Lehrbuch der theoretischen Mechanik: Band 2 Enthaltend die allgemeinen dynamischen Lehren, die Geodynamik, Hydrodynamik und Aerodynamik [Reprint 2021 ed.] 9783112430569, 9783112430552

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L e h r h u ch

-er theoretischen Mechanik, oder der

Gleichgewicht- und Bewegunglehre fester, tropfbarer und kuftförmiger Körper; soweit diese Lehren durch die Elementarmathematik vorgetragen werden können,

mit Hinweisungen auf die practische Mechanik und auf die «eitere Ausführung der Mechanik durch die höhere Mathematik. In zwei Bänden.

Zweiter Band, enthaltend:

die allgemeine« dynamischen Lehre«, die Geodynamik, Hydrodynamik «ad Aerodynamik.

Dou Alexander Freiherr« von Forstner, Harptmann agg. dem 37sten Infanterie-Regimeute, Eeaminawr bei der Ober-Militair» ExammationS Commission, Lehrer der Mathematik bei der allgemeinen KriegSschule und der Physik beim Cadetten-Corps.

Mit drei Steindrucklafeln. Berlin,

bei G. Reimer. 1834.

Vorrede.

der Vorrede zum ersten Bande des vorliegenden Lerke-, And die Ansichten nirdergelrgt, welche bet der Beardeitnng der Mechanik tat Verfasser leiteten. ES ist daher diesem zweite« Bande nicht« Wesentliches mehr voranzuschicken, sondern nur etwa- über de» größeren Umfang zu sagen, den dieser zweit« Band -ege« de« anfänglichen Plan gewonnen hat. — Dieser Bgnd sollte unmittel­ bar dem ersten folge«, und «S ist fast das viert« Jahr vergangen, bevor er ersa;eint. Verhältnisse mit meinem Freund«, dem Herr« Verleger des ersten Bandes, di« ohne Interesse für da- Publikum sind, haben diese bedeutende Verzögerung veranlaßt; der Druck, welcher einschließlich dem Uten Böge«, seit mehreren Jahre» fertig «ar, wurde ununterbrochen gefördert, nachdem der Herr Verleger deS zweiten Bandes, freundschaftlichst dir Herausgabe desselben über­ nommen hatte. — Es konnte wol nicht fehlen, daß das von mir mit Lust und Liebe bearbeitete Werk, durch die erwähnte Verzöge^ rung des Druckes, manche Erweiterungen und AuSführNnge« ein­ zelner Lehren erhalten hat, welche in diesem Umfange zu geben, nicht in der ersten Absicht lag. ES war nicht immer leicht, bei den hierzu erforderlichen Umarbeitungen größter Theile des Buch«-, den Faden des ganzen Werkes festjuhalten, wenn ich gleich hoffe, daß die- mög­ lichst gelungen ist. — Wie viel sich durch Hülfe der niederen Mathe­ matik, auch in der Bewegunglehrr sagen läßt, zeigt der aller­ dings bedeutende Umfang dieses zweiten Bande-, und leicht hätt« dieser noch voluminöser werden können, wenn Alle» darin ausge­ nommen wäre, waS sich zufolge des Titel- diese- Buche- hätte sagen lassen. ES war ost schwierig, die Grenzen festzuhalte», wo eine noch erlaubte, deutliche elementare Behandlung der Wissenschaft, zu einer gekünstelten übergeht i ja, eS hätten manch« Lehren noch ausgenommen «erden können, wo «ine elementare Behandlung unge­ künstelt zugclaffen werden kann, die Hülsmittel aber nicht mehr zur Elementarmathematik gerechnet «erde«, z. B. bet der Lehre vom Falle in der Cycloide, u. a. a. O. Hier mußte nun gewaltsam

IV

Vorrede.

abgebrochen werden, weil doch ein Ende z« finden nöthig war. Dagegen dürsten die Grundlehren der parabolischen Theorie, so wie der elliptischen Bewegung der Planeten, ohne Zweifel hier ihre Stelle finden; denn die ersten hierzu erforderlichen Lehren von den Kegelschnitten, können selbst bei Anfängern in der Mechanik gewiß vorausgesetzt werden; übrigen- ist auch selbst an solchen Stellen darauf aufmerksam gemacht, daß diese Lehren ohne Nachtheil für das Verstehen der späteren Lehren, übergangen werden können. — Ohne alles da- anzuführen- worauf ich wünschte besonders den geneigten Leser hinzuweiscn, soll nur einiges noch bemerkt werden. Von der ungleichförmigen Bewegung, ist nur die gleichmäßig­ beschleunigte und verzögerte Bewegung ausführlich vorgetragen, und über einige andere jener Bewegungen, nur das gesagt, was durchaus zum Verstehen einiger Lehren dient, die nicht wegblciben konnte», vorzüglich in Betreff der Pendel lehre, die in ihren beiden Theile« (vom mathematischen und vom physischen Pendel) gewiß so ausführ­ lich hier vorgetragen, und durch Anwendungen auf mathematische Geographie dem Anfänger interessant gemacht ist, wie sich elementar dieser Vortrag nur leisten läßt. — Von der Wurfbewegung im leeren Raume, sind die wichtigsten Sätze vorgetragen; warum soll aber eine Lehre, die, so spekulativ sie auch sei, dennoch wenig An­ wendung hat, in Lehrbüchern über die Maaßen ausführlich behan­ delt werden? und warum sollen Scheinannahmen über das Werfen -er Kugeln aus Geschützen gemacht werden, die ohne Realität sind? Leider aber ist die Ballistik im letzten Abschnitte des Buches, nur sehr kurz davongekommen; aber jeder Kenner dieser wichtigen Lehre weiß, daß kaum die Grundzüge derselben elementar vorgetragen werden können, ohne Künstelleien einzusühren, die weder wissen­ schaftlich genügen noch einen wissenschaftlichen Werth haben. Die Centralbewegunglehre ist besonders ausführlich behandelt. Ohne von ihren reichen Anwendungen hier zu reden, bi« ich doch veranlaßt, die Mathematiker und Physiker auf §. 227. bis §. 229. aufmerksam zu machen, indem hier eine scharfe Grenze zwischen der freien Centralbewegung (§. 229.) und der Schwungbewe­ gung gemacht wird, so sehr auch beide Lehren in der Kreisbewe­ gunglehre übereinstimmen. Nie habe ich mich davon überzeugen können, daß bei der freien Centralbewegung, eine Schwung­ kraft anzunehmen nöthig sei, wie dies doch in allen — mir bekann­ ten — Schriften über diesen Gegenstand behauptet und durchgcführt wird. — Dieser Gegenstand scheint daher einer ernstlichen Prüfung werth zu sein. — Die Geodynamik hat hier einen Umfang erhalten, wie ihn wol noch kein elementares Werk über Mechanik giebt. — Die Lehre vom geraden ecntralen Stoße fester Körper, enthält nur größtenteils bekannte Sätze; aber das 2te Kapitel: die Drehbewegung, enthält auf 14J Bogen manchen Satz, den

Vorrede

v

mm nicht t» allen mechanischen Schriften findet. — Die ihrer Natur nach so genau verbundenen, hier angeführte« sechs Theile diese- Kapitel«, find ««getrennt rusammengcbkieben. Bet den Be­ rechnungen de- Moments der Trägheit, find nar di« Fundamental­ berechnungen angeführt- analog wie in der Statik bei der Berech­ nung de« Schwerpunkt«; «S 1- nicht am rechte» Orte, bei solche» Berechnungen in de» Lehrbüchern, alle Beispiele an» »der au-juführe», die sich geben lassen; die Gruüdzüge genügen bereit«, und bloß« vebungaufgabe» gehören in Aufgabensammlungen. — Die Lehr« von den freien und den Hauptaxen, ist ausführlicher al« t» den meisten elementare» mechanischen Schriften behandelt, und von ihr, so wie von den Lehren über den Mittelpunkt de« Stoß«« und der freien (fortschreitenden) Drehbewegung, liegt die Frage nahe: ob nicht lieber diese Lehren für die höhere Mechanik verbliebe» wären? wa« von der Behandlung de« physi­ schen Pendel« sich gewiß nicht behaupten läßt. Der denkende An­ sänger mag entscheid«»: ob jene Lehren ihm wissenschaftlichen Genuß bereitet haben. — Weil das Lehrbuch aber auch die praktische» Lehren in ihren Grundzügen vortragen soll, so mußt« der Bewegung der Maschinen, ein eigenes Kapitel gewidmet wer­ de». Hier war e« schwerer al« irgendwo, au« dem so große» Dorrathe von Materialien, da« Nothwendigst« heran« ,u heben; und doch ist der ,wißbegierige Anfänger gewiß bestnder« gespannt, da-, wa« die Einleitung in die Maschinenlehre, von der statischen Seit« ihm im ersten Bande gab, auch im dynamische» Theile weiter »««geführt zu finden. Daß ich mich nur auf die einfachen Maschinen, mit geringen Erweiterungen auf zusammengesetzte beschränkte, bedarf keiner Dertheidigung. Die so einfachen elementaren Berechnungen de« größten Effekt«, namentlich beim Rad« an der Welle, «er­ den dem Anfänger nicht ohne Interesse sein. Auf §. «13. möchte ich wohl die Aufmerksamkeit der Kenner richte». — Die Theorie der Schwungräder, so wie übrrhaupt da« Eintreten de« Beharrungjustande« bei Maschinen, scheint mir aber nach einer ganz genügenden physisch-mathematischen Begründung zu erman­ geln. — In der Hydrodynamik läßt sich allerdings theoretisch nur wenig im Vergleiche mit dem sagen, wa« bei den vorhergehen­ den Lehren zu sagen war-, aber auch die höhere Mathematik erzeugt hier nur wenig brauchbare Resultate"). — Da« erste Kapitel enthält all« Lehren über den Ausfluß des Wasser« vereinigt, die man gewöhn-

*) Als einen der interessantesten Sätze de« Buche«, von wissenschaftlicher Seite, aber ohne alle» praktische» Nutze», mag hier nur der Satz §. 329. Zusatz 2. angeführt werden. Und doch grmjt der Beweis schon an einen künstlich ««Beweis, wie ich ihn gern a. a. O. vermied.

VI

Vorrede.

lich unter vielen Kapiteln »ertheilt findet. Auf die in §. 319. hin­ gewiesenen Einflüsse für die Bewegung des WaflerS, sollte offenbar mehr Rückficht genommen werden als es geschieht, namentlich auf den Einfluß der Temperatur des Wassers bei de» hydraulischen Erscheinungen. — Die Theorie der Röhr«nleitungen, liegt noch in den ersten Anfängen — um nicht zu sagen: im Argen! §. 331. wird gerade keine wesentliche Bereicherung dieses Gegenstandes sein; doch mögen die in der Anmerk, daselbst gegebenen Zusammenstellun­ gen, die eben gemachte Aussage zum Theil belegen. — Vom Stoße und Drucke des fließenden Wassers, sind die bekannten Lehren hier zusammengestellt. Gern hätte ich noch auf manche hydraulisch« Maschine Rücksicht genommen, aber die bereits so angehäufte Bo­ genzahl deS Buches, mahnte an das Aufhören. Diesem Grunde ist eS auch zum Theil zuzuschrciben, daß dir Aerodynamik nur so kurz abgrhandelt isi; der Hauptgrund liegt aber hier in der Natur der Sache, die keine rein elementare Behandlung, wenn sie mehr als unfruchtbare Erfolge bringen soll, zuläßt. — Die hydraulisch­ pneumatischen Maschinen, sind ans jenen finanziellen Gründen auch ohne Ausführung geblieben, was namentlich in Beziehung auf di« Dampfmaschine — dieser größten Erscheinung neuerer Zeit in technischer Beziehung — wol manchen Anfänger unlieb sein könnte. Aber größere Beschreibungen von Maschinen zu geben, lag außer dem Zwecke des Buches; möchte dieses Letztere nur jenem ent­ sprechen, so ist auch keine weitere Verantwortung erforderlich. — Die Lircratur ist gewissenhaft benutzt, und an den entsprechenden Stellen angeführt. Daher ist auch am Ende dieses 2ten Bandes, die in §. io Anmerk, verheißene Litteratur der mechanischen Werke, nicht brsonde S gegeben.

A. v. Forst«er.

Kurze

Kurze Uebersicht des Inhalts des zweiten Bandes.

Der zweite Haupttheil der Mechanik, Erster

Abschnitt.

enthaltend: die Bewegunglehre, oder: die Dynamik. Dir allgemein«» bynamtschen Lehren. Erstes Kapitel. Von der Bewegung eiitts freien Punkt», »hneRüchflcht auf die bewegenden Kräfte; ober: die Ernndlehren der Phoronomie. Zweite» Kapitel. Don derWürkung der Kräfte, besonder» der Schwere,

§. 159—173. 6.

1—40.

bei der Bewegung der Massen . . Drittes Kapitel. Do» der Bewe­ gung längs der schiefen Ebene, und

§. 173-189. @. 41—80.

vom mathematischen Pendel.... Viertes Kapitel. Dv« der Wurf­

§. 190 — 200. S.

bewegung im leeren Raume Fünftes Kapitel. Don der Central­

§.201—209. S. 117—140.

80 — 116.

§. 210 — 235. S 241 — 248.

bewegung

Zweiter Abschnitt. Die Dynamik fester Körper, oder: die Geodynamik-

Erstes Kapitel. Dom Stoße fester. Körper § 236 — 243. @.249 — 274. Zweite- Kapitel. Don der Dreh­

bewegung Und zwar. I. Einleitung....................... II. Dom Momente der Träg­ heit........................................ III. Don den freien Axen und

§. 244—305. S. 274 — 501. §. 244-249. S. 274—296.

§. 250-268. S. 296— 353.

von den Hauptaxen . . . IV. Vom physischen Pendel. V. Vom Mittelpunkte des

§. 269-274. S. 354 — 391. §. 275 - 282. S. 391 — 420.

Stoßes.............................. VI. Don der freien Drehbe­

§. 283—288. S. 420— 447.

wegung .............................

§. 289-1305. S. 448 — 501.

vni

Inhalt.

Drittes Kapitel. Do« der Beweguag der Maschiae« §. S06—318. S- 502—592.

Dritter Abschnitt. Die Dyoamtk tropfbar flüssiger Körper, oder: die HydrodynamikErstes Kapitel. Dom Ausflüsse des Wasser» aus Gefäßen, Röhren und Flüsse« §. 319 —337. S. 593 — 673. Zweites Kapitel. Don den Gesetzen welche zwischen bewegtem Wasser «nd festen Körpern stattflnden. Be­ sonder- vom Stoße «nd Druck« defließend«» Wasser« §. 338—347. S. 673—700. Vierter Abschnitt. Di« Dynamik luftftrmiger Körper, oder: bi« Aerodynamik. Allgemeine Gruadzüge der Aerodyaamtk §.348 —353. ©.701—712.

Der zweite Haupttheil der Mechanik, enthaltend:

Die Bewegunglehre oder die Dynamik. Erster

Abschnitt.

Die allgemeinen dynamischen Lehren. Erstes Kapitel. Von der Bewegung eines freien Punkts, ohne Rück­

sicht auf die bewegenden Kräfte; oder: die Grundlehrrn der Phoronomie.

§. 159.

Einleitung.

(-V

der allgemeinen Einleitung zur Mechanik, ist von der Vewegunglehre bereits so viel gesagt als nöthig war,

um den Gegensatz beider Haupttheile der Mechanik fest­ zustellen, und diejenigen Lehren zu begründen, welche bei­

den Theilen zur gemeinschaftlichen Begründung dienen ($. 8, 4).

Das bereits aus der Dynamik Erwähnte,

wird demnach hier als bekannt vorausgesetzt. — Indem

aber ein neues, der Mechanik wesentliches Element, nehm­

lich die Zeit wahrend welcher ein Ding sich bewegt, beForstner'S Mechanik. Bd- H.
gleich). Aehnliches findet fich bei einigen der folgenden Proportionen.

30

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel I.

die folgenden Fälle noch zu bestimmen sind. Beide Bewe­

gungen sollen zusammen die ganze Bewegung B bilden, welcher die Elemente w, z und e entsprechen mögen (Es ist deutlich, daß eS für die ganze Bewegung B nicht ein § giebt, selbst wenn beide Bewegungen B' und Bzz gleichförmig wären, wegen der vorausgesetzten Aende­ rung in der Bewegung). Ob die B" in derselben Linie

als die Bz erfolgt, kann hier ganz dahingestellt bleiben, während es sehr wol möglich ist, daß die hier willkührlich angenommene Aenderung, der Erfolg des UebergangS aus einer Linie in eine andere Linie ist. — Die Betrach­ tung einer, aus mehr als zwei Bewegungen auf jene Weise bestehenden Bewegung, kann leicht auf die folgen­ den Betrachtungen zürückgeführt werden*). — Die sich

etwa ergebenden Aenderungen in den folgenden Resulta­ ten, wenn die zwei betrachteten Bewegungen in entge­ gengesetzten Richtungen erfolgen, sind leicht zu er­

kennen. 1) Die Bewegung Bz sei gleichmäßig beschleu­ nigt; so ist ez = 2 bzzz und wz==b'zz2.

Ist nun die

Bewegung Bzz gleichförmig, und erfolgt während der Zeit zzz durch den Weg wzz mit der Endgeschwindigkeit ez der Bz; so ist wz/ = 2 hzzz • zzzz also w = wz 4- wzz — bzzz2 -4- 2bzzzzzz = bzzz (zz4-2zzz). Daß hier e = ez = 2bzzz, und z = zz 4- zzz ist, ist deutlich. 2) We«n B' und Bzz zwei beliebige Theile einer

ganzen gleichmäßig beschleunigten Bewegung B mit der Beschleunigung b sind, so daß wz und wzz die Wege

*) Sind bcidc Bewegungen gleichförmig, so sind die Re­ sultat« leicht zu finden: man hat alsdann, um die Geschwindigkeit e zu finden, die Geschwindigkeit g mit der Geschwindigkeit zu ver­ einigen, welche der Bewegung B” zukommen würde, wenn die »' ihr nicht vorangingc.

Grundlehren der Phoronomie.

31

welche jenen Theilen znkommen (also w = wz + tvzz),

und zz nebst zzz die Zeiten bezeichnen, welche' bei der gan­ zen Bewegung B auf diese zwei Wege verwendet wer­

den; so ist zwar wz = bzzz, aber keineswegs wzz gleich bzzze, da bzzzz den Weg giebt, welcher in der Zeit zzz

mit der Beschleunigung b (die auch beim zweiten Theile

Bzz vorhandfn ist, da fie der ganzen Bewegung zukömmt), zurückgelegt werden würde, sobald diese zweite Bewegung aus

dem

Zustande

w = b (z* 4- zzz)2

der ist,

Ruhe

erhält

erfolgte.

man

Indem

aber

wzz — w — wz —

b(zz4-z/z)z — bzzz = bzzzZ +2 bzzzzz(L). Hierin liegt der Satz: Der Weg der Bewegung B/z ist eben so groß als ein

Weg welcher mit der Beschleunigung b in der Zeit zzz gleichmäßig beschleunigt zurückgelegt wird, plus einem

Wege, der in der Zeit zzz mit der bei der Bewegung Bz erlangten Endgeschwindigkeit (2bzz), gleichför­ mig gemacht wird *).

Versteht man unter e„ die Endgeschwindigkeit, welche

während einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, aus dem Zustande der Ruhe durch jenen Weg wzz mit der Beschleunigung b erlangt wird; so ist zwar e„ = 2|/bwzz,

jedoch keineswegs e„ gleich e sondern e > e„ (Dies ist für sich deutlich).

Aber es ist v —2 V(wz+wzz) b =

•) Als Zahlenbeispicl diene das in §. 169. Anmerk. 3. genannte Beispiel. Es ist z. B- der in der 4ten Sekunde gemachte Weg von 112', auch zu finden durch die Summe 16' + 96, indem 16' de» Weg in einer (der 4tcn) Secunde bei der Beschleunigung von 16', und 96 der Weg ist, welcher mit der Endgeschwindigkeit von 96' am Ende der 3ten Secunde, in einer (jener 4tcn) Secunde, ge­ macht wird. — Erhält zu Anfang der Bewegung B", der Punkt außerdem noch eine Geschwindigkeit g vermöge welcher er sich gleichförmig bewegen würde; so muß dieselbe natürlich noch zu 2i>» addirt werden, so daß alsdann b i"8+(2b i' + g)i" ist.

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel I.

32

v 4bw'4-4bwz/ = t/e'2 4- e,,8 (II.).

Hiernach

ist

e < ez 4- c„ so w5e e„ = Ve*—e'2/ welches Resultat

wol zu merken ist. — Ein Zahlenbeispiel ist hierfür leicht zu finden.

3)

Gesetzt am Ende der Bewegung Bz habe der

Punkt die irgend wie erlangte Geschwindigkeit ez.

Wäh­

rend der Bewegung Bzz, setze der Punkt seine Bewegung durch den Weg wzz fort, welchen er, wenn die Bewe­ gung Bz nicht vorhergegangen wäre, mit der Be­

schleunigung bzz, gleichmäßig beschleunigt zurückge-

lrgt hätte.

Die Geschwindigkeit des Punkts nach einer

bestimmten Zeit t auf dem Wege wz/, ist nunmehr offen­ bar so groß, als die Summe der beiden Geschwindigkei­ ten ez und bzzt2; denn zu der Geschwindigkeit bzzi2,

welche nach t Secunden auf dem Wege wzz ohne anfäng­

liche Geschwindigkeit ez stattfinden würde, kömmt immer noch diese anfängliche Geschwindigkeit hinzu.

Nehmen

wir demnach an, daß der Weg wzz wirklich in zzz Se­

cunden vollendet wird; so ist die Endgeschwindigkeit e der ganzen Bewegung B (welche hier von der Endgeschwin­ digkeiten ---2|/wzzbzz’ wiederum verschieden ist):

e=ez4-2bzzzz/(I.), unt>wzz=ezzzz4-bzzzzz2 (IL), woraus fich ergiebt, daß zzz =

~Z 4- 4 "zzV>" = c/J 4- ezz2 (wo ezz die

Endgeschwindigkeit bei alleiniger Bewegung Bzz durch w/z bezeichnet), oder e = l/ez2 4- cz/-; so giebt dies Resul­

tat zur Vergleichung mit dem in Nr. 2. gefundenen Re­ sultate Veranlassung.

4) Die Zusammensetzung der gleichförmigen und der

gleichmäßig

beschleunigten Bewegungen,

oder mehrerer

gleichmäßig beschleunigten Bewegungen unter sich, im Sinne von §. 166, 1.; kann nunmehr ohne Schwierig­

keit beurtheilt und gefunden werden. §. 172. Die

Gesetze

der

Aufgabe.

gleichmäßig

verzögerten

Bewegung (§. 161, V.) zu best im men.

Auflösung

und Beweis.

Die

gleichmäßig

verzögerte Bewegung, ist das Entgegengesetzte der

g l e i ch m ä ß i g b e sch l c u n i g t e n B e w e g u n g, dergestalt, daß wenn ein Punkt welcher gleichmäßig beschleunigt einen

Weg zurück gelegt hat, nunmehr denselben Weg rückSovfmcr'j Mechamk. Bd ir.

3

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel I.

34

wärts macht, und dabei in allen Punkten der Bahn

dieselbe Geschwindigkeit als bei jener ersten Bewegung erhält, nunmehr eine gleichmäßig verzögerte Bewegung entsteht. De, einer Bewegung dieser letztern Art ist deut­ lich, daß der Punkt eine bestimmte ursprünglicheGe-

schwindigkeit, diese heiße u, haben muß, und daß die Bewegung

an sich endlich aufhören oder 0 werden

muß, da in gleichen Zeiten immer gleich viel, folglich

zuletzt alle Geschwindigkeit verloren geht.

Es ist daher

Null Geschwindigkeit die eigentliche Endgeschwindigkeit e, welche

der Zeit

Zeit entspricht,

vor

z

und

dem

ganzen Wege w dieser

wenn man nicht die Bewegung noch

Ablauf der Zeit z, als (durch irgend

eine

Ur-

sach bedingt) beendigt annimmt, so daß der ntett Zeit­ einheit z„, die Endgeschwindigkeit e„ und der Weg un

entspricht.

Jede besondere gleichmäßig verzögerte Bewe­

gung, wird

nunmehr durch diejenige beständige Größe

bedingt, welche die Abnahme der Geschwindigkeit am Ende jeder Zeiteinheit, im Vergleich mit dem Ende der

vorigen Zeiteinheit angiebt; und man überzeugt sich so­

gleich, daß nach dem Gesagtem jene Größe der Größe a

bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung entspricht, oder gleich der a — 2>> ist.

Man nennt aber hier die

Größen !>: die Verzögerung der gleichmäßig verzöger­ ten Bewegung, und wir bezeichnen sie durch v.

Man

hat hiernach sofort: ef = u —2v, e2 =u —2-2v,... c,n = u —ht2v;

also

nach

z Zeiteinheiten ist e„ = u — 2zv;

folglich

wenn in der Zeit z die Bewegung vollendet sein soll, so ist 0 = u — 2 z v oder z = ^- (L). Der ganze Weg w, welcher in der Zeit z gemacht ist, ist eben so groß wie

er in §. 168. für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung gefunden wurde, also w = vz2 (II.) oder = ^-uz (IIJ.)

Grundlehren der Phoronomie.

35

(wenn man den Werth für v aus (I.) in (II.) fetzt), oder

u2 = U» (IV.) (wenn man den Werth von r aus (I.) in (II) seht).

Es dienen daher alle in §. 169,1 und 2. entwickelte

Formeln, auch zur Berechnung der Elemente der gleich­

mäßig verzögerten Bewegung, wenn man nur statt jener Werthe a, l> und e, hwr 2v, v und u setzt, und beach­ tet, daß die

gleichmäßig

verzögerte Bewegung hierbei

(d. h. ohne etwa von neuen einwürkende Ursache«) vollen­

det ist. Will man aber den Weg w',

welcher in der Zeit

■/? wol als «ine unmittelbar aus §• 177, 3 und §. 174, 2. sich ergebende Folge «»führen; doch macht sein Zusammenhang mit §. 177, 5 und 6, ihn mehr zu einem Lehr­ satz«. 4 «orstner's Mechanik. B». II.

Dynamik; Abschnitt l, Kapitel II.

50

Zusatz I.), auch die Geschwindigkeit stets wachsen muß (Vergl. 176 ).

Der Weg der bewegten Masse, richtet

stch nach der in jedem Augenblicke vorhandenen Rich­

tung der würkenden Kraft, und bleibt diese ungeändert, so ist die Bewegung eine fortschreitende Bewegung.

2) Hört eine fortwürkende Kraft plötzlich zu würken auf; fb geht die bewegte Masse mit der in diesem Au

genblicke erlangten Geschwindigkeit oder der dann vorhan denen Endgeschwindigkeit (§. 161, V.), gleichför­

mig weiter (Vergl. §. 176.). 3) Eine beständige fortwürkende Kraft (§. 6, 2, e), erzeugt eine gleichmäßig beschleunigte Be-

wegyng ($. 161, V.); aber eine veränderliche fort­ würkende Kraft, erzeugt eine ungleichmäßig be­

schleunigte Bewegung, deren Gesetze stch nach den Ge­ setzen der Veränderungen der würkenden Kraft richten,

so daß z. B. eine zunehmende (oder wachsende) Kraft,

eine Bewegung mit wachsenden Beschleunigungen ($.171,3.) erzeugt. — Man kann sich jedoch vorstellen, daß die Wnrkungen einer veränderlichen fortwürkende« Kraft, in den

unendlich kleinen gleichen Zetttheilen, beständig, wiewol verschieden

in den verschiedenen Zeittheilen,

sind,

wonach man also für einen bestimmten dieser Zeittheile, auf die

ihm entsprechende Bewegung,

die Gesetze der

gleichmäßig beschleunigten Bewegung anwendcn kann. — Analog ist dies für verzögerte Bewegungen der Fall. 4)

Die bewegenden Kräfte zweier durch

Kräfte*) bewegten gleichen Massen,

beliebige

verhalten sich

stets wie die entsprechenden Geschwindigkeiten; also gilt

die Proportion K' - K" = g/; g" ($. 177, 3.) ganz all-

*) D- h. die Kräfte können beide Momentankräftc, oder beide fortwürkende Kräfte, oder die eine kann eine Momenta,liraft und die andere eine fortwürkende Kraft sein.

V- d. Würkung der Kräfte bei bewegten Massen.

51

gemein, welche Kräfte auch die gleichen Massen bewegen mögen. — Dieser Satz ist nach §. 177, 3 und §. 173. Zusatz 1, sogleich deutlich. 5) Es gilt nunmehr der Satz Nr. 4, auch für die bewegenden Kräfte und die Geschwindigkeiten einer und

derselben Masse, in den verschiedenen Punkten ihrer Bahn. Hiernach nehmen die bewegenden Kräfte einer ungleich­ förmig bewegten Masse, im Verhältniß der Geschwindigkei­ ten dieser Masse zu oder ab. — Ist die Bewegung gleich­ mäßig beschleunigt (oder verzögert), so stehen die bewe­ genden Kräfte auch im Verhältniß der Zeiten welche

vom Anfänge der Bewegung verflossen sindf(§. 167.); also hat man dann auch K': K" = z': z", 6) Die bewegenden Kräfte Kz und K" zweier^ durch

beliebige Kräfte bewegten Massen und M" welche immer gleiche Geschwindigkeiten haben, verhalten sich wie die Massen, d. h. K': K"= M': M". — Die­ ser Satz ist nach §. 178. nunmehr ganz allgemein deutlich. 7) Zwei beständige fortwürkende Kräfte verhalten sich, ehe die durch sie erzeugten Bewegungen gleicher Massen beginnen (wenn die Zeilen also noch Null sind), wie die Beschleunigungen der durch sie laut Nr. 3. erzeugten gleichmäßig beschleunigten Bewegungen. — Diese Behauptung ist nach §. 169, 3. deutlich, sobald man, wie es unter übrigens gleichen Umständen hier offenbar ge­ schehen kann, die in gleichen Zeiten erlangten Geschwin­ digkeiten, oder die denselben proporrionirten Beschleuni­ gungen, als Würkungen mit den Ursachen (den An­ fangs würkenden Kräften) in gleiche Verhältnisse setzen kann. 8) Hiernach ist es nun auch möglich, die Größe einer beständig fortwürkenden Kraft k" zu Anfang der Bewe­

gung (wo sie sich also noch als Druck, Zug, u. dgl. m.

4 *

52

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel II.

äußert), mit einer gewissen Momentankraft N zu ver­ gleichen, also auch beide Kräfte gleich zu setzen, wodurch die Beschleunigung b der Kraft K, auch zu einem Maaße der Kraft N wird, also zu deren Vergleichung mit ande­ ren Momentankraften dienen kann. Hat die Würkung

der K aber bereits eine Bewegung erzeugt, so daß die bewegende Kraft wachst (9?r. 5.); dann hört diese Gleich­ setzung auf, weil die N sich nicht ändert (§. 177, 2.). Könnte durch irgend eine neue Ursache die Zunahme der

K aufgehoben werden, so kann natürlich die Gleichsetzung der K und der N wiederum siattfindcn. 9) Für Kräfte welche eine verzögerte Bewegung bewürken (wohin z. V. der Widerstand gehört welchen die Luft allen in ihr bewegten Körpern entgegensetzt), sind die genannten Gesetze im Allgemeinen leicht zu übertragen.— Nähere Beispiele hierüber werden künftig vorkommen.

§. 180. Lehrsatz. Die bewegenden Kräfte Kz und K" zweier durch beliebige Kräfte bewegten Massen Mz und M'z, sind in jedem Punkte der Dahnen die­ ser Massen, im zusammengesetzten Verhältniß der Massen und der in jenen Punkten stattfin­ denden Geschwindigkeiten gz und e>". Beweis. Bei gleichen Geschwindigkeiten der Massen, ist nach §. 179, 6: KZ:KZZ = MZ:M/Z/ u. b. gleichen Massen, ist nach §. 179,4:

KZ:KZZ= £>z: gzz; also ist allgemein: Kz: Kzz =Tlzg'71vr \g7z (I ). — W. z. b. w. Zusatz 1. Die so eben bewiesene Proportion (welche, wenn die würkenden Kräfte nur Momentankraste sind, be­ reits aus §. 178 und H. 177, 3. folgt), führt auf die zwei Proportionen: Mz:Mzz=Kzgzz:Kzzgz(LI.) «.gz:gzz=KzMzz:KZZMZ(IIL),

V- d. Würkung der Kräfte bei bewegten Massen. 53

welche auf bekannte Weise noch in anderen Formen dar­ gestellt werden können, und in welche man statt der Massen, die Producte aus den Dichtigkeiten (oder den specifischen Gewichten) und den Volumen, laut §. 11. (Proportion (III)) einführen kann, wodurch sich

wiederum neue Proportionen ergeben.

Zusatz 2. Es ist hiernach der Satz deutlich: die bewegende Kraft K einer Masse M, ist ein Pro­

duct aus der Masse und der Geschwindigkeit g; ober K = Mg. — Man nennt dies Product Mg; das Maaß der Bewegung (oder der bewegenden Kraft), auch wol das dynamische Moment. — Hierbei ist aber die bewegende Kraft, welche fich bei einer bestimm­ ten Geschwindigkeit einer bestimmten Masse ergiebt, zum Grunde gelegt, so daß diese drei Größen als Einhei­ ten oder als Maaße für die ihnen gleichnamigen Ele­ mente der Bewegung beliebiger Massen gelten. Aber es ist die, den festgesetzten Einheiten für die Masse und die Geschwindigkeit entsprechende bewegende Kraft, unmitteltelbar nur durch die Erfahrung zu bestimmen möglich (Vergl. §. 177, 3.). — Es wird in §. 185. Zusatz gezeigt werden, was man hierbei für Nücksichten zu nehmen hat, und welche Kraft nebst Geschwindigkeit man zweckmäßig als Einheit zum Grunde legen kann. An merk- Der in Zus. genannte Sah, oder auch die im Lehrsahe genannte Proportion, heißt: das dritte Ncwtonsche

Grundgesetz der Bewegung (Siche §■ 176. Anmerk- 2. und §• 177, 4. Anmerk ). — Die Allgcnieingültigkcit dieses Satzes, hat früher manchen Streit veranlaßt, der aber nur noch histo­ rischen Werth haben kann. — Siche auch §. 183. Anmerk

Zusatz 3. Wenn zwei bewegte Massen M' und Mz/, mit den Geschwidigkeiten gz und g" in derselbenRichtung auf einander tressen, und als eine Masse M'-t-M" stch (m derselben Richtung) mit der Geschwindigkeit g weiter bewegen; so ist K.' = M'g', K"=:M"g" uttb

54

Dynamik; Abschnitt

Kapitel II.

K = (M/+M//) g. In so fern man nun

setzen kann

(§.

177, 4 und 5-),

hat

man

auch

Mz gz ± M/z g'z = (Mz + Mzz) g, woraus man iw -4— vT//«// g — ~~ Diese allgemeine Be­

Mz + Mz'~

merkung wird im ersten Kapitel des zweiten Abschnitts weiter ausgeführt werden.

Zusatz 4.

Wenn die bewegenden Kräfte beliebig

vieler Massen, gleich M'gz, Mz/gz/,... sind, diese Massen treffen

irgend

wie

zusammen

und

bilden

die

Masse

M (=Mz4-Mzz4-...) deren Geschwindigkeit g, also

ihre bewegende Kraft gleich Mg ist; so ist g das Resultat aus allen jenen bewegenden Kräften, und oft sehr schwie­ rig zu bestimmen; jedoch muß Mg gleich allen jenen bewegenden Kräften zusammen sein oder diese Kräfte ent­

halten, wiewol man keineswegs Mg mit der Summe Mzg'±Mzzg/z±... gleich setzen kann, weil die Rich, tung der bewegten Massen Mz, M",...

hierbei

höchst

wichtig, und keineswegs (wie im Zusatz 3. angenommen wurde) gleich oder entgegengesetz

unter

einander

sind. — Für erfolgendes Gleichgewicht ist Mg = 0.

§. 181.

Erklärung.

Beschleunigende Kraft einer irgend wie fort­ schreitend bewegten Masse, heißt die Kraft, welche in jedem Augenblicke während der Bewegung erforderlich ist,

einem Elemente der Masse seine vorhandene Geschwindig­ keit zu geben.

Die beschleunigende Kraft ist also die

bewegende Kraft des Elements. — Bezeichnen wir die beschleunigende Kraft durch k und die bewegende Kraft

einer fortschreitend bewegten Masse durch K; so hat man, wenn M = nL gesetzt wird (§. 173. Zusatz 2.), auch K = nk (Vcrgl. §. 174, 3.). — Bei drehenden Be­

wegungen sind, der verschiedenen Geschwindigkeiten der

V- d. Würkung der Kräfte bei bewegten Massen. 55 Elemente wegen, die bewegenden mithin auch die beschleu­

nigenden Kräfte der Elemente ungleich; daher kann man

bei dieser ganzen Masse nicht von einer beschleunigen­ den Kraft reden*).

Zusatz 1.

Weil aus dem Gesagtem folgt,

daß

k = —, aber auch n = ist; so ist auch k = K:^ II L JCj KF — oder M; E = K : k. Setzt man ferner E = l,

so ist k =

, welche Gleichung leicht als besonderer

Satz auszusprechen ist.

Es bekömmt folglich k erst eine

bestimmte Größe, wenn die Größe des Elements E fest­ gesetzt ist, während K und M durch gleiches Maaß, nem-

lich durch Gewicht zu messen sind. Zusatz 2.

Aus $. 179, 4. folgt sofort, daß die

beschleunigenden Kräfte zweier irgend wie (jedoch fort­ schreitend) bewegten Massen, sich in jedem Augenblicke

wie die entsprechenden Geschwindigkeiten verhalten. Man hat also kz:k" = g':g".

Auch für die in verschiede­

nen Punkten der Bahn, einer bewegten Masse stattfin­ denden beschleunigenden Kräfte und Geschwindigkeiten, gilt aus gleichem Grunde die oben genannte Proportion. —

Es dient daher die Geschwindigkeit zum Maaße der beschleunigenden Kraft, welche letztere folglich bei der gleichförmigen Bewegung ungeandert bleibt.

Zusatz 3.

Nach der in Zusatz 2. genannten Pro­

portion, ist nun auch laut §. 180. für fortschreitend be­ wegte Massen, die Proportion deutlich:

K?: K" =3 M'k': M"k" (I.), woraus folgt: Mz:M/z=K/k//: K"k'(ll.), und k': k"-K'M": K"JM'(III.)

*■) Man inerte, vuii mic d e s a- leuuigendeKraft, von einer straft welche eine de schleunig en de Bewegung hervorbringt, verschieden ist.

Dynamik; Abschnitt J, Kapitel II.

56

cuelche drei Proportionen leicht als besondere Sätze aus­ zusprechen sind. Auch die Modificationen dieser Pro­ portionen (z. B. wenn Kz = Kzz oder wenn Mz = Mzz

ist), so wie die Herleitung einiger neuen Satze hieraus D. wenn Mz : Mzz — Kz : K" isi, so ist kz = kzz (oder g' = gzz) u. s. iv.) z kann als bekannt übergangen

werden. Anmerk- Außer den beschleunigenden und bewegenden Kräften, wird in der Mechanik auch von der lebendigen Kraft eines

Punkts einer bewegten Masse oder eines Systems von Punkten, gehandelt. Man versteht ncmlich unter lebendiger Kraft eines bewegten Punkts, diejenige Fläche, welche sich zum Quadrate der Geschwindigkeit jenes Punkts verhält, wie die Masse des Punkts jur Masse des bewegten Systems Die Summe der lebendigen Kräfte aller Punkte, giebt die lebendige Kraft des Systems oder der ganzen Masse. — Die Ausführung

der Sähe welche die Theorie der lebendigen Kräfte bilden, kann hier übergangen werden, weil in den folgenden Lehren kein Gebrauch von ihnen gemacht wird, und ihre Anwendung zweck­ mäßig für die höhere Mechanik verbleibt.

§. 182. Zusatz.

Wenn man die Proportion Kz: Kzz = Mzgz: Mzzg" --- Mzkz: Mzzkzz (§. 180 und §. 181. Zusatz 3.), auf zwei gleichförmige Bewegungen anwendet, und wie früher durch wz und wzz die Wege, so wie durch z*

und z" die Zeiten bezeichnet; so ergeben sich aus §. 164. folgende Proportionen, in welchen Kz und Kzz die be­ wegenden Kräfte am Ende der bestimmten Zeiten, oder hier die Momentankrafte bedeuten welche die Bewegungen erzeugten (§. 177, 2.): Kz : Kzz — Mz wz zzz : M"w"zz (I.)*),

Mz: Mzz = Kzwzzzz : Kzzwzzzz (II.), ’) Nemlich nach §. 164. ist g': g" = w’»'; w" i. Analog bei den folgenden Proportionen, welche aber auch aus der (I.) abzulcitcn sind.

V. d. Würkung der Kräfte bei bewegten Massen.

57

w/: w" == KzMzzzz : K"M'z" (III.),

z/ : z" — KzzMzwz: KzM"w" (IV.). Die Modifikationen so wie die Fornweranderungen dieser Proportionen, find leicht zu finden und führen auf

bemerkenswerthe Satze, unter denen die in den folgenden Proportionen enthaltenen Satze zu beachten find:

wenn KZ : Kzz — Mz: Mzz wenn wz = wzz ist (V.) zz =: Zzz ist, Mz:Mzz= Wzz:wz toenn Kz = Kzz ist(VI.)und Kz:Kzz= wz: wzz wenn MZ=MZZ ist (VH.). so isi-

§. 183. Zusatz. Die allgemeine Proportion Kz: K/z = Mzgz: Mzgzz = Mzkz:Mzzkzz, führt bei zwei gleichmäßig be­ schleunigten Bewegungen, wenn man die Bezeichnun­ gen wie in §. 170. wählt/ also auch ez und ezz für gz und gZZ, ober KZ:KZZ = Mzcz: Mzze/z setzt; auf folgende

Proportionen: Weil laut §. 170. Formel cz: ezz — bzzz: bzzzz/, so ist:

(IX.)

Kz: Kzz = Mzbzzz: Mzz bzzzzz (I.), Mz: Mzz = Kz b" zzz: Kzz bz zz (II.),

fich

verhalt

) Formverande/ rangen mit die-

zz : zzz — XZ^1ZZI)ZZ: xzz^lzbz (lV.).i vorzunehmen. Als Modificationen dieser Proportionen sind zu merken: wenn ,KZ:KZZ = MZ:MZZ wenn I:Z —1>" ist (V.), zz = zzztfr, Mz:Mzz=bzz:bz wenn KZ = KZZ ist (VI.), so ist: I KZ:KZZ = bz:bzz tue n n MZ=:MZZ ist (VII.), aus welcher letzteren Proportion die sich ergebenden EleiI)// kzz chungen Kzz = Kz. und bzz — bz - -jx>- zu merken sind. Weil ferner ez:ezz (oder gz;gz/) = wzzz/: wzzzz (laut §. 170. Formel (V.)), so ist:

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel H.

58

Auch hier sind verseh ie> Vene Formi veranderungen leicht zu finden.

KZ:KZZ = Mzwzzzz: Mzzwzzzz(VHI.),aIfo MZ:MZZ = Kzwzzzz:Kzzwzzzz (IX.),

wz:wzz = Kz M" zz: K"MZ zzz (X.),

zz : z•• = KzzMzwz: KzMzzwzz (XL). Als Modificationen sind zu merken:

wenn 1 Kz: Kzz — MZ:MZZ wenn wz — wzz ist (XIL), zz = zzz ist,!Kz: Kzz — wz: wzz wenn MZ=MZZist (XIII.),

so ist:

|Mz:Mzz=wzz:wz tvenn Kz = Kzz ist (XIV.).

Man erkennt in den Proportionen (VIII.) bis (XIV ), die Gleichheit der hierin liegenden Gesetze, mit denen im

vorigen § für die gleichförmige Bewegung entwickel­

ten

Relationen. Weil endlich auch ez:ezz (ob.gz:gzz) = l/ivb7: l/w77!)77

ist (laut §. 170. Formel (XII.)); so ist:

Kz: Kzz — MzVw'b':MzzVvAv« (XV.), Mz: Mzz = K'V: Kzzy/^Vb7" (XVI.),

y/w7: l/w7— KzMZz|/b77: KzzMz|/iV (XVII.),

y/b7 ! y/b77 = KzMzzV/wzz: Kzzj\1z|/wz (XVIIL). Unter den Modificationen dieser Proportionen, ist

keine besonders bemerkenswerth.

