Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe A [30. Aufl. des Stammbuches. Reprint 2018] 9783111497785, 9783111131610

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Dr. L. G. Mehler

Hauptsätze der Elementar-Mathematik neubearbcftet von A. Schulre-Tiggea, Direktor des Realgymnasiums zu Dassel.

Ausgabe A.

Hauptsätze der

Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. F. G. Mehler. Neubearbeitet von A. Schulre-Tigges, Direktor de- Realgymnasium- zu Dassel.

Ausgabe A. Dreißigste Auflage des Stammbuches. Mit

Figuren im £cpt und auf \ Tafel.

Berlin W. Jo Druck und Verlag von Georg Reimer

1918.

Vorwort. Herr F. G. Mehler, welcher als Mitglied unseres mathematischen Seminars Gelegenheit hatte, die Verteilung des Lehrstoffs zwischen meinem Herm Kollegen Dr. Luchterhand und mir auf unserem Gymnasium kennen zu lernen, hat sich bereitwillig der Mühe unterzogen, die Hauptsätze der Mathematik, welcher wir bei unserem Unterricht bedürfen, in einer unserm Zwecken mtsprechenden Weise zusammenzustellen. Wir wünschen ihm hiermit unseren Dank für seine Mühe auszusprechen, von -er wir den erheblichsten Nutzm für unser Gymnasium zu hoffen berechtigt find. Berlin, den 16. April 1859. Schellbach.

Aus der Vorrede zur achtzehnten Auflage. Wie aus dem Vorworte ersichtlich ist, verdankt das vorliegende Buch seine Entstehung einer von Professor Schellbach gegebenen Anregung. Nachdem es mir im Sommerhalbjahre 1858 vergönnt gewesen war, allen Unterrichtsstunden, welche der Meister seines Faches in den oberen Klaffen des Königlichen Friedrich-WilhelmsGymnafiums erteilte, beizuwohnen und so nicht nur die Endziele, bis zu welchen er seine Schüler führte, kennen zu Urnen, sondern auch die Art und Weise, wie er sie mit den Elementen der von ihm gelehrten Disziplinen bekannt machte, folgte ich gern seiner Auf­ forderung, die Elemente der Mathematik nach dem von ihm fest­ gestellten Plane und unter seiner Mitwirkung zu bearbeiten. Bei der ersten Auflage konnte es durch den Zweck, dem das Buch nach dem Vorworte zunächst dienen sollte, gerechtfertigt erscheinen, wenn es in einzelnen Abschnitten nur eine Zusammenstellung der Haupt-

sächlichsten Sätze ohne deren Begründung gab. Als es allmählich in immer weiteren Kreisen Beifall fand, erhieltm auch seine einzelnen Teile nach und nach eine annähernd gleichmäßige Ausführung. Der Beteiligung Schellbachs an -er Herstellung -er einzelnen Auflagen ist in den Vorreden zu denselben Erwähnung geschehen. Das dort Gesagte darf ich diesmal wohl kurz dahin zusammenfassen, daß er durch vielfältige Anregungen und zahlreiche Verbefferungsvorschlägc unablässig bemüht gewesen ist, das von ihm ins Leben gerufene Buch zu vervollkommnen, und es durch wertvolle eigene Beiträge (wie den »Anhang zur Trigonometrie", die »Elementare Entwicklung der ein­ fachsten transzendenten Funktionen" und den »Anhangs am Schluffe des Buches) bereichert hat. Die unveränderte geistige Frische, die noch vor zwei Jahren in den Briefen meines hochverehrten, damals bereits im 88sten Lebensjahre stehenden Lehrers sich kundgab, und die er sich bis zu seinem Lebensende bewahrte, ließ mich hoffen, -aß er mit seinem fteundschastlichen Rate mir noch länger zur Seite stehen werde; doch am 29. Mai 1892 entriß ein unerwarteter Tod den hochverdienten Mann seinen Angehörigen und seinen zahlreichen Freunden und Verehrern. Die vorliegende neue Auflage bin ich bestrebt gewesen in voller Übereinstimmung mit den neuen Lehrplänen zu gestalten, und doch, wie es wohl selbstverständlich ist, unter möglichst vollständiger Er­ haltung des bisherigen Charakters und Inhaltes des Buches. Es zeigte sich, daß nur wenige Abschnitte einer teilweisen und vorwiegend die Anordnung des Stoffes betreffenden Umarbeitung bedurften, und daß im übrigen den neuen Lehrausgaben durch Hinzusügung einiger Ergänzungen entsprochen werden konnte.......... Elbing, den 24. Januar 1894. F. G. Mehler.

