Mathematics 12 [12]

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‫ملي سرود‬ ‫دا وطن افغانســـتـــان دى‬

‫دا عــــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫کور د سول‪ 3‬کور د تورې‬

‫هر بچی ي‪ 3‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د ټولـــو کـور دى‬

‫د بـــــلـوڅـــــــو د ازبـکــــــــو‬

‫د پ‪+‬ـــتــون او هـــــزاره وو‬

‫د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو‬

‫ورســـره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫پــاميــريـــان‪ ،‬نـورســـتانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه ‪4‬ان‬

‫دا هيــــــواد به تل ځلي‪8‬ي‬

‫لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان‬

‫په ســـينــه ک‪ 3‬د آســـيـــا به‬

‫لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان‬

‫نوم د حق مـــو دى رهبـــر‬

‫وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

. .

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. .

.

(

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. . . . . .

. .

.

. .

-

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0 1 ,

-

-

.......................................................................................................

............................................................................... (

)

0

, 00

133-172

.......................................................................................................

173-198

.........................................

199-222

......................................................................................

223-260

.....................................................................................................

261-282

.....................................................................................................

1

2

O

r r 4

r 4

r 2

a n

n IN

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(

.

a1

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1 ) n

(1

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1 ) n

(1

a1

a2

[a1 , a1 ]

a2

a2 a2

. a3

r ,r 2

a1 a1

a3

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an

n

: 1

n

1

an

an

:

: n

(1)

an

(1)

.

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n

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1

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.

3

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n

:

: (

an

2n 3 ) ... (i) n

bn

(

n 1 ) ... (ii) n

cn

an

1 ... (iii) n

n

. n

( 1) n

1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 11 13 15 17 5, , 3, , , , , 2 4 5 6 7

n

1, 2 , 3 , 4 , 5 , 1 2 3 4 0 , , , , , 2 3 4 5

bn

2

:

bn

an

n

n

n cn

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 1 1 1 1 , , , , , 2 3 4 5

0

cn

n n

1

cn

2

bn

an :

n

. .

lim

.

4

(limit)

.

1

n 1 n

bn

: n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

...

bn

0

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

8 9

9 10

10 11

...

b1 0

b2 b3 b4 b5 ... 1 2

1

3 4 5 n 1 2 , , , , ... , ....... II , 2 3 4 n n

(1)

III

1 1 1 1 , , , ... , ....... I 2 3 4 n 2 , 4 , 6 , ... , 2n ....... ( III )

II

I

( )

. x

a

x

0)

(

a

:

x

a

: 0: | x a |

x

|x a|

a

0

(x

x

a ): a

. x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...

(x

x

a a ): a

. x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ... x

x

x

a a

x

: x

a

(x

a , x

a )

5

x

.

9

9

x :

: x : 9.1 , 9.01 , 9.001 , 9.0001 , ...

9

x : 8.9 , 8.99 , 8.999 , 8.9999 , ...

9 f (x )

a

l

f (x )

a

x

a

x

a

. f (x )

l

x a f ( x) l

:

lim f ( x) l x

:

a

y y

f (x)

l 2

l l O

0 lim f ( x) l x

a

.

0 : | x a| (| x a |

( 6 ) f (x )

0

a

a

a

x

| f ( x) l | | f ( x ) l | 0)

(3) x

6

f ( x)

2x

.

f ( x)

. x 0.98 0.99 0.999 f ( x ) 1.98 1.99 1.999

? ?

x2 1 , x 1 x 1 1.001 1.01 1.02

2.001 2.01 2.02

. f (x )

.

(1) x

: l1

0

x (a , a

f ( x) (l1

)

, l1

f (x ) :

a

):

0

lim f ( x) x a x a

0

x (a

. , a)

f ( x) (l2

l2 , l2

)

0 x a x a

lim f ( x) l : x

lim f ( x) l

x

a

a

l

lim f ( x)

x

a

f (x ) :

a

lim f ( x)

:

lim f ( x) l1

x

a

7

x

a

lim f ( x)

x

a

l2

f (x )

lim

.

3

x

x2 9 x 3

6

:

:

:

3.5 3.1 3.01 3.001

...

3

f ( x) 6.5 6.1 6.01 6.001

...

6

2.5 2.9 2.99 2.999

...

3

f ( x) 5.5 5.9 5.99 5.999

...

6

x

x

.

lim 3

x

x2 9 x 3

lim

x2 9 x 3

6

lim

x2 9 x 3

6

3

x

x

3

6

: : 0

0 : |x a| 2

| x 3|

x 9 6 x 3

| f ( x) l | ( x 3)( x 3) 6 | x 3 6| | x 3| x 3

lim x

.

x

8

2

3

f ( x)

x2 9 x 3

6 :

| x 2| x 2

(Properties of Limit)

lim ( x 2

x

lim x 2

x)

1

x

x

lim x

1

x

1

1

: f ( x)

2 x

x 2

g ( x) 2 x

.

x

3

lim f ( x) lim g ( x)

.

x

2

x

2

lim f ( x) lim g ( x)

.

x

2

x

2

lim f ( x) lim g ( x)

.

x

2

x

2

: lim g ( x )

: 1) lim Kf ( x) x

a

K lim f ( x) x

a

2) lim f ( x) g ( x) x

3) lim f ( x) g ( x ) x

f ( x) g ( x)

x

a

5) lim x

a

n

f ( x)

a

x

x

a

lim f ( x) x

a

lim g ( x) x

n

a

lim f ( x) x

a

lim f ( x) x

a

x

A B

a

lim f ( x) lim g ( x)

a

4) lim

x

B

a

KA

lim f ( x) lim g ( x)

a

x

a

A B

A , lim g ( x) B x a n

A , lim f ( x) x

a

B

0 A 0

. x

a

(x) :

.

9

lim ( x) 0 x

a

A

x

x

: f ( x) b ( x) lim ( x) 0 x

x

(x)

a

x

a

1 ( x)

a

a

lim f ( x) b

a

lim

-1

lim f ( x) b

f (x)

b

x

a

-2

(x)

. -3

.

-4

(x)

u (x)

( x) u ( x)

v( x)

.

: ( x)

3

x

:

x

2

9 (I

lim( x 2 9) 0 x

3

lim ( x) x

lim x

1 2x

1 (II 2x

( x)

x

: 0

. 1) lim (2 x 2 1) x

x

x

2

2

x

x

3

x

lim 4 x lim 3

4x 3 0 x 1

2

x

lim ( x 1) lim ( x 1)

3

x

3) lim x

lim 2 x 2 lim1 2 lim x 2 lim1 2 22 1 7

2

2) lim ( x 1)

:

0

x

0

lim x lim1 x

0

x

0

3

0 3 0 1

2

x

2

( 4)( 4) 16 3

: .1

: f ( x1 ) , f ( x2 )

: lim f ( x1 ) x

a

f ( x2 )

lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x

a

x

: lim x

a

f ( x1 )

f ( x1 ) b1 f ( x2 ) b2

a

2

f ( x2 ) 1 2

..... I ..... II

1

lim f ( x1 ) b1 , lim f ( x2 ) b2 x

a

x

a

:

b1 b2 f ( x1 )

f ( x2 ) (b1

10

1

) (b2

2

) b1 b2 (

1

2

)

(

1

2

)

: lim f ( x1 ) x

f ( x2 )

a

b1 b2

lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x

a

x

a

.2

: : lim f ( x1 ) f ( x2 ) x

lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) b1 b2

a

f ( x1 ) b1

x

1

f ( x2 ) b2

a

x

a

f ( x1 ) f ( x2 ) (b1

1

)(b2

2

)

2

f ( x1 ) f ( x2 ) b1 b2 b1 b2

2

b2

1

1

2

b1

2

1

: lim f ( x1 ) f ( x2 ) x

b1 b2

a

lim f ( x1 ) lim f ( x2 ) x

a

x

a

.3

: lim x

a

f ( x) g ( x)

lim f ( x) x

b1 b2

a

lim g ( x) x

a

g ( x) b2 0

,

: f ( x) b1

1

g ( x) b2

2

f ( x) g ( x)

b1 b2

1 2

b1 b2

: f ( x) g ( x)

b1 b2

b1 b2

1 2

b1 b2

b2 (b1

) b1 (b2 b2 (b2 2 ) 1

2

b2b1 b2 1 b1b2 b1 b2 (b2 2 ) f ( x) g ( x) b2 (b1 b2 (b2

b2 1 b 2 b2 (b2 2 ) ) 2)

1

b1 b2

11

1 2

) b2 1 b1 2 b2 (b2 1 )

2

b1 b2

b2

1

f ( x) g ( x)

b1 2 b1b2 b1 b2 (b2 2 ) b1 b2

1 2

2

x

(0

a

1)

2

1

: f ( x) g ( x)

lim x

a

lim f ( x) x

b1 b2

a

lim g ( x ) x

a

h(x)

g ( x) , f ( x)

g ( x ) h ( x)

(x a

x

f ( x)

.

lim g ( x) b x

lim u ( x)

.

x

(1

a

x

a

x

a

2

x 4

u ( x) 1

x

x ) 2

u (x)

:

x2 x2 ) 1 lim(1 ) x 0 4 2

lim(1

:

a

)

lim f ( x) b lim h( x)

a

2

:

0

:

lim u ( x) 1 x

0

f ( x)

g ( x)

g (x)

:

lim f ( x) lim g ( x )

.

x

15 x 4 5x 6

g ( x)

f (x )

.

a

x

f ( x)

f ( x)

a

15 x 4 5x 6 g ( x)

: x 1

: lim f ( x) x

lim g ( x) x

15 x 5x 15 x lim x 5x lim x

4 6 4 6

15 3 5 15 3 5

. 1) lim 6 x 3 x

0

2x 2

5x 3

2) lim x 7 x

1

2x 5

2

4) lim x

0

5x 7 x (2 x 5) 2 9

5) lim x 2 x

2

12

(9 x 2) 2 4 x 0 x 2x 6) lim 2 x 1 x 4x 1

3) lim

0 , 0 0

x

.

x

.

2

y

1

y

x2 x x2 x

y

x

.

x2 1 1 1 1 1

:

. ... 0

,

,

,

0 0

: 0 0

:

x

.

x 1 x2 1 f (x)

f ( x)

1

x

.

1

f (x)

x 1

: 0 0

.

(

13

)

-I

. x2 4 2 x 2

1) lim x

,

2) lim x

x2

2

6x 8 x 2

,

:

3) lim

x 16

x

4 x 16

: x2 4 2 x 2

1) lim x

( 2) 2 4 2 2

0 0

:

0 0

: ( x 2)( x 2) lim ( x 2) 2 2 x x ( x 2) 2 2 x 6 x 8 2 12 8 0 2) lim x 2 x 2 2 2 0 lim

2 2

4

0 0

: ( x 2)( x 4) x 2 x 4 0 3) lim x 16 x 16 0 lim x

lim( x 4)

2

x

2

2 4

:

2

0 0

: :

lim

x 16

4 x 16 x

x x

3 x 1) lim ? x 3 x 1 2 2x 4 2 4) lim x 1 5 ? x 2 x 2

( x 16) x 16 ( x 16)( x 4) 1 1 lim x 16 x 4 8

4 4

lim

5 5 ? 2) lim 2 x 2 3 x 1 x 1 1 1 5) lim x 3 3 ? x 0 x

14

3) lim x

4

x 4 x 2

?

-II

x 3 3x 8 lim x 2x2 2

.

f ( x)

x

.

x

.

x

x3 4x 1 x3

g ( x)

x

. .

2x 4

y

x

0

2x 4 5 x 2 f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x)

:

:

:

.

. lim x

x2 1 3x 2 2

1 2

lim x

:

15

x2 1 : 3x 2 2

:

x2

: x2 1 lim 2 x 3x 2

x2 1 2 2 lim x 2 x x 3x 2 2 x x2

2 x2 lim x 2 3 x2 1

1

1

1 0 3 0

2

3

1 3

x2 2 lim x x 2

. lim x

: 2

lim x

x 2 x 2

x2 2 x 2

:

x

x2 2 lim x x x x2

2 x2 2 x2

2 x2 lim x 2 x x2 1

1

2

1

1 0 0

2

1 0

. lim x

: lim x

x 1 x2 2

:

x 2 lim x 2 x x x2

lim x

x 1 : x2 2

x 1 x2 2

:

x 1 x2 2 x2

1 lim x x 1

1 x2 2 x2

1

1 0

1

2

1 0

0 1

0

: :

16

(x

)

a0 x m a1 x m 1 ... am b0 x n b1 x n 1 ... bn

f ( x)

: a0 b0

m n

-1

.

m

n

-2

.

m

n

-3

.

. 1) lim

5x2

x

6 x 4 x3 x 1 x4 2 x2 3

:

8 6 x3 x 2 x 2) lim 3 x 3 5x x4 6 x 1

3x 2 2 3) lim x x 1

: lim x

lim x

5x 2

6 x 4 x3 x 1 6x4 lim x x4 2x2 3 x4

8 6x3 x 2 x 5x3 x 4 6x 1

0

6

.

m n

-1

m n

-2

m n

-3

:

:

lim x

3x 2 2 x 1

: .

17

1) lim

6 2

x x x3 x 2 x 7 4) lim x x3 x 5 x

x4 2) lim 3 x x 3x 2 5) lim x x

x2 x 6 3x 4 2 1

18

x5 3) lim 4 x x

x2 x2

x 9 x 5

(0

lim x

2

1 x2

lim ( x 2 x

3

)

(

.

x 1 4 x2 4 2 x3 4 9) x 3

.

a 1

. . .

) -III

x 1

f ( x)

x

x

x 1

f ( x) (2 x 1)( x 1)

x

: (0

)

(

)

0 0

. . 8 x 10 1 ) ? 2) lim( x 1)( 2 ) ? 2 1 x x 1 x 1 x 2x 3 9 8 x 10 9 8 1 10 9 18 lim( ) 2 x 1 x 1 x 1 1 1 12 1 0 0 ( ) :

1) lim(

:

9

x 1

9 x 9 8 x 10 x lim 2 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 1 lim lim x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 lim

1 1 1 2

0 0

19

:1

1 ) ? x 1 x 2x 3 1 1 lim( x 1)( 2 ) (1 1)( 2 ) x 1 x 2x 3 1 2 3

2) lim( x 1)(

2

: lim x 1

x 1 x 2x 3 2

x 1 1 ( x 1)( x 3)

lim x

lim x 1

1 x 3

0

1 3 3 (0 )

0

1 0

0

1 4

. 1) lim( x 1 x

x)

3) lim ( x 5 8 x 3 ) x

5) lim ( x a x

1 1 2) lim ( ) x 1 1 x 1 x2 1 4) lim ( x 2 25) x 5 x 5

x)

20

:2

lim(1 sin x) x

1 x

0

, 00

y

xx

?

0

0

x

. .

1 ,

y

x

1 ,

0

,0

(1 x)

1 x

0

: 0

lim( f ( x)) g ( x ) x

a

ln(lim f ( x ) g ( x ) ) lim(ln f ( x) g ( x ) ) lim g ( x) ln f ( x) x

a

x

a

x

a

: :

. lim(1 n

e

1 n ) n

an

2.71828182

(1

1 n ) n

e

: n 1

1 n 1

1

1 n 2

(1

1 n ) n 2

2

0 .5

1 .5

2.25

5

0 .2

1 .2

2.48832

10

0 .1

1 .1

2.59374246

100

0.01

1.01

1000

0.001

1.001

10000

0.0001

1.0001

100000

0.00001

1.00001

1000000

0.000001

1.000001

1000000000

10

9

1 10

2.704813829 2.716923932 2.718145926 2.718268237 2.718280469 9

2.718281828

21

n

-I

Euler

.

e 2.71 ...

1 n ) n

lim (1

n

e 2.718281828

-II

: 1

1) lim(1 0

3) lim x

0

e

)

2) lim (1

x 1

x

Ln(1 x) 1 x

4) lim x

ex

1

. 1

1) x

2) lim(1 x

u

x

x

x

x

: 1

1 , x )

e

1

x

0

x

)

x

0

lim(1 0

)

lim(1

1 , x x

0

x

1 x ) x

e , x

u

u

0

1

lim(1 u ) u

u

u

0

1 u

x

u

lim (1 u ) u

lim (1 u ) u

1 u

0

ln(1 x) 3) lim x 0 x

0

1 , u x

x

0 1 x ) x

lim (1 x

e

1 lim ln(1 x) x 0 x ln lim(1 x) x

0

ln lim(1 x) x

1 x

0

1 x

lim ln(1 x ) x

1 x

0

1 u

, x

ln lim (1 u

22

u 1 u ) u

ln e 1

u

e

ex 1

4) y

ex

1 y

lim x

e

x

x

1

lim

x

0

y

0

1 1 lim ln(1 y ) y 0 y

lim u ( x)

1

x

lim y

0

lim ln(1 y ) y

1 y

1 ln(1 y ) y 1 , y x

1 ln(1 y ) lim y 0 y 1 x , y y

1 1 1

v( x)

lim u x

a

lim (1 u 1) x

u 1

v u 1

v

u 1

lim (1 x

a

1

)

a

lim (1 x

0

: lim u ( x)

v( x)

lim u ( x)

v( x)

x

x

a

a

eP ,

x

a

lim v ( u 1)

ex

)

0

P

a

u

x a

) u 1

1

a

eP

lim v(u 1) x

a

lim(1

.

x

2 x ) : x

1

: 2 , v x x 2 x lim(1 ) eP , P x x 2 x lim(1 ) e P e2 x x

lim ( v )

lim v ( u 1)

1

lim(1

1

:

a

: v

x

0

0

1 ln e

1 x ) x

x

y ln(1 y ) 1

1 ln lim (1

ln(1 y )

:

u 1

lim x(1 x

2 1) x

2

1 x25 lim(1 ) x x

. lim(1 x

23

1 x25 ) x

1

: :

1

: x 5

1 2 ) eP x x 1 x 5 u 1 , v x 2 lim(1

lim v (u 1)

P

x

lim

a

1 ) x

lim(1 x

x 5 2

x

1 x 5 (1 1) 2 x

lim x

x 5 1 ( ) 2 x

lim x

x 5 2x

1 2

1

eP

e2

e 1

lim(cos x) x x

0

? :

1

lim(cos x) x x

:

1

0

1

: cos x , v

u

lim(cos x) x

1 x

0

eP

P lim v(u 1) x

1 x

a

lim x

0

1 (cos x 1) x

lim x

0

cos x 1 (cos x 1)(cos x 1) lim 0 x x x(cos x 1)

cos 2 x cos x cos x 1 cos 2 x sin 2 x cos 2 x lim x 0 x(cos x 1) x(cos x 1) sin x sin x lim lim 0 x 0 x cos x 1 x

1

0 2

1

lim(cos x) x x

0

eP

e0 1

. 1 x2 ) x x x 3 x2 3) lim( ) x x 1

1) lim(1

x 1 x 1 ln x 1 2 4) lim(1 2 ) n x n

2) lim

1

5) lim(cos 2 x) x x

0

24

0

Trigonometric functions limits (1unit) .

o

C (o , r )

. MB

.

CA

ox

C

.

C

. : (1 )

. lim

sin

:

1

0

OMA

: MOA OAM

1 OA BM 2 1 2 r 2

COA

1 r BM 2

MOA

:

BM r 2 y C

.

M

COA

1 OA AC 2

1 r AC 2

AC r 2 O

OMA

: 1 r BM 2

1 2 r 2

AC r 2

25

B

x

A

COA

MOA

2 r2

: BM r

AC r

sin

tan sin

cos

1

lim cos

lim1 1

0

0

sin

1 cos

lim cos

lim

1

0

sin

lim1

0

0

1

. ( 1)

: 1 sin 1

sin

1

0

(1)

1

sin

lim

lim

1

1

lim

sin

lim

1

: lim lim

1

0 lim

1

sin

0

0

. lim

. 0

: sin

2

x

x

x

0

sin

2

: sin 2 x 0 x

lim x

lim

sin

0

2 lim 0

sin

21 2

2

26

0

sin 2 x : x 2

2x

:

5 tan 2 x : 0 7x

lim

.

x

: 5

5 tan 2 x 7x

sin 2 x cos 2 x 7x

5 sin 2 x 7 x cos 2 x sin 2 x lim 10 x 0 2 x 10 7 lim cos 2 x 7

5 tan 2 x 0 7x

lim x

x

sin 2 x 2x 7 x cos 2 x

sin 2 x 2x 7 cos 2 x

5 2x

10

0

1 cos 2 x : x 0 x 1 cos 2 x 2 sin 2 x lim

.

: 1 cos 2 x 0 x

lim x

2 sin 2 x x 0 x sin x 2 lim lim sin x x 0 x x 0

:

lim

210 0 tan 3 x : 0 sin 5 x

lim

:

x

:

tan 3x lim x 0 sin 5 x

sin 3x lim cos 3x x 0 sin 5 x

sin 3x 3x lim cos 3x x 0 sin 5 x 5x 5x 3x

sin 3x 3x lim cos 3x 3x x 0 5 x lim sin 5 x x 0 5x lim x

0

cos

lim x

0

lim x

0

x

2 sin

4x 6x 4x 6x sin 2 2 x2 2 sin 5 x sin( x ) 5 sin 5 x sin x 2 lim lim 2 x 0 x 5x x 0 x

2 sin

27

3 5

cos 4 x cos 6 x : 0 x2

lim

. : cos

1 31 51

2

sin

2

:

:

y

0

x

0

5x

sin y sin x lim 10 1 1 10 0 y x 0 x

10 lim y

. sin( x 1) lim x

0

x

6

)

6 sin x x 4) lim x 0 x tan(2 x 1) 7) lim x 0 4x2 1

sin 2 x 0 x

2) lim x

5) lim x

0

3) lim x

tan 2 x sin 3x

1 1 tan 2 x

6) lim sin 5 x cos 3x x

8) lim cos 2 x cos x 1 x

0

0

28

0

9) lim(cos 2 x sin 2 x) x 1

y

Continuity of functions . .

.

.

f ( x)

.

x2

f (x )

x 1

.

4x

f (x )

x 1

:

x

.

y

a a

. a

. lim f ( x) x

a

f (a ) :

f (x )

29

f (x) : f (x ) -1

-2 f (a ) -3

x0

.

2

x2

f ( x)

2x 1

:

:

:

1) 2 Dom f ( x) 2) lim( x 2 x

2

2 x 1) 22

3) f (2)

IR 4 4 1 7

lim f ( x) x

4 1 7

f ( 2) 7

2

. x0

.

1

2x 1 x 1

f ( x)

IR \ { 1} :

: f (x )

2x 1 1 x 1 1

3 0

lim

.

x

1

:

. x

.

x2

f ( x)

2

x

2

2x 1 ; x 2 3

; x 2

: lim f ( x)

x

2

lim f ( x)

x

2

: :

lim ( x 2 3) 1

x

2

lim ( x 2 2 x 1) 1

x

lim f ( x)

x

2

lim f ( x)

x

2

2

. y

x

30

lim f ( x) x

2

f ( 2)

2x 1 ; x 1 1 x ; x 1

f ( x)

x 1

.

