Mathematik. Übungsbuch für Ökonomen: Aufgaben mit Lösungen [6., durchgesehene Auflage. Reprint 2018] 9783486805482, 9783486255287

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Mathematik •· ·# Übungsbuch fur Ökonomen Aufgaben mit Lösungen

Von

Professor Dr. Otto Opitz

6., durchgesehene Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Opitz, Otto: Mathematik / von Otto Opitz - München ; Wien : Oldenbourg. Übungsbuch für Ökonomen : Aufgaben mit Lösungen. - 6., durchges. Aufl. - 2000 ISBN 3-486-25528-2

© 2000 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Huber KG, Dießen ISBN 3-486-25528-2

Vorwort Das vorliegende Arbeitsbuch enthält 100 Aufgaben, die sich mit den für die Ökonomie wichtigsten mathematischen Grundlagen befassen. Die Auswahl der Aufgaben orientiert sich an der Darstellung Opitz, O.: Mathematik - Lehrbuch für Ökonomen Oldenbourg-Verlag, München, Wien. Teilweise wurden auch Prüfungsaufgaben, die an der Wirtschafts- und Sozialwissenschaftlichen Fakultät der Universität Augsburg in den vergangenen Jahren gestellt wurden, neu aufbereitet. An dieser Stelle darf ich mich bei allen meinen ehemaligen und gegenwärtigen Mitarbeitern, die seit dem Jahr 1978 an der Aufgabenstellung zur Klausur "Mathematik für Studierende der Wirtschaftswissenschaften" beteiligt waren, herzlich bedanken. Der Aufgabenteil des Buches ist in 4 Teile gegliedert: A. 18 Aufgaben zur Aussagenlogik und Mengenlehre (Lehrbuch - Kapitel 2 und 3) B . 32 Aufgaben zur linearen Algebra, d.h., zu Matrizen, Vektoren, zu linearen Gleichungen, Abbildungen und zur linearen Optimierung sowie zu Eigenwertproblemen bei Matrizen (Lehrbuch - Kapitel 4 bis 6) C . 41 Aufgaben zur Analysis, d.h., zu Folgen und Reihen, zu elementaren reellen Funktionen einer und mehrerer Variablen, ihrer Differentiation und Integration (Lehrbuch - Kapitel 7 bis 11) D . 9 Aufgaben zu Differenzen- und Differentialgleichungen (Lehrbuch - Kapitel 12) Um dem Studierenden bei der Bearbeitung der Aufgaben eine Kontrolle ner Überlegungen zu ermöglichen, werden in einem umfangreichen Teil E Aufgaben ausführlich gelöst. Bei der Entwicklung der Lösung wird jeweils relevante Definitionen und Sätze, gelegentlich auch auf Beispiele, des oben gegebenen Lehrbuches verwiesen.

seialle auf an-

II Für die kritische Durchsicht des Manuskripts, sowie die Organisation und Durchführung der aufwendigen Schreibarbeit in IATgX möchte ich mich sehr herzlich bei meinen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern bedanken. Es sind dies insbesondere Herr Dr. Thomas Bausch, Herr Dr. Raimund Wiedemann, Herr Dipl.-math. oec. Rainer Lasch, Frau Ingrid Betz sowie die studentischen Tutoren Ekkehard Bitterolf und Stephan Jacoby. Einmal mehr gilt mein ausdrücklicher Dank auch Herrn Martin Weigert und dem Oldenbourg-Verlag für die reibungslose Zusammenarbeit. Otto Opitz

Inhaltsverzeichnis

III

Inhaltsverzeichnis Vorwort

I

A.

Aufgaben zu Aussagenlogik und Mengen Lehrbuch - Kapitel 2 und 3

1

B.

Aufgaben zur linearen Algebra Lehrbuch - Kapitel 4 bis 6

11

C.

Aufgaben zur Analysis Lehrbuch - Kapitel 7 bis 11

28

D.

Aufgaben zu Differenzen- und Differentialgleichungen Lehrbuch - Kapitel 12

44

E.

Lösungen zu den Aufgaben

47

Aussagenlogik

und

1

Mengen

A. A u f g a b e n zu Aussagenlogik u n d M e n g e n Lehrbuch — K a p i t e l 2 und 3

Aufgabe 1 Gegeben sind die Aussagen A , B , C , D . a) F ü r den Fall, daß A und D wahr, Β und C falsch sind, bestimme man den Wahrheitsgehalt der verknüpften Aussagen: 1) 2) 3) 4)

(AAC)V(BAD) VD A = > D => C B^ (A A) (Β B) (Α B) ( Α => B )

b) M a n ermittle die Wahrheitstafeln der verknüpften Aussagen 1) Α Λ (A => Β ) Β) 2) Β Λ (Α

Β Α

und interpretiere die Ergebnisse. c) Zu den Aussagen Α , Β stelle man die Aussage "entweder A oder B" formal dar.

Aufgabe 2 a) Man zeige, daß die quadratische Gleichung x2 + px + 1 = 0 genau dann eine reelle Lösung besitzt, wenn ρ nicht im offenen Intervall (—2,2) enthalten ist. b) Gegeben sei die Aussage: Α ( ζ ) : χ2 + χ + 1 = 0

mit χ G R

Welche der folgenden All- bzw. Existenzaussagen

A(

X2

+ I + 1 =0);

Α (χ 2 + τ + 1 sind wahr ?

V (χ2 + 1 + 1 = 0), V (χ2 + a- + ι = o) V (ζ2 + i + 1 = 0)

Aufgaben

2

Aufgabe 3 a) Für α 6 R beweise man die Äquivalenz ( α + l) 5 > (a + 1)4

α> 0 .

b) Mit den Aussagen Α „ Β beweise man A => Β,

: α 6 (-1,1) α α : τ τ< |α + 1| |G — 1J

Bj^A.

Aufgabe 4 Uberprüfen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, für welche η G Ν die folgenden Aussagen wahr sind: :

A2(n)

Σ τi(iτ +τ1)^

1

-

1

η+1

: 1=1

Aufgabe 5 a) Man zeige mit Hilfe vollständiger Induktion nach k (k = 0 , 1 , 2 , . . . ) , daß jede n-elementige Menge ^ ^ Teilmengen mit genau k Elementen besitzt. b) Zur Menge M = {α, 6, c, d} bestimme man die Menge T\ aller 3-elementigen Teilmengen sowie die Menge T2 aller Teilmengen, die α, b als Elemente enthalten. Man gebe ferner die Mengen S1 = Tj Π T2, S2 = Ά\Τ2, S3 = T2\l\ an und untersuche 5'j, S2, S3 auf Teilmengenbeziehungen. Welche Teilmengenbeziehungen existieren ferner zwischen den Elementen von Si,S2, .S3?

Aussagenlogik

und Mengen

3

Aufgabe 6 Der Ski-Club "Buckelpiste" möchte anläßlich seines 1000-tägigen Bestehens eine alpine Vereinsmeisterschaft in den Disziplinen Abfahrt (A), Slalom (S) und Riesenslalom (RS) austragen, zu der sich 40 Teilnehmer meldeten. Selbstverständlich darf auch in mehreren Disziplinen gestartet werden. Für die Abfahrt meldeten sich 15 Läufer, die bis auf 7 nur diese eine Disziplin bestreiten. Am Slalom wollen 20 Läufer teilnehmen, die allesamt auch im Riesenslalom gemeldet sind. An der Abfahrt beteiligt sich von ihnen außer zwei Sportskanonen, die als einzige alle drei Disziplinen belegten, niemand. a) Wie viele Läufer starten insgesamt im Riesenslalom, wie viele davon nur im Riesenslalom, wie viele kombinieren den Riesenslalom mit dem Slalom, wie viele den Riesenslalom mit der Abfahrt? b) In jeder der drei Disziplinen wird genau eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille vergeben. Wie viele Möglichkeiten der Medaillenverteilung gibt es in der Abfahrt, im Slalom, im Riesenslalom? c) Am Abend werden die Medaillengewinner gefeiert. Dabei ermittelte man unter den 40 Teilnehmern 31 Biertrinker, 22 Weintrinker, ferner 6 Personen, die Bier und Wein ablehnen. Wie viele Personen trinken Bier und Wein, wie viele ausschließlich Bier, wie viele ausschließlich Wein?

Aufgabe 7 a) Ein Autokennzeichen bestehe neben dem Städtesymbol aus einem oder zwei Buchstaben sowie aus einer ein- bis dreiziffrigen Zahl. Wie viele verschiedene Kennzeichen können in Augsburg ausgegeben werden, wenn 26 Buchstaben zur Wahl stehen? b) Ein Autohersteller bietet für eines seiner Fahrzeuge 20 Extras zur freien Auswahl an. Wie viele verschiedene Zusammenstellungsmöglichkeiten gibt es? c) Im Sonderpaket "Speedy" können aus jedem der drei Teilpakete Fahrwerk, Motor, Outfit, die ihrerseits jeweils aus 5 Komponenten bestehen, zwei verschiedene Ausstattungskomponenten ausgewählt werden. Wie viele Möglichkeiten der Zusammenstellung gibt es? d) Die Firma "Blaue Wolke" möchte ihren Fuhrpark um 5 Fahrzeuge aufstocken. Sie kann dabei unter drei Motortypen auswählen. Wie viele Bestellmöglichkeiten gibt es?

4

Aufgaben

Aufgabe 8 Eine Basketballmannschaft fährt mit 10 Spielern auf ein Turnier. Vor Beginn der Spiele muß sie aus ihren Reihen einen Schiedsrichter und einen Schriftführer bestimmen, die somit als aktive Spieler ausscheiden. a) Wie viele unterschiedliche Schiedsrichter - Schriftführer - Kombinationen kann die Mannschaft stellen? b) Der Schriftführer muß die aktiven Spieler in eine Tabelle eintragen. Wie viele verschiedene Anordnungsmöglichkeiten stehen ihm dafür zur Verfügung? c) Wie viele Möglichkeiten, aus den aktiven Spielern 5 Feldspieler auszuwählen, gibt es? d) Nach dem Spiel will sich die Mannschaft für ein Photo in einer Reihe aufstellen. Wie viele Möglichkeiten besitzt sie dafür, wenn innerhalb der rot gekleideten aktiven Spieler und zwischen den schwarz gekleideten Personen (Schiedsrichter und Schriftführer) nicht unterschieden werden soll?

Aufgabe 9 Zu ihrem 2000-jährigen Jubiläum veranstaltet eine Stadt einen Festumzug mit 5 mobilen Kapellen, 10 Schützenvereinen und 5 historischen Gruppen. a) Wie viele unterschiedliche Anordnungen der 20 Teilnehmergruppen des Festzuges gibt es, falls jeweils innerhalb der Kapellen, Schützenvereine und historischen Gruppen nicht unterschieden werden soll? b) Für einen anschließenden Festakt müssen 2 Kapellen ausgewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? c) An jedem der 3 folgenden Tage soll jeweils ein Schützenverein salutieren. Wie viele Möglichkeiten, 3 Vereine auszuwählen, gibt es, falls jeder Schützenverein dabei auch mehrmals beansprucht werden kann? Auf die Reihenfolge soll es dabei nicht ankommen. d) Die Kostüme der 5 historischen Gruppen werden bewertet und in eine Rangfolge gebracht. Wie viele unterschiedliche Anordnungen der Gruppen können dabei auftreten? e) Für die 3 besten historischen Kostümgruppen stehen Preise zur Verfügung. Wie viele Gruppenkombinationen sind für diese Plätze möglich?

Aussagenlogik

und Mengen

5

A u f g a b e 10 Die Marktforschungsabteilung einer Gummibärchenfabrik möchte die Attraktivität von 5 Farben untersuchen. Dazu werden mit 1000 Kindern folgende Tests durchgeführt: a) Jedes Kind bekommt von jeder Farbe ein Gummibärchen und soll die 5 Bärchen gemäß seiner Farbpräferenz anordnen. Wie viele unterschiedliche Anordnungen können dabei auftreten? b) Für das Gummibärchenkonfekt sollen in Zukunft genau 3 Farben verwendet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Farben 3 verschiedene auszuwählen? c) Die 3 am stärksten präferierten Farben sollten im Gummibärchenkonfekt in Zukunft je nach Beliebtheit unterschiedlich stark vertreten sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es, unterschiedliche 3-Farben-Anordnungen der angegebenen Art aus den 5 Farben zu wählen? d) Um die unterschiedliche Beliebtheit der 5 Farben stärker zu quantifizieren, bekommt jedes Kind von jeder Farbe 5 Gummibärchen (also insgesamt 25 Gummibärchen), aus denen es entsprechend seiner Präferenz 5 Bärchen auswählen und anordnen soll. Wie viele unterschiedliche Anordnungen können dabei bei 1000 Kindern auftreten? e) In Zukunft sollen maximal 3 Farben im Gummibärchenkonfekt enthalten sein. Wie viele unterschiedliche Farbkombinationen können auf den ersten drei Positionen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge entstehen?

A u f g a b e 11 Ein Verlag will für 1991 einen Wandkalender mit Landschaftsbildern produzieren, wobei pro Monat ein Bild enthalten sein soll. Nach einer Vorauswahl kommen noch 30 Bilder in Frage. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, aus dem Vorrat von 30 Bildern 12 verschiedene auszuwählen?

Aufgaben

6

b) Unter den 30 Bildern seien je 9 Sommer- bzw. Winterbilder und j e 6 Frühlings- bzw. Herbstbilder. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den 30 Bildern 12 verschiedene so auszuwählen, daß jede Jahreszeit mit drei Bildern vertreten ist? Innerhalb jeder Jahreszeit soll die Reihenfolge der Bilder unberücksichtigt bleiben. c) Eine der unter b) angegebenen Möglichkeiten sei realisiert. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch, die 12 ausgewählten Bilder dem jahreszeitlichen Ablauf entsprechend anzuordnen, wobei mit zwei Winterbildern für Januar, Februar begonnen und mit einem Winterbild für Dezember aufgehört werden soll, und innerhalb der zu einer Jahreszeit gehörenden Bilder die Reihenfolge jeweils frei wählbar ist?

A u f g a b e 12 a) In einem Raum gibt es 8 Lampen, die man unabhängig voneinander einund ausschalten kann. Wie viele Möglichkeiten gibt es, so daß 1) genau 5 Lampen brennen? 2) mindestens 5 Lampen brennen? b) Drei Ehepaare passieren eine Drehtür. Dabei geht jede der 6 Personen einzeln durch die Drehtür, doch passieren zwei zusammengehörende Ehepartner die Drehtür stets unmittelbar hintereinander. Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es für die 6 Personen, durch die Drehtür zu gehen, 1) wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, daß bei jedem Ehepaar die Dame zuerst durch die Tür geht? 2) ohne die Voraussetzung aus 1)? Bei einer Tanzparty sind 10 Damen und 12 Herren anwesend. c) Wie viele Tanzpaarkombinationen sind für den ersten Tanz möglich, wenn zu einem Tanzpaar jeweils eine Dame und ein Herr gehören sollen? d) Die im ersten Tanz allein gebliebenen Herren dürfen für den zweiten Tanz jeweils einen Herrn der ersten Runde ablösen. Wie viele neue Tanzpaarkombinationen sind möglich? e) Wie viele unterschiedliche Tanzpaare hat ein unparteiischer Schiedsrichter nach dem zweiten Tanz tatsächlich zu bewerten?

Gast als

Aussagenlogik

7

und Mengen

Aufgabe 13 Gegeben seien die Menge M = {a,b,c, d} sowie die Relationen R

=

{(α, 6), (a,c), (6, α), {c,d)} C Μ χ M

S

=

{(a,a),(6,c),(c,6),(d,d)} c M χ M.

a) Man bestimme die inversen Relationen -ß - 1 , S~l sowie die Kompositionen R-1 o S und S~l o R. b) Man gebe zu den in a) ermittelten Relationen die Relationsgraphen und Relationstabellen an. c) Welche der in a) ermittelten Relationen erfüllen die Eigenschaften einer Abbildung der Form f : M M ? d) Man untersuche die in c) erhaltenen Abbildungen auf Surjektivität und Injektivität.

