Mengenlehre [6. Aufl. Reprint 2019] 9783111360072, 9783111002767

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Mengenlehre von

Dr. E, Kamkef ehem. o. Professor der Ilathematik an der Univertitftt Tübingen

6. Auflage Mit 6 Figuren

Sammlung Göschen Band 999/999a

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1969 vormals G. J . Göschen*sehe Verlagshandlang • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

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Copyright 1969 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sehe Verlagshandlung — J . Gattentag Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv.-Nr.: 77 11 687 — Druck: Lindemann & Lüdecke, Berlin. — Prlnted in Germany.

Inhalt I. Aus den Anfingen der Mengenlehre | 5 $ §

Seite

1. 2. 3. 4.

Der Begriff der Menge und eine erste Einteilung der Mengen . . . Drei bemerkenswerte Beispiele von abzahlbaren Mengen Beispiel einer nlchtabzählbaren Menge Untermenge, Summe und Durchschnitt von Mengen, Insbesondere von abzahlbaren Mengen { 5. Über das Rechnen mit Mengen

S 9 12 13 18

II. Über beliebige Mengen und ihre Kardinalzahlen § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. 5 11. § 12. § 13. s 14. {16. §16. §17.

Über Erweiterungen des Zahlbegrifta Über die Äquivalenz von Mengen Die Kardinalzahl Vorläufiges Ober die Skala der Kardinalzahlen Der Äquivalenzsatz von F. Bernstein Die Summe von zwei Kardinalzahlen Das P r o d u k t von zwei Kardinalzahlen Die Summe beliebig vieler Kardinalzahlen Das P r o d u k t zweier Kardinalzahlen als Sonderfall einer Summe . . Das P r o d u k t beliebig vieler Kardinalzahlen Die Potenz Beispiele zur Potenzrechnung

21 23 28 31 34 37 40 4S 60 62 6t 63

III. Bemerkungen über die Begründung der Mengenlehre § 18. Über die Potenzmenge § 19. Das Auswahlprinzip § 20. Andere Begründungen der Mengenlehre. Zusammenfassung

. . .

69 71 76

IV. Über geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen § 21. § 22. § 23. § 24. § 26. § 26. §27.

Definition der geordneten Menge Ähnlichkeit und Ordnungstypus Die Summe von Ordnungstypen Das P r o d u k t zweier Ordnungstypen Über die Mächtigkeit der Typenklassen Über dichte Mengen Über stetige Mengen

79 82 87 90 95 9t 104

4

Inhalt

Seite

V. Über wohlgeordnete Mengen und ihre Ordnungszahlen §28. Definition der Wohlordnung und der Ordnungszahl § 29. Die Addition von beliebig vielen und die Multiplikation von zwei Ordnungszahlen §30. Teilmengen und ähnliche Abbildungen von wohlgeordneten Mengen §31. Die Vergleiohung von Ordnungszahlen § 32. Folgen von Ordnungszahlen § 33. Über das Rechnen mit Ordnungszahlen § 34. Zerfällung von Ordnungszahlen §35. Zerlegung von Ordnungszahlen § 36. Die Folge der Ordnungszahlen und die transfinite Induktion . . . § 37. Das Produkt beliebig vieler Ordnungszahlen §38. Die Potenz von Ordnungszahlen §39. Über Polynome von Ordnungszahlen

110 113 115 118 123 127 132 138 143 148 152 157

VI. Der Wohlordnungssatz, verwandte Sätze und Folgerungen § 40. §41. § 42. §43. § 44. § 45.

Vorbereitungen 161 Der Wohlordnungssatz und Maximalmengensätze 164 Fixpunktsatz, Satz von Zorn 169 Basis der reellen Zahlen 170 Die Wohlordnung der Kardinalzahlen 174 Weitere Rechenregeln für Kardinalzahlen. Der Ordnungstypus der Zahlklassen 176 § 46. Ordnungszahlen und Punktmengen 182 Literaturverzeichnis

192

Register

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I. Aus den Anfängen der Mengenlehre § 1. Der Begriff der Menge und eine erste Einteilung der Mengen Die Mengenlehre (theory of sets, théorie des ensembles) ist durch Georg Cantor (1845—1918) begründet und schon von ihm selbst zu einem bewundernswerten Lehrgebäude entwickelt worden. Sie hat durch ihre Begriffsbildungen, die ihr innewohnenden Ideen und die in ihr enthaltene Problematik fast alle Teile der Mathematik neu befruchtet oder gar zu neuen Disziplinen geführt. Als Beispiele seien genannt die Theorie der Punktmengen, die neuere Theorie der reellen Funktionen, die Topologie, die Funktionalanalysis, die moderne Algebra. Sie hat aber auch über die Mathematik hinaus der wissenschaftlichen Logik und Erkenntnistheorie neue Impulse gegeben. Hier sollen die Grundzüge der allgemeinen oder abstrakten Mengenlehre dargestellt werden; die Theorie der Punktmengen soll nur gestreift werden. Im gewöhnlichen Leben denkt man bei einer Menge von Dingen immer nur an endlich viele und zwar mindestens zwei Dinge. In der Mengenlehre wird der Begriff weiter gefaßt. Nach G. Cantor ist unter einer Menge M zu verstehen „eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen". Z. B. bilden die Primzahlen zwischen 1 und 100 eine Menge von 25 Elementen. Die sämtlichen geraden Zahlen eine Menge von unendlich vielen Elementen. Die Eckpunkte eines Quadrats eine Menge von 4 Elementen. Die Punkte eines Kreises eine Menge von unendlich vielen Elementen. Bei einer Menge soll es, falls nichts Gegenteiliges gesagt ist, auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommen. Es ist also z. B. die aus

6

I. Aus den Anfängen der Mengenlehre

den Elementen 1, 2, 3 bestehende Menge1) {1, 2, 3} dieselbe Menge wie {3,1, 2} oder {2, 3,1}. Ferner soll dasselbe Element nicht mehrfach vorkommen dürfen. Der Zahlenkomplex 1, 2, 1, 2, 3 wird also erst nach Fortlassen der mehrfach angeführten Elemente zu einer Menge, nämlich {1, 2, 3}. Was die „wohlunterschiedenen Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens" betrifft, von denen in der obigen Erklärung die Rede ist, so werden sie keineswegs so phantastische Dinge wie die Gedanken Caesars oder die Träume eines Menschen sondern mathematische Objekte sein, wie sie schon bei den obigen Beispielen auftraten oder sich aus solchen aufbauen lassen.

Zwei Mengen M und N werden als gleich bezeichnet, in Zeichen M = N, wenn sie dieselben Elemente enthalten, d. h, wenn jedes Element von M auch Element von N ist und umgekehrt jedes Element von N auch zu M gehört. Es ist also z. B. {1, 2,3} = {3,1, 2}. M =j= N soll bedeuten, daß M nicht gleich N ist. Wenn m ein Element von M ist, schreibt man auch m e ili (lies: m ist Element von M), während m [r3> ss]> • • wobei die r„ und s„ rationale Zahlen sind und'stets r n - ^ T n ^ S »

und s„ — r„ -* 0 für «->• oo sein soll. Als „äquivalent" werden

§ 7. Über die Äquivalenz von Mengen

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dabei-zwei aus den Intervallfolgen [r„, s„] und [r„, «„] bestehende Intervallschachtelungen angesehen, wenn r„ s„ und r„ ^ 8„ für alle n ist. Entsprechend dem oben Gesagten ist dann die irrationale oder allgemein die reelle Zahl ein beliebiger Repräsentant aus der Klasse der untereinander äquivalenten Intervallschachtelungen. Auch hier ist bei der Ableitung der Rechenregeln für reelle Zahlen darauf zu achten, daß sie unabhängig davon sind, welchen Repräsentanten man jeweils für die reelle Zahl nimmt. In beiden Fällen ist die rationale oder reelle Zahl als ein beliebiger Repräsentant aus der Klasse der untereinander äquivalenten Zahlenpaare oder Intervallschachtelungen eingeführt worden. Hierfür braucht man nicht etwa erst die Klasse, d. h. die Menge aller untereinander äquivalenten Zahlenpaare (Intervallschachtelungen) zu bilden, um dann einen Repräsentanten auszuwählen, sondern es genügt, ein Zahlenpaar (eine Intervallschachtelung) zu nehmen und zu zeigen, daß überall, wo dieses Zahlenpaar (Intervallschachtelung) auftritt, es auch durch ein äquivalentes ersetzt werden kann. An diese Dinge wollen wir uns bei der Einführung der Kardinalzahlen erinnern. § 7. Über die Äquivalenz yon Mengen Ein zweiter Ausgangspunkt für Cantors Erweiterung des Zahlbegriffs ist im Gegensatz zu dem ersten sehr einfacher Art. Ein Kind kann, ohne zählen zu können, doch feststellen, ob beispielsweise in einem Zimmer ebensoviel Stühle wie Personen vorhanden sind. Es braucht nur jede Person auf einem Stuhl Platz nehmen zu lassen. Durch diese Maßnahme werden Paare gebildet, und zwar besteht jedes Paar aus einer Person und einem Stuhl. Oder man kann auch sagen: es werden die Stühle und Personen einander eineindeutig zugeordnet, d.h. so zugeordnet, daß jeder Person genau ein Stuhl und jedem Stuhl