: :

lim f ( x) 1 x f (1)

lim f ( x)

0

x 1

0

lim 2 x 1 3

x 1

x 1

lim f ( x)

lim 1 x

x 1

x 1

lim f ( x)

0

lim f ( x)

x 1

x 1

x 1

. f ( g ( x))

x

g (a)

f (x)

x

g (x)

a

: x

: lim f ( g ( x)) x

f (lim g ( x))

a

x

1) lim( f ( x)) x

x

ax

a

IR

a

3) lim log a f ( x) x

,

a

lim f ( x )

2) lim a f ( x ) x

f ( g (a))

a

(lim f ( x))

a

a

log a (lim f ( x))

a

x

a

4) lim sin f ( x) sin( lim f ( x)) x

a

x

a

.

x

3

x

.

x

f

x

.

f

:

f (x)

a

: a

. (

a

f

) a

: :

a

: (.

31

f (x )

3

a

.

:

3

. ).

x2 9 x 3 3 x

f ( x)

3

. a ) f ( x)

x 2 5( x 2)7 ; x 3

c) h( x)

8 x2 2x2 5

e) f ( x) | x 3 | x3 g ) f ( x)

x 3

; x

2

; x 3 x

; x

b) f ( x)

0

d ) f ( x) f ) g ( x) h) f ( x )

; x 2

32

x 3 ; x ( x 2 x 5) 2

1 ( x 3)3 | x| x x2 9 x 3

; x 3 ; x 0 ; x 2

1

(f

g )( x )

f ( x) g ( x)

( f g )( x)

f ( x) g ( x )

(f

f ( x) g ( x) , g ( x)

g )( x )

0

.

x2 1

f ( x)

.

g ( x)

.

x 3

f ( x) g ( x)

:

x

g (x)

c

f (x )

.

x

g ( x)

c

f ( x) g ( x)

-1

f ( x) g ( x)

-2

f ( x) g ( x)

-3

f ( x) ; g ( x) g ( x)

:

:

-4

0

x 2 3x 2

f ( x)

x2 3

: x 1

g

f -1

-2

: . 33

f ( x) g ( x) ( f

g )( x) (

.

x 1

f ( x) g ( x) ( f g )( x ) (

: 1) Df ( x)

IR

2) lim f ( x) lim( x 2 x 1

3) 4

x 1

3) f (1) (12

3) 4

. 1) D g ( x)

x 1

f

IR

2) lim g ( x) lim( x 2 x 1

3x 2) 12

x 1

3) g (1) (12

31 2 2

3 1 2) 2

.

x 1

g

-2

: ( f ( x)

x2

3 x2

g ( x))

IR

g ( x)

1) D( f ( x) 2) lim f ( x) 1

x

lim(2 x 2

g ( x)

3x 1

3 x 1)

1

x

2 x2

3x 2

6

3) f (1) g (1) (1 3 1 3 2) 6 lim f ( x) g ( x) f (1) g (1) 6 1

x

g )( x) x 2 3 x 2 1) D ( f g )( x) IR (f

2) lim ( f 1

x

3) ( f

g )(1)

lim ( f x

1

lim 2 x 2

g )( x)

x

(2 x 2

g )( x)

1

3x 1

3 x 1)(1) (f

.

2 x2

3x 2

g )(1)

3x 1 6

6 6 x 1

34

( f ( x) g ( x) ( x 2 3)( x 2 1) D( f g )( x) IR 14

2) ( f g ) (1)

3 x 2)

3 13 12

x4

3x 3

x2

9x 6

9 1 6 8

3) lim( f g )( x) 8 x 1

lim( f g )( x) ( f g )(1) 8 x 1

.

x

x 1

f ( x) g ( x)

2

f ( x)

g ( x) 3x 2

x 1

:

: 1) Dg ( x)

1) Df ( x)

IR

2) lim g ( x) 3 x 2 3 2 2 x

2

3) g (2) 3 x 2 3 2 2 lim g ( x) x

2

f ( x) g ( x) D( f g )( x)

g (2)

4

4

2) lim f ( x) x

2

3) f (2) x

lim( x 1) 3 x

2

x 1 3

lim f ( x)

4

( x 1)(3 x 2) 3 x 2

IR

2

2 x 3x 2 3x 2

f (2) 3

x 2

IR

lim[ f ( x) g ( x)] 3(4) 2 2 12 x

2

( f g )(2)

3(4) 2 2 12

lim f ( x) g ( x) x

2

( f g )(2) 12

.

x

35

2

f ( x) g ( x)

-1 1) f ( x) 2) g ( x) 3) h( x)

x 3 2( x 1) 5 x

(x

2

; x

3 x 5)( x 2

; x

2 x)

x x 1 ( x 2) 3

.

2

2

; x x

0

f ( x)

36

1 4 x 3 x

2

-2

x

a

x

0)

(

a

:

x

a

: 0: | x a |

x

|x a|

a

0

(x

x

a ): a

. x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ...

a

(x

x

a ): a

. x : a 0.1, a 0.01 , a 0.001 , a 0.0001 , ... x

x

a

x

a

x

: x

a

(x

a , x

a ) f (x )

a

f (x )

l a

a

x

f (x )

x a f ( x) l

lim f ( x) l

M C,L

g

x

x

lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)

L M

2)

lim( f ( x ) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)

L M

3)

lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)

4)

lim

5)

x

x

x

x

c

c

c

x

f ( x) g ( x)

lim f ( x) x

c

c

x

lim f ( x) x

c

lim g ( x) x

c

lim f ( x) x

c

x

c

c

f

lim g ( x)

1)

c

:

a

: x

x

x

a

.

l

x

:

c

c

c

L , M M

L M

0 ,

L

37

c

g ( x) 0

:

M

lim f ( x) x

c

L

x

(x) :

a

lim ( x) 0

. h(x)

x

f ( x)

:

(x a

lim g ( x) b x

a

g ( x) , f ( x)

g ( x ) h( x )

.

x

a

)

lim f ( x) b lim h( x)

a

x

a

x

a

0 0

. a0 x m a1 x m 1 b0 x n b1 x n 1

f ( x)

x

... ...

am bn

: a0 b0

. (0

)

(

m

n

.1

m

n

.2

m

n

.3

)

0 0

.

1 lim u ( x)

.

x

a

v( x)

1

eP

x

a

0

. lim

P lim v(u 1)

,

sin

1

0

x

:

y

a

f (x)

. a

.

lim f ( x) x

38

f (x)

a

a .1

.2 f ( a ) .3

. 3 x sin x -1 0 x

lim x

a) 2

b) -2

c) 1

d) 3 x2 2 x2

x 6 -2 x 2

lim

x

a) -

5 3

b)

5 3

c) 0

d) 1

lim (2 x 0.3) -3

x 1.4

a) 1

b) 3

c) 0

d) lim

sin 3x -4 tan 2 x

lim

x 4 -5 x 2

x

a) 1

b) 0

c)

3 2

d)

2 3 x

a) 2 + 2

b) 2

c)

2

x

b)

1 2

c)

1 4

2

x2 2x 5 x 3 2x2 1 6 lim 2 x x 7 3x 2 2 lim x x 1 x3 2 x 4 lim x 2 x 3x 2 x lim x 0 tan x

1) lim

5) 7) 9)

1 sin x -6 1 cos 2 x

d) 4

.

3)

4

d) 4 lim

a) 1

0

2) lim 3 x x

1

x2 x 6 x x3 3x 4 x 3 5 x 18 6) lim 2 x 2 x 3x 10 2 x 3x 2 8) lim 2 x 2 x 3x 10 4) lim

x

1 cos 2 x 10) lim x 0 x cos x

39

-7

x 2 3x x 2 x2 x sin( a 13) lim x 0 tan( a 11) lim

10 2 x ) sin( a x) x ) tan( a x)

2 x 3 ) 2 2 x x 2 x 2x x2 x2 14) lim 2 x 2x 1 2x 2 12) lim (

x

16) lim

2 sin 2 x sin x sin 2 x 0 x2

18) lim

x

17) lim x

19) lim x

0

sin 3( 0 sin 8(

u) u)

23) lim

2 x2 x 3 x2 8x 5

x

25) lim x

2

x

2 sin 3 x sin 2 x x tan 3x

21) lim u

cos x cos 3x sin 2 x 0 a x2

cos x sin x tan x 0 x 2 sin x

15) lim

9 x2 9x

x x 2 1 x2 22) lim x 1 sin x 20) lim x

2

24) lim x

x 5 4

0

x sin 2 x x sin 3x

8x 4 x 4x

26) lim( x

1

40

1

2 x 2

1

1 ) 1 x 1 x2

1 x 2

41

(P. Fermat) (Isaac Newton) (Gottfried Wilhelm Leibniz) .

42

Derivatives

lim x 1

x2 1

f ( x)

f ( x) f (1) x 1

?

.

B ( x2 , y 2 )

A( x1 , y1 )

. x

.

P1

.

c

P

p

. p

1

P1

1

C

P1

:

y

P

1

P

C

(tan)

C

P1

x x

43

.

y

P (1,1)

.

f ( x)

x2 :

P

:

Q P 2

. P

PQ

Q .

m PQ

x

2

y y2 x2

4 2.25 1.21 1.0201 1.002001 y1 x1

3

1 .5 2.5

1.1 2 .1

1.01

1.001

2.01 y

2.001

Q(1 h ,1 2 h h 2 )

P (1,1)

x

h

P (1,1)

1 h

h

:

0

f (1 h) (1 h) 2 1 2h h 2 (1 h , 1 2h h 2 ) Q (1 h ,1 2h h 2 )

: mPQ

(1 2h h 2 ) 1 (1 h) 1

2h h 2 h

2 h

P(1,1)

Q

PQ lim(2 h) 2 : h

0

44

P

h

0

P(1,1)

x2

y x h , ( x h) 2

PQ

Q

mT

: ( x h) 2 x 2 x 2 x h x mT lim(2 x h) 2 x m

2hx h 2 h

P( x , y)

.

x2

2 xh h 2 h

P

2x h

0

h

Q x h , f ( x h ) , P x, f ( x )

Newton

: f ( x h) f ( x ) x h x

f ( x h) h

f ( x)

Q

.

P

: mT

lim h

0

f ( x h) h

f ( x)

x

: f ( x h) h

f ( x)

mT

x x2 :

f ( x)

P (2,0)

.

Newton :

2

f ( x h) f ( x ) f ( 2 h ) f ( 2) lim h 0 h 0 h h 2 2 ( 2 h) ( 2 h) 2 2 lim h 0 h h 4h h 2 2 h 4 4h h 2 2 4 lim lim h 0 h 0 h h lim

lim h

0

h(1 4 h) h

lim( 3 h) h

f (t 2 ) f (t1 ) t 2 t1

0

3

t2

t1

S

f (t )

t0 lim t

45

t0

f (t ) f (t0 ) . t t0

m

t0

: lim t

t0

f (t ) f (t0 ) t t0

lim

t

t0

S S0 t t0

t

S t

: s t

f (t2 ) f (t1 ) t2 t1 2,5

.

x2

: y x

f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1

y x

25 4 5 2

y

f

f (5) f (2) 5 2

5

f ( x)

x1

2

x2 :

:

52 2 2 5 2

21 7 3

y x

y

x

x

(1

. 1) 2) 3)

y ? x y ? x y ? x

,

f ( x) 2 x 2

,

f ( x)

,

f ( x) 3x 2 5 x 4

.

4

2x x2

, (0) , ,

2, 4

46

(3) (2 , 1)

f (t ) 5t 3 3t 1 (2

f (x

lim x

x) x

0

x

f ( x)

a ,b

x

y

f (x)

. (

.

y ) x

x

:

y

f ( x) y f (x

y y

y y

(x

( x , y)

x) , f ( x

x)

y

y

x

x

x

x

x

y

f (x

y y x

f (x f (x

lim x

0

y x

x) x) y

x) f ( x) / x x) f ( x) x f (x x) f ( x) lim x 0 x

: dy df , , y' dx dx

. lim x

0

y x

dy dx

df ( x) dx

y'

f ' ( x)

lim x

0

y : x

f ' ( x)

f ( x)

.

47

2x

:

: f ' ( x)

lim

f ' ( x)

lim

x

f (x

0

x

2 x x

0

x) x

f ( x)

lim x

:

2( x

x) 2 x x

0

lim x

0

2x 2 x 2x x

f ' ( x) 2

x3 :

f ( x)

.

: (x x) f ( x ) x) 3 x 3 x 3 3 x 2 x 3 x ( x) 2 ( x) 3 lim lim x 0 x 0 x 0 x x x 2 2 x(3 x 3 x( x) ( x) ) lim 3x 2 3 x(0) 0 2 f ' ( x) 3 x 2 x 0 x

f ' ( x)

lim

f ( x)

.

x, x

0 :

0

x

:

: x 0

: f ' ( x)

lim x

x3

f (x

f (x

0

x) x

f ( x)

lim x

x

0

x x

:

x

: x x )( x x x) x 0 x( x x x) x x x 1 lim lim 0 x 0 x( x x x x) x x lim

( x

x lim

y

f ' ( x)

h

x

0

1 x

1 2 x

x x 0

x

0

y

: x

x x

x

x

0

0

(

1 2 x

.

. 1) f ( x)

x x2

2x2

2) f ( x )

48

3) f ( x)

2x2

x

)

y P1 P1

.

P1 P0 P1 P0 P0

P0

x

a ,b

f (x )

Q( x0

.

x , f ( x0 Q

.

C

x))

P ( x0 , f ( x0 ))

P x

y x

HQ HP

( x

0)

P

Q

. P ( x0 , f ( x0 ))

.

x

y

y x

0

: P ( x0 , f ( x0 )) Q( x0 y

:

x)

H

x a x0

x ) , f ( x0

x0

lim

x b

f (x )

x

x

0

y x

y ' tan

tan

m

: x

.

49

2 x3 1

f ( x)

A(1,1)

: . m

:

tan

f ' ( x)

:

f ( x) 2 x3 1 f ' ( x)

f (x

lim

0

x

lim

2 x3

0

x

lim [6 x 2 0

x

m

f ' ( x)

2( x 2[ x3 3x 2 x 3x x 2 ( x)3 ] x) f ( x) x)3 1 ( 2 x3 1) lim lim x 0 x 0 x x x 2 2 3 3 2 6 x x 6 x( x) 2( x) 1 2 x 1 x[6 x 6 x x 2( x) 2 ] lim x 0 x x 2 2 6 x( x) ( x) ] 6 x

f ' (1)

6 x2

6 12

6 :

A(1,1)

: y

y1

m( x x1 )

y 1 6( x 1)

y

6x 5 x0

.

2

y

x2 1 :

:

lim (2 x0

x) 2 1 ( x02 1) x ( x )) 2 x0

y ' 2 x0

2 2

y ' lim x

x

m

( x0

0 0

lim x

x02

2( x) x0

0

( x) 2 1 x02 1 x

y' m 4 x

x0

y

f ( x)

x0

x ) f ( x0 ) y x x 2 x) x02 y ( x0 x x 2 y x0 2 x0 x ( x) 2 x02 x x y f ' ( x0 ) lim lim (2 x0 x) x 0 x x 0

y x y x y x

f ( x0

2 x0

:

50

2 x0 x ( x ) 2 x x ( 2 x0 x) x 2 x0

: x0

: x

x2

x

2

y

x2

f ( x)

x0 x0

4

.

2

f ' ( 2)

2 2

x0

4

2

4

.

x3 :

f ( x)

.

2

: f ( x0

y x y x y x

( x0 x0

f ' ( x)

3

lim

0

x

x) f ( x0 ) x 3 3 x) x0 x 3x02 x 3x0 ( x) 2 x y x

( x )3

x0

3 x02 x 3 x0 ( x) 2 ( x)3 x 2 x(3 x0 3 x0 x ( x 2 )) x

y x y x y x

3

3x02 3x0 x ( x 2 )

lim (3x02 3x0 x ( x) 2 ) 3x02 x

0

f ' ( x0 ) 3 x02 :

x0 f ( x)

.

1 x

f (x )

x0 :

: f ( x0

y x f ( x0 )

1 x0

f ( x0 )

y

y y y

x) x

x0 x

1 x0

:

x

x0 ( x0 x0 ( x 0

x

y x y x

f ( x0 ) 1 x0 x) x)

x0 x0 x x 0 ( x0 x) x x x0 ( x0 x) x x x x0 ( x0 x)

y x

1

1 x0

f ( x0 )

lim x

0

y x

x0 ( x0

0

x0 ( x0

x)

x)

1

f ' ( x0 )

1

1

lim x

y x

x

x0 ( x0

1 0)

x

2 0

f (x)

.

51

x0

f ' ( x0 )

1 x02

.1

. 1) f ( x) 5 x 2

2

2) f ( x)

2 x

.2

. 1) f ( x)

4x2

,

x0

1 2

2) f ( x )

52

3x 1 ,

x0

1

f ( x)

2x2

-1

:

.

y C

C)

(

x

. .

0

x

: f ( x) C

. : y

C

y

y

C

y

C

y

y

C C

y x

C C x 0 y lim lim x 0 x x 0 x y' 0

y 100

. : f ( x) C

f ' ( x) 0

4 f ( x) f ( x) 100

f ' ( x) 0 f ' ( x) 0

53

100

f ( x) 4

4

: :

-2

:

n

n 1

.

xn

y

IR x

y

. 0

x

.

: f ' ( x) nx

.

n 1

xn

f ( x)

: y

x

y

n

x) n

y (x y (x

x)

(x

y

n

x x) n

y

n

x) n

x x)[( x

x[( x

y

x) n

y (x

1

1

(x

(x

x) n 2 x ( x

x) n 2 x ( x

x) n 3 x 2 ... x n 1 ]

x) n 3 x 2 ... x n 1 ]

y x[( x x) n 1 ( x x) n 2 x ( x x) n 3 x 2 ... x n 1 ] lim x 0 x x 0 x y lim lim ( x x) n 1 ( x x) n 2 x ( x x) n 3 x 2 ... x n 1 x 0 x x 0 y' x n 1 x n 1 x n 1 ... x n 1 lim

xn

y' nx

1

n

n 1

x

.

1 2

f ( x)

x5

: :

f ( x)

x5

f ' ( x) 5 x 5

1 1 f ( ) 5 ( )4 2 2

5

1 16

1

f ' ( x) 5x 4

5 16

. 1) f ( x) 4) f ( x )

x x

2 2 3

2) x(t )

gt 2

3) t ( x)

5) f ( x) 1010

54

x8

-3

:

v

.

u

y u v v

y

v(x )

u (x)

u

y u v

. x x

.

0

: : : y

u v

y

y u u v v u u v v y u u v v u v

y y y y x

u u x

lim x

v v

0

y x

lim x

0

u x

lim x

0

v x

y ' u ' v'

v x

lim

:

x

0

v'

lim x

0

u x

u'

-4 y ' u ' v'

.

y

u v

. . : u ' 1 2 x1 1

2x0

u' 2 v' 0

55

v 1

y

2x 1 :

u

2x

:

y ' u ' v'

y ' (2 x)' (1)'

v' 3 , u ' 8 x

w' 0

v 3x , u

w 5

y' 2 :

4 x 2 3x 5 :

f ( x)

. :

y' 2 0

4x2

:

y ' u ' v' w' y ' (4 x 2 )

(3 x)' (5)'

y' 8 x 3

:

: :

2) f ( x) 9 x 2 12 x 4

1) y 12 x 7

3) f ( x) 6 x3 2 x 2 6 x 1

2

f ' ( x) (6 x3 )' (2 x 2 )' (6 x)' (1)'

f ' ( x) (9 x )' (12 x)' (4)' f ' ( x) 18 x 12

y' (12 x)' (7)' y' 12

f ' ( x) 18 x 2 4 x 6

-5

:

y

.

u v

u v

v

. . .

x

v

u

v

u

u

y

x

0

: : y u v y y y y x y lim x 0 x y' y'

(u u )(v v) y (u u v u v v u u v u u v v u u v u v x x u v lim u v lim u lim x 0 x x 0 x x 0 v u ' u v' 0 v ' u ' v v' u

u )(v v v u x lim x

0

v x

56

v)

y

u

v x

x3 ( x 2

y

.

y ' uv' vu '

y

3) : u v

:

y' u ' v v' u 3

u

x

v

x2 3

u' 3x

2

x3 ( x 2 3)

y

y' 3x 2 ( x 2 3) 2 x( x3 )

v' 2 x

y' 3x 4 9 x 2

2x4

5x4 9 x 2

(5 x 1) 2 :

y

.

y :

: y

(5 x 1) 2

u 5x 1 v 5x 1

(5 x 1)(5 x 1) u' 5 v' 5

y ' u ' v v' u y ' 5(5 x 1) 5(5 x 1) y ' 25 x 5 25 x 5 50 x 10

-6

:

y

u v

v

u v

0

v

u

v

u

. .

v

y

u x

. .

x

0

:

57

: u v

y

y

y

u v

y

u u v v u u v y v (v v) v u u v u v v u y v (v v) x x v (v v) x x v u v u u lim v lim u v y 0 0 x x x x x) lim lim ( x x 0 x x 0 v lim (v v) v (v v) y

u v v

u u u y v v v uv v u uv u v v (v v)

v

y'

0

u ' v v' u v2

2 3x 1 2x

y

.

