Schaltungen und Systeme: Grundlagen, Analyse und Entwurfsmethoden 9783486593761, 9783486200171

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Schaltungen und Systeme Grundlagen, Analyse und Entwurfsmethoden von Peter Klein

Oldenbourg Verlag München Wien

Prof. Dr.-Ing. Peter Klein lehrt an der FH München im Fachbereich Elektro- und Informationstechnik. Seine Spezialgebiete sind die Modellierung von Halbleiterbauelementen, HF-Analog-Schaltungstechnik sowie Mobile Kommunikationstechnik.

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© 2005 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der G renzen de s U rheberrechtsgesetzes is t ohne Zus timmung de s Ve rlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kathrin Mönch, Dr. Silke Bromm Herstellung: Anna Grosser Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: Grafik + Druck, München Bindung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Binderei GmbH ISBN 3-486-20017-8

Vorwort Zu den wichtigsten Kenntnissen eines Ingenieurs der Elektrotechnik und Informationstechnik geh¨oren die Analyse und der Entwurf von Schaltungen und Systemen mit Hilfe geeigneter mathematischer Methoden. Die dazu ben¨otigte Mathematik h¨angt vom Betrieb des elektrischen Netzwerkes ab. Im Gleichstromfall, Thematik von Kapitel 1 des vorliegenden Buches, gen¨ ugt f¨ ur die Berechnung gesuchter Gr¨ oßen, wie Spannungen und Str¨ome, die L¨osung eines linearen algebraischen Gleichungssystems. Selbst wenn sich nichtlineare Halbleiterbauelemente in der Schaltung befinden, greift man auf die lineare Matrizenrechnung zur¨ uck. Allerdings muss in diesem Fall ein Iterationszyklus durchlaufen werden, d.h. eine vorab festgesetzte Simulationsgenauigkeit wird erst nach mehreren L¨osungsschritten erzielt (numerische L¨ osung, DC-Analyse). In Kapitel 2 wird die komplexe Rechnung in der Elektrotechnik vorgestellt, die f¨ ur die Analyse sinusf¨ ormiger Vorg¨ ange ben¨ otigt wird. Wichtige Sonderf¨alle und technische Anwendungen sowie graphische Darstellungsverfahren und Entwurfsmethoden werden ebenso diskutiert wie der Umgang mit rechnergest¨ utzten Analysetools (AC-Analyse), wie z.B. PSPICE“. ” Zeitvariante, nichtsinusf¨ ormige Vorg¨ ange sind die Schwerpunkte in Kapitel 3. Liegt ein lineares Netzwerk vor, also ein Netzwerk das ausschließlich aus linearen Bauelementen besteht, ist dieses analytisch analysierbar. Dazu wird die zugeh¨orige Differentialgleichung entweder direkt gel¨ ost (klassisches Verfahren) oder man bedient sich geeigneter Transformationsmethoden, wie der Fourier-Reihen-Darstellung (periodische Vorg¨ange), der Fourier-Transformation bzw. der h¨ aufig verwendeten Laplace-Transformation (nichtperiodische Vorg¨ ange). Im Allgemeinen befinden sich in den meisten Schaltungen nichtlineare Bauelemente wie Dioden und Transistoren. Ist dies der Fall, kommen h¨aufig nur doch rechnergest¨ utzte, numerische Berechnungsverfahren in Betracht (TransientenAnalyse); eine analytische L¨ osung ist leider nicht mehr m¨oglich. Durch die st¨ urmische Entwicklung der Mikroelektronik und der damit verbundenen Hochintegration werden immer mehr Aufgabenstellungen digital bew¨altigt (digitale Signalverarbeitung). Dazu tastet man analoge Signale in ¨aquidistanten Zeitintervallen ab, speichert die Daten und verarbeitet diese anschließend. Diese zeitdiskreten Vorg¨ange werden in Kapitel 4 eingehend betrachtet. Somit liegt ein Werk vor, das neben den Grundlagen der Schaltungs- und Systemanalyse auch die Umsetzung in die Praxis in Form rechnergest¨ utzter Entwurfs- und Analysetools beinhaltet. Auch wenn heutzutage Schaltungen und Systeme am Computer entworfen werden, ist eine grobe Vorabdimensionierung der verwendeten Bauelemente von Hand unerl¨asslich. Das erfordert jedoch ein solides Fachwissen dieses Kerngebietes der Elektround Informationstechnik. Der erfahrene Schaltungsentwickler verwendet Schaltungssi-

VI

Vorwort

mulatoren haupts¨ achlich zur Schaltungsoptimierung, f¨ ur worst-case Analysezwecke und andere rechenaufwendige Untersuchungen. Dieses Buch entstand aus den Grundlagenvorlesungen des Studienganges Elektrotechnik und Informationstechnik der Fachhochschule M¨ unchen, die sich u ¨ber vier Semester im Vordiplom erstrecken. Es ist vorlesungsbegleitend und zum Selbststudium einsetz¨ bar. Die zahlreichen Ubungsbeispiele mit ausf¨ uhrlichen Musterl¨osungen am Ende jedes Kapitels dienen sowohl der Vertiefung des Stoffes als auch der Selbstkontrolle. Bedanken m¨ ochte ich mich bei allen Kollegen im Fachbereich, die in Gespr¨achen und durch Skriptenaustausch wesentlichen zum Gelingen dieses Buches beigetragen haben. Namentlich sind an dieser Stelle die Herren Prof. Dr. G. Meyer und Prof. Dr. W. Tinkl zu den Beitr¨ agen der Kapitel 1 und 2 zu nennen. F¨ ur die Anregungen zur Darstellung ¨ sowie f¨ ur die Uberlassung von Aufgaben und L¨osungen zu den Kapiteln 3 und 4 bin ich Herrn Prof. Dr. K. Walliser und vor allem Herrn Prof. Dr. E. M¨ uller zu großem Dank verpflichtet. Auch die zeitaufwendige und sorgf¨altige Korrekturlesung durch meinen Kollegen E. M¨ uller hat sich als unverzichtbar herausgestellt. Zu betonen ist außerdem die sehr gute und unkomplizierte Zusammenarbeit mit Frau Dr. Bromm und Frau M¨ onch vom Oldenbourg Verlag. Bei meiner Frau Angelika m¨ ochte ich mich neben der Korrekturlesung vor allem f¨ ur ihr Verst¨ andnis f¨ ur die (frei)zeitraubende Arbeit zu diesem Buch bedanken. Am Ende m¨ ochte ich noch eine Bitte an Sie, liebe Leserin oder lieber Leser, richten. Lassen Sie mir Ihre Anmerkungen und Anregungen zum Inhalt des Buches bitte zukommen. Dies gilt insbesondere auch dann, wenn Sie irgendwo einen Fehler entdecken. Am einfachsten erreichen Sie mich per E-Mail unter [email protected]. M¨ unchen

P. Klein

Inhaltsverzeichnis 1

Gleichstromlehre

1

1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Das internationale Einheitensystem (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Elektrische Ladung, Coulomb’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Elektrische Spannung, Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Elektrische Stromst¨ arke, Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Spezifische(r) elektrische(r) Leitf¨ ahigkeit/Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Leistung und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6

Elektrische Schaltungskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Widerstand und Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verkopplung von Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtlineare Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 19 22 29 31 35

1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 1.3.8 1.3.9

Berechnung von Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z¨ahlpfeilsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kirchhoff’sche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serien- und Parallelschaltung von Widerst¨anden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serien- und Parallelschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serien- und Parallelschaltung von Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wirkungsgrad und Leistungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Netzwerkanalyse: Direkte Anwendung der Kirchhoff’schen Gleichungen . ¨ Helmholtz’scher Uberlagerungssatz (Superpositionsprinzip) . . . . . . . . . . . . . Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 41 45 48 50 52 55 58 59

1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4

Knotenpotentialanalyse (KPA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufstellen der modifizierten Knotenpunktgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ber¨ ucksichtigung von Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ber¨ ucksichtigung gesteuerter Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ber¨ ucksichtigung nichtlinearer Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 63 65 67 70

1.5 1.5.1 1.5.2

Rechnergest¨ utzte Gleichstromanalyse (DC-Analyse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Zeichnen von Schaltpl¨ anen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 DC-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.6

¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.7

L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

VIII

Inhaltsverzeichnis

2

Sinusf¨ ormige Vorg¨ ange

105

2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5

Einf¨ uhrung, Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wechselgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Zeigerdiagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basisbauelemente in Wechselstromschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reelle Berechnung von Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 105 110 112 116 117

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6

Komplexe Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubergang zur komplexen Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anpassung der komplexen Rechnung an die Wechselstromlehre . . . . . . . . . Wechselstromschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120 120 124 130 133 134 140

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3

Wichtige Betriebsf¨ alle in Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leistungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blindleistungskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingkreise – Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 141 145 146

2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4

Graphische Darstellungen und Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HF-Tapete“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” Bode-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 157 162 165 172

2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3

Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erzeugung von Drehstrom, Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generator-Verbraucher-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leistung in 3-Phasensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178 178 181 186

2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5

Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformatorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verlustbehafteter Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Belastung des Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Idealisierung des Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ersatzschaltbilder des Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188 189 189 190 191 194

2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3

Modellierung technischer Grundbauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ohm’sche Widerst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Technische Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Technische Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198 198 201 205

2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3

Rechnergest¨ utzte Wechselstromanalyse (AC-Analyse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlagen und Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schaltplaneingabe und Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergebnis der AC-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207 207 207 208

2.9

¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Inhaltsverzeichnis

IX

2.10

L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

3

Nichtsinusf¨ ormige Vorg¨ ange

3.1

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6

248 248 251 259 261 261

3.2.7

Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reelle Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umrechnung von Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kenngr¨ oßen periodischer, nichtsinusf¨ormiger Signale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse linearer Schaltungen bei periodischer, nichtsinusf¨ormiger Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfluss nichtlinearer Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

Nichtperiodische Vorg¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier-Integral, Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung der Fourier-Transformation bei der Schaltungsanalyse . . . . . . Eigenschaften der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wichtige Funktionen, Korrespondenztabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

273 274 276 278 281

3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5

Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubergang von der Fourier- zur Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korrespondenztabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung der Laplace-Transformation bei der Schaltungsanalyse . . . . . Schaltungsanalyse mittels Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

285 286 287 291 292 298

3.5 3.5.1 3.5.2

Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Gew¨ ohnliche lineare Differentialgleichung 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Gew¨ ohnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

3.6 3.6.1 3.6.2

Transienten-Analyse (TRAN-Analyse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Berechnungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

3.7

¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

3.8

L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

4

Diskrete Signale und Systeme

4.1 4.1.1 4.1.2

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Mathematische Beschreibung abgetasteter Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Klassifizierung von Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4

ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskrete periodische Vorg¨ Diskrete Fourier-Transformation (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fast Fourier-Transformation (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hinweise zur DFT (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245

269 271

357

360 361 363 365 367

X

Inhaltsverzeichnis

4.3 4.3.1 4.3.2

Differenzengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 ¨ Ubergang von der Differentialgleichung zur Differenzengleichung . . . . . . . . 371 Schaltungstechnische Realisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7 4.4.8

z -Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubergang von der Laplace- zur z -Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften der z -Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korrespondenztabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R¨ ucktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pol- und Nullstellenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilineare Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

372 373 375 375 375 379 380 381 382

4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3

Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundstrukturen digitaler Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bezeichnungen bei Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleich von FIR- und IIR-Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

385 387 390 391

4.6

¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

4.7

L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Literaturverzeichnis

411

Index

413

1

Gleichstromlehre

Dieses Kapitel erl¨ autert wichtige Grundbegriffe aus der Elektrotechnik, wie Spannung, Strom und elektrische Leistung. Die Funktionsweise passiver und aktiver Schaltungskomponenten wird erkl¨ art und deren mathematische Beschreibung hergeleitet. Verbindet man aktive und passive Schaltungselemente elektrisch miteinander, entstehen galvanisch gekoppelte Stromkreise, die mit Hilfe der Kirchhoff’schen Gesetze berechenbar sind. Verschiedene Analyseverfahren werden vorgestellt und diskutiert. Das Kapitel rundet mit der Einf¨ uhrung in die rechnergest¨ utzte Schaltungssimulation (DC-Analyse) ab.

1.1

Grundbegriffe

1.1.1

Das internationale Einheitensystem (SI)

Physikalische Gr¨ oßen werden im Allgemeinen mit einer Maßzahl und einer Einheit angegeben. Seit 1969 gilt in der Bundesrepublik Deutschland das internationale Einheitensystem SI (Syst`eme International d’Unit´es). Es besteht aus folgenden Basiseinheiten, aus denen alle weiteren abgeleitet sind:

Physikalische Gr¨oße:

Formelzeichen

Einheit

x, l m t, τ I T Iv ---

Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Candela Mol

L¨ange Masse Zeit Stromst¨arke Temperatur Lichtst¨arke Stoffmenge

Kurzzeichen

m kg s A K cd mol

Tabelle 1.1: SI Basiseinheiten

Bemerkenswert ist, dass lediglich eine einzige Basiseinheit, die Stromst¨ arke I, n¨ otig ist, um das große Gebiet der Elektrotechnik abzudecken. Definition 1.1:

Definition des Ampere

Fließt ein Strom von 1 Ampere durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von einem Meter angeordneten, geradlinigen, unendlich langen und d¨ unnen Leitern mit

2

1 Gleichstromlehre

kreisf¨ ormigen Querschnitt, so wirkt zwischen diesen Leitern auf je 1 Meter Leiterl¨ ange eine Kraft von 2 · 10−7 Newton (1N = 1 kg·m/s2 ). Von den Basiseinheiten lassen sich eine Vielzahl weiterer koh¨arent abgeleiteter Einheiten angeben. Einige Wichtige sind in der folgenden Tabelle aufgelistet.

Physikalische Gr¨ oße:

Elektrische Spannung Elektrische Ladung Elektrischer Widerstand Elektrischer Leitwert Elektrische Kapazit¨at Induktivit¨at Magnetischer Fluss Magnetische Flussdichte Leistung Energie, Arbeit

Formelz.

Einheit

Kurzz.

U Q R G C L Φ B P W

Volt Coulomb Ohm Siemens Farad Henry Weber Tesla Watt Joule

V C Ω S F H Wb T W J

Beziehung

m2 ·kg·s−3 ·A−1 A·s V/A = m2 ·kg·s−3 ·A−2 A/V = m−2 ·kg−1 ·s3 ·A2 As/V = m−2 ·kg−1 ·s4 ·A2 Vs/A = m2 ·kg·s−2 ·A−2 Vs = m2 ·kg·s−2 ·A−1 Wb/m2 = kg·s−2 ·A−1 V·A = m2 ·kg·s−3 Ws = m2 ·kg·s−2

Tabelle 1.2: Beispiele f¨ ur abgeleitete Einheiten in der Elektrotechnik

Der Zahlenwert einer physikalischen Gr¨oße ist in vielen F¨allen recht unhandlich, wenn die zugeh¨orige Einheit in ihrer Grundform verwendet wird. Dann benutzt man oftmals Vors¨atze, um zu praktikablen Zahlenbereichen zu kommen, wie z.B. 15300m = 15, 3km . Folgende Vors¨atze sind genormt:

Vorsatz Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka

Zeichen E P T G M k h da

Wert 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Vorsatz Atto Femto Piko Nano Mikro Milli Zenti Dezi

Zeichen a f p n μ m c d

Wert 10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1

Tabelle 1.3: Genormte Vors¨ atze f¨ ur Einheiten

Bei der Verwendung von Vors¨ atzen ist darauf zu achten, dass je Einheit nur ein Vorsatz verwendet werden darf und dass sie nicht mit den Einheiten verwechselt werden (z.B. steht m f¨ ur Milli und Meter).

1.1 Grundbegriffe

1.1.2

3

Elektrische Ladung, Coulomb’sches Gesetz

Die elektrische Ladung ist, wie die Masse, eine Materieeigenschaft. Nach dem BohrSommerfeld’schen Atommodell besteht ein Atom aus einem Atomkern und aus Elektronen, die den Atomkern auf kreisf¨ ormigen Bahnen (Atomschalen) umkreisen. Der Atomkern besteht aus ungeladenen Neutronen und einfach positiv geladenen Protonen. Die Elektronen sind einfach negativ geladen. Besitzt ein Atom genauso viele Protonen im Kern wie Elektronen, ist er nach außen elektrisch neutral. Die Ladung eines Protons +e bzw. eines Elektrons –e stellt die kleinste nicht weiter teilbare Ladungsmenge dar und wird deshalb als Elementarladung e = 1, 602 · 10−19 C

(1.1)

bezeichnet. Alle anderen Ladungsmengen sind ganzzahlige Vielfache der Elementarladung, man sagt auch die Ladung ist quantisiert. Die elektrische Ladung ist Ursache jeder elektrischen und magnetischen Erscheinung. In einem abgeschlossenen (= materieundurchl¨ assigen) System gilt der Satz der Ladungserhaltung, d.h. die Summe aller positiven und negativen Ladungen bleibt konstant. Einzelne Ladungen k¨ onnen also nicht von selbst entstehen oder verschwinden. Es k¨onnen lediglich Ladungen getrennt werden, z.B. ein Atom in ein Elektron und ein positives Ion, was an der Gesamtsumme der Ladung nichts ¨andert. Coulomb’sches Gesetz Ladungen u afte aufeinander aus. Gleiche Ladungen stoßen sich ab, unterschied¨ben Kr¨ liche Ladungen ziehen sich an. Um qualitative Aussagen u ¨ber diese Kraftwirkung zu machen, betrachte man den in Abbildung 1.1 skizzierten, theoretisch einfachsten Fall zweier kugelf¨ ormiger Punktladungen (Punktladung: Kugelradius vernachl¨assigbar klein gegen¨ uber Ladungsabstand).

F 12

r

F 21

Q2 Q1

e 12

Abb. 1.1: Kraftwirkung auf Punktladungen

Experimentielle Befunde liefern folgende Aussagen: • Die Richtung der Kr¨afte F12 und F21 entspricht der Richtung der Verbindungslinie zwischen den Punktladungen. • F12 = −F21 , d.h. die Betr¨age sind exakt gleich, ihre Richtung ist entgegengesetzt (actio = reactio).

4

1 Gleichstromlehre

• |F | ∼ Q1 · Q2 bzw. |F | ∼

1 . r2

Das Coulomb’sche Gesetz fasst obige Erkenntnisse in der Gleichung F12 =

Q1 Q 2 1 · e12 · r2 4π0 r

[F ] = N

(1.2)

zusammen. Die Gr¨oße 0 = 8, 8542 · 10−12 F/m

(1.3)

ist die Dielektrizit¨atskonstante des Vakuums, r die relative Dielektrizit¨atskonstante (materialabh¨angig) und e12 ist der Einheitsvektor in Richtung der Kraftwirkung. Werden in das Coulomb’sche Gesetz (1.2) die beiden Ladungen Q1 und Q2 mit ihrem Vorzeichen eingesetzt, so erh¨alt man die tats¨achliche Richtung der Kraft. Bei einem negativen Ergebnis wirkt die Kraft entgegen der eingezeichneten Pfeilrichtung, die Ladungen ziehen sich an. Die elektrische Feldst¨ arke Offensichtlich ver¨andern Ladungen, wie z.B. Q1 , den sie umgebenden Raum, sie bilden ein elektrisches Feld aus. Zur Beschreibung dieser Raumeigenschaft k¨onnte man die wirksame Kraft auf eine Probeladung, im vorliegenden Fall Q2 , verwenden. Dies ist jedoch unpraktisch, weil die Kraft nicht nur von Q1 , sondern nach Gleichung (1.2) auch von der Probeladung Q2 abh¨angt. Man definiert daher die elektrische Feldst¨arke  Q1 1  1 = F12 = · e12 · E 4π0 r r2 Q2

[E] =

V m

(1.4)

am Ort der Probeladung als Quotient aus Kraft und Probeladung. Felder werden h¨ aufig durch Feldlinien veranschaulicht. Die Richtung der Feldlinien entspricht der Richtung des elektrischen Feldes. Die Anzahl der Feldlinien ist willk¨ urlich, wobei große Feldst¨ arken im Allgemeinen durch eng gesetzte Feldlinien verdeutlicht werden und kleine Feldst¨ arken durch einen großen Feldlinienabstand gekennzeichnet sind. Elektrische Feldlinien entspringen, wie Abbildung 1.2 zeigt, an positiven Ladungen und enden an negativen.

1.1.3

Elektrische Spannung, Potential

Elektrische Spannung  wirkt auf sie Befindet sich die Ladung Q in einem ortsabh¨ angigen elektrischen Feld E, die Kraft  . F = Q · E

(1.5)

1.1 Grundbegriffe

5

Abb. 1.2: Feldliniendarstellung zweier Punktladungen

Bewegt sich nun diese Ladung von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 , wie in Abbildung 1.3 skizziert, nimmt sie die Energie  · ds dW = F · ds = Q · E  · ds ist ein entlang eines infinitesimal kleinen Wegst¨ uckes ds auf. Die Multiplikation E Vektorprodukt, entscheidend f¨ ur die Energie¨anderung dW ist demnach nur die Projektion des Feldes auf den Streckenvektor ds (cos des Zwischenwinkels α). E cos α ds

x

elektrische Feldlinien

P2

α

Q

E

x

P1

Abb. 1.3: Definition der elektrischen Spannung

Die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2 im felderf¨ ullten Raum ist definiert als die verrichtete (oder gewonnene) Arbeit bei der Verschiebung dividiert durch die Ladung.

U12 =

W12 = Q



P2

 · ds E

[U ] = V

(1.6)

P1

Beispiel 1.1 Abbildung 1.4 zeigt eine Probeladung Q, die vom Punkt P1 nach P2 auf zwei unterschiedlichen Wegen 1 und 2 verschoben wird. Der k¨ urzeste Abstand zwischen den Punkten P1 und P2 betrage s. Zu berechnen ist jeweils die daraus resultierende Spannung.

6

1 Gleichstromlehre

y h

x

ds

P2

Q

0

P 1x

E

homogenes elektr. Feld

dy

α

P3

dx

x

l

0

Weg 1: P 1 - P 2 Weg 2: P 1 - P 3 - P 2

Abb. 1.4: Berechnung der Spannung zwischen zwei Punkten in einem homogenen elektrischen Feld

L¨osung:



P2

Weg 1: U12 = PP1 3 Weg 2: U12 =

  · ds = E

P2



P1

 · dx + |E|

P1

 · cos α · ds = E · cos α · s = E · l |E|

P2

 · cos 90◦ · dy = E · l |E|

P3

Erkenntnis: Die Spannung zwischen zwei Punkten ist generell unabh¨angig vom Integrationsweg! Potential Das elektrische Potential ϕ kennzeichnet das Arbeitsverm¨ogen (potentielle Energie) pro Ladungsmenge in einem Punkt P1 im felderf¨ ullten Raum, die gewonnen werden kann, wenn die Ladungseinheit von diesem Punkt P1 zu einem Bezugspunkt P0 , wo keine Energie mehr gewonnen werden kann, verschoben wird. ϕ1 = U10 =

W10 = Q



P0



P1

 · ds = − E

P1

 · ds E

[ϕ] = V

(1.7)

P0

Die Differenz zweier Potentiale  ϕ 1 − ϕ2 =

P0 P1

  · ds + E

P2 P0

  · ds = E

P2

 · ds = U12 E

(1.8)

P1

gibt die Spannung zwischen den Punkten P1 und P2 wieder. Beispiel 1.2  Ein elektrisches Feld E(r) wird durch die Punktladung Q hervorgerufen. Zu berechnen ist das Potential im Punkt P1 , wenn das Bezugspotential ϕ0 , wie in Abbildung 1.5 gezeichnet, im Unendlichen liegt.

1.1 Grundbegriffe

7

r

er

r1

x

0

P0

P1

Q Abb. 1.5: Berechnung des Potentials einer Punktladung Q

L¨ osung:  P1 Q 1  · er · er dr ϕ1 = − E(r) · dr = − 2 4π 0 r r ∞ ∞  r1  Q 1 Q = − = − 4π0 r · r1 r ∞ 4π0 r 

P1

Beispiel 1.3 In der abgebildeten Schaltung 1.6 sind die Potentiale gegeben. Gesucht sind die Spannungen UAC , UAB , UAD , UDC und UF C . L¨ osung: UAC = 4V; UAB = 20V; UAD = 12V; UDC = −8V; UF C = −5V

A 10V

C

E

F

6V

3V

1V

-10V

B

-2V

D

Abb. 1.6: Schaltung mit gegebenen Knotenpotentialen

¨ Aquipotentialfl¨ ache ¨ Alle Punkte konstanten Potentials ergeben eine Aquipotentialfl¨ ache. In Abbildung 1.7 ¨ sind zwei Beispiele f¨ ur Aquipotentialfl¨ achen gezeichnet. Bei einer punktf¨ormigen oder ¨ kugelf¨ormigen Ladung sind die Aquipotentialfl¨ achen Kugeloberfl¨achen mit Radius r. Ist die Punktladung (oder Kugelladung) positiv, erh¨oht sich das Potential zur Ladung hin;

8

1 Gleichstromlehre Äquipotentialflächen (Kugeloberflächen)

ϕ3 ϕ2

Äquipotentialflächen

E

E

+ + + + + + + +

ϕ1

-

ϕ1 > ϕ2

a)

b)

¨ Abb. 1.7: Beispiele f¨ ur Aquipotentialfl¨ achen

in Abbildung 1.7a) ist ϕ1 > ϕ2 > ϕ3 . ¨ Bei einem homogenen elektrischen Feld, wie in Abbildung 1.7b), ergeben sich Aquipotentialebenen senkrecht zu den Feldlinien. Allgemein gilt:  • Die Richtung des E-Feldes zeigt vom h¨ oheren zum niedrigeren Potential. ¨ • Die elektrischen Feldlinien durchstoßen die Aquipotentialfl¨ achen im 90◦ -Winkel.

1.1.4

Elektrische Stromst¨arke, Stromdichte

Stromst¨ arke Bewegen sich Ladungstr¨ager, so fließt ein elektrischer Strom. Grunds¨ atzlich k¨ onnen sich die Ladungstr¨ager im Vakuum befinden oder innerhalb von gasf¨ ormiger, fl¨ ussiger bzw. fester Materie.  die Kraft F = Q· E  Im Vakuum erfahren die Ladungstr¨ager in einem elektrischen Feld E und werden dadurch beschleunigt. Die Geschwindigkeit v der Ladungstr¨ ager im Vakuum w¨ achst st¨ andig an und ist nach der klassischen Physik (keine relativistische Betrachtung) durch 1 m · v 2 = F ·  v·t 2 x

⇒

v=

2 ·t·Q·E    m F

gegeben. Dabei stellt x die Beschleunigungsstrecke dar.

1.1 Grundbegriffe

9

In einem elektrisch leitf¨ ahigen Material ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit begrenzt. Die beweglichen Ladungstr¨ ager werden nach einer gewissen Beschleunigungsphase (bestimmt durch die mittlere freie Wegl¨ange) durch St¨oße an Atomkernen, an St¨ orstellen und am Gitter immer wieder abgebremst und erreichen nur eine mittlere Driftgeschwindigkeit, die durch  vi = bi · E

(1.9)

gegeben ist. Die Ladungstr¨ agerbeweglichkeit bi mit [bi ] = m2 V−1 s−1 ist eine Materialeigenschaft und ist f¨ ur unterschiedliche Ladungstr¨agersorten verschieden. So haben beispielsweise in einem Halbleiter, wie Silizium, Elektronen eine h¨ohere Beweglichkeit als positiv geladene L¨ ocher (Defektelektronen). Bei positiven Ladungstr¨agern ist bi = bp > 0, bei negativ geladenen Ladungstr¨agern gilt bi = bn < 0. Eine negative Beweglichkeit bedeutet, dass die Bewegungsrichtung der Ladungstr¨ager der Richtung des elektrischen Feldes entgegengesetzt ist. Leitf¨ ahige Materialien sind: • Metalle: Jedes Atom l¨ asst auf Grund der Metallbindung ein oder mehrere Elektronen ungebunden. Diese k¨ onnen sich frei bewegen. • Halbleiter: Bei reinen Halbleitern sind bei niedriger Temperatur praktisch alle Ladungtr¨ ager gebunden. Durch Energiezufuhr (W¨arme, Licht) k¨onnen einige Elektronen von ihren Atomen getrennt werden. Es entsteht ein freies Elektron und eine positiv geladene Fehlstelle (Loch). Beide Ladungstr¨agersorten stehen zum Stromtransport zur Verf¨ ugung. Werden Halbleiter gezielt verunreinigt (dotiert), erh¨ alt man je nach Dotierstoff zus¨ atzliche Elektronen (n-Dotierung) oder L¨ocher (p-Dotierung). • Elektrolyten und ionisierte Gase besitzen freie positiv oder negativ geladene Ionen. Nicht leitende Materialien bezeichnet man als Isolatoren. Sie beinhalten keine frei beweglichen Ladungstr¨ ager. Abbildung 1.8 zeigt einen elektrischen Leiter, der zwei Sorten von Ladungstr¨agern besitzt, einfach negativ geladene () und einfach positiv geladene (⊕). Der unregelm¨ aßigen thermischen Bewegung von Ladungstr¨agern ist eine mittlere Driftgeschwindigkeit vp und vn , hervorgerufen durch ein elektrisches Feld, u ¨berlagert, wodurch ein gerichteter elektrischer Strom I fließt. Definition 1.2:

Definition der Stromst¨arke

Der elektrische Strom ist die Ladungsmenge dQ, die in einem Zeitintervall dt in bestimmter Richtung durch eine Kontroll߬ache A transportiert wird.

I=

dQ dt

[I] =

C =A s

(1.10)

10

1 Gleichstromlehre Kontrollfläche

I + + + + +

-

E

Qp

A

vp

vn

Qn

2

U 12

1

Abb. 1.8: Stromtransport in Leitern

Die technische Stromrichtung entspricht der Bewegungsrichtung der positiven Ladungtr¨ager. Bezeichnet man die Zahl der Ladungstr¨ ager pro Volumeneinheit mit np bzw. nn , ergibt sich A·vp

−A·vn

       · vn ·dt  · vp ·dt + nn · Qn · A np · Q p · A dQ = I= dt dt = A · (np · Qp · vp + nn · |Qn | · vn ) .

(1.11)

Nach Gleichung (1.11) tragen beide Ladungstr¨ agersorten positiv zum Gesamtstrom I bei. Stromdichte Die Stromdichte j gibt die Stromst¨ arke pro Fl¨ acheneinheit an und ist allgemein definiert u ¨ber

 j · da .

I=

(1.12)

A

Bei homogener (gleichm¨aßiger) Stromverteilung im Leiter mit der Querschnittsfl¨ ache A vereinfacht sich (1.12) und mit den Gleichungen (1.11) und (1.9) erh¨ alt man j =

I A

bzw.

 j = (np · Qp · bp + nn · Qn · bn ) · E

[j] =

A . m2

(1.13)

1.1 Grundbegriffe

11

Die Stromdichte stellt eine wichtige Belastungsgr¨oße elektrischer Leiter dar. Da die Erw¨ armung von Leitern mit der Stromdichte ansteigt, k¨onnen diese bei hohen Stromdichten unzul¨assig stark erw¨ armt und u.U. zerst¨ort werden. Die maximal zul¨assige Stromdichte unterschiedlicher Leiter ist in VDE 0100, Teil 523 geregelt. Beispiel 1.4 Durch einen Kupferdraht mit der Querschnittsfl¨ache A = 1, 5mm2 fließt ein Strom von I = 10A. Wie viele Ladungstr¨ ager zn (Elektronen) str¨omen pro Sekunde durch den Draht? Wie groß ist die Stromdichte? L¨ osung: zn · 1, 602 · 10−19 As dQ ⇒ zn = 6, 2422 · 1019 = I= 1s dt j = I/A = 10A/1, 5mm2 = 6, 667A/mm2

Anwendungsbeispiel 1.5:

Ionisationsrauchmelder

Luft wird durch α-Strahler ionisiert und dadurch leitf¨ahig gemacht. Zwischen zwei leitenden, parallel angeordneten Platten wird eine elektrische Spannung angelegt. Infolge der elektrischen Feldst¨arke fließt ein elektrischer Strom. Befinden sich kleinste Rauchpartikel (Aerosole) in der Luft, lagern sich die Ionen an diese an. Die Beweglichkeit der beschwerten Ionen ist wesentlich geringer, der Strom sinkt. Mit dem Stromr¨ uckgang wird der Alarm ausgel¨ost.

1.1.5

Spezifische(r) elektrische(r) Leitf¨ahigkeit/Widerstand

Nach Gleichung (1.13) h¨angt die Stromdichte und damit die Stromst¨arke von Materialeigenschaften wie den Ladungstr¨agerdichten np und nn , der Ladung pro Tr¨agerteilchen Qp und Qn sowie den Beweglichkeiten bp und bn ab. Diese Abh¨angigkeit fasst man in einer neuen Gr¨oße, der spezifischen elektrischen Leitf¨ahigkeit κ = np · Qp · bp + nn · Qn · bn

[κ] =

S m

bzw.

Sm mm2

(1.14)

zusammen. Der Kehrwert der spezifischen elektrischen Leitf¨ ahigkeit heißt spezifischer elektrischer Widerstand. ρ=

1 κ

[ρ] = Ωm

bzw.

Ωmm2 m

(1.15)

12

1 Gleichstromlehre

Die Temperaturabh¨ angigkeit des spezifischen elektrischen Widerstandes wird oftmals durch die Temperaturkoeffizienten erster und zweiter Ordnung gen¨ahert. ρ(ϑ) = ρ20 · (1 + α20 (ϑ − 20◦ C) + β20 (ϑ − 20◦ C)2 + ...)

(1.16)

ur einiDie Bezugstemperatur ist nach VDE 0201 20◦ C. In nachstehender Tabelle sind f¨ ge Materialien die spezifischen elektrischen Widerst¨ande und Temperaturkoeffizienten angegeben.

Stoff Silber Kupfer Gold Aluminium Wolfram Zink Messing Nickel Eisen Zinn Platin Blei Manganin Konstantan Kohle Papier Quarz

ρ in Ωmm2 /m 0,016 0,01786 0,023 0,02857 0,055 0,063 0,08 0,1 0,1 0,11 0,11 0,2 0,43 0,49 40 1015 − 1016 ca. 1020

α20 in 1/K 0,00380 0,00393 0,004 0,00377 0,0041 0,0037 0,0015 0,0048 0,006 0,0042 0,002 0,004 0,00002 0,00001 -0,001 -

β20 in 1/K2 7 · 10−7 6 · 10−7 5 · 10−7 13 · 10−7 1 · 10−6 2 · 10−6 9 · 10−6 6 · 10−6 6 · 10−6 6 · 10−7 2 · 10−6 -

Tabelle 1.4: Spezifischer Widerstand und Temperaturkoeffizienten verschiedener Leiter und Isolatoren [1], [2]

Mit der Definition der spezifischen elektrischen Leitf¨ ahigkeit κ lautet das lokale Ohm’sche Gesetz  . j = κ · E

1.1.6

(1.17)

Leistung und Energie

Elektrische Leistung Nach Gleichung (1.6) wird bei der Verschiebung einer Ladung im felderf¨ ullten Raum die Arbeit W = Q · U verrichtet. In der Technik interessiert man sich h¨ aufig f¨ ur die pro Zeiteinheit umgewandelte bzw. u ¨bertragene Energie, die Leistung. Durch Zeitableitung bei konstanter Spannung U erh¨ alt man die elektrische Leistung P =

dQ dW ·U =I ·U = dt dt

[P ] = W

(1.18)

1.1 Grundbegriffe

13

als Produkt von Spannung und Strom. Obige Gleichung ist nur f¨ ur station¨are, d.h. zeitlich unver¨ anderliche Spannungen und Str¨ ome g¨ ultig. Bei zeitlich ver¨anderlichen Gr¨oßen gilt allgemein

p(t) = u(t) · i(t) .

(1.19)

Das Produkt aus den Augenblickswerten von Spannung und Strom wird Momentanleistung genannt und beschreibt die zum Zeitpunkt t verbrauchte oder erzeugte Leistung. Elektrische Energie Aus dem zeitlichen Verlauf der Momentanleistung l¨asst sich die erzeugte oder verbrauchte elektrische Energie aus der Integration

W =



p(t) · dt =



u(t) · i(t) · dt

[W ] = J

(1.20)

ermitteln.

Beispiel 1.6 Abbildung 1.9a) zeigt den Strom- und Spannungsverlauf an einer Schaltung, Abbildung 1.9b) die daraus resultierende Momentanleistung. Gesucht ist die elektrische Energie im Zeitraum 0 ≤ t ≤ T .

i/A, u/V 1

-1

p/W u

i

1

T

t

t -1

a)

b)

Abb. 1.9: a) Strom- und Spannungsverlauf; b) resultierende Momentanleistung

L¨ osung:



T

p(t) · dt = 0.

Es wird keine elektrische Energie umgewandelt, da W = 0

14

1 Gleichstromlehre

1.2

Elektrische Schaltungskomponenten

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Schaltungskomponenten vorgestellt und ihre Wirkungsweise erkl¨ art. Generell wird zwischen aktiven und passiven sowie linearen und nichtlinearen Elementen unterschieden. Bei der Berechnung elektrischer Netzwerke ergeben sich im Allgemeinen nur dann analytische L¨osungen, wenn alle Komponenten linear sind, andernfalls erh¨ alt man lediglich numerische N¨aherungsl¨osungen. Die erreichbare Genauigkeit dieser N¨ aherungen h¨ angt dabei haupts¨achlich von der Qualit¨at der mathematischen Modelle ab, welche die nichtlinearen Bauelemente beschreiben.

1.2.1

Widerstand und Leitwert

Schaltzeichen Elektrische Widerst¨ ande sind passive Zweipole, d.h. Verbraucher mit zwei Anschl¨ ussen, die elektrische Energie unmittelbar in thermische umwandeln. Sie werden in elektrischen Netzwerken durch die in Abbildung 1.10 skizzierten Schaltzeichen dargestellt.

allgemein

variabel

Potentiometer

nichtlinear

Abb. 1.10: H¨ aufig verwendete Schaltzeichen elektrischer Widerst¨ ande

Berechnung von Widerst¨ anden, Ohm’sches Gesetz F¨ ur das in Abbildung 1.11 gezeichnete, homogene Leitungsst¨ uck soll der elektrische Widerstand exemplarisch ermittelt werden. Homogen bedeutet, dass der spezifische Widerstand an jeder Stelle exakt gleich und der Querschnitt entlang des Leitungsst¨ ucks konstant ist.

l I

E

I

A U Abb. 1.11: Skizze zur Berechnung des elektrischen Widerstandes eines Leiterst¨ ucks

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

15

Aus Gleichung (1.12) und dem lokalen Ohm’schen Gesetz (1.17) folgt  = κ · A · |E|  · l ·1 = κ · A · U = G · U . I = A · |j| = A · κ · |E|    l l

(1.21)

U

Den Ausdruck κ·A l

G=

[G] = S

(USA: mho)

(1.22)

nennt man elektrischen Leitwert, den Kehrwert

R=

ρ·l 1 = A G

[R] = Ω

(1.23)

elektrischen Widerstand. Der elektrische Widerstand ist, neben der Materialeigenschaft ρ, nur von der Geometrie abh¨ angig. Je l¨ anger und/oder d¨ unner ein Leiter ist, desto gr¨oßer ist sein elektrischer Widerstand. Bei inhomogenen Leitern, wie in Abbildung 1.12, muss der Gesamtwiderstand aus der Integration 

x=l

dR · dx

R= x=0

der infinitesimalen Widerst¨ ande dR berechnet werden.

dR

dx

A2

A1 l

0

x

Abb. 1.12: Berechnung des Widerstandes bei inhomogenen Leitern

Aus Gleichung (1.21) und (1.23) folgt das bekannte Ohm’sche Gesetz U =R·I .

(1.24)

Sind Spannung und Strom zeitabh¨ angige Gr¨ oßen, gilt

u(t) = R · i(t) .

(1.25)

16

1 Gleichstromlehre

Dehnungsmessstreifen (DMS)

Anwendungsbeispiel 1.7:

Die Abh¨ angigkeit des elektrischen Widerstandes von der Geometrie macht man sich in der elektrischen Messtechnik zur Ermittlung der mechanischen Dehnung/Stauchung zu Nutze. Das Wirkungsprinzip eines DMS zeigt Abbildung 1.13a).

A

l

l

A-

A

l+ l

Kunststofffolie

a)

b)

Abb. 1.13: Dehnungsmessstreifen: a) Wirkungsprinzip; b) technische Realisierung

Wird das Leitungsst¨ uck gedehnt, erh¨ oht sich einerseits seine L¨ ange um Δl, andererseits verringert sich der Leitungsquerschnitt A → A − ΔA, was in beiden F¨ allen zu einer Erh¨ ohung des elektrischen Widerstandes f¨ uhrt. Das Volumen A · l = (A − ΔA) · (l + Δl)

oder

l + Δl A = l A − ΔA

des Leitungsst¨ ucks bleibt in jedem Fall konstant. Die relative Widerstands¨anderung ergibt sich aus dem Quotienten der beiden Widerst¨ande im urspr¨ unglichen und gedehnten Zustand und Einsetzten letzter Gleichung.

ρ(l + Δl) A ΔR R + ΔR = · = = 1+ (A − ΔA) ρl R R     R+ΔR

1+

Δl l

2 ⇒

1/R

Δl ΔR ≈ 2· l R

Die relative Widerstands¨ anderung ΔR/R ist also doppelt so groß wie die Dehnung Δl/l. Dieses Ergebnis gilt aber nur dann, wenn der spezifische elektrische Widerstand unabh¨ angig von der Dehnung ist, was bei vielen Materialien gut erf¨ ullt ist. Manche Materialien, insbesondere Halbleiter, sind piezoresistiv, d.h. ihr spezifischer Widerstand ist zum Teil sehr stark von mechanischen Belastungen abh¨angig. Dadurch kann

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

17

die relative Widerstands¨ anderung 100–200 mal gr¨oßer sein als die L¨angen¨anderung. Ein typisches Layout eines DMS zeigt Abbildung 1.13b). Durch Fein¨atztechnik wird ein elektrischer Leiter, bestehend aus einer speziellen Legierung, strukturiert. Als Tr¨ agermaterial dient eine Kunststofffolie, die zur Durchf¨ uhrung von Messungen auf das zu untersuchende Teil (z.B. Flugzeugtragfl¨ache, Br¨ uckenkonstruktionsteil usw.) geklebt wird. Temperaturabh¨ angigkeit von Widerst¨ anden Der Widerstandswert eines elektrischen Widerstandes ¨andert sich im Allgemeinen mit der Temperatur. Aus der Beziehung (1.23) ist ersichtlich, dass in erster Linie die Temperaturabh¨ angigkeit des spezifischen Widerstandes Grund f¨ ur diese Widerstands¨anderung ist, da der thermische L¨ angenausdehnungskoeffizient im Vergleich vernachl¨assigbar klein ist. Ursachen f¨ ur die Temperaturabh¨ angigkeit des spezifischen Widerstandes sind ¨ • Anderung der Ladungstr¨ agerdichten np bzw. nn und ¨ • Anderung der Beweglichkeit. Abh¨ angig davon, welcher Effekt u ¨berwiegt, k¨onnen Widerst¨ande mit steigender Temperatur ihren Wert erh¨ ohen (Kaltleiter und PTC-Widerst¨ande) oder vermindern (Heißleiter und NTC-Widerst¨ ande). Kaltleiter und PTC-Widerst¨ ande (positive temperature coefficient): Kaltleiter haben bei niedrigen Temperaturen einen geringeren Widerstand als bei hohen. Ein Vergleich mit der Tabelle 1.4 auf Seite 12 zeigt, dass praktisch alle Metalle unter diese Kategorie fallen. Bei Metallen vemindert sich bei Erw¨armung die mittlere freie Wegl¨ange der Ladungstr¨ager, weil die Stoßwahrscheinlichkeit mit den sich schneller thermisch bewegenden Atomen zunimmt. Die Beweglichkeit sinkt. Diesen Effekt hat sicher schon jeder einmal selbst erlebt. Befinden sich viel Leute in einem Kaufhaus, die sich zudem noch schnell bewegen, kommt man selbst nur sehr langsam voran. Zusammenst¨oße sind praktisch unvermeidlich. Bewegen sich die Leute hingegen nicht oder nur sehr langsam, kann man sich viel leichter und schneller durch die Menschenmassen hindurchschl¨angeln, man ist beweglicher“. ” PTC-Widerst¨ande haben in einem bestimmten Temperaturbereich einen besonders hohen positiven Temperaturkoeffizienten. Sie bestehen aus polykristallinen Titanat-Keramiken wie BaTiO3 und SrTiO3 , die mit Metallsalzen dotiert (verunreinigt) werden. Abbildung 1.14 zeigt die Abh¨angigkeit des Widerstandswertes von der Temperatur. Bei niedriger Temperatur ist zun¨achst eine schwache Widerstandsabnahme festzustellen, weil sich die Ladungstr¨agerdichte erh¨oht. Ab der so genannten Sprungtemperatur erh¨oht sich der Widerstand im Vergleich zu Metallen allerdings wesentlich st¨arker. Ursache ist die Verringerung der Beweglichkeit durch Bilden von Sperrschichten an den Korngrenzen.

Heißleiter und NTC-Widerst¨ ande (negative temperature coefficient): Bei Heißleitern sinkt der elektrische Widerstand mit steigender Temperatur, wie z.B. bei Kohle (vgl. Abbildung 1.15).

18

1 Gleichstromlehre

R/Ω 10 4

PTC

10 3 Kaltleiter

10 2 10 1

Sprungtemperatur

10 0 0

100

200

ϑ/°C

Abb. 1.14: Temperaturverlauf von Kaltleitern und PTC-Widerst¨ anden

R/Ω 10 2

Heißleiter

10 1

NTC

10 0 0

100

200

ϑ/°C

Abb. 1.15: Temperaturverlauf von Heißleitern und NTC-Widerst¨ anden

Bei NTC-Widerst¨anden ist dieses Verhalten sehr stark ausgepr¨ agt. Sie bestehen aus Halbleitermaterialien, meist Metalloxiden wie MgCrO4 , Fe2 O3 , TiO2 oder NiO, bei denen durch Temperaturerh¨ohung zus¨atzliche freie Ladungtr¨ ager entstehen. Ihr Temperaturkoeffizient ist betragsm¨aßig etwa zehnmal gr¨ oßer als der von Metallwiderst¨ anden. Anwendungsbeispiel 1.8:

Temperaturabh¨ angige Widerst¨ ande

Temperaturabh¨angige Widerst¨ande finden unter anderem Anwendung als • Temperatursensoren, • zur Temperaturstabilisierung, • zur Temperaturkompensation und • zur Strombegrenzung.

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

19

Leistungsverbrauch Ohm’scher Widerst¨ ande Die in einem Ohm’schen Widerstand umgesetzte Leistung ergibt sich unmittelbar aus Gleichung (1.18) P = U · I = R · I2 =

U2 . R

(1.26)

Bei zeitabh¨angigen Strom- und Spannungsgr¨oßen gilt: p(t) = u(t) · i(t) = R · i(t)2 =

1.2.2

u(t)2 R

(1.27)

Kondensator

Schaltzeichen Ein Kondensator ist eine Anordnung aus zwei Leitern, die, durch einen Isolator getrennt, gleiche Ladung entgegengesetzten Vorzeichens tragen. Kondensatoren werden in Schaltungen durch die in Abbildung 1.16 gezeichneten Schaltzeichen dargestellt.

allgemein

variabel

Elektrolytkondensator

Abb. 1.16: H¨ aufig verwendete Schaltzeichen von Kondensatoren

Kapazit¨ at Das Speicherverm¨ ogen von Ladungstr¨ agern eines Kondensators wird in der Kapazit¨ at C=

Q U

[C] = F

(1.28)

ausgedr¨ uckt. Q ist der Betrag der auf einem Leiter gespeicherten Ladung und U die Spannung zwischen den Kondensatorplatten. Bei zeitlich ver¨ anderlichen Gr¨ oßen wird aus (1.28)

C=

q(t) . u(t)

(1.29)

Abbildung 1.17 zeigt zwei verschiedene Ausf¨ uhrungsformen, Plattenkondensator und Zylinderkondensator.

20

1 Gleichstromlehre

a)

b)

U

U -Q

+Q

A

+Q

l

-Q E

2ri

l

2r a

Abb. 1.17: a) Plattenkondensator; b) Zylinderkondensator

Kondensatorgleichungen Zur Berechnung von Schaltungen ben¨ otigt man die Strom-Spannungsbeziehung, die aus der mathematischen Ableitung von Gleichung (1.29) q(t) = C · u(t) ⇒ du(t) dC dq(t) ·u(t) + C · = i(t) = dt dt dt  =0

i(t) = C ·

du(t) dt

(1.30)

gewonnen wird. In einem geladenen Kondensator ist die Energie gespeichert, die als Arbeit zum Aufbau des elektrischen Feldes bzw. zur Ladungstrennung notwendig war. Tr¨ agt ein Kondensator die momentane Ladung q = C · u und vergr¨ oßert man diese um dq, ist dazu gem¨ aß Gleichung (1.6) die differentielle Arbeit dwe = u · dq =

q · dq C

zu verrichten. Wird ein ungeladener Kondensator q(t = 0) = 0 auf die Ladung q = Q aufgeladen, ist in ihm die elektrische Energie 

Q

We = q=0

gespeichert.

1 1 Q2 q = CU 2 · dq = 2 2 C C

(1.31)

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

21

Berechnung von Kapazit¨ aten Zur Berechnung der Kapazit¨ at einer gegebenen Anordnung, wie z.B. eines Plattenkondensators oder Zylinderkondensators (vgl. Abbildung 1.17), ben¨otigt man die erste Maxwell’sche Gleichung in integraler Form. Dieses fundamentale Gesetz kann aus der  bekannten Beziehung (1.4) zwischen dem elektrischen Feld E(r) und einer Punktladung Q im Abstand r 1 2 4πr   

 E(r) =

·

Q · er 0 r

(1.32)

Kugelober߬ ache

 und der Definition der dielektrischen Verschiebung D  = 0 r E  D

 = C/m2 [D]

(1.33)

abgeleitet werden. Setzt man Gleichung (1.33) in (1.32) ein, ergibt sich der Zusammen und der in einer geschlossenen Fl¨ hang zwischen der dielektrischen Verschiebung D ache, hier Kugeloberfl¨ ache AKugel , enthaltenen Ladung Q  D(r) =

1 er 2 ·Q· 4πr   

bzw.

 · AKugel = Q . |D|

(1.34)

AKugel

 ist neben E  ein weiterer elektrischer Feldvektor, der Die dielektrische Verschiebung D  im Gegensatz zu E unabh¨ angig vom Material ist. Befinden sich innerhalb einer geschlossenen Fl¨ache (H¨ ullfl¨ ache) mehrere Punktladungen (Q1 , Q2 , Q3 ), wie in Abbildung 1.18 skizziert, muss Gleichung (1.34) verallgemeinert werden und man erh¨ alt eine vereinfachte Darstellung der ersten Maxwell’schen Gleichung   · da = Qeing. (1.35) D AH

in integraler Form. ache (H¨ ullfl¨ ache, wie z.B. Kugeloberfl¨ ache) AH stellt hierbei eine in sich geschlossene Fl¨ dar. Die gew¨ahlte Form der H¨ ullfl¨ ache bei der Berechnung der dielektrischen Verschiebung h¨angt von der Aufgabenstellung ab. Die elektrische Spannung U zwischen den Kondensatorplatten berechnet sich aus der  entlang eines (beliebigen) Weges von einem Punkt Integration des elektrischen Feldes E P1 auf der positiv geladenen Platte zu einem Punkt P2 auf der negativ geladenen Platte. Damit kann die Kapazit¨ at einer beliebigen Anordnung aus der Feldberechnung   · da D Q AH =  P2 (1.36) C= U  · ds E P1

22

1 Gleichstromlehre

Hüllfläche A H Q1

Q4 Q3

Von der Hüllfläche eingeschlossene Ladung:

Q5

Q2

Q eing. = Q 1 +Q 2 +Q 3

Abb. 1.18: Punktladungen innerhalb und außerhalb einer (geschlossenen) H¨ ullfl¨ ache AH

ermittelt werden. Beispiel 1.9 Die Kapazit¨ at CP des in Abbildung 1.17 skizzierten Plattenkondensators ist zu berechnen. L¨ osung bei Vernachl¨ assigung von Randeffekten (Streukapazit¨ aten): Ein elektrisches Feld existiert nur zwischen den Kondensatorplatten, da sich außerhalb dieses Bereiches die Felder der positiven und negativen Platte destruktiv u oschen. Des Weiteren wird ein homogenes, elektrisches ¨berlagern und damit ausl¨ Feld zwischen den Platten vorausgesetzt. Daraus folgt: A  0 r E · A D·A Q =  0 r · = = CP = l E·l E·l U

1.2.3

Spule

Schaltzeichen Spulen sind Bauelemente, die in der Lage sind magnetische Energie zu speichern. Die gebr¨ auchlichsten Schaltzeichen sind in Abbildung 1.19 dargestellt.

allgemein

mit Kern

mit Abgriff

Abb. 1.19: H¨ aufig verwendete Schaltzeichen von Spulen

Selbstinduktionskoeffizient Zur Charakterisierung von unabh¨ angigen Spulen definiert man, ¨ ahnlich wie beim Kondensator die Kapazit¨ at C, den Selbstinduktionskoeffizienten L u ¨ber die Gleichung:

L=

w · Φ(t) i(t)

[L] = H

(1.37)

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

23

w steht f¨ ur die Windungszahl und Φ f¨ ur den magnetischen Fluss. Abbildung 1.20 zeigt verschiedene Ausf¨ uhrungsformen von Spulen. i

Φ

Φ i

u

u

l

mittlere Eisenlänge l m b) Zylinderspule mit Kern

a) Zylinderspule in Luft mit w=7 Windungen

Abb. 1.20: a) Zylinderspule in Luft; b) Spule mit Eisenkern

Mathematische Beschreibung Zur Herleitung der Strom-Spannungsbeziehung von Spulen wird das Induktionsgesetz ben¨ otigt. Abbildung 1.21 zeigt eine Leiterschleife, die vom magnetischen Fluss Φ durchdrungen ist. Das Induktionsgesetz u(t) = w ·

dΦ dt

(1.38)

liefert die zwischen den Anschlussklemmen induzierte Spannung bei Fluss¨ anderung. w gibt die Anzahl der Windungen an, bei einer einfachen Leiterschleife ist diese eins. ¨ Als Ursachen f¨ ur eine Anderung des magnetischen Flusses kommen in Frage: • Das Magnetfeld ist von außen eingepr¨ agt und ¨ andert sich. • Die Leiterschleife bewegt sich und taucht in ein Magnetfeld ein bzw. verl¨ asst es. • Das Magnetfeld wird durch einen eingepr¨ agten, zeitlich ver¨ anderlichen Stromfluss durch die Leiterschleife erzeugt (⇒ Selbstinduktion). Mit dem Induktionsgesetz (1.38) und der Definition des Selbstinduktionskoeffizienten (1.37) folgt die wichtige Strom-Spannungsbeziehung

u(t) = L ·

di(t) . dt

(1.39)

24

1 Gleichstromlehre

Φ i

A

u

B Abb. 1.21: Skizze zur Darstellung des Induktionsgesetzes

Zum Aufbau des magnetischen Feldes einer Spule ben¨otigt man Energie. Im Zeitintervall dt wird von außen die Energie dwm = u(t) · i(t) · dt zugef¨ uhrt. Mit Gleichung (1.39) wird daraus dwm = L · i · di . Die in der Spule gespeicherte magnetische Energie ergibt sich schließlich aus der Integration 

I

L · i · di =

Wm = i=0

1 2 LI 2

(1.40)

von einem energielosen Anfangszustand i = 0 bis zu einem Endwert i = I. Berechnung von Selbstinduktionskoeffizienten F¨ ur die Berechnung des Selbstinduktionskoeffizienten L einer Anordnung sind einige Grundbegriffe aus dem Gebiet des Elektromagnetismus n¨ otig. Im Rahmen dieses Buches wird lediglich auf die f¨ ur die Berechnung von Spulen relevanten Gesetze eingegangen.  Die magnetische Feldst¨ arke H Jeder stromdurchflossene Leiter baut um sich herum ein magnetisches Feld auf, das  beschrieben wird. Den einfachsten, in Abbildung durch die magnetische Feldst¨ arke H 1.22 skizzierten Fall, stellt ein unendlich langer, gerader Leiter dar, durch den ein konstanter Strom I fließt.

