Matematiska metoder inom elläran

Citation preview

MATEMATISKA METODER •• INOM ELLARAN (a.k.)

av

Franz Cech

KTH

V.T. 1993

Förord I Detta kompendium ä.r avsett att a.nvändu i kursen Matematiska Metoder inom Elläran för årskurs E2 vid KTH. Det bygger till stora delar på ett kompendium som Olle Stormark skrev för användning vid sektionen för T. Min insats blev nu att redigera, komplettera och a.npusa materia.Jet till de behov vi har på Elektro. Detta innebär att framställningen gjorts mer praktisk och tillampad men med bibehillen stringens. Som alltid finns det skrivfel och a.ndra ovidkommande svagheter, därför emottu alla kommentarer och synpunkter med stor tacksamhet. Numreringen av ntser, formler och vissa samband har gjorts avsnittsvis, så att t ex (1.5.4) betyder: Kapitel 1, avsnitt 5, uttryck 4. Stockholm, H T 1989 Förord Il Bortsett från smärre ändringar och rättelser tillkom i denna andra upplaga det nya avrnittet: I.i Linjära diffcrcntialckvationssystem Stockholm, B T 1991 Franz Ccch

FÖRELÄSARENS LEDMOTTO:

1ÖJ2STJ.J2 VI VAJ2AJIDRA ? JAg VtT

ATT DU AJI Sl R

DJg 1ÖRSTJ. DET DZJ TROR J.Ji!JI JAg

ÄR

ATT JAg SA IJITt

SÄKtR PA ATT DU IJIStR ATT DtT DU JIÖRDt 1 JIT t

11yupplaga 1989, första, reviderade upplaga 1990 a11dra, reviderade upplaga 1991

tredje, re\iderade upplaga 1992 (jirde, reviderade upplaga 1993

ÄR VAD

JAg Mt JI ADl ·

INNEHÅLL sid.

ÖVERSIKT AV INNEHÅLLET .................................. 1 1 ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1.1 1 :a ordningens linjära differentialekvationer ...................... 9 1.2 1 :a ordningens separabla differentialekvationer .................. 13 1.3 Existens och entyclighet av lösningarna ......................... 17 1.4 En speciell typ av clifferentia.lekvationer ......................... 25

1.5 Ortogonala trajektorier ......................................... 28 1.6 Linjära D.E. med konstanta koefficienter ........................ 30 1. 7 Linjära clifferentialekvationssystem ............................. 45 1.i.1 Homogena system .......................................... 45

1. 7.2 Inhomogena system ........................................ 53 1.7.3 Reduktion av linjära differentialekvationer .................. 57

2 FOURIER-SERIER 2.1 Värmcledningsekvationen ....................................... 63 2.2 Fourier-serier och deras konvergens ............................. 68 2.3 Differentialekvationer med periodiska högerled .................. 93 2.4 Det minsta kvadratiska medelfelet ............................. 102

2.5 Gibbs:s fenomen .............................................. 107 Övningstal för hemmabruk .............................. 110

3 FOURIER-TRANSFORMER 3.1 Definition och invenionssatsen ................................ 113 3.2 Lösning av ordinära differentialekvationer ........ ~ ............. 122 3.3 Värmeledningsekvationen igen ................................ . 132 3.4 Den inversa Fourier-transformen .............................. 134 4

LAPLACE-TRANSFORMER 4.1 Definition och enkla egenskaper ............................... 139 4.2 Lösning av differentialekvationer ............................... 144 4.3 Diskontinuerliga högerled ...................................... 153

4.4 Speciella .exempel till Laplace-trandormen .....•............... 163 4.4.1 System av differentialekvationer ..............•..•.•....... 11>3 4.4.2 Integralekvationer ..............................•.......... 164 4.4.3 Differensekvationer ........................................ 165 4.5 Den inversa Laplace-translormen ....................•......... 167 5

DIFFERENSEKVATIONER 5.1 Allmänt .............................................. , . ........ 173 5.2 Den homogena ekvationen ..................................... 115 5.3 Partikulära lösningar .......................................... 177

6 Z-TRANSFORMER 6.1 Tidsserier och Z-transformens definition ...................... 183 6.2 Allmänna e~enskaper .......................................... 191 6.2.1 Linearitet ................................................. 191 6.2.2 Skalning .................................................. 191 6.2.3 Förskjutningsregein ....................................... 192 6.2.4 Faltningssatsen ............................................ 193 6.3 lnverstransformering .......................................... 195 6.3.1 Tabeilsla.gning ............................................ 1-95 6.3.2 lnversionsintegra.len ....................................... 196 6.3.3 Pot.ensserieutveckling ...................................... 201 6.3.4 Faltningssatsmetoden ..................................... 202 6.4 Lösning av differensekvationer ................................. 204 6.5 Begynnelse - och slutvärdessatserna ........................... 210

APPENDIX A Bevis av Picard's sats .......................................... 213 B Bevis av Fourier's sats .......................................... 219 C Bevis av Laplace's inversionssats ................................ 227 D Svar till hemuppgi{terna ......................................... 233

INDEX

••

Oversikt av innehållet

2

Över1ikt 1v innehillet

Önraikt av innehlllet

Vare sig man tycker att det är bra eller inte, så råkar det va.ra så att läran om differentialekvationer spelar en fundamental roll inom minga tillämpningsområden. Tyvi.rr är det likaså ett faktum att differentialekvationsteorien ur matematisk synvinkel är väldigt svår och till stora delar i.nnu ej forstådd (framför allt gäller detta beträffande partiella differentialekvationer). En kurs i differentialekvationer är d&rior mycket önskvärd ur tillimpningssynpunkt, men matematiskt sett bn den inte räta ut mer i.n en liten del av alla de förekommande frågetecknen. I det här kompendiet har vi valt att till att börja med 1tudera Picards sats, som så.ger att ordinära differentialekvationer under mycket måttliga regularitetsvillkor alltid är lokalt lösbara. Att differentialekvationer i allmänhet inte har globala lösningar ser man lätt med hjälp av exempel. Men då man i tillämpningarna för det mesta ä.r intresserad av just globala lösningar, kan det vara av intresse att titta på vissa speciella typer av differentialekvationer som är globalt lösbara. I synnerhet studerar vi linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter, dvs ekvationer av typen

CD där an-l, ... , ao ä.r konstanter och b(t) är en given funktion. (Att den oberoende variabeln kallas för t ä.r en avspegling av det faktum att det ofta är tidsderivator som uppträder i de tillämpade ämnena.) Med D

Dn

= ft

och P(D) =

+ an-1Dn-l + · · · + a1D + ao Övergår Q) i P(D)y(t) = b(t). Det visar sig att den allmä.nna lösningen till© kan skriva& på formen

där Yhom( t) är den allmänna lösningen till den ·sk homogena ekvationen P(D)y{t)

= 0,

medan Ypart(t) är en godtycklig partikulä.rlösning till (1). Yhom(t) innehåller n stycken godtyckliga konstanter, vilka kan fastläggas exempelvis genom att man föreskriver "begynnelsevärdena" y(O), y'(O), ... , y(n-l)(O). Yhom(t) kan omedelbart skrivas upp efter det att man löst den algebraiska ekvationen

,\" + an_ 1 ,\n-l + · · •+ a1.\ + ao = 0, medan det i allmä.nhet är svårare att bestämma en partikulärlösning ~pan{t).

3

4

Överaikt av innehillet

Låt oss betrakta ett enkelt exempel: Problemet

{*

=

y(O)

b{t)

=

Yo

har uppenba.rligen lösningen y(t)

= Yo + Jo' b(u)du,

där konstanten Yo spelar rollen av Yhom(t) (med begynnelsevärdet insatt) och

fri b( u) du ä.r en partikulärlösning. k( z)

Om vi inför funktionen

0 då z < 0 då O < z < t då z > t

= { 01

,,.,_ k(x)

så kan partikulärlösningen skrivas på. formen

Ypart(t)

= fot b(u) du=

i

k(t - u)b(u) du ~r (k • b)(t),

-CX)

där det sista likhetstecknet definierar k • b

= faltningen av k och b.

En huvudsats inom teorien f'ör linjän. differentialekvationer med kon1tania koefficienter säger nu att man i det allmänna fallet

P(D)y(t)

= b(t)

kan hitta en sk fundamentallösning k(t) (som enba.rt beror på P(D) och ej på

b(t)), så att (i) har partikulärlösningen

f

00

Yput(t) = (k • b)(t) =

k(t - u)b(u)du.

-CX)

Inom kretsteoretiska tillämpningar kallas denna fundamentallösning för impulssva.ret h(t), (i det tidskontinuerliga fallet) och enpulssva.ret h(n), (i det tidsdiskreta fallet). Den enkla.ste metoden för att komma underfund med ovanstående huvudsats och för att hitta fundamentallösningen k(t) består i att använda en eller annan sk transformmetod. Vi skall här studera fyra olika sådana -

som

Övertikt ev innehlllet

ä.r mer eller mindre besläktade med varandra, men ha.r lite olika användningsområden - nämligen Fourier-serier, Fourier-transformer, Laplace-transformer och Z-transformer. Vi hu valt att motivera teorien för Fourier-serier genom att studera det problem som historiskt sett ledde till dess uppkomst, nämligen vi.rmeledningsekvationen: om man löser denna med va.riabelsepa.ration 1å led, ma.n - oundvikligen till just Fourier-serier. När Fourier-seriebegreppet vil accepterats kommer man till Fourier-transformer via en gränsövergång, och därifrån är steget till Laplacetransformer och Z-transformer inte långt (som vi kommer att se). Som nämndes ovan måste man lösa en algebraisk ekvation för att hitta den homogena lösningen till (I). Denna ekvation ha.r i allmänhet kompleza rötter, hur reell den ursprungliga differentialekvationen in må vara. Det är därför lika bra att på en gång acceptera att vi måste syssla med komplexa variabler. Under hand visar det sig också att teorien för komplexa funktioner av en komplex variabel blir alltmer betydelsefull då man löser differentialekvationer med hjälp av transformmetoder.

5

6

Över1ikt av innehållet

Kapitel 1

Ordinära differentialekvationer

8

Kapitel l Ordinära differentialekvationer

1.1 1:a ordnin1ena linjira differentialekvationer

1.1 1 :a ordningens linjära differentialekvationer Vi studera.r här ekvationer av typ.en y'(t) + /(t)y(t)

= g(t),

Cl< t < b,

(1.1.1)

där /(t) och g(t) är givna funktioner på (a,b), medan y(t) söks. Lösningsiden består i att multiplicera (1.1.1) med en funktion µ(t) (en sk integrerande faktor), så att vän&terledet blir en derivata:

µ(t)y'(t)

ft

=

+ µ(t)/(t)y(t)

= µ(t)g(t).

(d1ontin1)

Med "någonting" = µ(t)y(t) fås µ y' + µ

f

d( nagontmg • . ) = µ ' 11 11 = dt

+ µ y'

dvs

µfy= µ'y, varför µ bör väljas så att

µ'(t) µ(t)

= f(t).

Om F(t) är en primitiv funktion till f(t), dvs F'(t) ln lµ(t)I

= f(t), så fås

= F{t) + C,

där C är en godtycklig konstant. Detta ger

µ(t)

= ±eP eF(t)

med lämpligt valt tecken. Slutsats:

µ(t)

= AeF(t), där A

är en konstant och F(t) år en primitiv funktion till /{t).

Sätt (tex) A = l och multiplicera(l.1.1) medµ= eF(t): eF(t) y'(t)

vilket är detsamma som

Men detta kan vi lösa:

+ eF(t) F'{t) y(t) =

eF(t) g(t),

9

10

Kapitel 1 Ordinira differentialekvationer

dvs

där

J eF(t) g(t) dt

betecknar mängden av primitiva funktioner till integranden

eF(t) g(t).

Vi har alltså visat att y' + fy = g har lösningen

där F'(t) (1.1.2)

= f(t)

Exempel 1.1 Bestäm y(t) di det är givet att

{ y'(t) y( 1)

+ 2ty(t)

= t (-oo < t < oo)

=2

Här är f(t) = 2t och som primitiv funktion kan vi ta F(t) 2

= t 2, 2

vilket ger den

integrerande faktorn µ( t) = et ( om A = 1 ). Multiplikation med et 1er 2

e t y I ( t)

+ et

2

2t y( t)

= t et

vilket är detsamma som

d ( ,

dt et y(t)

)

Detta integreras till

ur vilket y( t) löses:

Konstanten C bestäms av villkoret y( 1)

d VI

varför

= 2:

= tet.,

2

,

1.1 l:a 0Jdnin1en1 linjir• differentielehationer

Därmed fis den sökta lösningen

• Exempel 1.2 Lös

y'{t) + 2t 2 - 1 (t) t 3 - t '11

= _I_3

di O
. är ett komplext tal.

Exempel 1.19

lös y"(t) + 6y'(t) + 13y{t)

= O!

Vi ska alltså lösa P(D)y(t) = 0 med P(D) = D 2

P(>.) sa• P( "')

+ 6D + 13.

= >. 2 + 6>. + 13 = 0 ~ >. = -3 ± ✓9 -

.. = O har rotterna

{ >.1 ,

"2

13

= -3 ± 2i,

= -3 + 2i

.. = - 3 - 21

( Obs: Det är ett allmänt faktum att de icke-reella rötterna till en alcebraisk ekvation med rfflla koefficienter uppträder i komplexkonjugerade par.) Den sökta allmänna lösningen är därför

y(t)

= c1 e(-3+2i)t + c2 e(-3-2i)t = e- 3t ( C1 (cos 2t + i sin 2t) + C2 ( cos 2t -

= f- 3t ((C1 + C2) cos2t + i(C1 -

C2) sin2t)

+ C2, B = i(C1 = f - 3t (A cos 2t + B sin 2t) = A e- 3t cos 2t + B e- 3t sin 2t,

C2)J

= rmed A = C1

där A och B iir codtyckliga konstanter.

Exempel 1.20

Lös y"'(t) + 3y"(t) + 4y'(t) Här iir P(D) =

i sin 2t))

+ 2y(t) = O! D 3 + 3D 2 + 4D + 2. Eventuellt ser man att

•

41

42

Kepitel l Ordinir• differentielekvetioner

har roten .Å

= -1; division med .Å + 1 1er sedan

varfor P(A)

= 0 har de tre rötterna

.Å

=

{=~'±i.

