Mathematics 12 [12]

Citation preview

‫رياضي‬

‫د افغانستان اسالمي جمهوريت‬ ‫د پوهنې وزارت‬

‫دولسم ټولګى‬

‫د تعليمي نصاب د پراختيا لوی رياست‬

‫د ديني مدارسو لپاره‬ ‫رياضي دولسم ټولګى (د ديني مدارسو لپاره)‬

‫درس��ي کتابونه د پوهنې په وزارت پورې اړه لري‪ .‬پېرودل‬ ‫او پلورل يې منع دي‪.‬‬

‫‪x+a‬‬

‫‪x+b‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( x + a )( x + b) = x + (a + b) x + a ⋅ b‬‬

‫‪[email protected]‬‬

‫‪ 1398‬هـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫رياضي‬

‫دولسم ټولګي‬

‫د ديني مدارسو لپاره‬

‫‪ 1398‬هـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫الف‬

‫مولفين‬ ‫• سرمولف ميرنقيب اهلل د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تاليف رياست علمي غړى‬ ‫• حمداهلل شيرزی د تعليمي نصاب د پراختيا د پروژې غړی‪.‬‬ ‫• محمد داؤد غيرت د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تاليف رياست علمي غړى‬ ‫• د مؤلف مرستياله لينا صافى د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تاليف رياست علمي غړې‬ ‫علمی آډيټور‬ ‫• حبيب اهلل راحل د تعليمي نصاب په رياست کې د پوهنې وزارت سالکار‪.‬‬ ‫• سرمولف نظام الدين د تعليمي نصاب د پراختيا او درسي کتابونو د تاليف رياست علمي غړى‪.‬‬ ‫د ژبې اډيټور‬ ‫• مؤلف محمد قدوس(ذکوخېل) د پښتو ديپارتمنت علمي غړى‪.‬‬

‫ديني‪ ،‬سياسي او فرهنګي کميټه‪:‬‬

‫• حبيب اهلل راحل د تعليمي نصاب په رياست کې د پوهنې وزارت سالکار‪.‬‬

‫اشراف‪:‬‬ ‫• دکتور شېرعلي ظريفي د تعليمي نصاب د پراختيا د پروژې رئيس‪.‬‬

‫ب‬

‫ج‬

‫بسم اهلل الرحمن الرحيم‬

‫د‬

‫د پوهنې د وزير پيغام‬ ‫الحمد هلل رب العاملني والصلوة والسالم علی رسوله محمد و علی آله و أصحابه أجمعني‪ ،‬أما بعد‪:‬‬ ‫د پوهنې تعليمې نصاب د ښوونې او روزنې د نظام بنسټ جوړوي او د هيواد د اوسنيو او راتلونکو نسلونو په علمي‪،‬‬ ‫فکري او سلوکي ودې او پراختيا کې بنسټيز او ارزښتمن رول لري‪.‬‬ ‫تعليمي نصاب بايد د وخت په تېرېدو او د ژوندانه په بېالبېلو ډګرونو کې له بدلون او پرمختګ او د ټولنې له اړتياوو‬ ‫سره سم‪ ،‬هم د مضمون او محتوا او هم د معلوماتو د ورکړې د الرو چارو له مخې‪ ،‬بدلون او پراختيا ومومي‪.‬‬ ‫د تعليمي نصاب په ډګر کې يو هم د اسالمي زده کړو نصاب دی چې بيا کتنې او ودې ته ېې جدي اړتيا ليدل کېده؛‬ ‫ځکه له يوې خوا بايد د ديني مدرسو فارغان د ټولنې د معنوي مخکښانو په توګه د معارف د هڅو د پوره پام وړ‬ ‫وګرځي او له بلې خوا د ديني مدرسو په نصاب کې د اسالم د سپېڅلي دين عقايد‪ ،‬احکام او الرښوونې راغلې‬ ‫دي چې د انساني ژوند د ټولو اړخونو بشپړ نظام او قانون او د نړۍ د خالق او پرودګار د وروستني پيغام په توګه د‬ ‫قيامت تر ورځې پورې‪ ،‬د بشريت د الرښوونې دنده سرته رسوي‪.‬‬ ‫د اسالمي امت عالمانو د تاريخ په اوږدو کې د اسالمي معارف او د اسالمي تعليماتو د سيستم په رامنځته کولو‪ ،‬پراختيا او بډاينه‪،‬‬ ‫په تېره بيا د اسالمي نړۍ د علمي مرکزونو او مؤسسو د تعليمي نصاب په تدريجي وده کې‪ ،‬خپله دنده سرته رسولې ده‪.‬‬ ‫د اسالمي علومو تاريخ ته کره کتنه‪ ،‬دا څرګندوي چې د ديني مدرسو او علمي مرکزونو نصاب تل د اسالم د تلپاتې‬ ‫او ثابتو احکامو پر بنسټ‪ ،‬د ټولنې له اړتياوو سره سم‪ ،‬هر وخت او هر ځای پراختيا موندلې ده‪.‬‬ ‫زموږ گران هيواد افغانستان د علمي ځالنده تاريخ په درلودلو سره د علم او پوهې زانګو او د وخت لوی علمي مرکز و چې د‬ ‫اسالمي ستر تمدن په جوړښت کې يې مهم رول درلود‪ .‬د علم او فرهنگ په مختلفو ډګرونو‪ ،‬په ځانگړې توگه د عقايدو‪ ،‬تفسير‪،‬‬ ‫حديث‪ ،‬فقهې او د فقهې د اصولو په څېر په شرعي علومو کې د زرګونو پوهانو او عالمانو شتون‪ ،‬زموږ ددې وينا پخلی کوي‪.‬‬ ‫په اوسني عصر کې د اسالمي ويښتابه له پراختيا سره سم زموږ په هېواد کې اسالمي زده کړو د څومره والي او‬ ‫څرنګوالي له مخې زيات بدلون موندلی او د هېواد کوچنيان او ځوانان په ډېره مينه او ليوالتيا د اسالمي زده کړو‬ ‫مرکزونو او مدرسو ته مخه کوي‪.‬‬ ‫د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهنې وزارت د خپل مسؤوليت او دندې له مخې د هېواد له اساسي قانون سره سم د‬ ‫اسالمي زده کړو د کيفي او کمي پراختيا او په هغې کې د اسالمي زده کړو د نصاب په اړه د پام وړ ګامونه پورته کړي دي‪.‬‬ ‫په دې لړ کې د پوهنې وزارت‪ ،‬د هېواد د ډاډ وړ تجربه لرونکو عالمانو‪ ،‬استادانو او متخصصانوڅخه په بلنه د ديني‬ ‫مدرسو د تعليمي نصاب‪ ،‬د ال ښه کولو لپاره‪ ،‬مروج کتابونه‪ ،‬د متنونو د شرحې او توضيح او د فعاليتونو‪ ،‬ارزونو او‬ ‫تمرينونو په ورزياتولو د درسي کتابونو له نويو معيارونو سره سم چمتو کړل‪.‬‬ ‫هيله من يم‪ ،‬د پوهنې وزارت د عالمانو او متخصصانو د ستاينې وړ دا هڅې‪ ،‬په افغانستان کې د اسالمي زده کړو‬ ‫د ال پراختيا او بډاينې او د لوی خدای جل جالله د رضا د ترالسه کولو المل شي‪.‬‬ ‫وباهلل توفيق‬ ‫دکتور محمد ميرويس بلخي‬ ‫د پوهنې وزير‬

‫مقدمه‬ ‫قدرمنو استادانو او ګرانو زده کوونکو‪،‬‬ ‫ ‬ ‫رياضي چې د طبيعي علومو ژبه ده‪ ،‬د طبيعت قوانين د فورمولونو په شکل وړاندې کوي‬ ‫او په عددونو او مقدارونو پورې اړوند مسايل د حساب په ژبه بيانوي‪.‬‬ ‫وګړي په خپل ورځني ژوند کې دې علم ته اړتيا لري‪ ،‬د ساينسي علومو لپاره د ِکلِي‬ ‫حيثيت لري‪ ،‬د طبيعت زيات قوانين د رياضي د علم په ژبه بيانېږي‪ ،‬د رياضي علم ته د‬ ‫شرعي مسايلو په حل کې هم اړتيا ده‪ ،‬د ميراث د ويش‪ ،‬د ځمکو د وېش په مهال د هغو‬ ‫د مساحت پېژندل‪ ،‬د شريکانو د حقوقو پېژندل او په داسې نورو ډېرو برخو کې له رياضي‬ ‫څخه کار اخيستل کېږي‪.‬‬ ‫نو د دې لپاره چې زمونږ د شرعي مدارسو فارغان اړينې وړتياوې ولري‪ ،‬د ژوند ورځني‬ ‫مسايل چې په رياضي پورې اړوند وي حل کړاى شي‪ ،‬د ميراث‪ ،‬مشارکت‪ ،‬د مالونو‬ ‫د وېش په مسايلو او د ساينسي مضامينو په محتوا وپوهېږي‪ ،‬د افغانستان د اسالمي‬ ‫جمهوريت د پوهنې وزارت د تعليمي نصاب د پراختيا عمومي رياست‪ ،‬د رياضي اړين‬ ‫مسايل د شرعي مدارسو په نصاب کې ځای په ځای کړل‪.‬‬ ‫په دې توګه چې د دې برخې د زده کوونکو بنسټيزو اړتياوو‪ ،‬راتلونکي تخصص او په‬ ‫تعليمي پالن کې د رياضي د مضمون لپاره ټاکل شوي وخت ته په پام ېې د رياضي د علم‬ ‫ضروري مسايل د نصاب ليکنې د معاصر فن په نظر کې نيولو سره په اسانو او اغيزمنو‬ ‫طريقو تاليف کړل‪ ،‬تر څو د شرعي مدارسو فارغان د ديني علومو تر څنګ ځينې اړين‬ ‫دنيوي علوم هم زده کړي‪ ،‬ظرفيتونه يې لوړ شي او په ټولنه کې د فعال ګټور او اغېزمن‬ ‫رول لوبولو لپاره وړتياوې تر السه کړي‪.‬‬ ‫واهلل ولى التوفيق‬

‫هـ‬

‫فهرست ‬

‫ ‬

‫ ‬

‫مـــخ‬

‫ ‬ ‫لومړى څپرکى‪ :‬د دايرې د ځينو عناصرو خاصيتونه ‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫• د دايرې د وتر خواص‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‬ ‫• د دايرې د شعاع خواص‬ ‫‪7‬‬ ‫• په دايره کې د اوږدوالي اړيکې ‬ ‫‪ 9‬‬ ‫ ‬ ‫• په دايره کې د مرسومې څلور ضلعي ځانګړتياوې (خواص)‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫• د لومړي څپرکي لنډيز‬ ‫‪12‬‬ ‫ ‬ ‫• د لومړي څپرکي پوښتنې‬ ‫ ‬ ‫دويم څپرکى‪ :‬تحليلي هندسه‬ ‫ ‬ ‫• د يوه قطعه خط د منځني نقطې مختصات‬ ‫• د موازي کرښو ميل ‬ ‫• د مستقيم خط عمومي معادله ‬ ‫ ‬ ‫• د خطي معادالتو سيستم‬ ‫ ‬ ‫• د خطي معادلو د سيستم حل په تعويضي الره(طريقه)‬ ‫ ‬ ‫• د خطي معادلو د سيستم حل د افنا په الره(طريقه)‬ ‫ ‬ ‫• د دويم څپرکي لنډيز‬ ‫ ‬ ‫• د دويم څپرکي پوښتنې‬

‫‪15‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪32‬‬

‫ ‬ ‫دريم څپرکى‪ :‬مثلثات‬

‫ ‬ ‫• د يوې زاويې مثلثاتي نسبتونه‬ ‫ ‬ ‫• د معلومو زاويو مثلثاتي نسبتونه‬ ‫ ‬ ‫• مثلثاتي جدول او د هغې د استعمال ځايونه‬ ‫ ‬ ‫• د قايم الزاويه مثلثونو حل‬ ‫ ‬ ‫• د ميل‪ ،‬ارتفاع او تنزيل زاويې‬ ‫ ‬ ‫• مثلثاتي معادلې‬ ‫ ‬ ‫• د دريم څپرکي لنډيز‬ ‫ ‬ ‫• د دريم څپرکي پوښتنې‬

‫و‬

‫‪ 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪54‬‬

‫فهرست ‬

‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫څلورم څپرکى‪ :‬الجبري افادې‬

‫ ‬ ‫• په فکتورونو تجزيه کول (فکتور نيول)‬ ‫• کوچنى گډ مشترک مضرب(‪ )L.C.M‬‬ ‫ ‬ ‫• د الجبري افادو د عمليو ساده کول‬ ‫ ‬ ‫• د څلورم څپرکي لنډيز‬ ‫ ‬ ‫• د څلورم څپرکي پوښتنې‬

‫ ‬ ‫پنځم څپرکى‪ :‬نامساوات‬

‫ ‬ ‫• د کسري افادو د عالمو تحليل او ټاکل‬ ‫ ‬ ‫• کسري نامساوات‬ ‫ ‬ ‫• خطي دوه متحوله نا مساوات‬ ‫ ‬ ‫• دوه متحوله خطي نامساوي سيستمونه‬ ‫ ‬ ‫• د پنځم څپرکي لنډيز‬ ‫ ‬ ‫• د پنځم څپرکي پوښتنې‬

‫ ‬ ‫شپږم څپرکى‪ :‬يو مجهوله دويمه درجه معادلې‬

‫ ‬ ‫• د يو مجهوله دويمه درجه معادلې عمومي شکل‬ ‫ ‬ ‫• هغه يو مجهوله دويمه درجه معادلې چې د ‪ x‬ضريب يې صفر وي‬ ‫ ‬ ‫• د هغه يو مجهوله دويمه درجه معادلو د حل الره(طريقه) چې ثابت يې صفر وي‬

‫مـــخ‬ ‫‪57‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪61‬‬

‫‪66‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪71‬‬

‫‪73‬‬

‫‪75‬‬

‫‪77‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪78‬‬ ‫‪81‬‬

‫‪83‬‬ ‫‪85‬‬

‫• د هغه يومجهوله دويمه درجه معادلې حل چې د ‪ x‬ضريب او ثابت حد يې موجود وي ‬ ‫ ‬ ‫• د شپږم څپرکي لنډيز‬

‫‪91‬‬

‫ ‬ ‫• د شپږم څپرکي پوښتنې‬

‫ ‬

‫‪65‬‬

‫‪87‬‬

‫• د هغه يو مجهوله دويمه درجه معادلو حل چې د مضاعف(مساوي) جذر لرونکې وي ‬

‫ ‬

‫‪89‬‬ ‫‪92‬‬

‫ز‬

‫لومړى څپرکى‬

‫د دايرې د ځينو عناصرو‬ ‫خاصيتونه‬

‫د دايرې د وتر خاصيتونه‬

‫ش��کل ته پام وکړئ أيا ويالی ش��ې چې د‬ ‫‪ CD ، AB‬او ‪ EF‬مستقيمې کرښې په‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫څه ده؟ او‪B‬له ‪HAB‬او ‪A CD‬کرښو سره څه‬

‫اړيکه لري؟‬

‫‪A‬‬

‫‪r‬‬

‫څه نامه يادېږي د ‪ EF‬د کرښ��ې ځانگړتيا‬ ‫‪10‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪26‬‬

‫‪D‬‬

‫• د ) ‪ C (O , r‬په دايره ‪P‬کې د ‪ AB‬وتر رسم کړئ‪.‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪1‬‬ ‫• د دايرې د ‪2 N‬‬ ‫داسې‪ M‬رسم کړئ چې د ‪ AB‬په وتر باندې د ‪ H‬په نقطه کې عمود وي‪.‬‬ ‫‪ ED‬قطر‬ ‫‪O‬‬

‫• د )‪ (O‬ټکى د ‪ A‬او ‪ B‬سره ونښلوئ‪ ،‬السته راغلى مثلث څه ډول ‪O‬‬ ‫مثلث دى‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ځايونو کې د( = ‪ < ,‬يا > ) وړ نښې وليکئ‪.‬‬ ‫تشو‬ ‫• په الندې‬ ‫‪X‬‬ ‫‪HB‬‬

‫∩‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫∩‪H‬‬ ‫‪OB , AE‬‬

‫‪EB , AH‬‬

‫‪E‬‬

‫‪OA‬‬

‫د دې فعاليت له پايلې څخه کوالى شو الندې قضيه بيان او ثبوت کړو‪.‬‬ ‫قضيه‪ :‬په هره دايره کې په وتر عمود قطر‪ ،‬وتر او د هغې مقابل قوس نيمايي کوي‪.‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫ثبوت‪:‬د ‪ BOH‬او ‪ AOH‬دوو مثلثونو څخه ليکلى شو چې‪:‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬د دايرې شعاع ‪OA = OB.........‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪  ⇒ AOH ≅ OHB‬قایمه ‪H1 = H 2 ..........‬‬ ‫‪ ‬مشترک ‪OH = OH........‬‬ ‫‪‬‬ ‫∆‬

‫نو د دوو مثلثونو له تساوي څخه داسې پايله السته راځي‪ ،‬چې‪ AH = HB :‬او د ‪AOH‬‬ ‫∆‬

‫∩‬

‫∩‬

‫او ‪ BOH‬مرکزي زاويې سره مساوي دي‪ ،‬په پايله کې ‪ AE = EB‬دى‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د )‪ C (O , 5‬دايره راکړل شوې ده‪ ،‬که چيرې پر وتر د عمود اوږدوالى د دايرې له مرکز‬ ‫څخه (‪ )2‬واحده وي‪ ،‬د ‪ AB‬وتر اوږدوالى حساب کړئ‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪Page 13‬‬

‫‪H ∆ B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 10‬په مثلث کې د فيثاغورث د قضيې له مخې لرو چې‪:‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪OAH‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪OA = AH + OH‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪5 = AH + 4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪AH = 52 − 4 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪AH = 25 − 16 = 9‬‬ ‫‪AH = 3‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪AB = 2 AHB = 2 × 3 = 6unit‬‬ ‫‪26 10‬‬ ‫‪O‬‬

‫• د )‪ C (0 , 3‬دايره رسم کړئ‪.‬‬ ‫• په دايره کې د ‪ PQ‬او ‪ ER‬دوه مساوي وترونه رسم کړئ‪.‬‬

‫وترونو باندې عمود کرښې رسم او اوږدوالى يې معلوم کړئ‪.‬‬ ‫• د دايرې له مرکز څخه د ‪ PQ‬او ‪ ER‬په ‪R‬‬ ‫‪P‬‬

‫د دې فعاليت له پايلې څخه الندې قضيه بيان او ثبوتوو‪.‬‬ ‫‪2 N‬‬ ‫دايرې له مرکز څخه مساوي واټن لري‪.‬‬ ‫د‬ ‫وترونه‪،‬‬ ‫قضيه‪ :‬په هره دايره کې د هغې مساوي‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬

‫∆‬

‫∆‬

‫ثبوت‪ :‬د ‪ RON‬او ‪POM‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪P‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪S‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪R‬‬

‫له دوو‪S‬مثلثونو څخه لرو چې‪Q.‬‬

‫∆‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫د دايرې‬ ‫شعاع‪OP = OR ...........‬‬ ‫‪S‬‬ ‫قایمه‪2 ........................‬‬

‫∆‬

‫‪OM = ON‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫∧‬

‫‪POM ≅ RON‬‬

‫‪P‬‬

‫‪O‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪M‬‬

‫⇒‬

‫‪Q‬‬

‫∧‬

‫=‪1‬‬ ‫‪X‬‬

‫مساوي وترونه ‪PQ = RS ........‬‬

‫‪PQ RS‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫په پايله کې ويالى شو چې په هره دايره کې مساوي وترونه له مرکز څخه مساوي واټن لري‪2 .‬‬ ‫‪PM = RN‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫∆‬

‫‪D‬‬

‫‪ -1‬د )‪ C (0 ,13‬په دايره کې د ‪ AB‬وتر د دايرې‪O‬له مرکز څخه ‪ 5‬واحده‬

‫واټن لري د ‪ AB‬اوږدالى پيدا کړئ‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪H‬‬

‫∆‬

‫‪POM‬‬ ‫‪≅ RON‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪OM = ON‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪ -2‬که چيرې د يوې دايرې قطر د وتر له نيمايي څخه تير شي‪ ،‬ثبوت کړئ چې پر وتر عمود دى‪.‬‬ ‫‪ -3‬په يوه دايره کې ‪ AB = 8cm‬وتر رسم کړئ‪ .‬که چيرې د وتر عمودي فاصله له مرکز‬

‫څخه ‪ OH = 3cm‬وي د دايرې قطر او محيط محاسبه کړئ‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫د دايرې د شعاع خواص(ځانګړتياوې)‬

‫ش��کل ته پام وکړئ أيا ويالی شې چې د‬ ‫‪ OB ،OA‬او ‪ OC‬کرښې څه نومېږي‬ ‫او د ∆ کرښ��ه د دايرې او د ‪ OB‬شعاع‬ ‫سره څه اړيکې لري؟‬