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

z

25

y

I

H r ϕ

H

eϕ

x  eines unendlich langen, geraden, stromdurchflossenen Abb. 1.22: Magnetische Feldst¨ arke H Leiters

Experimentielle Befunde liefern: • Die Feldlinien verlaufen auf konzentrischen Kreisen,  ∼ I, • |H|  ∼ 1/r, • |H|  • |H|(z) = konstant. Der Betrag der magnetischen Feldst¨ arke ist demnach auf einer Kreisbahn um den stromdurchflossenen Leiter konstant (vgl. Abbildung 1.22). Durch Hinzuf¨ ugen der Proportio1 erh¨alt man die magnetische Feldst¨ arke nalit¨atskonstante 2π

 = I · eϕ H 2πr

[H] =

A m

(1.41)

eines geraden, unendlich langen Leiters, die umgekehrt proportional zum Kreisumfang 2πr ist. Die Richtung von Strom und Magnetfeld legt die Rechte-Hand-Regel fest. Zeigt der Daumen der rechten Hand in Stromrichtung, geben die Finger den Umlaufsinn des Magnetfeldes an. Durchflutungsgesetz Befinden sich mehrere, beliebig geformte, stromdurchflossene Leitungen im Raum, u ¨berlagern sich die einzelnen Magnetfelder. Abbildung 1.23a) zeigt das resultierende Ma 2 , hervorgerufen  das sich aus der vektoriellen Addition der Felder H  1 und H gnetfeld H, durch die Str¨ ome I1 und I2 , ergibt. Abbildung 1.23b) veranschaulicht das Durchflutungsgesetz stromdurchflossener Leiter.  und den innerhalb eines Es beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Magnetfeld H

26

1 Gleichstromlehre

C

ds

C1

H1

H

I1 I2

I3

I1

H2

C2

I2

b)

a)

¨ Abb. 1.23: a) Uberlagerung magnetischer Felder; b) Durchflutungsgesetz: H  bzw. H · ds = I1 − I2

H C1

 · ds = I1 + I3 H

C2

geschlossenen Integrationsweges C1(2) eingeschlossenen Str¨ omen. Es gilt:  · ds = Ieing. H

(1.42)

C

Beispielsweise ergibt die Auswertung des Linienintegrals entlang der geschlossenen Kurve C1 die Summe der Str¨ome I1 +I3 , da sich der Leiter mit dem Stromfluss I2 außerhalb der H¨ ullkurve C1 befindet. Gesetz von Biot-Savart  unendlich lange, Bisher wurden bei der Berechnung der magnetischen Feldst¨ arke H gerade Leiter vorausgesetzt. Dieser Idealfall kommt in der Praxis nat¨ urlich nicht vor. Bei technischen Spulen ist der Leiter oftmals um einen Eisenkern gewickelt, wie in Abbildung 1.20b). Die Berechnung des Magnetfeldes f¨ ur beliebig geformte Leiter erfolgt am einfachsten mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart. Es beschreibt den Beitrag zum Magnetfeld, der in einem Punkt P vom Leitungsst¨ uck ds hervorgerufen wird (vgl. Abbildung 1.24). Es gilt:  = dH

I ds × dr · r3 4π

(1.43)

Auf die relativ aufwendige Herleitung des Gesetzes (1.43) wird im Rahmen dieses Buches verzichtet. Magnetische Flussdichte und Permeabilit¨ at  und D  definiert sind, In Anlehnung an die Elektrostatik, bei der die beiden Feldgr¨oßen E wird auch in der Magnetfeldlehre eine zweite Feldgr¨oße, die magnetische Flussdichte   = μ0 · μ r · H B

[B] = T

(1.44)

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

27

P

I

r

dH

α ds

Abb. 1.24: Gesetz von Biot-Savart

eingef¨ uhrt. Die Permeabilit¨ at eines Stoffes ist das Produkt aus der magnetischen Feldkonstante in Vakuum μ0 = 4π10−7

Vs Am

(1.45)

und der relativen Permeabilit¨at μr , die dimensionslos und materialabh¨ angig ist. Man unterscheidet verschiedene Materialien: • Diamagnetische Stoffe: μr < 1 (Beispiel: Wismut μr = 0, 999843); • paramagnetische Stoffe: μr > 1 (Beispiel: Aluminium μr = 1, 0000208); • ferromagnetische Stoffe: μr 1 (Beispiel: Eisen, Nickel, Kobalt), Wertebereich: 100 ≤ μr ≤ 300000. Oberhalb einer bestimmten Temperatur, der Curietemperatur, werden alle ferromagnetische Stoffe paramagnetisch. Grunds¨atzlich ist die relative Permeabilit¨ at μr bei  abh¨ ferromagnetischen Stoffen keine Konstante, sondern vom Magnetfeld H angig. Bei magnetisch weichen Materialien, wie z.B. Dynamoblechen, zeigt sich ein Kennlinienver (Abbildung 1.25a)). Bei magnetisch harten Materialien tritt Hysterese lauf μr = f (|H|) auf (Abbildung 1.25b)). Weitere Informationen zu diesem Thema findet der interessierte Leser in Physikb¨ uchern und Grundlagenb¨ uchern der Elektrotechnik [1], [3]. Magnetischer (Kraft-) Fluss Der magnetische (Kraft-) Fluss   · da B

Φ=

[Φ] = Wb

A

wird analog zum Stromfluss I als Fl¨achenintegral definiert.

(1.46)

28

1 Gleichstromlehre

a)

b) B

B Br

Sättigung

Sättigung

jungfräuliche Kurve -H c

Hc

H

H -B r

Abb. 1.25: Magnetische Flussdichte als Funktion der magnetischen Feldst¨ arke; a) magnetisch weiches Material; b) magnetisch hartes Material, Dauermagnetwerkstoffe (Hc : Koerzitivkraft, Br : Remanenz)

Zusammenfassend sind f¨ ur die Berechnung eines Selbstinduktionskoeffizienten folgende Schritte auszuf¨ uhren: 1) magnetische Feldst¨ arke als Funktion des Ortes und des Stromes berechnen (mittels des Gesetzes von Biot-Savart oder in speziellen F¨ allen mit dem Durchflutungsgesetz), 2) magnetische Feldst¨ arke mittels Gleichung (1.44) in magnetische Flussdichte umrechnen, 3) magnetischen Fluss aus der Fl¨ achenintegration (1.46) berechnen, 4) Selbstinduktionskoeffizienten aus Definitionsgleichung (1.37) bestimmen.

Beispiel 1.10:

Magnetischer Kreis

Anordnungen, bei denen die magnetischen Feldlinien vorwiegend in ferromagnetischen Stoffen wie z.B. Eisen verlaufen, bilden einen magnetischen Kreis. Ein Beispiel hierf¨ ur zeigt Abbildung 1.20b). Ein elektrischer Leiter ist viermal (w = 4) um einen Eisenkern gewickelt. Zu berechnen ist der Selbstinduktionskoeffizient L der Anordnung. L¨ osung mit folgenden N¨ aherungen: - Alle Feldlinien verlaufen im Eisen (umso besser, je gr¨ oßer μr des Eisenkerns). - Das magnetische Feld im Eisen ist homogen.

 · ds = Ieing. ⇒ H · lm = w · i ⇒ H = w · i ; H lm C stellt die mittlere Eisenl¨ ange dar (= Integrationsweg, Abbildung 1.20b))

1) Durchflutungsgesetz:

lm

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

2) B = μ0 · μr · H

29



 · da ⇒ Φ = A · B = A · μ0 · μr · w · i ; B lm A A ist die Querschnittsfl¨ ache des Eisenringes.

3) Magnetischer Fluss: Φ =

4) Selbstinduktionskoeffizient: L =

L=

1.2.4

w 2 · A · μ0 · μ r lm

w · A · μ0 · μr · w · i w·Φ ⇒ = i · lm i

Verkopplung von Spulen

Befinden sich zwei oder mehrere unabh¨ angige Spulen in unmittelbarer Umgebung zueinander, u ¨berlagern sich die magnetischen Feldlinien, und es kommt zu einer Verkopplung der magnetischen Fl¨ usse. Dies wird beim Transformator (vgl. Kapitel 2) technisch genutzt. Abbildung 1.26 zeigt die Verkopplung der magnetischen Fl¨ usse zweier benachbarter Leiterschleifen.

Φ 12

Φ 1S Φ

i1 (t) u 1 (t)

Φ 21 i2 (t)

2S

Φ 11

Φ 22

u 2 (t)

Abb. 1.26: Verkopplung der magnetischen Fl¨ usse zweier Leiterschleifen

Leiterschleife 1 wird von den magnetischen Fl¨ ussen Φ11 = Φ12 + Φ1S Φ21 = Φ22 − Φ2S

und (1.47)

durchdrungen. Analog dazu wird Leiterschleife 2 von Φ22 = Φ21 + Φ2S Φ12 = Φ11 − Φ1S

und

durchflossen. Dabei bedeuten: • Φ11 : magnetischer Fluss durch Spule 1 erzeugt vom Strom i1 ;

(1.48)

30

1 Gleichstromlehre

• Φ12 : magnetischer Fluss durch Spule 2 erzeugt vom Strom i1 ; • Φ1S : gestreuter magnetischer Fluss erzeugt vom Strom i1 ; • Φ22 : magnetischer Fluss durch Spule 2 erzeugt vom Strom i2 ; • Φ21 : magnetischer Fluss durch Spule 1 erzeugt vom Strom i2 ; • Φ2S : gestreuter magnetischer Fluss erzeugt vom Strom i2 . Das Induktionsgesetz (1.38) liefert zusammen mit den Gleichungen (1.47) und (1.48) sowie den Windungszahlen w1 und w2 der Leiterschleifen (im skizzierten Fall w1 = 1 und w2 = 1)

dΦ21 dΦ11 und + w1 dt dt dΦ12 dΦ22 . + w2 u2 (t) = w2 dt dt

u1 (t) = w1

(1.49)

Man definiert den prim¨ aren und sekund¨ aren Selbstinduktionskoeffizienten w1 Φ11 i1 w2 Φ22 = L2 = i2

L11 = L1 =

Selbstinduktionskoeffizienten der Spule 1 ,

L22

Selbstinduktionskoeffizienten der Spule 2

(1.50)

sowie die Gegeninduktionskoeffizienten w2 Φ12 und i1 w1 Φ21 . = M= i2

L12 = M =

L21

(1.51)

Mit dem Energieerhaltungssatz der Physik l¨ asst sich beweisen, dass beide Gegeninduktionskoeffizienten den gleichen Wert haben. Daher ist es gebr¨ auchlich, das gemeinsame Formelzeichen M mit M = L12 = L21 zu verwenden. Den Grad der Verkopplung zweier Spulen gibt der Kopplungsfaktor √ M L12 · L21 (1.52) =√ k= √ L1 · L2 L1 · L2

an. Der Kopplungsfaktor

(w2 Φ12 /i1 )(w1 Φ21 /i2 ) L12 · L21 = (w1 Φ11 /i1 )(w2 Φ22 /i2 ) L1 · L2 Φ12 Φ21 Φ12 Φ21 = = (Φ12 + Φ1S )(Φ21 + Φ2S ) Φ11 Φ22

k2 =

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

31

ist eins (k = 1), wenn die Streufl¨ usse Φ1S und Φ2S null sind. In diesem Fall liegt 100%ige Kopplung vor. Der Kopplungsfaktor ist null, wenn die verkoppelten Fl¨ usse Φ12 bzw. Φ21 null sind, d.h. die magnetischen Felder der einzelnen Spulen sich nicht u ¨berlagern. H¨ aufig findet man auch den Begriff des Streufaktors σ = 1 − k2 .

(1.53)

Setzt man die Gleichungss¨ atze (1.50) und (1.51) in Gleichung (1.49) ein, ergeben sich die Transformatorgleichungen

di2 (t) di1 (t) +M dt dt . di2 (t) di1 (t) + L2 u2 (t) = M dt dt

u1 (t) = L1

(1.54)

Alle Str¨ ome und Spannungen sind so zu w¨ahlen, dass es zu einer positiven (konstruk¨ tiven) Uberlagerung der magnetischen Fl¨ usse kommt. In Schaltungen werden nicht immer die Z¨ ahlerpfeile f¨ ur Spannung und Strom angegeben, sondern der Wicklungssinn der Spulen durch einen Markierungspunkt gekennzeichnet (vgl. Abbildung 1.27). Fließt der Strom in das mit dem Punkt gekennzeichnete Wicklungsende beider Spulen hinein, u usse konstruktiv (Str¨ ome und Spannungen werden ¨berlagern sich die magnetischen Fl¨ ¨ positiv gez¨ ahlt), andernfalls destruktiv. Im Falle einer destruktiven Uberlagerung (vgl. untere Abbildung 1.27) ist die Spannung und der Strom eines Klemmenpaares negativ zu z¨ ahlen! Die Transformator-Gleichungen lauten dann

d(−i2 (t)) di1 (t) +M dt dt d(−i2 (t)) di1 (t) + L2 −u2 (t) = M dt dt u1 (t) = L1

1.2.5

und

bei destruktiven magnetischen Fl¨ ussen.

Nichtlineare Bauelemente

Neben den bereits besprochenen Basisbauelementen Widerstand, Kondensator und Spule gibt es eine große Anzahl von elektronischen (Halbleiter-) Bauelementen, die eine nichtlineare Strom-Spannungsbeziehung aufweisen. Abbildung 1.28 zeigt die I-U Kennlinie einer Diode und das Ausgangskennlinienfeld eines N-Typ MOS-Transistors (MOS = metal oxide semiconductor).

Formale Beschreibung nichtlinearer Bauelemente Die mathematische Beschreibung nichtlinearer Bauelemente h¨ angt vom Betrieb in der Schaltung ab.

32

1 Gleichstromlehre

i1

i2

u1

i1

u2

i1

u2

u1

i2

u1

i1

u2

i2

u1

i2 u2

Abb. 1.27: Schaltzeichen gekoppelter Spulen

Beschreibung um einen Arbeitspunkt, Kleinsignalverhalten Das elektronische Bauelement wird in der Schaltung nur kleinsignalm¨ aßig ausgesteuert, d.h. Strom und Spannung a¨ndern sich nur geringf¨ ugig. Dies l¨ asst sich, wie in Abbil¨ dung 1.29 angedeutet, durch Uberlagerung einer Konstantspannungsquelle und einer Wechselquelle geringer Spannungsamplitude bewerkstelligen. Liegt die konstante Spannung u = UAP an einem nichtlinearen Bauelement, fließt der Strom IAP . Der Punkt (UAP ,IAP ) wird Arbeitspunkt, der Quotient Rstat =

UAP IAP

(1.55)

statischer Widerstand oder Gleichstromwiderstand genannt. Der statische Widerstand l¨asst sich auch so interpretieren: Ersetzte man den nichtlinearen Widerstand durch einen linearen Widerstand, m¨ usste dieser den Wert Rstat aufweisen, damit ein gleich großer Strom im Arbeitspunkt fließt. Der Konstantspannung wird nun eine Wechselspannung u ¨berlagert, d.h. die Spannung ugig um den Betrag ΔU ge¨ andert. Gesucht ist die resultierende StromUAP wird geringf¨ ¨anderung ΔI. Es darf nun nicht ΔI = ΔU/Rstat gerechnet werden, da sonst die nichtlinearen Eigenschaften vollkommen unber¨ ucksichtigt blieben. Stattdessen muss im Arbeitspunkt mit der Steigungsgeraden, dem so genannten differentiellen oder dynamischen Leitwert, gerechnet werden. Der differentielle Leitwert bzw. Widerstand ergibt sich aus der ersten Ableitung

dU

dI

. (1.56) bzw. Rdif f = Gdif f = dI I=IAP dU U =UAP

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

33 Gate (G)

Anode (A)

Kathode (K)

Source (S)

Drain (D) Bulk (B)

NMOS-Transistor

Diode

-2

1

-1

1

I DS / mA

2

Durchlassbereich

AK

/ mA

3 -3

I

Sperrbereich

Widerstandsbereich

7 6 5 4

U GS

3 2 1 0 0

U AK / V

a)

Sättigung

1

2

3

U DS / V

b)

Abb. 1.28: a) I-U -Kennlinien einer Diode; b) Ausgangskennlinienfeld eines NMOSTransistors

Beispiel 1.11 Ein nichtlinearer Widerstand sei durch die Funktion U = a · I + b · I 2 mit den Koeffizienten a = 1V/mA und b = 0, 1V/mA2 beschrieben. Zu berechnen ist jeweils der statische und der differentielle Widerstand in den Punkten IAP = 1mA, IAP = 2mA, IAP = 5mA und IAP = 10mA. Welcher prozentuale Spannungsfehler ergibt sich f¨ ur die Linearisierung bei Variation des Stromes um ΔI = 0, 01mA und ΔI = 0, 1mA im Arbeitspunkt IAP = 2mA? L¨ osung:

dU

UAP = a + 2bIAP . = a + bIAP ; Rdif f = Es gilt: Rstat = dI I=IAP IAP Es ergeben sich folgende Widerst¨ ande: Rstat (I = 1mA) = 1, 1kΩ, Rdif f (I = 1mA) = 1, 2kΩ, Rstat (I = 2mA) = 1, 2kΩ, Rdif f (I = 2mA) = 1, 4kΩ, Rstat (I = 5mA) = 1, 5kΩ, Rdif f (I = 5mA) = 2, 0kΩ, Rstat (I = 10mA) = 2, 0kΩ, Rdif f (I = 10mA) = 3, 0kΩ. Die prozentuale Abweichung betr¨ agt f¨ ur ΔI = +0, 01mA: Exakter Wert: U = 1V/mA · 2, 01mA + 0, 1V/mA2 · (2, 01mA)2 = 2, 41401V. Gen¨aherter Wert: U = UAP + Rdif f · ΔI = 2, 4V + 1, 4kΩ · 0, 01mA = 2, 414V. Der prozentuale Fehler betr¨ agt 0,0004142%.

34

1 Gleichstromlehre

u(t) U

I

t

u(t)

Steigungsgerade am Arbeitspunkt

Arbeitspunkt

U AP +u (t)

U AP

IAP

u

I U

U AP

t

U AP

U

Abb. 1.29: Mathematische Beschreibung nichtlinearer Widerst¨ ande

Analog dazu ergibt sich ein prozentualer Fehler bei einer Gesamtaussteuerung um ΔI = +0, 1mA von 0,03937%. Erkenntnis: Der Fehler ist umso geringer, je kleiner die Aussteuerung um den Arbeitspunkt ist.

Beschreibung des Großsignalverhaltens Wird ein nichtlineares Bauelement großsignalm¨ aßig ausgesteuert, d.h. ¨ andern sich Strom und Spannung in einem weiten Bereich, muss der gesamte Kennlinienverlauf mathema¨ tisch geschlossen dargestellt werden. Dies ist z.B. bei digitalen Schaltungen beim Ubergang von einer logischen 0“ auf eine logische 1“ und bei Schaltvorg¨ angen der Fall. ” ” Folgende Ans¨ atze sind gebr¨ auchlich: • N¨ aherung durch Geradenst¨ ucke: Der nichtlineare Kennlinienverlauf wird im gesamten Spannungsbereich durch mehrere differentielle Widerst¨ ande (oder Leitwerte) an geeigneten Arbeitspunkten beschrieben. Zu beachten ist dabei, dass an den Bereichsgrenzen, also beim ¨ Ubergang benachbarter Geraden, Stetigkeit herrscht. Unvermeidbar ist jedoch die ¨ Unstetigkeit der ersten Ableitung an den Ubergangsstellen. • N¨ aherung durch Polynomfunktionen: F¨ ur den Einsatz in Netzwerkanalyseprogrammen werden nichtlineare Bauelemente h¨ aufig durch analytische, parametrisierte Funktionen, wie z.B. Polynomfunktionen, charakterisiert. Diese sind im Allgemeinen stetig und differenzierbar. Im obigen Beispiel wurde eine solche Funktion (U = a · I + b · I 2 ) mit den Parametern a und b verwendet.

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

1.2.6

35

Elektrische Quellen

Als elektrische Quellen werden Anordnungen bezeichnet, in denen Ladungen entgegen ihres elektrischen Feldes und der damit verbundenen Kraft getrennt werden. Innerhalb einer Quelle fließen positive Ladungen vom Minuspol zum Pluspol und neutralisieren so die von der ¨ außeren Beschaltung heranfließenden Elektronen. Um den Strom entgegen der Potentialdifferenz in der Quelle aufrecht zu erhalten, ist Energie bzw. eine Kraft auf die Ladungstr¨ ager nichtelektrischer Natur notwendig. Einige der wichtigsten Kr¨afte, die in elektrischen Quellen wirken, sind: • Magnetische Kraft: Bewegt sich ein Ladungstr¨ ager mit der Ladung q und der Geschwindigkeit v in  (Lorenzkraft). Ladungseinem Magnetfeld, wirkt auf ihn die Kraft F = q · v × B tr¨ ager unterschiedlicher Polarit¨ at werden in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt, es kommt zur Ladungstrennung. Dieser Mechanismus findet Anwendung in Wechselstromgeneratoren (Erzeugung elektrischer Energie in Kraftwerken) und MHD-Generatoren (Magnetohydrodynamischer Generator). • Chemische Kraft: Ber¨ uhren sich zwei Materialien mit unterschiedlicher Ladungstr¨agerkonzentration, kommt es an der Kontaktstelle aufgrund der thermischen Bewegung der Teilchen zum Ladungstr¨ ageraustausch. Im Mittel wandern mehr Ladungstr¨ager vom Material mit der h¨ oheren Ladungstr¨ agerkonzentration zum Material mit der niedrigeren Ladungstr¨ agerkonzentration. Dies f¨ uhrt zur Ladungstrennung und an der Grenzschicht zu einer Potentialdifferenz. Taucht ein Metall in einen Elektrolyten, so stellt sich eine Spannung ein, deren Gr¨ oße stoffabh¨ angig ist. Zwischen zwei verschiedenen, in die Fl¨ ussigkeit getauchten Metallen muss also die Differenz zweier Spannungen entstehen, die sich aus der Stellung der Metalle in der elektrochemischen Spannungsreihe ergibt (vgl. Tabelle 1.5).

Au 1,4

Hg 0,86

Ag 0,80

Cu 0,34

H 0,0

Pb -0,13

Ni -0,24

Cd -0,40

Fe -0,44

Zn -0,76

Mg -2,34

Li -3,02

Tabelle 1.5: Elektrochemische Spannungsreihe (U /V) [1]

Galvanische Elemente bestehen im Allgemeinen aus zwei Elektroden und einem Elektrolyten. Sie werden bez¨ uglich ihrer Regenerierbarkeit eingeteilt in: – Prim¨arelemente: Elektrolyt und Elektroden werden chemisch irreversibel umgewandelt, eine Aufladung ist nicht mehr m¨oglich (z.B. Taschenlampenbatterie). – Sekund¨arelemente: In Akkumulatoren ist die chemische Umwandlung umkehrbar. Solche Elemente lassen sich wieder aufladen (z.B. Autobatterie). Als Beispiel ist die chemische Reaktion eines Bleiakkumulators angegeben.

PbO2 +2H2 SO4 + Pb +2H2 0  2PbSO       4 Anode/Kathode

Anode

Kathode

36

1 Gleichstromlehre

– Brennstoffzellen: Der Mechanismus ist zwar irreversibel, die Reaktionsprodukte k¨ onnen aber kontinuierlich aus getrennten Vorratsbeh¨alter nachgeliefert werden (z.B. H2 und O2 verbrennt zu H2 O). • Mechanische Kraft: Beispiel: Van-de-Graaff-Generator (Bandgenerator) zur Erzeugung sehr hoher Spannungen f¨ ur physikalische Experimente. • Thermische Kraft: Die thermischen Schwingungen der Elektronen steigen mit der Temperatur. Erw¨ armt man einen Leiter an einem Ende, bewegen sich dort die Elektronen relativ stark in alle Richtungen. Am kalten Ende ist die Schwingungsweite der Elektronen erheblich geringer. Im Mittel befinden sich daher mehr Elektronen im kalten Bereich als im warmen. Die dadurch entstandene elektrische Spannung ist n¨ ahungsweise proportional zur Temperaturdifferenz Theiß − Tkalt und kann mit dem Seebeck-Koeffizienten k mittels Uhk = k · (Theiß − Tkalt ) berechnet werden. Der Seebeck-Effekt wird in Thermoelementen genutzt, indem zwei verschiedene Materialien mit unterschiedlichen Koeffizienten k1 und k2 an je einem Ende in Kontakt gebracht werden. Befindet sich die Verbingungsstelle in der w¨armeren Umgebung, kann die Spannungsdifferenz Ud = (k1 − k2 ) · (Theiß − Tkalt ) zwischen den nicht verbundenen kalten Enden gemessen werden. Anwendung: Temperaturmessung, Infrarotsensor, Isotopenbatterie (bis ca. 100kW). Spannungsquellen Ideale Spannungsquelle Ideale Spannungsquellen liefern unabh¨ angig von ihrer Belastung eine konstante Spannung, die Quellenspannung Uq . Sind Strom und Spannung gem¨aß des Z¨ahlpfeilsystems in Abbildung 1.30a) positiv, gibt die Quelle Leistung ab, ist also aktiv. Fließt der Strom in die Quelle (Strom negativ), nimmt die Quelle Leitung auf. Bei Leistungsabgabe ist der Stromfluss I = Uq /R abh¨angig vom Widerstandswert des Verbrauchers. Es ist offensichtlich, dass bei Kurzschluss die Quellenspannung Uq nicht an den ¨ außeren Klemmen auftreten kann, da dies zu einem unendlich hohen Stromfluss und unendlich hoher Leistungsabgabe f¨ uhren w¨ urde. Daher lassen sich ideale Span¨ nungsquellen nur bis zu einem Grenzstrom betreiben. Bei Uberschreitung bricht die Spannung sehr schnell zusammen. Reale, lineare Spannungsquelle In den meisten F¨ allen lassen sich reale Spannungsquellen durch einen konstanten Innenwiderstand Ri , wie in Abbildung 1.30b) skizziert, beschreiben. Die Spannungsquelle liefert zwar immer die Quellenspannung Uq , bei Stromfluss I > 0 f¨allt jedoch ein Teil der Spannung Ui = Ri · I am Innenwiderstand Ri der Quelle ab. Die restliche Spannung U = Uq − U i = U q − R i · I

(1.57)

steht dem Verbraucher zur Verf¨ ugung. Bei Kurzschluss ist die ¨ außere Spannung U = 0. Setzt man diese Bedingung in (1.57)

1.2 Elektrische Schaltungskomponenten

37

Ui

I

U

R

U

Uq

R

R

Ri

Uq

0

U

I

R

U

R

Uq

Uq

R

I a)

Ik

0

I

b)

Abb. 1.30: Ersatzschaltbild und U -I-Kennlinie: a) ideale Spannungsquelle; b) lineare Spannungsquelle

ein, ergibt sich der Kurzschlussstrom Ik =

Uq . Ri

(1.58)

Bei ausgangsseitigem Leerlauf (I = 0) tritt die gesamte Quellenspannung an den ¨außeren Klemmen auf (U = Uq ). Es ergibt sich die in Abbildung 1.30b) skizzierte, charakteristische, lineare U -I-Kennlinie. Stromquellen Ideale Stromquelle Ideale Stromquellen liefern einen konstanten Quellenstrom Iq , der unabh¨angig von der Beschaltung aus einer Anschlussklemme austritt und u ¨ber die Beschaltung durch die andere Klemme wieder zur¨ uckfließt. Sind Strom und Spannung gem¨aß des in Abbildung 1.31 gezeichneten Z¨ ahlerpfeilsystems positiv, handelt es sich um einen aktiven Zweipol (Erzeuger). Ist die Spannung negativ, so wirkt die Quelle als passiver Zweipol und nimmt Leistung auf. Wie bei einer idealen Spannungsquelle kann eine ideale Stromquelle nur bis zu einer Grenzspannung betrieben werden. Andernfalls w¨ urde im Extremfall, bei Leerlauf (R → ∞), eine (theoretisch) unendlich hohe Spannung und damit ein unendlich hoher Leistungsverbrauch entstehen.

38

1 Gleichstromlehre

I

I

Iq

Ii

Iq

R

U

Ri

R

U

U

U

R

R

R i . Iq

R

R

0

I

Iq

Iq

0

I

b)

a)

Abb. 1.31: Ersatzschaltbild und U -I-Kennlinie: a) ideale Stromquelle; b) lineare Stromquelle

Reale, lineare Stromquelle Lineare, verlustbehaftete Quellen lassen sich durch Ber¨ ucksichtigung ihres Innenwiderstandes Ri beschreiben. Bei Stromquellen liegt dieser parallel zur Quelle, sodass der Quellenstrom Iq selbst bei offenen Klemmen fließen kann. Es ergibt sich die Leerlaufspannung (R → ∞) U l = R i · Iq .

(1.59)

Bei Kurzschluss fließt der gesamte Strom Iq durch die Anschlussklemmen. Dann gilt I = Iq . Schaltet man an die Klemmen einer realen Stromquelle einen Widerstand R, teilt sich der Strom Iq in die beiden Anteile Ii und I durch den Innenwiderstand der Quelle und den ¨ außeren Widerstand R auf. Der U -I-Kennlinienverlauf kann mittels U = Ri · Ii = Ri · (Iq − I) = Ri Iq − Ri I = Ul − Ri · I

(1.60)

berechnet werden. Es ergibt sich die gleiche charakteristische U -I-Kennlinie wie bei realen Spannungsquellen. Die Ersatzschaltungen einer linearen Quelle durch eine Spannungs- oder Stromquelle sind bez¨ uglich ihres Verhaltens an den Klemmen gleichwertig. Beide Typen k¨ onnen durch Gleichsetzen von U l = Uq

bzw.

Ik = Iq

ineinander umgerechnet werden.

(1.61)

1.3 Berechnung von Netzwerken

39

Beispiel 1.12 Gegeben ist eine reale, lineare Spannungsquelle mit den Daten Uq = 5V sowie Ri = 10Ω. Gesucht ist die ¨ aquivalente Darstellung durch eine reale Stromquelle. L¨osung: Uq = 0, 5A Ri Der Innenwiderstand der Stromquelle entspricht dem Innenwiderstand der Spannungsquelle; ⇒ Ri = 10Ω.

Iq = I k =

1.3

Berechnung von Netzwerken

In diesem Abschnitt werden Methoden und Gesetze zur Berechnung von Schaltungen vorgestellt. Um die Wirkungsweise komplexer Netzwerke besser zu verstehen und eine gezielte Optimierung bestimmter Eigenschaften bei der Entwicklung durchf¨ uhren zu k¨onnen, ist es sinnvoll Teilschaltungen zusammenzufassen bzw. zu vereinfachen. Da¨ zu werden verschiedene Verfahren, wie das Helmholtz’sche Uberlagerungsprinzip, die Zweipolersatzschaltung sowie die Zusammenfassung von parallel und in Reihe geschalteter Komponenten, beschrieben. Weiterer Inhalt sind die Begriffe Wirkungsgrad und Leistungsanpassung.

1.3.1

Z¨ahlpfeilsystem

Elektrische Stromkreise bestehen im Allgemeinen aus aktiven Elementen (Erzeuger), das sind Quellen, bei denen nichtelektrische Energie in elektrische Energie umgewandelt wird, und passiven Komponenten (Verbraucher), wie Widerst¨ande, die elektrische Energie meist in nichtelektrische Energieformen (z.B. W¨arme) umformen. Es gibt auch Bauelemente, die sich in einem Zeitintervall als Quelle, in einem anderen Zeitraum jedoch wie Verbraucher verhalten. Beispiel hierf¨ ur sind aufladbare Batterien (Akkumulatoren). Woran erkennt man nun, ob es sich bei einem Element in einer Schaltung um einen Erzeuger oder um einen Verbraucher handelt? Zur Kl¨arung dieser Frage muss die Richtung von Strom und Spannung bekannt sein. • Haben Strom und Spannung dieselbe Richtung, fliegt also ein positiver Ladungstr¨ager vom h¨ oheren Potential zum niedrigeren, handelt es sich um einen Verbraucher. Das Produkt aus Spannung und Strom ist gr¨oßer null (u · i > 0), d.h. elektrische Leistung wird verbraucht. • Ist der Strom der Spannung entgegengesetzt, liegt ein aktives Element, also ein Erzeuger vor. Es gilt u · i < 0, elektrische Leistung wird abgegeben. Dementsprechend unterscheidet man zwischen dem in Abbildung 1.32 skizzierten Erzeuger- und Verbraucher-Z¨ ahlpfeilsystem. Bei der Berechnung von Schaltungen ist in der Regel anfangs noch nicht bekannt, welche Richtung Spannungen und Str¨ ome haben. Daher wird f¨ ur jede Gr¨oße (Spannung und

40

1 Gleichstromlehre

I >0

Verbraucher-Zählpfeil-System (VZS)

i

u

Ladegerät

i

u

U

u i > 0: Leistungsaufnahme

VZS (Batterie wird geladen)

I >0

Erzeuger-Zählpfeil-System (EZS)

i

u

u i < 0:

Widerstand R

i

u

EZS (Laden der Batterie)

U

Leistungsabgabe

EZS (Batterie gibt Leistung ab)

VZS (R verbraucht Leistung)

Abb. 1.32: Verbraucher- und Erzeuger-Z¨ ahlpfeilsystem

Strom) ein Z¨ ahlpfeil vergeben. Die Pfeilrichtung ist grunds¨ atzlich beliebig, sie gibt nur an, in welcher Richtung Spannung oder Strom positiv gez¨ ahlt werden. Es ist demnach auch m¨oglich, einem rein passiven Bauelement wie einem Widerstand ein ErzeugerPfeilsystem zuzuordnen. Allerdings ¨ andert sich dann auch das Vorzeichen in den Elementgesetzen (vgl. Abbildung 1.33).

i

i

u

i

u

u=Ri

u = L di /dt

u

u

u=-Ri

i

u = - L di /dt

u i

i = C du /dt

u i

i = - C du /dt

Abb. 1.33: Elementgesetze im Verbraucher- (oben) und Erzeuger-Z¨ ahlpfeilsystem (unten)

Die Schaltungsberechnung liefert f¨ ur alle Gr¨oßen vorzeichenbehaftete Ergebnisse. Erst aus diesem Vorzeichen kann die tats¨achliche Richtung einer Spannung oder eines Stromes bestimmt werden.

1.3 Berechnung von Netzwerken

41

• Ist das Ergebnis positiv, stimmt die tats¨achliche Richtung mit der Z¨ahlpfeilrichtung u ¨berein. • Ist das Ergebnis negativ, ist die tats¨ achliche Richtung der Z¨ahlpfeilrichtung entgegengesetzt. Zur vollst¨ andigen Festlegung einer Schaltungsgr¨oße geh¨oren also immer die Richtung des Z¨ ahlpfeils und der vorzeichenbehaftete Wert.

1.3.2

Kirchhoff’sche Gleichungen

Die Elementgesetze, wie z.B. das Ohm’sche Gesetz eines linearen Widerstandes, beschreiben die Strom-Spannungsbeziehung von aktiven und passiven Bauelementen. Die Kirchhoff’schen Gesetze, Knotenpunktsatz und Maschensatz, beziehen sich auf die Struktur von Schaltungen (elektrischen Netzwerken). Beide S¨atze gelten f¨ ur Gleich- und Wechselspannung gleichermaßen und unabh¨angig davon, ob lineare oder nichtlineare Komponenten verwendet werden. Knotenpunktsatz Der Knotenpunktsatz basiert auf dem Prinzip der Ladungserhaltung, d.h. in Leitern und deren Verbindungsstellen gehen weder Ladungstr¨ager verloren noch werden neue erzeugt. Zur Herleitung betrachtet man einen Kreuzungspunkt (Knotenpunkt) eines Netzwerkes und z¨ ahlt die Ladungszu- bzw. Ladungsabfl¨ usse durch eine geschlossene H¨ ullfl¨ ache (in Abbildung 1.34a) gestrichelt angedeutet).

I2

Hüllfläche 1 (Knoten)

I3

I1

geschlossene Hüllfläche A H

I4

I 1 =dQ 1/dt

I2

I3

I4

U

I5 Hüllfläche 2 (Superknoten)

a) Abb. 1.34: Veranschaulichung des Knotenpunktsatzes

b)

42

1 Gleichstromlehre

Nach dem Ladungserhaltungssatz bleibt die Ladung innerhalb der H¨ ullfl¨ache konstant, es muss also gelten: 5 5   dQn = In = 0 dt n=1 n=1

Bei der Aufstellung einer Knotenpunktgleichung ist wie folgt vorzugehen: • Z¨ahlpfeile der Leiterstr¨ ome (Zweigstr¨ome) festlegen. • An Knotenpunkten gilt dann: – Zufließende Str¨ ome positiv, abfließende Str¨ome negativ z¨ahlen ⇒ I1 − I 2 − I 3 + I 4 − I 5 = 0 – oder umgekehrt ⇒ −I1 + I2 + I3 − I4 + I5 = 0 – oder Summe der zufließenden Str¨ome gleich Summe der abfließenden Str¨ome ⇒ I1 + I 4 = I 2 + I 3 + I 5 . An Stelle eines einzelnen Knotens kann die H¨ ullfl¨ache eine ganze Teilschaltung beinhalten (vgl. Abbildung 1.34b) H¨ ullfl¨ ache 2). Auch in diesem Fall muss die Summe aller Ladungen in dieser H¨ ulle konstant bleiben und damit die erste Ableitung (= Summe aller Str¨ome) gleich null sein und das zu jedem beliebigen Zeitpunkt t. Zusammenfassend lautet der Kirchhoff’sche Knotenpunktsatz: k 

In = 0

k = Anzahl der Str¨ome eines Knotens

(1.62)

n=1

oder bei zeitabh¨ angigen Str¨ omen k 

in (t) = 0

k = Anzahl der Str¨ome eines Knotens.

(1.63)

n=1

Beispiel 1.13 Die Knotenpunktgleichung f¨ ur die skizzierten H¨ ullfl¨achen 1 und 2 der Schaltung in Abbildung 1.34b) sind aufzustellen. L¨ osung: Beide H¨ ullfl¨achen liefern die Gleichung I1 = I2 + I3 + I4 .

1.3 Berechnung von Netzwerken

R1

6V

10V

R4

R5

43

R2

3V

R3

R6

1V

R7

-10V

R8

-2V

Abb. 1.35: Berechnung von Spannung und Strom bei gegebenem Z¨ ahlpfeilsystem

Beispiel 1.14 In der abgebildeten Schaltung 1.35 sind alle Potentiale gegeben. Zu berechnen sind alle Spannungen und Str¨ome bez¨ uglich des skizzierten Z¨ahlpfeilsystems. Gegeben: R1 = 1kΩ, R2 = 2kΩ, R3 = 2kΩ, R4 = 10kΩ L¨ osung: U1 = 4V, U2 = 3V, U3 = 2V, U4 = 20V, U5 = −8V, U6 = 5V, U7 = −3V, U8 = −8V I1 = U1 /R1 = 4mA, I2 = −U2 /R2 = −1, 5mA, I3 = U3 /R3 = 1mA, I4 = U4 /R4 = 2mA, I5 = I1 + I2 = 2, 5mA ⇒ R5 = −U5 /I5 = 3, 2kΩ, I6 = I2 + I3 = −0, 5mA ⇒ R6 = −U6 /I6 = 10kΩ, I7 = I3 = 1mA, ⇒ R7 = −U7 /I7 = 3kΩ, I8 = I5 − I6 + I7 = 4mA ⇒ R8 = −U8 /I8 = 2kΩ Maschensatz Als Masche wird jeder geschlossene Streckenzug von Maschenzweigen in einem Netzwerk in eine Richtung bezeichnet, wobei ein Maschenzweig die Verbindung zweier Knoten darstellt. Die Maschenzweige d¨ urfen beliebige Elemente (Quellen, Verbraucher) beinhalten. Abbildung 1.36a) zeigt die Masche M entlang der Knoten 1, 2, 3, 4, 5, 1. Der Kirchhoff’sche Maschensatz besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer Masche null ist U1 + U2 + U3 − U4 − Uq = 0 .

(1.64)

Beim Aufstellen einer Maschengleichung ist zu beachten, dass alle Spannungen positiv gez¨ ahlt werden, deren Z¨ahlpfeil mit dem Maschenumlaufsinn u ¨bereinstimmt, und alle Spannungen, deren Z¨ahlpfeil nicht in Richtung des Umlaufsinns gerichtet ist, negativ. Der Zahlenwert der Spannung kann dabei positiv oder negativ sein. Gleichung (1.64) l¨asst sich leicht beweisen, indem alle Spannungen durch die entspre-

44

1 Gleichstromlehre

U1

ϕ1

ϕ2 U3

U1 Uq

U2

M

ϕ4

ϕ5

Uq

U4

U5

U2

ϕ3

U4

U3

a)

b)

Abb. 1.36: Veranschaulichung des Kirchhoff ’schen Maschensatzes

chenden Potentialdifferenzen ϕ − ϕ + ϕ − ϕ + ϕ − ϕ − (ϕ − ϕ ) − (ϕ − ϕ ) = 0  1  2  2  3  3  4  5  4  1  5 U1

U3

U2

U4

Uq

ersetzt werden. Um Fehler beim Aufstellen von Maschengleichungen zu vermeiden, geht man am besten wie folgt vor: • Spannungs-Z¨ ahlpfeile in die Schaltung eintragen; • Umlaufsinn der Maschen festlegen; • vorzeichenrichtige Spannungssumme bilden: Spannung positiv z¨ ahlen, wenn Umlaufsinn = Z¨ahlpfeilrichtung, Spannung negativ z¨ ahlen, wenn Umlaufsinn = Z¨ahlpfeilrichtung. Der Kirchhoff’sche Maschensatz m 

Un = 0

m = Anzahl der Zweigspannungen einer Masche

(1.65)

n=1

oder bei zeitabh¨ angigen Spannungen m 

un (t) = 0

m = Anzahl der Zweigspannungen einer Masche (1.66)

n=1

gilt nicht nur f¨ ur Gleichspannungen, sondern auch f¨ ur zeitabh¨angige Spannungen.

1.3 Berechnung von Netzwerken

45

Beispiel 1.15 Man stelle alle Maschengleichungen der in Abbildung 1.36b) skizzierten Schaltung auf. Wie viele voneinander unabh¨ angige Maschen ergeben sich f¨ ur die Schaltung? L¨ osung: Innenmaschen: M1 : Uq − U2 − U1 = 0; M2 : U1 + U5 − U3 = 0; M3 : U2 − U4 − U5 = 0. Weitere Maschen: M4 : Uq − U4 − U5 − U1 = 0; M5 : Uq − U2 + U5 − U3 = 0; M6 : U1 + U2 − U4 − U3 = 0; M7 : Uq − U4 − U3 = 0. Es existieren genau drei unabh¨ angige Maschen. Alle anderen folgen aus diesen (z.B. M4 = M1 + M3 )!

1.3.3

Serien- und Parallelschaltung von Widerst ¨anden

Bei der Berechnung von elektrischen Netzwerken ist es oftmals hilfreich Teilschaltungen zu vereinfachen. Serienschaltung In Abbildung 1.37 sind n Ohm’sche Widerst¨ ande in Reihe bzw. Serie geschaltet. Durch alle Widerst¨ ande fließt derselbe Strom I, an den Widerst¨anden fallen die Teilspannungen U1 , U2 , ..., Un ab. Nach dem Maschensatz gilt U = U1 + U2 + ... + Un = I · (R1 + R2 + ... + Rn ) = I · Re . In vielen F¨ allen interessiert man sich nicht f¨ ur alle Teilspannungen, sodass die entsprechenden, in Serie liegenden Widerst¨ ande zu einem Ersatzwiderstand Re =

n 

Ri

n = Anzahl der in Serie liegenden Widerst¨ande

(1.67)

i=1

zusammengefasst werden k¨ onnen.

I U

U1

R1

U2 R2

U3 R3

I

Un ... Rn

I

Abb. 1.37: Serienschaltung von Ohm’schen Widerst¨ anden

Eine Anwendung von in Serie geschalteten Widerst¨ anden ist die Spannungsteilung. Eine beliebige Teilspannung Ui l¨ asst sich sehr einfach durch die Spannungsteilerformel

Ri I · Ri Ui = = Re I · Re U

berechnen.

(1.68)

46

1 Gleichstromlehre

Parallelschaltung Bei der Parallelschaltung sind alle Widerst¨ande je an einem Anschluss miteinander verbunden. Abbildung 1.38 zeigt n parallel geschaltete, lineare Widerst¨ande. Knotenpunkt

I I1 U

R1

I2

I3

R2

...

R3

In Rn

... Knotenpunkt

Abb. 1.38: Parallelschaltung von Ohm’schen Widerst¨ anden

An allen Widerst¨ anden liegt die gleiche Spannung U an, und der Gesamtstrom I teilt sich in die Teilstr¨ ome I1 bis In auf. Nach dem Knotenpunktsatz gilt I = I1 + I2 + ... + In = U · (G1 + G2 + ... + Gn ) = U · Ge . Bei Parallelschaltungen ergibt sich der Ersatzleitwert Ge =

n 

Gi

n = Anzahl der parallel liegenden Leitwerte

(1.69)

i=1

aus der Summe der Einzelleitwerte Gi . Die Teilstr¨ ome durch die einzelnen Widerst¨ ande Ri berechnen sich aus der Stromteilerformel

Re Gi U · Gi Ii . = = = Ri Ge U · Ge I

(1.70)

Anwendungsbeispiel 1.16 Parallel und in Reihe geschaltete Widerst¨ ande werden in der Messtechnik zur Messbereichserweiterung verwendet. Große Spannungen werden zuerst mit einem Spannungsteiler (vgl. Abbildung 1.39a)) reduziert, hohe Str¨ ome mit einem Stromteiler (vgl. Abbildung 1.39b)) skaliert und dann gemessen. So ist es m¨ oglich einen großen Messbereich mit nur einem Messwerk abzudecken. Gegeben: Ein Messwerk zeigt Vollausschlag bei einer Spannung von UM = 0, 1V und einem Strom von IM = 1mA.

1.3 Berechnung von Netzwerken

I

47

UV

IP

RV

RM

U

IM

I

V

UM

U

RM

RP

A b)

a)

Abb. 1.39: a) Messbereichserweiterung bei Spannungsmessungen; b) Messbereichserweiterung bei Strommessungen

Gesucht: Wie groß ist der Ohm’sche Widerstand des Messwerks RM ? Welcher Vorwiderstand RV ist zu w¨ ahlen, um Spannungsmessungen bis 20V zu erm¨oglichen? ahlen, um Strommessungen bis 1A zu erm¨ogliWelcher Parallelwiderstand RP ist zu w¨ chen? L¨osung: 0, 1V = 100Ω RM = 1mA RM 0, 1V UM ⇒ RV = 199 · RM = 19, 9kΩ = = RV + RM 20V U (Bemerkung: Ein ideales Voltmeter hat einen unendlichen hohen Innenwiderstand!)

GM 1mA IM ⇒ GP = 999 · GM = 9, 99S ⇒ RP = 100, 1mΩ = = GP + GM 1A I (Bemerkung: Der Innenwiderstand eines ideales Ampermeters ist null!)

Kombination von Serien- und Parallelschaltung Beispiel 1.17 Zu berechnen ist der Gesamtwiderstand der Kombination aus Reihen- und Parallelschaltung der in Abbildung 1.40 skizzierten Widerst¨ ande R1 – R3 . L¨osung: RS = R1 + R2 und Gges = GS + G3 =

Rges =

(R1 + R2 ) · R3 1 = R1 + R2 + R3 Gges

1 1 ⇒ + R3 R1 + R2

48

1 Gleichstromlehre

RS I

R1

R2

R3

R ges U Abb. 1.40: Reihen-Parallelschaltung von Widerst¨ anden

1.3.4

Serien- und Parallelschaltung von Kondensatoren

¨ Analog zu den Uberlegungen bei Widerst¨anden wird im Folgenden die Serien- und Parallelschaltung von Kondensatoren behandelt.

+Q 1 U

Un

U2

U1

-Q 1

C1

+Q 2

Q=0

-Q 2

...

+Q n

-Q n Cn

C2

Abb. 1.41: Serienschaltung von Kondensatoren

Serienschaltung In Abbildung 1.41 sind n Kondensatoren in Reihe geschaltet. Es wird vorausgesetzt, dass anfangs alle Kondensatoren ungeladen sind, d.h. die Ladung Q zwischen benachbarten Kondensatorplatten null ist. Durch Anlegen einer Spannung U laden sich die einzelnen Kondensatoren auf die Teilspannungen Ui mit i = 1, 2, ..., n auf, die Ladung Q = Qi −Qi−1 zweier leitend verbundener Kondensatorplatten benachbarter Kondensatoren bleibt auch w¨ahrend und nach dem Ladevorgang null, da kein Strom fließen kann. Es findet lediglich eine Ladungstrennung von positiven und negativen Ladungen durch Influenz statt. Somit gilt Q1 = Q2 = ... = Qn und mit dem Maschensatz ergibt sich

U = U1 + U2 + ... + Un = Q1 ·

n  1 1 . = Q1 · C C e i i=1

1.3 Berechnung von Netzwerken

49

Die Ersatzkapazit¨ at Ce in Serie geschalteter Kondensatoren

 1 1 = Ci Ce i=1 n

n = Anzahl der in Serie liegenden Kondensatoren

(1.71)

ist somit immer kleiner als die kleinste Einzelkapazit¨at. Parallelschaltung Abbildung 1.42 zeigt n parallel geschaltete Kondensatoren, die alle auf die gleiche Spannung U aufgeladen werden.

Q2

Q1 U

...

C2

C1

-Q 1

Qn

Q ges

Cn

...

-Q 2

-Q n

Abb. 1.42: Parallelschaltung von Kondensatoren

Die positive Gesamtladung Qges = Q1 + Q2 + ... + Qn = U · (C1 + C2 + ... + Cn ) = U · Ce berechnet sich aus der Summe der Einzelladungen, die Ersatzkapazit¨ at Ce =

n 

Ci

n = Anzahl der parallel liegenden Kondensatoren

(1.72)

i=1

aus der Summe der Einzelkapazit¨ aten. Anwendungsbeispiel 1.18 Einzelbauelemente, wie Widerst¨ ande und Kondensatoren, sind in genormten WertReihen erh¨altlich. Wird in einer Schaltung ein bestimmter Widerstands- oder Kapazit¨atswert ben¨ otigt, der nicht in der Reihe enthalten ist, muss dieser aus einer Serien- oder Parallelschaltung genormter Bauteile zusammengesetzt werden. Einen Kondensator mit dem Kapazit¨ atswert C = 2pF erh¨ alt man beispielsweise aus einer Serienschaltung von zwei Kondensatoren C1 = 2, 2pF und C2 = 22pF oder aus einer Parallelschaltung von zwei gleichen Kondensatoren mit den Werten C1 = C2 = 1pF.

