Lehrbuch der Theoretischen Physik - Band IX - Statistische Physik - Teil 2 [IX, 3 ed.] 3055000730

Citation preview

Als Lehrbuch für die Ausbildung an Universitäten und Hochschulen der DDR anerkannt. Berlin, Januar 1975

E. M. JIuqm.uu.\ u JI.

Ministerium für Hoch- und Fachschulwesen

u. Il araeucaaä

CTaTUCTU4eCHaH ~u3uHa \.{acTb

2

Erschienen im Verlag NAUKA, Moskau 1978 übersetzt aus dem Russischen von Dr. EBERHARD JÄGER, Jena

Erschienen im Akademie-Verlag, DDR-1086 Berlin, Leipziger Str. 3-4 ® der deutschsprachigen Ausgabe Akademie-Verlag Berlin 1980

Lizenznummer: 202· 100/526/89 Printed in the German Democratic Republic Offsetdruck und buehbinderische Weiterverarbeitung : VEB Druckerei "Thomas Müntzer", 5820 Bad Langensalza Lektor: Dipl.-Phys. Ursula Heilmann LSV 1114 Bestellnummer: 7623184 (5436/IX) 02800

INHALTSVERZEICHNIS

Einige Bezeichnungen Kapitel I.

Die normale FERMI-FlüssigkeIt

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § G.

Kapitel 11.

XIII

Elementaranregungen in einer FERMI-Flüssigkeit 1 Die Wechselwirkung der Quasiteilchen 7 Die magnetische Suszeptibilität der FERMI-FlÜ88igkeit 12 Der nullte Schall 13 Spinwellen in der FERMI-Flüssigkeit 19 Das entartete, fast ideale FERMI-Gas mit Abstoßung zwischen den Teilchen 21

GREENscbe Funktionen eines FERMI-Systems bei T = 0 § 7. Die GREENscheFunktion eines makroskopischen Systems § 8. Die Bestimmung des Energiespektrums mit Hilfe der GREENBchen Funktion § 9. Die GREENsche Funktion eines idealen FERMI·Gases § 10. Die Verteilung der Teilchen einer FERMI-FlÜ88igkeit bezüglich der Impulse § 11. Die Berechnung der thermodynamischen Größen aus der GREENschenFunk§ 12. § 13. § 14. § 15. § 16.

§ 17. § 18. § 19. § 20. § 21.

KapitelllI.

tion ",-Operatoren in der Wechselwirkungsdarstellung Die Diagrammtechnik für FERMI-Systeme Die Selbstenergie-Funktion Die GREENsche Zweiteilchenfunktion Zusammenhang zwischen Vertexfunktion und Streuamplitude der Quasi. teilchen Die Vertexfunktion bei kleinen Impulsübertragungen Zusammenhang zwischen der Vertexfunktion und" der Wechselwirkungs. funktion der Quasiteilchen .....................................•... Identitäten für Ableitungen der GREENschen Funktion................. Ableitung des Zusammenhangs zwischen Grenzimpuls und Dichte Die GREENSche Funktion eines fast idealen FERMI-Gases

Die Superfluidität § 22. § 23. § 24. § 25.

1

29 29 34 39 42 43 44 47 55 57 62 64 70 73 77 79

86

Die Elementaranregungen in einer BosE-Flüssigkeit ..................• 86 Die Superfluidität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • 89 Phononen in einer Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . ... . . . . . ... . .. . . . . .••• 95 Das entartete, fast ideale Boss-Oas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99

x

Inhaltsverzeichnis

§ 26. § 27. § 28. § 29. § 30. § 31. § 32. § 33. § 34. § 36.

Kapitel IV.

Die Wellenfunktion des Kondensats Die Temperaturabhängigkeit der Kondensatdichte Das Verhalten der superfluiden Dichte in der Nähe des l-Punktes Quantisierte Wirbelfäden Ein Wirbelfaden in einem fast idealen BosE·Gas ..•................... GREENsche Funktionen einer BOSE-Flüssigkeit Die Diagrammtechnik für eine BosE.Flüssigkeit Die Selbstenergie-Funktionen ...................•...............•... Der Zerfall von Quasiteilcllen ..................•.................... Die Eigenschaften des Spektrums in der Nähe seines Endpunktes

GREEN8che Funktionen bel endlichen Temperaturen

104 107 110 112 118 120 125 128 132 137

142

§ 36. GREENsche Funktionen bei endlichen Temperaturen 142 § 37. Temperaturabhängige GREENsche Funktionen 147 § 38. Die Diagrammtechnik für temperaturabhängige GREENsche Funktionen .. 150

Kapitel V.