Därmed kan vi skriva upp den allmänna lösnin1en till

y(t)

P(D)y(t) = 0:

= C1 e-t + C2 e.) = det(>.E - A)

..\- au

-a12

-a1n

-a21

..\ - a22

-a2n

-anl

-Cln2

..\ - ann

=

=0

Från algebrakursen är det kä.nt att denna likhet kallas den karakteristiska ekvationen. Den är ett polynom i ,\ av graden n och de&& rötter ka.n vara reella eller komplexa, och de kan vara enkla eller ha multipliciteten m

< n. Vi börjar

med a) Distinkta egenvärden Exempel 1.23 Lös följande system

1v

första ordning :

(1.7.7)

Ansatsen !l.\,l

(1.7.8)

= Pl e-'t, Y.\,2 = P2e.\t leder efter förkortning 1v e.\t till ..\p1 = Pl + 3P2 ,\P2

= Pl -

P2

J.7 Linjära differentialehationuystem

= Pl + 3P2 AP2 = Pl - P2

lp1

( 1.7 .8) eller i matrisform

(l - 1

-3 ) ( p1 )

-1

l

+1

P2

= O.

Ur detta fir vi nu systemets karakteristiska ekvation K 2{ l)

I

l - 1 -3 -1 l +1

I=

= det( lE - A) = 0

O.

Alltså K2(>.) = ). 2 - 4 = 0, och egenvärden blir l1,2

= ±2.

För att bestämma de

tillhörande egenvektorerna löser vi matrisekvationuna

(2- l -1

- 3 ) [ Pl 1 2+1 P12

= 0 och

)

( -

2- 1 -3 ) [ P21 ) _ O -2 + 1 1'22 -1

för Pl och P2. Enkla räknincar leder till att

satisfierar ekvationerna; den allmänna lösninien till {1.7.7) blir nu

•

där c1, c2 ir codtyckliga konstanter.

Exempel 1.24 Betrakta det homogena systemet:

=0 y; + 2y1 + Sy2 = 0 Y~

+ 7Yl

- Y2

(1.7.9)

Samma ansats som i föregående exempel leder till ekvationssystemet

=0 2p1 + (). + 5 )p2 = 0 (l

Det karakteristiska polynomet

+ 7)p1

- P2

K 2().) ber i knas nu ur

(1.7.10)

47

48

Kapitel l Ordinira differentialekvationer

och vi erhåller K2(Å)

= p + 7)(Å + 5) + 2 = = Å2 + l2Å + 37 = 0.

Polynomets rötter blir: Å1,2

= -6 ± i.

De obekanta Pl, P2 bestimmer vi cenom att

sitta in rötterna i (1.7.10).

[ 7-6-i

2

Väljer vi Pll

-1

5- 6-

.) t

[1'21) 1'22

=0

= P21 = 1 fir vi Pl2 = l + i = p22 och lösningen blir di y

= ci

(

1 . ) e(-6+i)t + c 2 ( l . ) ean stiill, o,·er elden. Värmen &ör de hbda eksta,·arn ■ formbara._ Det . Jiillrr att arbrll 1nabbt, innan tunnan brinnf'r upp. V■ ttrn m~~tr hiillu pi ut1id11n med jämna mellanrum. Stl\"arna dra1l's Ihop nedtill med f'n ,•ajer. jiirnbanden 1lb pi. Gavelilndarna fuA1 n,C!d 1n:ibba, prrri1ionn,likra husr innan botlnama Jätls I. Tunnan Jods under sutt och 1111. Ho• J-lrnnr~~~- har m:in nu börj:it 1å ö,·rr friln 3DU lill 3~0 liters tunnor, för att 1par1 in p;;. antalet. Varje tunna kostar 100 fr. I tilJ,·erkniD&. In1en ,.-et med bestämdhet hur lin1e det finns l'Nln 10m .ork.ar med hantverket. Varje bridbit lr virdefull. Eken 10m 1n\·lnd1 kommer frin 1ko11m1 I Limousin eller Tro~ais och.endast diirifrln. Hennessy använder bara eken frln Limousin. Tannlnhallen I träet 1v1es Jln1s1mm1re, men 1er I stillet en ''nindare"' coanac. Trädrn fälla pi vintern dl Javrn 1ått ur. Ort lir '70-100 Ar 1amla träd 10m an,·änds och

dessutom endast delen ju~t ovanför roten och upp till de för,-t.a 1rezi1rn1. . Det 1er rent, fönlklusi&l trä 10m Jl111 och diirr!ter f.\r Jiu:i och torka j aex lr. Niir ekrn blh·lt 1ilver1rl I\" ,·lder · 01.-h vind kommer tunnbindaren och ,.kapar tunnan med mu~kelkrafl eld ocl1 n61ra enkla ,·erklYl, Co1nac framst»lls endut av ,·ita druvor. Vinrt destilleras lvl rän11er och deslill11tet 11!ir direkt fr~n app ■ ralen ner I rateL Här ,·ilar vinet I lukilli11 ir. Hur llnae, l\'IÖTI av fatel!l ålder och vU)ten alutprodukt

man ,·iU h ■ fram. VI pro,·ade JOO Ar 1amm1J rosnar. med ,n elt.ersmak aom qtt k\·ar I aommrn I J!I minu1f'r. !-A 1ammal rosnac har UIJit upp n1y,•kf't 1an·11rra ur fatc-1 oc:h ir e1rnUi1en för "lrii&"' 1 1makrn. · · · Den 1lulli1a produkten lr ju 11lllid ,.n blandnina a,· upp till Ml olik11 ,urtrr, ,om nlir de ,·:il bland11t!l och Lapp1t1 Pil butelj, Jntr liinrre utveckl1111. Drt lir de JOU-lri11a ekarna I J.imnu~in 10m lr •n 11ud co1nac1 \"itllJ och tonnelieni akapar den. Tills 'l."idare. GUSTJBUS

Kapitel 2

Fourier-serier

62

Kapitel 2 Fourier-nrier

2.1 Virmelednin11ekvationen

För att förstå bakgrunden till teorien för Fourier-serier studerar vi först det problem som ledde Fourier till att införa dessa.

2.1 Värmeledningsekvationen Problem: Betrakta en metallstav med längden L och låt u(z,t) beteckna temperaturen i punkten z {O

~

z $ L) vid tidpunkten t. Man kan visa att under

vissa idealiserade villkor satisfierar u{ z, t) följude partiella differentialekvation, som brukar kallas för virmeledpjJllsekvation

8u _ K8 2u 8t 8z 2 ' där K är vä.rmeledningskoefficienten. Antag att temperaturen ir kind i staven vid tiden t

= 0, dvs u(z,O) = /(z) = given funktion

och att temperaturen i stavens ändar z = 0 och z = L är lika med O för alla t

? 0, dvs u(O,t)

= u(L,t) = 0

då t? 0.

Problemet består nu i att bestämma u(z,t) då O ~ z $ L och t

~

0.

I matematisk formul~ring får vi: ~stäm u(z,t) för O $ z $ L och t

!: =

K::~,

u{0,t)=u{L,t)=0,

u(z,O)

~

O < z < L och t > 0

0 då

{2.1.1) {2.1.2)

t~O

= /(z) = given funktion,

{2.1.3)

(2.1.2) kallas för randvillkor och (2.1.3) för begynnelsevillkor. Av fysikaliska ,käl inses att detta problem bör ha en entydig lösning. Vad anbelangar (2.1.1) observerar vi först att om u1{z,t), ... ,um{z,t) ir lösningar till (2.1.1 ), så är också

u(z,t)

= c1u1(z,t) + · · · + Cm1Lm(z,t)

en lösning till (2.1.1) för alla konstanter c1, ... , em; detta gäller eftersom

8 -8

(I: c1ru1r(z,t)) = L t

och

m

lr=l

m

lr=l

cir

8u 8 lr

t

83

64

Kapitel

2 Fourier-serier

Det finns två grundläggande idcer bakom Fourien lösningsmetod. Den ena är att man först skaffar sig en massa lösningar till (2.1.1 )&(2.1.2), vilka 1edan kombineras ihop enligt ovan på lämpligt sätt så att resultatet satisfierar (2.1.3), och den andra är att man ansätter lösningar till (2.1.1 )&(2.1.2) av formen u(z,t)

= X(z)T(t),

där alltså X(:r) och T(t) är envariabclfunktioner; detta görs för att man bara ska behöva handskas med vanliga (och ej partiella) derivator. Låt oss då allra först hitta lösningar till (2.1.1) av formen u = X(z) T(t): insättning av

%1f = X(x)T'(t) och::~= X"(:r)T(t) i (2.1.1) ger X(x)T'(t)

=K

X"(:r)T(t).

Dividera med K X(z) T(t): 1 T'(t) K T(t)

=

X"(:r) X(z).

Detta uttryck beror inte av z, eftersom vänsterledet inte gör det, och inte heller av t, eftersom högerledct inte gör det, och ir således en konstant. Med tanke på kommande förenklingar kallar vi denna konstant för -~ 2 ; minustecknet är ingen inskränkning om vi tillåter

~

att vara komplex.

Ur 1 T'(t)

X"(z) X(z)

--=--=-Å

K T(t)

2

får vi de två ekvationerna

Låt oss först studera (1 ), som har lösningarna

X { z)

= A cos Å:r + B sin Åz

med godtyckliga konstanter A och B.

2.1 Virrr.lednin11ekwetionen

=

För att randvillkoret (2.1.2), dvs u(O, t) u(L, t) alla t måste vi kräva att X{0) X(L) 0, dvs

= 0, 1b vara uppfyllt för

=

= 0 = X{0) = A => A = 0, 0 = X{L) = B1in >.L.

= 0, så i.r X =0, vilket i.r en ga.nska ointressant lösning.

Då B #- 0 må.ste sin >.L = 0. Nu i.r det så att de enda nollställen 10m 1inudunktionen har i det komplexa planet är de reella, dvs n ,r, där n är ett godtyckligt heltal (se appendixet). Alltså får vi att >.L = n,r, dvs>.= n,r/L, där n = O, ±1, ±2, .... Lösningarna till (I) + randvillkoret blir därmed Om B

n = 0,±1,±2, ...

där Bn är godtyckliga konstanter. Emedan

. (-T n,rz) = - . (n,rz) T

SID

&ID

ser vi att

. n,rz } {sm-L

00

n=l

utgör en maximal mängd av lineärt oberoende lösningar.

Med ~

= "i,, n = I, 2, ... , blir (2):

varur fås n = 1, 2, 3, ... ,

där Cn är godtyckliga konstanter. Slutsats: Problemet (2.1.1)&{2.1.2) har oi.ndli«t många lineärt oberoende lösningar, nämligen n

= 1, 2, 3,... ,

N

och varje lineärkombination

i: Cn un(z, t) av dessa är också en lösning. n=l

För att få en lösning som dessutom satisfierar {2.1.3) a.nsätter vi

85

66

Kapitel

2 Fourier-serier

där koefficienterna C1, C2, C3 1

ska bestämmas så att

•••

00

u(:r, 0)

=L

Cn sin

niz = J(:r ),

n=l

där f(:r) i.ren given funktion på [o,L] med /(0)

= f(L) = O.

Om den här metoden ska kunna fungera, så måste alltså varje någorlunda

= 0 kunna skrivaa om aom en sk

snäll funktion f(:r) på [o, L] med /(0) = f(L)

. smussene: .

L Cn sin nr:r 00

f(:r) =

då OS :r S L.

n=l

Men kan detta verkligen vara möjligt? Antag för ett ögonblick att 00

""C . n1r:r L

nSlDL

n=l

är konvergent för alla :r, och kalla summan för F(:r). (F(:r) är alltså definierad för alla :r och är= f(:r) då OS :r S L.) Vi ser då att F(:r) har följande egenskaper:

1) F(:r + 2L) = F(:r), dvs F(:r) har perioden 2L, 2) F(-:r) = -F(:r), dvs F(:r) är udda. Vi kan då ställa följande Fråga: Kan varje någohå.nä.r väluppfostrad udda och 2L-periodisk funktion

F (:r) skri vas som en sinusserie 00

F(:r)

=L

Cn sin nix?

n=l

Fourier påsted år 1-B0i att detta är sant och 22 år &enar~ lyckades Dirichlet visa att så verkligen är fallet. Vi ska senare se att Cn ges av L

. L n1rx dr= Cn = L2 / F(:r)sm 0

= fefter1om F(z) = f(:r) då OS :r S L

= L2 / f(z)sm. 0

n71'Z L dz,

LJ

2.1 Virmelednin111hationen

vilket (till slut!) ger den önskade lösningen till värmeledningsproblemet: u(z, t)

2 L

=L 00

n=l

(

f F(z) sin Tn,rz dz L

n,rz

) sin T

2 ,- 2 t

. e-K.

2

IL .

0

Variant: Om vi, istället iör att anta att metallstavens ändar hålls vid temperaturen 0, antar att ändarna är värmeisolerade, 1å byts (2.1.2) mot

8u

8u

Bz(0,t)= Bz(L,t)=0

för alla t

~

(2.1.4)

0.

Det visar sig att (2.1.1 )&{2.1.4) har de lineärt oberoende lösningarna för n

= -0, I , 2, 3, ... ,

varför den !lutliga ansatsen blir

där koefficienterna Cn ska väljas så att 0C

u{z, 0)

=L

Cn cos nlr = given funktion på {0,

i].

n=O

Vi leds då till följande Fråga: Kan varje väluppfostrad jämn 2L-periodisk funktion G(z) utvecklas i en cosinusserie: 00

G(z) = ~ C.cos nrz?

•=0

87

68

Kapitel 2 Fourier-serier

2. 2 Fourier-serier och deras konvergens Eftersom varje funktion trivialt kan &kriva.s &om summan av en udda och en ji.mn funktion si. ger frågorna i föregående av&nitt upphov till följande problem, där vi bytt z-variabeln mot t och satt perioden 2L

= T:

Problem: Under vilka förutsättningar är det möjligt att skriva en T-periodisk funktion f( t) i form av en sk Fourier-serie:

f(t) ~

ao ~ L2 + n=l

(

an cos

n2,rt . n2,rt) -r + bn &lD --J'

med lämpligt valda koefficienter an och bn? Tecknet,. ~,~innebär att vi bildar Fourier-serien av f(t) utan att undersöka om den konvergerar mot f(t). "

~"

betyder endast att serien i högerledet tillhör

f(t). \"i får ersätta"~" med"=" endast om vi vet att serien konvergera.r och att dess summa är just

f (t ).

~t) och cos ( ~ t) bar perioden T vilket även gäller för sin ( ~t) och cos ( ~ t). (Dessa har naturligtvis också kortare perioder, nämligen Funktionerna sin (

T, men det är just upprepningen efter varje T &om gör dem lämpliga tHl att n

användas i en utveckling av funktioner med perioden T).

Exempel 2.1 Låt oss betrakta två superponerade cos-svincningu

och ställa frågan: För vilka Om

f (t)

mao

WJ

och w2 har

f (t)

en period T ?

har perioden T måste det finnas tvi heltal m och n si att

WJ

w2

= m = ett rationellt tal. n

2.2 Fourier-1erier och der•• konver1en1

Vi ser också att &&I] 2,r W'J -=,r;-=~=w

m

i

n

2,r

T- 2,r -

T2=-

&&I '

&&12

rochJ T =

mT1

= nTz.