Anmcrk. Seht man in die Proportionen (VIII.) und § 182. (l.)/dieZciten gleich,so hat man allgemein K,:K"=mV:M/V,/ worin man für w wiederum g oder e sehen kann (rcdl w': w"=:g':g oder wie c':e"). Man nennt diese Proportion, namentlich in der Form K,:K,/= mV:M,,c,,/ das Cartcsisch c Kräftemaas;.— Das Lcibnih'sche Kraftcmaaß ist in der Proportion K':k =M'c'2:M"c"2 enthalten, bei welcher die Wege gleich sein sollen. Allein diese letztereProportion ist offenbar unrichtig: man gelangt zir ihr durch den Schluß. Weil b';b"=e'2:st, sondern für Körper über der Erde, nach dem Mittelpunkte der Erde hin zunimmt, jedoch von den Veränderungen

V- d. Würkung der Kräfte bei bewegten Massen.

61

hierbei für die auf unserer Erde vorkommenden Bewe­ gungen fast immer abstrahirt werden kann (§. 13, 6.);

so ergr'ebt sich der Satz:

Der freieFall einerMasse ist, streng genom­ men, sobald nur die Schwere würkt, eine Be­ wegung mit wachsenden Beschleunigungen (§. 179, 8.)*); in so fern man aber die Schwere während einer kleinen Zeit, als eine bestän­ dige Kraft ansehen kann, ist der freie Fall

eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. 4) Wir sehen den freien Fall der Körper, sofern

nur die Schwere hierbei würkt, nunmehr immer als eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung an. Indem wir alle Gesetze dieser Bewegung auf den freien Fall übertragen, ergeben sich folgende besondere Satze: a) Die Beschleunigung der Schwere, d. h. der in der ersten Secunde zurück gelegte Weg, welcher all­ gemein mit g bezeichnet wird, ist für alle Körper gleich groß; aber nur durch die Erfahrung ist die absolute Größe von g auszumitteln. Man findet durch Ver­

suche g—15z. Fuß — 1874 Soll preußisch Maaß. Es ist mithin die Geschwindigkeit am Ende der ersten Se­ cunde, gleich ‘2g = 31|', welche Größe daher auch die Zunahme des Wegs in jeder folgenden Secunde, gegen den Weg der vorigen Secunde ist (§. 169, 4. und Anmerk. 1. daselbst).

b) Rechnet man nach Fußmaaß, und nimmt die Se­ cunde immer als Zeiteinheit an; so werden für den freien Fall der Körper, die vorzüglichsten For­ meln des §. 169, 2. gehörig berechnet, mit irrationa­ len Dezimalbrüchen nunmehr diese:

') Siche Zusatz 3. zum gegenwärtigen §.

62

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel II.

e=2gz=31|z (L), oder « — 2 l/gw = 7,9«|/w(II.),

Die Formel w--0,016«e2, lehrt die Berechnung der Geschwindigkeithöhe eines frei fallenden Kör­ pers, d. h. derjenigen Höhe (oder des Wegs), von wel­ cher ein Körper frei fallen muß, um eine bestimmte Ge­ schwindigkeit zu erlangen. — Die drei Formeln zur Be­ stimmung von g oder b in §. 169, 2., können dienen um

g zu finden, wenn dieser Werth noch unbeka nn.t ge­ setzt wird; doch ist unter jenen Formeln wol die Formel

g = -^ die brauchbarste, weil man bei den anderen

zwei Formeln, e schwer ausmitteln kann. Aus der eben erwähnten Formel ist g genauer zu finden, wenn

z > 1 ist, weil ein geringer Fehler in der Beobachtung der Zeit, bei mehreren Secunden weniger Einfluß hat als wenn man bei einer Secunde fehlt, w dagegen ziemlich genau zu messen ist. — Von dergleichen tech­ nischen Schwierigkeiten, kann jedoch hier abstrahirt werden (Andere Methoden zur Ermittelung von g, wer­ den §. 187. zu Ende von Anmerk. 2., §. 191. An­

merk. 2. und §. 200, 2. angeführt werden). c) Die Sätze §. 169, 5, 6 und 7. find ohne Erläuterung

auf den freien Fall der Körper zu übertragen. Ob daher die-Größen e, z und w sich auf einen und den­ selben Körper, oder auf zwei Körper welche frei fallen, be­ ziehen; es gelten stets die Proportionen: e':e"=z':z"(L), wz: wzz — zz2: zzz2 (II.), wz: wzz

ez2: ezz2 (III.), oder

auch wz: wz/ = ezzz: ezz zzz (IV.). d) Für die bewegenden Kräfte in den verschiedenen Punkten der Bahn eines oder zweier frei fallenden Kör-

V. d. Würkung der Kräfte bei bewegten Massen.

63

per, deren Massen M und LI" sind; lassen sich sogleich die in §. 183 und §. 184. angeführten Proportionen

und Satze übertragen, welche Uebertragung als hier geschehen angesehen wird. Man erkennt z. D. hier­ nach, daß die bewegenden Kräfte einer frei fallenden

Masse, sich wie die Zeiten, oder wie die Quadratwur­ zeln aus den durchfallenen Höhen, u. s. w. verhalten (Siehe §. 184. (I.) und (III.)). — Die Beschleunigung der Schwere, d.'h. die Größe g, ist als konstante Größe dabei außer Acht gelassen, jedoch ist diese Größe

als das Maaß der Schwere anzusehen, namentlich wenn die Schwere mit anderen fortwürkenden Kräften oder mit bestimmten Theilen der Schwere, verglichen werden soll. (Vergl. §. 13, Anmerk. 4.). — Daß man jedoch ursprünglich aus dem Gewichte einer Masse,

keineswegs die bewegende Kraft nach einer bestimm­ ten Zeit finden kann; ist wiederum zu beachten (Vgl. §. 184.). Man muß daher für irgend eine frei fal­

lende Masse, bei genauer Bestimmung der Zeit, die bewegende Kraft durch Versuche, nemlich durch die Würkung der Masse gegen ein Hinderniß, bestimmen, um dann die bewegende Kraft für andere frei fallende Massen, namentlich durch die Proportion K':K.":= (§. 183, Formel (I.) da bz — l>" ist) zu bestimmen. — Hierin liegt ohne Zweifel ein Grund der, so sehr ungleichen Würkungen des Drucks, von der des Schlags, Stoßes u. dgl. in. (Vgl. g. 12. Seite 30

unten bei *). Ueberhaupt kann man die Schwere als die beschleunigende Kraft (§. 181.), das Gewicht aber als die bewegende Kraft zu An­ fang der Bewegung einer Masse, ansehen. e) Würkt außer der Schwere noch eine Momentankraft

oder irgend eine bestimmte Kraft in der Richtung der Schwere; so ergeben sich die Relationen für den Fall

64

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel IL

der Körper aus §. 171, 2 und §. 177, 5. sehr einfach,

sobald man die Würkung beider Kräfte als gleichzei­ tig ansieht. — Z. B. Eine Momentankraft giebt einem vertikal frei faltenden Körper eine Geschwindigkeit von 7Z; in welcher Zeit z durchlauft der Körper einen Weg von 161 £'? — Antwort: die Momentankraft führt den Körper durch 7-Fuß und die Schwere durch 15® z2

Fuß; also hat man die Gleichung 15^z2 4- 7z = 161®. Die Auflösung giebt z —3 Secunden. — Der nega­ tive Werth von z = — 3-fö.ist hier nicht weiter zu beachten*). Zusatz 1. Es ist nunmehr deutlich, in wiefern man die bewegende Kraft einer Masse, durch Gewicht messen kann. — Setzt man z. B. die Kraft mit welcher eine be­ stimmte Masse, etwa 1 Pfund, von einer bestimmten Höhe z. B. von 1 Fuß, frei herabfaht, als Einheit der bewe­ genden Kraft; so kann man durch verschiedene leicht zu erdenkende Versuche, die Größe dieser Krafteinheit nach Gewicht bestimmen; man nenne sie K**). Für den freien _________

Fall

*) Als Uebungbeisxiel kann hier auch folgende Aufgabe dienenMan läßt einen Stein in eine Grube fallen, und hbrt nach s Se­ cunden sein Ausfallen - wie tief ist die Grube von dem Orte an ge­ rechnet von wo aus der Stein siel, bis zur Stelle wo er aufficl? — Weil offenbar die Zeit $, gleich der Summe der beiden Zeiten ist, während welcher der Stein siel, sic heiß« x, und der Zeit $ — x welche der Schall braucht um zurückzukommen; so ist, wenn man auS der Akustik als bekannt vorausseht- daß der Schall in einer Se­ cunde a Fuß (etwa 1040 Fuß) gleichförmig durchläuft, die Tiefe der Grube durch die zwei Ausdrücke gv (laut Formel (in.)) und » (i—x) bestimmt- Die Gleichung gx- = a ($—x) giebt dann >■, wonach wiederum jeder der beiden Werthe gx3 (= 15 g- x2) und a (s —x) = 1040 (s —x), die gcsuchlc Tiefe giebt. **) Wenn der erwähnte Kbrvcr bei feinem Herabfallcn, z. B eine elastische Stahlfeder bis zu einer bestimmten Grenze biegt, so kann man hernach dieselbe Biegung durch den bloßen Druck eines Gewichts

V. d. Würkung der Kräfte bei bewegten Massen.

65

Fall jeder anderen Masse M durch irgend eine Höhe h,

ist dann die erlangte bewegende Kraft (laut Nr. 4, d) K = Mk |/h obcr = Mkez wenn o die erlangte End­

geschwindigkeit ist. — Für alle andere Arten von Bewe­ gungen hat man ebenfalls «nr die erlangte Geschwindig­ keit e zu bestimmen, um durch dieselbe Formel, K zu er­ halten. — Wie die Bestimmung oder Ausmittelung von e, für irgend eine andere Bewegung geschieht, ist eine Frage für sich; für gleichförmige Bewegungen istoconstand; für andere Arte« von gleichmäßig beschleunig­ ten Bewegungen als die durch die Schwere erzeugte, lehren die Proportionen §. 183, so wie §. 187. jene Be­ stimmungen; aber für alle ungleichmäßig beschleu­

nigte Bewegungen, ist die Bestimmung der e, vom be­ sonderem Gesetze dieser Art von Bewegung abhängig. Bei ganz unregelmäßigen Bewegungen, kann« nur durch Versuche bestimmt werden. — Zugleich erkennt man aber auch, daß umgekehrt die etwa mögliche Ausmittelung von K, die Berechnung oder Bestimmung von e möglich macht; was practisch wichtig ist. Z usa tz 2. Mit der bewegenden Kraft K der Schwere,

kann man die bewegende Kraft K' jeder anderen bestän­ digen fortwürkenden Kraft, für die Würkung auf dieselbe Masse, nunmehr leicht vergleichen, indem man zweck­ mäßig die K als Einheit annlmmt; demnach K;K' oder

l:K' = g;b also b = gKz und K' = — erhält.

Die

S erzeugen, welches Gewicht dann 1 giebt. — Die Voraussetzung: daß die Feder ihr« Elasticität während beider Versuche nicht ändere, ver­ steht sich von selbst. Auch ist der genannte Versuch sehr praktisch, weil man durch ihn, oder mit geringen Veränderungen dabei, leicht die Gr'ßc einer jeden Kraft »der e = 2|/Wg.^ (III), w^z2g,M(IV’) obeKw = ^.^(V.),

(yIL).

gw

. M (VIII.), so wie

gz2

k

sich auch leicht Formeln für M daraus ergeben. — Wenn übrigens, ehe die Kraft D zu würken anfangt, bereits

eine bestimmte Bewegung vorhanden ist; so sind die Ele­

mente der neuen Bewegung wiederum leicht zu finden (siehe tz. 185, 4, e); z. B. ist e = g' + 2gz •

tittb

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel II. w = g/z+z8g-^., sobald noch eine Momentankraft würkt, welche an und für sich der Masse M die Geschwin­ digkeit gz giebt. — U. dgl. m. Alle diese Formeln ergeben sich aber auch, wenn D ein bestimmter Theil der Schwere ist, oder sonst eine Kraft wäre welche auf die Elemente aller Massen (ana­ log wie die Schwere) gleich stark würkt. Dies ist nun­ mehr ohne Erläuterung deutlich. An merk. 1. Ein Paar Beispiele zur Erläuterung sind hier nicht überflüssig. — 1) Wie groß iü die beständige fortwürkende Kraft v, welche eine bloß träge Masse M von loo «., in 15 Secun­ den l— -) durch 6Q' (=w) treibt? — Antwort- Die For­

mel Nr. (VHi.) giebt D =

. M = —!_—.ioo= 1,707«.

2) Auf einer horizontalen Ebene ruht «in Körper dessen Ge­ wicht 300 «. ist; auf ihn würkt eine Momentankraft welche ihm 30' Geschwindigkeit giebt. Nach welcher Zeit wird der Körper zur Ruhe gelangen, wen» der Reibungeoeffieimt p = l gesetzt wird (§. 88, &)? — Antwort- Weil die Reibung ----1-300«, = 60 «., als eine beständige Kraft von bestimmter Größe welche auf die Masse von 300 «. mit 60 u. Kraft eimvürkt, anzuschcn ist; so wird die Bewegung des Körpers, statt der gleichför­ mige» Bewegung mit der Geschwindigkeit von 30offenbar eint gleichmäßig verzögerte Bewegung werden. Die obige Formel (VI.), giebt daher den Weg für die vollendete Bewe­ gung, wenn man e = 30' setzt, weil ° 30' die ur­ sprünglich« Geschwindigkeit ist. — Hiernach erhält manan anp) Gewicht liegt, so ist di« ganze, bei erfolgender Bewegung bewegte Masse M gleich P+p, aber die auf die Bewegung verwendet« beständige Kraft v, ist nur das Uebergewicht, also P — p. Man hat demnach b = g.

So einfach diese Formel ist, so schwierig, und

hier noch gar nicht anzuführen, würde die Entwicklung dersel­ ben für die Beschleunigung b, bei Berücksichtigung aller Ne­ benumstände sein; die Formel ist daher auch nur annähernd richtig. — Indem man durch eine 'anzubringend« Seal«, den Weg der sinkende« Schaale in einer bestimmte«, nach einer ge­ nauen Uhr beobachtete» Zeit genau messen kann, dient die At-

*) Wird vom Gewicht« der Schaal« nicht abstrahikt, so kömmt eS zum Gewicht« der aufgelegten Gewichte noch hinzu, und «S än­ dert die nachfolgende Auflösung sich hierdurch nicht wesentlich. **) Zwischen dem Faden und der Rolle, sindet keine Reibung statt, da beide sich gleich geschwind «ach gleich« Richtung an ein­ ander fort bewegen.

7r

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel II. wsodschr Fallmaschine recht zweckmäßig, durch die Erfahrung die Gesetzt der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu prüfen, oder Pen Einfluß der Hindernisse zu ermittel«. Abändcrungen jener Versuche anzuführen, gehört nicht weiter hier­ her; man ffndct sie in den physikalische» Schriften. Erwähnt fei nur, daß man durch eine (leicht zu erdenkende) Vorrichtung das Ucbergewicht plötzlich abhebcn kann, wonach dann die Bewegung mit der so eben erlangten Geschwindigkeit, gleichförmig fortgesetzt wird (§. 179,2.), was sich wiederum an der Maschine beobachten läßt- — Wichtig wird jedoch die gefundene For­ mel zur Ausmittelung der Größe g, welche nach den For­ meln des §. 185, 4, b, schwierig zu finden ist; denn weil

g = b.

ist, so beobachte man für eine bestimmte Zeit »

den Weg w der sinkenden Schaale (was «egen des geringer raschen Falls als der freie Fall der Körper ist, viel leichter ohn« Fehler geschehen kann), berechne hieraus l (= 20, und

dann, da P und p genau bekannt sind, berechne man

Anmerk. 3. Man erkennt aus Anmerk. 2, wie die Gesetze der Bewegung der Kraft und Last bei den Rollen- und Fla­ sch enzügen g ist, iß

setzen auch

w:l = gze:gzz sin a — 1 ;shi = AC: AB = l:h. Schon diese Proportion enthalt einen beachtHswertheu leicht ausznfprechenden Satz. Wenn man aber die vertikale Linie AB so weit verlängert, daß die Linie AO Durch­ messer eines Kreises (wovon hier nur ein Halbkreis verzeichnet ist) wird, in welchem AC Sehne ist*); so hat man «ach rein geometrischen Gründen AD: AC=AC: AB; folglich nach der vorher gefundenen Proportion, auch w:l = AD:AC; und weil AC = 1 ist, so ist AD — v. Hierin liegt der Satz: In derselben Zeit in welcher die schiefeEbene durchlaufen wird,' kann ein frei fallender Punkt, durch den (vertikalen) Durchmesser eines Kreises fallen, welcher auf die ange­ führte Weise construirt ist**). 4) Die Endgeschwindigkeit ez welche ein frei durch AD = w fallender Punkt in jener Zeit z in D erreicht, ist e — 2gz (g. 185, 4, b Formel (I.)); und weil e = 2gzsina ist, so erhält man die Proportion: ez:e = 2gz«2gz sina= 1: sm«=AC: AB = I:h (I.) oder auch e':e := w:l = AD : AC (II.) (weilw:l = l:h ist). Auch die in diesen Proportionen liegenden Sätze find leicht auszusprechen. — Weil nach No. 2. auch I:h = z:z/ ist; so erhält man noch die Proportion e':e = z:z' (III.), welche wiederum leicht als ein besonderer Satz zu nen­ nen ist. 5) Denkt man fich beliebig viele Sehnen AE, AG u. s. w. in demselben Halbkreise (dessen vertikaler *) Man hat hierzu nur in C einen Perpendikel CD auf AC errichte» nöthig, bis dieser in v die Verlängerung der AB schneidet.

**) Errichtet man in einem beliebigen Punkte

l

auf AC den

Perpendikel ls, bis ad geschnitten wird; so ist der oben genannt«

Satz auch auf die erwähnten Bewegungen längs zu übertragen (A acd A ALS).

al

und a s, sofort

V. d. Bewegung a. d. schiefen Ebene u. v. Pendel. 89 Durchmesser AD, die Verlängerung der Höhe AB der schiefen Ebene ist) und repräsentiren diese Sehnen auf

analoge Weise schiefe Ebenen, wie die Linie AC; denkt man sich ferner durch alle diese Sehnen, von A ausge­ hend schwere Punkte fallend*), und vergleicht die Bewe­ gungen derselben mit der Bewegung des durch AD frei fallenden Punkts; so giebt No. 3. sofort den Satz: Die Sehnen.AO, AE, AG,.... (so wie der Durchmesser AD), werdew alle in gleichen Zeiten durchlaufen. — Man nennt daher

diese Sehnen: gleichzeitige

oder isochrone

Linien**).

6) Was die Geschwindigkeiten der, durch die ver­ schiedenen Sehnen (gleichzeitig oder nach einander) fallen­ den Punkte betrifft, wenn sie am Ende ihrer Bahn in C, E, G,... angekommen sind; so verhält sich, wenn e(C), e(E),... e(D), diese Geschwindigkeiten bezeich­ nen, laut No. 4. Proportion (I.): (e : e' =) e(C): e(D) = AC : AD, e(E): c(D) = AE: AD, e(G): e(D) — AG: AD, U. s. w. also: e(C): e(E) :e(G):... e(D) = AC:AE:AG:...AD.

Diese Verhältnisse geben wiederum einen besonderen leicht zu nennenden Satz, während man nach No. 1, so­ bald von E, G,... die Perpendikel EF, G H,... auf AD gefällt werden, sogleich den Satz erhält: Die Geschwindigkeiten e(C), e(E),... verhal­

ten sich wie die Geschwindigkeiten eines frei

*) Ob diese Punkte gleichzeitig oder zu verschiedenen Zeiten nach einander fallen, isr hierbei einerlei. **) Schon GaliläuS Galiläi entdeckte diesen merkwürdi­ gen Satz.

so

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel III.

durch AD fallenden Punkts, welche in denen Punkten I!, F, H,... erlangt sind (Indem jene

und diese Geschwindigkeiten, wechselsweise gleich sind). 7) Zieht man außer DC, auch die Sehnen DE, DO,..., und sieht sie als Ebenen an, welche durch schwere Punkte die von den Punkten C, E, G,..., aus­ laufen, durchfallen werden; so erkennt man sogleich, daß auch diese Ebenen alle in gleichen Zeiten, von jenen schwe­

ren Punkten zurnckgelegt werden, und zwar in derselben Zeit z, in welcher AG, AE,... AD zurückgelegt wer­ den (No. 5.); denn jeder dieser Sehnen, entspricht eine gleich große, auch unter gleichem Winkel gegen den Durch­

messer (folglich auch gegen die Horizontale) geneigte Sehne vom Punkte A aus gezogen*). — Man kann diesen Satz auch so ausdrücken: Die vom höchsten so wie vom tiefsten Punkte eines vertikal stehenden Kreises zu ziehen­ den Sehnen, werden alle in gleich großen Zeiten durchlaufen. 8) Man denke sich die Sehnen (oder Ebenen) AE, AG,... bis zu der durch D±=t der LG zu legenden (ho­ rizontalen) Linie DK verlängert. Betrachtet man zu­ nächst nur die AM; so ist (der rechten Winkel bei E wegen)

AM:AD = AD: AE, Also ÄA1-:AD12 = AM:AE(L). Denkt man sich ferner den durch AE fallenden Punkt bis M weiter fallend; so verhalten sich die Zeiten z(M) und z(E)) welche der Punkt braucht ehe er in M und in E anlangt, nach §. 191 und 169, 6: z2(M) :z=(E) = AM:AE = (laut (I.)) AM2:AD2, also z(M) : z(E) = AM:AD (II). Weil aber z(E) (laut *) Daß man auch auf dem analogen Wege wie in No- 5. ge­ schah, durch Hülfe von §. 191. auf dar erwähnte Resultat kömmt; ist deutlich.

V- d. Bewegung a. d. schiefen Ebene u. v. Pendel. 91

No. 5.) auch die Zeit des Falls durch AD, oder allgemein

die Zeit z ist; so hat man z(M): z = AM: AD; und weil

z(N): z = AN AD, u. s. w, so ist auch z(M): z(N):... z = AM : AN :... AD. Hierin man eben so findet

liegt

der Satz: Die Zeiten des Falls durch schiefe Ebenen von verschiedener Länge aber gleicher Hihe, verhalten sich wie die Langen dieser Ebenen.

§. 193. Zusätze (Fig. 70.). 1) Das Hinansteigen eines Punkts längs einer unter L ß gegen die Horizontale BD geneigten schiefen Ebene OC, ist eine gleichmäßig verzögerte Bewe­

gung, wie sich aus §. 186 und §. 191. ohne neue Erläu­ terung ergiebt. Es sei hierbei wiederum u die ursprüng­ liche im Punkte O vorhandene Geschwindigkeit. Dann ergeben sich aus §. 172. die Formeln für die Bewegung während des Steigens längs OC, indem man die Ver­ zögerung (v) hier gleich g sin ß (§. 191.) setzt. Ist also OC — w der (bis zur Ruhe) ganz vollendete Weg

des Steigens, und z' die hierzu erforderliche Zeit; so sind die vorzüglichsten Formeln laut §. 172.:

u = 2z'g sin ß, w = gz/2 sin S ober = lu 0zz = -r V:—3, ------ 2 —— z ° u A nr c■;11-1 H» 4gsmß' 7^; u. dgl. m. — Für

das unvollendete Steigen, sind die Formeln nach

§. 172, eben so leicht zu finden. 2) Denkt man sich den von O gegen C hinaufstei­ genden Punkt, zuerst von A nach O durch die, gegen die Horizontale BD unter L • li" oder t

z" — IZT : \/T ist.

110

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel HL

Proportion y*:y"s=m'l/F:m"V /l'' (IV.) richtig ist, welche Proportion, weil die Zeiten y größer als z an­ genommen werden können, die Zahle« m aber sehr genau dnrch Zählen zu bestimmen sind, dazu dienen kann, das Verhältniß von l/F: Vl", oder von z«: zu zu bestim­

men, während die Proportion (III.) gleiche Zeiten y vorausfetzt, in denen vielleicht die Menge der Schwin­ gungen keine ganzen Zahlen geben, die Beobachtung der Bruchschwingung jedoch mit Schwierigkeiten ver­ bunden ist.

§. 199. Lehrsatz (Fig. 71).

Die Zeit z einer Pendelschwingung, ist für einen kleinenDogen den man mit seiner Sehne gleich setzen kann, gleich « V» wenn I die Länge des Pendels bedeutet*).

Beweis. Gefetzt das Pendel OE mache seine Schwin­ gungen durch einen sehr kleinen Dogen ECD, den man mit seiner Sehne AD fast gleich groß setzen kann; so kann man auch den halben Bogen EC mit der hal­ ben Sehne EK gleich setzen. Ist nun L COE der sehr kleine Elongationwinkel «; dann ist zu setzen: EC = EK = l siti«; und theilt man den Bogen EC in unbestimmt viele z. B. in n gleiche Theile, so kann man für diese Bogentheile um so mehr ihre Sinusse mit ihnen gleich groß setzen. Bezeichnet man nun diese Theile des Bogens CE, von C gegen E zu, aber stets

*) Unter den elementaren Beweisen diese- wichtigen LchrsatzrS, vergleiche man unter andern: S ch u l tz, Anfanggründe der reinen Mechanik (1804); §. 68. daselbst. — Obige Formel setzt man auch wol, wenn a die halbe Länge des Pendels bedeutet, als

—• e

V. d Bewegung a. b. schiefen Eben- u.

Pendel. 111

von C an gerechnet, durch 1Bz, 2BZ, SB',... und die zn diesen Bogen gehörenden Centriwinkel, durch la', W, 3dann erhält man 1BZ = 1 sin la't 2BZ = 1 sin 2«z, 3BZ ---1 sin 3«/,... Aber die Werthe 1 sin la*, 1 sin 2«$... verhalten sich so ju einander, wie die

Werthe g sin la«, g. sin 2und diese letzteren Werthe sind laut g. 197, 2. die Beschleunigungen desPendels (bei der Bewegung durch den Bogen E C) am ersten Endpunkte der Bogen 1 Bz, 2BZ,.. .. Es verhält sich demnach 1BZ: 2 BZ: 3 BZgsin 1«Z:gsin 2) der folgende Punkt U der Bahn, b) die Geschwindigkeit (CR) im Punkte C, oder c) die Größe der Würkung der Kraft K (alles auf die bestimmte Zeiteinheit bezogen), bekannt ist; die anderen zwei Elemente sich daraus, — zunächst hier durch Construction, — bestimmen lassen. — Auch ersieht man leicht, aus welchen dieser Elemente sich die etwa unbekannte Lage des Centrums O, ergiebt. 5) Man bezeichne allgemein den Winkel RCO

(Fig- 74), welchen die Tangente RC ju irgend einem Punkte C der Bahn ACB mit dem Radius-Vektor CO bildet, durch «. Ist dann « > oder < 90°; so kann man die im Punkte C nach CO wurkende Centripetalkraft,

sie heiße hier K, in zwei Seitenkräfte X und Y zerle­

gen, wovon die erste X in die Richtung CG der Nor­ male zum Punkte C, die andere Y aber in die Richtung der Tangente CR fallt. Dann ist X = Ksin«(= CG) und Y = K cos a (= CH), weshalb Y negativ wird, wenn «>90° ist, d- h. CH fällt in die Verlängerung CS der CR. Von diesen Seitenkräften wird nunmehr

152

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

t>ie Y eine Vergrößerung oder eine Verminderung

der im Punkte C nach der Richtung CR vorhandenen Tangentialkraft oder der Geschwindigkeit C E (§. 211, 4.)

erzeugen, jenachdem L « < ober > 90p ist; wahrend die andere Seitenkraft X eS ist, welche durch ihre unausge­ setzte Würkung, die Ablenkung der Bewegung des Punks P

aus der Richtung der Tangente erzeugt, und hierdurch die Krümmung der Bahn bedingt (Eine momentane Würkung der, X und der Y, hatte nur die geradlittißte Bewegung längs der Richtung CD hervorge­ bracht, oder gleichsam die Versetzung der Richtung CE, in dix mit CE parallele Richtung FD veranlaßt. — Vergl. §. 166. Zusatz 5. oder §. 188. Zusatz 1.). — Es ist hiernach die Centralbewegung als der Erfolg der Wür­ kung der zwei, möglicherweise in den verschiedenen Punk­ ten der Bahn sich ändernden Kräfte 1 + K cos a und

K sin a, in den bezeichneten Richtungen würkend, anzusehenAnmerk. 1. Wenngleich laut §- 189. Zusatz 2, dje Bewe­ gung längs den gegen einander geneigten Linien (Fig. 7.3.)

AC, cu, UV,..., eine Veränderung der Geschwindigkeit er­ zeugt hätte; so verschwindet die hiervon hcrrührcnde Aende­ rung gänzlich, weil die Ccntralbewcgung selbst in einer krum­

men Linie erfolgt (§. 189. Zusatz 1.).

6) Die im Punkte C (Fig. 74.) nach der Richtung CR unter einem schiefen Winkel RCO = « mit dein

Dector CO würkende Tangentialkraft T, kann in zwei Seitenkräfte V und W zerlegt werden, von denen die eine V senkrecht zum Radius-Vector steht, die andere W in die Richtung deS Vectors CO selbst fällt. Stellt CE die T vor, so ist hiernach V = T Sill « (= CL =

CE cqsECL = CE sin ECO), und W = T cos « (=CI)? Um den Werth dieser letzteren Kraft W, welche negativ wird, d. h. in die Verlängerung CU der CO fällt, sobald L « > 90° ist, kann man sich daher die

Von der Centralbewegung.

153

Würkung der Centripetalkraft vermehrt vorstellen, so daß hiernach die Centralbewegung als entstehend aus den zwei Kräften T sin « (— V) und K + T cos «, nach den erwähnten Richtungen würkend, angesehen wer­ den kann. Man sieht hiernach, daß die zu Anfang der Bewegung würkende Tangentialkraft, die Centripetalkraft vergrößert oder vermindert, jenachdem Z.« < oder >90° ist. An merk. 2.

Man kann die Zerlegungen der Kräfte welche in

g|r. 5 und 6. angeführt sind, auch gleichzeitig vornehmen, und sich leicht überzeugen (wie eS auch die Figur sogleich giebt), daß die Ccntralbcwcgung hiernach ein Erfolg der Würkung der

vier Kräfte K cos«, Ksin T,itt einer, in einer Ebene liegendenCurve,

daß für einen bestimmteu Punkt X in dieser Ebene, sich die auf den Punkt X bezogenen, vom Vektor beschriebenen Sectoren wie die Zeiten verhalfen; so ist X der Mittelpunkt der Kraft, für die erwähnte Dahn und die bestimmte Wüs-

kung der Kräfte K und T. Beweis. Gesetzt irgend ein anderer Punkt Y in her erwähnten Ebene, wäre der Mittelpunkt der Kraft;

so würden laut dem ersten Lehrsätze d. §'s, die auf den Punkt Y bezogenen Sektoren sich auch wie die Zeiten verhalten. -Folglich (laut Voraussetzung in gegenwärti­ gem Lehrsätze) ständen überall bei der Bahn, die zwei

Sektoren welche für beide Punkte X und Y einem und demselben Bogen entsprechen, auch in gleichen Verhält­

nissen; was offenbar unmöglich ist. — Es kann daher nicht Y, sondern es muß X der Mittelpunkt der Kraft sein. — W. z. b. w.

Zusatz. Aus Nr. 2. erhellet unmittelbar der Satz:

hei einer bestimmten Centralbewegung, d. h. bei einer be-

Von der Centralbewegung, stimmten Bahn und Würkung der Kräfte K und T,

giebt es nur einen Mittelpunkt der Kraft. §. 215.

Zusätze (Fig. 73.).

1) Wenn bei einer Kreisbewegung der Mittelpunkt

des Kreises mit dem Mittelpunkte der Anziehung zusammentrifft, so ist die Bewegung gleichförmig. — Denn: die Sectoren des Kreises verhalten sich wie die zugehö­ rigen Dogen oder wie die Theile des Weges; also ver­

halten sich die Wege wie die Zeiten, d. h. der Weg wird gleichförmig zurückgelegt. — Aus dem entgegengesetz­ ten Grunde, ist daher jede Centralbewegung welche keine Kreisbewegung ist, und auch die excentrische Kreisbewe­ gung (§. 211, 2.), eine ungleichförmige Bewegung, wie man auch die Lage des Mittelpunkts der Anziehung

annehmen mag. — Einr gleichförmige Centralbewe­ gung ist demnach stets kreisförmig.

2) Man erkennt nunmehr, daß die Berechnung der Wege bei Centralbewegungen in beliebigen Curven und bestimmten Zeiten, von der Berechnung der Sectoren ab­ hängt, welche jenen Bogen in den bestimmten Zeiten ent­ sprechen; diese Sectorenberechnung geschieht zufolge der Natur der besonderen Curve und der Lage des Centrums der Anziehung, nach rein mathematischen Lehren. Es er­ geben sich hierbei allgemein verschiedene bemerkenswerthe Resultate; z. V. wenn man eine Ellipse als Bahn, und bei ihr entweder den Mittelpunkt oder einen der

Brennpunkte als Centrum der Anziehung setzt. In erste­ rem Falle sind an den Endpunkten der großen, so wie an den Endpunkten der kleinen Axe, respective gleiche Ge­ schwindigkeiten; in letzterem Falle sind nur an den End­ punkten der kleinen Axe gleiche Geschwindigkeiten vor­ handen, dagegen an den Endpunkten der großen Axe ist die größte und kleinste Geschwindigkeit, jenachdem die-

158

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

ser Endpunkt dem Brennpunkte welcher das Centrum der Anziehung ist, am nächsten oder am entfernte­

sten liegt. Nennt man (Fig. 75.) diese beiden Endpunkte in der hier erwähnten Ordnung P und A; so ist nun auch deutlich, daß die Geschwindigkeit von P gegen A zu wächst, und von A gegen P zu fällt. — Analog sind die Resultate bei einer excentrischen Kreisbahn leicht zu erkennen. 3) Weil die Tangenten AG, CR (= AC), UI (=CU),... die Geschwindigkeiten in den Punkten A, C, U,..., d. h. die anfänglichen Geschwindigkei­ ten für die Bewegungen durch die Bogen AC, CU, UV,... angeben (§. 212,1.), diese Tangenten aber (laut §.214,1.) die Grundlinien gleicher Triangel OAG, OCR, OUI,... sind; so verhalten sich jene Geschwin­

digkeiten umgekehrt wie die Höhen dieser Triangel, d. h. die Geschwindigkeiten verhalten sich in den verschiedenen Punkten der Dahn, umgekehrt wie die Perpendikel

welche vom Centrum der Kraft auf die Tangenten zu jenen Punkten (oder auf die Richtungen des Bewegten in diesen Punkten) gefällt werden können. — Denkt man sich die Bewegungen wahrend zwei unendlich kleiner Zeit­

einheiten als gleichförmig (§. 212, 1); so sind die, den entsprechenden Geschwindigkeiten cz und c" zugehö­

renden Bogen, als Kreisbogen zu betrachten (Nr. 1.), welchen die Halbmesser i' und rzz, d. h. die Vectoren zu .den Anfangpunkten der Bewegungen durch diese Bogen, entsprechen. — Für die vorausgesetzten gleichen Zeiteinheiten, hat man also auch gleiche Sek­ toren (§. 214, 1.), d. h. es ist 4 ezrz = v czzrzz; folg­ lich ist: cz: czz = r" : rz, d. h. Es verhalten sich die Geschwindigkeiten in den verschiedenen Punkten der Bahn, umge-

Von der Centralbewegung.

159

kehrt wie die diesen Punkten entsprechenden Dectoren. Man erkennt leicht, in wiefern unter den Annahmen des §. 212, 1, die Vectoren, oder die Perpendikel vom Centrum zu den Tangenten der entsprechenden Punkte der Bahn, ein und dieselben Linien sind. 4) In so fern man die Centralbewegung längs der verschiedenen Sehnen, in jeder Sehne an und für sich als gleichförmig erfolgend ansehen kann (§.212,1.), diese Sehnen aber (laut §. 214, 1.) die Grundlinien gleicher Triangel OAC, OCU, OUV,... sind;

erhält man den Satz: Die in den verschiedenen Zeiteinheiten zurückgelegten Wege, verhalten sich umgekehrt wie die Perpendikel welche vom Centrum der Kraft auf die verschiedenen Sehnen gefällt

werden können. Das Verhältniß der wirklichen Wege, d. h. der Bogen, nähert sich daher unendlich dem umgekehrten Verhält­

niß der, aus dem Centrum der Kraft auf die Sehnen jener Bogen gefällten Perpendikel. — Auch hieraus folgt, daß die Kreisbewegung gleichförmig ist (Vergl. Nr. 1.).

5) Weil bei einer Kreisbewegung, bei welcher der Mittelpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkte der An­ ziehung zusammenfallt, die Bogen und Sehnen welche den nach einander folgenden Zeiteinheiten entsprechen, unter sich gleich sind (Nr. 1.); ferner die Winkel welche die Vectoren zu den Richtungen des bewegten Punkts in den verschiedenen Punkten der Bahn bilden, alle recht

sind; so erkennt man sogleich die Congruenz der Paralle­ logramme GH, RS, IW,..., folglich auch die Gleich­ heit der Linien AH, CS, UW,...; mithin ist die Kraft K alsdann eine beständige Größe. — Aus Nr. 3. ergiebt sich ferner, daß die Geschwindigkeiten in

160

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

den verschiedenen Punkten der Kreisbewegung, nach der Richtung des bewegten Punkts, alle einander gleich sind, wie nunmehr auch aus §. 213, 5 oder 7. folgt. — End­ lich ergiebt sich, daß bei der Kreisbewegung das Verhält­ niß der durch die Linie AH dargestellten Würkung der Kraft K nach der Richtung des Centrums, zur Kraft T

nach der Richtung des bewegten Punkts (also zur Linie AG = HC), gleich dem Verhältniß bed Sinusversus des Bogens AC zum Sinus des Bogens AC ist. Nennt man also den Bogen AC (= Bogen CU = Bogen UV = .... oder L CDU = Z.UOV =....) oder den L AOC z. B. /§; so verhalt sich für jeden Punkt

der Kreisbewegung in den erwähnten Richtungen: K:T= sinvers ß: sin /? b.f). = 1 — cos ß: |Z( 1 — cos/?2)ober = 1/(1—cos/?) 1/(1—cos/?): (/(14-cos ß)1/(1—cos/?)

= l/(1_CoS/9):l/(l+cos/?)=|//^|2^_:i

— lang

ß : 1.

6) Aendert sich das Verhältniß der Kräfte K und T gegen einander; so wird man leicht erkennen, ob die nun nicht mehr kreisförmige Bahn, sich mehr oder we­ niger der Tangente AB zur Kreisbahn, nähert als der Kreisbogen AC. — Auch für die Linien AG und AC, CR und CU, u. s. w. wird man die sich hierdurch er­ gebenden Aenderungen, im Allgemeinen leicht erkeinen können. §. 216. Aufgabe (Fig. 73.).

Für die Kreisbewegung*) eines Punkts, sol­

len die Relationen zwischen der wahrend der Beve*) ES wird, sobald eS nicht ausdrücklich anders bestimmt ist bei der Kreisbewegung stets vorausgesetzt, daß der Mittelpunkt der .-rast mit dem Mittelpunkte des Kreises zusammcnfällt (Siehe §. 211,

Von der Centralbewegung.

Bewegung würkenden Ccntripetalkraft, der Geschwindigkeit und dem Halbmesser des Krei­ ses entwickelt werden. Auflösung und Beweis. Weil die Kreisbewe­ gung gleichförmig ist (§. 215, 1.), so nenne man die Geschwindigkeit des bewegten Punkts P, allgemein c, und betrachte die Bewegung wahrend der unendlich klei­ nen Zeit z durch den Kreisbogen AQ; dann ist Bogen AQ =$ cz (§. 163, (I.)), und dieser Bogen ist mit sei­ ner Sehne Atz gleich zu setzen, oder beide Linien (Bo­ gen und Sehne) nähern sich unendlich der Gleichheit.' Nun sei b die Beschleunigung (§. 169, 3.) welche

der während der Bewegung laut §. 215, 5, ungeän­ dert bleibenden (oder beständigen) fortwürkenden Centripetalkraft K als Maaß zukömmt; so ist die Linie AP, um welche die K den Punkt P in der Zeit z nach O geführt hätte, gleich Bz2 (§. 169, 2, (IV.)). Nach rein geometrischen Lehren ist aber beim Kreise, dessen Halb­

messer r heißt. Atz' — AF>2oder für Atz den Werth cz, und für AF den Werth bz2 gesetzt, giebt c2z® =

Bz2 • 2r, d. h. B = —- J.

Diese Formel leistet daS

Verlangte, weil b das Maaß der Centripetalkraft K ist. An merk.

Di« eben entwickelte Formel l» ---

ist die wichtigste

Formel der Kreisbewegung, und eine der wichtigsten Formeln der gesummten Mechanik. — Je mehr die in obiger Auflösung

gesetzte Gleichheit des Bogens und der Sehne AQ, Anstoß erregen könnte, je mehr ist auf das in § 212,1. Gesagte, Rück­ sicht zu nehmen.

Es ist für den Anfänger nicht unwichtig, von

einigen anderen elementaren Entwicklungen der genannten For-

*> Die Größe des Wegs AF, giebt die Gleichung AQ2 = AF.2r

oder «’»’ -- AF.2r, d. h. AF = Forsiner's Mechanik Vd. TT.

2t

11

16*2

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

Mel, kurz Nachricht zu erhalten, und die Vergleichung derselben mit der obigen Entwicklung selbst anzustellen. — 1) Man sagt-

weil die Centripetalkraft den Punkt P, wenn er in Q angckom» men ist, um die Linie DQ, d. h. um di« Verlängerung des Halbmessers OQ bis zur Tangente ad, von der Tangente ad nach der Richtung der würkendcy Kraft (ncmlich nach O zu) entfernt hat; so ist DO der Weg welchen der Punkt P

gegen den Mittelpunkt der Kraft gerichtet, in der Zeit 2. zurücklcgt, oder «8 ist D Q = b z3. Nun ist nach rein geometrischen Lehren

(indem DA

Tangente ist)

ÄD1 =

DO (2r + DQ)z oder weil DQ als unendlich klein gegen 2.

verschwindet,ÄT)3 = 2r.DQ, folglich DQ oder bz3 = Ä.lL.

2r Aber AD nähert sich unendlich dem Bogen AQ == cz, folglich sind beide Linien für eine unendlich kleine Zeit einander gleich c2 I? r? zn setzm; daher hat man bi3 = — otwb==7/-; wie vorher gefunden ist.

2) Man urtheilt folgendergestalt: weder die Linie

aF noch die Linie DQ ist der mehrerwähnten Größe bz3 gleich, sondern bz2 liegt zwischen beiden Linien AF

und DQ / so daß/ weil (laut Geometrie) AF (= EQ) < DQ

ist/ auch AF < bi3 < DQ gesetzt werden muß/ indem AF die Würkung der Centripetalkrast zu Anfang, DQ aber diese Würkung zn Ende der Bewegung durch den Bogen AQ, ge gen den Mittelpunkt 0 gerichtet/ bezeichnet. — Weil nun (rein

mathematisch) AF — -^- und DQ—

ist,

so

ist

auch AIL < bz3 < AP ■ , also auch AAL < bz* 2r 2r+ DQ 2r < AIL (I.), indem AIL > —A p - ist. 2r 2r 2r 4~ D Q

Andererseits ist

flUcr auch (rein mathematisch) Linie AQ < Bogen AQ
z' :cz C7 . r/8 , v*' : 1/ wiederum b = 2r

2r

§. 217.

Zusatze. C2

1) Indem die Gleichung b = —, die im vorigen § aufgestellte Aufgabe völlig erfüllt; so kann nunmehr die Größe der Centripetalkraft K mit jeder anderen be­ ständigen fortwürkenden Kraft K', deren Beschleunigung bz bekannt ist, verglichen werden*). Nehmen wir die Schwerkraft bei der Bestimmung der X, als Einheit an, und bezeichnen die Beschleunigung der Schwerkraft durch g (§. 185,4,a); so ist nach §.183. (VII.) 1 • K = g:b

oder K = — — c.* — 0,032...X —(für ß — 15’). g 2rg r

2) Aus der Gleichung b = £-(!.), folgt ”=

(H)

und c — V/2br (III.); also ist deutlich, daß für eine bestimmte Centripetalkraft (der dann ein bestimm­ ter Werth b entspricht) und einen bestimmten Radius *) Weil hier das Bewegte als ein Punkt angenommen, oder von der Masse noch absteahict wird; ist es auch gleichgültig, ob K eine Totalkraft, oder von einer bestimmten Größe ist (Siche Nr. 6.

dieses §'s).

