Flervariabelanalys med numeriska metoder 9789144322315

Citation preview

Andrejs Dunkels Håkan Ekblom Torbjörn Hedberg Reinhold Näslund Lars-Erik Persson

Flervariabelanalys med numeriska metoder

tJJ Studentlitteratur

00

Kopieringsförhud

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering. utöver lärares rätt att kopiera för undervisningshruk enligt BONUS-Presskopias vtal. är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för uthildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till uthildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till höter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 3223

ISBN 978-91-44-322:l l-5 Upplaga I: 12 © Andrejs Dunkels. Håkan Ekhlom, Torbjörn Hedberg,

Reinhold Näslund, Lars-Erik Persson och Studentlitteratur 1990 www.studentlitteratur.se Studentlitteraturah, Lund Printed hy Holmhergs i Malmö AB, Sweden 2009

Innehållsförteckning

1 1.1

1.2

Funktioner av flera variabler Inledning 7 Rummet R2 14

1.3 1.4 1.5 1.6

Rummet R 3 och Rn, n ~ 4 23 Reellvärda funktioner av flera variabler 32 Gränsvärden och kontinuitet 48 Vektorvärda funktioner 55

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Differentialkalkyl Partiella derivator 69 Något om partiella differentialekvationer 80 Approximationssatsen och differentialer 92 Riktningsderivata och gradient 103 Derivering av sammansatta funktioner 110 Andra koordinatsystem 128 Transformation av differentialuttryck 133 Mer om differentialer 146 Taylors formel 154 Numerisk lösning av icke-linjära ekvationssystem 165

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12

Extremvärden Inledning 173 Lokala extremvärden 173 Största och minsta värde 179 Tillräckliga villkor 190 Extremvärdesproblem med bivillkor 198 Numerisk beräkning av extremvärden. Inledning 207 Koordinatsökning 209 Steepest-descent-metoden 213 En algoritmmodell 218 Newtons metod 221 Övriga metoder 227 Övningar till numerisk beräkning av extremvärden 229

4 4. l 4.2 4.3 4.4

Dubbel- och trippelintegraler Dubbelintegralens definition 23 l Beräkning och användning av dubbelintegraler 238 Trippelintegraler 260 Numerisk beräkning av multipelintegraler 270

5 5. l 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Variabelbyte Inledning 28 l Polära koordinater 281 Cylinderkoordinater 291 Sfäriska koordinater 295 Allmänt koordinatbyte 301 Generaliserade dubbelintegraler 3 I 6 Blandade problem 324

6 6. l 6.2 6.3 6.4 6.5

Kurvintegraler Inledning 329 Exempel på tillämpningar av kurvintegraler 346 Greens sats 370 Exempel på tillämpningar av Greens sats 383 Potentialfält 398

S

Svar till övningsuppgifterna 423

R

Sakregister 465

Förord

Denna lärobok täcker den delkurs i flervariabelanalys som ingår i den integrerade grundkursen i analys och numerisk analys vid civil- och bergsingenjörsutbildningen i Luleå.

Kursens och lärobokens nuvarande form är resultatet av många diskussioner som engagerat de flesta på avdelningen för tillämpad matematik. Framställningen syftar snarare till att ge direkt användbara kunskaper än att ge en fullständig matematisk behandling av teorin. Därför saknas i många fall strikta bevis för de resultat som har formulerats. I stället har många resultat troliggjorts med intuitiva geometriska eller fysikaliska resonemang. Vi har försökt konkretisera framställningen genom att hämta exempel från tillämpade ämnesområden. Den som önskar en matematiskt striktare framställning av motsvarande stoff hänvisas till någon av följande läroböcker: Eriksson: Flerdimensionell analys, Studentlitteratur, Lund (1985). Courant & John: Introduction to Calculus and Analysis, Vol 2, Wiley, New York (1974). Vi kommer många gånger att referera till: [ 1] Andersson-Grennberg-Hedberg-Näslund-Persson-von Sydow: Linjär algebra med geometri, Centek Förlag 1986. [2] Dunkels-Ekblom-Grennberg-Hedberg-Hensvold-Kallion iemi-N äslund: Derivator, integraler och sånt ....... Analys med numeriska metoder för tekniska högskolor, Centek Förlag 1985. Denna upplaga är en reviderad version av 1983 års upplaga. Revisionen har huvudsakligen bestått av att ett antal tryckfel har rättats. Emellertid är författarna medvetna om att även denna upplaga har många brister och hoppas att från elever och kollegor få ta emot synpunkter som kan vara till ledning för kommande revisioner. En särskild vädjan om önskemål och förslag riktas till våra kollegor i grundläggande och tillämpade tekniska ämnen.

Vi vill här passa på tillfället att tacka Anna-Lisa Frånlund och Aina Blornkvist för att de med stort tålamod skrivit ut olika versioner av våra manuskript på ett förtjänstfullt sätt. Vidare vill vi tacka alla lärare och elever som på olika sätt bidragit till lärobokens innehåll och utformning. Luleå hösten 1986 Andrejs Dunkels Håkan Ekblom Torbjörn Hedberg Reinhold Näslund Lars Erik Persson

Studentlitteratur har övertagit Centeks förlagsverksamhet. Därför har denna tryckning en något annorlunda layout än tidigare. Innehållsmässigt är dock boken identisk med den version som utgivits på Centek Förlag, Luleå. Luleå i oktober 1990 Författarna

1:1

Kapitel l

FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER

1.1

Inledning

I tidigare kurser har vi behandlat teorin för funktioner av en variabel. I detta kompendium skall vi behandla motsvarande teori för funktioner av två eller flera variabler. Vi ger först några exempel på företeelser som kan beskrivas med hjälp av sådana funktioner. En viss mängd av en "ideal" gas kan uppta varierande volym

Ex 1.1

och ha varierande temperatur den allmänna gaslagen gasen, T

där

n

p

p

är antalet mol av T

absoluta temper,

är alltså en funktion av variablerna

V

nR _!

V

T = 300

p = p (300 ,2)

och

V= 2

så blir

nR 300 = lSOnR 2

V Fig 1. 1

Ex 1.2

Man skall tillverka en papplåda vars principiella utseende framgår av fig 1.2.

7

F"ig 1. 2

V

bestäms då av

och vi skriver

p = p(T,V) Om tex

pV = nRT

Trycket

R den allmänna gaskonstanten och

turen. Trycket och

T

1:2

Materialåtgången längderna

M och lådans volym

b

a

och

V beror på kant-

Närmare bestämt är

c

2ac + 2bc + 4ab

M = M(a,b,c) och V= V(a,b,c)

Om tex

abc 0.5 m så är

a = b = c

M

2·0.5·0.5 + 2·0.5-0.5 + 4-0.5·0.5

V

0.5·0.5·0.5

Såväl

M som

och

och

0.125m 3 .

V är exempel på funktioner av tre variabler. detta sanmanhang är att bestärmna kantlängderna

Ett problem a , b

2 m2

c

så att lådan får en fix på förhand bestämd

volym och så att materialåtgången blir så liten som möjligt (se ex 3.27). Ex 1.3

Temperaturen funktion

T

i en kropp kan beskrivas med hjälp av en

T = T(x,y,z,t)

rumsvariablerna

x

,

y

av fyra variabler, nämligen av och

z

samt tidsvariabeln

Många modeller i tekniska och naturvetenskapliga sammanhang beskrivs som ett samband mellan flera variabler. Ibland kan någon av variablerna lösas ut som en (flervariabel-)funktion av de övriga. Vi ger ett exempel där vi utnyttjar ett sådant resonemang. Ex 1. 4

(Jämför även med ex 1.1.)

Qn man vill bestärmna strömningshastigheten

v 1 för en fluid (t ex en vätska eller en gas) i ett rör kan man använda en

sk Venturi-mätare. Denna fungerar så att två tryckmätare

P1

och

P2

mäter trycket

p1

i röret resp trycket

p2

i en förträngning av röret.

P1

~---

~,-::=.--------

2. Fig 1. 3 8

1:3 fluiden har densiteten

p0 kg/m3 , om

v 1 mäts i m/s och A1 mäts i m så passerar varje sekund massan p0 A1v 1 kg gP.nom ytan med area A1 • På samma sätt inser vi att varje sekund passerar massan p0 A2v 2 genom ytan med area A2 . Av fysikaliska skäl är därför A1v 1 s A2v 2 Således är

Om

2

om

dvs

är en funktion av areorna

A1

och

A2

och av hastig

heten Vidare är, enligt Bernoullis sats, (1)

För enkelhets skull antar vi i fortsättningen att densiteten p 0 = 1 kg/m 3 Vi sätter in det tidigare erhållna uttrycket för ut

ur

(1)

v2

och löse

och flr

Strömningshastigheten

A1 , A2 p 1 och p 2 • Om vit ex mäter upp att A1 • 10, A2 • 1 , p 1 • 200 och p 2 • 2 sl blir den sökta strömningshastigheten v 1 • v 1 (10,1,200,2) •

v1

är slledes en funktion av

2

• 2 (enhet t ex m/s) •

(10/1) 2 - 1

Funktionerna i ex 1.1 -1.4 är alla exempel på reellvärda funktioner, dvs funktioner vars värdemängd är en delmängd av de reella talen. Vi skal även ge några exempel på vektorvärda funktioner, dvs funktioner vars värd mängd består av vektorer. Ex 1.5

En parameterframställning av en rät linje genom punkterna (1,1,2)

y

C

1 -

och

t

(2,0,5)

kan skrivas

t E R ,

z • 2 + Jt

Parameterframställningen innebär att för varje reellt tal så erhålles en tredimensionell vektor • (l+t,l-t,2+3t) . Vi skriver 9

t

r • (x,y,z) •

r(t) • (l+t,l-t,2+3t)

och säge

1:4 att

~(t)

är en funktion från de reella talen av tredimensionella vektorer R3 .

R till mängden

Allmänt är varje parameterframställd kurva i rummet värdemängden till en funktion f:rån R till R3 • Ex 1.6

En rak "oändligt" lång ledare är positivt laddad och laddningen är likformigt fördelad. Det är då välkänt att en negativ enhets-

F som är riktad

laddning utanför ledaren påverkas av en kraft

mot ledaren och kraftens belopp är omvänt proportionell mot avståndet till ledaren. Vi skall nu beskriva denna fysikaliska information med en matematisk modell och resonerar därvid på följande sätt. Lägg in ett xy-plan ortogonalt mot ledaren. Origo placeras i centrum av ledaren. Vektorn -

1

(-x,-y)

e(x,y) • 1(-x,-y)I •

.rc::i

2 (-x' -y)

2

är riktad mot origo och har längd

IF-1 •

rr---z

K/1/x- + y- , där

= (~ '

r,;---'j

1/x-+y-

+ (-y)

_:::f._) IT2. 1/x-+y-

1 . Enligt förutsättning är

K är proportionalitetskonstanten.

Därför är

= _K ( ~ 2 2 2 2 ~ 17-:;

'

_:::f._) . 2 2 17-:;

dvs F

=

-( ) -Kx F x,y • ( ~ , X

Kraftfältet talpar

(x,y)

+y

). 22 +y -Vv

X

F kan betraktas som en funktion som för varje tillordnar ett annat talpar

-Kx (~ ' X

+y

2L X

2

+y

2>

Vi säger att F är en funktion från R2 till R 2 Kraftl fältet F kan för K • 2 illustreras som i fig 1.4.

Fig 1. 4 10

1: S

Ex 1.7

En tredimensionell vätskeströmning kant ex beskrivas genom att man vid varje tidpunkt

t

och i varje punkt

(x,y,

anger strömningens storlek och riktning

Vi ser att (x,y,z,t)

v

Fig 1. S är en funktion som för varje kvadrupel

tillordnar en taltrippel

matematiskt är således Ex 1.8

v

(v 1 ,v 2 ,v 3 ) . Rent

en funktion från

R4

till

R3 •

Vid tillverkning av koks på SSAB:s koksverk i Luleå har man tillgång till 200 olika kolsorter, vilka blandas i proportionerna

pi , i • 1 , 2, .•• , 200 . (I praktiken är det bara

5-20 av pi-värdena som är skilda från noll.) Den erhållna koks bedöms sedan kvalitetsmässigt i fem olika avseenden yi , i

~

1 , 2 , 3 , 4 , 5 • Kokstillverkningen kan således beF från R200 till R5 , d

skrivas av en vektorvärd funktion

Ett viktigt minimeringsproblem i detta sanunanhang är att, med hänsyn till befintliga stenkolslager, göra blandningarna så att koksens kvalitet hålls på en nivå som gör den duglig för masugnsdrift samtidigt som inköps- och produktionskostnader blir så låga som möjligt.

11

1:6 Ex 1.9

Antag att

A

=

all a [ 21

.. .

al2 ... aln] ... ... .

..

...

.

aml är en

_ rxll x • x2

och

amn

m•n

\ xn

matris resp en godtycklig n-dimensionell kolonn-

vektor. Då blir

f(~t)

=

~

en funktion från

Rn

till

Rm.

Om tex A

G: :)

f(3,2,1)

och om

x =

G)

så är

G: :) (D (:3).

dvs den tredimensionella vektorn tvådimensionella vektorn

(3,2,l)t

avbildas på den

(7,23)t

Att lösa ett ekvationssystem

Ax=

b

innebär att man söker

den punkt (eller de punkter) som avbildas på punkten

En någotsånär enkel funktion

f

av en variabel

x

b .

(och de flesta

funktioner av detta slag som är intressanta i tillämpningar) kan geometriskt åskådliggöras genom att man ritar funktionskurvan

y = f(x)

i ett xy-plan. På motsvarande sätt kan en någotsånär enkel funktion f

av två variabler

~

x

och

y

åskådliggöras med hjälp av en funktions-

i ruoanet. (Se fig 1.23.) Skall man analysera flervariabelfunktioner

är det därför ofta fördelaktigt att först studera tvåvariabelfallet. I regel är det sedan lätt att generalisera teorin till att gälla även för funktioner av tre och flera va~iabler. De principiellt mest avgörande skillnaderna mellan envariabel- och flervariabelteorin uppträder som regel redan i tvåvariabelfallet. I detta kompendium kooaner vi att införa och analysera begrepp och teorier vars motsvarigheter i många fall redan har studerats i envariabelfallet. Speciellt skall vi införa och studera begreppen gränsvärde och kontinuitet (kap 1), derivator (kap 2), extremvärden (kap 3), integraler (kap 4) och variabelbyte vid integration (kap 5). Vidare skall vi definiera och beräkna integraler över kurvor i ru111J1et (kap 6).

12

1: 7

övningar 1.1

,-

,----,-----------~----~---,---~-~~ >fÅ~lA. BRR ...

~

GXNG S~fF.

~

..

GOL"~

~

/'
O}

~ l} < l , x2 +

y2

>

l}

En triangels hörn ligger i punkterna (3,-1) . a) b)

¼}

(1,1) , (2,4)

och

Bestäm ekvationerna för triangelns sidor,

Utnyttja resultatet i 1.4 a för att analytiskt beskriva omrAdet innanför och pA triangeln som en mängd.

1.5

Rita andragradskurvan a)

2 2 ~+L. 1 9 4

c)

~

2

4

b)

(x-1) 4

d)

(x-1) 4

2

- L. 1 9

21

2

2

2 + ~. 1 9 _ (y+l) 9

2

=

1

1: 16 1.6

Rita parabeln y

a)

1.7

=

x 2 + 2x

X

y = - -

b)

2

4

+ 2 •

c)

X

•

y2

+

Ange den geometriska betydelsen av följande delmängder av genom att rita fieur.

