Simulation und Analyse dynamischer Systeme in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften [Reprint 2019 ed.] 9783110848823, 9783110072662

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Zwicker Simulation und Analyse dynamischer Systeme

Eckart Zwicker

Simulation und Analyse dynamischer Systeme in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

w DE

G Walter de Gruyter • Berlin • New York 1981

Dr. rer. Eckart Zwicker ist Professor für Entscheidungstheorie an der Technischen Universität Berlin Das Buch enthält 147 Abbildungen und 16 Tabellen

CIP-Kurztitelaufnähme

der Deutschen

Bibliothek

Zwicker, Eckart: Simulation und Analyse dynamischer Systeme in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften/Eckart Zwicker. Berlin; New York: de Gruyter, 1981. ISBN 3-11-007266-1

© Copyright 1981 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung, J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer, Karl J. Trübner, Veit & Comp., Berlin 30. Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Druck: Karl Gerike, Berlin; Bindearbeiten: Lüderitz & Bauer, Buchgewerbe GmbH, Berlin Printed in Germany

In der nationa1 Ökonomisehen Hexenküche wird jetzt manch kräftig dynamisch Tränklein gebräut, und wer davon genossen hat, sieht zwar leider nicht wie Faust Helena in jedem Weib, wohl aber ein Gewimmel

'dynamischer'

Probleme und die 'Zeit' in jedem ökonomischen Vorgang.

Oskar Morgenstern

Inhaltsverzeichnis Einleitung

14

1. Kennzeichnung dynamischer Systeme und Modelle

18

1.1. Systeme und Modelle

18

1.2. Dynamische Modelle als Repräsentanten dynamischer Systeme ... 21 1.2.1. Metrisch dynamische Modelle 1.2.2. Metrisch dynamische zeitdiskrete Modelle

24 äquidistante

(MZS)

28

1.2.3- Strukturmerkmale dynamischer MZÄ-Modelle

31

1.3. Strukturgleichungstypen dynamischer MZÄ-Modelle

38

1.3-1. Hypothesengleichungen A. Technologische und institutionelle Hypothesen sowie V e r haltenshypothesen B. Parametrisch-singu1äre, parametrisch-generelle, tive und nichtkomparative Hypothesen C. Kontrollierte und unkontrollierte, primäre und Hypothesen

38 38

kompara39 sekundäre 44

1.3.2. Definitionsgleichungen

47

1.4. Schaubildliche Modellierung dynamischer Systeme

54

1.4.1. Kausaldiagramme

56

1.4.2. Pfeil-, Block- und Signalflußdiagramme

61

1.4.3. System-Dynamics-Diagramme

67

1.5-

Implikationen dynamischer MZH-Modelle

69

1.5-1. Zeitverlauf der endogenen Variablen

72

A. Deterministische Modelle

12

B. Stochastische Modelle

74

1.5.2. Stabilitätsverhalten

75

1.5-3- Retrodiktion endogener Variablen

83

1.5-4. Sensitivität eines Modells

87

1.5-5. Stochastische

96

Implikationen

1.6. Methoden der Erschließung von Model 1implikationen

99

1.6.1. Deduktive Erschließung von Model 1imp1ikationen 1.6.2. Pseudoinduktive Erschließung von Model 1implikationen

99 .... 99

1.6.3. Simulation, Simulationsexperiment und Modellexperiment als Erschließungsmethoden von Mode 11implikationen

101

8 A. B e g r i f f l i c h e Deutung der Terme 1 S i m u 1 a t i o n 1 , 1 S i m u 1 a t i o n s e x p e r i m e n t M o d e l 1 e x p e r i m e n t ' und i h r e B e u r t e i lung a l s E r s c h l i e ß u n g s m e t h o d e

102

B. V e r w e n d b a r k e i t r e a l e x p e r i m e n t e l 1 e r V e r f a h r e n a l s s c h l i e ß u n g s m e t h o d e v o n Model 1 impl i k a t i o n e n

10*4

a) Methoden d e r P l a n u n g und A u s w e r t u n g von rimenten

Er-

Realexpe104

b) U b e r t r a g b a r k e i t r e a 1 e x p e r i m e n t e 1 1 er P l a n u n g s - und Auswertungsmethoden auf Modellexperimente 1.7-

Gewinnung und U b e r p r ü f u n g d y n a m i s c h e r M o d e l l e

1 . 7 - 1 • Gewinnung d y n a m i s c h e r

110

Hypothesen

B. Gewinnung d e t e r m i n i s t i s c h e r 1.7.2.

110

Hypothesen

A. Gewinnung s t o c h a s t i s c h e r

111

Hypothesen

122

Uberprüfung dynamischer Hypothesen

124

A. V o r a u s s e t z u n g e n der e m p i r i s c h e n H y p o t h e s e n ü b e r p r ü f u n g a)

F o r d e r u n g nach l o g i s c h e r

Forderung

B. U b e r p r ü f u n g

a)

Konsistenz

133

deterministischer 133

b) E i n z e l f r a g e n der U b e r p r ü f u n g d e t e r m i n i s t i s c h e r pothesen

Hy139

ba) H y p o t h e s e n ü b e r p r ü f u n g anhand von R e t r o d i k t i o n e n

139

bb) H y p o t h e s e n ü b e r p r ü f u n g n e r e l l e n Hypothesen

durch K o n f r o n t a t i o n mit

143

bc)

durch s u b j e k t i v e

Hypothesenüberprüfung zenbewertung

bd) H y p o t h e s e n ü b e r p r ü f u n g blen a)

Zwischenhypothesen b a r e n Model 1 en

ß) Z w i s c h e n h y p o t h e s e n

ge-

Konsequen146

bei

Nichtbeobachtungsvaria151

in i n t e r s u b j e k t i v

nachprüf151

in E n t s c h e i d e r m o d e l l e n

Formen und E r s c h l i e ß u n g s m e t h o d e n

2.1.

dynamischer MZÄ-Modelle

L i n e a r e und n i c h t l i n e a r e M o d e l l f o r m e n

2.1.1. A.

127

129

Hypothesen

G r u n d p r i n z i p i e n der U b e r p r ü f u n g Hypothesen

...

128

Hypothesen

C. U b e r p r ü f u n g d e t e r m i n i s t i s c h e r

126 126

des V a r i a b l e n v e r l a u f e s

nach d e f i n i t o r i s c h e r stochastischer

....

Konsistenz

b) F o r d e r u n g nach E i n d e u t i g k e i t c)

2.

106

164 164

L i n e a r e M o d e l l formen

Lineare Modellformen mit z e i t v a r i a b l e n

157

165 Koeffizienten

166

9

B. Lineare Modellformen mit zeitkonstanten Koeffizienten

168

a) Zeitpfadermittlung durch Funktionslösungen

169

aa) Funktionslösung von Endgleichungen ersten Grades

173

a) Funktions1ösung homogener Endgleichungen sten Grades ß) Funktionslösung sten Grades

er173

inhomogener Endgleichungen er175

ab) Funktionslösung von Endgleichungen zweiten Grades a) Funktions1ösung homogener Endgleichungen ten Grades

179

aa) Funktions1ösung homogener Endgleichungen ten Grades mit ungleichen Wurzeln

zwei-

aß) Funktionslösung homogener Endgleichungen ten Grades mit gleichen Wurzeln

zwei-

179 182

ay) Numerische Beispiele von Funktions1ösungen mogener Endgleichungen zweiten Grades aS)

179

zwei-

ho183

Trigonometrische Form der Funktionslösung homogener Endgleichungen zweiten Grades mit konjugiert komplexen Wurzeln

ß) Funktions1ösung ten Grades

inhomogener Endgleichungen

187

zwei19^

ac) Funktionslösung von Endgleichungen n-ten Grades

198

b) Empirische Kennzeichen linearer Systeme

199

ba) Ubergangsverhalten

202

linearer Systeme

а) Allgemeine Kennzeichnung des Ubergangsverhaltens

... 202

ß) Stabilität als Spezialfall des Ubergangsverhaltens..

208

y) Multiplikatoren als Maßzahlen des haltens

210

Ubergangsver-

б) Koeffizientenkriterien des Ubergangsverha1tens bb) Verhaltensdiagramme

linearer Systeme

c) Höhere Analysemethoden

216

linearer Systeme

ca) Verwendung von Operatoren

221

in linearen Systemen

cb) Endg1eichungsbestimmung anhand graphischer darstellungen

22^ 225

Signa1f1ußdia-

grammen cc) Analyse linearer Systeme anhand von Matrizen a) Grundbegriffe der Matrizenrechnung

221

System-

a) Endgleichungsbestimmung anhand von Blockdiagrammen.. ß) Endgleichungsbestimmung anhand von

21^

232 237 237

10

2.1.2.

ß) E n d g l e i c h u n g s b e s t i m m u n g

anhand von P o l y n o m m a t r i z e n . . 244

y)

linearer

Zustandsraumdarstellung

Systeme und

ihre

Analysemethoden

249

N i c h t l i n e a r e Modellformen

257

A. B e g r i f f l i c h e

K l ä r u n g und e m p i r i s c h e

Interpretation

258

B. A n a l y s e n i c h t 1 i n e a r e r M o d e l l e

264

2.2.

O f f e n e und g e s c h l o s s e n e M o d e l l f o r m e n

2.3-

Z y k l i s c h e und k a s k a d i e r e n d e M o d e l l f o r m e n

2.3-1.

Begriffliche

27k

K l ä r u n g und e m p i r i s c h e

279 Interpretation

A. Z y k l i s c h e und k a s k a d i e r e n d e H y p o t h e s e n B. S e q u e n t i e l l e 2.3.2.

280

Hypothesen

Beziehungen zwischen

287 linear

z y k l i s c h e n und

infinit

s e q u e n t i e l l e n Hypothesen A. U b e r f ü h r u n g z y k l i s c h e r

295

in s e q u e n t i e l l e

Hypothesen

295

a) G e w i c h t s f u n k t i o n und E i n h e i t s i m p u l s a n t w o r t b) E r m i t t l u n g der G e w i c h t u n g s m a t r i x s e q u e n t i e l l e r Matrizenmodelle B. U b e r f ü h r u n g i n f i n i t s e q u e n t i e l l e r i n z y k l i s c h e Hypothesen 2.4.

R e k u r s i v e und i n t e r d e p e n d e n t e M o d e l l f o r m e n

2.4.1.

Begriffliche

K l ä r u n g und e m p i r i s c h e

2.4.2.

A n a l y s e der V e r k n ü p f u n g s s t r u k t u r terdependenter Modelle

A. S t r u k t u r m a t r i z e n

rekursiver

B. S t r u k t u r m a t r i z e n

interdependenter

rekursiver

und

2.5-

in n i c h t l i n e a r e n

2.5-3.

re332 340

interdependenten 340 ¡nterdepen343

u n z e r l e g b a r e und a n n ä h e r n d z e r l e g b a r e

Begriffliche

329

in interdependenten Modellen

b) Z e i t p f a d b e s t i m m u n g denten Modellen

2.5.2. Verknüpfungsdelle

316

325

Modelle

in

2.5.1.

308

324

a) Z e i t p f a d b e s t i m m u n g Model l e n

Zerlegbare, del 1 formen

302

in-

Modelle

linearen

295

316

Interpretation

C. E r m i t t l u n g s t a n d a r d i s i e r t e r S t r u k t u r m a t r i z e n von k u r s i v e n und i n t e r d e p e n d e n t e n M o d e l l e n D. Z e i t p f a d b e s t i m m u n g

280

Mo348

K l ä r u n g und e m p i r i s c h e

Interpretation

und K o m p l e x i t ä t s m a ß e d y n a m i s c h e r

Subsystemabspaltung

348

Mo357

in dynamischen Modellen

369

11

2.6. Deterministische und stochastisehe Modellformen

375

2.6.1. Deterministische Modellformen

376

2.6.2. Stochastische Modellformen

377

A. Begriffliche Klärung und empirische

Interpretation

377

B. Deduktive Analyse stochastischer Modelle

378

a) Analyse eines stochastisehen Modells der Lagerund Bestel1 poli ti k

383

b) Analyse eines stochastisehen MA-Modells

386

C. Pseudoinduktive Analyse stochastischer Modelle a) Grundlagen der Parameterschätzung Model 1imp1ikationen

390

stochastischer 390

b) Varianzreduzierende Verfahren im Rahmen der Parameterschätzung stochastischer Model 1implikationen

395

D. Subjektive Entscheidermodelle und stochastische Analyse.... 396 3. System Dynamics - ein Model 1iprungskonzept dynamischer steme

Sy-

3.1. Aufbau und Wirkungsweise der Modellelemente

399 ^00

3.1.1. Level variablen

400

3.1.2. Flußraten und Hilfsvariablen

i+02

3.1.3. Graphische Darstellung von System-Dynamics-Modellen

408

3.I.A. Exponentielle Bestands- und

Informationsverzögerungen

... 412

A. Exponentielle Bestandsverzögerungen

412

B. Exponentielle

415

Informationsverzögerungen

3-1.5- Tabellenfunktionen und sonstige Makrofunktionen 3.2. Feebackheuristik und Geschlossenheitsprinzip als te der System-Dynamics-Konzeption

4l8

Elemen425

3.2.1. Feedbackheuristik des System-Dynamics-Konzeptes

426

3.2.2. Geschlossenheitsprinzip und System Dynamics

430

A. Singulär offene System-Dynamics-Ansätze a) Kennzeichnung singulär offener Ansätze

430

System-Dynamics430

b) Zur Bestimmung von gleichgewichtigen Levelanfangswerten in singulär offenen System-Dynamics-Ansätzen

433

ba) Makrofunktionen

434

in gleichgewichtigen Modellen

bb) Gleichgewichtsbestimmung von Modellen durch Simulation B. Geschlossene System-Dynamics-Ansätze

436 44o

12

3 - 3 . A n a l y s e m e t h o d e n von S y s t e m - D y n a m ! c s - M o d e l l e n 3-3-1 . Sensitivitätsanalyse

von System-Dynamics-Modellen

A. S e n s ! t i v i t ä t s m a ß e und i h r e Anwendung Dynami c s - M o d e l len

in

445

einer

C. P a r a m e t e r s t o c h a s t i s i e r u n g

und S e n s i t i v i t ä t

Parametrisierung 458

0. S e n s i t i v i t ä t s u n t e r s u c h u n g e n m o d e l l s von Meadows Retrodiktionsanalyse

am B e i s p i e l

des

3-4.1. A.

als Alternative

des

Weltmo479

zum S y s t e m - D y n a m i c s 480

Die I n f i n i t e s i m a 1 p r ä m i s s e des System-Dynamics-Konzeptes und i h r e A b l ö s u n g d u r c h d i e D i s k r e t z e i t p r ä m i s s e

B. E x p o n e n t i e l 1 e V e r w e i 1 z e i t h y p o t h e s e n n i t e s i m a l - und D i s k r e t z e i t p r ä m i s s e

481

alternative 481

im F a l l e der

Infi489

Zur D e f i n i t i o n der d u r c h s c h n i t t l i c h e n V e r z ö g e r u n g e x p o n e n t i e l 1 e r V e r z ö g e r u n g e n d r i t t e r Ordnung

490

b) D i e Bestimmung d e r P a r a m e t e r e x p o n e n t i e l l e r V e r w e i 1 z e i t h y p o t h e s e n bei A k z e p t i e r u n g der I n f i n i t e s i m a l und D i s k r e t z e i t p r ä m i s s e

496

ba) P a r a m e t e r b e s t i m m u n g e n im F a l l e der der I n f i n i t e s i m a 1 p r ä m i s s e

496

bb) Parameterbestimmung Diskretzeitprämisse 3-4.2.

Akzeptierung

im F a l l e der A k z e p t i e r u n g

Die Verwerfung der g e n e r e l l e n m i s s e und i h r e K o n s e q u e n z e n

500 506

Die Verwerfung des G e s c h l o s s e n h e i t s p r i n z i p s re Konsequenzen

3-4.4.

Die Verwerfung der s t a t i s t i s c h e n i h r e Konsequenzen

3-4.5.

der

Informationslevelprä-

3.4.3.

und

ih-

Sonderstellung

und

515 516

Zum S t a t u s der F O L R - M o d e l 1 i e r u n g

4 . R e c h n e r g e s t ü t z t e Systeme z u r E n t w i c k l u n g und A n a l y s e mischer MZÄ-Modelle 4.1.

469

S y s t e m - D y n a m i c s - M o d e l 1 s . . 469

I n f i n i t e s i m a l - und D i s k r e t z e i t p r ä m i s s e a l s Elemente e i n e s M o d e l l i e r u n g s a n s a t z e s

a)

Welt-

von System-Dynamics-Modellen

B. D u r c h f ü h r u n g e i n e r R e t r o d i k t i o n am B e i s p i e l d e l l s von F o r r e s t e r Die FOLR-Model1ierung Konzept

460 463

A. G r u n d l a g e n der R e t r o d i k t i o n e i n e s

3.4.

444

System-

B. S e n s i t i v i t ä t s a n a 1 y s e n bei von T a b e l l e n f u n k t i o n e n

3.3.2.

442

Simulationssysteme

für MZÄ-Modelle

519 dyna522 522

13

4.1.1.

S i m u l a t i o n mit DYNAMO

522

A. K e n n z e i c h e n der DYNAMO-Sprache B. F o r m u l i e r u n g a l l g e m e i n e r

522

dynamischer MZÄ-Modelle mit

DYNAMO

532

a)

Rekursive Modelle

532

b) S i m u l t a n e M o d e l l e

535

4.1.2.

S i m u l a t i o n m i t CSMP

538

A. K e n n z e i c h e n von CSMP

538

B. F o r m u l i e r u n g von S y s t e m - D y n a m i c s - A n s ä t z e n m i t CSMP

541

C. F o r m u l i e r u n g a l l g e m e i n e r d y n a m i s c h e r M Z Ä - M o d e l l e m i t CSMP

544

D. V e r g l e i c h z w i s c h e n DYNAMO und CSMP 4.1.3.

546

S i m u l a t i o n m i t FORTRAN

548

A. S i m u l a t i o n von S y s t e m - D y n a m i c s - M o d e l 1 en m i t FORTRAN a)

Probleme n a m i c s - M o dder e11 A enn f a n g s w e r t b e s t i m m u n g

in

System-Dy-

b) A u f b a u des FORTRAN-Programms c)

4.2.

Differenzengleichungen

548 553

S i m u l a t i o n e i n e s im S y s t e m - D y n a m i c s - K o n z e p t benen P r o d u k t i o n s - und L a g e r h a 1 t u n g s s y s t e m s FORTRAN

B. S i m u l a t i o n k l a s s i s c h e r FORTRAN

548

beschriemit 561 mit 565

S c h ä t z - und A n a l y s e s y s t e m e f ü r d y n a m i s c h e M Z Ä - M o d e l l e

567

4 . 2 . 1 . SIMPLAN

567

4.2.2.

EPL

567

4.2.3.

COMOS

568

4.2.4.

TROLL

569 58O

Anhang 1. U n t e r s u c h u n g d e r S e n s i t i v i t ä t m i t R ü c k s e t z u n g anhand F e r t i g u n g s m o d e l l s (DYNAMO)

eines

2. R e t r o d i k t i o n s v o r s p a n n

(DYNAMO) . . 582

3.

für ein System-Dynamics-Model1

580

D r e i d i m e n s i o n a l e r Sucha1 g o r i t h m u s z u r P a r a m e t e r b e s t i m m u n g e x p o n e n t i e l 1 er V e r w e i 1 z e i t h y p o t h e s e n (FORTRAN)

4 . M a k r o f u n k t ion DELATO (DYNAMO) 5. FORTRAN-Unterprogramme f ü r e i n e F O R T R A N - V e r s i o n z u r s t e l l u n g v o n S y s t e m - D y n a m i c s - M o d e l 1 en

584 587

Dar588

Literaturverzeichnis

592

Regi s t e r

608

Einleitung

Komplexe dynamische Simulationsmodelle haben sich in den letzten Jahren zu einem wichtigen Beschreibungs- und Ana 1yseinstrument der wirtschafts- und sozia1wissenschaft1ichen

Forschung entwickelt.

Diese

Entwicklung wurde in der Vergangenheit vor allem durch das zunehmende Angebot an computergestützten Systemen zur Modellierung,

Schät-

zung und Analyse dynamischer Modelle ermöglicht. Die Tatsache, daß immer mehr Wissenschaftler auf ein ständig

anwach-

sendes und leicht zu handhabendes Model 1ierungs- und Analysepotential zurückzugreifen vermögen, birgt große Möglichkeiten, aber auch Gefahren. Eine dieser Gefahren dürfte in der Versuchung delling without theory

1

liegen, ein

zu praktizieren, d.h. die ohne

'mo-

tiefergehende

theoretische Kenntnisse rezeptartige Anwendung bestimmter

Modellie-

rungskonzepte . Diese Arbeit verfolgt das Ziel, sowohl die technischen Probleme der Systemsimulation detailliert und an Beispielen aufzuzeigen, als auch die theoretischen Grundlagen der Struktur,

Interpretation und Analy-

se dynamischer Modelle in systematischer Weise darzustellen. Sie gliedert sich in vier Kapitel, von denen die ersten beiden der theoretischen Grundlegung dienen, während sich die restlichen zwei Kapitel den konkreten Methoden und Techniken der dynamischen

System-

simulation zuwenden. Das erste Kapitel, welches formal weniger scharf gefaßt

ist, soll

möglichst anschaulich und von technischen Einzelheiten befreit,

in

die Grundlagen und Probleme der Analyse dynamischer Systeme einführen . Ausgegangen wird von der Präzisierung eines bestimmten Typs dynamischer Modelle, den metrischen, zeitdiskreten, äquidistanten Modellen. Auf der Basis dieses Model 1typs werden die begrifflichen

Elemen-

te zur Kennzeichnung dynamischer Modelle eingeführt. Es folgt eine Erörterung der wichtigsten

Implikationen dynamischer Mode 11ansätze

1 5

s o w i e e i n e e r s t e S k i z z i e r u n g der v e r s c h i e d e n e n kung d i e s e r

Implikationen.

'Logiken'

A b s c h l i e ß e n d werden e i n i g e

V e r f a h r e n z u r Gewinnung und e m p i r i s c h e n U b e r p r ü f u n g von thesen Während

im e r s t e n K a p i t e l

Modellhypo-

e i n e G r u n d l e g u n g und U b e r s i c h t des

bengebietes der A n a l y s e dynamischer

wird die s p e z i e l l e empirische

soll

offen-geschlossen disku-

I m p l i k a t i o n e n b e s c h r i e b e n und

m a t h e m a t i s c h e n Methoden i h r e r O f f e n l e g u n g Kapitel

oder

knüpft

bestimmter

Interpretation dieser Modelle

e s werden t y p e n s p e z i f i s c h e

Aufga-

Systeme v e r m i t t e l t w i r d ,

an s p e z i e l l e M o d e l l f o r m e n a n . Anhand

p o l a r e r Model 1 b e g r i f f e w i e l i n e a r - n i c h t l i n e a r

Dieses

Aufdek-

dargestellt.

das zweite K a p i t e l

tiert;

zur

grundlegende

die

dargestellt.

eine theoretische Basis

schaffen, die

im Rahmen

d e r S i m u l a t i o n d y n a m i s c h e r M o d e l l e zu e i n e r e r h ö h t e n m e t h o d i s c h e n cherheit führt

sowie e i n H i n t e r g r u n d w i s s e n

s c h a f f t , w e l c h e s zu e i n e r

a u s g e w o g e n e n und u m f a s s e n d e n B e u r t e i l u n g der M ö g l i c h k e i t e n e i n e r kret anstehenden Modellentwicklung

das e r s t e Kapitel tel

sei

2 überspringen.

schüben, sind die

(vielleicht als

ständlich. namischer lung e i n e s

vorläufigen)

theoretische

Basis

Kapitel

durchzuar-

Auffassung ausreichend,

Denn, a b g e s e h e n v o n e i n i g e n

auch ohne d i e K e n n t n i s v o n K a p i t e l

S y s t e m m o d e l l e v e r t r a u t machen w o l l e n , w e i l bestimmten M o d e l l s b e a b s i c h t i g e n ,

sie die

2 auszulassen.

Bedürfnis

nach e i n e r

Bedürfnisses

l i e g t es n a h e , K a p i t e l

stimmter M o d e l I t y p e n n a c h t r ä g l i c h

konzept

Kapitel

nach

Modells her

motiUber-

Befriedigung

2 zumindest b e z ü g l i c h

be-

durchzuarbeiten.

w i r d das heute sehr g e b r ä u c h l i c h e

'System Dynamics'

sogar

stärkeren methodisch-theoretischen Zur

dy-

Entwick-

Spätestens

s i c h z u m e i s t e i n e c h t e s , a u s der A u f g a b e n s t e l l u n g

Im d r i t t e n

Fra-

2 ver-

i s t es v i e l l e i c h t

p r ü f u n g und F u n d i e r u n g d e s e i g n e n V o r g e h e n s e i n . dieses

KapiEin-

technischen

dem e r s t e n E n t w u r f und der n a c h f o l g e n d e n S i m u l a t i o n e i n e s

viertes

kann

Für L e s e r , d i e s i c h m i t den Methoden z u r U n t e r s u c h u n g

eine s i n n v o l l e S t r a t e g i e , das K a p i t e l

stellt

anhängt,

theoretischen

in den F o l g e k a p i t e l n d i s k u t i e r t e n

gen der M o d e l l s i m u l a t i o n

kon-

führt.

Wer n i c h t d i e Z e i t o d e r a u c h Geduld h a t , d i e s e s b e i t e n , o d e r wer der

Si-

beschrieben,

Modellierungs-

anhand von B e i s p i e l e n

darge-

16

gestellt und kritisch diskutiert.

Der Erörterung dieses

schließt sich die Beschreibung zweier Verfahren zur

Konzeptes

Sensitivitätsana-

lyse und Retrodiktion von System-Dynamics-Modellen an. Anknüpfend an die kritisch diskutierten Prinzipien des System Dynamics wird eine als FOLR-Model1ierung bezeichnete Alternative zu dieser tion vorgeschlagen und ausführlich

Konzep-

begründet.