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II. Über beliebige Mengen und ihre Kardinalzahlen

genau eine Person entspricht. Dieses primitive Verfahren läßt sich aber auch auf beliebige Mengen übertragen und führt dann zu einem Begriff, der etwa der „gleichen Anzahl" der Elemente bei endlichen Mengen entspricht. Wir setzen demgemäß fest: D e f i n i t i o n : Eine Menge M heißt äquivalent zu einer Menge N, in Zeichen AI ~ N, wenn es möglich ist, die Elemente von N den Elementen von M eineindeutig (oder umkehrbar eindeutig) zuzuordnen, d. h. wenn es möglich ist, jedem Element m von M ein Element n von N so zuzuordnen, daß auf Grund dieser Zuordnung jedem Element von M ein und nur ein Element von N und umgekehrt jedem Element von N ein und nur ein Element von M entspricht. Statt von einer eineindeutigen Zuordnung spricht man auch kurz von einer Abbildung. — Die leere Menge soll nur sich selber äquivalent sein. Wie bei allen derartigen Definitionen (Gleichheit, Ähnlichkeit usw.) wird auch bei dem Begriff der Äquivalenz zu verlangen sein, daß er reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, d. h. daß er folgende Eigenschaften besitzt: a) M ~ M, d. h. jede Menge ist sich selbst äquivalent; ß) aus M ~ N folgt N ~M; y) aus M ~ N, N ~ P folgt M ~ P . Diese drei Gesetze ergeben sich aber in der Tat unmittelbar aus der Definition. Da der Äquivalenzbegriff von fundamentaler Bedeutung ist, möge er an einer Reihe von Beispielen erläutert werden, auf die später gelegentlich zurückgegriffen werden wird. a) die Punktmengen der Intervalle 1 ) [0,1], [0,1), (0,1], (0,1) sind untereinander äquivalent. L ) Es bezeichne [a, das a b g e s c h l o s s e n e , (a, b) das o f f e n e , [a,b) und (a, b] das h a l b o f f e n e Intervall, d . h . ein Intervall, bei dem beide,.keiner, der linke, der rechte Endpunkt zum Intervall gerechnet werden.

§ 7. Uber die Äquivalenz von Mengen

25

Zunächst werde (0,1] ~ (0,1) bewiesen. Wir bezeichnen die Punkte des ersten der beiden Intervalle mit x und die des zweiten mit y und nehmen folgende Zuordnung vor: 2/ = | — a: für £ < a;

1;

dann ist £ ^ y < 1;

2/ = | — x für J < z i S | ;

dann ist l ig y
b soll dasselbe bedeuten wie b < a. Endlich wird das Zeichen a < b gelesen als ,,a vor 6" und das Zeichen a > 6 als „a hinter 6". Durch die zuletzt eingeführte Redeweise soll aber keineswegs das Zeichen < einen anschaulichen Sinn bekommen, die Redeweise dient nur zur Erleichterung der Auffassung. Das Zeichen < kann einen von Menge zu Menge wechselnden Sinn haben; es kann z. B. bei Zahlenmengen etwa das eine Mal mit dem Zeichen < und das andere Mal mit dem Zeichen > zusammenfallen. Einige Beispiele mögen den Begriff der geordneten Menge erläutern: a) Die Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3 , . . . } , nach zunehmender Größe geordnet. Hier fällt < mit < zusammen. b) Die Menge der natürlichen Zahlen, nach' abnehmender Größe geordnet. Diese Anordnung möge durch die Schreibweise { . . . , 3, 2,1} angedeutet werden. Hier fällt < mit > zusammen.

§ 21. Definition der geordneten Menge

81

c) Die Menge aller ganzen Zahlen, nach zunehmender Größe geordnet. Diese Anordnung werde durch { . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2,...} angedeutet. Hier fällt < mit < zusammen. d) Die Menge der ganzen Zahlen, aber jetzt in der durch {0,1, — 1, 2, — 2 , . . .} angedeuteten Anordnung, d. h. die nichtnegativen Zahlen sind nach zunehmender Größe geordnet, und jede negative Zahl folgt unmittelbar auf die positive des gleichen absoluten Betrages. Das Zeichen < fällt hier z. T. mit < , z.T. mit > zusammen. e) {0, 2, 4 , . . 1 , 3, 5,...}, d. h. erst kommen die geraden nichtnegativen Zahlen nach wachsender Größe geordnet, dann die ungeraden Zahlen. f) {0, 2, 4 , . . . , 5, 3,1}, d. h. erst kommen die geraden nichtnegativen Zahlen nach zunehmender Größe, dann die ungeraden Zahlen nach abnehmender Größe geordnet. g) {1, 2, 3 , . . . , f , . . . , i | , f , . . . , . . . } , d. h. die positiven rationalen Zahlen, nach wachsenden Nennern und bei gleichem Nenner nach wachsendem Zähler geordnet. h) Die Menge aller reellen Zahlen des Intervalls (0,1) nach abnehmender Größe geordnet. Die Frage, ob jede gegebene Menge geordnet werden kann, wird erst später entschieden werden (S. 164). Daß jede endliche Menge geordnet werden kann, ist klar. Der Begriff der vollgeordneten Menge läßt sich zu dem der teilweise geordneten erweitern; vgl. S. 166.

Offenbar gilt der Satz 1: Ist M eine geordnete Menge, so ist durch das für M gegebene Ordnungsprinzip auch jede Teilmenge von M geordnet. Daher können die Teilmengen von geordneten Mengen stets als geordnet angenommen werden.

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IV. Uber geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen

D e f i n i t i o n 2: Zwei geordnete Mengen M und N heißen einander gleich, in Zeichen M = N, wenn sie dieselben Elemente enthalten und wenn aus der für M geltenden Ordnungs#

relation a < b auch stets die für N geltende a < b folgt. Um*

gekehrt folgt dann offenbar aus a < 5 auch stets a < b. Die Mengen a) und b) sind also im Sinne geordneter Mengen als verschieden anzusehen; ohne Rücksicht auf eine Ordnung sind sie dagegen gleich. Endlich mögen noch folgende Redeweisen eingeführt werden : Ist für drei Elemente a, b, c einer Menge a < b < c, so soll gesagt werden, b liege zwischen a und c. Gibt es in einer geordneten Menge M ein Element a, so daß für jedes b e M und b =[= a die Beziehung a < 6 gilt, so heiße a ein erstes Element der Menge M. Gibt es in M ein Element c, so daß für jedes b e M und &=)= c die Beziehung c > b gilt, so heiße c ein letztes Element von M. Satz 2: Eine geordnete Menge enthält höchstens ein erstes Element und höchstens ein letztes Element. Beweis: Enthielte eine Menge z. B. zwei erste Elemente a und ä, so wäre sowohl a < ä als auch ä < a, was unmöglich ist. Eine geordnete Menge braucht aber weder ein erstes noch ein letztes Element zu enthalten. Beispiele dafür sind die Mengen c) und h). § 22. Ähnlichkeit und Ordnungstypus Für geordnete Mengen werden naturgemäß solche Abbildungen einer Menge auf eine andere von Wichtigkeit sein, bei denen, kurz gesagt, die Reihenfolge der Elemente erhalten bleibt. Man kommt so zu folgender Verschärfung des Äquivalenzbegriffs: D e f i n i t i o n 1: Eine geordnete Menge M mit der Ordnungsaussage < heißt einer geordneten Menge N mit der Ordnungs-

§ 22. Ähnlichkeit und Ordnungstypus

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*

aussage < ähnlich, in Zeichen M g^N, wenn die Menge M auf die Menge N so abgebildet werden kann, daß für je zwei Elemente m^ m2 aus M und*die diesen zugeordneten Elemente nv *w2 aus m1 < m 2 stets n1 < n2 folgt. Offenbar folgt dann aus n x < n2 auch stets für die diesen zugeordneten Elemente m 1 < m 2 . Eine solche Abbildung heißt ähnliehe Abbildung. Aus der Definition ergeben sich sofort die vier grundlegenden Eigenschaften: a) M ^ M, d. h. jede geordnete Menge ist sich selbst ähnlich. ß) Aus M ^ N folgt N ^ M. y) Aus M ^ N, N ^ P folgt M ^ P. d) Aus M ^ N folgt | M | = | N |. Der Ähnlichkeitsbegriff möge nun erst durch einige Beispiele erläutert werden. a) Bei der Abbildung einer geordneten Menge auf sich selber braucht keineswegs immer jedes Element sich selber zugeordnet zu sein. Ist z. B. M die Menge der Zahlen des Intervalls (0,1), wobei die Zahlen nach zunehmender Größe geordnet seien, so bildet die Funktion y — x 2 dieses Intervall auf sich selbst ab. Dabei wird durch diese ähnliche Abbildung kein Punkt sich selbst zugeordnet. b) Eine geordnete Menge kann einer echten Teilmenge ähnlich sein. Z. B. ist {1, 2, 3 , . . . } ^ {2, 3, 4 , . . . } und die Menge {1, 2, 3 , . . . } ähnlich der Menge der Primzahlen, wenn diese nach wachsender Größe geordnet werden, da es ja unendlich viele Primzahlen gibt. c) Die Menge der rationalen Zahlen kann so geordnet werden, daß sie der geordneten Menge (1, 2, 3 , . . . } ähnlich ist. Die auf S. 9 festgelegte Anordnung der rationalen Zahlen leistet dieses. Allgemein gilt der

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IV. Uber geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen

Satz 1 : Wenn eine Menge N einer geordneten Menge M äquivalent ist, kann N so geordnet werden, daß auch N ^ M ist. Beweis: Sind»«!, m2 zwei Elemente von M und ist m 1 < m2, so werde für die ihnen zugeordneten Elemente wlt w2 von N ebenfalls n 1 -< n 2 festgesetzt. Damit ist auch für die Elemente von N eine Ordnungsaussage definiert, und zwar ist sie innerhalb der Menge N ebenfalls transitiv, da sie diese Eigenschaft nach unserer Voraussetzung in der Menge M hat. Damit ist aber die Menge N nach der Definition 1 von S. 80 geordnet. Für die Untersuchung der Ähnlichkeit gegebener Mengen kann man sich manchmal des folgenden Satzes bedienen. Satz 2 : Zwei einander ähnliche Mengen besitzen entweder beide ein erstes (letztes) Element oder keine der beiden Mengen besitzt ein solches. B e w e i s : Wenn eine der Mengen ein erstes Element m0 besitzt, so ist für jedes andere Element m dieser Menge m0 < m. Bezeichnet n0 das Element, das bei der ähnlichen Abbildung der einen Menge auf die andere dem m 0 zugeordnet wird, und ist n das jeweils dem m zugeordnete Element, so ist nach S. 82, Definition 1 auch n 0 < n für jedes n =}= n 0 ) d. h. auch die Menge N hat ein erstes Element. d) Die Mengen a) und b) von S. 80 sind einander nicht ähnlich, da a).ein erstes Element besitzt und b) nicht. Weiter folgt mit Satz 2 z. B. die Unähnlichkeit der Mengen a) und c), b) und c), a) und f), b) und f). e) Betrachten wir die Zahlen der beiden Intervalle [0,1] und (0,1), jedesmal nach zunehmender Größe geordnet, so sind beide Mengen einander unähnlich. Bei einer Abbildung der beiden äquivalenten Mengen aufeinander, muß also notwendig die Reihenfolge der Elemente in einer der beiden Mengen gestört werden, etwa so, wie auf S. 25. f) Ist M die Menge der reellen Zahlen des Intervalls (0,1) und N die Menge aller reellen Zahlen, beide Mengen nach

§ 22. Ähnlichkeit und Ordnungstypus

85

wachsender Größe ihrer Elemente geordnet, so ist M Das ergibt sich aus der auf S. 25 unter c) angegebenen Abbildung, die ersichtlich eine ähnliche Abbildung ist. g) M sei die Menge aller Punkte P(x, y) der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y. Diese Menge sei in der Weise geordnet, daß p x

(v

Vi) < P ( x * Vi)

für x

i < x2 wie für x1 = x2, y1 < y2

sein soll. Diese Festsetzung ist offenbar transitiv, definiert also wirklich eine Ordnung der Menge M. Ferner sei N die durch die gleichen Festsetzungen geordnete Menge der Punkte P(x, y) des Quadrats 0 < a; < 1, 0 < «/ < 1. Dann ist M ^ N . Das sieht man sofort ein, wenn man gemäß f) die Seiten des Quadrats ähnlich auf die ganzen Koordinatenachsen abbildet. Übrigens wird sich später (S. 105) ergeben, daß die Menge M nicht dem Intervall (0,1) ähnlich ist. Nach dem Muster von II, § 8 können nun mit Hilfe des Ähnlichkeitsbegriffs wieder neuartige Zahlen eingeführt werden: D e f i n i t i o n 2: Unter einem Ordnungstypus ¡i wird ein behebiger Repräsentant M aus einer Klasse von einander ähnlichen geordneten Mengen verstanden. Der Ordnungstypus einer geordneten Menge M werde auch gelegentlich mit i M1 oder M bezeichnet. Die Bezeichnung i M1 besagt demnach nichts anderes, als daß die geordnete Menge M auch durch jede zu ihr ähnliche ersetzt werden kann. Da alle einander ähnlichen Mengen auch einander äquivalent sind, kommt allen Mengen, welche denselben Ordnungstypus besitzen, dieselbe Kardinalzahl zu, d. h. aus i M 1 = , N 1 folgt stets \M\= |2V|. Zu jedem Ordnungstypus ¡x gehört daher auch genau eine Kardinalzahl, die mit bezeichnet werden möge. Aus (i = v folgt somit | fi | = | v ¡.

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IV. Uber geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen

Da zwei beliebige äquivalente endliche Mengen bei einer beliebigen Anordnung ihrer Elemente offenbar einander stets ähnlich sind, entspricht jeder endlichen Kardinalzahl genau ein Ordnungstypus, der auch kurz mit der zugehörigen Kardinalzahl bezeichnet wird. Bei endlichen Mengen fallen also Kardinalzahl und Ordnungstypus zusammen. Den Ordnungstypus der Menge der natürlichen Zahlen, diese nach zunehmender Größe geordnet, bezeichnet man mit gesetzt wird. Es ist hier nicht von Ordnungszahlen, sondern von Ordnungstypen gesprochen, und zwar aus folgendem Grunde. Will man zwei verschiedene Ordnungstypen miteinander vergleichen, so muß man, entsprechend der auf S. 29 eingeführten Vergleichung von Kardinalzahlen, den Ordnungstypus n kleiner als den Ordnungstypus v nennen, wenn ein Repräsentant M von n einer Teilmenge eines Repräsentanten N von v ähnlich ist. Betrachten wir nun die Ordnungstypen CD und co*. Jede Teilmenge der den Ordnungstypus CD* repräsentierenden Menge {..., 3, 2,1} hat ein letztes Element, kann also nicht der Menge {1, 2, 3 , . . . } ähnlich sein, die den Ordnungstypus co repräsentiert. Ebenso sieht man, daß auch die erste Menge keiner Teilmenge der zweiten Menge ähnlich sein kann. Daher sind diese Ordnungstypen unvergleichbar. Den Ordnungstypen fehlt also eine wichtige Eigenschaft, die den Zahlen zukommt. Daher wird die Bezeichnung Ordnungszahl an dieser Stelle nicht gebraucht.

§ 23. Die Summe von Ordnungstypen

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§ 23. Die Summe von Ordnungstypen Für die Addition von Ordnungstypen möge erst eine geordnete Addition von geordneten Mengen definiert werden. D e f i n i t i o n 1: Es seien M und N zwei geordnete elementenfremde Mengen. Für die Elemente s ihrer Yereinigungsmenge S wird eine Ordnungsaussage in folgender Weise festgelegt: Sind s x und s 2 zwei Elemente der Yereinigungsmenge, so gehören sie entweder beide zu M; dann soll s1 < s 2 oder s 2 < s1 in der Vereinigungsmenge gelten, je nachdem die eine oder andere dieser Relationen für diese Elemente in M gilt. Oder beide Elemente gehören zu N; dann soll die in N für sie geltende Beziehung wieder auch in der Vereinigungsmenge gelten. Oder eins der Elemente gehört zu M, das andere zu N, etwa s x e M, s 2 e N; dann soll Sj < s 2 in der Vereinigungsmenge sein. Die so für die Elemente der Vereinigungsmenge festgelegte Ordnungsaussage ist offenbar transitiv. Durch sie wird also, die Vereinigungsmenge S geordnet. Unter der geordneten Summe M + N der geordneten Mengen M und N wird nun die auf die angegebene Weise geordnete Vereinigungsmenge S verstanden. Wir sprechen in diesem Falle auch von einer geordneten Addition der Mengen M und N. Offenbar ist bei einer geordneten Addition die Summe M + N von N + M zu unterscheiden. Z. B. ist die geordnete Summe {1, 2, 3} + {4, 5, 6, 7} {4,5, 6,7} + {l, 2, 3} D e f i n i t i o n 2: Um die Summe der beiden Ordnungstypen fi und v zu erhalten, repräsentiere man sie durch zwei elementenfremde Mengen M und N und bilde die geordnete Summe S = M + N. Dann soll fi + v = \ sein. Man sieht wieder leicht ein, daß die Summe ¡i + v von den speziellen Repräsentanten der beiden Ordnungstypen unabhängig ist. Ferner folgt aus der Definition der Summe:

88

IV. Über geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen «)

IA» + "I

= IA*I

+

I"I-

Daß bei der Addition von endlichen Ordnungstypen die Vertauschungsregel gilt, ist klar. Aber b e i t r a n s f i n i t e n O r d n u n g s t y p e n b r a u c h t die A d d i t i o n n i c h t k o m m u t a t i v zu sein. Denn ist M = {1, 2 , 3 , . . . } und

N={0},

so ist N + M=

{0,1, 2, 3 , . . . } , M + N={

1,2,3,...,

0},

also 1 + co = co, aber CD 4- 14= co, da der Ordnungstypus CD + 1, d. h. jede ihn repräsentierende Menge ein letztes Element besitzt, dagegen co nicht. Einige Beispiele mögen noch die Addition der Ordnungstypen erläutern: a)

n + co = co.

Denn es ist n = ,{1, 2 , . . . , n} 1 , co = ,{n + 1, n + 2, n + 3 , . . . } ' , also

n + co = ,{1, 2 , . . . n, n + 1 , . . . } 1 = co.

b)

co* + n = co*.

Denn co* + n = , {...,

n + 2, n + 1}1 + , { n , . . . , 2, l} 1

= ,{.. . , n + l , n

I} 1

c) co, co + 1, co + 2 , . . . sind lauter verschiedene Ordnungstypen. Denn wäre co + m = co + n, wobei etwa 0 ^ m < n sei, so müßte co + m ein Element haben, hinter dem genau n — 1 Elemente stehen, was nicht zutrifft. d) Entsprechend zeigt man, daß co*, 1 + co*, 2 + lauter verschiedene Ordnungstypen sind.

co*,...

e) Der Ordnungstypus co* + co kommt z. B. der geordneten Menge { . . . , — 3, — 2, — 1, 0 , 1 , 2, 3 , . . . } zu, der Ordnungstypus co + co* der Menge {1, 2 , 3 , . . . , — 3, — 2, — 1}.

