Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe A. [25. Aufl. Reprint 2018] 9783111646053, 9783111262970

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Dr. L. G. tNehler

Hauptsätze der Elementarmathematik Vleubearbeitet von A. Schulte-Tiggev, Direktor de- Realgymnasiums zu Rassel.

Ausgabe A.

Hauptsätze der

Elementar-A?athematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. S. G. Mchler. tttiibcarbtit« von 2t. Schulke-TiAges, Direktor de- Realgymnasiums zu Rastel.

Ausgabe A. Fünfundzwanzigste Auflage des Stammbuches.

Berlin W. 35 Druck und Verlag von Georg Reimer

1908.

Vorwort. Herr F. G. Mehler, welcher als Mitglied unseres mathematischen Seminars Gelegenheit hatte, die Verteilung des Lehrstoffs zwischen meinem Herrn Kollegen Dr. Luchterhand und mir auf unserem Gymnasium kennen zu lernen, hat sich bereitwillig der Mühe unter» zogen, die Hauptsätze der Mathematik, welcher wir bei unserem Unterricht bedürfen, in einer unseren Zwecken entsprechenden Weise zusammenzustellen. Wir wünschen ihm hiermit unseren Dank für seine Mühe auszusprechen, von der wir den erheblichsten Nutzen für unser Gymnasium zu hoffen berechtigt find. Berlin, den 16. April 1859.

Schellbach.

Aus der Vorrede zur achtzehnten Auflage. Wie aus dem Vorworte ersichtlich ist, verdankt das vorliegende Buch seine Entstehung einer von Professor Schellbach gegebenen Anregung. Nachdem es mir im Sommerhalbjahre 1858 vergönnt gewesen war, allen Unterrichtsstunden, welche der Meister seines Faches in den oberen Klassen des Königlichen Friedrich-WilhelmsGymnasiums erteilte, beizuwohnen und so nicht nur die Endziele, bis zu welchen er seine Schüler führte, kennen zu lernen, sondem auch die Art und Weise, wie er sie mit den Elementen der von ihm gelehrten Disziplinen bekannt machte, folgte ich gern seiner Auf­ forderung, die Elemente der Mathematik nach dem von ihm fest­ gestellten Plane und unter seiner Mitwirkung zu bearbeiten. Bei der ersten Auflage konnte es durch den Zweck, dem das Buch nach dem Vorworte zunächst dienen sollte, gerechtfertigt erscheinen, wenn es in einzelnen Abschnitten nur eine Zusammenstellung der Haupt-

Vorwort.

VI sächlichsten Sätze ohne

deren Begründung gab.

Als

es allmählich

in immer weiteren Kreisen Beifall fand, erhieltm auch seine einzelnen Teile nach und nach eine annähernd gleichmäßige Ausführung.

Der

Beteiligung Schellbachs an der Herstellung der einzelnen Auflagen ist in den Vorreden zu denselben Erwähnung geschehen. Gesagte darf ich durch

Das dort

diesmal wohl kurz dahin zusammenfaffen, daß er

vielfältige Anregungen und

zahlreiche Verbefferungsvorschläge

unablässig bemüht gewesen ist, das von ihm ins Leben gerufene Buch zu vervollkommnen, und es durch wertvolle eigene Beiträge (wie den »Anhang zur Trigonometrie", die »Elementare Entwicklung der ein­ fachsten transzendenten Funktionen" und den »Anhang" am Schluffe des Buches)

bereichert hat.

Die unveränderte geistige Frische, die

noch vor zwei Jahren in den Briefen meines hochverehrten, damals bereits im 88sten Lebensjahre stehenden Lehrers sich kundgab, und die er sich bis zu seinem Lebensende bewahrte, ließ mich hoffen, daß er mit seinem fteundfchaftlichen Rate mir noch länger zur Seite stehen werde;

doch

hochverdienten

am *29. Mai 1892 Mann

seinen

entriß ein unerwarteter Tod

Angehörigen

und

seinen

den

zahlreichen

Freunden und Verehrern. Die vorliegende neue Auflage bin ich bestrebt gewesen in voller Übereinstimmung mit den neuen Lehrplänen zu gestalten, und doch, wie es

wohl selbstverständlich ist, unter möglichst

haltung des bisherigen Charakters

und Inhaltes

vollständiger Er­ des Buches.

Es

zeigte sich, daß nur wenige Abschnitte einer teilweisen und vorwiegend die Anordnung des Stoffes betreffenden Umarbeitung bedurften, und -aß im übrigen den neuen Lehraufgaben durch Hinzufügung einiger Ergänzungen entsprochen werden konnte............... Elbing, den 24. Januar 1894.

F. G. Mehler.

Vorwort zur fünfundzwanzigsten Auflage. Bei der Neubearbeitung von Mehlers mathematik"

Hauptsätzen der Elementar­

sah sich der Herausgeber einer doppelt schwierigen Auf­

gabe gegenüber:

Auf der einen Seite galt es, das Buch den unab-

weislichen Forderungen neuzeitlicher Methodik und auch den amtlichen

Borwort.

VII

Lehrplänen insbesondere der realistischen Anstalten anzupaffen, ohne seine anerkannten Vorzüge zu beeinträchtigen; andererseits aber mußte Rücksicht genommen werden auf die außerordentlich weite Verbreitung -es Leitfadens, und es schien nicht mehr als recht und billig, die Gefühle derer zu schonen, denen das Buch in seiner bisherigen Gestalt durch langjährigen Gebrauch lieb und wert geworden war. Beiden Ansprüchen in einem Buche gerecht zu werden, erwies sich im Laufe -er Bearbeitung immer mehr als unmöglich, und so blieb nur übrig, das Stammbuch in einer ergänzten, sonst aber wenig veränderten Form (Ausgabe A) beizubehalten, während daneben eine völlig neue Ausgabe als Ausgabe B erscheinen soll. Diese letztere wird den neueren Anschauungen über den Inhalt und die Methode des mathematischen Unterrichts weitreichenden Spielraum gewähren und soll, mit hinreichendem Übungsstoff versehen, in Unter- und Oberstufe getrennt erscheinen, die letztere wiederum in drei Bändchen (I. Synthetische Geometrie der Kegelschnitte in engster Verbindung mit neuerer und darstellender Geometrie; II. Arithmetik, Trigonometrie, Stereometrie; III. Funktionale Geometrie (Graphische Darstellung von Funktionen, Analytische Geometrie der Ebene, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung). Von diesen Bändchen ist das erste, aus dessen Vorwort hiermit hingewiesen sei, bereits erschienen. Hinsichtlich des Umfangs wird die Ausgabe B sich nach den Bedürf­ nissen der realistischen Anstalten richten. Bei der vorliegenden Ausgabe A hingegen mußte die Forderung maßgebend sein, die neue Auflage so zu gestalten, daß sie neben den älteren gebraucht werden könne. Demzufolge ist der bisherige Wort­ laut, von einzelnen unten näher bezeichneten Abschnitten abgesehen, möglichst unverändert beibehalten worden. Eine — für den Gebrauch neben den ftüheren Auflagen belanglose — Änderung wurde durch neuere sprachliche Anforderungen bedingt. So ist z. B. die Ver­ wendung der Wörter .welcher" und .derselbe" eingeschräntt, und es sind manche Fremdwörter wie Polygon, homolog, Resultat, Parallel­ epipedon durch die entsprechenden deutschen Ausdrücke ersetzt worden. Dagegen ist — unter Zusammenfassung der beiden bisherigen arith­ metischen Abschnitte und Absonderung der sphärischen Trigonometrie von der Stereometrie — die Bezifferung der Paragraphen, die durch die Einschiebungen der ftüheren Auflagen allmählich unzweckmäßig geworden war, durchweg neu und einheitlich geregelt worden, wobei

VIII

Vorwort.