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

164

des KreiseS, die Geschwindigkeit (c) bei der KreiS« bewegnng bereits völlig bestimmt ist, sowie, daß für

eine verlangte Geschwindigkeit, die Centripetalkraft genau

bestimmt ist, wenn der Radius gegeben ist.

Würde man

im ersteren Falle c ändern, dadurch daß man die Tan­

gentialkraft änderte; so geht die Kreisbewegung verlo­ ren (Vergl. H. 215, 5.). — Dieser Umstand ist wol zu

beachten (Siehe §. 228, 3.).

3) Der Werth c = 1/2br, ist auch = |/'4-}br — 2 |/ i >'b zu setzen.

Im Vergleiche mit der Formel

e = 2 |/wb", 169,2, (IX.) erhält man den Saß: Wen» die beständige Kraft K allein den Punkt P in der

geraden Linie gegen den Mittelpunkt O ungehindert (mit­ hin hier gleichmäßig beschleunigt) anzöge, so würde

der Punkt, sobald der halbe Radius (| r) durchlaufen ist, eine Endgeschwindigkeit (e) erlangt haben, welche der

Geschwindigkeit (c) bei der Kreisbewegung gleich ist*). — c2 Dasselbe Resultat hätte die Formel b — ^7, aus wel-

cher folgt f r = W=

c®

im Vergleiche mit der Formel

(§. 169, 2, (VII.)) gegeben.

4) Heißt die Umlaufzeit (§. 211, 6.) allgemein 1, so ist bei der Kreisbewegung die ganze Bahn =ct —2r-r; demnach c2 =

, also b

*=” ]/?

Setzt man diesen Werth für y —e in (XVII ), so wird: u-c = £((b*-a3)u’-f-a4) (XIX.).

Diese beiden für u —v und y — e gefundenen Werthe, bestim­ men demnach r, d. h. dm Krümmunghalbmesser, sobald man sie in die erste Gleichung (VII.) einführt. Folglich ist: r3=£((b3-a3) u»-f-a*)2 + -C((d--a-) u3+a die Perpendikel von (1 zu den Tangenten find (wie z. B. Q.M)Z so ist (für r, der gleichen Verhältnisse wegen zugleich n1 gesetzt) K'.:K".-p-=n"’.h1h'»/ Oder

K : K = u - h'31': n'»h » I”. Aber aM:ND = TQ:TN/ d. h. , b | / a’ *L v' , . , 11 : — |z z v = — :---- = a’ : Z V ; also a u u 71 Forftner's Mechanik. Bd. IL

13

194

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

Demnach wirb die letzte Proporti»» diese:

. l,

K : K" --- z' v" \/i d. h.

— W. | h. W.

Anmerk 3. Man kann mit dem Beweise des Lehrsatzes in gc. genwärtigem §, so wie mit dem in Anmerk. 2. bewiesene« Sah/ unter anderen die hiervon ganz verschiede« geführten Beweise in Brewer'S Lehrbuch der Mechanik/ 2. Theil/ §. 48. und 47. vergleichen Auch der Beweis in Brande« Mechanik, 2. Theil/ §. 175. iß von diesen Beweisen de« Lehrsätze« im vorliegende« §. gan» verschieden. — Bei der Ccntralbcwegung in einer Pa­ rabel »der Hyperbel/ in deren Brennpunkte die Centripetalkraft sich befindet/ erhält man dasselbe Gesetz für die Würkungen dieser Kraft, wie der Lehrsatz e« für die Ellipse lehrte. Den analoge» Beweis für jene Bewegungen, wird man au« der Na­ tur dieser Curven und der bekannte» Formel für den Krümmunghalbmesser (r --leicht führen können. Wir be­ schränken u»S hier nur auf die Ellipse, weil die Bewegun­ gen der Planeten in dieser Curve erfolgen, und weil die Unter­ suchungen für die Ellipse hinlänglich »eigen, wie man bei jenen andern Curven elementar zu verfahren har, so wie welche Elemente zu unseren Untersuchungen erforderlich sind.

Zusatz 1. Achtet man darauf, daß die im Beweise zum Lehrsätze des §'S erwähnte Proportion (IV.), nemlich: K,: K„ = r"c'2 : r'c"2, in Beziehung auf die Krüm­ munghalbmesser für die Bewegung in jeder Curve (oder in zwei beliebigen Curven) gilt, und daß auch für

jede Curve K, = K'.

(wo V bett entsprechenden Dec­

tor bezeichnet), so wie (laut §. 215, 3.) bei jeder Curve OP. OA ist*), so ist auch c'.>c (so wie c">c"); wiederum wie eS sein muß, trotz dem, daß K " hier < K' (weil K": K = QR; qp) ist. Diese Resultate führen zu interessanten Vergleichungen mit dem in §. 220. Anmerk- Gesagtem. Zusatz 4. Kennt man die halbe große Axe a und die Beschleunigung b' **) am Ende der kleinen Axe, d. h. die Würkung der Centripetalkraft in der Entfernung a vom Mittelpunkte der Kraft,- so hat man nach §. 217,

*) Wenn allgemein p+q=2t, so ist z. B. p-+-x=t, und dann ist q —x = t, also auch p=t—x und q=t-t-x; mithin p q = t2 — X2/ also pt vc* oder c < 2

(TV-) fein muß. Ist

vc* = 4r*g oder c = 2 J/^5, dann wird 2a utt* endlich groß, d. h. die Ellipse verwandelt sich in eine

1

Parabel, und ist 4r*g< vc* oderc > 2 y

so ist

2a negativ, d. h. man erhält eine Hyperbel zur Dahn. Setzt man v = r und c — \/2gr d. h. c* = 2gr, so

ist der Werth 2a = ???^£^-r = 2r, d. (). a = r und man erhalt die Kreisbewegung für den Halb­ messer r (Vergl. §. 217, 1 und 2). Ist r der Erdhalb» Messer, also g = 15J', so erhalt man bei c = 25187',

laut §. 217. Anmerk. 2, die freie Kreisbewegung eines Körpers um den Erdmittelpunkt dicht an der Erdoberfiäche, und weil c fast genau gleich der horizontalen Geschwindigkeit, welche man dem bewegten Körper im ersten Augenblick der Bewegung geben müßte, ist; so er­ kennt man, daß diese Kreisbahn sich in eine paraboli­ sche, hyperbolische oder elliptische Dahn für v = r verwandeln würde, sobald die horizontale Geschwindigkeit im ersteren Falle (bei der parabolischen Bewegung) c=2

(d. h. für v = r) = 2

°) — 35599'

für die hyperbolische Bewegung c>35599*, und für

die elliptische Bewegung c < 35599' ist, wobei wol darauf zu achten ist, daß von allen Hindernissen (na-

’) Man sieht hier briläusig, daß sich die Geschwindigkeit in der Parabel, in dem Punkte wo der Vektor gleich r ist, zu der beim Kreise, wie 2 l/rg l/irg d. h. = 2 1/2 oder 1/2 1 verhält.

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

208

mentllch dem Widerstände der Luft) so wie davon abstra-

hirr werden muß, daß die Ellipse im letzteren Falle (wo

ihre halbe große Axe bereit- kleiner alS r ist) die Erd­ oberfläche schneiden würde. — Auch kann man leicht die

Größe

der Centripetalkraft

in der Entfernung v vom

Drennpvnkte beurtheilen, um jede der drei KegelschnittLahne« zu erzeugen.

Denn die Gleichung b' =

g,

v2 giebt -2- alS Größe der Centripetalkraft, wenn man diese Kraft gleich 1 in der Entfernung r setzt.

Die Bedin­

gung daß 4r2g > = oder < vc2, d. h. daß »der
= oder < 4^7/ für die

elliptische, parabolische und hyperbolische Be­

wegung.

Anmerk. 3. Zu den mancherlei Beispielen welche hier ange­ führt «erden kdnnten, gehdrt unter anderen die Aufgabe: die­ jenige Ellipse zu bestimmen oder zu construiren, um deren einen gegebene« Brennpunkt B in der Entfernung BD, im Punkte D die Geschwindigkeit deck Bewegten, gleich c nach der Richtung DI ist — Da di« Formel (Bi.) die Größe 2a der großen Axe bestimmt, Dl aber die Tangente in D zur Ellipse ist, so giebt die Linie DO dergestalt in D an IDT getragen, daß L IDO siBDT (laut Theorie der Ellipse) ist, die Lage de» zwei­ ten Dector«, «ährend DB die Lage und Größe des ersten D«ctor« iS. Die Länge DO ist demnach 2a — DB. Indem der 2te Brennpunkt 0 nun auch bestimmt ist, giebt die Linie durch O und B die Lage der großen Ar«; die Mitte tt von OB ist der Mittelpunkt, folglich giebt OA = OP = a, die Endpunkte der großen Axe. Weil OB = e”, also c ’ > c» ist): 4r*g(h—e") _ 4r»g(h-e) _ 4r3g A-e_ __ h—e\ he* he h x e' e* J

--->Qeseh~ \) =a'4r* e CttO ‘

^'brigens kann man

hierin für rag wiederum b'h1 setzen, um die erhaltene Formel vom Erdhalbmeffer unabhängig zu machen. — Die elemen­ tare Bestimmung der Zeit für beliebige Theile dieser Bewegung, hat besondere Schwierigkeiten, und bleibt.rweckmäßig für die höhere Mechanik-

Von der Centralbewegung.

213

Sfnmcrf. 2. Der Weg zur Entwicklung der Formel für c», ist gewiß sehr bcmcrkenSwerth. Fällt daher ein Körper ans der Höhe eines Erdbalbmeffers bis zur Erde auf dirs« herab, so ist h =2r und u = r; folglich die erlangte Geschwindigkeit c = =l/2gr. Hätte man die in der Höhe r über der

Erdoberfläche, oder in der Entfernung 2r vom Erdmittelpunkte stattflndende Beschleunigung |g beibehalten, so wäre laut §. 169,2. (IX.) die Endgeschwindigkeit gleich 2lZr7|g = l/rg gewesen, und hätt« man in der Entfernung r von der Erdober­ fläche, die Beschleunigung auch g gesetzt und während des Falls belbehalten, so würde die Endgeschwindigkeit sogar 2 IZrg ge­ worden sein. — Manche ander« Bemerkungen ergeben sich hier leicht, namentlich die Relationen für die nach analogen Ge­ setzen verzögerte Bewegung.

Zusatz 2. Mit dem Beweise deS Lehrsatzes diese§'s hängt noch der Satz einfach zusammen:

Die Geschwindigkeit in jedem Punkte der elliptischen Centralbewegang ist so groß, alS sie bei geradlinigter Bewegung des beweg­ ten Punkts gegen das Centrum der Anzie­ hung sein.würde, wenn das Bewegte auS dem Zustande der Ruhe kommt, und auS der Ent­ fernung 2avomAnziehüngpunkte, einen Weg gleich 2a —v zurütkgelegt hätte, wenn 2adie große Axe und v den Vector des bestimmten Punkts der Ellipse bezeichnet, für den die Geschwindigkeit zu bestimmen ist. — DieAusdrücke für beide Werthe sind nemlich o ---

2bza ♦ —-, und v^-

alfo gleich groß.

214

Dynamik; Abschnitt !, Kapitel V.

§. 227. Lehnsatz (Fig. 74.). Man denke sich auf einer horizontalen Ebene um einen festen Punkt O, einen absolut festen, unaus­ dehnbaren, jedoch völlig biegsamen Faden OC (wie wir einen solchen auch in §- 67. annahmen) drchbar, und an seinem zweiten Endpunkte C einen Körper, oder zunächst einen schweren Punkt P befestigt, welcher auf der erwähnten Ebene ruht, wählend der Faden OC ganz aus­ gespannt ist; dann ist für P die Schwere als aufgehoben anzusehen (Dergl. §. 173.). Wenn nun durch irgend eine, nach der Richtungen senkrecht auf OC wstrkende Mo­ mentankraft T, der Punkt P zur Bewegung veranlaßt, und von jedem Hinderniß abstrahirt wird; so kann P doch nur einen Kreis vom Halbmesser OC um O be­ schreiben, weil der Natur deS Fadens gemäß, jede grö­ ßere Entfernung als OC vom Punkte O verhindert wird, während das Bestreben (vermöge der Trägheit) des PunktP, nach der Tangente zu jedem Punkte der Bahn fort­ zugehen, unausgesetzt vorhanden bleibt, weshalb auch kein Grund zu einer Annäherung an den Mittelpunkt O, vorhanden ist. Aus dem Gesagtem ergiebt sich, daß die Festigkeit des Fadens bei der Bewegung des Punkts P, hier eben das würkt, was eine in O befindliche Centripetalkraft durch ihre Anziehung, laut §. 210. bewürken würde, wäh­ rend gleichzeitig der Punkt P durch sein stetes Bestreben, nach der Tangente zu jedem Puntte der Bahn fortzugehen, den Faden nach der Richtung OC, d. h. vom Mit­ telpunkte abwärts, unausgesetzt auszuLehnen oder zu zer­ reißen strebt. Die Größe der Kraft mit welcher dieDestreben erfolgt, wird in §. 23Y. bestimmt werden; man nennt sie- die Fliehkraft oder Schwungkraft; wir wollen sie durch 8 bezeichnen. — Aus den angeführten Gründen, wird die Momentankraft T auch hier die Tan-

Bon der Centratbewegung.

2X5

-eniialkraft genannt — Die ganze Bewegung fall

Schwungbewegung heißen.

Zusatz

1.

Ist die Richtung

Dar Momentankraft

T nicht senfrecht in C jn OC, sondern j. B« unter dem stumpfen L OCS gegen OC geneigt; so erkennt «an leicht, wie man durch die Zerlegung der Kraft T

in zwei Seitenkräfte nach CU (Verlängerung von OC) und CW (senkrecht zu OC), wiederum dir Kraft findet,

welche zur Bewegung zufolge des Obigen dient, während die andere Seilenkraft, die Schwungkraft, sofern diese

sich nach Obigem ergiebt, vergrößert.

Ist aber jener Rich­

tungwinkel spitz, z. B- L OCV;

dann ist wiederum

deutlich, daß vermöge der vollständigen Biegbarkeit M Fadens, der Punkt P zurrst die gerade Linie CV, an

deren Endpunkt V die Entfernung von O wieder gleich

OC ist, durchlaufen würde, und hier nunmehr die, noch nach der Richtung VZ (in der Verlängerung von CV)

würkende Kraft T, nach dem so eben Gesagtem zu zer»

legen

ist,

weil

in V der L OVZ wiederum stumpf

ist. — Hätte man statt des Fadens eine absolut fest«

unbiegbare,

jedoch um O drehbare Stang« (einen

Stab) genommen; so würde auch bei der Richtung CV

der Kraft T, der Kreis CTV ... beschrieben sein, je­ doch die auS der Zerlegung der T nach den Richtungen C W und CO, in letzterer Richtung sich ergebende Seiten­

kraft, der Schwungkraft gerade entgegengesetzt sein, oder einen Druck nach der Richtung CO gegen O veranlas­

sen. — Diese und ähnliche Modificativuen lassen sich leicht erkennen.

Zusatz 2.

Auch durch andere Mittel als das ge­

nannte, kommt die Würkuug der Schwungkraft zur Er­ scheinung.

Man denke sich z. D. eine nach irgend einer

Curve, aber stetig concav geformte Rinne, auf einer

horizontalen Ebene ruhend, und ein schwerer Punkt werde

216

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

durch eine Momentankraft, abstrahirt von allen Hinder­

nissen, genöthigt, sich in dieser Rinne zu bewegen; so

wird er, durch das Bestreben in jedem Punkte der Bahn «ach der Tangente fortzugehen, hieran jedoch durch die

Concavität der Rinne gehindert, gleichzeitig einen Druck in jedem Punkte der Bahn senkrecht zur Tangente auS« üben *) und in entgegengesetzter Richtung zurück erhal-

ten; beide Drücke oder Kräfte fallen demnach in die Ver­ längerung und in die Richtung des Krümmunghalbmessers zu jedem Punkte der Bahn.

Es ist gar nicht nothwen­

dig, bei dieser Bewegung einen Mittelpunkt der Bewe­ gung anzunehmen, daher auch die Benennung: Centri-

p et al kraft für die hier nach Innen würkende Kraft, nicht zweckmäßig, wenigstens nicht analog mit der in

§. 211,3. gegebenen Erklärung ist, während die Schwung­

kraft sich durch den Druck gegen die Rinne vollständig äußert, jedoch auch nicht mit der in §. 211, 3. erwähn­

ten Centrifugalkraft zu verwechseln ist, welche immer in der Richtung vom vorausgesetztem Centrum der Be­

wegung abstrebt, während hier die Schwungkraft, selbst wenn die Curve der Rinne einen Mittelpunkt haben sollte,

nicht gegen diesen gerichtet ist, sondern wie erwähnt, von der Lage des Krümmunghalbmessers abhängt. — Ver­

schiedene Betrachtungen welche sich hierbei ergeben, wer­ den nunmehr aus §. 189. Zusatz 1. u. a. Sätzen leicht zu erläutern sein. — Auch ist deutlich, daß die innere

Wand der Rinne hier ganz fehlen kann.

Anmerk. Man hat besondere Maschinen durch welche man die Gesetze der Schwungkraft zur Erscheinung bringt; sie heißen Centrifugalmaschinen; das Näher« über sie kann hier da­ hingestellt bleiben. Man findet sie, so wie die mit ihnen anzu­ stellenden Versuche, in den physikalische» Schriften beschrieben. ♦) Dergl.

189. und dessen Zusätze.

Von der Centralbewegung.

217

Ander« Versuche bei denen die Schwungkraft würksam ist, kön­ nen hier übergangen werden, sofern sie nicht für unsere Unter­ suchungen wesentlich sind; $• B. das Abstießen des Wasser- aueiner angefüllten Schüssel, wenn diese herumgcdreht wird, und die Schwungkraft die geringe Cohcksion der Wassertheile gegen einander überwiegt. — Man hat jedoch bei den anzustcllende« Versuchen wol darauf zu achten, ob auch nicht mehr al- di« hier vorausgesetzten Kräfte, nemlich- eine Momentankraft T, und die zwei sich gleichzeitig erzeugenden entgegengesetzten Kräfte (von denen die nach Außen würkende die Schwungkraft ist) thätig sind. — Wenn man z. B- einen Körper an einem Faden befesiiget, in einer Vertikalebene herumschleudert, wobei sich dvrch di« Kraft mit welcher drr Faden ausgedehnt zu werde» strebt, die Schwungkraft deutlich äußert; so würkt hierbei in jedem Augenblicke auch noch die Kraft der Schwer« «ach sktt parallelen Richtungen, vom jedesmaligen Orte des Körpers ver­ tikal abwärts. Wenn also diese Bewegung auch wirklich ein« Kreisbewegung sein sollte (was vom ruhenden oder etwa selbst bewegten anderen Endpunkte noch abhängt); so ist sie doch in Hinsicht der würkendcn Kräfte, auch noch anderen Gesetzen unterworfen, als die zu Anfang des §'S erwähnte Kreisbewe­ gung. Dergleichen Bewegungen allgemein zu beurtheilen, wird nach den früheren Lehren und den folgenden einfachen Gesetzen, keine neuen Schwierigkeiten haben (Siehe auch §. 244 zu Ende daselbst.). §. 228.

Zusätze.

1) Betrachten wir die Kreisbewegung unter den in

§. 227. gemachten Voraussetzungen, so ist sie gleichför­

mig, und die Schwungkraft 8 von beständiger Größe während der Bewegung; denn eö ist kein Grund vorhan­

den, wodurch eine Veränderung in der Geschwindigkeit und in der Schwungkraft erzeugt werden sollte (Vergl. §. 4, 3 ). — Wir wollen die Geschwindigkeit mit c, und die Umlaufzeit mit t bezeichnen, so daß ct = 2r^ ist,

wenn r den Halbmesser (d. h. die Länge deS Fadens) OC

bedeutet. 2) Bei jener Kreisbewegung (keineSweges aber

218

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

-et -ex allgemein in §. 227. Zusatz 2. betrachteten Be. wegung) ist die Kraft mit welcher -er Faden daö De« wegte in stets gleicher Entfernung vom Mittelpunkte fest­ hält, als eine Cenrripetalkraft laut §. 211, 3-, und die Schwungkraft 8, als eine Centrifugalkraft zu­ folge §. 211, 3. anzusehen. Wenn auch die Schwung­ kraft die von beiden Kräften fich zuerst erzeugende Kraft ist (weil erst das Bestreben zum Entfernen vom Mit­ telpunkte, durch die Bewegung längs der Tangente, daS Zurückgehaltenwerden durch den festen Faden erzeugt), so sind doch beide Kräfte durchaus gleichzeitig vorhanden und sich gegenseitig einander bedingend. Außer ihrer entgegengesetzten Richtung, sind aber beide Kräfte auch gleich groß, folglich mit einander im Gleichge­ wichte; denn, wenn die angenommene absolute Festig­ keit deS Fadens, auch jeder Kraft, welche als Schwung­ kraft in der Verlängerung des Fadens vom Mittelpunkte abwärts würkt, widersteht; so wird doch von dieser Fe­ stigkeit als Kraft, nur genau so viel verwandt, alS die Schwungkraft anregt oder erfordert*). 3) In dem so eben Gesagtem, liegt ein wichtiger Unterschied zwischen der hier, und der in §. 216. betrach­ teten Kreisbewegung begründet; nemlich: daß es keine Grenze giebt für die Geschwindigkeit c, welche bei der nunmehr zu untersuchenden Kreisbewegung stattfinden kann (Vergl. §. 217, 2 ). Daß diese Geschwindigkeit je­ doch der Erfolg der Größe der Tangentialkraft T ist, ist *) Ein analoges Beispiel für jenes Gleichgewicht der beiden Kräfte, giebt die Grtße der Kraft mit welcher man einen festen Körper zu zerreißen strebt, und die dieser Kraft das Gleichgewicht haltenden Cohäsion deS KdrpcrS (Vergl. §. 68, 1. u. a. «. £).). Bet nicht absolut festen Fäden oder Stäben, ist die nach §. 86. 1. und §. 87, 1. zu bestimmende Festigkeit, zugleich das Maximuw der oben genannten Centrifugalkrast.

Von der Centralbewegung.

219

nunmehr eben so einfach klar (Denn es wilrft ursprüng­ lich keine andere Kraft als die T zur Hervorbringung der Bewegung, und die Curve als solche, verändert laut §. 189, Zusatz 1. jene Geschwindigkeit nicht.). 4) Für die durch die Würkung einer endlichen Tan­ gentialkraft erzeugte Geschwindigkeit, kann, wenn wir statt des bewegten Punkts, einen Körper annehmen, die Masse des Bewegten, die gleich M sei, nicht mehr gleichgültig sein (§. 177, 3 ). Die in No- 2. erwähnte als Centripetalkraft anzusehende Kraft, so wie die ihr gleiche entgegengesetzte Schwungkraft, sind alsdann ab, hängig von der Größe der Masse M, worüber die nähe­ ren Relationen folgen werden.

§. 229. Anmerkung.

In den mechanischen und physikalischen Schriften, sinder man bei der Centralbewegung wie wir sie bis zu §. 227. immer betrachteten, auch eine Schwungkraft (oder Mittelpunktfliehkraft) eingeführt, von der jedoch in den hier genannten Sätzen niemals die Rede gewesen ist. — Man urtheilt dabei gewöhnlich so: „Auö dem in jedem Punkte der Bahn jener Central« ,Bewegungen, vermöge der Trägheit (ober des Beharrung« „vermögens) vorhandenen Bestreben des Bewegten, nach „der Tangente zu jedem Punkte der Bahn fortzugehen, „welches Bestreben aber wegen der vorhandenen Centri« „petalkraft, nicht zur wirklichen Bewegung längs der „Tangente führen kann; folgt, daß sich eine, im Allge„meinen gegen die concave Seite der Curve ge„richtete Kraft erzeugt, welche Kraft auch die Ursache „ist, weshalb, ohngeachtet der stets würkenden Centripe„talkraft, dennoch keine unausgesetzte Annäherung deS „Bewegten gegen das Centrum der Bewegung erfolgt. „Man nennt diese, als einen Erfolg der Trägheit des Be-

220

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

„»egten anzufehende Kraft: die Schwungkraft oder „öle Centrifugalkraft."

— Daß jedoch keine an»

an-gesetzte Annäherung gegen da- Centrum erfolgt, ist der einfache Erfolg des gleichzeitigen Würkens der Tan­

gentialkraft «nd der ursprünglich würkendea Centripetalkrast, deren besondere Gesetze vnd gegenseitige Beziehun­

gen, nach den gehabten Sätzen vollständig, entweder die Natur der Curve bestimmen, oder durch die Curve be­ stimmt werden.

Man würde auch auf keine Weise, durch

irgend wie erdachte Mittel,

hier

die Würkung einer

Schwungkraft zur Erscheinung bringen fStiften, wie es

doch so einfach für die in §. 227. genannten Bewegun­ gen geschehen kann.

Daß aber die Annahme oder Ein­

führung einer Schwungkraft bei jenen Centralbewegun-

-en, durchaus nicht nöthig ist, haben die früheren Sätze

htnlänglich gelehrt. — Auch leitet man wol das Daseyn einer Schwungkraft noch auf folgende Weise her: //Abgesehen von denen in §. 213, 5. und 6. erwähn» „ten Zerlegungen der Kräfte K und T, stelle man sich

„vor, daß die nach der Richtung CR würkende Tangen­ tialkraft,

deren Größe durch die Linie CE dargestellt

„wird, nach der Richtung CD der Diagonale des Pa»

„rallelogramms ECFD, und nach der, der Centripetal»

„frost CF entgegengesetzten Richtung CU zerlegt werde. „Soll daher CE als Mittelkraft der Seitenkräfte CD „und CU erscheinen, dann muß CU = DE sein, und

„weil DE = CF ist, so ist auch CU = CF.

Anstatt

„demnach die Bewegung längs CD, als aus CE und „CF zusammengesetzt zu betrachten, sieht man die Be-

„«egung CD, als auS CD, CF und CU zusammen«

//gefetzt an, d. h.: indem CF und CU als gleich groß

„aber gerade entgegengesetzt, sich einander aufhe„ben, bleibt CD als resnltirende Bewegung übrig, und „man hat in der CU, die mit der Centripelalkraft gleich

Von der Centralbewegung.

221

„große entgegengesetzte Centrifugalkrast." — Bei dieser Zerlegung ist aber ganz übersetzen, daß die Mn montan, kraft CE, nur in Momentanseitenkräfte CD und GU zerlegt werden kann, die CU der CE daher auch nicht gleich.ist, und keineswegs während der Bewegung längS

(ED, .beide Kräfte immer einander gerade entgegen-, gesetzt bleiben. — Andere leicht zu erkennende Schwie­ rigkeiten, zeigen sich guch noch bei der genannten Zer­ legung. Ohne hier in weitere Untersuchungen über den ge­ nannten Gegenstand einzugehen, wenn dieser auch für die Geschichte so wie für die Metaphysik der Mechanik und der Physik, mehrfaches Interesse gewähren kann; mag

als Endresultat dieser Betrachtungen noch einmal zusam? mengefaßt werden, was in den verschiedenen Sätzen bis­

her hierüber gesagt ist: Die Benennungen Centripetal- und Centrifu­ galkraft, bleiben auch fernerhin in der Bedeutung, in welcher sie §. 211, 3. gegeben find. In den früheren Sätzen über die Centralbewegung, war fast nur von

Centripetalkräften die Rede; doch find die, aus de­ nen etwa vorhandenen Centrifugalkraften (statt der Centripetalkräfte) entstehenden Erfolge, auch gehörig berüekfichtigt (§. 213, 3. u. a. a. O.). Man könnte die hiernach erfolgenden, bis zu §. 227. nur betrachteten Cen­ tralbewegungen: freie Centralbewegungen nennen, sobald man solchen Bewegungen wie in §. 227. betrach­ tet wurden, überhaupt noch die Benennung Centpal-bewegungen lassen will (fiehe §. 211,1.), wonach man diese letzteren etwa Centralbewegungen auf vor­ geschriebenem Wege, oder gebundene Central­ bewegung nennen könnte (Vergl. 191. Anm. 1.).— Bei jenen freien Centralbewegungen, kommt gar keine Schwungkraft in Betracht. — Bei

222

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

den CeUtralbewegungen ans vorgefchrieSenem Wesse dagegen, ist die Schwungkraft von der größten Wichtigftit, sie wird aber um Verwechselung und Irr­ thum zu vermeiden, zweckmäßiger nicht Centrifugalkraft genannt, so wie nun auch bei dieser Bewegung gar keine Centkipetalkraft in Betracht kommt. — Die oft auf­ geworfene Frage- ob bei der freien Centralbewegung die Centkipetalkraft der Centrifugalkraft gerade entgegen­ gesetzt würkt, oder ob die letztere Kraft immer in die Richtung des veklängerten Krümmunghalbmessers zu je­ dem Punkte der Dahn fällt; ist demnach völlig unnöthig auftuwekftn und zu beantworten, wahrend aus dem in £ 227. Zusatz 2. Gesagtem hinlänglich folgt, daß die Schwungkraft bei der Centralbewegung auf vorgeschrie­ benem Wege, immer in die Verlängerung des Krüm­ munghalbmessers fällt, welcher bei der in §. 227. betrach­ teten Kreisbewegung, der Halbmesser deS Kreises selbst ist. — Eine Bewegung in einer convexen Curve, im Sinne von §. 213, 3., läßt sich bei der Centralbewegung auf vorgefchriebenem Wege, ohne Einführung noch an­ derer Kräfte, gar nicht erzeugen.

§. 230. Aufgabe. Die Relationen für die Schwungbewegung hn Kreise zu bestimmen. Auflösung und Beweis. Wir setzen für diese BewttzüNg durchaus keine andere ursprünglich würkende Kkaft, alS die Tangentialkraft T, welche die Geschwin­ digkeit d oder die Umlaufzeit t erzeugt, voraus (Siehe §. 228, 1.). Die Masse des Bewegten fei M und der Halbmesser des beschriebenen Kreises heiße r; die sich er­ zeugende Schwungkraft sei 8. — Weil die S genau gleich, tntr in der Richtung entgegengesetzt mit einer beständi­ gen gegen den Mittelpunkt zu würkenden Kraft ist

Von der Centralbewegung.

223

(§. 228, 2.); so kans man sich diese letztere Kraft durch

eine ihr gleiche beständige Centkipetalkraft K im Sinne

von §. 211, 3., ersetzt denken (ohne Rücksicht darauf zw nehmen, ob laut §. 229. alsdann die Schwungkraft weg» fällt oder nicht), d. h. diese Kraft K wird gleich der 8

sein.

Aber die K ist hier abhängig von der durch die

Tangentialkraft- ursprünglich erzeugten Geschwindigkeit e (§. 217; 2) und von der Masse M (§ 228, 4.), mithin

von der Beschleunigung g der Schwere.

Nunmehr er­

halten wir unmittelbar laut §. 216. und §. 217,6. (kV.), die Größe der Kraft K (welche in §. 217, 6. aus dem eben

erwähntem Grunde,

nemlich des

Einflusses der

Masse wegen, F genannt wurde), also auch die gesuchte c* Größe der mit der K gleichen 8, und zwar S = -— 2 gr 4 P2 IW C2M oder — — .------ oder — 0,032... •-------- . Wollte man 2g r r also z. B. wissen, wie groß der Durchmesser d eines Kreises wäre, bei welchem die Geschwindigkeit c = d und

zugleich die Schwungkraft S gleich dem Gewichte M deS (2ris Körpers wäre; so hat man nur zu setzen 8---^^- 8,

also 2g = 4r oder r = ~ ==

fast 8 Fuß, oder

d ---16'').

’) Es läßt sich hier folgende, übrigens nicht wesentliche Be­ merkung anstelle». Gesetzt bei einem mathematischen Pendel habe der schwere Punkt die Masse M. Ist nun der Elongatlonwinkel 60°, so ist der schwere Punkt im tiefsten Punkte um die halbe Pendsilänge oder um ; r.senkrecht herabgesallen, folglich ist hier seine Geschwindigkeit gleich 2 l/g. J r (§. 197,1.). Stellt man sich nun die Pcndelbewegung als eine Centralbewegung im Kreise vom Halbmesstr r vor, so ist wenn hierbei die Geschwindigkeit c gleich 2kgTp gesetzt wird) S-M =) M d. h. 8 - M,

224

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V. Zusatz 1.

Die so eben gtzfurdenr Formel, ist die

Hauptformel der Schwungbewegunglehre; aus ihr lassen sich wie aus der Foxmel (IV.) in §. 217, 6, alle

beider Kreis-Schwungbewegung wichtigen Formeln, Propyrtionssn und Sätze, analog wie es in §. 218. u. a. a. O. geschah, herleiten. Weil aber diese Herleitung genau wie in jenen Paragraphen geschieht, auch die Resultate in der Form ganz übereinstimmen, sobald man 8 für den Werth F daselbst setzt; so können die wiederholten Anfühsuvgen jener Formeln, hier übergangen oder als voll-

zogen angcsehen werden.

Nur die Veränderung der so

eben gefundenen Formel, in S=sM---1,263...pM

(I.)(§.217,6. (VII.)), ferner die Gleichheit von c2 =2gr und gt2 = 2r«2 (II.), wenn 8 — LI ist, und die Haupt­ proportion (siehe §. 218, 1. (L)):

Mögen noch einmal hergefetzt werden.

Zusatz 2.

In

obiger Untersuchung ist die Ge­

schwindigkeit c statt der Tangentialkraft T betrachtet. Die Relation zwischen beiden Größen ergiebt sich aber unmittelbar aus §. 215, 5., indem man hat:

M:T oder M :T = tang J-/?:1; 2gr Li­ der L iß (siehe §. 215, 5.) ergiebt sich aber aus c, wo­ bei wpl zu beachten ist, daß die Zeiteinheit zur Bestim­ mung von, o klein genug sein muß- um iß klein genug 8: T d. h.

zu erhalten, damit der Sinus des Winkels ß mit sei nem Dogen als zusammenfallend angesehen werden darf ---------------Ist

oder in Worten- Beider Elongation von -60°, hat der schwercPunkl im tiefsten Punkte (d. h. in der vertikalen Lage des Pendels), ein CentkifNgalkrast gleich seinem Gewichte

Von der Centralbewegung.

225

Ist also z. B. die ganze Umlaufzeit t nur eine, Secunde, so würde man etwa eine tausendstel Secnnde al6

Einheit zur Bestimmung von c

müssen *). — In der Regel ist die Umlaufzeit t oder auch die Geschwindigkeit c, das hier gegebene Element,

berechnen. Weil M gewöhnlich nach Pfunden gemessen wird, so erhält man auch T in diesem Maaße; um aber die Kraft T auszuüben, treten alle i'ene Schwierigkeiten

ein, welche in §. 185. Zusatz 1. erwähnt sind. Zusatz 3.

Die Kreisbewegung eignet fich beson­

ders zur Einführung der Winkelgeschwindigkeit

—

(§. 218, 3.) oder c2 = w2r2, wonach wiederum p2

C

— 2^

i» w 2

=± — M ist.

Hiernach können nun

auch die anderen erwähnten Formeln leicht als Functio­ nen von w entwickelt werden. — Auch führt man wol die Beschleunigung b der erzeugten Schwungkraft S ein, c2 indem b = — i|i (§. 216.); es ist alsdann auch

Zusatz 4. Aus §. 224, Zusatz 5., sind.die allge­ meinen Bedingungen bekannt, nach welchen es nunmehr

möglich ist, die Schwungbewegungen in anderen Curven als dem Kreise, zu beurtheilen oder zu bestimmen (Siehe

*) In. den Sätzen des ersten Kapitels, ist jur Genüge aufmerk­ sam darauf gemacht, daß und wie dlSdaNn auch g für diese neue Zeiteinheit zu bestimmen ist. — Dergleichen die Rechnung be­ treffenden Bemerkungen, verstehen sich von selbst. Forstner's Mechanik. Vd. IL

226

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

§. 227. Zusatz 2 ).

Die Ausführung dieser Bestimmun­

gen kann demnach hier übergangen werden.

Anmerk. 1. Don den vielen Anwendungen welche fich unmit­ telbar auS den Sätzen des §'S hcrleiten lassen, mdgen nur die folgenden erwähnt sein. — Wenn man $. B- einen Stein an einem Faden, auf die in §. 227. erwähnte Weise im Kreise herumschleudert; so verhalten sich die Schwungkräfte, d. h. hier die Spannungen des physischen Fadens (bei «mgeändcrtem Halb­ messer) wie die Quadrate der Geschwindigkeiten oder wie die umgekehrten Quadrate der Umlaufzeiten Ein Faden der als» gerade so stark wäre, einen Körper von 1 Pfund (— M) in der erwähnten Bewegung, bei der Geschwindigkeit von 10 Fuß herumzuführen, würde vier mal stärker sein müssen, wenn man di« Geschwindigkeit von 20' erzeugen wollte; oder: wenn der Faden «ngcändert bleiben sollte, müßte die Masse des Körpers t Pfd. werden (Für 8 — 8", ist nemlich bei r = r", c* M = c"»M"z d. h. M : SI = c 2 : C 2, also wenn c ' : C = 20 : 10 = 2:1 sein soll, so muß M' : M" = 22 : 1* d. h. =4:1 sein). Wollte man |. B. die größte Geschwindigkeit (laut Formel c = VW1') wissen, mit der man einen Körper an einem Faden Von 8 Fuß Länge auf die erwähnte Weise im Kreise herum­ schleudern könnte, ohne daß der Faden reißt; so müßte man die Masse M des Körpers gleich der Schwungkraft 8, also gleich der Spannung welche der Faden höchstens aushält, d. h. gleich der absoluten Festigkeit (zufolge §. 87, 1.) des Fadens fetzen. Fände man nun z. B. daß der Faden genau 10 Pfd. tragen könnte, so darf man c nicht größer als 1/2.15|.«, also etwa gleich 16' in der Secunde machen. Man könnte auch zufolge der Proportion (V.) im §. 218, 6. allgemein sagen: soll 8 oder F = M sein, so muß -^- = r(=2h) sein. Man erkennt fer»

ner weshalb, wenn auch die Materie des Fadens ihre absolute Festigkeit nicht ändert, dennoch die Schwungkraft sich unter übrigens gleichen Umständen so bedeutend ändert, sobald die Länge des Fadens verändert wird. — Endlich zeigt auch die Formel 8 = 1,263...

A, daß die Schwungkraft bedeutend

wächst, wenn der Halbmesser zu nimmt und die Nmlaufzcit abnimmt. Gesetzt ein Körper dessen Gewicht M ist, werde an

Von der Centralbewegung.

227

einem Faden von 4 Länge in | Secunde herumgeschleudert; so

ist 8 S 1,263 ...

— 1,263.16M = 20,208 M, also über« ¥ wiegt die Schwungkraft mehr denn 20mal -aS Gewicht des Körpers. Man kann sich die sehr bedeutende Schwungkraft hiernach erklären, die bei dergleichen Bewegungen stattsindet (selbst wenn sie modiflcirt werden, wie in §. 227. Anm. ange­ führt ist), wonach z. B. das Wasser aus einem Gefäße nicht ausläuft, welches in einer vertikalen Kreisebene gehörig ge­ schwind herumgeschleudert wird. — Auch die Kraft mit welcher Körper weggeschleudert werden, ist hiernach zu beurtheilen, in­ dem die Geschwindigkeit dieser Körper in dem Augenblicke wo sie die Schleuder verlassen, gleich der zuletzt in der Schwung­ bewegung gehabten Geschwindigkeit ist (Dergl. §. 180.). Anmerk. 2. Obgleich die Bewegung der festen Körper um ru­ hende Axen (§. 161, IV.), erst im 2tcn Kapitel des folgenden Abschnitts betrachtet wird; so ist dennoch schon hier deutlich, daß jeder materielle Punkt des Körpers, bei jener Axendrehung einen Kreis beschreibt, wobei die Cohäsion des festen Körpers, die Stelle des in §. 227. angenommenen Fadens vertritt, und somit jeder Punkt eine, nach den eben gehabten Lehren zu be­ stimmende Schwungkraft erhält, welche von der, für alle Punkte des Körpers gleich großen Umlaufzeit und dem besonde­ ren Halbmesser des Kreises welchen der besondere Punkt beschreibt, abbängt (Die verschiedenen Geschwindigkei­ ten der verschiedenen Punkte, sind aus der gemeinschaftlichen Umlaufzeit und dem besonderen Halbmesser des beschriebenen Kreises, zufolge der Lehren der Phoronomie leicht zu bestim­ men.). — Hiernach kann man folgende wichtige Untersuchung in Beziehung auf die, ihrer Natur nach hier als bekannt vor­ ausgesetzte Axendrehung unserer Erde anstelle». — Zuerst ist im Allgemeinen deutlich, daß, wenn wir nur die Punkte auf der Erdoberfläche betrachten, die Schwungkraft (oder die soge­ nannte Centrifugalkraft) unter dem Acquator am größten ist, jedoch in den Parallclkreisen, nach den Polen zu immer mehr p 7J 2 abnehmen muß, wie eS die Formel S = —— M, in welcher t ft1 konstant, r aber veränderlich ist, zeigt *). • Wenn die Erde als».

♦) Auch die Formel S = ^-M giebt jenes Resultat; nur ist 15*

228

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

lefa absolut fester Körper ist, so maß Ne Erhebung bet Masse unter dem Aequator, eine nothwendige Folge jener Dre­ hung sein; diese Erhebung muß eine Senkung der Masse au« den Polargegenden nach dem Aequator zu, als» die Abplattang der Erde veranlassen, welche Abplattung so weit erfolgen mußte, bis die Schwungkraft mit dem Maaße der absoluten Festigkeit (§. 86, 1.) der Erde, Im Gleich­ gewichte stand. — Ferner: weil die durch die Axendrehung der Erde unter dem Aequator erzeugte Geschwindigkeit eine- Punkt­ gleich 1478,5 Fuß ist **) und der Halbmesser der Erde hier 20285574 Fuß beträgt (siehe auch §. 217. Anmerk. l.)r so ist unter dem Aequator; S =± ——M — JL_ m **) = fast — M; d. h. also: die Schwungkraft ist unter dem Aequator -e- Gewicht- der Körper daselbst. Seht man statt

2^5 nur

so ist dieser Bruch t±=

und hieraus erkennt

man zufolge der Proportion 8:8"---«' •. c '* (für f --- r" und M" = M "), daß wenn die Erde sich 17 mal so geschwind um ihre Axe drehte als es wirklich der Fall ist, die Schwungkraft 17* --- 289mal größer, also nunmehr gleich dem Ge­ wichte der Körper unter dem Aequator wäre, die Körper da­ her bei noch mehr zunehmender Geschwindigkeit, nicht mehr auf der Erde bleiben könnten **»). — Benutzt man dar in §. 217. Aumerk 2. gefundene Resultat daß für die Schwere als 1 ge-

hieri» c (während das Verhältniß von e zu r eonstant ist) für jeden Punkt erst zu bestimmen. *) Die Axendrehung der Erde ist hierbei zu 23 Stunden 56 Minu­ ten oder 11= 86160 Secunden gefetzt. — Don der jährlichen Bewe­ gung der Erde um die Sonne, ist hierbei abstrahirt (Siehe §. 160.). *') Die Rechnung giebt den log des Factors bei M, gleich 0,5376451 — 3. *”) Man kann die- Resultat auch dadurch erhalten, daß man die Geschwindigkeit c sucht, bei welcher 8---bl ist, also c---1/2 gr---5,59017 1/20285574 — 25187,85 findet (Vekgl. §. 217. Anmerk. 2.). Weil aber die wirkliche Geschwindigkeit 1478,5" Unter dem Aequator

Von der Centralbewegung.

