Grundlagen der praktischen Optik: Analyse und Synthese optischer Systeme [Reprint 2010 ed.] 9783110843880, 9783110063752

Citation preview

Grundlagen der praktischen Optik Analyse und Synthese optischer Systeme Von

Dr. M. Berek Honorarprofessor in der philosophischen Fakultät der Universität Marburg wissenschaftl. Mitarbeiter in den optischen Werken E. Lcitz, Wetzlar

Nahezu unveränderter Nachdruck der 1. Auflage 1930 mit einem Nachwort von Prof. Dr. H. Marx, Wetzlar Mit 58 Figuren im Text und auf einer Tafel

Walter de Gruyter & Co. Torauli G. J. GOcchen'tche Verbgtlundlung Verkgsbucttundlijiig rerhgthmdlmig — J. Gnttentig. Gm Georg Reimetr — — Karl J. Ttttboer Trttboer — — Veit A & Comp.

Berlin 1970

Copyright 1930 und 1970 by Walter de Oruyter & Co., vormals G. J. Göechen'sche Verlagehandlung, J. Guttentag Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, Karl J. TrObner, Veit & Corap., Berlin 30. Alle Rechte, auch die de» auetugswelaen Nachdrucke, der photomechanischen Wiedergabe, der Herstellung von Mikrofilmen und der Übersetiung vorbehalten. — Archiv-Nr. 6204701 Printed In Germany — Satz und Druck: Walter de Gruyter 4 Co., Berlin 30 Einband U. Haulach, Berlln-Zehlendorf

Vorwort. Geometrische Optik ist, je nachdem wie man sie betreibt, angewandte Mathematik oder technische Physik. Lediglich der letztere Standpunkt ist für das vorliegende Büchlein als in Frage kommend gewählt worden; nicht als ob es der Zweck dieses Büchleins sein sollte, Konstrukteure optischer Systeme heranzubilden, sondern vielmehr aus der Überzeugung heraus, daß das Verständnis für die Wesenheiten der technisch realisierbaren abbildenden Systeme am besten an den Problemen der Praxis vermittelt und gefördert werden kann. Bei dem geringen Umfang kann das vorliegende Büchlein zwar vieles nicht enthalten, worüber die zahlreichen großen Lehr- und Handbücher auf diesem Wissensgebiet unterrichten; insonderheit ist alles, was lediglich »akademisches« Interesse bietet, übergangen. Aber andererseits sind trotz des geringen Buchumfanges gerade die praktisch wichtigen Probleme ausführlicher behandelt und tiefer verfolgt als in den bisher vorhandenen Werken. Maßgebend für gerade diese Verarbeitung des Stoffes wurde eine Anregung, die der Verfasser aus einer englischen Kritik entnommen hat, die sich auf die Übersetzung des bekannten Buches M. von Rohr, Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten vom Standpunkt der geometrischen Optik, bezieht. »Das Buch über geometrische Optik muß erst noch geschrieben werden«, heißt es in dieser Kritik dem Sinne nach. Der Verfasser maßt sich nicht an, mit dem vorliegenden Büchlein jenen Wunsch erfüllt zu haben, sondern denkt sich die vorliegende Darstellung der geometrischen Optik als einen Versuch auf einem neuen Wege. Wetzlar, im Juni 1930. M. Berek.

Inhalt. Seite

1. Einführung a) Geltungsbereich der Strahlenoptik b) Die Kaustik. Symmetrieeigenschaften von Strahlenbündeln .... c) Die Bildfehler eines optischen Systems als Folge mangelnder Symmetrieeigenschaften des Systems in bezug auf ursprünglich homozentrische Strahlenbündel

l l 4

2. Die Abbildung im paraxialen Gebiet und die idealisierte Abbildung a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Der ideale Bildort auf der Achse Der paraxiale Abbildungsmaßstab Die Brennweite Der allgemeine Helmholtz-Lagrangesche Satz für wenig geöffnete Büschel in einem Meridianschnitt Folgerungen für das paraxiale Gebiet. Das reziproke Ebenenpaar Die Kardinalpunkte eines Systems Die Konstruktion des Bildes mit Hilfe der Kardinalpunkte. Die auf die Brennpunkte bezogenen Abbildungsgleichungen Darstellung des Strahlenganges mit Hilfe der Pupillen. Die auf die Pupillen bezogenen Abbildungsgleichungen Die auf ein beliebiges konjugiertes Punktepaar bezogenen Abbildungsgleichungen. Die allgemeinste Darstellung der Kardinalelemente eines Systems