§ 23. Die Summe von Ordnungstypen

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Gilt für Ordnungstypen zwar nicht durchweg die Vertauschungsregel, so gilt doch wenigstens die Anreihungsregel ß)

(jj, + v) +71 = n + (v

+n).

Das folgt unmittelbar aus der Definition der Addition. Denn werden die Ordnungstypen durch die elementenfremden Mengen M, N, P repräsentiert, so gilt offenbar für die geordnete Addition dieser Mengen (M + N) + P = M.+ (N + P). Unter Benutzung der vorher gewonnenen Ergebnisse ergibt sich hieraus: f)

g)

n +co+tu=

(n + co) + co = co + tu;

co + n + c o =

cd + (n + co) = (o + co;

co +w

co + co + n.

+ n=

co* + n + co = (co* + w) + co = co* + co;

n + co* + co und co* +co +n sind verschiedene Ordnungstypen. Die Addition kann auch auf beliebig viele Ordnungstypen ausgedehnt werden. Wir beginnen mit der D e f i n i t i o n 3: Es sei eine geordnete Menge K(k) gegeben und jedem Element k eine geordnete Menge Mk zugeordnet, derart, daß alle Mk zueinander elementenfremd sind. Dann wird die Vereinigungsmenge S = 2 Mk in folgender Weise IctK

geordnet: Gehören zwei Elemente s x und s 2 von S zu demselben Mk, so soll in S die Relation s1 < s 2 oder s 2 < Sj gelten, je nachdem die erste oder zweite Relation für diese Elemente in M k gilt. Gehören dagegen s1 und s 2 zu verschiedenen Mk, etwa Sj e Mkl, s 2 e Mkt, so soll s1 < s 2 oder s 2 < in S gelten, je nachdem Jc1 < k2 oder k2 < kt ist. Nun soll die geordnete Summe £ Mk gleich der so geordneten Vereinigungsmenge S sein.

lctK

90

IV. Über geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen

D e f i n i t i o n 4: Es sei eine geordnete Menge K(k) gegeben und jedem Element k dieser Menge ein Ordnungstypus fxk zugeordnet; d. h. es sei ein aus der geordneten Menge K{k) entspringender geordneter Komplex von Ordnungstypen gegeben. Man repräsentiere die Ordnungstypen fi k durch elementenfremde geordnete Mengen M k . Dann soll die Summe dieses Komplexes von Ordnungstypen Zli^xZMJ

k£K

k(.K

sein, wobei die Addition der Mengen auf der rechten Seite als geordnete Addition auszuführen ist. Man überzeugt sich wieder leicht, daß diese Summe von den Repräsentanten der Ordnungstypen unabhängig ist. Ferner gilt offenbar: Y)

\H/it\ =

2!\/it\.

k£K

k£K

Auch hier kann natürlich von der Allgemeingültigkeit der Yertauschungsregel keine Rede sein1). Zwar gilt hier eine über ß) hinausgehende Anreihungsregel, doch soll sie nicht aufgestellt werden, da sie im folgenden nicht gebraucht wird. § 24. Das Produkt zweier Ordnungstypen Wird in § 23, Definition 4 speziell jedem k derselbe Ordnungstypus fi zugeordnet, so gelangt man zu der D e f i n i t i o n 1: Es seien zwei Ordnungstypen «=j= 0 u n d P gegeben. Der Ordnungstypus x werde durch die Menge K(k) dargestellt und jedem k der Ordnungstypus ¡x zugeordnet. Dann soll das Produkt //, • x gleich der Summe des so festgelegten Komplexes von Ordnungstypen sein, d. h. fi • x =

[i.

Für x = 0 soll ¡i • x = 0 sein. ') Vgl. Jedoch N. Aronazajp, Characterization of Types of Order satisfying » • + «i™ « i + «»• Fundamenta Mathematlcae SB (1962) 94—96.

§ 24. Das Produkt zweier Ordnungstypen

91

Daß das Produkt unabhängig von dem speziellen Repräsentanten von fx ist, ist schon auf S. 90 gesagt. Ebenso sieht man leicht ein, daß es auch unabhängig von dem speziellen Kepräsentanten von x ist, was sich übrigens gleich nochmals ergeben wird. Die Definition des Produkts kann nämlich auch folgendermaßen gefaßt werden: D e f i n i t i o n 2: Es seien zwei Ordnungstypen xr =}= 0 und ^ 4 = 0 gegeben. Es werde x durch K(k) und ¡x durch M (m) dargestellt. Man bilde die Menge aller geordneten Elementenpaare (Je, m) und setze für diese eine Ordnung durch die Vorschrift fest, daß

(hv tri]) < (k2, m2) für fcj < k2 wie für

=

k2, m1 < m2

sein soll. Die so geordnete Menge der Elementenpaare (k, m) sei S und werde auch als geordnetes Produkt zweiter Art K X M bezeichnet (man achte auf die Reihenfolge). Dann soll das Produkt p • x = sein. Ist x = 0 oder ¡i = 0, so soll ¡j,- x = 0 sein. — Die eben beschriebene Anordnung der Elementenpaare (Je, m) nennt man in naheliegender Weise eine lexikographische Anordnung oder eine Anordnung nach ersten Differenzen. In der Tat ergibt sich die zweite Definition unmittelbar aus der ersten. Die Menge K ist bei beiden dieselbe. Bei der ersten Definition ist dann jedem k e K eine Menge Mk des Ordnungstypus fi zuzuordnen, und zwar müssen alle M k elementenfremd sein. Das kann man in der Weise machen, daß man eine Menge M vom Ordnungstypus ¡x nimmt und für jedes k die Elemente m von M durch (k, m) ersetzt. Ordnet man nun jedem k die Menge M(ß, mj) zu, so ist die Forderung der Definition 1 erfüllt. Die Vereinigungsmenge der M(jjc, m)) ist gerade die in der Definition 2 mit S bezeichnete Menge und die in der Definition 2 für ihre Elemente vorgeschriebene Anordnung die auch durch die Definition 1 vorgeschriebene Anordnung.

92

IV. Über geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen

Bei der Definition 2 ist nun sofort klar, daß das Produkt der Ordnungstypen von den speziellen Repräsentanten der Ordnungstypen unabhängig ist. Ferner folgt aus jeder der beiden Definitionen unmittelbar: a)

\h-X\

=

\H\-\M\.

Auch bei der M u l t i p l i k a t i o n g i b t es k e i n e V e r t a u schungsregel. Denn wählen wir erstens x — co, ¡x = 2, so wird 2 -co z. B. dargestellt durch die geordnete Menge {altbv a2, b2, a3, b3, . ..} und ist daher gleich a>. Wählen wir zweitens x = 2, ¡X = co, so wird co • 2 z. B. dargestellt durch { 1 , 3 , 5 , . . . ; 2, 4, 6 , . . . } , und diese Menge ist der vorigen sicher nicht ähnlich, da es in dieser Elemente gibt (z. B. das Element 2), denen unendlich viele Elemente vorangehen, während es bei der vorhergehenden Menge solche Elemente nicht gibt. Es ist demnach co • 2 =j= 2 • co. Man muß also auch bei dem Produkt genau auf die Reihenfolge der Faktoren achten. Unter diesen Umständen würde es zweifellos angenehmer sein, wenn das oben definierte Produkt mit x • /x statt ¡i • x bezeichnet wäre. Jedoch hat sich die oben eingeführte Bezeichnung durchgesetzt, und eine Änderung der Bezeichnung würde heute in der Literatur zu großer Verwirrung führen. Man muß also stets darauf achten, daß bei dem Produkt fi • x die Zahlenpaare (k, m) und nicht die Zahlenpaare (m, k) nach ersten Differenzen zu ordnen sind. Ebenso wie bei der Addition gilt aber auch für die Multiplikation doch noch die für das Rechnen wichtige Anreihungsregel ß)

(fi, • v)-ti = ¡i • (v-n).

Denn es seien die Ordnungstypen durch die Mengen mit den Elementen m, n, p dargestellt. Dann ist nach der Definition 2 der Ordnungstypus ( f j , • v) • n dargestellt durch die Menge der Elemente (p, (w, mj), und dabei ist

§ 24. Das Produkt zweier Ordnungstypen

93

(Pi, («i, %)) < (P2> («2> m2)), wenn p r < p 2 oder = p2, < n 2 , oder = p 2 , MJ = n 2 , m x < m 2 ist. Entsprechend ist ¡X • (v -JI) repräsentiert durch die Menge der Elemente ((p, n), m), wobei ((PJ, MJ, tox) < ((p 2 , n 2 ), m2) wieder unter den eben angeführten Bedingungen ist. Ordnet man nun für dieselben Elemente m, n, p jedes Element (p, (n, m)) dem Element ((p, w), m) zu, so ist damit eine ähnliche Zuordnung für die beiden ( f i v ) n bzw. ¡i (vn) darstellenden Mengen definiert und damit die Behauptung bewiesen. Die Mischungsregel gilt nicht allgemein. Sie gilt nämlich nicht, wenn der e r s t e Faktor eine Summe ist. Denn z. B. ist (co + l ) - 2 = £ o + l + ft)-|-l = t w + f t ) + l =

(u-2-|-l.

Und das ist verschieden von eo-2 + l - 2 = < w 2 + 2, da der letzte Ordnungstypus ein vorletztes Element hat, der erste dagegen nicht. Dagegen gilt die Mischungsregel, wenn der z w e i t e Faktor eine Summe ist, d. h. es ist

y)

ft(v +n) = [iv + ¡in.