229

seht, di« Umlaufzeit eines dicht an der Erdoberfläche durch die Würkung der Schwere (und einer Tangentialkraft) bewegten Körpers, gleich 5063 Sekunden ist; so giebt auch die Proportion 8': 8' == t *: t» (für die wirkliche Umdrehungzeit von t" = 86160 Secunden) 86160* -. 5063» =»!“(== daß die

Schwungkraft wirklich nur — der Schwere ist. Anmerk. 3. Aus dem in der 2ten Anmerk, gefundenen Resul­ tate, läßt sich Folgendes herleiten. — In der Derlängerung des Halbmessers des Aequator», befinde sich ht der Entfernung h vom Erdmittelpunkt« ein« Masse M, welche in derselben Zeit «inen Umlauf in einem Kreise eoncentrisch dem Aequator macht, in welcher Zeit die Erde sich um ihre Axe dreht. Di« Gravitation G dieser Masse würde (zufolge §. 12, 5. IL), wenn G dir Gravitation unter dem Aequator und r der Erdhalbmeffer hterselbfl ist, sich aus der Proportion G':G = r*.h», als G =» p- G ergeben. Wäre nun die Masse M in irgend einem materiellen Zusammenhang« mit der Erd« oder deren Mittel­ punkte; so würde die Schwungkraft 8' dieser Masse, aus der Schwungkraft 8 unter dem Aequator, durch di« Proportion 8': 8 = h : r (laut Zusatz 1, wem» M’ =.M” Mld t = t ' ist)

sich al- s =y s finden. Wenn G =S‘ sein soll, d. h. wenn

der materielle Zusammenhang sollte «eggenommen werden kön. neu, ohne daß eine Aenderung in der Bewegung erfolgt-, so müßte

G=

merkung 2., 8 ---

y S, b. $. h» = r»

sein. Nun ist laut An-

G, also h» = 290r» oder h = r. 6,6191...;

demnach giebt r = 860 Meilen gesetzt, h = 5692,34..., d h. die Masse müßte alsdann 5692 Meilen vom Erdmittelpunkte, »der d — r --- 4832 Meilen von der Erdoberfläche entfernt sein. — Wan kann auf gewiss« Weise di« äußersten Theile der Atmosphäre, als in der gefundenen Entfernung befindlich, an» nehmen. ist, so müßte

--- 17,038 mal größere Geschwindigkeit statt-

finden, damit s = M wird-

230

Dynamik; Abschnitt l, Kapitel V. §. 231. Anmerkung (Fig. 74).

Die im vorigen §. gefundenen Resultate, bilde« die Grundlage der Bestimmung der Veränderlichkeit der Schwere für die verschiedenen Orte auf der Erdober­

fläche. Was sich elementar hierüber und über die hier­ mit zusammenhängenden Gegenstände sagen läßt, mag

noch kurz erwähnt werden, wenn auch diese Untersuchun­ gen ihrem ganzen Umfange nach, in die Astronomie und

in die mathematische Geographie gehören (Siehe das Ende

von §. 200, 3.) *). 1) Man nehme zuerst die Erde als eine voll­ kommene Kugel an; die Oberfläche des ruhigen Meers,

bilde erweitert die Oberfläche der Erde.

Der Halbmesser

der Erde sei r; dann ist sogleich deutlich, daß der Halb­ messer des Parallelkreises (mit dem Aequator) in der geo­

graphischen Breite von ß®, gleich r cos ß (I.) ist.

Nun

haben alle Punkte auf der Erdoberfläche, bei der Umdre­

hung der Erde um ihre Axe, gleiche Umlaufzeit, und weil die Masse eines Körpers auf der Erdoberfläche hier­

bei nicht in Betracht kommt (der Totalkraft der Schwere wegen), oder wenn man gleiche Massen in verschiede­

nen Breiten ß' und ß" betrachtet, so verhalten fich laut

§. 230. Zusatz 1., die Schwungkräfte S' und S" der Kör­ per in diesen Breiten: S': 8" — r cos ß> : r ces ß" d. h. — cos ßf: cos ß" (II.).

Setzen wir unter dem Aequator die Schwungkraft = 8, so ist hiernach die Schwungkraft unter der Breite ß,

gleich S • cos ß (III ).

Aber nur unter dem Aequator

ist die Schwungkraft der Schwere gerade entgegen«

*) Daß dieser ganze §. ohne Nachtheil für da- Verstehn der späteren Lehren, übergangen werden kann, sei beiläufig erwähnt. Die hierbei nothwendigen ersten Begriffe au- der «lathentatischen Geographie, muffen als bekannt vorausgesetzt werden.

Von der Centralbewegung.

231

gesetzt. Die absolute Schwere, wenn nemlich die Schwere an und für sich überall auf der kugelförmig vorausge­

setzten Erde gleich groß angenommen, und mit G bezeich­ net wird, verliert also unter dem Aequator laut §. 230.

Amnerk. 2., den

1

11

oder den ^sten Theil — — ge­

setzt; mithin ist die Schwungkraft unter dem Aequator,

noch gleich G ^1 — S = -i- G (V.).

— G

■’

(IV.),

und

Ist nun z. B. V ein Punkt unter der

Breite ß, indem CTV einen Theil eines Meridians be­ deutet, CO also die halbe Erdaxe verstellt; so ist die

Schwungkraft (8 cos ß) nach der Richtung TP, d. h. nach der Verlängerung vom Halbmesser VK (senkrecht zu CO) der zum Parallelkreise für V gehört, gerichtet,

«ährend die Schwere nach VO, d. h. gegen den Erd­

mittelpunkt gerichtet ist.

Es fei VP = S cos ß (siehe

(III.)); man zerlege diese in V stattfindende Schwung­

kraft, in zwei Seitenkräfte nach VX (in die Verlänge­ rung von VO) und senkrecht darauf nach VY.

Nun ist

V X (d. h. die Verminderung der Schwere) — VP cos PVX d. h.

8 cos ß • cos ß oder — 8 cos ß2 = S (1 — sin ß2)

(VI); folglich bleibt dieGröße der Schwerkraft in V, die sogenannte relative Schwere, nach der Rich­ tung V O, nur noch G — 8 cos ß2 = G —— G cos ß2 =

= c(i- ’ (i - -m «-,) =

G

G (^- +

sin

(VII.)*).

Weil sich aber die

*) WaS die Seitenkrast VY anbetrifft; so sieht man sogleich,

daß ffe gleich VP siu £ = S cos ß sin ß= ~ G J sme2ß =

232

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

Schwerkraft überall wie die Beschleunig««- der Schwere verhält (§. 183. Formel (VII.) verglichen mit §. 185,4.); fv führt man lieber diese Beschleunigung (g) statt der Schwere (G) selbst ein. Bezeichnen wir daher durch g(£) die Beschleunigung der Schwere in der geygraph. Breite ß, also auch durch g(0) die Beschleunigung unter dem Aequator, und durch g(90) die Beschleunigung unter den Po­ le»; so -eben die gefundenen Formeln folgende Resultate. Die Größe S cps ß2

G cos ß2^ giebt den Satz:

Die durch die Drehung der kugelförmig vor­

ausgesetzten Erde um ihre Axe, erzeugten Verminderungen der Schwere, also auch die Verminderungen der Beschleunigungen der Schwere, verhalten sich wie die Quadrate der Cosinus der geographischen Breiten (VIII.). Es ist daher diese Verminderung unter dem Aequator am

-r-ßten, und unter den Polen gleich Null. Ferner giebt die Formel (VII.) die Proportion: eW): gOT=2^:, ; oder =s n-l-f-sin/S'2 : n-14-sin/?"2 (IX.). Setzt man ß' = Q° (also unter dem Aequator); so ist

g(O): g(/J) = n — 1: n — 1 + sin ß2, welche Propor­ tion man auch so ausdrückt: Die Zunahme der durch die Umdrehung der Erde erzeugten relativen Schwere, oder die Zunahme der Beschleunigung der Schwere vpmAequator nach den Polen zu, istdemQua» trete der Sinus der geographischen Breite proportionirt.

G sin 2P ist. Diese Kraft ist also in der Breit« von 45° nm grtßten. Sie bleibt ledoch hier außer Acht.

Von der Centralbewegung.

233

Nun verhalten sich aber die Beschleunigungen der Schwere

wie die Pendellängen (§. 203, 3. (III.)); die so eben ge­ nannten Proportionen gelten demnach auch für die Ver­

minderungen und für die Zunahmen der PendellLngen. Be­ zeichnen wir die Längen des SecundenpendelS durchirr so ist nunmehr: 1(0) ; 1(0") = n — cos 0'2 : n — cos 0"2

n — 1 + sin 0*2 ; n — 1 + sin 0"2 (X.).

Setzen wir n — 290 (genauer gleich 289,9), so giebt die

Proportion (X.):

1 (0) : 1(0") = 289 + sin 0'2 : 289 + sin 0"2.

N«N sei

0' = O° (unter dem Aequator); so wird:

1(0) : 1(0) ss 289:289 4- sin 02 = 1:1 +

sin 02 d. h.

2^1:1 + 0,0034593 sin 02, also ist 1(0) = 1(0) . (1 + 0,0034593 sin 02) (XI.) *) und: >(0) —1(0)« ± + o,goz4593 sin 02 = 1(0) - (1 — 0,0034593 sin 02) (XII.),

wobei die höheren Potenzen von 0 weggelassen sind **). Aus der beobachteten Pendellänge unter irgend einer

Breite, kann man daher die Pendellänge unter dem Aequa­

tor finden, welche dann, wenn sie auch nicht unmittelbar beobachtet sein sollte, für die Berechnungen der Pendel­

längen unter jeder anderen Breite, zum Grunde gelegt

werden kann***) — Legen wir die in Paris, also un*) Man findet diese Formel in anderen Schriften, z B. in Gehler'S neuem phyflk. Wdrterbuche 4. Band, 2. St., 9., so ange­ geben: 1G?) = l(o) (l + 0,00519 sin jS2); auch wol mit noch ande­ ren Corfficienten bei sin ß*. Hierüber siehe No. 2. des §'S.

**) Diese Abkürzung der Reihe, welche der Quotient — giebt, ist bereits in §. 90. angewendet. ***) Nach den neuesten Beobachtungen und Bestimmungen, be­ trägt die Länge des SecundenpendelS unter dem Aequator am Meere 36,6O3S5 par. Zoll = 0,990864 Meter.

234

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

ter der Breite von 48° 5(X 14" beobachtete Länge deS Secnndeapendels gleich 0,380644 Toisen (---- 0,741883

Meter) = 1(£) jmy Grunde; so giebt die Berechnn«für die Länge des Secundenpendels unter dem Aequator,

laut Formel (XL): 1 (0) — 0,380644 (1 - 0,0034593 • sin2 48° 5(X 14") Toisen

— 0,380644 (1 - 0,0019606) — 0,380644 - 0,0007463 --0,379898 Toisen; mithin ist wieder allgemein:

1 (ß) = 0,379898 (1 + 0,0034593 sin /S2) = 0,379898 + 0,0013142 sin

ß1

Toisen (XHI)

Unter den Polen ist demnach (weil hier sin

ß' =

1 ist):

1(90) = 0,381207 Toisen, oder die Zunahme der Pendel­ länge vom Aequator bis zum Pole, gleich 0,001342 Toi­

sen.

g(ß), findet man daher g(ß) = -^2l(ß) ($.200,2.).

Die absolute Größe von

wiederum aus der Formel

2) Die gefundene Formel (XIII.) stimmt nicht ge­

nau mit der Erfahrung überein, wovon der Grund zu­

nächst in der Abweichung der Form der Erde von der

Kugelgestalt, und in der ungleichförmigen Dichtigkeit des Inneren der Erde zu suchen ist. — Die direkte Auf­

lösung der Formel, nach welcher IQ?) aus 1(0) zu be­ rechnen ist, läßt fich selbst durch höhere Mathematik nicht

genügend leisten, denn es müssen hier verschiedene An­ nahmen gemacht werden, auf welchen der Calcül erst begründet werden kann, wonach dann wiederum die ent­

wickelten Resultate mit der Erfahrung oder der Beob­ achtung verglichen werden müssen.

Man ist aber nach

allen hierher gehörigen theoretischen und praktischen Un­ tersuchungen, zu einer Formel gelangt, welche in ihrer Anwendung nichts zu wünschen übrig läßt, so daß die gemachten Hypothesen u. dgl. m. fich hierdurch bestäti­

gen.

Das Resultat diesem Untersuchungen (welche man

sehr vollständig unter anderen in Schmidt, Lehrbuch der

Von der Centralbewegung.

235

mathematischen und physischen Geographie (1829), im 1 fielt Theile entwickelt findet), giebt die Gleichung:

l(ß) = 0,379419 + 0,002159 sin ß1 Toisen (vergl. For­ mel (XIII.) in No. 1.) oder = 0,739575 + 0,004094sinß» Meter*) (1 Meter = 0,513073862 Toisen). Bedienen wir uns dieser Formel, so können wir daraus daS Folgende herleiten. — Laut §. 200, 3. (III ) ist be­ kannt, daß die Beschleunigungen der Schwere (g) sich wie die Pendellängen verhalten. Bezeichnen wir daher diese Beschleunigungen durch g(0), g(ß)..., so ist z. B. für g(45) deutlich, daß: g(45) 1(45) 0,379419 + 0,002159 sin 45° 2 — l(^) — 0,379419 + 0,002159 sin ß* ,,r‘ ”nr

sin 45°2 setze man den gleichen Werth |, und sin ß1 — ------ 2—so erhält man:

g (45) 0,379419 + 0,0010795 g(ß) ~ 0,379419 + 0,0010795 - 0,0010795 cos 2ß 0,3804985 “ 0,3804985 — 0,0010795 cos 2ß __ _________ 1_________ — 1 — 0,002837 cos 2ß‘ Wenn man die Divifivn vollzieht und die höheren Po­ tenzen von cos 2ß wegläßt; so ist: — i + 0,002837 cos 2ß, also

g(/S) = g(45) (1 — 0,002837 cos 2ß) oder g(45) = g(/?) (1 + 0,002837 cos 2ß) **).

*) Im so eben genannten Werke von Schmidt, wird §. 413. die Formel angegeben. 1(£> = 39,015233 + 0,202898sin engli­ sche Zoll (1 rngl. Fuß iA ---11,65368 Zoll preuß. Maaß). ”) Dir« ist der in § 157, 5. erwähnte Faktor.

236

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

Anch setzt man wol (weil für g(0)z d. h. unter dem Aequator, sin /?2 = 0 ist): g(0) 0,379419 _ 1 g($ 0,379419+0,002159 sin/?2 ~ 1+0,0056903 sin/?2' so daß g(/?) = g(0) • (1 + 0,0056903 sin /?2) wird, wobei dann die Beschleunigung unter dem Aequator zum Grunde gelegt ist. Die Beschleunigung der Schwere unter dem Pole, ist hiernach g(90) = 1,0056903 • g(0), also, wenn g(0) — 1 gesetzt wird, ist g(90) = 1,0056903, demnach ist 0,0056903 die Zunahme der Schwere von g(0) bis g(90). 3) Eben so wie die Beschleunigungen der Schwere, oder auch wie die Pendellangen fich ändern, ändert fich aber auch die Kraft der Schwere (§. 183, (VII.)); und man sieht, wie es hiernach möglich wird, die mit der Aenderung dieser Kraft; zusammenhängenden Erscheinun­ gen zu bestimmen. Es mag 8(/?) die Schwere unter der Breite ß, und 8(0) die Schwere unter dem Aequator bedeuten; so ist, wie groß man auch den Factor von sin /?2 in der Formel (XI.) gefunden haben mag, nach dem eben Gesagtem S(/?) = 8(0) • (1 + f sin /?2), wobei f jenen Factor, der ein kleiner Bruch ist, bezeichnet. Ge­ fetzt nun die geographische Breite /? ändere sich um + L 8; so ist: S(/?^=d) = 8(0) • (1 + f sin (/? 5)2), also die Größe der Veränderung der Schwere, sie heiße V, ist gleich 8(/?-x-ö) —8(/?), oder V = S(0) • f (sin (/?=t=5)2 — Sin /?-). Um die Sub­ traktion vollziehen zu können, hat man: sin (/?=j=d) 2—sin /?2=(cos 5sin/?=p sin äcos ß)2 — sin/?2= cos52 sin/?2=p2cosd sin/?sin5 cos/?+sin52cos/?2—sin/?2= (1—sind2)sin/?2=psin2/? cos5 sin5+sin52 cos/?2—sinJ?2= —sin J2 sin /?’ + sin52 cos /?2 =p sin Iß cos 8 sin 8= sin 32 (cos ß1 — sin /?2) sin 2 ß cos 8 sin 8= sin 8- cos2 ß sin 2 ß cos 5 sin 5= gin5(cos2/?sin5^=siu2/?cosd)=sin56in(J+2 l?); folgl.

Von der Centralbervegnng. V = f‘ sin 3 sin (ü-x-2 £)• 8 (0).

237

Der Factor Bin (J=p2Ä

ist gewiß kleiner als 1; wenn er daher weggelassen wird, so ist gewiß V < f • 8(0) sin ü. Man überzeugt sich

hiernach allgemein, daß V unbedeutend genug ist, um in den meisten Fällen außer Acht bleiben zu können. Durch die ganz analoge Formel, findet man nun auch die Ver­ änderungen der Pendellänge so wie der Be­

schleunigung der Schwere, indem man 1(0) unbg(O) an die Stelle von 8(0) setzt. Den Werth sin («5 =5= 2£) wird man für den Fall in welchem die geographische Breite abnimmt, also sin (5 — 2/9) genommen werden muß, ohne nähere Erläuterung deuten können.

Zusatz.

In wiefern die unmittelbaren Messun­

gen der Erde, die Gestalt derselben, mithin auch deren Abplattung bestimmen, wie also die geodätischen

Untersuchungen mit den dynamischen übereinstimmen; muß hier zu erläutern übergangen werden. — In den

mehrerwähnten Werken ist das Nähere hierüber nachzu­ lesen. — Dasselbe gilt von der historischen Anführung verschiedener Hypothesen über die ursprüngliche oder ge­ genwärtige Formation des inneren Erdkörpers, wenn

gleich hierbei einige der vorgetragenen hydrostatischen Lehren, angewendet werden könnten.

§. 232. Lehnsatz (Fig. 76.). An einer vertikalen Spindel oder Stange*) AB,

welche in ihrer Lage stets bleibend, um sich selbst d. h. um ihre Are herumgedreht werden kann, befindet sich ein Faden AO am Punkte A befestigt. Am zweiten End­ punkte des Fadens befindet sich eine Masse M, so daß

*) Wir bedienen uns des technischen Ausdrucks Stange an­ statt der Benennung- Cylinder von geringem Durchmesser der Grundfläche gegen die Hthe.

238

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

der Fade« mit der Masse nach jeder Richtung und ««ter jeden Winkel gegen AB, z. D wie AC, von AB abge­ lenkt werden kann. Wir absträhiren vom Gewichte d«S Faden-, fetzen ihn, der auch Hurch eine zweite Stange ersetzt werden kann, so wie die Stange AB als abso­ lut fest, und nehmen die Bewegung der Stange AB um ihre Axe, mit einer bestimmten gleichförmigen Geschwindigkeit, oder während einer bestimmten Umdrehungzeit t um fich selbst erzeugt an; für t führt man auch wol den Bruch — ein, so daß dieser Quotient, die

Anzahl n der Umdrehungen der Stange um sich, in einer Zeiteinheit darsiellt (denn t: 1 = 1: n). Weil jeder materielle Punkt der Masse M, wenn der Faden AM sich nicht von der Stange AB entfernen könnte, einen Kreis zu beschreiben genöthigt wird, folg­ lich in jedem Punkte dieses Kreises nach der Richtung der Tangente fortzugehen strebt; so muß, indem das Ent­ fernen des Körpers M von der Stange AB an sich nicht gehindert wird, der Körper sich auch wirklich von AB entfernen, und die Größe dieser Entfernung, soll zunächst durch den Winkel BAC = a gesetzt, gemessen werden, wenn AM z. B. in die Lage AC gekommen ist. Wäre nun keine Kraft weiter vorhanden als das Beharrung­ vermögen nach der Tangente fortzugehen; so überzeugt man sich sehr leicht, daß L « bis 90° wachsen oder der Faden AM eine horizontale Lage annehmen müßte, dann würde ein Beharren in dieser Lage erfolgen. Weil aber das Gewicht jedeö materiellen Punkts, also daö Ge­ wicht des Körpers M in vertikaler Richtung nach un­ ten zu würkt; so müssen sich die zwei erwähnten würkenden Kräfte in ein Gleichgewicht setzen, d. h. der L « muß eine bestimmte Größe erhalten, und dann wird bei umgeänderter Umdrehungzeit, eine kreisförmige Bewe-

Von der Centralbewegung.

239

gung der Masse, längs der Peripherie des horizontal liegenden Kreises CKDH erfolgen. — Wir nehmen hier­ bei die Masse wiederum alS einen schweren Punkt dessen Gewicht M sei, an. Hätten wir vom Anfang an, stakt des Körpers M nur «ineu Punkt angenommen, auch die Stange AB nur als eine mathematische Linie be­ trachtet; so wäre daS Entfernen des Fadens AM von der Stange AB, nicht wol als nothwendig erfolgend zu beweisen gewesen. Ehe wir im folgenden §. zur Bestimmung der Rela­ tionen, zwischen denen bei der erwähnten Bewegung vor­ kommenden Größen gehen; ist zunächst deutlich, daß bei der in der Peripherie der Kreisebene erfolgen­ den Bewegung des schweren Punkts M (oder C), die Linie AC durch eine andere Linie CO, welche der Ra­ dius des beschriebenen Kreises, also senkrecht zur AB ist, als ersetzt gedacht werden kann*). DieLinie 0 0 würde dann aber laut §. 227. mit einer bestimmten Kraft nach ihrer Verlängerung CE ausgedehnt werden, d. h. der schwere Punkt 0 würde sich mit dieser Kraft nach CE zu entfernen streben; da aber diese Kraft nicht erst durch das Vertauschen der Linie AC gegen die OC erzeugt wird, so ist sie auch bei der Bewegung des Fadens AC in der erst gedachten Art, vorhanden. Wir erhalten dem­ nach laut §. 227. eine bestimmte vorhandene Schwung­ kraft 8 nach der Richtung CE in der Verlängerung der OC, während das Gewicht der Masse nach OE t=t AB (nemlich vertikal) würkt. — Weil man die Schwung­ kraft auch wol Centrifugalkraft zu nennen pflegt (§. 227), so erhalt die ganze beschriebene Vorrichtung, oder vielmehr die Linie AC mit der Masse M, den Na­ men- Centrifugalpendel (Siehe §. 196. Anm). So

240

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

schwierig die Theorie des Kreispendels ist, so «»fach ist die Theorie deS CeattifngalpeudelS, wobei die Linie AC gleichsam die Mantelfläche eines Kegel-, dessen Grundfläche der Kreis CKDH ist, beschreibt, so daß AC di« Seite des KegelS wird. Das Pendel bekommt hier­ nach auch den Namen: konisches Pendel. Wenn man die Linie AC ohne Gewicht, und die Masse M als einen Punkt ansieht; so heißt das Pendel noch besonders: ein mathematisches oder einfaches Centrifugalpen­ del, um e- vom physischen oder zusammengesetz­ ten Centrifugalpendel zu unterscheiden, bei welchem jene Abstraktionen nicht gemacht werden (Dergl. in §. 196. die analogen Benennungen für das Kreispendel).

Zusatz. Für die folgenden Untersuchungen mögen nachstehende Bezeichnungen dienen: n sei die Anzahl der Umdrehungen des Pendels (oder der Stange AB) in einer Zeiteinheit (Secunde), t die Umlaufzeit und c die Geschwindigkeit der Masse M, AC — I die Länge des Pendels, L BAC = a der Elongationwinkel (vergl. §. 196.), OC = AC sin BAC = 1 • sin a = r der Ra­ dius des Kreises CKDH, AO =± 1 • cos a = h bie Höhe des erwähnten Kegels (ACKDH), 8 die nach der Rich­ tung des verlängerten Radius r (z. B. nach CE) würkende Schwungkraft, M das nach stets vertikaler Rich­ tung (z. B. nach CF) würkende Gewicht der (in C be­ findlichen) Masse, und K die Kraft mit welcher der Fa­ den (die Stange oder Linie) AC nach seiner Verlänge­ rung CG, als Resultat der Würkung der Kräfte 8 und M ausgedehnt wird. Anmerk. Man kann die Bewegung des Centrifugalpendels, st­ auch dergestalt entstehen- Lenken, daß man bei der in §. 227. betrachteten Bewegung, die (dort erwähnte) horizontal durch A gehende Ebene MN plLtzlich wegnimmt; die Schwere, welche für die auf der Ebene MN sich bewegende Masse, als aufgehcbe»

Von der Centralbewegung.

241

bei» anzusehen wtr, wirb alsdann ganz «InwLrken, und aus der Kraft S und dem Gewichte der Masse M, wird jene Mittel­ kraft K «ntftrhen, welche -em Centrifugalpendel die erwähnte Bewegung giebt.

§.233. Anfgabe (Fig. 76.), Die Relationen unter denen beim mathe­ matischen Centrifugalpendel vorkommenden Größen zu entwickeln. Auflösung und Beweis. Die in §. 232. Zusatz erwähnten Bezeichnungen, und die Betrachtungen über die Bewegung des Centrifugalpendels wie sie im vorigen §. angestellt sind, vorausgesetzt; so ist zunächst deutlich, daß die Peripherie des vom schweren Punkte M beschrie­ benen Kreises CKDH, gleich 2m = 2^1 sin a, folglich dir Geschwindigkeit c (der Masse öl) = 2mn = 2«n 1 sin a (I.) ist. Also ist laut §. 230. die Schwungkraft

S=

M= M= 2gr 2gl sin a g ' ' Stellt die Linie CE als verlängerter Halbmesser OC, die Größe der Schwungkraft 8, und CF # AB die Größe des der Masse entsprechenden Gewichts M vor; so ist die Diagonale CG deS Parallelogramms CEGF, die Spannung des Fadens oder die Kraft K; also

k = _cf

cos a

= ce

sin a

'

M sin a — S cos a oder S = M

cos a cos a

sin er

alf0

— M taug a (HL), ° x

*) Auch kann man sich das Gewicht M nach CG und CP, so wie die Kraft 8 nach CG und CL zerlegt vorstellen/ wenn PL senk­ recht auf AG iß; dann ist CP = CF cos P C F = M sin u, und CL == CE cos LC E = S cos «. Da sich aber CP und CL das Gleichgewicht halten müssen; so ist M sin « = S cos wie oben g(funden ist. Frrstner's Mechanik. Bd II.

Dynamik; Abschnitt I, Kapitel V.

242

folglich (laut (II.)),

welche Formel zeigt, daß für die Bestimmung deS Win­ kels «, die Größe der Masse hier nicht weiter nöthig ist (Vergl. §. 234, 6 ). — Führt man die Umlaufzeit t ein, so ist (weil vt —2r-r) i (vergl. §. 230. Zusatz 1. (I.)); oder man setze n = y

(weil t: 1 = 1: n), so ist

“• ’=(VL)'

=

c' als auch c" < c' sein. Man erkennt sogleich, daß jetzt die kleinere unter den zwei bewegenden Kräften (M'c' und M"c"), einen ihr gleich -roßen Theil in der größeren dieser Kräfte tilgt, also die resultirende bewegende Kraft 4= MV ± M"v" ist; die doppelten Zeichen werden im besonderen Falle zu einfachen, sobald man festgesetzt hat, welcher Körper (K'oöerK") die positive Richtung haben, also welche der bewegenden Kräfte als positiv angesehen werden soll *). Soll K' die positive Richtung haben, so ist MV positiv, also M"c" negativ, folglich MV — M"o" die Summe beider bewegenden Kräfte nach dem Stoße; ist diese Summe positiv, so geht die Bewegung des neuen Körpers K, dessen Masse M 4- M ist, indem wie­ derum kein Grund zu einer Trennung beider Körper vor­ handen ist, nach der Richtung des Körpers K' weiter, ist MV — M"c" negativ, so hatte K" die größere bewe­ gende Kraft, und nach der Richtung des Körpers K" geht die resultirende Bewegung weiter; demnach wird das Zeichen der Summe MV — M"c" in beiden Fällen die Richtuug der Masse M' + M" oder des Körpers K an­ geben. Setzen wir für begegnende Körper die Geschwin­ digkeit nach dem Stoße gleich xzz, so ist wiederum: (M'+M")xzz=MV-M"c", demnach ^=^^^(11). Werden beide Resultate (I.) und (II.) zusammengefaßt, --------------

•) Könnt« man allgemein bestimmen, welcher Körper die größte bewegende Kraft hat, so könnte man zweckmäßig die Richtung die­ ses Körpers als die positive Richtung annehmcn.

Vom Stoße fester Körper.

257

faßt, and die resultirende Geschwindigkeit allgemein darch x bezeichnet; so ergiebt sich: _ M'c' =p M"c" (III), X— M' + M"

in welcher Formel demnach das Zeichen + im Zähler für einander folgende, und das Zeichen — für begegnende Körper in der erwähnten Bedeutung gilt (Vergl. §. 180. Zusatz 3.).

Anmerk. 1. Die Geschwindigkeit des Körpers oder -es schwe­ ren Punkts, welcher am Endpunkte eines einfachen Pendels sich befindet, kann man nach § 197, 1. sehr genau bestimmen, so­ bald nemlich das Pendel bei der Bewegung die vertikale Lage erreicht hat. Hierdurch kann man mittelst einer leicht zn erdenkende» Vorrichtung, die bewegende Kraft jenes Körpers ge­ nau angeben, und aus den Resultaten des Zusammenstöße»zweier solcher Körper, di« Theorie des Stoßes mit der Erfah­ rung vergleichen. Eine solche Vorrichtung (Pendelstoß­ maschine genannt) gehört mit zu einem vollständigen Percus­ sions-Apparate (Siehe §. 236. Anmerk. 1).

Zusatz 1. Aus der gefundenen Formel ergeben sich sehr leicht die folgenden Sätze: a) Ruht der Körper K" vor dem Stoße, ist also M'e' c' c = 0; so ist x — ^.j, . — jyp7 (!•)• Nimmt 1 + M'

man M" gegen M' unendlich (oder verschwindend) klein a»; so ist M' 4- M" = M', also x — c' (II.). b) Für M' = M" ist x —

(III.).

c) Ist bei begegnenden Körpern M' = M" und c' = c", oder ist auch nur M'c' = M"c" d. h. verhält sich M': M" — c" : c': so ist x 0. d) Nennen wir G den Gewinn und V den Verlust an Geschwindigkeit, welchen die stoßenden Körper nach dem Stoße in Vergleich zu jenen Größen vor dem Stoße, Forstrrer'S Mechanik. Vd. ll. 47

Dynamik; Abschn. II. Grodynamik; Kap. I.

258

erhalle» haben; dann ist sogleich deutlich da- allgemein,

noch

ohne Rücksicht

auf das Zeichen d«S Resultats:

G'=x-c'z V'=c'-x, G"=x—c" und V"=c"-x

ist; ob G ober V positiv oder negativ ist, hängt voty besondern Falle ab, und ist nunmehr leicht zu entscheiden.

e) Wird G oder V mit der entsprechenden Masse

multiplicirt, so erhält man den Gewinn (G, oder G„) und Verlust (Vz ober Vzz) an bewegender Kraft eines jeden der beiden Körper, wiederum mit den besonderen Zeichen + oder —, den Umstanden angemessen; z. B.

hiernach, daß der Gewinn Gz, gleich dem Verluste V/z,

so wie GZZ = V, ist, wobei man für den Fall der Be­

gegnung beider Körper, die Geschwindigkeiten c' oder c" entgegengesetzt nehmen muß.

So wird z. B. für die­

sen Fall V„ — (— c" — x) M" (wenn c' positiv gesetzt

genau wie fich Gz für Begegnung aus der vorigen For­

mel ergiebt*).

Anmerk. 2. AIS Zahlenbeispiel biene: der KörperH bnbt 7«pfl. Masse und 9 Geschwindigkeit, K habe 11 Pfd. Masse und 4' Geschwindigkeik. Begegnen beide Körper sich, fe ist nach er„ . 63_ 44 folgten» geraden Stoße, die Geschwindigkeit x == j- — rr

= 1-r. Fuß nach der Richtung des Körpers K ; dieser hat Gc« schwindigkeit gewonnen (G =) 1^ - 9 = — 7^. Fuß, also D«rlust(V --9-l^)gehabt;L hat verloren (V =)4-l^ — Fuß, also — 2',i Fuß gewonnen, i^ären die Körper einander gefolgt; so würde die resultirende Geschwindigkeit

') Die Modisieationen der erhaltenen Werthe, wenn einer von beiden Körpern vor dem Stoße als ruhend angenommen wird; sind leicht t» finden.

Vom Stoße fester Körper.

259

y-±i.= W = 5Vr 8“ß gewesen sein; dann müßte K hinter K" hergehen (wegen 9’ >4’); also ist der Verlust des K' an Geschwindigkeit 9 — 554 = 3Vr'z «nd der Gewinn de- K’ ist — 4 = li4 Fuß. Die bewegende Kraft de- Theil- der Masse M' in der ganzen Masse M' -+- M , ist 5-14.7/ als» 9 7 — 5{l. 7 = 3,'t . 7 = '217-g- der Verlust an bewegender Kraft diese- Theils; dagegen ist 515 • U die bewegende Kraft im Theile M", als» 5y} .11 — 4.11 = 1’t . 11 = 21T’Tter Gewinn (gleich jenem Verluste) an bewegender Kraft diese- Theil-.

Zusatz 2.

Als Erweiterungen der gefundenen For­

meln, können die Relationen für den geraden Stoß meh­ rerer Massen M', M", M"'..nunmehr leicht be,

stimmt werden.

Man findet hiernach

____ =t= MV =f M"c" x— M' + M" 4- M "

=f=. . .

Auch für dieses Resultat lassen fich einige Modifikationen

leicht angeben und bestimmen. Zusatz 3.

Was die Bestimmung der Geschwindig­

keiten c'z o" ..., anbetrisst; so ist dieselbe, wenn die Be­ wegung

einzelner Massen gleichmäßig beschleunigt

ist, nach den hierfür gehabten phvronomischen Sätzen und lant §. 187., ohne nähere Erläuterung zu bestimmen. —

Als ein besonderer erweiterter Fall hierbei,

ist §. 242.

anzusehen.

Zusatz 4.

Die sämmtlich bis hier erhaltenen Re­

sultate bekommt man auch, wenn man die Körper nickt absolut hart annimmt, sondern voraussetzt, daß sie

gegenseitig in einander eindringen, und nach dem Ein­

dringen mit der erzeugten Formveranderung als ein Kör­

per, die Bewegung fortsetzen.

Die Härte der Materie

verhindert nemlich nur die Formverändcrung; nimmt man dagegen beide Körper (oder einen derselben) weich an,

so bleibt die Größe der Masse so wie die Geschwindig­ keit unverändert, uüd laut Voraussetzung erzeugen sich

17*

260

Dynamik; Abschn. II. Grodynamik; Kap. I.

nach dem Stoße keine neue Kräfte, also keine neue De-

dingnngen gesen die der Aufgabe des §'S. §. 239-

Aufgabe.

Die Resultate nach erfolgter wieder her§esiellter Form, bei dem geraden Stoße zwei er ab­ solut klastischen Körper (§. 236, 4.) K' und K"

zu bestimmen. Auflösung und Beweis.

Die Bezeichnungen M',

M", c' und c", also auch M'c' und M"c" bleiben wie im

vorigen §. — Aus der vorausgesetzten Eigenschaft ab­ solut elastischer Körper folgt, daß sie die ganze zu

ihrer Formveränderung (oder Zusammendrückung, welche laut Annahme augenblicklich erfolgt) wechselseitig ver­

wendete Kraft, im Augenblicke der größten Zusammen­ drückung wiederum auf die Herstellung der ursprünglichen Form verwenden.

Nemlich: der Körper K' verwende

z. B. P' bewegende Kraft zur Formveränderung des Kör­

per- K"; so hat im Augenblicke der größten Formverän­

derung

(oder Zusammendrückung), der K'

M'c' — P7 bewegende Kraft.

nur

noch

Weil aber in diesem Augen­

blick der K" auch P' Kraft gegen den Widerstand wel­ chen der Körper K' leistet, verwendet, um seine vorige Form wieder herzustellen; so hat der Iv'nach dieser Wie­

derherstellung noch M'c' — 2P' bewegende Kraft, oder er hat

überhaupt 2P' bewegende Kraft verloren;

diese

Kraft 2P' muß demnach der Körper li" gewonnen ha­ ben (§. 177, 4.).

Das, Analoge ist der Fall für die

Kraft P", welche der K" zur Formveränderung des K', und dieser zur Wiederherstellung seiner Form gegen den

Widerstand des K" verwendet; also ist M"c" — 2P" die

bleibende Kraft, oder 2P" der Verlust der bewegenden Kraft des Körpers K", und 2P" zugleich der Gewinn

an bewegender Kraft des K'.

Man sieht also, daß jeder

Bom Stoße fester Körper.

261

-er beidett Körper doppelt so viel bewegende K^aft ge­ winnt und verliert, als wenn er die Form nicht wie­ der herstellte, und jener Gewinn oder Verlust ist so groß alS er eS bei harten Körpern laut §. 238, Zusatz, e, sein würde. — Weil aber die Massen M' und M" nach wie­ derhergestellter Form, wiederum M' und M", d. h. unge­ ändert geblieben sind, so muß auch der Gewinn und der Verlust der Geschwindigkeiten (als Quotienten der be­ wegenden Kraft durch die Masse), doppelt so groß sein, als wir ihn im vorigen §. für absolut harte Körper fan­ den. Nennen wir demnach / und y" die Geschwindig­ keiten nach der Wiederherstellung der Form, und x die Geschwindigkeit welche stattsinden würde wenn die Kör-

per hart wären, so daß laut§. 238. x =

ist, und offenbar im Augenblicke der größten Zusammen­ drückung, x wirklich stattfindet *); so ist nunmehr (bei begegnenden Körpern die Richtung des K' als positiv gesetzt) sofort nach §. 238. Zusatz: M-'c'=p M"c" y' = c'+(x — c')2 = 2x — c' = 2 _ M'c' 4- (=f 2c" — c') M" , “ M'-f- M" ( ;

so daß also für einander folgende Körper , _ M'c' + 2M"c" — M"c' M,c'+M"(2c"—c') y ~ M'-t-M" —

,

und für begegnende Körper *) So lange ncmlich muß offenbar die Formvertaderung gegen­ seitig erfolgen, als bei sich folgenden Körpern, der Hintere noch «ine größere Geschwindigkeit als der »ordere hat, oder bei begeg­ nende« Körpern, die größere bewegende Kraft die kleinere noch nicht überwunden, oder die dieser kleinere» Kraft entsprechende Ge­ schwindigkeit nicht aufgehoben, oder in die Geschwindigkeit der Masse mit größerer Kraft verwandelt hat.

262

Dynamik; Abschn. ll. Geodynamik; Kap. L

, M'c' — 2 M"c" — M"c' MV—M" (2c"+c') y “ M'+M" — M' + M"

x

ist. — Ferner tst allgemein:

y"=zp c" 4- (x - zp c") 2 = c"+(x ± c") 2 — 2x±c" MVzpMVV „_=t=M"c"±(±2c'+c")M' ,„rv ---2- M'+M" —' M'+M" ( ) für einander folgende Körper ist also

„ 2M'c'+M"c"—M'c" _ MW—c")+M"c" y — M'+M" ~ M'+M"

x

vNd für begegnende Körper ist

„_2MV—MV'+M'c" ’ M'(2c'+c")-M"c"/VIX y ~ f+M" — M'+M" ( Unter den verschiedenen anderen Formen, auf welche man

nach rein mathematischen Umwandlungen die obigen zwei allgemeinen Ausdrücke für y' und y" auch zu bringe» pflegt, mögen hier nur erwähnt sein:

wo die oberen Zei«

chen für begegnende, und die unteren für sich folgende Körper gelten. Zusatz. Unter den mannigfaltigen Betrachtungen welche die hier gefundenen Formeln darbieten, sind be­

sonders folgende zu beachten: a) Sind die Massen beider Körper gleich groß; so hat man bei

+ 2 M'c' 2M'

und y"—

d. h. die Körper gehen mit vertauschten Ge­ schwindigkeiten weiter, sobald sie sich folgten; aber wenn sie gegen einander gingen, so keh­ ren sie mit verwechselten Geschwindigkeiten

Vom Stoße fester Körper.

263

wieder zurück (Zurück nemlichder Natur der Sache gemäß, oder der umgekehrten Zeichen wegen).

b) Sind die bewegenden Kräfte beider Massen gleich groß, also MV = M"c"; so hat man bei begegnen­ den Körpern , MV — M'V — 2M"c" — M'V — M"c" y ~ M'+ M" — M' 4- M" c

— M'V — M'c' — (31" 4- M') c' M'4- M" “ M' 4- M" ~

y ~

M'c" — M"c" 4- 2MV M'c"4- M"c" M'4-M" “ M'4-M"

, °, Unö

, h° *

d. h. die Körper kehren mit ihren eigenen Ge­ schwindigkeiten wieder zurück. c) Ist der Körper K' in Ruhe (also = a.

V. d. Drehbewegung. IL Moment d. Trägheit. 313 die anderen Elemente der Bewegung sich leicht erge­

ben *). 5) Hat man ein System von Massen M', M"...,

deren Vektoren V, r"..., find, und würken in den Ent­ fernungen f, f'..., von der Axe die Kräfte K', K"...

(laut §. 247, 5.); so ist auS dem Gesagtem nunmehr deutlich, daß man die Elemente der Bewegung (§. 249.

B.) einer jeden jener Massen findet, wenn man die sta­ tischen Momente der Kräfte, d. h. K'f, K"f"..., auf eine Kraft X in irgend einer Entfernung y von der Axe

(nach statischen Lehren) reducirt **), so wie die Summe

der Momente der Trägheiten, nemlich MV1, M"r"2..., sucht.

Nennt man yX und S (Mr1) diese beiden Mo­

mente;

dann ist j. B- die Willkelbeschleunigung b

des Systems, gleich g - @

(§• 249. B. (III.)); also

für irgend eine jener Massen, z. D. für die M', ist dann

die Beschleunigung == gr' -

Für einen Kör­

per ist wiederum yX — Kf, wenn nur eine Kraft K würkt.

U. dgl. m.

6) Um auch eine Anwendung auf Maschinen schon

hier zu zeigen; nehme man an, um die Welle eines Ra­

des (§. 95.) befinde fich ein Schnur, an deren eine Seite die Last L 4- p, an der anderen aber die Last p fich be­

finde; an der Peripherie des Rades würke ein Gewicht, dessen Masse K sei, vertikal abwärts.

Läßt man die

Hindernisse, so wie die Trägheit der Maschine außer

’) Mit dieser Auflösung vergleiche man die Aufltsung der Auf­ gabe §. 281. **) Der vorausgesetzten Würkungen der Kräfte K, K"..., we­ gen, ist offenbar K’f +K'r' + ... = yX; man kann also y oder x beliebig annehmrn, und X oder y hiernach bestimmen.

314

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II

Acht; so ist deutlich, daß wenn r und R die Halbmesser der Welle und des Rades sind, nur dann eine Bewegung der Maschine, nach der Seite der K abwärts geschehen Lr kau«, wenn K > -g- ist. Denn L ist die Last L4-p—p;

und nach dem Halbmesser des Rades versetzt, ist eine Last

T f J

mit L im Gleichgewichte.

Lr also K —.

Die bewegende Kraft ist

Die bewegte Masse aber, ist in der Rich-

p2 tung der K, offenbar K 4- (L 4- 2p) jp; denn L 4- 2p ist die Masse welche an dem Seile der Welle, hängt, und diese in der Entfernung r von der Axe befindliche Masse,

giebt für die Drehbewegung, in der Entfernung R (in

r2 der sich K befindet), eine Masse gleich (L 4- 2p) jp . Es ist mithin die Beschleunigung b mit welcher K sinkt,

„

Lr

---- »

b = g------------------- —------- r (§. 187.) oder b — K + (b + 2p) jp

R 8-kr(KR-Lr) 7+ (L~+2p)'r~ a' •

yuS dieser Gleichung kann

man die Größen K, L, R, r und p wiederum finden, wenn b gegeben ist.

gR (KR - Lr)

P- —

Z. B. ist

KR5

L

„

2br---------- ” ~2^ ~ ~2 5 "Ellch P, oder 2 r* das Gewicht welches man auf beiden Seiten der, über

der Welle befindlichen Schnur, zulegen muß, wenn die

Beschleunigung welche sich zuerst nur für die Würkung der Massen K und L ergiebt, nicht die ist, welche erzeugt werden soll, oder welche verlangt wird.

