Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen und seine Verwertung in der quantitativen Beurteilung des Bewässerungseffektes auf die Steigerung der Ernteerträge [Reprint 2021 ed.] 9783112499085, 9783112499078

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ISSN 0 3 7 1 - 3 2 7 X

SITZUNGSBERICHTE DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

JAN

116 • Heft

Klasse 4

BENETIN

MATHEMATISCHES MODELL FÜR DAS WACHSTUM VON LANDWIRTSCHAFTLICHEN KULTUREN UND SEINE VERWERTUNG IN DER QUANTITATIVEN BEURTEILUNG DES BEWÄSSERUNGSEFFEKTES AUF DIE STEIGERUNG DER ERNTEERTRÄGE

AKADEMIE-VER LAG • B E R L I N 1983

SITZUNGSBERICHTE DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU LEIPZIG MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHE KLASSE

Band 109 Heft 1 Prof. ERICH RAMMLER, Über die Theorien der Braunkohlenbrikettentstehung 1970. 38 Seiten - 13 Abb., davon 2 auf 2 Tafeln - 8° -

M

Heft 2 Prof. Dr. WOLFQANG TUTSCHKE, Stammfunktionen komplexwertiger Funktionen 1970. 20 Seiten - 8° -

M 3,70

4.-

Heft 3 Dr. habil. GÜNTHER EISENREICH, Zur Syzgientheorie und Theorie des inversen Systems p e r f e k t e r Ideale und Vektormodule in Polynomringen und Stellenringen 1970. 88 Seiten — 8° — M 10,80 Heft 4 Prof. Dr. med. ROLF EMMRICH, Hochdruck und Hyperlipidämie (Hypercholesterinämie) als R i e i k o faktoren für die Entstehung der Arteriosklerosen 1971. 23 - Seiten - 10 Abbildungen - 4 Tabellen - 8° — M 3,90 Heft 5

P r o f . D r . HANS DRISCHEL, B i o l o g i s c h e R h y t h m e n

1972. 57 Seiten - 31 Abbildungen - 1 Tabelle - 8° — M 0,60

Heft 0 Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. KÜRT SCHWABE, Konzentriert« Elektrolytlösungen — T h e r m o d y n a m i s c h e und kinetische Eigenschaften 1972. 49 Seiten - 27 Abbildungen - 2 Tabellen - 8° — M 7,50 Heft 7 Prof. Dr. WOLFOANG TUTSCHKE, Konstruktion von globalen Lösungen mit vorgeschriebenen S i n g u laritäten bei partiellen komplexen Differentialgleichungssystemen 1972. 24 Seiten M 4,50

Band 110 Heft 1 Prof. Dr. h. c. PAUL GÖRLICH, Über die Laser und ihre Anwendung

1972. 24 Seiten - 8° -

M 2,30

Heft 2 Prof. Dr. HASSO ESSBACH, Zum Problem der Tumoren im Kindesalter 1972. 24 Seiten — 11 Abbildungen auf 10 Kunstdrucktafeln - 8° — M 6,— Heft 3 Prof. Dr. med. WALTER BREDNOW, Zur Anthropologie des Schwindels 1973. 17 Seiten - 2 Abbildungen auf 2 Kunstdrucktafeln — 8° — M 2,50 Heft 4 Prof. Dr. h. c. PAUL GÖRLICH, Betrachtungen Qber den Wissenschaftlichen Gerätebau 1972. 39 Seiten - 8° -

M

3,-

Heft 5 Prof. Dr. ERICH RAMMLER, Einige Betrachtungen über Erdgas 1974. 43 Seiten - 8 Abbildungen - 3 Tabellen - 8° — M 4,50 Heft 6 Prof. Dr. GUSTAV E. R. SCHULZE, Zur Rolle des Einfachheitsprinzips im physikalischen W e l t b i l d 1974. 23 Seiten - 4 Abbildungen - 8° - M 2,50 Heft 7 Prof. Dr. med. ROLF EMMRICH, Zwischen Leben und Tod. Ärztliche Probleme der T h a n a t o l o g i e 1974. 22 Seiten - 2 Abbildungen - 4 Tabellen - 8" — M 3,50

Band 111 Heft 1 Prof. Dr. WILHELM MAIER, Vom Erbe Bernhard Riemanns

1975.16 Seiten - 8° — M 2,50

Heft 2 Prof. Dr. med. HANS DRISCHEL, Organismus und geophysikalische Umwelt 1975. 50 Seiten - 25 Abbildungen - 1 Tabelle - 8° -

M

7,-

Heft 3 Prof. Dr. MARIA HASSE, Zum Begriff des allgemeinen Produkts von Kategorien 1975. 32 Seiten — 8° — M

5,-

ISSN 0 3 7 1 - 3 2 7 X

SITZUNGSBERICHTE DER SÄCHSISCHEN D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

JAN

116

• Heft

AKADEMIE

LEIPZIG Klasse

4

BENETIN

MATHEMATISCHES MODELL FÜR DAS WACHSTUM VON LANDWIRTSCHAFTLICHEN KULTUREN UND SEINE VERWERTUNG IN DER QUANTITATIVEN BEURTEILUNG DES BEWÄSSERUNGSEFFEKTES AUF DIE STEIGERUNG DER ERNTEERTRÄGE Mit 18 Abbildungen und 3 Tabellen

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1983

Vorgetragen in der Sitzung am 6. März 1981 Manuskript eingeliefert am 7. August 1981 Druckfertig erklärt am 11. Mai 1983

Erschienen im Akademie-Verlag, D D R -1086 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 © Akademie-Verlag Berlin 1983 Lizenznummmer: 202 • 100/503/83 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", 7400 Altenburg LSV 4045 Bestellnummer: 763 219 5 (2027/116/4) DDR 6 , - M

Einleitung

Bei den meist verwendeten Auswertungsmethoden des Effektes der B e wässerung auf die Steigerung der Ernteerträge wird der Einfluß des Bodenwassermangels auf das Wachstum und die Entwicklung der angebauten K u l turen meistens nur selbständig untersucht, ohne hierbei die gleichzeitige Zusammenwirkung anderer Vegetationsfaktoren, welche ein Bestandteil (Element) des Produktionssystems der Pflanzenbestände sind, in Erwägung zu ziehen. Diese ungenügende quantitative Auswertung des Anteiles der B e wässerungswirkung auf das Wachstum der Kulturen und somit auch auf die Steigerung des Ernteertrages wird auch nicht bei der Auswertung der polyfaktoriellen Feldversuche mittels der Methode der vielfachen Korrelationsanalyse ganz abgeschafft, da bei ihr eine lineare Abhängigkeit des Ernteertrages von den Vegetationsfaktoren angenommen wird. Die Anwendung der vielfachen nichtlinearen Korrelation ist ziemlich kompliziert und setzt die K e n n t nis der mathematischen Ableitungen der nichtlinearen Abhängigkeiten voraus, was auch teilweise das T h e m a dieser Arbeit sein wird. Die mathematischen Modelle der Ermittlung der Ernteerträge bieten die Möglichkeit, das Zusammenwirken der Vegetationsfaktoren beim W a c h s t u m der Pflanzen festzustellen. E s ist dabei klar, daß die komplizierten abiotischen und biotischen Prozesse im Produktionssystem der Pflanzen und deren zeitliche Dynamik den Charakter und die Kompliziertheit der mathematischen Modelle der E r n t e n bestimmen ( P O L U E K T O V et al., 1 9 7 9 ) . B e i der Lösung der praktischen Aufgaben kann mit Erfolg nur ein solches Modell verwendet werden, welches die biologischen Gesetze des Wachstums und der Entwicklungen der Kulturen voll berücksichtigt und welches die Grenzen der Berechnungstechnik und die Möglichkeiten der Verarbeitung der Eingangsdaten nicht überschreitet. E s werden deshalb zum Beispiel einfachere Methoden für die Programmierung der E r n t e n in Abhängigkeit von der Bodenwasserversorgung der Pflanzen empfohlen ( P E N M A J O T , 1 9 7 1 ; F E D D E S , K O W A L I K , ZARADXY,

1978;

IDSO,

JACKSON,

REGINATO,

1977;

NERFIN,

KUZNECOV, M U S K I N , CHLOPOTENKOV, 1 9 7 9 ; K O W A L I K , S A X E S I ,

ZUKOVSKIJ,

1980).

