Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Mit einem Vorworte von Dr. Schellbach [18. Aufl. Reprint 2018] 9783111497105, 9783111130903

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Hauptsätze der

Elementar-Math ematik zum

Gebrauche an höheren Lehranstalten. Bearbeitet von

Dr. F. G. Mehler, Professor am Königlichen Gymnasium zu Elbing.

Mit einem Vorworte von

Professor am Königlichen Friedrich-Wilbelms-Gymnasium und an der Königlichen Kriegs-Akademie zu Berlin.

Achtzehnte Auflage.

Berlin. Druck und Verlag von Georg Reimer.

1894.

Vorwort. Herr F. G. Mehler, welcher als Mitglied unseres mathema­ tischen Seminars Gelegenheit hatte, zwischen

die Verteilung

des Lehrstoffs

meinem Herrn Kollegen Dr. Luchterhand

und mir auf

unserem Gymnasium kennen zu lernen, hat sich bereitwillig der Mühe unterzogen, die Hauptsätze der Mathematik, welche wir bei unserem Unterricht bedürfen, in einer unseren Zwecken entsprechenden Weise zusammenzustellen. Wir wünschen ihm hiermit unseren Dank für seine Mühe auszusprechen, von der wir den erheblichsten Nutzen für unser Gymnasium zu hoffen berechtigt sind. Berlin, den 16. April 1859.

Schellbach.

Vorrede zur achtzehnten Auflage. Wie aus dem Vorworte ersichtlich ist, verdankt das vorliegende Buch seine Entstehung Anregung.

einer von Professor Schellbach gegebenen

Nachdem es mir im Sommerhalbjahre 1858 vergönnt

gewesen war,

allen Unterrichtsstunden, welche der Meister seines

Faches in den oberen Klassen des Königlichen Friedrich-WilhelmsGymnasiums erteilte, beizuwohnen und so nicht nur die Endziele, bis zu welchen er seine Schüler führte, kennen zu lernen, sondern auch die Art und Weise, wie er sie mit den Elementen der von ihm gelehrten Disciplinen bekannt machte, forderung,

folgte ich gern seiner Auf­

die Elemente der Mathematik nach dem von ihm fest­

gestellten Plane und unter seiner Mitwirkung zu bearbeiten.

Bei

der ersten Auflage konnte es durch den Zweck, dem das Buch nach dem Vorworte zunächst dienen sollte, gerechtfertigt erscheinen, wenn

es in einzelnen Abschnitten nur eine Zusammenstellung der haupt­ sächlichsten Sätze ohne deren Begründung gab. Als es allmählich in immer weiteren Kreisen Beifall fand, erhielten auch seine einzelnen Teile nach und nach eine annähernd gleichmäßige Aussührnng. Der Beteiligung Schellbachs an der Herstellung der einzelnen Auflagen ist in den Vorreden zn denselben Erwähnung geschehen. Das dort Gesagte darf ich diesmal wohl kurz dahin zusammenfassen, daß er durch vielfältige Anregungen und zahlreiche Verbesserungsvorschläge unablässig bemüht gewesen ist, das von ihm ins Leben gerufene Buch zu vervollkommnen, und es durch wertvolle eigene Beiträge (wie den „Anhang zur Trigonometrie", die „Elementare Entwicklung der ein­ fachsten transcendenten Funktionen" und den „Anhang" am Schluffe des Buches) bereichert hat. Die unveränderte geistige Frische, die noch vor zwei Jahren in den Briefen meines hochverehrten, damals bereits im 88sten Lebensjahre stehenden Lehrers sich kundgab, und die er sich bis zu seinem Lebensende bewahrte, ließ mich hoffen, daß er mit seinem freundschaftlichen Rate mir noch länger zur Seite stehen werde; doch am 29sten Mai 1892 entriß ein unerwarteter Tod den hochverdienten Mann seinen Angehörigen und seinen zahlreichen Freunden und Verehrern. Die vorliegende neue Auflage bin ich bestrebt gewesen in voller Übereinstimmung mit den neuen Lehrplänen zn gestalten, und doch, wie es wohl selbstverständlich ist, unter möglichst vollständiger Er­ haltung des bisherigen Charakters und Inhaltes des Buches. Es zeigte sich, daß nur wenige Abschnitte einer teilweisen und vorwiegend die Anordnung des Stoffes betreffenden Umarbeitung bedurften, und daß im übrigen den neuen Lehrausgaben durch Hinzufügung einiger Ergänzungen entsprochen werden konnte. Die ersten vier Abschnitte der Planimetrie sind fast völlig un­ verändert geblieben; doch ist die Lehre vom Kreise vor den Abschnitt über Flächengleichheit gestellt, und in letzteren sind, in vereinfachter Darstellung, die wichtigsten Sätze über Flächenmessung aus dem sechsten Abschnitte der vorigen Auflage übernommen. Die wenigen übrigen Sätze dieses sechsten Abschnittes sind der Ähnlichkeitslehre eingefügt. Diese letztere ist in zwei von einander getrennte Teile zerlegt worden. In dem ersten Teile sind die Beweise einiger Sätze in einfacherer Form gegeben; außerdem habe ich mich bemüht,

durch eine etwas veränderte Gruppierung der Lehrsätze und Aufgaben den Schülern das Verständnis und die Aneignung des Pensums zu erleichtern. In dem darauf folgenden Abschnitte „Von den regel­ mäßigen Polygonen und der Ausmessung des Kreises" ist die Berech­ nung des Kreisumfanges in wesentlich vereinfachter Weise behandelt worden. In den zweiten, für die oberen Klassen bestimmten Teil der Ähnlichkeitslehre (Abschnitt VII) sind aus dem früheren fünften Abschnitte die Lehre von den harmonischen Punkten und Strahlen und die Lehre vom Ähnlichkeitspnnkt übergegangen. Es bot sich mir hier die willkommene Gelegenheit, weitere Anwendungen dieser Lehren und andere Ergänzungen hinzuzufügen, insbesondere auch solche, deren Behandlung in der Obersekunda der Realgymnasien durch die neuen Lehrpläne ausdrücklich vorgeschrieben wird. Der achte Abschnitt ist bis auf eine Kürzung in § 120 b unverändert geblieben. In der Algebra sind die positiven und negativen Zahlen nicht, wie früher, schon bei § 122, 3), sondern erst in § 122a eingeführt. Erhebliche Kürzungen des Inhaltes oder Änderungen der Darstellung sind nur in Abschnitt VII vorgenommen, kleinere fast nur in § 136 und § 128a. Auch der Abschnitt „Reihen und binomischer Satz" hat abgesehen von der Ausscheidung einiger entbehrlichen Entwick­ lungen seine frühere Gestalt behalten. In der Stereometrie ist, wie bisher, die Berechnung des Raum­ inhaltes (bezw. auch der Oberfläche) von Prisma, Pyramide, Cylinder, Kegel und Kugel in so einfacher Darstellung gegeben, daß die be­ treffenden Paragraphen sehr wohl für 'den stereometrischen Unterricht in der Untersekunda verwertet werden können. Auch der Abschnitt „Von der Lage der Ebenen und Geraden im Raume" beschränkt sich, wie früher, auf das Notwendige. In §210 erschien es erforderlich, den Definitionen, und in § 214 dem Beweise eine teilweise veränderte Fassung zu geben. Den Bestimmungen der Lehrpläne gemäß sind die trigonometri­ schen Funktionen spitzer Winkel jetzt am rechtwinkligen Dreieck defi­ niert; die Funktionen stumpfer Winkel werden (in § 160, 1—3) bereits beim gleichschenkligen Dreieck eingeführt, teils weil dieses die erste Gelegenheit dazu bietet, teils weil es dadurch möglich wurde, die Änderungen bei der bisherigen Behandlung der Auflösung be­ liebiger schiefwinkliger Dreiecke auf ein sehr geringes Maß zu be-