U. dgl. m. *).

) Als Zahlenbeispiel diene hier- K = 7 Pfd-, L = 41 Pfd.,

V. d. Drehbewegung, n. Moment d. Trägheit. 315 §. 255. Anmerkung.

Die wichtige Aufgabe: daS Moment der Träg­ heit eine- Systems stetig verbundener Elemen­ tarmassen, also sowol der materiellen homogenen Linien nad Flächen alS der Körper zu finden; kaun allgemein nur durch die höhere Mathematik gelöset wer­ den, ist also ein Gegenstand der höheren Mechanik. Doch ist «ach einer mehr gebrauchten Methode, wonach man die materiellen Linien als aus unendlich vielen materiellen Punkten bestehend anfieht, und analog für die Flächen und Körper verfährt, jene Aufgabe auch für viele Kör­ per elementar lösbar, und diese Auflösungen werden hier um so wichtiger, weil von den hierdurch erhaltenen Re­ sultaten, bemerkenswerthe Anwendungen gemacht werden können. Alles kommt hierbei auf die elementar zu voll­ ziehende Summirung gewisser Reihen an, wofür die etwa nöthigen näheren Erläuterungen folgen sollen. — Auch hier können wir, analog wie es bei der Aufsuchung des Schwerpunkts in der Statik geschah, einfache und zu­ sammengesetzte Systeme unterscheiden, wobei letztere als aus Summirung der ersteren entstehend gedacht wer­ den. — Durch die drei zunächst folgenden Paragraphen, wird die Auflösung der mehrgedachten Aufgabe, noch für viele Fälle wesentlich erleichtert, weshalb diese allgemei­ nen Sätze oder Aufgaben noch erst vorhergehen sollen.

§. 256. Aufgabe. (Fig. 79 ) Das Moment der Trägheit eines Körpers K = 3/ r —2 und b soll 2jmal geringer als g, also J. 15$ = &} sein. ES «giebt sich, daß zu jeder Seite der Schnur über der Welle, 1$ Pfd. zugclegt werden muß (Siehe Eytelwein'S Hand­ buch der Mechanik fester Körper und der Hydrostatik, §. 62.). Bei Berücksichtigung der Trägheit der Maschine, siehe §. 266. Zusatz 2. UNd z. 314.

316

Dynamik; Abfchn. H Geodynamik; Kap. D.

AB zur Axe VW fei gegeben. Ma« soll hier­ aus da- Moment der Trägheit h'2M desselben Körper-, gegen eine ander« Axe ST parallel der Axe VW, finden. Auflösung und Beweis. Man wähle in der Axe VW einen beliebigen Anfangpunkt der Coordinaten z. D- O, lege durch die Parallelen VW und ST, die mögliche Ebene, und ziehe in dieser die Linie OY senk­

recht zu beiden Axen.

Zieht man noch eine Linie OZ

senkrecht in O zu jener Ebene; so hat man drei,

im

Punkte O eine rechtwinkliche Ecke bildende Ebenen XY,

XZ und YZ; oder man betrachte die drei Axen OX,

OY und OZ, kurz X, Y und Z genannt, auf welche sich die Coordinaten x, y und z beziehen.

Fällt man nun

vom Punkte E, in welchem die Masse m eines Elements

des Körpers sich befinde, die Perpendikel EG und EF

auf beide Axen VW und ST; so ist EG2 • in oder r2m gesetzt, das Moment der Trägheit des Elements m gegen

die Axe VW, folglich isi ® (r2 m) = h2M (§. 253.), wobei h2M (laut Annahme) das bekannte Moment der

Trägheit des Körpers ist.

Bezeichnet man EF durch r',

so ist r2m das Moment der Trägheit des Elements in

gegen die Axe ST, folglich ist G (r'2m) das zu bestim­ mende Moment der Trägheit h'2M des ganzen Körpers

gegen die Axe ST.

Nun fälle man von E den Perpen­

dikel EC auf die Ebene YZ und von C die Senkrechte

CD zur Axe Y; dann tfl EC = x, CD = z und OD = y, während die Linie OQ = d gesetzt, bekannt ist.

Verbindet

man endlich noch C mit O und mit Q; so sind CQFE und COGE Parallelogramme, also EF (= r*) --- CQ

und EG (= r) =? CO.

Nun ist:

CÖ2 = CD2 4- ÖD2 d. h. r2 = z2 4- y2 und CQ2 = CD2 4- Cv2 d. h. r'2 = z2 + (y — d)2 oder = z2 4- y2 4- d2 — 2 yd; folglich auch

V. d. Drehbewegung. II Moment d. Trägheit. 317 ra m = (z2 + y2) m, oder S (r2 m) d. h. h2M = © ((z2 + y$) m) (I.) *)

vnd eben so S (r^2m) oder h'2M =

S ((z2 4- y2) m) + d2@ (m)**) — 2d© (ym) (II.). Setzt man also laut (I.) für © ((z2 + y2) m)-t>en Werth

h2M; so ist h'2M = h2M + d2M — 2d© (yrt)-(IIL) veil © (m) -- M ist. — Diese Gleichung welche fich leicht alS besonderer Satz auSfprechen läßt, giebt die gesuchte

Relation. — Die Schwierigkeit welche die Form S (ym)

darbteten könnte, wird im folgenden §. untersucht werden. Anmerk. Es ist wol zu beachten, daß da- dritte Glied de- für l»’M gefundenen Ausdrucks immer negativ |tt nehmen ist; denn wie auch die Axe ST gegen die Axc VW liegen mag, ft «)rd man sich leicht überzeugen, daß f stets, entweder gleich y —d oder gleich d — y ist, selbst al- — y -+- d erscheine« kann (wenn die Coordinate y negativ wird, d. h. nenn ST auf der anderen Seite der VW liegt); immer ist als- r2 = (y-d)* = (d — y)2=y* ■+■ d* — 2yd.

§. 257.

Zusätze.

1) Wenn man von dem (in der Figur nicht bezeich­ nete«) Schwerpunkte des Körpers, auf die Ebene XZ

den Perpendikel (also parallel der Axe Y) p fällt; so ist

laut §. 48. Zusatz 1. oder laut §. 73,4., zufolge der jetzt

gewählten Bezeichnung, pM = © (ym).

Man erhält

alSdann die im vorigen §. gefundene Formel (III.) in dieser Form: h,2M

h2M + d2M — 2dpM (I), woraus auch folgt

*) Zur etwa nöthigen Erläuterung dieser Summirung, ist nur zu beachten, daß für die verschiedenen Elemente und deren CoordiNateN, ist: r’tn = (z-1 -z- y’2)m', r"2 m — (z"2 -j- y "2)m" U. s. w-, wonach die Summirung als S(r2w) und S (y2 4- z2) w deut« lich ist. **) Offenbar ist d* m’ 4- d* m" 4- ... = d2 (m' 4- m" 4-...) => d2S(m); analog bet dem folgenden Gliede S (2ydm)=2d@(ym).

318

Dynamik; Abfihn. IL Geodynamik; KSp. DL

h'2 = h2 4-d1 — 2 dp (II.).

Diese Formel giebt zu eini­

gen leicht zu findenden Bemerkungen Veranlassung.

2) Wenn die Axe VW durch den Schwerpunkt selbst geht, so verschwindet der Perpendikel p.

Die Formel (I.)

in N». 1. giebt daun: h'2M = h2M -4- d2M oder h'2 = h2 + d». Diese Formel enthält eine« wichtigen

leicht auSjufprrchrnden Satz. — Es ist deutlich, daß hier h die Entfernung des HauptmittelpunktS per Träg­

heit (§- 250. Zusatz 1.) von der durch den Schwerpunkt

gehenden Axe ist, und daß aus der eben gefundenen Glei­ chung (weil d2

Wiederum

ist

stets positiv ist) folgt: h' >- h. —

nun

auch h2M = h'2M — d2M oder

h2 — h'2 — d2.

3) AuS der Formel in No. 2. folgen sofort einige wichtige Sätze; nemlich: a. Die Momente der Trägheit gegen alle, vom Schwer­ punkte gleich weit entfernten parallelen Axen, find einander gleich. b. Unter den Momenten der Trägheit gegen mehrere

parallele Axen, ist dasjenige Moment am größ­ ten oder am kleinsten, vaS zu der Axe gehört,

welche refpective am entferntesten oder am näch­

sten am Schwerpunkte liegt (Daß d2 stets positiv

ist, ist hierbei wesentlich zu beachten). — Unter jenen Momenten der Trägheit, ist also das kleinste, daS sich auf die durch den Schwerpunkt gehende Axe bejiehende Moment (Siehe §. 272, 7.).

§. 258.

Aufgabe. (Fig. 79.)

Das Moment der Trägheit h2M eines Kör­

pers gegen eine Axe NP ist gegeben; man soll

das Moment der Trägheit h'2M gegen eine an­ dere, der Lage nach bestimmten Axe LK finden,

welche die erstere Axe im Punkte O schneidet.

V. b: Drehbewegung. II. Moment d. Trägheit. 319

AvflSsung und Beweis. Durch den Punkt O lege man noch zwei, mit NP in O eine rechtwinklicht Ecke bildende Coordinatenaxen OV und OZ, so daß

OV = X, OY = Y »nt>

OZäZ ist; die Coordinatm

x, y, z..., beziehen sich wie in §- 256. auf diese Axen,

oder auf die durch diese Axen zu legenden Ebenen, fäk

ein in E befindliches Element des Körpers; m fei wie­ derum die Masse dieses Elements; und laut §. 253. ist h2 M = © (r-m), — Nachdem die Covrdinaten EC = x, CD = z und OD = y, auf bekannte Weife bestimmt sind, verbinde man den Punkt E mit D; dann ist (nach rein mathematischen Lehren) ED senkrecht zur Y, also ED = r,

und r2m das Moment der Trägheit des Elements gegen die Axe Y. Ferner verbinde man E mit O, nenne EO=e, bezeichne den L KOE durch y, und die Winkel welche die Linien OK und OE mit btn drei Coordinatenaxen bilden, seien respective

a (=Z_KOX), ß (= Z. K 0 Y), z (= Z. K O Z), so toie a,(=Z.EOX), /y (=Z.EOY), /(=Z.EOZ). End­ lich fälle man von E auf OK den Perpendikel EH, welcher als Vector zur Axe OK, durch bezeichnet werde; so ist Ell = OE sin y und OH = OE cos y, oder / — e sin y und OH — e cos y (L).

Nunmehr ist ED2 = EC2 4- CD2, d. ss.

r2 = x2 4- z2, also r2 in = x2 in + z2 in, folglich S (r2in) d. h. h2M = © (x2m) 4- © (z2in) (U.). Ferner ist nach rein mathematischen Lehren: cos y = cos a cos a* 4- cos ß cos ß' 4- cos 7 cos 7' (III.) *),

so wie EÖ2 = EC2 4- ÖÜ2 = EC2 4- ÖD2 4- DC2 d. h. e2 = X2 4- y2 4- z2 (IV.).

Wett NUN EU2 • m

oder r'2m zunächst, und hieraus © (r'2m) = h'2M zu

*) Siehe die Anmerkung zum §

320

Dynamik; Abschn. H. Geodynamik; Kap. II.

bestimmen ist; so hat man, weil laut (I.) V2 = e2 ein y2 (V.) ist, erst ein y2 zu finden, dessen Werth fich aus (HI.) al- ---1 — cos y2 ergiebt. Man wird aber in (in.) für cob a, cos ß und cos /, aus bett rechtwinkltchrn Trian­ geln EOG (wenn EG senkrecht zur X gefällt wird), EOD und EOZ (wenn man von E jur Z eine» in der Figur nicht gezogenen Perpendikel EZ fällt), sogleich die Werthe finden:

,s 008“

OG CE\ x OE~OeJ — e' C0S^ K

Ov> y 0EL/ ~T

und cos / = —; e demnach ifl cos y = (x cos a + y cos ß+ z cos y): e, also

. - , „„ . fx'cosa+ycos/fq-zcosy'S3 smy’sl — cos y 9 = 1 — —-------- -—- ----- '-------- - \ ss (e2 — X2 cos a2 — y cos ß1 —z cos y2 —2xycosacos/?—2xzcosacosy—2yz cos/^cos/) :e2; mithin, wenn man auf der rechten Seite für e2 seinen Werth laut (IV.) setzt, ist-

e2 sin y2 d. h. (laut (V.) t=) V2 = x2 (1 — cos «2) + y2 (1 — cos ß2) + z2 (1 — cos/2) — 2xy cosacos/7 — 2xz cos « cos / — 2yz cos ß cos /.

Setzt man (1 — cos 9) = sin’, und multiplicirt beide Seiten mit m; so ist : r*2 in -ss x2 in sin a2 + y2m sin ß2 4- z2 m sin y2 — (2xym cos a cos ß+1xzm cos «cos /*+- 2yzm cos ß cos /). Demnach, weil die Sinus und CofinuS der Winkel ß und /, hier beständige Größen find, erhält man ©(r^m) d. h. h'9 M — sina9©(x2m) +sin£2@(y2m) 4-sin/2@(z2in) — 2(cos«cos^©(xym)-4-cosacos/©(xzm)-t-co8^cos/©(yzni))

(VI.). Drückt man der Kürze wegen das ganze zu sub«rahirende (vierte) Glied durch 8 a»S, so ist:

h,2M

V. d. Drehbewegung. II. Moment d. Trägheit. 321

liZ2M:=sina3©(x2in)H*sin/J26(y3in)4-6iny2©(z3m)—8

(VII.). Die drei erste« Glieder enthalten die Moments der Trägheit des Körpers in Beziehung zu den drei Coordinatenebenen; es fehlt in dem AuSdrucke also «och der gegebene Werth haM. Nun ist, wie schon erwähnt, t2 =±Ed’ =sEC’ + CD’ = x» 4- z* und S (r’m) -----

h3 M == © (x2 m) 4- © (z2 m); setzt man daher statt d3öl die Bezeichnung M(Y) (das, sich auf die Ape Y be­ ziehende Moment der Trägheit), und öl(2), M(X) für die stch auf die Apen Z und X beziehenden, jedoch nicht durch dle Aufgabe gegebenen, Momente der Träg­ heit; so hat man:

M(Y) ±± ©(x2m) 4- ©(z3 m), uhb analog wird) M (X) ±= © (y3 m) + © (z2 m), so wie [ ( VI1I.) M (Z) =: © (x2 m) 4- © (y’to);

)

dann giebt eine leichte Rechnung hieraus:

M(X) 4- M(Y) — M(Z) ---- 2S(z-m) oder \ 4 [M (X)+M (Y) - M (Z)J=© (z2 m). Analog ist nx« ^»I(X)4-»I(Z)-öI(Yy----©(y 2n>),s»wieauchl1 i [M (Y)+M(Z) - M (X)]=s © (x3 in). ) Hiernach wird nun die Gleichung (VIL) diese-

h'2M = sin a2 -1 [M(Y) 4- M(Z) — M(X)] 4* sin ß2.4 [M(X) 4- M(Z) — M(Y)J 4sin y2 . | [M(X) 4- M(Y) — M(Z)] - 8. Eine einfache Umwandlung giebt: h'2 M =s |M(X) (sin ß2 -4- sin y2 — sin a2) 4|M(Y) (sin «2 4-sin y2 — sin ß2) 4|M(Z) (sin a2 sin ß2 — sin y2) — 8 (X.); und weil allgemein cos «2 + cos ß2 4. cos y2 = 1 ist (vergl. das Ende von §. 28.), so ist cos «2 = 1 — cos ß2 — cos y2, folglich 1 4* cos a2 — 1 — cos ß2 4-1 — cos y Scrfinef} Mechanik SB». II. nt

322

Dynamik; Abschn. II. Geodynanük; Kap. II.

oder (weil allgemein sin 2 4- cos 2 = i ist)

ein a2 4- cos a2 4* cos a2 d. h. sin a* 4- 2 cos «2 =

sin ß3 4* sin y2, woraus cos a2 = |(sin ß1 4- ein y2 — sin a2) folgt. \

Eben so findet man

f

cos ß- = |(sin a2 4- sin y2 — sin ß-), und t cos y2 — |(sin a2 4- sin ß3 — sin y2).

/

Hiernach wird die Formel (X.) zu dieser: h,2M=M(X)cosa24-M(Y)cos£24-M(Z)cosy2-S(XlL).

In dieser Gleichung ist das Glied M(Y) cos ß3 bekannt; denn M(Y) ist das gegebene Moment der Trägheit h2M,

und der Winkel ß ist durch die Lage der gegebenen Axe

bestimmt; die anderen drei Glieder, deren Bedeutung deut­ lich ist,

können ihre» Werthen nach, noch dahin gestellt

bleiben (Siehe $. 271.).

Demnach erfüllt diese Gleichung

die Forderung der Aufgabe.

Verschiedene Bemerkungen

über das gefundene Resultat werden künftig, besonders in §. 272. noch vorkommen.

Anmerk- Die vielleicht dem Leser nicht bekannte Entwicklung

der Gleichung (III.), ist felgende. — Man denke sich (Fig- 79. b.) aus dem Punkte 0 mit dem Halbmesser 0 E zwischen den Schen­ keln des Winkels EOH=s — h', so daß also die Seite 1L durch die Mitte der Höhe AD geht; dann erhält man Q 1.3 ans No- 2, T = = und aus No. 3., T =

7h

= T’TMhl.

ES verhalten sich demnach die Mmte. d. Tkght. bei beiden Dre­ hungen, d. h. um die Seite BC und um die IL, wie 8 zu 7. — Viele andere, jedoch überwiegend rein mathematische Umwand­ lungen, lassen sich noch leicht finden. 4) Für ein um die eine Seite sich drehendes Parallelogramm, findet man aus den Formeln (IL) in No. 2. und 3. sehr leicht das Mmt. d. Trght., wenn man nemlich Ii' unendlich setzt. Hierzu verwandele man z. B. die Formel (II.) in No. 3- in diese:

das zweite Glied der Parenthese verschwindet für h' alS unendlich, und man erhält T = |Mh2 • 2 = |h2M (I.) = |h3g (II.), wenn M = gh gesetzt wird. Geht die Axe DK durch den Schwerpunkt parallel einer Seite BC, zu welcher die Höhe BC des ganzen Parallelogramms BMNC genommen ist; so ist das Mmt. d. Trght. des

Theils BNCD, gleich | • |M . KN2, weil KNCD = KDMN = |M (nemlich M = BMNC) ist. Also ist für

das ganze Parallelogramm,

T = 2-|M. KN2 = -LM - 1MN2 — T'TMh2 = T'Th»g (III.). Steht die Ebene NUSC senkrecht zur Ebene NCBM des Parallelogramms, und US ist L NC; so ist das Mmt. d. Trght. des Parallelogramms BN gegen die Axe US, laut §. 257, 2. und der so eben gefundenen Formel (III.) hergeleitet:'!'— rLMh2+M(KN24-NÜ2), indem KC = v (KN2 + N U2) die gehörig genommene

V. d. Drehbewegung. II. Moment d. Trägheit. 339

Entfernung der Axe US von der ihr parallelen kini» KD durch den Schwerpunkt bezeichnet- Weil aber KN ==|MN — |h ist; so verwandelt flch die letzte For­ mel, wenn NU = e gesetzt wird, in T T'jMh2 + M (}h2 4- e-) — (|h2 4- e2) M (IV.). Man überzeugt sich nunmehr sogleich, daß wenn BN kein rechtwinkliches Parallelogramm ist, und dek schiefe Winkel desselben « heißt, die Seite MN (nun Nicht senkrecht zur NC) aber s genannt wirh: h == s sin «, die Formel (I.) zu |Ms2 sin «2, so wie die Formel (IV.) zu Gs2 sin «2 4- e2) M wird. — Sollte auch die Ebene NS unter L ß gegen die Ebene BN geneigt sein, so ist T = (j-s2 sin ö2 4- e2 — es sin a cos ß) M (V.), in wel­ cher Formel die entwickelten besonderen Formeln wieder liegen. Anmerk. 4. Di« Formel T = }h’g —T’a.

m ÄNmerk. 3/

giebt auch sogleich T = j.h3g (=111'31), wenn t unendlich gesetzt wird- — Die selbstständige Entwicklung für T, giebt offenbar

= h* M . ^ . |n (n-i- l)(2n + l); also für » als unendlich Tah'M.-l.i. 2n’ = LI,' M. II3

1

Auch führt die Summirung der beiden Formeln und Ih'.M, für die zwei Triangel, in welche man durch die Diago­ nale das Parallelogramm zerlegen kann (flehe §. 263. und No. 1. (II.) des §'s), auf die Summe |h'M, oder weil hierbei M stch auf einen der zwei gleichen Triangel bezieht, so ist nur lh*M = T zu setzen, sobald M die Masse der Parallelogramm» bezeichnet.

5) Das Moment der Trägheit für ein belie­ biges Polygon zu finden, das sich um eine, fre? 22 *

340

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II.

liebig in seiner Ebene liegende Axe dreht. — Weil man das Polygon durch parallele Linien mit der angenommenen Axe, in lauter Triangel und Paralleltrapeze, die auch wol in besonderen Fällen Paral­ lelogramme werden können, theilen kann; so ist das gesuchte Mmt. d. Trght., aus der Summe der Mmte. d. Trght. der Theile, die nunmehr zu bestimlnen gelehrt sind, leicht herzuleiten. — Viele Bemerkungen und Fra­ gen bei besonderen Polygonen, namentlich bei den regu­ lären, so wie bei gewissen Lagen der Axen, lassen sich leicht anstelle» und beantworten. 6) Wenn die Axe außerhalb der Ebene, mit dieser also in fester Verbindung stehend, gege­ ben ist; so findet man das Mnit. d. Trght. gegen jene Axe, aus den so eben angeführten Sätzen, durch Hülfe des §. 256., 257. und 258., worüber nunmehr nichts Nä­ heres mehr zu erwähnen nöthig ist, mögen die erforder­ lichen Auflösungen dann auch alle Schwierigkeiten dar­ bieten, welche in den erwähnten Sätzen genannt sind (Man vergl. §. 258. Zusatz). An merk. 5. Die Momente der Trägheit btt Ebenen, welche sich «m Axen drehe« die senkrecht -ur Ebene stehen, find nicht rvol allgemein elementar zu entwickeln. Don den Schwierig­ keiten hierbei wird man sich leicht überzeugen, weil nemlich die Elemente der Ebenen, in verschiedenen Entfernungen von der Axe liegen. Beim Kreis« findet diese Schwierigkeit nicht statt (Siehe den folgenden §. — Auch vergl. §. 267. Anm. 2.).

§. 265. Aufgabe. Das Moment der Trägheit einer Kreis fläche zu finden, welche sich um eine Axe dreht, die senkrecht zur Kreis ebene durch den Mittelpunkt geht. Auflösung und Beweis. Man stelle sich die Kreisfläche in n cvncentrische Kreisringc getheilt vor,

V. d. Drehbewegung. 1L Moment d. Trägheit. 341 deren jeder die Breite -|-r hat. Ist n unendlich groß,

so ist offenbar der Inhalt eines jeden dieser Ringe, dessen Elemente sämmtlich gleich weit vom Mittelpunkte oder von der Axe liegen, gleich der Länge seiner (inneren oder äußeren) Peripherie multiplicirt mit jener Breite -^-r. Ist daher der dem Ringe entsprechende (größere oder klei« 1 nere) Radius allgemein x; so ist 2xa • — r fcer folglich X? . 2xrr - -^-r =

• x» das Mmt. d. Trght.

des Ringes. Weil nun die erwähnten Radien, vom Mit12 3 telpunkte aus gezahlt, nach einander —r, — r, —r.. r sind, so ist 2rn/'t-r» 2»r» n k ii» + n» o 7i r4 = ^(V+2>+3>+...U-).

Für n als unendlich if! (I3 + 2» 4-... n») =a * u4 (stehe §. 263 und die Anmerk, daselbst), also ist

T=

-In* = zr4-r (I.) oder T= £r»M (II.).

Zusatz 1 Für einen Kreisring, dessen innerer Halbmesser r und äußerer 11 ist, findet man nunmehr sogleich T = n (H4 — r •) (I.); und weil wie bekannt die Fläche oder Masse des Ringes gleich (R2 — r2) ” ist, so wird T ----- |;r(R2 — r2) (R2 4- r2) (R2 4- r2) M (11.). — Für einen Kreisausschnitt, welcher

der

Kreisfläche sei, ist nunmehr T (---^r2ül, wenn M die Masse des ganzen Kreises ist, oberj = j r2 M', wenn M' die Masse des Ausschnitts ist.

342

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II.

Zusatz 2. Soll der Kreis sich um eine nicht durch den Mittelpunkt gehende, aber senkrecht zur Kreisebene stehende Axe drehen; so ist die Entfernung e der Axe vom Mittelpunkte, als Theil des Halbmessers leicht zu bestim­

men. Laßt man die Axe z. B. durch die Peripherie ge­ hen, fetzt also v — r; so wird T = J- r2M 4- r2M =; f r2M (Siehe §. 257, 2). Noch andere Betrachtungen, die sich hier leicht anstelle» lassen, ergeben sich wiederum leicht von selbst. An merk. Durch die bekennte elementare Vergleichung des Krei­ ses mit einer Ellipse, könnte nun auch daS Mmt. d. Trght, einer Ellipse elementar gefunden werden, doch wird hiervon künftig kein Gebrauch gemacht, die Auflösung daher hier übergangen §. 266- Aufgabe.

Das Moment der Trägheit eines geraden tylindrifchen Körpers *) zu finden, welcher sich um eine Axe dreht, die senkrecht zur Grund­ fläche, d. h. parallel einer Seite (oder der Höhe)

des Körpers geht. Auflösung und Beweis.

Man denke sich die

Höhe H des cylindrifchen Körpers, in unendlich viele oder in u gleiche Theile getheilt, und lege dann durch die Theilungpunkte parallele Durchschnittflächen zur Grund­ fläche G, die folglich auch senkrecht (des geraden cylindrifchen Körpers wegen) zur Axe stehen. Hierdurch ist der ganze Körper in u kongruente prismatische Kör1 1 per getheilt, deren jeder -^-GH Inhalt oder — M SD?«fie

hak, wenn M die Masse oder den Inhalt des ganzen Körpers bezeichnet. Das Mmt. d. Trght. t jedes dieser *) Zu diesen gehören wie bekannt auch die Cylinder so wie die Prismen, oder alle prismatischen Körper.

V. d. Drehbewegung. II. Moment d. Trägheit. 343

Theile, ist offenbar gleich dem Mmt. d. Trght. der Grund1 fläche G mit — H multiplicirt. Bezeichnen wir diese letz­ teren, in den früheren Sätzen nur für den KreiS und einige mit diesem zusammenhängende Größen gefundenen Momente, allgemein durch fm, wo m die Masse der Fläche und f den Factor vor m in jenen Momenten be1

zeichnet; so ist t — km > —H.

Folglich für die n kon­

gruenten Theile, »st T = nt = fmH. Weil nun m den Inhalt (oder die Masse) der Grundfläche G bezeichnet, und GH (= mH) = dem Inhalte M (oder der Masse) des ganzen cylindrischen Körpers ist; so hat man auch T = fM. Für die besonderen Körper wird, wenn man für M die ihren Inhalt bezeichnenden Ausdrücke setzt, das Produkt fM andere Formen erhalten, in denen, analog wie in den zweiten Formen der erwähnten Paragraphe, M selbst nicht erscheint.

Zusatz 1. Zufolge der vorhergehenden Sätze, kann die so eben allgemein aufgelösete Aufgabe, elementar un­ mittelbar übertragen werden auf einen Cylinder, dessen geometrische Axe zugleich die mechanische Axe ist, letztere also durch die Mittelpunkte der Grundflächen, und zugleich durch den Schwerpunkt des Cylinders geht (§. 75, 4. b.). Es ist dann laut §. 265. Formel (II.), der vor­ her f genannte Factor, gleich }r2; folglich ist T = |r3M (I.), oder weil M = r2nH ist, ist T = *-r4«H (II.). Geht die (mechanische) Axe nicht durch den Mittelpunkt (aber parallel der geometrischen Axe, wie in obiger Auf­ lösung angenommen ist); so ist aus §. 257, 2. wiederum T leicht zu bestimmen (Vergl. auch §. 267. Zusatz 2.). Für noch andere Axen ist §. 258. zu beachten. — Für

einen hohlen Cylinder*), ist leicht zu finden-

*) Die Berechnung der Timte, d. Trght der hohlen Cylinder,

344

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II

T = 1M(R2 + ra) (111.) (Dergl. §. 265. Zusatz 1. For­ mel (II.)). Für Cylinder-Secioren, «giebt sich nun eben so einfach das Mmt. d. Trght. in Beziehung zu den

erwähnten Axen.

Zusatz 2.

Als ein sich hier leicht ergebendes Bei­

spiel, kann man die Reduktion der Masse M deS Cylin­

ders, auf seine Mantelfläche durch eine andere, in einem

Punkte vereinigt gedachte Masse BF betrachten. §. 252. Zusatz 1

Laut

muß dann r2BF = |raBI (wie wir

oben T fanden) sein, d. h. es ist BF — iBI; eine leicht als besonderer Satz auszusprechende Gleichung. — Brin­ gen wir demnach bei der in §. 187. Anmerk. 2. erwähn­

ten Vorrichtung (der Atwoodschen Fallmaschtne), noch die Masst BI der Rolle (als Cylinder vom Halbmesser r der Grundfläche) in Rechnung, und nennen die für die Ueberwindung der übrigen Hindernisse an der Peripherie

der Rolle noch erforderliche Kraft F; so ist an der Pe­

ripherie der Rotte die bewegende Kraft gleich P — p — F,

die bewegte Masse daselbst aber P + p + JBI; folglich p__ p___f die Beschleunigung L = g • + • Schwieriger ist bei der Fallmaschine elementar in Rechnung zu brin­

gen, das sich stets vermehrende Gewicht der Schnur auf der Seite des größeren Gewichts P, und das sich in

gleichem Maaße vermindernde Gewicht auf der Seite des kleineren Gewichts p.

der Schnur

Man kann sich

aber leicht verschiedene Vorrichtungen ausdenken, bei wel­ chen eine solche V er Änderung des Gewichts der Schnur gar nicht eintritt; z. B. wenn man zwei Rollen an­

nimmt, welche sich unter einander befinden, und um welche

die Schnur, in sich zurückkehrend geschlungen ist (wobei

findet Anwendung bei den Kränzen der Räder, den Läufern der Mühlen, u. st. st, O.

B. d. Drehbewegung. II. Moment d. Trägheit. 345

dann die Summe der Massen und der Trägheitmvmrnte beider Rollen ;u berücksichtigen ist); oder wenn unter jedem der Gewichte P und p, sich noch Schnur befindet, waches auf einer Tafel aufliegt, und an p lang genug ist, um noch während der Bewegung der Gewichte stetaufzuliegen; u. dgl. m. *). Den Einfluß deS Luftwider­ standes ist berücksichtigen, gehört zur Aerodynamik. — Dagegen können wir den Einfluß der Zapfe nreibung der Rolle, in die Rechnung einführen. Denn: ist / der Halbmesser des Zapfens, von dessen Masse m wir abstrahiren können **); so ist die Reibung, deren Größe F heiße, als eine in der Entfernung / von der Achse be­ findliche zu überwältigende Kraft zu betrachten, welche nach der Entfernung r (an die Peripherie der Rolle) verj/2 . p setzt, nunmehr zu —p— wird, und f heißen soll, wäh­ rend F = n (P 4- p + M) ist (§. 88, 8.) ***); diese Größe f kommt (als gleich groß mit einer in der Ent­ fernung r auch noch zu bewegenden Masse) zum Nenner des Bruchs für b hinzu, während daselbst im Zähler ein Theil der Größe K, die Größe — • F wird, indem F nach statischen Gesetzen auf die Entfernung r reducirt,

*) Das Gewicht S der ganzen bewegten Schnur, kommt, wenn darauf Rücksicht genommen «erden soll, noch zum Nenner de» Bruch», welcher b giebt, hinzu. ”) Ist der Zapfen fest an der Rolle (§. 94.); so ist ein Theil seiner Masse, zugleich ein Theil der Masse der Rolle, oder man müßte diese als einen hohlen Cylinder ansehen, und den Zapfen als einen selbstständigen Cylinder in Rechnung bringen, wie dies bei einem Bolzen (§. 94.) geschehen muß. In beiden Fällen kann man ohne großen Einfluß, von m abstrahiren, wicwol auch diese Grbßc leicht in Rechnung zu bringen ist. *") Auch hier muß P + p 4- M + s gesetzt werden, wenn das Gewicht 8 der Schnur berücksichtigt wird-

346

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II.

einen Theil der (hindernd würkenden bewegenden) Kraft

— K ausmacht. — Nach §. 89. kann analog die Steif»

heil der Schnur in Rechnung gebracht werden. — Man erkennt leicht, wie laut §. 189,2. die übrigen Bewegung­ elemente des Falls des Gewichts P, aus b jp berechnen

sind, selbst wie man z. B. aus dem Wege (bz2) des P,

berechnen kann (Siehe §. 88.

wenn er beobachtet ist, Zusatz). A »merk-

Auf dieselbe Weise findet man für die bewegende Kraft

K, die Beschleunigung b beim Rade an der Welle (§ 95.).

Nehmen wir dieselbe Einrichtung und Bezeichnung wie in §. 95.

an; so ist deutlich, daß für eine Bewegung dieser Maschine

K. R > L. r angenommen werden muß, wobei die Kraft K rin Gewicht sei.

Um nun die an den Umfang des Rades an­

zunehmende oder zu bewegende Masse M' zu finden, welche,

durch Reduction: 1) der Masse M der Welle plus dem Rade (deren Trstghcitmomcnt Mb1 ist), 2) der zu hebenden Last L (deren Mmt. d. Trght. Lr* ist) und 3) des bewegenden Ge­

wichts (dessen Mmt. d. Trght. KR* ist) entsteht, muß das Mmt.

d. Trght. MR’-Mh’-bLrt-t-KR», dtfo M'=^±^+K

sein.

Die bewegende Kraft dagegen ist K —

. L — F, indem

die Last L nach statischem Gesetze, durch eine Last >-

I,

nach dem Umfange deS Rades versetzt wird, und F de» Inbe­ griff der Hindernisse

darstellt.

K_ r7 L —F

Laut §. 187. (I.) ist daher

(K —F)R-rL

b = 8-Mhz4-Lvz „==8,M1i2 4-Lr»-t-KR» K? + K

R'

K «ine Muskelkraft, so verschwindet daS Glied KR* im Nen­ ner. — Di« steigende Last L hat zur Beschleunigung b — d. ^,

weil b': b = r: R (fr — Eine weitere Ausführung dieses Ge­ genstandes gehbrt zur Maschinenlehre (Siehe §. 314.).

Zusatz 3

Die bewegende Kraft K eines Ge­

wichts P, das durch seinen Fall eine Rolle von der Masse M dreht, nach der Zeit z zu finden; reducire man die

Masse kl der Rolle auf ihren Umfang. Dann ist hier die

erforderlich, zu welcher noch die Masse ir P des Gewichts kommt, weil die Richtung desselben tan­ gential r«m Rade geht. Die an der Peripherie des RaMasse M' =

des bewegte Masse, rst demnach

+ P=----- ------- .

Nun ist (abstrahirt von Hindernissen) die bewegende Kraft gleich P, folglich §. 187. (L) die Beschleunigung Pr2 b = g • frjip ^ prä, oder die Geschwindigkeit e nach Pr2 der Zeit z, e — 2gz. folglich die bewe­

gende Kraft K (laut §. 180. Zusatz 2.) =2gzP (indem Mb2 -+• Pr2 e mit der bewegten Masse----- ------- multiplicirt wird).

Ganz eben so groß würde aber auch die bewegendeKraft des Gewichts P sein, wenn es wäh, rend der Zeit z frei fiele (Indem es dann die Ge­ schwindigkeit 2gz erlangt hat). — Dies ist ein merkwür­ diges Resultat, welches auS demselben Grunde für jedes, sich um eine durch seinen Schwerpunkt gehende Axe dre­ hende System, gilt, wenn der Angriffpunkt des GewichtS P immer in derselben Entfernung von der Axe bleibt. Ist P eine Muskelkraft (überhaupt kein Gewicht); so bleibt das obige Resultat dasselbe, obgleich Pr2 im Nen­ ner verschwindet. Diese Kraft giebt dann, mit dem Falle eines Gewichtes gleich P verglichen, auch den genann­ ten Satz. — Endlich ist hieraus h durch Versuche zu ermitteln; denn weil der in der Zeit z zurückgelegte Weg W= bz2 =

gz2Pr2 xMb-4-Pr2

ist, so ist h=

Pr2 (gz2 — VV) MW

§. 267. Aufgabe. (Fig. 82.) Für ein beliebiges Parallelepipedum AF,

348

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II.

soll da- Moment der Trägheit bestimmt wer­ den, wenn die Drehung um eine Kante AB alAxe, erfolgt. Auflösung Und Beweis. Man nenne die Seite BC = s, den Winkel ABC = «; so ist die zur Seite AB senkrechte Höhe de- Parallelograrnin- BD, gleich 6 sin «. Ferner sei BG = s', der Winkel ABG = so ist dir zur Seite AB gehörende Höhe des Parallelo­ gramms BII, gleich s' sin a'. Nun zerlege man den gan­ zen Körper BE in unendlich viele oder in u kleine gleiche Parallelepipeden, durch Ebenen parallel der Seitenfläche AC. Es sei KM ein solcher Theil/ dessen Masse also I

~M ist. Heißt nun der Winkel, unter welchem die Ebene KLMI gegen die Fläche BKIL (oder die GE gegen die AG) geneigt ist, ß; so ist die Entfernung der Linien

• s' sia

AB und KI, gleich

wo p eine beliebige

ganze Zahl von 1 bis n bedeutet. Dies ist der Werth e in der Formel §. 2h4, 4. (V.), während s, « und ß hier und dort gleiche Bedeutung haben. Man erhält da­ her das Mmt. d. Trght. des Theils KM gegen die Axe AB, unmittelbar nach der so eben erwähnten Formel, gleich

sin«24-

-s'sins'sin«'-s sinkens

M.

Die mehrerwähnte Summirung für die n Mmte. d. Trght. der Elemente, giebt demnach:

s s' sin a sin «' cos ß . \ 1 u

M

= (^ s - sin«2 4- ^s'2 sin«'2 — iss'sin«siu«'cos#) 31.

V. d. Drehbewegung. II. Moment d. Trägheit. 349 Daß man M — AB • s sin « • s' sin «' sin ß setzen kann, ist deutlich; andere rein mathematische Aenderungen die­ ser allgemeinen Formel sind leicht zu finden. Anmerk. 1. Wenn der Neigungwinkcl -er Ebenen AG und AC, gleich ß gesetzt wirb; so ist wol zu brachten, daß bann das dritte Glieb in ber Parenthese der gefundenen Formel, allgemein alpositiv zu setzen ist. Man wird bemerken, baß der L ß in ber Bedeutung der obigen Entwicklung, als spitz, ein kleine­ res Mmt.b. Trght. giebt, wie wenn L ß stumpf ift. Dies erhellet auch au- der dabei verschiedenen Lage bcS Körpers ge­ gen die Axe.

Zusatz 1. Für ein rechtwinkliches Parallelepipedum, bei dem also L « = L «' = L ß = 90 ist, verwandelt fich die gefundene Formel für die Drehung um die Kante AB, in T=(} s2 4-s'2)M= *M (s24-s'2); und weil s2 4- s'2 = * 8--^(P2-l-) =

(V.);

in beiden Resultanten erscheint also der Mmt. d. Trght.

Um die Lage der Angriffpunkte der Resultanten S(a) und

S (b) zu finden, — wenn anders diese Resultanten nicht

Null oder gekoppelte Kräfte sind, — setze man dle Coordinatrn der S (a), gleich x (a) uad y (a), so wie die

Coordinatrn der S (b), gleich x (b) und z (b) *). Nun­ mehr ist laut §. 73. und §. 48. Zusatz 1.:

Kf ,, X-.- + x"a" +... 0 (xa) T■ XW>— a’ + «" + ■ ~ ~ @(a) — 1U „ a' + a" + rp ’ (laut (III.) und (V.)) —

9

und eben so ergiebt Kf

A'+A"+... ©(ya) T *@(ymy) ^P(a)-"V+a"+... = eöo = Kf “ -gp- • Mp jj|> — —(VI.); so wie sich ganz analog findet F (b) =

, (b) = s^m) (V,,)

Weil die Kräfte der zweiten Gruppe, demnach in Hinsicht ihrer Würkung auf die Drehaxe, in Größe und Rich­

tung völlig bestimmt sind, was auch bereits von der

Kraft K gilt; so kennt man genau ihre Würkungen auf

die Drehaxe, was, wie erwähnt wurde, nur noch zu be*) Ein $(a) und ein y(l»), sind nicht ntthig, weil dje Krsste « parallel der Axe z gehen, folglich der Angriffpnnkt der S(») nach -er Ebene X Y, und eben so der Angriffpunkt der S(i») nach der Ebene XL verlegt werden kann.

384

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II.

stimmen blieb, oder nunmehr die gesuchte Größe D giebt. Die besonderen Betrachtungen über den Druck D, wenn

eines oder beide Systeme keine Resultante haben (Null oder gekoppelte Kräfte werden), können um so mehr

übergangen werden, als sie in den Lehren der Statik be­

gründet sind, und analog wie es in §. 269. und §. 270.

für die Schwungkräfte ganz ausführlich geschah, ge­

führt werden. — Wesentlich dagegen sind die im folgen­ den §. naher betrachteten Falle.

§. 274. Zusätze.

Behalten wir die Bezeichnungen des vorigen §'ö bei,

so ergeben sich nachstehende bemerkenswerthe Resultate: 1) Geht dieAxe durch den Schwerpunkt des Körpers, so isty — ; — 0; folglich geben die zwei

Formeln (V.): © (a) = © (b) = 0.

Auf andere Weise

können diese Werthe nicht Null werden, weil K, f, M und T nicht Null sein können, worin zugleich liegt, daß wenn die Drehaxe nicht durch den Schwerpunkt geht, auch © (a) so wie © (b), jedesmal einen bestimm­

ten endlichen Werth haben, oder daß dann eine Resul­ tante für diese Werthe vorhanden ist *). — Wenn aber © (a) = © (b) = 0 ist, so müssen die positiven Sei-

tenkrafte den negativen in sedem besonderen der zwei erwähnten Systeme, gleich sein.

Findet sich hierbei, daß

die (bestimmt vorhandene; siehe $. 48- Anmerk. 1.) Re­

sultante aus den positiven Kräften des Systems S(a),

mit der Resultante aus den negativen Kräften dieses -----------------

Systems,

*) Ob beide Werthe S(») und S(b), zusammen eine Re­ sultante haben (nemlich ob x (») -- x (b) ist) oder ob sie nebst der K eine Resultante haben; ist eine andere Frage, deren Beantwor­ tung aus dem Vorgetragenen sich sogleich ergiebt. — Was hiernach für Fälle sich für D ergeben, ist deutlich.

V. d. Drehbewegung. III. Freie und Hauptaxen. 385 Systems, nicht dieselben Coordinaten in Beziehung auf die Drehaxe X haben; dann geben die zwei resultirenden Kräfte des Systems S (a), gekoppelte Kräfte; daS Analoge findet bei der S (b) statt *). Erhält man jedoch in beiden Systemen der S (a) und S (b), im 'zuerst angenommenen Falle (wo jedes Null giebt), die Coor­ dinaten für die Axe X, gleich groß; so heben fich nun auch die Würkungen dieser (gleich großen, in demselben Punkte nach entgegengesetzten Richtungen würkenden) Kräfte, gegenseitig auf, und die Axe erhält von ihnen gar keinen Druck, so daß nur noch der Druck von der Drehkraft K (in dem Punkte der Axe, welcher dem Dec­ tor der K entspricht) zur Axe, bleibt **). — Um die Be­ dingung dieses wichtigen Umstandes zu untersuchen, so bedeute S (p) die Summe der pofitiven, und S (») die Summe der negativen Seitenkräfte eines (und analog des anderen) der zwei Systeme S (a) oder S (b). Es ist im angenommenen Falle S (?) — S (n), aber keiner dieser beiden Werthe allein ist Null. Ferner bezeichne S (pa) und S (na), die Summen der Momente der po­ fitiven und der negativen Kräfte a; dann find die Coor­ dinaten in Beziehung auf die Axe X, nach statischen Leh­ ren (§. 73. und §. 48. Zusatz 1),

und

Sollen also laut Annahme beide Coordinaten gleich groß

*) Die wirkliche Berechnung der Coordinaten der Summen der positiven und der negativen Kräfte für die Axe X, würde in diesem Fall« dieselben Schwierigkeiten haben, al- sich solche schon del der Beeechnung der Werthe x (->) und x (b) zeigen, selbst wenn eine Resultante vorhanden ist. Man betrachte nemlich die Zähler der Formeln (VI.) und (VH.). '*) Die folgenden Untersuchungen zeigen sogleich, was das Re­ sultat ist, wenn nur eines der zwei mehrerwähnten Systeme, obige Bedingung erfüllt. Forüner's Mechanik. Vd. II.