DJe Supraleitfähigkeit •• . . . . . . . . . . . . • • . . . • • . . . . . . . • • • .. . . . • • • . . . • . . . . ...• 154 § 39. § 40. § 41. § 42. § 43. § 44. § 45. § 46.

§ 47. § 48. § 49. § 50. § 51. § 52. § 53. § 64.

Kapitel VI.

Das superfluide FERMI-Gas. Das Energiespektrum D.l.8 superfluide FERMI-Gas. Thermodynamisehe Eigenschaften GREENsche Funktionen des superfluiden FERMI-Gases Temperaturabhängige GBEENsche Funktionen des superfluiden FERMIGases '0' Die Supraleitfähigkeit der Met9.11e Der supraleitende Strom Die GINSBURG-LANDAu-Gleichungen ........•.....•.................. Die Oberflächenspannung an der Grenze zwischen supraleitender und normaler Phase ...........................•..................•....... Zwei.Arten von Supraleitern .............................•.•........ Die Struktur des gemischten Zustandes ......................•....... Die diamagnetische Suszeptibilität oberhalb des Übergangspunktee Der JosEPHSoN-Effekt Der Zusammenh1.ng zwischen Strom und M~etfeld in einem Supraleiter . Die Eindringtiefe eines M!lrgnetfeldes in einen Supraleiter • . . . . . . . . . . . .. Supraleitende Legierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Der CooPER-Effekt bei von Null verschiedenen Bahndrehimpulsen eines Paares ........................•..................................

154 159 164 170 172 173 178 185 190 194 202 205 209 216 217 220

Elektronen Im Kristallgitter ....•.............................•........ 225 § 55. § 56. § 57. § 58. § 59. § 60. § 61. § 62.

Ein Elektron im periodischen Feld Der Einfluß eines äußeren Feldes auf die Elektronenbewegung im.Gitter .. Quasiklassische Trajektorien . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . .. Quasikla88ische Energieniveaus Der Tensor der effektiven:Massen eines Elektrons im Gitter Die Symmetrie der Elektronenzustände im Gitter in einem Magnetfeld Das Elektronenspektrum normaler Metalle .......•................... Die GREENsche Funktion der Elektronen im Metall •....••....••..•....

225 234 238 242 245 250 254 2ö8

XI

Inhaltsverzeichnis

§ 63. Der DE HAAs-VAN ALPHEN-Effekt 262 § 64. Die Elektron-Phonon-Wechselwirkung 269 § 65. Der Einfluß der Elektron-Phonon-Wechselwirkung auf das Elektronen-

spektrum im Metall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 272 § 66. Das Elektronenspektrum fester Dielektrika 276 § 67. Elektronen und Löcher in Halbleitern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279 § 68. Das Elektronenspektrnm in der Nähe eines Entartungspunktes . . . . . . . . .. 281

Kapitel VII. Der Magnetismus

287

§ 69. Die Bewegungsgleichung des magnetischen Momentes in einem Ferro§ 70. § 71. § 72. § 73. § 74.

magneten Magnonen in einem Ferromagneten. Das Spektrum Magnonen in einem Ferromagneten. Thermodynamische Größen Der Spin-HAMILTON-Operator Wechselwirkung der Magnonen Magnonen in einem Antiferromagneten

287 293 298 303 308 313

Kapitel VIII. Elektromagnetische Fluktuationen

317

§ 75. Die GREENsche Funktion eines Photons in einem Medium 317 § 76. Fluktuationen des elektromagnetischen Feldes 322 § 77. Elektromagnetische Fluktuationen in einem unendlich ausgedehnten Me-

dium

324

§ 78. Stromfluktuationen in linearen Stromkreisen 330 § 79. Die temperaturabhängige GREENsche Funktion eines Photons in einem Me-

dium

331

§ 80. Der Spannungstensor der VAN DER WAALS-Kräfte 335 § 81. Molekulare Wechselwirkungskräfte zwischen festen Körpern. Allgemeine § 82. § 83. § 84. § 85.

Kapitel IX.

Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Molekulare Wechselwirkungskräfte zwischen festen Körpern. Grenzfälle .. Das asymptotische Verhalten der Korrelationsfunktion in einer Flüssigkeit Ein Operatorausdruck für die Dielektrizitätskonstante Das entartete Plasma

Hydrodynamische Fluktuationen § 86. § 87. § 88. § 89. § 90. § 91.

Sachverzeichnis

342 346 351 354 357

:....... 364

Der dynamische Formfaktor einer Flüssigkeit 364 Summenregeln für den Formfaktor 368 Hydrodynamische Fluktuationen 373 Hydrodynamische Fluktuationen in einem unendlich ausgedehnten Medium 377 Operatorausdrücke für die kinetischen Koeffizienten 382 Der dynamische Formfaktor der FERMI-Flüssigkeit 385

389

19

§ 5. Spinwellen in der FERMI-Flüssigkeit

dender Temperatur bedeutet, daß ihr Energiespektrum einen Zweig enthalten kann, der Elementaranregungen mit dem Impuls p = lik und der Energie e = tu» = uoP - "Quanten des nullten Schalles" - entspricht. Die Tatsache, daß der nullte Schall (mit beliebigem vorgegebenen k) eine beliebige (kleine) Intensität besitzen kann, bedeutet in der Sprache der Elementaranregungen, daß die letzteren ihre Quantenzustände in beliebiger Anzahl besetzen können; mit anderen Worten ausgedrückt, sie genügen der BosnStatistik und bilden, wie man sagt, einen BosE-Zweig des Spektrums der FERMIFlüssigkeit. Wir betonen aber, daß es im Rahmen der LANDAu-Theorie falsch wäre, die diesem Zweig entsprechenden Korrekturen in die thermodynamischen Größen der FERMIFlüssigkeit einzuführen, weil sie höhere Potenzen der Temperatur (T3 in der Wärmekapazität) als die ersten Korrekturen zu der behandelten Näherung der Theorie enthalten. Die Frage der Absorption des nullten Schalles erfordert es, daß man die Stöße der Quasiteilchen betrachtet, sie gehört nicht zum Inhalt dieses Bandes. Aufgabe Es ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der asymmetrischen Wellen des nullten Schalles bei F F 0 + F 1 cos {j zu bestimmen.

=

Lösung. Bei

F = F o + F 1 (cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos (q; - q;')) können Lösungen mit v oc e±i

8,7) einsetzen, finden wir die Energieniveaus

1) Es sei f(x, y, z) = const eine Familie von F'lächen, die ein gewisses Volumen ausfüllen. Der Abstand dl zwischen zwei unendlich benachbarten Flächen der Familie ist dl = df/IVfl, und das Volumen zwischen diesen Flächen ist d V = S(j) dl mit S(f) als Oberfläche mit gegebenem f. Wenn wir die Gleichung S(f) df = IVfl d V mit der b-Funktion (~(j) multiplizieren und über das Volumen und über

df integrieren, erhalten wir den Flächeninhalt der Fläche f(x. y, z) = 0 als S(O) = In unserem Fall ist IVfl = 1, daraus folgt der Ausdruck (3).

J IVfl ö(f) d

3x.

