Investitionsrechnung: Methoden. Beispiele. Aufgaben. Übungsfälle mit Excel [5., überarbeitete und erweiterte Auflage. Reprint 2018] 9783486815429, 9783486274967

Citation preview

Investitionsrechnung Methoden · Beispiele · Aufgaben Übungsfälle mit Excel

Von

Prof. Dr. Peter Pflaumer Unter Mitarbeit von Dr. Hans-Peter Kohler

5., überarbeitete und erweiterte Auflage

ROldenbourg Verlag München Wien

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2004 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH R o s e n h e i m e r Straße 145, D-81671 München T e l e f o n : (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de D a s Werk außerhalb lässig und filmungen

einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages u n z u strafbar. D a s gilt insbesondere f ü r Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverund die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen.

G e d r u c k t auf säure- und chlorfreiem Papier D r u c k : Grafik + Druck, München B i n d u n g : R. O l d e n b o u r g Graphische Betriebe Binderei G m b H I S B N 3-486-27496-1

VORWORT

D a s vorliegende Buch ist aus Lehrveranstaltungen der Investitionsrechnung hervorgegangen, die ich in den letzten Jahren für Studierende der Betriebswirtschaftslehre gehalten habe. Ziel des Buches ist es, an einem kurz gefaßten Lehrtext, der an Übungsbeispielen orientiert ist, die wichtigsten Methoden der Investitionsrechnung darzustellen. Das Buch dient der schnellen Vermittlung von Basiswissen. Keineswegs soll es ein umfassendes Lehrbuch ersetzen. Vielmehr ist es als eine knappe Einführung gedacht, welche den Leser in die Lage versetzen soll, praxisnahe Investitionsfälle mit Hilfe von statischen und dynamischen Methoden der Investitionsrechnung effizient zu lösen. Wichtig scheint mir dabei die dungen. Daher ist ein Kapitel gewidmet. Zwar kann mit der seitigt werden, aber es gelingt,

Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheianalytischen und simulativen Verfahren der Risikoanalyse Risikoanalyse die Unsicherheit nicht reduziert oder gar bedas Risiko berechenbar zu machen.

Es werden Grundkenntnisse in Finanzmathematik und in Statistik vorausgesetzt, und zwar in d e m Umfange, wie sie im Grundstudium der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten und Fachhochschulen gelehrt werden. Im Anhang findet man eine Zusammenstellung der S u m m e n f o r m e l n einiger wichtiger geometrischer Reihen sowie Anmerkungen zu speziellen Fragestellungen und Problemen der Investitionsrechnung. Die mit einem Stern gekennzeichneten Abschnitte erfordern Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung. Diese Abschnitte sind für das Verständnis der restlichen Kapitel nicht sehr wichtig und können beim ersten Durchlesen des Buches gegebenenfalls überschlagen werden. Ein Übungsteil mit Lösungshinweisen schließt das Buch ab. 20 Übungsfalle sollen dazu beitragen, die wichtigsten Methoden der Investitionsrechnung zu vertiefen und sachgerecht anzuwenden. Die einzelnen Lösungsschritte werden ausführlich erklärt und durch Hinweise auf den entsprechenden Lehrtext ergänzt. Weitere Übungsmöglichkeiten ergeben sich durch die vermischten Aufgaben im Anhang V. Anmerkungen zu einigen Textstellen findet man im Anhang III. Im Anhang IV wird das Tabellenkalkulationsprogramm Excel verwendet, u m Investitionsrechnungen durchzufuhren. Wichtige finanzmathematische Excel-Funktionen werden erklärt. Es bleibt mir noch übrig, Dank zu sagen. Mein Dank gebührt meinen Studentinnen und Studenten, die durch Fragen und Hinweise zur Gestaltung des Textes beigetragen haben. Darüber hinaus danke ich Frau B. Koths, die mit großer Sorgfalt das schwierige Manuskript geschrieben hat. Den Herren Prof. Dr. D. Kaiser, Dr. H.-P. Kohler und Dr. U. Vry danke ich für die kritische Durchsicht des Textes sowie für wertvolle Hinweise. Herrn Diplom-Volkswirt M. Weigert, R. Oldenbourg Verlag, danke ich für die gute Zusammenarbeit.

Peter

Pflaumer

VII

INHALTSVERZEICHNIS

Α.

B.

EINFÜHRUNG

l

1. BEGRIFF

1

2. INVESTITIONSARTEN

1

3. INVESTITIONSENTSCHEIDUNGEN

2

4. ENTSCHEIDUNGSARTEN

3

5.

INVESTITIONSRECHENVERF ÄHREN

3

6.

HÖHE DES KALKULATIONSZINSFUSSES

5

BEURTEILUNG EINES EINZELNEN INVESTITIONSPROJEKTES 6 1. ERMITTLUNG DER ZAHLUNGSREIHE

6

2. KAPITALWERT

9

2.1

Begriff

2.2

Kapitalwert bei konstanten Einzahlungsüberschüssen

12

2.3

Kapitalwert bei geometrisch-steigenden Einzahlungsüberschüssen

15

2.4

Kapitalwertfunktion

17

2.5

Kapitalwertrate

19

2.6

Äquivalente Annuität

19

2.7*

Kapitalwert bei unterjährlicher und stetiger Diskontierung

21

3. INTERNER ZINSFUSS

9

27

3.1

Begriff und Berechnung

27

3.2

Interpretation

30

3.3

Reguläre und irreguläre Zahlungsreihen

31

3.4

Berechnung des internen Zinsfußes für spezielle Zahlungsreihen

38

3.4.1

Konstante Einzahlungsüberschüsse

38

3.4.2

Rechnerische Ermittlung des internen Zinsfußes

39

3.5 3.6*

Interner Zinsfuß bei unterjährlichen Zahlungen und/oder bei gebrochenen Laufzeiten

44

Interne Verzinsung bei stetiger Diskontierung

47

VIII

Inhaltsverzeichnis

4. SONSTIGE VERZINSUNGSMETHODEN

C.

D.

51

4.1 Bald win-Verzinsung

51

4.2 Initialverzinsung

53

BEURTEILUNG EINANDER ABSCHLIESSENDER INVESTITIONSPROJEKTE

55

1. INTERNE ZINSFUSS- ODER KAPITAL WERTMETHODE?

55

2. INTERNE ZINSFUSSMETHODE UND DIFFERENZINVESTITION

60

3. IRREGULÄRE INVESTITIONEN

64

4. INVESTITIONSOBJEKTE MIT UNTERSCHIEDLICHER LEBENSDAUER

67

5. OPTIMALE NUTZUNGSDAUER

69

DER EINFLUSS WEITERER FAKTOREN AUF DIE INVESTITIONSENTSCHEIDUNG 1. STEUERN

78 78

1.1 Kapitalwert nach Steuern

78

1.2 Interner Zinsfuß nach Steuern und Steuerparadoxon

81

1.3 Einfluß der Abschreibungsmethode

85

2. FINANZIERUNG

88

2.1 Unterschiedliche Höhe von Haben- und Sollzinsfuß

88

2.2 Einfluß der Finanzierungsform

90

2.3 Steuerliche Abzugsfähigkeit der Schuldzinsen

94

3. KAUF ODER LEASING?

95

3.1 Grundbegriffe

95

3.2 Basismodelle

96

4. INFLATION

101

4.1 Inflation ohne Berücksichtigung von Steuern

101

4.2 Inflation mit Berücksichtigung von Steuern

103

Inhaltsverzeichnis

Ε.

F.

STATISCHE VERFAHREN

IΧ

108

1. VORBEMERKUNGEN

108

2. KOSTENVERGLEICHSMETHODE

109

3. GEWINNVERGLEICHSMETHODE

112

4. RENTABILITÄTSVERGLEICHSMETHODE

114

5. AMORTISATIONSVERGLEICHSMETHODE

116

6. STATISCHE UND DYNAMISCHE RENTABILITÄTEN IM VERGLEICH

118

INVESTITIONSENTSCHEIDUNGEN UNTER RISIKO

124

1. VORBEMERKUNGEN

124

2. GRUNDBEGRIFFE

125

2.1 Sicherheit, Risiko und Ungewißheit

125

2.2 Erwartungswert und Standardabweichung

126

2.3 Verlustwahrscheinlichkeit

127

2.4 Kovarianz- und Korrelationskoeffizient

128

2.5 μ-σ-Diagramm

128

2.6 Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz

130

3. SENSrnVITÄTSANALYSE

131

3.1 Verfahren der kritischen Werte

131

3.2 Reagibilitätsanalyse der Einflußfaktoren

135

3.3 Bandbreitenanalyse

138

3.4 Zinsdifferenzgeschäft und Leverage-Effekt

139

4. RISIKOANALYSE 4.1 Analytische Verfahren

144 144

4.1.1

Unabhängige Einzahlungsüberschüsse

144

4.1.2

Korrelierte Einzahlungsüberschüsse

146

4.1.3

Vollständig korrelierte Einzahlungsüberschüsse

148

4.1.4

Stochastische Unabhängigkeit bei den Komponenten der Einzahlungsüberschüsse

149

4.2 Simulationsverfahren

153

X

G.

Inhaltsverzeichnis

ÜBUNGSFÄLLE

170

1.

AUFGABEN

170

2.

LÖSUNGSHINWEISE

177

ANHANG

194

I. GEOMETRISCHE REIHEN

194

II. TABELLEN Tabelle A: Rentenbarwertfaktoren

198

Tabelle B: Annuitätenfaktoren

200

Tabelle C: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

202

III. ANMERKUNGEN

203

IV. ÜBUNGSFÄLLE MIT EXCEL

210

1. Vorbemerkungen

210

2. Kapitalwertmethode und Kapitalwertfunktion

212

3. Vermögensendwertmethode

216

4. Annuitätenmethode

217

5. Amortisationsmethode

218

6. Interne-Zinsfußmethode und Baldwin-ZinsfuOmethode

219

7. Sensitivitätsanalysen

222

8. Risikoanalysen

226

9. Übungsfalle

231

V. VERMISCHTE AUFGABEN MIT LÖSUNGEN

243

LITERATURHINWEISE

257

SACHVERZEICHNIS

259

SYMBOLLISTE

a

Annuität

a

Untergrenze

*t

Auszahlung zum Zeitpunkt t

AF

Annuitätenfaktor

A

konstanter Abschreibungsbetrag

A,

Abschreibung zum Zeitpunkt t

b

Obergrenze

c

konstanter jährlicher Einzahlungsüberschuß

08

- 1.000.000 + 402.604,88 + 248.645,28 + 386.186,77 37.436,93 .

