Nichtlineare Regelungssysteme: Systemtheoretische Grundlagen [Reprint 2018 ed.] 9783486783407, 9783486218336

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Für Li

Nichtlineare Regelungssysteme Systemtheoretische Grundlagen von o. Professor Dr.-Ing. Helmut Schwarz Lehrstuhl für Meß-, Steuer- und Regelungstechnik der Universität - GH - Duisburg Mit 174 Abbildungen und 8 Tabellen

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1991

Die Deutsche Bibliothek — CIP-Einheitsaufnahme Schwarz, Helmut: Nichtlineare Regelungssysteme : systemtheoretische Grundlagen / von Helmut Schwarz. - München ; Wien : Oldenbourg, 1991 ISBN 3 - 4 8 6 - 2 1 8 3 3 - 6

© 1991 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gesamtherstellung: Huber KG, Dießen

ISBN 3-486-21833-6

V

Vorwort Technische Regelstrecken haben nahezu immer ein nichtlineares dynamisches Systemverhalten, denn bei der Beschreibung des Ursache-/Wirkungsverhaltens dynamischer Systeme wird man bei Verwendung der Gesetzmäßigkeiten aus Physik und/oder Chemie fast immer auf nichtlineare Gleichungssysteme als mathematische Modelle der betrachteten Systeme geführt. Häufig lassen sich diese Gleichungen, insbesondere die zugehörigen Differentialgleichungen, entweder nicht in geschlossener Form lösen, oder aber die Lösungen sind so komplex, daß der Wirkungszusammenhang schwer durchschaubar ist. Der übliche Ausweg besteht darin, das betrachtete System durch einfachere Modelle zu beschreiben, die geeignete Approximationen der nichtlinearen Gleichungen darstellen. Insbesondere für Problemstellungen der Regelungstechnik werden in erster Linie lineare Modelle als Näherung 1. Ordnung betrachtet. Da eine einwandfreie Regelung den Systemzustand in der Nähe des jeweils eingestellten Arbeitspunktes halten soll, können viele dieser Systeme aber durch linearisierte Systemmodelle hinreichend gut beschrieben und dann auch mittels der linearen Systemtheorie behandelt werden. Die zunehmende Komplexität moderner Automatisierungssysteme und weiter wachsende Ansprüche an die Qualität der Regelungssysteme führten dazu, daß auch das nichtlineare Verhalten der Regelstrecke stärker beachtet wird. Gilt das Interesse insbesondere dem dynamischen Verhalten bei größeren Signalamplituden oder bei verschiedenen Arbeitspunkten, müssen verfeinerte Modelle als Approximation des zugrundeliegenden nichtlinearen Systemverhaltens Verwendung finden. Die Einbindung der Systemtheorie linearer regelungstechnischer Systeme in die allgemeinen Ingenieurwissenschaften ist heute selbstverständlich, was seinen Ausdruck einmal in den Lehrplänen und zum anderen in der Vielzahl der in den letzten Jahren entstandenen einführenden und auch weiterführenden Lehrbücher zur linearen Regelungstechnik findet. Dies ist völlig anders bei der Darstellung wichtiger Probleme der Dynamik nichtlinearer Systeme. Obwohl Untersuchungen zu nichtlinearen dynamischen Systemen schon im vorigen Jahrhundert im Bereich der Mechanik und angewandten Mathematik durchgeführt wurden, die in diesem Jahrhundert weitergeführt wurden und vor allem eng mit den Namen Volterra (1860 - 1940) und Wiener (1894 - 1964) verbunden sind, erfolgte eine systematische Entwicklung der Theorie der nichtlinearen Systeme erst in den letzten etwa 25 Jahren. Diese Entwicklung geschah allerdings im Bereich der Mathematik, wo die Disziplin der "Kontrollmathematik" entstand. Dieses Gebiet der Systemtheorie ist dem Ingenieur normalerweise nicht zugänglich, da er diesbezügliche Darstellungen in den speziellen mathematischen Fachzeitschriften oder Tagungen nicht verfolgt. Dazu kommt, daß hochspezialisierte mathematische Verfahren und neuartige Nomenklaturen verwendet werden, die in den Ingenieurwissenschaften nicht gelehrt werden. Erst in letzter Zeit sind wenige einführende Lehrbücher (Rugh 1981, Casti 1985, Isidori 1989) erschienen, die von Ingenieuren erarbeitet werden können.