§ 61. Das Elektronenspektrum normaler M0talle

255

In der Nähe der FERMI-Fläche muß auch das Gebiet liegen, in dem die Verteilung der Leitungselektronen bei von Null verschiedenen Temperaturen "aufgeweicht" ist. Hieraus entsteht die Bedingung für die Anwendbarkeit der Theorie der' FERMI-Flüssigkeit: T ~ 1ikF v F mit kF und V:P' als charakteristischer Dimension der FERMI-Fläche bzw. Geschwindigkeit auf ihr. Gewöhnlich fallen die Dimensionen von k F größenordnungsmäßig mit den Dimensionen der Zelle des reziproken Gitters zusammen, so daß kF ~ l/a ist (eine Ausnahme bilden die sogenannten Halbmetalle - s. unten). Wenn wir zur Abschätzung vF ~ 1ikF /m setzen, kommen wir zu der Bedingung T ~ 1()4-105 K, die praktisch immer erfüllt ist. Tatsächlich haben alle Metalle ein Kristallgitter mit einem Inversionszentrum. Nach dem am Ende des § 55 Gesagten sind alle Energieniveaus der Leitungselektronen (mit gegebenem k) bezüglich des Spins zweifach entartet (wir betrachten weder ferromagnetische noch antiferromagnetische Metalle). Die Form und die Anordnung der FERMI-Fläche ist eine wichtige Kenngröße eines jeden konkreten Metalls. Bei verschiedenen Metallen hat sie eine äußerst vielfältige, im allgemeinen komplizierte Form. Die FERMI-Fläche kann aus mehreren, nicht miteinander verbundenen Blättern bestehen, die einfach zusammenhängend oder mehrfach zusammenhängend, geschlossen oder offen sein können (vgl. das im § 55 über die Flächen konstanter Energie Gesagte). Die geschlossenen Blätter einer FERMI-Fläche kann man in zwei Kategorien einteilen in Abhängigkeit davon, ob sie die Gebiete der (bei T = 0) besetzten oder freien Zustände der Quasiteilchen eingrenzen (im ersten Fall ist innerhalb des Gebildes E < EF und im zweiten Fall E> EF). Beide Fälle können aber auf analoge Weise beschrieben werden, wenn man im zweiten Fall annimmt, daß das "leere" Gebilde durch "Quasilöcher" besetzt ist; der übergang des Systems in einen angeregten Zustand wird dann beschrieben als der Übergang von Quasilöchern aus dem Innern der FERMI-]'läche nach außen. Die FERMI-Fläche selbst nennt man dann Löcher-FERMI-Fläche, zum Unterschied von der Elektronen-FERMI-Fläche im ersten Fall.I) Der physikalische Unterschied zwischen den zwei Typen von Quasiteilchen - den Elektronen und den Löchern - wird bei ihrer Bewegung in äußeren Feldern deutlich. So gehören alle Querschnitte der Löcher- (oder Elektronen-)FERMI-Fläche, die die quasiklassischen Trajektorien bei der Bewegung im Magnetfeld bestimmen, zu dem Löchertyp (oder Elektronentyp) in dem im § 57 angegebenen Sinn. In einer isotropen "freien" FERMI-Flüssigkeit, von der im § 1 gesprochen wurde, ist die FERMI-Fläche eine Kugel, deren Radius durch die Dichte der Flüssigkeit nach dem LANDAu-Theorem (1,1) bestimmt ist. Einen analogen Zusammenhang gibt es auch für die Elektronenflüssigkeit in einem Metall, aber die Spezifik der Eigenschaften, die mit der Periodizität des Gitters zusammenhängen, führt zu einer gewissen Änderung in der Formulierung dieses Zusammenhangs. Die Anzahl der Elektronen im Metall bezieht man geeigneterweise auf eine Elementarzelle seines Gitters; n sei die Gesamtzahl der Elektronen in den Atomen einer Zelle. Wir 1) Um Mißverständnisse zu vermeiden, betonen wir aber, daß die Bedeutung des Ausdruckes "Loch" hier nicht mit der Bedeutung übereinstimmt, mit der er in der am Ende des § 1 beschriebenen alter-

nativen Methode zur Beschreibung des Spektrums der FERMI-Flüssigkeit benutzt wurde (dort wurden Löcher nur die leeren Plätze genannt, die sich im besetzten Gebiet bei der Anregung des Systems bildeten).

274

Kapitel VI. Elektronen im Kristallgitter

digkeit u hängen auch noch von der Ionenmasse M ab, wobei (! oc M, u oc M-l/2 ist, so daß (!u. oc 11M ist. Deshalb kann man die Abschätzung der Dämpfung in der Form (65,8)

schreiben mit der DEBYE-Frequenz WD __ ula oc M- 1/2 • Streng genommen bezieht sich die Abschätzung (65,8) auf die Werte le - I' I ~ TiWlI, bei denen die Integration in (65,6) über das Gebiet k «; le - I' l/uTi ~ WD/U erstreckt wird, wo das von uns benutzte Dispersionsgesetz der Phononen W = ku wirklich anwendbar ist. Für eine grobe, größenordnungsmäßige Abschätzung kann man aber (65,8) auch auf den Randzonen des Gebietes bei e - I' -- TiwD anwenden und erhält dort (65,9) Schließlich hängt das Integrationsgebiet in (65,6) bei e - I' ~ TiwD nicht von e - I' ab, so daß der Pol W = uk :$ wD immer im Intervall zwischen 0 und e - I' liegt. In diesem Fall ist k 2 dk-- (WD/u)3, und die Dämpfung ist