Aufgabe 14 Gegeben sind die Relationen Sx

=

{(zi,a: 2 ) e

: X l £ x 2 2 )

sowie die Abbildungen / ι , / 2 : R+ —> R+ fi(xux2)

=

f2(x i,x2)

=

(0,x 2 ) (xi +

x2,x2).

a) Man ermittle die Kompositionen 5i o S2, S2o 5], S3 o S-¡ sowie deren Umkehrrelationen ( S 1 0 S 2 ) - 1 , ( S 2 ° S i ) - 1 , (•S'aoSi) -1 und stelle die Ergebnisse sowie Si, S2, S3 graphisch dar. b) Man ermittle die Mengen Λ(5 X ), f2(S1), {f3of1)(S1), 0 (fi f i ) ( S 2 ) und stelle diese graphisch dar.

MS2),

f2(S2),

8

Aufgaben

Aufgabe 15 a) Gegeben sind die Mengen A = { a , 6 , c } , Β = { 1 , 2 , 3 , 4 } und C = {rot, grün, gelb, blau} sowie die Abbildungen h f2

: :

A -> Β Β C

mit mit

/ι(α) = 1, /ι(6) = 2, /i(c) = 3 /j(2) = rot, / 2 (1) = / 2 (3) = / 2 (4) = grün.

Welche der Abbildungen f\, f2 ist surjektiv, injektiv, bijektiv? Gegebenenfalls ermittle man / f 1 , /2_1, f x o /2, /2 o b) Gegeben sind die Abbildungen g1 g2

: :

R —> (0, oo} R — (0,1]

mit mit

g^x) = 2X g2{x) = (x 2 + l ) " 1 .

Welche der Abbildungen gi, g2 sind surjektiv, injektiv, bijektiv? Gegebenenfalls ermittle man g f 1 , g^1, g\ o g2, g2o gi.

Aufgabe 16 Eine Unternehmung möchte ein neues Produkt in drei Ausführungen α, 6, c auf den Markt bringen. Eine Umfrage zur Ermittlung der Kaufneigung bei alternativem Angebot führte zu folgendem Ergebnis: Angebot Kaufneigung in %

60

{b} 40

Μ 30

{a,b} 80

{a,c} 80

{b, c} 70

a) Man ermittle die prozentuale Kaufneigung für α und b (aAb), a und c (aAc), b und c (ό Λ c), sowie für das Angebot {α, δ, c}. b) Man gebe die Abbildung /, die jedes mögliche Angebot X mit X C {α, b, c}, , „ . r/ Kaufneigung in % bei X v rt Χ ψ , sowie der Rangordnungsregel PR bestimmt werden. a) Man bestimme die Relationstabellen für Ρλ, Ρ2, Ρ3, Pm, Pm', Í r und gebe, falls eindeutig, die jeweilige Entscheidung an. b) Welches Familienmitglied sieht seine Vorstellungen mit PM, PM

b 0

mit

(A|b) =

2 1 1 1 2 2

a) Man zeige, daß der zulässige Bereich Ζ beschränkt und nicht leer ist. b) Man bestimme alle Eckpunkte von Ζ .

A u f g a b e 41 Anläßlich und zur Finanzierung einer Examensfeier soll ein neues Mixgetränk 'Leichte Prüfung' (LP) kreiert werden. Zum Mischen stehen drei Basisflüssigkeiten in ausreichendem Maße zur Verfügung: Basisflüssigkeit Klarer Kräuterlikör Orangensaft

Alkohol (%) 40 20 0

Kosten (DM/Liter) 12 18 2

Folgende Anforderungen werden an das Mixgetränk LP gestellt: • LP soll einen Alkoholgehalt von mindestens 6 % haben. • Um Verwechslungen mit bekannten Mixgetränken (Wodka-Orange etc.) zu vermeiden, soll LP mindestens zu 10 % Kräuterlikör enthalten. • Der Orangensaftanteil soll höchstens 75 % betragen. • LP soll möglichst geringe Kosten pro Liter verursachen. a) Man beschreibe das Problem durch ein lineares Optimierungsproblem mit drei Variablen x2, £3 . b) Man zeige, daß eine geometrische Lösung des Problems im R 2 möglich ist und löse die Aufgabe auf diese Weise. c) Wie verändert sich die Lösung von b), wenn LP einen Alkoholgehalt von genau 10 % haben soll?

24

Aufgaben

A u f g a b e 42 Ein Bauunternehmer beabsichtigt, zwei Typen von Eigenheimen zu bauen. Er rechnet mit einer Bauzeit von 2 Jahren und damit, daß sich sofort Käufer für die fertiggestellten Eigenheime finden. Folgende Daten wurden in Tausend DM ermittelt: pro Eigenheim Baukosten 1. Jahr Baukosten 2. Jahr Verkaufserlöse

Typ A 200 120 330

Typ Β 200 200 420

Im 1. Jahr stehen DM 1.600.000, im 2. Jahr DM 1.200.000 zur Verfügung. Ziel ist die Ermittlung eines gewinnmaximalen Bauprogramms bestehend aus Typ A und/oder Typ B. a) Man formuliere das zugehörige lineare Optimierungsproblem. b) Mit Hilfe des Simplexverfahrens bestimme man alle optimalen Lösungen von a) und gebe das Gewinnmaximum an. c) Wie ist das zur Verfügung stehende Kapital im 1. bzw. 2. Jahr minimal zu erhöhen, wenn die Nachfrage nach je 4 Eigenheimen vom Typ A und vom Typ Β erfüllt werden soll? d) Unter der Bedingung, daß für beide Bauabschnitte DM 2.800.000 zur Verfügung stehen, die beliebig auf die beiden Jahre aufgeteilt werden können, formuliere man ein gegenüber a) modifiziertes Optimierungsproblem und löse es geometrisch.

A u f g a b e 43 Gegeben sei das lineare Optimierungsproblem mit

—• min

(5

5 \ 1 5 1 A= 1 5 1 , l ι ι 1 ) 5

,

Ax ;> b, χ > 0 /

6 10 b = 6 V 4

Man löse dieses Problem mit Hilfe des Simplexverfahrens.

\ /

Lineare

25

Algebra

A u f g a b e 44 Gegeben sei die Matrix: A=

/ 1 2 3 1 c 3 1 2 c

a) Für welche c € R gilt RgA = 1, RgA = 2, Rg A = 3 ? b) Für welche c e R gilt det A = O, det A > 0, det A < 0 ? c) Im Fall RgA = 3 löse man das Gleichungssystem Ax = b mit b T = (2,1,0) mit Hilfe der Cramerschen Regel in Abhängigkeit von c .

A u f g a b e 45 Gegeben sei das folgende volkswirtschaftliche Modell für das Volkseinkommen: Y C Τ

= = =

C + I0 + G0 a + ß(Y-T) tY

(Gütermarktgleichgewichtsbedingung) (Konsumfunktion) (Steuerfunktion)

mit α > 0 , 0 < / ? < 1 , 0 < < < 1 . Ferner entspreche Y dem Volkseinkommen, C den Konsumausgaben, I0 den autonomen Investitionen, G0 den autonomen Staatsausgaben und Τ dem Steueraufkommen. a) Schreiben Sie das obige Gleichungssystem in der Matrixform Ax = b , wobei der Vektor χ die endogenen Variablen des Modells, also Y, C und Τ , enthält. b) Weisen Sie nach, daß die Determinante der Matrix A aus Teil a) verschieden von 0 ist. c) Berechnen Sie die Lösungswerte für Y, C und Τ in Abhängigkeit von / 0 , G0, α, β und t über die Gleichung χ = A~'b . Berechnen Sie dabei die Inverse zu A mit Hilfe der Kofaktoren.

Aufgaben

26

A u f g a b e 46 Ein Unternehmen produziert zwei Güter I, II, die in der Folgeperiode teilweise als Rohstoffe wieder verwendet werden, und zwar gemäß folgender Tabelle: benötigte Einheiten von Gut zur Herstellung einer Einheit von Gut I zur Herstellung einer Einheit von Gut II a) Für die Matrix A = ^

^

I 0.3 0.4

II 0.4 0.9

J berechne man den größten Eigenwert und

den dazugehörigen Eigenvektor. b) Man interpretiere das Ergebnis von a) im Sinne obiger Aufgabenstellung. c) Zu Beginn des Planungshorizontes sollen insgesamt 6000 Einheiten produziert werden. Wie ist dieses Gesamtproduktionsniveau auf beide Güter aufzuteilen, damit ein gleichförmiges Wachstum eintritt? Welche Produktionsquantitäten können bei gleichförmigem Wachstum für beide Güter in den folgenden zwei Perioden erreicht werden?

A u f g a b e 47 Eine Unternehmung bietet in der Zeitperiode t zwei komplementäre Güter A und Β an. Man schätzt, daß die Absatzquantitäten xt und yt der Güter A und Β in der Periode t von dem Absatz xt-i und j/(_i in der Period e i — 1 folgendermaßen abhängen: [ xt

= 0.9z,_i

+ y/ÖMyt-χ

,

¿ = 1,2,...

{ yt

=

+

,

t — 1,2,...

y/ÖMxu

0.8yt_!

Die Unternehmung strebt für beide Güter ein gleichförmiges Wachstum von p% an, d.h. es gelte: x«

=

(

1

+ Toö )

y*

-

(

1

+

Toö)f'-i

=

λ

· zt-i

, i = l , 2 , ...

=

λ

·yt-i

» < = 1,2,...

a ) Bestimmen Sie ρ so, daß die mit (*) gegebenen Abhängigkeiten erfüllt sind. b) Interpretieren Sie die Ergebnisse von a) ökonomisch. c) Wie ist für ρ (ρ > 0) aus a) in der Periode 0 das Verhältnis x0 : y0 der Absatzquantitäten zu wählen, damit sich bei Gültigkeit von (*) das gewünschte gleichförmige Wachstum ergibt?

Lineare

27

Algebra.

Aufgabe 48 Zur Matrix A = ^ ^ ^

^^ ^ berechne man

a) die Eigenwerte, b) die Eigenwerte von A - 1 . c) Man diskutiere die Definitheitseigenschaften von A und A - 1 d) Man zeige, i, uajj daß uie die Vektoren veKioren ιI v/3 j W J ' (

1

I Eigenvektoren von A und

A _1 sind.

Aufgabe 49 Gegeben sind die Matrizen α 0 0 \ 0 1 0 , \ 0 0 a /

Β=

/ 0 0 a 0 1 0 \a 0 0 /

a) Man berechne die Eigenwerte der Matrizen A,B in Abhängigkeit von α . b) Auf der Basis der Ergebnisse von a) diskutiere man die Definitheitseigenschaften von Α, Β .

Aufgabe 50 Für die Matrix A = [

2 c2

1 | sei x T = ( 1 , 0 , - 2 ) ein Eigenvektor zum

Eigenwert A2 = 1 . a) Was folgt hieraus für die Konstanten c 1 ; c2,c 3 ? b) Nennen Sie einen weiteren Eigenvektor zu λι . c) Kann man zusätzlich zu den Ergebnissen aus a) Bedingungen an die Konstanten angeben, so daß A außerdem positiv définit ist? Wenn ja, welche? Wenn nein, warum nicht? d) Kann man für den Fall, daß A positiv définit ist, die Konstanten auch noch so bestimmen, daß λ 2 = —3 ein weiterer Eigenwert von A ist?

Aufgaben

28

C. A u f g a b e n zur Analysis Lehrbuch — Kapitel 7 bis 11 A u f g a b e 51 a) Für die Folgen (a n ), (6 n ), (c n ), (d n ) mit η 6 Ν und

ξ

1 '

,

dn = Vn2 + 1 — η

c

prüfe man, welche der Folgen monoton wachsen bzw. fallen, welche der Folgen beschränkt und welche konvergent sind. Gegebenenfalls bestimme man die Grenzwerte bzw. die Häufungspunkte. b) Man berechne die Grenzwerte der Folgen (p n ) und (qn) mit

n!

- 2 "

n 5 — 3n!

A u f g a b e 52 Gegeben seien die Folgen (a„), (b n ), (c n ) mit η G Ν und

a) Man gebe die Folgen (a n ) und (6„) mit a 0 = b0 = 2 explizit als Funktion von η E N 0 an und berechne die Grenzwerte für η —> oo. b) Man zeige, daß (c„) für Co = 1 konvergiert und für Cq = 3 divergiert.

A u f g a b e 53 a) Welche der Folgen (an), (bn), (cn) mit η £ N 0 und η

sind beschränkt bzw. konvergent? b) Man zeige, daß die Folge (d n ) mit η 6 Ν und

konvergiert.

Analysis

29

A u f g a b e 54 Man überprüfe die folgenden Reihen (r„), (θ η ), (t n ), (w„), mit r

"

v^fi 1 i L ~~ L·6 ' Jojt-i ¿=1 -

y*2 0 ist die Reihe (r n ) mit " α * '

α

>

0

konvergent? b) Bei den DIN-Papier-Formaten ist das Verhältnis Seitenbreite a]Ier ' seitenlange Formate jeweils 1 : y/2 . Das Grundformat der DIN-B-Reihe beträgt 1000 mm χ 1414 mm (Breite χ Länge) und heißt DIN-B-0. Die Teilformate DIN-B-1, DIN-B-2,... ergeben sich durch fortgesetztes Falten des Grundformates. Man gebe die Formate DIN-B-1, DIN-B-2, DIN-B-3 durch Breite χ Länge an (in mm ohne Kommastellen). Man zeige, daß die Seitenlängen eine geometrische Folge mit q = —= bilden. V2 Man gebe das Format DIN-B-13 durch Breite χ Länge an (in mm mit einer Kommastelle).

30

Aufgaben

Aufgabe 57 Für den Absatz α, eines Produktes in der Periode i

(¿ = 1 , 2 , . . . ) wird ein kon-

stanter Wachstumsfaktor q angenommen, d.h., es gilt q — (i = 1 , 2 , . . . ) . η Der kumulierte Absatz in der Periode η ist durch c n = ^ a , definiert. i'=l

a) Geben Sie den kumulierten Absatz in der Periode η in Abhängigkeit von q, η und a j an. b) Bestimmen Sie den Wachstumsfaktor pn =

des kumulierten Absatzes C

n

_ !

in der Periode η in Abhängigkeit von q und n. c) Zeigen Sie, daß für q > 1 die Gleichung lim pn = q erfüllt ist, d.h., der η—*oo Wachstumsfaktor des kumulierten Absatzes strebt gegen den konstanten Wachstumsfaktor q. d) Ausgehend von cn sei die Periode x, in der sich der kumulierte Absatz verdoppelt, von Interesse. Berechnen Sie für q = 1.1 und η = 10 die entsprechende Periode x.

Aufgabe 58 Gegeben sind die reellen Funktionen /ι,/ς,/} von einer reellen Variablen mit

a) Für welche x G R sind die Funktionen definiert, für welche i f R sind sie stetig? b) Man zeige ohne Differentialrechnung, daß die Funktionen /i,/3 weder globale Maximal- noch Minimalstellen besitzen. c) Man zeige, daß f2 für χ = 1 maximal und für χ = 2 minimal wird.

Analysis

31

A u f g a b e 59 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen / , g, h : R —> R auf Stetigkeit:

b)

g(x) =
0 0 für χ = 0 - 1 für χ < 0

Í A u f g a b e 60 Gegeben ist die Funktion / : R —» R mit

f(x)=

- χ + c für χ < 0 ü In ec für χ = 0 1 2 —χ + c fur χ > 0 α

a) Bestimmen Sie α und c so, daß / für alle i 6 R stetig ist. b) Zeigen Sie, daß die Funktion / mit α — 5 und c = | im Intervall [2, 5] den Wert 3 mindestens einmal annimmt. c) Man diskutiere Monotonie- und Konvexitätseigenschaften von / für α = — 1, c = 1 ohne Verwendung der Differentialrechnung.

d) Man ermittle alle Extremalstellen und Extremalwerte für α = — l , c = 1.

