Mathematics 12 [12]
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سرود ملی دا وطن افغانســـتـــان دى
دا عــــزت د هـــر افـغـان دى
کﻮر د سﻮل ３کﻮر د تﻮرې
هر بچی ﻳ ３قهرمـــــان دى
دا وطن د ！ﻮلـــﻮ کـﻮر دى
د بـــــلـﻮ＇ـــــــﻮ د ازبـکــــــــﻮ
د پ＋ـــتــﻮن او هـــــزاره وو
د تـــرکـمنـــــــﻮ د تـــاجـکــــــﻮ
ورســـره عرب ،گﻮجــر دي
پــامﻴــرﻳـــان ،نـﻮرســـتانﻴــــان
براهﻮي دي ،قزلباش دي
هـــم اﻳمـــاق ،هم پشـه ４ان
دا هﻴــــــﻮاد به تل ＄لﻴ８ي
لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان
په ســـﻴنــه ک ３د آســـﻴـــا به
لـکــــه زړه وي جـــاوﻳــــــدان
نﻮم د حق مـــﻮ دى رهبـــر
واﻳـــﻮ اهلل اکبر واﻳﻮ اهلل اکبر
.
. 1398:
-----------------------------------------------------: : : : : : : 1398 : : : #,++’#,(,)!)*$ &*- "% : -----------------------------------------------------. .
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-
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1397
. . . . .
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-
-
( 1 ,
) 0
,0
0
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....................................................................................
((Minimum)
(Maximum)
:
:
: )
Rolle
133-172
173-198
.......................................................................................................
......................................................
:
:
199-222
..........................................................................................
:
223-260
.......................................................................................................
:
261-281
.....................................................................................................
:
1
2
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1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 11 13 15 17 5, , 3, , , , , 2 4 5 6 7
1, 2 , 3 , 4 , 5 , 1 2 3 4 0 , , , , , 2 3 4 5
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1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 1 1 1 1 , , , , , 2 3 4 5
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n cn
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2
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cn
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(limit)
1
n 1 n
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9
10
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b2 b3 b4 b5 ... 1 2
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1
1 1 1 1 , , , ... , ....... I 2 3 4 n 2 , 4 , 6 , ... , 2n ....... ( III ) II
I
. x
(
a
0)
a
x
:
x
a
. 0: | x a |
x
a
|x a|
0
:( x
x
a ) a
: x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...
a
:( x
x
a
: x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...
: x
a
( (x
a , x
a a
) a )
5
a )
x
x
.
9
9
x
: :
x : 9.1 , 9.01 , 9.001 , 9.0001 , ...
9
x : 8.9 , 8.99 , 8.999 , 8.9999 , ...
9 f (x )
a
f (x ) a a
x
a
(
)
f (x )
l
x
: l
x a f ( x) l
lim f ( x) l : x
a
y y
f (x)
l 2
l l O
0 lim f ( x) l x
a
f (x )
0 : | x a| (| x a |
3
a
a
0
x
a
| f ( x) l | | f ( x ) l | 0)
f ( x)
x
.
6
2x 6
x2 1 x 1 1.001 1.01 1.02
x 1 , f ( x)
:
x 0.98 0.99 0.999 f ( x) 1.98 1.99 1.999
? ?
2.001 2.01 2.02
. f (x)
(1)
x
: l1
0
x (a , a
)
f ( x) (l1
f (x)
a
, l1
:
)
0
lim f ( x) x a x a
l2
0
x (a
, a)
f ( x) (l2
a
, l2
f (x)
)
0 x a x a
lim f ( x) l :
lim f ( x) l
x
a
x
l
a
lim f ( x)
x
a
:
lim f ( x)
:
lim f ( x) l1
x
a
7
x
a
lim f ( x)
x
a
f (x)
l2
lim f ( x)
.
x
3
lim x
3
x2 9 x 3
6
: :
. x
3.5 3.1 3.01 3.001 ........ 3
f ( x) 6.5 6.1 6.01 6.001 ........ x
6
2.5 2.9 2.99 2.999 ........ 3
f ( x) 5.5 5.9 5.99 5.999 ........
6
lim
x2 9 x 3
6
lim
x2 9 x 3
6
3
x
x
3
. 0
lim x
3
x2 9 x 3
0
6
: :
0 | x 3|
0 : |x a| x2 9 6 x 3
| f ( x) l | ( x 3)( x 3) 6 | x 3 6| | x 3| x 3
:
.
2
x
8
f ( x)
| x 2| x 2
lim x
3
x2 9 x 3
6
(Properties of limit)
lim ( x 2
x
1
lim x 2
x)
x
lim x
1
x
1
x
1
: f ( x)
x 2
g ( x)
.
(2)
2x
(x
x
3
3)
x
lim f ( x ) lim g ( x)
.
x
2
x
2
lim f ( x) lim g ( x)
.
x
2
x
2
lim f ( x ) lim g ( x)
.
x
2
x
2
: lim g ( x)
: 1) lim Kf ( x) x
a
K lim f ( x ) x
a
2) lim f ( x) g ( x ) x
3) lim f ( x) g ( x ) x
f ( x) g ( x)
x
a
5) lim x
a
n
f ( x)
a
x
x
a
lim f ( x ) x
a
lim g ( x ) x
n
a
lim f ( x ) x
a
B
lim f ( x) x
a
A
x
A B
a
lim f ( x) lim g ( x)
a
4) lim
x
a
KA
lim f ( x) lim g ( x)
a
x
a
A B
A , lim g ( x ) B x a n
A , lim f ( x) x
0
B
A 0
a
. x
a
(x)
: :
9
lim ( x) 0 x
a
x
x
: f ( x) b ( x) lim ( x) 0 x
a
(x)
a
lim f ( x) b x
a
-
-1
lim f ( x) b
f (x)
b
1 ( x)
lim x
a
a
x
a
-2
(x)
. -3
. u (x )
-4
(x)
v( x)
.
( x) u ( x)
: lim( x x
2
9) 0 :
3
3
x
x
lim x
1 2x
x
( x)
x
. lim ( x)
( x)
2
9
(I
1 2x
(II
0
. 1) lim (2 x 2 1) x
2) lim ( x 1) x
x
2
lim1 2 lim x 2 x
2
x
3
lim 4 x lim 3
4x 3 0 x 1
x
2
2
lim1 2 2 2 1 7 x
2
lim ( x 1) lim ( x 1) ( 4)( 4) 16
x
3
x
3) lim x
lim 2 x 2
2
:
x
0
0
lim x lim1 x
x
0
0
3
0 3 0 1
3
: -1
f ( x2 )
f ( x1 )
: lim f ( x1 ) x
a
f ( x2 )
lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x
a
x
a
lim f ( x2 ) b2
:
lim x
a
f ( x1 )
f ( x1 ) b1 f ( x2 ) b2
f ( x2 ) 1 2
..... I ..... II
x
lim f ( x1 ) b1
a
x
a
:
b1 b2 f ( x1 )
f ( x2 ) (b1
10
1
) (b2
2
) b1 b2 (
1
2
)
(
1
2
)
. lim f ( x1 ) x
f ( x2 )
a
b1 b2
lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x
a
x
a
-2
: :
lim f ( x1 ) f ( x2 ) x
lim f ( x1 ) lim f ( x2 )
a
x
f ( x1 ) b1
1
f ( x2 ) b2
2
a
x
b1 b2
a
f ( x1 ) f ( x2 )
(b1
1
f ( x1 ) f ( x2 ) b1 b2
)(b2
b1
2
2
b2
) 1
1
2 2
b1
. lim f ( x1 ) f ( x2 ) x
b2
2
1
1
1
:
2
b1 b2
a
-3
: lim x
a
f ( x) g ( x)
lim f ( x) x
a
lim g ( x) x
a
b1 b2
g ( x) b2 0
,
: f ( x) b1
1
g ( x) b2
2
f ( x) g ( x)
b1 b2
1 2
b1 b2
: f ( x) g ( x)
b1 b2
b1 b2
1 2
b1 b2
b2 (b1
) b1 (b2 b2 (b2 2) 1
2
b2b1 b2 1 b1b2 b1 b2 (b2 2) f ( x) g ( x) b2 (b1 b2 (b2
b2 1 b1 2 b2 (b2 2) ) 2)
1
b1 b2
11
2
b1 b2 1 2
) b2 1 b1 2 b2 (b2 1 ) b2
1
f ( x) g ( x)
b1 2 b1b2 b1 b2 (b2 2) b1 b2
1 2
2
x
a
2
1
: lim x
a
lim f ( x)
f ( x) g ( x)
x
b1 b2
a
lim g ( x) x
a
a
h(x)
x
f ( x)
g ( x) , f ( x)
g ( x ) h( x ) x
x
a
x
a
x
a
2
x 4
u ( x) 1
x ) 2
u (x)
:
x2 x2 lim(1 ) 1 lim(1 ) x 0 x 0 4 2
lim u ( x) 1 x
(1
)
lim f ( x) b lim h( x)
a
2
lim u ( x)
(x a
lim g ( x) b
.
:
0
:
. f ( x)
g ( x)
g (x)
g ( x)
15 x 4 5x 6
:
lim f ( x) lim g ( x )
. x 1
f (x )
x
f ( x)
a
x
15 x 4 5x 6 f ( x) .
a
: g ( x) :
lim f ( x) x
lim g ( x) x
1) lim 6 x 3 x
0
15 x 5x 15 x lim x 5x lim x
2x 2
4 6 4 6
5x 3
15 3 5 15 3 5
2) lim x 7 x
1
2x 5
2
4) lim x
0
5x 7 x (2 x 5) 2 9
5) lim x 2 x
2
12
(9 x 2) 2 4 x 0 x 2x 6) lim 2 x 1 x 4x 1
3) lim
0 , 0 0
x2 y x x2 y x
1
x
.
x
.
x2 1
y
2
x
.
1 1 1 1
: .
..... 0.
,
,
,
0 0
-
: :
.
f ( x)
1
x
x
1
0 0
-I
x 1 x2 1 f (x )
f (x )
x 1
. : 0 0
: 13
(
)
. :
: x2 4 1) lim 2 x x 2
,
2) lim x
x2
2
6x 8 x 2
,
3) lim x
16
x
4 x 16
:
: x2 4 2 x 2
1) lim x
( 2) 2 4 2 2
0 0 0 0
: ( x 2)( x 2) 2 ( x 2)
lim
x
lim ( x 2)
2 2
2
x
6 x 8 2 2 12 8 0 x 2 x 2 2 2 0 ( x 2)( x 4) lim lim( x 4) 2 4 x 2 x 2 x 2
2) lim
4
x2
3) lim
x 16
x
4 x 16
0 0
2 :
:
0 0 0 0
:
. lim
x
16
x
4 x 16
x x
3 x 1) lim ? x 3 x 1 2 2x 4 2 4) lim x 1 5 ? x 2 x 2
4 4
lim
x
16
( x 16) ( x 16)( x 4)
lim
x
5 5 ? 2) lim 2 x 2 3 x 1 x 1 1 1 5) lim x 3 3 ? x 0 x
14
16
1 x 4
1 8
3) lim x
4
x 4 x 2
?
-II
x 3 3x 8 lim x 2x2 2
f ( x)
x
.
g ( x)
x
.
2 x4
4x 1
x3 2x 4 5
y
x
.
x3
.
x
.
x
x 2 f ( x) g ( x)
0
f ( x) g ( x)
: :
:
. . lim x
x2 1 3x 2 2
1 2
:
15
lim x
x2 1 :1 3x 2 2
:
x
:
x2 1 2 2 lim x 2 x x 3x 2 2 x x2
2
x 1 lim 2 x 3x 2
2 x2 lim x 2 3 x2 1
1
1
1 0 3 0
2
3
1 3
x2 2 lim :2 x x 2
. lim x
x2 2 x 2
-
2 2 x
: .
x2 2 lim x x 2
2 ) 2 x lim x 1 2 ) x2 ( x x2 x 2 (1
2 x2 lim x 2 x x2 1
1 1
2 2
2
1 0 0
1 0
lim
. lim x
x 1 x2 2
-
2
x
x 1 :3 x2 2
1 2
x
: .
lim x
x 1 x2 2
x 2 lim x 2 x x x2
1 x2 2 x2
1 lim x x 1
1 x2 2 x2
1
1 0
1
2
1 0
0 1
0
: :
16
f ( x)
x
a0 x m a1 x m 1 ... am b0 x n b1 x n 1 ... bn
: (x a0 b0
. . .
m n
-1
m n
-2
m n
-3 :4
. 1) lim x
5 x 2 6 x 4 x3 x 1 x4 2 x 2 3
)
2) lim x
8 6 x3 x 2 x 5 x3 x 4 6 x 1
3) lim x
3x 2 2 x 1
: lim
5x 2
x
6 x 4 x3 x 1 6x4 lim x x4 2x2 3 x4
8 6x3 x 2 x lim 3 x 5x x 4 6x 1
0
3x 2 2 lim x x 1
.
17
6 :
m n
-1
:
m n
-2
:
m n
-3
: 1) lim
x2 x5 3) lim 4 x x 3x3 5) lim x x x
x4 x2 x 6 2) lim 3 x x 3x 4 3 x x2 x 7 4) lim x x3 x 5
6 x x2 x 9 x2 x 5 2 1
18
(0
lim x
2
1 x2
lim ( x 2 x
3
)
(
)
x 1 4 x2 4 2 x3 4 9) x 3
a 1
.
x 1
. .
x
.
x
f ( x)
.
x
x 1
f ( x) (2 x 1)( x 1)
: (0
(
)
) 0 0
: :
: 8x x 1 x2 9 8x lim( x 1 x 1 x2
1) lim( x
1
9
10 ) ? 2) lim( x 1)( 2 x 1 1 x 10 9 8 1 10 9 18 ) 1 1 1 12 1 0 0
9 x 9 8 x 10 x lim 2 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 1 lim lim x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1
1 1 1 2
0 0
19
?
:1 (
: lim
1 ) 2x 3
)
2) lim( x 1)( x 1
lim( x 1)( x 1
lim x 1
x
x
2
2
x 1 x 2x 3 2
1 ) ? 2x 3 1 1 1 ) (1 1)( 2 ) 0 2x 3 1 2 3 3 3 (0 ) :
x 1 1 ( x 1)( x 3)
lim x
lim x 1
1 x 3
0
1 0
1 4
. 1) lim( x 1 x
x)
3) lim ( x 5 8 x 3 ) x
5) lim ( x a x
1 1 2) lim ( ) x 1 1 x 1 x2 1 4) lim ( x 2 25) x 5 x 5
x)
20
0
:2
1 ,
lim(1 sin x) x
1 x
0
, 00
?
0
xx
y
0
x
.
1
y
x
.
0
1
.
(1 x) x
, 00
: 0
: lim( f ( x)) g ( x ) x
ln(lim f ( x ) g ( x ) ) lim(ln f ( x) g ( x ) ) lim g ( x) ln f ( x)
a
x
a
x
a
x
a
: e
. lim(1 n
1 n ) n
2.71828182
an
(1
1 n ) n
n
e
: n 1 2 5 10 100 1000 10000 100000 1000000 1000000000
1 n 1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 10
9
1
1 n
(1
2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 1 10
9
1 n ) n 2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145926 2.718268237 2.718280469 2.718281828
21
-I
Euler
1 n ) n
lim (1
e 2.71 ...
n
e
2 .718281828
. -II
. 1
1) lim(1 x
0
)
2) lim (1
e
Ln(1 x) 1 0 x
3) lim x
4) lim
1
2) lim(1 x
u
x
)
x
x
e
1
x
4
1
:
1
1 , x x
ex
0
x
: 1) x
x 1
x
x
)
x
0
lim(1 0
)
lim(1
1 , x x
0
x
1 x ) x
e , x
u
u
0
1
lim(1 u ) u
u
u
0
1 u
x
lim (1 u ) u
u
0
1 , u x
1
lim (1 u ) u u
0
ln(1 x) 0 x
3) lim x
1 x ) x
lim (1 x
lim x
0
x
0
e
1 ln(1 x) x
1
lim ln(1 x ) x x
0
1
ln lim(1 x) x x
0
1 u
, x
1
ln lim(1 x) x x
0
ln lim (1 u
22
u 1 u ) u
ln e 1
u
e
ex 1
4) y
ex 1 y lim x
e
x
x ln(1 y )
1 x
0
y 0 ln(1 y)
lim y
1 1 lim ln(1 y ) y 0 y
lim ln(1 y ) y
x
1 y
1 ln(1 y ) y 1 , y x
v( x)
lim u x
a
lim (1 u 1) x
u 1
u 1 v
u 1
lim (1 x
a
1
)
a
lim (1 x
lim u ( x) lim u ( x)
v( x)
x
x
a
a
eP ,
x
a
lim v ( u 1)
ex
)
0
P
x a
u
u 1
1
lim v ( u 1)
1
lim(1
lim ( v )
)
a
0
: v( x)
x
:1
a
v
0
1 1 1
: v
1 ln(1 y ) lim y 0 y 1 , y x y
0
1 ln e
1 x ln lim (1 ) x x
lim u ( x)
0
y
1
1
1
lim
a
eP
lim v(u 1) x
a
lim(1
.
x
2 x ) x
:1
1
: :
2 , v x x 2 x lim(1 ) eP , P x x 2 x lim(1 ) e P e2 x x
u 1
lim x(1 x
2 1) x
1 x25 lim(1 ) x x
. 1 x25 lim(1 ) x x
2
:2 :
1 :
23
1
: x 5
1 2 ) eP x x 1 x 5 u 1 , v x 2 lim(1
lim v (u 1)
P
x
lim
a
1 lim(1 ) x x
x 5 2
x
e
P
e
1 x 5 (1 1) 2 x
1 2
lim x
x 5 1 ( ) 2 x
lim x
x 5 2x
1 2
e 1
lim(cos x) x x
lim(cos x) x
0
1 x
: 1
u
1 x
cos x , v
lim(cos x)
1 x
0
P
eP
lim v(u 1) x
a
lim x
0
1 (cos x 1) x
cos 2 x cos x cos x 1 x(cos x 1)
lim(cos x) x
? :3
1 :
:
x
0
0
1 x
eP
1 x 2 ) x x x 3 x 2 3) lim ( ) x x 1
1) lim (1
5) lim(cos 2 x) x
e0
cos x 1 0 x
lim x
(cos x 1)(cos x 1) 0 x(cos x 1)
lim x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x x 0 x(cos x 1) sin x sin x 0 lim lim 1 x 0 x x 0 cos x 1 2
lim
1
x 1 x 1 ln x 1 n2 4) lim (1 ) n n2
2) lim
1 x
0
24
0
Trigonometric functions Limit
o
C (o , r )
. CA
MB
.
C C
. . : (1 ) lim
: sin
0
OMA
1
.
COA MOA
: : y
1 OA BM 2
OMA
1 r BM 2
C
BM 2
M
1 2 r 2
: COA
O
1 OA AC 2
1 r AC 2
25
AC 2
B
A
x
MOA
OAM
COA
2 r2
: BM r
AC r
sin
tan sin
cos sin
lim
.
1
sin
lim1
0
0
lim1 1
lim cos
0
( 1)
0
1
(1)
1
sin
lim
lim
0
: 1
lim cos
1
0
1 sin
sin
1 cos
1
1
1 lim
sin
lim
1
: lim lim
1
1
0 lim
sin
0
0
. lim
. 0
.
x
x
x
0
sin
2
: :
x
0
sin 2 x x
lim
sin
0
2 lim 0
sin
21 2
2
26
sin 2 x x 2x
2 sin
2
lim
0
:1 :
lim
.
0
x
5 tan 2 x 7x
:2 :
5
5 tan 2 x 7x
sin 2 x cos 2 x 7x
5 sin 2 x 7 x cos 2 x sin 2 x lim 10 x 0 2 x 10 7 lim cos 2 x 7
5 tan 2 x 0 7x
lim x
x
sin 2 x 2x 7 x cos 2 x
sin 2 x 2x 7 cos 2 x
5 2x
10
0
1 cos 2 x :3 x 0 x 2 sin 2 x : lim
. 1 cos 2 x
: 1 cos 2 x lim x 0 x
2 sin 2 x lim x 0 x sin x 2 lim lim sin x x 0 x x 0
210 0 tan 3 x :4 0 sin 5 x
lim x
:
tan 3x lim x 0 sin 5 x
sin 3x lim cos 3x x 0 sin 5 x
sin 3x 3x lim cos 3x 3x x 0 5 x lim sin 5 x x 0 5x
sin 3x 3x lim cos 3x x 0 sin 5 x 5x 5x
lim
3x
x
0
cos
cos
lim x
0
lim x
0
x
2 sin
4x 6x 4x 6x sin 2 2 x2 2 sin 5 x sin( x ) 5 sin 5 x sin x 2 lim lim 2 x 0 x 5x x 0 x
2 sin
27
3 5
cos 4 x cos 6 x :5 0 x2
lim
. :
1 31 51
2
sin
2
:
y
: 10 lim y
0
sin( x 0
x
5x
0
sin y sin x lim 10 1 1 10 x 0 y x
1) lim x
0
x
6
)
6 sin x x 4) lim x 0 x tan(2 x 1) 7) lim x 0 4x2 1
sin 2 x 0 x
3) lim
5) lim
tan 2 x 0 sin 3 x
6) lim sin 5 x cos 3x
8) lim cos 2 x cos x 1
9) lim(cos 2 x sin 2 x)
2) lim x
x
x
x
x
0
28
0
1 1 tan 2 x
0
x 1
y
Continuity of Functions .
