Lehrbuch der Theoretischen Physik - Band X - Physikalische Kinetik [X, 2 ed.] 3055000633, 3055000749

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E. M. Jladnnau

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TI. TIHTaeBCKHH· H3HQeCKaHa KHHeTHKa

Erschienen im Verlag NAUKA, Moskau 1979 Übersetzt aus dem Russischen von Dr. Gerd Röpke, Rostock (Kapitel I bis IV) und Dr. Thomas Frauenheim, Dubna (Kapitel V bis XII)

Ges.-ISBN 3-05-500063-3 Bd. X-ISBN 3-05-500074-9

Erschienen im Akademie-Verlag Berlin, Leipziger Straße 3-4, Berlin, DDR-1086 © Akademie-Verlag Berlin 1979 Lizenznummer: 202 ·100/448/90 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: VEB Druckerei "Thomas Müntzer", Bad Langensalza, 5820 LSV 1114 Bestellnummer: 760 201 7 (5436jX) 03200

INHALTSVERZEICHNIS

Einige Bezeichnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

Kapitel!.

Kinetische Gastheorie § § § § § § § § § § § § § § § § § § § §

Kapitel II.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Die Verteilungsfunktion Das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts Die BoLTzMANN-Gleichung Das H -Theorem Der Übergang zu makroskopischen Gleichungen Kinetische Gleichung für ein schwach inhomogenes Gas Wärmeleitfähigkeit von Gasen Viskosität von Gasen Die Symmetrie der kinetischen Koeffizienten . Näherungslösungen der kinetischen Gleichung Diffusion eines leichten Gases in einem schweren Diffusion eines schweren Gases in einem leichten Kinetische Erscheinungen in einem Gas im äußeren Feld. Transporterscheinungen in schwach verdünnten Gasen. Transporterscheinungen in stark verdünnten Gasen Dynamische Herleitung der kinetischen Gleichung Die kinetische Gleichung unter Berücksichtigung von Dreierstößen Virialentwicklung der kinetischen Koeffizienten . Fluktuationen der Verteilungsfunktion für ein Gas im Gleichgewicht. Fluktuationen der Verteilungsfunktion für ein Gas im Nichtgleichgewicht

Die Diffusionsnäherung § § ,§ § §

21. 22. 23. 24. 25.

Die FOKKER-PLANcK-Gleichung Das schwach ionisierte Gas im elektrischen Feld . Fluktuationen in einem schwach ionisierten Gas im Rekombination und Ionisation . . . . . . . . . Ambipolare Diffusion . . . . . . . . . . . . .

§ 27. Das selbstkonsistente Feld § 28. Räumliche Dispersion im Plasma .

71

76 82 85

89 94

94 . . . . . . . . . 98 Nichtgleichgewicht 103 . . lOS . . 112

§ 26. Die Ionenbeweglichkeit in Lösungen starker Elektrolyte

Kapitel IU. Das stoßfreie Plasma

1 5 8 12 14 18 22 25 28 32 37 41 43 49 59

114

121 121 125

x

Inhaltsverzeichnis § § § § § § § § § § § §

29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

Die dielektrische Permeabilität des stoßfreien Plasmas. Die LANDAu-Dämpfung . . . . . . . . . . . . . Die dielektrische Permeabilität des MAXwELL-Plasmas . Longitudinale Plasmawellen . . . . Ionenschallwellen . . . . . . . . . Die Relaxation einer Anfangsstörung Das Plasmaecho . . . . . . . . . Der adiabatische Einfang von Elektronen Das quasineutrale Plasma . . . . . . . Die Hydrodynamik eines zweitemperaturigen Plasmas Solitonen im schwach dispersiven Medium . . . . . Die dielektrische Permeabilität des entarteten, stoßfreien Plasmas.

KapitelIV. Stöße im Plasma § § § § § § § § § § §

Kapitel V.

41. 42. 43. 44. 45. 46.

47. 48.

49. 50. 51.

. . . . . . . . .

Das LANDAusehe Stoßintegral . . . . . . . . . . . Die Energieübertragung zwischen Elektronen und Ionen Die freie Weglänge der Plasmateilchen . Das LoRENTz-Plasma . . . . "Runaway"-Elektronen . . . . . . . Das konvergente Stoßintegral. . . . . Die Wechselwirkun g über Plasmawellen Die Absorption im Plasma im Grenzfall hoher Frequenzen Die quasilineare Theorie der LANDAu-Dämpfung . . . . Die kinetische Gleichung für das relativistische Plasma Fluktuationen im Plasma .