A u f g a b e 61 Für die gebrochen - rationale Funktion q mit . _ χ 5 + 5a 4 + 1 0 j 3 + 16a:2 + 15rr + 7 9{X) ~ (χ + 2) 2 (x 2 + χ + 1) führe man eine Partialbruchzerlegung gemäß Satz 8.30 durch.

Aufgaben

32

Aufgabe 62 Gegeben sei die Funktion / : R —» R mit f(x)

= χ + ex.

a ) Man zeige, daß / streng monoton wächst und stetig in R ist. b) Man zeige, daß / genau eine Nullstelle besitzt. c) Man bestimme diese Nullstelle mit Hilfe von Satz 8.63, wobei die maximale Abweichung 0.01 betragen darf.

Aufgabe 63 Gegeben sei die stetige Kostenfunktion k : [0,1000] —•> R + mit k(0) = 80. F ü r die konstanten Grenzkosten gilt:

e

χ Grenzkosten

(0,100] 2

(100,500] 5

(500,1000] 1

a) Man gebe die Kostenfunktion für χ 6 [0,1000] sowie die Stückkostenfunktion für χ E (0,1000] explizit an. b ) Man skizziere den Verlauf der in a) ermittelten Funktionen. c) Mit Hilfe der Monotonieeigenschaften der Stückkostenfunktion ermittle man deren Minimalstellen und Minimalwert.

Aufgabe 64 In Abhängigkeit des Bruttojahreseinkommens χ sei die folgende stetige Steuerschuldfunktion s mit S

. . _ Í 0 ^ ~ \ 0 . 3 ( ι - 5000)

für für

χ e [0,5000] χ £ [5000,100000]

gegeben. F ü r χ > 100000 gelte ein Grenzsteuersatz von 50%. a) Ergänzen Sie die Steuerschuldfunktion für χ ^ 100000. b ) W i e hoch muß das Bruttojahreseinkommen sein, um ein Nettojahreseinkommen von mindestens 68000 zu erreichen? c) In dem betrachteten Land werde jedem Arbeitslosen eine Arbeitslosenunterstützung gewährt, die monatlich p% des letzten Monatslohns der Beschäftigungsperiode beträgt. Herr Fleißig ist permanent beschäftigt mit einem Brutto-Monatslohn von 4000. Herr Clever ist jeweils alternierend ein halbes J a h r beschäftigt mit einem Brutto-Monatslohn von 3500 und ein halbes J a h r arbeitslos. Bei welchem Prozentsatz kann in diesem Falle von einer sozialen Hängematte geredet werden, d.h., wann ist das Netto-Jahreseinkommen von Herrn Clever höher als das von Herrn Fleißig?

Analysis

33

A u f g a b e 65 Gegeben seien die Funktionen g i , g 2 , f '• R+ —• R mit gi(x)-

7Γ

7Γ

cos(-x) ,

= s i n ( - x + π) ,

f ( x ) = gì(x)+g2(x)

.

a) Man zeige, daß

sowie die entsprechende Stückkostenfunktion c mit Γ(τλ 1

_ /

+ 12 2

für für

χ € [0,10] x>10 .

Die Variablen χ, ρ für Absatz und Preis seien nicht negativ.

36

Aufgaben

a) Man bestimme den Maximal- und den Minimalabsatz sowie die dazugehörigen Kosten. b) F ü r welche Preise ρ ergibt sich ein Absatz χ < 10? c) Man ermittle die Gewinnfunktion g in Abhängigkeit von ρ £ [0,10). d) Man maximiere den Gewinn und ermittle den gewinnmaximalen Preis unter der Bedingung ρ G [0,10).

Aufgabe 73 Nach dem Einkommensteuergesetz (§32a E S t G , Fassung ab VZ 1986) ist für zu versteuernde Einkommen χ € [80000,130000] die tarifliche Einkommensteuer f(x) durch f(x) = g{z) = (702 + 4560)z + 27000 gegeben, wobei ζ = 6 6 ' bzw. abgerundet).

80000 ist (die Koeffizienten der Funktion wurden aufv 10000

a) Berechnen Sie die Grenzsteuerfunktion

f'{x).

b) Bestimmen Sie über dem betrachteten Intervall [80000,130000] den niedrigsten und den höchsten Grenzsteuersatz sowie dasjenige Einkommen, bei dem f'(x) = 0 , 5 gilt, d.h. ein Grenzsteuersatz von 50% erreicht wird. c) Berechnen Sie die Elastizität von f(x) Sie das Ergebnis ökonomisch.

im Punkt χ = 100000. Interpretieren

Aufgabe 74 Gegeben sei die Funktion / : R —» R mit

_. . / (

*

)

χ =

2cc Τ - ί γ

_

3x +

Ί Γ -

4

3

;

+

2

a) Man zeige, daß / genau eine lokale Minimalstelle besitzt, die im Intervall [1,2] liegt. b) Mit Hilfe des Newton-Verfahrens berechne man einen Näherungswert der lokalen Minimalstelle von / , der vom wahren Wert um höchstens 0.1 abweichen soll.

37

Analysis

A u f g a b e 75 Man bestimme alle lokalen und globalen Extremalstellen sowie alle Wendepunkte der Funktion / mit f ( x ) = ln(l + x ) - x + j - j und untersuche / auf Monotonie, Konvexität, Konkavität.

A u f g a b e 76 a) Für welche χ konvergieren die Potenzreihen (pn(x)), μ * ) = Σ mV ~0 ) k , k=0 '

(qn{x)) mit

Î - W = Σ t pK k=1

-1)' ?

b) Mit Hilfe einer geeigneten Taylorreihe berechne man den Wert In 1.5 auf 2 Kommastellen genau.

A u f g a b e 77 Gegeben sei die Produktionsfunktion / einer Einproduktunternehmung mit f(xi,x2,x3)

= yx\ + 2xj + 3x§ - χι(χ2 + X3)·

a) Man zeige, daß / homogen vom Grad 1 ist und interpretiere diese Aussage. b) Man ermittle die partiellen Grenzproduktivitäten der Faktoren sowie die dxs Grenzrate der Substitution —— jeweils für χι — X2 = £3 = 100. Man 0x2 interpretiere die erhaltenen Werte. c) Man bestimme die partiellen Änderungsraten und Elastizitäten des Produktionsniveaus f(xi,X2,X3) bezüglich des ersten und dritten Faktors, jeweils für Χι = X2 = X3 = 100 .

38

Aufgaben

A u f g a b e 78 Die Absatzwirkung y einer Werbekampagne für ein Produkt hänge von den für zwei Medien eingesetzten Werbebudgets Xi,X2 in folgender Weise ab: y = / ( χ 1,12) = 10

20 In (x2 + l) + 50,

xux2

> 0

a) Man berechne /(100,100) sowie die partiellen Änderungsraten und Elastizitäten der Absatzwirkung bezüglich der beiden Werbebudgets für {xux2) = (100,100) . b) Man ermittle die Richtungsableitungen von / im Punkt (x 1 ; x 2 )=(100,100) in Richtung (1,2) bzw. (2,1) und zeige, daß die Richtung (2,1) für die Absatzwirkung günstiger als die Richtung (1,2) ist. Man interpretiere dieses Ergebnis. c) Man ermittle die Menge aller Budgetvektoren ( x i , x 2 ) > (0,0), für die die Grenzrate der Substitution von x2 bzgl. X\ gerade —1 ergibt, stelle diese Menge graphisch dar und interpretiere das Ergebnis. d) Man berechne die Veränderung der Absatzwirkung Δ / (100,100) = / (100 + Δ χ ι , 100 + Δ χ 2 ) - / (100,100) mit Δ Χι = Δ Χ2 = 1 näherungsweise mit Hilfe des totalen Differentials und vergleiche das Ergebnis mit dem exakten Wert.

A u f g a b e 79 Gegeben sei die Funktion / : R 3 —• R mit f(xi, x 2 , x 3 ) - - 4 x j - 2x1 - ί x\ + 4xix 2 + x 2 x 3 + 100x 3 . a) Man ermittle alle lokalen und globalen Extremalstellen. b) Für X2 = 0 gebe man Bedingungen für X! und x 3 an, so daß die Funktion / monoton wächst.

Aufgabe 80 Man überprüfe die Funktion / : R3 —• R mit / ( x i , x 2 , x 3 ) = ~3χχ + ^ x 2 - ί χ 3 + 2xjx 3 - 2x! + x 3 - e* auf Konvexität bzw. Konkavität und bestimme alle lokalen Maximal- und Minimalstellen.

Analysis

39

Aufgabe 81 Zwei Produzenten Αι und A2 bieten je ein Gut an. Zwischen den Absatzvariablen Χι,Χί und den Preisvariablen pi,p2 gelten die Beziehungen xi = 100 — 2p! — p2 , X2 = 120 — pi — 3p2 . Die Kosten sind gegeben durch Cj(a;i) = 120 + 2 ^ , c2(x2)

= 120 +

2x2.

a) Man ermittle die Gewinnfunktionen g\,g2 beider Produzenten sowie die gemeinsame Gewinnfunktion g — gì + g2 , jeweils in Abhängigkeit von pi,p 2 . b) Wie sind die Preise zu wählen, daß der gemeinsame Gewinn g maximal wird? Man gebe den maximalen Gewinn an. c) Nach einem Streit setzt Produzent A2 den Preis p2 = 16. Wie hat dann A\ den Preis pi zu wählen, damit g ι maximal wird? d) Ist es für die Käufer des von Αι angebotenen Gutes von Vorteil, wenn der Konflikt zwischen Αχ und A2 beigelegt wird?

Aufgabe 82 Gegeben sei die Zeitreihe für den Absatz eines Produktes: Zeit t Absatz y(t)

1 10

2 12

3 4 5 6 7 8 9 12 12 14 15 15 15 17

10 18

a) Man ermittle Werte a, b so, daß die lineare Beziehung y(t) = a+bt zwischen der Zeit t und dem Absatz y{t) die angegebene Wertetabelle im Sinne der KQ-Methode bestmöglich approximiert. b) Man veranschauliche die Wertepaare der Tabelle sowie die berechnete Beziehung graphisch. c) Man zeige, daß die Absatzänderungsrate monoton fällt und die Absatzelastizität monoton wächst. d) Mit Hilfe von a) prognostiziere man den Absatz 2/(11), 2/(12).

40

Aufgaben

Aufgabe 83 Gegeben sind die Funktionen f,g f(x1,x2)

: R 2 —• R mit

— xix2,

g(xi,xî)

+ X2 - 3 .

=

a ) M i t Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren bestimme man ein lokales Maximum der Funktion / unter der Nebenbedingung g(x\, x2)

= 0

und zeige, daß ein globales Maximum nicht existiert. b) Wie

verändert

sich die Lösung von

a),

wenn zusätzlich die Bedingung

x 0 gelte die Beziehung t V ( t ) = bs(t) mit α € R, ό > 0 . a) Man gebe s als explizite Funktion von t an. b) Mit = 10, α = 0.5, b = 0.1 bestimme man die Staatsverschuldung für t — 25 . Bis zu welchem Zeitpunkt t verdoppelt sich die Staatsverschuldung gegenüber s ( l ) = 10 ?

A u f g a b e 95 Anstatt einer logistischen Funktion (Beispiel 9.12 c, 12.6 b, 12.10 b) kann für den Verlauf des Absatzes eines Produktes in Abhängigkeit der Zeit t ^ 0 auch eine sogenannte Gompertzfunktion y'{t) = ay{t) bl

α > 0, 6 € 00 c) Man berechne die Konstante α , falls die Werte b = e - 1 , c = 100, y(0) = 50 bekannt sind und ermittle damit eine spezielle Lösung für y(t) .

Aufgabe 96 Gegeben seien zwei voneinander unabhängige Ausbreitungsprozesse y,z den Diiferenzengleichungen y(t + l) z(t + l)

= =

ty(t) cz{t)

+ +

1 1

, die

(OO)

für t — 0 , 1 , 2 , . . . genügen. a) Für beide Fälle gebe man die Lösung in Abhängigkeit von i/(0) bzw. 2(0) an. b) Man vergleiche die beiden mittleren Wachstumsraten für t = t0 mit y(t0) = z(t0) und Δ ί 0 = 1. c) Man berechne für c = 2, (j/(0), 2(0)) = (0,0) die Werte (j/(1), ¿(1)), (2/(2), z(2)), (i/(3), z(3)), (2/(4), z(4)) sowie (y(t), z(t)) für t 00 .

46

Aufgaben

Aufgabe 97 Die Abnahme des Absatzes y(t) eines Produktes in Abhängigkeit der Zeit t ^ 0 ohne Werbeeinsatz sei proportional zum jeweiligen Absatzniveau. Wird für das Produkt geworben, so bewirkt dies eine Zunahme des Absatzes. Mit dem zeitabhängigen Werbeeinsatz w(t) ergebe sich die Differentialgleichung

y'(t) =

-ay(t)+w(t).

Man gebe die allgemeine Lösung für y(0) = 100, α = 0.1 an, wobei alternativ w(t) = 0, w(t) = 6, w(t) = 6(sin7ri + 1) anzusetzen ist.

Aufgabe 98 Gegeben seien die Differenzen- bzw. Differentialgleichung

y(x + 2) y"{x)

+ +

3y(x + 1) Zy'(x)

+ +

2y(x) 2y(x)

= =

1 + 2X , 1 + e2*.

a) Man löse allgemein jeweils die homogene und die inhomogene Gleichung. b) Man ermittle eine spezielle Lösung der Differenzengleichung für y(0) = - , o 1 3 2/(1) = - und der Differentialgleichung für y(0) = - , y'(0) = 0 .

Aufgabe 99 Gegeben sei die Differentialgleichung 2 y " \ x ) - 2Qy"{x) + 50y'(x)

= 10.

Man forme diese Differentialgleichung in ein System von drei Differentialgleichungen erster Ordnung um und gebe die allgemeine Lösung dieses Systems an. W i e sieht die allgemeine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung aus?

Aufgabe 100 Gegeben sei das System von Differenzengleichungen erster Ordnung: 2/i(z + l ) j/ 2 (x + l )

= =

—yi(x)

íf2( x )

+ +

x2

2*

Man forme dieses System in eine Differenzengleichung zweiter Ordnung um und gebe die allgemeine Lösung dieser Gleichung an. Wie sieht die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems aus?

Aussagenlogik

und

Mengen

47

E. L ö s u n g e n zu d e n A u f g a b e n Lösung zu Aufgabe 1 a) Gegeben: Aussage Wahrheitsgehalt zu 1):

A w

B f

Α Λ C falsch,

C f

D w

B A D falsch,

(A Λ C) V (Β Λ D) falsch,

(A A C ) V (Β Λ D) V D wahr zu 2):

A =>· D wahr, A

zu 3):

zu 4):

Α =Φ> D

(Definition 2.3)

C falsch, (Definition 2.5)

D =*· C => Β wahr

(Ä

Α), (Β

(Α

Α)

Β) falsch, (Β

(Α =Φ· Β ) falsch, (A => Β )

b) zu 1):

Β) wahr

(A =>· Β ) wahr,

(A

Β) falsch

(Definition 2.1,2.5,2.7)

A

w

w

f

f

B

w

f

w

f

A => B

w

{

w

w

w

f

f

f

w

w

w

w

A Λ (A A Λ (A

B) Β)

(Definition 2.1,2.7)

B

(Definition 2.3, 2.5) Man erhält eine Tautologie: Wird aus einer richtigen Voraussetzung A ein richtiger Schluß (A => B) gezogen, so entsteht ein richtiges Ergebnis Β (Prinzip des direkten Beweises).