Die Kapitalwertformel mit unendlicher Lebensdauer dient zur Abschätzung des Kapitalwertes v o n Investitionsobjekten mit langen Zahlungsreihen. Oft ist die Investitionsdauer im voraus unbekannt, aber man geht davon aus, daß sie sehr lang ist (z.B. Kauf eines Mietshauses).

•

Beispiel:

Eine Investition über 1.000 DM fuhrt a) in den nächsten aa) 20 Jahren ab) 50 Jahren ac) 100 Jahren b) e w i g zu jährlichen Einzahlungsüberschüssen von 90 DM. Berechnen Sie die Kapitalwerte bei einem Kalkulationszinsfuß von 10%.

Lösung:

aa)

1 1,1 2 0 -1 C = - 1.000 + 90 — — = - 233,78 0 Ι,Ι20 0,1

ab)

1 ι i50_i C = - 1.000 + 9 0 —5 0 — - = - 1 0 7 , 6 7 0 1,1 0,1

ac) b)

C n = - 1.000 + 90

o

\-p- ι ι"*)

1 ; 1 ioo

C Q = - 1.000 + 90 ^

0 1

,

= - 100,07

= -100.

2. Kapitalwerl

15

Man erkennt, daß für lange Laufzeiten (n>50 Jahre) die Kapitalwertformel für zeitlich unbegrenzte Einzahlungsüberschüsse eine gute Annäherung an den tatsächlichen Kapitalwert für Zahlungsreihen mit konstanten, langfristigen Einzahlungsüberschüssen ergibt. Diese "ewige" Kapitalwertformel kann daher zur Überschlagsrechnung benutzt werden. Im obigen Beispiel tritt ein negativer Kapitalwert auf. Wie ist ein solcher zu interpretieren? 1. Die gewünschte Verzinsung von 10% wird nicht erreicht; daher ist die Investition nicht durchzuführen, andernfalls würde ein Vermögensverlust zum Zeitpunkt t=0 in Höhe des negativen Kapitalwertes eintreten. Die Basisalternative wird gewählt. 2. Dem Investor müßte ein Betrag in Höhe des negativen Kapitalwertes geboten werden, damit er veranlaßt wird, die Investition durchzuführen. 3. Die ursprüngliche Investitionsauszahlung müßte um den Betrag des negativen Kapitalwertes geringer sein, damit sich die Investition lohnt.

2.3 Kapitalwert bei geometrisch-steigenden Einzahlungsüberschüssen

Steigen die Einzahlungsüberschüsse jährlich um einen bestimmten Prozentsatz g, dann lautet der Kapitalwert: C

%

•

0

q

4

q

2

q

3

η q

1 n n /" f- L + c — 9 - ί - , falls / * q , qn C =J 1-I0 + ^ , falls / = q ,

bzw.

wobei / = 1 +

=-i

ist (vgl. IHRIG/PFLAUMER (1994), S. 59 ff.).

Beispiel:

Für den Kauf eines Mietshauses, dessen Wiederverkauf nach 10 Jahren erwogen wird, sind folgende Daten gegeben: Investitionssumme: Nettomieteinnahmen im 1. Jahr Verkaufspreis nach 10 Jahren Kalkulationszinsfuß

1.000.000 DM 40.000 DM 1.340.000 DM 9%.

16

ß. Beurteilung

eines einzelnen

Investitionsprojektes

Berechnen Sie den Kapitalwert, falls die Nettomieteinnahmen a) nicht

b) jährlich um 3%

steigen.

Lösung: .10

++

C„ = - 1.000.000 i.UUU.UUU + 40.000 W.UUU —-ί-r^ 77; — 0,09 0 lf0910

a)

L340

-1Ta ^0 ) 0

1)09

= - 177.263 c b)

= - 1.000.000

n

0

+

1

40.000

1,09

i n

i'

0 9

'

0

-1;

0 3

0,06

'

0

+

1,09

= - 145.759.

•

Beispiel:

Um wieviel Prozent müßten ceteris paribus die Mieteinnahmen aus vorigem Beispiel jährlich steigen, damit sich die Investition lohnt?

Lösung: 1 C

0

= - 1.000.000 + 40.000

1,09

1 09

^

10

-/

1

i.

0 9

"'

+

1.340.000 — - = 0 1,0910

-* l = 1 , 1 3 bzw. g = 13 (durch Probieren).

Strebt η-*», so ist v - v «

5

lim

bzw. C

•

0 = -Io+fZ

,

falls q > / .

Beispiel:

Welchen Preis sollte ein potentieller Käufer für ein Unternehmen maximal bezahlen, welches am Ende des ersten Jahres einen Jahresüberschuß von 1 Mio. DM erzielt, der dann jährlich um 5% wächst, bei einem Kalkulationszinsfuß von 10%?

2. Kapitalwert

17

Lösung:

Es wird angenommen, daß der Jahresüberschuß eine ewige Rente ist. _n_

r κ

τ , 1.000.000

'0~υ~'ι0+

1,1-1,05

I = 20.000.000.

2.4 Kapitalwertfunktion

Die Höhe des Kapitalwertes hängt unter anderem von der Höhe des Kalkulationszinsfußes ab. Für die Reisebusinvestition soll eine Kapitalwertfunktion in Abhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß gezeichnet werden (vgl. Abb. 1): t c

t

1

2

124.600

149.000

0 -660.000

3 173.400

4 503.400

Zu diesem Zweck wird eine Wertetabelle erstellt. Ρ

|

C 0 (p)

0

290.400

2

233.834

4

182.027

6

134.487

8

90.778

10

50.520

12

13.374

14

-20.958

16

-52.741

18

-82.213

20

-109.581

Bei einem Kalkulationszinssatz von 0% entspricht der Kapitalwert der Summe aller Einzahlungsüberschüsse abzüglich der Investitionsauszahlung. Der Kapitalwert ist in diesem Fall identisch mit dem (pagatorischen) Gesamtgewinn (=Summe aller Periodengewinne) der Investition, wobei sich der Periodengewinn als Differenz aus Einzahlungsüberschuß und Abschreibung berechnet.

18

Β. Beurteilung

eines einzelnen

Investitionsprojektes

300000 Κ a

200000

Ρ ! a

100000

0

w e

20

0 -100000

-200000 Kalkulationszinsfuß

Abb. 1:

Kapitalwertfunktion

Bei einem Kalkulationszinsfuß von 0% ist der Kapitalwert nichts anderes als die Differenz der Summe der Ein- und Auszahlungen, also 950.400 DM - 660.000 DM = 290.400 DM. Mit steigendem Zinsfuß fällt hier die Kapitalwertfunktion. Den Schnittpunkt der Funktion mit der p-Achse nennt man internen Zinsfuß r. Der interne Zinsfuß ist für die Investitionstheorie und -praxis ein wichtiges Maß für die Vorteilhaftigkeit einer Investition. Er wird in einem späteren Abschnitt besonders behandelt werden. Der Verlauf der Kurve läßt erkennen, wie wichtig eine adäquate Festlegung des Kalkulationszinsfußes ist Für einen Investor, der sein Kapital beispielsweise zu 14% anlegen kann, ist die vorliegende Investition nicht mehr rentabel. Unterstellt man die Zahlungsreihe einer sogenannten konventionellen Investition, bei der auf eine Investitionsauszahlung nur noch positive Einzahlungsüberschüsse folgen, d.h. (- + + + ...), dann kann gezeigt werden, daß die Kapitalwertfunktion eine monoton fallende Funktion des Kalkulationszinsfußes ist. Wie man sieht, gilt

dCo dq

Cj 2C2 3C3 4C4 5C5 - Γ6 q2 q3 q4 q 5 (lO q

+ ...

0), welches eine ökonomisch sinnvolle Forderung ist, dann schneidet die Kapitalwertfunktion die p-Achse genau einmal, und zwar beim internen Zinsfuß r.

2.5 Kapitalwertrate

Bezieht man den Kapitalwert auf die Investitionsauszahlung Iq, dann erhält man die Kapitalwertrate Yo Co

Für die Reisebusinvestition beträgt sie (p= 10) „ 50.520,18 n . Ύ0= 66Ö.OOÖ = ° ' 0 7 6 5 ' d.h., eine DM Investitionsauszahlung erwirtschaftet 0,0765 DM Kapitalwert. Eine Investition ist vorteilhaft, falls 7o>0 ist.

2.6 Äquivalente Annuität

Der Kapitalwert gibt bei gegebener Verzinsung den Vermögenszuwachs an, den ein Investor zum Zeitpunkt der Investition erfährt. Teilt man den Vermögenszuwachs in η (Investitionsdauer) gleich hohe nachschüssige Raten auf, so erhält man die äquivalente Annuität der Investition. Sie berechnet sich zu

20

Β. Beurteilung eines einzelnen

Investitionsprojektes

Im Falle konstanter jährlicher Einzahlungsüberschüsse lautet sie: 1 a 1 τ + . c— 2 ein einfaches Auflösen der Gleichung nach r nicht möglich ist, müssen spezielle Lösungsverfahren (regula falsi, Newtonsches Näherungsverfahren) angewendet werden. Aber man erhält auch durch Probieren, d.h. Einsetzen geeigneter Werte in die obige Glei-

28

Β. Beurteilung

eines einzelnen

Investitionsprojektes

chung mit dem Taschenrechner, rasch gute Lösungsnäherungen. Da bei einer konventionellen Investition (- + + ... +) die Kapitalwertfunktion eine monoton fallende Funktion des Kalkulationszinsfußes (p>0) ist, existiert nur ein positiver interner Zinsfuß; vorausgesetzt werden muß, daß die Summe der nichtdiskontierten Einzahlungsüberschüsse größer ist als die Investitionsauszahlung. Es soll der interne Zinsfuß der Reisebusinvestition berechnet werden. Gelöst werden muß folgende Gleichung: CM

= -660.000 + 1 2 M M q

+

149Ό00 q2

173.400 q3

503,400 q

4

=0.

Aus dem Verlauf der Kapitalwertfunktion weiß man, daß der interne Zinsfuß zwischen Pj=12 und p 2 =14 liegen muß, da C 0 1 (l,12)=13.374 und C 0 2 (l,14)=-20.958 ist. Als Startwert für das Probieren wählt man daher einen Wert zwischen 12 und 14 und setzt diesen in die Gleichung ein. Bei negativem Q)(q) hat man q zu groß, bei positivem Wert zu klein angesetzt. Aus Gründen der Zweckmäßigkeit sollte man sich eine kleine Wertetabelle anlegen. ρ

q

Cg(q)

Bemerkungen

13

1,13

-4126

zu groß

12,5

1,125

4538

zu klein

12,7

1,127

1052

etwas zu klein

12,8

1,128

-680

etwas zu groß

12,76

1,1276

11,76

Näherungslösung r

Der interne Zinsfuß beträgt r=12,76. In der Praxis dürfte eine Genauigkeit von 1/10 Prozent ausreichen, so daß das Verfahren nach der vierten Iteration beendet werden könnte; der interne Zinsfuß betrüge dann gerundet 12,8%. Λ

Λ

Eine erste Näherung r für den internen Zinsfuß erhält man durch lineare Interpolation, r weicht aber von r ab, da die Kapitalwertfunktion keine Gerade ist. Zur Bestimmung von r muß eine Gerade CQ = a + bp durch die Punkte (p 1 ; Cqi) und (p 2 , C 0 2 ) gelegt werden (vgl. Abb. 2).