J

(65,10)

Die Ausdrücke (65,8-10) bestimmen die spezifische Dämpfung, die mit der Aussendung von Phononen durch die Elektronen zusammenhängt. I) Wir sehen, daß die Dämpfung in der unmittelbaren Nachbarschaft der FERMI-Fläche, bei [s - I' I ~ TiWD' nach (65,8) klein ist (I Im (s - 1') I ~ [s - I' 1), so daß der Begriff der Quasiteilchen - der Leitungselektronen ---:- einen völlig klaren Sinn hat. In dem Gebiet 1 e - # I - - luoD jedoch wird die Dämpfung der Quasiteilchen vergleichbar mit ihrer Energie, das Spektrum wird aufgeweicht und verliert seinen Sinn in einem bedeutenden Maße. Aber bei noch größeren Abständen über der FERMI-Fläche, bei e - I' ~ TiwD (aber natürlich noch bei e - I' ~ #), wird die Dämpfung nach (65,10) wieder klein im Vergleich zur Energie & --;- #' weil ihr Betrag derselbe bleibt, und die Quasiteilchen bekommen wieder eine bestimmte Bedeutung. Neben der Phononendämpfung der Leitungselektronen gibt es natürlich auch immer eine Dämpfung von den Elektron-Elektron-8tößen her. Diese für jede normale FERMI-Flüssigkeit (§ 1) charakteristische Dämpfung ist proportional zu (s - #)2 und größenordnungsmäßig --(e - #)2/#, sie ist in dem Gebiet, in dem die Theorie angewendet werden darf, immer klein. Wir wollen nun die Korrektur zum Realteil von e, d. h. zum Spektrum selbst, abschätzen. Der Realteil des Integrals über dw in (65,5) wird durch seinen Hauptwert

r

lc

10-1'1

Re

.

n

D(o)(w, k) dw

= elc ln!e 2u

# -

= f!2 u P

J{

la-pI 0

1

w-u

1

k-

w+u

k} dw

Ulcl

e-#+ulc

1) Die Energieerhaltung bei der Erzeugung eines Phonons kleiner Frequenz durch ein Quasiteilchen wird durch die Gleichung (BE/Bk) lJk == v lJk = 'U lJlc ausgedrückt; sie kann nur bei v > 'U erfüllt sein. In Metallen ist diese Bedingung immer erfüllt, weil ~ 'U ist.

vr

VII § 69.

DER MAGNETISMUS

Die Bewegungsgleichung des magnetischen Momentes in einem Ferromagneten

Die Existenz einer magnetischen Struktur in Kristallen führt dazu, daß in ihnen spezifische Zweige des Energiespektrums auftreten. Wir wollen diese Spektren untersuchen und erinnern zunächst an einige Besonderheiten der Wechselwirkungen in magnetischen Körpern. Die wichtigste Form der Wechselwirkung in ferromagnetischen Stoffen ist die Austauschwechselwirkung der Atome, die dazu führt, daß sich eine spontane Magnetisierung ausbildet. Die charakteristische Eigenschaft dieser Wechselwirkung ist ihre Unabhängigkeit von der Orientierung der Magnetisierung in bezug auf das Gitter: die Austauschwechselwirkung ist das Ergebnis der elektrostatischen Wechselwirkung der Elektronen unter Berücksichtigung der Symmetrie der Wellenfunktion des Systems und hängt nicht von der Richtung des Gesamtspins ab.J) Das einfachste ferromagnetische System ist ein Dielektrikum mit Atomen im Kristallgitter, die ein magnetisches Moment besitzen, wobei die Austauschwechselwirkung ein solches ("ferromagnetisches") Vorzeichen hat, daß die parallele Einstellung der Momente energetisch günstig ist. Dann sind im Grundzustand des Systems alle Spins parallel. Exakter ausgedrückt, in diesem Zustand ist die Projektion des Gesamtspins des Systems auf eine gewisse Richtung gleich dem maximal möglichen Wert ISa (die Summe läuft über alle Atome), sa ist dabei der Spin eines Atoms. Denn der Hxsrrr.ros-Operator der Austauschwechselwirkung jj aust ist mit dem Operator des Gesamtspins des Systems vertauschbar und damit auch mit seiner Projektion Sz (das folgt daraus, daß Haust nicht von der Richtung der Spins abhängt und der Operator S der Operator für die Rotation im Spinraum ist). Deshalb muß der Grundzustand einen bestimmten Wert Sz haben, und dem Energieminimum entspricht das maximale Sz· Wir bemerken, daß dann die Projektionen sI, der Spins aller Atome gleich ihren Maximalwerten sa sind, so daß das magnetische Moment im Grundzustand gleich! seinem "Nominalwert" Ilta mit dem magnetischen Moment eines Atoms Ita ist. Diese Eigenschaft wird aber durch schwächere relativistische - Wechselwirkungen zerstört. In komplizierteren Fällen ist die Magnetisierung eines Körpers nicht gleich ihrem Nominalwert. Wenn insbesondere die Wechselwirkung nicht zwischen allen Atomen ferromagnetischen Charakter trägt, ist die Bildung von Strukturen aus zwei entgegengesetzt magnetisierten Untergittern möglich, deren Magnetisierungen verschieden sind und sich nicht vollständig kompensieren; Stoffe mit einer Struktur dieses Typs nennt man Ferrite (der Fall der vollständigen Kompensation entspricht einem Antiferromagneten). Schließlich darf man in einem ferromagnetischen Metall die Spins der Atome nicht unabhängig von den Leitungselektronen betrachten, die in jedem Fall (wegen der Effekte