Das vierte Kapitel wendet sich den computergestützten Techniken der Behandlung dynamischer Modelle zu. Die Simulationssprachen

DYNAMO

und CSMP werden anhand von Beispielen beschrieben und miteinander verglichen. Die Anwendung von FORTRAN zur Simulation von System-Dynamics-Model1en und klassischen Differenzengleichungsmodellen eingehend erörtert. Das Kapitel

schließt ab mit der

wird

Darstellung

der heute maßgebenden Schätz- und Simu1ationssysteme SIMPLAN, EPL, COMOS und TROLL. Was hat der Leser davon, wenn er dieses Buch teilweise oder vielleicht sogar vollständig durchgearbeitet hat? - Es bleibt zu hoffen, daß er das Terrain klarer überschaut, daß er in die Lage versetzt worden ist, seine eigene Tätigkeit beim Arbeiten mit dynamischen Modellen methodisch besser einzuordnen, daß er sich mit den Methoden zur Analyse dynamischer Systeme vertraut gemacht hat, aber auch

ihre

Grenzen einzuschätzen vermag. Diese erhöhte methodische Sicherheit beim Arbeiten mit

dynamischen

Modellen sollte einhergehen mit der Vermittlung profunder

Kenntnisse

in der Technik der Simulation dynamischer Modelle. Erst, wenn ein Model 1entwickler ein Kenntnis- und Anwendungsniveau erreicht hat, welches die Simulation und Analyse eines Modells zu einer

routine-

mäßigen Tätigkeit werden läßt, dann kann er sich voll der wesentlichen Aufgabe jeder Modellentwicklung widmen: der

Hypothesengewin-

nung . Man kann die triviale Wahrheit nicht oft genug wiederholen:

jedes

dynamische Modell steht und fällt mit der Gültigkeit seiner

zeitin-

varianten Hypothesen. Uber die Methoden zur Aufstellung solcher Hypothesen wird

in dieser Arbeit nicht viel gesagt und kann auch nicht

17

viel liche

g e s a g t werden.

Der Grund

Induktionslogik,

sengewinnung g i b t ,

d.h.

ist

f o l g e n d e r : weil

k e i n z w i n g e n d e s V e r f a h r e n der

ist die Auffindung

pothesen d i e entscheidende

es k e i n e

kreative

testbarer,

verbindHypothe-

zeitinvarianter

In den n ä c h s t e n J a h r e n w i r d d i e

i n t e g r i e r t e computergestützte

dung sowohl d e d u k t i o n s l o g i s c h e r

Verfahren a l s

scher Parameterschätztechniken breitet

auch

s e i n , daß das Problem der H y p o t h e s e n g e w i n n u n g

immer

hervortreten

im A u f f i n d e n e m p i r i s c h entscheidet

Relevanz dynamischer

i n den W i r t s c h a f t s -

wi s s e n s c h a f t e n .

ver-

stärker

wird.

gehaltvoller

und b e w ä h r t e r V e r h a l t e n s h y p o t h e s e n Systemmodelle

Anwen-

induktionslogi-

so v e r e i n f a c h t werden und w e i t

a l s das K e r n p r o b l e m j e d e r Model 1 e n t w i c k 1 u n g M i t dem E r f o l g o d e r M i ß e r f o l g

Hy-

L e i s t u n g e i n e s Model 1 e n t w i c k l e r s .

sich die

praktische und

Sozial-

1. Kennzeichnung dynamischer Systeme und Modelle

Unser e r s t e s

Ziel

i s t es, eine V o r s t e l l u n g

A n a l y s e dynamischer

S y s t e m e zu v e r m i t t e l n .

vom P r o b l e m k o m p l e x Wir beginnen m i t

einer

einer

K l ä r u n g d e r B e z i e h u n g e n z w i s c h e n e i n e m S y s t e m und dem M o d e l l , ches d i e s e s System b e s c h r e i b e n s o l l . eine K l a s s i f i z i e r u n g und b e s c h l i e ß e n ,

Daran a n s c h l i e ß e n d

für die

ein nach-

begrifflichen

B a s i s werden d i e Z i e l e und Methoden d e r A n a l y s e d y n a m i s c h e r an e i n f a c h e n B e i s p i e l e n

Systeme

demonstriert.

A b s c h l i e ß e n d w i r d d a s Problem der e m p i r i s c h e n Adäquanz Systemmodelle behandelt.

dynamischer

S e i n e f u n d a m e n t a l e Bedeutung w i r d

wenn man s i c h k l a r m a c h t , daß j e d e noch so d i f f i z i l e dells

wir

der B e s c h r e i b u n g s f o r m e n d y n a m i s c h e r S y s t e m e

e i n e bestimmte S y s t e m b e s c h r e i b u n g s f o r m

f o l g e n d e n B e t r a c h t u n g e n zu Grunde zu l e g e n . A u f d i e s e r

dell

wel-

führen

deutlich,

Analyse eines

immer dann zu einem s i n n l o s e n U n t e r f a n g e n w i r d , wenn e i n das zu b e s c h r e i b e n d e S y s t e m n i c h t h i n r e i c h e n d a d ä q u a t

Mo-

Mo-

wider-

s p i egel t .

1.1. Systeme und Modelle

Es s o l l tes

n i c h t unsere Aufgabe s e i n , e i n e p r ä z i s e D e f i n i t i o n

'System'

zu l i e f e r n .

In e i n e r g e r i n g f ü g i g e n

Einengung

des W o r jedoch

w o l l e n w i r nur dann von einem S y s t e m s p r e c h e n , wenn d a r u n t e r durch Beobachtungen a u f w e i s b a r e r unter diese D e f i n i t i o n

ein

Zusammenhang v e r s t a n d e n w i r d .

Die

f a l l e n d e Objektmenge h ä n g t e n t s c h e i d e n d

von

der A u s l e g u n g des B e g r i f f e s

der B e o b a c h t b a r k e i t

t i v e n F a s s u n g des B e o b a c h t u n g s b e g r i f f e s

ab.

In e i n e r

restrik-

umfaßt e i n S y s t e m nur m a -

19

terielle

Phänomene w i e e i n e Uhr o d e r e i n e Dampfmaschine.

man den B e g r i f f s u m f a n g , ziehungen a l s

indem auch n u r

indirekt konstatierbare

B e o b a c h t u n g e n a n g e s e h e n w e r d e n , s o können auch

kalische Kraftfelder,

betriebliche Organisationen,

schen g e s e l l s c h a f t l i c h e n des a l s

Erweitert

Gruppen o d e r d a s

System bezeichnet

Be-

physi-

Beziehungen

'Rechtssystem1

zwi-

eines

Lan-

werden.

V o r e r s t w o l l e n w i r e s bei d i e s e r e r s t e n A u f h e l l u n g des

Systembegriffs

b e l a s s e n und uns ohne w e i t e r e P r ä z i s i e r u n g der F r a g e zuwenden: Wie g e l a n g t man zu n i c h t u n m i t t e l b a r e i n s i c h t i g e n g e n s c h a f t e n und W i r k u n g s w e i s e n b e s t i m m t e r Die Antwort

I n f o r m a t i o n e n über

l a u t e t : Man e n t w i c k l e e i n M o d e l l

des b e t r e f f e n d e n

und v e r s u c h e , anhand d i e s e s M o d e l l s d i e noch n i c h t b e k a n n t e n s c h a f t e n des S y s t e m s Modell

ist

hier

Ei-

Systeme? Systems Eigen-

herauszufinden.

im ganz a l l g e m e i n e n S i n n e e i n e r A b b i l d u n g

D i e s e A b b i l d u n g kann r e i n v e r b a l s p r a c h l i c h e r

Art sein.

gemeint.

Man

spricht

dann von V e r b a l m o d e l 1en. M o d e l l e können auch v e r e i n f a c h t e und v e r k l e i n e r t e nes Zusammenhangs zum A u s d r u c k b r i n g e n w i e etwa k a r t e oder e i n e s

Planetariums.

gen w i r d d i e B e z e i c h n u n g

Für d e r a r t i g e m a t e r i e l l e

i k o n i sehe M o d e l l e

Uns i n t e r e s s i e r e n j e d o c h a l l e i n dell

werden d i e

hand e m p i r i s c h

Nachbildungen

im F a l l e e i n e r

eiLand-

Nachbildun-

verwendet.

Symbolmodelle.

Durch e i n

Symbolmo-

I n f o r m a t i o n e n über d a s zu b e s c h r e i b e n d e System a n interpretierter

Symbole r e p r ä s e n t i e r t .

Bilden

diese

Symbole und i h r e V e r k n ü p f u n g s w e i s e n z u g l e i c h d i e Symbole und O p e r a tionsbegriffe soll

e i n e r bestimmten m a t h e m a t i s c h e n K a 1 k ü l s p r ä c h e ,

v o n einem mathemati sehen M o d e l l

So i s t d i e l i n e a r e

gesprochen

dann

werden.

Funktion

K = 100 + 10X beispielsweise

e i n mathematisches

daß s i e den V e r l a u f gigkeit

M o d e l l , wenn man d a v o n

der K o s t e n e i n e s

bestimmten B e t r i e b e s

von der p r o d u z i e r t e n Menge b e s c h r e i b t , wobei

r i s c h e Deutung der Symbole

gilt:

K: G e s a m t k o s t e n des B e t r i e b e s

(DM)

ausgeht, in A b h ä n -

folgende

empi-

20

X: P r o d u k t i o n s m e n g e des B e t r i e b e s 10: S t ü c k k o s t e n

100: M e n g e n u n a b h ä n g i g e K o s t e n Um e i n m a t h e m a t i s c h e s M o d e l l lineare

(DM)

h a n d e l t es s i c h , weil

Funktion ein algebraischer

bar e r k e n n b a r e s

Strukturmerkmal

schriebenen Modells

(Stück)

(DM/Stück)

bildet

ten D u r c h s c h n i t t s k o s t e n

Ausdruck

und d a h e r e i n e

die

verwendete

Ein nicht

unmittel-

I m p l i k a t i o n des

b e i s p i e l s w e i s e der V e r l a u f der

in A b h ä n g i g k e i t

w e l c h e r anhand des M o d e l l s

ist.

be-

sogenann-

von der P r o d u k t i o n s m e n g e

bestimmt werden k a n n . Er w i r d d u r c h

X,

die

Funktion K/X = 10 + 100/X beschrieben.

Damit

sen: Entwicklung

i s t der Grundgedanke j e d e r S y s t e m a n a l y s e

eines

Systemmodells

nen, w e l c h e dem S y s t e m u n t e r s u c h e r

und Gewinnung v o n

bisher

umris-

Informatio-

n i c h t bekannt waren,

g e e i g n e t e Methoden a b e r a u s dem S y s t e m m o d e l l

durch

e r s c h l o s s e n werden

kön-

nen . Da w i r b e a b s i c h t i g e n , v e r s c h i e d e n e A r t e n d y n a m i s c h e r im H i n b l i c k a u f bracht,

i h r e B e s o n d e r h e i t e n zu d i s k u t i e r e n ,

Differenzierungen

w e i s e werden

vorgenommen werden k ö n n e n .

I n d i v i d u e n m e n g e n anhand b e s t i m m t e r

ange-

ergibt

s i c h aus der F e s t l e g u n g ,

daß a l l e

be-

Üblicher-

beobachtbarer

male i n T e i l m e n g e n und damit A r t e n d i f f e r e n z i e r t . del'

i s t es

k u r z der F r a g e n a c h z u g e h e n , a u f w e l c h e W e i s e ü b e r h a u p t

griffliche

enmenge

Systemmodelle

Merk-

Die Teilmenge

Elemente der

'Pu-

Individu-

' H u n d ' , welche e i n e Reihe bestimmter Beobachtungsmerkmale a u f -

weisen, a l s

Pudel

zu b e z e i c h n e n s i n d .

Im S i n n e d i e s e s

t i o n s v e r f a h r e n s muß e i n S y s t e m , w e l c h e s man a l s n e t , e i n Beobachtungsmerkmal

besitzen,

bei

Klassifika-

dynamisch

bezeich-

d e s s e n V o r h a n d e n s e i n man

l a u t V e r e i n b a r u n g v o n einem d y n a m i s c h e n S y s t e m s p r e c h e n s o l l . man j e d o c h v o r h a n d e n e Systeme a l l e i n T e i l k l a s s e n wie o f f e n e , geschlossene, klassifizieren,

Will

nach B e o b a c h t u n g s m e r k m a l e n komplexe o d e r

so d ü r f t e schon e i n e E i n i g u n g

kommenden B e o b a c h t u n g s m e r k m a l e s c h w i e r i g

sein.

ultrastabile

über d i e

in

Frage

in

21

Wegen d i e s e r fizierung

S c h w i e r i g k e i t e n werden w'rr e i n e a n d e r e A r t der

von Systemen verwenden, d i e a l s model1 a b h ä n g i g e

k l a s s i f i z i e r u n g b e z e i c h n e t werden k a n n . Will

I h r Grundgedanke

man e i n b e s t i m m t e s S y s t e m k l a s s i f i z i e r e n ,

Klassifikation

Klassi-

Systemlautet:

so e r f o l g t

diese

anhand der Merkmale e i n e r Model 1 k l a s s e , d u r c h

das System in adäquater Weise b e s c h r i e b e n w i r d . man einem bestimmten S y s t e m

die

Dies bedeutet,

i n s o f e r n eine bestimmte E i g e n s c h a f t

s c h r e i b e n k a n n , a l s es s i c h d u r c h e i n e n bestimmten M o d e l l t y p den

daß zu-

abbil-

läßt.

In d i e s e m S i n n e s o l l

dann von einem d y n a m i s c h e n S y s t e m

gesprochen

w e r d e n , wenn d i e zu Grunde l i e g e n d e n Phänomene von einem d y n a m i s c h e n Modell

i n a d ä q u a t e r W e i s e r e p r ä s e n t i e r t werden können.

dieser

Sprachregelung

durch e i n

bildet ein empirischer

l i n e a r e s dynamisches Modell

dynamisches

Zusammenhang, der

abbilden

läßt,

ein

identifiziert.

ihm a d ä q u a t e n

Wenn im f o l g e n d e n v o n der A n a l y s e

delle Es s e i

Beziehungszusammenhänge,

in adäquater

Analyse

die mit H i l f e dynamischer

Form r e p r ä s e n t i e r t werden

schon v o r g e g r i f f e n ,

Mo-

dynamischer

S y s t e m e g e s p r o c h e n w i r d , dann h a n d e l t es s i c h a l s o um d i e empirischer

sich

lineares

System.

E i n System w i r d damit g l e i c h s a m mit H i l f e e i n e s dells

Entsprechend

Mo-

können.

daß im f o l g e n d e n v o n dem B e g r i f f

eines

d y n a m i s c h e n M o d e l l s a u s g e g a n g e n w i r d , der dazu f ü h r t , daß d y n a m i s c h e M o d e l l e e i n e T e i l k l a s s e der S y m b o l m o d e l l e b i l d e n . F o l g e , daß s i c h d i e A n a l y s e d y n a m i s c h e r Rahmen d e r A n a l y s e d y n a m i s c h e r

D i e s hat

Systeme a u s s c h l i e ß l i c h

zur im

( S y m b o l - ) M o d e l 1e v o l l z i e h t .

1.2. Dynamische Modelle als Repräsentanten dynamischer Systeme Was u n t e r einem d y n a m i s c h e n M o d e l l F r a g e der D e f i n i t i o n . ten B e g r i f f

v e r s t a n d e n werden s o l l ,

Im f o l g e n d e n w o l l e n w i r den von uns

ist

eines dynamischen Modells durch eine s u k z e s s i v e

rung v o n d r e i

Kennzeichen

festlegen.

eine

verwendeEinfüh-

22

Erstes

Kennzeichen:

sein; d.h. sprache

in Abbildung

eines

s y m b o l i s i e r t e n Zusammenhanges z e i g t

12.1 d a r g e s t e l l t e S y m p a t h i e - A n t i p a t h i e - S c h e m a D i e e i n z e l n e n P e r s o n e n werden d u r c h d i e

repräsentiert;

die Pfeilspitze

d e r j e n i g e n P e r s o n , v o n der der P f e i l dem K r e i s ,

wird.

12.1

Dieses Modell

ist

Kennzeichen:

lisierten

ein S eingetragen,

unsympathisch

zwar v o l 1 S y m b o l i s i e r t ,

erfüllt

zu f o r d e r n d e

in

so

Das

Sym-

beurteilt

Bei-

jedoch

nicht

Merkmal.

Die mit H i l f e eines dynamischen M o d e l l s

symboge-

sein.

B e z e i c h n e t man etwa den Umsatz e i n e s Periode t = l , 2 , 3 . . .

bestimmten Unternehmens

m i t U ( t ) , und l ä ß t s i c h d i e

Perioden beobachtete Umsatzentwicklung darstellen,

U(t)

Ist

E r e i g n i s s e o d e r Z u s t ä n d e müssen d u r c h e i n e n Z e i t i n d e x

kennzeichnet

nähernd

beurteilt wird.

Sympathie-Antipathie-Schema zwischen Personen a l s spiel eines einfachen symbolisierten Modells

d a s f o l g e n d e von einem d y n a m i s c h e n M o d e l l Zweites

zwischen

Buchstaben

s y m p a t h i s c h empfunden.

U d a g e g e n b e d e u t e t , daß d i e P e r s o n a l s

Abb.

das

z e i g t d i e P e r s o n a n , d i e von ausgeht,

der den P f e i l s c h a f t u n t e r b r i c h t ,

w i r d d i e zu b e u r t e i l e n d e P e r s o n a l s bol

Symbol-

werden.

Beispiel

Personen.

A,B,C

muß v o l 1 S y m b o l i s i e r t

d i e a b z u b i l d e n d e n Zusammenhänge müssen d u r c h e i n e

repräsentiert

Ein einfaches

drei

E i n dynamisches Modell

= 10000 + 6 0 0 t

i n den

i n der

vergangenen

durch folgende Beziehung

an-

23

dann s i n d f ü r d i e s e s M o d e l l und 2 e r f ü l l t . zeitlicher

der U m s a t z e n t w i c k l u n g

die Kennzeichen 1

M o d e l l e , d i e d i e F o r d e r u n g nach S y m b o l i s i e r u n g

Indizierung

erfüllen,

b e z e i c h n e t man a l s

und

historisehe

oder

k i net i s e h e M o d e l l e . Nicht vorhanden

i s t jedoch

mal d y n a m i s c h e r

Modelle:

Drittes

Kennzeichen:

in d e r a r t i g e n M o d e l l e n das d r i t t e

Merk-

D y n a m i s c h e M o d e l l e müssen z u m i n d e s t e i n e

zeit-

i n v a r i a n t e Verknüpfung zweier z e i t l i c h gegeneinander v e r z ö g e r t e r eignisse

Er-

aufweisen.

Eine z e i t i n v a r i a n t e verzögerte Verknüpfung zweier E r e i g n i s s e t e t , daß e i n e B e z i e h u n g der f o l g e n d e n A r t

bedeu-

in das Modell mit

aufge-

nommen wi r d : Wenn e i n E r e i g n i s A zum Z e i t p u n k t

t r e a l i s i e r t wird,

immer e i n E r e i g n i s B zum Z e i t p u n k t Symbolisch A(t)

t+At

dann w i r d

realisiert.

formuliert: ->-

B ( t +A t)

(12.1)

D i e v e r z ö g e r t e B e z i e h u n g z w i s c h e n den E r e i g n i s s e n A und B w i r d gen a l s z e i t i n v a r i a n t

bezeichnet, weil

t=...,-2,-1,0,1,2,...

gelten s o l l .

sie für beliebige

Verzögerung

in welcher eine

in denen u n t e r V o r g a b e e i n e s z e i t l i c h e n

Existenz einer stets gleichbleibenden zeitlichen einem ' W e n n e r e i g n i s 1

A und einem

werden a l s d y n a m i s c h e H y p o t h e s e n

zeitliche

'Dannereignis1

Derartige

dargestellte

Verknüp-

Bezugssystems Differenz

die

zwischen

B gefordert

wird,

bezeichnet.

D y n a m i s c h e H y p o t h e s e n kann man im H i n b l i c k a u f d i e einen Pfeil

(12.1)

z w i s c h e n dem A u f t r e t e n der d u r c h d i e Wenn- und Dann-Kom-

ponente beschriebenen E r e i g n i s s e behauptet w i r d . fungen,

Perioden

Der Symbol Zusammenhang

l ä ß t s i c h a l s Wenn-Dann-Aussage deuten,

deswe-

in

(12.1)

durch

F o l g e b e z i e h u n g wiederum i n determi ni s t i s c h e

und s t o c h a s t i sehe H y p o t h e s e n u n t e r g l i e d e r n . n i s t i s c h e n H y p o t h e s e b e d e u t e t der P f e i l :

Im F a l l e e i n e r

determi-

' f o l g t mit S i c h e r h e i t ' ,

rend bei V o r l i e g e n e i n e r s t o c h a s t i s c h e n H y p o t h e s e d a s E i n t r e t e n Folgeereignisses t e t wi r d .

nur m i t e i n e r bestimmten W a h r s c h e i n l i c h k e i t

wähdes

behaup-

21»

Beispielsweise der

Periode

Periode

soll

t mit

t+1 m i t

das

Die

Ka(t)

0 , 5

Modellen

der

Ware A d u r c h Kauf

bezeichnet die

Ware

den

derselben

werden.

Ist

Modell

Konsumenten

Ware d u r c h weiterhin

zurückgreift

stochastisehe

zwischen

ist

noch a u s f ü h r l i c h Unterscheidung

der

0,5,

so

M

M in

in der

die

Wahr-

läßt

sich

formulieren:

» Ka(t+1)

Unterscheidung

mischen

und

daß M auf

dynamische,

Ka(t)

Kauf

Ka(t+1)

scheinlichkeit, damit

der

von

deterministisch-

fundamentaler

beschäftigen.

und

stochastisch-dyna-

Bedeutung

Vorerst

soll

es

und w i r d

uns

später groben

nur

bei

dieser

Teilklasse

der

dynamischen

bleiben.

1.2.1. Metrisch dynamische Modelle Metrisch

dynamische

Modelle.

Von

den, sen Dies

an einem einer

U

ein

wäre

sationen andere U

1 30

Eine zur 1

in

mit

als

Modell

quantitative)

U^q

Größen

demonstriert:

Höhe v o n

gesprochen

DM m i t

wer-

bezeichneten

repräsentiert

Bezeichnet

1 0 000

qqq^)

soll

Ereignisse

man d i e

W^ Q 0 0 0 ^ s o

^100

t _

Grös-

werden. Werbe-

^'

^

a n n

0

'

c en

'

m a n

aufstellen:^

ein

Umsatz

(oder

eine

dynamischen

allgemein

Beispiel

ooo(t-i:)

100

nur

Firma

entsprechend

Behauptung

Dies

bisher

durch metrische sei

bilden

einem m e t r i s c h

wenn d i e

ausgaben satz

Modelle

W

0 0 0 ^

ooo^"1)

10

einfacher

U^q

von

A

ooo(t)

130

dynamisch metrischer s

c

' her unc

U^QQ

Kombinationen

U

der

'

nicht

nur

^10

0 0 0 ^

Realisation

von

f ü r

t

=

Modellansatz.

allein

als

Folge

auftreten, U(t-1)

und

1

'--Nun

der

sondern W(t-l)

wird

Realiauch

führen

zu

0 0 0 ^ erschöpfende Folge

haben,

Aufzählung hat

die

aller

Kombinationen,

die

U^g

o o o ^

Form:

Das a u s s a g e n l o g i s c h e Symbol A e n t s p r i c h t der s p r a c h l i c h e n F o r m u l i e rung ' u n d ' , e n t s p r i c h t ' w e n n . . . d a n n ' , = i s t z u l e s e n ' d a n n und n u r d a n n ' , und > — < e n t s p r i c h t ' o d e r ' im a u s s c h l i e ß e n d e n S i n n e .

25

U

130 o o o ( t )

s

[u

ooo^"1)

ioo

A

w

io

o o o ^ ^ l - - - ^ (12.2)

Die

leeren eckigen

von U

(t-1)

Klammern deirten d i e a l t e r n a t i v e n

und W . . . ( t - 1 )

an, d i e U ^ g

I n manchen F ä l l e n e r w e i s e n s i c h Umsatz U ( t )

als

Formelausdruck

b i n a t i o n e n U_ _ _ ( t - 1 ) Ein solcher U

wobei

130

000(t)

=

haben.

Die Größen f , r

und S s t e l l e n

den r e l a t i v e n

S bildet

der F o r m e l a u s d r u c k

für einen beliebigen

die

(12.3)

die

den

(12.3)

und W . . . ( t - 1 )

die

interpretiert

Umsatz U . . . ( t )

Gleichung

-1]U(t-1)

?

charakteri-

bei A b w e s e n h e i t j e g l i c h e r

nicht

Kom-

Form:

f- - n u ( t - l )

des Werbeaufwandes

der Werbeausgaben

haben.

angeben.

bestimmte Konstanten d a r :

Umsatzverlust

ein Sättigungsniveau

fizienzfaktor

(12.2)

U_ _ _ (t-1) + f

zu b e f r i e d i g e n

siert

in

+

-

Folge

adäquat,

ihn bewirkenden a l t e r n a t i v e n

"

die möglichen Alternativen 130 000 = r W ( t - l )

Soll

der

hat b e i s p i e l s w e i s e

r W ( t _ 1 )

zur

nun H y p o t h e s e n a l s

und W . . . ( t - 1 )

Formelausdruck

(t)

Kombinationen

nur f ü r

und

Werbung,

r kann a l s

Ef-

werden. U^Q

g e l t e n , dann

gOO^'

s o n c

lautet das

'ern

dynami-

s c h e Model 1 : U(t) Dieser

= rW(t-l)

Ansatz

Er b i l d e t schaft,

ist

*'

1 )

+ f

-1]U(t-1)

v o n V I D A L E und WOLFE a u f g e s t e l l t dynamisches Modell

mit der

rechten S e i t e stehenden V a r i a b l e n

Metrisch

dynamische

Die folgenden

dynamische Modelle d i e s e r

F u n k t i o n s m o d e l 1e b e z e i c h n e t Betrachtungen

beschränkt werden.

sind.

r W (

worden

[2151-

besonderen

daß d i e a b h ä n g i g e V a r i a b l e U d u r c h e i n e f o r m e l m ä ß i g e

stimmt w i r d .

delle,

[

ein metrisches

fung der auf der

als

-

sollen

Damit e n t f ä l l t

in denen n i c h t m e t r i s c h Als

Beispiel

dieser

fast

Art

Eigen-

Verknüp-

und K o n s t a n t e n sollen

be-

fortan

werden.

auf dynamische die Untersuchung

Funktionsmodelle dynamischer

faßbare Zustände miteinander ausschließlich

Mo-

verknüpft

(nichtmetrischen)

sto-

26

chastischen Modelle sei die einfachste Form eines

Markenwechslermo-

dells angeführt. Wir unterscheiden zwei Marken A und B und

unterstel-

len, daß ein Käufer, der in Periode t die Marke A gekauft hat, in Periode t+1 mit einer Wahrscheinlichkeit von P ^ = 0 , 6 die Marke A und mit einer Wahrscheinlichkeit von P. D =0, i t die Marke B kauft. AD

Ein Käufer, der in Periode t die Marke B gekauft hat, soll sich in der nächsten Periode mit einer Wahrscheinlichkeit von

für

die Marke A und mit einer Wahrscheinlichkeit von Pgg=0,7 für die Marke B entscheiden. Schematisch lassen sich die beschriebenen Beziehungen durch die folgende Skizze darstellen.