‫‪C‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬

‫• په مخامخ شکل د( ∆ ) مستقيمه کرښه د )‪C (0 , 2‬‬ ‫دايرې د ‪ T‬په ټکي کې مماس دى د ‪ C , B , A‬او‬ ‫‪ D‬ټکي د مماس پر مخ د ‪ T‬ټکى دواړو خواوو کې‬

‫‪A‬‬ ‫‪‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬

‫وټاکئ او د دايرې له مرکز سره يې ونښلوئ‪.‬‬ ‫• ټوټه کرښې يا قطعه خطونه د خط کش په مرسته‬ ‫‪T‬‬ ‫اندازه کړئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫• د دايرې د مرکز او مماس تر منځ لنډۍ واټن وښايئ‪.‬‬ ‫تر ټولو کوچنۍ فاصله د يوه ټکي او يوې مستقيمې کرښې تر منځ کومه فاصله ده؟‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫• له پورتنيو دوو حالتونو څخه څه پايله السته راوړئ‪.‬‬ ‫د دې فعاليت له پايلې څخه په الندې توگه قضيه بيان او ثبوتوو‪.‬‬ ‫عمود ده‪C .‬‬ ‫قضیه‪ :‬د دايرې شعاع د تماس په ټکي کې پر مماس ‪D‬‬ ‫ثبوت‪ :‬په الندې شکل کې ليدل کېږي‪ ،‬چې‪:‬‬

‫‪TT‬‬

‫‪OT < OB < OA‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪A B‬‬

‫‪O‬‬

‫‪OT < OC < OD‬‬

‫پوهې��ږو چې ت��ر ټولو کوچن��ۍ فاصله د ي��وه ټکي او‬ ‫مس��تقيم ترمنځ عمودي فاصله ده‪ .‬په پايله کې ويالى‬ ‫‪D‬‬ ‫شو چې مستقيمې کرښې‪ OT ⊥ ∆ :‬دي‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪T‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬په الندې شکل کې د ∆ مستقيمه کرښه د ‪ A‬په ټکي د ) ‪ C (O , r‬پر دايره‬ ‫∧‬

‫مماس دى‪ .‬که چيرې د ‪ AOB‬مساوي ‪ 60‬وي‪ ،‬د ‪ x‬زاويه پيدا کړئ‪∧.‬‬ ‫∧‬

‫‪OA ⊥ BA ⇒ y = 90‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪o + x + y = 180‬‬

‫‪A‬‬

‫∧‬

‫‪60 + x + 90 = 180‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫∧‬

‫‪Y‬‬

‫‪xx = 180 − 150‬‬

‫‪B‬‬

‫‪X‬‬

‫∧‬

‫‪xx = 30‬‬

‫دويم مثال‪ :‬په الندې ش��کل کې د ∆‪O‬مس��تقيمه کرښه د ) ‪ C (O , r‬پر دايره مماس ده‪ ،‬که‬ ‫‪ OM = 4unit‬او ‪ ON = 5unit‬اوږدوالى ولري‪ ،‬د ‪ MN‬اوږدوالى پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪O‬‬

‫∆‬

‫‪X‬‬ ‫مماس ‪B‬‬ ‫عمود ده په پايله کې د ‪ OMN‬په‬ ‫حل‪ :‬پوهيږو چې د دايرې شعاع د‪‬تماس په‪Y‬ټکي پر‬ ‫‪A‬‬ ‫قضيې په اساس لرو چې‪:‬‬ ‫قايم الزاويه مثلث کې د فيثاغورث د‬ ‫‪‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8 N 10‬‬

‫‪M‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪Y2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪= 5 − 4A = 9‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪MN = 3unit‬‬

‫‪‬‬ ‫مماس عمود وي‪.‬‬ ‫• د دايرې شعاع د تماس‪ B‬په ټکي‪A‬کې پر‬ ‫• هر مماس په هغه شعاع چې د تماس له ټکي څخه تېرېږي عمود دى‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪10‬ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪MN = ON‬‬ ‫‪− OM‬‬

‫‪‬‬

‫‪W‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ON = OM + MN‬‬

‫‪N‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪X‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬

‫‪‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ -1‬په مخامخ ش��کل کې‪ ∆ S‬د‪ AP(C ,Or )B‬پ��ر دايرې مماس دى‪ ،‬که‬ ‫‪ AC = 8unit‬او ‪ BC = 10unit‬اوږدوالى ولري‪ .‬د ‪ AB‬اوږدوالى‪10‬‬ ‫‪Z N‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪W‬‬ ‫پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ - 2‬په مخامخ شکل کې که ‪ SWZ‬د ‪ T‬په‪O‬ټکي د ) ‪C (O , r‬‬

‫پر داي��رې مم��اس وي‪ TW = 3unit ، OS = 1unit ،‬وي د‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ OW , SN , AS , OA‬او ‪ TX‬اوږدوالى پيدا کړئ‪.‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪108‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪TZ‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪S‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪N‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪T‬‬

‫‪W‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪6‬‬

‫‪W‬‬

‫په دايره کې د اوږدوالي اړيکې‬ ‫‪B‬‬

‫أيا کوالی شي هغه ټوټه کرښې چې په‬ ‫مخاخ شکل کې وينئ نوم يې واخلئ؟ ‬

‫‪D‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪P‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫د اوږدوالى اړيکې‪ :‬په يو هندسي شکل کې د کرښو د اجزاوو تر منځ اړيکې د اوږدوالى اړيکو‬ ‫په نوم يادېږي‪.‬‬

‫●د ‪ P‬له نقطې څخه چې د ) ‪ C (O , r‬دايرې په بهر کې‬ ‫پروت د نوموړي دايرې سره د ‪ PAB‬او ‪ PCD‬قاطع‬ ‫خطونه رسم کړئ‪.‬‬ ‫● د ‪ A‬نقطه له‪ D‬او ‪ B‬نقطه له ‪ C‬نقطې سره ونښلوئ‪ .‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫● ويالى شئ چې د ‪ PAD‬او ‪ PCB‬مثلثونه مشابه دي؟‬ ‫● په پورته دوو مثلثونو کې د تشابه نسبتونه وليکئ‪.‬‬

‫مرسته‬ ‫• که چيرې په دوو مثلثونو کې دوې‬ ‫زاويې سره مساوي وي‪ ،‬دريمه زاويه‬ ‫يې هم سره مساوي کېږي‪.‬‬ ‫• په مش��ابه مثلثونو کې د مس��اوي‬ ‫زاويو مخامخ ضلعې متناسبې دي‪.‬‬

‫د دې فعاليت له پايلې څخه الندې قضيه څرگندېږي‪.‬‬ ‫قضي��ه‪ :‬ک��ه چي��رې د يوې دايرې له بهر څخه پر دايره دوې قاطع کرښ��ې رس��م ش��ي‪ ،‬د ي��وه قاطع حاصل‬

‫ضربونه د هماغه قاطع له قطعه خطونو س��ره چې د هغې دايرې څخه بهر پراته دي يو له بل س��ره مس��اوي دي‪.‬‬ ‫يعنې‪:‬‬

‫‪7‬‬

‫‪PA.PB = PC. PD‬‬

‫∆‬

‫∆‬

‫ثبوت‪ :‬د ‪ PAD‬او ‪ PCB‬د مثلثونو تر منځ الندې ‪B‬‬ ‫اړيکي موجودې دي‪.‬‬ ‫‪PA ⋅ PB = PC ⋅ PD‬‬

‫ ‬

‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ ‬د عين قوس محيطي زاويې ‪D = B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫ ‬ ‫شريکه‬ ‫‪‬‬ ‫‪P=P‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫∆‬

‫∆‬

‫د پورتنيو دريو زاويو له تساوي ‪A‬‬ ‫پوهېږو چې د ‪ PAD6‬او ‪ PCB‬مثلثونه مشابه دي‪ ،‬نو‬ ‫څخه‬ ‫‪P‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ليکلى شو چې‪:‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪PA PD‬‬

‫‪⇒ 4PA ⋅ PB = PC‬‬ ‫‪C ⋅ PD‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪PB‬‬

‫=‬

‫‪PC‬‬

‫⇒ ‪A‬‬ ‫‪PCB ~ PAD‬‬

‫مثال‪ :‬په الندې شکل کې ‪ PA‬او ‪ PB‬د‪ C (O , r )B‬د دايرې‪A‬دوې قاطع کرښې دي‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ B‬او ‪DB‬‬ ‫‪ PD‬اوږدوالى ولري‪ ،‬د‪PB P‬‬ ‫که ‪ PC = 6cm , PA = 10cm‬او ‪O = 4cm‬‬ ‫‪P‬اوږدوالى ‪6‬پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫چې د ‪ P‬له نقطې څخه رسمېږي او په ترتيب سره د ‪ O‬دايره‬ ‫هغه قطعات(ټوټه کرښې) ‪A‬‬ ‫حل‪4 :‬‬ ‫د ‪ A , C‬او‪ B , DD‬په نقطو کې قطع کوي‪.‬‬ ‫‪PA ⋅ PC = PB ⋅ PD‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪P‬‬

‫‪6‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5 C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪5‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪10 ⋅ 6 = PB ⋅ 4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪60 = 4 PB‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪PB C‬‬ ‫‪= 15cm‬‬ ‫‪DB = PB − PD O D‬‬

‫‪x‬‬

‫‪6‬‬

‫‪P‬‬

‫‪B‬‬

‫‪DB = 15 − 4‬‬ ‫‪DB = 11cm‬‬

‫‪6‬‬

‫حلولو څخه د قضيې سموالى ثبوتېږي‪ ،‬يعنې‪ :‬که چيرې د يوې دايرې له بهر‪C‬څخه پر دايره دوې قاطع‬ ‫د مثال له ‪6‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪O‬‬ ‫خطونو سره چې د هغې دايرې څخه‬ ‫کرښ��ې رس��م شي‪ ،‬د هر يوه قاطع حاصل ضربونه د هماغه قاطع له قطعه ‪D‬‬ ‫بهر پراته دي يو‪x‬له بل سره مساوي دي‪5 .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪6‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫‪2x+1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2x+1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪4 6‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2x+1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪-1‬په الندې شکلونو کې د ‪ x‬عددي قيمت پيدا کړئ‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬

‫‪D‬‬

‫‪8‬‬

‫‪P‬‬

‫په دايره کې د مرسوم څلورضلعي‬ ‫ځآنگړيتآوې(خاصيتونه)‬ ‫په مخامخ شکل کې أيا ويالی شې چې‬ ‫دايرې او د څلور ضلعې له راسونو سره‬ ‫څه اړيکه لري‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫● د ‪ ABCD‬څلور ضلعي او يوه دايره داس��ې رس��م کړئ چې د دايرې محيط د څلور ضلعي‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫له راسونو څخه تېر شي‪A .‬‬ ‫● هغه زاويې چې راسونه يې د دايرې پر محيط باندې واقع وي په څه نامه يادېږي؟‬ ‫● د دايرې مرکز د څلور ضلعي له دوو راس��ونو س��ره ونښلوئ‪ ،‬د منځ ته راغلى مرکزي زاويې‬ ‫پراخوالى څو درجې ده؟‬ ‫اړيکي چې د عين قوس مخامخ پرتې وي وليکئ‪.‬‬ ‫● د مرکزي او محيطي زاويو ‪D‬‬ ‫‪2‬‬

‫د دې‪C‬‬ ‫فعاليت له پايلې څخه الندې قضيه بيانوالى شى‪:‬‬ ‫قضيه‪ :‬په يوه دايره کې د مرسوم څلور ضلعې د مخامخ زاويو مجموعه ‪ 180o‬ده‪.‬‬ ‫ثبوت‪:‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪O1 + O 2 = 360‬‬ ‫∧‬ ‫∧‪1‬‬ ‫‪DCB = O1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∧‬ ‫∧‪1‬‬ ‫‪DAB = O 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧ ∧ ‪1‬‬ ‫‪360‬‬ ‫= ) ‪DCB+ DAB = (O1 + O 2‬‬ ‫‪= 180‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫منظمه مضلع‪.‬‬ ‫مضلع په دوه ډوله ده‪ :‬منظمه مضلع او غير‬ ‫‪O‬‬ ‫منظمه مضلع‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫هغه مضلع چې اضالع او زاويې يې يوه له بلې سره مساوي وي منظمه مضلع بلل کېږي‪.‬‬

‫که چيرې د يوه منظم مضلع د ضلعو شمېر په ‪ n‬او د هغې داخلي زاويو مجموعه په ‪ S n‬وښيو‬ ‫نو د هر ‪ n‬ضلعې داخلي زاويو مجموعه ‪ S n = (n − 2)180‬درجې ده‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د يو څلور ضلعي او لس ضلعي داخلي زاويو مجموعه پيدا کړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د هر مضلع داخلي زاويو مجموعه د ‪ S n = (n − 2)180‬اړيکې له مخې ټاکل کېږي‪.‬‬ ‫) ‪Sn = (n − 2)(180o‬‬ ‫‪S4 = (4 − 2)(180o ) ⇒ S4 = 360o‬‬ ‫‪S10 = (10 − 2)(180o ) ⇒ 8 ×180 ⇒ S10 = 1440o‬‬

‫په ياد ولرئ چې‪:‬‬ ‫• د قطرونو تعداد د ‪ n‬ضلعي له يوه راس څخه د ‪ n-3‬د اړيکې په مرسته الس ته راځي‪.‬‬ ‫• له يوه راس څخه د مضلع په منځ کې د مثلثونو شمېر د ‪ n-2‬اړيکې په مرسته السته راځي‪.‬‬ ‫• په يوه دايره کې د مرسوم څلور ضلعي د مخامخ زاويو مجموعه ‪ 180 ‬ده‪.‬‬ ‫• هغه مضلع چې د ضلعو اوږدوالى يې سره مساوي وي منظم مضلع بلل کېږي‪.‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫‪ -1‬د يوې منظمې شپږ ضلعي مضلع د زاويو پراخوالى څو درجې دى؟‬ ‫‪ -2‬د يوې منظمې ‪ n‬ضلعي مضلع د زاويو اندازه څو درجې ده؟‬

‫‪ -3‬په يوه لس ضلعي مضلع کې د قطرونو په مرسته له يوه راس څخه څو مثلثونه منځ ته راځي؟‬

‫‪10‬‬

‫د لومړي څپرکي لنډيز‬

‫● په هره دايره کې د دايرې له مرکز څخه پر وتر عمودي کرښه‪ ،‬وتر او مخامخ قوس نيمايي‬ ‫کوي‪.‬‬ ‫● د يوې دايرې مساوي وترونه د هغې له مرکز څخه مساوي فاصلې لري‪.‬‬ ‫● د دايرې شعاع د تماس په ټکي کې پر مماس عموده ده‪.‬‬ ‫● هغه اړيکې چې د يوه هندس��ي شکل د کرښ��و د اجزاوو ترمنځ موجودې دي‪ ،‬د اوږدوالي‬ ‫د اړيکو په نامه يادېږي‪.‬‬ ‫● که چيرې د يوې دايرې له بهر څخه پر دايره دوې قاطع کرښ��ې رس��م ش��ي‪ ،‬د هر يوه قاطع‬ ‫حاصل ضربونه د هماغه قاطع له قطعه خطونو سره هم د هغې دايرې څخه بهر پراته دي يو له‬ ‫بل سره مساوي دي‪.‬‬ ‫● په يوه دايره کې د مرسوم څلور ضلعي د مخامخ زاويو مجموعه ‪ 180‬ده‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫● هغه مضلع چې ضلعې او زاويې يې سره مساوي وي‪ ،‬منظم مضلع بلل کېږي‪.‬‬ ‫● د يوه ‪ n‬ضلعي قطرونو تعداد چې د ‪ n‬ضلعي له يوه رآس څخه رسمېږي د(‪ )n-3‬اړيکې‬ ‫په مرسته السته راځي‪.‬‬ ‫● له يوه رآس څخه د قطرونو د ترسيم په واسطه د مثلثونو شمېرد (‪ )n-2‬اړيکې په مرسته‬ ‫السته راځي‪.‬‬

‫‪11‬‬

‫د لومړي څپرکي پوښتنې‬

‫• په الندې پوښتنو کې د هرې پوښتنې لپاره څلور ځوابونه ورکړل شوي‪ ،‬سم ځواب په نښه کړئ‪.‬‬ ‫‪-1‬هغه مستقيمه کرښه چې له دايرې سره يو گډ ټکى ولري‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )a‬د وتر په نوم يادېږي‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬د مماس په نوم يادېږي‪.‬‬

‫‪ )b‬د قوس په نوم يادېږي‪ .‬‬

‫‪ )d‬د محيط په نوم يادېږي‪.‬‬

‫‪ -2‬هغه وتر چې د دايرې مرکز ته نږدې دى‪ ،‬نظر هغو وترونو ته چې د دايرې له مرکز څخه لرې‬ ‫دي‪:‬‬

‫ ‬ ‫‪ )a‬اوږد دى‪.‬‬ ‫‪ )c‬لنډ دى‪ .‬‬

‫‪ )b‬مساوي دى‪.‬‬

‫‪ )d‬درې واړه ځوابونه صحيح دي‪.‬‬

‫‪ -3‬که يوه مستقيمه کرښه دايره په دوو ټکو کې قطع کړي په‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )a‬دايرې باندې عمود دى‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬دايرې باندې مماس دى‪.‬‬

‫ ‬ ‫‪ )b‬دايرې باندې قاطع دى‪.‬‬ ‫‪ )d‬دايرې باندې موازي دى‪.‬‬

‫• تش ځايونه په مناسبو کلمو ډک کړئ‪:‬‬

‫‪ -1‬د دايرې تر ټولو لوى وتر ‪ ...................‬بلل کېږي‪.‬‬

‫‪ -2‬په هره دايره کې پر وتر‪ ...................‬قطر‪ ،‬وتر نيمايي او ‪ ...................‬قوسونه له هغې‬

‫څخه بيلوي‪.‬‬

‫‪ -3‬په هر قايم الزاويه مثلث کې د وتر ‪ ...................‬د ‪ ...................‬ضلعو د مربعاتو له‬

‫مجموعې سره مساوي ده‪.‬‬

‫‪ -4‬په هره دايره کې هغه وتر چې مرکز ته نژدې وي تر ټولو ‪ ...................‬وتر دى‪.‬‬ ‫‪ -5‬د دايرې شعاع د تماس په ټکي کې پر ‪ ...................‬عموده وي‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫دويم څپـــرکى‬ ‫تحليلي هندسه‬

‫تحليلي هندسه‬ ‫‪Analytic Geometry‬‬ ‫د الجبر ا و هندسې تر منځ اړيکې له تحليلي هندسې څخه عبارت دي‪ .‬څرنګه چې د الجبر‬ ‫او هندسې شکلونو ترمنځ د الجبري معادلو په واسطه رابطه منځ ته راوړي‪ ،‬فرانسوي رياضي‬ ‫پوه ديکارت د لومړى ځل لپاره د ټاکلو هندسي اشکالو او الجبري معادلو ترمنځ اړيکه و څيړله‬ ‫ويې ويل‪ ،‬چې ځينې الجبري معادلې يو ټاکلى هندسي شکل لري‪ .‬څرنگه چې د هندسې د‬ ‫علم بنسټ نقطې او د الجبري معادلو بنسټ اعداد جوړوې‪ ،‬نو لدې کبله لومړى د نقطې او‬ ‫عدد ترمنځ اړيکي تر څيړنې الندې نيسو‪ ،‬ديکارت د عدد او ټکې ترمنځ د اړيکو د څيړنې‬ ‫لپاره د قايمو مختصاتو د محورونو داسې يو سيستم راوپيژند چې تراوسه د دکارت په نامه‬ ‫ياديږي‪.‬‬

‫د يوه قطعه خط د منځنى نقطې مختصات‬

‫‪A‬‬

‫∆‬

‫د ‪ ABC‬په مثلث کې د ‪ AM‬قطعه خط‬ ‫د مثل��ث ميان��ه ده‪،‬أيا کوالی ش��ي د ميانې‬ ‫ځانگړتيا بيان کړئ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪y‬‬

‫● د )‪ D(2,0‬او )‪ E(6,0‬نقطې د وضيعه کمياتو په سيستم کې وټاکئ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫● که چيرې د ‪ C‬ټکى د ‪ DE‬د قطعه خط منځنى نقطعه وي‪ ،‬د هغې مختصات وليکئ‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪y 1 + y2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫● د ‪ C‬د نقطې مختصات د ‪ D‬او ‪ E‬د نقطو له مختصاتوسره څه اړيکه لري؟ ‪2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪y1 A‬‬ ‫وټاکئ‪.‬‬ ‫● د )‪ P(0,1‬او )‪ Q(0,4‬د نقطو موقعيت د وضعيه کمياتو په سيستم کې‬ ‫الس راوړئ‪.‬‬ ‫● که چيرې د ټکى د ‪ PQ‬قطعه خط منځنى نقطه وي‪ x،‬د هغې مختصات په‬ ‫‪O x 1 x 1 + x2 x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اړيکه لري؟‬ ‫● د ‪ R‬نقطې مختصات د ‪ P‬او ‪ Q‬نقطو له مختصاتوسره څه‬ ‫‪y2‬‬