12 14 16 16 16 18 21 22 26

3. Die Ermittelung des Korrektionszustandes eines optischen Systems auf der Grundlage der trigonometrischen Durchrechnung von Strahlenbündeln durch das System a) Allgemeine Gesichtspunkte für die Auswahl der Strahlen zur Durchrechnung b) Die Formehl für die Durchrechnung von Strahlen in einem Meridianschnitt eines zentrierten optischen Systems von Kugelflachen c) Bestimmung der Anfangskoordinaten der Strahlen im Objektraum d) Die Berechnung der Aberrationsbetrage e) Die graphische Darstellung des Korrektionszustandes

29 30 31 32 33

4. Zerlegung der resultierenden Aberrationen nach den Anteilen der einzelnen Flächen des Systems 38 6. Die Seideische Theorie der Aberrationen dritter Ordnung a) Allgemeines über die praktische Bedeutung analytischer Entwicke· lungen der Bildfehler 41

VI

Inhaltsverzeichnis. Seite

b) Die Seideischen Terme für die monochromatischen Bildfehler dritter Ordnung c) Deutung der Terme d) Die Bildfehler von höherer als dritter Ordnung und ihr Einfluß .. e) Die Flächen-Teilkoeffizienten der Seideischen Theorie f) Bedeutung der Blendenstellung für die Korrektion einzelner oder aller Bildfehler im Seideischen Bereich g) Die Berechnung der Teilkoeffizienten h) Tabellarische Darstellungen

42 45 60 51 65 61 62

6. Kriterien für das Nichtvorhandensein von Asymmetriefehlern in weit geöffneten Strahlenbündeln a) b) c) d) e)

Die Der Die Das Das

Isoplanasiebedingung Spezialfall der Sinusbedingung Proportionalitätsbedingung Koinzidenzkriterium vereinfachte Koinzidenzkriterium

71 76 76 77 79

7. Theorie der chromatischen Aberrationen a) Die chromatische Variation des paraxialen Bildortes b) Die chromatische Variation der Bildgröße

80 82

8. Das optische System als Kombination von Einzellinsen a) Die Kardinalelemente einer in Luft befindlichen dicken Einzellinse 86 b) Umwandlung dicker Einzellinsen in Äquivalentlinsen der Dicke Null 86 c) Das optische System aus Äquivalentlinsen in Luft 89

9. Synthese optischer Systeme auf der Grundlage der Theorie a) b) c) d) e)

f)

g)

h) i)

Die allgemeinen Bedingungen für den Ansatz eines Systems Die Glasarten Aplanatische und isoplanatische Einzellinsen Anastigmatische und verzeichnungsfreie Einzellinsen Das Simplet a) Die allgemeinen Bedingungen ß) Die positive Einzellinse ) Das achromatisierte Simplet Das Duplet a) Die allgemeinen Bedingungen ß) Das Petzvalsche Porträtobjektiv ) Weitwinkel-Duplets ö) Das Teleobjektiv ) Das teleskopische System ) Das Okular Das Triplet ) Die allgemeinen Bedingungen ß) Das einfache Triplet ) Tripletvarianten Das Quadruplet Das Mikroobjektiv

94 96 97 102 103 103 104 108 112 112 114 116 117 118 118 121 121 12ß 130 131 132

Inhaltsverzeichnis.

VII Seite

Zusammenstellung benutzter Formelzeichen Nachwort zur zweiten, nahezu unveränderten Auflage Alphabetisches Sachregister

