Mathematics 12 [12]
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ملي سرود دا وطن افغانســـتـــان دى
دا عــــزت د هـــر افـغـان دى
کور د سول ３کور د تورې
هر بچی ي ３قهرمـــــان دى
دا وطن د ټولـــو کـور دى
د بـــــلـوڅـــــــو د ازبـکــــــــو
د پ＋ـــتــون او هـــــزاره وو
د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو
ورســـره عرب ،گوجــر دي
پــاميــريـــان ،نـورســـتانيــــان
براهوي دي ،قزلباش دي
هـــم ايمـــاق ،هم پشـه ４ان
دا هيــــــواد به تل ځلي８ي
لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان
په ســـينــه ک ３د آســـيـــا به
لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان
نوم د حق مـــو دى رهبـــر
وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر
. .
:
---------------------------------------------------: : : : : : : : : : [email protected] : ---------------------------------------------------.
. .
.
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. .
.
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133-172
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173-198
.........................................
199-222
......................................................................................
223-260
.....................................................................................................
261-282
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1
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III
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II
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a
x
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a
:
x
a
: 0: | x a |
x
|x a|
a
0
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x
a ): a
. x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...
(x
x
a a ): a
. x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ... x
x
x
a a
x
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a
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x
.
9
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x :
: x : 9.1 , 9.01 , 9.001 , 9.0001 , ...
9
x : 8.9 , 8.99 , 8.999 , 8.9999 , ...
9 f (x )
a
l
f (x )
a
x
a
x
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. f (x )
l
x a f ( x) l
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:
a
y y
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a
.
0 : | x a| (| x a |
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a
a
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f ( x)
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x2 1 , x 1 x 1 1.001 1.01 1.02
2.001 2.01 2.02
. f (x )
.
(1) x
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0
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f ( x) (l1
)
, l1
f (x ) :
a
):
0
lim f ( x) x a x a
0
x (a
. , a)
f ( x) (l2
l2 , l2
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0 x a x a
lim f ( x) l : x
lim f ( x) l
x
a
a
l
lim f ( x)
x
a
f (x ) :
a
lim f ( x)
:
lim f ( x) l1
x
a
7
x
a
lim f ( x)
x
a
l2
f (x )
lim
.
3
x
x2 9 x 3
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:
:
:
3.5 3.1 3.01 3.001
...
3
f ( x) 6.5 6.1 6.01 6.001
...
6
2.5 2.9 2.99 2.999
...
3
f ( x) 5.5 5.9 5.99 5.999
...
6
x
x
.
lim 3
x
x2 9 x 3
lim
x2 9 x 3
6
lim
x2 9 x 3
6
3
x
x
3
6
: : 0
0 : |x a| 2
| x 3|
x 9 6 x 3
| f ( x) l | ( x 3)( x 3) 6 | x 3 6| | x 3| x 3
lim x
.
x
8
2
3
f ( x)
x2 9 x 3
6 :
| x 2| x 2
(Properties of Limit)
lim ( x 2
x
lim x 2
x)
1
x
x
lim x
1
x
1
1
: f ( x)
2 x
x 2
g ( x) 2 x
.
x
3
lim f ( x) lim g ( x)
.
x
2
x
2
lim f ( x) lim g ( x)
.
x
2
x
2
lim f ( x) lim g ( x)
.
x
2
x
2
: lim g ( x )
: 1) lim Kf ( x) x
a
K lim f ( x) x
a
2) lim f ( x) g ( x) x
3) lim f ( x) g ( x ) x
f ( x) g ( x)
x
a
5) lim x
a
n
f ( x)
a
x
x
a
lim f ( x) x
a
lim g ( x) x
n
a
lim f ( x) x
a
lim f ( x) x
a
x
A B
a
lim f ( x) lim g ( x)
a
4) lim
x
B
a
KA
lim f ( x) lim g ( x)
a
x
a
A B
A , lim g ( x) B x a n
A , lim f ( x) x
a
B
0 A 0
. x
a
(x) :
.
9
lim ( x) 0 x
a
A
x
x
: f ( x) b ( x) lim ( x) 0 x
x
(x)
a
x
a
1 ( x)
a
a
lim f ( x) b
a
lim
-1
lim f ( x) b
f (x)
b
x
a
-2
(x)
. -3
.
-4
(x)
u (x)
( x) u ( x)
v( x)
.
: ( x)
3
x
:
x
2
9 (I
lim( x 2 9) 0 x
3
lim ( x) x
lim x
1 2x
1 (II 2x
( x)
x
: 0
. 1) lim (2 x 2 1) x
x
x
2
2
x
x
3
x
lim 4 x lim 3
4x 3 0 x 1
2
x
lim ( x 1) lim ( x 1)
3
x
3) lim x
lim 2 x 2 lim1 2 lim x 2 lim1 2 22 1 7
2
2) lim ( x 1)
:
0
x
0
lim x lim1 x
0
x
0
3
0 3 0 1
2
x
2
( 4)( 4) 16 3
: .1
: f ( x1 ) , f ( x2 )
: lim f ( x1 ) x
a
f ( x2 )
lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x
a
x
: lim x
a
f ( x1 )
f ( x1 ) b1 f ( x2 ) b2
a
2
f ( x2 ) 1 2
..... I ..... II
1
lim f ( x1 ) b1 , lim f ( x2 ) b2 x
a
x
a
:
b1 b2 f ( x1 )
f ( x2 ) (b1
10
1
) (b2
2
) b1 b2 (
1
2
)
(
1
2
)
: lim f ( x1 ) x
f ( x2 )
a
b1 b2
lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x
a
x
a
.2
: : lim f ( x1 ) f ( x2 ) x
lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) b1 b2
a
f ( x1 ) b1
x
1
f ( x2 ) b2
a
x
a
f ( x1 ) f ( x2 ) (b1
1
)(b2
2
)
2
f ( x1 ) f ( x2 ) b1 b2 b1 b2
2
b2
1
1
2
b1
2
1
: lim f ( x1 ) f ( x2 ) x
b1 b2
a
lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x
a
x
a
.3
: lim x
a
f ( x) g ( x)
lim f ( x) x
b1 b2
a
lim g ( x) x
a
g ( x) b2 0
,
: f ( x) b1
1
g ( x) b2
2
f ( x) g ( x)
b1 b2
1 2
b1 b2
: f ( x) g ( x)
b1 b2
b1 b2
1 2
b1 b2
b2 (b1
) b1 (b2 b2 (b2 2 ) 1
2
b2b1 b2 1 b1b2 b1 b2 (b2 2 ) f ( x) g ( x) b2 (b1 b2 (b2
b2 1 b 2 b2 (b2 2 ) ) 2)
1
b1 b2
11
1 2
) b2 1 b1 2 b2 (b2 1 )
2
b1 b2
b2
1
f ( x) g ( x)
b1 2 b1b2 b1 b2 (b2 2 ) b1 b2
1 2
2
x
(0
a
1)
2
1
: f ( x) g ( x)
lim x
a
lim f ( x) x
b1 b2
a
lim g ( x ) x
a
h(x)
g ( x) , f ( x)
g ( x ) h ( x)
(x a
x
f ( x)
.
lim g ( x) b x
lim u ( x)
.
x
(1
a
x
a
x
a
2
x 4
u ( x) 1
x
x ) 2
u (x)
:
x2 x2 ) 1 lim(1 ) x 0 4 2
lim(1
:
a
)
lim f ( x) b lim h( x)
a
2
:
0
:
lim u ( x) 1 x
0
f ( x)
g ( x)
g (x)
:
lim f ( x) lim g ( x )
.
x
15 x 4 5x 6
g ( x)
f (x )
.
a
x
f ( x)
f ( x)
a
15 x 4 5x 6 g ( x)
: x 1
: lim f ( x) x
lim g ( x) x
15 x 5x 15 x lim x 5x lim x
4 6 4 6
15 3 5 15 3 5
. 1) lim 6 x 3 x
0
2x 2
5x 3
2) lim x 7 x
1
2x 5
2
4) lim x
0
5x 7 x (2 x 5) 2 9
5) lim x 2 x
2
12
(9 x 2) 2 4 x 0 x 2x 6) lim 2 x 1 x 4x 1
3) lim
0 , 0 0
x
.
x
.
2
y
1
y
x2 x x2 x
y
x
.
x2 1 1 1 1 1
:
. ... 0
,
,
,
0 0
: 0 0
:
x
.
x 1 x2 1 f (x)
f ( x)
1
x
.
1
f (x)
x 1
: 0 0
.
(
13
)
-I
. x2 4 2 x 2
1) lim x
,
2) lim x
x2
2
6x 8 x 2
,
:
3) lim
x 16
x
4 x 16
: x2 4 2 x 2
1) lim x
( 2) 2 4 2 2
0 0
:
0 0
: ( x 2)( x 2) lim ( x 2) 2 2 x x ( x 2) 2 2 x 6 x 8 2 12 8 0 2) lim x 2 x 2 2 2 0 lim
2 2
4
0 0
: ( x 2)( x 4) x 2 x 4 0 3) lim x 16 x 16 0 lim x
lim( x 4)
2
x
2
2 4
:
2
0 0
: :
lim
x 16
4 x 16 x
x x
3 x 1) lim ? x 3 x 1 2 2x 4 2 4) lim x 1 5 ? x 2 x 2
( x 16) x 16 ( x 16)( x 4) 1 1 lim x 16 x 4 8
4 4
lim
5 5 ? 2) lim 2 x 2 3 x 1 x 1 1 1 5) lim x 3 3 ? x 0 x
14
3) lim x
4
x 4 x 2
?
-II
x 3 3x 8 lim x 2x2 2
.
f ( x)
x
.
x
.
x
x3 4x 1 x3
g ( x)
x
. .
2x 4
y
x
0
2x 4 5 x 2 f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
:
:
:
.
. lim x
x2 1 3x 2 2
1 2
lim x
:
15
x2 1 : 3x 2 2
:
x2
: x2 1 lim 2 x 3x 2
x2 1 2 2 lim x 2 x x 3x 2 2 x x2
2 x2 lim x 2 3 x2 1
1
1
1 0 3 0
2
3
1 3
x2 2 lim x x 2
. lim x
: 2
lim x
x 2 x 2
x2 2 x 2
:
x
x2 2 lim x x x x2
2 x2 2 x2
2 x2 lim x 2 x x2 1
1
2
1
1 0 0
2
1 0
. lim x
: lim x
x 1 x2 2
:
x 2 lim x 2 x x x2
lim x
x 1 : x2 2
x 1 x2 2
:
x 1 x2 2 x2
1 lim x x 1
1 x2 2 x2
1
1 0
1
2
1 0
0 1
0
: :
16
(x
)
a0 x m a1 x m 1 ... am b0 x n b1 x n 1 ... bn
f ( x)
: a0 b0
m n
-1
.
m
n
-2
.
m
n
-3
.
. 1) lim
5x2
x
6 x 4 x3 x 1 x4 2 x2 3
:
8 6 x3 x 2 x 2) lim 3 x 3 5x x4 6 x 1
3x 2 2 3) lim x x 1
: lim x
lim x
5x 2
6 x 4 x3 x 1 6x4 lim x x4 2x2 3 x4
8 6x3 x 2 x 5x3 x 4 6x 1
0
6
.
m n
-1
m n
-2
m n
-3
:
:
lim x
3x 2 2 x 1
: .
17
1) lim
6 2
x x x3 x 2 x 7 4) lim x x3 x 5 x
x4 2) lim 3 x x 3x 2 5) lim x x
x2 x 6 3x 4 2 1
18
x5 3) lim 4 x x
x2 x2
x 9 x 5
(0
lim x
2
1 x2
lim ( x 2 x
3
)
(
.
x 1 4 x2 4 2 x3 4 9) x 3
.
a 1
. . .
) -III
x 1
f ( x)
x
x
x 1
f ( x) (2 x 1)( x 1)
x
: (0
)
(
)
0 0
. . 8 x 10 1 ) ? 2) lim( x 1)( 2 ) ? 2 1 x x 1 x 1 x 2x 3 9 8 x 10 9 8 1 10 9 18 lim( ) 2 x 1 x 1 x 1 1 1 12 1 0 0 ( ) :
1) lim(
:
9
x 1
9 x 9 8 x 10 x lim 2 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 1 lim lim x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 lim
1 1 1 2
0 0
19
:1
1 ) ? x 1 x 2x 3 1 1 lim( x 1)( 2 ) (1 1)( 2 ) x 1 x 2x 3 1 2 3
2) lim( x 1)(
2
: lim x 1
x 1 x 2x 3 2
x 1 1 ( x 1)( x 3)
lim x
lim x 1
1 x 3
0
1 3 3 (0 )
0
1 0
0
1 4
. 1) lim( x 1 x
x)
3) lim ( x 5 8 x 3 ) x
5) lim ( x a x
1 1 2) lim ( ) x 1 1 x 1 x2 1 4) lim ( x 2 25) x 5 x 5
x)
20
:2
lim(1 sin x) x
1 x
0
, 00
y
xx
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0
0
x
. .
1 ,
y
x
1 ,
0
,0
(1 x)
1 x
0
: 0
lim( f ( x)) g ( x ) x
a
ln(lim f ( x ) g ( x ) ) lim(ln f ( x) g ( x ) ) lim g ( x) ln f ( x) x
a
x
a
x
a
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. lim(1 n
e
1 n ) n
an
2.71828182
(1
1 n ) n
e
: n 1
1 n 1
1
1 n 2
(1
1 n ) n 2
2
0 .5
1 .5
2.25
5
0 .2
1 .2
2.48832
10
0 .1
1 .1
2.59374246
100
0.01
1.01
1000
0.001
1.001
10000
0.0001
1.0001
100000
0.00001
1.00001
1000000
0.000001
1.000001
1000000000
10
9
1 10
2.704813829 2.716923932 2.718145926 2.718268237 2.718280469 9
2.718281828
21
n
-I
Euler
.
e 2.71 ...
1 n ) n
lim (1
n
e 2.718281828
-II
: 1
1) lim(1 0
3) lim x
0
e
)
2) lim (1
x 1
x
Ln(1 x) 1 x
4) lim x
ex
1
. 1
1) x
2) lim(1 x
u
x
x
x
x
: 1
1 , x )
e
1
x
0
x
)
x
0
lim(1 0
)
lim(1
1 , x x
0
x
1 x ) x
e , x
u
u
0
1
lim(1 u ) u
u
u
0
1 u
x
u
lim (1 u ) u
lim (1 u ) u
1 u
0
ln(1 x) 3) lim x 0 x
0
1 , u x
x
0 1 x ) x
lim (1 x
e
1 lim ln(1 x) x 0 x ln lim(1 x) x
0
ln lim(1 x) x
1 x
0
1 x
lim ln(1 x ) x
1 x
0
1 u
, x
ln lim (1 u
22
u 1 u ) u
ln e 1
u
e
ex 1
4) y
ex
1 y
lim x
e
x
x
1
lim
x
0
y
0
1 1 lim ln(1 y ) y 0 y
lim u ( x)
1
x
lim y
0
lim ln(1 y ) y
1 y
1 ln(1 y ) y 1 , y x
1 ln(1 y ) lim y 0 y 1 x , y y
1 1 1
v( x)
lim u x
a
lim (1 u 1) x
u 1
v u 1
v
u 1
lim (1 x
a
1
)
a
lim (1 x
0
: lim u ( x)
v( x)
lim u ( x)
v( x)
x
x
a
a
eP ,
x
a
lim v ( u 1)
ex
)
0
P
a
u
x a
) u 1
1
a
eP
lim v(u 1) x
a
lim(1
.
x
2 x ) : x
1
: 2 , v x x 2 x lim(1 ) eP , P x x 2 x lim(1 ) e P e2 x x
lim ( v )
lim v ( u 1)
1
lim(1
1
:
a
: v
x
0
0
1 ln e
1 x ) x
x
y ln(1 y ) 1
1 ln lim (1
ln(1 y )
:
u 1
lim x(1 x
2 1) x
2
1 x25 lim(1 ) x x
. lim(1 x
23
1 x25 ) x
1
: :
1
: x 5
1 2 ) eP x x 1 x 5 u 1 , v x 2 lim(1
lim v (u 1)
P
x
lim
a
1 ) x
lim(1 x
x 5 2
x
1 x 5 (1 1) 2 x
lim x
x 5 1 ( ) 2 x
lim x
x 5 2x
1 2
1
eP
e2
e 1
lim(cos x) x x
0
? :
1
lim(cos x) x x
:
1
0
1
: cos x , v
u
lim(cos x) x
1 x
0
eP
P lim v(u 1) x
1 x
a
lim x
0
1 (cos x 1) x
lim x
0
cos x 1 (cos x 1)(cos x 1) lim 0 x x x(cos x 1)
cos 2 x cos x cos x 1 cos 2 x sin 2 x cos 2 x lim x 0 x(cos x 1) x(cos x 1) sin x sin x lim lim 0 x 0 x cos x 1 x
1
0 2
1
lim(cos x) x x
0
eP
e0 1
. 1 x2 ) x x x 3 x2 3) lim( ) x x 1
1) lim(1
x 1 x 1 ln x 1 2 4) lim(1 2 ) n x n
2) lim
1
5) lim(cos 2 x) x x
0
24
0
Trigonometric functions limits (1unit) .
o
C (o , r )
. MB
.
CA
ox
C
.
C
. : (1 )
. lim
sin
:
1
0
OMA
: MOA OAM
1 OA BM 2 1 2 r 2
COA
1 r BM 2
MOA
:
BM r 2 y C
.
M
COA
1 OA AC 2
1 r AC 2
AC r 2 O
OMA
: 1 r BM 2
1 2 r 2
AC r 2
25
B
x
A
COA
MOA
2 r2
: BM r
AC r
sin
tan sin
cos
1
lim cos
lim1 1
0
0
sin
1 cos
lim cos
lim
1
0
sin
lim1
0
0
1
. ( 1)
: 1 sin 1
sin
1
0
(1)
1
sin
lim
lim
1
1
lim
sin
lim
1
: lim lim
1
0 lim
1
sin
0
0
. lim
. 0
: sin
2
x
x
x
0
sin
2
: sin 2 x 0 x
lim x
lim
sin
0
2 lim 0
sin
21 2
2
26
0
sin 2 x : x 2
2x
:
5 tan 2 x : 0 7x
lim
.
x
: 5
5 tan 2 x 7x
sin 2 x cos 2 x 7x
5 sin 2 x 7 x cos 2 x sin 2 x lim 10 x 0 2 x 10 7 lim cos 2 x 7
5 tan 2 x 0 7x
lim x
x
sin 2 x 2x 7 x cos 2 x
sin 2 x 2x 7 cos 2 x
5 2x
10
0
1 cos 2 x : x 0 x 1 cos 2 x 2 sin 2 x lim
.
: 1 cos 2 x 0 x
lim x
2 sin 2 x x 0 x sin x 2 lim lim sin x x 0 x x 0
:
lim
210 0 tan 3 x : 0 sin 5 x
lim
:
x
:
tan 3x lim x 0 sin 5 x
sin 3x lim cos 3x x 0 sin 5 x
sin 3x 3x lim cos 3x x 0 sin 5 x 5x 5x 3x
sin 3x 3x lim cos 3x 3x x 0 5 x lim sin 5 x x 0 5x lim x
0
cos
lim x
0
lim x
0
x
2 sin
4x 6x 4x 6x sin 2 2 x2 2 sin 5 x sin( x ) 5 sin 5 x sin x 2 lim lim 2 x 0 x 5x x 0 x
2 sin
27
3 5
cos 4 x cos 6 x : 0 x2
lim
. : cos
1 31 51
2
sin
2
:
:
y
0
x
0
5x
sin y sin x lim 10 1 1 10 0 y x 0 x
10 lim y
. sin( x 1) lim x
0
x
6
)
6 sin x x 4) lim x 0 x tan(2 x 1) 7) lim x 0 4x2 1
sin 2 x 0 x
2) lim x
5) lim x
0
3) lim x
tan 2 x sin 3x
1 1 tan 2 x
6) lim sin 5 x cos 3x x
8) lim cos 2 x cos x 1 x
0
0
28
0
9) lim(cos 2 x sin 2 x) x 1
y
Continuity of functions . .
.
.
f ( x)
.
x2
f (x )
x 1
.
4x
f (x )
x 1
:
x
.
y
a a
. a
. lim f ( x) x
a
f (a ) :
f (x )
29
f (x) : f (x ) -1
-2 f (a ) -3
x0
.
2
x2
f ( x)
2x 1
:
:
:
1) 2 Dom f ( x) 2) lim( x 2 x
2
2 x 1) 22
3) f (2)
IR 4 4 1 7
lim f ( x) x
4 1 7
f ( 2) 7
2
. x0
.
1
2x 1 x 1
f ( x)
IR \ { 1} :
: f (x )
2x 1 1 x 1 1
3 0
lim
.
x
1
:
. x
.
x2
f ( x)
2
x
2
2x 1 ; x 2 3
; x 2
: lim f ( x)
x
2
lim f ( x)
x
2
: :
lim ( x 2 3) 1
x
2
lim ( x 2 2 x 1) 1
x
lim f ( x)
x
2
lim f ( x)
x
2
2
. y
x
30
lim f ( x) x
2
f ( 2)
2x 1 ; x 1 1 x ; x 1
f ( x)
x 1
.
: :
lim f ( x) 1 x f (1)
lim f ( x)
0
x 1
0
lim 2 x 1 3
x 1
x 1
lim f ( x)
lim 1 x
x 1
x 1
lim f ( x)
0
lim f ( x)
x 1
x 1
x 1
. f ( g ( x))
x
g (a)
f (x)
x
g (x)
a
: x
: lim f ( g ( x)) x
f (lim g ( x))
a
x
1) lim( f ( x)) x
x
ax
a
IR
a
3) lim log a f ( x) x
,
a
lim f ( x )
2) lim a f ( x ) x
f ( g (a))
a
(lim f ( x))
a
a
log a (lim f ( x))
a
x
a
4) lim sin f ( x) sin( lim f ( x)) x
a
x
a
.
x
3
x
.
x
f
x
.
f
:
f (x)
a
: a
. (
a
f
) a
: :
a
: (.