‫د پورتنى فعاليت پايله کوالى شو چې په بشپړډول داسې بيان کړو‪ :‬که )‪ A(x1 ,0‬او )‪B(x 2 ,0‬‬ ‫که دوه نقطې د ‪ x‬په محور پراته وي‪ ،‬نو د ‪ M‬نقطې مختصات چې د ‪ AB‬قطعه خط منځنى‬ ‫‪x + x2‬‬ ‫‪M( 1‬‬ ‫نقطه ده داسې په الس راځي‪,0) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫که ) ‪ P(0 , y1‬او ) ‪ Q(0 , y 2‬دوه نقطې د ‪ y‬په محور پراته‬ ‫‪B‬‬

‫وي‪ ،‬د ‪ M‬د نقطې مختصات چې د ‪ PQ‬قطعه خط منځنى‬ ‫نقطه وي داسې په الس راوړو‪y + y2 :‬‬ ‫‪M (0 , 1‬‬ ‫)‬

‫‪M‬‬

‫‪2‬‬

‫په بشپړ ډول ) ‪ B(x 2 , y 2 ) ، A(x 1 , y1‬د وضعيه کمياتو په سيستم‬

‫کې دوه نقطې او ‪ M‬د ‪ AB‬خط منځنى نقطه وي‪ ،‬نو د ‪ M‬نقطې‬ ‫مختصات داسې په الس راځي‪x1 + x2 y1 + y2 :‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫(‪M‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x 1 + x2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪y 1 + y2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪y1‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬که چيرې )‪ A(1,3‬او )‪ B(7,5‬د ‪ AB‬قطعه خط د پيل اوپاى مختصات‬ ‫وي‪ ،‬د قطعه خط د منځني نقطې مختصات په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د يوې قطعه خط د منځني نقطې له مختصاتوڅخه په گټه اخيستنه ليکالى شوچې‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪B(7,5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪M(4,4‬‬ ‫)‪A(1,3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x1 + x 2‬‬ ‫‪y + y2‬‬ ‫‪, 1‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+ 7 3 + 5‬‬ ‫(‪M‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪M (4,4‬‬

‫(‪M‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫)‪B(7,5‬مثال‪ :‬د )‪1,3‬‬ ‫)‪54 P(−M(4,4‬د نقطې واټن د هغې مستقيمې کرښې له منځنى ټکي څخه‬ ‫دويم‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ B(3,−‬نقطې يې د انجامونو مختصات وي‪.‬‬ ‫پيداکړئ چې د )‪ A(1,2‬او ‪4)3‬‬ ‫)‪P(–1,3) A(1,3‬‬ ‫)‪A(1,2‬‬ ‫مستقيمې کرښې له منځني ټکي څخه د ‪ P‬نقطې د واټن د پيدا کولو لپاره‬ ‫حل‪ :‬د ‪ AB‬د‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ O‬مختصات په الس راوړو‪ ،‬نوليکالى شوچې‪:‬‬ ‫لومړى د‪ ABx7‬د ‪4‬منځني ‪1‬نقطې‬ ‫‪O‬‬

‫)‪M(2,–1‬‬

‫)‪B(3,–4‬‬ ‫)‪A(1,2‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪M(2,–1‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪P(–1,3‬‬

‫‪O‬‬

‫‪x +x‬‬ ‫‪y +y‬‬ ‫‪M‬‬ ‫) ‪M AB ==((x11+ x 2 2 , , y1 +1 y 2 )2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪11++33 2 2− −4 4 ) = (2,−1) ⇒ M‬‬ ‫‪= (2,‬‬ ‫)‪−1‬‬ ‫‪==( ( , ,‬‬ ‫)‪−1‬‬ ‫‪) = (2, −2) ⇒ M AB= (2,‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪22 2 2‬‬ ‫‪PM = (x 2 − x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) 2 = (2 + 1) 2 + (−1 − 3) 2‬‬ ‫‪PM = 9 + 16 = 25‬‬

‫)‪B(3,–4‬‬

‫‪PM = 5unit‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫‪ -1‬د يوه مثلث درې راسونه )‪ B(3,−1), A(5,−2‬او )‪ C(1,5‬راکړل شوي دي‪ ،‬د ‪ AM‬د‬ ‫ميانې اوږدوالى پيداکړئ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬که چيرې‪ C(14 , 9) , B(5 , 9) , A(2 , 4),‬او )‪ D(11, 4‬نقطې د يوه متوازي الضالع‬ ‫راسونه وي د متوازي الضالع د قطرونو د تقاطع د نقطو مختصات پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬که چيرې )‪ B(−3,−7), A(−1,4‬او )‪ C(1,9‬د يوه مثلث راسونه وي‪ ،‬د هغه د ميانې يا‬ ‫منځنۍ کرښې اوږدوالى پيداکړئ چې د ‪ BC‬په ضلع رسميږي‪.‬‬

‫‪16‬‬

‫د موازي کرښو ميل‬

‫په مخامخ شکل ته وګورئ أيا ويالی شي‬ ‫د هغې د بازوگانو تر منځ څه ډول اړيکه‬ ‫شتون لري‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫● د راک��ړل ش��ويو وضيعه کمياتو په سيس��تم کې د ‪ ∆ 1‬او‬

‫‪2‬‬

‫‪ ∆ 2‬موازي خطونه يو له بل سره داسې رسم کړئ چې د ‪x‬‬

‫د محور له مثبت جهت سره حاده زاويې جوړې کړي‪.‬‬

‫● د ‪ ∆ 1‬او ‪ ∆ 2‬خطونو ميلونه حساب او يو له بلې سره يې‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫پرتله کړئ‪ ،‬خطونه يوه له بلې سره څه اړيکى لري؟‬

‫● که چيرې د ‪ ∆ 1‬مستقيم خط د ‪ x‬محور له مثبت جهت سره د ‪ α1‬زاويه د ‪ ∆ 2‬مستقيم‬ ‫د ‪ x‬محور له مثبت جهت سره د ‪ α 2‬زاويه جوړه کړي‪ ،‬نو ‪ α1‬او ‪ α 2‬يوه له بلې سره څه‬

‫اړيکه لري‪.‬‬

‫په عمومي ډول د پورتنۍ فعاليت پايله په الندې ډول بيانوو‪:‬‬ ‫موازي کرښې د مساوي ميلونو لرونکي دي‪.‬‬ ‫که چيرې دوې مستقيمې کرښې مساوي ميلونه ولري په پايله کې هغه زاويې چې د ‪ x‬دمحور‬ ‫له مثبت جهت سره يې جوړوي يوه له بلې سره مساوي دي‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫مـثال‪ :‬که چيرى د ‪ ∆ 1‬مستقيم خط د )‪ A(2,5‬او )‪ B(−6,−11‬له نقطو او د ‪ ∆ 2‬مستقيم‬ ‫خط د )‪ C( −4,−6‬او )‪ D(3,8‬له نقطو څخه تيرشي‪ ،‬د ‪ ∆ 1‬او ‪ ∆ 2‬خطونه يوه له بلې سره‬ ‫څه اړيکه لري؟‬ ‫‪y‬‬

‫∆ ‪∆2‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪D(3,8‬‬

‫)‪A(2,5‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪C(-4,-6‬‬

‫)‪B(-6,-11‬‬

‫‪y 2 − y1‬‬ ‫‪x 2 − x1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 11 − (5) − 16‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪m ∆1‬‬ ‫=‬ ‫‪= 2 ⇒ m ∆1 = 2 ⇒ m ∆1 = m ∆ 2 ⇒ ∆1 || ∆ 2‬‬ ‫‪−6−2‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 + 6 14‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪m∆ 2‬‬ ‫‪= = 2 ⇒ m∆ 2 = 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3+ 4 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪m AB‬‬

‫څرنگه چې د ‪ ∆ 1‬او ‪ ∆ 2‬د مستقيمو خطونو ميلونه سره مساوي دي‪ ،‬نو نوموړي کرښې يوه‬ ‫له بلې سره موازي دي‪.‬‬

‫● د )‪ A(1,2‬او )‪ B(5,2‬د نقطو موقعيت د وضيعه کمياتو په مستوي کې وټاکئ‪.‬‬

‫● هغه مستقيمه کرښه چې له ‪ A‬او ‪ B‬نقطو څخه تيريږي رسم او په ∆ يې ونوموئ‪.‬‬ ‫● د ∆ مستقيم خط د ‪ x‬د محور له مثبت جهت سره څه ډول زاويه جوړوي؟‬ ‫● د ∆ د مستقيم خط ميل حساب کړئ‪.‬‬

‫‪18‬‬

‫د پورتني فعاليت پايله په الندې ډول بيانوو‪:‬‬ ‫که چيرې ‪ A‬او ‪ B‬دوې اختياري نقطې او مساوي ترتيبونه ولري‪ ،‬لکه‪B(x 2 , a), A(x1 , a) :‬‬

‫هغه کرښې چې د ‪ A‬او ‪ B‬له نقطو څخه تېريږي‪ ،‬د ‪ x‬له محورسره موازي دي او ميل يې له‬ ‫صفرسره مساوي دى‪ .‬يعنې‪:‬‬

‫‪a −a‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x 2 − x1‬‬

‫=‪m‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪B(5,2‬‬

‫)‪ A(1,2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪O‬‬

‫‪y‬‬

‫● د )‪ M(3,2‬او )‪ N(3,5‬نقطېد وضيعه کمياتو په مستوي کې وټاکئ‪.‬‬ ‫● هغه مستقيمه کرښه چې د ‪ M‬او ‪ N‬له نقطو څخه تيريږي رسم او په ∆ يې‪ B‬ونوموئ‪.‬‬ ‫● د ∆ مستقيمه کرښه د ‪ x‬له محور سره څه ډول زاويه جوړ وي‪ ،‬د ∆ د مستقيمې کرښې‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫د ميل په اړه څه ويالى شئ؟‬ ‫‪A‬‬ ‫پورتني فعاليت څخه دې پايلې ته رسېږو‪ ،‬هغه مستقيمه کرښه چې د ‪ x‬له محورسره قايمه‬ ‫زاويه جوړه کړي نشو کوالى د هغې ميل حساب کړو‪ ،‬په دې حالت کې ويل کيږي چې د ∆‬ ‫مستقيم خط معين يا ټاکلى ميل نه لري‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪D(3,5‬مثلث‬ ‫راسونه وي‪ ،‬د‬ ‫مثال‪ :‬که چيرې د )‪ B(5,4) ، A(3,4‬او )‪ C(5,6‬نقطې د يوه مثلث‬ ‫)‪C(6,5‬‬ ‫ډول وټاکئ اوهغه د وضيعه کمياتو په سيستم کې رسم کړئ‪.‬‬ ‫)‪A(1,3‬‬ ‫)‪ B(4,3‬صفر دى‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې د ‪ AB‬مستقيم خط د ‪ x‬له محور سره موازي ده‪ ،‬نو ميل يې‬ ‫ ‬ ‫‪4−4 0 x‬‬ ‫‪=0‬‬

‫‪19‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪5−3‬‬

‫=‬

‫‪AB‬‬

‫‪Om‬‬

‫په همدې ډول د ‪ BC‬مستقيمه کرښه د ‪ y‬له محور سره موازي ده نو ميل يې نامعين(نه دى‬ ‫تعريف شوى)دى‪.‬‬

‫‪6−4 2‬‬ ‫∞= =‬ ‫‪5−5 0‬‬

‫ ‬

‫‪2‬‬

‫)‪C(5,6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪BC = (5 − 5) 2 + (6 − 4) 2 = 4‬‬

‫)‪B(5,4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AC = (5 − 3) 2 + (6 − 4) 2 = 8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪BC‬‬

‫‪y‬‬

‫‪AB = (5 − 3) 2 + (4 − 4) 2 = 4‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪m‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AB + BC = AC‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪4 A(3,4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪O‬‬

‫په پايله کې‪ :‬څرنگه چې د فيثاغورث قضيه پکې تطبيق کېږي‪ ،‬نو د ‪ AB‬مستقيمه کرښه د‬ ‫∆‬

‫‪ AC‬په مستقيمې کرښې عموده ده‪ ،‬نود ‪ ABC‬مثلث قايمه الزاويه دى‪.‬‬ ‫هغه مس��تقيمه کرښ��ه چې د ‪ x‬له محور س��ره م��وازي او يا د ‪ y‬په محور عم��وده وي ميل يې‬ ‫صفردى‪.‬‬ ‫هغه مستقيمه کرښه چې د ‪ x‬په محور عموده يا د ‪ y‬له محور سره موازي وي‪ ،‬ميل يې نه دى‬ ‫تعريف شوى‪(.‬معين عدد نه دى)‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫‪ -1‬که د )‪ C(−3 , 0) ، B(0,5) ، A(3,0‬او )‪ D(0 , − 5‬نقطې د يوې څلورضلعي راسونه وي‪:‬‬

‫الف‪ :‬د څلورضلعي مخامخ ضلعې يوه له بلې سره څه اړيکې لري‪.‬‬ ‫ب‪ :‬د قطرونو ميلونه يې پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪ C(3,−4), B(−3,4), A(3,4) - 2‬او )‪ D(−3,−4‬ټکي په پام کى ونيسئ‪.‬‬ ‫الف‪ :‬هغه مستقيمه کرښه چې ‪ A‬او ‪ B‬له نقطو څخه تيريږي له هغې کرښې سره چې له ‪C‬‬ ‫او ‪ D‬له نقطو څخه تيريږي څه اړيکې لري؟‬ ‫ب‪ :‬هغه مستقيمه کرښه چې ‪ A‬او ‪ B‬له نقطو او هغه کرښه چې له ‪ C‬او ‪ D‬له نقطو څخه‬ ‫تيريږي يوه له بلې سره څه اړيکه لر‌ي؟‬ ‫ج‪ :‬د ‪ ABCD‬څلورضلعي څه ډول څلور ضلعي ده؟‬ ‫د‪ :‬د قطرونو ميل يې پيدا کړئ‪.‬‬

‫‪20‬‬

‫د مستقيمې کرښې عمومي معادله‬

‫‪y‬‬ ‫‪l1‬‬

‫أي��ا وي�لای ش��ې چ��ې د ‪, l3 , l2 , l1‬او ‪l4‬‬

‫‪ l4 , l3 , l2 , l1‬څلورکرښ��ې نس��بت يوې بل��ې ته کوم‬ ‫وضعيتونه لري؟‬

‫‪l4‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪O‬‬

‫‪l2 l3‬‬

‫د يوې کرښې الجبري معادله د هغه نقطو د مختصاتو اړيکه چې په مستقيمه کرښه پرته ده‬ ‫راښيي‪ ،‬په عمومى ډول د يوې مستقيمې کرښې معادله په الندې ډول بيانوو‪:‬‬ ‫په معياري يا سټنډرډ ډول د يوې مستقيمې کرښې معادله په الندې ډول ده‪.‬‬ ‫‪−a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫= ‪ y‬يا ‪ b, a ، ax + by + c = 0‬او ‪ c‬حقيقي عددونه او ‪ b ≠ 0‬ده‪.‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪−a‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫د مستقيم خط تقاطع ‪ y‬له محور سره ده‪.‬‬ ‫د کرښې ميل او‬ ‫په پورتنى معادله کې‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫نو ويالى شوچې د هرې کرښې معادله په يوه مستوي کې په الندې ډول ده‪:‬‬ ‫‪ y = mx + h‬چې ‪ m‬د مستقيمې کرښې ميل او ‪ h‬د ‪ y‬له محور سره د تقاطع نقطه يا‬ ‫ترتيب دى‪ ،‬په عمومي ډول هره خطي اړيکه د ‪ x‬او ‪ y‬له جنسه چې په هغه کې د ‪ x‬او ‪y‬‬ ‫توان يو وي د مستقيمې کرښې معادله بلل کيږي‪.‬‬

‫● د ‪ 2 x + 3 y − 6 = 0‬او ‪ y − x = 2‬دوې مستقيمې کرښې د وضيعه کمياتو په مستوي کې رسم کړئ‪.‬‬

‫● د هريوه مستقيم خط ميل پيدا کړئ‪.‬‬ ‫● دا دوې کرښې يوه له بلې سره څه اړيکې لري‪.‬‬

‫له پورتني فعاليت څخه پايله په الندې ډول بيانوو‪:‬‬ ‫که د دوو کرښو ميلونه سره مساوي نه وي‪ ،‬نو کرښې يو بل قطع کوي‪.‬‬ ‫په عمومي ډول که د ‪ a1 x + b1 y + c1 = 0‬او ‪ a 2 x + b2 y + c 2 = 0‬دوې کرښې يوه بله‬

‫‪21‬‬

‫پرې(قطع) کړي‪ .‬نو ميلونه يې سره مساوي نه دي‪ ،‬له دې نه داسې پايله په الس راځي‪.‬‬

‫‪a1 a2‬‬ ‫‪ a1 ≠ b1‬یا‬ ‫≠‬ ‫‪b1 b2‬‬ ‫‪a2 b2‬‬

‫● د ‪ − 3x + y − 5 = 0‬او ‪ 6 x − 2 y + 1 = 0‬مستقيمې کرښې د قايمو وضيعه کمياتو په‬ ‫مستوي کې رسم کړئ‪.‬‬ ‫● ددې مستقيمې کرښې ميل په الس راوړئ‪.‬‬ ‫●‬

‫دا دوې مستقيمې کرښې نسبت يو بل ته څه وضعيت لري؟ ولې؟‬

‫په عمومي ډول د ‪ a1 x + b1 y + c1 = 0‬او ‪ a 2 x + b2 y + c 2 = 0‬دوې مستقيمې کرښې‬

‫هغه وخت موازي دي چې ميلونه يې سره مساوي وي‪ ،‬له دې ځايه دا پايله په الس راځي چې‬

‫د هغوى د متحولينو د ضريبونوترمنځ الندې اړيکه موجوده ده‪.‬‬ ‫‪a1 b1 c1‬‬ ‫= =‬ ‫که د متحولينو د ضريبونو ترمنځ‬ ‫‪a2 b2 c2‬‬

‫کرښې يوه پر بلې پرتې(منطبق) دي‪.‬‬

‫‪a1a1 a 2a 2 a1a1b1ba12 c1a1 b1‬‬ ‫⇒≠ = ⇒⇒ = =‬ ‫‪b1b1 b2b2 ab12a 2b2bb22 c2a 2 b2‬‬

‫اړيکه وجود ولري‪ ،‬په دې حالت کى‬

‫مثال‪ :‬د ‪ 3x + 4 y = 5‬او ‪ 4 x − 3 y = −1‬د مستقيمو خطونو اړيکې نظر يو بل ته بيان کړئ‪.‬‬

‫حل‪ :‬د دوو کرښو د معادلو له ثابتوضريبونو نه په گټه اخيستنه لروچې‪:‬‬ ‫‪a1 b1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≠‬ ‫≠ نو‬ ‫څرنگه چې‬ ‫‪a 2 b2‬‬ ‫‪4 −3‬‬

‫‪c1 = −5‬‬

‫‪b1 = 4‬‬

‫‪a1 = 3‬‬

‫‪c2 = 1‬‬

‫‪b2 = −3‬‬

‫‪a2 = 4‬‬

‫دى‪ ،‬په دې صورت کې کرښې يوه بله غوڅوي‪.‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫‪ -1‬د ‪ 4 x + 3 y − 1 = 0‬او ‪ 8 x + 6 y + 5 = 0‬کرښوحالت نظر يوې بلې ته بيان کړئ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬د ‪ 8 x − 4 y + 10 = 0‬او ‪ 4 x − 2 y + 5 = 0‬کرښو حالت نظر يوې بلې ته بيان کړئ‪.‬‬

‫‪ - 3‬د ‪ (k + 1) x + ky = 0‬او ‪ 2 x − 3 y + 5 = 0‬معادلوکې د ‪ k‬قيمت داسې وټاکئ چې‬ ‫کرښې يوه له بلې سره موازي وي‪.‬‬

‫‪22‬‬

‫د خطي معادلو سيستم‬ ‫‪System of liear equation‬‬

‫‪3‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪x+‬‬

‫‪y‬‬

‫‪P‬‬

‫ش��کل ته پام وکړئ ايا ويالی ش��ي چې د‬ ‫‪ P‬د نقط��ې مختصات د کرښ��و په دواړو‬ ‫معادلو کې صدق کوي يا نه؟‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪x-‬‬

‫● د ‪ y = 4 x − 2‬او ‪ y = 3x + 5‬د کرښو ميلونه پيدا کړئ‪.‬‬ ‫● دا کرښې نظر يوبل ته څه اړيکې لري؟ ولې؟‬

‫● پورتنۍ دواړې کرښې د وضعيه کمياتو په سيستم کې رسم کړئ؟ د رسم شويو کرښو تر منځ‬

‫کومه اړيکه ليدل کېږي؟‬

‫په پورتنۍ فعاليت کې ليدل کېږي د هغو دوو کرښو چې ميلونه يې مساوي نه وي يو بل د ‪P‬‬ ‫په نقطه کې قطع کوي‪.‬‬

‫څرنگه چې د تقاطع نقطه د دواړو کرښ��و پر مخ پرته ده نو د هغې نقطې مختصات د کرښ��و په‬

‫معادلو کې صدق کوي‪ .‬که د تقاطع د نقطې مختصات په (‪ P)x,y‬وښيو‪ ،‬نو له ‪y = −3 x + 5‬‬