VI

Vorwort

Ein wesentliches Ziel dieses Buches ist es, Interessierte an die recht komplexen Zusammenhänge der nichtlinearen Systemtheorie heranzuführen. Denn die bisher weitgehend von Mathematikern entwickelte Theorie ist vielfach nur durch sehr beschwerliche Studien einer Vielzahl von Einzeldarstellungen zugänglich. Andererseits ist aber sehr deutlich erkennbar, und es wurde u. a. auch in der Arbeitsgruppe des Autors bereits gezeigt, daß Methoden der Systemtheorie nichtlinearer Systeme bei der Lösung praktischer Aufgaben der Regelungstechnik zu wesentlich besseren Ergebnissen führen können, als die, die auf der linearen Systemtheorie basieren. In dieser Darstellung werden ausschließlich nichtlineare Systemmodelle behandelt, die durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschreibbar sind. Weiterhin beschränke ich mich dabei im wesentlichen auf die Klasse der analytischen Systeme mit linearer Steuerung (ALS), da hier schon eine in weiten Teilen geschlossene Systemtheorie entwickelt wurde. Die linearen Systeme sind die einfachste Unterklasse der ALS, gefolgt von den bilinearen Systemen (BLS), der wohl einfachsten nichtlinearen Unterklasse der ALS. Für diese einführende Darstellung in die nichtlineare Systemtheorie bevorzuge ich eine induktive Vorgehensweise, bei der, ausgehend von den linearen Systemen, zur Beschreibung komplexerer nichtlinearer Systeme fortgeschritten wird. Dabei bemühe ich mich ferner, weitgehend nur die mathematischen Methoden zu verwenden, die uns Ingenieuren geläufig sind. Das hat aber zur Folge, daß viele Ergebnisse nur in Form von Definitionen und Sätzen aufgeführt sind, auf die Darlegung der Beweise dagegen verzichtet werden mußte, da diese elegant nur mit Methoden der Differentialalgebra und/oder Differentialgeometrie zu führen sind. Um dieser Einführung mit vertretbarem Aufwand folgen zu können, müssen gute Kenntnisse der linearen Regelungstheorie und der linearen Algebra vorausgesetzt werden. Die Stoffauswahl wurde so getroffen, daß einmal schnell erkannt werden kann, daß viele Probleme der linearen Theorie, wie Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit, Stabilisierung oder Entkopplung von Mehrgrößensystemen, ihre Entsprechung bei den analytisch linearen Systemen haben. Zum anderen habe ich Wert darauf gelegt, anhand von Problemlösungen, die an meinem Lehrstuhl erarbeitet wurden, zu zeigen, daß diese systemtheoretischen Grundlagen nichtlinearer Systeme gut geeignet sind, technische Probleme besser als mit linearen Methoden zu bearbeiten. Wegen der Zielrichtung "Lösung technischer Probleme" wurde neben der Theorie kontinuierlicher Systeme auch in breiterem Umfang auf die entsprechende Theorie bei zeitdiskreten bzw. Abtast-Systemen eingegangen. Schließlich gebe ich mit den beiden letzten Kapiteln eine Einführung in die Behandlung nichtlinearer Systeme, die durch Rauschsignale erregt werden. Ich habe mich bemüht, eine für Ingenieure geeignete Systembeschreibung zu finden, bei der auch durch Blockschaltbilder die wesentlichen Ergebnisse verdeutlicht werden. Ferner wurde der Inhalt so gegliedert, daß jedes Kapitel weitgehend ein in sich abgeschlossenes Teilgebiet behandelt und damit Querverweise nur in seltenen Fällen notwendig sind. Dadurch ist infolge einer gewissen Redundanz

Vorwort

VII

der Umfang des Buches um einige Seiten gewachsen, was ich aber zugunsten einer übersichtlicheren Darstellung in Kauf nahm. Dieses Buch wendet sich an fortgeschrittene Studenten des Maschinenbaus und der Elektrotechnik, an Doktoranden der Regelungstechnik und schließlich an die in der Praxis tätigen Ingenieure, Physiker und Chemiker, die in Forschung und Entwicklung mit der Problemlösung stark nichtlinearer dynamischer Systeme in der Technik konfrontiert sind. Dieses Vorwort möchte ich mit einem herzlichen Dank an alle diejenigen beschließen, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Hier ist zunächst Herr Dr.-Ing. H.T. Dorißen zu nennen, mit dem ich viele klärende Gespräche führte. Die Herren Dipl.-Ing. R. Ingenbleek und Dipl.-Ing. T. Bertram waren sehr hilfreich bei der kritischen Durchsicht und den Korrekturarbeiten. Die Bilder wurden von den Herren cand.ing. C. Behmenburg und cand.ing. T . Wey gezeichnet. Außerordentlich verpflichtet bin ich Frau R. Witting und insbesondere Frau B. Kohlmann für die zeitraubende Arbeit bei der Textverarbeitung mit dem Rechner und die große Geduld bei den vielen Änderungswünschen. Schließlich danke ich dem Oldenbourg Verlag für das Eingehen auf meine Wünsche.