128 132 135 141 144 146 150 155 158 160 164 171

178 178 184 186 188 192 195 205 209 212 219 223

Das Plasma im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231

§ 52. Die dielektrische Permeabilität des stoßfreien kalten Plasmas. § 53. Die Verteilungsfunktion im Magnetfeld . . . . . . . . . . § 54. Die dielektrische Permeabilität des magnetisch aktiven MAXwELL-Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 55. Die LANDAu-Dämpfung im magnetisch aktiven Plasma § 56. Elektromagnetische Wellen im magnetisch aktiven kalten Plasma. . . § 57. Einfluß der thermischen Bewegung auf die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem magnetisch aktiven Plasma § 58. Hydrodynamische Gleichungen des magnetisch aktiven Plasmas § 59. Kinetische Koeffizienten des Plasmas in einem starken Magnetfeld § 60. Driftnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231 235

Kapitel VI. Theorie der Instabilitäten . Strahlinstabilität . . . . . . . . . Absolute und konvektive Instabilität Verstärkung und Undurchlässigkeit . . . Instabilität bei schwacher Kopplung zweier Zweige des Schwingungsspektrums . . . . . . . . . § 65. Instabilität endlicher Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ § § §

61. 62. 63. 64.

238 241 247 254 258 262 273

285 285 288 294 298 302

Inhaltsverzeichnis Kapitel VII. Dielektrika. . . . § 66. Die Wechselwirkung von Phononen . § 67. Kinetische Gleichung für Phononen in einem Dielektrikum

§ § § § § §

68. 69. 70. 71. 72. 73.

Wärmeleitfähi'gkeit in Dielektrika. Hohe Temperaturen Wärmeleitfähigkeit in Dielektrika. Tiefe Temperaturen Streuung von Phononen an Verunreinigungen. . . . Hydrodynamik des Phononengases im Dielektrikum. Schallabsorption im Dielektrikum. Lange Wellen Schallabsorption im Dielektrikum. Kurze Wellen . .

Kapitel VIII. Quantenflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ § § §

74. 75. 76. 77.

Kinetische Gleichung für Quasiteilchen in einer FERMI-Flüssigkeit .• Wärmeleitfähigkeit und Zähigkeit einer FERMI-Flüssigkeit . . . • Schallabsorption in einer FERMI-Flüssigkeit . Kinetische Gleichung für Quasiteilchen in einer Bosn-Elüasigkeit

Kapitel IX. Metalle

§ § § § § § §

78. 79. 80. 81. 82. 83. 84.

§ 85. § 86. § 87. § 88. § 89. § 90.

Kapitel X.

Restwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektron-Phonon-Wechselwirkung Kinetische Koeffizienten eines Metalls. Hohe Temperaturen Umklappprozesse in einem Metall. . . . . . . . . . . . Kinetische Koeffizienten eines Metalls. Tiefe Temperaturen Diffusion von Elektronen auf der FERMI-Fläche. . . . . . Galvanomagnetische Erscheinungen in starken Feldern. Allgemeine Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Galvanomagnetische Erscheinungen in starken Feldern. Spezialfälle Anomaler Skineffekt Skineffekt im Infrarotbereich . . Helikonwellen im Metall . . . . Magnetoplasmawellen im Metall Quantenoszillationen der Leitfähigkeit eines Metalls im Magnetfeld

XI 305 305 309 313 319 322 324 327 332

335 335 341 343

347

353 353 358 363 367 370 378 383 388 393 402 405 408 410

Diagrammtecbnik für Nicbtgleicbgewicbtssysteme

419

§ 91. MATSUBARA-Suszeptibilität . . . . . . . § 92. GREENsche Funktionen für das Nichtgleichgewicht § 93. Diagrammtechnik für Nichtgleichgewichtssysteme . § 94. Selbstenergiefunktionen . . . . . . . . § 95. Kinetische Gleichung in Diagrammtechnik . . . .

419 423 428 433 437

Kapitel XI. Supraleiter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 § 96. Hochfrequenzeigenschaften von Supraleitern. Allgemeine Formulierung 443 § 97. Hochfrequenzeigenschaften von Supraleitern. Grenzfälle 449 § 98. Wärmeleitfähigkeit von Supraleitern. . . . . . . . . . . . . . . . 454

XII

Inhaltsverzeichnis

Kapitel XII. Kinetik von Phasenübergängen

457

§ 99. Kinetik von Phasenübergängen erster Art. Keimbildung § 100. Kinetik von Phasenübergängen erster Art. Koaleszenzstadium . . . . § 101. Relaxation des Ordnungsparameters in der Nähe eines Phasenübergangspunktes zweiter Art. • . . . . . . . . . . . . . . . § 102. Dynamische Skaleninvarianz . . . . . . . . . . . . . § 103. Relaxation im flüssigen Helium in der Nähe des Ä-Punktes

Sachverzeichnis

457 462 469 472 474

. . . . 479

I

KINETISCHE GASTHEORIE

§l.