Lösungen

48

A

w

w

f

f

Β

w

f

w

f

A

f

f

w

w

Β

f

w

f

w

A => Η

w

w

f

w

Β Λ (A => Β)

w

f

f

f

w

w

w

w

zu 2):

Β Λ (Α

Β ) => Α

(Definition 2.1, 2.3, 2.5) Man erhält eine Tautologie: Zum Beweis der Aussage A wird angenommen, die negierte Aussage A sei wahr. Ein wahrer Schluß Α Β würde ein richtiges Ergebnis Β bedingen. Es ist aber das Ergebnis Β wahr. Damit ist die Annahme A falsch und A ist richtig. (Prinzip des indirekten Beweises). c) Die Aussage "entweder A oder B" ist genau dann wahr, wenn A wahr und Β falsch ist, oder wenn A falsch und Β wahr ist (exklusives "oder"). Man erhält X = (AAB)V(AAB)

(AVB)A(AAB) oder

wegen A

w

w

f

{

A

w

w

f

f

Β

w

f

w

f

Β

w

f

w

{

A

f

f

w

w

A VΒ

w

w

w

f

f

f

f

Β

f

w

f

w

A AΒ

w

A AΒ

f

w

f

{

A AΒ

f

A AΒ

f

f

w

f

X

{

X

f

w

w

f

w w w w

w

f

(Definition 2.1, 2.3)

Aussagenlogik

49

und Mengen

Lösung zu Aufgabe 2 a)

Satz: Beweis:

\/ (x 2 + par + 1 = 0)

ρ £ (-2,2)

\/ (x2 + px + 1 = 0)

p2 - 4 ^ 0

xÇtt

b) ρ = 1 e ( - 2 , 2 )

=>

(Kapitel 1.3 (1.15))

p2t 4 p ^ 2 oder p i - 2

V (χ 2 + px + 1 = 0) wahr nach a)

Für ρ = 1 existiert kein χ e R mit χ2 + px + 1 = 0. Daraus folgt: 1) 2) 3) 4) 5)

V X V X Λ Χ V Χ

(z 2 + * + l = 0)

wahr

(χ2 +

+

1

= °)

wahr

(χ2 + * +

1

= °)

wahr

(nach 1) und Satz 2.17)

(χ2 +

χ

+

1

=

falsch

(nach 1) und Definition 2.1)

Λ(χ2 +

χ

+

1 =

wahr

(nach 2) und Satz 2.17)

χ

x

°)

Lösung zu Aufgabe 3 a)

(α + l) 5 > (α + l) 4

(α+1) 4 (α + 1) > (α + 1) > α >

b) Beweis von Α Falli:

1 wegen ( α + l ) 4 > 0 0

Β :

α e [0,1)

=>

|α + 1| > 1 1 TV < α

Fall 2:

(α + 1)4

α e (-1,0] =>

;

1




α

|α + 1| Beweis von Β φ- Α : Für α = 2 ist Β erfüllt wegen

2

O

< =

|α-1| 1 1« - i | a Ia - i |

(da α > 0)

Ia - i | 1 Ia - i | a |α-1|

(da α < 0)

2, nicht jedoch Α wegen 2 g ( - 1 , 1 ) .

50

L ö s u n g e n

Lösung zu Aufgabe 4 Wir benutzen Satz 2.24. Ai(l) :

1 1 1 - = — = 1 - - wahr + 1-2 2

1

Γ -

Αι(π) =*> Ai(n + 1) : 1 _ _J_\ ί ^ = ¿ í » ( i + 1) n +l) ^ 71 n+i γ 1 Beweis:

Σ τ τ τ ζ ΰ ί=ΐ«(«' + 1)

=

1 = ¿(¿ + 1) 1 + (n + l)(n

ψ

é í ¿ ( « ' + l )

1_ n+2 +

2)

— 1

l· ^ η r (wegen Ai(nì) K B n n + l (n + l)(n + 2) " 2 1 1 1_ "+ = l _ (n + l)(n + 2) n + 2

Also ist Ai(rz) für alle η € Ν wahr. A 2 (1): Πζ· 1=1

=

1

A 2 (2) : n ¿ i ¿=1

=

1,4

2

A 2 (n)

< l ' i r ) = l falsch < 2 ( 'ff /

< n f 2 ^ ) - (η + 1)

(wegen Α 2 (η))

< (η + Ι ) ' 2 ^ ' · (η + 1) (η+1) = (η + 1) x x , x 2 E (0,1], Xj + x 2 < 1

U

M

2

nicht reflexiv

(i2,ii)eMi

=>· Μι symmetrisch (xi,x2) = (1,0) G M2, aber (x2,xi) = (0,1) £ M2 wegen 0 < 1 => M2 nicht symmetrisch (3' 2) ' (2'3) ^

a er

( x 1 , i 2 ) , ( x 2 , x 1 ) e Mí

ΐ ! , χ 2 e [0,1], Χι ^ X 2 , X2 è Χι => Xi,X2 £ [0,1], xi = x2

^

5^3

^ Mi nicht antisymmetrisch

=>· M2 antisymmetrisch (2,3) x2, xi + x2 < 1}) = 0, χ 2 ^ Χι, 3/2 = 2/1

Ζ! = ΓΧ! + (1 - r)î/i

>

0

Ζ2 =


0}

\ 1 / l ο \ +r

4

1

/ ι \ +r

5

1

,r

3

,r

4

,r

5

>0}

1 (Definition 4.46)

Lineare Algebra

69

Qa Π Qb : r t f 0 j + r 2 ί 0 ri + r2

= = =

0

ri

r3

rj = +rs 7-4 r4 +r5 r4 + r 5 , r 2 -

Qa η Qb = { χ e R 3 : χ = η

r3 έ o — 0 wegen r 4 , r 5 > 0 0

/ 1 0

, ri ^ 0}

abg. konvexer Kegel

\ 0 I (Definition 3.13,4.46)

=> Qa u Qb = { x G R 3 : X = Γ! ^ 0 j + r 2 ^ 0 j , Π , r 2 > 0 V x = r 3 I 0 i + r 4 [ 1 I , r 3 , r 4 £ 0} 1 v 0 ί

Wegen r 5

M

1

= r5

''(ίΠΙ

kann auf den Summanden

(Definition 3.14,4.45,4.46)

(l\ b)

rs

1 I verzichtet werden. ( l \ 0

Va = { x e R 3 : X = η \ 1 Ì

W

(

Vi = { x S R 3 : χ = r 3

+ r2

(

l

r 1 , r 2 6 R } mit dim Va = 2

0

VI / o

vsrc 1 \

1 Va Π Vb = { x 6 R 3 : x = η I 0 I ,

Γι

Γ3, r4 g R } mit dim Vb = 2 (Definition (4.56,4.58,4.61) e R } mit dim (Va Π Vb) = 1 (nach a) und Definition 3.13,4.61)

V „ U Vi ist kein Vektorraum, da 1 \ / 0 \ / 1 \

/ 0 \

ο ι, I 1 I 6 va υ vb,

I 0 I+ I 1

ι /

V ι /

V ι/

/ 1 \ ι

I ί

KUH.

vi

Für alle r 1 , r 2 , r 3 , r 4 g R gilt nämlich

(

J 1 \

/ 1 \

/ 1\

/I

ι

Γ " (Definition 3.14, 4.56)

70

Lösungen

L ö s u n g z u A u f g a b e 27

a ) Wegen

I V

3\

—1

I r\

^

ra

2 /

V

I für alle r, a 6 R

0 /

sind x 1 , x 2 ( a ) linear unabhängig für alle a S R.

(Satz 4.60)

b) W i r bestimmen R g (x 1 , x 2 ( a ) , x 3 ( 6 ) ) : Zeile

Basis

Ö

( D

® ® ® ® ® ® ®

X1

x2(a)

χ3(δ)

3

1

b

a

3

0

-2

0

-1

Operation

e2

-1

e3

t u

X1

1

ei

0

e2

0

a

2

X1

1

0

-1

x2(a)

0

1

6+ 3

e2

0

0

2 — α(6 + 3)

I ®

®-§®

6+ 3

m

®

+

l ®

®

©

Nach Satz 4.73 gilt Rg ( x \ x 2 ( a ) , x 3 ( 6 ) ) = 2 für 2 - a(b + 3) = 0 = 3 für 2 - a{b + 3) φ 0 Also sind die Vektoren χ 1 , χ 2 (α), χ 3 (ό) linear abhängig für alle ( a , b ) mit 2 = a{b + 3). / c) R g ( x 1 , x 2 ( a ) , x 3 ( - l ) ) = Rg

3 -1

1

-1

α

3

2 für a = 1

^ 2 0 — 2 = 3 für α / 1 / Rg(x1,x2(-l),x3(6)) = Rg

3 -1 2

1 -1

ι 3

0 - 2

= 2 für 6 =

-5

/ = 3 für b φ - 5

Lineare

71

Algebra

L ö s u n g zu A u f g a b e 28

Zeile

© ® ® © © © © © ©

Basis

a1

a2

a3

a4

«1

0

1

3

2

e2

2

1

2

1

e3

2

0

1

-2

a1

1

1

3

2

e2

0

ED

-4

-3

© - 2 ©

e3

0

-2

-5

-6

© - 2 ©

a1

1

-1

-1

0

0 1 0 0

a2 e3

Nach Satz 4.73 sind

4

3

0

3

Operation

©

©+© - ©

© - 2 ©

a ^ a ^ a 3 linear unabhängig, bzw. a ^ a ^ a 4 linear abhängig.

b) a 1 , a 2 , a 3 linear unabhängig ( n a 1 + r2a2 + r3a3 = 0 =>

rt = r2 = r3 = 0)

( - 2 r x a 1 + 5r 2 a 2 - 3r 3 a 3 = 0 =>•

ri

= r2 = r 3 = 0 )

—2a 1 ,5a 2 ,—3a 3 linear unabhängig (Definition 4.58) a1

a2,

a2,

a1

a3

Analog sind + + linear unabhängig. Andererseits sind a 1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 — a 1 wegen (a 1 + a 2 ) - (a 2 + a 3 ) + (a 3 - a 1 ) = 0 stets (unabhängig von der Lösung a)) linear abhängig.

Lösungen

72

Lösung zu Aufgabe 29

a)

Wir berechnen den Rang von Β = Zeile

© © © © © © © © ©

Basis

b1

ei

0

e2 e

b3

b4

2

3

4

1

1

-1 2

Operation

-1

-2

1

1

1

2

3

2

0 EU

-4

-5

8

10

© + 2 © © + 2 ©

3

b e

b2

2

e3

0

5

b1

1

0

-5

-6

b2

0

1

4

5

e3

0

0

-12

©

4

-15

- © © + 5 ©

Wegen Rg (B) = 3 sind die Vektoren x 1 , x 2 , x 3 linear unabhängig. (Satz 4.73) b) Durch Einsetzen der Vektoren χ 1 , χ 2 , x 3 in das Gleichungssystem folgt: X 1 ist keine Lösung, x 2 , x 3 sind Lösungen. c) Nach Satz 5.7 gilt: x2

Zeile

© © © © © © © © © ©

Operation

X4

1

3

-1

2

2

-2

3

-1

-2

-3

4

-3

-3

1

3

• 4

0

1

-3

0

E

4

-1

0

-3

-3

-5

5

4

0

4

-5

5

4

0

4 0

0

1

5 3 4 5 4

4

1

-5 1 4 5 4

0 1

©

© - 2 ©

© - 2 ©

©+!©

1©

/ o Spezielle inhomogene Lösung: x 1 =

^ V0

)

Lineare

Algebra

73

Allgemeine homogene Lösung :

/

4

\

/_ä\

5

LH = { χ e R 4 : χ = Γχ

4

+ r2

4 5 4

0

, r b r 2 e R}

(Satz 5.11)

1 Allgemeine Lösung : ί

(0\ 1

L = { x e R4 : χ =

0

/ _3 \

- i \ 4

4 5 4

5

+ Γ1

4

0

voy

+ r2

, rx.rj e R }

0

1 \

1/ (Satz 5.13)

Lösung zu A u f g a b e 30 a) Nach Satz 5.7 gilt: Zeile

® ® ® ©

Zeile

®

© © © © © © ©

Χι

X2

1

1

0

1 -1

1

0

1 0

0

0

0

xx

x2

X3

2

0

Operation

X3 0 5

-3

2

Operation 2

1

4

1

3

-1

3

1

2

-3

2

0

2

4

2

0 m 1 0

2

1

-7

1

2

0

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar.

3

1 4

©

®-® ®-®

0 ® - 2 © 1

®

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

b) Das erste Gleichungssystem bleibt unlösbar. Das zweite Gleichungssystem verändert sich nicht (vgl. erste Gleichung). c) Lösung des zweiten Gleichungssystems mit χ 3 = 0 :

x T = (0,1,0)

74

Lösungen

Lösung zu A u f g a b e 31 Nach Satz 4.76 bzw. 5.7 berechnen wir: Xj

Χ2

2-4

ΘΘΘΘ

[Τ]

0

0 — 1

2

ΘΘΘΘ

Zeile

Θ © Θ ©

0

1 - 1

1

3

0

0 α

0

1

0

1 0

6

0

0 - 1

2 0 1 α

1 0 0

1 0

6

ο

ο

(Τ]

ο

0

0

0

1-6

0

0

1 0 0

1 0

0

0

1

0

0

0

0

1

(Xl,x2,x3,x 1

für b = 1, α = - §

!

I = { x E R 4 : Xχ = 1

(Zeilen © - ( § ) ) mit

2\ 0 + Γι -3 oy

(Satz 5.9d)

1 \ -1 , η e R} 0 \ 1 /

(Satz 5.13)

( 6 \

d) Für α = 1, 6 = 0 existiert genau eine Lösung:

L = {

0 1 V4 /

Lineare Algebra,

75

Lösung zu A u f g a b e 32 a) Unter Berücksichtigung von Satz 5.9 gilt

Μ-î "HU ι

für /):

7 -14

1, (Satz 5.9d, 5.13)

also unendlich viele Lösungen für II):

Rg ^

* J = Rg

3

-1

6

2

= 2,

also eine eindeutige Lösung für III):

Rg

1

(Satz 5.9e)

= 1 < 2 = Rg

- 2

1

1 2

- 2

also keine Lösung für IV):

Rg(^_2

4

2

(Satz 5.9c) 1

J = Rg

-2

1

= 2,

4 2

- 2

also unendlich viele Lösungen

f0^

4

b) L = {x e R : X χ ==

1

l0

L =

)

/

/ o \

2

+ Γι

1

0 10

(Satz 5.9d, 5.13)

r

+ 2

)

1 \ 0 -1

\

1 /

rur2

E R} (Satz 5.13) (Satz 5.9c)

76

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 33 a)

4P l

+

Ρι 2pi 6pi

P2 + 2p3 = 1200 3 p2 + P3 = 600 P2 + 2p 3 = 800

+ + +

Zeile

© ©

2p2

© © © ©

© © ©

4p 3

=

2000

Operation

Pi

P2

P3

4

1

2

1200

3

1

600

2

1

2

800

6

2

4

2000

1

3

1

600

0

©

+

©

0

-5

0

-400

© - 2 ©

0

-1

-2

-400

© - 2 ©

0

0

0

0

1

0

1

360

0

1

0

80

0

0

-2

-320

©+!©

also ( p i , p 2 , p 3 ) = ( 2 0 0 , 8 0 , 1 6 0 ) 1 c) R g

1 2 \ 6

3 1 2

2 \ 1 f 4 1 1 3 = Rg 2 2 1 4 / l 6 2

(Satz 5.7) 2 1 2 4

1200 \ 600 = 3 800 2000 /

( S a t z 5.9e)

d) N e u e r P r e i s v e k t o r : ( ç i , ? 2 , Î 3 ) = ( 2 1 0 , 8 4 , 1 6 8 ) Rechnungsbetrag für Bestellvektor ( 2 , 2 , 2 ) : 420 + 168 + 336 = 924

Lineare Algebra

77

L ö s u n g zu A u f g a b e 34

a ) Sei

χ E R+

der Produktmengenvektor,

y e R+

der Zeitvektor,

ζ £ R4

der Kostenvektor,

dann erhalten wir mit Hilfe von Definition 5.18, Satz 5.20

R+

R + mit /χ ( χ ) =

1

0

0

1

1 0 1

0 1

( 01 V o

R + mit / 2 (y)

h : R4+

\ 2/4 /

(

( Ζχ \

2

0

1 \

3

0

3

1

0 2

2 1/

R+ mit / 3 ( x ) = { h ° / i ) ( x ) =

b)