S

1) Die experimentellen Angaben über die gyromagnetischen Verhältnisse g, die für Ferromagnetika

\Vcrte von fast 2 ergeben, zeugen von der Spinnatur des Ferromagnetismus.

§ 69. Die Bewegungsgleichung des magnetischen Momentes in einem Ferromagneten

291

homogen magnetisierten Körper auf die Bewegungsgleichung des frei präzedierenden Momentes reduzieren:

oM

ot

=~[HM] 2r.nc

'

dabei bedeuten e = -I e I, m. die Ladung bzw. Masse eines Elektrons und g das gyromagnetische Verhältnis des Ferromagneten (vgl. 11, § 45). Andererseits ist bei homogener Magnetisierung H eff = H; daraus folgt, daß der konstante Koeffizient in (69,4) const = g e1J2mc ist, so daß die Bewegungsgleichung 1

M] ot =~[H 2r.nc eff

oM

(69,9)

mit H eff aus (69,8) lautet. Um ein vollständiges Gleichungssystem zu erhalten, muß man noch die MAXWELLGleichung hinzunehmen, die das Feld H mit der Verteilung der Magnetisierung M verknüpft. Die Spinwellen, die im folgenden Paragraphen betrachtet werden, sind in dem Sinne niederfrequent, daß (() ~ ck ist. Unter diesen Bedingungen ist das Feld quasistationär; in den Maxwar.t-Gleichungon kann man die zeitlichen Ableitungen vernachlässigen, und sie reduzieren sich auf

=

rot H

0,

div B

=

div (H

+ 4nM) =

O.

(69,10)

Im Zusammenhang damit kann die Frage nach der Berechtigung der Variation des Integrals (69,5) nach M bei konstantem H entstehen, sind beide Größen doch durch die zweite Gleichung (69,10) miteinander verknüpft. Setzt man jedoch (wegen der ersten Gleichung) H = - flf{J und berechnet die Variation des Integrals nach ep, so ver8chwinde~ diese wegen der zweiten Gleichung, so daß die Variation nach H keinen Beitrag zu bF gibt. Wenn sich der Körper nicht in einem äußeren Magnetfeld befindet, dann ist das Feld in seinem Inneren vollständig mit der Magnetisierungsverteilung verknüpft, es ist dann im allgemeinen eine Größe von der gleichen Ordnung wie M. In diesem Sinne stellt das Glied H im effektiven Feld (69,8) einen relativistischen Effekt dar (wir erinnern daran, daß die atomaren magnetischen Momente, und mit ihnen auch die spontane Magnetisierung M, durch das Bonasche Magneton ß = [e [li/2mc bestimmt sind - eine Größe, die c im Nenner enthält). Deshalb muß man in der bisher betrachteten, reinen Austauschnäherung das zweite Glied in (69,8) weglassen, so daß die Bewegungsgleichung

oM _ ot

-

~tX' [~~M] 2r.nc lk OXi oXk

(69,11)