Denn die Ordnungstypen seien durch die Mengen M(m), N(n),P(p) repräsentiert, wobei N-P — 0 sei. Dann wird ¡j,(v + ri) dargestellt durch die Menge aller Elemente (q, m), wobei q ein beliebiges der Elemente n, p ist und gilt, wenn

(?!»• m i ) < (?2> w 2 ) q1 e N, q2tP,

oder

qx, q2eN

oder oder

qv q2(.P und q1 < q2 in P qx = q2, mx < m 2

und q1 < qt in N

94

IV- Über geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen

ist. Dieselbe geordnete Menge ergibt sich aber offenbar als Kepräsentant von ¡j,v + [in. Der Ordnungstypus der nach wachsender Größe geordneten Menge aller reellen Zahlen pflegt mit X und der Ordnungstypus der in gleicher Weise geordneten Menge aller rationalen Zahlen mit rj bezeichnet zu werden. Offenbar ist X* = X und rj* = r\. Ferner haben, wie sich aus der Abbildung y — ^

der

reellen Zahlen x auf das Intervall | y | < 1 ergibt, die der Größe nach geordneten reellen bzw. rationalen Zahlen eines offenen Intervalls ebenfalls den Ordnungstypus X bzw. rj. Die reellen Zahlen der Intervalle [0,1), (0,1], [0,1] haben demnach die Ordnungstypen 1 + X, X + l,l + X + l, und die in diesen Intervallen gelegenen rationalen Zahlen die Ordnungstypen 1 + rj, rj + 1, 1 + r) + 1. Stellt man X + 1 durch das Intervall (0,1] und einen zweiten Summanden X durch das Intervall (1, 2) dar, so ergibt sich X + l + X = X. In ähnlicher "Weise folgt durch Aneinanderreihen der Intervalle, welche die Summanden repräsentieren: l + X = (l + X)n=(l + X)(o, X + 1 = (X + l)n= (X + 1) -co*, X = (X + l)co = (1 + A) - co*; und entsprechend ergibt sich t] + 1 + t] =r], l + rj = (l + r))n = (1 + r])co, t] + l = (r] + l)n =(rj + l)-a>*, y — (v + i) 0 * = (i +

y)'a>*.

§ 25. Uber die Mächtigkeit der Typenklassen

95

Bei dem Ordnungstypus rj kann noch hinzugefügt werden: rj = rjn— rja> = r] -(o*. Das sieht man sofort, wenn man z. B. Intervalle mit irrationalen Endpunkten aneinanderreiht. Aus der Gültigkeit der Anreihungsregel folgt, daß man von einem Produkt einer endlichen Anzahl von Ordnungstypen /j,1 • /n2 • • • fi n sprechen kann, ohne Klammern zu setzen, da es ja nach der Anreihungsregel gleichgültig ist, an welcher Stelle sie stehen. Der Beweis der Anreihungsregel zeigt zugleich, daß man die Definition 2 des Produkts auch so ausbauen kann, daß sich eine allgemeine Definition für ein Produkt von n Ordnungstypen ergibt. Wählt man für alle Faktoren des Produkts denselben Ordnungstypus, so gelangt man zu der Potenz fin eines Ordnungstypus mit endlichem Exponenten. Aus a) folgt dann: 8) Für endliches n ist | ¡in \ — | [i |" Die Potenz a>2 kann z. B. durch die geordnete Menge {1, 2, 3 , . . . ; §, . . . ; J, §, f , . . . ; . . . } der positiven rationalen Zahlen dargestellt werden. Für die Ausdehnung des Produkts auf eine unendliche Menge von Ordnungstypen s. Hausdorff 1), S. 147 ff. oder 2), S. 73 ff. Für diese Ausdehnung ist allerdings die Theorie der wohlgeordneten Mengen erforderlich. § 25. Über die Mächtigkeit der Typenklassen Aus den bisher abgeleiteten Ergebnissen folgt noch nicht, daß es zu jeder Kardinalzahl m wenigstens einen Ordnungstypus yit mit | ¡1, | = m gibt, d. h. daß sich jede Menge ordnen läßt. Wenn wir daher die Menge der verschiedenen Ordnungstypen," die zu einer gegebenen Kardinalzahl m gehören, mit Tm bezeichnen und die zu m gehörige Typenklasse nennen, so

96

IV. Uber geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen

müssen wir vorläufig mit der Möglichkeit rechnen, daß evtl. Tm = 0 ist. Nach oben kann dagegen schon jetzt die Mächtigkeit der Typenklasse abgeschätzt werden. Es besteht nämlich der Satz 1: Für die zur Kardinalzahl m gehörige Typenklasse Tm güt | 7 , m | ^ 2 r a - m l ) . Beweis: Es sei M irgendeine, aber weiterhin feste Menge mit der Kardinalzahl m. Ist fi irgendein Ordnungstypus von Tm, so kann M stets so geordnet werden, daß M den Ordnungstypus fj, erhält (Satz 1 auf S. 84). Die Menge aller verschiedenen Ordnungstypen der Klasse Tm ist daher eine Untermenge der Menge aller verschiedenen Anordnungen unserer Menge M. Haben wir nun irgendeine Anordnung von M, so können wir die Menge aller Elementeripaare (m, m) von M bilden, für welche bei der betrachteten Anordnung von M die Relation m < m gilt. Die Menge dieser Elementenpaare ändert sich mit der Anordnung von M und ist eine Untermenge der Menge aller Elementenpaare (m, in), die aus den Elementen der Menge M gebildet werden können. Die Menge aller verschiedenen Anordnungen der Menge M und erst recht die Typenklasse Tm hat daher höchstens die Mächtigkeit, die der Menge aller Untermengen zukommt, die sich aus der Menge aller Elementenpaare von M bilden läßt. Die Menge aller Elementenpaare von M hat aber (Definition auf S. 58) die Kardinalzahl m 2 , die Menge aller Untermengen dieser Menge daher die Kardinalzahl 2 m ' m , womit die Behauptung bewiesen ist. Speziell folgt aus dem Satz für m = a, daß I Ta I 0, so ist W„ nicht leer, da dann stets die Ordnungszahl 0 dieser Menge angehört. Z. B. ist (vgl. auch S. 144) W n = { 0 , 1 , 2 , . . n - 1}; i f , » = { 0 , 1 , 2 , . . . } . Satz 1 : Die Elemente der Menge W „ sind miteinander vergleichbar. Ordnet man die in W ß vorkommenden Ordnungszahlen, was hiernach möglich ist, nach zunehmender Größe, so hat die Menge W ß die Ordnungszahl f i . B e w e i s : M sei eine wohlgeordnete Menge mit der Ordnungszahl fi. Ist a irgendein Element von W ß , d. h. ist a < fi, so ist a nach der Definition des „kleiner" Ordnungszahl eines Abschnitts von M . Sämtliche in W ß vorkommenden Ordnungszahlen sind also Ordnungszahlen von Abschnitten derselben Menge, also nach dem auf der vorigen Seite Gesagten sicher miteinander vergleichbar. Daß auch die Ordnungszahl eines beliebigen Abschnitts von M in der Menge W ß enthalten ist, ist klar. Es sei nun a ein Element von W ß und M m der Abschnitt von M, dem diese Ordnungszahl zukommt. Wir ordnen dann die Ordnungszahl a dem Element m zu. Damit ist nach dem Vorhergehenden eine Abbildung der Menge W ß auf die Menge M definiert. Aber diese Abbildung ist auch eine ähnliche. Denn ist x 1 < a 2 , s o ist M m i ein Abschnitt von M mj , also wij < m 2 . Es ist also W ß ^ M und damit der Satz bewiesen. Wir haben mit diesem Satz eine gewisse Normaldarstellung von Ordnungszahlen gewonnen und können nun bei allen Operationen, bei denen eine wohlgeordnete Menge auch durch jede zu ihr ähnliche ersetzt werden darf, die gegebene Menge stets durch die Menge W ß ersetzen, wenn ¡j, die Ordnungszahl der gegebenen Menge ist. Das wird bei Beweisen vielfach benutzt werden. Zunächst beweisen wir so den Vergleichbarkeitssatz für Ordnungszahlen: Satz 2 : Für je zwei Ordnungszahlen f i , v besteht mindestens eine, also nach ß ) stets genau eine der drei Relationen

§ 31. Die Vergleichung von Ordnungszahlen

fi


121

v,

d. h. zwei Ordnungszahlen sind stets miteinander vergleichbar. B e w e i s : Es werden die Mengen Wß und Wy herangezogen. D sei ihr Durchschnitt, d. h. die Menge der Ordnungszahlen, die sowohl < (i als auch < v sind. D ist als Teilmenge der wohlgeordneten Menge W^ wohlgeordnet, hat also eine Ordnungszahl 6. Es soll nun gezeigt werden, daß 0 gibt, so daß ¡i -+ t = v ist. Beweis: Es seien JJ, und v durch die Mengen M und N dargestellt. Ist ¡x < v, so ist M einem Abschnitt A von N ähnlich.