/ 450 \

100

650

x =

V

50 350 )

y = /i(*) =

V

600 150 }

Ì

Ζ2 Ζ3 { «4 /

\ Vi 3 1

\ 2 / 250 \

2/1

V2 2/3

/ 2 h : R4+ -

2/3

\ ΧΑ )

0

1 o 0

yi

2/2

ο

3

(0

( \

1 \ 1 χι 1 Χ2 1 *3

2

\

(

Χχ\

X2 6 X3 4 \ x4 ) 2 ) / 1450 \

ζ = /a ( y ) =

3150 2300 V 1350 y (Definition 5.18)

Lösungen

78

c)

/ 2

1

3

2 \

3

3

0

6

3

4

W i r berechnen R g ( A ) mit A

1 5 V 2

Zeile

® © ® ® ® ® ® ® ® ® ©

Basis βΐ e2

a1

a2

a3

a4

2

1

3

2

3

0

6 4

m

3

1

5

3

e4

2

1

1

2

βΐ

0

Ξ

3

- 2

a1

1

1

0

2

e3

0

4

3

2

e4

0

0

- 2

0

a2

0

1

- 3

2

a1

1

0

3

0

3

0

0

15

e4

0

0

e

e

- 2

- 6

1

1 2 /

Operation

®

-

l

®

è ®

© + 4 ( D

®

0

also R g A = 4 Damit existieren 3 Lösungsverfahren: 1) Gaußalgorithmus 2) mit Hilfe von

A-1

(Satz 5.7) : Ax = b

3) Cramersche Regel: Ax = b

A_1b

=>

χ =

(Satz 5.32)

det A =>• x¡ = f

( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) (Satz 6.17)

Lineare

79

Algebra

Lösung zu A u f g a b e 35 a)

X\ x1

+ +

Zeile

®

©

®

© ©

© ©

©

X2 + + X2 +

2X2

2i3 3x3 + +

= = 2X4 = X4 = x4

Operation

x2

®3

1

2

0 4

1

2

3

1 7

0

1

1

2

0

0

0

1 1

1

1

2

0 4

0 0 1 0

1

1 3

1

1 23

0

0

1 1

X\

0

0

4 7 3 1

X4

Η

©

Widerspruch: Das Problem ist nicht lösbar

©

(Satz 5.9a) b) Korrektur der letzten Spalte: Zeile

© © © © ©

©

X2 X3

X4

Operation

1

0

1 -1

0

1

1

1 3

0

0

0

1

1

0

1

0 2

0

1

1

0 2

0

0

0

1 1

0

1

© - ©

©

©

entfällt

©

©

/ -1 \ ( 2 \ 2 -1 Lösungsmenge I = {x 6 R : χ = + r 1 0 \ 0) 11 4

e R}

(Satz 5.9d, 5.13) c) χ > 0 :

2 — r > 0, r ^ O

r e [0,2] / 2 \ l -1 \ 2 -1 4 L = {x e R : χ = + r 1 , ^ e [0,2]} 0 V 0 / V1 /

Lösungen

80 L ö s u n g zu A u f g a b e 36 a) Nach Definition 5.18, Satz 5.20d, 5.22c, Definition 5.23 gilt: Zu / existiert / - 1 , wenn F - 1 existiert, zu f,g existiert g o / , wenn GF existiert. Nach Satz 5.27 berechnen wir F - 1 :

ΘΘΘ

Zeile

F 1

E

0

2 1

Operation

0

0

ΘΘΘ

0

1

1 0

1

0

0

1

-1 0

0

1

1

0

0 1

-1

1

0

1

0

0

0 o " 1 o"

l i 2 2 i -Ι 2 2

Wir erhalten F

1

ω-©+® ì®+Ì®

ι©-ι® / 1 0 sowie GF 2 1 ο

=

0 0 \ 4 0 8 0 0 -2 ) (Definition 4.22)

Damit existieren / g°f

1

mit mit

-1

/ (x) (g o / ) ( x )

= F x = GFx

Es existiert nicht FG (Definition 4.22), also auch nicht f o g bzw. ( / o g ) - 1 . Es existieren weder G - 1 noch (GF) -1 (Definition 5.23), also auch nicht g_1 bzw. ( g o f ) ' 1 . b) Das Gleichungssystem / 0 \ / 1 0 0 0 4 0 2 8 V0 0 - 2 / besitzt die Lösungsmenge L = {

bzw.

—7 I }. I 18 }

x1 4x 2 2xi + 8^2 -2x3

5 -28

-46 -36

Lineare

81

Algebra

Lösung zu A u f g a b e 37

a) Nach Definition 5.29 gilt: AA

Τ

1 = -

/ 3

·

· \ φ E, also ist A nicht orthogonal.

64 + 18 + 18 48 - 24 - 24 I 48 - 24 - 24 36 + 32 + 32

1 BBT = —

V

100

3 0 - 30

30 - 30 - 4 0 + 40 I = Ε ,

- 4 0 + 40

50 + 50 /

also ist Β orthogonal. / 4 0 0 0\ 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 )

Τ 1 CCT = -

Ε , also ist C orthogonal.

V

/ 1

•

•

φ E, also ist D nicht orthogonal.

-16

DD

\

)

b) Nach Satz 5.27 berechnen wir: A

Zeile

ΘΘΘ

ΘΘΘ

ΘΘΘ

μι I2I 1 2 1 2 1

Rg A = 3,

ì 2 1 2 1 2 1

E _ì 2 1 2 1 2 -1

Operation

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

0

0

0

-1

1

-1

1

0

0

[Τ]

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1 0

1

A" 1 =

Β - 1 = BT = ^

2 ®

©

©+® (Satz 5.25)

8

6

[ 3\/2

-4^2

5λ/2

-4λ/2

-5y/2 j

3V2

0 \ , Rg Β = 3

(Satz 5.25)

82

Lösungen

( C

= \

t \ D =

1 1 1 1

Λ/2

-yft

0 0

0 0 \ 0 0 0 1 0

\

\ 0 0 0 2 )

(Satz 5.25)

RgC = 4

)

/ 4 0 0 V0

0 0 0

0 \ 0 V2 x/2

0 0 0 \ 2 0 0 0 1 0 0 0 ì /

(Beispiel 5.28)

(Satz 5.25)

RgD = 4 c) CXCT = D => CTCXCTC = EXE = X = CTDC

(Definition 5.29, Satz 5.32)

1 2

(1

1 0 \ ( 1 0 0 1 0 2 0 1 -N/2 1 0 0 1 -1 4 0 0 4 1 0 V 0 0 0 -%/2 l 1 2 1 4\/2 1 0\ 1 1 2 - 4\/2 1 0 1 -2 8\/2 v/2 0 16 2 ) 0 -8V2 l 1 V 0 -1 -- ι \ -5 11 1 11 - 1 -- 1 -5 -1 -1 19 - 13 16 V - 1 - 1 -13 19 /

)

(

(

(

1 1 1 1 \ 0 \ 1 1 1 -1 -1 0 0 0 0 2 V2 - V 2 0 0 V2 8 ) -y/2 l 1 1 1 ^ 1 -1 -1 -V2 0 0 0 V2 -y/2

;

(

(Definition 4.18,4.22)

Lösung z u A u f g a b e 38 a)

Output Landwirtschaft: Output Verkehr:

b) A =

E-A

100 500 200 500

xx = 100 + 100 + 300 = 500 x2 = 200 + 100 + 100 = 400

100 \

0.2 0.25 400 0.4 0.25 100 4ÖÖ ! 0.8 - 0 . 2 5 -0.4 0.75

(Beispiel 5.34)

Lineare

Algebra

83

Nach Satz 5.27 berechnen Zeile

E - A

Operation

E

© Iii ® ® ® o Iii ® ®

1

0

2 5

3 4

0

1

1 1

—516

!

0

1

0

0

1

(E " A ) " 1

1

1

3 2 4 5

1 2 8 5

1.5

0.5

0.8

1.6

c) Endverbrauch:

y =

d) Output:

χ =

f® © + KD ® + §® I® 0.8

-0.25

600 ^

355

-0.4

0.75

500 ,

135

1.5

0.5 \ / 330

0.8

1.6 / ( 110

Η

' 550 . 440

)

x2

6 R+ :

L ö s u n g z u A u f g a b e 39

a) Menge aller produzierbaren Quantitäten χ =

\χ3 { x £ R3+ : 5zi Ixi xx b)

5xi

+4χ

Txi

+

2x 2

χι

+

+

4x 2

+

3x 3

£

180

(Maschine M i ) ,

+

2x2

+

x3


min

(Kosten)

b) χχ = 1 — x 2 — x 3 ^ 0 =ί> 12(1 - χ

2

- X3) + 18x 2 + 2x 3 = 12 + 6x 2 - 10x 3 -> min

mit 40(1 - x 2 - X3) + 20x 2 è 6 =>

20x 2

+




0.1

(II)


X! = 1 - x 2 -x3

= 0.2

Kosten pro Liter: 12 + 6 · 0.1 - 10 · 0.7 = 5.60 (DM)

Lineare

87

Algebra

Lösung zu Aufgabe 42 a)

Xj § O :

Eigenheime vom T y p A

i2 > 0 :

Eigenheime vom T y p Β

200XI

+

200^2

á

1600

(Kosten im 1. Jahr)

120XI

+

200X2

Á

1200

(Kosten im 2. Jahr)

(330 - 320)χχ + (420 - 400)x 2 = lOxi + 20x 2

max

(Gewinn)

b ) Simplexverfahren (Figur 5.14):

Basis

a1

βι

200

200

β2

120 12001

ΘΘ

Zeile

© © © ©

a 2 βι

Pivot—

Pivot—

spalte

zeile

e2

b

1

0

1600

2

0

1

1200

da 20 maximal

10

20

0

0

0

«1

80

0

1

-1

400

a2

0.6

1

0

-2

0

0

55S

Operation

2 da a a 200 minimal

6

© - © à>®

-0.1 -120

Für die Lösung des Problems gilt: ( χ ι , χ 2 ) = ( 0 , 6 ) mit lOxi + 20x 2 = 120 Für den Bau von 6 Eigenheimen vom T y p Β wird der Gewinn mit D M 120 0 0 0 . - maximal. c)

Kosten im 1. Jahr :

200-4 + 200-4 = 1600

Kosten im 2. Jahr :

120 · 4 + 200 · 4 = 1280

=> Erhöhung des Kapitals nur im 2. Jahr um D M 80 0 0 0 . d)

+

20x 2

320xi + Χι, x 2 ^ 0

lOxi

400x2

Lösung :

—> max ^

2800 ( I )

( x i , x 2 ) = (0,7) Gewinn = 140 0 0 0 . (Beispiel 5.53)

88

Lösungen

L ö s u n g zu A u f g a b e 43 Duales Problem + X2 + 2x3 —• min mit 5xi + x2 + 5x 3 > 6 5xi + 5x2 + X3 ^ 10 x1 + 5x2 + 23 > 6 Χι

+

X2

Χι, %2, X3

+

X3

^

Primales Problem (Definition 5.60) 6yi + IO1/2 + 6j/3 + 4y4 max mit 5yi Vi 5î/i

4

è 0

+ + +

5y2 5J/2 Vi

+ + +

+ + +

2/3 5y3 yz

2/4


0

det A < 0

c G (2,3)

c > 3 oder c < 2

c) Nach der Sarrusregel und Satz 6.17 gilt: det

/ 2 2 3 1 c 3 I = V0

2

2c2+ 0 + 6 - 0 - 1 2 - 2 c

=

2(c2-c-3)

c

/ 1 2 3 det 1 1 3

=

c + 6 + 0 —3 —0 —2c

=

-l(c-3)

det

=

0+ 2+ 4-2c- 2- 0

=

- 2 ( c - 2)

1 c 1

U 2 0/ Daraus erhält man die Lösung: 2(c2-c-3) —l(c — 3) ¿ c2 — 5c + 6 ' (c-2)(c-3) 2 , -2(c-2) i3 (c-2)(c-3) 3— c

1 2 — c'

Lösungen

90

L ö s u n g zu A u f g a b e 45

Y

a)

C C

+

-ßY

= I0+ G0

-¿y /

ι

/

ßT

+

r

= =

α o

o \ / y \

-ι

\ -ß V -t

ß

i

c

Io + Go a

=

) \ τ

ο ι

O

j

1 - 1 0

-β

b ) det

+

1 β \ =l+ßt

ν -í

o

ι

+0 - 0 - ß - 0 = l +

ßt-ß

; (Definition 6.3, Figur 6.2 (Sarrusregel))

Wegen/?, t e ( 0 , 1 ] gilt l + ß t G ( 1 , 2 ) , 1 + ßt - β e ( 0 , 1 ) . c) W i r berechnen die Kofaktoren zu A (Definition 6.6): du = = ¿21 = =

1 —det

=

ß-ßt

0 Î ) ' d2i =

det

=

1

1

(¿31 =

det

-

-ß

A- ι

ί?

det

1 det A

-1 1

0

=

Χ = A - 1 b =*·

l + c

I =

ι +

1

-i

0

23 =

1

-det

1

-1

-t

0

1

0

-β

β

d33 = det ^ =

*

i - ß

\

1

1

-/?

= t

-ßt t

ßt-β

det

t

~ß

1

D

( -t

-det

β I ' °32

-1?

di 3 =

1 -β 1 -β t ι- β J

(

ι ß-ßt ßt-β V t

I 1 t

(Satz 6.15a)

-β -β ι - β

/ I0 + Go a

V

0

Daraus erhält man

Y =

I0 + Go + a l + ß t - ß '

C = (ß-ßt)(Io + G0) + a l+ßt-ß

τ

_ t(Io + Go) + t a l + ß t - ß

Lineare

91

Algebra

Lösung zu Aufgabe 46

a) det

/ 0.3- λ V ο· 4

0.4 0.9-λ

= (0.3 — λ)(0.9 — λ) — 0.16 = 0.11 - 1.2λ + Λ2 = (1.1 - Α)(0.1 — λ) = 0 (Definition 6.19, Satz 6.20)

Der größte Eigenwert ist λ = 1.1. Den Eigenvektor erhält man aus 0.3-1.1 0.4 ,

0.4 0.9-1.1

\ι

α 2α

x2

Xl

-0.8

0.4

χι

X2

0.4

-0.2

x2

mit α ψ 0

(Definition 6.19, Satz 6.20,6.21)

b) Hat man das Produktionsniveau Χι = α, x 2 — 2α (α > 0) in Periode t, so ergibt sich für Periode t + 1 : Χι — 1.1α, x 2 = 2.2a, also ein gleichförmiges Wachstum um 10%. c) Wegen x2 = 2a — 2xi (aus a)) ist die Gesamtproduktion von 6000 Einheiten in der Form x\ = 2000, x2 — 4000 aufzuteilen. Daraus folgt für die nächste Periode: die übernächste Periode:

xx = 2200 , xx = 2420 ,

x2 = 4400 x2 = 4840

Lösung zu Aufgabe 47 a) Es gilt die Beziehung ( xt\ )

\yt

=

(

0.9

v/006 \ ( Xt—i \ _ χ (

VV06

0.8

J ^ yt-1

)

xt-i yt-x

und wir erhalten ein Eigenwertproblem der Matrix (

0.9

V \/Ö36 d

e

t f 0 ^ V V0.06

\/(Π)6 \ 0.8

J "

o f ^ ) 0.8 - λ j

=

=(0-9-Λ)(0.8-Λ)-0.06 0 66 _ + λ2 = (0 6 _ Λ)(1

=> λι = 1.1, λ 2 = 0.6 Mit Λ = 1 + ^

folgt

Pl

= 10, p2 = - 4 0 .