31
f (x )
3
a
.
:
3
. ).
x2 9 x 3 3 x
f ( x)
3
. a ) f ( x)
x 2 5( x 2)7 ; x 3
c) h( x)
8 x2 2x2 5
e) f ( x) | x 3 | x3 g ) f ( x)
x 3
; x
2
; x 3 x
; x
b) f ( x)
0
d ) f ( x) f ) g ( x) h) f ( x )
; x 2
32
x 3 ; x ( x 2 x 5) 2
1 ( x 3)3 | x| x x2 9 x 3
; x 3 ; x 0 ; x 2
1
(f
g )( x )
f ( x) g ( x)
( f g )( x)
f ( x) g ( x )
(f
f ( x) g ( x) , g ( x)
g )( x )
0
.
x2 1
f ( x)
.
g ( x)
.
x 3
f ( x) g ( x)
:
x
g (x)
c
f (x )
.
x
g ( x)
c
f ( x) g ( x)
-1
f ( x) g ( x)
-2
f ( x) g ( x)
-3
f ( x) ; g ( x) g ( x)
:
:
-4
0
x 2 3x 2
f ( x)
x2 3
: x 1
g
f -1
-2
: . 33
f ( x) g ( x) ( f
g )( x) (
.
x 1
f ( x) g ( x) ( f g )( x ) (
: 1) Df ( x)
IR
2) lim f ( x) lim( x 2 x 1
3) 4
x 1
3) f (1) (12
3) 4
. 1) D g ( x)
x 1
f
IR
2) lim g ( x) lim( x 2 x 1
3x 2) 12
x 1
3) g (1) (12
31 2 2
3 1 2) 2
.
x 1
g
-2
: ( f ( x)
x2
3 x2
g ( x))
IR
g ( x)
1) D( f ( x) 2) lim f ( x) 1
x
lim(2 x 2
g ( x)
3x 1
3 x 1)
1
x
2 x2
3x 2
6
3) f (1) g (1) (1 3 1 3 2) 6 lim f ( x) g ( x) f (1) g (1) 6 1
x
g )( x) x 2 3 x 2 1) D ( f g )( x) IR (f
2) lim ( f 1
x
3) ( f
g )(1)
lim ( f x
1
lim 2 x 2
g )( x)
x
(2 x 2
g )( x)
1
3x 1
3 x 1)(1) (f
.
2 x2
3x 2
g )(1)
3x 1 6
6 6 x 1
34
( f ( x) g ( x) ( x 2 3)( x 2 1) D( f g )( x) IR 14
2) ( f g ) (1)
3 x 2)
3 13 12
x4
3x 3
x2
9x 6
9 1 6 8
3) lim( f g )( x) 8 x 1
lim( f g )( x) ( f g )(1) 8 x 1
.
x
x 1
f ( x) g ( x)
2
f ( x)
g ( x) 3x 2
x 1
:
: 1) Dg ( x)
1) Df ( x)
IR
2) lim g ( x) 3 x 2 3 2 2 x
2
3) g (2) 3 x 2 3 2 2 lim g ( x) x
2
f ( x) g ( x) D( f g )( x)
g (2)
4
4
2) lim f ( x) x
2
3) f (2) x
lim( x 1) 3 x
2
x 1 3
lim f ( x)
4
( x 1)(3 x 2) 3 x 2
IR
2
2 x 3x 2 3x 2
f (2) 3
x 2
IR
lim[ f ( x) g ( x)] 3(4) 2 2 12 x
2
( f g )(2)
3(4) 2 2 12
lim f ( x) g ( x) x
2
( f g )(2) 12
.
x
35
2
f ( x) g ( x)
-1 1) f ( x) 2) g ( x) 3) h( x)
x 3 2( x 1) 5 x
(x
2
; x
3 x 5)( x 2
; x
2 x)
x x 1 ( x 2) 3
.
2
2
; x x
0
f ( x)
36
1 4 x 3 x
2
-2
x
a
x
0)
(
a
:
x
a
: 0: | x a |
x
|x a|
a
0
(x
x
a ): a
. x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...
a
(x
x
a ): a
. x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ... x
x
a
x
a
x
: x
a
(x
a , x
a ) f (x )
a
f (x )
l a
a
x
f (x )
x a f ( x) l
lim f ( x) l
M C,L
g
x
x
lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
L M
2)
lim( f ( x ) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
L M
3)
lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
4)
lim
5)
x
x
x
x
c
c
c
x
f ( x) g ( x)
lim f ( x) x
c
c
x
lim f ( x) x
c
lim g ( x) x
c
lim f ( x) x
c
x
c
c
f
lim g ( x)
1)
c
:
a
: x
x
x
a
.
l
x
:
c
c
c
L , M M
L M
0 ,
L
37
c
g ( x) 0
:
M
lim f ( x) x
c
L
x
(x) :
a
lim ( x) 0
. h(x)
x
f ( x)
:
(x a
lim g ( x) b x
a
g ( x) , f ( x)
g ( x ) h( x )
.
x
a
)
lim f ( x) b lim h( x)
a
x
a
x
a
0 0
. a0 x m a1 x m 1 b0 x n b1 x n 1
f ( x)
x
... ...
am bn
: a0 b0
. (0
)
(
m
n
.1
m
n
.2
m
n
.3
)
0 0
.
1 lim u ( x)
.
x
a
v( x)
1
eP
x
a
0
. lim
P lim v(u 1)
,
sin
1
0
x
:
y
a
f (x)
. a
.
lim f ( x) x
38
f (x)
a
a .1
.2 f ( a ) .3
. 3 x sin x -1 0 x
lim x
a) 2
b) -2
c) 1
d) 3 x2 2 x2
x 6 -2 x 2
lim
x
a) -
5 3
b)
5 3
c) 0
d) 1
lim (2 x 0.3) -3
x 1.4
a) 1
b) 3
c) 0
d) lim
sin 3x -4 tan 2 x
lim
x 4 -5 x 2
x
a) 1
b) 0
c)
3 2
d)
2 3 x
a) 2 + 2
b) 2
c)
2
x
b)
1 2
c)
1 4
2
x2 2x 5 x 3 2x2 1 6 lim 2 x x 7 3x 2 2 lim x x 1 x3 2 x 4 lim x 2 x 3x 2 x lim x 0 tan x
1) lim
5) 7) 9)
1 sin x -6 1 cos 2 x
d) 4
.
3)
4
d) 4 lim
a) 1
0
2) lim 3 x x
1
x2 x 6 x x3 3x 4 x 3 5 x 18 6) lim 2 x 2 x 3x 10 2 x 3x 2 8) lim 2 x 2 x 3x 10 4) lim
x
1 cos 2 x 10) lim x 0 x cos x
39
-7
x 2 3x x 2 x2 x sin( a 13) lim x 0 tan( a 11) lim
10 2 x ) sin( a x) x ) tan( a x)
2 x 3 ) 2 2 x x 2 x 2x x2 x2 14) lim 2 x 2x 1 2x 2 12) lim (
x
16) lim
2 sin 2 x sin x sin 2 x 0 x2
18) lim
x
17) lim x
19) lim x
0
sin 3( 0 sin 8(
u) u)
23) lim
2 x2 x 3 x2 8x 5
x
25) lim x
2
x
2 sin 3 x sin 2 x x tan 3x
21) lim u
cos x cos 3x sin 2 x 0 a x2
cos x sin x tan x 0 x 2 sin x
15) lim
9 x2 9x
x x 2 1 x2 22) lim x 1 sin x 20) lim x
2
24) lim x
x 5 4
0
x sin 2 x x sin 3x
8x 4 x 4x
26) lim( x
1
40
1
2 x 2
1
1 ) 1 x 1 x2
1 x 2
41
(P. Fermat) (Isaac Newton) (Gottfried Wilhelm Leibniz) .
42
Derivatives
lim x 1
x2 1
f ( x)
f ( x) f (1) x 1
?
.
B ( x2 , y 2 )
A( x1 , y1 )
. x
.
P1
.
c
P
p
. p
1
P1
1
C
P1
:
y
P
1
P
C
(tan)
C
P1
x x
43
.
y
P (1,1)
.
f ( x)
x2 :
P
:
Q P 2
. P
PQ
Q .
m PQ
x
2
y y2 x2
4 2.25 1.21 1.0201 1.002001 y1 x1
3
1 .5 2.5
1.1 2 .1
1.01
1.001
2.01 y
2.001
Q(1 h ,1 2 h h 2 )
P (1,1)
x
h
P (1,1)
1 h
h
:
0
f (1 h) (1 h) 2 1 2h h 2 (1 h , 1 2h h 2 ) Q (1 h ,1 2h h 2 )
: mPQ
(1 2h h 2 ) 1 (1 h) 1
2h h 2 h
2 h
P(1,1)
Q
PQ lim(2 h) 2 : h
0
44
P
h
0
P(1,1)
x2
y x h , ( x h) 2
PQ
Q
mT
: ( x h) 2 x 2 x 2 x h x mT lim(2 x h) 2 x m
2hx h 2 h
P( x , y)
.
x2
2 xh h 2 h
P
2x h
0
h
Q x h , f ( x h ) , P x, f ( x )
Newton
: f ( x h) f ( x ) x h x
f ( x h) h
f ( x)
Q
.
P
: mT
lim h
0
f ( x h) h
f ( x)
x
: f ( x h) h
f ( x)
mT
x x2 :
f ( x)
P (2,0)
.
Newton :
2
f ( x h) f ( x ) f ( 2 h ) f ( 2) lim h 0 h 0 h h 2 2 ( 2 h) ( 2 h) 2 2 lim h 0 h h 4h h 2 2 h 4 4h h 2 2 4 lim lim h 0 h 0 h h lim
lim h
0
h(1 4 h) h
lim( 3 h) h
f (t 2 ) f (t1 ) t 2 t1
0
3
t2
t1
S
f (t )
t0 lim t
45
t0
f (t ) f (t0 ) . t t0
m
t0
: lim t
t0
f (t ) f (t0 ) t t0
lim
t
t0
S S0 t t0
t
S t
: s t
f (t2 ) f (t1 ) t2 t1 2,5
.
x2
: y x
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y x
25 4 5 2
y
f
f (5) f (2) 5 2
5
f ( x)
x1
2
x2 :
:
52 2 2 5 2
21 7 3
y x
y
x
x
(1
. 1) 2) 3)
y ? x y ? x y ? x
,
f ( x) 2 x 2
,
f ( x)
,
f ( x) 3x 2 5 x 4
.
4
2x x2
, (0) , ,
2, 4
46
(3) (2 , 1)
f (t ) 5t 3 3t 1 (2
f (x
lim x
x) x
0
x
f ( x)
a ,b
x
y
f (x)
. (
.
y ) x
x
:
y
f ( x) y f (x
y y
y y
(x
( x , y)
x) , f ( x
x)
y
y
x
x
x
x
x
y
f (x
y y x
f (x f (x
lim x
0
y x
x) x) y
x) f ( x) / x x) f ( x) x f (x x) f ( x) lim x 0 x
: dy df , , y' dx dx
. lim x
0
y x
dy dx
df ( x) dx
y'
f ' ( x)
lim x
0
y : x
f ' ( x)
f ( x)
.
47
2x
:
: f ' ( x)
lim
f ' ( x)
lim
x
f (x
0
x
2 x x
0
x) x
f ( x)
lim x
:
2( x
x) 2 x x
0
lim x
0
2x 2 x 2x x
f ' ( x) 2
x3 :
f ( x)
.
: (x x) f ( x ) x) 3 x 3 x 3 3 x 2 x 3 x ( x) 2 ( x) 3 lim lim x 0 x 0 x 0 x x x 2 2 x(3 x 3 x( x) ( x) ) lim 3x 2 3 x(0) 0 2 f ' ( x) 3 x 2 x 0 x
f ' ( x)
lim
f ( x)
.
x, x
0 :
0
x
:
: x 0
: f ' ( x)
lim x
x3
f (x
f (x
0
x) x
f ( x)
lim x
x
0
x x
:
x
: x x )( x x x) x 0 x( x x x) x x x 1 lim lim 0 x 0 x( x x x x) x x lim
( x
x lim
y
f ' ( x)
h
x
0
1 x
1 2 x
x x 0
x
0
y
: x
x x
x
x
0
0
(
1 2 x
.
. 1) f ( x)
x x2
2x2
2) f ( x )
48
3) f ( x)
2x2
x
)
y P1 P1
.
P1 P0 P1 P0 P0
P0
x
a ,b
f (x )
Q( x0
.
x , f ( x0 Q
.
C
x))
P ( x0 , f ( x0 ))
P x
y x
HQ HP
( x
0)
P
Q
. P ( x0 , f ( x0 ))
.
x
y
y x
0
: P ( x0 , f ( x0 )) Q( x0 y
:
x)
H
x a x0
x ) , f ( x0
x0
lim
x b
f (x )
x
x
0
y x
y ' tan
tan
m
: x
.
49
2 x3 1
f ( x)
A(1,1)
: . m
:
tan
f ' ( x)
:
f ( x) 2 x3 1 f ' ( x)
f (x
lim
0
x
lim
2 x3
0
x
lim [6 x 2 0
x
m
f ' ( x)
2( x 2[ x3 3x 2 x 3x x 2 ( x)3 ] x) f ( x) x)3 1 ( 2 x3 1) lim lim x 0 x 0 x x x 2 2 3 3 2 6 x x 6 x( x) 2( x) 1 2 x 1 x[6 x 6 x x 2( x) 2 ] lim x 0 x x 2 2 6 x( x) ( x) ] 6 x
f ' (1)
6 x2
6 12
6 :
A(1,1)
: y
y1
m( x x1 )
y 1 6( x 1)
y
6x 5 x0
.
2
y
x2 1 :
:
lim (2 x0
x) 2 1 ( x02 1) x ( x )) 2 x0
y ' 2 x0
2 2
y ' lim x
x
m
( x0
0 0
lim x
x02
2( x) x0
0
( x) 2 1 x02 1 x
y' m 4 x
x0
y
f ( x)
x0
x ) f ( x0 ) y x x 2 x) x02 y ( x0 x x 2 y x0 2 x0 x ( x) 2 x02 x x y f ' ( x0 ) lim lim (2 x0 x) x 0 x x 0
y x y x y x
f ( x0
2 x0
:
50
2 x0 x ( x ) 2 x x ( 2 x0 x) x 2 x0
: x0
: x
x2
x
2
y
x2
f ( x)
x0 x0
4
.
2
f ' ( 2)
2 2
x0
4
2
4
.
x3 :
f ( x)
.
2
: f ( x0
y x y x y x
( x0 x0
f ' ( x)
3
lim
0
x
x) f ( x0 ) x 3 3 x) x0 x 3x02 x 3x0 ( x) 2 x y x
( x )3
x0
3 x02 x 3 x0 ( x) 2 ( x)3 x 2 x(3 x0 3 x0 x ( x 2 )) x
y x y x y x
3
3x02 3x0 x ( x 2 )
lim (3x02 3x0 x ( x) 2 ) 3x02 x
0
f ' ( x0 ) 3 x02 :
x0 f ( x)
.
1 x
f (x )
x0 :
: f ( x0
y x f ( x0 )
1 x0
f ( x0 )
y
y y y
x) x
x0 x
1 x0
:
x
x0 ( x0 x0 ( x 0
x
y x y x
f ( x0 ) 1 x0 x) x)
x0 x0 x x 0 ( x0 x) x x x0 ( x0 x) x x x x0 ( x0 x)
y x
1
1 x0
f ( x0 )
lim x
0
y x
x0 ( x0
0
x0 ( x0
x)
x)
1
f ' ( x0 )
1
1
lim x
y x
x
x0 ( x0
1 0)
x
2 0
f (x)
.
51
x0
f ' ( x0 )
1 x02
.1
. 1) f ( x) 5 x 2
2
2) f ( x)
2 x
.2
. 1) f ( x)
4x2
,
x0
1 2
2) f ( x )
52
3x 1 ,
x0
1
f ( x)
2x2
-1
:
.
y C
C)
(
x
. .
0
x
: f ( x) C
. : y
C
y
y
C
y
C
y
y
C C
y x
C C x 0 y lim lim x 0 x x 0 x y' 0
y 100
. : f ( x) C
f ' ( x) 0
4 f ( x) f ( x) 100
f ' ( x) 0 f ' ( x) 0
53
100
f ( x) 4
4
: :
-2
:
n
n 1
.
xn
y
IR x
y
. 0
x
.
: f ' ( x) nx
.
n 1
xn
f ( x)
: y
x
y
n
x) n
y (x y (x
x)
(x
y
n
x x) n
y
n
x) n
x x)[( x
x[( x
y
x) n
y (x
1
1
(x
(x
x) n 2 x ( x
x) n 2 x ( x
x) n 3 x 2 ... x n 1 ]
x) n 3 x 2 ... x n 1 ]
y x[( x x) n 1 ( x x) n 2 x ( x x) n 3 x 2 ... x n 1 ] lim x 0 x x 0 x y lim lim ( x x) n 1 ( x x) n 2 x ( x x) n 3 x 2 ... x n 1 x 0 x x 0 y' x n 1 x n 1 x n 1 ... x n 1 lim
xn
y' nx
1
n
n 1
x
.
1 2
f ( x)
x5
: :
f ( x)
x5
f ' ( x) 5 x 5
1 1 f ( ) 5 ( )4 2 2
5
1 16
1
f ' ( x) 5x 4
5 16
. 1) f ( x) 4) f ( x )
x x
2 2 3
2) x(t )
gt 2
3) t ( x)
5) f ( x) 1010
54
x8
-3
:
v
.
u
y u v v
y
v(x )
u (x)
u
y u v
. x x
.
0
: : : y
u v
y
y u u v v u u v v y u u v v u v
y y y y x
u u x
lim x
v v
0
y x
lim x
0
u x
lim x
0
v x
y ' u ' v'
v x
lim
:
x
0
v'
lim x
0
u x
u'
-4 y ' u ' v'
.
y
u v
. . : u ' 1 2 x1 1
2x0
u' 2 v' 0
55
v 1
y
2x 1 :
u
2x
:
y ' u ' v'
y ' (2 x)' (1)'
v' 3 , u ' 8 x
w' 0
v 3x , u
w 5
y' 2 :
4 x 2 3x 5 :
f ( x)
. :
y' 2 0
4x2
:
y ' u ' v' w' y ' (4 x 2 )
(3 x)' (5)'
y' 8 x 3
:
: :
2) f ( x) 9 x 2 12 x 4
1) y 12 x 7
3) f ( x) 6 x3 2 x 2 6 x 1
2
f ' ( x) (6 x3 )' (2 x 2 )' (6 x)' (1)'
f ' ( x) (9 x )' (12 x)' (4)' f ' ( x) 18 x 12
y' (12 x)' (7)' y' 12
f ' ( x) 18 x 2 4 x 6
-5
:
y
.
u v
u v
v
. . .
x
v
u
v
u
u
y
x
0
: : y u v y y y y x y lim x 0 x y' y'
(u u )(v v) y (u u v u v v u u v u u v v u u v u v x x u v lim u v lim u lim x 0 x x 0 x x 0 v u ' u v' 0 v ' u ' v v' u
u )(v v v u x lim x
0
v x
56
v)
y
u
v x
x3 ( x 2
y
.
y ' uv' vu '
y
3) : u v
:
y' u ' v v' u 3
u
x
v
x2 3
u' 3x
2
x3 ( x 2 3)
y
y' 3x 2 ( x 2 3) 2 x( x3 )
v' 2 x
y' 3x 4 9 x 2
2x4
5x4 9 x 2
(5 x 1) 2 :
y
.
y :
: y
(5 x 1) 2
u 5x 1 v 5x 1
(5 x 1)(5 x 1) u' 5 v' 5
y ' u ' v v' u y ' 5(5 x 1) 5(5 x 1) y ' 25 x 5 25 x 5 50 x 10
-6
:
y
u v
v
u v
0
v
u
v
u
. .
v
y
u x
. .
x
0
:
57
: u v
y
y
y
u v
y
u u v v u u v y v (v v) v u u v u v v u y v (v v) x x v (v v) x x v u v u u lim v lim u v y 0 0 x x x x x) lim lim ( x x 0 x x 0 v lim (v v) v (v v) y
u v v
u u u y v v v uv v u uv u v v (v v)
v
y'
0
u ' v v' u v2
2 3x 1 2x
y
.