386

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II

sein; so hat man

folglich auch:

S(pa) S(n) - S (na) S (p) - 0, oder «eil © (n) - © (p) (laut Annahme) ist, so ist: 6(n) (© (pa) - © (na)) oder ©(p) (©(pa) - ©(na)) = 0; und weil (wie erwähnt) weder S(n) noch S(p) Null ist; so ist ©(pa) — ©(na) = 0. Aber ©(pa) — ©(na) ist offenbar @(xa) *), also ©(xa) oder (laut Formel (III.) des vorigen §'s): Jf [

C

X

Vf

X • -^r ♦ inyj = -^- © (xym) = 0; folglich, weil

Kf tjt

hier nicht Null sein kann, muß ©(xym) = 0 sein.

Dasselbe gilt analog für das andere System ©(b), un> ter der obigen Voraussetzung, so daß also alsdann auch © (xzm) = 0 ist. Die zwei Summen © (xym) und ©(xzm) sind aber die geometrischen Momente des Körpers in Beziehung zur Axe WV (§. 270, 2 ); folg­ lich ist im angenommenen Falle die Axe WV eine Hauptaxe der Umdrehung (§. 271. Zusatz), demnach laut §. 272, 1. auch eine freie Axe.— Wir nahmen also zuerst zwar nur die Axe WV als durch den Schwerpunkt gehend an, woraus noch keineswegs allein folgte, daß sie auch eine freie Axe war (vergl. §. 270, 5); allein da die fernere Annahme: jedes der Systeme ©(a) und S(b) halte sich in sich das Gleichgewicht, die vier Dedingunggleichungen der freien Axen (§. 270, 4.) in sich schließt; so muß auch 1>ie Annahme: die VW sei eine freie Axe, umgekehrt das Resultat unseres Falles geben. — Wir erhalten dem­ nach den Satz: •) Nemlich @(xa) = x » 4- x' n” 4d. h. gleich der Summe der Momente sämmtlicher Kräfte des Systems S(«), welche Momente au» der Vereinigung der Momente der positiven und der negativen Kräfte bestehen

V. d. Drehbewegung. Ul. Freie und Hauptaren. 387

Wenn sich ein Körper um eine freie, aber fest gehaltene Axe dreht, so erhält diese Drehaxe durch eine laut §. 247, 5. den Körper drehende Kraft K, nur einen Druck in demjenigen

Punkte, welcher dem Vectvr des Angriff­ punkts der K entspricht. Jener Druck ist dann gleich und parallel der Kraft K. Daß, weil die Are eine freie Axe sein soll, auch für die K als fortwürkende Kraft genommen, die sich stets vergrößernden Schwungkräfte (stehe §. 248, B.) dennoch gegenseitig sich aufheben, die Axe also von diesen Kräften keinen Druck erhält; ist aus §. 270, 5. bekannt.

2) Wenn nach den Werthen x(a) und x(!>) (Formel (VI.) und (VII.) des vorigen §'s) in dem in No. 1. be­ trachteten Falle gefragt wird; so ergeben sie sich auS den ihnen gleichen Werthen -

■ und —M

, unter

jenen Annahmen beide als °. Was für einen (doch offen­ bar alsdanN vorhandenen) endlichen Werth dieser Aus­ druck in den besonderen Fällen giebt, kann elementar nicht entschieden werden; doch sieht man, daß in jedem ange­ nommenen Falle, in jedem Punkte der Drehaxe die (sich alsdann tilgenden) Kräfte der zwei Systeme, ange­ bracht werden könnten. — Wenn jedoch jedes (oder eins)

der beiden Systeme auf gekoppelte Kräfte führt; wenn also zufolge der Untersuchungen in No. 1. die Wer­ the ©(xym) und S(zvm) nicht beide (oder einer) Null werden, wahrend doch die Werthe Aly und Mj beide (we­ gen y — z —) — 0 sind; so werden die Werthe ®

© (x z in) und —d. h. x(.i) und x(I') unendlich groß, was hier offenbar auf da-Z in No- 1. Erwähnte deutet, 25 *

383

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II.

nemlich daß alsdann nicht ein x(a) und ein x(b) vor­ handen ist, sondern sowol für die resultirende positive, als für die negative Kraft jedes der zwei Systeme, die entsprechenden Coordinaten in der X gesucht werden müssen. — Was übrigens die resultirenden Drücke auf die Axe, im Falle eines oder beide Systeme gekoppelte Kräfte geben, und was deren Vereinigung mit der Dreh­ kraft K betrifft; so enthält §. 43. die allgemeinen Be­ stimmungen. — Die Coordinaten y (a) und z (b) (Formel (VI.) und (VII.) im vorigen §.), bedürfen hier keiner nä­ heren Berücksichtigung, weil es für die Verlegung der Elementarkräfte, parallel ihren Richtungen, nach denen

den Vectoren ihrer Angriffpunkte in der Axe entsprechen­ den Punkten, ganz gleichgültig ist, in welcher Entfernung von der Axe X sie sich ursprünglich befinden. 3) Geht dieDrehaxe nichtdurchdenSchwerpunkt, haben also die Ausdrücke Aly und Mj bestimmte endliche Werthe; so wird immer noch die Berechnung der Coordinaten x(a), y(a), x(b) und y(b) in der All­ gemeinheit (wegen der Zähler S(xym), 1

2r

kennt die Wichtigkeit dieser Untersuchungen für die Ge­

setzt der rollende« Reibung (§. 88, 2.).

Für eine Ku-

V. d. Drehbewegung. V. Mittelpunkt des Stoßes. 443 -el würde man i = |r finden; denn (last K. 267. mm §. 257, 2.) h2 = fr’ 4- r$ = fr2, giebt lich ist dann W' = g®1 «n a.

die Reibung — G' •

— fr; folg.

== fgz2 sin a, während

— f G' wird. — Noch andere

Betrachtungen bieten fich bei diesen Untersuchungen in

Menge dar.

§. 287. Zusätze.

(Fig. 88. a. und b.)

1) Bei der Bestimmung für die Lage deS Mittel­

punkt- Q deS Stoßes *), ist in den Resultaten die Win­

dgeschwindigkeit w ganz außer Acht geblieben, wenn gleich die w zur Erforschung jener Resultate wesentlich war.

Auch erkennt man leicht, daß, obgleich die w zur

Bestimmung der Größe des Stoße- sehr wichtig ist,

diese Größe ohne Einfluß für die Lage des Punkt- Q

bleibt. 2) Die Richtung de- Stoße- gegen den Punkt Q, geht senkrecht zum entsprechenden Dector de- Punkt-

tt, oder längs der in §. 285. erwähnten Linie, welche der Ort für die übrigen Mittelpunkte des Stoße- ist.

Dies

ist ohne Erläuterung deutlich. — Wa- aber die Größe de- Stoßes in der erwähnten Richtung anbetrifft, so

ist ffe, durch G bezeichnet, allgemein: G — S (wrm) —

w • S (rm) (weil laut §. 285. die bewegende Kraft k eine- Elements gleich wrm ist), oder wenn r = q 4- e gesetzt wird, so ist

G = w • © (in (q 4- e)) = w (© (inq) 4- S (me)) — *) Wenn hier und künftig nur von einem Mittelpunkte des Stoße- die Rede ohne «eitere Bestimmung ist; so soll immer der »untchst laut §. 235. (»der »u Ende von §. 286.) gefundene Punkt U gemeint sein.

444 Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II. w • S (mq)4-w«©(me) = 0 +we®(m) (laut§. 285.) cweM(L); tittb setzt man für die gleichmäßig beschiennigte Drehung w = 2gz •

kraft G = 2gz.

dann wird die Stoß­

(ii.)z so daß hierbei die Größe

der in der Entfernung f von der Axe würkenden Kraft K bekannt sein muß. — Uebrigeus ist hierbei §. 186. Zusatz 1., so wie das an vielen Stellen über die Natur des Stoßes Gesagte, zu beachten. Anmerk. De« Werth G = weM hätte man auch aus §. 254,2. herleiten kinnen. Den»: in -er Entfernung i von der Axe ist

der Stoß so groß, als wenn daselbst «ine Masse gleich

be­

findlich wäre (§. 254, 2. (II.)). Die absolute Geschwindigkeit dieses Punkts (Q) ist aber gleich wi, mithin die Größe des . h1 M wh*M . , . h* , Stoßes G ss wi. — —7—; «ad setzt man > = —, so wird der Ausdruck für g = weM.

3) Wird ein Punkt, welcher nicht Mittelpunkt des Stoßes ist, vom drehenden Körper getroffen; so erleidet laut §. 283. die Axe einen Stoß, weil sie durch ihre (laut Annahme absolute) Festigkeit alsdann die fernere Bewe­ gung drS Systems hindert. Wie groß der Stoß ist, den die Axe hierbei erhält, so wie die Richtung, nach welcher derselbe zu ihr geht; hängt von der Lage des getroffenen Punkts, nach allem bisher Vorgetragenen, von bekann­ ten Gesetzen ab, wenn diese auch in einzelnen Fällen schwierig anzuwende« sind (Siehe §. 288 ). — Aber deut­ lich ist, daß der Stoß, welchen der Mittelpunkt des Sto­ ße- erhält, der möglichst größte ist, welcher im Augen­ blicke des Stoßes vom drehenden Körper ausgeübt wer­ de« kann, eben weil dann dieser Punkt alle bewegenden Kräfte allein, die Axe aber keine dieser Kräfte trägt. — Viele Erscheinungen in der Erfahrung sind hiernach zu

V. d. Drehbewegung. V. Mittelpunkt des Stoßes. 445

beurtheilen, wozu auch da- Zerbrechen der Drrhaxen geh-rt, wen« sie nicht stark oder fest genug find, die Kraft zu tragen, welche bei einem anderen getroffenen Punkt« al- Q, auf sie kommt *). 4) ES ist nunmehr auch deutlich, daß ein Pendel de« möglichst größten Stoß gege« ein Hinderniß auSübt, wenn das letztere die Lage de- Mittelpunkts deStoßes, oder sobald bei der gewöhnliche« Einrichtung der Peudel (d. h. bei der Identität der Theile de- PeudelS zu beiden Seiten der in §. 285. durch Z bezeichne­ ten Ebene) der Mittelpunkt de- Schwünge- getroffen wird (Vergl. §. 285.). Wird die Außenfläche de- phy­ sischen Pendel- getroffen; dann erfolgt in ihr die Bestim­ mung de- Punkts, in welchem der größte Stoß erfolgt, nunmehr laut §. 285. — Weil beim Pendel, sobald dasselbe (nemlich die Mittellinie) in die vertikale Lage gekommen ist, die Winkelgeschwindigkeit sehr genau bestimmt werden kann (vergl. §. 281.); so ist auch die Größe der Stoss­ kraft im Mittelpunkte des Stoßes, laut No. 2., sehr ge­ nau zu berechnen. Diese Kraft ist in der vertikale« Lag« deS Pendel- die größtmöglichste, weil hier die Winkel­ geschwindigkeit die größte ist. Die Axe leidet demnach unter dieser Bedingung keinen Stoß, und trägt im Augen­ blicke deS Stoßes, oder nunmehr nach erfolgter Ruhe des PendelS, nur das Gewicht desselben. 5) Nimmt man in der Aufgabe §. 281. an, der Stoß gegen da- ruheud« Pendel erfolge gegen den Mittelpunkt *) Wenn man einen Stab am Ende hält, «ad läßt ihn bergegalt fallen, daß der Punkt, welcher £ der Länge des Stabe« von »er Hand entfernt liegt, da« Hinderniß trifft (flehe da- Beispiel zu End« der Seite 433), so empfindet man keinen Rack in der Hand, e« wird aber ein Ruck nach oben »der nach unten empfand«», ie nachdem da- Hinderniß näher oder entfernter von der Hand »egt.

446

Dynamik; Abschn. ll Geodynamik; Kap. II.

des Stoßes, d. h. in der (in Z. 281. allgemein durch f bezeichneten) bestimmten Entfernung — von der Axe; so

wird die dort in Foynel (IV.) gefundene Geschwindigkeit

2 (R •

H- Ph1) |/gl sinv a

c—

1R Anmerk Neber -en Stoß der fich drehenden Körper gegen den Mittelpunkt der Trägheit, i- §. 254,1. zu beachten; so wie auch die in No. L und 3. daselbst betrachteten Sätze, mit -en so eben gehabten Mehren zu vergleiche« sind. — Die Anwendun­ gen aller dieser Sähe auf den Gebrauch der Hauwaffen, sind ohne Erläuterung deutlich.

§. 288. Aufgabe. Ein nm eine feste Axe sich drehender homo*

gener, in Beziehung zur Drehaxe symmetrisch

geformter Körper, trifft auf ein Hinderniß, das nicht der Mittelpunkt deS Stoßes ist.

Man

foll die Größe D deS Stoßes (oder Druck-) be­

stimmen, welchen die feste Drehaxe dadurch er­ leidet (Siehe §. 287.). Auflösung und Bewei-.

Auch hier nehmen wir

daS Hinderniß als einen Punkt an.

Wir setzen ferner,

daß dieser Punkt in der Ebene liegt, welche durch den Dector des Schwerpunkts senkrecht zur Drehaxe geht. Daan tritt der Fall ein, welcher zu Anfang des §. 285.

nach Entwicklung der Formel (II.) bemerkt wurde.

Be­

halten wir die Bezeichnungen wie in §. 285. bei, setzen aber statt der Größe i, die Entfernung des getroffene-

V. d. Drehbewegung. V. Mittelpunkt des Stoßes. 447 Punkts (der hier nicht Mittelpunkt Des Stoßes sein soll) von der Axe gleich z; so giebt die völlig analoge Ent­ wicklung, wie in §. 285., für die Summe der bewegen­ den Kräfte im Augenblicke des Stoßes, wiederum den Werth wz • S (mu) — w • S (mr2) (I ). Aber weil jetzt kein Gleichgewicht stattfinden soll; so ist diese Summe nicht Null, sondern gleich dem statischen Mo­ mente des gesuchten Drucks D, in Hinficht der Entfer­ nung z dieser Kraft vom gestoßenen Punkte, d- h. gleich zD. Also hat man zD = wz • © (mu) — wS (mr2),

f.i«i«

d

=

(II.),

oder für unseren Fall, in welchem S (mu) = eM (flehe §. 285.), Wirt D =-.=

(III.).

Führt man die absolute Geschwindigkeit c des

getroffenen Punkts ein*), so ist c = wz> also w = wodurch man erhält: D == cM (iv.) **). Man

erkennt übrigens auS der Entwicklung 1« $. 285. leicht, daß ein positiver oder ein negativer Werth für D, den Druck der Axe in der Richtung der Drehung, oder dieser Richtung entgegengesetzt giebt. *) Diese Geschwindigkeit kann in vielen Fälle« sehr genau he« stimmt werden; z. B. wen» Drehung einer Stange durch ihr eige­ nes Gewicht als ein Fallen erfolgt, und die vom gestoßenen Punkte durchfallene Höhe bekannt ist (Siehe §. 184, 4. b. (II)). Dies fin­ det ;. B. beim Stoße statt, welchen ein Schwanjhammer ausübt (Siche §. 285. Anm. 2.). **) ES ist deutlich wie, wenn der gettoffene Punkt der Mittel­ punkt des Stoßes, also ---i ist, D = o wird; daher wiederum M e

o = ie —h* »der e = — ist.

448

Dynamik; Abschn. IL Geodynamik; Kap. IL

VL Von der freien Drehbewegung, oder: vow solcher

Drehbewegung, bei welcher die Axe ihren Ort verändert.

§. 289. Einleitung.

ES ist bereits in §. 246, 2., §. 247, 6. u. a. a. O. im Allgemeinen von solchen Drehbewegungen die Rede gewesen, bei welchen die Axe der sich drehenden Systeme »der Körper ihren Ort verändert, und erwähnt, daß wir solche zusammengesetzte Bewegung, durch die Benennung: freie Drehbewegung bezeichnen. Die vollständige Un­ tersuchung dieser Bewegungen ihrem ganzen Umfange nach, gehört wiederum der höheren Mechanik an. — Es ist aber auch sofort deutlich, daß jede freie Drehbewe­ gung alS aus zwei von einander unabhängigen Bewe­ gungen bestehend angesehen werden kann, von denen die eine die Drehung um die Axe dergestalt enthält, alS drehe der Körper sich um eine feste Axe, die andere aber die Bewegung der Axe im Ranme ohne Rücksicht auf jene Drehung begreift. Wenn die Axe selbst ver­ änderlich ist (§. 246, 2.), so kann sie in den unendlich kleinen, einander folgenden Zeittheilen, als beständig angesehen werden. — Wir haben demnach nur zu unter­ fache«, in wiefern die wärkenden Kräfte, jede jener zwei Bewegungen erzeugen, denn diese Bewegungen an sich sind hinlänglich betrachtet.

Zusatz 1. Es ist wol zu beachten, daß wir den Schwerpunkt, der eine sehr wichtige Bedeutung in den folgenden Untersuchungen hat, immer nur als Mittel­ punkt der parallelen Kräfte (§. 49.) ansehen, das Gewicht des KörperS also alS eine besondere, in vertika­ ler Richtung auf den Schwerpunkt würkende Kraft an­ sehen,

V. d. Drehbewegung. VI. Freie Drehbewegung. 449 sehen, von der, wen« eS nicht ander- bestimmt wird, ab« strahirt wird. — Ferner werden wir die würkenden Kräfte in den folgenden Untersuchungen nur als Momentan­ kräfte ansehen, weil die hierfür erhaltenen Resultate, zufolge der früheren Lehren, stch leicht übertragen lassen, wenn fortwürkende Kräfte vorhanden sind. — End­ lich sehen wir die zu einem Systeme verbundenen Masse«, wenn eS nicht anders erinnert wird, eine jede als (n einem Punkte vereinigt, also als Punktmassen (§, 173. Zusatz 4.) an. Zusatz 2. Bei Berücksichtigung des in §. 176. Zu­ satz 2. und §. 177, 8. Gesagtem, ist deutlich, daß wenn rin System oder ein Körper sich irgend wie um seinen Schwerpunkt dreht, und man nimmt alsdann noch eine Kraft auf den Schwerpunkt würkend an, so behält der Körper die bereits bestehende Drehung bei, außerdem aber erfolgt noch eine fortschreitende Bewegung des Schwer­ punkts, mithin auch noch (außer der Drehbewegung) eine neue Bewegung aller Elemente des Systems, welche Be­ wegung auS der Drehbewegung und der fortschreitende« Bewegung zusammengesetzt ist. — Dasselbe erfolgt auch, wenn man statt der einen Kraft zum Schwerpunkte wür­ kend, lauter gleicht Kräfte nach parallelen Richtungen auf die einzelnen Elemente, oder mit den Massen proportivnirte Kräfte, in parallelen Richtungen auf die Massen des Systems würkend annimmt (Vgl. §. 177,5.). §. 290. Lehnsatz.

Es ist einleuchtend, daß es auch bei Massen, die nicht unmittelbar mit einander verbunden sind, einen Mit­ telpunkt der parallelen Kräfte, oder einen Schwerpunkt giebt; dies ist nemlich derjenige Punkt, welcher bei der Verbindung der Massen durch mathematische Linien, der Schwerpunkt sein würde; ganz wie dieS in §. 49. vorTorstner's Mechanik. Bd, JL 29

450

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II.

ausgesetzt wurde. Wenn nun zwei solche Massen sich der» gestalt bewegen, daß sie ihre Entfernung von einander stets verändern*); so wird auch in jedem Augenblicke ein «euer Schwerpunkt für sie vorhanden sein, jedoch diese sich stetig ändernden Schwerpunkte, sämmtlich in einer Linie liegen. Dasselbe gilt für beliebig viele Massen, und man kann daher vom Wege des Schwerpunktsämmtlicher Massen reden, während diese sich.irgend wie bewegen. Mithin giebt es auch eine, in jedem Punkte der Bahn besonders zu bestimmende Geschwindigkeit dieses Schwerpunkts. — Wenn aber zwei Massen sich gleichförmig und geradlinig« (durch Momenta «fräste bewegt) in parallelen Richtungen, diese mögen gleich oder entgegengesetzt sein, bewegen; so ist deutlich, daß, wie auch die Geschwindigkeiten beider Massen beschaffe« sein mögen, der gemeinschaftliche Schwerpunkt eine ge­ rade Linie mit gleichförmiger Geschwindigkeit! beschreibt Demir die geraden Linien, welche man zwi­ schen je zwei gleichzeitigen Oertern der beiden Massen ziehen kann, werden von den Punkten, wo sich der Schwer­ punkt zu denselben Zeiten befindet, immer prvportionirt (nemlich nach den umgekehrten Verhältnissen der Massen) geschnitten, mithin liege« diese Punkte in einer gera­ den Linie, deren entsprechende Theile in bestimmten Zei­ ten, sich stet- wie die Wege der Massen in denselben Zehten verhalten, folglich ist die Bewegung gleichförmige Dasselbe gilt offenbar auch vom Schwerpunkte beliebig vieler Massen, wenn diese durch Momentankräfte bewegt werden (Siehe §. 176.). Die Geschwindigkeit des Schwer-

*) Eine solcbe Veränderung der Entfernung, kann in einem gegen­ seitigem Einwürken, z. B im Anziehen oder Abstößen seinen Grund habe», aber auch völlig unabhängig hiervon erfolgen, indem auf rede (oder auf eine) der Massen besonders gewürkt wird.

V. d. Drehbewegung. \ I Frei? Drehbewegung. 451

punktS, soll für diesen Fall im folgenden §. bestimmt werden. K. 291. Aufgabe. Drliebig viele freie Massen m', in"..., ohne Zusammenhang, «erden durch beliebig große Momentankräfte, nach parallelen Richtungen mit den Geschwindigkeiten c', c"..., bewegt. Es soll die Geschwindigkeit v bestimmt werden, mit welcher sich der gemeinschaftliche Schwer­ punkt bewegt. Auflösung und Beweis. Man denke sich eine Ebene E, welche die taut Aufgabe parallelen Wege der Massen senkrecht schneidet; eS seien zu Anfang der Bewegungen, die Entfernungen der Massen von der Ebene E, beziehungweise e', e"..., des Schwerpunkts 8 Ent­ fernung von- der E sei s; nach der Zeit z sei die Entfer­ nung von der E für den Schwerpunkt gleich s'. Nun S (e in) S(m) ‘

ist laut §. 48. Zus. l.s =

Nach der Zeit z haben sich die Entfernungen der Massen von der Ebene E um zc', zc"..., vermehrt (oder einige derselben vermindert, wenn die Bewegung der ent­ sprechenden Massen in entgegengesetzter Richtung er­ folgt); es sind also die Entfernungen nunmehr e'-f-zc', folgl. ist s'

__ (e -M c/)tii'-f-(e"+zc")m "4-.. m'4-in"4-..

Ossenbar ist nun s' — s = dem Wege des Schwerpunkts in der Zeit z, und zugleich ist s'— s = vz. Man Hal also durch Subtraction der zwei gefundenen Werthe für

— d. h.

s' und s, s' — s = vz = , '

c'm' + c"m" 4- .. .__ S (cm) . # m' 4- in" 4- ... S (n>) l '

Dieses Re-

’) Sind die einzelnen Massen gleich groß, und ihre Menge 29 *

452

Dynamik; Absihn. II. Geodynamik; Kap. II.

fultat ist leicht in Worte zu übertragen. — Man nennt die Größe v: die mittlere Geschwindigkeit der eintelnen Massen (ober des Systems der Massen) (II.).

Aas (L) folgt v • S(m) — @(cm) (UL); der hierin liegende Satz, läßt sich unter anderen folgendermaßen in Worten aussprechen:

Wen« man sich in dem, mit der mittleren Ge­ schwindigkeit (v) bewegten Schwerpunkt d«S

Systems, eine Masse gleich der Summe der einzelnen Massen (S(m)) deS Systems ver­

einigt vvrstellt; so ist die bewegende Kraft (v• ©(m)) in dieser, im Schwerpunkte befind-

lichea Masse, gleich der Summe der bewegen­

den Kräfte der einzelye» Massen (d. h. gleich ©(cm)).

ES liegt also hierin, daß diejenige Kraft, welche erfor­ derlich isi, um die im Schwerpunkte vereinigte Summe

der Massen, mit der mittleren Geschwindigkeit (v) zu be­ wegen, gleich der Summe der einzelnen Kräfte ist (und parallel denselben geht), welche die

einzelnen Massen bewege«.

Denn die durch c'm',

c"m"..., v • S(rn) bezeichneten bewegenden Kräfte, sind

identisch mit jenen Kräften, welche für die einzelnen

Massen die Bewegungen erzeugen (Siehe §. 174, 1). Zusatz 1.

Man überzeugt sich leicht, daß die so

eben geführten Untersuchungen, sich analog für gleich,

mäßig beschleunigte parallele Bewegungen der ein­

zelnen Massen (wenn also die bewegenden Kräfte der Massen, beständige fortwürkende Kräfte find) füh-

m— m -fr- m -f- ... nm CB~*~d. h. gleich dem arithmetischen Mittel eu#

». B. gleich n; so ist v

den einzeln« Geschwindigkeit«.

V. d. Drehbewegung. VI. Freie Drehbewegung. 453 ren lassen, und daß die hiernach erzeugten Resultate, analog den gefundenen Sätzen sein werden. Man erhält dann eine mittlere Beschleunigung des Systems, welche sich, wenn b', d"..., die Beschleunigungen der einzelnen Massen sind, als gleich

ergeben wird,

wonach also der in der Zeit z zurückgelegte Weg deS Schwerpunkts, gleich z2 • ^^2y ist. Man drückt den hiernach stattfindenden Satz, welcher analog dem vorhin für gleichförmige Geschwindigkeiten genannten Satz ist, gewöhnlich so aus: Der Schwerpunkt eines Systems nach paral­ lelen Richtungen gleichmäßig beschleunigt be­ wegter Massen, bewegt sich mit dermittleren Beschleunigung des Systems eben so, alS wenn in ihm sämmtliche Massen vereinigt sind, und auf ihn eine Kraft würkend gedacht wird, welche parallel und gleich der Summe der einzelnen Kräfte ist. Zusatz 2. Wenn die einzelnen Kräfte zwar parallel auf die Massen würken, aber nicht sämmtlich Momentan­ kräfte oder fortwürkende Kräfte sind; so ist deutlich, daß die Bewegung des Schwerpunkts des Systems, dennoch -eradlinigt sei» wird, die Geschwindigkeit des Schwerpunkts (in welchem Punkte wiederum sämmtliche Massen vereinigt, und auf welchen alle bewegenden Kräfte alö nach einer ihrer Richtung parallelen Richtung wür­ kend angesehen werden können) wird jedoch in jedem Punkte der Bahn, aus der Natur der einzelnen Kräfte hergeleitet, nach Regeln, welche im 2- Kapitel des vori­ gen Abschnitts aufgestellt sind. — Die Richtigkeit dieser Behauptung er giebt sich sofort daraus, daß die erwähnte Bewegung des Schwerpunkts, in jedem Augenblicke wäh-

454

Dynamik; Absthn. II. Geodynamik; Kap. II.

renb der Würkuug der Kräfte, zufolge der zwei in die­ sem §. bereits genannten Sätze, stattfindet. Ansatz 3. Wenn auf die einzelnen Massen Les System-, beliebige Kraftd nach beliebigen Richtungen würken; so denke man sich jede dieser Kräfte in drei Seiten­ kräfte zerlegt, welche Seitenkräfte wechselseitig parallel mit drei, beliebtg-fich in einem Punkte durchschneidenden .(ober senkrecht zu einander stehenden) Coordinatenaxen ge­ hen. Hierdurch entstehen drei Gruppen paralleler Kräfte, welche, wenn man fie statt der ursprünglich gegebenen Kräfte setzt, die Bewegung des System- durchaus unge­ ändert lassen. Für jede dieser drei Gruppen/ ist nunmehr die durch sie erzeugte Bewegung des Schwerpunkts, dem ist' Zusatz 2. genannten Gesetze gemäß, und es ist folglich die wirkliche Bewegung des Schwerpunkts des Systems, in der Bahn und Geschwindigkeit, aus den drei Resultaten der durch die drei Gruppen erzeugten Bewe­ gungen zusammengesetzt. Cs würde demnach die Be­ wegung de- Schwerpunkts auch erzeugt werden, wenn man jede der würkenden Kräfte nach ihrer Richtung pa­ rallel auf den Schwerpunkt, in welchem alle Massen ver­ einigt gedacht werden, würkend annimmt, eben weil die alsdann auch im Schwerpunkte vorzunehmende Zerlegung der einzelnen Kräfte in drei Seitenkräfte, jene refultirende Bewegung erzeugen würoe, indem daun nur die drei Grup­ pen von Kräften, als nach dem Schwerpunkte verlegt an­ zusehen wären. — Ohne bereit- aus diesem wichtigen Re­ sultate einen besonderen Satz zu bilden; ist nun auch fer­ ner deutlich, daß sich ganz dasselbe Resultat ergiebt, wenn die bisher getrennt gedachten Massen, in irgend einer be­ liebigen gegenseitigen Beziehung und EiNwürkung zu ein­ ander stehen; denn-, die aus solchen Beziehungen Hervor­ gehenden Aenderungen in der Bewegung der einzelnen Massen, sind'als das Resultat der hierdurch zugleich ent;

V. d. Drehbewegung. VI. Freie Drehbewegung. 455 stehenden, also überhaupt vorhandenen bewegenden Kräfte

der einzelnen Massen anzusehen. — Man erhält demnach den wichtigen allgemeinen Satz:

Wenn auf die in irgend einer Beziehung zu einander stehenden, oder auch unter sich völ­

lig unabhängigen Massen eines Systems, be­ liebige Kräfte in beliebigenRichtungen würken; so erhält der Schwerpunk des Systems genau dieselbe Bewegüng, welche er bekom­ men würde, wenn in ihm sämmtliche Massen

des Systems vereinigt, und Unmittelbar auf ihn die einzelnen Kräfte, ihren ursprüngli­

chen

Richtungen parallel würkend>

gedacht

werden. Zusatz 4.

Dieser wichtige Satz (Zusatz 3) heißt:

das Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunkts; die in her Aufgabe des §.'s und im

1. Zusatze genannten Sätze, sind also nur besondere Fälle dieses ganz allgemeinen Satzes

— Es ist dabei wol zu

beachten, daß auch auf ernige der Massen keine Kräfte zu wirken- brauchen, daß diese Massen also ruhen, so­

bald sie in keiner Verbindung mit den anderen Massen

stehen, wiewol sie auch zur Bestimmung des Schwer­ punkts dienen.

Anmerk. 1- ES lassen sich mannigfaltige besondere Fälle bc8 ge­ nannten Satzes leicht erdenken; z. B. daß der Schwerpunkt ruhet, wenn nemlich die Kräfte sich nach ihrer Verlegung zum Schwerpunkte gegenseitig tilgen. In denen in der Aufgabe und in Zusatz 1. genannten Fällen wird I aber der Schwerpunkt ru­ hen, wenn die Momente im Zähler der Formeln für v und b vereinigt. Null machen u dgl ni — Auch kann man unseren Satz auf die Lehre vom centralen Stoße zweier Körper anweu» den, indem man nemlich die Entfernungen der Richtungen der Kräfte gleich Null setzt (Dgl §. 235). II dgl m

456

Dynamik; Wschn. II. Geodynamik; Kap. ll.

Zusatz 5.

Der in Zusatz 3. genannte Satz, schließt

de« überaus merkwürdigen Satz in sich: Durch den irgend wie erfolgenden Stvß be­

liebig vieler von beliebigen Kräften beweg­

ten, ein System bildenden Massen, wird die Bewegung des Schwerpunkts des System­ nicht geändert, d. h. dieser Punkt bewegt sich

nach dem Stoße dergestalt weiter, alS wenn die Massen ohne Einwürkung (vermöge de-

Stoßes) gleichsam durcheinander fortgegan-

-en wären, und ihre Bewegung wie vor dem

Stoße fortgesetzt hätten. Denn t Wie auch die Bewegungen der einjelnen Elemente de- Systems durch den Stoß geändert werden mögen, so ist doch die Summe der bewegenden Kräfte der Elemente, durch den Stoß «ngeändert geblieben, und

die Resultante dieser Summe ist jene eine Kraft, welche man stch im Schwerpunkte, wo auch die durch den Stoß ungeänderte Summe der Massen vereinigt gedacht wird, wirksam zu denken hat (Dergl. tz. 177, 4.).

ttnmerk. 2. Man kann den eben genannten Sa- durch folgen, des einfache Beispiel belegen. — Wenn ;md, zunächst als Punkte augenonnnen« Massen M und BT sich gerablinigt bewegen, und im Kunst« O zusammentreffen, so wird, wenn beide Massen ab­ solut hart find, die Masse M +M nach dem Stoße, in der verlängerten Richtung de« Schwerpunkt- vor dem Stoße wei­ ter gehen, find die »assen absolut elastisch, so wird nach ihrem Abprallen von einander, der Schwerpunkt her Massen in der weiteren Bewegung, in der verlängerten Richtung der Bewe­ gung de- Schwerpunkt« vor dem Stoße, «eiter gehen (Dergl. S. 240, L).

g. 292.

Zusätze.

1) Der int Zusatze 3. des vorigen §'s genannte Sa-, rnthälf sofort die Richtigkeit der Behauptung;

V. d. Drehbewegung. VL Freie Drehbewegung. 457 Der Schwerpunkt eines freien Systems

verbundener Massen,

Kräfte

«oürken,

auf

bewegt

sich

fest

welche beliebige genau

so,

als

wenn bei derselben Würkung der Kräfte, die Massen ohne Verbindung unter sich wäre«.

Denn: die feste Verbindung ist nur eine bestimmte Art der gegenseitigen Einwürkung der Massen ans ein,

ander,

wodurch sie sich nemlich in gegenseitig gleichen

Entfernungen unter einander erhalten.

Für dieselben

Kräfte und Massen, wird also die, zufolge Zusatz 3.

des vorigen §'s, erzeugte Bewegung des Schwerpunkt-,

auch dieselbe sein, wenn die Massen ohne Einwürkung

unter sich, d. h. völlig frei sind. An merk. 1. 3« Jus-tz 4. zum vorigen §. ist erwähnt, daß kei­ neswegs auf alle Massen Kräfte zu würkrn brauchen, sondern daß einig« derselben ruhen kdnnen, «en« di« Masse« nicht t« fester Verbindung unter sich stehen sollen. Keineswegs aber ist es erlaubt, bei vorausgesetzter fester Verbindung, auch auf Punkt« der mathematischen Derbindungliaiea, Kräfte würkend anzunehme«, und alsdann die Bewegung des Schwerpunkts dergrstalt zu folgern, wie Zusatz 3. des vorigen § s es ««-sprach.

An merk. 2. Der genannt« erste Satz läßt mannigfaltig« Be­ trachtungen und Aawendungen zu. Z. B. zwei Kugel« seien durch eine Stange verbunden, und liege» auf einer Taftl. Man giebt einer derselben einen Stoß; so werde» sich offenbar beide Kugel» bewegen. De» Weg ihre« gemeinsame» Schwerpunkts, der in der (ideal, d. h. ohne Gewicht angenommene») Stange liegt, ist nun sehr genau zu bestimmen. Denn- man bestimme de« Weg der gestoßeneu Kugel, wenn fle frei wäre (imm«k ohne Rüekficht auf di« etwa vorhandenen Hindernisse, als Reibung, Luftwiderstand u. dgl. m ), und ziehe mit diesem Weg« durch de« gemeinschaftlichen Schwerpunkt beider Kugel« in der an­ fänglichen Lage, eine Parallele; diese giebt den gesuchten Weg. — Für ein« bestimmte Jett, erhält man die Größe dieses Weg-, wenn man -en Weg der ersten, als frei angenommenen Kugel bestimmt hat, «ad zieht von seinem zweiten Endpunkte nach dem Orte der andere» (ruhenden) Kugel, eine Verbindung«»^

458

Dynamik; Abschn. II-. Geodynamik; Kap. IL

diese schneidet jene Parallele im zweiten Endpunkte des Weg des Schwerpunkts. — Welche Wege aber die Kugeln in der festen Verbindung gemacht haben? bleibt noch dahingestellt (stehe §. 297. Jus. 1.); aber da ihre Entfernungen vom Schwer­ punkte «»geändert bleiben, so hat man durch die Peripherie«» zweier, aus dem zweite» Endpunkte des Wegs des Schwer­ punkts, mit de» bestimmten unveränderliche« Entfernungen der Kugeln vom Schwerpunkte, als Halbmesser beschriebene Kreise, die geometrischen Oerter der Kugeln nach der entsprechen­ den Zeit; mithin ist durch die Stelle der einen Kugel, auch die der anderen bekannt.

2) Wenn ein fester freier Körper durch belie­ bige Kräfte bewegt wird, so bewegt sich sein Schwerpunkt genau so, als wenn alle jene Kräfte mit ihren Richtungen parallel nach dem Schwerpunkte verlegt wären, und die Masse des Körpers in diesem Punkte sich vereinigt befände. Dieser wichtige Satz, welcher uns für den folgenden g. unentbehrlich ist; ist gleichfalls unmittelbar im vorigen §. Zusatz 3. enthalten, und durch den so eben in Zusatz 1. genannten Satz sofort klar, indem man si nemlich die Elementarmassen des Körpers denkt, auf deren einige als­ dann die würkenden Kräfte angebracht find, während die anderen dieser Massen ruhen würden, sobald man fich die Verbindung unter sämmtlichen Massen aufgehoben

denkt (Siehe Anmerk. 1.). Anmerk- 3. Diese» »«gemein wichtigen Satz, pflegt man auch wol (sei es für Körper, oder für Systeme einzelner fest ver­ bundener Massen) durch Hülfe deS d'Alembert'schen Satzes (§. 189, I») zu beweisen, nachdem man den Zusatz 3 des vori­ gen §'s nur für Masse» bewiesen hat, die ohne Einwürkung auf einander (also auch ohne Verbindung) find. — Man schließt alsdann so: Gesetzt die Elementarmassen deSK'rpcrS würden zu Anfang der Bewegung plötzlich frei; so würden die in die­ sem Augenblicke beim Zusammenhang« der Massen vorhandenen Elementarkräfte (siehe ß. 243 ), de» Schwerpunkt (zufolge de»

V. d. Drehbewegung. VI; Freie Drehbewegung. 450 eben genannten vorausgesetzten Satzes) im ftlgeuden Augen­ blicke dergestalt bewegen, als wären die Elenientarinaffen alle im Schwerpunkte vereinigt, und die Elementarkräste alle nach dem Schwerpunkte, ihren Richtungen parallel verlegt; oder die Bewegung des Schwerpunkts wäre in diesem ersten AugeubliH die im Lehrsatz« behauptete Bewegung. Denkt man sich aber (laut § 189, b.) jene bewegenden Elementarkräste, bei beibehaktenen getrennten Waffen, in zwei Gruppeu von Kräften zer­ legt, von denen die erste Gruppe die bewegende» Element«» kräste enthält, wie st« in der festen Verbindung der Ele. mentarmaffen «Lrklich vorhanden stnd, die andere Gruppe aber jene in §. 189, I». erwähnte, im Glkichgewkchte befindlichen Kräfte begreift; so bewegen diese zwei Gruppen von Kräften vereinigt, den Körper, mithin auch den Schwerpunkt, noch ganz so, wie die so eben genannte Bewegung für.,den Schwerpunkt cS darstellte. Denkt man stch nun abermals diese zwei Grup­ pen von Kräften, ihren Richtungen parallel nach dem Schwer­ punkte verlegt, und hierselbst di« Masse des Körpers (nemlich di« Summe der Elementarmaffen) vereinigt; dann erfolgt laut mehrgedachtem vorausgesetztem Satze (Zusatz 3 des vorigen §'S) keine Aenderung in der Bewegung de« Schwerpunkts. Aber von diesen zwei Gruppen von Kräften, würkt die zweite, ihres Gleichgewichts wegen, gar nichts zur Bewegung des Schwer­ punkts, so daß hiernach dessen Bewegung, mir der Erfolg aus der Würkung der ersten Gruppe von Kräften ist, welche Gruppe zufolge der vorgenommrnen Zerlegung, die überhaupt den Kör­ per in der festen Verbindung der Massen, bewegenden Kräste begreift. — D«r Schwerpunkt erhält also in beiden Fällen ganz dieselbe Bewegung. — W. z. b. w.

3) Wenn ein fester freier Körper, dessen Masse gleich M ist, durch eine Kraft K einen Stoß erhält, dessen Richtung nicht durch den Schwerpunkt des Körpers geht; so bewegt sich der Schwerpunkt dennoch ganz so, als ginge die Richtung des Stoßes parallel der Kraft K durch den Schwerpunkt.

Dieser einfachste Fall des ganz allgemeinen Satzes. (Zu­ satz 3. zum vorigen §.), ist nunmehr ohne Erläuterung

460

Dynamik; Äbschn. ll. Geodynamik; Kap- II.

deutlich.

Laut §. 290, 2. folgt also sofort, daß der

Schwerpunkt eine geradlinigte und (der angenomme­

nen Momentankraft wegen) gleichförmige Bewegung

erhält, und seine Geschwindigkeit, fie heiße ° —y ist (§. 180. Zusatz 2.).

CS ist demnach diese Geschwindig­

keit ganj unabhängig von, der Entfernung der Richtung

des Stoße- vom Schwerpunkte, findet also auch statt, wenn die K durch den Schwerpunkt selbst geht. — Was

aber die Bewegung der übrigen Elemente anbetrifft, so wird fie im folgenden §. untersucht werden; doch ist ein­

leuchtend, daß, wtil fie nicht in Ruhe bleiben können, wenn der Schwerpunkt fich bewegt, fie an und für sich mit dem Schwerpunkte

gemeinschaftlich eine fortschreitende

Bewegung annehmen müssen (§. 176. Zusatz 2.). Anmerk ES iß hierbei wol beachtenSwerth, daß zur Bestimmung »on e kein« Zerlegung der K vorzunehmen nbthig iß, ans welche Weist auch dst Außenfläche de« KdrperS getroffen wirb. Wollte man de« Deetor vom Schwerpunkte zum Angriffpuukte ziehen, und im Angriffpunkt« eine Zerlegung der K in beliebige Set» tenkriste vornehmen-, so giebt die Verlegung der Seitenkrilste ihren Richmngen parallel zum Schwerpunkt«, sogleich zur Re­ sultante wiederum die Würkung der K — Wenn aber der Stoß durch eine zweit« Mass« M' geschieht, welche an und für sich bst b«w«g««b« Kraft K hat, und der Stoß ist schief und ex. rentrtsch (§. 237.); dann ist deutlich, daß weil die Masse M «ach bem Stoße nicht ruhe« kann, also bewegende Kraft zu ihrer fernere» Bewegung nbthig ist, nunmehr auch nicht die ganz« bewegend« Kraft K auf den Stoß verwendet werden kann. Dst Relationen für diese« Fall, werde« t« §. 300. untersucht werde«. 4) Ma« Wird nunmehr die Elemente der Bewe­

gung deS Schwerpunkts eines freien Körpers, auch für den Fall bestimmen können, wenn beliebig viele Mo-

mentankräfle — fei eS gleichzeitig oder nach einander —

auf eine« freien feste» Körper würken.

Ja man wird

V. d. Drehbewegung. VI. Freie Drehbewegung. 461 selbst unter gewissen, leicht j« erkennenden Bedingungen, des Schwerpunkt-Bewegung bestimmen können, wenn unter den

wfirkenden Kräften beständige fortwfir-

kende Kräfte fich befinden (Denn laut g. 33. Zus. 2. haben die, ihren Richtungen parallelen, nach dem Schwer, punkte verlegten Kräfte, immer eine Resultante, wenn

diese nicht Null ist) *).

§. 293. Lehrsatz. Wenn auf einen freien Körper eine Mvmentankraft K »first, deren Richtung nicht durch

den Schwerpunkt geht; so erhalten (außer dem Schwerpunkte) alle Elemente deSKörpers eine

Drehung, welche an und ffir sich (d. h. abgese­ hen von ihrer gemeinschaftlich fortschreitenden Bewegung mit dem Schwerpunkte, laut §. 292,

3.) genau so ist, als wäre der Schwerpunkt fest, und es würde um ihn eine Drehung durch die Kraft K erzeugt.

Beweis.

Durch die Kraft K erhält der Schwer­

punkt einen Druck gleich der K, nach der mit der K pa­ rallelen Richtung (§. 292 , 3 ).