schränken; natürlich kann der Inhalt des erwähnten §, wenigstens am Gymnasium, erst in Obersekunda in Betracht kommen. Die allgemeine Lehre von den Kreisfunktionen (Goniometrie) ist jetzt an das Ende der Trigonometrie gestellt. Sie wird auch in ihrer jetzigen Stellung für die Weiterführung des trigonometrischen Unterrichts gute Dienste leisten und die Einführung in die Koordinatenlehre erleichtern. Entsprechend den neuen Lehraufgaben der Gymnasialprima ist dem Buche der neue Abschnitt „Über den Koordinatenbegriff und einige Grundlehren von den Kegelschnitten" hinzu­ gefügt. Aus Wunsch der Verlagshandlung mache ich darauf auf­ merksam, daß ein Separatabdruck dieses neuen Abschnittes, so wie auch des Abschnittes über Trigonometrie, von denjenigen Schülern, welche ältere Auflagen des Buches besitzen, in je einem besonderen Heftchen für den Ladenpreis von 20 Ps. bezogen werden kann. In dem größeren Teile des Buches ist es möglich gewesen, die bisherige Paragraphenbezeichnung unverändert aufrecht zu erhalten; wo es nicht geschehen konnte, sind die früheren Nummern den neuen in Parenthese hinzugesetzt. Elbing, den 24. Januar 1894. F. G. Mehler.

Inhalt. Planimetrie. I. Von den Winkeln und Parallellinien............................. II. Von den geradlinigen Figuren....................................... III. Vom Kreise........................................... ........................ IV. Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Fi­ guren ........................................................................ V. Von der Ähnlichkeit der Figuren................. VI. Von den regelmäßigen Polygonen und der Ausmessung des Kreises................................................................ VII. Erweiterung der Ähnlichkeitslehre................................... VIII. Aufgaben aus der algebraischen Geometrie...................... Algebra. I. Die vier Species............................................................. II. Potenzen und Wurzeln.................................................. III. Imaginäre Größen......................................................... IV. Umformung der Ausdrücke Vä±yt und ]/a±ib .... V. Proportionen................................................................ VI. Gleichungen.................................................................... VII. Kettenbrüche.................................................................... VIII. Logarithmen................................................................... IX. Zinseszins- und Rentenrechnung................................... Trigonometrie. I. Die trigonometrischen Funktionen spitzer und stumpfer Winkel und die Auflösung ebener Dreiecke............................ II. Die Kreisfunktionen (Goniometrie)......................... • • Anhang zur Trigonometrie............................................................ Reihen und binomischer Satz. I. Geometrische Reihen......................... II. Arithmetische Reihen und Anwendungen derselben auf die elementare Entwicklung der einfachsten transcendenten Funktionen................................................................ III. Kombinationen....................................... IV. Binomischer Satz............................................................. V. Anwendungen des binomischen Satzes............................

2 7 20 27 34 44 49 67 74 90 98 100 101 104 120 129 131

132 143 153 155 157 165 167 172

VIII

Inhalt.

Stereometrie. I. Von der Lage der Ebenen und Geraden im Raume. . . II. Von den körperlichen Ecken................................................ III. Von den Polyedern............................................................ IV. Von dem Cylinder, dem Kegel und der Kugel................ V. Sphärische Trigonometrie.................................................... Über den Koordinatenbegriff und einige Grundlehren von den Kegelschnitten.................................................................... Anhang............................................................................................................ Natürliche Logarithmen und astronomisch-geographische Konstanten.................................................................................... Quadrat- und Kubik-Zahlen und -Wurzeln................................ Vierstellige Briggische Logarithmen der Zahlen........................ Vierstellige Logarithmen der Sinus und Tangenten................ Tafeln der natürlichen Sinus, Sekanten und Tangenten . Die metrischen Maße und Gewichte.................................................... Die griechischen Buchstaben....................................................................

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Geometrie oder Raumlehre. § 1.

i)er Raum ist nach allen Seiten ins Unendliche aus-

gedehnt. Der Raum ist teilbar. Die gemeinschaftliche Grenze zweier Raumteile heißt Fläche. Ein allseitig durch Flächen begrenzter Teil des Raumes heißt Körper.

Die Flächen find teilbar durch Linien,

die Linien durch Punkte. Der Punkt hat keine Ausdehnung. Durch Bewegung eines Punktes entsteht eine Linie. Eine Linie hat eine Ausdehnung, Länge. — Die gerade Linie ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten.

Die durch zwei Punkte be­

grenzte gerade Linie heißt der Abstand oder die Entfernung der beiden Punkte. Eine gerade Linie kann nach zwei Seiten hin (nach zwei entgegengesetzten Richtungen) unendlich weit verlängert werden. Durch zwei Punkte läßt sich nur eine gerade Linie ziehen. Zwei verschiedene gerade Linien können daher nicht mehr als einen Punkt gemein haben.

Eine unbegrenzt gedachte gerade Linie wird auch

eine Gerade, ein durch zwei Punkte begrenzter Teil einer Geraden eine Strecke genannt. Eine Linie heißt gebrochen, wenn sie aus geraden Teilen besteht, die zu verschiedenen Geraden gehören. Linie heißt krumm, wenn kein Teil derselben gerade ist.

Eine

Durch Bewegung einer Linie entsteht (im allgemeinen) eine Fläche. Die Flächen sind nach zwei Hauptrichtungen ausgedehnt, sie haben zwei Dimensionen, Länge und Breite. — Die ein­ fachste Fläche ist die Ebene.

Die Ebene nimmt jede gerade Linie,

welche durch zwei ihrer Punkte geht, vollständig in sich aus. Durch Bewegung einer Fläche entsteht (im allgemeinen) ein Mehl er, Elementar-Mathematik.

18. Aust.

1

2

Planimetrie.

Körper. Die Körper haben drei Dimensionen, Länge, Breite und Dicke (oder Höhe). In besonderen Fällen kann die Bahn einer bewegten Linie wieder eine Linie und die Bahn einer bewegten Fläche wieder eine Fläche sein. Die Lehre von solchen geradlinigen und krummlinigen Gebilden, welche in einer und derselben Ebene liegen, heißt ebene Geometrie oder Planimetrie; die Lehre von den Gebilden int Raume heißt körperliche Geometrie oder Stereometrie.