3. Interner Zinsfuß

Kalkulationszinsfuß

Abb. 2:

Näherungslösung für den internen Zinsfuß

Die Steigung b der Geraden ist b =

C^=13374-(-20.958) 12 14 P1-P2 "

=

,17

166

Durch Einsetzen in das Punktepaar (pi.Cqi) erhält man den Achsenabschnitt a a = C 0 1 - C p ° ; ; g 2 • p t = 13.374 - (-17.166) • 12 = 219.366 . Die Geradengleichung lautet: c

C =C, Ό Ol

orO)2 , c0i_c02 P , + - P1-P2 •' Ρ Pi"P2

C 0 = 219.366- 17.166 ρ Für den Schnittpunkt der p-Achse gilt

Cq=0,

d.h.

Λ

P=r = P r ρ = r = 12 - 13.374

„

C

Pi-P2 0 l C ^ i = 12.78 .

Die Näherung ist um so besser, je näher p j und Ρ2 an r liegen.

29

30

Β. Beurteilung eines einzelnen

Investitionsprojektes

3.2 Interpretation

Betrachtet man die Kapitalwertfunktion (vgl. Abb. 1), dann erkennt man, daß für p>r der Kapitalwert negativ und für pp, dann führe die Investition durch. Ist r°

bzw. 1 o*n-1 . - . 1 q* n -l (l-T)L— > ι TA — ä - ^ i 0" q n q -1 q η " q q *_i bzw. (1 - T)L RBFp» > IQ - TA RBFjJ* Barwert der Leasing-Raten

•

Investitionsauszahlung ./. Barwert der Steuerersparnis

Beispiel:

Folgende Angaben seien zu einem Investitionsobjekt gegeben: Io =

10.000

η

10

=

A =

1.000 (linear)

L

2.000

=

p* =

10

Τ

0,5.

=

Ist Kauf oder Leasing günstiger?

Lösung: -

Barwert der Leasing-Zahlungen 0,5 · 2.000

-

1 ι i10.i τ?: — - = 6.144,57 1,110 o,l

Barwert der Steuercrspamis 1 ι ,10.1 1 = 3.072,28 0,5 · 1.000 · — j q i

-

Investitionsauszahlung./. Barwert der Steuerersparnis 10.000 - 3.072,28 = 6.927,72 .

Leasing ist hier vorteilhafter.

•

98

D. Der Einfluß weiterer Faktoren auf die

Investitionsentscheidung

Ceteris paribus hängt das Ergebnis von der Höhe des Kalkulationszinsfußes ab. Die Kapitalwertfunktion der Differenzinvestition in Abhängigkeit von p, berechnet aus Daten des obigen Beispiels, ist in Abbildung 2 zu sehen. Mit steigendem Kalkulationszinsfuß nimmt der Kapitalwert der Differenzinvestition ab. Bis zu einem Kalkulationszinsfuß (nach Steuern) von 8,1% ist Kauf günstiger; bei höheren Kalkulationszinsfüßen ist Leasing günstiger.

Abb. 2:

*

*

*

Kapitalwertfunktion der Differenzinvestition C 0 D=C0 K -C 0

L

Will man wissen, wie hoch die Leasing-Rate höchstens sein darf, daß sich Leasing gerade noch rentiert, dann muß die kritische Leasing-Rate

berechnet werden. Man erhält sie,

indem die Kapitalwertfunktion der Differenzinvestition gleich Null gesetzt und nach L aufgelöst wird: (1-T) L RBF". = I - TA RBF".

3. Kauf oder Leasing?

•

99

Beispiel:

Setzt m a n die Werte aus vorigem Beispiel ein, so berechnet sich die kritische Leasing-Rate zu L, . = kr

"

10.000

1.000 = 2.254,68 .

0,5-6,145

Bei gegebenem Kalkulationszinsfuß ist Leasing immer vorteilhafter, solange die Raten 2.254,68 DM nicht übersteigen.

•

Bei Vorhandensein von Resterlöswerten sind die obigen Formeln entsprechend zu modifizieren; von der Investitionsauszahlung muß der abgezinste Resterlös (=Restbuchwert) abgezogen werden.

•

Beispiel:

Ein Hotelbesitzer überlegt sich, ob er 50 Orientteppiche zu je 10.000 DM kaufen oder zu einem Jahresbetrag von j e 1.650 DM leasen soll. Nach Ablauf der Grundmietzeit von 7 Jahren hat der Besitzer die Möglichkeit, die Teppiche zu einem Restbuchwert von 30% zu kaufen. Der Kalkulationszinsfuß vor Steuern beträgt 15%. Der Steuersatz beläuft sich auf T=0,6. Die Teppiche werden linear auf den Restbuchwert abgeschrieben. Ist Leasing oder Kauf günstiger? Lösung: Barwert der Leasing-Raten 0,4 • 1.650 · — U r ' ' ° 6 1,067 0,06 Barwert der Steuerersparnis 0,6 • 1.000 · — 1 7 , 1,06

0 6

0,06

= 3.684,37

= 3.349,43 .

Da in diesem Beispiel ein Restwert von 3.000 DM anfallt, muß dieser abgezinst und von der Investitionsauszahlung abgezogen werden. Die Nettoinvestitionsauszahlung beträgt daher 10.000 - 3.000/1,06 7 = 8.004,83 . Nettoinvestitionsauszahlung ./. Barwert der Steuerersparnis 8.004,83 - 3.349,43 = 4.655,40 . Da der Barwert der Leasing-Raten kleiner ist als die Differenz aus Nettoinvestitionsauszahlung und Barwert der Steuerersparnis, ist in diesem Falle Leasing günstiger.

•

100

D. Der Einfluß

weiterer

Faktoren

auf die

Investitionsentscheidung

Beim privaten Auto-Leasing (Privat-Leasing) ist es üblich, zu Beginn der Leasing-Zeit eine Mietsonderzahlung von 20% bis 40% des Anschaffungswertes zu verlangen. Durch die Sonderzahlung werden die monatlichen Leasing-Raten niedrig gehalten.

•

Beispiel:

Aus einer Anzeige eines Leasing-Angebotes für einen PKW: Neupreis:

24.375 DM

Anzahlung:

7.125 DM

Leasing-Rate pro Monat: Restwert:

273 DM 9.500 DM

Laufzeit:

36 Monate

Fahrleistung:

15.000 km p.a.

Frau X hat 25.000 DM zu 5% nach Steuern in festverzinsliche Wertpapiere angelegt. Der PKW soll ausschließlich privat genutzt werden. Soll sie den PKW kaufen oder leasen?

Lösung: Die monatliche Leasing-Rate muß zuerst in eine nachschüssige Jahresrate umgerechnet werden. Bei 5% Zinsen beträgt diese c = 273(12 + ^ · ^ ) = 3.351,08 . (Zur Umrechnung von Monats- in Jahresraten vgl. IHRIG/PFLAUMER (1994), S. 50 ff.) Da der PKW privat genutzt wird, ist der relevante Steuersatz T=0; -

Barwert der Leasing-Raten zuzüglich Anzahlung 3.351,08

ί-ττ

1 053

1,05 3 -

'

" 1 +7.125 = 9.125,82 + 7.125= 16.250,82

0,05

Barwert der Steuerersparnis 0 Investitionsauszahlung ./. Barwert des Resterlöses 24.375

9.500 - = 16.168,54. 1,053

Aus den Ergebnissen folgt, daß Kauf in diesem Fall vorteilhafter ist.

•

4. Inflation

101

4. INFLATION 4.1 Inflation ohne Berücksichtigung von Steuern

Inflation bewirkt ein Sinken der Kaufkraft. Bei einer jährlichen Preissteigerungsrate von 5% besitzen 100 DM (nomineller Wert) in einem Jahr nur noch eine Kaufkraft von 1< 0 Μ =

] ^

95,24DM (realer Wert). Ein nominaler Einzahlungsüberschuß s t wird daher in t

Jahren real nur noch q = s t /((l +(i/100))') wert sein, wenn man eine konstante jährliche Inflationsrate i annimmt. Der nominale Einzahlungsüberschuß wird mit der Inflationsrate i abgezinst. Unterstellt man, daß alle Preise und Kosten mit derselben Inflationsrate i steigen, dann kann der Kapitalwert mit nominalen Einzahlungsüberschüssen wie folgt dargestellt werden: s

V

s

! lOCty ^

=Λ+[(1 - ύ C

das

t

= c

t(1

_

+

"

+

I5ö) , i s t ·

s

2

100/

\

3

100/

• 4)]+[(1 - ύ + ΏΥ+[(1•ύοί • M3+"' c

1 +

C

!

Λ+ (TT-Üf V 100^ V lOOj

+

1

Cl + - E - f + \ 100/

'

Folgende Bezeichnungen gelten: s t = Nominaler Einzahlungsüberschuß in t c ( = Realer Einzahlungsüberschuß in t ρ = Realer Kalkulationszinsfuß ρr n = Nominaler Kalkulationszinsfuß Zwischen realem und nominalem Kalkulationszinsfuß bestehen dabei folgende Beziehungen

bzw. Ρ„ = (( 1 + Τ ^

1 +

Ϊ Μ Μ ·

1 0 0

•

102

D. Der Einfluß

weiterer

Faktoren

auf die

Investitionsentscheidung

Durch U m f o r m u n g erhält man

P„ = i + P + wü· Hieraus läßt sich für kleine Inflationsraten als Näherungsformel ρr " Ό + i n

gewinnen.

•

Beispiel:

Berechnen Sie den nominalen Kalkulationszinsfuß bei einem realen Kalkulationszinsfuß von 10% und einer Inflationsrate von 5%. Lösung: Exakt: p n = ( 1 , 1 - 1 , 0 5 - 1 ) - 1 0 0 = 15,5. Näherung: rρ

η - 10 + 5 = 15 .