:
u v
:
:
u u ' v v' u y' v v2 3(1 2 x) [ 2(2 3 x)] y' (1 2 x) 2 3 6x 4 6x 7 (1 2 x) 2 (1 2 x) 2 y
u
2 3x
v 1 2x
u' 3 v'
2
x0
:
: y
:
f ( y)
0
2 y2 3 : 1 3y
: f ' ( y) u
2 y2 3
v 1 3y
u' 4 y v'
3
f ' ( y) f ' (0) f ' (0)
4 y(1 3 y) [ 3(2 y 2 3)] (1 3 y) 2 6 y2 4 y 9 (1 3 y) 2 6(0) 2 4(0) 9 (1 0) 2 9
58
: 4 y 12 y 2 6 y 2 9 (1 3 y) 2
y
:
u
u v 3
u ' v v' u v2 u' 0
v
2t 1
v' 2
y
3 : 2t 1
f (t )
. u v
u v
:
y'
f ' (t )
0 (2t 1) 2( 3) (2t 1) 2
6 (2t 1) 2
: 3 x( x 2) 5 t2 4) f (t ) 1 2t 7) f ( x ) 3 x 5 5 x 2
1) f ( x)
2) g ( x) 5) f ( x)
(2 x 3)( x 3) 1 2
x 2 8) f ( x) 7 x 3
59
3) f ( x)
(2 x 1) 2
6) f ( x)
ax b cx d
-7
:
y
.
x
0
x
.
y
x
.
x
: : y
x y
y x
y x
x
x
x
: ( x
y y x
x
x )( x x x x x y 1 lim x 0 x x x
x
x)
x x
lim x
0
x
x x x x 1 x
x
x
1 x
2 x
1
y
2 x
f ( x)
.
u
x x
2
u 1
1 2 x v' 2 x
f ( x) f ' ( x)
1 2 x
( x 2 1) 2 x
x2 1 2x x 2 x
60
x ( x 2 1) : u v
:
v
x x
x
x 2 1 4 x( x ) 2 2 x 2 x 1 4 x 2 5x 2 1 2 x 2 x
:
-8
u
x u
.
y
u
x
y
. x
. y
y y
u u
u
y
u
u
u
0
u u
u
: y
( u
u
u )( u u u u u u u u u
u u
y
x
. y x
0
u u
u
y lim x 0 x
lim x
u'
y'
u
u)
u
0
x
u
u u' 2 u
u u
u
1 x
x
lim
0
u
0
u x u
u
h( x ) ( x 2
.
y
: x2
v
x
x
u' 2x 1 1 v' 2 x
1
( x 2 x) 2 x x2 x h ( x) 2 x x x 2 x 2 2 4 x 2 x x x 5 x 2 3x h ( x) 2 x 2 x h' ( x) (2 x 1) x
u
u
61
x) x x
y
: u v
:
f ( x) (3 x 1)( x 3) :
x 8
.
y
: u
3
v
x 3
f (8)
x 1
u
33 x 2
v
1
8 3
3
3
3 8
f ( x)
1
2
f ( x)
8 1
1 3
2
3
2
3 x x 3 3 x
n
u
y
u v :
( x 3) 1(3 x 1) (3 x 1)
11 23 1 12 12
x 8
:
-1
. f ( x)
1 x 1
,
y
3x
3
,
x2 3
f ( x)
g ( x) (f
62
x 1
g) ,( f g) ,( f
f ( x)
x 2 3x
g) g
0
-2 .
Chain Rule(
dy dx
dy du du dx
f
x
)
f (x)
x
g
.
g ( f ( x))
y
u
x u u y
. x
u u y y
x
. .
x
u u
y
0
: . : u u y u x u y u u x
y
y
y x y x lim x
0
y x
lim u
0
y u lim u x 0 x
y '( x )
y '( u ) u '( x ) :
u x
lim x
0
u '( x )
lim u
0
1
u'
y u
y '( u )
: .
63
y ' nu n
y
un
-1
y'
.
u' n
n u
n 1
y
. 1) y
(2 x 2 1)3
2)
y
1 x2
4) y
3
x 2 2 x3
5)
y
( x 2 2)
3) y
( x 2 3) 2 2 x 3
3
u
u
2x
u 'x
1
y u3
y '( x ) y '( u ) u '( x ) y ' 3(2 x 2 1) 2 4 x 3( 4 x 4
4x
y 'u 3u 2
u 1 x2 y
u
u '( x ) y
3) y ( x 2 (x2
2x
2 1 x
3) 2
v 2 x3
y'
( x 2 3) 2
y'
2( x 2 3) 2 x 2 x 3 8x 4 ( x 2
v '( x ) 6 x 2
u
x2
x2
6
4
n
24 x
( x 2 2)
x2 2 u '( x ) 2 x
y'
2
3
y y'
un
6x
6
3) 2 6x2
36 x
4
54 x 2 u'
y'
n
n un
1
2x 6x2 33 ( x 2
y
2 x3 )2
nu n
3( x 2 2)
4
1
u'
2x
64
3) 2
6 x 2 ( x 2 3) 2
6x2 ( x4
60 x 4
u
2 x3
u '( x ) 2 x 6 x
5) y
y
2x3 ( x2
3) 6 x 2 ( x 2
24 x 4
8x
2x3
2x3
8x 6 14 x 6
3
1 x2
:
u '( x ) 2( x 2 3)(2 x)
4) y
x 2
y ' u ' v v' u 3) 2 2 x 3
12 x(2 x 2 1) 2
2x
y
u' 2 u
'
y u v
u
4 x 2 1)
1 x2
2) y
4 x 2 1) 4 x
(12 x 4 12 x 2 3) 4 x 48 x5 48 x 3 12 x 12 x( 4 x 4
u
:
(2 x 2 1)3 2
-2
u
:
: 1) y
n
6x ( x 2) 4 2
9) 54 x 2
: f ' ( x0 )
( x0 )
.I
f
(( x0 ) , f ( x0 ))
. x0
.
1
f ( x)
f ( x0 ) 1 :
P (1,1)
x0
x3 :
1
: :
f ' ( x)
lim
x
x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim x
1
( x 1)( x 2 x 1) 1 x 1 x0
lim x
f ( x) f (1) x 1 lim( x 2 x
1
lim x
1
x3 1 x 1
x 1) 3
f ' (1) 3
x
x0
.II
f
. f ( x) | x | :
x 0
.
: . f ' (0 ) f ' (0 )
f ( x) f (0) x 0 x 0 f ( x ) f (0 ) lim x 0 x 0 lim
| x| x 0 x | x| lim x 0 x lim
x 1 x 0 x x lim 1 x 0 x lim
y f ( x) | x |
x
65
x
f ' (0 )
0
f ' (0 )
.
. 1) y
(x2
4) h( z )
2) 2 1 z 1 z
2) f ( x) ( x 3 4 x 2 1) 5) f (t )
3
3t 1
66
4
3) y
(1 2 x 3 ) 4
6) f ( x )
1 2 x2
x3
y
1 2
o
3
x
1
. 1 sin x 1
y sin x
x
.
sin( x
x) sin x
y x
x
.
0
: :
y
sin x
: y sin x y
y sin( x y sin( x y y x
2 cos
x) x) sin x
x
x x x sin 2
1 2 cos( x x
y lim x 0 x
x x ) sin 2 2
lim cos( x x
x x 2
0
2 cos
2 cos( x
x x 2 ) lim sin x 0 x 2 2
2x
x 2
sin
x 2
x x 2 ) sin 2 x y ' ( x) cos x 1
y' cos x y sin x
y' cos x
:
x
u
67
f ( x) sin u
-1
f (u ) sin u
y ' u ' cos u f ( x) sin 4 x :
. f ( x) sin 4 x u 4x u' 4 f ( x) sin u y 'u
cos u
f ( x) sin u
f ( x ) u ' cos u
f ( x) sin 4 x
f ( x) 4 cos 4 x
f ( x)
.
x 3 csc x
: :
f ( x)
3
x csc x 3
u
x
u ' 3x
v
1 sin x
v'
f ( x)
1 x sin x
3
f ' ( x)
2
uv' v2
cos x sin 2 x
x 3 csc x cos x 3 x sin 2 x 3x 2 csc x x 3 cot x csc x x 3x 2 csc x
3x 2 csc x x 3 cot x csc x
: a) y c) y
sin 5 x
b) y
sin x 1 x
1 sin x
68
y
cos x
y
1
o
3 2
2
1
x
5 2
y
.
y
x
cos( x
. x
.
f ( x) cos x x) cos x
y x
0
: y
cos x
: y
cos x
y
y y y y
cos( x
cos( x
x) x) cos x
x x x sin 2 2x x x 2 sin sin 2 2 2 sin
y lim x 0 x y cos x
x
lim sin( x x
0
y'
x x 2
x x ) lim sin 2 x 0 x 2 2 sin x
69
sin x 1
-2
: 2
2
sin x cos x 1 1 sin 2 x 1 1 (cos x)' ( 2 sin x cos x) 2 1 sin 2 x cos x
1 sin 2 x
:
cos x
1 1 ( 2 sin x cos x) 2 cos x (cos x)'
sin x
y
cos u
y'
y
u
x
: u ' sin u
. 1) f ( x) sin 2 x
2 sin x cos x y
u v
x sin x cos x
y ' u ' v v' u
2 sin x cos x 2 cos 2 x 2 sin 2 x
f ' ( x ) ( 2 sin x ) cos x (cos x ) 2 sin x f ' ( x ) 2(cos 2 x sin 2 x ) 2) f ( x )
:
2) f ( x)
: 1) f ( x) sin 2 x
cos u
y ' 2 cos 2 x
x sin x cos x
f ' ( x ) ( x)' (sin x cos x)' ( x )' [(sin x )' cos x (cos x )' sin x] f ' ( x ) ( x)' [cos x cos x ( sin x sin x)] 1 cos 2 x
. 1) f ( x ) (sec 2 x tan 2 x )
2
2
2) f ( x) sin x 2
4) f ( x) csc x
5) f ( x )
5 sin 2 x 3 cos 5 x
70
3) f ( x) sec x
:
y
y
tan x
. 3 2
1
2
3 2
0
2
x
1
2
.
y
tan x
y
tan x
. : :
-3
: sin x cos x (sin x) ' cos x (cos x) ' sin x f ' ( x) cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 2 cos x cos 2 x y tan x 1 y '( x ) sec 2 x 2 cos x f ( x)
cos x cos x ( sin x)(sin x) cos 2 x
. . y
tan 3 x
: u
:
tan x
u ' sec 2 x
y
y' n u n
tan 3 x
y ' 3 tan 2 x sec 2 x
71
1
u'
y
un
:
. : y
sec x cot x
u
sec x
u ' sec x tan x
v
cot x
v'
y
sec x cot x :
y
u v
:
csc 2 x y ' u ' v u v'
: y ' sec x tan x cot x sec x( csc 2 x) 1 csc 2 x sec x tan x sec x csc 2 x sec x sec x tan x
. a) y
tan x cot x
b) y
(x2
c) y
1 tan x
d) y
tan x sec x cot x
72
x 1) tan 2 x
v'
u', v , u
.
f '( x )
y '( x )
f ' ( y)
2x2
y
.
y2
4
xy 1
. y
f (x) y
y
x
f (x)
y
F ( x , y)
F ( x , y) F ( x , y)
y
x2
F ( x , y)
0
25 x 2
y
.
f ( x) 0
x2
f (x)
y2
25
x2
y
y2
f ( x)
25 :
y 2 25 0
F ( x, y ) 0
. y x xy 2
x
xy 2
x
y 1 0
x
:
y
y
f (x)
y
y
y 1 0 2
( xy )
( y)
(1)
0
1y 2
x(2 y ' y )
y'
y2 2 xy 1
y
73
0
y2
2 xyy '
y'
y ' ( 2 xy 1)
. y( x )
f( x)
(
y) x
f( y)
(
x) y
f '( x )
f '( y )
,1)
x 1 : y
y sin
f '( y )
x 1 0 : y
x 1 0 y
x y ' x (sin )'x (1) x y 1 1 x x 0 cos 0 cos y y y y x y ' y (sin )' y (1) y y x x x x 1 cos ( )' y 0 1 cos 2 y y y y
1 x cos y y x x 1 cos 2 y y
y '( x )
1
1 cos 1 1
1
cos
1
f '( x ) f '( y )
1 x cos y y x x 1 cos y2 y
x x cos 2 y y
y x
y ( ,1)
. y(
f '( x )
y '( x )
. y sin
y sin
( ,1)
.
1 ( 1)
1 1
x2 y 2 y3
.
y '( x )
3x 2 :
: x2 y 2 y3 2
3x 2
3
x y 2 y 3x 2 0 f '( x ) 2 xy 0 3 0 2 xy 3 f '( y ) f '( x )
x2
6 y2 0 0 f '( x ) f '( y )
x2
2 xy 3 x2 6 y2
6 y2 2 xy 3 x 6 y2 2
74
y6
.
y x2
0 :
: f '( x )
2x 6 y5 1
f '( y ) y '( x )
f '( x )
2x
f '( y )
5
6y
2x 6 y5 1
1
: y6
y x2
0
6 y 5 y' y ' 2 x 0 (6 y 5 1) y ' 2 x 2x y' 6 y5 1
. x2
y"( x )
.
y2 1 :
: x2
y2
2
2
x
y
1 1 0
f '( x )
( x 2 )' x ( y 2 )' x (1)'x
2x 0 0
f '( y )
( x 2 )' y ( y 2 )' y (1)' y
0 2y 0
y '( x )
f '( x )
2x 2y
f '( y )
2x 2y
x y
: y( x )
f( x)
( x 2 ) x ( y 2 ) x (1) x ( x 2 ) y ( y 2 ) y (1) y
f( y)
2x 0 0 0 2y 0
x y
y( x )
x y y
: '
y( x )
( x) y y x y2
'
y
yx y
2
y
x x y y2
y2
x2 y
75
3
1 y
3
y( x )
1 y3
x y
x
(1,1)
x2
y
xy
y2 3 0
:
. y '( x )
(1,1)
:
: f '( x )
2x
y
f '( y )
x 2y f( x)
y( x )
2x y x 2y
f( y)
y y
y1
m( x
x1 )
x 2y
,
0
2x y 2 1 x 2y 1 2 y 1 ( x 1)
1 y
x 2
: x 2 xy y 2 3 0 2 x y x y ' 2 yy' 0 2 x y ( x 2 y) y' 0 ( x 2 y) y' 2x y 0 ( x 2 y) y' 2 x y 2x y y' x 2y
x2 y3
.
5 y3
x :
: x2 y3 5 y3
x 3
0
0 1 2 xy 3 1
f '( x )
2 xy
f '( y )
3 x 2 y 2 15 y 2 0
y '( x )
f '( x ) f '( y )
2 xy 3 1 3x 2 y 2 15 y 2
1 2 xy 3 3x 2 y 2 15 y 2
x sin y
.
x3
. x2
.
76
y cos x 5 -1
xy 2 y2
y 3 -2
4x 4 y
-3
f ( x) sin x f ( x) cos x
2 x 4 3x 3 2 x 1
y
. . .
: y' y
f (x)
y
f ' ( x)
... y
n
y"
f (x)
y (n)
. f ( x)
.
f (x)
x3 3x 2
f " ( x)
f ( n ) ( x)
4x 1 :
: y
x 3 3x 2
y y y
3x 2 6 x 4 6x 6 6
4x 1
1 3 x : 3
y
. y
: 2
y' x 1 3 y x 3
y y x
y
77
1 3 x 3 3 2 x 3 x2
x2
( y (9 ) ) 2
.
y2
y
sin x cos x
:
( y (9 ) )
:
:
y sin x cos x y '( x ) cos x ( sin x) cos x sin x y"( x )
sin x (cos x)
y ' ' '( x )
sin x cos x
cos x ( sin x) sin x cos x
f '(( 9x)) cos x sin x ( y (9) ) 2
y2
(cos x sin x ) 2
(sin x cos x ) 2
cos 2 x 2 sin x cos x sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x 2 sin 2 x 2 cos 2 x
2(sin 2 x cos 2 x) 2
y
2 x 6 3x 5
y
12 x 5 15 x 4 60 x
y
4
240 x
y
2 x 3 3x 2 1
60 x 3
6x2 3
180 x
y
( 4)
720 x
y
( 5)
1440 x 360
f ( n) ( x)
2
2 x 6 3 x5 2 x 3 3x 2 1 :
y
. 6x
12 x 6 2
12
360 x
c0
c1 x c2 x 2
c3 x3
... cn x n cn
n
0
n
: fn( x)
c1 x c2 x 2
c0
f '( x ) c1 f "( x )
2c2 x 3c3 x
2c2
6c3 x
f ' ' '( x ) 6c3 12c4 x f n ( x)
c3 x3 2
... ...
...
...
cn x n
ncn x
cn
2
n(n 1)(n 2)cn x n
n(n 1)(n 2) ... cn
0
n 1
n(n 1)cn x n
3
n!cn
f k ( x)
0 :
k
. 4
3x
3
1) y
4x
3) y
a b c2
2x x ax bx cx 3
:
2) y c3 x
(5 x 2) 3
4) y sin x
78
n
f (x )
Q( x h , f ( x h))
P ( x , f ( x))
Newton
: f (x x
x) f ( x) x x
f (x
x) x
f ( x)
: lim
mT
x
x
f (x
x) x
0
0
f ( x)
: dy , f ' ( x) dx f (x x) f ( x) lim f ' ( x) x 0 x ( x0 ) f (x)
. lim x
0
y x
f ' ( x)
y'
( x0 , f ( x0 ))
. x0
x
x0
f
. P( x0 , f ( x0 ))
.
lim x
0
f (x)
C
y x
y ' tan
tan
m
. . ( x
x0
x0
x)
x) x
f ( x0 )
( x0
f (x ) lim x
0
f ( x0
79
:
r , x0
r)
f
: 1) f ( x) C
f ' ( x) 0
xn
2) f ( x)
f ' ( x) n x n
1
3) f ( x) u v
f ' ( x) u ' v'
4) f ( x) u v
f ' ( x) u ' v v' u
u v
5) f ( x)
, v
0
6) f ( x )
x
f ' ( x)
7) f ( x )
u
f ' ( x)
u
f ' ( x)
n
8) f ( x)
u ' v v' u v2
f ' ( x) 1 2 x u' 2 u u' n
n
un
1
y '( x )
y '( u ) u '( x ) :
:
.
y (n)
1) y
sin x
2) y
cos x
f ( n ) ( x)
y ' cos x y'
-n
80
,
y
sin u
y ' u ' cos u
sin x ,
y
cos u
y' y
u ' sin u f (x)
:
: a) 3
b)
P(3 , 0)
3
c) 5
:
d)
[3 , 4]
a) 18
b) 14
14
b) y ' 4 x
1 x 2
b)
1 2 x 1
3 x2
c) y ' 4 x
d)
: a) y 5 x 2
x 3
c) y 5
4x 8
b) y '
2
c) y '
6x5 2x3 24x
x –5
d ) y'
( x 4) 2
(2 x 2 ) 3 – 7
y d)
y
sin x
-6
8
c) y' 3( 2x)2
c) y '
2x x 4
y
4x 8 ( x 4)
b) y' 3(2 x2 ) 2
b) y ' cos x
2x2
d ) y 5x
: a) y ' sin x
x 1 –4
f ( x)
: a) y'
-3
1 2 x 1
: a) y'
1
d ) y' 4 x
x 1
b) y
2 x 2 3x
f ( x)
x 1 2 x
c)
2 x 2 -2
y
: a) 0
f ( x) d ) 32
: a) y' 4 x 2 3
x2
5
f c)
x -1
f ( x)
d ) y'
sin x
–8
cos x 1
(1 x 4 ) 5
y
:
6
6
a) y'
4 3 x (1 x 2 ) 5 5 c) y ' 4 x 3
a) y'
sin x (1 cos x) 2
b) y '
sin x (1 cos x)
81
b) y '
y
: c) y'
–9
1 (1 x 2 ) 5 5 d)
cos 1 cos x
sin x (1 cos x) 2
d)
–10
. 2 tan 2 x 1 tan 2 x
f ( x)
x x2 f ( x) x 1 x 2 f ( x) ( x 1)( x 1)( x 1)( x 4 1)
.3
(3 x 1)(3 x 4)
.4
f ( x) sin x cos x
.5
x
.
f ( x)
. .
4
f ( x)
. .
(sin x cos x) 2 1 sin 2 x y cos x
y sin 2 x cos 2 x
. .
82
.1
x2
xy
y2
3
.2
.6 .7 .8 .9
83
84
y
.
y
P (x)
h x
l
0
): .
( -I
:
: y
y
f (x )
f (x )
1
a x1 x0
x0 x 2 b
x
a x1 x0
(1)
' x0 x 2 b
' 1
x
( 2)
(2)
x2
x1 x0
( a , b)
(1)
. (2) (1)
. 85
.
: a, b
( a , b)
.
-1
f (x )
f ( x) 0
a, b
( a , b)
.
-2
f (x)
f ( x) 0
x y
: x .
f ( x) x 3 3x 1
.
: :
:
f ' ( x) 0
x 3 3x 1
f ( x)
f ' ( x) 3x 2
3
.
x
.
f ' ( x) 0
( 3)
f ( x) x 3 3x 5 f (x)
: f ( x) 3x 2 f ' ( x) 0 3x 2 3x x
2
3 0
3 0 3 1
86
: : f ' ( x) 0
( 1,1)
1 x 1
. .
f ( x) 5 x 4
:
: Df
:
IR
f ( x) 5 x 4 f ' ( x) 5 0
.
.
f ' ( x) 0
x2 :
y
. y' 0
y' 0
:
: y
x2
y' 2 x
y
y' 0
2x
y' 0
x y' y
2x
2
1 1
4
(0 ,
0
0
x x
0
0
0 0
1
0
1
2 4
(
)
x
0
, 0)
.
87
f ( x) 2 x 2
ax b
-1
y
3 x 1 4
-2 -3
3x 1 y
88
f ( x)
x 2 3x 2
-4
( Minimum
Maximum
)
(Critical Point)
y
x
.
( a , b)
f (x)
y f (x)
0 ac
x
eb
d
. . .
( d , e)
(c , d )
.
f (x)
:
89
(maximum)
y
(minimum)
x
(Critical Point)
.
:
.
:
( a , b)
. y' 0
-1
:
-2
:
-3
y' 0 ( a , b)
.
f' 0
f' 0
a
x0
f' 0
a
b
x0
(1)
f' 0
b
( 2)
x0
y
-1
:
f (x)
x0
.
(maximum)
x0 x0
y
f (x)
-2
:
x0
.
(minimum)
x0 x0
Inflection Point
-3
:
x0
. 90
(Extreme)
. .
7 2 x 2
x3
f ( x)
2x
:
x
:
f '( x ) 3 x 2 7 x 2 f ( x) 0 3x 1 0
x1
x 2 0
x2
( 2)
1 3
x
1 3 2
f ' ( x) f ( x)
1
2 0 2
0 17 54
2
Max
1 ( ) 3
Min
f (x)
. .