134 137 140

i. Einführung. a) Geltungsbereich der Strahlenoptik. Das Wissensgebiet der Strahlenoptik ist aus dem Bedürfnis nach möglichst ideal abbildenden optischen Instrumenten entstanden und insbesondere im Zusammenhang mit dieser praktischen Aufgabe entwickelt worden. Die Strahlenoptik wird zumeist als »geometrische« Optik bezeichnet, im Gegensatz zur »Wellenoptik«. Doch ist diese Gegenüberstellung recht unzutreffend, da das, was man mit »geometrischer« Optik bezeichnen will, ebenfalls Wellenoptik ist, sogar so weit gehend, daß die Vorstellung von ungestörter Ausbreitung der Wellen auch da aufrecht erhalten wird, wo dies wegen der statthabenden Diffraktionsvorgänge nicht mehr zulässig ist, nämlich im Bildraum. Es ist deshalb wohl richtiger, einerseits von Strahlenoptik, andererseits von Diffraktionsoptik zu sprechen. Die Strahlenoptik vernachlässigt die Diffraktionsvorgänge. Die auf der Grundlage der Strahlenoptik basierende Theorie abbildender Systeme ist daher nur eine angenäherte, aber deshalb keineswegs minderwertig; denn auch die Diffraktionsoptik kommt in ihrer Anwendung auf optische Instrumente ohne die Begriffe der Strahlenoptik nicht aus und ist andererseits so kompliziert, daß es ziemlich aussichtslos erscheint, sie werde sich jemals bei der Berechnung optischer Systeme in größerer Allgemeinheit verwenden lassen, wiewohl Ansätze ihrer Benutzung für spezielle Fälle in Arbeiten von K. Strehl vorliegen. Die Strahlenoptik als ein spezieller Teil der Optik findet ihre Rechtfertigung in ihren praktischen Erfolgen wie auch durch die Tatsache, daß sie uns bereits bei Anwendung einfacher Hilfsmittel tiefgehende Einsicht in typische Wesenheiten der Wirkung optischer Systeme vermittelt. Die Gesetze der Strahlenoptik ergeben sich als derjenige Grenzfall aus den strengen Darstellungen der Diffraktionsoptik, in dem die Wellenlänge der Strahlung gleich Null wird.

b) Die Kaustik.

Symmetrieelgenschaften von Strahlenbündeln.

Diejenige Fläche, welche die Hüllfläche sämtlicher Strahlen eines räumlichen Bündels ist, zu der also alle Strahlen des Bündels tangierend B e r e k , Strahlenoptik.

J

Einführung.

verlaufen, nennt man die Kaustik x ) oder Brennfläche des Strahlenbündels. Ein Strahlenbündel, das nach einem Punkt konvergiert, heißt homozentrisch*). In diesem Falle degeneriert die Kaustik ebenfalls in einen Punkt, den Konvergenzpunkt des Bündels. Ein solches Strahlenbündel ist rotationssymmetrisch mit einem mittleren Strahl, dem Hauptstrahl, als Rotationsachse und hat außerdem eine durch den Konvergenzpunkt gehende, auf dem Hauptstrahl senkrecht stehende Symmetrieebene (Fig. 1). Fehlt diese Symmetrieebene, so ist das Bündel Fig. 1. nicht mehr homozentrisch: Strahlen ver- Homozentriscb.es Strahlenbündel, schiedener Öffnung gegen den Hauptstrahl schneiden sich dann an verschiedener Stelle; ist das Bündel dabei aber noch rotationssymmetrisch, so wird die Kaustik eine Rotationsfläche, die an der Vereinigungsstelle der dem Hauptstrahl unendlich benachbarten Strahlen eine Spitze hat {Fig. 2). Den

-oFig. 2.

Strahlenbündel mit positivem öffnungsfehler und zugehöriger Kaustik.

Durchschnitt der Kaustik mit einer beliebigen Ebene bezeichnet man als die kaustische Kurve in dieser Ebene. Eine solche ist für die durch die Achse des Bündels gehende Ebene in Fig. 2 stark ausgezogen. Den Fehler, den ein solches Strahlenbündel gegenüber einem homozentrischen hat, nennt man den öffnungsfehler. Wenn die mehr geöffneten Strahlen die Achse früher schneiden als die dem Hauptstrahl unmittelbar benachbarten Strahlen, heißt der öffnungsfehler positiv, im anderen Falle negativ. Man nennt ein Strahlenbündel für eine bestimmte Ö f f n u n g korrigiert, wenn der dieser Öffnung entsprechende Strahl gleichfalls durch die Spitze der Kaustik hindurchgeht, und bezeichnet dann die Abweichungen der anderen *) xautiv = brennen. 2 ) 8ftoc = gemeinsam.

Die Kaustik. Symmetrieeigenschaften von Strahlenbündeln.