Bringt man also im

Augenblick« des Stoßes, eine der K gleich große entge­

gengesetzte Kraft — K im Schwerpunkte an, so bleibt derselbe in Ruhe, und die würkende Stoßkraft erzeugt

nunmehr, weil fie seitwärts vom festen Punkte im Kör­ per würkt, eine (allerdings noch näher zu bestimmende) Drehung um den Schwerpunkt,

welche Drehung an

uod ffir sich nicht geändert wird, wenn man wie­ derum eine neue Kraft auf den Schwerpunkt wfirkend avnimmt (§. 289. Zusatz 2.).

Nimmt man diese Kraft

alS * K an, so hebt fie fich mit der zuerst angebrachten

*) Für die erfolgende Drehung, siehe §. 297.

462

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. 11.

— K auf, und die nunmehr außer der Drehung auch noch erfolgende fortschreitende Bewegung aller Ele­ mente, ist genau dieselbe, wie die eine ursprünglich würkende Kraft K fle erzeugte. — W. z. b. w. *). Zusatz. Die durch einen Stoß K, dessen Richtung nicht durch den Schwerpunkt eines freien Körpers geht, erzeugte Bewegung des Körpers, ist demnach zusammen­ gesetzt aus: a) der fortschreitenden Bewegung sämmtlicher Elemente des Körpers, dergestalt als würke die Kraft K ihrer Richtung parallel auf den Schwer­

punkt, oder was (laut §. 176. Zusatz 2.) dasselbe ist, als wäre die Kraft K gleichmäßig über alle Elemente des Körpers vertheilt, und I>) aus einer Drehbewegung sämmtlicher Elemente um den Schwerpunkt, gerade so als wäre der Schwerpunkt fest, und die Kraft K bewürkte in ihrer Richtung und Starke ungeändert, nur eine Dre^ hung um den Schwerpunkt **). — Aus dieser zusam­ mengesetzten Bewegung erfolgt demnach c) für den Schwer­

punkt eine geradlinigt gleichför

mit der Geschwindigkeit s ---

ige Bewegung

welcher Werth unab­

hängig von der Entfernung der Richtung der K vom Schwerpunkte ist (§. 292 , 3), während für alle andere Elemente die (in b. erwähnte) Drehung noch zu bestim­ men bleibt, was in §. 296. geschieht, wenn zuvor noch die folgenden Säße bekannt sind.

*) ES ist einleuchtend, daß der Beweis die Größe des Drucks den der Schwerpunkt durch die K erleidet, nicht nothwendig vorausznfthen braucht, sondern nur erfordert, daß überhaupt durch die K ein Druck auf den Schwerpunkt erzeugt wird. **) ES ist wol zu beachten, daß hierin noch keineswegs liegt,, daß die Drehung um eine bestimmte Linie als Axe erfolge.

V. d. Drehbewegung. VI. Freie Drehbewegung. 463 §. 294 Lehrsatz. (Fig. 89).

Wenn ein Körper veranlaßt wird, sich mit der Winkelgeschwindigkeit w' um eine Axe A'B' zu drehen, während diese Axe selbst mit der Winkelgeschwindigkeit w" um eine andere Axe A"B", die sich mit der Axe A'B' unter dem Win­ kel A'SA" schneidet, zu drehen veranlaßt wird; so dreht sich der ganze Körper vermöge jener zwei angeregten Bewegungen, um eine dritte resultirende Axe AB, welche in der durch die zwei ersten Axen zu legenden Ebene liegt, und mit den Axen A'B' und A"B" wechselseitig die Winkel «' und «" dergestalt bildet, daß sich die Sinus dieser Winkel, umgekehrt wie die den Axen A'B' und A B entsprechenden Winkel­ geschwindigkeiten verhalten; d. h. es verhält sich sin h. sin a? : sin «" : sin a = w" : w': w; also w : w7 = sin a : sin «" und w : w"= sin a ; sin Dies giebt den Satz: Die resultirende Winkelgeschwindigkeit, oder die Winkelgeschwindigkeit des Punkts O (mit­ hin auch jedes Elements des Körpers) in Be­ ziehung zur dritten Axe, verhält fich zur Win­ kelgeschwindigkeit des Punkts O in Beziehung zu einer der zwei ersten Axen, wie der Sinus des Winkels den diese beiden ersten Axen bil30*

468

Dynamik; Abfthn. II. Geodynamik; Kap. II

de«, zum Axe mit bitdet. Indem die Winkel refultirende

Sinus des Winkels den die dritte der anderen jener zwei erste« Axen

zufolge des Lehrsatzes deS gegenwärtigen §'S, und «" bekannt sind, ist nunmehr auch die Winkelgeschwindigkeit w bekannt.

««merk- 2. Der Lehrsatz der §'s und der im Zusatze genannte Satz, läßt sich auf folgende Weise, überwiegend analytisch, auch so beweisen. Wir behalten die Bezeichnungen wie vorhin bei. — Vermöge der vorausgesetzten zwei Drehungen, muß der Durchschnittpunkt 8 der beiden Axen (relativ) ruhen, und in der Ebene des Winkels « (den die zwei Axen bilden) muß durch 8 ein« Linie vorhanden sein, in welcher sich die zwei Drehun­ gen gegenseitig aufheben, welche Linie daher die Sxe der wirk­ lichen Drehung ist (von deren Vorhandensein man sich aber auch, wie in dem Beweise de« Lehrsatzes, durch eine Construetion überzeugen kann). Gesetzt P sei ein Punkt in dieser drit­ ten Axe in der Entfernung e vom Punkte S. Dan« ist der Halbmesser de« Kreise«, den P bet der Drehung in Beziehung zur Are A 8 beschreibt, gleich e »in und eben so ist e sin « ' der Halbmesser de« Kreise« der Drehung de« Punkt« P um die Axe A B". Die Geschwindigkeiten de« Punkt« P in Beziehung zu beiden Axen, sind also ew sin a und ew" sin Diese Ge­ schwindigkeiten müssen sich aber tilge«, «eil der Punkt P ver­ möge dieser zwei Bewegungen ruht. Man hat demnach e w" sin a = e w" sin a" oder den Lehrsatz w : w ’ = sin a" •_ sin Ferner: die Geschwindigkeit, mit welcher sich ein Punkt in einer der beiden ersten Axen, z. B der Punkt P’ in der A B, nm die andere dieser zwei Axen, also um die A B" bewegt, ist, wen» der Punkt P' um a (— P S) vom Punkte S entfernt ist, gleich nw" sin e; während die Geschwindigkeit desselben Punkt« P' um die dritte Axe AB, gleich aw sin « ist. Weil aber P' sich doch wirklich nur einmal dreht, also auch nur eine und die­ selbe Geschwindigkeit habe« kann; so ist aw" sin a ass aw sin a, d. h. w : w" = sin a : sin «. Eden so ergiebt sich W . w' = sin « • sin a . Anmerk. 3. Eine unmittelbare Anwendung findet unser Lehr­ satz nebst dem Zusätze, in der Erscheinung der Zurückwetchung der Aequinoetjalpunkte oder dem Dorrücken

V. d. Drehbewegung. VI.

Freie Drehbewegung. 469

der Nachtgleich««, indem die Erdaxe in der Zeit #on 25848 Jahren (in 74,8 Jahren um einen Grad), sich um die Axe der Ekliptik bewegt, welche, wie bekannt, um den Winkel der Schiefe der Ekliptik (also cirka 23£°) gegen die Axe der Erd« geneigt ist. Di« fernere Erläuterung dieser wichtigen Erscheinung nach mechanischen Gesetzen, kann hier, ohn« Dorau-fttzung astronoMischer Kenntniß, nicht gegeben werden.

Zusatz 2. Stehen die zwei Axen A'B' und A"B" senkrecht j» einander, ist also L «=90°, oder »io a--1, so wie »in a* = cos oder cos «' — sin a"; dann modificiren sich die gefundenen Proportionen so, daß man erhält: w': w" — sin a": cos ) -1 WZ2 4. y"2 4- w"2 4- V"1 J

= V/(w'2 4- «"2 4- *"'2) wird. — Das Gesetz für den

Sinns deS Winkels, welchen die nie resultirende Axe B(n) mit der (n 4- l)ten gegebenen Axe A wobei S' und S" ihre Schwerpunkte find, und die Berührung erfolgt im Punkte O, so daß TG die gemeinschaftliche Tangente zu beiden Oberflächen in O ist; so ziehe man K'OK"

senkrecht zur TG, und indem man die, in den Schwer­

punkten vereinigte bewegende Kraft jeder der beiden Mas­ sen, in den Richtungen ihrer Würkungen nach B' und

B

(wo K' K" die Richtungen der Bewegungen schnei­

den) verlegt (§. 19.), zerlege man die, durch die Linien BT und B"I" repräsentirten bewegenden Kräfte beider

Massen, in die Seitenkräfte B'C' und B'D', so wie B,,C" und B"D", von denen B'C' und B"C" in die Richtung

K'K", aber B'D' und B"D" senkrecht zur K'K", folg­ lich parallel gehen. — Es ist nun einleuchtend, daß diese letzteren Seitenkräfte für den Stoß ohne Würkung

find (vergl. §. 240, 3 ), während die ersteren B'C' und B"C" einen excentrischen

geraden Stoß gegenseitig

ausüben, welcher für beide Massen genau laut §. 303. berechnet wird.

Betrachten wir nunmehr unter der Vor­

aussetzung von §. 296. I., die Bewegung des Punkts

B'- nach dem Stoße; so ist sie aus den Bewegungen zu­ sammengesetzt, welche die Seitenkraft B"D", und die durch den Stoß

auf B" erzeugte Kraft,

veranlassen.

Letztere Kraft ergiebt sich aus der Bewegung, welche laut

§. 296. der Punkt B" nach dem Stoße erhalt; die Rich­

tung dieser Kraft ist senkrecht zur Linie B"D, wenn D als der Mittelpunkt der freien Drehbewegung (laut §. 300.)

befimmt ist, und hiernach ist auch die Größe der entspkechenden bewegenden Kraft bekannt.

B"E" stelle diese 32*

500 Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. II. Kraft in Größe und Richtung dar; so giebt B"N" die

resultirende Richtung der, nach dem Stoße auf B" würkenden Kräfte; folglich erhalt der Schwerpunkt 8" die Bewegung nach der Richtung S"R", und alle für die freie Drehbewegung des Körpers M" wesentlichen Grö­ ßen, sind nach den gehabten Sätzen völlig bestimmt. — Für die Masse M' gelten natürlich die ganz analogen Betrachtungen und Erfolge. — Ist einer, oder sind beide Körper elastisch; so sind die Erfolge nach den bereits hierfür gemachten Bemerkungen, nunmehr zu bestimmen.

§. 305. Zusätze. 1) Wenn auf einen freien festen Körper, außer einer Momentankraft, welche ihm eine Drehung um eine bestimmte Axe A' gießt, noch eine fortwürkende Kraft stets in derselben Richtung würkt, und der Körper durch

diese letztere Kraft eine Umdrehung um eine andere Axe A" erhält; so ist laut §. 295, 7. deutlich, daß, indem man die fortwürkende Kraft als aus unendlich vielen Momentankräften bestehend ansieht, ein stetiges Wech­ seln der Axen eintritt, oder eine veränderliche Axe entsteht. — Als eine solche fortwürkende Kraft, kann aber auch ein stetig würkendes Hinderniß angesehen werden, wie z. D. die Reibung welche eine, durch einen Stoß auf einer Ebene fortbewegte Kugel, erleidet *). Die Grund­ züge der Theorie der veränderlichen Axen, liegen in dem bisher Vorgetragenen; sie können für viele ein­ fache Fälle, ohne neue Erläuterungen, schon hier genau beurtheilt werden; doch bleiben diese Untersuchungen zweck, mäßiger für die höhere Mechanik. 2) Wir verfolgen hier, aus dem so eben gesagtem

*) Das Billardsplel giebt die einfachsten Beispiele für di« oben allgemein angcstellten Betrachtungen.

V. d. Drehbewegung. VI. Freie Drehbewegung. 501

Grunde, auch nicht die Untersuchungen welche bei der Annahme sich ergeben: daß beim Stoße eines Körpers der Fall §. 296. I. nicht eintritt, so wie den Fall, daß beim Stoße dep Massen laut §. 303. und §. 304., jene

Annahme §. 296. I., oder die Annahme: daß die Rich­ tungen der Bewegungen vor dem Stoße in einer Ebene liegen, und daß die Körper sich fortschreitend bewe­ gen, nicht stattfindet. Auch hier wird man für manche einfache Falle, die Resultate ohne neue Erläuterungen im Allgemeinen leicht beurtheilen können. — Eben so wenig verfolgen wir die Untersuchung der Resultate welche sich ergeben, wenn man bei jenen letzteren Annahmen auch noch veränderliche Axen, oder mehr als zwei Kör, per sich stoßend voraussetzt. — Selbst der tiefste Calcül wurde nicht ausreichen, alle diese Falle vereinigt,

allgemein zu untersuchen.

Anmerk. Zum Schluffe dieser theoreN'schen Lehren von der Be­ wegung fester Körper, kann noch einmal bemerkt werden, daß von mehreren Schriftstellern, die Akustik (d. h. die Lehre vom Ton und Schall) als besonderer Theil der Mechanik fester Körper angesehen und vorgetragen wird (stehe §. 3.), und zwar be­ sonders deshalb, weil die Hauptgesetze jener Lehre, welche uns bekannt sind, aus den Bewegungen (Schwingungen »der Oscil­ lationen) fester Körper entlehnt werden, und namentlich weil schwingende und dabei tönende Saiten und Stäbe, viele Achnlichkeit mit den Pendelschwingungen zeigen. — Jedoch ist dir Akustik, von der mechanischen Seite betrachtet, noch nicht zu dem Grade der Ausbildung gediehen, daß sie gleich den bis­ her vorgetragenen Lehren, als Theil der angewandten Ma­ thematik austretcn könnte, daher sie zweckmäßiger als ein Theil der Physik angesehen und hehandclt wird.

502 Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III.

Drittes Kapitel. Von der Bewegung der Maschinen. §. 306. Einleitung.

Jin dritten Kapitel der Geostatik, ist vom Zustande des Gleichgewichts der einfachen und einiger zu­ sammengesetzten Maschinen (§.91.) gehandelt. In der Geodynamik sollen nun noch die Gesetze der Be­ wegung der einfachen Maschinen in ihren Grund­ zügen abgehandelt werden, sofern diese Untersuchungen hinreichen, nebst einigen Andeutungen, auch die Bewe­ gunggesetze der zusammengesetzten Maschinen zu er­ kennen. Weil demnach für gegenwärtigen Zweck, eine möglichst wissenschaftliche Begründung des dynamischen Theils der Maschinen genügt, so unterbleibt auch die aus­ führliche Beschreibung der Construction und des Gebrau­ ches der Maschinen selbst, worüber in einer practischen Maschinenlehre das Nähere zu suchen ist; noch weniger kann aber hier von der Erfindung neuer Maschinen die Rede sein. An merk. ken,

Zu denen in der Anmerkung zu §. 91. genannten Wer­

können hier noch folgende Werke hinzugefügt werden:

PaSquich, Versuch eine- Beitrag- zur allgemeinen Theorie der Bewegung und vortheilhaftesten Einrichtung der Maschinen

(1789); v. Busse, die nöthigsten allgemeinen Lehren der hö­ heren Maschinen - Mechanik (1828); ganz UNd Betancourt, Versuch ühcr die Zusammensetzung der Maschinen, au- dem

Französischen nach der 2tcn Auslage übersetzt von Krcyher (1829); Gerstner, Handbuch der Mechanik, 3 Bände (1831 bi- 1833); ist in praktischer Beziehung besonders zu empfeh­ len; Hachette, traite dementaire des machines; U. st. M. — Ueber Len Nutzen und die mannigfaltigen Anwendungen der

Von der Bewegung der Maschinen.

503

Maschinen (jedoch nicht in wissenschaftlich mechanischer Be­ ziehung), ist zu beachten: Babbage, über Maschinen und Fa­ brikenwesen ; aus dem Englischen nach der 2ten Auflage über­ setzt von Friedenberg (1833).

§. 307. Lehnsatz.

Betrachten wir den Zweck der Maschinen in mecha­ nischer Beziehung, so läßt er sich auf folgende drei Falle, für welche man leicht Beispiele finden wird, zurück­ führen. Reinlich:

1) Die Richtung der würkenden Kraft, — hier vvrzugweise blos die Kraft genannt ($. 91.) — soll (oder muß) eine andere, als die Richtung des vor­ handenen Widerstandes, — hier besonders die Last genannt — sein. Bei dieser Aenderung der Rich­ tung, kann sowol Gleichgewicht als Bewegung, Zweck der Anwendung der Maschine sein. 2) Die Größe einer zu bestimmenden Kraft oder Last, soll respective gegen die Größe einer vorhandenen Last oder Kraft geändert (also ver­ größert oder verkleinert) werden. — Auch bei dieser An­ wendung der Maschinen, kann sowol Gleichgewicht als

Bewegung der Zweck der Maschine sein. 3) Die durch eine gewisse Kraft oder Last, an und für sich bedingte Geschwindigkeit, oder die entsprechende Zeit, soll geändert (also vermehrt oder vermindert) werden*). — In diesem Falle ist nur Be­ wegung der Zweck der Maschine. Unter welchen Umstanden der eine oder der andere *) Man erkennt leicht, daß auch die Verminderung einer Geschwindigkeit, der Zweck der Maschine sein kann; z. B- beim Hcrabhcben großer Lasten von gewissen Höhen, von denen ein zu schnelles Herabgleiten oder Fallen, verschiedene Nachtheile erzeugen könnte.

Dynamik; Abschn. EL Geodynamik; Kap. HI.

504

Zweck der Anwendung der Maschinen eintritt, hangt ganz

von dem vorliegenden besonderen Falle ab, und dem Geiste des Mechanikers muß es überlassen bleiben, entweder un­

ter den bereits vorhandenen Maschinen die entsprechende und vortheilhafteste zu wählen, oder eine neue Maschine

für den besonderen Fall zn erfinden, welche den meisten Vortheil gewährt. Worin jedoch der Vortheil einer

Maschine vor der anderen besteht, ist nicht allgemein anzugeben, sondern hängt von mannigfaltigen Bedingungen und Umstanden ab (Siehe auch $. 316, 3.). — Uebrigens

erkennt man in jenem dreifachen Zwecke der Anwendung der Maschinen, die drei Elemente der Mechanik: Raum

(Richtung), Kraft und Zeit. — In welcher gegenseitigen Beziehung bei Maschinen, die Kraft und die Zeit, oder

die Kraft und der Raum stehen, ist in §. 102. bereits im

Allgemeinen angedeutet, und wird in gegenwärtigem Ka­ pitel noch naher beleuchtet werden. Zusatz.

Vom dynamischen Theile der Maschinen­

lehre, kann man den überwiegend rein mathemati­ schen Theil derselben unterscheiden, welcher die räum­

lichen und Zahlenverhältnisse bei Maschinen, ohne

Rücksicht auf die würkende Kraft, untersucht, wenn gleich

Heide Theile der Maschine, nemlich jener dynamische und dieser mathematische, genau zusammenhangen, so­

bald von der Anordnung der ganzen Maschine die Rede ist.

Das zu Ende von §. 101. Gesagte, deutet auf ver­

gleichen mathematische Bestimmungen hin, welche bei

gewissen Maschinen der Hauptzweck sein können, auf den tv r

uns

z. B.

jedoch hier nicht weiter einzulassen brauchen;

bei einem Schrittzähler ist die Bestimmung der

Kraft unwesentlich; selbst bei Uhren ist die Kraftbestim­ mung, obgleich oft schwierig, dennoch nur eine Neben­ sache für den Zweck der Uhr.

Bei einer Rechenmaschine

endlich, ist webe» die Kraft, noch die Zeit oder der Raum

Von der Bewegung der Maschinen.

505

das Wesentliche, wenn auch jedes dieser Elemente nicht ohne Bedeutung für diese Maschine ist, denn selbst die Geschwindigkeit, mit welcher sie die Rechnungen ausführt, hangt überwiegend von der Uebung dessen, der sie ge­ braucht, ab.

§. 308. Erklärungen.

1) In §. 91. ist die Eintheilung der Maschinen in einfache und zusammengesetzte genannt; die erste­ ren sind im Zustande des Gleichgewichts, im 3ten Kapi­ tel der Gevstatik bereits abgehandelt, und daselbst ist auch in statischer Hinsicht von einigen der zusammengesetzten Maschinen, namentlich von den Seilmasch inen (oder Funicularmaschinen) und vom Räderwerke die Rede gewesen. — Ehe wir zum dynamischen Theile der Maschinen übergehen, sind nnn noch folgende Benennun­ gen zu merken. — Bei zusammengesetzten Maschinen hei­

ßen die einzelnen Theile, sofern sie einfache Maschinen (laut §. 91.) sind, die Besiandmaschinen; unter die­ sen heißt diejenige die Vormaschine oder die Belebungmaschine, auf welche die würkende Kraft, oder im Falle mehrere Kräfte auf die Bewegung einwürken, die nach statischen Gesetzen gesuchte Resultante aus ihnen, unmittelbar würkt; diejenige Vestandmafchine, an welcher die Last, oder die Resultante aus mehreren Lasten un­ mittelbar angebracht ist, heißt die Hinlermaschine, auch Würkungmaschine (Wärkungorgan) genannt; alle übrigen Bestandmaschinen, welche zur Verbindung der Vor- und Hintermaschine vorhanden sind, heißen Zwischcnmaschinen oder Verbindungmaschinen. Die so eben erwähnten Resultanten heißen: die resultirende Kraft und Last, und ihre Angriffpuncte, oder im Falle nur eine Kraft oder nur eine Last vorhanden

ist, der Angriffpunkt dieser einen Kraft und Last, heißen:

506

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III.

der mechanische (oder resultirende) Kraftpunkt und Lastpunkt, auch wol blos Kraftpunkt und Lastpunkt, letzterer auch wol der Arbeitpunkt genannt. — Man kann aber auch die eine würkende Kraft, durch eine an­ dere Kraft nach statischen Regeln ersetzen, oder im Falle mehrere Kräfte würfen, kann man auf den Angriff­ punkt der einen unter ihnen, die übrigen Kräfte (nach statischen Regeln) reduciren und sie hier zusammen­ setzen, dann erhalt man die reducirte Kraft und den reducirten Kraftpunkt. Analog geschieht diese Re­ duktion bei den Lasten. — Von den Hindernissen (§. 88. und §. 89) ist hierbei noch abstrahirt (Siehe No. 6. des §'s). 2) In Hinsicht der Richtungen, nach welchen die Kraft und die Last bei den Maschinen würken, unterschei­ det man die geradlinigte und die krummlinigte Bewegung, welche letztere gewöhnlich kreisförmig ist. Jede dieser zwei Bewegungen wird, sobald man sie wäh­

rend einer bestimmten Zeit, oder wahrend einer bestimm­ ten Verrichtung der Maschine betrachtet, eingetheilt in: fortgehende und wiederkehrende Bewegung. Welche von diesen Bewegungen bei einer besonderen Maschine angebracht wird, hängt abermals von den vorhandenen Umständen oder von verschiedenen Bedingungen ab. — Dem im vorigen §. genannten ersten Zwecke der Ma­ schinen entsprechend, erhält man hiernach folgende Ver­

wandlungen der Richtungen der Kraft in Richtungen der Last: 1) Fortgehend geradlinigte in fortgehend geradlinigte 2) in wiederkehrend geradlinigte 3) in fortgehend krummlinigte 4) in wiederkehrend krummlinigte

5) Wiederkehr, geradlinigte in wiederkehrend geradlinigte 6) in fortgehend krummlinigte

Von der Bewegung der Maschinen.

507

7) Wiederkehr, geradlinigte in wiederkehrend krummlinigte 8) Fortgehend krummlinigte in fortgehend krummlinigte 9) in Wiederkehr, krummlinigte 10) Wiederkehr, krummlinigte in Wiederkehr, krummlin. *) 11) Wiederkehr.geradlinigt in fortgehend geradlinigt \ (No. 2.) | 12) Fortgeh. krummlinig! in # I (No. 3.) I 13) Wiederkehr, krummlinigt in

-

-

f~

(No. 4.) 14) Fortgeh. krummlinigt in Wiederkehr, geradlinigt

i «»

(No. 6.) 15) Wiederkehr, krummlinigt in (No. 7.)

1 I

-

-

16) Wiederkehr, krummlinigt in fortgeh. krummlinigt ! (No. 9.) / Anmerk.

Beispiele von zum Theil sehr einfachen Vorrichtun­

gen, durch welche diese Verwandlungen der Richtungen erreicht werden, findet man in einigen der angeführten Werke»; ohne Zeichnungen würden die Beschreibungen derselben doch nicht

*) Wenn man die hier zu combinirendcn vier Dinge- fort­

geh end-geradlinig te, wiede rkchrend-gcradlinigte, fort-

gchend-krummlinigtc undwiederkchrcnd-krummlinigte Bewegung, zu je zweien zusammenstellt, und keine Umkehrungen oder Versetzungen (Permutationen) in den zwei Zusammenstellun­ gen zuläßt (weil di« Verwechselung von Kraft und Last schon diese

4 5

Umkehrung bedingt); so erhält man offenbar —, = 10 Combi­

nationen mit Wiederholungen der vier Elemente zur zweiten Klasse.

Giebt man aber jene Versetzungen auch zu (stets

von der Kraft als Erstes ausgehend), so erhalt man 4- --- 16 Va­ riationen mit Wiederholungen von vier Elementen in

der zweiten Klasse; folglich noch die oben folgende» sechsVer­ bindungen oder Verwandlungen der Richtungen der Kraft in Rich­

tungen der Last (Siehe den 2ten Band meines Grundrisses der rei­ nen Mathematik; §. 5. und §. 8.).

508 Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. UL ganz deutlich werden.

Unter den bekannteüen Vorrichtungen,

um jede von den vier genannten Bewegungen zu erzeugen, mö­ gen jedoch hier bcispielweise bemerkt werden- A. Fortgchend

geradlinigt: a) würkt die Kraft, welche man an einem Seile ziehend ausübt (eben so würkt der Stoß des fließenden Wassers, die Expansivkraft der Luft beim Heronsballe u. dgl. m.); b) bewegt sich die Last längs einer schiefen Fläche. — B. Wiedcrkchrcnd geradlinigt- a) würkt die Kraft an der Sehne

(Darmsaite) eines Bogens, wenn diese Sehne (wie bei einigen Bohrern geschieht) um eine Rolle gelegt ist (auch bei der ge­ meinen Säge m. dgl m.); b) bewegt sich die Last bei den

Stempeln der gewöhnlichen Pumpen. — C. Fortgehend krummlinigt- -,) würkt die Kraft an der Warze der Kur­ bel (§. 93. Anmerk); b) bewegt sich die Last an der Stirn eines Rades, welcher (wie beim Räderwerke) durch ein anderes

Rad bewegt wird. — D. Wicderkehrend krummlinigta) würkt die Kraft am Knopfe des Schwengels der gewöhn­ lichen Wasserbrunnen; b) bewegt sich die Last beim Hebel,

welcher als Balancier zur Fortpflanzung einer Kraft (z. B. bei den Dampfmaschinen) dient.

U. dgl. m.

3) In Hinsicht der Natur der würkenden Kräfte (laut §. 12.) und des Aggregatzustandes der Materie, welche als bewegende Kraft oder als Last vorhanden ist, pflegt man die Maschinen auch wol in geomechanische (eine jedoch nicht allgemein üb­ liche Benennung), hydraulische und pneumatische Maschinen einzutheilen (siehe §. 10.); doch ist diese Eintheilung nicht wesentlich und auch nicht bestimmt genug, als daß sie streng wissenschaftlich erscheinen könnte. Denn wenn man auch eine Maschine, bei welcher weder «in tropfbarer noch ein luftförmiger Körper zu berücksichtigen

ist, zu den geomechanischen rechnen würde; so werden doch zu den hydraulischen Maschinen theils die ge­ zahlt, bei welchen die Kraft durch Wasser hervorgebrachl wird (z. B. ein Wasserrad bei den Mühlen, oder die hydraulische Presse, §. 107. Anmerk. 2.), ohne Rücksicht auf den Aggregatzustand der Last; theils die, bei welchen

Von der Bewegung der Maschinen.

509

die käst ein tropfbarer Körper ist (z. B. beim gewöhn­ lichen Brunnen), oder bei welchen Kraft und käst tropf­ bare Körper sind (wie bei den meisten natürlichen Spring­ brunnen). Eben so hat man ein gleiches Recht, eine Maschine zu den pneumatischen zu zahlen, bei welchen die Luft als Kraft erscheint (j. B. beim Heronsballe), als da, wo sie die Last ist (;. V. beim Blasebalge). Schwie­ riger würde es noch sein, hiernach eine Maschine zu be­ nennen, bei welcher zwei oder gar alle drei Aggregat­ zustande zu berücksichtigen sind, wie z. V- bei den Feuer­ spritzen, bei denen ein Windkessel zur gleichförmigen Bewegung des durch die Muskelkraft bewegten Was­ serstrahls dient. — Im technischen Gebrauche sind für

besondere Maschinen die obigen Benennungen selten einem Zweifel unterworfen, und für die Theorie ist jene Eintheilung unwesentlich, sobald nemlich die wärkende Kraft oder die zu bewegende Last, nach Gewicht bestimmt ist (siehe §. 13, 3 ), welche Bestimmung entweder nach denen in der Statik gehabten Lehren, oder durch Versuche, oder nach physikalischen Gesetzen geschieht, jedenfalls hier aber vorausgesetzt werden kann-

4) Wenn Maschine eine in Beziehung offenbar, bei

der Kraftpunkt (No- 1- des §'s) der bestimmte Bewegung laut § 161. V., d. h. auf die Geschwindigkeit hat; so muß einer stetigen Zusammenwürkung

aller Theile der Maschine, der Lastpunkt (so wie auch jeder andere Punkt in der Maschine) in jener Hin­ sicht dieselbe Natur der Bewegung haben, mag nun seine Geschwindigkeit im Falle einer gleichförmigen Bewe­ gung, oder seine Beschleunigung bei gleichmäßig-be­ schleunigter Bewegung n. s. w., eine größere, eine ge­ ringere, oder wie es (z. B. bei der festen Nolle) der Fall sein kann, mit jener gleich groß sein. — Wie nun auch die Geschwindigkeit des Kraftpunkts und Lasipunkts be-

510

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III.

schaffen sein mag; so nennt man den Zustand der Be­ wegung der Maschine, bei welcher ihre Verrichtungen in bestimmten gleichen Zeiten stets in derselben Ordnung wiederkehren: den Beharrungzustand der Maschin e, vorausgesetzt, daß die (reducirte) Kraft und Last unge­ ändert bleiben. Hiernach ist nun sofort deutlich, was ein gleichförmiger und ein ungleichförmiger Be­ harrungzustand der Maschine ist, und was im letzterem Falle z. B- ein gleichmäßig-beschleunigter oder verzöger­

ter Beharrungzustand sei; u. dgl. m. — In dieser Be­ ziehung theilt man nunmehr die Maschinen in gleich­ förmig- und ungleichförmig-würkende Maschinen ein. Die Bedingungen für beide, und die Vergleichun­ gen unter beiden Zuständen, werden im Folgenden näher

untersucht werden. Anmerk.

Noch abgesehen von den Bedingungen, durch welche

der Beharrungzustand der Maschine und die verschiedenen Arten desselben entstehen, diene hier zur etwa nöthigen Erläuterung die Bemerkung, daß z. B. bei sehr veränderlichem Winde (und

übrigens ungeändcrten Bedingungen) eine Windmühle nicht in den Beharrungzustand kommen kann. Eben so wenig kommt eine Rolle, durch welche nur einmal eine Last mittelst eines sich senkenden Gewichts gehoben wird, in den Beharrung­ zustand; denn ungeachtet der sehr bestimmten (gleichmäßig be­ schleunigten) Bewegung, findet hier, zufolge der Annahme,

keine Wiederkehr der Verrichtung der Maschine statt.

Da­

gegen wird z. B. ein gleichförmiger Beharrungzustand bei einer Roßmühle entstehen, wenn man von den möglicherweise ein­ tretenden Ermüdungen dcS Pferdes abstrahirt. Ein gleichmäßig beschleunigter Beharrungzustand, tritt in der Regel bei den Stempeln der Pumpen rin, wenn die Stempel sich durch ihr Gewicht senken, und ihre Bewegung nach oben durch eine beständige fortwürkende Kraft wieder vermittelt wird; u. dgl. m. Welcher von diesen Bcharrungzuständcn vorzuziehcn sei, so wie

die Wahl der Mittel zur etwa erforderlichen Verwandlung de; ungleichförmigen in den gleichförmigen Beharrungzustand; wird in diesem Kapitel noch untersucht werden.

Von bet Bewegung der Maschinen.

511

5) Weil im dynamischen Theile der Maschinen­ lehre, die Bewegung der Last immer der Zweck ist; so kann man nach der größt möglichsten Würkung der im Beharrungzusiande befindlichen Maschine in einer be­ stimmten Zeit, in Hinficht auf die Fortbewegung der Last fragen, und man erkennt sofort, daß diese Würkung sich sowol 1) nach der Last als solcher (z. B. nach ihrem Ge­ wichte), wie auch 2) nach der Geschwindigkeit, mit wel­ cher sie sich in jener Zeit bewegt, richtet; wobei man, im Falle der ungleichförmigen Bewegung, den in einer Zeit­ einheit zurückgelegten Weg, als Geschwindigkeit ansehen kann, weil dieser Weg beim Beharrungzustande der Ma­ schine, in den gleichen Zeiteinheiten doch immer derselbe bleibt *). Man nennt demnach das Produkt c - L aus der Last L und ihrer, oder der ihr gleichen Geschwindig­ keit c des Lastpunkls (in der zur Einheit angenommenen Zeit), den Effekt der Maschine; dieser Effekt E ist also

das dynamische Moment der Last (Siehe §. 180. Zusatz 2). Wenn z. B. in einer bestimmten Zeit durch eine Maschine 100 Pfd. Wasser aus einem Behältnisse herausgeschöpft und 3' hoch gehoben werden, wahrend

eine andere Maschine 70 Pfd. Wasser 5' hoch hebt; so ist, weil (100 - 3 —) 300 < (70 • 5 —) 350, auch der Effekt der ersteren Maschine geringer, als der der zwei­ ten. Die Bestimmung des größten Effekts, den man durch eine Maschine erreichen kann, ist ihrem gan­ zen Umfange nach ein Gegenstand der höheren Mathe­ matik (Lehre vom Maximum), kann jedoch in einigen interessanten und wichtigen Fallen, auch durch die, bereits

•) Eben so wird man die Schwingungen des Pendels während einer bestimmt,-» Zeit, als gleichförmig ansehcn können, so ungleich­ förmig auch nach den gehabten Gesetzen, die Bewegung während einer Schwingung ist.

512

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III.

in §. 254, 4. gebrauchte Methode erlangt werden (Siehe §. 311, 5. u. f.). Würken zwei Maschinen nicht auf gleiche Weise, z. B. wird durch die eine Maschine eine Last gehoben und durch die andere die Last auf einer Flache fortgezvgen; so ist einleuchtend, daß zur Ver­ gleichung der Effekte beider Maschinen, die eine Würkungart erst auf die andere reducirt werden muß, was nach bekannten oder leicht zu erkennenden Gesetzen geschieht. — Es ist j. B. gleichgültig, ob eine Last von 100 Pfd. auf

einer Ebene bei einer Reibung von p — ! fortgezogen wird, oder ob 100 • 1 = 20 Pfd. in derselben Zeit geho­ ben werden, denn in beiden Fallen ist, unter übrigens glei­ chen Umstanden, die Kraftaußerung einerlei. Bei dieser Reduction der Würkungarten der Maschinen zur Bestim­ mung der Effekte, wird allgemein angenommen, daß die Last gehoben werden soll, und es ist hier, wenn es nicht anders bestimmt wird, gewöhnlich die Minute die Zeit­ einheit, und der Fuß das Maaß für den Weg. — Es ist demnach allgemein das Produkt L • c • z = E ♦ z, wo­ rin z die Zeit der Würkung der Maschine bedeutet, wel­ ches bei der Bestimmung des von einer Maschine zu er­ wartenden Erfolgs, zu berücksichtigen ist. — Hiernach ist deutlich, daß man bei zwei Maschinen erhalt: E': E" = c'L': c"L", also E': E" — c': c", wenn L' — L" ist, und E': E" — L' : L", wenn c' — c" ist

6) Die Last, deren Bewegung der eigentliche Zweck der Maschine ist, heißt die Nutzlast oder blos die Last, und die Kräfte welche, bedingt durch die Construclion der Maschine, bei deren Bewegung auch noch zu überwinden sind, heißen die Nebenlast, auch wol die Neben­ umstande genannt; sie bestehen erstens in den soge­ nannten Hindernissen der Maschine, welche na­ mentlich die Reibung und die Steifigkeit der Seile sind *),

Von der Bewegung der Maschinen.

513

sind*), und zweitens in der Trägheit der Maschi­ nen theile, welche mitbewegt werden müssen. Diese Nebenlast, nach mechanischen Gesetzen (durch die Gleich­

heit der Momente) auf den Lasipunkt (No. 1) reducirt, bilden mit der Nutzlast zusammen die Total la st oder den gelammten Widerstand im Lastpunkte. Der in No. 5. erwähnte Effekt E = c • L, heißt hiernach auch wol der Nutzeffekt, indem man ihn von dem sogenann­ ten Nebeneffekte unterscheidet, welcher durch die Ueber­ windung der Nebenlast, für die Bewegung der Nutzlast eigentlich verloren geht, daher er auch verlorener Effekt heißt; denn die Bewegung der Nutzlast würde, bei übrigens ungeändert bleibenden Umständen, offenbar

größer sein, als sie es ist, wenn die Nebenlast nicht vorhanden wäre. Der Totaleffekt ist endlich die Summe des Nutzeffekts und des auf den Lastpunkt reducirten Nebeneffekts.

7) Das Produkt v • K aus der Geschwindigkeit v des Kraftpunkts (auch wol Geschwindigkeit der Kraft genannt) und der Größe der Kraft K, heißt das dynamische Moment der Kraft, oder auch nur

kurz: das Moment der Kraft. Man hat jedoch wol zu beachten, daß dies Moment vom statischen Mo­ mente e • K der Kraft verschieden ist, wenn auch in vielen Fällen v aus e (der Entfernung des Kraftpunkts von der Drehaxe) zu bestimmen ist; z. B. bei der ge­ wöhnlichen Beschaffenheit der Kurbel, wobei offenbar 2 c 7t

v — ——

(wenn u die Umdrehzeit bezeichnet) ist.

Auf

analoge Weise ist der Effekt (No. 5.), den man hiernach auch das dynamische Moment der Last (der Nutz*) Vom Widerstande der Luft, wird in den folgenden Un­ tersuchungen ganz abstrahirt. ^crstner's Mechanik. Vd. II.

514

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. HI

last) ober daS Moment der käst nennt, vom staeitischen Momente der Last zu unterscheiden und aus

ihm herzuleiten *).

§. 309. Zusatze. 1) Wenige Kräfte in der Natur, wärken völlig in unveränderter Größe während der Dauer ihrer Würkung. Ob eine besondere Kraft konstant oder veränderlich ist, muß aus dem vorliegenden Falle oder aus Versuchen bestimmt werden. Am wichtigsten und schwierigsten ist es, die thierische Kraft hierbei genau in ihrer Größe und deren Veränderungen kennen zu lernen, weil so viele Maschinen durch thierische Kräfte bewegt werden, und die Veränderungen dieser Kräfte von so vielen Ursachen abhängen, die theils in der Construction der Maschine, theils in äußeren Bedingungen (physischen und morali­ schen Ursprungs) liegen. Man betrachte nur j. B- die Ungleichförmigkeit der Kraftaußerung bei dem Krumm­

zapfen oder der Kurbel, bei deren einmaligen Umdrehung, die so sehr verschiedenen Kraftaußerungen der Muskel­ kraft nach allen Richtungen, als: ziehend, hebend, wegstoßend und herabdrückend, in allen Modifika­ tionen vorkommen**)! Demohngeachtet wird man (un-

*) Man pflegt hiernach auch wol zu sagen- die Effekte der verschiedenen Maschinen, verhalten sich wie die dyna­ mischen Momente der Lasten. **) Hierauf ist schon §. 95. aufmerksam gemacht. Als besondere Schriften über den Krummzapfen, können (außer der bereit- §. 95. genannten Schrift von Lehmus) noch bemerkt werden- Eytelwein, Theorie des KrlimmzapfenS (in Crellc'S Archiv für die Baukunst :c.); LangSdorff, Theorie des KrummzapfenS, eine der wichtigsten für die Maschinenlehre re. (1803); Rheinhold, Theo­ rie des KrummzapfenS und einige zur Maschinenlehre gehbrigc Spe­ kulationen (1829); v. Busse, Mechanik dcS KrummzapfenS, mit Widerlegung aller bisher bekannt gewordenen Theorien (1830).

Von der Bewegung der Masschinen.

515

ter leicht zu erkennenden Bedingungen) für eine bestimmte Zeit, die verschiedenen Umdrehungen einer Kurbel, algleichförmig unter sich, erkennen. — Eben so wird man für eine bestimmte Zeit, den Gang eines Menschen oder eines Pferdes auf einer Ebene (unter leicht zu er­

kennenden Voraussetzungen) als gleichförmig ansehen können, ohnerachtet die Bewegung wahrend eines Schrit­ tes, in den kleinsten gleichen Zeittheilchen sehr ungleich­ förmig sein kann, und es auch ist. 2) Wenn eine Kraft K, unter Bedingungen welche noch angegeben werden sollen (siehe No. 3.), die Bewe­ gung einer Maschine erzeugt, und K bleibt vom An­ fang an consiant; so muß offenbar die Bewegung je­ des Punktes der Maschine, eine gleichmäßig beschleu­ nigte sein (siehe §. 179, 3.), und wenn man daher die Beschleunigung irgend eines Punktes kennt, wozu am zweckmäßigsten der Kraftpunkt oder der Last­ punkt zu Wahlen ist, so ergiebt sich aus der (bekannten) Consiruction der Maschine, nach rein geometrischen Leh­ ren, die Beschleunigung, und aus ihr die übrigen Dewegungelemente eines jeden andern Punkts, mithin das Gesetz der Bewegung der Maschine. — Aber wenige Kräfte können, in sofern sie Maschinen bewegen, als constant angesehen werden, oder sie bleiben es doch nur wäh­ rend einer kurzen Zeit; z. B. das herabsinkende Gewicht bei einem Rade an der Welle, ist, bis eS zum Boden oder zur endlichen Ruhe gelangt, eine constante Kraft; doch erreicht das Gewicht dies Ende der Bewegung in einer sehr bestimmten Zeit, und die Bewegung der Ma­ schine würde nur noch so lange fortgehen, bis die, in dem Augenblicke, wo das Gewicht zur Ruhe gelangt, er­ langte Endgeschwindigkeit jener Bewegung, durch die fort­ gesetzt einwürkenden Hindernisse (§. 308, 6.) ganz auf­

gehoben ist; in dieser Zeit ist dann die Bewegung der 33*

516

Dynamik; Abschn. IL Geodynamik; Kap. ID.

Maschine eine gleichmäßig verzögerte, während sie, wenn die Hindernisse nicht von Einwürkung wären, sich mit jener erlangten Endgeschwindigkeit gleichförmig, ohne Ende forlbewegen würde. Von Ursachen, welche die vollendete Bewegung erneuern, wird natürlich hier abge­ sehen. — Wenn aber, abgesehen von einigen, durch die Umstände hier bedingten Aenderungen, z. B. ein unterschlächtiges Wasserrad durch den konstanten Strom des Wassers, in welchem der untere Theil des Rades sich be­ findet, bewegt wird; so ist einleuchtend, daß die Drehung des Rades in einen gleichförmigen Beharrungzustand kommen muß, bei welchem jedoch die Geschwindigkeit hier noch dahingestellt bleibt*). Dagegen würde die Bewe­ gung eines oberschlächtigen Wasserrades, bei wel­ chem der Wasserstrvm von oben auf die Schaufeln fällt, gleichmäßig beschleunigt werden; aber weil sich nicht absehen ließe, wohin eine solche Bewegung führen würde,

ja weil bei fortgesetzter Beschleunigung eine Zerstörung derMaschine unausbleiblich erfolgen müßte; so kann man, nachdem dir Bewegung der Maschine durch die ganze an­ fängliche Kraft des Wassers begonnen hat, und für kurze Zeit gleichmäßig beschleunigt war, einen verminderten Zu­ fluß erzeugen, der gerade hinreichend ist, die, konstant der Bewegung entgegen würkenden Hindernisse aufzuheben,

und mit der erlangten Geschwindigkeit die Bewegung gleichförmig zu erhalten. Analog ist es, wenn eine Maschine durch thierische Kräfte in Bewegung gesetzt wird; sobald die Bewegung erzeugt ist, wird die anfäng­ lich verwendete Kraft so viel vermindert, daß die ferner laut No. 2- als konstant angenommene würkende Kraft, nur die Hindernisse überwindet, und der Gang der Ma-

*) Aus gleichem Grunde ist der Gang einer gewöhnlichen Winlmühle gleichförmig, wenn der Windstrom sich nicht ändert.

