Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten [Reprint 2018 ed.] 9783111730004, 9783111130927

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Verlag von

Georg Reimer

in Berlin.

Methodisch geordnete

Aufgaben ZU

Mehler’s Hauptsätzen der Elementar-Mathematik von

Prof. Dr. H. Funcke. Preis broscli. 60 Pf., gebd. 90 Pf.

Zu belieben durch jede Buchhandlung.

Hauptsätze der

Elementar-Mathematik z»m

Gebrauche an höheren Lehranstalten.

Bearbeitet von

Dr. F. G. Mehler. Mit einem Vorworte von

Dr. Schellbach. Zweiundzwanzigste Auflage, besorgt von

G. Saseler, Oberlehrer am Königlichen Eymnasium zu Elbing.

Berlin.

Druck und Verlag von Georg Reimer.

1900.

Vorwort. Herr F. G. Mchler, welcher als Mitglied unseres mathema­ tischen Seminars Gelegenheit hatte,

die Verteilung des Lehrstoffs

zwischen meinem Herrn Kollegen Dr. Luchtcrhand und mir auf unserem Gymnasium kennen zu lernen, hat sich bereitwillig der Mühe unterzogen, die Hauptsätze der Mathematik, welche wir bei unserem Unterricht bedürfen, in einer unseren Zwecken entsprechenden Weise zusammenzustellen.

Wir wünschen ihm hiermit unseren Dank für

seine Mühe auszusprechen, von der wir den erheblichsten Nutzen für unser Gymnasium zu hoffen berechtigt sind. Berlin, den IG. April 1859.

Schellbach.

Vorrede zur achtzehnten Auflage. Wie aus dem Vorworte ersichtlich ist, verdankt das vorliegende Buch seine Entstehung einer von Professor Schellbach gegebenen Anregung.

Nachdem es mir im Sommerhalbjahre 1858 vergönnt

gewesen war, allen Unterrichtsstunden,

welche der Meister seines

Faches in den oberen Klassen des Königlichen Friedrich-WilhelmsGymnasiums erteilte, beizuwohnen und so nicht nur die Endziele, bis zu welchen er seine Schüler führte,

kennen zu lernen, sondern

auch die Art und Weise, wie er sie mit den Elementen der von ihm gelehrten Disciplinen bekannt machte, folgte ich gern seiner Auf­ forderung,

die Elemente der Mathematik nach dem von ihm fest-

IV

Vorwort.

gestellten Plane und unter seiner Mitwirkung zu bearbeiten. Bei der ersten Auflage konnte es durch den Zweck, dem das Buch nach dem Vorworte zunächst dienen sollte, gerechtfertigt erscheinen, wenn es in einzelnen Abschnitten nur eine Zusammenstellung der haupt­ sächlichsten Sätze ohne deren Begründung gab. Als es allmählich in immer weiteren Kreisen Beifall fand, erhielten auch seine einzelnen Teile nach und nach eine annähernd gleichmäßige Ausführung. Der Beteiligung Schellbachs an der Herstellung der einzelnen Auflagen ist in den Vorreden zu denselben Erwähnung geschehen. Das dort Gesagte darf ich diesmal wohl kurz dahin zusammenfassen, daß er durch vielfältige Anregungen und zahlreiche Verbesferungsvorschläge unablässig bemüht gewesen ist, das von ihm ins Leben gerufene Buch zu vervollkommnen, und es durch wertvolle eigene Beiträge (wie den .Anhang zur Trigonometrie", die „Elementare Entwicklung der ein­ fachsten transcendenten Funktionen" und den „Anhang" am Schlüsse des Buches) bereichert hat. Die unveränderte geistige Frische, die noch vor zwei Jahren in den Briefen meines hochverehrten, damals bereits im 88stcn Lebensjahre stehenden Lehrers sich kundgab, und die er sich bis zu seinem Lebensende bewahrte, lies; mich hoffen, daß er mit seinem freundschaftlichen Rate mir noch länger zur Seite stehen werde; doch am ->9. Mai l 892 entriß ein unerwarteter Tod den hochverdienten Mann seinen Angehörigen und seinen zahlreichen Freunden und Verehrern. Die vorliegende neue Auflage bin ich bestrebt gewesen in voller Uebereinstimmung mit den neuen Lehrplänen zu gestalten, und doch, wie es wohl selbstverständlich ist, unter möglichst vollständiger Er­ haltung des bisherigen Charakters und Inhaltes des Buches. Es zeigte sich, daß nur wenige Abschnitte einer tcilweisen und vorwiegend die Anordnung des Stoffes betreffenden Umarbeitung bedurften, und daß im übrigen den neuen Lehraufgaben durch Hinzufügung einiger Ergänzungen entsprochen werden konnte. Die ersten vier Abschnitte der Planimetrie sind fast völlig un­ verändert geblieben; doch ist die Lehre vom Kreise vor den Abschnitt