:

u v

:

:

u u ' v v' u y' v v2 3(1 2 x) [ 2(2 3 x)] y' (1 2 x) 2 3 6x 4 6x 7 (1 2 x) 2 (1 2 x) 2 y

u

2 3x

v 1 2x

u' 3 v'

2

x0

:

: y

:

f ( y)

0

2 y2 3 : 1 3y

: f ' ( y) u

2 y2 3

v 1 3y

u' 4 y v'

3

f ' ( y) f ' (0) f ' (0)

4 y(1 3 y) [ 3(2 y 2 3)] (1 3 y) 2 6 y2 4 y 9 (1 3 y) 2 6(0) 2 4(0) 9 (1 0) 2 9

58

: 4 y 12 y 2 6 y 2 9 (1 3 y) 2

y

:

u

u v 3

u ' v v' u v2 u' 0

v

2t 1

v' 2

y

3 : 2t 1

f (t )

. u v

u v

:

y'

f ' (t )

0 (2t 1) 2( 3) (2t 1) 2

6 (2t 1) 2

: 3 x( x 2) 5 t2 4) f (t ) 1 2t 7) f ( x ) 3 x 5 5 x 2

1) f ( x)

2) g ( x) 5) f ( x)

(2 x 3)( x 3) 1 2

x 2 8) f ( x) 7 x 3

59

3) f ( x)

(2 x 1) 2

6) f ( x)

ax b cx d

-7

:

y

.

x

0

x

.

y

x

.

x

: : y

x y

y x

y x

x

x

x

: ( x

y y x

x

x )( x x x x x y 1 lim x 0 x x x

x

x)

x x

lim x

0

x

x x x x 1 x

x

x

1 x

2 x

1

y

2 x

f ( x)

.

u

x x

2

u 1

1 2 x v' 2 x

f ( x) f ' ( x)

1 2 x

( x 2 1) 2 x

x2 1 2x x 2 x

60

x ( x 2 1) : u v

:

v

x x

x

x 2 1 4 x( x ) 2 2 x 2 x 1 4 x 2 5x 2 1 2 x 2 x

:

-8

u

x u

.

y

u

x

y

. x

. y

y y

u u

u

y

u

u

u

0

u u

u

: y

( u

u

u )( u u u u u u u u u

u u

y

x

. y x

0

u u

u

y lim x 0 x

lim x

u'

y'

u

u)

u

0

x

u

u u' 2 u

u u

u

1 x

x

lim

0

u

0

u x u

u

h( x ) ( x 2

.

y

: x2

v

x

x

u' 2x 1 1 v' 2 x

1

( x 2 x) 2 x x2 x h ( x) 2 x x x 2 x 2 2 4 x 2 x x x 5 x 2 3x h ( x) 2 x 2 x h' ( x) (2 x 1) x

u

u

61

x) x x

y

: u v

:

f ( x) (3 x 1)( x 3) :

x 8

.

y

: u

3

v

x 3

f (8)

x 1

u

33 x 2

v

1

8 3

3

3

3 8

f ( x)

1

2

f ( x)

8 1

1 3

2

3

2

3 x x 3 3 x

n

u

y

u v :

( x 3) 1(3 x 1) (3 x 1)

11 23 1 12 12

x 8

:

-1

. f ( x)

1 x 1

,

y

3x

3

,

x2 3

f ( x)

g ( x) (f

62

x 1

g) ,( f g) ,( f

f ( x)

x 2 3x

g) g

0

-2 .

Chain Rule(

dy dx

dy du du dx

f

x

)

f (x)

x

g

.

g ( f ( x))

y

u

x u u y

. x

u u y y

x

. .

x

u u

y

0

: . : u u y u x u y u u x

y

y

y x y x lim x

0

y x

lim u

0

y u lim u x 0 x

y '( x )

y '( u ) u '( x ) :

u x

lim x

0

u '( x )

lim u

0

1

u'

y u

y '( u )

: .

63

y ' nu n

y

un

-1

y'

.

u' n

n u

n 1

y

. 1) y

(2 x 2 1)3

2)

y

1 x2

4) y

3

x 2 2 x3

5)

y

( x 2 2)

3) y

( x 2 3) 2 2 x 3

3

u

u

2x

u 'x

1

y u3

y '( x ) y '( u ) u '( x ) y ' 3(2 x 2 1) 2 4 x 3( 4 x 4

4x

y 'u 3u 2

u 1 x2 y

u

u '( x ) y

3) y ( x 2 (x2

2x

2 1 x

3) 2

v 2 x3

y'

( x 2 3) 2

y'

2( x 2 3) 2 x 2 x 3 8x 4 ( x 2

v '( x ) 6 x 2

u

x2

x2

6

4

n

24 x

( x 2 2)

x2 2 u '( x ) 2 x

y'

2

3

y y'

un

6x

6

3) 2 6x2

36 x

4

54 x 2 u'

y'

n

n un

1

2x 6x2 33 ( x 2

y

2 x3 )2

nu n

3( x 2 2)

4

1

u'

2x

64

3) 2

6 x 2 ( x 2 3) 2

6x2 ( x4

60 x 4

u

2 x3

u '( x ) 2 x 6 x

5) y

y

2x3 ( x2

3) 6 x 2 ( x 2

24 x 4

8x

2x3

2x3

8x 6 14 x 6

3

1 x2

:

u '( x ) 2( x 2 3)(2 x)

4) y

x 2

y ' u ' v v' u 3) 2 2 x 3

12 x(2 x 2 1) 2

2x

y

u' 2 u

'

y u v

u

4 x 2 1)

1 x2

2) y

4 x 2 1) 4 x

(12 x 4 12 x 2 3) 4 x 48 x5 48 x 3 12 x 12 x( 4 x 4

u

:

(2 x 2 1)3 2

-2

u

:

: 1) y

n

6x ( x 2) 4 2

9) 54 x 2

: f ' ( x0 )

( x0 )

.I

f

(( x0 ) , f ( x0 ))

. x0

.

1

f ( x)

f ( x0 ) 1 :

P (1,1)

x0

x3 :

1

: :

f ' ( x)

lim

x

x0

f ( x) f ( x0 ) x x0

lim x

1

( x 1)( x 2 x 1) 1 x 1 x0

lim x

f ( x) f (1) x 1 lim( x 2 x

1

lim x

1

x3 1 x 1

x 1) 3

f ' (1) 3

x

x0

.II

f

. f ( x) | x | :

x 0

.

: . f ' (0 ) f ' (0 )

f ( x) f (0) x 0 x 0 f ( x ) f (0 ) lim x 0 x 0 lim

| x| x 0 x | x| lim x 0 x lim

x 1 x 0 x x lim 1 x 0 x lim

y f ( x) | x |

x

65

x

f ' (0 )

0

f ' (0 )

.

. 1) y

(x2

4) h( z )

2) 2 1 z 1 z

2) f ( x) ( x 3 4 x 2 1) 5) f (t )

3

3t 1

66

4

3) y

(1 2 x 3 ) 4

6) f ( x )

1 2 x2

x3

y

1 2

o

3

x

1

. 1 sin x 1

y sin x

x

.

sin( x

x) sin x

y x

x

.

0

: :

y

sin x

: y sin x y

y sin( x y sin( x y y x

2 cos

x) x) sin x

x

x x x sin 2

1 2 cos( x x

y lim x 0 x

x x ) sin 2 2

lim cos( x x

x x 2

0

2 cos

2 cos( x

x x 2 ) lim sin x 0 x 2 2

2x

x 2

sin

x 2

x x 2 ) sin 2 x y ' ( x) cos x 1

y' cos x y sin x

y' cos x

:

x

u

67

f ( x) sin u

-1

f (u ) sin u

y ' u ' cos u f ( x) sin 4 x :

. f ( x) sin 4 x u 4x u' 4 f ( x) sin u y 'u

cos u

f ( x) sin u

f ( x ) u ' cos u

f ( x) sin 4 x

f ( x) 4 cos 4 x

f ( x)

.

x 3 csc x

: :

f ( x)

3

x csc x 3

u

x

u ' 3x

v

1 sin x

v'

f ( x)

1 x sin x

3

f ' ( x)

2

uv' v2

cos x sin 2 x

x 3 csc x cos x 3 x sin 2 x 3x 2 csc x x 3 cot x csc x x 3x 2 csc x

3x 2 csc x x 3 cot x csc x

: a) y c) y

sin 5 x

b) y

sin x 1 x

1 sin x

68

y

cos x

y

1

o

3 2

2

1

x

5 2

y

.

y

x

cos( x

. x

.

f ( x) cos x x) cos x

y x

0

: y

cos x

: y

cos x

y

y y y y

cos( x

cos( x

x) x) cos x

x x x sin 2 2x x x 2 sin sin 2 2 2 sin

y lim x 0 x y cos x

x

lim sin( x x

0

y'

x x 2

x x ) lim sin 2 x 0 x 2 2 sin x

69

sin x 1

-2

: 2

2

sin x cos x 1 1 sin 2 x 1 1 (cos x)' ( 2 sin x cos x) 2 1 sin 2 x cos x

1 sin 2 x

:

cos x

1 1 ( 2 sin x cos x) 2 cos x (cos x)'

sin x

y

cos u

y'

y

u

x

: u ' sin u

. 1) f ( x) sin 2 x

2 sin x cos x y

u v

x sin x cos x

y ' u ' v v' u

2 sin x cos x 2 cos 2 x 2 sin 2 x

f ' ( x ) ( 2 sin x ) cos x (cos x ) 2 sin x f ' ( x ) 2(cos 2 x sin 2 x ) 2) f ( x )

:

2) f ( x)

: 1) f ( x) sin 2 x

cos u

y ' 2 cos 2 x

x sin x cos x

f ' ( x ) ( x)' (sin x cos x)' ( x )' [(sin x )' cos x (cos x )' sin x] f ' ( x ) ( x)' [cos x cos x ( sin x sin x)] 1 cos 2 x

. 1) f ( x ) (sec 2 x tan 2 x )

2

2

2) f ( x) sin x 2

4) f ( x) csc x

5) f ( x )

5 sin 2 x 3 cos 5 x

70

3) f ( x) sec x

:

y

y

tan x

. 3 2

1

2

3 2

0

2

x

1

2

.

y

tan x

y

tan x

. : :

-3

: sin x cos x (sin x) ' cos x (cos x) ' sin x f ' ( x) cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 2 cos x cos 2 x y tan x 1 y '( x ) sec 2 x 2 cos x f ( x)

cos x cos x ( sin x)(sin x) cos 2 x

. . y

tan 3 x

: u

:

tan x

u ' sec 2 x

y

y' n u n

tan 3 x

y ' 3 tan 2 x sec 2 x

71

1

u'

y

un

:

. : y

sec x cot x

u

sec x

u ' sec x tan x

v

cot x

v'

y

sec x cot x :

y

u v

:

csc 2 x y ' u ' v u v'

: y ' sec x tan x cot x sec x( csc 2 x) 1 csc 2 x sec x tan x sec x csc 2 x sec x sec x tan x

. a) y

tan x cot x

b) y

(x2

c) y

1 tan x

d) y

tan x sec x cot x

72

x 1) tan 2 x

v'

u', v , u

.

f '( x )

y '( x )

f ' ( y)

2x2

y

.

y2

4

xy 1

. y

f (x) y

y

x

f (x)

y

F ( x , y)

F ( x , y) F ( x , y)

y

x2

F ( x , y)

0

25 x 2

y

.

f ( x) 0

x2

f (x)

y2

25

x2

y

y2

f ( x)

25 :

y 2 25 0

F ( x, y ) 0

. y x xy 2

x

xy 2

x

y 1 0

x

:

y

y

f (x)

y

y

y 1 0 2

( xy )

( y)

(1)

0

1y 2

x(2 y ' y )

y'

y2 2 xy 1

y

73

0

y2

2 xyy '

y'

y ' ( 2 xy 1)

. y( x )

f( x)

(

y) x

f( y)

(

x) y

f '( x )

f '( y )

,1)

x 1 : y

y sin

f '( y )

x 1 0 : y

x 1 0 y

x y ' x (sin )'x (1) x y 1 1 x x 0 cos 0 cos y y y y x y ' y (sin )' y (1) y y x x x x 1 cos ( )' y 0 1 cos 2 y y y y

1 x cos y y x x 1 cos 2 y y

y '( x )

1

1 cos 1 1

1

cos

1

f '( x ) f '( y )

1 x cos y y x x 1 cos y2 y

x x cos 2 y y

y x

y ( ,1)

. y(

f '( x )

y '( x )

. y sin

y sin

( ,1)

.

1 ( 1)

1 1

x2 y 2 y3

.

y '( x )

3x 2 :

: x2 y 2 y3 2

3x 2

3

x y 2 y 3x 2 0 f '( x ) 2 xy 0 3 0 2 xy 3 f '( y ) f '( x )

x2

6 y2 0 0 f '( x ) f '( y )

x2

2 xy 3 x2 6 y2

6 y2 2 xy 3 x 6 y2 2

74

y6

.

y x2

0 :

: f '( x )

2x 6 y5 1

f '( y ) y '( x )

f '( x )

2x

f '( y )

5

6y

2x 6 y5 1

1

: y6

y x2

0

6 y 5 y' y ' 2 x 0 (6 y 5 1) y ' 2 x 2x y' 6 y5 1

. x2

y"( x )

.

y2 1 :

: x2

y2

2

2

x

y

1 1 0

f '( x )

( x 2 )' x ( y 2 )' x (1)'x

2x 0 0

f '( y )

( x 2 )' y ( y 2 )' y (1)' y

0 2y 0

y '( x )

f '( x )

2x 2y

f '( y )

2x 2y

x y

: y( x )

f( x)

( x 2 ) x ( y 2 ) x (1) x ( x 2 ) y ( y 2 ) y (1) y

f( y)

2x 0 0 0 2y 0

x y

y( x )

x y y

: '

y( x )

( x) y y x y2

'

y

yx y

2

y

x x y y2

y2

x2 y

75

3

1 y

3

y( x )

1 y3

x y

x

(1,1)

x2

y

xy

y2 3 0

:

. y '( x )

(1,1)

:

: f '( x )

2x

y

f '( y )

x 2y f( x)

y( x )

2x y x 2y

f( y)

y y

y1

m( x

x1 )

x 2y

,

0

2x y 2 1 x 2y 1 2 y 1 ( x 1)

1 y

x 2

: x 2 xy y 2 3 0 2 x y x y ' 2 yy' 0 2 x y ( x 2 y) y' 0 ( x 2 y) y' 2x y 0 ( x 2 y) y' 2 x y 2x y y' x 2y

x2 y3

.

5 y3

x :

: x2 y3 5 y3

x 3

0

0 1 2 xy 3 1

f '( x )

2 xy

f '( y )

3 x 2 y 2 15 y 2 0

y '( x )

f '( x ) f '( y )

2 xy 3 1 3x 2 y 2 15 y 2

1 2 xy 3 3x 2 y 2 15 y 2

x sin y

.

x3

. x2

.

76

y cos x 5 -1

xy 2 y2

y 3 -2

4x 4 y

-3

f ( x) sin x f ( x) cos x

2 x 4 3x 3 2 x 1

y

. . .

: y' y

f (x)

y

f ' ( x)

... y

n

y"

f (x)

y (n)

. f ( x)

.

f (x)

x3 3x 2

f " ( x)

f ( n ) ( x)

4x 1 :

: y

x 3 3x 2

y y y

3x 2 6 x 4 6x 6 6

4x 1

1 3 x : 3

y

. y

: 2

y' x 1 3 y x 3

y y x

y

77

1 3 x 3 3 2 x 3 x2

x2

( y (9 ) ) 2

.

y2

y

sin x cos x

:

( y (9 ) )

:

:

y sin x cos x y '( x ) cos x ( sin x) cos x sin x y"( x )

sin x (cos x)

y ' ' '( x )

sin x cos x

cos x ( sin x) sin x cos x

f '(( 9x)) cos x sin x ( y (9) ) 2

y2

(cos x sin x ) 2

(sin x cos x ) 2

cos 2 x 2 sin x cos x sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x 2 sin 2 x 2 cos 2 x

2(sin 2 x cos 2 x) 2

y

2 x 6 3x 5

y

12 x 5 15 x 4 60 x

y

4

240 x

y

2 x 3 3x 2 1

60 x 3

6x2 3

180 x

y

( 4)

720 x

y

( 5)

1440 x 360

f ( n) ( x)

2

2 x 6 3 x5 2 x 3 3x 2 1 :

y

. 6x

12 x 6 2

12

360 x

c0

c1 x c2 x 2

c3 x3

... cn x n cn

n

0

n

: fn( x)

c1 x c2 x 2

c0

f '( x ) c1 f "( x )

2c2 x 3c3 x

2c2

6c3 x

f ' ' '( x ) 6c3 12c4 x f n ( x)

c3 x3 2

... ...

...

...

cn x n

ncn x

cn

2

n(n 1)(n 2)cn x n

n(n 1)(n 2) ... cn

0

n 1

n(n 1)cn x n

3

n!cn

f k ( x)

0 :

k

. 4

3x

3

1) y

4x

3) y

a b c2

2x x ax bx cx 3

:

2) y c3 x

(5 x 2) 3

4) y sin x

78

n

f (x )

Q( x h , f ( x h))

P ( x , f ( x))

Newton

: f (x x

x) f ( x) x x

f (x

x) x

f ( x)

: lim

mT

x

x

f (x

x) x

0

0

f ( x)

: dy , f ' ( x) dx f (x x) f ( x) lim f ' ( x) x 0 x ( x0 ) f (x)

. lim x

0

y x

f ' ( x)

y'

( x0 , f ( x0 ))

. x0

x

x0

f

. P( x0 , f ( x0 ))

.

lim x

0

f (x)

C

y x

y ' tan

tan

m

. . ( x

x0

x0

x)

x) x

f ( x0 )

( x0

f (x ) lim x

0

f ( x0

79

:

r , x0

r)

f

: 1) f ( x) C

f ' ( x) 0

xn

2) f ( x)

f ' ( x) n x n

1

3) f ( x) u v

f ' ( x) u ' v'

4) f ( x) u v

f ' ( x) u ' v v' u

u v

5) f ( x)

, v

0

6) f ( x )

x

f ' ( x)

7) f ( x )

u

f ' ( x)

u

f ' ( x)

n

8) f ( x)

u ' v v' u v2

f ' ( x) 1 2 x u' 2 u u' n

n

un

1

y '( x )

y '( u ) u '( x ) :

:

.

y (n)

1) y

sin x

2) y

cos x

f ( n ) ( x)

y ' cos x y'

-n

80

,

y

sin u

y ' u ' cos u

sin x ,

y

cos u

y' y

u ' sin u f (x)

:

: a) 3

b)

P(3 , 0)

3

c) 5

:

d)

[3 , 4]

a) 18

b) 14

14

b) y ' 4 x

1 x 2

b)

1 2 x 1

3 x2

c) y ' 4 x

d)

: a) y 5 x 2

x 3

c) y 5

4x 8

b) y '

2

c) y '

6x5 2x3 24x

x –5

d ) y'

( x 4) 2

(2 x 2 ) 3 – 7

y d)

y

sin x

-6

8

c) y' 3( 2x)2

c) y '

2x x 4

y

4x 8 ( x 4)

b) y' 3(2 x2 ) 2

b) y ' cos x

2x2

d ) y 5x

: a) y ' sin x

x 1 –4

f ( x)

: a) y'

-3

1 2 x 1

: a) y'

1

d ) y' 4 x

x 1

b) y

2 x 2 3x

f ( x)

x 1 2 x

c)

2 x 2 -2

y

: a) 0

f ( x) d ) 32

: a) y' 4 x 2 3

x2

5

f c)

x -1

f ( x)

d ) y'

sin x

–8

cos x 1

(1 x 4 ) 5

y

:

6

6

a) y'

4 3 x (1 x 2 ) 5 5 c) y ' 4 x 3

a) y'

sin x (1 cos x) 2

b) y '

sin x (1 cos x)

81

b) y '

y

: c) y'

–9

1 (1 x 2 ) 5 5 d)

cos 1 cos x

sin x (1 cos x) 2

d)

–10

. 2 tan 2 x 1 tan 2 x

f ( x)

x x2 f ( x) x 1 x 2 f ( x) ( x 1)( x 1)( x 1)( x 4 1)

.3

(3 x 1)(3 x 4)

.4

f ( x) sin x cos x

.5

x

.

f ( x)

. .

4

f ( x)

. .

(sin x cos x) 2 1 sin 2 x y cos x

y sin 2 x cos 2 x

. .

82

.1

x2

xy

y2

3

.2

.6 .7 .8 .9

83

84

y

.

y

P (x)

h x

l

0

): .

( -I

:

: y

y

f (x )

f (x )

1

a x1 x0

x0 x 2 b

x

a x1 x0

(1)

' x0 x 2 b

' 1

x

( 2)

(2)

x2

x1 x0

( a , b)

(1)

. (2) (1)

. 85

.

: a, b

( a , b)

.

-1

f (x )

f ( x) 0

a, b

( a , b)

.

-2

f (x)

f ( x) 0

x y

: x .

f ( x) x 3 3x 1

.

: :

:

f ' ( x) 0

x 3 3x 1

f ( x)

f ' ( x) 3x 2

3

.

x

.

f ' ( x) 0

( 3)

f ( x) x 3 3x 5 f (x)

: f ( x) 3x 2 f ' ( x) 0 3x 2 3x x

2

3 0

3 0 3 1

86

: : f ' ( x) 0

( 1,1)

1 x 1

. .

f ( x) 5 x 4

:

: Df

:

IR

f ( x) 5 x 4 f ' ( x) 5 0

.

.

f ' ( x) 0

x2 :

y

. y' 0

y' 0

:

: y

x2

y' 2 x

y

y' 0

2x

y' 0

x y' y

2x

2

1 1

4

(0 ,

0

0

x x

0

0

0 0

1

0

1

2 4

(

)

x

0

, 0)

.

87

f ( x) 2 x 2

ax b

-1

y

3 x 1 4

-2 -3

3x 1 y

88

f ( x)

x 2 3x 2

-4

( Minimum

Maximum

)

(Critical Point)

y

x

.

( a , b)

f (x)

y f (x)

0 ac

x

eb

d

. . .

( d , e)

(c , d )

.

f (x)

:

89

(maximum)

y

(minimum)

x

(Critical Point)

.

:

.

:

( a , b)

. y' 0

-1

:

-2

:

-3

y' 0 ( a , b)

.

f' 0

f' 0

a

x0

f' 0

a

b

x0

(1)

f' 0

b

( 2)

x0

y

-1

:

f (x)

x0

.

(maximum)

x0 x0

y

f (x)

-2

:

x0

.

(minimum)

x0 x0

Inflection Point

-3

:

x0

. 90

(Extreme)

. .

7 2 x 2

x3

f ( x)

2x

:

x

:

f '( x ) 3 x 2 7 x 2 f ( x) 0 3x 1 0

x1

x 2 0

x2

( 2)

1 3

x

1 3 2

f ' ( x) f ( x)

1

2 0 2

0 17 54

2

Max

1 ( ) 3

Min

f (x)

. .

(Extreme) f ( x)

Extreme

x 1 x 2x 2

:

:

: y'

y

u v

2.73

1

u ' v uv' v2

x 1 x 2x x 2 2 x (2 x 2)( x 1) f ' ( x) ( x 2 2 x) 2 f ( x)

2

x2 2x 2 ( x 2 2 x) 2

f ' ( x)

. f ' ( x) 0

x2 2x 2 0 b2

x1

b 2a

2

x2

b 2a

2

4ac 12 12 2 12 2

2.73 0.73

x f ' ( x) f ( x)

3

91

Min

1

0

0

2 15

0.73

0

Max

2

x2

x1

f'

Extreme

. Absolute Maximum & Absolute Minimum

.