Vorwort zur fünfundzwanzigsten Auflage. Bei der Neubearbeitung von Mehlers »Hauptsätzen der Elementar­ mathematik" sah sich der Herausgeber einer doppelt schwierigen Aus­ gabe gegenüber: Auf der einen Seite galt es, das Buch dm unabweislichen Forderungen neuzeitlicher Methodik und auch den amtlichen

Vorwort.

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Lehrplänen insbesondere der realistischen Anstalten anzupassen, ohne seine anerkannten Vorzüge zu beeinträchtigen; andererseits aber mußte Rücksicht genommen werden auf die außerordentlich weite Verbreitung des Leitfadens, und es schien nicht mehr als recht und billig, die Gefühle derer zu schonen, denen das Buch in seiner bisherigen Gestalt durch langjährigen Gebrauch lieb und wert geworden war. Beiden Ansprüchen in einem Buche gerecht zu werden, erwies sich im Laufe der Bearbeitung immer mehr als unmöglich, und so blieb nur übrig, das Stammbuch in einer ergänzten, sonst aber wenig veränderten Form (Ausgabe A) beizubehalten, während daneben eine völlig neue Ausgabe als Ausgabe B erscheinen soll. Diese letztere wird beit neueren Anschauungen über den Inhalt und die Methode deS mathematischen Unterrichts weitreichenden Spielraum gewähren und soll, mit hinreichendem Übungsstoff versehen, in Unter- und Oberstufe getrennt erscheinen, die letztere wiederum in drei Bändchen (I. Synthetische Geometrie der Kegelschnitte in engster Verbindung mit neuerer und darstellender Geometrie; II. Arithmetik, Trigonometrie, Stereometrie; III. Funktionale Geometrie (Graphische Darstellung von Funktionen, Analytische Geometrie der Ebene, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung). Von diesen Bändchen ist das erste, aus deffen Vorwort hiermit hingewiesen sei, bereits erschienen. Hinsichtlich des Umfangs wird die Ausgabe B sich nach den Bedürf­ nissen der realistischen Anstalten richten. Bei der vorliegenden Ausgabe A hingegen mußte die Forderung maßgebmd sein, die neue Auslage so zu gestalten, daß sie neben den älteren gebraucht werden könne. Demzufolge ist der bisherige Wort­ laut, von einzelnen unten näher bezeichneten Abschnitten abgesehen, möglichst unverändert beibehalten worden. Eine — für den Gebrauch neben den ftüheren Auflagen belanglose — Änderung wurde durch neuere sprachliche Anforderungen bedingt. So ist z. B. die Ver­ wendung der Wörter »welcher* und »derselbe* eingeschränkt, und es sind manche Fremdwörter wie Polygon, homolog, Resultat, Parallel­ epipedon durch die entsprechenden deutschen Ausdrücke ersetzt worden. Dagegen ist — unter Zusammenfassung der beiden bisherigen arith­ metischen Abschnitte und Absonderung der sphärischen Trigonometrie von der Stereometrie — die Bezifferung der Paragraphen, die durch die Einschiebungen der früherm Auslagen allmählich unzweckmäßig geworden war, durchweg neu und einheitlich geregelt wordm, wobei

VIII

Vorwort.