:
.
x2
f ( x)
. .
4x
x 1
f (x )
x 1
f (x )
: x
: f (x)
.
x
a
f (a )
f (x)
29
y
f (x)
a
-1 -2
a
. lim f ( x)
a
f (a )
-3
x0
.
2
x2
f ( x)
:1
2x 1
:
: 1) 2 Dom f ( x) 2) lim( x 2 x
2
2 x 1) 22
3) f (2)
IR 4 4 1 7
lim f ( x)
f ( 2) 7
1
f ( x)
x
4 1 7
2
. x
:
IR \ { 1}
1
: 1) Dom f ( x) 2) lim x
1
2x 1 x 1 f (x)
:2 :
IR \ { 1}
2x 1 x 1
3 0 x
.
x
:
1
x
f ( x)
2
x2 x
2x 1 ; x 2
2
3
:3
; x 2
:
: lim f ( x)
x
2
lim f ( x)
x
2
1
lim ( x 2 3) 1
x
2
lim f ( x)
lim ( x 2 2 x 1) 1
x
x
lim f ( x)
x
2
2
y
.
x
30
2
lim f ( x) x
2
f ( 2)
2x 1 ; x 1 1 x ; x 1
f ( x)
x 1
.
:4 :
lim f ( x)
lim 2 x 1 3
x 1
x 1
lim f ( x )
lim 1 x
x 1
lim f ( x)
0
x 1
lim f ( x )
x 1
x 1
. f ( g ( x))
x
g (a)
f (x )
x
g (x)
a
: x
: lim f ( g ( x)) x
f (lim g ( x))
a
x
1) lim( f ( x)) x
x
ax
a
IR
a
3) lim log a f ( x) x
,
a
lim f ( x )
2) lim a f ( x ) x
f ( g (a))
a
(lim f ( x))
a
a
log a (lim f ( x))
a
x
a
4) lim sin f ( x) sin( lim f ( x)) x
a
x
x
f (x)
a
:
:
a
.
:5
3 , f ( x)
3
x
:
x2 9 x 3 f ( 3)
x
f (x )
3 x
.
a
f (x)
a x
f
a
:
-1
:
-2
. .
(
)
-3
: .( 31
)
-1 .
. -2
: a ) f ( x)
x 2 5( x 2)7 ; x 3
c) h( x)
8 x2 2x2 5
e) f ( x) | x 3 | x3 g ) f ( x)
x 3
; x
2
; x 3 x
; x
b) f ( x)
0
d ) f ( x) f ) g ( x) h) f ( x )
; x 2
32
x 3 ; x ( x 2 x 5) 2
1 ( x 3)3 | x| x x2 9 x 3
; x 3 ; x 0 ; x 2
1
(f
g )( x )
f ( x) g ( x)
( f g )( x)
f ( x) g ( x )
(f
f ( x) g ( x) , g ( x)
g )( x )
0
. .
f ( x)
x2 1
g ( x)
x 3
f ( x) g ( x)
. :
.
x
c
x
g (x)
c
f (x)
f ( x) g ( x) .1 f ( x) g ( x) .2 f ( x) g ( x) .3
.
:
g ( x)
x 2 3x 2
f ( x) ; g ( x) g ( x)
:1
x2 3
f ( x) x 1
:
33
0 .4
g
f -1
-2
f ( x) g ( x) ( f
. x 1
g )( x) (
f ( x) g ( x) ( f g )( x ) (
:
. 1) Df ( x)
IR
2) lim f ( x) lim( x 2 x 1
3) 4
x 1
3) f (1) (12
3) 4
1) D g ( x)
f
x 1
. IR
2) lim g ( x) lim( x 2 x 1
3 x 2) 12
x 1
3) g (1) (12
31 2 2
3 1 2) 2 x 1
.
g
-2
: ( f ( x)
x2
3 x2
g ( x))
IR
g ( x)
1) D( f ( x) 2) lim f ( x)
lim( 2 x 2
g ( x)
1
x
3x 1
3x 1)
1
x
2 x2
3x 2
6
3) f (1) g (1) (1 3 1 3 2) 6 lim f ( x) g ( x) f (1) g (1) 6 1
x
( f g )( x ) x 2 3 x 2 1) D ( f g )( x) IR 2) lim ( f 1
x
3) ( f
g )(1)
lim ( f x
1
g )( x)
lim 2 x 2 x
(2 x 2
g )( x)
2x2
3x 2
1
3x 1
3 x 1)(1) (f
3x 1 6
6
g )(1)
6 x 1
.
34
( f ( x) g ( x) ( x 2 3)( x 2 1) D( f g )( x) IR 14
2) ( f g ) (1)
3 x 2)
3 13 12
x4
3x 3
x2
9x 6
9 1 6 8
3) lim( f g )( x) 8 x 1
lim( f g )( x) ( f g )(1) 8 x 1
. x
f ( x) g ( x)
2
x 1
f ( x)
x 1 , g ( x)
:2
3x 2
. : 1) Dg ( x)
1) Df ( x)
IR
2) lim g ( x) 3 x 2 3 2 2 x
2
3) g (2) 3 x 2 3 2 2 lim g ( x) x
2
g (2)
2) lim f ( x)
4
x
2
3) f (2)
4
x
lim( x 1) 3 x
2
x 1 3
lim f ( x)
4
f ( x) g ( x) ( x 1)(3 x 2) 3 x 2 D( f g )( x) IR
IR
2
2 x 3x 2 3x 2
f (2) 3
x 2
lim[ f ( x) g ( x)] 3(4) 2 2 12 x
2
( f g )(2)
3(4) 2 2 12
lim f ( x) g ( x) x
2
( f g )(2) 12
f ( x) g ( x)
.
35
-1
. 1) f ( x ) 2) g ( x) 3) h( x)
x3
2( x 1) 5 3 x 5)( x 2 x
(x
2
; x 2 x)
x x 1 ( x 2) 3
.
2
2
; x ; x
x
0
f ( x)
36
1 4 x 3 x
2
-2
a
(
0)
x
a
:
x
a
x
:
.
0: | x a |
x
|x a|
a
0
:( x
x
a )
a
:
x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...
a
:( x
x a
:
x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...
: x
(
a
a a
)
(x
a )
a , x
x
a ) f (x )
a
f (x ) a
a
x
a
(
l
x a f ( x) l
lim f ( x) l : x
a
C,L
M
lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
L M
2)
lim( f ( x ) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
L M
3)
lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
4)
lim
5)
x
x
x
x
c
c
c
x
f ( x) g ( x)
lim f ( x) x
c
c
x
lim f ( x) x
c
lim g ( x) x
c
lim f ( x) x
c
x
c
c
:
lim g ( x)
M
x
1)
c
f
g
: x
)
f (x )
l
x
:
x
x
c
c
c
L , M M
L M
0 ,
L
37
g ( x) 0
c
lim f ( x) x
c
L
x
a
(x)
: lim ( x) 0
. a
h(x)
x
f ( x)
g ( x) , f ( x)
g ( x ) h( x ) x
(x a
)
lim f ( x) b lim h( x)
a
x
a
x
0 0
. a0 x m a1 x m 1 b0 x n b1 x n 1
... ...
am bn
a0 b0
m
n
.1
0
m
n
.2
m
n
.3
f ( x)
x
:
(0
)
( ,
)
0 0
. 1 lim u ( x)
.
x
v( x)
1
eP
a
,
P lim v(u 1) x
a
(1) lim
sin
1:
0
x
: f (x)
.
f (x )
a a
x
a
f (a) :
f (x)
38
.1 .2
. lim f ( x)
a
:
lim g ( x) b
.
x
f (a)
.3
a
3 x sin x -1 0 x
lim x
a) 2
b) -2
c) 1
d) 3 x2 2 x2
x 6 -2 x 2
lim
x
a) -
5 3
5 3
b)
c) 0
d) 1
lim (2 x 0.3) -3
x
a) 1
b) 3
c) 0
1, 4
d) sin 3x -4 0 tan 2 x
lim x
a) 1
b) 0
c)
3 2
d)
2 3
lim x
a) 2 + 2
b) 2
c)
2
x
b)
1 2
x 4 -5 x 2
d) 4
lim a) 1
4
c)
1 4
2
1 sin x -6 1 cos 2 x
d) 4
-7 1) 3) 5) 7) 9)
x2 2x 5 lim x 3 2x2 1 6 lim 2 x x 7 3x 2 2 lim x x 1 x3 2 x 4 lim x 2 x 3x 2 ax lim x 0 tan bx
2) lim 3 x x
1
x2 x 6 x x 3 3x 4 x 3 5 x 18 6) lim 2 x 2 x 3 x 10 2 x 3x 2 8) lim 2 x 2 x 3 x 10 4) lim
x
1 cos 2 x 10) lim x 0 x cos x
39
x 2 3x x 2 x2 x sin( a 13) lim x 0 tan( a 11) lim
10 2 x) sin( a x) x) tan(a x)
2 x 3 ) 2 2 x x 2 x 2x x2 x2 14) lim 2 x 2x 1 2x 2
12) lim (
cos x sin x tan x 15) lim x 0 x 2 sin x
cos x cos 3 x sin 2 x 16) lim x 0 a x2
2 sin 2 x sin x sin 2 x 17) lim x 0 x2
18) lim
19) lim x
0
2 sin 3 x sin 2 x x tan 3 x
21) lim
u) u)
23) lim
2x2 x 3 x 2 8x 5
u
sin 3( 0 sin 8(
x
25) lim x
2
x
9x
2
9x
x sin 2 x x sin 3 x
x x 2 x 2 1 x2 22) lim x 1 sin x 20) lim
24) lim x
x 5 4
0
2 x 2
8x 4 4x x
1 1 26) lim( ) x 1 1 x 1 x2
1
40
1 x 2
41
(P. Fermat) (I. Newton) (G.W.Leiniz)
.
42
Derivatives
f ( x) f (1) lim x 1 x 1
f ( x)
?
B ( x2 , y 2 )
A( x1 , y1 )
.
x
.
.
P1 P
C P
.
43
1
P1
x2 1
P1
C
P
1
: P tan
c
x
. .
Q
P
2
PQ
P (1,1)
y
.
P
f ( x)
:1
x2
:
. Q
P
:
m PQ
x
2
y y2 x2
4 2.25 1.21 1.0201 1.002001 y1 x1
3
1 .5 2.5
1.1 2 .1
1.01
1.001
2.01
y
2.001 Q(1 h ,1 2 h h 2 )
P (1,1)
x
1 h
h
: f (1 h)
P (1,1)
(1 h) 2
0
1 2h h 2
44
h
(1 h , 1 2h h 2 )
.
Q (1 h ,1 2h h 2 )
: m pq
1 2h h 2 1 (1 h) 1
2h h h
P(1,1)
h( 2 h) h
2 h
PQ
Q
h
x2
mT
( x h) 2 x 2 x 2 x h x lim(2 x h) 2 x h
P ( x, y )
.
:
mT
0
h
0
[ x h , ( x h) 2 ] Q
m
P
lim(2 h) 2 :
PQ
y
P (1,1)
2 xh h 2 h
x2
m
2 xh h 2 h
PQ
P
2x h
0
Q[ x h , f ( x h)]
P[ x , f ( x)]
Newton : f ( x h) f ( x ) f ( x h) x h x h f ( x h) f ( x ) mT lim h 0 h
f ( x)
: x
: mT
f ( x)
P (2 , 0)
.
x
x2
Newton
2
f ( x h) f ( x ) f ( 2 h ) f ( 2) lim h 0 h 0 h h 2 2 ( 2 h) ( 2 h) 2 2 lim h 0 h 2 h 4 4h h 2 2 4 h 4h h 2 lim lim h 0 h 0 h h h( 3 h) lim lim( 3 h) 3 h 0 h 0 h lim
45
lim h
0
3h h 2 h
:2 :
S
t2
f (t ) :
f (t 2 ) f (t1 ) t2 t1
t1
t0
.
lim t
t0
f (t ) f (t0 ) t t0
lim
t
t0
S S0 t t0
t0
t
: S t
: s t
f (t 2 ) f (t1 ) t 2 t1
y
[2 , 5]
.
x2
f ( x)
x2
: y x
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y x
25 4 5 2
: 5
x1
2
:
52 2 2 5 2
f (5) f (2) 5 2
21 7 3
y x
y
x
y
x
-1
. y ? , x y 2) ? , x y 3) ? , x
1)
f ( x)
2x2
4
, (0)
f ( x)
2x
x2
, (3)
f ( x) 3 x 2
5x 4
, (2 , 1) f (t ) 5t 3 3t 1
2, 4
46
-2
lim x
f (x
x) x
x
x
0
f ( x)
a ,b
y
f (x)
. .
(
y ) x
x
:
y
f ( x) y f (x
y y
y y
(x
( x , y)
x) , f ( x
x)
y
y
x
x
x
x
x
y
f (x
y y x
f (x f (x
lim x
0
y x
x) x) y
x) f ( x) / x x) f ( x) x f (x x) f ( x) lim x 0 x
: dy df , , y' dx dx
. lim x
0
y x
dy dx
df ( x) dx
y'
f ' ( x)
lim x
0
y x
:
f ' ( x)
f ( x) 2 x
.
:1 :
: 47
f ' ( x)
lim
f ' ( x)
lim
f (x
0
x
2 x x
0
x
x) x
f ( x)
lim x
f ' ( x)
2( x
x) 2 x x
0
lim x
0
2x 2 x 2x x
2
f ( x)
.
:2
x3
: 3
x) f ( x) x) x x (x lim lim x 0 x 0 x 0 x x x(3 x 2 3x( x) ( x) 2 ) lim 3 x 2 3 x (0 ) 0 2 x 0 x
f ' ( x)
lim
f (x
3
3
3x
x 3 x( x) x
x, x
x
f (x
0
x) x
:3
0
x f ( x)
lim x
x
x x
0
x3
:
: lim
( x)
3
x 0
:
f ' ( x)
2
f ' ( x) 3x 2
f ( x)
.
2
0
:
x
: lim
( x
0
x
x x )( x x x( x x x) x x x lim x 0 x( x x x)
x) lim x
0
1 x
x
lim x
y
x
0
f ' ( x)
x
x 0
1 x
1 2 x x
x
y
0
:
x
x
x
x
0
(
1 2 x
)
x
.
. 1) f ( x)
x x2
2) f ( x)
2x2
48
3) f ( x) 2 x 2
x
0
y P1 P1
.
P1 P0 P1 P0
P0 P0
x
[ a , b]
Q ( x0
. Q
.
f (x )
x , f ( x0
x))
P ( x0 , f ( x0 ))
P x
y x
HQ HP
( x
0)
P
Q
. P ( x0 , f ( x0 ))
.
x
y
y x
0
: P ( x0 , f ( x0 )) Q ( x0 y H
x a x0
x0
x b
x ) , f ( x0
f (x )
:
x)
lim x
x
0
y x
y ' tan
tan
m
: .
x
49
:1
2 x3 1
f ( x)
A(1,1)
. m
:
tan
f ' ( x)
:
f ( x) 2 x 3 1 f ' ( x)
lim
f (x
0
x
lim x
2 x3
0
lim [6 x 2 x
0
x) f ( x) x) 3 1 ( 2 x 3 1) 2( x 2[ x 3 3x 2 x 3x x 2 lim lim x 0 x 0 x x x 2 2 3 3 2 6 x x 6 x( x) 2( x) 1 2 x 1 x[6 x 6 x x 2( x) 2 ] lim x 0 x x 2 2 6 x( x ) ( x ) ] 6 x
A(1,1)
: m
f ' ( x)
6 x2
f ' (1)
6 12
( x) 3 ]
6
: y
y1
m( x
x1 )
y 1 6( x 1)
y
6x 5
.
x0
2
y
:2
x2 1
: x) 2 1 ( x02 1) x 2 2( x) x0 ( x) 2 1 x02 1 lim 0 x 0 x 0 x x x[(2 x0 ( x)] lim lim [2 x0 ( x)] 2 x0 x 0 x 0 x m y ' 2 x0 2 2 y ' lim
( x0
y' m
4
x0
. x
2
x
x0
x0 y x y x y x
f ( x0 ( x0 x02
y y x y x y x
x ) f ( x0 ) x 2 x) x02 x 2 x0 x ( x) 2 x02 x
50
f ( x)
2 x0 x ( x ) 2 x x ( 2 x0 x) x 2 x0
x
x2
:3
f ' ( x0 )
y
y x
lim x
0
lim ( 2 x0 x
x2
f ( x)
x)
0
x0 x0
.
2 x0
:
2
f ' ( 2)
2 2
x0
4
4
2
. f ( x)
.
4
x3
:4 :
f ( x0
y x y x y x
( x0 x0
f ' ( x)
3
lim
0
x
x ) f ( x0 ) x 3 3 x ) x0 x 3 x02 x 3x0 ( x) 2 x y x
lim [3x02 0
x
( x) 3
x0
y x y x y x
3
3 x02 x 3x0 ( x) 2 ( x) 3 x 2 x[3x0 3 x0 x ( x 2 )] x 3x02
3 x0 ( x) ( x 2 )
3 x0 x ( x) 2 ] 3x02
f ' ( x0 ) 3 x02
.
f ( x)
x0
f (x )
1 x
x0
:5 :
f ( x0
y x f ( x0 )
1 x0
f ( x0 )
y
y y y
x) x
x0 x
1 x0
x
x0 ( x0 x0 ( x0
x
: x0 x0 x x 0 ( x0 x) x x x0 ( x0 x) x x x x0 ( x0 x)
y x
1
1 x0
f ( x0 )
x
y x y x
f ( x0 ) 1 x0
lim
x) x)
x
0
y x
f ' ( x0 )
.
lim x
0
y x
f ' ( x0 )
x0 ( x0
x)
1 x0 ( x0
x)
1 x0 ( x0
1
1 0)
1 x02
51
x
2 0
x0
f (x)
2
-1 1) f ( x) 5 x 2
2
2) f ( x )
2 x
-2 1) f ( x)
4x2
,
x0
1 2
2) f ( x )
52
3x 1 ,
x0
1
2x2
f ( x)
.1
:
:
C)y C
( x
. 0
x
.
: y
:
C
. : y
C
y
y
C
y
C
y
y
C C
y x
C C x 0 y lim lim x 0 x x 0 x y' 0
f ( x) 100
.
: f ( x) C
f ' ( x) 0 4
f ( x) f ( x) 100
f ' ( x) 0 f ' ( x) 0
53
f ( x)
4
100
: 4
:
.2
:
n 1
.
n
xn
y
x
. y
. x
.
0
:
: y
x
y
n
x) n
y (x y (x
x)
(x
y
n
x x) n
y
n
x) n
x x)[( x
x[( x
y
x) n
y (x
1
1
x) n 2 x ( x
(x
x) n 2 x ( x
(x
x) n 3 x 2 ... x n 1 ]
x) n 3 x 2 ... x n 1 ]
y x[( x x) n 1 ( x x) n 2 x ( x x) n 3 x 2 ... x n 1 ] lim x 0 x x 0 x y lim lim ( x x) n 1 ( x x) n 2 x ( x x) n 3 x 2 ... x n 1 x 0 x x 0 y' x n 1 x n 1 x n 1 ... x n 1 lim
xn
y' nx
1
n
n 1
.
x
1 2
f ( x)
x5
:1 :
f ( x)
x5
f ( x) 5 x 5
1 1 f ( ) 5 ( )4 2 2
2
1) f ( x)
x
4) f ( x)
x3
5
1 16
1
f ' ( x) 5 x 4
5 16
2) x(t )
gt 2
3) t ( x)
2
5) f ( x) 1010
54
x8
.3
:
v u
: v
y
u
v
y
u v
u y
u v
x 0
x
. :
: y y
u v y u y y y
u u
u v
u v u v u v
y x y lim x 0 x
u
v v y v u v
v x lim x
0
u x
lim x
0
v x
y ' u ' v'
v x
lim x
0
v'
lim x
0
u x
.4
: y ' u ' v'
.
u'
y
u v
. y
. v 1
:
55
u
2x 1 2x
:1 :
u ' 1 2 x1 1
2x0
u' 2 v' 0 y ' u ' v'
y ' (2 x)' (1)'
w' 0
v' 3 , u ' 8 x
v 3x , u
w 5
y' 2
: :2
4 x 2 3x 5
y
. :
y' 2 0
4x2
:
y ' u ' v' w' y ' (4 x 2 )
(3 x)' (5)'
y' 8 x 3
:3
. 2) f ( x) 9 x 2 12 x 4
1) y 12 x 7
3) f ( x) 6 x3 2 x 2 6 x 1
f ' ( x) (9 x 2 )' (12 x)' (4)' f ' ( x) 18 x 12
y' (12 x)' (7)' y' 12
f ' ( x) (6 x3 )' (2 x 2 )' (6 x)' (1)' f ' ( x) 18 x 2 4 x 6
.5
:
y
.
u v
u v
v
. .
v
v
u
u
u
y
x
.