M3

2 {(x,y) lx 2 + y ::: 2x} , 2 {(x,y) lx + 2/ ::: 2x} , 2 {(x,y)jx - y + 2 ::; 2x}

M4

{(x,y) lx

~1i M 2

M5

E

C

=

{(x,y)jx

2 2

+

y2 + 1

-

y2

~

-2x}

- 2y - 1

22

~

2x}

2y. R2

1:17

Ruumen R3 och Rn , n > 4

1. 3

R3

Det tredimensionella rummet (x,y,z), där

x, y och z

R3 = {(x,y,z)

definieras som mängden av taltripplar

är reella tal, dvs J

x ER, y ER • z

Situationen är nu analog med den som vi beskrev i förra avsnittet för R2 . Antag att vi har ett ortonormerat koordinatsystem i rummet. Då kan man uppfatta ett element dinaterna

x, y och z

(x,y,z) € R3

med avseende på standardbasen

ez

antingen som en punkt med koor-

eller som en vektor med koordinaterna e

• ;;

X

y

=

x, y och z och

= (0,0, 1)

(x;y,z) =X{t,0,0}t·y(o, 1,0)+Z (qql )= =X~ •yey + zez

Fig 1.14 p

mellan punkterna

Avståndet

och

0

En sfär med radien r och med centrum i punkten av att avståndet mellan punkten på sfären är lika med d(P

o'

P)

P0

P 0 = (x 0 ,y 0 ,z 0

och en godtycklig punkt

P

bestäms

)

=

(x,y,z)

r , dvs

= /(x-x o ) 2

+

(y-y ) 2 + (z-z ) 2

En sfär med radien r och centrum i

o

o

(x 0 ,y 0 ,z 0

(x-xo)2 + (y-yo)2 + (z-zo)2

23

r2

)

=

r .

har således ekvationen

1:18

Mängden {Pjd(P,P ) < r} O

= {

(x,y,z) J (x-x )

2

O

kallas för ett öppet klot kring

P0 = (x 0 ,y 0 ,z 0

mängd brukar också kallas för en omgivning av En rät linje i ( X

R) = x0

1y z

+ (y-y )

2

O

)

+ (z-z )

med radie

0

2

< r

2}

r , Denna

P0

kan parameterframställas på följande sätt: + Clt ,

yo+St zo + yt

t E R .

z

X Fig 1.15 Skalärprodukten genom

där

8

är vinkeln mellan vektorerna. Skalärprodukten kan även beräknas

som

Antag att

A, B, C och D är tal sådana att minst ett av talen

A, B

eller C är skilt från noll. De punkter som uppfyller sambandet Ax+ By+ Cz + D = 0 betyder då geometriskt ett plan med normalvektor

24

(A,B,C) . (Se fig 1.16.)

1:19

(.A,B,C) Ax+By-tCz-tD=O

Fig 1.16 R3 .

Vi skall nu diskutera några ytterligare exempel på delmängder av Ex 1.12

Ange den geometriska betydelsen av den delmängd av

R3

som

definieras genom Ml

{(x,y,z)I lxl ~ 2

b)

M2

y2

c)

M3 = {(x,y,z)I 1
1}

2 + z 2 < 9} +

S l} .

lzl

Lösning: a)

Varje punkt

(x,y,z) E M1

-2 S x S 2 , -1 Sy< 1 geometriskt att

1

betyder att avståndet till

origo är större än 1. Därför är

M2 det område som ligger utanför det slutna enhetsklotet med centrum i origo.

c)

Genom att resonera som i b inser vi att

M3 består av området mellan två sfärer med centrum i origo och med radier 1 resp 3. Den yttre sfären tillhör mängden.

d)

Vi får behandla 8 olika fal 1. Till exempel gäller att om X

> 0

.

y > 0

a

X +

y

+

z

z > 0

s1

.

så gäller

lxl + IYI + I z I = som är ekvivalent med X + y + z - 1 < 0

Övriga fall behandlas analogt och vi får att

25

M4

är det

1:20 område som ligger innanför och på den regelbundna oktaeder som begränsas av planen x+y-z-1

m

x +y +z- 1

=

0 ,

O, x-y-z-1 = 0, x-y+z-1 = 0,

-x + y + z - 1 = 0

-x - y + z - 1 • 0 , -x + y - z - 1 = 0

och

0

x +y + z + 1

(se fig 1.17).

Fig 1.17 Den uppmärksamme läsaren har förstås observerat att ex 1.12 är en tredimensionell motsvarighet till ex 1.10. Ex 1.13

Låt

a

vara ett positivt tal och låt parabeln

z = ay

2

rotera kring z-axeln. Bestäm ekvationen för den rotationsyta som uppstår. Lösning: Vi fixerar

z > 0

och låter

P

vara

0

en punkt på parabeln.

z

Fig 1.18 Vi antar att parabeln roterar så att punkten till punkten

P

=

P0

förflyttas

(x,y,z) . Med beteckningar enligt fig 1.18

ser vi att avståndet från

26

P0

till z-axeln är lika med avståndet

1:21

från P 1 till origo, dvs på parabeln och därför är tion är

Y0 • ~ . P u n k t e n P0 ligger z = ay 2 , dvs rotationsytans ekvao

Denna yta brukar kallas för en rotationsparaboloid (se fig 1.19 a). Om vi låter linjen

z = ay , y > 0, rotera kring z-axeln får vi en kon.

Analogt med resonemanget i ex 1.13 inser vi att denna kon har ekvationen

(1)

~

z = avx- + y~

(Se fig 1.19 b).

z

z , Z.=a.y

Fig 1. 19 a

Fig 1. 19 b

Om rotationen sker kring någon annan rät linje än koordinataxlarna kan vi tex resonera som i följande exempel. Ex 1.14

Låt

R.l vara en rät linje som går genom origo och som har 2 2 riktningsvektor (a,13, y) Antag att R.2 a + 132 + y = 1

.

är en rät linje genom origo där vinkeln mellan är

e

.

0
0

• {(x,y)jx > -1 , y > 3} U {(x,y)Jx < -1. y < 3} 3

32

eller då

1:27 Uttrycket

f 4 (u,v)

2

V

2

2 2 ~ 0 och u + 4v - 1 består av alla punkter (u,v) som ligger mellan och på Df 4 2 2 V 2 2 ellipserna u + 4 = 1 och u + 4v = 1 (se fig 1.22 b).

har mening då

1 - u

-

4

> 0

,

dvs

V

2 ,/+4 = 1

/l/u

tl-+4'1-: 1 u (0,-2)

Fig 1. 22 a 1.4 .1

Fig 1. 22 b

Funktionsytor

En reellvärd funktion

f

av två variabler

x och y

geometriskt genom att man ritar funktionsytan system i rullD!let. Funktionsytan na

z

z

f(x,y)

kan ofta åskådliggöras

z • f(x,y)

i ett koordinat-

fås genom att markera punkter-

(x,y,z) , (x,y) E Df , z • f(x,y) , i koordinatsystemet. Mängden { (x,y,z)

I (x,y)

E Df , z • f(x,y)}

brukar också kallas för funktionens graf.

z

-----~

Fig 1. 23

33

1:28

Funktionsytan för funktionen

Ex 1. 16

plan med ekvationen

z

Funktionsytan för funktionen

Ex 1.17

med ekvationen

X

2

+

y

2

+

z

2

=1

.

z

dvs

z

-yl - x 2 - y 2

f(x,y)

är en kon

(se formel (1) sid 1:21).

Ji. - x2 - /

-+

~

z = J1 - x 2 - /

Således är halvsfärerna z

~ + y

2vx

f(x,y)

2~

=

2x + 2y - z + 1

med radie 1 och centrum i origo kan skrivas

En sfär

Ex 1. 16

z

dvs

2x + 2y + 1

=

är ett

2x + 2y +

f(x,y)

(se sid 1: 17). och

funktionsytor för funktionerna

= ✓i-x 2 -/

resp

g(x,y)

'

= -✓1-x

2

-y

2

Fig 1. 24

Då vi skall rita en funktionsyta är det ofta till god hjälp att studera ytans skärning med lämpligt valda plan, tex av typen x z K , y = K eller

z

= K • (K

är en konstant.)

2 Ex 1. 19

Rita funktionsytan Lösning: Planet

y

z =

X

9

2

+

L

4

0 (xz-planet)

=

skär ytan

z =

X

9

2

2

+L

längs parabeln 2 Y = Q • z =

9X

Analogt ser vi att planet x 2 2 z = ~ + ~ längs parabeln

=

0 (yz-planet)

skär ytan

2 x=O,z=~.

Vidare, skär planet

z

34

=

K, K > 0 , och ytan

z

=

2 2 x9 + Y4

4

0.

l :29

varandra längs kurvan 2

2

z=K,::c_+L=K 9

4

'

dvs längs en ellips med halvaxlar

3VK och

2v'K.

Vi markerar skärningskurvorna i ett tredimensionellt koordinat system. Med stHd av dessa kurvor kan vi rita funktionsytan 2 2 z s ~ (se fig 1.25 och fig 1.26 a).

+:

l/'+t= }(, z:: K _:__J---c_ ....

-

~.-*=1:z=1

X

Fig 1.25 Anm

Ytan i ex 1.19 kallas fHr en elliptisk paraboloid. En allmän

elliptisk paraboloid kan skrivas 2

2

z•~+L,a>O,b>O. a2 b2

Om

a = b

så är den elliptiska paraboloiden en rotationsparaboloid

(se ex 1.13). Då man har ritat en funktionsyta

z • f(x,y)

är det lätt att, genom

parallellfHrflyttning och spegling, rita funktionsytor av typ

Ex 1.20

Rita funktionsytan 2

2

-~-L

a)

z =

b)

_ (x-1) z = 2

4

9

2

2 _ Jr:.!)__

4

9

35

1:30

a)

är punkter på ytorna

Om z

så gäller tydligen

=

. Geometriskt innebär detta att ytorna 2

2

L

och

4

:

är varandras spegelbilder

i xy-planet. Med hjälp av resultatet i ex 1.19 är det 2 2 X y därför lätt att rita funktionsytan z = -

T

9

(se fig 1.26 a). b)

Ytan

z

(x-1/

= -

-9-

(y+1)2

- -4- 2

förflytta

fås genom att parallell2

z = - ~ - ~

ytan

en enhet i positiva x-

axelns riktning och en enhet i negativa y-axelns riktning. Genom att sedan parallellförflytta ytan z

= _ (x-1)

2

9

_

två enheter i positiva z-axelns riktning så flr vi den 2 2 sökta ytan z = 2 - (x-l) - Jz:!l.._ (se fig 1.26 b). 9 4

Fig 1.26 a Ex l.

21

Fig 1.26 b z = 1/xy, x > 0 , y

Rita funktionsytan Lösning: Planen

x

=

längs kurvorna x = Kl , z =

v'iS"

Vy

resp

36

K1

och

y

K2

~

0 .

skär ytan

z

=

1/xy

2

Jz:!l.._ 4

1:31

Vi markerar skärningskurvorna i ett tredimensionellt koordinatK1 och K2 . I detta exempel har vi valt att rita skärningskurvorna då K1 = 1, 2, 3, 4 och K2 = 1, 2, 3 . Vi noterar även att då x = y så är system för några värden på

rx-:;_

z =

ytan

=

x . Med stöd av dessa kurvor kan vi rita funktions-

z = 1/xy

Fig 1. 27 En mängd i planet är begränsad om det finns ett ändligt, positivt tal R så att mängden är en delmängd av cirkelskivan x 2 + y 2 < R2 0

0

I ex 1. 19 - 1.21 har vi ritat funktionsytor vars projektioner

i xy-planet är obegränsade mängder. I sådana fall får vi nöja oss med att rita den mest intressanta delen av respektive funktionsyta. Vi får en fullständigare illustration av en funktionsyta

vars projektion i

xy-planet är en begränsad mängd. Ex 1. 22

1 l+x+y

Rita funktionsytan Lösning: Planen

x = K1 , 0 1

skär ytan

z • 1+x +y

Kl

.

z =

y = K2

.

z

X=

Z = -,---- ,

1

1 + K1 + y

~ K1 ~

Q ~ X ~ 1 , Q ~ y < 2

1 , och

y

=

K2 , 0 < K2 < 2 ,

längs kurvorna

.

resp D

1 1 + X+ K2

Vi markerar skärningskurvorna i ett koordinatsystem i rullll!let för några värden på

37

K1

och

K2 , t ex för

K1

=

1

0 ,2, 1

och

1:32

K2 •

0, 21

,

1 , 23

,

2 . Med hjälp av dessa skärningskurvor ritar

vi funktionsytan.

(f,2,0) Fig 1. 28 Man kan även rita funktionsytor med hjälp av dator. Vi ger två exempel på funktionsytor som ritats med hjälp av högskolans dator Nord-10.

z ·/. ',~·./

;

":I

c~>:' :A

.:~/,;.-

-i~~,,,

:/'.--- /,7

-,~~ .~;:' ~,,;,

':c~~:: ---~:#f.-/ j:;f;, .-::,,-

'

-:.~

/"' ·;✓

.-:-

.

X

-

/,,//}./,:;,,/ ✓.;.2 -

d)

z - 2 -

./4 -

(x+5) 2 - (y+l)2

✓4

Ledning:

X

-

- y 2

X

- y

2 (y-2)2

Studera &x l.18- 1.20.

1.20

Rita funktionsytan · z = 2·xf-T , x :: 0 , O ::: y :: 4 .

1.21

Rita funktionsytan

- !"22 .

a)

z

b)

z =

\IX

+y

/ 2

1.22

v !.._9

0


0 och k > 0.)

Z=l,X=y

2.

,~(

Fig 1.37 b

51

1:46 Med hjälp av gränsvärdesundersökningen i ex 1.28 kan vi bl a dra följande slutsatser. 1)

Funktionen 2

(x,y) I (0,0) ,

1_E..___

f(x,y)

--i·_x2 o+ l (0 ,0) ,

(x,y) är kontinuerlig. 2)

Funktionen ,.

I =l

2

_E..___

f(x,y)

X

2

+ y

(x,y) I (0,0) ,

2

1

(x,y)

=

(0,0) ,

är visserligen diskontinuerlig i origo men diskontinuiteten är hävbar. 3)

Funktionen (x,y) I (0,0) , (x,y)

=

(0,0) ,

är diskontinuerlig i origo och i detta fall är diskontinuiteten inte hävbar. I analogi med motsvarande definition i envariabelfallet kan man göra följande strikt logiska definition av gränsvärdet lim

f(x,y)

(x,y) ➔ (xo,yo)

DEFINITION Om det för varje ·

E

2

0 < V(x-x ) + (y-y ) 0

➔

(x 0 ,y 0

lim

2

0

så säger vi att (x,y)

> 0

)

< 6 ..

f(x,y) .

finns ett tal

If (x, y)

-

6 > 0

AI


o+6X.$Yo)

('~,Yo)

Fig2.ll Då

(6x,6y)

(0,0)

+

så gäller

och (x 0 +6x,n) Eftersom

f~

och

+

f~

(x 0 ,y 0

)

•

är kontinuerliga i

(x 0 ,y 0

)

följer då att

och f'(x +6x,n) y

då

(6x,6y)

f'(x ,y ) ,

+

y

O

O

0

(0,0) .

+

Således är /,,f'(E,,y) X O

(3)

=

f'(x ,y) + El , X

O

O

) f'(x +6x,n) = f'(x ,y) + E2 , O y O 0

lY

där

och

då

(6x,6y)

+

(0,0) .

Kombinerar vi nu (3) och (2) så får vi satsen. Anm l för små

Sats 2 B innebär att om 6x

och

6y

f'

X

och

f'

y

göra approximationen

M"" f'(x ,y )6x + f'(x ,y )6y.

xoo

yoo

94

är kontinuerliga så kan vi

2:27 Uttrycket 6x

och

f~(x 0 ,y 0 )6x + f;(x 0 ,y 0 )6y 6y

som är ett förstagradspolynom i

kallas för differentialen av

betecknas med

f

i punkten

(x 0 ,y 0

och

)

df . Vi gör alltså följande definition.

DEFINITION

Låt

f(x,y)

vara en funktion med kontinuerliga

partiella derivator av första ordningen. Med differentialen

df

av

f(x,y)

i punkten

(x 0 ,y 0 )

menas

Fig 2.12 Anm 2

2 2 ' 2 2 l6xl < l/(6x) + (6y) , löYI < l/(6x) + (6y)

Olikheterna

I

ger

E16x + E26y < IE1I + IE2I

·

lvTI

ltml S 10- 5 S 0.003 .

(ty

TT= 3.141592 ... ) , lt>tl < 5,10- 4 (forts)

98

och

2:31 Triangelolikheten ger då

ldfl

< 6.2519•10- 5 + 9.7717•5•10- 4 + 9.7717•0.003
0)

2.78

a) u

V

•

Visa att man kan välja

=x

=x

ay , v

+

och

a

b

så att variabelbytet

by

+

överför ekvationen 62 11

Sz 11

-

xy

XX

z"

+

YY

2x

en ekvation av typen b) 2.79

z~v

=

h(u,v) .

Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen

Låt

u(x,t)

vara utslaget vid tiden

t

i punkten

övn 2.78 a .

x

för en

elastisk sträng som utför transversella svängningar i ett plan.

Fig 2.37 Under vissa förutsättningar (bl a att svängningarna är små och dämpningen försumbar) gäller att

u(x,t)

är en lösning till

den s k vågekvationen (3)

C

u~t

där

u"

XX

'

är en positiv konstant.

C

a)

{n[,

2

Lös ekvationen (3) genom att göra variabelbytet =

X

Ct

-

=X+ Ct

(Jfr med ex 2.12.) b) {

Bestäm den lösning som uppfyller begynnelsevillkoret

u(x,O) u~(x,O)

sin x

= =

0 . 144

2:77 2.80

Betrakta differentialekvationen xz"

XX

a)

- yz"

2.81

0 .

>

Transformera differentialekvationen genom att införa nya

variabler b).

= y , y

+ zx'

xy

= xy

u

och

= 1/y

v

LHs differentialekvationen.

Beräkningarna vid lösning av en differentialekvation kan ibland förenklas genom infHrandet avs k dimensionslösa variabler. Betraktat ex värmeledningsekvationen 3u at

a2u

= a --2 ,

0
0 .

Visa att om man inför de dimensionslHsa variablerna ~ = x/t, T = at/t 2 (a har dimensionen (längd) 2 /tid) så övergår värmeledningsekvationen i 3u 3T 2.82

a2u a~2 ,

Genom en lång rörledning strHmmar varmvatten med en temperatur av 75°. Temperaturen på rörets yttersida är 15°. Rörets innerdiameter är 20 cm och dess ytterdiameter är 22 cm. Bestäm temperaturvariationen i röret vid stationärt tillstånd. Ledning: Bestäm en lHsning som endast beror av T

15

då

r

=

11

T

s

T(x,y)

-~

r=vx

och

i ex 2 .13.)

145

T

+y

s

75

till

T"

XX

+

T" yy

= 0

och som uppfyller villkoren då

r = 10 . (Jfr med anm 4

2:78

Mera om differentialer

2.8

Om

f(x,y)

har kontinuerliga partiella derivator så gäller (approxi-

mationssatsen) (1)

där

f'(x,y)6x + f'(x,y)6y

df

är differentialen av

y

X

E2 ➔ 0

då

(6x,6y)

➔

är entydig, dvs om man kan skriva

och

6f

på formen

M

(2)

A och B ej beror av

där

(6x, 6y) 6y

f(x,y)

Vi ska nu visa att utvecklingen (1)

(0,0)

=0

➔

.

(0,0)

så är

A

6x och 6y

och där

= f~(x,y)

och

B

=

El och E2 ➔ 0 då f'(x,y) Väljer vi y

i (2) får vi 6f = f(x+6x,y) - f(x,y)

varav

Låter vi nu

0

får vi enligt definitionen på 6x = 0

Genom att välja

A

B

➔

6x

f~(x,y)

att

kan man analogt visa att

f'(x,y) y

Funktioner som uppfyller villkoret (2) i en punkt

(x,y)

sägs vara

differentierbara i denna punkt. Vi inför nu beteckningarna kan motiveras med att om df dvs

6x

=

=

=

df

df =

=

x

för

6x

resp

6y • Detta

så är

f'6x + f'6y y

X

dx . Beteckningen

Differentialen (3)

dx

dx och dy f(x,y)

6y

motiveras analogt.

kan då skrivas

f' dx + f' dy . y

X

Poängen med detta skrivsätt ges av satsen nedan. SATS 2 G

(Satsen om första differentialens invarians) Antag att dz

=

df

även om

z

~~

=

f(x,y) . Då gäller

dx +~!dy

x och y

146

är funktioner av andra variabler.

2:79 Bevis

Vi betraktar fallet x

dvs

x och y

x(u,v,w) , y

=

y(u,v,w) ,

=

är funktioner av

u, v och w. Vi antar att dessa funktio-

ner har kontinuerliga partiella derivator. Definitionsmässigt gäller då

(4)

af du+ af dv + af d d z = au av aw w •

Enligt kedjeregeln gäller

1~ l'"

au .) _ af

af ax

ax au

af

ax +~-~ ay av •

af ax

ax aw

= ax . av

af 3w

af ay

Insättning i (4) ger dz = (:; • ~: + +

=

~-~ ay au ,

= -·- +

~ aw

*~! ··

(¾ •:: ¼(t du + ~: dv + +

at

• ax dx +

di ay

* *•¼) * *{* *

*) du + (¼ · *) dw •

+

dv +

dw) +

du +

dv +

¼dw)

=

dy

ty ,-dx

ax

+ ax dv + -ax dw, au du aw av

=

J

~ du + ~ ldy =~ av dv + aw dw. au

Ex 2.44

Antag att Beräkna

z =

dz

X •

i punkten

(u,v)

UV

,

(2,-1)

y = u + 2v .

dels direkt, dels

med hjälp av satsen ovan och visa att man får samma resultat. Lösning: Insättning av för

z

ger

z = u 3v 2 + 2u 2v 3 - 2uv.

147

x =uv, y

=

u + 2v

i uttrycket

2:80

Alltså är dz =~du+ ~ dv = au av (Ju 2v 2+4uv 3-2v) du+ (2u 3v+6u 2v 2-2u) dv = du+ 4 dv , i punkten

6

a

(u,v) • (2,-1)

Enligt satsen gäller också dz

az

az

ax dx + ;ly dy

=

Vi får

az

az

2xy - 2 , ay

ax

X

2

ax ax du + - dv au av

/dx )

': dy = ll au

'-

du+

ll av

v du+ u dv 1 du+ 2 dv

dv

Allt så gäller dz Då

(2xy-2) (v du+ u dv)_ + x 2 (du + 2 dv) .

=

u

= 2 och v = -1

I punkten

(u,v)

=

så är

(2,-1)

x

= -2 och y =

är alltså

dz

=6

0

du+ 4 dv.

Satsen om differentialens invarians är ofta praktisk att använda vid lösning av problem rörande variabelbyte i differentialuttryck, där sambandet mellan variablerna är givet åt "fel håll" i förhållande till det givna problemet. Ex 2.45

Transformera den partiella differentialekvationen z"

xy

- .....!__ z' - .....!__ z' = 0

4y

x

4x

y

genom variabelbytet

x = ue

V

ue-v, där

, y

Lösning: Kedjeregeln ger

az au

au ay

-•-+

Differentiering ger

f

ax ax - dv dx = au du +av

ev du + uev dv

l

du + ll ~dy = ll av dv au

148

e

-v

du - ue

-V

' dv

u > 0 •

2:81

Löser vi ut

du

och

dv

får vi

-v V e e jdu = -2- dx + T dy

-; I

dv

L

e

-v

2u

Eftersom

eV dy 2u

dx

au au d dx + ay Y så kan vi direkt avläsa att ax V -v au e e Analogt fås att av ay T ax 2u och

du=

-v au e -2ax

och

V

av e ay • - 2u

Alltså är az av

e

-v

+-•--

2u

'

a /az · e-v + ~ • e -v) ay\au 2 av 2u

=

(kedjeregeln)

(Vi antar att de blandade derivatorna är lika.) Insättning av uttrycken för

och

i ekvationen

ger då följande ekvation 1 z"

4 uu

- - - z"

4 u2

vv

+

....!_ z' - __l_/z,. e-v 4u u 2 4ue-v\ u

+

zv'. e2-uv) -

- 4 \ (z~ . e2v - z~ . ;:) ue

0 •

Efter förenkling får vi ekvationen z"

uu

z"

vv

= 0

(forts)

149

2:82

Anm

Problemet kan också lösas genom att uttrycka

som funktioner av

u och v

x och y . Det ekvationssystern som man

måste lösa då är ue ue

V

där

-v

u > 0 .

Detta systern är dock besvärligare att lösa än det linjära ekvationssysternet i Ex 2.46

du

och

dv .

Betrakta ett termodynamiskt systern med två frihetsgrader, dvs ett systern där två av de tre variablerna temperatur T och volym V är oberoende. Om rensvolym (vanligen volymen vid

o0 c

8

1

= _

(¾%)v

a

i

Lösning: Om vi väljer

=

dp

dp

dT

T Men om =

B •

p

och

T

V= V(T,p)

som oberoende variabler att

(~)p dT + (~:)T dp

Löser vi ut

dp

/av)

och

ger differentiering av dV

och den iso-

~"ap°T

0

Uttryck

a

B av formlerna:

terrna kornpressibiliteten 1 /av) v:::\aT P

är en refe-

och 1 atrn) så definieras

den termiska volymsutvidgningskoefficienten

a =

tryck p , VO

T

och

får vi 1

+ ~

dV.

\½/T V är oberoende variabler så är

(*)V dT + (*)T dV.

Identifiering ger då

(~)

-

aT V -

a

B

Som tillämpning på ovanstående betraktar vi följande problem. För kvicksilver gäller att a c l.8·10- 4 grad-l och -6 -1 B = 3.9·10 atm . Antag att en termometer är fylld med

150

2:83

kvicksilver vid l00°C. Vilket blir trycket i termometern om den upphettas till 102°C? Eft;rsom och

6T

2°

=

får vi att

6p..,

(~t)v 6T

(*)v = ~8 = 46 atm/grad 92 atm

=

(termometern

krossas naturligtvis långt innan detta tryck uppnås). Ex 2.47

Vi förutsätter i detta exempel att läsaren är bekant med begreppen inre energi

U och entalpi

H

=

U + pV

för ett

termodynamiskt system (samma beteckningar som i ex 2.46). Utgående från dessa storheter definieras värmekapaciteten

ev= (~~)v

vid konstant volym tant tryck än

C

V

cp

~

(~~)p

och värmekapaciteten vid kons-

Vanligtvis gäller att

cp

är större

Detta beror på att den värmemängd som tillförs ett

ämne vid konstant volym endast används för att höja ämnets temperatur, medan den värmemängd som tillförs ett ämne vid konstant tryck också används för expansionen av ämnet. Vi ska härleda ett viktigt samband mellan Av definitionen på

H och

C

p

C

p

och

C

V

får vi

(5) (I denna ekvation uttrycks T

och

U och

V som funktioner av

p .)

Vi kan också uttrycka U = U(T,V)

U som funktion av

T och

V,

Differentiering ger

(6) Analogt får vi (7) Sätter vi in (7) i (6) så får vi

Men om vi betraktar

U som funktion au

T

och

p

gäller

(forts)

151

2:84

Alltså är

(:~)p = (:~)v + (:~)i:~)p

Insättning av uttrycket för (8)

C

p

(:~)p.

i (5) ger då

ar p = ev+ (~;)P[(~~)r + P] (~~)v + (:~)i:~)p + Ptv)

är den del i vännekapaciteten

Termen

C

p

som orsa-

kas av volymsändringen hos systemet mot det yttre trycket Den andra termen

(av) (au) aT p av T

p

representerar den energi som

krävs för volymsändringen hos systemet mot de inre krafterna hos ämnet. Man brukar kalla

(~~)T

för ämnets inre tryck.

I fasta ämnen och vätskor i vilka starka inre krafter mellan molekylerna finns är att

(~~)T

(au)

stor. Hos gaser gäller däremot

är liten jä!~ö;t med

p . För ens k ideal gas,

dvs en gas som uppfyller den allmänna tillståndslagen pV = nRT gäller att

(n R (:~)T

z

=

antalet mol av gasen, allmänna gaskonstanten)

O , dvs den inre energin hos en ideal

gas är en funktion endast av

T . För en ideal gas får vi då

V = nRT p

I detta fall är alltså Om vi betraktar värmekapaciteterna för en mol alltså att

c

(n=l)

får vi

p

Med hjälp av den sk andra huvudsatsen kan man visa att au) T + P -_ T·(ap) ( av äf V ' Sätter vi in detta i ut~rycket för (8)

c

p

får vi

cp =ev+ T·(*)v(:~)P · Enligt ex 2.46 är emellertid där

(9)

a

(~V) = V •a och (~) = a cT p O ar V 8 är den sk volymsutvidgningskoefficienten och 8

den sk isoterma kompressibiliteten. Vi får då slutligen V Ta 2 0 C ev+ --8p

152

2:85

övningar

2.83

Använd satsen om första differentialens invarians för att beräkna

dz

4

2

i punkten

z = ex -2x -2y

2.84

(u,v,w)

(1, 2 ,-2)

2 ,

X

zz

2u +

V

+

W

om

uvw

y = - 2-

,

Transformera uttrycket f

+ f

I

I

y

X

genom att införa de nya variablerna X= U

2.85

2

-

V

2

,

y

=UV,

Transformera differentialekvationen f"

XX

- .!.X

+ 4x 2 f"

+ 4x f"

xy

yy

f

I

X

= 0

genom att införa de nya variablerna

2.86

Transformera differentialekvationen

~ ax

a2z -

a/

- 0

genom att införa de nya variablerna X

2.87

=

ln u + ln v 2

' y -

=

t\*)v 0

där

Po

Visa att

och

v

genom

2

Den termiska tryckkoefficienten

y

u

ln u - ln v

y

definieras genom

'

är ett referenstryck. Cl

= p0 By

,där

1.53

Cl

och

B är definierade i ex 2 .46.

2:86

Taylors formel

2.8

För funktioner av en variabel ger Taylors formel en möjlighet att approximera en funktion med ett polynom i närheten av en given punkt. Taylors formel kan skrivas (t-t "'() .., t

= "'( .., to )

+ (t-t o )'(t) +

i2 "(t) o +

O ~

Resttermen kan uttryckas på olika sätt. R

( 1)

n+ 1

(t)

(t-t )n+lB(t) , där

=

o

(precisare: i en omgivning av

är begränsad "nära"

Specialfallet

t

0

t

0

~

mellan

t

och t.

0

kallas för Maclaurins formel.

= 0

Förutsättningen för att Taylors formel ska gälla är att funktionen har kontinuerliga derivator tom ordning innehåller

t

som inre punkt.

0

n + 1

i ett intervall som

(t-t ) 2

+ (t-t 0 }' (t 0 )

Polynomet

o

t )

för något

(2)

Anm

B(t)

..

0

~

"

(t ) .. 0

( t-t ) n _ _o_ (n)(t) + ••• + n!

o

kallas för Taylorpolynomet av ordning (Maclaurin-polynomet om av

(t)

då

Polynomet

t

p(t)

t0

•

ligger nära

t0

,

till

kring punkten

t0

t0

karakteriseras av att det och dess

överensstämmer med funktionen punkten

n

0 ). Detta polynom är en bra approximation

(t)

och dess

n

n

första derivator

första derivator i

dvs

(3)

Även för funktioner av två eller flera variabler är det ofta önskvärt att kunna approximera med ett polynom i närheten av en given punkt. Detta gäller tex när man vill avgöra huruvida ens k stationär punkt, dvs en punkt där de partiella derivatorna av första ordningen är noll, är en lokal maximi- eller minimipunkt (se kap 3). Därvid gäller dock

154

2:87

att man sällan behöver polynom av högre grad är 2. Vi kommer därför huvudsakligen att behandla approximationer med polynom av grad 1 och 2. Vi definierar dock Taylorpolynom av en godtycklig ordning och utgår därvid från motsvarigheten till villkoren i (3). DEFINITION Med Taylorpolynomet k •

av ordning

, 2 , ... , till

menas det polynom av grad högst värde i

(x 0 ,y 0

som

)

vator tom ordning derivator av Anm

Om

(x 0 ,y 0

)

= (0,0)

laurinpolynomet till

f

i

k ,

kring punkten f

k

k

som har samma

och vars partiella deriöverensstämmer med motsvarande

(x 0 ,y 0 )

brukar polynomet ovan ibland kallas för Mac-

f .

För att bestämma Taylorpolynomet

p(x,y)

av ordning

gör vi ansatsen

p(x,y) • aoo + a1o0).

a) ett approximativt

2:96

2.90

f(x,y)

Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning 2 till

e

a

3x-2/

genom a)

derivering

b)

att använda Maclaurinutvecklingen av

e

t

2.91

Bestäm Taylorpolynomet av ordning 2 till f(x,y,z) 2 2 = ln(x-xy +z) kring punkten (2,1,-1) .