50

1 Gleichstromlehre

1.3.5

Serien- und Parallelschaltung von Spulen

Dieser Abschnitt behandelt zun¨ achst die Serien- und Parallelschaltung von ungekoppelten Spulen, d.h. die Spulen sind r¨ aumlich so weit voneinander entfernt, dass ihre Magnetfelder sich nicht u ¨berlagern. Anschließend wird kurz auf die Serienschaltung verkoppelter Induktivit¨ aten eingegangen. Serienschaltung unabh¨ angiger Spulen Durch die in Abbildung 1.43 dargestellten, in Serie liegenden, unabh¨angigen Spulen ¨ fließt derselbe Strom i(t). Andert sich dieser Strom mit der Zeit, werden die Teilspandi(t) induziert. Die Gesamtspannung nungen ui (t) = Li · dt

u(t) = u1 (t) + u2 (t) + ... + un (t) =

di(t) di(t) · Le · (L1 + L2 + ... + Ln ) = dt dt

ergibt sich aus dem Kirchhoff’schen Maschensatz. Die Ersatzinduktivit¨at Le unabh¨angiger Spulen berechnet sich also aus der Summe der Einzelinduktivit¨aten Le =

n 

Li

n = Anzahl der in Serie liegenden, unabh. Spulen.

(1.73)

i=1

i u

u2

u1

L2

L1

u3

i

un ...

L3

Ln

i

Abb. 1.43: Serienschaltung unabh¨ angiger Spulen

Parallelschaltung unabh¨ angiger Spulen An den in Abbildung 1.44 parallel geschalteten Spulen liegt dieselbe Spannung u(t). Die Knotenpunktgleichung liefert i(t) = i1 (t) + i2 (t) + ... + in (t) ⇒ 

1 1 1 din (t) di1 (t) di2 (t) di(t) , + ... + + = u(t) + ... + + = Ln L2 L1 dt dt dt dt

woraus sich die Ersatzinduktivit¨ at Le

 1 1 = L Le i=1 i n

ergibt.

n = Anzahl der parallel liegenden, unabh. Spulen

(1.74)

1.3 Berechnung von Netzwerken

i

i2

i1 u

L1

L2

51

...

i3 L3

in Ln

... Abb. 1.44: Parallelschaltung unabh¨ angiger Spulen

Serienschaltung gekoppelter Spulen Sind, wie in Abbildung 1.45 dargestellt, zwei Spulen miteinander verkoppelt, muss die Ersatzinduktivit¨at mit Hilfe der Transformatorgleichungen (1.54) berechnet werden. i

a)

u1

L1

L1

u1 M

u

u2

i

b)

L2

M

u

u2

L2

Abb. 1.45: Serienschaltung gekoppelter Spulen: a) gleichsinnige Kopplung; b) gegensinnige Kopplung

Man unterscheidet zwei F¨ alle: • gleichsinnige Kopplung: Die magnetischen Felder beider Spulen u ¨berlagern sich konstruktiv. • gegensinnige Kopplung: Die magnetischen Felder beider Spulen u ¨berlagern sich destruktiv. In beiden F¨allen gilt i1 (t) = i2 (t) = i(t) und u(t) = u1 (t) + u2 (t); bei gegensinniger Kopplung sind jedoch der Strom und die Spannung der zweiten Spule mit negativem Vorzeichen in die Transformator-Gleichungen einzusetzen. Im Falle der gleichsinnigen Kopplung gilt u(t) = u1 (t) + u2 (t) = L1

=

di(t) di(t) di(t) di(t) + L2 +M +M dt dt dt dt

di(t) · (L1 + L2 + 2M ) dt

52

1 Gleichstromlehre

und bei gegensinniger Kopplung u(t) = u1 (t) + u2 (t) = L1

=

di(t) di(t) di(t) di(t) + L2 −M −M dt dt dt dt

di(t) · (L1 + L2 − 2M ) , dt

woraus sich die Ersatzinduktivit¨ aten Le+ = L1 + L2 + 2M Le− = L1 + L2 − 2M

gleichsinnige Kopplung gegensinnige Kopplung

(1.75)

ergeben.

1.3.6

Wirkungsgrad und Leistungsanpassung

¨ Wirkungsgrad bei der Ubertragung elektrischer Energie Jedes energieumformende System (Maschine) nimmt eine gr¨ oßere Leistung auf als sie abgibt, weil in ihr Leistungsverluste Pverlust in Form von Reibung, W¨ arme usw. auftreten. Unter dem Wirkungsgrad η=

Pverlust Pzu − Pverlust Pab =1− = Pzu Pzu Pzu

(1.76)

uhrten versteht man in der Physik das Verh¨altnis der abgegebenen Leistung Pab zur zugef¨ Leistung Pzu . In Tabelle 1.6 sind die typischen Wirkungsgrade einiger Energieumformer aufgelistet.

Energieumformer

Solarzelle (Si) Brennstoffzelle (H2 -O2 ) Synchronmaschine Transformator

Wirkungsgrad η in %

15–20 50–70 90–99 bis ca. 99

Tabelle 1.6: Beispiele f¨ ur Wirkungsgrade

Neben den Leistungsverlusten in Maschinen, meist in Form von W¨ arme, ist der Verlust im elektrischen Stromkreis von großer Bedeutung. In der Energietechnik ist man bem¨ uht, diesen so gering wie m¨ oglich zu halten, um so den Gesamtwirkungsgrad zu maximieren. Die elektrischen Verluste entstehen an den Leitungswiderst¨ anden RL (z.B. ¨ Uberlandleitungen) und den Quellenwiderst¨ anden Rq (Innenwiderstand von Generatoren). In Abbildung 1.46 sind die beiden Verlustwiderst¨ ande zu einem Widerstand

1.3 Berechnung von Netzwerken

53

Ri

η 1 I Uq

Rq

RL

P zu

0,75

U

P ab Leitungswiderstand

Generator

Ra

0,5 0,25 0

Verbraucher

0

1

2

3

4

5

R a /R i

Abb. 1.46: Wirkungsgrad elektrischer Stromkreise

Ri = Rq + RL zusammengefasst. Am Abschlusswiderstand Ra wird die Nutzleistung Pab abgegeben. ¨ Der Wirkungsgrad der Ubertragung

η=

Ra I 2 · Ra Pab = = = 2 Ra + Ri I · (Ra + Ri ) Pzu

1

Ri 1+ Ra

=

1 Rq + RL 1+ Ra

(1.77)

ist umso h¨ oher, je gr¨oßer das Verh¨altnis von Ra /Ri = Ra /(Rq + RL ) gew¨ ahlt wird.

Anwendungsbeispiel 1.19 In der Wechselstromtechnik (Kapitel 2) wird ein großes Verh¨ altnis von Ra /(Rq + RL ) dadurch erreicht, dass man zwischen Generator und Leitung sowie zwischen Leitung und Verbraucher Transformatoren schaltet. Dies f¨ uhrt zu einer Erh¨ ohung der Widerst¨ ande Rq und Ra gegen¨ uber dem Leitungswiderstand RL . Da bei idealen Transformatoren die Erh¨ohung des transformierten Widerstandes vom Quadrat des ¨ Ubersetzungsverh¨ altnisses u ¨ abh¨angt (vgl. Abschnitt 2.6), l¨ asst sich bei ausreichend großem u ¨ 1 ein Wirkungsgrad von bis zu η=

1 1 ≈ Rq u ¨ · R q + RL 1+ 1+ 2 Ra u ¨ · Ra 2

erzielen. Ohne Widerstandstransformation und der damit verbundenen Hochspannungstechnik w¨ urde ein Großteil der elektrischen Leistung in den Leitungen in W¨ arme umgesetzt werden und damit verloren gehen.

54

1 Gleichstromlehre

Leistungsanpassung Neben der Maximierung des Wirkungsgrades gibt es in der Elektrotechnik eine weitere Problemstellung. Vor allem in der Nachrichtentechnik und der Mikroelektronik besteht h¨ aufig die Anforderung, einer realen Quelle maximale Leistung zu entnehmen. Die Problemstellung ist in Abbildung 1.47 skizziert. U q2 Ri

Ui

Uq

I

Ri

Pq

Pq U

Ra

Pa

Pa

U q2 4R i

0

1

2

3

4

5

R a /R i Abb. 1.47: Schaltbild zur Ermittlung der Leistungsanpassung und Leistungsdiagramm

Fest vorgegeben sind die Quellengr¨ oßen Uq und Ri , gesucht ist der Wert des Abschlusswiderstandes Ra , bei dem die umgesetzte Leistung Pa = U · I = I 2 · Ra maximal wird. Setzt man f¨ ur den Strom I = Uq /(Ri + Ra ), ergibt sich Pa =

Uq2 Uq2 · Ra Ra /Ri . = 2 Ri (1 + Ra /Ri )2 (Ri + Ra )

(1.78)

Bei den lokalen Maximal- oder Minimalstellen einer Funktion f (x) ist deren erste Ableitung gleich null. Wird die erste Ableitung von (1.78)

(Ri + Ra )2 · Uq2 − Uq2 · Ra · 2 · (Ri + Ra ) dPa =0 = (Ri + Ra )4 dRa (Ri + Ra ) − Ra · 2 = 0

⇒

null gesetzt, ergibt sich die Bedingung Ra = R i

(1.79)

f¨ ur Leistungsanpassung. Damit betr¨ agt die maximal m¨ ogliche Leistung am Abschlusswiderstand bei Anpassung PaM ax = Pa |(Ra =Ri ) =

Uq2 . 4Ri

(1.80)

1.3 Berechnung von Netzwerken

55

Auf eine mathematische Beweisf¨ uhrung mit Hilfe der zweiten Ableitung, dass tats¨achlich ein Maximum (und kein Minimum) an der Stelle Ra = Ri vorliegt, soll an dieser Stelle verzichtet werden. In Abbildung 1.47 ist zus¨ atzlich zu Pa die von der Quelle abgegebene Gesamtleistung Pq =

Uq2 (Ri + Ra )

als Funktion von Ra /Ri dargestellt. Bei Anpassung ist die in Ri und Ra umgesetzte Leistung exakt gleich groß, die von der Quelle abgegebene Leistung also insgesamt 2 · PaM ax . Anwendungsbeispiel 1.20 Ein Anwendungsbeispiel f¨ ur Leistungsanpassung ist die Eingangsempf¨angerstufe eines Mobilfunktelefons. Hier m¨ ochte man der Antenne, die in erster N¨aherung als lineare Quelle aufgefasst werden kann, m¨ oglichst viel Leistung entnehmen, um ein hohes Signal/Rauschverh¨ altnis auch bei schlechtem Empfang zu erzielen. Dies erreicht man laut Gleichung (1.79) dadurch, dass der Eingangswiderstand der nachfolgenden Stufe (meist SAW-Filter: vom engl. surface acoustic wave) dem Innenwiderstand der Antenne angepasst wird.

1.3.7

Netzwerkanalyse: Direkte Anwendung der Kirchhoff’schen Gleichungen

Str¨ ome und Spannungen in elektrischen Netzwerken k¨ onnen durch direktes Aufstellen entsprechender Knotenpunkt- und Maschengleichungen berechnet werden. Schaltungsbeispiel Gegeben ist das in Abbildung 1.48 gezeichnete Netzwerk aus drei Widerst¨ anden R1 , R2 , R3 und zwei Spannungsquellen Uq1 und Uq2 . Gesucht sind alle unbekannten Gr¨ oßen I1 , I2 , I3 und U1 , U2 , U3 , zusammen also sechs Unbekannte. Folglich sind sechs unabh¨ angige Gleichungen n¨ otig. • Elementgleichungen (hier Ohm’sches Gesetz): U1 = R1 · I1 (1); U2 = R2 · I2 (2); U3 = R3 · I3

(3).

• Knotenpunktgleichungen: Das Netzwerk beinhaltet zwei Knoten K1 und K0 . Knoten K1 liefert I1 + I2 − I3 = 0 (4); angige Gleichung! Knoten K0 liefert −I1 − I2 + I3 = 0 = −Gl.(4); ⇒ keine unabh¨ Allgemein gilt: Zu k Knoten gibt es genau k − 1 unabh¨ angige Knotenpunktgleichungen.

56

1 Gleichstromlehre

U1

I1

R1

U q1

M1

M3

U2

K1 I3

R2

U3

R3

I2

M2

U q2

K0

Abb. 1.48: Berechnung eines Netzwerkes mittels Knotenpunkt- und Maschengleichungen

• Maschengleichungen: Masche M1 : −Uq1 + U1 + U3 = 0 (5); Masche M2 : Uq2 − U2 − U3 = 0 (6); Masche M3 : −Uq2 + U2 − U1 + Uq1 = 0 = −[(5) + (6)]; ⇒ keine unabh¨angige Gleichung! Aus den Elementgleichungen und den Kirchhoff’schen Gesetzen ergeben sich genau sechs unabh¨angige Gleichungen f¨ ur sechs Unbekannte. Somit k¨onnen alle gesuchten Gr¨oßen berechnet werden. Graphentheorie In der Praxis ist es vor allem bei gr¨ oßeren Schaltungen nicht immer ganz einfach alle notwendigen, voneinander unabh¨ angigen Maschengleichungen zu finden. Im Folgenden wird ein einfaches Verfahren vorgestellt, mit dessen Hilfe auch bei komplexen Netzwerken alle notwendigen, unabh¨ angigen Maschengleichungen gefunden werden. Zun¨achst sind noch einige Begriffe zu kl¨ aren: • Knoten: Knoten sind Leitungsverzweigungen, bei denen mindestens drei Leitungen miteinander verbunden sind. Befindet sich zwischen zwei Knoten eine widerstandslose, leitende Verbindung, so bilden diese Knoten zusammen nur einen Knoten. Die Anzahl der Knoten in einer Schaltung sei k. • Zweig: Die Verbindung zweier Knoten durch einen aktiven oder passiven Zweipol bezeichnet man als Zweig. Die Anzahl der Zweige in einem Netzwerk sei z. • Zweigstrom/Zweigspannung: Der Strom in einem Zweig wird als Zweigstrom, die Spannung als Zweigspannung bezeichnet. Besteht eine Schaltung aus z Zweigen, sind f¨ ur eine vollst¨andige Analyse z unabh¨angige Knotenpunkt- und Maschengleichungen n¨otig. Bei passiven Komponenten ist die Beziehung zwischen Spannung und Strom durch die Elementegleichung (z.B. Ohm’sches

1.3 Berechnung von Netzwerken

57

Gesetz) gegeben, bei aktiven Elementen (Quellen) ist eine Gr¨oße, Spannung oder Strom, fest vorgegeben. Mit Hilfe des Knotenpunktsatzes lassen sich k − 1 unabh¨angige Gleichungen aufstellen. F¨ ur eine eindeutige Berechnung eines Netzwerkes sind somit noch z − (k − 1) voneinander unabh¨ angige Maschengleichungen erforderlich, was genau der Anzahl der tats¨achlich vorhandenen unabh¨ angigen Maschen entspricht, obwohl mehr Maschen gebildet werden k¨ onnen. Um alle unabh¨ angigen Maschen sicher zu finden, wendet man die Graphentheorie an. Dazu wird wie folgt vorgegangen: • Es werden alle Knotenpunkte durchnummeriert, wobei bei Null begonnen wird. F¨ ur den Knoten mit der Ziffer Null wird keine Knotenpunktgleichung aufgestellt. Das ergibt k − 1 unabh¨ angige Gleichungen. • Werden alle Zweige durch eine Linie ersetzt, ergibt sich ein ungerichteter Graph, der die Netzwerkstruktur repr¨ asentiert. Zur Vereinfachung des Graphen ist es sinnvoll, parallel liegene Elemente (z.B. zwei parallel liegende Widerst¨ande) zu einem Ersatzelement zusammenzufassen und somit die Anzahl der Zweige zu reduzieren. • Werden alle Knotenpunkte miteinander verbunden, ohne dass dabei geschlossene Maschen entstehen, erh¨ alt man einen vollst¨andigen Baum . • Alle Zweige, die nicht zum vollst¨ andigen Baum geh¨oren, sind unabh¨angige Zweige. • Die voneinander unabh¨ angigen Maschengleichungen ergeben sich, wenn f¨ ur jeden unabh¨ angigen Zweig Maschen gebildet werden, in denen jeweils nur der unabh¨ angige Zweig und beliebig viele Zweige des vollst¨andigen Baumes vorkommen. Beispiel 1.21 In Abbildung 1.49 ist der ungerichtete Graph und alle m¨oglichen zugeh¨origen B¨aume der Schaltung 1.48 abgebildet. Aus der Topologie ergeben sich, wie bereits bekannt, eine Knotengleichung und zwei unabh¨ angige Maschengleichungen. Beispiel 1.22 Gegeben: Schaltung in Abbildung 1.50. Gesucht: Alle notwendigen Gleichungen zur Berechnung des Netzwerkes und alle vollst¨ andigen B¨ aume. L¨ osung: angigen Knotenpunktgleichungen lauten: Die unabh¨ Knoten 1: Iq − I1 − I2 = 0; Knoten 2: I1 − I3 − I5 = 0; Knoten 3: I2 + I5 − I4 = 0. Der groß gezeichnete Graph/Baum liefert die Maschengleichungen: Masche 1: −Uq + U1 + U3 = 0; Masche 2: −Uq + U1 + U5 + U4 = 0; Masche 3: −U1 + U2 − U5 = 0. Es gibt insgesamt 16 vollst¨ andige B¨ aume (vgl. Abbildung 1.50).

58

1 Gleichstromlehre

1

0 ungerichteter Graph 1

M1

1

M2 0

1

M3

M1

M3

0

M2 0

zugehörige Bäume (fett gedruckt) und unabhängige Maschen

Abb. 1.49: Ungerichteter Graph zur Schaltung 1.48 und zugeh¨ orige B¨ aume (fett gedruckt)

1.3.8

¨ Helmholtz’scher Uberlagerungssatz (Superpositionsprinzip)

¨ Der Uberlagerungssatz von Helmholtz ist nur f¨ ur lineare Netzwerke anwendbar. Er besagt, dass sich die Wirkung jeder einzelnen Quelle in einem linearen Netzwerk additiv u ¨berlagert. Bei der Anwendung dieses Prinzips werden zun¨ achst alle Teilstr¨ ome und Teilspannungen, hervorgerufen von jeweils nur einer Quelle, berechnet, indem die Quellenspannung aller anderen Spannungsquellen und der Quellenstrom aller anderen Stromquellen zu null gesetzt werden. Inaktive Spannungsquellen werden also kurzgeschlossen, inaktive Stromquellen aufgetrennt. Am Ende werden alle Teilstr¨ ome und Teilspannungen aller Zweige zum Gesamtzweigstrom bzw. zur Gesamtzweigspannung aufsummiert (¨ uberlagert).

Beispiel 1.23 Die Spannung U3 der Schaltung aus Abbildung 1.48 soll unter Anwendung des Helm¨ holtz’schen Uberlagerunssatzes berechnet werden.

1.3 Berechnung von Netzwerken

59

1

1

R1 Uq

R2

R5

2

3

R3

2

M1

0

2

3

2

3

2

2

3 0

2

3

2

3 0

2

3 0

3

2

2

3 0

3

2

2 0

3

2

2

3 0

3

2

2

3 0

3 0 1

0 1

0 1

3

1

1

1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

1

1

1

1

3

M2

R4 0

1

M3

2

3 0

Abb. 1.50: Schaltung mit zugeh¨ origen Graphen und B¨ aumen (fett gedruckt)

L¨osungsschritte: 1) Einfluss der Spannungsquelle Uq1 bei kurzgeschlossener Spannungsquelle Uq2 : R2 R3 R 2 R3 · Uq1 · Uq1 = U3 (Uq1 ) = R1 (R2 + R3 ) + R2 R3 R 1 + R 2 R3 oder einfacher mit Leitwerten G1 · Uq1 U3 (Uq1 ) = G1 + G2 + G3

2) Einfluss der Spannungsquelle Uq2 bei kurzgeschlossener Spannungsquelle Uq1 : G2 · Uq2 U3 (Uq2 ) = G1 + G2 + G3

3) Gesamtergebnis: U3 = U3 (Uq1 ) + U3 (Uq2 )

1.3.9

Zweipole

Zweipolersatzschaltungen Werden in einem linearen Netzwerk zwei Knoten als Klemmenpaar ausgezeichnet, ist

60

1 Gleichstromlehre

das Netzwerk bez¨ uglich dieses Klemmenpaares als linearer Zweipol erkl¨art. Beinhaltet das Netzwerk Energiequellen erh¨ alt man einen aktiven Zweipol, andernfalls ergibt sich ein passiver Zweipol, der keine Energie abgeben kann. Jeder aktive Zweipol l¨asst sich, wie in Abbildung 1.51 skizziert, durch eine reale Spannungsquelle mit der Ersatzquellenspannung Uqe und dem Ersatzinnenwiderstand Rie oder durch eine reale Stromquelle mit dem Ersatzquellenstrom Iqe und dem Ersatzinnenwiderstand Rie darstellen. Beide Ersatzquellendarstellungen sind gleichwertig und verhalten sich an den Klemmen v¨ollig identisch zum Netzwerk. Es gilt der Zusammenhang Uqe = Rie · Iqe .

(1.81)

Ein passiver Zweipol wird nur durch seinen Ersatzwiderstand Rie charakterisiert. Lineares, aktives Netzwerk mit beliebig vielen R, U q , Iq

R ie

U qe

I U

I U

Lineares, passives Netzwerk mit beliebig vielen R

I I qe

a) aktiver Zweipol

R ie U

b) aktiver Zweipol

R ie

c) passiver Zweipol

Abb. 1.51: Zweipolersatzschaltungen

Das Ersatzquellenverfahren wird angewendet, wenn • nur ein Strom oder eine Spannung zwischen zwei Knoten gesucht ist, • ganze Netzwerke oder umfangreichere Schaltungsteile vereinfacht dargestellt werden sollen • oder zur Schaltungsoptimierung ein Bauelementewert bestimmt werden soll. Bestimmung der Ersatzquellenelemente Abbildung 1.52 zeigt die Strom- und Spannungsverh¨altnisse eines Netzwerkes an den Klemmen des Zweipols bei Leerlauf und Kurzschluss, woraus sich unmittelbar die Berechnungsvorschrift f¨ ur die Ersatzspannungsquelle Uqe = ULeerlauf

(1.82)

1.3 Berechnung von Netzwerken

61

und die Ersatzstromquelle Iqe = IKurzschluss

(1.83)

ergibt.

R1

I=0

I=0

R ie

Iq R2

Uq

U qe

U Leerlauf = U qe

I Kurzschluss = I qe

R1 Iq R2

Uq

R ie

I qe

Abb. 1.52: Bestimmung der Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle

Der Ersatzinnenwiderstand Rie =

ULeerlauf Uqe = IKurzschluss Iqe

(1.84)

kann aus Gleichung (1.81) berechnet werden. Dazu ist das vollst¨ andige Gleichungssystem mit allen Maschen- und Knotenpunktgleichungen zweimal, f¨ ur Kurzschluss und Leerlauf, zu berechnen. Rie kann auch direkt aus der Schaltung, ohne vorherige Bestimmung von Uqe und Iqe , ermittelt werden. Dazu berechnet man den Ersatzklemmenwiderstand, der sich aus der Kombination von Serien- und Parallelschaltungen aller Widerst¨ ande des Netzwerks ergibt. Dabei sind alle Spannungsquellen des Netzwerks kurzzuschließen und alle Stromquellen abzutrennen (vgl. Abbildung 1.53). Begr¨ undung: • Bei der Messung von Widerst¨ anden wird ein geringer Messstrom ΔI eingepr¨ agt und die resultierende Spannungs¨ anderung ΔU ermittelt. Eine ideale Spannungsquelle liefert unabh¨ angig vom Strom eine konstante Spannung, d.h. ΔU = 0. Der Innenwiderstand (oder besser der differentielle Widerstand) einer idealen Spannungsquelle ist somit null. Das entspricht einem Kurzschluss.

62

1 Gleichstromlehre

R ie

R1 R2

Uq

U qe

Iq

R e = R ie Abb. 1.53: Direkte Bestimmung des Ersatzinnenwiderstandes eines Zweipols durch Kurzschließen aller Spannungsquellen und Abtrennen aller Stromquellen

• Der differentielle Leitwert einer idealen Stromquelle Gdif f = dI/dU ist null, da eine ideale Stromquelle immer einen konstanten Strom (⇒ dI = 0) liefert. Daraus folgt f¨ ur den differentiellen Widerstand Rdif f = 1/Gdif f → ∞. Das entspricht einer offenen Leitung. Beispiel 1.24 F¨ ur die Schaltung 1.52 ist die Ersatzspannungsquelle sowie die Ersatzstromquelle zu ermitteln. L¨osung: Die Ersatzspannung Uqe entspricht der Leerlaufspannung der Originalschaltung. Die¨ se ergibt sich unmittelbar aus dem Helmholtz’schen Uberlagerungssatz: R1 R2 R2 ·Iq ·Uq + ULeerlauf = Uqe = R +R R +R  1  2  1  2 Spannungsteiler

=(R1 R2 )

Der Ersatzinnenwiderstand R1 R2 Rie = R1 R2 = R1 + R2 kann aus Abbildung 1.53 direkt bestimmt werden.

¨ Der Ubergang zur Ersatzstromquelle ist nun sehr einfach durch den Zusammenhang Iqe = Uqe /Rie m¨oglich.

1.4

Knotenpotentialanalyse (KPA)

Die KPA ist das am h¨aufigsten verwendete Netzwerkanalyseverfahren und findet vor allem in Schaltungssimulatoren wie z.B. PSPICE [4] Anwendung. Der große Vorteil der KPA gegen¨ uber dem direkten Aufstellen aller unabh¨angigen Maschen- und Knotenpunktgleichungen liegt in der geringeren Anzahl der Unbekannten und der damit verbundenen Vereinfachung der Aufgabenstellung. Werden bei der Schaltungsanalyse die Kirchhoff’schen Gesetze in ihrer urspr¨ unglichen

1.4 Knotenpotentialanalyse (KPA)

63

Form verwendet, sind z (z = Anzahl der Zweige) unabh¨angige Maschen- und Knotenpunktgleichungen zur Probleml¨ osung n¨ otig. Als Ergebnis erh¨alt man die Str¨ome (oder Spannungen) in den z Netzwerkzweigen. Bei der KPA werden die Spannungen aller Knotenpunkte berechnet. Dazu wird zun¨achst ein beliebiger Knoten als Bezugsknoten deklariert, ihm wird in der Regel das Potential 0V zugeordnet. Unbekannt sind somit nur k − 1 Potentiale (k = Anzahl der Knoten). Diese Zahl entspricht exakt der Anzahl der unabh¨angigen Knotenpunktgleichungen eines Netzwerks. Sie werden beim KPA-Verfahren in modifizierter Form verwendet. Auf ein Aufstellen von Maschengleichungen kann komplett verzichtet werden. Generell ist es empfehlenswert vor dem Beginn der KPA, die Schaltung so weit wie m¨ oglich zu vereinfachen.

1.4.1

Aufstellen der modifizierten Knotenpunktgleichungen

Die KPA bei Netzwerken ohne Spannungsquellen wird anhand der in Abbildung 1.54a) dargestellten Schaltung exemplarisch erl¨ autert.

1 ϕ 1 =U 10

I1 Iq

R1

R5

R3

G1

R2

Iq R4

U 13 = ϕ1 - ϕ 3

I2 G5

ϕ2

2

G2 ϕ3 3

G3

G4 0 ϕ 0 = 0V

a)

b)

Abb. 1.54: a) Gegebene Schaltung; b) vorbereitende Schritte f¨ ur eine KPA

F¨ ur eine KPA sind zun¨achst folgende Schritte durchzuf¨ uhren: • Bezugsknoten 0“ festlegen, ” • restliche k − 1 Knoten nummerieren, • alle Widerst¨ande in Leitwerte umrechnen. Abbildung 1.54b) zeigt die f¨ ur eine KPA vorbereitete Schaltung. Jetzt werden die Knotenpunktgleichungen an den k − 1 Knoten in modifizierter Form

64

1 Gleichstromlehre

aufgestellt, d.h. die unbekannten Zweigstr¨ome werden durch die Leitwerte und Knotenpotentiale ausgedr¨ uckt. Aus der Regel Summe aller vom Knoten abfließenden Str¨ome ” ist gleich null“ ergibt sich: Knoten 1: −Iq + I1 + I2 = −Iq + G1 · (ϕ1 − ϕ2 ) +G2 · (ϕ1 − ϕ3 ) = 0;       U12

U13

Knoten 2: G1 · (ϕ2 − ϕ1 ) + G5 · (ϕ2 − ϕ3 ) + G3 · (ϕ2 − 0) = 0; Knoten 3: G2 · (ϕ3 − ϕ1 ) + G5 · (ϕ3 − ϕ2 ) + G4 · (ϕ3 − 0) = 0. Alle Quellenstr¨ ome (im vorliegenden Beispiel Iq ) werden auf die rechte Seite der entsprechenden Gleichung gebracht und die Potentiale durch die Knotenspannungen ersetzt. G1 · (U10 − U20 ) + G2 · (U10 − U30 ) = Iq G1 · (U20 − U10 ) + G5 · (U20 − U30 ) + G3 · U20 = 0 G2 · (U30 − U10 ) + G5 · (U30 − U20 ) + G4 · U30 = 0 Das resultierende, lineare Gleichungssystem wird nun in Matrixschreibweise dargestellt. ⎤ ⎤ ⎤ U10 Iq −G1 −G2 G1 + G2 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ ⎣ −G1 G1 + G3 + G5 −G5 0 −G2 −G5 G 2 + G 4 + G5 U30 ⎡

Die allgemeine Form der KPA lautet [G] · Un0 ] = Iq ] .

(1.85)

Das Gleichungssystem (1.85) besteht auf der linken Seite aus dem Produkt von Leitwertmatrix [G] und Knotenspannungsvektor Un0 ] und auf der rechten Seite aus dem Stromquellenvektor Iq ]. Direktes Aufstellen der Leitwertmatrix und des Stromquellenvektors Die Leitwertmatrix und der Stromquellenvektor haben folgende Eigenschaften, woraus sich Regeln f¨ ur ein direktes Aufstellen ableiten lassen: • Die Hauptdiagonalelemente Gii (i-te Zeile und Spalte) der Leitwertmatrix enthalten jeweils die Summe aller am Knoten i angeschlossenen Leitwerte. • Das Matrixelement Gij = Gji mit i = j besteht aus dem negativen Leitwert des zwischen dem Knoten i und j befindlichen Verbrauchers. • Ein Quellenstrom, der gem¨ aß Z¨ ahlpfeilsystem dem Knoten i zufließt, wird im Stromquellenvektor positiv in der i-ten Zeile ber¨ ucksichtigt, ein abfließender Strom negativ.

1.4 Knotenpotentialanalyse (KPA)

1.4.2

65

Beru ¨cksichtigung von Spannungsquellen

Spannungsquellen sind in der KPA artfremd, da der Strom durch Spannungsquellen von der Beschaltung abh¨ angt und somit eine weitere Unbekannte darstellt. Im Folgenden wird die Fragestellung gekl¨ art, wie Spannungsquellen ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen, ohne die Leitwertmatrix erweitern zu m¨ ussen. Reale, lineare Spannungsquelle Liegt eine lineare Spannungsquelle zwischen zwei Knoten i und j, wie in Abbildung 1.55 dargestellt, wird diese in die entsprechende lineare Stromquelle umgewandelt. Dabei ist auf die Stromrichtung zu achten.

Iq

i

Uq

Gq

j

i

j Gq

Abb. 1.55: Ber¨ ucksichtigung einer realen Spannungsquelle in der KPA durch Umwandlung in eine reale Stromquelle

Ideale Spannungsquelle Abbildung 1.56 zeigt eine ideale Spannungsquelle zwischen den Knoten i und j. F¨ ur den Einbau idealer Spannungsquellen wird an Stelle der beiden Knotenpunktgleichungen f¨ ur die Knoten i und j eine Knotenpunktgleichung bez¨ uglich des skizzierten Superknotens und eine Spannungsgleichung verwendet. Dies ist m¨ oglich, weil eine ideale Spannungsquelle die Potentialdifferenz zwischen den beiden Knoten stets konstant h¨ alt. Unbekannt ist daher nur eine der beiden Potentiale, das jeweils andere Potential ist nur um den Wert Uq verschoben. F¨ ur das abgebildete Beispiel sind demnach die Gleichungen Ik + I l + I m + I n = 0 = Gk · (Ui0 − Uk0 ) + Gl · (Ui0 − Ul0 ) + Gm · (Uj0 − Um0 ) + Gn · (Uj0 − Un0 ) und ϕi − ϕj = Ui0 − Uj0 = Uq in Zeile i und j zu verwenden. Welche der beiden Gleichungen in Zeile i oder j steht, ist frei w¨ahlbar. Praktisch sind beim Einbau einer idealen Spannungsquelle mit dem Wert Uq Leitwertmatrix und Stromquellenvektor wie folgt zu modifizieren:

66

1 Gleichstromlehre

k Ik

Gk

Im

Il

l i

j

m

Gm

Gn

In

Gl

n

Superknoten

i oder

i

j

j

Uq

ϕi - ϕj = U q Abb. 1.56: Ber¨ ucksichtigung einer idealen Spannungsquelle in der KPA durch Modifizierung des Gleichungssystems

• In [G] und Iq ] wird die Zeile i auf die Zeile j addiert (oder umgekehrt). oscht und die ent• Die frei gewordene“ Zeile i (oder j) in [G] und Iq ] wird gel¨ ” sprechende Spannungsgleichung Ui0 − Uj0 = ±Uq eingebaut. Dies geschieht durch Setzen der Elemente Gii = 1 und Gij = −1 (oder Gji = 1 und Gjj = −1) in der Leitwertmatrix und ±Uq in Zeile i (oder j) des Stromquellenvektors. Sind mehrere Spannungsquellen miteinander verbunden, wie in Abbildung 1.57 dargestellt, wird ein Superknoten um alle Spannungsquellen gebildet. Im skizzierten Fall entstehen die Knotenpunktgleichung Ik +Il +Im +In +Io = 0, d.h. z.B. Addition der Zeilen i und j auf h und die beiden Spannungsgleichungen Ui0 −Uj0 = Uq1 und Uh0 − Uj0 = Uq2 , die in den Zeilen i und j ber¨ ucksichtigt werden. Beispiel 1.25 Das Netzwerk aus Abbildung 1.50 soll mit Hilfe der KPA berechnet werden. Dazu ist die modifizierte Leitwertmatrix und der Stromquellenvektor aufzustellen. L¨osung: Das unmodifizierte Gleichungssystem lautet: ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ U10 0 −G1 −G2 G1 + G2 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ ⎣ −G1 G1 + G3 + G5 −G5 0 −G2 −G5 G2 + G4 + G5 U30

1.4 Knotenpotentialanalyse (KPA)

67

Io In

h Ik

Il

h

U q2

i

Superknoten

j oder h

i oder

h

j U q1

Im

j

i

i

j

und

ϕ i - ϕ j = U q1

j ϕ h - ϕ j = U q2

Abb. 1.57: Ber¨ ucksichtigung verschalteter, idealer Spannungsquellen

Folgende Modifikation (Einbau der Spannungsquelle) ist vorzunehmen: 1.) Zeile 1 auf Zeile 0 addieren. Da die Zeile 0 nicht existiert, muss also nichts getan werden. 2.) Zeile 1 l¨oschen und Spannungsgleichung U10 − 0 = Uq einbauen. Hinweis: Liegt eine ideale Spannungsquelle am Bezugsknoten, ist eine Umkehrung der Zeilenfolge nicht m¨ oglich, da die Spannungsgleichung nur in Zeile 1 ber¨ ucksichtigt werden kann (Zeile 0 gibt es nicht!). Man erh¨ alt: ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ U10 Uq 1 0 0 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ ⎣ −G1 G1 + G3 + G5 −G5 0 −G2 −G5 G2 + G4 + G5 U30

1.4.3

Beru ¨cksichtigung gesteuerter Quellen

In vielen F¨ allen ist eine Spannungsquelle oder eine Stromquelle von einer anderen Gr¨ oße (Spannung oder Strom) gesteuert. Beispielsweise h¨angt die Ausgangsspannung eines Operationsverst¨ arkers u ¨ber den Spannungsverst¨arkungsfaktor von der Differenzeingangsspannung ab. Weiterhin stellen viele aktive elektronische Bauelemente bei entsprechender Dimensionierung in erster N¨ aherung gesteuerte Quellen dar. So h¨angt der

68

1 Gleichstromlehre

Ausgangsstrom eines MOS-Transistors IDS in S¨attigung im Wesentlichen nur noch von der Gate-Source Spannung UGS ab (vgl. Abbildung 1.28b)). Prinzipiell gibt es vier M¨ oglichkeiten gesteuerter Quellen (vgl. Abbildung 1.58).

i

m

n

a)

m

n

j

n

i

m

c)

j

b)

n

j

i Iji = vi I mn

I mn

I ji = v g U mn

U mn

U ij = vr I mn

I mn

U ij = vu U mn

U mn

i

m

d)

j

Abb. 1.58: Schaltbilder gesteuerter Quellen: a) Spannungsgesteuerte Spannungsquelle; b) stromgesteuerte Spannungsquelle; c) spannungsgesteuerte Stromquelle; d) stromgesteuerte Stromquelle

a) Spannungsgesteuerte Spannungsquelle Eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle verh¨ alt sich elektrisch gesehen wie eine ideale Spannungsquelle. Folglich muss das Gleichungssystem bez¨ uglich der Ausgangsklemmen i und j wie bei idealen Spannungsquellen modifiziert werden (Addition der Zeile i (j) auf j (i)). Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Quellenspannung nicht konstant ist und daher die Spannungsgleichung Uij = vu · Umn Ui0 − Uj0 = vu · Um0 − Un0 Ui0 − Uj0 − vu Um0 + vu Un0 = 0

(1.86)

in Zeile i (j) zu ber¨ ucksichtigen ist. b) Stromgesteuerte Spannungsquelle Die Vorgehensweise bei stromgesteuerten Spannungsquellen ist analog zu spannungsgesteuerten Spannungsquellen. Unterschiedlich ist lediglich die Spannungsgleichung Uij = vr · Imn Ui0 − Uj0 = vr · Gmn · (Um0 − Un0 ) Ui0 − Uj0 − vr Gmn Um0 + vr Gmn Un0 = 0 , die in Zeile i (j) einzubauen ist.

(1.87)

1.4 Knotenpotentialanalyse (KPA)

69

c) Spannungsgesteuerte Stromquelle Die spannungsgesteuerte Stromquelle in Abbildung 1.58c) ist durch die Gleichung Iji = vg · Umn = vg · (Um0 − Un0 ) bestimmt. In Zeile i bzw. j des Stromquellenvektors steht im Gegensatz zu einer ungesteuerten Quelle kein fester Wert Iq bzw. −Iq , sondern ucke auf vg · (Um0 − Un0 ) bzw. −vg · (Um0 − Un0 ). Bringt man die beiden letzten Ausdr¨ die linke Seite des Gleichungssystems, ergibt sich folgende Regel: In der i-ten Zeile der Leitwertmatrix wird • zu Gim −vg und zu Gin vg und in der j-ten Zeile der Leitwertmatrix • zu Gjm vg und zu Gjn −vg addiert. d) Stromgesteuerte Stromquelle Die Bestimmungsgleichung der stromgesteuerten Stromquelle lautet: Iji = vi · Imn = vi · Gmn · (Um0 − Un0 ). Folglich sind in der i-ten Zeile der Leitwertmatrix • die Elemente Gim um −vi Gmn und Gin um vi Gmn sowie in der j-ten Zeile der Leitwertmatrix • die Elemente Gjm um vi Gmn und Gjn um −vi Gmn zu erg¨ anzen. Beispiel 1.26 Abbildung 1.59 zeigt eine nichtinvertierende Verst¨arkerschaltung. Die modifizierte Leitwertmatrix und der Stromquellenvektor sind aufzustellen. L¨osung: 1. Schritt: Gleichungssystem ohne Quellen aufstellen. ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ U10 0 −Ge 0 Ge ⎣ −Ge Ge + G1 + G2 −G2 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ 0 0 −G2 G2 U30 2. Schritt: Spannungsquelle Ue einbauen. Dazu Zeile 1 auf 0 addieren und Gleichung U10 = Ue in Zeile 1 einbauen. ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ U10 Ue 1 0 0 ⎣ −Ge Ge + G1 + G2 −G2 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ 0 −G2 G2 U30 0

70

1 Gleichstromlehre v u =10 4

v uU

U R e

R2

Ue

3

1

Re

Ua

Ue

R2

2

Ua

R1

R1

0 a)

b)

Abb. 1.59: Einbau einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle

3. Schritt: Gesteuerte Spannungsquelle einbauen. Zeile 3 auf 0 addieren und Gleichung U30 = vu · (U10 − U20 ) in Zeile 3 einbauen. ⎡

⎤ ⎤ ⎤ 1 0 0 Ue U10 ⎣ −Ge Ge + G1 + G2 −G2 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ −vu vu 1 U30 0 F¨ ur einen idealen Verst¨ arker (Ge = 0 und vu → ∞) ergibt sich nach kurzer ZwiR1 + R2 G 1 + G2 U30 Ua . = = = schenrechnung eine Spannungsverst¨ arkung von R1 G2 U10 Ue

1.4.4

Beru ¨cksichtigung nichtlinearer Bauelemente

Der Einbau nichtlinearer Zweipole in die KPA wird anhand des in Abbildung 1.60 dargestellten Beispiels demonstriert. Bei sehr einfachen Schaltungen (beschalteten Zweipolen) ist der in Abbildung 1.60b) skizzierte, graphische L¨osungsweg m¨oglich. Dazu tr¨ agt man die U -I-Kennlinie des nichtlinearen Bauelements auf. In einem zweiten Schritt zeichnet man in dasselbe Diagramm die entsprechende lineare Kennlinie des Leitwertes G. Der U -Achsenabschnitt bez¨ uglich des Schnittpunktes beider Kennlinien, also der Punkt, bei dem durch beide Verbraucher der gleiche Strom fließt, liefert das gesuchte Mittenpotential ϕ1 = U10 = 1V. Da die graphische L¨osungsmethode von der Ablesegenauigkeit abh¨ angt und nur f¨ ur sehr kleine Schaltungen brauchbar ist, wird eine Methode vorgestellt, mit der man nichtlineare Bauelemente in einer KPA ber¨ ucksichtigen kann. Da die KPA f¨ ur die rechnergest¨ utzte Schaltungsanalyse gut geeignet ist, k¨onnen auch sehr große, nichtlineare Schaltungen schnell berechnet werden.

1.4 Knotenpotentialanalyse (KPA)

2

71

I G = 1S

Uq = 2V

1

nichtlineares Bauelement

U 0

a)

I

Kennlinie nichtlineares Bauelement

G 1A

U 10 =1V

U q = 2V

U

b)

Abb. 1.60: Netzwerkanalyse mit nichtlinearen Bauelementen: a) Beispielschaltung; b) graphische L¨ osung mit der U -I-Beziehung des nichtlinearen Bauelementes I = a · U + b · U 2 und a = 0, 5A/V, b = 0, 5A/V2

L¨osungsansatz: Der nichtlineare Zweipol wird wie eine spannungsgesteuerte Stromquelle behandelt und 2 die U -I-Gleichung, im vorliegenden Fall I = 0, 5A/V·U10 +0, 5A/V2 ·U10 im Stromquellenvektor ber¨ ucksichtigt. Es ergibt sich das nichtlineare, modifizierte Gleichungssystem     2 G −G U10 −(0, 5A/V · U10 + 0, 5A/V2 · U10 ) = · U20 0 1 2V bzw. 

   0 U G + 0, 5A/V + 0, 5A/V2 · U10 −G . · 10 = U20 2V 0 1

In vielen F¨allen lassen sich nichtlineare Gleichungssysteme nicht analytisch l¨osen. Daher wird die nichtlineare Bauelementgleichung in einer Taylorreihe im Punkt (I0 ;U0 ) entwickelt und nach dem ersten Glied abgebrochen. Diese Linearisierung f¨ uhrt bei Zweipolen auf die allgemeine Form

dI

· (U − U0 ) = I0 + Gdif f |(U =U0 ) · (U − U0 ) , I = I0 + dU (U =U0 )

(1.88)

mit dem aus Abschnitt 1.2.5 bekannten differentiellen Leitwert Gdif f . F¨ ur das gegebene Beispiel lautet der linearisierte Ausdruck I = I0 + (a + 2b · U0 ) · (U − U0 ) = I0 + (0, 5A/V + 1A/V2 · U0 ) · (U − U0 ) I = I0 + (0, 5A/V + 1A/V2 · U0 ) · (U10 − U0 ) .

72

1 Gleichstromlehre

Baut man obigen Ausdruck in das Gleichungssystem der KPA ein, ergibt sich das lineare, rekursive Gleichungssystem     G −G U −[I0 + (0, 5A/V + 1A/V2 · U0 ) · (U10 − U0 )] · 10 = U20 0 1 2V und nach Umstellung    U G + (0, 5A/V + 1A/V2 · U0 ) −G · 10 = U20 0 1 −I0 + (0, 5A/V + 1A/V2 · U0 ) · U0 2V

 .

Um die Knotenspannungen U10 und U20 zu finden, wird nun in einem iterativen Prozess das letzte Gleichungssystem gel¨ ost. Dazu wird mit einem sinnvollen Startpunkt (U0 ; I0 ) z.B. (0;0) begonnen und die Werte f¨ ur U10 und U20 berechnet. Die Ergebnisse aus diesem ersten Schritt dienen als neue Startwerte f¨ ur einen zweiten Iterationsschritt usw. Im Folgenden ist das Ergebnis der ersten drei Iterationszyklen aufgelistet. 1.: Startpunkt (U0 ; I0 )=(0;0) U10 = 1, 3333333V ⇒ I = 1, 5555555A 2.: Startpunkt f¨ ur zweiten Durchlauf (U0 ;I0 )=(1,3333333V; 1,5555555A) U10 = 1, 0196078V ⇒ I = 1, 029604A 3.: Startpunkt f¨ ur dritten Durchlauf (U0 ;I0 )=(1,0196078V; 1,029604A) U10 = 1, 0000763V ⇒ I = 1, 0001145A Es ist zu erkennen, dass bereits nach drei Zyklen das Knotenpotential U10 auf 0,007% genau bestimmt ist. W¨ ahlt man einen Startpunkt der von Anfang an n¨aher an der exakten L¨ osung U10 = 1V und I = 1A liegt, reduziert sich die Anzahl der Iterationen.

1.5

Rechnergestu¨tzte Gleichstromanalyse (DC-Analyse)

Die professionelle Entwicklung elektronischer Schaltungen ist heute ohne rechnergest¨ utzte Netzwerkanalysetools nicht mehr denkbar. Voraussetzung ist die mathematische Beschreibung des Betriebsverhaltens nichtlinearer Bauelemente in parametrisierten Modellen. Ein einfaches Beispiel f¨ ur ein solches Modell eines nichtlinearen Widerstandes, I = a · U + b · U 2 mit den beiden Parametern a = 0, 5A/V und b = 0, 5A/V2 , wurde im vorigen Abschnitt 1.4.4 bereits verwendet. In modernen Schaltungssimulatoren werden zur Charakterisierung elektronischer Bauelemente meist wesentlich komplexere Modelle verwendet. So weisen beispielweise heute industriell eingesetzte MOS-Transistor-Modelle weit u ¨ber 100 Parameter auf.

1.5 Rechnergest¨ utzte Gleichstromanalyse (DC-Analyse)

73

Bei der analogen (im Gegensatz zur digitalen) Schaltungssimulation unterscheidet man drei Grundsimulationsarten, die Gleichstrom- (DC), Wechselstrom- (AC) und Transienten-Analyse (TRAN). Bei der DC-Analyse werden Schaltungen bez¨ uglich ihres Gleichstromverhaltens berechnet. Eine AC-Analyse wird durchgef¨ uhrt, wenn Schaltungen mit sinusf¨ ormigen Strom- und/oder Spannungsquellen betrieben werden (N¨aheres dazu in Kapitel 2). Enth¨ alt eine Schaltung zeitlich ver¨anderliche, nichtsinusf¨ormige Quellen, kommt die TRAN-Analyse zum Einsatz (vgl. Kapitel 3).

1.5.1

Zeichnen von Schaltpl¨anen

Zu jedem Schaltungssimulator gibt es in der Regel einen zugeh¨origen Schaltplaneditor, mit dem Schaltpl¨ ane gezeichnet werden. Es empfielt sich folgendes Vorgehen: • Aus einer Bibliothek (engl.: Library) werden die gew¨ unschten Bauelemente (Widerst¨ ande, Kondensatoren, Quellen, ...) entnommen und auf der Zeichenoberfl¨ache positioniert. • Den Bauelementen werden entsprechende Parameter (Attribute) zugeordnet, also z.B. einem Widerstand der Widerstandswert oder einer Spannungsquelle der Spannungswert. • Sind alle Bauelemente positioniert, werden sie korrekt verdrahtet. • Zum Schluss wird das Bezugspotential (Knoten 0“) festgelegt. ” Abbildung 1.61 zeigt die schrittweise Eingabe eines einfachen Spannungsteilers mit dem Schaltplaneditor SCHEMATICS“ des PSPICE-Simulators [4]. ” Attributzuweisung

R1 1k

R1 1k

U1 10V

U1 10V

R2 1.5k

R2

Bezugsknoten

a)

b)

Abb. 1.61: Eingabe einer Schaltung mit SCHEMATICS: a) Positionieren der Bauelemente und Attributzuweisung; b) Verdrahtung und Festlegung des Bezugspotentials

74

1 Gleichstromlehre

Vor der anschließenden Simulation wird automatisch eine Netzliste generiert, die alle Informationen u alt. Es werden automatisch alle Knoten numme¨ber das Netzwerk enth¨ riert. Die zu Schaltung 1.61 zugeh¨ orige Netzliste ist in Abbildung 1.62 dargestellt.

**** INCLUDING Schematic1.net **** * Schematics Netlist *

R_R1 R_R2 V_U1

$N_0002 $N_0001 0 $N_0002 1k $N_0001 0 10V

**** RESUMING Schematic1.cir ****

Knoten 2 Knoten 1 1k

Bezugsknoten

Abb. 1.62: Zugeh¨ orige Netzliste der Schaltung aus Abbildung 1.61

1.5.2

DC-Analyse

Wie bereits erw¨ahnt, wird in den meisten Schaltungssimulatoren das KPA-Verfahren verwendet. Als Ergebnis einer DC-Simulation (Gleichstromanalyse) erh¨alt man Knotenpotentiale. Daraus k¨onnen alle Zweigspannungen und Zweigstr¨ome unmittelbar durch Bilden der Potentialdifferenz und Auswerten der Bauelementgesetze berechnet werden. Das Resultat einer DC-Analyse obiger Schaltung zeigt Abbildung 1.63.

10.00V

R1 1k

6.00V

U1 10V

R2 1.5k

0V

Abb. 1.63: Ergebnis einer DC-Analyse

Nach erfolgreicher Simulation lassen sich Schaltungen weiter untersuchen. Oftmals wird zum eigentlichen Simulator ein umfangreiches Auswertepaket mitgeliefert, mit dem z.B. Leistungen berechnet, Kurven differenziert und integriert werden k¨ onnen usw.

1.5 Rechnergest¨ utzte Gleichstromanalyse (DC-Analyse)

75

Abbruchbedingung Kommen in der Schaltung nichtlineare Bauelemente vor, werden bei der DC-Analyse mehrere Iterationszyklen durchlaufen. Wie viele h¨angt neben dem Startpunkt und dem verwendeten Algorithmus von den Abbruchbedingungen ab. H¨aufig bietet sich die M¨oglichkeit, absolute oder relative Toleranzgrenzen f¨ ur Spannung und Strom zu definieren. Ist die Differenz zweier Iterationsergebnisse kleiner als eine dieser Grenzen, ist die erforderliche Genauigkeit erreicht und der Berechnungsalgorithmus wird beendet. Setzt man die Abbruchgrenzen sehr eng, geht das zu Lasten der Simulationszeit, in Extremf¨allen kommt es sogar zu Konvergenzproblemen. Zu weite Grenzen f¨ uhren generell zu Genauigkeitsverlusten. Mit den Voreinstellungen seitens der Simulatorhersteller werden im Allgemeinen gute Simulationsergebnisse erzielt. In Abschnitt 1.4.4 wurde bei einem nichtlinearen Spannungsteiler nach drei Iterationsschritten eine Genauigkeit von 0,007% f¨ ur das gesuchte Potential U10 erzielt. H¨atte man in einem Schaltungssimulator eine relative Knotenspannungstolleranz von 10−4 definiert, w¨ are die DC-Analyse nach drei Iterationen erfolgreich abgeschlossen. Sonderf¨ alle Bei sehr großen Netzwerken oder bestimmten Bauelementeanordnungen kann es bei der DC-Analyse zu Konvergenzproblemen kommen. Einige kritische F¨alle zeigt Abbildung 1.64.

R

R C1

Uq

C2

U 10 = ?

I1 = ? Iq

L1

Iq I2 = ? L2

0 a)

b)

Abb. 1.64: Sonderf¨ alle: a)Serienschaltung von Kondensatoren; b) Parallelschaltung von unabh¨ angigen Spulen

Bei der Serienschaltung von Kapazit¨ aten h¨ angt das Potential zwischen den Kondensatoren von der Vorladung der einzelnen Komponenten ab. Ohne diese Information k¨ onnte das Mittenpotential U10 beliebige Werte annehmen. Die Aufgabenstellung ist nicht eindeutig l¨osbar. Daher k¨ onnen in allen Simulatoren Anfangsbedingungen (engl.: initial conditions) definiert werden, also z.B. die Anfangsspannung eines Kondensators. Als Voreinstellung gilt bei den meisten Simulatoren: (Gesamt-) Ladung zwischen den Kondensatorplatten ist gleich null. In der Praxis schaltet man oftmals (sehr) hochohmige Widerst¨ande zu den Kondensatoren parallel. Dadurch wird eine Gleichstromverbindung zum schwebenden Knoten erzeugt und Konvergenzproblemen vorgebeugt. Ein ¨ahnliches Problem taucht im Falle parallel geschalteter Spulen auf. Bei Gleichstrombetrieb bilden Induktivit¨ aten Kurzschl¨ usse, d.h. die abfallende Spannung ist immer null,

76

1 Gleichstromlehre

unabh¨ angig vom Stromfluss. Damit ist die Stromaufteilung zwischen den parallel liegenden Spulen nicht definiert. Abhilfe schaffen hier entweder sinnvolle Anfangsbedingungen oder man ber¨ ucksichtigt bei Spulen neben dem Induktivit¨atswert auch die in Serie liegenden Wicklungswiderst¨ ande und schafft somit realistische Verh¨altnisse.