Abb. 12.2

Beispiel eines nichtmetrisch dynamischen

Modells

Im Gegensatz zu einem metrischen Modell, in welchem die zu beschreibenden Größen

(in einem bestimmten Definitionsbereich) durch

reelle

Zahlen ausgedrückt werden, ist die zu beschreibende Größe in diesem Modell nur durch zwei alternativ mögliche und nur qualitativ schreibbare Zustände faßbar: den Zuständen und

be-

'Käufer erwirbt Marke A'

'Käufer erwirbt Marke B'.

Solche nichtmetrisch dynamischen Modelle werden in der folgenden Untersuchung nicht

berücksichtigt.

Eine tatsächlich starke Einschränkung des Anwendungsbereiches

der

Analyse dynamischer Systeme wird mit der Beschränkung auf m e t r i s c h dynamische Modelle jedoch nicht bewirkt. Denn schätzungsweise 95 Prozent aller heute bekannten dynamischen Modelle dürften den m e trischen Modellen zugeordnet werden können.

27

Die E i g e n s c h a f t e n d i e s e r m e t r i s c h dynamischen Modelle s o l l e n stärker

h e r a u s g e a r b e i t e t w e r d e n . Da a l l e m e t r i s c h e n Größen i n

mischen Modellen durch einen Z e i t i n d e x gekennzeichnet h i n s i c h t l i c h der Z e i t s t r u k t u r pen u n t e r s c h e i d e n : mischen

nunmehr

sind,

dyna-

kann man

g r u n d s ä t z l i c h z w i s c h e n zwei Model 1 t y -

den z e i t k o n t i nui e r l i chen und z e i t d i s k r e t e n

dyna-

Modellen.

In z e i t k o n t i n u i e r l i c h e n

d y n a m i s c h e n M o d e l l e n w i r d v o n einem

kontinu-

i e r l i c h e n Z e i t m a ß s t a b a u s g e g a n g e n . A l s F o l g e davon kann i n einem zeitkontinuierlichen

Modell

zu jedem b e l i e b i g e n Z e i t p u n k t a u f

Z e i t a c h s e e i n Z a h l e n w e r t f ü r d i e zu bestimmenden m e t r i s c h e n e r m i t t e l t werden. A l s t Y(t)

=

Beispiel

sei

die

der

Größen

Integralgleichung

/F(T)Y(T)DR

t-s angeführt.

D i e Größe Y w i r d zu jedem b e l i e b i g e n Z e i t p u n k t

d u r c h d i e m i t F ( T ) g e w i c h t e t e n und a u f s u m m i e r t e n

t bestimmt

Vergangenheitsaus-

p r ä g u n g e n von Y. Die v e r b r e i t e t s t e Modellform bilden die

im F a l l e z e i t k o n t i n u i e r l i c h e r

Modelle

Differentialgleichungen.

Als einfaches

Beispiel

sei

e i n e H y p o t h e s e a u s der

s u n g s t h e o r i e von MARCH und SIMON a n g e f ü h r t .

Anspruchsanpas-

[128,S.^8]

D e f i n i e r t man mi t A(t):

Anspruchsniveau

B(t):

Erwartete Belohnung e i n e r Person

so bedeutet d i e

im Z e i t p u n k t

t

im Z e i t p u n k t

t

Hypothese

dA/dt = a [ B ( t ) - A ( t ) + a ] daß d i e

einer Person

infinitesimal

(a>0,

a>0)

k l e i n e S n d e r u n g s r a t e von A , d i e

Dann-Komponen-

t e der H y p o t h e s e , d u r c h d i e a u f der r e c h t e n S e i t e der G l e i c h u n g

ste-

hende Wenn-Komponente v e r z ö g e r t bestimmt w i r d . Dynamische M o d e l l e lich uns

i n Form von D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n

i n den W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t e n

zu f i n d e n .

sind

Dennoch w o l l e n w i r

im f o l g e n d e n n i c h t mi t d i e s e m M o d e l l t y p b e s c h ä f t i g e n ,

l e i n m i t den z e i t d i s k r e t e n d y n a m i s c h e n M o d e l l e n .

gelegent-

Diese

sondern

al-

Entscheidung

mag b e f r e m d l i c h e r s c h e i n e n , wenn man b e d e n k t , daß s i c h d i e s e s

Buch

28

generell mit der Analyse dynamischer Systeme befassen soll. Um diese Bedenken gleich auszuräumen, sei

im Vorgriff schon darauf

hingewiesen,

daß jedes reale sozioökonomisehe System, welches durch ein zeitkontinuierliches Modell dynamisches Modell

beschrieben wird, auch durch ein zeitdiskretes

repräsentiert werden kann.

1.2.2. Metrisch dynamische zeitdiskrete äquidistante Modelle (MZÄ) Bei der Anwendung zeitdiskreter Modelle wird unterstellt, daß die Werte der betrachteten Größen nur zu bestimmten Zeitpunkten

bestimmt

werden und auch nur diese Werte einen verzögernden Einfluß ausüben. Unterstellt man darüber hinaus, daß diese Zeitpunkte in gleichbleibenden (äquidistanten) Zeitabständen auf der Zeitachse gewählt

sind,

so läßt sich die Struktur eines derartigen Modells anhand von Abbildung 12.3 demonstrieren.

2

Abb. 12.3

Pfei1diagramm eines metrisch dynamischen und äquidistanten Modells

zeitdiskreten

Die Werte der metrischen Größen Y^, Y^ und E sind nur in den Zeitpunkten t, t-1, t-2,... definiert und beeinflussen mit diesen Werten in verzögerter Weise die Ausprägungen von Y Die dynamischen Beziehungen

und

in Abbildung 12.3 lassen sich durch die

29

Gleichungen Y1 (t) =

F[E(t-2),Y 1 (t-1),Y 2 (t-2)]

Y 2 (t) =

F[Y 2 (t-1),Y,(t)]

beschreiben. Derartige Gleichungen bezeichnet man als D i fferenzengleichungen. Nach der ersten Kennzeichnung zeitdiskreter

äquidistan-

ter Modelle soll wieder die Frage aufgegriffen werden, ob es zulässig ist, sich ausschließlich auf diesen Modelltyp zu beschränken und damit zeitkontinuierlich dynamische Modelle außer acht zu lassen. Diese Fragestellung

läuft auf die weitere Frage hinaus, welche der

beiden Model 1 formen, zeitkontinuierliche oder zeitdiskrete, zur Abbildung empirischer Beziehungen besser geeignet

ist.

Eine Antwort kann sich letztlich nur aus der Erfahrung ergeben. Allerdings zeigt die Beobachtung empirischer Größen im Zeitverlauf, daß sich diese selten kontinuierlich ändern. Fast alle Änderungen physikalischer, physiologischer und auch sozialer Größen vollziehen sich unstetig, so daß man im empirischen Bereich geradezu von einem 'Primat der Unstetigkeit 1

sprechen kann. Es ist kein

physikalisches

oder ein einer anderen Wissenschaft zugehöriges Experiment bekannt, das die Annahme einer stetigen Änderung empirischer Phänomene bestätigt. Auch

in dem klassischen Anwendungsbereich stetiger Modelle, der

Elektrotechnik, stellen die stetigen Modelle eine Abstraktion dar. Der elektrische Stromfluß beispielsweise

ist nicht stetig, sondern wird

in gewissen einzelnen Portionen, den E1ektronen1adungen,

befördert.

Im wirtschaftlichen Bereich sind fast nur unstetige Veränderungen ökonomischer Größen zu beobachten: So werden Lagerbestände nur täglich oder wöchentlich ergänzt, Budgetgrößen erfahren nur in gewissen Zeitabständen eine Revision, und zwischen den Preisänderungen vieler Artikel

liegen gewöhnlich größere

Zeitabstände.

Bei der Verwendung von Differenzengleichungen wird zwar angenommen, daß die betrachteten ökonomischen Größen sich unstetig ändern, aber jeweils nur am Anfang oder Ende einer bestimmten stets gleichbleibenden (äquidistanten)

Periode.

Innerhalb dieser Periode dagegen w e r -

die Größen als unverändert angesehen. Der Wert am Periodenanfang oder

30

-ende

repräsentiert

ner V a r i a b l e n Y ( t )

damit d i e g a n z e P e r i o d e .

im Z e i t p u n k t

t durch die

Die B e e i n f l u s s u n g

ei-

Vergangenheitsausprä-

gungen i h r e r e i g e n e n Größe s o w i e a n d e r e r V a r i a b l e n kann d a m i t s o t e r p r e t i e r t werden,

' a l s ob

1

in-

s i e nur v o n den A u s p r ä g u n g e n am A n f a n g

o d e r Ende der b e t r e f f e n d e n P e r i o d e n b e e i n f l u ß t werden w ü r d e . D i e E r f a h r u n g e n bei der E n t w i c k l u n g ö k o n o m i s c h e r M o d e l l e daß D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s m o d e l l e t i n u i e r l i c h e Modelle

haben

im a l l g e m e i n e n b e s s e r a l s

gezeigt,

zeitkon-

i n der Lage s i n d , ö k o n o m i s c h e Phänomene zu b e -

2 schreiben.

Dies

l i e g t d a r a n , daß v i e l e ö k o n o m i s c h e

Entscheidungen

und d i e d u r c h s i e a u s g e l ö s t e n V e r ä n d e r u n g e n der V a r i a b l e n

in annä-

hernd p e r i o d i s c h e n A b s t ä n d e n g e t r o f f e n w e r d e n , was der S t r u k t u r Differenzengleichungen

stärker

B e t r a c h t e t man d i e d e r z e i t i g delle, führt sie

die

entspricht.

v o r h a n d e n e n d y n a m i s c h e n ö k o n o m i s c h e n Mo-

i n Form von D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n

ihre Analyse fast

Betrachten wir beispielsweise dA/dt = a [ B ( t ) " A ( t ) + a ] schwer,

soll.

sen V e r ä n d e r u n g A(t+1) Neben der

d.h.

Einleuchtender

in

angeführte

infinitesimal

d ü r f t e d i e Annahme e i n e r

= a [ B ( t ) - A ( t ) + a]

mit

Zeitabständen periodenwei-

ist anschaulicher,

hänge kommt wie bei

Beziehungen

Vorteile:

in Form von

Differenzen-

und d i e k a u s a l e S t r u k t u r d e r

in K a l k ü l e n mit s t e t i g e n

in

2 Vergl.

hierzu

[14,S.221],

[208,S.2]

Zusammen-

ihnen

deut-

Zeitargumenten.

D i e Anwendung von s o g e n a n n t e n P a r a m e t e r s c h ä t z t e c h n i ken

^

diskre-

Differenzengleichun-

der Verwendung von P f e i 1 Schemata

zum A u s d r u c k a l s

führt:

t=0,l,2...

eine Reihe m e t h o d i s c h - o p e r a t i o n a l e r

(1) D i e F o r m u l i e r u n g d y n a m i s c h e r

(2)

kleinen

Anspruchs-

i n v i e l e n F ä l l e n g r ö ß e r e n e m p i r i s c h e n Adäquanz der

gleichungen

ist,

s e i n , was zu der f o l g e n d e n D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g

- A(t)

gen z u s ä t z l i c h

so

Hypothese

daß d i e Ä n d e r u n g des

ten B e s c h r e i b u n g s f o r m b i e t e t d i e Verwendung v o n

licher

sind,

umzuwandeln.

die bereits

sich vorzustellen,

niveaus A k o n t i n u i e r l i c h , verlaufen

formuliert

immer zu dem U r t e i l , daß es s i n n v o l l e r

in e i n e D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s f o r m

Es f ä l l t

der

ist,

wie

31

w i r sehen werden, nur bei einem D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s a n s a t z

durch-

führbar. (3) Komplexe n i c h t l i n e a r e D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s s y s t e m e mit e l e k t r o n i s c h e n D i g i t a l r e c h n e r n lieren.

lassen

sich

in nahezu b e l i e b i g e m Umfang simu-

Der S i m u l a t i o n entsprechender dynamischer K a l k ü l e mit kon-

t i n u i e r l i c h e n Zeitargumenten sind wegen des t e c h n i s c h e n

Leistungs-

vermögens der h i e r z u e r f o r d e r l i c h e n Analogrechner Grenzen g e s e t z t . Dies g i l t

in v e r s t ä r k t e m Maße f ü r s t o c h a s t i s c h dynamische M o d e l l e .

Die S i m u l a t i o n von Z u f a l l s z a h l e n f o l g e n

i n dynamischen Modellen kann

mit D i g i t a l r e c h n e r n unter Benutzung von Z u f a l l s z a h l e n g e n e r a t o r e n b e l i e b i g e m Umfang und mit großer F l e x i b i l i t ä t

Di« S i m u l a t i o n s t o c h a s t i s c h e r dynamischer Model 1e mit s t e t i g e n argumenten i s t aber nur in S o n d e r f ä l l e n t e c h n i s c h Aus d i e s e n Gründen s o l l e n

in

d u r c h g e f ü h r t werden. Zeit-

realisierbar.

in den w e i t e r e n Untersuchungen nur m e t r i -

sche, z e i t d i s k r e t e und ä q u i d i s t a n t e dynamische Modelle e r ö r t e r t werden, d i e w i r abkürzend a l s dynamische MZÄ-Modelle bezeichnen w o l l e n .

1.2.3. Strukturmerkmale dynamischer MZÄ-Modelle Die Dimension e i n e s dynamischen Modells bestimmt s i c h nach der Anzahl der Gleichungen. U(t)

E i n e i n d i m e n s i o n a l e s Modell

= 212 + 0,628U(t-1)

i s t zum B e i s p i e l

durch

+ 0,537W(t)

gegeben.^ Es bedeuten dabei U(t): U(t-1) : W(t):

Umsatz e i n e s Unternehmens

in P e r i o d e

Umsatz e i n e s Unternehmens

t

in P e r i o d e t-1

Werbeausgaben des Unternehmens

in P e r i o d e

t

In v i e l e n F ä l l e n können dynamische Modelle nur durch mehrere G l e i chungen in adäquater Weise beschrieben werden. So besteht das von SAMUELSON e n t w i c k e l t e Model1 aus d r e i 3

Gleichungen.

S i e h e zu diesem Modell

[173].

[159.S.91]

Mu1tiplikator-Akzelerator-

Dieses d r e i d i m e n s i o n a l e Modell

32

b e s c h r e i b t d i e B e z i e h u n g e n z w i s c h e n dem V o l k s e i n k o m m e n , dem Konsum und den

Investitionen

wird als

in einer V o l k s w i r t s c h a f t .

Konsumfunktion

C(t)

Die e r s t e

Hypothese

bezeichnet.

= aY(t-l)

S i e b e s a g t , daß der Konsum C i n der P e r i o d e t dem V o l k s e i n k o m m e n Y der V o r p e r i o d e p r o p o r t i o n a l als

Konsumquote

ist.

Der P r o p o r t i o n a l i t ä t s f a k t o r

bezeichnet.

Nach der z w e i t e n H y p o t h e s e , der s o g e n a n n t e n K(t)

Investi tionsfunktion,

= ß[C ( t ) - C ( t - 1 ) ]

werden d i e d u r c h den Konsum i n d u z i e r t e n Unternehmern p r o p o r t i o n a l C(t)-C(t-1) rator

a wird

bestimmt.

Investitionen

l.(t)

d e r Ä n d e r u n g s r a t e des Konsums,

Der P r o p o r t i o n a l i t ä t s f a k t o r

von den

d.h.

B wird a l s

Akzele-

bezeichnet.

Die d r i t t e

G l e i c h u n g des S y s t e m s w i r d d u r c h e i n e

chung des V o l k s e i n k o m m e n s g e b i l d e t , d i e s i c h Y(t) bestimmt.

= C(t)

+ Kit)

D i e Größe

+

aus

lg(t)

lg(t)

repräsentiert

n i c h t d u r c h Konsumänderungen b e w i r k t e n , Das M u l t i p l i k a t o r - A k z e l e r a t o r - M o d e l 1 hend a l s S t a n d a r d b e i s p i e l

Definitionsglei-

hierbei

d i e autonomen,

I n v e s t i t i o n e n der

wird

d.h.

Unternehmer.

in d i e s e r Arbeit

durchge-

z u r D e m o n s t r a t i o n der v i e l f ä l t i g e n

Aspek-

t e e i n e r d y n a m i s c h e n Model 1bi1dung und - a n a l y s e v e r w e n d e t . A u s

Ab-

kürzungsgründen s o l l

ge-

f o r t a n von einem MA-Model1 o d e r M A - S y s t e m

s p r o c h e n werden. Nach der b e i s p i e l h a f t e n

Darstellung

MZÄ-Modells s o l l

ein Begriffsapparat

mente e i n g e f ü h r t

werden.

B e t r a c h t e n w i r zum B e i s p i e l dells,

e i n e s e i n - und

den F a l l

dreidimensionalen

z u r B e z e i c h n u n g der

Modellele-

eines zweidimensionalen

MZÄ-Mo-

d.h.

Y,(t)

=

F[Y1(t-l),Y1(t-2),Y2(t),Y2(t-2),E1(t),E1(t-1),E1(t-2),E2(t)]

Y2(t)

= F[Y1 ( t - 1 ) , Y 2 ( t - 2 ) ,E1 ( t ) ]

s o l a s s e n s i c h v e r s c h i e d e n e Typen von V a r i a b l e n

unterscheiden.

33

S ä m t l i c h e V a r i a b l e n g e h ö r e n entweder den endogenen o d e r e x o g e n e n V a r i a b l e n an. E i n e V a r i a b l e

i s t e n d o g e n , wenn i h r e n u m e r i s c h e n Werte

d u r c h d i e G l e i c h u n g e n des M o d e l l s Fall

bestimmt werden können.

s i n d a l s o d i e V a r i a b l e n Y^ und Y^ e n d o g e n . Exogene

müssen i n einem d y n a m i s c h e n Modell

'von außen'

I n unserem

Variablen

numerisch

vorgegeben

w e r d e n . Zu den exogenen V a r i a b l e n z ä h l e n d i e V a r i a b l e n E^ und E ^ . D i e e i n e endogene V a r i a b l e

im Z e i t p u n k t

und exogenen V a r i a b l e n a u s p r ä g u n g e n

t beeinflussenden

der V o r p e r i o d e n werden a l s

z ö g e r t e endogene und v e r z ö g e r t e exogene V a r i a b l e n Die V a r i a b l e n Y ^ ( t - l ) ,

Y^(t-2)

und Y 2 ( t - 2 )

der v e r z ö g e r t e n e n d o g e n e n , E ^ ( t - I )

und E ^ ( t - 2 )

unverzögerte Variablen bezeichnet. t),

Ej(t)

und E 2 ( t ) .

zu den

zahlenmäßig unverändert. Eine zeitveränderliche

verzögerten

lassen sich

exogene V a r i a b l e n u n t e r s c h e i d e n .

s t a n t e exogene V a r i a b l e b l e i b t während des

in Eine

nur m i t dem Symbol

E(t)

bezeichnet,

= 0 , 5 h a n d e l t es s i c h b e i s p i e l s w e i s e

zeitkonstanzeitkon-

Parameter

bezeichnet.

exogene

im a n g e f ü h r -

so r e i c h t d i e s e

vorzunehmen.

im F a l l e E ( t )

Variable.

den z u r Gruppe der v o r h e r b e s t i m m t e n V a r i a b l e n zusammengefaßt. s i c h , wie wir

werDiese

i n K ü r z e e r k e n n e n w e r d e n , a u s dem

Umstand, daß d i e n u m e r i s c h e n Werte d i e s e r V a r i a b l e n v o r g e g e b e n herbestimmt)

s e i n m ü s s e n , um d i e z a h l e n m ä ß i g e A u s p r ä g u n g d e r

v e r z ö g e r t endogenen V a r i a b l e n bestimmen zu k ö n n e n . Beispiel

s t e h e n d e n V a r i a b l e n zu den v o r h e r b e s t i m m t e n

dell

12.h

i s t das a l s

Beispiel

nach dem e r ö r t e r t e n B e g r i f f s s y s t e m

(vor-

unver-

Im a n g e f ü h r t e n

z ä h l e n a l l e a u f der r e c h t e n S e i t e der b e i d e n

In A b b i l d u n g

exo-

= 0 , 5 t um

D i e e x o g e n e n V a r i a b l e n s o w i e d i e v e r z ö g e r t endogenen V a r i a b l e n

Bezeichnung e r g i b t

In-

Im F a l l e

um e i n e z e i t k o n s t a n t e

gene V a r i a b l e o d e r k ü r z e r e i n e n P a r a m e t e r , eine zeitveränderliche

Y^(t),

exogene V a r i a b l e nimmt m i t v a r i i e r e n d e m t u n -

f o r m a t i o n n i c h t a u s , um e i n e K l a s s i f i z i e r u n g E(t)

als

Betrachtungszeitraumes

S i e w i r d auch k u r z a l s

t e r s c h i e d l i c h e Werte a n . S i n d d i e exogenen V a r i a b l e n w i e ten B e i s p i e l

Gruppe

t d a g e g e n werden

In d i e s e K a t e g o r i e f a l l e n

Exogene V a r i a b l e n

ver-

bezeichnet.

gehören somit zur

e x o g e n e n V a r i a b l e n . V a r i a b l e n m i t dem Z e i t i n d e x

t e und z e i t v a r i a b l e

endogenen

Gleichungen

Variablen.

herangezogene dynamische klassifiziert.

Mo-

34

]

Y,(t)

unverzögerte endogene V a r i a b l e " — verzögerte

«

Y2(t) Y , ( t - 1 ) ^endogene Y,,(t-2) V a r i a b l e

*

t

endogene

Y2(t-2)

Variable

v o r h e r b e s t limite

E,(t)

unverzSgerte

Variable

»

exogene

E2(t)

exogene V a r i a b l e verzögerte

^Variable

E,(t-1) E,(t-2).

Abbildung

exogene V a r i a b l e

h

12.4

Beispiel

der V a r i a b l e n k l a s s i f i z i e r u n g

eines

dynami-

s c h e n Model 1 s

Der Grad e i n e r zögerung, So

ist

Gleichung

für

Y2(t)

welches eine

wegen Y 2 ( t - 2 )

des b e g r i f f l i c h e n

der s t i l l s c h w e i g e n d e n sichere

Betrachten wir

t

Zeitver-

aufweist.

Differenzenglei-

das erwähnte e i n d i m e n s i o n a l e +

Konkretisierung für U(t)

Den d e t e r m i n i s t i s c h e n

Modellen stehen die

Model 1e g e g e n ü b e r .

liegt

griffsapparats

für

Glücklicherweise

daher d i e

nicht

zur

von U ( t - 1 )

ermittelt

und den

eines

Verwendung

besonderen

Be-

zwingt.

d . h . man k a n n d i e auch zur

und W ( t )

werden.

F r a g e nahe, ob d i e

kommt man j e d o c h m i t den b i s h e r

angeführten Variablenbegriffe

Modell

sogenannten s t o c h a s t i sehen

Einführung

s t o c h a s t i sehe Modelle

Instrumenten aus,

verwenden.

Modells,

0,537W(t)

für jede Periode ein Zahlenwert

Es

bisher

z w i s c h e n den v o r h e r b e s t i m m t e n

so kann durch d i e z a h l e n m ä ß i g e

stochasti scher Modelle

erfolgte

d e t e r m i ni s t i s e h e n

behauptet.

beispielsweise

= 212 + 0 , 6 2 8 U ( t - 1 )

grifflichen

eine

Instrumentariums

Annahme e i n e s

Beziehung

e n d o g e n e n Model 1 v a r i a b l e n

Modelle

der g r ö ß t e n

Grades.

Die Einführung

U(t)

entspricht

d i e eine der v e r z ö g e r t e n V a r i a b l e n gegenüber

die

chung z w e i t e n

unter

Differenzengleichung

entwickelten in Abbildung

Kennzeichnung

be12.4

stochasti scher

35

Um d i e s e n etwas ü b e r r a s c h e n d e n Zusammenhang zu v e r d e u t l i c h e n , wir

in e i n e r e r s t e n , v o r l ä u f i g e n

rakter eines

den g r u n d s ä t z l i c h e n

stochastisehen MZÄ-Modells s c h i l d e r n .

das dynamische Y(t)

Darstellung

wollen

Betrachten

Cha-

wir

Modell

= 0,5Y(t-1)

+ e(t)

s o l i e g t e s n a h e , h i e r von einem d e t e r m i n i s t i s c h e n M o d e l l

mit

einer

endogenen V a r i a b l e n Y und e i n e r exogenen V a r i a b l e n e zu s p r e c h e n . mehr w i r d uns a b e r m i t g e t e i l t , numerischen Ausprägung

daß d i e V a r i a b l e e i n

n i c h t bekannt s e i n s o l l .

daß e e i n e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g gedrückt:

von e i s t

ihrer

Bekannt

konkreten

ist

allein,

a n g e h ö r t . Oder a n d e r s

nur d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g

aus der e in jeder P e r i o d e gewissermaßen a l s

Stichprobe

Nun

aus-

bekannt,

entnommen

wi r d . I s t v o n e a b e r nur d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g

bekannt,

kann von der endogenen V a r i a b l e n Y ( t )

Fall

die Wahrscheinlichkeitsverteilung

im g ü n s t i g s t e n

e r m i t t e l t werden.

Dies

so

auch ist

nur

das

Kennzeichen eines s t o c h a s t i s c h dynamischen MZÄ-Modells, welches die Verallgemeinerung ist

erlaubt:

I n einem s t o c h a s t i s c h e n

z u m i n d e s t e i n e exogene V a r i a b l e n u r

keitsverteilung

i n Form i h r e r

MZK-Model1 Wahrscheinlich-

b e k a n n t , was z u r F o l g e h a t , daß d i e endogenen

len des M o d e l l s e b e n f a l l s

nur d u r c h i h r e

uns

Variab-

Wahrscheinlichkeitsvertei-

l u n g e n b e s c h r i e b e n werden können. Dem L e s e r w i r d n i c h t e n t g a n g e n s e i n , daß bei

diesem

stochastischen

M o d e l l m i t den B e g r i f f e n e i n e r exogenen und endogenen V a r i a b l e n a r b e i t e t wurde.