aber Me alten Paragraphenzahlen den neuen in Klammem hinzu» gefügt sind. Auch die Figuren find größtenteils erneuert und bet dieser Gelegenheit die Hülfslinien von den anderen durch Strichelung unterschieden worden. Von kleineren Hinzusügungen seien hervor­ gehoben: Umkehrungssätze vom Parallelogramm (I § 41, 42), geome­ trische fetter aus der Kreislehre (I §{62), Zusätze zu I § 74 und 75, andere Auslösung reziproker Gleichungen (II § 24, 26), andere Beweise für den Sinus- und Kofinussatz (HI § 7,8), andere Ableitung der Formel für den Inhalt des Pyramidenstumpss (IV § 27), Gleichungen der Ge­ raden durch einen und zwei Punkte (VI § 10), andere Ableitung der Ellipsengleichung (VI § 25), Tangentengleichungen (VI § 13,18,29, 38). An größeren Änderungen und Ergänzungen find zu vermerken: Der Beweis zu I § 115 (111) ist neu, und zwar weniger künstlich gestaltet worden. Zn der algebraischen Geometrie ist für die Be­ rechnung einzelner Dreiecksstücke ein anderer Ausgangspunkt gewählt worden, so daß man nicht unbedingt mehr nötig hat, aus die Berühmngskreise und die von ihnen gebildeten Abschnitte einzugehen. Eine nähere Aussühmng und Erweitemng ist der Zinseszins- und Rentenrechnung zuteil geworden; an eine etwas vereinfachte Ableitung des binomischen Satzes für positive ganze Exponenten schließt fich jetzt eine kurze Übersicht der Eigenschaften der Binomialkoeffizienten an. Auch die sphärische Trigonometrie hat in ihrem Aufbau eine Ver­ einfachung erfahren, indem zunächst die Formeln des rechtwinkligen Dreiecks und mit ihrer Hülfe der Sinus- und die beiden Kofinussätze entwickelt find. Es steht daher nunmehr frei — und das erscheint besonders wichtig für die Gymnasien —, mit der Ableitung dieser Formeln den theoretischen Teil der sphärischen Trigonometrie abzu­ schließen und sofort zu den Anwendungen überzugehen. Gänzlich neu find als den amtlichen Lehraufgaben der Gymnasien entsprechend die folgenden Abschnitte hinzugefügt: Wahrscheinlichkeitsrechnung, wieder­ holender Aufbau des arithmetischen Lehrgangs, Anleitung zum perspek­ tivischen Zeichnen räumlicher Gebilde (mit Ausgaben und einer Figurentasel), Anwendung der sphärischen Trigonometrie auf die mathematische Erd- und Himmelskunde. Alle im letzten Absatz erwähnten Änderungen und Ergänzungen haben außerdem Aufnahme gefunden in einem besonderen, für die Benutzer der früheren Auslagen bestimmten Ergänzungsheft, das demnach aus etwa 45 Seiten die nachstehenden Teile umfaßt:

1. Zur Lehre von den Kreispolaren; 2. Aus der algebraischen Geometrie: Berechnung einzelner Dreiecksstücke; 3. Zinseszins- und Rentenrechnung; 4. Wahrscheinlichkeitsrechnung; 5. Binomischer Satz für positive ganze Exponenten; 6. Wiederholender Ausbau des arithmetischen Lehrgangs; 7. Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde; 8. Sphärische Trigonometrie; 9. Anwendung der sphärischen Trigono­ metrie auf die mathematische Erd- und Himmelskunde. Dieses Ergänzungsheft ist zum Preise von M. —.40 zu haben und soll den Besitzem der vorangegangenen Auslagen deren Gebrauch neben der jetzigen ermöglichen. Es dürste sich aber auch jetzt schon als Ergänzung in den Klassen eignen, die noch durchweg im Besitz stüherer Auflagen find. Wie die Übersicht zeigt, kommen für den Gebrauch des Ergänzungshestes an den Gymnasien nur die oberen Klassen in Betracht. Infolge der vorstehenden Erweiterungen des Inhalts ließen sich Streichungen nicht vermeiden, wenn der Umfang des Buches nicht wesentlich über dm bisherigen hinausgehen sollte. Ausgeschieden ist besonders weniger Wichtiges aus arithmetischem Gebiet, ferner einzelne goniometrische Formeln, § 222 und 233 a, dazu einige Kegelschnitts­ sätze, insbesondere solche über zwei Tangenten. Selbstverständlich handelt es sich hier nur um Sätze und Abschnitte, durch deren Aus­ scheidung der Zusammenhang des Ganzen nicht leidet und die sich im Unterricht gleichwohl, wo sich das Bedürfnis zeigt, leicht wieder ein­ fügen lassen. Zu ganz besonderem Danke ist der Herausgeber Herm Profeffor Frenze! in Lauenburg i. P., der ihm die Ergebnisse langjähriger Erfahrung ftmndlichst zur Verfügung stellte, für seine wertvollen Ratschläge und Anregungen verpflichtet. Für die Mitteilung von Erfahmngen beim Gebrauch der neuen Auslage und Verbesserungs­ vorschläge würde der Unterzeichnete den Fachgenoffen stets dankbar sein, da es sein Wunsch ist, daß die Jubiläumsausgabe des »Mehler" dm vielen alten Freunden gefallen und sich neue hinzu erwerben möge Caffel, tot Dezember 1907. A. Schulte-Tigges.

