Matematiska metoder inom elläran: exempelsamling

Citation preview

MATEMATISKA METODER •• INOM ELLARAN

(a.k.)

Exempelsamling

KTH

V.T. 1993

Till lä( ö )saren: Under mina år som föreläsare och övningsassistent har jag, speciellt under och efter övningarna, många gånger hört kommentaren: "Det ser väldigt lätt ut när du löser talen vid tavlan", eller efter en misslyckad tentamen: "Jag förstod allt, men jag kunde ändå inte lösa talen". Förklaringen är egentligen mycket enkel. Det räcker inte med enbart kunskap i ämnet utan det krävs också f~rdighet som man inte skaffar sig genom att sitta av lektionerna eller titta på färdiga lösningar, utan den enda vägen som finns är: att

r ä k n a, r ä k n a

och återigen

r ä k n a

s j ä l v.

Eftersom kompendiet och exempelsamlingen skall bilda en enhet, så skall man ha gått igenom de flesta av exemplen i kompendiet innan det är dags för övningstalen och i anslutning därtill gamla tentamenstal. Det kan också påpekas att svårighetsgraden av vissa övningstal ligger nära tentamenstalens. l7ppläggningen av exempelsamlingen är sådan att efter textavsnittet (på vitt papper) kommer lösningar (på gsiiat pappH) till en del angivna tal och därefter svaren med eventuella ledningar (vitt papper igen).

Lycka till !

Franz Cech

nyupplaga 1989, första, reviderade upplaga 1990 andra, reviderade upplaga 1991 tredje, reviderade upplaga 1992 fjärde, reviderade upplaga 1993

1 Differentialekvationer Lineära differentialekvationer av 1:a ordningen. 1-1 (L) Bestäm, för t

> 0, den lösning till differentialekvationen (1

t2

-

1

+ t 2 )y'(t) + --y(t) + 2 = 0, t

som uppfyller villkoret y( 1)

= 0.

1-2 (L)

Bestäm allmänna lösningen till (1

+ t 2 )y'(t) + ty(t) + t 2 = 0.

1-3 (L) Bestäm, för t > 0, den lösning till differentialekvationen y

för vilken y(2)

2

'()

y(t)-t +l t = ---t

= 3.

1-4 (L)

Sök den lösning till I

y (t) för vilken y( -2)

2f

= 1 + t2

( 1 - y( t))

= 5.

1-5 Bestäm allmänna lösningen till

y'(t) - 2ty(t)

- 1.1-

= t.

1-6

Bestäm den lösning till

, 1 y(t)+y(t)= l+t2 för vilken y(2)

= 3.

Separabla differentialekvationer. 1-7 (L) Bestäm allmänna lösningen till

2t(l - y) 1 + t2 .

dy dt

1-8 (L) Bestäm en entydig lösning till ( 3

t

som uppfyller y (

-

)

dy

3

t dt = y - y '

!) = {

1-9 (L) Lös differentialekvationen

y

'(t)

= -t---2Jy2 - 1

då t > 2.

1-10 (L) Bestäm den partikulärlösning till

1 + 2y t2

dy

dt = ty 1 för vilken y( 0)

= -1.

1-11

Lös differentialekvationen (y+l)2dy+t3=0.

dt

- 1.2-

1-12

Bestäm den allmänna lösningen till 2 dy (4t-t )--y(t)=0 dt

då t

> 4.

y(0)

= 0.

1-13

Lös differentialekvationen

Existens och entydighet. 1-14

Konstruera oändligt många lösningar (eller åtminstone mer än en) till problemet

dy dt

= 3tylf3.

a) Hur många lösningar går genom (0, 0) ? b) Hur många lösningar går genom (2, 1) ? Skissa de olika lösningarna. 1-15

(L)

Lös differentialekvationen

dy - 3 2/3 dt - y ' då a) y(-2) = -1. Diskutera antale~ lösningar. b) y(0) = 0. Ange åtminstone 2 lösningar. 1-16

Låta vara ett godtyckligt reellt tal. Konstruera oändligt många lösningar till dy ~

dt

= 2y IYI

genom (a,0).

- 1.3-

Picards sats. 1-17 (L)

Använd Picards iterationsmetod på problemet

{

y'(t)=y(t) y(O) = 1 '

och visa att de approximativa lösningarna konvergerar mot y( t)

= et.