2.92

Härled approximativa formler, genom approximationer med lämpliga Taylorpolynom av andra ordningen för uttrycket 1+

a)

!al

där 2.93

och

!Bl

-4

cos CL cos 8 '

d)

är små jämfört med 1.

= 1: 0.02 , y = 0

2

~

2

ln(x +2y )-2x

om

0.03 . (Utnyttja övn 2.88 a.)

Bestäm genom Taylorutveckling av täljare och nämnare lim (x,y)-+(0,0)

2.95

(1 +a+8)

c)

b)

Uppskatta felet vid beräkning av x

2.94

CL

1- 8 '

1 + sin(x+y) - ex+y + xy 4- 2

COS X -

2

COS

y

Lös tredjegradsekvationen z 3 + z(l+4x) + 2xy - 2 = 0 approximativt för små värden på

x

och

y

genom Taylorut-

veckling. Medtag termer tom andra graden. 2.96

a)

Visa att ett nödvändigt villkor för att approximationen

=

f'(x ,y )h + f'(x ,y )k X

O

O

y

O

0

skall vara exakt för vissa (9)

h

och

k

är att

(f" (x ,y )) 2 - f" (x ,y )f" (x ,y ) > 0 . xy O O XX O O yy O O Vad innebär likheten b)

öf

=

df

geometriskt?

Visa att villkoret (9) är uppfyllt för

f(x,y)

Visa också att i detta fall gäller att

öf

tycklig punkt för precis två värden på

h/k .

164

=

df

X

2

-

i en god-

y

2

2:97 2 .10

Numerisk lösning av icke-linjära ekvationssystem

Ett icke-linjärt ekvationssystem med två obekanta kan skrivas jf(x,y) = 0 (1)

tg(x,y)

0

Vanligtvis går det inte att lösa ett sådant system på något direkt sätt. Vi är alltså hänvisade till att pröva någon numerisk metod som kan ge en approximativ lösning. Hur många lösningar det finns till (1) är i allmänhet omöjligt att avgöra. Vi får nöja oss med att leta oss fram till en lösning till systemet (eller i varje fall en i taget). Ex 2.51

Vi vill beräkna samtliga lösningar till + y

+ y

2

2

3

I detta enkla fall går det att rita upp kurvorna:

y

Fig 2.40 Det finns tydligen två lösningar till ekvationssystemet, en i närheten av punkten

(-1,1)

och en i närheten av

(1,-1)

Vi utgår från att vi med hjälp av en figur, överslagsberäkning eller god intuition har en approximativ lösning

16S

(x 0 ,y 0

)

till (1). Vi försöker

2: 98

nu bestämma korrektioner

6x 0

och

6y 0

så att

(x 0 +6x 0 ,y 0 +6y 0 )

blir

ett ännu bättre närmevärde. Helst vill vi ha ·f(x +6x ,y +6y ) ~ 0 0

(2)

0

0

0

l,·g(x +6x O ,y O+6y 0 ) _ O

0

Detta system är ju egentligen detsamma som (1) och

därför måste

vi hitta någon förenkling för att kunna beräkna tix 0 och approximativt. Vi kan Taylorutveckla kring (x 0 ,y 0 ) och ta med termer tom

ordning 1: f ( X + 6x , y + /; y ) "" f ( X 0

{

(3)

0

0

0

, y ) + f 1 ( X , y ) llx + f ' ( X , Y ) t;y , oo xoooyooo

+g'(x ,y )llx + g'(x ,y )lly g(xo + t;xo' Yo + t;yo) .., g(x 0 ,y) 0 X O O O y O O , Använder vi denna approximation i (2) får vi följande linjära ekvationssystem: (f'(x,y)•t;x +f'(x,y,•tiy

{

( 4)

X

O

O

O

y

O

o

[g'(x ,y) • llx + g'(x ,y ) • lly X

Vi löser ut

t;x 0

O

O

O

och

t;y 0

y

O

O

0 0

=-f(x 0 ,y 0 ) , = - g(x 0 ,Y 0 )

ur (4) och sätter

x1 =

x0

+ tix 0

och

Y1 = y 0 + t;y 0 • Genom att vi gjort approximationen (3) kommer inte att vara den exakta lösningen, men vi bör ha kommit och närmare den. Vi kan nu försöka hitta en ännu bättre punkt

(x 1+6x 1 ,Y 1 +tiy 1 )

på samma sätt. Korrektionerna tix 1 och tiy 1 kommer då att bestämmas ur ett linjärt ekvationssystern, som är snarlikt (4). Enda skillnaden är att index överallt är

istället för

0 . Vi sätter

och

y 2 = y 1 + åy 1 . Punkten (x 2 ,y 2 ) bör nu ligga ännu närmare lösningen. Upprepar vi tekniken ännu ett antal gånger får vi Newtons

metod för icke-linjära ekvationssystem med två obekanta. Den går även under beteckningen Newton-Raphsons metod,men vi föredrar det kortare namnet.

~ (

0 0I/-

Jag studerar / i cke-1 i njära ekvationssystem. ~~~r~~rtust vad han

/

\

~a :r. . '•/.\~

'r

0

~'

Jag studerar9 icke linjära ekvationssystem. Alls icke ...

~

~ o

~~ ~'@~-~~sr "

,... ......- _--.Jcl66_

,,,....__,._Q_

~ __,1~. -

2: 99

Newtons metod för icke-linjära ekvationssystem med två obekanta

Upprepa följande för Beräkna

öxn

och

n • O, 1, 2, ... :

öyn

ur ekvationssystemet

f"•öx + f'·öy = -f , x n y n

1

g'·öx x

+ g'·öy

n

y

-g,

n

där alla funktionsvärden tas i punkten

fxn+l

l

(x 0 ,yn) , och sätt sedan

= xn + öxn

yn+ l = Yn + lly n

Iterationsprocessen måste naturligtvis avbrytas på något sätt. Ett enkelt avbrottskriterium är att kräva att korrektionerna skall vara tillräckligt små i både x- och y-led, dvs

I tix n I

< 6

-

för något litet tal f(xn+l'Yn+l)

och

och

I tiy n I

< 6

-

6 . Ett annat tänkbart test är att funktionsvärdena g(xn+l'Yn+l)

skall vara små nog.

Vi skall nu i detalj lösa ett icke-linjärt ekvationssystem numeriskt. Vid praktiskt räknande är naturligtvis Newtons metod (och dess varianter) i första hand intressant som underlag till datorprogram. Ex 2.52

a)

- 2

: X

j'-- X 3

Bestäm en lösning till ekvationssystemet + y + y

2

2

3

med Newtons metod. Använd

x

=

-1 , y

=

1

som startvärde.

Använd högst fyra iterationer men avbryt om

b)

Ange i vilka punkter i xy-planet som metoden bryter samman.

167

2:100 Lösning: a)

Vi sätter f(x,y) = x 2 + y 2 - 2

och

g(x,y)

och får 2x ; f~(x,y) = 2y,

f~(x,y)

Vi har vidare Med

ö = 0.02 .

blir det första

och

n = 0, x 0 = -1

ekvationssystemet 0

som ger

/lx

l

6

0

Alltså blir 5

-fi• 7

6" Nästa ekvationssystem blir

med lösning {

llx 1 = 0.017593 , /lyl = - 0.011243

Nästa närmevärde blir Jx 2

- 0.815740

[y 2 1.155423 . Eftersom korrektionerna

llx 1

och

lly 1

är tillräckligt

små stannar vi här. Med hänsyn till deras storlek är tre decimaler i svaret fullt tillräckligt. Svar: a) x=-0.816, y = 1.155. Anm

Av symmetrin kring linjen

y • x

(se fig 2.39) följer

att den andra lösningen till ekvationssystemet är och

y = -0.816 . 168

x = 1.155 (forts)

2: 101 b)

Vi tecknar koefficientmatrisen till det ekvationssystem

vi får i en godtycklig punkt

A= (2x

(x,y):

2y)

3x 2

3/

Systemet saknar entydig lösning då det A = 0 dvs då 2 2 6x y I de punkter där x = 0 eller y = 0 eller

6xy x

=y

bryter alltså metoden ihop. Detta innebär att exempel-

vis punkterna

(1,0) , (1,1)

och

(0,1)

är otänkbara som

startvärden. Precis som när man löser ekvationer med en obekant är Newtons metod för system beroende av goda startvärden. Annars kan det hända att det blir långsam konvergens eller kanske ingen konvergens alls. Det är också stor risk att man hamnar i en annan lösning än den man tänkt sig. Ex 2.53

Om vi för samma problem som i föregående exempel väljer startpunkten

x0 = 1 , y0

•

0.5

får vi detta ekvationssystem i

första iterationen: J26x 0 + 6y 0

=

0.75,

136x 0 + 0. 756y 0 öx

med lösning

(~i , ~3)

-

0.125 -11 24 och 6y 0

0

•

5 3 . Den nya punkten

ligger nu mycket längre från någon lösning än vad

startpunkten gör. Vi kan också skriva iterationsformeln på matrisform (-1 betecknar invers). f'(x,y) ( x n n

f'(x y n ,y n )\

(g~(xn,yn)

g'(x ,y ))

y

n

n

-1

(f(x , n ,y n l.

)l

g(x ,y ) n n

Här är det lättare att se hur generaliseringen skett från envariabelformeln för Newtons metod.

Det går att direkt generalisera metoden till problem med fler variabler, tex ekvationssystemet

r

f(x,y,z)

0

•j f(x,y,z)

= 0

lh(x,y,z)

0

169

2: 102

Newtons metod har hög konvergenshastighet nära lösningen. A andra sidan är det ofta besvärligt att ta fram alla de derivator som behövs. Med tex 6 variabler måste 36 partiella derivator tas fram. I praktiken används därför istället metoder som på något sätt approximerar derivatorna, tex Broydens metod.

Övningar 2.97

Lös ekvationssystemet 2 {

~

X

-

X

+ y

2

0

- 2

0

-

med Newtons metod, maximalt två iterationer. Pröva startvärdena

=0

X

d)

Avgör hur många lösningar det finns genom att skissera

= y = 0

kurvorna

x

2

b)

- y - 2

x

=0

l , y

och

x + y

.

2

c)

- 2

=0

I vilka punkter i xy-planet bryter metoden samman?

e) 2.98

=

a)

Lös ekvationssystemet 2

{ xx 3 - 4x - y = - 4 ' - y

=

0

med Newtons metod. Startpunkt i origo. Avbryt då

/6yn/ ~ 10-

och

4

/6x / < 10- 4 n

-

, men använd högst 3 iterationer. Skissera

kurvorna och bestäm antalet lösningar. 2.99

Sätt {

2 2 + yx - 2x - 4y 2 g(x,y) = x - xy - 2x + 2y , h(x,y)

a)

x

Systemet

lcx,y>

o

lgCx,yl

o

kan lösas exakt, tex genom att man i andra ekvationen löser ut

x

uttryckt i

y .

Beräkna samtliga lösningar till systemet.

(forts) 170

2: 103

b) {

Systemet

h(x,y) = - 1 , g(x,y) • 0 ,

kan inte lösas exakt. Beräkna en approximativ lösning genom att utgå från origo och iterera med Newtons metod tills ltiy 2.100

n

I

< 0.01

-

Ekvationssystemet

f

(x-1)2 + (y-1) 2 - 1 • 0 ,

l

X

2

+ 9y

2

- 9 = 0

har en lösning

x • 0 , y • 1

och kanske även andra lösningar.

Gör en iteration med Newtons metod och startpunkt

2.101

a)

(2, 1) •

d)

Skissera kurvorna och avgör hur många lösningar det finns.

b)

(1,0)

c)

origo

Använd Newtons metod för att bestännna en lösning till r2y - x 3

= 0. 2

lx+2l

0.1

Starta i origo. Använd högst tre iterationer men avbryt om JtixnJ ~ 0.005

och

Jtiynl < 0.005 . Skissera kurvorna och

bestäm antalet lösningar. 2.102

Använd Newtons metod för ekvationssystem för att bestännna den lösning t i 11

j,-(y-1) 3

+X= 0 ,

lsin(x 2 ) - y • 0 , som ligger närmast origo. Räkna med tre decimaler och avbryt när ltixl < 0.05

och

ltiyl < 0.05 .

171

2: 104

2. 103

Ekvationen tal e

z

z

=

e

X

=

X

har ju inga reella rötter. Men för komplexa

x + yi , x och y

reella, kan man visa att ekvationen

= z

har oändligt många rötter. En av 1

om

(x,y) # (1,1) .

Se fig 3. 2.

2'

X Fig 3.1

Fig 3.2

På samma sätt som i envariabelfallet ger derivatan ett nödvändigt villkor för lokalt maximum eller minimum.

SATS 3 A

Om

har ett lokalt maximum (eller minimum) och

f

är deriverbar i en inre punkt

I f~(x 0 ,y 0 )

0

f'(x,y)

0

l

y

O

0

Fig 3.3 174

(x 0 ,y 0

)

så gäller

3:3 Bevis

Antag att funktionen

Sätt

g(x) = f(x,y 0 )

f

har ett lokalt maximum i

Hjälpfunktionen

•

g

)

z

O . Men

g'(x)

=

f~(x,y 0

h(y)

=

f(x 0 ,y)

Genom att studera Anm

)

,

)

•

är en funktion av en variabel

som har ett lokalt maximum i den inre punkten g'(x 0

(x 0 ,y 0

varför

visas att

x0

•

Alltså gäller

f~(x 0 ,y 0 f'(x y

)

y)

o' o

0

=

=

0 .

Att de partiella derivatorna är noll innebär, enligt sats 2 C, att

även riktningsderivatan blir noll, dvs

i varje riktning

e

som derivatan existerar.

DEFINITION En punkt

(x 0 ,y 0 )

där

-f'(x ,y) =O, X O 0 ~ f'(x y) = 0 , y o' o

kallas en stationär punkt. Ex 3.2

Bestäm de stationära punkterna för

f(x,y) •

x2

+ y

2

Lösning:

Punkten

(0,0)

är den enda stationära punkten. Funktionen

har f ö ett minimum i

(0,0) . Se fig 3.4.

y 2 2, Z =X+-y

\ \) X X

Fig 3.4 175

3:4

Bestäm de stationära punkterna för

Ex 3.3

f(x,y)

xy .

0 0 Punkten

(0,0)

är den enda stationära punkten. Se fig 3.5.

2.

Fig 3.5

Ex 3 .4

Visa att punkten

(0,0)

funktionen f(x,y)

=

Lösning:

f(0,0)

ej är en lokal extrempunkt till

xy

0 . Punkten

=

(0,0)

kan ej ge ett lokalt U av

(0,0)

vi

väljer så finns det

denna omgivning punkter

(x,y)

så att

f(x,y) < 0

Alla punkter i andra och fjärde kvad-

minimum ty oavsett hur liten omgivning =

f(0,0)

ranten uppfyller nämligen detta. Funktionen kan ej heller ha ett lokalt maximum ty kvadranten.

176

f(x,y) > 0

i första och tredje

3: 5

De sista exemplen visar att en stationär punkt ej behöver ge ett lokalt extremvärde. En stationär punkt som ej är en extrempunkt brukar kallas sadelpunkt. En lokal extrempunkt behöver inte vara en stationär punkt. Om förutsättningarna i sats 3 A inte är uppfyllda, dvs om extrempunkterna ligger på randen eller om derivatan inte existerar i extrempunkten, så kan vi inte dra slutsatsen att extrempunkten är en stationär punkt. Sats 3 A innebär alltså att varje lokal extrempunkt måste tillhöra någon av följande tre kategorier: 1.

Stationära punkter.

2.

Randpunkter.

3.

Punkter där funktionen ej är deriverbar.

(L~=f~ =O

... .

'

,: _' -\, ,...,.V ,

•

I ::;;;---

J

-1

X Fig 3.6

I det allmänna fallet, dvs då

f

beror av

n

vi en stationär punkt som en punkt där samtliga första ordningen är noll.