0
x
: : y u v y y y y x y lim x 0 x y' y'
(u u )(v v) y (u u v u v v u u v u u v v u u v u v x x u v v lim u lim lim u x 0 x x 0 x x 0 v u ' u v' 0 v ' u ' v v' u
u )(v v v u x lim x
0
v x
56
v)
y
u
v x
y ' u ' v v' u
.
x3 ( x 2
y
.
:1
3)
y u v
:
y ' u ' v v' u u
x3
v
x2
u ' 3x 2 3
x3 ( x 2 3)
y
y ' 3x 2 ( x 2
v' 2 x
3) 2 x ( x3 )
y ' 3x 4 9 x 2
2x4
5 x4
9x2
y
.
y
: y
(5 x 1) 2
u 5x 1 v 5x 1
:2
(5 x 1) 2
(5 x 1)(5 x 1) y ' u ' v v' u y ' 5(5 x 1) 5(5 x 1) y ' 25 x 5 25 x 5 50 x 10
u' 5 v' 5
.6
:
u v
0
v
: .
:
y
y
u v
v, u
. .
x
0
57
x
v
u
y
u v
v
u
: : u v
y
y
y
u u v v u u v y v (v v) v u u v y v (v v) x x u v y lim lim ( x x 0 x x 0 v (v y
y'
u v v
u u u u y v v v v uv v u uv u v v (v v)
y
u v u x x v (v v) v u v u v lim u lim 0 0 x x x) x x v) v lim (v v) v
v
0
u ' v v' u v2
y
. : u u ' v v' u y' v v2 3(1 2 x) [ 2(2 3 x)] y' (1 2 x) 2 3 6x 4 6x 7 2 (1 2 x) (1 2 x) 2
u v
2 3x 1 2x
:1 :
y
u
2 3x
v 1 2x
u' 3 v'
2
x0
.
58
f ( y)
0
y
.
2 y2 3 1 3y
:2 :
: f ' ( y) 2
u 2y 3 v 1 3y
u' 4 y v' 3
4 y(1 3 y) [ 3(2 y 2 3)] (1 3 y) 2 6 y2 4 y 9 (1 3 y)2
f ' ( y) f (0) f (0)
6(0)2 4(0) 9 (1 0)2 9
f (t )
. y
:
u
u v 3
v
2t 1
y
u ' v v' u v2 u' 0 f ' (t ) v' 2
u v
u v
3 2t 1
:3 :
y'
3 x( x 2) 5 t2 4) f (t ) 1 2t 7) f ( x ) 3 x 5 5 x 2
1) f ( x)
4 y 12 y 2 6 y 2 9 (1 3 y)2
0 ( 2t 1) 2( 3) ( 2t 1) 2
2) g ( x) 5) f ( x)
6 (2t 1) 2
(2 x 3)( x 3) 1 2
x 2 8) f ( x) 7 x 3
59
3) f ( x)
(2 x 1) 2
6) f ( x)
ax b cx d
-7
:
y
:
x
x x
.
0
: : y
x y
y x
y x
x
x
x
: ( x
y y x
x
x )( x x x x x 1 y lim x o x x x
x
x) lim x
o
x x x
x x x x 1 x
x
1 x
2 x
1
y
2 x
u v
: u
x x
2
u 1
1 2 x v' 2 x
f ( x) f ' ( x)
x ( x 2 1)
f ( x)
.
v
x
x x
1 2 x
( x 2 1) 2 x
x2 1 2x x 2 x
60
x
x 2 1 4 x( x ) 2 2 x 2 x 1 4 x 2 5x 2 1 2 x 2 x
:1 :
-8
: u
u
y
u
x
!
u
y
u
x
y
.
u x
. y
y y
u u
u
0
u u
u
: ( u
y
u
u )( u u u u u u u u u
u u
y
x
: y x
0
lim
0
x
u'
y'
u
x
u u
u
y lim x 0 x
u)
u
u u u
u
1 x
u
lim 0
x
u
u
0
h( x ) ( x 2 y
: u v
x
x
x v'
u
u' 2 u
.
2
u x u
u' 2x 1 1
h' ( x)
(2 x 1) x
h ( x)
2x x
2 x h ( x)
4x
2
x
x 1
(x2 2 x x2 x
x)( x )
y
u v x)
2 x 2 x x x 5 x 2 3x 2 x 2 x 2
61
:2 :
f ( x) (3 x 1)( x 3)
x 8
.
y
: u
3
v
x 3
x 1
f (8)
1
u v
8 3 33 82
f ( x)
33 x 2 f ( x)
1 3
8 1
1 3
2
3
2
3 x x 3 3 x
n
u
y
:3
u v
:
( x 3) 1(3 x 1) (3 x 1)
11 23 1 : 12 12
x 8
-1 1) f ( x)
1 x 1
2) f ( x ) 3 x
3
3) f ( x)
g ( x) (f
g) ,( f g) ,( f
62
g) g
x2
x 1 0 .
3
f ( x)
x 2 3x
-2
Chain Rule (
dy dx f
x x
)
dy du du dx f (x)
.
g
g ( f ( x))
y
u
x
. x
u u
u u y
y
y u u
y
x
x
0
: : y
y
y x y x
y x y u
lim x
u u
0
y x
: u u u x
lim u
0
y u lim 0 x u x
y '( x )
y '( u ) u '( x )
lim
:
x
0
u x
u '( x )
lim u
0
y u
y '( u )
: y ' nu n
1
u'
63
:
y un
-1
u'
y'
n
n u
y
:
n 1
n
-2
u
: 1) y
(2 x 2 1) 3
4) y
3
x2
2x3
2)
y
5)
y
1 x2 (x2
3) y
(x2
3) 2 2 x 3
3
2)
:
: (2 x 2 1)3
1) y
u
u
2x
2
u 'x
1
y u3
y '( x ) y '( u ) u '( x ) y ' 3(2 x 2 1) 2 4 x 3( 4 x 4
4x
y 'u 3u 2
(12 x 4 12 x 2 3) 4 x 48 x5 48 x 3 12 x 12 x( 4 x 4
u 1 x2 y
u
u '( x ) y
3) y ( x 2 (x2
2x
2 1 x2
3) 2
( x 2 3) 2
y'
2( x 2 3) 2 x 2 x 3 8x 4 ( x 2
v '( x ) 6 x 2
u
x2
x
2
y
2x3 2x
y'
( x 2 2)
x2 2 u '( x ) 2 x u
3
y y'
un
2x3 ( x2
24 x 4
6x2 ( x4
8x 6
24 x 4
6x6
n
60 x 4
3) 2 6x2
36 x 4
54 x 2 u'
y'
u
nn u n
1
2x 6x2 33 ( x 2
y
2 x3 )2
nu n
3( x 2 2)
4
1
u'
2x
64
3) 2
6 x 2 ( x 2 3) 2
3) 6 x 2 ( x 2
3
u '( x ) 2 x 6 x 2
5) y
2x3
8x 6 14 x 6
3
1 x2
y'
u '( x ) 2( x 2 3)(2 x)
4) y
x
y ' u ' v v' u :
3) 2 2 x 3
v 2 x3
12 x(2 x 2 1) 2
2x
y
u' 2 u
'
y u v
u
4 x 2 1)
1 x2
2) y
4 x 2 1) 4 x
6x ( x 2) 4 2
9) 54 x 2
: f ' ( x0 )
( x0 )
( x0 , f ( x0 ))
. x0
.
.I
f
1
x3
f ( x)
f ( x0 ) 1
P (1,1)
:
x0
1
:
: f ' ( x)
lim
x
x0
f ( x ) f ( x0 ) x x0
x 1
( x 1)( x 2 x 1) 1 x 1
lim( x 2
lim x
f ( x) f (1) x 1
lim
lim x 1
x3 1 x 1
x 1) 3
x 1
x0
f ' (1) 3
x
x0
f
.II
. x 0
.
f ( x) | x |
: :
. f ' (0 ) f ' (0 )
f ( x) f (0) x 0 f ( x ) f (0 ) lim x 0 x 0 lim
x
0
( | x| x | x| lim x 0 x lim
x
0
)
x 1 x x lim 1 x 0 x y lim
x
0
f ( x) | x |
x
65
f ' (0 )
f
x 0
f ' (0 )
.
1) y ( x 2 4) y
1 z 1 z
2) 2
2) y
(x3
5) y
3
4 x 2 1)
4
3t 1
3) y 6) y
66
(1 2 x 3 ) 4 1 2 x2
x3
y
1 2
o
3
x
1
1 sin x 1
y sin x
x
sin( x
x) sin x
y x
x
0
: -1
: y sin x : y sin x y
y sin( x y sin( x y y x
2 cos
x) x) sin x
x
x x x sin 2
1 2 cos( x x
y lim x 0 x
x x ) sin 2 2
lim cos( x x
x x 2
0
2 cos
2 cos( x
x x 2 ) lim sin x 0 x 2 2
2x
x 2
sin
x x 2 ) sin 2 x y ' ( x) cos x 1
y' cos x y sin x
y' cos x
67
x 2
f (u )
sin u
y ' u ' cos u :
u
y sin u
sin 4 x
:1
x
y
.
f ( x)
: f ( x) sin 4 x u 4 x u' 4 f ( x) sin u y 'u
cos u
f ( x) sin u
f ( x) u ' cos u
f ( x) sin 4 x
f ( x)
4 cos 4 x
y
.
x 3 csc x
:2 :
f ( x)
3
x csc x 3
u
x
u ' 3x
v
1 sin x
v'
f ( x)
1 x sin x
3
cos x 3 x sin 2 x 3x 2 csc x x3 cot x csc x
f ' ( x) 3x 2 csc x
2
uv' v2
x3 csc x
cos x sin 2 x
3x 2 csc x x3 cot x csc x
: a) y c) y
sin 5 x
b) y
sin x 1 x
1 sin x
68
cos x y
1
o
3 2
2
1
x
5 2
y
y
x
cos( x
f ( x)
cos x
x) cos x
y x
.
x
0
: -2
: y cos x : y
cos x
y
y y
cos( x
x) x) cos x
x x x sin 2 2x x x 2 sin sin 2 2
y
2 sin
y
lim x
cos( x
0
y x
y cos x
x
lim sin( x x
0
y'
x x 2
x x ) lim sin 2 x 0 x 2 2 sin x
69
sin x 1
: sin 2 x cos 2 x 1 1 sin 2 x 1 1 (cos x)' ( 2 sin x cos x) 2 1 sin 2 x cos x
:
1 sin 2 x
cos x
1 1 ( 2 sin x cos x) 2 cos x (cos x)' y
cos u
sin x y'
u ' sin u
x
:
u
y
cos u
:1 1) f ( x) sin 2 x
2 sin x cos x
2) f ( x ) y
: 1) f ( x) sin 2 x
y ' u ' v v' u
2 sin x cos x 2 cos 2 x 2 sin 2 x
f ' ( x ) ( 2 sin x ) cos x (cos x ) 2 sin x f ' ( x ) 2(cos 2 x sin 2 x) 2) f ( x )
u v
x sin x cos x
y ' 2 cos 2 x
x sin x cos x
f ' ( x ) ( x)' (sin x cos x )' ( x )' [(sin x)' cos x (cos x)' sin x] f ' ( x ) ( x)' [cos x cos x ( sin x sin x )] 1 cos 2 x
1) f ( x ) (sec 2 x tan 2 x ) 2
2) f ( x) sin 2 x 2
4) f ( x) csc x
5) f ( x )
70
5 sin 2 x 3 cos 5 x
3) f ( x) sec x
:
y
y tanx
1
2
0
3 2
2
3 2
x
1
2
y
tan x
: -3
: y tan x : sin x cos x ' (sin x) cos x (cos x)' sin x f ' ( x) cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 2 cos x cos 2 x y tan x 1 y '( x ) sec 2 x 2 cos x f ( x)
tan x
cos x cos x ( sin x)(sin x) cos 2 x
. :1
. y
tan 3 x
: u
tan x
u ' sec 2 x
y
y' n u n
1
u'
tan 3 x
y ' 3 tan 2 x sec 2 x
71
y
un
:
y
. .
y ' u ' v u v'
y
sec x cot x
u
sec x
u ' sec x tan x
v
cot x
v'
sec x cot x y
u v
:
csc 2 x
:
y ' u ' v u v'
y ' sec x tan x cot x sec x( csc 2 x) 1 csc 2 x sec x tan x 2 sec x csc x sec x sec x tan x
a) y
tan x cot x
b) y
(x2
c) y
1 tan x
d) y
tan x sec x cot x
72
x 1) tan 2 x
:2
v'
u', v , u
f '( x )
y '( x )
f ' ( y)
2x2
y
4
y2
xy 1
. : y
f ( x)
y
0
F ( x , y)
y
f ( x)
f (x) y
.
y
x
F ( x , y)
x
2
y
2
25 0
F ( x , y)
y
0
F ( x , y)
0
25 x 2 :
y
.
x2
y2
25
x2
y2
25
F ( x, y ) 0
f (x)
y
. xy 2
y 1 0 :
y
x
f (x)
y
x
y
y
x
f (x)
x
: xy 2 ( xy 2 )
y 1 0 ( y)
(1)
0
1y 2 y'
x(2 y ' y ) y y2 2 xy 1
73
0
y2
2 xyy' y ' y ' ( 2 xy 1)
f ( x, y )
0
.
: y( x )
f( x)
(
y) x
f( y)
(
x)y
y sin
( ,1)
.
f '( x )
f '( y )
,1)
x y ' x (sin )'x (1) x y 1 1 x x 0 cos 0 cos y y y y x y ' y (sin )' y (1) y y x x x x 1 cos ( )' y 0 1 cos 2 y y y y
:1
x 1 0 y
:
1 cos 1 1
1
x y 2y
3
1
cos
2 xy 0 3 0
f '( y)
x2
6y2 f '( x) f '( y)
0 0
2 xy 3 x2
2 xy 3 x2 6y 2
1 x cos y y x x 1 cos y2 y
6y 2 3 2 xy x2 6y2
74
y( x )
1 1
x2 y 2 y3
0
f ' ( x)
f '( y )
y x
1 ( 1)
3x 2 3x 2
f '( x )
x x cos 2 y y
1
y ' ( ,1)
1 x cos y y x x 1 cos 2 y y
x2 y 2y3
f ' ( x)
, y sin
y '( x )
. 2
f '( y )
y
x 1 0 y
: y(
x f '( x )
y '( x )
: y sin
x 1 y
3x 2
:2
y6
f '( x ) f '( y ) y '( x )
y x2
:3
0
2x 6 y5 1 f '( x )
2x
f '( y )
5
6y
2x 6 y5 1
1
: y6
y x2
0
6 y 5 y' y ' 2 x 0 (6 y 5 1) y ' 2 x 2x y' 6 y5 1
. x2
y"( x )
.
y2
:1
1
: x2
y2 1
x2
y2 1 0
f '( x ) ( x 2 )' x ( y 2 )' x (1)' x
2x 0 0 2x
f '( y ) ( x 2 )' y ( y 2 )' y (1)' y
0 2y 0
y '( x )
y( x )
f '( x )
2x 2y
f '( y )
f ( x)
x y
(x2 )x (x2 ) y
f( y)
2y
( y2 )x ( y2 ) y
(1) x (1) y
2x 0 0 0 2y 0
x y
y( x )
y'
: '
y( x )
( x) y y x y2
'
y
yx y
2
y
x x y y2
x : y
y2
x2 y
75
3
1 y
3
y( x )
1 y3
x y
x2
xy
y2
:2
3 0
(1,1)
. y '( x )
(1,1)
:
: f '( x )
2x
y
f '( y )
x 2y f ( x)
y( x )
2x y x 2y
f( y)
y y
y1
m( x x1 )
,
x 2y
0
2x y 2 1 1 x 2y 1 2 y 1 ( x 1) y x 2
: x 2 xy y 2 3 0 2 x y x y ' 2 yy' 0 2 x y ( x 2 y) y' 0 ( x 2 y) y' 2x y 0 ( x 2 y) y' 2 x y 2x y y' x 2y
x2 y3
.
5 y3
:3
x
: x2 y3 5 y3
x 3
0
0 1 2 xy 3 1
f '( x )
2 xy
f '( y )
3 x 2 y 2 15 y 2 0
y '( x )
f '( x ) f '( y )
2 xy 3 1 3x 2 y 2 15 y 2
1 2 xy 3 3x 2 y 2 15 y 2
x sin y
.1
y cos x 5
x3 x2
76
xy 2 y2
y 3
.2
4x 4 y
.3
.
f ( x) sin x f ( x) cos x
.
2 x 4 3x 3 2 x 1
y
:
y
y (n)
y'
f ( x)
f ((xn))
y
f( x)
f ( x)
y
-n
.
... y
f( x) f( x) .
y
.
x3
3x 2
4x 1
:1
: y
x 3 3x 2 2
y
3x
y
6x 6
y
6
4x 1
6x 4
y
y
.
1 3 x 3
:2
:
y' x 2 1 3 y x 3
y y
x
y
77
1 3 x 3 3 2 x 3 x2
x2
y sin x cos x
.
( y (9) ) 2
y2
:3
y2
2 y (9 )
:
:
y sin x cos x y '( x ) cos x ( sin x) cos x sin x y"( x )
sin x (cos x)
y ' ' '( x )
sin x cos x
cos x ( sin x) sin x cos x
f '(( 9x)) cos x sin x ( y (9) ) 2
y2
(cos x sin x ) 2
(sin x cos x ) 2
cos 2 x 2 sin x cos x sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x 2 sin 2 x 2 cos 2 x
2(sin 2 x cos 2 x) 2
2x6
y
.
3x 5
2 x 3 3x 2 1
:4
: y
2 x 6 3x5
y
12 x 5 15 x 4 60 x
y
4
60 x
240 x
y
2 x 3 3x 2 1
3
6x2 3
12 x 6
180 x 2
y
( 4)
720 x
y
(5)
1440 x 360
f n( x)
6x
2
12
360 x
c1 x c2 x 2
c0
c3 x 3
...
cn x n
cn
0
: n
: f ( x)
c0 c1 x c2 x 2
c3 x 3
f ' ( x)
c1 2c2 x 3c3 x
f " ( x)
2c2
6c3 x
2
...
...
ncn x
...
cn
2
n(n 1)(n 2)cn x n
6c3 12c4 x
f n ( x)
n(n 1)(n 2) x ... cn
0
n 1
n(n 1)cn x n
f ' ' ' ( x)
...
cn x n
3
n!cn
f k ( x) 0 :
k
n
-1
. 1) y
4x4
3x 3
3) y
a b c2
2x x ax bx cx 3
2) y c3 x
(5 x 2) 3
4) y sin x
78
f (x)
.
Q( x
x , f (x
x) f ( x) f ( x x) x x x f (x x) f ( x) lim : x 0 x x 0
mT
f ( x)
dy dx
. y x
lim x
0
f (x
lim x
x) x
0
-
Newton
. f (x x
x)) P ( x , f ( x))
f ( x)
f ' ( x)
:
-
f (x )
-
f ' ( x)
y'
( x0 )
f ' ( x)
( x0 , f ( x 0 ))
. x0
x
x0
f (x)
-
. . P ( x 0 , f ( x 0 ))
. y x
lim x
0
y ' tan
tan
f (x)
C
-
m
.
-
.
x0
x
( x0
r , x0
r)
f
-
f lim x
0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
:
.