‫او ‪ y = 4 x − 2‬معادلو څخه ليکالى شو‪ ،‬چې‪:‬‬

‫‪4 x − 2 = −3 x + 5‬‬ ‫‪7x = 7‬‬ ‫‪x =1‬‬

‫د کرښو په معادلو کې د ‪ x‬د قيمت په وضع کولو سره د ‪ y‬قيمت په الس راوړالى شو‪:‬‬

‫‪y = 4 x − 2 ⇒ y = 4(1) − 2 ⇒ y = 2‬‬

‫نو د تقاطع د نقطې مختصات عبارت دي له )‪ P(1,2‬په پايله کې ويالى شو‪ ،‬چې )‪P(1,2‬‬

‫‪23‬‬

‫‪ y = 4x − 2‬‬ ‫داسې نقطه ده چې په دواړو معادلو کې صدق کوي‪ .‬چې د‬ ‫‪ y = −3 x + 5‬‬

‫‪ ‬خطي معادلو د‬

‫سيستم حل دى‪.‬‬

‫• مخامخ د خطي معادلو سيستم په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫• ‪ b2 , a2 , c1 , b1 , a1‬او ‪ c2‬د څه په نامه يادېږي؟‬ ‫• پورتنيو معادلو کې ‪ x‬او ‪ y‬ته څه ويل کېږي؟‬ ‫• ايا ددې دوو کرښو د تقاطع نقطې‪ ،‬د مختصاتو د سيستم يو حل کيداى شي؟‬

‫‪a 1 x + b1 y = c1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a 2 x + b 2 y = c 2 ........... I‬‬

‫د خطي سيستم د حل لپاره د )‪ (I‬سيستم داسې ليکو چې ‪ b1‬او ‪ b2‬د صفر خالف وي‪.‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪c1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y = − b x + b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪y = − 2 x + 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪b2‬‬

‫نو الندې درې حالتونه لرو‪:‬‬ ‫‪ -1‬که چيرې د دوو کرښو ميلونه سره مساوي نه وي‪ ،‬نو دا کرښې يوه بله په يوه نقطه کې قطعه‬ ‫کوي‪.‬‬ ‫‪ -2‬که چيرې د کرښو ميلونه مساوي وي‪ ،‬اما د ‪ y‬له محور سره يې د تقاطع نقطې بيلې وي هغه‬ ‫وخت دا دوې کرښې سره موازي دي‪.‬‬ ‫‪ -3‬که چيرې د کرښ��وميلونه او ‪ y‬له محور س��ره يې د تقاطع نقطې يو ش��ان وي نو هغه دوې‬ ‫کرښې سره منطبقې وي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د الندې خطي معادولو سيستم حل کړئ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪x + y = 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x + y = 5‬‬

‫حل‪ :‬د دې سيستم د حل لپاره نوموړى سيستم په دې ډول ليکو‪:‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪y = 7 − x ⇒ y = −x + 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y = 5 − 2 x ⇒ y = −2 x + 5‬‬

‫‪24‬‬

‫ليدل کېږي چې د پورتنيو خطونو د معادلو ميلونه ‪ -1‬او ‪ -2‬مختلف دي‪ ،‬نو خطونه يوه بله په‬ ‫يوه نقطه کې قطع کوي‪ ،‬چې د تقاطع نقطو د مختصاتو د پيدا کولو لپاره په الندې ډول عمل‬ ‫کوو‪:‬‬ ‫‪− x + 7 = −2 x + 5‬‬ ‫‪⇒ x = −2‬‬

‫‪− x + 2x = 5 − 7‬‬

‫د پورتنيو خطي معادلو په يوه معادله کې د ‪ x‬پر ځاى د ‪ -2‬د قيمت په وضع کولو سره لرو چې‪:‬‬

‫‪y = −x + 7‬‬ ‫‪y = −(−2) + 7‬‬

‫‪⇒ y=9‬‬

‫نو د )‪ (−2 , 9‬د نقطې مختصات د پورتني سيستم حل دى‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪O‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5/ 2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x+ y=7‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2x + y = 5‬‬

‫‪y=5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2x+‬‬

‫)‪P(-2 , 9‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د الندې خطي معادلو سيستم حل کړئ‪.‬‬

‫‪2 x + y = 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 y = −6 x + 12‬‬

‫حل‪ :‬لومړى معادلې په الندې ډول ليکو او ګرافونه يې رسموو‪:‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ y = −2 x + 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y = − x+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫ ‬

‫‪y=-‬‬

‫‪+5‬‬ ‫‪-2x‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2x+‬‬

‫ ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪5/ 2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y = −2 x + 5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y = −2 x + 4‬‬

‫ليدل کېږي چې پورتنى کرښې يوه له بلې سره موازي دي او د تقاطع نقطه نه لري نو سيسټم‬ ‫حل نه لري‪.‬‬

‫‪25‬‬

‫ ‬

‫دريم مثال‪ :‬د الندې خطي معادلو سيستم حل کړئ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪ :‬د گراف د رسمولو په طريقه سيستم حلوو‪:‬‬

‫‪ y = −x + 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪ y = 4 x + 4‬‬

‫‪y‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪(0 , 7‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(7 , 0‬‬

‫‪O‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪x + y = 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 28 = −4 x − 4 y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ y = −x + 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y = −x + 7‬‬ ‫‪‬‬

‫ليدل کېږي‪ ،‬چې د خطونو ميل او د ‪ y‬له محور سره د تقاطع نقطه يوه ده نو دواړه کرښې سره‬ ‫منطبق دي‪ ،‬پايله کې د خطي معادلو سيستم بې شمېره حلونه لري‪.‬‬ ‫که ‪ b2 , a2 , c1 , b1 , a1‬او ‪ c2‬حقيقي عددونه ‪ x‬او ‪ y‬مجهولونه وي‪ ،‬په دې حالت کې د‬ ‫‪a1 x + b1 y = c1‬‬ ‫خطي معادلو سيستم‬ ‫‪a2 x + b2 y = c2‬‬

‫‪ ‬دى‪.‬‬

‫نتيجه‪:‬‬ ‫• که چيرې کرښې يوه او بله په يوه نقطه کې قطعه کړي‪ ،‬نو معادلې يو حل لري‪.‬‬ ‫• که چيرې کرښې يوه له بلې سره موازي وي معادلې حل نه لري‪.‬‬ ‫• که چيرې کرښې يوه پر بلې منطبقې وي‪ ،‬معادلې بې نهايت حلونه لري‪.‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫د الندې خطي معادلو سيستمونه حل کړئ‪.‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪− xx +‬‬ ‫‪+ 33‬‬ ‫= ‪ yy‬‬ ‫‪33)) ‬‬ ‫‪= 22 xx −‬‬ ‫‪− 11‬‬ ‫= ‪ yy‬‬ ‫‪33 xx −‬‬ ‫= ‪− yy‬‬ ‫‪= 66‬‬ ‫‪66)) ‬‬ ‫‪− 66 xx +‬‬ ‫= ‪+ 22 yy‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪−‬‬

‫= ‪− 22‬‬ ‫‪= yy‬‬ ‫‪33xx −‬‬ ‫‪22)) ‬‬ ‫= ‪− yy‬‬ ‫‪= 22‬‬ ‫‪33xx −‬‬ ‫‪44 xx −‬‬ ‫= ‪− yy‬‬ ‫‪= 66‬‬ ‫‪55)) ‬‬ ‫= ‪− 22 yy‬‬ ‫‪= 66‬‬ ‫‪88 xx −‬‬

‫‪==222xxx+‬‬ ‫‪++55 5‬‬ ‫=‪ yyy‬‬ ‫‪111)))  = 4 x − 3‬‬ ‫‪= 22 xx −‬‬ ‫‪− 33‬‬ ‫= ‪ yy‬‬ ‫‪22 xx −‬‬ ‫= ‪− 33 yy‬‬ ‫‪= 55‬‬ ‫‪44)) ‬‬ ‫= ‪− 22 yy‬‬ ‫‪= 55‬‬ ‫‪33 xx −‬‬

‫‪26‬‬

‫د خطي معادلو د سيستم حل په‬ ‫تعويضي طريقه‬

‫د خطي معادلو د حل سيستم ته پام وکړئ‬

‫د ‪ x‬مجهول عددي قيمت ستاس��و په اند‬

‫څنگه په الس راغلى دى‪.‬‬

‫• د يوه مثلث د دوو زاويو مجموعه ‪ 100 ‬او د تفريق حاصل يې ‪ 20 o‬دى الجبري معادلې‬ ‫يې وليکئ‪.‬‬ ‫• د معادالتو دا سيستم څو مجهوله لري؟ د هر يوه عددي قيمت پيدا کړئ‪.‬‬ ‫• په الس راغلي قيمتونه د معادالتو په سيستم کې وازمايئ‪.‬‬ ‫له پورتني فعاليت څخه د مسئلې حل او د خطي معادلو د سيستم د حل طريقه په الندې توگه‬ ‫داسې ليکو‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫ح��ل‪ :‬که چيرې د مثلث زاوي��ې په ‪ A‬او ‪ B‬ونوموو‪ ،‬پورتنۍ عبارت د الجبري معادلو په بڼه‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫داسې ليکو‪:‬‬ ‫‪A∧ + B∧ = 100 oo .......... ....... I‬‬ ‫‪A + B = 100 .......... ....... I‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬

‫∧‬ ‫∧‬

‫‪o‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪A‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪A+‬‬ ‫‪+B‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪20 o ..........‬‬ ‫‪...................‬‬ ‫‪......... II‬‬ ‫‪II‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫او د ‪ A‬زاوي��ې قيم��ت د ‪ B‬زاوي��ې ل��ه جنس��ه ل��ه لوم��ړى معادل��ې څخه پ��ه الس راوړو‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ A = 100 − B‬دا قيمت په دويمه معادله کې د ‪ A‬په ځاى وضع کوواو معادله حلوو‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫ ‬ ‫‪100 o − B− B = 20 o ⇒ −2 B = − 80 o ⇒ B = 40 o‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫اوس د ‪ B‬قيم��ت د خط��ي معادل��و په سيس��تم کې وض��ع کوو چ��ې د ‪ A‬قيمت په الس‬ ‫راځي‪.‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪A − B = 20 o‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪A- 40 o = 20 o ⇒ A = 20 o + 40 o ⇒ A = 60 o‬‬

‫‪27‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د الندې دوه مجهوله معادلو سيستم حل کړئ‪.‬‬

‫‪2 x + 3 y = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 x + 2 y = 10‬‬

‫ ‬ ‫حل‪ :‬لومړى د يوه مجهول قيمت د بل مجهول له جنس��ه له يوې معادلې څخه په الس راوړو‬ ‫او په بله معادله کې يې وضع کوو‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x + 3y = 0 ⇒ 2x = 3y ⇒ x = − y 3‬‬ ‫‪2 x + 3 y = 0 ⇒ 2 x = −3 y ⇒ x2= − y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 x + 2 y = 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x=− y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3(− y ) + 2 y = 10 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪x = − (−4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− y + 2 y = 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪x = −3(−2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−9+ 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=6‬‬ ‫‪y = 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 5 y = 20‬‬ ‫‪⇒ y = −4‬‬ ‫ ‬

‫د دوه مجهوله لومړى درجه معادلو د سيستم د حل لپاره په الندې ډول عمل کوو‪:‬‬ ‫• د يوه مجهول قيمت د بل مجهول له جنسه د يوې معادلې څخه په الس راوړو او هغه په‬ ‫بله معادله کې د هغه په ځاى وضع کوو‪.‬‬ ‫• په الس راغلي يو مجهوله لومړى درجه معادله حلوو او د مجهول قيمت په الس راوړو‪.‬‬ ‫• دا په الس راغلي د مجهول قيمت د سيستم په معادلو کې وضع او د بل مجهول قيمت‬ ‫په الس راوړو‪.‬‬ ‫• په الس راغلي قيمتونه د سيستم په معادلو کې وضع کوو‪ ،‬که په دواړو معادلو کې صدق‬ ‫وکړي‪ ،‬د معادلې حل سم‪ ،‬پرته له هغه د معادلې حل نه دى او سم هم نه دى‪.‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬ ‫د الندې سيستمونو حل په تعويضي طريقه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪aA++22bB==2 2‬‬ ‫‪3) ‬‬ ‫‪2aA−−33bB==2525‬‬

‫‪ 2x y‬‬ ‫‪ 3 + 5 = 6‬‬ ‫‪6) ‬‬ ‫‪ x − y = −4‬‬ ‫‪ 6 2‬‬

‫‪7 x − 2 y = 15‬‬ ‫‪2) ‬‬ ‫‪6 x − y = 10‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪x − y =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5) ‬‬ ‫‪2 + 1 = 7‬‬ ‫‪ x y‬‬

‫‪ y = 2x‬‬ ‫‪1) ‬‬ ‫‪x + y = 6‬‬ ‫‪ 2x −1 y + 2‬‬ ‫‪ 3 + 4 = 4‬‬ ‫‪4) ‬‬ ‫‪x +3 = x − y‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪28‬‬

‫د خطي معادلو د سيستم حل د افنا په طريقه‬

‫عبداهلل‪ ،‬عبدالرحمن ته وويل‪ :‬که ته‬ ‫خپلې پيسې ما ته راکړې‪ ،‬زه د ‪ 15‬افغانيو‬ ‫څښتن کېږم‪ ،‬عبدالرحمن‪ ،‬عبداهلل ته‬ ‫وويل‪ :‬که ته د خپلو پيسو دريمه برخه ما‬ ‫ته راکړې زه د ‪ 5‬افغانيو څښتن کېږم‪ ،‬هر‬ ‫يو څو افغانۍ لري؟‬

‫‪x + y = 15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+ y =5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫?=‪x‬‬ ‫?=‪y‬‬

‫• د معادلو يو سيستم وليکئ چې دوې دوه مجهوله معادلې ولري‪.‬‬ ‫• نوموړي معادلې په تعويضي طريقه حل کړئ‪.‬‬ ‫• ايا بله طريقه شته چې نوموړي معادلې پرې حل شي؟‬ ‫يوه بله طريقه چې د دوه مجهوله معادلو سيستم پرې حلوالى شو‪ ،‬د افنا طريقه ده‪ ،‬چې په‬ ‫الندې مثال کې يې په کار وړو‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د خطي معادلو دا سيستم حل کړئ‪.‬‬ ‫‪7 x + 5 y = 41 .............. I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.............. II‬‬ ‫‪5 x − 2 y = 7‬‬

‫حل‪ :‬لومړى معادلو ته داسې بدلون ورکوو‪ ،‬چې که هغوى خوا په خوا سره جمع يا تفريق کړو‬ ‫نو له مجهولونو څخه يو مجهول افنا يا له منځه الړ شي‪ ،‬که د ‪ x‬مجهول وغواړو‪ ،‬چې افنا يې‬ ‫کړو‪ ،‬د لومړى معادلې دواړه خواوې د دويمې معادلې د ‪ x‬په ضريب يعنې(‪ )5‬کې ضربوو او د‬ ‫دويمې معادلې دواړه خواوې د لومړى معادلې د ‪ x‬په ضريب يعنې (‪ )7‬کې ضربوو‪.‬‬ ‫‪⇒ 35 x + 25 y = 205‬‬ ‫‪⇒ 35 x − 14 y = 49‬‬

‫په الس راغلي نوي معادلې يو له بل څخه تفريقوو‪.‬‬

‫‪156‬‬ ‫‪⇒ y=4‬‬ ‫‪39‬‬

‫‪29‬‬

‫‪7 x + 5 y = 205‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 x − 2 y = 7‬‬

‫‪35 x + 25 y = 205‬‬ ‫=‪⇒y‬‬

‫‪35x − 2y = 49‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪39 y = 156‬‬

‫‪−‬‬

‫د ‪ y‬په الس راغلي قيمت د سيستم په يوه معادله کې وضع کوو‪ ،‬تر څو د بل مجهول قيمت‬ ‫په الس راشي‪.‬‬ ‫‪5x − 2 y = 7‬‬ ‫‪5 x − 2(4) = 7 ⇒ 5 x = 15 ⇒ x = 3‬‬

‫ ‬ ‫دويم مثال‪ :‬د معادلو الندې سيستم د افنا په طريقه حل کړئ‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪3 x + 2 y = 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x − 3 y = −1‬‬

‫حل‪ :‬لومړى يو مجهول افنا کوو لکه‪ ،y :‬نو لومړى معادله په ‪ -3‬کې او دويمه معادله په ‪-3‬‬ ‫کې ضربوو په الس راغلي معادلې خواپخوا سره جمع کوو‪:‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪+ 2y = 4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪52 − 30‬‬ ‫= ‪⇒ 2y‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‪⇒ y‬‬ ‫‪13‬‬

‫⇒‬

‫‪⇒ − 9 x − 6 y = −12 3(10 ) + 2 y = 4‬‬ ‫‪ 13‬‬ ‫‪⇒ −4 x +− 6 y = −‬‬ ‫‪+2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪− 13x + 0 = −10  2 y = 4 −‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪22‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪13  2 y = 13‬‬

‫‪3x + 2 y = 4‬‬ ‫‪2 x − 3 y = −1‬‬

‫د دوه مجهوله معادلو د سيستم حل د افنا په طريقه په الندې ډول عمل کوو‪.‬‬ ‫• ه��ر مجه��ول چې وغ��واړو هغه افنا کړو د هغې ضريبونه په پام کې نيس��و‪ .‬لومړى معادله د‬ ‫دويم��ې معادلې د افنا کېدونکي مجهول په ضريب کې او دويمه معادله د لومړى معادلې د افنا‬ ‫کېدونکي مجهول په ضريب کې ضربوو‪.‬‬ ‫• پ��ه الس راغل��ى معادل��ې يوه له بلې څخه تفريق يا جمع ک��وو چې د يوه مجهول قيمت په‬ ‫الس راځ��ي‪ ،‬په الس راغلي قيمت د سيس��تم په يوه معادل��ه کې وضع کوو چې د بل مجهول‬ ‫قيمت په الس راځي‪.‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬ ‫د معادلو الندې سيستم د افنا په طريقه حل کړئ‪.‬‬ ‫‪xx++22yy==22‬‬ ‫‪33)) ‬‬ ‫‪xx−−44yy==11‬‬

‫‪39‬‬ ‫‪xx++yy==−−39‬‬ ‫‪22)) ‬‬ ‫‪xx−−yy==99‬‬

‫‪10xx++33yy==26‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪66)) ‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪88xx++33yy==18‬‬

‫‪yy++xx−−11==00‬‬ ‫‪55)) ‬‬ ‫‪22xx++yy−−99==00‬‬

‫‪xx+x++‬‬ ‫‪==3y3 = 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11)1))‬‬ ‫‪y = 10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪xxx−−−yy10‬‬ ‫‪222‬‬ ‫‪22 55‬‬ ‫‪xx−− yy ==55‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪44)) ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪33++10‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪==18‬‬ ‫‪xx yy‬‬

‫‪30‬‬

‫د دويم څپرکي لنډيز‬

‫● د يوه قطعه خط د منځي(وسطي) ټکي مختصات له ) ‪ M ( x1 + x2 , y1 + y2‬رابطې څخه‬ ‫السته راځي‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫● موازي مستقيم خطونه د مساوي ميلونو لرونکي دي‪.‬‬ ‫● که دوه مستقيم خطونه مساوي ميلونه ولري‪ ،‬د ‪ x‬د محور له مثبت جهت سره مساوي‬ ‫زاويې جوړوي‪.‬‬ ‫● هر مستقيم خط چې د ‪ x‬له محور سره موازي وي‪ ،‬ميل يې صفر او هر مستقيم خط چې‬ ‫د ‪ x‬پر محور عمود وي‪ ،‬ميل يې نه دى تعريف شوى‪.‬‬ ‫● هره خطي معادله د ‪ x‬او ‪ y‬له جنسه چې په هغه کې د ‪ x‬او ‪ y‬توانونه يو يو وي‪ ،‬د‬ ‫مستقيمې کرښې معادله بلل کېږي‪.‬‬ ‫● په معياري يا سټنډرد ډول د يوې مستقيمې کرښې معادله په الندې ډول ده‪:‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ y = − x −‬يا ‪ ax + by + c = 0‬چې ‪ b, a‬او ‪ c‬حقيقي عددونه او ‪ b ≠ 0‬دى‪.‬‬

‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫● که د ‪ a1 x + b1 y + c1 = 0‬يا ‪ a2 x + b2 y + c2 = 0‬کرښې يوه بله قطع کړي‪ ،‬نو ميلونه يې‬ ‫‪a1 a2 a1 b1‬‬ ‫سره مساوي نه دي‪ ،‬داسې پايله په الس راځي‪ ≠ :‬يا‬ ‫≠‬ ‫‪b1 b2 a2 b2‬‬

‫● که چيرې د معادلو خطي سيستم يو حل ولري‪ ،‬نو کرښې(خطونه) يو بل په يوه نقطه کې‬

‫قطع کوي‪.‬‬ ‫● که دوې کرښې(خطونه) يوه له بله سره موازي وي‪ ،‬د معادلو سيستم حل نه لري‪ ،‬يعنې‪:‬‬ ‫‪a1 a2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b c‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ 1 = 1≠ 1‬‬ ‫‪b1 b2‬‬ ‫‪a2 b2 c2‬‬

