Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten [24. Aufl. Reprint 2018] 9783111497761, 9783111131597

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Verlag von Georg Reimer in Berlin.

Methodisch geordnete Aufgaben F

Metzlers Hauptsätzen der Elementar-Mathematik von

Prof. Dr. H. Funcke. Preis broschiert 60 Pf., gebunden 90 Pf.

Zu begehen durch jede Buchhandlung.

Hauptsätze der

Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten. Bearbeitet von

Dr.

F. G. Mehler.

Mit einem Vorworte von

Dr.

Schellbach.

Vierundzwanzigste Auflage besorgt von

. April 185!».

Schellbach.

Vorrede zur achtzehnten Auflage. Wie aus dem Vorworte ersichtlich ist, verdankt das vorliegende Buch seine Entstehung einer von Professor Schellbach gegebenen Anregung.

Nachdem es mir im Sommcrhalbjahre 1858 vergönnt

gewesen war, allen Unterrichtsstunden,

welche

der Meister seines

Faches in den oberen Klassen des Königlichen Friedrich-WilhelmsGymnasiums erteilte, beizuwohnen und so nicht nur die Endziele, bis zu welchen er seine Schüler führte, kennen zu lernen, sondern auch die Art und Weise, wie er sie mit den Elementen der von ihm gelehrten Disziplinen bekannt machte,

folgte ich gern seiner Auf­

forderung, die Elemente der Mathematik nach

dem von ihm fest-

IV

Vorwort.

gestellten Plane und unter seiner Mitwirkung zu bearbeiten. Bei der ersten Auflage konnte es durch den Zweck, dem das Buch nach dem Vorworte zunächst dienen sollte, gerechtfertigt erscheinen, wenn es in einzelnen Abschnitten nur eine Zusammenstellung der haupt­ sächlichsten Sätze ohne deren Begründung gab. Als es allmählich in immer weiteren Kreisen Beifall fand, erhielten auch seine einzelnen Teile nach und nach eine annähernd gleichmäßige Ausführung. Der Beteiligung Schellbachs an der Herstellung der einzelnen Auflagen ist in den Vorreden zu denselben Erwähnung geschehen. Das dort Gesagte darf ich diesmal wohl kurz dahin zusammenfassen, daß er durch vielfältige Anregungen und zahlreiche Verbesserungsvorschläge unablässig bemüht gewesen ist, das von ihm ins Leben gerufene Buch zu vervollkommnen, und es durch wertvolle eigene Beiträge (wie den .Anhang zur Trigonometrie", die .Elementare Entwicklung der ein­ fachsten transcendenten Funktionen" und den .Anhang" am Schluffe des Buches) bereichert hat. Die unveränderte geistige Frische, die noch vor zwei Jahren in den Briefen meines hochverehrten, damals bereits im 88sten Lebensjahre stehenden Lehrers sich kundgab, und die er sich bis zu seinem Lebensende bewahrte, ließ mich hoffen, daß er mit seinem freundschaftlichen Rate mir noch länger zur Seite stehen werde; doch am 29. Mai 1892 entriß ein unerwarteter Tod den hochverdienten Mann seinen Angehörigen und seinen zahlreichen Freunden und Verehrern. Die vorliegende neue Auflage bin ich bestrebt gewesen in voller Übereinstimmung mit den neuen Lehrplänen zu gestalten, und doch, wie es wohl selbstverständlich ist, unter möglichst vollständiger Er­ haltung des bisherigen Charakters und Inhaltes des Buches. Es zeigte sich, daß nur wenige Abschnitte einer teilweisen und vorwiegend die Anordnung des Stoffes betreffenden Umarbeitung bedurften, und daß im übrigen den neuen Lehraufgaben durch Hinzufügung einiger Ergänzungen entsprochen werden konnte. Die ersten vier Abschnitte der Planimetrie sind fast völlig un­ verändert geblieben; doch ist die Lehre vom Kreise vor den Abschnitt

über Flächengleichheit gestellt, und in letzteren find, in vereinfachter Darstellung, die wichtigsten Sätze über Flächenmessung aus dem sechsten Abschnitte der vorigen Auflage übernommen. Die wenigen übrigen Sätze dir'es sechsten Abschnittes sind der Ähnlichkeitslehre eingefügt. Diese letztere ist in zwei von einander getrennte Teile zerlegt worden. In dem ersten Teile sind die Beweise einiger Sätze in einfacherer Form gegeben; außerdem habe ich mich bemüht, durch eine etwas veränderte Gruppierung der Lehrsätze und Aufgaben den Schülern das Verständnis und die Aneignung des Pensums zu erleichtern. In dem darauf folgenden Abschnitte „Von den regel­ mäßigen Polygonen und der Ausmessung des Kreises" ist die Berech­ nung des Kreisumfanges in wesentlich vereinfachter Weise behandelt worden. In den zweiten, für die oberen Klassen bestimmten Teil der Ähnlichkeitslehre (Abschnitt VII) sind aus dem früheren fünften Abschnitte die Lehre von den harmonischen Punkten und Strahlen und die Lehre vom Ähnlichkeitspunkt übergegangen. Es bot sich mir hier die willkommene Gelegenheit, weitere Anwendungen dieser Lehren und andere Ergänzungen hinzuzufügen, insbesondere auch solche, deren Behandlung in der Obersekunda der Realgymnasien durch die neuen Lehrpläne ausdrücklich vorgeschrieben wird. Der achte Abschnitt ist bis auf eine Kürzung in § 120 b unverändert geblieben. In der Algebra sind die positiven und negativen Zahlen nicht, wie früher, schon bei § 122, 3), sondern erst in § 122a eingeführt. Erhebliche Kürzungen des Inhaltes oder Änderungen der Darstellung sind nur in Abschnitt VII vorgenommen, kleinere fast mir in § 136 und § 128a. Auch der Abschnitt „Reihen und binomischer Satz" hat abgesehen von der Ausscheidung einiger entbehrlicher Entwick­ lungen seine frühere Gestalt behalten. In der Stereometrie ist, wie bisher, die Berechnung des Raum­ inhaltes (bezw. auch der Oberfläche) von Prisma, Pyramide, Cylinder, Kegel und Kugel in so einfacher Darstellung gegeben, daß die be­ treffenden Paragraphen sehr wohl für den stereometrischen Unterricht in der Untersekunda verwertet werden können. Auch der Abschnitt

VI

Norwort.

.Von der Lage der Ebenen und Geraden im Raume" beschränkt sich, wie früher, auf das Notwendige. In § 210 erschien es erforderlich, den Definitionen, und in § 214 dem Beweise eine teilweise veränderte Fassung zu geben. Den Bestimmungen der Lehrpläne gemäß sind die trigonometri­ schen Funktionen spitzer Winkel jetzt am rechtwinkligen Dreieck defi­ niert: die Funktionen stumpfer Winkel werden (in § 100, 1—3) bereits beim gleichschenkligen Dreieck eingeführt, teils weil dieses die erste Gelegenheit dazu bietet, teils weil cs dadurch möglich wurde, die Änderungen bei der bisherigen Behandlung der Auflösung be­ liebiger schiefwinkliger Dreiecke auf ein sehr geringes Maß zu be­ schränken; natürlich kann der Inhalt des erwähnten Paragraphen, wenigstens am Gymnasium, erst in Obersekunda in Betracht kommen. Die allgemeine Lehre von den Krcisfnnktionen (Goniometrie) ist jetzt an das Ende der Trigonometrie gestellt. Sic wird auch in ihrer jetzigen Stellung für die Weiterführung des trigonometrischen Unterrichts gute Dienste leisten und die Einführung in die Koordinatenlehre erleichtern. Entsprechend den neuen Mehrausgaben der Gymnasialprima ist dem Buche der neue Abschnitt „Über den Koordinatenbcgriff und einige Grundlehren von den Kegelschnitten" hinzu­ gefügt. Ans Wunsch der Verlagshandlung mache ich darauf auf­ merksam, daß ein Separatabdruck dieses neuen Abschnittes, sowie auch des Abschnittes über Trigonometrie von denjenigen Schülern, welche ältere Auflagen des Buches besitzen, in je einem besonderen Heftchen für den Ladenpreis von 20 Pf. bezogen werden kann. In dem größeren Teile des Buches ist es möglich gewesen, die bisherige Paragraphcnbezeichnung unverändert aufrecht zu erhalten; wo es nicht geschehen konnte, sind die früheren Nummern den neuen in Parenthese hinzugesetzt. Elbing, den 24. Zanuar 1894. F. G. Mehler.

Vorrede zur neunzehnten Auflage. Die neue Auflage ist ein fast unveränderter Abdruck der vor­ hergehenden, nach den neuen Lehrplänen bearbeiteten. Hervorzuheben ist, daß der Inhalt von § 160, 4) der vorigen Auflage eine passen­ dere Stelle in § 159,2) erhalten hat, und daß die Formel A=£ ab sin y, die in der achtzehnten Auflage erst in § 164 aufgeführt war, jetzt schon in § 162 aufgenommen ist. Die in der Vorrede zur 18. Auflage angezeigten Separatabdrücke des Abschnittes über den Koordinatenbegriff sowie des Abschnittes über Trigonometrie

können auch fernerhin in je einem besonderen

Heftchen zum Ladenpreise von 20 Pfennig durch jede Buchhandlung bezogen werden. Elbing, den 1. März 1895.

F. G. Mehler.

Vorrede zur zwanzigsten Auflage. Am 13. Juli 1895 starb Professor Mehler in Berlin an den Folgen einer Operation, nur wenige Jahre nach seinem alten Freund und Lehrer Professor Schellbach.

Sechsunddreißig Jahre lang hat

er mit unermüdlicher Sorgfalt an seinen „Hauptsätzen" gearbeitet und das Buch durch neunzehn Auslagen hindurch zu seiner jetzigen Gestaltung geführt.

Dafür hatte er auch die Freude, sein Buch in

immer weiteren Kreisen heimisch werden zu sehen. — Kurz vor der schweren Operation bat mich der Verstorbene, im Falle eines un­ glücklichen Ausgangs die Besorgung der nächsten Auflagen zu über­ nehmen.

Daß er dabei den Wunsch hatte, weitergehende, unnötige

Änderungen von dem Buche fernzuhalten, ist natürlich, wenn man bedenkt, daß er einen großen Teil seines arbeitsreichen Lebens seinen „Hauptsätzen" gewidmet hat. ich

Die Erfüllung dieses Wunsches habe

gern zugesagt, nicht nur aus Pietät gegen den hochverehrten

VIII

Vorwort.

Mann, der mir in den zehn Jahren unsres Zusammenwirkens am Elbinger Gymnasium stets ein treuer Freund und zuverlässiger Be­ rater war; mehr noch aus der inneren Überzeugung von dem Wert des Buches, an das zwei hervorragende Meister ihres Faches ihre Kraft gesetzt haben. — Wie schon in der vorigen Auflage, so sind deshalb auch in dieser keine Änderungen vorgenommen; nur einige wenige Figuren sind auf den besonderen Wunsch des Verstorbenen hinzugefügt. Elbing, den 18. August 1896. Baseler.

Vorrede zur zweiundzwanzigsten Auflage. Nachdem die vorige Auflage geringe Änderungen im Beweise des § 115, in der Anordnung des § 141 und im Beweise des § 122 gebracht hat, ist in der neuen Auflage der Beweis des § 108 ver­ einfacht, und der § 39 hat einen kleinen Zusatz erhalten. Auch sind die bisher in Parenthese zugefügten Paragraphen der alten Auflagen fortgelassen. Elbing, den 10. August 1900. Baseler.

Vorrede zur dreiundzwanzigsten Auflage. Die neuen Lehrpläne haben zu Änderungen in der Verteilung des Stoffes keinen Anlaß gegeben. In der Tafel der astronomisch­ geographischen Konstanten ist die geographische Länge der Orte nicht mehr auf Ferro, sondern auf Greenwich bezogen, ebenso in § 242. Im übrigen ist diese Auflage — unter Berücksichtigung der neuen Regeln der Rechtschreibung — ein unveränderter Abdruck der vorigen. Elbing, den 25. Februar 1903. Baseler.

Inhalt. ©rite

Planimetrie. I. Von den Winkeln und Parallellinien................................... II.

2

Don den geradlinigen Figuren................................................

7

III.

Vom Kreise.....................................................................................

20

IV.

Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren.............................................................................................. Don der Ähnlichkeit der Figuren.............................................

27 34

VII.

Don den regelmäßigen Polygonen und der Ausmessung des Kreises. ................................................................................. Erweiterung der Ähnlichkeitslehre.............................................

44 49

VIII.

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie...........................

67

Die vier Spezies...........................................................................

74

V. VI.

Algebra. I. II. III. IV.

Potenzen und Wurzeln............................................................. 90 Imaginäre Größen .... . . .. . . . .......................... 98 Umformung der Ausdrücke ^ n±Y~bund / o±ib.......................... 100

V. VI.

Proportionen......................................................................................... 101 Gleichungen......................................................................................... 104

VII. VIII.

Kettenbrüche.........................................................................................120 Logarithmen......................................................................................... 129

IX.

Zinseszins. und Rentenrechnung..................................................... 131

Trigonometrie. I.

Die trigonometrischen Funktionen spitzer und stumpfer Winkel und die Auflösung ebener Dreiecke.............................................132

II. Anhang zur

Die Kreissunktionen (Goniometrie)................................................ 143 Trigonometrie.............................................................................. 153

Reihen und binomischer Sah. I. II.

Geometrische Reihen........................................................................... 155 Arithmetische Reihen und Anwendungen derselben auf die elementare Entwicklung der einfachsten transcendenten Funktionen..........................................................................................157

III.

Kombinationen..................................................................................... 165

IV.

Binomischer Satz.................................................................................167

V.

Anwendungen des binomischen Satzes...................................... 172

X

Inhalt.

Stereometrie. Seite I. Von der Lage der Ebenen und Geraden im Raume ... 179 II. Von den körperlichen Ecken..................................................... 183 III. Von den Polyedern................................................................. 186 IV. Von dem Cylinder, dem Kegel und der Kugel.....................194 V. Sphärische Trigonometrie......................................................... 202 Über den Koordinatenbegriff und einige Grundlehren von den Kegelschnitten......................................................................................211 Anhang.................................................................................................................. 241 Natürliche Logarithmen und astronomisch.geographisch e Konstanten.................................................................................................. 250 Quadrat, und Kubikzahlen und -wurzeln.........................................251 Vierstellige Briggische Logarithmen der Zahlen.........................252 Vierstellige Logarithmen der Sinus und Tangenten.................... 254 Tafeln der natürlichen Sinus, Sekanten und Tangenten . . 258 Die metrischen Maße und Gewichte........................................................ 264 Die griechischen Buchstaben........................................................................266

Geometrie oder RaunÜehre. § 1.

!^cr Raum ist nach allen Seiten ins Unendliche aus­

gedehnt.

Der Raum ist teilbar.

Raumteile heißt Fläche.

Die gemeinschaftliche Grenze zweier

Ein allseitig durch Flächen begrenzter Teil

des Raumes heißt Körper.

Die Flächen find teilbar durch Linien,

die Linien durch Punkte. Der Punft hat keine Ausdehnung. Durch Bewegung eines Punktes entsteht eine Linie. hat eine

Ausdehnung,

kürzeste Weg zwischen

Länge. — Die

zwei Punkten.

Die

gerade

Eine Linie

Linie

ist

der

durch zwei Punkte be­

grenzte gerade Linie heißt der Abstand oder die Entfernung der beiden Punkte.

Eine gerade Linie kann nach zwei Seiten hin (nach

zwei entgegengesetzten Richtungen) unendlich weit verlängert werden. Durch zwei Punfte läßt

sich nur eine gerade Linie ziehen.

Zwei

verschiedene gerade Linien können daher nicht mehr als einen Punkt gemein haben.

Eine unbegrenzt gedachte gerade Linie wird

auch

eine Gerade, ein durch zwei Punkte begrenzter Teil einer Geraden eine Strecke genannt.

Eine Linie heißt gebrochen, wenn fie aus

geraden Teilen besteht, die zu verschiedenen Geraden gehören.

Eine

Linie heißt krumm, wenn kein Teil derselben gerade ist. Durch Bewegung einer Linie entsteht (im allgemeinen) Fläche.