Die Verteilungsfunktion

Dieses Kapitel hat die Darlegung der kinetischen Theorie gewöhnlicher Gase aus elektrisch neutralen Atomen oder Molekülen zum Ziel. Diese Theorie befaßt sich mit Nichtgleichgewichtszuständen und Nichtgleichgewichtsprozessen in idealen Gasen. Wir erinnern daran, daß ein Gas als ideal bezeichnet wird, wenn es soweit verdünnt ist, daß sich jedes Molekül in ihm praktisch die gesamte Zeit wie ein freies Teilchen bewegt und mit den anderen Molekülen nur bei den unmittelbaren gegenseitigen Stößen wechselwirkt. Mit anderen Worten bedeutet dies, daß der mittlere Abstand zwischen den Molekülen N-l/3 (N ist die Zahl der Moleküle pro Volumeneinheit) als groß im Vergleich zu den eigenen Abmessungen, genauer gesagt, als groß im Vergleich zum Wirkungsradius der zwischenmolekularen Kräfte cl angenommen wird. Der kleine Parameter Ncl3 (cl/r)3 wird manchmal als Idealitätsparameter für Gase bezeichnet.

r

r-..J

r-..J

Die statistische Beschreibung des Gases geht von der Verteilungsfunktion f(t, q, p) der Gasmoleküle in ihrem Phasenraum aus. Diese ist im allgemeinen eine Funktion der auf beliebige Art ausgewählten verallgemeinerten Koordinaten eines Moleküls (deren Gesamtheit mit q bezeichnet wird) und der ihnen zugeordneten verallgemeinerten Impulse (deren Gesamtheit mitp bezeichnet wird), darüber hinaus im nichtstationären Zustand eine Funktion der Zeit t. Wir bezeichnen mit dr = dq dp das Phasenraumelement eines Moleküls; dq und dp bezeichnen vereinbarungsgemäß die Produkte der Differentiale aller Koordinaten bzw. aller Impulse. Das Produkt f dr ist die mittlere Zahl der Moleküle, die sich im gegebenen Element dr befinden, d. h., deren Werte q und p in den gegebenen Intervallen dq und dp liegen. Zur Bedeutung des Begriffs eines Mittels in dieser Definition kehren wir später noch einmal zurück. Obgleich die Funktion! stets als Dichte der Verteilung in einem Phasenraum definiert sein soll, ist es in der kinetischen Theorie zweckmäßig, sie in Abhängigkeit von geeignet gewählten Variablen auszudrücken, die nicht unbedingt kanonisch konjugierte verallgemeinerte Koordinaten und Impulse sein müssen. Wir wollen zunächst diese Auswahl vereinbaren. Die Translationsbewegung eines Moleküls ist immer klassisch. Sie wird durch die Koordinaten T = (x, y, z) des Molekülschwerpunktes und den Impuls p (oder die Geschwindigkeit v = p/m) der Bewegung des gesamten Moleküls beschrieben: Im einatomigen Gas sind damit alle Bewegungsmöglichkeiten der Teilchen (Atome) erfaßt. In mehratomigen Gasen besitzen die Moleküle auch Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrade.

m § 27.