• Exempel 2.2 Givet f(t) WJ

wz

m =n

= cos i+ cos {. bestäm /:s minsta period T. 1/3

ger l/ 4

= 34 . Alltsa• m = 4, n = 3.

Eftersom T1

= :: = 1213 = 6,r och T = mT1

det minsta

T.

följer T

= 4 · '6,r = 24,r, vilket ger

•

Hemmafunderare: 1) Är /(t)

= cos 17t + cos (17 + ,r)t periodisk?

Va.där i så fall T?

2) Vad är minsta T för

a) f{t)

= sin 2 4,rt

b) f(t)

= 1in 3,rt cos 5,rt?

Obs: T

= ½är fel!!

T

= 2 är fel!!

I många nmmanhang (tex vi.xelströmsteori) visar det 1ig vara limpligt att uttrycka Fourier-&erien på ett annat sätt genom att använda formlerna

samt grundtonens vinkelfrekvens wo = 2; , vilket ger 00

~o

+L n=l

(an cos nwot

+ bn &in nwot) =

69

70

Kapitel 2 Fourier1erier

00

L

=

Cnfinwot

n=-oc

med

dån> 0

dån< 0.

Då n > 0 är således On - ibn

2 an

+ ibn 2

vilket ger

observera att

an

= Cn + C-n giller även

då n

= 0.

Vi har då slutligen kommit fra.m till följa.nde Problem: Vilka T-periodiska funktioner f(t) ka.n uttryckas som Fourierserier 00

f(t)

~L

Cn eini.1ot?

-oo

Observation: Antag att f(t)

=

N,

L n=-~·1

Cnfin ...•ot

Då är

2.2 Fourie,...,.erier och dera1 konver1en1

Dån:/: m är

= 0, ty

,i21r-h,ltal

För n

= l.

= m fås T /

T

fiO..,ot

dt =

Jdt = T.

0

0

T

I f(t)

e-imwot

dt =

Cm

T,

0

dler, om vi byter m mot n:

Eftersom både f(t) och e-i_,,t i.r T-periodiska, så i.r också integranden Tperiodisk, varför integrationsintervallet i.r egalt så li.nge som det har längd.en T: T-periodisk funktion ____ r_

T

r

T

T

de streckade omrldeoa bar samma yta

Slutsats: Om den T-periodiska funktionen /{t) kan utvecklas i en 'Fourierserie

J 0 och f:s vänstergränsvärde i ti f-0

är f(ti - 0) = lim f(t, - e:) (e: > 0).

,-o

■

f{ t) s~s vara styckvis kontinuerlig i ett oändligt intervall om ovanstående gäller för varje ä.ndligt delintervall.

'15

2.2 Fourier-serier och dera1 konve11en1

(\_

/(t)

t1 l/ --+-----------· Exempel 2.3

f(t) = 1in(l/t) iir kontinuerli1 överallt utom it= 0. Eftersom J(t) inte har vinsteroch hö1ergriin1viirden i t innehållande t

= 0,

si iir / ( t) ej styckvi1 kontinuerli1 i nå1ot intervall

= 0.

•

Definition 2.2.2 Antag att f(t) är diskontinuerlig it= a, men har väldefinierade vinster- och högergränsvärden f(a - 0) resp f(a

+ 0) där.

t)

ft•.

0/ I

ft•·OJ

~

---+--------, • ·I • • + I

Vi defiruerar då

f :s

vänsterderivata i t

J'(a _ O)

cgr lim /(a -

= a som

0) - J(a - t)

•-0

(t > 0)

f

och motsvarande högerderivata enligt

J'(a

+ O) cgr lim /(a + E) •-O f

f{a

+ 0)

{t > 0)

•

om dessa gränsvärden existerar. Låt oss nu återvända till 9v (t ). Eftersom detta är en udda T-periocmk funktion så är dess Fourier-1erie (om den nu finns) 00

9v(t)

= ~ bn sin nwot n=l

76

Kapitel 2 Fourier-serier

där

I 9u(t) . nwot dt = fg,.(t) = t

T/2

bn

= T4

51D

då

O$ t $ T /2j

=

0

=~

T/2

j

=

t sin nwot dt

0

= -T4

( {- t

nwo

COS™"-1ot

] T /2 + - l nwo O

= - T cos 1rn + _I_ {,in nwot] T /2 = 1rn ,r2n2 o ,rn

1rn

Då O $ t $

I

skulle vi alltså få:

t

T

= 9u (t) = -7r

(-1)"+1 L _...;......._ sin nwo t. n oc

n=l

Men vad händer nu i 9u :s diskontinuitetspunkter t

= ½+mT?

Jo, där i.r Fourier-

serien lika med

(-1)"+ (T ) -T L --sin nwo 2 + mT = 0 n 00

1

7r n=l

ty med woT

= 21r fås sin n,r(l + 2m) = 0 för alla heltal n och m.

I själva verket ser grafen av Fourier-1erien ut på. följande sätt: G,Jt)

Vi observerar att seriens vär&n i 9u :s diskontinuitetspunktcr i.r lika med medelvärdet av 9u :s vänster- och högergränsvärden där:

I

~ {9u ( + mT -

0) + 9u (I + mT + 0)] = ~ [- I + I] = 0.

2.2 Fourier1erier och deraa konver1en1

Låt oss även utveckla funktionen g(t) = t på

{o, T /2]

i en cosinuu.erie:

00

g(t) =

L an cos nwot. n=l

Först gör vi en jämn utvidgning till

{-T/2,T/2]:

g(t)

och sedan en T-periodisk fortsättning över hela t-axeln: Gjt)

Den jämna T-periodiska fortsättningen 9j(t) av g{t)

= t på intervallet {o,T/2]

blir alltså kontinuerlig (till skillnad mot 9v(t)), men ej deriverbar Överallt. Däremot har 9j(t) vänster- och högerderivator i varje punkt.

Då 9j~t) är jämn så är dess presumtiva Fourier-serie 9j(t)

=

a

oo

2° + L an cos nwot, n=l

där T/2 an

= ;

j

T/2

9j(t) cos ru.JQt dt

0

=;

j

t cos nwot dt =

0

rom n # OJ =

och

~T

(r-t

2

T/2

sinnwot]T/ - _ l / sin ""1Qt tl.t nwo nwo O

)

2 --1 [cosnwot ]T/2 == --(cos,rnT = -1) ,rn nwo o ,r2n2

=

T { 0, n jämn och 2T = - 2 2 { 1 - ( - l )"] = dd ,rn 22' nu a ,r n

#

0

,

77

78

Kapitel 2 Fourier-aerier

T/2

4 /

4

[t 2]T/2 = 'IT

t dt = T 2 o

a.o = T

0

Då O ~ t ~ T /2 {år vi så.ledes

T

2T

t = 9j(t) = -4 - -

,r

2

L (2m 1+ 1)2 cos (2m + l)wot. 00

m=O

Vi observerar i förbigående att 911 :s Fourier-koefficienter är av storleksordningen O(1/n), medan g;:s är O(l/n 2 ), varlör 9;:s Fourier-serie konvergerar snabbare. Detta beror på att 9i är "1nillare" i.n 911 : 9j är kontinuerlig, vilket 911 inte ä.r. Sensmoralen av allt detta ä.r att om vi vill ha en Fourier-seriesats som ska kunna vara användbar tex i samband med vä.rmeledningsproblemet, så kan vi inte begära att den T-period.iska funktion /(t) som vi vill utveckla ska vara kontinuerlig; däremot kan det vara rimligt att anta att /(t) i.r styckvis kontinuerlig och vidare (i analogi med exemplen ova.n) att /(t) har vänster- och högerderivator överallt. Att dessa förutsättningar räcker visade Dirichlet år 1829 i form av följande sa.ts:

Sats 2.2.1 Fourier's sats: Antag att den T-periodiska funktionen f(t) är stych•is kon-

I tinuerlig. I varje punkt t där f(t) har sål·äl vänster- som högerderivator gäller då att medelvärdet av f :s vänster- och högergränsvärden it ä.r 1

2{J(t + O) + f(t -

o)] = ,Ji~

00

"f N

N

.

en e'""'•t,

där

OBS: Om

f

är kontinuerlig i en punkt t, så är

f(t)

= ½[f,.t,

... , är lineärt oberoende, så måste (2.3. 7) gälla om (2.3.6) 1ka vara

uppfyllt, dvs (2.3.6) (2.3. 7). Poängen med ei..,,.t:i; lineära oberoende är att man kan behandla varje "delsvängrung"

ei..>,.t

för 1ig, ocb ,edan 1uperponera

resultaten. Observera vidare att derivationsoperatorn ekvivalent med operatorn "multiplikation med iwn ":

d ,·., f .... dt

-

Vi får alltså

. ,··t = lWnf "'"

ft

tillämpad på

ei..i,.t

i.r

2.3 Oifl'erentialeh1tioner med periodi1ka höaerled

försåvitt P(iwn)

# 0 för

alla n. Antag detta 1å li.nge.10bservera att m:tegrae&-

polynomet PP) har högst m &tycken olika rötter, och ri&ken för att någon av dessa ska vara av formen iwn

= i7MAIO ä.r inte 1iz1kilt stor.)

I 1å fall

fu tydligen

partikulär lösningen

(2.3.8) -

ja, egentligen ska man kontrollera. att l'part(t) verkligen kan deriveru t.ennvi&

m gånger, men det bryr vi oss inte om hä.r. Exempel 2.11 Beräkna den allmänna lösnincen till y"(t)

lt1 < l

och b(t

Här iir P(D)

+ 2)

+ 2y'{t) + y(t) =

b(t), diir b(t) = t 2 di

= b(t) för alla t.

= D 2 + 2D + 1 = (D + 1) 2 , si Yhom(t) = (A + Bt)e-t.

Den 2-periodiska funktionen b(t) har Fourier-serien{wo = ,r),

oc

.

L

b(t) =

Cn e'n"'t, diir Cn

n=-oo I

och co = 2

. 2(-l)n = i Jl t 2 e-,n1rt dt = 2 2

n

-l

JI t 2 dt = -31 . -l 00

i::

Ansatsen Ypart(t)

[-n 2,r 2 + 2in1r

+ 2in,r + l #

#

+ I)cl.n]ein1rt =

00

~ e,aein1rt. n=-oo

0 för

1111 heltal

n, si fis om

n-:/; 0

omn Alltså är

0,

oo · = n=-oo I: cl.ne'n,rt ser

n=-oo

Eftersom -n 2,r 2

om n

71"

=0

95

96

Kapitel 2 Fourier-serier

och

•

Nå, men vad händer om P( iw1) = 0 för något k? I så fall måste ma.n byta ut

termen d1rfi..,.t i ansatsen för Ypart(t) mot något annat - 1åg y1(t). Vi bar då att lösa

där P(i .....·1c)

= 0.

Ansatsen Y1i:(t)

= fi..••tz(t) ger med hjälp av förskjutningsregeln:

dvs

Lat oss sätta Q(D) = P(D + iw1r ); då är också Q(D) ett m:tegradspolynom i D. Om P(>.):s nollställen i iw1c är av multipliciteten r, så har Q(>.):s motsvarande nollställe i ).

= 0 samma multiplicitet, så vi

kan skriva med br :/- 0.

Vi ska då lösa

d VS

En partikulärlösning är

dvs ( om alla integrationskonstanter

= 0)

z{t)

Cir tr

= -br

1r. .

2.3 Oifferentialehationer med periodi1ka höaerlecl

Vi får alltså

vilket får ersätta d1rti..i,t i ansatsen 00

l'part(t>

I:

=

ctnei..,• t •

n=-00

Anmärkning: "Amplituden" för en svängning ~ei..i.t i.r lika med

som alltså är konstant (&om funktion av t), medan ovanstående funktion r1r(t)

har amplituden

som går mot oo då t - oo. I de fall då amplituden växer ob~rii.nsat när t - oo säger man att man har nsonans; detta inträffar &åledes när PP) har något nollställe av formen

iw1r = ikwo.

Exempel 2.12

= f(t), diir f{t) iir en snäll 21r-periodisk funktion .Eftersom P(D) = D 2 + 1 blir den homogena lösningen Yhom(t) = C1eit + C-1e-it. Lös y"(t)-t y(t)

f(t) har Fourier-serieutvecklincen (wo = 1):

f(t)

=

00

~ eneint

med

n=-00

Ansatsen 00

Ypart{t)

=

L

ctni"'

n=-00

00

L

dn(-n2

+ l}eint

n=-00

= n=-00

dvs

4.

= 1-Cnn 2

om n

# i:l,

.

97

98

Kapitel 2 Fourier-serier

medan termerna d-1 e-it och d1eit miste bytas mot nicot smartare.

n

= 1:

Ansätt y1(t)

= eitz(t) som lösninc till ( D 2 + 1)Yl ( t) =

C]

fit.

Di fis:

d VI

z"(t) + 2iz'(t)

= c1,

som har partikulärlösnincen

varför

och

71

= -1:

Ansatsen Y-1(t)

= f-itz(t) ger pi samma sitt z"(t)- 2iz(t)

= C-J,

så z( t )

= -IC-J -t 2

och tC- J it Y-1 { t ) = - 2- te- .

Alltså fis dtn allmänna lösninctn

= ( C1 - i;1

t)

fit

+ ( C-1 + ic;J

t)

f-it

+ n'f 1 ~n2 fint, 00

n#±l dir Cn

=

'f'

T/2

J /(t)e-int dt,

-T/2

n = 0, ±1, ±2, ....

•

2.3 Oifferentialekvationer med periodiska hö1erled

Den metod som här skiuerah för att lösa differentialekvationer med peri~ diska högerled anvi.nds flitigt i bl a växel&trömsteorien, där den b.Hu for "jwmetoden". Orsaken till detta namn i.r att man helt enkelt byter ut den beni.rli«a operatorn "derivera med avseende på t" mot den betydligt enklare "multiplicera med iwn", eller symboliskt

d . dt = 1""11 • Låt oss fortsätta med ett annat

Exempel 2.13 Bestäm den allmänna lösningen till

y'"(t) + 5y"(t) + 9y'(t) + 5y{t) där

f(t)=

!

t+h h2 h-t h2

0 och f(t

+ 2,r)

di -h

~{(J•g)(t~~w)

= f{t,,1)9'.w).