Vorwort.

V

über Flächengleichheit gestellt, und in letzteren find, in vereinfachter Darstellung, die wichtigsten Sätze über Flächenmessung aus dem sechsten Abschnitte der vorigen Auflage übernommen. Die wenigen übrigen Sätze dieses sechsten Abschnittes sind der Ähnlichkeitslehre eingefügt. Diese letztere ist in zwei von einander getrennte Teile zerlegt worden. In dem ersten Teile sind die Beweise einiger Sätze in einfacherer Form gegeben; außerdem habe ich mich bemüht, durch eine etwas veränderte Gruppierung der Lehrsätze und Aufgaben den Schülem das Verständnis und die Aneignung des Pensums zu erleichtern. In dem darauf folgenden Abschnitte „Von den regel­ mäßigen Polygonen und der Ausmessung des Kreises" ist die Berech­ nung des Kreisumfanges in wesentlich vereinfachter Weise behandelt worden. In den zweiten, für die oberen Klassen bestimmten Teil der Ähnlichkeitslehre (Abschnitt VII) sind aus dem ftüheren fünften Abschnitte die Lehre von den harmonischen Punkten und Strahlen und die Lehre vom Ähnlichkeitspunkt übergegangen. Es bot sich mir hier die willkommene Gelegenheit, weitere Anwendungen dieser Lehren und andere Ergänzungen hinzuzufügen, insbesondere auch solche, deren Behandlung in der Obersekunda der Realgymnasien durch die neuen Lehrpläne ausdrücklich vorgeschrieben wird. Der achte Abschnitt ist bis auf eine Kürzung in § 120b unverändert geblieben. Zn der Algebra sind die positiven und negativen Zahlen nicht, wie früher, schon bei § 122, 3), sondern erst in § 122a eingeführt. Erhebliche Kürzungen des Zuhaltes oder Änderungen der Darstellung sind nur in Abschnitt VII vorgenommen, kleinere fast nur in § 130 und § 128a. Auch der Abschnitt „Reihen und binomischer Satz" hat abgesehen von der Ausscheidung einiger entbehrlicher Entwick­ lungen seine frühere Gestalt behalten. Zn der Stereometrie ist, wie bisher, die Berechnung des Raum­ inhaltes (bezw. auch der Oberfläche) von Prisma, Pyramide, Cylinder, Kegel und Kugel in so einfacher Darstellung gegeben, daß die be­ treffenden Paragraphen sehr wohl für den stereometrischen Unterricht in der Untersekunda verwertet werden können. Auch der Abschnitt

VI

Borwort.