aber die alten Paragraphenzahlen den neuen in Klammern hinzu,ugefügt find. Auch die Figuren sind größtenteils erneuert und briet dieser Gelegenheit die Hülsslinien von den anderen durch Strichelungig unterschieden worden. Von kleineren Hinzufügungen seien hervor-rgehoben: Umkehrungssäße vom Parallelogramm (I § 41, 42), geome-etrische Örter aus der Kreislehre (I § 62), Zusätze zu I § 74 und 75,5, andere Auflösung reziproker Gleichungen (II § 24, 26), andere Beweisese für den Sinus- und Kosinussatz (III § 7,8), andere Ableitung der Formelel für den Inhalt des Pyramidenstumpfs (IV § 27), Gleichungen der Ge-eraden durch einen und zwei Punkte (VI § 10), andere Ableitung derer Ellipsengleichung (VI § 25), Tangentengleichungen (VI § 13,18,29, 38).). An größeren Änderungen und Ergänzungen find zu vermerken:!: Der Beweis zu I § 115 (111) ist neu, und zwar weniger künstlichch gestaltet worden. In der algebraischen Geometrie ist für die Be-:rechnung einzelner Dreiecksstücke ein anderer Ausgangspunkt gewähltlt worden, so daß man nicht unbedingt mehr nötig hat, auf die Be-rührungskreise und die von ihnen gebildeten Abschnitte einzugehen.!. Eine nähere Ausführung und Erweiterung ist der Zinseszins- undd Rentenrechnung zuteil geworden; an eine etwas vereinfachte Ableitung g des binomischen Satzes für positive ganze Exponenten schließt sich jetzt t eine kurze Übersicht der Eigenschaften der Binomialkoeffizienten an.. Auch die sphärische Trigonometrie hat in ihrem Aufbau eine Ver-einfachung erfahren, indem zunächst die Formeln des rechtwinkligen l Dreiecks und mit ihrer Hülfe der Sinus- und die beiden Kosinussätze e entwickelt find. Es steht daher nunmehr frei — und das erscheint t besonders wichtig für die Gymnasien —, mit der Ableitung dieser r Formeln den theoretischen Teil der sphärischen Trigonometrie abzu-schließen und sofort zu den Anwendungen überzugehen. Gänzlich neu i find als den amtlichen Lehraufgaben der Gymnasien entsprechend die: folgenden Abschnitte hinzugefügt: Wahrscheinlichkeitsrechnung, wieder-holender Aufbau des arithmetischen Lehrgangs, Anleitung zum perspek- livischen Zeichnen räumlicher Gebilde (mit Aufgaben und einer Figuren-; tafel), Anwendung der sphärischen Trigonometrie auf die mathematische Erd- und Himmelskunde. Alle im letzten Absatz erwähnten Änderungen und Ergänzungen! haben außerdem Aufnahme gefunden in einem besonderen, für bic Benutzer der früheren Auflagen bestimmten Ergänzungsheft, das demnach auf etwa 45 Seiten die nachstehenden Teile umfaßt:

IX

Vorwort.

1. Zur Lehre von den Kreispolaren; 2. Aus der algebraischen Geometrie: Berechnung einzelner Dreiecksstücke; 3. Zinseszins- und Rentenrechnung; 4. Wahrscheinlichkeitsrechnung; 5. Binomischer Saß für positive ganze Exponenten; 6. Wiederholender Aufbau des arithmetischen Lehrgangs; 7. Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde; 8. Sphärische Trigonometrie; 9. Anwendung der sphärischen Trigono­ metrie auf die mathemathische Erd- und Himmelskunde. Dieses Ergänzungsheft ist zum Preise von M. —.40 zu haben und soll den Befitzem der vorangegangenen Auflagen deren Gebrauch neben der jetzigen ermöglichen. Es dürfte sich aber auch jetzt schon als Ergänzung in den Klassen eignen, die noch durchweg im Besitz früherer Auflagen find. Wie die Übersicht zeigt, kommen für den Gebrauch des Ergänzungshestes an den Gymnasien nur die oberen Klaffen in Betracht. Infolge der vorstehenden Erweiterungen des Inhalts ließen sich Streichungen nicht vermeiden, wenn der Umfang des Buches nicht wesentlich über den bisherigen hinausgehen sollte. Ausgeschieden ist besonders weniger Wichtiges aus arithmetischem Gebiet, ferner einzelne goniometrische Formeln, § 222 und 233a, dazu einige Kegelschnitts­ sätze, insbesondere solche über zwei Tangenten. Selbstverständlich handelt es sich hier nur um Sätze und Abschnitte, durch derm Aus­ scheidung der Zusammenhang des Ganzen nicht leidet und die sich im Unterricht gleichwohl, wo sich das Bedürfnis zeigt, leicht wieder ein­ fügen lassen. Zu ganz besonderem Danke ist der Herausgeber Herrn Professor Frenze! in Lauenburg i. P., der ihm die Ergebnisse langjähriger Erfahrung freundlichst zur Verfügung stellte, für seine wettvollen Ratschläge und Anregungen verpflichtet. Für die Mitteilung von Erfahrungen beim Gebrauch der neuen Auflage und VerbesserungsVorschläge würde der Unterzeichnete den Fachgenoffen stets dankbar sein, da cs sein Wunsch ist, daß die Jubiläumsausgabe des ,Mehlett den vielen alten Freunden gefallen und sich neue hinzu erwerben möge. Cassel, im Dezember 1907. A. Schulte-Tigges.

Mehler-Schulte-rigge-, Elementar-Mathematik.

26.

Stuft

Inhalt. a«tte

I. Planimetrie. 1 Einleitung.................................................................. 1. Von den Winkeln und Parallelen............................. 2 2. Von den geradlinigen Figuren................................ 7 3. Vom Kreise............................................................ 21 4. Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren.................................................................. 28 5. Von der Ähnlichkeit der Figuren............................. 35 6. Von den regelmäßigen Vielecken und der Ausmessung des Kreises............................................................ 44 7. Erweiterung der Ähnlichkeitslehre............................. 49 8. Aufgaben aus der algebraischen Geometrie............... 68 II. Arithmetik mit Einschluß der Algebra und niederen Analysis. 1. Die vier Grundrechnungsarten................................ 75 2. Potenzen und Wurzeln........................................... 90 3. Proportionen............................................................ 100 4. Gleichungen........................................... 103 5. Kettenbrüche............................................................ 113 6. Logarithmen............................................................ 122 7. Arithmetische und geometrische Reihen nebstAnwendungen 125 8. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung............... 137 9. Binomischer Saß.......................................................142 10. Anwendungen des binomischen Satzes.......................... 147 11. Wiederholender Aufbau des arithmetischen Lehrgangs . 152 III. Ebene Trigonometrie. Einleitung.................................................................. 165

1. Die trigonometrischen Funktionen spitzer und stumpfer Winkel und die Auflösung ebener Dreiecke........... 165 2. Die Kreisfunktionen (Goniometrie)....................... 176 IV. Stereometrie. 1. Von der Lage der Ebenen und Geraden imRaume . 186 2. Von den körperlichen Ecken.................................. 190 3. Von den Polyedern.............................................. 193 4. Von dem Zylinder, dem Kegel und der Kugel .... 200 5. Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde............................................................... 207 V. Sphärische Trigonometrie nebst Anwendung auf die mathematische Erd- und Himmelskunde. 1. Sphärische Trigonometrie..................................... 213 2. Anwendung auf die mathem. Erd- und Himmelskunde 220 VI. Über den Koordinatenbegrisf und einige Grund­ lehren von den Kegelschnitten. 1. Bestimmung der Lage von Punkten in der Ebene . . 229 2. Darstellung von Linien durch Gleichungen. Gleichungs­ formen der Geraden und des Kreises..........................233 3. Von der Parabel...................................................... 237 4. Von der Ellipse...................................................... 243 5. Von der Hyperbel...................................................... 252 Anhang.......................................................................... 258 VII. Tafeln. Natürliche Logarithmen und astronomisch - geographische Konstanten............................................................... 266 Quadrat- und Kubikzahlen und -wurzeln..........................267 Vierstellige Briggische Logarithmen der Zahlen................. 268 Vierstellige Logarithmen der Sinus und Tangenten.... 270 Tafeln der natürlichen Sinus und Tangenten.................... 274 Die metrischen Maße und Gewichte.................................. 278 Die griechischen Buchstaben.............................................. 280