Bevi&: 00

]J.. w) g(_ w)

=/ -00

00

e-ivJ'll

ft u )du

/ -00

e-ivJ" g( v )dv

=

125

126

Kapitel 3 Fourier-transformen

00

=j

00

j

e-iw(•+ 11 >j(u)g(v)dudv

= f11+T=t,11=11J

-00-00

r

= omkastning av integrationsordningen i.r möjlig pga den &ntagna ab1olutkonvergen1enJ =

=

_z lZ

u)åu] •-""'.it

J(u)g(t (f. g)(t)

Slutsats: Originalfunktionen till J(w)g(w) i.r just faltningen (J • g)(t)

Med hjälpa,· faltningsformcln

~[(! • g)(t)](w) =

f(w)g(w) bn man i vissa

fall direkt skriva upp en lösning till

P(D)y(t) = b(t) om vi antar att b( t) uppfyller villkoren för en originalfunktion. Fourier-tr&nsformering ger nämligen

P(iw)y(w)

= b(w),

.

sa

1 y(w)= P(iw)b(w). Antag nu att 1/P(iw) är Fourier-transformen av en funktion K(t), dvs

1 P(iw) = K(w). Då är

y(w)

= K(w) b(w)

och faltningsformeln ger den önskade lösningen 00

y(t)=(K•b)(t)=

j

K(t-u)b(u)du.

-00

Obs @: För att beräkna y(t) behöver man alltså inte känna till b{w) - j slutformeln ingå.r bara b( u ). Obs ~: Funktionen K(t) beror inte på. b(t), utan bara på P(D). vara fundamentallösningen hörude till P(D).

K(t) sigs

3.2 Löanina aw •dinira differentialehationer

Exempel 3.5 Bestäm en p1rtikulärlösnin1 till

r'(t) + 2y{t) = b(t). Här är P(D)

= D -

+ 2 och P(iw) = iw + 2, 11 att

K(w.1)

= 2 +l IW .

och

l

K(t)- - 2,r

/00 -00

eii.i,t

--"'-,,, 2 + iw •

En sidan intecral beräknas enklast med hjilp av residuekalkyl -

se Funktionlteori.

Men för att undvika svårigheter tar vi hir istället resultatet ur en forrnelaamlin1:

'( t) = { 0, f-ct,

t0

> 0).

Koll:

=

I

e-(c+ii.i)t

-(a+iw)

l= oo

0

l

Si i virt fall är

K(t)

= {0~2, t

'

t0

och den sökta lösnincen ir 00

y( t) = ( K • b)( t) = /

K (t - u )b( u) Ju = ft - u > 0 ~ u < t J =

-00

• Anmärkning: Man kan allmänt visa att för R.ea > 0 och m ar

= 0, 1, 2, ...

12 7

128

Kapitel 3 Fourier-transformen

.r

där l ( t) betecknar den sk Beavisidefunktionen:

I(t) = { o1,' t < o t > o. Genom att partialbrilsuppdela l

P(iw)

=

l (iw)" + An-J(iw)"- 1 +

· •• + a1iw + ao

och an,·ända ovanstående formel ser man att alla differentialoperatorer P(D), med egenskapen att PP) saknar rent imaginära nollstillen, hu fundamentallösDJngar. Faltrungsformeln

kan också användas för att lösa integralekvationer av {altningstyp, som tex 00

j

y(t)=f(t)+

y(u)g(t-u)du,

-00

där f och g är givna funktioner och y(t) söks. Förutsatt att alla ingående funktioner kan Fourier-transformeras fis nämligen

y(w) = f(w) + y(w)g(w), dVs

-( ) =i(i.·) yw --1 - g(w) och

y(t)

= ]_ 2,r

I

00

-

c~oi

f(i:_)

d.,;.

l - g(w)

-00

Exempel 3.6 Beräkna y( t) di

där a och b är konstanter uppfyllande O < a

< b.

Genom att titta i en formelsamling ( eller eventuellt använda residuekalkyl för att beräkna Fourier-inte1ralen) ser man att för a

~f

l

lt 2 + a 2

]

> 0 ir

= ~ e-•11111. a

3.2 Löenina av •dinire differentielehetioner

Om vi observerar att integralen i vinsterledet ir en f1ltnin1, ai fir vi dirför:

d VI

-c )= l, e-(._•)li.11 = l, b G

i, ""

G

G

-,r-

,r - A. 1A{ t) har Fourier-transformen 00

lA(w)

=/

e-i..,tlA(t)dt = /~ e-i..,tdt

=

-00

Därmed borde vi ha

-

2sin .Aw

-

l{w) = lim lA{w) = lim - - - , A-oc

A-00

w

som dock inte blir någon meningsfull funktion. Däremot har vi i beviset 4'ör'Fouriers invenionssats visat att man fi.r ett vettigt r.esult.at om ma.n tar en godtycklig absolutintegrabel och kontinuerlig fonktion g(w) och studeras grinsvizdet 00

lim /

2sinAw g(w)Li; w

A-+00 -00

129

130

Kapitel 3 Fourier-transformen

detta blev nämligen

= 2,r g(O).

Således är

00

00

lim / 1A(w)g(w)dw = 2,r g(O)

A-00

= 2,r

-00

/ 6(w)g(w)dw. -00

Då detta gäller för alla &nälla funktioner g(w) år det naturligt att skriva

l{w)

= 2,r cS(w ).

Därav framgår att om man vill utvidga Fourier-transformen till att omfatta även icke absolutintegrabla funktioner (somt ex 1) så mute man också utvidga funktion&begreppet till att omfatta sådana konstigheter

10m

6-funktionen (vilken

ju inte är någon riktig funktion).

= 2,r cS(w), eller ] ,rl(t),

Vad skall då 6( ••.:) vara? Eftersom l(w)

cS(t)= 2
0

-oo < z < oo,

= /(z),

-oo < z < oo

Låt oss Fourier-transformera (D m a p :,:-variabeln, dvs vi multiplicerar (I) med e-i ..·z och integrerar från -oo till oc:

I 0C

I

2

00

e

-i..,z

åu d - K åt :r -

-00

e

-i..•z

8 ud 8z2 z.

-00

Om vi låter u(w,t) beteckna Fourier-transformen av u(z,t) m ap z-variabeln:

I e-i&..,zu(z,t)dz, 00

u(w,t) =

-00

1å får vi

8u(w,t)

åt

= K('iw )2 u_( w,t ) ,

dvs

åu (w, t)

Bt

+

K

2 _(

w u w,t

)

= 0.

Detta ä.r en differentialekvation i t-variabeln, där w bara spelar rollen av en parameter. Om den löses på vanligt sätt fås

u(w,t) = A(w) e-K""\

3.3 Virmelednin1Htivationen icen

där A(w) är en "in~gntion1kon1tant" 10m uppkommer vid t-integrationen. Enligt (ll ir

u(w.1,0)

=

00

00

-00

-00

f t-Mo.'Zu,(z,O)dz = f e-i,,,zf(z)az = i{u1),

men vi har också

u(w.1,O) = A(w)e0 = A{w.1); därför måste

A(w.1)

= f(w.1).

Alltså är

l 2 = Kt, 4a

-

l d v I a = 2v'Kt,

fas därför

Tack vare faltrungsformeln fi.r ma.n si. den 1ökta lösningen:

133

134

Kapitel

3 Fourier-transformen

3.4 Den inversa Fourier-transformen Vi har tidigare sett att den inversa Fourier-transformen fås av 00

f (t) = 21,r / ei..lt f (w) di.I, -ac

(3.4.1)

där f(w) är Fourier-transformen av /(t). Låt ou i ett exempel se hur en sådan integral kan beräknas med hjälp av komplexa metoder. Exempel 3.7 Beräkna originalfunktionen f(t) till Fourier-transformen

-

= +1 IW . ,

f(w)

Q

dir Rea

> 0.

Enligt inversionsformeln ir

f(t)

= _1 /ex:

_e'_·w_t_ dw =

2,ri

Sätt nu Ft(z) = zr-,c, dir z

= z + iy.

-ex: ial

/oc

1

a + iw

2,r

-ac

_e_i..l_t_ dw

w - ia

som ir

< 1 om

yt

> O;

alltså bör

~

1

2'rt

/oc -ac

fizt_ dz. z - 1a

För fixt t ir Ft(z) en funktion av z, som ir

analytisk överallt utom i den singulira punkten z I de kommande riknincarna vill vi att

=

= ia.

lei•tl ska vara litet, vilket leder till tvi olika fall:

>0

(i) t > 0. Betrakta den slutna kurvan LR

di t

>

0, och nir t

0 li11er den sin1ulir1 punkten ia innanför LR

tillri~kligt stor. PI• residuesatsen ir

(3.4.2)

+ CR

om R ir

3.4 Den inveru Fourier-trensfonnen

Mär är

f FJ..z)dz = IL11.

R

j

id

t

-R

.

z -1a

d.z

( observera att integralen i inver1ionsformeln e1entli1en ir ett principalvirde, R

dvs lim / ), R-oc; -R

{ Ft(z)dz--+ 0

di R

lc11

--+

oo enlict Jorcfans lemma,

och fizt

t' 1At

Re, - - - = - - = z=io z - ia l

f-ot

Då R--+ oo i (3.4.2) fis därför

-ex,

så när t

> 0 är oc;

f(t)=k

I

-oc;

Q) t < 0. För att fi

fizt

--.- d.z z - 1a

= f-ot_

jeiztj liten ska v1 här vistas i undre halvplanet

betraktar kurvan

{y < O}, si v,

y I

Eftersom integranden saknar sin1ulira punkter innanför tlenna kurva ir residuesumman lika med 0, si

I Ft{z)i.z + I FJ..z)dz = o. h11. lc11. 'Enligt Jordanlemmat (som &iller dirför att ieiztj ir liten pi CR) ir

lim /

R-oo lclt

FJ..z)dz = 0

135

136

Kapitel 3 Fourier-transformen

och därmed blir

dvs /(t) = 0 nir t < 0.

Q) t

= o. R d R J(0) = -21 . lim / z_ = -21 . lim {In(z - ia)] R 11't R-00 z - aa 7rl R-00 -

-R

I

1 . lim [In RR- i~ = -211'1 R-oc - aa

I+ i a.rg(R - ia)-i arg(-R - ia)] -,p(R)

1 . lim i(1r -2c,:,(R))--+ = 2 11'1 R-00 helt i överenstämmelse med att

-(1r--,(R))

-12 , di R--+ oo,

/(0) = } [f(O+) + f(O- )] = } {1 + o] = }

Sammanfattningsvis blir alltså

l

-at

f(t) =

Om a irreellt (och

{

> 0), si ser f(t)

ut

nir t närt när t

>0

=0 0.

Vi kan då tillåta /{t) att "vä.xa.expo-

nentiellt" då t - oo i den meningen att vi endast kräver att, för något A när t

> 0,

2: 0,

där M är en konstant med M < Re 8, ty detta villkor .gör att integuen konurierar i den övre gränsen. Men det pris vi får l>etala. ior detta i.r att /J..t) måste iå väldigt fort mot O då t - -oo för att få konvergens där, ni.mli&en forta.re än e-erltl.

Då vi i det här kapitlet .framför allt är inhesserade av förlopp ,om stuta.r vid tiden t

= 0 och därefter {fört > 0) beskriv& av en eHeT annan diftesentialekvation,

är det naturligt att byta ut den undre int.egration&gråneen t

= -00 mot t = 0 i

139

140

Kapitel 4 Leplec~tren1former

tnnsformen1 definition. I detta fall är det enbart en vinit att in.föra , =

"+ iw

med u ~ 0 i1tillet för iw. Vi leds därför till att definiera den I k

Laplace-transformen: ac

:t[/(t)](,) = f(,) ~r /

e-•tJ(t)dt,

0

(4.l.l) där , = "

+ iw med

c, ~

0.

Som originalfunktioner till Laplace-transformen betraktar vi alla funktioner

f(t) som är definierade då t

~

0 och uppfyller:

1) f(t) är styck\'is kontinuerlig på

2) f(O) = limf(t)

t-o

[o, oo [,

(t > 0),

3) det finns konstanter AJ och M J så att då t ~ 0.

Exempel: Funktionen ft' uppfyller ej 3).

Så f(t) kant ex se ut så här:

V Konvention: I detta kapitel betraktar vi enbart funktioner av t 1Om är definierade i intervallet

{o, oo (, eller, eventuellt, funktioner som är identiskt noll

för negativa t. Vi observerar att inte«ralen :f{J(t )] ($) =

Je-•t f(t) dt är absolutkonver.gent

0

då Re$

> MJ, ty där är je-•t/(t)j ~

Rea - Mt

> 0.

e-(Ru)tA1eM1t

= A1 ,-(Ru-M,)t med

4 .l Definition och enkla •1•n1kaptr

Exempel 4.1

~r 1

oo

1 = /

,-•t 1 dt

=

0

[,-•ti -,

oo

}

di Re, > 0.

= _ i

0

di Re., > O. och allmänt:

I•

= -n -e-•• tn-l ]00 + n (n - 1) /00 e-•t tn-2 dt = .s

-.s

.,2

0

0

di Re, > 0

• Exempel 4.2 För ett komplext tal a är

~itat] =

i

e-•t tat

dt

= { e-(,-a)t

f je-(•-a)tj = e-R~(•-a)t 1 =-., - a Därur följer om

l= oo

-(, - a) o

o

0 då

t-

oo omilc(, -

di Re., > Rea.

b iir reell:

~ {cos bt] =

00

j e-

.i

!(

e ibt + t - ibt) dt =

0

.,

di ft.e,

> 0,

a) >

Oj

141

142

Kapitel 4 Laplace-transformer

och

= 1 ~rei•t] _ 1 ~ t ~ b = ---,,--~ .,2 + b2

l

l

~[e-il,t] = ~ _~= , - ,b , + ,b

di Rea> 0,

I det &ista exemplet har vi utnyttjat Laplace-tra.n&formen& linearitet:

•

om a och b är konstanter; denna egenskap följer direkt frå.n integralen& linearitet. Det som gör Laplace-transformen intressant ur d.ifferentialekvationssynpunkt

är att om /(t), f'(t), ... ~ Jln)(t) uppfyller villkoren för originalfunktioner, så gäller (förutsatt att Re .s är tillräckligt stor): ex:

~[!'(t)](-') =

j e-,t J'(t)dt = 0

= [e-,t f(t)]: +

ex::

$

j e-,t f(t)dt = 0

oc

~[f"(t)](a) =

j e-,t J"(t)dt = 0

ex::

J

= [e-•t J'(t)]: + a e-•t J'(t) dt = 0

= a ~[J'(t)](,)

-

J'(O) =

= a (,~{J(t)](a) - /(0)) - f'(0) =

= .s 2 ~[/(t)](.s)- .sf(O)- J'(O),

4.1 Definition och enllu e11ntllap1r

och allmänt

- , J M 1= (I)

---4_ _ _ _ _,.__ _

o

Jl

Här är µ ett godtyckligt reellt tal större än

M,.