‫او که کرښې يوه پر بله منطبقې(پرتې) وي‪ ،‬نو الندې اړيکه موجوده ده‪:‬‬

‫‪31‬‬

‫‪a1 b1 c1‬‬ ‫= =‬ ‫‪a2 b2 c2‬‬

‫د دويم څپرکي پوښتنې‬ ‫● په الندې سوالونوکې هر سوال ته څلورځوابونه ورکړ شوي دي صحيح ځواب په نښه کړئ‪.‬‬

‫‪ -1‬د ) ‪ A(0, y1‬او ) ‪ B(0, y 2‬نقطو د منځني نقطې مختصات عبارت دي له‪:‬‬

‫‪y 2 + y1‬‬ ‫‪x + x2‬‬ ‫‪, 0) )b M ( 1‬‬ ‫‪, 0) )a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬د )‪ A(x1 ,0‬او )‪ B(x 2 ,0‬نقطو د منځني نقطې مختصات عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪y + y2‬‬ ‫‪y + y1‬‬ ‫‪x + x2‬‬ ‫‪M (0 , 0) )d M (0 , 1‬‬ ‫‪) )c M ( 2‬‬ ‫‪, 0) )b M ( 1‬‬ ‫‪, 0) )a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪M‬‬

‫‪-3‬دې يو مستقيمې کرښې ميل عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪y 2 + y1‬‬ ‫‪x −x‬‬ ‫‪)b m = 2 1 )a‬‬ ‫‪x2 + x1‬‬ ‫‪y 2 − y1‬‬

‫=‪m‬‬

‫‪y1 + y 2‬‬ ‫‪) )c‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪y 2 − y1‬‬ ‫‪)c‬‬ ‫‪x2 − x1‬‬

‫= ‪ m‬‬

‫‪M (0 ,‬‬

‫‪M (0 , 0) )d‬‬

‫‪x2 + x1‬‬ ‫‪)d‬‬ ‫‪y 2 + y1‬‬

‫=‪m‬‬

‫‪ -4‬دوه مستقيم خطونه هغه وخت يو له بل سره موازي وي چې‪:‬‬ ‫‪ :b‬ميلونه ئې مساوي نه وي‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ :a‬د هغو ميلونه سره مساوي وي‪.‬‬ ‫‪ :d‬ټول ځوابونه سم دي‪.‬‬ ‫‪ :c‬د ميلونو د ضرب حاصل يې منفي يو وي‪ .‬‬ ‫ •خالي ځايونه په مناسبوکلماتو ډک کړئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د وضيع��ه کمياتو په سيس��تم ک��ې د ‪ x‬محورت��ه د ‪ ............................‬او محورته د‬ ‫‪ ..................‬وايي‪.‬‬ ‫‪ -2‬پ��ه دويم��ه ناحي��ه کې هغه نقط��ې پرت��ې دي چ��ې ‪ x‬ي��ې ‪ .........................‬او ‪ y‬يې‬ ‫‪ ..................‬دى‪.‬‬ ‫‪ -3‬په دريمه ناحيه کې هغه نقطې پرتې دي چې ‪ x‬او ‪ y‬دواړه ‪ ..................‬وي‪.‬‬ ‫‪ -4‬هغه مستقيم خطونه چې د ‪ x‬د محور د مثبت جهت سره مساوي حاده زاويې جوړې کړي‬ ‫ميلونه يې ‪ ..................‬دي‪.‬‬ ‫‪ -5‬دوه موازي مستقيمې کرښې د ‪ x‬د محور له مثبت جهت سره مساوي ‪..................‬‬ ‫جوړه وي‪.‬‬ ‫‪ -6‬د ‪ x‬د محور سره د هر موازي مستقيم خط ميل ‪ ..................‬دى‪.‬‬ ‫‪ -7‬که د دووکرښو ميلونه يو له بل سره مساوي نه وي دا کرښې ‪ ..................‬دى‪.‬‬

‫‪32‬‬

‫دريم څپــرکى‬ ‫مثلثـات‬

‫د يوې زاويې مثلثاتي نسبتونه‬

‫په مخامخ ش��کل کې څو مثلثاتي نسبتونه‬ ‫شته دي؟ نومونه يې واخلئ‬

‫‪csc‬‬ ‫‪csc‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪cscθ‬‬

‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪sin θ‬‬

‫‪sec‬‬ ‫‪cot‬‬ ‫‪secθ‬‬ ‫‪csc‬‬ ‫‪cot‬‬ ‫‪cotθ‬‬ ‫‪sec‬‬

‫‪cos‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪cos‬‬

‫‪cot‬‬

‫‪tan‬‬

‫● يو قايم الزاويه مثلث رسم کړئ‪ ،‬بيا د شکل له مخې د يوې زاويې د شپږو مثلثاتي نسبتونو‬ ‫اړونده رابطې وليکئ‪.‬‬ ‫لمرۍ مثال‪ :‬الندې قايم الزاويه مثلث په نظر کې ونيسئ د ‪ θ‬او ‪ α‬د زاويو مثلثاتي نسبتونه‬ ‫وليکئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪α‬‬

‫‪b‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫‪c‬‬

‫‪a‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪BC a‬‬ ‫=‬ ‫‪AC b‬‬ ‫‪AB c‬‬ ‫=‬ ‫= ‪sec θ‬‬ ‫‪BC a‬‬ ‫‪AB c‬‬ ‫=‬ ‫= ‪csc θ‬‬ ‫‪AC b‬‬ ‫= ‪cot θ‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪AC b‬‬ ‫=‬ ‫‪AB c‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪BC a a‬‬ ‫= = = ‪cosθθ‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AB c c‬‬ ‫‪AC b‬‬ ‫=‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫‪BC a‬‬

‫يادونه‪ :‬د ‪ α‬د زاويې مثلثاتي نسبتونه دې زده کوونکي وليکي‪.‬‬

‫‪35‬‬

‫= ‪sin θ‬‬

‫دويمه مثال‪ :‬په الندې قايم الزاويه مثلث کې د ‪ β‬زاويې مثلثاتي نسبتونه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪βγ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪4‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫= ‪sin β‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪cos β‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪tan β‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪cot β‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪sec β‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪csc β‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫په الندې قايم الزاويه مثلث کې‪:‬‬ ‫‪ - 1‬د ‪ AC‬وتر اوږدوالى په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬د ‪ θ‬د زاويې مثلثاتي نسبتونه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪36‬‬

‫د معلومو زاويو مثلثاتي نسبتونه‬

‫‪A‬‬ ‫‪30 30‬‬

‫کوم��و زاويو ته معلومې زاوي��ې ويل کېږي؟‬ ‫ويې ليکئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪60‬‬

‫‪60‬‬

‫‪H‬‬

‫● يو متساوي االضالع مثلث رسم کړ‌ئ او وروسته يې د ‪ AH‬ارتفاع رسم کړئ‪ ،‬بيا د‬ ‫زاويو مثلثاتي نسبتونه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 45‬زاويې مثلثاتي نسبتونه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫حل‪2 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪AC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪45‬‬

‫= ‪sin 45‬‬

‫‪Ccos 45 = BC‬‬

‫‪AB‬‬

‫‪AC 1‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪BC 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫= ‪cot 45‬‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪45‬‬

‫‪B‬‬

‫= ‪tan 45‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪37‬‬

‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫= ‪csc 45‬‬ ‫=‬ ‫‪AC‬‬

‫= ‪sec 45‬‬

‫ ‬

‫‪AC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪sin 45‬‬

‫‪BC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪cos 45‬‬

‫‪AC 1‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪BC 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫= ‪cot 45‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪tan 45‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫= ‪csc 45‬‬ ‫=‬ ‫‪AC‬‬

‫= ‪sec 45‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ 30‬او ‪60‬‬

‫پايله‪:‬‬ ‫د ځينوزاويو مثلثاتي نسبتونه کوالى شو په آسانۍ سره په الس راوړو‪ ،‬خو د يو شمېر نورو زاويو‬ ‫د مثلثاتي نسبتونو محاسبه گران کار دى‪ ،‬نو ددې کار لپاره د ځينو پوهانو لخوا مثلثاتي جدولونه‬ ‫د خاصو فورمولونو په واسطه جوړ شوى چې ددې ډول جدول په مرسته د هرې زاويې مثلثاتي‬ ‫نسبتونه پيداکوالى شو‪.‬‬ ‫د يادونې وړ ده چې د جدول په ترتيب کې په يوه قايم الزاويه مثلث کې د ‪ θ‬او ) ‪ ( π − θ‬يا‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ (90 − θ‬زاويو له اړيکو څخه گټه اخيستل شوي ده‪.‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫په الندينۍ قايم الزاويه مثلث کې‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪β‬‬

‫‪B‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪α‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ - 1‬د ‪ AB‬قايمې ضلعې اوږدوالى په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬د ‪ α‬د زاويې مثلثاتي نسبتونه پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د ‪ β‬زاويې مثلثاتي نسبتونه په الس راوړئ‪.‬‬

‫‪38‬‬

‫مثلثاتي جدول او د هغه استعمال‬

‫د مخامخ شکل په مثلثاتي دايرې کې د‬ ‫نوموړو زاويو مثلثاتي نسبتونه ښودالی‬ ‫شئ؟‬

‫‪39‬‬

40

41

42

43

‫• د جدول افقي ليکه يا سطر او عمودي ليکه يا ستون څه راښيي؟‬

‫• د جدول د کيڼې او ښي خوا لومړي عمودي ليکه يا ستون په کومه زاويه پيل او په کومه‬

‫زاويه ختم شوى دى؟‬

‫• که يوه زاويه ‪ 45‬او يا له هغه څخه کوچنۍ وي‪ ،‬هغه د جدول په کيڼه خوا کې د درجې‬ ‫په ستونو کې پيدا کوو او مثلثاتي نسبت يې له پورته خوا څخه لولو يا له ښکته خوا څخه او‬

‫که زاويه له ‪ 45‬څخه لويه وي څه کوو؟‬ ‫د پورتني فعاليت پايله داسې بيانوو‪:‬‬

‫که زاويه له ‪ 45‬څخه کوچنۍ وي هغه دجدول د کيڼې خوا په لومړۍ عمودي ليکه ستون‬

‫کې او مثلثاتي نسبت يې په عمودي خوا لومړى پرته ليکه يا سطر کې گورو‪.‬‬

‫که زاويه له ‪ 45‬څخه لويه وي‪ ،‬هغه زاويه د جدول د ښې خوا په لومړۍ عمودي ليکه يا‬ ‫ستون کې له ښکته څخه پورته خوا ته ګورو او مثلثاتي نسبت يې په ښکته خوا څخه پورته خوا‬ ‫ته په وروستنى پرته ليکه يا سطر کې پيدا کوو‪ .‬چې د پام وړ زاويې د اړوند کرښې او د مثلثاتي‬

‫نسبت د اړوندې عمودي ليکې يا ستون تقاطع د زاويې مطلوب نسبت راکوي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ cos 30 10' :‬پيدا کړئ‪.‬‬

‫حل‪ :‬لومړى د جدول د کيڼې خوا په لومړى عمودي ليکه يا ستون کې مطلوبه زاويه ) '‪(3010‬‬

‫پيدا کوو او د جدول په لومړى کرښه(سطر) کې مطلوب مثلثاتي نسبت پيدا کوو‪ ،‬ددې والړې‬

‫او پرتې ليکې(سطر اوستون) تقاطع د ‪ 0,8646‬عدد راکوي چې دا د ) '‪ (3010‬زاويې‬ ‫کوساين دى‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪coscos‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪30°1°100' ...........‬‬ ‫‪'−30‬‬ ‫‪−−−°−1−0,0'8,−86−646‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪−460,8 6 46‬‬

‫‪cos(30‬‬ ‫‪30°10‬‬ ‫(‪°cos‬‬ ‫‪10' )' )=30‬‬ ‫? = ) '‪=?°?10‬‬ ‫(‪cos‬‬

‫‪44‬‬

‫دويم مثال ‪ sin 84 50' :‬وټاکئ‪.‬‬

‫حل‪ :‬لومړى د جدول د ښ��ي خوا په لومړي س��تون کې د پام وړ زاويه '‪ 84 50‬پيدا کوو او د‬ ‫جدول په وروس��تنۍ کرښه(س��طر) کې د اړوند مثلثاتي نس��بت پيدا کوو‪ ،‬ددې افقي او عمودي‬ ‫ليکو(سطر او ستون) تقاطع د )‪ (0,9959‬عدد راکوي چې د '‪ 84 50‬زاويه ساين دى‪.‬‬ ‫‪......‬‬

‫‪......‬‬

‫'‪0.9959.......... 84 50‬‬

‫‪......‬‬

‫ ‬

‫? = '‪sin 84 50‬‬

‫‪sin‬‬

‫يآدونه‬ ‫هغه جدول چې تر اوسه مو ترې کار واخيسته‪ ،‬د هغو زاويو مثلثاتي نسبتونه راښيي چې توپير‬ ‫يې لس دقيقې وي د هرې زاويې مثلثاتي نسبت د دې جدول په مرسته نشو ټاکلى‪ ،‬اوس غواړو‬ ‫داسې طريقه بيان کړو چې ددې جدول په مرسته د هرې زاويې مثلثاتي نسبتونه په الس راوړو‬ ‫چې دا طريقه د انټرپوليشن ‪ Interpolation‬په نامه ياديږي او په الندې مثالونو کې يې‬ ‫بيانوو‪:‬‬ ‫دريم مثال‪tan 42 35' = ? :‬‬

‫حل‪ :‬په جدول کې د '‪ 42 35‬زاويې تانجنت نشته خو د '‪ 42 40‬او '‪ 4230‬زاويو تانجانتونه‬ ‫زاويې تانجنت داسې پيداکوو‪:‬‬ ‫په جدول کې شته دى چې د هغوى په مرسته د '‪tan 42 35‬‬

‫‪tan 42 40'  ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫د دو زاويو توپير‬ ‫د مثلثاتي نسبتونو توپير ‬ ‫‪tan 42 40‬‬ ‫‪35'' = 0.9217‬‬ ‫‪= 0 ,9217] x ‬‬ ‫ ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫'‪10‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪0 .00054‬‬ ‫‪0054‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪' ‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫?‬ ‫‪tan 42 35  ‬‬ ‫‪] x  0,0054‬‬ ‫‪10 = 0 ,9217‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫'‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10 = 0x, 9163 0,0054‬‬ ‫‪tan 42 30 ' = 0.9163‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 0, 9163 ‬‬ ‫ ‬ ‫' ‪tan 42 30‬‬ ‫‪‬‬ ‫ليدل کيږي چې د لومړى او دويمې زاويې فرق '‪ 5‬او د لومړۍ او ‪‬‬ ‫دريمې زاويې فرق '‪ 10‬په‬

‫همدې ترتيب سره د ‪ tan‬فرق يې ‪ x‬او ‪ 0,0054‬دى يعنې که زاويه د '‪ 10‬په اندازه فرق‬ ‫ولري‪ ،‬نو ‪ tan‬يې د ‪ 0,0054‬په اندازه فرق کوي او که زاويه د '‪ 5‬په اندازه فرق وکړي‪ ،‬نو‬

‫‪45‬‬

‫‪ tan‬د ‪ x‬په اندازه فرق کوي چې د تناسب په مرسته ليکو‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪⇒ x = 0,0027‬‬ ‫د ‪ x‬قيمت د کوچنى زاويې له ‪ tan‬سره جمع کوو‪:‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪10 0,0054‬‬

‫‪0,9163 + 0,0027 = 0,9190‬‬ ‫‪tan 42 35' = 0,9190‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫‪ - 1‬که چيرې '‪ α = 35 20‬وي؛ نو ‪ cos α , sin α‬او ‪ tan α‬په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬که چيرې '‪ β = 75 10‬وي؛ نو ‪ cosβ , sin β‬او ‪ tan β‬په الس راوړئ‪.‬‬

‫‪46‬‬

‫د قايم الزاويه مثلثونو حل‬

‫مخامخ شکل ته پام وکړئ ايا ويالى شئ‬ ‫چې د څلي(منار) جگوالى څنگه پيدا‬ ‫کېږي؟‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪60 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪100‬‬

‫• که ديوه قايم الزاويه مثلث يوه زاويه '‪ 30 40‬وي بله زاويه يې پيدا کړئ‪.‬‬ ‫•که د يوه قايم الزاويه مثلث يوه زاويه ‪ 29‬او وتر يې ‪ 25cm‬وي‪ ،‬د مثلث مجهول عناصر‬ ‫پيدا کړئ‪.‬‬ ‫•که د قايم الزاويه مثلث دوې ضلعې يا يوه ضلعه او يوه حاده زاويه معلومه وي‪ ،‬د مثلث نور‬ ‫عناصر څنگه پيدا کوالى شو‪.‬‬ ‫د پورتني فعاليت پايله داسې بيانوو‪:‬‬ ‫په هر قايم الزاويه مثلث کې که يوه حاده زاويه يا دوې ضلعې معلومې وي‪ ،‬د مثلث پاتې اجزاوې‬ ‫د مثلثاتي توابعو په مرسته په الس راوړو‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫مثال‪ :‬ديوه قايمه الزاويه مثلث يوه حاده زاويه ‪ 40‬ده که ددې زاويې مجاوره ضلعه ‪120‬‬ ‫واحده اوږدوالى ولري‪ ،‬د نوموړي مثلث مجهولې ضلعې او زاويې پيدا کړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې د مثلث يوه زاويه او دوې ضلعې نا معلومې وي‪ ،‬نو ددې معلومو اجزاو په‬ ‫مرسته نا معلومې اجزاوې په الندې ډول په الس راوړو‪:‬‬

‫ ‬

‫‪θ = 90 − cˆ = 90 − 40° = 50‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪= 120 ⋅ 0,8391 = 100,692‬‬ ‫= ‪2, tan 40‬‬ ‫⇒ ‪⇒ c = 120 tan 40‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪120‬‬ ‫= ‪3, cos 40‬‬ ‫=‪⇒b‬‬ ‫=‬ ‫‪= 156.6579‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪cos 40‬‬ ‫‪0,7660‬‬

‫‪1,‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪‬‬

‫‪47‬‬

‫‪b 2 = a 2 + c 2 ⇒ b = (120) 2 + (156.692) 2 = 156,6579‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د يوه قايمه الزاويه مثلث وتر ‪ 49.7cm‬او يوه قايمه ضلعه يې ‪ 25cm‬ده‬ ‫نوموړى مثلث حل کړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د مثلث دوه عنصره معلوم دي‪ ،‬نو نا معلوم عناصر يې په الندې ډول پيدا کوو‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪= 0,503‬‬ ‫‪49,7‬‬ ‫‪ˆ = 0,503 ⇒ A‬‬ ‫'‪ˆ = 59,8° = 59°,48‬‬ ‫‪cosA‬‬ ‫'‪ˆ ⇒ B = 90 − 59,8° = 30,2° = 30°12‬‬ ‫‪2)B = 90° − A‬‬

‫= ˆ‬ ‫‪1)cosA‬‬

‫‪A‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪ˆ ⋅ 25 = 25 ⋅1,7182 = 43‬‬ ‫‪⇒ a = tanA‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪c‬‬

‫‪B‬‬

‫= ˆ‬ ‫‪3)tanA‬‬

‫‪C‬‬

‫‪120‬‬

‫‪B‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫‪7‬‬

‫‪49.‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ 38°‬او د دې زاويې مجا وره‪ A‬ضلعه ‪311‬‬ ‫‪ - 1‬د يوه قايمه الزاويه مثلث يوه حاده زاويه '‪C 50‬‬ ‫‪25‬‬ ‫اوږدوالى واحده ده‪ ،‬نو موړى مثلث حل کړئ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬په الندې شکلونو کې مجهول عناصر وټاکئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪200‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪240‬‬ ‫∧‬

‫?=‪B‬‬ ‫ ‬

‫? = ‪BC‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪80‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫?=‪x‬‬ ‫∧‬

‫?=‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪20‬‬

‫‪B‬‬

‫‪x‬‬

‫?=‪x‬‬ ‫∧‬

‫?=‪A‬‬

‫‪48‬‬

‫‪C‬‬

‫د ميل يا ارتفاع او تنزيل زاويې‬

‫مخامخ شکل ته پام وکړئ د ميل او‬ ‫تنزيل زاويې وښايئ‪.‬‬

‫• که احمد په يوه لوړه نقطه کې قرار ولري د هغه د ليد کرښه له افقي سطحې سره څه ډول‬ ‫زاويه جوړوي او دا زاويه په کوم نامه يادېږي‪.‬‬ ‫• که يو بل سړى په يوه ټيټ ځاى کې والړ وي د ليد کرښه له افقي سطحې سره څه ډول‬ ‫زاويه جوړوي او دا زاويه په کوم نامه ياديږي‪.‬‬ ‫دپورته فعاليت پايله داسې بيانوو‪:‬‬

‫‪ - 1‬د ارتفاع زاويه ‪Angle of Elevation‬‬ ‫که يو سړى په يوه ټيټ ځاى کې وي‪ ،‬د هغه د ليد کرښه له افق سره يوه زاويه جوړوي چې د‬ ‫جګوالى(رفعت) زاويه بلل کېږي؛ لکه په شکل کې د ‪ α‬زاويه‪.‬‬ ‫‪P1‬‬