Der Grund l i e g t d a r i n , daß es e i n

Präzisionsniveau

der F o r m u l i e r u n g v o n M Z K - M o d e l l e n g i b t , a u f d a s d i e s e B e g r i f f e h ä n g i g v o n der U n t e r s c h e i d u n g nistisch'

anwendbar s i n d .

zwischen

'stochastisch'

Der g e s c h i l d e r t e

chen B e i s p i e l e s

zeigt

sich,

daß d i e K l a s s i f i z i e r u n g

terministisches

Modell

unab-

'determikann d a -

Im F a l l e u n s e r e s

z ö g e r t e und exogen u n v e r z ö g e r t e V a r i a b l e n anwendbar k a n n t s e i n muß, ob e s s i c h

und

Begriffsapparat

her f ü r b e i d e M o d e l l formen verwendet werden.

einfa-

i n endogen

ver-

i s t , ohne daß b e -

l e t z t l i c h um e i n s t o c h a s t i s c h e s o d e r

handelt.

ge-

de-

36

M i t d i e s e n Bemerkungen e r h a l t e n w i r nur e i n e e r s t e , v o r l ä u f i g e stellung

über d i e S t r u k t u r

s i n d aber

e i n e s s t o c h a s t i s c h dynamischen

Vor-

MZÄ-Modells,

i n der L a g e , den e n t w i c k e l t e n B e g r i f f s a p p a r a t a u c h a u f

se Modelle

anzuwenden.

A l s Ausgangspunkt

e i n e r M o d e l l a n a l y s e s i n d o f t bestimmte

formen d y n a m i s c h e r M o d e l l e e r f o r d e r l i c h .

Darstellungs-

Von Bedeutung s i n d h i e r

b e s o n d e r e d i e r e d u z i e r t e G l e i c h u n g und d i e Endg1 e i c h u n g e i n e r genen V a r i a b l e n , Wird

auf d i e w i r

im f o l g e n d e n

i n einem d y n a m i s c h e n M o d e l l

le e n t h ä l t ,

eingehen.

e i n e endogene V a r i a b l e d u r c h

s o s p r i c h t man v o n d e r

ins-

endo-

eine

G l e i c h u n g b e s c h r i e b e n , d e r e n r e c h t e S e i t e nur v o r h e r b e s t i m m t e

genen

die-

reduzierten Gleichung

Variab-

dieser

endo-

Variablen.

Im F a l l e des

MA-Modells

Y(t)

= C(t)

C(t)

=

I. stellt

+ l.(t)

+

(12.4)

la(t)

aY(t-l)

(12.5)

( t ) = ß[C ( t ) - C ( t - 1 ) ] d i e Beziehung

(12.5)

(12.6) bereits die

r e d u z i e r t e G l e i c h u n g des

Kon-

sums C d a r . Für das V o l k s e i n k o m m e n Y i s t d e s s e n r e d u z i e r t e G l e i c h u n g e r s t

durch

e i n e a l g e b r a i s c h e Umformung zu g e w i n n e n . Wie man l e i c h t e r k e n n t gibt

sich die Y(t)

reduzierte

= aY(t-l)

+ ß[aY(t-1) - C ( t - 1 ) ] +

durch E i n s e t z u n g von (12.5) (12.6)

in

er-

Gleichung

in

(12.6)

lg(t)

sowie

(12.5)

(12.7) in (12.4)

( 1 2 . 4 ) . Werden s ä m t l i c h e endogenen V a r i a b l e n e i n e s

und Modells

d u r c h r e d u z i e r t e G l e i c h u n g e n b e s c h r i e b e n , dann s p r i c h t man d a v o n , daß das M o d e l l

in seiner

r e d u z i e r t e n Form d a r g e s t e l l t

G e l i n g t es d u r c h w e i t e r e Umformungen, d i e

sei.

in der r e d u z i e r t e n

Glei-

chung e i n e r bestimmten endogenen V a r i a b l e n e n t h a l t e n e n ü b r i g e n

ver-

z ö g e r t e n endogenen V a r i a b l e n zu e l i m i n i e r e n ,

einer

G l e i c h u n g s f o r m , bei

s o g e l a n g t man zu

der d i e b e t r a c h t e t e endogene V a r i a b l e a l l e i n

von

i h r e n e i g e n e n v e r z ö g e r t e n A u s p r ä g u n g e n s o w i e den v e r z ö g e r t e n und u n v e r z ö g e r t e n exogenen V a r i a b l e n a b h ä n g i g

ist.

Eine derartige

Glei-

37 chungsform w i r d mit TINBERGEN a l s d i e E n d g l e i c h u n g

der

betreffenden

endogenen V a r i a b l e n b e z e i c h n e t . Andere A u t o r e n gebrauchen s t a t t sen den A u s d r u c k : s e p a r i e r t e Form oder s e p a r i e r t [206,S.137],

[130,S.20],

r e d u z i e r t e Form e r g i b t s i c h

des M u l t i p l i k a t o r - A k z e l e r a t o r - M o d e l 1 s

in dem

in f o l g e n d e r

Weise:

Die Verzögerung des Z e i t a r g u m e n t e s um e i n e P e r i o d e in (12.5) C(t-1) Mit

(12.8) Y(t)

liefert

= aY(t-2)

(12.8)

und (12.7)

f o l g t d i e E n d g l e i c h u n g von Y

= (ataB)Y(t-l)

Für d i e V a r i a b l e

des-

Form.

[51.S.17].

D i e E n d g l e i c h u n g oder s e p a r i e r t Beispiel

reduzierte

- aßY(t-2)

I. e r g i b t

+ lg(t)

(12.9)

s i c h die Endgleichung

bei

entsprechendem

- aßl. (t-2)

- aßlg (t-1)

Vorgehen m i t I. ( t ) = (a+aß) I. ( t - 1 )

+ aßlg (t)

Man kann zwischen der E r k l ä r u n g s - und S t a n d a r d f o r m e i n e r unterscheiden. Y (t) wird

Die

= o>1 Y ( t - 1 )

+ w2Y(t-2) + . . . + ü)nY(t-n)

im Rahmen der A u f s t e l l u n g

chungen verwendet. nung d i e Y(t)

Endgleichung

Erklärungsform

Mit u = - a v

und

s + n S Q g ^E (t~n)

I n t e r p r e t a t i o n von

(v=1,2

Hypothesenglei-

n) e r h ä l t man durch Umord-

Standardform + a.Y(t-l) i

+...+ a Y(t-n) n

= 2 qE(t-n) ^=0 \

(12.11)

S i e b i l d e t den A u s g a n g s p u n k t zur a n a l y t i s c h e n Untersuchung ter

(12.10)

i n t e r e s s i e r e n d e r Mode 1 1 i m p l i k a t i o n e n .

treten selten

Primäre

i n Form von E n d g l e i c h u n g e n a u f .

bestimm-

Hypothesenansätze

Daher i s t es o f t

not-

wendig, e r s t d i e E n d g l e i c h u n g e n e i n e s M o d e l l s zu e r m i t t e l n . M i t H i l f e e i n e r E n d g l e i c h u n g g e l i n g t e s , e i n e endogene V a r i a b l e wissermaßen vom ü b r i g e n System nen über den Z e i t v e r l a u f

'abzukoppeln1, weil

d i e s e r endogenen V a r i a b l e n

alle

in der

Endglei-

chung e n t h a l t e n s i n d , g l e i c h g ü l t i g , wie s t a r k d i e s e endogene ble 4

in dem System

'vermascht'

ist.

k

ge-

Informatio-

Varia-

P r ä z i s e K r i t e r i e n zur B e u r t e i l u n g der Vermaschung der endogenen V a r i a b l e n in einem Modell werden in A b s c h n i t t 2 . 5 e n t w i c k e l t .

38

1.3. Strukturgleichungstypen dynamischer MZÄ-Modelle

1.3.1. Hypothesengleichungen Hypothesengleichungen i n der W i r k l i c h k e i t

r e p r ä s e n t i e r e n Wenn-Dann-Behauptungen

auftretenden Beziehungen.

den u n t e r v e r s c h i e d e n e n B l i c k r i c h t u n g e n

Sie sollen

klassifiziert

über

die

im f o l g e n -

und

beurteilt

werden. In den e r s t e n b e i d e n A b s c h n i t t e n werden H y p o t h e s e n g l e i c h u n g e n ihrem B e d e u t u n g s g e h a l t und ihrem e m p i r i s c h e n G e h a l t

Im a n s c h l i e ß e n d e n A b s c h n i t t werden s i e nach K r i t e r i e n d i e s i c h a u s den B e z i e h u n g e n z w i s c h e n einem M o d e l l der

nach

unterschieden. gegliedert,

und s e i n e m Anwen-

ergeben.

A. Technologische und institutionelle Hypothesen sowie Verhaltenshypothesen Nach ihrem B e d e u t u n g s g e h a l t logische Gleichungen,

können H y p o t h e s e n g l e i c h u n g e n

institutionelle

G l e i c h u n g e n und

g l e i c h u n g e n e i n g e t e i l t werden. T e c h n o l o g i s c h e

in

techno-

Verhaltens-

Gleichungen

beschrei-

ben r e i n t e c h n i s c h b e d i n g t e B e z i e h u n g e n w i e etwa den Zusammenhang z w i s c h e n dem M a t e r i a l e i n s a t z gates.

Institutionelle

und dem P r o d u k t i o n s a u s s t o ß

stimmter S o l l v o r s c h r i f t e n ,

welche b e i s p i e l s w e i s e

e r l a s s e n werden. D i e s o g e n a n n t e ST(t)

=

eines

Gleichungen beschreiben die Einhaltung

Aggrebe-

vom G e s e t z g e b e r

Steuergleichung

0,56STG(t)

d i e f ü r e i n e n zu v e r s t e u e r n d e n Gewinn STG von über

130 000 DM d i e

Hö-

he der zu z a h l e n d e n S t e u e r n b e s t i m m t , g e h ö r t zu d i e s e m T y p . Institutionelle

und t e c h n o l o g i s c h e G l e i c h u n g e n l a s s e n s i c h n i c h t

d e u t i g von den V e r h a l t e n s g l e i c h u n g e n n e l l e Gleichungen s p i e g e l n das

unterscheiden.

institutionell

v o n P e r s o n e n w i d e r , und a u c h t e c h n i s c h e seltensten

Fällen

losgelöst

Denn

erzwungene

institutioVerhalten

R e l a t i o n e n s i n d nur

vom V e r h a l t e n b e s t i m m t e r

ein-

i n den

Personen.

39

D i e Bestimmung von H y p o t h e s e n , d i e d a s z e i t i n v a r i a n t e V e r h a l t e n stimmter Personen behaupten, d.h. chungen,

1,(0

Betrachten wir die beschriebene

be-

Verhaltensglei-

i s t d i e s c h w i e r i g s t e und damit d i e z e n t r a l e A u f g a b e

Modellbildung.

Mit

d i e Bestimmung v o n

jeder

Investitionsfunktion

= ß[C(t)-C(t-1) ]

i h r w i r d b e h a u p t e t , daß d a s

Investitionsverhalten

mer i n j e d e r b e l i e b i g e n P e r i o d e t d i e s e r melden s i c h s i c h e r

Zweifel

menschlichen Verhaltens

überhaupt möglich

Hier des

ist, derartige präzise

zu f i n d e n .

D i e s e r Einwand

S e i n e g e n e r e l l e G ü l t i g k e i t würde a l l e r d i n g s

daß man i n den W i r t s c h a f t s mischen Modellen a r b e i t e n

Unterneh-

a n , ob es bei der M a n n i g f a l t i g k e i t

unveränderliche Verhaltensgleichungen berechtigt.

der

Gleichung gehorcht.

und S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n

und ist

bedeuten,

n i c h t mit

dyna-

dürfte.

B. Parametrisch-singuläre, parametrisch-generelle, komparative und nichtkomparative Hypothesen Hypothesengleichungen

können nach ihrem e m p i r i s c h e n G e h a l t

unter-

s c h i e d e n werden, d.h.

im H i n b l i c k a u f d i e B e s t i m m t h e i t der

Verknüp-

fung zwischen

i h r e n Wenn- und Dann-Komponenten. Wir w o l l e n

den am B e i s p i e l

der Konsumfunktion e i n e s MA-Systems e i n e

t i o n von H y p o t h e s e n e n t w i c k e l n ,

C(t)

Klassifika-

d e r e n O r d n u n g s k r i t e r i u m der

sche Gehalt e i n e r Hypothese s e i n s o l l . f u n k t i o n e i n e s bestimmten

im f o l g e n -

Betrachten wir die

empiri-

Konsum-

MA-Systems

= 0,2Y(t-1)

(13.1)

Eine d e r a r t i g e Hypothese, s c h e n Wert b e s i t z t , z e i c h n e t werden.

soll

i n w e l c h e r j e d e r Parameter e i n e n als

parametrisch-singuläre

numeri-

Hypothese

Nehmen w i r a n , einem Model 1 e n t w i c k l e r

sei

be-

(vorerst)

n u r b e k a n n t , daß i n dem zu m o d e l l i e r e n d e n M A - S y s t e m der Konsum C ( t ) i n einem f e s t e n V e r h ä l t n i s

a vom V o l k s e i n k o m m e n der V o r p e r i o d e

a b h ä n g t , dann kann er d i e s e K e n n t n i s d u r c h d i e C(t)

= aY(t-l)

zum A u s d r u c k b r i n g e n .

Y(t-1)

Hypothese (13.2)

Eine Hypothese, d i e wie

(13-2)

e r s t durch

ei-

40 ne n u m e r i s c h e singuläre

Konkretisierung

überführt wird, soll

bezeichnet

ihrer als

Parameter

in e i n e

parametrisch-

parametri s c h - g e n e r e l l e

S t e l l t man s i c h d i e F r a g e , w e l c h e der b e i d e n H y p o t h e s e n (13-2) cher

einen höheren e m p i r i s c h e n Gehalt b e s i t z t ,

intuitiv

bestimmter

Hypothese

werden.

f ü r Hypothese

(13.1)

(13.1)

dann w i r d s i c h man-

entscheiden, weil

sie

offenbar

i s t und d a h e r mehr über d i e R e a l i t ä t a u s s a g t .

deutet d i e s :

Hypothese

sumfunktionen a l s

oder

Genauer

( 1 3 - 1 ) v e r b i e t e t mehr e m p i r i s c h m ö g l i c h e

(13.2).

Dieser

Unterschied erweist

sich als

das

maßgebende K r i t e r i u m z u r K e n n z e i c h n u n g des e m p i r i s c h e n G e h a l t s H y p o t h e s e n , denn es s o l l

die Festlegung

gelten:

j e mehr

ist

ihr empirischer

Gehalt.

Diese Festlegung

e i n e H y p o t h e s e H2, d i e d u r c h S p e z i a l i s i e r u n g

A u f d i e H y p o t h e s e n z u r E r k l ä r u n g des Konsums

heißt dies:

Hypothese

( 1 3 . 1 ) wurde a u s

rung ot = 0 , 2 a b g e l e i t e t Gehalt a l s Es f r a g t

und b e s i t z t

(13.2)

durch die

Spezialisie-

damit e i n e n h ö h e r e n

ist.

empirischen

stochasti-

Zur Beantwortung d i e s e r

zu w i s s e n , daß nahezu a l l e z u r M o d e l l i e r u n g

l e n v e r w e n d e t e n s t o c h a s t i s e h e n H y p o t h e s e n zu den s e n zu r e c h n e n s i n d .

Frage

formuliert

Störgrößenhypothe-

im k l a r e n , daß d i e a u f der

Er

ist

kommen, zusammengefaßt

in e i n e r a d d i t i v

s i c h jedoch

durch eine

l u n g m i t dem E r w a r t u n g s w e r t N u l l

und e i n e r

dieser 'stören',

darü-

stehenden

bestimmen;

vielmehr

eingehenden V a r i a b l e n

Zur Kennzeichnung

d i e den u r s p r ü n g l i c h e n d e t e r m i n i s t i s c h e n A n s a t z Model 1 e n t w i e k l e r a n , s i e s e i e n

beispiels-

rechten S e i t e der Gleichung

V a r i a b l e n n i c h t a u s s c h l i e ß l i c h den Wert von C ( t )

weitere E i n f l ü s s e zur Wirkung.

läßt

machen: E i n Model 1 -

eine d e t e r m i n i s t i s c h e Hypothese wie

w e i s e d i e oben a n g e f ü h r t e K o n s u m h y p o t h e s e .

ist

von M Z Ä - M o d e l -

D i e Verwendung v o n S t ö r g r ö ß e n h y p o t h e s e n

s i c h durch d i e folgenden Überlegungen p l a u s i b e l

ber

H y p o t h e s e H^ angewendet,

s i c h , ob e i n e d e r a r t i g e K e n n z e i c h n u n g auch a u f

entwickler

daß

(13.2).

sche Hypothesen übertragbar es w i c h t i g

werden,

besagt,

a u s e i n e r H y p o t h e s e H^

a b g e l e i t e t wurde, einen höheren e m p i r i s c h e n Gehalt a l s besitzt.

von

empirisch

mögliche K o n s t e l l a t i o n e n durch eine Hypothese a u s g e s c h l o s s e n umso höher

beKon-

e(t),

Einflüsse, nimmt der

Wahrscheinlichkeitsverteiim Z e i t v e r l a u f

konstanten

Standardabweichung deterministischen

beschreibbar.

Konsumhypothese w i r d d a h e r d u r c h d i e

C ( t ) = 0 , 2Y ( t - 1 ) beschrieben.

Das s t o c h a s t i s e h e G e g e n s t ü c k

t e (t)

e £ V(y=0,

Beziehung

a=konst)

(13.3)

M i t e £ V(vt=0, a = k o n s t ) w i r d zum A u s d r u c k g e b r a c h t ,

e e i n Element e i n e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g w e r t y = 0 und der S t a n d a r d a b w e i c h u n g sche V a r i a b l e n , d i e

daß

m i t dem E r w a r t u n g s -

a= konstant

ist.

Stochasti-

i n dem b e s c h r i e b e n e n S i n n e z u r B i l d u n g der

t h e s e n g l e i c h u n g e n d i e n e n , werden a l s riablen

der

S t ö r g r ö ß e n o d e r auch

Hypo-

Schockva-

bezeichnet.

Im f o l g e n d e n werden w i r uns im Rahmen s t o c h a s t i s c h e r M o d e l l e s c h l i e ß l i c h mit S t ö r g r ö ß e n h y p o t h e s e n In e i n e r zum F a l l

deterministischer

dung h a n d e l t es s i c h bei c h a s t i s c h e Hypothese. pothesen

(13.3)

aus-

beschäftigen. Modelle analogen

Begriffsanwen-

um e i n e p a r a m e t r i s c h - s i n g u l ä r e

sto-

Es l i e g t d i e Frage nahe, ob man d i e beiden Hy-

(13-1) und (13-3)

bezüglich

ihres empirischen Gehaltes

mit-

e i n a n d e r v e r g l e i c h e n kann. Es i s t e i n f a c h zu erkennen, daß Hypothese (13.3)

R e a l i s a t i o n e n von e mit bestimmten W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n

laubt',

d i e von Hypothese

boten werden.

In d i e s e r

(13-1),

in welcher e=0 zu deuten i s t ,

Interpretationsweise

b e s i t z t eine

'erlaubt'

als

ihr d e t e r m i n i s t i s c h e s

sie

Gegenstück.

A u f der G r u n d l a g e des e n t w i c k e l t e n K l a s s i f i z i e r u n g s k r i t e r i u m s Hypothesen s o l l e n

im f o l g e n d e n w e i t e r e H y p o t h e s e n a r t e n

ver-

Störgrös-

senhypothese s t e t s e i n e n g e r i n g e r e n e m p i r i s c h e n G e h a l t , weil mehr R e a l i s a t i o n e n

'er-

von

unterschieden

werden. F o r m u l i e r t jemand z u r E r k l ä r u n g

des Konsums

in einem M A - S y s t e m

die

Behauptung 'Je größer Y ( t - 1 ) ,

d e s t o höher

dann kann man d i e s e Behauptung a l s deren F o r m a l i s i e r u n g C(t) erfolgt. C(t)

C(t)' komparative Hypothese

bezeichnen,

durch

= F[Y(t-1) ]

dC(t)/dY(t-1)>0

A b k ü r z e n d kann d i e s e B e z i e h u n g auch = F+[Y(t-1) ]

durch (13.4)

hl

b e s c h r i e b e n werden.

Noch w e n i g e r g e h a l t v o l l

i s t die

Hypothese

C = F+[Y]

(13.5)

w e l c h e nur b e h a u p t e t , daß m i t wachsendem Y auch C w ä c h s t , ohne daß die zeitlichen

Beziehungen genauer gekennzeichnet

werden.

Neben den k o m p a r a t i v e n s i n d auch n i c h t k o m p a r a t i v e H y p o t h e s e n Eine solche läge b e i s p i e l s w e i s e wenn bei Ü b e r s c h r e i t u n g

eines

denkbar.

im F a l l e e i n e r K o n s u m f u n k t i o n

b e s t i m m t e n Schwel 1 e n w e r t S s des

vor, Volks-

einkommens Y s der Konsum C n i c h t mehr zunimmt, was d u r c h r , , C ( t ) =

roY(t-l) Y s

b e s c h r i e b e n werden kann o d e r des e m p i r i s c h e n G e h a l t e s ) C(t)

in a b g e k ü r z t e r

„ ° Form ( u n t e r

t e s käme m i t der

-

6 )

Verringerung

durch

= F±[Y(t-1)]

symbolisiert wird.

3

(13.7)

Eine weitere Verringerung

des e m p i r i s c h e n

Gehal-

Formulierung

C = F±[Y]

(13.8)

zum A u s d r u c k . E i n e H y p o t h e s e kann auch d u r c h m e h r e r e J e - D e s t o - A u s s a g e n net w e r d e n .

Beispielsweise

führen d i e beiden

'Je größer Y ( t - 1 ) ,

desto größer

'Je größer

desto k l e i n e r C(t) '

gekennzeich-

Behauptungen

C(t)'

und l(t-1),

zu der Forma 1 i s i e r u n g C(t)

= F[Y(t-l),

l(t-1)]

o d e r zu der a b k ü r z e n d e n C(t)

= F[Y+(t-1),

Die V a r i a b l e

I soll

3 C ( t ) / 3 Y ( t - 1 ) >0 und

3C(t)/3I(t-1)

O — -I O -I

UJ o

«I z O (/>

3 < X o

i

>-

i >-

1 i-

i¿

o Z o

O . —1 l/l U i

— o Ui o

c c o D 4— E c D •— (/I C 1/1 O 4-» 10 dagegen a b e r zu e i n e r in d i e s e m F a l l

h ä t t e , e i n e n über Y^ und Y^ l a u f e n d e n F e e d b a c k k r e i s n e g a t i v e i n z u o r d n e n , so w i r d

zwischen

zu

10 f ü h r t e i n e E r h ö h u n g v o n

E r h ö h u n g von Y ^ ,

V e r m i n d e r u n g . Wenn e i n M o d e l l e n t w i c k l e r

ihm d i e s

die

als

Absicht

positiv

nicht möglich sein,

Y^ größer

10 s i n d . ' * E i n e F e e d b a c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g w i r d

i n s b e s o n d e r e bei g r ö ß e r e n M o d e l l e n d a r a u f b e s c h r ä n k e n ,

te, a l s w i c h t i g angesehene Rückkopplungen Schleifen)

oder

falls

im V e r l a u f d e s b e t r a c h t e t e n P r o z e s s e s Werte annehmen k a n n , d i e und k l e i n e r a l s daher

Yj

Hypothese

Y, = F [ Y 2 , Y j ]

! ^

Va-

(durch Numerierung

h e r a u s z u h e b e n , und u n t e r Umständen auch a l s

n e g a t i v e R ü c k k o p p l u n g e n zu

sich

bestimmder

positive

und

identifizieren.

1.4.2. Pfeil-, Block- und Signalflußdiagramme I n den W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t e n w i r d o f t e i n v o n TINBERGEN führtes

einge-

P f e i l d i a g r a m m z u r D a r s t e l l u n g d y n a m i s c h e r Systeme, a u c h

bergensches

Pfeildiagramm genannt,

verwendet.

D e r a r t i g e P f e i l d i a g r a m m e können a l s e i n e rung e i n e s

informationelle

Kausaldiagrammes gedeutet werden, d i e dadurch

Verfeinezustande

kommt, daß d i e z e i t l i c h e n A b h ä n g i g k e i t e n d e r V a r i a b l e n e i n f l ü s s e r ü c k s i c h t i g t werden. A b b i l d u n g 4 Zu einem B e i s p i e l

siehe

Seite

Tin-

14.7 z e i g t das Pfeildiagramm 427f.

be-

eines

62

MA-Systerns.

t

t-1

Y(t) = C(t) + I j ( t ) + I ^ t )

C(t) = o ( Y ( t - l )

C H

|

Abb.

1^.7

Tinbergensches

Ein weiteres Hier gibt

Ij(t) =D[C(t)-C(t-l)]

|

PfeiIdiagramm eines

Darstellungsmittel

es v e r s c h i e d e n e

ist die

s e n - oder D e f i n i t i o n s g l e i c h u n g B l o c k kann a l s

MA-Systems

B1ockdiagrammdarstellung.

Darstellungskonventionen.

Die e i n f a c h s t e Blockdiagrammdarstellung

Dieser

I ^ t ) = 5000

besteht d a r i n , jede

d u r c h e i n e n B l o c k zu

Hypothe-

repräsentieren.

eine A r t M a s c h i n e r i e verstanden werden,

welche

d i e B e z i e h u n g z w i s c h e n d e r A u s g a n g s g r ö ß e und den E i n g a n g s g r ö ß e n stimmt.

Die A u s g a n g s g r ö ß e ,

deren W i r k u n g s r i c h t u n g

gekennzeichnet wird, e n t s p r i c h t

durch einen

der endogenen V a r i a b l e n d e r

genden G l e i c h u n g , während d i e E i n g a n g s g r ö ß e n d u r c h d i e exogenen V a r i a b l e n

repräsentiert

Pfeil

vorlie-

unverzögerten

werden.

E i n MA-System w i r d entsprechend d i e s e r 14.8 wiedergegeben.

be-

Festlegung

durch

Abbildung

B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g e n d i e s e r A r t z ä h l e n zu

den p a r a m e t r i s c h - s i n g u l ä r e n

Schaubildmodellen.

63

Abb.