(Extreme) f ( x)
Extreme
x 1 x 2x 2
:
:
: y'
y
u v
2.73
1
u ' v uv' v2
x 1 x 2x x 2 2 x (2 x 2)( x 1) f ' ( x) ( x 2 2 x) 2 f ( x)
2
x2 2x 2 ( x 2 2 x) 2
f ' ( x)
. f ' ( x) 0
x2 2x 2 0 b2
x1
b 2a
2
x2
b 2a
2
4ac 12 12 2 12 2
2.73 0.73
x f ' ( x) f ( x)
3
91
Min
1
0
0
2 15
0.73
0
Max
2
x2
x1
f'
Extreme
. Absolute Maximum & Absolute Minimum
.
: y f (x )
x0 x1 x2
x3
x4
x
x5 x6 x7
.
f (x)
.
f (x)
. . : :Absolute Maximum
( x0 , f ( x0 )) f ( x0 )
f ( x) f ( x0 )
f (x )
x
. x0
x0 f ' ( x0 ) x0 f ' ( x0 )
max
92
0 x0
f ' ( x0 )
:Absolute Minimum
( x0 , f ( x0 )) f ( x)
f ( x0 )
f
x
f ( x0 )
x
.
x0 f ' ( x0 )
x0 f ' ( x0 )
min
Extreme
x0
x1
0
f ' ( x1 )
x0
.
x
f ( x)
1 2 1 x 3x : 2 2
:
f (x)
1 2 1 x 3x 2 2 f ' ( x) x 3 f ' ( x) 0 x 3 0 x 3 f ( 3) 5 1 1 lim f ( x) lim ( x 2 3x ) x x 2 2 1 1 lim x 2 3 lim x 1 lim x x x 2 2 f ( x)
x
4
f ' ( x) f ( x)
9 2
3 0 5 Min
( 3 , 5)
f ' ( x0 )
1
2
3
15 2
:
y
x
( 3 , 5)
( 5)
x
3
. 93
f ( x) x3 3x 2 :
.
:
. x3 3x 2
f ( x)
f ( x) 3x 2 3 f ( x) 0 3x 2 3 3x 2 2
x x1
y ( 1, 4)
0
3 1 1 , x2
f ( 1)
(0 , 2)
1
( 1)3 3( 1) 2 1 3 2
(1, 0)
4 f (1) 13 3 1 2 1 3 2 f ( 0) 0 3 0 2 2
0
f ( 2) 2 3 3 2 2 4 f (1) 0 , f (0) 2 ,
f ( 1)
Max f ( 1)
4
Min f (1) 0
x
2
f ' ( x) f ( x)
4
1
2
0
Max
2
(1,
.
1
0
0 4
5 6
( 1,1)
x
)
4
0
Min
(
, 1)
( 1, 4)
(1, 0)
: .1
.
.2
.
.3
.
.4
. .
.5 .6
. 94
y
2
x
x2 :
.
: y
: x 0
: 0
x
y
2 0 0
y
2 (0 , 2)
. y
y
y
x
:
-1
x
0 , 2 x x2
x
0
b 2 4ac 2a 1 1 4 2 2 1 , x2 2 b
x1, 2 x1, 2 x1
1 3 2 (2 , 0)
.
( 1, 0)
x
-2
. y
2 x x2 y' 0
: y
1 2x
y
0
1 2x
0
2x x x
1
2x 1
1 2
1 2
x
y
95
2 0
:
1 2
x
1 2
x y
:
2
1 2
1 4
2
1 4
1 2 x
y 1 2 (
.
y
0
1 1 2 ) 2 4
x
-3
: lim(2 x x 2 )
lim y x
x
lim (2 x x 2 )
lim y
x
x
. y x
1
y' y
0
1 2 0 1 2 4
1 9 ( , ) 2 4
2
x
0
a) f ( x)
x 2 3x 2
x 1 x2
b) f ( x )
.
96
-1
Extreme
.
c) y 3x 2
min
4x 1
f ( x) 3x 3
4x2
-2
y
x
. y y
f (x)
a
x
c
b
( a , b)
y
f (x)
(b , c )
y
f (x) ( a , b)
.
(b , c)
: y
.
97
y" 0
f (x)
.1
y
y
f (x)
. a
x
b
y
y
y
a
b
.2
f (x)
f (x)
x y" 0
. :
(Inflection)
. ( f ( x0 ) 0 )
x
x0
y
.
f (x)
x
.
f ( x)
x2 5x 4 :
. x 0 y 4
x
2
: y
-1
x
-2
(0 , 4 )
0
y
x0
5x 4 0
x 2 5 x 4 ( x 4)( x 1)
98
x1
4 , x2 1
. (1, 0)
x
0
1
4
0
( 4 , 0)
x
y
5 2
4
f ' ( x) f ( x)
9 4 min
0
x 5 9 ( , ) 2 4
: 2
f ( x) x 5 x 4 f " ( x) 2 0
y
2x 5
.
y" 0
y
x3 9 x 2 6 x 1
:
. : y
x3 9x 2 6x 1
y 3 x 2 18 x 6 y 6 x 18 0 y 0 6x 18 3 x 6 x 18 0 y 0 6x 18 3 x
( 3,
)
6 x 18 x y" y
(
.
99
, 3)
3 0
f ( x) x 5 5 x 3 :
: x 5 5 x3
f ( x)
f ' ( x) 5 x 4 15 x 2
20 x 3 30 x
f " ( x)
f " ( x) 0 20 x 3 30 x
f "(x)
x(20 x 2 30) 0 x1
3 2
x
0
f (x)
0
3 2
0 0
0
0 6
13.65
3 2
20 x 2 30 0 x2
3 2 f " ( x)
x2
3 2
,
x3
3 2
x
0
3 , x 0 2
x
3 2
.
.
f ( x)
.
100
f ( x)
x2 4
.1
2x2 1
.2
.
.
f ( x)
f ( x)
x 1
y
.
x 1
ax 2 bx c
Minimum Maximum
.
x
. . : : Df
: (
,
-1
)
. : f ' ( x) 2ax b
0
f ' ( x) 0 2ax b 2ax x
0 b
b 2a
101
-2
x
: y y
b 2 b b2 b2 a( ) b( ) c a c 2a 2a 4a 2 2a b 2 2b 2 4ac b 2 4ac 4ac b 2 4a 4a 4a
0
b 4ac b 2 , ) 2a 4a : a 0 : (
. a
0
lim f ( x)
x
. a 0
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a : a 0 :
Min
lim f ( x)
x
.
(
Max
b 4ac b 2 , ) 2a 4a
-3
: b 2a
y a 0
b 2a
x y' y
4ac b2 4a
x Min
b 4ac b 2 , ( ) 2a 4
. a 0
(
a
)
y
0
Max
b 2a
x y' y
x
4ac b2 4a
.
(
b 2a
b 2a
b 4ac b 2 , ) 2a 4
( 102
)
a 0
.
x2 4x 3 :
f ( x)
: (
,
-1
)
.
: y
0
x2 (x x x
4x 3 0 1)( x 3) 0 1 0 x 1 3 0 x 3
(1, 0)
: x 0 y 0 4 0 3 y 3
-2
x
, (3 , 0)
-3
y
(0 , 3)
f ' ( x) f (2) x
2x 4 0 2
2
lim f ( x)
x
-4
extreme
: 2x
4 2 3 f ( x) lim x 2
x
4
x
1
2
y
V (2 , 1) min
3
4x 3
x
0
1
y' y
3
0
2
3
1
0
2
1
3
x
( 2 , 1)
Min
.
f ( x)
:
.
x2
2x :
: (
103
,
) :
-1
:
-2
x
f ( x) 0 x 2 2x 0 x( x 2) 0 0
x1
(0 , 0)
x 2 0 x2
2
(2 , 0)
:
-3
y
x 0 f ( x) x2 2x f ( x) 0 2 0 (0 , 0) f ( x) 0
-4
extreme
: Df
(
f ( x) f ' ( x)
,
)
y
2
x 2x 2x 2 0
v (1,1)
2x 2 0 2x 2
x
x 1
V (1,1) Max
f (1) 1
x
0
1
2
0
1
0
f ' ( x) f ( x)
Max
(1,1)
.
. .
104
f ( x)
2x2
f ( x)
x2
x 1 x 2
.1 .2
y
.
x
: : . y
y
-1
f (x) :
lim f ( x) x
y
a
x
a
x
. y
y
f (x)
-2
:
( y ax b ) a
x
. 105
0
. y
-3
: x
x
x
.
lim f ( x) c
y
x
.
x 1 2x 4
f ( x)
:
: 2x 4
:
0
lim f ( x)
x
c
2x
lim (
x
4
x
2
x 1 ) 2x 4
1 2
.
2
x
y
1 : 2
y x
1
y
0
0 1 4
1 1
x
.
y
x2
2x 1 : x
:
: y
x2
2x 1 x
: x 2
1 x
y
x 2
: y
x2
-2
: 2x 1 x
x
-1
0
.
: 106
-3
.
( x 3)( x 2) ( x 1)( x 2)
f ( x)
: :
:
-1
:
( x 1)( x 2) 0 x 1 0 x1
x 2 0 x2 2
1
.
x
: y
lim f ( x) x
lim x
1
2
x
-2
:
( x 3)( x 2) 1 ( x 1)( x 2)
.
y 1
-3
.
:
:
n
. n
m
b
P( x) Q ( x)
f ( x)
m x
y
m
b
m
:
n n
:
. .
m
(
n
) m n 1 .
107
: :
. 1) f ( x) 3) f ( x)
3x 6 2 x x 2 8 2 x 4
2) f ( x )
2x2 x2 1
108
y
.
x
. y
.
1 x
. y
.
x
: c
.
ax b cx d
y
0
: ax b lim x x x cx d x x
lim f ( x) x
cx d
0
cx
a lim x
d
c x
b x d x
y d c
a c
: f ( x)
.
-1
:
(
)
-2
2x 1 : x 3
: x 3 0 x 3 x 3
x 3
Domain
IR \ {3} :
109
.1
: f ( x)
0
x
1 2
: x
y
.3
2 0 1 1 0 3 3
f (0)
0
.2
1 ( , 0) 2
2x 1 0 2x 1
x
1 (0 , ) 3
.4
: a c
f ( x) d c
x
2 1 3 1
2
lim
x
2x 1 x 3
2 ,
x 3 0
3
-
x 3:
-
.5
extreme
: f ' ( x)
2 ( x 3) ( 2 x 1) ( x 3) 2
f " ( x)
0 ( x 3) 2 ( 5 ) 2 ( x 3) ( x 3) 4
x
2 :
y
5 ( x 3) 2
0 10 ( x 3) ( x 3) 4
10 ( x 3) 3
3
f ' ( x) f "( x) f (x )
2 2 x 1 : x 1 x 1 0 x f ( x)
.
.
x
Df
1
110
IR \
1
1:
-1
y
0
x 1 0
x
0
y
x 1
0 1 0 1
1
(1, 0)
y
1
:
x
-2
(0 , 1) :
y
-3
-4
: x 1 0 lim f ( x)
x
x
1
lim
x 1 x 1
x
: f ( x)
-
:
y 1
-
-5
extreme
: x 1 x 1 1 ( x 1) 1 ( x 1) f ' ( x) ( x 1) 2 f ( x)
f " ( x)
x 1 x 1 ( x 1) 2
0 ( x 1) 2 2 2( x 1) ( x 1) 4
x
2 ( x 1) 2
4( x 1) ( x 1) 4
0
4 ( x 1) 3
y
1
f ' ( x)
1
f " ( x)
1 1 1
x
1
f ( x) 1
2x 5 x
f ( x)
.
: : -1
x 0
Df
IR \ {0} :
-2 : 2x 5 x
f ( x) 0
0
2x 5 0 2x 5
x
5 2
111
( 2 .5 , 0 )
x -
f (x)
y
x 0 :
y
. -3
:
x 0
x
:
y
. y
.
lim f ( x)
2
lim
x
x
2x 5 x
2:
-4
: 2x 5 x 2 x (2 x 5) f ' ( x) x2 5 f ' ( x) 0 x2 f ( x)
2x 2x 5 x2
f ' ( x) 0
. : x f ' ( x) f ( x)
y
2.5
0 2
0
2 y
2
x
1 2
.
f ( x)
.
f ( x)
112
2
x 1 x 3 x x 4
.1 .2
ax 3
y
bx 2
cx d
a
0
y
.
f' f" f
x
ax 3 bx 2 cx d
f ( x)
. . : .
a
f ' ( x)
0
a
0
f ( x)
0
(
)
.1
ax 3 bx 2 cx d
( f ' 0)
(Local Maximum) ( Local Minimum)
. f ( x)
ax3 bx 2
f ' ( x) 3ax 2 a
0 x f ' ( x)
y
cx d
2bx c f' 0
x1 0
x2 0
x
f ( x)
113
f ' ( x)
0
f ' ( x)
ax 3 bx 2
f ( x)
0 a 0
cx d
.2
f' 0
(Local Minimum)
. f ( x)
ax 3 bx 2
(Local Minimum) y
cx d
f ' ( x ) 3ax 2 2bx c a 0 f' 0 x f ' ( x) f ( x)
x
x2
x1 0
0
Extreme
.3
Extreme
: I ( xc , yc )
(
xmax xmin ymax ymin , ) 2 2 Max
Max
C
C Min
Min
.4
: f ' ( x) 3ax 2
.
x
0
2bx c b 3a
0
114
f ' ( x)
0
a
f ' ( x)
f ' ( x) 0
.
.5
ax 3 bx 2 cx d
f ( x)
0
0
f ' ( x) 0
( 2)
(1)
f ( x) ( x 1)( x 2) 2 :
.
Extreme
:
. x 3 3x 2
f ( x)
:
4
f ( x) 3x 2 6 x 3x 2 6 x
0
x(3x 6) 0 x1
0 ,
f ( x) 0
3x 6 0
x2
2
0
, x2
2
x1
f (0) 03 3 0 2 4
4
f ( 2) ( 2) 3 3( 2) 2 4 8 12 4 0 f " ( x) 0 6x 6 0 6x x
6 1 f (x )
x
1
: f ( 1) ( 1 1)( 1 2) 2
2
115
I ( 1 , 2) :
: : y
-
x
0
( x 1)( x 2) 2
0
x 1 0
( x 2) 2
x 1
x 2 x2
0
0
(1, 0) , ( 2 , 0)
2
:
-
y
x 0 03 3 0 2
y
4
4
(0 , 4 )
y x
2
1
0
x
f ' ( x) f " ( x) 0
f ( x)
4
2
max
min
.
f ( x)
x 3 3x 2 :
:
. -1 f ( x)
x
f ' ( x) f ' ( x) 0 x1 0 ,
3
3x
3x 2
2
6x 3x 2 6 x 3x 6 0
0
x ( 3 x 6) 0 3x 6 x2 2
116
: f ( 0)
03
3 02
0
f ( 2)
23 3 2 2
4
( 0 ,0 ) , ( 2 , 4 )
-2
: :
x
-
0
y x
3
3x2
0
2
x ( x 3) 0 x1 0 , x 3 0
( 0 , 0)
,
(3 , 0)
3
x2
: 0
x
f ( x)
03
3 02
(0 , 0)
0
: f ( x)
6x 6
y -
-3
f " ( x)
0
x 1 f ( x) x 3 3x 2 f (1) 2 I (1, 2)
-4
: y x
0
f ' ( x)
0
f " ( x) f ( x)
2
1
0 4
x
0
f (x ) Min
Max
117
.
f ( x)
: x
b 3a
( 3) 1 31
x
x3 3x 2
x 1 :
b 3a
:
f (1) 13 3(1) 2 1 1 0
C (1, 0)
.1
. a) f ( x)
1 3 x 3
x2
x 1
,
b) f ( x )
.
( x 1) 3
f ( x)
118
2x2
6 x 3 -2
Rolle Theorem
y
f (x )
f (x)
f ' (c )
.
P
0
c
a
x
b
y
f (x ) f (a)
f (b)
x
f (b)
f (a)
a
( a , b)
x
b
x0
. f (x )
. .
x0
( a , b)
f (a)
f (b)
:
a
x b
a
x0
a
b
x0
x b
f (x ) f (a)
. 119
: f (b)
f ( x0 ) 0
f (x )
: Extreme
. . x0
a, b
f ( x) 0
f ( x1 ) 0
x2 , x1
f ( x0 )
f ( x2 ) 0
( a, b)
f ( x1 ) 0
a, b
f ( x)
.
cos x
f( )
f (x )
Rolle .
-2
Extreme
[ ,5 ]
x
f (x )
Minimum
f ( x0 ) 0
.
-1
Maximum
. .
f ( x) c
:
f (5 )
1
:
( ,5 )
x0
(cos x)' 0 ( ,5 )
.
( ,5 ) ( ,5 )
sin x 0
4 ,3 ,2
.
a, b
( ,5 )
sin x 0
1 x2
f ( x)
1,1
(cos x)'
sin x sin x 0
: :
x0
1,1
1,1
.
f ( 0)
x0
0
: f ( x)
2x 2 1 x
1 x
f (1) 0
f ( x0 ) 0 y ' ( x)
x 2
f ( 1)
2
f (0)
0 1 02
120
0
u ' ( x) 2 u
:(
)
y
:
f (b) f (x)
f (a )
a
x0
b
x
.
PQ PQ
f (x)
: a, b
( a , b) f (b)
f (a)
f ' (c)(b a) :
f ( x)
g (a)
f (a)
g (b)
f (b)
f (b) b f (b) b f (b) b
( a , b)
c
. g ( x)
f (c )
f (b) f (a) : b a
f (a) x : a f (a) f (a)b f (b)a ......... I a a b a f (a) f (a)b f (b)a b ......... II a b a ( a , b) c
:
g (a)
: g ' ( x) f ' (c )
f (b ) f ( a ) b a f (b) f (a ) 0 b a f ' ( x)
:
f (x )
f (b) f (a) b a f (b) f (a) f ' (c ) b a f (b) f (a ) f ' (c)(b a )
g ' ( x)
f ' (c )
121
g (b) g ' (c )
0
.
a, b
2 x3 8x 1 :
f ( x)
1,3 1, 3
(1, 3)
: f ( x0 )
f (b ) f ( a ) b a
f ( x0 )
6 x 2 8 18
.
x0
(1, 3)
f (3) f (1) 3 1
36 2
13 3
x0
x
26 6
(1,3)
x
(1, 3)
f ( x)
0,4
c
:
.
x0
18
26 6
x1, 2
:
f (x)
x(4 1)
26 6
-1
. 0,3
x0
f ( x)
.
122
1 3 x 2x 3
-2
(L' Hopitall)
lim x
a
f ( x) g ( x)
lim x
a
f ( x) g ( x)
f ( x)
1
x
.
-3
x 2 3x 2 x 1
. .
f ( x)
x
3x 4 3x 2 4 x 1 2x 2 4x3 2x4
. : : ( a , b)
. x
0 0 f ' ( x) lim x g ' ( x)
x
a
g (x)
f (x )
f ( x) g ( x)
.
: 2 x 2 x 10 2 2 2 2 10 0 x 2 x2 4 22 4 0 f ' ( x) 4 x 1 4 2 1 9 g ' ( x) 2x 2 2 4 (2 x 5)( x 2) 2x 5 2 2 5 lim lim 2 x 2 (x x 2)( x 2) x 2 2 2
lim
123
9 4
.
: x 4 81 2) lim x 3 x 3
x sin 2 x 1) lim x 0 x sin 2 x
3x 2 4 x 6 3) lim 2 x 7x 2x 1
: x x (x lim x 0 (x lim x
0
sin 2 x 0 sin 2 sin 2 x 0 sin 2 sin 2 x) 1 lim 0 x sin 2 x) 1
0 0 0 0 2 cos 2 x 2 cos 2 x
1 2 1 2
3
: x4 x 3 x (x4 lim x 3 (x
lim
81 3 81 81 81 0 lim x 3 3 3 3 3 3 0 3 3 81)' 4x 4 3 lim 108 3 x 3) 1 1
: 3x 2 x 7 x2 (3 x 2 lim x (7 x 2 6x lim x 14 x (6 x lim x (14 x lim
4x 2x 4x 2x 4 2 4)' 2)'
6 1 6)' 1)'
6 14
3 7
. sin x x x 0 sin x c) lim 3 x 0 x a) lim
, ,
x5 1 3 1 x 1 x 5 x d ) lim 3 3x x b) lim
124
y
.
x
:
20
. 20 x
0,20
1
x
:
f ( x)
x
:
x(20 x) :
0,20
f ( x) 20 x x 2 f ' ( x) 0 20 2 x 0 2x 20 x 10 f (10) f (0 ) f (20)
20 10 10 2 20 0 0
2
0
20 20 202
x2 10
200 100 100 400 400
0
(10 100)
x1 10
. x
t2
: t2 t1
x( 4 )
x(3)
4 3
2
-
(t 2)(t 3)
. x( t2 ) x(t1 )
100
4
t1
3
: 2 0 4 3
125
2
.
3
:
v( x )
4 3 x 3
S( x)
4 x2 4 x2 8 x
dv ds
(F) (C)
4 3
dv dx ds dx dv ds
4
3x 2
2x 8 x
1 x 2
5 ( F 32) 9
C
4 x2
(F)
(C)
4
-
. (Vm
: C C(F F Maximum
f (x
5 (F 9
F ) C (F ) F
x) x
F 32)
f ( x)
y ) x
5 ( F 32) 9
F
:
5 9
200m
5
. :
y
x
: 2x 2 y x
200
y 100
y 100 x
x y
S
x(100 x) 100 x x 2 , Ds
IR
x
0
x 100
,
y
0
100 x
0
0
: S
S y
x 100
100 2 x
S' 0
100 2 x 0 lim S ( x) 0
x
0
lim S ( x) 0
x
0
x 50
S ( 50) 2500 x 0 50 S' S
2500
100
0 0
0
2500
126
50
100 x x 2 50
Max
50 100
x
2500
.