177

variabler, definierar n

derivator av

3:6

_Övningar 3. I

3.2

Bestäm alla stationära punkter för 2

a)

f(x,y)

X

b)

f(x,y)

2x

c)

f(x,y) = 2x

- xy + y

X

- y + 1

2 2 2 3 + xy + Sx + y

Bestäm al la stationära punkter för a)

f(x,y)

b)

f(x,y)

a)

(x+3y)e

2-y 2

3y

X+ X

X

2

+ y

2

Bestäm alla stationära punkter för f(x,y)

b) 3.4

-

3 2 + 2xy + y

+

3.3

2

2x 2 + y 2 + 2x + 4y .

Avgör om punkterna i 3.3 a ger lokala extremvärden.

Fig 3.7 visar nivåkurvorna för en viss funktion Avgör med hjälp av figuren vilka av punkterna E

f(x,y) A, B , C, D och

som kan misstänkas vara lokala extrempunkter .

. y

-----

·,.

.··

I

• 3

...

X

...- •.

.· · · · a2 :

_., ...

Fig 3.7

178

3:7

3.3

Största och minsta värde

Den viktigaste typen av extremvärdesproblem är bestämning av en viss funktions största eller minsta värde. Detta problem underlättas avsevärt om man från början vet att det finns ett största resp minsta värde. Ibland är det klart, av fysikaliska eller liknande skäl, att funktionen har ett största eller minsta värde. Ofta har man nytta av följande sats. SATS 3 B

Antag att

f

är en kontinuerlig funktion på en

sluten begränsad mängd. Då har

f

ett största

och ett minsta värde på mängden. Vi känner igen satsen från envariabelkursen (se [2, sats 2 H]) där vi betraktade kontinuerliga funktioner på slutna begränsade intervall. Med en sluten mängd menar vi en mängd med egenskapen att dess rand tillhör mängden. Att en mängd är begränsad innebär att den kan inneslutas av en cirkel. Ex 3.5

Mängden

{(x,y)!O < x < l , 0 < y < l - x}

är sluten

och begränsad.

Fig 3.8 Ex 3.6

Mängden

{ (x,y)

I

!xl + !Yl < l}

y

Fig 3.9 179

1

X

är öppen och begränsad.

3:8

Ex 3.7

Mängden

{(x,y)

I

x 3 + J , -1

y


- · l

CD

0

@

=0

CD

2x + 2y - >-·l

=

(D

X

y - 3

-

och

Punkten Ex 3. 26

0

2

@

Q)

>- = 0

ger

(3/2, -3/2)

Q)

och

Bestäm största och minsta värdet av x2 + / 4 • Lösning:

Sätt

ger

X= -y = 3/2

är den enda stationära punkten.

~(x,y)

=

X

2

+

y

2

kontinuerlig och eftersom cirkeln

-

f(x,y)

4 X

2

+

xy

på cirkeln

Eftersom funktionen är 2 y = 4 är sluten så

måste funktionen anta ett största och ett minsta värde. Dessa värden måste antas kurvan där

grad~

stationära punkter eller i punkter på s

Ö. Men grad~= (2x,2y); Ö överallt

på kurvan varför endast de stationära punkterna är intressanta. Dessa punkter fås genom att lösa

{

f~ +

"~~ =

0 ,

f' +

>-~'y

0

y

~

0

' dvs

~: I

lx

2

+

2>.x

0

+

2>.y

0

+

y

2

4

201

3:30

Lösningen utgörs av de fyra punkterna

(-1/'I, 1/'I)

och

2, -2, -2

resp

minsta värdet

(-1/'I, -1/'I)

(1/'I , 1/'I) , (1/'I , -1/'I)

som ger funktionsvärdena

2 . Vi finner att största värdet är

2

och

-2 .

Sats 3 D går att generalisera till fler variabler och fler bivillkor. För att bestäTI11ta de stationära punkterna för ~(x,y,z) = 0

r

f~ +


(x,y,z) • 0

och

~(x,y,z) = 0

f' + Xi!>' + y y (2)

f' + Ai!>' + z z

µ~~

0

µ~;

0

il>

- 0

~

= 0

och

f(x,y,z)

löser man systemet

'

203

c

är alltså 1:1:2 under bivillkoren

3: 32 Detta inser vi på följande sätt. De två bivillkoren f(x,y,z)

=

=

0

och

r

antas skära varandra längs en rymdkurva

Problemet är att bestämma stationära punkter för sig längs

~(x,y,z)

O representeras geometriskt av två nivåytor i rummet som

f

då

(x,y,z)

rör

f

Fig 3.23 1 en stationär punkt grad f•_t_

p

är

f.!. t

= 0

där

och alltså gäller

grad f

Men

fi

=

och

t

är ortogonala i

t

är ortogonal både mot normalen till

Men f

=

ltl

är r:s tangentvektor i

t

ö

=

eller att

grad~

och

~ =

0

och normalen till

grad f

och det plan som

spänns upp av dessa vektorer är alltså ortogonalt mot P

är ortogonal mot

är alltså

grad f

grad f

P .

0 . Dessa två normaler är

grad f

p

t

så ligger

grad f

en linjärkombination av

t . Eftersom

i detta plan. I punkten grad~

och

grad f .

Detta kan på vektorform skrivas grad f + A grad~+µ grad f =

Ö

Denna ekvation i koordinatform ger de tre första ekvationerna i (2) och de två övriga är bivillkoren.

=0

Vi bortser här ifrån fallet då ytorna

~

varandra längs en kurva och fallet då

grad~

i den stationära punkten.

204

och och

f

=0 grad f

inte skär är parallella

3:33 övningar

x2

3.25

Bestäm de stationära punkterna för f(x,y) 2 2 med bivillkoret x + y - 4y • 0 .

3.26

Bestäm det största och minsta avståndet från en punkt på ellipsen

x

2

+ 4y

2

4

till linjen

3.27

Bestäm de stationära punkterna för 2 2 bivillkoret x - y + 15 = 0 .

3.28

Bestäm största och minsta värdet av

4 X 3.29

+

4 y

=

=

x + y

25 -

- y

2

4 .

f(x,y)

•

u • xy

3

X

2

+ XY

under

på kurvan

l

Amerikanska postverket föreskriver att summan av längden av ett paket och omkretsen av dess tvärsnitt får vara högst 100 tum. Bestäm proportionerna på den tillåtna rektangulära låda som har störst volym.

3.30

Man vill göra en behållare utan lock i form av en rätvinklig parallellepiped, som rymmer l m3 . Den tillverkas av fyra stålplåtar, som svetsas samman och sedan svetsas fast på ett befintligt stålgolv. Man vill minimera kostnaden. Hur stor skall då längd, bredd och höjd vara om plåten kostar 60 kr/m2 och svetsningskostnaden är 20 kr/m (golvkostnaden

=

0).

(Ur Elementa 49(1966).) 3.31

Bestäm volymen av den största axelparallella parallellepiped som kan skrivas in i ellipsoiden 2 X

3.32

2 2 +Y9+-;--=1.

Bestäm proportionerna på den räta cirkulära kon med given mantelyta som har största volymen.

3.33

Man kan visa att det största egenvärdet till en symmetrisk n•n-matris Q(;;) =

-T

A

;;T~

ges av maximum av den kvadratiska formen under bivillkoret

I;; I •

l , där

(x 1 ,x 2 , ... ,xn) . Använd detta för att bestämma det .. . A a 2 21 ) . största egenvardet ti'11 matrisen

X

3.34

=

(l

Visa att avståndet från punkten Ax+ By+ Cz + D • 0 !Ax +By +Cz +Dl d =

0

0

0

205

ges av

(x 0 ,y 0 ,z 0

)

till planet

3:34

3.35

Bestäm största och minsta värdet av x +

3.36

y + z

=

1

och

xyz

=

X

2

+ y

2

+ Z

2

då

-1

Bestäm det största avståndet från en punkt på ellipsoiden 9x 2 + 2y 2 + 4z 2

s

1

206

till planet

6x + 2y + z = 2 .

3:35

3.6

Numerisk beräkning av extremvärden. Inledning

I de föregående avsnitten, som handlat om hur man bestämmer största och minsta värde till en funktion

f(x,y) , har exempel och övningar

valts så att det gått att lösa problemen exakt. Tyvärr är det i allmänhet inte så väl ordnat vilket följande två exempel illustrerar. Ex 3.28

Vi har fått till uppgift att transportera

1000 m3

av ett

ämne (finmalet) med en liten färja. En lämplig lösning är att konstruera en container (sluten låda) för transporten. För att få plats på färjan så får den vara högst 1.5 meter bred, 1 meter hög och 4 meter lång. Färjan gör tio framoch återresor varje dag. Transporten måste kunna klaras av på tre veckor. Arbetskostnaden för att göra containern är dels en fast kostnad om 2000 kr, dels en kostnad som beror av hur stor containern skall vara. Denna kostnad är 200 kr per meter kant. Materialkostnaden är 300 kr per m2 för bottenplåten och 200 kr per m2 för övriga sidor. Färjtransporten kostar 100 kr per tur- och returresa. Hur skall containern dimensioneras? Formulera problemet matematiskt'. Lösning: Låt

x, y och z

vara bredden, längden resp höjden

på containern. Vi får då arbetskostnaden:

2000 + 200(4x+4y+4z) ,

materialkostnaden: 300xy + 200(xy+2xz+2yz) Låt

k

beteckna det antal resor som behövs för transporten.

Det gäller att

k • (1000/(xyz)] + 1 , där

heltalsdelen av

[al

betecknar

a . Transportkostnaden blir alltså

100k

För att det hela skall vara klart inom utsatt tid krävs dessutom att

k < 210

(antal resor pä tre veckor).

Problemet är alltså: Välj

x, y, z och k

så att

f

minimeras,

där f(x,y,z,k) • 2000 + 200(4x+4y+4z) + 300xy + 200(xy+2xz+2yz) + 100k , och då 0 < x < 1.5 , 0 och

O < k < 210

Sy S l , 0 S z (k

< 4 , k ~ (1000/(xyz)) + l

heltal)

Detta är ett problem som måste lösas med någon numerisk metod.

207

3:36 Ex 3.29

Anpassning av en funktion till mätdata. Minsta-kvadratmetoden att anpassa en rät linje

y

=

a + bt

till en uppm, kan formu-

sättning mätvärden leras så här. Låt

g(x)

=

x 2 . Bestäm de värden på

a

och

b

som gör

m

l: g(f.-(a+bt.))

i=l

i

i

så liten som möjligt. En stor svaghet hos denna metod är att den inte är robust. Det innebär att om något eller några av mätvärdena

f.

1

ut-

satts för en "störning" (p g a felavläsning, tillfälligt fel i mätapparaturen, felskrivning, atmosfärisk störning och sånt) så kan detta få en mycket stor inverkan på minsta-kvadratlinjen. Bättre, dvs mer robusta, alternativ i de fall då man misstänker att det kan finnas sådana "outliers" i materialet är att i stället för g(x) x 2 tex sätta g(x)

=

lxlp

för något

p

i

(1,2(

("L -skattning"). p

Ett annat bra alternativ är "Hubers skattning", som kan ses som en kombination av L1- och L2-skattningarna.

y

0

L2 - linjen mins la. - kvadro1l~ l1l\j el\)

...:--

-- --

- - - - _ _L 1.:§.._._ -linJ·en ·-· L 1 -1inj~

Fig 3.24 Såväl för Lp -skatttning (med

< p < 2)

som Hubers skattning

blir det fråga om att minimera en icke-linjär funktion i a

och

b . Det måste ske med någon numerisk, iterativ metod.

I en del sammanhang är det naturligt att anpassa en summa av exponentialfunktioner till mätdata, tex y(t) = a exp(bt) + c exp(dt) . Även om man här väljer minsta-kvadrat-metoden så får man här ett icke-linjärt optimeringsproblem, nämligen att bestämma och

d

så att

208

a, b, c

3:37

minimeras. Det finns speciella algoritmer för icke-linjära minsta-kvadrat-problem. Vi kommer fortsättningsvis i detta kapitel att granska några metoder att finna approximativa extremvärden till en funktion numeriskt. Metoderna presenteras för fallet med en funktion av två variabler. De kan dock utan större krångel generaliseras till att fungera för funktioner av fler än två variabler. Vid den numeriska beräkningen utgår man från ett startvärde och siktar sedan på att få fram ett extremvärde i dess närhet. Vi kan bestämma oss för att det är ett minimum vi söker. Är det i själva verket ett maximum kan vi nämligen i stället för mum där

f(x,y)

f(x,y)

arbeta med

-f(x,y)

som har mini-

har maximum.

Kommande avsnitt innehåller relativt enkla exempel och övningar. Risken är ju annars att den stora mängden siffror skymmer metoden.

3.7

Koordinatsökning

Den allra enklaste metoden att söka minimum av en funktion

f(x,y)

är

nog att upprepade gånger minimera med avseende på en variabel i taget. Vi kallar detta koordinatsökning. Ex 3.30

Sök minimum till 4

f(x,y) = (x-1) (y-1)

4

2 2

+ x y

+ 2y + 1

med koordinatsökning. Starta i origo. Använd, om så behövs, steget

0.1

och stega fram i x- resp y-led så länge som

funktionen avtar. Lösning: Vi börjar med att variera x-koordinaten så att funktionsvärdet blir lägre. Den nya punktens koordinater kan skrivas

(Å,0)

och motsvarande funktionsvärde blir

Vårt bästa val är Från punkten

Å

(1,0)

=

1 .

skall vi nu gå ett lämpligt steg i y-

riktningen. Den nya punkten kan skrivas f(l,Å)

=

Å2 + 2Å + 1

209

=

(Å+l) 2 .

(1,\) . Vi har

3:38 Tydligen bör vi välja

A • -1 . Som nästa punkt tar vi alltså

(l,-1) . Vi ser att funktionsvärdet har sjunkit från (i punkten

(i origo) via

(1,0)) till

2

O.

Vi återgår nu till att variera x-koordinaten.

Vi har nu hamnat i den situation som tyvärr är den vanliga: det går inte att på något direkt sätt bestämma det bästa Å-värdet. En möjlighet vore att derivera uttrycket

med avseende på

A och sätta derivatan till noll. Det ger ekvationen 64A 3 + 2A + 2 ; 0 •

Att bestämma roten till den ekvationen med stor noggrannhet är inte värt besväret, däremot skulle man kunna tänka sig att göra någon eller några iterationer med någon numerisk metod ·för ekvationslösning. Vi skall istället arbeta enligt en enklare princip, nämligen att beräkna funktionsvärdet för några A-värden. Vi ser direkt ur uttrycket

att positiva ).-värden är ointressanta. Vi skall enligt uppgiften använda steget

0.1

f (1+>. • -1)

A

0

Vi väljer

så länge funktionen avtar:

0

-0. l

-0.19

-0.2

-0.33

-0.3

-0.38

-0.4

-0.23

A; -0.3

som ger det lägsta funktionsvärdet. Den

nya punktens koordinater blir alltså Nästa gång skall vi sätta bra värde på

y: -1

+).

x: 0.7 , y: -1 . och bestämma ett

>. • Vi kommer så småningom nära en minimi-

punkt till funktionen:

210

3:39

Funktionsvärde

Iterationspunkt 0

2

0

y

l

y = -1

X =

0.7

y

-1

-0.38

=

0.7

y

-1. 5

-0.5811

X

C

X

=

X

=

X

y

I punkten

z

-

0 0

(0. 7, -1.5)

är det stopp då vi använder steget

0.1 . En minskning av steget till

0.01

skulle ge denna

fortsättning: x = 0.72

y

s

-1.5

-0.5935

0.72

y

z

-1.54

-0.59472

X=

2

1

X

?{ivlkurVoT (.y..-t)ij('j-1)14

+t,J-+ 2y+ 1=1c

~2...----_.,-K=-o.5

}J_j -2--- -- K= -o.2s I L1----- K = o

j

(~

211

Fig 3.25

2 _ -

K-: 1

L- · K = 2

3:40

Koordinatsökning är en säker men långsam minimeringsmetod. Den är dessutom känslig för en vridning av koordinatsystemet. Vi använder koordinatsökning med minimering i varje

Ex 3.31

riktning på två närbesläktade problem. Vi sätter först f(x,y)

=

x 2 + 4y 2

Oberoende av startvärdet finner vi minimum efter maximalt två iterationer (se fig 3.26). Vrider vi så koordinatsystemet genom transformationen t

=

...!.... (-x+y)

/'i

f(s,t)

=½

1 (x+y) • f'I

s = -

så blir motsvarande problem att minimera

cs/+6st+St 2 ) .