1-18

Använd Picard 's approximationsmetod tom 3:dje gradstermen på differentialekvationen y'(x) = x + y, y(O) = 0. Kontrollera svaret mot den exakta lösningen. 1-19

Bestäm Picardapproximationen Yl ( t) och Y2 ( t) till problemet

{

y'(t) = 1 + y3(t) y( 1) = 1

1-20

Låt a och b vara konstanter. Bestäm med hjälp av Picards iterationsmetod den lösning till y'(t) = ay(t) som uppfyller y( 0)

= b.

1-21

Låt differentialekvationssystemet med begynnelsevärdet { Yl ( O) Y2(0) vara givet. Bestäm den fjärde Picardapproximationen! 1-22

Beräkna de första två Picardapproximationerna till

{

y'(t) = t 2 y(O) = 1.

+ y 2 (t)

- 1.4-

=1

=0

1-23 Beräkna de två första Picardapproximationerna till

Differentialekvationer av formen

!~ = f (t),

(t

# 0).

(L)

1-24

Bestäm den lösning till differentialekvationen

dy y2 dt - y 2 som uppfyller villkoret y( 1)

2ty - t 2 + 2ty - t 2 -

= -1.

1-25 Bestäm den allmänna lösningen till

1-26 Lös differentialekvationen

dy t

y t

-d 3t cosh -

= 2t

. y y smh - + 3y cosh t t

då t > 0.

(Obs: itcosht=sinht).

1-27 Bestäm en global lösning till differentialekvationen

dy dx som uppfyller villkoret y(O)

= max(x,y)

= 0.

Sök de ortogonala trajektorierna till följande kurvskaror:

(L)

1-28 x3

-

3xy 2

=C - 1.5-

1-29 (L) y

= C(x + 3)ez

1-30

y2

(L)

= Cx

Lineära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Bestäm allmänna lösningen till följande homogena ekvationer: 1-31 y(iv)(t) - 6y"'(t)

+ 13y"(t) -

12y'(t) + 4y(t)

= 0.

1-32 y(vi)(t)

+ 9y(iv)(t) + 24y"(t) + 16y(t) =

0.

Bestäm allmänna lösningen till följande icke-homogena lineära differentialekvationer: 1-33

y"(t) - 4y'(t)

= 5.

1-34 y"'(t) - 4y"(t)

= 5.

1-35 y(v)(t) - 4y 111 (t)

= 5.

1-36

y"(t) - 6y'(t)

+ 9y(t) = e 2t.

1-37

y"(t)- y(t)

= 4tet.

1-38

y"(t) - y(t)

= sin 2 t.

(Ledning: sin 2 t

1-39

y"(t) - y(t)

= (1 + e-t)- 2 .

- 1.6-

=

½(1 - cos 2t))

1-40

y"(t)- 3y'(t) + 2y(t)

= sin (e-t).

1-41 Lös följande systern av första ordning

y; = 4y1 + 2y2 Y; = 3y1 - Y2 med Y1(0)

= 1,

= -1.

Y2(0)

Ange också systemets expon ~ntialrnatris eAt

1-42 Bestäm lösningen till systemet

X' (t)

=[

~

-8

1 1

-5

-~] X(t) -3

med

1-43 (L) Bestäm en allmän lösning till systemet

Y; = Yl

- 3y2

y; = 3y1 + 7y2 1-44 Bestäm en allmän lösning till systemet

y; = 3y1 y; = 2y1 -

l8y2 9y2

1-45 Bestäm eAt och därefter lösningen till

X'(t)

=[

!

0 -1

-61 -2 X(t)

-2

-4

1-46 Bestäm en partikulärlösning till

- 1.7-

med

X(O)

=

rn

- 1.8-

2

Fourier-serier

2-1

Fourier-serieut veckla funktionen

!( t) på intervallet ( -1, 1). resp 1?

= { ~:

-1 < t < 0 0


0 .. fi ar ett xt

3-18

Lös integralekvationen 00

y(t)

j

+

e-lt-uiy(u)du

= e-ltl_

-00

3-19

Beräkna integralen

J(t)

j

00

=

-oo

(sin 5(t - u))(sin 6u) du. u(t-u)

3-20

Beräkna integralen 00

J(t)

=

f

-oo

(u 2 + l)((~u_ u) 2 + 1) ·

- 3.4-

4 Laplace-transformen Använd Laplace-transformationen för att lösa följande differentialekvationer då t > 0: 4-1 (L)

= 2cos t./5,

y"(t) + 5y(t)

y(O)

= 0, y'(O) = 1.