Duisburg, im März 1991

H. Schwarz

IX

Inhaltsverzeichnis Vorwort

V

1

Nichtlineare Regelungssysteme 1.1 Einführung 1.2 Der Regelkreis und seine Komponenten 1.3 Beispiele nichtlinearer technischer Systeme 1.4 Klassen nichtlinearer Systeme 1.5 Lineare und nichtlineare Systemtheorie

1 1 3 8 20 22

2

UbertragungsmodeUe nichtlinearer zeitkontinuierlicher Systeme 25 2.1 Klemmen- und Zustandsmodelle 25 2.2 Lineare Systeme 27 2.3 Volterrareihen für nichtlineare Systeme 30 2.4 Volterrakerne im Transformationsbereich 33 2.5 Zusammengesetzte Systeme im Zeitbereich 37 2.6 Zusammengesetzte Systeme im Bildbereich 42

3

Zeitkontinuierliche bilineare Systeme 48 3.1 Das Zustandsmodell der BLS 48 3.2 Lösungen der Zustandsgieichungen 51 3.3 Die Volterrareihendarstellung der BLS 60 3.4 Markovparameterdarstellung 62 3.5 Homogene BLS 66 3.6 Realisierungen von homogenen BLS 69 3.7 Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit 79 3.8 Stabilität, Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit homogener BLS . 87 3.9 Zustandsraumzerlegung und das Hautus-Kriterium 91 3.10 Normalformen für Zustandsmodelle 96 3.11 Realisierungstheorie 106 3.12 BLS-Realisierung aus Markovparametern 110 3.13 BLS - Realisierungen in Normalform 112 3.14 Singulärwertzerlegung und Ordnungsreduktion 115

4

Zeitdiskrete bilineare Systeme 4.1 Einleitung 4.2 Zustandsmodelle im Zeitbereich 4.3 Lösung der Zustandsgieichungen 4.4 Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit 4.5 Ubertragungsmodelle im Zeitbereich 4.6 Ubertragungsmodelle im Transformationsbereich 4.7 Realisierung zeitdiskreter BLS 4.8 Realisierungsalgorithmus für homogene Systeme 4.9 Markovparameter und Realisierung linearer Systeme 4.10 Markovparameterdarstellung zeitdiskreter BLS 4.11 Systemidentifikation zeitdiskreter LS 4.12 Identifikation kontinuierlicher LS

119 119 120 124 127 129 131 135 139 142 145 149 150

X

INHALTSVERZEICHNIS 4.13 Systemidentifikation zeitdiskreter BLS 4.14 Identifikation kontinuierlicher BLS 4.15 Stabilität abgetasteter Polynom-BLS

154 160 164

5

N ä h e r u n g e n für nichtlineare S y s t e m e 5.1 Linearisierung 5.2 Carleman-Linearisierung 5.3 Beispiel zur Carleman-Linearisierung 5.4 Bilinearisierung mittels linearer Modelle 5.5 Bilinearisierung durch Parameterschätzung 5.6 Bilinearisierung mittels Realisierungstheorie

170 170 173 178 189 191 196

6

Regler- u n d Beobachterentwurf für BLS 6.1 Einführung 6.2 Stabilitätseigenschaften der BLS 6.3 Stabilisierbarkeit von BLS 6.4 Quadratische Zustandsrückführung 6.5 Einwirkung von Störsignalen 6.6 Verarbeitung von Führungssignalen 6.7 Modellfolgeregelung für BLS 6.8 Identitätsbeobachter 6.9 Zweistufiger linearer Beobachter 6.10 Störgrößenbeobachter

199 199 199 203 207 211 214 219 224 231 239

7

Zustandsmodelle für ALS 7.1 Problemstellung 7.2 Distribution 7.3 Koordinatentransformationen 7.4 Lokale Zerlegung des Zustandsraumes eines ALS 7.5 Erreichbarkeit 7.6 Rang-Erreichbarkeitskriterium 7.7 Beobachtbarkeit 7.8 Kanonische Formen 7.9 Realisierungstheorie 7.10 Stabilität

243 243 244 249 253 259 262 269 274 283 288

8

Differenzengrad und Nulldynamik der ALS 8.1 Einleitung 8.2 Differenzengrad linearer Eingrößensysteme 8.3 Differenzengrad für ALS 8.4 Bilineare Systeme 8.5 Nulldynamik nichtlinearer Systeme 8.6 Normalform für ALS 8.7 Linearisierung durch Zustandsrückführung 8.8 Lokale Stabilisierung 8.9 Das Folgeregelungsproblem 8.10 Störsignalentkopplung 8.11 Beobachter mit linearer Fehlerdynamik

295 295 296 303 305 309 313 320 324 328 334 336

INHALTSVERZEICHNIS 9

Entkopplung und Linearisierung von Mehrgrößen-ALS 9.1 Pole und Nullstellen eines Mehrgrößen-LS 9.2 Differenzengrad und Nullstellen eines LS 9.3 Entkopplung des linearen Mehrgrößensystems 9.4 Differenzengrad der Mehrgrößen-ALS 9.5 Koordinatentransformation und Normalform 9.6 Nulldynamik 9.7 Exakte Linearisierung durch Zustandsrückführung 9.8 Entkopplung und Zustandsrückführung 9.9 Entkopplung von BLS

XI 342 342 348 354 359 362 368 372 378 384

1 0 Zeitdiskrete Analytisch-Lineare Systeme 10.1 Problemstellung 10.2 Differenzengrad linearer Eingrößensysteme 10.3 Lineare Mehrgrößensysteme 10.4 Entkopplung durch Zustandsrückführung 10.5 Differenzengrad zeitdiskreter Eingrößen-ALS 10.6 Normalform für zeitdiskrete BLS 10.7 Exakte Linearisierung von Eingrößen-BLS 10.8 Normalform für zeitdiskrete Mehrgrößen-BLS 10.9 Ausgangsnullung und Entkopplung zeitdiskreter BLS 10.10 Differenzengrad und Normalform zeitdiskreter ALS 10.11 Lineare Abtastsysteme 10.12 Bilineare und analytische Systeme