3

Strahlschnittpunkte von der kaustischen Spitze, auf dem Hauptstrahl gemessen, als Zonen des Öffnungsfehlers. In einem solchen korrigierten Strahlenbündel treten für einen Zwischenwert der Öffnung Rückkehrpunkte in der kaustischen Kurve auf (Fig. 3). Die durch optische Systeme realisierte Strahlenvereinigung hat unter Umständen mehrere solcher Rückkehrpunkte in der kaustischen Kurve. Der nächst niedere Grad in den Symmetrieeigenschaften eines Strahlenbündels tritt ein, wenn an Stelle der Rotationssymmetrie nur noch zwei aufeinander senkrechte Symmetrieebenen vorhanden sind. Die Durchschnittsgerade der Fig 3 Kaustik mit Rückkehr. beiden Symmetrieebenen bildet dann den punkten für ein bei voller Öffnung Hauptstrahl des Bündels, jede Sym- korrigiertes Strahlenbündel. metrieebene selbst heißt ein Hauptschnitt des Bündels. Das Strahlenbündel selbst heißt astigmatisch 1 ); es hat in jedem der Hauptschnitte eine besondere kau-

Fig. 4. Strahlenbündel mit zwei aufeinander senkrechten Symmetrieebenen. In jeder Symmetrieebene eine gesonderte kaustische Spitze auf dem Hauptstrahl.

stische Kurve (Fig. 4) mit je einer Spitze an anderer Stelle des Hauptstrahls. Den Abstand beider kaustischer Spitzen nennt man die astigmatische Differenz, ihren halben Betrag den Astigmatismus des Bündels. Innerhalb jedes der Hauptschnitte kann das ebene Büschel homozentrisch sein oder öffnungsfehler besitzen. Der nächst niedere Grad des Symmetriecharakters ist das Vorhandensein nur einer Symmetrieebene. Die Strahlenvereinigung ist dann nur in Schnitten senkrecht zu dieser Symmetrieebene symmetrisch, und zwar symmetrisch zu dem gleichzeitig in der Symmetrieebene verlaufenden Strahl. Innerhalb der Symmetrieebene dagegen herrscht Asymmetrie der Strahlenvereinigung (Fig. 6). Dieser Fehler heißt Koma 2 ). In Grenzfällen hat die kaustische Kurve in der Sym!) a = nicht; = Punkt. ) = Haarschweif.

2

Einführung.

metrieebene noch eine oder mehrere Spitzen, aber ihre Ausdehnung zu beiden Seiten solcher Singularitäten ist asymmetrisch.

Fig. 6. Strahlenbündel mit nur einer Symmetrieebene: Nur in Schnitten senkrecht zur Symmetrieebene eine symmetrische Kaustik, in der Symmetrieebene eine asymmetrische Kaustik.

Hat schließlich das Strahlenbündel gar keine Symmetrieeigenschaften, so ist die kaustische Kurve in jedem Schnitt asymmetrisch und mit Koma behaftet.

c) Die Bildfehler eines optischen Systems als Folge mangelnder Symmetrieeigenschaften des Systems in bezug auf ursprünglich homozentrische Strahlenbündel. Von allen optischen Systemen haben die weitaus größte praktische Bedeutung diejenigen, welche aus einer Folge brechender Kugelflächen bestehen und bei denen die Kriimmungsmittelpunkte sämtlicher Flächen auf einer Geraden liegen. Diese Gerade heißt die Achse des Systems, und das System selbst heißt achsenzentriert. Wird ein räumliches Strahlenbündel, das von einem Punkte P des Objektraumes ausgeht, beim Durchgang durch das optische System so gebrochen, daß es im Bildraum homozentrisch nach einem Punkte P' ist, so heißt P im Sinne der Strahlenoptik stigmatisch nach P' abgebildet. Damit eine achsensenkrechte Ebene ideal abgebildet wird, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: 1. jeder Punkt der Ebene muß stigmatisch abgebildet werden; 2. die Gesamtheit der Bildpunkte muß wieder eine achsensenkrechte Ebene erfüllen; 3. das Verhältnis des Abstandes zweier beliebigen Bildpunkte zu dem Abstand der zugehörigen Objektpunkte, der Abbildungsmaßstab, muß innerhalb der ganzen Bildebene konstant sein. Nur wenn auch die dritte Bedingung erfüllt ist, ist das Bild dem Objekt in allen Teilen ähnlich. Den Fehler, der bei Nichterfüllung dieser Bedingung in Erscheinung tritt, nennt man Verzeichnung. Dann wird

Die Bildfehler eines optischen Systems usw.

eine objektseitig geradlinige, in einer achsensenkrechten Ebene liegende, aber nicht durch die Achse hindurchgehende Punktfolge auch bei stigmatischer Abbildung i. a. als Kurve, z. B. ein zur Achse zentriertes Quadrat als kissenförmig oder tonnenförmig verzerrtes Vierseit, abgebildet (Fig. 14, Tafel I). Eine nähere Klassifikation erfordern die Schärfenfehler, die bei Nichterfüllung der Bedingungen l und 2 in einer achsensenkrechten Auffangebene des Bildraumes in Erscheinung treten. Da die Achse eines zentrierten optischen Systems eine unendlichzählige Symmetrieachse des Systems ist, d. h. bei jeder beliebigen Drehung um diese Achse das System mit sich in Deckung bleibt, so ist die Abbildung einer ach- Fig. 6. Rotationssymmetrie eines zen° Sensenkrechten

fcbene

(S l-Flg. 0) trierten optischen Systems um die Achse.