‫‪ - 2‬د تنزيل زاويه ‪Angle of Depression‬‬ ‫که يو بل سړى په يوه جګ ځاى کې وي‪ ،‬د هغه د ليد کرښه‬ ‫له افق سره زاويه جوړوي چې د تنزيل زاويه بلل کېږي؛ لکه‬ ‫په شکل کې د ‪ β‬زاويه‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫‪β‬‬

‫د افق کرښه‬

‫د لي‬

‫دک‬ ‫رښه‬

‫د افق کرښه‬

‫‪α‬‬

‫‪P2‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ MTF‬په قايمه الزاويه مثلث کې د جگوالى يا ارتفاع زاويه '‪ 52° 30‬ده‬ ‫که د مثلث جگوالى ‪ 100m‬وي‪ ،‬د مثلث وتر او قاعده يې پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪TF 100‬‬ ‫ = '‪tan 52°30‬‬ ‫=‬ ‫‪MT‬‬ ‫‪Xx‬‬ ‫‪MF‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫= ‪Xx‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ Xx = 76.73‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ ‬ ‫‪tan 52°30' 11..3092‬‬ ‫‪3032‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪MF = FT + MT = (100) 2 + (76.73) 2 = 10000 + 5887.49‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪MF = 15887.49 = 15887.49 = 126. 04m‬‬

‫دويم مثال‪ :‬که د يوه کاغذ پران(پتنگ) د تار اوږ دوالى ‪ 120m‬وي‪ ،‬ددې کاغذ پران(پتنگ)‬ ‫د جگوالى يا ارتفاع زاويه ‪ 45°‬ده‪ ،‬د کاغذ پران(پتنگ) جگوالى وټاکئ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪120 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‪⇒h‬‬ ‫‪= 60 2m‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪2 120‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪sin 45‬‬

‫دريم مثال‪ :‬يو نوري(ترسد) برج له بحر څخه ‪ 120 f‬جگوالى لري‪ ،‬هغه نزولي زاويه چې‬ ‫د برج څخه يو بېړۍ(کښتۍ) ليدل کېږي ‪ 30‬درجې ده نوموړي بېړى له برج څخه څومره‬ ‫فاصله لري ‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪AC‬‬ ‫= ‪cot A‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪120ft‬‬ ‫‪cot 15‬‬ ‫= ‪30‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪⇒ AC = 120 ⋅ cot 15‬‬ ‫‪3,7 = 204‬‬ ‫‪444 ft‬‬ ‫‪30° = 120 ⋅.1,7‬‬

‫‪C‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫‪ -1‬د هغه ونې ارتفاع پيدا کړئ چې د رفعت زاويه يې له ‪ 20°‬څخه ‪ 40°‬درجو ته واوړي‪،‬‬ ‫نو په هغه صورت کې به ليدونکى ونې ته ‪ 75 ft‬نږدى شي‪.‬‬ ‫‪ -2‬يوه ونه باد له پورته خواڅخه داسې ماته کړې چې د ونې تنه او ماته برخه يې يو قايمه الزاويه‬ ‫مثلث له ځمکې سره جوړ کړي‪ ،‬که ماته برخه له ځمکې سره ‪ 50°‬زاويه جوړه کړې وي او‬ ‫د وني تنې اوږدوالى ‪ 20 ft‬وي‪ ،‬د ونې جگوالي پيدا کړئ‪.‬‬

‫‪50‬‬

‫مثلثاتي معادلې‬

‫أيا ويالی شي چې يوه مثلثاتي رابطه څه وخت‬ ‫مثلثاتي معادله بلل کېږي؟‬

‫‪sin 2 x + cos 2 x = 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ‪sin x‬‬ ‫‪2‬‬

‫پوهېږو چې مطابقت هغه مساوات دى چې د متحول د ټولو قيمتونو لپاره د مساوات دواړه‬ ‫خواوې سره برابرې شي او معادله هغه مساوات دى چې د متحول د ځينو قيمتونو لپاره د‬ ‫مساوات دواړه خواوې سره برابرې شي‪.‬‬

‫• يوه مثلثاتي معادله وليکئ‪.‬‬

‫• په دې معادله کې مجهول په نښه کړئ‪.‬‬

‫• د مجهول په کوم قيمت سره معادله صدق کوي‪.‬‬ ‫د پورته فعاليت پايله په تعريف کې په الندې ډول بيانوو‪:‬‬ ‫تعريف‪:‬‬ ‫هره معادله چې په هغې کې يو ياڅو مثلثاتي نسبتونه موجود وي‪ ،‬مثلثاتي معادله بلل کېږي لکه‬ ‫‪ sin x − 1 = 0 ، sin x + cos x = 1‬یا ‪2 cos x − 1 = 0‬‬ ‫ هغه قوس يا زاويه چي د هغي مثلثاتي نسبت مطلوب وي اصلي مجهول بلل کېږي لکه په‬‫پورتنيو معادلو کې ‪ x‬اصلي مجهول دى‪.‬‬ ‫ د اصلي مجهول مثلثاتي نسبت ته فرعي مجهول وايي لکه په پورتني معادلو کې ‪ cos x‬او‬‫‪ sin x‬فرعي مجهول دى‪.‬‬

‫‪51‬‬

:‫د مثلثاتي معادلو د حل لپاره په الندې ډول عمل کوو‬

.‫ د الجبري معادلو د حل په مرسته د فرعي مجهول قيمت په الس راوړو‬- 1

.‫ د مثلثاتي نسبتونو د جدول په مرسته د اصلي مجهول قيمت په الس راوړو‬-2 .‫ نو ډېر حلونه لري‬،‫ څرنگه چې مثلثاتي معادلې پريوديک معادلې دي‬-3 1



.‫ مثلثاتي معادلو حل پيدا کړئ‬cos x + = 1 ‫ او‬2 sin x − 2 = 0 ‫ د‬:‫مثال‬ 2

1 cosxx++1 ==11 cos 22 1 1111= 1 2 sin cos −= 1 sin cos xx=−x=x−−222=220==00 xx=+x=x1+1+ 22sin sin cos 2 sin cos x x 2 cos + x2−− =22212=21= 0 2 sin x − 2 = 0 cos2xsin 2 1 2 1=−11−1 x = x 2 sin 2 cos AC 2 1 x = x = 2 sin 2 cos 1 x = x = sin cos x = x = − 2 sin 2 cos 1 cot =11AC cos2xxsin = sinxAxx=−== BC 2 cos x−= 2 22 22sin sin cos 22 = 0 cot xA+=222= 12 2 1π BC 2ππ22 1= π 1 x°=AC x sin cos x = = x = ° = 45 30 x = x = sin cos 1= π 12 xsin =sin ° =22 2 x =cos 45 30 cot x15 x==x= xx60 ==xx1°=− cos 2sin cos x =sin 2 424 2AC2626 120 cot 15 = 2 2 232 π π2 π π ππ 120 π x45 =π°45 °π(π−=1π⋅2)cot x30 =n°π 30 ⇒ AC = 120 15 ° = 120 ⋅ 3 , 7 = 444 ft x = n + =622nnππ±±π ( ) 2 x = = x = =°±°πθ=θ=π π x = ° = x = 45 30 ( ) x = n π + − x = n π ± = 1 ( ) 2 2 1 4 x =x45 x =xAC °45 30 ⇒ ==120 = 60 ° ==6 ⋅ 6cot 15° =66120 ⋅ 3,7 = 444 ft = ° = 4 4 44 sin cos 2 4 2 π2 π 2 6 34 π π(−+1()− 1(π)2 ()π ) πθ±=θ2=nπ2n±πππ±π x =xxn==πnn+ x =xx2==n2π2nn± 2 1) ( 4) π ( π + − π ± θ = n π ± 2 ３‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‬ π π nπ° + 2=n°πn=π± θ 2)n2π( ±) 6 66 + (=− 1 xx==45 = (− 1) ( 4) 4 x =x30 4 4 6 4 6 .‫معادلې حل کړئ‬ π ‫الندې‬ 2 π x = nπ + (− 1) ( ) x = 2nπ ± θ = 2nπ ± 4 6 3 cot x − 1 = 0 b) 2 sin 3 x + 3 = 0 c) 2 cos 4 x − 2 = 0 sinxx−− 22==00 22sin

a)

52

cos

cos

cos

x=

x=

‫د دريم څپرکي لنډيز‬ ‫● مثلثات(‪ )Trigonometry‬له دوو يوناني کلمو څخه چې د(‪ )Trigon‬او (‪)Metron‬‬

‫چ��ې د مثل��ث د اندازه کولو معنا لري جوړ ش��وي دي او له هغ��ه علم څخه عبارت دى چې د‬ ‫مثلث د عناصرو ترمنځ اړيکې څېړي‪.‬‬

‫● په هره قايم الزاويه مثلث کې د هغه د هرې حاده زاويې لپاره ش��پږ مثلثاتي نس��بتونه تعريف‬

‫شوې دي او هغه عبارت دي له‪ sec, cot, tan, cos, sin :‬او ‪. csc‬‬

‫● کومو زاويو مثلثاتي نس��بتونه چې په جدول کې نش��ته‪ ،‬د انټرپولېش��ن په طريقې س��ره پيدا‬

‫کېږي‪.‬‬

‫● له ښ��کته خوا څخه پورته خوا ته کومه زاويه چې د ليد کرښ��ه يې له افق س��ره جوړ وي‪ ،‬د‬ ‫رفعت د زاويې او کوم زاويه چې له پورته خوا څخه يې ښ��کته خوا ته د ليد کرښ��ه له افق سره‬

‫جوړوي د تنيزيل د زاويې په نوم يادېږي‪.‬‬

‫‪53‬‬

‫د دريم څپرکى پوښتنې‬

‫● په الندې سوالونو کې هر سوال ته څلور ځوابونه ور کړل شوي دي چې يو يې سم دى‪ ،‬سم‬ ‫ځواب په نښه کړئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د يوې حاده زاويې ‪ sin α‬عبارت له‪:‬‬ ‫‪)a‬‬

‫د حاده زاويې د مخامخ ضلعې اوږدوالى‬ ‫دوتر اوږدوالى‬

‫ ‬

‫د حاده زاويې د ګاونډي(مجاورې) ضلعې اوږدوالى‬

‫‪)c‬‬

‫دوتر اوږدوالى‬

‫‪ )b‬د حاده زاويې د ګاونډي(مجاورې) ضلعې اوږدوالى ‬

‫دوتر اوږدوالى‬ ‫دوتر اوږدوالى‬

‫‪)d‬‬

‫‪ -2‬د ‪ tan x‬نسبت مساوي دى په‪:‬‬

‫‪cos x‬‬ ‫‪)b‬‬ ‫‪sin x‬‬

‫د حاده زاويې د مخامخ ضلعې اوږدوالى‬

‫‪1‬‬ ‫‪)c‬‬ ‫‪sin x‬‬

‫‪sin x‬‬ ‫ ‪)d‬‬ ‫‪cos x‬‬

‫‪ -2 )c‬‬

‫‪-1 )d‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪)a‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ sin 2 30 + cos 2 30‬افادې قيمت برابر دى له‪:‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪ 1 )b‬‬

‫‪ 2 )a‬‬

‫● تش ځايونه په مناسبو بيانونو ډک کړئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬په يوه قايم الزاويه مثلث کې د دوو نورو حاده زاويو مجموعه ‪ ..............‬ده‪.‬‬ ‫‪ Triganomitry -2‬له دوو کلمو‪ ...............‬او ‪ ................‬څخه جوړه شوې ده‪.‬‬ ‫● الندې سوالونه حل کړئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬په الندې شکلونو کې د ورکړ شوو زاويو مثلثاتي نسبتونه پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪45°‬‬

‫‪a‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬په الندې شکل کې که‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪α‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪x‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪3‬‬

‫‪H‬‬

‫‪24‬‬

‫‪6‬‬

‫= ‪ tan 30‬وي‪ ،‬د ‪ AC‬او ‪ BC‬واټنونه حساب کړئ‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪16‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪54‬‬

‫څلورم څپـــرکى‬ ‫الجبري افادې‬

‫په فکټورونو تجزيه کول (فکتور نيول)‬

‫په مخامخ ش��کل کې څو غونچې گلونه وينئ؟‬ ‫أيا ويالی ش��ي چې کومې غونچې يو بل ته ورته‬ ‫دي؟ او ي��وه غونچ��ه له څو گالن��و څخه جوړه‬ ‫ده؟‬

‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪–3‬‬ ‫‪–15‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪24‬‬

‫● تش ځايونه ډک کړئ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫…‬ ‫‪11‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫…‬ ‫…‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫…‬

‫‪5‬‬

‫…‬ ‫‪7‬‬

‫…‬

‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫…‬

‫‪3‬‬ ‫…‬

‫‪4‬‬

‫‪5 x = (....... + ......) x = ......x + ..........x‬‬ ‫‪6 y = (...... + ......) y = ...... y + .......... y‬‬

‫‪4‬‬ ‫ځانگړتيا…څخه گټه اخيستل شوې ده‪.‬‬ ‫● په پاسنيو اړيکو کې له کومې‬ ‫…‬ ‫● د ښي اړخ عددي ضريبونه د کيڼ ‪3‬اړخ د متحول له ضريبونوسره څه اړيکه لري‪.‬‬

‫●‬

‫‪3 x + 2 x = (........ + ...........) x = ...........x –3‬‬ ‫‪3axx + bx‬‬ ‫‪2 x = (..........‬‬ ‫)‪(........ ++...........‬‬ ‫… ‪x‬‬ ‫…‪..........)xx = ...........‬‬ ‫ايا کوالى شو چې ‪ a + b‬ساده ‪2‬‬ ‫کړو؟‬ ‫= ‪ax + bx = (.......... + ..........) x‬‬

‫په پور تني فعاليت کې ليدل کېږى چې‪:‬‬ ‫…‬ ‫د ځينوالجبري افادو په تجزيه کې‪12‬کوالى‪ 8‬شوچې له ضرب د توزيعي خاصيت څخه پرجمع‬ ‫…‬ ‫پيژندلوسره په افاده کې کوالى شو‪ ،‬الجبري افادې تجزيه کړو‪.‬‬ ‫باندې گټه واخلو‪ .‬د گډعامل په‬ ‫…‬ ‫افادې تجزيه کړئ‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬الندې الجبري‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–6‬‬ ‫ ‬ ‫‪a ) ab + ac −a )ad ab +bac‬‬ ‫‪) −x 4ad‬‬ ‫‪− x 3 yb+) x 2xy42 −…x 3 y + x 2 y 2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪m − 2cm‬‬ ‫)‬ ‫‪md )− 23mxy − 6 xd2) 3 xy − 6 x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪c‬‬

‫حل‪:‬په راکړل شويوافادوکې لومړى په ټولوحدونو کې گډ حد پيدا کوو او هغه د قوس مخکې‬ ‫ليکو‪ ،‬وروسته ټول حدونه بېل بېل په جمله ويشو اوحاصل يې دقوس په منځ کې ليکو‪:‬‬

‫‪57‬‬

a ) ab + ac − ad

= a (b + c − d )

b) x 4 − x 3 y + x 2 y 2 = x 2 ( x 2 − xy + y 2 ) 1 2 1 c) m − 2m = m( m − 2) 2 2 2 d ) 3xy − 6 x = 3x( y − 2 x)

.‫ الندې الجبري افادې تجزيه کړئ‬:‫دويم مثال‬

a ) Ax + Bx + Ay + By

b) x 2 − 4 y 2 + x + 2 y

c) 2 x 2 + 2 xy + 3 x + 3 y

d ) 2x − + 2 y + 2x + 2 y

‫ لومړۍ افاده داسې ترتيبووچې ورته حدونه څنگ پر څنگ راشى او ورسته دافادې گډ‬:‫حل‬ ‫حدود پيداکوواوبيا يې‬ 2.‫تجزيه کوو‬ 2

a)  Ax Ay + By + Bx  +   a Ax Bx Ay By ) + + ++ a Ax Bx Ay By ) + + + a )aa) Bx Ay By + + + Ax Bx Ay By )Ax + + + a Ax Bx Ay By ) + +     x         Ax Bx Ay By     + + +           a Ax Bx Ay By ) + + +y                      xx xxxx y = x( A +x B ) + yyy y(yAyy+ B ) x+A (+(AA )+ (+AB +)B ) )+B + (AAy+A )B xx= BB+)B y)y+(+ ==== ((=xxA B =A((xA )( B ))BB+ ++)B x( A y(y(A A+ (++A++ +B )xyy+((+yA +))BB)) =A (+(AA x)( )(B BB+)( x)( yy+)) y ) === (=(A +A +x+x++ B B = B ((=A Bx)( (++A+ +)( )(xx+yy+))yy))

b) x − 4 y + x + 2 y 2 2 22 2 22 − 24 b ) 2xx4 2y xx+ b x y y2 y ) 4 b)bb))xb2)2xx−− ++ ++x2x2+y2+ − 4 − 2y b) x− 4−yy44yy++2 xx+++ x2+yy22yy

= [ x 2 − (2 y ) 2 ] + ( x + 2 y ) 2) 22] + ( x + 2 y ) −− 2+ x[= y)) )yy22y)]y)]y)( +((xx(+(+xx+ yy(2 ==[==[x= )(2 2yx2)y2+ [=xx[− (2 [−x[(x(2 2 −x−(2− (2 x2+yy22())yxy))+ 2 y ) − (2 y])])x++2]+ ] +2((++ x2x2+y+ ( xx2−y− ((x2+ +y2)2)y2y)y)) y)(2)(x2y)( xy)( y)2)++y()+ x+ (x+ === (=(x=x= +x+)( +xx+ (+ =xx−((2−(− 1)(+x2xy2+ ((=− xx22−+yy22)( yyx)( xx22+−yy22)2)y+ yy))(+ )(++ +y2) y ) x y x y = ( + 2 )( − 2 + 1) x y x y = ( + 2 )( − 2 + 1) == (=dx= 22+ x)(2− )( xxxy2+2+)( xxy2−2−+xyy221) yy1) ++y1) ((= )+xx((+ +yy22x)( 2yy−yx)( +− ++ 21) 1) d x y x y ) 2 + 2 + 2 + 2 y++2y2yx2+ x++2x2y2+ y dd)d)d )2)d2x)2x2=+xx+24+ 2x2xy2+ d ) 2+ x2++yy224++ y2+xx22++ x2+yy22yy 4 x4+ +y44y4yy ===4=4=x= x+y+4 y ) 4x4==+xx+444( +x4xy4+ x = 4( x y = 4( + ) y) x 4( = =4( + yx+)+ == 4( 4( xyy+))yy)) = xx4(++ 22 2 22 2 2

c) 2 x 2 + 2 xy + 3 x + 3 y 2 22 + 2 xy + 3 x + 3 y 2x 2 xy cc))cc)2c)2c)= xx222++ 3+ xy 2+xy 3++3( 3++yy3y3y)y x3xxy3y+ 2+2+yxy (+2x2xy )+3x+x3+ xx+333++ 2+ c)22)x2x22xxx+ xy xyxy+)+ 2 x( xyxy+)+ )3(++ )++y)y3( ) y) xx3( ===2=2=x= +xx+3) x3( 2x2=((xx2x2((x+xx+x((++ + xyy+))(2 y+))3( xyy+))yy)) ++3( 3(++ y)(2 ( xyxy+)(2 ++ 3) x)(2 )(2 === (=(x=x= +xx+x3) 3) yxy)(2 x3) ((=+xx+((++ ++ x+yy+)(2 x3) )(2 +3) 3)

３‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‬

.‫الندې افادې تجزيه کړئ‬ 1) x 4 − x 3 y + x 2 x

2)

3) 10ab − 15ac

4) 32 x 2 y − 4 xy 2

5)

6) 0.5mn 2 − 0.125m 4 n 3

2 x 3 y 2 − 8 xy

7) ab + b + b 9) mab + my + ny + nab

58

x(2 x − 3 y) 2 + 8(2 x − 3 y)

3 2 4 2 1 2 4 x − x − x −x 2 6 2 10) ab(b + a + c) + ac(a + b + c) + bc(c + b + a) 8)

‫کوچنى مشترک مضرب (‪)L.C.M‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫د ‪+‬‬ ‫‪4 6‬‬ ‫د ‪ 6‬او ‪ 4‬د کوچنى مشترک مضرب‬

‫د کسرونو د جمع کولو لپاره‬

‫يا دواړو کسرونو مشترک مخرج پيدا ته‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اړتيا ده‪ ،‬د‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x − 1 2x + 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫کسرونو‬

‫د جمع کولو لپاره څه وړانديزونه لرئ؟‬

‫● د ‪ 2‬او ‪ 3‬کسرونو د جمع کولو لپاره لومړى د ‪ 6‬او‪ 8‬کوچني مشترک مضرب يا د دواړو‬ ‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫کسرونو مشترک مخرج پيدا کولو پړاوونه توضيح کړئ‪.‬‬ ‫● د ‪ 2x + 2‬او ‪ x 2 − 1‬افادې په ضربي عواملوتجزيه کړئ‪.‬‬ ‫● ضربي مشترکاو غير مشترک عوامل يې وټاکئ‪.‬‬ ‫● د ‪ 2x + 2‬او ‪ x 2 − 1‬کوچني مشترک مضرب پيدا کولو لپاره سوچ وکړئ‪ ،‬څه بايد وکړو؟‬ ‫● د ‪ 2x + 2‬او ‪ x 2 − 1‬کوچني مشترک مضرب څودى؟ هغه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫●د‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x − 1 2x + 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫کسرونو د جمعې حاصل په الس راوړئ‪.‬‬

‫ددوو ياڅو الجبري افادودکوچنى مشترک مضرب دپيداکولولپاره لومړى هغوى په لومړنيو ضربي‬ ‫عواملوتجزيه‪ ،‬وروسته هغه مشترک عوامل چې ترټولولوى توان لري له غيرمشترک عواملو سره‬ ‫ضربووچې کوچنى مشترک مضرب په الس راځي‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ 2x + 2 ، 4x‬او ‪ x 2 − 1‬کوچنى مشترک مضرب په الس راوړئ‪.‬‬

‫‪59‬‬

‫حل‪ :‬لومړى دواړې افادې جالجال تجزيه کوو‪:‬‬

‫‪4 x 2 = 22 x 2‬‬ ‫)‪2 x + 2 = 2( x + 1‬‬ ‫)‪x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1‬‬

‫هغ��ه گ��ډ عام��ل چې ل��وى ت��وان ل��ري )‪ ( x + 2‬او ‪ 2 2‬دى‪ ،‬چ��ې د ضرب حاص��ل يې د‬ ‫غير مشترک وعواملوسره په )‪ 2 2 (x + 1)(x − 1)x 2 = 4x 2 (x 2 − 1‬دى‪ .‬چې د کوچني گډ‬ ‫مضرب يا )‪ (L.C.M‬په نامه يادېږي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 6 x − 6 ، 68x 2 + 40x + 32‬او ‪ 4x 2 + 12x − 16‬افادوکوچنى مشترک‬ ‫مضرب پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪4 x 2 + 12 x − 16 = 4( x 2 + 3 x − 4) = 22 ( x + 4)( x − 1‬‬

‫)‪8 x 2 + 40 x + 32 = 8( x 2 + 5 x + 4) = 23 ( x + 4)( x + 1‬‬ ‫)‪6 x 2 − 6 = 6( x 2 − 1) = 2 × 3( x − 1)( x + 1‬‬

‫په پا يله که کوچنى مشترک مضرب عبارت دى له‪:‬‬

‫)‪23 × 3( x + 1)( x + 4)( x − 1‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫د کوچني مشترک مضرب په پام کې نيولو سره يې ساده کړئ‪.‬‬ ‫‪3x − 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x + 2 x − 15 x + 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4) 2‬‬ ‫‪x −1 x −1 x +1‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪2x 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫÷ ‪−‬‬ ‫‪3 5 x 10 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪x −1 x +1 x −1‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪60‬‬

‫د الجبري افادو ساده کول‬

‫که چي��رې په الجبري افادو کې مخامخ‬ ‫نښ��ې راغلې وي‪ ،‬أيا ويالي ش��ي چې‬ ‫څه ډول په ترتيب سره افاده ساده کوو؟‬

‫‪a‬‬

‫‪n‬‬

‫● دالندې افادودساده کولولپاره کومې عمليې لومړۍ دويم او داسې نور سرته ورسوو‪ .‬د عمليې‬ ‫د سرته رسولو ترتيب په شمير سره ونوموئ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪3 − 2 × 5 + (16 ÷ 4‬‬

‫‪4 × 5 ÷ 2 − 3(2 + 32 ) + 2‬‬ ‫)‪3 x 2 − 4 x(2 + x‬‬

‫‪22xx−−33‬‬ ‫(‪{ −[−22‬‬ ‫()‪( x x+ 1+)(1‬‬ ‫)‪x +x2+)}2‬‬ ‫‪+ 6]+‬‬ ‫‪x ÷62x ÷ 2‬‬

‫په پورتني فعاليت کې مووليدل چې د الجبري افادود عمليو د س��رته رس��ولو ترتيب د عددونو‬ ‫د عملي��و د ترتيب له قانون څخه پيروي کوي‪ .‬ديوې الجبرى افادې دس��اده کولولپاره په ترتيب‬ ‫سره په الندې ډول عمل کوو‬ ‫‪ -1‬توان رفع کوو‪.‬‬ ‫‪ -2‬د قوسونوپه لرلوسره لومړى کوچنى بيا منځنى او وروسته لوى قوسونه رفع کوو‪.‬‬ ‫‪ -3‬په ترتيب سره له کيڼ لوري څخه ښي لوري ته د وېش او ضرب عمليې سرته رسوو‪.‬‬ ‫‪ -4‬په ترتيب سره له کيڼ لوري څخه ښي لوري ته د جمع اوتفريق عمليې سرته رسوو‪.‬‬

‫‪61‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫لومړى مثال ‪ :‬الندې افادې ساده کړئ‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪  1    ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m − 35(m − −m) − m − 6 ÷ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  2    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m − 35m − − 5m − m − 6 ÷ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪  17  ‬‬ ‫‪m − 3−m −  ÷2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= m + (3m+ ) ×  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= m + m+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪m + 3m 51 4m 51‬‬ ‫=‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪= 2m +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪1‬‬

‫=‬

‫)‪12−([x−+2(2x)}++2‬‬ ‫)‪2) 2‬‬ ‫‪2 x −21x−−{−‬‬ ‫‪2 x]+‬‬ ‫÷ ×‪÷ 22 x‬‬ ‫‪5 x2 × 5 x‬‬ ‫‪= 2 x − 1 − (−2 x − 4) + 2 x ÷ 2 × 5 x‬‬ ‫‪= 2x − 1 + 2x + 4 + x × 5x‬‬ ‫‪= 2x − 1 + 2x + 4 + 5x2‬‬ ‫‪= 4 x + 5x2 + 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫● مخامخ عبارتونه ساده کړئ‪:‬‬

‫‪8 x3 y 3‬‬

‫‪1‬‬ ‫●د‬ ‫‪2− 3‬‬

‫‪1‬‬ ‫او‬ ‫‪a− b‬‬

‫‪3a 49a 2‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪c‬‬

‫کس��رونو دمخ��رج د جذرونو د عالم��و د منځه وړلو لپاره له‬

‫کوم مطابقت څخه کار اخيستالى شئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫●د‬ ‫‪2− 3‬‬

‫‪1‬‬ ‫او‬ ‫‪a− b‬‬

‫کسرونو د مخرجونو جذرونه له منځه يوسي اوساده يې کړئ‪.‬‬

‫د يو ه کس��رد مخرج د جذرونو د عالمو منځه وړلوعمليه د الجبري کس��ر دگويا کولو يا ناطق‬ ‫کولو په نامه يادېږي‪.‬‬

‫‪62‬‬

‫مثال‪ :‬د الندې کسرونو مخرجونه ګويا(ناطق) کړئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪2− 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a −1‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪a −1‬‬ ‫)‪1‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪x‬‬

‫=‬

‫‪2 x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪2 3 a2‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a 3 a 3 a2‬‬ ‫‪2 3 a2 2 3 a 2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a3‬‬

‫)‪2‬‬

‫=‬

‫‪a −1‬‬ ‫‪a −1‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪a −1‬‬ ‫‪a −1‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫)‪( a − 1)( a + 1‬‬ ‫‪( a ) 2 − 12‬‬

‫)‪1‬‬

‫)‪3‬‬

‫=‬

‫)‪( a − 1)( a + 1‬‬ ‫‪= a +1‬‬ ‫‪a −1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2+ 3‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪2− 3‬‬ ‫‪2− 3‬‬ ‫‪2+ 3‬‬ ‫=‬

‫)‪5( 2 + 3‬‬ ‫‪( 2) 2 − ( 3) 2‬‬

‫=‬

‫)‪5( 2 + 3‬‬ ‫‪2−3‬‬ ‫)‪5( 2 + 3‬‬ ‫=‬ ‫)‪= −5( 2 + 3‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬

‫‪63‬‬

‫)‪4‬‬

‫د يوې الجبري افادې د ساده کولو لپاره په ترتيب سره لومړى توان او قوسونه له منځه وړو او بيا‬ ‫په ترتيب سره له کيڼې څخه ښي خوا ته د ضرب او تقسيم عمليې څرنګه چې که چيرې د‬ ‫ضرب عمليه مخکې وو لومړى هغه او بيا د تقسيم عمليه او په همدې ډول د جمع او تفريق‬ ‫عمليه سرته رسوو‪.‬‬ ‫ •د ‪ x‬د ناطق کولو عامل ‪ x‬دى‪.‬‬ ‫ •د ‪ x + 1‬د ناطق کولو عامل ‪ x − 1‬دى‪.‬‬ ‫ •د ‪ x + y‬د ناطق کولو عامل ‪ x − y‬دى‪.‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫الندې افادې ساده کړئ‪.‬‬

‫}‪))−1−}11‬‬ ‫× ‪1)1)2 x2×x‬‬ ‫‪(2((2+‬‬ ‫{‪−2−{23‬‬ ‫‪÷}÷2‬‬ ‫‪{x33x−x −−‬‬ ‫‪2++x)xx−‬‬ ‫‪÷22‬‬

‫‪1 11    ‬‬ ‫‪1 1  ‬‬ ‫‪2)2) y −yy 5−−55−−‬‬ ‫‪2−226(6y( −y − − −y y÷ 3÷ 3‬‬ ‫‪3 33    ‬‬ ‫‪3 3  ‬‬ ‫)‪]−×7−−)7‬‬ ‫‪18‬‬ ‫(}))‬ ‫‪−30‬‬ ‫‪+ +(−(30‬‬ ‫‪3)35) +55+‬‬ ‫‪(+−((18‬‬ ‫‪) −)){−−24‬‬ ‫(})‬ ‫‪−−18‬‬ ‫‪{[24‬‬ ‫‪]16‬‬ ‫‪[{168‬‬ ‫{()‬ ‫‪102‬‬ ‫‪240‬‬ ‫}÷]))‬ ‫‪÷÷16‬‬ ‫‪÷6÷66‬‬ ‫{‪4)4‬‬ ‫‪−[((120‬‬ ‫‪) +) +‬‬ ‫‪(−(330‬‬ ‫}÷)})‬ ‫{‪+ +‬‬ ‫‪+++‬‬ ‫‪240‬‬ ‫‪−−(−−((−210‬‬ ‫})‬ ‫‪−120‬‬ ‫‪−330‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪+168‬‬ ‫‪168‬‬ ‫‪240‬‬ ‫‪−210‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪x− y‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪72ab‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪7) 2 2000ab −‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x− y‬‬ ‫)‪9‬‬ ‫‪x− y‬‬

‫)‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20 x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10) 2 18 x + 50 x −‬‬ ‫) ‪11) ( 2 + 1)(1 − 2‬‬

‫‪64‬‬

‫د څلورم څپرکي لنډيز‬ ‫● د الجبري افادو د مشترکو عواملو د ضرب حاصل چې تر ټولو لوى توان ولري له غيرمشترکو‬ ‫عواملو سره د ترټولو کوچنى ګډ مضرب( ‪ ) L.C.M‬په نوم يادېږي‪.‬‬ ‫● که چيرې په يوه الجبري افاده کې قوسونه د جمعې‪ ،‬تفريق‪ ،‬ضرب‪ ،‬تقسيم او توان عمليې‬ ‫راغلي وي‪ ،‬د س��اده کولو لپاره يې په ترتيب س��ره لومړى کوچنى‪ ،‬منځنى او بيا لوى قوسونه له‬ ‫منځه وړو او وروس��ته بيا په ترتيب س��ره د توان‪ ،‬وېش‪ ،‬ضرب‪ ،‬جمع او تفريق علميې له کيڼ‬ ‫لوري څخه ښي لوري ته سرته رسوو‪.‬‬ ‫● د ‪ x‬د ناطق کولو عامل ‪ x‬دى‪.‬‬ ‫● ‪ x + 1‬د ناطق کولو عامل ‪ x − 1‬دى‪.‬‬ ‫● د ‪ x + y‬د ناطق کولو عامل عبارت له ‪ x − y‬دى‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫●‬

‫د څلورم څپرکى پوښتنې‬ ‫په الندې سوالونوکې هرسوال ته څلورځوابونه ورکړل شوى‪ ،‬سم ځواب يې وټاکئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -1‬د ‪ 2 x 2 − x‬په افادې کې مشترک عامل‪:‬‬ ‫‪ 2 )a‬دى ‪.‬‬

‫ ‪ x )b‬دى‪.‬‬

‫ ‬

‫ ‪ 2 x )c‬دى‪ .‬‬

‫‪ -2‬د )‪ (x − 2)(x + 3‬الجبري افادودضرب حاصل عبارت دى له‪:‬‬ ‫ ‬

‫‪ x 2 + 5 x + 6 )a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x + x − 6 )c‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -3‬د‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪2x + 2 x − 1‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪ x 2 − 5 x − 6 )b‬‬ ‫‪x 2 − x + 6 )d‬‬

‫افادې کوچنى مشترک مضرب عبارت دى له‪:‬‬

‫‪ x + 1)( x − 1) :a‬‬ ‫(‪2‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪ ( x + 1)( x − 1) )b‬‬

‫‪ (2 x + 2)( x 2 − 1) )c‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪ )d‬هيڅ يو‪.‬‬

‫د ناطق کولوعامل عبارت دى له‪:‬‬

‫‪ -4‬د ‪a − b‬‬

‫ ‪ a )a‬‬

‫‪)d‬نه يې لري‪.‬‬

‫ ‬

‫‪ a + b )c‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪b )b‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪a − b )d‬‬

‫● تش ځايونه په مناسبوجملو ډ ک کړئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -1‬د ‪ x − 1‬د تقسيم حاصل عبارت له ‪ . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬دى‪.‬‬

‫‪x +1‬‬

‫‪ -2‬د )‪ (x 2 + x − 1)(x 2 − x − 1‬دضرب حاصل عبارت له ‪ . . . . . .‬دى‪.‬‬ ‫● الندې پوښتنې حل کړئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د ‪ 21x 3 y 3‬او ‪ 14x 3 y 2‬کوچنى مشترک مضرب پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬الندې افاده ساده کړئ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x −1 x +1‬‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x−2 x−2 x −4‬‬

‫‪66‬‬

‫پنځم څپـــرکى‬ ‫نامساوات‬

‫د کسري افادو د عالمو تحليل او ټاکل‬

‫آی��ا وي�لای ش��ي د ‪ b ، a‬حقيق��ي‬

‫‪a‬‬ ‫عددون��و لپاره د‬ ‫‪b‬‬

‫کس��ر‪ ،‬څه وخت‬

‫مثبت او څه وخت منفي عالمه لري‪.‬‬ ‫‪3x + 5‬‬ ‫●د‬ ‫‪2x − 2‬‬

‫= )‪ P( x‬افاده په پام کې‬

‫‪+‬‬ ‫–‬

‫?‬ ‫=—‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫=—‬ ‫?‬

‫ونيسئ‪.‬‬ ‫● د )‪ P(x‬افاده په کوم حالت کې مثبت ده‪.‬‬ ‫● د )‪ P(x‬افاده په کوم حالت کې منفي ده‪.‬‬ ‫● د ‪ x‬په کوم قيمت سره د )‪ P(x‬افاده مساوي په صفر ده‪.‬‬ ‫د )‪ P(x‬د افادې د صورت او مخرج د عالمې له ټاکلو څخه وروسته کوالى شو د )‪P(x‬‬

‫افادې عالمه د صورت او مخرج د عالمو د وېش له حاصل څخه په الس راوړو‪:‬‬ ‫ ‬

‫‪−5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−5‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫< ‪ x‬لپاره د صورت عالمه منفي او د‬ ‫پوهېږو چې د‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثبت ده‪.‬‬

‫= ‪3x + 5 = 0 ⇒ x‬‬

‫> ‪ x‬لپاره د صورت عالمه‬

‫د مخرج د عالمې د ټاکلو لپاره لومړى هغه قيمت پيدا کوو‪ ،‬چې ‪ 2 x − 2‬په هغه کې صفر‬ ‫شي‪.‬‬ ‫‪2x − 2 = 0 ⇒ x = 1‬‬ ‫په پايله کې ‪ x < 1‬څخه د مخرج عالمه منفي او ‪ x > 1‬لپاره د مخرج عالمه مثبت ده‪.‬‬

‫‪69‬‬

‫پاملرنه وکړى په هغه قيمت سره چې د کسر مخرج صفر کېږي‪ ،‬کسر نه دى تعريف شوى‪،‬‬ ‫پورتنۍ بحث په جدول کې داسې لنډوو‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫—– ‪5‬‬ ‫‪5 2‬يا )∞ ‪(− ∞ , − 2) U (2 ,‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪≥ 1‬‬ ‫‪5x + 3‬‬

‫نامساوات حل کړئ‪.‬‬

‫حل‪ :‬د نامساوات د حل سټ پيدا کولو لپاره لومړى کسري افاده په الندې ډول ليکو‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−1 ≥ 0‬‬ ‫‪5x + 3‬‬ ‫‪−3 x − 3‬‬ ‫‪≥0‬‬ ‫‪5x + 3‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪2x‬‬ ‫‪≥1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪5x + 3‬‬ ‫)‪2 x − (5 x + 3‬‬ ‫⇒ ‪≥0‬‬ ‫‪5x + 3‬‬

‫‪−3 x − 3 = 0 ⇒ x = −1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫= ‪5x + 3 = 0 ⇒ x‬‬ ‫‪5‬‬

‫اوس د نامساوات د عالمې د ټاکلو له جدول څخه د نامساوات حل په الس راوړو‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫—–‬ ‫‪5‬‬

‫–‬ ‫–‬ ‫‪+‬‬

‫–‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫تعريفﻧﺸﺪﻩ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫شوى‬ ‫– نه دى‬ ‫نامساوي حل‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎﻭﺍﺕ‬ ‫دﺣﻞ‬

‫‪–1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪+‬‬ ‫–‬ ‫–‬

‫‪−3‬‬ ‫پورتنى جدول ته په پاملرنې سره د نامساوي حل عبارت دى له‪} :‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪–3x – 3‬‬ ‫‪5x + 3‬‬ ‫‪–3x – 3‬‬ ‫‪5x + 3‬‬

‫< ‪{x∈ IR : − 1≤ x‬‬

‫په بشپړ ډول د کسري نامساوي د حل لپاره په الندې ډول پر مخ ځو‪:‬‬ ‫• نامساوات داسې ليکو چې له صفر څخه کوچنى يا لوى شي‪.‬‬ ‫• د نامساوات د عالمو د ټاکلو له جدول څخه د نامساوات د حل سټ په الس راوړو‪.‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫د الندې نامساواتو د حل سټ پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪7x − 2‬‬ ‫‪>< 3‬‬ ‫‪3 − 2x‬‬

‫)‪4‬‬

‫‪x + 10‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪≥0‬‬ ‫‪2x − 3‬‬

‫‪6x + 7‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪≤0‬‬ ‫‪7 − 6x‬‬

‫‪−x − 9‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‪ 2 y − 3 x.‬‬ ‫‪− 6−6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y − 2 − 12‬‬

‫حل‪ :‬لومړى د پورتنۍ نامساوات هره يوه کرښه رسموو‪:‬‬ ‫‪2 y − 3 x = −6‬‬

‫او‬

‫‪y−2=0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3 y + 4 x = −12‬‬

‫د ‪ 2 y − 3x = −6‬رس��مولو لپ��اره ک��ه ‪ x = 0‬وي ‪ y = −3‬او د ‪ y − 2 = 0‬ګراف لپاره‬ ‫که ‪ x = 0‬وي ‪ y = 2‬کېږي او د ‪ 3y + 4x = −12‬کرښې د رسمولو لپاره که ‪ x = 0‬وي‬ ‫‪ y = −4 , x = 0‬کېږي چې د نوموړو قيمتونو په مرسته يې گراف په مخامخ بڼه رسموو ‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪–6‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪–1‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪3y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y=2‬‬

‫وروسته د هر نامساوات د حل ساحه په بيل بيل ډول ټاکو‪.‬‬ ‫په شکل کې هغه ناحيې چې نه دي تورې شوې د راکړل شوي نامساواتو سيسټم د حل سټ‬ ‫دى‪.‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫د الندې نامساواتو د سيسټمونو د حل سټ د گراف په مرسته په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪x < 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y > 2‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪2 x + 3 y < 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 x − 2 y > 5‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪x + y < 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x − y < 3‬‬ ‫‪5 x − y > 1‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪5‬‬ ‫)‪6‬‬

‫‪x < 3‬‬ ‫‪1) ‬‬ ‫‪2 x + y < 4‬‬ ‫‪2 x − 3 y < −3‬‬ ‫‪4) ‬‬ ‫‪5 x − 2 y > 9‬‬

‫‪76‬‬

‫د پنځم څپرکي لنډيز‬ ‫● د يوې کسري افادې د عالمې د ټاکلو لپاره لومړى د صورت او مخرج عالمې بېلې بېلې ټاکو‬ ‫وروسته د صورت عالمه د مخرج په عالمې وېشو‪.‬‬ ‫● د دوه متحوله خطي غير مساوات د سيستم د حل لپاره داسې عمل کوو‪:‬‬ ‫لومړى د هر دوه متحوله خطي نامس��اواتو د سيس��تم حل د وضعيه کمياتو د حل د س��يټ يوه‬ ‫برخه وي د سيستم حل دى‪.‬‬