Planimetrie. § 2. Das einfachste krummlinige Gebilde, welches die Plani­ metrie betrachtet, ist der Kreis. Ein Kreis entsteht, wenn eine Strecke sich um einen ihrer Endpunkte herumdreht, bis sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt. Die Strecke beschreibt alsdaun die Kreisfläche, ihr sich bewegender Endpunkt die Kreislinie oder Peripherie. Der feste Punkt, um den die Strecke sich dreht, heißt Mittelpunkt oder Centrum, der unveränderliche Abstand der Punkte der Peripherie vom Mittelpunkte heißt Radius oder Halb­ messer des Kreises. Irgend ein Punkt der Ebene liegt innerhalb des Kreises, aus der Peripherie oder außerhalb des Kreises, je nachdem sein Abstand vom Mittelpunkte kleiner, ebenso groß oder größer als der Radius ist. Erster Abschnitt.

Von den Winkeln und Parallellinien. § 3. Erklärungen. 1) Ein Winkel (Z.) wird gebildet durch zwei gerade Linien, die von demselben Punkte ausgehen; die beiden Linien heißen die Schen­ kel, ihr Ausgangspunkt der Scheitel des Winkels. Der Winkel, dessen Scheitel A, und dessen Schenkel AB und AC sind, wird durch BAC oder CAB oder auch nur durch A oder durch einen zwischen die Schenkel gesetzten

Von den Winkeln und Parallellinien.

Z

kleinen Buchstaben (z. B. x) bezeichnet. Die Größe eines Winkels ist unabhängig von der Länge der Schenkel. 2) Zwei Winkel sind gleich, wenn sie sich so auseinanderlegen lassen, daß ihre Schenkel sich decken. 3) Ein Winkel entsteht, wenn eine in einem Punkte A begrenzte gerade Linie sich um diesen Punkt von einer bestimmten Lage AB ausgehend dreht. Irgend ein Punkt der geraden Linie, B, beschreibt hierbei einen Kreisbogen, und wenn die gerade Linie sich um zwei gleiche Winkel BAF und FAG gedreht hat, so sind auch die von B durchlaufenen Bogen BF und FG gleich, weil, wenn man die glei­ chen Winkel aufeinanderlegt, auch die Bogen zur Deckung kommen. Da der ganze so entstandene Winkel BAG aus den gleichen Teilen BAF und FAG zusammengesetzt ist, so ist er doppelt so groß als der Winkel BAF, und auch der zugehörige Bogen BG ist doppelt so groß als der Bogen BF. Ebenso gehört auch zu einem dreimal so großen Winkel ein dreimal so großer Bogen u. s. w. Man teilt die ganze Kreislinie in 360 gleiche Teile, welche man Bogengrade nennt; die zugehörigen Winkel heißen Winkelgrade. Jeden Grad (°), sowohl den Bogengrad als auch den Winkelgrad, teilt man in 60 Minuten('), jede Minute in 60 Sekunden ("). Jeder Winkel enthält also ebenso viele Grade, Minuten und Sekunden als der zu­ gehörige Kreisbogen. 4) Ein Winkel (BAC), dessen Schenkel (AB und AC) in die entgegengesetzten Richtungen einer Geraden fallen, heißt ein ge­ streckter oder flacher Winkel. Der zugehörige Bogen ist ein Halbkreis und enthält also 180° oder 10800' oder 648000"; der ganze Kreis enthält 1296000". 5) Die Hälfte eines gestreck­ ten Winkels heißt ein Rechter (fi.). — Alle gestreckten und folg­ lich auch alle rechten Winkel sind einander gleich. — Ist von den vier Winkeln, welche zwei gerade Linien (BC und DE) bilden, einer ein Rechter, so sind es auch die übrigen.

6) Wenn zwei gerade Linien sich unter rechten Winkeln durch­ schneiden, so sagt man, sie stehen auf einander senkrecht (4.), oder die eine ist ein Lot (Perpendikel) auf der anderen. 7) Ein Winkel, welcher kleiner als ein gestreckter oder zwei Rechte ist, heißt ein hohler (konkaver), und zwar heißt er spitz, wenn er kleiner als ein Rechter, stumpf, wenn er größer ist. Ein Winkel, der größer als ein gestreckter ist, heißt ein überstumpfer oder erhabener (konvexer). — Die spitzen und stumpfen Winkel werden, im Gegensatz zum Rechten, schiefe Winkel genannt. 8) Wenn zwei Winkel zusammen zwei Rechte betragen, so heißt der eine das Supplement des anderen. Betragen zwei Winkel zusammen einen Rechten, so heißt der eine das Komplement des anderen. 9) Zwei Winkel heißen Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemein haben und die anderen Schenkel in die entgegengesetzten Rich­ tungen einer und derselben Geraden fallen. — Scheitelwinkel heißen zwei Winkel, wenn die Schenkel des einen die Verlängerungen der Schenkel des anderen sind.

_ B

§ 4. Lehrsatz. Nebenwinkel betragen zusammen zwei Rechte. Beweis. Es ist: Z BAC-hDAC= BAD; aber Z BAD ist ein gestreckter, oder Z.BAD = 2R. Mithin ist auch: Z BAC-hDAC=2R.

§5. Lehrsatz. Scheitelwinkel sind einander gleich. / Beweis. Die Scheitelwinkel a und c haben beide den Winkel b zum Nebenwinkel. Also ist sowohl a-hb = 2R als auch c+6 = 2fi. Zwei \a/ d)\b Größen aber, die derselben dritten gleich sind, sind einander gleich. Daher ist a+6 = BC, und es sei zu zeigen, daß die Differenz von AC und BC kleiner ist als AB. Die Seite AC ist kleiner als die Summe der beiden anderen, d. h.: AC ZA = B. Folglich ist A ACD^L BCD nach §22, und daher AC = BC.

Von den geradlinigen Figuren.

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Folgerungen. 1) Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich und jeder von ihnen — fß = 60°. Umgekehrt: Ein Dreieck mit drei gleichen Winkeln ist gleichseitig. 2) Im rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck ist jeder der bei­ den spitzen Wirke! — HK — 45°. § 24. Lehrsatz. 1) Der größeren von zwei Seiten eines Dreiecks liegt auch der größere Winkel und 2) dem größeren von zwei Winkeln liegt auch die größere Seite gegenüber. Beweis. 1) Wenn AC > BC voraus­ gesetzt wird, so soll bewiesen werden, daß Z.CBA> CAB. Man schneide von der grö­ ßeren Seite AC ein Stück CD ab, welches der kleineren Seite BC gleich ist, und ver­ binde D mit B, so ist Z CBD — CDB nach § 23, 1); aber Z CDB > CAB nach § 18, folglich auch Z CBD > CAB. Aber Z CBD ist nur ein Teil von Z CBA; demnach ist um so mehr Z CBA > CAB. 2) Ist Z B > A, so läßt sich indirekt zeigen, daß AC> BC ist. Wäre nämlich AC < BC, so müßte nach dem ersten Teil des Satzes auch BcA sein, und wäre AC=BC, so wäre nach § 23, 1) auch B A. Beides widerspricht der Voraussetzung. Daher ist not­ wendig AC>BC. —

§ 25. Folgerungen. 1) Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber. 2) Dem größten Winkel liegt die größte Seite gegenüber. Die größte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist also die Hypotenuse. 3) Der der kleineren von zwei Seiten gegenüberliegende Winkel ist stets ein spitzer. 4) Die der größten Seite anliegenden Winkel sind beide spitz. Anmerkung. Von allen Strecken, die einen Punkt mit einer Geraden verbinden, ist die auf ihr senkrechte die kürzeste. Unter dem Abstande oder der Entfernung eines Punktes und einer Geraden versteht man daher das von dem Punkte aus die Gerade gefällte Lot. § 26. Dritter Kongruenzsatz. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in den drei Seiten.