durch das System vollständig definiert, wenn die Abbildung einer beliebigen gradlinigen Punktfolge P0 -»P bekannt ist, die innerhalb der Ebene © liegt und im Achsenpunkte P0 beginnt. Man kann daher, ohne der Allgemeinheit der Betrachtungen irgendwie Abbruch zu tun, diese Punktfolge als in der Zeichenebene liegend annehmen. Das Verständnis für die typischen Eigenschaften der Schärfenfehler wird dann wesentlich gefördert, wenn man sich die Symmetrieeigenschaften klar macht, die das optische System in bezug auf ein von einem Punkte P ausgehendes räumliches Strahlenbündel hat. Zu diesem Zwecke denken wir uns unser Auge zunächst in den Punkt P0 auf der Achse gebracht, den Blick nach dem optischen System zu gerichtet. Der wirksame Teil des Objektivs erscheint dann (Fig. 7) als eine helle Kreisfläche; man bezeichnet sie als die Eintrittspupille des Objektivs für den Objektpunkt P0, und ihren scheinbaren Durchmesser nennt man die wirk7. Eintrittspupille same Öffnung des Objektivs für den PunktP 0 . Fig. eines Objektivs für den Es ist nun evident, daß zufolge der SymmetrieBildwinkel w = 0. eigenschaften der Achse in bezug auf das von P0 ausgehende Strahlenbündel die Abbildung des Achsenpunktes P0 vollständig bestimmt ist, wenn man den bildseitigen Strahlenverlauf für ein flächenhaftes Büschel kennt, das, von P0 ausgehend, einen Radius der wirksamen Öffnung zur Basis hat. Der Fehler, den gegebenenfalls dieses flächenhafte Büschel bildseitig gegenüber einer homozentrischen Strahlenvereinigung aufweist, ist der ö f f -

Einfuhrung.

nungsfehler; er wiederholt sich also innerhalb des ganzen, durch die Eintrittspupille hindurchgehenden räumlichen Bündels rotationssymmetrisch. Die Unterscheidung des Vorzeichens des öfmungsfehlers ist bereits in Abschnitt b gegeben. In der Literatur wird der öffnungsfehler gewöhnlich als sphärische Längsaberration bezeichnet. Diese Benennung ist aber schlecht, da dieser Fehler keinesfalls nur eine spezifische Eigenart von Kugelflächen ist. Bewegen wir jetzt unser Auge von P0 nach einem außerachsialen Punkte P oder, was im Effekt dasselbe ist, belassen wir unser Auge an

Fig. 8. Vignettierung für Bildwinkel w > 0.

seiner Stelle im Raum und neigen dafür das optische System um einen Winkel w, den wir als den zu P gehörigen Bildwinkel bezeichnen, so weist nunmehr die Eintrittspupille des Objektivs (Fig. 8) ganz andere Merkmale auf als im Falle des Bildwinkels w = 0. Zunächst, nebenbei bemerkt, ist ihre Fläche sichtlich kleiner geworden, woraus eine Abnahme der Bildhelligkeit bei größeren Bildwinkeln resultieren muß. Diese Erscheinung bezeichnet man als Vignettierung. Was aber den uns hier mehr interessierenden Typus der Schärfenfehler anbetrifft, so ist wesentlich, daß nunmehr die Eintrittspupille gegenüber dem Falle w = 0 nur noch verminderte Symmetrieeigenschaften auf weist: die Blickrichtung des Auges ist nicht mehr die Achse des Systems; dieEinFig. 9. Symmetrieeigenschaften trittspupüle des Objektivs hat daher jetzt im Meridian- und Sagittalschmtt nur noch, ein. „ , . . , .. .. , der wirksamen Öffnung. Symmetrieelement, nämlich diejenige Symmetrieebene, welche durch den Augenort und die Systemachse bestimmt ist. Diese Ebene — sie ist in Fig. 9 durch die Schnittgerade SDt angedeutet — heißt der Meridianschnitt, auch wohl Tangential schnitt, und diejenigen Strahlen, welche in dem von P ausgehenden Strahlenbündel innerhalb dieses Schnittes verlaufen, heißen Meridianstrahlen oder meridionale

-l·

Die Bildfehler eines optischen Systems usw.