•

Wie man erkennt, beeinflußt die Höhe der Inflationsrate den Kapitalwert nicht, wenn alle Preise und Kosten mit derselben Rate steigen und wenn der Kalkulationszinsfuß die Inflationsrate berücksichtigt. Rechnet beispielsweise ein Investor mit einem Kalkulationszinsfuß von 10% bei Preisstabilität, so muß er seinen nominalen Kalkulationszinsfuß entsprechend der Preissteigerungsrate anpassen. Das Investitionskalkül kann entweder mit nominalen Größen (s t und p[L) oder mit realen Größen (c t und p) durchgeführt werden. Es ergeben sich keine Unterschiede beim Ergebnis. Existieren jedoch unterschiedliche Inflationsraten von Verkaufs- und Faktorpreisen, dann beeinflußt die Höhe der Inflationsrate den Kapitalwert. Je höher die Preissteigerungsrate der Faktorkosten im Vergleich zur Preissteigerungsrate der Verkaufspreise ist, um so geringer ist ceteris paribus der Kapitalwert.

4. Inflation

103

4.2 Inflation mit Berücksichtigung von Steuern

Im deutschen Handels- und Steuerrecht darf die Summe der Abschreibungsbeträge den Anschaffungs- bzw. Herstellungswert eines Gutes nicht übersteigen. Auch im Falle von hohen Inflationsraten darf nicht vom höheren Wiederbeschaffungswert, sondern nur vom Anschaffungswert abgeschrieben werden. Folglich lautet der Kapitalwert bei Inflation nach Berücksichtigung von Steuern:

TA,

Bei einer Inflationsrate von i=0 erhält man den schon bekannten Kapitalwert nach Steuern (vgl. D 1.1)

Je höher die Inflationsrate ist, um so geringer ist der Barwert der Steuerersparnis (2. Term von CQ J). Mit steigender Inflationsrate sinkt der Kapitalwert, weil die Abschreibung zum Zeitpunkt t nicht von der inflationierten Anschaffungsauszahlung Iq(1 + τ^ττ)', sondern nur von der historischen Anschaffungsauszahlung Ig vorgenommen wird.

•

Beispiel:

Eine Investitionsauszahlung über 10.000 DM führt in den beiden folgenden Jahren zu realen Einzahlungsüberschüssen von je 7.000 DM. Es wird linear abgeschrieben. Der Steuersatz beträgt 50%. Bei Preisstabilität wird mit einem Kalkulationszinsfuß vor Steuern von 10% gerechnet. Berechnen Sie die Kapitalwerte bei unterschiedlichen Inflationsraten, und zwar bei 0%, 5%, 10%, 20% und 30%.

104

D. Der Einfluß weiterer Faktoren auf die

Investitionsentscheidung

Lösung: Inflationsrate i=0; p=10; p*=5 t

1

2

7.000

7.000

5.000

5.000

Gewinn vor Steuern

2.000

2.000

./. Steuern

1.000

1.000

Gewinn nach Steuern

1.000

1.000

+ Abschreibung

5.000

5.000

Einzahlungsüberschuß vor Steuern ./. Abschreibung

Einzahlungsüberschuß nach Steuern C* = - 10.000 + 6 ^ 0 + 6 ^ 0 °. 1=0 1,05 1,052 =

. 10.000 + 3^00 + 3 J 0 0 1,05 1,052

1500 1,05

Z500 = , 1,05 2

Inflationsrate i=10; p=10; p*=5; Pn=15,5 t

1

Einzahlungsüberschuß vor Steuern ./. Abschreibung

2

7.700 = 7.000· 1,1

8.470 = 7.000 · 1,12

5.000

5.000

Gewinn vor Steuern

2.700

3.470

./. Steuern

1.350

1.735

Gewinn nach Steuern

1.350

1.735

5.000

5.000

+ Abschreibung Einzahlungsüberschuß nach Steuern

c ! . .„ = -10.000 + ^ 5 0 + 6.735 Ό.ί=Ό 1,155 1.1552 =

- 10.000 + 3 J 0 0 + 3,500 + 2-500/1,1 1,05 1,052 1,05

+

2.500/1 l 2 1,052

=

4. Inflation

105

Entsprechend erhält man für die anderen Inflationsraten: i

|

0

5

10

20

30

~C~

|

1.156,46

832,27

546,47

66,77

-318,80

•

Berechnet man die Differenz der Kapitalwerte bei einer Inflationsrate von 0% und i%, so erhält man

'

T A

* _ ν

t

T A

ν

t

_ ν

TAt

((1

+

i5ö) t_1 )

Bei linearer Abschreibung gilt A t =Ig/n, so daß folgt

mit historischer Anschaffungswert 'οί 1

+

inflationierter Anschaffungswert

mf

(Wiederbeschaffungswert zum Zeitpunkt t) ίο η

Abschreibung vom historischen Anschaffungsweit

-ηί \ι + — y 100/

=

Abschreibung vom Wiederbeschaffungswert zum Zeitpunkt t .

Die Differenz der Abschreibung vom inflationierten und der Abschreibung vom historischen Anschaffungswert ist der nominale Scheingewinn G t j zum Zeitpunkt t, d.h.

Dieser Scheingewinn wird mit dem Steuersatz Τ besteuert. Der Barwert der Steuern aus den Scheingewinnen ist somit X

TG

M

_ l

T

^((1

+

I y f - l ) _

c

*

c*

106

D. Der Ein/luß weiterer Faktoren auf die

Investitionsentscheidung

Der Staat ist Inflationsgewinner, wenn vom Anschaffungswert abgeschrieben wird, während der Unternehmer Inflationsverlierer ist. Scheingewinn und Gewinnsteuer auf Scheingewinne sind um so größer, je höher die Inflationsrate ist. Die Kapitalwerte bei einer Inflationsrate von 0% und bei einer Inflationsrate von i% unterscheiden sich also um den Barwert der Steuern auf die Scheingewinne bei einer Inflationsrate von i%, wobei der nominale Kalkulationszinsfuß nach Steuern zur Diskontierung verwendet wird. Schreibt man vom inflationierten Anschaffungswert zum Zeitpunkt t ab, dann steigen die Abschreibungsbeträge mit einer Wachstumsrate, die der Inflationsrate entspricht. Die Höhe der Inflationsrate hat dann keinen Einfluß auf den Kapitalwert. In der folgenden Tabelle werden Abschreibungen vom historischen Anschaffungswert und vom inflationierten Anschaffungswert miteinander verglichen, wobei eine Inflationsrate von i=10 unterstellt wird.

Abschreibung vom historischen Anschaffungswert Iq

Einzahlungsüberschuß vor Steuern ./. Abschreibung

Abschreibung vom inflationierten Anschaffungswert IoO+ü^)', wobei i=10 1

2

7.700

8.470

7.700

8.470

5.000

5.000

5.500

6.050

Gewinn vor Steuern

2.700

3.470

2.200

2.420

./. Steuern

1.350

1.735

1.100

1.210

Gewinn nach Steuern

1.350

1.735

1.100

1.210

+ Abschreibung

5.000

5.000

5.500

6.050

Einzahlungsüberschuß nach Steuern

6.350

6.735

6.600

7.260

Würde man vom inflationierten Anschaffungswert abschreiben, so erhielte man als Kapitalwert c*0 = - 10.000 + M 0 0 + 7 ^ 6 0 2 1,155 1,155 =

_ 10.000 + 3Λ00 + 3,000 1,05 1,05 2

2,500 1,05

2,500 = 1,05 2

dies entspricht dem Kapitalwert bei einer Inflationsrate von 0%.

4. Inflation

107

Bei Abschreibung vom historischen Anschaffungswert entsteht in der ersten Periode ein Scheingewinn von (2.700 - 2.200) = 500

und in der 2. Periode ein Scheingewinn von

(3.470 - 2.420) = 1.050. Die Steuern auf die Scheingewinne betragen bei T=0,5 250 bzw. 525. Der Barwert der Steuern auf die Scheingewinne ist

250 525 + = 609,99. 1,155 1155

Der Betrag von 609,99 ist gerade die Differenz der Kapitalwerte bei einer Inflationsrate von 0% und 10%, nämlich 1.156,46 - 546,47.

108

Ε.

STATISCHE VERFAHREN

1. VORBEMERKUNGEN

Die bisher betrachteten dynamischen Verfahren (Kapitalwertmethode, interne Zinsfußmethode) basieren auf Ein- und Auszahlungen und berücksichtigen durch Diskontierung die Zahlungszeitpunkte. Grundlage der statischen Verfahren sind dagegen Kosten und Erträge einer Periode. Sie vernachlässigen den unterschiedlichen zeitlichen Anfall der für die Berechnung relevanten Größen. Die statischen Verfahren, die auf kalkulatorische Größen der Kostenrechnung aufbauen, nennt man daher auch kalkulatorische oder einperiodische Verfahren. Entsprechend werden dynamische Verfahren manchmal auch als mehrperiodische Verfahren bezeichnet. Statische Verfahren, die in der Praxis vorwiegend in kleinen und mittleren Betrieben verwendet werden, zeichnen sich durch leicht interpretierbare Kenngrößen aus. Die Berechnung der Kenngrößen ist einfach. Ihre Bestimmung ist unproblematisch, da sie ohnehin im Zusammenhang mit der Kostenrechnung anfallen. Der grundlegende Kritikpunkt der statischen Verfahren ist die einperiodische Betrachungsweise. Der Gegenwartswert und damit die Vorteilhaftigkeit einer Investition hängt nicht nur von der Höhe der Einflußgrößen, sondern auch von deren zeitlicher Verteilung ab. Zwei Investitionsalternativen können sich in ihrer Vorteilhaftigkeit auch dann unterscheiden, wenn ihre statischen Rentabilitäten gleich groß sind. Kenngrößen der statischen Verfahren können daher immer nur als Approximation für Kenngrößen der dynamischen Verfahren dienen. Zur Darstellung der statischen Verfahren soll folgendes Beispiel herangezogen werden:

•

Beispiel:

Die Taxiunternehmerin Beatrix B. plant die Anschaffung eines Fahrzeugs. Zur Wahl stehen zwei Marken Α und B. Anschaffungskosten, variable und fixe Kosten sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen. Es ist beabsichtigt, das Taxi 4 Jahre zu betreiben. Die Abschreibung erfolgt linear auf den jeweiligen Restwert. Die kalkulatorische Verzinsung beträgt 10%.

2. Kostenvergleichsmethode

Anschaffungspreis Wiederverkaufswert nach 4 Jahren

Typ A

Typ Β

28.000

32.000

8.000

10.000

Kfz-Steuer pro Jahr

600

800

Kfz-Versicherung pro Jahr

800

1.100

Kraftstoff und Öl (100 km)

20

18

Inspektion, Reparaturen (100 km)

14

13

2

2

20.000

20.000

Reifen verschleiß (100 km) Personal- und sonstige Fixkosten pro Jahr (ohne AfA)

2.