50
200
. x2
: T( x )
y2
T( x ) x
x2
y2
x2
(200 x) 2
x2
x 2 400 x (200) 2
2x2
x
y
y x
200
6
:
400 x 40000
T( x ) 4 x 400 T( x )
0
4 x 400 0 x 100
T(100) 20000 :
A
2 x
y
A -
7
. 2 A( x, ) x
: x 2 ( A)
OA OA
2
x2
d '( x )
2x4 x3 0
2x4
8
d '( x )
2
x1 d d
( 2)
2
2
y 2 ( A) 4 x2 8
, x2 4 ( 2 )2
d '( x ) ( x 2 )' (
4 8x )' 2 x 2 x x4
2 2
y
4 x2
x2
d2
A
4 2
8 2
4
4
2
. 127
2x
8 x3
2 x
:
24
8
. :
x x
y
x
y
24
y
:
24 2 x
:
0
V
x2 y
V
24 x 2 2 x 3
V
x 2 (24 2 x)
V ' ( x) 48 x 6 x 2 V ' ( x) 0 48 x 6 x
2
0
x(48 6 x) 0 x1 0 48 6 x 6x
0 48
y 0
x 12
24 x 2 2 x 3 24 0 2 2 03
V (0 )
0 0 0 V ' (0) 0 24 (8) 2 2 (8)3
V (8)
1536 1024 512 V (8) 512 V (12) 24 (12) 2 2 (12)3 V (12) 0
3456 3456 0
x 8
.
512cm3
y
.
x3
x2
x 1 -1
-2
1m
. .
A(3,0)
.
128
y
x2
-3
a ,b
( a , b)
f (x)
. f ' ( x) 0 a ,b
( a , b)
f (x)
. f ' ( x) 0 x
.
x
(Absolute Maximum) x
(Absolute Minimum) Extreme
.
( x0 , f ( x0 ))
f (x )
.
f ( x0 )
f ( x)
f ( x0 )
x
( x0 , f ( x0 )) :Minimum
f (x )
.
:Maximum
f ( x0 )
f ( x)
f ( x0 )
x
y
f (x)
. y
f (x)
. (Inflection)
. f ( x)
ax b cx d
. 129
c
0
a
x b a
a
f (x )
x b
x0
x0 b
f (a )
f (b )
.
f ' ( x0 ) 0 a ,b
( a , b) f ' ( x0 )
f (b) f (a ) b a
b
f (x )
x0
a
. : ( a , b)
. 0 0
x
f ' ( x) g ' ( x)
.
...
130
x
a
g (x)
f ( x) g ( x)
f (x )
: : a) f ' ( x)
–1
[ a , b] 0
b ) f ' ( x)
0
c) f ' ( x)
0
d ) f ' ( x)
0
-2
: Absolute Minimum b)
a)
Infliction c) Extreme
: a)
Absolute Maximum d )
b)
x 1 x 2x
f ( x)
c)
2
d)
–4
: a)
b)
c)
d)
: a) (
,
)
b) (
ax 2 bx c
f ( x)
, 0)
c) ( 0 ,
)
1
b) x
2
f ( x)
c) x
1
d) x
2x 1 -6 x 2
2
-7
: a) y
a c
b) x
d c
c) y
c a
d) y
: a) 4
b) 6
c)
c d
g ( x) 6
d)
4x 2 6x x2 4
x x0
f (x) f ' (x) lim g(x) x x0 g' (x)
b) lim f (x) f ' (x) x x0
131
-8
4
-9
: a) lim
-5
d)
: a) x
-3
c) lim x
f (x) f ' (x) lim g(x) x g' (x)
d)
: f ( x)
P (3 ,0)
.
f ( x)
3, 4
.
x2
x
.1
x2
.2 .3
. 1) f ( x) 2 x
2 ) f ( x) 3 x 2 1
3) f ( x)
2x
.4
. 1) f ( x)
2x 1
,
x0
1
2) f ( x )
x2
,
x0
2
.5
. 1) f ( x)
2x 4x 2
3x 3 1
2 ) f ( x)
.6
. 1) f ( x ) 7 x 2 3x
,
x0
2) f ( x) 6 x 2 2 x 1
,
x0
1 1 2
f ( x) 3 x 5
.
4 x 2 3x
.8
. 1) f ( x)
x 3 sec x
.7
3) f ( x) cos 2 2 x
2 ) f ( x) sin(3x 1)
.9 . . . .
132
x2 1 .10 x 4x2 .11 f ( x) x2 1 f ( x) sin x .12
f ( x)
f ( x)
tan x .13
133
134
Riemann’s Sum
2
2
o
2
2
y
f ( x)
2x 2
x
10
[0,4]
8 6
.
4
y
2
x
1 2 3 4
2x 2
.
. 1
. x .
135
-1
: [ a, b] y
y
f (x)
:
f (x)
x
:
y
x
o
x0
a x1
xn
x3
x2
b a ) n
( x
1
xn
x
b
[ a, b]
n
. : x0
a , x1
a
i 1, 2 , 3 , ... , n
x , x2 a 2 x..., xi
a i x , ... , xn
b
x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 , ... , [ xi 1 , xi ] , ... , xn 1 , xn f ( xi 1 ) x
: f ( x0 ) x
f ( x1 ) x
...
f ( xi ) x n
f ( xn 1 ) x
i 1
f ( xi 1 ) x
n
f ( x1 ) x
f ( x2 ) x
...
f ( xn ) x
f ( xi ) x i 1
n
n
f ( xi 1 ) x
A
i 1
f ( xi ) x :
i 1
: n
lim
n
n
f ( xi 1 ) x i 1
lim A lim
n
n
f ( xi ) x i 1
136
A
n
lim
n
f ( xi ) x
n
lim 2 f ( xi 1) x
A
n
i 1
:
121
n
n
lim n
f ( xi ) x
f ( xi ) x
i 1
i 1
. y
x
x2 1
[0 , 2 ] :
. [0,2] x
b a n
: 0
,
x0
a
x1
x2
a 2 x 1 ,
a x3
x
1 2 3 2
a 3 x
x4 2 [ x0 , x1 ] , [ x1 , x2 ] , [ x2 , x3 ] , [ x3 , x4 ] 1 1 [0, ] , [ ,1] 2 2
3 , [1, ] 2
3 , [ ,2] 2
x
. f ( x)
x 2 1 , f (0) 1
1 f ( ) 1.25 , f (1) 2 2 3 f ( ) 3.25 , f (2) 5 2
y 5
3.25
2
1.25 1 1 1 2
3 2 2
137
x
2 0 4
: 1 : 2
y 5
3.25
2
1.25 1 1 1 2
x
3 2 2
1
y
1 1 1 1 1.25 2 3.25 2 2 2 2
3.75
5
3.25
2
1.25 1 1 1 2
x
3 2 2
1.25
3.75
.
A
1 1 1 1 2 3.25 5 2 2 2 2
5.75
5.75 f ( x) 1 x :
[1 ,10]
:
138
xi lim
n
10 1 9 n n 9 xi 1 [ ] i , n
b a n
x a n
i 1
f ( xi ) x lim[ n
:
0,1,2, ...
i
(1 xi ) x]
lim[ x
n
n
(1 xi )]
n
n
lim[ x
n
lim[
n
i 1
i 1
1
xi ]
x
i 1
9 n 9 n
cn
i
n(n 1) 2
i 1
i 1
n
c i 1 n
n
n
lim[
n
i 1
n
n
1 i 1 n i 1
(a
x
xi )]
i 1
1
9 n
n i 1
(1
9 i)] n
n
9 9 n 9 n 1 ( 1 i )] n ni1 n i1 ni1 9 9 9 n(n 1) lim[ n (n )] n 2 n n n 9 9n 2 9n lim[9 (n )] n 2n n 9 2n 2 9n 2 9n lim[9 ( )] n 2n n 9 11n 2 9n lim[9 ( )] n 2n n 99n 2 81n lim[9 ] n 2n 2 99n 2 81n lim[9 ] n 2n 2 2n 2 99 81 lim[9 ] n 2 2n 99 9 58.5 2 lim[
139
i2
n(n 1)(2n 1) 6
y
x
3x
[0,3]
.1
0 .5
.2
. x
. x y
0 14
0.5 20
1 26
1.5 32
[0 , 4]
2 38
2.5 44
OAB
. y 8 B 6 4 2 O
A 1 2 3 4
140
x
3 50 y
8 2 x .3
Concept of Integral . .
S
n
f (x) dx
lim
f (x)
n
)
(
sum
f ( x)dx :
f ( xi ) x i 1
.
x
. : Indefinite Integral
.
-I
F ( x)
2x2 1
. ( 1)
.
C ( 1)
f (x)
.
F ( x)
f (x )
x6 1
: f (x )
a ,b
F (x)
f (x)
: F ( x) C
C f ( x)dx
f (x )
:
F ( x) C
141
.
. x dx
. 1 7
x
3
dx
x
3 7
3 1 7
x
dx
3 1 7
x dx : x1 1 C 1 1 1 7
C
4 7
x 4 7
3 2
x dx
3 1 2
5 2
x C 3 1 2
x 5 2
2 2 x 5
: a) b) c)
5
x3 dx
1 dx x4 1 dx x
x 2 dx
d) e)
4 8
x2
x 4 x dx
142
C
3 2
C
:
dx :
77 4 x 4 x
5
C
x3
C
.
x2 2
C :
dx :
2 5 x 5
C :
Properties of indefinite integral
k dx [ f ( x)
g ( x )] dx ?
[ f ( x ) g ( x )] dx f ( x) dx g ( x)
, g ( x)
0
. f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
3x 4 1 x2 sin x cos x 2x3
1 1 x2
:
: kdx k dx kx C :
5dx :
.
5dx 5 dx 5 x C x n dx
xn 1 C n 1
143
-1
k
:
n
1
:
-2
x 4 dx :
. 4
x dx
x4 1 C 4 1
1 5 x 5
f (x)
:
2 x dx
2 x dx
x3 2 3
2 3 x 3
C
-3
a f ( x) dx
2 x 2 dx :
. 2
:
a
a f ( x) dx
2
C
C
:
g (x)
-4
f (x)
: [ f ( x) g ( x)]dx
f ( x)dx
g ( x)dx
: 2 x 2 dx
2x3 3
a)
(2 x 2 3)dx
b)
(8 2 x)dx 8 dx 2 xdx 8 x x 2 C
3dx
3x C
-5
: [ f1 ( x)
f 2 ( x) ...
f n ( x)]dx
f1 ( x)dx
f 2 ( x)dx ...
f n ( x)dx
: [ x 3 6 x 2 9 x 1]dx
x 3dx 4
x 4
6x 3
6 x 2 dx 3
9x 2
9 xdx
2
x C
144
dx
g (x)
-6
f (x)
: [ f ( x ) g ( x)]dx
f ( x)dx
g ( x)dx g ( x)
:
f ( x)
x 2
x 1
:
:
:
[ f ( x) g ( x)] dx
(x2
[( x 1)( x 2)] dx (x2
x 2) dx
x 2) dx
x 2 dx x3 3
2x
x2 2
2 dx
x dx 2x C
: . f ( x) dx
g ( x) dx
( x 1) dx (
( x 2) dx
( x dx
dx)(
x dx
2 dx)
x2 x2 x2 x2 x C )( x)( 2x C) ( 2 x) C 2 2 2 2 x3 x 2 x2 x2 x)( 2x C ( 2 x) C 3 2 2 2
. g (x)
f ( x) dx g ( x)
f ( x)dx : g ( x)dx
:
. g ( x)
x
f ( x)
. f ( x) dx g ( x)
x2
2x x
dx
x2
2x
:
:
(
x2 x
2x )dx x
-7
f (x )
( x 2)dx
145
xdx
2dx
1 2 x 2
2x C
: . (x2
f ( x)dx g ( x)dx
x 2 dx
2 x)dx xdx
1
3
x3 1
2
x2 x2
2 xdx xdx
C
x3 1 x2 2 1
3
f ( x) dx g ( x)
x2 1 x2 2
C
f ( x)dx g ( x)dx
: a)
17dx ?
e)
(1 x) 2 dx ? 1 x 2 x 4 dx ? 1 dx ? x5 (2 x 2 4 x 3 5 x 9)dx ?
f)
(2 x 3) 6 dx ?
b) c) d)
g) h)
x3 2 x 2 dx ? x2 (2 x)dx ?
146
Definite Integral 4 4
4
4
4
4
.
4
4
2 ,5
n 5
f ( x)
2x
. : a,b
f (x) f (x)
f (x )
( x)
n
x
: n
b
x
a
b
n
lim
:
f ( xi ) x i 1
f ( x)dx
F ( x)
b a
F (b) F (a )
a
b
.
a 3
x 2 dx :
. 1
F (x)
: 3
x 2 dx [ 1
x3 3 ]1 3
33 3
13 3
27 1 3
26 3
y 3
1 o
:
y
x y
3
: 1, 4
3
.
x
4
147
4
3 dx :
. 1
. 3 4 ( 1)
3 5 15
. 4
3 dx [3x]41
3 4 ( 1)
15
1
y
y
:
x 1
0,3
(3, 2)
x
.
y x 1
:
A1
x
3
0 A2 1
1
: 1 2 2 2 1 1( 1) A2 2 1 A1 A2 2 2 A1
3
( x 1) dx [ 0
x2 2
x ]30
[
32 2
1 4 2 2 1 ( 1) 2
1 2
:
1 .5
A2
:
3] 0
A1
9 3 1. 5 : 2
y
.1 A 1 1
3
B 2
x
[1,2]
y
x
2x 1
.
D
f ( x)
C
n
.
148
4
0 ,1
x2
.2
Properties of definite integral
b
c dx .
a b
[ f ( x ) g ( x )] dx
?
a a
f ( x ) dx a
4
.
3k 2
k 1
b
x dx
1 ,1
.
a 2
(1 3x) dx
. 0
: . b
: b
a
[ a, b]
Cdx
.1
b
C dx
C dx
a
Cb a
a
-i
Sn
C[ x ]ba
n
f ( xi ) xi
i 1
1 C (b a )( n
b a n f ( xi ) C
xi
xi
n
C xi
C ( x1
x2 ...
i 0 ,1, 2 , ..., n : xn ) C (
i 1
1 1 ... ) n n
n C (b a) n
[ a, b] :
n
b a n
b a b a ... ) n n
b
C (b a)
Cdx C (b a) a
149
4
dx :
. 3 4
dx [x]34
:
4 3 1
3
[ a , b]
k
: b
f (x)
.2
b
k f ( x)dx
k
f ( x)dx
a
a
i 1,2,..., n xi
n
a, b
:
: lim S n
n
lim
n
n
k f ( xi ) x
lim k
n
i 1
n
f ( xi ) x
i 1 b
n
k lim
n
f ( xi ) x
k
i 1
f ( x) dx a
b
b
k f ( x)dx k a
f ( x )dx a 2
4 dx :
. 2 2
4dx 4
2
2 2
dx
4x
2 2
4(2 ( 2))
a ,b
: b
4 4 16
:
f (x)
F (x)
.3
a
f ( x) dx a
f ( x) dx b
: lim
n
n i 1
b
f ( xi ) x
f ( x ) dx
F (b) F ( a)
( F (b) F ( a))
a a
( F (a ) F (b))
b
f ( x ) dx b
a
f ( x ) dx a
f ( x ) dx b
3
2
2 x dx
. 2
150
2 x dx : 3
: 3
:
2 x dx
[
2x2 3 ]2 2
2(3) 2 2
2( 2) 2 2
2(9) 2
2( 4) 2
18 2
8 2
18 8 2
2 x dx
[
2x2 2 ]3 2
2( 2) 2 2
2(3) 2 2
2( 4) 2
2(9) 2
8 18 2 2
8 18 2
2 2
3
10 2
5
10 2
5
: 3
2
2 x dx
2 x dx
2
3 a
f ( x) dx 0 :
-4
f (x)
a ,b
a
x
: n
f ( xi ) x i 1
:
a
n
lim
0
f ( x) dx
F (a ) F (a )
0
a a
f ( x) dx
0
a
3
3x 2 dx :
. 3 3
3x 2 dx [ 3
3
3x 3 ]3 3
[ x 3 ]33 a ,b
: b
b
[ f ( x)
g (x)
-5
f (x)
b
g ( x)]dx
f ( x) dx
a
[33 33 ] 27 27 0 :
a
g ( x ) dx a
: b
n
[ f ( x) g ( x)]dx lim n
a
[ f ( xi ) g ( xi )] x
i 1 n
lim[
n
n
f ( xi ) x
g ( xi ) x ]
i 1
i 1
n
lim
n
i 1
b
n
f ( xi ) x lim n
g ( xi ) x i 1
151
b
f ( x) dx a
g ( x) dx a
: : 1
1
(4 3x 2 ) dx
a) 0
(x
1) dx
x dx
c
x3 3
dx
0
0
b ,a
a
0
0
3 2
0
3
y
C
27 3 3
3 0
x 0
27 9 3
c
B
18 3
f ( x) dx
a
A1 a
:
a ,b
c ,b
f (x) x
b
.6
f (x)
c
A2 c
6
f ( x) dx :
a
a,c
A
4 1 5
b
f ( x) dx
f (x )
x3 1 ]0 3
( a , b)
c b b
y
0
1
4 dx 3 x 2 dx 4 [ x] 10 3 [
0
3 2
1
3 x 2 dx
0
3
b)
1
4 dx
. b
A
f ( x)dx a
a ,b
. c ,b
a,c
f (x)
x
c
b
A2
A1
f ( x) dx
f ( x ) dx
:
a
c
b
A
A1
A2
c
f ( x) dx a
10
f ( x)dx 17
f ( x)dx 12
f ( x) dx
:
0
0
8
y
f ( x) dx : c
8
10
.
b
f ( x) dx
a
: b
y
c
f ( x) dx
f (x ) a
8
10
x
f ( x) dx
152
f ( x) dx c
8
f ( x) dx 0
b
a
10
0
f (x)
x
10
f ( x) dx 0
f ( x) dx 8
10
:
f ( x) dx 8
10
10
f ( x) dx
8
f ( x) dx
8
0
f ( x ) dx 17 12 5 0
a ,b
: b
.7
f ( x) g ( x)
b
f ( x) dx
g ( x) dx
a
a
b
b
g ( x) dx
b
f ( x) dx
a
a
:
n
[ g ( x)
f ( x)] dx lim n
a
[ g ( x)
f ( x)] x
i 1
x
g ( x)
0
f ( x)
0
: lim
n
b
n
[ g xi
f xi ] x
0
[g x
i 1
f x ] dx
0
a
b
b
g ( x) dx
b
f ( x) dx
a
0
b
g ( x) dx
a
a
f ( x) dx a
x2 g ( x) 1 2
x 1
x2 f ( x) 1 4
: b
b
f ( x)dx
. a
g ( x)dx a
: b
(1 a b
x2 ) dx 4 b
1dx a
[ x] ba
a
2
x dx 4
1 3 b [x ] a 12
b
(1 a
x2 )dx 2
b
b
1 dx
x2 dx 2
a
a
[ x] ba
1 3 b [x ] a 6
153
(b a )
: 1 3 (b a 3 ) (b a) 12 1 2 1 2 1 (a ab b 2 ) 1 (a 12 6 3 1 1 / 12 6 1 1 12 6 (b a )
1 3 (b a 3 ) 6
0
/ (b a)
ab b 2 ) (a 2
ab b 2 )
a,b
m, M
.8
f (x)
b
m(b a )
f ( x)dx M (b a) a
:
y
m
f ( x)
b
b
m dx a
y
:
M b
f ( x) dx
M dx
a
a b
f (x)
mb a
f ( x) dx
M (b a)
a
o
a M
m
x
b
. 1
e
.
x2
dx :
0
M
f (0 )
e
0
[0,1]
1
b
f ( x) dx
M (b a)
a 1
e11 0
e
x2
dx 1 1 0
0 1
e
1
e
x2
dx 1
0
e
1
1 0,3679 e
1
0.3679
e
x2
e m
: m (b a )
f ( x)
dx 1
0
154
x2
f (1) e
: 1
0.3679 1
. a c b :
:
c
.9
a,b
f (x )
f ( x ) dx
f (c )(b a)
b
y
a
M
M
y
K
f ( x)
: a
c
x
b
f ( x) dx
M (b a )
b f (c )
b
1 b a
f ( x) dx
b aa
m
c
K
M 1
K
M
f ( x) dx
a
b
b aa
b
f ( x) dx
a,b
b
1
m
a
c
c
:
b
m(b a) a
b :
a ,b
m 0
a
m
f (c)(b a)
: K
f ( x) dx f (c) :
a
f (c)
. [1,4] 4
x 2 dx
. 1
c
[
x3 4 ]1 3
[
f ( x)
64 3
x2 :
1 64 1 ] [ ] 3 3
f ( x)
x
a ,b
x2
63 3
21
: f (c ) c 2 :
c b
f ( x) dx a
155
f (c)(b a)
:
: 4
x 2 dx
c 2 (4 1)
21 3c 2
c2
1
21 c2 7 c 3 f (c ) c 2 ( 7 ) 2 7
f (c ) ,
k
.
7 f (c )
1
7 ,
7
4
[1,4]
7
k
k
f (c)
b a
.
3 7
.1
. 1
3
a ) ( x 3 2) dx ?
e) 3 x dx
1
2
5
2
b) 7 x dx
f ) (x3
?
2
1
4
4
g ) (2 x 2
c ) ( x) dx ? 2
4
3
d)
1 4 x ) dx 2 1 4 x ) dx 8
? ?
3
(2 | x | 3 x ) dx
?
h)
1
x dx 1
1
4
f ( x) dx 5
f ( x) dx
1, 4
.2
1
1 4
f ( x)dx
.
2
1
.
0,2
c
156
f ( x)
x
.3
-10 72
S (t ) v0 t
m sec
6
.
h
.
x2
f ( x)
0
0 ,1
. .
: : -1
: x
:
a, b
f (x )
a ,b
f (x )
x
F ( x)
f (t )dt a
.