Bei diesen Methoden wird die Abhängigkeit der E r n t e von den Vegetationsfaktoren mit empirischen Gleichungen des linearen, logarithmischen, hyper1*

J A N BENETIN

4

bolischen oder parabolischen Typs ermittelt SLAWSKI,

1958;

ULKICH,

1961;

FEDDES,

(MITSCHERLICII,

KOWALIK,

1956;

ZARADNY,

BOGI-

1978).

Die

Gleichungen des linearen Typs werden zum Beispiel zur Feststellung der Abhängigkeit der Intensität der Photosynthese von der Evapotranspiration verwendet. Die Gleichungen des parabolischen Typs verwendet man oft bei der Ermittlung der Abhängigkeit der Ernteerträge vom Wassergehalt im Boden. Das Zusammenwirken der Vegetationsfaktoren mit dem Bodenwassergehalt wird meistens durch die einfache Multiplikation der partiellen Wirkungen ermittelt ( I D S O , J A C K S O N , REGINATO, 1 9 7 7 ; F E D D E S , K O W A L I K , Z A E A D N Y , 1 9 7 8 ) . Die Möglichkeit der Anwendung der parabolischen Gleichungen ist aber durch den optimalen Wert des untersuchten Vegetationsfaktors begrenzt, was auch ein Nachteil der linearen Abhängigkeiten ist, die außerdem im Falle einer größeren Veränderungsspanne des Vegetationsfaktors den notwendigen Einklang mit der Realität nicht nachweislich erbringen. Das Zusammenwirken des Bodenwassers mit den anderen Faktoren, ausgedrückt durch die einfache Multiplikation der Teilwirkungen, befindet sich auch nicht in Ubereinstimmung mit der tatsächlichen Bedeutung des Einflusses der einzelnen Vegetationsfaktoren im Produktionssystem der Pflanzen. Die abgeleitete partielle Produktionsgleichung ermittelt die Abhängigkeit der E r n t e von den abiotischen und biotischen H a u p t f a k t o r e n des Produktionssystems der Pflanzen und ist f ü r den ganzen Bereich der möglichen Wirkung dieser Faktoren brauchbar. Solche partiellen Produktionsgleichungen in Verbindung mit der Ermittlung des Zusammenwirkens der Vegetationsfaktoren ermöglichen auf Grund ihres Bedeutungsgrades im Produktionssystem der Pflanzen eine genauere Feststellung des Anteils der untersuchten Faktoren am erzielten Ernteertrag. Theoretische Analyse Bei der Ableitung einer allgemeinen Form der partiellen Produktionsgleichung wird als Tatsache in Erwägung gezogen, daß die H a u p t f a k t o r e n (Elemente) des Produktionssystems der Pflanzen einen ambigiösen (zweiseitigen) Charakter haben. Diese Eigenschaft der Elemente des Pflanzenproduktionssystems beruht darin, daß die Steigerung ihres positiven Einflusses im Produktionssystem der Pflanzen die Formung von Bedingungen f ü r ihre negative Wirkung im Sj-stem zur Folge h a t ; das heißt also, wenn der optimale Wert des Einflusses (der Konzentration oder Intensität) des Elementes im Produktionssystem überschritten wird, dann beginnt sich dieser negative Einfluß in ausgeprägter Form geltend zu machen und verursacht d a n n bei einem kritischen Wert das Erlöschen der Funktion des Produktionssystems der Pflanzen.

J A N BENETIN

4

bolischen oder parabolischen Typs ermittelt SLAWSKI,

1958;

ULKICH,

1961;

FEDDES,

(MITSCHERLICII,

KOWALIK,

1956;

ZARADNY,

BOGI-

1978).

Die

Gleichungen des linearen Typs werden zum Beispiel zur Feststellung der Abhängigkeit der Intensität der Photosynthese von der Evapotranspiration verwendet. Die Gleichungen des parabolischen Typs verwendet man oft bei der Ermittlung der Abhängigkeit der Ernteerträge vom Wassergehalt im Boden. Das Zusammenwirken der Vegetationsfaktoren mit dem Bodenwassergehalt wird meistens durch die einfache Multiplikation der partiellen Wirkungen ermittelt ( I D S O , J A C K S O N , REGINATO, 1 9 7 7 ; F E D D E S , K O W A L I K , Z A E A D N Y , 1 9 7 8 ) . Die Möglichkeit der Anwendung der parabolischen Gleichungen ist aber durch den optimalen Wert des untersuchten Vegetationsfaktors begrenzt, was auch ein Nachteil der linearen Abhängigkeiten ist, die außerdem im Falle einer größeren Veränderungsspanne des Vegetationsfaktors den notwendigen Einklang mit der Realität nicht nachweislich erbringen. Das Zusammenwirken des Bodenwassers mit den anderen Faktoren, ausgedrückt durch die einfache Multiplikation der Teilwirkungen, befindet sich auch nicht in Ubereinstimmung mit der tatsächlichen Bedeutung des Einflusses der einzelnen Vegetationsfaktoren im Produktionssystem der Pflanzen. Die abgeleitete partielle Produktionsgleichung ermittelt die Abhängigkeit der E r n t e von den abiotischen und biotischen H a u p t f a k t o r e n des Produktionssystems der Pflanzen und ist f ü r den ganzen Bereich der möglichen Wirkung dieser Faktoren brauchbar. Solche partiellen Produktionsgleichungen in Verbindung mit der Ermittlung des Zusammenwirkens der Vegetationsfaktoren ermöglichen auf Grund ihres Bedeutungsgrades im Produktionssystem der Pflanzen eine genauere Feststellung des Anteils der untersuchten Faktoren am erzielten Ernteertrag. Theoretische Analyse Bei der Ableitung einer allgemeinen Form der partiellen Produktionsgleichung wird als Tatsache in Erwägung gezogen, daß die H a u p t f a k t o r e n (Elemente) des Produktionssystems der Pflanzen einen ambigiösen (zweiseitigen) Charakter haben. Diese Eigenschaft der Elemente des Pflanzenproduktionssystems beruht darin, daß die Steigerung ihres positiven Einflusses im Produktionssystem der Pflanzen die Formung von Bedingungen f ü r ihre negative Wirkung im Sj-stem zur Folge h a t ; das heißt also, wenn der optimale Wert des Einflusses (der Konzentration oder Intensität) des Elementes im Produktionssystem überschritten wird, dann beginnt sich dieser negative Einfluß in ausgeprägter Form geltend zu machen und verursacht d a n n bei einem kritischen Wert das Erlöschen der Funktion des Produktionssystems der Pflanzen.

Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen

5

Infolge des ambigiösen Charakters der Elemente des Pflanzenproduktionssystems hat der Verlauf der partiellen Produktionsgleichungen in Abhängigkeit von der Anwesenheit oder Intensität der Wirkung drei charakteristische Grenzbedingungen, und zwar wie folgt: 1. — Anfangswert der Wirkung des Elements im System, bei welchem sein positiver Einfluß im System zu wirken beginnt, 2. — Optimalwert, d. h. ein Stadium, bei welchem das untersuchte Element den optimalen oder maximalen Wert erreicht unter der Voraussetzung, daß auch die übrigen Elemente ihren optimalen Wert erreicht haben, 3. — Maximaler (kritischer) Wert, bei welchem der negative Einfluß des untersuchten Elements das Erlöschen der Funktion des Systems verursacht. -«

1,0

1,0

0,9

0,8

Luftgehalt

0,7

0,6

des

0,5

0,3

/

tI *0,8

I

Bodens

0,4

&

S 0,5

fc

0,2

0,1

0

0,9

1,0

1\

Yw

\

h

£ 0,4 £

0,2 0,1

ÄV

1

i,opt

0

0,1 relative

0,2

0,3

0,4 0,5 0,5

Feuchtigkeit

-J^bpt

0,7

des Bodens

0,8

[w=6/P]

Abb. 1. Allgemeine Abhängigkeit des Ertrages vom Wassergehalt im Boden mit guten hydrophysikalischen Eigenschaften

Der ambigiöse Charakter der Elemente des Produktionssystems ergibt sich entweder direkt aus seiner physikalischen Substanz, und dann sprechen wir von einer inherenten Ambiguität (Zweiseitigkeit), oder er ist dadurch bedingt, daß die Anwesenheit eines Elements im System die Anwesenheit eines anderen Elements einschränkt. In einem solchen Falle sprechen wir dann von der kausalen Ambiguität. Der Wassergehalt im Boden ist ein anschauliches Beispiel der kausalen Ambiguität eines Elements des Pflanzenproduktionssystems. Die Abbildung 1

6

Jan Bjenetin

illustriert den Verlauf des Einflusses des Wassergehaltes im Boden mit guten hydrophysikalischen Eigenschaften auf die Ernte unter der Voraussetzung, daß die anderen Elemente des Systems ihren optimalen Wert erreicht haben. Wie bekannt, wachsen die Pflanzen nur bei einer höheren Feuchtigkeit des Bodens im Vergleich zum Welkpunkt (wBV). Den positiven Einfluß der Steigerung des Bodenwassergehaltes zeigt die Kurve ya. Zugleich mit der Steigerung des Bodenwassergehaltes sinkt aber der Grad der Bodendurchlüftung, deren Einfluß auf die Ernte die Kurve yv zeigt.

1,0

- Luftgehalt des Bodens 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

N

Vi/ \ / \Yw

X

¡4*

•

/ \

¡/ ¡f i i i> u //Vn.v i i

SP 0,6

•S 0,3

\

ffl*

^ 0,1

0

Xi,min - 'WBVQS

X,,opt

V,

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 relative Feuchtigkeit des Bodens

i,max ~ 'pk

[w=6/Pj

Abb. 2. Allgemeine Abhängigkeit des E r t r a g e s vom Wassergehalt im Boden mit ungünstigen hydrophysikalischen Eigenschaften

Der resultierende Einfluß des Wassergehaltes im Boden entspricht der Multiplikativzahl der entsprechenden Ordinaten der Kurven yw und yv, d. h. der Kurve ym,v, welche wir als die partielle Produktionskurve des Wassergehaltes im Boden definieren. Weiterhin bezeichnen wir den steigenden Teil der Kurve als den positiven und den sinkenden Teil der Kurve als den negativen Zweig. Der optimale Wassergehalt im Boden entspricht dem höchsten Punkt der Kurve. Die Abbildung 2 zeigt eine ähnliche Abhängigkeit für einen schweren Boden mit ungünstigen hydrophysikalischen Eigenschaften. In der deutschen Fachliteratur werden diese Beziehungen als Minimum-OptimumMaximum-Kurven angegeben. Einen ähnlichen Verlauf der Abhängigkeiten des Ernteertrages beobachten wir auch bei den Elementen mit einer inherenten Ambiguität (z. B. bei der Intensität der Sonnenstrahlung, der Lufttemperatur usw.). Es ist möglich,

Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen

7

daß sich bei manchen Elementen der positive oder negative Zweig der K u r v e praktisch bis auf eine Nullspanne der Veränderung des Elementes verengt. Dann fällt der eine oder der andere Zweig der partiellen Produktionskurve des untersuchten Elementes ab, z. B . hat die Wirkung der giftigen Stoffe im Boden oder in der Atmosphäre nur einen negativen Zweig. Auf der Grundlage der beschriebenen Charakteristik der wichtigsten abiotischen und biotischen Faktoren des Produktionssystems der Pflanzen sind wir in der Lage, ein mathematisches Modell der partiellen Produktionskurve abzuleiten, und zwar wie folgt: Im Einklang mit der Auffassung, daß die botanische E r n t e ein Produkt der Umwandlung der Sonnenenergie in chemische Energie mit Hilfe der Photosynthese ist, kann die botanische E r n t e einer beliebigen Pflanze als der Anteil der genutzten Sonnenenergie und des energetischen Äquivalentes der organischen Masse errechnet werden, d. h. dYi

= ^ . Y

i

[ ^ d X

i

(1)

. d t ,

in welcher Yj qT ei

p

— die botanische E r n t e als Veränderliche abhängig vom Vegetationsfaktor Xit — die Intensität der photosynthetisch wirksamen Sonnenstrahlung, — der Koeffizient der Ausnutzung der photosynthetisch wirksamen Sonnenstrahlung,

y

— das

t

J-g-1). — die Zeit ist.

energetische

Äquivalent

der

Biomasse

( = 15072,5 — 17584,6

Die partielle Derivation 8s ip /8Xi soll die bekannte Erkenntnis des abnehmenden Ertragszuwachses mit zunehmender quantitativer Erhöhung der Vegetationsfaktoren ausdrücken. Die folgende hyperbolische Funktion entspricht dieser Anforderung: bX;

^tmax -^¿niin (Xi-X i nun/2

, • wobei

/iv

(2)

i\r — ein Parameter abhängig von der Pflanzenart und ihrem Entwicklungsstadium und l ; i l i a i ; -X;>min — der maximale und minimale Wert des F a k t o r s X { sind. Dann kann die Gleichung (1) für genügend kurze Zeitintervalle (¿Ii) sukzessiv vom Anfang bis zum Ende der Vegetationsperiode gelöst werden. F ü r diese Zeitintervalle ist qr • it gleich Qr, d. h. der Menge des Zuflusses der photosynthetisch wirksamen Sonnenstrahlung während der Zeit At.

8

JAN

BENETIN

N a c h dem Einsetzen der Gleichung (2) in die Gleichung (1) erhalten wir eine einfache Differentialgleichung: iT7

dYi

= aT

Qr

—

•

-rr

max

Yi

-^¿min

— Xi

7

jV

aXj

(.?)

2

min)

und nach der Integration i TT In 7 ; = - «

r

Qr max -tr -X-i " max y

-^imin , "imin

, ,, (4)

C,

-&-Ì — -^imin

oder Y i

Qr ^imax

= exp

y

-^¿iriin

Xi

X-i, min

-f C

(5)

Aus der Grenzbedingung Xi — -iimaxi

Yi — 7 ; i 0 p t

(6)

f ü r die I n t e g r a t i o n s k o n s t a n t e C ergibt sich 1y

opt ' Qr

iopt

'

--t

,

so d a ß i In f/opt. ' Qr

C

(7)

in welcher £

i,opt — die optimale Ausnutzung W e r t £,• D b e d e u t e t .

der

Sonnenenergie, d. h. der

optimale

D u r c h die Verbindung der Gleichung (5) mit der Gleichung (7) erhalten wir Y v

i =

£

iopt 2 ' Qr

exp

I

Qr X j nlax

— -t:

\

y

\

^

(8)

~~ ^ i min/

y

und f ü r den Wert der proportionellen E r n t e Yi

£;p • Qr • y

eip

V i p = vx = J. = e— = i opt y ' Vr ' ei opt iopt

exp

I

Qr X

i m i x

-ft> — \ / -"-t

— X j \

-"-i min/

,

(9)

oder f

Qr ^¿max

tip = e;opt • e x p I —0ir —

x

_

- X A1 x 1

1•

i min /

/ i ru

< 1°)

Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen

9

Die Gleichung (10) drückt den Verlauf des positiven Zweiges der partiellen Produktionskurve aus, und zwar in der Abhängigkeit von dem F a k t o r X Ähnlich können wir auch die Gleichung f ü r den negativen Zweig («/¡ „) der Produktionskurve ableiten und bekommen I

£

o

in — £iopt ' yin — Sjopt ' exp I

pr

\

Qr

-^-i

Xj

7

u n n

-^¿niax

.