»Von der Lage der Ebenen und Geraden im Raume" beschränkt sich, wie früher, auf das Notwendige. Zn § 210 erschien es erforderlich, den Definitionen, und in § 214 dem Beweise eine teilweise veränderte Fassung zu geben. Den Bestimmungen der Lehrpläne gemäß sind die trigonometri­ schen Funktionen spitzer Winkel jetzt am rechtwinkligen Dreieck defi­ niert; die Funktionen stumpfer Winkel werden (in § 160, 1—3) bereits beim gleichschenkligen Dreieck eingeführt, teils weil dieses die erste Gelegenheit dazu bietet, teils weil cs dadurch möglich wurde, die Änderungen bei der bisherigen Behandlung der Auflösung be­ liebiger schiefwinkliger Dreiecke auf ein sehr geringes Maß zu be­ schränken; natürlich kann der Zuhält des envähnten Paragraphen, wenigstens am Gymnasium, erst in Oberseknnda in Betracht kommen. Die allgemeine Lehre von den Kreisfunktionen (Goniometrie) ist jetzt an das Ende der Trigonometrie gestellt. Sic wird auch in ihrer jetzigen Stellung für die Weitcrführung des trigonometrischen Unterrichts gute Dienste leisten und die Einführung in die Koordinatenlehre erleichtern. Entsprechend den neuen Lehraufgabcu der Gymnasialprima ist dem Buche der neue Abschnitt „Ueber den Koordinatenbegriff und einige Grundlehren von den Kegelschnitten" hinzu­ gefügt. Auf Wunsch der Vcrlagshandlung mache ich darauf auf­ merksam, daß ein Scparatabdruck dieses neuen Abschnittes, sowie auch des Abschnittes über Trigonometrie, von denjenigen Schülern, welche ältere Auflagen des Buches besitzen, in je einem besonderen Heftchen für den Ladenpreis von 20 Pf. bezogen werden kann. In dem größeren Teile des Buches ist es möglich gewesen, die bisherige Paragraphcnbezeichnung unverändert aufrecht zu erhalten; wo cs nicht geschehen konnte, sind die früheren Nummern den neuen in Parenthese hinzugesetzt. Elbing, den 24. Januar 1894. F. G. Mehler.

Vorrede zur neunzehnten Auflage. Die neue Auflage ist ein fast unveränderter Abdruck der vor­ hergehenden, nach den neuen Lehrplänen bearbeiteten. Hervorzuheben ist, daß der Inhalt von § 160, 4) der vorigen Auflage eine passen­ dere Stelle in § 159,2) erhalten hat, und daß die Formel A = % ab sin y, die in der achtzehnten Auflage erst in § 164 aufgeführt war, jetzt schon in § 162 aufgenommen ist. Die in der Vorrede zur 18. Auflage angezeigten Separatabdrücke des Abschnittes über den Koordinatenbegriff sowie des Abschnittes über Trigonometrie können auch fernerhin in je einem besonderen Heftchen zum Ladenpreise von 20 Pfennig durch jede Buchhandlung bezogen werden. Elbing, den l.März 1895. F. G. Mehler.

Vorrede zur zwanzigsten Auflage. Am 13. Juli 1895 starb Professor Mehler in Berlin an den Folgen einer Operation, nur wenige Jahre nach seinem alten Freund und Lehrer Professor Schellbach. Sechsunddreißig Jahre lang hat er mit unermüdlicher Sorgfalt an seinen „Hauptsätzen" gearbeitet und das Buch durch neunzehn Auflagen hindurch zu seiner jetzigen Gestaltung geführt. Dafür hatte er auch die Freude, sein Buch in immer weiteren Kreisen heimisch werden zu sehen. — Kurz vor der schweren Operation bat mich der Verstorbene, im Falle eines un­ glücklichen Ausgangs die Besorgung der nächsten Auflagen zu über­ nehmen. Daß er dabei den Wunsch hatte, weitergehende, unnötige Änderungen von dem Buche fernzuhalten, ist natürlich, wenn man bedenkt, daß er einen großen Teil seines arbeitsreichen Lebens seinen „Hauptsätzen" gewidmet hat. Die Erfüllung dieses Wunsches habe ich gern zugesagt, nicht nur aus Pietät gegen den hochverehrten

VIII

Borwort.

Mann, der mir in den zehn Jahren unsres Zusammenwirkens am Elbinger Gymnasium stets ein treuer Freund und zuverlässiger Be­ rater war; mehr noch aus der inneren Ueberzeugung von dem Wert des Buches, an das zwei hervorragende Meister ihres Faches ihre Kraft gesetzt haben. — Wie schon in der vorigen Auflage, so sind deshalb auch in dieser keine Änderungen vorgenommen; nur einige wenige Figuren find auf den besonderen Wunsch des Verstorbenen hinzugefügt. Elbing, den 18. August 1896. Baseler.

Vorrede zur zweiundzwanzigsten Auflage. Nachdem die vorige Auflage geringe Änderungen im Beweise des § 115, in der Anordnung des § 141 und im Beweise des § 122 gebracht hat, ist in der neuen Auflage der Beweis des § 108 ver­ einfacht, und der § 39 hat einen kleinen Zusatz erhalten. Auch sind die bisher in Parenthese zugefügten Paragraphen der alten Auflagen fortgelassen. Baseler. Elbing, den 10. August 1900.