Von der Bewegung der Maschinen.

517

schine wird hierbei ein gleichförmiger; auch ließe sich bei der Anwendung konstanter thierischer Kräfte vom An­ fänge der Bewegung an, nicht absehen, wie das Thier der stets zunehmenden beschleunigten Bewegung der Ma­ schine, auf längere Zeit folgen könnte. Als Beispiel kann hier ein, auf einer Ebene fortgezogener Wagen dienen, und die Erfahrung, daß im Augenblicke des plötzlichen Anhaltens, der Wagen noch ein Bestreben äußert sich

weiter zu bewegen, ist aus dem Gesagtem sofort zu er­ klären. — Die näheren mechanischen Bedingungen für alle diese Erfolge, werden im Folgendem näher unter­ sucht werden. — Wollte man eine Maschine durch eine Momentankraft bewegen; so folgt aus dem bisher Gesagtem sogleich, daß, der Hindernisse wegen, die Be­ wegung eine gleichmäßig verzögerte Bewegung wird, mag auch in gewissen Fällen hierdurch der Zweck der Ma­ schine bereits erreicht sein, oder die Würkung der Mo­ mentankraft nach einiger Zeit erneuert werden. — Die Größe der Verzögerung bei dieser Bewegung wird sich ermitteln lassen, sobald die übrigen Umstände gehörig bekannt sind.

3) Wenn bei einer Maschine die statischen Mo­

mente der Kraft K und der Last 1^ gleich sind*); so fin­ det, wenn man noch von den Hindernissen abstrahirt, Gleichgewicht statt.— Durch Vermehrung der K, er­ folgt jedoch noch keineswegs eine Bewegung der Ma­ schine, ja es muß, der Hindernisse wegen, nach statischen Regeln erst die Grenze gesucht werden, bis zu welcher die K vermehrt werden muß, ehe die Bewegung erfolgt,

oder es muß, damit nach der Seite der K eine Bewe-

') Im Falle mehrere Kraft« oder Lasten vorhanden sind, ist laut §• 307, 1. die Resultante aus den Kräften oder den Laste» )» nehme«.

518

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. UI.

gnng erfolgen kann, lant statischen Gesetzen K größer sein als die, durch das statische Moment auf den Kraft­ punkt reducirte Last plus den durch das statische Mo­ ment auf den Kraftpunkt reducirten Hindernissen, d. h. eS muß sein K > als die Summe zweier Kräfte, von denen die eine der Richtung der K entgegengesetzt ange­ bracht, für den Zustand der Maschine dasselbe würkt, als die Last im Lastpunkte, die andere aber im Kraftpunkte, auch der Richtung der K entgegengesetzt, mit den Hin­

dernissen im Gleichgewichte ist. Diese Summe ist also die in der Statik bestimmte Kraft, um nach der Rich­ tung der Kraft, die Maschine im Gleichgewichte zu er­ halten. — Nennen wir die, nach statischen Regeln auf den Kraftpunkt reducirte Last L z. B- L', und die an­ dere Kraft, welche den Hindernissen das Gleichgewicht im Kraftpunkte hält, heißt F; so muß nach dem Gesagtem K > L' 4- F, oder es muß K — (LZ 4- F) eine posi­ tive Größe sein, wenn, wie erwähnt, Bewegung nach

Seite der Kraft erfolgen soll. Die Differenz K — (LZ 4- F) heißt die Ueberwucht der würkenden Kraft K, oder die Ueberwucht bei der Maschine; bezeich­ nen wir diese Größe durch U, die Summe LZ 4- F aber,

der

welche der gemeinschaftliche, auf den Kraftpunkt reducirte Widerstand ist, durch 8; so ist U = K — (LZ 4- F) =

Die Größe U ist demnach die eigentlich be­ wegende Kraft der Maschine (Siehe §. 174, 1.).

K — S (I.).

Im Zustande der Ruhe nnd des Gleichgewichts der Ma­ schine nach der Seite der bewegenden Kraft, ist demnach

U = 0; jedoch ist wol zu beachten, daß ein negativer Werth für U, noch keineswegs eine Bewegung nach der entgegengesetzten Seite der Maschine (also nach der Seite der Last zu) erzeugt, weil, wie man aus den frü­ heren statischen Untersuchungen erkennt, zu dieser Be­ wegung gehört, daß die Hindernisse erst sämmtlich von

Von der Bewegung der Maschinen.

519

der Last (wie vorhin von der Kraft) überwunden werden müssen. Dann tritt gleichsam die Last an die Stelle der Kraft, und diese an die Stelle jener; es wird also erst eine Bewegung nach der Seite der Last erfolgen, wenn L > K' 4- F' ist, wo K' und F' die auf den Last­ punkt reducirten Größen der Kraft K und der Hinder­

nisse bedeuten. — Der so eben erwähnte Umstand ist wol zu beachten, wenn wir auch bei den folgenden Untersu­ chungen immer annehmen wollen: daß die Ueberwucht positiv sei, oder daß die Bewegung nach der Seite der würkenden Kraft K hin erfolge. Die gedachte Bewegung nach der Seite der Last, wenn sie untersucht werden soll, ergiebt sich dann einfach aus den folgenden Untersu­

chungen. Anmerk 1. Wenn eine Maschine, wie j. B. ein nicht im Schwerpunkte unterstützter Hebel, an und für sich schon (in anderer als vertikaler Richtung) in Bewegung kommt; so ist

da- im Schwerpunkte befindliche Gewicht der Maschine, ent­ weder auf den Kraftpunkt oder aus den Lastpunkt zu reduci rcn je nachdem der besondere Fall cs mit sich bringt, daß die Ma­ schine an und für sich eine Drehung nach der Seite der Kraft

oder der Last, annimmt. — Diese und ähnliche Umstände sind leicht zu erkennen.

4) Nachdem in No. 3. die Bedingung gefunden ist, unter welcher die Bewegung der Maschine erfclgt; neh­ men wir zunächst an, daß keine Veränderungen im Zu­

stande der Maschine selbst, wahrend der Bewegung er­ folgen, und daß die Kraft K, so wie die Last L, an und für sich ungeändert bleiben; auch abstralüren wir davon, daß die Reibung der Ruhe größer als die Reibung der Bewegung ist (J. 88, 1.), durch wel­ chen Umstand allerdings die Bewegung zu Anfang etwas langsamer ausfällt, als es ohne jene Ungleichheit der Fall sein würde. Dann ist deutlich, daß die Bewegung

der Maschine eine gleichmäßig beschleunigte Be-

520

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. HI.

wegnng wird, deren Beschleunigung b nur für irgend einen Punkt der Maschine zu suchen nöthig ist; denn die laut Annahme beständige Ueberwuchtl), muß jene Be­

wegung erzeugen (§. 179, 3.). Die Bewegung jedes an­ deren Punkts der Maschine, ist nun auch gleichmäßig be­ schleunigt, und die ihr entsprechende Beschleunigung, ergiebt sich zufolge der Construction der Maschine nach rein geometrischen Lehren, aus der gefundenen Größe b. Ob aber bei einer Maschine die erwähnte Bewegung auch beibleibt, oder ob überhaupt immer K > S ist, hängt von den vorhandenen Umständen ab, namentlich von der Art oder der Würkung der K; ist K ein Gewicht, so

wird unter der gemachten Voraussetzung die gleichmäßig beschleunigte Bewegung beibleiben; ist aber K eine Mus­ kelkraft, so wird sich ihre anfängliche Größe verrin­ gern (siehe No. 2.), bis die nun vorhandene Größe, sie heiße K, = L' 4- F ist; dann geht, vermöge der Träg­ heit, die Bewegung der Maschine mit der in diesem Augenblicke vorhandenen Geschwindigkeit gleichförmig weiter*). Eine fernere Verringerung der Kraft, würde eine verzögerte Bewegung erzeugen. — Uebrigens kann der Zustand der gleichförmigen Beharrung der Maschine, auch durch eine bestimmte Zunahme der Größe der Hin­

dernisse bei ungeänderter Kraft, oder bei einer gleichzei­ tigen Aenderung der Kraft und der Hindernisse, bis zur Gleichheit von K, mit L' 4- F, erzeugt werden. Auch eine Aenderung der L ist während der Bewegung der Maschine sehr wol möglich; doch ist die Abnahme der K die gewöhnlichste Ursache, durch welche die Maschinen fast

*) ES ist also wol zu beachten, daß, wie bald auch K =L’ -pF werden mag, anfänglich die Bewegung der Maschine beschleu­

nigt war, «eil zuerst K > L -p F sein mußte, um Bewegung zu erzeugen.

Von der Bewegung der Maschinen.

521

alle in den gleichförmigen Deharrungzustand ge­ rathen. 5) Die Untersuchungen über die Bewegung der Ma­ schinen, brauchen sich zunächst nur auf die einfachen Ma­ schinen zu erstrecken (§. 306.), und unter diesen haben wir offenbar nur die auf den Hebel zurückzuführenden Maschinen zu betrachten, d. h. diejenigen Maschinen, welche sich zugleich mit der Kraft und der Last bewegen; denn bei der schiefen Fläche an und für sich, ist die Natur der Bewegung als Herabgleiten, bei Berück­

sichtigung der Reibung in §. 191. Zusatz 2., und bei Be­ trachtung der etwa erfolgenden Drehung der sich längs der schiefen Fläche bewegenden Körper, in §. 286, 3. be­ reits betrachtet. Wird mit der schiefen Fläche aber eine Rolle u. dgl. m. verbunden, so ist die Maschine schon zusammengesetzt. Die Bewegung bei der Schraube

oder gar bei dem Keile, bietet keine neuen theoretischen Untersuchungen dar, sobald die in §. 97. und §. 98. er­ wähnten Umstände zum Grunde gelegt werden. — Jene auf den Hebel zurückzuführenden Maschinen, nemlich die

Rolle und das Rad an der Welle*) nebst dem He­ bel selbst, haben aber zugleich eine Axendrehung, wo­ durch der Einfluß des vorigen Kapitels, namentlich des zweiten Theils desselben, wichtig wird, denn die Masse der Maschine wird hierbei gedreht. Wenn aber die Kraft K und die Last L, oder beide Größen zugleich Massen sind, so ist auf die zu ihrer Bewegung erfor­ derliche Kraft wol zu achten. Nemlich: zuerst beim He­

bel, sehe man die Massen der K und der L als in einem

Punkte, und zwar im Endpunkte des Hebels vereinigt

*) Die Bewegungen der Wage können hier übergangen wer­ den, weil der Zweck nur Gleichgewicht zu erzeugen ist. Siehe iedoch §. 311, 7.

522

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III.r

an; so beschreiben diese Massen Kreisbogen, d. h. sie be­

finden

sich in einer Drehbewegung um den Drehpunkt

des Hebels, dessen entsprechender Arm ihr Vector ist*). Wenn ferner bei der gewöhnlichen Einrichtung der Rolle und des RadeS an der Welle, die Massen K und L sich

auch geradlinigt fortbesvegen; so ist dennoch deut­ lich, daß sie alS in einer Drehung um die Axe der Ma­

schine befindlich angesehen

werden müssen;

denn

beide

Maschinen als Modificativnen des Hebels, haben vor­ züglich darin ihren Vorzug vor ihrer Stamm-Maschine (dem Hebel), daß sie die Bewegung auf längere Zeit (oder durch größere Raume) fortsetzen als der He­

bel, und daß sie zugleich die Richtung der Kräfte

K und L stets senkrecht zum entsprechenden He­ belarmerhalten. Weil aber bei ihnen in jedem Augen­

blicke wahrend der Drehung, ein anderer Hebelarm an die

Stelle des sich wegdrehenden Armes tritt; so ist die beim

Hebel so eben betrachtete Drehung der K und der L, in

Beziehung auf die durch die Kraft U (No. 3.) zu bewe­ gende Masse, als unverändert vorhanden anzusehen, und

die Angriffpunkte der Kraft K und der Last L, tragen genau in der angegebenen Entfernung (der Hebelarme von

der Axe) die Massen der K und der L. — Nennt man T(M), T(K) und T(L) die Momente der Trägheit der

Massen der Maschine (d. h. des sich bewegenden Theils der Maschine), der Kraft und der Last, wie solche sich

*) Befinden sich dir Massen K und L, mittelst eines Seils (oder einer entsprechenden Vorrichtung), das immer in vertikaler Richtung bleibt, an den Endpunkten des Hebels befestigt; so be­ schreiben sic zwar auch Kreisbogen bei des Hebels Drehung, wie man durch einen einfachen geometrischen Beweis leicht findet; allein dec Mittelpunkt dieses Kreisbogens liegt um a — 1 (oder um I — a, wenn 1 >■ a ist) unter dem Drehpunkte des Hebels, wenn a den Hebelarm und 1 die Länge des Seils bedeutet.

Von der Bewegung der Maschinen.

523

zufolge der früher entwickelten Formeln, aus der Con-

struction der Maschine ergeben; so i|tT(M) 4-T(K) + T(L) (oder diese Summe) = T (I.) gesetzt, das Mo­ ment der Trägheit der gesammten zu bewegenden Masse, in welchem Ausdrucke T (K) oder T (L) gleich Null wird, sobald K oder L eine Kraft ohne Masse, also z. B. eine Muskelkraft, ist. — Man hat nunmehr die Winkel­

geschwindigkeit w der ganzen Maschine laut §. 253. und Zusatz 2. daselbst: f-(K —L' —F) w_2gz. T 2gz . T (M. + T (k) + T (L) in welcher Formel f die Entfernung des Kraftpunkts von der Axe bedeutet. Hiernach ist also die absolute Ge­ schwindigkeit v des Kraftpunkts, oder wie man zufolge des Gesagten sich ausdrückt: die Geschwindigkeit der Kraft K:

v = 2gz • —(III.), und die entsprechende Be-

f- U schleunigung b == g • -7^- (IV.).

Die Geschwindigkeit v'

und Beschleunigung 1/ des Lastpunkts, wenn seine Ent­

fernung von der Axe gleich d ist, sind v' = 2gz«^4p—

und V = g.

Die besonderen Modificationen

dieser Formeln ergeben sich leicht, und die folgenden §§. werden hinlänglich viele Beispiele zur etwa nöthigen Er­ läuterung darbieten. Nur eine Aenderung für die ge­ wöhnlich gesuchte Größe b sei hier erwähnt.

Da nemlich

T(K) = f- • K, so wie T(L) — d- L und T(M) = h- M «(t (§- 2o3.); so wird b = g . T(^

__ YI

F

— g • -------- jp----------ßv-jjj (V.).

,f L

t (AI)

Weshalb man nemlich

fä~ *) U und T treten an die Stelle von K und T in §. 253.

524

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. HI.

das Moment der Trägheit T(M) der Maschine auch auf den Kraftpunkt reducirt, ist leicht zu erkennen, damit die

ganze zu bewegende Masse in der Richtung der U wider­ steht *).

6) Die allgemein entwickelten Formeln, lassen sich leicht für die besonderen Falle andern, in denen man die Nebenumstände (§. 308, 6 ) ganz oder zum Theil außer Acht läßt, also z. B. wenn man von der Reibung und der Steifigkeit der etwa vorhandenen Seile, oder der Trägheit der Maschine, oder von beiden Umständen zu­ gleich abstrahirt.

Eben so find die Aenderungen leicht

zu erkennen, welche eintreten, wenn K oder L, oder beide Werthe blos Kräfte ohne Massen sind, indem dann ihre Momente im Nenner verschwinden; oder wenn diese Grö­

ßen zwar Massen sind, jedoch nicht mit ihrem ganzen Ge­ wichte würken, z. B. wenn sie sich längs einer schiefen Fläche bewegen, und von der Reibung gegen diese Fläche abstrahirt wird, wodurch im Zähler K • sin a oder L • ein «

an die Stelle von K oder L tritt, wenn « der Neigung­ winkel der Fläche gegen den Horizont ist. U. dgl- m.

An merk. 2. Eine der ältesten Schriften, welche sich mit der Bewegung der Maschine beschäftiget, ist: Sckober, Versuch einer Theorie von der Ueberwucht (Leipzig 1751). §. 310. Aufgabe. Beim physischen Hebel würken die Gewichte K und L als Kraft und Last. Man soll die Be­ schleunigungen b' und b" des Kraftpunkts und des Lastpunkts bestimmen. Auflösung und Beweis**).

Nennen wir die

•) Die Größen K und L enthalten diese Reduktionen auf den Krastpunkt bereits. ”) Die nachstehende Auflösung soll zunächst keine Rücksicht auf

Von der Bewegung der Maschinen.

525

Entfernungen der Kraft- und der Lastpunkte vom Dreh­ punkte, respective a' und a", die Massen der beiden ent­ sprechenden Hebelarme aber M' und M"; so müssen zu­ erst diese Massen auf die gedachten beiden Angriffpunkte statisch reducirt werden, was, sobald die Entfernungen e' und e" der Schwerpunkte vom Drehpunkte bekannt sind, nach den Gesetzen des Hebels laut §. 60, 2. leicht

geschehen kann. Nehmen wir den Hebel von der gewöhn­ lichen Form, als eine prismatische Stange, oder als eine materielle Linie an; so ist laut §. 75, 3. b., e' = |a' und e" = 4a'; folglich muß statt der in ihrem Schwer­ punkte vereinigten Masse M' in der Entfernung e', eine Masse gleich |M' in der Entfernung a'(=2e/) ange­ bracht werden; eben so wird die Masse M", durch eine Masse gleich |M" in der Entfernung a", reducirt**). Der Hebel ist also als gewichtlos zu denken, sobald im Kraftpunkte die Kraft K4- ’M', und im Lastpunkte die Last L 4- -’-M" als vorhanden angesehen wird. Wird nun

diese Last L 4- |M", auf den Kraftpunkt durch die Last L' ersetzt oder statisch reducirt; so geschieht dies wie be­

kannt durch die Proportion L' ; L 4- -I M" = a" : a'; (i. . .1. a" folglich iflL'=--------- ------------ . Mithin ist die bewe­

gende Kraft oder die Ueberwucht U=:K + |M' —

(L4-•£31"). Die bewegte Masfe

die allgemeine Entwicklung des vorigen §'s No. 5. nehmen, damit bei einer besonderen Maschine, jene Entwicklung noch einmal ver­ folgt werden kann. — Indem ferner die Größen K und L (>) e Wichte sein sollen, so würken sie in parallelen Richtungen. Von der Zapfcnreibung mag vorläufig noch abstrahirt werden (Siche No. 1- des folgenden §’$). *) Ueber diese statische Reduktion der Masse des Hebels, ist §. 309, 3. Anmerf., nachjuschcn.

526 Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III. ist aber, der erfolgenden Drehbewegung wegen, zuerst

die im Mittelpunkte der Trägheit, oder laut §. 253. in der Entfernung h vom Drehpunkte des Hebels befindliche Masse des Hebels M' 4- M" oder = M gefetzt; das Mo­ ment der Trägheit h2M ist demnach laut §. 260, 1. gleich

Diese in der Entfernung h vom Drehpunkte befindliche Masse M, giebt nach dem Kraftpunkte, also nach der Entfer­ nung a' von der Axe versetzt, laut §. 252. Zusatz 1., h2 dynamisch reducirt, hiersclbst die Masse M. Wird

nun die Last L auch dynamisch auf den Kraftpunkt rea"2

ducirt; so giebt sie hier die Last ^7 • L, hierzu kommt

noch die bereits auf den Kraftpunkt würkende Kraft K selbst, wodurch man also im Kraftpunkle die überhaupt a"2

||2

zu bewegende Masse K 4- ^77 L 4- ^75 M erhält.

Laut

§. 187. hat man, weil die Bewegung des Kraftpunkts offenbar gleichmäßig beschleunigt ist, die Beschleu­

nigung 1/ dieser Bewegung:

(L). Man wird in der gefundenen Formel, sofort die allgemeine Formel (V.) des vorigen §'s No. 5. erkennen, sobald die gehörigen Subsiitutionen (nemlich b', a', a"

für b, f und d, eben so ^7 L für L', und 0 für F ge­ setzt, weil wir auf die Reibung nicht achteten) gemacht

werden. Die Beschleunigung b" des Lastpnnkts, ist so­ gleich aus der Proportion a'; a" = b': b" deutlich, also

Von der Bewegung der Maschinen.

527

Alle anderen Bewegungelemente für den Kraftpunkt und Lastpunkt, ergeben sich nun ohne Erläuterung zufolge der bekannten Relationen §. 169, 2. Die Abänderungen die­ ser gefundenen Formeln, wenn man für h den vorhin angegebenen Werth setzt, sind für sich deutlich *). — Eben so ist zu beachten, daß aus diesen Formeln jede der Grö­ ßen L, K, M', M", a' und a" entwickelt werden kann,

wenn b und die übrigen jener Größen gegeben sind. §. 311. Zusätze. Die Entwicklung der Formeln für 1/ und b" des vo­ rigen §'s, lassen noch folgende wesentliche Betrachtun­ gen zu. 1) Hätte man auf die Zapfenreibung noch Rück­

sicht nehmen wollen, und vorausgesetzt, die Drehaxe sei ein Bolzen vom Halbmesser r; so treten hier eigene Um­ stände zur Bestimmung der Größe F der Reibung ein,

welche bei der Berechnung der Reibung in der Statik nicht stattfanden. Denn, selbst abgesehen davon, daß während der Bewegung des Hebels, sobald a' ungleich

*) Wenn von der Trägheit und dem Gewichte des Hebel- abstrahirt wird, so erhält man al- Modifikation der obigen Formel, sofort dir (auch leicht selbstständig zu entwickelnden) Formelna a K — a 2L a 2 K -p a 2L ’

doch haben diese Formeln hier wenig Bedeutung.

528

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III.

a" ist, der Druck nicht vertikal unter der (idealen)

Axe liegen kann (weil nach der Seite der Ueberwucht

ein Bestreben entstehen wird, den Hebel aus der Lage, welche er im Zustande des Gleichgewichts hat, herauszu­ ziehen), und daß dieser Druck sich ändert, je mehr

der Schwerpunkt der bewegten Maschine sammt den Ge­

wichten K und L, vertikal unter jene Axe zu liegen kommt; so kann die Axe auch bereits vom Anfänge der

Bewegung an, nicht die ganze Last K 4- L 4- M tragen, sondern der Druck den diese Größen auf die Axe aus­

üben, muß sich um so viel vermindern, als die Kraft, sie heiße P, betragt, durch welche der Schwerpunkt des Systems K', L, M vertikal abwärts gedrückt wird, so

daß für die Axe noch der Druck K4-L4-M — P = D gesetzt, bleibt, wonach dann die Reibung gleich /iD wird,

welche Größe eine in der Entfernung r von der (idealen) Axe widerstehende Kraft ist, deren Moment gleich ruD

in der Entfernung r von der Axe, und gleich

in

der Entfernung der Kraft K wird, so daß die Ueberwucht

U = K4jM'-^(L4i M") — ^,D lst, wonach der Zähler der im vorigen §. gefundenen Formel geändert werden muß. — Die Bestimmung der Größe P würde

für den Hebel ganz überflüssig sein, theils des geringen Einflusses wegen, den diese Größe für die Bestimmungen der übrigen mechanischen Elemente beim Hebel hat, theils

weil die oben erwähnten Umstände selbst eine Bestimmung

dieser Größe

durch

die

höhere Mathematik

schwierig

machen; aber etwas über jene Bestimmung mag dennoch folgen, weil

bei Ueberlragung des Resultats auf das

Rad an der Welle, die bedeutendere jener Schwierig­

keiten (die oben erwähnte Aenderung in der Lage des Schwerpunkts während der Bewegung) wegfällt, wie sich

sogleich

Von der Bewegung der Maschinen.

529

sogleich ergkebt, wenn man die Einrichtung und Würkung

dieser letzteren Maschine betrachtet, bei welcher auch der Einfluß der Größe F bedeutender werden kann als beim

Hebel, denn die Gesetze der Bewegung des Hebels kom­ men selten zur Anwendung, oder der Hebel ruhet auf Schneiden (statt auf Bolzen), bei denen die Reibung

ganz außer Acht bleiben kann. — Um P zu bestimmen,

ist der in §. 286, 1. besonders genannte Satz zu beach­ ten;

denn

die Drehung

des Hebels

(dessen

Masse

M = M' + M" ist, und an dessen Enden sich die Massen K und L befinden, welche hier als in ihren Schwer­

punkten vereinigt angesehen werden können), wie wir sie hier betrachten, entspricht genau der Voraussetzung in

jenem §.

Die in §. 286, 1. durch h2 bezeichnete Größe,

ist hier, weil unser System aus drei Massen, M, K und

L in den respectiven Entfernungen J (a' — a"), a' und a" von der Axe besteht, h- — ä----------- ,

und jene in §. 286, 1. mit e bezeichnete Größe, ist hier

Sle'ch e = - ------------ äi+~K entgegengesetzt liegt).

+ L------------

Ove.l a" der a'

Nun würkt gegen den, in der Ent-

h2 fernung i = — von der Axe befindlichen Mittelpunkt deS Schwunges, laut §. 286, 1., die Kraft M 4- K + L, folglich kann diese bewegende Kraft durch eine, gegen den

Schwerpunkt, d. h. in der Entfernung e von der Axe, würkende bewegende Kraft (nemlich gegen unsere durch

P bezeichnete Kraft) ersetzt werden (welche die Drehung der Maschine oder deren Winkelgeschwindigkeit ungeän­ dert läßt), wenn man die Proportion bildet:

i:e = M + K + L:P, also i(l P = (M + K 4- L) -jvder (weili =

ist) = (M + K + L)^.

Forftuer's Mechanik. Bd. IL

Setzt man Ql

530

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. UL

für e und h2 die eben gefundenen Werthe, so ist endlich:

„ _ [l (a' — a") M + a'K — a"L]2 P— l (a' — a")2 M a'2K + a"2L) (I.); oder wenn man den Hebel als gewichtlos ansehen, d. h. M = 0 setzen wollte, so ist P =

(H)

Jener

vorhin bestimmte Druck D ist also K + L + M- P,

vder für M = 0, D = K + L —

—

Ki + «■")* /Ul') kL‘a'2K4-a"2L 2) Wenn K eine von der Masse unabhängige Kraft ist, so kann (wie bereits § 309. erwähnt ist)-keine dynamische Reduction der K geschehen, sondern K dient nur zur Bestimmung der Ueberwucht. Daher verwandeln sich für diesen Fall die Nenner (bei ungeänderten Zählern) der Formeln für b' und b" des vorigen §'s, in a"2L 4- h2M. Soll die Reibung hierbei berücksichtiget werden, so ist aus No. 1. die Aenderung des Zählers bekannt. — Wesent­ lich ist es jedoch alsdann zu beachten, daß hierbei eine eigene Vorrichtung (beim Hebel) zu erdenken ist, um die Richtung der K immer vertikal und von ungeänderter Größe zu erhalten. — Ist auch L eine Kraft ohne Ge­ wicht, so ist die neue Aenderung des Nenners (nemlich auch a"2 L = 0 zu setzen) nunmehr deutlich. 3) Anders ist es jedoch, wenn L ein Gewicht ohne Kraft ist; nemlich wenn z. D. mittelst einer Rolle (deren Bewegunggesetze als solche noch außer Acht bleiben) die Last L als eine Masse, deren Gewicht G ist, auf einer horizontalen Ebene wegzuziehen ist; dann ist L = ^G. Während also fiG an die Stelle von L, im Zahler un­ serer Formeln, tritt, kommt G selbst an die Stelle von L- im Nenner. Hierbei kann gleichzeitig K eine Kraft ohne Gewicht, wiewol nie ein Gewicht ohne Kraft sein.

531

Von der Bewegung der Maschinen.

4) Verhält sich a': a" = n : 1, ist also a' = na";

so vereinfachen sich die Formeln des vorigen §'s und die in den früheren Sätzen des gegenwärtigen §'s gefun­ denen Resultate; man erhält alsdann:

und

n (K + |M')-n2 (L + pl") n2K 4- L 4-

h-M

Für n — 1, d. h. für den gleicharmigen Hebel, ist hier-

nach b = g • —=------------ r—rj— = b", wie sich diese Kw 11 1T1 4- L 4----- — aGleichheit von b' und b" nun von selbst versteht. Weil 2a3 hierbei auch M'--M" anzunehmen ist, und h2=| / 2^

h2M 1O .. «lf» -jr = 4”

.

, . . K — L f» w,rd b = g. h4_L + TM

5) Der durch den Hebel, wie wir ihn im vorigen §allgemein betrachteten, erzeugte Effekt (§. 308, 5.), ist E = 2z b" • L, wenn der Hebel während der Zeit z würkt; oder b" aus der Formel (II.) des vorigen §'s genom­ men, giebt . (a'a"K 4- I M'a'a" -1a"-M") L - a"-L2 /T. L = 2SZ--------------- „,k.( ,, I.------------ ('■)oder wenn man setzt a'a"K 4- la'a"M'— |a"2M" — und a'=K 4- b= M = p, so

(II.)*).

E = 2gz-

Soll nun der Effekt ein Maximum sein.

*) Man kann den Zähler und Nenner dieses Werthes für E auch noch durch a 2 dividircN/ und die so eben als q und p bezeich­

neten Werthe durch a 2 dividirt/ als q und p annehmen; dann wird die folgende Entwicklung unabhängig von a '2, wenn auch die Wer-

34*

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III.

532

qL_ a"2L2

so muß es offenbar der Factor ---^>2^- (III.)/ in

welchem die sämmtlichen durch die Einrichtung der Ma­ schine bedingten Werthe der Größe E vorkommen, auch

sein, und man kann auf folgende Weise den Werth für

L bestimmen, welcher dem Maximum des Effekts ent­ spricht.

Man setze den Werth (III.)

so ist L2 — -—a,T2

,

O. L = —

= G,

woraus folgt:

fl-a"2G_1 /A-4pa"2G4-q2-2qa"2G4-a"4G2>

2. Wollte man diesen Werth für

4KLj

in obige Gleichung setzen; so würde

man die kubische Gleichung nicht umgehen; aber die Grösse

4-L~~z welche den Factor

öei sich hat, ist auf

jeden Fall eine unbedeutende Größe, welche ohne wesent­ lichen Nachtheil außer Acht gelassen werden kann *). Man 4K L nehme demnach blos K 4- L für wonach dann

K+

E = 2zg • L

Li

s]d2L + ). $.tftn r*6

in den zuletzt für L. gefundenen Werth substituirt, giebt nach

gehöriger Reduktion L =

s-Gr 2t

oder weil hier nur das positive Zeichen gelten kann (beim — Zeichen würde L negativ werden),

L =------------------------------------- (I.). — Wird von allen

Nebenumständen (§. 308, 6.) abstrahier, s =: Kr, t = r und p = Kr; dann ist also

*-K2r2>) --------- ^=-K4-k/(i, die Axe der Well« (oder die Höhe derselben) sei w, die Dicke (oder Höhe) des Rades sei 2ß"4- R'R

gesetzt, wobei

= 2zg -

p = KR-q d» L. — a/< (K 4- L4-9?4- W), q = R2 (K 4- $R) und S = L 4- 9B ist. Soll nun e ein Maximum sein, so muß eS der Factor

auch sei»; sehen wir diesen da­

her gleich G, so ist G -- LL—1-^, und hieraus (l + r s _ pr Gq T — GS^L — — GS 4- L' :

4G»_S q - WLq)

f = 4- p =F

kann als» G Nicht

größer sein, als bis die Gleichung p’ = 4G2Sq4_4GLq oder G* 4-

erfüllt wird. Dies giebt aber für

---

und hiernach r--.^^.,

oder wenn für G der eben gefundene Werth gesetzt wird, dessen Zeichen =f hier offenbar nur 4- sein kann, so ist r=S— L.q4-V/(qIL24-p2Sq)

q

2Lq q

_ _ _ _ _ _ _ _ pq_ _ _ _ _ _ _ Lq+tz(q2L24-p,sq)

Die Geschwindigkeit e, welche ein Maximum ist, ergicbt sich nun auS der zu Anfang angegebenen Formel für e, ob« auch, wenn man sich des so eben gefundenen Werthes für G bedient, aus der Formel 2gz . G — 2gz.

2qS

p s,l)_

*) Nimmt man W nicht als bestimmt an, so erhält man, da W eine Funktion von r ist, eine hier nicht wol aufzulösende Be­ dingunggleichung.

Von der Bewegung der Maschinen.

559

y -+- g«.» ^) = e. Die Winkelgeschwi». digkeit w bet diesem Maximum der Geschwindigkeit der Last, ergiebt sich nach gehöriger Reduetion der so eben für e und r erhaltenen Werthe diese- Maximum- sehr einfach al-: e pq________

Lq + l/(qlL«+p«Sq)

qS

r —

§. 315.

Aufgabe.

Die Beschleunigung

des Kraft-

und

deS

Lastpunkts beim Räderwerke, mit Berücksich­ tigung aller Nebenumstände zu finden.

Auflösung und Beweis.

Die Kraft K und die

Last L mögen Gewichte sein; b sei die gesuchte Be­ schleunigung des Kraftpunkts.

Wir wollen nur drei in

einander eingreifende Näder an der Welle als vorhanden

annehmen, da sich alsdann aus dem hiernach zu ent­

wickelndem Resultate, die Beschleunigung für jede grö­ ßere Menge Maschinentheile, leicht ergeben wird.

Zur

etwa nöthigen Figur, kann Fig. 52. im Isten Theile die­ nen.

Wir nennen die Vormaschine (§. 308.), oder das

erste Rad an der Welle, so wie auch die Masse desselben

M';

ferner M" den analogen Werth bei der zweiten

oder hier der einzigen Zwischenma sch ine, und M'" fest

der dritten oder der Hintermaschine. Ferner be­ zeichnen: IV, R", R " die drei Halbmesser der Räder, und r',

r",

V"

-

-

- Wellen*);

dann ist die auf den Kraftpunkt rrducirte Last, d. h. r'r''r"' V— • L-z wie aus statischen Gesetzen hinläng­

lich bekannt ist ($. 101.).

Der auf den Kraftpunkt redu-

*) Auf welche Weift die Wellen und Räder, welche in einander eingreiftn, zusammengesetzt sind, kann hier gleichgültig sein.

560 . Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III. cirte Widerstand sämmtlicher Hindernisse, oder die Größe

F (§. 309, 3 ), wird gleichfalls nach bekannten statischen Regeln (§. 101.) berechnet; man kennt also die Ueberwucht U = K — L' — F = K — S. Diese Ueberwucht giebt nunmehr dem Kraftpunkte die Beschleunigung b, mithin den beiden, durch B' bezeichneten, sich berühren­ den Punkten (wenn diese auch in jedem Augenblicke mit anderen Punkten wechseln) an der Welle der M' und der Peripherie des Rades der M" (denn beide Punkte haben genau eine und dieselbe Geschwindigkeit in jedem Augen-

blicke), die Beschleunigung

hiernach rrgiebt sich

die Beschleunigung der zwei sich berührenden Punkte B" an der Welle der M" und dem Rade der M'", gleich r' r" b • Ü • lp/ wonach dann die Beschleunigung an der Welle r' v" V" der M"' offenbar b • jpqyqyzz ist, und dies ist die Be­

schleunigung b' des Lastpunkts. Um nun die Beschleu­ nigung b des Kraftpunkts zu erhalten, ist am Kraft­

punkte die Kraft —XI (i.) erforderlich (§. 314. Zusatz 3. Formel (III.)); denn am Punkte II als Lastpunkt des ersten Maschinentheils, ist zwar ein konstanter Widerstand (durch das zweite Rad veranlaßt) zu überwinden, aber keine Masse fortzubewegen. Damit nun der Punkt B' als Kraftpunkt am zweiten Rade, r' die Beschleunigung b • erhalte, ist laut Formel (I>.)

des 3. Zusatzes im vorigen §., an jenem Punkte B' die b • X • T (M") Kraft---------------------- (II.) erforderlich, denn bei dieser

Zwischenmaschinr ist weder die Kraft noch die Last eine Master

Von der Bewegung der Maschinen.

561

Masse; aber die so eben gefundene Kraft, kann auch durch d - T(M") eine Kraft gleich------- ---------------- (III.) im Angrisspunkte

der eigentlich w«1rkenden Kraft K ersetzt werden, wie auS einer einfachen statischen Versetzung der Kräfte sofort folgt. Um endlich dem Kraftpunkte B" an der Periphe­ rie des dritten Rades, die vorhin gefundene Beschleunir',." gung b. zu geben, ist an diesem Punkte die Kraft b [T(L) + T(M"')] ---------------- ^75----------------- (IV.) erforderlich (Formel

(II.) des 3. Zusatzes in §. 314.), denn bei diesem Maschinentheile ist die Last L als eine Masse, die Kraft aber ohne Masse vorhanden. Diese Kraft (IV.) giebt nach dem Punkte B' versetzt, den Werth (IV.) mit gr, mnlti-

plicirt, und von hier nach dem Angriffpunkte der K verp^ fetzt, den so eben erzeugten Werth noch mit multiplicirt.

Es ist demnach statt jener Kraft (IV.), am Angriff-

b.|£^l[T(L)4-T(M''')] punkte der K, die Kraft------------------ ---------------------------

(V.) erforderlich.

Es thut also die Ueberwucht U (am

Kraftpunkte der K) dasselbe, als die drei Kräfte der For­ meln (L), (III.) und (V.), d. h. man hat die Gleichung n_') [T(K) + T(M')] . b * R'2 *

gR77*

gR'2 b •iSS? rr(L)4-T(M"^

gR7"* Forftner'S Mechanik

Bd. II.

=

, +

R’R »R1»-

------

(VI.), mithin ist die gesuchte Beschleunigung b des Kraft, punktS:

U.RiR *R * besg' [T(K)+T(M)1 R"’R"’+T(M")r,K"!+pr|L)^-T(M')] r »r'»

(VII.). Beachtet man, daß T(K) = R'2K, und T(L) ---- r"'2L ist; so ist die Formel (VII.) auch zu fetzen alSr bsg.

______________ u_______________________ j K+^5T(M}+’tt ’R »T(M ^R ’R ’R ’^51 ^R ‘R »R ’ I.

(VIII) Diese sehr elegante Formel, welche leicht als '«in besonderer Satz ausgesprochen werden kann *), und von deren Allgemeingültigkeit für jede beliebige Menge Zwischenmaschinen man sich leicht überzeugen wird **), kann, wenn K oder L ohne Masse sind, nach den mehr, gehabten Sätzen, leicht abgeändert werden. — Die Beschleunigung b' des Lastpunkts, ist nunmehr alS

iTkz>R7* * b

(H') au4 sofort bekannt. — Eben so er-

giebt sich sogleich die Beschleunigung eines jeden bestimmten Punkts der Maschine; und alle andere Bewegung­ elemente bestimmter Punkte, namentlich des Kraft- und deS Lastpunkts, find nun einfach zu berechnen.

Zusatz. Weil, wenn durch die Ueberwucht U eine Masse M fortbewegt werden soll, die Beschleunigung der, selben gleich g«

ist, so nennt man den Nenner der

•) Da- erst« und letzte Glied deS Nenners sind sofort zu nennen; die übrigen Glieder sind die Momente der Trägheit der einzelnen Maschinentheile, respektive multiplicirt mit den Quadraten der ihnen vorhergehenden Wellenhalbmessck/ und dividirt durch die Quadrate der Räderhalbmeffer, stets vom ersten an bis zu dem des vorliegen­ den MaschinentheilS gerechnet. ”) Siehe die Anmerk. 1. zum §.

Von der Bewegung der Maschinen.

Ztzz

Formel (VIII.) auch wol: die, mit der im Augrisspunkte der Kraft, für die nemliche Beschleunigung der Maschine gleichgültige Masse, oder blos: die gleichgültige Masse (in der eben gedachten Bedeutung) im Kraft­ punkte. An merk. 1. Sollte man das in der Formel (VIII.) enthaltene Gesetz nicht sogleich als allgemein gültig erkennen; so kann man folgenden Beweis führen. — Gesetzt r- gelte jene- Gesetz für n Maschinenteile (wie eS denn für drei so eben bewiesen i-) bezeichnet durch M', M"... MW, d. h. für dies« n Theile sei erwiesen, daß: b=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ sJJ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1

T(M) r»T(M )

r ’r' *...r(u-l)’T(M(n))

“+ R ’ +R«R'»+"+

R2R2..,RW*

r«r »...rW

,

+R »R »...RW* Ij

(I ), oder daß: U=-^ (K 4- a T(M) 4-a"T(M )4----- ,-aWT(MW)4-aWrW*L)(IL)

sei, wobei die Bedeutung der zur Abkürzung gebrauchten Buch­ staben a ... a(u), aWrW2 deutlich ist. Kommt nun noch ein (»4-1) ter Maschincntheil, bet welchem die Halbmesser LeRade- und der Welle R um diese Beschleunigung, welche zu­

gleich die Beschleunigung des KrastpunktS des (» 4- t)te« Ma« 36*

564

Dynamik; Abschn. II. Geodynamik; Kap. III.

schinentheilS ist, hervorzubringen, ist am Rade des (n + i)tctt b Theils, die Kraft---------- —

tT L' + F oder K > £ L + F sein.

Von der Bewegung der Maschinen.

567

DieS giebt den Satz: Um Bewegung bei einer Maschine zu erzeugen, muß die würkende Kraft (L) größer sein, als die auf den Kraftpunkt reducirte Last

(L'— -p-L) plus einer Kraft (F), welche im

Kraftpunkte zur Ueberwindung sämmtlicher Hindernisse genau erforderlich ist. Der letzte Ausdruck ist aber auch so zu verwandeln: P.K>p»L + P*F (L), und iy dieser Form liegt der Satz: Das statische Moment (P • K) der Kraft (K), muß größer fein als das statische Moment (p • L) der Last (L) plus dem auf den Kraft­ punkt reducirten statischem Momente (P • F) derjenigen Kraft (F), welche im Kraftpunkte genau zur Ueberwindung sämmtlicher Hin­ dernisse erforderlich ist; dann erfolgt Bewe­ gung der Maschine. Wenn hingegen K < L' + F oder wenn K — K + F' oder wenn P I-P>PK-l-pF^ (III ) ist, in welchen Ausdrücken K' die auf den Lastpunkt reducirte Kraft K, und F' die Größe der Kraft bedeutet, welche im Lastpunkte erforderlich ist, um genau den Hindernissen das Gleich­ gewicht zu halten. Auch ist deutlich, daß p-L h, so ift die Schicht bereit­ weiter als so eben ausgeflossen; bei < h als jener Weg, ist die Schicht aber noch nicht abgeflossen.

V. Ausfluss« des Wassers aus Gefäßen, Röhren rc. 599 »«trachteten, hat, und da- Wasser steht in der Höhe d über der Oeffnung, so steigt e- auch beim HeranSspringen au- der Oeffnung -iS zur Höhe d, versteht sich, abgesehen von allen Hin» dernisscn, wie wir die- auch in vorstehender Entwicklung an» nahmen. Um aber die Höh« d zu erreichen, muß eS del der hier stattssndrnden gleichmäßig verzögerte» Bewegung, die An» fanggkschwindigkeit u = 2l/gd haben (§. 186. Formel (II.)), und diese Größe u muß dieselbe sein (weil sie durch denselben Druck erzeugt wird), mit welcher da- Wasser aus einer Oeff­ nung am Boden eine- Gefäße- zu fließen beginnt, wenn die Wassrrhöhe d über der Oeffnung sich befindet (Stehe auch §. 321, 8.).

§. 321. Zusätze. ES ergeben sich aus dem vorigen §., also auch un­ ter der Voraussetzung des Abstrahirens von den Nebenumständen, sofort die nachstehenden Sätze:

1) Bei einem vertikal stehendem cylindrischem Ge­ fäße mit horizontaler Grundfläche, kann die Oeffnung in der Grundfläche beliebig groß sein; die anfäng­ liche Geschwindigkeit c des Abfließens der Flüssigkeit, ist immer gleich 2 |/gd = c, wenn