Vi har därmed letts fram till:

Inversionssatsen: Om f(t) uppfyller villkoren för en originalfunktion, så gäller i varje punkt t där / har vänster- och högerderivator att

½[f(t + 0) + f(t (4.2.1)

- O)] =

-k j_moc

,-i+iA

/

e•tj(,) d,.

,,-i.A

Beviset är helt analogt med motsvarande bevis för Fourier-serier och Fouriertransformer och det bygger således på Riemann-Lebesgues lemma. För att inte störa läsligheten av teorin placerades detta bevis i Appendix C.

14 7

4 .2 LÖlnin1 ev differentialekvationer

Sats 4.2.1 Om vi av våra origizlalfunktioner f (t) förutom de tifligare 1Jim1Jda villJcoren kräver att

i) de är definierade i cfakontuniitetspW1itcr11a 1i. a-tt f(t) = ~{f t j

t

= j f(t - u)g(u) du, 0

dvs det fa.ltrungsbegrepp som defiruerats i samband med Fourier-transformen överensstämmer med det

50m

definierats ovan.

=t -

Anmärkning 2: Variabelbytet v

u medför att

t

(f • g)(t)

=j

f(t - u)g(u)du =

0 0

=-

j

f(v)g(t - v)dv

=

t

t

= jg(t-v)f(v)dv= 0

dvs

f •9 =

9•

f.

Sats 4.2.2 Faltningssatsen:

~[U • g)(t)](-') = f(,)g(,).

Bevis: Vi antar att Re, är så stort att alla inblandade integraler är absolutkonvergenta. Det är då möjligt att byta integrationsordning.

4.2 LÖlnin1 ev difl'erentialeh1tioner

Vi har: 00

i(,)g(,) =

00

j e-•"J(v)d.v j e-•"g(v)dv 0

0 00

=

00

j j

f(v)g{u)e-• 0.

1 S4

Kapitel C l1pl1ce-tr1n1formu

Allmännare gäller: 00

~[l(t - a)f(t -

a)](-') =

j e-•t"f(t- a)f(t- a)dt = 0

=

1

00

e- ,t f (t - a) dt

= {u = t -

a}

=

00

=j

e-•("+o)

f(u)du

=

0 00

=

j e-'"f(u)du =

f-o,

f- 0

'f(-').

0

Exempel 4.5

dån = 0, 1, 2, 3, .... H(t - a)·(t - aP

•

•

Exempel 4.6 Bestiim y(t) di

y"(t)

och

y(0)

1, 0, 1, 0, 1, 0,

+ 3y'(t) + 2y(t) = b(t) =

0 2

b(t)

och y(0)

__ ____ , ..,....

= 0, y'(O) = l. b(t)

2

(l(t -

l(t - 2)) =

= (t -

I)

= (t -

I) l(t - l) - (t - I) l(t - 2)

I) -

.,.

.,.

.,.

.r

= .r

= (t - 1) l(t - 1) - (t - 2) l(t - 2) - l(t - 2), si -

b(a)

f

-,

f

-2,

f

-2,

= -a2 - - a2 - -a .

Laplac~transformering av ekvationen ger

.s 2y( .s) - a 0 - l + 3( .sy( .s) - 0)

+ 2y( a) = b( a)

dvs

(a 2 + 3.s + 2)y(a)

= 1 + b(a ).

C.3 Oilkontinuerli11 höaerled

Eftersom , 2

_( ) y,

+ 3.s + 2 = (,+IX, + 2) blir

l - - - -l- - + e _, - (, + l )(, + 2) ,2-(, + l )(, + 2)

-e

-2,

1

1

--,------. , 2{, + 1)(, + 2) ,(,+I){, + 2)

Genom att titta i en formel11mlin1 ~ eller anviinda partialbriksuppdefnin&) finner man att

och

varför

y{t) = f-t - f-2t+ 4-

l(t - l) (-!f-2(t-l) 4

+ f-(t-l)

+ !(t -

2

l) - ~)4

- l(t - 2) (-!e- 2(t- 2) + e-(t- 2) + !(t - 2) - !+

4

+! 2

4

_ e-(t-2) + !e-2(t-2))

2

= e-t - e-2t + l(t - 1)

- "f(t -

2

2)

(t -2 1 -

~ + e-(t-l) 4

!~-2{t-J))-

4

(t -2 2 - !4 + !e...:2(t-2)). 4

Man kan kontrollera att y(t) och y'(t) iir kontinuerli1a för alla t har en diskontinuitet i t

>0

meclan y"{t)

•

= 2.

Mera komplicerad än Heaviside-funktioncn är ~-funktionen ~( t - a ), Laplace-transformen 00

!e{6{t- a~{,) =

j c-''b(t- a)dt = e-u 0

aå a

~

0.

10m

har

15 7

158

Kapitel 4 Laplace-tranaforrnu

När a > 0 inses detta tex genom att approximera 6( t - a) med följden

d,,(1)

•

It - al< 0, It - al>

dn(t) = { n,

ln

bi

r-,

__..,___....,.___ , I

I

I I

I I

I I

I I

•

och ,åtta 0C

I

00

e-,t 6(t - a) dt = lim / e-.t dn(t) dt, n-oc

0

0

som man lätt beräknar till f-, 0 • För a

= 0 är

resultatet inte lika självklart, men om man fördjupar sig i 6-

funktionens och Laplace-transformens "riktiga" väsen, ,å visar sig även detta vara vettigt. Anmärkning: Genom att generalisera derivatabegreppet på ett naturligt sätt kan man visa att

d.r dt 1(t - a) = 6(t - a); intuitivt kan man tänka sig detta resultat genom en gri.nsövergång: 6(1- a)

•H(r - a)

-1-----► ,

a

a

Med hjälp av Laplace-transformering kan man övertyga sig om riktigheten i detta på ett enklare sätt:

l

'i!. { dtd .r1(t - a) (,)

e-• = e-•• = = , 'i!. [.r1{t - a)](,) - 0 = , -,11

= 'i!.(6(t -

a)](.s),

dvs

d .r dt l{ t - a) = cS{ t - a).

4.3 Oi1liontinuerli1• höprled

Exempel •.B Bestäm y(t) di

y"(t) + 2y'(t) + y(t) och y(O) =

= e-• + 36,(t -

l)

y'10) = 0.

Laplace-transformering ger

si _( ) l y s = ( s + l )3

+3~

_,

l ( i + l )2

och

(Obsen·era Laplace-transformens förmåga att trolla bort svårigheter!) Exempel 4.9 Beräkna y(t) di 00

y" ( t)

+ y( t)

= ~ 6{ t -

mr)

n=O och

y(O)

= y'{O) =

0.

Hö.gerledet ser symboliskt ut på följande sätt:

-

I

6(r - n7t)

""' 0

"

."

"

•

2•

:ta

~

~

••

5•

Här får vi

(a 2 + l)y{a)

00

= ~ e-no, n=O

dvs

Di ~-l

f,

2

+ l ] {t) = sin t

1

•

159

160

Kapitel 4 Laplac.-tranaforrner

blir därför .r

0C

y(t) =

L

l(t - n,r) sin(t - n,r ).

n=0

Om vi fixerar en viss tidpunkt t, si ser vi att .r

{

.r

{

l(t - n,r) =

1 di n,r < t 0 di n,r > t '

dvs

1 di n ~ [¾] • 0 d1 n > ;

[t]'

l(t-mr)=

där [z] betecknar "heltalsdelen" av z; tex iir {5.14] = 5 och {4.92] = 4. Alltså är

{¾]

y(t)

=L

[¾] sin(t - mr) =

[¾]

L(-lt sint = sint L(-lt. n=0

{¾] Men

L (-1 )" är lika med:

n=O

(-1) 0 = l

di O < t < ,r

( -1 )0 + ( -1 )1 = 0 ( -1 )0

di ,r < t < 2,r

+ (-1 )1 + (-1 )2 =

1

di 2,r < t

< 3,r

osv; dvs

di 2m,r < t < (2m + l),r + l),r < t < (2m + 2),r

di (2m diir m = 0, 1, 2, .•.. Till slut blir således

u(t) "

= { s0in t

di 2m,r < t < (2m + l),r di (2m + l),r < t < (2m + 2),r

m

= 0, 1,2, ...

-y-f'~-,)-·.--~p-.....,.--P-------,.---,

•

4.3 Oi1liontinuerli1• höaerled

Exempel 4.10 Bestäm

y(t)

di 00

'N" ( t) + y( t) = ~ 6{ t - 2n ,r) n=O

och

y(O)

Hiir iir

= y'(O) = 0.

P(D)

= D 2 + 1, dvs PP)

har noll1tillen1).

= ±i.

Högerledet är 2r.-periodiskt, och med bet«knincar frin Fourier-seriuvsnitten ir wln

9 = 22.,,.,,ri = n.

=

Därav följer att P(>.):1 nollnillen sammanfaller med iw11 och iw1_1,

så vi har här ett exempel pi ruonans.

På samma sätt som i föregående exempel fis

-( ) Loc ys=

e

-21rn,

1

--

+1

.,2

ri=O

och

!¾]

0C

y(t)

=L

l{t- 21rn) sin(t- 21rn)

=L

n=O

sint = 1int (1

n=O

+ (2~]),

dvs y( t) är lika med

sin t

och allmänt:

y(t)

di O
• att

•

161

162

Kapitel 4 L1pl1c.-transformtr

I anslutning till föregående exempel kan det kanske va.ra lämpligt att hi.rleda en allmän formel för periodiska funktioner. Antag att

f(t

+ T} = f(t)

för alla t;

då är också n = 0, l, 2, ....

J(t + nT) = f(t),

Laplace-transformen av denna periodiska funktion är oc

~[f(t)](s)

(n+l)T

= J,-,t f(t)dt = L j 00

0

n=O

U:

t •

nTJ =

=

L I f-,(1l+nT) f(u + nT} dt = oc

=r

e-•t f(t)dt

nT

T

n=Oo

= r,ft,uom f (u ~ n T) = f (u) J = T

oc

=L

f-n,T

o

n=O

Nu är Jf-,Tj

j f_,,.. f(u)du =

= f-(Ru)T

< 1 om Res> 0, så geometriska serien visar att

~ ( -•T)" = ~ f n=O Alltså får vi till slut:

(4.3.1)

om f(t

+ T) = f(t).

1 1-e-•T·

4.4 Speciella uempel till laplec.-lrantformen

4.4 Speciella exempel till Laplace-transformen Vi avislut&r det hi.r kapitlet genom att i n~gra exempel Yi1a hur Laplace-tra.111formen k&D a.nvi.ndu för att lösa system av lineära cliferentialekvationer med konstanta koefficienter samt Yi11a integral- och clifl'eren1ekvationer.

4 .4 .1 System av differentialekvationer Exempel 4.11 Bestäm z(t) och y(t) di det ir 1ivet att

{ z"(t) + y'(t) + 3:r(t) = 15e-• y"(t)- 4:r'(t) + 3y(t) = 15sin2t och

z(0)

= 35. :r'(0) = -48, y{0) = 27, y'(0) = -55.

Laplace-transformering ger {

., 2 z(")

., 2 y(.s)

- 35$ - 27.,

+ 48 + .sy(.s) - 27 + 3z{.s) = ,1;_1 + ss - 4.,z(,) + 4. 35 + 3;(,) = ,.3!,

dVs

2 { (, + 3)z(a) + ay(a) = 35., - 21 + ,1:1 -4.,z(,) + (, 2 + 3)y(.s) = 21, - 19s + ,l!, eller

Med hjälp av maskineriet frin den lineära algebran fis hirur -( ) _

{

30,

45

r • - 11+1 - , 1+e -1

) _

y,a -

30,

1 3 +9

-

60

+

3 1+1 3

•*+l - 1+1

+

2, •'+• + 2

, 1+4'

vilket man enklast inverstransformerar 1enom att använda en formelsamlinc; r.esultatet blir:

{ z{t) = 30 cos t - 15 sin 3t + 3e-• + 2cos-2t y(t) = 30 cos 3t - 60 sin t - 3e-• + sin 2t.

Exempel 4.12 Beräkna z(t) di

{

z"(t) + 3y'1t) - 4r(t) + 6v(t) = 0 z'{t) + y'~t) - ~r(t) + 41'(t) = 1 - 'f~t - 1)

•

163

164

Kepitel 4 Lepl•~tr•nlformer

och z(O) = 0, z'(O) = 1, y(O) = y'(O) = 0.

Här fis

{

(a 2

-

(, -

4)z(a) + (3a

+ 6)y(a) = l 2)z(a) + (, 2 + 4)i(•) = !, - f-, ,

_ 0, n,r:::O

för för

se figuren

t = nT

I

r)

-3T-2T-T 0

... T

2T 3T

e

f

n) 1

-3 -2 -1

0

•

•

...

1

2

s

"

•

l T3

174

Kapitel !i Oiflerensekvationer

Linjära tidsdiskrda system överför insekvenscr { z( n)} till utsekvenser {y( n)} i enlighet med någon rekursionsformel eller differens-ekvation; sambandet y(n)

= z(n) + 2z(n -

1) + 3z(n - 2)

är en sådan ekvation. Vi övergår nu att söka den allmänna lösnfogcn till en godtycklig linji.r differens-ekvation med komtuta koefficienter. p

(5.1.1)

L

9

a1,y(n - k) =

•=0

L

b1z(n - k),

för

alla

n? 0.

•=0

De aktuella konstanterna a1: och b1: anta.svara givna och reella, m ao oberoende av n. Vidare antar vi att höger ledet är känt för n ? 0 vilket inncbi.r att tidsserien {x(n)} måste vara känd för n ? -q. Om vi betraktar differens-ekvationen (5.1.1) som en rekursiv berä.kningsalgoritm ser vi att tidsserien {y(n)} i.r entydigt

be~tämd av begynnelsevärdena y(-1), ... ,y(-p). 1 den allmänna lösningen skall dessa p-stycken begynnelsevärden ingå som godtyckliga kons tu ter.

Definition 5.1.1 Differens-ekvationen (5.1.1):s ordning är p ..

•

Vi kan också säga att ordningen av en differem-ckvation definieras av skillnaden mellan största och minsta argument av y( •). Tex ( 5.1.l ): n - ( n - p) = p. Eftenom vi förutsätter linjaritet blir den allmänna lösningen (liksom för differentialeb·ationer) en superposition av den homogena och den partikulära lösningen (5.1.2)

y(n)

= Vhom(n) + Yput(n).

]den med uppdelningen i homogen och partikulärlösning i.r att man struntar i begynnelsevillkoren för y( n) ni.r man letar efter partikuli.rlösningen. Tillsammans med den homogena lösningen väljer man ~dan lämpliga värd.en för de godtyckliga konstanterna för att få rätt begynnelsevärden för y( n ). Som vi skall se är tillvägagångssätten helt analoga med motsvarande metoder för differentialekvationer om man ersätter exponentialfunktioner ( t 0 t) med geometriska serier (k 11 ) medan polynom (it) förblir polynom (in).