F ' ( x)
f ( x)
f (x )
x
x
a,b
a ,b
a, b
: a, x
f (x )
. :
f (x)
h
x
F ( x)
f ( x) F ( x h) F ( x ) F ( x h) F (a ) F ( a ) F ( x ) F ( x) lim lim h 0 h 0 h h F ( x) ax h F ( x) ax F ( x h) F (a ) ( F ( x) F ( a)) F ( x) lim lim h 0 h 0 h h
157
F (x)
f (t )
: F ( x)
F (t ) ax
lim
h
F (t ) ax
h
h 0
x h
x
f (t ) dt F ( x)
lim
f (t ) dt
a
a
h
h 0
b
a
f (t ) dt
f (t ) dt :
a x h
F ( x) lim
f (t ) dt
a
a
h
0
a
x h
f (t ) dt
x h
f (t ) dt
F ( x) lim x
f (t ) dt lim
a
h
0
h
x
h
0
h
x h
1 lim h 0 h
1 h
f (c )
x c
f
: F ' ( x)
b
x
f (t ) dt h
f (x )
x h
f (t ) dt x
h
x c
x h
f (t )dt lim f (c) x
c
f ( x)
x
F ' ( x)
f ( x) : x2 1
.
f ( x) 2
1 t
2
1
: :
g ( x)
x
F ( x)
f (t ) dt F ( x) a
u
x2 1
g ( x)
f (t )
F ( x)
F ( x) F ( x)
f (t ) dt a
1 t
2
1
f ( g ( x)) g ( x)
1 ( x 2 1) 2 ( x 1) 1 2x 2 ( x 1)2 1 2
: (x
2
1 2x 1) 2 1
158
-2
:
:
a, b
f (x )
F (x)
b
f (t ) dt
F (b ) F ( a )
a x
F ( x)
:
f (t )dt a
:
F ' ( x)
f ( x) F ( x)
k
f ( x)
f ( x)
x
a, b
F ( x) k
x
F ( x)
f (t ) dt a
F ' ( x)
f ( x)
x
f (t ) dt
f ( x)
F ( x)
f (t ) dt
F ( x)
k
k
a x
a
a
:
x
a
f (t ) dt
F (a )
k
,
0 F (a)
k
k
F (a )
a x
f (t )dt F ( x)
k
F (a) :
a
b
f (t )dt
F (b ) F ( a ) :
b
x
a b
: sin x dx cos x dx
f (t ) dt
cos x c
F ( x)
b a
a
sin x c
sec 2 x dx cos ec 2 x dx
b
tan x c
f (t ) dt a
cot x c
.
159
“
“
1
x 2 dx :
. 0 1
x 2 dx
3
F (1) F (0) [
0
x 1 ]0 3
1 3 1 3
1 3 0 3
1 3
:
.1
. cos t
a) F (t ) sin t t
c) F (t )
.
cos t
1 4 x
2
dx
b ) F (t )
4 x2
0
dx
x
cos y dy 1 y2 1, ... ,0.4 , 0.2 , 0
1
d ) F ( x) F (b)
F ( 0)
sin t dt t 1 2
f (t ) t 2
sin x dx .3
. 0
160
.2
-11 _ .
2
2 x 1 x dx
_ .
4
.
2 x 1 dx
u 0
. x
0
dx
u
2x 1
u
x
u
4
. : F ' ( x)
f ( x)
u
a ,b
g (x)
:
g ' ( x)dx
g (b )
b
f ( g ( x)) g ( x) dx a
du
f (x)
f (u )du g ( a)
2
dx 5 x) 2 1 (3
.
161
:
: u 3 5x ,
du
5 dx
u
:
du 5
dx
x 1
2
1
u 3 5x
u 3 5 1
x 2 u 3 5x
u 3 5 2 3 10 7
dx (3 5 x ) 2
1 1 ( ) du 2 5 2u
u
2
1 5
7
2
2 u
du u2
7
1 5
1 u
7
1 5u
2
7
2
1 5
1 7
1 2
1 14
1
x 2 (1 2 x 3 ) 5 dx
.
:
0
. u 1 2x 3 , x
6 x 2 dx
du
:
u
1 du 6
x 2 dx
0
u 1 2x3
u 1 2 0 1
u 1
u 1 2 1 3
u
x 1 u 1 2x3 1
3
x 2 (1 2 x 3 ) 5 dx 0
u5 1
1 du 6
3
3
1 5 u du 61
1 u6 3 [ ]1 6 6
1 36 [ 6 6
1 ] 6
1 729 1 1 728 [ ] [ ] 6 6 6 6 6 728 182 20.2 36 9
.
x 2 x 3 1 dx
u
.
u
162
F ( x) C
. : u
g (x)
f (u )
F (u )
:
x
f ( g ( x)) g ( x) dx
f (u ) du x
.
1 4x2
. u 1 4 x 2 , du xdx x 1 4x2
:
u
8 x dx 1 du 8 1 1 ( ) du u 8
dx
dx :
1 8
1 du u
1 u 8
1 2
1
du
1
1 u 2 ) C ( 1 8 1 2
1
1 u2 ( ) C 8 1 2
1 u ( ) C 8 1 2
1 (2 u ) C 8
. : u
x4
2 , du
x 3 cos( x 4
4 x 3 dx , x 3 dx
2) dx
cos u
1 du 4
1 du 4
1 cos u du 4 1 sin u C 4 1 sin( x 4 2) C 4
163
1 1 4x2 4
C
x 3 cos( x 4
2)dx :
u
x4
2
:
. 2
a)
cos 3 x dx
?
b)
x x 1 dx
?
1 7
c)
4 3 x dx
?
2 5 (1 4 x) 2 dx
d)
0 5
e)
2 x( x
2
4
3) dx
?
f) 0
g)
cos x sin x dx
x dx x 10 2
?
164
?
?
Integration by Parts
-12
(
)
. : .
.
xdx x2 1
. 1
3x 2 x 3 1dx
. 1
2
x sin xdx
. : g (x) g ( x)
f ( x)
v
f ( x) g ( x) dx
f (x )
u
. (u v)' u ' v v' u : v' u
: v u
(u v )
u v
v u dx u v
u v dx
udv u v
vdu
. a, b
v
. b
v u dx u v a
b
b
b
vu dx
a a
udv u v
b
b
vdu
a
a
a
165
u
(
)
x sin x dx :
.
: u
x
du
,
dx
dv sin x dx , v udv u v
cos x
vdu
x sin x dx
x( cos x)
cos x dx
x cos x sin x C 1
x e x dx :
. 0
: u
,
x
du
x
e dx , v
dv b
e
du
dx : x
e dx
b
b
v u dx u v
,
dx x
v u dx
a
a
a
1
1
xe x dx [ xe x ]10 0
e x dx 0
1
e
0 e
0
e1 e1 e0 1
[e x ]10 e0
. a)
cos d
?
c) x 5 cos ( x 3 ) dx 1
2
b)
x cos 2 x dx 0
?
x e x dx
d) 0
166
?
?
e
x
c
[ a, b] y
y
f (x)
f (x)
: x
. b a ) n
( x
n
[ a, b]
: : x0
a , x1
a
x ,
i 1, 2 , 3 , ........ , n
x2
a 2 x , ... , xi
a i x, ... , xn
b
x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 , ... , [ xi 1 , xi ], ... , xn 1 , xn f ( xi ) x
f ( xi 1 ) x
: n
A
n
f ( xi 1 ) x
f ( xi ) x
A
i 1
i 1
f (x )
a ,b
F (x)
f (x )
: F ( x) C
c
F ( x) C :
f ( x)dx
:( kdx
k dx
a f ( x) dx
kx C a
f ( x) dx
[ f ( x) g ( x)] dx
f ( x) d x
g ( x) dx
[ f1 ( x)
f n ( x)]dx
f1 ( x)dx
f 2 ( x) ...
[ f ( x) g ( x)] dx f ( x) dx g ( x)
)
f ( x)dx g ( x)dx
f ( x) dx , g ( x)
g ( x) dx 0
167
f 2 ( x)dx ...
f n ( x)dx
.
a ,b
n x
f (x) :
f (x)
a
x
. b
n
lim n
f ( xi ) x
f ( x)dx
i 1
F ( x)
b a
F (b ) F ( a )
a
.
b
:( b
C dx C (b a) a b
b
k f ( x)dx
k
a
f ( x)dx a
b
a
f ( x) dx
f ( x) dx
a
b
a
f ( x) dx
0
a b
b
[ f ( x) g ( x)]dx
b
f ( x) dx
a
g ( x) dx
a
b
a
c
f ( x) dx a
b
f ( x) dx
f ( x) dx
a
c b
f ( x)
g ( x)
b
f ( x) dx a
g ( x) dx a
b
m(b a )
f ( x) dx
M (b a )
a b
f ( x) dx a
x b
f (c)(b a )
f (c)
1
b
b aa
f ( x) dx
168
a
)
:
:
a, b
x
f (x )
x
F ( x)
f (t )dt a
F ' ( x)
x
f ( x)
a,b
a ,b
f (x )
. : a, b
f (x )
F (x)
: b
f (t ) dt
F (b ) F ( a )
a
u
g (x )
f (u ) F (u )
:
.
f ( g ( x)) g ( x ) dx u
x
f (u ) du a ,b
g (x) du
g ' ( x)dx
F (x) F ' ( x)
f ( x)
: g (b )
b
f ( g ( x)) g ( x) dx a
f (u ) du g (a)
g (x)
f (x)
f ( x ) g ( x)dx
g ( x) v
f ( x) u
: (u v)' u ' v v' u
169
:
v' u
v u dx u v
u v dx
udv u v
vdu
. a,b
: b
v u dx u v a
b
b
b
vu dx
a a
udv u v
b
( b
vdu
a
a
a
170
v
)
u
-1
. 4
4
a)
1 dx 2 1 x 0
4
3
4
1 4 x ] dx 8
b) [2 x 2
2
3
d ) 4dx
2
e)
f ) ( x 2 x 5 ) dx
x dx
0
1 6
g)
1
0
x3 h) [ 4 2
1 dx cos2 x
1 dx x2
c)
3
x2 ] dx 3
i) ( x 3 x 2 )dx 2
6 2
j) [ x
3
2
2
1 2 x 3x 4]dx 2
k ) sin xdx
x 2 dx
l)
0
1
-2
. a) [sin x 8 x 3 ] dx c)
x(1 2 x 2 ) dx
e)
sin 2 x dx 2 sin x
g)
5
i)
2 x 2 3 dx
k)
(1 x)(1 x) dx x x3
b) [ x 5 d)
4 x4
x3
2 x2
x] dx
sin x dx
(1 x) 2 dx 1 x 3x 2 8 x h) dx x x2 j) dx x3 2 f)
x 3 dx
l ) (3 x 2
.
4 x 1) dx
-3 y
2
(2 x 3) dx
7
1
B
C
1 A 1 0
x
D 2
171
-4
. 2
a) 3 cos(2 x 1) dx
g)
dt (3 2t ) 2 0
2
b)
3x 5 dx
h) x 2
9 x 3 dx
0
2 dx x 2
c)
i)
1 dx ( x 10) 7 1
d ) (3x 6) 3 dx
j ) (1 x 2 ) 3 xdx 0 7
e) x 3 x 4 2 dx
k ) (4 3x) dx
f ) ( x 3 2) 2 3x 2 dx
l)
x 2 dx 4
x3 2
-5
. a)
x cos x dx
b) sin x cos x dx
f ) x 1 x dx g)
x 2 e 2 x dx
0
c) e x cos x dx
h) e 2 x sin 3x dx
2
d ) x cos 3x dx
i)
x 2 e x dx
0
e)
xe x dx
172
173
y
(0,1) (1, 0)
174
x
y
.
(0 ,1)
x
(1, 0)
. . 1
log b x
lim(1 x) x
.
x
0
y
.
f (x)
: f ' ( x)
.
1 x
g ' ( x)
a x ln a
g ( x)
ax
f ( x) ln x
: -1 y ln y
g ( x) ln a
a x
x
x ln a :
y' x' ln a x (ln a)' y y' ln a 0 y 1 y ' ln a y y ' y ln a
g ' ( x)
a x ln a
175
x
-2 f ( x) ln x ln ln( x h) ln x (ln x)' lim lim h 0 h 0 h 1 x h 1 (ln x)' lim ln( ) lim ln(1 h 0 h h 0 x h x h h 1 lim ln(1 ) h 0 x x
x h x h h ) x
x h 1 lim ln(1 ) h 0 x h x
h x
0
h
u
1 u
x h
u
: (ln x)'
1 1 lim ln(1 ) u xu u
1 1 ln lim (1 ) u x u u 1 (ln x)' ln e x
1 log a e x g ' ( x) log a e g ( x)
1 : x
u
e
.1
f ( x) log a x
f ' ( x)
(log a g ( x))'
1 u ) u
lim (1
f ( x)
g (x)
.2
log a g ( x)
: -1 1 log a e x log ( x h) log a x f ' ( x) lim a x 0 h x h h h 1 1 1 x lim log a lim log a (1 ) lim log a (1 ) h 0 h h h 0 0 x h x x h x x h h 1 (loga x)' log a lim(1 ) h 0 x x f ( x) log a x
: (log a x)'
f ' ( x)
u
1 1 log a lim(1 )u u x u
h
0
1 log a e x
176
h x
1 u
x
h h 1 lim log a (1 ) h 0 x x
x h
u
(log a g ( x))'
g ' ( x) log a e : g ( x)
-2
: 1 log a e g ' ( x) g ( x)
f ' ( x) (log a g ( x))' (log a g ( x))' g ' ( x) g ' ( x) log a e g ( x) g ' ( x) g ( x)
(log a g ( x))' (ln g ( x))'
a
:
e
: Exponential -1
. ex
y
y' ex
ex
y
: y
ex
ln y
(ln y )' ( x)'
x ln e y' 1 y
x y' y 1 ex y ' u ' eu : y ' u ' a u ln a :
a 1
x
u
0
a
y
eu
-2
y
au
-3 -4
: y
log a u
y'
u' log a e u
u' log a e u u' y' u ln a
y ' (log a u )' 1 u' u log e a
f ( x) ln( x 2 1) :
.
g ( x)
: g ( x)
x2 1
g ' ( x)
2x
(ln g ( x))' (ln( x 2 1))'
g ' ( x) g ( x) ( x 2 1)' x2 1
1 x
2
1
2x
f ' ( x) (ln( x 2 1))'
177
2x x
2
1
x2 1
:
f ( x) ln( x 2 5 x 4) :
.
: f ( x)
ln ( x 2 5 x 4)
g ( x)
x 2 5x 4
g ' ( x)
2x 5
1
(log a
log a (
x2 1 ) x2 1
x2 1 x2 1 log a
: x2 1 x2 1
x2 1 2 ) x2 1
1 x2 1 log a 2 2 x 1
2x x
2
(ln
x2 1 ) x2 1
x2 1 x2 1
log a
log a (
x2 1 : x2 1
x 2 1 12 ) x2 1
:
1 (log a ( x 2 1) log a ( x 2 1)) 2
1
ln(
x 2 1 12 ) x2 1
1 1 2 x log a e 2 2 x 1
log a e
ln
: x2 1 x2 1
f ( x)
2x 5 x 5x 4 2
1 (log a ( x 2 1) log a ( x 2 1)) 2 1 ( x 2 1)' ( x 2 1)' [ 2 log a e log a e] 2 ( x 1) ( x 2 1) 1 2x log a e 2 x2 1 2x log a e 4 x 1
ln
g ' ( x) g ( x)
(ln ( x 2 5 x 4))'
f ( x) ln
.
log a
g ' ( x) g ( x)
(ln g ( x))'
x2 1 x2 1
ln(
1 x
x 2 1 12 ) x2 1
1 (ln( x 2 1) ln ( x 2 1)) 2
1 1 [ln ( x 2 1) ln ( x 2 1)]' [(ln ( x 2 1)) 2 2 1 2x 2x 2x ( 2 ) 2 4 2 x 1 x 1 x 1
178
(ln ( x 2 1)) ]
2
1
:
y ' u ' eu
y
e( x
2
1)
y ' ( x 2 1)' e x
2
1
2x ex
2
e( x
y
.
1
y
x
2
( 2) x
1
1 x2
: :
1 x
y
y ' u ' a u ln a
1 y ' ( )' 2 x ln 2 x
1)
eu
y
. :
2
2
:
au
y
:
1
2 x ln 2
x2x :
y
. : y
:
x2 x ln x 2 x 2 x ln x
ln y ln y
(ln y )' (2 x ln x)'
y' y
y ' 2(ln x 1) y
y ' 2(ln x 1) x 2 x
2 ln x 2 x
1 x y 10 x :
. :
y
ax
y ' a x ln a
:
y 10 x y ' 10 x ln10 y
. u ' ( x) 3 :
y
e3x : u
3x
eu
y' eu u' e3x 3 y' 3 e3x
. 1) y
log( x 4 1)
2) y
log3 (log 2 x)
179
: 3) y
log x 2 1 x 2 1
:
: : y
log a u u' log a e u
y ' (log a u )' 1) y
2) y
log( x 4 1)
u' u log e a
4 x3 ( x 4 1) ln 10
y'
log3 (log 2 x)
u' u ln a
1 x ln 2 ln 3 log 2 x
(log 2 x)' ln 3 log 2 x
y'
1
1 ln 2 ln 3 x
3) y
log x 2 1 x 2 1
log e ( x 2 1) log e ( x 2 1)
log e x log e 2
2x y'
x
1
ln( x 2 1) ln( x
2
2x 2
x 1 2 1)
ln 2 ln 3 x
ln x ln 2
y
u v
y'
ln( x 2 1)
: b) f ( x) ln 3x 2
a) f ( x) ln sin 3x c) f ( x) ln (5 x e) f ( x)
y
xx
2
6 x 5)
1 ln 3 x ln x
ln( x 2 1) ln( x 2 1)
: 2
1 (ln 2)(ln 3) x log 2 x
d ) f ( x) log10 3x f) y
180
7 2
( x 1) 2 ( x 1) ( x 4) 3 e x
u ' v v' u v2
y
x
y
:
f ( x)
x
g ( y)
y 'x
: y x
f ( x) g ( y)
y ' x x' y
f
g
y' y
y ' x x' y 1
y'x
1 x' y
dy dx
1 dx dy
1 x' y y
.
ax :
: y
ax
x y 'x
log a y 1 x' y
1 (log a y )'
1 1 log a e y
1 log e a 1 y
y log e a
y ' a x ln a
: 1) (arcsin x)'
1
1 x 1 3) (arctan x)' 1 x2
2
2) (arccos x)'
1
1 x2 1 4) (arc cot x)' 1 x2
181
: 1) y arc sin x (arc sin x)' ? dy dx y 'x
x
sin y
1 dx dy 1 x' y
1 (sin y )'
1 cos y
(arcsin x)' 2) y arc cos x (arc cos x)' ? y 'x
1 x' y
x
1 (cos y )'
1 1 sin 2 y 1 1 x2 cos y
1 sin y
(arccos x)' 3) y
arc tan x
x
1 1 cos 2 y 1 1 x2
tan y
(arc tan x)' y 'x cos 2 y 1
1 x' y
1 (tan y )'
1 1 cos 2 y
cos 2 y sin 2 y cos 2 y :
(arc tan x)'
cos 2 y sin 2 y cos 2 y
cos 2 y
1 1 tan y 1 1 x 2 1 (arctan x)' 1 x2 2
182
cos 2 y
4) y
arc cot x
x
cot y
(arc cot x)' ? 1 x' y
1 (cot y )'
sin 2 y
sin 2 y 1
(arc cot x)' y ' x
1 1 2 sin y sin 2 y sin 2 y cos 2 y
sin 2 y
: sin 2 y sin 2 y cos 2 y
1 1 cot 2 y
1 1 x2
y
. y ' 5(arctan x) 4 (arctan x)' 5(arctan x) 4
1 1 x2
y
. y'
log 5 (arctan x) ' (log 5 u )'
y'
arc tan e x '
x
y ' ( 0)
e0 1 e0
(arc tan u )' 1
1 1
log5 (arctan x) :
u' u log 5 e
1 1 x2 arctan x log5 e
.
(arctan x)5 :
u' 1 u2
1 (1 x )(arctan x ln 5) 2
0
ex 1 e2 x
1 2
183
y
arc tan e x :
. 1) y (arc sin x) 3 2) y log 2 (arc cos x)
184
.1
: 1
2
1
x 1
x2 1
x
2x 1 x2 1
2
2 1
x 1
2x 1 x2 1 1 2 2 x 1 x 1
.
.
2
5
x 5
x 2
,
7 x 1
. . : : . : : Pm ( x) Pn ( x)
( Pn (x) ) : Pm ( x) Pn ( x)
A x x1
B x x2
C x x3
N x xn
( 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10
. :
.... C , B , A ) : :
185
x 3 4 x 2 7 x 10 ( x 5)( x 1)( x 2)
: 4x2 x3 4x 2 4x2 x3 4x 2
C ,B, A x 39 7 x 10 x 39 7 x 10
A
B
C
x 5 x 1 x 2 A( x 1)( x 2) B( x 5)( x 2) C ( x 1)( x 5) ( x 5)( x 1)( x 2)
4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10
Ax 2
Ax 2 A Bx 2 3Bx 10 B Cx 2 6Cx 5C ( x 5)( x 1)( x 2)
4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10
( A B C)x2
( A 3B 6C ) x ( 2 A 10 B 5C ) ( x 5)( x 1)( x 2)
: A B C 4 A 3B 6C 1 2 A 10 B 5C
(
39 C
: 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10
)
B
1
2
3
1
x 5
x 1
x 2
3, A 2
3x 3 6 x 2 20 x 1 : x2 2x 8
. : 3x 3
6 x 2 20 x 1 x 2 2x 8
3x
A B 4 2 A 4B
A
1
:
4x 1 4x 1 A B 2 x 2x 8 x 2x 8 x 4 x 2 A( x 2) B( x 4) ( A B) x (2 A 4 B) ( x 4)( x 2) x 2 2x 8
3x 2
2
5 2
,
3 2
B
6 x 2 20 x 1 x 2 2x 8
3x
186
5 2( x 4)
3 2( x 2)
: x x0 n
: Pm ( x) Pn ( x)
A x x0
B ( x x0 ) 2
N ( x x0 ) n 3x 2 6 x 2 x3 4x 2 5x 2
:
:
: x3 4 x 2 5 x 2
( x 1)( x 2)( x 1)
3x 2 6 x 2 x3 4x2 5x 2
3x 2 6 x 2 ( x 2)( x 1) 2 A( x 1) 2 ( A B) x 2
A B 3
A
B
( x 2)
( x 1)
C ( x 1) 2
B ( x 2)( x 1) C ( x 2) ( x 2)( x 1) 2 ( 2 A 3B C ) x ( A 2 B 2C ) ( x 2)( x 1) 2
A 2
2 A 3B C A 2 B 2C
:
6
B 1
2
C 1 3x 2 6 x 2 x3 4 x 2 5 x 2
2
1
x 2
1 x 1 ( x 1) 2
: Pm ( x) Pn ( x)
. .