Λ

_

λ) =

0

92

Lösungen

b) Mit pi = 10 erhält man einen gleichförmigen Wachstumsprozeß um 10% mit ι

xt

11'

Vt }

a'i_1 \ Vt-i

mit p2 = —40 einen gleichförmigen Schrumpfungsprozeß um 4 0 % mit M ^ o . e f * ' - 1 yt ) \ yt-i c) W i r bestimmen die Eigenvektoren zu λι = 1.1 aus 0.9-1.1

VO6

v/ÖO6

\(xo\

(

-0.2

y/ÖM\f

0.8 - 1.1 J V yo J ~ { \ / θ 6

xo\_( yo )

VÖM/0.2 V

\ / '

1

xo yo

also

-0.3

x0

\

i 0

) \ y0 ) ~ \ 0

L225_

w

Lösung zu Aufgabe 48

a) det

4 - Λ

v/3

v/3

2 - A

= (4 - A)(2 - A) - 3 = 5 - 6A + A2 = 0 => Aj = 5, λ 2 = 1

b) Eigenwerte von A :

Αχ = Ax

Eigenwerte von A _ 1

A 1J AA

Eigenwerte von

(Definition 6.19, Satz 6.20)

A~1

y

(Definition 6.19) ι II ·μ -A

=

μγ

=

1 -ι — Αμγ μ

-y = Ay

μ =

~μ~

μι = g, μ·2

Die Eigenvektoren von A und A

1

stimmen überein.

c) Die Matrizen A und A _ 1 sind postitiv définit.

(Satz 6.35a)

d) F ü r A gilt: -1

v/3

v/3

-3

F ü r A" 1 = 1

5

.¿I 5

ι

(Definition 6.19) λ/3 \ 1 / 5

.¡ä

5 3 5

Die Vektoren

Í 0 0

2

-y/Z

-y/3

4

λ/3 1 v/3 1

3

bzw.

v/3 1

1 -λ/3

2

5 5

0 0 1 -V3

bzw.

5 4 5 3 5

.¡ä

5

gilt:

5

_ 1

5

(Definition 6.19) 1 -V5

sind Eigen vektoren von A und A 1 .

Lineare

Algebra

93

L ö s u n g zu A u f g a b e 49

a) det

det

/ α - λ O V O / -A O Vv

a

O 1 - λ O O 1 — A O

O \ O = (α — A ) 2 ( l — Λ) = O => Aj = A2 = a, A3 = 1 a- A / a \ O —A / '

= A 2 ( l — A) — a 2 ( l — A) = (A 2 — a 2 ) ( l — A) = O > = a, λ, 2 — — a, Aj (Definition 6.19, Satz 6.20)

b) Unter Berücksichtigung von Definition 6.32, Satz 6.35 gilt: A ist positiv définit für a > Ο positiv semidefinit für α > 0 indefinit für α < 0

Β ist positiv semidefinit für α = 0 indefinit für α φ 0

L ö s u n g zu A u f g a b e 50 a) Nach Definition 6.19 gilt: / ci - 1 2 2 c2- 1 \ 2 1 ^

2 \ 1 es - 1 ) ^

/

ci -

1-4

2 - 2

^ 2 - 2(c 3 - 1)

"2/

(0

0

V o

C! = 5, c3 = 2, c 2 e R

b) Mit X :

M 0 ist jedes y : -2 }

0

mit α φ 0 Eigenvektor.

-2a

(Satz 6.21) c) Nach Definition 6.37, Satz 6.38 gilt: det Hj = det 5 = 5 > 0

(

5

2 \

4

= 5C2 - 4 > 0 für c2 > ¿ c2 J 5 / 5 2 2 \ det H3 = det 2 c2 1 = 10c2 + 4 + 4 - 4 c 2 - 5 - i \2 1 2 / = 6c2 — 5 > 0 für c 2 > g A ist positiv définit für c2 > - . 6 d) Wegen Satz 6.35a steht der Eigenwert A2 = —3 im Widerspruch zur positiven Definitheit von A.

Lösungen

94

L ö s u n g zu A u f g a b e 51 g a) e = 2.71828... ist Eulersche Zahl, also ist — > 1 ^

α

"

=

en 2"

fe\n v2/

=

(e\n(e\ /e\n+1 oo ist (d n ) konvergent mit dem Grenzwert 0. (Definition 7.9) Ferner ist (d n ) beschränkt mit genau einem Häufigkeitspunkt. (Satz 7.12c) 1 1 j «η έ «n+1 2 2 y/n

+ 1 + η

^/(n

+ l)

2

^/(n

+ l)

+ 1 + « + 1

+ 1 + n + 1 > Vn2

+ 1 +

η

Also ist (d n ) auch monoton fallend. b) pn =

n(n-l)(n-2) 1·2·3·" 5 = (-l)»ni

(—1)" • 6ni

n!-2"

%

1-

_ l i f n — 2Ì

(Definition 7.7)

-> o für η -> oo (Satz 7.15, Beispiel 7.16b)

1 „

n! 2" wegen — —• 0 für η —• oo (Beispiel 7.16c),

n5 —- —» 0 für

η

(Satz 7.15, Beispiel 7.16b)

Lösung zu Aufgabe 52 3 5 9 a ) a 0 = 2, a j = - , a 2 = - , a 3 = - , . . . 2" + 1 Wir vermuten a n = ——— und beweisen dies mit vollständiger Induktion. A(0):

Oo =

»/ \

A/

2° + 1

^¡j

=2

, ,χ

2- + 1

A ( n ) => Α (η + 1) : Beweis: α + 1 = η On+1 2 Ferner gilt:

(Satz 2.24)

αη = — —

2n+1 + 1 => α η + 1 =

2π+1

g ^ + l _ 2" + 1 + 2" _ 2" +1 + 1 ~

2

2" + 1 = 1 Jim^On = lim ———

~

2"+1

~

2 n +! (Definition 7.9, Beispiel 7.16b)

Lösungen

96

1 1 L 2 , 2 3 2 , 1 4 2 »0 = 2, Oj = 2 - — = 1, ¿>2 = 1 · - , ¿>3 = - · - = - , b4 = - · - = - , 3 4 2 5 2 Wir vermuten bn = η + 1 und beweisen dies mit vollständiger Induktion. (Satz 2.24) A(l):

b0

A(n)

A(n + 1) :

Beweis: 6

"

+ 1

2=2 1

~

6

n + 1 > + 1) + 1

2 — 7 bn = n + 1

2 bn+1 = — — η+¿

2 n + 1 n + 1 n + 2

2 n+ 2

Ferner gilt: 2 lim b — lim = 0 n—too n n—*oo 72 -j- J

(Definition 7.9)

b) Wir überprüfen zunächst die Monotonie: Cn ^ c n + 1

cn >

1 o

2c n >


also


0 gilt f(x)

= —χ2 + 1.

Nach Definition 8.14, 8.16 sowie Beispiel 8.15, 8.17 ist / streng monoton fallend sowie streng konkav. Damit ist die Funktion insgesamt konkav. d)

lim fix) X—»OO lim f(x) X—OO

V

=

lim (—z2 +v 1 ) X—»00

=

=

lim (^z + 1) X—• — OO 3

=

1

—00 —00

Also existiert kein Minimum. Aus der Monotonie folgt: / ist maximal für ζ = 0 mit /(0) = 1

Lösungen

104

L ö s u n g zu A u f g a b e 61 Durch Polynomdivision erhält man:

(Beispiel 8.27)

(x 5 + 5x 4 + 10z 3 + 16x2 + 15x + 7) : (x 4 + 5x 3 + 9x2 + 8x + 4) = χ xs + 5x 4 + 9x 3 + 8z 2 + 4a: χ 3 + 8x 2 + l l x + 7

bZW

"

q{x)

, χ 3 + 8x 2 + l l x + 7 = " (χ + 2) 2 (x 2 + χ + 1) = * +

+

r{x)

Für r(x) existiert eine Summendarstellung der Form: x 3 + 8x 2 + l l x + 7 (x + 2) 2 (x 2 + x + l)

Vi χ + 2

v2 (x + 2) 2

(Satz 8.28)

v3 + v4x χ2 + χ + 1

x3+8x2 + l l x + 7 = υ1(χ+2)(χ2+χ+1)+υ2(χ2+χ+1)+υ3(χ+2)2+ι;4χ(χ+2)2 Koeffizientenvergleich: X3 X2 X1 Xo

1 = 8 = 11 = 7 =

t>! 3υι + v2 3υι + 2vi + v2

+ + +

+ V4 (1) V3 + 4l>4 (2) 4v3 + 4I»4 (3) 4υ3 (4)

(3) - (2) : 3 = 3υ3 (2) — (1) — (4) : 0 = - 3 υ 3 + 3υ4 (1) : 1 = uj + v 4 (4) :

7

=

2VÍ+V2

Daraus ergibt sich die Lösung: q(x) = x+

1+ χ 3 -—-TT2+ 2 (x + 2) 2 χ + χ + 1

+ 4V3

v3 = 1 => v 4 = 1 => V! = 0 =>

v2

= 7 -

4 =

3

Analysis

105

Lösung zu Aufgabe 62 a) χχ χ·ί + eXl < x2 + e*2 =i> / ( x j ) < f(x2)

also ist / streng monoton wachsend in R / ist stetig für alle χ G R b)

/(-1) /(0)

= =

- 1 + e" 1 0 + e°

< =

,

(Definition 8.14) (Beispiel 8.55a, Satz 8.56a,g)

0 1> 0

Wegen a) besitzt / genau eine Nullstelle, diese liegt im Intervall (—1,0). (Satz 8.63a) c)

/(—0.5) /(-1)

= =

- 0 . 5 + e" 0 · 5 -1+e-

1

=

0.1065

=

-0.6321

=*· ( - 1 , - 0 . 5 ) enthält Nullstelle von / /(—0.6)

=

— 0.6 + e - 0 · 6

=

-0.0512

(-0.6, -0.5) enthält Nullstelle von / /(—0.55)

=

- 0 . 5 5 + e-°· 55 =

0.0270

(-0.6, -0.55) enthält Nullstelle von f /(—0.57) =

- 0 . 5 7 + e-°· 57 =

-0.0045

=>· (-0.57,-0.55) enthält Nullstelle von / /(—0.56)

=

-0.56+e-°·56

=

0.0112

=> (—0.57,0.56) enthält eine Nullstelle von / mit einer maximalen Abweichung von 0.01.

106

Lösungen

L ö s u n g z u A u f g a b e 63

a)

Γ 80 + 2x = ·|

k(x)

(

für χ G [0,100]

α + 5x

für ζ G (100,500] für χ G (500,1000]

b+x

Aus der Stetigkeit von k folgt lim k(x)

=

lim k(x) a:\500 V '

=

x\100

(Definition 8.54)

lim (α + 5 x ) = a + 5 0 0 = fc(lOO) = 280

x\100

-220

r k(x)

lim (b + x) = 6 6+ + 500 = ¿(500) = - 2 2 0 + 2500 z:\500 b = 1780

80 + 2x

= i

- 2 2 0 + 5x

(

1780 + χ 80 X -220

k(x)

X 1780 X

für χ G [0,100] für s 6 [100,500] für χ e [500,1000]

+ 2 + 5

für χ e [100,500]

+ 1 1

für χ G [500,1000]

b)

k(x)

2780 2280

^-

2000

1000 280/ 80

100

500

X 1000

40 100

500

1000

Analysis

107

c) Unter Berücksichtigung von Definition 8.14 und Beispiel 8.15 gilt χ Ε (0,100]

=¡>

X £ [100,5001 1 1 χ 6 [500,1000]

fällt monoton mit ^ ^ 100

χ

wächst monoton mit

χ =>

= 2.8

500

= 4.55

^ ^ fällt monoton mit ^ q q q ^ = 2.78

Die Stückkosten sind minimal für χ = 1000 mit — - — = 2.78 1000

Lösung zu A u f g a b e 64 a) Aus s (100000) = 0.3(100000 - 5 0 0 0 ) = 28500 folgt: s (χ) = 28500 + 0.5 (χ - 100000) für χ S 100000 b) Man bestimme χ mit χ — s (χ) > 68000. Für χ G [5000,100000] gilt: χ - 0.3 (χ - 5000) 0.7χ χ

> 68000 > 66500 ^ 95000

Da χ — s (χ) monoton wächst, erhält man χ ¿ 95000. c) Nettojahreseinkommen von Herrn Fleißig: α = 48000 - 0.3(48000 - 5000) = 48000 - 12900 = 35100 Nettojahreseinkommen von Herrn Clever: b = 21000 — 0.3 (21000 - 5000) + 21000p α 90(%) ist das Nettojahreseinkommen b von Herrn Clever höher.

Lösungen

108

Lösung zu Aufgabe 65 a) Mit Definition 8.20, 8.47 und Satz 8.48 gilt: 3Ί(χ + 12) =

cos(£(x + 12)) = cos(§x + 2tt) = c o s ( f x ) =

^(x)

^ 2 ( ϊ + 6)

=

s i n ( | ( x + 6) + π) = s i n ( | x + 3π) = s i n ( | x + π) — g2(x)

f ( x + 12)

=

c o s ( | ( x + 12)) + s i n ( f ( x + 1 2 ) + Tr)

=

c o s ( | x ) + s i n ( | x + tt) = f ( x )

D a m i t besitzen g1 und / die Periode 12 und g2 die Periode 6.

Nach Zeichnung liegt das Maximum von / bei χ = 10 oder 11, das Minimum bei χ = 7 oder 8 (Definition 8.9). Wir berechnen cos("tt) + sin(y7r) /(10)

=

\

+

=

m

=

m)

=

cos(|jt) + sin(|7r)

=

cos(|7r) + sin(|7r)

=

— cos(g7r) — sin(|7r)

=

— cos(|tt) — sin(i?r)

1 3 6 6

cos(^-x) + sin(y7r) /(II)

=

^

+ ^»1.732 2 2 cos(|tt) + sin(y7r) -1.732 cos(|7t) + sin(yTr) -1.366

D a m i t ist χ = 11 maximal mit / ( I I ) = 1.732, χ = 7 minimal mit /(7) = -1.732.

Analysis

109

L ö s u n g zu A u f g a b e 66 a

) f . . _ Γ e4x / W - I _ ln(_a.

ι)

+

+

ι

für χ > 0 für χ < 0

/ ist stetig für χ ^ 0

(Beispiel 8.55a, Satz 8.56a,b,c,e,g)

lim(— ln(—χ + 1) + 1) = - l n l + 1 = 1 = e° = / ( 0) xyo Damit ist / stetig für alle χ € R. b) Für χ

(Definition 8.54)

0 ist / differenzierbar und stetig

(Satz 9.4, 9.7a,b, 9.9a, 9.11a,c) (Satz 9.5)

Es gilt: .. J W

J ae4x - 1v - 1 η ( - χ + α) + ό

für χ > 0 fürx 0 ] λ

( 8e 4r /"(*)= \ — L —

für χ < 0 I >

0 für alle 1

^ °>

=

2

für χ > 0 Ì fürx0fürallex^0

lim ( r r r ) = 4 < lim 8e 4x = 8 x/o \ ( - x + \ f ) *\o Damit ist / streng monoton wachsend für alle χ 6 R und streng konvex für alle χ E R.

(Satz 9.26d) (Satz 9.27d)

110

Lösungen

Lösung z u A u f g a b e 67 / ist stetig für i ^ O

(Satz 8.56b,c,d,g)

Für χ = 0 gilt nach dem Satz von de l'Hospital: lim jt-0

ex — χ — 1

(Satz 9.15)

e* - 1 ,. e 1 1 = lim — = hm — — - , r—>o 2x χ-* 2 2

also ist / stetig für alle χ G R . / ist differenzierbar für χ φ 0 mit: . f {X)

(ex — l)x2 — (ex — χ — l)2x = = ϊϊ

(Satz 9.4, 9.7a,b,c, 9.11c) ex(x - 2) + χ + 2 ^

Für x = 0 gilt:

(Satz 9.15)

,. ex(x - 2) + ι + 2 hm —χ—ο χ3

= =

ex(x - 2) + e 1 + 1 lim —5 — = x—*o 3x2 ,. ex(x - 2) + 3ex lim —= s-o 6

,. ex(x - 2) + 2ex lim 6x 1

6

Damit ist / differenzierbar für alle i f R und es gilt / ' ( 0) = - .