: y f (x )

x0 x1 x2

x3

x4

x

x5 x6 x7

.

f (x)

.

f (x)

. . : :Absolute Maximum

( x0 , f ( x0 )) f ( x0 )

f ( x) f ( x0 )

f (x )

x

. x0

x0 f ' ( x0 ) x0 f ' ( x0 )

max

92

0 x0

f ' ( x0 )

:Absolute Minimum

( x0 , f ( x0 )) f ( x)

f ( x0 )

f

x

f ( x0 )

x

.

x0 f ' ( x0 )

x0 f ' ( x0 )

min

Extreme

x0

x1

0

f ' ( x1 )

x0

.

x

f ( x)

1 2 1 x 3x : 2 2

:

f (x)

1 2 1 x 3x 2 2 f ' ( x) x 3 f ' ( x) 0 x 3 0 x 3 f ( 3) 5 1 1 lim f ( x) lim ( x 2 3x ) x x 2 2 1 1 lim x 2 3 lim x 1 lim x x x 2 2 f ( x)

x

4

f ' ( x) f ( x)

9 2

3 0 5 Min

( 3 , 5)

f ' ( x0 )

1

2

3

15 2

:

y

x

( 3 , 5)

( 5)

x

3

. 93

f ( x) x3 3x 2 :

.

:

. x3 3x 2

f ( x)

f ( x) 3x 2 3 f ( x) 0 3x 2 3 3x 2 2

x x1

y ( 1, 4)

0

3 1 1 , x2

f ( 1)

(0 , 2)

1

( 1)3 3( 1) 2 1 3 2

(1, 0)

4 f (1) 13 3 1 2 1 3 2 f ( 0) 0 3 0 2 2

0

f ( 2) 2 3 3 2 2 4 f (1) 0 , f (0) 2 ,

f ( 1)

Max f ( 1)

4

Min f (1) 0

x

2

f ' ( x) f ( x)

4

1

2

0

Max

2

(1,

.

1

0

0 4

5 6

( 1,1)

x

)

4

0

Min

(

, 1)

( 1, 4)

(1, 0)

: .1

.

.2

.

.3

.

.4

. .

.5 .6

. 94

y

2

x

x2 :

.

: y

: x 0

: 0

x

y

2 0 0

y

2 (0 , 2)

. y

y

y

x

:

-1

x

0 , 2 x x2

x

0

b 2 4ac 2a 1 1 4 2 2 1 , x2 2 b

x1, 2 x1, 2 x1

1 3 2 (2 , 0)

.

( 1, 0)

x

-2

. y

2 x x2 y' 0

: y

1 2x

y

0

1 2x

0

2x x x

1

2x 1

1 2

1 2

x

y

95

2 0

:

1 2

x

1 2

x y

:

2

1 2

1 4

2

1 4

1 2 x

y 1 2 (

.

y

0

1 1 2 ) 2 4

x

-3

: lim(2 x x 2 )

lim y x

x

lim (2 x x 2 )

lim y

x

x

. y x

1

y' y

0

1 2 0 1 2 4

1 9 ( , ) 2 4

2

x

0

a) f ( x)

x 2 3x 2

x 1 x2

b) f ( x )

.

96

-1

Extreme

.

c) y 3x 2

min

4x 1

f ( x) 3x 3

4x2

-2

y

x

. y y

f (x)

a

x

c

b

( a , b)

y

f (x)

(b , c )

y

f (x) ( a , b)

.

(b , c)

: y

.

97

y" 0

f (x)

.1

y

y

f (x)

. a

x

b

y

y

y

a

b

.2

f (x)

f (x)

x y" 0

. :

(Inflection)

. ( f ( x0 ) 0 )

x

x0

y

.

f (x)

x

.

f ( x)

x2 5x 4 :

. x 0 y 4

x

2

: y

-1

x

-2

(0 , 4 )

0

y

x0

5x 4 0

x 2 5 x 4 ( x 4)( x 1)

98

x1

4 , x2 1

. (1, 0)

x

0

1

4

0

( 4 , 0)

x

y

5 2

4

f ' ( x) f ( x)

9 4 min

0

x 5 9 ( , ) 2 4

: 2

f ( x) x 5 x 4 f " ( x) 2 0

y

2x 5

.

y" 0

y

x3 9 x 2 6 x 1

:

. : y

x3 9x 2 6x 1

y 3 x 2 18 x 6 y 6 x 18 0 y 0 6x 18 3 x 6 x 18 0 y 0 6x 18 3 x

( 3,

)

6 x 18 x y" y

(

.

99

, 3)

3 0

f ( x) x 5 5 x 3 :

: x 5 5 x3

f ( x)

f ' ( x) 5 x 4 15 x 2

20 x 3 30 x

f " ( x)

f " ( x) 0 20 x 3 30 x

f "(x)

x(20 x 2 30) 0 x1

3 2

x

0

f (x)

0

3 2

0 0

0

0 6

13.65

3 2

20 x 2 30 0 x2

3 2 f " ( x)

x2

3 2

,

x3

3 2

x

0

3 , x 0 2

x

3 2

.

.

f ( x)

.

100

f ( x)

x2 4

.1

2x2 1

.2

.

.

f ( x)

f ( x)

x 1

y

.

x 1

ax 2 bx c

Minimum Maximum

.

x

. . : : Df

: (

,

-1

)

. : f ' ( x) 2ax b

0

f ' ( x) 0 2ax b 2ax x

0 b

b 2a

101

-2

x

: y y

b 2 b b2 b2 a( ) b( ) c a c 2a 2a 4a 2 2a b 2 2b 2 4ac b 2 4ac 4ac b 2 4a 4a 4a

0

b 4ac b 2 , ) 2a 4a : a 0 : (

. a

0

lim f ( x)

x

. a 0

b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a : a 0 :

Min

lim f ( x)

x

.

(

Max

b 4ac b 2 , ) 2a 4a

-3

: b 2a

y a 0

b 2a

x y' y

4ac b2 4a

x Min

b 4ac b 2 , ( ) 2a 4

. a 0

(

a

)

y

0

Max

b 2a

x y' y

x

4ac b2 4a

.

(

b 2a

b 2a

b 4ac b 2 , ) 2a 4

( 102

)

a 0

.

x2 4x 3 :

f ( x)

: (

,

-1

)

.

: y

0

x2 (x x x

4x 3 0 1)( x 3) 0 1 0 x 1 3 0 x 3

(1, 0)

: x 0 y 0 4 0 3 y 3

-2

x

, (3 , 0)

-3

y

(0 , 3)

f ' ( x) f (2) x

2x 4 0 2

2

lim f ( x)

x

-4

extreme

: 2x

4 2 3 f ( x) lim x 2

x

4

x

1

2

y

V (2 , 1) min

3

4x 3

x

0

1

y' y

3

0

2

3

1

0

2

1

3

x

( 2 , 1)

Min

.

f ( x)

:

.

x2

2x :

: (

103

,

) :

-1

:

-2

x

f ( x) 0 x 2 2x 0 x( x 2) 0 0

x1

(0 , 0)

x 2 0 x2

2

(2 , 0)

:

-3

y

x 0 f ( x) x2 2x f ( x) 0 2 0 (0 , 0) f ( x) 0

-4

extreme

: Df

(

f ( x) f ' ( x)

,

)

y

2

x 2x 2x 2 0

v (1,1)

2x 2 0 2x 2

x

x 1

V (1,1) Max

f (1) 1

x

0

1

2

0

1

0

f ' ( x) f ( x)

Max

(1,1)

.

. .

104

f ( x)

2x2

f ( x)

x2

x 1 x 2

.1 .2

y

.

x

: : . y

y

-1

f (x) :

lim f ( x) x

y

a

x

a

x

. y

y

f (x)

-2

:

( y ax b ) a

x

. 105

0

. y

-3

: x

x

x

.

lim f ( x) c

y

x

.

x 1 2x 4

f ( x)

:

: 2x 4

:

0

lim f ( x)

x

c

2x

lim (

x

4

x

2

x 1 ) 2x 4

1 2

.

2

x

y

1 : 2

y x

1

y

0

0 1 4

1 1

x

.

y

x2

2x 1 : x

:

: y

x2

2x 1 x

: x 2

1 x

y

x 2

: y

x2

-2

: 2x 1 x

x

-1

0

.

: 106

-3

.

( x 3)( x 2) ( x 1)( x 2)

f ( x)

: :

:

-1

:

( x 1)( x 2) 0 x 1 0 x1

x 2 0 x2 2

1

.

x

: y

lim f ( x) x

lim x

1

2

x

-2

:

( x 3)( x 2) 1 ( x 1)( x 2)

.

y 1

-3

.

:

:

n

. n

m

b

P( x) Q ( x)

f ( x)

m x

y

m

b

m

:

n n

:

. .

m

(

n

) m n 1 .

107

: :

. 1) f ( x) 3) f ( x)

3x 6 2 x x 2 8 2 x 4

2) f ( x )

2x2 x2 1

108

y

.

x

. y

.

1 x

. y

.

x

: c

.

ax b cx d

y

0

: ax b lim x x x cx d x x

lim f ( x) x

cx d

0

cx

a lim x

d

c x

b x d x

y d c

a c

: f ( x)

.

-1

:

(

)

-2

2x 1 : x 3

: x 3 0 x 3 x 3

x 3

Domain

IR \ {3} :

109

.1

: f ( x)

0

x

1 2

: x

y

.3

2 0 1 1 0 3 3

f (0)

0

.2

1 ( , 0) 2

2x 1 0 2x 1

x

1 (0 , ) 3

.4

: a c

f ( x) d c

x

2 1 3 1

2

lim

x

2x 1 x 3

2 ,

x 3 0

3

-

x 3:

-

.5

extreme

: f ' ( x)

2 ( x 3) ( 2 x 1) ( x 3) 2

f " ( x)

0 ( x 3) 2 ( 5 ) 2 ( x 3) ( x 3) 4

x

2 :

y

5 ( x 3) 2

0 10 ( x 3) ( x 3) 4

10 ( x 3) 3

3

f ' ( x) f "( x) f (x )

2 2 x 1 : x 1 x 1 0 x f ( x)

.

.

x

Df

1

110

IR \

1

1:

-1

y

0

x 1 0

x

0

y

x 1

0 1 0 1

1

(1, 0)

y

1

:

x

-2

(0 , 1) :

y

-3

-4

: x 1 0 lim f ( x)

x

x

1

lim

x 1 x 1

x

: f ( x)

-

:

y 1

-

-5

extreme

: x 1 x 1 1 ( x 1) 1 ( x 1) f ' ( x) ( x 1) 2 f ( x)

f " ( x)

x 1 x 1 ( x 1) 2

0 ( x 1) 2 2 2( x 1) ( x 1) 4

x

2 ( x 1) 2

4( x 1) ( x 1) 4

0

4 ( x 1) 3

y

1

f ' ( x)

1

f " ( x)

1 1 1

x

1

f ( x) 1

2x 5 x

f ( x)

.

: : -1

x 0

Df

IR \ {0} :

-2 : 2x 5 x

f ( x) 0

0

2x 5 0 2x 5

x

5 2

111

( 2 .5 , 0 )

x -

f (x)

y

x 0 :

y

. -3

:

x 0

x

:

y

. y

.

lim f ( x)

2

lim

x

x

2x 5 x

2:

-4

: 2x 5 x 2 x (2 x 5) f ' ( x) x2 5 f ' ( x) 0 x2 f ( x)

2x 2x 5 x2

f ' ( x) 0

. : x f ' ( x) f ( x)

y

2.5

0 2

0

2 y

2

x

1 2

.

f ( x)

.

f ( x)

112

2

x 1 x 3 x x 4

.1 .2

ax 3

y

bx 2

cx d

a

0

y

.

f' f" f

x

ax 3 bx 2 cx d

f ( x)

. . : .

a

f ' ( x)

0

a

0

f ( x)

0

(

)

.1

ax 3 bx 2 cx d

( f ' 0)

(Local Maximum) ( Local Minimum)

. f ( x)

ax3 bx 2

f ' ( x) 3ax 2 a

0 x f ' ( x)

y

cx d

2bx c f' 0

x1 0

x2 0

x

f ( x)

113

f ' ( x)

0

f ' ( x)

ax 3 bx 2

f ( x)

0 a 0

cx d

.2

f' 0

(Local Minimum)

. f ( x)

ax 3 bx 2

(Local Minimum) y

cx d

f ' ( x ) 3ax 2 2bx c a 0 f' 0 x f ' ( x) f ( x)

x

x2

x1 0

0

Extreme

.3

Extreme

: I ( xc , yc )

(

xmax xmin ymax ymin , ) 2 2 Max

Max

C

C Min

Min

.4

: f ' ( x) 3ax 2

.

x

0

2bx c b 3a

0

114

f ' ( x)

0

a

f ' ( x)

f ' ( x) 0

.

.5

ax 3 bx 2 cx d

f ( x)

0

0

f ' ( x) 0

( 2)

(1)

f ( x) ( x 1)( x 2) 2 :

.

Extreme

:

. x 3 3x 2

f ( x)

:

4

f ( x) 3x 2 6 x 3x 2 6 x

0

x(3x 6) 0 x1

0 ,

f ( x) 0

3x 6 0

x2

2

0

, x2

2

x1

f (0) 03 3 0 2 4

4

f ( 2) ( 2) 3 3( 2) 2 4 8 12 4 0 f " ( x) 0 6x 6 0 6x x

6 1 f (x )

x

1

: f ( 1) ( 1 1)( 1 2) 2

2

115

I ( 1 , 2) :

: : y

-

x

0

( x 1)( x 2) 2

0

x 1 0

( x 2) 2

x 1

x 2 x2

0

0

(1, 0) , ( 2 , 0)

2

:

-

y

x 0 03 3 0 2

y

4

4

(0 , 4 )

y x

2

1

0

x

f ' ( x) f " ( x) 0

f ( x)

4

2

max

min

.

f ( x)

x 3 3x 2 :

:

. -1 f ( x)

x

f ' ( x) f ' ( x) 0 x1 0 ,

3

3x

3x 2

2

6x 3x 2 6 x 3x 6 0

0

x ( 3 x 6) 0 3x 6 x2 2

116

: f ( 0)

03

3 02

0

f ( 2)

23 3 2 2

4

( 0 ,0 ) , ( 2 , 4 )

-2

: :

x

-

0

y x

3

3x2

0

2

x ( x 3) 0 x1 0 , x 3 0

( 0 , 0)

,

(3 , 0)

3

x2

: 0

x

f ( x)

03

3 02

(0 , 0)

0

: f ( x)

6x 6

y -

-3

f " ( x)

0

x 1 f ( x) x 3 3x 2 f (1) 2 I (1, 2)

-4

: y x

0

f ' ( x)

0

f " ( x) f ( x)

2

1

0 4

x

0

f (x ) Min

Max

117

.

f ( x)

: x

b 3a

( 3) 1 31

x

x3 3x 2

x 1 :

b 3a

:

f (1) 13 3(1) 2 1 1 0

C (1, 0)

.1

. a) f ( x)

1 3 x 3

x2

x 1

,

b) f ( x )

.

( x 1) 3

f ( x)

118

2x2

6 x 3 -2

Rolle Theorem

y

f (x )

f (x)

f ' (c )

.

P

0

c

a

x

b

y

f (x ) f (a)

f (b)

x

f (b)

f (a)

a

( a , b)

x

b

x0

. f (x )

. .

x0

( a , b)

f (a)

f (b)

:

a

x b

a

x0

a

b

x0

x b

f (x ) f (a)

. 119

: f (b)

f ( x0 ) 0

f (x )

: Extreme

. . x0

a, b

f ( x) 0

f ( x1 ) 0

x2 , x1

f ( x0 )

f ( x2 ) 0

( a, b)

f ( x1 ) 0

a, b

f ( x)

.

cos x

f( )

f (x )

Rolle .

-2

Extreme

[ ,5 ]

x

f (x )

Minimum

f ( x0 ) 0

.

-1

Maximum

. .

f ( x) c

:

f (5 )

1

:

( ,5 )

x0

(cos x)' 0 ( ,5 )

.

( ,5 ) ( ,5 )

sin x 0

4 ,3 ,2

.

a, b

( ,5 )

sin x 0

1 x2

f ( x)

1,1

(cos x)'

sin x sin x 0

: :

x0

1,1

1,1

.

f ( 0)

x0

0

: f ( x)

2x 2 1 x

1 x

f (1) 0

f ( x0 ) 0 y ' ( x)

x 2

f ( 1)

2

f (0)

0 1 02

120

0

u ' ( x) 2 u

:(

)

y

:

f (b) f (x)

f (a )

a

x0

b

x

.

PQ PQ

f (x)

: a, b

( a , b) f (b)

f (a)

f ' (c)(b a) :

f ( x)

g (a)

f (a)

g (b)

f (b)

f (b) b f (b) b f (b) b

( a , b)

c

. g ( x)

f (c )

f (b) f (a) : b a

f (a) x : a f (a) f (a)b f (b)a ......... I a a b a f (a) f (a)b f (b)a b ......... II a b a ( a , b) c

:

g (a)

: g ' ( x) f ' (c )

f (b ) f ( a ) b a f (b) f (a ) 0 b a f ' ( x)

:

f (x )

f (b) f (a) b a f (b) f (a) f ' (c ) b a f (b) f (a ) f ' (c)(b a )

g ' ( x)

f ' (c )

121

g (b) g ' (c )

0

.

a, b

2 x3 8x 1 :

f ( x)

1,3 1, 3

(1, 3)

: f ( x0 )

f (b ) f ( a ) b a

f ( x0 )

6 x 2 8 18

.

x0

(1, 3)

f (3) f (1) 3 1

36 2

13 3

x0

x

26 6

(1,3)

x

(1, 3)

f ( x)

0,4

c

:

.

x0

18

26 6

x1, 2

:

f (x)

x(4 1)

26 6

-1

. 0,3

x0

f ( x)

.

122

1 3 x 2x 3

-2

(L' Hopitall)

lim x

a

f ( x) g ( x)

lim x

a

f ( x) g ( x)

f ( x)

1

x

.

-3

x 2 3x 2 x 1

. .

f ( x)

x

3x 4 3x 2 4 x 1 2x 2 4x3 2x4

. : : ( a , b)

. x

0 0 f ' ( x) lim x g ' ( x)

x

a

g (x)

f (x )

f ( x) g ( x)

.

: 2 x 2 x 10 2 2 2 2 10 0 x 2 x2 4 22 4 0 f ' ( x) 4 x 1 4 2 1 9 g ' ( x) 2x 2 2 4 (2 x 5)( x 2) 2x 5 2 2 5 lim lim 2 x 2 (x x 2)( x 2) x 2 2 2

lim

123

9 4

.

: x 4 81 2) lim x 3 x 3

x sin 2 x 1) lim x 0 x sin 2 x

3x 2 4 x 6 3) lim 2 x 7x 2x 1

: x x (x lim x 0 (x lim x

0

sin 2 x 0 sin 2 sin 2 x 0 sin 2 sin 2 x) 1 lim 0 x sin 2 x) 1

0 0 0 0 2 cos 2 x 2 cos 2 x

1 2 1 2

3

: x4 x 3 x (x4 lim x 3 (x

lim

81 3 81 81 81 0 lim x 3 3 3 3 3 3 0 3 3 81)' 4x 4 3 lim 108 3 x 3) 1 1

: 3x 2 x 7 x2 (3 x 2 lim x (7 x 2 6x lim x 14 x (6 x lim x (14 x lim

4x 2x 4x 2x 4 2 4)' 2)'

6 1 6)' 1)'

6 14

3 7

. sin x x x 0 sin x c) lim 3 x 0 x a) lim

, ,

x5 1 3 1 x 1 x 5 x d ) lim 3 3x x b) lim

124

y

.

x

:

20

. 20 x

0,20

1

x

:

f ( x)

x

:

x(20 x) :

0,20

f ( x) 20 x x 2 f ' ( x) 0 20 2 x 0 2x 20 x 10 f (10) f (0 ) f (20)

20 10 10 2 20 0 0

2

0

20 20 202

x2 10

200 100 100 400 400

0

(10 100)

x1 10

. x

t2

: t2 t1

x( 4 )

x(3)

4 3

2

-

(t 2)(t 3)

. x( t2 ) x(t1 )

100

4

t1

3

: 2 0 4 3

125

2

.

3

:

v( x )

4 3 x 3

S( x)

4 x2 4 x2 8 x

dv ds

(F) (C)

4 3

dv dx ds dx dv ds

4

3x 2

2x 8 x

1 x 2

5 ( F 32) 9

C

4 x2

(F)

(C)

4

-

. (Vm

: C C(F F Maximum

f (x

5 (F 9

F ) C (F ) F

x) x

F 32)

f ( x)

y ) x

5 ( F 32) 9

F

:

5 9

200m

5

. :

y

x

: 2x 2 y x

200

y 100

y 100 x

x y

S

x(100 x) 100 x x 2 , Ds

IR

x

0

x 100

,

y

0

100 x

0

0

: S

S y

x 100

100 2 x

S' 0

100 2 x 0 lim S ( x) 0

x

0

lim S ( x) 0

x

0

x 50

S ( 50) 2500 x 0 50 S' S

2500

100

0 0

0

2500

126

50

100 x x 2 50

Max

50 100

x

2500

.

50

200

. x2

: T( x )

y2

T( x ) x

x2

y2

x2

(200 x) 2

x2

x 2 400 x (200) 2

2x2

x

y

y x

200

6

:

400 x 40000

T( x ) 4 x 400 T( x )

0

4 x 400 0 x 100

T(100) 20000 :

A

2 x

y

A -

7

. 2 A( x, ) x

: x 2 ( A)

OA OA

2

x2

d '( x )

2x4 x3 0

2x4

8

d '( x )

2

x1 d d

( 2)

2

2

y 2 ( A) 4 x2 8

, x2 4 ( 2 )2

d '( x ) ( x 2 )' (

4 8x )' 2 x 2 x x4

2 2

y

4 x2

x2

d2

A

4 2

8 2

4

4

2

. 127

2x

8 x3

2 x

:

24

8

. :

x x

y

x

y

24

y

:

24 2 x

:

0

V

x2 y

V

24 x 2 2 x 3

V

x 2 (24 2 x)

V ' ( x) 48 x 6 x 2 V ' ( x) 0 48 x 6 x

2

0

x(48 6 x) 0 x1 0 48 6 x 6x

0 48

y 0

x 12

24 x 2 2 x 3 24 0 2 2 03

V (0 )

0 0 0 V ' (0) 0 24 (8) 2 2 (8)3

V (8)

1536 1024 512 V (8) 512 V (12) 24 (12) 2 2 (12)3 V (12) 0

3456 3456 0

x 8

.

512cm3

y

.

x3

x2

x 1 -1

-2

1m

. .

A(3,0)

.

128

y

x2

-3

a ,b

( a , b)

f (x)

. f ' ( x) 0 a ,b

( a , b)

f (x)

. f ' ( x) 0 x

.

x

(Absolute Maximum) x

(Absolute Minimum) Extreme

.

( x0 , f ( x0 ))

f (x )

.

f ( x0 )

f ( x)

f ( x0 )

x

( x0 , f ( x0 )) :Minimum

f (x )

.