393 393 394 400 408 411 416 420 422 426 432 436 439

1 1 Stochastisch erregte nichtlineare Systeme 11.1 Einleitung 11.2 Grundbegriffe der mathematischen Statistik 11.3 Stochastische Prozesse 11.4 Systemantworten linearer zeitinvarianter Systeme 11.5 Zeitliche Mittelwerte bei Volterra-Systemen 11.6 Auto- und Kreuzkorrelationsfunktionen 11.7 Spektralfunktionen 11.8 Messungen an homogenen Systemen 11.9 Die Orthogonalentwicklung von Wiener 11.10 Bestimmung der Wiener-Kerne durch Messung 11.11 Systemidentifikation mit weißen Rauschsignalen 11.12 Identifikation für farbige Eingangssignale

442 442 443 450 458 463 468 471 474 477 485 492 497

1 2 Zeitdiskrete Systeme und Rauschsignale 12.1 Zeitdiskrete stochastische Prozesse 12.2 Kenngrößen zeitdiskreter Rauschsignale 12.3 Abgetastete zeitkontinuierliche Rauschsignale 12.4 Systemantworten linearer Systeme 12.5 Zeitbereichsantworten von Volterra-Systemen 12.6 Spektralfunktionen 12.7 Kreuzkorrelationsmessung homogener Systeme 12.8 Die Orthogonalentwicklung von Wiener

504 504 508 512 516 523 532 534 536

XII

INHALTSVERZEICHNIS 12.9 Bestimmung der Wiener-Kerne durch Messung 12.10 Optimale Identifikation für weiße Eingangssignale 12.11 Identifikation für farbige Eingangssignale

542 549 554

Anhang 561 A Formelzeichen und Bezeichnungen 561 B Vektoren und Matrizen 564 C Ableitungen von Vektoren, Vektorfunktionen und Vektorfeldern . 570 Literatur

574

Stichwortverzeichnis

581

1

1 1.1

Nichtlineare Regelungssysteme Einführung

Die Regelungstechnik ist ein wichtiges Teilgebiet der Automatisierungstechnik. Eine wesentliche Aufgabe der Regelungstechnik besteht darin, beeinflußbare Größen - meist bei technischen Prozessen - vorgegebenen Sollfunktionen möglichst exakt folgen zu lassen. Störungen, die auf die Anlage einwirken, sollen dabei die zu regelnden Größen möglichst wenig beeinflussen oder, in anderen Worten (Schmidt 1982): D e f i n i t i o n 1.1 Regelungstechnik ist die Wissenschaft von der gezielten Beeinflussung dynamischer Prozesse während des Prozeßablaufes (unabhängig von der speziellen Natur der den Prozessen zugrundeliegenden Systeme) und von der Anwendung der hierzu entwickelten Methoden zur Systembeschreibung und -Untersuchung.

•

Diese Definition bezieht sich primär auf die uns hier beschäftigende regelungstechnische Methodenlehre und nicht auf Fragen der gerätetechnischen Verwirklichung und Ausgestaltung von Regelungssystemen. Ein ganz wesentlicher Teil der von den Regelungstechnikern zur Lösung praktischer Aufgaben der Automatisierungstechnik verwendeten Methoden stammt aus der Systemtheorie dynamischer Systeme, die zunehmend von Mathematikern geprägt und entwickelt wird. Das dynamische Verhalten eines physikalischen, chemischen oder technischen Systems, d. h. das der zeitlichen Entwicklung eines Prozesses unter dem Einfluß von Anfangsauslenkungen und/oder einwirkenden Eingangsgrößen, ist in der Umladung von Speichern für Energie und/oder Masse und/oder Information begründet. Die überwiegende Zahl der Prozesse, bei denen Speichervorgänge für Energie und/oder Masse (makroskopisch) betrachtet werden, haben die kontinuierlich verlaufende Zeit als unabhängige Variable, so daß Differentialgleichungen das gebotene mathematische Werkzeug zur Beschreibung der Systemdynamik sind. Bei der Modellierung von Systemen wird man dabei überwiegend auf nichtlineare Beziehungen geführt werden. Häufig lassen sich diese Gleichungen, insbesondere die zugehörigen Differentialgleichungen, entweder nicht in geschlossener Form lösen oder aber die Lösungen sind so komplex, daß der Wirkzusammenhang schwer durchschaubar ist. Der übliche Ausweg besteht darin, das betrachtete System durch einfachere Modelle zu beschreiben, die geeignete Approximationen der nichtlineraren Gleichungen darstellen. Insbesondere für Problemstellungen der Regelungstechnik werden in erster Linie lineare Modelle als Näherung 1. Ordnung betrachtet, die dann aber nur in einer recht kleinen Umgebung des betrachteten Arbeitspunktes gelten. Soll die Systembeschreibung eines tatsächlichen nichtlinearen Systems für einen größeren Arbeitsbereich gültig sein, müssen Approximationen höherer Ordnung verwendet werden, die dann normalerweise selbst nichtlineare Systembeschreibungen sind. Dabei ist dann aber ein wesentliches Ziel, nur solche nichtlinearen

