~ barra laranja.

..1. > _]_ 6 9· ~ > ..!..

7. a)

barra amarela .

d) ; barra lilás.

8

6. a)

10 = 4

a) ~ barra verde-escura.

4

.

5

8

12.

3

..l.

5

2

c)

4.

6

de10=5

2

.1_

=

-1... 24

+

324

= - 1- de 12 = 12

de 12

=

3

7

9

c) _!2.. 8

e)

..!2..

d)~ 3

f)

...!1..

9

a)w b) _]_ 7 c) _!2..

8

'

~ 3

'

..!2.. ...!1.. 5

' 12

5

12

16. Sim; a divisão com possibilidade de fracionamento do resto. O seu quociente seria um número fracionário.

J.

.1.. 6

a) 2

.1..

e) 4

b) 4

.1..

d) 10

4. a)

5

4

..!L

b) ..!,_

f) 3

..!!.

d)

4

6.

!

c)A 3

5

T1 + T1

5.

e) 3 .L 4

e) 3

..!L

b) 4 2

,

7 d) 18.

4

6

10 (em uma hora)

..l.. - Í8

. 4

,t,

7. 2 de 48 D = 16 D

20 20 ...!.. . 2

..!.de480=24 □ 8

. 2 1. Não. Pois

.l...+..i.=..1..

22. Porque

6

6

9.

= 40 D

~

Ponto B. 9 10. a) T 11

. 12.

23.

! ! =t

-

1 4T

e)

.1. < .1.. 8 4

b)

.1.. < .1..

d)

.1.. = ...!..

13.

T >T

12

3 3

o

1

1 1

8

•

3

1

3.

1

2

13

T 1

1

2

2

:..!.. 14

1 1 1 3 1 1

1

1

o

.

4

, ' :

t

e

8

4

12 + 8

~ , então será preciso transformar

48 min

T2

b)

5

d)

0

2.®

4

4 L-v 1

1

1

o

o

!