Strahlen, auch wohl tangentiale Strahlen. Die in einer Ebene gezeichneten Strahlen sind also sämtlich Meridianstrahlen, wenn diese Ebene die Achse des optischen Systems enthält. Der scheinbare Durchmesser der Eintrittspupille im MeridianschniU heißt die meridionale Ö f f nung des Systems für den Bildwinkel w. Innerhalb des meridionalen Büschels gibt es keinen Strahl, der durch irgendwelche Symmetrieeigenschaften des Büschels gegenüber den anderen Strahlen bevorzugt wäre; daher ist die Abbildung des Punktes P mittels der im Meridianschnitt verlaufenden Strahlen erst bestimmt, wenn der bildseitige Verlauf aller Strahlen innerhalb der ganzen wirksamen Öffnung des Systems im Meridianschnitt bekannt ist, im Gegensatz zu den schon besprochenen

Fig. 10. Asymmetriefehler im Meridianschnitt, a) Äußere Koma, b) Innere Koma.

Verhältnissen für den Punkt P0, wo zufolge der Rotationssymmetrie um die Systemachse die Kenntnis des bildseitigen Strahlenverlaufs über die halbe wirksame Öffnung genügte. Zufolge dieses Symmetriemangels im Meridianschnitt für einen von w = 0 verschiedenen Bildwinkel, besitzt das meridionale Büschel bildseitig i. a. nicht nur den öffnungsfehler, sondern außerdem noch eine Asymmetrie des Öffnungsfehlers, die schon in Abschnitt b erwähnte Koma. Man unterscheidet je nach der Ausbildung der Asymmetrie (Fig. 10) Außenkoma oder Innenkoma. Ist die Koma behoben, so zeigt das meridionale Büschel einen öffnungsfehler symmetrischen Charakters wie das von P0 ausgehende Büschel. Jede durch P hindurchgehende und zum Meridianschnitt senkrechte Ebene bildet einen sog. Sagittalschnitt durch das von P ausgehende räumliche Strahlenbündel. Jede auf der Papierebene senkrechte, durch P hindurchgehende Ebene ist also in bezug auf das

8

Einführung.

von P ausgehende räumliche Strahlenbündel ein solcher Sagittalschnitt, wenn die Papierebene die Systemachse enthält. In Fig. 9 kennzeichnen die mit ( bezeichneten Richtungen sämtlich die Durchschnitte solcher Sagittalschnitte mit der Eintrittspupille des Objektivs. Da der Meridianschnitt 90 auf allen Sagittalschnitten Z

__

Wj

*

M2

*&*

-l

*1

~l

S

2

_'

S

*

und beachtet, daß JJ = /2; /g = ^3 usw. n =n \ * '· nz =na usw· ist, so folgt, wenn unter dem Zeichen ein Produkt verstanden wird, 5

( )

* /~7ß'" ·* , »=>1

=

/' n ~r*i = ~^Wfc * *

k

s' — — ß'·

·* S»

»=1

Die Brennweite.

15

Da aber l't: l^ das schließliche Verhältnis von Bildgröße zu Objektgröße ist, so ist ß' der Abbildungsmaßstab im paraxialen Gebiet. Er ergibt sich negativ bei lageverkehrtem Bild.

c) Die Brennweite. Ist die Objektweite sl = oo, so wird nach (5) ß' = 0. Es können also in diesem Falle nur Objekte von unendlich großen Ausmaßen im Bilde mit endlichem und von Null verschiedenem Ausmaß erscheinen. Ein solches Objekt in der unendlich fernen Ebene habe die Größe Lv Man kann dann durch Multiplikation mit s1 (5) formal schreiben \Tl Sl==^*&

(5 a)

\

v=Z

"'/«,=

Der Ausdruck auf der rechten Seite von (5 a) ist nun, da er sich mittels sukzessiver Anwendung der Formeln (3) und (4) auf die Größen «„ r„ und ev allein zurückführen läßt, eine Systemkonstante:

Man bezeichnet / als die Brennweite des Systems. Ihre geometrische Bedeutung wird sich später ergeben. Mißt man nun das unendlich große und unendlich ferne Objekt L! in angulärem Maß, also

_! s = _ tg »j, i so folgt aus (5 a) und (6) : (?)