DAS STOSSFREIE PLASMA

Das selbstkonsistente Feld

Einen weiten Anwendungsbereich der kinetischen Theorie stellt das Plasma dar, unter dem wir ein vollständig ionisiertes Gas verstehen wollen.') Die thermodynamische Theorie für den Gleichgewichtszustand des Plasmas wurde in anderen Bänden dieser Lehrbuchreihe betrachtet (s, V, §§ 78-80; IX, § 85). Die Kapitel 111- V dieses Buches haben das Studium der kinetischen Eigenschaften des Plasmas zum Gegenstand. Um unnötige Komplikationen zu vermeiden, werden wir (wo dies erforderlich ist) annehmen, daß das Plasma aus zwei Komponenten besteht - es enthalte nur Elektronen (Ladung -e) und positive Ionen einer Sorte mit der Ladung ze, Ebenso wie bei den gewöhnlichen Gasen erfordert die Bedingung für die Anwendbarkeit der Methode der kinetischen Gleichung auf das Plasma, daß dieses genügend verdünnt ist. Ein Gas darf nur schwach von der Idealität abweichen. In Anbetracht des langsamen Abfalls der COULOMB-Kräfte mit dem Abstand ist jedoch diese Bedingung für ein Plasma viel stärker als für ein Gas aus neutralen Teilchen. Wenn wir keinen Unterschied zwischen Teilchen mit verschiedenen Ladungen machen, können wir die Bedingung für die schwache Nichtidealität eines Plasmas in der folgenden Form angeben: (27,1 ) wobei T die Temperatur des Plasmas, N die Gesamtteilchenzahl in der Volumeneinheit und r "-' N-l/3 den mittleren Abstand zwischen den Teilchen bedeuten. Diese Bedingung bringt zum Ausdruck, daß die mittlere Wechselwirkungsenergie zweier Ionen klein im Vergleich zu ihrer mittleren kinetischen Energie ist. Wir können diese Bedingung noch in einer anderen Form angeben, wenn wir den sogenannten DEBYERadius des Plasmas a einführen, der gemäß

a-2

=

4n ~ N a (Za e)2 -.kJ T a

(27,2)

definiert ist, wobei die Summation über alle Ionensorten läuft. Wir erinnern daran, daß a den Abstand bestimmt, auf dem das COULOMB-Feld einer Ladung im Plasma abgeschirmt wird (s. V, § 78). Setzen wir a (Tj4nNe 2)1/2 in (27,1) ein, erhalten wir "-J

(27,3) 1) Dieser Terminus wurde von 1. LANGMUIB (1923) eingeführt, der den Grundstein für die syste-

matische theoretische Untersuchung des Plasmas legte.

IV

STOSSE IM PLASMA

§41.

Das LANDAusehe Stoßintegral

Die Untersuchung der Eigenschaften eines Plasmas unter Berücksichtigung von Stößen zwischen den Teilchen muß mit der Herleitung der kinetischen Gleichung für die Verteilungsfunktionen der Elektronen und Ionen beginnen. Die Spezifik dieses Falles ist mit dem langsamen Abfall der COULOMB-Wechselwirkung zwischen den Teilchen verknüpft. Bei der Anwendung des BOLTZMANNschen Stoßintegrals im wörtlichen Sinne führt dieser Umstand zum Auftreten von Divergenzen in den Integralen für große Abstände zwischen den stoßenden Teilchen. Dies bedeutet, daß gerade die fernen Stöße eine wesentliche Rolle spielen. Jedoch werden die Teilchen in großen Abständen nur mit kleinen Änderungen ihrer Impulse abgelenkt. Diese Besonderheit gestattet es, dem Stoßintegral eine Form zu geben ähnlich der, die es in der FOKKER-PLANcK-Gleichung besitzt. Im Unterschied zur letzteren ist das Stoßintegral jetzt jedoch nicht mehr linear bezüglich der gesuchten Verteilungsfunktionen. Aber die relativ geringen Impulsänderungen bei den Stößen bedeuten auf jeden Fall, daß der Prozeß, der durch das Stoßintegral beschrieben wird, als Diffusion im Impulsraum betrachtet werden kann. Dementsprechend kann das. Stoßintegral in der Form

St f

=-

ßs/% " dI V p S = - ßp/%

dargestellt werden, wobei S die Teilchenstromdichte im Impulsraum bedeutet. Das Problem besteht darin, diesen Strom durch die Verteilungsfunktion auszudrücken. Der Ausdruck

wf(p)f'(p') d 3q d 3p ' soll die Zahl der Stöße (pro Zeiteinheit) angeben, die ein Teilchen mit dem Impuls p von Teilchen mit den Impulsen p' im Intervall d 3p ' erfährt, wobei p und p' in p q bzw. p' - q übergehen. Hier wurde bereits berücksichtigt, daß der Impuls bei den Stößen erhalten bleibt. Die Argumente t und r in den Verteilungsfunktionen wurden der Kürze halber nicht angegeben. Die Teilchen p und p' können sich auf ein und dieselbe oder auf verschiedene Teilchensorten im Plasma (Elektronen, Ionen) beziehen. Wir nehmen an, daß die Funktion w durch die halbe Summe der Impulse jedes der Teilchen vor und nach dem Stoß und durch den übertragenen Impuls q ausgedrückt wird:

+

IX

METALLE

§ 78.