ist. Wir weisen darauf hin, daß diese Gleichung nichtlinear ist. Die Gleichung (69,11) kann man auch als Kontinuitätsgleichung für das magnetische Moment schreiben:

oM i

m+

eti; OXl

=0,

dabei hat der Tensor des Stromes des Momentes IIi l die Form

u; = g lei tXZk 2mc

20 Landau/Llfschif z,

na. 9

[M ~M 1. Ji UXk

296

Kapitel VII. Der Mlgnetismus

den Übergang zum Fall eines kubischen Kristalls mit K' < 0 (die Richtung von Mo liegt längs einer Raumdiagonalen des Würfels) K durch 4 IK' 1/3 zu ersetzen hat. Wir bemerken ferner, daß sich in einem kubischen Kristall die Größe lX(n) auf eine Konstante reduziert. Für einen einachsigen Ferromagneten vom Typ "leichte Ebene" (K < 0) ist die Situation eine andere: die Änderung 6 U an bei einer Abweichung der Magnetisierung M von Mo hängt sowohl von dem Polarwinkel als auch vom Azimut der Richtung von M in bezug auf Mo ab; deshalb erfordert dieser Fall eine besondere Betrachtung - a. Aufgabe. Wir erinnern daran, daß das Ergebnis (70,10) sich.nur auf den Anfangsteil des Spektrums bezieht, in dem die Quasiimpulse k ~ 1/a sind und eine makroskopische Betrachtung erlaubt ist. Von der Seite großer, aber noch diese Bedingung erfüllender Werte von k(lXk2 ~ 4.7l, K) reduziert sich der Ausdruck (70,10) auf e(k) = 2ßMlX(n) k 2 2ß~. (70,11)

+

Das erste Glied fällt mit dem reinen Austauschausdruck (70,4) zusammen. Das äußere Feld fügt zur Magnonenenergie einfach das Glied 2ß~ hinzu. In dieser Näherung besitzt das Magnon folglich eine Projektion des Momentes auf Mo' die gleich - 2ß ist. Die Anregung eines jeden einzelnen Magnons im Körper verringert das magnetische Gesamtmoment des Körpers um 2ß. Im entgegengesetzten Fall, bei k ---+ 0, strebt der Ausdruck (70,10) gegen eine von Null verschiedene Größe, die (bei ~ = 0) gleich

e(O) = 2ßMK ( 1

)1/2 + 4.7l K sin 2 ()

(70,12)

ist. Die Berücksichtigung der magnetischen Anisotropie führt also dazu, daß im Magnonenspektrum eine Energielücke auftritt. 1) Das ist natürlich, weil dann, wenn eine Anisotropie vorhanden ist, auch die Drehung des ganzen magnetischen Momentes (d. h. bei k = 0) mit einer endlichen Energie verbunden ist. Wir sehen, daß bei kleinen k die relativistischen Effekte, ungeachtet ihrer Kleinheit, zu relativ großen Korrekturen im Spektrum fü hren. Die Vorstellung von den Magnonen als Elementaranregungen bezieht sich auf die schwach angeregten Zustände des Körpers, insbesondere bei tiefen Temperaturen. Deshalb muß man in allen sich auf die Magnonen beziehenden Formeln die Werte aller Materialkonstanten (insbesondere auch die Magnetisierung M) bei T = nehmen. Wir kehren zu der im § 69 getroffenen Annahme zurück, daß die Dissipat.ion schwach sein soll. Im Quantenbild bedeutet die Dissipation die Endlichkeit der Lebensdauer der Magnonen, die durch ihre Wechselwirkung untereinander und mit anderen Quasiteilchen bedingt ist. Wenn man zunächst über die WechselwirkungderMagnonenmiteinanderspricht,muB maI! vor allem bemerken, daß in der Austauschnäherung die Zahl der Magnonen nicht geändert wird (jedes Magnon gibt zu Mz denselben Beitrag -2ß, und die Austauschwechselwirkung läßt Mz konstant). Deshalb sind in dieser Näherung nur Streuprozesse möglich. Ihre Wahrscheinlichkeit nimmt aber mit fallender Temperatur ab - einfach schon wegen der Abnahme der Zahl von Streuern -, so daß die Austauschdämpfung in jedem Fall bei T = 0 gegen Null strebt. Wir werden unten sehen (§ 72), daß der Zustand

°

1) Die entsprechende Frequenz w(O) = e(O)jTi nennt man Frequenz der ferromagnetischen Resonanz.