4-2 (L)

y"(t)

+ 2y'(t) + 5y(t) = e-t

y(O)

i,in 2t,

= y'(O) = 1.

4-3 y"(t)

+ 3y'(t) + 2y(t) = t 2 e- 2t,

y(O) = 3, y'(O) = 4.

4-4

y"(t)

+ 6y'(t) + 9y(t) = t cos

= 1, y'(O) = 2.

y(O)

3t,

4-5

Använd residue-metoden för att bestämma

2

a) (s

b)

+ l) ( s 2 + 4)

Lös följande integralekvationer då t

~

4-6 (L) t

y(t)

+ J y(u)du = t. 0

4-7

(L) t

y(t)

= t 2 + J(sin2(t

- u))y(u)du.

0

4-8 t

y'(t)

= Jy(u)

cos(t-u)du,

y(O)

= 1.

0

4-9 t

y( t)

+ J y( u)

sin( t - u) du

= l + t + t2.

0

- 4.1-

f (t)

om

1 . (s - ia) 7

0.

f (s)

är

Lös följande differentialekvationer då t > 0: 4-10 (L)

y'(t)

2n '.S; t < 2n + 1

+ y(t) = { ~:

2n

+ 1 '.S; t < 2n + 2 '

där n = 0, 1, 2, ... och y(0) = 0. 4-11

y(iv)(t) + 2y 11 (t) + y(t)

= l(t -1),

y(0)

= 1, y'(0) = y"(0) = y"'(0) = 0.

4-12

y"(t)

+ 3y'(t) + 2y(t) =

.r

.r

l(t - 1) - l(t),

y(0)

= y'(0) = 1.

4-13 (L)

Ange lösningen till Il

y ( t)

+ 9y (t) = t .r1(t - 27r )

då y(0) = 5, y'(0) = -13. 4-14

Beräkna, för t > 0, Laplace-transformen av följande T-periodiska funktioner: a) "Fyrkantvågen":

f(t)

1,

={

och f(t

+ T) = f(t).

-1, b) "Sågtandsvågen":

f(t)=

2t { T'

(

o::;t:s;{

t) , !s:t:s;T

och f(t

2 1- T

4-15 Sök den allmänna lösningen till systemet { y'(t) - y(t) - x(t) x'(t) - x(t) - y(t) då t 2: 0.

- 4.2-

=t = t2

+ T) = f(t).

4-16 (L) Bestäm x( t) för t > 0 ur systemet

x'(t) + y(t) + z(t) { x(t) + y'(t) + z(t) x(t) + y(t) + z'(t) då x(0)

=0

=0 =0

= 1, y(0) = z(0) = 0.

4-17 (L) Bestäm x( t) och y( t) för t > 0 ur systemet

{ då x(0)

= 1,

x'(0)

x"(t) + 4x(t) -2x(t) + y"(t)

= 0,

y(0)

+ y(t) = cos + y(t) = 0

t

= y'(0) = 0.

4-18 (L) Bestäm x ( t) för t > 0 ur systemet

{ x"(t) + Bx(t) - 4y(t) y"(t) + By(t) - 4x(t) då x(0) = x'(0) = y(0) = y'(0)

= l(t =0

1) - l(t - 2)

= 0.

4-19

2: 0 och x(0) = y(0) = y'(0) = 0, y(t) ur systemet

Bestäm, fört

t

x(t) +

j(t - u)y(u)du = 0, 0

I

Il

I

_-

.r

x(t)+y (t)-y(t)+y(t)= l(t-1)- l(t-2) 4-20 Lös följande differensekvation då det är giYet att y( t) 3y(t) - 4y(t - 1) _._ y(t - 2)

4-21 Bestäm y(t) då det är gi\'et att y(t) uppfyller

y' ( t) + y( t - 1) s arn t y ( t)

= 0 då t :S 0. - 4.3-

= t2,

= t.

= 0 för t :S 0:

4-22 Bestäm y( t) för t ~ 0 då det är givet att t

j y' (u) y( t - u) du = 24 t

3

0

och y(0)

= 0.

4-23 (L) Bestäm ] ( s) då f( t) ges av

Jo sin wot, 0 < t < ~, t ; 1r ~ wo

f (t) = { 0'

WQ

Nu tar vi några uppgifter där 8-funktionen är inblandad. Lös följande differentialekvationer då t > 0:

4-24 y"(t) - 4y'(t) + 4y(t)

= 35(t -

1) + 5(t - 2),

y(O)

= y'(0) = 1.