Die Flächen

eine

find nach zwei Hauptrichtungen ausgedehnt,

fie haben zwei Dimensionen, Länge und Breite. — Die ein­ fachste Fläche ist die Ebene.

Die Ebene nimmt jede gerade Linie,

welche durch zwei ihrer Punfte geht, vollständig in fich auf. Durch Bewegung einer Fläche entsteht (im allgemeinen) ein Mehler, Llementar-Mathematik. 24. Aufl

J

2

Planimetrie.

Körper. Die Körper haben drei Dimensionen, Länge, Breite und Dicke (oder Höhe). In besonderen Fällen kann die Bahn einer bewegten Linie wieder eine Linie und die Bahn einer bewegten Fläche wieder eine Fläche sein. Die Lehre von solchen geradlinigen und krummlinigen Gebilden, welche in einer und derselben Ebene liegen, heißt ebene Geometrie oder Planimetrie; die Lehre von den Gebilden im Raume heißt körperliche Geometrie oder Stereometrie.

Planimetrie. § 2. Das einfachste krummlinige Gebilde, welches die Plani­ metrie betrachtet, ist der Kreis. Ein Kreis entsteht, wenn eine Strecke sich um einen ihrer Endpunkte herumdreht, bis sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt. Die Strecke beschreibt alsdann die Kreisfläche, ihr sich bewegender Endpunkt die Kreislinie oder Peripherie. Der feste Punkt, um den die Strecke sich dreht, heißt Mittelpunkt oder Zentrum, der unveränderliche Abstand der Punkte der Peripherie vom Mittelpunkte heißt Radius oder Halb­ messer des Kreises. Irgend ein Punkt der Ebene liegt innerhalb des Kreises, auf der Peripherie oder außerhalb des Kreises, je nachdem sein Abstand vom Mittelpunkte kleiner, ebenso groß oder größer als der Radius ist. Erster Abschnitt.

Von den Winkeln und Parallellinien. § 3. Erklärungen. 1) Ein Winkel (^) wird gebildet durch zwei gerade Linien, die von demselben Punkte ausgehen; die beiden Linien heißen die Schen­ kel. ihr Ausgangspunkt der Scheitel des Winkels. Der Winkel, dessen Scheitel A, und dessen Schenkel AB und AC sind, wird durch BAC oder CAB oder auch nur durch A oder durch einen zwischen die Schenkel gesetzten

Von den Winkeln und Parallellinien.

kleinen Buchstaben (z. B. x) bezeichnet.

3

Die Größe eine- Winkels

ist unabhängig von der Länge der Schenkel. 2) Zwei Winkel find gleich, wenn fie fich so aufeinanderlegen lassen, daß ihre Schenkel sich decken. 3) Ein Winkel entsteht, wenn eine in einem Punkte A begrenzte gerade Linie fich um diesen Punkt von einer bestimmten Lage AB ausgehend dreht. Irgend ein Punkt der geraden Linie, B, beschreibt hierbei einen Kreisbogen, und wenn die gerade Linie fich um zwei gleiche Winkel BAF und FAG gedreht hat, so find auch die von B durchlaufenen Bogen BF und FG gleich, weil, wenn man die glei­ chen Winkel aufeinanderlegt, auch die Bogen zur Deckung kommen. Da der ganze so entstandene Winkel BAG aus den gleichen Teilen

BAF und FAG zusammengesetzt ist, so ist er doppelt so groß als der Winkel BAF, und auch der zugehörige Bogen BG ist doppelt so groß als der Bogen BF. Ebenso gehört auch zu einem dreimal so großen Winkel ein dreimal so großer Bogen u. s. w. Man teilt die ganze Kreislinie in 360 gleiche Teile, welche man Dogengrade nennt; die zugehörigen Winkel heißen Winkelgrade. Jeden Grad(°), sowohl den Bogengrad als auch den Winkelgrad, teilt man in 60Minuten('), jede Minute in 60Sekunden("). Jeder Winkel enthält also ebenso viele Grade, Minuten und Sekunden als der zu­ gehörige Kreisbogen. 4) Ein Winkel (BAC), dessen Schenkel (Aß und AC) in die entgegengesetzten Richtungen einer Geraden

fallen,

heißt

streckter

oder

flacher

Der

zugehörige

Bogen

ein

ge­

Winkel. ist

ein

Halbkreis und enthält also 180° oder 10800'

oder 648000";

der

ganze Kreis enthält 1296000". ten

5) Die Hälfte eines gestreck­ Winkels heißt ein Rechter

(ß). — Alle gestreckten und folg­ lich auch alle rechten Winkel sind einander gleich. — Ist von den vier Winkeln, welche zwei gerade Linien (BC und DE) bilden, einer ein Rechter, so sind es auch die übrigen.

4

Planimetrie.

6) Wenn zwei gerade Linien sich unter rechten Winkeln durch­ schneiden, so sagt man, sie stehen auf einander senkrecht (J.), oder die eine ist ein Lot (Perpendikel) auf der anderen. 7) Ein Winkel, welcher kleiner als ein gestreckter oder zwei Rechte ist, heißt ein hohler (konkaver), und zwar heißt er spitz, wenn er kleiner als ein Rechter, stumpf, wenn er größer ist. Ein Winkel, der größer als ein gestreckter ist, heißt ein überstumpfer oder erhabener (konvexer). — Die spitzen und stumpfen Winkel werden, im Gegensatz zum Rechten, schiefe Winkel genannt. 8) Wenn zwei Winkel zusammen zwei Rechte betragen, so heißt der eine daS Supplement des anderen. Betragen zwei Winkel zusammen einen Rechten, so heißt der eine das Komplement des anderen. 9) Zwei Winkel heißen Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemein haben und die anderen Schenkel in die entgegengesetzten Rich­ tungen einer und derselben Geraden fallen. — Scheitelwinkel heißen zwei Winkel, wenn die Schenkel des einen die Verlängerungen der Schenkel des anderen find. § 4. Lehrsatz. Nebenwinkel betragen zusammen zwei Rechte. Beweis. Es ist: Z BAC-\-DAC=BAD;

aber Z BAD ist ein gestreckter, oder Z BAD — 2R.

Mithin ist auch: Z BAC+DAC=2R.

Lehrsatz. Scheitelwinkel find einander gleich. / Beweis. Die Scheitelwinkel a und c haben beide den Winkel b zum Nebenwinkel. Also ist sowohl BC, und es sei zu zeigen, daß die Differenz von AC und BC kleiner ist als AB. Die Seite AC ist kleiner als die Summe der beiden anderen, d. h. ACBC voraus­ gesetzt wird, so soll bewiesen werden, daß Z.CBA^>CAB. Man schneide von der grö­ ßeren Seite CA ein Stück CD ab, welches der kleineren Seite CB gleich ist, und ver­ binde D mit B, so ist Z.CBD=CDB nach §23, 1); aber ZCDB>CAB nach § 18, folglich auch Z CBD^>CAB. Aber Z.CBD ist nur ein Teil von Z.CBA; demnach ist um so mehr Z CBA^>CAB. 2) Ist ZB>A, so läßt sich indirekt zeigen, daß AC^>BC ist. Wäre nämlich ACq, auf der Verlängerung von AB über B hinaus, und aus AD—BD — c und AD: BO = p: q findet man:

Von der Ähnlichkeit der Figuren.

37

Ist aber p AC,-^r = -^r, A = A'. Macht ma» wiederum CD = C'A' und CF—C'B', so ist wie vorhin DF^AB, also A ABCf^DFC, ferner Z D = A und folglich D = A'. Hieraus folgt: DFC^ A'B'C (§ 27), mithin A ABC^A'B'C. §86. Lehrsatz. Zwei Dreiecke, die einen Winkel gleich haben, verhalten sich wie die Produkte der diesen Winkel einschließenben Seiten. Beweis. Es seien die Dreiecke ABC und ADE mit dem gemeinschaftlichen Winkel A gegeben, und es sei EC gezogen, so ist nach § 72, 4) ABC _ AB AEC ~ AE '

AEC AC ADE ~ AD '

und hieraus folgt durch Multiplikation: ABC AB.AC ADE ~ AD. AE

§ 87. Lehrsatz. Ähnliche Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate homologer Seiten. Beweis. Ist A ABC

so ist ZC=C, Somit erhält man nach dem vorher­ gehenden Satze: ABC

ab

a

_ a

a _o’

o? a.b. o. A.B.C, Zusatz. Ist a nmal so groß als s,, also auch b — n.b,, c = n.e„ so ist A ABC = n*. A^ß,. § 88. Lehrsatz. Ähn­ liche Polygone verhalten sich wie die Quadrate homologer Seiten. Beweis. Es seien z. B. R die ähnlichen Fünfecke AöEVE und A, B, C, Dt E, gegeben. Durch die Diagonalen aus

bett Ecken A und 4, werben sie, wie leicht zu zeigen, in ähnliche Dreiecke zerlegt. Ist nun a —n. o,, so ist nach § 87, Zus.: A ABC=n*.Al B, C„ ACD = n*.AlClD1, ADE = n'.AiDlEl. Hieraus folgt burch Abbition: ABCDE = n*.AlBlClDlEl, ober ABCDE a' ö' A, B, C, D, Et oj bj §89. Erklärung. Eine Strecke e heißt bie mittlere (geometrische) Proportionale zu zwei anberen a unb b, wenn o: c = c: 6 ober c1 = a.b (bas Quadrat ber Strecke c gleich bem Probukte ber Strecken a unb 6) ist. (Vergl. § 132c.) § 90. Lehrsatz. Im rechtwinkligen Dreieck ist 1) jede Kathete bie mittlere Proportionale zu ihrer Projektion auf bie Hypotenuse unb der ganzen Hypotenuse, 2) bie Höhe bet Hypotenuse bie mittlere Proportionale zu den beiden Abschnitten der Hypotenuse. Beweis. Ist Z ACB — R unb CDj_AB, so ist A ACü). also AF' N'F' ’ —

A CNE CN'E', also N'E' A NAFf-> AN'F',

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt fich durch Multiplikation (und Division) und Ausziehung der Quadratwurzel: '

e e-

^s-bXs^c) V—^—'

gc=)/!(e»y±rl).

i[1:

___ -,! CAD (§83), also: abc abc b_ folglich 2r=^2r 2/V a che A« abc a6c 4A

c

4^s(s—a)(s—— c)

§ 120b. Folgerungen. Da nach § 120a, 2) QQc = (s — d)(s—b) und QaQb = s(s — C) ist, so folgt aus der Jnhaltsformel in § 120a, 3).

l) a = Vee.ei.ee. Da ferner A = q.s und e.» = e Hieraus folgt nun leicht, daß und AX’-BX' = q\ Determination Je nachdem q kleiner, ebenso groß oder größer als c ist, fällt X zwischen A und B, auf B oder auf die Verlängerung von AB. In dem letzten dieser drei Fälle hat c—x einen negativen Wert. 7) Aufgabe. Die Strecke AB(c) in X so zu teilen, daß AX'-hBX* — g* wird. Auflösung. Aus x’+(c—x)* = q’ sindet man durch Rech» nung: oder x

c 2

w+ay-tir-

Um diesen Ausdruck zu konstruieren, zeichne man die Mittelsenkrechte von AB, messe auf ihr die Strecke MD — \q und auf MA die Strecke MC=$q ab, beschreibe um A mit dem Radius CD einen Kreisbogen, der MD in F schneidet, und trage MF auf MB und MA bis X und X' ab. Alsdann genügen die Punkte X und X' der Aufgabe. ' m M Determination. Die Auflösung ist unmöglich, wenn also g’-CIc* ist. Für g* = ^c* fallen X und X beide in den Punkt M. Für q = c wird x = \c±\c, also », =c und x, = 0, und es fällt dann also X mit B und X' mit A zusammen. Für g>c liegen die Punkte X und X' auf den Verlängerungen von AB.

Algebra. I.

Die vier Spezies.

§ 122. Addition und Subtraktion. 1) Zu einer Zahl a eine andere b addieren heißt b Einheiten zu der Zahl a hinzuzählen. Die so enlftrhende Zahl heißt die Summe von a und b und wird durch a+b (a plus b) bezeichnet; a und b heißen die Glieder der Summe oder die Summanden. Addiert man zur Summe von a und b eine dritte Zahl c. so ent» steht die Summe (a-\-b) + c, die auch in der Form a-i-b+c ge­ schrieben und dann eine Summe von drei Gliedern genannt wird. Ebenso hat der viergliedrige Ausdruck o+6+c+d die Bedeutung, daß zur ersten Zahl die zweite, zu ihrer Summe die dritte und zur neuen Summe die vierte Zahl addiert werden soll. Der Wert einer Summe ist unabhängig von der Reihenfolge ihrer Glieder; oder es ist: 1) tx~^~b fe-f—st, a-i-d-i-o — a-f-c-t-6 = b-\-a-\-c = - - • 2) Von einer Zahl a eine andere b subtrahieren heißt b Ein­ heiten von der Zahl a abzählen. Die so entstehende Zahl heiß» die Differenz von a und b und wird durch a—b (a minus b) bezeich­ net; a heißt der Minuendus, b der Subtrahendus. Es ist: 2) (a—6)4-6 = a. Differenz-i-Subtrahendus — MinuenduS. 3) Die Gleichung 2) kann nach 1) ersetzt werden durch 3) b-j-(a—b) — a.

Die vier Spezies. — Addition und Subtraktion.

75

Man kann daher auch die Definition aufstellen: Die Differenz zweier Zahlen o und b ist diejenige Zahl, die man zu b addieren muß, um a zu erhalten. 4) Eine Summe von beliebig vielen Gliedern wird auch ein Polynom genannt. Im weiteren Sinne versteht man unter einem Polynom oder einer algebraischen Summe eine Verbindung beliebig vieler Zahlen durch die Zeichen -+- und —. Die Zahlen heißen die Glieder des Polynoms. Man unterscheidet additive Glieder, d. h. solche, vor denen das Zeichen -+- oder kein Zeichen, und subtraktive, d. h. solche, vor denen das Zeichen — steht. Der Wert eines Polynoms ist unabhängig von der Reihenfolge, in der die Additionen und Subtraktionen ausgeführt werden. Z. 39.: 4) a — b-\-c = a-t-c—b — c+a—b. 5) Sollen b-\-c Einheiten zur Zahl o hinzugezählt werden, und hat man zunächst nur b Einheiten hinzugezählt, so sind noch e Ein­ heiten hinzuzuzählen. Also: 5) o+(6+c) = fl+6+c. In Worten: Eine Summe kann addiert werden, indem man die Summanden nach einander addiert. Umgekehrt: Statt zwei Zahlen nach einander zu addieren, kann man ihre Summe addieren. 6) Addiert man b statt b—c Einheiten, so hat man c Einheiten zu viel addiert und muß diese von der erhaltenen Zahl subtrahieren: 6) a+(6—c) = a+6—c. In Worten: Eine Differenz kann addiert werden, indem man den Minuendus addiert und den Subtrahendus subtrahiert. Umgekehrt: Statt eine Zahl b zu addieren und eine kleinere e zu subtrahieren, kann man ihre Differenz b—c addieren. 7) Sollen 6-t-c Einheiten von a abgezählt werden, so ist dies dadurch ausführbar, daß zuerst b und dann die übrigen c Einheiten abgezählt werden: 7) o—(6-t-c) = o—b—c. In Worten: Eine Summe kann subtrahiert werden, indem man die Summanden nach einander subtrahiert. Umgekehrt: Statt zwei Zahlen nach einander zu subtrahieren, kann man ihre Summe subtrahieren. 8) Subtrahiert man b statt b—c Einheiten, so hat man c Ein-

Algebra.