¨ 1.6 Ubungsaufgaben

1.6

77

¨ Ubungsaufgaben

Aufgabe 1.1 Gegeben ist die skizzierte Anordnung zweier Punktladungen Q1 = Q2 = Q (Abbildung 1.65).

y

Q 1 =Q

a x

a

Q 2 =Q Abb. 1.65: Feldberechnung von Punktladungen

a) Wie groß ist die elektrische Feldst¨arke (Betrag und Richtung) in einem beliebigen Punkt auf der x-Achse (x > 0)? b) Berechnen Sie die Spannung U01 zwischen dem Koordinatenursprung (0;0) und einem beliebigen Punkt (x;0) auf der x-Achse (x > 0). c) Welche Arbeit ist erforderlich, um eine Probeladung q = 10−6 C aus dem Unendlichen zum Koordinatenursprung zu bringen, wenn Q = 10−4 C?

Aufgabe 1.2 a) Berechnen Sie die Ladungstr¨agerdichte nn der Elektronen und die Beweglichur das Metall Silber (Ag). Es wird vorausgesetzt, dass jedes Atom keit bn f¨ genau ein Elektron f¨ ur den Stromtransport zur Verf¨ ugung stellt. 3 Gegeben: Atomgewicht AAg = 108g/mol; Dichte Ag = 10, 5g/cm ; Leitf¨ahig2 keit κAg = 62, 5Sm/mm ; Avogadrokonstante L = 6, 02 · 1023 Atome/mol. b) Das Halbleitermaterial Silizium (Si) wird mit Phosphor (P) dotiert, wodurch pro Phosphoratom ein freies Elektron f¨ ur den Stromtransport zur Verf¨ ugung steht. Die Elektonendichte sei nn = 1015 cm−3 , die Beweglichkeit der Elektronen bn = −800cm2 /Vs. Gesucht sind die spezifische Leitf¨ahigkeit und der spezifische Widerstand.

78

1 Gleichstromlehre

Aufgabe 1.3 Ein Kupferleiter ist durch einen l¨ angen- und widerstandsgleichen Aluminiumleiter zu ersetzen. Wie verhalten sich die Querschnittsfl¨ achen AAl /ACu , die Volumina VAl /VCu und die Massen mAl /mCu zueinander?

Aufgabe 1.4 ¨ Gegeben ist eine Uberlandleitung (Abbildung 1.66a)), die sich aus zwanzig einzelnen Aluminiumleitern mit einer Querschnittsfl¨ache von je AAl = 0, 15cm2 und vier Stahlseelen (Zugfestigkeitsgr¨ unde) mit AStahl = 0, 1cm2 zusammensetzt. Abbildung 1.66b) zeigt ein Halbleiterpl¨attchen mit der Fl¨ache A und der Dicke d. Der spezifische Leitwert des Halbleiters κ = κ0 · e5x/d ist ortsabh¨angig. Der Halbleiter ist auf Vorder- und R¨ uckseite großfl¨ achig kontaktiert. Der Kontaktwiderstand sei vernachl¨ assigbar gering.

1

A

x

l

d 0 2

a)

b)

¨ Abb. 1.66: a) Querschnitt einer Uberlandleitung; b) Halbleiterpl¨ attchen

a) Wie groß ist der Widerstandsbelag (Widerstandswert pro L¨ angeneinheit) der ¨ Uberlandleitung (ρStahl = 0, 12Ωmm2 /m)? b) Wie groß ist der elektrische Widerstand des Halbleiterpl¨ attchens zwischen den Anschlussklemmen 1 und 2.

Aufgabe 1.5 Ab welchem Temperaturunterschied Δϑ muss f¨ ur Kupfer, neben dem linearen Temucksichtigt werden, wenn peraturkoeffizienten α20 , der quadratische Beiwert β20 ber¨ eine maximale Abweichung der berechneten Widerstandswerte von 1% gerade noch tolerierbar ist?

¨ 1.6 Ubungsaufgaben

79

Aufgabe 1.6 Berechnen Sie die Kapazit¨ at eines Zylinderkondensators (vgl. Abbildung 1.17b) auf Seite 20) mit den Maßen: L¨ ange l, Innenkreisradius ri , Außenkreisradius ra . Hinweis: Randeffekte (Streukapazit¨ aten) sind zu vernachl¨assigen.

Aufgabe 1.7 Ein Plattenkondensator (Abbildung 1.67) mit Luft als Dielektrikum hat die Fl¨ache A = 1dm2 und den Plattenabstand d = 1cm. Zwischen den Platten liegt eine konstante Spannung U = 100V.

U

d

Luft

Glas

d/2

Abb. 1.67: Plattenkondensator mit geschichtetem Dielektrikum

a) Wie groß ist die Kapazit¨ at C und die elektrische Feldst¨ arke E? b) Eine Glasplatte gleicher Fl¨ ache wird parallel zu den Kondensatorplatten b¨ undig eingef¨ uhrt. Die Dicke der Glasplatte betr¨ agt d/2 = 0, 5cm, die relative Dielektrizit¨ atskonstante r = 12. Berechnen Sie die Kapazit¨ at C  und die elektrische Feldst¨ arke EL in Luft bzw. EG in Glas. alfte eingeschoben c) Wie groß ist die Kapazit¨ at C  , wenn die Glasplatte nur zur H¨ wird?

Aufgabe 1.8 Zu berechnen ist der Selbstinduktionskoeffizient L einer Zylinderspule in Luft (vgl. Abbildung 1.20a) auf Seite 23) mit der Windungszahl w, der L¨ ange l und dem Radius r. Der Einfachheit halber wird vorausgesetzt, dass die Spule sehr lang und d¨ unn ist, d.h. es gilt l r. ¨ a) Uberlegen Sie zun¨ achst, welche Auswirkung die Idealisierung l r auf das  außerhalb der Spule hat. magnetische Feld H b) Berechnen Sie nun L mittels sinnvoller N¨ aherungen.  Hinweis: Im Inneren einer langen, d¨ unnen Zylinderspule ist das H-Feld nahezu homogen.

80

1 Gleichstromlehre

Aufgabe 1.9 Eine unendlich lange Hochspannungsleitung liegt genau auf der z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems und f¨ uhrt den Strom i(t) = 105 A · sin(ω · t) mit der −1 Kreisfrequenz ω = 315s . In der xz-Ebene liegt parallel dazu im Abstand r = 1m eine am Ende kurzgeschlossene, unverdrillte Fernsprechleitung der L¨ange l = 1km und dem Leitungsabstand d = 1cm (vgl. Abbildung 1.68). Die Dicke aller Leitungen ist f¨ ur die nachfolgenden Recheng¨ ange zu vernachl¨assigen.

B y (x)

i(t)

l

y x z

r

d

Abb. 1.68: Aufgabe zum Induktionsgesetz

a) Berechnen Sie den Ausdruck f¨ ur die magnetische Flussdichte By (x) in der xzEbene (also f¨ ur y = 0) abh¨ angig von x. b) Wie groß ist der magnetische Fluss Φ, der die Fernsprechleitungsanordnung durchdringt? c) Welche Spannung wird in der Fernsprechleitung induziert? Aufgabe 1.10 Ermitteln Sie f¨ ur die gezeichnete Schaltung in Abbildung 1.69, deren Widerst¨ ande uglich Ri (i = 1, 2, ..., 9) die Werte R und 2R haben, den Ersatzwiderstand Re bez¨ der Klemmen A und B. Aufgabe 1.11 Ein Messwerk hat den Innenwiderstand RM = 100Ω und zeigt Vollausschlag bei einem Strom von IM = 0, 5mA. Abbildung 1.70 zeigt eine typische Schaltung zur Messbereichserweiterung. Die Parallelwiderst¨ ande RP 1 –RP 3 dienen der Stromaufteilung bei Messung hoher Str¨ ome, die in Serie liegenden Vorwiderst¨ ande RV 1 –RV 3 der Spannungsaufteilung bei Spannungsmessungen in den Bereichen 0,1V–10V.

¨ 1.6 Ubungsaufgaben

A Re

81 R 8 =R

R 2 =R

R 7 =2R

R 3 =2 R

R 9 =R

R 1 =R R 5 =2 R

B R 6 =R

R 4 =R

Abb. 1.69: Bestimmung des Ersatzwiderstandes einer Schaltung

R V3 10V

R V2 1V

R V1 0,1V

IM

RM

R P3

R P2

R P1

10mA

0,1A

1mA

U, I Abb. 1.70: Prinzipschaltung zur Messbereichserweiterung

a) Dimensionieren Sie die Widerst¨ ande RP 1 –RP 3 und RV 1 –RV 3 so, dass beim jeweiligen Messbereich Vollausschlag herrscht. b) Welchen Gesamtwiderstand sieht das Messobjekt in jedem Messbereich? Aufgabe 1.12 Anfangs sind alle Kondensatoren der gezeichneten Schaltung 1.71 ungeladen und beide Schalter sind offen. Gegeben: Uq = 100V; R1 = R2 = 1kΩ; C1 = C2 = C3 = C4 = 60μF. a) Zun¨ achst wird nur Schalter 1 geschlossen. Nach gen¨ ugend langer Wartezeit stellt sich ein statischer Zustand ein. Welche Anfangswerte Uai mit i = 1, 2, ..., 4 ahlpfeile beachten!)? haben die Kondensatorspannungen Ui danach erreicht (Z¨

82

1 Gleichstromlehre

S1

R1

U1

Uq

S2

1 C1

C3

C2

R2

U3

C4

U4

2 U2

Abb. 1.71: Umladen von Kondensatoren

b) Berechnen Sie die Ersatzkapazit¨ at Ce bez¨ uglich der Knoten 1 und 2. c) Schalter 1 wird wieder ge¨ offnet und dann Schalter 2 geschlossen, worauf sich nach einiger Zeit erneut ein statischer Zustand mit ver¨ anderten Kondensatorspannungen Ui einstellt. Berechnen Sie alle Spannungen Ui (i = 1, 2, ..., 4). ahrend der d) Nach dem Schließen des Schalters 2, wie in c) beschrieben, hat R2 w¨ Einstellung des neuen statischen Zustandes eine bestimmte Menge elektrischer Energie ΔW in W¨ arme umgewandelt. Berechnen Sie ΔW . Aufgabe 1.13 Eine elektrische Maschine hat bez¨ uglich ihrer Anschlussklemmen einen elektrischen angerungskabel mit Widerstand von Ra = 15Ω. Sie wird u ¨ber ein 200m langes Verl¨ einem Drahtquerschnitt A = 1, 5mm2 an die Spannung 230V angeschlossen. a) Berechnen Sie den Spannungsabfall auf der Leitung sowie die an der Maschine zu Verf¨ ugung stehende Spannung. b) Wie groß ist der Wirkungsgrad η der Anordnung? c) Durch welche Maßnahme l¨ asst sich der Wirkungsgrad erh¨ ohen? Aufgabe 1.14 Abbildung 1.72 zeigt eine Br¨ uckenschaltung, die aus aus drei Widerst¨ anden R1 = angigen Widerstand R(ϑ) = R0 ·[1+α20 (ϑ− R2 = R3 = R und einem temperaturabh¨ ucke wird 20◦ C)] besteht. Bei der Temperatur ϑ = 20◦ C gilt R(ϑ) = R0 = R. Die Br¨ mit einer idealen Gleichspannungsquelle gespeist. a) Berechnen Sie die Diagonalspannung Ud in Abh¨ angigkeit von Uq , R und R(ϑ).

¨ 1.6 Ubungsaufgaben

83

R3

R1

Ud

Uq

R(ϑ)

R2

Abb. 1.72: Br¨ uckenschaltung

b) Der lineare Temperaturkoeffizient des Widerstandes R(ϑ) betr¨agt α20 = 0, 04/K. ucke. Berechnen Sie die Temperaturempfindlichkeit dUd /dϑ der Br¨ c) Wie groß ist die Quellenspannung Uq zu w¨ahlen, um eine Empfindlichkeit von 0,1V/◦ C bei ϑ = 20◦ C zu erhalten? Aufgabe 1.15 Gegeben ist die Schaltung 1.73 aus vier Widerst¨anden, einer idealen Stromquelle und einer idealen Spannungsquelle. An den Klemmen A, B ist ein ver¨anderbarer Widerstand Ra angeschlossen. Gegeben: Uq = 18V; Iq = 5mA; R1 = 1kΩ; R2 = 2kΩ; R3 = 4kΩ; R4 = 2kΩ.

R1 Uq

Iq R2

R3 R4

A

U AB

Ia Ra

B Abb. 1.73: Gegebene Schaltung

a) Berechnen Sie den Ausdruck f¨ ur den Strom Ia zun¨achst allgemein in Abh¨angigkeit von Uq , Iq , R1 bis R4 und Ra . b) Wie groß ist die Leerlaufspannung UAB0 zwischen den Klemmen A und B? c) Welcher Wert muss f¨ ur den Ausgangswiderstand Ra gew¨ahlt werden, damit darin die maximale Leistung PaM ax umgesetzt wird? Wie groß ist PaM ax ?

84

1 Gleichstromlehre

d) Welche Leistungen PUq und PIq werden von den beiden Quellen abgegeben bzw. aufgenommen, wenn die Klemmen A, B kurzgeschlossen sind? Aufgabe 1.16 Gegeben sind die in Abbildung 1.74 dargestellten Schaltungen. Mit Hilfe des Helm¨ holtz’schen Uberlagerungssatzes sind zu berechnen:

U q1

R i2

R i1

Ra U q1

R1

R2

R3

R4

Ua U q3

U q2

U q2

a)

I4 b)

¨ Abb. 1.74: Anwendung des Helmholtz’schen Uberlagerungssatzes

a) F¨ ur die Schaltung a) die Spannung Ua allgemein in Abh¨ angigkeit von Uq1 , Uq2 , Ri1 , Ri2 und Ra . b) F¨ ur die Schaltung b) der Strom I4 zahlenm¨ aßig. Gegeben: Uq1 = 4, 5V; Uq2 = 6V; Uq3 = 7, 5V; R1 = 3kΩ; R2 = 5kΩ; R3 = 4kΩ; R4 = 1kΩ. Aufgabe 1.17 Die in Abbildung 1.75 skizzierte Schaltung dient der Spannungsstabilisierung mittels einer in Sperrrichtung parallel geschalteten Zener-Diode. Die Zener-Diode hat eine Durchbruchspannung von -10V und (nach Durchbruch) einen differentiellen Widerstand Rdif f = 20Ω. Die Quellenspannung Uq kann im Bereich 15V ≤ Uq ≤ 20V schwanken. a) Wie groß muss der Widerstand R1 mindestens sein, damit die Verlustleistung PZ der Zener-Diode in keinem Belastungsfall gr¨ oßer als 1W wird? b) Berechnen Sie allgemein die Spannung Ua als Funktion von R1 , Ra , Rdif f und Uq . c) Um wie viel ¨andert sich die Ausgangsspannung im Fall Ra = 1kΩ, wenn sich die Eingangsspannung um 1V erh¨oht (f¨ ur R1 gilt der unter a) berechnete Wert)?

¨ 1.6 Ubungsaufgaben

85

UZ R1

Ia

IZ

Uq

IZ

IZ

-10V

UZ

Ua

Ra

R diff Abb. 1.75: Schaltung zur Spannungsstabilisierung

Aufgabe 1.18 Die in Abbildung 1.76 gegebenen Schaltungen sind mittels Ersatzquellenverfahren zu analysieren.

R1 Uq

R2

A R6

R3 R4

R5

R1 U6

Uq

B

a)

R3

R5

A

I5

R2

B R4

b)

Abb. 1.76: Netzwerkanalyse mittels Zweipolersatzschaltungen

a) Berechnen Sie f¨ ur die Schaltung a) die Spannung U6 , indem Sie den linken Teil des Netzwerks bez¨ uglich der Klemmen A und B zu einer Ersatzspannungsquelle zusammenfassen. b) Ermitteln Sie f¨ ur die Br¨ uckenschaltung b) den Querstrom I5 auf analoge Weise. Aufgabe 1.19 Der Strom Ia in Abbildung 1.77 ist zu messen. Wie groß darf der Messger¨atewiderstand RM maximal sein, damit die durch den Strommesser verursachte Strom¨anderung h¨ochstens 0,5% betr¨ agt? Gegeben: Ri = 30Ω; R1 = 10Ω; R2 = 40Ω; Ra = 10Ω.

86

1 Gleichstromlehre

R1

Ri

R2

Ra

Uq

Ia

Abb. 1.77: Gegebene Schaltung

Aufgabe 1.20 Gesucht sind die Str¨ ome durch alle Widerst¨ ande und der Spannungsabfall an der Stromquelle f¨ ur die in Abbildung 1.78 skizzierte Schaltung.

U q3 Iq

R1

U q1

U q2

R2

R4

R5

R3

Abb. 1.78: Gegebene Schaltung

a) Zeichnen Sie den Graphen des Netzwerkes und tragen Sie einen vollst¨ andigen Baum ein. b) Geben Sie alle notwendigen Gleichungen zur Bestimmung der gesuchten Gr¨ oßen an.

Aufgabe 1.21 Berechnen Sie den Ersatzwiderstand Re bez¨ uglich der Klemmen 1–0 f¨ ur die in Abbildung 1.79 gezeichnete Schaltung mit Hilfe der KPA. Gegeben: R1 = 0, 2kΩ; R2 = 0, 5kΩ; R3 = 1/3kΩ; R4 = 0, 5kΩ; R5 = 1kΩ.

¨ 1.6 Ubungsaufgaben

87

1 R1

2

Re

R3

R5

3

R4

R2

0 Abb. 1.79: Berechnung eines Ersatzwiderstandes mittels KPA

Aufgabe 1.22 a) Wie groß ist der Strom I und die Knotenspannung U20 in der Schaltung in Abbildung 1.80? Berechnen Sie die Werte ohne KPA. b) F¨ uhren Sie eine KPA durch und berechnen Sie alle Knotenspannungen. c) Welche Leistung wird von den Quellen abgegeben bzw. aufgenommen?

U q2

R2

2

R3

R4

Iq 3

I

U q1

R5

1 R1

0

Abb. 1.80: Gegebene Schaltung

Gegeben: Uq1 = 5V; Uq2 = −10V; Iq = 1mA; R1 = 5kΩ; R2 = 1kΩ; R3 = 2kΩ; R4 = 3kΩ; R5 = 4kΩ.

88

1 Gleichstromlehre

Aufgabe 1.23 Berechnen Sie alle Knotenspannungen mit Hilfe der KPA f¨ ur die in Abbildung 1.81 skizzierte Schaltung. Gegeben: Uq1 = 5V; Uq2 = 10V; Uq3 = 10V; Leitwerte in S = 1/Ω.

1S

2

7S

3S U q2 U q3

1

8S

3

2S 4S

6

5S

U q1

4

3S 5

6S

0 Abb. 1.81: Netzwerk mit zusammengeschalteten Spannungsquellen

Aufgabe 1.24 Stellen Sie das Gleichungssystem der KPA f¨ ur die in Abbildung 1.82 dargestellte Schaltung auf. Gegeben: Rq = Reo = R2 = 10kΩ; Rao = R1 = 1kΩ; Uq = 1V; vu = 104 . a) Wie groß ist das Spannungsverh¨ altnis U30 /U10 ? b) Wie groß ist der Ausgangswiderstand zwischen den Klemmen 3 und 0? c) Welchen Widerstand sieht die reale, lineare Quelle zwischen den Klemmen 1 und 0?

Aufgabe 1.25 Gegeben ist die Schaltung in Abbildung 1.83 mit den Werten: Uq = 5V; R = 1kΩ; Diodenmodell: I = IS ·(eU/UT −1) mit dem Sperrs¨attigungsstrom IS = 1fA und der Temperaturspannung UT = 25mV. a) Ermitteln Sie graphisch die Spannung UR und den Strom I.

¨ 1.6 Ubungsaufgaben

89

1

a

Rq

v u =10 4

c b

R ao

a

U R eo

v uU

b

c 3 R2

2

Uq

R1

0

a)

b)

Abb. 1.82: Berechnung einer nichtinvertierenden Verst¨ arkerschaltung mittles KPA: a) Schaltbild des Operationsverst¨ arkers; b) Schaltung

b) Berechnen Sie nun UR und I mit einer KPA, indem Sie die Diodenkennlinie in einer Taylorreihe entwickeln und nach dem linearen Glied abbrechen.

2

I

U

Uq

1

R

UR

0 Abb. 1.83: Serienschaltung einer Diode und eines Widerstandes

90

1 Gleichstromlehre

1.7

L¨osungen

Aufgabe 1.1  2 , hervorgerufen durch die Ladungen Q1 und  1 und E a) Die elektrischen Felder E Q2 werden vektoriell u ¨berlagert. √ 

1 Q 1 Q x/ √x2 + a2 1 1 = · ·√ · 2 · er1 = E 2 x 2 + a2 4π0 4π0 r1 x2 + a2 −a/ √  1 Q 1 Q2 x/√x2 + a2  ·√ · er2 = · E2 = 2 · 2 a2 4π0 4π0 r22 x2 + a2 √ a/ x +  2x/ x2 + a2 2 = Q · √ 1  =E 1 + E E 2 · 0 4π0 2 2 x +a

 1 Q 2x · · = 0 4π0 (x2 + a2 )3/2  E zeigt in +x -Richtung!  P1  x  x 2x Q    dx · 2 Ex (x )dx = E(r)dr = b) U01 = 2 3/2 0 0 4π0 (x + a ) P0 Die L¨ osung

des Integrals ergibt:  1 1 Q −√ U01 = 2π0 a x 2 + a2

−1, 8J q·Q = a/m 2π0 a < 0 bedeutet: Arbeit muss aufgewendet werden.

c) W∞0 = q · U∞0 = −q · U0∞ = lim −q · U01 = − x→∞

W∞0 Aufgabe 1.2

L · Ag = 5, 85 · 1022 cm−3 AAg κAg κAg = −66, 7cm2 /Vs = bn = −e · nn Q n · nn

a) nn =

b) κ = bn · nn · (−e) = 12, 8 S/m = 1, 28 · 10−5 Sm/mm ⇒ ρ = 7, 81 · 104 Ωmm2 /m 2

Aufgabe 1.3 Gegeben: Spezifische Widerst¨ ande: ρAl = 0, 02857Ωmm2 /m und ρCu = 0, 01786Ωmm2 /m Dichte: Al = 2, 70kg/dm3 und Cu = 8, 93kg/dm3

ρAl · l/AAl RAl ⇒ AAl /ACu = ρAl /ρCu = 1, 6 =1= ρCu · l/ACu RCu VAl /VCu = (AAl · l)/(ACu · l) = 1, 6 mAl /mCu = (VAl · Al )/(VCu · Cu ) = 0, 48

1.7 L¨osungen

91

Ein l¨ angen- und widerstandsgleicher Leiter aus Aluminium wiegt nur die H¨alfte eines Leiters aus Kupfer und ist zudem noch preisg¨ unstiger.

Aufgabe 1.4 a) Gegeben: ρAl = 0, 02857Ωmm2 /m und ρStahl = 0, 12Ωmm2 /m RAl /l = ρAl /AAl = 1, 905mΩ/m RStahl /l = ρStahl /AStahl = 12, 0mΩ/m GKabel · l = 20 · GAl · l + 4 · GStahl · l = 10, 832kS · m ⇒ RKabel /l = 0, 0923mΩ/m 

x=d

b) R = x=0

1 1 dx = κ0 · A κ·A



x=d

e−5x/d dx =

x=0

d d · (1 − e−5 ) ≈ 5κ0 · A 5κ0 · A

Aufgabe 1.5 Rlin = R20 · (1 + α20 · Δϑ); Rquadr = R20 · (1 + α20 · Δϑ + β20 · Δϑ2 ) Rlin Rlin − Rquadr − 1 = −0, 01 ⇒ = Relativer Fehler: Rquadr Rquadr 1 β20 · Δϑ2 Rlin ⇒ = = 0, 99 ⇒ 1 + 0, 99 1 + α20 · Δϑ Rquadr β20 · Δϑ2 − (1/0, 99 − 1) · α20 · Δϑ − (1/0, 99 − 1) = 0 ⇒ Δϑ = +167◦ C bzw. Δϑ = −101◦ C

Aufgabe 1.6 Q = Allgemein gilt C = U

  D(r) · da A  rZyl a

,

 E(r) · dr

ri

ache mit dem Radius ri ≤ r ≤ ra darstellt. wobei AZyl eine Zylindermantelfl¨  Zun¨achst arke E(r) berechnet.  wird die elektrische Feldst¨ Q D(r)  = Q= D(r) · da ⇒ Q = 2π · r · l · D(r) ⇒ E(r) = 2π · r · l · 0  r   0 r AZyl  Mit dem Ausdruck f¨ ur das E-Feld kann die Spannung zwischen den Kondensatorplatten berechnet werden.  ra  ra ra Q 1 Q  ⇒ · ln · · dr = U= E(r) · dr = ri 2π · l · 0 r ri ri 2π · l · 0 r r 2π · l · 0 r Q = C= ln(ra /ri ) U

92

1 Gleichstromlehre

Aufgabe 1.7 0 · A = 8, 854pF d E = U/d = 100V/0, 01m = 1 · 104 V/m

a) C =

b) Die Anordnung kann als Reihenschaltung aus drei einzelnen Kondensatoren (Luft–Glas–Luft) aufgefasst werden. Der Abstand zwischen der oberen Kondensatorplatte und der Glasoberseite sei a. Die Glasdicke ist d/2, somit betr¨agt der Abstand zwischen der Glasunterseite und der unteren Kondensatorplatte d − d/2 − a = d/2 − a. d/2 d/2 d/2 − a d/2 a 1 ⇒ C  = 16, 35pF + = + + =  0 · A 0 r · A 0 · A 0 · A 0 r · A C U = 100V = EL · d/2 + EG · d/2 = D/0 · d/2 + D/(0 r ) · d/2 ⇒ angig!) D = 1, 635·10−7 C/m2 (Die dielektrische Verschiebung ist materialunabh¨ EL = D/0 = 1, 85 · 104 V/m; EG = D/(0 r ) = 1, 54 · 103 V/m

c) Die Anordnung entspricht einer Parallelschaltung aus C/2 (Kondensatorteil ohne Glasplatte) und der Serienschaltung CLuf t ⊕ CGlas . 0 r · A/2 0 · A/2 = 106, 25pF = 8, 854pF; CGlas = C/2 = 4, 427pF; CLuf t = d/2 d/2 

8, 854 · 106, 25 pF = 12, 6pF C  = 4, 427 + 8, 854 + 106, 25

Aufgabe 1.8 a) Abbildung 1.84 zeigt den magnetischen Feldlinienverlauf einer langen, d¨ unnen  Zylinderspule. Das H-Feld der einzelnen Windungen u berlagert sich im Inneren ¨ der Spule konstruktiv, w¨ahrend es außen zu einer Teilausl¨oschung kommt. ⇒ Hi Ha

2r i l

0

x

Abb. 1.84: Magnetisches Feld einer langen, d¨ unnen Zylinderspule

b) Aus dem Durchflutungsgesetz folgt  l   · ds = Ieing. ⇒  i · dx + H H C

0

Ca

a · ds = w · i , H

1.7 L¨osungen

93

wobei Ca die Reststrecke des geschlossenen Weges C außerhalb des Spulenin a · ds l¨asst sich nicht elementar l¨osen, da neren darstellt. Das Integral Ca H der Feldverlauf im Außenraum stark inhomogen ist. Da Hi Ha ist, kann l  i · dx vernachl¨assigt werden. Wird im Inneren dieses Integral gegen¨ uber 0 H der Spule ein homogenes Feld vorausgesetzt, folgt:  l  i · dx = Hi · l = w · i ⇒ Hi = w · i . H l 0

Die magnetische Flussdichte im Spuleninneren betr¨agt damit: w·i . Bi = μ0 · μr · Hi = μ0 · μr · l Berechnung des magnetischen Flusses (Bi im Spuleninneren homogen):   i · da = Bi · r2 π = μ0 · μr · w · i · ri2 π. Φ= B i l A

Es ergibt sich der Selbstinduktionskoeffizient L: r2 w·Φ = μ0 · μr · w 2 · π · i . L= l i

Aufgabe 1.9  = μ0 · i(t) · eϕ a) B 2πr

Es gilt: x = r; ey = eϕ ⇒ By (x) =

 b) Φ =

 · a = μ0 · i(t) · B 2π



l

z=0



μ0 · i(t) 2πx

r+d

x=r

r+d μ0 · i(t) 1 · l · ln · dzdx = r 2π x

r + d di(t) μ0 dΦ ⇒ · · l · ln = dt r 2π dt r+d μ0 · 105 A · ω · cos(ω · t) = 62, 7V · cos(315 · t/s) · l · ln = r 2π

c) Uind =

Uind

Aufgabe 1.10 Bei der Berechnung des Ersatzwiderstandes Re beginnt man am besten mit der Serienschaltung aus R1 und R2 . ⇒ Re1 = R1 + R2 = 2R Re1 liegt parallel zu R3 . ⇒ Re3 · R5 Re1 · R3 = R; = R; Re3 = Re2 + R4 = 2R; Re4 = Re2 = Re1 + R5 Re1 + R3 Re5 · R7 = R; Re7 = Re6 + R8 = 2R; Re5 = Re4 + R6 = 2R; Re6 = Re5 + R7 2 Re7 · R9 = ·R Re = RAB = 3 Re7 + R9

94

1 Gleichstromlehre

Aufgabe 1.11 a) Strommessung bis 1mA: RP 1 + R P 2 + R P 3 IM ⇒ RP 1 + RP 2 + RP 3 = 100Ω = RM + RP 1 + RP 2 + RP 3 1mA Strommessung bis 0,1A: RP 1 RP 1 IM ⇒ RP 1 = 1Ω = = 200Ω RM + RP 1 + RP 2 + RP 3 0, 1A Strommessung bis 10mA: 1Ω + RP 2 RP 1 + RP 2 IM ⇒ RP 2 = 9Ω = = 200Ω RM + RP 1 + RP 2 + RP 3 10mA Mit RP 1 + RP 2 + RP 3 = 100Ω folgt RP 3 = 90Ω

Spannungsmessung bis 0,1V: Messger¨at zeigt Vollausschlag bei UM = RM · IM = 50mV. ⇒ 50Ω 100Ω 100Ω 0, 05V ⇒ RV 1 = 50Ω = = 50Ω + RV 1 100Ω 100Ω + RV 1 0, 1V Analoge Rechnung liefert die restlichen Werte RV 2 = 900Ω und RV 3 = 9kΩ.

1Ω · 199Ω = 0, 995Ω 1Ω + 199Ω 10mA Bereich: Re = (RP 1 + RP 2 ) (RP 3 + RM ) = 9, 5Ω 1mA Bereich: Re = (RP 1 + RP 2 + RP 3 ) RM = 50Ω

b) 0,1A Bereich: Re = RP 1 (RP 2 + RP 3 + RM ) =

0,1V Bereich: Re = RV 1 + [(RP 1 + RP 2 + RP 3 ) RM ] = 50Ω + 50Ω = 100Ω 1V Bereich: Re = 900Ω + 50Ω + 50Ω = 1kΩ 10V Bereich: Re = 9000Ω + 900Ω + 50Ω + 50Ω = 10kΩ

Aufgabe 1.12 a) U1a = Uq = 100V; U4a = 0V

C 2 · C3 = 30μF der Serienschaltung aus C2 und C2 + C3 C3 wird auf die Spannung U3a − U2a = Uq = 100V aufgeladen. ⇒ Q23 = 30μF · 100V = 3mC Beide Kondensatoren tragen jeweils diese Ladung! ⇒ U2 = −Q23 /C2 = −50V; U3 = Q23 /C3 = 50V

Die Ersatzkapazit¨at C23 =

b) Ce = C3 +

C1 · C 2 = 90μF C1 + C2

c) Die Ersatzkapazit¨at Ce ist auf 50V aufgeladen. Damit betr¨ agt die Ladung der Ersatzkapazit¨at Qe+ = −Qe− = 90μF · 50V = 4, 5mC. Nach Schließen des Schalters 2 verteilt sich diese Ladung auf Ce und C4 . ⇒ Qe+ = 30V U3 = U 4 = Ce + C 4

1.7 L¨osungen

95

¨ Durch Offnen des Schalters 1 bleibt die Ladung −(C1 · U1a ) + C2 · U2a = −9mC zwischen den Kondensatoren C1 und C2 auch nach Schließen des Schalters 2 erhalten. Nach Schließen des Schalters 2 gilt also: −Q1 + Q2 = −9mC und U1 + U2 = Q1 /C1 + Q2 /C2 = 30V ⇒ Q1 /C1 + (Q1 − 9mC)/C2 = 30V ⇒ Q1 = 5, 4mC; U1 = 5, 4mC/60μF = 90V; U2 = 30V − 90V = −60V d) Vor dem Schließen des Schalters 2 ist die Ersatzkapazit¨at Ce = 90μF auf U3a = 1 2 = 0, 1125J. 50V geladen. ⇒ Gespeicherte elektrische Energie Wea = Ce U3a 2 Nach Schließen des Schalters 2 speichern die Kondensatoren Ce und C4 die 1 1 Energie We = Ce U32 = 0, 0405J und W4 = C4 U32 = 0, 027J. 2 2 Nach dem Energieerhaltungssatz muss die Energiedifferenz ΔW = 0, 1125J − 0, 0405J − 0, 027J = 0, 045J im Widerstand R2 in W¨arme umgesetzt werden.

Aufgabe 1.13

R Ltg

U q = 230V

R Ltg

Ia Ua

Ra

Abb. 1.85: Schaltung

a) Schaltung vgl. Abbildung 1.85 RLtg = ρCu · l/A = 0, 01786Ωmm2 /m · 200m/1, 5mm2 = 2, 38Ω Ia = Uq /(2 · RLtg + Ra ) = 11, 64A ⇒ ULtg = 2 · RLtg · Ia = 55, 4V; Ua = Ra · Ia = 174, 6V b) η =

1 = 0, 759 = 75, 9% 2RLtg 1+ Ra

c) Der Wirkungsgrad l¨asst sich durch Verringerung der Leitungswiderst¨ande erh¨ohen. ⇒ Kabel mit gr¨oßerem Querschnitt verwenden! Aufgabe 1.14 a) Maschengleichung: Ud = UR(ϑ) − UR2 R R2 = 0, 5 · Uq ; = Uq · Spannungsteiler: UR2 = Uq · R+R R1 + R2

96

1 Gleichstromlehre

R(ϑ) R(ϑ) ⇒ = Uq · UR(ϑ) = Uq · R + R(ϑ) R + R(ϑ) 

3 R(ϑ) − 0, 5 Ud = Uq · R + R(ϑ)

b)

c)

R · dR(ϑ)/dϑ (R + R(ϑ)) · dR(ϑ)/dϑ − R(ϑ) · dR(ϑ)/dϑ dUd = Uq · = Uq · 2 (R + R(ϑ))2 (R + R(ϑ)) dϑ Mit dR(ϑ)/dϑ = R0 α20 folgt: R · R0 α20 dUd = Uq · (R + R(ϑ))2 dϑ

1 dUd (ϑ = 20◦ C) = · Uq · α20 = 0, 1V/◦ C ⇒ Uq = 10V 4 dϑ

Aufgabe 1.15 Es wird das abgebildete Z¨ahlpfeilsystem 1.86 verwendet.

U Iq R1 I 1 Uq

R3

Iq R2

I2

R4

A

U AB

Ia Ra

I4 B

Abb. 1.86: Schaltung mit Z¨ ahlpfeilsystem

a) Maschengleichung: R3 · Ia + Ra · Ia − R4 · I4 = 0 (1) Knotenpunktgleichung: Iq = Ia + I4 ⇒ I4 = Iq − Ia (2) R 4 · Iq (2) in (1) einsetzen: Ia = R3 + Ra + R4 Ia h¨ angt nicht von der Spannung Uq ab!

b) Leerlauf: Ia = 0 ⇒ I4 = Iq ⇒ UAB0 = R4 · Iq = 10V c) Leistungsanpassung: Ra = Ri mit Ri = R3 + R4 = 6kΩ (Berechnung von Ri : Stromquelle abtrennen und Spannungsquelle kurzschließen!) 2

2kΩ · 5mA = 4, 167mW PaM ax = Ra · Ia2 = 6kΩ · (4 + 6 + 2)kΩ

d) Maschengleichung: −Uq + R1 · I1 + R2 · I2 = 0 (3) Knotenpunktgleichung: I1 = Iq + I2 ⇒ I2 = I1 − Iq

(4)

1.7 L¨osungen

97

U q + R 2 · Iq = 9, 333mA ⇒ R1 + R2 = Uq · (−I1 ) = −168mW (Leistungsabgabe!)

(4) in (3) einsetzen: I1 =

P Uq

Maschengleichung: −R2 · I2 − UIq + R4 · I4 = 0 ⇒ UIq = −R2 · I2 + R4 · I4 = 0 Aus (4): I2 = I1 − Iq = (9, 333 − 5)mA = 4, 333mA R3 = 3, 333mA I4 · R4 = Iq · (R3 R4 ) ⇒ I4 = Iq · R3 + R4 UIq = −2kΩ · 4, 333mA + 2kΩ · 3, 333mA = −2V ⇒ PIq = −UIq · Iq = 10mW (Leistungsaufnahme!)

Aufgabe 1.16 a) Quelle 1: Uq2 kurzschließen, dann Spannungsteilerformel (hier mit Leitwerten) Gi1 · Uq1 Ua1 = Gi1 + Gi2 + Ga Vergleichsrechnung: Spannungsteiler mit Widerst¨anden: Ri2 · Ra 1/Ri1 Ri2 + Ra · Uq1 (vgl. oben) · Uq1 = Ua1 = Ri2 · Ra 1/Ri1 + 1/Ri2 + 1/Ra Ri1 + Ri2 + Ra Quelle 2: Uq1 kurzschließen Gi2 · Uq2 Ua2 = Gi1 + Gi2 + Ga Superposition: Ua = Ua1 + Ua2

1 1 G1 = mA · 3 G1 + G3 + 1/(R2 + R4 ) R2 + R4 7 Uq2 = mA Quelle 2: I42 = R1 · R3 9 + R2 R4 + R1 + R3 5 1 G3 = − mA · Quelle 3: I43 = −Uq3 · 12 G3 + G1 + 1/(R2 + R4 ) R2 + R4 Superposition: I4 = I41 + I42 + I43 = 25/36mA = 0, 694mA

b) Quelle 1: I41 = Uq1 ·

Aufgabe 1.17 Ersatzschaltung unter Ber¨ ucksichtigung des nichtlinearen Bauelementes siehe Abbildung 1.87 a) Verlustleistung PZ maximal f¨ ur Uq = 20V und Ra → ∞: ⇒ PZmax = 1W = (10V + Rdif f · Idif f ) · Idif f = (10V + 20Ω · Idif f ) · Idif f ⇒ Idif f = 85, 4mA ⇒ Ua = 10V + 85, 4mA · 20Ω = 11, 71V ⇒ UR1 = 20V − 11, 71V = 8, 29V ⇒ R1 = R1min = 8, 29V/85, 4mA = 97, 1Ω

98

1 Gleichstromlehre

R1

I diff

R diff

Uq

Ia

Ra

Ua

10V

Abb. 1.87: Ersatzschaltung

¨ b) Helmholtz’scher Uberlagerungssatz: Einfluss der Quelle Uq (10V-Quelle kurzschließen): G1 Ua1 = Uq G1 + Gdif f + Ga Einfluss der 10V-Quelle: Gdif f Ua2 = 10V Gdif f + G1 + Ga ¨ Uberlagerung: 

1 10V Uq · + Ua = Ua1 + Ua2 = 1/Rdif f + 1/R1 + 1/Ra Rdif f R1

c) ΔUa =

1 ΔUq = 168mV · R1 1/Rdif f + 1/R1 + 1/Ra

Aufgabe 1.18 a) Ersatzquelle bez¨ uglich A–B bestimmen: R3 Uqe = ULeerlauf = Uq · R1 + R3 + R4 R3 · (R1 + R4 ) + R5 Rie = R2 + R3 + R1 + R4

U6 aus Spannungsteilerformel: R6 U6 = Uqe · Rie + R6

b) Ersatzquelle bez¨ uglich A–B bestimmen (R5 weglassen): R4 R2 − Uq · Uqe = ULeerlauf = UR2 − UR4 = Uq · R3 + R4 R1 + R2 R 3 · R4 R1 · R2 ⇒ I5 = Uqe /(Rie + R5 ) + Rie = R3 + R4 R1 + R2

1.7 L¨osungen

99

Aufgabe 1.19 Ersatzquelle bez¨ uglich der Anschlussklemmen von Ra : R2 = 0, 5 · Uq Uqe = ULeerlauf = Uq · Ri + R1 + R2 R2 · (R1 + Ri ) = 20Ω Rie = R2 + R1 + Ri

Ia = Uqe /(Rie + Ra + RM ) = 0, 5 · Uq /(30Ω + RM ) ¨ Prozentuale Anderung:

30Ω 0, 5 · Uq /30Ω − 0, 5 · Uq /(30Ω + RM ) ΔIa < 0, 005 ⇒ =1− = 30Ω + RM 0, 5 · Uq /30Ω Ia 0, 005 · 30Ω = 0, 151Ω RM < 0, 995

Aufgabe 1.20

a) L¨ osung siehe Abbildung 1.88

Iq

Uq

U q1

R1

U q3

I2 2

1 R2

I1

R4

I4

3

U q2

R3

I3 0

1

2

3

0

R5

I5

Abb. 1.88: Netzwerk mit Z¨ ahlpfeilsystem, zugeh¨ origem Graph sowie vollst¨ andigem Baum

b) Gesucht sind die in Abbildung 1.88 gezeichneten Gr¨oßen I1 –I5 sowie Uq ⇒ 6 unabh¨angige Gleichungen werden ben¨otigt. Knoten Knoten Knoten Masche Masche Masche

1: 2: 3: 1: 2: 3:

Iq = I 1 + I 2 I 2 = I4 + I5 I 1 = Iq + I3 Uq + Uq2 + R3 · I3 − R4 · I4 − R2 · I2 + Uq1 = 0 R1 · I1 + Uq2 + R3 · I3 − R4 · I4 − R2 · I2 + Uq1 = 0 Uq3 + R5 · I5 − R4 · I4 = 0

100

1 Gleichstromlehre

Eine u ¨bersichtliche Darstellung liefert die Matrixschreibweise: ⎡

1 1 0 0 ⎢ 0 1 0 −1 ⎢ ⎢ 1 0 −1 0 ⎢ ⎢ 0 −R2 R3 −R4 ⎣ R −R R −R 1 2 3 4 0 0 0 −R4

0 −1 0 0 0 R5

⎤ 0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥· 1⎥ 0⎦ 0

⎤ ⎤ Iq I1 I2 ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ I3 ⎥ Iq ⎥ ⎥= ⎥ I4 ⎥ −Uq1 − Uq2 ⎥ I5 ⎦ −Uq1 − Uq2 ⎦ Uq −Uq3

Aufgabe 1.21 Widerst¨ ande in Leitwerte umrechnen: G1 = 5mS; G2 = 2mS; G3 = 3mS; G4 = 2mS; G5 = 1mS. Zur Ermittlung des Ersatzwiderstandes Re Stromquelle an die Klemmen 1–0 anschließen (z.B. Strom Iq = 1mA fließt in die Klemme 1) und Spannung U10 berechnen: ⇒ Re = U10 /Iq . ⎡

⎤ ⎤ ⎤ U10 Iq −G1 −G3 G1 + G3 ⎣ −G1 G1 + G2 + G5 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ −G5 0 −G3 −G5 G3 + G4 + G5 U30 ⎤ ⎤ ⎤ 1 8 −5 −3 U10 ⎣ −5 8 −1 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ 0 U30 −3 −1 6 ⎡

Bemerkung: G in mS und Iq in mA ergibt Knotenspannungen in V. Die L¨ osung der Matrixgleichung liefert den Knotenspannungsvektor ⎤ ⎤ 0, 379V U10 U20 ⎦ = 0, 266V ⎦ . 0, 234V U30 ⇒ Re = 0, 379V/1mA = 379Ω Aufgabe 1.22 a) U20 = Uq2 + Uq1 = −10V + 5V = −5V I = Iq + IR1 = 1mA + 5V/5kΩ = 2mA b) G in mS; Iq in mA; Uq1 und Uq2 in V Schaltung vereinfachen: R3 und R4 zusammenfassen zu R34 = R3 + R4 = 5kΩ. ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ U10 0 G1 + G2 + G34 −G2 −G34 ⎦ · U20 ⎦ = −Iq ⎦ ⎣ −G2 G2 0 −G34 0 G34 + G5 U30 Iq

1.7 L¨osungen

101

Gleichungssystem modifizieren (Spannungsquellen einbauen): ⇒ Zeile 1 und 2 auf 0 addieren und Uq1 = U10 bzw. Uq2 = U20 − U10 einbauen. ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ 1 0 0 U10 Uq1 ⎣ −1 1 ⎦ · U20 ⎦ = Uq2 ⎦ 0 −G34 0 G34 + G5 U30 Iq Obige Matrixgleichung liefert die Knotenpotentiale: U10 = 5V; U20 = −10V + 5V = −5V; U30 = 4, 4444V. c) Gew¨ ahlt: Erzeugerpfeilsystem f¨ ur Uq1 ⇒ Iq1 = I + IR34 = 2mA + (5V − 4, 4444V)/5kΩ = 2, 1111mA ⇒ Leistungsabgabe der Quelle Uq1 : Pq1 = 5V · 2, 1111mA = 10, 5556mW Gew¨ ahlt: Erzeugerpfeilsystem f¨ ur Uq2 ⇒ Iq2 = Iq + Uq2 /R2 = 1mA + (−10V)/1kΩ = −9mA ⇒ Leistungsabgabe der Quelle Uq2 : Pq2 = (−10V) · (−9mA) = 90mW Leistungsabgabe der Stromquelle Iq : Pq = (4, 4444 − (−5))V · 1mA = 9, 4444mW Aufgabe 1.23 Gleichungssystem ohne Spannungsquellen: ⎡ ⎤ ⎤ 15 −7 0 0 0 0 U10 ⎢ −7 11 −3 −1 0 0 ⎥ U20 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 −3 9 −2 −4 0 ⎥ U30 ⎥ ⎢ ⎥= ⎥· ⎢ 0 −1 −2 6 −3 0 ⎥ U40 ⎥ ⎣ 0 0 −4 −3 18 −5 ⎦ U ⎦ 50 U60 0 0 0 0 −5 5

⎤ 0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎦ 0

Die Spannungsquelle Uq1 liegt am Bezugsknoten! ⇒ Die Zeilen 1, 3 und 6 m¨ ussen auf Zeile 0 addiert werden. In Zeile 1, 3 und 6 die Gleichungen U60 − U10 = Uq3 = 10V, U60 − U30 = Uq2 = 10V und 0 − U60 = Uq1 = 5V einbauen. ⇒ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ −1 0 0 0 0 1 10V U10 ⎢ −7 11 −3 −1 0 0 ⎥ U20 ⎥ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 10V ⎥ ⎢ 0 0 −1 0 0 1 ⎥ U30 ⎥ ⎢ ⎥= ⎥· ⎥ 0⎥ ⎢ 0 −1 −2 6 −3 0 ⎥ U40 ⎥ ⎣ 0 0 −4 −3 18 −5 ⎦ U ⎦ 0⎦ 50 U60 0 0 0 0 0 −1 5V

Die L¨osung der Matrixgleichung (z.B. mittels Gauß’schem Algorithmus) liefert den Knotenspannungsvektor: ⎤ ⎤ −15V U10 U20 ⎥ −14, 6V ⎥ ⎥ ⎥ U30 ⎥ −15V ⎥ ⎥= ⎥ U40 ⎥ −10, 7V ⎥ ⎦ U50 −6, 5V ⎦ U60 −5V

102

1 Gleichstromlehre

Aufgabe 1.24 Lineare Spannungsquellen in Stromquellen umrechnen (vgl. Abbildung 1.89) ⇒ Iq = Uq /Rq = 0, 1mA; Iqa = (vu · U )/Rao = 104 mS · U .

1

3

I qa

R ao

U R eo Iq

R2

Rq

2 R1

0 Abb. 1.89: Schaltung mit linearen Stromquellen

1. Schritt: Gesteuerte Quelle wie ideale Quelle behandeln. ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ U10 Iq −Geo 0 Gq + Geo ⎣ −Geo G1 + G2 + Geo −G2 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ 0 −G2 G2 + Gao U30 Iqa Mit den Zahlenwerten (G in mS und Str¨ome in mA) ergibt sich ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ 0, 1 0, 2 −0, 1 0 U10 ⎣ −0, 1 1, 2 −0, 1 ⎦ · U20 ⎦ = 0⎦ . Iqa U30 0 −0, 1 1, 1 2. Schritt: Gleichung Iqa = 104 mS · (U10 − U20 ) einbauen. ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ 0, 2 −0, 1 0 U10 0, 1 ⎣ −0, 1 1, 2 −0, 1 ⎦ · U20 ⎦ = 0⎦ ⇒ 0 U30 −104 104 − 0, 1 1, 1

⎤ ⎤ U10 0, 99880V U20 ⎦ = 0, 99760V ⎦ 10, 97247V U30

a) Spannungsverst¨arkung: U30 /U10 = 10, 97247/0, 99880 = 10, 986 b) Ausgangswiderstand R30 : Stromquelle Iq am Eingang abtrennen; Stromquelle I30 = 1mA am Ausgang zwischen Knoten 3 und 0 anschließen und Spannungen neu berechnen: ⎤ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ ⎤ 0, 2 −0, 1 0 U10 0 U10 99μV ⎣ −0, 1 1, 2 −0, 1 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ ⇒ U20 ⎦ = 199μV ⎦ . 4 4 1 2, 3mV U30 U30 −10 10 − 0, 1 1, 1 R30 = U30 /I30 = 2, 3Ω

1.7 L¨osungen

103

c) Eingangswiderstand R10 : Lineare Stromquelle am Eingang durch eine ideale Stromquelle (I10 = 1mA) ersetzen (Rq weglassen!) und Spannungen neu berechnen: ⎤ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ ⎤ 0, 1 −0, 1 0 U10 1 U10 8344V ⎣ −0, 1 1, 2 −0, 1 ⎦ · U20 ⎦ = 0 ⎦ ⇒ U20 ⎦ = 8344V ⎦ . 4 4 0 91666V U30 U30 −10 10 − 0, 1 1, 1 R10 = U10 /I10 = 8, 344MΩ Aufgabe 1.25 a) Graphische L¨ osung (vgl. Abbildung 1.90) liefert die N¨aherungswerte: UR = 4, 3V; I = 4, 3mA.

I/mA 10

Diodenkennlinie

5 4,3

R

0,7

1

5

U 21 /V

Abb. 1.90: Graphische L¨ osung

b) Diodenkennlinie linearisieren um den Arbeitspunkt (I0 ; U0 ): IS · eU0 /UT ·(U − U0 ) = I0 + Gdif f · (U − U0 ) . I = I0 + UT    dI/dU

Das nichtlineare Bauelement wird zun¨ achst wie eine Stromquelle behandelt. Das modifizierte Gleichungssystem (Spannungsquelle eingebaut) lautet     G 0 U10 I · = ⇒ 0 1 U20 5V 

   G 0 U10 I0 + Gdif f · (U − U0 ) · . = 0 1 U20 5V

Mit der Diodenspannung U = U20 − U10 ergibt sich     U10 G + Gdif f −Gdif f I0 − U0 · Gdif f · . = 0 1 U20 5V

104

1 Gleichstromlehre

Startwert: U0 = 0, 7V ⇒ I0 = IS · (eU0 /UT − 1) = 1, 4463mA L¨ osung aus 1. Iteration: U10 = 4, 2515V ⇒ I = 10, 064mA Neue Werte: U0 = 0, 7485V und I0 = 10, 064mA L¨ osung aus 2. Iteration: U10 = 4, 2657V ⇒ I = 5, 6928mA Neue Werte: U0 = 0, 7343V und I0 = 5, 6928mA L¨ osung aus 3. Iteration: U10 = 4, 2720V ⇒ I = 4, 4353mA Neue Werte: U0 = 0, 7280V und I0 = 4, 4353mA L¨ osung aus 4. Iteration: U10 = 4, 2729V ⇒ I = 4, 2758mA usw.

2

Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Im ersten Abschnitt von Kapitel 2 werden zun¨achst wichtige Grundbegriffe sinusf¨ormiger Vorg¨ange erl¨ autert und ein Berechnungsverfahren von Schaltungen mittels reeller Rechnung vorgestellt. Der zweite Abschnitt f¨ uhrt den Leser in die Grundlagen der komplexen Rechnung und der komplexen Netzwerkanalyse ein. Im weiteren Verlauf des Kapitels wird auf wichtige Betriebsf¨ alle in der Elektrotechnik und auf graphische Darstellungsverfahren eingegangen. Bei hohem Leistungsverbrauch kommen h¨aufig mehrphasige Systeme zum Einsatz, welche in Abschnitt f¨ unf behandelt werden. Abschließend wird auf wichtige Einzelbauelemente wie Transformator und technische Grundbauelemente (R, C, L) eingegangen. Das Kapitel rundet mit der rechnergest¨ utzten Schaltungssimulation bei sinusf¨ ormigen Vorg¨ angen (AC-Analyse) ab.