79
x
x0
: 1) f ( x) C 2) f ( x)
f ' ( x) 0
xn
f ' ( x)
3) f ( x) u v 4) f ( x) u v 5) f ( x)
u , v v
u ' v v' u v2
f ' ( x)
0
x
f ' ( x)
7) f ( x )
u
f ' ( x)
u
f ' ( x)
n
1
f ' ( x ) u ' v' f ' ( x) u ' v v' u
6) f ( x )
8) f ( x)
n xn
1 2 x u' 2 u u' n
n
un
1
y '( x )
y '( u ) u '( x ) :
: 1) y
sin x
2) y
cos x
y ' cos x y'
,
y
sin u
y ' u ' cos u
sin x ,
y
cos u
y'
u ' sin u y
-n
y (n)
80
f (x)
f ( n ) ( x) :
.
a) 3
b)
3
d)
f ( x)
[3 , 4]
b) 14
c)
3
c) y ' 4 x
: a) 0
b)
: a) y
5x 2
1 2 x 1 x 1 b) y
x 1 2 x f ( x) 2 x 2 c)
x 3
c) y
d)
a) y'
4x 8
b) y '
5
6 x5 2x3 24x
c) y '
2
4 3 x (1 x 2 ) 5 5 4 x3
sin x (1 cos x) 2
–4
x 1
1 2 x 1
d) y
5x
-6
4x 8 ( x 4)
:
y
(2 x 2 ) 3
–7
c) y '
b) y '
y
c) y' 3( 2 x) 2
d)
y sin x
d ) y'
y
–8
sin x
(1 x 4 )
cos x 1 5
–9
1 (1 x 2 ) 5 5
d)
: a) y'
d ) y' 4 x
6
6
c) y '
-3
–5
: a) y'
1
2x x 4 8 d ) y' ( x 4) 2
b) y' 3(2 x 2 ) 2
b) y ' cos x
2 x 2 3x
3 x2 f ( x)
: a) y ' sin x
-2
x
: a) y'
5
2
d ) 32
y
1 x 2
b) y ' 4 x
2x
14
: a) y ' 4 x 2
-1
x
c) 5
: a) 18
x2
f ( x)
P(3 , 0)
:
b) y '
sin x (1 cos x)
81
cos x 1 cos x sin x c) y' d) (1 cos x) 2 y
–10
. 2 tan 2 x 1 tan 2 x
f ( x)
x x2 x 1 x 2 ( x 1)( x 1)( x 1)( x 4 1) f ( x)
f ( x)
x
f ( x)
82
-3 -4
f ( x) sin x cos x
-5
(sin x cos x) 2 1 sin 2 x y cos x
y sin 2 x cos 2 x x2
-2
4)
f ( x) (3 x 1)(3 x 4
-1
xy
y2
3
-6 -7 -8 -9
83
84
y
y
P (x)
.
h x
l
0
: (.
... : -I
: y
y
f (x )
f (x )
1
a x1 x0
x0 x 2 b
x
a x1 x0
(1)
x2
' 1
' x0 x 2 b
( 2)
(a,b)
x1 , x0
. 85
(1 ) (2 )
x
(2 ) (1 )
.
. . : a, b
( a , b)
f (x)
-1
f (x)
-2
f ( x) 0
. a, b
( a , b)
f ( x) 0
. x
y
: x
y
.
:1
f ( x) x 3 3x 1
.
:
. f ' ( x)
0
: f ( x)
x 3 3x 1
f ' ( x) 3x 2
3
x
.
f ' ( x)
0
3
f ( x) x 3
86
3x 5
:2
f (x )
: f ( x) 3x 2 f ' ( x) 0 3x 2 3x x
2
: f ' ( x) 0
3 0
3 0 3 1 1 x 1
( 1,1)
. y
.
:3
5x 4
:
: Df
IR
f ( x) 5 x 4 f ' ( x) 5 0 f ' ( x) 0
x
.
:4
x2
y
. y' 0
y' 0
: :
y
y
x2
y' 2 x y' 0
x y' y
2x
0
y' 0
2x
2
1
0 0
1
1
0
1
4
0
0
x x
0 2
0 4
87
x
(0,
)
(
,0)
.
ax b
-1
3 x 1 4 3x 1
-2
y y
2x 2
f ( x) y
88
x 2 3x 2
-3 -4
(Minimum
Maximum
)
(Critical Point)
y
x
y
( a , b)
f (x)
:
f (x)
0 ac
x
eb
d
.
(d , e) (c ,d) f (x)
: (Maximum) (Minimum)
x
.
(Critical Point)
89
.
:
( a , b)
:
(2 ) (1 )
.
f' 0
x0
:
.3
:
.1
:
.2
:
.3
y' 0 :
.
a
.2
y' 0 :
( a , b)
f' 0
.1
f' 0
a
b
(1)
f' 0
x0
b
( 2)
x0
y
f (x)
x0
.
(maximum)
x0
y
x0 f (x)
x0
.
(minimum)
x0
x0 x0
.
90
(Inflection Point)
2x
:1
f ( x) 0
x
:
7 2 x 2
x3
f ( x)
:
f '( x ) 3 x 2 7 x 2 f ( x) 0 3x 1 0 x 2 0
( 2)
1 3 2
x1 x2
1 3
x f ' ( x) f ( x)
1
0 2
17 54
Max
1 ( ) 3
2 0 2 Min
f . f ( x)
.
.
x 1 x 2x
:2
2
:
. y'
u ' v uv' : v2
y
u v
x 1 x 2x x 2 2 x (2 x 2)( x 1) f ' ( x) ( x 2 2 x) 2
f ( x)
2
x2 2x 2 ( x 2 2 x) 2
f ' ( x)
. f ' ( x)
0
x2
2x 2 0
b 2 4ac 12 x1
b 2a
2
x2
b 2a
2
12 2 12 2
2.73
x f ' ( x) f ( x)
3
91
1
Min
0.73
1
0
0
2 15
0.73
2.73
0
Max
2
x2
x1
f'
. :(Absolute Maximum & Minimum Points)
.
:
y f (x )
x0 x1 x2
x3
x
x5 x6 x7
x4
f (x ) f (x )
: :(Absolute Maximum)
( x0 , f ( x0 )) f ( x)
f ( x0 ) (x)
f (x )
. .
x0 x0 f ' ( x0 )
f ' ( x0 )
f ( x0 ) x0
0 max
x0
92
f ' ( x0 )
:(Absolute Minimum)
( x0 , f ( x0 )) f ( x)
f ( x0 ) (x)
f (x)
.
-
f ( x0 )
. . x0 f ' ( x0 )
x0 f ' ( x0 )
min
x0
f ( x)
:
x1
0
1 2 x 2
3x
f ' ( x1 )
1 2
1 2 x 3x 2 f ' ( x) x 3 f ' ( x) 0 x 3 0 x 3 f ( 3) lim f ( x) x
x
f (x)
:
y
1 2
x
5 1 1 lim ( x 2 3x ) x 2 2 1 1 lim x 2 3 lim x lim ( ) x x x 2 2 4
f ' ( x) f ( x)
f ' ( x0 )
:1
: f ( x)
x0
9 2
3 0 5 Min
( 3, 5 )
1
2
3
15 2
( 3 , 5)
-5
x
3
. 93
f ( x) x3 3x 2
:2
: : x3 3x 2
f ( x)
f ( x) 3x 2 3 f ( x) 0 3x
2
3 0
3x
2
3
x
2
y ( 1, 4)
(0 , 2)
1
x1 1 , x2 f ( 1)
( 1)
1 3
3( 1) 2
(1, 0)
4
3
f (1) 1 3 1 2 1 3 2 f ( 0) 0 3 0 2 2 f ( 2) 2 3 3 2 2 4 f (1) 0 , f (0) 2 , Max f ( 1) 4 x
0
f ( 1)
5 6 (1,
( 1,1)
.
4
Min f (1) 0
1
2
f ' ( x) f ( x)
x
2
0
0 4 Max
)
1
0
(
2
0
Min
4
, 1)
( 1 , 4)
(1, 0)
: .1 .2 .3 .4 .5 .6
94
y
. .
(
:3
2 x x2
:
) y
.
y
x
x
-1
x
0
y
2 0 0
.
2
y
:
(0 , 2)
y
y x
x
: y
0 , 2 x x2
0
b 2 4ac 2a 1 1 4 2 2 1 , x2 2 b
x1, 2 x1, 2 x1
1 3 2
.
(2 , 0)
( 1, 0)
x
-2 : y
2 x x2 y' 0
: y
1 2x
y
0
1 2x 0 2x x
1
2x 1
1 2 x
y
95
2 0
:
1 2 x
1 2
1 2
x
x y
1 2
2
1 4
2
1 4
1 2 x
y" 1 2
. (
y
1 1 2 ) : 2 4
0 x
.
y" 0
-3
: lim(2 x x 2 )
lim y x
x
lim (2 x x 2 )
lim y
x
x
. y x
1
y' y
0
1 2 0 1 2 4
1 9 ( , ) 2 4
2
x
0
extreme .1 a) f ( x)
x 2 3x 2
b) f ( x )
x 1 x2
c) y 3x 2
f ( x) 3x 3 4 x 2
96
4x 1
min -2
y
x
. y
a
b
x
c
( a , b)
y
f (x)
(b , c )
y
f (x) ( a , b) (b , c )
. : y
y" 0
97
f (x)
.1
y
y
f (x)
.
a
x
b
y
.2
f (x)
y
y
f (x)
. 0
y
a
b
x
. : (Inflection)
.
x
( f ( x) 0 )
x0
y
f (x)
. f ( x)
.
x2
5x 4
:
. x 0 y 4
y x2
:1
:y
-1
:x
-2
(0 , 4 )
0 5x 4 0
x 2 5 x 4 ( x 4)( x 1)
98
x1
4 , x2 1
. x f ' ( x) f ( x)
0
1
4
0
5 2 0 9 4 min
(1, 0)
( 4 , 0) x
y
4
0
x 5 9 ( , ) 2 4
: f ( x) x 2 5 x 4 f " ( x) 2 0
y
2x 5 y" 0
. y
:2
x3 9x 2 6x 1
. : y
x3 9 x 2
6x 1
y 3x 2 18 x 6 6 x 18 y 0 6x 18 x 6 x 18 y 0 6x 18 3 x (
6 x 18
y 0
x
3
y"
0
3,
y
)
(
, 3)
.
99
3 0
f ( x) x 5
:3
5x 3
: x 5 5x 3
f ( x) f " ( x) f " ( x)
20 x 3 30 x 0
20 x 3 30 x
20 x 2 30 0 3 2
f ( x)
x2
0
3 2
x f "(x)
0
x(20 x 2 30) x1 0
x2
f ' ( x ) 5 x 4 15 x 2
0
f (x)
0 x2 3 , 2
3 2
0 0
0 6
13.65
3 2
30 20 x3
3 2
x
3 2
3 2
x 0 x
.
f ( x)
x2
f ( x)
.
100
4
-1
2 x2 1
-2
y
x 1
x 1
ax 2 bx c
y
.
y
. x
.
. . : -1
: Df
.
(
,
)
-2
: : f ' ( x) 2ax b
0
f ' ( x) 0 2ax b 2ax x
0 b
b 2a
101
b 2 b b2 b2 a( a c ) b( ) c 2a 2a 4a 2 2a b 2 2b 2 4ac b 2 4ac 4ac b 2 4a 4a 4a
y y
0
(
. a
0
lim f ( x)
:
x
Min (
. a 0
b 2a
x
:
lim f ( x)
x
b 4ac b 2 , ) 2a 4a : a 0
b 4ac b 2 , ) 2a 4a : a 0
:
b 4ac b 2 Max ( , ) 2a 4a
.
-3
: b 2a
y a 0
b 2a
x y' y
4ac b2 4a
x Min
(
. a 0
b 4ac b 2 , ) 2a 4
a
y
0
Max
b 2a
x y' y
x
4ac b2 4a
2
.
(
b 4ac b , ) 2a 4
102
b 2a
a 0
x2
f ( x)
.
:1
4x 3
-1 (
.
,
)
-2
:x y
0
x2 4x 3 0 ( x 1)( x 3) 0 x 1 0 x 3 0
(1, 0)
x 1 x 3
, (3 , 0)
-3
:y x 0 y y
0 4 0 3 3
(0 , 3)
-4
Extreme
. f ' ( x)
2x 4 0 2
4 2 3 f ( x)
lim f ( x)
lim x 2
f (2) x x
2
x
2x 1
4
x
2
y
V (2 , 1) min
3
4x 3
x
0
1
y' y
3
0
1
2
3
1
0
2
x
3
( 2 , 1)
Min
f ( x)
.
x2
:2
2x
:
: (
,
-1
)
.
103
-2
:x f ( x) 0 x 2 2x 0 x( x 2) 0 0
x1
(0 , 0)
x 2 0 x2
2
(2 , 0)
-3
:y x 0 f ( x) x2 2x f ( x) 0 2 0 f ( x) 0 (0 , 0)
-4
Extreme
. (
Df
, 2
)
f ( x)
x
f ' ( x)
2x 2
y
2x 0
v (1,1)
2x 2 0 2x x 1 f (1) 1
x
2
x V (1,1) Max
0
1
2
0
1
0
f ' ( x) f ( x)
Max
.
(1,1)
. .
104
f ( x)
2x 2
f ( x)
x2
x 1 x 2
-1 -2
y
x
: : . : y
y y
f (x) x
-1
: a
lim f ( x) x
x
a
. .
y
y
f (x)
-2
:
( y ax b ) x
a
. 105
0
. -3
: y
x
x
x y
c
lim f ( x) c
.
x
x
. f ( x)
.
x 1 2x 4
:1 :
: 2x 4 0 2x
4
x 2
. x
.
lim f ( x)
lim (
x
x 1 ) 2x 4
y
1 2
1 2
. y y
2
:
x
x
x
1 0
0 1 4
1 1
x
106
y
.
x2
2x 1 x
:2 :
: x2
2x 1 x
x 2
1 x
x 2
y
-2
:
: y
-1
:
x2
2x 1 x
x 0
.
-3
: f ( x)
.
( x 3)( x 2) ( x 1)( x 2)
:3 :
:
.1
:
( x 1)( x 2) 0 x 1 0 1 x1
x 2 0 x2 2 x
. : y
lim f ( x) x
lim x
1
x
2
-2
: ( x 3)( x 2) 1 ( x 1)( x 2)
. y
y 1
-3
ax b
.
107
: f ( x)
:
P( x) Q ( x)
n x
.
m n
y
b
m
m
b
m
: n
n
. m
. m
.
.
. 1) f ( x) 3) f ( x)
3x 6 2 x x 2 8 2 x 4
2) f ( x )
2x2 x2 1
108
n 1
:
n
: :
y
. x
. f ( x)
.
1 x
. y x
.
: ax b cx d
f ( x)
: ax b lim x x x cx d x x
lim f ( x) x
cx d
0
cx
b x d x
a lim x
d
c x
. y
a c
d c
-1
)
-2
2x 1 x 3
:1
:( f ( x)
.
:
0
c
:
x 3 0 x 3 x 3
x 3
Do min
109
IR \ {3} :
-1
-2
:x f ( x)
0
1 ( , 0) 2
2x 1 0 2x 1
1 2
x
-3
:y x
0
f (0)
2 0 1 1 0 3 3
1 (0 , ) 3
-4
: a c
f ( x) x
2 2 1 3 3 1
d c
lim
x
2x 1 x 3
2 ,
y
x 3 0
2 :
-
x 3:
-5
. f ' ( x)
2( x 3) (2 x 1) ( x 3) 2
f " ( x)
0 ( x 3) 2 ( 5) 2( x 3) 10( x 3) ( x 3) 4 ( x 3) 4
x
5 ( x 3) 2
0 10 ( x 3) 3
3
f '( x) f "(x) f ( x)
2
2
x 1 x 1 x 1 0
.
x
:2
f ( x)
. Df
1
110
IR \
1
x
1:
-1
y x
0 0
x 1 0
x 1
0 1 0 1
y
1
(1, 0) y
1
(0 , 1)
:x
-2
:y
-3 -4
: x 1 0 lim f ( x)
x
x
1
lim
x 1 x 1
x
-
: f ( x)
y 1
-
: Extreme
. x 1 x 1 1 ( x 1) 1 ( x 1) f ' ( x) ( x 1) 2
-5
f ( x)
f " ( x)
x 1 x 1 ( x 1) 2
0 ( x 1) 2 2 2( x 1) ( x 1) 4
x f ' ( x) f " ( x)
2 ( x 1) 2
4( x 1) ( x 1) 4
0
4 ( x 1) 3
y
1 1
1
f ( x)
1 1 1
x
1 f ( x)
.
2x 5 x
:3 :
-
x
-1
0
Df
IR \ {0}
-2 :x 2x 5 x
f ( x) 0
-
0
2x 5 0 2x 5
.
x
( 2 .5 , 0 )
5 2
f (x )
y
111
x
0
:y
-
.a
: x
0
x
-
: y
. y
.
2
lim f ( x)
lim
x
x
:
2x 5 x
2:
.b
:
2x 5 x 2 x (2 x 5) f ' ( x) x2 5 f ' ( x) 0 x2
-
f ( x)
2x 2x 5 x2
f ' ( x) 0
. : x f ' ( x) f ( x)
0 2
y
2.5 0
2 y
2
f ( x) f ( x)
112
1 2
x 1 x 3 x x 4
2
x
-1 -2
ax 3 bx 2
y
cx d , a
0
y f' f" f
. x
f ( x)
.
ax3 bx 2 cx d
. . : a
.
f ( x)
0
a
0
-1
ax3 bx 2 cx d
( f
.
0)
. f ( x)
ax 3 bx 2
f ' ( x) 3ax 2 a
0 x f ' ( x)
y
cx d
2bx c
f' 0
x1 0
x2 0
x
f ( x)
113
f ' ( x) 0
f
0
ax3 bx 2
a 0 y
f
-2
cx d
0
. ax 3 bx 2
f ( x)
y
cx d
f ' ( x) 3ax 2 2bx c a 0 f' 0 x f ' ( x) f ( x)
x1 0
x
x2 0
-3 I ( xc , yc )
(
xmax xmin ymax ymin , ) : 2 2
Max
Max
C
C Min
Min
-4
: f ' ( x) 3ax 2
.
x
0 2bx c
0
b 3a
114
f ' ( x)
0
f' 0 a f ' ( x)
f ( x)
0
0
.(2)
f ' ( x)
0
( 2)
(1)
(1)
:1
f ( x) ( x 1)( x 2) 2
. extreme
: . .
f ( x)
x 3 3x 2
f ( x) 3x 2 3x
2
4
:
6x
6x 0
x(3x 6) 0 x1
0 , 3x 6 0
f ( x) 0
x2
2 2
x1
0
, x2
f (0) 03 3 0 2
4
4
f ( 2) ( 2) 3 3( 2) 2
4
8 12 4 0 f " ( x) 0 6x 6 0 6x
6
x
1 f (x )
-5
ax 3 bx 2 cx d
f ( 1) ( 1 1)( 1 2) 2
x
1
2
:
115
I ( 1 , 2) :
: :x y
-
0
( x 1)( x 2) 2
0
x 1 0
( x 2) 2
x 1
x 2 0 x2
0 (1, 0) , ( 2 , 0)
2
:y
-
x 0 03 3 0 2
y
4
4
(0 , 4 )
y x
2
1
0
x
f ' ( x) f " ( x) 0
f ( x)
4
2
max
min
f ( x)
.
:2
x 3 3x 2
:
: -1 3
f ( x)
x
f ' ( x)
3x 2 6 x
f ' ( x) 0 x1 0 ,
3x
2
3x 2 6 x 3x 6 0
0
x ( 3 x 6) 0 3x 6 x2 2
116
: f ( 0)
03
3 02
0
f ( 2)
23 3 2 2
4
( 0 ,0 ) , ( 2 , 4 )
-2
: :x
-
0
y x
3
3x2
0
2
x ( x 3) 0 x1 0 , x 3 0
( 0 , 0)
,
(3 , 0)
3
x2
:y 0
x
f ( x)
03
3 02
(0 , 0)
0
6x 6
-3
f " ( x)
: f ( x)
-
0
x 1 f ( x) x 3 3x 2 f (1) 2 I (1, 2)
-4
: y x f ' ( x)
0 0
f " ( x) f ( x)
1
2
0 0 Min
2
4
x
Max
117
f ( x)
.
x3 3x 2 x
: x
b 3a
:3
x 1 b 3a
:
( 3) 1 f (1) 13 3(1) 2 1 1 0 31 C (1, 0)
a) f ( x)
.
1 3 x 3
x2
x 1
f ( x)
118
2x2
b) f ( x )
6x 3
( x 1)3 -1
-2
y
Rolle Theorem f (x)
f (x)
f ' (c )
P
0
c
a
x
b
y
f (x) f (a)
f (b)
x0
x
.
f (b)
f (a)
a
( a , b)
x
b
f (x)
x0
( a , b)
.
f (a)
f (b)
:
a a
x b
a
x b
x b
x0
f (x) f (a)
. 119
f (b)
f ( x0 ) 0
: f (x )
. f ( x) 0
. x0
a, b
f ( x1 ) 0
f ( x0 )
. f ( x0 )
.
a, b
f ( x2 ) 0
0
(Extreme)
( ,5 )
f ( x)
:1
cos x f( )
f (x)
(5 )
1: ( ,5 )
( ,5 )
sin x
x0
(cos x)' 0
( ,5 )
. ( ,5 )
a, b
.
( ,5 )
sin x 0
4 ,3 ,2
.