5.2 Oen homosena ffw■tionen

175

5.2 Den homogena ekvationen För att ~stämma den homogena lösningen till (5.1.l ), ansätter vi en lösning på formen y(n)

= l" och substituerar denne i den homogena ekvationen. Vi erhåller

då efter division med l" nmbudet

(5.2.l) eller

cio~' + a1lp-l

+ · · · + ci, =

(5.2.2)

0

Det ta leder oss till följande

Definition 5.2.1 Den karakteristiska ekvationen i.r K(Å) = Å' PP)

= o. ■

K(A) kallas det karakteristiska polynomet och ära,• gradtal p.

Sats 5.2.1 Den allmänna lösningen till den .homogena ekvationen p

La1:y(n-k)=O

för

alla

n~O,

l:=0

kan skrfras på formen j

Yhom(n)

= LQi(n)Åi"

för

n ~ -p.

i=l

där Qi( n) i.r godtyckliga polynom av gradtal mi - 1. m1, ... , m; år multipliciteten bos de distinkta rötterna l1, ... , Å; till den ka.rdteristiria ekvatio-

nen.

Exempel 5.2 Den homogena ekvationen

y(n)-3y(n -1) + ~y.(n - 3)

=0

för alla n

~

0,

har den karakteristiska ekvationen (jfr med OEF{5.2.1) och ek\a(S.2.2) ovan)

K(..\) = Å3P(~) = Å3 {1 - 3Å-l

+ 4Å- 3]

= ~ 3 - 3~ 2 + 4

med enkelroten ~l = - l ( m 1 = I) och dubbel rot.en Å2 = 2'( mz = a). Den affminn1 lösnincen blir di

y{n)=c1(-l}"+fc2+c3n)2"

för

n~-3.

•

1 76

Kapitel ~ Difltrtn1tkvationtr

Definition 5.2.2 En linjär differens-ekvation 6ågs va.ra &tabil om oc.b enda.st om

lim Ybom(n) = 0

n-00

•

oberoende av värdena på de godtyckliga konlta.nteroa.

Av SATS [5.2.1] följer clirekt

Sats 5.2.2 Differensekvationen p

L aiy(n k=O

q

k)

=L

b1::(n - k),

för

alla

n ~ 0,

k=O

är stabil om och endast om samtliga rötter

).i

till den karakteristiska ek-

vationen till beloppet är mindre än 1, m a o

j

= 1, ... ,k

Differensekvationen i Exempel 5.2 är således inte stabil.

Vile '& law for educator&: No one is listening until you ma.ke a mistake.

5.3 Penikulirlöenin1ar

5.3 Partikulärlösningar För de vanligast förekommuide t~rna av tidsserier {~(n)} Ull ma.n ttilla upp viua tumregler för valet av a.nsah ni.r ma.n ,öker en pa.rtikuli.dÖining till ekvationen p

L

9

1:) =

a1:y{n -

l=O

L

b1.r(n - k),

för

n ~ 0.

alla

l=O

Tumr~lerna är helt ana1oga med mot nu ande -regler för diff.cr.entia.lckvationcr.

a)

H.L.= polynom av grad m,

for

~

n

alla

0.

Ansats: Polynom av samma gradtal Ypart(n)

= CO + C]n + · · · + c.nnm

for

n ~ -p.

alla

Exempel 5.3 Sök en partikuliirlösning till

2y(n)

+ y{n - 1) = r(n), z(n)=2n,

Ansatsen

Ypart( n) =

2co

C(l

för

alla

n ~ 0,

för

alla

n~0.

+ CJ n ger

+ 2ci n + co + c1{ n - 1)

= 2n,

för

alla

n ~ 0.

Identifiering av koeffi,ienterna för olika potenser av n 1er

n° : 3co - c1

= 0,

varav

2

Ypart(n)=~n+

2

9,

för

alla

n~-1

•

( Glöm inte att man enkelt kan kontrollera att man räknat rätt ~enom att ,ät-ta in lösningen i differens-ekvationen.)

b)

H.L.

= (polynom

av .grad m)g 11 ,

för

alla

n

~

0,

g reell.

Ansats: Funktion av samma typ Ypart{n)

= (co + c1n + · ·· + emnm) g",

tör

alla

n ~ -p.

177

1 78

K•pitel !, Oifferenaekutioner

Exempel 5.4 Sök en partikuliirlösning till differens-ekvationen i Exempel 5.3 di

z(n) = n 2 3n

för

n ~ 0.

alla

Efter identifiering erhålles Ypart ( n )

c)

15 = ( -343

= (polynom

+ 496 n + 73 n 2) 3n ,

for

alla

n

~

-1

av grad m)gD cos(rn),

för

alla

n

~

0,

H.L. = (polynom av grad m)gD1in(rn),

för

alla

n

~

0.

H.L.

Betrakta i!tället en differens-ekvation där

H.L. = (polynom av grad m)(ge11 )n,

för

och alla y(n - k) bar bytts mot z(n - k) i V.L. k

alla

n ~ 0,

= 0, ... ,p.

Om polynomets koefficienter är reella få.!

Ypau(n)

= Re{z(n)}

om höger ledet innehåller faktorn cos( rn) och

Ypart(n) = Im{z(n)} om högerledct innehåller faktorn 1in(rn).

Ansats: (polynom av grad m)

(gei~) n ,

för

alla

n ~ 0.

Koefficienterna i polynomet få.r här vara komplexa.

Exempel 5.5 Sök en partikuliirlösning till differensekvationen i Exempel 5.3 di

Ansatsen

.:(n)

= c ( 21 e1·,r)n 2 ,

för

alla

n

~

(2el z-•,r)n 2

-1

I

1er

for

alla

n

~

0,

eller

•

5.3 PertikulirlÖlnin1ar

varav

1 1·•i ( ½e 1·•)"} Ypart(n) = Re { 2(1 1_ i) ( Je1·•)"} 2 = Re { 2 ~e 2 =

d)

H.L.

= &umma av

• högerled av föregående typer.

På grund av linjariteten kan vi beha.ndla varje term för sig och superponera respektive partikulärlöuungar.

Exempel 5.6 Sök en partikulärlösning till differensekvationen

2y(n)+y(n-l)=z(n)+

l

3 z(n-l),

för

n~0.

1111

di

= -1

n

om

för

n

1ll1

~

0.

Högerledet är således

1 { l, :r{n)+-3 :r(n-l)= ~ 3" Ansatsen

Ypart( n)

= co + c1 n,

3co - c1 dvs

c1 =

för

för n = 0

+~

för

3'

n ~ 0,

1ll1

+ 3c1 n = 38 n + 32 ,

för

n

1ll1

~

1.

1u 1ll1

n ~ 1,

I, co = ~;. För n = 0 1er differens-ekvationen 2Yput(0)

+ Ypart(-1) =

28 27

+ Yput(-1) =

I.

Således ir

för n = -1 för en partikulirlösning.

1ll1

n

~

0,

•

Av exemplen framgår att heräkningsarbet.et växer snabbt med difrer.ensekvationens ordning. D.et finns ,åledes ett starkt behov av metoder cor att f""or.enkla beräkningarna. En sådan metod är Z-translorm-metoden, 1om vi kommer att behandla i nästa kapitel.

1 T9

180

K1pittl

S Oifferen1tkv1tioner

Anmärkning: Det finns vissa degenererade fall, som i pra.ktiken är oerhört sällsynta, då ovanstående tumregler inte fungerar. Då skall gradtalet på polynomet i ansatsen ökas. Använder ma.n Z-tra.ndorm-metoden behöver ma.n ej bekymra sig om dessa specialfall, de avslöjar sig ,ji.lva !

Myra med syra Invärtes syra kan driva en myra till vanvettig språngmarsch på alla ~vra men .enär hennes anatomi är komplex måste hon springa på alla sex.

Alf H enrikson

Kapitel 6

Z-transform er

182

Kapitel 6 2-uanlformer

6.1 Tidaaerier och Z-tren1forrnen1 definition

6.1 Tidsserier och Z-transformens definition Laplace-trandormen har den trevliga egenskapen att den överiör en linji.r iifferenti~ekvation med kon&t&nta koefficienter till ett algebraiskt samband mellan trandormerna av den sökta och den givna storheten. För iiflerens-ekvationer finm en liknande trandorm 10m har motsvu&Dde egen1bp, den enkelsidiga

z-

transformen. Antag att funktionen /(t) är definierad då t 2'.'. 0 och uppfyller villkoren tor originalfunktioner till Laplace-transformen. Låt T vara ett fixt po1itivt tal och låt oss läsa a\"

f :s

värden vid tidpunkterna O, T, 2T, ... ; vi får ciå ta.Köljden

{/( nT)}:=o· som brukar kallas för f :s t1d.sserie. Med hjå.lp av denna definiuu den sk samplingsfunktionen ex

L f(nT) 6(t -

fT(t) =

nT).

n=O

Grafiskt kan '"j beskriva detta på följande sätt: /: I)

'

'

1

21

Eftersom

har fr( t) Laplace-transformen 00

fr(1) = ~{!r{t)]{,) = ~ f{nT),-nT,_ n=O

Då

blir

och 00

~ f(nT) t:-nT, n=O

är absolutkonv.er.«ent för R.e &

> M,.

--.'

\

183

184

Kepitel 6 Z-trenlformu

För att förenkla beteckningarna nå.got införs nu den nya komplexa variabeln

varvid fT(.s) övergår i Cl0

L f(nT) z-n, n=O

som vi betecknar med z[{f(nT)}:C=o](z) och kallar för Z-transformen av tidsstnrn {f(nT)}~=O·

Eftersom

motn-aru området Res > Mf i ,-planet ( där Laplacc-integralen är absolutkon-

> fM, T

nrgent) aY området I:, ~

I I I

i z-planet:

z s r3T

I

!

'-

""' ' Härav följer att Cl0

Z [{f(nT)}:C=o] (z)

=L

f(nT) z-n

n=O

är absolutkonvergent när

Nu är det naturligtvis ingenting som hindrar att vi till en godtycklig talföljd

{:r(n)}:C=o

= {:r(O),:r(l),:r(2), ... } ordnar en formell serie ex

X(:)= z{{:r(n)}:=o](=)

=L

:r(n).::-n,

n=O

men vi vill bra gärna att det ska finnas z för vilka denna är absolutkonvergent, så låt oss undersöka när detta är fallet!

6.1 Tid1aerier och Z-ua111formen1 definition

.!u , ,å övergår X ( z)

Om z byt& ut mot

j

potenHerien

00

L :r(n)u",

•=0

och för sådana 1erier finn, det ett tal R (,om bllu för konvergensramen) 1å att

e ~ ~

{ konvergent divergent

z(n)u 91 är

n=O

j =

Man kan visa att

n~

då då

...

lul < R lul > R:

o/1z(n)I, där lim av en godtycklig talföljd

{b(n)}~ 0 definieru på följande sätt:

=

lim b(n)

n-oc

b ~ för varje

t:

> 0 finns ett N(t:) så att

l)

b( n) < b +

2)

oändligt många b(n) är > b - t:;

t:

för alla n > N ( t:)

lim b{n) = e x ~ för varje (stort tal) J,; finm oändligt många b(n) som

n-oc

är

> /\°.

Observera: Om lim b(n) eJcisterar, så är lim b(n) = lim b(n). n-oc

n-oc

n-00

Vidare: om

om

lim o/lz(n)l 3, så är 4 = n-00 lim o/lz(n)I och n

n-oc

3 •li jzln+)l)J n-~l z(n l 'sa ar

1 )i

li Jejn+))l = n-~1 e(n 1·

Då u byts mot z- 1 över.går R i Ro=

00

~

'-

~(n)z-n är

{

n=O

där

ll-0 = n-oc lim o/lr{n)I

för alla ~ ).

konvergent diver.gent

(om

R.o = oo

j, och ,; lår:

då jzj då jzj

> Ro . Rx,

n=O

dvs X(z) i.r Z-transformen av löljden {z.(n)}:C=o· Problemet be.tår nu i att uttrycka koefficienterna z( n) med hji.Ip a,· den givna funktionen X ( z ). För att ~stämma z{n), n = 0, l, 2, ... , kopierar vi härledningen av Fourierkoefficienterna. Tag ett r > Rx och låt C,, van cirkeln med radier och medelpunkt i origo:

Observera att om z E C,,, &å är z = rt'', där OS 4> S 2,r. Låt oss nu multiplicera X(z) med

='"- 1

(där m = 0, l, 2, ... ) och integrera

produkten ett varv lä~s C,, i positiv led:

feftersom summan år likformigt konvergent på C,, J

På C,, är .:

= r t' t

och dz = irti'd Ro

n=O

är känt. \'i far direkt ur definitionen ex

L

ex

x(n - 1):-n

cc

= :r(-1) + L

n=CI

:r(n - l)z-n

= :r(-1) + z- 1 L

n=l

z(n)z-n

=

n=O

lzi > Ro På samma sätt fås 0C

L

00

:r(n - 2).z-n = z(-2) +

n=O

:r(-l)z- 1

+

L

:r(n - 2)z-n

=

n=2 00

= :r(-2) + z(-l)z- 1 + z- 2 L

z(n)z-n

=

n=O

lzl > Ro Låt {.:z:(n)}:=-i vara en talföljd där indexet n inte startar från O utan från

-i för ett positivt tal i, dvs

Genom att sätta y(n)

= z(n -

i) dån= 0, 1, 2, ... kan ,·i uppfatta talföljden

som en följd vars index börjar med 0:

{:r(-i),:r(-i+ l), ... ,z(-1),z(0),z(l), ...} =

6.2 Altminna e1en1kaper

=

= {y(0), y(l ), ... , y{i - l ), y(i), y(i + 1), ... }

= {y(n)}:°=o. Om vi låter X{z) och Y(z) beteckna Z-tra.nslormerna a,• (z~n)}:°., 0 och

{y(n)}:=o respektive, 1å (u !oljande samband: CIC

OC

Y(:)= LY(n):-n= LZ(n-i)z-n= n=O

n=

l

2

X ( z) har tvi enkla poler

belägna pi cirkeln ~z I =

=

½.

Enligt ovan erhills di

1 (l)n . n,r Ja 2 sm3,

n = 0, 1,2, ...