Beweis. Voraussetzung ist. daß AB=DE, AC=DF,

BC=EF. Man lege A ABC mit der größten Seite. AB, an die ihr gleiche Seite DE des A DEF, so daß es in die Lage DEG kommt. Die an der Seite DE liegenden vier Winkel sind nach § 25, 4) sämtlich spitz;

daher ist sowohl Z.FDG als auch FEG


AFB nach § 18, Folg.) Alle Dreiecke über derselben Grundlinie und mit gleichem Winkel an der Spitze sind also einem bestimmten Kreisabschnitte, der die Grundlinie zur Sehne hat, eingeschrieben. — Alle rechtwinkligen Dreiecke über derselben Hypotenuse sind dem Halb­ kreis über der Hypotenuse eingeschrieben. 4) Zu gleichen Bogen desselben Kreises oder gleicher Kreise ge­ hören gleiche Peripheriewinkel, und umgekehrt: zu gleichen Peripherie­ winkeln gehören gleiche Bogen. § 55 (65). Lehrsätze. 1) In jedem einem Kreise eingeschriebe­ nen Vierecke (Kreisvierecke) beträgt die Summe zweier gegenüberliegenden Winkel zwei Rechte. Beweis. Zieht man die Radien MB und MD, so ist /-A =%x, C—iy, also A-hC = i(x-hy). Aber x+y — 4R, folglich A+C — 2 ß.

2) Beträgt in einem Vierecke die Summe zweier gegenüberliegen­ den Winkel zwei Rechte, so läßt sich um dasselbe ein Kreis beschreiben.

§ 56 (66). Lehrsatz. Der Tangentenwinkel ist gleich dem Peri pheriewinkel int entgegengesetzten Kreisabschnitte. Beweis. Um zu zeigen, daß der den klei­ neren Kreisabschnitt einschließende Tangenten­ winkel CAB(x) gleich ist irgend einem der Pe­ ripheriewinkel in dem entgegengesetzten Kreis­ abschnitte, zeichne man denjenigen derselben, z, dessen einer Schenkel, AF, durch den Mittel­ punkt geht. Dann ist AABF = R (§ 54, 2), also auch yA-z=R. Aber y-\-x—R (§ 52,1); mithin yA-x — y+z; oder x — z. Ferner ist auch der Tangenten­ winkel DAB gleich dem Peripheriewinkel AGB, weil Z.DAB = 2R—x (§4) und /-AGB—2R—z (§55, 1). §57 (67). Lehrsätze. Wenn zwei Kreise sich schneiden, so liegen die beiden Durchschnittspunkte symmetrisch zu beiden Seiten der Ver­ bindungslinie ihrer Mittelpunkte (der Centrale), d. h. der zweite Durchschnittspunkt kann erhalten werden, wenn man aus dem ersten auf die Centrale ein Lot fällt und dieses um sich selbst verlängert. Haben daher zwei Kreise einen Punkt auf der Centrale oder deren Verlängerung gemein, so haben sie nur diesen einen gemein, sie be­ rühren sich; und umgekehrt: berühren sich zwei Kreise, so geht die Centrale durch den Berührungspunkt. — Hieraus und durch un­ mittelbare Anschauung ergeben sich folgende Sätze: 1) Liegen zwei Kreise außerhalb einander, so ist die Centrale größer als die Summe der Radien. 2) Berühren sich zwei Kreise von außen, so ist die Centrale gleich der Summe der Radien. 3) Schneiden sich zwei Kreise, so ist die Centrale kleiner als die Summe und größer als die Differenz der Radien (§ 14). 4) Berühren sich zwei Kreise von innen, so ist die Centrale gleich der Differenz der Radien. 5) Liegt ein Kreis ganz innerhalb eines andern, so ist die Centrale kleiner als die Differenz der Radien. Diese Sätze gelten auch umgekehrt und werden dann im all­ gemeinen indirekt bewiesen. § 58 (68). Aufgabe. Um ein Dreieck einen Kreis zu beschreiben. Die Auflösung ist enthalten in § 50.

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Planimetrie.

Anmerkungen. 1) Die drei Mittelsenkrechten (der Seiten) eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkte. 2) Auch die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkte. — Denn zieht man durch die Ecken Parallele zu den gegen­ überliegenden Seiten, so sind die Höhen des gegebenen die Mittel­ senkrechten des umgeschriebenen Dreiecks. § 59 (69). Ausgabe. An einen Kreis von einem außerhalb gelegenen Punkte Tangenten zu ziehen. Auflösung. Man verbinde den ge­ gebenen Punkt A mit M, halbiere AM in B, beschreibe aus B mit BM einen Kreis und verbinde die Punkte C und D, in denen dieser den gegebenen schneidet, mit A, so sind AC und AD die ver­ langten Tangenten. Beweis. AC steht senkrecht auf MC nach § 54, 2) und be­ rührt daher den Kreis nach § 52. Anmerkung. Die beiden von einem Punkte an einen Kreis gezogenen Tangenten sind gleich, und ihr Winkel wird durch die Ver­ bindungslinie ihres Durchschnittspunktes mit dem Mittelpunkt hal­ biert. (Beweis: AAMC^AMD nad) § 27, also AC = AD uni) /LCAM = DAM.) § 60 (70). Ausgabe. In ein Dreieck einen Kreis zu beschreiben. Auslösung. Man halbiere zwei Winkel des Dreiecks, z. B. B und C. Der Punkt M, in welchem die Halbierungslinien sich schnei­ den, ist der Mittelpunkt und das von M auf eine Seite (z. B. BC) gefällte Lot (MD) der Radius des zu konstruierenden Kreises. Beweis. Fällt man noch die Lote ME und MF, so ist (weil nach 30a, 3) jeder Punkt der Halbierungslinie eines Winkels von den Schenkeln desselben gleiche Entfernungen hat) MD = ME und MD = MF. Der aus M mit MD beschriebene Kreis geht somit auch durch E und F, und dieser Kreis berührt die Seiten des Dreiecks in D, E und F nach § 52. Anmerkungen. 1) Die Halbierungslinien der drei Winkel

eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkte, dem Mittelpunkte des eingeschriebenen Kreises (§59. Anm.). 2) Die Halbierungslinien eines Winkels und der beiden Außenwinkel an der gegenüberliegenden Seite schnei­ den sich ebenfalls in einem Punkte, dem Mittelpunkte eines äußeren Be­ rührungskreises, d.h. eines Kreises, welcher eine Seite des Dreiecks von außen, die beiden anderen in ihren Ver­ längerungen berührt. §61 (71). Aufgabe. Ueber einer Strecke als Sehne einen Kreisbogen zu zeichnen, welcher einen gegebenen Winkel als Peri­ pheriewinkel faßt. Auflösung. Man lege an AB einen dem gegebenen gleichen Winkel BAC, errichte in A ein Lot auf AC, und in D, der Mitte von AB, ein Lot auf AB, und beschreibe aus dem Durch­ schnittspunkte beider, M, mit MA einen Kreis­ bogen, so ist jeder auf AB ruhende Peripherie­ winkel, z. B. AFB und AGB, dem gegebenen Winkel gleich nach §56. Vierter Abschnitt.