-2
(Maximum)
Rolle
.
f (x)
( a, b)
f ( x1 ) 0
x
(cos x)'
-1
(Minimum)
. .
x1 , x2
f ( x) c
f ( x)
1,1
sin x 0
sin x 0
:2
1 x2
: 1,1
1,1
x0
.
f ( 0)
0
f ( x0 ) 0
2x 2 1 x
x 2
1 x
2
u ' ( x) 2 u
y ' ( x)
: f ( x)
f ( 1)
f (0)
0 1 02
120
0
f (1) 0
x0
:(
)
y
.
f (b) f (x)
f (a )
a
x0
PQ
. x
b
f (x)
PQ
: a, b
( a , b)
: f (c )
g ( x)
g (a) g (b)
f (b )
f (a)
f (x)
:
f (c)(b a)
C
f (b) f (a) b a f ( x)
f (a) f (b)
f (b) f (a) x : b a f (b) f (a) f (a)b f (b)a ......... I a b a b a f (b) f (a) f (a)b f (b)a b ......... II b a b a II
:
I
: g ' (c ) 0
121
:
c ( a , b)
g ' ( x) f ' (c )
f (b ) f ( a ) b a f (b) f (a ) 0 b a
f (b) f (a) b a f (b) f (a) f ' (c ) b a f (b) f (a ) f ' (c)(b a )
f ' ( x)
a ,b
.
g ' ( x)
f ' (c )
f ( x) 2 x3 8 x 1
1, 3 1, 3
(1, 3)
f ( x0 )
f (b ) f ( a ) b a
f (3) f (1) 3 1
6 x 2 8 18
.
x0
x1, 2 13 3
f (x)
36 18 2 26 6
(1, 3) (1, 3)
.
f ( x)
0,4
0,3
f ( x)
122
:
x0 , (1, 3)
. f ( x0 )
:
:
c
x
26 6 x
26 6
x(4 x)
x0
-1
x3 3
x0
-2
2x
(L'Hopitall)
lim x
a
f ( x) g ( x)
lim x
a
f ( x) g ( x)
x
.
f ( x)
1
x 2 3x 2 x 1
. f ( x)
x
.
3x 4 3x 2 2 x 1 2 x 2 4 x3 2 x 4
. : ( a, b)
.
g (x)
0 0
x
x
lim
f ' ( x) g ' ( x)
2 x 2 x 10 2 2 2 2 10 x 2 x2 4 22 4 f ' ( x) 4 x 1 4 2 1 9 g ' ( x) 2x 2 2 4
f ( x) g ( x)
a
(
:
) n ...
: lim
f (x )
0 0
0
123
lim x
2
(2 x 5)( x 2) ( x 2)( x 2)
lim x
2
2x 5 x 2
2 2 5 2 2
9 4
:
:
. 1) lim x
0
x sin 2 x x sin 2 x
2) lim x
3
x 4 81 x 3
3) lim x
3x 2 4 x 6 7 x2 2 x 1
: sin 2 x 0 sin 2 sin 2 x 0 sin 2 sin 2 x) 1 lim 0 x sin 2 x) 1
x x (x lim x 0 (x lim x
0
0 0 0 0 2 cos 2 x 2 cos 2 x
1 2 1 2
3
: x4 x 3 x (x4 lim x 3 (x
lim
81 3 81 81 81 0 lim x 3 3 3 3 3 3 0 3 3 81)' 4x 4 3 lim 108 3 x 3) 1 1
: 2
3x 7 x2 (3 x 2 lim x (7 x 2 6x lim x 14 x (6 x lim x (14 x lim x
4x 2x 4x 2x 4 2 4)' 2)'
6 1 6)' 1)'
6 14
3 7
. sin x x x 0 sin x c) lim 3 x 0 x a) lim
x5 1 3 1 x 1 x 5 x d ) lim 3 3x x b) lim
124
y
x
20
:1 .
20 x
0 , 20
x
f ( x)
x
:
x(20 x) :
0 , 20
: f ( x) 20 x x 2 f ' ( x) 0 20 2 x 0 2x 20 x 10 f (10) f (0 ) f (20)
20 10 10 2 20 0 0
2
200 100 100
0
20 20 202
400 400
0
. x2 10 x
.
t2
t2 t1
x(3)
4 3
4, t1
3
:
: x( 4 )
100 :2
(t 2)(t 3)
. x( t2 ) x(t1 )
(10 100) x1 10 :
2 0 4 3
125
2
:3
.
: v( x )
4 3 x 3
S( x )
4 x4
dv 4 x 2 ds 8 x 5 C ( F 32) 9
.
dv 4 3x 2 4 x 2 dx 3 ds 4 2x 8 x dx dv 1 x ds 2 (F )
:4
(C ) (F ) (C )
.
C F
f (x
(Vm
: C(F
x) x
5 (F 9
F ) C (F ) F
f ( x)
F 32)
y ) x
:
5 ( F 32) 9
5 9
F
:5
200m
.
: y
x
. :
2x 2 y
200
y 100
x
y 100 x
x y
S
x(100 x) 100 x x 2 , Ds
IR
x
0
x 100
,
y
0
100 x 0
: S
0
S
x 100
100 x x 2
100 2 x
S' 0
100 2 x 0
x 50
S ( 50)
lim S ( x) 0
x
lim S ( x) 0
S' S
x x
0 0
y
2500 0
50
2500 50
50
0
2500
126
Max
100
0 0
50
100
x
2500
.
50
:6
200
. x2
y2
T
x
.
y
y x
200
: :
T( x )
x2
y2
x2
(200 x) 2
x2
x2
2x 2
400 x (200) 2
400 x 40000
T( x ) 4 x 400 T( x )
0
4 x 400 0 x 100
T(100) 20000
:
A
y
.
2 x
A
:7
. 2 A( x, ) x
: x 2 ( A)
OA OA
2
x2
d '( x )
2x4 x3 0
2x4
8
d '( x )
2
x1 d d
( 2)
2
2
y 2 ( A) 4 x2 8
, x2 4 ( 2 )2
A
4 x2
x2
d2
2 x
y
d '( x ) ( x 2 )' (
4 8x )' 2 x 2 x x4
2x
8 x3
2 2
4 2
8 2
4
4
.
127
2
:
:8 24
. y
: x x
y
24
y
x
24 2 x 0
: V
x2 y
V
24 x 2 2 x 3
V
x 2 (24 2 x) V (0 )
y 0
24 0 2 2 03
V ' (0) 0
48 x 6 x 2
V (8)
0 0 0
0
24 (8) 2 2 (8)3 1536 1024 512
x(48 6 x) 0 x1 0 6x
x 12
24 x 2 2 x 3
V ' ( x) 48 x 6 x 2 V ' ( x) 0
48 6 x
:
V (8) 512
0
V (12) 24 (12) 2 2 (12)3 V (12) 0
48
3456 3456 0
x 8 512cm3
.
x3
y
.
x2
-1 -2
1m
.
x 1
. . .
A(3,0)
128
y
x2
-3
a,b
f (x)
a,b
.
f ( x)
0
( a , b)
.
f ( x)
0
( a , b)
f (x)
x x
.
(Maximum) Extreme
.
(Minimum)
. ( x 0 , f ( x0 ))
. f ( x0 )
.
f ( x)
f ( x0 ) x
( x0 , f ( x0 ))
. f ( x0 )
.
f ( x)
Maximum
:
Minimum
:
f ( x0 ) x
f (x) y
f (x)
. f ( x)
.
y
0
f (x)
f ( x)
.
0
. .
Inflection ax b cx d
:
.
129
c
0
a a
x b
a
f (x)
x b
x0
x b
f (a )
f ' ( x0 )
. a,b
( a , b)
a
x0
b
b
( a, b)
.
g (x) 0 0
x
f ' ( x) g ' ( x)
f (x ) x
(
a
0
f (x)
x0
a
f ' ( x0 )
.
f (b )
f (b) f (a ) b a
: f ( x) g ( x)
)
n ...
.
130
.
. -1
[0, b]
: a) f ( x)
0
b ) f ( x)
0
c ) f ' ( x)
0
d ) f ( x)
0
-2
: a)
Minimum b)
c)
Infliction
x 1 x 2x
f ( x)
: a)
Maximum d )
b)
-3
2
c)
d)
–4
: a)
b)
c)
,
)
b) (
, 0)
c) ( 0 ,
a) x
1
b) x
2
)
f ( x)
: c) x
-5
ax 2 bx c
f ( x)
: a) (
d)
d)
2x 1 x 2
1
d) x
-6 2
-7
: a c
a) y
b) x
d c
c a
c) y
d) y
g ( x)
: a) 4
b) 6
c)
6
d)
4 x2 x2
c d 6x 4
-8
4
-9
: f (x) f ' (x) lim x0 g(x) x x0 g' (x)
a) lim x
b) lim f (x) x x0
f ' (x)
131
c) lim x
f (x) f ' (x) lim g(x) x g' (x)
d)
. x2
f ( x)
P (3 ,0)
.1
x f ( x)
3, 4
x2
.3
: 1) f ( x) 2 x
2 ) f ( x) 3 x 2 1
3) f ( x)
2x
.4
: 1) f ( x)
2x 1
,
x0
1
2) f ( x )
x2
,
x0
2
.5
: 1) f ( x)
2 x 4 x2
3x3 1
2 ) f ( x)
.6
: 1) f ( x ) 7 x 2 3x
,
x0
2) f ( x) 6 x 2 2 x 1
,
x0
1 1 2
f ( x) 3 x 5
.
4 x 2 3x
x 3 sec x
2 ) f ( x) sin(3x 1)
.7 .8
. 1) f ( x)
.2
3) f ( x)
cos 2 2 x
.9 .
f ( x)
.
f ( x)
x2 1 x 4x2 x2 1
.10 .11
.
y
sin x
.12
.
y
tan x
.13
132
133
134
Riemann’s Sum
2
2
o
2
. 2
y 10
f ( x)
[ 0 , 4]
8 6
2x 2
.
4 2 1 2 3 4
x
y
2x 2
.
. 1
: 1
x .
135
y
a, b
y
f (x)
f (x)
:
x
:
y
x
o
x0
a x1
xn
x3
x2
1
xn
n
x
b
a, b
x
. i 1, 2 , ... , n
: x0
a , x1
a
b a n
x , x2 a 2 x..., xi
a i x , ... , xn
b
x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 , ... , [ xi 1 , xi ] , ... , xn 1 , xn f ( xi 1 ) x f ( xi ) x
: f ( x0 ) x
f ( x1 ) x
n
f ( xn 1 ) x
...
i 1
f ( xi 1 ) x
n
f ( x1 ) x
f ( x2 ) x
f ( xn ) x
...
f ( xi ) x i 1
n
n
f ( xi 1 ) x
A
f ( xi ) x
i 1
A
:
i 1
: n
lim
n
n
f ( xi 1 ) x i 1
lim n
n
lim A lim
n
n
f ( xi ) x i 1
:
f ( xi 1 ) x
i 1
136
n
lim
n
n
f ( xi ) x
f ( xi ) x
i 1
i 1
. :1
[0,2]
x
.
y
x2 1
[0,2] x
b a n
2 0 4
1 2
: 0
,
x0
a
x2
a 2 x 1
x1
x4 2 [ x0 , x1 ]
,
1 [0, ] 2
1 , [ ,1] 2
,
[ x1 , x2 ]
a
x
x3
1 2
a 3 x
3 2
, [ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 3 3 , [1, ] ,[ ,2] 2 2
x
: f ( x)
x 2 1 , f ( 0) 1
1 f ( ) 1.25 , f (1) 2 2 3 f ( ) 3.25 , f (2) 5 2
y 5
3.25
2
1.25 1 1 1 2
137
3 2 2
:
x
:
y 5
3.25
2
1.25 1 1 1 2
x
3 2 2
1
1 1 1.25 2 2
2
1 2
3.25
1 2
3.75
y 5
3.25
2
1.25 1 1 1 2
3 2 2
1 2
2
1.25
3.75
.
[1,10]
A
1 2
3.25
1 2
5
1 2
5.75
5.75
f ( x) 1 x
138
x
:2
:
xi
10 1 9 n n 9 xi 1 [ ] i , n
b a n
x
a
lim
f ( xi ) x lim[ i 1
n
n
n n
:
0,1,2,......
i
n
(1 xi ) x]
n
i 1
lim[ x
lim[ x
lim[
n
lim[
n
n
(1 xi )]
i 1
i 1
n
n
1
n
x
i 1
9 n 9 n
xi ]
i 1
n
n
1
(a
x
i 1
xi)]
i 1
n
1 i 1
cn
i
n ( n 1) 2
i 1
n n
c
i 1
9 n
n
(1 i 1
9 i )] n
n
9 9 n 9 n 1 ( 1 i )] n ni1 n i1 ni1 9 9 9 n(n 1) lim[ n (n )] n 2 n n n 9 9n 2 9n lim[9 (n )] n 2n n 9 2n 2 9n 2 9n lim[9 ( )] n 2n n 9 11n 2 9n lim[9 ( )] n 2n n 99n 2 81n lim[9 ] n 2n 2 99n 2 81n lim[9 ] n 2n 2 2n 2 99 81 lim[9 ] n 2 2n 99 9 58.5 2 lim[
139
i2
n(n
1)( 2 n 6
1)
y
3x
-1
[0 , 3] x
. x
0 .5
-2
: x y
0 14
0.5 20
1 26
1.5 32
0,4
2 38
y 8 2x
2.5 44
3 50
OAB
. y 8 B 6
4 2 0
A 1 2 3 4
140
x
-3
Concept of Integral .
. sum
.
( )
S n
lim
f (x )
dx
n
f ( xi ) x
f ( x)dx
i 1
x
. : Indefinite Integral
F ( x)
-1
2x 2 1
. (-1) f (x )
C
F ( x)
f (x )
141
x6 1
(-1)
: f (x )
F (x)
[ a, b]
f (x )
C
:
F ( x) C f (x )
: f ( x)dx
F ( x) C x dx : 1
. x1 1 C 1 1
x dx
x2 2
C
: 1
. 1 7
x3
dx
x
3 7
dx
x
3 1 7
4 7
x 4 7
C
3 1 7
7
77 4 x 4
C
x3
dx : 2
C
: 3
x 2 dx : 3
. 3 2
x dx
3
1
x2 C 3 1 2
5
x2 5 2
5
2 2 x 5
C
2 5 x 5
C
: a) b) c)
5
x 3 dx
1 dx x4 1 dx x
x 2 dx
d) e)
4 8
x2
x 4 x dx
142
C
:
Properties of Indefinite Integral
k dx [ f ( x)
g ( x )] dx ?
[ f ( x ) g ( x )] dx f ( x) dx g ( x)
, g ( x)
0
: f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
3x 4 1 x2 sin x cos x 2x3
1 1 x2
: . -1
k
: kdx k dx kx C
5 dx : 5dx 5 dx 5 x C x n dx
xn 1 C : n 1
143
:
n
1
-2
x 4 dx : x4 1 C 4 1 f (x )
x 4 dx
: a f ( x) dx
1 5 x 5
C:
-3
a
a f ( x)dx 2 x 2 dx : 2 x 2 dx
2 x 2 dx
2
x3 3
2 3 x C : 3 g (x) f (x ) -4 C
: [ f ( x)
g ( x )] dx
f ( x) d x
g ( x ) dx
: (2 x 2
3)dx
2 x 2 dx
2 3 x 3x C 3
3dx
(8 2 x )dx 8 dx 2 xdx 8 x x 2
C
-5 : [ f1 ( x )
f 2 ( x ) ...
f n ( x )]dx
f1 ( x ) dx
f 2 ( x ) dx ...
f n ( x )dx
: [x3
6x 2
9 x 1] dx
x 3 dx x4 4
6x 2d x
6x 3 3
9x 2 2
9 xdx
dx
x C
g (x)
: [ f ( x) g ( x)] dx
f ( x) dx
g ( x) dx
144
f (x )
-6
g ( x)
.
x 2
f ( x)
x 1
: : :
[ f ( x) g ( x)] dx
(x2
[( x 1)( x 2)] dx (x2
x 2) dx
x 2) dx
x 2 dx x3 3
2x
x dx
x2 2
2 dx
2x C
: : f ( x) dx
g ( x) dx
( x 1) dx (
( x 2) dx
( x dx
dx)( x dx
2 dx)
x2 x2 x2 x2 x C )( x)( 2x C) ( 2 x) C 2 2 2 2 x3 x2 x2 x2 x)( 2x C ( 2 x) C 3 2 2 2
. g (x)
-7
f (x )
: f ( x) dx g ( x)
f ( x)dx
, g ( x)
g ( x)dx
0
. x2
2x x
x ( x 2) dx x
dx
( x 2) dx
x
f ( x)
x2
2x
: :
: f ( x) dx g ( x)
g ( x)
x2 2
2x C
145
: : ( x2
f ( x)dx
2 x)dx
g ( x)dx
x 2 dx
xdx 1
3
x3 1
xdx
x2
C
x2
2
2 xdx
x3 1 x2 2 1
x2 1 x2 2
3
C
f ( x)dx
f ( x) dx g ( x)
g ( x )dx
.
: a)
17 dx
?
c)
2 x 4 dx
?
e)
(2 x 2
4x3
g)
x3
2x 2 x2
b) d)
dx
5 x 9) dx
?
f)
?
h)
146
(1 x) 2 dx 1 x 1 dx ? x5
?
(2 x 3) 6 dx (2
x) dx
?
?
Definite Integral
4 4
4
. 4
4
4
4
4
n
.
f ( x) 2 x
[2 , 5]
5
: [ a, b]
n
f (x )
f (x )
( x) b
n
lim
n
:
f ( xi ) x
f ( x)dx
i 1
F ( x)
b a
F (b) F (a ) :
x
b
x
a
a
b
.
a 3
x 2 dx
.
:1
1 3
x 2 dx [ 1
3
3
x 3 ]1 3
3 3
3
1 3
27 1 3
26 3
1,4
.
: y
x
:2
3 4
y
3 dx
:
1
3
3
y
. 1 o
x
4
147
: 3 4 ( 1)
3 5 15
4
3 dx
[ 3 x ] 41
3( 4 1)
3 5 15
:
1
y
y
:3
x 1
(3, 2)
0,3
.
x
y x 1
: A1
x
3
0 A2 1
1
: 1 2 2 2 1 1( 1) 2
A1 A2 A1 3
( x 1) dx [ 0
A2 x2 2
:
1 1 .5 2
2
x]30
1 4 2 2 1 1 ( 1) 2 2
[
32 2
3] 0
A2
: 9 3 1. 5 2
A1
:
y
-1 A 1 1
3
n
4
0,1
B 2
(1,2)
x
x
y
2x 1
.
D C
f x
x2
-2 .
148
Properties of definite Integral
b
c dx a b
[ f ( x ) g ( x )] dx
?
a a
f ( x ) dx a
4
.
3k 2
k 1
b
x dx
1,1
.
a 2
(1 3x )dx
. 0
: : b
C
[ a, b]
.
Cdx -1
a b
b
C dx a
C dx
C[ x]ba
Cb a
a
xi
xi
b a n
f ( xi ) C Sn
n
f ( xi ) xi
i 1
C (b a)(
n
C xi
i C ( x1
x2 ...
0 ,1, 2 , ... , n : xn ) C (
i 1
1 n
1 1 ... ) n n
C (b a )
[ a, b]
n
n n
b a n
149
Cdx C (b a) a
i
b a b a ... ) n n
b
C (b a)
:
4
dx
.
:
3 4
dx
[x]34
4 3 1
:
3
k
: b
[ a, b]
-2
f (x )
b
k f ( x)dx
k
a
f ( x)dx a
: lim S n n
lim n
n
k f ( xi ) x lim k n
i 1
n
f ( xi ) x
i 1 b
n
k lim
n
f ( xi ) x i 1
k
b
f ( x) dx
b
k f ( x)dx
a
k
a
f ( x)dx a
2
4 dx
.
:
2 2
2
4dx
4 dx
2
4[ x]2 2
4(2 2)
4(4) 16
2
a, b
: b
f (x )
-3
F (x)
a
f ( x) dx
f ( x) dx
a
b
: lim
n
n
b
f ( xi ) x
i 1
f ( x ) dx
F (b) F ( a)
( F (b) F ( a))
a a
( F (a ) F (b))
b
a
f ( x ) dx
f ( x ) dx
b
a
f ( x ) dx b
3
2
2 x dx
. 2
2 x dx
:
3
:
: 3
2 x dx
[
2x2 3 ]2 2
2(3) 2 2
2( 2) 2 2
2(9) 2
2( 4) 2
18 2
8 2
18 8 2
2 x dx
[
2x2 2 ]3 2
2( 2) 2 2
2(3) 2 2
2( 4) 2
2(9) 2
8 18 2 2
8 18 2
2 2
3
150
10 2 10 2
5 5
3
2
2 x dx 2
2 x dx
:
3
a
f ( x) dx 0
a, b
:
-4
f (x )
a
x
:
:
a
n
f ( xi ) x
lim n
0
f ( x) dx
i 1
F (a ) F (a )
0
a a
f ( x) dx
0
a
3
3x 2 dx
.