4-25 y"(t)

+ y(t) = sin t + 8(t - 1r),

y(0)

= y'(0) = 0.

Till sist några kretsproblem från elläran

4-26 (L) Till nedanstående nät ansluts fört> 0 en ström i(t)

= lof•

iJU

_f_c_),_~

•---•- - ~ - t )

L

Beräkna. strömmen genom spolen som funktion av tiden. Kondensatorn är oladdad från början.

- 4.4-

4-27 (L)

=

Bestäm överföringsfunktionen H(")

uc( t)

~R((-')) för neda.nstående krets. ei "

= 0 för t < 0.

C

i(I:-) I~

I U (f) I R

U{f C, )

t= 0

4-28 (L) En RL-krets, matas med periodiska deltapulser, se fig.

L

R

e(t)

t I 'J_ ____LU ►t

LI 0

0

t=D

__

T 2T 3T

,....__

--:-f-.

___.

K Bestäm I(s).

4-29 (L) Ett nät har Överföringsfunktionen

Bestäm nätets impulssvar

Uut( t ).

- 4.5-

I ilt)

4-30

=

En magnetlindning med induktansen L = 90 [H] och resistansen r 1500 [O] ä.r ansluten parallellt med ett motstånd R = 6500 [O] till ett batteri med E = 100 [V] spänning. Hur stor laddning passerar R efter det att hat teriet bortkopplats?

K

t=O

L R

E

r

4-31 En krets utgörs av en resistans R 1 i serie med två parallellkoppla.de grenar, men ena bestående av en resistans R2 den andra av en spole med induktansen L och resistansen R. Till kretsen ansluts vid t = 0 en spanmng u(t)

= Uoe-{3t sinwot,

Bestäm den totala laddning, som passerar spolen.

4-32 Stationärt tillstånd råder för t < 0. Vid t = 0 sluts K. Bestäm generatorströmmen genom att använda spolens tillstånd vid t = 0.

R

E

L R t=O K

- 4.6-

4-33 (L) Bestäm uR(t) för alla t då Um(t)

T-t

= { -r- Uo, 0,

för 0 < t < T för övrigt.

Kretsen enligt figur. Kondensatorn ä.r oladdad fört

< 0.

C

+••--,--..,____. . . . +R

Uut

4-34 (L) För kretsen enl. figur gäller följande: När strömmen genom spolen (R2,L2) uppgår till Jo sluts K1. Denna ström börjar då avta och när den sjunkit till Ji sluts K2. Bestäm strömmen i(t) genom spolen (R3, L3) från detta ögonblick t = 0. R1 = R2 = R3 = 100 [n] , Ii.t = 50 [n] , L2 = L3 = 2 [H] , /1 = 0.2 [AJ

~ f '-:;- IL~. R2

4-35 Bestäm strömmen ir (t) genom motståndet r, då bryta.ren K slås till vid t = 0. Mellan L1, L2, C och r gäller följande samband: 3L1 = Br, 3L2 = r, BrC = 9.

r

- 4.7-

- 4.8-

5 Differens-ekvationer 5-1 Bestäm y( 2) då tidsserien {y( n)} ~=O är lösningen till den homogena differensekvationen y(n) - 5y(n - 1) + 6y(n - 2) = 0,

för

alla

n 2 0,

med begynnelsevärdena y(-2) = 0,y(-1) = 1 a) genom rekursiv beräkning, b) genom att bestämma hela tidsserien {y( n)},

för

alla

n

2 0.

5-2 Lös följande homogena differensekvationer samt ange om de är stabila: a) 6y(n)-5y(n-l)+y(n-2)=0, n20; begynnelsevärden: y(-2) = 0, y(-1) = 1. .................... (L) b) y(n)-2y(n-1)-3y(n-2)=0, n20; begynnelsevärden: y(-2) = 0, y(-l) = 1. c) y(n)-4y(n-1)+5y(n-2)=0, n~0; begynnelsevärden: y(-2) = 0, y(-1) = 2. d)y(n)+2y(n-l)+y(n-2)=0, n~0; begynnelsevärden: y(-2) = 1, y(-1) = 0.