Inhalt. Seite

Planimetrie. I. II. III. IV. V. VI.

Von den Winkeln und Parallellinien...................... 2 Don den geradlinigen Figuren................................. 7 Dom Kreise............................................................... 20 Von der Gleichheit und Ausmessung dergeradlinigen Figuren...................................................................... 27 Von der Ähnlichkeit der Figuren............................. 34 Don den regelmäßigen Polygonen und derAusmessung des Kreises............................................................... 44 Erweiterung der Ähnlichkeitslehre............................. 49 Aufgaben ans der algebraischen Geometrie.............. 67

VII. VIII. Algebra. I. Die vier Species................................................ ... 74 II. Potenzen und Wurzeln............................................ 90 III. Imaginäre Größen.................................................. . 98 IV. Umformung der Ausdrucke Va;+yl> und Va+ib .... 100 V. Proportionen.................................................... ................. 101 VI. Gleichungen........................................... 104 VII. Kettenbrüche.......................................... ................... 120 VIII. Logarithmen................................................................129 IX. Zinseszins- und Rentenrechnung.................................. 131 Trigonometrie. I. Die trigonometrischen Funktionen spitzer undstumpfer Winkel und die Auflösung ebener Dreiecke............................ 132 II. Die Kreisfunktionen (Goniometrie)................................ 143 s2tithang zur Trigonometrie........................................................ 153 Reihen und binomischer Satz. I. Geometrische Reihen...................................................... 155 II. Arithmetische Reihen und Anwendungen derselben auf die elementare Entwicklung der einfachsten transcendenten Funktionen................................................................. 157 III. Kombinationen............................................................. 165 IV. Binomischer Satz.......................................................... 167 V. Anwendungen des binomischen Satzes.........................172

X

Inhalt.

Stereometrie. Seite I. Von der Lage der Ebenen und Geraden im Raume . . . 179 II. Von den körperlichen Ecken.........................................................183 III. Von den Polyedern..................................................................... 186 IV. Von dem Cylinder, dem Kegel und der Kugel.................... 194 V. Sphärische Trigonometrie.........................................................202 Ueber den Koordinatendegriff und einige Grundlehren von den Kegelschnitten......................................................................... 211 Anhang..................................................................................................................241 Natürliche Logarithmen und astronomisch-geographische Konstanten...................................................................... . . . 250 Quadrat- und Kubik-Zahle n und -Wurzeln.................................... 351 Vierstellige Briggische Logarithmen der Zahlen........................ 252 Vierstellige Logarithmen der Sinus und Tangenten .... 254 Tafeln der natürlichen Sinus, Sekanten undTangenten. . 258 Die metrischen Maße und Gewichte....................................................264 Die griechischen Buchstaben........................................................................ 266

Geometrie oder Raumlehre. § 1. !£)er Raum ist nach allcn Seiten ins Unendliche ausgedehnt. Der Raum ist teilbar. Die gemeinschaftliche Grenze zweier Raumteile heißt Fläche. Ein allseitig durch Flächen begrenzter Teil des Raumes heißt Körper. Die Flächen find teilbar durch Linien, die Linien durch Punkte. Der Punkt hat keine Ausdehnung. Durch Bewegung eines Punktes entsteht eine Linie. Eine Linie hat eine Ausdehnung, Länge. — Die gerade Linie ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten. Die durch zwei Punkte be­ grenzte gerade Linie heißt der Abstand oder die Entfernung der beiden Puntte. Eine gerade Linie kann nach zwei Seiten hin (nach zwei entgegengesetzten Richtungen) unendlich weit verlängert werden. Durch zwei Punkte läßt fich nur eine gerade Linie ziehen. Zwei verschiedene gerade Linien können daher nicht mehr als einen Punkt gemein haben. Eine unbegrenzt gedachte gerade Linie wird auch eine Gerade, ein durch zwei Punkte begrenzter Teil einer Geraden eine Strecke genannt. Eine Linie heißt gebrochen, wenn sie aus geraden Teilen besteht, die zu verschiedenen Geraden gehören. Eine Linie heißt krumm, wenn kein Teil derselben gerade ist. Durch Bewegung einer Linie entsteht (im allgemeinen) eine Fläche. Die Flächen sind nach zwei Hauptrichtungen ausgedehnt, sie haben zwei Dimensionen, Länge und Breite. — Die ein­ fachste Fläche ist die Ebene. Die Ebene nimmt jede gerade Linie, welche durch zwei ihrer Punkte geht, vollständig in fich auf. Durch Bewegung einer Fläche entsteht (im allgemeinen) ein Mehler, Elementar-Mathematik. 22. Aufl.