109

KOSTENVERGLEICHSMETHODE

Ausgangspunkt dieser Methode ist die Berechnung der Gesamtkosten oder der Durchschnittskosten pro Jahr. Bei gleicher Ausbringungsmenge der verschiedenen Investitionsobjekte ist die Alternative zu wählen, die die geringsten Gesamtkosten aufweist. Ist die Ausbringungsmenge der Investitionsobjekte unterschiedlich, so ist die Alternative vorteilhaft, welche die geringsten Durchschnitts- oder Stückkosten besitzt. Bei linearer Abhängigkeit der Gesamtkosten Κ von der Ausbringungsmenge χ erhält man die lineare Kostenfunktion Κ = K.+ k x,

f

V

wobei Κ =

Gesamtkosten

Kf =

Fixe Kosten

k^ =

Variable Kosten pro Stück

χ

Ausbringungsmenge.

=

Die Durchschnitts- bzw. Stückkostenfunktion ergibt sich aus der Division der Gesamtkosten durch die Ausbringungsmenge. Sie lautet: k=—=—+k

χ

χ

V.

Bei den statischen Verfahren werden kalkulatorische Zinsen für das eingesetzte Kapital ermittelt, indem man das durchschnittliche gebundene Kapital als Berechnungsbasis wählt.

110

Ε. Statische Verfahren

Unterstellt man eine jährliche lineare Abschreibung in Höhe von A = (lQ-R n )/n auf den Restwert R n , so ist das durchschnittliche gebundene Kapital Io + (I 0 -A) + (Io-2A)+. . . . (Io-(n-l)A) K. — . η Durch Einsetzen der Summenformel für die arithmetische Reihe folgt -, nIo-(n-l)|A Κ = — η bzw. nach einigen elementaren Umformungen

A

1

Beträgt die Abschreibung — pro — - tel Jahr, dann ergibt sich für das durchschnittliche gebundene Kapital In " Rn K. — —

2

Strebt m gegen unendlich, dann nähert sich die diskontinuierliche lineare Abschreibung einer kontinuierlichen bzw. stetigen linearen, und das durchschnittliche gebundene Kapital ist

2

In diesem Fall kann das gebundene Kapital zum Zeitpunkt t durch die lineare Funktion Kt=I0-A t

(0 < t < n)

mit

-

j>0-

A t

η

>

d t

2 Iq - η A

Ip + R n

2

2

wiedergegeben werden, wobei η A = Iq - R n ist.

2. Kostenvergleichsmethode

111

Als Schätzwert für die kalkulatorischen Zinsen wählt man entweder

P

Ζ'

kalk

100

P ('I0+R"+A'| 100 \ 2 / '

K=

oder

Ζkalk

=

^ ί^Ν/ '

Ρ κ 100 100 V 2

Bei zwei Investitionsobjekten zeigt die kritische Ausbringungsmenge x^j, die Ausbringungsmenge an, bei welcher die Vorteilhaftigkeit wechselt. Sind zwei Investitionen Α und Β mit den Kostenfunktionen Κ . — Κ,.. + k . • χ A fA vA und Kg = K m + k „ · χ fB vB gegeben, so sind die Kosten bei der kritischen Ausbringungsmenge gleich hoch, d.h. K

A

= K

B

bzw. K

fA + k vA Xkrit =

K

fB + kvB X krit'

Die Auflösung nach x ^ führt zu _ K fB" K fA krit _ k v A - k v B

•

Beispiel:

15)

a) Welche Alternative ist bei einer jährlichen Fahrleistung von 25.000 km zu wählen? b) Wie hoch ist die kritische Fahrleistung? c) Welche Alternative ist zu wählen, wenn die Fahrleistung mit Wagen Α auf 20.000 km und mit Wagen Β auf 25.000 km geschätzt wird?

Ε. Statische

112

Verfahren

Lösung: I.

Fixe Kosten pro Jahr Typ A

Typ Β

5.000

5.500

600

800

Abschreibung Kfz-Steuer Kfz-Versicherung Personal- und sonstige Fixkosten

800

1.100

20.000

20.000

1.800

2.100

28.200

29.500

Kalkulatorischer Zins Insgesamt

II. Variable Kosten pro km Typ A

Typ Β 0,33

0,36

Κ = 2 8 . 2 0 0 + 0,36x A K

K,

a) χ = 25.000:

= 29.500 + 0,33x B=

37.200

K D = 37.750 D x,k n.t =

b)

c)

3.

k. = Α

28 200

•

29.500 X

Β

=

·

χ

29.500-28.200 0,36-0,33

= 43.333,333 (km)

+ 0,36; falls χ = 20.000 ' 0 33

f n

25.000

k = 1,77 A kB=l,51

GEWINNVERGLEICHSMETHODE

Zusätzlich zu den Kosten werden bei der Gewinnvergleichsmethode auch die Erträge in das Investitionskalkül miteinbezogen. Anstelle der Kosten werden die Gewinne miteinander verglichen. Diejenige Investitionsalternative, die den höchsten Gewinn aufweist, ist zu wählen. Ein Kritikpunkt stellt die Tatsache dar, daß unterschiedlich hohe Investitionsausgaben nicht direkt berücksichtigt werden. Der höhere Gewinn der vorteilhafteren Investition wird

3. Gewinnvergleichsmeihode

113

möglicherweise wegen einer höheren Investitionsauszahlung erwirtschaftet. Daher ist die Gewinnvergleichsmethode nur dann ohne weitere Prüfung angebracht, wenn die Investitionsauszahlungen alle gleich hoch sind. Sind sie unterschiedlich hoch, dann muß der Gewinn des Differenzbetrags zwischen der höheren und der niedrigeren Investition berücksichtigt werden.

•

Beispiel:

Gewinnvergleich bei unterschiedlich hohen Investitionsauszahlungen Investition Α Investitionsauszahlung

Investition Β 60.000

100.000

Gewinn pro Jahr

15.000

12.500

Laufzeit

4 Jahre

4 Jahre

Welche Alternative ist zu wählen?

Lösung: Die Alternative Α ist nur dann vorteilhafter, wenn die Differenzinvestition von 40.000 DM einen Gewinn erwirtschaftet, der geringer als 2.500 DM ist.

•

Die Gewinnschwellenrechnung oder Break-Even-Analyse dient zur Ermittlung der Ausbringungsmenge xg g (Break-Even-Menge), ab der ein positiver Gewinn erwirtschaftet wird. Unterstellt man eine lineare Kostenfunktion, dann folgt für den Gewinn G G = p - x - K = p - x - (K f +k y x) = (p-kj χ - K f bzw. G = dx - Κ 'f

'

wobei ρ

=

Preis (p \ = Umsatz)

d

=

(p-k v ) Deckungsbeitrag pro Stück.

Für die Break-Even-Menge xg.E. gü'

bzw.

X

B.E. -

d

114

Ε. Statische

Verfahren

Ist die Ausbringungsmenge größer als die Break-Even-Menge, so erzieh das Unternehmen Gewinne. Bei einer Ausbringungsmenge, die kleiner als die Break-Even-Menge ist, erleidet das Unternehmen Verluste.

•

Beispiel:

a) Ermitteln Sie die Gewinne bei einer jährlichen Fahrleistung von 25.000 km. Der Fahrpreis beträgt 2 DM pro km. b) Bei welcher jährlichen Fahrleistung gelangen die beiden Wagen in die Gewinnzone?

Lösung: a)

G A = 2 · 25.000 - 37.200 = 12.800 A G = 2 · 25.000 - 37.750 = 12.250 D

b)

4.

A _ 28.200 _ B.E. " 2-0,36 "

1 7 1 0 5 i r 1

,

Β 29.500 = 17.664,671 Β.Ε. ~ 2-0,33

RENTABLITÄTSVERGLEICHSMETHODE

Bei dieser Methode wird die Rentabilität des durchschnittlich gebundenen Kapitals berechnet: R = 3 - 100 Κ mit G

=

Durchschnittlicher Gewinn

^ _ Ιρ+^η 2

_ ~

Näherungswert für das durchschnittlich gebundene Kapital.

Es ist die Investitionsalternative mit der höchsten Rentabilität auszuwählen. Bei Investitionsprojekten mit unterschiedlichen Auszahlungen Ig ist die Rentabilität der Differenzinvestition zusätzlich zu überprüfen.

4. Rentabilitätsvergleichsmethode

•

115

Beispiel:

Rentabilitätsvergleich bei unterschiedlicher Investitionsauszahlung

Investition Α

Investition Β

100.000

60.000

Gewinn pro Jahr

15.000

12.500

Laufzeit

4 Jahre

4 Jahre

Restwert

0

0

Investitionsauszahlung

Lösung: Λ

15000

Λ

11 500

Die Investition Β erfordert eine um 20.000 DM geringere durchschnittliche Kapitalbindung. Λ

2 500

Diese 20.000 DM müssen sich mindestens mit ^"QQÖ ' 100

=

12,5% rentieren, damit Β nicht

schlechter als Α ist.

•

Bezieht man den durchschnittlichen Gewinn auf das eingesetzte Anfangskapital IQ, SO erhält man als Maß für die Rentabilität den sogenannten "Return on Investment" ROI.

ROI = £ · 100 'o Ist der Restwert R n =0, so ist

R

= i & "

1 0 0

= V

Hieraus folgt R = 2 · ROI.

1 0 0

·

116

•

£ Statische

Verfahren

Beispiel:

Berechnen Sie die Rentabilitäten R und ROI für das Taxibeispiel bei einer Fahrleistung von 25.000 km jährlich. Der Fahrpreis beträgt 2 DM pro km.

Lösung: Typ A:

R =

12.800 ^(28.000+8.000) Λ

12 8 0 0

Typ B:

Rb =

R O I

5.

Λ 100 = 71,1%

12.250

Λ 100 = 58,:

^(32.000+10.000) B = ™

100

=

38 3%

'

AMORTISATIONSVERGLEICHSMETHODE

Liquiditätsgesichtspunkte stehen im Vordergrund, wenn ein Unternehmen die Amortisationsvergleichsmethode (Pay-Off- oder Pay-Back-Methode) für die Investitionsrechnung verwendet. Es hat dann zum Ziel, das investierte Kapital möglichst schnell zurückzuerhalten. Gründe dafür sind, entweder das Risiko zu begrenzen (z.B. bei Investitionen in Entwicklungsländern), oder die Option wahrzunehmen, nach kurzer Zeit in ein neues, vielleicht chancenreicheres Objekt zu investieren. Die Amortisations- oder Rückgewinnungszeit t A (in Jahren) berechnet sich wie folgt: l 0 '

wobei I() =

Investitionsauszahlung

c

durchschnittlicher Einzahlungsüberschuß.