5-3 Lös följande inhomogena differensekvationer samt ange om de är stabila: a) 2y(n)-y(n-1)=3, n~0; begynnelsevärde: y( -1) = 0.

b)y(n)-2y(n-l)-3y(n-2)=l, n~0; begynnelsevärden: y(-2) = y(-1) = 0 ........................ (1)

c) 3y(n)-2y(n-l)=n, begynnelsevärde: y( -1)

n20;

= 0.

d) 3y(n)+y(n-l)=n 2 +1, n~0; begynnelsevärde: y( -1) = 0.................................. ( L)

- 5.1-

5-4

Lös följande differensekvationer samt ange om de är stabila: a) 6y(n) - 2y(n - 1) y(-1) = 1.

= 2n,

dån 2'.: O;

b) y(n)-y(n-1)=2n, dån2'.:0; y(-1) = 2................................................... (L)

c) y(n) - 2y(n - 1) + 2y(n - 2)

= (½) n'

y(-2) = y(-1) = 0. d) 3y(n)-y(n-l)=n2n, y(-1)=0. e) 2y( n) - y( n - I)

y(-1)

= cos nt,

dån2'.:0; då n 2'.: O;

= 2.

- 5.2-

dån 2'.: O;

6 Z-transformer 6-1 Låt {x(n)}:'=o vara en given talföljd med Z-transformen 00

X(z)

L x(n)z-n.

=

n=O Uttryck Z-transformerna av aJ y(n)=x(n-2), n20, n

b) y(n)= I:x(i),

n20,

mhaX(z) ...................... (L)

i=O

6-2

Bestäm Z-transformen av talföljden an

x(n)=-,, n.

där a är ett fixt tal och 0!

n 2 0,

= 1.

6-3

Talföljden { x( n)} :=o har Z-transformen

med konvergensområdet lzl > 1. Bestäm x(n) dån 2 0. 6-4

Talföljden { x( n )}~=O har Z-transformen

med konvergensområdet lz[ > 1/2. Bestäm x(n) dån 2 0.

- 6.1-

6-5 Bestäm a) lösningen y( n) till differensekvationen

y(n)

1

= 2y(n -

1)

+ x(n) -

med begynnelsevärdet y( -1)

x(n - 1),

n 2 0,

= 1, och

( ) _ { 0, x n 1'

för "ör 1'

n 2 0, n -- -1 ·'

b) differensekvationens överföringsfunktion H( z ).

6-6 Vilket lägsta ordningstal har en differensekvation med Överföringsfunktionen z

a) H(z)

=- , z - 1

b) H(z)

=

~2 "'

z2 - z - 1

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

z2 c)H(z)=z2-1· Bestäm differensekvationerna.

6-7 En differensekvation har Överföringsfunktionen

1 H(z)=( 3-z _ 1 )

lzl > ½

Bestäm lösningen y( n) till differensekvationen då alla begynnelsevärden är noll och den drivande tidsserien definieras av

x(n)

= 8(n) -

½8(n - 1).

6-8 (L) Bestäm enpulssvaret h( n) till differensekvationen

y(n) - 2y(n - 1)

+ 2y(n -

2)

= x(n) -

- 6.2-

~x(n - 1),

för

n 2 0.

6-9

Bestäm begynnelse- och slut värdena för tidsserierna i exempel ( 6-1) a) Direkt b) Ur Z-transformen. 6-10 (L) Bestäm begynnelse- och slutvärdena för tidsserien {x(n)}~ 0 i exempel

(6-4) 6-11 (L) Bestäm begynnelse- och slut värdena för tidsserien {y( n )}~=O i exempel (6-8) då 1 för n 2'. 0, x(n)= { o'. för n = -l; samt y(-1)

= y(-2) = 0.

6-12

Funktionen x( t) har '.i-transformen x( s ). Bestäm Z-transformen av den tidsserie {y(n)} man får genom att sampla x(t), dvs y(n) = x(nT), för alla n 2: 0, 1- , 1+ s

a) x(s)

=-

b) x(s)

=-

c) x(s)

= 5 + 2ss + 2s2· .................................. (L)

1l+s

1- , 2+s

+-

6-13

Låt y( t) vara lösningen till differentialekvationen dy ( t) ( ) + b xt, ( ) ----;ft=-ayt

fo" r

t 2'. 0,

då x(t) = 1, för t 2: 0. Vid simulering i dator approximerar man differentialekvationen med följande differensekvation:

y(nT+T)-y(nT) T

= -a1y (n T) + b1x ( n T) ,

för

n

2: 0.

Vilka värden måste a1 och b1 ha för att simuleringen skall ge korrekta värden på y( nT) för 11 = 0, 1, 2, ....

- 6.3-

6-14 Bestäm den lösning till

4y(n) - 4y(n - 1) som uppfyller villkoren y(-1)

+ y(n -

2)

= 22 -n

= y(-2) = 0.