2

1

Nichtlineare

Regelungssysteme

Modelle als Approximationen höherer Ordnung heranzuziehen, deren Ursache/Wirkungsverhalten leicht beschreibbar ist und die möglichst zu einer gut erforschten Systemklasse gehören, über deren dynamische Eigenschaften wie z. B. Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit oder Stabilisierbarkeit allgemeingültige Aussagen bekannt sind. Hierzu zählen beispielsweise die weiter unten einzuführenden bilinearen und analytisch linearen Systeme. Die der Systemtheorie zugrundeliegenden Modelle oder dynamischen Systeme können grundsätzlich in zwei, erst bei näherem Hinsehen sich als grundverschieden erweisende Klassen eingeteilt werden: a)

die axiomatischen Modelle und

b)

die empirischen Modelle.

Die ersteren werden aus als bekannt vorausgesetzten oder unterstellten Bewegungsgleichungen des Systems abgeleitet und können dann im weitesten Sinne als eine Verallgemeinerung der Newtonschen Gesetze gedeutet werden. Bei den Modellen der zweiten Klasse wird unser Wissen über ein System im wesentlichen aus experimentellen Daten über das Ein-/Ausgangs- oder Ursache/Wirkungsverhalten gespeist, wobei diese Modellvorstellung eng mit dem Begriff des schwarzen Kastens verknüpft ist. Auf der Grundlage eines geeignet gewählten dynamischen Modells eines technischen Systems als Regelstrecke werden dann im Zuge der Synthese eines Regelkreises Regelungsstrategien oder kürzer Regler entworfen. So wie die Regelstreckenmodelle linear oder auch nichtlinear sein können, lassen sich dann auch lineare oder nichtlineare Regelungskonzepte betrachten. Deshalb wird bei der Behandlung der Eigenschaften dynamischer Modelle zunächst nicht zwischen Regelstrecken und Regler unterschieden, sondern zunächst einfach von dynamischen Systemen gesprochen. Die Entwicklung physikalisch-mathematischer Modelle zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens technischer Systeme ist ein durchaus schwieriges und anspruchsvolles Arbeitsfeld für Ingenieure und setzt genaue Kenntnisse der Wirkungszusammenhänge der jeweils betrachteten Anlage voraus. In dieser Darstellung werden nun mathematische dynamische Systeme und ihre Eigenschaften in allgemeiner Form behandelt, damit im Anwendungsfall ihre praktische Brauchbarkeit von Ingenieuren abgeschätzt werden kann. Wenn, wie gesagt, die Modellierung technischer Systeme nicht Gegenstand dieser Darstellung ist, so sollen doch einige für die Modellbildung allgemeingültige und von der jeweiligen Aufgabe unabhängige Gesichtspunkte exemplarisch aufgeführt werden, dazu gehören: • Definition und Abgrenzung des zu modellierenden Systems; • Definition der beeinflussenden Umgebung; • Abschätzen von äußeren und inneren Einflüssen auf das Modell: zeitunabhängige oder mit der Zeit veränderliche Parameter;

1.2

Der Regelkreis und seine

Komponenten

3

• Abschätzen des sinnvollen Aufwandes: Das zu erwartende Störgrößenmodell darf dabei nicht zu komplex werden, damit es noch überschaubar und für ein Regelungskonzept verwendbar bleibt; "sehr große" Systeme folgen besonderen Gesetzmäßigkeiten, die bei kleinen und mittleren nicht auftreten; • Bei ordnungsgemäßer Vorgehensweise im Bereich der Grundgesetze der Physik und Chemie ergeben sich die entscheidenden Größen zur Kennzeichnung des gesamten Modellzustandes von selbst; • Erkennen von Einschränkungen der Gültigkeitsbereiche von Ansätzen, Begrenzungen für Signale, Uberprüfung nichtlinearer Zusammenhänge auf mögliche Linearisierbarkeit oder auch nichtlinearer Approximation; • Die bei vorausgesetzter Separierbarkeit zusammengestellten Grundgleichungen müssen miteinander verknüpft werden durch Beziehungen folgender Art:

1.2

a)

Bilanzierungen für Kräfte, Momente, Ströme, Spannungen, Wärmeflüsse usw.;

b)

Kontinuitätsgleichungen;

c)

Allgemeine Erhaltungssätze für Masse, Energie, Impuls, Drehimpuls usw.;

d)

Die Hauptsätze der Thermodynamik in ihren verschiedenen Formen.