Det går nu inte att nå origo i ett ändligt antal iterationer och dessutom blir konvergensen långsam.

t

~rf---

]{ iv 1\cUTVO r

x2 +4y2 =K Fig 3.26

Vi ser i ex 3.30 att vi i varje iteration måste söka minimum av ett uttryck i

Å •

Frågan om det är positiva eller negativa värden på

vi ska använda bestäms av funktionsytans lutning i x- resp y-led. Det innebär att vi kan utnyttja värdet av

f'

X

resp

f'

y

i den punkt

vi befinner oss för att avgöra om det är ett positivt eller negativt ,-värde vi ska ha. Om denna variant av koordinatsökning kan sägas att om man ändå gjort sig besväret att ta fram derivatorna kan man passa på att utnyttja dem bättre. Detta görs i nästa metod vi skall granska.

212

3:41

3.8 Antag

Steepest-descent-metoden att du befinner dig i punkten

(x 0 ,y 0 )

och vill leta dig fram

till en punkt med ett lägre funktionsvärde. Situationen är densarrana som om du i nattens totala mörker eller i tät dirrana befinner dig på kanten av en stor grop. Du vill leta dig fram till botten av gropen så snabbt som möjligt. Det troligaste är då att du väljer att gå åt det håll där det sluttar brantast nedåt. Detta är också den enkla iden bakom steepestdescent-metoden. Det är ju gradienten som anger åt vilket håll funktionen växer snabbast. Därför förflyttar vi oss till en punkt

(x 1 ,y 1 ) i mot-

satt riktning, i den negativa gradientriktningen, dvs -f'(x ,y )]

)i,

[

X

O

O

,

>. >O 0

-f'(x ,y )

0

y

O

0

Hur långt vi ska gå i den valda riktningen regleras av avståndsparametern >. Vi skall strax återkorrana till hur man kan välja dess 0 värde. Väl frarrane i punkten

(x 1 ,y 1 ) ändrar vi kurs genom att be-

räkna gradienten där:

Vi ser nu att det hela kan upprepas på nytt och vi får då denna allmänna formel.

Steepest-descent-metoden för minimering av f(x,y) >- > 0 n

, n

a

0, 1, 2, ...•

I minimipunkten är gradienten en nollvektor. Vi kan alltså välja ett litet tal

ö

och avbryta itererandet då

,y )I l f'(x x n n

< ö

-

och

if'(x y )i < Ö y n' n -

Det återstår nu att välja avståndsparametern

Ån . Ett alltför kort steg

är oekonomiskt och ett alltför långt steg kan innebära att vi hamnar på ett funktionsvärde som är större än det föregående. Vi har alltså samma slags problem som i koordinatsökning och använder sarrana teknik.

213

3:42 Ex 3.32 --

Sök minimum till

med steepest-descent-metoden. Starta i origo och använd (j fr ex 3. 30) .

A = 0.05, 0.10, 0.15, Lösning: Vi har

4(x-1) 3 (y-1) 4 + 2x/, 4(x-1) 4 (y-1) 3 + 2x 2y + 2 • Med

= y0 = o blir nästa punkt

x0

4>. ,

Vi får f(4>., 2>.) 0.05

1.47

0.10

1.46

0.15

1.64

I nästa punkt,

x1 =

ff~(0.4,

0.2)

-0.322,

lf ~ (o. 4 • o. 2)

l. 799 •

',

0.2 , är

0.4 , y 1

Vi sätter 0.4 + 0.322A 0.2 -

l. 799A ,

och beräknar

f(x 2 ,y 2 ). för ;\ 0.05, 0.1, 0.15, ... Det visar sig att funktionen avtar under 19 steg, dvs tills

2

;\ = 0.95 . (En mer raffinerad algoritm skulle ha kunnat

anpassat sig efter situationen och använt färre steg.) Den nya punktens koordinater blir alltså 0.4 + 0.322•0.95

0. 706 ,

0.2 - 1.799·0.95

-1.509.

Den nya steepest-descentriktningen bl·

1r

214

/o.a 2i\ \-0.024 I

3:43 Vi söker en ny punkt

rx 3

lY3

~ 0.706

+ 0.821A

-l.509-0.024A

Detvisar sig dock att redan för f(x 3 ,y 3 ) större än accepterar (x 2 ,y 2 )

Å

=

0.05

blir

f(x 2 ,y 2 ) . Vi avbryter därför och som minimipunkt. (För att vi ska

få en bättre approximation måste Å-steget nu minskas.) Svar: (0.7, -1.5) är approximativ minimipunkt.

}li yJ}t11 rvor

-\

(y.-t)"('j-f'f+il+ 2y+\ =K

~

K= -o.s K=-o.25

-2

K=o --K= 1

-3 Fig 3.27

215

3:44 Även steepest-descent-metoden har den goda egenskapen att den säkert levererar en avtagande följd av funktionsvärden. Det händer dock lätt att konvergensen blir mycket långsam även om A-värdet i varje steg väljs så att funktionsvärdet minimeras ("optimal steglängd"). Däremot är metoden okänslig för en vridning av koordinatsystemet.

I

I

/ I I

i ;, t1/7 ;;p;

't) /

.?)·

](:-tyt I

7

216

/ ~\

~)

/

11/

'f l

/

3:45 Ex 3.33

f(x,y) = x 2

Med

+

y2

finner steepest-descent-metoden alltid

minimum i ett steg, oberoende av startvärde.

X

... iivlkurvor

2.

X

2

+4y =K

Fig 3.29

Om

f(x,y)

=

x 2 + 4y 2

kan det ta många iterationer att komma

nära minimum. Exempelvis tar det med startvärdet y = 1

x

och "optimal steglängd" 12 iterationer innan 10- 4

5

=

f

är

mindre än

Följande två egenskaper som kan utläsas ur fig 3.29 i ex 3.33 gäller generellt. a)

Steepest-descent-riktningen är alltid vinkelrät mot den nivåkurva

som går genom den aktuella punkten. b)

Om steget

,\

väljs "optimalt" (dvs så att funktionsvärdet i sök-

riktningen blir lägsta möjliga), så kommer nästa riktning att vara vinkelrät mot den närmast föregående. Egenskapen b) är svagheten hos metoden: den "fastnar" gärna för två riktningar som inte är särskilt bra. Ett botemedel är att skala variablerna (tex byta y mot z = 2y då f(x,y) = x 2 + 4y 2 ) , ett annat att skaffa mer upplysning om funktionsytan som i nästa metod vi ska studera, nämligen Newtons metod. Vi ska dock först se på en generell modell för minimeringsalgoritmer.

217

3:46 3.9

En algoritmmodell

Koordinatsökning och steepest-descent-metoden passar,liksom praktiskt taget alla andra metoder att minimera en funktion

f(x,y) , in i följande

algoritrnmodell. Fig 3.30

Välj startvärde

Beräkna ny sökriktning

Gör linjesökning

NEJ

JA

Avbryt

De olika metoderna skiljer sig framförallt åt i sitt sätt att välja sökriktning. Vi har redan sett exempel på två möjligheter: dels parallellt med koordinataxlarna och dels i negativa gradientriktningen. När väl riktningen är bestämd gäller det att avgöra hur långt det är lämpligt att gå åt det hållet. En sådan linjesökning är ett envariabelproblem. Om sökriktningen är

så gäller det i princip att minimera

g(A) , där

Geometriskt representeras z

=

f(x,y)

g(Å)

åv den kurva vi får då funktionsytan

skärs av ett lodrätt plan som innehåller sökriktningen.

218

3:47

y

X Fi.g 3.31

Om tex

g(A)

råkar bli ett andragradspolynom så går det att bestämma

minimipunkten

A*

exakt, men normalt får man nöja sig med ett närmevärde.

Ett krav man bör ställa är att det nya funktionsvärdet skall vara lägre än det gamla (som är g(0)). Den enkla stegningsmetod vi använt hittills i exemplen (att tex sätta länge

g(A)

A • 0.05, 0.10, 0.15, ...

och hålla på så

avtar) kan naturligtvis förbättras. Eftersom linjesökningen

skall göras i varje iterationssteg lönar det sig dock inte att lägga ner alltför mycket arbete på att konnna nära minimum av

g(A) .

Ett sätt att hålla antalet funktionsberäkningar nere är att arbeta med kvadratisk eller kubisk interpolation. Vid kvadratisk interpolation utnyttjar man tre funktionsvärden g(A 1 ), g(A 2) och g(A 3) . Genom tre punkter går ett interpolationspolynom av andra graden och det är lätt att beräkna minimipunkten till detta polynom. Eventuellt kan man därefter byta ut

Al

eller

AJ

mot denna nya punkt och sedan upprepa förfarandet

(se fig 3.32).

219

3:48

Fig 3.32

Avbrottskriteriet (fig 3.30) kan väljas på olika sätt. Det enklaste är naturligtvis att bestämma sig för ett visst antal iterationer. Bättre är att låta resultatet av räkningarna avgöra nä~ man har fått ett tillräckligt bra resultat. Det finns följande tre tänkbara typer av test (som också kan kombineras på olika sätt): 1.

Är korrektionen (avståndet från (xn,yn) till (xn+l'Yn+l)) tillräckligt liten?

2.

Är

f(xn,yn) - f(xn+l'Yn+l)

3.

Är gradienten i

(xn+l'Yn+l)

nog litet? tillräckligt nära nollvektorn?

Om tex funktionen är mycket flack nära minimum är inget av dessa test

helt tillförlitligt i den meningen att man med säkerhet är nära minimipunkten om avbrottsvillkoret är uppfyllt. Detta kan jämföras med de problem som uppträder då ekvationen

f(x) = 0

skall lösas och

f

är

flack nära sitt nollställe. Ett annat bekymmer är funktioner med sadelpunkter. Om man under itererandet hamnar nära en sådan är det lätt hänt att avbrottskriteriet blir uppfyllt eftersom partiella derivatorna är noll i en sadelpunkt.

220

3:49 3.10

Newtons metod

Ett mycket vanligt grepp då en numerisk algoritm skall konstrueras är att approximera ett besvärligt uttryck med ett enklare och lätthanterligare. En tillämpning av denna ide på v!rt minimeringsproblem är att ersätta

f(x,y)

med Taylorpolynomet av andra ordningen krin~

n!gon approximativ minimipunkt f(x,y)..,f(x 0 ,y 0 (1)

)

(x 0 ,y 0 )

:

+ (x-x 0 )•f~(x 0 ,y 0

+ (y-y 0 )

)

•

f;(x 0 ,y 0

)

+

+ -2l ( (x-x ) 2f" (x ,y ) + 2(x-x ) (y-y )f" (x ,y ) + 0 XX O O O O xy O O 2

+ (y-y ) f" (x y ) ) o yy o' o Minimum av högerledet får vi genom att sätta dess partiella derivator med avseende på

x

resp

y

l'f' (x ,y ) + (x-x ) f" (x

till noll: ,Y ) + (y-y )f" (x ,y )

=

0 ,

f'(x ,y) + (x-x )f" (x ,y) + (y-y )f" (x ,y ) y o o o xy o o o yy o o

=

0

l

X

O

O

O

XX

O

O

O

xy

O

0

På grund av den förenkling vi gjort ko11111er detta system inte att ge den exakta minimipunkten utan istället en ~örhoppningsvis) bättre approximation som vi kallar

(x 1 ,y 1 ) . Med beteckningarna

llx 0

=

x 1 - x0

och

lly 0 = y 1 - y 0 för korrektionerna till den gamla punkten får vi följande ekvationssystem för att bestämma llx 0 och lly 0 : f" (x ,y ) • llx + f" (x ,y ) • lly (2)

{

XX

O

O

O

XY

O

O

0

= -fx' (x 0 ,Y 0

)

,

f" (x ,y) •llx +f" (x ,Y )•lly = -f'(x , y ) . xy o o o yy o o o y o o Den nya approximationen

(x 1 ,y 1 )

=

(x 0 +llx 0 ,y 0 +lly 0 )

förbättrar vi

nu på samma sätt. Vi sätter

(x 2 ,y 2 ) = (x 1+llX 1 , y 1+t1y 1 ) och beräknar de nya korrektionerna llx 1 och t1y 1 ur det system som motsvarar (2). Enda skillnaden är att index överallt nu är istället för O. Fortsätter vi på samma vis f1r vi följande iterationsformel: f~x(xn,yn) • llxn + f~y(xn,yn) • llyn = -f~(xn,yn) (3)

f" (x ,y ) • llx + f"

xy

n

n

n

yy

221

(x ,y ) • lly • -f~(xn,yn) • n n n

3:50

.fillll2

Iterationsformeln

kan man också få fram genom att utgå

(3)

från villkoren

f'·''

o, 0,

f;(x,y)

och tillämpa Newtons metod (se avsnitt 2.9) på detta icke-linjära ekvationssystem. Ex 3. 34

(3)

Använd formel f(x,y)

X

2

+ 4y

för att minimera

2

Använd startpunkt

a)

(1,1).

b)

Lösning: f~(x,y) = 2x 2

f~x(x,y)

z

a)

X

Med

f' (x,y) = Sy y f~y(x,y)

= 0

får vi

yo

0

,

-2 =

dvs

6x 0 - -1

(x

X

X

0

0

+ llx

llyo = -1 0

0

0 •

y o + lly o

ty: b)

=

-8 ,

och

C

y0 = d

ger

..

J2•llx0 + O·lly 0 = -2c

lO·llx0

+ 8•lly 0 = -8d,

x + llx 0

0

C

0

d - d

0

C -

222

'

(c,d).

3:51

X

'-- lHvl'kurvo I'

X2+4/=K Fig 3.33 Resultatet i ex 3.34b visar att iterationsformeln (3) ger minimipunkten direkt oavsett vilket startvärde vi väljer. Detta gäller alltid om f(x,y)

är en kvadratisk funktion. Sambandet (1) blir då inte approxima-

tivt utan exakt. För att kunna tillämpa (3) på ett problem krävs dels ett startvärde och dels ett stoppkriterium. Det visar sig lämpligt att samtidigt införa en linjesökning som i de föregående metoderna. Det kan nämligen inträffa att "det naturliga steget", dvs det som svarar mot lösningen

(&cn,xn

och

x n

+ f" (x y ) • . = 0.4 a)

b)

Starta Starta ltix

A = 1 , A = 0.7

varje iteration.

I n

origo och välj (0.7,-1.5) < 0.00001 -

224

och

n

max

=

10 •

och avbryt då 1 tiy

n

I

< 0.00001 -

och

½L'iyn

3:53

Lösning: Vi får f:(x,y)

= 4(x-l) 3 (y-1) 4

+

{

4

f'(x,y) = 4(x-1) (y-1)

3

y

+

f" (x,y) XX

f" (x,y) = 16(x-1) 3 (y-1) 3 + 4xy,

xy

a)

Första ekvationssystemet blir 12llx 0 + 16lly 0

{

4

16llx 0 + 12lly 0

med lösningen g(>.) = f(-

2

z

llx

>.

1 7 ,

0

5>.

7 , TT)

lly 0

5 =TT,

som gör

till ett polynom av grad 8.

Vi prövar nu våra utvalda >.-värden g (>.)

1

2.008

0.7

1.964

0.4

1.960

0

2

>.*

Vi tår alltså x

0

+ >.*llx

y + ).*fly 0

a

och

0.4

• -i-0 4

0 0

2 =TT=

a

-0.057

0.143

Nästa tabell blir g(>.)

1

2.202

0.7

2.099

0.4

2.032

0

1.960

~

f(-0.057-0.239>.,0.143+0.362>.)

Vi kommer inte längre än så här. Orsaken till att det blivit så dåligt resultat är att startpunkten låg alltför långt bort från lösningen. (Fig 3.35.) 22.5

3:54

2.

X

JHvllturYor (.X-t)i,(J-1)"+x~2+2y-t-i =]{

-1

1---,,,-

K=-o.2s ,_____~ -- K-= o . L.