•

197

198

Kap,trl b Z-tran1formrr

Exempel 6.11 X(z) = 5z2 - 4.: (z - 1 )2 ~(n) -

= Res (Sz .r=l

::::;,

-4)zn

(2 - 1) 2

= Res ( 5tt· + 5 w=O

= f•=1•lJ = 4) ( 1 +

U'

r=

u·2

,ft,rsom Ref är lika mtd ko,ff,ci,nt,n framför u,-l. v=[•

•

Exempel 6.12

- ~ är

För n

,n singulär punkt för 1111 n:

= 0 är dusutom z = 0 singulär, vi fir di ytterliuare ett bidrac: l + 1 .. -1 z+l 1 1 l 3 3 Res - Re~ - - 1. - z=O 2(.:+½) - z=O 2z(z+½)- 2 ½ - 3

Alltså blir svaret

•

6.3 lnwer1tranlfarmerin1

Exempel 6.13 l z Y(.:) = - - - l - 2z-l - 3.:- 2 .: - l

=--------

(z - 3)(z - l)(z + 1)

detta är 2-transformen 1v

z3 ----- = (z 2 - 2z - 3)(z - l)

1

{y(n)}:C=o• •är - t1+ 2

y(n) = )Res

-

-

" = (z - 3)(z - l )(z + l)

3n-+ 2 = - - ..

(4)(2) '

=

i

l

9 n

(-1)"-+ 2

l

(-1)"

--...-----=-3 --+--= (-2)2 (-4)(-2) 8 4 8

(3n-+ 2 - 2-+ (-lt)

di

n

~

0.

•

Exempel 6.14 Antag att

X ( z) =

l ) . , diir a iir ett komplext tal och i ir en positivt heltal. (z- - a ' 1

Di är

analytisk Överallt utom i nämnarens nollstiille z

Res z=l/a

.i+n-1

• (z _

l )i

= 1/a, si

)

iir definitionsmiissigt lika med koefficienten framför (z - -41 -

J

i ut•

a

zi+t1-l

veckli,.en 1v (z _

l/a)i

i potenser 1v

(z - 1/a). 'för att hit-ta denne koefficient

199

200

K1pitel 6 2-tr ■ naformer

använder vi binomialsatsen:

_ (l)i+n-1 i+n-1 (l)i+n-2( 1) -a + -l- - -a z--+ a (i+n-l)(i+n-2) (l)i+n-3( 1)2 z-- +··· 2! Q Q

+-------'------'- -

, (i~n-l)(i+n-2)··•(i+n-(i-l)) (i-1)!

~

si ( n .... i - 1)( n +

= ... -

2) · · · ( n

2 -

+ l)

(i - l )!

varför

Re.~

:,-,.n-l

= (n

4-

i - l)(n-+ i - 2)···(n

(i-])!

:=lla(:-]'o)'

+ l)

(.!)n = a

Alltså blir

n=0,1,2, ...

• Specialfall: t

X{.:) 1

z{n) 1

.:-l - a

--an-,.]

2

1 (z-1 - a)2

n+l 0 n+2

3

l (z- 1 - a) 3

l

(n + l)(n + 2) 2an+3

1.3 lnHratral"llformerin&

Tillämpning: Om X(.z) i.ren rationell funktion i:, så år X(:) också en rationell funktion av variabeln z-l och via partialbri.ksuppdelning bn X(.z) skrivas som en lincärkombination av termer av formen

l

M ha O\-anst~nde enmpel inses då att motnua.ndc talföljd {z(n)}:C=o ar en

a,· typen

linei.rkombination av följder

6. 3. 3 Potensserieutveckling ::'\Ian kan försöka skriva 2-trandormen som en serie konveri.cnt i nå~ot områdf'

:.: > Ro, m ao oc

X(:)= Lz(n) .. -n

då i.:: i > något ta.I Ro,

n=O

f'llcr. med u = {. MacLaurin-utveckling av

(for jui
1.

För att fi en potenuerieutveåling i .::-l skriv.er vi om

X{z)

pi formen

, 5 - 4z-l -l j -l -2 )2 ~( .. )=(1-z-1)2=(5-4.: ),I+.:+ .. +···= = (S- 4::- 1 )(···

+ 2z- 4 z- 5 +

+ 2::- 9 + 2z- 1 ::- 8 + 2z- 2 z- 7 +2.r- 1 .r- 6 +

z-JO

+ 2z- 1z- 9

+ 2::- 2z- 9 + 2z- 1 z- 7 + 2.z- 4 z- 6 +

201

202

Kapitel ti 2-transforrner

•

Alltså får vi z(lO) = 15.

Exempel 6.16

:=: j

f

X(z) = ~:•_-1;: = m,Wplima m,d 5-4::-l = ( l - ;:- l )2 =

fdteuom

=

r::- l = u J = ( 5 - 4u) ( l -

l

u )2

=

- 1- = l + u + u 2 + · · · då ju I < 1j l - "

= (5- 41')(] ...- 1' _ "2-+ 1'3 + ···)(] + 1'-+ 1'2-+ 11 3 + ···) = = (5- 41')(1-+ 2u-+ 3u 2 -+ 4u 3

= 5 .. 611 .... i" 2

....

811 3 .... 911 4

= 5 - 6: - ] -

-t; -2

-

:r(O) = 5, :r(l)

= 6.

:r(2)

C -3 o:

+ 5u 4 --

•··)

=

+ ... =

~

9 4 -4

-,.. • • •

sa

= i,

z(3)

= 8,

z(4)

= 9, ....

Härur leds man nu till misstanken att

z(n)=5+n

förallan,

•

vilket är samma resultat som på sid 198.

Exempel 6.17

~ l n=O n.

=L..,::

-n

si

z ( n)

= -n!l (n = 0, 1, 2, ... )

•

6.3.4 Faltningssats-metoden Liksom tidigare, för ";f,- och ~-trandormerna, motsvaras även här multiplikation i transform planet av faltningen i ''tids"-planet, dvs produkten X(z )}'(.:) a,· 2-transformcrna X(z) och l'(::) mohvaras av en fa1tning mellan motsvarande tidsserier {z(n)}:=o och {y(n)}:=o· definieras av

Vi på.minner nu om att denna faltning

6.3 lnnretran1fornwrin1

n

L

(z • y)(n) ~r

n

(6.3.l)

L

z(m)y(n - m) =

m=O

z(n - m)y(m)

m=O

och att Z-tra.ndormen av faltning-.rn mell&n tidnemrna { z( n)} :°=o och {v( n)} :'°=o ar

I(z • y){n) ..!... X(z)Y(z) I

(6.3.2)

Relationen gäller gjvetviE enda.st i det gemensunma konver~ensområdet för X(z) ochl'(..:). Exempel 6.18 Beräkna faltningen y( n) = ( :r • h )( n) di z( n) = ,2n

h( n ) = { n

y(n) =

L

h(m)z(n - m)

:2l

( -

i

r

+

l för alla n ~ 0 och

~

di n l di n = 0.

=

=h(O)z(n)-r h{l):r(n - 1)-r h(2):r(n - 2)

+ ... + h(n)z-(0) =

Faltningsmetoden är &om synes inte 1änkilt pr&ktisk då ma.n skall berä.kna lösningen till en clifl"crcnukntion "för ha.nd". Då är pa.rtialbråk&uppeclmng och tabellslagning att föredra. Faltningen är ändå viktig

dels därför att enpulssvaret är lätt att mäta; man exciterar "1yst.ctnct" ~ det 1ys-

tem som differensekvationen är en modd} av) med en enhehpul& och r,egi&kerar tidsserien {y(n)}:C=o

= enpuluvaret 0. så blir X(z) = l och

Enpuls~varet {h(n)}:=o är så.ledes den lösnin.g gom {ås då y(-p) = y(-p

-r

l l = • • • = y(-1) = 0 och alla :r(k) = 0 utom :r{O), gom ir l.

Definition 6.4.1 Funktionen I

H(z)

'

= Y(z) = Z{ut.signalen) X(z)

Z(inaignal~n)

kallas di/fcrcnsckvation.eDs Överforingsfunktion

(6.4.6)

■

Med denna definition kan vi också ,äga att

Y(z) = H~z )X(z)

{6.4.7)

Om tidsserien :r{ n) är en cnbehpul& :r( n) = 6( n - 0) som bar 2-tranelormen 1 erhålls

Y(z)

= B(z)

då

X{z) = 1

d" s H ( z) år Z-transformen av differensekvationens lösning då tichsericn fr( n)} :°::o endast bes-tår av en cnbctspuls i origo.

Definition 6.4.2 DilfcrcnsckvationcZJs enpulnvar h(n) {{undamentaJ.lösningell) i.r den löszuni då tidsserien {r(n)}:°=o ir eZJbe-tspuls.en 6~n - 0) och alla begyaa.el~värdcn i.r ZJoll. ■

206

Kap,ul ti 2-uansforrner

Sats 6.4.1 En differens-ekvations Överforingsfunktion år Z-transformen av deu enpulsn-a.r.

Exempel 6.20 För att beräkna enpulssv1ret till

2y(n)-+y(n-l)=z(n)-+

l

3z(n-l),

för

1ll1

n~O,

bestämmer vi först Överlöringsfunktionen (med y(-1) = 0, z(O) = l och z(n) = 0 di n -:t: 0)

I.::' > ~.

med konvergensområdet

Eftersom funktionen

B (:)

ej stir i tabellen 1ör vi

1ntinien en p1rti1lbriksuppdtlning i .:-l eller vi använder residue-mttodtn tnl. avsnitt

6.2. (Obs: I det senare fallet är origo en pol till H(;;, ) .. n-l !!! Se sid 198!!! Detta problem slipper vi med den första metoden). Vilken metod vi än väljer fir vi enpu]ssvaret

h(n) = {

!H)', 2'

om n ~ 1

för n = 0

•

Vi avslutar detta avsnitt med att lösa ytterligare en difl'eren&ekvation:

Exempel 6.21 Bestäm {y(n)}:=o di det iir givet att för 1111 n ~ 0, och y(-2)

y(n) - 2y(n - 1) - 3y(n - 2) = l

= y(-1) = 0.

Z-tr1nsformtring ger här

dvs

l

Y(z)

=l

- 2z-l -

l

l

3z- 2

l -

,- 1

= (z- 1 + l)(z-l - i )(z-l -

l)°

6.-1 Lö1nin1 ew diflerenHkYltioner

Med handpiji.ggning fis

Y(z) =

l

l

8 -z-_l_-+_l

3 l --~ 8 z-l - }

l

l

+ -4 -z-l - l'

som inverstransformeras till

l

~(n) =

=

-l

8 (-l)"+l

i

3

-l

ur+]

l -l

------+--=

s

[(-1)'1-+ 3"+ 2

-

2]

4 1

din? 0.

Ellard is law: Those who want to learn will ~arn. Tbose who do not

l\'&nt

to Jearn will kad .enterpri~.

Those incapable of eitber karning or J.ea.ding

.,.,jJJ reguJate rcbolarsliip and enterprise to ckaeb.

•

20Q

210

Kapitel 6 Z-tran1former

6.5 Begynnelse - och slutvärdessatserna Ibland är man inte intreuerad av hela låsningen till differens-ekvationen utan enda.st av ett viut värde i serien. Bär sk.all vi speciellt studera hur m&11 kan få begynnelse- och slutvå.rdena for en tidueric direkt ur deu Z-trandorm.

Sats 6.5.1 Begynnelsel'årdet :r(O) för tidsserien {z(n)}:C=o erhålls ur

:r(O) = lim X(z) z-oc

Bevis: Detta ime~ clirekt ur Z-transformens definition, ty tag ett z sådant att 1.:, > RJ där RJ < l är tidsserien :r(n ):s konvergem radie. Då gälJcr

. •

:r(l)

.X( .. )= z(O)- - •

.

varur satsen crhålh direkt da .: -

:r(2)

- - .2

.

. z(n)

- ··· ~ -

.

.n

+ ·· ·

oc.

Exempel 6.22 Enpulssvaret i Exempel 6.20 (sid 208) har Z-transformen

Begynnelsevärdet är således

h(O) = lim X(z) z-oc

= -21

•

Observera hur mycket enklare denna sats erhålls i.n mot&varande för !i-transformen

(6.5.1)

z(0+)= lim az(a) a-oc

Sats 6.5.2 Om slutvårdet z(oo) = n-oc lim z(n) existeru ändligt så erhålls det ur

z(oo) = lim(z - l)X(z) Z-+l

Här är z t D, där D avser sektorn I arg(z - l)I ~ o där o < ;. Speciellt kan man låta z närma sig l från höger längs reella a.xeln. Detta skall vi använda i följande

6.~ tle11nnel11 - och 1lutwirdeaauern1

Bevu: Studera m

Z ~z(n) - z(n - l)}

~f

lim ~ ia:{n) - z(n - l)]

m-00~

z-" =

n=O

Multiplicera.r m&D med

2

på båda 1idor, låter:

-+

1 och byter Hmtidigt ordni~eD

på gränni.rdesbildning.en (serien i.r ju likformigt konvergent) {u man m

L

lim(2 - l)X(:)-z(-1) = lim lim {{z{n)- z(n- l)]zJ-n} = z-J m-oc n=O 2-1 m

= m-oc lim ~iz(n)-z(n-l)i= L · . n=O

=

J~cx {iz(O) -

z(-1))

-t-

jz(l) - z{O)]

· • ·-: [z(m - l)- z(m - 2)]

+ (z(2)- z(l)] + · · ·

+ [z(m)-

z{m - l)]}

=

vilket ger påståendet.

Exempel 6.23 Lit oss kontroll,r1 att SATS {6.S.2] stiimmtr for det redan räknad, Eump.el 6.~ {sid 208). Oiir var om n ~

1

för n = 0

H(z)=

l

J -)

+1z 2 + z-l

I detta fall existerar

lim hJ.n) = 0

n-cc

Som vi ser ir också

lim(z - l)H(:) = 0

z-1

• Kommentar: Observera att omvä.~ni~.en till SATS ~6.S.2jinte gäller, dvs f;ränsvärdet för Z-transformen kan existera utan att .gännärdet för tian.enen .gör det.

211

212

Kep,tel t, 2-tren,former

Ett enkelt exempel på dd i.r då X(z) ha.r en pol på enhetscirkeln, men -:/- l.

Tar man exempelvis

1å ex:istera.r lim(z - l)X(z) z-1 men :r(O)

= 1,

:z:(l)

= -1,

:r( n) saknar gränsvärde dån

Observera: E,u~tem.en

... , z(2n) -+

&\"

= l,

=0 z(2n + l)

= -1,

... , dv1 följden

oc. lim :r(N) är endut 1åkrad om (z - l)X(z) inte

N-oc

har polt-r på ellt-r ut anför enbt-t scir keln. Gränn·ärdct lim (: - 1 )X ( z) däremot kan

,-1

e,u~tcra oberoende n polt-rna.s läge. Därför r;k&ll m&n alltid kontrollera polkonfigurationcn a\" (: - l )X (:) innan man anYåndcr Eluh·årdeuahen.

Barth 's distinction: Thcre are two type5 of pcoplc: tbo5e who divide pcople iZJto two typcs, - and tbose who doZJ 't.