2.1

Einfu¨hrung, Grundbegriffe

2.1.1

Wechselgr¨oßen

Eine wichtige Rolle in der Elektrotechnik spielen zeitlich ver¨anderliche Vorg¨ange, bei denen die betrachtete Gr¨ oße (Wechselgr¨ oße) den Betrag und/oder ihre Richtung ¨andert. Wechselgr¨oßen lassen sich, wie in Abbildung 2.1 dargestellt, wie folgt klassifizieren:

deterministisch

nicht periodisch

stochastisch (Rauschen)

periodisch

sinusförmig

nicht sinusförmig

Abb. 2.1: Klassifizierung von Wechselgr¨ oßen

Der Momentanwert einer Wechselgr¨ oße v wird durch die zeitliche Abh¨angigkeit v = v(t) = f (t) angegeben. Die Wechselgr¨ oße betrachtet man als positiv, wenn ihre Richtung mit der als positiv gew¨ ahlten Richtung u ¨bereinstimmt. Andernfalls ist sie negativ.

106

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Periodische Wechselgr¨ oßen Wechselgr¨ oßen sind periodisch, wenn die Bedingung v(t) = v(t + n · T ) erf¨ ullt ist, wobei n eine beliebige ganze Zahl und T eine konstante Zeit bedeutet. Die k¨ urzeste Zeit zwischen zwei Wiederholungen eines Signals nennt man die Periodendauer der Wechselgr¨ oße (vgl. Abbildung 2.2). Der reziproke Wert der Periodendauer f=

1 T

[f ] = Hz

(2.1)

ist die Grundfrequenz.

v(t)

t

T Abb. 2.2: Periodische Wechselgr¨ oße

Arithmetischer Mittelwert Der arithmetische Mittelwert < v(t) >= v(t) =

1 T



T

v(t) · dt

(2.2)

0

beschreibt den Gleichanteil einer Wechselgr¨ oße. In der Elektrotechnik ist die Bezeichnung Wechselgr¨ oße speziell auf solche Gr¨ oßen beschr¨ ankt, bei denen der arithmetische Mittelwert < v(t) > null ist, die also reine“ Wechselgr¨ oßen sind. ” Gleichrichtwert Der Gleichrichtwert < |v(t)| >= |v(t)| =

1 T



T

|v(t)| · dt 0

beschreibt den arithmetischen Mittelwert des Betrages einer Wechselgr¨ oße.

(2.3)

2.1 Einf¨ uhrung, Grundbegriffe

Anwendungsbeispiel 2.1:

107

Netzteil

Die Betragsbildung l¨ asst sich schaltungstechnisch mittels eines idealen Br¨ uckengleichrichters realisieren. Die Mittelwertsbildung erfolgt anschließend am einfachsten mit Hilfe eines nachgeschalteten, geeignet dimensionierten Tiefpasses. So gelingt es, aus einer Wechselspannung Gleichspannung zu erzeugen. Beispiel 2.2 Zu berechnen sind die arithmetischen Mittelwerte und die Gleichrichtwerte der Zeitfunktionen v1 (t) = Vˆ sin (2πf · t) , v2 (t) = sin (2πf · t) + 1 und  3 0 < t ≤ T /2 v3 (t) = . −1 T /2 < t ≤ T L¨ osung:

 1 T ˆ V sin (2πf · t) · dt = 0 v1 (t) = T 0  T 1 (sin (2πf · t) + 1) · dt = 1 v2 (t) = T 0   T /2  T 1 3 · dt + (−1) · dt = 1 v3 (t) = · T 0 T /2    T /2 2 1 1 T ˆ Vˆ sin (2πf · t) · dt = · Vˆ |V sin (2πf · t)| · dt = 2 · · |v1 (t)| = π T T 0 0  1 T | sin(2πf · t) + 1| ·dt = v2 (t) = 1 |v2 (t)| =   T 0  immer≥0    T T /2 1 |3| · dt + | − 1| · dt = 2 |v3 (t)| = · T 0 T /2

Effektivwert Der Effektivwert oder RMS-Wert (engl.: root-mean-square)

 Vef f = V =

1 T



T

v 2 (t)dt

(2.4)

0

ist der quadratische Mittelwert der Wechselgr¨ oße v. Der Effektivwert V ist in der Wechselstromlehre eine der wichtigsten Gr¨ oßen. Mit dem Effektivwert einer Spannung U kann die in einem Ohm’schen Widerstand im Mittel umgesetzte Leistung, P = U 2 /R, unmittelbar ausgerechnet werden.

108

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Von großer Bedeutung ist der Effektivwert sinusf¨ormiger Wechselgr¨oßen v(t) = Vˆ sin (2πf t) . Vˆ ist die Amplitude (Scheitelwert) der Sinusschwingung. Mit Gleichung (2.4) errechnet sich der Effektivwert einer Sinusschwingung zu 

1 T

V =

Vˆ V = √ 2





T

Vˆ 2 sin (2πf t)dt = 2

0

1 T



T 0

1 Vˆ 2 · [1 − cos(2 · 2πf t)]dt 2

(bei sinusf¨ ormigen Wechselgr¨ oßen) .

(2.5)

Beispiel 2.3 Zu berechnen ist der Effektivwert der Gr¨ oße v(t) = Vˆ sin (2πf · t) + V0 . L¨osung:  V =



1 T



T



Vˆ sin(2πf · t) + V0

2 dt

0

  1 T ˆ2 2 V sin (2πf · t) + 2V0 Vˆ sin(2πf · t) + V02 dt T 0   Vˆ 2 + V02 = V 2 + V02 V = 2

V =

Formgr¨ oßen Mit dem Gleichrichtwert und dem Effektivwert lassen sich zwei weitere Gr¨ oßen definieren, die speziell in der elektrischen Messtechnik sehr wichtig sind. • Kurvenformfaktor: kf = V / < |v(t)| > • Scheitelfaktor (auch Spitzenfaktor oder crest factor ): kc = |v(t)max |/V

Anwendungsbeispiel 2.4:

Kurvenformfaktor

Der Kurvenformfaktor wird oft bei Messger¨ aten zur Umrechnung verwendet, wenn diese einen Gleichrichtwert messen, jedoch einen Effektivwert anzeigen. √ Bei rein sinusf¨ ormigen Gr¨oßen ergibt sich ein Kurvenformfaktor von kf = π/(2 2) ≈ 1, 11. Der angezeigte Wert ist bei solchen Messger¨ aten also um den Faktor 1,11 bez¨ uglich des gemessenen Wertes korrigiert.

2.1 Einf¨ uhrung, Grundbegriffe

109

B=konst.

α(t) u(t) Abb. 2.3: Prinzip eines Wechselstromgenerators

Sinusf¨ ormige Wechselgr¨ oßen Eine sehr große Bedeutung in der Elektrotechnik haben Wechselgr¨oßen, die sich sinusf¨ ormig mit der Zeit ¨ andern. Erzeugung sinusf¨ ormiger Welchselspannungen Abbildung 2.3 zeigt eine in einem konstanten Magnetfeld rotierende Spule. Die induzierte Spannung betr¨ agt bei w Windungen und der Spulenfl¨ache A u(t) = w

d(B · A · cos α) dΦ . =w dt dt

Definiert man die Winkelgeschwindigkeit ω = dα/dt = konstant bzw. α(t) = ωt + ϕu (mit ϕu = α(t = 0) = Anfangsphase), kann obige Gleichung differenziert werden. u(t) = wBA

d cos(ωt + ϕu ) ˆ sin (ωt + ϕu ) = wBAω sin (ωt + ϕu ) = U dt

ˆ = wBAω heißt Scheitelwert der Spannung. U Begriffe, Kenngr¨ oßen In Abbildung 2.4 ist der zeitliche Verlauf einer sinusf¨ormigen Wechselspannung ˆ sin (ωt + ϕu ) u(t) = U

(2.6)

dargestellt. In Tabelle 2.1 sind die wichtigsten Begriffe definiert. Die Einheit der Frequenz f ist Hz (Heinrich Hertz 1857–1894), die der Kreisfrequenz ω ist Winkelmaß/s oder kurz s−1 . In Abbildung 2.4 ist ϕu positiv, das heißt die Spanˆ sin (ωt + ϕu ) hat zum Zeitpunkt t = 0 bereits einen Wert gr¨oßer null nung u(t) = U angenommen.

110

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange u(t) U

π

ϕu

2π

ωt

Periodendauer: T=2π/ω

Abb. 2.4: Sinusf¨ ormige Spannung

u(t): ˆ: U ωt + ϕu : ϕu : T f = 1/T : ω = 2πf = 2π/T :

zeitlicher Momentanwert Scheitelwert oder Amplitude Momentane Phase Nullphasenwinkel = Phase bei t = 0 (Zeitskala willk¨ urlich!) Periodendauer Frequenz (Zahl der Schwingungen pro Sekunde) Kreisfrequenz = Zahl der Winkeleinheiten pro Sekunde

Tabelle 2.1: Begriffe sinusf¨ ormiger Gr¨ oßen

Beispiel 2.5 In Abbildung 2.5 sind zwei sinusf¨ ormige Spannungsverl¨ aufe gezeichnet. Welche Spannung eilt der anderen um welchen Winkel voraus? L¨ osung: u1 (t) eilt u2 (t) um ϕu1u2 = ϕu1 − ϕu2 = ϕu1 voraus.

2.1.2

Das Zeigerdiagramm

Darstellung einer sinusf¨ ormigen Wechselgr¨ oße In der Zeitdarstellung ist eine sinusf¨ ormige Wechselgr¨ oße, z.B. die einer Spannung u(t) = ˆ , Kreisfrequenz ω ˆ sin (ωt + ϕu ), eindeutig durch die drei Parameter Scheitelwert U U und Nullphasenwinkel ϕu beschrieben. Vereinfacht lassen sich solche Wechselgr¨ oßen auch in Polarkoordinaten mittels sich drehender Zeiger (keine Vektoren!) darstellen. In Abbildung 2.6 sind beide Darstellungsvarianten gegen¨ ubergestellt.

2.1 Einf¨ uhrung, Grundbegriffe

111

u(t) u 2 (t)

1V u 1 (t) ϕ u2 = 0

ωt

2π

π

ϕ u1 -1V

Abb. 2.5: Zwei sinusf¨ ormige Spannungen mit der Phasendifferenz ϕu1u2 = ϕu1 − ϕu2

u(t)

y

U

U

t=0

t1

ϕu

x

ϕu

π

2π

ωt

ϕ 1 =ωt1 +ϕ u Abb. 2.6: Zeigerdiagramm und Sinus-Darstellung

Die L¨ ange des Zeigers entspricht dem Scheitelwert der Wechselgr¨ oße, der Winkel dem Argument ωt + ϕu . Die Projektionen des Zeigers liefern die Parameter-Darstellung ˆ cos (ωt + ϕu ) und x = U ˆ sin (ωt + ϕu ) . y = U Es gilt: ˆ 2 [cos2 (ωt + ϕu ) + sin2 (ωt + ϕu )] = U ˆ2 x2 + y 2 = U Beziehung zwischen sinusf¨ ormigen Gr¨ oßen Um zwei sinusf¨ ormige Gr¨ oßen miteinander vergleichen zu k¨ onnen, gen¨ ugen die Zeiger zu

112

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Achtung: Zeiger sind keine Vektoren!

y

t=0

I

U

ϕi ϕu

x

Abb. 2.7: Zeigerdiagramm von Strom und Spannung

einem bestimmten Zeitpunkt t, also z.B. zum Zeitpunkt t = 0. Abbildung 2.7 zeigt eine Zeigerdarstellung von Strom und Spannung zum Zeitpunkt t = 0 an einem Verbraucher. Die Differenz der beiden Phasenwinkel ϕu und ϕi bezeichnet man als Phasenunterschied ϕui . ϕui = ϕu − ϕi

(2.7)

Bei manchen Bauelementen sind Strom und Spannung nicht in Phase, d.h. es besteht ein Phasenunterschied ungleich null. Beispiel 2.6 Die Phasenbeziehung von Strom und Spannung in Abbildung 2.7 ist anzugeben. L¨auft der Strom der Spannung vor oder nach? L¨osung: ϕiu = ϕi − ϕu > 0 ⇒ Der Strom eilt der Spannung um ϕiu voraus.

2.1.3

Basisbauelemente in Wechselstromschaltungen

Im folgenden Abschnitt wird das Verhalten der linearen, passiven Schaltelemente R, L und C in Wechselstromschaltungen untersucht. Ohm’scher Widerstand Abbildung 2.8 zeigt eine ideale Wechselspannungsquelle (Innenwiderstand = 0Ω), an der der Widerstand R angeschlossen ist. F¨ ur einen beliebigen Zeitpunkt werden Z¨ ahlpfeile f¨ ur Quelle und Verbraucher definiert und alle Maschen-, Knotenpunkt- und Elementgleichungen aufgestellt. Sie lauten: • Elementgleichung: uR (t) = R · iR (t);

2.1 Einf¨ uhrung, Grundbegriffe

113

iq (t)

iR (t) u q (t)

u R (t)

M

R

Abb. 2.8: Wechselstromschaltung mit Ohm’schem Verbraucher

ˆq · sin (ωt + ϕq ); • Quelle: uq (t) = U • Maschenregel: −uq (t) + uR (t) = 0; • Knotenpunktregel: iq (t) − iR (t) = 0. Aus obigen Gleichungen folgt unmittelbar: ˆq · sin (ωt + ϕq ) = uR (t) = U ˆR · sin (ωt + ϕu ) uq (t) = U

= R · iR (t) = R · IˆR · sin (ωt + ϕi )

(2.8)

Ein Vergleich der unterstrichenen Terme liefert: ˆR = R · IˆR ; • Scheitelwerte: U das Ohm’sche Gesetz gilt auch f¨ ur Scheitelwerte! • Phasen: (ϕq =) ϕu = ϕi ; Strom und Spannung sind in Phase! y

IR ϕ u =ϕ i

UR

t=0

x

u(t)

i(t)

π ϕ u =ϕ i

Abb. 2.9: Zeiger- und Zeitachsendarstellung eines Ohm’schen Verbrauchers

In Abbildung 2.9 sind Zeiger- und Zeitachsendarstellung skizziert.

2π

ωt

114

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Spule Der Widerstand R in Abbildung 2.8 wird durch eine Induktivit¨at L ersetzt. iq (t)

iL (t) u q (t)

u L (t)

M

L

Abb. 2.10: Wechselstromschaltung mit Induktivit¨ at L

Analog zur Vorgehensweise beim Widerstand R werden f¨ ur einen beliebigen Zeitpunkt Z¨ahlpfeile f¨ ur Quelle und Spule definiert. Mit der • Elementgleichung uL (t) = L

diL (t) und dem dt

• Ansatz f¨ ur den Strom-Zeit-Verlauf iL (t) = IˆL · sin (ωt + ϕi ) sowie der Maschen- und Knotenpunktgleichung folgt: ˆL · sin (ωt + ϕu ) = L diL (t) = ωLIˆL · cos (ωt + ϕi ) uL (t) = U dt = ωLIˆL · sin (ωt + ϕi + π/2)

(2.9)

Der Vergleich der unterstrichenen Terme liefert den in Abbildung 2.11 gezeichneten Zusammenhang: y

u(t)

UL

i(t)

ϕu

ϕi

IL

x

ϕu

π ϕi

Abb. 2.11: Zeiger- und Zeitachsendarstellung bei induktiver Last

2π

ωt

2.1 Einf¨ uhrung, Grundbegriffe

115

ˆL = ωL · IˆL ; • Scheitelwerte: U • Phasen: ϕu = ϕi + π/2; die Spannung eilt dem Strom um π/2 (bzw. 90◦ ) voraus! Kondensator Die Induktivit¨ at L in Abbildung 2.10 wird durch eine Kapazit¨at C ersetzt. Die Z¨ahlpfeile sind identisch zu Abbildung 2.10. Mit der • Elementgleichung iC (t) = C

duC (t) und dem dt

ˆC · sin (ωt + ϕu ) • Ansatz f¨ ur den Spannungs-Zeit-Verlauf uC (t) = U sowie der Maschen- und Knotenpunktgleichung folgt: iC (t) = IˆC · sin (ωt + ϕi )

iC (t) = C

(2.10)

duC (t) ˆC ω · cos (ωt + ϕu ) = ωC U ˆC · sin (ωt + ϕu + π/2) = CU dt

Der Vergleich der unterstrichenen Terme liefert: ˆC = 1 · IˆC ; • Scheitelwerte: U ωC

• Phasen: ϕi = ϕu + π/2; der Strom eilt der Spannung um π/2 (bzw. 90◦ ) voraus! y

u(t)

UC

IC ϕi

i(t)

ϕu x ϕu

π

2π

ωt

ϕi

Abb. 2.12: Zeiger- und Zeitachsendarstellung bei kapazitiver Last

Zur Veranschaulichung sind in Abbildung 2.12 die Zeiger- und Zeitachsendarstellung bei einer kapazitiven Last skizziert.

116

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

2.1.4

Reelle Berechnung von Schaltungen

Dieser Abschnitt gibt ein Beispiel f¨ ur die Berechnung von (kleinen) Schaltungen mit Hilfe der reellen Rechnung. Abbildung 2.13 zeigt eine Schaltung aus Widerstand und Spule in Serie.

R u R (t)

L

i R (t)

u L (t)

u(t)

i(t)

i L (t)

Abb. 2.13: Serienschaltung aus Widerstand R und Induktivit¨ at L

Die Knotenpunktgleichung liefert iR (t) = iL (t) = i(t) . Der Einfachheit halber wird mit der Zeitz¨ahlung so begonnen, dass gilt: i(t) = Iˆ sin (ωt). Gesucht ist die Spannung u(t): Aus u(t) = uR (t) + uL (t) = R · i(t) + L

di(t) dt

folgt ˆ sin (ωt) + ωL cos (ωt)] . u(t) = I[R

Die Spannung u(t) soll in die Form ˆ sin (ωt + ϕu ) = Z · Iˆ sin (ωt + ϕu ) u(t) = U ˆ cos ϕu sin (ωt) + Z sin ϕu cos (ωt)] = I[Z

gebracht werden. Ein Vergleich der unterstrichenen Terme der letzten beiden Gleichungen liefert R = Z cos ϕu , ωL = Z sin ϕu . Nach Quadrieren und Addieren bzw. Dividieren folgt schließlich  Z = R2 + (ωL)2 und ωL . ϕu = arctan R

(2.11)

2.1 Einf¨ uhrung, Grundbegriffe

117

Z heißt Scheinwiderstand. Man kann sich leicht vorstellen, dass bei gr¨oßeren Schaltungen die reelle Rechnung ¨ außerst aufwendig, wenn nicht gar undurchf¨ uhrbar wird. Abbildung 2.14 zeigt die Zeigerdarstellung obiger Schaltung aus Widerstand und Spule.

UL

U ϕu

UR

I ϕi

Abb. 2.14: Zeigerdarstellung

ˆ und ϕu graphisch Man erkennt, dass sich mit Hilfe der Zeigerdarstellung die Gr¨ oßen U relativ leicht ermitteln lassen.

2.1.5

Leistung

Dieser Abschnitt f¨ uhrt in die verschiedenen Leistungsbegriffe bei sinusf¨ ormigen Vorg¨ angen ein. Momentanleistung Die Momentanleistung p(t) = u(t) · i(t)

(2.12)

stellt den Augenblickswert der Leistung zum Zeitpunkt t dar. Ist p(t) positiv, wird elektrische Leistung verbraucht (ein Ohm’scher Widerstand z.B. erw¨ armt sich), ist die Momentanleistung negativ, wird elektrische Leistung erzeugt (elektrische Energie W = p(t)dt wird ins Netzwerk eingespeist). Nur beim Ohm’schen Verbraucher haben u(t) und i(t) immer gleiches Vorzeichen, ist also p(t) immer positiv. Allgemein gilt ˆ · sin (ωt + ϕu ) u(t) = U

und

i(t) = Iˆ · sin (ωt + ϕi ) ,

woraus sich der Ausdruck f¨ ur die Momentanleistung aus (2.12) und dem trigonometrischen Zusammenhang sin α · sin β = 1/2[cos (α − β) − cos (α + β)] ˆ · sin (ωt + ϕu ) · Iˆ · sin (ωt + ϕi ) p(t) = U 1ˆˆ = U I[cos (ϕu − ϕi ) − cos (2ωt + ϕu + ϕi )]       2 zeitunabh¨ angig

zeitabh¨ angig

(2.13)

118

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange u(t) i(t)

π

2π

ωt

2π

ωt

p(t)

1 2 U I

P

π

p(t) < 0 Abb. 2.15: Strom-, Spannungs- und Momentanleistungsverlauf

ergibt. Der zeitliche Verlauf der Momentanleistung p(t) ist in Abbildung 2.15 allgemein f¨ ur ϕu = ϕi skizziert. • Ist ϕu = ϕi , also ϕui = ϕu − ϕi = 0, gibt es Zeitabschnitte, in denen p(t) < 0 ist. Dann kommt aus dem Verbraucher“ Energie heraus. Dies ist nur m¨oglich, wenn ” in der Schaltung Kapazit¨aten und/oder Induktivit¨aten (Energiespeicherelemente) vorhanden sind. • Ist ϕui = 0, wird mit der Kreisfrequenz 2ω (also der doppelten Frequenz von Spannung und Strom) elektrische Energie im Verbraucher umgewandelt.

2.1 Einf¨ uhrung, Grundbegriffe

119

Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung Wirkleistung Die Wirkleistung 1 P = Ta



Ta

p(t)dt

(2.14)

0

ist die Leistung, die ein Verbraucher in einem bestimmten Zeitraum Ta (z.B. Abrechnungszeitraum des Energieversorgers) im Mittel aufnimmt. F¨ ur sinusf¨ormige Vorg¨ange w¨ahlt man Ta = T = 1/f . Aus den Gleichungen (2.14) und (2.13) folgt P =

1 T



T 0

1ˆˆ U I[cos (ϕu − ϕi ) − cos (2ωt + ϕu + ϕi )]dt.    2 RT 0

=0

Die Wirkleistung bei (reinen) sinusf¨ ormigen Wechselgr¨ oßen lautet also P =

1ˆˆ U I cos ϕui = U I cos ϕui 2

[P ] = W .

(2.15)

Im rechten Term der Gleichung (2.15) sind an Stelle der Scheitelwerte die Effektivwerte (vgl. Gleichung (2.5)) verwendet. Bei Ohm’schen Verbrauchern ist ϕui = 0 und somit P = U I. Blindleistung Die Blindleistung ist definiert als Q=

1ˆˆ U I sin ϕui = U I sin ϕui 2

[Q] = W oder var .

(2.16)

Die Blindleistung ist ein Maß f¨ ur die im Mittel aufgenommene und wieder abgegebene Leistung einer Schaltungskomponente, es wird also keine elektrische Energie in eine andere Energieform umgewandelt. Scheinleistung Die Scheinleistung ist definiert als das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom. S=

1ˆˆ UI = UI 2

[S] = W oder VA

(2.17)

Quadriert und addiert man die Gleichungen (2.15) und (2.16), ergibt sich der Zusammenhang S 2 = U 2 I 2 · (cos 2 (ϕui ) + sin 2 (ϕui )) = P 2 + Q2 aus Schein-, Wirk- und Blindleistung.

(2.18)

120

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Leistungsfaktor Das Verh¨ altnis von Wirkleistung zu Scheinleistung λ=

S · cos ϕui Wirkleistung = cos ϕui = S Scheinleistung

(2.19)

wird Leistungsfaktor genannt. Der Leistungsfaktor ist eins, wenn ausschließlich Wirkleistung umgesetzt wird, die Blindleistung also null ist. Je gr¨oßer das Verh¨altnis von Blindleistung zu Wirkleistung ist, umso geringer wird λ. Besteht die Schaltung nur aus Blindwiderst¨anden, d.h. nur aus Kondensatoren und Spulen, gilt λ = 0. Beispiel 2.7 Geben Sie Wirk-, Blind- und Scheinleistung f¨ ur einen Ohm’schen Widerstand R, eine Kapazit¨at C und eine Induktivit¨at L an, wenn an diesen Schaltelementen eine ˆ · sin(ωt) anliegt. Spannung von U L¨osung:

P Q S

2.2

R U · I = U 2 /R 0 U ·I

C 0 −U · I = −U 2 · ωC U ·I

L 0 U · I = U 2 /(ωL) U ·I

Komplexe Rechnung

In der Wechselstromtechnik sind f¨ ur die Beschreibung von Ursachen- und Wirkungsgr¨ oßen immer zwei Variabel notwendig, n¨ amlich ˆ und ϕu ) oder • Betrag bzw. Amplitude und Phase (z.B. U ˆ ·cos (ωt + ϕ) und U ˆ ·sin (ωt + ϕ)). • die Projektion auf die Koordinatenachsen (z.B. U Die Verwendung von Zeigern hat sich bei der Schaltungsberechnung als sehr hilfreich herausgestellt. In diesem Abschnitt wird daher eine Rechenvorschrift vorgestellt, die es erm¨ oglicht, direkt mit Zeigern zu rechnen.

2.2.1

¨ Ubergang zur komplexen Rechnung

Ein Zeiger (hier Spannungs- oder Stromzeiger) l¨asst sich auf unterschiedliche Weise darstellen, z.B. als Vektor (vgl. Abbildung 2.16)  = Ux · ex + Uy · ey . U Die Rechenregeln von Vektoren passen“ aber nicht auf die Gesetzm¨aßigkeiten der ” Wechselstromlehre. Zudem rotieren Vektoren nicht mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Es wird also eine andere Art der Zeigerdarstellung ben¨otigt.

2.2 Komplexe Rechnung

121

y U

U y ey

U x ex

x

Abb. 2.16: Vektordarstellung einer Spannung

Komplexer Zeiger Zu komplexen Zeigern gelangt man durch Umbenennen/Ersetzen der Einheitsvektoren ex und ey (vgl. Tabelle 2.2).

Vektordarstellung Komplexer Zeiger

x-Komponente ex ---

y-Komponente ey j

Tabelle 2.2: Vergleich Vektordarstellung – komplexe Darstellung

 der Zeiger U . So wird aus dem Vektor U

 = Uxex + Uy ey −→ U = Ux + j · Uy = Ur + jUi U       Vektor

Zeiger

An Stelle der Indizes x und y in den Bezeichnung Ux und Uy werden im Allgemeinen r f¨ ur Real- und i f¨ ur Imagin¨ arteil verwendet. Zur Kennzeichnung von komplexen Gr¨oßen (wie z.B. Str¨ ome oder Spannungen) werden diese unterstrichen, also I oder U . Ur und Ui sind reelle Gr¨ oßen, w¨ ahrend

j 2 = −1

(2.20)

die imagin¨ are Einheit darstellt. Bemerkung: Die Darstellung von Zeigern mit Hilfe von komplexen Gr¨oßen muss sich beim Rechnen, also z.B. beim Addieren von Spannungen oder beim Multiplizieren von Str¨ omen und Widerst¨ anden, bew¨ ahren! Der komplexe Zeiger U kann in der Gauß’schen Zahlenebene (Abbildung 2.17) anschaulich dargestellt werden. Aus Abbildung 2.17 ergibt sich

Ur = Re{U } = U cos ϕu und Ui = Im{U } = U sin ϕu ,

(2.21)

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

imaginäre Achse

122

-1

Länge = |U| = U U

Ui

j ϕu

-j

1

Ur

reelle Achse

Abb. 2.17: Darstellung von U in der Gauß’schen Zahlenebene

wobei U = |U |

die L¨ange bzw. den Betrag des Zeigers und ϕu den Winkel gegen die positiv reelle Halbachse darstellt. Der Betrag eines komplexen Zeigers (oder auch einer komplexen Zahl bzw. Gr¨ oße) |U | ergibt sich durch Multiplikation mit dem konjugiert komplexen Zeiger und Wurzelbildung, also

U = |U | =



U · U∗ =



 (Ur + jUi )(Ur − jUi ) =

Ur 2 + Ui 2 .

(2.22)

Bemerkung: Der konjugiert komplexe Zeiger ergibt sich durch Vorzeichen¨ anderung des Imagin¨ arteils. Der Winkel resultiert aus ⎧ U ⎪ ⎨ arctan i Ur ϕu = U ⎪ ⎩ arctan i ± π Ur

f¨ ur

Ur > 0

f¨ ur

Ur < 0

.

Die Euler’sche Formel Zur Herleitung der Euler’schen Formel betrachtet man die Reihenentwicklungen

1 1 2 ϕ + ϕ4 ... 4! 2! 1 1 3 1 j sin ϕ = j( ϕ − ϕ + ϕ5 5! 3! 1! cos ϕ = 1 −

und

...) ,

(2.23)

2.2 Komplexe Rechnung

123

addiert beide Gleichungen cos ϕ + j sin ϕ = 1 +

1 1 1 (jϕ)1 + (jϕ)2 + (jϕ)3 ... ≡ ejϕ 3! 2! 1!

und erh¨alt schließlich die Euler’sche Formel

ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ .

(2.24)

ange) eins ist. Die Gr¨oße ejϕ heißt Einheitszeiger E , da der Betrag (seine L¨ Ein beliebiger Zeiger U = Ur + jUi = U (cos ϕ + j sin ϕ) = U ejϕ

(2.25)

kann somit als Produkt aus seinem Betrag U und dem Einheitszeiger E = ejϕ dargestellt werden.

Beispiel 2.8 a) Beweisen Sie |E | = 1.

b) Die Projektion eines Stromzeigers auf die Realteil- und die Imagin¨arteilachse sei 3A und 4A. Der Zeiger ist auf zwei verschiedene Arten als komplexe Gr¨oße darzustellen. L¨osung:

 a) |E | = |ejϕ | = | cos ϕ + j sin ϕ| = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 √ ◦ b) I = (3 + j4)A oder I = 32 + 42 · ej arctan(4/3) A = 5 · ej53,13 A

Rechenregeln Die Euler’sche Formel (2.24) beschreibt den Zusammenhang zwischen kartesischen (rechtwinkligen) Koordinaten und Polarkoordinaten (Betrag und Phase). Die Umformung von einem in das jeweils andere Koordinatensystem geht aus der Zusammenstellung • Polar −→ rechtwinklig: Gleichungssystem (2.21) • Rechtwinklig −→ polar: Gleichungen (2.22) und (2.23) hervor. Beide Darstellungen sind v¨ollig gleichberechtigt, es kann also beliebig zwischen beiden Varianten gew¨ahlt werden. Die wichtigsten Rechenregeln komplexer Zeiger sind in Tabelle 2.3 zusammengefasst.

124

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

∗

A dA /dt A · dt A+B A−B A·B A/B

Rechtwinklige Koordinaten Ar − jAi jω · (Ar + jAi ) falls α = ωt! (Ar + jAi )/(jω) falls α = ωt! (Ar + Br ) + j(Ai + Bi ) (Ar − Br ) + j(Ai − Bi ) (Ar Br − Ai Bi ) + j(Ar Bi + A"i Br ) # (Ar Br + Ai Bi − j(Ar Bi − Ai Br )) / Br 2 + Bi 2

Polarkoordinaten Ae−jα jωA · ejα Aejα /(jω) Aejα + Bejβ Aejα − Bejβ ABej(α+β) A/B · ej(α−β)

Tabelle 2.3: Rechenregeln komplexer Zahlen: A = Ar + jAi = Aejα ; B = Br + jBi = Bejβ

Beispiel 2.9 Gegeben sind die komplexen Zahlen A = 1 + j2 und B = 2 − j. Zu berechnen ist A∗ , A + B , A − B , A · B und A/B .

L¨ osung: ∗

A A+B A−B A·B A/B

2.2.2

Rechtwinklige Koordinaten 1 − j2 3+j −1 + 3j 4 + j3 j

Polarkoordinaten √ −j63,4◦ 5e √ j63,4 ◦ −j26,6◦ 5(e √ j63,4◦ + e−j26,6◦ ) 5(e −e ) ◦ 5ej36,8 ◦ ej90

Anpassung der komplexen Rechnung an die Wechselstromlehre

Dieser Abschnitt beschreibt die Anpassung der komplexen Rechnung an die Gesetzm¨aßigkeiten der Wechselstromlehre. Komplexe Wechselstromgr¨ oßen Bisher wurde die Darstellung von Zeigern in der Gauß’schen Zahlenebene erl¨autert. Ein beliebiger Zeiger U = Ur + jUi = U (cos ϕu + j sin ϕu ) = U ejϕu

kann sowohl in rechtwinkligen Koordinaten als auch in Polarkoordinaten dargestellt werasentiert jedoch nur den Effektivwert (hier einer Spannung) zum den. Der Zeiger U repr¨ Zeitpunkt t = 0, er wird daher auch komplexer Effektivwert“ genannt. Zur Darstellung ” von komplexen, zeitlich abh¨ angigen Spannungen (oder auch Str¨ omen) ben¨ otigt man ˆ ein. F¨ ur sinusf¨ ormige den Scheitelwert und f¨ uhrt deshalb die komplexe Amplitude“ U ” Gr¨ oßen gilt in Anlehnung an Gleichung (2.5)

ˆ= U

√

2·U .

(2.26)

2.2 Komplexe Rechnung

125

Um zu einem zeitabh¨ angigen Zeiger, also einem rotierenden Zeiger mit Winkelgeschwinˆ mit dem komplexen Zeitfaktor“ ejωt und digkeit ω zu gelangen, multipliziert man U ” erh¨alt

ˆ ejϕu ejωt = U ˆ ej(ωt+ϕu ) ˆ ejωt = U u(t) = U ˆ [cos (ωt + ϕu ) + j sin (ωt + ϕu )] . = U

(2.27)

Der Schritt von der komplexen zeitlichen Darstellung einer Spannung u(t) oder eines Stromes i(t) zur reellen Beschreibung u(t) bzw. i(t) ist trivial. Je nachdem ob u(t) durch eine Sinusfunktion

ˆ sin (ωt + ϕu ) = Im{u(t)} u(t) = U

(2.28)

oder eine Cosinusfunktion ˆ cos (ωt + ϕu ) = Re{u(t)} u(t) = U

(2.29)

beschrieben wird, nimmt man entweder den Imagin¨ arteil oder den Realteil von u(t).

Kirchhoff ’sche Gesetze in komplexer Form Maschengleichung Die Maschengleichung in reeller Form lautet: m 

un (t) =

n=1

m 

unr (t) = 0

(2.30)

n=1

Bei der Beschreibung der zeitlich abh¨angigen Spannung u(t) = ur (t) + j · ui (t) in komplexer Form existiert neben dem reellen Anteil noch die Projektion des Zeigers auf die imagin¨are Achse. Das f¨ uhrt zu einer Betrachtung von reellen und imagin¨aren Teilspannungen einer Masche: m 

m 

un (t) =

n=1

n=1



unr (t)





+j

m 

uni (t)

n=1

=0 laut Gl. (2.30)

Da die Summe von komplexen, rotierenden Spannungszeigern nicht allgemein imagin¨ ar sein darf, muss auch die komplexe Summe der Teilspannungen verschwinden. Die Kirchhoff’sche Maschengleichung gilt also auch im Komplexen: m  n=1

un (t) = 0

(2.31)

126

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

$ˆ $ ˆ jωt $ = 0 gilt die Maschengleichung auch f¨ ur nichtrotie= ejωt U U ·e Mit u(t) = rende, komplexe Spannungszeiger m 

ˆ =0 U n

oder

m 

Un = 0 .

(2.32)

n=1

n=1

Knotenpunktgleichung Analog zur obigen Vorgehensweise ergibt sich die komplexe Form der Knotenpunktgleichung k 

Iˆn = 0

oder

k 

In = 0 .

(2.33)

n=1

n=1

Komplexe Beschreibung von Schaltelementen Ohm’scher Widerstand Fließt ein sinusf¨ ormiger Wechselstrom durch einen Ohm’schen Widerstand, so besteht zu jedem Zeitpunkt zwischen den Augenblickswerten des Stroms i(t) und der Spannung u(t) Proportionalit¨ at. Es gilt das Ohm’sche Gesetz u(t) = R · i(t)

(2.34)

in reeller Form. Das Ohm’sche Gesetz in komplexer Form lautet u(t) = R · i(t) .

Wird die letzte Gleichung nach R aufgel¨ ost

√ ˆ · ejωt 2U · ejωt U u(t) , = √ = R= i(t) 2I · ejωt Iˆ · ejωt

ergibt sich der Zusammenhang von Spannung und Strom bei Ohm’schen Widerst¨ anden in komplexer Form

ZR = R =

ˆ U U . = ˆ I I

(2.35)

achsten Das Formelzeichen Z bezeichnet allgemein einen komplexen Widerstand (vgl. n¨ Abschnitt auf Seite 128), der im Falle eines Ohm’schen Widerstandes rein reell ist. ˆ jϕi und ϕu = ϕi folgt der bereits bekannte Zusammenhang ˆ ejϕu , Iˆ = Ie ˆ = U Mit U ˆ ˆ R = U /I = U/I in reeller Form.

2.2 Komplexe Rechnung

127

Spulen Bei Spulen gilt f¨ ur die (reellen) Momentanwerte u(t) und i(t) der Zusammenhang u(t) = L

di(t) . dt

(2.36)

In komplexer Form lautet dieser u(t) = L

di(t) . dt

ˆ ejωt und i(t) = Iˆejωt folgt Mit u(t) = U

ˆ jωt ˆ ejωt = L dI e = jωLIˆejωt U dt

oder kurz

Z L = jωL =

ˆ U U . = I Iˆ

(2.37)

Aus der Differentialgleichung (2.36) wird also die lineare Gleichung (2.37)!

aten Die Gr¨ oße Z L bzw. jωL ist ein komplexer Widerstand. Er ist bei idealen Induktivit¨ rein imagin¨ar und bewirkt somit eine Phasendrehung der Spannung in Bezug zum Strom um π/2. Beweis: Es gilt j = ejπ/2 = cos (π/2) + j sin (π/2) = 0 + j · 1. Eingesetzt in Gleichung (2.37) ergibt sich ˆ = jωLIˆ U ˆ j(ϕi +π/2) . ˆe ˆ jϕi = ωLIe = ωLejπ/2 Ie U jϕu

Wie aus vorigem Abschnitt 2.1 bereits bekannt ist, gilt: ϕu = ϕi + π/2

und

ˆ = ωLIˆ U

Kondensator Bei Kondensatoren gilt allgemein i(t) = C

du(t) dt

bzw. in komplexer Form i(t) = C

du(t) . dt

(2.38)

128

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

ˆ ejωt folgt Mit i(t) = Iˆejωt und u(t) = U

ˆ ejωt dU ˆ ejωt = jωC U Iˆejωt = C dt

und schließlich

ZC =

ˆ U U 1 1 . = = = −j ˆ I ωC jωC I

(2.39)

Die Gr¨ oße 1/jωC ist ebenfalls ein komplexer Widerstand. Wie bei Spulen ist er rein imagin¨ ar und bewirkt daher eine Phasendrehung der Spannung in Bezug zum Strom um −π/2. Mit −j = e−jπ/2 = cos (−π/2) + j sin (−π/2) = 0 + j · (−1) l¨asst sich Gleichung (2.39) in ˆ = −j 1 Iˆ U ωC 1 jϕ u ˆ j(ϕi −π/2) ˆ jϕi = 1 Ie ˆe e−jπ/2 Ie = U ωC ωC

umformen, woraus sich die bekannte Beziehung ϕu = ϕi − π/2

und

ˆ = 1 Iˆ U ωC

ergibt. Darstellung der Grundbauelemente in der komplexen Widerstandsebene Abbildung 2.18 zeigt die komplexen Widerst¨ ande der drei Grundbauelemente in der Gauß’schen Zahlenebene. Physikalische Widerst¨ ande liegen immer in der rechten Halbebene, w¨ ahrend Spannungs- und Stromzeiger in der vollen Ebenen rotieren. Komplexer Widerstand, komplexer Leitwert Komplexer Widerstand Unter dem komplexen Widerstand Z=

ˆ ˆ ejωt U U U u(t) = = = jωt ˆ ˆ I i(t) I Ie

(2.40)

versteht man das Verh¨ altnis zwischen den komplexen Momentanwerten von Spannung und Strom. Er ist gleich dem Verh¨ altnis der komplexen Amplituden bzw. Effektivwerte von Spannung und Strom. Ein komplexer Widerstand l¨asst sich f¨ ur jedes Gebilde mit

2.2 Komplexe Rechnung

129

i.A.

Z

jωL

komplexe Widerstandsebene

R r.A. .

-j 1/ωC

Abb. 2.18: Darstellung der Bauelemente R, L und C in der komplexen Widerstandsebene bei einer Frequenz

zwei Klemmen (vgl. Abbildung 2.21), also jeden Zweipol bestehend aus Widerst¨ anden, Kondensatoren, Spulen und linearisierten Bauelementen definieren. Gleichung (2.40) kann man in folgende Form umschreiben: Z=

U U ejϕu = ej(ϕu −ϕi ) = Zejϕz I Iejϕi

(2.41)

Der komplexe Widerstand hat den Betrag Z = U/I, auch Scheinwiderstand oder Impedanz genannt, und den Winkel ϕz = ϕu − ϕi . Er rotiert nicht, da ejωt fehlt. Der komplexe Widerstand l¨ asst sich auch in kartesischen Koordinaten Z = Z(cos ϕz + j sin ϕz ) = R + jX

(2.42)

mit dem Wirkwiderstand oder Resistanz R = Z cos ϕz (Realteil) und dem Blindwiderstand oder Reaktanz X = Z sin ϕz (Imagin¨arteil) schreiben. Es gilt Z=



R2 + X 2

und

ϕz = ϕu − ϕi = arctan

X . R

Komplexer Leitwert Der komplexe Leitwert Y =

1 1 1 I i(t) = e−jϕz = Y ejϕy = = = Z Zejϕz Z U u(t)

(2.43)

gibt das Verh¨ altnis der komplexen Augenblicks-, Scheitel- oder Effektivwerte von Strom zu Spannung wieder, er ist also der Kehrwert des komplexen Widerstandes. Dr¨ uckt man alt man Y in kartesischen Koordinaten aus, erh¨

Y = Y ejϕy = Y (cos ϕy + j sin ϕy ) = G + jB .

(2.44)

130

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Y nennt man Scheinleitwert oder Admittanz, G = Y cos ϕy Wirkleitwert oder Konur Betrag und Phase des duktanz und B = Y sin ϕy Blindleitwert oder Suszeptanz. F¨ Scheinleitwertes gilt Y =

2.2.3



G2 + B 2

und

ϕy = ϕi − ϕu = arctan

B . G

Wechselstromschaltungen

Beispiel f¨ ur die Berechnung von Wechselstromschaltungen An einem Beispiel soll demonstriert werden, wie mit Hilfe der komplexen Rechnung Schaltungen einfach und effizient berechnet werden k¨onnen. Als Beispiel dient die aus Abschnitt 2.1 bekannte Schaltung (Abbildung 2.19). I R

UR

L

UL

U

Abb. 2.19: Serienschaltung aus R und L.

Gegeben: Spannung U , die Schaltelemente R und L sowie die Kreisfrequenz ω.

Gesucht: Strom I und die Teilspannungen U R , U L .

Aus der Maschengleichung f¨ ur die komplexen Effektivwerte U = UR + UL

und den Gleichungen f¨ ur die Teilspannungen UR = R · I ,

U L = jωL · I

folgt U = (R + jωL) · I

(2.45)

2.2 Komplexe Rechnung

131

bzw. nach Umstellung I=

U . R + jωL

(2.46)

Aus dem Ergebnis der Gleichung (2.46) und dem Gleichungssatz (2.45) folgen die Teilspannungen UR = U

R R + jωL

und

UL = U

jωL . R + jωL

Im zweiten Schritt werden aus den komplexen Effektivwerten (man kann nat¨ urlich auch mit komplexen Scheitelwerten rechnen) die reellen Momentanwerte i(t), uR (t) usw. durch Projektion auf die imagin¨are oder reelle Achse ermittelt. War die gegebene Gr¨ oße im Reellen eine Sinusgr¨oße ˆ sin (ωt + ϕu ) = u(t) = U

√

2 · U · Im{ejϕu ejωt } ,

nimmt man den Imagin¨arteil von i(t), uR (t) usw. War die gegebene Spannung im Reellen eine Cosinusgr¨ oße

ˆ cos (ωt + ϕu ) = u(t) = U

√

2 · U · Re{ejϕu ejωt } ,

gehen die gesuchten Gr¨oßen aus dem Realteil hervor. Knotenpotentialanalyse Die Vorgehensweise bei der Wechselstrom-Knotenpotentialanalyse (KPA) ist identisch zu der bei Gleichstrom. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Elemente der Leitwertmatrix sowie der Stromquellenvektor und der Knotenspannungsvektor komplex sind. Das Gleichungssystem sieht also folgendermaßen aus: [Y ] · U n0 ] = I q ]

(2.47)

Die Berechnung der L¨osung kann entweder direkt mit komplexen Zahlen erfolgen, oder aus dem komplexen Gleichungssystem wird ein reelles Gleichungssystem gebildet, indem aus n komplexen Gleichungen 2 · n reelle Gleichungen generiert werden. Exemplarisch soll das Vorgehen an der einfachen komplexen Gleichung Y ·U = I (Yr + jYi ) · (Ur + jUi ) = Ir + jIi (Yr Ur − Yi Ui ) + j(Yr Ui + Yi Ur ) = Ir + jIi

veranschaulicht werden. In Matrixschreibweise lautet die vorige Gleichung      Y r Ur − Yi Ui Yr −Yi Ur Ir = · = . Yr Ui + Yi Ur Yi Yr Ui Ii

132

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Bei n unabh¨ angigen, komplexen Knotenpotentialen liegt das Gleichungssystem

⎤ ⎤ ⎤ I q1 U 10 Y 11 . . . Y 1n ⎣ ... ... ... ⎦ · ...⎦ = ...⎦ I qn U n0 Y n1 . . . Y nn ⎡

(2.48)

vor, woraus das reelle Gleichungssystem bestehend aus 2 · n Gleichungen ⎡

Yr11 ⎢ ... ⎢ ⎢ Yrn1 ⎢ ⎢ Yi11 ⎣ ... Yin1

... ... ... ... ... ...

Yr1n ... Yrnn Yi1n ... Yinn

−Yi11 ... −Yin1 Yr11 ... Yrn1

... ... ... ... ... ...

⎤ −Yi1n ... ⎥ ⎥ −Yinn ⎥ ⎥· Yr1n ⎥ ... ⎦ Yrnn

⎤ Ur10 ...⎥ ⎥ Urn0 ⎥ ⎥= Ui10 ⎥ ...⎦ Uin0

⎤ Irq1 ...⎥ ⎥ Irqn ⎥ ⎥ Iiq1 ⎥ ...⎦ Iiqn

(2.49)

gebildet werden kann. Beispiel 2.10 Gegeben ist das abgebildete Netzwerk 2.20 mit den komplexen Widerstandswerten der Bauelemente bezogen auf 1kΩ. -j/4

1 j/3

2

1/4

3

U q1 =10V

j

j/2

-j/5

0

j/3

U q2 = -0,25V

Abb. 2.20: Beispiel zur Knotenpotentialanalyse

a) Wie lautet die unmodifizierte Leitwertmatrix [Y ] mit Zahlenwerten?

b) Bilden Sie den unmodifizierten Stromquellenvektor. c) Schreiben Sie das modifizierte Gleichungssystem in komplexer Form an. d) Schreiben Sie das modifizierte Gleichungssystem in reeller Form an.

2.2 Komplexe Rechnung

133

L¨ osung: a) Komplexe Widerst¨ ande in komplexe Leitwerte umrechnen (Yii in mS): ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −j − 3j + 4j 3j −4j 0 3j −4j ⎣ ⎦ = ⎣ 3j 4 −4 ⎦ 3j −3j − 2j + 5j + 4 −4 −4j −4 4j − 3j + 4 −4j −4 4 + j b) Spannungsquelle Uq2 in Stromquelle Iq2 = Uq2 ·(−j3) = 0, 75·j·mA umrechnen. Z¨ ahlpfeil der Stromquelle zeigt von Knoten 3 zu Knoten 0! ⎤ 0 0⎦ −0, 75 · j · mA c) Spannungsquelle Uq1 einbauen: Dazu Zeile 1 auf Zeile 0 addieren und Gleichung 0 − U10 = 10V in Zeile 1 ber¨ ucksichtigen. ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ 10V −1 0 0 U 10 ⎣ 3j 4 −4 ⎦ · U 20 ⎦ = 0⎦ −0, 75 · j · mA U 30 −4j −4 4 + j

d) Reelle Form: ⎡

−1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣ 3 −4

2.2.4

0 4 −4 0 0 0

0 −4 4 0 0 1

0 −3 4 −1 0 0

0 0 0 0 4 −4

⎤ 0 0 ⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎥· 0 ⎥ −4 ⎦ 4

⎤ ⎤ 10V Ur10 Ur20 ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ Ur30 ⎥ 0⎥ ⎥= ⎥ Ui10 ⎥ 0⎥ ⎦ Ui20 0⎦ Ui30 −0, 75mA

Komplexe Zweipole

Werden in einem Netzwerk zwei Knoten als Klemmenpaare ausgezeichnet, erh¨alt man einen Zweipol (oder Eintor). Ein Eintor, wie in Abbildung 2.21 skizziert, beinhaltet beliebig viele passive Schaltungskomponenten und (sinusf¨ormige) Quellen. I U

Netzwerk: beliebig viele R, L, C, U q , I q

Abb. 2.21: Zweipol

134

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Ein Zweipol heißt aktiv, wenn er neben beliebig vielen Verbrauchern eine oder mehrere Quellen gleicher Frequenz enth¨ alt. F¨ ur jeden aktiven Zweipol k¨onnen zwei ¨aquivalente Ersatzschaltungen (Abbildung 2.22a) und b)) angegeben werden. Die Vorgehensweise bei der Berechnung der Ersatzelemente ist an die der Gleichstromlehre angelehnt. Ist ein Zweipol passiv, besteht die Ersatzschaltung nur aus dem komplexen Ersatzwiderstand (vgl. Abbildung 2.22 c)).

Z ie U qe

I

I

U

a) aktiver Zweipol

I qe

Z ie

U

b) aktiver Zweipol

Z ie

c) passiver Zweipol

Abb. 2.22: Ersatzschaltungen aktiver und passiver Zweipole

Bei der Berechnung der Ersatzelemente geht man wie folgt vor: • Ermittlung des komplexen Ersatzinnenwiderstandes Z ie durch Kurzschließen aller Spannungsquellen sowie Entfernen aller Stromquellen.

• Berechnung der Leerlaufspannung U Leerlauf = U qe oder des Kurzschlussstromes I Kurzschluss = I qe .

Beispiel 2.11 Zu berechnen sind der komplexe Ersatzwiderstand und der Ersatzleitwert der Schaltung in Abbildung 2.19. L¨ osung: Z ie = R + jωL ωL R 1 −j 2 = 2 Y ie = 2 2 R + ω 2 L2 R +ω L R + jωL

2.2.5

Zweitore

Mathematische Beschreibung In sehr vielen Anwendungen interessiert man sich f¨ ur das Verhalten einer Schaltung bez¨ uglich einer Eingangsgr¨ oße zu einer Ausgangsgr¨oße. Abbildung 2.23 zeigt ein Zweitor mit einem Eingangs- und einem Ausgangsklemmenpaar. Bemerkung: Vielfach findet man in der Literatur auch den Ausdruck Vierpol statt Zweitor. Bei einem Vierpol sind jedoch alle Anschlussklemmen gleichberechtigt; eine Zuordnung von Eingangs- und Ausgangsklemmenpaaren ist nicht gegeben.

2.2 Komplexe Rechnung I1 U1

Netzwerk: beliebig viele R, L, C, U q , I q

135 I2 U2

Abb. 2.23: Zweitor

Beispiele f¨ ur Zweitore sind Transformatoren, Leitungen, Filter, Verst¨arker, usw. Beschrieben wird ein solches Gebilde mit Hilfe der Zweitortheorie. Es gilt U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2 U 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 2 ,

(2.50)

wobei

 [Z ] =

Z 11 Z 12 Z 21 Z 22



als Widerstandsmatrix bezeichnet wird. Die Elemente der Widerstandsmatrix ergeben sich aus Gleichung (2.50), also z.B. Z 11 =

U1 I1

bei

I2 = 0 .

Eine ¨aquivalente Zweitorbeschreibung bildet die Leitwertmatrix   Y 11 Y 12 = [Z ]−1 , [Y ] = Y 21 Y 22

wobei gilt: I 1 = Y 11 U 1 + Y 12 U 2 I 2 = Y 21 U 1 + Y 22 U 2

(2.51)

Es gibt noch weitere Zweitorgleichungen wie die erste Hybridform U 1 = H 11 I 1 + H 12 U 2 I 2 = H 21 I 1 + H 22 U 2

mit der Hybridmatrix   H 11 H 12 , [H ] = H 21 H 22

(2.52)

136

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

die inverse Hybriddarstellung I 1 = D11 U 1 + D12 I 2 U 2 = D21 U 1 + D22 I 2

(2.53)

mit der inversen Hybridmatrix   D11 D12 = [H ]−1 [D ] = D21 D22

und die wichtige Kettenform U 1 = A11 U 2 + A12 (−I 2 ) I 1 = A21 U 2 + A22 (−I 2 )

(2.54)

mit der Kettenmatrix   A11 A12 . [A] = A21 A22

¨ Eingangs- und Ausgangswiderstand, Ubertragungsfunktion, R¨ uckwirkung Die Komponenten der Zweitormatrizen werden im Folgenden n¨aher betrachtet. Grunds¨atzlich lassen sie sich in die vier Kategorien Eingangs- und Ausgangswiderstand bzw. ¨ Leitwert sowie Ubertragungsund R¨ uckwirkungsfunktion untergliedern. Eingangswiderstand, Eingangsleitwert Die Gr¨oße U Z 11 = 1 bei I 2 = 0 I1

nennt man Leerlaufeingangswiderstand und Y 11 =

I1 U1

bei

U2 = 0

Kurzschlusseingangsleitwert. Beide Werte beschreiben das Zweitor hinsichtlich seiner eingangsseitigen Impedanz bzw. Admittanz. Ausgangswiderstand, Ausgangsleitwert ¨ Uber das ausgangsseitige Widerstands- bzw. Leitwertverhalten geben Leerlaufausgangswiderstand U Z 22 = 2 bei I 1 = 0 I2

und Kurzschlussausgangsleitwert Y 22 =

Auskunft.