:
3 3
3x 2 dx [ 3
3x 3 3 ]3 3
[ x 3 ]33
[33 33 ] 27 27 0
:
[ a , b]
: b
b
[ f ( x)
-5
f (x )
b
g ( x)]dx
f ( x) dx
a
g (x)
a
g ( x ) dx a
: b
n
[ f ( x) g ( x)]dx lim n
a
[ f ( xi ) g ( xi )] x
i 1 n
lim[
n
n
f ( xi ) x
g ( xi ) x ]
i 1
i 1
n
lim
n
b
n
f ( xi ) x lim n
i 1
g ( xi ) x i 1
b
f ( x) dx a
g ( x) dx a
: 1
1
(4 3x 2 ) dx
a) 0
0 3
3
0
0
1
3 x 2 dx
0 3
dx 0
1
4 dx 3 x 2 dx 4 [ x] 10 3 [
0 3
x 2 dx
( x 2 1) dx
b)
1
4 dx
x 3
0
3
x 0
151
3 0
27 3 3
27 9 3
x3 1 ]0 3 18 3
4 1 5 6
a
c b
b, a
c
( a, b )
-6
f (x )
: b
c
b
f ( x) dx
f ( x) dx
a
f ( x) dx
a
y
c
y
C
a, b
f (x )
B
0
b
c
x
b
A a, b
c, b
x
A2
c
f ( x) dx
A1
f ( x) dx : a
b
c
f ( x) dx
b
f ( x) dx
a
f ( x) dx :
a
c
10
8
f ( x) dx
.
f (x)
a, c
c
A2
y
x
b
A1
f ( x) dx a
.
A
10
f ( x) dx 12
8
f ( x) dx 17
0
:
0
:
y b
c
f ( x) dx y
a
f (x )
10
8
0
10
0
x
: 10
f ( x) dx 8
8
f ( x) dx 0
f ( x) dx
17 12 5
0
152
b
f ( x) dx a
f ( x) dx c
8
f ( x) dx
10
a, c
.
A2
a
c, b
f (x )
A
A1
:
10
f ( x) dx 0
f ( x) dx 8
a, b
: b
f ( x)
-7
g ( x)
b
f ( x) dx
g ( x) dx
a
a
b
b
g ( x) dx
b
f ( x) dx
a
a
n
[ g ( x)
f ( x)] dx lim n
a
[ g ( x)
f ( x)] x
x
g ( x)
:
i 1
0
f ( x)
0
: lim n
n
b
[ g ( xi )
f ( xi )] x
0
[ g ( x)
i 1
f ( x)] dx
0
a
b
b
g ( x) dx
b
f ( x) dx 0
a
a b
b
g ( x) dx a
f ( x) dx a
b
f ( x) dx a
g ( x) dx x 1
g ( x) 1
a
x2 2
f ( x) 1
x2 4
: . :
b
x2 (1 ) dx 4 a b
b
1 dx a
[ x] ba
a
2
x dx 4
1 3 b [x ] a 12
b
(1 a
x2 ) dx 2
b
b
1 dx a
a
x2 dx 2
[ x] ba
1 3 b [x ]a 6
: 1 3 1 3 (b a 3 ) (b a) (b a 3 ) / (b a ) 12 6 1 2 1 2 1 (a ab b2 ) 1 (a ab b 2 ) 12 6 / (a 2 ab b 2 ) 1 1 12 6 (b a )
153
(b a ) 0
M,m
[ a , b]
-8
f (x )
b
m(b a)
f ( x) dx
M (b a)
:
a
y
m
:
f ( x)
b
b
m dx y
b
a
a M
M dx a
b
m(b a) o
:
f ( x) dx
a
f (x)
M
m
f ( x) dx a
x
b
M (b a )
. 1
e
.
x2
dx
:
0
M
f (0 ) e
0
1
0 ,1
f ( x)
e
x2
m
:
: f (1) e
1
b
m(b a )
f ( x) dx
M (b a )
a 1
e11 0
e
x2
dx 1 1 0
0 1
e
1
e
x2
dx 1
0
e
1
1 0.3679 e
1
0.3679
e
x2
dx 1
0
0.3679
.
1
[ a , b]
c
-9
f (x )
b
f ( x) dx
f (c)(b a )
a
154
:
a
c b
y
M
M y
K
a
m
b
:
a, b
f (x )
m a
0
c
x
b
b
m(b a)
f ( x) dx
M (b a )
1
m
f (c )
b
b a
f ( x) dx
K
M b
1
K
M
: 1
b
b aa
a
m k
c [ a, b]
:
b a f (c)
f ( x) dx a
a
c b c
b
f ( x) dx a
f ( x) dx
f (c)(b a )
a
f (c)
. . 4
x 2 dx
[
1
x3 4 ]1 3
[1,4]
. [
64 3
1 64 1 ] [ ] 3 3
c
f (c ) c 2
63 3
f ( x)
f ( x)
x
f (c)(b a)
a
: 4
x 2 dx
c 2 (4 1)
21 3c 2
c2
1
k
f (c ) ,
21 c2 7 c 3 f (c ) c 2 ( 7 ) 2 7
7 f (c )
155
x2
7 ,
: :
b
f ( x) dx
f (x )
21
c
:
a, b
k
7
x2
.
1
7
4
k
3
.
f (c)
b a
.
1,4
7
-1
. 1
3
a) ( x 3
2) dx
?
e) 3x dx
1
?
2
5
2
b) 7 x dx
f ) (x3
?
2
1
4
4
g ) (2 x 2
c) ( x) dx ? 2
4
1 4 x ) dx ? 2 1 4 x ) dx 8
?
3
d)
x dx
?
1 1
4
f x dx
5
-2
f x dx
[ 1,4]
1
1 4
f x dx
.
2
1
.
0,2
c
156
f ( x)
x
-3
72
S (t ) v0 t
. .
6
x2
f ( x)
0
h
.
m sec
. . : : -1
: x
F ( x)
f (t ) dt
a, b
x
:
f (x)
a
F ( x)
.
a, b
f ( x ) , x [ a, b]
[ a, x ]
x
f
a, b
f (x ) f (x )
. : F ( x) F ( x) F ( x)
h f ( x) F ( x h) F ( x ) lim h 0 h
f (x )
F (x)
x
lim h
0
F ( x h) F (a ) F (a ) F ( x ) h
F ( x h) F (a) ( F ( x) F ( a )) lim h 0 h
157
lim h
0
F ( x) ax
h
h
F ( x) ax
:
f (t )
: F ( x)
F (t ) ax
lim
h
F (t ) ax
h
h 0
x h
x
f (t ) dt F ( x)
lim
f (t ) dt
a
a
h
h 0
b
a
f (t ) dt
f (t ) dt :
a x h
F ( x) lim
f (t ) dt
a
a
h
0
a
x h
f (t ) dt
x h
f (t ) dt
F ( x) lim x
f (t ) dt lim
a
h
0
h
b
x
f (t ) dt h
x
h
0
h
x h
x
f (c )
c
f (x )
:
1 lim h 0 h
F ( x)
f (x )
1 h
x
x h
f (t ) dt x
h
c
x h
f (t )dt lim f (c) x
c
x
f ( x) F ( x)
.
f ( x) :
x2 1
.
F ( x) 2
1 t
2
1
: :
g ( x)
x
F ( x)
f (t ) dt F ( x) a
u
x2 1
g ( x)
f (t )
F ( x)
F ( x) F ( x)
f (t ) dt a
1 t
2
1
f ( g ( x)) g ( x)
1 ( x 2 1) 2 ( x 1) 1 2x 2 ( x 1)2 1 2
: (x
2
1 2x 1) 2 1
158
-2
: a, b
:
f (x )
F (x)
b
f ( x) dx
F (b ) F ( a )
a x
F ( x)
f (t )dt
:
a
F ( x)
: f ( x) F ( x)
k
f ( x), x f ( x)
a, b
F ( x) k
x
F ( x)
f (t ) dt a
F ( x)
f ( x)
x
f (t )dt
f ( x)
F ( x) k
a x
f (t ) dt F ( x)
k
a
a
:
x
a
f (t ) dt F (a )
k
,
0 F (a)
k
k
F (a)
a
k
: x
f (t ) dt
F ( x)
F (a)
a
b
: b
f (t ) dt F (b)
F (a )
a b
f (t ) dt
. a
159
[ F ( x)]ba
x
F sin x dx cos x dx
b
cos x c
f (t ) dt
sin x c
sec 2 x dx
a
.
tan x c
cos ec 2 x dx
cot x c 1
x 2 dx
.
:
0
: 1
x 2 dx
F (1) F (0) [
0
x3 1 ]0 3
1 3 1 3
1 3 0 3
1 3
-1
. cos t
a) F (t ) sin t t
c) F (t )
cos t
1 4 x
2
dx
4 x2
0
dx
x
cos y dy 1 y2
b 1, ... , 0.4 , 0.2 , 0
1
b ) F (t ) d ) F ( x) F (b)
F (0)
sin t dt t 1 2
f (t )
-2
t
. 2
sin x dx -3
. 0
160
-
2 x 1 x 2 dx
-
4
u
.
2 x 1 dx 0
dx
. x
0
u
2x 1
u
x
u
.
4
: .
F
u
f
g (x)
[ a , b] du
:
g ( x) dx
g (b )
b
f ( g ( x)) g ( x) dx a
f (x )
f (u )du g ( a) 2
.
161
dx 5 x) 2 1 (3
:1
u
: u 3 5x ,
du
5 dx
:
du 5
dx
x 1
2
1
u 3 5x
u 3 5 1
x 2 u 3 5x
u 3 5 2 3 10 7
dx (3 5 x ) 2
1 5
1 1 ( ) du 2 5 2u
u
2
7
2
2 u
du u2
7
1 5
1 u
7
2
1 5u
7
1 5
2
1 7
1 2
1
x 2 (1 2 x 3 ) 5 dx
.
1 14
:2
0
u
: u 1 2x 3 , x
6 x 2 dx
du
:
1 du 6
x 2 dx
0
u 1 2x3
u 1 2 0 1
u 1
u 1 2 1 3
u
x 1 u 1 2x3 1
3
x 2 (1 2 x 3 ) 5 dx 0
u5 1
1 du 6
3
3
1 5 u du 61
1 u6 3 [ ]1 6 6
1 36 [ 6 6
1 ] 6
1 729 1 1 728 [ ] [ ] 6 6 6 6 6 728 182 20.2 36 9
.
u
x 2 x 3 1 dx u
.
F ( x) C
. : 162
u
g (x)
f (u )
F (u ) x
: f ( g ( x)) g ( x) dx
f (u ) du x
.
1 4x2 u
: u 1 4 x 2 , du xdx x 1 4x2
:
8 x dx 1 du 8 1 1 ( ) du u 8
dx
:1
dx
1 8
1 du u
1 u 8
1 2
1
du
1
1 u 2 ) C ( 1 8 1 2
1
1 u2 ( ) C 8 1 2
1 u ( ) C 8 1 2
1 (2 u ) C 8
.
x4
2 , du
x 3 cos( x 4
4 x 3 dx , x 3 dx
2) dx
cos u
x 3 cos( x 4 u
: u
1 1 4x2 4
1 du 4
1 du 4
1 cos u du 4 1 sin u C 4 1 sin( x 4 2) C 4
163
C
2) dx : 2 x4
2
:
: 2
a)
cos 3 x dx
?
b)
x x 1 dx
?
1 7
c)
4 3 x dx
?
2 5 (1 4 x) 2 dx
d)
0 5
e)
2 x( x 2 3) 4 dx
?
f) 0
g)
cos x sin x dx
x dx x 10 2
?
164
?
?
(Integration by Parts) .
-
.
x dx x2 1
. 1
3x 2 x 3 1 dx
. 1
x 2 sin x dx
: g ( x)
v
f ( x) g ( x) dx
f ( x)
g (x)
f ( x)
(u v )
u
.
u v v u
v' u
: v u
(u v )
u v
v u dx u v
u v dx
udv u v
.
vdu
«
» v u
a, b
»
. b
v u dx u v a
:
b
b
b
vu dx
a a
udv u v
b
b
vdu
a
a
a
165
«
:1
x sin x dx
.
: u
x
du
,
dx
dv sin x dx , v udv u v x sin x dx
cos x
vdu x( cos x)
cos x dx
x cos x sin x C 1
:2
xe x dx
. 0
: u
x
dv
,
du
x
e dx , v
b
dx e
du
dx
b
b
v u dx u v
,
x
e x dx
v u dx
a
a
a
1
1
xe x dx [ xe x ]10 0
e x dx 0
1
e
0 e
0
e1 e1 e0 1
[e x ]10 e0
: a)
cos d
?
c) x 5 cos ( x 3 ) dx
x cos 2 x dx
?
d)
1
2
b) 0
x e x dx 0
166
?
?
ex
c
y
a, b
y
f (x)
f (x)
: A
x
: n
a, b
x
. i 1,2,.., n
: x0
a , x1
a
x ,
b a n
x2
a 2 x , ... , xi
a i x, ... , xn
b
x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 , ... , [ xi 1 , xi ], ... , xn 1 , xn f ( xi 1 ) x n
f ( xi 1 ) x
n
A
i 1
f ( xi ) x
f ( xi ) x
A
:
i 1
F (x)
[ a, b]
f (x )
C f ( x)dx
F ( x) C
:
F ( x) C
f (x )
f (x )
: :
kdx
k dx
a f ( x) dx
kx C a
f ( x) dx
[ f ( x) g ( x)] dx
f ( x) d x
g ( x) dx
[ f1 ( x)
f n ( x)]dx
f1 ( x)dx
f 2 ( x) ...
[ f ( x) g ( x)] dx f ( x) dx g ( x)
f ( x)dx g ( x)dx
f ( x) dx , g ( x)
g ( x) dx 0
167
f 2 ( x)dx ...
f n ( x)dx
[ a, b]
n
f (x )
:
( x) x
: n
x
f (x )
a
b
n
lim
b
f ( xi ) x
f ( x)dx
i 1
F ( x)
b a
F (b) F (a )
a
b
.
a
: b
C dx C (b a) a b
b
k f ( x)dx
k
a
f ( x)dx a
b
a
f ( x) dx
f ( x) dx
a
b
a
f ( x) dx
0
a b
b
[ f ( x) g ( x)]dx
b
f ( x) dx
a
g ( x) dx
a
b
a
c
f ( x) dx a
b
f ( x) dx
f ( x) dx
a
c b
f ( x)
g ( x)
b
f ( x) dx a
g ( x) dx a
b
m(b a )
f ( x) dx
M (b a )
a b
f ( x) dx a
f (c)(b a )
f (c)
1
b
b aa
f ( x) dx
168
a, b
x
f
-1
: : x
F ( x)
f (t ) dt a
.
F ( x)
a, b
f ( x ) , x [ a, b]
a, b
f (t )
F (t )
f
-2
: :
b
f ( x) dx
F (b) F (a)
a
u
g (x)
f (u )
F (u ) x
: f ( g ( x)) g ( x ) dx
f (u ) du
F
.
u
f
g (x)
[ a , b]
f (x ) du
:
g ' ( x) dx
g (b )
b
f ( g ( x)) g ( x) dx
f (u ) du
a
g (a)
f ( x)
g (x) g ( x)
v
f ( x)
f ( x) g ( x) dx u
: (u v )
u v v u v u
: v u dx u v
u v dx
udv u v
169
vdu
. a, b
»
: b
v u dx u v a
b
b
b
vu dx
a a
udv u v
b
b
vdu
a
a
a
170
v u «
-1
: 4
4
1 a) dx 1 x2 0
b) [2 x 4
3
4
1 4 x ] dx 8
2
c) 2 2
3
d ) 4dx
e)
0
f ) (x2
x dx
6
0
1 dx cos2 x
h) [ 2
x 5 ) dx
1
1
g)
1 dx x2
x3 4
3
x2 ] dx 3
i) ( x 3
x 2 )dx
2
6 2
j) [ x
3
2
2
1 2 x 3x 4]dx 2
k ) sin xdx
x 2 dx
l)
0
1
-2
: a)
[sin x 8 x 3 ] dx
b)
[ x5
c) d) e) f)
g)
5
x 3 dx
h)
3x 2 8 x dx x
x(1 2 x 2 ) dx
i)
2 x 2 3 dx
sin x dx
j)
4 x4
x3
2 x2
x] dx
sin 2 x dx 2 sin x (1 x) 2 dx 1 x
k) l)
:
x2
dx x3 2 (1 x)(1 x ) dx x x3 (3x 2
-3
y 7
C
2
(2 x 3) dx 1
B
1 A 1 0
4 x 1) dx
x
D 2
171
-4
: 2
a)
3 cos(2 x 1) dx
g)
dt (3 2t ) 2 0 2
b)
h) x 2 9 x 3 dx
3x 5 dx
0
2 dx x 2
c)
i)
1 dx ( x 10) 7 1
3
j ) (1 x 2 ) 3 xdx
d ) (3x 6) dx
0
e) x
3
x
4
7
2 dx
k ) (4 3x) dx
f ) ( x 3 2) 2 3x 2 dx
l)
x 2 dx 4
x3
2
-5
: a)
x cos x dx
b) sin x cos x dx
f ) x 1 x dx g)
x 2 e 2 x dx
h)
e 2 x sin 3x dx
0
e x cos x dx
c) 2
d ) x cos 3x dx
i)
x 2 e x dx
0
e)
xe x dx
172
173
y
(0,1) (1, 0)
174
x
y
(0 ,1)
x
(1, 0)
(
) 1
log b x
lim(1 x) x x
0
y
f (x)
:
.
1 x
f ' ( x)
g ' ( x)
a x ln a
g ( x)
ax
f ( x) ln x
: -1 y
g ( x)
ln y Lna x
ax x ln a
: y' x' ln a x (ln a)' y y' ln a 0 y 1 y ' ln a y y ' y ln a
g ' ( x)
a x ln a
175
x
-2
f ( x)
ln x
ln ln( x h) ln x (ln x)' lim lim h 0 h 0 h 1 x h 1 (ln x)' lim ln( ) lim ln(1 h 0 h h 0 h x x h h 1 lim ln(1 ) h 0 x x h
u
x h x h h ) x
x h 1 lim ln(1 ) xh 0 h x
0
h x
.
1 u
: (ln x)'
1 1 lim ln(1 ) u u x u
.
. .
1 1 ln lim (1 ) u u x u 1 1 (ln x)' ln e : x x
1 log a e x g ' ( x) (log a g ( x))' log a e : g ( x)
.
lim (1
u
f ( x)
f ' ( x)
x h
u
g (x) f ( x)
1 u ) u
e
log a x
-1
log a g ( x)
-2 : -1
1 loga e x log ( x h) loga x f ' ( x) lim a x 0 h 1 x h 1 h 1 x h lim loga lim loga (1 ) lim loga (1 ) h 0 h h 0 h x x h 0x h x x h h 1 (loga x)' log a lim(1 ) u x x h 1 : u h 0 x u 1 1 u 1 (log a x)' log a lim(1 ) log a e h 0 x u x f ( x) loga x
f ' ( x)
176
x
1 h h lim loga (1 ) xh 0 x
x h
u
(log a g ( x))'
g ' ( x) log a e g ( x)
–2
: : 1 log a e g ' ( x) g ( x)
f ' ( x) (log a g ( x))' (log a g ( x))' g ' ( x) g ' ( x) log a e g ( x) (log a g ( x))' (ln g ( x))'
g ' ( x) g ( x)
a
:
e
-1
Exponential
: ex
y
y
ex
ex
y
: ex
y
ln y
(ln y )' ( x)'
x ln e y' 1 y
x y' y 1 ex y' u' e x :
x
y ' u ' au ln a
y
eu
-2
a 1 y
au
-3
u
:
-4
: y
log a u
y'
u' log a e u
u' log a e u (ln u )' y' ln a
y ' (log a u )' 1 u' u loge a
u' u ln a
. : g ( x)
x2 1
g ' ( x)
2x
(ln g ( x))' (ln( x 2 1))'
g ( x)
g ' ( x) g ( x) ( x 2 1)' x2 1
1 x
2
1
2x
f ' ( x) (ln( x 2 1))'
177
:1
f ( x) ln( x 2 1)
2x x
2
1
x2 1
:
:2
ln( x 2 5 x 4)
f ( x)
.