348

Kapitel VIII. Elektromagnetische Fluktuationen

mit dem Abstand r zwischen den Atomen, n l , n 2 sind die Teilchendichten der Atome in beiden Körpern. 1 ) Diese Formel fällt mit der bekannten quantenmechanischen LONDONFormel zusammen, die man mit Hilfe der gewöhnlichen Störungstheorie erhält, wenn man sie auf die Dipolwechselwirkung zweier Atome anwendet (s. 111, § 89, Aufgabe). Beim Vergleich muß man aber berücksichtigen, daß der Imaginärteil von c(w) mit der Spektraldichte der "Oszillatorstärken" 1(w) durch die Beziehung 2n2e 2 o» Im c(w) = --nf(w)

m

zusammenhängt (e, m sind Ladung und Masse des Elektrons; s. VIII, § -62); die Oszillatorstärken werden auf die bekannte Weise durch die Quadrate der Matrixelemente des Dipolmoments der Atome ausgedrückt (s. 111, (149,10)). Wir gehen zum entgegengesetzten Fall "großer" Abstände über: 1 ~ Ao. Dabei werden wir aber annehmen, daß die Abstände nicht so groß sind, daß die Ungleichung lT/lic ~ 1 verletzt wäre. In der Formel (81,10) führen wir wieder eine neue Integrationsvariable x = 2pU;,/c ein, aber als zweite Veränderliche nehmen wir nicht t;" sondern p. Dann erweisen sich X Cl und C2 als Funktionen des Argumentes it;, = ixc/2pl. Wegen des Faktors e in den Nennern des Integranden spielen im Integral über dx die Werte x 1 eine Rolle, und weil p ~ 1 ist, ist das Argument der Funktion C bei großen l in der Nähe von Null im ganzen wesentlichen Bereich der Veränderlichen. In übereinstimmung damit kann man Cl' c2 einfach durch ihre Werte bei t;, = 0 ersetzen, d. h. durch die elektrostatischen Dielektrizitätskonstanten cI0' c20. Es gilt also schließlich f"Oo.I

F =

~ JooJoo Xl {[(810 + p) 32n2l4

o

1

r

(8 10 -

+ [ (810 + pCI0 ) (820 + PC20 ) (8 10 -

p CI 0 )

(8 20 -

(8 + p) eX _ 20

p) (8 20 eX

pC20 )

_

p)

1]

-l}

dp

1]-1 dz,

(82,4) C20 - 1 + 1 8 20 = Das Gesetz für die Abnahme der Kraft mit dem Abstand (wie l-4) entspricht im gegebenen Fall dem Gesetz für die Abnahme der VAN DER WAALs-Kräfte zwischen zwei Atomen unter Berücksichtigung der Retardierung (s. unten). Die Formel (82,4) führt auf einen sehr einfachen Ausdruck, wenn beide Körper Metalle sind. Bei Metallen strebt die Funktion E(it;,) bei t;, ~ 0 gegen Unendlich; deshalb muß man für sie EO = 00 annehmen. Wenn wir E10 = c20 = 00 setzen, erhalten wir 8 10

F _ -

= VClO -

[oofoo

!ic 16n2l4

•

+ r,

V

x3 dp dx _ n 2 !ic r(eX - 1) - 240 14

r·

(82,5)

o 1 (H. B. G. CASIMIR, 1948). Diese Kraft hängt überhaupt nicht von der Art der Metalle ab (eine Eigenschaft, die bei kleinen Abständen nicht gilt, wo die Wechselwirkungskraft von dem Verhalten der Funktion c(iC) bei allen Werten, nicht nur bei C = 0, abhängt). J) Wenn die potentielle Energie der Wechselwirkung der Atome 1 und 2 gleich U(r) = -ar-6 ist, dann ist die gesamte Energie der Paarwechselwirkungen aller Atome in den zwei Halbräumen. dio durch einen Spalt der Breite I getrennt sind, gleich U tot = - annln~/1212. Die Kraft istF = dUtot! dl = ann1nz/61s. Darin besteht auch die Korrespondenz zwischen den Formeln (82,2) und (82,3).

1350

Kapitel VIII. Elektromagnetische Fluktuationen

,

Diese Kraft entspricht der Wechselwirkungsenergie zweier Atome U(r)

23lic

= - -nr 4 7 cX1