14.8

Blockdiagrammdarstellung

Diese Darstellungsweise

eines

MA-Systems

kann w e i t e r d i f f e r e n z i e r t w e r d e n ,

A d d i t i o n o d e r S u b t r a k t i o n von E i n g a n g s g r ö ß e n d u r c h e i n

indem d i e

spezielles

Symbol, einen sogenannten A d d i t i o n s p u n k t oder S u b t r a k t i o n s p u n k t , schrieben wird.

E i n e e n t s p r e c h e n d e V e r ä n d e r u n g des

Blockdiagrammes

z e i g t Abbildung

Abb.

Die

14.9

ursprünglichen

14.9.

B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g e i n e s MA-Systems unter dung e i n e s S u m m a t i o n s p u n k t e s

Interaktion

i n den B l ö c k e n wurde i n A b b i l d u n g

t r a g u n g d e r H y p o t h e s e n - und D e f i n i t i o n s g l e i c h u n g e n Rahmen der R e g e l u n g s t h e o r i e

be-

i s t es ü b l i c h ,

Verwen-

14.9 durch d i e beschrieben.

die Beziehung

EinIm

z w i s c h e n den

64 E i n - und A u s g ä n g e n d e r B l ö c k e

in anderer Weise

darzustellen:

I n d i e e i n z e l n e n B l ö c k e w i r d e i n e s c h e m a t i s c h e Z e i c h n u n g der sprungantworten des b e t r e f f e n d e n B l o c k e s e i n g e t r a g e n . s p r u n g a n t w o r t b e s c h r e i b t den Z e i t v e r l a u f

(t=0,1,2,...)

Einheits-

der A u s g a n g s v a r i a b l e n ,

s i c h e r g i b t , wenn man dem B l o c k vom Z e i t p u n k t s e von E ( t ) = l

Eine

Einheits-

0 an e i n e

der

Eingangsgrös-

aufprägt.

Im F a l l e des b e t r a c h t e t e n M A - S y s t e m s e r g i b t s i c h d a s f o l g e n d e

Block-

d i a g ramm.

Abb.

14.10

B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g e i n e s MA-Systems mit D a r s t e l l u n g der E i n h e i t s s p r u n g a n t w o r t e n

H a n d e l t e s s i c h um d i e A n a l y s e

linearer

ke z u m e i s t e i n A u s d r u c k e i n g e t r a g e n , Ubergangsfunktion

Systeme, so wird

der a l s

die Operatorenform

Es g e n ü g t uns zu w i s s e n ,

r e n f o r m der U b e r g a n g s f u n k t i o n G(K) e i n e s s c h e n dem E i n g a n g E ( t )

Blökder

und dem.Ausgang

daß m i t der

Blockes die Beziehung

Y(t)

beschrieben

zwi-

durch

wird.

Für d a s v o r l i e g e n d e M A - S y s t e m e r g i b t Blockdiagramm:

sich

hier

Operato-

= G(K)E(t)

vollständig

gende

in d i e

b e z e i c h n e t w i r d . Wir w o l l e n a u f d i e s e n A u s d r u c k

nicht weiter eingehen.

Y(t)

graphischer

in diesem F a l l e das

fol-

65

Abb.

14.11

B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g e i n e s MA-Systems unter dung von U b e r g a n g s f u n k t i o n e n in O p e r a t o r e n f o r m

S e l b s t wenn man s i c h m i t der nur a n g e d e u t e t e n A u f g a b e der darstellung

der U b e r g a n g s f u n k t i o n z u f r i e d e n g i b t ,

Frage nahe, welche z u s ä t z l i c h e darstellung

Operatoren-

l i e g t dennoch

Information eine derartige

im G e g e n s a t z zu den A b b i l d u n g e n

Verwen-

14.8 oder

die

Diagramm-

14.9

bieten

so 11 . Diese berechtigte

F r a g e f ü h r t Uns zu einem w e i t e r e n Z i e l

der

Ent-

w i c k l u n g von D i a g r a m m o d e l l e n . Manche D a r s t e l l u n g e n d i e n e n w i e liegenden Fall

n i c h t mehr p r i m ä r der V e r g e g e n w ä r t i g u n g

der

sammenhänge, s o n d e r n v o r a l l e m der s i c h d a r a n a n s c h l i e ß e n d e n kationenaufdeckung.

schließlich

v e r s u c h t man im F a l l e

ten S i g n a l f l u ß d i a g r a m m e n gebaut a l s

linearer

zu e r r e i c h e n .

Systeme auch mit

ausEnd-

sogenann-

D i e s e s i n d noch e i n f a c h e r

S i e b e s t e h e n a u s nur zwei

Verknüpfungspunkten.

in

ermitteln.

B l o c k d i a g r a m m e und e i g n e n s i c h d a h e r z u r D a r s t e l l u n g

s e r e r Systeme. und den

Darstellung

d a r i n , d u r c h s u k z e s s i v e V e r ä n d e r u n g der Diagramme d i e

e i n e r bestimmten S y s t e m v a r i a b l e n zu

Dieses Ziel

Impli-

Werden i n B l o c k d i a g r a m m e n U b e r g a n g s f u n k t i o n e n

O p e r a t o r e n f o r m v e r w e n d e t , s o l i e g t der Zweck d i e s e r

gleichung

im v o i —

Systemzu-

aufgrös-

E l e m e n t e n : den V e r b i n d u n g e n

66

D i e V e r k n ü p f u n g s p u n k t e s y m b o l i s i e r e n d i e endogenen Zwischen diesen V a r i a b l e n bestehen

Systemvariablen.

i n einem d y n a m i s c h e n S y s t e m

k a n n t l i c h v e r z ö g e r t e und u n v e r z ö g e r t e B e z i e h u n g e n , w e l c h e

be-

i n einem

S i g n a 1 f 1 u ß d i a g r a m m a n g e z e i g t w e r d e n . Uber den P f e i l e n w i r d

i n einem

Signalf1ußdiagramm die entsprechende Operatorenübergangsfunktion getragen.

ditionspunkten Abbildung

in einem

14.12 z e i g t

14.12

Blockdiagramm.

noch einmal

und s e i n e n t s p r e c h e n d e s

Abb.

ein-

D i e V e r k n ü p f u n g s p u n k t e e n t s p r e c h e n z u g l e i c h a u c h den A d -

das Blockdiagramm e i n e s

Signalflußdiagramm.

B l o c k - und S i g n a l f l u ß d i a g r a m m e i n e s

MA-Model1s

MA-Modells

67

Man e r k e n n t ,

daß d i e B l ö c k e

S t r e c k e n e r s e t z t werden. lung

in Abbildung

stellungen,

in der B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g

Ein V e r g l e i c h mit der

14.2 z e i g t

die formale Ä h n l i c h k e i t

j e d o c h m i t dem U n t e r s c h i e d ,

daß d a s

der beiden

Repräsentation

des

parametrisch-singu1ären

A u f d i e w e i t e r e Anwendung v o n B l o c k lyse dynamischer

Systeme wird e r s t

Uns g e n ü g t an d i e s e r

Stelle

eine

vollstän-

MA-Modells

bildet.

und S i g n a l f l u ß d i a g r a m m e n

an s p ä t e r e r

ein vorläufiger

Dar-

Signa1f1ußdiagramm

durch d i e z u s ä t z l i c h e Angabe der U b e r g a n g s f u n k t i o n e n dige

durch

Kausaldiagrammdarstel-

Stelle

zur Ana-

eingegangen.

Uberblick.

1.4.3. System-Dynamics-Diagramme Als

letztes

soll

vorgestellt liche

eine weitere Darstellungsform

w e r d e n , d i e man j e d o c h n i c h t e i n f a c h a l s

Darstellung

Es h a n d e l t

sich

eines

Differenzengleichungsmodells

um e i n e

Diagrammdarstellung

auf der M o d e l l i e r u n g s k o n z e p t i o n Es

soll

Jedes

nur e i n e r s t e r

System

miteinander Leveln,

läßt

sich

Bevölkerungsanzahl, bestimmten

hen d i e s e r

Level

und A b f l ü s s e

Bestand an

eines

Systeme,

sind

Investitionen

den

sogenannten

beispielsweise

oder die Anzahl

Personen.

Die

der

Bestandshödurch die

Raten b e z e i c h n e t werden.

Levels mit einer

die

Z u - und e i n e r

Die

Zugra-

Abflußrate

14.13.

i n den L e v e l

durch P f e i l e

ten der Level

die

beruht.''

einem W a s s e r b e h ä l t e r )

welche a l s

kann.

K o n z e p t i o n d u r c h e i n e Menge v o n

befallenen

(wie bei

schaubild-

deuten

werden:

Bestandsgrößen

Krankheit

Systeme

w e r d e n d u r c h R e c h t e c k e und R a t e n d u r c h V e n t i 1 S y m b o l e

während d i e Flüsse

der

1

stehenden Bestandsgrößen,

Solche

beeinflußt,

zeigt Abbildung Level

nach d i e s e r

werden

phische Darstellung

gegeben

die

dynamischer

'System Dynamics

Uberblick

in Beziehung

beschreiben.

von e i n e r

dynamischer

hinein-

gekennzeichnet werden.

werden v e r z ö g e r t

5 Zur a u s f u h r ! i c h e n

und a u s dem L e v e l

Erörterung

von anderen dieser

dargestellt,

herausströmenden

Die Zufluß-

und

Abflußra-

Leveln beeinflußt.

Konzeption siehe Seite

Diese 399ff.

68

ZUFLUSSRATE

LEVEL

ABFLUSSRATE

Abb. 14.13

Schaubildliche Darstellung einer Level-Raten-Beziehung im Rahmen des S y s t e m - D y n a m i c s - K o n z e p t e s

Abb. 14.14

B e i s p i e l h a f t e D a r s t e l l u n g e i n e s Diagramms System-Dynami c s - K o n z e p t e s

im Rahmen des

69

Beeinflussung beschrieben.

und i h r e R i c h t u n g e n werden d u r c h u n t e r b r o c h e n e

Pfeile

Ein System-Dynamics-Diagramm w i r d damit, wie in

Abbil-

dung 1 4 . 1 4 b e i s p i e l h a f t seitig

beeinflussender

M i t H i l f e der

angeführt, Level

in d i e s e r

(Vgl.

z.B.

zum A u s d r u c k

kommenden

können komplexe Zusammenhänge d u r c h

t i v einfache Tei1beziehungen stem-Dynamics-Diagramme

sukzessiv

a u f g e b a u t werden.

Es s i n d

b e k a n n t , welche H u n d e r t e von Symbolen

D i e E n t w i c k l u n g von S y s t e m - D y n a m i c s - D i a g r a m m e n v o l l z i e h t

w i r d e i n Feedbackdiagramm e n t w i c k e l t ,

Sy-

ent-

Strukturinformationen

den d a s

s i n g u l ä r e dynamische Modell

sich

gewonnen

aber noch n i c h t

l e t z t l i c h zu e n t w i c k e l n d e Die

Schritt

Hinzunahme

e i n System-Dynamics-Diagramm

besitzt.

oft

in einem e r s t e n

a u s welchem d u r c h

w i r d . Auch e i n S y s t e m - D y n a m i c s - D i a g r a m m e n t h ä l t Informationsgehalt,

rela-

[134])

a u f der G r u n d l a g e von Feedbackdiagrammen, d . h .

weiterer

gegen-

gekennzeichnet.

Diagrammdarstellung

Level-Raten-Interpretation

halten.

durch e i n Geflecht einander

und Raten

den

parametrisch-

Darstellungskonventionen

von S y s t e m - D y n a m i c s - D i a g r a m m e n werden s p ä t e r e i n g e h e n d

erörtert.

1.5. Implikationen dynamischer MZÄ-Modelle Das A r b e i t e n m i t d y n a m i s c h e n M o d e l l e n e r s c h ö p f t s i c h n i c h t

in der

w i c k l u n g e i n e s M o d e l l a n s a t z e s . Wie e r w ä h n t , s o l l e n v i e l m e h r der e n t w i c k e l t e n M o d e l l e bestimmte ne S y s t e m gewonnen w e r d e n , d i e zwar ten, aber n i c h t d i r e k t d e l l e n wurden b e r e i t s

erkennbar als

e i n e s dynamischen Modells sich

I n f o r m a t i o n e n über d a s im M o d e l l a n s a t z

sind.

anhand

beschriebe-

implizit

enthal-

D i e s e S t r u k t u r m e r k m a l e von Mo-

Implikationen bezeichnet.

Implikationen

s i n d s o m i t bestimmte S t r u k t u r m e r k m a l e ,

l o g i s c h zwingend a u s dem M o d e l l a n s a t z

ergeben, deren

zu e r s e h e n

ist.

Es

tionen e i n e s M o d e l l s mit H i l f e

i s t vielmehr notwendig, die

die

Vorhanden-

s e i n o d e r d e r e n k o n k r e t e S t r u k t u r aus d i e s e m M o d e l l a n s a t z a b e r unmittelbar

Ent-

nicht

Implika-

bestimmter E r s c h l i e ß u n g s v e r f a h r e n

of-

70

fenzulegen.

D i e A u f d e c k u n g von

I m p l i k a t i o n e n kann v e r s c h i e d e n e n

len

dienen:

(1)

Der Gewinnung v o n E i n s i c h t e n über S t r u k t u r Systems.

Eine Fragestellung

für ein konkretes Modell

(2)

zum B e i s p i e l

hen w e r d e n , wenn d i e nur a l s J a h r e 1990 n e g a t i v

Beeinflussung

d i e von einem E n t s c h e i d e r f a h r e n , damit d i e

vom Z i e l

soll

des S y s t e m s .

angese-

Eine solche

er-

wird?

vom Z i e l

der E i n s i c h t e n e r w e i t e r u n g ,

der G ü l t i g k e i t s p r ü f u n g

l y s e dynamischer Systeme.

und im d r i t t e n

Sie

ist

im z w e i t e n

Fall

vom Z i e l

g e s p r o c h e n werden. in den B e r e i c h der

e i n e der Model 1 e n t w i c k l u n g

i n w e l c h e r d u r c h A u f d e c k u n g von

e m p i r i s c h e G ü l t i g k e i t d e s Model 1 a n s a t z e s

Implikationen

Ana-

folgen-

sowohl

die

ü b e r p r ü f t w i r d a l s auch neue

E i n s i c h t e n über d a s b e s c h r i e b e n e S y s t e m gewonnen werden Auf d i e s e W e i s e neu gewonnene E i n s i c h t e n über den

sollen.

Gültigkeitsanspruch

können dazu f ü h r e n , daß der u r s p r ü n g l i c h e M o d e l l a n s a t z

modifiziert

w i r d , m i t der F o l g e , daß d i e P h a s e n der M o d e l l e n t w i c k l u n g , und

Mit dieser

müssen

F l u k t u a t i o n der endogenen V a -

Die V e r f o l g u n g der e r s t e n beiden Z i e l e f ä l l t

se e i n a n d e r

Ziel-

b e e i n f l u ß b a r e n exogenen V a r i a b l e n

der z i e l g e r i c h t e t e n S y s t e m b e e i n f l u s s u n g

de P h a s e ,

sich

d e f i n i e r t e V a r i a b l e Y im

d i e F r a g e : Welche A u s p r ä g u n g

(unerwünschte)

r i a b l e n Y gedämpft Im e r s t e n F a l l

Hier bieten

wird?

Der z i e l g e r i c h t e t e n

s e t z u n g umfaßt zum B e i s p i e l

Fall

annehmen?

a l s empirisch akzeptabel

positiv

des

könnte

l a u t e n : Welchen Wert w i r d

Der e m p i r i s c h e n U b e r p r ü f u n g des Model 1 a n s a t z e s . F r a g e n an w i e : Kann d a s M o d e l l

(3)

und E n t w i c k l u n g

im Rahmen d i e s e r Z i e l s e t z u n g

d i e endogene V a r i a b l e Y im J a h r e 1990

Zie-

-analy-

ablösen. Bemerkung

Buches etwas s t ä r k e r

l ä ß t s i c h nunmehr auch d i e Z i e l r i c h t u n g herausarbeiten:

mit der z i e l g e r i c h t e t e n s t e h t das Z i e l

Beeinflussung

Es b e s c h ä f t i g t

dynamischer Systeme.

der E i n s i c h t e n e r w e i t e r u n g

l u n g der F o r d e r u n g

im V o r d e r g r u n d .

nach E i n s i c h t e n e r w e i t e r u n g

dieses

s i c h primär

nicht

Vielmehr

Die

Erfül-

d i e n t z u g l e i c h dem Z i e l

71

der

Gültigkeitsprüfung.

Im f o l g e n d e n w i r d

i n v e r s c h i e d e n e n Zusammenhängen d a r g e s t e l l t , i n

w e l c h e r W e i s e d i e d u r c h e i n e Model 1 e r s c h l i e ß u n g ten zur G ü l t i g k e i t s p r ü f u n g

verwendet werden können.

s c h n i t t w o l l e n w i r uns e i n B i l d sehenden deckung

neuer E i n s i c h t e n

tails

weitgehend

befreite

trachtungen

tionen eingehen,

inhaltliche soll

Implikationen

Generelle tentiell

Betrachten wir die

eingeführt

Y(t)

führen.

der

Behandlung

der

typenspezifische

Be-

repräsentieren

Endgleichung

Implika-

eine Behauptung,

Individuen eines

die einen p o -

betrifft.

parametrisch-generellen

Investitionen,

MA-

d.h.

- gßY(t-2)

Implikation

i s t die formelmäßige

von Y f ü r t = 0 , 1 , 2 , . . .

f ü rY wird

verschiedener

z w i s c h e n g e n e r e i l e n und s i n -

in Abhängigkeit

P a r a m e t e r n a und ß s o w i e den A n f a n g s w e r t e n pfadformel

Auf-

werden.

B e r e i c h von

= (g+aß)Y(t-1)

Eine generelle verlaufs

bei

Interpretation

f ü r Y beim F e h l e n a u t o n o m e r

Y(t)

wird

und um w e i t e r e

die Unterscheidung

Implikationen unendlichen

Modells

die zur

erweitert.

Bevor w i r auf d i e

gulären

anzu-

anzusehende, von t e c h n i s c h e n De-

Darstellung

e i n z e l n e n Model 1 t y p e n v e r t i e f t

System

Ab-

relevant

Implikationen also,

über e i n v o r l i e g e n d e s

Orientierung

Einsich-

I n diesem

über d i e g e m e i n h i n a l s

I m p l i k a t i o n e n m a c h e n , den

D i e s e nur a l s e r s t e

gewonnenen

Y(0)

Beschreibung von den

des

Zeit-

(generellen)

und Y ( l ) .

Diese

Zeit-

durch

= *2Y(0)-YQ)

x

t

Y(1)-XIY(0)

+

t=0,l,2,...

mit »2

=

g + g ß . / a 2 + 2 g 2 ß + a 2 ß2 — * V r

beschrieben.^

Es handelt

sich

den Z e i t p f a d v o n Y f ü r a l l e möglichkeiten

der

um e i n e g e n e r e l l e

prinzipiell

Implikation,

weil s i e

unendlichen Konkretisierungs2 P a r a m e t e r g und ß b e s c h r e i b t . Singuläre Implikatio-

1 Zur E r m i t t l u n g s i e h e S e i t e 179ff. 2 M i t Ausnahme des F a l l e s g ß = (g2+2g2ß+g2ß2)A

72

nen d a g e g e n

liefern

kretisierten Werte e i n e r

Modell

in e i n e

Werte

folgen.

Zahlenfolge,

blen beschreibt. mit

nur A u s s a g e n ,

welche aus einem numerisch v o l l

S i e s i n d daher

Die oben b e s c h r i e b e n e

singulare

einer

generelle

ü b e r , wenn man f ü r

in d i e Gleichungen

n u m e r i s c h e Werte w i e

w e l c h e den Z e i t v e r l a u f

endogenen

Implikation

a,ß,Y(0)

und Y ( l )

kondie Varia-

geht

da-

numerische

einsetzt.

1.5.1. Zeitverlauf der endogenen Variablen A. Deterministische Modelle Sind

in dynamisch d e t e r m i n i s t i s c h e n

d i e A n f a n g s w e r t e und d e r V e r l a u f ist

der

numerische V e r l a u f

des M o d e l l s

Sind

d i e exogenen V a r i a b l e n

in

ihren Verläufen a l s

in diesem F a l l

Differenzengleichungsmodells. 0 = 0 , 9 und ß = 0,*» f o l g e n d e =

l;(t) Y(t)

bekannt, eine

so

Implika-

Angenommen, Form

geschlossene

in bestimmten

als

Formelausdrücke

von d e r

end-

Fällen

auch

ermit-

Funktionslösung

e i n MA-Modell

weist

des

mit

auf:

0,9Y(t-l) =

0,4[C(t)-C(t-1)]

= C(t)

Wenn w e i t e r h i n 1 ( t ) = 2 500

+ l,(t)

+

la(t)

die Anfangswerte

vorgegeben

der z e i t l i c h e Y(t)

s o können

der endogenen V a r i a b l e n

w e r d e n . ^ Man s p r i c h t

C(t)

als

anzusehen.

Formel a u s d r ü c k e v o r g e g e b e n ,

die Zeitverläufe telt

der exogenen V a r i a b l e n

der endogenen V a r i a b l e n

tion

liche

Differenzengleichungsmodellen

Verlauf

sind,

Y(0)=10 000,

dann

läßt

von Y d u r c h d i e

= k3k3,18»(0,438)1

-

sich

Y ( 1 ) = 1 1 000 (wie s p ä t e r

sowie dargelegt

wird)

Funktionslösung

19 3 ^ 3 , 1 8 * ( 0 , 8 2 2 ) t

+ 25 000

t=0,1,2...

b e s c h r e i ben. Wenn e i n auf

seine

Differenzengleichungsmodell Endgleichungen

Zeitverlauf 3 Vgl.

Seite

der endogenen V a r i a b l e n 179f.

auf

umgeformt w i r d ,

seine dann

reduzierte ist

Form o d e r

es m ö g l i c h ,

durch s u k z e s s i v e

den

Berechnung

aus

73

den vorherbestimmten Variablen zu ermittein. Eine derartige mung des Zeitverlaufs der endogenen Variablen soll als

Bestim-

periodisehe

Reg ress ionslösung bezeichnet werden, da der Wert der endogenen Variablen jeder Periode durch einen sukzessiven Rückgriff auf die vorher bestimmten Variablen ermittelt wird. Die allgemeine Form der reduzierten Gleichung eines MA-Modells wurde auf Seite 36 für Y bestimmt und besitzt die Form: Y(t) = aY(t-1) + ß[aY(t-1)-C(t-1)] + l g (t) Unter Einsetzung der angegebenen numerischen Werte für a und ß ergibt sich die reduzierte Gleichung des vorliegenden Modells

durch:

Y(t) = 1,26Y(t-1) - 0 ,4C(t-1) + l a (t) Zusammen mit der

Konsumfunktion

C(t) = 0,9Y(t-l) kann der Zeitverlauf von Y und C durch sukzessive Berechnung

ermit-

telt werden. Wie man aus Tabelle 15-1 erkennt, führt die (ohne Herleitung angeführte Funktions1ösung von Y) zu demselben Das Beispiel

Zeitverlauf.

zeigt ebenfalls, daß die Bestimmung des Zeitpfades der

endogenen Variablen die Angabe bestimmter Anfangswerte

(in unserem

Fall Y(0) und Y(l)) voraussetzt. Funkt ionslösung von Y(t)

Regress ions 1ösunq von Y(t) von C(t)

-19343,18- 4343,18t

25000

•(0,822)t

0 1 2 3 4 5

25000 25000 25000 25000 25000 25000

-19343 -15902 -13073 -10747 - 8835 - 7264

Tab. 15-1

1 ,26-

•( 0,438 f Y(t) 4343 1902 833 365 160 71

1 0000 11000 12760 14618 16325 17807

-0,4-

• Y(t-1) •C(t-1 )

0,92500

-

-

-

-

-

-

13860 16078 18418 20569

-3600 -3960 -4593 -5262

'Y(t-1)

2500 2500 2500 2500

-

9000 9900 11484 13156 14692

Periodische Regressions- und Funktions1ösung der endogenen Variablen Y im Falle eines MA-Modells auf Grundlage der reduzierten Gleichung von Y

Ist es im Gegensatz zu dem angeführten Beispiel

nicht möglich, aus

einem dynamischen MZS-Model 1 die Endgleichungen oder nur die

reduzier-

7k

ten Gleichungen a b z u l e i t e n , analytisch nicht

lösbares

so w i r d das v o r l i e g e n d e Modell

simultanes

Gleichungssystem

durch

ein

beschrieben.

Um dennoch f ü r j e d e P e r i o d e d i e n u m e r i s c h e n Werte der u n v e r z ö g e r t dogenen V a r i a b l e n zu e r m i t t e l n , muß man v e r s u c h e n , das

vorliegende

G l e i c h u n g s s y s t e m d u r c h n u m e r i s c h e N ä h e r u n g s m e t h o d e n zu l ö s e n . derartige als

Bestimmung des Z e i t v e r l a u f s

periodische Simultanlösung

de e i n s i m u l t a n e s

Y2(t) Y3 (t) so

= Y1(t)Y2(t)

+

2

= 0,5 [ Y 3 ( t ) ] Y 1 ( t )

Yp

Gleichungssystem

+ 2Yj(t-1)

3

d.h.

+ Y2(t)

+ Y3(t) Y3 (t)

- Y1 ( t - 1 )

f ü r Y ^ , Y 2 und Y^ d i e

Y 2 und Y^ a l s

reduzierte

Form zu

Funktion der vorherbestimmten

blen auszudrücken.

Die E r m i t t l u n g von Y p

de t

in Form e i n e r

i s t daher nur

Perio-

ist.

0,5Yj(t-1)

='[Y1(t)] Y2(t)

i s t es n i c h t m ö g l i c h ,

mitteln,

soll

b e z e i c h n e t w e r d e n , da f ü r j e d e

B e t r a c h t e n w i r b e i s p i e l s w e i s e das Y1(t)

Eine

der endogenen V a r i a b l e n

G l e i c h u n g s s y s t e m zu l ö s e n

en-

Y 2 und Y^ i n j e d e r

periodischen

Simu1 t a n l ö s u n g

er-

VariaPeriomöglich.

B. Stochastische Modelle S t o c h a s t i s e h e M o d e l l e wurden b i s h e r

nur k u r z c h a r a k t e r i s i e r t .

wurde j e d o c h , daß d i e endogenen V a r i a b l e n a u f g r u n d d e r d u r c h s t o c h a s t i s c h e exogene V a r i a b l e n lichkeitsverteilungen eines

stochastisehen Modells

verlauf lauf

nur

'Verseuchung'

i n Form i h r e r

b e s c h r i e b e n werden k ö n n e n . A l s

Wahrschein-

Implikationen

kann d a h e r n i c h t der n u m e r i s c h e

e i n e r endogenen V a r i a b l e n ,

Deutlich

Werte-

s o n d e r n a l l e i n der z e i t l i c h e

ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Vei—

bestimmt w e r d e n .