:Maximum

f ( x0 )

f ( x)

f ( x0 )

x

y

f (x)

. y

f (x)

. (Inflection)

. f ( x)

ax b cx d

. 129

c

0

a

x b a

a

f (x )

x b

x0

x0 b

f (a )

f (b )

.

f ' ( x0 ) 0 a ,b

( a , b) f ' ( x0 )

f (b) f (a ) b a

b

f (x )

x0

a

. : ( a , b)

. 0 0

x

f ' ( x) g ' ( x)

.

...

130

x

a

g (x)

f ( x) g ( x)

f (x )

: : a) f ' ( x)

–1

[ a , b] 0

b ) f ' ( x)

0

c) f ' ( x)

0

d ) f ' ( x)

0

-2

: Absolute Minimum b)

a)

Infliction c) Extreme

: a)

Absolute Maximum d )

b)

x 1 x 2x

f ( x)

c)

2

d)

–4

: a)

b)

c)

d)

: a) (

,

)

b) (

ax 2 bx c

f ( x)

, 0)

c) ( 0 ,

)

1

b) x

2

f ( x)

c) x

1

d) x

2x 1 -6 x 2

2

-7

: a) y

a c

b) x

d c

c) y

c a

d) y

: a) 4

b) 6

c)

c d

g ( x) 6

d)

4x 2 6x x2 4

x x0

f (x) f ' (x) lim g(x) x x0 g' (x)

b) lim f (x) f ' (x) x x0

131

-8

4

-9

: a) lim

-5

d)

: a) x

-3

c) lim x

f (x) f ' (x) lim g(x) x g' (x)

d)

: f ( x)

P (3 ,0)

.

f ( x)

3, 4

.

x2

x

.1

x2

.2 .3

. 1) f ( x) 2 x

2 ) f ( x) 3 x 2 1

3) f ( x)

2x

.4

. 1) f ( x)

2x 1

,

x0

1

2) f ( x )

x2

,

x0

2

.5

. 1) f ( x)

2x 4x 2

3x 3 1

2 ) f ( x)

.6

. 1) f ( x ) 7 x 2 3x

,

x0

2) f ( x) 6 x 2 2 x 1

,

x0

1 1 2

f ( x) 3 x 5

.

4 x 2 3x

.8

. 1) f ( x)

x 3 sec x

.7

3) f ( x) cos 2 2 x

2 ) f ( x) sin(3x 1)

.9 . . . .

132

x2 1 .10 x 4x2 .11 f ( x) x2 1 f ( x) sin x .12

f ( x)

f ( x)

tan x .13

133

134

Riemann’s Sum

2

2

o

2

2

y

f ( x)

2x 2

x

10

[0,4]

8 6

.

4

y

2

x

1 2 3 4

2x 2

.

. 1

. x .

135

-1

: [ a, b] y

y

f (x)

:

f (x)

x

:

y

x

o

x0

a x1

xn

x3

x2

b a ) n

( x

1

xn

x

b

[ a, b]

n

. : x0

a , x1

a

i 1, 2 , 3 , ... , n

x , x2 a 2 x..., xi

a i x , ... , xn

b

x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 , ... , [ xi 1 , xi ] , ... , xn 1 , xn f ( xi 1 ) x

: f ( x0 ) x

f ( x1 ) x

...

f ( xi ) x n

f ( xn 1 ) x

i 1

f ( xi 1 ) x

n

f ( x1 ) x

f ( x2 ) x

...

f ( xn ) x

f ( xi ) x i 1

n

n

f ( xi 1 ) x

A

i 1

f ( xi ) x :

i 1

: n

lim

n

n

f ( xi 1 ) x i 1

lim A lim

n

n

f ( xi ) x i 1

136

A

n

lim

n

f ( xi ) x

n

lim 2 f ( xi 1) x

A

n

i 1

:

121

n

n

lim n

f ( xi ) x

f ( xi ) x

i 1

i 1

. y

x

x2 1

[0 , 2 ] :

. [0,2] x

b a n

: 0

,

x0

a

x1

x2

a 2 x 1 ,

a x3

x

1 2 3 2

a 3 x

x4 2 [ x0 , x1 ] , [ x1 , x2 ] , [ x2 , x3 ] , [ x3 , x4 ] 1 1 [0, ] , [ ,1] 2 2

3 , [1, ] 2

3 , [ ,2] 2

x

. f ( x)

x 2 1 , f (0) 1

1 f ( ) 1.25 , f (1) 2 2 3 f ( ) 3.25 , f (2) 5 2

y 5

3.25

2

1.25 1 1 1 2

3 2 2

137

x

2 0 4

: 1 : 2

y 5

3.25

2

1.25 1 1 1 2

x

3 2 2

1

y

1 1 1 1 1.25 2 3.25 2 2 2 2

3.75

5

3.25

2

1.25 1 1 1 2

x

3 2 2

1.25

3.75

.

A

1 1 1 1 2 3.25 5 2 2 2 2

5.75

5.75 f ( x) 1 x :

[1 ,10]

:

138

xi lim

n

10 1 9 n n 9 xi 1 [ ] i , n

b a n

x a n

i 1

f ( xi ) x lim[ n

:

0,1,2, ...

i

(1 xi ) x]

lim[ x

n

n

(1 xi )]

n

n

lim[ x

n

lim[

n

i 1

i 1

1

xi ]

x

i 1

9 n 9 n

cn

i

n(n 1) 2

i 1

i 1

n

c i 1 n

n

n

lim[

n

i 1

n

n

1 i 1 n i 1

(a

x

xi )]

i 1

1

9 n

n i 1

(1

9 i)] n

n

9 9 n 9 n 1 ( 1 i )] n ni1 n i1 ni1 9 9 9 n(n 1) lim[ n (n )] n 2 n n n 9 9n 2 9n lim[9 (n )] n 2n n 9 2n 2 9n 2 9n lim[9 ( )] n 2n n 9 11n 2 9n lim[9 ( )] n 2n n 99n 2 81n lim[9 ] n 2n 2 99n 2 81n lim[9 ] n 2n 2 2n 2 99 81 lim[9 ] n 2 2n 99 9 58.5 2 lim[

139

i2

n(n 1)(2n 1) 6

y

x

3x

[0,3]

.1

0 .5

.2

. x

. x y

0 14

0.5 20

1 26

1.5 32

[0 , 4]

2 38

2.5 44

OAB

. y 8 B 6 4 2 O

A 1 2 3 4

140

x

3 50 y

8 2 x .3

Concept of Integral . .

S

n

f (x) dx

lim

f (x)

n

)

(

sum

f ( x)dx :

f ( xi ) x i 1

.

x

. : Indefinite Integral

.

-I

F ( x)

2x2 1

. ( 1)

.

C ( 1)

f (x)

.

F ( x)

f (x )

x6 1

: f (x )

a ,b

F (x)

f (x)

: F ( x) C

C f ( x)dx

f (x )

:

F ( x) C

141

.

. x dx

. 1 7

x

3

dx

x

3 7

3 1 7

x

dx

3 1 7

x dx : x1 1 C 1 1 1 7

C

4 7

x 4 7

3 2

x dx

3 1 2

5 2

x C 3 1 2

x 5 2

2 2 x 5

: a) b) c)

5

x3 dx

1 dx x4 1 dx x

x 2 dx

d) e)

4 8

x2

x 4 x dx

142

C

3 2

C

:

dx :

77 4 x 4 x

5

C

x3

C

.

x2 2

C :

dx :

2 5 x 5

C :

Properties of indefinite integral

k dx [ f ( x)

g ( x )] dx ?

[ f ( x ) g ( x )] dx f ( x) dx g ( x)

, g ( x)

0

. f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)

3x 4 1 x2 sin x cos x 2x3

1 1 x2

:

: kdx k dx kx C :

5dx :

.

5dx 5 dx 5 x C x n dx

xn 1 C n 1

143

-1

k

:

n

1

:

-2

x 4 dx :

. 4

x dx

x4 1 C 4 1

1 5 x 5

f (x)

:

2 x dx

2 x dx

x3 2 3

2 3 x 3

C

-3

a f ( x) dx

2 x 2 dx :

. 2

:

a

a f ( x) dx

2

C

C

:

g (x)

-4

f (x)

: [ f ( x) g ( x)]dx

f ( x)dx

g ( x)dx

: 2 x 2 dx

2x3 3

a)

(2 x 2 3)dx

b)

(8 2 x)dx 8 dx 2 xdx 8 x x 2 C

3dx

3x C

-5

: [ f1 ( x)

f 2 ( x) ...

f n ( x)]dx

f1 ( x)dx

f 2 ( x)dx ...

f n ( x)dx

: [ x 3 6 x 2 9 x 1]dx

x 3dx 4

x 4

6x 3

6 x 2 dx 3

9x 2

9 xdx

2

x C

144

dx

g (x)

-6

f (x)

: [ f ( x ) g ( x)]dx

f ( x)dx

g ( x)dx g ( x)

:

f ( x)

x 2

x 1

:

:

:

[ f ( x) g ( x)] dx

(x2

[( x 1)( x 2)] dx (x2

x 2) dx

x 2) dx

x 2 dx x3 3

2x

x2 2

2 dx

x dx 2x C

: . f ( x) dx

g ( x) dx

( x 1) dx (

( x 2) dx

( x dx

dx)(

x dx

2 dx)

x2 x2 x2 x2 x C )( x)( 2x C) ( 2 x) C 2 2 2 2 x3 x 2 x2 x2 x)( 2x C ( 2 x) C 3 2 2 2

. g (x)

f ( x) dx g ( x)

f ( x)dx : g ( x)dx

:

. g ( x)

x

f ( x)

. f ( x) dx g ( x)

x2

2x x

dx

x2

2x

:

:

(

x2 x

2x )dx x

-7

f (x )

( x 2)dx

145

xdx

2dx

1 2 x 2

2x C

: . (x2

f ( x)dx g ( x)dx

x 2 dx

2 x)dx xdx

1

3

x3 1

2

x2 x2

2 xdx xdx

C

x3 1 x2 2 1

3

f ( x) dx g ( x)

x2 1 x2 2

C

f ( x)dx g ( x)dx

: a)

17dx ?

e)

(1 x) 2 dx ? 1 x 2 x 4 dx ? 1 dx ? x5 (2 x 2 4 x 3 5 x 9)dx ?

f)

(2 x 3) 6 dx ?

b) c) d)

g) h)

x3 2 x 2 dx ? x2 (2 x)dx ?

146

Definite Integral 4 4

4

4

4

4

.

4

4

2 ,5

n 5

f ( x)

2x

. : a,b

f (x) f (x)

f (x )

( x)

n

x

: n

b

x

a

b

n

lim

:

f ( xi ) x i 1

f ( x)dx

F ( x)

b a

F (b) F (a )

a

b

.

a 3

x 2 dx :

. 1

F (x)

: 3

x 2 dx [ 1

x3 3 ]1 3

33 3

13 3

27 1 3

26 3

y 3

1 o

:

y

x y

3

: 1, 4

3

.

x

4

147

4

3 dx :

. 1

. 3 4 ( 1)

3 5 15

. 4

3 dx [3x]41

3 4 ( 1)

15

1

y

y

:

x 1

0,3

(3, 2)

x

.

y x 1

:

A1

x

3

0 A2 1

1

: 1 2 2 2 1 1( 1) A2 2 1 A1 A2 2 2 A1

3

( x 1) dx [ 0

x2 2

x ]30

[

32 2

1 4 2 2 1 ( 1) 2

1 2

:

1 .5

A2

:

3] 0

A1

9 3 1. 5 : 2

y

.1 A 1 1

3

B 2

x

[1,2]

y

x

2x 1

.

D

f ( x)

C

n

.

148

4

0 ,1

x2

.2

Properties of definite integral

b

c dx .

a b

[ f ( x ) g ( x )] dx

?

a a

f ( x ) dx a

4

.

3k 2

k 1

b

x dx

1 ,1

.

a 2

(1 3x) dx

. 0

: . b

: b

a

[ a, b]

Cdx

.1

b

C dx

C dx

a

Cb a

a

-i

Sn

C[ x ]ba

n

f ( xi ) xi

i 1

1 C (b a )( n

b a n f ( xi ) C

xi

xi

n

C xi

C ( x1

x2 ...

i 0 ,1, 2 , ..., n : xn ) C (

i 1

1 1 ... ) n n

n C (b a) n

[ a, b] :

n

b a n

b a b a ... ) n n

b

C (b a)

Cdx C (b a) a

149

4

dx :

. 3 4

dx [x]34

:

4 3 1

3

[ a , b]

k

: b

f (x)

.2

b

k f ( x)dx

k

f ( x)dx

a

a

i 1,2,..., n xi

n

a, b

:

: lim S n

n

lim

n

n

k f ( xi ) x

lim k

n

i 1

n

f ( xi ) x

i 1 b

n

k lim

n

f ( xi ) x

k

i 1

f ( x) dx a

b

b

k f ( x)dx k a

f ( x )dx a 2

4 dx :

. 2 2

4dx 4

2

2 2

dx

4x

2 2

4(2 ( 2))

a ,b

: b

4 4 16

:

f (x)

F (x)

.3

a

f ( x) dx a

f ( x) dx b

: lim

n

n i 1

b

f ( xi ) x

f ( x ) dx

F (b) F ( a)

( F (b) F ( a))

a a

( F (a ) F (b))

b

f ( x ) dx b

a

f ( x ) dx a

f ( x ) dx b

3

2

2 x dx

. 2

150

2 x dx : 3

: 3

:

2 x dx

[

2x2 3 ]2 2

2(3) 2 2

2( 2) 2 2

2(9) 2

2( 4) 2

18 2

8 2

18 8 2

2 x dx

[

2x2 2 ]3 2

2( 2) 2 2

2(3) 2 2

2( 4) 2

2(9) 2

8 18 2 2

8 18 2

2 2

3

10 2

5

10 2

5

: 3

2

2 x dx

2 x dx

2

3 a

f ( x) dx 0 :

-4

f (x)

a ,b

a

x

: n

f ( xi ) x i 1

:

a

n

lim

0

f ( x) dx

F (a ) F (a )

0

a a

f ( x) dx

0

a

3

3x 2 dx :

. 3 3

3x 2 dx [ 3

3

3x 3 ]3 3

[ x 3 ]33 a ,b

: b

b

[ f ( x)

g (x)

-5

f (x)

b

g ( x)]dx

f ( x) dx

a

[33 33 ] 27 27 0 :

a

g ( x ) dx a

: b

n

[ f ( x) g ( x)]dx lim n

a

[ f ( xi ) g ( xi )] x

i 1 n

lim[

n

n

f ( xi ) x

g ( xi ) x ]

i 1

i 1

n

lim

n

i 1

b

n

f ( xi ) x lim n

g ( xi ) x i 1

151

b

f ( x) dx a

g ( x) dx a

: : 1

1

(4 3x 2 ) dx

a) 0

(x

1) dx

x dx

c

x3 3

dx

0

0

b ,a

a

0

0

3 2

0

3

y

C

27 3 3

3 0

x 0

27 9 3

c

B

18 3

f ( x) dx

a

A1 a

:

a ,b

c ,b

f (x) x

b

.6

f (x)

c

A2 c

6

f ( x) dx :

a

a,c

A

4 1 5

b

f ( x) dx

f (x )

x3 1 ]0 3

( a , b)

c b b

y

0

1

4 dx 3 x 2 dx 4 [ x] 10 3 [

0

3 2

1

3 x 2 dx

0

3

b)

1

4 dx

. b

A

f ( x)dx a

a ,b

. c ,b

a,c

f (x)

x

c

b

A2

A1

f ( x) dx

f ( x ) dx

:

a

c

b

A

A1

A2

c

f ( x) dx a

10

f ( x)dx 17

f ( x)dx 12

f ( x) dx

:

0

0

8

y

f ( x) dx : c

8

10

.

b

f ( x) dx

a

: b

y

c

f ( x) dx

f (x ) a

8

10

x

f ( x) dx

152

f ( x) dx c

8

f ( x) dx 0

b

a

10

0

f (x)

x

10

f ( x) dx 0

f ( x) dx 8

10

:

f ( x) dx 8

10

10

f ( x) dx

8

f ( x) dx

8

0

f ( x ) dx 17 12 5 0

a ,b

: b

.7

f ( x) g ( x)

b

f ( x) dx

g ( x) dx

a

a

b

b

g ( x) dx

b

f ( x) dx

a

a

:

n

[ g ( x)

f ( x)] dx lim n

a

[ g ( x)

f ( x)] x

i 1

x

g ( x)

0

f ( x)

0

: lim

n

b

n

[ g xi

f xi ] x

0

[g x

i 1

f x ] dx

0

a

b

b

g ( x) dx

b

f ( x) dx

a

0

b

g ( x) dx

a

a

f ( x) dx a

x2 g ( x) 1 2

x 1

x2 f ( x) 1 4

: b

b

f ( x)dx

. a

g ( x)dx a

: b

(1 a b

x2 ) dx 4 b

1dx a

[ x] ba

a

2

x dx 4

1 3 b [x ] a 12

b

(1 a

x2 )dx 2

b

b

1 dx

x2 dx 2

a

a

[ x] ba

1 3 b [x ] a 6

153

(b a )

: 1 3 (b a 3 ) (b a) 12 1 2 1 2 1 (a ab b 2 ) 1 (a 12 6 3 1 1 / 12 6 1 1 12 6 (b a )

1 3 (b a 3 ) 6

0

/ (b a)

ab b 2 ) (a 2

ab b 2 )

a,b

m, M

.8

f (x)

b

m(b a )

f ( x)dx M (b a) a

:

y

m

f ( x)

b

b

m dx a

y

:

M b

f ( x) dx

M dx

a

a b

f (x)

mb a

f ( x) dx

M (b a)

a

o

a M

m

x

b

. 1

e

.

x2

dx :

0

M

f (0 )

e

0

[0,1]

1

b

f ( x) dx

M (b a)

a 1

e11 0

e

x2

dx 1 1 0

0 1

e

1

e

x2

dx 1

0

e

1

1 0,3679 e

1

0.3679

e

x2

e m

: m (b a )

f ( x)

dx 1

0

154

x2

f (1) e

: 1

0.3679 1

. a c b :

:

c

.9

a,b

f (x )

f ( x ) dx

f (c )(b a)

b

y

a

M

M

y

K

f ( x)

: a

c

x

b

f ( x) dx

M (b a )

b f (c )

b

1 b a

f ( x) dx

b aa

m

c

K

M 1

K

M

f ( x) dx

a

b

b aa

b

f ( x) dx

a,b

b

1

m

a

c

c

:

b

m(b a) a

b :

a ,b

m 0

a

m

f (c)(b a)

: K

f ( x) dx f (c) :

a

f (c)

. [1,4] 4

x 2 dx

. 1

c

[

x3 4 ]1 3

[

f ( x)

64 3

x2 :

1 64 1 ] [ ] 3 3

f ( x)

x

a ,b

x2

63 3

21

: f (c ) c 2 :

c b

f ( x) dx a

155

f (c)(b a)

:

: 4

x 2 dx

c 2 (4 1)

21 3c 2

c2

1

21 c2 7 c 3 f (c ) c 2 ( 7 ) 2 7

f (c ) ,

k

.

7 f (c )

1

7 ,

7

4

[1,4]

7

k

k

f (c)

b a

.

3 7

.1

. 1

3

a ) ( x 3 2) dx ?

e) 3 x dx

1

2

5

2

b) 7 x dx

f ) (x3

?

2

1

4

4

g ) (2 x 2

c ) ( x) dx ? 2

4

3

d)

1 4 x ) dx 2 1 4 x ) dx 8

? ?

3

(2 | x | 3 x ) dx

?

h)

1

x dx 1

1

4

f ( x) dx 5

f ( x) dx

1, 4

.2

1

1 4

f ( x)dx

.

2

1

.

0,2

c

156

f ( x)

x

.3

-10 72

S (t ) v0 t

m sec

6

.

h

.

x2

f ( x)

0

0 ,1

. .

: : -1

: x

:

a, b

f (x )

a ,b

f (x )

x

F ( x)

f (t )dt a

.

F ' ( x)

f ( x)

f (x )

x

x

a,b

a ,b

a, b

: a, x

f (x )

. :

f (x)

h

x

F ( x)

f ( x) F ( x h) F ( x ) F ( x h) F (a ) F ( a ) F ( x ) F ( x) lim lim h 0 h 0 h h F ( x) ax h F ( x) ax F ( x h) F (a ) ( F ( x) F ( a)) F ( x) lim lim h 0 h 0 h h

157

F (x)

f (t )

: F ( x)

F (t ) ax

lim

h

F (t ) ax

h

h 0

x h

x

f (t ) dt F ( x)

lim

f (t ) dt

a

a

h

h 0

b

a

f (t ) dt

f (t ) dt :

a x h

F ( x) lim

f (t ) dt

a

a

h

0

a

x h

f (t ) dt

x h

f (t ) dt

F ( x) lim x

f (t ) dt lim

a

h

0

h

x

h

0

h

x h

1 lim h 0 h

1 h

f (c )

x c

f

: F ' ( x)

b

x

f (t ) dt h

f (x )

x h

f (t ) dt x

h

x c

x h

f (t )dt lim f (c) x

c

f ( x)

x

F ' ( x)

f ( x) : x2 1

.

f ( x) 2

1 t

2

1

: :

g ( x)

x

F ( x)

f (t ) dt F ( x) a

u

x2 1

g ( x)

f (t )

F ( x)

F ( x) F ( x)

f (t ) dt a

1 t

2

1

f ( g ( x)) g ( x)

1 ( x 2 1) 2 ( x 1) 1 2x 2 ( x 1)2 1 2

: (x

2

1 2x 1) 2 1

158

-2

:

:

a, b

f (x )

F (x)

b

f (t ) dt

F (b ) F ( a )

a x

F ( x)

:

f (t )dt a

:

F ' ( x)

f ( x) F ( x)

k

f ( x)

f ( x)

x

a, b

F ( x) k

x

F ( x)

f (t ) dt a

F ' ( x)

f ( x)

x

f (t ) dt

f ( x)

F ( x)

f (t ) dt

F ( x)

k

k

a x

a

a

:

x

a

f (t ) dt

F (a )

k

,

0 F (a)

k

k

F (a )

a x

f (t )dt F ( x)

k

F (a) :

a

b

f (t )dt

F (b ) F ( a ) :

b

x

a b

: sin x dx cos x dx

f (t ) dt

cos x c

F ( x)

b a

a

sin x c

sec 2 x dx cos ec 2 x dx

b

tan x c

f (t ) dt a

cot x c

.

159





1

x 2 dx :

. 0 1

x 2 dx

3

F (1) F (0) [

0

x 1 ]0 3

1 3 1 3

1 3 0 3

1 3

:

.1

. cos t

a) F (t ) sin t t

c) F (t )

.

cos t

1 4 x

2

dx

b ) F (t )

4 x2

0

dx

x

cos y dy 1 y2 1, ... ,0.4 , 0.2 , 0

1

d ) F ( x) F (b)

F ( 0)

sin t dt t 1 2

f (t ) t 2

sin x dx .3

. 0

160

.2

-11 _ .