‫‪77‬‬

‫د پنځم څپرکى پوښتنې‬ ‫● په الندې سوالونو کې د هر سوال لپاره څلور ځوابه ورکړل شوى دي‪ ،‬سم ځواب په نښه کړئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬له الندې نامساواتو څخه کوم يو سم دى‪:‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a) + ≤ 2 −‬‬ ‫‪b) > 2‬‬ ‫‪c) 9 + 16 ≥ 5‬‬ ‫د ‪ b , a‬او ‪ c‬ځوابونه ) ‪d‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ x + 3 ≤ 5‬نامساوي د حل سټ عبارت دى له‪:‬‬ ‫}‪b) {x ∈ IR : 2 ≤ x‬‬ ‫}‪d ) {x ∈ IR : x < −2‬‬

‫}‪a ) {x ∈ IR : x ≤ 2‬‬ ‫}‪c) {x ∈ IR : x ≤ 8‬‬

‫‪ -3‬له الندې انتروالونو څخه کوم يو د ‪ 2 x + 3 > −1‬نامساوات د حل سټ دى‪.‬‬ ‫‪ -4‬له الندې انتروالونو څخه کوم يو د ‪ x + 3 > 0‬نامساوي د حل سټ دى‪.‬‬ ‫)‪d ) (−3,3‬‬

‫‪3− x‬‬

‫)∞ ‪c) (−3,‬‬

‫)‪b) (−∞ ,3‬‬

‫)‪a ) (−3,3‬‬

‫● تش ځايونه په مناسبو کلمو ډک کړئ‪.‬‬

‫‪ -1‬د ‪ ax + by < 0‬په نامساوات کې د ټولو هغه ‪ ....................‬سټ چې په نامساوات‬

‫کې صدق وکړي د پورتنۍ نامساوات د حل سټ بلل کېږي‪.‬‬

‫‪ -2‬د ‪ 2 x + 4‬بينوم د ‪ ....................‬قيمتونو لپاره منفي کېږي‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -3‬د‬ ‫‪2‬‬

‫‪ − x +‬بينوم د ‪ ....................‬قيمتونولپاره مثبت کېږي‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ -4‬د ‪ 2 x + 5 ≤ − x‬نامساواتو د حل سټ ‪> x‬‬ ‫عبارت ‪ y‬‬ ‫دى له)‪. ....................a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 y < 2‬‬

‫● الندې پوښتنې په بشپړ ډول حل کړئ‪2 x − y > 0 .‬‬ ‫‪b) ‬‬ ‫د الندې نامساواتو د سيستم حل پيدا کړئ‪ x − 2 y < 0:‬‬ ‫‪x + y < 2‬‬ ‫‪c) ‬‬ ‫‪ y − 4 > 2x‬‬ ‫‪2 x + 2 y < 8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d ) 3 x − 3 y < 9‬‬ ‫‪10 x − 2 y > 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y > 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e)  x > −3‬‬ ‫‪y + x < 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y < 2‬‬

‫‪y > x‬‬ ‫‪a) ‬‬ ‫‪3 y < 2‬‬ ‫‪2 x − y > 0‬‬ ‫‪b) ‬‬ ‫‪x − 2 y < 0‬‬ ‫‪x + y < 2‬‬ ‫‪c) ‬‬ ‫‪ y − 4 > 2x‬‬ ‫‪78 2 x + 2 y < 8‬‬ ‫‪d ) 3 x − 3 y < 9‬‬ ‫‪10 x − 2 y > 2‬‬ ‫‪‬‬

‫شپږم څپـــرکى‬

‫يو مجهوله دويمه‬ ‫درجه معادله‬

x+3

x+2

‫د ي��و مجهول��ه دويم��ې درج��ې معادلې‬ ‫عمومي شکل‬

‫مخامخ شکل په پام کې ونيسئ‪:‬‬ ‫أيا ويالی شي دا د کوم ډول معادلې شکل‬ ‫دى؟‬ ‫د هغې معادلې درجه څو ده؟‬ ‫ثابت حد يې کوم دى؟‬ ‫د ‪ a‬او ‪ b‬د ضريبونو په اړه څه نظر لرئ؟‬ ‫ايا په دې معادله کې ‪ a = 0‬کېدا ى شي‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ax + bx + c = 0‬‬

‫يوه دويمه درجه يو مجهوله معادله داسې وليکئ چې‪:‬‬ ‫● د ‪ a‬او ‪ b‬ضريبونه يې طبيعي عددونه وي‪.‬‬ ‫● ثابت حد يې صفري وي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬که ‪ b = −4 , a = 2‬او ‪ c = 7‬وي‪ ،‬معادله يې وليکئ‪.‬‬ ‫‪8‬‬

‫حل‪ :‬پوهېږو چې د دويمې درجې يو مجهوله معادلې شکل د ‪ ax + bx + c = 0‬دى‪،‬‬ ‫‪2‬‬

‫اوس که چيرې د ‪ b , a‬او ‪ c‬قيمتونه په معادله کې وضع کړو نو دغه ډول معادله جوړېږي‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2 x2 − 4 x +‬‬

‫دويم مثال  ‪ :‬د ‪ 1 x 2 + 3x + 3 == 00‬په معادله کې د ‪ b , a‬او ‪ c‬قيمتونه په ګوته کړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪81‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪b=3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪c= 3‬‬

‫دريم مثال  ‪ :‬داسې يوه دويمه درجه يو مجهوله معادله جوړه کړئ چې د ‪ b , a‬او ‪ c‬قيمتونه‬

‫يې په ترتيب سره ‪ − 7 , − 2‬او ‪ 1‬وي‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪− 2x − 7 x + = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫● هغه يو مجهوله دويمه درجه معادلې وليکئ چې د ‪ b , a‬او ‪ c‬قيمتونه په الندې ډول‬ ‫ورکړل شوي وي‪.‬‬ ‫‪ -1‬‬

‫‪a = 0.5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ -2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ -3‬‬

‫‪a=3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ b = 2.8‬و ‪c = 7.5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪ b‬و‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ b= 6‬و =‪c‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪c‬‬

‫● په الندې معادلو کې د ‪ b , a‬او ‪ c‬قيمتونه پيدا کړئ‪.‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪(3‬‬

‫‪4x2 − 2x + 3 = 0‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪x − 5 = 3x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪2x − x2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪82‬‬

‫د هغه يو مجهوله دويمې درجې معادلې‬ ‫حل چې د ‪ x‬ضريب يې صفر وي‬

‫أيال ويالی شي په شکل کې څه ډول‬ ‫معادله وينئ؟‬ ‫دغ��ه معادله د دويم��ې درجې يو مجهوله‬ ‫معادلې له عمومي ش��کل س��ره څه توپير‬ ‫لري؟‬ ‫ايا دغه ډول معادلې ته يوه بشپړه(مکمله)‬

‫‪2‬‬

‫‪ax + c = 0‬‬

‫● د يو مجهوله دويمې درجې معادلې عمومي شکل وليکئ‪.‬‬ ‫● که په نوموړي معادله کې ‪ b = 0‬وي‪ ،‬نو معادله کوم شکل لري؟ ويې ليکئ‪.‬‬ ‫● نوموړې معادله څرنګه حل کېږي‪ ،‬يعنې د ‪ x‬قيمت په څه ډول په الس راوړالى شو‪.‬‬ ‫● د ‪ x‬دغه په الس راغلي قيمت څه شى راښايي؟ بيان يې کړئ‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ 2 x 2 − 8 = 0‬په معادله کې د ‪ x‬قيمت په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2x2 = 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x =4‬‬ ‫‪xx1 ==±+22‬‬

‫‪x2 = −2‬‬

‫‪83‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د ‪x − 18 = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫حل‪:‬‬

‫په معادله کې د ‪ x‬قيمت په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪x = 18‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 2 = 36‬‬ ‫‪x = ±6‬‬ ‫‪x1 = +6‬‬

‫‪x2 = −6‬‬

‫ ‬ ‫دريم مثال‪ :‬د ‪ 3 x 2 − 2 = 0‬په معادله کې د ‪ x‬قيمت په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪x2 = 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(2)3‬‬ ‫=)‪(3 xx2 )3==2()2‬‬

‫‪x2 = 8 ⇒ x = 8‬‬ ‫‪x = 2 ⋅ 4 = ±2 2‬‬

‫‪x1 = +2 2‬‬ ‫‪x2 = −2 2‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫په الندې معادله کې د ‪ x‬قيمت په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪1) 4 x 2 − 8 = 0‬‬ ‫‪2) 3 x 2 − 12 = 0‬‬ ‫‪3) 5 x 2 − 75 = 0‬‬

‫معادله ويالى شو؟‬

‫‪84‬‬

‫د هغه يو مجهول��ه دويمو درجو معادلو د‬ ‫حل طريقه چې ثابت عدد يې صفر وي‬

‫په شکل کې کومه معادله وينئ؟‬ ‫دغ��ه معادل��ه د يومجهول��ه دويم��ې درجې‬ ‫معادلې له عمومي ش��کل س��ره څ��ه توپير‬ ‫لري؟‬ ‫ايا دغه معادلې ته يوه بشپړه(مکمله) معادله‬ ‫ويالى شو؟‬

‫●‬

‫‪2‬‬

‫‪ax + bx = 0‬‬

‫د يو مجهوله دويمې درجې معادلې عمومي شکل وليکئ؟‬

‫● که په دې معادله کې ‪ c = 0‬وي‪ ،‬معادله کوم شکل غوره کوي؟‬ ‫● د ‪ x‬قميت په دې معادلو کې څه ډول په الس راځي؟‬ ‫● د ‪ x‬قيمت څه راښيي؟ بيان يې کړئ‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ 4 x 2 − 8 x = 0‬په معادله کې د ‪ x‬قيمت په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪x(4 x − 8) = 0‬‬ ‫‪x1 = 0‬‬ ‫‪4x − 8 = 0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪85‬‬

‫=‪4 x = 8 ⇒ x1‬‬ ‫‪x2 = 2‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د ‪x − 2 x = 0‬‬ ‫‪3‬‬

‫حل‪:‬‬

‫په معادله کې د ‪ x‬قيمت په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x( x − 2) = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x1= 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x−2=0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2= 6‬‬

‫دريم مثال‪ :‬د ‪ x 2 + 4 x = 0‬معادله حل کړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪x( x + 4) = 0‬‬ ‫‪x1= 0‬‬ ‫‪x+4=0‬‬ ‫‪x2= −4‬‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫الندې معادلې حل کړئ‪.‬‬ ‫‪1) 3x 2 − 5 x = 0‬‬ ‫‪2) 5 x 2 − 12.5 x = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3) x 2 − x = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪86‬‬

‫د هغې يو مجهوله دويمې درجې معادلې حل‬ ‫چې د ‪ x‬ضريب او ثابت حد يې موجود وي‬

‫په ش��کل کې څه ډول معادل��ه وينئ نوم يې‬ ‫واخلئ‪.‬‬ ‫ايا ويالى ش��ئ چې دا معادل��ه د څو حلونو‬ ‫لرونکې ده؟‬

‫‪2‬‬

‫‪ax + bx + c = 0‬‬

‫● يوه يومجهوله دويمه درجه معادله وليکئ چې د ‪ x‬ضريب او ثابت حد يې موجود وي؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫● که ‪ x1 = − b + b − 4ac‬او ‪ x = − b − b − 4ac‬وي‪ ،‬کومه معادله چې‬ ‫‪2‬‬

‫‪2a‬‬

‫‪2a‬‬

‫ليکلې مو ده‪ ،‬د هغې د ‪ x1‬او ‪ x2‬جذرونه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫● د ‪ x1‬او ‪ x2‬ک��وم قيمتونه(جذرون��ه) م��و چې په الس راوړل په معادل��ه کې يې وضع کړئ او‬

‫وګورئ چې معادله صدق کوي او که نه؟‬

‫مثال‪ :‬د ‪ x1‬او ‪ x2‬قيمتونه د ‪ − 2 x 2 − 3x + 2 = 0‬په معادله کې په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬ليدل کېږي چې‪c = 2 , b = −3 , a = −2 :‬‬ ‫)‪b 2 − 4ac − (−3) + (−3) 2 − 4(−2 ⋅ 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪2(−2‬‬

‫‪−−b b‬‬ ‫‪+‬‬

‫= ‪x1‬‬

‫‪3 + 9 + 16 3 + 25 3 + 5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−4 −4‬‬ ‫‪x1 = −2‬‬ ‫=‬

‫‪87‬‬

‫)‪− b − b 2 − 4ac − (−3) − (−3) 2 − 4(−2 ⋅ 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪2(−2‬‬

‫= ‪x2‬‬

‫‪9 − 9 + 16 9 − 25 9 − 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−4 −4‬‬ ‫‪x2 = −1‬‬ ‫=‬

‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫د الندې معادلو جذرونه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪1) 2 x 2 − 5 x − 3 = 0‬‬ ‫‪2) x 2 − 2 x − 3 = 0‬‬ ‫‪3) 2 x 2 + 5 x + 3 = 0‬‬

‫‪88‬‬

‫د هغ��و يو مجهوله دويم��ې درجې معادلو حل‬

‫چې د مضاعف(مساوي) جذرونو لرونکې وي‬

‫أيا ويالی شي په شکل کې څه ډول معادله‬ ‫وينئ؟ نوم يې واخلئ‪.‬‬ ‫د ‪ x1‬او ‪ x2‬جذرونو په اړه څه فکر کوئ‪.‬‬

‫‪ax 2 + bx + c = 0‬‬ ‫‪x1 = x2 = d‬‬

‫ايا داس��ې يومجهوله دويمه درجه معادله ش��ته‬

‫چې جذرونه يې سره مساوي وي؟‬

‫●‬

‫د يو مجهوله دويمې درجې معادلې عمومي شکل وليکئ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫● ک��ه ‪ x1 = − b + b − 4ac‬او ‪ x = − b − b − 4ac‬د نوموړي معادلې جذرونه‬ ‫‪2‬‬

‫‪2a‬‬ ‫وي‪ ،‬څه وخت ‪ x1‬له ‪ x2‬سره مساوي کېږي‪.‬‬ ‫●‬

‫‪2a‬‬

‫ک��ه چي��رې ‪ + b 2 − 4ac = 0‬او ‪ − b 2 − 4ac = 0‬ش��ي‪ ،‬د ‪ x1‬او ‪ x2‬قيمتون��ه‬

‫وليکئ‪.‬‬ ‫درجې معادلې جذرونه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫الندې يو مجهوله دويمې‬ ‫مثال‪ :‬د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪− b + b − 4ac − 4 + 4 − 4(1 ⋅ 4‬‬ ‫=‬ ‫‪x 2 +24⋅1x + 4 = 0‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫راکړل ‪0‬‬ ‫شوي‪− 4 +‬‬ ‫حل‪ :‬په‪− 4‬‬ ‫‪ c = 4 ,−b4=+4 ,16‬دى‪.‬‬ ‫‪a−‬‬ ‫‪= 16‬‬ ‫معادله کې ‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪− b + b 2 − 4ac − 4 + 42 − 4(1 ⋅ 4‬‬ ‫‪x21 = −2‬‬ ‫=‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2 ⋅1‬‬ ‫‪− 4 + 16 − 16 − 4 + 0 − 4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1 = −2‬‬ ‫= ‪x2‬‬

‫‪89‬‬

‫)‪− b − b 2 − 4ac − 4 − 42 − 4(1 ⋅ 4‬‬ ‫=‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2 ⋅1‬‬ ‫‪− 0 −4‬‬ ‫‪− 4 − 16 − 16 − 4 +‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 = −2‬‬ ‫= ‪x2‬‬

‫تبصره‪ :‬که په يوه معادله کې ‪ b 2 − 4ac < 0‬يعنې ∆ (دلتا) وي‪ ،‬نو معادله د حقيقي عددونو‬ ‫په سټ کې حل نه لري‪.‬‬ ‫ﭘﻮ＊ﺘﻨ‪３‬‬

‫د الندې معادلو جذرونه په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪1) 2 x 2 − 5 x − 3 = 0‬‬ ‫‪2) x 2 − 2 x − 3 = 0‬‬ ‫‪3) 2 x 2 + 5 x + 3 = 0‬‬

‫‪90‬‬

‫د شپږم څپرکي لنډيز‬ ‫● د دويم��ې درجې يو مجهوله معادلې عمومي بڼه له ‪ ax 2 + bx + c = 0‬څخه عبارت دى‬

‫په دې شرط چې ‪ a ≠ 0‬وي‪.‬‬

‫● هغه معادلې چې د ‪ ax 2 + c = 0‬او ‪ ax 2 + bx = 0‬په ډول وي‪ ،‬د دويمې درجې نيمګړې‬

‫معادلې په نامه يادېږي‪.‬‬

‫‪b‬‬ ‫● د ‪ ax 2 + bx = 0‬په معادله کې حل عبارت له ‪ x1 = 0‬وي او‬ ‫‪a‬‬

‫‪ x2 = −‬دى‪.‬‬

‫∆ ‪−b±‬‬ ‫● پ��ه بش��پړ ډول د هرې دويمې درجې يو مجهول��ه معادلې جذرونه‬ ‫‪2a‬‬

‫= ‪ x1, 2‬له‬

‫فورمول څخه په الس راځي چې ‪ ∆ = b 2 − 4ac‬ده‪.‬‬ ‫● که چيرې ‪ ∆ > 0‬وي‪ ،‬معادله دوه حقيقي جذرونه لري‪.‬‬ ‫● که چيرې ‪ ∆ = 0‬وي‪ ،‬معادله دوه مساوي جذرونه لري‪.‬‬

‫● ک��ه چي��رې ‪ ∆ < 0‬وي‪ ،‬معادله د حقيقي عددونو په س��ټ(‪ )Set‬کې جذر نه لري‪ .‬د هغې‬

‫جذر د موهومي عددونو په سټ کې دى‪.‬‬

‫‪91‬‬

‫د شپږم څپرکى پوښتنې‬ ‫● په الندې سوالونو کې هر سوال ته څلور ځوابونه ورکړل شوي دي‪ ،‬سم ځواب يې وټاکئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د ‪ 4 x = 3x 2‬په معادلې کې د ‪ b , a‬او ‪ c‬ضريبونه عبارت دي له‪:‬‬ ‫ب) ‪a = −3 , b = 4 , c = +1‬‬ ‫ ‬ ‫الف) ‪a = 3 , b = 4 , c = 1‬‬ ‫د) هيڅ يو‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ج) ‪ a = 4 , b = 3 , c = −1‬‬ ‫‪-2‬د ‪ 3x 2 − 8 x + 5 = 0‬د معادله جذرونه عبارت دي له‪:‬‬ ‫ ‬ ‫الف) ‪x2 = , x1 = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫ج) الف او ب‬ ‫‪ -3‬که ‪ ∆ > 0‬څخه وي معادله‪:‬‬

‫‪5‬‬ ‫ب) ‪, x2 = 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫د) هيڅ يو‪.‬‬

‫ ‬ ‫الف) دوه مساوي حلونه لري‬ ‫ ‬ ‫ج) حل نه لري‬

‫ب) دوه حقيقي او مختلف جذرونه لري‬ ‫د) يو جذر لري‬

‫‪5‬‬

‫‪x1 = −‬‬

‫● تش ځايونه ډک کړئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د يو مجهوله دويمې درجې معادلو عمومي بڼه ‪ ..................‬ده‪.‬‬ ‫‪ -2‬که ‪ ..................‬وي معادله حل نه لري‪.‬‬ ‫‪ -3‬که د معادلې درجه دوه وي معادله ‪ ..................‬لري‪.‬‬ ‫● الندې پوښتنې ولولئ د سم په مخ کې(س) او د ناسم په مخ کې(ن) کلمه وليکئ‪.‬‬ ‫‪ ( - 1‬‬

‫) که ‪ b 2 − 4ac < 0‬وي‪ ،‬معادله د حقيقي اعدادو په ‪ set‬کې حل نه لري‪.‬‬ ‫∆ ‪−b±‬‬

‫= ‪ x1, 2‬دى‪.‬‬ ‫‪ ) ( - 2‬د محمد بن موسى فورمول‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ ) ( - 3‬د ‪ 2 x 2 − 4 x = 0‬د معادلې يو حل صفر دى‪.‬‬ ‫‪ ) ( - 4‬د دويمې درجې معادلې د تشکيل لپاره ‪ x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0‬څخه‬ ‫استفاده کوو‪.‬‬ ‫● الندې پوښتنه حل کړئ‪.‬‬

‫په الندې معادلو کې د ‪ b , a‬او ‪ c‬ضريبونه و ښيئ او وواياست کومه معادله کامله او کومه‬ ‫معادله ناقصه ده‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪c) 2 x − 6 x = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪b) 3 x − 1 = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a) 3x − 4 x + 1 = 0‬‬

‫‪92‬‬