§ 32. Folgen von Ordnungszahlen

123

Für den Rest Z von N gilt A + Z = N, also ist, wenn Z die Ordnungszahl f hat, fi + £ = v. Dabei ist C > 0, da Z nicht leer ist. Ist umgekehrt // + £ = v und f durch die zu M fremde Menge Z dargestellt, so hat M + Z die Ordnungszahl v = fi + C. u n d es ist (i ¡xlt folgt. Über die erstere besteht der Satz 1 : Jede Menge von Ordnungszahlen ist, wenn man sie nach zunehmender Größe ordnet, wohlgeordnet, kann also als aufsteigende Folge geschrieben werden. B e w e i s : Es braucht nur gezeigt zu werden, daß jede nichtleere Teilmenge W der gegebenen Menge von Ordnungszahlen ein kleinstes Element hat. Es sei fj, eine beliebige Ordnungszahl von W. Ist ju nicht schon die kleinste Ordnungszahl von W, so bilde man die wohlgeordnete Menge Wß. Der Durchschnitt W • WM ist als Teilmenge der wohlgeordneten Menge W^ wohlgeordnet und nicht leer, enthält also eine kleinste Ordnungszahl, die offenbar auch die kleinste Ordnungszahl von W ist. Über die absteigenden Folgen von Ordnungszahlen gilt dei Satz 2 : Jede absteigende Folge von Ordnungszahlen enthält nur endlich viele Ordnungszahlen.

124 V. Über wohlgeordnete Mengen und ihre Ordnungszahlen Beweis: Wäre die Folge nicht endlich, so enthielte die sie definierende Menge K(k) nach § 30, Satz 1 eine Teilmenge {klt k2, k3,...} von der Ordnungszahl tu. Unter den Ordnungszahlen JMJ, fi 2 , / / , 3 , . . d i e diesen Elementen zugeordnet sind, gäbe es dann, da sie ja abnehmen, keine kleinste, was dem obigen Satz 1 widerspräche. Satz 3: Zu jeder Menge W von Ordnungszahlen ¡i gibt es eine Ordnungszahl, die größer als jede Ordnungszahl ¡j, von W ist, und zwar gibt es eine wohlbestimmte nächstgrößere Ordnungszahl v. Beweis: W{p) kann als aufsteigende Folge angenommen werden. Aus W([i) wird eine neue Menge W von Ordnungszahlen gebildet, indem jedes Element [i von W durch fj, + 1 ersetzt wird. Die Summe der Elemente der ebenfalls wohlgeordneten Menge W = W(/x + 1) seiCT.Dann ist jedes [i + 1 ^ CT, wie aus § 31, Satz 4 folgt, wenn man von den Ordnungszahlen zu ihren Bepräsentanten übergeht. Daher ist nach § 31, Satz 5 jedes ( i < . a , womit der erste Teil der Behauptung bewiesen ist. Ist nunCTnoch nicht die nächstgrößere Ordnungszahl zu der Menge W, d. h. gibt es noch Ordnungszahlen, die größer als jedes fi und kleiner als a sind, so enthält die Menge W„ alle derartigen Ordnungszahlen. Da diese Menge wohlgeordnet ist, hat die Teilmenge der Zahlen von Wa, die größer als jedes ¡x sind, ein kleinstes Element v; w. z. b. w. Aus diesem Satz folgt nun eine Tatsache ähnlicher Art, wie sie auf S. 49 für Kardinalzahlen festgestellt wurde. Nach unserm Satz gibt es nämlich zu jeder Menge von Ordnungszahlen noch eine größere Ordnungszahl. Die „Menge aller Ordnungszahlen" ist somit ein sinnloser Begriff (Antinomie von Burali-Forti). Wir haben daher darauf zu achten, daß mit der Menge aller Ordnungszahlen, sei es unmittelbar, sei es

§ 32. Folgen von Ordnungszahlen

125

mittelbar, nicht operiert werden darf. So sind auch die bisherigen Beweise schon geführt worden. Daher wurde nämlich immer vorsichtigerweise mit der Menge W ^ d. h. mit der Menge aller Ordnungszahlen, die unter einer gegebenen Ordnungszahl liegen, operiert, statt mit der Menge aller Ordnungszahlen überhaupt, was zunächst vielleicht näher läge. Es möge gleich noch folgender Satz abgeleitet werden, wenn er auch erst später benutzt wird: Satz 4 : Ist W eine abzählbare Menge von Ordnungszahlen abzählbarer Mengen, so ist die unmittelbar auf W folgende Ordnungszahl wieder Ordnungszahl einer abzählbaren Menge. B e w e i s : Die Elemente von W seien wieder ¡x. Dann ist

also ist auch für die auf W unmittelbar folgende Ordnungszahl |r Satz 5 : Es sei W eine Menge von Ordnungszahlen ¡i und W eine Menge von Ordnungszahlen ]1 derart, daß es zu jedem ¡x ein ~jjL ¡j, gibt. Dann gilt für die unmittelbar auf die /u bzw. auf die Ji folgenden Ordnungszahlen v, v die Ungleichung v v. B e w e i s : Es ist v > jedes also auch größer als jedes fi. Da aber v die kleinste Zahl ist, die größer als jedes ¡i ist, so ist V ^ V. Ist v eine beliebige Ordnungszahl, so sind die beiden Fälle denkbar: a) Zu v gibt es eine nächstkleinere Ordnungszahl, d. h. ein H 0 ist genau dann unzerfällbar, wenn (1)

£ + Q = Q für jedes £ < Q gilt.

B e w e i s : Es sei q unzerfällbar. Ist £ < { > , so gibt es ein 6 > 0, so daß | -f g'„> zwei solche Darstellungen, so sind q\ nach dem vorigen Absatz eindeutig bestimmt, also gi = g[, und daher nach §33, cß) &2 + ' " * + Qn = i?2 + • ' ' + Qn' • Auf dieselbe Weise folgt hieraus Q2 = gi, usw. Satz 6: Ist j u > 0 und ist g > 1 eine unzerfällbare Zahl, so ist [ig ebenfalls unzerfällbar; die kleinste unzerfällbare Zahl > /j, ist fiw. B e w e i s : Nach Satz 4 braucht für den ersten Teil nur bewiesen zu werden, daß

§ 34. Zerfällung von Ordnungszahlen (4)

137

£ + HQ = HQ für jedes | < ¡ig

ist. Für jedes | < (ig gibt es eine Darstellung (5)

£ = [17] + a , a < fi.

Dann ist | + pg = [ir] + a + fig

[i{rj + 1 + g).

Da g unzerfällbar und > 1 ist, ist 1 + g = g, also

(6)

£+

+

Wegen £ ist daher rj < co, also r\ eine endliche Zahl ( > 0, da sonst v — 0 wäre). Daher existiert r] — 1, und es ist v = fi(r] — l ) + / j , , 0 < f i < v ,

also v zerfällbar. A n m e r k u n g : Da 1 die einzige endliche unzerfällbare Zahl =t= 0 ist, ist co nach Satz 6 die erste transfinite unzerfällbare Zahl, die nächsten sind co2, c o 3 , . . . . Allgemein wird in § 38, Satz 3 bewiesen werden, daß die unzerfällbaren Zahlen gerade die Potenzen co* sind. Satz 7: Für jede unzerfällbare Zahl g und jede Zahl 0 < a < g gibt es eine Darstellung g = otg'; die Zahl g' ist stets unzerfällbar.

138 V. Über wohlgeordnete Mengen und ihre Ordnungszahlen Beweis: Es gibt eine Darstellung q = aQ' + a, l x ) folgendermaßen definiert: Der Komplex sei wieder dadurch festgelegt, daß jedem X < x eine Ordnungszahl f x x zugeordnet ist und die f i x nach zunehmender Größe der X geordnet sind. Als bekannt wird vorausgesetzt die Definition für das Produkt von zwei Faktoren. Unter Festhaltung der bisher eingeführten Zahlen wird das Produkt J J / i e für alle e e) Für ß>

1 ist

fn".

x.

Beweis: Für a = 0 und a = 1 ist die Behauptung richtig. Sie sei schon richtig für alle ß eines Bereiches 1 ß < «. Dann ist sie auch für a richtig. Denn ist a keine Limeszahl, so ist wegen a ^ 2 H « = ^ i • ^ :> ( a _ 1)^ ^ ( a - 1) • 2 = (a - 1) + (a - 1 ) ^ (a - 1) + 1 = a . Ist dagegen a eine Limeszahl, a = lim ß, so ist Hx= l i m ^ S s lim ß = x. Satz 1: Zu je zwei Zahlen ß > 1, f > 0 gibt es eine Zahl a, so daß (2) ß»^C£. Daher gibt es eine kleinste Zahl rj, so daß ßn > £ ist. Diese Zahl rj ist keine Limeszahl, da sonst für jedes | < rj auch f + 1 a 2 > • • • neben 0 < y, . .. < ß folgt. Da eine absteigende Folge nur endlich viele Glieder enthält, bricht das Verfahren nach endlich vielen Schritten ab. D. h. es gibt ein f B + 1 = 0. Dann folgt aber die Darstellung (1) aus den Gleichungen (3). Die Eindeutigkeit der Darstellung ergibt sich so: Für jede Zahl f von der Form (1) sieht man leicht, daß £ < ßa+1 ist. Wäre (4)

f = ß«y + ßoxYl + --- = ß~«y + ß«*y1

und a < «, so wäre a + 1 ä , ß"+1>

+

und aus (4) würde

---

§ 39. Uber Polynome von Ordnungszahlen

159

folgen, was unmöglich ist. Daher ist a = a. Wäre nun y > y, etwa y = y + y, so würde ein höchstes Glied sich in (4) fortlieben und folgen, was wegen a.x < a wieder unmöglich ist. Aus dem Satz ergibt sich z. B. f ü r ß = 2, daß jede Ordnungszahl £ in der Gestalt c = 2" + 2*' +