Der Regelkreis und seine Komponenten

In diesem Abschnitt werden einige allgemein als bekannt vorausgesetzte Begriffe kurz besprochen, um die im folgenden verwendete Nomenklatur festzulegen. Dazu betrachten wir Bild 1.1, in dem die bekannte Struktur eines EingrößenRegelkreises als Blockschaltbild dargestellt ist. In dieser Darstellung werden doppelt umrandete Blöcke für nichtlineare Sytemteile und einfach umrandete für lineare Systeme unterschieden (Tabelle 1.1). Ein Regelkreis besteht aus der zu regelnden Anlage, der eigentlichen Regelstrecke, die praktisch immer nichtlineares Ursache-/Wirkungsverhalten hat, der Instrumentierung - Stellglied und Meßglied - und dem Regler. In Bild 1.1 ist schon in starker Vereinfachung angedeutet, daß Störverhalten und Stellverhalten separierbar und additiv überlagerbar sind, was vielfach erst durch eine lineare Approximation erzielbar wird.

1

4

Tabelle 1.1: Blockschaltbildsymbole

Nichtlineare

Regelungssysteme

1.2

Der Regelkreis

und seine

Komponenten

5

B i l d 1.1: Blockschaltbild eines Regelkreises

Das Meßglied wurde als linear abbildend angesetzt, da in der Meßtechnik durch konstruktive Maßnahmen fast immer ein lineares Ubertragungsverhalten angestrebt wird. Dagegen sind in der Praxis die Stellglieder häufig nichtlinear; insbesondere werden bei Leistungsverstärkern auch gerne Schaltglieder eingesetzt. Der Regler, der hier als nichtlineares System dargestellt wurde, ist in der aktuellen Praxis - z. B. in der Form von PID-Reglern - häufig linear, doch ist eines der Ziele dieses Buches, auch insbesondere nichtlineare Regelungsstrategien zu behandeln. Wie bei der Bearbeitung praktischer Aufgaben der Regelungstechnik üblich, werden wir auch hier die Instrumentierung - also Meßglied und Stellglied - m i t der Regelstrecke zusammenfassen und im weiteren nur noch zwischen im allgemeinen nichtlinearen Regelstrecken und Reglern unterscheiden (Bild 1.2).

z(t) w(t) — - o

e(t)

Regler

u(t)

Strecke

y(t)

B i l d 1.2: Blockschaltbild des nichtlinearen Standardregelkreises

Im weiteren Verlauf der Darstellung nichtlinearer Systeme und ihrer wesentlichen Eigenschaften werden dann auch Mehrgrößensysteme, also Systeme mit mehreren Ein- und Ausgängen, sowie sogenannte Zustandsregelungen behandelt werden.

6

1

Nichtlineare

Regelungssysteme

In der regelungstechnischen Praxis sind häufiger nichtlineare statische Übertragungssysteme als Teil eines Regelkreises, die dabei häufig nichtstetige Kennlinien haben, anzutreffen. Einige typische Systeme sind in Tabelle 1.2 zusammengestellt.

T a b e l l e 1.2: Beispiele dynamikfreier nichtlinearer Systeme

u

N 1.) Zweipunktglied

4.) Symmetrischer Begrenzer

2.) Tote Zone

5.) System mit Vorspannung

c

u

3.) Dreipunktschalter

6.) Hysterese

c

u

Besteht ein System aus einem linearen dynamischen Teil und einem dynamikfreien nichtlinearen System, dann spricht man von Hammerstein- bzw. WienerSystemmodellen - j e nachdem, ob das nichtlineare von dem linearen System gefolgt wird oder umgekehrt. Das Verhalten von Regelkreisen mit solchen Modellen, insbesondere auch das Stabilitätsverhalten, gehört mittlerweile zum Standardwissen der Regelungstechnik und wird in vielen Lehrbüchern ausführ-

1.2

Der

Regelkreis

und

seine

7

Komponenten

lieh behandelt (z. B. Föllinger 1978, 1980) und ist nicht Gegenstand dieses Buches über nichtlineare Regelungssysteme. In dieser Darstellung werden vielmehr ausschließlich dynamische Systeme behandelt, die im Falle der kontinuierlichen Zeit diese Form haben (Bild 1.3): _ ¿(i) y(t)

= =

f(t,x{t),u{t)) h(t,x{t))

,

x0 = x(t o) x(t)ERn

,

u(t)

Vi > tu

(1)

y(t)

Bild 1.3: Nichtlineares Übertragungssystem (Eingrößensystem)

Bei diesen Systemen sollen das Vektorfeld / ( x , u ) und die Vektorfunktion h(x) analytisch sein, oder es sollen zumindest beliebig viele Ableitungen nach x bzw. u existieren, die Funktionen also zur Klasse C°° gehören. Definition 1.2 Eine Funktion f(x) ist analytisch, wenn sie für jeden Punkt x = xo in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann. • Beispiel 1.1 Die Funktion

,, , _ í S X

1 ex

^ > ~ \

für für

x

< 0

(2)

x>0

die in Bild 1.4 skizziert ist, ist sicherlich für jeden Punkt —oo < x0 < +oo beliebig oft differenzierbar, es ist also / ( x ) £ C°°, doch existiert keine Taylorreihe (x - a)'

(3)

1=0

derart, daß lim g(x) —* f(x) gilt. Neben (1) werden auch Mehrgrößensysteme mit u(t) G Rm und y(i) € Rp behandelt. Dazu verdienen die bei der Regelung mittels digitaler Prozeßrechner auftretenden zeitdiskreten Systeme der Form «(ifc+i) y{tk)

= =

f(x(tk),u(tt)) h{x{tk))

x0 =

x£R

n

x(t0)

;

¿ = 0,1,2,...