Erster Teil: Planimetrie. Einleitung. § 1. Aer Raum ist nach allen Seiten ins Unendliche aus­ gedehnt. Der Raum ist teilbar. Die gemeinschaftliche Grenze zweier Raumteile heißt Fläche. Ein allseitig durch Flächen begrenzter Teil des Raumes heißt Körper. Die Flächen find teilbar durch Linien, die Linien durch Punkte. Der Punkt hat keine Ausdehnung. Durch Bewegung eines Punktes entsteht eine Linie. Eine Linie hat eine Ausdehnung, Länge. — Die gerade Linie ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten. Die durch zwei Punkte begrenzte gerade Linie heißt der Abstand oder die Entfernung der beiden Punkte. Eine gerade Linie kann nach zwei Seiten hin (nach zwei entgegengesetzten Richtungen) unendlich weit verlängert werden. Durch zwei Punkte läßt sich nur eine gerade Linie ziehen. Zwei verschiedene gerade Linien können daher nicht mehr als einen Punkt gemein haben. Eine unbegrenzt gedachte gerade Linie wird auch eine Gerade, eine an der einen Seite durch einen Punkt begrenzte gerade Linie ein Strahl, ein durch zwei Punkte begrenzter Teil einer Geraden eine Strecke genannt. Eine Linie heißt gebrochen, wenn fie aus geraden Teilen besteht, die zu verschiedenen Geraden gehören. Eine Linie heißt krumm, wenn kein Teil der­ selben gerade ist. Durch Bewegung einer Linie entsteht (im allgemeinen) eine Fläche. Die Flächen find nach zwei Hauptrichtungen ausgedehnt, fie haben zwei Dimensionen, Länge und Breite. — Die ein­ fachste Fläche ist die Ebene. Die Ebene nimmt jede gerade Linie, die durch zwei ihrer Punkte geht, vollständig in sich auf. Mehler-Schulte-rtgge-, Elementar-MathematU.

25.

Aufl.

Durch Bewegung einer Fläche entsteht (rot allgemeinen) ein Körper. Die Körper haben drei Dimensionen, Länge, Breite und Dicke (oder Höhe). In besonderen Fällen kann die Bahn einer bewegten Linie wieder eine Linie und die Bahn einer bewegten Fläche wieder eine Fläche sein. Die Lehre von solchen geradlinigen und kmmmlinigen Gebilden, die in einer und derselben Ebene liegen, heißt ebene Geometrie oder Planimetrie; die Lehre von den Gebilden im Raume heißt körperliche Geometrie oder Stereometrie. § 2. Das einfachste krummlinige Gebilde, das die Planimetrie betrachtet, ist der Kreis. Ein Kreis entsteht, wenn eine Strecke sich um einen ihrer Endpunkte herumdreht, bis sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt. Die Strecke beschreibt alsdann die Kreisfläche, ihr sich bewegender Endpunkt die Kreislinie oder Peripherie. Der feste Punkt, um den die Strecke sich dreht, heißt Mittelpunkt oder Zentrum, der unveränderliche Abstand der Punkte der Peripherie vom Mittelpunkte heißt Radius oder Halbmesser des Kreises. Irgendein Punkt der Ebene liegt innerhalb des Kreises, auf der Peripherie oder außerhalb des Kreises, je nachdem sein Abstand vom Mittelpunkte kleiner, ebenso groß oder größer als der Radius ist.

Erster Abschnitt.

Von den Winkeln und Parallelen. § 3.

Erklärungen. 1) Ein Winkel (-HO wird gebildet durch zwei Strahlen, die von demselben Punkte aus­ gehen; die beiden Strahlen heißen die Schenkel, ihr Ausgangspunkt der Scheitel des Winkels. Der Winkel, deffen Scheitel A, und dessen Schenkel AB und AC find, wird durch BAC oder CAB oder auch nur durch A oder durch einen zwischen die Schenkel gesetzten kleinen Buchstaben (z. B. x) bezeichnet. Die Größe eines Winkel ist unabhängig von der Länge der Schenkel. 2) Zwei Winkel sind gleich, wenn sie sich so aufeinanderlegen lassen« daß ihre Schenkel sich decken. 3) Ein Winkel entsteht, wenn ein in einem Punkte A begrenzter Strahl sich um diesen Punkt von einer bestimmten Lage AB aus-

3

Von den Winkeln und Parallelen.

gehend dreht. Irgend ein Punkt des Strahles, B, beschreibt hierbei einen Kreisbogen, und wenn der Strahl sich um zwei gleiche Winkel BAF und FAG gedreht hat, so sind auch die von B durchlaufenen Bogen BF und FG gleich, weil, wenn man die gleichen Winkel aus­ einanderlegt, auch die Bogen zur Deckung kommen. Da der ganze so entstandene Winkel BAG aus den gleichen Teilen BAF und FAG zusammengesetzt ist, so ist er doppelt so groß als der Winkel BAF, und auch der zugehörige Bogen BG ist doppelt so groß als der Bogen BF. Ebenso gehört auch zu einem dreimal so großen Winkel ein dreimal so großer Bogen usw. Man teilt die ganze Kreislinie in 360 gleiche Teile, die man Bogengrade nennt; die zugehörigen Winkel heißen Winkelgrade. Jeden Grad ("), sowohl den Bogengrad als auch den Winkelgrad, teilt man in 60 Minuten ('), jede Minute in 60 Sekunden (")• Jeder Winkel enthält also ebenso viele Grade, Minuten und Sekunden als der zugehörige Kreisbogen. 4) Ein Winkel (BAC), der durch eine halbe Umdrehung entsteht, dessen Schenkel {AB und A(J) also in die entgegengesetzten Richtungen einer Ge­ raden fallen, heißt ein gestreckter oder flacher Winkel. Der zuge­ hörige Bogen ist ein Halbkreis und enthält daher 180° oder 10800' oder 648000"; der ganze Kreis enthält 1296000". 5) Die Hälfte eines gestreckten Fig. 2. Winkels heißt ein Rechter (R). — Alle gestreckten und folglich auch alle rechten Winkel sind einander gleich. — Ist von den vier Winkeln, welche zwei gerade Linien (BC und DE) bilden, einer ein Rechter, so find es auch die übrigen. 6) Wenn zwei gerade Linien sich unter rechten Winkeln durch­ schneiden, so sagt man, sie stehen aufeinander senkrecht Q_), oder die eine ist ein Lot (Perpendikel) auf der anderen. 7) Ein Winkel, der kleiner als ein gestreckter oder zwei Rechte ist, heißt hohl (konkav), und zwar spitz, wenn er kleiner als ein Rechter, stumpf, wenn er größer ist. Ein Winkel, der größer als ein gestreckter ist, heißt überstumps oder erhaben (konvex). — l*

I. Planimetrie.

Die spitzen und stumpfen Winkel, werden, im Gegensatz zum Rechten, schiefe Winkel genannt. 8) Wenn zwei Winkel zusammen zwei Rechte betragen, so heißt der eine das Supplement des anderen. Betragen zwei Winkel zusammen einen Rechten, so heißt der eine das Komplement des anderen. 9) Zwei Winkel heißen Nebenwinkel, wenn sie den Scheitel­ punkt und einen Schenkel gemein haben und die andern Schenkel in die entgegengesetzten Richtungen einer und derselben Geraden fallen. — Scheitelwinkel heißen zwei Winkel, wenn die Schenkel -es einen die Verlängerungen der Schenkel des anderen find. § 4. Lehrsatz. Nebenwinkel betragen zusammen zwei Rechte. Beweis. Die Winkel BAC und DAC bilden zusammen den gestreckten Winkel 2^41), der fich ebensogut aus zwei rechten Winkeln zusammensetzen läßt. Zusätze, a) Der Nebenwinkel eines Winkels x ist gleich 2R x. b) Zu gleichen Winkeln gehören gleiche Nebenwinkel. § 5. Lehrsatz. Scheitelwinkel find einander gleich. Beweis. Die Scheitelwinkel a und c haben beide den Winkel b zum Nebenwinkel. Also ist sowohl a-j-ö — 2K als auch c+6 = 2R. Zwei Größen aber, die derselben -ritten gleich find, find einander gleich. Daher ist o^-6 = c^-^, oder wenn von beiden Seiten b fortgenommen wird: a = c. Ebenso ist b = d. Zusatz. Zu gleichen Winkeln gehören gleiche Scheitelwinkel. Erklärung. Werden zwei gerade Linien von einer dritten durchschnitten, so entstehen acht Winkel, vier innere (c, d,f,g) und vier äußere (a,b,h,t). Die an verschiedenen Schnitt­ punkten liegenden Winkel setzt man in folgender Weise zueinander in Beziehung: 1) Gegenwinkel oder korrespon­ dierende Winkel nennt man einen innern und einen äußem an derselben Seite der schnei­ denden Linie (b u. g, d u.«', a u. /, c u. h). —

Bon den Winkeln und Parallelen.