76

heilen zu viel subtrahiert; der Rest ist also um c Einheiten zu klein, und man muß daher zu ihm noch c Einheiten addieren: 8) a — (b—c) = o— b-j-c. In Worten: Eine Differenz kann subtrahiert werden, indem man den Minuendus subtrahiert und den SubtrahenduS addiert. Umgekehrt: Statt eine Zahl b zu subtrahieren und eine kleinere c zu addieren, kann man ihre Differenz b—c subtrahieren. Vorausgesetzt ist in 8), daß o>6. Ist a)4-(a±f>) — o±64-fl±64-od=64-o±6 — o4-a4-a4-o±(64-64-&4-6) — a.4±6.4, und allgemein: 3) (a4-6)c = oc4-öc, 4) (o—b)c = ac—bc. Man multipliziert also eine Summe (Differenz) mit einer Zahl, in­ dem man die Glieder derselben einzeln multipliziert und die Produkte addiert (subtrahiert). Durch Umkehrung erhält man: ac±6c = (o±6)c, d. h. man addiert (subtrahiert) Produkte, die einen gleichen Faktor haben, indem man die ungleichen Faktoren addiert (subtrahiert) und die Summe (Differenz) mit dem gleichen Faktor multipliziert. Durch die Anwendung von 2) auf 3) und 4) erhält man: 3') c(a-t-b) = ca-hcb, 4')

c(a — b) — ca—cb,

d. h. um mit einer Summe (Differenz) zu multiplizieren, multipli­ ziere man mit ihren einzelnen Gliedern und addiere (subtrahiere) die Produkte. Indem man 3') und 4') auf den Fall, wo auch der erste Faktor eine Summe oder Differenz ist, anwendet und das Resultat nach 3)

und 4) umformt, findet man: 5)

(o+6)(c-hd) = (a+6)c+(o+6)d — (ac-4-6c)-4-(ad-h6d) — ac-4-6c-4-ad-|-6d. 5') (o- 6)(c+d) = (o—6)c-f-(o—6)d — (ac—6 c)-4-(ad—6d) = ac—bc-\-ad—bd. 6) (a-hb)(c—d) — (a-hb)c—(a-f-6)d — (ac-4-6c)—(ad+6d) — ac-4-6c—ad—bd. 6') (a—6)(c—d) = (a—6)c—(a—6)d — (ac—6c)—(ad—bd) — ac—6c—ad-t-bd.

Zu denselben Endresultaten gelangt man, wenn man jedes Glied der ersten Klammer mit jedem der zweiten multipliziert, unter Anwen­ dung der folgenden Zeichenregel: 7) (-ha).(+6) = +o6. 9) (+a).(-6) = — a6. 8) (—a).(—6) = +a6.

10) (—a).(-+-6) = — a6.

(Bei der Multiplikation geben zwei gleiche Zeichen -4-, zwei un­ gleiche —.) Auch für die Multiplikation mehrgliedriger Ausdrücke gelten die gleichen Regeln. — Beispiel: (a+26—c) X(a—6+3c) = aa+2a6— ac — ab —266-4- 6c -4-3ac +66c—3cc = aa-4- a6+2ac—266-4-76c—3cc.

Anmerkung 1. Ein Produkt von beliebig vielen Faktoren (wie aa, abc u. s. w.) gilt stets als eingliedriger Ausdruck oder Monom. In Ausdrücken wie 2 6 oder 7 6c u. f. w. heißt der Faktor 2 oder 7 u. s. w. der Koeffizient des Monoms und wird, obgleich in der ersten Stelle stehend, nicht als Multiplikandus, sondern als Multiplikator gedacht. Anmerkung 2. Bei der Erklärung der Multiplikation wurde der Multiplikator als absolute Zahl (also ohne Vorzeichen) gedacht.

81

Die vier Spezies. — Multiplikation.

Die Regeln 7)—10) können jedoch als Definition für die Multiplikation mit einer positiven und negativen Zahl dienen. Zu denselbm Regeln gelangt man durch Aufstellung der folgenden Definitionen: Mit +6 multiplizieren heißt mit b multiplizieren und das Produkt zu Null addieren. Mit —b multiplizieren heißt mit b multiplizieren und das Produkt von Null subtrahieren. Anmerkung 3. Für Produkte gleicher Faktoren bedient man sich folgender abgekürzten Bezeichnungen: )' = o'—2or,-l-r>'. In Worten: Das Quadrat der Summe (Differenz) zweier Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate derselben vermehrt (vermindert) um das doppelte Produkt beider Zahlen. 13) (a+6)(a—i>)=a*—6’. In Worten: Das Produkt aus Summe und Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz der Quadrate der Zahlen. 14) (a+6)i = a,-H3o*+3o6,-H»1. 15) (o—6)*=a3 — 3a’b-h3ab'—b\ 16) (o±6)‘= a,=h4o*6 + 6a‘Z>,±4a6,+6*. 17) (azh by = ai±5a*6-i-10a,t,±10a:7>s-l-5a6,ifc:6\ Ferner ist: 18) (o-hö-i-c-l-dH--- y = o1 —I—2o6— +2(a+6)c+c1 —f— 2 (o ~f— b c) d -(" d * 19) (a —6 —)— c —)— d —|— - - •)* = o1 -i-3o'L-t-3aö'-t-d' 3 (o —i- 6) * c —f“ 3 ( o H“ 6) c * c * —f-3(o—f-6—|— c)* 3=i = ±~^,

cc

c

c

c

d. h. eine Summe (Differenz) wird durch eine Zahl dividiert, indem man ihre Glieder durch die Zahl dividiert und die Quotienten addiert (subtrahiert). Es ist: 5 = 1-3.5 = 1.(3.5)=^- = -^- (oder auch: 3 , 3 T5= 4

und allgemein: ac ~T

84

Algebra.

d. h. ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert.

denn jeder der beiden Ausdrücke gibt mit c multipliziert ~ als Produkt. Um also einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, kann man entweder seinen Nenner mit derselben multiplizieren oder seinen Zähler durch dieselbe dividieren.

weil die Multiplikation mit y definiert ist als Division durch c und Multiplikation des Quotienten mit 6. Daher ist auch: a.n

b)

a c___ o_ b d bd C

ac_ bd ’

d. h. um das Produkt zweier Brüche zu bilden, multipliziere man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. — Die Reihenfolge der Faktoren ist dabei ohne Einfluß auf den Wert des Produktes. Aus 5) und 6) ergibt sich: 5') 6')

a a a : b, k :c—— c bc ~~b b ab a , -0=0---c c c

Man dividiert also durch ein Produkt, indem man durch seine Fak­ toren nach einander, in beliebiger Ordnung, dividiert. — Um ein Produkt zu dividieren, dividiere man einen Faktor desselben. Von zwei Zahlen, welche, wie a und y, oder y und y, mit einander multipliziert das Produkt 1 geben, heißt die eine der um­ gekehrte (reziproke) Wert der anderen. n\ b ac s ., b 7) a: — = a • c = —rI well a - c------— a.1A — aj\ c 66V 6 c J a c ad ad ( ., a d c a\ F:~d~V’T~~6cVtte' y77-l]'

Die vier SpezieS. — Division.

85

Das heißt: Die Division durch einen Bruch kann durch Multiplikation mit dem reziproken Werte des Bruches ersetzt werden. abc 101 J

m } . 0x

'

,

abc

a~t~fr e~*~f c+d'g+h

6c

(a+6)(e+f) (c + d)(g+h)'

*>

_

—l—»1/3

2

*

1 *,*, = 1, «, = — = «:; '.= — = «?; ferner für die Wurzeln der Gleichung: q) ß5—1=0 ober p' ----- 1: -l-l-^±»V2(5-|-^)

e, und e, =------------ 4—--------

e, = i.

e. und

— 1 —1^±»V2(5—^5)

=

Die Gleichungen e) und

q)

können auch in die Formen

(e— lXe’-t-e-Hl) = 0, (q—i)(^4+p'+p,+e+i) =

0

gebracht und ihre Wurzeln gefunden werden, indem man die Faktoren einzeln gleich Null fetzt. Anmerkung. Die Gleichungen x‘-hox*—ax— 1=0, x‘-hax6-h6z4—bx*—ax—1 =0

lassen sich lösen, indem man sie umformt in: (x*—l)(x*-hox+l) = 0, (x* —l)[x‘+ox,+(H-6)x*-+-ax4-l] =0.

D. Gleichungen von besonderer Form. § 138. Die Gleichung I. «*—3u = 2a führt durch die Substitution u = y+y vermöge § 137a, 2) auf: y*+-^r — 2a,

woraus folgt: y* = a+f/ö5—1,

= eVa+Va1—

1,

y = a—Va’—1,

— =*— Va—Va’— y

*

1,

113

Gleichungen.

wenn « eine der drei Wurzeln von «' — 1 bedeutet. Also find die drei Wurzeln von I. enthalten in der Formel: 1) u — «Va-f- Va*—1H---- Va—Vai*—1.

Durch dieselbe Substitution geht die Gleichung II. tis—5u*-f-5ii = 2a in ys+4- = 2a y über, also folgt: 2) u = pVsl-l- Ko*—1 + —Va—Va*—1,

e wenn q eine der fünf Wurzeln der Gleichung p1 = 1. — Die Glei» chungen UI. s,-|-3* = 2a> IV. s‘-+-5s*-t-5s = 2a werden mit Hülfe der Substitution » = y—-y- (§ 137b, 2')gelöst. Ihre Wurzeln find: 3) * = e VFa^+T+a----— VJWI — a. «

4) * — pV^a’+l-f-a—— VVa'-h 1—a.

e

E. Auflösung der quadratischen Gleichungen mit Hülfe der Kreisfunktionen. § 138 a. Bezeichnen a und 6 positive Zahlen, so find vier For­ men quadratischer Gleichungen zu unterscheiden. 1) x’4-2ox-h6 — 0; x — —a±yaJ—b.

Für a = -}—— wird am a yb

t

yÄcoaa

1—cos a

-yi\%\a.

am a am er ' sin er Man berechnet also er, x„ x, nach den Formeln: ein er =)/fc: a; x, ——x, — —yicot^a. 2) x*—2ox+6 = 0; aincr=>/6:o; x, =yicot^er; x, =yi6tg^cr. 3) x*+2ox—6 = 0; x = —artya’4-6.

Algebra.

114 Für a —wird tga

x =—. yi. J c08.g — |/fctg^a. Also: 1 tga smo ' sma r 81 ' tga =yb: a; *, =|/6tg|a; x, = —y'tcotya. 4) x*—2ax—6 — 0; tga =|/ö:a; xx =y6cot^a; xs =— V^tg^a. F. Binomische Gleichungen des fiten Grades. § 139. a) x" — 1. ES sei x — cos qp-Hain qp, so wird mit Rücksicht auf § 189: (cos qp-H sin qp)" = 1, cosfiqp+isinfiqp — 1, cos fi qp — 1, sinfiqp = 0, «qp = 2kn (k eine beliebige ganze Zahl), also: qp — — 2 kn; x fi 1) x

—

cos

—

n

2&7i4-tsin

—

n

2 kn.

Um alle n Wurzeln zu erhalten, hat man hierin n aufeinanderfolgende ganze Zahlen für k einzusetzen. Ist n gerade, so erhält man für * = 0, ±1, ±2, . . . —lj, Y die Werte: X— 1,

cos — 2frdzz+o'= 0; also a'---6+yl>'—a'. ß' = 6—y6'—a'. a = eVb-\-Vb*—a*, ß ~

Vb — Vb* — o* |=

»

1

worin « jeden der drei Werte von yi bedeuten kann. Setzt man nun 3__________ Vb+Vb*—a* — p,

so ist x — e.p+

-q.

3__________ Vb — Vb*—a* = q,

Nach § 137 b ist aber:

«, = i,

,, = -}-+, so wird x =l/a(co89>-Hsiny)*-Hyä(cos+tsin|y)-Hyä(cos^g)—isin^qp) (§ 189, 3); x — 2 ]/a. cos|g>.

Berechnet man also aus der Gleichung 5) cosqp =

VS* den zwischen 0° und 180° enthaltenen Wert des Winkels

ray'+ßy',-\-yy-\-6 = 0 läßt sich, indem man y = x—\a setzt, auf die Form bringen: 2) x4+ox*-|-6x-|-c = 0.

Es werde gesetzt: 3) x4-f-ox*-t-6x-»-c = (x'-i-px-I-g) (x*—px-»--').

Die rechte Seite dieser Gleichung ist = *‘+(g-H'—p’)x’+p(g'—g)x-Hgg',

und ihre Vergleichung mit der linken ergibt: 9+P* = a,

ES folgt hieraus:

P (9 — q) = b,

qq' — c.

Gleichungen. 4)

119

q =i(o+p‘—Aj,

5) 8' = i(o+p’+^-), also, da qq' = c ist: l|(—6’ == 0. Hieraus kann man * berechnen, und es sind daher auch p, q und q'

als bekannt anzusehen. Da nun die gegebene Gleichung 2) identisch ist mit (x,-+-px+q)(x'—px-\-q') = 0,

so zerfällt sie in die beiden folgenden: jz’+px-H =0 J \x'—px+q'= 0

und hat demnach die vier Wurzeln:

Anmerkung. Damit die Faktoren zweiten Grades x’+px-t-q und x’—px+q' nicht imaginär werden, muß p reell sein, d. h. * einen reellen positiven Wert haben. Sind nun r„ r, die drei Werte von z, so ist die Gleichung 7) identisch mit (*—»,) (*—*,) (»--,) = 0, oder =0; folglich ist: *i z, *, = b*.

Wenn daher die Wurzeln $„ r„ zt alle drei reell find, so find sie entweder alle drei oder doch eine derselben positiv; im ersten Falle gibt es drei, im zweiten eine Zerlegung des Polynoms vierten Grades in reelle Faktoren zweiten Grades. Sind dagegen *, und »,

imaginär, so haben sie die Form:

8, — «+/?«»

also ist

2, — a—ßi,

8,2, = o*+|S*,

mithin 8, positiv.

Daher

gibt

eS auch in diesem Falle eine Zer­

legung in reelle Faktoren. § 144.

Eine andere Methode, die Gleichung 2), oder auch un­

mittelbar die nicht reduzierte Gleichung 1) aufzulösen, ist folgende. Man setzt y = ls+ft und verfügt über l und n so, daß der Koef­ ficient von 84 dem absoluten Gliede und der von *' dem von » gleich, die transformierte Gleichung also reziprok wird (137 a, ß). Rechnung ergibt für n eine Gleichung dritten Grades.

VII. § 145 a.

Die

Kettenbrüche.

Der Ausdruck

kann für beliebige Werte von

I, m, n als eine gemischte Zahl und n als ihr Nenner bezeichnet

werden. Unter einem Kettenbruch versteht man eine gemischte Zahl, deren Nenner ebenfalls eine gemischte Zahl ist, deren Nenner wieder eine gemischte Zahl sein darf u. s. w. Die allgemeinste Form eines Kettenbruches ist hiernach

v3

&• + *

.

Im Folgenden werden nur solche Kettenbrüche betrachtet, in welchen die Größen o,, a,, a„... (die Teilzähler) sämtlich gleich 1 und die Größen b,, L,, (die Teilnenner) positive ganze Zahlen find. Die Zahl b sei entweder ganz und positiv oder gleich Null. Bricht man den Kettenbruch 1)

»+-------r-

*.+ —r b.-i-----------

, + -. ■ + 6m 1_

6

nach dem fcten Teilnenner (bt) ab, so erhält man den Atcn Nähe-

rungswert des Kettenbruches. Der letzte Näherungswert fällt zu­ sammen mit dem vollständigen Kettenbruche. Zähler und Nenner des gemeinen Bruches, in den man sich den Aten Näherungswert verwandelt denken kann, mögen durch a* und n* bezeichnet werden. Auch die Zahl b kann noch als Näherungswert betrachtet werden und wird als solcher durch a=

6,

bezeichnet. Es ist also: A=

b.

folglich: 2) i=-6 ”. "0

1 ’

h' + k

s, _ bbt +1 n,

6,

u. s. w.;

_ bbt 6,+6-t-ft, ’

",

&,*,+!

das heißt: 2, ---- b, nt = 1, a, =66,4-1, n, =6, u. s. w. Nun läßt sich 2,: fi, auch in der Form schreiben — = -i\±ZT~bi «Iso ist 3) A=M±A. ”,

b,ö,+l

n,

b, n,-l-fi.