ft

= -/tg»i,

welche Beziehung die Bildgröße für ein unendlich fernes Objekt bestimmt.

d) Der allgemeine Helmholtz-Lagrangesche Satz für wenig geöffnete Büschel in einem Meridianschnitt. In Fig. 18 sind drei als unendlich benachbart zu denkende Strahlen l, 2, 3 gezeichnet, die auf die Fläche v eines Systems einfallen und, ungebrochen verlängert, für diese Fläche ein Differential dLf eines achsensenkrechten Objektes L, formieren. Der Winkel des Strahles l mit der Achse sei uv. .-Dann sind mit den Bezeichnungen der Figur die Winkeldifferentiale

j.

dL,cosu,

=-

m,

du = *

"cos *" mv

j.

j

T £'

Die Aufeinanderfolge des Brennpunktes und Hauptpunktes ist also im Objektraum und Bildraum umgekehrt. Ein optisches System, bei dem die Aufeinanderfolge der Kardinalpunkte %, im Sinne der Lichtist was bei bewegung 2 -* >; §'->·&' · positivem/eintritt, heißt kollektiv, eines mit der Aufeinanderfolge §->2r; ' -»·$?'» was bei negativem/ eintritt, dispansiv. Man darf diese Begriffe nicht identifizieren mit

Die Konstruktion des Bildes mit Hilfe der Kardinalpunkte usw.

21

der Fähigkeit des Systems, reelle oder nur virtuelle Bilder zu erzeugen. Das Mikroskop hat, wie jeder aus seiner Verwendung für Projektionszwecke weiß, die Fähigkeit, reelle Bilder zu liefern; seine Brennweite ist aber negativ, das Mikroskop ist daher ein dispansives System. In genau derselben Weise ergeben sich die für die Knotenpunkte geltenden Beziehungen, wenn man überall ß't = —7 statt + l setzt. «t Man erhält für die Lage des bildseitigen Knotenpunktes (20) *&(#)=«*(&')-/ und für die Lage des objektseitigen Knotenpunktes (21)

'

Die durch Gleichung (6) definierte Brennweite ist also der Größe und dem Vorzeichen nach auch die Entfernung $'-»·$' au f der Bildseite im Sinne der Lichtbewegung. Aus (20) und (21) folgt

Die Aufeinanderfolge der Brennpunkte und Knotenpunkte ist also, wie der Vergleich mit (19) zeigt, qualitativ dieselbe wie die der Brennpunkte und Hauptpunkte.

g) Die Konstruktion des Bildes mit Hilfe der Kardinalpunkte. Die auf die Brennpunkte bezogenen Abbildungsgleichungen. Aus der Definition der Kardinalpunkte eines Systems ergeben sich folgende einfache Regeln für die Bildkonstruktion: 1. a) Ein durch den objektseitigen Brennpunkt verlaufender Strahl verläßt das System bildseitig achsenparallel. b) Ein objektseitig achsenparallel einfallender Strahl geht durch den bildseitigen Brennpunkt. 2. Jeder Strahl schneidet die im objektseitigen Hauptpunkt und die im bildseitigen Hauptpunkt errichteten Ebenen im gleichen Abstand von der Achse. 3. Ein nach dem objektseitigen Knotenpunkt zielender Strahl kommt bildseitig ohne Richtungsänderung aus dem bildseitigen Knotenpunkt. Diese Regeln gelten streng nur im paraxialen Gebiet und sind darüber hinaus nur im Sinne einer groben Schematisierung verwendbar. Für die Konstruktion des idealen Bildes genügt es, wenn das optische System nur durch zwei Paare von Kardinalpunkten gegeben ist. In

22

Die Abbildung im paraxialen Gebiet und die idealisierte Abbildung.

Fig. 22 ist nach den vorstehenden Regeln l a, b und 2 das zu ix gehörige Bild l'k mit Hilfe der Brennpunkt- und Hauptpunkteigenschaften konstruiert. Bezeichnet man die Koordinaten der konjugierten Achsenpunkte P0 und Po in bezug auf die Brennpunkte mit und x' und zählt diese

Fig. 22. Konstruktion des idealen Bildes mit Hilfe der Brennpunkt- und Hauptpunkteigenschaften.