5

2) Wechselwinkel find zwei innere oder zwei äußere an ver­ schiedenen Seiten der schneidenden Linie (c u. g, dn.f,a u. t, b u. A) 3) Entgegengesetzte Winkel oder Ergänzungswinkel find zwei innere oder zwei äußere an derselben Seite der schneidenden Linie (d u. g, c u. /, b u. i, a u. A). 4) Konjugierte Winkel find ein innerer und ein äußerer an verschiedenen Seiten der schneidenden Linie (z. B. d und A). Für die Anwendungen ist die vierte Gruppe entbehrlich. § 7. Lehrsatz. Ist ein Paar Gegenwinkel gleich, so find es auch die übrigen, und die Wechselwinkel sind gleich, und je zwei entgegengesetzte Winkel betragen zusammen zwei Rechte. Beweis. Wird z. B. 6=$r voraus­ gesetzt, so folgt, da (nach § 5) 6 = c und g — h, daß 1) b — c=g =* A.

Da nun die vier anderm Winkel die NebenF'g. e. Winkel der genannten find und zu gleichen Winkeln gleiche Neben­ winkel gehören, so ist auch: 2) a = d = f= *.

Hieraus erkennt man die Gleichheit aller Paare von Gegenwinkeln und Wechselwinkeln. Ferner ist z. B. f+c — 2 R; denn es ist: f + g = 2 R und g = c. Zusatz. Wenn ein Paar Wechselwinkel gleich ist, oder wenn ein Paar entgegengesetzter Winkel zwei Rechte beträgt, so find ebenfalls alle Paare von Wechselwinkeln und Gegenwinkeln gleich, und je zwei entgegengesetzte Winkel betragen zwei Rechte. (Denn ist c =g, so ist, weil c=b, auch b=g; und ist d+g=2R, so ist, toetl d-t-b=2R, auch d -4- b = d + g, also 6=$r. Beide Fälle sind also auf den vor­ hergehenden Lehrsatz zuriickgeführt.) § 8. Erklärung. Zwei gerade Linien heißen parallel (||), meint sie, beliebig weit verlängert, sich nicht schneiden. § 9 (bisher § 9 und Zusatz). Lehrsätze. a) Sind zwei Gegenwinkel gleich, | b) Sind zwei Wechselwinkel gleich, so sind die geschnittenen Gec) Betragen zwei entgegengesetzte raden parallel. Winkel zusammen zwei Rechte,

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I. Planimetrie.

Beweis, a) Es sei a---ö so ist zu beweisen, daß AB\CD. Man nehme an, die Linien AB und CD seien nicht parallel, sondern es schnitten fich z. B. die Richtungen GB und HD (gehörig verlängert). Da nun a = b, so ist nach § 7 c = a und d=b, b. h. HC und GA find unter derselben Neigung gegen EF gezogen, wie GB und HD gegen FE. Dreht man daher die Gerade EF mit der rechts von ihr gelegenen Figur um die Mitte von GH so weit herum, bis EF selbst auf FE fällt, so fällt GB auf HC und HD auf GA. Wenn also GB und HD sich schnitten, so müßten sich auch HC und GA schneiden, d. h. es würden sich die Geraden AB und CD in zwei Punkten schneiden, was unmöglich ist. Daher ist AB\CD. b) und c) Nach § 7, Zus. sind in diesen Fällen auch die Gegen­ winkel gleich, also gilt Satz a). §10. Grundsatz. Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden läßt fich nur eine Parallele zu derselben ziehen. § 11 (bisher § 11 und Zusatz). Lehrsätze, a) Gegenwinkel an Parallelen sind gleich, b) Wechselwinkel an Parallelen find gleich. ^Ent­ gegengesetzte Winkel an Parallelen bettagen zusammen zwei Rechte. Beweis, a) Vorausgesetzt wird, daß AB^CD, und behauptet, daß z. B. EGB= GHD oder a=b. Gesetzt, es wäre a nicht gleich b, sondern größer als b. Dann ließe sich eine von GB verschiedene Gerade Gl ziehen, der­ art, daß -3( EGI= b. Alsdann wäre aber nach § 9a GI\\CD, und es gingen also durch G zwei Parallele zu CD, was nach § 10 unmöglich ist. Also ist a nicht größer als b. Ähnlich zeigt man, daß a auch nicht kleiner als b sein kann. Daher ist a = b. b) und c) folgt aus der Gleichheit der Gegenwinkel nach § 5. Folgerungen aus §§ 9—11. 1) Zwei Gerade, die auf der­ selben dritten senttecht stehen, find parallel. (§ 9.)

Von den geradlinigen Figuren.

7

2) Steht einte Gerade auf einer von zwei Parallelen senkrecht, so steht sie auch auf der anderen senkrecht. (§ 11.) 3) Zwei Gerade, die derselben dritten parallel find, find auch einander parallel!. (Denn die Annahme, die beiden Geraden hätten einen Durchschnitttspunkt, steht im Widerspruch zu § 10.) 4) Winkel, -deren Schenkel parallel und gleichgerichtet oder par­ allel und entgegeengesetzt gerichtet find, find einander gleich. (Denn werden zwei nicht parallele Schenkel gehörig verlängert, so entsteht am Durchschnittstpunkte ein Winkel, der nach § 11 jedem der beiden gegebenen gleich iist.)

Zweiter Abschnitt.

Vom den geradlinigen Figuren. § 12. Erklärung. Unter einer Figur (in der engeren Be­ deutung des Woirtes) versteht man einen Teil der Ebene, der von einer in sich zurückkehrenden Linie eingeschlossen wird. Die Länge der begrenzenden Linie heißt der Umfang, die Größe des begrenzten Teiles der Ebene: der Flächeninhalt oder Inhalt der Figur. — Werden drei Prunkte, die nicht in derselben Geraden liegen, durch gerade Linien verbunden, so entsteht ein Dreieck. Die drei Punkte heißen die Ecken,, ihre Verbindungslinien die Seiten, die von diesen eingeschlossenen Winkel die Winkel und deren Nebenwinkel die Außenwinkel des Dreiecks. Ein Dreieck ist also von einer gebrochenen Linie mit drei Eck­ punkten begrenzt. Allgemein heißt eine von einer gebrochenen Linie mit beliebig vielen Eckpunkten umschlossene Figur ein Vieleck (Polygon). Düe Verbindungslinien von je zwei nicht aufeinander­ folgenden Ecken heißen Diagonalen. Ein Vieleck von nEcken (ein n-Eck) hat auch n Seiten und n Winkel und an jeder Ecke n—3, im ganzen $n (»—3) Diagonalen.

A.

Bon den Dreiecken.

§ 13. Erkl-ärung. Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn es zwei gleiche Seiten hat, gleichseitig, wenn alle drei Seiten ein­ ander gleich find. — Im gleichschenkligen Dreieck heißt die dritte Seite die Basis oder Grundlinie und die ihr gegenüberliegende Ecke die Spitze. Die beiden gleichen Seiten heißen die Schenkel.