1

2

Planimetrie.

Körper. Die Körper haben drei Dimensionen, Länge, Breite und Dicke (oder Höhe). In besonderen Fällen kann die Bahn einer bewegten Linie wieder eine Linie und die Bahn einer bewegten Fläche wieder eine Fläche sein. Die Lehre von solchen geradlinigen und krummlinigen Gebilden, welche in einerund derselben Ebene liegen, heißt ebene Geometrie oder Planimetrie; die Lehre von den Gebilden im Raume heißt körperliche Geometrie oder Stereometrie.

Planimetrie. § 2. Das einfachste krummlinige Gebilde, welches die Plani­ metrie betrachtet, ist der Kreis. Ein Kreis entsteht, wenn eine Strecke sich um einen ihrer Endpunkte herumdreht, bis sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt. Die Strecke beschreibt alsdann die Kreisfläche, ihr sich bewegender Endpunkt die Kreislinie oder Peripherie. Der feste Punkt, um den die Strecke sich dreht, heißt Mittelpunkt oder Centrum, der unveränderliche Abstand der Punkte der Peripherie vom Mittelpunkte heißt Radius oder Halb­ messer des Kreises. Irgend ein Punkt der Ebene liegt innerhalb des Kreises, auf der Peripherie oder außerhalb des Kreises, je nachdem sein Abstand vom Mittelpunkte kleiner, ebenso groß oder größer als der Radius ist. Erster Abschnitt.

Von den Winkeln und Parallellinien. §3. Erklärungen. 1) Ein Winkel (^) wird gebildet durch zwei gerade Linien, die von demselben Punkte ausgehen; die beiden Linien heißen die Schen­ kel, ihr Ausgangspunkt der Scheitel des Winkels. Der Winkel, dessen Scheitel A, und dessen Schenkel AB und AC sind, wird durch BAC oder CAB oder auch nur durch A oder durch einen zwischen die Schenkel gesetzten

Don den Winkeln und Parallellinien.

3

kleinen Buchstaben (z. B. x) bezeichnet. Die Größe eines Winkels ist unabhängig von der Länge der Schenkel. 2) Zwei Winkel find gleich, wenn fie fich so aufeinanderlegen lasten, daß ihre Schenkel fich decken. 3) Ein Winkel entsteht, wenn eine in einem Punkte A begrenzte gerade Linie sich um diesen Punkt von einer bestimmten Lage AB ausgehend dreht. Irgend ein Punkt der geraden Linie, B, beschreibt hierbei einen Kreisbogen, und wenn die gerade Linie fich um zwei gleiche Winkel BAF und FAG gedreht hat, so find auch die von B durchlaufenen Bogen BF und FG gleich, weil, wenn man die glei­ chen Winkel aufeinanderlegt, auch die Bogen zur Deckung kommen. Da der ganze so entstandene Winkel BAG aus den gleichen Teilen BAF und FAG zusammengesetzt ist, so ist er doppelt so groß als der Winkel BAF, und auch der zugehörige Bogen BG ist doppelt so groß als der Bogen BF. Ebenso gehört auch zu einem dreimal so großen Winkel ein dreimal so großer Bogen u. s. w. Man teilt die ganze Kreislinie in 360 gleiche Teile, welche man Bogengrade nennt; die zugehörigen Winkel heißen Winkelgrade. Jeden Grad(°), sowohl den Bogengrad als auch den Winkelgrad, teilt man in 60Minuten('), jede Minute in 60Sekunden("). Jeder Winkel enthält also ebenso viele Grade, Minuten und Sekunden als der zu­ gehörige Kreisbogen. 4) Ein Winkel (BAC), dessen Schenkel (AB und AC) in die entgegengesetzten Richtungen einer Geraden fallen, heißt ein ge­ streckter oder flacher Winkel. Der zugehörige Bogen ist ein Halbkreis und enthält also 180° oder 10800' oder 648000"; der ganze Kreis enthält 1296000". 5) Die Hälfte eines gestreck­ ten Winkels heißt ein Rechter (st). — Alle gestreckten und folg­ lich auch alle rechten Winkel sind einander gleich. — Ist von den vier Winkeln, welche zwei gerade Linien (BC und DE) bilden, einer ein Rechter, so sind es auch die übrigen.