=

5. Amortisationsvergleichsmethode

117

Der jährliche Einzahlungsüberschuß kann entweder direkt, als Differenz der Ein- und Auszahlungen, oder indirekt, als Summe aus Gewinn, Abschreibungen und kalkulatorischen Kosten, ermittelt werden, da G =ρ ·χ -Κ

a

-Κ

na

bzw. G + K

= na

indirekt

px-K r

a

direkt

ist, wobei ρ 'χ

=

Umsatz (Einzahlung)

Ka

=

auszahlungswirksame Kosten

Kna

=

nicht auszahlungswirksame Kosten

(Abschreibungen, kalkulatorische Kosten). Vorteilhaft ist die Investition, die die kürzeste Amortisationsdauer aufweist.

•

Beispiel:

Berechnen Sie die Amortisationszeiten für die Fahrzeuge unter Berücksichtigung der kalkulatorischen Zinsen.

Lösung:

Typ A:

c

T y p B:

c D = 12.250 + 5.500 + 2.100 = 19.850 Π

A

= 12.800 + 5.000 + 1.800 = 19.600

A 1

28.000 .

Α-Τ930ϋ·

tB A ==

32.000 19'ggö Jahre =

1,43 Jahre 1,61 Jahre

118

Ε. Statische

Verfahren

6. STATISCHE UND DYNAMISCHE RENTABILITÄTEN IM VERGLEICH

Der interne Zinsfuß ist bei einer konventionellen Investition der Zinsfuß, bei welchem die Investitionsauszahlung Ig dem Barwert der Einzahlungsüberschüsse entspricht I =•

C

1

c

. (

c

2 i

(

ι

3 ^

.

. ·-

Cn

(^r

Werden konstante Einzahlungsüberschüsse und ein Restwert von Null angenommen, so gilt:

geometrische Reihe Hieraus folgt

J

C+Tüö) 0~

r-1

1+J_

100

1+ 100

bzw. i ' I (^ΠΤΤΡ) 100 ^ V 100^ ' oder r = 100·

Unter den oben genannten Bedingungen berechnet sich die statische Rentabilität des durchschnittlich gebundenen Kapitals wie folgt: R = 2 · 100 Κ

'W c-A

wobei

A Κ

100 = lOOlr-^ -

linearer Abschreibungsbetrag Ιη+0

= 2001 Go" η ) '

6. Statische und dynamische Rentabilitäten im Vergleich

•

119

Beispiel:

Eine Maschine kostet 27.450 DM. Sie wird in 5 Jahren linear auf den Restwert Null abgeschrieben. Der jährliche Einzahlungsüberschuß beträgt während der Laufzeit 10.000 DM jährlich. Berechnen Sie

a) den internen Zinsfuß b) die Rentabilität des durchschnittlich gebundenen Kapitals.

Lösung: a) '

0 = - 27.450 + 10.000 RBF®"5 r -»· RBF" = 5 = 2,745 r r = 24 A =27 f

b)

5 0

= 5.490

G = 10.000 - 5.490 = 4.510 Κ = 13.725 R=

100 = 2 0 0 ( ^ 0 0 4 ) = 32,86

Durch Umformung der Gleichung für den internen Zinsfuß erhält man c ΠΓ Ό ioo(i

3

_

)

Setzt man diesen Ausdruck in die Gleichung für die Kapitalrentabilität R ein, so entsteht eine unmittelbare Beziehung zwischen Kapitalrentabilität R und internem Zinsfuß r (vgl. LEVY/SARNAT (1986), S. 205)

Für o.a. Beispiel ist

HttV-™)»32·86

1,245 Ist n = l bzw. n=oo (ewige Rente), dann gilt

R =2r.

120

Ε. Statische

Verfahren

Eine entsprechende Beziehung läßt sich zwischen Return on Investment und internem Zinsfuß ableiten. Da R=2ROI ist, falls der Restwert Null ist, gilt

ROI und interner Zinsfuß stimmen überein, wenn die Laufzeit der Investition 1 Jahr beträgt. Diese Ubereinstimmung ist auch im Falle einer ewigen Laufzeit bei konstanten jährlichen Einzahlungsüberschüssen gegeben: ROI = r

•

.

Beispiel:

Eine Investitionsauszahlung von 1.000 DM für eine Maschine mit einer Laufzeit von 1 Jahr führt zu einem Einzahlungsüberschuß von 1.200 DM. a) Berechnen Sie den internen Zinsfuß. b) Berechnen Sie die Kapitalrentabilität R. c) Berechnen Sie den ROI.

Lösung: 0 = -1.000 +

ζη

nennt

man

Zustandsraum

(vgl.

BAMBERG/COENENBERG (1990), S. 17) Z={z1,z2>...,zn}. Beispielsweise kann die Lebensdauer eines Investitionsprojektes durch die Zustände z j = 1 Jahr, z 2 = 2 Jahre,... z„ = 6 Jahre beschrieben werden, d.h. Z = { 1 , 2, 3, 4, 5 , 6 } .

Eine Ungewißheitssituation liegt vor, wenn lediglich bekannt ist, daß irgendeiner der Zustände aus Ζ eintreten wird. Im Extremfall hat man überhaupt keine Vorstellung über die Lebensdauer. Im vorliegenden Beispiel weiß man, daß dann die Lebensdauer zwischen 1 und 6 Jahren liegen wird. Sind dagegen subjektive oder objektive Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Zustände bekannt, so liegt eine Risikosituation vor. Beispielsweise kennt man folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Lebensdauer: Lebensdauer (Jahre)

1

2

3

4

5

6

Wahrscheinlichkeit

0,1

0,2

0,3

0,3

0,05

0,05

Als Sicherheitssituation bezeichnet man den Fall, bei welchem der wahre Zustand bekannt ist. Beispielsweise weiß man mit Sicherheit, daß die Lebensdauer 4 Jahre betragen wird. Im folgenden wird bei Investitionsentscheidungen eine Risikosituation unterstellt. Der Investor kennt nun nicht mehr, wie bisher angenommen, die Zukunft. Er kann aber subjektive oder objektive Wahrscheinlichkeiten über das Eintreten verschiedener zukünftiger Entwicklungen angeben. Bisher wurde die Höhe des Einzahlungsüberschusses zum Zeitpunkt t als bekannt vorausgesetzt. Nun wird nur noch die Angabe einer statistischen Verteilung möglich sein. Beispielsweise wird man sagen können, daß der Einzahlungsüberschuß in t mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% zwischen 10.000 DM und 20.000 DM liegen wird.

126

F. Investitionsentscheidungen

unter

Risiko

2.2 Erwartungswert und Standardabweichung

Varianz und Standardabweichung sind die gebräuchlichsten Kennzahlen zur Messung des Risikos. Die Varianz einer diskreten Zufallsgröße X ist

σ 2 = 5(x.-E(X))2p(x.) , i=l η wobei E(X) = μ = J x. p ( x j der Erwartungswert ist. p(xj) ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable den Wert Xj annimmt. Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung, die dann folglich mit σ abgekürzt wird.

•

Beispiel:

Eine Investition über 10.000 D M und einer Lebensdauer von einem Jahr werde bei einem Kalkulationszinsfuß von 10% erwogen. Die Einzahlungsüberschüsse X sind unsicher (Zufallsvariable). Die Verteilung der Einzahlungsüberschüsse ist der folgenden Tabelle zu entnehmen.

i

Einzahlungsüberschüsse Xj

Wahrscheinlichkeit p(Xj) 0,3

1

12.000

2

13.000

0,4

3

14.000

0,3

Beispielsweise wird mit einer (subjektiven) Wahrscheinlichkeit von 3 0 % mit einem Einzahlungsüberschuß von 12.000 D M gerechnet.

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des Kapitalwertes.

Lösung:

Wahrscheinlichkeit Einzahlungsüberschuß c

o

0,3

0,4

0,3

12.000

13.000

14.000

909,09

1.818,18

2.727,27

2. Grundbegriffe

127

Statistisch gesehen ist der Kapitalwert CQ nun eine Zufallsvariable. Man weiß im voraus nun nicht mehr, welche Realisation eintreten wird. Jedoch sind (subjektive) Wahrscheinlichkeiten angebbar. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% wird der Kapitalwert 1.818,18 betragen. Der erwartete Kapitalwert E(CQ) ist E(C 0 ) = 909,09 · 0,3 + 1.818,18 · 0,4 + 2.727,27 · 0,3 = = 1.818,18 . Die Standardabweichung O Cq beträgt °C 0 = (( 9 0 9 > 0 9 - 1 8 1 8 > 1 8 f " ° ' 3 + (1-818.18 - 1.818,18)2 · 0,4 + (2.727,27 - 1.818,18)2 · 0,3^ 1/2 = 704,18 .

•

23 Verlustwahrscheinlichkeit

Von besonderem Interesse für die Beurteilung einer Investition ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Kapitalwert negativ wird. Diese Größe wird Verlustwahrscheinlichkeit des Investitionsobjektes genannt. Unterstellt man eine Normalverteilung der Kapitalwerte, dann ist die Verlustwahrscheinlichkeit durch

gegeben, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Eine Tabelle der Standardnormalverteilung befindet sich im Anhang. Die Größe E(C0)/AC() ist der Reziprokwert des Variationskoeffizienten.

•

Beispiel:

Eine Investition habe einen erwarteten Kapitalwert von 31.07 Mio bei einer Standardabweichung von 20.8 Mio. Wie groß ist die Verlustwahrscheinlichkeit, falls die Kapitalwerte normalverteilt sind?

Lösung:

p(c0Y) =

CoveOQ σχ· σγ

Entsprechen großen x-Werten große y-Werte und kleinen x-Werten kleine y-Werte, dann liegt positive Korrelation vor. Korrespondieren dagegen große x-Werte mit kleinen y-Werten bzw. kleine x-Werte mit großen y-Werten, dann spricht man von negativer Korrelation. Bei vollständiger positiver Korrelation ist p = l , bei vollständiger negativer Korrelation ist p=-l. Bei stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen sind Kovarianz und Korrelationskoeffizient immer Null.

2.5 μ-σ-Diagramm

Die Investitionsentscheidung basiert auf dem Erwartungswert μ=Ε(Χ) und der Standardabweichung σ des Kapital wertes. Ein risikoscheuer Investor zieht ein Investitionsobjekt Α einem Investitionsobjekt Β vor, wenn entweder (1)

E(A) > E(B) und σ Α < σ β oder

2. Grundbegriffe

(2)

129

E(A) > E(B) und σ Α s σ β .

μ

A Α

Β Β

σ Abb, l a : μ-σ-Diagramm

σ Abb, lb: μ-σ-Diagramm

Ist E(A)>E(B) und σ ^ > σ β , so hängt die Entscheidung von der Risikoeinstellung des Investors ab.