V-1-1-/

I,

in welcher ßT — ein Parameter abhängig von der Pflanzenart und ihres Entwicklungsstadiums ist. Die Endgleichung der Ausnutzung (e;) der photosynthetisch wirksamen Sonnenstrahlung in Abhängigkeit vom Faktor Xi gleicht der Multiplikativzahl der einander verdoppelten positiven und negativen Werte y i i P und K, d. h. e

_

__

i — eiopt • Vip • Hin —

opt • e x P

[

2, ..., n die Anzahl der untersuchten Faktoren ist. Bei der Berechnung des Wachstums der ausgesäten Pflanzen, wie z. B. bei den Getreidearten, ist es notwendig, im ersten Phänophasenintervall (Saat — Keimung) und im zweiten Wachstumsintervall (Keimung — Sproß) den Prozeß der Bildung der Standdichte zu ermitteln, und zwar hinsichtlich der Zahl der produktiven Sprosse. Aus diesem Grunde wird empfohlen, anstatt der Berechnung der Zunahme der Biomasse die Berechnung so zu gestalten, daß sie die Abhängigkeit der Zahl der Keimlinge und der produktiven Sprosse von den Vegetationsfaktoren ausdrückt. Folglich wird statt der partiellen Produktionskurven, welche die Abhängigkeit der Ausnutzung der Sonnenstrahlung von einem Vegetationsfaktor ausdrücken, die partielle Abhängigkeit der Zahl der gekeimten Pflanzen von den beobachteten Vegetationsfaktoren, wie z. B. Temperatur und Feuchtigkeit des Bodens, Intensität der Sonnenstrahlung usw., bestimmt. Die Zahl der gekeimten Pflanzen (Keimling) NT wird mittels der analogen Gleichung (16) errechnet, jedoch werden anstatt der Werte die Zahlen der Keimlinge in die analoge Gleichung eingesetzt, welche aus den partiellen Abhängigkeiten der Anzahl der aufgekeimten Pflanzen (AT; T) von dem entsprechenden Vegetationsfaktor errechnet wurden, so daß sich die Gleichung Nr = NIr

" " 11 -"irojit

ergibt,

(17)

in welcher — die Anzahl der gekeimten Pflanzen (Keimlinge) in Abhängigkeit von der Intensität der Sonnenstrahlung, AT;.r,o]it — die optimale Zahl der Keimlinge in Abhängigkeit von dem Vegetationsfaktor X i t NI

'•v•'

/7

R

— der Korrelationskoeffizient zwischen der Anzahl der Keimlinge und dem Vegetationsfaktor XIT d. h. der Einfluß des Vegetationsfaktors X j auf die Anzahl der gekeimten Pflanzen und — das Zeichen der Multiplikation wie in der Gleichung (16) mit den Werten N i r und N; iTi0i)t bedeutet.

12

Jan Benetin

Wenn z. B. die Anzahl der gekeimten Pflanzen (NR) der Sommergerste (Abb. 3) in Abhängigkeit von der Intensität der Sonnenstrahlung (I), der Lufttemperatur (T) und dem Wassergehalt in der aktiven Schicht des Bodens (W) bestimmt werden soll, hat dann die Gleichung (17) die folgende Form: A1tnt

Ta^

NR = N"Ir IR

t ~NU/r NW

.

Wnt . Tr o p t

^—,

Ttfrriw Wr opt

(18)

xy

wobei NWJ — die Anzahl der gekeimten Pflanzen in Abhängigkeit von der Intensität der Sonnenstrahlung, der Lufttemperatur und dem Wassergehalt in der aktiven Schicht des Bodens, .\,T> x,w — das Maß des Einflusses der Lufttemperatur und des Wassergehaltes auf die Anzahl der gekeimten Pflanzen, bestimmt durch den entsprechenden Wert des Korrelat ionskoeffizienten, und Nt.t.opt) •^H-.r.opt — die optimale Anzahl der gekeimten Pflanzen in Abhängigkeit von der Lufttemperatur und dem Wassergehalt in der aktiven Schicht des Bodens bedeuten. NJ R, NTJ,

r

r

Die Anzahl der produktiven Sprosse hängt nicht nur von den Vegetationsfaktoren, sondern auch von der Anzahl der gekeimten Pflanzen ab, und deshalb werden die partiellen Abhängigkeiten der Anzahl der produktiven Sprosse die Form wie in Abbildung 4 haben. Dann wird die durchschnittliche Anzahl der produktiven Sprosse (np) einer Pflanze mittels der analogen Gleichung (17) errechnet, d. h. 77

np = nIp n

nr-n'

—,

wobei

(19)

opt

iij p — die durchschnittliche Anzahl der produktiven Sprosse einer Pflanze in Abhängigkeit von der Sonnenstrahlung, n i,p> i,p,opt — die durchschnittliche und optimale Anzahl der produktiven Sprosse einer Pflanze in Abhängigkeit vom Vegetationsfaktor Xh rn i — das Maß des Einflusses des Vegetationsfaktors X( auf die Anzahl der produktiven Sprosse, gegeben durch den entsprechenden Wert des Korrelationskoeffizienten, und 77 — das Zeichen der Multiplikation wie in den Gleichungen (16) und (17) mit den Werten n und n bedeuten. n

i p

i p o p i

Die Werte nip und p 0Dt werden immer aus der partiellen Kurve der Abhängigkeit der Anzahl der produktiven Sprosse vom untersuchten Vegetationsfaktor für die tatsächliche Anzahl der gekeimten Pflanzen (Abb. 3) bestimmt.

Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen

13

•^0,040 ^>0,035 •s •fc 0,030

0,05 (7,9 -Xj)+ 0,13 (Xj-1,2) 2

= 0,0268exp

£

I£

I r

§ 1

(X;-1,2)

(7,9-X-,)

| 0,025 •§ 0,020

^ 0,015 0,010

1,0

2,0

Intensität

3,0

4,0

5,0

6,0

der Sonnenstrahlung,x/

7,0

8,0

[kWh -Tag ]

Abb. 3. Partielle Produktionskurve der Intensität der Sonnenstrahlung für Sommergerste im Entwicklungsstadium Aussaat — Keimung

Abb. 4. Partielle Produktionskurven der Sonnenstrahlung für Sommergerste im Entwicklungsstadium Keim — Sproß

Jan Benetin

14

Im Falle der Berechnung der Anzahl der produktiven Sprosse der Sommergerste in Abhängigkeit von der Intensität der Sonnenstrahlung, der Lufttemperatur und dem Wassergehalt der aktiven Bodenschicht hat die Gleichung (19) die folgende Form: y)rnT Tp

np = n I p

.

Tp opt

rfnW wp

, wobei

(20)

opt

,lWp

die durchschnittliche Anzahl der produktiven Sprosse einer Pflanze in Abhängigkeit von der Intensität der Sonnenstrahlung, der Lufttemperatur und dem Bodenwassergehalt, nT,p,opu nw,p,opt — die optimale Anzahl der produktiven Sprosse bei der gegebenen Anzahl der gekeimten Pflanzen pro Flächeneinheit, rn,T, rn.n- — der Erläuterung gemäß der Gleichung (18), jedoch für das Phänophasenintervall „Keimung — Sproß" bedeutet. ni,p>

nr,p

—

Die Gesamtanzahl der produktiven Sprosse pro Flächeneinheit (Np) wird als das Produkt der gekeimten Pflanzen und der durchschnittlichen Anzahl der produktiven Sprosse einer Pflanze ermittelt, d. h. N

p

=

N

r

- n

p

(21)

.