Allgemein gilt die Formel: 2» *1»1—1+2*—1 (*2:2). ”* ** ”t—i+”t-i Um dieS nachzuweisen, zeigt man, daß 4) auch für den A+lten Näherungswert gilt, wenn sie für den Aten richtig ist. Nun entsteht der A+lte Näherungswert aus dem Aten durch Verwandlung von 4)

b* in bt 4 t—; demnach wird °k+l

(**-+

**

2t+i ”*+l

(6*4

Wfc-i + iijb—s *k+1

nk

+

bh+i fik-i' A*+1

also:

**+1 zt-f-at i

*t+i Wenn also 4) für einen bestimmten Wert von A gilt, so gilt sie in der Tat auch für den um 1 größeren Wert. Nach 3) gilt sie nun für A = 2; folglich gilt sie auch für A==3, mithin auch für A---4 u. s. w. Sie gilt also (von A = 2 ab) allgemein, und zwar ist: 5)

2* —

+$1—3

UNd

”1 = 6*”*—t+”l-*.

Algebra.

122

Nach diesen letzten Formeln kann man nun, nachdem man », gebildet hat, die Zähler und Nenner aller Näherungswerte nach und nach sehr leicht berechnen, und dadurch wird zuletzt der ganze Kettenbruch in einen gemeinen Bruch verwandelt. § 145 b. Aus 2) und 3) folgt: 1 *0___ ___ ___ 1 6') s,«0 = —1. 6) ”,

b,

7) _^>___ _ l _ ",

”,

”,«, ’

n%n\ 1

7') a,«,—Sj«, = ■+" 1.

Allgemein ist: 8)

*»-* _ J*_ = C—7)* . «1-1

»1

8') Lt-1»» — Sl«l-1 — (—l)4.

«1-1«! '

Dieser Satz wird bewiesen, indem man 5» aus den Gleichungen 5) eliminiert, in der so erhaltenen Gleichung 2i-i«i—*i«i—i — (—l)(5t-a«t—i—*i—i«i—»)

* = 3, 4, 5, ... * setzt und die *—2 neuen Gleichungen mit ein­ ander multipliziert. § 145e. Um das Verhältnis zweier Größen a und b zu be­ stimmen, sucht man die größte in a:b enthaltene ganze Zahl q und den Rest r, dann die größte in 6: r enthaltene ganze Zahl qx und den Rest r, u. s. ro.; und man erhält so eine Reihe von Glei­ chungen, die zu der Darstellung von a: b durch einen Kettenbruch führt:

u. s. w.

123

Kettenbrüche.

Wenn a und b ganze positive Zahlen find, so bilden die Reste r, r,, r,,.. eine Reihe von immer kleiner werdenden ganzen positiven Zahlen, also eine notwendig abbrechende Reihe. Es muß also ein Rest der letzte sein, oder es muß das Verhältnis : r* schließlich gleich einer ganzen Zahl werden. Folglich läßt sich jeder gemeine Bruch a: b in einen Kettenbruch von der Form 1) verwandeln. Ferner hat man, wenn z. B. r, der letzte Rest, also r,: r, eine ganze Zahl qt ist: a = bq + r,

b = rql+rl,

r=r,g, +r„

r, = r, g, •+ r,,

r. = r,?4-

Hieraus folgt leicht, daß dann r, der größte gemeinschaftliche Teiler der Zahlen o und b ist. Denn jede in a und b aufgehende Zahl muß nach der ersten Gleichung auch in r, nach der zweiten auch in r,, nach der dritten in r„ nach der vierten in r, ausgehen, kann also höchstens gleich r, sein. Nach der fünften Gleichung geht aber r, wirklich in r, auf, und vermöge der vorhergehenden Gleichungen auch in r,, r, a. Es ist daher stets der letzte Rest der größte gemeinschaftliche Teiler der Zahlen a und b, und wenn diese Zahlen relative Primzahlen find (d. h. außer der Einheit keinen gemein­ schaftlichen Teiler haben), so muß der letzte Rest gleich 1 sein. Beispiel. Verwandlung von 134:59 in einen Kettenbruch. 59|134|2 118 16|59|3 48 11116|1

134 59

= 2+:

3+ 2

11

-

5

5|11|2 10

1|5|5 Hätte man dasselbe Verfahren auf den Bruch 2278:1003 ange­ wandt, so würde man dieselben Quotienten 2, 3, 1, 2, 5, aber die Reste 272, 187, 85, 17 erhalten und hieraus ersehen haben, daß 17 der größte gemeinschaftliche Teiler von 2278 und 1003, und daß 2278: 1003 = 134: 59 ist.

Nach den Formeln 5) St —b.-t-i-t-st-,, »t —öt»t-!-I-»t-, find für das gegebene Beispiel die Näherungswerte: 1 2 5 z2\ M )’

7_ _9 3 ' 4' I II § 146a. Zähler und Nenner jedes tive Primzahlen. Beweis. Nach 8') ist

25 134 11 ' "59' III IV. Näherungswertes sind rela­

Lt-iNt—= (—!)*.

Hätten nun n» und zk einen gemeinschaftlichen Teiler, so müßte der­ selbe auch ein Teiler von (—1)* sein, was unmöglich ist. § 146 b. Die Näherungswerte sind gegen den wahren Wert des KcUenbrucheS abwechselnd zu groß und zu Eiein, aber jeder kommt dem wahren Werte näher als alle vorangehenden. Beweis. Da von zwei Brüchen mit gleichem Zähler derjenige der größere ist, welcher den kleineren Nenner hat, so ist: I)

6. Du auch b,

1

>6,

9

so folgt weiter: II) »t-i ist, so ist «t+i>2»t_i. Die zweite

125

Kettenbrüche.

Differenz ist also kleiner als die Hälfte der ersten, d. h. der A+lte Näherungswert, und folglich der ganze Kettenbruch, liegt dem Aten Näherungswert näher als dem A—lten. § 146 c. Es gibt keinen Bruch, der dem wahren Werte des Kettenbruches näher käme als ein Näherungswert und dabei mit kleineren Zahlen geschrieben würde. Beweis. Da der Kettenbruch K nach § 146b zwischen dem A—lten und Aten Näherungswerte, und zwar näher an letzterem liegt, so muß jeder Bruch

. der dem K noch näher als

kommt,

zwischen denselben Werten enthalten sein. Es muffen also die Differenzm ±±-2- und »t-l q q

»» einerlei Vorzeichen haben, nämlich das positive oder negative, je nachdem A gerade oder ungerade ist. Setzt man also: --t-l — PN»-» — (—l)*o,

pnk—q*k — (—!//»,

so find a und ß notwendig beide ganze positive Zahlen. Durch Auf­ lösung dieser Gleichungen erhält man mit Rücksicht auf 8') für p und q die Ausdrücke: p — azk-q — omi-H/?«!-,.

Mithin istp > St und q>nk. Anmerkung.

Wenn der Kettenbruch 5+

. unendlich

viele Teilnenner enthält, so besitzt er, weil dann nach 8) in § 145b die Differenz zweier aufeinanderfolgenden Näherungswerte bei wach­ sendem A schließlich verschwindend klein wird, gleichwohl einen bestimm­ ten endlichen Wert. Aber dieser Wert ist irrational; denn nach § 145c ist für jeden Bruch, den man in einen Kettenbruch verwandelt, die Anzahl der Teilnenner eine endliche. § 1466. Der vorhergehende Satz wird benutzt, um den Wert eines Bruches oder einer Irrationalzahl auf möglichst vorteilhafte Weise in kleineren Zahlen angenähert auszudrücken. Der Fehler, den mau begeht, wenn man statt des wahren Wertes den Aten Näherungswert setzt, beträgt nach § 146b weniger als der Bruch 1: (»». nk+j), jedoch mehr als die Hälfte dieses Bruches.

Beispiel. n = 3,141592653589 . . . 3,14159265359 0 , 1 1,00000000000 — d+

1_____

292-f- •.

Näherungswerte: /3\ 22 333 355 103993 M/' 7 ' 106 ' 113 ' 33102 ' Leicht zu merken (nach dem Schema 1131355) ist der Bruch: 355

= 3,14159292 . . .

§ 147 a. Gleichungen, deren Anzahl kleiner als die Anzahl der in ihnen vorkommenden Unbekannten ist, und aus denen für die letzteren ganzzahlige Werte gesucht werden, heißen unbestimmte oder diophantische Gleichungen. Die diophantische Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten 1) ax-\-by — c, worin a, b, c ganze Zahlen, die nicht alle drei durch eine und die­ selbe Zahl teilbar find, ist durch ganze Werte von x und y nur auflösbar, wenn a und b relative Primzahlen find. Dies voraus­ gesetzt, seien * = £, y = 17 zwei besondere Werte, die ihr genügen, also 0^+617 = c; dann folgt durch Subtraktion: o(x—5)+6(y —1;) = 0 oder b(y—17)= — o(:c—|). Es muß also x—5 dividiert durch 6 eine ganze Zahl m sein; d. h. die allgemeinen Werte von x und y find: 2) x = 5+6m, y = 17— am. § 147 b. Die Gleichung 3) ax—6y = ± 1 wird gelöst, indem man

in einen Kettenbruch verwandelt und den

vorletzten Näherungswert

berechnet.

Dann ist nach 8'):

4) aß—ba = ±l, also 5) x — ±/5+6m, y = ± a 4- am,

Kettenbrüche.

127

worin m eine ganze Zahl, und vor ß und a das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem die rechten Seiten von 3) und 4) gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben. Die Auflösungen der Gleichungen 6) ox—by = dz c und 7) ox4-t>y = ±c find, wenn ß und a wieder der Gleichung 4) genügen:

g,x

x = ±ßc+bm y = dz ac-f-am

Beispiel.

Den Bruch

unt) 69

7,.

x = ztßc+bm y = zpac—am.

als die Summe oder Differenz

zweier Brüche mit den Nennern 7 und 11 darzustellen. 69 y+ yp llx+7y = 69. 77" 1 11 Näherungswerte: 14 112 7 + 1 ' 2 ' 3 ' 11 ‘ 1-h

11.2—7.3 = 1, 11 ,x4- 7 .y = 69. x = 2.694-7m = 1384-7m, y = — 3.69—lim = —207 — lim.

Für m — —20 wird x = —2, y — 13. Also ist: * = ..., —2, 5, 12, 19, 26,----y = --., 13, 2, -9, -20, -31------69 5 2 12 9 13 2 77 7 11 7 11 11 7 ® Anmerkung. Um mit kleineren Zahlen zu rechnen, hätte man die Gleichung llx-t-7y = 69 in der Form 11x4-7 (y—10) = —1 schreiben können und würde dann durch Vergleichung mit 11.(—2) 4-7.3 = —1 die besonderen Werte x = —2 und y—10=3, also y = 13 erhalten haben. — Eine andere Methode der Auflösung diophantischer Gleichungen des ersten Grades besteht darin, daß man die Unbekannte, welche den kleinsten Koeffizienten hat, entwickelt, den noch in Bruchform erscheinenden Teil gleich einer neuen Unbekannten fetzt u. s. w. Z. B.:

llx+7y = 69,

69—11* y =---- ,---- = 10

1 „ 3* 3*—1 ^---- 2x+ -y = 10—2*4------ ^

3*—1 7s+1 = 2*+$+1 7 " 3 ' 3 Hieraus ergibt sich eine besondere ganzzahlige Lösung, indem man * — — 1 setzt; nämlich * = —2 und y — 13. § 148. Berechnung der Quadratwurzeln durch Kettenbrüche. 1) Es sei z. B. "|/2£s in einen Kettenbruch zu entwickeln.

M — i+~, -r. VH+5-S+-L,

V28—5 3 1

1

Igo

Io*

4 1/28—4 3 1/28—5

3 1/284-4 4 1/28+4 3 1/28+5

3-4--

«lso ist: V28 = 5+3+ 24

1 3454-M.

Wendet man diese Gleichung wiederholt an, indem man den für s/28 gefundenen Ausdruck auf der rechten Seite immer wieder von neuem einseht, so erhält man j/28 durch einen unendlichen, periodischen Kettenbruch dargestellt, besten Periode aus den Teilnennern 3, 2, 3, 10 besteht. Die zu den drei ersten Teilnennern gehörigen Näherungs» werte find: 16 37 127 3 ' 7 ' 24

Logarithmen.

129

VIII. Logarithmen. § 149. Aus der Gleichung a — b« folgt b = a\ Die Be­ stimmung des Exponenten e durch a und b erfordert eine neue, von der Potenzierung und Wurzelausziehung wesentlich verschiedene Operation. Man nennt in der Gleichung bc = a c den Logarithmus von a für die Grundzahl oder Basis b unb

bezeichnet: c = log a (Basis b), oder kürzer: c — »log a. Der Logarithmus einer Zahl für eine gegebene Basis ist also derjenige Potenzexponent, mit welchem die Basis potenziert die Zahl gibt. In der Gleichung 10« = o

nennt man a den gemeinen oder Briggischen Logarithmus von a und schreibt: a — logo. Der gemeine Logarithmus einer Zahl ist also der Exponent der­ jenigen Potenz von 10, welche der Zahl gleich ist (10'°*«— o). Die Gleichungen x = bc, a = xc, a = b* sind sämtlich nur durch Näherung zu lösen, wenn o, b, c beliebige reelle Zahlen sind. § 150. Auflösung der Gleichung 10* — 2. 0 90®, folglich A = lo’siny (y 90°.) Die beiden ersten folgen leicht daraus, daß 90"+« und 90°—« sich zu 180° ergänzen, also siu(900+«) = sin(90°—«) ist u. s. w. Die beiden letzten entstehen aus den ersten, indem man 90"+« — «', also « — «'—90" setzt. I). Auflösung beliebiger schiefwinkliger Dreiecke. § 161. Im Dreieck ABC seien a, 6, e die den Winkeln «, ß, y gegenüberliegenden Seiten und d der Durchmesser des umgeschriebenen Kreises. Zieht man den Durchmesser BD und die Sehne CD, so ist Z BCD = 1R und, wenn a spitz ist, Z.BDC=a, folglich sin« = o:d. Zeichnet man aber ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel«, so wird Z ßDC=180°—« (§ 55, 1), und man erhält zunächst sin (180°—«) — a: d. Nun ist aber nach § 160, 1) sin(180®—a) = sin«, folglich gilt auch im zweiten Falle die Gleichung sin« --- a:d. Hiernach ist d — o:sin«.

Auflösung beliebiger schiefwinkliger Dreiecke.

139

d — b : sin/S, d = c : ßiny, also: a b c = d. (Sinussah.) i) sin« sin ß siny § 162. Fallt man die Höhe AD(h), so ist A = 6siny, BD — BC—DC — a—ftcosy. (Ist y stumpf, so findet man zunächst h = 6sin(180“— y),

BD=o+Z> cos (180®— y), also schließlich eben­ falls: A = t>siny, BD = a—bcoey.) Aus AABD folgt nun: c’ — (a—6 cos y) ’ -H(6 sin y)*, c1 ---- o*—2abcosy-I-ö'cosy'-l-b'siny', 2) c* = as-t-6’—2a6cosy. (Kosinussah. Vergl. § 68, 2.) Ferner ist tgß = AD-.BD, folglich: tgß—

——— •

a—icosy

Zu derselben Formel gelangt man für ein Dreieck, in dem y oder ß stumpf ist. Vertauscht man ß mit a, also b mit a, so wird: o\ asiny 3) .tgor — -------------b—acosy (Formel für vier aufeinanderfolgende Stücke (a, y, 6,

2o6

'

sin/9 =

fesiny

a = 180®—0?4-y).

(Man vermeide es, durch den Sinus den größten Winkel zu bestimmen, da derselbe möglicherweise stumpf ist, also nicht gleich dem aus den Tafeln fich ergebenden Werte, sondern gleich besten Supplement.)

Trigonometrie.