Von der Gleichheit und Ausmessung der gerad­ linigen Figuren. A.

Flächengleichheit.

§ 62 (48). Bemerkung. In jedem Parallelogramme und Drei­ ecke kann man irgend eine Seite als Grundlinie bezeichnen, und man nennt dann Höhe das von einem Punkte der Gegenseite, oder der gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks, auf die Grundlinie gefällte Lot. — Parallelogramme, sowie Dreiecke, von gleicher Höhe lassen sich zwischen dieselben Parallelen stellen. §63 (49). Lehrsatz. Parallelogramme (und ebenso Dreiecke) von gleicher Grundlinie und Höhe haben gleichen Flächeninhalt.

Beweis. Man denke sich die Parallelogramme aus einer und derselben Grundlinie ruhend und zwischen dieselben Parallelen gestellt; sie seien ABDC und ABFE. Da AC — BD, Z. ACE — BDF, Z AEC = BFD, so ist AAEC^BFD,

folglich: ABFC— AEC — ABFC—BFD,

das heißt: ABFE — ABDC.

Der Beweis bleibt derselbe, wenn E auf D oder zwischen D und C fällt. — Werden die Diagonalen CB und EB gezogen, so sind die Dreiecke ABC und ABE gleich, weil sie die Hälften der beiden glei­ chen Parallelogramme ABDC und ABFE sind. Zusätze. 1) Ein Dreieck ist die Hälfte eines Parallelogramms von gleicher Grundlinie und Höhe. (A ABC = 1 ABFE.)

2) Flächengleiche Dreiecke von gleicher Grundlinie haben gleiche Höhe. Der geometrische Ort für die Spitzen aller flächengleichen Dreiecke über derselben Grundlinie ist also eine der Grundlinie parallele Gerade. §64 (50). Lehrsatz. Zieht man durch einen Punkt einer Dia­ gonale eines Parallelogramms Parallele zu den Seiten, so haben die von der Diagonale nicht durchschnittenen Parallelogramme gleichen Flächeninhalt. (Ergänzungsparallelogramme.) Beweis. A ADC^ ADB, ^

L

1

AAME^LAMG, ADMH^DMF,

folglich: ADC—AME—DMH = ADB—AEG—DMF,

das heißt: EMHC — GBFM.

§65(51). Lehrsatz. Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten. (Pythagoreischer Lehrsatz.) Beweis. Man verbinde die Ecken I und F der über den Ka­ theten AC und BC gezeichneten Quadrate und lege an die Seite ED

Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren.

29

des dritten Quadrats ein ABC kongruentes Dreieck EDL (in welchem EL = AC), so entstehen zwei Sechs­ ecke, CADLEB und HABGFI. Diese werden durch die Diagonalen CL und HG in zwei Paare von Vierecken ge­ teilt, welche nach § 47 a, 1) alle ein­ ander kongruent find, weil sie in drei Seiten und den beiden eingeschlossenen Winkeln übereinstimmen. Daher ha­ ben die Sechsecke gleichen Flächen­ inhalt. Nimmt man nun vom ersten die Dreiecke ABC und EDL und vom zweiten die ebenso großen Dreiecke ABC und IFC fort, so bleibt: ABED = AC1H-+-BCFG,

oder, wenn das Quadrat über irgend einer Strecke AB durch 4ß2 bezeichnet wird: Zß2 = Äc2+ßc2.

§ 66 (52). Erklärung. Projektion einer Strecke auf eine Gerade nennt man den Ab­ stand der Fußpunkte der von den Endpunkten der Strecke aus die Gerade gefällten Lote. (A'B', CD', E'F' sind die Pro­ jektionen von AB, CD, EF auf LM, wenn AA', BB', DD', EE', FF auf LM senkrecht stehen.) §67 (53). Lehrsatz. Im recht­ winkligen Dreiecke ist das Quadrat über einer Kathete gleich dem Recht­ eck aus ihrer Projektion aus die Hypo­ tenuse und der ganzen Hypotenuse. Beweis. (5§ fei CH j_ AB, also AH die Projektion von AC aus AB, so soll bewiesen werden, daß das Quadrat über AC gleich dem Rechteck aus AH und AB, das heißt, wenn CH bis zur gegenüberliegenden Seite des Hypote-

Planimetrie.

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nusenquadrats verlängert wird, daß ACDE — AHGF.

Man ziehe

BE und CF, so ist AEAB^LCAF (weil EA = CA, AB = AF, ZEAB — CAF). Aber weil jedes Dreieck die Hälfte eines Parallelo­ gramms ist, mit dem es aus derselben Grundlinie und zwischen den­ selben Parallelen liegt, so ist A EAB=\ACDE und A CAF—% AHGF. Mithin ist ACDE Zusatz. satzes.

=

AHGF.

Euklidischer Beweis des Pythagoreischen Lehr­

Es ist AB2 — AHGF-fBHGJ.

Aber, wie eben bewiesen, ist

AHGF=IC3, und ebenso BHGJ = BC\ folglich: Iß2 = IC3+BCJ. §68 (54).

Lehrsätze.

1) Projiziert man zwei Dreiecksseiten

auf einander, so sind die Rechtecke aus je einer Seite und der Pro­ jektion der anderen auf dieselbe einander gleich. 2) Das Quadrat über einer Seite, die einem spitzen (resp. stumpfen) Winkel eines Dreiecks gegenüberliegt, ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten vermindert (resp. vermehrt) um das doppelte Rechteck aus der einen der letzteren und der Projektion der anderen auf dieselbe.

(Allgemeiner Pythagoreischer Lehrsatz.)

F

Beweis.

1) Es sei CL j_ AB und AN j_ BC, also BL die

Projektion von BC aus BA und BN die Projektion von BA auf BC; dann (soll bewiesen werden, daß das Rechteck cut§ BA und BL gleich dem aus BC und BN ist.

Verlängert man CL und AN, bis sie die

gegenüberliegenden Seiten der an BA und BC gezeichneten Quadrate schneiden, so soll man also beweisen, daß Rechteck BLME gleich BNOG. Zieht man nun CE und AG, so ist AEBC^LABG (§20);

aber

A EBC = $BLME und A ABG = %-BNOG, also BLME = BNOG. — Ebenso folgt, daß CNOF = CPQ.I und ABQH = ALMD ist.

Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren.