I2 U2

bei

U1 = 0

2.2 Komplexe Rechnung

137

¨ Ubertragungsfunktion, R¨ uckwirkung ¨ Unter der Ubertragungsfunktion versteht man das Verh¨altnis einer Ausgangsgr¨oße U 2 ¨ oße U 1 oder I 1 . Es existieren vier verschiedene Ubertraoder I 2 zu einer Eingangsgr¨ gungsfunktionen, die in folgender Tabelle zusammengefasst sind.

Ausgangsgr¨ oße U 2 D21 = U 2 /U 1 |I 2 =0 Z 21 = U 2 /I 1 |I 2 =0

Eingangsgr¨oße U 1 Eingangsgr¨oße I 1

Ausgangsgr¨ oße I 2 Y 21 = I 2 /U 1 |U 2 =0 H 21 = I 2 /I 1 |U 2 =0

Das R¨ uckwirkungsverhalten eines Zweitors beschreibt den Einfluss einer Ausgangsgr¨oße ¨ auf eine Eingangsgr¨ oße. Wie bei der Ubertragungsfunktion gibt es vier F¨alle:

Eingangsgr¨oße U 1 H 12 = U 1 /U 2 |I 1 =0 Z 12 = U 1 /I 2 |I 1 =0

Ausgangsgr¨oße U 2 Ausgangsgr¨ oße I 2

Eingangsgr¨ oße I 1 Y 12 = I 1 /U 2 |U 1 =0 D12 = I 1 /I 2 |U 1 =0

ur die vier m¨oglichen Gebr¨auchlich sind auch die Abk¨ urzungen AU , AY , AZ und AI f¨ ¨ Ubertragungsfunktionen.

Ausgangsgr¨ oße U 2 AU = U 2 /U 1 AZ = U 2 /I 1

Eingangsgr¨ oße U 1 Eingangsgr¨oße I 1

Ausgangsgr¨oße I 2 AY = I 2 /U 1 AI = I 2 /I 1

Allerdings ist die jeweilige Bedingung am Ausgang anzugeben, also z.B. f¨ ur die Spannungs¨ ubertragung AU = U 2 /U 1 |I 2 =...A der Ausgangsstrom I 2 . Anwendungsbeispiel 2.12:

Dimensionierung eines Tastkopfteilers

Gegeben ist der komplexe Spannungsteiler in Abbildung 2.24. Das komplexe Spannungsteilerprinzip wird unter anderem in der elektrischen Messtechnik bei Tastkopfteilern verwendet. Bei entsprechender Dimensionierung erreicht man nicht nur eine nahezu frequenzunabh¨ angige Spannungsteilung und damit eine Messbereichserweiterung sondern auch eine Erh¨ ohung des Eingangswiderstandes. a) Zu berechnen sind der Leerlaufeingangs- und der Ausgangswiderstand sowie die Leerlaufspannungs¨ ubertragung. b) Wie m¨ ussen die Werte f¨ ur R1 , R2 , C1 und C2 gew¨ahlt werden, damit D21 frequenzunabh¨angig wird? c) Bestimmen Sie die Werte f¨ ur R1 und C1 wenn D21 = 0, 1 sein soll und R2 =1MΩ und C2 =30pF sind. L¨ osung: a) Z 11 Z 22

U 1

1 1 R1 R2 = = + = +

I 1 I =0 1/R1 + jωC1 1/R2 + jωC2 1 + jωC1 R1 1 + jωC2 R2

2 R2 U 2

= = I 2 I =0 1 + jωC2 R2 1

138

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange C1

I1

R1

U1

I2

C2

R2

U2

Abb. 2.24: Komplexer Spannungsteiler

R2 /(1 + jωC2 R2 ) ⇒ R1 /(1 + jωC1 R1 ) + R2 /(1 + jωC2 R2 ) R2 · (1 + jωC1 R1 ) = R1 · (1 + jωC2 R2 ) + R2 · (1 + jωC1 R1 )

D 21 = AU |I 2 =0 =

D21

R1 · (1 + jωC2 R2 ) 1 ⇒ =1+ R2 · (1 + jωC1 R1 ) u ¨ R1 + jωC2 R2 R1 = (1/¨ u − 1)(R2 + jωC1 R1 R2 ) Aus dem Realteil folgt R1 = (1/¨ u − 1) · R2 . u − 1) · C1 . Aus dem Imagin¨ arteil folgt C2 = (1/¨ Aus den letzten beiden Gleichungen erh¨ alt man C1 R1 = C2 R2 .

¨ b) D 21 = f (ω) = u

(¨ u reell)

⇒

¨ = 0, 1 ⇒ R1 = (10 − 1) · R2 = 9MΩ; C1 = c) D 21 = u

C2 R2 = 3, 333pF R1

Zusammenschaltung von Zweitoren Je nach Art der Verschaltung von Zweitoren kommen die einzelnen Formen der Zweitorgleichungen zum Einsatz. Bei der in Abbildung 2.25 dargestellten Reihenschaltung ergibt sich die Eingangsspannung U 1 = U A1 + U B1 und die Ausgangsspannung U 2 = U A2 + U B2 aus der Summe der Spannungen der einzelnen Zweitore. Setzt man f¨ ur die beiden Zweitore die Zweitorgleichungen in der Z-Darstellung (Gleichung (2.50)) ein,

U 1 = U A1 + U B1 = (Z A11 + Z B11 )I 1 + (Z A12 + Z B12 )I 2 U 2 = U A2 + U B2 = (Z A21 + Z B21 )I 1 + (Z A22 + Z B22 )I 2 ,

ergibt sich die Widerstandsmatrix des Ersatzzweitores [Z ] = [Z A ]+[Z B ] aus der Summe der Widerstandsmatrizen der einzelnen Zweitore.

Auf ¨ahnlich Weise l¨ asst sich der Nachweise [Y ] = [Y A ]+[Y B ] bei einer Parallelschaltung von Zweitoren f¨ uhren.

2.2 Komplexe Rechnung

1

I2

I1

ZA

U A1

U1

1'

139

I1

ZB

1

U2

U B2

2'

I2

I1

2

YA

U A2

I2

U B1

2

YB

1'

2'

Abb. 2.25: Reihenschaltung (links) und Parallelschaltung (rechts) von Zweitoren

In Abbildung 2.26 sind zwei Zweitore gezeichnet, deren Eingangsklemmen in Reihe und Ausgangsklemmen parallel geschaltet sind und umgekehrt. F¨ ur die links gezeichnete Reihen-Parallelschaltung addieren sich die H-Matrizen zur Reihenparallelmatrix des Erur die rechts gezeichnete Parallel-Reihenschaltung satzzweitores [H ] = [H A ]+[H B ] und f¨ die D-Matrizen zur Parallelreihenmatrix [D ] = [D A ] + [DB ].

1

1'

2

HA

HB

1

2'

DA

DB

1'

2

2'

Abb. 2.26: Reihen-Parallelschaltung (links) und Parallel-Reihenschaltung (rechts) von Zweitoren

Werden mehrere Zweitore hintereinander in Kette geschaltet, wie in Abbildung 2.27, kommt die Kettenmatrix zum Einsatz. Wegen des negativen Vorzeichens beim Ausur das Ersatzzweitor gangsstrom (−I 2 ) in Gleichung (2.54) ergibt sich die Kettenmatrix f¨ aus der Multiplikation [A] = [AA ] · [AB ].

1 1'

-I A2 = I B1

AA

AB

Abb. 2.27: Kettenschaltung von Zweitoren

2 2'

140

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

2.2.6

Komplexe Leistung

In Abschnitt 2.1 wurden die Begriffe Wirkleistung“, Blindleistung“ und Scheinlei” ” ” stung“ eingef¨ uhrt. Das Ergebnis der reellen Rechnung war: • Wirkleistung: P = U I cos ϕui ; • Blindleistung: Q = U I sin ϕui ; • Scheinleistung: S = U I. Ziel ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem man Wirk-, Blind- und Scheinleistung aus den komplexen Effektivwerten des Stromes und der Spannung bestimmen kann. Zu diesem Zweck definiert man den komplexen Leistungszeiger

S = U · I∗ .

(2.55)

Das Produkt aus komplexer Spannung und konjugiert komplexem Strom wird auch komplexe Leistung genannt. Der komplexe Leistungszeiger ist feststehend, dreht sich also nicht. Mit

1 ˆ jϕu e = U ejϕu und U = √ U 2 1 ˆ −jϕi = Ie−jϕi I ∗ = √ Ie 2

folgt f¨ ur S

S = U · I ∗ = U ejϕu Ie−jϕi = U Iejϕui = U I cos ϕui +j · U I sin ϕui = P + j · Q .       Wirkleistung

(2.56)

Blindleistung

arteil Der Realteil der komplexen Leistung S liefert also die Wirkleistung, der Imagin¨ entspricht der Blindleistung, und der Betrag der komplexen Leistung ergibt die Scheinleistung. P = Re{S } Q = Im{S } S = U I = |S |

(2.57)

Mit Gleichungssatz (2.57) k¨ onnen aus der komplexen Leistung S alle anderen Leistungen P , Q und S berechnet werden.

Die komplexe Leistung l¨asst sich auch mit Hilfe von komplexen Widerst¨ anden oder Leitwerten darstellen. S = U · I ∗ = (Z · I ) · I ∗ = I 2 Z = I 2 /Y oder S = U · I ∗ = U · (U · Y )∗ = U · U ∗ · Y ∗ = U 2 Y ∗ = U 2 /Z ∗

(2.58)

2.3 Wichtige Betriebsf¨ alle in Schaltungen

141

Bei Verwendung der Effektivspannung muss mit konjugiert komplexen Widerst¨anden bzw. Leitwerten gerechnet werden. Bei Verwendung des Effektivstromes rechnet man mit komplexen Widerst¨ anden oder Leitwerten. Beispiel 2.13 Berechnen Sie die komplexe Leistung aus◦ der komplexen Spannung U = 10V ej30 und dem komplexen Strom I = 10Ae−j60 .

◦

◦

L¨ osung: S = U · I ∗ = 100ej90 VA = j100VA

2.3

Wichtige Betriebsf¨alle in Schaltungen

Dieser Abschnitt befasst sich mit wichtigen Betriebsf¨ allen in Wechselstromschaltungen, wie Leistungsanpassung, Blindleistungskompensation und Resonanz.

2.3.1

Leistungsanpassung

Anpassbedingung In vielen Anwendungen, wie z.B. bei der Daten¨ ubertragung in der Nachrichtentechnik, m¨ochte man einer Quelle maximale Wirkleistung entnehmen. Die Frage ist also, bei welchem Abschlusswiderstand Z a = Ra + jXa die in ihm umgesetzte Wirkleistung maximal ist. Die Quelle wird als aktiver Zweipol (Abbildung 2.28) mit dem komplexen Innenwiderstand Z i = Ri + jXi dargestellt.

Zi Uq

I

Pa

U

Za

Abb. 2.28: Ersatzschaltung zur Berechnung der Leistungsanpassung

Die Wirkleistung Pa ergibt sich als Realteil der komplexen Leistung S a .

Pa = Re{S a } = Re{U · I ∗ } = Re{Z a · I · I ∗ } = Re{Z a · I 2 } = Ra I 2

Mit I=

Uq Uq = Ra + Ri + j(Xa + Xi ) Za + Zi

folgt Pa =

Ra Uq2 . (Ra + Ri )2 + (Xa + Xi )2

(2.59)

142

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Im Ausdruck (2.59) sind Ra und Xa variable Gr¨oßen, w¨ahrend Ri , Xi und nat¨ urlich auch Uq die Wechselstromeigenschaften der Quelle darstellen und daher Konstanten sind. Die Wirkleistung Pa ist demnach von Ra und Xa abh¨angig. Um die lokalen Extremstellen der Funktion (2.59) zu finden, werden die partiellen Ableitungen

∂Pa dPa

= ∂Ra dRa Xa =konst.

und

∂Pa dPa

= ∂Xa dXa Ra =konst.

berechnet und null gesetzt. Mit der Abk¨ urzung N = (Ra + Ri )2 + (Xa + Xi )2 erh¨ alt man:

Uq2 ∂Pa = 2 [N · 0 − Ra 2(Xa + Xi )] = 0 N ∂Xa Uq2 ∂Pa = 2 [N − Ra 2(Ra + Ri )] = 0 N ∂Ra

(2.60)

Da N , Uq und Ra ungleich null sind, ist die erste Gleichung im Ausdruck (2.60) erf¨ ullt f¨ ur Xa = −Xi .

(2.61)

Aus der zweiten Gleichung von (2.60) und Gleichung (2.61) folgt nach kurzer Zwischenrechnung Ra = Ri .

(2.62)

Die Anpassbedingung lautet also zusammengefasst

Z a = Ra + jXa = Ri − jXi = Z ∗i .

(2.63)

Gilt obige Gleichung, wird von der Quelle die maximale Wirkleistung PaM ax =

Uq2 4Ri

(2.64)

an den Verbraucher abgegeben. Bemerkung: Auf den Beweis, dass unter der Bedingung (2.63) die im Verbraucher Z a umgesetzte Wirkleistung tats¨achlich maximal wird, sei an dieser Stelle verzichtet.

Fehlanpassung In vielen F¨ allen kann der reelle und imagin¨ are Abschlusswiderstand Ra und Xa nicht frei gew¨ ahlt werden. In diesem Fall bleiben Anpassfehler. Die normierte Wirkleistung p=

Pa

PaM ax

(2.65)

2.3 Wichtige Betriebsf¨ alle in Schaltungen

143

gibt das Verh¨ altnis der Ausgangswirkleistung (bei Fehlanpassung) zur Maximalleistung an. Mit den Gleichungen (2.59) und (2.64) ergibt sich p=

4Ra Ri . (Ra + Ri )2 + (Xa + Xi )2

Diese Gleichung kann man umformen:

Ri2

Ri2 + 2Ra Ri + Ra2 + (Xa + Xi )2 = 4Ra Ri /p + 2Ra Ri (1 − 2/p) + Ra2 + (Xa + Xi )2 = 0 " # 2 [Ra − Ri (2/p − 1)] + (Xa + Xi )2 = 4Ri2 1/p2 − 1/p

2

.

j X a / Ri

p=0,5

1

0

-j . X i / R i

p=0,7

p=0,8

p=0,9

Z i*/R i

-1

p=1

-2

-3

0

1

2

3

4

5 Ra / Ri

Abb. 2.29: Fehlanpassungskurven

Der letzte Ausdruck entspricht einer Kreisgleichung mit dem  Mittelpunkt:

Ri (2/p − 1) ; − Xi



144

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

und dem Radius:

2Ri



1/p2 − 1/p .

In Abbildung 2.29 ist der Zusammenhang zwischen der normierten Wirkleistung p und den normierten Abschlusswiderst¨ anden Ra /Ri und Xa /Ri graphisch dargestellt. Man erkennt eine geringe Empfindlichkeit gegen Fehlanpassung. So f¨ uhrt ein etwa doppelt so großer Ausgangswiderstand Ra = 2Ri wie im Anpassfall (Ra = Ri ) zu einer normierten Leistung p von immer noch nahezu 90%. Abbildung 2.29 gibt weiterhin Aufschluss dar¨ uber, wie bei Unerf¨ ullbarkeit der Anpassbedingung die Wirkleistung im Verbraucher maximiert werden kann. Ist beispielsweise die Gr¨ oße Ra fest vorgegeben, so kann der Wert f¨ ur Xa graphisch ermittelt werden, bei der die normierte Leistung p und somit die Wirkleistung im Verbraucher maximal wird. Generell gelten bei Fehlanpassung folgende Regeln zur Wirkleistungsoptimierung: • Ra ist fest vorgegeben und Ra = Ri : Xa so w¨ ahlen, dass gilt Xa = −Xi . • Xa ist fest vorgegeben und Xa = −Xi : ahlen, dass gilt Ra = Ri2 + (Xa + Xi )2 (Betragsanpassung). Ra so w¨

Beispiel 2.14 Gegeben sind die Werte Ri =50Ω, Li =3μH, U q =2V der Elemente aus Abbildung 2.30 und die Frequenz f =1.591MHz. Ri

Li Za

Uq

Ca

Ra

Abb. 2.30: Beispiel zur Leistungsanpassung

a) Zu berechnen sind die Zahlenwerte der Lastelemente f¨ ur Leistungsanpassung sowie die maximale Wirkleistung, die im Verbraucher umgesetzt wird. b) Gesucht ist die Kapazit¨ at Ca , wenn der Ausgangswiderstand Ra =80Ω fest vorgegeben ist und die Wirkleistung im Verbraucher maximal sein soll.

2.3 Wichtige Betriebsf¨ alle in Schaltungen

145

L¨ osung: a) Z i = (50 + j30)Ω; Z a = Z ∗i = (50 − j30)Ω ⇒ Y a = Ga + jBa = 1/Z a = (14, 7 + j8, 82)mS ⇒ Ra = 1/Ga = 68Ω; Ba = ωCa ⇒ Ca = 882pF Uq2 = 20mW PaM ax = 4 · Ri

b) Ra = 80Ω fest vorgegeben und Ra = Ri ⇒ Xa = −Xi w¨ ahlen! ωCa Ra2 Ra Ra ⇒ −j = Za = 1 + ω 2 Ca2 Ra2 1 + ω 2 Ca2 Ra2 1 + jωCa Ra ωCa Ra2 = −30 ⇒ Ca1 = 2, 77nF; Ca2 = 564pF − 1 + ω 2 Ca2 Ra2

2.3.2

Blindleistungskompensation

Die Energie¨ ubertragung erfolgt naturgem¨aß immer u ¨ber verlustbehaftete Leitungen.

Zi

R ltg

X ltg

I Uq

Yv Kraftwerk

Iw

Ib

Gv

Bv

Freileitung/Erdkabel

Verbraucher

Abb. 2.31: Netzversorgung mit verlustbehafteter Leitung

Da die Verbraucher in der Regel neben der erw¨ unschten Wirkleistung auch Blindleistung aufnehmen, entstehen an den verlustbehafteten Leitungen unn¨otige Leistungsverluste, uhren (vgl. Abbildung 2.31). Ziel die vom Blindleistungsstrom I b des Verbrauchers herr¨ der Blindleistungskompensation ist es, diese ungewollten Verluste zu senken. Der Gesamtstrom

I = I w + I b = Iw + jIb

setzt sich zusammen aus einem rein reellen Stromanteil Iw , durch den Ohm’schen Leitwert (Konduktanz) Gv des Verbrauchers und aus einem imagin¨ aren Stromanteil jIb (±π/2 Phasendrehung gegen¨ uber Iw ), hervorgerufen durch die imagin¨ are Leitwertskomponente (Suszeptanz) Bv des Verbrauchers. Nach Gleichung (2.58) wird im Leitungswiderstand Rltg die Wirkleistung Pltg = |I |2 · Rltg = Iw2 · Rltg + Ib2 · Rltg

146

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

in W¨ arme umgesetzt. Der Verlust Iw2 · Rltg muss in Kauf genommen werden, w¨ahrend die Leistungskomponente Ib2 · Rltg mit Hilfe der in Abbildung 2.32 dargestellten Blindleistungskompensation vermeidbar ist.

R ltg

...

X ltg

Ykv

I1

I Iw

Ib

Ik

Gv

Bv

Bk

Verbraucher (blindleistungskompensiert) Abb. 2.32: Prinzip der Blindleistungskompensation

Dabei wird ein zus¨atzlicher (Kompensations-) Blindleitwert so parallel geschaltet, dass der Gesamtleitwert des Verbrauchers Y kv = Gv + j(Bv + Bk )

eine m¨ oglichst kleine Blindkomponente besitzt, im Idealfall ist Y kv rein reell. Dies ist m¨oglich wenn Bv und Bk unterschiedliche Vorzeichen besitzen (also z.B. Bv = ωC und Bk = −1/(ωL)) und ihre Betr¨ age gleich groß sind. In diesem Fall gilt

Bv = −Bk und I b = −I k (⇒ I 1 = 0) .

(2.66)

Bei vollst¨ andiger Kompensation fließt nur noch der Strom I = Iw durch den Verbraucher. Dieser ist f¨ ur den Fall |Z i + Z ltg |  Z kv etwa gleich groß wie im unkompensierten Zustand. Der Leitungsverlust reduziert sich auf den unvermeidlichen Wert Iw2 · Rltg . Somit mindern sich die Leitungsverluste relativ um

Pltg − Pltgkomp Iw2 Rltg · Iw2 = 1 − λ2 . =1− 2 ≈1− 2 Iw / cos2 ϕui Rltg · I Pltg

(2.67)

Bemerkung: Eine vollst¨andige Kompensation l¨asst sich nicht immer erzielen, weil beispielsweise die Belastung des Verbrauchers (z.B. einer Maschine) zeitlich schwankt und das Blindelement Bv von der Belastung abh¨angt (z.B. u ¨ber die Drehzahl).

2.3.3

Schwingkreise – Resonanz

In Schaltungen mit Spulen und Kondensatoren tritt Blindenergieaustausch zwischen induktiven und kapazitiven Energiespeichern auf. Bei bestimmten Frequenzen, den so genannten Resonanzfrequenzen, kann dieser Effekt sehr stark sein.

2.3 Wichtige Betriebsf¨ alle in Schaltungen

147

Serienschwingkreis Abbildung 2.33 zeigt die Schaltung eines Serienschwingkreises.

I U

Z

R

L

UR

UL

C

UC

Abb. 2.33: Serienschwingkreis

Der komplexe Widerstand der Schaltung in Abbildung 2.33 betr¨ agt Z = R + j(ωL −

1 ) ωC

(2.68)

und die komplexe Leistung S = Z · |I |2 =

I 2R  Wirkleistung:

P

+j · I 2 [ωL − 1/(ωC)] .    Blindleistung:

Q

Resonanzbedingung Die Blindleistung Q hat zwei Anteile, einen induktiven QL = I 2 ωL und einen kapazitiven QC = −I 2 /(ωC). Im Falle der Resonanz gilt Q=0

oder

|QL | = |QC | .

Diese Bedingung ist aber nur bei der Resonanzfrequenz 0 = ω0 L −

1 ω0 C

⇒

ω0 = 2πf0 = √

1 LC

(2.69)

erf¨ ullt. Der komplexe Serienwiderstand Grunds¨ atzlich gibt es zwei Darstellungsformen komplexer Gr¨oßen, als Ortskurve in der komplexen Zahlenebene (N¨ aheres dazu im n¨ achsten Abschnitt) und die getrennte Darstellung in Betrag und Phase. Abbildung 2.34 zeigt die Widerstandsortskurve des komplexen Widerstandes Z = R + j(ωL −

1 ) ωC

148

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Im{ Z}

ω Z

ω=ω0 Re{ Z}

R

ω=0 Abb. 2.34: Ortskurve des komplexen Widerstandes eines Serienschwingkreises

in der Gauß’schen Zahlenebene als Funktion der Kreisfrequenz ω, Abbildung 2.35 die entsprechende Betrags- und Phasenwinkeldarstellung mit 

1 2 ) und ωC ωL − 1/(ωC) . ϕZ (ω) = arctan R Z(ω) =

R2 + (ωL −

Man erkennt: • Der Resonanzwiderstand Z (ω = ω0 ) = R ist rein reell,

• bei Resonanz ist |Z | minimal,

• das Vorzeichen des Phasenwinkels ϕZ ist ϕZ < 0 bei ω < ω0 , ϕZ = 0 bei ω = ω0 , ϕZ > 0 bei ω > ω0 . Der Resonanzblindwiderstand X0 ist definiert als Blindwiderstand eines Blindbauelements im Resonanzfall, also X0 = ω0 L = 1/(ω0 C) =



L/C .

(2.70)

Spannungen und Str¨ ome In diesem Absatz werden die auftretenden Spannungen und Str¨ome an den bzw. durch die Bauelemente n¨aher betrachtet. Von besonderem Interesse sind hierbei die Werte bei Resonanz.

2.3 Wichtige Betriebsf¨ alle in Schaltungen

149

90 o

Phase

|Z|

C

L

C 0o

L

R -90 o ω=ω0

ω

ω=ω0

a) Betragsgang

ω

b) Phasengang

Abb. 2.35: Betrags- und Phasendarstellung des komplexen Widerstandes eines Serienschwingkreises; mit L ↑ und C ↓ folgt: Sch¨ arfe“ (G¨ ute) des Kreises ↑ ”

Durch alle Bauelemente fließt der Strom I=

R − j[ωL − 1/(ωC)] U . =U 2 R + [ωL − 1/(ωC)]2 R + j[ωL − 1/(ωC)]

Bei Resonanz betr¨ agt der Strom wegen ωL − 1/(ωC) = 0 I |ω=ω0 = U /R .

(2.71)

Die Spannung am Widerstand R ergibt sich aus UR = R · I = U

R2 − jR[ωL − 1/(ωC)] R2 + [ωL − 1/(ωC)]2

und bei Resonanz aus U R |ω=ω0 = U .

(2.72)

Bei Resonanz entspricht die Spannung am Widerstand U R der am Serienkreis anliegenden Spannung U .

Als N¨ achstes werden die noch fehlenden Spannungen an Spule und Kondensator berechnet. Es gilt U L = jωL · I = U

jωLR + ωL[ωL − 1/(ωC)] R2 + [ωL − 1/(ωC)]2

150

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

und bei Resonanz mit ω = ω0 U L |ω=ω0 = U ·

jω0 L R

ur (→ U · (j∞) f¨

R → 0) .

(2.73)

F¨ ur die Spannung an der Kapazit¨ at gilt UC =

−jR/(ωC) − 1/(ωC)[ωL − 1/(ωC)] 1 ·I =U R2 + [ωL − 1/(ωC)]2 jωC

und bei Resonanz U C |ω=ω0 = U ·

−j ω0 CR

(→ U · (−j∞)

f¨ ur

R → 0) .

(2.74)

Aus den Gleichungen (2.73) und (2.74) ist zu erkennen, dass es im Falle R < ω0 L und R < 1/(ω0 C) zu einer Resonanz¨ uberh¨ ohung der Spannungen U L |ω=ω0 und U C |ω=ω0 kommt, dass also gilt UL |ω=ω0 > U und UC |ω=ω0 > U . Des Weiteren verschwindet die Summe der Spannungen

1 =U R

U L |ω=ω0 + U C |ω=ω0



1 jω0 L − j ω0 C

 =0

bei Resonanz. Abbildung 2.36a) zeigt die Spannungsverl¨aufe und 2.36b) den Strom bzw. die Phase ϕui zwischen Spannung und Strom. U/R

QU UL

UC

U

UR ω=ω0

a) Spannungen

Strom I

.

Phase zw. U und I

Spannung

90 o

0o

I

-90 o

ω

ϕ ui ω=ω0

0 ω

b) Phase und Strom

Abb. 2.36: a) Spannungsverl¨ aufe eines Serienschwingkreises; b) Strom- und Phasenverlauf eines Serienschwingkreises

2.3 Wichtige Betriebsf¨ alle in Schaltungen

151

Verstimmung, G¨ ute, D¨ ampfung  F¨ uhrt man den Resonanzblindwiderstand X0 = ω0 L = 1/(ω0 C) = L/C in den komplexen Widerstand

Z = R + j(ωL −

1 ) ωC

ein, folgt Z = R + j(

ω0 ω ω0 ω ) = R + jX0 v . − X0 ) = R + jX0 ( X0 − ω ω0 ω ω0

(2.75)

Die Gr¨ oße v=

ω0 ω − ω ω0

(2.76)

wird Verstimmung genannt. Bei Resonanz ist v = 0, der Resonanzkreis ist in diesem Fall nicht verstimmt“. ” F¨ ur die G¨ ute Q (engl.: quality factor), nicht zu verwechseln mit der Blindleistung Q, gilt

Q=

1 ω0 L X0 . = = ω0 CR R R

(2.77)

Mit dem reziproken Wert der G¨ ute Q, der D¨ ampfung (oder D¨ ampfungsfaktor) d=

1 , Q

(2.78)

l¨asst sich Gleichung (2.75) in

v Z = R(1 + jQv) = R(1 + j ) d

(2.79)

umformen. Bemerkung: Die G¨ ute Q ist formal definiert als das Verh¨altnis von Blindleistung eines Blindelementes zu Wirkleistung des Serienkreises im Resonanzfall. Bandbreite Die Bandbreite ω ist jener Kreisfrequenzbereich, in dem die umgesetzte Wirkleistung mindestens die H¨ alfte der maximal m¨ oglichen Wirkleistung ist. P

Pmax

≥

1 2

(2.80)

152

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Die Wirkleistung P betr¨ agt bei einer beliebigen Frequenz und der angelegten Spannung U

 P = Re

U2 Z∗

%

 = Re

U2 R(1 − jv/d)

% =

U2 R[1 + (v/d)2 ]

und im Falle der Resonanz (v = 0) P0 = Pmax =

U2 . R

Die Bedingung in Gleichung (2.80) l¨asst sich nach Einsetzen der letzten beiden Gleichungen durch P

Pmax

=

1 1 ≥ 2 2 1 + (v/d)

(2.81)

ausdr¨ ucken. Gleichung (2.81) ist erf¨ ullt, wenn gilt: |v| ≤ d

(d ist immer positiv)

Aus der eben gefundenen Grenzbedingung |v| = d kann man die obere und untere Grenzur die Verstimmung v kreisfrequenz ωgo und ωgu ermitteln. Dazu wird der Ausdruck f¨ auf beiden Seiten mit ωω0 multipliziert v=

ω0 ω − ω ω0

| · ωω0

und man erh¨alt die quadratische Gleichung ω 2 − vω0 ω − ω02 = 0 . Die L¨osung lautet: vω0 ±



v 2 ω02 + 4ω02 ⇒ 2 vω0 + v 2 ω02 + 4ω02 nur positive Frequenzen! ω = 2

ω1,2 =

Damit ergibt sich die obere und untere Grenzkreisfrequenz (bei der gilt |v| = d = 1/Q oder v = ±d)

  ω0 ω0 d (1 + 1 + 4Q2 ) (1 + 1 + 4/d2 ) = 2Q 2   ω0 ω0 d (−1 + 1 + 4Q2 ) . (−1 + 1 + 4/d2 ) = = 2Q 2

ωgo =

ωgu

(2.82)

2.3 Wichtige Betriebsf¨ alle in Schaltungen

153

Die Bandbreite ω = ωgo − ωgu = ω0 d =

ω0 Q

(2.83)

1,0

P/P

max

erh¨alt man aus der Differenz der Grenzkreisfrequenzen ωgo und ωgu . Abbildung 2.37 zeigt das Verh¨ altnis P/Pmax zweier Serienschwingkreise, die Bandbreite und die obere und untere Grenzkreisfrequenz.

Q2 0,5

ω1

Q1

ω2 0

ω ωgu 2 ωgu 1 0 ωgo 1

ωgo 2

ω

Abb. 2.37: Skizze zur Bandbreite von Serienschwingkreisen; G¨ ute Q1 > Q2 ⇒ Bandbreite ω1 < ω2 gem¨ aß Gleichung (2.83).

Parallelschwingkreis Abbildung 2.38 stellt Serien- und Parallelschwingkreis gegen¨ uber.

IS US

ZS

RS

LS

U RS

U LS

CS

U CS

I UP

P

YP

Abb. 2.38: Serien- und Parallelschwingkreis im Vergleich.

F¨ ur den komplexen Widerstand des Serienschwingkreises gilt Z S = RS + j(ωLS −

1 ), ωCS

RP

LP

CP

I RP

I LP

I CP

154

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

der komplexe Leitwert des Parallelkreises ist YP =

1 1 ). + j(ωCP − ωLP RP

ur Zur Unterscheidung von Serien- und Parallelkreis werden hier die Indizes S und P f¨ Spannung, Strom und Bezeichnungen der Bauelemente verwendet. ¨ Vergleicht man die letzten beiden Gleichungen miteinander, so f¨ allt eine formale Uber¨ einstimmung auf. Aus dieser Ubereinstimmung heraus lassen sich die Gleichungen eines Schwingkreistyps in die Gleichungen des jeweils anderen Kreistyps durch simples Austauschen folgender unterschiedlicher Gr¨ oßen ableiten: • Z S −→ Y P ,

• RS −→ 1/RP ,

• LS −→ C P ,

• C S −→ LP ,

• U S −→ I P und

• I S −→ U P .

Gelten obige Austauschregeln, spricht man auch von Dualit¨at zwischen Schaltungen und es folgen unmittelbar die wichtigen Gr¨oßen ω0P = 2πf0P = √

1

LP C P

,

 B0P = ω0P CP = 1/(ω0P LP ) = CP /LP ω0P ω , − vP = ω ω0P B0P B0P = 1/dP , = QP = GP 1/RP ωP = ωgoP − ωguP = ω0P dP = ω0P /QP

(B0P : Resonanzblindleitwert) ,

(2.84)

von Parallelschwingkreisen. Statt mit komplexen Widerst¨anden und Spannungen an den Bauelementen rechnet man beim Parallelkreis vorrangig mit Leitwerten und Str¨ omen durch diese. Kommt es beim Serienkreis zu einer Spannungs¨ uberh¨ ohung an den Blindwiderst¨ anden, so findet beim Parallelkreis die Strom¨ uberh¨ohung Q0P · I statt, wenn analog zum Serienkreis gilt B0P > 1/RP .

2.3 Wichtige Betriebsf¨ alle in Schaltungen

Anwendungsbeispiel 2.15:

155

Filterschaltungen aus Schwingkreisen

Ein typischer Anwendungsfall f¨ ur Parallelschwingkreise sind Bandsperren. Das sind Filterstufen, die ein Eingangssignal nur in einem bestimmten Frequenzbereich d¨ampfen (Kerbfilter, Notch-Filter). Abbildung 2.39 zeigt einen einfachen Aufbau derartiger Filter. ¨ a) Zu berechnen ist die Ubertragungsfunktion U a /U e als Funktion der Kreisfrequenz.

¨ b) Bei welcher Kreisfrequenz wird der Betrag der Ubertragungsfunktion minimal ur ω = 0 und ω → ∞? und wie groß ist |U a /U e | f¨

CP LP RP

Ue

RL

Ua

Abb. 2.39: Anwendungsbeispiel zu Parallelschwingkreisen

L¨ osung:



1 1 + j ωCP − U ωLP RP  (Komplexer Spannungsteiler)

a) a = 1 1 1 Ue + j ωCP − + ωLP RP RL

¨ b) Der Betrag der Ubertragungsfunktion wird minimal bei Resonanz: √ RL ω = ω0 = 1/ LP CP ⇒ |U a /U e | = RL + RP Grenzwerte: ω = 0: |U a /U e | = 1; ω → ∞: |U a /U e | = 1

Technischer Schwingkreis Die Ohm’schen Widerst¨ ande in Schwingkreisen sind durch reale Verlustmechanismen gegeben. Um hohe G¨ uten zu erreichen, sollten Parallel- und Serienwiderst¨ ande m¨ oglichst vermieden werden (RP → ∞ und RS → 0). Die wichtigste Verlustursache ist der Serienwiderstand von Spulen aufgrund der endlichen spezifischen Leitf¨ ahigkeit von Metallen. Beschr¨ ankt man sich auf diese, kommt man zu den technischen Schwingkreisen in Abbildung 2.40.

156

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Bemerkung: Der Serienkreis ist durch den ber¨ ucksichtigten Serienwiderstand bereits korrekt beschrieben. I

U

R

Y

C L

Abb. 2.40: Technischer Parallelschwingkreis; R: Ohm’scher Widerstand der Spule.

Der komplexe Leitwert ist

1 R + jωL 

ωL R . + j ωC − = 2 R 2 + ω 2 L2 R + ω 2 L2

Y = jωC +

(2.85)

Bei Resonanz verschwindet die Gesamtblindleistung und es gilt Im{Y } = 0, also folgt

ω0T C =

ω0T L 2 L2 . R2 + ω0T

Nach kurzer Umrechnung erh¨alt man die Resonanzfrequenz ω0T

 R2 C 1 · 1− = √ L LC  1 · 1 − d2 = √ LC  = ω0P · 1 − d2

des technischen Parallelschwingkreises mit d = R/ √ strebt ω0T → ω0P = 1/ LC.

(2.86) 

L/C = R/(ω0P L). F¨ ur d → 0

Beispiel 2.16 Berechnen Sie das Verh¨ altnis ω0T /ω0P eines technischen Parallelschwingkreises in ur die Werte Q = 100; 10; 3; 1,1; 1,05; Abh¨ angigkeit der Spuleng¨ ute Q = ω0P L/R f¨ 1; 0,9 und stellen Sie dieses graphisch dar.

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

157

L¨ osung: (ohne Graphik)  ω0T = 1 − 1/Q2 ω0P

Q ω0T /ω0P

2.4

100 1

10 0,995

3 0,943

1,1 0,416

1,05 0,305

1 0

0,9 keine Resonanz

Graphische Darstellungen und Verfahren

Dieser Abschnitt beschreibt die wichtigsten graphischen Darstellungen und Verfahren sinusf¨ormiger Vorg¨ ange, wie Ortskurven, die HF-Tapete f¨ ur Widerst¨ ande und Leitwerte, das Bode-Diagramm und das Kreisdiagramm.

2.4.1

Ortskurven

Definition Bei der Untersuchung von Wechselstromschaltungen ist es oft erforderlich nicht nur einen bestimmten Betriebszustand sondern den Verlauf komplexer Gr¨ oßen eines Netzwerkes in Abh¨ angigkeit einer Variablen zu kennzeichnen. Variablen k¨ onnen alle reellen Parameter der Schaltung sein, also z.B. Werte von Widerst¨ anden R, Induktivit¨ aten L, Kapazit¨aten C, aber auch Strom, Spannung und nat¨ urlich auch die Frequenz. Zu diesem Zweck verbindet man alle Punkte des geometrischen Ortes der Spitze eines komplexen Zeigers einer Wechselgr¨ oße bei Variation des Parameters p. Die entstandene Kurve in der komplexen Zahlenebene ist die Ortskurve. Beispiel: Gegeben sei ein komplexer Zweipol-Widerstand Z (Ri , Ci , Li , ω) = R(Ri , Ci , Li , ω) + jX(Ri , Ci , Li , ω)

abh¨ angig von den Bauelementewerten Ri , Ci , Li und der Kreisfrequenz ω. Als Parameter p kommt demnach ein Bauelementewert oder die Kreisfrequenz ω in Frage. Abbildung 2.41 zeigt die Ortskurve von Z .

Aus der Ortskurve einer komplexen Gr¨ oße lassen sich folgende Eigenschaften direkt ablesen: • Verlauf von Real- und Imagin¨ arteil, • Betrags- und Phasengang, • Extremwerte, Resonanzstellen und Grenzfrequenzen.

158

jX

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Z

p p=2 p=0

R

p=1 Abb. 2.41: Ortskurve eines komplexen Widerstandes in Abh¨ angigkeit des Parameters p

Achsenparallele Geraden Einen Spezialfall der Ortskurven stellen achsenparallele Geraden dar. Abbildung 2.42 zeigt eine einfache Schaltung aus einem Widerstand und einer Spule.

agt Der komplexe Widerstand Z in Abbildung 2.42 betr¨ Z = R + jωL .

L Z

R

imag. Achse

jωL = jX

R=0

R

imag. Achse

X

Z

Z

R

reelle Achse

a) Parameter = R

X=0 reelle Achse

b) Parameter = X = ωL

Abb. 2.42: Schaltung mit zwei zugeh¨ origen Ortskurven in der Z -Ebene

W¨ ahlt man als Parameter p den Wert des Ohm’schen Widerstandes R, ergibt sich eine zur Realteil-Achse parallele Gerade als Ortskurve (vgl. Abbildung 2.42a)). Die Gerade beginnt bei R = 0 im Punkt jωL und l¨ auft f¨ ur R → ∞ gegen ∞ + jωL. In Abbildung 2.42b) ist der Blindwiderstand X = ωL der Parameter (letztlich wird L oder ω variiert). Es resultiert eine Gerade, die im Abstand R parallel zur Imagin¨ arteilAchse verl¨ auft.

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

159

Kreise Invertiert man achsenparallele Geraden, entstehen kreisf¨ormige Ortskurven. In Anlehnung an das obige Beispiel wird nun an Stelle des komplexen Widerstandes Z der Leitwert

Y =

1 1 1 1 1 = · e−jϕz = = Y · ejϕy = = Z Z · ejϕz Z R + jX R + jωL

betrachtet. Als Parameter p wird wieder der Ohm’sche Widerstand R bzw. der Blindwiderstand X gew¨ahlt. Aus obiger Gleichung folgt Y =

X R 1 = G + jB , −j 2 = 2 R + X2 R + X2 R + jX

(2.87)

mit den Abk¨ urzungen G und B f¨ ur den Wirkleitwert (Konduktanz) bzw. Blindleitwert (Suszeptanz). Parameter X: Aus Gleichung (2.87) gewinnt man den Zusammenhang



1

R + jX = |G + jB|

⇒

R2

1 = G2 + B 2 + X2

(2.88)

und aus dem Realteilvergleich von Gleichung (2.87) R =G. R2 + X 2

(2.89)

L¨ost man die zweite Gleichung von (2.88) nach R2 + X 2 auf und setzt das Ergebnis in Gleichung (2.89) ein, erh¨alt man R(G2 + B 2 ) = G

⇒

G2 −

G + B2 = 0 . R

Nach quadratischer Erg¨ anzung mit 1/(4R2 ) auf beiden Seiten ergibt sich die Kreisgleichung

2

1 1 + B2 = G− 4R2 2R

(2.90)

mit dem Kreismittelpunkt 1/(2R) + j · 0 und dem Radius 1/(2R). Abbildung 2.43 zeigt die Ortskurven des komplexen Widerstandes Z und des Leitwertes Y .

160

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

i. A.

L

Z

Y

Z

X

X

i. A.

R

1/R

X=0 r. A.

X=0

R

Y

r. A.

Abb. 2.43: Schaltung mit zugeh¨ origen Widerstands- und Leitwerts-Ortskurven; Parameter ist der Blindwiderstand X der Schaltung

Parameter R: Im zweiten Fall stellt der Widerstandswert R den Parameter dar. Aus Gleichung (2.87) folgt wie bereits bekannt



1 1 2 2

R + jX = |G + jB| ⇒ R2 + X 2 = G + B

und aus dem Imagin¨ arteilvergleich von Gleichung (2.87) −X =B . + X2

R2

Aus der Kombination der letzten beiden Gleichungen ergibt sich wiederum eine quadratische Gleichung −X(G2 + B 2 ) = B

bzw.

G2 +

B + B2 = 0 , X

die nach quadratischer Erg¨ anzung mit 1/(4X 2 ) in die Kreisgleichung

1 G + B+ 2X 2

2 =

1 4X 2

(2.91)

mit dem Kreismittelpunkt 0 − j · 1/(2X) und dem Radius 1/(2X) u ¨bergeht. Abbildung 2.44 zeigt die Ortskurven des komplexen Widerstandes Z und des Leitwertes Y .

Beispiel 2.17 a) Berechnen und zeichnen Sie die Ortskurven des komplexen Widerstandes und des komplexen Leitwertes eines Serienschwingkreises (Schaltung vgl. Abbildung 2.33) in Abh¨ angigkeit der Verstimmung v. Zeichnen Sie die Werte v → −∞, v → ∞, v = 0 und v = ±d in die Ortskurven.

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

i. A.

L

Z

Y

jX

161

Z

i. A.

R

R=0

Y

R

r. A.

-j/2X

R

r. A.

-j/X

R=0

Abb. 2.44: Schaltung mit zugeh¨ origen Widerstands- und Leitwerts-Ortskurven; Parameter ist der Widerstand R der Schaltung

b) Berechnen Sie f¨ ur einen Serienschwingkreis die Ortskurve U /U C (Parameter p = ω).

c) Geben Sie ein Ersatzschaltbild an, bei dem die Ortskurve Z (f ) einen halbkreisf¨ ormigen Verlauf wie in Abbildung 2.43 annimmt.

L¨osung:

1 1 = a) Z = R · (1 + jQv) = R · (1 + j v); Y = R · (1 + jQv) d

Ortskurven vgl. Abbildung 2.45

i. A.

v=d

i. A.

v=0

45°

R

r. A.

1 R · (1 + j v) d

Y

Z

v

1

v=-d

v v

v=-d

v=0 1/R

r. A.

v=d

Abb. 2.45: Ortskurven eines Serienschwingkreises in Abh¨ angigkeit der Verstimmung v

b) U C = I

U

1 =

jωC

R + j(ωL −

 ⇒ 1 ) jωC ωC

162

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

U = 1 − ω 2 LC + jωCR = Re + j · Im ⇒ UC Re = 1 − ω 2 LC (1) Im = ωCR ⇒ ω = Im/(CR) (2) Eliminieren des Parameters ω liefert die Ortskurve ⇒ (2) in (1): LC Re = 1 − 2 2 · Im2 bzw. Re = 1 − Q2 · Im2 C R Die Ortskurve ist eine Parabel. Es existiert nur der Ast Im > 0 (vgl. (2)).

c) Parallelschaltung aus R und C.

2.4.2

HF-Tapete“ ”

In der HF-Tapete sind die Impedanzenverl¨aufe f¨ ur verschiedene Werte von Induktivit¨aten und Kapazit¨aten in doppelt logarithmischem Maßstab, abh¨angig von der Fre¨ quenz dargestellt. Die HF-Tapete bietet einen schnellen Uberblick u ¨ber den Verlauf von Scheinwiderst¨anden, die aus einer einfachen Kombinationen der Grundbauelemente R, L und C bestehen. Doppelt logarithmische Darstellung der Impedanz von Induktivit¨ aten Die normierte Form des Blindwiderstandes von Induktivit¨aten lautet

L f ZL . · = 2π · 1Hz 1H 1Ω

(2.92)

Logarithmiert man Gleichung (2.92), ergibt sich die Geradengleichung 





2πL f ZL + lg = lg lg 1H 1Hz 1Ω          m

x

y

(2.93)

abh¨angig von der Frequenz f . lg(2πL/H) = m stellt eine Konstante dar, deren Wert durch L bestimmt ist. Doppeltlogarithmische Darstellung der Impedanz von Kapazit¨ aten Die normierte Form des Blindwiderstandes von Kapazit¨ aten lautet ZC = 1Ω

2π ·

C f · 1Hz 1F

−1 .

(2.94)

Durch Logarithmieren geht Gleichung (2.94) in die Geradengleichung 





2πC f ZC − lg = − lg lg 1F 1Hz 1Ω          y

−x

−m

u at C ab. ¨ber. Die Konstante m = lg(2πC/F ) h¨angt von der Kapazit¨

(2.95)

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

163

10 8

C Z/Ω 10 7

1f

H

0k

F

10

10

10

6

10

kH

fF

10

0f

H

1k

F

1p

0H

10

F

10

5

10 pF

H

10

10 0p F

1H

10 4

1n

H

0m

10

nFmH 10

10

10 3

F

10

0n

F

H

1m

1u

F

10

10

2

H

0u

10

uH

uF

10

10

0u

H

1u

F

1m

10

H 0n 10

F

10

m

F

10

nH

1

L 0,1 1

10

10 2

10 3

10 4 10 5 Frequenz / Hz

10 6

10 7

10 8

10 9

Abb. 2.46: HF-Tapete

Ergebnis: Die HF-Tapete Werden die beiden Geradengleichungen (2.93) und (2.95) in ein Diagramm eingetragen, erh¨alt man die HF-Tapete in Abbildung 2.46. Asymptotische N¨aherung Infolge der logarithmischen Skalierung weicht der exakte Verlauf des Scheinwiderstandes von der asymptotischen N¨aherung (angen¨aherter Verlauf mittels zweier Geraden) an 45◦ -Knickstellen“ nur sehr gering voneinander ab. Am Beispiel einer Parallelschaltung ” von R und C soll dies verdeutlicht werden. Aus Abbildung 2.47 erkennt man, dass der maximale Fehler an der Knickstelle (Eckfrequenz) auftritt.

164

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

10 4

1500

Z/Ω

R

10n

10 3

exakter Verlauf

1/ωC

10 2

10 10 3

10 4

10 5

10 6

Frequenz / Hz Abb. 2.47: Asymptotische N¨ aherung durch Geraden

Der exakte Wert an dieser Stelle betr¨ agt Zexakt = 

R R = √ , 2 1 + (ωRC)2

der asymptotisch angen¨ aherte Wert Zasymp = R . Somit ergibt sich der relative Fehler δr =

√ Zasymp − Zexakt = 2 − 1 ≈ 0, 41 . Zexakt

(2.96)

Anwendungsregeln Beim Umgang mit der HF-Tapete gelten folgende Regeln: • Bei Serienschaltungen bestimmt der gr¨oßte Wirk- bzw. Blindwiderstand den gesamten Impedanzwert. • Bei Parallelschaltungen ist immer der kleinste Wirk- bzw. Blindwiderstand (gr¨oßter Leitwert) dominant. • Die Frequenz an 45◦ -Knickstellen heißt Eckfrequenz. Oft ist diese gleichbedeutend mit der Grenzfrequenz einer Schaltung.

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

165

• Ist der Impedanzwert von Kapazit¨ at und Induktivit¨at betragsm¨aßig gleich groß, liegt bei Serien- oder Parallelschwingkreisen Resonanz vor. Die asymptotische N¨ aherung der Blindwiderst¨ ande von Kapazit¨at und Induktivit¨at durch Geraden bildet an dieser Stelle eine 90◦ -Knickstelle. Der Fehler auf Grund der asymptotischen N¨ aherung kann an solchen Knickstellen sehr groß sein! Beispiel 2.18 Der Verlauf des Scheinwiderstandes in Abh¨angigkeit von der Frequenz f , dargestellt mit Hilfe der HF-Tapete, ist f¨ ur folgende Schaltungen zu ermitteln: a) Reihenschaltung von R = 300Ω und C = 1μF; b) Reihenschaltung von R = 5kΩ und L = 1mH; c) Parallelschaltung von R = 10kΩ und C = 10pF; d) Parallelschaltung von R = 1kΩ und L = 2H; e) Parallelschwingkreis mit R = 100kΩ, L = 10mH und C = 10pF; f) Serienschwingkreis mit R = 50Ω, L = 100μH und C = 1μF. L¨ osung: L¨ osung vgl. Abbildung 2.48

2.4.3

Bode-Diagramm

Das Bode-Diagramm stellt den Verlauf des Betrages und der Phase einer komplexen ¨ Gr¨ oße (z.B. komplexer Widerstand, Ubertragungsfunktion, ...) in zwei getrennten Diagrammen als Funktion der Frequenz dar. Der Betrag in Abh¨angigkeit von der Frequenz wird doppelt logarithmisch aufgetragen, w¨ahrend die Phase linear u ¨ber der logarithmischen Frequenzachse aufgetragen wird. Durch die logarithmische Skalierung der Frequenzachse ist die Darstellung eines großen Frequenzbereiches m¨oglich. Die Dezibel-Skala ¨ Der Betrag relativer Gr¨ oßen wird h¨ aufig im logarithmischen Ubertragungsmaß De” zibel“ angegeben. Ist die Gr¨ oße ein Leistungsverh¨altnis, also z.B. das Verh¨altnis von Ausgangsleistung Pa zur Eingangsleistung Pe eines Zweitors, so errechnet sich diese aus

 Pa dB (Leistungsverh¨altnisse). (2.97) aP = 10 · lg Pe

Betrachtet man an Stelle von Leistungsverh¨ altnissen Spannungs- oder Stromverh¨altnisse, geht Gleichung (2.97) wegen P = I 2 R bzw. P = U 2 /R u ¨ber in

 Ua dB bzw. aU = 20 · lg Ue

 Ia dB . (2.98) aI = 20 · lg Ie

166

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

10 8

C Z/Ω 10 7

1f

H

0k

F

10

10

10

6

10

kH

fF

0f

H

1k

F

1p

0H

10

10 pF

H

10

c)

1n

H

0m

10

F

10

nFmH 10

10

10 3

0n

F

d)

H

1m

1u

F

10

e)

10 0p F

1H

10 2

a)

H

0u

10

uH

uF

10

10

0u

H

1u

F

1m

10

f)

F

10

5

10 4

b)

10

H 0n 10

F

10

m

F

10

nH

1

L 0,1 1

10

10 2

10 3

10 4 10 5 Frequenz / Hz

10 6

10 7

10 8

10 9

Abb. 2.48: L¨ osung zu Beispiel 2.18

H¨aufig wird eine Gr¨ oße (Leistung, Spannung, Strom) auf eine feste Referenz wie z.B. 1mW, 1V, 1A bezogen. Um dies zu verdeutlichen, werden die Einheiten dBm (Bezugsgr¨oße 1mW), dBV (Bezugsgr¨ oße 1V) und dBA (Bezugsgr¨oße 1A) verwendet. Folgende Tabelle stellt wichtige Werte zusammen: √ 10−2 10−1 1/ 10 1/2 lineares Verh¨altnis -3 -5 -10 -20 aP in dB -6 -10 -20 -40 aU (I) in dB -3 -5 -10 -20 aP in dBm -6 -10 -20 -40 aU (I) in dBV (dBA)

1 0 0 0 0

2 3 6 3 6

√

10 5 10 5 10

10 10 20 10 20

100 20 40 20 40

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

167

Betrags- und Phasengang Zur Veranschaulichung der typischen Darstellungsform in einem Bode-Diagramm wird ein einfacher RC-Tiefpass (Abbildung 2.49) mit der Leerlaufspannungs¨ ubertragung

1 1 U · e−j arctan (ωCR) (2.99) =  = AU = a

2 1 + jωCR U e I =0 1 + (ωCR) a

betrachtet. R

Ue

Ua

C

Abb. 2.49: Einfacher RC-Tiefpass

In Abbildung 2.50 ist zum einen der Betrags- und Phasengang in linearer Form und zum anderen in der Bode-Diagramm Darstellung zu sehen. Diese direkte Gegen¨ uberstellung verdeutlicht den Vorteil der Bode-Diagramme, Betrag und Phase in einem großen Frequenzbereich u ¨bersichtlich visualisieren zu k¨onnen. Asymptotische N¨ aherung In vielen F¨ allen ist im Bode-Diagramm die in Abbildung 2.50 skizzierte, asymptotische N¨ aherung durch Geraden ausreichend. Der Betragsgang wird bei dieser Schaltung durch zwei Geraden approximiert, einer horizontalen (hier mit dem Wert AU = 1 bzw. 0dB) und einer abfallenden mit einer Steigung von -20dB/Dekade. Die Steigung -20dB/Dekade kommt wie folgt zustande: Bei sehr hohen Frequenzen f fg (mit der Eck- oder Grenzfrequenz fg = 1/(2πRC)) ist der Betrag der Leerlaufspannungs¨ ubertragung n¨ahungsweise durch AU ≈

1 ωCR

(f fg )

(2.100)

gegeben. Steigt im vorliegenden Beispiel die Kreisfrequenz ω um den Faktor 10 (Erh¨ohung der Frequenz um eine Dekade), so sinkt AU gem¨aß Gleichung (2.100) um eine Dekade (Faktor 1/10), was bei Spannungsverh¨altnissen einem Abfall um -20dB entspricht. Bei der Eckfrequenz (hier = Grenzfrequenz) schneiden sich die beiden asymptotisch gen¨aherten Geraden. Durch Gleichsetzen resultiert die Grenzfrequenz 1=

1 ωg CR

⇒

ωg =

1 CR

⇒

fg =

1 . 2πCR

(2.101)

Der exakte Betrag von AU bei ω = ωg ergibt sich aus Gleichung (2.99). |AU |f =fg = 

1 1 = √ ≡ −3dB (bei Spannungen) 2 2 1 + (ωg CR)

(2.102)

168

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

A (linear)

U

20dB/Dekade

20 0 -20

U

0 10 7

U

10 -1 10 -2

-60

10 8

10

Frequenz / Hz (linear)

3

10

4

5

10

7

10

10 -3

8

0,1f g

exakter Verlauf

Phase -45°

-45°

6

10 10 Frequenz / Hz

0°

0°

Phase

1

exakter Verlauf

-40 0

10

Eckfrequenz f g

A

A in dB

1

asymp. Näherung

fg

10f g

-90° 0 10 7

10 8 Frequenz / Hz (linear)

-90°

10 3

10 4

10 5 10 6 10 7 Frequenz / Hz

10 8

Abb. 2.50: R = 1kΩ, C = 0, 7nF: Lineare Betrags- und Phasendarstellung (links); BodeDiagramm (rechts)

Der Phasenwinkel betr¨agt bei f = fg gem¨aß Gleichung (2.99) ϕAU |f =fg = − arctan(ωg RC) = − arctan(1) = −45◦ .