Koordinaten von den Brennpunkten aus positiv im Sinne der Lichtbewegung, so folgt aus Fig 22: (23)

ß'=&=-^' li nie f

f x'

demnach (23 a)

»

Diese auf die B r e n n p u n k t e des Systems bezogenen Abbildungsgleichungen (I. Newton) sind für schnelle Überschlagsrechnungen zur Bestimmung des Bildortes und der Bildgröße äußerst bequem.

h) Darstellung des Strahlenganges mit Hilfe der Pupillen. Die auf die Pupillen bezogenen Abbildungsgleichungen. Zur Darstellung des wirklichen Strahlenverlaufs muß man noch die Begrenzung der Strahlenbündel durch die wirksamen Blenden berücksichtigen. Für nicht zu große Bildwinkel genügt es, das System objektseitig durch Brennpunkt, Hauptpunkt und Eintrittspupille, bildseitig durch Brennpunkt, Hauptpunkt und Austrittspupille zu repräsentieren. Die Kardinalpunkte dienen dann wie im vorigen Abschnitt zur Konstruktion des Bildortes, die Pupillen zur Begrenzung der wirksamen Strahlen (Fig. 23). Man sieht aus der Figur, daß den Strahlen l und 2, die zur Konstruktion des zu P gehörigen Bildortes P' mit Hilfe der Eigenschaften der Kardinalelemente dienen, für die wirkliche Bilderzeugung keine Bedeutung zukommt, da sie nicht mehr durch die freien Öffnungen der

Darstellung des Strahlenganges mit Hilfe der Pupillen usw.

23

Pupillen hindurchgehen. Da man aber mit Hilfe dieser Strahlen l und 2 den Bildort P' und somit auch P'0 kennt, ist es nun möglich, im Bildraum den Verlauf der wirksamen Kegel, die durch die Pupillen zur Bilderzeugung zugelassen werden, zu zeichnen.

Fig. 23. Konstruktion der zur Abbildung beitragenden Strahlen mit Hilfe der Pupillen.

Für größere Bildwinkel muß man auch noch die Vignettierungen durch die Linsenfassungen berücksichtigen. Wie der wirksamen Systemblende als Bild objektseitig die Eintrittspupüle, bildseitig die Austrittspupille als Bild entspricht, so kann man sich auch sämtliche Linsenfassungen des Systems in den Objektraum und in den Bildraum abgebildet denken. Rechnet man von denjenigen Punkten aus, in denen

.. Fig. 24. Berücksichtigung der Vignettierung durch die Linsenfassungen bei größerem Bildwinkel. Plt P2: erste und letzte Linsenfassung als vignettierende Blenden.

eine durch jede Linsenfassung gelegte Ebene die Achse schneidet, nach dem Objektraum und nach dem Bildraum zu einen Paraxialstrahl mittels der Formeln (3) und (4) hindurch, so findet man die i. a. virtuellen Bildorte der Mitten der Linsenfassungen und den zugehörigen Ab-

24

Die Abbildung im paraxialen Gebiet und die idealisierte Abbildung.

bildungsmaßstab im Objekt- und Bildraum, so daß man schließlich die Linsenfassungen als vignettierende Blenden bei der Zeichnung des Strahlenganges genau in derselben Weise berücksichtigen kann wie Eintritts- und Austrittspupille als Bilder der wirklichen Blende. Fig. 24 erläutert dies in einem Beispiel; man erkennt daraus deutlich die Vignettierung für größere Bildwinkel. Die auf die Pupillenorte bezogene Abbildungsgleichung hat für alle Fragestellungen Bedeutung, bei denen die Pupülen-

Fig. 26. Zur Ableitung der auf die Pupillenorte bezogenen Abbildungsgleichungen

orte bzw. die Pupillenvergrößerung eine wesentliche Rolle spielen. Sie findet hauptsächlich in der photographischen Optik Anwendung. Sie läßt sich am einfachsten aus der auf die Brennpunkte bezogenen Abbildungsgleichung (23 a) in folgender Weise gewinnen: Bedeuten in Fig. 25 P0 und P'0 Objektort bzw. Bildort, f$, %' die Lage der Brennpunkte, E.P., A.P. die Mitten der Eintrittspupille bzw. der Austrittspupille; sind ferner die Entfernungen x, b, x', b' auf die Brennpunkte bezogen, und zwar positiv im Sinne der Lichtbewegung, die Entfernungen a und a' dagegen auf die Pupillenmitten bezogen, ebenfalls positiv im Sinne der Lichtbewegung, so ist x — b = a; x' — V = a'. Nach (23) ist dann die Pupillenvergrößerung

*—

und man erhält aus (23 a) sukzessive

„· = -*f = (a + t)(a' + V) - · +

i Dividiert man diese Gleichung durch Abbildungsgleichung