Im folgenden Phänophasenintervall, d. h. „Sproß — H a l m " , ist es schon vorteilhaft, auch bei den Getreidepflanzen, den Zuwachs der Biomasse zu errechnen. Deshalb ist es am Ende des Intervalls „Keimling — Sproß" notwendig, ans der Anzahl der Sprosse die entsprechende Menge der Biomasse ( Y v „) zu errechnen, und zwar mittels der Gleichung Y v -c =

Yv_o

N

opt

p

• — , IV• .) p opt

(22)

in welcher Yv_0,

Yv-„,0Pt

opt

die tatsächliche und optimale Ernte am Ende des Wachst umsintervalls „Keimling — Sproß" und — die tatsächliche und optimale Anzahl der produktiven Sprosse pro Flächeneinheit bedeuten.

—

Für die folgenden Wachstumsintervalle wird für die Getreidepflanzen die Ausnutzung der Sonnenstrahlung (ej) errechnet, und zwar im Einklang mit der Gleichung (12) und (16), wobei aber die Werte für £; nicht errechnet werden müssen, sondern direkt abgelesen werden können aus ihren graphischen bzw. tabellenmäßig angeordneten Abhängigkeiten (Abb. 5). Die Körnerernte ist abhängig von der Anzahl der produktiven Sprosse einer Pflanze. Diese Abhängigkeit kann in Feldversuchen bestimmt werden, und

Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen

UJUJZOZ

=

X D t M

Z — ,

§c; ••a * «a'Ci

uJUuOSL=t doZ

4; CQ ICoi i wujgg

"-r

•NT doO'iZ=

m>ioi l9

=

§1 S2 I

= u! ^ z -

X D U J

l —

i

tdo

r^T

csp

[ % ] 3 udioqoißjBP

ßuniQDJisuauuos Bunzfnusny

c < 5

16

JÄiT B e n e t i n

zwar auf der Basis der ermittelten Unterschiedlichkeit der Anzahl der Körner in den Ähren. Für die Sommergerste ist ein annähender Verlauf der Abhängigkeit der relativen Produktivität der Ähre (pk) von der Anzahl der produktiven Sprosse in der Abbildung 6 dargestellt. Die Körnerernte ( Yz) wird so errechnet, daß die für das letzte Phänophasenintervall bestimmte Biomasse auf die Körnerernte überführt wird, und zwar mittels des Verhältnisses (hp 6), welches das Verhältnis der Kornmasse zur

Abb. 6. Abhängigkeit der Produktivität der Ähren von der Anzahl der Sprosse bei Sommergerste

Masse der ganzen Biomasse bei einer optimalen Ernte ausdrückt; das Resultat wird dann mit der relativen Produktivität der Ähre (pk) multipliziert, d. h. Y, = pk-hpb-

Ym_Pi,

(23)

wobei YMZ-PZ

— die Gesamternte der Biomasse am Ende des letzten Wachstumsintervalls ist.

Bei der Errechnung des gesteigerten Ernteertrages im j-ten Intervall der Vegetationsperiode, d. h. bei der Kalkulation des Wertes £,, wird empfohlen, als grundlegenden Faktor die Intensität der Sonnenstrahlung und den entsprechenden Wert ihrer Ausnutzung eSiJ- zu benutzen und den Einfluß der anderen Faktoren in die Kalkulation nach der Gleichung (16) einzubeziehen. Der Bestand der untersuchten landwirtschaftlichen Nutzpflanze, d. h. der Einfluß des Wachstums und der Entwicklung der Pflanze in den vorangehenden

Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen

17

Intervallen, wird bei der Kalkulation im folgenden Intervall als das Verhältnis zwischen der erreichten E r n t e und der optimalen E r n t e ausgedrückt. D a n n wird die gesamte botanische E r n t e (Y,) im j-ten Intervall errechnet nach der Gleichung: i-1 i-1

j-i

>'; = 2." I >•/.• +

I

tJl

e

r

Q

T r

Z A ? i

I Yk + — i_1

y-Zay* k-1

0 „t

= £Vm/i + — f r ^ - V

(24)

in welcher k = 1,2 . . . j — l — die Anzahl der Kalkulationsintervalle in der Vegetationsperiode, und J 7 y =

E

> ' Qri v/

bedeutet.

Die optimale E r n t e Tt.oot ist die S u m m e der optimalen Zuwächse (A Yf 0pt) in den einzelnen Intervallen, vorausgesetzt, daß während dieser Intervalle die optimale Wirkung aller F a k t o r e n des Produktionssystems zur Geltung k o m m t .

Die partielle Produktionskurve des Wassergehaltes im Boden Der Wassergehalt des Bodens steht in einem umgekehrten Verhältnis zum Luftgehalt des Bodens. Bei einem niedrigen L u f t g e h a l t des Bodens ist f ü r das Wachstum der Pflanzen der limitierende F a k t o r der Mangel a n Wasser, und umgekehrt bei einer hohen Feuchtigkeit des Bodens ist der limitierende F a k t o r der Mangel an Sauerstoff. F ü r die partielle Abhängigkeit der E r n t e vom Wassergehalt im Boden gilt im Einklang mit der Gleichung (9):

!Jw

= exp

— Y,r — der Absolutwert der E r n t e als F u n k t i o n des Wassergehaltes im Boden bei anderen optimalen Bedingungen, 2 lieiH'tin

Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen

17

Intervallen, wird bei der Kalkulation im folgenden Intervall als das Verhältnis zwischen der erreichten E r n t e und der optimalen E r n t e ausgedrückt. D a n n wird die gesamte botanische E r n t e (Y,) im j-ten Intervall errechnet nach der Gleichung: i-1 i-1

j-i

>'; = 2." I >•/.• +

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Z A ? i

I Yk + — i_1

y-Zay* k-1

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= £Vm/i + — f r ^ - V

(24)

in welcher k = 1,2 . . . j — l — die Anzahl der Kalkulationsintervalle in der Vegetationsperiode, und J 7 y =

E

> ' Qri v/

bedeutet.

Die optimale E r n t e Tt.oot ist die S u m m e der optimalen Zuwächse (A Yf 0pt) in den einzelnen Intervallen, vorausgesetzt, daß während dieser Intervalle die optimale Wirkung aller F a k t o r e n des Produktionssystems zur Geltung k o m m t .

Die partielle Produktionskurve des Wassergehaltes im Boden Der Wassergehalt des Bodens steht in einem umgekehrten Verhältnis zum Luftgehalt des Bodens. Bei einem niedrigen L u f t g e h a l t des Bodens ist f ü r das Wachstum der Pflanzen der limitierende F a k t o r der Mangel a n Wasser, und umgekehrt bei einer hohen Feuchtigkeit des Bodens ist der limitierende F a k t o r der Mangel an Sauerstoff. F ü r die partielle Abhängigkeit der E r n t e vom Wassergehalt im Boden gilt im Einklang mit der Gleichung (9):

!Jw

= exp

— Y,r — der Absolutwert der E r n t e als F u n k t i o n des Wassergehaltes im Boden bei anderen optimalen Bedingungen, 2 lieiH'tin

18

Jân Beketiît

w = O/P — die relative Feuchtigkeit des Bodens, wmax = 1 (wenn 0 — P und wVB = 0VB/P, wo & VB — die Feuchtigkeit des Bodens, die dein Welkepunkt entspricht), oc — ein Parameter, dessen Wert sich f ü r die Pflanzen der gemäßigten Zone meistens zwischen 0,3 bis 0,8 bewegt, in Abhängigkeit von den physikalischen Eigenschaften des Bodens u n d der Intensität der Transpiration, bedeuten. Höhere »-Werte erscheinen bei wasseranspruchsvollen Pflanzen, bei einer intensiven Transpiration und in schweren Böden mit ungünstigen hydrophysikalischen Eigenschaften. Die partielle Abhängigkeit der E r n t e vom Luftgehalt des Bodens ist durch die Exponentialgleichung in der F o r m j,, = exp ( - ß ^ ^ L )