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I. Planimetrie.

§ 14. Lehrsatz. In jedem Dreieck ist 1) die Summe zweier Seiten größer als die dritte Seite und 2) die Differenz zweier Seiten kleiner als die dritte. Beweis. 1) Da die gerade Linie AB der kürzeste Weg von A nach B ist, so ist die ge­ brochene Linie ACB größer, d. h. AC+BOAB. g 2) Es sei z. B. AOBC, und es sei zu ,0‘ " zeigen, daß die Differenz von AC und BC kleiner ist als AB. Die Seite AC ist kleiner als die Summe -er beiden

anderen, d. h. ACCBC+AB.

Nimmt man jetzt von beiden Seiten BC fort, so erhält man: AC—BCCAB.

§ 15. Lehrsatz. Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks beträgt zwei Rechte. Beweis. Man ziehe durch C die Par­ allele zu AB\ alsdann macht mit den neu entstandenen Winkeln m und n einen gestreckten Winkel oder zwei Rechte aus, d. h. es ist: m-\-n-\-c=2R.

Nun ist aber nach § 11b: m—a und n=b, und durch Einsetzung dieser Werte ergibt sich: a-\-b-\-c = 2R.

Zusatz (—). Ein Viereck läßt sich durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegen; daher ist die Summe der Viereckswinkel gleich vier Rechten. § 16. Folgerungen. 1) Sind zwei Winkel eines Dreiecks gegeben, so findet man den dritten, indem man ihre Summe von zwei Rechten abzieht. Zwei Dreiecke, die in zwei Winkeln mit ein­ ander übereinstimmen, haben daher auch die dritten Winkel gleich. 2) Ein Dreieck kann nicht mehr als einen rechten oder stumpfen Winkel enthalten. 3) Von einem Punfte läßt sich auf eine Gerade nur ein Lot fällen. (Denn gäbe es zwei, so entstände ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln, was nach 2) unmöglich ist.)

Bon den geradlinigen Figuren.

9

§ 17. Erklärung. Ein Dreieck wird spitzwinklig, recht­ winklig oder stumpfwinklig genannt, je nachdem es drei spitze, oder einen rechtten und zwei spitze, oder einen stumpfen und zwei spitze Winkel hmt. — Im rechtwinkligen Dreiecke heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite Hypotenuse, die ihn einschließenden Seiten heißen Katheten. § 18. Lehrsatz. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beitden inneren ihm gegenüberliegenden Winkel. Beweis. d+b=2R (§ 4.) a+c + b=2R (§ 15.) folglich: A BO d -f-bll bewiesen werden, daß •3( CBA > CAB. Man schneide von der größeren Seite CA ein Stück CD ab, das der kleineren Seite CB gleich ist, und verbinde D mit B, so ist CAB nach § 18, folglich auch ^CBD>CAB. CBD ist aber nur ein Teil von CAB. 2) Ist A, so läßt sich indirekt zeigen, daß AC^>BC ist. Wäre nämlich AC-cC BC, so müßte nach dem ersten Stil des Satzes auch B

§ 93. Aufgabe. Eine Strecke (AB) stetig, d. h. so zu teilen, daß der größere Teil die mittlere Proporttonale zwischen der ganzen Strecke und dem kleineren Teile ist. (Goldener Schnitt.) Auflösung. Man errichte in B auf AB das Lot BC— \AB, beschreibe um C mit CB einen Kreis, ziehe die gerade Linie ADCE, und mache AF= AD, so ist F der verlangte Teilungspunkt. A JP

AT>

Beweis.

(§ 92' 2)' also

nach II § 13, 4): AE—AB AB—AD k t AF BF k AB_AF AB ~ AD ’ ÄB~ AF’ 0DCr AF~ BF' § 94. Lehrsatz. Zn jedem Kreisviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der beiden Paare gegen­ überliegender Seiten. (Ptolemäischer Lehrsatz.) Beweis. Es seien die Seiten des Vierecks ABCD der Reihe nach a, b, c, d und die Diagonale AC = f, BD — g. Zieht man von B aus die Linie BF so, daß ££ ABF=CBD (=*), so ist nach § 83: A AFBf> DCB und A CFB DAB, folglich: AF

DC

.„

CF CB

DA r„_ b.d DB; ^ g~;

AF=

a.c -S

mithin AF + CF oder f= f ,g = a.c

-

~,

b.d.

Sechster Abschnitt.

Von den regelmäßigen Vielecken und der Aus­ messung des Kreises. § 95. Bemerkung. Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn es lauter gleiche Seiten und Winkel hat. Teilt man die Peripherie eines Kreises in n gleiche Teile und verbindet je zwei aufeinander-

folgende Teilpunkte durch gerade Linien, so entsteht ein dem Kreise einbeschriebenes regelmäßiges m-Eck; denn die Seiten find gleich als Sehnen gleicher Bogen und die Winkel als Peripheriewinkel über gleichen Bogen. Umgekehrt läßt fich um jedes gegebene regelmäßige r»-Eck ein Kreis beschreiben. Denn find A, B, C, D vier aufeinander­ folgende Eckpunkte, so ist A ABC^DCB (§ 20), also ^BAC= CDB; mithin liegen A, B, C, D auf demselben Kreise (§ 54, 3). Die zu den Seiten gehörigen Zentriwinkel find gleich und folglich 360° jeder gleich —-— Ferner find die Lote vom Mittelpunkte auf die Seiten gleich, und daher läßt fich dem regelmäßigen n-Eck jederzeit ein Kreis einbeschreiben. A § 96. Ausgabe. Einem Kreise ein regel­ mäßiges Sechseck einzuzeichnen. Auflösung. Trägt man den Radius als Sehne ein und verbindet M mit den Endpunkten A und B, so ist A AMB gleichseitig, also nach § 22. Folg. 1) 2

Näherungswerte sind: " (Archimedes) und Seitenzahl 6 12 24 48 96 192 384 768 1536

355

(Metius).

Meiner Halbm. Halber Umfang Halber Umfang d. d. einb. Vielecks d. einb. Vielecks umbeschr. Vielecks 0,866025 0,965926 0,991445 0,997859 0,999464 0,999866 0,999966 0,999992 0,999998

3,00000

3,46410 3,21539 3,15966 3,14609 3,14271 3,14187 3,14166 3,14161 3,14160

3,10583 3,13263 3,13935 3,14103 3,14145 3,14156 3,14158 3,14159

§ 107 (104). 1) Lehrsatz. Der Inhalt eines Kreises ist gleich der Hälfte des Produktes aus seinem Umfang und Radius. (Der Beweis folgt aus § 105 und § 72, 5.) 2) Folgerung. Es ist also J—\p.r, oder J=nr.r, oder J=nr'. 3) Zusatz. Der Inhalt eines Kreissektors ist gleich der Hälfte des Produktes aus seinem Dogen b und seinem Radius r. Beträgt die Länge eines Kreisbogens a Radien (d. h. ist sie gleich ra) so ist der zugehörige Kreissektor — l br — J »•* PQt werden dann die Kreise in den gesuchten Be­ rührungspunkten ß„ ß„ ß, und Cx, C„ Ct geschnitten. Bemerkung. Haben die gegebenen Kreise eine solche Lage, daß fie durch jeden der beiden Kreise X und Y von außen oder durch 6*

jeden von innen berührt werden, so ist -er Potenzpunkt P nicht innerer, sondern äußerer Ähnlichkeitspunkt zu den Kreisen X und Y. b) Man erhält die drei übrigen Paare von Berührungskreisen, indem man auch für jede der drei inneren Ähnlichkeitsachsen -ä, AfJxJ3, AtJxJj ihre Pole in Bezug auf die gegebenen Kreise bestimmt.

Achter Abschnitt.