μ •A ' D

Abb. l c : μ-σ-Diagramm Gemäß obiger Regel ist Investition Α der Investition D vorzuziehen, d.h., als Alternative fällt D heraus. Im Vergleich zu Β hat Α sowohl einen höheren Erwartungswert als auch eine höhere Varianz. Der höhere Erwartungswert wird durch ein höheres Risiko erkauft. Investition C ist ohne jegliches Risiko (z.B. Kauf von Bundesschatzbriefen), hat aber den niedrigsten erwarteten Kapitalwert. Welche Investition getätigt wird, hängt von der Risikopräferenz des Anlegers ab. Der eine Anleger kauft Pfandbriefe, der andere kauft Optionen. Die deterministische Investitionsrechnung basiert auf einer eindimensionalen Betrachtungsweise. Ist E(A)>E(B), dann wird Α gegenüber Β präferiert. Die stochastische Investitionsrechnung (Investitionsrechnung unter Risiko) basiert dagegen auf einer zweidimensionalen Betrachtungsweise. Neben dem Erwartungswert wird das Risiko (Varianz) als Entscheidungsgrundlage mitberücksichtigt. Das μ-σ-Diagramm kann modifiziert werden, indem man für das Risiko andere Kennzahlen als die Standardabweichung, z.B. die Verlustwahrscheinlichkeit, abträgt.

130

F. Investitionsentscheidungen

unter

Risiko

2.6 Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz

Zur Berechnung von Erwartungswert und Varianz des Kapitalwertes benötigt man folgende Formeln: Seien X j und X 2 beliebige Zufallsvariable und a und b beliebige Konstante, dann ist E(a) = a E(a+bX1)=a + bE(X1) E(a Xj+b X 2 ) = a e ( X 1 ) + b e(X 2 ) Var(a) = 0 Var(a+b x j = b 2 V a r ( x J Var(a X j + b x j = a 2 V a r ( x J + b 2 Var(X 2 ) + 2ab C o v ( x r X ) = a 2 Var(Xj) + b 2 Var(X 2 ) + 2ab ρ σ · σ

.

Bei Unabhängigkeit von X j und X 2 gilt Var(a X ^ b x j = a 2 Var(Xj) + b 2 Var(X 2 ), da C o v ( x 1 ; X 2 ) = 0 ist. Ist ( X j , X2) zweidimensional normalverteilt, dann ist aiXj+a 2 X2 normalverteilt mit μ = 3 χ μ! + 3 2 μ 2 und σ2 = 3

?σ?

+ 3

2σ2

+ 2

ν2Ρ°ΐ

σ

2 *

Diese Rechenregeln lassen sich für mehr als zwei Zufallsvariablen X j , X 2 ,...,X n verallgemeinern. So gilt beispielsweise V

4 i

X

i

+ a

2X2+"+a„X„)=?afVar(Xi) 1

+ 2

Σ a.a Cov(x.,X ) . ' \ 1,1 1,12 1(13 1;14 1;15

J

d2

= 6.633,88 σ c„ = 6.633,88. 0

P(CQ < θ) = 1 - Φ(0,7) = 0,242 .

Durch die (unrealistische) Annahme eines Korrelationskoeffizienten von 1 wird die Varianz und somit das Risiko der Investition überschätzt. Manche Autoren (vgl. LEVARY/SEITZ (1990), S. 64 ff.) schlagen vor, die Varianz für den unkorrelierten und den vollständig korrelierten Fall zu berechnen. Der unkorrelierte Fall liefert die untere Grenze, falls von einer negativen Autokorrelation abgesehen wird, und der vollständig korrelierte Fall liefert die obere Grenze der Varianz. Die tatsächliche Varianz wird dann irgendwo dazwischen liegen. Eine genauere Schätzung der Varianz erhält man jedoch, wenn aus Vergangenheitsdaten der Einzahlungsüberschüsse oder der Umsätze die Autokorrelationsfunktion geschätzt und die Varianz des Kapitalwertes mit den entsprechenden Korrelationen berechnet wird. Zu beachten ist, daß eine Nichtberücksichtigung der positiven Korrelation zu einer Unterschätzung der Varianz und des Risikos führt. Verlustwahrscheinlichkeiten können im korrelierten Fall nur dann ausgerechnet werden, wenn die c, normalverteilt sind.

4. Risikoanalyse

149

E i n e n anderen W e g zur B e r ü c k s i c h t i g u n g z e i t l i c h e r A b h ä n g i g k e i t e n bei den Einzahlungsüberschüssen beschreiten J O C K E L / P F L A U M E R ( 1 9 8 1 ) . D e r E i n z a h l u n g s ü b e r s c h u ß w i r d in einen deterministischen und in einen stochastischen Teil aufgespalten. Für den s t o c h a s t i s c h e n T e i l n e h m e n sie einen sogenannten A R M A - P r o z e ß an

(Autoregressiver-Moving-

A v e r a g e - P r o z e ß ) . D u r c h diese A R M A - P r o z e s s e können zeitliche A b h ä n g i g k e i t e n v e r s c h i e denster Art leicht modelliert werden. Aufgrund v o n Vergangenheitsdaten der Einzahlungsüberschüsse

k ö n n e n mit Hilfe von neueren M e t h o d e n der Zeitreihenanalyse

(Periodo-

g r a m m , S p e k t r a l a n a l y s e , Autokorrelationsfunktion, partielle Autokorrelationsfunktion) die A b h ä n g i g k e i t e n identifiziert und geschätzt werden. J o c k e l und P f l a u m e r zeigen a n einem B e i s p i e l der Unternehmensbewertung, daß eine N i c h t b e r ü c k s i c h t i g u n g der zeitlichen A b hängigkeit v e r g a n g e n e r J a h r e s ü b e r s c h ü s s e zu einer erheblichen Unterschätzung der V a r i a n z des U n t e r n e h m e n s w e r t e s führt.

4.1.4

S t o c h a s t i s c h e Unabhängigkeit bei den K o m p o n e n t e n der E i n z a h l u n g s ü b e r s c h ü s s e 1 )

G e l e g e n t l i c h ist e s vorteilhaft, die Einzahlungsüberschüsse als B e s t i m m u n g s g r ö ß e für den Kapitalwert i n ihre K o m p o n e n t e n aufzuspalten, für die dann Verteilungsgesetze und e n t sprechende P a r a m e t e r zu bestimmen sind. Einzahlungsüberschüsse sollten i m m e r dann in ihre K o m p o n e n t e n zerlegt werden, w e n n die S c h ä t z u n g der K o m p o n e n t e n e i n f a c h e r o d e r genauer ist a l s die der Einzahlungsüberschüsse selbst. Betrachtet m a n als K o m p o n e n t e n d e s Einzahlungsüberschusses Preis, M e n g e , L ö h n e , G e m e i n k o s t e n , Steuern als laufend zu ermittelnde Daten und

Material,

Liquidationserlös,

A n s c h a f f u n g s k o s t e n und Großreparaturen als gelegentlich zu ermittelnde Daten, so läßt s i c h der Kapitalwert e i n e r Investition wie folgt darstellen:

c

o = j 1 [(p.-0v F ,-V M «]'i" t ·

falls m a n s i c h a u f die s e c h s E i n f l u ß g r ö ß e n pt

=

Preis

kt

=

variable K o s t e n

x(

=

Absatzmenge

F

=

Forschungskosten

It

=

M( =

Investitionsausgaben Marketingkosten

beschränkt, w o b e i der Liquidationserlös zur V e r e i n f a c h u n g unberücksichtigt bleibt.

!)vgl. auch JÖCKEL/PFLAUMER (1980).

150

F. Investitionsentscheidungen unter Risiko

Selbstverständlich ist es möglich, weitere Determinanten in die Rechnung einzubeziehen. Für j e d e Einflußgröße muß nun ein Verteilungsgesetz spezifiziert werden. Für eine Einflußgröße wird eine Unter- und eine Obergrenze, a und b, angegeben, d.h. Werte, die auf keinen Fall unter- bzw. überschritten werden. Darüber hinaus wird noch ein zusätzlicher Wert, der sogenannte Median m, spezifiziert, der mit gleicher (subjektiver) Wahrscheinlichkeit unter- bzw. überschritten wird. Das Verteilungsgesetz unterstellt, daß zwischen Median und den beiden Grenzen jeweils Gleichverteilung vorliegt. Die Dichtefunktion f hat dann die Gestalt (vgl. auch Abschnitt 4 . 2 )

f(z) =

11 2(m-a) 1

a

ΝΠΟοσιοοΝηφ j s ο Ν m £3 otKsKoiüi-rfoiÄ « ? 3 CT

C i- Ν fc S 8 8 H r«. r-. CDoo oo ο5 σι l): la)

1 1 s = - + — +...+ 2 4q q sq = 1 + q + q2 +.

1 — η q ... +. „n-l q

ηι 1n sqa = a _ i q-1 s =

lb)

I£i

q n q-1

1 1 1 q4 + ~~2 + ~3 + " ' q q 1 n ι s = lim — n-11 n->°° q » Η

(unendliche geometrische Reihe)

S =

= lim n \q-l n->°° qq η v\n 4

q-1/

-ϊιΜ1-·?)^

I. Geometrische Reihen

1 1 s = l + - +-+... +

2a)

ι

q

1

195

_

q

sq"" 1 = 1 + q + q 2 + ... + q"" 1 n-1 q M = -1 q-1

sq

q"" 1 q-1

2b)

1 1 1 s = l + - + — + — + ... q q2 q3

(unendliche g e o m e t r i s c h e R e i h e )

1 η Λ 1 q -ι lim 1 ηq-1 η-»·°° q

s =

n-»oo q n - l Vn-1 »| 1

q-11' ^

I t

η

3a)

s

=

1

-*•

1 -

+

1 ^

+

q

-6

q

+

-

+

q

1 ^ 2 q

1

K r S

1 +

~~ q 2 n " 2

~

q2-l

q 3b)

ι ι ι s = l + ~ 2 + — + - g +... q

q

(unendliche g e o m e t r i s c h e R e i h e )

q

s = lim | V " ·

2

q2-i

1 / 2 l i m

T \νq n-*oo >-»oo ~ q 2-1

1

\

"qä r f )'

-JL q2-l 4a)

1

1

s =

q

q

2

sq

1 +

+

q

ι

= 1 +

2

ι

q4

1

S
CO CO (D Ν α i d η σι

Ν Tin

cm I s -

in

Ν

cm ο S Ο) CM co* co' ^ f

1m

^r

Ο to rτί·*

.. in 'ί

-t"

τι-

Ν Μ σι co s ^ Ν Ο r f -«t i n

oo ® co CD CM ΙΟ ι co* •«* «r*

00 O) σ> co"

CO CM -»t Tf"

Tf i n i n

in

σ> Ν CM co s s I in* i n in* i n i n

co

h.

in in in i n

in

3

? §t ° 3 to ω, ο , τ-, i n i n in to to

φ CM ΙΟ O) CO CM r·^ τ?·" i n i n

h - CO CM CM CM T- CM O to

S

S * in

R

S S Ά m* in* i n

s § ? f; 8 co Ν co co o>. i n tri i n in* i n

S

CO CO ι

in tp cm to

ν to 5SF to

s

$ ν δ ι 1 Κ l o to* co" to* co co n. co_ to*

ο .. i n CM i n co, t o to

. co n·. i n i n to* to* to"

s 8 § g t o r - c q rf to" to* co* to" ι

Φ cm i n σ ί co co ' ^r* i n in*

co d> CM CM σ> • m in f^ i i n to*

r-» en τ to co r co o> Tt in* in*

m τin to*

r·*. τO) τ}·*

CM ο ο co co co to" r-*

cm co in in

ο τcj to*

Tt cm o_ r-"

co to ο CM CM ν m co i n i n to ν

CM tO m N

Sr>.