140

Sind zwei Seiten und der eingeschloffene Winkel (a, b, y) gegeben, so berechnet man z. D. zuerst a nach 3), dann ß= 180°—(cr-f-y) und zuletzt c = o8iny:8ina. Man kann auch zuerst c nach 2) und dann « oder ß nach dem Sinussatz berechnen. — Der Inhalt ist — | ab sin y. Kürzer wird die Lösung der Aufgaben (a, b, c) und (a, b, y) im allgemeinen nach den in § 166,3) und 4) zusammengestellten Berechnungsformeln. Die geometrische Ableitung derselben ist in § 164 & und § 165 enthalten. § 164. Die Gleichung 2) nimmt, wenn man statt cos/ (nach $ 160 III und II) 2cos£y’—1 oder 1 — 2sivj/' jetzt, dir For» men an: 2') c’ = (o+6)*—4sl6coB|y^ 2") c* =• (a—fc)’+4aftsiu

und durch Elimination von 4ab ergibt sich hieraus: 2"') c* = (o4-6),8in^/,+(o—6)’cos

Durch Auflösung der Gleichungen 2') und 2") nach cos|/ und sin^/ erhält man: C08i/ =

= V (a4-6+c)(a+fc-c)

'

4 ab

4 ab

*

— a-\-b-\-c)(a — 6-hc) 4üb

Bezeichnet man den halben Umfang des Dreiecks durch a-j-b-t-c — 2s; a-i-b—c — 2s—2c — 2(s—c), 6)

=

$,

so ist also:

•

Nach § 162, 4) und § 160, I. ist A = absind ycosj y, also

8) A — s (ä—a) (s—d)(s — c). 9)

A —j |/(a-|-6-hc)(—a-hb-hc)(a—6+c)(a+6—c).

Auflösung beliebiger schiefwinkliger Dreiecke.

141

§ 164 a. Bezeichnet man den RadiuS des eingeschriebenen Kreises durch q und die Abschnitte der Seiten durch x, y, s, so ist C tgi» = e: tgi/9 = Q-.y, tg4y = p :a, und mit Rücksicht auf § 120a ergibt sich: 10) tgfra —

11)

A = p.*.

§ 165. Macht man CD = CE= CA und zieht AD und AE, so wird Z.DAE A = in, und eS ist 1) im Dreieck BDA Seite BD = a-\rb, ABDA = 4y, DAB=a+ly = W> + i(c—/?); 2) int Dreieck _ BEA Seite BE = a — b, Z /tEß = 906 + ix, EAB = DAB — 90° = \{a—ß). Rach dem Sinussatz erhält man also c +1)0+2) 12 3 ' 1 2 3 1 2 3 *** 12 3 _”(M+l)(»+2)0+3) , ------------ 1.2.3.4 ' U* '• ®-

Die Reihen, welche die Ausdrücke „ T’

„0+1) '

„0+l)(n+2) 172". 3 '

• ’ *

zu allgemeinen Gliedern haben, werden die figurierten Zahlen der ersten, zweiten, dritten, . . . Ordnung genannt. Nach 1), 2), 3) ist die Summe der „ ersten Glieder jeder Ordnung gleich dem „ten Gliede der nächst höheren Ordnung. § 185. Es ist für jeden Wert von „: (2„—l)2„+2„(2„+l) == 8„\ also für „ —1, 2, 3, . . .

Arithmetische Reihen.

159

1.2+2.3 = 8.1*, 3.4+4.5 = 8.2’, (2n—l)2n+2n(2/»+l) = 8.n*.

Addiert man diese Gleichungen, so folgt nach § 184, 2): $.2n(2zi+ l)(2«-f—2) — 8(1*—1—2 *-!—•• +mj).

Also ist: 1)

l’+2’+3’-|------ f-n* = i6>c>d...>»0 und die Glieder zuletzt verschwindend klein werden. b) Die geometrische Reihe a+ae+oe'+ae’H— ist konvergent, wenn —l

Multipliziert man nun zwei binomische Reihen B(cr) — l-s-a,x-s-rr, x'-s-a,x'-i---B(ß)= \-+-ßlx-\-ßix'‘->rßix1-\----

mit einander, so entsteht die Gleichung 1)

B(ct).B(ß) — l + (cr, -t-/S,)x-s-(a,-s-a, ßx

+ (a^~^or»^!+crl/!fs^~A)z,^--In dembesonderenFalle, daß a und ß positive ganze Zahlen find, ist nach § 188a, 3): ß(o) = (H-x)“, B(ß) = (1+x)-*, also B(a).ß(j8)=(H-x)a+'s=H-(a4-/?)lx+(a+/$),x,4-(a+/S),x,H----

Folglich ist dann: 2)

= («+/?),/ °, +«, ßi~\-ßi = (aUrß)ii

«, + ßx-h«,A +/?, = 0+1),/ • - das heißt: a | ß _a-hß g(g—1) a ß ß(ß— 1)_(a-t-ß)(a+ß—1). 11 1 ' 1.2 i'l 1+ 1.2 1.2 ’ "‘

Die Gleichungen 2) sind identische; sie gelten auch für negative und gebrochene Werte von « und ß. Die Gleichung 1) geht hiernach für

Reihen und binomischer Satz.

172

beliebige Werte von a und ß über in B(a).B(ß) — 1-l-(a-s-/?),L-s-(et-t-/?),L'-s-(et-t-/?), tr'-t--»«, das heißt in 3) B(a).B(ß) = B(a+ß). Hieraus folgt weiter, daß ß(a).B(/?).ß(y)... = ß(a+/S+y+...), und für /? = y = — = a, wenn die Anzahl der Faktoren n ist: (ß(a))" = ß(no). Setzt man hierin o = -^-m (wo m eine positive ganze Zahl), so wird: (ß(-^))"=ß(m) = (!+*)•", und folglich ist: 4) ß (v) = (! + *)"• Nimmt man o positiv und setzt in 3) /? = — r gültige) Formel erhält:

11) Kugelfektor = $rer*A. § 231. Zerlegt man den Sektor in unendlich viele Pyramiden, die ihre Spitze in D und ihre unendlich kleinen Grundflächen in der Kalotte GCG' haben, so fleht man, daß der Inhalt $m-’A = $r mol der Oberfläche der Kalotte ist; mithin ist: 12) die Fläche der Kalotte = 2nrh. Bildet man den Unterschied zweier Kalotten, so ergibt fich: 13) die Oberfläche der Kugelzone = 2nrh, wenn A ihre Höhe, d. h. den Abstand der beiden parallelen Grenz­ ebenen bedeutet. Für A = r wird die Kalotte eine Halbkugel, also ist die Oberfläche der Halbkugel = 2/ir* und folglich: y*

14) die Oberfläche der ganzen Kugel =4«r’= —, wo p die Peripherie eines größten Kreises ist. § 232. Anmerkung. Die Formel 13) kann auch leicht dadurch hergeleitet werden, daß man die Zone durch Parallelebenen in un­ endlich schmale Zonen zerlegt und diese als die Mäntel abgestumpfter Kegel betrachtet. § 233. Ein von zwei größten Halbkreisen begrenzter Teil der Kugcloberfläche heißt ein Kugelzweieck. Bezeichnet H die Fläche der Halbkugel und a den Winkel des Zweiecks (b. h. den Winkel der Tan­ genten an die Halbkreise in dem einen ihrer Schnittpunkte, oder den Neigungswinkel der Ebenen dieser Halbkreise), so ist: 15) die Fläche des Kugelzweiecks =~H.

199

Bon dem Cylinder, dem Kegel und der Kugel.

Es sei ABC ein Kugeldreieck, a, ß, y seine Winkel, A sein Flächeninhalt, so ist die Summe der drei Kugelzweiecke:

A

ABA'CA -+- BCB'AB-+- CA CBC = 2A -hH—A'B'C-hABC,

also mit Rücksicht auf 15), und weil die Scheiteldreiecke A'B'C und ABC gleichen Flächeninhalt haben: Ä

§ 233a. Aus der Oberfläche einer Kugel seien vier Stücke durch zwei Cylinderflächen herausgeschnitten, welche auf der Ebene des größten Kreises ACBD senkrecht stehen und sie in den einander in BI berührenden Kreisen von den Durchmessern ABI und BBI durch­ dringen. Es soll der übrigbleibende Teil der Kugelfläche berechnet werden.

Die zweite Figur stellt den Durchschnitt des Kugeloktanten über ACM und des Halbcylinders über AEM mit einer auf AMC senk­ rechten Ebene dar. Da APME^AME, so ist /LEBIP—EBIA, also Bogen FP=AF, wonach die Grenzkurve auf dem Oktanten leicht konstruiert werden kann, und ferner ergibt sich, daß PE = AE ist. Zunächst soll nun der Kugelflächenteil PQHF bestimmt werden, welcher senkrecht über dem ebenen Flächenstück EGHF liegt. Letzteres werde in die schließlich als unendlich schmal vorzustellenden Streifen EE’F’F, E'E"F"F’,.... ersterer in die entsprechenden PP'F'F, P'P"F"F',...

200

Stereometrie.

zerlegt. Denkt man sich um M mit ME' einen Kreis beschrieben, der MF in K schneiden möge, und durch diesen eine gerade Cylinderfiäche gelegt, so entsteht auf der oberen Halbkugel eine Zone von der Höhe FE', also dem Flächeninhalte 2n.r.P'E'. Wenn also Z.FMF' den Wert ö hat, so ist der über /TE'-F'-FUeßenbe Teil der Zone ---- S.r.P'E', also auch = d.r.AE'. Nimmt man 3 unendlich klein, so darf auch die über EE'E'E liegende sphärische Fläche PP'F'F=3.r.AE' gesetzt werden. Da Z AEM = AE'M = \n unb Z EA E' = EME' = 3 ist, so wird dann, wenn J den Schnittpunkt von AE und ME' bezeichnet, d.AE' = E'J = ME'—MJ = ME'—ME, folglich die unendlich schmale Fläche PFF'F=r(ME'—ME), und ebenso FP"F"F'=r(ME"—ME'), also die Summe beider PF'F"F=r(ME"—ME). Daher ist offen­ bar die endliche Fläche PQHF = r(MG—ME). Läßt man £ nach M und G nach A rücken, so erhält man r(r—0) = r1 als Inhalt der auf dem Kugcloktanten den Halbcylinder umgebenden Fläche. Die ganze zu berechnende Fläche ist also —8r*. Uebrigens ist leicht einzusehen, daß jede der beiden von der Kugel­ oberfläche begrenzten Cylinderflächen den Inhalt 4r* hat; denn da der Bogen EE' = 3.r ist, weil der zugehörige Zentriwinkel — 23 und der Radius — ^r, so ist der cylindrische Flächenteil EE'P'P=3.r.P'E', also — dem sphärischen PP’F'F. Schließlich möge nur diejenige Hälfte der Kugel betrachtet werden, welche aus den vier um MC herum liegenden Oktanten zusammen­ gesetzt ist. Es entsteht dann ein halbkugelförmiges Gewölbe, von vier Fenstern rings um die Basis so durchbrochen, daß der übrig­ bleibende Teil der sphärischen Oberfläche geometrisch quadrierbar (und zwar dem Quadrat des Durchmeffers gleich) ist. (Florentiner Problem.) §234. Guldinsche Regel. 1) Der Inhalt einer Rotationsfläche (d. h. einer Fläche, die durch Rotation einer Linie um eine derselben Ebene angehörige sie nicht durchschneidende Achse entsteht) ist gleich dem Produkt der er­ zeugenden Linie und des Weges, den ihr Schwerpunkt beschreibt. 2) Der Rauminhalt eines Rotationskörpers (d. h. eines Körpers, der durch Rotation einer ebenen Fläche um eine derselben Ebene an­ gehörige sie nicht schneidende Achse entsteht) ist gleich dem Produkt der erzeugenden Fläche und des Weges, den ihr Schwerpunkt beschreibt.

Guldinsche Regel.

201

Beweis. Aus den Elementen der Mechanik find folgende Sätze bekannt: a) Der Schwerpunkt einer (gleichförmig dichten) geraden Linie ist der Halbierungspunkt derselben. b) Der Schwerpunkt eines (gleichförmig mit Maffe belegten) Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner Mittellinien. c) Ist eine Linie (oder Fläche) ans den Teilen m, m', m",.. zu­ sammengesetzt, find ferner x, x', x",.. die Entfernungen der Schwer­ punkte der Teile und s die Entfernung des Schwerpunktes der ganzen Linie (oder Fläche) von einer in derselben Ebene liegenden Achse, so ist '• mx-\-m'x'-\-m"x"-\--m+m'

1) Wenn eine einzelne Strecke m um eine von ihren Endpunkten um r und q entfernte Achse sich dreht, so ist die erzeugte Fläche der Mantel eines abgestumpften Kegels und ihr Inhalt =rm(r-\-g). Der Schwerpunkt von m ist von der Achse um z = |(r+p) ent­ fernt; also ist der Inhalt der Fläche =m.2nx. Rotiert also eine aus m, m', m",.. zusammengesetzte gebrochene (oder, im Grenzfalle, krumme) Linie um eine Achse, so ist die er­ zeugte Fläche f = m.2nx+m',2nx'+m".2‘nx"+--=2n(mx-\-m'x’ -+-m"x''+••), also nach c) f=2ns(m-\-m'-\-m"oder wenn l die ganze Länge - der erzeugenden Linie bezeichnet, f=l.2ns. 2) Zunächst werde ein Dreieck ABC bettachtet, das um die auf der Verlängerung der Seite AB senkrechte Achse RR' sich dreht. Sind die Abstände AD, BD, CE gleich a, b, c, und die Strecke DE = h, so ist das Volumen des RotationSkörp'erS nach §224,5) =§fiÄ(st*4“flc—f-c*)—^-7iA(6*—I— tc —|— c*)

^ =}nh (a—b) (o+6+c)=§ n A (a+ö+c), wenn A der Inhalt des Dreiecks ABC ist. Der Schwerpuntt des Dreiecks sei S, CS werde in G halbiert, die auf RR' gefällten Lote SH und GJ seien gleich * und y. Dann ist (§46) 2x = i(a-h6)+y und 2y — x-\-c, und man erhält, wenn

man die zweite Gleichung zu der mit 2 multiplizierten ersten addiert, ix — a+b+c. Der Inhalt des Körpers ist also —A.2nx. Jetzt werde ein beliebiges Polygon bettachtet, das um RR' rotiert.

202

Stereometrie.

Zieht man in seiner Fläche durch seine Ecken gerade Linien, deren Verlängerungen RR' rechtwinklig schneiden, und in jedem bei so ent­ stehenden Paralleltrapeze eine Diagonale, so ist das Polygon in Dreiecke zerlegt, und in jedem dieser Dreiecke (A, A',...) steht eine Seite auf RR' senkrecht. Es ist also das Volumen v des durch Rotation des Polygons entstehenden Körpers = A.2nx+&'.2nx'-i-“ = 2?r(Ax4- A'x'-i— •)» also nach c) =2ro( A 4-A'+••), wenn s den Abstand des Schwerpunktes des Polygons von RR' bezeichnet. Nennt man noch F den Flächeninhalt des Polygons, so erhält man für das Volumen des Rotationskörpers die Formel v — F.2rr*, und diese bleibt auch dann noch gültig, wenn die rotierende Fläche statt von einer gebrochenen von einer krummen Linie begrenzt wird. Beispiel. Der Rauminhalt des ringförmigen Körpers, der durch Rotation eines Kreises vom Radius a um eine in seiner Ebene gelegene, vom Mittelpunkte um die Sttecke b entfernte Achse entsteht, ist = 2^‘a’fr, und die Oberfläche dieses Körpers ist =4n’o6.

Fünfter Abschnitt.

Sphärische Trigonometrie. § 235. Eine dreiseitige konvexe Ecke habe ihren Scheitel M im Mittelpunkte einer Kugel vom Halbmesser 1, so daß: MA = MB = MC=1,

und es werde bezeichnet: arc BC — a, arc CA — b, arc AB — c. '71 Z. A = a, ZB = /9, ZC=y. Errichtet man in den Ebenen AMC und AMB auf dem Radius MA die Lote AD und AE, so ist Z EAD = a, AD = Igb, MD = secft, AE = tgc, JME = secc. Aus den Dreiecken MDE und ADE ergibt sich: DE’ — secb’+secc1—2 sec 6 sec c cos o, DE’ = tgfr* -+- tgc’—2tg6 tgc coso.

Hieraus folgt durch Subtraktion: 0= l-t-l-f-2(tg6tgccosa—sec 6 sec c coso). 1) coso = cosfccosc+sinfcsinccosa.

203

Sphärische Trigonometrie.