(4)

1 Nichtlineaie

8

Regelungssysteme

Beachtung, wobei auch hier f(x,u) und h(x) analytisch sein sollen. Normalerweise werden wir nur den Fall der äquidistanten Zeitpunkte mit tk+i —tk = T= const.

,

V* = 0 , 1 , 2 , . . .

(5)

behandeln. Die zeitdiskreten Systeme (4) werden teils parallel zu den kontinuierlichen in (3), zum anderen in gesonderten Abschnitten untersucht werden.

1.3

Beispiele nichtlinearer technischer Systeme

In diesem Abschnitt werden exemplarisch einige mathematische Modelle und ihre Blockschaltbilder für solche technischen Systeme skizziert, die in der Anwendung normalerweise linearisiert werden, bei denen es sich aber gezeigt hat, daß bei nichtlinearer Betrachtungsweise deutlich bessere Ergebnisse für die Regelung erzielbar sind. Zum Teil werden wir auf diese Beispiele im Laufe der fortschreitenden Darstellung der systemtheoretischen Eigenschaften nichtlinearer dynamischer Systeme zurückkommen. i)

Füllstandregelstrecke Für die in Bild 1.5 als Geräteplan dargestellte Regelstrecke (Schlitt 1978) gelten diese wesentlichen Beziehungen: A-i(t)

=

qe(t)-qa(t)

(6)

mit x(t) q.(t) := qa(t) ~

Qe(t)-Qeo Qa(t)-Qao

Füllstand Zulaufvolumenstrom Ablaufvolumenstrom

Für qa(t) gilt bei freiem Abfluß 5«(0 = *>/*(*)

(7)

1.3

Beispiele

nichtlinearer

technischer

Systeme

Niveau x {t) = MM{t)-ML{t)

.

(13) (14)

In diesen Beziehungen bedeuten - soweit aus Bild 1.7 nicht ablesbar:

Ea m J ML ki, k2

induzierte Spannung verketteter magnetischer Fluß Trägheitsmoment Leistmoment Konstanten.

Im Blockschaltbild 1.8 sind die Zusammenhänge bildlich dargestellt. iii)

Elektrohydraulischer Translationsantrieb Der Geräteplan in Bild 1.9 (Ruppert 1982) zeigt einen elektro-hydraulischen Translationsantrieb bestehend aus Servoventil und Hydro-Gleichgang-Zylinder.

1.3

Beispiele

uto^t),

nichtlinearer

technischer

r.

n

11

Systeme

r

1 1

ML(t)

|2,-l

X

|

Ra

n /

/ i

o.(t)=.y(t)

j

Momentenbilanz

I

j

L E,(t)

X

r

i

Ur(t)

C(t)

Rp

Ir(t)

s

L

Bild 1.8: Blockschaltbild des Gleichstromantriebes

Bei der Zylinder systems Systems

Entwicklung des Modells werden zunächst das Ventil und der gesondert besprochen und dann das Zustandsmodell des Gesamtangegeben. Die Struktur dieses recht komplexen dynamischen veranschaulicht das Blockschaltbild 1.10.

P. P,

Bild 1.9: Elektrohydraulischer Zylinderantrieb

a)

Mathematisches

1.

Bewegungsgleichung des Steuerschiebers: ¿•(i)

Modell

=

-w2«(t)

des

Servoventils

- 2Dvoj0i{t)

+ I 0 V x < 0

PB

\

(16)

-PT

(17)

1.3

Beispiele mit Qi Bv

ß)

nichtlinearer

technischer

13

Systeme

OIvolumenstrom der Zylinderkammer i, i =

A,B

Durchflußverstärkung des Ventils

Po

Versorgungsdruck

PT su

Tankdruck negative geometrische Uberdeckung und Nullpunktfehler bezogen auf s

Mathematisches

Modell des Zylinders

Es wird vorausgesetzt, daß der Hydraulikzylinder feststeht und die Verbindung zur Masse ideal steif ist. 1.

Bewegungsgleichung der bewegten Masse m x = ^(¿aPA mit

2.

x(t) Pi(t) Ai FR(X)

~ AbPb

- Fr(X))

(18)

Position des Zylinderkolbens Druck in der Kammer i, i = A,B Kolbenfläche in der Kammer i, i = äußere Kräfte, z. B. Reibkraft

A,B

Druckaufbau in den Zylinderkammern

mit

PA

=

E

?JI%J))

PB

=

E

(~äAX

$BIX)

)

i

+

QA(P0,PA,PT,S)-

+

QB(PO,PB,PT,S)

QU)

)

Qu)

J

-

EQ}(P) Vi(x)

druckabhängiger Ersatzkompressibilitätsmodul Olvolumina des Teilsystems i

Qu

innerer Leckölstrom

(19)

Für den druckabhängigen Elastizitätsmodul gilt die Zahlenwertgleichung (Lee 1977): EÖL(PI)

mit

öimax pjt p

E

= = =

=

0,5E

Ö L M A X

l o g ( 9 0 f + 3) PK

(20)

18000 bar 280 bar Systemdruck in bar

Für die Reibkraft gilt der Ansatz: FR(X) = HI + sgn(x) [f2 + FSE-'iW] mit c i , / i , / 2 , / 3 Konstanten zur Berechnung der Reibung.