: f ( x) g ( x)
ln ( x x
2
2
5 x 4)
5x 4
g ' ( x)
2x 5
f ( x) ln
. : log a (log a
1
x2 1 x2 1
log a (
x2 1 ) x2 1
x2 1 2 ) x2 1
x2 1 ) x2 1
x2 1 x2 1
f ( x)
log a
x2 1 x2 1
2x 5 x 5x 4 2
log a
x2 1 x2 1
log a (
x2 1 2 ) x2 1
:3 1
:
1 (log a ( x 2 1) log a ( x 2 1)) 2
1 (log a ( x 2 1) log a ( x 2 1)) 2 1 ( x 2 1)' ( x 2 1)' [ 2 log a e log a e] 2 ( x 1) ( x 2 1)
:
(ln
g ' ( x) g ( x)
(ln ( x 2 5 x 4))'
1 x2 1 log a 2 2 x 1
1 2x log a e 2 x2 1 2x log a e 4 x 1
x2 1 ln 2 x 1
g ' ( x) g ( x)
(ln g ( x))'
x 2 1 12 ln( 2 ) x 1
2x x
2
1
log a e
ln
1 1 2 x log a e 2 2 x 1
x2 1 x2 1
ln(
1 x
x 2 1 12 ) x2 1
1 (ln( x 2 1) ln ( x 2 1)) 2
1 1 [ln ( x 2 1) ln ( x 2 1)]' [(ln ( x 2 1)) 2 2 1 2x 2x 2x ( 2 ) 2 4 2 x 1 x 1 x 1
178
(ln ( x 2 1)) ]
2
1
:
. y
e( x
2
1)
y ' ( x 2 1)' e x
2
1
.
y
e( x
y' u' eu :
y
eu
2x ex
2
u
1
y
x
2
( 2) x
1 x
1 x2
x
y
y ' u ' a u ln a
1
1 y ' ( )' 2 x ln 2 x
-4
1)
:
1
: :
2
y
-5
2
au
:
1
2 x ln 2
y
.
:6
x2x
:
: y
x2 x ln x 2 x 2 x ln x
ln y ln y
(ln y )' (2 x ln x)'
y' y
y ' 2(ln x 1) y
y ' 2(ln x 1) x 2 x
2 ln x 2 x
1 x
ax
y
:
:7
y 10 x
.
y ' a x ln a
:
y 10 x y ' 10 x ln10
.
y
u' 3 :
y
:8
e3 x u
3x
:
eu
y' eu u' e3x 3 y' 3 e3x
:9
. 1) y
log( x 4 1)
2) y
log3 (log 2 x)
179
3) y
log x 2 1 x 2 1
: : y
log a u u' log a e u
y ' (log a u )' 1) y
2) y
log( x 4 1)
u' u log e a
4 x3 ( x 4 1) ln 10
y'
log3 (log 2 x)
u' u ln a
(log 2 x)' ln 3 log 2 x
y'
1 x ln 2 ln 3 log 2 x 1
1 ln 2 ln 3 x
3) y
log x 2 1 x 2 1
log e ( x 2 1) log e ( x 2 1)
log e x log e 2
ln 2 ln 3 x
2x y'
x
1
ln( x 2 1) ln( x
2
2x 2
x 1 2 1)
ln x ln 2
y
u v
y'
ln( x 2 1)
. a) f ( x)
ln sin 3x
c) f ( x) ln (5 x 2 6 x 5) e) f ( x )
y
xx
1 ln 3 x ln x
ln( x 2 1) ln( x 2 1)
: 2
1 (ln 2)(ln 3) x log 2 x
b) f ( x ) ln 3x 2 7 d ) f ( x) f) y
180
log10 3x 2
( x 1) 2 ( x 1) ( x 4)3 e x
u ' v v' u v2
y
x
y
f ( x)
x
g ( y)
g
y x
1 x' y
y'x
: f ( x) g ( y)
y ' x x' y
y' y
y ' x x' y 1
y'x
f dy dx
1 dx dy
1 x' y y
.
ax
: :
y
ax
x y 'x
log a y 1 x' y
1 (log a y )'
1 1 log a e y
1 log e a 1 y
y log e a
y ' a x ln a
: 1) (arcsin x)'
1
1 x2 1 3) (arctan x)' 1 x2
2) (arccos x)'
1
1 x2 1 4) (arc cot x)' 1 x2
181
: 1) y arc sin x (arc sin x)' ? dy dx y 'x
x
sin y
1 dx dy 1 x' y
1 (sin y )'
1 cos y
(arcsin x)' 2) y arc cos x (arc cos x)' ? y 'x
1 x' y
x
1 (cos y )'
1 1 sin 2 y 1 1 x2 cos y
1 sin y
(arccos x)' 3) y
arc tan x
x
1 1 cos 2 y 1 1 x2
tan y
(arc tan x)' y 'x cos 2 y 1
1 x' y
1 (tan y )'
cos 2 y sin 2 y cos 2 y
: (arc tan x)'
cos 2 y sin 2 y cos 2 y
1 1 cos 2 y
1 1 tan y 1 1 x 2 1 (arctan x)' 1 x2 2
182
cos 2 y
cos 2 y
4) y
arc cot x
x
cot y
(arc cot x)' ? 1 x' y
1 (cot y )'
sin 2 y
sin 2 y 1
(arc cot x)' y ' x
1 1 2 sin y sin 2 y sin 2 y cos 2 y
sin 2 y
: sin 2 y sin 2 y cos 2 y
1 1 cot 2 y
1 1 x2
y
.
:1
(arctan x)5
: y ' 5(arctan x) 4 (arctan x)' 5(arctan x) 4
1 1 x2
y
.
arc tan x
:
y'
log5 (arctan x) ' (log5 u )'
x
1 (1 x )(arctan x ln 5)
y
0
y'
u' (arc tan u )' 1 u2 1 1 1 1 2
arc tan e '
y ' ( 0)
e0 1 e0
:
2
: x
u
u' u log5 e
1 1 x2 arctan x log5 e
.
:2
log5 (arc tan x)
ex 1 e2 x
183
:3
arctan e x u' e x
ex
u
:
. 1) y (arc sin x) 3 2) y log 2 (arc cos x)
184
:
1
2
1
x 1
x
2
2x 1 x2 1
1
x
2
2 1 x 1
2x 1 x2 1
. 1 x
.
2
2 1
2
5
x 5
x 2
x 1
,
7 x 1
. . : : . : : Pm ( x) Pn ( x)
Pn (x)
: Pm ( x) Pn ( x)
A x x1
B x x2
C x
x3
( 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10
.
N x xn
.... C , B , A ) :1 :
: x 3 4 x 2 7 x 10 ( x 5)( x 1)( x 2)
185
C ,B, A
: 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10
A
B
C
x 5 x 1 x 2 A( x 1)( x 2) B( x 5)( x 2) C ( x 1)( x 5) ( x 5)( x 1)( x 2) Ax 2
Ax 2 A Bx 2 3Bx 10 B Cx 2 ( x 5)( x 1)( x 2)
( A B C)x2
6Cx 5C
( A 3B 6C ) x ( 2 A 10 B 5C ) ( x 5)( x 1)( x 2)
. :
(
A B C 4 A 3B 6C 1 2 A 10 B 5C
)
39 C
: 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10
B
1
2
3
1
x 5
x 1
x 2
3, A 2
3x 3 6 x 2 20 x 1 x2 2x 8
.
:2
-
: :
3x 3
6 x 2 20 x 1 x 2 2x 8
3x
A B 4 2 A 4B
A
1
4x 1 4x 1 A B 2 x 2x 8 x 2x 8 x 4 x 2 A( x 2) B( x 4) ( A B) x (2 A 4 B) ( x 4)( x 2) x 2 2x 8
3x 2
2
5 2
,
3 2
B
6 x 2 20 x 1 x 2 2x 8
3x
186
5 2( x 4)
3 2( x 2)
: n x x0
: Pm ( x) Pn ( x)
A x x0
B ( x x0 ) 2
N ( x x0 ) n 3x 2 6 x 2 x3 4x 2 5x 2
.
:1 :
: x3 4 x 2 5 x 2
( x 1)( x 2)( x 1)
3x 2 6 x 2 x3 4x2 5x 2
3x 2 6 x 2 ( x 2)( x 1) 2 A( x 1) 2
( x 2)
( x 1)
C ( x 1) 2
( 2 A 3B C ) x ( A 2 B 2C ) ( x 2)( x 1) 2
A 2
2 A 3B C A 2 B 2C
B
B ( x 2)( x 1) C ( x 2) ( x 2)( x 1) 2
( A B) x 2
A B 3
A
6
B 1
2
C 1 3x 2 6 x 2 x3 4 x 2 5 x 2
2 x 2
1
1 x 1 ( x 1) 2
: Pm ( x) Pn ( x)
Ax B ax bx c
.
2
5x 2 8x 9 x 3 3x 2 6 x 4
.
187
:1
x 3 3x 2
( x 1)( x 2
6x 4
2 x 4) :
: x2
2x 4
: 5x 2 8x 9 x 3 3x 2 6 x 4
A C 5 A B 2C B 4C 9
8
( Ax B )( x 1) C ( x 2 2 x 4) Ax B C x 2 2x 4 x 1 x 3 3x 2 6 x 4 ( A C ) x 2 ( A B 2C ) x ( B 4C ) x 3 3x 2 6 x 4 A 3 5x 2 8x 9 3x 1 2 B 1 3 2 2 x 3x 6 x 4 x 2 x 4 x 1 C 2
: -1 a)
x 2 2 x 12 x3 2 x2 6 x 5
b)
4 x 2 3x 8 x3 2 x 4
c)
2 x 4 8 x 3 7 x 2 3x 4 x2 9x 3
-2 1 a) 4 x ( x 1) 3x 2 5 x 10 d) 3 x 2x 2 4x 8
3x 2 6 x 2 b) 3 x 4x 2 5x 2
x4 1 c) 2 x ( x 1)
3x 2 18 x 36 e) 3 x 6x2 9x
-3 a) c)
(x2
3x 7 x 1)( x 2 4)
x 2 13x 10 x3 5x 2
b) d)
188
x 2 3x 4 x4 2x2 1 x5 x4 1
log a b
x
ax
b
.
f ( x)
log a x
ax
c
: e x dx
: a x dx
ax ln a
C
ex
C :
ex
(a IR , a 1)
: u
f ( x)
ax
ln a a x dx du du dx x u ln a ln a a du 1 a x dx u dx u ln a ln a 1 1 x ax u a a x dx ln a ln a ln a du
ax ln a
c
189
:
f ( x)
.
2x
3
: :
: 2x
3
2x 23
2 x 3 dx 1 x 2 dx 8
1 x 2 8 1 x 1 x 2 dx 2 dx 8 8 1 2x C 8 ln 2
:2
. 3 x 1 dx
1)
?
2)
6 x 1 dx
?
: 2)
3x 1 dx ?
1) 3x
1
6x
3x 3
3x 3 dx 3 3x dx
6 x 1 dx ?
3
3x C ln 3
1
6x 6
1 x 6 dx 6
1 x 6 6 1 6 x dx 6
. a) d) g)
3 x 1 dx 1 dx ax 4x 3 dx 2x
b) e) h)
2 x dx 2
x
c)
x
3 dx
5x
3x 2x
f)
dx
190
i)
a x b dx 2x dx 3x (1 2 x )dx
1 6x C 6 ln 6
ax
y
.
a x dx ?
y
log b x x
by
: :
f ( x) ln x , ( x
IR )
ln x dx x ln x x C f ( x) log a x ( x , a IR , a 1) :
. loga x dx x log a
x e
: : log a x dx loge x dx ln x dx
x log a
x C e
ln xdx
x log e
x ln x x C
x e
x(log e x log e e)
x(ln x 1) C
191
a
e
-1
-2 log a x dx
x log a u
1 log a e dx x
log a x , du
dv log a x dx
x C e
dx , v
x 1 x log a e dx x
x log a x
x log a x log a e dx x log a x x log a e log a x dx
x log a
x(loga x log a e)
x log a
x C e
x C e
ln 3xdx
:
: :
ln 3 xdx
(ln 3 ln x)dx
ln 3 dx
ln x dx
x ln 3 x ln x x x(ln 3 ln x) x x(ln 3 x 1)
: -I
Substitution
.
:1
:
:
I
a) I
1 e 2
2x 3
u,
1 u e 2
I
2du u
dx 2
1 du 2 2dx x 2
b) I x 2
2x 3
u, 2
1 u e du 4
1 du u
du dx
2 ln u
dx C
du dx
,
1 u e 4
C
du
2 ln x 2
C
192
dx 1 e 4
1 du 2 2x 3
C
f ( x) e 2 x
.
:2 :
: e2 x
f ( x) u
2x
du
2dx
dx
du 2
e2 x
f ( x)
e 2 x dx ?
f ( x)dx
du 1 eu du 2 2 e2 x 1 2x C C e C 2 2
eu
f ( x) dx e 2 x dx
eu 2
1 2x e 2
F ( x)
C
F ' ( x)
1 2x e 2 2
f ( x)
.
e2x
x ln x 2
f ( x) :
:3 :
x ln x 2
f ( x)
f ( x)dx
( x ln x 2 )dx
?
x2
u du
2 x dx
f ( x) dx
1 du 2 1 x ln u du 2x xdx
1 1 ln u du u ln u u C 2 2 1 2 1 2 x ln x 2 x C 2 2
1 1 u ln u u C 2 2
-II
: 1
e 2 x dx
. 1 1
f ( x) e 2 x
e 2 x dx 1
du
2 dx
1, u 2 x x 1, u 2 x
u
1 du 2 2( 1) 2
u
2(1) 2
u x
2x
dx
1
2
e 2 x dx 1
193
1 u 1 u e du e 2 2 2
2 2
3.627
:1
2
:2
2 x ln x 2 dx
f ( x)
.
1
u
x
2
x 1 , u
x2
1 du 2x 1
2 , u
x2
4
du
x
2 x dx
dx
2
4
2 x ln x 2 dx 1
2 x ln u 1
u ln u u
4 1
1 du 2x
4 ln 4 4
4
ln udu 1
1 ln1 1
: a)
ln 2 x 3dx
d)
1 3 log dx x
b)
ln x dx 2
e) 1
4 e
2x 4
dx
194
c)
x log dx 2
2.545
x2
5 3x 2
.
?
?
( x 2)
( x 1)
. : 7 x 12 dx :1 x 6x 8
.
2
:
: 7 x 12 A B dx x 6x 8 ( x 2) ( x 4) A( x 4) B( x 2) Ax 4 A Bx 2 B ( x 2)( x 4) ( x 2)( x 4) A B 7 4 A 2B 12 A 7 B 4(7 B) 2 B 12 28 4 B 2 B 12 28 2 B 12 2 B 16 B 8 A 7 8 1 7 x 12 1 8 2 x 6x 8 x 2 x 4 2
( A B) x 4 A 2 B ( x 2)( x 4)
: 7 x 12 dx x 6x 8 7 x 12 dx 2 x 6x 8 2
1 8 dx dx x 2 x 4 1 1 dx 8 dx x 2 x 4 ln | x 2 | 8 ln | x 4 | C ln ( x 2)
1
( x 4)8
ln
ln( x 2)
( x 4) x 2
195
8
C
1
ln( x 4)8
C
5x 9 dx :2 x x 6
. x2
x 6
2
( x 2)( x 3)
:
:
: 5x 9 5x 9 A B x x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3 A( x 3) B( x 2) Ax 3 A Bx 2 B ( A B) x 3 A 2 B ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( A B) x 3 A 2 B 5x 9 2
A B
5
3A 2B
A
5 B
5x 9 B
:
A
3( 5 B) 2 B 9 15 5 B 9 5B 24 B
24 5
25 24 5 1 4 5x 9 5 5 x2 x 6 x 2 x 3 1 5x 9 5 dx x2 x 6 x 2 1 ln( x 2) 5
A
5
24 5
ln( x 2)
1 5
1 5
24 1 5 dx x 3 5 24 ln( x 3) 5 ln( x 3)
24 5
1 24 dx x 2 5
ln ( x 2)
1 5
1 dx x 3
( x 3)
24 5
C
: a)
x3
x 2 dx 3x 2 x 3
b)
x 2 dx 2 x 6x 5
196
c)
x4
x6 3x 2
2
dx
.
ex
.
f ' ( x)
f ' ( x)
a x ln a
1 x ln a g ' ( x) (log a g ( x ))' log a e g ( x)
f ' ( x)
. .
1 log a e x
f ( x)
ex
f ( x)
ax
f ( x) log a x f ( x) log a g ( x)
: . Pm ( x) Pn ( x)
Pn (x)
: Pm ( x) Pn ( x)
A x x1
B x x2
C x
N x xn
x3
n x x0
: Pm ( x) Pn ( x)
A x x0
B ( x x0 ) 2
N ( x x0 ) n Pm ( x) Pn ( x)
Ax B ax bx c
.
2
: x
e dx
e
x
C
x
,
a dx
ax C Lna
,
(a
: ln dx
x ln x x C ,
log a x dx x log a
x C e
: f (x)
ex
f ( x ) dx
e x dx
197
ex
C
IR , a 1)
x 2 ) x 2 f ( x) ln x 1
-1
2x2x
-3
f ( x) log x 3
-4
f ( x) ln(
y
-5
. 1)
x 1 2 x x 6
2)
x2 x3
-2
x 1 2x 2 x
3)
2x 2 3 ( x 2 1) 2
-6 1)
5t 7 dt
2)
3)
(2 cos x 5 sin x e x )dx
4)
5)
xe x dx
6)
7)
1 1
x3 3 dx x2 cos x sin xdx 5 dx (2 x 1)( x 2)
3x 2 x3 1 dx
. a) y c) y
ln( x 2 ex
2
1
x 1)
b) y d) y
198
ln(sin x) x
2
–7
199
200
Accounting of Area bounded by one Curve
.
o
:
y 1 x2
( Critical Point )
x
. y 1 x2
x
. y
x
x2
2x x
. :
b
f ( x) dx
_
F (b ) F ( a )
a
[ a, b]
. y
f ( x) y
0
f ( x) 0
.
[ a, b]
.
f (x ) f (x )
x
f (x)
x
201
y
x
f (x)
_
x
y
.
4
:1
y2 y
:
:
: y2
4
x
x'
2y
0
x' 0
4 y2
y
0, x
x
0 , 4 y2 2
y
x
4 0
y2
0
y
0
y
x
4
4
x
(0 , 2) , (0 , 2)
2
(4 y 2 ) dy 2 (4 y 2 )dy 2[4 y 0
2
y3 2 ]0 3
3
A 2 [(4 2
. : y 1
2 8 24 8 ) 0] 2 (8 ) 2 ( ) 3 3 3 1 2 y 1 x x 2 x
16 32 2( ) 3 3
:2 :
1 2 x , y x 2 y 0 x 0
x
0, y 1
y
0 ,1
x1
y2
2
: 2
x 4
[ 2 , 2]
x
A
( 4 , 0)
1 2 x 1 2
1 2 x 0 2 2 , x2
( 2 , 0) , (
y 1
1 2 x 2
1 2 0 2
1
x2
y 1
(0,1)
2, x
2
2
y 1
2 , 0)
2
2 0
202
x
2
2
1 2 x ) dx (1 2 2
A
1 2 x ) dx 2
2 (1 0
1 3 2 x ]0 ) 6
2( [ x
3
( 2) 6 2 ( 2 )3 0) 2( ) 6 6 6 2 2 2 4 2 ( ) 3 3 A 1.8853 A
2( 2
2(
6 2 6
8
)
y
x
x2
:3
3
. x
y
x
x2
3
0, y 3
y
y
: y' 2 x y 0
x
2
3
x
3
0
x
y
0
2
3
3
(0, 3)
0 , x2 3 0
:
y
(
x2
( 3 ,0) , (
3 1.7
1. 7
3 , 0)
( 3 , 0)
3
3 ,0)
3 (0 , 3)
[ 3,
3]
y
x2
3
x
: 3
A1
3
( x 2 3) dx 3
2 ( x 2 3) dx 0
3
3
2 ( x 2 dx 3 dx ) 0
0
1 1 2 ( [( 3 )3 0] 3 [ 3 0]) 2 ( ( 3 )3 3 3 ) 3 3 2 2 2 ( 3 )3 6 3 (1.7 )3 6(1.7) ( 4.913) 10.2 3 3 3 3.2753 10.2 6.9247
203
2 1 2 ([ x 3 ]0 3 [3 x ]0 3 ) 3
9.826 10.2 3
:4
x2 3x
y
[ 1, 4]
.
x
:
: y
x 2 3x
y ' 2x 3 0 x
3 , y 2
2x 3 , x
3 3 ( )2 3( ) 2 2 9 3 9 , (x , y ) ( , ) 4 2 4
x 2 3x 9 4
y
3 2
y
9 2
3 9 ( , ) 2 4 y
y
0
x 3x 0 x( x 3) 0 x 0, x 3
1 0
A
A1
A2
9 4 3
(x
A3 1
A2
1
0 2
1 2 2
3 x) dx
4
(x
2
A3 4
x
3 9 ( , ) 2 4
( x 2 3 x) dx
3 x) dx
0
3
0 x
:
3
A1
2
y" 2
3
1 3 2 0 1 3 2 3 1 3 3 2 4 A [ x3 x ] 1 [ x3 x ]0 [ x x ]3 3 2 3 2 3 2 1 3 1 3 1 3 2 0) ( ( 1) 3 ( 1) 2 )] [( 33 3 ) A [( 0 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 (3) 2 )] (4) 2 ) ( (3) 3 [( ( 4)3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 ( ) ( 27 9) ( 64 16) ( 27 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 27 27 64 48 27 27 3 2 3 2 3 2 3 2 1 27 64 27 3 27 48 27 65 54 57 48 3 2 3 2
204
(
1 3 0 0)] 3 2
9)
11 9 3 2
22 27 6
49 6
x
y
x2
:5
2x
[ 1,2]
. x
: y
x2
x 1 ,
2x y
:
y ' 2x 2 0 x 1 2x 2 x2
2 x 12
2(1)
1
(1 , 1)
(1, 1)
y
2
(1, 1) :
y
x
y
, x2 2x 0 x( x 2) 0 x1 0 , x2 2
0
0
1
2
x
0
1
1
x
0
[ 1,0]
[ 1,2]
:
x
2
A
(x
2
1
( x 2 2 x) dx
2 x)dx 0
1 8 1)) (( 4) 0) 3 3 4 4 4 4 8 ( ) ( ) 3 3 3 3 3
(0 (
1 [ x3 3 (
1 x 2 ]01 [ x3 3
1 8 1) ( 4) 3 3
205
[0,2]
x 2 ]02 (
1 3 8 12 ) ( ) 3 3
y
x
-1
sin x
y
-2 y
y 2 y 1
2 1
2
y 1
y
y
x3 1
x
1
x
[ 2 ,2 ]
.
y
2x x2 1
-3
x
.