Planimetrie.

4

6) Wenn zwei gerade Linien sich unter rechten Winkeln durch­ schneiden, so sagt man, sie stehen auf einander senkrecht (J-), oder die eine ist ein Lot (Perpendikel) auf der anderen. 7) Ein Winkel, welcher kleiner als ein gestreckter oder zwei Rechte ist, heißt ein hohler (konkaver), und zwar heißt er spitz, wenn er kleiner als ein Rechter, stumpf, wenn er größer ist. Ein Winkel, der größer als ein gestreckter ist, heißt ein üb er stumpfer oder erhabener (konvexer). — Die spitzen und stumpfen Winkel werden, im Gegensatz zum Rechten, schiefe Winkel genannt. 8) Wenn zwei Winkel zusammen zwei Rechte betragen, so heißt der eine das Supplement des anderen. Betragen zwei Winkel zusammen einen Rechten, so heißt der eine das Komplement des anderen. 9) Zwei Winkel heißen Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemein haben und die anderen Schenkel in die entgegengesetzten Rich­ tungen einer und derselben Geraden fallen. — Scheitelwinkel heißen zwei Winkel, wenn die Schenkel des einen die Verlängerungen der Schenkel des anderen find. § 4. Lehrsatz. Nebenwinkel betragen zusammen zwei Rechte. Beweis. Es ist:

Z BAC+DAC=BAD; aber Z BAD ist ein gestreckter, oder

_ -B

Z BAD = 2R. Mithin ist auch:

ABAC+DAC=2R. §5.

Lehrsatz.

Scheitelwinkel sind einander gleich. Beweis.

Die Scheitelwinkel a und c haben

beide den Winkel b zum

Nebenwinkel.

Also ist

sowohl a-\-b = 2R als auch c+b — 2R. Zwei Größen aber, die derselben dritten gleich sind, sind einander

gleich.

Daher

ist o+b = c+b,

oder

wenn von beiden Seiten b fortgenommen wird: a = c. Ebenso ist b = d. § 6.

Erklärung. Werden zwei gerade Linien von einer dritten

durchschnitten, so entstehen acht Winkel, vier

.

\v.\\ttt(c,d,f,g) unb Bier äufeere (a,b,h,%).

\

___

Die an verschiedenen Schnittpunkten liegenden Winkel setzt man in folgender Weise • \ zu einander in Beziehung: \g 1)Gegenwinkel oder korrespondieKTi rende Winkel nennt man einen innern \ und einen äußern an derselben Seite der * schneidenden Linie (6 u. g, d u. i, a u. f, c u. A). 2) Wechselwinkel sind zwei innere oder zwei äußere an verschie­ denen Seiten der schneidenden Linie (c u. g, du.f, a u. *, b u. h). 3) Entgegengesetzte Winkel sind zwei innere oder zwei äußere an derselben Seite der schneidenden Linie (d u. g, c u. s,b u. i, a u. A). 4) Konjugierte Winkel sind ein innerer und ein äußerer an verschiedenen Seiten der schneidenden Linie (z. B. d und h). Für die Anwendungen ist die vierte Gruppe entbehrlich. § 7. Lehrsatz. Ist ein Paar Gegenwinkel gleich, so sind BC, und es sei zu zeigen, daß die Differenz von AC und BC kleiner ist als AB. Die Seite AC ist kleiner als die Summe der beiden anderen, d. h. ACCBC+AB.

Nimmt man jetzt von beiden Seiten BC fort, so erhält man: AC—BCCAB.

§15. Lehrsatz, Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks beträgt zwei Rechte. Beweis. Man ziehe durch C die Par­ allele zu AB; alsdann macht Z.c mit den neu entstandenen Winkeln m und n einen gestreckten Winkel oder zwei Rechte aus, d. h. es ist: m+n+c — 2 st.