2

2 x 1 x dx

_ .

4

.

2 x 1 dx

u 0

. x

0

dx

u

2x 1

u

x

u

4

. : F ' ( x)

f ( x)

u

a ,b

g (x)

:

g ' ( x)dx

g (b )

b

f ( g ( x)) g ( x) dx a

du

f (x)

f (u )du g ( a)

2

dx 5 x) 2 1 (3

.

161

:

: u 3 5x ,

du

5 dx

u

:

du 5

dx

x 1

2

1

u 3 5x

u 3 5 1

x 2 u 3 5x

u 3 5 2 3 10 7

dx (3 5 x ) 2

1 1 ( ) du 2 5 2u

u

2

1 5

7

2

2 u

du u2

7

1 5

1 u

7

1 5u

2

7

2

1 5

1 7

1 2

1 14

1

x 2 (1 2 x 3 ) 5 dx

.

:

0

. u 1 2x 3 , x

6 x 2 dx

du

:

u

1 du 6

x 2 dx

0

u 1 2x3

u 1 2 0 1

u 1

u 1 2 1 3

u

x 1 u 1 2x3 1

3

x 2 (1 2 x 3 ) 5 dx 0

u5 1

1 du 6

3

3

1 5 u du 61

1 u6 3 [ ]1 6 6

1 36 [ 6 6

1 ] 6

1 729 1 1 728 [ ] [ ] 6 6 6 6 6 728 182 20.2 36 9

.

x 2 x 3 1 dx

u

.

u

162

F ( x) C

. : u

g (x)

f (u )

F (u )

:

x

f ( g ( x)) g ( x) dx

f (u ) du x

.

1 4x2

. u 1 4 x 2 , du xdx x 1 4x2

:

u

8 x dx 1 du 8 1 1 ( ) du u 8

dx

dx :

1 8

1 du u

1 u 8

1 2

1

du

1

1 u 2 ) C ( 1 8 1 2

1

1 u2 ( ) C 8 1 2

1 u ( ) C 8 1 2

1 (2 u ) C 8

. : u

x4

2 , du

x 3 cos( x 4

4 x 3 dx , x 3 dx

2) dx

cos u

1 du 4

1 du 4

1 cos u du 4 1 sin u C 4 1 sin( x 4 2) C 4

163

1 1 4x2 4

C

x 3 cos( x 4

2)dx :

u

x4

2

:

. 2

a)

cos 3 x dx

?

b)

x x 1 dx

?

1 7

c)

4 3 x dx

?

2 5 (1 4 x) 2 dx

d)

0 5

e)

2 x( x

2

4

3) dx

?

f) 0

g)

cos x sin x dx

x dx x 10 2

?

164

?

?

Integration by Parts

-12

(

)

. : .

.

xdx x2 1

. 1

3x 2 x 3 1dx

. 1

2

x sin xdx

. : g (x) g ( x)

f ( x)

v

f ( x) g ( x) dx

f (x )

u

. (u v)' u ' v v' u : v' u

: v u

(u v )

u v

v u dx u v

u v dx

udv u v

vdu

. a, b

v

. b

v u dx u v a

b

b

b

vu dx

a a

udv u v

b

b

vdu

a

a

a

165

u

(

)

x sin x dx :

.

: u

x

du

,

dx

dv sin x dx , v udv u v

cos x

vdu

x sin x dx

x( cos x)

cos x dx

x cos x sin x C 1

x e x dx :

. 0

: u

,

x

du

x

e dx , v

dv b

e

du

dx : x

e dx

b

b

v u dx u v

,

dx x

v u dx

a

a

a

1

1

xe x dx [ xe x ]10 0

e x dx 0

1

e

0 e

0

e1 e1 e0 1

[e x ]10 e0

. a)

cos d

?

c) x 5 cos ( x 3 ) dx 1

2

b)

x cos 2 x dx 0

?

x e x dx

d) 0

166

?

?

e

x

c

[ a, b] y

y

f (x)

f (x)

: x

. b a ) n

( x

n

[ a, b]

: : x0

a , x1

a

x ,

i 1, 2 , 3 , ........ , n

x2

a 2 x , ... , xi

a i x, ... , xn

b

x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 , ... , [ xi 1 , xi ], ... , xn 1 , xn f ( xi ) x

f ( xi 1 ) x

: n

A

n

f ( xi 1 ) x

f ( xi ) x

A

i 1

i 1

f (x )

a ,b

F (x)

f (x )

: F ( x) C

c

F ( x) C :

f ( x)dx

:( kdx

k dx

a f ( x) dx

kx C a

f ( x) dx

[ f ( x) g ( x)] dx

f ( x) d x

g ( x) dx

[ f1 ( x)

f n ( x)]dx

f1 ( x)dx

f 2 ( x) ...

[ f ( x) g ( x)] dx f ( x) dx g ( x)

)

f ( x)dx g ( x)dx

f ( x) dx , g ( x)

g ( x) dx 0

167

f 2 ( x)dx ...

f n ( x)dx

.

a ,b

n x

f (x) :

f (x)

a

x

. b

n

lim n

f ( xi ) x

f ( x)dx

i 1

F ( x)

b a

F (b ) F ( a )

a

.

b

:( b

C dx C (b a) a b

b

k f ( x)dx

k

a

f ( x)dx a

b

a

f ( x) dx

f ( x) dx

a

b

a

f ( x) dx

0

a b

b

[ f ( x) g ( x)]dx

b

f ( x) dx

a

g ( x) dx

a

b

a

c

f ( x) dx a

b

f ( x) dx

f ( x) dx

a

c b

f ( x)

g ( x)

b

f ( x) dx a

g ( x) dx a

b

m(b a )

f ( x) dx

M (b a )

a b

f ( x) dx a

x b

f (c)(b a )

f (c)

1

b

b aa

f ( x) dx

168

a

)

:

:

a, b

x

f (x )

x

F ( x)

f (t )dt a

F ' ( x)

x

f ( x)

a,b

a ,b

f (x )

. : a, b

f (x )

F (x)

: b

f (t ) dt

F (b ) F ( a )

a

u

g (x )

f (u ) F (u )

:

.

f ( g ( x)) g ( x ) dx u

x

f (u ) du a ,b

g (x) du

g ' ( x)dx

F (x) F ' ( x)

f ( x)

: g (b )

b

f ( g ( x)) g ( x) dx a

f (u ) du g (a)

g (x)

f (x)

f ( x ) g ( x)dx

g ( x) v

f ( x) u

: (u v)' u ' v v' u

169

:

v' u

v u dx u v

u v dx

udv u v

vdu

. a,b

: b

v u dx u v a

b

b

b

vu dx

a a

udv u v

b

( b

vdu

a

a

a

170

v

)

u

-1

. 4

4

a)

1 dx 2 1 x 0

4

3

4

1 4 x ] dx 8

b) [2 x 2

2

3

d ) 4dx

2

e)

f ) ( x 2 x 5 ) dx

x dx

0

1 6

g)

1

0

x3 h) [ 4 2

1 dx cos2 x

1 dx x2

c)

3

x2 ] dx 3

i) ( x 3 x 2 )dx 2

6 2

j) [ x

3

2

2

1 2 x 3x 4]dx 2

k ) sin xdx

x 2 dx

l)

0

1

-2

. a) [sin x 8 x 3 ] dx c)

x(1 2 x 2 ) dx

e)

sin 2 x dx 2 sin x

g)

5

i)

2 x 2 3 dx

k)

(1 x)(1 x) dx x x3

b) [ x 5 d)

4 x4

x3

2 x2

x] dx

sin x dx

(1 x) 2 dx 1 x 3x 2 8 x h) dx x x2 j) dx x3 2 f)

x 3 dx

l ) (3 x 2

.

4 x 1) dx

-3 y

2

(2 x 3) dx

7

1

B

C

1 A 1 0

x

D 2

171

-4

. 2

a) 3 cos(2 x 1) dx

g)

dt (3 2t ) 2 0

2

b)

3x 5 dx

h) x 2

9 x 3 dx

0

2 dx x 2

c)

i)

1 dx ( x 10) 7 1

d ) (3x 6) 3 dx

j ) (1 x 2 ) 3 xdx 0 7

e) x 3 x 4 2 dx

k ) (4 3x) dx

f ) ( x 3 2) 2 3x 2 dx

l)

x 2 dx 4

x3 2

-5

. a)

x cos x dx

b) sin x cos x dx

f ) x 1 x dx g)

x 2 e 2 x dx

0

c) e x cos x dx

h) e 2 x sin 3x dx

2

d ) x cos 3x dx

i)

x 2 e x dx

0

e)

xe x dx

172

173

y

(0,1) (1, 0)

174

x

y

.

(0 ,1)

x

(1, 0)

. . 1

log b x

lim(1 x) x

.

x

0

y

.

f (x)

: f ' ( x)

.

1 x

g ' ( x)

a x ln a

g ( x)

ax

f ( x) ln x

: -1 y ln y

g ( x) ln a

a x

x

x ln a :

y' x' ln a x (ln a)' y y' ln a 0 y 1 y ' ln a y y ' y ln a

g ' ( x)

a x ln a

175

x

-2 f ( x) ln x ln ln( x h) ln x (ln x)' lim lim h 0 h 0 h 1 x h 1 (ln x)' lim ln( ) lim ln(1 h 0 h h 0 x h x h h 1 lim ln(1 ) h 0 x x

x h x h h ) x

x h 1 lim ln(1 ) h 0 x h x

h x

0

h

u

1 u

x h

u

: (ln x)'

1 1 lim ln(1 ) u xu u

1 1 ln lim (1 ) u x u u 1 (ln x)' ln e x

1 log a e x g ' ( x) log a e g ( x)

1 : x

u

e

.1

f ( x) log a x

f ' ( x)

(log a g ( x))'

1 u ) u

lim (1

f ( x)

g (x)

.2

log a g ( x)

: -1 1 log a e x log ( x h) log a x f ' ( x) lim a x 0 h x h h h 1 1 1 x lim log a lim log a (1 ) lim log a (1 ) h 0 h h h 0 0 x h x x h x x h h 1 (loga x)' log a lim(1 ) h 0 x x f ( x) log a x

: (log a x)'

f ' ( x)

u

1 1 log a lim(1 )u u x u

h

0

1 log a e x

176

h x

1 u

x

h h 1 lim log a (1 ) h 0 x x

x h

u

(log a g ( x))'

g ' ( x) log a e : g ( x)

-2

: 1 log a e g ' ( x) g ( x)

f ' ( x) (log a g ( x))' (log a g ( x))' g ' ( x) g ' ( x) log a e g ( x) g ' ( x) g ( x)

(log a g ( x))' (ln g ( x))'

a

:

e

: Exponential -1

. ex

y

y' ex

ex

y

: y

ex

ln y

(ln y )' ( x)'

x ln e y' 1 y

x y' y 1 ex y ' u ' eu : y ' u ' a u ln a :

a 1

x

u

0

a

y

eu

-2

y

au

-3 -4

: y

log a u

y'

u' log a e u

u' log a e u u' y' u ln a

y ' (log a u )' 1 u' u log e a

f ( x) ln( x 2 1) :

.

g ( x)

: g ( x)

x2 1

g ' ( x)

2x

(ln g ( x))' (ln( x 2 1))'

g ' ( x) g ( x) ( x 2 1)' x2 1

1 x

2

1

2x

f ' ( x) (ln( x 2 1))'

177

2x x

2

1

x2 1

:

f ( x) ln( x 2 5 x 4) :

.

: f ( x)

ln ( x 2 5 x 4)

g ( x)

x 2 5x 4

g ' ( x)

2x 5

1

(log a

log a (

x2 1 ) x2 1

x2 1 x2 1 log a

: x2 1 x2 1

x2 1 2 ) x2 1

1 x2 1 log a 2 2 x 1

2x x

2

(ln

x2 1 ) x2 1

x2 1 x2 1

log a

log a (

x2 1 : x2 1

x 2 1 12 ) x2 1

:

1 (log a ( x 2 1) log a ( x 2 1)) 2

1

ln(

x 2 1 12 ) x2 1

1 1 2 x log a e 2 2 x 1

log a e

ln

: x2 1 x2 1

f ( x)

2x 5 x 5x 4 2

1 (log a ( x 2 1) log a ( x 2 1)) 2 1 ( x 2 1)' ( x 2 1)' [ 2 log a e log a e] 2 ( x 1) ( x 2 1) 1 2x log a e 2 x2 1 2x log a e 4 x 1

ln

g ' ( x) g ( x)

(ln ( x 2 5 x 4))'

f ( x) ln

.

log a

g ' ( x) g ( x)

(ln g ( x))'

x2 1 x2 1

ln(

1 x

x 2 1 12 ) x2 1

1 (ln( x 2 1) ln ( x 2 1)) 2

1 1 [ln ( x 2 1) ln ( x 2 1)]' [(ln ( x 2 1)) 2 2 1 2x 2x 2x ( 2 ) 2 4 2 x 1 x 1 x 1

178

(ln ( x 2 1)) ]

2

1

:

y ' u ' eu

y

e( x

2

1)

y ' ( x 2 1)' e x

2

1

2x ex

2

e( x

y

.

1

y

x

2

( 2) x

1

1 x2

: :

1 x

y

y ' u ' a u ln a

1 y ' ( )' 2 x ln 2 x

1)

eu

y

. :

2

2

:

au

y

:

1

2 x ln 2

x2x :

y

. : y

:

x2 x ln x 2 x 2 x ln x

ln y ln y

(ln y )' (2 x ln x)'

y' y

y ' 2(ln x 1) y

y ' 2(ln x 1) x 2 x

2 ln x 2 x

1 x y 10 x :

. :

y

ax

y ' a x ln a

:

y 10 x y ' 10 x ln10 y

. u ' ( x) 3 :

y

e3x : u

3x

eu

y' eu u' e3x 3 y' 3 e3x

. 1) y

log( x 4 1)

2) y

log3 (log 2 x)

179

: 3) y

log x 2 1 x 2 1

:

: : y

log a u u' log a e u

y ' (log a u )' 1) y

2) y

log( x 4 1)

u' u log e a

4 x3 ( x 4 1) ln 10

y'

log3 (log 2 x)

u' u ln a

1 x ln 2 ln 3 log 2 x

(log 2 x)' ln 3 log 2 x

y'

1

1 ln 2 ln 3 x

3) y

log x 2 1 x 2 1

log e ( x 2 1) log e ( x 2 1)

log e x log e 2

2x y'

x

1

ln( x 2 1) ln( x

2

2x 2

x 1 2 1)

ln 2 ln 3 x

ln x ln 2

y

u v

y'

ln( x 2 1)

: b) f ( x) ln 3x 2

a) f ( x) ln sin 3x c) f ( x) ln (5 x e) f ( x)

y

xx

2

6 x 5)

1 ln 3 x ln x

ln( x 2 1) ln( x 2 1)

: 2

1 (ln 2)(ln 3) x log 2 x

d ) f ( x) log10 3x f) y

180

7 2

( x 1) 2 ( x 1) ( x 4) 3 e x

u ' v v' u v2

y

x

y

:

f ( x)

x

g ( y)

y 'x

: y x

f ( x) g ( y)

y ' x x' y

f

g

y' y

y ' x x' y 1

y'x

1 x' y

dy dx

1 dx dy

1 x' y y

.

ax :

: y

ax

x y 'x

log a y 1 x' y

1 (log a y )'

1 1 log a e y

1 log e a 1 y

y log e a

y ' a x ln a

: 1) (arcsin x)'

1

1 x 1 3) (arctan x)' 1 x2

2

2) (arccos x)'

1

1 x2 1 4) (arc cot x)' 1 x2

181

: 1) y arc sin x (arc sin x)' ? dy dx y 'x

x

sin y

1 dx dy 1 x' y

1 (sin y )'

1 cos y

(arcsin x)' 2) y arc cos x (arc cos x)' ? y 'x

1 x' y

x

1 (cos y )'

1 1 sin 2 y 1 1 x2 cos y

1 sin y

(arccos x)' 3) y

arc tan x

x

1 1 cos 2 y 1 1 x2

tan y

(arc tan x)' y 'x cos 2 y 1

1 x' y

1 (tan y )'

1 1 cos 2 y

cos 2 y sin 2 y cos 2 y :

(arc tan x)'

cos 2 y sin 2 y cos 2 y

cos 2 y

1 1 tan y 1 1 x 2 1 (arctan x)' 1 x2 2

182

cos 2 y

4) y

arc cot x

x

cot y

(arc cot x)' ? 1 x' y

1 (cot y )'

sin 2 y

sin 2 y 1

(arc cot x)' y ' x

1 1 2 sin y sin 2 y sin 2 y cos 2 y

sin 2 y

: sin 2 y sin 2 y cos 2 y

1 1 cot 2 y

1 1 x2

y

. y ' 5(arctan x) 4 (arctan x)' 5(arctan x) 4

1 1 x2

y

. y'

log 5 (arctan x) ' (log 5 u )'

y'

arc tan e x '

x

y ' ( 0)

e0 1 e0

(arc tan u )' 1

1 1

log5 (arctan x) :

u' u log 5 e

1 1 x2 arctan x log5 e

.

(arctan x)5 :

u' 1 u2

1 (1 x )(arctan x ln 5) 2

0

ex 1 e2 x

1 2

183

y

arc tan e x :

. 1) y (arc sin x) 3 2) y log 2 (arc cos x)

184

.1

: 1

2

1

x 1

x2 1

x

2x 1 x2 1

2

2 1

x 1

2x 1 x2 1 1 2 2 x 1 x 1

.

.

2

5

x 5

x 2

,

7 x 1

. . : : . : : Pm ( x) Pn ( x)

( Pn (x) ) : Pm ( x) Pn ( x)

A x x1

B x x2

C x x3

N x xn

( 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10

. :

.... C , B , A ) : :

185

x 3 4 x 2 7 x 10 ( x 5)( x 1)( x 2)

: 4x2 x3 4x 2 4x2 x3 4x 2

C ,B, A x 39 7 x 10 x 39 7 x 10

A

B

C

x 5 x 1 x 2 A( x 1)( x 2) B( x 5)( x 2) C ( x 1)( x 5) ( x 5)( x 1)( x 2)

4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10

Ax 2

Ax 2 A Bx 2 3Bx 10 B Cx 2 6Cx 5C ( x 5)( x 1)( x 2)

4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10

( A B C)x2

( A 3B 6C ) x ( 2 A 10 B 5C ) ( x 5)( x 1)( x 2)

: A B C 4 A 3B 6C 1 2 A 10 B 5C

(

39 C

: 4 x 2 x 39 x 3 4 x 2 7 x 10

)

B

1

2

3

1

x 5

x 1

x 2

3, A 2

3x 3 6 x 2 20 x 1 : x2 2x 8

. : 3x 3

6 x 2 20 x 1 x 2 2x 8

3x

A B 4 2 A 4B

A

1

:

4x 1 4x 1 A B 2 x 2x 8 x 2x 8 x 4 x 2 A( x 2) B( x 4) ( A B) x (2 A 4 B) ( x 4)( x 2) x 2 2x 8

3x 2

2

5 2

,

3 2

B

6 x 2 20 x 1 x 2 2x 8

3x

186

5 2( x 4)

3 2( x 2)

: x x0 n

: Pm ( x) Pn ( x)

A x x0

B ( x x0 ) 2

N ( x x0 ) n 3x 2 6 x 2 x3 4x 2 5x 2

:

:

: x3 4 x 2 5 x 2

( x 1)( x 2)( x 1)

3x 2 6 x 2 x3 4x2 5x 2

3x 2 6 x 2 ( x 2)( x 1) 2 A( x 1) 2 ( A B) x 2

A B 3

A

B

( x 2)

( x 1)

C ( x 1) 2

B ( x 2)( x 1) C ( x 2) ( x 2)( x 1) 2 ( 2 A 3B C ) x ( A 2 B 2C ) ( x 2)( x 1) 2

A 2

2 A 3B C A 2 B 2C

:

6

B 1

2

C 1 3x 2 6 x 2 x3 4 x 2 5 x 2

2

1

x 2

1 x 1 ( x 1) 2

: Pm ( x) Pn ( x)

. .

187

Ax B ax bx c 5x 2 8x 9 x 3 3x 2 6 x 4 2

:

: x 3 3x 2

6x 4

( x 1)( x 2

:

2 x 4) x2

2x 4

: 5x2 8x 9 x 3 3x 2 6 x 4

Ax B 2 x 2x 4

.

( Ax B)( x 1) C ( x 2 2 x 4) ( x 2 2 x 4)( x 1)

C x 1

( A C ) x 2 ( A B 2C ) x ( B 4C ) ( x 2 2 x 4)( x 1)

A C 5 A B 2C B 4C 9

A 3

8

B 1 C

2

5x 2 8x 9 x3 3x 2 6 x 4

3x 1 x 2x 4 2

2 x 1

. -1 a)

x x

3

2

2 x 12 2x 6x 5 2

2

b)

4 x 3x 8 x3 2 x 4

c)

2x

4

3

2

8 x 7 x 3x 4 x2 9x 3

-2 a)

2

1 x ( x 1)

b)

4

3x 2 5 x 10 d) 3 x 2x 2 4x 8

3x 6 x 2 x 4x 2 5x 2 3

4

c)

x 1 x ( x 1) 2

3x 2 18 x 36 e) 3 x 6x2 9x

-3 a) c)

(x

2

3x 7 x 1)( x 2

x 2 13x 10 x3 5x 2

2

4)

b) d)

x 3x 4 x4 2x2 1 x5 x4 1

188

log a b

x

ax

b

.

.

f ( x)

ax

log a x

C

. . : e x dx x

a dx

ax ln a

, a 1 , a

ex C

IR

: u

ex

f ( x)

ax

ln a a x dx du du dx x u ln a ln a a du 1 a x dx u dx u ln a ln a 1 1 x ax u a a x dx ln a ln a ln a du

ax ln a

c

189

:

f ( x)

:

2x

3

:

: 2x

3

2x 23

2 x 3 dx 1 x 2 dx 8

1 x 2 8 1 x 1 x 2 dx 2 dx 8 8 1 2x C 8 ln 2

. 3 x 1 dx

1)

?

2)

6 x 1 dx

: ?

: 2)

3x 1 dx ?

1) 3x

1

6x

3x 3

3x 3 dx 3 3x dx

6 x 1 dx ?

3

3x C ln 3

6x 6

1

1 x 6 dx 6

1 x 6 6 1 6 x dx 6

. a) d) g)

3 x 1 dx 1 dx ax 4x 3 dx 2x

b)

2 x dx

e)

2 x 3 x dx

h)

5x

3x 2

x

c) f)

dx

i)

190

a x b dx 2x dx 3x (1 2 x )dx

1 6x C 6 ln 6

ax

y

.

a x dx ?