6-15 (L) Bestäm lösningen till differensekvationen

y(n) - y(n - 2)

= b(n) + 8(n -

1)

= y(-2) = 0.

med begynnelsevärden y(-1)

6-16 Bestäm lösningen till differensekvationen

2y(n) - 7y(n - 1)

+ 3y(n -

2)

= 3x(n) -

x(n - 1),

= y(-1) = y(-2)

där x(n) = b(n) och x(-1)

för

n

alla

n

~

0,

= O;

samt ange om den är stabil.

6-17 (L) Bestäm lösningen till differensekvationen

3y(n) - 4y(n - 1)

+ y(n -

2)

med begynnelsevärden y( -1)

= 2-n + x(n),

= y( -2) = 0

_ { 0, för l , 1or r"

x (n ) -

för

~

0,

och

n i= l , n = 1.

6-18

Tidsserien { x( n)} :'=o har Z-transformen

X(z)

=

5z 2 + 4z + 3. 2z 2 + 1

Bestäm tidsserien {x(n)}:'=o samt skissera densamma för OS: n S: 6.

- 6.4-

6-19 (L) Bestäm den allmänna lösningen till differensekvationen

y( n) - a y( n - 1)

=b

för alla a och b. a, b är reella konstanter. 6-20

♦

I

0

~

I

,I

x(t)

I

0

+

0

~( t) 0

För ovanstående krets, med impulssvaret h(t), gäller följande samband

dy(t) RCdt + y(t)

= :z:(t).

= 0. Utsignalen samplas i ±JT; ±!T; ... , där T = RC. Följden av sample-

Kretsen exciteras med en impuls vid tiden t

= ±½T; = h( ½T + nT)

tidpunkterna t värden y( n)

bildar en tidsdiskret signal.

Ange dess Z-transform }"( z ).

- 6.5-

- 6.6-

7 Blandade exempel 7-1 (L) Bestäm lösningen till differensekvationen

y(n)

= 2x(n) - 21 y(n -

då X

( ) n

2,

= { 0,

1)

n = 0, 2, 4, 6, ... f Ö.

ochy(-1)=2.

7-2 (L) Bestäm mängden av periodiska lösningar till differentialekvationen D(D 2

där D =

~

+ 2D + 2)(D 2 + 2)y = sgn(sin t)

-ooHS:

j,J INJ~

f (r) 11Jt:4 ~,;"'/

f + fr{~iu f f ,,~ fJ f si~ o/ +•... ) 1-

1-

C~t. K1HVlt11JMSSQfsevt k:,11vet'7IMr 1Pvf/f(•rtefiJJ1,,t U1,f .ft-lJ i 'u,.,.fiHlli kfr pv,,./tkr ~ pd,_ '-"i {f{t~i:>)-1-.f(t-i:>}j i ,p,;.-jpv.-lderUR, 1-RP-

C)

f

vi Jff;S.Je Jeli•IAl•e~ {{s ;,) :. l_2 1 '1 =I)+/ -' 1 .. 1 .. ZJ • •• fit)

12-r I

.

-- . -2TT

. ---

T:. Z Tr .., w • l!! • i • 21'

(

f

zrr

f

2/r

i

~ = .i tz,H r: .Jl.. 2.

Z1f

p

L8

•

3

r,,_ f r 1

~ Effers~m i= 7T

Z~

"

;;I/er

4,0

=? =

l

'
p.,

h

11

.J"

L:

4ula11er aar 1T.'r:

~ 'tp2.

J;(~+,t)(l)..2)(~+3) 7/)-1(+). (,,, 00

D (b+1X~+2)(~.,.3J >;, 2 (.J) : ~ c.. e hjo

Ou-, vi nv ans;ller '!i ~ af p1 V : ~ d. 1p2.

- 0G n:f:t:J

. eJ'1

+

"'

L13

j.,f

let111f'n

a) s;t/ V(f)

=

F

c~

"•-{>.;)

et'h "-'o-t 1

Ef le,st?iu v,· dtlade vpr; V{f) ,· r,~a f Pvri"er- lt:.:,,,,,,p~ue~r-e,1 1q w,;sfe åvtn dtHa var

m. a. t?.: ver~r

Vi

s~ker

fh

/i;, SJj 1 sqf,s{/era

1J,17fsv.

.:ltn tjivna

"'lf. ekv. 1

fOtlr,·erulve~i