187
Ax B ax bx c 5x 2 8x 9 x 3 3x 2 6 x 4 2
:
: x 3 3x 2
6x 4
( x 1)( x 2
:
2 x 4) x2
2x 4
: 5x2 8x 9 x 3 3x 2 6 x 4
Ax B 2 x 2x 4
.
( Ax B)( x 1) C ( x 2 2 x 4) ( x 2 2 x 4)( x 1)
C x 1
( A C ) x 2 ( A B 2C ) x ( B 4C ) ( x 2 2 x 4)( x 1)
A C 5 A B 2C B 4C 9
A 3
8
B 1 C
2
5x 2 8x 9 x3 3x 2 6 x 4
3x 1 x 2x 4 2
2 x 1
. -1 a)
x x
3
2
2 x 12 2x 6x 5 2
2
b)
4 x 3x 8 x3 2 x 4
c)
2x
4
3
2
8 x 7 x 3x 4 x2 9x 3
-2 a)
2
1 x ( x 1)
b)
4
3x 2 5 x 10 d) 3 x 2x 2 4x 8
3x 6 x 2 x 4x 2 5x 2 3
4
c)
x 1 x ( x 1) 2
3x 2 18 x 36 e) 3 x 6x2 9x
-3 a) c)
(x
2
3x 7 x 1)( x 2
x 2 13x 10 x3 5x 2
2
4)
b) d)
x 3x 4 x4 2x2 1 x5 x4 1
188
log a b
x
ax
b
.
.
f ( x)
ax
log a x
C
. . : e x dx x
a dx
ax ln a
, a 1 , a
ex C
IR
: u
ex
f ( x)
ax
ln a a x dx du du dx x u ln a ln a a du 1 a x dx u dx u ln a ln a 1 1 x ax u a a x dx ln a ln a ln a du
ax ln a
c
189
:
f ( x)
:
2x
3
:
: 2x
3
2x 23
2 x 3 dx 1 x 2 dx 8
1 x 2 8 1 x 1 x 2 dx 2 dx 8 8 1 2x C 8 ln 2
. 3 x 1 dx
1)
?
2)
6 x 1 dx
: ?
: 2)
3x 1 dx ?
1) 3x
1
6x
3x 3
3x 3 dx 3 3x dx
6 x 1 dx ?
3
3x C ln 3
6x 6
1
1 x 6 dx 6
1 x 6 6 1 6 x dx 6
. a) d) g)
3 x 1 dx 1 dx ax 4x 3 dx 2x
b)
2 x dx
e)
2 x 3 x dx
h)
5x
3x 2
x
c) f)
dx
i)
190
a x b dx 2x dx 3x (1 2 x )dx
1 6x C 6 ln 6
ax
y
.
a x dx ?
. . .
y
log a x
x
ay
y
log b x
x
by
: ln dx x ln x x C :
f ( x) ln x ( x
f ( x) log a x
: loga x dx
x log a
IR )
( x , a IR , a 1)
x e
: : log a x dx loge x dx ln x dx
x log a
x C e
ln xdx
x log e
x ln x x C
x e
x(log e x log e e)
x(ln x 1) C
191
a
e
-1
-2 log a x dx
x C e
x log a u dv
log a x dx
1 log a e dx x
log a x , du dx , v
x 1 x log a e dx x
x log a x
x log a x log a e dx x log a x x log a e log a x dx
x log a
x(loga x log a e)
x log a
x C e
x C e
ln 3xdx :
:
: ln 3 xdx
(ln 3 ln x)dx
ln 3 dx
ln x dx
x ln 3 x ln x x x(ln 3 ln x) x x(ln 3 x 1)
: (I )
Substitution
. .
: :
I
a) I
1 e 2
2x 3
u,
1 u e 2
1 du 2 2dx x 2
b) I x 2 I
2du u
u, 2
2x 3
dx 2 1 u e du 4
1 du u
du dx
2 ln u
dx C
du dx
,
1 u e 4
C
dx
du
2 ln x 2
C
192
1 e 4
1 du 2 2x 3
C
f ( x) e 2 x :
:
: e2 x
f ( x) u
2x
du
2dx
dx
du 2
e2 x
f ( x)
e 2 x dx ?
f ( x)dx
du 1 eu du 2 2 1 2x e2 x C C e C 2 2
eu
f ( x) dx e 2 x dx
eu 2
F ( x)
1 2x e 2
C
1 2x e 2 2 f ( x)
F ' ( x)
.
e2x
f ( x) :
x ln x 2 :
: x ln x 2
f ( x)
( x ln x 2 )dx ?
f ( x) dx
x2
u
2 x dx
du
f ( x) dx
1 du 2 1 x ln u du 2x dx
1 1 ln u du u ln u u C 2 2 1 2 1 2 x ln x 2 x C 2 2
.
1 1 u ln u u C 2 2
(
(II )
) 1
e 2 x dx :
. 1 1
f ( x)
e2x
e 2 x dx 1
du
2 dx
1, u 2 x x 1, u 2 x
u
u x
2x
dx
2( 1) u 2(1) 2
1 du 2 2
2
1
e 2 x dx 1
193
1 u e du 2 2
1 u e 2
2 2
3.627
2
.
2 x ln x 2 dx :
f ( x) 1
u du
x
2
2 x dx
1 du 2x
dx
x 1 , u
x2
1
2 , u
x2
4
x
2
4
1 2 x ln x dx 2 x ln u du 2x 1 1
4
2
u ln u u
4 1
4 ln 4 4
ln udu 1
1 ln 1 1
. a)
ln 2 x 3dx
b)
d)
1 3 log dx x
e)
ln x dx 2
1
4 e
2x 4
dx
194
c)
x log dx 2
2.545
x2
5 3x 2
.
?
?
( x 2)
( x 1)
. 7 x 12 dx : x 6x 8
.
2
: 7 x 12 A B dx x 6x 8 ( x 2) ( x 4) A( x 4) B( x 2) Ax 4 A Bx 2 B ( x 2)( x 4) ( x 2)( x 4) A B 7 4 A 2B 12 A 7 B 4(7 B) 2 B 12 28 4 B 2 B 12 28 2 B 12 2 B 16 B 8 A 7 8 1 7 x 12 1 8 x2 6x 8 x 2 x 4
:
2
( A B) x 4 A 2 B ( x 2)( x 4)
: 7 x 12 dx x 6x 8 7 x 12 dx 2 x 6x 8 2
1 8 dx dx x 2 x 4 1 1 dx 8 dx x 2 x 4 ln | x 2 | 8 ln | x 4 | C ln ( x 2)
1
( x 4) 8
ln
ln( x 2)
( x 4)8 x 2
195
C
1
ln( x 4)8
C
5x 9 dx : x x 6
. x2
x 6
2
( x 2)( x 3)
:
: :
5x 9 5x 9 A B x x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3 A( x 3) B ( x 2) Ax 3 A Bx 2 B ( A B) x 3 A 2 B ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( A B) x 3 A 2 B 5x 9 2
A B
5
3A 2B
A
5 B
5x 9
: 3( 5 B ) 2 B
B
9
15 5 B 9 5B B
24 24 5
25 24 5 4 1 5x 9 5 5 x2 x 6 x 2 x 3 1 5x 9 5 dx x2 x 6 x 2 1 ln( x 2) 5
A
5
24 5
ln( x 2)
1 5
1 5
24 1 5 dx x 3 5 24 ln( x 3) 5 ln( x 3)
24 5
1 x 2
24 5
dx
ln ( x 2)
1 5
1 x 3
( x 3)
24 5
dx
C
. a)
x3
x 2 dx 3x 2 x 3
b)
x 2 dx 2 x 6x 5
196
c)
x4
x6 3x 2
2
dx
A
f ' ( x) e x
. . . .
a x ln a
f ' ( x)
1 1 log a e x x ln a g ' ( x) (log a g ( x ))' log a e g ( x)
f ( x)
ex
f ( x)
ax
f ( x) log a x
f ' ( x)
f ( x) log a g ( x) :
. Pm ( x) Pn ( x)
( Pn (x) ) : Pm ( x) Pn ( x)
A
B
C
N
x x1
x x2
x x3
x xn
x x0 n
: Pm ( x) Pn ( x) Pm ( x) Pn ( x)
A x x0
B ( x x0 ) 2
N ( x x0 ) n
Ax B ax bx c
.
2
: e x dx
ex C
,
a x dx
ax C ln a
,
(a
: ln x dx
x ln x x C ,
log a x dx x log a
x C e
: f (x)
ex
f ( x ) dx
e x dx
197
ex
C
IR , a 1)
. f ( x)
.
f ( x)
.
.
2)
x2 x3
f ( x) log x 3
.4 .5
x 1 2x2 x
3)
2x2 3 ( x 2 1) 2
. 1)
5t 7 dt
2)
3)
(2 cos x 5 sin x e x )dx
4)
5)
xe x dx
6)
7)
1
c) y
.6
x3 3 dx x2 cos x sin xdx (
5 ) dx (2 x 1)( x 2)
3x 2 x 3 1dx
1
. a) y
.2 .3
. x 1 2 x x 6
.1
2x2x
y
.
1)
x 2 ) x 2 ln x 1
ln(
ln( x 2 ex
2
1
x 1)
b) y d) y
198
ln(sin x) x
2
–7
199
200
Accounting of area bounded by one curve . . o
y 1 x2
. .
(Critical Point)
x
.
y 1 x2
x
x2
y
x
2x
. : b
f ( x) dx
F (b ) F ( a ) _
a
. y
(
)
x b,x
y
x
a ,b
f ( x) 0 y
f ( x) 0
f (x )
f (x)
x
y
201
f (x)
f (x)
x
. .
a
x 4
y2
:
_
:
y
. x
y2
4
x'
2y
x' 0
y
0, x
4 y
x
0 , 4 y2 2
y
y
2
x y2
0
y
0 0
4 0
x
4
( 4 , 0) x
4
(0 , 2) , (0 , 2)
4 y2
x
2, 2
x
: 2
2
2
2
(4 y ) dy 2 (4 y )dy 2[4 y
A
0
2
y3 2 ]0 3
3
A 2 [(4 2
2 8 24 8 ) 0] 2 (8 ) 2 ( ) 3 3 3
.
16 32 2( ) 3 3 1 2 y 1 x 2
x :
:
x
. y 1
1 2 x , y x 2 y 0 x 0
x
0, y 1
y
0 ,1
x1
1 2 x 1 2
1 2 x 0 2 2 , x2
( 2 , 0) , (
y 1
1 2 x 2
1 2 0 2
1
x2
y 1
(0,1)
2, x
2
2
y 1
2 , 0)
2
2 0
202
x
2
2
1 2 x ) dx (1 2 2
A
1 2 x ) dx 2
2 (1 0
1 3 2 x ]0 ) 6
2( [ x
3
( 2) 6 2 ( 2 )3 0) 2( ) 6 6 6 2 2 2 4 2 ( ) 3 3 A 1.8853 A
2( 2
2(
6 2 6
8
)
x2 3
y
x
: .
: y
x
: x2
3
0, y y
y
3
x
2
3
3
0
x
y
0
2
3 3
(0, 3)
0 , x2 3 0
x
y
y' 2 x y 0
(
x2
( 3 ,0) , (
3 1.7
1. 7
3 , 0)
( 3 , 0)
3
3 ,0) 3 (0 , 3)
[ 3,
3]
y
x2 3 x
2
: 3
A1
3
( x 2 3) dx 3
2 ( x 2 3) dx 0
3
3
2 ( x 2 dx 3 dx ) 0
0
1 1 2 ( [( 3 )3 0] 3 [ 3 0]) 2 ( ( 3 )3 3 3 ) 3 3 2 2 2 ( 3 )3 6 3 (1.7 )3 6(1.7) ( 4.913) 10.2 3 3 3 3.2753 10.2 6.9247
203
1 2 ([ x 3 ]0 3 [3 x ]0 3 ) 3
9.826 10.2 3
x2 3x :
y
x
.
1, 4
: y
x 2 3x
y ' 2x 3 0 x
:
3 , y 2 y
2x 3 , x
3 3 ( )2 3( ) 2 2 9 3 9 , (x , y ) ( , ) 4 2 4
x 2 3x 9 4
3 2
y
9 2
3 9 ( , ) 2 4
x
y" 2 0
y
y
0
x2 3x 0 x( x 3) 0 x1 0 , x2
: 3
A1
3
1 2 2
1 0
A2
1
9 4 0
A
A1
A2
3
(x
A3 1
2
3 x) dx
4
(x
2
A3 4
x
3 9 ( , ) 2 4
( x 2 3 x) dx
3 x) dx
0
3
3
1 3 2 0 1 3 2 3 1 3 3 2 4 A [ x3 x ] 1 [ x3 x ]0 [ x x ]3 3 2 3 2 3 2 1 3 1 3 1 3 2 0) ( ( 1) 3 ( 1) 2 )] [( 33 3 ) A [( 0 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 (3) 2 )] (4) 2 ) ( (3) 3 [( ( 4)3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 ( ) ( 27 9) ( 64 16) ( 27 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 27 27 64 48 27 27 3 2 3 2 3 2 3 2 1 27 64 27 3 27 48 27 65 54 57 48 3 2 3 2
204
(
1 3 0 0)] 3 2
9)
11 9 3 2
22 27 6
49 6
.
x
[ 1,2]
: y
x2
2x
x 1 ,
y
y
x2
2x :
:
x
y ' 2x 2 0 x 1 2x 2 x2
2 x 12
2(1)
1
(1 , 1)
y" 2 0
(1, 1)
x
. y
, x2 2x 0 x ( x 2) 0 x1 0 , x2 2
0
y
1 1
2
x
0 1
[ 1,2]
[ 1, 0]
0, 2
x
x
: 0
2
A
(x
2
1
( x 2 2 x) dx
2 x)dx 0
1 8 1)) (( 4) 0) 3 3 4 4 4 4 8 ( ) ( ) 3 3 3 3 3
(0 (
1 [ x3 3 (
1 x 2 ]01 [ x3 3
1 8 1) ( 4) 3 3
205
x 2 ]02 (
1 3 8 12 ) ( ) 3 3
.
[ 2 ,2 ]
x
y
y
2 y 1
f ( x)
sin x
-1
y
x3 1
-2
. 2 1 1
.
y 2 y 1
x
x 1
206
x 0
y
2x x
2
1 x
-3
Accounting of area bounded by tow curves A
A1
A2
.
A1
A2
A
.
y2
.
x2 1
y1 1 x 2 y1
x
y2
. y2
y1
.
( y1
x
y
y
x 2
y2 )
x2
. : y2 g (x)
f (x )
g ( x)
y1
f ( x)
g ( x)
f ( x)
x
: b
A
b
f ( x) g ( x) dx a
b
f ( x) dx a
g ( x) dx a
207
[ a, b]
_
:
f (x )
b
b
A
[ g ( x)
f ( x)] dx
b
g ( x ) dx
a
_
g (x)
a
f ( x ) dx a
g ( x)
x2
2x x2 :
f ( x)
. : f ( x) 2 x f ( x)
x 2 , g ( x)
x2
2x
x2
x2
x2
x2
0
g ( x) 2x 2x
2x
2
: y
1
0
1 4
2 x (1 x ) 0 2x 0
x1
0
1 x 0
x2
1
0
(1,1)
x f (x)
(0 0 ) (1 1 ) 1
b
1
[2 x x 2
[ f ( x) g ( x)]
x 2 ] dx
[2 x 2 x 2 ] [
0
a
[x2
1 3 ( , ) 2 4 1 1 ( , ) 2 4 1 1 2
3 4
. A
g (x)
2 31 x ]0 3
(1
0
2 ) 0 3
3 2 1 3 3 g ( x) 2 x
2x2 2
f ( x)
2 x3 1 ]0 3
x2 6x 2 :
. y
f ( x) x 2 6 x 2 g ( x) 2 x x2 6 x 2 x2 5x x1
0
2 x
f ( x)
g ( x)
2
x2 6 x 2 2 x
0
x( x 5) 0
1
: (0, 2) (1 ,1)
1
2
x
1
0 , x2 5 (0,2) , (5, 3)
2
3
(5, 3) (1 , 3)
208
f (x )
g (x) g ( x)
b
A
f ( x)
5
[ g ( x)
(2 x x 2
f ( x)] dx
a
6 x 2)dx
0
5
5
( x x2
( x2
6 x) dx
0
5 x) dx
0
[
x3 x2 125 25 5 ] 50 ( 5 ) 0 3 2 3 2 250 375 125 6 6
125 125 3 2
g ( x)
x2 2x 2
x2
f ( x)
:
4x 2
. : :
y
(3 , 5)
5
f ( x)
x2
g ( x)
2
x
x2 x
2 (0 , 2) 0
1
2
2x x1
x
3
4x 2
f ( x)
2x 2
4x 2 2
f ( x)
x2
4x 2 x
2x 2 2
2x 2
x
: b
[ f ( x) g ( x)]dx a
[
2
0
2
x 4x x 2x 2 x ]30 [ 2 x ]30 3 2 3 2 1 1 27 2 9 6 0 27 9 6 0 3 3 9 18 9 9 9
209
3
( x2
g ( x )dx a
3
g (x) 3
b
f ( x)dx a
3
0
6x 0 x ( 2 x 6) 0 0 , 2x 6 x2 3
(2 0) (5 3)
b
g ( x)
(0 , 2) , (3 , 5)
f (x)
A
g ( x)
( x 2 2 x 2)dx
4 x 2)dx 0
.
y
x2
4x
y
x2
-1
.
y
x 5
y2
2x 2
-2
.
y
x 1
y2
2x 6
-3
210
Accounting of rounding things Volume
.
. .
. . . :
y
y
(a ) y
x
f (x)
f (x)
(a )
a
x
x b
y
x b (b)
y y
0
x
x
r
. x
a
x b
211
(b)
x
a
x b a
r2
A( x)
x
y
r
y
: b
n
v
lim Vn
n
n
b
i 1
a
y 2 dx a
[ f ( x)]2 dx a
y
y y
b
r 2 dx
A( x) x
lim
x
c
f ( y) y
d
y
y
x
c
r2
A( y )
x
0
d
x
y
r
d c
: b
n
v
lim Vn
n
lim
n
b 2
A( y ) y i 1
r dy a
b 2
[ f ( y )]2 dy
x dy a
a
: -1
. : x2
x2
y2
r2
y2
r2
x2
212
y2
r2
r
r
y 2 dx
V
(r 2
r
y
x 2 ) dx
r
x
r
(r 2
2
x 2 ) dx
x3 r ]0 3
2 [r 2 x
0
2 [( r 3 2 (
3r 3 3
r
x
r x
0
r3 ) 0] 3 r3 )
3
2r ) 3
2 ( V(
)
4 3
r3
-2
. y
x
mx
:
:
y h
y 2 dx
V
y
0 h
h
m 2 x 2 dx
m 2 x 2 dx
0
m2[
x3 h ]0 3
m2 (
h
o
0
mx H
x
h3 ) 3
h (mh) 2 3 h y
mx
(x
h)
x
(h)
y // r
: y
mx r h 2 r 3 h V r2 3
mh
213
r2
: h 3
r2
V V(
)
1 2 r h 3
x2 a2
x
y2 b2
-3
1
. : . x2 a2 y2 b2
y2 b2
1 2
x a2
1 a
y2
b2 a
2
V
y
y dx a
[b 2 a
a
[b 2
2 0
b2 2 x ]dx a2
2
b 2 x a2 b2 2 x ] dx a2 2 [b 2 x
x
b 2 x3 a ]0 a2 3
b2 a3 b2a 2 b a ) 0 ] 2 [ ] a2 3 3 3b 2 a b 2 a 2b 2 a 2 [ ] 2 [ ] 3 3 4 2 b a 3
x
a
x
2 [(b 2 a
V
4 2 ba 3 y
: 4 a 2b 3
214
a
y
y 1
x2
: y
. :
: y
1
b
x 2 dy
V
0
a
V
1 2 1 1 y |0 2 2
y dy
y 1
2
x y
y 3
.
2x
:
:
y b
3
3
2
V
2
y dx
[ 2 x ] dx
a
0
2
x dx
2 [
0
V
[ 2 x ] dx 0
3
V
3 2
2 x dx 0
x2 3 ]0 2
x
3
0
9
a ,b
y2
x
b x
g ( x)
y1
f ( x)
g (x)
a
:
f (x)
: x A(x)
y y1
(
)
f ( x)
a
b
.
a
b
x
b
( y12
V
x
y2
( y1
y2 )
f (x )
y2 g( x)
x
y1
y 22 ) dx
( y12
y 22 ) dx
a
215
g (x)
.
f (x )
b
b
( y 22
V
g (x)
y12 ) dx
( y 22
a
y12 ) dx
a
y
y
x
x2
: x
. y
y
x
y
(1,1) x2
x
(0 ,0) y1 x 2 y2
x
:
y
f ( x)
y1 , g ( x)
y2
g ( x)
x
0
f ( x) 1
b
( y22
y12 ) dx
( x 2 ( x 2 ) 2 )dx 0
a 1
(x
2
4
x ) dx
0
x3 [ 3
x5 1 ]0 5
1 1 1 1 0) ( 0)] [ ] 3 5 3 5 5 3 2 2 [ ] [ ] 15 15 15 [(
V
x
x
y
0
x
. x
0 y
.1
sin x
y
8
x3
.2 y
216
Accounting the Length of Arc
AB
a ,b
y
f (x)
. M2
.