1-2«»

darstellbar ist. Übrigens ist (S. 153) cd = 2 " ; es braucht also bei dieser Darstellung der höchste auftretende Exponent keineswegs kleiner zu sein als die darzustellende Zahl. Ein besonders wichtiges Beispiel erhält man f ü r ß = a>. Es ergibt sich dann, daß jede Ordnungszahl £ > 0 in der Gestalt £ = a>"c + co«'^ + • • • + a>xn cn darstellbar ist, wo die ek < cd, also endliche Zahlen sind. F ü g t man noch Glieder mit dem Koeffizienten 0 hinzu, so ergibt sich f ü r jede Ordnungszahl | eine Darstellung J£*cüixz1x, a wo der Stern hinter dem andeuten soll, daß diese Summe nach abnehmenden Potenzen der Basis co geordnet ist und wo die xa ganze Zahlen S : 0 sind. Diese Darstellung enthält nur scheinbar unendlich viele Glieder, in Wirklichkeit treten nur endlich viele von Null verschiedene Glieder auf, und die Darstellung ist, wenn man festsetzt, daß sie mit einem von Null verschiedenen Gliede beginnen soll, durch | eindeutig bestimmt. F ü r zwei beliebige Ordnungszahlen rj wird nun durch formale Addition aus ihren Darstellungen £=

\-ü)mxm

-)

K(o2x2

+ coxy + x0 =

£ = 2 ; * ( o ' x a , t) = 2 * (o"y a ot a eine sog. „ n a t ü r l i c h e S u m m e " (Hessenberg)

160

V. Über wohlgeordnete Mengen und ihre Ordnungszahlen ff(i,V) = „ + £ = co„+1 und

+ |£| =

Hieraus folgt | C | ^ Aber wegen (4) kann nicht sein. Daher ist | £ \ = also also | £|< wegen (e) in der Tat £ = Cantor hat als erste Zahlklasse die Menge aller endlichen Ordnungszahlen und als zweite Zahlklasse die Ordnungszahlen mit der Kardinalzahl N0 bezeichnet. Diese Zahlklasse hat, wie eben gezeigt, die Mächtigkeit Xj. Das Kontinuumproblem kann demnach auch so formuliert werden: Hat die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit N? Nach S. 59b) ist 2**v> also 2**v ^ j^+i. Als verallgemeinertes Kontinuumproblem bezeichnet man die Frage: Gibt es Kardinalzahlen zwischen und 2**»'? Es kann nun auch der Satz 1 von § 25 über die Mächtigkeit der Typenklassen verschärft werden. Satz 2: Für die zu einer transfiniten Kardinalzahl m gehörigen Typenklasse Tm gilt | Tm\ = 2 m .

182

VI. Wohlordnungssatz, verwandte Sätze und Folgerungen

B e w e i s : Wegen (2) und § 25, Satz 1 braucht nur | Tm | 2 m bewiesen zu werden. Wie auf S. 97 wird v = a>* + a> gesetzt; ferner sei coY die Anfangszahl, deren Kardinalzahl m ist. Mit beliebigen natürlichen Zahlen a„ wird eine Folge (f)

«0>

a

ii • •

V •••

(j«

» . . , t M(m+1)

MM

=

(¿1/(0.))'.

Tatsächlich hat es aber keinen Zweck, bis zu Ableitungen beliebig hoher Ordnung aufzusteigen. Denn, wie Cantor bewiesen hat, bricht das Verfahren stets von selbst bei einer Ordnungszahl der zweiten Zahlklasse Z(X 0 ) insofern ab, als sämtliche folgenden Ableitungen miteinander identisch sind.

184

VI. Wohlordnungssatz, verwandte Sätze und Folgerungen

Der Beweis dieses Satzes ist das Hauptziel der folgenden Erörterungen. Für den Beweis müssen noch einige Begriffe aus der Theorie der Punktmengen eingeführt werden. Zunächst möge der Begriff des Häufungspunktes verschärft werden: Ist eine Menge M von Punkten gegeben, so heißt ein Punkt P, gleichgültig, ob er zu M gehört oder nicht, Verdichtungspunkt oder Kondensationspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von P nichtabzählbar viele Punkte von M liegen. Ist i. B. M auf der Zahlengeraden die Menge der Punkte, die den irrationalen Zahlen entsprechen, so ist jeder Punkt der Zahlengeraden Verdichtungspunkt von M. Über die Existenz von Häufungs- und Verdichtungspunkten gelten die beiden folgenden Sätze: Satz 1 ( B o l z a n o - W e i e r s t r a ß ) : Jede beschränkte 1 ) unendliche Punktmenge M hat mindestens einen Häufungspunkt. Beweis: Da M beschränkt ist, liegt M ganz in einem abgeschlossenen Quadrat Q. Dieses werde in vier kongruente Quadrate unterteilt. Da M unendlich ist, liegen in mindestens einem dieser vier Teilquadrate, die abgeschlossen genommen werden sollen, auch unendlich viele Punkte von M; ein solches Quadrat heiße Q v Nun wird Q1 wieder geviertelt und dasjenige Viertel, in dem unendlich viele Punkte von M liegen, mit Q2 bezeichnet, usf. Man erhält so eine Folge von Quadraten, die ineinander geschachtelt sind und deren Seiten den Limes 0 haben. Diese Quadratschachtelung bestimmt daher einen Punkt P und dieser ist Häufungspunkt von M, da in jeder Umgebung von P sicher eines der Quadrate Qn ganz enthalten ist und dieses unendlich viele Punkte von M enthält. — Man beachte, daß hinsichtlich der Zugehörigkeit von P zu M der Beweis nichts aussagt. l

) Eine Punktmenge heißt beschränkt, wenn sie ganz In einem Quadrat liegt.

§ 46. Ordnungszahlen und Punktmengen

185

Satz 2: Jede nichtabzählbare Punktmenge M hat mindestens einen Verdichtungspunkt. Beweis: Es sei zunächst M beschränkt; dann ergibt sich die Behauptung, indem man in dem vorigen Beweis die Worte „Häufungspunkt" und „unendlich viele" durch „Verdichtungspunkt" und „nichtabzählbar viele" ersetzt. Ist M nicht beschränk^ so zerlege man die Ebene in die Quadrate a,+1) 4= MM wäre. Daher ist MM entweder leer oder perfekt. Ist MM ^ also perfekt, so enthält M wegen MM g; M eine perfekte Untermenge, ist also nach Satz 6 nicht abzählbar. Umgekehrt, wenn M nicht abzählbar ist, enthält M nach den Sätzen 2 und 5 eine perfekte Teilmenge, die dann auch allen Ableitungen angehört, so daß MM > 0 ist. Ferner ist R höchstens abzählbar. Denn es sei Rn die Menge derjenigen Punkte von R, die von allen Punkten von MM einen Abstand

-i- haben. Dann ist R„ eine abgeschlossene

Menge, und auch abzahlbar; denn wäre Rn nicht abzählbar, so

§ 46. Ordnungszahlen und Punktmengen

191

würde die Anwendung des bisher schon bewiesenen Teiles unseres Satzes ergeben, daß Rn eine perfekte Menge enthielte, die dann noch zu MM hinzukäme. Da jeder einzelne Punkt der Menge R von MM einen positiven Abstand hat (das folgt aus der Abgeschlossenheit von MM), ist R die Summe aller Rn für n = 1, 2, 3 , . . . , also als Summe von abzählbar vielen Mengen, deren jede höchstens abzählbar ist, selber höchstens abzählbar. Endlich ist R-MM = 0, also, da ÄfS M und daher r(v) g üi(v) ist, erst recht auch R • RM = 0. Für Cantor war der Anlaß zu den hier geschilderten Untersuchungen das Kontinuumproblem, das in der noch allgemeineren Form, ob es zwischen Nv und 2^»" stets noch eine Kardinalzahl gibt, ein Hauptproblem1) der Mengenlehre ist. Die Kardinalzahl N kann nämlich durch die Punkte des Intervalls [0,1] repräsentiert werden. Wenn < X ist, muß es also in dem Intervall [0,1] eine Punktmenge von der Kardinalzahl geben. Der Satz von Cantor-Bendixson zeigt nun, daß eine solche Menge, wenn sie überhaupt existiert, d. h. wenn Sj < N ist, jedenfalls keine abgeschlossene Menge sein kann. Denn aus M

=

MM

+

R

folgt, da MM leer oder perfekt ist, also wegen Satz 6 entweder die Kardinalzahl 0 oder X hat, daß jede abgeschlossene Menge entweder eine Kardinalzahl iS X0 oder gleich M hat. ') Vgl. hierzu Sierpiliski 2), ferner W. Sierpinski, F u n d a m e n t s maticae 34 (1947), 1 - 6 .