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie. A. Berechnung einzelner Dreiecksstücke. § 135 (—). c

An Formeln sind schon früher abgeleitet worden a) für das rechtwinklige Dreieck: I. a* = c . p; b* = c. q (§ 67, 90) II. c* —a» + i* (§65, 67 Zus.. § 90) III. h*=p.q (§90,2). Ferner folgt au8A=^unb A=y: IV. ab = c .h. b) für das schiefwinklige Dreieck: V. a' = b' + c' + 2cq 1 P = a' + c* + 2cp] (§ 68' 2>

je nachdem a (oder b) einem spitzen oder stumpfen Winkel gegenüberliegen. Besonderer Beweis: a* — h* + p* = (6*- -') + (c+g)1 = b* -g2+c’ + 2c . q + g2 = b* + c* -f 2c . q.

§ 136 (—). Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks aus den drei Seiten. Ist das Dreieck stumpfwinklig, so sei c die dem stumpfen Winkel gegen­ überliegende, andemfalls eine beliebige Seite. Es ist A = * c. A = * c. 1= 4 c

q) (b - q).

Nun ist aber nach § 135, v a* = b* -j- c2 — 2cg, daher b* + c* — a* ? =------ 2c-----

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.

69

und demnach 6 +9=

26c + 6* + c* — o*__(6 + c)* — a* 2c — 2c (6 4- c + a) (6 + c — a) 2c '

|

__ 26c — 6* — c1 + a1__a1 — (6 — c)1 2c 2c (a+i — c) (o — 6 + c) 2c

'

Daher ist Via. A = j- V(a + 6 -j- c) (— a + 6 + c) (o — 6

c) (a + 6 — c).

Bezeichnet man nun den halben Umfang mit », setzt also a + 6 + c — 2», so ist — a + 6 + c — 2» — 2a — 2 (s — a), a — 6 + c — 2s — 26 --- 2 (« — 6),

a + 6 — c = 2s — 2c = 2 (s — c),

und es ergibt sich: A = j/» (s — o) (s — 6) (s — c). § 137 (120a, 2, 4). Die Radien der verschiede neu Kreise 1) Der Radius des einbeschriebenen Kreises. Aus Fig. 107 ergibt sich:

VIb.

aß 9 2

a + 6+c

6p 1 92 '

9

VII. q —

.

cp ’

*2

= s. p; daher A

J(s — a) (s — 6) (s — c) '

s

2) Die Radien der an­ beschriebenen Kreise. Aus derselben Figur erhellt: Ng. 107. A ABC = A BCN’ + A ACN' — A ABN' oder aQc b. qc cQe a +6— c . A = T + ~2------2 ---------- 2------Ce = («-«) • Q

70

I. Planimetrie.

daher _

VIII.

_ Ja. (« — q) (a — b)

A 8

—

C

'

8-------C

und

entsprechend Qa und 3) Der Radius des umbeschriebenen Kreises. Zieht man den Durchmeffer CE = 2 r, verbindet E mit B und fällt die Höhe CD, so ist A CEB CAD (§ 83), also - = j-, folgn* *'-■£- „v abc = 2Ä' "'s" __abc ____________ a±c_________

’ - "4 A - 4 V». (8 — a) (s — b)(s — c) ' Anmerkung. Die nachstehenden Formeln lasten sich leicht beweisen: 1)

A = yp. e« • e*

-Qc

i -+-+-= e- e» Qc q ’ 3) e« + Qb + Qc — Q = 4 r. § 138 (120a, 1). Die durch die Berührungspunkte mit den Berührungskreisen gebildeten Abschnitte der Seiten. Der einbeschriebene Kreis (N) berühre in Fig. 107 die Seiten in D, E, F. Je zwei an derselben Ecke liegende Abschnitte sind (nach § 59) gleich; die Summe von drei an verschiedenen Ecken liegenden Abschnitten ist also gleich dem halben Umfang » des Dreiecks. Es ist demnach AF+ BD + CD = s oder AF-\- a — s, also 2)

X.

AE = AF=s — a, BF = BD = s — 6, CD = CE = s — c. Der an der Seite c liegende äußere Berührungskreis (N') be­ rühre die Seiten in D', E und E. Es ist dann 2s = CA + AF' + F'B 4- BC = CA + AE' + BD' + BC, oder 2s = CE + < D' = 2 CE, folglich XI. CE' --- CD' = s, AF' = AE = s — b, BF' = BD' = s - a. Es folgt hieraus noch, daß die Abschnitte AF und BF' gleich

lang find, und ferner, daß DD' = EE = c und FF' = a- b.

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.

71

§ 139 (120a, 3, 120c). Die Höhen und die Höhenab­ schnitte der Seiten. 1) Da A = ±aha — ±bhb — \chc ist, so ergibt sich ,

2A

.

2A

Aa = -r;' Ä‘e =~~ ~r; t ’

XII.

.

2A

h' = —>

worin A nach VI. ausgedrückt werden kann. 2) Nach § 135, V ist b' + c' — a' + XIII. p_ =+ ± q=± 2c 2c je nachdem der dem Abschnitt anliegende Dreieckswinkel spitz oder stumpf ist. § 140 (120d). Die Mittellinien ( so ist a—s/ä(gleich der Quadratwurzel aus a). 2) Ist a—aaa—a', so ist a—s/ä (gleich der dritten Wurzel oder Kubikwurzel aus a). 3) Allgemein, wenn n eine positive ganze Zahl und o = o", so ist c = yö (gleich der nten Wurzel aus o). Die ntc Wurzel aus a ist also eine Zahl, deren rite Potenz gleich a ist; a heißt der Radikand, « der Wurzel­ exponent. 4) Hiernach hat man für jeden Wert von o:

(1) yo ]/a — a, (y«r)'= a.

(2) y» ]/aYä= a,

—

a.

(3) (yä)- = a, (4) yo* = a. 5) Eine positive Zahl a kann man sich sowohl in zwei positive als auch in zwei negative gleiche Faktoren zerlegt denken, die Quadrat­ wurzel aus a ist also zweiwertig. Um jeden einzelnen der beiden Werte in unzweideutiger Weise bezeichnen zu können, versteht man (in der Regel) unter dem Zeichen yö nur den positiven Wert der Wurzel und bezeichnet den negativen durch —\a, schreibt also z. B. yy=3 und —yy = —3. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann weder einer positiven noch einer negativen Zahl gleichgesetzt werden. (Z. B. y—9 ist weder = + 3 noch — — 3.) Die Kubikwurzel aus einer positiven Zahl hat einen positiven Wert, die aus einer negativen Zahl einen negativen Wert; usw. Zn den folgenden Formeln sollen die Zeichen a, b, y«, Yb,... sämtlich positive Größen bedeuten 6) Es sei: a=y«, ß=yb, so ist:

a" = a, ß* = b,

also a*ß* = ab, (aß)* — ab, aß = /äb.

(5)

\äyb=Yab. (5')

y^=yäy6.

Ebenso ist:

Also: Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten werden mul­ tipliziert (oder dividiert), indem man die Radikanden multipliziert (oder dividiert). Und umgekehrt: Aus einem Produkt wird eine Wurzel gezogen, indem man sie aus

94

II. Arithmetik.

jedem Faktor, aus einem Bruch, indem man sie aus Zähler und Nenner zieht.

7) Aus (5) folgt (7) yäy^i/7 . . . = ]/abc . . .. und hieraus, wenn - — c —... — a, und m die Anzahl -er Fak­ toren:

(8) (]/o)m=yö", und umgekehrt: (8') y«" — (/ä)", d. h. eine Wurzel wird potenziert, indem man den Radi­ kanden potenziert; eine Potenz wird radiziert, indem man die Basis radiziert (oder: Soll eine Zahl hintereinander potenziert und radiziert roerbett, so ist die Reihenfolge gleichgültig).

8)

Setzt man a

— ]/yö",

am — ]/a,

so ist: amn = a,

a = ]/a.

Soll also eine Zahl nacheinander durch zwei Zahlen radi­ ziert werden, so radiziere man sie durch das Produkt der Zahlen. Oder auch umgekehrt: Soll man eine Zahl durch ein Produkt radizieren, so radiziere man sie nacheinander (in beliebiger Reihenfolge) durch die Faktoren des Produktes. 9) Setzt man in (4) a? statt a, so wird:

(10)

yäv —«p.