. . .

y

log a x

x

ay

y

log b x

x

by

: ln dx x ln x x C :

f ( x) ln x ( x

f ( x) log a x

: loga x dx

x log a

IR )

( x , a IR , a 1)

x e

: : log a x dx loge x dx ln x dx

x log a

x C e

ln xdx

x log e

x ln x x C

x e

x(log e x log e e)

x(ln x 1) C

191

a

e

-1

-2 log a x dx

x C e

x log a u dv

log a x dx

1 log a e dx x

log a x , du dx , v

x 1 x log a e dx x

x log a x

x log a x log a e dx x log a x x log a e log a x dx

x log a

x(loga x log a e)

x log a

x C e

x C e

ln 3xdx :

:

: ln 3 xdx

(ln 3 ln x)dx

ln 3 dx

ln x dx

x ln 3 x ln x x x(ln 3 ln x) x x(ln 3 x 1)

: (I )

Substitution

. .

: :

I

a) I

1 e 2

2x 3

u,

1 u e 2

1 du 2 2dx x 2

b) I x 2 I

2du u

u, 2

2x 3

dx 2 1 u e du 4

1 du u

du dx

2 ln u

dx C

du dx

,

1 u e 4

C

dx

du

2 ln x 2

C

192

1 e 4

1 du 2 2x 3

C

f ( x) e 2 x :

:

: e2 x

f ( x) u

2x

du

2dx

dx

du 2

e2 x

f ( x)

e 2 x dx ?

f ( x)dx

du 1 eu du 2 2 1 2x e2 x C C e C 2 2

eu

f ( x) dx e 2 x dx

eu 2

F ( x)

1 2x e 2

C

1 2x e 2 2 f ( x)

F ' ( x)

.

e2x

f ( x) :

x ln x 2 :

: x ln x 2

f ( x)

( x ln x 2 )dx ?

f ( x) dx

x2

u

2 x dx

du

f ( x) dx

1 du 2 1 x ln u du 2x dx

1 1 ln u du u ln u u C 2 2 1 2 1 2 x ln x 2 x C 2 2

.

1 1 u ln u u C 2 2

(

(II )

) 1

e 2 x dx :

. 1 1

f ( x)

e2x

e 2 x dx 1

du

2 dx

1, u 2 x x 1, u 2 x

u

u x

2x

dx

2( 1) u 2(1) 2

1 du 2 2

2

1

e 2 x dx 1

193

1 u e du 2 2

1 u e 2

2 2

3.627

2

.

2 x ln x 2 dx :

f ( x) 1

u du

x

2

2 x dx

1 du 2x

dx

x 1 , u

x2

1

2 , u

x2

4

x

2

4

1 2 x ln x dx 2 x ln u du 2x 1 1

4

2

u ln u u

4 1

4 ln 4 4

ln udu 1

1 ln 1 1

. a)

ln 2 x 3dx

b)

d)

1 3 log dx x

e)

ln x dx 2

1

4 e

2x 4

dx

194

c)

x log dx 2

2.545

x2

5 3x 2

.

?

?

( x 2)

( x 1)

. 7 x 12 dx : x 6x 8

.

2

: 7 x 12 A B dx x 6x 8 ( x 2) ( x 4) A( x 4) B( x 2) Ax 4 A Bx 2 B ( x 2)( x 4) ( x 2)( x 4) A B 7 4 A 2B 12 A 7 B 4(7 B) 2 B 12 28 4 B 2 B 12 28 2 B 12 2 B 16 B 8 A 7 8 1 7 x 12 1 8 x2 6x 8 x 2 x 4

:

2

( A B) x 4 A 2 B ( x 2)( x 4)

: 7 x 12 dx x 6x 8 7 x 12 dx 2 x 6x 8 2

1 8 dx dx x 2 x 4 1 1 dx 8 dx x 2 x 4 ln | x 2 | 8 ln | x 4 | C ln ( x 2)

1

( x 4) 8

ln

ln( x 2)

( x 4)8 x 2

195

C

1

ln( x 4)8

C

5x 9 dx : x x 6

. x2

x 6

2

( x 2)( x 3)

:

: :

5x 9 5x 9 A B x x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3 A( x 3) B ( x 2) Ax 3 A Bx 2 B ( A B) x 3 A 2 B ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( A B) x 3 A 2 B 5x 9 2

A B

5

3A 2B

A

5 B

5x 9

: 3( 5 B ) 2 B

B

9

15 5 B 9 5B B

24 24 5

25 24 5 4 1 5x 9 5 5 x2 x 6 x 2 x 3 1 5x 9 5 dx x2 x 6 x 2 1 ln( x 2) 5

A

5

24 5

ln( x 2)

1 5

1 5

24 1 5 dx x 3 5 24 ln( x 3) 5 ln( x 3)

24 5

1 x 2

24 5

dx

ln ( x 2)

1 5

1 x 3

( x 3)

24 5

dx

C

. a)

x3

x 2 dx 3x 2 x 3

b)

x 2 dx 2 x 6x 5

196

c)

x4

x6 3x 2

2

dx

A

f ' ( x) e x

. . . .

a x ln a

f ' ( x)

1 1 log a e x x ln a g ' ( x) (log a g ( x ))' log a e g ( x)

f ( x)

ex

f ( x)

ax

f ( x) log a x

f ' ( x)

f ( x) log a g ( x) :

. Pm ( x) Pn ( x)

( Pn (x) ) : Pm ( x) Pn ( x)

A

B

C

N

x x1

x x2

x x3

x xn

x x0 n

: Pm ( x) Pn ( x) Pm ( x) Pn ( x)

A x x0

B ( x x0 ) 2

N ( x x0 ) n

Ax B ax bx c

.

2

: e x dx

ex C

,

a x dx

ax C ln a

,

(a

: ln x dx

x ln x x C ,

log a x dx x log a

x C e

: f (x)

ex

f ( x ) dx

e x dx

197

ex

C

IR , a 1)

. f ( x)

.

f ( x)

.

.

2)

x2 x3

f ( x) log x 3

.4 .5

x 1 2x2 x

3)

2x2 3 ( x 2 1) 2

. 1)

5t 7 dt

2)

3)

(2 cos x 5 sin x e x )dx

4)

5)

xe x dx

6)

7)

1

c) y

.6

x3 3 dx x2 cos x sin xdx (

5 ) dx (2 x 1)( x 2)

3x 2 x 3 1dx

1

. a) y

.2 .3

. x 1 2 x x 6

.1

2x2x

y

.

1)

x 2 ) x 2 ln x 1

ln(

ln( x 2 ex

2

1

x 1)

b) y d) y

198

ln(sin x) x

2

–7

199

200

Accounting of area bounded by one curve . . o

y 1 x2

. .

(Critical Point)

x

.

y 1 x2

x

x2

y

x

2x

. : b

f ( x) dx

F (b ) F ( a ) _

a

. y

(

)

x b,x

y

x

a ,b

f ( x) 0 y

f ( x) 0

f (x )

f (x)

x

y

201

f (x)

f (x)

x

. .

a

x 4

y2

:

_

:

y

. x

y2

4

x'

2y

x' 0

y

0, x

4 y

x

0 , 4 y2 2

y

y

2

x y2

0

y

0 0

4 0

x

4

( 4 , 0) x

4

(0 , 2) , (0 , 2)

4 y2

x

2, 2

x

: 2

2

2

2

(4 y ) dy 2 (4 y )dy 2[4 y

A

0

2

y3 2 ]0 3

3

A 2 [(4 2

2 8 24 8 ) 0] 2 (8 ) 2 ( ) 3 3 3

.

16 32 2( ) 3 3 1 2 y 1 x 2

x :

:

x

. y 1

1 2 x , y x 2 y 0 x 0

x

0, y 1

y

0 ,1

x1

1 2 x 1 2

1 2 x 0 2 2 , x2

( 2 , 0) , (

y 1

1 2 x 2

1 2 0 2

1

x2

y 1

(0,1)

2, x

2

2

y 1

2 , 0)

2

2 0

202

x

2

2

1 2 x ) dx (1 2 2

A

1 2 x ) dx 2

2 (1 0

1 3 2 x ]0 ) 6

2( [ x

3

( 2) 6 2 ( 2 )3 0) 2( ) 6 6 6 2 2 2 4 2 ( ) 3 3 A 1.8853 A

2( 2

2(

6 2 6

8

)

x2 3

y

x

: .

: y

x

: x2

3

0, y y

y

3

x

2

3

3

0

x

y

0

2

3 3

(0, 3)

0 , x2 3 0

x

y

y' 2 x y 0

(

x2

( 3 ,0) , (

3 1.7

1. 7

3 , 0)

( 3 , 0)

3

3 ,0) 3 (0 , 3)

[ 3,

3]

y

x2 3 x

2

: 3

A1

3

( x 2 3) dx 3

2 ( x 2 3) dx 0

3

3

2 ( x 2 dx 3 dx ) 0

0

1 1 2 ( [( 3 )3 0] 3 [ 3 0]) 2 ( ( 3 )3 3 3 ) 3 3 2 2 2 ( 3 )3 6 3 (1.7 )3 6(1.7) ( 4.913) 10.2 3 3 3 3.2753 10.2 6.9247

203

1 2 ([ x 3 ]0 3 [3 x ]0 3 ) 3

9.826 10.2 3

x2 3x :

y

x

.

1, 4

: y

x 2 3x

y ' 2x 3 0 x

:

3 , y 2 y

2x 3 , x

3 3 ( )2 3( ) 2 2 9 3 9 , (x , y ) ( , ) 4 2 4

x 2 3x 9 4

3 2

y

9 2

3 9 ( , ) 2 4

x

y" 2 0

y

y

0

x2 3x 0 x( x 3) 0 x1 0 , x2

: 3

A1

3

1 2 2

1 0

A2

1

9 4 0

A

A1

A2

3

(x

A3 1

2

3 x) dx

4

(x

2

A3 4

x

3 9 ( , ) 2 4

( x 2 3 x) dx

3 x) dx

0

3

3

1 3 2 0 1 3 2 3 1 3 3 2 4 A [ x3 x ] 1 [ x3 x ]0 [ x x ]3 3 2 3 2 3 2 1 3 1 3 1 3 2 0) ( ( 1) 3 ( 1) 2 )] [( 33 3 ) A [( 0 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 (3) 2 )] (4) 2 ) ( (3) 3 [( ( 4)3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 ( ) ( 27 9) ( 64 16) ( 27 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 27 27 64 48 27 27 3 2 3 2 3 2 3 2 1 27 64 27 3 27 48 27 65 54 57 48 3 2 3 2

204

(

1 3 0 0)] 3 2

9)

11 9 3 2

22 27 6

49 6

.

x

[ 1,2]

: y

x2

2x

x 1 ,

y

y

x2

2x :

:

x

y ' 2x 2 0 x 1 2x 2 x2

2 x 12

2(1)

1

(1 , 1)

y" 2 0

(1, 1)

x

. y

, x2 2x 0 x ( x 2) 0 x1 0 , x2 2

0

y

1 1

2

x

0 1

[ 1,2]

[ 1, 0]

0, 2

x

x

: 0

2

A

(x

2

1

( x 2 2 x) dx

2 x)dx 0

1 8 1)) (( 4) 0) 3 3 4 4 4 4 8 ( ) ( ) 3 3 3 3 3

(0 (

1 [ x3 3 (

1 x 2 ]01 [ x3 3

1 8 1) ( 4) 3 3

205

x 2 ]02 (

1 3 8 12 ) ( ) 3 3

.

[ 2 ,2 ]

x

y

y

2 y 1

f ( x)

sin x

-1

y

x3 1

-2

. 2 1 1

.

y 2 y 1

x

x 1

206

x 0

y

2x x

2

1 x

-3

Accounting of area bounded by tow curves A

A1

A2

.

A1

A2

A

.

y2

.

x2 1

y1 1 x 2 y1

x

y2

. y2

y1

.

( y1

x

y

y

x 2

y2 )

x2

. : y2 g (x)

f (x )

g ( x)

y1

f ( x)

g ( x)

f ( x)

x

: b

A

b

f ( x) g ( x) dx a

b

f ( x) dx a

g ( x) dx a

207

[ a, b]

_

:

f (x )

b

b

A

[ g ( x)

f ( x)] dx

b

g ( x ) dx

a

_

g (x)

a

f ( x ) dx a

g ( x)

x2

2x x2 :

f ( x)

. : f ( x) 2 x f ( x)

x 2 , g ( x)

x2

2x

x2

x2

x2

x2

0

g ( x) 2x 2x

2x

2

: y

1

0

1 4

2 x (1 x ) 0 2x 0

x1

0

1 x 0

x2

1

0

(1,1)

x f (x)

(0 0 ) (1 1 ) 1

b

1

[2 x x 2

[ f ( x) g ( x)]

x 2 ] dx

[2 x 2 x 2 ] [

0

a

[x2

1 3 ( , ) 2 4 1 1 ( , ) 2 4 1 1 2

3 4

. A

g (x)

2 31 x ]0 3

(1

0

2 ) 0 3

3 2 1 3 3 g ( x) 2 x

2x2 2

f ( x)

2 x3 1 ]0 3

x2 6x 2 :

. y

f ( x) x 2 6 x 2 g ( x) 2 x x2 6 x 2 x2 5x x1

0

2 x

f ( x)

g ( x)

2

x2 6 x 2 2 x

0

x( x 5) 0

1

: (0, 2) (1 ,1)

1

2

x

1

0 , x2 5 (0,2) , (5, 3)

2

3

(5, 3) (1 , 3)

208

f (x )

g (x) g ( x)

b

A

f ( x)

5

[ g ( x)

(2 x x 2

f ( x)] dx

a

6 x 2)dx

0

5

5

( x x2

( x2

6 x) dx

0

5 x) dx

0

[

x3 x2 125 25 5 ] 50 ( 5 ) 0 3 2 3 2 250 375 125 6 6

125 125 3 2

g ( x)

x2 2x 2

x2

f ( x)

:

4x 2

. : :

y

(3 , 5)

5

f ( x)

x2

g ( x)

2

x

x2 x

2 (0 , 2) 0

1

2

2x x1

x

3

4x 2

f ( x)

2x 2

4x 2 2

f ( x)

x2

4x 2 x

2x 2 2

2x 2

x

: b

[ f ( x) g ( x)]dx a

[

2

0

2

x 4x x 2x 2 x ]30 [ 2 x ]30 3 2 3 2 1 1 27 2 9 6 0 27 9 6 0 3 3 9 18 9 9 9

209

3

( x2

g ( x )dx a

3

g (x) 3

b

f ( x)dx a

3

0

6x 0 x ( 2 x 6) 0 0 , 2x 6 x2 3

(2 0) (5 3)

b

g ( x)

(0 , 2) , (3 , 5)

f (x)

A

g ( x)

( x 2 2 x 2)dx

4 x 2)dx 0

.

y

x2

4x

y

x2

-1

.

y

x 5

y2

2x 2

-2

.

y

x 1

y2

2x 6

-3

210

Accounting of rounding things Volume

.

. .

. . . :

y

y

(a ) y

x

f (x)

f (x)

(a )

a

x

x b

y

x b (b)

y y

0

x

x

r

. x

a

x b

211

(b)

x

a

x b a

r2

A( x)

x

y

r

y

: b

n

v

lim Vn

n

n

b

i 1

a

y 2 dx a

[ f ( x)]2 dx a

y

y y

b

r 2 dx

A( x) x

lim

x

c

f ( y) y

d

y

y

x

c

r2

A( y )

x

0

d

x

y

r

d c

: b

n

v

lim Vn

n

lim

n

b 2

A( y ) y i 1

r dy a

b 2

[ f ( y )]2 dy

x dy a

a

: -1

. : x2

x2

y2

r2

y2

r2

x2

212

y2

r2

r

r

y 2 dx

V

(r 2

r

y

x 2 ) dx

r

x

r

(r 2

2

x 2 ) dx

x3 r ]0 3

2 [r 2 x

0

2 [( r 3 2 (

3r 3 3

r

x

r x

0

r3 ) 0] 3 r3 )

3

2r ) 3

2 ( V(

)

4 3

r3

-2

. y

x

mx

:

:

y h

y 2 dx

V

y

0 h

h

m 2 x 2 dx

m 2 x 2 dx

0

m2[

x3 h ]0 3

m2 (

h

o

0

mx H

x

h3 ) 3

h (mh) 2 3 h y

mx

(x

h)

x

(h)

y // r

: y

mx r h 2 r 3 h V r2 3

mh

213

r2

: h 3

r2

V V(

)

1 2 r h 3

x2 a2

x

y2 b2

-3

1

. : . x2 a2 y2 b2

y2 b2

1 2

x a2

1 a

y2

b2 a

2

V

y

y dx a

[b 2 a

a

[b 2

2 0

b2 2 x ]dx a2

2

b 2 x a2 b2 2 x ] dx a2 2 [b 2 x

x

b 2 x3 a ]0 a2 3

b2 a3 b2a 2 b a ) 0 ] 2 [ ] a2 3 3 3b 2 a b 2 a 2b 2 a 2 [ ] 2 [ ] 3 3 4 2 b a 3

x

a

x

2 [(b 2 a

V

4 2 ba 3 y

: 4 a 2b 3

214

a

y

y 1

x2

: y

. :

: y

1

b

x 2 dy

V

0

a

V

1 2 1 1 y |0 2 2

y dy

y 1

2

x y

y 3

.

2x

:

:

y b

3

3

2

V

2

y dx

[ 2 x ] dx

a

0

2

x dx

2 [

0

V

[ 2 x ] dx 0

3

V

3 2

2 x dx 0

x2 3 ]0 2

x

3

0

9

a ,b

y2

x

b x

g ( x)

y1

f ( x)

g (x)

a

:

f (x)

: x A(x)

y y1

(

)

f ( x)

a

b

.

a

b

x

b

( y12

V

x

y2

( y1

y2 )

f (x )

y2 g( x)

x

y1

y 22 ) dx

( y12

y 22 ) dx

a

215

g (x)

.

f (x )

b

b

( y 22

V

g (x)

y12 ) dx

( y 22

a

y12 ) dx

a

y

y

x

x2

: x

. y

y

x

y

(1,1) x2

x

(0 ,0) y1 x 2 y2

x

:

y

f ( x)

y1 , g ( x)

y2

g ( x)

x

0

f ( x) 1

b

( y22

y12 ) dx

( x 2 ( x 2 ) 2 )dx 0

a 1

(x

2

4

x ) dx

0

x3 [ 3

x5 1 ]0 5

1 1 1 1 0) ( 0)] [ ] 3 5 3 5 5 3 2 2 [ ] [ ] 15 15 15 [(

V

x

x

y

0

x

. x

0 y

.1

sin x

y

8

x3

.2 y

216

Accounting the Length of Arc

AB

a ,b

y

f (x)

. M2

.

M1

x2

x1

a ,b M2

M1 H

. M 1 HM 2

y

M 2H

x

M 1H

.

y

M 1 HM 2

B

M2 y

M1 x

.

H

A a

x1

x2

x

b

: M 1 HM 2

: (M 1 M 2 ) 2 M1 M 2

( x) 2 ( x) 2

( y) 2 ( y) 2

217

: f (t ) x

x t f ' (t )

y t y g (t ) t

,

g ' (t )

,

t

M 1M 2

( x)2

( y)2

M 1M 2

[ f (t )]2 [ g (t )]2

t ]2 [ g (t )

[ f (t )

t ]2

t

: L lim n

n

[ f (t )]2

[ g (t )]2

t

i 1

b

[ f (t )]2

L

[ g (t )]2 dt

a

x2

:

y2

x r cos t y r sin t

.

: 0 t

. x2

P

r2 :

y 2 dt

y

0

x

r sin t , y

r cos t r

( r sin t ) 2 (r cos t ) 2 dt

P 0

2

P

2

2

o

2

r sin t r cos t dt 0

r 2 (sin 2 t cos 2 t ) dt

P

r 2 dt

0

P

[ r t ]0

0

(r

r 0)

r

2 r

218

t

r cos t

r sin t

x

: a

x

f (x) -1

y

x b

b

L

1

2

f

( x ) dx

:

a

0

.

x

y

4

f ( x)

x

3

f ( x) b

4

1

L

f 2 ( x) dx

a 4

0

0

9 1 x dx 4

4

0

L

: 1

x2

3 2 x : 2

f ' ( x)

1

3 1 ( x 2 ) 2 dx 2 4

4 u du 9

1 1 2

3 2

1

4 2 u du 90

u 1

3 2 4 0

4 u 4 2 8 [ ] 04 [u ] [ u 3 ] 04 1 9 9 3 27 1 2 8 9 3 4 8 9 x ) ]0 [ (1 [ (1 4) 3 1] 27 4 27 4 8 (10 10 1) 27

du 8 ( 10 3 27

a

y

y

dx

1)

x

b

9 x 4

9 dx 4 4 du 9

-2

f ( y)

b

f 2 ( y ) 1 dy

L

:

a

3

.

1

y

4

219

x

f ( y)

y2 :

: f ( y) y

3 2

1

3 2 , f ( y) y 2 4

b

f 2 ( y) 1 dy

L

1

a 4

1

4

9 y 1 dy 4 3 2 4 1

4 2 [u ] 9 3

8 [ (10)3 27 8 [ 1000 27

1

( u

1

3 2 2 y ) 1 dy 2

4 du 9

u

8 9 [ ( y 1)3 ]14 27 4 (

9 3 1) ] 4

13 8 ( )3 ] [10 10 4 27

du

9 dy 4

dy

4 du 9

2197 ] 64

1 x

.

9 y 1 4

y

2

t3

x t2

f ( x)

1 2 x 2

.1

3

.

0

x 1

220

.2

b

f ( x) dx

F (b) F (a)

a

x b

. y

a

y

x

a ,b

f ( x) 0

f (x)

x

x

y

f (x) f (x)

f ( x) 0

f (x)

x

. :

g (x)

: b

b

A

b

f ( x) g ( x) dx

f ( x) dx

a

g ( x) dx

a

a

f (x )

: b

A

b

[ g ( x)

f (x)

f ( x)] dx

b

g ( x)dx

a

g (x)

f ( x)dx

a

a

x b

x

y

a

f (x)

x

. x b a

A( x)

r2

x

y

v

lim Vn

lim

n

n

n

b

b

y 2 dx

a

a

y x

y

b

r 2 dx

A( x) x

i 1

r

x

r

d

[ f ( x) ]2 dx : a

d

y

x

c

A( y )

c

r2

: b

n

v

lim Vn

n

lim n

A( y ) y i 1

b 2

r dy a

b 2

x dy a

221

[ f ( y ) ]2 dy a :

f ( y)

y

b

[ f (t )]2

L

[ g (t )]2 dt

:

a b

L

1 f '2 ( x) dx

(1

1 f '2 ( y ) dy

(2

a b

L a

y2

y

. 0,2

x

y

.1

x 5 0

.2

sin x

. y

.