31

2) Wendet man für die sechs Rechtecke die Bezeichnungen an: X = BLME, Y = CNOF, Z = APQH, X' = BNOG, Y' = CPQJ, Z' = ALMD,

so ist X = X',

Y= Y', Z = Z',

und es ergiebt sich: a) für die Seite AB des spitzwinkligen Dreiecks ABC: AB2 -= X+Z' = X'-hZ = (BC2— Y)-h(ÄC2— Y'), d. h.: ÄB2 = BC2A-ÄC2—2Y= BC2-+-ÄC2—2Y'. b) Im stumpfwinkligen Dreiecke ABC ist: «) für die dem stumpfen Winkel ACB gegenüberliegende Seite: AB* = X+Z' = X'-hZ = (BC2-h Y)+(ÄC8+ Y'X d. h.: ÄB2 = ~BC2+ÄC2-h2Y = BC2+JC2-Y2Y'; ß) für die dem spitzen Winkel ABC gegenüberliegende Seite: ÄC2 = Z — Y' = Z — Y = (ÄB’—X^CX'—BC2), d. h.: ÄC2 = ÄB2+BC2-2X = ÄB2+BC2-2X\

Zusatz. Ist das Quadrat einer Dreiecksseite ebenso groß (größer oder kleiner) als die Summe der Quadrate der beiden anderen, so ist der gegenüberliegende Winkel ein rechter (stumpfer oder spitzer). § 69 (55). Aufgabe. Ein Quadrat zu zeichnen, welches der Summe zweier gegebenen Quadrate gleich ist. Auflösung. Man konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck, welches die Seiten der gegebenen Quadrate zu Katheten hat. Die Hypo­ tenuse ist die Seite des gesuchten Quadrats (§ 65). §70 (56). Aufgabe. Ein Quadrat zu zeichnen, welches der Differenz zweier gegebenen Quadrate gleich ist. Auflösung. Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, dessen Hypotenuse der Seite des größeren und dessen eine Kathete der Seite des kleineren Quadrats gleich ist. Die andere Kathete ist die Seite des gesuchten Quadrats. §71 (57). 1) Erklärung. Eine Figur in eine andere ver­ wandeln heißt eine andere ihr an Flächeninhalt gleiche konstruieren. 2) Ausgabe. Ein Polygon in ein anderes zu verwandeln, welches eine Seite weniger hat. Auflösung. Soll zum Beispiel das Fünfeck ABCDE in ein

32

Planimetrie.

Viereck verwandelt werden, so verlängere man eine Seite AB, ziehe die Diagonale DB, dann CF || DB und verbinde F mit D, so leistet das Viereck AFDE der Auf­ gabe Genüge. Beweis. Es ist ADBF=DBC nach § 63. Legt man nun diese Dreiecke einzeln zu dem Vierecke ABDE hinzu, so folgt: AFDE = ABCDE. Anmerkung. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens kann man jedes Polygon in ein Dreieck verwandeln. — Die Verwandlung eines Polygons in ein Quadrat erfordert noch die Lösung der folgenden beiden Ausgaben: 1) Ein Dreieck in ein Rechteck zu verwandeln. (Auflösung: Man zeichne über der Hälfte der Grundlinie des Dreiecks ein Rechteck, das mit dem Dreiecke gleiche Höhe hat.) 2) Ein Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln. Auslösung: Man verlängere die kleinere Seite AB des Recht­ ecks ABDC bis E, so daß AE = AC, beschreibe über AE einen Halbkreis, der BD in F schneidet, so ist AF die Seite des gesuchten Quadrats. Beweis. ift AAFE = B mul §54, 2), also AF1 gleich dem Rechteck aus AB und AE oder aus AB und AC nach § 67.

B.

Flächenmessung.

§72 (99—103). 1) Bemerkung. Als Flächeneinheit dient ein Quadrat, dessen Seite der Längeneinheit gleich ist. Die Zahl, welche angiebt, wie oft die Flächeneinheit in der Fläche einer Figur enthalten ist, wird die Jnhaltszahl oder, in abgekürzter Ausdrucks­ weise, der Inhalt der Figur genannt. 2) Lehrsatz. Die Jnhaltszahl eines Rechtecks ist gleich dem Produkte der Maßzahlen von Grundlinie und Höhe. (Oder kürzer: Der Inhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkte aus Grundlinie und Höhe.)

33

Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren.

B eweis. Die Maßzahlen der Grundlinie und Höhe seien a und 6. Sind nun a und b ganze Zahlen, so läßt sich die Längeneinheit auf der Grundlinie amal, aus der Höhe 6mal abtragen, und durch Parallele, die man durch die Teilpunkte zu den Seiten zieht, wird das Rechteck in a.b Quadrate, deren Seiten der Längeneinheit gleich find, geteilt. Die Jnhaltszahl des Rechtecks ist also gleich a.b. Sind aber a und b gebrochene Zahlen, so kann man fie auf den­ selben Nenner bringen und daher a = -^-, b —^ setzen, wo «, ß, n ganze Zahlen sind. Es läßt sich dann der «te Teil der Längeneinheit

|ober, kürzer ausgedrückt, die Strecke

aus zwei anstoßenden Seiten

des Rechtecks und des Quadrates über der Längeneinheit bezw. «mal, ßmal, «mal abtragen, und durch Parallele wird das Rechteck in a.ß, das Quadrat über der Längeneinheit in «.« Quadrate von der Seite geteilt. Die Flächeneinheit ist also in der Fläche des Rechtecks so oft enthalten, wie die Zahl «.« in der Zahl a.ß. Die Jnhalts­

~

zahl des Rechtecks ist also

=

das heißt

—

a.b.

3) Folgerungen. Der Inhalt eines Quadrates von Seite a ist gleich a"; der Inhalt eines Parallelogramms der Grundlinie g und Höhe h gleich g.h (§63 und §72,2); Inhalt eines Dreiecks —%g.k= der Hälfte des Produktes Grundlinie und Höhe (§ 63, Zus. 1), der InP halt eines Paralleltrapezes =£(a+Z>).A — dem Produkte aus der halben Summe a der Grundlinien und der Höhe. (Denn: ^ ABCD= AABC-+- CDA = $a.h+$b.h.)

der von der aus

*

4) Zusatz. Parallelogramme, so wie Dreiecke, von gleicher Grund­ linie (oder Höhe) verhalten sich wie die Höhen (oder Grundlinien). 5) Lehrsatz. Der Inhalt eines einem D Kreise umgeschriebenen Polygons ist gleich dem Produkte aus seinem halben Umfange und dem Radius des Kreises. (Z. B. Viereck ABCD = AABM+BCM+CDM-t-DAM = %AB.q -A-^BC.q^CD.q + ^DA.q = §(AB-hBC -hCD-hDA).Q.) Mehl er, Elementar-Mathematik. 18. Au fl.

34

Planimetrie.

Fünfter Abschnitt.

Von der Ähnlichkeit der Figuren. §73 (73,3; 72). 1) Erklärung. Gerade Linien, welche sich in demselben Punkte schneiden, heißen Strahlen (bilden ein Strah­ lenbüschel). Ihr Schnittpunkt heißt der Scheitel oder Mittel­ punkt der Strahlen oder des Büschels. 2) Lehrsatz. Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten und find zwei Abschnitte des einen gleich, so sind auch die entspre­ chenden des anderen gleich. Beweis. Es sei AA' || BB' || CC || DD' und AB = CD; be­ hauptet wird, daß dann auch A'B' = C'D'. Zieht man A'F und CG || AD, so ist nach § 39,2) AB = A’F und CD=C'G, also A'F=CG. Ferner ist Z.B'A'F= D'C'G und Z. A'B'F = C'D'G, also AA'B'F^L C'D'G, mithin = C'D'. (Setzt man überdies voraus, es sei MA — AB, so beweist man leicht, daß AMA'A^L A'B'F, also MA' = A'B' ist.) 3) Ausgabe. Eine gegebene Strecke in eine gegebene Anzahl gleicher Teile zu teilen. Auslösung. Soll z. B. die Strecke AB in fünf gleiche Teile geteilt werden, so trage man auf einem von A aus gezogenen Strahle eine beliebig lange Strecke e fünfmal hinter einander ab, verbinde den Endpunkt mit B und ziehe durch die Teilpunkte Parallele zu der Verbindungslinie, so treffen diese die Strecke AB in den gesuchten Teilpunkten C, D, E, F. (§73, 2.) §74. Lehrsatz. Werden zwei Strahlen von Parallelen ge­ schnitten, so verhalten sich a) die Abschnitte des einen wie die entsprechenden des anderen (oder je zwei entsprechende Abschnitte haben dasselbe Verhältnis);

Von der Ähnlichkeit der Figuren.