Zieht man aus beiden Seiten dieser Gleichung die -te Wurzel, so folgt mit Rücksicht auf (9):

(11)

y**=y>.

Soll also aus einer Potenz eine Wurzel gezogen werden, so ist es gestattet, den Potenzexponenten und Wurzelex­ ponenten durch einen gemeinschaftlichein Faktor zu divi­ dieren oder auch mit einer und derselben Zahl zu multipli­ zieren. § 9 (128). Potenzen mit gebrochenen Exponenten.

95

Potenzen und Wurzeln.

1) Es ist

(l) y^=a», worin bie Zahl m zunächst als teilbar durch n vorausgesetzt ist, denn die rate Potenz von a" ist gleich am. Diesem entsprechend versteht man auch in dem Falle, wo n nicht in m aufgeht, unter o* die nie Wurzel aus am. Zn ähnlicher Weise bedient man sich der Bezeichnung: 1 * (2) a> — j/ö und

a*

|/am

2) Es ist: mp*___ g

ng

*g

ng

a* . CL* = ]/am yä? = yä*i j/ö^ — y«^ . a"? *g_________

yamg-4-*p

mg-t-»p a nq

m _^_p^

sl*“hg

Durch diese und ähnliche Rechnungen gelangt man zu den Formeln: (4) a» .a» —a» «. (5) a* : a* = a*-^. (6) a* .

= (ab)n.

(7) Z ™\£.

(8) m

(9)

m

= a" p

mp

.a-~t =a*-^

usw. Die Formeln (2) bis (6) in § 6 gelten hiernach, sofern die Basis und der Wert der Potenz positiv genommen werden, nicht bloß für ganze, sondern auch für gebrochene positive oder negative Exponenten. § 10 (128a). Berechnung der Quadrat- und Kubik­ wurzeln.

96

II. Arithmetik.

1) Quadratwurzeln. _ Wenn ym = a + b + c + d-\-----, also m = (a-\-b-\-c-\-d-\------ )*

gesetzt wird, so ist nach § 3, (19): + 2 ab + b' 4- 2 (a + 6) c c* 2 (ab c) d

d*

+....... Hat man also a bestimmt und a* von m subtrahiert, so ist der Rest gleich 2a6 + 6' -\----- Man kann also b finden, indem man mit 2a in den Rest dividiert. Bildet man dann die Größen 2a6 und 6' und subtrahiert fie vom Reste, so ist der neue Rest gleich 2 (a + 6) c + c* H----- Man findet also c, indem man den neuen Divisor 2 (a + 6) bildet und mit ihm in den neuen Rest dividiert, usw. Sollen bei der Ausziehung der Quadratwurzel aus einer be­ stimmten Zahl negative Reste vermieden werden, so darf man für b, c, • • nicht in jedem Falle die durch das gewöhnliche Divifionsverfahren sich ergebenden Werte wählen, sondern hat dieselben nötigen­ falls um eine oder auch mehrere Einheiten zu verkleinern. Beispiel, j/l86624 ist eine zwischen 400 und 500 enthaltene dreiziffrige Zahl. Also nehme man a — 400, bezeichne durch b den noch unbekannten durch 10 teilbaren Bestandteil und durch c die noch unbekannten Einer. Dann ist o* —160000, der erste Rest also 26624, der erste Divisor 2a —800, folglich 6 = 30 usw. Wendet man noch die bei dem gewöhnlichen Divifionsverfahren üblichen Ab­ kürzungen an, so gestaltet sich die Rechnung folgendermaßen: abc Oder weiter abgekürzt: |/18|66|24 =432. 16 = a’ 2a---8! 26___ 6=3 24 = 2a6 26 9 = 6' 2.(a + 6) = 86|172 172 = 2(a + 6)c

y'l8j66|24 ----- 432.

i6__ 2616: 8o 249 3 172|4: 86o 1724

In der zweiten Form der Rechnung ist der Divisor 2a(8) um b (3) vermehrt und dann mit b multipliziert, weil die aufeinander­ folgenden Subtraktionen von 2 ab und 6* auch durch die einmalige von (2 a-s- b)b ersetzt werden können. Der neue Divisor (86) konnte aus dem vorhergehenden vervollständigten Divisor 83 durch Addition der letzten Ziffer 3 gebildet werden und ist dann durch die neu sich ergebende Ziffer 2 zu 862 vervollständigt. Die Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl ist entweder eine ganze Zahl, oder sie ist irrational, d. h. durch keinen Bruch genau angebbar. Um eine solche Wurzel näherungsweise zu berechnen, schreibe man die Zahl in Form eines Dezimalbruchs und teile vom Komma ausgehend links und rechts Gruppen von je zwei Ziffern ab. Um die Wurzel aus einem gemeinen Bruche zu ziehen, ver­ wandle man ihn zunächst in einen Dezimalbruch; oder man er­ weitere ihn mit einer solchen Zahl, daß der Nenner eine Quadratzahl wird, und ziehe dann die Wurzel aus Zähler und Nenner. Beinahe die Hälfte der geforderten Ziffern der Wurzel (von der ersten von Null ver­ schiedenen an gerechnet) kann durch verkürzte Division abgeleitet werden. Beispiele. 1)

]/l64 = 1/1|64,|00 . . = 12,806 1 2485 6|4:22 44 200|0:24ft 1984 8 160|0:256g 16000|0:2560, 153636 6364: 2We) 5122 1242 1024 218 205 13 13 Mehler-Schulte-Ltgg,«, Elnnentar-Mathematlk.

2)

/w=V0,005 =

]/0,|00|50| . . = 0,07071 49 0678 1000|0:1409849 ' 1510|0:1414. 14141 1 959:W4ö) 848 111 99 12 11

25.

Stuft.

7

98

11. Arithmetik.

= VÖ(|45|45|45! . . = 0,674 . . ., oder auch: 5.11 _ y55 11 .11 ~ 11

VsTT

ym

9.7.7^

21

7,416 ... •-=0,674...

11 10,908.. 21

0,5194..

2) Kubikwurzeln. 3

Yn = a -\- b

c -!-•••, 7i = (a+6-|-f4-« - •)',

n — a%

+ 3a *6 + 3a6* + b* + 3(a + b)'c + 3(a + 6>* + e* § 3, (28). +.......................................... Von den im Verlaufe der Rechnung zu bildenden Divisoren ist also der erste 3a', der zweite 3(a + -)', usw. Beispiel. y 12|977|875 = 235 8 = a* 3a* = 12(4977 ...6 = 3 36 = 3a'6 54 ---3a-' 27= 4167 3(a + -)' = 1587)810875 . . . c = 5 7935 = 3(a + b)'c 1725 = 3(a + by 125 = c* 81Ö875 0 § 11 (129). Imaginäre Größen. 1) Die aus +1 und — 1 durch Addition gebildeten ganzen Zahlen und alle zwischen denselben enthaltenen gebrochenen und irra­ tionalen Zahlen werden reelle Zahlen, und +1 und — 1 die positive und die negative reelle Einheit genannt. Die Betrachtung der Quadratwurzeln aus negativen Zahlen macht eine Erweiterung des Zahlengebietes notwendig. Man bezeichnet Y— i und —Y— I

Potenzen und Wurzeln.

SS

durch « und —i und nennt sie die positive und die negative ima­ ginäre Einheit. Für die Rechnung mit Hefen Einheiten gelten die Formeln: (1) r' — — I, t* — —i, i* =1, t* = — 1, ... (V) (-*)*=-!, (-»)•=*, (—(-t)‘=-i,(-»)‘=-l,... (2) r------ L = -L- = (- *)->; (-*)-. (2')

— i = 4 =1-'; (—0« --- r—.