Die für diese Formel gegebene Ableitung setzt voraus, daß 6 und c beide spitz find; denn nur in diesem Falle liegen D und E auf den Verlängerungen von MC und MB über C und B hinaus. Ist 6>inr, c< \ n, so denke man fich die Dogen CA und CB bis zum zweiten Durchschnittspunkte C verlängert; dann ist die Formel 1) auf das Dreieck ABC anwendbar und ergibt: cosBC'= cosAC' cosAB+sinAC' sin AB cos BAC', das heißt: cos(ti—o)

— cos(nr—ö)cosc-hsm(rt—6)sinccos(7i—a)

oder: —cos a — —cos 6 cos c—sinfrsinccosa.

Sind b und c beide stumpf, also n—b und n — c beide spitz, so erhält man aus dem Dreieck BCA', durch welches BCA zu einem Kugelzweieck ergänzt wird: cos a — cos (n—6) cos (n — c)+sin (n—6) sin (rr — c) cos a ;

also wiederum coso = cos6cosc+8in6sinccosa. Die Formel 1) gilt demnach für beliebige spitze oder stumpfe b und c, auch für solche, die dem Werte in beliebig nahe kommen, also offenbar auch dann, wenn b oder c oder beide = in. Ersetzt man in 1) cosa durch 2cosja3—1, bezw. 1 — 2sinket3, so folgt: cosa — cos(/> c)4-2sin bsin ccos i a\ coso = cos (6—c)—2sin6sincsin

also: .

-,/ cosa — cosfn + c)

1/sin4(o+6+c)sin*(6+c-

cos^st = yf —-S-—----- = l" - - -— sin/jsinc — - - ------«in b Asm 2z sin sinec

a)

y

/sin \ (a — A-f-c)sin£(«H-A. , cos(6 — c) — cosa sin^a = 1/-----; — T---------- =1 '

2 sin o sine

sinfcsinc

folglich für a-{-b-hc — 2s: ,

-,/sinssin(.v— d) r sinAsmc

s^a= l----- —----

2)

COS

3)

sin^a = I — v

. ,

sin (s—A)sin(s — 0 . z sinösiuc

Da die dreiseitige Ecke als konvex (§205) vorausgesetzt wurde, so find die Wurzeln positiv zu nehmen. Auch die unter den Wurzel-

204

Stereomet rie.

zeichen enthaltenen Sinus find sämtlich positive Größen. (§ 208,1) und § 207.) Dividiert man 3) durch 2), so erhält man: . , sin(* —ft)sin(*—c) tg|or — 1/---- ^---- r, v N y • ° ' sin s sin (5—a) Man benutzt diese Formel und die entsprechenden für ig\ß und tgir, um au- den drei Seiten eines sphärischen Dreiecks die drei Winkel zu berechnen. § 236. Nach 2) und 3) gelten die sechs Gleichungen: / sin»sin(»—d) sin ft sine 9 / sin »sin (»—ft) cos|/5 = ] sinn sine ' / sin»8in(»—c) cos-J-y — j sin a sin ft 9 cos£a = ]

/ sin (»—ft) sin (»—c) sin ft sine 9 / sin (»—a)sin (s—c) sin|/9 = J, sin a sine ' / sin (5—a)sin(»—ft) sin i y = ) sin 0 sin ft ein^a = j

Man erhält nun sofort: C0B±x sin»—sm(»—c) . , cosl(a+6) . cos |(a 4-/5) =--------- -—^siniy —----^----- - sin4/, sine cosfc MlK«-|»)= .j^ ■»««+*) ,iniy, sine ’ ain^c . ,, , „ sin(i—6)+ain(»—a) , cos4(a—b) ,

= —----- iET3-----

------ älH

.in K«-fl = .!»c.-i>-.in)_ cos £(«+/?) cos^c sin^y cos^(o—6)sin^(a+/5) cos^c cos^y sin ^(a 4-6) C08^(cr—ß) sin^c sin^y sin^(a—6)sinket—ß) sin j-c cos Hy

7) Wenn man die erste derselben kennt, so erhält man die übrigen drei, indem man auf der einen Seite das Zeichen -t- in — verwandelt und auf der anderen die Zeichen cos und sin mit einander vertauscht. Die aus 4) bis 7) durch Division sich ergebenden Gleichungen tgH(a-s-/b) ^cosH(a — 6) cotHy cosH(a-s-d)' t8^(a—ß) _sinj(a—6) cot Hy sinH(a-i-d) '

IgHQ-i-d) _cos$(a — ß) IgHe cosH(a-i-/?)' tg|(a—6) _sinK«—ß) tgHe sinH(a-s-/?)

find die Neperfchen Analogien. Die Gaußischen Formeln oder auch die Neperfchen Analogien können angewandt werden, um aus zwei Seiten und dem einge­ schloffenen Winkel (a, b, y) oder aus zwei Winkeln und der anlie­ genden Seite (er, ß, c) die übrigen Stücke zu berechnen. § 236a. Dividiert man das doppelte Produkt von 2) und 3) durch sin o, so wird: sin a 2 ]/sin ssin (s—ä)sin (s—6)sin( 180° sind. § 237. Die Gaußischen Formeln gehen in einander über, wenn man setzt:

Stereometrie.

206

a-i-a' — n, fr 4-/?' — n, c-j-y' = n,

cr-Ho' = n, ß+b' — n, y -\-c' — n.

Daher lassen sich diese Substitutionen in allen Formeln vornehmen. Dasselbe geht auch aus den Eigenschaften der Polarecken hervor. Aus 1), 2) und 3) erhält man auf diese Weise, wenn man die Accente fortläßt und a-hß-hy = 2o seht: 9)

cos a = —cos/Jcosy-t-sin/Jsinycoso.

10) sinkst =

/

11) 608H

J 608 (

und für das rechtwinklige Dreieck: tg* A = tgi«tgifr.

Schreibt man die Gleichungen 4) und 5) in der Form cosH(a-i-fr) cos Ho

sin (HA — Hy) , sin Hy ’

cosH(a—fr) cos Je

cos (HA — Hy) cos Hy

und subtrahiert bei beiden auf jeder Seite 1, so folgt: sinHrsinH(s—c) sinj Acos(J A—Hy) cosH c sin Hy ' sinH(r—a)sinH(»—fr) sin JA sin (JA—Hy) cos Je cos Hy '

und hieraus durch Multiplikation: . , A v' sm Jssm J(s—«)sin J(s—fr)sm J(s—c) sin J A = |------^^----- J.---- -------- L.. ' cosHacosHfrcosHe

Addiert man dagegen in jenen Gleichungen auf beiden Seiten 1, so findet man: cos J A =

{

cos i s cos b (s — a) cos 4(s — b) cos 4(§ — c) cos j-acos^öcos^c

Daher ist: tg J A = VtgJstgJ(s-a)tgJ(s—fr)tgj(s—c).

§ 242. Aufgabe. An zwei Orten A und B (z. B. Aachen und Berlin), deren geographische Breiten (AA, = q>, BB, — xp) und Längen (QA, = X, QB, — n) bekannt find, seien zu einer und derselben Zeit die Azimute x"', so ist, wenn a und 6 die absoluten Längen von x" und x’" bezeichnen, also o==—®", b = —x"' ist: 1) P'P = OP—OP' = x—x', 2) P"P = P"0+0P = a-hx = x—x", 3) P'"P" = P'"0—P"0 = 6—o = x"—x"'. §3. Aufgaben. Aus den Absciffen und ®, der Punkte P, und P, zu berechnen: 1) Die Absciffe h des Halbierungspunktes H der Strecke P, P,. Ausl. P,tf = tfP,, A—x, =x,-h, also: A = z(®,-»-®,). 8

ij i is

^ x

2) Die Absciffe s des Punktes S, der P,P, so teilt, daß P,S und SP, sich wie zwei gegebene positive Zahlen m, und m, verhalten. Ausl. (s—®,) : (®,—») —m,: m„ also s =

mlxl-hm.1xt m,-hm3

(Der Punkt S ist der Schwerpunkt zweier in P, und P, konzentriert gedachten Massen, die sich wie die Zahlen m, und m, verhalten.) § 4. Rechtwinklige Koordinaten eines Punktes in der Ebene. Es seien in der Ebene zwei einander rechtwinklig in 0 schneidende Gerade X'X und Y'Y gegeben, und OX und OY seien ihre positiven Richtungen. Durch Projek­ tion eines beliebigen Punktes P der Ebene auf die beiden j- Geraden X'X unb Y'Y ent­ stehen auf diesen die Abschnitte 0Q(x) und 0R(y), welche die rechtwinkligen Koor­ dinaten des Punktes P ge­ nannt werden. Der Schnitt-

Bestimmung der Lage von Punkten in einer Ebene.

213

Punkt 0 der Geraden heißt der Anfangspunkt der Koordinaten, die Geraden die Koordinatenachsen. Man unterscheidet die Koordinaten (x und y) als Abscisse (x) und Ordinate (y) und nennt X'X oder die X-Achse die Abscissenachse und FT oder die l'- Achse die Ordinatenachse. Die Absciffe x ist positiv oder negativ, je nachdem Q auf OX oder OX' (in der Figur rechts oder links von 0) liegt; die Ordinate y ist positiv oder negativ, je nachdem st auf OY oder OY (in der Figur oberhalb oder unterhalb 0) liegt. Bezeichnet man die Ebenen­ stücke XOY, YOX', X'OY', Y'OX als den ersten, zweiten, dritten, vierten Quadranten der Ebene, so ist also x positiv für Punkte des ersten und vierten, negativ für solche des zweiten und dritten Qua­ dranten, während y positiv für Punkte der beiden ersten, negativ für solche der beiden letzten Quadranten ist. (Vergl. Trigon. § 168.) Um den Punkt (x, y), d. h. den Punkt, dessen Abscisse — x und dessen Ordinate — y ist, zu konstruieren, trägt man x und y von 0 aus in den ihren Vorzeichen entsprechenden Richtungen auf den zugehörigen Achsen ab und errichtet in den erhaltenen Punkten Lote auf den Achsen; der Schnittpunkt der Lote ist der gesuchte Punkt P oder (x, y). Man erhält P etwas einfacher mittels des Abschnittes OQ (—-e) und des Lotes QP (—y). Häufig nennt man das Lot QP (statt des Abschnittes Ost) die Ordinate des Punktes P; und ebenso kann auch das Lot RP als Absciffe des Punktes P bezeichnet werden. Sind zur Konstruktion eines Punktes nur die absoluten Längen a und 6 der Absciffe und Ordinate gegeben, so erhält man vier der Aufgabe genügende Punkte (P,, Pt), die bezeichnet werden können als die Punkte: (4-a, gelangt man zu dem­ selben Resultat. 2) Der Inhalt eines beliebigen Dreiecks wird durch die Formel gefunden: 2) a = ± Für daS in der Figur gezeichnete Dreieck P,P,P, ist vor der Klammer das Zeichen -+- zu wählen. Liegen die drei Punkte (x,, y,), (x„y,), (x„ y,) in derselben Geraden, so wird der von der Klammer eingeschloffene Ausdruck — 0, und umgekehrt. § 9. Aufgabe. Die Koordinaten ? und 17 des Schwerpunktes der in den Punkten (x,, y,) und (x,,y,) konzentrierten Massen w, und m, zu berechnen. Auslösung. Der Schwerpunkt S teilt P,P, so, daß P,S: SP, -- m,: m,. Nach demselben Verhältnis werden die Projettionen der Strecke P,P, auf die Achsen durch die Projettionen des Punttes S geteilt. Nach § 3, 2) ist also: _ w,x,—i—CT, x, CT,y,-t-CT,y, _ *

CT, -t-CT,

' ^

CT, -(-TO,

Für CT, — CT, erhält man die Koordinaten des Halbierungspunktes von P.P, (i(x,H-x,) und i(y,-hy,)).

II. Darstellung von Linien durch Gleichungen. Gleichungsformen der Geraden und des Kreises. § 10. Durch x und y mögen die Koordinaten eines beliebigen Punttes der Ebene bezeichnet werden. Soll der Punkt (x, y) mit einem gegebenen Punkte (a, b) zusammenfallen, so läßt sich dies durch zwei Gleichungen, x = a und y = b, ausdrücken. Wird aber z. B. die Bedingung gestellt, der Puntt (x, y) solle auf der Ordinatenachse liegen, so muß seine Absciffe x den bestimmten Wert 0 haben, während seine Ordinate jeden beliebigen Wert annehmen kann. Die eine Gleichung x— 0 stellt also keinen bestimmten Punkt dar, sondern sämtliche der Ordinatenachse angehörigen Puntte und nur diese; oder kürzer ausgedrückt: die Gleichung x=0 ist die Gleichung der Ordinatenachse. Ebenso ist y — 0 die Gleichung der Absciffenachse, x — a die Gleichung einer der V-Achse parallelen Geraden,

216

Koordinatenbegriff und Grundlehren von den Kegelschnitten.

die auf der X-Achse die Absciffe a begrenzt, und y = 6 die Gleichung einer der X-Achse parallelen Geraden, die auf der V-Achse die Ordi­ nate b abschneidet. Die Gerade, welche die Winkel XOY und X'OY' halbiert, kann als der geometrische Ort eines Punktes betrachtet werden, beffen Absciffe und Ordinate einander gleich sind; ihr entspricht also die Gleichung x = y. Für jeden Punkt (x, y) des um 0 mit dem gegebenen Radius r beschriebenen Kreises ist nach § 5 Dies ist also die Gleichungsform des Kreises, wenn sein Mittelpunkt mit dem Anfangspunkt der Koordinaten zusammenfallt. Ebenso kann man für jede nach einem bestimmten geometrischen Gesetze konstruierte Linie sich die Aufgabe stellen, ihre Gleichung, d. h. die Gleichung zwischen den Koordinaten eines jeden ihrer Punkte, zu finden. Umgekehrt stellt eine gegebene Gleichung zwischen den Koordinaten x und y (im allgemeinen) eine Linie dar, nämlich den geometrischen Orl des Punktes, beffen Koordinaten der durch die Gleichung ausgedrückten Bedingung genügen. Berechnet man aus der Gleichung zu einer Reihe von Werten von » die zugehörigen Werte von y und konstruiert die entsprechenden Punkte (x, y), so gelangt man zu einer Vorstellung von der Gestalt der Ortslinie. Auch die geometrischen Eigenschaften einer solchen Linie lassen sich durch Untersuchung ihrer Gleichung herleiten. Beispiel. Aus der Gleichung y — 2x—x* ergeben sich z. B. folgende zusammengehörigen Werte von x und y. X -4; 0; 4; 1; 14; 2; 24. y = — 14; 0; *; 1; *; 0; -1*. Die durch die Gleichung dargestellte Kurve geht also durch die Punkte (-4.-14); (0.0); (4.4); - Aus der Form der Gleichung ist z. B. —

im dritten und vierten Quadranten sich bis ins Unendliche erstreckt. § 11. Aufgaben. 1) Die Gleichung der Geraden (CD), welche

Darstellung von Linien durch Gleichungen.