(26)

gegeben, in welcher yc = F t / F m a x — die E r n t e , ausgedrückt durch den Anteil aus der maximalen Ernte 7max, Yv — den Absolutwert der E r n t e in Abhängigkeit von der Durchlüftung des Bodens bedeuten. w, w m a x , ivVB — bedeuten dasselbe wie in der vorangehenden Gleichung, ß — ist ein P a r a m e t e r , dessen W e r t sich f ü r Pflanze der gemäßigten Zone gewöhnlich zwischen 0,05 u n d 0,1 bewegt. Kleinere Werte erscheinen bei Pflanzen, die anspruchsvoll an die D u r c h l ü f t u n g des Bodens sind und bei hoher I n t e n s i t ä t der Transpiration; größere Werte sind bei Pflanzen, die empfindlich auf den Sauerstoffgehalt des Bodens reagieren, zu erwarten. Bei gemeinsamer Wirkung der Feuchtigkeit und D u r c h l ü f t u n g des Bodens gelten die Grenzbedingungen der partiellen Abhängigkeiten bei wVB und tt'max (Abb. 1, 2), bei denen yw_v = 0, wobei yWil, = Yu.iV/Ym!lx, wobei YWiC der absolute Wert der E r n t e abhängig von der Feuchtigkeit und D u r c h l ü f t u n g des Bodens ist. Diesen Grenzbedingungen entspricht yu. t. als P r o d u k t von yw und yd, d. h. y«:.v = Vw • Vv = exp

ä ( « W — v?f + ß(w — wVB)2~\ (•w — wVB) (wmax — w)

(27)

Der W e r t ywt erreicht sein Maximum bei der optimalen Feuchtigkeit w, d. h. bei dem optimalen Verhältnis zwischen dem Gehalt des Wassers und der L u f t im Boden.

Mathematisches Modell f ü r das W a c h s t u m von l a n d w i r t s c h a f t l i c h e n K u l t u r e n

Aus der Gleichung (27) folgt, daß yw „ das Maximum bei dem minimalen Wert des Bruches F(W)

=

«(Wmax - W)2 + ß(w - WVB)2 (w — wv,j) (wmax — w)

erreicht und dann gilt dF(tv)

(wraax — Wy„) [-«(»max

dw

— W)2 + ß(w — WVB)2]

(w — wVB) (wmax — w)

=

0.

(29)

Weil der Nenner in der Gleichung (29) immer einen positiven Wert hat, größer als 0 und kleiner als 1, erwägt man, daß w > wVB ist; in diesem Bereich befindet sich der Wert des Ausdruckes u>max — w V B ; es gilt —«(«W

— W) 2 + ß(w — wvß)2

= 0

(30)

und daraus: _ ( 0i — pZ

W

(31)

wobei w opt die optimale Feuchtigkeit des Bodens ist. Die benutzten Zeichen in der Gleichung (31) haben dieselbe Bedeutung wie in der Gleichung (25) und (26). Es ist zu bemerken, daß oc und ß nur scheinbare K o n s t a n t e n f ü r die gegebene Pflanze und den Boden sind, da sich ihre Werte ändern, wie schon im Zusammenhang mit den Gleichungen (25) und (26) erwähnt wurde. Im Einklang mit der beschriebenen Theorie der partiellen Produktionsk u r v e n d e s B o d e n w a s s e r s u n t e r s u c h t e R . MATI ( 1 9 8 0 ) d e n t a t s ä c h l i c h e n V e r -

lauf dieser K u r v e n in Lehmböden der Ostslowakischen Ebene und bei folgenden Pflanzen: Wintergerste, Zuckerrübe, Weißklee u n d Sojabohnen. E s handelte sich um schwere Böden mit einem Anteil von Teilchen kleiner als 0,01 m m von 55,29% bis 65,08%.

Die Feuchtigkeit des Bodens in der aktiven Schicht des Bodens unter den erwähnten Pflanzenbeständen wurde im Verlauf der Vegetationsperioden der J a h r e 1973 bis 1978 gemessen, wobei die f ü r den Wassergehalt kritischen Perioden mittels der Methode des bioklimatischen Kriteriums bestimmt wurden. Die potenziellen E r n t e n ( F m a x ) wurden ermittelt auf Grund der photosynthetischen Produktivität unter den Bedingungen der Ostslowakischen Ebene mit der Voraussetzung, daß die Sonnenstrahlung, die Temperatur u n d der C0 2 Gehalt in der Atmosphäre sowie auch der Wassergehalt im Boden keine limitierenden Faktoren waren. 2*

20

Jan Benetin

Der Gehalt des Wassers im Boden hatte einen nachweisbaren Einfluß auf die Erträge der Wintergerste in der Zeitperiode von der dritten Dekade April bis Ende Mai, d. h. während der Zeit eines intensiven Anwachsens des Ertrages. Der Verlauf der partiellen Produktionskurve in der Zeit vom 20. 4. bis 31. 5. ist in der Abbildung 8 ersichtlich. Der höchste Ertrag war 0,64 kg • i r r 2 bei einem potentiellen Ertrag 1,05 kg • m~2. Es wurden folgende Werte der Parameter der Gleichung (27) ermittelt: « = 0,5 und ß = 0,13.

relative

Feuchtigkeit

des Bodens

[w=6/P]

Abb. 7. Partiolle Produktionskurve der Bodenfeuchtigkeit für die Zuckerrübe (Juli, August, September) auf einem Boden der Ostslowakischen Ebene (Mati, 1980)

Der Wert der optimalen Bodenfeuchtigkeit M,'opt = 0,80 entspricht 86% der Feldwasserkapazität bzw. 74,55% der nutzbaren Wasserkapazität; der entsprechende Luftgehalt im Boden war 8,96% des Volumens. Bei der Überschreitung der optimalen Feuchtigkeit bis zu einem Grad, der 94,45% der Feldkapazität entspricht, d. h. bei einem Luftgehalt von 5,51% des Volumens, war der Ernteertrag um 0,34 kg • i t r 2 niedriger. Bei der Zuckerrübe (Abb. 7) war der Wassergehalt im Boden besonders in den Monaten Juli und August limitierender Faktor; ein hoher Wassergehalt dagegen wurde am Anfang der Vegetationsperiode in den Monaten April und Mai gemessen. Der höchste Ernteertrag lag bei 6,67 kg • i r r 2 bei einer potenziellen Ernte von 9,96 .g • n~r2. Die mittleren Werte der Parameter der Glei-

Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen

21

chung (27) in den Monaten April, Juli und August waren: 0Pt = 0,82, entspricht 88% der Feldkapazität (0,880 P K ) und 78,51% der nutzbaren Wasserkapazität. Die meist ausgeprägte Abhängigkeit des Weißklees vom Wassergehalt des Bodens wurde in den Monaten Juli und August (Abb. 9) festgestellt. Der

Wopt = 0,82 vP

0,5 0,6 0,7 0,8 relative Feuchtigkeit des Bodens [w=

= 8,06

Oß d/P]

Abb. 8. Partielle Produktionskurve der Bodenfeuchtigkeit für den Winterweizen (20. April—31. Mai) auf einem Boden der Ostslowakischen Ebene (MATI, 1980)

höchste E r t r a g belief sich auf 1,30 kg • m~ 2 , wobei die Werte der P a r a m e t e r der Gleichung (27) waren: W

'S I T3 O 'S Ja * -t N £

Ph ¿3 TS — ö 1 3 TH j ^ T3 © Ö -Ö 3 O cä

X>

X X

1T

m'm

^

JT

opf

^

r 1

max

Intensität der Sonnenstrchiung,

I

A b b . 17. Grundlegende partielle P r o d u k t i o n s k u r v e

/ £3,0pt I

^

~ Y 1 \

e

3fl |

! l^ffj^aj

x

1,m/n

%1,opt

Xj,max

X2,min

x

2,opt

X2mox

i

X3m jn

Vegetationsfaktor X7

A b b . 18. Graphische

Xz

Darstellung der M i t w i r k u n g der z-ur Gleichung

X3

Vegetationsfaktoren

Mathematisches Modell f ü r das W a c h s t u m von landwirtschaftlichen K u l t u r e n «2> ¿3> • • •! f'i,opt> f2.opt> t"3,oiJt> • • • b e d e u t e n Vegetationsfaktoren

X

u

X2,

X?}, . . . u n d

die A u s n u t z u n g zu

den

d e r zu

Optimalwerten

35 den

dieser

Faktoren gehörenden Sonnenstrahlung. xlt

. . . s i n d d i e W i r k s a m k e i t e n d e r F a k t o r e n X j , X2,

X3,

. . . in den

P r o d u k t i o n s s y s t e m e n d e r P f l a n z e n ( b e r e c h n e t n a c h d e r G l e i c h u n g 15). D i e P a a r e d e r W e r t e X'la — X'-[a, X'2a — X'!a, X'ia — X3a, d e n z u s t ä n d i g e n P r o d u k t i o n s k u r v e n b e u r t e i l t ( A b b . 18).