Lösung z u A u f g a b e 68 a) Nach Satz 9.30 gilt: f[{x) f['{x)

= =

6i2-6=0 i = ±l 12x > 0 für χ = 1 < 0 für χ = - 1

Wegen Jim^ / i ( x ) — oo,

fi besitzt eine lokale Maximalstelle für χ = — 1 mit / i ( —1) = 4 und eine lokale Minimalstelle für χ = 1 mit / j ( l ) = - 4 .

lim / i ( x ) = - o o gibt es keine globalen Extre-

malstellen.

fS{x)

(Definition 8.9)

¡2 besitzt eine lokale Maximalstelle für i = l mit = χ — 3x + 2 = 0 ι = 1, 2 i 5 = 2 s - 3 > 0fürx = 2 1 / 2 (1) = - + c und eine lokale < 0 für χ = 1 J Minimalstelle für χ = 2 mit / 2 (2) = | + c.

Auch in diesem Fall gibt es keine globalen Extremais teilen.

111

Analysis

b) g ist für alle χ φ 1 differenzierbar mit: . 9

Μ

Γ 6a; — 6 = \χΐ-Ζχ + 2

für χ < 1 fürar>l

2

(Satz 9.4, 9.7a,b) . Und

lim(6x 2 - 6) = 0 = lim(x 2 - 3x + 2) g ist für χ = 1 differenzierbar, wenn g für χ = 1 stetig ist. Man erhält die Bedingung: lim 0

- 4 + 16(p - l) 2 > 0

(Satz 9.26) (ρ - l ) 2 >

f"(p)< 0 Damit ist /

ί

pe(i|> 1 3 streng konvex für ρ 6 [0, —] U [ —, 5], 1 3 streng konkav für ρ G [ - , —].

(Satz 9.27)

b) Aus der Monotonie folgt: ρ = 1 ist Maximalstelle mit / ( l ) = lOOOe0 = 1000 Ferner ist / ( 0 ) = lOOOe"2, / ( 5 ) = lOOOe"32, also ist ρ = 5 Minimalstelle von / . 1 3 F ü r ρ = - , - erhält man zwei Wendepunkte von / mit / ( Ì ) = 1000e-5 = / φ .

(Definition 9.32)

113

Analysis

/'(ρ)

p l f W ]

ÁP)

=

7ÎP)

-4000(p -

l)e-^)2p

lOOOe-'C-')'

=

-

1}

(Definition 9.20)

Wir untersuchen zunächst |ε/(ρ)| = 1 : - 4 ρ ( ρ - 1) = 1

4ρ2 - 4ρ + 1 = 0

ρ = - ( 4 ± v l 6 - 16) = 8 2

- 4 ρ ( ρ - 1) = - 1

4ρ2 - 4ρ - 1 = 0 «· ρ = ^(4

±

Λ / 1 6 + 16) =

Daraus folgt mit ε/(0) = £/(1) = 0 Μρ)|1

für ρ e

5]

Die Nachfrage reagiert auf Preise aus ( auf Preise aus [0,

U (i, —

)

1 "i" >/2 ,5] elastisch,

unelastisch.

1

^

114

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 70 a) Nach Beispiel 9.21 gilt 1 1 Pf(x) = 2' Ps(x) = ^ ε

1 Λχ)=2Χ>

b) ε Ja) =

C

c(a)

=

Ράχ)

1

= Pf(x) ~ Pg(x) =

CfÁ x ) = £ f ( x ) + £ g( x ) =

χ - 1 χ +1

(Satz 9.22d) (Satz 9.23c)

= 1 =>· c'(a)a = c(a)

c( χ ) ^ folgt daraus: χ . , c'(x)x , χ = a : e c (x) = ~ V 4 - = 1 => c(x)

Mit s(x) =

χ < a : ec(x) =

C

^ ^ c(x) => s'(x) > 0

Die Stückkostenfunktion s wächst für χ k a und fällt für χ < a streng monoton (Satz 9.26), also wird sie für χ = a minimal.

Analysis

115

Lösung zu A u f g a b e 71

a

)

ff(p)

9ÍP)

=

Umsatz - Kosten = px — c(x)

=

1300p - \p3 - 10p2 - 30(1300 - \p2 - 10p) O ö

=

1600p - i p 3 - 39000 - ^ ^

=

^ ^ ó

für ρ G [0,45]

sonst

b) Unter Berücksichtigung von Satz 9.30 erhalten wir für ρ G [0,45] g'(ρ) g"(ρ)

= =

1600 — ρ 2 = 0 ρ = 40 -2ρ < 0 für ρ = 40

Der Gewinn wird maximal für ρ = 40 mit , , 64000 2000 40 ist der Gewinn für ρ G [0,40] streng monoton wachsend, für ρ G [40,45] streng monoton fallend. (Satz 9.26) Wegen g"(p) = —2p < 0 für ρ G (0,45) ist g für alle ρ G [0,45] streng konkav. (Satz 9.27)

Lösungen

116

Lösung z u A u f g a b e 72 a)

Maximalabsatz: χ = 20 für ρ — 0 Kosten: fc(20) = 20 · c(20) = 40 Minimalabsatz: χ — 0 für ρ ^ 10 mit fc(0) = 0

b) χ = —2p + 20 < 10

=>

10 < 2p

=> p> 5

c) ρ e [0,10) => χ Ç (0,20] g(p)

g(p)

=

xp — xc(x)

=

—2p2 + 20p — (—2p + 20)(2p — 20 + 12)

=

2p 2 — 36p + 160

= =

2

- 2 p + 20p ~{-2p 1

-2p

+ 24p - 40

für χ e (0,10] bzw. ρ e [5,10) + 20)2 für χ G (10,20] bzw. ρ G [0,5)

d) Unter Berücksichtigung von Satz 9.30 erhalten wir für ρ G (5,10): g'(ρ)

=

¡Tip)

-

4p - 36 = 0

ρ= 9

4>0

Der Preis ρ = 9 beschreibt ein lokales Gewinnminimum. Andererseits gilt für ρ € (0,5): g'(p)

=

- 4 p + 24 > 0

Die Funktion wächst streng monoton für ρ 6 [0,5].

(Satz 9.26)

Für ein Gewinnmaximum kommen die Werte ρ = 5, ρ = 10 in Frage: g(5)

=

50 - 180 + 160 = 30

0(10)

=

200 - 360 + 160 = 0

Der gewinnmaximale Preis ist ρ — 5 und das Gewinnmaximum g(5) = 30.

Analysis

117

Lösung zu A u f g a b e 73

a)

70z2 + 4560z + 27000

g (ζ)

=

/ M

-

/'(χ)

=

140 · 10 _ 8 (x — 80000) + 4560 · IO - 4

=

0.0000014x - 0.112 + 0.456 = 0.0000014a: + 0.344

+

4 5 6 0 ^ 5 2

+

2,000

(Satz 9.4, 9.7) b) f'(x) wird minimal für χ = 80000, maximal für χ = 130000

c)

/'(80000) /'(130000)

= =

0.112 + 0.344 = 0.456 0.182 + 0.344 = 0.526

/'(χ)

=

0.0000014z + 0.344 = 0.5

=Φ

IO- 7 · 14s = 0.156 =» X =

£ / (100000)

=

/

g

)

1560000 = 111428.57 14

100000

(Definition 9.20)

0.14 + 0.344 •100000 70 • 4 + 4560 · 2 + 27000 48400

1.33 36400 Der Wert ey(lOOOOO) = 1.33 entspricht der Veränderung der Einkommensteuer für ein Einkommen von χ = 100000 bezogen auf die Durchschnittssteuer oder dem Quotienten aus relativer Änderung der Steuer zur relativen Änderung des Einkommens. Wegen £y(l00000) > I reagiert die relative Änderung der Einkommensteuer überproportional auf eine relative Änderung des Einkommens χ = 100000.

Lösungen

118

Lösung zu Aufgabe 74 a)

f'(x) = χ3 -2x2

+ 3x - 4 =

für χ = 1

-2 2

für χ = 2

In [1,2] liegt eine Nullstelle von /'.

(Satz 8.63)

/"(z) = 3z 2 - 4x + 3 = 2x2 - 4x + 2 + x2 + 1 = 2(x — l) 2 + χ 2 + 1 > 0 für alle i é R Damit wächst /' streng monoton in R (Satz 9.26) und /' besitzt genau eine Nullstelle, die in [1,2] liegt. Wegen f"(x) > 0 für alle χ ist diese Nullstelle eine lokale Minimalstelle (Satz 9.30) von /. b) Zur Berechnung der Nullstelle von /' verwenden wir den Satz 9.34. Wegen f"'(x) = 6x - 4 > 0 für alle χ £ [1,2] liegt in Satz 9.34 der Fall i) vor. Mit der Startlösung Xq = 2 gilt: f'(x0)

ÌX1

Xl

=

x

_2Ì

s

1 ^ 1

X2

=

Xl

2

° - J ^ Ö )

ï

12 =

T

12 0.3032 " "τ"- T959"=

~

./'(1.65), "^^"(T)

- 7

=0.1516 > 0 . 1

f'(xi)

\X2-Z\

= 2

=

,-0.003, = 0.0015 < 0.1 2

Der gesuchte Näherungswert ist x-i = 1.65.

Analysis

119

Lösung zu Aufgabe 75 / ist definiert und differenzierbar für alle χ > — 1 fix) J

K

'

= — 1+ χ

(Satz 9 . 4 , 9 . 7 , 9 . 9 , 9 . 1 1 )

1 + χ - χ2 = 0

1 - 1 - χ + x{\ + x) - x2(l

+ x) - -χ3

= 0

χ = 0

- 1 + 1 + I x + X2 - 2x - 4 x 2 - 2a;3 = - 3 x 2 - 2 x 3 = Ο ' " ' ^ ( T T ^ / ( 4 ) (Wz ) =

2

™

=

χ = 0

0

~ < o für alle χ > - 1 (1+x)4

Daraus folgt nach Satz 9.46a : χ = 0 ist lokale Maximalstelle von / mit / ( 0 ) = 0 Wegen f'(x)

> 0

-χ3 > 0

χ < 0

wächst / streng monoton für alle x £ (—1,0] bzw. fällt / streng monoton für alle ι ί Ο . (Satz 9.26) Ferner gilt: lim f(x)

= — oo

Wegen f"(x) < 0 - z 2 ( 3 + 2x) < 0 alle χ > — 1 streng konkav.

χ € ( - 1 , 0 ) U (Ο,οο) ist / für (Satz 9.27)

Damit ist χ = 0 auch globale Maximalstelle, es existiert weder eine Minimalstelle noch ein Wendepunkt. (Satz 9.46,9.47)

Lösungen

120

Lösung z u A u f g a b e 76 a) Wir bestimmen die Konvergenzradien für gn+l (vP nv( z ") ) :

r = n— lim >00 —51—

(Çn(x)) :

r -

lim "-•oo

71+1 η

=

5

-

1

(Satz 9.42)

Damit konvergiert (p n (a;)) für alle |a; + 2| < 5 bzw. χ £ (—7,3) und (q n (x)) für alle |z 2 - 1| < 1 bzw. χ £ (~y/2,V2). (Definition 9.41) τι

Ferner sind die Reihen (pn(—7)) bzw. (p„(3)) wegen pn(—7) = Y] ( — l) fc k=o und p„(3) = y ^ k-0

divergent.

Die Reihe ( x\ = 1, x2 = 2

=> (χι,χ 2 ,Λ) = (1,2,-1), (-1,2,1) H(x, A) = ^ ^

J j ist für λ = ±1 indefinit

Nach Satz 10.42 erhalten wir für λ = — xj: ¿(xi,x 2 ) = X\X2 — xf — X\X2 + 3xi = 3ii — Xj LI1(x1,x2) LXIXI{XI,X2)

= 3-3xl-Q = -6xi

• xi = ± 1 < 0 f ü r X! = 1

> 0 für X! = - 1 Der Wert (xi,x 2 ) = (1,2) ist lokal maximal mit / ( 1,2) = 2. Andererseits ist: max {/(xi,x 2 ) : g(xi,x2) = 0} = max {xix 2 : x\ + x 2 — 3 = 0} = max (xi(3 — x¡)) = max (3χι — Xj) b) x2 = xf => g(xi,x2)

Der Wert (χχ,χ 2 ) =

—> oo für3 Χχ —> —oo Í3

= x2 + x2 - 3 = 0

ist maximal mit

x2 = -

=Φ· x1 =

=

±J-

Lösungen

128

Lösung zu A u f g a b e 84 a) Zu lösen ist das Problem (Beispiel 10.44b) min {2x^ + 2x 2 + x3 : X1X2X3 = 2000}. Geht man wie in der Lösung der Aufgabe 83 nach Satz 10.39,10.40 vor, so erhält man eine indefinite Hessematrix. Unter Berücksichtigung von Satz 10.42 gilt. £ ( χ , λ) = 2x1 + 2X2 + x3 + X(xix2x3 - 2000) —2 LXI (χ, Λ) = 2 + Xx 2 x 3 = 0 => λ = î ( x ) = 2χι + 2x2 + X3

4000

0,

x X

1

LX3{x) = l

2 3

X2LX2(X) - X3LX3(X)

= 2x 2 - x 3 = 0

4000 4000 ^ = 1- — τ = 0 4x2 x2x3

/ 8000

x2x3

0

X3 = 2X2

xx = 10 detHj(x 2 ,x 3 ) =

4000 \

4000

4000

X2 = 10, x 3 = 20

X-LX2X3 = 200xi = 2000

H(x 2 ,x 3 )

(Ζ1Ζ2Ζ3 - 2000)

23

4000 X2X3

= 2x2 + x 3 + W*) = 2-

χ χ

8000

- t

detH 2 (x 2 ,x 3 ) =

8000

x2x3 ^

> 0

i ^ X42X43

>

0

für alle x 2 , x 3 > 0

Also ist H(x 2 ,x 3 ) positiv définit und (¡Ει,χ 2 ,χ 3 ) = ( 1 0 , 1 0 , 2 0 ) stellt eine kostenminimale Faktorkombination zum Produktionsniveau 2 0 0 0 dar. b) Nach Beispiel 10.7b gilt: ^,(10,10,20) = U ö = ¿ ^(10,10,20) = ^

=

=

(10,10,20)

^

e,,*, (10,10,20) = 1 = e / l S ï ( 1 0 , 1 0 , 2 0 ) = ε / Λ ( 1 0 , 1 0 , 2 0 )

129

Analysis

Lösung zu Aufgabe 85 a) u(xux2,x3)

= xi/i(xi) + x 2 / 2 (x 2 ) + ^3/3(^3) = lOOxi -x\ + 200x 2 -

+ 3OO13 - x\

Mit Satz 10.39,10.40 erhalten wir: L(x, X) = lOOxi -x\ + 200x 2 - x\ + 300x 3 - x\ + A(xj + 2x 2 + 3x 3 - 70) LXi(x,\) LX2(X,

= 100 - 2xi + A = 0

A) = 2 0 0 -

2x2

+ 2A = 0

LX3 (χ, A) = 300 - 2x3 + 3A = 0 =Φ·

2LXJ(x,X)

-

3Lxl(x,X)

- LX3(X,

=

- 4 x i + 2x2 = 0

x2 =

2xj

A) = - 6 x 1 + 2 x 3 = 0

x3 =

3xi

LX2(x,X)

L\(x, X) = X! + 2x 2 + 3 i 3 - 70 = xj +

= 14xi - 70 = 0

+ 9xj - 70

xx = 5

(xi,x 2 ,X 3 ) = (5,10,15), A = - 1 0 0 + 2x1 = - 9 0

H(x, A) =

/ -2 0 0 \ det Hi(x, A) = 0 - 2 0 mit det H2(x, A) = V 0 0 -2 y det H 3 ( X , A) =

-2 4 -8

Also ist H(x, A) negativ définit und ( x 1 ; x 2 , x 3 ) = (5,10,15) maximiert den Umsatz mit u(5,10,15) = 6650. b) Der Wert —A = 90 gibt die näherungsweise Umsatzsteigerung für den Fall an, daß die Kapazität c = 70 um 1 Einheit erhöht wird. c) Mit x 3 = x2 und Xj + 2x 2 + 3x 3 = 70 folgt: Xi + 5x 2 = 70 oder X! = 70 — 5x 2 u(xj, x 2 , x 3 ) = 100(70 - 5X2) - (70 - 5x 2 ) 2 + 200x 2 - x\ + 300x 2 - x¡ = 2100 + 700x2 - 27x1 u'(x2)

= 700 - 54x2 = 0 => x2 = — « 13 = x 3 , x¡ = 5 54

u"(x2)

= -54 < 0

u(5,13,13)

= 500 - 25 + 2600 - 169 + 3900 - 169 = 6637

Lösungen

130

Lösung z u A u f g a b e 86 a) Zu lösen ist das Problem min {F(a, b) : a2b = 0.5} = min {α2 + 4α6 : a2b = 0.5}. Mit Satz 10.39,10.40 erhalten wir: L(a, b, Λ) = α 2 + 4ab + λ(0.5 - a2b) La(a, b, \) = 2a + 4b-

2ab\ = 0 2

Lb(a, b, Λ) = 4α — λα = 0 aLa(a, b, A) — 2bLi,(a, b, Λ) = 2a2 + 4ab - 8ab = 2a 2 - 4ab = 2a(a - 26) = 0 2

Wegen a 6 = 0.5 und damit α ψ 0 gilt a — 2b => 463 = 0.5 => Ò = i , α = 1 Η(α,δ, λ) ~ ^ 4

2αλ

^

0^^ )

4 Nach Satz 10.42 erhalten wir für Λ = - : α 4 2 L(a, b) — a2 + 4ab + -(0.5 - a2b) = a2 + α α 2 1 La(a, b) -2a = 0 · b = a¿

2

Laa(a, b) = 2 + ^ > 0 für α = 1 Die Fläche wird minimal für a0 = 1 (Meter), b0 = 0.5 (Meter). b) F° = F ( l ,

=

3 (Meter 2 ).

c) Ein Volumen von a2b = 0.51 wird etwa erreicht durch a = 1, b = 0.51 => F(l,0.51)

= 1 + 4 -0.51 = 3.04

Die Fläche F° erhöht sich um ca. Λ = 4 Quadratdezimeter bzw. um 400 Quadratzentimeter.