217

auf den Achsen die Abschnitte a und b begrenzt, aufzustellen, (a und b seien von 0 verschieden.) Auflösung. P sei ein beliebiger JL Punkt der Geraden, OA — a und OB = b. Fällt man auf OY das Lot PR, J? so ist RP = x, OR — y, RB — b—y, V und es ergibt sich x:a — (b—y):6, X / 1 also: 0 “ JX *

X

1)

a

o

1-

D

2) Die Entfernung OL (/) dieser Geraden vom Anfangspunkte zu bestimmen. — Stufl. Es ist der doppelte Inhalt des Dreiecks ABO = l.AB — l]/d,-\-b% und — ±a6, also: 2)

1 = ±-JL=. }/a'-+-b'

Je nachdem a und b gleiche oder entgegengesetzte Borzeichen haben, ist rechts das Zeichen + oder — zu wählen. 3) Die Gleichung der Geraden aufzustellen, welche auf der X-Achse den Abschnitt b begrenzt und mit der positiven X-Achse oberhalb derselben den Winkel a bildet. Auflösung. Im Dreieck PBR ist b—y — xtg(180°—a) — —xtga, also: 3) y = xtgaA-b. Für Punkte außerhalb der Geraden CD (z. B. für Punkte auf der Verlängerung von RP) ist die Gl. 1) (oder 3)) nicht erfüllt. Ist also die Gl. 1) oder 3) gegeben, so entspricht ihr eine bestimmte (aus a und b oder b und a sofort konstruierbare) Gerade. § 12. Lehrsatz. Jede Gleichung ersten Grades zwischen den Koordinaten (fx+gy+h = 0) stellt eine Gerade dar. Beweis. Ist - nicht —0, so läßt sich die Gleichung, indem man durch g dividiert und s:g = —tga, h:g = —b setzt, auf die Form 3) bringen. Ist aber s —0, so muß s, weil sonst die Glei­ chung die Koordinaten nicht enthielte, von 0 verschieden sein, und man erhält x = —h:s, d. h. die Gleichung einer Parallelen zur X-Achse. § 13. Aufgabe. Die Gleichung eines Kreises aufzustellen,

218

Koordinatenbegriff und Grundlehren von den Kegelschnitten.

wenn die Koordinaten a und b seines Mittelpunktes und sein Radius r gegeben find. Auflösung. Die Entfernung des Punktes (x, y) der Peripherie vom Mittelpunkte (a, b) ist =r; nach § 7 ist also (x—a,y+(y — b)*= r*. Anmerkung. Jede Gleichung von der Form 3-*+ y *-4- 2/x+2gyh = 0

stellt, vorausgesetzt daß s-hg*—A positiv ist, einen Kreis dar. § 14. Aufgaben. Es seien r und r' die Entfernungen eines Punktes P oder (x, y) von zwei festen Punkten F und F'. Es soll der geometrische Ort des Punktes P für folgende Bedingungen ge­ funden werden: 1) rn—r* = q’, 2) r’-f-r'* — q1, 3) mr’+mV” = q\ (q ist eine gege­ bene Strecke, m und m' sind gegebene Zahlen; m—m' und m-i-m' seien von 0 verschieden.) Auslösung. Zur X-Achse wähle man die Gerade F F, zur X-Achse die Mittelsenkrechte der Strecke F'F (— 2c). 1) (x+cy+y1—[(*—cy+y’] = 91; also X = q':4c. 2) 2x,+2c,-h2y,= q*, also xi-^-yi= ^q*— c\ 3) —2c(m—m')x — q*, also ( m m— —m' m' y V. , q‘ 4 mm'c* m •4-m'

(

Der Ort ist also für 1) eine Gerade, für 2), sowie auch für 3) ein Kreis (bezw. ein Punkt, wenn die rechte Seite der zugehörigm Gleichung —0, oder unmöglich, wenn sie negativ ist). Der Mittel­ punkt des Kreises liegt bei 2) in 0, bei 3) im Schwerpunkte zweier in F und F' konzentriert gedachten, sich wie die Zahlen m und m' verhaltenden Massen. III. Von der Parabel. § 15. Eine Parabel ist der geometrische Ort eines Punktes, besten Entfernungen von einem festen Punkte und einer festen Geraden einander gleich find. Der feste Punkt F heißt der Brennpunkt, die feste Gerade die Leitlinie. Für jeden Punkt P der Parabel ist also seine Verbindungslinie mit dem Brennpunkte F (der Brenn-

Don bet Parabel.

219

strahl oder Radiusvektor FP) gleich dem Lote LP auf die Leit­ linie. Zieht man durch F senkrecht zur Leitlinie die Gerade BX und fällt auf diese das Lot PQ, so ist auch FP — BQ. Man kann also beliebig viele Parabelpunkte konstruieren, wenn man auf BX eine Reihe von Punkten Q, Q„ ... annimmt, in ihnen auf BX Lote errichtet und diese durch Kreisbogen, die um F mit BQ, BQ„ ... beschrieben werden, in P und P’, P, und P[, ... schneidet. Der Halbierungspunkt A von BF gehört der Parabel an und wird ihr Scheitel genannt, die Gerade AX heißt die Achse der Parabel. Durch die Achse werden alle auf ihr senkrecht stehenden Parabelschnen halbiert. Die durch F senkrecht zu AX gelegte Sehne

heißt der Parameter (2p) der Parabel; der Abstand BF des Brenn­ punktes von der Leitlinie ist gleich dem halben Parameter p. Die durch den Scheitel A senkrecht zu /IX gelegte Gerade F'y berührt die Parabel (weil sie zwei zusammenfallende Punkte mit ihr gemein hat) und heißt ihre Scheiteltangente. §16. Aufgabe. Die Gleichung der Parabel in Bezug auf ihre Achse AX als Abscifsenachse und ihre Scheiteltangcnte A Y als Ordinatenachse aufzustellen. Auflösung. Im AFQP ist QP = y, FP = BQ = AQ-\-BA

220

Koordinatenbegriff und Grundlehren von den Kegelschnitten.

= x+|p, FQ = x — $p (bezw., wenn Q zwischen A und F an­ genommen wird, — bp—x), also y’ = (z-t-lp)1—(z—$p)a, das heißt: y1 — 2px. (Scheitelgleichung der Parabel.) § 17. Man erkennt aus dieser Gleichung, daß negativen Werten von x keine, positiven je zwei reelle Werte von y (±V2px) ent­ sprechen, und daß mit unbegrenzt wachsendem x zwar auch die Größe von y über jeden endlichen Wert hinaus wächst, aber erheblich lang­ samer als x. Denkt man sich die Gerade AP gezogen, so ist tgZ. XAP = y:x = 2p:y; es wird also der SBinfcl XAP verschwindend klein, wenn der Punkt P auf der Parabel sich ins Unendliche entfernt. Jede Parallele zur X-Achse (z. B. PD) schneidet die Parabel nur in einem Punkte (F) und heißt ein Durchmesser der Parabel. § 18. Der Winkel, den die Sehne PF, oder Sekante TS mit der X-Achse oder dem Durchmesser PD bildet, läßt sich aus A P,PD berechnen: DP, y,~y _ 2p(y, — y) _ 2p tgZP,PZ> = PD » y?—y’ y,-+-y Läßt man nun P, mit P zusammenfallen (also y, — y werden), so wird die Sekante zur Tangente, und der Winkel a, den die durch den Punkt P der Parabel gehende Tangente mit der Achse der Parabel bildet, wird also gesunden durch die Gleichung p

8

y

§19. Quadratur von Teilen der Parabelfläche. Pro­ jiziert man die Sehne PP, auf AX und A Y, so entstehen die Parallel­ trapeze PP, 0,0 und PP.fijfi. Das Verhältnis ihrer Flächen ist — QQi(Qp+Qip>) _ (*■—g)(y,-t—y) _ *,—■x . y,-i-y

ßß,(«P+Ä,P,)

(y,—y)(x,-hx)

= y?+y'J

Xj-t-x

y,—y

. y.H-y = (y,+y)*. y.—y y?+y’

Nimmt man nun PP, unendlich klein, so nähert sich der letzte Quotient offenbar dem Grenzwerte 2. Da die unendlich kleine Sehne PP, als mit dem unendlich kleinen Bogen PP, zusammenfallend angesehen werden darf, so ist folglich das durch Projektion des unendlich kleinen Bogens PP, auf /IX entstehende Flächenstück doppelt so groß wie das durch Projektion auf AY entstehende. Denkt man sich also den

von der Parabel.

221

Bogen AP in unendlich kleine Teile geteilt und diese auf AI und A Y projiziert, so sieht man, daß auch das endliche Flächenstück AQP doppelt so groß ist wie ARP. Es ist folglich AQP zwei Drittel des Rechtecks AQPR, also — $xy, das heißt gleich einem Quadrate, beffen Seite die mittlere Proportionale zu jx und y ist. Das Flächenstück ist daher geometrisch quadrierbar. Jedes Flächenstück, das von einem beliebigen Parabelbogen und beliebig vielen geraden Linien begrenzt ist, läßt sich offenbar aus zwei Flächenstücken der betrachteten Art und den Flächen geradliniger Figuren durch Addition und Subtraktion zusammensetzen und ist daher ebenfalls geometrisch quadrierbar. §20. Tangente und Subtangente, Normale und Sub­ normale. 1) Der durch den Berührungspunkt und die Parabelachse be­ grenzte Tangentenab­ schnitt PT wird vor­ zugsweise als „Tan­ gente" bezeichnet, seine Projettion TQ auf die Achse heißt Subtan­ gente. Das auf der Tangente in P errich­ tete Lot, und insbe­ N X sondere der durch die Achse begrenzte Ab­ schnitt PN, heißt Nor­ male und deren Pro­ jettion auf die Achse, QN, Subnormale. Die Subtangente TQ ist = ycota, also nach §18 und §16 = y.(y:p) = yi:p = 2x, d. h. gleich der doppelten Abscisse. Die Subnormale QN ist =y.tga — p, also konstant, und zwar gleich dem halben Parameter. 2) Es ist TF= TA + AF=x+ip und FN = AQ—AF+QN = x—bp-hp — x-hbp, folglich TF=FN, und da ATPN = 1Ä ist, auch — FP. Man kann also die Puntte T und N und folglich die Tangente und Normale konstruieren, indem man um den Brennpunkt F mit dem Radius FP einen Halbkreis beschreibt. 3) Da TF=FP=LP und TF || LP, so ist, wenn man noch

222

Koordinatenbegriff und Grundlehren von den Kegelschnitten.

LT zieht, die Figur TFPL ein Rhombus, folglich der Winkel TPF gleich dem Winkel TPL, mithin auch gleich liessen Scheitelwinkel SPD. Die beiden Richtungen (PT und PS) der Tangente bilden also mit dem Radiusvektor PF und dem Durchmesser PD gleiche Winkel. Dreht sich die Parabel um ihre Achse, so beschreibt sie eine krumme Oberfläche, welche ein Rotationsparaboloid genannt wird. Ein Hohlspiegel, dessen Oberfläche diese Gestalt hat, besitzt die Eigen­ schaft, daß alle auf ihn parallel der Achse auffallenden Licht- und Wärmestrahlen (DP) nach demselben Punkte, dem Brennpunkte (F), reflektiert werden. 4) Es ergibt sich weiter, daß PT die Diagonale LF in M hal­ biert, und daß Z FMP — lß ist. Verbindet man A mit M, so ist (da auch BF in A halbiert ist) AM || BL, also -L AX. Der Punkt M liegt also aus der Scheiteltangente AY, und es ergibt sich der Lehrsatz: Der geometrische Ort der Fußpunkte der vom Brenn­ punkte auf die Parabeltangenten gefällten Lote ist die Scheiteltangente. Ferner folgt hieraus eine einfache Konstruktion derParabel durch Tangenten. Zieht man nämlich aus einem festen Punkte (F) nach einer festen Geraden (A Y) Strahlen und errichtet auf diesen in ihren Endpunkten (M,..) Lote, so umhüllen dieselben eine Parabel. 5) Da die Tangente ST die Mittclsenkrechte der Strecke LF ist, so ist für jeden auf ihr liegenden Punkt C: a) Z CMF = lß. b) CL = CF und Z LCP=FCP.

§21. Aufgabe. An eine durch Brennpunkt und Scheitel­ tangente oder Brennpunkt und Leitlinie gegebene Parabel aus einem gegebenen Punkte C Tangenten zu ziehen. Auflösung 1. Man konstruiere (§20, 5a) den Kreis, der CF zum Durchmesser hat. Derselbe schneidet die Scheiteltangente in M und M'. Die Geraden CM und CM' sind die gesuchten Tangenten, und die Berührungspunkte P und P' können z. B. mittels der Eigen­ schaft, daß MP—MT ist, gefunden werden. Auflösung 2. Man beschreibe (§20, 5b) den Kreis um C mit dem Radius CF. Derselbe schneidet die Leitlinie in L und V. Die gesuchten Tangenten sind nun die Halbierungslinien der Winkel LCF

Don der Parabel.

223

und L’CF und werden von den aus L und V zu BF gezogenen Paral­ lelen in den Berührungspunkten P und P’ geschnitten. Folgerungen. 1) Es ist Z.CLL --- CL'L, daher auch Z CLP = CL'P', und da A CLP^CFP und A CL’P' CFP', so ist auch ZOT = CFP. Die Verbindungslinie des Brenn­ punktes mit dem Schnittpunkte zweier Tangenten halbiert also den Winkel der Brennstrahlen nach den Berüh­ rungspunkten. Oder: Die Tangenten CP und CP’ erscheinen vom Brenn­ punkte aus unter gleichen Sehwinkeln. 2) Zieht man CD parallel zur Achse, also senkrecht zu LV, und nennt die Winkel PCD, DCF, FCP' bezw. a, y, ß, so ist Z LCP = ot-f-y und L'CP' — ß. Nun sind aber die Winkel LCD und L'CD als Supplemente der gleichen Winkel CLP und CL'P ein­ ander gleich, also a-hy+a = ß-k-ß-\-y, das heißt a = ß oder Z PCD = P CF (unb auch. wenn y addiert wird, ZPCF= P'CD). Die vom Schnittpunkte zweier Tangenten ausgehende Parallele zur Achse und der Strahl nach dem Brennpunkte bilden also mit den Tangenten gleiche Winkel. 3) Die Berührungssehne PP' wird durch CD halbiert, weil CD gleiche Entfernungen von den ihr parallelen Geraden LP und L P' hat. §22. Aufgabe. Den geometrischen Ort der Halbierungs­ punkte paralleler Parabelsehnen zu bestimmen. Auflösung. Der konstante Winkel der Sehnen mit der Achse sei S, die Koordinaten der Endpunkte einer Sehne x, y und x', y', und die Ordinate des Halbierungspunktes dieser Sehne sei — jj. Es ist dann zufolge § 18, §9 und §16: tg d. h. P = ^~ (oder p = a(l—c1)). eL b* § 27. Der Kreis, welcher die große Achse AA' zum Durchmesser hat, möge der Scheitelkreis der Ellipse genannt werden. Verlän«

flert man die zur Absciffe x (MQ) gehörigen Ellipsenordinaten y, bis sie den Scheitelkreis schneiden, und bezeichnet die Kreisordinaten durch

n> so ist:

jr

B\

y = ±—Va*—x' a ' tj

= ± Va*—3

9 also

JL = ±. t\

&

3

’[

F

S 4

*

1

4 P J

a

Man erhält also eine Ellipse, wenn man die Hälften der auf einem Durchmesser eines Kreises senkrecht stehenden Sehnen sämtlich in dem­ durch Verlängerung paralleler selben Verhältnis verkürzt. Kreissehnen um Strecken, die ihnen proportioniert find, entsteht, wie leicht einzusehen ist, eine Ellipse. Folgerung. Projiziert man eine Kreisfläche rechtwinklig auf eine ihr nicht parallele Ebene, so behalten alle der Durchschnitts­ linie der beiden Ebenen parallelen Sehnen die gleiche Länge, während die aus der Durchschnittslinie senkrechten Sehnen sämtlich in dem­ selben Verhältnis verkürzt werden. Die orthogonale Projektion eines Kreises auf eine Ebene ist also eine Ellipse, deren große Achse dem Kreisdurchmesser gleich ist. Oder anders ausgedrückt: Der Mantel eines schiefen Kreiscylinders wird durch eine zu den Seiten­ linien senkrechte Ebene in einer Ellipse geschnitten. — Die Mantel­ fläche eines solchen Cylinders ist also gleich dem Produkte aus der Seitenlinie und dem Umfange dieser Ellipse. Ebenso ergibt sich leicht der Lehrsatz: Der Mantel eines ge­ raden Kreiscylinders wird durch eine Ebene (die weder den Grund­ flächen noch den Seitenlinien parallel ist) in einer Ellipse geschnitten. — Hier ist die kleine Achse der Ellipse gleich dem Durchmesser des kreisförmigen Durchschnitts. §28. Inhalt der Ellipsenfläche.

Denkt man fich dem

Scheitelkreise ein Polygon eingeschrieben, von dem der Einfachheit halber angenommen werden möge, daß es durch AA* in zwei sym­ metrische Hälften geteilt werde, so entspricht demselben ein der Ellipse «ingeschriebenes Polygon, dessen Ecken dieselben Absciffen haben wie 15*

228

Koordinatenbegriff und Brundlehren von den Kegelschnitten.

die entsprechenden Ecken des Kreispolygons. In der Figur (§27) find die Trapeze PP, 0,0 und ÄH,0,0 entsprechende Teile der Polygonfiächen. Da diese Trapeze dieselbe Höhe 00, haben, so ver­ halten sie sich wie die Summen ihrer Grundlinien y-hy, und y-f-y,. Nun ist »

b

b b . y, = —s,» also y+y, = — PPlQiQ=:^-.RRl 0.0.