2) Bon den Ausdrücken ai und a -\- bi (worin a und b reelle Größen) heißt der erste eine rein imaginäre, der zweite eine komplexe Zahl. Zwei komplexe Zahlen (a + 6t und a—bi), die sich nur durch die Vorzeichen ihrer imaginären Teile unterscheiden, heißen konjugierte komplexe Zahlen. Zwei komplexe Zahlen find nur dann gleich, wenn sowohl ihre reellen als auch ihre imaginären Teile gleich find. Die Gleichung a -\-bi = c +di (ober a — c = i (d — b)) zerfällt daher in die beiden folgenden: a = c, b = d. Es ist: (3)

(«+ W)+ (* + r 4-1 ten Grade wird auf die einer Gleichung vom nten Grade zurückgeführt. § 24 (137 a, c). Auflösung der Gleichung: x* 4* ax* 4- ox 4" 1—0.

Setzt man x = /, so wird: /-so/ 4-«/ +1=0,

und wenn man jetzt durch / dividiert: (1) y* + / + o(3, + ^) = 0-

II. Arithmetik.

108

Es sei:

indem man nämlich stets die letzte der bereits vorhandenen Gleichungen mit der ersten multipliziert und vom Produkte die vorletzte abzieht. Also geht (1) über in: m* — 3m 4- au = 0 oder (3)

u (u* — 3 + d) = 0,

d. h. es ist entweder:

Zweite Lösung: Aus -t' + aa* + ar + 1 = 0. folgt (»* 4-1) 4- ax (x 4- 1) = 0 oder (» 4-1) (»* — » 4- 1) 4- ax (x + 1) = 0. Daher ist (x 4- 1) (»’ — x 4- 1 4-ax) — 0. Diese Gleichung ist aber erfüllt, wenn »4-1 = 0 oder »’ — (l — a) x 4-1 = 0 ist, woraus sich die Wurzeln — — 1 und

1 ergeben.

109

Gleichungen.

§ 25 (137 a, ß). Auflösung der Gleichung: x* —J- ax' “I" bx' ax -f- 1 “ 0.

J!' + 7' + a (* +

+ b = °-

Setzt man » + - = «, so findet man u durch eine quadratische Gleichung und alsdann x aus der Gleichung x + j = u. § 26 (137 a, y). Auflösung der Gleichung: x* + ax* + bx' 4- bx' -)- ax + 1—0. Setzt man x = y' und dividiert dann durch y', so findet man:

? + f> + a{y'+^) + 6(y + y)=0' und wenn jetzt Wiedemm y +

ü gesetzt wird, so folgt, daß

entweder: « = 0, », = — 1, oder: u*— 5m1 + 5 + a (u'—3) + ö = 0. Man findet jetzt u' durch die Auflösung einer quadratischen Gleichung und alsdann x aus der Gleichung: x 4- — — w* — 2. x

Zweite Lösung: Aus »‘ + a»4 + 6»* + 6»* + a» + 1 = 0 •(»* + 1) + 0, so find p und q reell und ungleich, also x, reell, x, und x, imaginär. § 32 (142). Ist 0, so erhält man x zunächst in der Form 8 ___________ 8 x = a-hß = Vb +\b—iV^f\

Seht man 6

. cos y, so wird

x =y acos y+ i siny)l +y a(cos y — i sin y)i; x =)/a (cos

| y +t sin | y) + }/ä(cos Jy — i sin|y) (§ X —2yä. cos

72, 3);

y.

Berechnet man also aus der Gleichung (5)

6

cos y = y=-

den zwischen 0° und 180° enthaltenen Wert des Winkels y und Be» achtet, daß dann derselbm Gleichung auch die Werte 3606 — y und 360° + y genügen, so erhält man für die Wurzeln der Gleichung x*—3ax == 26 die drei reellen und ungleichen Werte: (6)

X, — 2}U . cos j- y, x, = 2|/ä. cosj- (360° — y) = — 2 j/ö. cos (60°+ j- y), x, — cosj- (360° + y) — — 2 cos (60° — y).

2y«.

y0, so ist y C 90°, und es find x, positiv, x, und x, nega­ tiv. Ist 6CO, so ist y>90°, X, und X, positiv, X, negativ.

Fünfter Abschnitt. Kettenbrüche. § 33 (145 a). Der Ausdruck l + ~ kann für beliebige Werte von l, m, n als eine gemischte Zahl und n als ihr Nenner bezeichnet werden. Unter einem Kettenbruch versteht man eine gemischte Zahl, deren Nenner ebenfalls eine gemischte Zahl ist, deren Nenner wieder Mehler-Schulte-LlggeS, Elementar-Mathematlk. 26.«ufL

8

114

II. Arithmetik.

eine gemischte Zahl sein darf usw. Kettenbruches ist hiernach

Die allgemeinste Form eines

Im folgenden werden nur solche Kettenbrüche betrachtet, in welchen die Größen a„ . . . (die Teilzähler) sämtlich gleich 1 und die Größen 6,, 6,, (die Teilnenner) positive ganze Zahlen find. Die Zahl 6 sei entweder ganz und positiv oder gleich Null. Bricht man den Kettenbruch

nach dem k kn Teilnenner (6t) ab, so erhält man den k ten Nähe­ rungswert des Kettenbruches. Der letzte Näherungswert fällt zu­ sammen mit dem vollständigen Kcttenbruche. Zähler und Nenner des gemeinen Bruches, in den man sich den L ten Näherungswert verwandelt denken kann, mögen durch z* und »* bezeichnet werden. Auch die Zahl b kann noch als Näherungswett betrachtet werden und wird als solcher durch

bezeichnet. Es ist also:

66,6, —6 + 5, 6,6, +1 das heißt: z„ =6, na = 1, r, — 66, -fl, 71, —6, usw. Nun läßt sich z,: re, auch in der Form schreiben

z, n,

115

Kettenbrüche.

Allgemein gilt die Formel: z.x

_£*_ 71*

ö*z*^i + Zj—2

(yfc>2).

6*7t*_i -+- 7l*_j

Um dies nachzuweisen, zeigt man, daß (4) auch für den k -+-1 ten Näherungswert gilt, wenn sie für den k ten richtig ist. Nun entsteht der k -H1 te Näherungswert aus dem k ten durch Verwandlung von bk in h -+- -j——; demnach wird t>k+1

(6,+»^r)

2*-t-1 77*+l

2*—1 Zk—l "+• 2*—2

^6* H—^—— j 7i*_i 2**-l

-+- n*_2

2*Ti* ■

6*+l , also: w*-i 6*-h

^*4-12* -+- 2*-l

77*4-1 ^*+1»* -+- n*_i Wenn also (4) für einen bestimmten Wert von k gilt, so gilt sie in der Tat auch für den um 1 größeren Wert. Nach (3) gilt sie nun für k = 2; folglich gilt sie auch für k = 3, mithin auch für k = 4 usw. Sie gilt also (von k=2 ab) allgemein, und zwar ist: (5) 2* = 6*Z*_! + Z*_2 und 71* = 6*71*_1 -+- 7l*_2. Nach diesen letzten Formeln kann man nun, nachdem man 2,, t»„ z,, Ti, gebildet hat, die Zähler und Nenner aller Näherungswerte nach und nach sehr leicht berechnen, und dadurch wird zuletzt der ganze Kettenbruch in einen gemeinen Bruch verwandelt. § 34 (145 b). Aus (2) und (3) folgt: 1 1 £l (6') 2,71,—2,7»,= — 1. (G) ^ 71, b. 7t. *1 (7) i-A------ L (7') 2,7», 2,7»,= -f- 1. n,

nm

Allgemein ist: (8)

24-1

*k

77*—1

7t*

—

(-1)1

,

(8')

2*_l7t* — Z*7»*_! = (— 1)*

71*—\7lk

Dieser Satz wird bewiesen, indem man 6* aus den Gleichungen (5) fortschafft, in der so erhaltenen Gleichung 2*-,7»t — 2*71* -1 = (— 1) (2*—27t*—1

2*—jTl*—2)

k = 3, 4, 5, . . . k setzt und die k — 2 neuen Gleichungen mitein­

ander multipliziert.

II. Arithmetik.

116

§ 35 (145 c). Um das Verhältnis zweier Größen a und b zu bestimmen, sucht man die größte in o:4 enthaltene ganze Zahl q und den Rest r, dann die größte in b:r enthaltene ganze Zahl