. . . werden

von

In Regionen mit veränderlichen klimatischen B e d i n g u n g e n k a n n die Einf ü h r u n g d e r G l e i c h u n g (39) in d i e E r r e c h n u n g d e r E r t r ä g e e i n e h ö h e r e G e n a u i g keit ergeben.

LITERATUR

BENETIN, J . , 1979a. Optimälna vlhkost' p ó d y vo v z t ' a h u k transpiräcii a h u s t o t e korenov (Optimale Bodenfeuchtigkeit in Beziehung zur T r a n s p i r a t i o n u n d Dichte der Wurzeln), P o l ' n o h o s p o d ä r s t v o , R . 24, No. 1, SAV, Bratislava. BENETIN, J . , 1979b. O p t i m ä l n a vlhkost' pre rastliny — V z t ' a h medzi obsahom v o d y v pòde, v z d u s n o s t ' o u a tirodou (Optimale Bodenfeuchtigkeit f ü r P f l a n z e n — Die Beziehung zwischen dem Wasser — lind Luftgehalt im Boden u n d dem E r n t e ertrag), P o l ' n o h o s p o d ä r s t v o , R. 25, No. 2, SAV, Bratislava. BENETIN. J . ,

et al.,

1979.

Zävlahy

(Bewässerung),

PRIRODA,

Bratislava

5 4 4 S.

BOÜUSLAWSKI, E . von, 1958. Das Ertragsgesetz. H a n d b u c h der Pflanzenphysiologie Bd. IV., Berlin —Göttingen —Heidelberg. PEIJOES, R . A . , KOWALIK. P . ,

ZARADNY, H . ,

1 9 7 8 . S i m u l a t i o n of f i e l d w a t e r u s e

and

crop yield. Pudoe, Wageningen, 189 S. I o s o , Su. B., JACKSON, R . D., REGINATO. R . J . , 1977. R e m o t e sensing for agricultural water m a n a g e m e n t a n d crop yield prediction, Agricultural W a t e r M a n a g e m e n t , 1, S. 2 9 9 - 3 1 0 .

KOWALTK, P., SANUSI, G., 1980, Simulazione della p r o d u t t i v i t à reale e potenziale del suolo. C.N.R. Centro di studio per la genesi, classificazione e cartografia del Suolo, P u b i . Nr. 46, Firenze. MATI, R., 1980. Sabespetschenost' rastlin vodou na t ' a z k y c h pódach Vychodoslovenskej niziny (Die Versorgung der Pflanzen m i t Wasser auf den schweren Böden der Ostslowakischen Ebene), Dissertation wissensch. Leit. J . BENETIN, Landwirtschaftliche Hochschule, Nitra. MITSCHERLICH, E., 1956. Ertragsgesetze. Akademie-Verlag, Berlin. NERPIN, S. V., et al., 1979. Poluempiritscheskaja model p r o d u k t i v n o s t i sel'skochosjastvennoho polja. E d . P o l u e k t o v P. A. und Koll. 1979, V A S C H N I L , L e n i n g r a d . 3*

Mathematisches Modell f ü r das W a c h s t u m von landwirtschaftlichen K u l t u r e n «2> ¿3> • • •! f'i,opt> f2.opt> t"3,oiJt> • • • b e d e u t e n Vegetationsfaktoren

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die A u s n u t z u n g zu

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35 den

dieser

Faktoren gehörenden Sonnenstrahlung. xlt

. . . s i n d d i e W i r k s a m k e i t e n d e r F a k t o r e n X j , X2,

X3,

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P r o d u k t i o n s s y s t e m e n d e r P f l a n z e n ( b e r e c h n e t n a c h d e r G l e i c h u n g 15). D i e P a a r e d e r W e r t e X'la — X'-[a, X'2a — X'!a, X'ia — X3a, d e n z u s t ä n d i g e n P r o d u k t i o n s k u r v e n b e u r t e i l t ( A b b . 18).

. . . werden

von

In Regionen mit veränderlichen klimatischen B e d i n g u n g e n k a n n die Einf ü h r u n g d e r G l e i c h u n g (39) in d i e E r r e c h n u n g d e r E r t r ä g e e i n e h ö h e r e G e n a u i g keit ergeben.

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Zävlahy

(Bewässerung),

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KOWALTK, P., SANUSI, G., 1980, Simulazione della p r o d u t t i v i t à reale e potenziale del suolo. C.N.R. Centro di studio per la genesi, classificazione e cartografia del Suolo, P u b i . Nr. 46, Firenze. MATI, R., 1980. Sabespetschenost' rastlin vodou na t ' a z k y c h pódach Vychodoslovenskej niziny (Die Versorgung der Pflanzen m i t Wasser auf den schweren Böden der Ostslowakischen Ebene), Dissertation wissensch. Leit. J . BENETIN, Landwirtschaftliche Hochschule, Nitra. MITSCHERLICH, E., 1956. Ertragsgesetze. Akademie-Verlag, Berlin. NERPIN, S. V., et al., 1979. Poluempiritscheskaja model p r o d u k t i v n o s t i sel'skochosjastvennoho polja. E d . P o l u e k t o v P. A. und Koll. 1979, V A S C H N I L , L e n i n g r a d . 3*

36

Jan Benetin

Pexjiann, H. L., 1971. Water as a Factor in Productivity. Ed. Wareing, P. F., Cooper, J . P., Potential Crop Production, Heinemann Edue. Books, London, p. 89 — 99. P e v n y , V l „ Spa KiK, Fr., 1971. Meteorologizkà analysa i'irod obilnin (Meteorologische Analyse der Erträge der Halmfrüchte), Schlußbericht, Landwirtschaftliche Hochschule, Nitra. PoTA'KKTOV, P. A., Tschuwaschina, X. B., 1979. Teoretitscheskije osnovy i kolitschestvonnyje metody programirovanija uroiajev, VASCHXIL, Leningrad. U l r i c h , B., 1061. Das Ertragsgesetz in heutiger Sicht. Kali-Briefe, 2. Folge.