(2l)

7)

Nichtlineare

1

14 Nichtlineares

Zvstandsmodell

des

Regelungssysteme

Gesamtsystems

Nach Einführung der Zustandsgrößen :

Xi

X

X2

=

X —V

X3

=

PA

X\

= =

PB

—

S

XS X6

S

ergibt sich ein nichtlineares Zustandsmodell der Form:

1

0

0

_LL M 0

iA m 0

¿4

0

0

¿5

0 0

' ¿1 "

.

' 0

¿2

0

¿3

i

6

.

0 0 0 0 0 Ku

0

0

0

" xi

m 0

0

0

X2

0

0

X3

0

0

0

0

14

0

0

0

0

1

0

0

0

- 0

-2D

2

"

X5

V

U

0

.

.

X6

.

0 _8gHfe2i[/2 u(t) +

E\PJ(R?)

VBW)

+

/3C_ei|,2|]

(~AAX2

+ QA(P0,

(~ABX2

X3,PT,

+ QB(PO,X4,PT,

X5) ~

QLÌ)

X5) -

QLÌ)

0 KFFrv{X y(t) = xi (i)

6)

.

(23)

iv)

Aufrechtstehendes Pendel Zur Demonstration der Stabilisierung eines instabilen Systems durch Rückführungen wird gerne das aufrechtstehende Pendel herangezogen, das in Bild 1.11 als Geräteplan skizziert ist. Der Wagen oder Schlitten wird mittels eines Gleichstrommotors so verfahren, daß der Anlenkpunkt des Pendels immer unter dessen Schwerpunkt gehalten wird.

a)

Bewegungsgleichungen

des mechanischen

Systemteils

Mwx — Mps( cos — ^2sin — mps(xcos + gsm) —

= —MR

F — FR (24)

1.3

Beispiele nichtlinearer

technischer

15

Systeme

mit (t) x(t) s Js

: : : :

mp mw F FR MR g

: : : : : :

Pendelwinkel Lage des Schlittens Abstand zwischen Dreh- und Schwerpunkt des Pendels Massenträgheitsmoment des Pendels -bezüglich seines Schwerpunktes Pendelmasse übrige, auf Translation reduzierte, zu bewegende Masse auf den Schlitten wirkende Antriebskraft eine die translatorische Bewegung hemmende Reibkraft Reibungsmoment der Pendellagerung Erdbeschleunigung

Das Reibmoment hat einen typischen Verlauf wie in Bild 1.12 gezeigt. ß)

Mathematisches

Modell

des elektrischen

Systemteils

Der elektrische Systemteil setzt sich aus dem Antriebsmotor, den beiden Potentiometern zur Lageerfassung des Pendels bzw. des Schlittens und dem elektrischen Verstärker zusammen, der die vom Regler erzeugte Stellgröße verstärkt und zum Motor weiterleitet. Elektromotor

Bei dem Elektromotor handelt es sich um einen Gleichstrommotor mit Fremderregung, wobei das Erregerfeld durch einen Permanentmagneten erzeugt wird. Eine Ersatzschaltung des Motors, aus dem das Zusammen-

1

16

Nichtlineare

Regelungssysteme

«1 für u 2 < u < «i ua = l 0 { K v {u c - u 2 ) für « e < «2

(26)

mit ua ut Ui Kv

: : : :

Alisgangsspannung des Verstärkers Eingangsspannung des Verstärkers Ansprechempfindlichkeiten i , i — 1,2 Verstärkungsfaktor

Bild 1.14: Kennlinie des elektrischen Verstärkers

Potentiometer Die Potentiometer sind als Spannungsteiler geschaltet und liefern eine der Position direkt proportionale Ausgangsspannung u^t)

=

ur(t)

=

K+W) Krx(t)

.

(27)

Ein Blockschaltbild des dynamischen Modells des Gesamtsystems ist in Bild 1.15 dargestellt. v)

Roboterarm Industrielle Handhabungssysteme und Industrieroboter haben auf Grund ihrer Kinematik ein so ausgeprägtes nichtlineares dynamisches Verhalten (Desoyer u. a. 1985), daß, abgesehen von den Achsregelungskreisen, eine lineare Betrachtungsweise nicht angemessen ist, wenn die Bewegung der Roboterhand im gesamten Arbeitsraum betrachtet wird. Deshalb sind Roboter schon seit einiger Zeit als Beispiel für die nichtlineare Regelkreissynthese herangezogen worden (Freund und Hoyer 1980, Patzelt 1981, Rößler 1981, De Luca u. a. 1985).

1

18

Nichtlineare

Regelungssysteme

X

r

n 6 0) -1-J W >> in

fg(t)e-'dt;

= -L 2jr.

(15)

cr+i CO / G(s)e«ds