M1
x2
x1
a ,b M2
M1 H
. M 1 HM 2
y
M 2H
x
M 1H
.
y
M 1 HM 2
B
M2 y
M1 x
.
H
A a
x1
x2
x
b
: M 1 HM 2
: (M 1 M 2 ) 2 M1 M 2
( x) 2 ( x) 2
( y) 2 ( y) 2
217
: f (t ) x
x t f ' (t )
y t y g (t ) t
,
g ' (t )
,
t
M 1M 2
( x)2
( y)2
M 1M 2
[ f (t )]2 [ g (t )]2
t ]2 [ g (t )
[ f (t )
t ]2
t
: L lim n
n
[ f (t )]2
[ g (t )]2
t
i 1
b
[ f (t )]2
L
[ g (t )]2 dt
a
x2
:
y2
x r cos t y r sin t
.
: 0 t
. x2
P
r2 :
y 2 dt
y
0
x
r sin t , y
r cos t r
( r sin t ) 2 (r cos t ) 2 dt
P 0
2
P
2
2
o
2
r sin t r cos t dt 0
r 2 (sin 2 t cos 2 t ) dt
P
r 2 dt
0
P
[ r t ]0
0
(r
r 0)
r
2 r
218
t
r cos t
r sin t
x
: a
x
f (x) -1
y
x b
b
L
1
2
f
( x ) dx
:
a
0
.
x
y
4
f ( x)
x
3
f ( x) b
4
1
L
f 2 ( x) dx
a 4
0
0
9 1 x dx 4
4
0
L
: 1
x2
3 2 x : 2
f ' ( x)
1
3 1 ( x 2 ) 2 dx 2 4
4 u du 9
1 1 2
3 2
1
4 2 u du 90
u 1
3 2 4 0
4 u 4 2 8 [ ] 04 [u ] [ u 3 ] 04 1 9 9 3 27 1 2 8 9 3 4 8 9 x ) ]0 [ (1 [ (1 4) 3 1] 27 4 27 4 8 (10 10 1) 27
du 8 ( 10 3 27
a
y
y
dx
1)
x
b
9 x 4
9 dx 4 4 du 9
-2
f ( y)
b
f 2 ( y ) 1 dy
L
:
a
3
.
1
y
4
219
x
f ( y)
y2 :
: f ( y) y
3 2
1
3 2 , f ( y) y 2 4
b
f 2 ( y) 1 dy
L
1
a 4
1
4
9 y 1 dy 4 3 2 4 1
4 2 [u ] 9 3
8 [ (10)3 27 8 [ 1000 27
1
( u
1
3 2 2 y ) 1 dy 2
4 du 9
u
8 9 [ ( y 1)3 ]14 27 4 (
9 3 1) ] 4
13 8 ( )3 ] [10 10 4 27
du
9 dy 4
dy
4 du 9
2197 ] 64
1 x
.
9 y 1 4
y
2
t3
x t2
f ( x)
1 2 x 2
.1
3
.
0
x 1
220
.2
b
f ( x) dx
F (b) F (a)
a
x b
. y
a
y
x
a ,b
f ( x) 0
f (x)
x
x
y
f (x) f (x)
f ( x) 0
f (x)
x
. :
g (x)
: b
b
A
b
f ( x) g ( x) dx
f ( x) dx
a
g ( x) dx
a
a
f (x )
: b
A
b
[ g ( x)
f (x)
f ( x)] dx
b
g ( x)dx
a
g (x)
f ( x)dx
a
a
x b
x
y
a
f (x)
x
. x b a
A( x)
r2
x
y
v
lim Vn
lim
n
n
n
b
b
y 2 dx
a
a
y x
y
b
r 2 dx
A( x) x
i 1
r
x
r
d
[ f ( x) ]2 dx : a
d
y
x
c
A( y )
c
r2
: b
n
v
lim Vn
n
lim n
A( y ) y i 1
b 2
r dy a
b 2
x dy a
221
[ f ( y ) ]2 dy a :
f ( y)
y
b
[ f (t )]2
L
[ g (t )]2 dt
:
a b
L
1 f '2 ( x) dx
(1
1 f '2 ( y ) dy
(2
a b
L a
y2
y
. 0,2
x
y
.1
x 5 0
.2
sin x
. y
.
6x
x
.
x2
y
. x
x
2
y
,x 0
4x
x2
y
y
x2
y
x2 2 x
.3
4x 3
.4
x3 6 x 2 8 x
.5 .6
sin x cos x
. 0, 4
y
x
1 2 x 4
.7
2
. x2
y2
2
x2
y
.8 x
. 2,6
y
x
1 x 1 2
.9 .
2
. .
2
x
x 5
222
2
y y
x 4 .10 4 4 x 3 3
.11
223
.
224
IR
S x1
f
x2
.
f ( x1 ) f ( x2 )
P( x
xi )
f ( xi )
x1 , x2 ,... xn
. k2 f (x)
k1 f (x )
x
k2
k1
.
xi
E ( xi )
2
2
, E(x
xi )
xi f ( xi ) i 1
. xi 0 f ( xi ) 0.5
1 0 .5
225
xi
E ( xi )
2
f ( xi )
: _ . P( x
x1 , f ( x1 ) , x2 , f ( x2 ) , ... , xn , f ( xn )
xi )
. .
F ( x)
P( X
(
_
f ( xi )
)
x) f (x )
x
:
k2
k1
x
k2
P (k1
x
k2 )
f ( x) dx k1
: P (k1
k1 x
k2 )
(
k2
)
x
F (k 2 ) F (k1 )
( Expected Value)
x
x
:
E (x ) n
E ( x)
x1 f ( x1 )
x 2 f ( x 2 ) ......... x n f ( x n )
xi f ( xi ) i 1
: S
2
S2
2
n
xi
x E (x )
x
x
E ( xi ) f ( xi )
i 1
226
x
:
. . 0 .8
_ _
0 .2 x
( Expected Value)
. :
f
: :
xi 1 10
f ( xi ) E( x) xi f ( xi ) 0.8 1 0.8 0.8 0.2 10 0.2 2 0.1 1.2
2
(10 1.2)2
2
S 2 xi E( x) f ( xi ) 4.84 0.8 3.872 77.44 77.44 0.2 15.488 S 2 19.360
xi E( x) ( 1 1.2)2 4.84
227
S 4.4
100
:
60
30
8
2
0
1
2
3
x
. ( 2)
228
100
.
160
.
. . 7
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(
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n
m
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n m
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n
n
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q
m
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229
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P m q1
m
q 1 p
.
P n
m
P( X
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q
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P
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i
m 5 ,
0.6 ,
15 (0.4) 5 (0.6)10 n Pm qn m 5 m 15! 0.01024 0.00604661760 5!(15 5)! 22.3098876 0.1859 120
P (3 m 4 )
n:
3
4
: P( m 5)
0 m
np
. .
P
n 15
360360 0.00006191 120
(315 )(0.4) 3 (0.6)15
3
(415 )(0.4) 4 (0.6)15
4
15! 15! (0.064)(0.6)12 (0.0256)(0.6)11 3!(15 3)! 4!(15 4)! 2730 3270 (0.000139264) (0.0000928512) 6 24 0.38019072 0.3036 0.063365 0.012650 6 24 P(3 m 4) 0.076015
4
200
. . .
230
:
x p xq n n
1) b( x , n , p )
x
2) lim b( x , n , p ) n
x
3) P ( x , )
x
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.
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m
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m
.
P
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x
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m
:
. e 2.71828 .
231
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m
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.
3
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. n
(
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)
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: P( X
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m)
P
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e
n p 200 0.01 2
m!
(2.71828) 3! 0.13533 8 6
2
1 8 (2.71828) 2 2 6 1.08268 0.1804 6 3
1 8 7.3890461584 6
: P( X
m)
n
200
p
0.01
P(3)
P( X
n Pm qn m q 3)
m
0.99 200 (0.01) 3 (0.099) 200 3
200! (0.01) 3 (0.099)197 3! 197!
3
0.1814
.
232
0.01
:
: P( X
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m
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t
60
: . :
60
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m
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4
1 20 1 60 3 20 3
(2.71828) (3) 4!
4.03278 24
0.168032
233
4
1 81 (2.71828) 3 4 3 2 1
. .
: : 100
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300
234
(
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x
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236
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.
. 46
(
gr ) mil
.
46
. (
1.2
1.2
)
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0.870 0.2
.
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
0.0
0.5
0.1
1.5
237
2.0
2.0
3.0
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D , C , B, A
E
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A
B
C
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238
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239
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.
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5
53
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x2
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x2
1 f ( x)dx x1 s 2
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x1
x1
1 x x 2 ( ) 2 s
x2
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x1
x
x2
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z
x x s
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.
240
. z2
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z
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x x s
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N ( z , 0 ,1) dz z1
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x
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. . . z
.
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241
z
z)
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z
242
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z
243
1.5
z 1.56
z
0.06 0
z
0.9406
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:
Z 1.56) 0.9406
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(
952
)
:
952
.
956
.
952
: z1 z2
.
x x 952 952 4 s 956 952 4 1 4 4 1 P (0
0 4
z
956
952
(2) 956
:
952 956
P (0
z 1)
952
P( z2 ) P ( z1 ) P(1) P(0) 0.3413 0 0.3413
0.3413
z
x
z 1) 0.3413
x
952
1
0
:
70 84
:
z
0
34.13
x
x
4
54
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. 244
. z1 z2
:
54 70 2 8 84 70 1.75 8
P (0
z 0)
P (0
z
x 54
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x 84
(2)
: P( 2
:
2) 0.9772
z 1.75 ) 0.9599
. P( 2
z
0 ) P (0
z 1.75) 0.4772 0.4599 0.9371
x z
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54 2
x 0
70
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.
245
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. . . .
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. . .
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246
x1 , x2 , ... , xn _
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5
7
.
5
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(
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x1
x2 , x1 :
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x2
(1)
x3 x3
x2 , x1
: f ( xi )
(1) i 1, 2 , 3
(
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p
5 12
.
xi
x3
x2 , x1
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x1 , x2
x2 , x3
x3 )
.
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247
n
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(
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n
.
data
:
2
3
4
. . (
) . .
(
x
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.
x
.
x
248
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: x1 , x2 , ...., xn
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x
.
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.
:
x
.
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249
: 3
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x f ( x)
x 1 3
1 (1 2 3) 2 3
1 2 14 (1 2 2 33 ) 3 3 x 1 14 2 E ( x 2 ) ( E ( x)) 2 22 3 3
E(x2 ) 2 x
x 2 f ( x)
:
:
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1 .5
2
1 .5
2
2 .5
2
2 .5
3
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1.5 2 9
2 3 9
2.5 2 9
x
3 1 9
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x
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1 1.5 2 2.5
3
x :
x
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E ( x)
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2
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1 2 3 2 2 1 (1.5) 2 22 (2.5) 2 3 9 9 9 9 9
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13 4 3
1 3
2
250
2 13 3
: 2
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2 3 2
1 3
8
.
.1
6,4,2
x
.
251
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x1 , x2 , ... , xn Sn
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N
N
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x
x
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.
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252
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.
9
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. 80
. x
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80)
x
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: P( z
80)
:
n 1
80 71 P ( z 1) 9 1 P( z ) 1 1 0.8413 0.1587
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: .
253
(2)
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n 16
.
254
240 gr
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n
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.
x
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x
x
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n
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n nP
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n
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P
np
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: P pq n
p(1 p) n
p p pq n
:
255
x
.
P
x
n 6
.
P
0 .3
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. n 6
. f ( x)
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P
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x
0.3
x :
x 0 ,1, ..., 6
: x f ( x)
0 0.1176
1 0.3025
2 0.3241
3 0.1852
: P( P
0) P ( X 1 ) P( X 6
P( P
x ) n
P( P
0)
1
4 5 0.0595 0.0102 5 4 3 2 1 , , , , ,0 6 6 6 6 6
6 0.0007
P
0.1176
1) 0.3025
:
P( X
x)
: 0
P
1.6
f ( P ) 0.1176
0.3025
2.6 0.3241
P
3.6
5.6
1
0.0595
0.0102
0.0007
3
P( P
0.6)
P ( x 3.6)
P( x 3)
B( x , 6 , 0 , 3) 0.9294
:
x 0
P( P
0.27)
P( x 1.62)
(
P ( x 3) 0.1176 0.3025 0.4201
:
.1
) n 200
. .
P
0.7
0 0.05
P
_
0 .6
P
_
.
256
.
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. x
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xi f ( xi )
x
x
i 1
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n
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m
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m)
m
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x
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n
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257
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b
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1 x ( 2
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x
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n pq
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P
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P ,
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,
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P n P q (1
P)
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x
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x
f ( x1 ) , f ( x2 ) , .......... , f ( xn )
E ( xn )
f (x )
.
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x 2
258
V ( xn )
1 n
.1
: . . .
.2
0 .1
P
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400
.3
500
8
10
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x 2s x
s
. h
x
(x
s , 0.6 h)
0 .6 h
x s
.
0.15h
0.15 h
0.1354 h
0 .6 h
h
x 2s , x 2 s
0.6067 h
. . 8
.5
6
. 8
.
25
6
. 7
8
6
1 2
.6 :
259
. 5
. 6
.
3
.7
25 0 .5
. 25.9
.
25.2 25
. 24.07
1000
. 24.56
. 1 n
n
xi i 1
1 n
n
( xi
x) 2
x1 3 x2
. 1 n
n
( xi
3x1 2 x3 8 x2
)
i 1
.8
xn , ... , x2 , x1
x
i 1
x1
x3
x2 x4
2
.9
x 2
x1
x3
.10 103
x
112
104
108
: x
. V (x )
.
.11
90
25 2100
225
n 50 A
P
A
100
.12
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A
. A
E (x )
60%
12
0 .4 n
200
0 .4
.
260
.13
261
262
(
)
(
)
. . : . (countable) (
) .
.
(
)
: : 12 8 :
. 3
263
30 :
1000
100
: . 45
. ( (
30 :
)
)
: (
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.
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S
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t}
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. . -2 . .
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S {e1 , e2 , ... en } i 1 , 2 , ... n
. n
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265
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1 4
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1 4
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-1
) 0.30 0.26
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. .
(5)
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2
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4
5
6
7
9
8
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3
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.
266
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( 60
)
3 3
1 60
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B
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1
A
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S
A
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x
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267
2.5
A
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1.5 3
1 2 A
0
2
1
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x
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.
r
a 2
a
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B A B A
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A 3
.
2
B 0
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.
268
(20) 5
: 4
15 .
:
.
1600
2500
70%
80%
: :R
.
:M
.
:F
. :
. : .
269
: M M
.
R
R R
R
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PR ( M )
PR (M )
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S
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.
0
B
. . PB ( A)
A
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A
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A
P (A
B)
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A
P (A
B)
B P( B)
P(B)
PB (A)
P(A B) P(B)
B
: P( A
B)
P ( B ) PB ( A)
P( A
B)
P( B) PB ( A)
-1
: :
P( A) P(B) PB ( A) P(B) PB ( A) PA ( B)
270
P( A B ) P( A)
(
)
-2
PA (B )
B
PA (B)
B
A P(A)
P(A)
PA (B)
B
PA (B)
B
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PA ( B )
-3
Bn , .... , B2 , B1
.
PA (Bi )
.
PBi ( A) P(Bi )
P( A Bi )
i 1, 2, ..., n
n
P(B1) PB1 ( A) ... P(Bn ) PBn ( A)
k 1
P(Bk ) PBk ( A)
A P ( B1 ) P( B 2 )
B1 A
B2
P( B n )
A
Bn 70%
:
50%
:
.
60%
:B B
PB (A)
271
:A A
: P ( A) PA ( B) P( B)
PB ( A)
PA (B)
A
0 .5 0 .7 0 .6
0.5833 58.33%
B
0 .7
58.33%
P(A)
B
0 .5
.
B A B
PA (B ) PA (B )
. PB ( A)
A
B P( B )
0.6
:
PB ( A )
A
A B A
272
B A A
(A
B
A
B
B)
S
.
B
A
B
.
A
P( B) PB ( A)
. B
A
B A
( A B)
. . . . B A P( A
S B)
:
B
P(B)
P( A
P( A
PB (A)
A
B)
B)
P( B) PB ( A)
273
P(B) PB (A)
P( B) PB ( A) :
C B A
. P( A)
PA (B)
A
P( A
P( A
B
B C)
PA B (C )
B
C
C)
P ( A) PA ( B ) PA B (C )
. B3
B2 , B1 :
. :
: :V
. i=1,2,3 ... ( -i) Bi
. 35%
22%
: Bi
30%
B1 B2 B3
B1
33.2%
35
B2
46.5%
22
B3
20.3%
30
S
(i 1,2,3) Bi
. Bi -1
. 3
Bi
V (i 1,2,3)
S
B1
B2
B3
Bi i 1
3
V
( Bi
V).
i 1
274
S
-2
: 3
P (V )
3
( Bi
P
V)
3
P( Bi
V)
i 1
i 1
i 1
P ( Bi ) PBi (V )
P( B1 ) PB1 (V ) P( B2 ) PB2 (V ) P( B3 ) PB3 (V ) 0.332 0.35 0.465 0.22 0.203 0.3 0.1162 0.1023 0.0609 0.2794 27.94%
S
P( Bi )
i 1,...n
Bn ,...., B2 , B1
0
A
:
:
P(A) n
P ( A) i 1
P( Bi ) PBi ( A)
(Baye's)
Bi
A i 1,...n P ( Bi ) 0
S i 1,...n P( A)
: PA ( Bi )
P ( A Bi ) P ( A)
P( Bi ) PBi ( A) k 1
B2
B1
(Bayes)
:
n
P ( Bk ) PBk ( A)
B , B1 B
n
2
B2
S
: PA ( B)
0
P( B) PB ( A) P( B) PB ( A) P( B) PB ( A) n
. C B A
40% 30% 30% 5%
2
: .
2% 4%
: (a
.
275
(b
C
. B
.
(c
PA ( D ) 0.04
D
0.3 0.04
A
P( A )
0.3
P(B)
0.3
0.96
D
PB ( D) 0.02
D
PA ( D )
0.3 0.02
B
0.038 3.8%
P( D)
PB ( D ) 0.98 D
P (C )
0.4
PC ( D) 0.05 D
0.4 0.05
C PC ( D ) 0.95
PD (C )
PD ( B)
P( D C ) P( D)
P (C ) PC ( D) P( D)
D
0.4 0.05 0.038
0.02 0.038
0.526
:
b
:
c
52.6%
P ( D B) P( B) PB ( D ) 0.3 0.98 0.3 0.96 0.3 0.98 0.4 0.95 P( D) P( D) 0.294 0.294 0.3056 30.56% 0.288 0.294 0.38 0.962
6
. .
6
1000 .
276
-1
B A
P( A
B)
A
P ( A) P ( B )
B A
. B
.
B
A B A
A B
.
B A :
. P ( A B)
P( A) P ( B )
S B A
.
B A
S PB (A)
P( A)
P(A B) P(A B)
P(A) P(B) P(A B)
B
A
: P( A
B)
B A :1
: )
P( A) P ( B ) (
B A
B P( A
P( A B) 0 B) P( A) P ( B ) (
A
:2
) :
:
. . .
:H :B
. :
:
277
P( B H ) P ( B)
: PB ( H ) P( B
H)
PB ( H )
P( H )
P( H ) P( B)
(n 2) , An ..... , A2 , A1
:
. : :1 B A A
B
B A
A
B A,A B,A B
B A .
b a B
:
B
A
B B A P( A B) a b P( A B) a(1 b) a A P ( A B) b(1 a ) P( A B ) (1 a )(1 b) 1 a b 1 b 1
C B A :2
: P( A B )
P( A) P( B )
P( A C )
P( A) P(C )
P( B C )
P( B) P(C )
P( A B C )
P( A) P ( B) P(C )
.
: : -a -b
. . :B
.
. . (
:
A
) :
P( B)
.
1 1 2 2
1 1 2 2
B A
278
1 2
P( A)
P(A B)
1 2
P (A) P(B)
(a 1 4
1 2 W
1 2 1 2
W
1 2
b
1 2
b
W
1 2
b
(b
: 1 1 1 2 1 , P ( A) 2 3 2 3 2 P ( A B) P( A) P( B)
P( B) 1 3 1 2
1 2
W
B A
.
W
1 2
b
2 3
b
1 2
W b
:
: A A
B B 0.12 P ( A B) ? P ( A B) ? P ( A B) ? ? 0 .6
:
? ?
P ( B ) 0.6
P ( B ) 1 P ( B ) 1 0.6 0.4 P ( A B) 0.12 P ( A) 0.30 P( B) 0 .4 P ( A) 1 P( A) 1 0.3 0.70
: P ( A B)
P( A) P ( B )
0.3 0.6
0.18
P ( A B)
P( A) P ( B )
0.7 0.4
0.28
P ( A B)
P( A) P ( B )
0.7 0.6
0.42
.
279
:
0.25
5 , 3, 2
30
Ak
k
A3 , A2
A5
:
(
)
. :
(
)
. : .
. :
(
)
. : P ( B)
S B A
0
B
A
PB ( A)
P( A B) P( B)
. : B A
: P( A
B)
P( A) P( B) (
)
280
.1 : : : : L
.2
. 8:50 8
.3
8:45 8:30 8:15 5
.
.4
0 .3
2
.
5
R
R 3
.5
. .6
: -1 -2 (1)
0.088 :
0.002
0.05 .7 : (a
.
(b
.
281