G r e i f e n w i r z u r V e r d e u t l i c h u n g w i e d e r a u f u n s e r MA-Model1 z u r ü c k . g ä n z e n d w i r d angenommen, daß d i e

Investitionsfunktion

eine stochastische Variable e beeinflußt wird, I.(t) wobei

zusätzlich

Erdurch

d.h.

= ß[C ( t ) - C ( t - 1 ) ] + e ( t )

über e n i c h t mehr b e k a n n t

ist,

als

e i n e r N o r m a l v e r t e i 1 u n g m i t dem M i t t e l w e r t weichung a s e i n

daß es d i e S t i c h p r o b e Null

und der

soll.

k Zur Besprechung d i e s e r Verfahren s i e h e S e i t e

3^3f.

aus

Standardab-

75 Das Model 1 Y(t)

=

C(t)

C(t)

=

ciY(t-l)

I ,(t)

+ l.(t)

+

= ß[C(t)-C(t-1) ] + e (t)

wird durch e

1

stochastisch

beschreibbar. des E r w a r t u n g s w e r t e s

lichkeitsverteilungen durch

Formelausdrücke

Wählen w i r

beispielsweise

Normalverteilung tungswert

Null

tungswertes Ye(t)

angehören

ß=~

r\ / v

/ Abb.

15-3-

>.o /

l

r i

Y

\

c/ö' /

/

v

B e i s p i e l der S t ö r u n g e i n e s d y n a m i s c h e n S y s t e m s mit l u t i o n s s t a b i l i t ä t [ E i n h e i t T: T a u s e n d ]

Evo-

81

de e i n m a l i g e S t ö r u n g

i n Höhe v o n S (5) = i t 0 0 0 .

bewirkte Z e i t v e r l a u f

nähert

Gleichgewichtspfad tionsstabilität

(G).

vor.

Der d u r c h d i e

Störung

s i c h m i t gedämpften S c h w i n g u n g e n dem

Im v o r l i e g e n d e n

Soviel

Fall

l i e g t damit e i n e

Evolu-

z u r K e n n z e i c h n u n g der w i c h t i g s t e n

Sta-

b i i i tätsarten. Im F a l l e

technischer

S y s t e m e i s t es d u r c h a u s m ö g l i c h , d i e

e i n e s S y s t e m s zu b e o b a c h t e n . Man u n t e r d r ü c k t a u f Störungen,

l ä ß t damit das S y s t e m

Stabilität

k ü n s t l i c h e m Wege d i e

in s e i n e n G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d

gehen und übt dann e i n e t y p i s c h e S t ö r u n g a u f d a s S y s t e m a u s . stemantwort, d.h. dann, e i n U r t e i l Situation

der V e r l a u f

der endogenen V a r i a b l e n ,

über d a s S t a b i 1 i t ä t s v e r h a 1 t e n

läßt sich bezüglich sozialer

b r i n g e n , da man S t ö r u n g e n

Die

Sy-

gestattet

abzugeben.

Eine

Systeme j e d o c h n i c h t

w i e etwa u n v o r h e r g e s e h e n e

über-

es

solche

zustande-

Investitionen

o d e r B e s t e l l u n g e n n i c h t v e r b i e t e n kann und w i l l . Ein s o z i a l e s welche

System i s t s t ä n d i g

irgendwelchen

'Störungen'

ausgesetzt,

i n i h r e r A u f e i n a n d e r f o l g e b e w i r k e n , daß d i e r e a l i s i e r t e n

r i a b l e n permanent um den G l e i c h g e w i c h t s p f a d

'herumtanzen'.

s i c h d e s h a l b n i c h t b e o b a c h t e n , ob das S y s t e m s t a b i l

Es

Va-

läßt

i s t , d . h . ob

die

endogene V a r i a b l e nach der A u s ü b u n g e i n e r b e g r e n z t e n S t ö r u n g dem Gleichgewichtspfad

zustrebt.

Um d i e s

sei

zu z e i g e n ,

das

in Abbildung

1 5 - 3 nur v o n einem I m p u l s

s t ö r t e System e i n e r Kette von Störungsimpul sen a u s g e s e t z t , d i e bildung

15- 1 » d u r c h den B u c h s t a b e n S g e k e n n z e i c h n e t

Es d ü r f t e anhand von A b b i l d u n g

in Ab-

ist.

1 5 - ^ kaum m ö g l i c h s e i n , e i n

über d a s V o r h a n d s e i n e i n e r S y s t e m e i g e n s c h a f t

ge-

Urteil

'Evolutionsstabilität'

abzugeben. E i n g a n g b a r e r Weg, E i g e n s c h a f t e n w i e S t a b i l i t ä t o d e r auch a n d e r e w e sentliche

I m p l i k a t i o n e n d y n a m i s c h e r M o d e l l e zu e r m i t t e l n ,

besteht

in

folgendem Vorgehen: Man e n t w i c k l e e i n a d ä q u a t e s M o d e l l S y s t e m s , und lität

in d i e s e s M o d e l l

n i c h t beobachtbar

des zu u n t e r s u c h e n d e n

f ü h r e man Annahmen e i n ,

die

dynamischen in der

s i n d , deren Konsequenzen jedoch zur

Gewinnung

b i s h e r u n b e k a n n t e r E i g e n s c h a f t e n des t a t s ä c h l i c h v o r l i e g e n d e n führen.

Rea-

Systems

82

Abb.

1 5•

Dynamisches System mit E v o l u t i o n s s t a b i l i t ä t e i n e r Kette von S t ö r i m p u l s e n (S) a u s g e s e t z t [ E i nhei t T: T a u s e n d ]

Beispielsweise lität

soll

untersucht Y(t)

= C (t)

C(t) =

die folgende V e r s i o n eines MA-Modells auf

Stabi-

werden: + l.(t)

+

la(t)

0,8Y(t-1)

l.(t) = 1 [ C ( t ) - C ( t - 1 ) ] I ( t ) = 2000 3 Als

(Y) , w e l c h e s ist

+

£

(t) Y(0)=13 600,

Störgröße wird e angesehen, welches e i n e r

Y(1)=19

800

Normalvertei1ung

mit

83

einem M i t t e l w e r t

Null

und e i n e r

konstanten Standardabweichung

ange-

hören sol 1 . Die p e r i o d i s c h e R e g r e s s i o n s l ö s u n g

d i e s e r Model 1 v e r s i o n würde

s c h l ü s s i g e A u s k u n f t über d i e S t a b i l i t ä t man Y ( 0 ) = Y ( 1 ) = 1 0

000, d.h.

des M o d e l l s

die Anfangswerte eines

keine

liefern.

Wählt

Systemgleichgewich-

t e s und e r s e t z t d i e S t ö r g r ö ß e e d u r c h e i n e e i n m a l i g e S t ö r u n g r i o d e 5 , s o e r h ä l t man den i n A b b i l d u n g der e i n e i n d e u t i g e s stems

Urteil

15.2 d a r g e s t e l l t e n

über d i e S t a b i l i t ä t

des v o r l i e g e n d e n

Sy-

erlaubt.

Im Rahmen der E v o l u t i o n s -

und N i v e a u s t a b i l i t ä t

kann man w e i t e r h i n

z w i s c h e n e i n e r monotonen und o s z i 1 l a t o r i s e h e n S t a b i l i t ä t den.

in Pe-

Zeitpfad,

Im F a l l e e i n e r o s z i 1 1 a t o r i sehen S t a b i l i t ä t

nähert

unterschei-

s i c h das

t e S y s t e m i n gedämpften S c h w i n g u n g e n dem G l e i c h g e w i c h t s p f a d . dung 1 5 . 3

liefert

Stabilität

hierfür

ein Beispiel.

Abbil-

L i e g t dagegen e i n e monotone

v o r , so s t r e b t die g e s t ö r t e V a r i a b l e schwingungsfrei

Gleichgewichtspfad

gestör-

dem

zu.

1.5.3. Retrodiktion endogener Variablen Wie w i r w i s s e n ,

ist

es e i n w i c h t i g e s

l y s e , den z e i t l i c h e n V e r l a u f schen M o d e l l s stellt

Ziel

der d y n a m i s c h e n

der endogenen V a r i a b l e n e i n e s

zu e r m i t t e l n . Wenn der Z e i t v e r l a u f

der e r m i t t e l t e V a r i a b l e n v e r l a u f

s i n d von g r o ß e r p r a k t i s c h e r ein elementares

Bedürfnis

Die ersten E r f o l g e

Modellana-

Bedeutung,

der Menschen

dynami-

in die Zukunft

eine Prognose dar. da d i e A u f h e l l u n g

der

Zukunft

befriedigt.

i n der G e s c h i c h t e der n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n

n o s t i k s t e l l t e n d i e V o r a u s s a g e von Mond- und S o n n e n f i n s t e r n i s s e n Aber g e r a d e ge ü b l i c h ,

im F a l l e a s t r o n o m i s c h e r U n t e r s u c h u n g e n

1975 d i e

bei

rückprognostizieren.

Ein

Ein s o l c h e s zwingendes

folgenden auf f r ü h e r

dar. lan-

im J a h r e

Sonnenfinsternisse

S c h l u ß v e r f a h r e n von

stattgefundene

Prog-

Astronom

K e n n t n i s der P I a n e t e n k o n s t e l l a t i o n e n

i n den l e t z t e n 200 J a h r e n s t a t t g e f u n d e n e n

l i c h später

i s t es schon

auch e i n e A r t R ü c k w ä r t s p r o g n o s e vorzunehmen.

kann b e i s p i e l s w e i s e

führt,

Prognosen

Ereignisse

zeit-

n e n n t man

84

in der w i s s e n s c h a f t s t h e o r e t i s e h e n Es l i e g t

Fachsprache eine

Retrodiktion.

nun d i e F r a g e nahe, ob man m i t einem d y n a m i s c h e n M o d e l l

auch e i n e R e t r o d i k t i o n vornehmen k a n n .

Dabei

nicht

s e h e n w i r v o r e r s t von der

F r a g e a b , welchem Zweck e i n e s o l c h e s V o r g e h e n d i e n e n

könnte.

B e t r a c h t e n w i r das e i n f a c h e dynamische Modell Y(t)

= 0,5Y(t-1)

mit Y(0)=100,

dann l ä ß t s i c h d i e s e r A n s a t z umformen Y(t-1)

=

für

t=0,1,2,...

in:

2Y(t)

L a s s e n w i r den Z e i t i n d e x

n e g a t i v werden, so e r g i b t

sten drei

P e r i o d e n der z e i t l i c h e

retrodizierten

t

s i c h für die

Verlauf:

Y

0 - 1 - 2 - 3

100 200 400 800

In d i e s e m e i n f a c h e n F a l l doch g e n e r e l l

ist eine Retrodiktion möglich.

für dynamische Modelle? Die Sentenz

Gilt

men zum s e l b e n E r g e b n i s

dies

es f ü h r e n

Wege nach Rom1 d o k u m e n t i e r t d i e E r f a h r u n g , daß v e r s c h i e d e n e

bildung

er-

Maßnah-

f ü h r e n können. A u f d i e K a t e g o r i e n d e r

ü b e r t r a g e n b e d e u t e t d i e s , daß i n e i n e r z e i t i n v a r i a n t e n

t h e s e v e r s c h i e d e n e K o m b i n a t i o n e n v o r h e r b e s t i m m t e r V a r i a b l e n zu s e l b e n A u s p r ä g u n g der endogenen V a r i a b l e n f ü h r e n

i s t es u n e n t s c h e i d b a r , w e l c h e d i e s e r

K o m b i n a t i o n e n nun

zu dem b e k a n n t e n E r g e b n i s g e f ü h r t h a t .

Um d i e s e s

zuhellen, betrachten wir die Endgleichung - aßY(t-2)

und s t e l l e n uns d i e F r a g e ,

der-

Modells

dersel-

ben A u s p r ä g u n g e i n e r v o r g e g e b e n e n endogenen V a r i a b l e n f ü h r e n ,

= (a+aß)Y(t-1)

Hypo-

Denn z e i g t e s s i c h , daß m e h r e r e

K o m b i n a t i o n e n der s o g e n a n n t e n v o r h e r b e s t i m m t e n V a r i a b l e n zu

Y(t)

Modell-

können.

Es s c h e i n t d a h e r f r a g l i c h , ob man anhand e i n e s d y n a m i s c h e n e i n e R e t r o d i k t i o n d u r c h f ü h r e n kann.

je-

viele

+

dann

tatsächlich

Problem s t ä r k e r

eines MA-Modells

für Y,

aufd.h.

lg(t)

i n w e l c h e r W e i s e w i r anhand d i e s e r

Bezie-

hung e i n e R e t r o d i k t i o n der V a r i a b l e n Y vornehmen k ö n n e n . Nehmen w i r

85

an, der Wert von Y(2) sei bekannt. Wenn die Endgleichung

(12.9) das

vorliegende System adäquat beschreibt, dann gilt die Beziehung: Y(2) = (ct+aß)Y(1) - aßY(O) + lfl(2) Wollen wir nunmehr den Wert für Y(1) bestimmen, d.h. eine Retrodiktion von Y(2) auf Y(l) vornehmen, dann ist dies nicht möglich, denn es gibt eine ganze Reihe von Kombinationen der Zahlenwerte Y(0), Y(l) und l g ( 2 ) , die den vorgegebenen Wert Y{2)

liefert.

Geht man jedoch davon aus, daß die numerischen Werte der exogenen Variablen für die vorgesehene Retrodiktionsperiode bekannt sein sollen und unterstellt zusätzlich, daß auch Y(1) bekannt ist, dann läßt sich Y(0) eineindeutig ermitteln. Hat man aber Y(0) ermittelt, so sich durch sukzessive Anwendung des beschriebenen Vorgehens

lassen Y(-1),

Y(-2) usw. berechnen. Das beschriebene Vorgehen läßt sich verallgemeinern: Hat m a n die Endgleichung n-ten Grades einer bestimmten endogenen Modell variablen Y entwickelt und sind sowohl n-1 Anfangswerte für Y sowie die exogenen Variablenverläufe

im Retrodiktionszeiträum bekannt, so ist eine Re-

trodiktion möglich. Für bestimmte nichtlineare Zusammenhänge ergeben g sich gewisse Einschränkungen, die später zu diskutieren sind.

Zu-

mindest führen diese Anmerkungen aber zu der Einsicht, daß eine Retrodiktion auch bei dynamischen Modellen prinzipiell

durchführbar

Im Falle des angeführten Beispiels kann eine Retrodiktion

ist.

in folgen-

der Weise durchgeführt werden: Aus der Endgleichung

(12.9) folgt der

Retrodiktionsansatz

Y(t) = ((1+ß)/ß)Y(t+1) - (1 /aß)Y(t+2) +

l a (t)/(aß)

und mit a=0,9; ß=0,4; I a =2500; Y(1)=11 000 und Y(0)=10 000 Y(t) = 3,5Y(t + 1) Mit diesem Ansatz

(1/0,36) Y(t+2) + 2500/0,36

ist man in der Lage, die numerischen Werte von

Y(t) für t=-1,-2,-3,... zu berechnen. Tatelle 15-2 zeigt die Ergebnisse dieser Rückrechnung. Y wächst offenbar mit abnehmendem t unbegrenzt. Dies ist eine zeptierbar erscheinen 8 Siehe Seite 472f.

Implikation, die den Modellansatz kaum ak-

läßt.

86

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

3,5*Y(t+1)

1 1388.89 19027.80 41905.88 100760.00

35000.00 39861.13 66597.25 146670.56 352660.00 851197.38 2023885.00 4743462.00 11004518.00 25363824.00

-9 -10

243199-25 578252.94 1355275.00 3144148.00 7246810.00 16637024.00

Tab.

15.2

Das

Retrodiktion

Rechenverfahren

nen V a r i a b l e n muß.

Oft

ist

I

in

MA-Modells

= =

+

Ij(l970) len

I

eine

Modelle,

überführt

exoge-

vorgegeben

Endgleichung

da d i e s e werden

Dies nur

gilt in

sein zu

re

ins-

Ausnah-

können.

betrachten wir

die

Gleichun-

l,(t)

+

lg(t)

--

eines

kann zu

einer

S p r i c h t man d a h e r von einem s e n s i t i v e n M o d e l l , s o i s t

dest e i n Parameter f i n d e n

je

seiner

Es w i r d o f t v o n der S e n s i t i v i t ä t

M o d e l l s oder Systems gesprochen. Mißverständnissen

bezüglich eines Parameters,

Parameters

der S e n s i t i v i t ä t

ist

r e l a t i v v a g e , doch

sie

es

ec

Abb.

15.5

c\j

« to

s **

S e n s i t i v i t ä t e i n e s M A - M o d e l l s g e g e n ü b e r dem P a r a m e t e r [ E i n h e i t T: Tausend]

« in a

89

reicht

für eine erste Orientierung

aus.

Anhand e i n e s M A - M o d e l l s v e r d e u t l i c h e n w i r uns den V o r g a n g e i n e r s i t i v i tätsuntersuchung. Y(0)=12 000, Y(1)=10 Y (t) = C(t) l.(t)

Wir w ä h l e n f ü r e i n MA-Modell

0 0 0 , l g ( t ) = 2 500 und e r h a l t e n

+ l.(t)

+

a=0,8,

Sen-

&=1 ,

den A n s a t z

la(t)

= 1[C ( t ) - C ( t - 1 ) ]

C ( t ) = 0 ,8Y ( t - 1 ) Abbildung

1 5 - 5 z e i g t den V a r i a b l e n v e r l a u f

E r h ö h u n g v o n a um zehn P r o z e n t , In A b b i l d u n g

15.6

d.h.

von Y f ü r a = 0 , 8 und

einer

a=0,88.

i s t a u n v e r ä n d e r t , der Parameterwert von ß dagegen

o c .

/

\\/l / Abb.

15.6

/

O-O. ' '

\

Hv O

S e n s i t i v i t ä t e i n e s M A - M o d e l l s g e g e n ü b e r dem P a r a m e t e r [ E i n h e i t T: T a u s e n d ]

ß

90

um zehn Prozent erhöht, d.h. ot=0,8 und

ß=1,1.

Man erkennt, daß das System auf die relative Änderung von a viel

hef-

tiger reagiert als auf die gleiche relative Änderung von ß. Noch eindrucksvoller erweist sich die Sensitivität des Modells

in der

Grundversion a=0,99 und ß=l. Aus Abbildung 15-7 erkennt man die unterschiedlichen Verl aufsformen von Y bei nur geringer Änderung von a.

w

O O CS *C* ^O

o = 0,99 i i I

X 'V

J

r j: y-/ .K«

r

/

/ -r-

V

\ X / \

I

Jti-CS'OtXi^

/

V

a = 1,01

0,97

so/*'

CS) CWMS'

Abb. 15-7

Sensitivität eines MA-Modells gegenüber a in der Ausgangsversion a=0,99 und ß=1 [Einheiten T: Tausend, M: Millionen]

Halten wir fest: die Sensitivität

läßt sich nur definieren

bezüglich

des vorgegebenen Zeitverlaufs einer bestimmten endogenen Variablen.

91

I n der p r a k t i s c h e n Anwendung v e r z i c h t e t man z u m e i s t a u f e i n t e s S e n s i t i v i t ä t s m a ß und b e s c h r ä n k t

bestimm-

s i c h , w i e w i r es auch g e t a n

ben, a u f e i n e n v i s u e l l e n V e r g l e i c h des

ha-

Variablenverlaufes.

E i n e w i c h t i g e A u f g a b e b e s t e h t d a r i n , d i e Parameter zu f i n d e n , a u f e i n dynamisches Modell das e i n f a c h e Y(t)

am e m p f i n d l i c h s t e n

m i t a = 0 , 9 8 und dem A n f a n g s w e r t

dann kann der monoton g e g e n N u l l

werden.

Man e r k e n n t

leicht,

reagiert.

Y(0)

strebende Z e i t v e r l a u f

daß das M o d e l l

von Y d u r c h

a u f Ä n d e r u n g e n von a extrem emp-

Denn e i n e Ä n d e r u n g um d r e i

einem e x p l o d i e r e n d e n Y(t)

die

wir

0,98tY(0)

=

beschrieben

findlich

Betrachten

Modell

= aY(t-l)

Y(t)

reagiert.

P r o z e n t würde s c h o n zu

Verlauf

1,0094tY(0)

=

führen. I n M o d e l l e n m i t v i e l e n P a r a m e t e r n w i r d d i e S u c h e nach den d i e e i n e hohe S e n s i t i v i t ä t gilt

hierbei

i n s b e s o n d e r e d i e Parameter zu f i n d e n ,

i n dem b e s c h r i e b e n e n B e i s p i e l Model 1 v e r h a l t e n s a u c h bei ge a u f .

führen.

zu e i n e r

sprunghaften Veränderung

dem uns b e r e i t s v e r t r a u t e n M A - M o d e l l

in beachtlichem

darauf

des

treten Umfan-

15-8 voneinander abgegrenzte Flächen,

bestimmte K o m b i n a t i o n e n der Parameter a und ß u m s c h l i e ß e n . sei

h i n g e w i e s e n , daß d i e s e

dung 1 5 - 7

Die q u a l i t a t i v

Ohne n ä -

u n t e r s c h i e d l i c h e n V e r l ä u f e von Y i n

l i e g e n , w i e man l e i c h t

anderen F l ä c h e n b e r e i c h . des S y s t e m v e r h a l t e n s

von den P a r a m e t e r n a und ß s o l l 1

auf s e i n e Zweckmäßigkeit

h i n zu

11 S i e h e

nachprüfen kann, j e w e i l s

D i e i n dem Diagramm e r k e n n b a r e

den b i s h e r u n t e r s t e l l t e n

einparametrisehen

im E i n z e l n e n S e i t e

1

untersuchen.

2l6f.

die

Parameterflächen

q u a l i t a t i v e V e r h a l t e n s p r ü n g e der endogenen V a r i a b l e n v o n e i n a n d e r grenzen.^

Es

deren Änderung wie

Solche q u a l i t a t i v e n Verhaltensprünge

So z e i g t A b b i l d u n g

here E r k l ä r u n g

Parametern,

b e w i r k e n , zu einem s c h w i e r i g e n P r o b l e m .

ab-

Abbil-

i n einem

Abhängigkeit

dazu

dienen,

Sensitivitätsbegriff

92

Abb.

15-8

Verhaltensdiagramm eines MA-Modells den P a r a m e t e r n a und ß

in Abhängigkeit

Angenommen, d i e P a r a m e t e r w e r t e a = 0 , 9 und ß=1 s e i e n f ü r e i n S y s t e m g e f u n d e n . Wählen w i r d i e M o d e l I v e r s i o n s i c h , daß bei

bestimmtes

( t ) = 1 0 0 , dann

e i n e r E r h ö h u n g o d e r V e r m i n d e r u n g v o n a um z e h n

k e i n e V e r ä n d e r u n g des S t a b i l i t ä t s v e r h a l t e n s z e i t i g e V e r m i n d e r u n g v o n ß um zehn P r o z e n t 1 5 . 9 zu e r k e n n e n

ist,

nicht

zehn P r o z e n t z e i g t e b e n f a l l s

zur

auftritt.

zeigt Prozent

Auch e i n e

f ü h r t , wie aus

Instabilität.

gleich-

Abbildung

E i n e E r h ö h u n g v o n ß um

k e i n e Ä n d e r u n g , wenn man n i c h t

z e i t i g a um mehr a l s e i n P r o z e n t e r h ö h t . dell

I

von

In d i e s e m F a l l

g1eich-

wird das

Mo-

i nstabi1.

Wenn man davon a u s g e h t , daß e s d a s Z i e l

einer

i s t , d i e S t ä r k e der V a r i a b l e n v e r l a u f s r e a k t i o n m e t e r ä n d e r u n g e n zu b e u r t e i l e n , wendete S e n s i t i v i t ä t s b e g r i f f

dann z e i g t

dieser

Sensitivitätsana1yse auf g e r i n g f ü g i g e

sich,

daß der b i s h e r

Forderung n i c h t v o l l

g e n ü g e n kann;

denn e r b a s i e r t a u f d e r E r f a s s u n g der Model 1 r e a k t i o n b e z ü g l i c h Parameters.

Das eben g e s c h i l d e r t e

Beispiel

Paraver-

eines

z e i g t e a b e r , daß d a s M o d e l l

93

Y[HI(j

FALL « = 0 . 9 9

Y[md¡

(3=0.9

FALL « = 0 . 9 9

YODO]

(3=1

FALL « = 0 . 9 9

(3=1.1

2 90

TIPIE TIME

«-"-TIME 50

X

0.99

X

30

"20

^ ^

90

250 Y[TSD| FALL « = 0 . 9

X

13=1

0.9 100

X

0.81

X

X •TIME

Y[TSD]

°'9

1

1

'1

Y[TSD] FALL « = 0 . 8 1

0=1

Y [TSD] FALL « = 0 , 8 1

0 = 1 . 1 70

80 50

50 FALL - Q Q ist

'annähernd'

beobachtbar

a l s o bewährt s i c h P a u s , wobei P den M o d e l l a n s a t z und Q d i e zierter gilt

das

Z e i t v e r l ä u f e von V a r i a b l e n d a r s t e l l t . Schlußschema

P ->- Q Q ist nicht

'annähernd'

a l s o wird P e r s c h ü t t e r t 13 V g l .

Implikation

Seite 83f.

beobachtbar

in Form

retrodi-

Im g e g e n t e i l i g e n

Fall

140

Zeigt sich,

daß bestimmte V e r l ä u f e der endogenen V a r i a b l e n

im R e t r o -

d i k t i o n s z e i t r a u m n i c h t mit den B e o b a c h t u n g s w e r t e n ü b e r e i n s t i m m e n ,

so

l i e g t d i e F r a g e n a h e , ob e s m ö g l i c h

der

Parameter

i s t , a u f g r u n d von V a r i a t i o n e n

in den H y p o t h e s e n e i n e b e s s e r e A n n ä h e r u n g z w i s c h e n den b e -

r e c h n e t e n und b e o b a c h t e t e n Größen zu e r r e i c h e n . weist

s i c h damit a u c h a l s

Die R e t r o d i k t i o n

e i n V e r f a h r e n z u r Gewinnung

er-

realitätsnäherer

Hypothesen. Als

Beispiel

geführt.

sei

e i n e R e t r o d i k t i o n des W e l t m o d e l l s

von FORRESTER

D i e endogenen V a r i a b l e n d i e s e s M o d e l l s wurden v o n

u r s p r ü n g l i c h vom J a h r e 1900 in d i e Z u k u n f t b e r e c h n e t . w i c h t i g s t e n endogenen V a r i a b l e n , spricht

bis

e i n e P r o g n o s e d u r c h , dann z e i g t d a s H i s t o g r a m m des P r o g n o s e v e r l a u f e s ,

Retrodiziert

in A b b i l d u n g

daß z w i s c h e n

17.11

man nunmehr Zeitpunkt

dargestellte star-

s t a t t g e f u n d e n ha-

des M o d e l l s w i r d d u r c h d i e s e

Denn b e a n s p r u c h t

der

ent-

1880 und 1900 e i n

um mehr a l s 2 , 6 M i l l i a r d e n

ben muß. Der G ü l t i g k e i t s a n s p r u c h lung e r s c h ü t t e r t .