(2.103)

¨ Ublicherweise wird analog zum Betrag auch der Verlauf der Phase durch zwei horizontale Geraden und einer schr¨agen Gerade durch den Wendepunkt angen¨ahert (vgl. Abbildung 2.50). Der Wendepunkt liegt bei f = fg (ϕAU = −45◦ ). Die Steigung der Geraden ist wegen der Fehlerminimierung und aus praktischen Gr¨ unden so festgelegt, dass die horizontalen Asymptoten bei den Frequenzen

f = 0, 1 · fg geschnitten werden.

und

f = 10 · fg

(2.104)

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

169

Zusammenfassung der wichtigsten Erkenntnisse: • Betrags- und Phasengang lassen sich im Bode-Diagramm durch Geradenz¨ uge ann¨ ahern. • Die Steigung schr¨ ager Geraden betr¨ agt ±20dB/Dekade, sofern sich nicht mehr als eine Reaktanz (C oder L) in der Schaltung befindet. • Bei mehreren Reaktanzen in einer Schaltung existieren mehrere Eckfrequenzen, wodurch Steigungen von n · 20dB/Dekade mit n=0, ±1, ±2, ... auftreten k¨onnen. • Die Schnittpunkte zusammengeh¨ origer Geradenst¨ ucke in der Betragsdarstellung liefern die Eckfrequenzen fg . • Das schr¨age Geradenst¨ uck im Phasengang geht bei f = fg durch den Wendepunkt. Die Knickpunkte im Phasengang liegen in einfachen Schaltungen bei fg /10 und 10fg . Beispiele von Zweitorgrundschaltungen Die beiden wichtigsten Schaltungsbeispiele stellen der RC-Tiefpass und der RC-Hochpass dar. In Abbildung 2.51 sind Schaltung und Bode-Diagramm der Spannungs¨ ubertragung skizziert. Die Grenzfrequenz ergibt sich in beiden F¨allen aus der Bedingung |R| = |1/(jωC)|, also fg =

1 . 2πRC

Beispiel 2.19 In Abbildung 2.52 sind zwei Schaltungen mit mehr als zwei Bauelementen gegeben. ¨ Zu berechnen ist jeweils die Ubertragungsfunktion AU = U a /U e . Skizzieren Sie anschließend die entsprechenden Bode-Diagramme.

L¨ osung: a) AU =

1/900Ω ⇒ fg = 1, 77kHz 1/900Ω + 1/100Ω + j2πf · 1μF

1/10kΩ + j2πf · 100nF 1/10kΩ + j2πf · 100nF ⇒ ≈ 1/100Ω + j2πf · 100nF 1/100Ω + 1/10kΩ + j2πf · 100nF fg(Z¨ahler) = 159Hz; fg(Nenner) = 15, 9kHz

b) AU =

Bode-Diagramme siehe Abbildung 2.53

170

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

R

Ue

Ua

C

Ua

R

20

A / dB

20

0

U

0

U

A / dB

C

Ue

-20

-20

-40

-40

-60

0,1f g

fg

-60

10f g 100 f g

0,1 f g

fg

10f g 100 f g

0,1 f g

fg

10f g 100 f g

Frequenz / Hz

Frequenz / Hz

90°

Phase

Phase

0°

45°

-45°

-90°

0,1f g

fg

10f g 100 f g

Frequenz / Hz

RC-Tiefpass Abb. 2.51: Einfacher RC-Tief- und Hochpass

0°

Frequenz / Hz

RC-Hochpass

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

171

100n

100

900

Ue

Ua

1u

10k

Ue

Ua

100

a)

b)

¨ Abb. 2.52: Ubungsbeispiele zum Bode-Diagramm; Bemerkung: In elektronisch erstellten Schaltpl¨ anen werden oft die Einheiten Ω, H und F weggelassen. 1k bedeutet dann 1kΩ bei einem Ohm’schen Widerstand usw.

15,9kHz

0

U

-20

20

A / dB

1,77kHz

U

A / dB

0

-40

-20

-60

-40

-80 10

-60 10

100

1k

10k 100k

159Hz

100

1k

10k 100k

Frequenz / Hz

Frequenz / Hz

90°

Phase

Phase

0°

45°

-45°

-90° 10

100

1k

10k 100k

Frequenz / Hz a)

0° 10

100

1k

10k 100k

Frequenz / Hz b)

Abb. 2.53: Bode-Diagramme zu den Schaltungen in Abbildung 2.52

172

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

2.4.4

Kreisdiagramm

Das Kreisdiagramm (Schmidt-Buschbeck-Diagramm) veranschaulicht die Auswirkungen von Schaltungs¨ anderungen auf den komplexen Widerstand graphisch. Konstruktion des Kreisdiagramms Im Kreisdiagramm werden in der komplexen Widerstandsebene Z , wie in Abbildung 2.54 gezeigt, Resistanz R, Reaktanz X, Konduktanz G und Suszeptanz B gleichzeitig dargestellt. Somit kann in jedem Punkt der Widerstandsebene sowohl der komplexe Widerstand als auch der komplexe Leitwert abgelesen werden (vgl. Abbildung 2.55).

Z

Y

G = konst.

Z

B = konst.

Z

X = konst.

Kreisdiagramm X = konst. R = konst. Abb. 2.54: Entstehung des Kreisdiagramms

Normierung Um Zahlenwerte in einem Kreisdiagramm vern¨ unftig ablesen zu k¨onnen, ist ein Zahlenbereich zwischen 0,1 und 2,0 empfehlenswert. Alle Bauelementewerte m¨ ussen an diesen Bereich angepasst werden. Dazu normiert man alle komplexen Widerst¨ande (Leitwerte) mittels eines Bezugswiderstandes. Beispiel 2.20 Gegeben: Z = (100 + j50)Ω und Y = (10 + j3)mS

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

173

j -j 1

-j 0,5

0,5

-j 0,25

-j 0,75

-j 1,5

-j 2

0,75

1 2

1,5

1

2

j2 j 1,5

j

-j Abb. 2.55: Das Kreisdiagramm

Der Widerstand Z und der Leitwert Y sind auf den Bezugswiderstand Zb = 100Ω zu normieren.

L¨osung: Normierter Widerstand: z = Z /Zb = (1 + j0, 5) Normierter Leitwert: y = Y · Zb = (1 + j0, 3)

Hinweis: Entnormiert werden normierte Widerst¨ ande durch Multiplikation mit Zb und normierte Leitwerte durch Division durch Zb . Umgang mit dem Kreisdiagramm ¨ Mit Hilfe des Kreisdiagramms l¨ asst sich die Anderung eines komplexen Widerstandes (Leitwertes), bedingt durch Hinzuf¨ ugen eines Bauelementes R, L oder C schnell ermitteln. Abbildung 2.56 zeigt den Transformationsweg beim Parallelschalten (Index P“) ” bzw. in Serie Schalten (Index S“) eines Bauelementes R, L oder C. ”

174

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

i. A.

LS RS LP RP

CP CS r. A.

Abb. 2.56: Transformationswege im Kreisdiagramm

Beispiel 2.21 Aus einem komplexen Widerstand mit dem Betrag Z = 100Ω und dem Phasenwinkel ϕz = 70◦ soll durch Hinzuf¨ ugen eines Bauelementes ein komplexer Widerstand mit dem Scheinwiderstand Z  = 200Ω entstehen. Wie viele M¨ oglichkeiten gibt es (L¨ osung mit Hilfe eines Kreisdiagramms)? L¨ osung: ◦ Bezugswiderstand w¨ ahlen: Zb = 200Ω ⇒ z = 0, 5 · ej·70 ; z  = 1 (vgl. gestrichelten Halbkreis im Kreisdiagramm 2.57) Es gibt f¨ unf M¨ oglichkeiten (vgl. Abbildung 2.57): LS in Serie schalten, CS in Serie schalten, RS in Serie schalten, CP 1 parallel schalten oder CP 2 parallel schalten. Transformationsschaltungen Transformationsschaltungen dienen dazu, einen komplexen Verbraucher mit dem Wideraßig anzupassen. stand Z a an eine Quelle mit dem Innenwiderstand Z i wirkleistungsm¨ Hierf¨ ur muss, wie in Abbildung 2.58 angedeutet, der komplexe Widerstand Z a nach Z ∗i transformiert werden.

Die Forderungen an die Transformationsschaltung sind • Benutzung von m¨ oglichst wenig Bauelementen (zwei gen¨ ugen immer!) und • kein Verlustleistungsverbrauch (nur L und/oder C erlaubt). Da nur Blindwiderst¨ ande benutzt werden d¨ urfen, ergeben sich die in Abbildung 2.59 skizzierten Transformationswege. Abbildung 2.60 zeigt ein Beispiel mit zwei m¨ oglichen Transformationsschaltungen. Die Auswahlkriterien f¨ ur Transformationsschaltungen sind

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

j

LS

C P1

175

RS

-j 1

-j 0,5

0,5

-j 0,25

j 0,75

-j 1,5

-j 2

0,75

1 2

C P2

1,5

1

2

j2 j 1,5

j

-j

CS Abb. 2.57: L¨ osung von Beispiel 2.21 mittels Kreisdiagramm

Zi

Anpassschaltung Za

Uq

Zi

*

Abb. 2.58: Schaltung zur Schmalbandtransformation

176

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

i. A.

LS

LP

CP CS r. A.

Abb. 2.59: Transformationswege bei Transformationsschaltungen L S1

C P1 L S1

Za C S2

L P2

Zi

Zi

Zi

* C P1

Za

1 C S2

*

Zi

* L P2

2

Za

Abb. 2.60: Beispiel zur Schmalbandtransformation

• Hochpass- oder Tiefpassverhalten, • Toleranzunempfindlichkeit gegen¨ uber den L- und C-Werten, • Frequenzabh¨angigkeit der Transformation (Bandbreite), • kleine L- und C-Werte, evtl. spulenlose Schaltung und • Gr¨ oße der Spannungs- bzw. Strom¨ uberh¨ohung. Beispiel 2.22 Gegeben ist eine Quelle mit Z i = (50 + j50)Ω und Uq = 10V . Sie soll bei ω = 104 s−1 an einem reellen Verbraucher mit Ra = 200Ω maximale Wirkleistung abgeben. Geben Sie eine Transformationsschaltung mit Tiefpasscharakter mit den erforderlichen Bauelementen an sowie die Wirkleistung mit und ohne Transformationsnetzwerk.

2.4 Graphische Darstellungen und Verfahren

177

L¨ osung: L¨ osungsschritte vgl. Abbildung 2.61: 1) z a = 2 und z ∗i = 0, 5 − j0, 5 in das Kreisdiagramm eintragen (Bezugswiderstand Zb = 100Ω). 2) Tiefpasscharakter: Kapazitiven Blindleitwert bC ≈ 0, 865 zu z a parallelschalten: ⇒ BC = bC /Zb = 0, 00865S; C = BC /ω = 0, 865μF Normierte Induktivit¨at xL ≈ 0, 37 in Serie schalten: ⇒ XL = xL · Zb = 37Ω; L = XL /ω = 3, 7mH

Leistung ohne Transformationsschaltung: Uq2 · Ra = 308mW Pa = I 2 · Ra = (Ra + Ri )2 + Xi2

Leistung mit Transformationsschaltung: Uq2 = 500mW PaM ax = 4Ri

j -j 1

-j 0,5

3,7mH

-j 0,75

-j 1,5

865nF

zi

-j 2

Ra

0,75

1 2

1,5

1

z i* j2 j 1,5

j

-j Abb. 2.61: L¨ osung von Beispiel 2.22 mittels Kreisdiagramm

2

za

178

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

2.5

Drehstrom

Drehstromsysteme sind Netzwerke, die mit mehreren Quellen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Phase erregt werden (Mehrphasen-Systeme). Technisch von Bedeutung ist das 3-Phasensystem. Die Gr¨ unde f¨ ur die Verwendung von Drehstrom sind: • Ersparnis von Leitungskosten beim Stromtransport; • Generatoren, Transformatoren sowie Elektromotoren sind bei gleicher Leistung kleiner und robuster als in einphasiger Ausf¨ uhrung; • einfache, oberschwingungsarme Gleichrichtung ist m¨oglich; • geringerer pulsierender Energiefluss von der Quelle zum Verbraucher.

2.5.1

Erzeugung von Drehstrom, Begriffe

Abbildung 2.62 zeigt das Schema eines symmetrischen 3-Phasen-Drehstromgenerators. + 1

120° -

120° -

ω + 3

-

+ 2

B

120° Abb. 2.62: Erzeugung von Drehstrom; 3-Phasensystem

 induziert in den um 120◦ versetzten Spulen 1, Ein homogenes magnetisches Feld B 2 und 3, die mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotieren, Spannungen gleicher Kreisfrequenz ω, aber unterschiedlicher Phase. Sind alle drei Spulen identisch und liegt ein rechtsdrehendes 3-Phasensystem vor, so werden in ihnen die Spannungen ˆ sin (ωt) , uq1 (t) = U ˆ sin (ωt − 120◦ ) uq2 (t) = U ˆ sin (ωt − 240◦ ) uq3 (t) = U

und (2.105)

ˆ = ωwBA ist die Scheitelspannung, die, wie aus Abschnitt 2.1 bekannt, generiert. U neben der Kreisfrequenz und dem Magnetfeld von der Geometrie (w: Windungszahl, A: Fl¨ ache) der Spulen abh¨angt.

2.5 Drehstrom

179

√ ˆ / 2 der induzierten Spannungen lauten in komplexer Form Die Effektivwerte U = U

U q1 = U ,

U q2 = U e

√  3 1 und =U − −j 2 2  √  3 1 . =U − +j 2 2 

−j2/3π

U q3 = U e−j4/3π

(2.106)

Die komplexen Spannungen sind in Abbildung 2.63 dargestellt.

U q3

i.A.

U q1

r.A.

U q2 Abb. 2.63: Komplexe Spannungen eines 3-Phasensystems

Bei symmetrischen n-Phasensystemen mit der Phasendifferenz α = 2π/n und gleichen Effektivwerten U gilt allgemein n 

U qi = 0 .

(2.107)

i=1

In der Technik beschr¨ankt man sich haupts¨ achlich auf das 3-Phasensystem. Sternschaltung bei Generatoren Generell gibt es zwei Verschaltungsm¨oglichkeiten bei Drehstromsystemen, die Sternschaltung und die Dreieckschaltung. Das Konzept der Sternschaltung von Generatoren ist in Abbildung 2.64 skizziert. Man bezeichnet die induzierten Spannungen U q1 , U q2 und U q3 als Strangspannungen. Die Spannungen zwischen den Leitern U 12 , U 23 und U 31 heißen verkettete Spannungen. ome und I 0 ist der Strom im Nullleiter (bei symmetriI 1 , I 2 sowie I 3 sind die Leiterstr¨ scher Belastung ist I 0 = 0).

Es gilt der Zusammenhang U 12 = U q1 − U q2 , U 23 = U q2 − U q3 , U 31 = U q3 − U q1

(2.108)

180

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

I3

3

U 31

U q3

0

31 I1

1

U q2

U q1

U 12

3

1

3 23

U 23

I2

2

I0

U q1 U q3 U q2

1

2 12

2 0

Nullleiter Abb. 2.64: Sternschaltung bei Generatoren; Spannungen

und somit immer U 12 + U 23 + U 31 = 0 .

(2.109)

Der Betrag der verketteten Spannungen ist um

U12

 

√

2

√ 3 3 3 1

+ =U 3 ) = U = U · 1 − (− − j

4 2 2 2

(2.110)

gr¨ oßer als die Strangspannungen. Dreieckschaltung bei Generatoren Bei der Dreieckschaltung in Abbildung 2.65 sind die Generatorspulen 1, 2 und 3 zusammengeschaltet. Aus der Maschengleichung folgt daher immer U 12 + U 23 + U 31 = 0

(2.111)

und wegen der Knotenpunktgleichung um die Anschl¨ usse 1, 2 und 3 I1 + I2 + I3 = 0 .

(2.112)

2.5 Drehstrom

181

I3

3

1

U 31

I1

3 1

31 23

U 12 U 23 I 2

12 2

2

Abb. 2.65: Dreieckschaltung bei Generatoren; Spannungen

2.5.2

Generator-Verbraucher-Schaltungen

Wie beim Generator, so gibt es auch beim Verbraucher die beiden Varianten Sternschaltung () und Dreieckschaltung (). Somit ergeben sich vier F¨ alle der Zusammenschaltung von Generator und Verbraucher:

Fall 1 2 3 4

Generator    

Verbraucher    

Anzahl der Leitungen 3 oder 4 3 3 3

Sternschaltung von Generator und Verbraucher (Fall 1) Zun¨ achst wird der Fall Generator und Verbraucher in Sternschaltung“ untersucht. ” Gegeben sind • die Schaltung 2.66, • die Generatorspannungen U q1 , U q2 , U q3 ,

• die Leitwerte der Last Y 1 , Y 2 , Y 3 und der Leitwert des Nullleiters Y 0 .

Gesucht werden die Gr¨ oßen • U 1 , U 2 , U 3 sowie U 0 und

• die zugeh¨ origen Str¨ ome I 1 , I 2 , I 3 und I 0 .

Man berechnet zun¨achst den Spannungsabfall im Nullleiter U 0 aus der Knotenpunktgleichung im Sternpunkt des Verbrauchers

I1 + I2 + I3 = I0 ,

(2.113)

182

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

I3

3

U q3 U q1 1

1

Y1

U1

I2

U q2 2

I1

U3

U2

3

Y3

Y2 2

I0

Y0

U0 Abb. 2.66: Sternschaltung bei Generator und Verbraucher

den Elementgleichungen I 1 = Y 1U 1, I 3 = Y 3U 3,

I 2 = Y 2U 2, I 0 = Y 0U 0

(2.114)

und den Maschengleichungen U 1 = U q1 − U 0 ,

U 2 = U q2 − U 0 ,

U 3 = U q3 − U 0 .

(2.115)

Setzt man nun die Gleichungen (2.115) in (2.114) und das Ergebnis wiederum in Gleichung (2.113) ein, ergibt sich unmittelbar der gesuchte Spannungsabfall im Nullleiter U0 =

U q1 Y 1 + U q2 Y 2 + U q3 Y 3 . Y0+Y1+Y2+Y3

(2.116)

Die Spannungsabf¨ alle im Verbraucher erh¨ alt man durch Einsetzten von Gleichung (2.116) in die Maschengleichungen (2.115), also U 1(2,3)

aus Gleichung (2.116) in Gleichung (2.115)

(2.117)

und die Verbraucherstr¨ ome I 1(2,3) anschließend aus den Elementgleichungen (2.114), also

I 1(2,3)

aus Gleichung (2.117) in Gleichung (2.114) .

(2.118)

2.5 Drehstrom

183

Sonderfall: Symmetrische Last Wird der Stern-Generator“ symmetrisch belastet, gilt also Y 1 = Y 2 = Y 3 = Y , ” verschwindet die Nullleiterspannung =0

U0 =

U q1 Y 1 + U q2 Y 2 + U q3 Y 3 Y0+Y1+Y2+Y3

   Y (U q1 + U q2 + U q3 ) =0, = 3Y + Y 0

da in symmetrischen Generatoren die Summe der Strangspannungen laut Gleichung (2.107) null ist. Sonderfall: Nullleiterwiderstand Z 0 = 0 (Y 0 −→ ∞) Auch in diesem Sonderfall gilt unabh¨angig davon, ob symmetrische oder unsymmetrische Belastung vorliegt

U0 =

U q1 Y 1 + U q2 Y 2 + U q3 Y 3 =0. Y0+Y1+Y2+Y3

Die Spannungen am Verbraucher entsprechen den generierten Quellenspannungen. Sonderfall: Kein Nullleiter vorhanden (Y 0 = 0) Ist der Nullleiter nicht vorhanden, reduziert sich das Vierleitersystem auf ein Dreileitersystem und es gilt

U0 =

U q1 Y 1 + U q2 Y 2 + U q3 Y 3 . Y1+Y2+Y3

In zwei F¨allen wird die Nullleiterspannung“ (man spricht hier besser von der Spannung ” zwischen den Sternpunkten des Vebrauchers und des Generators) null: • Bei symmetrischer Last (Y 1 = Y 2 = Y 3 = Y ) und symmetrischem Generator oder

• wenn der Z¨ ahler null ist (U q1 Y 1 + U q2 Y 2 + U q3 Y 3 = 0).

Dreieckschaltung des Generators und Sternschaltung des Verbrauchers (Fall 2) Im zweiten Fall ist der Generator als Dreieckschaltung und der Verbraucher in Sternschaltung realisiert. Gegeben sind, ¨ ahnlich wie im vorigen Fall, • die Schaltung 2.67, • die verketteten Generatorspannungen U 12 , U 23 , U 31 und

• die komplexen Widerst¨ande des Verbrauchers Z 1 , Z 2 , Z 3 .

184

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Gesucht werden die Gr¨ oßen • U 1 , U 2 , U 3 und

• die zugeh¨origen Str¨ome I 1 , I 2 , I 3 .

I3

3

1

U 31

U 12 U 23

I1

I2

1

Z1

U1

U3

U2

2

3

Z3

Z2 2

Abb. 2.67: Dreieckschaltung beim Generator und Sternschaltung beim Verbraucher

Die Knotenpunktgleichung im Sternpunkt des Verbrauchers lautet I1 + I2 + I3 = 0 ,

(2.119)

die unabh¨angigen Maschengleichungen lauten U 12 = Z 1 I 1 − Z 2 I 2 und U 23 = Z 2 I 2 − Z 3 I 3 .

(2.120)

Die drei unabh¨angigen Gleichungen (2.119) und (2.120) enthalten die drei Unbekannten ost werden kann. Es ergibt sich mit U 12 +U 23 +U 31 = 0: I 1 , I 2 und I 3 , nach denen aufgel¨

U 12 Z 3 − U 31 Z 2 Z 1Z 2 + Z 2Z 3 + Z 3Z 1 U 23 Z 1 − U 12 Z 3 I2 = Z 1Z 2 + Z 2Z 3 + Z 3Z 1 U 31 Z 2 − U 23 Z 1 I3 = Z 1Z 2 + Z 2Z 3 + Z 3Z 1

I1 =

(2.121)

Mit den Verbraucherstr¨ omen folgen sofort die Lastspannungen U 1 , U 2 und U 3 aus den Elementgleichungen.

2.5 Drehstrom

185

I3

3

31

Phasen

U 31

U 12 U 23

Quelle

3

Z 31 I1

I2

1

Z 12

I 31

Z 23

I 23

I 12 2

2 Abb. 2.68: Dreieckschaltung beim Verbraucher; Generator beliebig

Dreieckschaltung des Verbrauchers (Fall 3 und 4) Die noch verbleibenden F¨ alle 3 und 4, n¨ amlich Dreieckschaltung des Verbrauchers bei unterschiedlichen Generatorverschaltungen gem¨ aß Abbildung 2.68, werden mit Hilfe der Transfiguration“ untersucht. ” Anstatt neu zu rechnen, f¨ uhrt man die Dreieckschaltung in die Konfiguration einer (sich elektrisch gleich verhaltenden) Sternschaltung u ¨ber (Transfiguration). Gesucht werden also die Werte der Bauelemente der Sternschaltung, die zu einem ¨ aquivalenten Schaltverhalten bez¨ uglich einer vorgegebenen Dreieckschaltung f¨ uhren. Dazu betrachtet man die Widerst¨ ande zwischen zwei Punkten bei offenem dritten Punkt. Aus Abbildung 2.69 ergibt sich:

Z 12 (Z 23 + Z 31 ) Z 12 + Z 31 + Z 23 Z (Z + Z 31 ) Z 2 + Z 3 = 23 12 Z 12 + Z 31 + Z 23 Z (Z + Z 12 ) Z 3 + Z 1 = 31 23 Z 12 + Z 31 + Z 23

Z1 + Z2 =

Punkte: 1 - 2

Punkte: 2 - 3

Punkte: 3 - 1

Die L¨osung ist sofort ersichtlich. Addiert man z.B. die erste und dritte Gleichung und zieht die zweite ab, erh¨alt man Z 1 usw., zusammenfassend also

Z 12 Z 31 , Z 12 + Z 31 + Z 23 Z 23 Z 12 , Z2 = Z 12 + Z 31 + Z 23 Z 31 Z 23 . Z3 = Z 12 + Z 31 + Z 23

Z1 =

(2.122)

Mit Gleichungssatz (2.122) und den Gleichungen (2.121) bzw. (2.118) findet man die ur die Kombination Dreieck–Dreieck“ bzw. Stern–Dreieck“. Die Leiterstr¨ome I 1 –I 3 f¨ ” ”

186

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

3

Z3

Z1

1

3

Z 31

!

Z 23

1

Z2 Z 12

Sternschaltung

2

2 Dreieckschaltung

¨ Abb. 2.69: Uberf¨ uhrung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung

Str¨ ome in den einzelnen Verbrauchern erh¨ alt man direkt aus den Elementgleichungen und den gegebenen verketteten Spannungen.

2.5.3

Leistung in 3-Phasensystemen

Die komplexe Leistung ist allgemein definiert als S = U · I ∗ = P + jQ .

I3

3 2 1

0

I2

U q3

U q2

I1

U q3

2

P

0

Z

Z

Z

Bezugspunkt 0:

a) Vierleitersystem

U 31

U q2

1

U q1

I0

I3

3

U 21

I2 I1

P

U q1

Willkürlich oder künstlich erzeugt mit

Z

b) Dreileitersystem

Abb. 2.70: Berechnung der Leistung eines Vierleiter- und eines Dreileitersystems

Vierleitersystem In einem Vierleitersystem (mit Nullleiter), wie in Abbildung 2.70a), liefern die Quellen

2.5 Drehstrom

187

die Leistung S = U q1 · I ∗1 + U q2 · I ∗2 + U q3 · I ∗3 ,

(2.123)

die im Verbraucher und Nullleiter umgesetzt wird. Dreileitersystem W¨ahlt man Leiter 1 als Bezugsleiter, errechnet sich die Gesamtleistung eines Dreileitersystems (Abbildung 2.70b)) zu S = U 21 · I ∗2 + U 31 · I ∗3 .

(2.124)

Gleichung (2.124) wird mit Hilfe der Knotenpunktgleichung I 1 + I 2 + I 3 = 0 umgeformt:

S = (U q2 − U q1 ) · I ∗2 + (U q3 − U q1 ) · I ∗3

= U q1 · (−I ∗2 − I ∗3 ) +U q2 I ∗2 + U q3 I ∗3    =+I ∗ 1

=

U q1

·

I ∗1

+ U q2 · I ∗2 + U q3 · I ∗3

(2.125)

urlichen oder einen Die Strangspannungen U q1 , U q2 und U q3 sind dabei auf einen willk¨ durch drei gleiche Impedanzen k¨ unstlich erzeugten Nullleiter bezogen. Leistungsvergleich Belastet man ein Dreileitersystem mit einer symmetrischen, sternf¨ ormigen Last mit den komplexen Widerst¨anden Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z , so wird die Leistung

S ( − Last) = U q1 · I ∗1 + U q2 · I ∗2 + U q3 · I ∗3

=

U2 (Uq3 )2 (Uq2 )2 (Uq1 )2 =3 ∗ + + ∗ ∗ ∗ Z Z Z Z

(2.126)

umgesetzt, wobei Uq1 = Uq2 = Uq3 = U gilt. Zum Vergleich wird die Leistung bei einer Dreiecklast mit den gleichen Komponenten Z 12 = Z 23 = Z 31 = Z berechnet. Mit Hilfe der Transfiguration ermittelt man zun¨achst die Ersatzwiderst¨ande einer ¨aquivalenten Sternschaltung mit Hilfe von Gleichung (2.122). Die ¨aquivalenten Widerst¨ande der Sternschaltung Z 1 = Z 2 = Z 3 sind

Z 1(2,3) =

Z . 3

(2.127)

Damit ergibt sich f¨ ur die Leistung aus Gleichung (2.126) S ( − Last) = 3

U2

Z ∗1(2,3)

=9

U2 . Z∗

(2.128)

Die umgesetzte Leistung in einer Dreiecklast ist also um den Faktor 3 gr¨ oßer als die einer sternf¨ormigen Last.

188

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Anwendungsbeispiel 2.23 Die Tatsache, dass die umgesetzte Leistung in einer Dreiecklast um den Faktor 3 gr¨ oßer ist als die in einer sternf¨ ormigen Last, nutzt man z.B. bei Drehstrommotoren aus. Solange der Motor seine volle Drehzahl noch nicht erreicht hat, ist er als Stern geschaltet um ihn nicht durch u aßig hohe Str¨ome zu u ¨berm¨ ¨berlasten. Danach schaltet man in die Dreieckkonfiguration, um eine hohe Leistung zu erzielen. Beispiel 2.24 Gegeben ist ein rechtsdrehendes, symmetrisches, sternf¨ormig verschaltetes Dreileitersystem mit U q1 =230V und einem Verbraucher mit den Komponenten Z 1 =20Ω, ◦ ◦ Z 2 =20e−j30 Ω und Z 3 =20ej30 Ω. Gesucht sind die Leiterstr¨ ome sowie die verbrauchte Wirkleistung.

L¨ osung: ◦ ◦ 3-Leitersystem ⇒ Y 0 = 0; Y 1 = 50mS; Y 2 = 50ej30 mS; Y 3 = 50e−j30 mS U q1 Y 1 + U q2 Y 2 + U q3 Y 3 = 84, 2V U0 = Y0+Y1+Y2+Y3

I 1 = (U q1 − U 0 ) · Y 1 = 7, 3A I 2 = (U q2 − U 0 ) · Y 2 = (−3, 65 − j13, 6)A I 3 = −(I 1 + I 2 ) = (−3, 65 + j13, 6)A

S = U q1 · I ∗1 + U q2 · I ∗2 + U q3 · I ∗3 = (7, 94 + j · 0)kVA ⇒ P = Re{S } = 7, 94kW

2.6

Transformator

Der Transformator ist neben den bereits bekannten Bauelementen R, L und C ein weiteres wichtiges Schaltungselement in der Wechselstromtechnik. Die h¨ aufigsten Anwendungen sind die Spannungs- und Strom¨ ubersetzung (Netzteile, Energietechnik, ...) sowie die Impedanztransformation (Anwendung u.a. in der Hochfrequenz-Technik). Die Wirkung des Transformators beruht, wie bereits aus Kapitel 1 bekannt, auf der Gegeninduktion.

Φ 11

Φ 12

Φ 21

Φ 22

i 1 (t)

i2 (t)

i1 (t)

u 2 (t)

u 1 (t)

M

i 2 (t)

Φ 1S Φ 2S u 1 (t)

w1

w2

u 2 (t)

L1 Abb. 2.71: Transformator mit magnetischen Fl¨ ussen; Schaltzeichen

L2

2.6 Transformator

2.6.1

189

Transformatorgleichungen

Im Prinzip besteht der Transformator aus zwei oder mehreren Wicklungen, deren magnetische Wechselfl¨ usse verkoppelt sind. So entstehen induzierte Spannungen in den gekoppelten Spulen (vgl. Kapitel 1). Speziell in der Starkstromtechnik und bei niedrigen Frequenzen dient ein Eisenkern der magnetischen Flussf¨ uhrung und damit der Reduktion von Streuverlusten. Den typischen Aufbau eines Transformators zeigt Abbildung 2.71. Das elektrische Verhalten von Transformatoren wird mittels der Transformatorgleichungen (1.54) auf Seite 31

di2 (t) di1 (t) +M dt dt di2 (t) di1 (t) + L2 u2 (t) = M dt dt

u1 (t) = L1

und

beschrieben. In komplexer Schreibweise lauten diese mit d/dt = jω U 1 = jωL1 · I 1 + jωM · I 2 U 2 = jωM · I 1 + jωL2 · I 2 .

(2.129)

Die Baugr¨ oße eines Transformators richtet sich nach der zu u ¨bertragenden Leistung P und der Frequenz f . Es gilt der Zusammenhang P ∼ VF e · f, wobei VF e das Magnetkreisvolumen darstellt.

2.6.2

Verlustbehafteter Transformator

Die Ohm’schen Verluste der Wicklungen und evtl. vorhandene Eisenkernverluste (vgl. Abschnitt 2.7) lassen sich durch die in Abbildung 2.72 gezeichneten Serienwiderst¨ande ucksichtigen. R1 und R2 ber¨

M

I1 U1

I2

R1

R2 L1

L2

Abb. 2.72: Verlustbehafteter Transformator

U2

190

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Die komplexen Trafo-Gleichungen lauten U 1 = (R1 + jωL1 )I 1 + jωM I 2 U 2 = jωM I 1 + (R2 + jωL2 )I 2

und

oder kurz

U 1 = Z 1I 1 + Z M I 2 U 2 = Z M I 1 + Z 2I 2

(2.130)

mit den Abk¨ urzungen Z 1 = R1 + jωL1 , Z 2 = R2 + jωL2 und Z M = jωM .

2.6.3

Belastung des Transformators

Im Allgemeinen ist der Transformator auf der sekund¨aren Seite belastet (vgl. Abbildung 2.73).

M

I1

Ze

U1

I2

R1

R2 L1

U2

Za

L2

Abb. 2.73: Belasteter Transformator

Neben den Trafo-Gleichungen (2.130) gilt das Verbrauchergesetz U 2 = −I 2 · Z a

(Z¨ahlpfeilrichtung beachten!) .

(2.131)

Aus Gleichung (2.131) und der 2. Trafo-Gleichung (2.130) findet man die Strom¨ ubersetzung −I 2 · Z a = Z M I 1 + Z 2 I 2

bzw.

ZM I2 . =− Z2 + Za I1

(2.132)

ahlerpfeilrichtung fließt. Das Minuszeichen bedeutet, dass der Strom I 2 entgegen der Z¨ Um zur Spannungs¨ ubersetzung zu gelangen, wird wie folgt vorgegangen:

2.6 Transformator

191

osen und in die 1. Trafo-Gleichung (2.130) einsetzen; 1.: Gleichung (2.132) nach I 1 au߬

osen und in das Resultat von 1. einf¨ ugen. 2.: Elementgleichung (2.131) nach I 2 l¨ Es ergibt sich

ZM Za U2 . = U1 Z 1 Z a + Z 1 Z 2 − Z 2M

(2.133)

Den transformierten Eingangswiderstand Ze =

Z 2M U1 = Z1 − Za + Z2 I1

(2.134)

erh¨ alt man durch Aufl¨ osen von Gleichung (2.132) nach I 2 und Einsetzten in die 1. Trafo-Gleichung (2.130).

Beispiel 2.25 Zu berechnen ist das Strom- und Spannungs¨ ubersetzungsverh¨ altnis eines belasteten, verlustbehafteten Transformators f¨ ur die Extremf¨ alle Z a = 0 und Z a → ∞.

L¨ osung: Aus den Gleichungen (2.132) und (2.133) folgt: Za = 0 ⇒

U Z I2 = − M und 2 = 0 U1 Z2 I1

Za → ∞ ⇒

2.6.4

Z U I2 = 0 und 2 = M Z1 U1 I1

Idealisierung des Transformators

Verlustloser, fest gekoppelter Trafo Bei einem verlustlosen Trafo sind die Wicklungswiderst¨ande R1 = R 2 = 0 . Damit resultiert die Erhaltung der Wirkleistung vom Eingang zum Ausgang, also Re{U 1 · I ∗1 } = Re{U 2 · I ∗2 } .

Der Trafo selbst verbraucht keine Wirkleistung. Eine weitere Idealisierung steckt im Ausdruck fest gekoppelt“. Das bedeutet, dass der Kopplungsfaktor k = 1 ist und ” somit die Streufl¨ usse Φ1S = Φ2S = 0

192

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

sind. Man spricht auch von Streufreiheit (σ = 0). Folglich gilt f¨ ur die magnetischen Fl¨ usse gem¨ aß den Gleichungen (1.47) und (1.48) Φ11 = Φ12 und Φ22 = Φ21 . Aus k2 = 1 =

M2 L1 L 2

resultiert

w2 w2 Φ12 /i1 M L2 = = = = w1 w1 Φ11 /i1 L1 M



L2 . L1

Trafo-Gleichungen Die Transformatorgleichungen (2.130) lauten unter Ber¨ ucksichtigung obiger Bedingungen

 U 1 = jωL1 · I 1 + jω L1 L2 · I 2 und  U 2 = jω L1 L2 · I 1 + jωL2 · I 2 .

(2.135)

Strom¨ ubersetzung Die Strom¨ ubersetzung aus Gleichung (2.132) vereinfacht sich zu

√ jω L1 L2 jωM ZM I2 . =− =− =− jωL2 + Z a jωL2 + Z a Z2 + Za I1

(2.136)

ost man altnis I 2 /I 1 = −w1 /w2 . L¨ Ist der Lastwiderstand Z a = 0, wird das Stromverh¨ die 1. Trafo-Gleichung des Gleichungssatzes (2.135) nach dem Prim¨arstrom auf, folgt I1 =

w2 jωM I 2 U1 I . = I 10 − − w1 2 jωL1 jωL1

(2.137)

Die Gr¨oße I 10 = U 1 /(jωL1 ) heißt Magnetisierungsstrom. Er fließt immer, solange Ausgangs- und Eingangsspannung nicht null sind.

Spannungs¨ ubersetzung Die Spannungs¨ ubersetzung ist beim verlustlosen, fest gekoppelten Trafo unabh¨ angig amlich von den Str¨omen I 1 und I 2 . Aus den Trafo-Gleichungen (2.135) ergibt sich n¨

√ √ √ w2 L1 I 1 + L2 I 2 jω L2 U2 √ √ ·√ . = = w1 U1 L1 I 1 + L2 I 2 jω L1

(2.138)

2.6 Transformator

193

Der ideale Trafo ¨ Beim idealen Trafo (Ubertrager) gilt neben R 1 = R2 = 0

und

k=1

noch I 10 = 0 .

Die letzte Gleichung ist erf¨ ullt, wenn gilt: • L1 → ∞ ⇒ I 10 = 0 oder

• ω → ∞ ⇒ I 10 = 0 .

Die Trafo-Gleichungen ergeben sich unmittelbar aus den Gleichungen (2.138) und (2.137) zu

¨ · U 2 und U1 = u 1 I1 = − · I2 , u ¨

(2.139)

¨ mit dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨=

w1 . w2

(2.140)

Spannungs- und Strom¨ ubersetzungsverh¨altnisse sind direkt aus Gleichungssatz (2.139) ersichtlich. Der transformierte Eingangswiderstand Ze =

u ¨U 2 U1 =u ¨2 Z a =− u I 2 /¨ I1

(2.141)

ist, unabh¨angig von der Frequenz, um den Faktor u ¨ 2 gr¨oßer als der Ausgangswiderstand. Mit idealen Transformatoren ist somit eine breitbandige Widerstandstransformation m¨oglich. Anwendungsbeispiel 2.26 Die Antenne eines Mobilfunktelefons habe einen Innenwiderstand von 50Ω. Sie soll an eine Eingangsfilterstufe mit einem Eingangswiderstand von 200Ω leistungsange¨ passt werden. Berechnen Sie das dazu notwendige Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨ eines ¨ idealen Ubertragers. L¨ osung: ¨2 Z a Ze = u Antennenimpedanz Z e = 50Ω nach 200Ω transformieren: ¨ = 0, 5 = w1 /w2 50Ω = u ¨2 · 200Ω ⇒ u

194

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

2.6.5

Ersatzschaltbilder des Transformators

Die T-Ersatzschaltung Gesucht wird eine Darstellung eines Transformators, bei der die magnetische Kopplung durch eine galvanische Kopplung ersetzbar ist. Ausgangspunkt hierf¨ ur sind die TrafoGleichungen (2.130) U 1 = (R1 + jωL1 )I 1 + jωM I 2 und U 2 = jωM I 1 + (R2 + jωL2 )I 2 .

I1

R1

I2

L1 M

U1

I1

L2 M

R2

U2

M

M

I2

b) Masche 2

a) Masche 1

Abb. 2.74: Einzelersatzschaltungen eines realen Trafos

Beide Gleichungen stellen Spannungssummen dar und sind daher als Maschengleichungen interpretierbar. Die Maschen werden so gezeichnet, dass obige Trafo-Gleichungen erf¨ ullt sind (vgl. Abbildung 2.74 a) und b)). Beide Teilschaltungen 2.74 a) und b) kombiniert liefern das vollst¨ andige T-Ersatzschaltbild 2.75.

I1 U1

I2

R1

L1 M

M

L2 M

R2

U2

Abb. 2.75: T-Ersatzschaltung eines realen Trafos

Diese Ersatzschaltung kann gut f¨ ur die Knotenpotentialanalyse verwendet werden, solange eine Eingangs- und eine Ausgangsklemme auf demselben Potential liegen. Nachteilig bei diesem Modell sind die m¨oglicherweise physikalisch nicht realisierbaren L¨angsinduktivit¨ aten L1 − M und L2 − M , da deren Zahlenwerte negativ sein k¨onnen. ¨ Dieses Problem wird durch ein T-Ersatzschaltbild mit nachgeschaltetem idealen Ubertrager gel¨ ost.

2.6 Transformator

195

¨ T-Ersatzschaltung mit idealem Ubertrager Ein realer Trafo l¨ asst sich durch einen idealen Trafo und einer vorgeschalteten TSchaltung (Abbildung 2.76) darstellen. Als T-Schaltung dient die vorige Ersatzschaltung 2.75; die Koeffizienten der Bauelemente werden neu bestimmt.

I2

I1 U1

R1

L1

M

L2

R2

I2

U2

U2

w1

w2

idealer Übertrager ¨ Abb. 2.76: T-Ersatzschaltung mit nachgeschaltetem, idealem Ubertrager

Die Bestimmungsgleichungen des idealen Transformators sind

¨U 2 U 2 = u

und

− I 2 =

1 I u ¨ 2

(vgl. (2.139)) .

Die Maschengleichungen, abgeleitet aus Abbildung 2.76, lauten

1 U 1 = [R1 + jω(L1 + M  )]I 1 + jωM  I 2 und u ¨ 

1    1  U 2 = · jωM I 1 + [R2 + jω(L2 + M )] I 2 . u ¨ u ¨

Der Vergleich mit den Trafo-Gleichungen U 1 = (R1 + jωL1 )I 1 + jωM I 2 U 2 = jωM I 1 + (R2 + jωL2 )I 2

liefert die gesuchten Koeffizienten • R1 = R1 , • M = u ¨ · M, • L1 = L1 − u ¨ · M, • R2 = u ¨ 2 · R2 , • L2 = u ¨2 · L2 − u ¨·M .

und

(2.142)

196

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

¨ Das Auswahlkriterium des Ubertragungsverh¨ altnisses u ¨ resultiert aus den Forderungen ¨·M >0 L1 = L1 − u

⇒

L2 = u ¨2 · L2 − u ¨·M >0

⇒

L1 und M M . u ¨ > L2

u ¨
f0 wird das Schaltverhalten von der parasit¨aren Kapazit¨at bestimmt.

204

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

L

L 0

10 3

100

f0

10 4

Frequenz / Hz Abb. 2.85: Wirksame Induktivit¨ at bei verlustlosen Spulen

Spule mit Eisenkern Der Eisenkern bewirkt • eine Erh¨ ohung des Wertes der Induktivit¨ at L (Grund: hohe Permeabilit¨ at von Eisen), • Hystereseverluste im Kernmaterial ∼ f und • Wirbelstromverluste im Kernmaterial ∼ f 2 . Die Kernmaterialverluste lassen sich im elektrischen Ersatzschaltbild durch einen zum Leitungswiderstand in Serie liegenden, frequenzabh¨ angigen Eisenwiderstand RF e ber¨ ucksichtigen. Einen Vergleich der G¨ uten einer Luftspule und einer Spule mit Eisenkern bei identischer Wicklungszahl und Geometrie zeigt Abbildung 2.86. Beispiel 2.30 Berechnen Sie die Resonanzfrequenz und die maximale G¨ ute einer Spule mit den Ersatzschaltbild-Kenndaten R = 100Ω, L=1H, C=10nF. L¨osung: ESB entsprichteinem technischen Schwingkreis: R2 C 1 = 104 s−1 · 1− ω0T = √ L LC

ωL −ωC + 2 2 2 2 Im{Y ∗ } R + ω 2 L2 = ωL − ωC(R + ω L ) Q(ω) = ∗ = R R R Re{Y } 2 R + ω 2 L2

⇒

2.7 Modellierung technischer Grundbauelemente

60

205

Luftspule

50 Güte

40 30

Spule mit Fe-Kern

20 10 0 10

100

10 3

10 4

10 5

Frequenz / Hz Abb. 2.86: G¨ ute einer Luftspule und einer Spule mit Eisenkern im Vergleich

CL2 L dQ(ω) =0 ⇒ − CR − 3ω 2 = R dω R 

d2 Q(ω) R L −1 < 0) = 5773, 5s ; Q = 38, 5 (Maximum, da − CR ω= max dω 2 3CL2 R

2.7.3

Technische Kondensatoren

Ein relativ vollst¨andiges Ersatzschaltbild von Kondensatoren ist in Abbildung 2.87a) gezeichnet. Es beinhaltet sowohl die Anschlusswiderst¨ande R und die Zuleitungsinduktivit¨aten L als auch den zur Nutzkapazit¨at C parallel liegenden Isolations- und Polarisationswiderstand Riso und Rpol . • Isolationswiderstand Riso : Ursache ist die Restleitf¨ahigkeit des Isolators. Riso kann durch die Zeitkonstante f¨ ur die Selbstentladung quantifiziert werden. • Polarisationswiderstand Rpol : Die Umorientierung eventuell vorhandener elektrischer Dipole im Isolator (Dielektrikum) infolge wechselnder Feldst¨arke erfordert Energie (Molek¨ ulreibung, Erzeugung von W¨arme). N¨aherungsweise gilt: Polarisationsverluste ∼ f . Bei niedrigen und mittleren Frequenzen k¨onnen die Zuleitungsinduktivit¨aten vernachl¨assigt werden und man benutzt als vereinfachte Ersatzschaltbilder nur noch eine Serienschaltung aus Rs und Cs oder eine Parallelschaltung aus Rp und Cp (vgl. Abbildung 2.87b) und 2.87c)). Beide vereinfachten Ersatzschaltbilder haben ihre Existenzberechtigung. H¨aufig wird jedoch das Reihenersatzschaltbild verwendet. In den Datenbl¨attern ist dann der Ersatzserienwiderstand RESR angegeben, der dem Widerstand Rs in Abbildung 2.87b) entspricht.

206

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

L

C

R

R

L

R iso R pol

a)

Rs

Cs

Rp

Cp

b)

c)

Abb. 2.87: Ersatzschaltbilder von Kondensatoren: a) vollst¨ andiges ESB; b) Serienersatzschaltung; c) Parallelersatzschaltung.

Die G¨ ute eines Kondensators, beschrieben durch die Ersatzschaltbilder 2.87b) und 2.87c), ist |Blindleistung| Wirkleistung 1 I 2 /(ωCs ) Serien-ESB = Q = ωCs Rs I 2 Rs U 2 ωCp = ωCp Rp Parallel-ESB . Q = 2 U /Rp Q =

(2.151)

In Tabelle 2.4 sind typische Werte f¨ ur Kondensatorg¨ uten bei f =1kHz angegeben.

Dielektrikum Glimmer Polystyrol Polycarbonat Papier Keramik/Al-Oxyd

G¨ ute Q 105 104 103 100 20

Tabelle 2.4: G¨ uten von Kondensatoren bei verschiedenen Dielektrika (f = 1kHz)

2.8 Rechnergest¨ utzte Wechselstromanalyse (AC-Analyse)

207

Beispiel 2.31 ute Q1 = 100 und C2 = 8μF mit der G¨ ute Zwei Kondensatoren C1 = 2μF mit der G¨ Q2 = 1000 werden parallel geschaltet. Wie groß ist die G¨ ute der Gesamtschaltung? L¨osung: ωCp = ωCp Rp ⇒ 1/Rp = ωCp /Q Q= 1/Rp 1 1 ⇒ = Cges = C1 + C2 ; Rges = ωC1 /Q1 + ωC2 /Q2 1/R1 + 1/R2 ω(C1 + C2 ) = 357 Qges = ωCges Rges = ω(C1 /Q1 + C2 /Q2 )

2.8

Rechnergestu¨tzte Wechselstromanalyse (AC-Analyse)

2.8.1

Grundlagen und Voraussetzungen

Voraussetzung f¨ ur die rechnergest¨ utzte Analyse von sinusf¨ ormig angeregten Wechselstromschaltungen im station¨ aren Zustand, also in einem Zeitbereich, in dem der Einschwingvorgang bereits abgeklungen ist, ist die Linearit¨ at des simulierten Netzwerkes. Linearit¨ at liegt jedoch nur dann vor, wenn alle enthaltenen Bauelemente eine lineare ur Ohm’sche WiStrom-Spannungsbeziehung (U ∼ I ) aufweisen. Leider ist das nur f¨ derst¨ ande, Spulen, Kondensatoren und Transformatoren der Fall. Alle anderen Bauelemente, vor allem Halbleiterbauelemente wie Transistoren oder Dioden, zeigen ein mehr oder weniger ausgepr¨agtes nichtlineares Verhalten.

Liegt eine sinusf¨ormige Wechselspannung an einem nichtlinearen Bauelement an, wird der durch dieses Element fließende Strom verzerrt, wodurch Frequenzanteile h¨ oherer Ordnung entstehen (mehr dazu unter Kapitel 3). Da die AC-Analyse auf der komplexen KPA basiert und die Leitwertmatrix [Y ] die Schaltung nur bei genau einer Frequenz, n¨amlich der Betriebsfrequenz, beschreibt, bleiben h¨ ohere Frequenzanteile und damit nichtlineare Effekte grunds¨ atzlich unber¨ ucksichtigt.

Bei der AC-Analyse werden aus diesem Grund alle nichtlinearen Bauelemente im jeweiligen Arbeitspunkt linearisiert und mit differentiellen Gr¨ oßen, also mit dem unter Kapitel 1 beschriebenen Kleinsignalmodell gerechnet. Die AC-Analyse bezeichnet man daher auch als Kleinsignalanalyse. Die f¨ ur die Berechnung der Kleinsignalmodelle notwendigen Arbeitspunkte liefert eine zuvor erfolgreich abgelaufene DC-Analyse.