Restwiderstand

Die kinetischen Eigenschaften von Metallen sind wesentlich komplizierter als die der Dielektrika. Die Ursache hierfür ist die Existenz verschiedener Arten von Quasiteilchen - Leitungselektronen und Phononen. Die Leitungselektronen sind die Träger des elektrischen Ladungstransports. Für den Wärmetransport hingegen sind sowohl Elektronen als auch Phononen verantwortlich. In Wirklichkeit jedoch spielen in hinreichend reinen Metallen für die Wärmeleitfähigkeit die Elektronen die Hauptrolle, vor allem deshalb, weil ihre Geschwindigkeit (die Geschwindigkeit VF auf der FERMI-Fläche) im Vergleich zur Geschwindigkeit der Phononen (Schallgeschwindigkeit) groß ist. Außerdem ist für tiefe Temperaturen die elektronische Wärmekapazität bedeutend größer als die der Phononen. Die Leitungselektronen führen verschiedene Arten von Stoßprozessen aus - miteinander, mit Phononen, mit Fremdatomen (und anderen Gitterdefekten). Die Stoßfrequenz der beiden zuerst genannten Arten nimmt bei Verringerung der Temperatur ab. Aus diesem Grund ist für hinreichend tiefe Temperaturen die Streuung der Elektronen an Verunreinigungen für die kinetischen Erscheinungen von bestimmendem Einfluß. Dieser Temperaturbereich wird als Bereich des Restwiderstands bezeichnet. Mit ihm wollen wir das Studium der Kinetik von Metallen beginnen. Der Zusammenhang des elektrischen Stromes j und des dissipativen Energiestromes q' in einem Metall mit dem elektrischen Feld E und dem Temperaturgradienten wird in Form der Beziehungen (44,12-13) geschrieben:

E

p,

+ \l -e

q' = q -

1

= -(J j

+ a\lT ,

('I' - ~ )i =

(78,1)

",Ti - "'ilT.

(78,2)

In dieser Form beziehen sie sich auf Kristalle kubischer Symmetrie, die zur Vereinfachung der Darstellung auch im folgenden vorausgesetzt werden. Für Kristalle nichtkubischer Symmetrie werden aus den Koeffizienten (J, x, a Tensoren zweiter Stufe. Die Beziehung (78,2) benutzt man günstiger in einer Form, in der j mittels der ersten Gleichung (78,1) durch E ausgedrückt wird:

q'

~ .,.",T (E + 'i7 ~) -

("

+ T.,.",') 'i7T .

(78,3)

Alles, was bereits im § 74 über die kinetische Gleichung für eine FERMI-Flüssigkeit gesagt wurde, bleibt im wesentlichen auch für die Elektronenflüssigkeit im Metall

x

DlA GRAMMTECHNIK FVR NICHTGLEICHGEWICHTSSYSTEME

§91.

MATSUBARA -Suszeptihilität

Das Studium des Verhaltens verschiedener Systeme in einem schwach veränderlichen äußeren Feld wird gewöhnlich auf die Berechnung der zugehörigen verallgemeinerten Suszeptibilitäten zurückgeführt. In diesem Paragraphen werden Beziehungen abgeleitet, welche die verallgemeinerte Suszeptibilität mit einer gewissen Hilfsgröße verknüpfen, die mit Hilfe der MATsuBARA-Diagrammtechnik berechnet werden kann. Außerdem wird gezeigt, wie diese Technik bei der Untersuchung kinetischer Systemeigenschaften zu verwenden ist (A. A. ABRIKOSSOW, I. J. DSJALOSCHINSKI, L. P. GORKOW, 1962). Wir erinnern uns an die Definition der verallgemeinerten Suszeptibilität cx(co) (s. V, § 123). Die äußere Einwirkung auf ein System wird durch die Einführung eines Störoperators der Form V(t)

= -xf(t)

(91,1)

x

im HAMILToN-Operator beschrieben, wobei der (zeit unabhängige) SOlIRÖDINGEROperator einer bestimmten physikalischen Größe ist, die das System charakterisiert, und die erregende verallgemeinerte Kraft f(t) eine gegebene Funktion der Zeit darstellt. Es wird vorausgesetzt, daß ohne eine äußere Einwirkung der Mittelwert der Größe x verschwindet. Dann ergibt sich in erster Näherung bezüglich f eine lineare Beziehung zwischen den FOURIER-Komponenten des Mittelwertes x(t) und der Kraft f(t). Der Koeffizient in dieser Beziehung ist die verallgemeinerte Suszeptibilität xw=cx(co)fw'

(91,2)

Entsprechend der Ktrno-Formel (s. V, § 126) kann die Funktion «(co) wie folgt in Operatorform dargestellt werden: 00

o.(co) = i

J ei wt