Mathe-

Literaturverzeichnis Für weitergehende Studien auf dem Gesamtgebiet der Mengenlehre sei verwiesen auf: F. H a u s d o r f f , 1. Grundzüge der Mengenlehre. 1. Aufl. Leipzig 1914. — 2. Dasselbe. 3. Aufl. Berlin und Leipzig 1935. W. S i e r p i r i s k i , 1. Leçons sur les nombres transfinis. Paris 1928. Neudruck 1950. — 2. Hypothèse du continu. Warszawa—Lwôw 1934. — Cardinal and ordinal numbers. Warszawa 1958. H. B a c h m a n n , Transfinite Zahlen [Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete], Berlin—Göttingen—Heidelberg 1956. Wem mehr an der Herausarbeitung des Grundsätzlichen liegt, der greife zu A. F r a e n k e l , 1. Einleitung in die Mengenlehre. 3. Aufl. Berlin 1928. — 2. Zehn Vorlesungen über die Grundlegung der Mengenlehre. Leipzig und Berlin 1927. — 3. Abstract set theory. Amsterdam 1953. Mit ausführlicher Bibliographie. — 4. Foundations of set theory. In Vorbereitung. Eine Darstellung im Sinne des Bourbaki-Rreises findet man bei N. B o u r b a k i , Théorie des ensembles. Actualités scientifiques et industrielles 846 (Paris 1939), 1212 (Paris 1954). An Nachschlagewerken sind zu nennen: Enzyklopädie d. Math. Wissenschaften, Bd. Ij, Heft 2. 2. Aufl. Leipzig und Berlin 1939. A. S c h o e n f l i e s , Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. 1. Teil, Jahresbericht d. Deutsch. Math.-Vereinigung 8 (1900); 2. Teil, ebenda, 2. Ergänzungsband 1908. A. S c h o e n f l i e s und H. H a h n , Entwicklung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen. Erste Hälfte: Allgemeine Theorie der unendlichen Mengen und Theorie der Punktmengen, von A. S c h o e n f l i e s . Leipzig und Berlin 1913.

Namen- und Sachregister A, Operation A 18 a 29r 32 N (Aleph) 175 Abbildung 24 —, ä h n l i c h e 8 3 —, der E b e n e a u f eine Strecke 44 abgeschlossen 185 Ableitung 183 Abschnitt 117 Addition, geordnete 87, 89, 113 ähnlich 83 algebraische Zahlen 10 A n f a n g einer geordneten Menge 104 Anfangszahl 174, 176 Anordnung, lexikographische, 91 ersten Diffe— rrach r e n z e n 91 Anreihungsregel 1 8 , 4 1 , 4 7 , 53, 8 9 , 9 2 äquivalent 24 Äquivalenzsatz 34 Aronszajn 90 Assoziationsgesetz 1 8 Aumann 110 Auswahlprinzip 71 ff., 1 6 5 Balre 189 B a s i s der reellen Zahlen 171 Belegung 58 B e l e g u n g s menge 5 8 benachbarte Elemente 100 Bendixson 190 Bernays 76 Bernstein 34, 180 Birkhoff 162 B o t z a n o 71, 1 8 4 Borel 66, 70 Bourbaki 169 B r o u w e r 4 4 , 7 0 , 76 Burali-Forti 124 c 29 32 C a n t o r 5, 1 0 0 , 144, 1 5 4 , 161, 181, 182, 183, 190, 191 Cantors Diagonalverfahren 1 2 Cauchy 170 Cauchys Diagonah'erfahren 17 7

Kamke,

Mengenlehre

d-Zahl 1 4 0 Dedekind 27, 106 Diagonalverfahren 1 2 , 1 7 , 2 7 , 33, 4 2 , 6 9 dicht 6 6 , 1 0 0 d i c h t , in sich 1 8 5 Differenz 1 4 Distributionsgesetz 18 Division v o n Ordnungszahlen 1 2 8 Dualitätsprinzip 19 D u r c h s c h n i t t v o n Mengen 15 e-Zahl 1 5 4 ri 9 4 E i g e n s c h a f t endlichen Charakters 165 Einmaleins für Kardinalzahlen 4 2 E l e m e n t e 5 ff. erstes E l e m e n t 8 2 Euklid-Algorithmus 129 Existenz 71 f 29, 32 Fixpunktsatz 169 Folge, absteigende 123 —, a u f s t e i g e n d e 1 2 3 — von Ordnungszahlen 123 Fraenkel 36, 76, 148 Franklin 109 Frink 162 Fundamentalfolge 126 F u n d a m e n t a l s a t z der Algebra 71 geringere M ä c h t i g k e i t 2 9 Giordano B r u n o 65 Gödel 7 5 , 76 llamel 170 Eäufungspunkt 183 Hauptzahl 140 Hausdorff 65, 95, 152, 162, 179, 189 Hermes 162 H e r m i t e 17 Hessenberg 1 3 3 , 1 4 0 , 1 5 9 , 176 Hilbert 32 hinter 80 Induktion, transfinitel45 — »vollständige 146 Intervall 24

i n t u i t i o n i s t i s c h e Mengen* lehre 7 6 Invarianz der Dimensionszahl 4 4 Jacobsthal

140

K a m k e 71, 1 7 3 K a r d i n a l z a h l 28, 2 9 K ardinalzahlen komplex 45 Kestelman 171 Kette 80 K e t t e , • 86 87, 90 nungszahl 132 Zerlegung einer geordObermenge 13 — — Ordnungszahlen neten Menge 104 Operation A 20 128 Ordnungstypus 85 —, wohlgeordnete von — — Ordnungszahl 138 Ordnungszahl 112 wohlgeordneten Zermelo 75, 76, 116, 161, Mengen 113 zwischen 82 [162 — erster Art 125 Zorn 162 —, unzerfällbare 134,157 Susiin 18 Suslln-Kern 20 —, unzerlegbare 139 —, Satz von 170

HEINZ BAUER

Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie Oktav. 342 Seiten. 1968. DM 32 — (de Gruyter Lehrbuch) Das Buch soll vor allem den Studierenden als Wegführer in die Wahrscheinlichkeitstheorie dienen. Der Leser soll mit den wichtigsten Ideen, Methoden und Resultaten dieser sich heute schnell entwickelnden und verzweigenden mathematischen Theorie bekanntgemacht werden. Dabei werden vornehmlich diejenigen Teile der Theorie behandelt, die heute schon wieder als klassisch angesprochen werden. Darüber hinaus werden die Anfangsgründe des im Mittelpunkt der neueren Untersuchungen stehenden und zugleich auch für außermathematische Anwendungen so wichtigen Gebietes der stochastischen und speziell der Markoffschen Prozesse erörtert. Da heutzutage die Wahrscheinlichkeitstheorie unlöslich mit der Maßund Integrationstheorie verbunden ist, verfolgt das Buch zugleich aber auch ein zweites Ziel, nämlich den Leser mit den Grundzügen der Maßtheorie vertraut zu machen. Diese wird zwar nur so weit vorangetrieben, als dies für die zu behandelnden wahrscheinlichkeitstheoretischen Fragestellungen notwendig ist. Jedoch kann der allein maßtheoretisch interessierte Leser die betreffenden Kapitel unabhängig von den übrigen, rein wahrscheinlichkeitstheoretischen Teilen des Buches studieren. Das Buch ist aus zweisemestrigen, einführenden Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie entstanden, die der Autor für Hörer vom 3. Fachsemester aufwärts an der Universität Hamburg hielt.

Walter de Gruyter & Co • Berlin 30

BERNHARD HORNFECK

Lehrbuch der Algebra Etwa 240 Seiten. 1968. Etwa DM 30 — (de Gruyter Lehrbuch) Inhalt Einleitung G r u n d l a g e n : Mengen — Die Menge 9? der natürlichen Zahlen — Abbildungen — Abzählbarkeit — Äquivalenzrelationen G r u p p e n : Das Rechnen in Gruppen — Darstellungen durch Transformationsgruppen — Untergruppen — Zyklische Gruppen — Direkte Produkte — Abelsche Gruppen — Homomoiphe Bilder von Gruppen — Einbettung von Halbgruppen in Gruppen — Spezielle Ergebnisse — Automorphismen von Gruppen — Operation einer Gruppe auf einer Menge — Die Jjr/twscben Sätze — Beispiele von Gruppen R i n g e : Algebraische Strukturen — Das Rechnen in Ringen — Homomorphe Bilder von Ringen — Einbettung von Integritätsbereichen in Körper — Der komplexe Zahlkörper (J — Endomorphismenringe abelscher Gruppen — Polynomringe — Nullstellen von Polynomen — Körpererweiterungen — Halbgruppenringe — Der Quaternionen schiefkörper — Duale Zahlen — Angeordnete Ringe — Der Körper 9t der reellen Zahlen — Bewertete Körper — Symmetrische Polynome I d e a l e : Rechenregeln — Teilbarkeit — Gaußsche Ringe, Hauptidealringe, Euklidische Ringe — Der Ring 3 [0 — Partialbruchzerlegung in K(x) — Primideale — Maximale Ideale — Der Satz von Gauß — Irreduzibilitätskriterien —• Teilbarkeitssätze in Polynomringen — Kreisteilungspolynome — Noethersche Ringe — Der Hilbert sehe Basissatz V e k t o r r ä u m e : Das Rechnen in Vektorräumen — Teilräume — Der Basissatz — Homomorphismen von Vektorräumen — Die Gradformel K ö r p e r t h e o r i e : Einfache Körpererweiterungen — Endliche Körpererweiterungen — Der Satz von Frobenius — Konstruktionen mit Zirkel und Lineal — Nullstellen von Idealen — Zerfällungskörper — Endliche Körper — Endliche Schiefkörper — Die Sätze vom primitiven Element — Inseparable Polynome G a l o i s t h e o r i e : Isomorphismen von Körpern — Automorphismen von Körpern — Normale Körpererweiterungen — Der Hauptsatz der Galoistheorie — Ein Beispiel — Automorphismen von G F ( p n ) — Kreisteilungskörper — Die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks A u f l ö s b a r e P o l y n o m e : Polynome ersten bis vierten Grades — Auflösbare Gruppen — Der Satz von Abel Anhang: Das Rechnen mit komplexen Zahlen Lösungen der Aufgaben — Bezeichnungen — Literatur — Namen- und Sachverzeichnis

Walter de Gruyter & Co • Berlin 30