Nun ist aber nach § 11, Zus.: m = o und n = b, und durch Einsetzung dieser Werte ergiebt fich: fl+i+c = 2ß.

§ 16. Folgerungen. 1) Sind zwei Winkel eines Dreiecks gegeben, so findet man den dritten, indem man ihre Summe von zwei Rechten abzieht. Zwei Dreiecke, die in zwei Winkeln mit ein­ ander übereinstimmen, haben daher auch die dritten Winkel gleich.

Von den geradlinigen Figuren.

9

2) Ein Dreieck kann nicht mehr als einen rechten oder stumpfen Winkel enthalten. 3) Von einem Punkte läßt sich auf eine Gerade nur ein Lot fällen. (Denn gäbe es zwei, so entstände ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln, was nach 2) unmöglich ist.) § 17. Erklärung. Ein Dreieck wird spitzwinklig, recht­ winklig oder stumpfwinklig genannt, je nachdem es drei spitze, oder einen rechten und zwei spitze, oder einen stumpfen und zwei spitze Winkel hat. — Im rechtwinkligen Dreiecke heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite Hypotenuse, die ihn einschließenden Seiten heißen Katheten. § 18. Lehrsatz. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden inneren ihm gegenüberliegenden Winkel. Beweis. ,. Der Tangentenschnittpunkt D, liegt also auf A, At A,*

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.

Die Berührungspunkte

B.t

und

Ct

67

sind die Pole der Geraden

B,Z>, und C,Z)a in Bezug auf den Kreis

Mt

und müssen also (nach

§ 111, 6b) mit dem Pole Qt der Geraden A,A,At in Bezug auf denselben Kreis in gerader Linie liegen. Für jede der Sehnen B, C,,

B,Ct, B,Ct

ist jetzt also auch ein zweiter Punkt bekannt, durch den

sie gehen muß, der Pol von A, A, At in Bezug auf den zugehörigen Kreis. Hieraus crgiebt sich die Konstruktion: Man bestimme den

Q,, Qt, Q, der A, A,AS in Bezug auf die Kreise. Durch die Geraden PQt, PQ3, PQ, werden dann die Kreise in den gesuchten Berührungspunkten Bt, B„ B, und C,, C,, C, geschnitten. Potenzpunkt

P

der gegebenen Kreise und die Pole

Ähnlichkeitsachse

Bemerkung.

Haben

die

gegebenen Kreise eine solche Lage,

daß sie durch jeden der beiden Kreise X und

Y

von außen oder durch

jeden von innen berührt werden, so ist der Potenzpunkt

P nicht Y.

innerer,

sondern äußerer Ähnlichkeitspunkt zu den Kreisen X und

b) Man erhält die drei übrigen Paare von Berührungskreisen, indem man auch für jede der drei inneren Ähnlichkeitsachsen A,AtJ,J}

ihre Pole

in Bezug

AxJ3Jt,

auf die gegebenen Kreise be­

stimmt.

Achter Abschnitt.

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie. A. § 120a.

Berechnung einzelner Dreiecksstücke. Von dem Dreiecke

AßCfeien gegeben die drei Seiten:

BC=a, AC=b, AB = c. Es sollen berechnet werden: 1) Die durch die Berüh­ rungspunkte mit

den vier

BcrührungSkrcisen gebilde­ ten Abschnitte der Seiten. Der

eingeschriebene Kreis

(X) berühre die Seiten in

F.

D, E,

Je zwei an derselben Ecke

liegende Abschnitte

sind

4 59, Anm.) gleich;

die Sumw

(nach von

drei an verschiedenen Ecken

Planimetrie-

68

liegenden Abschnitten ist also gleich dem halben Umfange des Dreiecks. Setzt man zur Abkürzung £(a+6-+-c) = », so ist folglich: AF—\— BD “f“ CD = Sy oder AF-|- ti — ä. Also: AE = AF= s—a oder = i(6+c—a) BF — BD — s — b oder — ^(a-)-c—b) CD — CE = $—c oder — ^(a-t-ö—c). Der an der Seite c liegende äußere Berührungskreis (AT') be­ rühre die Seiten in D', E' und F'. Es ist dann: 2s = CA-hAF'-hF'B-hBC=CA-+-AE' + BD'-+-BC, oder 2s = CE'-hCD' = 2CE\ folglich: CE' = CD' = s AF' = AE' = s—b BF' = BD' = s—a.