Vorwort zur sechsundzwanzigsten und flebenundzwanzigsten Auflage. Me 27. Auflage ist wie die 26. ein fast ganz unveränderter Abdruck der vorhergehenden. Gestrichen sind nur in der Übersicht aus S. 153 die beim gewöhnlichen Rechnen nicht vorkommenden und daher künstlich erscheinenden Formen; auch wurde auf S. 224 noch eine zweite Definition des Stundenwinkels zugelassen. Zm übrigen sind nur eine Anzahl Druckfehler berichtigt worden. Cassel, im September 1909 und 1911. A. Schulte-Tigges.

Inhalt. Sette

I. Planimetrie. Einleitung...................................................................................... 1. Von den Winkeln und Parallelen...................................... 2. Von den geradlinigen Figuren.......................................... 3. Vom Kreise............................................................................... 4. Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren...................................................................................... 5. Von der Ähnlichkeit der Figuren......................................

28 35

6. Von den regelmäßigen Vielecken und der Ausmessung des Kreises............................................................................... 7. Erweiterung der Ähnlichkcitslehre......................................

44 49

1 2 7 21

8. Aufgaben aus der algebraischen Geometrie................... 68 II. Arithmetik mit Einschluß der Algebra und niederen Analysis. 1. Die vier Grundrechnungsarten......................................... 75 2. Potenzen und Wurzeln........................................................ 90 3. Proportionen............................................................................... 100 4. Gleichungen.....................................................•.......................103 5. Kettenbrüche............................................................................... 113 6. Logarithmen............................................................................... 122 7. Arithmetische und geometrische Reihen nebst Anwendungen 125 8. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung............... 137 9. Binomischer Satz....................................................................... 142 10. Anwendungen des binomischen SatzeS.................................. 147 11. Wiederholender Aufbau des arithmetischen Lehrgangs . 152 tn. Ebene Trigonometrie. Einleitung...................................................................................... 165

1. Die trigonometrischen Funktionen spitzer und stumpfer Winkel und die Auflösung ebener Dreiecke.............. 165 2. Die Kreisfunktionen (Goniometrie)..................... 176 IV. Stereometrie. 1. Von der Lage der Ebenen und Geraden imRaume . 186 2. Von den körperlichen Ecken............................... 190 3. Von den Polyedern...........................................193 4. Von dem Zylinder, dem Kegel undder Kugel .... 200 5. Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde....................................................................207 V. Sphärische Trigonometrie nebst Anwendung auf die mathematische Erd- und Himmelskunde. 1. Sphärische Trigonometrie.......................................... 213 2. Anwendung auf die mathem. Erd- und Himmelskunde 220 VI. Über den Koordinatenbegrisf und einige Grundlehren von den Kegelschnitten. 1. Bestimmung der Lage von Punkten in der Ebene . . 229 2. Darstellung von Linien durch Gleichungen. Gleichungs­ formen der Geraden und des Kreises......................... 233 3. Von der Parabel......................................................237 4. Von der Ellipse..................................................... 243 5. Von der Hyperbel..................................................... 252 Anhang......................................................................... 258 VII. Tafeln. Natürliche Logarithmen und astronomisch - geographische Konstanten.............................................................. 266 Quadrat- und Kubikzahlen und -wurzeln......................... 267 Vierstellige Briggische Logarithmen der Zahlen................. 268 Vierstellige Logarithmen der Sinus und Tangenten.... 270 Tafeln der natürlichen Sinus und Tangenten....................274 Die metrischen Maße und Gewichte..................................278 Die griechischen Buchstaben............................................. 280