Der V e r l a u f

zum J a h r e 1880 und f ü h r t von d i e s e m

ker B e v ö l k e r u n g s r ü c k g a n g

FORRESTER

n ä m l i c h der W e l t b e v ö l k e r u n g ,

a n n ä h e r n d dem b e o b a c h t e t e n V e r l a u f .

jedoch das Modell

an-

Feststel-

FORRESTER, daß d i e von ihm v e r w e n -

deten z e i t i n v a r i a n t e n

H y p o t h e s e n f ü r den Z e i t r a u m 1970 b i s 2100

Gül-

tigkeit

so muß er s i c h e n t g e g e n h a l t e n

sie

haben s o l l e n ,

dann auch f ü r den Z e i t r a u m 1880 b i s dieser Voraussetzung

1900 g ü l t i g

daß

s t e l l e n d i e E r g e b n i s s e der R e t r o d i k t i o n

eine zwingende Folge d a r . A n g e s i c h t s

dieses

Ergebnisses

he, der F r a g e n a c h z u g e h e n , ob d i e u n b e f r i e d i g e n d e laufes

lassen,

sein sollten.

der B e v ö l k e r u n g s e n t w i c k l u n g

Modells zurückzuführen

Unter jedoch

liegt

Erklärung

es

des

Ver-

a u f e i n e bestimmte H y p o t h e s e des

ist.

Man e r k e n n t anhand von A b b i l d u n g

1 7 - 1 1 , daß zum e i n e n d i e

während des R e t r o d i k t i o n s z e i t r a u m e s

a l s a u c h der

im J a h r e 1880 n i c h t d e r R e a l i t ä t e n t s p r e c h e n . M o d e l l s wäre es d a h e r a n g e b r a c h t

Todesraten

Bevölkerungsbestand

Zur V e r b e s s e r u n g

zu u n t e r s u c h e n , ob d i e d i e

des

Todesra-

t e e r k l ä r e n d e H y p o t h e s e d u r c h e i n e e n t s p r e c h e n d e V e r ä n d e r u n g der t r e t e n d e n P a r a m e t e r b e s s e r m i t dem t a t s ä c h l i c h e n V e r l a u f fälle

na-

i n U b e r e i n s t i m m u n g g e b r a c h t werden k a n n , und a l s

14 Z u r T e c h n i k d i e s e s V e r f a h r e n s

siehe Seite

469f.

der

Folge

auf-

Todesdavon

U1

a u c h d i e E n t w i c k l u n g des B e v ö l k e r u n g s b e s t a n d e s r e a l i s t i s c h e r e n Wert annehmen w i r d .

vom J a h r e 1880

Eine nähere A n a l y s e z e i g t ,

d i e ü b e r h ö h t e n T o d e s r a t e n v o r w i e g e n d d u r c h e i n e zu s t a r k e k e i t z w i s c h e n dem ' m a t e r i e l l e n

Lebensstandard1

standard-Todesratenmultiplikator1

Abb.

17.11

Abbildung

(MSL) und dem

(DRMM) b e d i n g t

daß

Abhängig'Lebens-

ist.^

Z e i t d i a g r a m m der B e v ö l k e r u n g (B) s o w i e der G e b u r t e n z a h l (G) und der T o d e s f ä l l e (T) im W e l t m o d e l l von FORRESTER z w i s c h e n 1880 und 2100 bei e i n e r R e t r o d i k t i o n a u f d a s J a h r 1880 [ E i nhei t M: Mi 1 1 i o n e n ]

1 7 - 1 2 z e i g t den V e r l a u f

der W e l t b e v ö l k e r u n g

im F a l l e

u r s p r ü n g l i c h e n Ansatzes unter Veränderung der A b h ä n g i g k e i t e n 15 V g l .

einen

z u r B e s c h r e i b u n g des M o d e l l s

[32,S.l8lf]

des

zwischen

142

m a t e r i e l l e m L e b e n s s t a n d a r d und T o d e s r a t e n m u l t i p l i k a t o r . daß d i e b i s h e r e r m i t t e l t e B e v ö l k e r u n g s k a t a s t r o p h e 16 zeitraum a u s b l e i b t .

im

Es z e i g t

sich,

Retrodiktions-

müHh o o £

£

® ®

CO

jMf

0

m i t der a n t i z y k l i s e h e n

Politik

W ( t ) = b[w"-U(t-l)] oder der z y k l u s n e u t r a 1 en W (t)

b>0 , W>0 Politik

= A

A>0

v e r g l e i chen. Als

Implikation

von

Interesse.

ist

daher v o r a l l e m der Z e i t v e r l a u f

Damit s t e l l t

Funktionslösung entw i cke1n. 1 S i e h e Sei te 25

des Umsatzes U

s i c h d i e F r a g e , ob es m ö g l i c h

l i n e a r e r Modelle mit z e i t v a r i a b l e n

ist,

eine

Koeffizienten

zu

167

Generell

läßt s i c h sagen:

Für D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n

mit v a r i a b l e n K o e f f i z i e n t e n g i b t stimmung e i n e r

Funktionslösung.

Grades e x i s t i e r t

ersten

Grades

es e i n e n a l l g e m e i n e n A n s a t z Für D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n

k e i n e g e n e r e l l e Methode z u r E r m i t t l u n g v o n

zur

höheren Funktions-

losungen.

$5 = 10000

J-y -I -1-T-2J-Z - I S2 = 5000 i S 1 = 3000 I JLJ-O «O'O C ^-O-ti-CI

Abb. 2 1 . 1

2 Vgl.

-r-i-r-?.-?:-? i-r-j-t-s.

'-O.cVC-O-O'O-OO'CiJ-O

Z e i t v e r l a u f des Umsatzes bei v e r s c h i e d e n e n S ä t t i g u n g s n i v e a u s S. b i s S im F a l l e e i n e r p r o z y k l i s c h e n Werbepol i t i k W ( t ) = 0 , 1 * U ( t - 1 )

[83,S.59]

Be-

168

Wir w o l l e n uns m i t d i e s e r g e n e r e l l e n Methode n i c h t b e f a s s e n , da wegen i h r e r

Beschränkung

auf G l e i c h u n g e n e r s t e n Grades f ü r

s c h e Anwendungen nahezu b e d e u t u n g s l o s

sie

prakti-

ist.

Bei d e r a r t i g e n M o d e l l f o r m e n s o l l t e man daher von v o r n h e r e i n den Z e i t p f a d m i t H i l f e von R e g r e s s i o n s l ö s u n g e n

versuchen,

zu e r m i t t e l n .

Gehen

w i r v o n den von V I D A L E und WOLFE e r m i t t e l t e n Werten f ü r d i e

Parame-

t e r v o n r = 0 , 5 , S = 5 0 0 0 und f = 0 , 1

a u s und u n t e r s t e i l e n e i n e n

Anfangs-

wert von U ( 0 ) = 5 0 0 , s o e r m i t t e l t

sich die Regressionslösung

nach

uu)

= [ ^ i i ^ H + 0 , 1 - 1 ]U(t-1)

Die S e n s i t i v i t ä t

des Z e i t v e r l a u f e s

veaus S z e i g t Abbildung

+

0,5W(t-1)

v o n U b e z ü g l i c h des

Sättigungsni-

21.1.^

Man e r k e n n t , daß d i e U m s a t z e n t w i c k l u n g z ü g l i c h des S ä t t i g u n g s n i v e a u s

aufweist.

eine starke S e n s i t i v i t ä t Nach d i e s e m B e i s p i e l

w i r uns nunmehr den l i n e a r e n M o d e l l e n m i t z e i t k o n s t a n t e n

be-

wollen

Koeffizien-

t e n zuwenden.

B. Lineare Modellformen mit zeitkonstanten Koeffizienten D i e s e r Model 1 typ muß a u s zwei Gründen s e h r a u s f ü h r l i c h b e h a n d e l t w e r den. Zum e i n e n g e h ö r e n v i e l e der h e u t e v e r w e n d e t e n M o d e l l e Typ a n . A u c h u n s e r S t a n d a r d b e i s p i e l leicht

erkennt,

in d i e s e M o d e l l k a t e g o r i e .

Zum z w e i t e n s t e h t , w i e

wähnt, für d i e s e n M o d e l l t y p eine g e s c h l o s s e n e Theorie der tionenaufdeckung

zur Verfügung.

weil

jedes n i c h t l i n e a r e Modell

prinzipiell

Dies

diesem

e i n e s M A - M o d e l l s f ä l l t , w i e man

i s t von g e n e r e l l e r durch e i n

er-

Implika-

Bedeutung,

lineares

Modell

a p p r o x i m i e r t werden k a n n , s o daß E i n s i c h t e n über den C h a r a k t e r

linea-

rer M o d e l l e auch f ü r d i e B e u r t e i l u n g

Inter-

esse Es

nichtlinearer

M o d e l l e von

sind.

ist

h e u t e Mode g e w o r d e n , u n t e r Verwendung e i n f a c h zu l e r n e n d e r

mulationssprachen r e n , ohne d a b e i

komplexe n i c h t l i n e a r e

d y n a m i s c h e M o d e l l e zu

simulie-

über K e n n t n i s s e d e s s t r u k t u r e l l e n A u f b a u s und der

lysemethoden d e r a r t i g e r 3 Zur S i m u l a t i o n s t e c h n i k

M o d e l l e zu v e r f ü g e n . siehe Seite

522ff.

Nach A n s i c h t

des

Si-

Ana-

Verfas-

169

sers

ist

unter

d i e s e n Umständen e i n e r n s t h a f t e s

schen S i m u l a t i o n s m o d e l l e n

kaum m ö g l i c h .

t e vorwiegend p r a k t i z i e r t e n

ihre Kenntnis

lungsprinzipien

wie Gleichgewichtszustand

Multiplikator

ihre Explizierung

d i e zu e i n e r

klaren

heu-

und

Beurtei-

Beurteilung

von

Kalküls die

ihres Stellenwertes

So

eines

oder V e r h a l t e n s w e i s e n

im Rahmen e i n e s

im

zur Anwendung kommt,

dennoch f r u c h t b a r e L e i t l i n i e n

t e n K o n z e p t e und B e g r i f f e ,

e r s t durch

unmittelbar

f ü r das A r b e i t e n mit dynamischen M o d e l l e n .

Stabilitätstypen,

dynami-

S i m u l a t i o n e n dynamischer Modelle d i e

w e i t e r e n zu e r ö r t e r n d e T h e o r i e n i c h t so l i e f e r t

Arbeiten mit

Auch wenn im Rahmen d e r

von

erhal-

Systems, Systemen,

Präzision, Bedeutung

i st. Da d i e Bestimmung des Z e i t v e r l a u f e s Ausgangsbasis

für

implikationen

darstellt,

der E r m i t t l u n g tigen.

einer

d i e Aufdeckung f a s t

der

Anhand e i n e r

sämtlicher

w o l l e n w i r uns

Funktionslösung

einer

ser B a s i s

einer

l i n e a r e n Endgleichung

barer

Endgleichung erfolgt

typenspezifischer

hergeleitet

und a u f

und M a t r i z e n r e c h n u n g

linearer

Modelle.

S y s t e m e u n t e r Verwendung d e r

i n einem umfassenden Rahmen

mit

beschäf-

z w e i t e n G r a d e s werden

Grades v e r a l l g e m e i n e r t .

Implikationen

linearer

Model I -

endogenen V a r i a b l e n

e i n e E r ö r t e r u n g mathematisch e i n d e u t i g

wird die Theorie

a)

beliebigen

relevanter

die

im f o l g e n d e n a u s f ü h r l i c h

v e r s c h i e d e n e n Typen von F u n k t i o n s 1 ö s u n g e n Fall

endogenen V a r i a b l e n

die

den

Auf

die-

beschreibAbschließend

Operatoren-

behandelt.

Zeitpfadermittlung durch Funktionslösungen

D i e Bestimmung d e r folgt

Funktions1ösung e i n e r

w i e e r w ä h n t anhand

nenten der

exogenen V a r i a b l e n

E(t) = I

n=0

und d i e

Endgleichung. in

(12.10)

mit

Fassen w i r E(t)

= c^YCt-l) Standardform

Y erKompod.h. ( 2 1

n

die

die

zusammen,

gnE(t-n)

dann e r h a l t e n w i r Y (t)

ihrer

endogenen V a r i a b l e n

"°

Erklärungsform + u 2 Y ( t - 2 ) + . . . + ü)nY(t-n)

+ E(t)

(21.2)

170

Y (t)

+ a ^ U - O

+ a2Y(t-2) + ...+ anY(t-n)

w e l c h e uns

im f o l g e n d e n a l s A u s g a n g s b a s i s

net

und

(21.2)

ccn =# 0 s i n d .

(21.3)

(12.9)

(21.3)

dienen s o l l e n .

Man

bezeich-

E n d g l e i c h u n g e n n - t e n G r a d e s , wenn a n bzw.

Entsprechend dieser

V a r i a b l e n Y in ist

als

= E(t)

Festlegung

eine Endgleichung

es o f t n o t w e n d i g , e r s t 4

i s t die Endgleichung

der

2 - t e n G r a d e s . Wie e r w ä h n t ,

die Endgleichung

e i n e r V a r i a b l e n zu

er-

mitte1n. Es b i e t e n s i c h v e r s c h i e d e n e V e r f a h r e n a n . Das s o g e n a n n t e Ei n s e t z u n g s v e r f a h r e n wurde b e r e i t s

z u r B e r e c h n u n g der E n d g l e i c h u n g von Y,

angewendet."' S e i n e A n w e n d b a r k e i t d ü r f t e a b e r wohl l e m i t n i c h t mehr a l s v i e r

bis

fünf V a r i a b l e n

zumeist auf

beschränkt

(12.9), Model-

bleiben,

da der Rechenaufwand m i t wachsender V a r i a b 1en2ahl

stark

B e t r a c h t e n w i r b e i s p i e l s w e i s e das a n f a n g s

kurz erwähnte,

recht einfache Modell

bereits

der A n s p r u c h s n i v e a u a n p a s s u n g

w e l c h e s z u v o r k u r z b e s c h r i e b e n werden s o l l Das M o d e l l einzelner

beschreibt

d i e Beziehung

O r g a n i s a t i o n s t e i 1 nehmer

Zufriedenheitsniveau erwartete Belohnung

werden d u r c h f o l g e n d e S ä t z e (1) Je n i e d r i g e r

ternativen

(Z)

einer

ihre Suchintensität

( S ) , um s o höher

hei t s n i veau

Hypothesen

Verhaltensein-

(S)

nach neuen

ist

die

Al-

erwartete

( B ) , um so h ö h e r d a s

Zufrieden-

(Z).

spruchsniveau

( B ) , um so höher w i r d d a s

An-

(A) .

Je höher d a s A n s p r u c h s n i v e a u

(A),

um s o höher d a s

Zufriedenheits-

(Z) .

4 Zur exakten mathematischen Kennzeichnung l i n e a r e r Systeme, von nen e i n e E n d g l e i c h u n g s f o r m b e r e c h e n b a r i s t , s i e h e S e i t e 5 Vgl.

und

(B).

(b) Je höher d i e e r w a r t e t e B e l o h n u n g

niveau

(S)

sein.

(3) Je höher d i e e r w a r t e t e B e l o h n u n g

(5)

Variablen:

gekennzeichnet:

(2) Je höher d i e S u c h i n t e n s i t ä t Belohnung

Verhalten

(A), Suchintensitat

konstituierenden

das Z u f r i e d e n h e i t s n i v e a u

h e i t , um s o s t ä r k e r w i r d

[128,5.48],

relevanten psychischen

D i e das M o d e l l

noch

von SIMON und MARCH,

z w i s c h e n den f ü r d a s

(Z), Anspruchsniveau (B).

ansteigt.

S e i t e 37

f.

de-

171

Dieses verbal l o g i s e h e Aussagensystem wird durch folgende

Gleichungen

formali s i e r t : ^ Satz

1:

S(t)

Z stellt

= ß[Z-Z(t)]

mitY>0,

ß>0

( 2 1 . b)

d a s S ä t t i g u n g s n i v e a u der Z u f r i e d e n h e i t

reichen die Suchintensitat Satz 2:

B(t+1)

- B(t)

zum E r l i e g e n

dar,

bei d e s s e n

Er-

kommt.

= y[S(t)-b-cB(t)]

m i t y>0 , b > 0 , c>0

(21.5)

A u s der B e z i e h u n g e r k e n n t man, daß e i n e bestimmte S u c h i n t e n s i t ä t Höhe v o n [ b + c B ( t ) ] s t a n t zu

Z(t)

A(t+1)

= B(t)

- A(t)

In d i e s e r G l e i c h u n g

i n Höhe v o n [ A ( t ) - a ]

- A(t)

kon-

a > 0 , a>0

des A n s p r u c h s n i v e a u s erforderlich

(21.7)

= [1 - c y ] B ( t - 1 )

A(t)

= [1-a]A(t-1)

daß

Belohnung

ist. der

Einsetzungsprozeß.

werden z u e r s t a u f d i e

B(t)

eine erwartete

ist die Ermittlung

durchaus kein t r i v i a l e r

und ( 2 1 . 7 )

(21.6)

= a[B(t)-A(t)+a]

Wie man s i c h ü b e r z e u g e n k a n n ,

(21.5)

um d i e e r w a r t e t e B e l o h n u n g

kommt d i e z u s ä t z l i c h e H y p o t h e s e zum A u s d r u c k ,

zur A u f r e c h t e r h a l t u n g

von A ( t )

ist,

halten.

S a t z 3 und 5: S a t z b:

erforderlich

in

+ yS(t-l) + aB(t-l)

-

Endgleichung Die

Gleichungen

Erklärungsform

Yb

(21.8)

+ aa

(21-9)

überführt. (21.6)

in

S(t)

(21.4)

ergibt:

= ez - ß B ( t )

+ ßA(t)

(21 .10)

V e r s c h i e b t man d a s Z e i t a r g u m e n t

in

(21.10)

den S ( t - 1 )

in

(21.8)

erklärenden Ausdruck

die Gleichungen B(t)

(21.9)

und

= [1 - c y ] B ( t - 1 )

Formt man ( 2 1 . 9 ) B(t-1)

(21.11)

= - A(t) a

so

setzt

i s t das S y s t e m a u f

reduziert.

+ yßZ - y ß B ( t - D

um, s o e r g i b t

um e i n e P e r i o d e und ein,

+ yßA(t-l)

- yb

(21.11)

sich

+ —[a-1]A(t-1) a

- a

(21.12)

6 Das Model 1 wurde von SIMON und MARCH i n s t e t i g e r Form e n t w i c k e l t und i s t im f o l g e n d e n in D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s f o r m umgewandelt.

172

Wenn der Z e i t i n d e x v o n B ( t ) so e r g i b t B(t)

s i c h aus = — ACt+1) a

S e t z t man ( 2 1 . 1 2 ) 1 A(t+1)

e i n e P e r i o d e nach v o r n e g e s c h o b e n

wird,

(21.12) + —[a-1 ]A(t) a

und ( 2 1 . 1 3 )

+ i[a-1]A(t)

in

- a

(21.13)

(21.11)

e i n , so

folgt

- a = [1-cy][i A(t)+^[a-1 ]A(t-1)-a] + -

A(t)+l[a-1]A(t-D-a]

+ yßA(t-l)

yßl - yb

oder A(t+1)

+ [a-1 ]A(t)

- aa = [ 1 - c y ] [ A ( t ) + [ a - 1 ] A ( t - 1 ) - a a ]

+ yßoZ

" y ß [ A ( t ) + [ a - l ] A ( t - 1 ) - a a ] + yßaA(t-1)

-

-

ayb

oder A( t + 1 ) + [ a - 1 ] A ( t )

= A(t)

+ [a-1 ] A ( t - 1 )

- cyA(t)

+ a a c y + aßyZ - y ß A ( t ) + aayß + y ß a A ( t - l ) f a ß t man d i e G l i e d e r

- cy[a-1]A(t-1) +

- y ß[a-1 ]A( t - 1 ) +

- ayb

nach V e r z ö g e r u n g e n v o n A ( t )

zusammen,

ergibt

s i ch A ( t + 1) = [ 2 - a - c y - y ß ] A ( t ) + aayß -

+ [a-1 - c y a tcy+yß] A ( t - 1 )

ayb

E i n e V e r s c h i e b u n g des Z e i t a r g u m e n t e s k l ä r u n g s f o r m der A(t)

t a a c y + aßyZ" +

um e i n e P e r i o d e

l i e f e r t die

Er-

Endgleichung

= [2-a-cy-yß]A( t-1)

+ [a-1-cya+cy+yß]A(t-2)

+ a a c y + aßyZ" +

+ a a y ß - ayb Das b e s c h r i e b e n e E i n s e t z u n g s v e r f a h r e n

ist

im a l l g e m e i n e n nur f ü r

die

E r m i t t l u n g von E n d g l e i c h u n g e n e r s t e n und z w e i t e n Grades zu e m p f e h l e n . In a n d e r e n F ä l l e n

i s t e s zu u m s t ä n d l i c h und s o l l t e d u r c h

welche mit Operatoren a r b e i t e n , den j e d o c h e r s t

später

e r s e t z t werden.

besprochen, weil

s e t z u n g e n zu ihrem V e r s t ä n d n i s

Verfahren,

Diese Verfahren wer-

w e i t e r e mathematische

erforderlich

sind.

Da w i r uns

Vorausim f o 1 -

173

genden a u s s c h l i e ß l i c h mit der F u n k t i o n s 1 ö s u n g von E n d g l e i c h u n g e n s t e n und z w e i t e n Grades b e f a s s e n , fürs erste

e i n e r endogenen V a r i a b l e n

E i n e homogene E n d g l e i c h u n g

( 2 1 . 3 ) den Wert E ( t ) = 0

l i e g t v o r , wenn E ( t )

(t=0,1,...)

s p r i c h t man von e i n e r A(t)

= 0,5A(t-1)

aa)

= 0,5A(t-1)

ständig Null

inhomogenen E n d g l e i c h u n g .

es

+ 0,3A(t-2)

inhomogene E n d g l e i c h u n g

(21.2)

dagegen

ist,

dann

Der A u s d r u c k

+ 0,3A(t-2)

(21,14)

i s t damit e i n e homogene E n d g l e i c h u n g , A(t)

in

annimmt. Wird E ( t )

d u r c h e i n e n Z e i t p f a d b e s c h r i e b e n , der n i c h t

eine

ist

z w i s c h e n homogenen und i nhomogenen E n d g l e i c h u n g e n zu u n t e r -

scheiden. oder

Einsetzungsverfahren

aus.

Zur E r m i t t l u n g der F u n k t i o n s l ö s u n g wichtig,

r e i c h t das

er-

während

+ 10*

(21.15)

darstellt.

Funktionslösung von Endgleichungen ersten Grades

a) F u n k t i o n s l ö s u n g

homogener Endq1 e i c h u n g e n e r s t e n

Grades

E i n e homogene E n d g l e i c h u n g e r s t e n Grades nimmt mit n=1 , ai^=a und E(t)=0

(t=0,1,...)

in ( 2 1 . 2 . )

d i e Form

Y(t) = aY(t-1) an. U n t e r s t e l l e n w i r , es sei

(21.16) beispielsweise die

Gleichung

Y (t) = 0 , 3 Y ( t - D

(21 .17)

m i t dem A n f a n g s w e r t Y ( 0 ) = 1 0 0 gegeben. D i e R e g r e s s i o n s l ö s u n g von l ä ß t s i c h r e c h t e i n f a c h e r m i t t e l n . Wir w o l l e n aber Y ( t ) t i o n eines geschlossenen Formelausdruckes Y(t)

F(t),

Y(10)

= F(t)

in d i e r e c h t e S e i t e von ( 2 1 . 1 8 )

a l s e i n e Funk-

d.h. (21.18)

b e s c h r e i b e n , m i t der F o l g e , daß man durch E i n s e t z u n g von w e i s e t=10

(21.17)

beispiels-

e i n e n numerischen Wert

erhält.

Zu diesem Zweck b e t r a c h t e n w i r das f o l g e n d e Schema

für

Y(1)

= 0,3Y(0)

=

0,31Y(0)

Y(2)

= 0,3Y(1)

=

0,32Y(0)

Y(3)

= 0,3Y(2)

=

0,33Y(0)

Y (t)

= 0,3Y(t-1)

=

0,3tY(0)

i n welchem d i e V a r i a b l e n w e r t e zu den v e r s c h i e d e n e n Z e i t p u n k t e n sukzessive Einsetzung

der j e w e i l s

chungen a u f Y ( 0 )

zurückgeführt

Das Schema f ü h r t

zu der

Für Y ( 0 ) ten d i e

durch

Glei-

werden.

Funktionslösung

= YiOjOJ1

Y(t)

über j e d e r Z e i l e s t e h e n d e n

t=0,1 ,2... .

(21 . 1 9 )

können w i r den u n t e r s t e l l t e n Wert 100 e i n s e t z e n und

erhal-

Funktions1ösung

Y(t)

= 100*0,3l

Man e r k e n n t ,

daß f ü r

(21.20) 100 j e d e r b e l i e b i g e A n f a n g s w e r t Y ( 0 )

hätte

ge-

w ä h l t werden k ö n n e n , ohne d i e G ü l t i g k e i t der L ö s u n g zu v e r l e t z e n .

Er-

s e t z t man i n dem e n t w i c k e l t e n Schema den Wert 0 , 3 d u r c h d i e e i n e n

be-

l i e b i g e n Wert r e p r ä s e n t i e r e n d e Zahl

a , so z e i g t s i c h ,

tung auch f ü r d i e V e r a l l g e m e i n e r u n g g i l t

daß d i e

Herlei-

und zu der a l l g e m e i n e n

Lö-

sung von- (21 . 1 6 ) Y(t)

= YiOja1

(21 . 2 1 )

führt. Die vorangegangene Betrachtung

l e g t es n a h e , z w i s c h e n zwei A r t e n

Funktionslösungen einer Endgleichung 1en und den s p e z i e l 1 e n Die s p e z i e l l e kreten Verlauf

zu u n t e r s c h e i d e n :

Lösungen.