Ο CM co m

to T-' cm" co' ^ί" CO Ν σ> en τ-*

O) CJ co CM"

CM CM Ο W Ο in* co*

CO CO S to*

Ο Ο) Oi Ο*

m

co s

CO in CD Tt

a

9

S

S

CO CO O )

ν co co. s

Tt ω co CO

η in a) CO

in o> cm O)

co Ν

in CM CO N·"

co

cm CO ^ co"

co CO O) co"

co

oi

σι

CM ffi CO

co S I s -" Κ

s S J r - " r«.* r-.*

CM CM ο, oo

s

c\i yIsO)

CO fco, oo

in ' t to τ co i n oo co

^ t o Ο O) ^ Ι Λ i n CM in φ Too co co O)

W.U Oi O) ®

2

® τco, σι

ο

^

to

5! S S S CO, CO. CO, ^ t o to* t o t o

S ^T, to

ν

co cm i n

co

S S S S t o to t o t o

' to

CM Ο T-. rC

_ (Ο CO r-."

Ο S ΤfC

Ο CO CM. r-*

cm «η oo

CO CO CM. ν."

^t

8 S f C r«» tN." h»* r^* r C r«.

i n to co a ? Ν s 3 3 Ο CM CO CO CO CO CO CO

O i cm η

in

n

S F^. ω . δ , δ . oo oo co co ο )

CM CM Ο Γ«» CO CD Tf CD οs CM cm ί25 I «.. ω O) O) O) O i O)

o r - . . . . ο cm. co i n ω ο* ο" ο* ο" ο

r - cm σι Φ Is- to ο cm ^

t in to

CM CO Ο

CO

ι ^ ο i n cm - r«· σ> co to cm to ο iF

to $ 2 CM N i Λ τ- s co co CM* CO* CO* ^t*

5 ο i n co ο co i n r CM* CM" CM* CM*

3 S S ! CM CO CO CO

S

T- Ν in in O . i f CO V V

Ν ^jCM. in*

^

CM cm to in

^ δ 5 5 i n m* to* to" ι

^

CM CM

i n Tt in i n co ο to Μ r O S ' Τ-" CM* CO* CO*

T - CM CO T*

t n to to t o

r-

CO CM CM CD T— ^

co t o to ^ tO

r*» h» i n i n in* in* in"

S

r - CO r - CM s tjo " o* o" 8

^ i n§ 8 2 ! T - CM" CM" CO* CO*

®

ω

°

CM tO ι

nM". co* ο) σ>*

rΟ cm, oo

W Ν 5 i n cm r - ο oo. τ-, co to, α ο» ο ) ο ι

8 S S 8 ? s co 3 co co « co* co* σ>* o> 2

w o 1 ® . . σ Γ en* ° ^ cm S ^ to"

CM ο O) CO*

§

Ο) to ^r. r-»"

Ol σ

ν - σ> CD CD Φ CO 5 Ο» CM ^ θ> Ο) ^ 55 -«rin co s. ^co § $ $ § 3 ^Sσ f\J CO t οS co h» ^ ^ ^ Ν W L?) CO ο CM*cp cm co « M ** CVJ CM* OJ* cC M** cm* cm" cm* cm" CJM"CM* CM* CM CC m M ο" T-" ι-* τ-* CM* CM* CM* CM* CV m Ο) r*·. p*. co co Ν rt m in co 3·. in co. O* y τ— CM* CMo * C O O co co co co CO CO CO CO CO CM CO CO CO CO CO CO CO Cco CO 't 0) 't Ν

O) O N O r ο s « s CO y- CM cm r- in τ- co ο S•Λ Φ ο y- Ol co co yf -yf οο o> Φ ο Ο Ο Ο Ο yCO CO CO CO Cco O co co co ·*ί yf rf yf yf yf yf yt

co ^ y co co y- r- y- ^F ο co ^J- ο -φ CD Ο* 1-* CM* CM*

cm r- co co o> cοm oo in in co οcpincoO) Oi CO CO Ο Φ CM CM r- 00 CO cj> cm h- o > y- y* cp r- OJ Οco rcor coΝco y- co ο co in co. Is«·. CD 5 ο y- CM CM CM CM ^t -«t TJ·* V •«*"- Tf* xt" ^t co CM*co co co co co* co* ι - Ο) Ν Ο Ν O rO) 0to3 wW ω ν η in in S CO CTCM O co τ- tn o in cm co o « N o m a CM Ο CO CO ι CM CO CO τ- r«.Ο Ν τ- j Ν δoo 8σ>wσ>δ σ>? σ> co Λ 1- Β 3) co. ο 5 3 Ο ο" Ö

co co σ> σ> οο ' t y- σ> ώ CO CO Ο* Ο* Ο*

Μ W Ο) •«t i n CM ο ΙΛ «Ο 5 (O t CO U) ΙΛ ^ ~ co co o" o"

ιin Λ co ©'

ο ^t ιco o"

σ> in Ο co. o*

m τ»· cm co co c0 ο* ο"

® to τco ο*

to cm i n r» ο — co ο* ο

ο

ο

S

ο

ο

ο

ο

00 CO ^t" CO τ ω co ο 3 ο CO τ- ο CO CO CO CO CO CM CM. CD o" ©* CD o" ο

s σ> cm 5 w Tt TT CO Ο Τ- to cm co m co ο* ο* ο * ο*

ο Tf CO CM CO O*

to Ο Ο CO O*

CO ^ CO CM O*

CM CM S OJ O*

ο

ο

κ

ο

: 8

8

ο

ο

ο

ο

co cm ο ο

ο

ο

ο

5! S δ

ο

ο 3 Ο

S CM CM CM CM CM ο* ο* ο ο • " Ο © Ο ©

Ο

ο

κ ο

ο

a ο 8

tö rCM o*

^ CO CM . . ^ τ^ τ - ö Ö r«. Γ·*, rs. r-s. fs» fs. r^. r». r>. CM CM CM CMCM CM CM CM. CM ©~ ο* ο* ο ©* o" o" ö " ©"

ο

ο

;

to to to to (Ο ο

ο

ο

ο

CM

CM

CM

OJ

CM

Ο* θ" ©* ©" o"

to r·» ςη co o> i n CM ^ CO OJ CM y- y- y- 1 ι i n i n i n i n i n m m i n 1ι

S

ο

ο

ο

ο

ο

ο

CM

ο

ο

Λ W tjCM O*

CM

CM

CM

ο

© ©

©" ©* © ' o " ©

u n s g CM CM CM CM CM θ " Ο* θ " C>~ o " ο

©

rο ο CO Ο*

^ rrCM θ"

ω t- m ο co cb t co ^ co CO CM CM CM. CM Ο* o~ O* o"

in CM CM o"

^ © to co CM CM y- ycO co co co co CM CM O J CM CM. o ' o " ©" o " o " CO

•«t co co ct> m Φ Λ Ν CO CM CM y- yΝ 5 co cO co CM CM CM CM CMCM CM CM CM CM CM CM CMCM CM CM CM CMCM. CM. CM CM CM o" CD o" ©* ©~ θ " θ " © " θ" ©* θ " Ο* o "

SUJ Φ

S

Ο CD Ν Ν δ) ^ CM C\i CM CÜ θ " θ ' θ" o"

CO

CO

CM

OI

•>-

CM

CM

CM

CM

CM

©"

©* O* O* O*

I -

CM

IN

ο

ο

ο

δ to co CM 1 - yCM CM CM. o" o " cT

Φ y- CM y- ΙΛ to cm co i n CM T- r - ο Ο Ο CM CM CM CMC .M θ" θ" θ " O* o*

CO to S S t ^ co co φ φ © Ο Φ Φ CM CM CM Τ- ΤΟ* ο* ο* ο " ο"

^

8οιη

8

τ- τ ί ι - Ν s cm to ω i n co to to CO Φ Λ CM co 2 U) ί CO C O CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM C>~ ©~ o " ©~ ο* Ö" οCMο "CM οCM ©"

co ο

?

© Ο Ο ©

CM co ο CO o"

ω s

_ © ο _ _ 9 9 9$ ο " ©" ο* ο " ο "

ο

CO 1— Φ ω tO ^ i t Ν σι ν ώ ιΛ tjCM CM CM CM CM o" Ο* Ο Ο* θ '

Ο) r-* ω

CM CO Tf "Λ

ο

! CO c?

Φ cm to i n co W CM CM CM CMCM ' ο ο* ο* ο* θ " ο

ο

CO CM CM Ο Ο Ο Ο Ο co co co co co ο " ο " ο " ο* ο*

CM CO (D CM

SCCMO

ο

ο

σ> to to φ φ in cm Φ

w ν ο w ο σ> τ - ο Ν CD Ο ^ CO ^F ·*ί- CO τ ο* ο" ο " ο" CO Ο*

ο

ο

Ο Λ φ φ Ν f - to CM Φ Is» 8 ο ο ο ο ο

g

ο

ο

ο

ο

co FKZ, dann steigt mit zunehmender Verschuldung die interne Verzinsung. Der Verschuldungsgrad wirkt wie ein Hebel. Allerdings kann der Hebel auch in umgekehrter Richtung wirken, wenn der Klammerausdruck negativ wird. Dann sinkt mit steigender Verschuldung die interne Verzinsung. Beispiel: I 0 = 100; c = 20; p s = 10; η = 2; FK = 60 —» s = 0,6 und EK = 40; ^ ™ 20-6 20-6 100-60 C 0 = 0 = - 1 0 0 + 60 + +— — + 5—