Erster Teil: Planimetrie. Einleitung. § 1. ÜDer Raum ist nach allen Seiten ins Unendliche aus­ gedehnt. Der Raum ist. teilbar. Die gemeinschaftliche Grenze zweier Raumteile heißt Fläche. Ein allseitig durch Flächen begrenzter Teil -es Raumes heißt Körper. Die Flächen sind teilbar durch Linien die Linien durch Punkte. Der Punkt hat keine Ausdehnung. Durch Bewegung eines Punktes entsteht eine Linie. Eine Linie hat eine Ausdehnung, Länge. — Die gerade Linie ist -er kürzeste Weg zwischen zwei Punkten. Die durch zwei Punkte begrenzte gerade Linie heißt der Abstand oder die Entfernung der beiden Punkte. Eine gerade Linie kann nach zwei Seiten hin (nach zwei entgegengesetzten Richtungen) unendlich weit verlängert werden. Durch zwei Punkte läßt sich nur eine gerade Linie ziehen. Zwei verschiedene gerade Linien können daher nicht mehr als einen Punkt gemein haben. Eine unbegrenzt gedachte gerade Linie wird auch eine Gerade, eine an der einen Seite durch einen Punkt begrenzte gerade Linie ein Strahl, ein durch zwei Punkte begrenzter Teil einer Geraden eine Strecke genannt. Eine Linie heißt gebrochen, wenn sie aus geraden Teilen besteht, die zu verschiedenen Geraden gehören. Einte Linie heißt krumm, wenn kein Teil der­ selben gerade ist. Durch Bewegung einer Linie entsteht (im allgemeinen) eine Fläche. Die Flächen sind nach zwei Hauptrichtungen ausgedehnt, sie haben zwei Dimensionen, Länge und Breite. — Die ein­ fachste Fläche ist die Ebene. Die Ebene nimmt jede gerade Linie, die durch zwei ihrer Punkte geht, vollständig in sich auf. Mehler-Schultr-riggeS, Elmimtar-Mathemattk. 29. Aup.

Durch Bewegung einer Fläche entsteht (im allgemeinen) ein Körper. Die Körper haben drei Dimensionen, Länge, Breite und Dicke (oder Höhe). Zn besonderen Fällen kann die Bahn einer bewegten Linie wieder eine Linie und die Bahn einer bewegten Fläche wieder eine Fläche sein. Die Lehre von solchen geradlinigen und krummlinigen Gebilden, die in einer und derselben Ebene liegen, heißt ebene Geometrie oder Planimetrie; die Lehre von den Gebilden im Raume heißt körperliche Geometrie oder Stereometrie. § 2. Das einfachste krummlinige Gebilde, das die Planimetrie betrachtet, ist der Kreis. Ein Kreis entsteht, wenn eine Strecke sich um einen ihrer Endpunkte herumdreht, bis sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt. Die Strecke beschreibt alsdann die Kreisfläche, ihr sich bewegender Endpunkt die Kreislinie oder Peripherie. Der feste Punkt, um den die Strecke sich dreht, heißt Mittelpunkt oder Zentrum, der unveränderliche Abstand der Punkte der Peripherie vom Mittelpunkte heißt Radius oder Halbmesser des Kreises. Irgend ein Punkt der Ebene liegt innerhalb des Kreises, auf der Peripherie oder außerhalb des Kreises, je nachdem sein Abstand vom Mittelpunkte kleiner, ebenso groß oder größer als der Radius ist.

Erster Abschnitt. Von den Winkeln und Parallelen. § 3.

Erklärungen. 1) Ein Winkel (CAB. 2) Ist -$£BC>A, so läßt sich indirekt zeigen, daß AC^>BC tft. Wäre nämlich ACc), w2 = wc. CG — uv.

Verbindet man noch G mit B, so ist A GBC AFC, also CG: a = btwc oder wc.CG = a.b, folglich: Durch Einsetzung der für u und v gefundenen Werte ergibt sich hieraus:

... _ |/a6(a + 6 + c)(« + b—c)

c~

^T+l Aus ganz ähnliche Weise findet man: w'l=u’v' — ab; |/®6(—a-\- ft + c) (a—ö-s-o) a—b