Appendix A

Bevis av Picard 's sats

214

Append1, A Be,111 ev P1urd'1 ■-11

Appendia A Bni■ ew Piurd'• Nll

Vi sätter yo(.s) = Yo och

dån

= l, 2, 3, ....

Beviset för att lim Yn(t) existerar och utgår n-cc

CD

unik lösning

till ( 1.3.l) ,ker i fem steg.

IYn(t)- J10! av Yn (t) Lgger inuti R då

it -

~

k där n

= l, 2, 3, ... , d,·s grdcn

to: $ h:

J

, . 0rfft••>•"J Yc

,,,

..

)

Antag att på~tåendet är sant for Yn-1(t): i så .fal] gä.ll~r:

och

Alltså är påståendet sant också för Yn{ t L så ~d induktion {ås aH

eet ir ,ant

för alla n. ~ Påstående:

jy1{') - Yol

lYn(t)- Yn-11t)j ~

M.A•- 1

n!

~t -

~ ~J~ f.(a, yo) «1j ~ M it --tol

n

to! iör alla n. Dån

= M1f it -~ol,

=

l ir

Om på.ståendet ir

215

216

Appendn, A Bev•• ew P1u1d'•

5ant för n - ]

NU

Ea fa.!i:

IYn(t) - Yn-J(t)I = ]/~{!(1,yn-J(I)) - f(,,,n-2(1))}

$

!

lf(,,,n-1(1)) - f(,,,.-2(,))I ld•I $

rpga

Lip1thit1-Tillkorrtj

fpga

induhi011..1tagand,tj

~

A

t M A"-2 r i.!' lie (n - l). I

MAn-l lt-to'n

=-----(n-lf

=

d,1 $

Tl

to:"- 1ld,I

=

=

M An-l

,

n.

It - to 1" .

Med hjälp a\" induktion följer nu på!itåendet för alla n. ~

Påstående: Följden {y,..(t)}~=l kon\'ergerar likformigt då It - tol ~ h. För att \;sa detta anYiinder vi \ 1Veierstrass-majora.nt5ah:

''Om 19m(t): ~ am för alla m ~ l i ett intervall [a,b] och om kon\'ergent, så är ~:=l 9m(t) likfon:rugt konvergent på [a,b]." I vårt fa.ll är Yn ( t ) = Yo

+ { Yl (t) - Yo} + b2 (t) -

Yl ( t)}

I::=l am

&r

+ ···+

+ bn (t ) - Yn - l ( t )} = n

= YO

+

L bm(t) -

Ym-J(t)},

m=l

0C

n~ Yn(t)

= YO + L {Ym(t) -

Ym-J(t)},

m=l

där

då jt -

tol

~ h.

Vidare &r

oc

~ m=l

MA"'- 1 1 m.

hm

= AM Loc

m=l

(Ahr m. , som

u

konvergent och lika med

Appendi11 A Bnia ev Piurd'a uta

AJ ( cAh

-

1 ). Weieutrau ~i.ger då att följdtn {y"(t)} konvergerar likformigt mot

y(t) = Ji_~Jln(t) nä.r jt - tol ~ h. Eftersom varje y"( t) i..r kontinuerlig 1å följer det av cien likformiga konver• gemen att även y{ t) ä.r kontinuerlig.

@ Pådående: y(t) 1atidieru {l.3.1).

1/(t, y(t)) -

f(t, Yn(t))I ~ .Ajy(t)- Yn(t)j, sa följer det att även /(t,yn(t)) __, f(t,y(t)) likformigt då it-tol ~ h. Pga cl.en likformiga konvergensen w mui byta om ordningen på integration och Eftenom y"(t) __, y(t) likformigt och

gränsvärde, 5å att y(t)

= n-oc: lim Yn(t) = Yo + lim ( f(.s,Jh1-1(a))da = n--oc J1c, = Yc• -

(

lim /(.sdln-1(.s))d~ = yo + {t f(a,11(a))da.

lto

},, n-oc

Da integranden j(.s,y(~)) är kontinuerlig blir y(t) c:kriverbar: y'(t) = f(t,y(t)).

Vidare är uppenbarligen y(to) = yo. ~

Påstående: Den funna lösning.en y(t) ä.r den enda

1om

1atidicru (l.3.1) i

rektangeln R.

Ty lat

=(t) vara en annan lösning i R.

Då ii.r

där, enligt Lipschit:z-villkoret,

1/(.s,z(.s)) - /(a,y{.s))I

~

Ajz(.s)- y(a)j

~

A21:;

den sista olikheten följer a,· att både {,, Z{ .s)) och ( .s, y{ a)) ligg.er i R. Alltså {ås

De-tta ger i sin tur att

varför

217

Bära,· följer att

och

Genom att fortsätta på detta vis inser man att for alla n ~ l när

;f 11

J'

to;

s h. dn l:(t) -

y(t)

s 2k (ATlhr för

alla 11 då It - tol

s h.

1en e f t euom sen·en n";o ~ ~ (AU" = c Ah ar •· konvergenL sa • 10 r-1·Jer 1pec1e · ll t att d en

n :te termen går mot noll: då Genom att låta n -

Tl -

oc

oc följer härav att z(t) = y(t) då It - tol $ h.

Appendix B

Bevis av Fourier's sats

220

Append,,. E 6,1111 aw Fourier'• 1111

Appentlia 6 6n11 ev Fourier', Ntl

f(t) bar prriodrD 2,r och Fourier-koefficienterna

och vi &kall vi&a att

i &Ila punkter dar f'(t + 0) och f'(t - 0) rxi&terar.

Sätt N

L

S,..·(t) =

[ = ., /\' :tr del1umman .. j .

Cnfin1

n=-N

Då är

rt - \" = U,

=-2-j 2To

d,·

= - du I

t-,r (

t-t-,r

rpga

att

L ,...

f(t-u)

)

fin11

dv

=

n=-,•k"

/(t - u) (10m funktion av 1l föl fixt t)

och tin1i å1 2,r-periodiih - jämför m~d 1id 'Il

Mrd hjälp av gromrtri&ka ~rien l + ;

LN n=-N

fin11

!J

zn+l -

1

+ : 2 + · • • + : 71 = -z -1

= f-iN11 + f-i(N-1)11 + ... + eiN11

{ås:

221

222

Append,, B Bev11 ev fou1ie1'1 Ntl

frorläng med e-i11 / 2 j ti(2N+l)11/2 _ f-i(2N+l)11/2

= 1in(2N + l)u/2 =----"--1in u/2

Taylor-utveckling omkring u = 0 ,;&ar att

lim sin(2N-+ l )u/2 = 2 ]\.-+ l. ,,_o 1in u/2 \"idare är .,

J

.

1\"

)

JL ,.

sm(2"_ - ,l "/2 du= _., smu.-2 _,.

= 2,r Eftersom

,..

t'n"

=

n=-/i

fobsrrv,ra att e 171 "

=

e-in1r

= (-ltj.

sin(2.\"- l)u/2 .. ... . • _ . ar en Jamn funktion, n ar 12 sm u

+ l)u/2 du= J,. sin(2N + l)u/2 du= ,r. Jo sin(2N sin u/2 sin u/2

_,.

0

Definiera nu den sk Dirichlet-kärnan DN (u) genom

,r

D"·(u) är en jämn funktion och uppfyller _,. J DN(u)du

= 1.

Appenclill

a Bewit av Fourier'■ Ull

\ij har då visat att

,.. S1\'(t) =

j

_,..

f{t - u)DN(u)tlu.

Jd~n i det fortsatta be,'i1et i.r följlllde: Låt (för enkelhet& ikull) g(v) vara kontjnuerlig j u

= 0 och betrakta

,..

j

_,.. Da ]\" -

ex kommer D.,...(O) -

oo medan DN(u) för u -:/ 0 01cillerar 1å.

> 0 gäJJer

Yald~amt att för ett futt f

(l ~ i) I enligt

g( u ) DN ( u ) du.

då /\" - oo

[g(u)DN(•J] du - 0

fuemann-Lrbe~gur L och kvar blir bara I

f

-l

-i

j g(u)Ds(u)du ~ g(O) j D1du)du ~ g(O) eller mera precjst:

"

Jjm jg(u)DN(u)du=g{O).

/'1-oc

Om

f

_,..

är kontjnuerlig j punkten t 1å ger detta resonemang:

,.. !jm SN(t)

/'1-oc

= /'1-oc !jm /

_,..

/(t - u)DN(u)du

= [f 0 vara

-t

dt litet fixt tal.

V

På int.crva.lltn (-t, -t) och ,-t,) år fooktionen

integrabel, va.ri'ör R.iemuio-Lr~s.gues ~ma medför a-tt integl'alen over dessa

229

230

Apptnd,, C 8n11 n Laplaet'1 invtraion111ts

intervall går mot noU då A -

J = li m JA A-ac

oc. Sa.ledes i.r

1i /f J(t + v) e-"" . A ~ = -,rl A-oc m llD "uv = v -f

l

(/f

.

= - lim

,r A-cx:

/(t

sin Av + v) t-"" - dv+ V

0 lln · A t· ) + / ' f ( t - u) e"'" -t:-· - dv = 0

'

= lim

/

. A t· lilD (j(t+t·)t_,.,.,...f(t-v)e"'")--d,.:.

A-cx:

'71T

0

\"i ~ka Yi~a att J =

med att skriva om

iU(t ....

0) - f(t - 0)), och lihom i tidigare fall börjar vi

i :an:

Eftenom

ex

A, .

.

sm- d:r= -= j 2 :r :r

7.

0

,

0

0

. ..

sa ar

l

- = 2

li

m

A-oc

/f sin Avd - v. 0

,rv

Alltså är

,i+iA

-1. lim

2,rz

A-00

/ ,.-iA

.

li m / sin:r d:r= { z= A t.' } = li m / &ID Au dv A-cx: :r A-oc V

l e'1 /($) d.s - -(f(t

2

+ 0) + J(t -

0))

=

Appendill < enit aw l ■plec1'1 inwtraion1ut1

. I' -. -A V

11D

- lim

A-00

,rv

•v(f(t

+ 0) + /(t -

0))

=

0

f

lff{t+v)t-,.t"_f(t-+0). A ~ = li m ------'-------'---~ lln V uV.A-oc 71'

\I

0

.

f

l / /(t - 0) - f{t - v)e"t" .

- lim -

-----'-------'--

.A-oc 71'

1111

V

Av dv,

0

där

är integrabla utom möjligen i t· = 0. Men

f (t - t · ) t - i " - f (t -+ 0) f (t + t t -i- 0) f (t -+ v )( t- ,.t· - l) --------- = ------- + -------, 1) -

t'

/

(

V

V

där

l-µt·~O(t· 2 )-l = ------V

= -µ

~0(11),

Således är

f{t +V) f-l't'

-

j(t + 0)

V

snäll och begränsad också när v

-+

0, och åetsamma iiller för

f(t - 0) - f(t -

V

)e" 11

V

Därmed kan R.lemann-~be~u.es lemma användas, och vi lår det önskade

resulta-tet.

231

232

Apptndu, C Btv11 111 L1pl1ct'1 1nvtr1ion111U

Appendix D

Svar till hemuppgifterna

2.1

2.2

IX

(-l)n-J

n: J

TI

L - - - sinnt

f(t) = 2

,r2

n=l

l

ex

a)

(-1)"

ex

+4 L -

f(t) = -3

2-

TI

coE nt

2

= !... 6

'

-

ex

(-l)n-l

n°;J n2

2

Ti b .) '.... ..;..._~2 = 12 n=l n

2.3

f (t ) = -4,. 2 + 4 ~ ~

2.4

f(t) = -

2.S

2 4 f(t)=---

2.6

f( t) = -

2.7

f (t) = l - -2 cos t

3

8

(

TI

CIC

L

,r n= l 4n

2

ex L

,r n= J

,r

l 1'i

~

sin t

l

l 2 n

n=l

COE

. nt ) nt - -r. SlD n

sin2nt

- l

l 2

4n - l

coE2nt

n(- )l" sin nt 2 n=2 n - 1 IX

+2 L - 2

oc

(-)1"

fl=2

n - 1

L

2

cos nt

234

App,nd,~ D ~var till htmupp1iftf!n1

Index

236

lndo.

abso)utintegrabel, 83.

Laplace-tra.nliformen, 140.

begynnelsevärde, 3,211.

linji.r differentialekvation, 30.

Bessel's olikhet, 104.

linjärt oberoende, 31. Lipschitz-kontinuerlig, 18.

6-funktionen, 15i.

lok&l lölining, 15,17 ,19.

Dirichlet, 78,84. minsta kvadratilib medelfelrt, 105. egenvektor, 46. egenvärde, 46.

ortogonala trajektorier, 28.

enpuhsvaret. 4.208.

Paneva.l'li relation, 105.

entydighet. l 9.

partikuli.rlö,n.ing, 178.

existem. 19.

periodiskt högerled, 92.

exponentialpolynom. 39,151,152.

Picard, 17,21.

faltningen. l 19.125,195.

principalvärde, 117.

Fourier·~ inveniomsats. 116.

pulståg, 99.

Fourier·s satL i8.

residueversion, 167.

Fourier-koefficienter. i2.

resonans, 93.

Fourier-serie. 68.

fuemann-Lebesgues lemma, 81.

Fourier-tramformen. 114.

rummet av originalfunktioner, 87.

Fubini'~ teorem. 118.

rummet av transformer, 87.

fundamentalJösning. 4,126,131. fundamentalmatrisen. 50. förskjutningnegeln, 3i.

samp)jng, l 74. samplingsfunktionen, 184. &lutvärde, 211.

global lösning, 15.

stabil, 177.

Eeaviside-funktionen, 153.

i;tationi.r, 93.

homogena ekvationen, 3,1 i6.

i;tyckvis kontinuerlig, 74.

homogena lösningen, l 76.

tidsserie, 184.

impulssvar, 131.

tillståndsöverföringsmatrisen, 50.

integrerande faktor, 9.

transient, 93.

inversa Fourier-transformen, 134.

triangelolikhet.en, 82.

inversionsformel, 117 ,l 6i ,191.

värmeledning, 63,132.

lnversionssatsen, 146. Wronski-determinanten, 31. karakteristiska ekvationen, 34,46,1 i6. karakteristiska polynomet, 176. Kronecker-deltat, 187.

2-transformen, 185. överföringsfunktion, 152,208.

JU JU JU JU JU SA

MER MA~ STUVERAR, VESTö MER VET MAN. MER MAN VET, VESTO MER ~L~MMER MAN. MER MAN GLCMMER, VESTO MlNVRE VET MAN. MJNVRf MAN VET, VESTO Ml~VRE GLCMME~ MAN. Ml~VRE MAN GLbMMER, VESTO MER VET MAN. VAt HAR MAN EGENTL1GEN fbR NYTTA AV STUVliR .

• fiufl•

Lycba till,

er"'