6x

x

.

x2

y

. x

x

2

y

,x 0

4x

x2

y

y

x2

y

x2 2 x

.3

4x 3

.4

x3 6 x 2 8 x

.5 .6

sin x cos x

. 0, 4

y

x

1 2 x 4

.7

2

. x2

y2

2

x2

y

.8 x

. 2,6

y

x

1 x 1 2

.9 .

2

. .

2

x

x 5

222

2

y y

x 4 .10 4 4 x 3 3

.11

223

.

224

IR

S x1

f

x2

.

f ( x1 ) f ( x2 )

P( x

xi )

f ( xi )

x1 , x2 ,... xn

. k2 f (x)

k1 f (x )

x

k2

k1

.

xi

E ( xi )

2

2

, E(x

xi )

xi f ( xi ) i 1

. xi 0 f ( xi ) 0.5

1 0 .5

225

xi

E ( xi )

2

f ( xi )

: _ . P( x

x1 , f ( x1 ) , x2 , f ( x2 ) , ... , xn , f ( xn )

xi )

. .

F ( x)

P( X

(

_

f ( xi )

)

x) f (x )

x

:

k2

k1

x

k2

P (k1

x

k2 )

f ( x) dx k1

: P (k1

k1 x

k2 )

(

k2

)

x

F (k 2 ) F (k1 )

( Expected Value)

x

x

:

E (x ) n

E ( x)

x1 f ( x1 )

x 2 f ( x 2 ) ......... x n f ( x n )

xi f ( xi ) i 1

: S

2

S2

2

n

xi

x E (x )

x

x

E ( xi ) f ( xi )

i 1

226

x

:

. . 0 .8

_ _

0 .2 x

( Expected Value)

. :

f

: :

xi 1 10

f ( xi ) E( x) xi f ( xi ) 0.8 1 0.8 0.8 0.2 10 0.2 2 0.1 1.2

2

(10 1.2)2

2

S 2 xi E( x) f ( xi ) 4.84 0.8 3.872 77.44 77.44 0.2 15.488 S 2 19.360

xi E( x) ( 1 1.2)2 4.84

227

S 4.4

100

:

60

30

8

2

0

1

2

3

x

. ( 2)

228

100

.

160

.

. . 7

. .

(

)

(

) (m n)

n

m

. n

n m

P

n

n

m

q

m

. F

(

) T

(

)

.

229

P( x

P m (1 P )1

m)

m

P m q1

m

q 1 p

.

P n

m

P( X

m)

. x

q

n

n Pmqn m m B (m , n , p)

15

4 i 3

S

n pq

0 .4

:

P

0.4 ,

q

15 (0.4) i (0.6)15 i

i

m 5 ,

0.6 ,

15 (0.4) 5 (0.6)10 n Pm qn m 5 m 15! 0.01024 0.00604661760 5!(15 5)! 22.3098876 0.1859 120

P (3 m 4 )

n:

3

4

: P( m 5)

0 m

np

. .

P

n 15

360360 0.00006191 120

(315 )(0.4) 3 (0.6)15

3

(415 )(0.4) 4 (0.6)15

4

15! 15! (0.064)(0.6)12 (0.0256)(0.6)11 3!(15 3)! 4!(15 4)! 2730 3270 (0.000139264) (0.0000928512) 6 24 0.38019072 0.3036 0.063365 0.012650 6 24 P(3 m 4) 0.076015

4

200

. . .

230

:

x p xq n n

1) b( x , n , p )

x

2) lim b( x , n , p ) n

x

3) P ( x , )

x

e x!

P n

e x!

.

P( x

m)

m

e

m

m!

np

n

n

p

2 P( X

0 .1 , n 5

m)

n P mqn m

m

.

P

P( X

m)

e

x

m!

m

:

. e 2.71828 .

231

np

m

200 :

.

3

0.01

. n

(

200

)

:

: P( X

P (3)

m)

P

m

e

n p 200 0.01 2

m!

(2.71828) 3! 0.13533 8 6

2

1 8 (2.71828) 2 2 6 1.08268 0.1804 6 3

1 8 7.3890461584 6

: P( X

m)

n

200

p

0.01

P(3)

P( X

n Pm qn m q 3)

m

0.99 200 (0.01) 3 (0.099) 200 3

200! (0.01) 3 (0.099)197 3! 197!

3

0.1814

.

232

0.01

:

: P( X

t

e

m)

( t)m m! t

m

.

t

60

: . :

60

,

4

,

m

t

P(m

4)

e ( t) m!

m

1 81 20.0854 24

3 60

t t 3

e (3) 4!

4

1 20 1 60 3 20 3

(2.71828) (3) 4!

4.03278 24

0.168032

233

4

1 81 (2.71828) 3 4 3 2 1

. .

: : 100

: :

300

234

(

) .

. y

A SA

5

B SB

10

xA

y

xB

x

50

C SC

D

10

SD

xC

50

xD

10

x

80

y F E SF SE

5

10

xE

50

xF

x

80

235

(

)

B

A

D F

C E

: . . f ( x)

1 s 2 f ( x) s

e

f (x)

1 x x 2 ( ) 2 s

N ( x , x , s) x

3.14189

e 2.71828

.

f (x)

x

. .

236

: 1980

46

.

. 46

(

gr ) mil

.

46

. (

1.2

1.2

)

4 46

8

1

1

0.870 0.2

.

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

0.0

0.5

0.1

1.5

237

2.0

2.0

3.0

0.174

D , C , B, A

E

.

A

B

C

D

238

E

:

y

y

f (x)

. x

x

x

x2

x1

s

. . f (x)

z

x x s

x ? s ? 3

2

1

0

1

239

2

3

x

50

x 53

.

41

x x s

z

x

x

x

41

5

S

x

5

53

x

x2

x

:

x2 x2

f ( x1

x

x2 ) x1

x2

1 f ( x)dx x1 s 2

e

x1

x1

1 x x 2 ( ) 2 s

x2

N ( x , x , s)dx x1

x1

x

x2

data

. x

z

x x s

. z z

.

240

. z2

f ( z1

z

z2 )

1 z1 s 2

e

z2 2

z

x x s

z2

dz

N ( z , 0 ,1) dz z1

z1 x

z

x2

x

z

0 z2

x1

.

x

z

z2

z

z1

. . . z

.

P (0 0

z

241

z

z)

z

0 z1

z

242

(1)

(2)

0

z1

z

243

1.5

z 1.56

z

0.06 0

z

0.9406

P (0

:

Z 1.56) 0.9406

z 1.56

(

952

)

:

952

.

956

.

952

: z1 z2

.

x x 952 952 4 s 956 952 4 1 4 4 1 P (0

0 4

z

956

952

(2) 956

:

952 956

P (0

z 1)

952

P( z2 ) P ( z1 ) P(1) P(0) 0.3413 0 0.3413

0.3413

z

x

z 1) 0.3413

x

952

1

0

:

70 84

:

z

0

34.13

x

x

4

54

8

. 244

. z1 z2

:

54 70 2 8 84 70 1.75 8

P (0

z 0)

P (0

z

x 54

:

x 84

(2)

: P( 2

:

2) 0.9772

z 1.75 ) 0.9599

. P( 2

z

0 ) P (0

z 1.75) 0.4772 0.4599 0.9371

x z

956

54 2

x 0

70

84 1.75

948

.

245

N ((

))

n

N

.

n ?

12

( )

.

. . . .

:

.

: .

. . .

( (

) )

.

_ _

:

_

:

_ _ _ _

.

x

246

x1 , x2 , ... , xn _

. f ( x1 , x2 , ... , xn )

f ( x1 ) f ( x2 ) ... f ( xn )

5

7

.

5

:

(

)

. x3

x1

x2 , x1 :

(1)

x2

(1)

x3 x3

x2 , x1

: f ( xi )

(1) i 1, 2 , 3

(

5 xi 5 1 ) (1 ) 12 12

p

5 12

.

xi

x3

x2 , x1

: f ( x1 , x2 , x3 )

P ( x1

x1 , x2

x2 , x3

x3 )

.

N

25

.1 .2 .3

247

n

xi

i 1

(

?

n

.

data

:

2

3

4

. . (

) . .

(

x

)

.

x

.

x

248

)

: x1 , x2 , ...., xn

f (x)

: x

x1 1 n

f ( x)

x2 ... xn 1 ... n

E ( xn ) 1 n

U ( xn )

Sn

2

E (S )

xn n

1

S2 2

S2

xn

x )2

( xi

n 1

i 1

2

2

1 n

xn

n

xi i 1

. : f ( x)

1 3

,

: x 1, 2 , 3

.

:

x

.

:

.

:

x

.

V (x )

E (x ) :

: x f ( x)

1 1 3

2 1 3

3 1 3

:

249

: 3

E ( x)

x f ( x)

x 1 3

1 (1 2 3) 2 3

1 2 14 (1 2 2 33 ) 3 3 x 1 14 2 E ( x 2 ) ( E ( x)) 2 22 3 3

E(x2 ) 2 x

x 2 f ( x)

:

:

(1,1) (1, 2) (1, 3) (2 ,1) (2 , 2) (2 , 3) (3 ,1) (3 , 2) (3,3) x

1

1 .5

2

1 .5

2

2 .5

2

2 .5

3

: x f (x )

1 1 9

1.5 2 9

2 3 9

2.5 2 9

x

3 1 9

:

x

y 3 9 2 9 1 9

1 1.5 2 2.5

3

x :

x

E(x)

E ( x 2) 2 x

E ( x)

xf ( x ) 1 x 2 f ( x ) 12

V (x) E(x )

1 2 1 .5 9 9

2

3 2 1 2 .5 3 9 9 9

18 9

1 2 3 2 2 1 (1.5) 2 22 (2.5) 2 3 9 9 9 9 9

E ( x 2 ) ( E ( x )) 2

13 4 3

1 3

2

250

2 13 3

: 2

V (x )

x

n

2 3 2

1 3

8

.

.1

6,4,2

x

.

251

x

S lim n n

N n N 1

N

)

S n

Sx

x

?

.

N n N 1

S n S

(

n

x1 , x2 , ... , xn 2

x1 , x2 , ... , xn Sn

x1 x2 ... xn

: 2

n 2 x

N

N

2

n N n N 1

x

x

Z

.

x M n

(1)

n

.

(1)

.

252

71

:

80

.

9

9

. 80

. x

: P( z

80)

x

80 71 P ( z 3) 9 n n 1 P( z ) 3 1 0.9987 0.0013

P( z

: P( z

80)

:

n 1

80 71 P ( z 1) 9 1 P( z ) 1 1 0.8413 0.1587

P( z

x

: .

253

(2)

P (z )

-1

250 gr 20 gr

n 16

.

254

240 gr

B

A

n

x

.

x

: n P x (1 p ) n x

f ( x)

x

x

0 ,1, 2 , .........

f ( P)

.

P

x

x1 , x2 , ..., xn

n

x n

x

nP x n

P

x

P P x

V ( x)

n pq

. f (nP)

p n p (1 p) n (1

n nP

p)

n

E ( x)

p 2

z

E ( P) P V ( P) x np n pq

P

np

P 1 2 P 0, , , .....,1 n n ( Expected Value)

: P pq n

p(1 p) n

p p pq n

:

255

x

.

P

x

n 6

.

P

0 .3

: P

. n 6

. f ( x)

P( X

x)

P

B( x , 6 , 0.3)

x

0.3

x :

x 0 ,1, ..., 6

: x f ( x)

0 0.1176

1 0.3025

2 0.3241

3 0.1852

: P( P

0) P ( X 1 ) P( X 6

P( P

x ) n

P( P

0)

1

4 5 0.0595 0.0102 5 4 3 2 1 , , , , ,0 6 6 6 6 6

6 0.0007

P

0.1176

1) 0.3025

:

P( X

x)

: 0

P

1.6

f ( P ) 0.1176

0.3025

2.6 0.3241

P

3.6

5.6

1

0.0595

0.0102

0.0007

3

P( P

0.6)

P ( x 3.6)

P( x 3)

B( x , 6 , 0 , 3) 0.9294

:

x 0

P( P

0.27)

P( x 1.62)

(

P ( x 3) 0.1176 0.3025 0.4201

:

.1

) n 200

. .

P

0.7

0 0.05

P

_

0 .6

P

_

.

256

.

. x

f (x)

. x

F (x)

. Expected value

: E ( x)

n

xi f ( xi )

x

x

i 1

V ( x)

n

S2

E ( xi )) 2 f ( xi )

( xi

i 1

P( X

m)

P m (1 P)1

P( X

m)

n Pm qn m

x np

,

m

m

S

n pq :

: P( x

m)

m

e m!

x

( z

x

2 x

)

N

n

2

n

(x)

n

. :

f ( x)

1 e 2

1 x x 2 ( ) 2

:

257

. b

f (x )

a

b

P (a

x b)

b

f ( x) dx a

a

P

1 e 2 n

1 x ( 2

)2

: x

q 1 p

x

V ( x)

n pq

E ( x)

x : n

np , P

P

: E ( P) z

P ,

f ( P)

P P pq n

,

V ( P)

n nP

P n P q (1

P)

pq n z

x

. . : . . f ( x1 , x2 , x3 , .......... , xn )

x

f ( x1 ) , f ( x2 ) , .......... , f ( xn )

E ( xn )

f (x )

.

S2

x 2

258

V ( xn )

1 n

.1

: . . .

.2

0 .1

P

n

. 50

400

.3

500

8

10

.4 x 2s , x s , x s , x

x 2s x

s

. h

x

(x

s , 0.6 h)

0 .6 h

x s

.

0.15h

0.15 h

0.1354 h

0 .6 h

h

x 2s , x 2 s

0.6067 h

. . 8

.5

6

. 8

.

25

6

. 7

8

6

1 2

.6 :

259

. 5

. 6

.

3

.7

25 0 .5

. 25.9

.

25.2 25

. 24.07

1000

. 24.56

. 1 n

n

xi i 1

1 n

n

( xi

x) 2

x1 3 x2

. 1 n

n

( xi

3x1 2 x3 8 x2

)

i 1

.8

xn , ... , x2 , x1

x

i 1

x1

x3

x2 x4

2

.9

x 2

x1

x3

.10 103

x

112

104

108

: x

. V (x )

.

.11

90

25 2100

225

n 50 A

P

A

100

.12

56%

A

. A

E (x )

60%

12

0 .4 n

200

0 .4

.

260

.13

261

262

(

)

(

)

. . : . (countable) (

) .

.

(

)

: : 12 8 :

. 3

263

30 :

1000

100

: . 45

. ( (

30 :

)

)

: (

) .

.

:

-

S

{t

IR : t

t}

0

t

. :

-1 . -2

.

r

.

-1

. . -2 . .

4

-3

264

(5)

(1) 5 2

.

.

: : {ei }

i 1, 2 ...n

.

S {e1 , e2 , ... en } i 1 , 2 , ... n

. n

P ({e1}) P ({e2 }) ... P({en })

P (ei ) 1 i 1

265

,

0 P({ei }) 1

.

: .

1 4

.

S {a , b, c, d} P (a )

P (b)

P (c )

P(d )

1 4

: :

.

R

(

W

-1

) 0.30 0.26

B

G

-2

. .

(5)

1

2

3

4

5

6

7

9

8

7

3

10 -3 (5)

.

266

A 1

( 60

)

3 3

1 60

60

B

C

1

A

S

S

A

S A

. (

)

. x

.

z

y x

y, x :

( 0,3 )

x

: 1 x

267

2.5

A

A S

: :

A B

P ( A)

2.5 1 3 0

1.5 3

1 2 A

0

2

1

2 .5

x

3

B

S

: 2

R

.

r

a 2

a

: : S

: r

a 2

A

2 1 2 4 3 r 3 a3

P ( A)

4 (1)3 3 23

6

B A B A

d

-1 0

A 3

.

2

B 0

3 -2

.

268

(20) 5

: 4

15 .

:

.

1600

2500

70%

80%

: :R

.

:M

.

:F

. :

. : .

269

: M M

.

R

R R

R

P( M R) P( R)

PR ( M )

PR (M )

. B A A

PB ( A)

S

P( A B ) P ( B)

: P ( B)

.

0

B

. . PB ( A)

A

P(A

B) , PB (A )

A

P (A

B)

PB (A)

A

P (A

B)

PB (A)

A

P (A

B)

B P( B)

P(B)

PB (A)

P(A B) P(B)

B

: P( A

B)

P ( B ) PB ( A)

P( A

B)

P( B) PB ( A)

-1

: :

P( A) P(B) PB ( A) P(B) PB ( A) PA ( B)

270

P( A B ) P( A)

(

)

-2

PA (B )

B

PA (B)

B

A P(A)

P(A)

PA (B)

B

PA (B)

B

A

PB ( A) P ( B) : P( B) PB ( A) P( B ) PB ( A)

PA ( B )

-3

Bn , .... , B2 , B1

.

PA (Bi )

.

PBi ( A) P(Bi )

P( A Bi )

i 1, 2, ..., n

n

P(B1) PB1 ( A) ... P(Bn ) PBn ( A)

k 1

P(Bk ) PBk ( A)

A P ( B1 ) P( B 2 )

B1 A

B2

P( B n )

A

Bn 70%

:

50%

:

.

60%

:B B

PB (A)

271

:A A

: P ( A) PA ( B) P( B)

PB ( A)

PA (B)

A

0 .5 0 .7 0 .6

0.5833 58.33%

B

0 .7

58.33%

P(A)

B

0 .5

.

B A B

PA (B ) PA (B )

. PB ( A)

A

B P( B )

0.6

:

PB ( A )

A

A B A

272

B A A

(A

B

A

B

B)

S

.

B

A

B

.

A

P( B) PB ( A)

. B

A

B A

( A B)

. . . . B A P( A

S B)

:

B

P(B)

P( A

P( A

PB (A)

A

B)

B)

P( B) PB ( A)

273

P(B) PB (A)

P( B) PB ( A) :

C B A

. P( A)

PA (B)

A

P( A

P( A

B

B C)

PA B (C )

B

C

C)

P ( A) PA ( B ) PA B (C )

. B3

B2 , B1 :

. :

: :V

. i=1,2,3 ... ( -i) Bi

. 35%

22%

: Bi

30%

B1 B2 B3

B1

33.2%

35

B2

46.5%

22

B3

20.3%

30

S

(i 1,2,3) Bi

. Bi -1

. 3

Bi

V (i 1,2,3)

S

B1

B2

B3

Bi i 1

3

V

( Bi

V).

i 1

274

S

-2

: 3

P (V )

3

( Bi

P

V)

3

P( Bi

V)

i 1

i 1

i 1

P ( Bi ) PBi (V )

P( B1 ) PB1 (V ) P( B2 ) PB2 (V ) P( B3 ) PB3 (V ) 0.332 0.35 0.465 0.22 0.203 0.3 0.1162 0.1023 0.0609 0.2794 27.94%

S

P( Bi )

i 1,...n

Bn ,...., B2 , B1

0

A

:

:

P(A) n

P ( A) i 1

P( Bi ) PBi ( A)

(Baye's)

Bi

A i 1,...n P ( Bi ) 0

S i 1,...n P( A)

: PA ( Bi )

P ( A Bi ) P ( A)

P( Bi ) PBi ( A) k 1

B2

B1

(Bayes)

:

n

P ( Bk ) PBk ( A)

B , B1 B

n

2

B2

S

: PA ( B)

0

P( B) PB ( A) P( B) PB ( A) P( B) PB ( A) n

. C B A

40% 30% 30% 5%

2

: .

2% 4%

: (a

.

275

(b

C

. B

.

(c

PA ( D ) 0.04

D

0.3 0.04

A

P( A )

0.3

P(B)

0.3

0.96

D

PB ( D) 0.02

D

PA ( D )

0.3 0.02

B

0.038 3.8%

P( D)

PB ( D ) 0.98 D

P (C )

0.4

PC ( D) 0.05 D

0.4 0.05

C PC ( D ) 0.95

PD (C )

PD ( B)

P( D C ) P( D)

P (C ) PC ( D) P( D)

D

0.4 0.05 0.038

0.02 0.038

0.526

:

b

:

c

52.6%

P ( D B) P( B) PB ( D ) 0.3 0.98 0.3 0.96 0.3 0.98 0.4 0.95 P( D) P( D) 0.294 0.294 0.3056 30.56% 0.288 0.294 0.38 0.962

6

. .

6

1000 .

276

-1

B A

P( A

B)

A

P ( A) P ( B )

B A

. B

.

B

A B A

A B

.

B A :

. P ( A B)

P( A) P ( B )

S B A

.

B A

S PB (A)

P( A)

P(A B) P(A B)

P(A) P(B) P(A B)

B

A

: P( A

B)

B A :1

: )

P( A) P ( B ) (

B A

B P( A

P( A B) 0 B) P( A) P ( B ) (

A

:2

) :

:

. . .

:H :B

. :

:

277

P( B H ) P ( B)

: PB ( H ) P( B

H)

PB ( H )

P( H )

P( H ) P( B)

(n 2) , An ..... , A2 , A1

:

. : :1 B A A

B

B A

A

B A,A B,A B

B A .

b a B

:

B

A

B B A P( A B) a b P( A B) a(1 b) a A P ( A B) b(1 a ) P( A B ) (1 a )(1 b) 1 a b 1 b 1

C B A :2

: P( A B )

P( A) P( B )

P( A C )

P( A) P(C )

P( B C )

P( B) P(C )

P( A B C )

P( A) P ( B) P(C )

.

: : -a -b

. . :B

.

. . (

:

A

) :

P( B)

.

1 1 2 2

1 1 2 2

B A

278

1 2

P( A)

P(A B)

1 2

P (A) P(B)

(a 1 4

1 2 W

1 2 1 2

W

1 2

b

1 2

b

W

1 2

b

(b

: 1 1 1 2 1 , P ( A) 2 3 2 3 2 P ( A B) P( A) P( B)

P( B) 1 3 1 2

1 2

W

B A

.

W

1 2

b

2 3

b

1 2

W b

:

: A A

B B 0.12 P ( A B) ? P ( A B) ? P ( A B) ? ? 0 .6

:

? ?

P ( B ) 0.6

P ( B ) 1 P ( B ) 1 0.6 0.4 P ( A B) 0.12 P ( A) 0.30 P( B) 0 .4 P ( A) 1 P( A) 1 0.3 0.70

: P ( A B)

P( A) P ( B )

0.3 0.6

0.18

P ( A B)

P( A) P ( B )

0.7 0.4

0.28

P ( A B)

P( A) P ( B )

0.7 0.6

0.42

.

279

:

0.25

5 , 3, 2

30

Ak

k

A3 , A2

A5

:

(

)

. :

(

)

. : .

. :

(

)

. : P ( B)

S B A

0

B

A

PB ( A)

P( A B) P( B)

. : B A

: P( A

B)

P( A) P( B) (

)

280

.1 : : : : L

.2

. 8:50 8

.3

8:45 8:30 8:15 5

.

.4

0 .3

2

.

5

R

R 3

.5

. .6

: -1 -2 (1)

0.088 :

0.002

0.05 .7 : (a

.

(b

.

281