206
x 1
x
0
Accounting of area bounded by two curves A
A1
A2
A1
A2
A
:
x2 1
y2
y1
x
.
1 x2
y1 y2
. ( y1
y2
y2 )
y1 x
. y
y
x 2
x2
. : y2
g ( x)
y1
f ( x)
g (x)
f ( x)
f (x )
x
: b
A
b
f ( x) g ( x) dx a
b
f ( x) dx a
g ( x) dx a
207
[ a, b ]
g ( x)
f (x )
g (x)
b
b
A
[ g ( x)
g ( x ) dx a
g ( x)
x
2
g ( x)
b
f ( x)] dx
a
f ( x)
f ( x ) dx
:
a
f ( x)
2x x
:1
2
. :
: 2 x x 2 , g ( x)
f ( x) f ( x)
g ( x)
2x x
2x x
2
x
2
2x 2x2
y
x2 2
x
1
0
1 3 ( , ) 2 4 1 1 ( , ) 2 4 1 1 2
3 4
0
1 4
2 x(1 x) 0 2x 0
x1
0
1 x
x2
1
0
0
g (x)
2
(1,1)
x f (x)
(0,0)
(1,1)
: 1
b
A
[ f ( x) g ( x)]
g ( x)
[2 x x
2x2 [2 x 2 x ] [ 2 0
2
2 31 x ]0 3 2 x
(1
2 x3 1 ]0 3
2
x ] dx
0
a
[x2
1 2
2 3 2 1 ) 0 3 3 3 2 f ( x) x 6 x 2
:2 . y
f ( x) x 2 6 x 2 g ( x) 2 x x2 6 x 2 x
2
x1
5x
0
2 x
f ( x)
g ( x) 2
x2 6 x 2 2 x
0
x( x 5) 0
1
: (0, 2) (1 ,1)
1
2
x
1
0 , x2 5 (0,2) , (5, 3)
2
3
(5, 3) (1 , 3)
208
f (x)
:
g (x) g ( x)
b
A
[ g ( x)
(2 x x 2
f ( x)] dx
a
6 x 2)dx
0
5
5
( x x2
( x2
6 x) dx
0
[
f ( x)
5
5 x) dx
0
x3 x2 125 25 5 ] 50 ( 5 ) 0 3 2 3 2 250 375 125 6 6
x2
f ( x)
125 125 3 2
:3
4x 2
.
x2
g ( x)
2x 2
: y
x2
f ( x)
x2
g ( x)
(3 , 5)
5
x2
0
1
2x 2
4x 2 x2 2
2x x1
2 (0 , 2)
4x 2 x2
4x 2 x 2
f ( x)
g ( x)
2x 2 2x 2
0
6x 0 x( 2 x 6) 0 0 , 2x 6 x2 3
x
3
(0 , 2) , (3 , 5) g (x)
f (x)
.
209
g ( x)
f ( x)
b
b
[ f ( x) g ( x)]dx
A a
0
a 3
2
3
( x2
g ( x)dx
a 3
3
b
f ( x)dx
(x2
4 x 2)dx
2 x 2)dx
0
2
4x 2x x x 2 x]30 [ 2 x]30 3 2 3 2 1 1 27 2 9 6 0 27 9 6 0 3 3 9 18 9 9
[
9
. . .
y
y
x2
y
x 5
x 1
x2
-1
y2
2x 2
-2
y2
2x 6
-3
4x
y
210
Accounting of rounding things Volume .
.
. . y
:
(a ) y
x
y
f (x)
a
x b
x
x b
f (x) x
a
(a )
y y y
0 x
x
(b)
a
(b) x
r
.
x b
211
x b a
r2 , x
A( x)
. y
r
y
: b
n
v
lim Vn
n
A( x) x
lim
n
i 1
b 2
b 2
r dx
[ f ( x)]2 dx
y dx
a
a
a
x
y
f ( y) y
y
d
y
c
d
y
x
c
r
y
d
x
0
A( y )
c
.
x
r2 , y
r
: b
n
v
lim Vn
n
A( y ) y
lim
n
i 1
b 2
r dy a
b 2
[ f ( y )]2 dy
x dy a
a
: :1
. : x2
. x2
y2
r2
y2
r2
x2
212
y2
r2 :
r
r
y 2 dx
V
(r 2
r
x 2 ) dx
r r
(r 2
2
x 2 ) dx
2 [r 2 x
0
2 [( r 3 2 (
3r
3
3
y
x3 r ]0 3
x
r
x
r3 ) 0] 3 r3 )
r x
0
3
2 ( V(
)
4 3
2r ) 3 r3
:2
. y
x
:
mx
h
y
y 2 dx
V
:
0 h
h
m 2 x 2 dx
y
m 2 x 2 dx
0
0
x3 m [ ]0h 3 h (mh) 2 3 y 2
x
h3 m ( ) 3
o
2
h
.
mx r h 2 r 3 h V r2 3
r
h
H
(h)
x
: y
mx
mh
213
x
y y
mx
r :
r2
: r2
V
h 3
V(
1 2 r h 3
)
x2 a2
x
y2 b2
:3
1
. : : x2 a2 y2 b2
y2 b2
y
1
x2 1 2 a
y
2
a
[b
2
a 2
V
b
2
y dx a
a a
[b
2
2
0
2
b 2 x ]dx a2
b2 2 x a2 b2 2 x ] dx a2
x
b 2 x3 a ]0 a2 3
2
2 [b x
x
a
b2 a3 b2a 2 b a ) 0 ] 2 [ ] a2 3 3 3b 2 a b 2 a 2b 2 a 2 [ ] 2 [ ] 3 3 4 2 4 b a b2a 3 3 2 [(b 2 a
V
y
: 4 a 2b 3
214
x
a
y
:1
x2
y
1
y
. :
: b
1
x 2 dy
V a
V
y
1 2 1 1 y |0 2 2
y dy 0
y 1
2
x x
.
y
3
:2
2x
:
y b
3
3
y 2 dx
V
[ 2 x ] 2 dx
a
0
2
0
2
x dx
2 [
0
V
2 x dx
0
3
V
3
[ 2 x ]2 dx
x 3 ]0 2
9
[ a, b] x
x
b
x
a
y2
g ( x)
g (x)
f (x)
y1
x
3
0
f ( x)
:
:
y y1
x
f ( x)
A(x) (
y2 g( x)
x
a
x
b
)
x
y1
y2
( y1
f (x )
: b
b
( y12
V
y 22 ) dx
a
( y12 a
215
y 22 ) dx
g (x)
y2 )
f (x )
: b
b
( y 22
V
g (x)
y12 ) dx
( y 22
a
y12 ) dx
a
y
x
x2
y
x
:
y
.
y
: y
x
(1,1) y x2
x
(0 ,0)
y1 x 2 y2
x
f ( x)
y1 , g ( x)
y2
g ( x)
x
0
f ( x) 1
b
( y22
y12 ) dx
( x 2 ( x 2 ) 2 )dx 0
a 1
(x2
x 4 ) dx
0
[
x3 3
x5 1 ]0 5
1 1 1 1 0) ( 0)] [ ] 3 5 3 5 5 3 2 2 [ ] [ ] 15 15 15 [(
V
x
x
y
0
-1
sin x x
. x
0
y
8
y
-2
x3
.
216
y
Accounting the Length of Arc
y
[ a, b]
f (x)
AB
. M2
.
M1
x2
x1
[ a, b]
M2
M1 H
. M2H
y
x
M1H
M1 H M 2
. y B
M2
:
y
M1 x
M1 H M 2
H
A a
x1
x2
x
b
M1 H M 2
: (M 1 M 2 ) 2 M1 M 2
( x) 2 ( x) 2
( y) 2 ( y) 2
217
:
: f (t ) x
x t f ' (t )
y t y g (t ) t
,
g ' (t )
,
t
M 1M 2
( x)2
( y)2
M 1M 2
[ f (t )]2 [ g (t )]2
[ f (t )
t ]2 [ g (t )
t ]2
t
: L lim n
n
[ f (t )]2
[ g (t )]2
t
i 1
b
[ f (t )]2
L
[ g (t )]2 dt
a
x2
. x y
y2
r2
:
r cos t r sin t
: 0 t
:
x2
P
y 2 dt
y
0
x
r sin t , y
r cos t r
( r sin t ) 2 (r cos t ) 2 dt
P 0
2
P
2
2
o
2
r sin t r cos t dt 0
r 2 (sin 2 t cos 2 t ) dt
P
r 2 dt
0
P
[ r t ]0
0
(r
r 0)
r
2 r
218
t
r cos t
r sin t
x
: a
x
y
b
-1
f (x)
b
L
1
f
2
( x ) dx
x
:
a
3
0
. f ( x)
x
x
y
4
f ( x)
x2
:
1
3 2
f ( x)
3 2 x 2
: b
1
L
0
4
1
9 x dx 4 1 1 2
L
3 1 ( x 2 ) 2 dx 2
f ( x) dx
a
0
1
4 2
4
4 du 9
u 0
4
1
4 2 u du 90
u 1 du
3
4 u 4 2 2 4 8 [ ] 04 [u ] 0 [ u 3 ] 04 9 1 9 3 27 1 2 8 9 3 4 8 9 x ) ]0 [ (1 [ (1 4) 3 1] 27 4 27 4 8 (10 10 1) 27 a y b
dx 8 ( 10 3 27
x
9 x 4
9 dx 4 4 du 9
1)
-2
f ( y)
y
: b
f 2 ( y ) 1 dy
L a
.
1
y
x
4
219
f ( y)
y
3 2
:
: f ( y) y
3 2
3 y 2
, f ( y)
1
4
b
f 2 ( y) 1 dy
L
( 1
a 4
1
4
9 y 1 dy 4 3 2 4 1
4 2 [u ] 9 3
8 [ (10)3 27 8 [ 1000 27
1 2
u 1
3 2 2 y ) 1 dy 2
4 du 9
u
8 9 [ ( y 1)3 ] 14 27 4 (
9 3 1) ] 4
13 8 ( )3 ] [10 10 4 27
.
9 y 1 4
du
9 dy 4
dy
4 du 9
2197 ] 64
y
1 x
2
0
x 1
t3
x
t2 3
.
220
f ( x)
1 2 x 2
-1 -2
b
f ( x) dx
F (b ) F ( a )
a
x
. f ( x)
y
b x
0 y
a
[ a, b] f ( x)
0
f (x )
g (x)
b
b
a
f ( x) dx
g ( x) dx
a
a
f (x )
: b
b
[ g ( x)
f (x )
b
f ( x) g ( x) dx
A
f (x)
x
:
f ( x)] dx
a
g (x)
b
g ( x)dx
f ( x)dx
a
a
: x
b
x
y
a
f (x)
x
.
x b a y
r
r2 , x
A( x)
y
: v
lim Vn n
n
b
n
lim
i 1
x
y
r
b
y 2 dx
a
y
.
b
r 2 dx
A( x) x
[ f ( x) ]2 dx
a
d
y
a
x
c
A( y )
d c
f ( y)
r2 , y
: b
n
v
lim Vn
n
lim n
i 1
b
r 2 dy
A( y ) y a
f (x)
f (x )
x
.
A
y
x
b
x 2 dy a
221
[ f ( y ) ]2 dy a
: b
[ f (t )]2 [ g (t )]2 dt :
L a
b
L
1 f '2 ( x) dx
(1
1 f '2 ( y ) dy
(2
a b
L a
y2
y
. [0,2 ]
x 5 y
x
-1
0
-2
sin x
. y
. x
. y
x2
4x
6x
x2
y
y
x2
4x 3
-3 -4
6x2
8x
-5
x3
y
x2
2x
. y
-6
sin x cos x
[0,4]
x
x
. 1 2 x 4
y
x
x
2
0
-7
2
. y
x
-8
2
[2 , 6]
x2
x
. y
x
1 x 1 2
y2
2
-9 .
2
. .
x
y
2 2
x
5
222
-10
x 4 y
4 x 3
4 3
-11
223
.
224
IR
S x1
f ( x1 )
f
x2
P( X
f ( x2 )
xi )
f ( xi )
x1 , x 2 , ... , x n
. k2
f (x)
k1
.
f (x)
k1
k2
x
225
xi
E ( xi )
2
2
, E(x
xi )
xi f ( xi ) i 1
xi
. xi 0 f ( xi ) 0.5
E ( xi )
2
f ( xi )
1 0 .5
: . P( X
.
( .
f ( xi )
P( X
x)
-
x
f (x)
x
k2
: k2
P (k1
x
k2 )
f ( x) dx k1
k1
: P (k1
x
k2 )
k2
x
F (k 2 ) F (k1 )
( Expected Value)
x
E (x )
:
n
E ( x)
x1 f ( x1 )
-
x1 , f ( x1 ) , x 2 , f ( x 2 ) , ... , x n , f ( x n )
) F ( x)
xi )
x 2 f ( x 2 ) ......... x n f ( x n )
xi f ( xi ) i 1
226
x
k1
x
x
S2
E (x )
x
x
: S2
2
n
xi
E ( xi ) f ( xi )
i 1
: . . :
. 0 .8
0 .2
:
( Expected Value)
.
x
: :
:
227
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P
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0.1354 h
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6
7
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6
.
3
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0 .4
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.
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261
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269
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B) ,
P( B
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B
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B
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PA ( B )
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P( A Bi )
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n k 1
PB1 ( A )
A
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A
B2
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Bn
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A
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i 1, 2,..., n
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. : :B
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PB (A )
.
A :
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A
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B
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B
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B A B
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PA (B)
.
PB ( A)
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0.6
PB ( A )
0.5833 58.33%
A
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58.33%
B
A B A
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A
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B
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B A B
B
A
B A
A (A B)
. .
P(B) PB (A )
: B A
S P(A B)
P(B) PB (A) :
: B
P(B)
P (A
P( A B )
PB (A)
B)
P ( B ) PB ( A)
272
A
P(B) PB (A)
C B A
: P( A)
PA (B)
A
P( A
P( A
B C)
B
PA B (C )
B
C
C)
P ( A) PA ( B ) PA B (C )
. B3 , B 2 , B1
:
:
: :V
. i=1, 2, 3, … ( -i) - Bi
.
35%
22%
: Bi
30%
B1 B2 B3
B1
33.2%
35
B2
46.5%
22
B3
20.3%
30
S
(i 1,2,3) Bi
. Bi
. 3
S
B1
B2
B3
Bi S
-2
i 1
3
V
( Bi i 1
273
-1
V)
: 3
P (V )
3
P
( Bi
V)
3
P( Bi
V)
i 1
i 1
P ( Bi ).PBi (V )
i 1
P ( B1 ) PB1 (V ) P( B2 ) PB2 (V ) P ( B3 ) PB3 (V ) 0.332 0.35 0.465 0.22 0.203 0.3 0.1162 0.1023 0.0609 0.2794 27.94% P ( Bi )
i 1, 2 , ... , n
0
Bn ,...., B2 , B1
: S
. n
P ( A) i 1
A
P( Bi ) PBi ( A) :
(Bayes) A
i 1,..., n P ( Bi )
s
0
i 1,..., n P( A)
: PA ( Bi )
P( Bi ) PBi ( A)
P ( A Bi ) P ( A)
B2
B
B1
B
n
P ( Bk ) PBk ( A) 2
B2
S
: PA ( B)
: Bayes
n k 1
0
B1
P( B) PB ( A) P( B) PB ( A) P( B) PB ( A)
. 40% 30 % 30%
n 2
C B A
5% 2 % 4%
: .
: (a
. 274
C
(b B
(c :
PA ( D ) 0.04
D
:(a
0.3 0.04
A
P( A ) P(B)
0.96
D
PB ( D) 0.02
D
PA ( D )
0.3 0.3
0.3 0.02
B
0.038 3.8%
P( D)
PB ( D ) 0.98 D
P (C )
0.4
PC ( D) 0.05 D
0.4 0.05
C PC ( D ) 0.95
PD (C )
P( D C ) P( D)
P(C ) PC ( D) P( D)
0.4 0.05 0.3 0.04 0.3 0.02 0.4 0.05
D
:(b
p ( c ) pc ( D ) P( A) PA ( D ) P( B) PB ( D) P(C ) P C ( D) 0.02 0.038
0.526 52.6%
:(c PD ( B)
P( D B) P( D)
P ( B ) PB ( D ) P( D)
0.3 0.98 0.3 0.96 0.3 0.98 0.4 0.95 0.294 0.294 0.288 0.294 0.38 0.962
P( B) PB ( D) P( A) PA ( D) P( B) P B ( D) P(C ) PC ( D )
0.3056 30.56%
1000
. .
6
275
P( A
B)
P ( A) P ( B )
A
.
B
B A B
.
B
A B A
A B
B A P( A
S
.
A
B)
:
P( A) P( B) .
B A
S
B A P(A) P( A
A
P ( A B)
PB (A)
B)
P ( A) P ( B ) P( A B )
B : B A
: P( A B)
P ( A) P( B) (
) :
A
B P( A
:1
( A B) 0 B) P( A) P( B ) (
B A
) :1
: :H :B
. . 276
:2
. :
: P( B
H)
P( B H ) P( B) 2) , An ..... , A2 , A1 PB ( H )
P( H ) P ( B )
(n
PB ( H )
P( H ) :
n:
. :1 B A
B
A
B
A
B A
A, A B, A B
. B A
.
b a B A B :
B B A P( A B) a b P( A B ) a (1 b) a A P ( A B) b(1 a ) P( A B) (1 a )(1 b) 1 a b 1 b 1
C B A
: P( A B )
P( A) P( B)
P( A C )
P( A) P(C )
P( B C )
P ( B) P(C )
P( A B C )
:2
P( A) P ( B) P(C )
:2 : -a -b
. .
: .
:C :
P( A B)
:B .
. P ( B)
1 1 2 2
P ( A) P( B)
277
1 1 2 2
1 , P( A) 2
:A 1 2
:(a
1 2 1 2 1 2
1 2
W
1 2
B
B A
.
W
B W
1 2
B
1 1 1 2 1 1 , P( A) 2 3 2 3 2 2 P( A B) P( A) P( B)
P( B) 1 3 1 2
1 2
W
2 3
W
2 3
B
1 6 1 6
B W
1 3
(a
1 1 2 2 1 4
B
B A
.
:C :3
: B A 0.12 A P ( A B)
B P( A B) ? P( A B)
?
? ?
? ?
0 .6
P(B)
: P ( B ) 1 P( B) 1 0.6 P ( A B ) 0.12 P ( A) P( B) 0 .4
0 .4 0 .3
P( A) 1 P ( A) 1 0.3
0 .7
: P( A
B)
P ( A) P( B )
0.3 0.6
0.18
P( A
B)
P ( A) P( B )
0.7 0.4
0.28
P( A
B)
P ( A) P( B )
0.7 0.6
0.42
. 278
0 .6
:
0.25
30
5 3, 2
Ak A5
A3 , A2
k
.
. .
.
.
. P ( B)
S
0
B A
A
PB ( A)
P( A B ) P ( B)
. B A
: P ( A B)
P ( A) P( B) (
) 279
B
-1 :
: :
: L
-2
3
.
8:50
8
-3
8:45 8:30 8:15
.
5
. R
-4
0,3
.
2
5 -5
3
. -6
: 1
0.088 0.002
0.05 -7
. :
(a
.
(b
.
280