Lösung e i n e r

Endgleichung

b e s c h r e i b t den n u m e r i s c h kon-

e i n e r endogenen V a r i a b l e n Y ( t ) .

Das

ist

stets

nur dann

m ö g l i c h , wennn d i e Parameter und A n f a n g s w e r t e der E n d g l e i c h u n g numerisch k o n k r e t i s i e r t

von

den g e n e r e i -

sind.

(21.20)

ist

eine s p e z i e l l e

e r k e n n e n , daß in d i e s e m F a l l

sowohl

effizienten

e i n e n n u m e r i s c h e n Wert

der E n d g l e i c h u n g

die Anfangswerte a l s

für Y

Lösung.

Wir

auch d i e Ko-

besitzen.

175

G e n e r e l l e L ö s u n g e n kann man nach a n f a n g s w e r t g e n e r e l 1 e n g e n e r e l 1 e n Lösungen

In anfangswertgenerel1en

L ö s u n g e n werden d i e A n f a n g s w e r t e n i c h t

Zahlen, sondern durch Buchstaben d e f i n i e r t .

hierfür ein

Gleichung

L ö s u n g e n z e i c h n e n s i c h d a d u r c h a u s , daß a u c h

neben den A n f a n g s w e r t e n

i n der Lösung a u f t r e t e n d e n w e i t e r e n

t e r d u r c h B u c h s t a b e n r e p r ä s e n t i e r t werden. E i n e Lösung umfaßt d a h e r d i e G e s a m t h e i t a l l e r Mit diesen Unterscheidungen z e i g t

s i c h s c h o n der V o r t e i l

Mit einer

kann man nur den Z e i t v e r l a u f

der d u r c h ei ne s p e z i e l l e parametergenerellen

Funktionslösung

Lösung w i e

nen B l i c k d i e E i g e n s c h a f t

(21.21)

Parame-

Einzel1ösungen.

Regressionslösung.

Regressionslösung

einer

Funk-

ermitteln,

beschrieben wird. Mit

einer

kann man g e w i s s e r m a ß e n auf

des S y s t e m s b e u r t e i l e n .

|a| bestimmt s i c h d i e F u n k t i o n s l ö s u n g Y(t)

nach ( 2 1 . 2 1 ) Y(t)

Hit

= Ca1

(21 .27) Y (t)

Gleichung

von

mit (21.27)

i n (21 .26)

folgt:

= Ca1 + Y (t) (21.28)

(21.28)

liefert

der F u n k t i o n s l ö s u n g

einer

eine generelle

I n f o r m a t i o n über d i e Form

inhomogenen E n d g l e i c h u n g e r s t e n

Grades,

nämli ch: Satz 21.1: Die parametergenerelle

Funktionslösung

e r s t e n Grades bestimmt s i c h aus der Summe der Funktionslösung

ihrer

homogenen'Form C a

t

einer

Endgleichung

parametergenerellen

und e i n e r s p e z i e l l e n

Lösung

Y(t). E i n o f f e n e s Problem b l e i b t zu f i n d e n .

Es s e i

lediglich,

b i g e inhomogene D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s i e befriedigende spezielle zielle sig,

eine s p e z i e l l e

Funktionslösung

schon vorweggenommen, daß ' d i e K u n s t ' ,

belie-

zu l ö s e n , d a r i n b e s t e h t ,

eine

Lösung zu bestimmen. Da d e r a r t i g e

spe-

Lösungen b e r e i t s von anderen g e f u n d e n wurden,

h i e r d i e A u f f i n d u n g d i e s e r Lösungen

i s t es

überflüs-

im e i n z e l n e n zu e r ö r t e r n .

Wir w o l l e n uns l e d i g l i c h e x e m p l a r i s c h mit dem S p e z i a l f a l l mogenen E n d g l e i c h u n g

eine

einer

inho-

177

Y(t) befassen.

= aY(t-l)

+ E

Die s p e z i e l l e

E=konstant Lösung g e w i n n t man, wenn man von der

gedank-

lichen Vorstellung

a u s g e h t , d a s System b e f ä n d e s i c h a u f einem

veaugleichgewicht,

d.h.

Y(t)

= aV(t)

womi t s i c h Y ( t ) Y(t) ermittelt.

es s e i

Y(t)=Y(t-1)=Y(t)

Ni-

und damit

+ E

nach

= rrL. 1 -a Setzen wir die s p e z i e l l e

Lösung

in Gleichung

(21.28)

ein,

so e r h a 1 t e n wi r Y(t)

= Ca1 + ^

(21.29)

Es h a n d e l t s i c h um e i n e p a r a m e t e r g e n e r e l l e f l u ß e i n e s bestimmten A n f a n g s w e r t e s plizit

Y(0)

Lösung,

in

(21.29)

zum A u s d r u c k kommt. Da der A n f a n g s w e r t

i n der d e r

Y ( 0 ) der Lösung

j e d o c h d u r c h d i e Wahl von C bestimmt w i r d , g e s c h i e h t d i e von Y ( 0 ) a u f Y(0) gelten.

folgende Weise:

Ein-

jedoch n i c h t

ex-

(21.29)

Explikation

In der 0 - t e n P e r i o d e muß d i e

Beziehung

= Ca0 + E / ( 1 - a )

Die Auflösung d i e s e r Gleichung

C = Y(0)

liefert

- [E/(1-a)]

Die E i n s e t z u n g von (21.30)

(21.30) in

(21.29)

liefert die

parametergenerelle

Lösung Y(t) Lediglich Fall

= [YiOi-E/d-aJja1 im F a l l e a=l

+

E/(l-a)

v e r s a g t das g e s c h i l d e r t e V e r f a h r e n .

bestimmt s i c h d i e s p e z i e l l e Y(t)

Lösung

aus:

= Et

D i e Z u r ü c k f ü h r u n g des P a r a m e t e r s C i n G l e i c h u n g f i z i e n t e n und A n f a n g s w e r t e Y(0) d.h.

In d i e s e m

= Ca° + E»0

ergibt

(21.28)

auf d i e

Koef-

178

C =

Y(0)

und d a m i t Y(t)

die

Lösung

= Y (0) +

E*t

Zusammenfassend g i l t : Endgleichung

Satz

21.2:

Y(t)=aY(t-1)+E, f[Y(0)-E/(l-a)]at

Y(t)

Die

Funktions1ösung

bestimmt

sich

+ E/(1-a)

Beispiel Y (t)

angeführt. Y(t)

sei

die

inhomogene

Y (t)

für

a*1

für

a=1

= 0 , 5Y ( t - 1 )

Gleichung

+ 100

Entsprechend

Satz

mit 21.2

Y(0)=50

ergibt

sich

die

Funktions1ösung:

= - 1 5 0 * 0 , 5 1 + 200 Funkti ons lösung

Regressionlösung t

inhomogenen

= 1^Y(0) -i- E t

Als

der

nach

0,5Y(t-1)

100

Y(t-1)

0

50

1

125

25

100

50

-

-

-150*0,5*

Y (t) 50

-

-150

0.5*

200

1

200 200

125

-75

0,5

2

162,5

62,5

100

125

162,5

"32,5

0,25

200

3

181,25

81,25

100

162,5

181,25

-18,75

0,125

200

b

190,625

90,625

100

181,25

190,625

-9,375

0,0675

200

Tab.

21.1

R e g r e s s i o n s - und F u n k t i o n s l ö s u n g r e n z e n g l e i c h u n g e r s t e n Grades

Die Ubereinstimmung

der

gressionslösung

zur v i e r t e n

bis

Funktionslösung Periode

mit

einer

der

zeigt

inhomogenen

Diffe-

entsprechenden

die Tabelle

21.1.

Re-

179

ab)

Funktionslösung von Endgleichungen zweiten G r a d e s

a) FunktionsISsung homogener Endgleichungen zweiten Grades aa) Funktions1ösung homogener Endgleichungen zweiten Grades mit ungleichen Wurzeln Wählen wir

in (21.3) E(t)=0

(t=0,1,...) und n=2, so erhalten wir die

homogene Endgleichung zweiten Grades Y(t) + a j Y(t-1) + a 2 Y ( t - 2 ) = 0

(21.31)

Von dieser Gleichungsform soll die parametergenerelle

Funktionslö-

sung gefunden werden. Die Aufgabe besteht also darin, einen Ausdruck zu finden, der die Endgleichung

(21.31)

identisch Null

macht.

Dieser Ausdruck kann, w i e es sich gezeigt hat, nach folgendem Verfahren gefunden werden: Definieren wir a^=a sowie a2=b, dann folgt Y (t) + aY(t-l) + bY(t-2) = 0

(21.32)

In einer ersten Einschränkung unterstellen wir, daß der

Formelaus-

druck Y(t) = X*

(21.33)

eine Funktions1ösung von (21.32) sei. Die Einsetzung von (21.33) (21.32)

X1 + a X t _ 1

+ bXt_2 = 0

(21 .3*0

Es zeigt sich, daß nicht jedes beliebige X die Gleichung friedigt, sondern nur die Werte, die auch Gleichung

(21.31)

(21.3^0

t-2

und erhalten die sogenannte charakteristische

X 2 + aX + b = 0

be-

befrie-

digen. Um diese X-Werte zu ermitteln, dividieren wir Gleichung durch X

in

ergibt

(21.3*0

Gleichung (21 .35)

Es lassen sich für X zwei Werte, X^ und X^, finden, die die charakteristische Gleichung

X, > 2 = - f ± s/f-b ermitteln.

(21.35) befriedigen und sich nach

(21.36)

X^ und X^ werden auch als die Wurzel n der cha rakter i s t i -

180

sehen G l e i c h u n g b e z e i c h n e t . Wurzeln)

zwei

Man e r h ä l t damit

(im F a l l e

ungleicher

Funktionslösungen:

Y(t)

= X*

(21.37)

Y(t)

= \\

(21 .38)

und

D e m o n s t r i e r e n w i r d a s A u f f i n d e n der zwei Beispiel:

F u n k t i o n s l ö s u n g e n an einem

M i t a = 1 , 5 und b = - 1 e r h a l t e n w i r d i e homogene

Y(t)

+ 1,5Y(t-1)

Anhand v o n ( 2 1 . 3 6 )

- Y(t-2)

Endgleichung

= 0

(21.39)

bestimmen s i c h d i e W u r z e l n X-|=0,5 und A 2 = " 2 .

zen w i r d i e L ö s u n g Y ( t ) = 0 , 5

t

in Gleichung

(21.39)

ein,

Set-

so z e i g t

sich

mi t 0,5l

+ 1,5*0,5t_1

(0,52

t 1,5»0,5-1)0,5t_2

(0)0,5

t_2

daß Y ( t ) = 0 , 5 t gilt

e i n e L ö s u n g von G l e i c h u n g

(21.39)

darstellt.

E r m i t t e l t man e i n e Reg r e s s i o n s l ö s u n g von so e r k e n n t man, daß der Z e i t v e r l a u f

und Y ( l )

eindeutig

bestimmt

w e r t e n der L ö s u n g e n Y ( t ) = 0 , 5 t i s t Y ( 0 ) = 1 , Y ( 1) = 0 , 5 » Nunmehr w i r d d e u t l i c h , tionslösungen werte

= 0

= 0

für

(21.39), Y(0)

- 0,5t_2 = 0

ist.

durch d i e Festlegung

Es l i e g t

und Y ( t ) = - 2 t

Dasselbe

Gleichung

nahe,

von

nach den A n f a n g s -

zu f r a g e n .

Für d i e

erste

für die zweite Y(0)=1 , Y ( l ) = - 2 . daß d i e zwei

repräsentieren,

d.h.

Funktionslösungen

spezielle

nur b e z ü g l i c h b e s t i m m t e r

Funk-

Anfangs-

gelten.

Da w i r j e d o c h e i n e a n f a n g s w e r t g e n e r e l l e (21.32)

gewinnen w o l l e n ,

finden,

in der d i e beiden Anfangswerte

Es g i l t :

Satz 21.3:

in a l l g e m e i n e r

ixf

S i n d X^ und X ; zwei

Y(t)+aY(t-1)+bY(t-2)=0,

spezielle

Form, d . h .

zu durch

Funktionslösungen

so i s t d i e

+ C2X£

ihre anfangswertgenerelle

Gleichung

werden.

tion c

von

i s t es notwendig, e i n e F u n k t i o n s l ö s u n g

Buchstabensymbole ausgedrückt

der E n d g l e i c h u n g

Funktionslösung

Funktionslösung.

Linearkombina-

181

Da d i e

Gleichungen

X^ + aX^

+ bX^

= 0

und ,t , t-1 . t-2 . X2 + aX2 + bX2 = 0 die Endgleichung alier

befriedigen, g i l t

d i e s auch f ü r d i e

Multiplikation

G l i e d e r d e r G l e i c h u n g e n m i t b e l i e b i g e n K o n s t a n t e n C^ und C^, t at^xj"1

C ^

C2X2 +

'

+ bC^" +

bC

2

2X2~2

= 0 =

0

Die A d d i t i o n beider Gleichungen (C^'+C^j)

d.h.

liefert

+ a(C1X^"l +C2X2"1)

den A u s d r u c k

+ b(C1 X ^ " 2 + C 2 X 2 ~ 2 )

= 0

(21.40)

D e f i n i e r t man Y(t)

= C^'

+ C2X2

(21.41)

s o e r k e n n t man, daß d i e E i n s e t z u n g d i e s e s A u s d r u c k s Endgleichung

(21.32)

führt, d.h.

Gleichung

eine Funktionslösung

von ( 2 1 . 3 2 )

dar.

auch d i e a n f a n g s w e r t g e n e r e l l e s t e l l e n w i r , daß d i e s der F a l l

(21.41)

in

(21.40)

stellt

zur

ebenfalls

Es f r a g t s i c h j e d o c h , o b

Funktionslösung s e i , so e r f o l g t

repräsentiert. die numerische

tisierung

von C^ und C^ anhand der A n f a n g s w e r t e Y ( 0 )

g r u n d der

Beziehung

und Y ( 1 )

= C^X? + C X° , f Y(1) = C,xj + C 2 X 2

(21.41)

UnterKonkreauf-

Y(0)

(21.42)

Man e r k e n n t , daß d i e g e e i g n e t e Wahl v o n C^ und C 2 a l l e m ö g l i c h e n fangswertkombinationen Y ( 0 ) , Y(1)

zum A u s d r u c k b r i n g t ,

(21.41)

also tatsächlich die anfangswertgenerel1e

bildet.

Sind die Anfangswerte Y(0)

s o g e l a n g t man d u r c h d i e A u f l ö s u n g Konkretisierung c

*

und Y ( 1 )

An-

Gleichung

Funktions1ösung

im E i n z e l f a l l

des G l e i c h u n g s s y s t e m s

vorgegeben, (21.42)

zur

von C^ und C 2

M i o h l L O A «~A -

{ 2 U k 3 )

182

X^lOhYOl 1 2 Die parametergenerelle

Funktionslösung

einer

homogenen

Endgleichung

z w e i t e n Grades m i t u n g l e i c h e n W u r z e l n bestimmt s i c h demnach d u r c h y ( t )

„X

?

Y(0)-Y(1)

a2

—

x

t

+

^1V(0)-Y(1)

^

t

( 2 U k 5 )

X i "* 2

B i s h e r wurde (ohne B e g r ü n d u n g )

einschränkend

angenommen, daß d a s

s c h r i e b e n e V e r f a h r e n von u n g l e i c h e n Wurzeln a u s g e h t . d i e F r a g e nahe, ob d i e s e E i n s c h r ä n k u n g jedoch nicht möglich. Vielmehr mehr auch a l s

Es l i e g t

nicht aufhebbar

ist.

damit

Dies

erweist sich diese Einschränkung

z w i n g e n d n o t w e n d i g , um d a s G l e i c h u n g s s y s t e m

l ö s b a r zu machen. Denn s t e t s

nur

im F a l l e

'

s t

be-

ist nun-

(21.42)

(21.42)

nicht

auf 1ösbar.

aß)

Funktionslösung gleichen

homogener E n d g l e i c h u n g e n z w e i t e n Grades

Wurzeln

In d i e s e m F a l l

ist als

parametergenerelle

Funktionslösung

r e r A n s a t z zu w ä h l e n . Ü b e r l e g u n g e n haben g e z e i g t , daß der Y(t)

=

mit

ein

ande-

Ansatz

[C1+tC2]Xt

die parametergenerelle

Funktionslösung

liefert.

Die P r ä z i s i e r u n g

K o e f f i z i e n t e n C^ und C^ anhand d e r A n f a n g s w e r t e e r g i b t Y(0)

= [C 1 + 0 * C 2 ] A °

Y(1)

=

der

somit

[C1+1*C2]X1

Die Auflösung

nach C^ und C 2

liefert

C, = Y ( 0 ) C2 = Y(1)/X

- Y(0)

Die parametergenerelle

Funktionslösung

e i n e r homogenen

z w e i t e n Grades m i t g l e i c h e n W u r z e l n e r g i b t Y(t)

= [Y(0) + t ( ( Y ( l ) / X ) - Y ( 0 ) ) ] X t

s i c h damit

Endgleichung aus (21.46)

183

ay)

N u m e r i s c h e B e i s p i e l e von F u n k t i o n s l ö s u n g e n homogener chungen z w e i t e n

Im f o l g e n d e n s o l l e n einer

drei

Beispiele

zur

homogenen D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g

den. S i e s i n d

Endglei-

Grades

Ermittlung

der

Funktionslösung

z w e i t e n Grades b e s c h r i e b e n

so g e w ä h l t , daß f o l g e n d e F ä l l e z u r Anwendung

wer-

kommen:

2 d . h . a /k>b 2 2: W u r z e l n s i n d k o n j u g i e r t k o m p l e x , d . h . a /k/—T= i , s o X 1 = 2 + 3i

Wurzeln

Endgleichung

Y(t) - 4Y(t-1) + 13Y(t-2) = 0

oder

ei-

Regressionslösung.

A l s Ausgangspunkt wählen w i r d i e

Man s p r i c h t

im F a l l e

(21.49)

i s t es n o t w e n d i g , e i n e P o t e n z i e r u n g

von i

durchzuführen. Mit

i 1 = V^T wird

gen

läßt s i c h die Funktions1ösung

i^=-l,

i3=-i,

i =1,

i ^ = i . Anhand d i e s e r

in T a b e l l e 2 1 . 4

Beziehun-

ermitteln.

186

t

(2+3i) t

0

1

1

25

1

2+3 i

2

-5+12Î

-1 25+300Î

3

-46+9Î

-1 150+225 i

Tab. 21.4

Y(t) = 25(2+3 0 + 25(2-3 i ) +50

25

2-3 i

50-751

100

-125-300 i

-25O

-46-9!

-1150-225Î

-23OO

-119-120 i -2975+3000 i

-2975-3000i

122+597 i

3050-1^925 i

122-5971

25(2-3 i) t

-5-12t

50+75 i

4 -119-1201 5

(2-3i) t

25(2+3 i )11

-5950 6100

3050+14925 i

Funkt ionslösung einer homogenen, linearen Differenzenglei chung zweiten Grades mit konjugiert komplexen W u r z e l n

Die entsprechende Regress ionslösung zeigt Tabelle 21.5

-13YU-2)

Y(t) = 4Y(t-1)-13Y(t-2)

t

4Y(t-1)

0

-

-

50

1

-

-

100

2

400

-650

-250

3

-1000

-1300

-2300

4

-9200

+3250

-5950

5

-23800

+29900

+6100

Tabelle 21.5

Regressionslösung einer homogenen, linearen Differenzengleichung zweiten Grades mit konjugiert komplexen Wu rzeln

Man erkennt, daß die Funktions- und Regressionslösungen

miteinan-

der übereinstimmen. Angesichts der beiden Lösungen liegt die Frage nahe, welche Vorteile

in diesem Fall eine Funktionslösung

gegenüber

ihrer entsprechenden Regressions1ösung aufweist. Denn die Funktionslösung

(21.49) ermöglicht wegen des Auftretens von i keine

überschau-

bare Beurteilung des Zeitverlaufes von Y(t). Im Falle von Endgleichungen,

in deren Wurzeln der Ausdruck

wird diese Uberschaubarkeit wiederhergestellt, wenn man die lösung

i auftritt, Funktions-

in ihre sogenannte trigonometrische Form überführt. Es

läßt

187

sich vorausgreifend seres

Beispiels, Y(t)

=

z e i g e n , daß d i e F u n k t i o n s l ö s u n g

25(2-3i)t

Funktion

3,60555t[50cos56°l8't]

b e s c h r i e b e n werden k a n n . re B e u r t e i l u n g

Diese Darstellungsform erlaubt eine

des S y s t e m v e r h a l t e n s .

Daher w o l l e n w i r uns

s t e n A b s c h n i t t m i t dem Problem der Bestimmung d e r Formen v o n F u n k t i o n s 1 ö s u n g e n

a6)

un-

d.h.

= 25(2+31)1 +

auch d u r c h d i e Y(t)

beispielsweise

Trigonometrische

besse-

im n ä c h -

trigonometrischen

befassen.

Form der F u n k t i o n s 1 ö s u n g

gen z w e i t e n Grades mit k o n j u g i e r t S t e l l t man bei der A n a l y s e e i n e r 2

homogener

Endgleichun-

komplexen W u r z e l n

Endgleichung

z w e i t e n Grades

fest,

daß b>a / b , dann e r h ä l t man a l s W u r z e l n der c h a r a k t e r i s t i s c h e n

Glei-

chung A u s d r ü c k e w i e zum B e i s p i e l X1 = 2 + 3 T X2 = 2 -

3i

D e r a r t i g e A u s d r ü c k e b e z e i c h n e t man a l s l e n s e t z e n s i c h a u s zwei einer

r e e l l e n Zahl

plizierten

reellen Zahl.

unterscheiden.

ristischen

Gleichung,

einer mit

Zwei komplexe Z a h l e n werden a l s im V o r z e i c h e n

I s t e i n e komplexe Zahl so i s t

a u c h e i n e Wurzel d i e s e r

Komplexe Z a h -

Komponenten zusammen: einem R e a l t e i l ,

und einem i m a g i n ä r e n T e i l , d . h .

komplex b e z e i c h n e t , wenn s i e s i c h nur les

komplexe Z a h l e n .

ihr konjugiert

charakteristischen

d.h. multi-

konjug i e r t

ihres

d i e Wurzel

i

einer

Imaginärteicharakte-

komplexes G e g e n s t ü c k Gleichung.

Komplexe

l a s s e n s i c h g e o m e t r i s c h a u f der s o g e n a n n t e n Gaußschen Z a h l e n e b e n e stellen.

D i e s e Gaußsche Z a h l e n e b e n e w i r d d u r c h e i n r e c h t w i n k l i g e s

ordinatensystem beschrieben, dessen Abszissenwerte die R e a l t e i l e ner komplexen Zahl der

stets

Zahlen darKoei-

b e s c h r e i b e n , während d i e O r d i n a t e n w e r t e d i e A c h s e

imaginären Zahlen bilden.

ten R e a l - und

Imaginärteil

der Gaußschen

Zahlenebene.

J e d e r komplexen Zahl m i t einem

e n t s p r i c h t d a h e r e i n bestimmter

bestimm-

Punkt

in

188

IMAGINÄRTEIL

)(

a+ß i

REALTEIL

x

Abb. 21.2

a-ß»

Darstellung eines Paars konjugiert der Gaußschen Zahlenebene

komplexer Wurzeln

Bezeichnen w i r e i n e k o n j u g i e r t komplexe Wurzel mit

^=a ± ßi , so

in

ist

der geometrische Ort b e i d e r Wurzeln aus Abbildung 21.2 zu erkennen. Komplexe Zahlen können in der Gaußschen Zahlenebene auch durch andere Maßsysteme a l s das b i s h e r beschriebene k a r t e s i s c h e

Koordinatensy-

stem gekennzeichnet werden. A l s e i n w e i t e r e s System zur

Kennzeich-

nung der Lage komplexer Zahlen b i e t e t s i c h das P o l a r k o o r d i natensystem an. E i n e komplexe Zahl kann in einem P o l a r k o o r d i n a t e n s y s t e m schöpfend durch d i e Länge e i n e s vom Nullpunkt ausgehenden les und dem Winkel f se d a r g e s t e l l t

d i e s e s F a h r s t r a h l e s mit der p o s i t i v e n

FahrstrahHalbach-

werden.

Abbildung 21.3 z e i g t e i n e d e r a r t i g e P o l a r k o o r d i n a t e n d a r s t e l l u n g komplexen Z a h l . nannt.

er-

Der Winkel

einer

des F a h r s t r a h l e s w i r d auch Abweichung ge-

189

a+ßi

Abb. 2 1 . 3

Kennzeichnung e i n e r natensystem

komplexen Zahl

i n einem

Polarkoordi-

D i e Größe r b e z e i c h n e t man a l s den Modul o d e r A b s o l u t b e t r a g

der

plexen Zahl.

aus:

Er b e r e c h n e t s i c h nach dem S a t z des P y t h a g o r a s

r = Vcx 2 +ß 2 '

kom-

(21 .50)

Weiterhin bestehen die

Beziehungen

sinv

= —

(21.51)

cosf

= —

(21.52)

und

Die konjugiert

komplexen W u r z e l n

X1 = a + ßi und X2 = a " werden m i t

ßi

(21.51)

und

X^ = r (cosip + i s i nv>) X2 =

r(cosip-isin^)

(21.52)

190

Nach dem S a t z von M o i v r e g i l t

für

die

P o t e n z e n von A1

und

X] = (a+ßi) 1 " = r ' i c o s ^ t + i s i n v J t ) für

t=1,2,3,...

(21.53)

A 2 = (ct-ßl)*" = r t ( c o s ^ t - i s ! n i / > t ) Setzen w i r lösung

d i e Ausdrücke

(21. M )

ein,

für

dann

A|" und A^ i n d i e a l l g e m e i n e

folgt

Y(t)

= C1 ( a + ß i ) 1

Y(t)

= r*"[C^ (coscp t + i s i nv>t)+C2 (COSY> t - i s i nt} man

A = Y (0)

und

B

aY(0)+2Y(1) 2V|f

und b e r ü c k s i c h t i g t a =

und

man,

-k|

daß

2 ß = vif -b|'

(21.57)

191

gilt, dann

folgt

Y (t) = r (Acos^ t+Bcosip t) Der Winkel f> b e r e c h n e t sich w e g e n

(21.52)

mit