Heft 4 Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. KURT SCHWABE, Analytische Probleme des Umweltschutzes 1975. 28 Seiten - 9 Abbildungen - 2 Tabellen - 8° - M 3,50 Heft 5

Prof. Dr. WOIFOANG BUCHHEIM, Die kopernikanische Wende und die Gravitation 1975. 36 Seiten - 2 Farbtafeln - 8° - M 5 , -

Heft 6 Prof. Dr. HEEMANN BERG, Photopolarographie und Photodynamic 1975.19 Seiten - 2 Abbildungen - 2 Tabellen - 8" — M 3,— Heft 7 Prof. Dr. MANFRED GERSCH, Probleme der Insektizide aus heutiger Sicht 1970. 36 Seiten - 9 Abbildungen - 2 Tabellen - 8° - M 4 , -

Band 112 Heft 1 Prof. Dr. WALTER BREDNOW, Spiegel, Doppelspiegel und Spiegelungen — eine „wunderliche Symbolik" Goethes 1975. 28 Seiten - 4 Abbildungen - 8° - M 3,— Heft 2 Prof. Dr. ARTUR LÖSCHE, Über negative absolute Temperaturen. Eine Einführung 1976. 26 Seiten - 12'Abbildungen - 8° - M 4 , Heft 3 Prof. Dr. med. HERBERT JORDAN, Kurorttherapie: Prinzip und Probleme 1976. 31 Seiten - 10 Abbildungen - 1 Tabelle - 8" — M 4,50 Heft 4

P r o f . D r . FRIEDRICH W O L F / D r . PETER FRÖHLICH, Z u r D r u c k a b h f i n g i g k e i t v o n I o n e n a u s t a u s c h -

reaktionen

1977.13 Seiten - 6 Abbildungen — 1 Tabelle - 8° — M 2,—

Heft 5 Prof. Dr. DIETRICH UHLMANN, Möglichkeiten und Grenzen einer Regenerierung geschädtiger Ökosysteme 1977. 50 Seiten - 20 Abbildungen - 2 Tabellen - 8° - M 6,50 Heft 6 Prof. Dr. ERICH RAMMLER, Zwei Jahrzehnte Entwicklung des Einsatzes der Energieträger Kohle und Erdöl im Weltmaßstab 1977. 29 Seiten - 6 Abbildungen - 4 Tabellen - 8° - M 4 , Heft 7 Prof. Dr. ULRICH FRBIMUTH, Umweltprobleme in der Ernährung 1977. 32 Seiten - 3 Abbildungen - 4 Tabellen - 8° - M 4 , -

Band 113 Heft 1 Prof. Dr. ERICH LANGE, Allgemeingültige Veranschaulichung des I I . Hauptsatzes 1978. 22 Seiten - 10 grafische Darstellungen - 8° - M 4 , H e f t 2 Prof. Dr. HERBERT BECKERT, Bemerkungen zur Theorie der Stabilität 1977. 19 Seiten — 8® — M 2,50 H e f t 3 Prof. Dr. sc. KLAUS DÖRTER, Probleme und Erfahrungen bei der Entwicklung einer intensiven landwirtschaftlichen Produktion im Landschaftsschutzgebiet des Harzes 1978. 20 Seiten - 6 Abbildungen, davon 4 farbige auf 2 Tafeln - 2 Tabellen - 8° - M 7 , Heft 4 Prof. Dr. sc. med. HANS DRISCHEL, Elektromagnetische Felder und Lebewesen 1978. 31 Seiten - 14 Abbildungen - 2 Tabellen - 8° - M 5 , Heft 5 Prof. Dr. MANFRED GERSCH, Wachstum und Wachstumsregulatoren der Krebse. Biologische Erkenntnisse und generelle Erwägungen 1979. 32 Seiten - 13 Abbildungen - 1 Tabelle - 8° - M 6 , Heft 6

Heft 7

P r o f . D r . r e r . n a t . FRIEDRICH WOLF / D r . r e r . n a t . URSCIA KOCH, Ü b e r d e n E i n f l u ß d e r c h e m i s c h e n

Struktur von Dispersionsfarbstoffen auf deren Dispersionsstabilität 1979.18 Seiten - 3 Abbildungen - 10 Tabellen - 8° - M 3,50 P r o f . D r . r e r . n a t . FRIEDRICH WOLF / D r . r e r . n a t . WOLFGANG H E T E R , Z u r S o r p t i o n a n T e t r a c a l c i u m -

aluminathydroxysalzen

1980.12 Seiten — 5 Abbildungen — 4 Tabellen — 8° — M2,—

Band 114 Heft 1 Prof. Dr. HASSO ESSBACH, Morphologisches zur orthologischen und pathologischen Differenzierung und zum Anpassungs- und Abwehrvermögen der menschlichen Placenta i 1980.19 Seiten - 12 Abbildungen - 8° - M 4 , Heft 2 Prof. Dr. med. WERNER RIES, Risikofaktoren des Alterns aus klinischer Sicht 1980. 19 Seiten - 9 Abbildungen, davon 1 Abbildung auf Tafel — 8° - M 4,— Heft 3 Prof. Dr. OTT-HEINRICH KELLER, Anschaulichkeit und Eleganz beim Alexanderachen Dualitfttssatz 1980.19 Seiten - 8° - M 4 , -

Heft 4

Prof. Dr. rer. nat. BENNO PARTHIER, Die cytologische Symbiose am Beispiel der B i o g e n e s e von Zellorganellen 1981. 29 Seiten - 10 Abbildungen - 2 Tabellen - 8 ° — M 0 , -

Heft 5

Prof. Dr. F . WOLF / Dr. S. ECKERT / Dr. M. WEISE / Dr. S. LINDAU, Untersuchungen zur Synthese und Anwendung bipolarer Ionenaustauschharze 1 9 8 0 . 1 2 Selten — 6 Tabellen — 8 ° — M 2, —

Heft ß

Prof. Dr. med. HERBERT JORDAN, Balneobioklimatologie — Eine Zielstellung im Mensch-UmweltKonzept 1981. 25 Seiten - 8 Abbildungen - 1 T a b e l l e - 8° - M 4 , -

Band 115 Heft 1

Prof. Dr. rer. nat. HERMANN BERO, Wilhelm Ostwald - Erkenntnisse über die B i o s p h ä r e 1981. 36 Seiten - 7 Abbildungen - 3 Tabellen - 8 ° -

M 0,-

Heft 2

Prof. Dr. sc. KLAUS DÖRTEB, Aphorismen zur Qualität des Bewfisserungswassers 1981. 32 Seiten - 11 Abbildungen - 11 Tabellen -

M 6,-

Heft 3

Prof. Dr. Ing. D r . rer. nat. h. c. PAUI GÖRLICH, Die geschichtliche Entwicklung des wissenschaftlichen Gerätebaus und seine zukünftige Bedeutung 1981. 30 S e i t e n — 8° — M 0,—

Heft 4

Prof. Dr. WOLFGANO BUCHHEIM, Albert Einstein als Wegbereiter nachklassischer P h y s i k 1981. 29 S e i t e n - 8 ° -

Heft 5

Prof. Dr.-Ing. HERBERT KRUG, Die Technologie der Brikettierung von Weichbraunkohle i m Lichte der Verfahrenstechnik und der besseren Nutzung dieses Energieträgers 1982. 20 Seiten - 13 Abbildungen - 8 ° - M 3 , ~

8° -

M 4,-

Heft G Prof. Dr. ERNST NEEF, Der Verlust der Anschaulichkeit in der Geographie und das P r o b l e m der Kulturlandschaft 1981. 33 S e i t e n - 8° - M 5 , Band 116 Heft 1

Prof. Dr. WERNER EIES, Studium zum biologischen Alter 1982. 27 Seiten - 10 Abbildungen -

Heft 2

Prof. Dr. RUDOLF SACHSENWEGER, Augenunabhängige optosensorische Wahrnehmungsformen 1983.19 Seiten - 8° - M 4 , -

8" - M 4 , -

Heft 3

Prof. Dr. HANS-GEORQ SCHÖPF, Die Griechen und die Natur

Heft 4

Prof. Dr.-Ing. JAx BEKEHR. Mathematisches Modell für das Wachstum von landwirtschaftlichen Kulturen und seine Verwertung in der quantitativen Beurteilung des Bewässerungseffektes auf die Steigerung der Ernteerträge Vorliegendet Heft

1983. 62 S e i t e n — 8° — M 8,—

Heft 5

Prof. Dr. Hans Drlschel f , Neues über die Pupille

In

Vorbereitung

Einzel- oder Fortsetzungsbestellungen durch eine. Buchhandlung erbeten Sitzungsberichte bis Band 108 durch das Zentralantiquariat der Deutschen Demokratischen Republik, Leipzig ab Band 107 durch den Akademie-Verlag, Berlin, zum Teil noch lieferbar

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