35

b) die Abschnitte der Parallelen wie die durch den Scheitel be­ grenzten Abschnitte eines Strahles. Beweis, a) Die sich in M schneidenden Strahlen werden von den Parallelen AA', BB', CC, .. geschnitten; bewiesen soll z. B. werden, daß AB:BM = A'B'-.B'M. Es mögen sich die Abschnitte AB und BM wie zwei ganze Zahlen p und g ver­ halten (z. B. wie die Zahlen 3 und 2); dann läßt sich ein und dasselbe Maß auf AB ptnal (z. B. 3mal) und auf BM -mal (z. B. 2mal) abtragen, und es entstehen dann auf dem Strahle AM p+g ein­ ander gleiche Abschnitte. Zieht man nun durch die Teilpunkte Parallele zu AA', so entstehen nach § 73, 2) auf A'M ebenso viele gleiche Abschnitte, und zwar kommen von diesen p auf A'B' und g aus B'M. Daher ist: W = f- Es ist aber auch AB A'B' . . UM = W ’ unb

.

imm$

folglich,

1QO

..

auch (§ 132, a, 3):

AB

BM ■

Ebenso läßt sich beweisen, daß AM _ A'M BM — B'M ' a)

AM _ A'M MC ~ MC '

AB _ A'B' MC ~ MC U‘ '' W

b) Zieht man BE\\ B’A', so ergiebt sich durch Anwendung von auf die Strahlen AA! und AM: AA' _ AM EA' — BM

Aber EA' = BB' (§39, 2), also:

AA' BB'

AM BM '

§75. Lehrsatz. Zwei Gerade sind parallel, wenn sie die Schenkel eines Winkels so schneiden, daß die Abschnitte des einen Schenkels sich wie die entsprechenden des andern verhalten. Beweis. Vorausgesetzt wird, daß AM: BM = A'M: B'M, be­ hauptet, daß AA' und BB' parallel sind. Wäre nicht BB', sondern die davon verschiedene Gerade BF || AA', so wäre nach § 74 a) AM: BM = A'M: FM, also auch A'M : B'M = A'M: FM, d. h. B'M = FM, was unmöglich. Daher ist BB' || AA'. §76. Lehrsatz. Werden zwei Parallele von einem Strahlen3*

36

Planimetrie.

büschel geschnitten, so haben je zwei entsprechende Abschnitte der Par­ allelen dasselbe Verhältnis (oder es verhalten sich die Abschnitte der einen wie die entsprechenden der anderen). Beweis. Nach §74b) ist AB A'B'

BM BC BM und B'C B'M’ B’M AB BC mithin A'B' B'C oder AB A'B' BC B'C Ähnlich folgt, daß AB: A’B' = CD : CD' oder AB: CD = A'B': CD' u. s. w. § 77 (87). Aufgabe. Zu drei gegebenen Strecken a, b, c die vierte Proportionale (d. h. das vierte Glied x der Proportion a.- b = c:x) zu konstruieren.

Auslösung. Man trage auf dem einen Schenkel eines Winkels AB=a, BC—b und auf dem anderen AD=c ab, ziehe BD und hierzu aus C die Parallele CE, so ist nach § 74 a) DE die verlangte Strecke. § 78 (73,1). 1) Erklärung. Eine Strecke wird durch jeden aus ihr selbst liegenden Punkt innen, durch jeden Punkt ihrer Ver­ längerungen außen geteilt; die Abstände des Teilpunktes von den Endpunkten heißen ihre Abschnitte. 2) Aufgabe. Die Abschnitte einer nach einem gegebenen Ver­ hältnisse (p: g) geteilten Strecke AB(c) zu berechnen. Auflösung. Für den in-----JE A'- ------------ C'- --- '- ------- 5— neren Teilpunkt C ist AC+BC — c und AC: BC = p : q. Hieraus folgt: AC=

cp

BC=

cq

p-t-g p+g Der äußere Teilpunkt D liegt, wenn p> g, auf der Verlängerung von AB über B hinaus, und aus AD — BD = c und AD :BD = p:q findet man: AD:

cp p—q

BD-

cq

p—q

Ist aber p folglich nach §75 DF\\AB, also nach

§81,3) A ABC^DFC.

Aber ADFC^LA'B'C nach §20, mithin

A ABC ^ A'B'C.

§83 (79). Zweiter Ähnlichkeitssatz. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen zwei Winkeln des anderen gleich sind. Beweis. Es sei Z.C—C und A = A'. Man mache CD = C’A' und ziehe DF\\AB, so ist A ABC DFC. Nun ist Z.D = A, also auch D = A'; folglich ist A DFC ^ A'B'C' (§21), und daher A ABC A'B'C. §84 (80). Dritter Ähnlichkeitssatz. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn die drei Seiten des einen denen des anderen pro­ portioniert sind. m .0 t .AB AC BC ™ Beweis. fet = -jtQi = gif» • Man mache, me tn §82, DC = A'C, FC— B'C. Dann ist und A ABC(-> DFC. Nun ist aber ferner:

= ^, aIf° DFWAB

AR AB AC AB AC . AB und folglich ~ = A'B' ; DC’ 0ber DF DF A'C ' mithin DF= A'B'; also ADFC^ A'B'C' (§26); demnach A ABC --- A'B'C'.

§85(81). Vierter Ähnlichkeitssatz. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Seiten des einen zwei Seiten des anderen pro­ portioniert und die der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel gleich sind.

40

Planimetrie.

Beweis.

fei BC>AC,

, A=A'. Macht man

-^r = ^r^r

wiederum DC=A'C und FC=B'C, so ist wie vorhin DF\\AB, also AABCf^ DFC, und ferner ZB A und folglich D — A'. Hieraus folgt: DFC^A'B'C (§27), mithin A ABC A'B'C. § 86 (105). Lehrsatz. Zwei Dreiecke, die einen Winkel gleich haben, verhalten sich wie die Produkte der diesen Winkel ein« schließenden Seiten. Beweis. Es seien die Dreiecke ABC und ADE mit dem gemeinschaftlichen Winkel A A gegeben, und es sei EC gezogen, so ist nach § 72, 4) —

ABC _ AB AEC ~ AE 3

AEC _ AC ADE ~ AD

'

und hieraus folgt durch Multiplikation: ABC AB.AC ADE AD.AE

§87 (106). Lehrsatz. Ähnliche Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate homologer Seiten. Beweis. Ist A ABC

Zusatz. Ist a »mal so groß als a„ also auch b = n.bl, c — n.ct, so ist AABC = n\A1BtCl. § 88 (107). Lehrsatz. Ähnliche Polygone verhalten sich wie die Quadrate homo­ loger Seiten. Beweis. Es seien z.B. die ähnlichen Fünfecke *' und A1BlC1DlE1 gegeben. Durch die Diagonalen aus ,R

den Ecken A und A, werden sie, wie leicht zu zeigen, in ähnliche Dreiecke zerlegt. Ist nun a = n.a1, so ist nach § 87, Zus.: AABC=n\A1B,C1, ACD = n\A1ClD„ ADE = n\AlDiEl.