B. Konstruktion algebraischer Ausdrücke. § 142 (121a). Die Länge einer gesuchten Strecke sei von den Längen gegebener Strecken abhängig, und diese Abhängigkeit sei durch eine algebraische Gleichung dargestellt, welche die Maßzahl x der ge­ suchten Strecke und die Maßzahlen a, b, c, . . der gegebenen Strecken mthält. Man kann sich dann die Aufgabe stellen, die Strecke, deren Maßzahl x ist, (oder, kürzer ausgedrückt, die Strecke x) aus den gegebenen Strecken (a, b, c, . .) zu konstruieren. Eine solche Aus­ gabe ist nur dann mittels Zirkels und Lineals lösbar, wenn jene Gleichung, nach x aufgelöst, für x einen Ausdruck liefert, der sich aus eine oder mehrere der folgenden Formen zurückführen läßt: 1) x — a-\-b. 2) x = a b. —

3) x = -^ (n eine gegebene ganze Zahl). 4) x = fä+b“.

5) x = \d>— b\

6) x =

7) x = ]/~^b.

In Aufgabe 1) wird eine Strecke gesucht, die der Summe, in 2) eine solche, die der Differenz zweier gegebenen Strecken gleich ist.

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Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.

Man erhält die gesuchte Strecke, indem man die Strecke a um b entweder verlängert oder verkürzt. In 3) wird eine Strecke gesucht, die dem roten Teile einer ge­ gebenen Strecke gleich ist. Diese Aufgabe ist in § 73, 3) gelöst. Zn Aufgabe 4) (a?=]/ö5+6ij ist x konstruierbar als die Hypo­ tenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten gleich a und b find. Der Ausdruck 5) (x — ya2—6a) bedeutet die zweite Kathete deS rechtwinkligen Dreiecks, dessen erste Kathete gleich b und dessen Hypotenuse gleich a ist. In 6) j ist x als die vierte Proportionale zu c, a und b, und in 7) (x — ]/ö6) ist x als die mittlere Proportionale zu * und b konstruierbar. § 143 (121b). Beispiele. 1) x = a + b — c. Auflösung. Konstruiere y = a + b und dann x = y— c. 2) ®==|/aI-(-52—c\ Konstruiere y — ]/a2 + bu und dann x = ]/s=S. 3) X —

Konstruiere -y=y und dann x=

4) x — ~\/abcd. Setzt man ab=yJ und cd — z\ so wird x — ~]/yz. Man hat also nacheinander zu a und b, c und d, y und z die mittleren Proportionalen (y, 2, x) zu konstruieren. 5)

#=]fö+b\ Es ist * = /«* («’ +

x = )jei)/0?+

•

oder

Man konstruiere nun zunächst b3:a = y

(als vierte Proportionale zu a, b und b oder mit Hülfe von § 90, 1) oder 2)), bann yör+y2 = z und schließlich x — ]/äz. 6) Aufgabe. Die Strecke AB(c) in X so zu teilen, daß AX'—BX* dem Quadrate der gegebenen Strecke q gleich ist. Analysis. Setzt man AX=x, also BX—c — x, so ist x1—(c — xY — q1, also 2cx — c*=q3,

Konstruktion. Man errichte auf AB das Lot BC=q, ziehe AC, errichte auf AC das Lot CD und halbiere AD in X; dann ist X der gesuchte Punkt. Beweis. Es ist AX = ^ AD = \{c + BD) und nach § 90, 2)

BD = £, also AX = i (* + -7-} Hieraus folgt nun leicht, daß BX= $ (c —

) und AX'— BX‘= q\

Determination. Je nachdem q kleiner, ebenso groß oder größer als c ist, fällt X zwischen A und B, auf B oder auf die Verlängerung von AB. In dem letzten dieser drei Fälle hat c—z einen negativen Wert. 7) Aufgabe. Die Strecke AB(c) in X so zu teilen, daß AX'+BX^q' wird. Auflösung. Aus a-'-f- (c—z)‘= q* findet man durch Rechnung: X

oder x

W(i)V(f)Hf)‘

Um diesen Ausdruck zu konstruieren, zeichne man die Mittelsenkrechte von AB, messe auf ihr die Strecke MD = iq und auf MA die Strecke M7= \q ab, beschreibe um A mit dem Radius CD einen Kreisbogen, der MD in F schneidet, und trage MF auf MB und MA bis X und X’ ab. Alsdann genügen die Punkte X und X’ der Aufgabe. Determination. Die Auflösung ist Fig. 112. unmöglich, wenn iq*