Es folgt hieraus noch, daß die Abschnitte AF und BF' gleich lang sind, und ferner, daß DD' — EE' = c und FF' = a—6. 2) Die Radien der Berührungskreise. Die Radien der Kreise N und A" mögen durch q und qc be­ zeichnet werden. Es ist nun:

Aus diesen beiden Gleichungen ergiebt sich durch Multiplikation (und Division) und Ausziehung der Quadratwurzel: i/(*— «)(* — &)(* —

\

-THZ

- Ebenso ist:

und durch Multiplikation dieser beiden Gleichungen folgt noch, daß QaQb = s(s—c) ist.

3) Der Inhalt und die Höhen. Nach § 72, 5) ist der Inhalt (A) des Dreiecks ABC gleich s.q. Setzt man für den in 2) gefundenen Wert ein, so erhält man die Jnhaltsformel: A = |/s(s—a) (s—b)(s — c),

69

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.

oder auch, wenn man für s, s—a, . . ihre Werte $(a+6-t-c), —d+6+c), . . einseht: A =£ y(o + 6+c)(—a+6+c)(o—Z>+c)(a-t-6 —c).

Die zu den Seiten a, b, c gehörigen (oder von den Ecken A, ausgehenden) Höhen bezeichnet man durch ha, hb, hc. Nach §72,3) ist nun A = %aha — = \che, also: 2A 2A 2A , K= K b ' A, e a 4) Der Radius des umgeschriebenen Kreises. Zieht man den Durchmesser CE(=d=2r), verbindet E mit B und fällt die Höhe CD, so ist A CAD (§ 83). also: abc abc b_ folglich 2r = ^ 2r chc a 2zV hc* B, C

afcc

aftc

r — 4Ä — 7^,(S—a)(s—6X*—C) ’

§ 120b. Folgerungen. Da nach § 120a, 2) QQc = (S — oXs b) und QaQb = i(s — c) ist, so folgt aus der Jnhaltsformel in § 120 a, 3): l) A — Da ferner A = q.s und q.s = qc(s—c) ist, so gelten die Gleichun­ gen: A = qs = ga(s—a) = Qb(s—b) = Qc($ — c). Also ist: . A A s—o — —, s—c = — • Qc

C»

Nun ist: (s—o)+(»—A)+(s—c) = s. Es crgiebt sich also: j_ = j_ 3) Qc — Q Qa e» Ferner findet man: A 1 __ c also: s—(s — c)=c, Q

i___ L = jL Q

Qc

hc

und auch: ---Qa

Multipliziert man diese Gleichungen bezw. mit addiert sie dann, so folgt: 2 Qc — Q + Qa + Qb --=

(eec + PaP»)-

1_

2_

Q» qqc

hc '

und QaQb und

Planimetrie.

70 Nun ist aber

QQc-i-QnQb — ($—a)(s—f>)-hs(s—c) — 2s1—(a-hb-hc)t-hab — ab, oder, da nach § 120a, 4) ab — 2rhc ist, QQc-\-QaQi = ^''hc, also:

5) ßa + ß6 + Cc—Q = 4r. § 120c. Berechnung der Höhenseg­ mente (d. h. der auf einer Seite c durch die zugehörige Höhe gebildeten Abschnitte p und -). In den Dreiecken BDC und ADC ist p’-f-A’=a2 und — L2, also p2—g’= a2—ö2, oder (p-t-q)(p—q) — a2—b2. Zur Bestimmung von p und q hat man nun die Gleichungen p-t-g = c und p—q = (a*—b2): c. Also wird , ( «2—62\ P = i[c~\-------- -—J Anmerkung.

. und

, ( a*—b1 \ q = i[c-----------—y

Es ist vorausgesetzt worden,

daß

die an c

liegenden Winkel A und B spitz sind. Wenn Z A stumpf ist, so fällt D auf die Verlängerung von BA, und es gelten dann die Gleichungen: p—q = c und p-\-q = (