Hieraus folgt durch Addition: ABCDE = n1.AlBlCiDlE1, oder ABCDE a2 62 A1B1CIDlEl — o* ~ bl

§89 (83). Erklärung. Eine Strecke c heißt die mittlere (geometrische) Proportionale zu zwei anderen a und b, wenn a:c = c:b oder c* — a.b (das Quadrat der Strecke c gleich dem Produkte der Strecken a und b) ist. (Vergl. § 132 c.) § 90 (84). Lehrsatz. Im rechtwinkligen Dreiecke ist 1) jede Kathete die mittlere Proportionale zu ihrer Projektion aus die Hypo­ tenuse und der ganzen Hypotenuse, 2) die Höhe zur Hypotenuse die mittlere Proportionale zu den beiden Abschnitten der Hypotenuse. Beweis. Ist ZACB = Bunb CD±AB, so ist A ACD ABC nach 8 83 (ZA = A, Z.ADC=ACB = R), daher: 4 7)

1)

AH

-Jc~ = ^b

ebenso A BCD Di)

(°^x AC* = AD.AB);

BAC; daher: j>n

(ober BC>=BD.BA); ferner auch A ACD /,, M3 und M2, M3. Hieraus folgt, daß die Ähnlichkeitsachse Ä3 A2 A3 der drei gegebenen Kreise die Potenzlinie der Kreise X und Y ist. Die Potenzlinie zu X und M3 ist dieITangente B,2 D2, und die Potenzlinie zu Y und M2 ist die Tangente.'^ D2. Der Tangentenschnittpunkt D2 liegt also auf At A2 A3.

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.

67

Die Berührungspunkte ß2 und C, sind die Pole der Geraden ß2 Z>2 und C2 Z>2 in Bezug auf den Kreis JI/2 und müssen also (nach § 111, 6 b)) mit dem Pole Q2 der Geraden A, A2 A3 in Bezug auf denselben Kreis in gerader Linie liegen. Für jede der Sehnen B, C„ ß2 C2, ß3 C3 ist jetzt also auch ein zweiter Punkt bekannt, durch den sie gehen muß, der Pol von A, A2 A3 in Bezug auf den zugehörigen Kreis. Hieraus ergiebt sich die Konstruktion: Man bestimme den Potenzpunkt P der gegebenen Kreise und die Pole £>,, (?2, Qs der Ähnlichkeitsachse A, A2 A3 in Bezug aus die Kreise. Durch die Geraden PQt,PQ2,PQ3 werden dann die Kreise in den gesuchten Berührungspunkten B,, ß,, ß3 und C\, C,2, C3 geschnitten. Bemerkung. Haben die gegebenen Kreise eine solche Lage, daß sie durch jeden der beiden Kreise X und Y von außen oder durch jeden von innen berührt werden, so ist der Potenzpunkt P nicht innerer, sondern äußerer Aehnlichkeitspunkt zu den Kreisen X und Y. b) Man erhält die drei übrigen Paare von Berührungskreisen, indem man auch für jede der drei inneren Aehnlichkeitsachsen Al ,/2 J3, A2 J, J3, A3 J, Jt ihre Pole in Bezug auf die gegebenen Kreise be­ stimmt.

Achter Abschnitt.

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie. A. Berechnung einzelner Dreiecksstücke. § 120a. Von dem Dreiecke ABOseien gegeben die dreiSeiten: BC — a, AC = b, AB = c. Es sollen berechnet werden: 1) Die durch dieBerührungspunkte mit den vier Berührungskreisen gebilde­ ten Abschnitte der Seiten. Der eingeschriebene Kreis (JV) berühre die Seiten in D, E, Ej F. Je zwei an derselben Ecke liegende Abschnitte sind (nach § 59, Anm.) gleich; die Summe von drei an verschiedenen Ecken 5*

liegenden Abschnitten ist also gleich betn halben Umfange des Dreiecks. Setzt man zur Abkürzung ^(a+6+c) = s, so ist folglich: AF+ BD-*rCD = s, oder AF+a = s. Also: AE = AF = s—a oder — |(6+c—a) BF= BD = s—b oder =£(

, , _ ab folgl'ch 2r=hr r—

abc 2 A’ abc 4]/s(s—o)(s — 6)(s—c)

abc

abc che

4A § 120b. Folgerungen. Da nach § 120a. 2) QQc = (s—a)(s—6) und QaQb = s(s — c) ist, so folgt aus der Jnhaltssormel in § 120a. 3): 1)

A = |/QQaQbQc-

Da ferner A =q.s und q.s = qc(s—c) ist, so gelten die Gleichun­ gen: A = qs = Qa(s—a) = Qb(s—6) = Qc(s—c). Also ist: 0.

A

A

Q

Qa

,

A

A

Qb

Qc

Nun ist: (s—o) + (s—b) + (s—c) — s. Es ergiebt sich also: 3)

— +— Qa

Qb

• Qc

Q

Ferner findet man: A

A

.

.

,11c

-----------=s—(s—c) — c, oder---------- = —T—: Q Qc Q Qc A ,,

1

1

2

Q

Qc

’lc

..1,1 Qa

Multipliziert man diese Gleichungen bezw. mit addiert sie dann, so folgt: Qc- ■Q+Qa + Qb

Qb f)Qc

^-(QQc+QaQb)-

also:

2 hc

und

QaQb

und

Nun ist aber QQc+QaQb=(s-aXs—b)-\-s(s — c)=2s'2—(a-\-b-i-c)s+ab=ab,

oder, da nach § 120a, 4) ab = 2rhc ist, 5)

QQcA-QaQb

— 2rhc,

also:

Qa+Qb-hQc—Q = 4r.

Berechnung der Höhenseg­ mente (d. h. der aus einer Seite c durch die /\ zugehörige Höhe gebildeten Abschnitte p und g). In den Dreiecken BDC und ADC ist p2+A2 = «2 und g2+A2 = b2, also p2—g2—a2—62, ober(p+g)(p—g)—a2—62. 9 D P Zur Bestimmung von p und q hat man nun die Gleichungen p+g = c und p—g = (a2—b2): c. Also wird: § 120c.

c

Anmerkung. Es ist vorausgesetzt worden, daß die an c liegenden Winkel A und B spitz sind. Wenn Z A stumpf ist, so fällt D auf die Verlängerung von BA, und es gelten dann die Gleichungen: p—g = c und p+g = (o2—62) : c. §120d. Berechnung der Mittellinien (ta, tb,