Analysis

131

Lösung zu Aufgabe 87

a) J fï(x)dx

= J

J f2(x) dx = J

1 „2

X

1

dx = ln(x2 + 1) + c¡ dx = J ^dx + j

(Satz 11.12c)

dx = y + ~ ln |x| + c 2 (Satz 11.6b,c, 11.7)

Jf3(x)dx

=JX χ2

+

^

dx = J^dx + J dx +

jj~dx

+ l

1

= — + χ + - I n |x| + c3

J f4(x)dx = J xVx2 - 100 dx

(Satz 11.6b,c, 11.7)

f(g{x))g'(x)dx

mit g(x) = x2 - 100, g'(x) = 2x, f(g(x)) = (x2 - 100)? = \ f ( 9 ( x ) ) + c4 1

2

(Satz 11.11, 11.6b)

1

= - ( x 2 - 100)1 · - + c4 = -(x - 100)î + c4 2

j fs(x) dx = J(3x2 + - + e" 3 * + 5) dx = χ x 3 + 21n 2 ln |x| |x|-— V 3 * +5x + c O

(Satz 11.6, 11.7)

3'^dx mit g(x) ~ lnx, g'(x) = —

(Satz 11.12c)

x

= ln | θ! = 1

F2(l)

= J + i l n l + c2 = l =» c2 = 1 - -j- = j

Fail)

= ì + l + ì l n l + c 3 = l =>

F 4 (10)

= ^(100 - 100)? + c4= 1 => c4 = 1 o

c

3

=-j

132

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 88

a)

Jxcosxdx

= J f(x)g'(x)dx = f(x)9{x)

mit / ( x ) = x, g'(x) = cos χ

- j

f'(x)g(x)dx

mit f'(x) = 1, g(x) = sinx

(Satz 11.9)

= χ sin χ — J sin χ dx = χ sin χ + cos χ + c

τ

^

=>• / arcos χ dx — (xsinx + cosx) = 0 — 1 — (0 + 1) = —2 J o o (Satz 11.24,11.25) b)

J χ 2 sin χ dx

dx mit / ( x ) = x 2 , g'{x) = sin χ

— J f(x)g\x) = /(*)$(*)

- J

f'{x)g(x)dx

mit /'(x) = 2x, g(x) = — cos χ 7Γ

(Satz 11.9)

= —χ2 cos χ + J 2x cos χ dx = —x2 cos χ + 2 J χ cos χ dx V

/ χ 2 sin χ dx = - χ 2 cos χ 0

c)

Jxsm(x2)dx

+2(—2)

(Aufgabe 88a))

2

—π —4

- ^ j g'(x)f(g(x))

(Satz 11.24,11.25)

dx

mit g(x) = χ2, g'(x) = 2x, f(g(x)) = sin(x2) = ^(5(χ)) + c

mit F(g(x)) = - cos(x2)

= -^cos(x2)+c ^ J χ sin(x2) dx = — — cos(x2) o

(Satz 11.11) 1 = 2

1 +

2

= 1

(Satz 11.24,11.25)

Analysis

J

d)

133

x)2 dx — J f(x)g'(x) dx = f{x)g(x)~ J f'(x)g(x)dx

x(sin

mit

mit

2 j

x(sin x )

2

=

— χ

d x

=

/ ' ( χ )

=

sin χ

sin χ cos χ

— x

+

+

J

/ ( χ )

=

χ cos x ,

g ( x )

sin χ cos χ d x

sin x cos x

+

2

j

g'(x)

χ sin ι,

=

+

— cos χ

J

x(cos X)

sin x cos χ d x

=

s i n x

(Satz

2

11.9)

d x

+

2

J x(cos x) dx + J x) dx — —x x χ j x χ dx + a:(sin

sin

J

cos

2

i((cosa:)

+

+

(sin χ )

M a n

2

)

cos

da:

fJ χ χ dxχ2+ — (*)

=1 — —τ s i n χ c o s χ

sin

+

sin

cos

berechnet

Js'mxcosxdx = J f(x)g'(x)dx mit /(χ) = sin x, g'(x) = cos χ = f(x)g(x)~ Jf'(x)g(x)dx g(x) J χ χ dx => J dx = — f 1 . x 2 (Satz

mit

=

/ ' ( x )

(sin χ )

sin χ cos χ

u n d

2 j

= >

setzt

dieses

x(sin x)

J

2

x(sin x)

D a m i t

gilt

d x

2

2

—

cos

Ergebnis

in

(*)

—χ sin χ cos χ

=

2

+

=

sin

χ

sin

c

ein.

+

— — sin χ cos χ

- (sin x)

+

2

+

j ( s i n x)

2

—

+

+

—

c

+

auch

π

x(sin χ)

cos χ,

(sin x)

=

d x

2

=

11.9)

d x

—

χ — — sin χ cos χ

1 Η — ( s i n χ)

χ 2

2

7Γ-

-\

/

0 2

4

=

Τ

4 (Satz

11.24,11.25)

134

Lösungen

L ö s u n g zu A u f g a b e 89 a) Unter Berücksichtigung von Definition 11.20, Beispiel 11.21 berechnen wir die Nullstellen von / : x(y/x - 1) = 0 y(t) = 10eè'* b)

y(0)

=

c « 10

y(12)

=

10eè 1 2 * « 17.8

2/(24) =

10e" 24 * « 5 1 . 2 , 100· u>(24) =

2/(36) =

1 0 e 3 « 200.9,

c) w{t) =

Vv·)

=4> ln\y(t)\

S »

(Definition 9.20)

= 0.1 J dt = 0.1t + ci

:

( mit c = e ci > 0) Γ

01

=*· y(t) = 5.4e ' Damit ist j/(0) 2/(36)

« 10.21%

100 · tu(36) = ^ 6 = 12.5% 48

= 0.1

|¡/(*)| = ce0·1' *

48

« «

5.4 5.4e3·6 « 197.6

(Satz 11.6b, 11.12c) (Definition 8.43)

138

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 93

a

) !) τ4~τ = fci(x)

In \^(χ)\ = f -dx = α1η|ζ| + ca

χ

y

= ealnIxl+C1 =

χ

(Satz 11.12c)

· c (c = eCl > 0) (Definition 8.43)

=> ^(1) = Ia -c = 5 => Α:χ(χ) = 5xa =

">

Ï ^ l n | t î ( i ) - 6 | = | è = l n | i | + c1 (Satz 11.12c)

=> |ife2(:r)-6| = elaM+c» = | x | c

(c = eci > 0) (Definition 8.43)

=>·

k2(x) = b + |i|c jfc2(l) = & +

b) a — b = 1

ki(x =>·

=>

= 5 =>

= b+ (5 - ό)|ζ|

= 5x, k2(x) — 1 + 4x

χ ^1

kx(x ^ k2(x), k2 ist günstiger k\{x

a = b =

c

= byjx, k2(x) = 0.5 + 4.5x

χ > 1

ki(x — ¿2(x) = 5λ/Χ — 4.5x — 0.5 k[(x

k'2(x)

5 2^x

4.5 < 0 wegen 6 '

ki ist günstiger a — b—2:

k\{x) = 5x2, k2{x) = 2 + 3x

k2 ist günstiger

χ ^1

2y/x

< 4.5

139

Analysis Lösung zu Aufgabe 94

a)

s(t)

= bt~a

In \s(t)\ = b / ra dt J

Fall 1: o = 1 In |s(i)| = 6Ini + Cj \s(t)\ = e t l n i + c i = ctb

(Satz 11.12c) (c — eCl > 0) (Definition 8.43)

Fall 2: α

1 In \s(t)\ = —— ί 1 _ α + α 1—α |s(í)| = e ^ " ^

= ce^'1"'

(Satz 11.6b, 11.12c) (c =

> 0) (Definition 8.43)

b)

s ( l ) = cesi' 1 = c e 0 2 = 10

c « 8.2

s(25) = 8 . 2 e 0 · 2 ' ^ = 8.2e « 22.3 s(t) = 8.2e°-2vq = 2 · s(l) = 20

Die Staatsverschuldung verdoppelt sich für t ~ 19.9.

140

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 95 a)

y{t)

= a6' => In \y(t)\

— a f b* dt = a~r + J In b

Cj

(Satz 11.6e, 11.12c)

|y(i)| = e rrï' , ' +ci = cenrs6' (c = eCl > 0) b) lim y(t) — c lim

= c· 1

(Definition 8.43)

wegen b £ (0,1) bzw. lim b' — 0 (Satz 7.15g)

c) 2/(0) = 100 eî^ 1 " 1 = 100 e~" = 50 2 = e" =>· α = In 2 ss 0.693 Spezielle Lösung: y{t) = ΙΟΟεΠΓ^6" = lOOe"1"26-' = 100 · (§)e~' = 100 · 2~e" Lösung zu Aufgabe 96 a) Unter Berücksichtigung von Satz 12.8 erhalten wir: »(. y(t) = e-^icj + J w(t)eat dt) w(t) = 0 => y{t) = w(t) = 6 y(t) =

Cle-

01i

Cle-

01i

(Satz 12.12)

= 100e _ 0 1 i + 60 = 40 e" 0 1 ' + 60 (wegen i/(0) =

w(t) = 6(sinx< + 1) => y{t) = e~ou(c1+6

J(siiiirt

(wegen y(0) = Cl

Cl

= 100)

+ 60 = 100 => cx = 40)

+

l)eoudt)

Dabei gilt (Beispiel 11.10b): mit f(t) = sin rt, g'(t) = eo

J(sin nt) e01t dt = J f(t)g'(t) dt = f(t)g(t)

u

(Satz 11.9)

- J f'(t)g(t) dt

mit f'(t) = π cos πt, g(t) = 10 e 0 1 ' = 10 e 0 1 t sin 7r< - lOx J(coswt) = 10 e 0 1 t sin %t - ΙΟττ J f(t)g'(t)dt

e01t dt

mit f(t) = cos ττί, g'(t) = e 0 1 i

= 10 e 0 1 i sin π< - ΙΟπ [/( μ1 = - 1 , μ2 = - 2 Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: y H ( x ) = c 1 ( - l ) ' + c j ( - 2 ) Ii® Spezielle inhomogene Lösung: y¡(x)

= z 0 + zi2x

yi(x + 1) = z 0 + 2 i 2 I + \ y¡{x + 2) = z 0 +

Differenzengleichung für y¡: + 2) + 3yi(x + 1) + 2 yi(x) = 1+2* => z0 + 4ζχ2χ + 3z 0 + Gzi2x + 2z 0 + 2zi2* = 1 + 2I;X

yi{x

Koeffizientenvergleich für 2X : 4*i + 6zi + 2zx = 1 => zj = : z 0 + 3z 0 + 2z 0 = 1

2o

^ 12

1 = τ D

1 1 ^(a;) = ì + J - 2 : ! 6 12

m

Allgemeine Lösung: y ( x ) = yH{x)

+ y,(x)

=

Cl(-l)

x

+ c2(-2)* + ί +

1 ^2X

ζλ2χ+Ί

143

Analysis

Differentialgleichung: y" {χ) + 3 » ' ( ι ) + 2y(x) = 1 + e2* Mit Satz 12.16,12.27, Beispiel 12.18a,b erhalten wir schrittweise die Lösung. Charakteristische Gleichung: Α2 + 3Λ + 2 = 0

Ai = - 1 , λ 2 = - 2

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: VH(X)

-

ci

+ c2

e~x

e~2x

Spezielle inhomogene Lösung: y¡(x)

=

z0

+

z,

e

=Φ

2 1

y'fix)

=

2z,

e2*,

y'/(x) =

4z,

e2*

Differentialgleichung für y¡: y'j(x)

+ 3y'I(x)

+ 2yI(x)

=

l + e

4z,

2 x

Koeffizientenvergleich für e2x

: 4z,

x°

: 2zq

+

6z,

+

= 1

2z,

zo

=

=

1

z,

=

c , e~x

+

c

•

e2*

+ 6z,

e2x

1

-

Allgemeine Lösung: y(x)

=

Vh(x)

+

Vi{x)

=

2

e

b) Differenzengleichung:

Spezielle Lösung: 1 y ( « ) = ¿12( - D - + i + έ

2

- = ¿12( 2 + 2- + ( - 1 ) ' )

Differentialgleichung: 1

1

3 ' C1 =

y'(0)

=

- c ,

-

2C2

+

ì 0

=

1

C2 = 0

0

Spezielle Lösung: "T-(6 + 2 e~x

+ e2r)

+ 2z0

+

e2* =

1 +

e2*

144

Lösungen

Lösung zu A u f g a b e 99 - 10y"(x) + 25y'{x) = 5

y"'(x)

= y(x),

V2(x) = y[(x)

ι φ ) = y'3(x) =

(

0 0

V0 =>

0 1

1 0 -25

2/3(2) = y'2(x) =

y"(x),

mit î/i(z) y2{x)

, y(x) =

10 /

y'(z)

V y3(x)

2/2(z)

y[{x) = y'2(x) = y'3(x) =

= y'(x),

y"'(x)

y'(x) = Ay(x) + b

A =

mit

ys{x) - 2 5 y2(x)

+

10y 3 (z)

+

5

(Satz 12.33)

Mit Satz 12.36, Beispiel 12.39 a,c erhalten wir schrittweise die Lösung. Eigenwerte / - A det 0 l o

von A: l 0 -λ 1 -25 10-λ

λ 2 (10 - λ ) - 25Λ = - λ ( λ - 5)(λ - 5) = 0 ^

Αχ = λ 2 = 5, λ 3 = 0

Lösungsansatz: yH(x)

= d j eSl + d2x e 5x + d 3

y'H(x)

= 5di e 51 + d 2 e5* + 5d2x e S l

Differentialgleichungssystem für y ( x ) :

0 0 0

1 0 -25

0 1 10

145

Analysis

Koeffizientenvergleich für

5x

0

5du

+

2/2(2;) = 1/!(χ + 1) - χ 2 .

πχ

πχ

= - c j sin —- + c2 cos — + J ζ

x -

χ2

2

ζ

5

— + 72

Die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems ergibt sich mit 3/1(1),

y2(x).