-2

-

---L--K=1 /~~ 2--K:::: 2

Fig 3.35 b)

K= ...:o.5

Det visar sig att två iterationer med

A = 1

varje steg ger ett mycket noggrant resultat.

n

X

O

0.7

-1.5

-0.58109

0.02599

-0.05671

1

0.72599

-1.55671

-0.59529

-0.00033

0.01213

2

0.72566

-1.54458

-0.59540

0.00000

0.00000

flx

n

n

Svar: Minimipunkten är (0.72566, - 1.54458) Det framgår ganska klart av ex 3.35 att metoden nära minimipunkten övergår till att välja "det naturliga steget"

().=l)

och att kon-

vergensen då blir snabb. Förser man däremot algoritmen med alltför dåliga startvärden ökar risken att man råkar ut för diverse otrevligheter. Det kant ex

inträffa att koefficientmatrisen blir singu-

lär, vilket gör att metoden bryter samman, eller nästan singulär, 226

3:55 vilket ger numeriska bekymmer. Det kan också inträffa att den sökriktning som metoden genererar inte är "descent" dvs hur vi än väljer

Å >

0

så ökar funktionsvärdet. Det är för övrigt lätt att

inse geometriskt att descentriktningar har egenskapen att de bildar mindre än 90° vinkel med negativa gradientriktningen.

inh nlron

d•sc ~l\t rtkt-n 111 1

~

! 92- ........,..,"!

..________,~7

n•(at{va

C - - - S-ra.a.iantrikt11i11g0\

Fig 3.36 En lösning på dessa problem kan vara att kombinera två metoder. Man väljer då en säker metod i början (tex

steepest-descent) och avslutar med

en snabbt konvergerande metod (tex

Newtons metod) Hur en sådan kombination fungerar illustreras av ex 3.32 följt av ex 3.35b.

En annan möjlighet är att i varje iteration välja en riktning "mellan" steepest-descent-riktningen och Newtonriktningen.

3.11

övriga metoder

Av de tre metoderna är Newtons metod den som har klart hö~sta konvergenshastigheten nära lösningen. Att plocka fram alla andraderivator till en funktion kan vara ganska pillrigt och det är dessutom oftast kostsamt att beräkna deras värden. Av den anledningen har man konstruerat en rads k

kvasinewtonmetoder. Dessa arbetar så att man på ett

ekonomiskt sätt approximerar ekvationssystemets koefficientmatris och därigenom undviker att beräkna några andraderivator. Även förstaderivatorna kan för övrigt approximeras med hjälp av differenser mellan funktionsvärden. Det finns sålunda både datorprogram för kvasinewtonmetoden som kräver förstaderivator (tex

Broyden-Fletcher-Shannos

metod) och sådana som bara arbetar med funktionsvärden. En del minimeringsmetoder kan med framgång modifieras så att de kan behandla bivillkor. Följande enkla exempel kan ge en ide om hur det kan gå t i 11.

227

3: 56

Ex 3. 36

Minimera

f(x,y)

Startvärde

x

x 2 +4y 2

=

=1 ,

y

=

dli

x+y

> 1.

1 .

Fig 3.37 Steepest-descent-metoden ger

Nu mliste vi välja

Å

med försiktighet sli att vi inte travar

ger Å < 0.1 xl + yl -> som ger xl = 0.8 Vi väljer Å = 0 .1 Y1 = 0.2 och noterar att vi är pli gränsen ti 11 det förbjudna omrlidet. Nästa gång in pli förbjuden mark. Villkoret

.

pekar steepest-descent-riktningen in mot detta omrlide så får vi finna oss i att gå längs gränslinjen:

(x 2

= 0.8 -

Å


.

D~

J

som är en rektangel i rq>-planet

Om vi bildar en Riemannsurrana för integralen av

f•r

över området

D'

med denna indelning så får vi just summan i högerledet i (1). Då indelningens finhet går mot för mot

ff 0 ,

O konvergerar denna Riemannsumma där-

f(r cos (j),r sin (j)) r drd(j). Denna dubbelintegral kan som

vanligt beräknas med upprepad enkelintegration. Vi har därmed visat följande sats.

283

5:4

SATS 5 A

Antag att Låt av

fJ

f(x,y)

D vara det område i xy-planet som definieras

S~ S

$1

JJ

f dA •

$ 2 , R1

$2

$1

Rl

R2

$2

Rl

Ex 5.3

. Då gäller

cos ~.r sin~) r dr•

cos ~.r sin~) r d~.

$1

som dyker upp vid övergången till polära koordinater.

För areaelementet =

S R2

i R2

J dr J f(r

=

dA

r

f r drd~ •

J d~ J f(r

=

r

S

D'

D

Observera det

är en kontinuerlig funktion.

dA

dxdy

gäller formellt =

r drd~

Beräkna masscentrum för en homogen tunn halvcirkelformad skiva D med radien

R.

y

Fig 5.4 Lösning: Vi väljer ett koordinatsystem enligt fig 5.4. Antag att skivans densi'tet (massa/areaenhet) är

p0

Av symmetriskäl måste masscentrum ligga på y-axeln. Dess ykoordinat ges av

fJ

y p

D

ff D

p

o

0

dA

dA

2 - 2

fJ

rrR

D

y dA .

I polära koordinater karakteriseras 0 < r < R och

OS~ S

284

11

•

D av olikheterna

Vi får därför enligt sats 5 A

5:5

~J: •

R33 [-cos

2~3

Alltså gäller

Ex 5.4

Beräkna den gravitationskraft som utövas av en tunn cirkulär skiva med radien

och med densiteten

o

på en enhetsmassa

som är placerad i en punkt på avståndet

h

över skivans

R

centrum. Lösning:

F

d

h

Fig 5.5 Vi påminner om att formeln för gravitationskraften mellan två partiklar är

2

G m1m2 /d , där G är gravitationskonstanten, partiklarnas massor och d avståndet mellan dem.

m1 och m2 På grund av symmetrin är gravitationskraften

O i horisontella

riktningar och vi behöver bara beräkna den vertikala komponenten. Betrakta ett ytelement

M . Dess massa är

o•M

och beloppet

G•o•M/d 2 (Go cos 9/d 2 )M , dvs

av dess attraktionskraft på enhetsmassan är Vertikalkomposanten av denna kraft är (Goh/d 3 )M eftersom vi har cos 9 • h/d . Summation och gränsövergång ger F

z

=

där

Goh

fJ

d1, D d

D är skivan. Men

får vi 285

d • Vh 2 + r 2

och polära koordinater

5:6

F

z

Gah

211

f

R 2 2 -3/2 [ 2 2 -l/2]R dW j(h +r) r dr= 211Gah -(h +r) 0

0

0

F

Den sökta kraften är

(0,0,Fz) .

=

Vi vill ibland använda polära koordinater i områden som inte är av det enkla slag som illustreras i fig 5.2.

Ex 5.5

Beskriv triangelområdet med hörn i

(0,0) , (1,0)

och

(1,1)

med hjälp av polära koordinater. (Se fig 5.6.)

w

Lösning: Vi ser att r

skall variera mellan

av linjen genom

(1,0)

skall uppfylla 0 och

0

och ett värde

~

w~

11/4

R(W)

och att

som bestäms

(1,1) . Ur figuren får vi

R(w) = _ l _ .

cos

w

Triangeln beskrivs alltså av olikheterna 0 < r < 1/cos

0
2

ff

f(x,y) dxdy

a

D

J d 4>1

R2 ()

f

f(r cos 14),r sin ) r dr

Rl ()

Beviset skiljer sig obetydligt från beviset för sats 5 A och vi avstår från att genomföra det.

Ex 5.6

Beräkna ~

Jf v'x- + y- dxdy , D

där

D är cirkelskivan

(x-1) 2 + y 2 < 1 .

Lösning: Fig 5. 8

l

y Q

0

2.

-1 -1

287

3 X

5:8

I polära koordinater blir cirkelns ekvation (r cos -k

vilket ger det intressanta, användbara och icke-triviala resultatet

f

2

e -t

/n .

dt

Detta resultat, kombinerat med variabelbyte, behövs för att visa att för alla

Ex 5.25

a

Bestäm för vilka

ff R2

µ

och

o

gäller

den generaliserade integralen

1

2 2 a dxdy (l+x +y )

är konvergent. Dk - { (X. y) I X

Vi väljer

Lösning:

2

+ y

2

2

< k }

och

inför polära koordinater. Vi får I

=

k

ff

(1 + x

2

2 -a

+ y )

dxdy =

D

2TI

f

O

k

dlP

k

r

f ----,,---

O (l+r 2 )a

dr

=

a ,- 1 ,

om

a = 1 .

Vi ser att

ra

lim I k->a>

:

1 '

om

a > 1 ,

om

a

=
1 319

5:40 Vi övergår nu till att studera fallet då integranden är obegränsad och integrationsområdet är begränsat. Den enda situation som vi skall syssla med är då funktionen är kontinuerlig i

D utom i en punkt. Metoden blir

att utesluta en omgivning av den kritiska punkten, integrera över resten av området och sedan låta omgivningen krympa. Fortfarande kräver vi att f(x,y) :'. 0

r---··---DEFINITION Antag att

f(x,y) > 0

D utom i punkten

och att

(x 0 ,y 0 )

•

Låt

vara en följd mängder sådan att och sådan att Om

lim k-+00

JJD

f

f

är kontinuerlig i D1 c: D2 c: ... c: D

u7 Dk

=

D' {(x 0 ,y 0

är begränsad på varje

f(x,y) dxdy

)}

Dk .

existerar så säger vi att

k

den generaliserade integralen av

f

över

D kon-

vergerar och skriver

JJ D

f(x,y) dxdy ~ lim Jf f(x,y) dxdy . k-+«> Dk

Fig 5.28 Anm

Med skrivsättet

så när som på punkten

D,{(x 0 ,y 0 (x 0 ,y 0 ) 320

,

)}

avses den mängd som utgörs av

D

5:41 Ex 5. 26

JJ 0

Visa att

~

ln

dxdy

konvergerar då

D är enhets-

x +y

cirkelskivan. Lösning: Vi konstaterar först att integranden är positiv i he: integrationsornrådet (noll på randen), eftersom för alla i D gäller l/(x 2 +y 2 ) > 1 .

(x,y:

Sätt

Fig 5.29 Vi får 2TI

f

1

d~

0

ln r- 2 -r dr

1

-2TI

1/k

1 -2n ([r 2ln r] 1 - J

1/k

f

f

2r ln r ,

1/k

r dr)

1/k

_2TI (ln k _l + _l_) 7 2 2k 2

varför

1

Integralen

ln - 2- 2 dxdy

värdet Ex 5.27

TI.

Beräkna av

konvergerar således och har

+y

X

O< y

JJ 0 (x+y) -2 S

l , 0

S

dxdy , där x < y2

D

• är det omrade som definier,

y

y

1

X

X (forts)

Fig 5.3fJ 321

5:42 Lösning: Vi ser att f(x,y)

~ ~

då

f(x,y)

(x,y)

Sätt DÖ = { 0

och

2

f f (x+y) -2

dxdy

1 y -2 f dy f(x+y) dx

6

Dö

0

2

fl

[ -(x+y)- 1

ö =

]y dy 0

1f6 -l 1- dy= [ln(l+y) ]l = ln 2 ~ u

+ y

Vi ser att

lim 0~

16

=

ln(l+6) .

ln 2 , varför integralen konver-

gerar och har detta värde. Anm

Det väsentliga i våra definitioner av generaliserade integraler

är inte att integranden är positiv utan att integranden har konstant tecken i hela integrationsområdet. Definitionerna går alltså att använda även om vi har

f(x,y) < 0

för alla

(x,y)

i integrationsom-

rådet.

övningar 5.34

Beräkna

ff

l 3 dxdy , D (1 +x+y)

där

D är första kvadranten.

5.35

Beräkna volymen av det område som begränsas av ytan z = (l+x 2 +y 2 )-J/Z och xy-planet.

5.36

Beräkna

ff

_l_ J dxdy ,

D (x+y) där

D ~ {(x,y)ly > 1 , 0 < x < 1/y} .

322

5:43 5.37

Beräkna

2 2 ln(x +y)

JJ

22

D

där

5.38

a

För vilka

a)

D

konvergerar integralen

x 2 + y 2 < 1?

är cirkelskivan

Beräkna

JJ

ln(x+y) dxdy

D

b)

Låt

X

+ y - 1

ff J

D

.

D

.

y

~

0

.

x+y ::. l}

vara det område som begränsas av linjerna X

•

och

0

y - 0

Beräkna

cos ~ dxdy x+y

Avgör för vilka

ff

'

D • {(x,y)jx ~ 0

där

5.40

x2 + y2 < 1 .

D är cirkelskivan

där

5.39

dxdy ,

1

1/x +y

a

integralen

3 _ J _ _ dxdy

(l+x5)a

är konvergent samt beräkna för dessa

a

dess värde.

D

är den

del av första kvadranten som begränsas av x-axeln och linjen y •

5.41

X

Antag att vi har en oändligt stor plan skiva med en likformigt fördelad elektrisk laddning med densitet

o . Beräkna den kraft

med vilken den partikel attraheras som har motsatt laddning och som har avståndet

a

till skivan.

(Attraktionskraften mellan två motsatt laddade partiklar med q 1 oc h q 2 pa• avst ån d et r är F • q 1q 2 / r 2 . )

. laddning

323

q ,

5:44

5.7 5.42

Blandade problem En cirkulärcylindrisk axel med radie

r

vilar på ett stöd

enligt figur. Kraften i axiell

led på axeln är

F

rtJ

och frik-

tionskoefficienten är

µ .

Beräkna det vridmoment som behövs för att axeln skall börja vrida sig.

Fig 5.31 5.43

Bestäm masscentrum för en skiva i form av en cirkelsektor med radie

och öppningsvinkel

2a

om skivans tjocklek är pro-

portionell mot avståndet till sektorns spets.

J Fig 5.32 5.44

5.45

Beräkna a)

D

b)

D

X

5.46

xy cos(x 2+y 2 ) dxdy , där

{(x,y)jx 2 + y 2 =

Beräkna 2

JJ0


~(x,y,z) - 2y Integrering av

(7)

,i,(x,y,z) • xy där

K(y,z)

beror på (8)

sådan att

2

y

2

(4)

med avseende på

ger

+ K(y,z) ,

är en än så länge okänd funktion som eventuellt och

z . Derivering av

il>'(x,y,z) = 2xy + K'(y,z) y

x

y 403

(7)

med avseende på

y

ger

6:76 Jämförelse av

(5)

(8)

och

K'(y,z)

ger

2z , dvs

y

K(y,z) = 2yz + L(z) , där

L(z)

är en än så länge okänd funktion som eventuellt

beror på (9)

z . Insättning av

~(x,y,z)

xy 2

=

(9)

Vi deriverar (10)

~~(x,y,z)

2y

=

Vi jämför nu där

C

~(x,y,z)

+

+

(6)

2yz

+

K(y,z)

L(z)

med avseende på

z

och får

L' (z) med

(10)

och får

är en konstant. Enligt =

ger

( 7)

(9)

0 , dvs

L'(z)

L(z)

är då

xy 2 + 2yz + C

Vi har därmed visat att fältet F är ett potentialfält med tex ~(x,y,z) = xy 2 + 2yz som potential. Enligt formel är

(1)

(1,1,1)

f

(0,0,0)

r-dr

[ xy 2 +2yz

](1,1,1) 3 .

(0,0,0)

••• NÄR SOM VEKTORFALTEN BöJA 516 FÖR VINDEN ...

\

I

-ac-------0J) --

__ ,,_

- - - --1,

404

C '

6:77

Ex 6.39

Vi antar att kraftfältet ~

med potential

F

(P,Q,R)

är ett potentialfält

i ett öppet område

V . Vi sätter

U

= -~

och konstaterar att enligt sats 6 C så utföres arbetet

w då en partikel flyttas av fältet från punkten

A

till punkten

0

A1 • Funktionen U:s värde har således minskat med W enheter. Han brukar kalla U för partikelns potentiella energi. Det utförda arbetet -6U

=

U(A 0 )

W är således lika med minskningen,

U(A 1) , av partikelns potentiella energi. Vi har

-

tidigare i ex 6.19 visat att det utförda arbetet även är lika med ökningen Därför är

Om

-6U

U och

=

6K

6K, dvs

av partikelns kinetiska energi 6U + 6K

=

K .

0.