Hieraus folgt, daß die Flächen der eingeschriebenen Polygone, und wenn die Seiten unendlich klein genommen werden, daß auch die Flächen der Ellipse und des Kreises das Verhältnis b: o haben. Die Ellipsenfläche ist also =

• na', d. h. =n.a.b.

§29. Würde man die Sehnen PP, und ÄH, in der Figur zu §27 bis zum Durchschnitt mit der X-Achse verlängern, so würden sie die Strecke 00, außen bezw. nach den Verhältnissen y: y, und i?: S, teilen. Diese Verhältnisse find aber, wie aus der Proportion y:ij = Vi :V> folgt, einander gleich; die Sekanten PP, und HÄ, schneiden also die X-Achse in einem und demselben Punkte. Läßt man nun P, unendlich nahe an P, also auch fi, an fi rücken, so erkennt man, daß die durch P an die Ellipse und die durch fi an den Kreis gelegte Tangente sich auf der X-Achse schneiden, und es ergibt sich folgende Kon­ struktion der Ellipsen­ tangente. Man verlängere N a F Ia 4 P' die Ordinate 0P bis zum Durchschnittspunkte fi mit dem Scheitelkreise, ziehe HP J.S1R und verbinde T mit P; dann ist PT die gesuchte Tangente. Folgerungen. 1) Im AURT ist JUÄ* = MQ.IUT, also MT = —; F'T=?-+*' = ; FT= . XX

X

X

Nach §25 ist aber a+ex = r' und a—ex = r, also FfT:FT = r':r. Die Seite F’F des Dreiecks F'FP ist also in T außen nach dem

von der Ellipse.

229

Verhältnis der anliegenden Seiten geteilt, und die Gerade SPT hal­ biert folglich die Nebenwinkel des Winkels F'PF. Oder: Die Tan­ gente bildet gleiche Winkel mit den Brennstrahlen nach ihrem Berührungspunkte. (Z.SPF' = TPF.) — Wirkt die innere Seite der Ellipse spiegelnd, so werden alle von einem Brenn­ punkte ausgehenden Strahlen nach dem anderen Brennpunkte reflektiert. 2) Die Normale PN halbiert den Winkel F'PF. Ferner folgt, -aß die Subtangente QT=----x = ——— = 00 00 die Subnormale

, und daß

0 00

=

wenn ß den Winkel PNA der Normale mit der X-Achse bezeichnet. Der Abschnitt MN ist = x—NQ, also MN=e\x. §30. Die Leitlinien der Ellipse. Aus der Gleichung r=a—ex folgt r = e —xj. Trägt man also auf der positiven X-Achse von M aus bis E ab, zieht dann durch E die Gerade l senkrecht zu ME und fällt auf l das Lot PL, so ist r = e.QE — e.PL, also PF: PL = e. Die Ellipse kann also angesehen »er­ ben als der geometrische Ort eines Punktes, dessen Entfernungen von einem festen Punkte (F) und einer festen Geraden (/) ein kon­ stantes Verhältnis e haben, das kleiner als 1 ist. Die Gerade l heißt die dem Brennpunkte F zugeordnete Leitlinie; zu F' gehört die zweite Leitlinie V. — Läßt man bei unveränderter Lage von F und l den Mittelpunkt M sich (nach links) ins Unendliche ent­ fernen, so nähert sich e(= c:a B = MF:MA) dem Grenzwerte 1, V es wird PF= PL, der Ort also eine Parabel, die deshalb als Ellipse mit unendlich entferntem Mittelpunkte angesehen werden darf. §31. Die Scheitelgletchung der Ellipse. Bezieht man die Ellipse auf A’A als Abscissen» und die durch A' gelegte Scheitel­ tangente als Ordinatenachse, so behält die Ordinate QP des Punktes P den früheren Wert y, aber die neue Absciffe A’Q oder x' ist

230

Äootblnottnbegttff und Grunblehrrn von bin Kegelschnitten.

■= A'U-\-MQ = a-hx, also * = *'—a. Aus der Mittelpunkts­ gleichung (§25) ergibt sich durch Einsetzen des Wertes von x die Scheitelgleichung: o*

)*+y

6*

,

k

y*

1,’ oder fr 6'

2x' a

x" a

oder wenn für b*:o der halbe Parameter p eingeführt wird: y'=2px’-

px

Da- Quadrat der Ordinate ist also bei der Ellipse kleiner als -aRechteck aus dem Parameter und der vom Scheitel aus gemessenen Absciffe, während e- bei der Parabel gleich diesem Rechtecke ist. Lei der später zu betrachtenden Hyperbel ist das Quadrat größer als das Rechteck. Hierauf find die Namen der drei Kurven zurück­ zuführen. § 32. Die Polargleichung der Ellipse für einen Brennpunkt als Pol. (Vergl. § 6.) Die Lage des Punktes P sei bestimmt durch die Länge r deS Radiusvektors FP und den Winkel g> desselben mit der zum nächsten Scheitel führenden Richtung FA. ES ist r = a—ex, x = MF—QF = ae—rcos(180°—y) = oe-t-rcosy; also r = o(l—c1)—«rcosy = p — ercosy; mithin: r=

1+ecosy

Für die Parabel würde e — 1 zu sehen sein. §33. Aufgabe. Den geo­ metrischen Ort der Halbierungs­ punkte einer Schar von paral­ lelen Sehnen der Ellipse zu be­ stimmen. Auflösung. Der konstante Winkel, den die Sehnen mit MA bilden, sei o, die Koordinaten der Endpunkte (S, S') und des HalbierungspunktcS (B) irgend einer dieser Sehnen seien x,y; x',y'; ij. Es ist dann: tga=(y—y'):(x—x'), ?=|(x+x'). y = i(y+y');

Aus diesen Gleichungen ergibt sich leicht: (y+y')tgc =

b*

b*

(*+*'). also *! = — ^j-coto.?.

Der gesuchte Ort ist somit eine durch den Anfangspunkt der Koor­ dinaten gehende Gerade, also ein Durchmesser (EE') der Ellipse. Der Winkel ß desselben mit der X-Achse ist (nach § 11,3) bestimmt durch die Gleichung b* t 6* tgß — —-^j-cota oder tga.tgß =— Da diese Gleichung durch Vertauschung von a und ß ungeändert bleibt, so werden auch alle mit EE' parallelen Sehnen durch den der ersten Sehnenschar angehörigen Durchmesser DD' halbiert. Zwei Durchmesser (wie DD' und EE'), von denen jeder die dem anderen parallelen Sehnen halbiert, heißen konjugierte Durchmesser. Die durch die Endpunkte konjugierter Durchmesser gelegten Tangenten bilden ein Parallelogramm, dessen Seiten den Durchmessern bezw. parallel sind. § 34. Elementargeometrische Ableitung einiger Eigenschaften der Ellipse. 1) P sei ein beliebiger Punkt einer Ellipse, deren Scheitel A und A' und Brennpunkte F und F' gegeben find. Verlängert man den Drennstrahl F'P um FP bis G, so ist F'G — 2a. Auf der Halbierungslinie des Winkels FPG (die FG in H halbiert und auf FG senkrecht steht) sei ein beliebiger Punkt C angenommen. Im Dreieck CF'G ist bann CE'+CO 2’ (so daß b'^c'—a' oder o'+i^c’ wird) und erhält als Gleichung der Hyperbel: a'

— ^- = 1, oder: y = ± —]/x’—a*. b'

'

9

a r

Liegt x zwischen — a und a, so wird y imaginär; zwischen den in A' und A auf der X-Achse errichteten Loten (den Scheiteltangenten) liegt also kein Punkt der Hyperbel. Da für ®>a und xc—a die Ordinaten stets reelle Werte besitzen, so erstreckt sich jeder der beiden Hyperbelzweige bis ins Unendliche. — Der Parameter 2p der Hyperbel wird ebenso wie bei der Ellipse definiert. Für x = c wird der positive Wert von y=p, also p = bYc*^äi:a = b,:a. §40. Der Winkel a einer Sekante PP, mit der X-Achse ist durch die Gleichung tga = (y,—y): (x,—x) bestimmt. Nun folgt durch Subtraktion der Gleichungen

xL_£==i £l_yl=i daü y-y _ o» 63 A’ o' ö' A' ”ap x,—x —

slJ(y1-t-y)

.

Läßt man jetzt die Punkte (x,y) und (*,, y,) zusammenfallen, so erhält man für den Winkel a der Tangente PT mit der X-Achse, so-

238 Koordinatenbegriff und Grundlehren von den Kegelschnitten.

wie für die Subtangente TQ und den Abschnitt MT die Formeln: b*x tga = —j— ° a y

a’u* TO iV = —b'x

MT= x—TQ = —• x

Nach der letzten Gleichung kann man den Punkt T und somit auch die Tangente PT konstruieren, indem man an den Kreis über AA' (den Scheitelkreis) vom Fußpunkte Q der Ordinate QP die Tangente QR zieht und auf MQ das Lot RT fällt. Denn dadurch wird MR* = MT.MQ, oder a>=MT.x, also MT=o*:x. Man beachte auch, daß QR — y*’—a’ ist, also y: QR = b: a. Nach dieser Proportion könnte man zu jeder Absciffe die zugehörige Hyperbelordinate mit Hülfe des Scheitelkreises konstruieren. Bezeichnet man die Punkte, in denen die ls-Achse von dem um A mit MF (c) zu beschreibenden Kreise geschnitten wird, durch B und B', so ist MB = MB' = b; man nennt BB' (26) die Neben« achse der Hyperbel. Ist b = a, so heißt die Hyperbel eine gleich­ seitige; die Gleichung derselben ist yJ = a’; ihre Punkte können mit Hülfe der Gleichung y = QR konstruiert werden. §41. Den Eigenschaften der Ellipse entsprechen völlig analoge der Hyperbel und lassen sich in entsprechender Weise herleiten. Z. D.: Die Tangente halbiert den Winkel (FPF') der Brennstrahlen nach dem Berührungspunkte. Die Fußpunkte der auf die Hyperbel­ tangenten aus jedem Brennpunkte gefällten Lote liegen aus dem Scheitelkreise; das Produkt der Entfernungen jeder Tangente von den beiden Brennpunkten ist —6’, also konstant. Die Sch eitel gleich un g der Hyperbel (vergl. §31) ist, für AQ = x\ also x — a+x': y* = 2px'-+

px n a

§42. Die Hyperbel besitzt, wie die Ellipse, zwei Leitlinien und ist der geometrische Ort eines Punttes, dessen Entfernungen von

von der Hyperbel.

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einem festen Punkte und einer festen geraden Linie das konstante Ver­ hältnis e(> 1) haben. Der Beweis kann mittels der Gleichung ±r = &r—o (§39) analog §30 geführt werden. Die Polargleichung des den Brennpunkt F umgebenden Hy­ perbelzweiges (r = ex—a) ist, wenn /LPFA — y gesetzt wird (wo­ durch x — ae—rcosy wird): l+ecosy (Soll dieselbe Gleichung auch den zweiten Hyperbelzweig darstellen, so muß man für r auch negative Werte zulassen.) Bestimmt man den spitzen Winkel c durch die Gleichung coac = 1: e, so wird der Nenner l+ecosy = 0, also r unendlich groß für y = 180°— e = /LAFE und y = 180*+e = /LAFE'. Die Geraden, welche man durch den Mittelpunkt M parallel mit den Richtungen FE und FE' ziehen kann, heißen wegen der im folgenden § zu beweisenden Eigenschaft die Asymptoten der Hyperbel. Ihre Gleichungen find, wenn tj, bezw. V die zur Abscisse x gehörige Ordinate bezeichnet: ij = xtge und ij' = —xtge, oder da tge = yi—cose*: cose — ye*—1 = b : a ist, a ' a § 43. Man schneide die Scheiteltangenten durch den Kreis vom Durchmesser FF' in E, D, E', D' (wodurch z. B. AE = yME1—MA* — yc’-aJ — b wird), dann find DD' und EE' die im vorigen § als Asymptoten bezeichneten Geraben(tg Z A!HE=AE:MA=b :o). Zu der positiven Abscisse x(MQ) fon* struiere man den Hyperbelpunkt P mit der positiven Ordinate y und den Asymptotenpunkt H mit der positiven Ordinate y. Aus den Gleichungen o* y* — 6’ (x* — o1) “ und a*7]1 = bixt folgt dann, daß t]1—yt = b\ also t]—y = 6*:(i?+y) ist. Bewegt sich der Punkts auf der Hyperbel weiter, so daß y über jede gegebene Größe hinaus wächst, so wird die rechte Seite der Gleichung, also auch n—y oder

240 Koordinatenbegriff und Brundlehren von den Kegelschnitten. PU, kleiner als jede gegebene noch so kleine Strecke, erreicht aber

niemals den Wert Null. Die Hyperbel nähert sich also, weiter und weiter fortgesetzt, unbegrenzt ihren Asymptoten, ohne jedoch mit ihnen zusammenzufallen. § 44. Man ziehe zu den Asymptoten die Parallelen VP(v) und VP(u); dann ist A PUV DEld, und wenn BP bis zum Schnitt­ punkte G mit der zweiten Asymptote verlängert wird, auch GPU r^DEM. Daher ergibt sich u:(i?—y)=c:2b und v: (i?+y) = c:2b, also mit Rücksicht auf die Gleichung ij*—y’ = 6*: u.t> = \ct.

Für alle Punkte der Hyperbel ist also das Produkt der Parallelen zu den Asymptoten konstant. Auch der Flächeninhalt des Paral­ lelogramms MUPV ist infolgedessen konstant. (Denn derselbe ist — uvsin2e, also = f c’sin2e = |o6 = dem Rhombus, von dem MA eine Diagonale ist.) Die Abschnitte MU(u) und MV(t) können als die schiefwink­ ligen Koordinaten des Punktes P in Bezug aus die Asymptoten als schiefwinklige Koordinatenachsen angesehen werden, und die Gleichung uv —als die Gleichung der Hyperbel in Bezug aus diese Achsen. Nur für die gleichseitige Hyperbel (b — o) wird der Asymptoten­ winkel 2t ein Rechter, und ihre Gleichung in Bezug aus die Asym­ ptoten ist ut> = |o’. § 45. Eine Gerade schneide die Hyperbel in P und P' und die Asymptoten in R und S. Zieht also auch, wenn Z der Schnittpunkt

PP'; die Vierecke U'VRP' und WPS sind also Parallelogramme, mithin P'R = SP, und folglich auch PR = P'S. (Dasselbe findet statt, wenn P auf dem einen und der zweite Schnittpunkt P" auf dem anderen Hyperbelzweige liegt; nur fallen dann R' und S' zwischen P und ?".) Es gilt also der

Lehrsatz. Die Abschnitte einer Sekante (oder Sehne) zwischen der Hyperbel und ihren Asymptoten find einander gleich. (Hiernach kaffen fich sehr leicht beliebig viele Punkte der Hyperbel zeichnen, wenn ein Punkt der Hyperbel und ihre Asymptoten gegeben find; denn für jede durch /'gezogene und durch die Asymptoten begrenzte Gerade RS findet man einen Hyperbelpunkt P, indem man RP von S bis P abtrügt.) Folgerungen. 1) Der durch die Asymptoten begrenzte Ab­ schnitt einer Tangente wird durch den Berührungspunkt halbiert. (P und P fallen hier zusammen.) 2) Die Tangenten begrenzen mit den Asymptoten Dreiecke von konstantem Flächeninhalt (— 2uv«io2« = ab). 3) Die Halbierungspunkte paralleler Hyperbelsehnen liegen aus einer durch M gehenden Geraden. Denn fie fallen zusammen mit den Halbierungspunkten von Strecken, die den Sehnen parallel find und durch die Asymptoten begrenzt werden.

Anhang. Auf der Geraden XX, bewege fich ein Punkt P nach den durch die Gleichungen

x_ _ _ _ _ *— r ' 0 *r' x = at—b; x = l*—oH-6; x = t*—at+b; x = t*—al'+bP—c; x — at—6sin