K är partikelns potentiella resp kinetiska energi,

så betyder detta att partikelns totala ener_gi

E

~

U+ K

bevaras (konserveras) då partikeln rör sig under inverkan av ett potentialfält. Det är just därför som man brukar säga att de kraftfält som är potentialfält är konservativa (energibevarande) fält. Vi skall nu formulera en sats med vars hjälp vi lätt kan avgöra om ett tvådimensionellt vektorfält är ett potentialfält eller ej (utan att nödvändigtvis bestämma fältets potential). SATS 6 D

Låt

ar

ay

F = (P,Q) vara ett vektorfält där P , Q , och

:~

är kontinuerligt deriverbara funktioner

i ett enkelt sammanhängande område Då är följande utsagor ekvivalenta I.

F är ett potentialfält.

Il.

rot F

=

0 , dvs

405

0 .

S

i xy-planet.

6:78

Är vektorfältet

Ex 6. 40

2 2 2 3 (y +3x y ,1+2xy+2yx)

F(x,y)

ett poten-

tialfält i planet? Lösning:

Vi sätter

och får

r

rot

=

2 2 2y + 6x y - 2y - 6x y

aQ - aP ax ay

Villkoret Il är uppfyllt och

F

= 0 •

är således ett potentialfält.

Bevis av sats 6 D I .. Il. P

=

a ax

Villkoret I innebär att det finns en funktion och

Q

=

sådan att

a . . ay . Der1ver1ng ger

och Enligt förutsättning är

Il• I.

Låt

-F

A0

=

aQ ax

och

.

och därmed

a2 ayax

=

a2 axay

aQ aP ax - ay

=

32 a2 axay - clyax

kontinuerliga. Då är

rot

aP ay

a2 ayax

och

a2 axay

.

(se sid 2:9), dvs vi får

0

och

A1 vara två godtyckliga punkter i S . Enligt sats 6 C räcker det om vi visar att värdet av kurvintegralen F·d~

fr

är oberoende av vilken styckvis slät kurva väljer. Antag att

r

från

är två kurvor från

A

0

A

0

till

A1

vi enligt

fig 6.51 a.

Fig 6.51 a

Fig6.Slb

r = r 0 - r 1 och utnyttjar förutsättning Il och Greens sats formulerad som Stokes sats i planet. Detta ger

Vi bildar Jordankurvan

406

6:79

9

=,

F•dr

r

p dx +

Q dy=

r

rot F dxdy

D

II

=

II

0 dxdy • 0

D SåledeE är

,

,

F•dr

F·dr r -r o 1

r

I

=

F•dr -

r0

f

F•dr

rl

0

.

dvs

f

f

F•dr =

ro

F•dr

ri

Om kurvorna skär varandra som i fig 6.51 b delar vi först upp

och

r0

r1

i delkurvor, sådana att Stokes sats i planet kan tillämpas på

de inneslutna områdena

D1 , D2

och

D3 . Relationen (11) erhålls sedan

genom addition av de erhållna resultaten. Detta resonemang kan utföras då

r0

och

r1

har ett godtyckligt antal skärningspunkter. Beviset är

därmed klart. Förutsättningen att området

Anm

S

är enkelt sammanhängande är väsentlig.

Som exempel på detta kan vi studera vektorfältet

F=

(P ,Q)

=

c F·dr = 2'1T då C är enhetscirkeln.

.

och r 1 är övre resp undre delen av enhetscirkeln från (-1,0) , sa är därför

Enligt sats 6 C är därför vektorfältet är naturligtvis

F

(1,0)

F !.i_ ett potentialfält. Däremot

ett potentialfält i varje enkelt sammanhängande

område som ej innehåller origo, tex i högra halvplanet eller i hela planet uppskuret längs negativa x-axeln (se övn 6.67).

407

6:80

Ex 6 .41

Bestäm en deriverbar funktion

f, f - 0 , av

en variabel, sådan att vektorfältet -

2 2

3

2

F = f(xy)(x y +2xy,x y+x)

blir ett potentialfält i planet. Bestäm även en potential till fältet. Lösning: Sätt P(x,y) Enligt sats 6 Där fältet ett potentialfält om och endast om rot

F = ax aq

dP

O,

- ay

dvs om och endast om f'(xy)(y(x 3y+x 2 )) + f(xy)(3x 2y+2x) - f'(xy)(x(x 2y 2 +2xy)) - f(xy)(2x 2y+2x)

0 .

Efter förenkling får vi f'(xy)x 2y - f(xy)x 2y

0

Vi sätter xy = t och konstaterar att rot F = 0, dvs att F är ett potentialfält, för varje funktion f som uppfyller differentialekvationen

f'(t) - f(t)

= 0 •

Denna ekvation har den allmänna lösningen genom att välja tex

C = l

Vi skall nu söka en potential att bestämma en funktion

~

där

g

=

~

och

till fältet. Vår uppgift är

x

ger

är en funktion som eventuellt beror på

=

e

xy

3

y

y .

ger

2

(x y+x ) + g' (y)

Jämförelse med (13) visar att där

~

Cet

xy 2 e x y+g(y) ,

Derivering med avseende på ~;(x,y)

=

sådan att

Integrering av (12) med avseende på ~(x,y)

f(t)

får vi en funktion av 1'nskat slag.

g'(y) = 0 , dvs att

C är en konstant. Vi har därmed visat att tex = exyx 2y är en potential till fältet.

408

g(y)

C ,

6:81

Ex 6.42

I detta exempel skall vi tillämpa resultaten i satserna 6 C och 6 D på en stationär tvådimensionell vätskeströmning. Vi förutsätter här också att den strömmande vätskan är

r1

inkompressibel. Låt

och

r2

strömningens plan mellan punkterna

vara två kurvor A och

B •

y B

A

fi 1{

Fig 6.52 Om ingen vätska förbrukas så måste samma vätskevolym per tids-

i z-led) passera förbi r 1 och . (Varför?) Flödet av en inkompressibel vätska över en kurva

enhet (räknat per längdenhet

r2

beror därför enbart av kurvans ändpunkter och ej av kurvan. Vi ska undersöka vad detta konstaterande innebär matematiskt. Om strömningshastigheten är

v - (v 1 (x,y),v 2 (x,y))

så är den

vätskevolym som per tidsenhet passerar över en kurva

r

lika

med (14)

J v·n r

ds

Vi antar i det fortsatta resonemanget att villkoren i satserna

6 C och 6 Där uppfyllda. Om integralen integrationsvägen funktion I

ivl

r

är oberoende av

så följer av sasts 6 C att det finns en

sådan att

-v 2 • ö(fl/dX

och

v1

= ö(fl/dy ,

ö 0 från (-1,0) ' ' Beräkna det arbete som uträttas då rcx,y) =

6. 77

6.78

a)

(3x 2eY,x 3eY) .

b)

(3x 2eY+y,x 3eY-2x)

(1, 1)

till r

längs

till

(1,0)

F vara jordens gravitationsfält. Beräkna det arbete

Låt

som uträttas då en kropp förflyttas ett varv lfngs cirkeln c:x2+y 2 = / , z = z . (Se ex 6.37.) 0

6.79

Beräkna kurvintegralen

fy dx + z dy+ x dz ,

r

då

f

är

a)

ett linjestycke från

b)

en triangel med hörn i

(1,1,1)

till

(2,2,2) .

(1,0,0) , (0,1,0)

och

(0,0,1)

genomlöpt ett varv i positiv riktning. 6.80

Beräkna circcv då ;(x,y) = (-y,x) och då C är cirkeln 2 (x-x )2 + (y-y )2 r genomlöpt ett varv i positiv riktning. 0

6.81

0

Bestäm minimum av ,

(y-4x 2y) dx + xy 2 dy ,

r då

r

varierar i mängden av positivt orienterade Jordan-

kurvor.

417

6:90

6.82

Beräkna

., F· n ds

•

r

då

3 2 3 2 F(x,y) = (x +xy ,y +x y) , då

(0,6) , (6,0)

och

riktning och då 6.83

n

(6,6)

r är trian~eln med hörn

genomlöpt ett varv i positiv

är den utåtriktade enhetsnorrnalvektorn.

F är riktat mot punkten

Ett kraftfält

(1,0) • Fältets

belopp är proportionellt mot avståndet till samma punkt. Beräkna det arbete som uträttas då en partikel förflyttas från punkten (-1,0) till punkten (1,0) längs halvcirkeln + y2 1 , y :'. 0 . Proportionalitetskonstanten är K .

C : 6.84

x2

Visa att vektorfältet planet. Låt

r

F

(2x+2y,2x+l)

=

är ett potentialfält i

vara en styckvis slät kurva från

fr

(2,3) . Beräkna

F•dr

(1,1)

till

dels genom direkt integration längs en

lämpligt vald kurva och dels genom att bestämma fältets potential. 6.85

En elektrisk ledare, som genomflytes av en ström med konstant strömstyrka, placeras längs z-axeln. En magnetisk enhetspol i punkten -

F = K(

(x,y,O)

påverkas då av kraften

22 , 2 2 ,0). -v

X

X

+y

X

+y

(Se ex 1.6.) Beräkna det arbete som uträttas av fältet, då enhetspolen förflyttas a)

längs en rät linje från

(1,1,0)

b)

ett varv moturs längs cirkeln

X

2

till

(3,3,0) .

2

r2 , z = 0

+y

Ge en fysikalisk förklaring till resultatet.

6.86

Beräkna (2,-3,1)

6.87

fr

F•dr, då

till

(1,0,2)

f

är en styckvis slät kurva från och då F = (z 2 ,y 2 ,2xz) .

Bestäm maximum av -, x 2y dx + (x-xy) dy ,

r

då

f

varierar i mängden av positivt orienterade Jordan-

kurvor som helt och hållet ligger i första kvadranten.

418

6:91

6.88

1 - rot 2 (wxr) • w , då en konstant vektor.

6.89

Bestäm en funktion f , f ; 0, sådan att vektorfältet F = f(x)(2y+2x 2y-2,x) blir ett potentialfält. Bestäm

Visa att

r • (x,y,z)

och då

w

är

även en potential till fältet. 6.90

och då 6.91

'fj F•d; , då

Beräkna

r

-

F

=

3

r

är ellipsen

2

2x 2 +

s/

1 , z

2

(6xy+z ,Jx -z,Jxz -y) .

Beräkna '9(1xl+lyl) ds , då

C är en cirkel med radie

C

r

0

och med centrum i origo. 6.92

Visa att

under lämpliga förutsättningar på Jordankurvan

det av r inneslutna området och g(x,y) så gäller

b)

ff(fV 2g+gV 2 f) dxdy • 9(f f

D

6.93

D och funktionerna

~ cln

+ g ~) ds cln

ff

r,

f(x,y)

2Vf•Vr, dxdy .

D

Visa att vektorfältet F(x,y) • (y 2 (1+Jx 2 ),1+2xy+2x 3y) är ett potentialfält. Beräkna f r F·dr , då x 2 /2 + y 2 • 1 genomlöpt moturs från (0,1)

6.94

r

är ellipsen

till

(1/2",0)

Beräkna det arbete som maximalt uträttas då en partikel förflyttas av kraftfältet F(x,y) = (y 3 ,Jx-x 3 ) l2ngs en positivt orienterad Jordankurva

419

r

i planet.

li: 92

6.95

Antag att

F = (P,Q)

är ett vektorfält sådant att

c1

utom i tre punkter. Låt

,

c2

c3

och

rot F = 0

vara tre disjunkta

cirklar, som har sina centra i dessa punkter. Vidare är ' P dx + Q dy= 2k-l , k = 1, 2, 3 . Ck Ange alla möjliga värden på

ir

P dx + Q dy , då

r

är en

Jordankurva i planet, som ej går genom någon av de ovan nämnda tre punkterna. 6.96

En tunn tråd är placerad längs halvcirkeln y

~

6.97

9 ,

(-3,0,1) . Proportionalitetskonstanten

K . Beräkna

a)

trådens massa.

b)

masscentrum.

c)

tröghetsmomentet med avseende på z-axeln.

d)

tröghetsmomentet med avseende på x-axeln.

f r

Beräkna då

2

0, z = 1 . Densiteten är proportionell mot kvadraten på

avståndet till punkten är

+ y

r

F•dr , då

F = (e-y-ze-x,e-z-xe-y,e-x-ye-z)

och

är en kurva med parameterframställning

1 x = ln z ln(l+t) y

.

srn

1Tt

2

0

t

➔

l

•

1 - et z = ---

1-e

Ledning: Tänk efter innan Du börjar räkna. En homogen ståltråd i form

6.98

av en halvcirkel med radien

y

a

ligger i xy-planet och

har sin medelpunkt i punkten (a,0,0) . Ståltråden har massan per längdenhet och påverkas

A

----------•x 2a. a

i punkten

(x,y,0)

av

2 2 F = (x ,-y , O)

kraften

per

massenhet. Beräkna vridFig 6.54

momentet kring origo, dvs be.,. räkna

r 420

=

Å

fe

(x,y,O)

r•F ds , där

6:93

6.99

En tunn laddad tråd är placerad längs z-axeln s2 att ändpunkterna ligger i punkterna a)

(0,0,d)

och

(0,0,-d)

Beräkna den kraft som påverkar en positiv enhetsladdning i punkten (a,b,c) , a 2 + b 2 ~ 0 , då laddninpsdensiteten är konstant

b)

~

k

0

Diskutera kraftens utseende då

d

➔

00

och jfwfBr med

ex 1. 6. 6.100

Strömningshastigheten i x-led i ett 45° -hörn enligt fig 6.55 för en plan inkompressibel strömning kan skrivas V

l

=

där

är en konstant. Bestäm hastighetens komponent

k

v2

i

y-led. Hastigheten är noll vid båda väggarna.

X Fig 6.55

I övningarna 6.101-6.102 förutsättes fälten

F

och

G

vara två gånger

kontinuerligt deriverbara i ett öppet enkelt sammanhängande ry"'dområde Vi påminner om några samband: grad = ('x' t'y' t') z div

F

rot

F'

=

v' '

ap + aq ax ay

och ( aR _ aq aP _ aR aq _ ap) ay az ' az ax ' ax ay p

a/ax

R 421

V •

6:94

6. Hll

Visa att a)

div(aF+bG) ca div F + b div G, där

a

och

b

är kon-

stanter. b)

div(rot F) = 0.

c)

div(~F) =~div F + (grad ~)•F

d)

div(F•G) = G•rot F - F•rot G.

e)

grad(div F) = rot(rot F) + v2 F där

'y

2

2 2 2 2 2 2 = 'v•'v = a /ax + a /ay + a /az

är Laplaces

operator. f)

g) 6.102

!rot Fl 2 - F•rot(rot F)

div (F • rot F)

grad ~ • F + ~ rot F = rot(~F)

Med hjälp av nablaoperatorn

've 0

och

c = 3 .

d)

En enmantlad hyperboloid med

e)

En tvåmantlad hyperboloid med

De elliptiska konerna På nivån

K

=

l

a = l , b = 2

och

a = l , b = 2

och

z=-M+K-1,KER.

får vi en kon som är spegelbilden i

xy-planet av den kon som förekommer i övn 1.21b. För ett allmänt

K blir nivåytan den kon som erhålles

genom att den spegelvända konen förflyttas

K - 1

en-

heter i positiva z-axelns riktning. 1.33

Ellipsoiderna

(x+l)

2

+ Cy-1) l

1.34

a)

(K

2

+ 2z 1)

2

(K

och

Gränsvärdet existerar och har värdet

O

b)

Gränsvärdet existerar och har värdet

2

c)

Gränsvärdet existerar ej, 424

0)

'

c = 3 . c = 3 .

S:3 1. 35

a)

f

b)

är diskontinuerlig (med hävbar diskontinuitet i origo). är diskontinuerlig (med ickehävbar diskontinuitet i origo).

c)

är kontinuerlig.

f

f

1.36

a = l

1.37

a)

l

1.38

b)

y

1T cos l + 4

b) = X

.

2

2 f(x,y) = f(x,x)

(x,y) ... 0

längs parabeln

c)

Nej.

1. 39

a)

3 •

1.40

Om det för varje

b)

/

0

finns ett tal

2

0 < V(x-x) +(y-y) +(z-z) 0

O

så säger vi att (x,y,z)

➔

2

< ö •

0

f(x,y,z)

(x 0 ,y 0 ,z 0 )

lim

y

l 8 dvs = X2

0

f(x,y) /> 0

då

l

E >

2

z

c)

Ö > 0

så att

jf(x,y,z) -Aj