2.8.2

Schaltplaneingabe und Simulation

Die Schaltung wird im Schaltplaneditor, wie unter Kapitel 1 bereits geschildert, gezeichnet. Im Unterschied zur DC-Simulation wird das Netzwerk bei der AC-Simulation mit sinusf¨ormigen Wechselquellen betrieben. Die sinusf¨ ormige Spannungsquelle hat bei den meisten Schaltungssimulatoren die Bezeichnung VSIN“, die sinusf¨ ormige Strom” quelle heißt in der Regel ISIN“. Neben der Amplitude muss man bei Quellen dieser ”

208

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Art den Nullphasenwinkel (Voreinstellung 0◦ ) angeben. Zus¨atzlich kann diesen Quellen ein Gleichanteil (DC-Offset) u ¨berlagert werden, wodurch bestimmte Arbeitspunkte in der Schaltung einstellbar sind. Die Frequenz ist f¨ ur alle Quellen gleich und wird daher als globaler Simulationsparameter der AC-Analyse im Analyse-Setup gef¨ uhrt. Die fertig gezeichneten Schaltung, in Abbildung 2.88 ein Serienschwingkreis, wird nach Zuweisung eines Bezugspunktes (Knotenpunkt 0“) abgespeichert. ”

R1 10 U1 1V

C1 20u

L1 10m

Abb. 2.88: Schaltplan eines Serienschwingkreises

Bei der AC-Analyse wird zwischen der Einpunktsimulation und dem AC-Sweep unterschieden. Bei der Einpunktsimulation wird die Schaltung bei nur einer Frequenz analysiert, w¨ ahrend beim AC-Sweep mehrere Einpunktsimulationen hintereinander durchlaufen werden und so das Verhalten des Netzwerkes in einem Frequenzbereich berechnet wird. In den meisten F¨allen wird der AC-Sweep verwendet, da man aus dem Ergebnis wichtige R¨ uckschl¨ usse u ¨ber das Frequenzverhalten einer Schaltung ziehen kann.

2.8.3

Ergebnis der AC-Analyse

Das Ergebnis der AC-Analyse sind die Betr¨age der Amplituden und die Nullphasenwinkel der Knotenspannungen bez¨ uglich des Bezugsknotens bzw. u ¨ber die entsprechenden Elementgleichungen oder Kleinsignalmodelle die Zweigstr¨ome. Diese werden nach einem AC-Sweep als Funktion der Frequenz dargestellt. Der zeitliche, sinusf¨ormige Verlauf von Spannungen und Str¨omen wird bei einer AC-Analyse nicht dargestellt. Abbildung 2.89 zeigt die Spannungen an den Bauelementen des Serienschwingkreises aus Abbildung 2.88 als Ergebnis einer AC-Analyse. Die Resonanzfrequenz f0 = 355, 88Hz ist aus dem Spannungsmaximum am Widerstand gut erkennbar. Des Weiteren ist die Spannungs¨ uberh¨ohung um den Faktor 2,24 bei f = f0 von UC und UL gegen¨ uber der Quellenspannung U1 = 1V deutlich zu sehen. An dieser Stelle sei nochmals darauf hingewiesen, dass bei Schaltungssimulatoren immer der Wert der Amplitude und nicht der Effektivwert ausgegeben wird. UC , UL , UR und U1 bezeichnen hier also, abweichend von der in diesem Buch verwendeten Schreibweise, Amplitudenwerte.

2.8 Rechnergest¨ utzte Wechselstromanalyse (AC-Analyse) 3V 355.88 Hz 2V

UL

UC

1V

UR 0V 10Hz

100Hz

1kHz

10kHz

Frequenz Abb. 2.89: Ergebnisse einer AC-Simulation des Serienschwingkreises aus Abbildung 2.88

209

210

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

¨ Ubungsaufgaben

2.9

Aufgabe 2.1 Berechnen Sie Mittelwert und Effektivwert der Str¨ome in Abbildung 2.90. i/mA

i/mA

i/mA

30

30

30 T

T t

T/6 T/3

-15

T

3T/4

t

t

-30

-30

a)

b)

c)

Abb. 2.90: Zeitliche Verl¨ aufe periodischer Str¨ ome

Aufgabe 2.2 ˆ1 = 2V Gegeben sind zwei harmonische Spannungen u1 (t) und u2 (t) mit f = 50Hz, U ˆ2 = 4V. Die Momentanwerte zu den Zeiten t1 = 1ms und t2 = 2ms betragen und U u1 (t1 ) = 1V und u2 (t2 ) = −2V. Berechnen Sie die Nullphasenwinkel (zwischen -90◦ und 90◦ ).

Aufgabe 2.3 Gegeben sind die harmonischen Gr¨oßen i(t) und u(t) mit I = 5A, ϕi = 30◦ , U = 100V, ϕu = −10◦ , ω = 100s−1 . a) Skizzieren Sie die Zeitfunktionen i(t) und u(t). b) Wie groß sind i(t) und u(t) f¨ ur t1 = 0s, t2 = 0, 01πs und t3 = 62, 9s? c) Berechnen Sie den Scheinwiderstand und die zugeh¨origen Scheinleitwerte. d) Berechnen Sie die Scheinleistung. e) Berechnen Sie den Zeitverlauf der Leistung.

¨ 2.9 Ubungsaufgaben

211

Aufgabe 2.4 Ein Lautsprecher kann vereinfacht als Serienschaltung von R = 3Ω und L = 1, 18mH betrachtet werden. a) Berechnen Sie den Scheinwiderstand Z f¨ ur 1Hz ≤ f ≤ 10kHz und stellen Sie den Verlauf doppelt logarithmisch dar. b) Bei welcher Frequenz fg gilt R = ωL = XL ? c) Bei welcher Frequenz fc wird die Impedanz Z = 8Ω erreicht? Aufgabe 2.5 i(t)

iL

iC2

u(t)

L

uL

iR

iC1 C 1 uR

C2

R

Abb. 2.91: Gegebene Schaltung

F¨ ur die gezeichnete Schaltung (Abbildung 2.91) sind folgende Daten gegeben: R = 100Ω, L = 10mH, C1 = C2 = 1μF. Bei Betrieb mit sinusf¨ormiger Wechselspannung soll am Widerstand R die Spannung uR (t) = 2V · sin (ωt) auftreten. Berechnen Sie die Amplituden und Phasenwinkel aller anderen Gr¨oßen iR (t), iL (t), iC1 (t), iC2 (t), i(t), uL (t) und u(t) f¨ ur den Fall ω = 104 s−1 . Hinweis: Verwenden Sie zur Berechnung ein maßst¨ abliches Zeigerdiagramm. Aufgabe 2.6 Berechnen Sie f¨ ur die Schaltung in Abbildung 2.92 Zges , Rges , Xges , Yges , Gges und Bges bei f = 400Hz. Gegeben: R1 = 500Ω, R2 = 50Ω, L = 50mH und C = 0, 6μF. C

R2

L

R1 Abb. 2.92: Zusammengeschaltete Elemente

212

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 2.7 Ein Lautsprecher wird mit Hilfe einer Serienschaltung von R = 2Ω und L = 0, 318mH beschrieben. Es wird ein Strom von i(t) = Iˆ sin (2πf t) mit Iˆ = 10A und f = 1kHz eingepr¨ agt. a) Berechnen Sie die Momentanleistung p(t). b) In welchen Zeitabschnitten einer Periode T ist p(t) < 0 bzw. p(t) > 0? c) Berechnen Sie die Wirkleistung P , Blindleistung Q und Scheinleistung S. d) Welche Energiemenge Wpos wird w¨ahrend einer Periode vom Lautsprecher aufgenommen, welche Energiemenge Wneg wird wieder abgegeben? Welche Energie W wird w¨ ahrend einer Periode vom Verbraucher aufgenommen? e) Wie groß ist die in der Spule maximal gespeicherte Energie? Aufgabe 2.8 iC

i(t)

iR uR

R

u(t)

C

uL

L

Abb. 2.93: Reelle Berechnung eines technischen Schwingkreises

Gegeben ist die Schaltung in Abbildung 2.93 (technischer Schwingkreis) aus R, L ˆ sin (ωt) und C. Der Schwingkreis ist mit einer Wechselspannungsquelle mit u(t) = U verbunden. Ermitteln Sie unter Zuhilfenahme eines geeigneten Zeigerdiagramms die Stromamplitude Iˆ und die Phase ϕ des Gesamtstromes i(t) = Iˆ sin (ωt + ϕ). Aufgabe 2.9 Gegeben ist der Strom I = (3 + j4)A bei ω = 1000s−1 .

a) Wie groß ist seine Amplitude? b) Geben Sie i(t) an (alle Varianten). c) Wie groß ist der Momentanwert bei t1 = 0ms und t2 = 1ms?

¨ 2.9 Ubungsaufgaben

213

Aufgabe 2.10 Drei Spannungen U 1 = (1 + j3)V, U 2 = (1 + j)V und U 3 sind in Reihe geschaltet. Die Gesamtspannung betr¨agt U = 3V.

Wie groß ist U 3 in P- (Polarkoordinaten) und R-Form (rechtwinklige Koordinaten)?

Aufgabe 2.11 Gegeben ist die Reihenschaltung zweier komplexer Leitwerte Y 1 = (3 + j4)mS und Y 2 = (2 − j5)mS.

a) Wie groß ist der komplexe Widerstand Z der Gesamtschaltung (R- und PForm)?

b) Wie groß ist der komplexe Leitwert Y der Gesamtschaltung (R- und P-Form)?

Aufgabe 2.12 Die Schaltung 2.94 wird mit einer sinusf¨ ormigen Wechselspannung der Kreisfrequenz ω betrieben. Es sind folgende Gr¨ oßen bekannt: R1 = 2kΩ, R2 = 10kΩ, ωL = 1, 25kΩ, 1/ωC = 4kΩ und U = 125V. I

L

U

Z

UL

ZL

U1

Z1

C R1

R2

Abb. 2.94: Gegebene Schaltung

a) Wie groß ist ω, wenn L = 1, 25H ist? b) Berechnen Sie (zahlenm¨ aßig) den komplexen Gesamtwiderstand. c) Wie groß sind die komplexen Effektivwerte des Stromes I und der Teilspannungen U L und U 1 ?

d) Berechnen Sie alle Str¨ome und Spannungen. e) Bestimmen Sie den Phasenwinkel zwischen U 1 und U L .

f) Berechnen Sie mit Hilfe der komplexen Rechnung die umgesetzte Wirk-, Blindund Scheinleistung f¨ ur den mit Z 1 bezeichneten Schaltungsteil.

214

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 2.13 a) F¨ ur die Schaltung nach Abbildung 2.95a) ist der komplexe Ersatzwiderstand Z e in der R-Form bei f = 50Hz zu berechnen.

b) Ermitteln Sie allgemein f¨ ur die Schaltung in Abbildung 2.95b) den Wert von R, f¨ ur den Z e bei allen Frequenzen reell wird. Welchen Wert nimmt Z e an?

f = 50Hz

50

Ze

30μF

60mH

50Ω

50Ω

Ze

C

L

R

R

b)

a)

Abb. 2.95: Gegebene Schaltungen

Aufgabe 2.14 Stellen Sie f¨ ur die Schaltungen in Abbildung 2.96 den komplexen Gesamtwiderstand Z = f (R, L, C, ω) in der R-Form auf.

R

L

C

R

L

a)

b)

R

L

R

C c)

Abb. 2.96: Gegebene Schaltungen

L C

d)

C

¨ 2.9 Ubungsaufgaben

215

Aufgabe 2.15 F¨ ur welchen Wert von Rx in Abbildung 2.97a) ergibt sich zwischen der Spannung U und dem Strom I die Phasendifferenz ϕui = 90◦ , wenn Z = R + jX mit X > 0 ist?

Berechnen Sie den Wert von L und C in Schaltung 2.97b) so, dass IR = 100μA unabh¨angig vom Wert R bei U q = 1V und f = 5kHz fließt. Rx

L

Z

U

I

Z

IR Uq

C

R

b)

a) Abb. 2.97: Gegebene Schaltungen

Aufgabe 2.16 Gegeben ist die Schaltung 2.98 mit den Werten U q1 = 6V, I q2 = 1mA, Z 1 = (2 + j3)kΩ, Z 2 = (8 − j3)kΩ, Z 3 = (0, 5 + j0, 2)kΩ.

Berechnen Sie die Elemente der Ersatzspannungsquelle sowie der Ersatzstromquelle.

Z1

I q2 U q1

a Z2 Z3

U ab

b

Abb. 2.98: Berechnung der Ersatzquellen bez¨ uglich der Klemmen a und b

Aufgabe 2.17 Gegeben ist die Schaltung in Abbildung 2.99.

ur die KPA der Schaltung auf. a) Stellen Sie das Gleichungssystem [Y ] · U ] = I ] f¨ b) Wie berechnet sich die Impedanz Z e allgemein?

ur alle Z μ (μ = 1, 2, ..., 6) gilt: Z μ = R − jX c) Welchen Wert hat Z e , wenn f¨ (plausible Erkl¨arung statt langer Rechnung)?

216

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

1

Iq

Ze

2

Z2

Z5 Z6 Z3

Z1

0

3

Z4

Abb. 2.99: Schaltungsberechnung mittels KPA

Aufgabe 2.18 Gegeben ist die Schaltung in Abbildung 2.100.

U1

Z2

Z1

Z4

U2

Z3 Abb. 2.100: Gegebene Schaltung

a) Beschreiben Sie das Zweitor mit Hilfe der Z-Matrix. b) Unter welcher Bedingung wird U 2 (ω) = 0?

c) Berechnen Sie U 2 /U 1 .

d) Gegeben ist Z 1 = 1kΩ 1nF (Parallelschaltung von R und C), Z 2 = 2kΩ, Z 3 = 4kΩ. ur ω = 1000s−1 U 2 /U 1 = 0 gilt. Berechnen Sie Z 4 so, dass f¨

Aufgabe 2.19 Gegeben ist die Schaltung 2.101 mit den Werten R = 1kΩ, L = 1mH, C = 1nF und ˆ = 10V. U 1

a) Ermitteln Sie zun¨ achst den allgemeinen Ausdruck f¨ ur U 1 /U 2 .

b) F¨ ur welche Frequenz ω = ω90 wird die Phasenverschiebung ϕ zwischen U 1 und ur ω90 ? U 2 90◦ ? Welche der beiden Spannungen eilt vor? Wie groß ist U2 f¨

c) F¨ ur welche Frequenz ω = ω135 wird die Phasenverschiebung ϕ zwischen U 1 und U 2 135◦ ?

¨ 2.9 Ubungsaufgaben

R

217

I 2 =0

L

U1

R

C

U2

Abb. 2.101: Gegebene Schaltung

Aufgabe 2.20 Gegeben ist die Tiefpassschaltung 2.102. Die Schaltung wird im Leerlauf betrieben (I a = 0) und eingangsseitig mit einer Wechselspannung variabler Frequenz gespeist.

Ie Ue

R

R

UC

I a =0

I1

I2

C

C

Ua

Abb. 2.102: Zweigliedrige Tiefpassschaltung

a) Berechnen Sie das komplexe Verh¨ altnis AU = U a /U e allgemein.

b) Welche Werte haben der Betrag und der Phasenwinkel des Spannungsverh¨altur ω = 0, ω = 1/(RC) und ω → ∞? nisses AU f¨

c) Skizzieren Sie den Verlauf des Betrages von AU (ω) in doppelt logarithmischem Maßstab.

d) Berechnen Sie den Wirkleistungsverbrauch des Filters bei ω = 1/(RC) und angigkeit von R. einer Eingangsspannung von U e = 10V in Abh¨

Aufgabe 2.21 Gegeben ist die Schaltung in Abbildung 2.98. An den Klemmen a-b wird ein Lastwiderstand mit Z a = (5 + j3)kΩ angeschlossen. Mit Hilfe eines Blindwiderstandes Xk , der in Reihe zum Lastwiderstand liegt, soll erreicht werden, dass die an Z a abgegebene Wirkleistung maximal wird.

a) Berechnen Sie Xk . b) Wie groß ist das entsprechende L oder C bei f = 159Hz? c) Wie groß ist die in Z a abgegebene maximale Wirkleistung?

218

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 2.22 Eine Stromquelle mit I q = 5mAej0 hat den Innenleitwert Y i = (30 − j40)mS.

a) Bei welchen Elementwerten des Lastwiderstandes Z a (Reihenersatzschaltung) kann bei f = 1kHz maximale Wirkleistung PaM ax abgegeben werden?

b) Wie groß ist PaM ax ? c) Auf welchen Wert muss ein rein reeller Lastwiderstand Ra ge¨andert werden,  allt? damit an ihm maximale Leistung PaM ax (Xa = 0) abf¨  d) Wie groß ist PaM ax (Xa = 0)?

Aufgabe 2.23 F¨ ur ein Netzwerk nach Abbildung 2.103 mit den beiden nach außen gef¨ uhrten Klemmen 1 und 2 konnten durch Messung folgende Gr¨oßen bestimmt werden:

1 I 12

U 12

Za

2 Abb. 2.103: Zweipol als black box

• Leerlaufspannung: U12L = 10V; • Kurzschlussstrom: I12K = 100/3 mA; • dritte Messung: U12 (Z a = Ra = 300Ω) = 6V.

Ermitteln Sie aus obigen Messergebnissen PaM ax an den Klemmen 1 und 2 bei Anpassung. Aufgabe 2.24 Berechnen Sie allgemein, welcher Parallel-Kondensator Cp notwendig ist, um beim Betrieb einer Maschine mit induktivem Blindanteil den Leistungsfaktor λ = cos ϕui vom Wert λ1 auf λ2 (λ2 > λ1 ) zu ¨ andern. Die Maschine ist durch eine Parallelschaltung aus Rp und Lp charakterisierbar.

¨ 2.9 Ubungsaufgaben

219

Aufgabe 2.25 Ein Verbraucher entnimmt dem 230V Wechselstromnetz die Wirkleistung P = 10kW. Der Leistungsfaktor des Verbrauchers betr¨agt λ = 0, 5 (ϕui > 0). Welchen Wert muss ein Kompensationsblindwiderstand besitzen, der den Leistungsfaktor λ auf λ = cos ϕui = 0, 85 (induktiv) verbessert? Um wieviel Prozent sinken hierbei die Leitungsverluste? Aufgabe 2.26 Von einem Reihenschwingkreis sind folgende Daten bekannt: f (ϕZ = 0◦ ) = 120kHz, L = 3mH, f (Re{Z } = |Im{Z }|) = 150kHz.

Berechnen Sie R, C, Q und die Bandbreite ω. Aufgabe 2.27 Ein Serienschwingkreis (Q = 50, f0 = 1kHz) wird von einer Wechselspannungsquelle anderlicher Frequenz versorgt. Die vom Schwingkreis im (U q = 10V, Ri = 50Ω) ver¨ Resonanzfall aufgenommene Leistung betr¨agt P = 100mW.

a) Berechnen Sie R, C und L des Resonanzkreises. b) Wie groß sind die Grenzfrequenzen des Resonanzkreises? c) Bei welchen Frequenzen ist die Phasenverschiebung ϕUq I zwischen U q und dem Strom I durch den Resonanzkreis ±45◦ ?

d) Welche Spannungsfestigkeit muss der Kondensator aufweisen? Aufgabe 2.28 Entwerfen Sie einen RLC-Schwingkreis, dessen Scheinleitwert Y bei einer variablen ugung steht ein DrehFrequenz von 100kHz ≤ f0 ≤ 300kHz minimal wird. Zur Verf¨ kondensator mit 60pF ≤ C ≤ 600pF. a) Durch welche beiden Schaltungsmaßnahmen l¨ asst sich erreichen, dass mit dem gegebenen Drehkondensator genau der Frequenzbereich abgedeckt wird? b) Berechnen Sie jeweils die erforderliche Induktivit¨ at.

220

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 2.29 Ein Parallelschwingkreis aus R, L und C soll so dimensioniert werden, dass er folgende Forderungen erf¨ ullt: • Bei der Resonanzfrequenz f0 soll eine Wirkleistung von P = 800W aufgenommen werden, wenn mit einem eingepr¨agten Strom I = 2A gespeist wird. • Die Bandbreite ω soll 105 s−1 betragen. • Bei einer Verstimmung v = 2 soll nur noch 1/5 der Leistung bei Resonanz aufgenommen werden. ur die Elemente R, L und C. a) Berechnen Sie ω0 , Q, d sowie die Werte f¨ b) Berechnen Sie das Verh¨ altnis IˆL /Iˆ allgemein und f¨ ur die Werte ω = 0, ω = ω0 und ω → ∞. Aufgabe 2.30

ur folgende Schaltungen: Skizzieren Sie die Ortskurven in der Z - und Y -Ebene f¨ a) Serienschaltung aus R und L; Variable: Wert von R; b) Serienschaltung aus R und L; Variable: Wert von L; c) Serienschaltung aus R und C; Variable: Wert von R; d) Serienschaltung aus R und C; Variable: Wert von C; e) Serienschaltung aus R, L und C; Variable: Wert von R; f) Serienschaltung aus R, L und C; Variable: Wert von L; g) Serienschaltung aus R, L und C; Variable: Wert von C; h) Parallelschaltung aus R und L; Variable: Wert von R; i) Parallelschaltung aus R und L; Variable: Wert von L; j) Parallelschaltung aus R und C; Variable: Wert von R; k) Parallelschaltung aus R und C; Variable: Wert von C; l) Parallelschaltung aus R, L und C; Variable: Wert von R; m) Parallelschaltung aus R, L und C; Variable: Wert von L; n) Parallelschaltung aus R, L und C; Variable: Wert von C.

¨ 2.9 Ubungsaufgaben

i.A.

50Ω

221

200 Ω r.A.

f

f = 950kHz

i.A.

100k Ω

1kΩ

r.A.

Z

f = 1MHz

f = 20kHz

a)

Z

b)

Abb. 2.104: Ortskurven

Aufgabe 2.31 Welche Schaltungen besitzen die Ortskurven nach Abbildung 2.104? Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente. Aufgabe 2.32 ¨ Bestimmen Sie allgemein durch geometrische Uberlegung, welchen maximalen Wert der Winkel ϕz in Schaltung 2.104b) annehmen kann. Aufgabe 2.33 Skizzieren Sie die Schaltungen sowie die dazugeh¨ origen Ortskurven in der Z - und ur: Y -Ebene f¨

a) Serienschwingkreis aus R, L und C; Variable: Frequenz f ; b) Parallelschwingkreis aus R, L und C; Variable: Frequenz f ; c) Technischer Parallelschwingkreis (Serienschaltung aus R und L sowie dazu parallel geschalteter Kapazit¨ at C); Variable: Frequenz f ; d) Schwingkreis bestehend aus einer Parallelschaltung von R und C sowie dazu in Serie geschalteter Induktivit¨ at L; Variable: Frequenz f .

222

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 2.34 Skizzieren Sie das Bode-Diagramm der Spannungs¨ ubertragung der Schaltungen nach Abbildung 2.105.

Ue

1M Ω

1kΩ

9kΩ

1kΩ U a

1nF

Ue

159fF

159nF

1)

Ua

2)

Abb. 2.105: Tiefpassschaltungen

Aufgabe 2.35 Gegeben ist die Drehstromschaltung in Abbildung 2.106 mit den komplexen Verbraucherwiderst¨ anden Z 1 = Z 2 = Z 3 = (40 + j30)Ω und den Strangspannungen des rechtsdrehenden, symmetrischen Generators (U q1 = 230V).

I3

3

U q3 U q1 1

U q2 2

I1

I2

1

Z1

U1

U3

U2

3

Z3

Z2 2

U0

Abb. 2.106: Gegebene Schaltung

a) Berechnen Sie die Str¨ ome I 1 , I 2 und I 3 sowie deren Betrag.

b) Wie groß ist die vom Generator abgegebene Wirk- und Blindleistung?

ande und Spannungen c) Z 1 ist durchgebrannt (Z 1 → ∞), die anderen Widerst¨ bleiben wie oben angegeben. c1) Welche Spannung U 0 stellt sich zwischen den beiden Sternpunkten ein? c2) Berechnen Sie die Str¨ ome I 2 und I 3 . c3) Wie groß ist jetzt die vom Generator abgegebene Wirk- und Blindleistung?

¨ 2.9 Ubungsaufgaben

223

Aufgabe 2.36 Gegeben ist das rechtsdrehende Dreiphasensystem in Abbildung 2.107. Es gilt: Uq1 = Uq2 = Uq3 = 230V; die Phasenspannung U q1 soll auf der reellen Achse liegen; R1 = 20Ω, R2 = 10Ω, R3 = 10Ω, R0 = 2Ω.

I3

3

U q3 U q1 1

U q2 2

S

I1

1

R1

U1

I2

U3

U2

I0

R0

3

R3 R2 2

U0 Abb. 2.107: Dreiphasensystem

a) Der Schalter S im Nullleiter ist geschlossen. Berechnen Sie: a1) die Spannung U 0 zwischen den beiden Sternpunkten,

a2) die Spannungen U 1 , U 2 und U 3 ,

a3) die Str¨ ome I 1 , I 2 , I 3 und I 0 ,

a4) die vom Generator abgegebene, komplexe Gesamtleistung. b) Der Schalter S im Nullleiter ist offen. Berechnen Sie nun nochmals die Punkte a1) bis a4). Aufgabe 2.37 Gegeben ist ein Transformator (Abbildung 2.108) mit den Daten: R1 = 5Ω, ωL1 = 25Ω, ωL2 = 80Ω und ωM = 40Ω. An den Prim¨ arklemmen liegt die eingepr¨ agte Spannung U 1 = 130V .

a) Wie groß ist der Kopplungsfaktor k? b) Der Transformator ist sekund¨arseitig im Leerlauf betrieben. Berechnen Sie den aren Strom I 1 , die aufgenommene prim¨ aren Eingangswiderstand Z e , den prim¨ Wirkleistung P , die Blindleistung Q und die sekund¨ are Leerlaufspannung U 2 .

224

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

M

I1

Ze

I2

R1

U1

U2

L1

Za

L2

Abb. 2.108: Transformatorschaltung

agt nun (80 − j80)Ω. Welchen Wert hat jetzt Z e ? c) Der Widerstand Z a betr¨

d) Der Trafo wird sekund¨ arseitig mit der Impedanz Z a = Ra − j/(ωCa ) belastet, wobei Ra = 20Ω ist. F¨ ur welche Werte von 1/(ωCa ) wird der Eingangswiderstand des Trafos reell? uhren. Hinweis: Es ist zweckm¨aßig die Gr¨ oße v = ωL2 − 1/(ωCa ) einzuf¨

Aufgabe 2.38 Ein Transformator, dessen Daten bei der Betriebsfrequenz ω gegeben sind, wird gem¨ aß Abbildung 2.109a) betrieben. Die Prim¨ arspannung betr¨ agt U 1 = 60V.

Gegeben: R1 = 3Ω, R2 = 12Ω, ωL1 = 5Ω, ωL2 = 20Ω, ωM = 8Ω. Ie

I1

Ye

U1

M

R2

R1 L2

L1

a)

I2

Ie

I1

U2

Ye

U1

M

I2

R2

R1

U2

L2

L1

b)

Abb. 2.109: Gegebene Schaltungen

a) Berechnen Sie I 1 und I 2 .

b) Wie groß ist der Eingangsleitwert der Gesamtschaltung Y e ?

anden R1 und R2 ? c) Wie groß sind die Leistungen P1 und P2 in den Widerst¨ d) Berechnen Sie die komplexe Leistung S , die der Transformator aufnimmt.

oßen f¨ ur den Fall, dass e) Ermitteln Sie die Str¨ ome I 1 und I 2 und die anderen Gr¨ die Verbindungen zwischen den Prim¨ar- und Sekund¨arklemmen gekreuzt sind (Abbildung 2.109b)).

2.10 L¨osungen

2.10

225

L¨osungen

Aufgabe 2.1

 1 T i(t)dt = 0 a) < i(t) >= i(t) = T 0   2

 2 T /3 4 T /6 30mA (30mA)2 dt = t dt + I= T T /6 T /6 T 0  

T 2 T 4 · 62 1 T 3 = 22,36mA − + · 30mA 6 T 3 3 63 T3

T 1 3T 1 + · (−15mA) · = 18, 75mA b) < i(t) >= 30mA · 4 T 4 & T  '  T ' 1  3T /4 (30mA)2 dt + (−15mA)2 dt = 27mA I=( T 0 3T /4

 1 T i(t)dt = 0 c) < i(t) >= T 0   2

 1 2 T /2 30mA = 17,32mA t2 dt = 30mA I= 3 T /2 T 0 (Vereinfachung der Berechnung durch Verschiebung der Y-Achse um T /2 nach rechts!)

Aufgabe 2.2 u1 (t1 ) = 1V = 2V sin (100π10−3 + ϕ1 ) ⇒ ϕ1 = arcsin(1/2) − π/10 = π/15 oder 12◦ u2 (t2 ) = −2V = 4V sin (100π2 · 10−3 + ϕ2 ) ⇒ ϕ2 = arcsin(−1/2) − 2π/10 = −11/30π oder

− 66◦

Aufgabe 2.3 √ a) Zu zeichnen sind i(t) = 2 · 5A sin (100s−1 · t + π · 30◦ /180◦ ) sowie √ u(t) = 2 · 100V sin (100s−1 · t − π · 10◦ /180◦ ).

b) i(t1 ) = 3, 54A; i(t2 ) = −3, 54A; i(t3 ) = 6, 15A u(t1 ) = −24, 56V; u(t2 ) = 24, 56V; u(t3 ) = 49, 4V c) Z = U/I = 20Ω; Y = 1/Z = 50mS; (ϕui = −40◦ ) d) S = U · I = 500W 1ˆˆ U I [cos ϕui − cos (2ωt + ϕu + ϕi )] = 2 ◦ 500[cos (−40 ) − cos (2 · 100s−1 t + 20◦ )]W

e) p(t) = u(t) · i(t) =

226

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 2.4



 2 2 + = R 1 + (ωL/R) = R 1 + (ω/ωg ) a) Z = mit ωg = R/L = 1/τg . F¨ ur ω  ωg ⇒ Z → R = 3Ω F¨ ur ω ωg ⇒ Z → ωL Doppelt logarithmische Darstellung von Z in Abbildung 2.110. 

R2

(ωL)2

b) ωg L = R ⇒ fg = R/(2πL) = 404, 6Hz √ c) 2πfc = Z 2 − R2 /L ⇒ fc = 1kHz

Z/Ω

10k 1k 100 10 1

1

10

100

10 3

10 4

10 5

10 6

f / Hz Abb. 2.110: Doppelt logarithmische Darstellung von Z

Aufgabe 2.5 Zeigerdiagramm siehe Abbildung 2.111

1 1 = 100Ω = ωC2 ωC1 ˆR /R = 20mA; IˆC1 = U ˆ IˆR = U R ωC1 = 20mA ˆL = ωLIˆL iL (t) = iR (t) + iC1 (t); IˆL = Iˆ2 + Iˆ2 ; U

ωL = 100Ω;

C1

R

ˆ u(t) = uR (t) + uL (t); IˆC2 = ωC2 U i(t) = iL (t) + iC2 (t)

Einheit cm V; mA ϕ

ˆR U 4 2 0

IˆR 2 20 0

IˆC1 2 20 π/2

IˆL 2,8 28 π/4

ˆL U 5,6 2,8 3π/4

ˆ U 4 2 π/2

IˆC2 2 20 π

Iˆ 2 20 π/2

2.10 L¨osungen

UL

227

U I C 1= I

I C2

IL

IR

UR

Abb. 2.111: Zeigerdiagramm

Aufgabe 2.6 R1 =  500Ω ⇒ G1 = 2mS; R2 = 50Ω; X = ωL = 125, 7Ω; B = ωC = 1, 508mS Y1 = G21 + B 2 = 2, 505mS ⇒ R1 = G1 /Y12 = 318, 8Ω; X1 = −B1 /Y12 = −240, 4Ω ⇒

Rges = R1 + R2 = 368, 8Ω Xges =  X1 + X = −114, 7Ω Zges =

2 + X 2 = 386, 2Ω Rges ges

2 = 2, 473mS Gges = Rges /Zges 2 Bges = −Xges /Zges = 768, 9μS Yges = 1/Zges = 2, 589mS

Aufgabe 2.7 ˆ a) i(t) = Iˆ sin (2000π · t/s); u(t)  (2πf t) = 10A sin√ √ = U sin (2πf t + ϕu ) mit ˆ = Iˆ · R2 + (ωL)2 = 10 22 + 22 V = 20 2V; ϕu = arctan(ωL/R) = 45◦ U ⇒ √ u(t) = 20 2V sin (2000π · t/s + 45◦ ) 1ˆˆ I[cos ϕui − cos (2 · 2πf t + ϕu + ϕi )] = p(t) = U 2 √ [100 − 100 2 cos (2 · 2000π · t/s + 45◦ )]W √ b) p(t) = 0 f¨ ur cos (2 · 2πt/T + 45◦ ) = 2/2 ⇒ t = 0, 3T /8, T /2, 7T /8, T , ... (T = 1/f = 1ms) p(t) > 0 f¨ ur 0 < t < 3T /8, T /2 < t < 7T /8 p(t) < 0 f¨ ur 3T /8 < t < T /2, 7T /8 < t < T

c) P =

√ 1ˆˆ 1ˆˆ 1ˆˆ I sin ϕui = 100W I = 100 2W; Q = U U I cos ϕui = 100W; S = U 2 2 2

228

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

 t ◦ cos (4π + 45 )dt W = d) Wpos = 2· p(t)dt = 2·100 T 0 0 0  √  √ √ 

2 2 2 3 π 7π 3T √ T ] W − [− − − 2 [sin ( ) − sin ( )] W = 200T 200 2 2 4π 8 4 4 4π 8 = 0, 107J  T /2 T W =2· p(t)dt = 200 W = 0, 1J 2 0 (Die obere Integrationsgrenze ist T /2, da die Leistung mit 2ω schwingt!) Wneg = Wpos − W = 7mJ 

e) wL (t) =



3T /8

3T /8

√  dt − 2

3T /8

1 1 2 Li (t) ⇒ WLmax = LIˆ2 = 15, 9mJ 2 2

Aufgabe 2.8

IC

I

UL

π/2

U

ϕ ϕR UR

IR = IL

Abb. 2.112: Reelle Berechnung eines technischen Schwingkreises; Zeigerdiagramm

u(t) = uR (t) + uL (t) = uC ; i(t) = iC (t) + iR (t)   ˆ ˆ 2 = IˆR R2 + ω 2 · L2 ⇒ ϕR = − arctan ( UL ) = − arctan ( ωL ) ˆ2 + U ˆ= U U R L ˆR R U  √ ˆ ; IˆR = U ˆ / R2 + ω 2 L2 ⇒ Iˆ = Iˆ2 + Iˆ2 + 2IˆR IˆC cos (π/2 − ϕR ) mit IˆC = ωC U R C ˆL ωL U ⇒ = −√ cos (π/2 − ϕR ) = sin ϕR = − ˆ R 2 + ω 2 L2 U  −ωL ωC 1 ˆ √ + ω2 C 2 + 2 √ Iˆ = U R 2 + ω 2 L2 R 2 + ω 2 L2 R 2 + ω 2 L 2  1 + ω 2 R2 C 2 + ω 4 L2 C 2 − 2ω 2 LC ˆ ˆ I=U R 2 + ω 2 L2 ˆR ˆ R U IR sin ϕR + IˆC sin π/2 =√ mit cos ϕR = ϕ = arctan 2 ˆ ˆ ˆ R + ω 2 L2 U IR cos ϕR + IC cos π/2 ⇒ nach kurzer Zwischenrechnung −ωL + ωC(R2 + ω 2 L2 ) ϕ = arctan R

2.10 L¨osungen

229

Aufgabe 2.9 ◦

j53,13 A a) I = (3  5e √ = √ + j4)A 2 Iˆ = 2I = 2 (3 + 42 )A = 7, 07A

b) i(t) = Re{i(t)} = 7, 07A cos (ωt + 53, 13◦ ) i(t) = Im{i(t)} = 7, 07A sin (ωt + 53, 13◦ ) Beide Varianten sind gleichberechtigt! Welche die g¨ ultige ist, h¨ angt von der Original-Zeitfunktion von i(t) ab.

c) F¨ ur die Sinus-Variante gilt: i(t1 = 0ms) = 7, 07A sin (53, 13◦ ) = 5, 66A; 180◦ + 53, 13◦ ) = 6, 63A i(t2 = 1ms) = 7, 07A sin (1 · π

Aufgabe 2.10 ◦

U 3 = U − U 1 − U 2 = [3 − (1 + j3) − (1 + j)]V = (1 − j4)V = 4, 12e−j76 V

Aufgabe 2.11 a) Z = 1/Y 1 + 1/Y 2 = Z 1 + Z 2 4 3 1 1 = ( − j )kΩ = (120 − j160)Ω = Z1 = 25 25 (3 + j4)mS Y1 Z 2 = (69 + j172, 4)Ω ⇒ ◦ Z = (189 + j12, 4)Ω ≈ 189ej3,76 Ω (schwach induktiv) ◦

b) Y = 1/Z = (5, 27 − j0, 35)mS = 5, 28e−j3,76 mS

Aufgabe 2.12 a) ω = 1000s−1 b) Z L = jωL = j1, 25kΩ 10 · (2 − j4) R2 · [R1 − j/(ωC)] kΩ = (2, 5 − j2, 5)kΩ ⇒ = Z1 = 10 + 2 − j4 R2 + R1 − j/(ωC) Z = Z L + Z 1 = (2, 5 − j1, 25)kΩ

125V = (40 + j20)mA (2, 5 − j1, 25)kΩ U 1 = I · Z 1 = (40 + j20)(2, 5 − j2, 5)V = (150 − j50)V U L = I · Z L = (40 + j20) · j1, 25V = (−25 + j50)V

c) I = U /Z =

d) Es fehlen noch folgende Str¨ ome und Spannungen: I R1 = I C = U 1 /(Z R1 + Z C ) = (150 − j50)V/(2 − j4)kΩ = (25 + j25)mA; I R2 = U 1 /Z R2 = (150 − j50)V/10kΩ = (15 − j5)mA; U R1 = I R1 Z R1 = (25 + j25)mA · 2kΩ = (50 + j50)V; U C = I R1 · 1/(jωC) = (25 + j25)mA · (−j) · 4kΩ = (100 − j100)V.

230

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

e) ϕu1 = arctan(−50/150) = −0, 322 (= −18, 4◦ ) ϕuL = π + arctan(50/ − 25) = 2, 034 (= 116, 6◦ ) (Achtung: Realteil < 0!) ⇒ ϕuLu1 = ϕuL − ϕu1 = 135◦ f) S = U 1 · I ∗ = (150 − j50)V(40 − j20)mA = (5 − j5)W P = Re{S } = 5W Q = Im{S } = −5W S = |S | = 7, 07W

Aufgabe 2.13

 a) Z e = 50 + 1/

 1 1 Ω= + 50 + 1/(j0, 00942) 50 + j18, 85 {50 + 1/[(0, 00363 + j0, 00771) + (0, 0175 − j0, 0066)]}Ω = (97, 2 − j2, 5)Ω

Z1 · Z2 mit Z 1 = R + jωL und Z 2 = R + 1/(jωC) Z1 + Z2 R{R + L/(RC) + j[ωL − 1/(ωC)]} R2 + L/C + jR[ωL − 1/(ωC)] = Ze = 2R + j[ωL − 1/(ωC)]  2R + j[ωL − 1/(ωC)] R + L/(RC) = 2R ⇒ R = L/C. Wann wird Z e rein reell? Es muss gelten:  F¨ ur Z e ergibt sich dann: Z e = R = L/C

b) Z e =

Aufgabe 2.14 a) Z = R + jωL + 1/(jωC) Sonderf¨alle: ω = 0 ⇒ Z → −j∞ ω → ∞ ⇒ Z → +j∞ ωL = 1/(ωC) ⇒ ω = ω0 (Resonanz!) ⇒ Z = R

d) Schaltung d) ist zu Schaltung a) dual! ⇒ 1 Z= 1/R + j[ωC − 1/(ωL)] Sonderf¨alle: ω = 0 ⇒ Z = 0 ω→∞⇒Z=0 ωL = 1/(ωC) ⇒ ω = ω0 (Resonanz!) ⇒ Z = R

(R + jωL) · [−j/(ωC)] R + jωL − j/(ωC) Sonderf¨alle: ω = 0 ⇒ Z = R ω→∞⇒Z=0 √ ωL = 1/(ωC) ⇒ Z = L/(RC) − j/(ω0 C) mit ω0 = 1/ LC

b) Z =

c) Schaltung c) ist zu Schaltung b) dual! ⇒ R/(jωC) Z = jωL + R − j/(ωC) Sonderf¨alle: ω = 0 ⇒ Z = R ω → ∞ ⇒ Z = +j∞

2.10 L¨osungen

231

Aufgabe 2.15 I ges

Rx

Ux U

I

R

jX

R jX

Abb. 2.113: Hummelschaltung

a) Hummelschaltung (Abbildung 2.113): Exakt 90◦ Phasenverschiebung mit verlustbehafteten Bauelementen U x = I · Z mit Z = R + jX; I ges = I + I · Z /Rx = I · (1 + Z /Rx ) U = U x + I ges · Z = I · Z + I · Z (1 + Z /Rx ) = (I /Rx ) · (Z 2 + 2Z Rx ) ⇒ Rx U /I = R2 − X 2 + 2Rx R + j2X(R + Rx ) X 2 − R2 ϕui = 90◦ wenn Re{Rx U /I } = 0 ⇒ R2 − X 2 + 2Rx R = 0 ⇒ Rx = 2R Bemerkung: Es muss gelten X > R!

b) Boucherot-Schaltung: I R = konstant ⇒ linker Schaltungsteil muss sich wie eine Stromquelle verhalten. R −j/(ωL) R · IR ⇒ = = R(1 − ω 2 CL) + jωL 1/R + j[ωC − 1/(ωL)] Uq Uq 1 = f (R) ⇒ 1 − ω 2 CL = 0 oder ω = √ IR = 2 R(1 − ω CL) + jωL LC Uq ⇒ L = Uq /(2πf IR ) = 318mH und C = 3, 18nF IR = jωL (F¨ ur andere Str¨ ome und Frequenzen muss L und C neu dimensioniert werden!)

Aufgabe 2.16 Berechnung des Innenwiderstandes Z ie der Ersatzquelle: Spannungsquelle kurzschließen, Stromquelle unterbrechen! ) Z 3 (Z 1 Z 2 ) = [(2 + j3)(8 − j3)/10 + (0, 5 + j0, 2)]kΩ = (3 + j2)kΩ Z ie =) (Mit wird eine Serienschaltung, mit eine Parallelschaltung ausgedr¨ uckt.)

Ersatzspannungsquelle U qe : Die Spannungsquelle U q1 erzeugt an den Klemmen a-b die Spannung: U ab1 = U q1 Z 2 /(Z 1 + Z 2 ) = (4, 8 − j1, 8)V Die Stromquelle I q2 erzeugt an den Klemmen a-b die Spannung: U ab2 = I q2 Z 1 Z 2 /(Z 1 + Z 2 ) = 1mA(2 + j3)(8 − j3)/10 kΩ = (2, 5 + j1, 8)V Superposition: U qe = U ab1 + U ab2 = 7, 3V

Kurzschlussstrom I qe : I qe = U qe /Z ie = (1, 685 − j1, 123)mA

232

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 2.17 a)

⎤ ⎤ ⎤ Iq U 10 −Y 5 −Y 2 Y1+Y2+Y5 ⎦ · U 20 ⎦ = 0 ⎦ ⎣ −Y 3 Y2+Y3+Y6 −Y 2 U 30 Y3+Y4+Y5 0 −Y 3 −Y 5 ⎡

b) Z e = U 10 /I q

c) Alle Z μ gleich! ⇒ Die Schaltung entspricht einer abgeglichenen Wechselstrombr¨ ucke. U 20 = U 30 (Spannungsteiler Z 5 , Z 4 entspricht Spannungsteiler Z 2 , Z 6 ) ⇒ U 32 = (U 30 − U) 3 hat keinen Einfluss auf die Schaltung! 20 ) = 0 ⇒ Z) Z e = Z 1 (Z 2 Z 6 ) (Z 5 Z 4 ) = Z μ /2

Aufgabe 2.18

(Z 2 + Z 3 ) · (Z 1 + Z 4 ) U 1

I 2 =0 = (Z 2 + Z 3 ) (Z 1 + Z 4 ) = Z1 + Z2 + Z3 + Z4 I1 (Z 1 + Z 2 ) · (Z 3 + Z 4 ) U 2

Z 22 = I =0 = (Z 1 + Z 2 ) (Z 3 + Z 4 ) = I2 1

Z 1 + Z 2 + Z 3 + Z 4  Z2 U2 U 1

U2 Z3 − / + = Z 12 = I =0 = U 2 I2 1 Z1 + Z2 Z3 + Z4 Z1 + Z2 Z3 + Z4 Z 2 (Z 3 + Z 4 ) − Z 3 (Z 1 + Z 2 ) Z 2Z 4 − Z 1Z 3 = Z1 + Z2 + Z3 + Z4 Z1 + Z2 + Z3 + Z4 ¨ Aquivalente Vorgehensweise liefert: U 2

Z 2Z 4 − Z 1Z 3 Z 21 = I 2 =0 = Z 12 = I1 Z1 + Z2 + Z3 + Z4

a) Z 11 =

b) Die Wechselstrombr¨ ucke ist unbelastet: ⇒ I 2 = 0. Es gilt die Vierpolgleichung: U 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 2 = Z 21 I 1 ⇒ U 2 = 0 f¨ ur beliebige I 1 wenn gilt: Z 21 = 0 ⇒ Z 2Z 4 = Z 1Z 3 c) AU =

U 2 /U 1 (=D21 da I 2 =0) Z3 Z 2Z 4 − Z 1Z 3 Z4 AU = − = Z1 + Z4 Z2 + Z3 (Z 1 + Z 4 )(Z 2 + Z 3 ) d) U 2 (ω) = 0 ⇒ Z 2 Z 4 = Z 1 Z 3 ⇒ Z 4 = Z 1 Z 3 /Z 2 = Z 3 /(Z 2 Y 1 ) = 2kΩ − j2Ω

2.10 L¨osungen

233

Aufgabe 2.19

 

1 1

R =

R) / jωC

jωC  R 1 =

R) = 1 + (R + jωL)/ 1 + (R + jωL)/( 1 + jωCR jωC 2 2 − ω LC + jω(L/R + CR)

a) U 1 /U 2 =

R + jωL + (

b) Re{U 1 /U 2 } = 0; Im{U 1 /U 2 } > 0 2 2 − ω90 LC = 0 ⇒ ω90 = 1, 41 · 106 s−1 F¨ ur ω > 0 gilt: Im{U 1 /U 2 } > 0 ⇒ U 1 eilt U 2 voraus. 10 ˆ2 = 3, 54V) = 2, 5V (⇒ U U2 = U1 /|jω90 (L/R + CR)| = √ 2 · |j2, 82|

c) −Re{U 1 /U 2 } = Im{U 1 /U 2 } −2 + ω 2 LC = ω(L/R + CR) ω 2 − ω[1/(RC) + R/L] − 2/(LC) = 0 ω 2 − ω · 2 · 106√ s−1 − 2 · 1012 s−2 = 0 6 ω1,2 = (10 ± 3 · 1012 )s−1 ⇒ ω135 = 2, 73 · 106 s−1 (nur positive Kreisfrequenzen!)

Aufgabe 2.20 a) I 2 = U a jωC U C = U a + RI 2 = U a (1 + jωCR) I 1 = U C jωC = U a jωC(1 + jωCR) I e = I 1 + I 2 = U a jωC(2 + jωCR) U e = U C + RI e = U a [1 + 3jωCR − (ωCR)2 ] ⇒ 1 AU = U a /U e = 1 + 3jωCR − (ωCR)2  2 2 2 b) |AU (ω)| = AU (ω) = 1/ [1 − (ωCR)  ] + (3ωCR) 3ωCR f¨ ur 1 − (ωCR)2 > 0 bzw. ϕAU (ω) = − arctan 1 − (ωCR)2 

3ωCR ± π f¨ ur 1 − (ωCR)2 < 0 ϕAU (ω) = − arctan 1 − (ωCR)2 AU (0) = 1; AU (1/(RC)) = 1/3; AU (∞) = 0 ϕAU (0) = 0; ϕAU (1/(RC)) = −π/2; ϕAU (∞) = −π

c) AU (ω  1/(RC)) ≈ 1; AU (ω 1/(RC)) ≈ 1/(ωCR)2 ⇒ Abbildung 2.114

2+j d) ω = 1/(RC) ⇒ U e = j3U a ; I e = U a j · 1/R · (2 + j) = U e · 3R 2−j 2−j W⇒ = 100 · S = U e · I ∗e = U e · U ∗e · 3R/Ω 3R 66, 666 W P = Re{S } = R/Ω

234

1 0,1 10 -2

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

AU

(einfacher Tiefpass)

zweigliedriger Tiefpass

10 -3 10 -4 10 -3 10 -2

0,1

1

10

100

10 3

ωCR Abb. 2.114: Verlauf von AU (ω)

Aufgabe 2.21 a) Die Ersatzspannungsquelle wurde bereits in Aufgabe 2.16 ermittelt. Es war: Z ie = (3 + j2)kΩ und U qe = 7, 3V. Leistungsanpassung bei Z a = Z ∗ie Bei Fehlanpassung gilt im Falle Ra = Rie : Xages so w¨ ahlen, dass Xages = −Xie . ⇒ Xk = −Xie − Xa = (−2 − 3)kΩ = −5kΩ ⇒ Kapazit¨ at in Serie!

b) Xk = −1/(ωC) ⇒ C = −1/(2πf Xk ) = 200, 2nF c) Pa = I 2 · Ra = Ra · Uq2 /|Z ie + Z a + jXk |2 = Ra · Uq2 /(Rie + Ra )2 = 4, 16mW Bemerkung: Keine optimale Wirkleistungsentnahme, da Ra nicht angepasst urde: Ra = Rie = 3kΩ. ist! PaM ax = Uq2 /(4 · Rie ) = 4, 44mW falls gelten w¨

Aufgabe 2.22 a) Z a = Z ∗i mit Z i = 1/Y i = (12 + j16)Ω ⇒ Ra = 12Ω und Xa = −j16Ω ⇒ Ca = 1/(ω|Xa |) = 9, 95μF Anderer L¨ osungsansatz: Y a = Y ∗i

b) PaM ax = Uq2 /(4 · Ri ) = |I q Z i |2 /(4 · Ri ) = (0, 1V)2 /(4 · 12Ω) = 208μW Anderer L¨ osungsansatz: PaM ax = Iq2 /(4 · Gi )

c) Xa ist fest vorgegeben und Xa = −X i : a hlen, dass gilt Ra = Ri2 + (Xa + Xi )2 . ⇒ Ra = Ra so w¨ Ra (Xa = 0) = Ri2 + Xi2 = 20Ω   2  2 2 d) PaM ax (Xa = 0) = Ra · Uq /[(Ri + Ra ) + Xi ] = 156μW

2.10 L¨osungen

235

Aufgabe 2.23  Zi = Ri2 + Xi2 = U12L /I12K = 300Ω  U12L = 500Ω = (Ri + Ra )2 + Xi2 = U12L /I12(Ra =300Ω) = U12(Ra =300Ω) /300Ω   Ri2 + Xi2 + 2Ra Ri + Ra2 = Zi2 + 2Ra Ri + Ra2 ⇒ = (300Ω)2 + 2(300Ω)Ri + (300Ω)2 ⇒ Ri = 116, 7Ω (500Ω)2 Xi = ± Zi2 − Ri2 = −276, 4Ω (Xi < 0, da in der black box nur Kondensatoren abgebildet sind!)

Pmax = Uq2 /(4Ri ) = (10V )2 /(4 · 116, 7Ω) = 214, 3mW Aufgabe 2.24 Ohne Kompensation: Index 1; Mit Kompensation: Index 2 cos ϕ1 = P/S1 ; cos ϕ2 = P/S2 (Es gilt: P1 = P2 = P = U 2 /Rp ) tan ϕ1 = Q1 /P ; tan ϕ2 = Q2 /P ; Mit Q1 = U 2 · Im{−1/(jωLp )} = U 2 · 1/(ωLp ) und Q2 = U 2 · [1/(ωLp ) − ωCp ] ⇒ Q1 − Q2 = U 2 ωCp Verminderung der Blindleistung ! Q1 − Q2 = P (tan ϕ1 − tan ϕ2 ) = U 2 ωCp ⇒ Cp = (tan ϕ1 − tan ϕ2 )/(ωRp ) bzw. Cp = [tan(arccos λ1 ) − tan(arccos λ2 )]/(ωRp ) Aufgabe 2.25

√ S = P/ cos ϕui = P/λ = 20kVA; Q = S 2 − P 2 = 17, 3kvar ⇒ Bv = −Q/U 2 = −0, 327S Man beachte: S = P + jQ = U 2 · Y ∗ = U 2 (G − jB) ⇒ Q = −U 2 B !

Durch Parallelschalten eines Kompensationsblindwiderstandes ver¨andert sich die Blind- und Scheinleistung, nicht aber die Wirkleistung! ⇒ Q = P · tan (arccos λ ) = 6, 2kvar ⇒ Bk + Bv = −Q /U 2 = −0, 117S Bk = 0, 21S ⇒ Ck = Bk /ω = 669μF  (S = P 2 + Q 2 = 11, 77kVA)  Pltg − Pltg Rltg · Iw2 / cos2 ϕui = 1 − cos2 ϕui / cos2 ϕui = 0, 654 ⇒ ≈1− Rltg · Iw2 / cos2 ϕui Pltg Die Leitungsverluste sinken durch Kompensation um 65, 4%.

Hinweis: Vollst¨andige Kompensation bei cos ϕui = 1 ⇒ Reduktion der Leitungsverluste bei vollst¨ andiger Kompensation um 75%. Aufgabe 2.26 Z = R + j[ωL − 1/(ωC)] √ Aus f (ϕZ = 0◦ ) = 120kHz = f0 = ω0 /(2π) und L = 3mH folgt mit ω0 = 1/ LC: C = 586, 3pF. Aus f (Re{Z } = |Im{Z }|) = 150kHz = fgo folgt: R = |2πfgo L − 1/(2πfgo C)| = 1018Ω Q = ω0 L/R = 2, 22 ω = ω0 /Q = 3, 396 · 105 s−1 ⇒ f = f0 /Q = 54, 05kHz

236

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 2.27 a) P (ω = ω0 ) = P0 = R · Uq2 /(Ri + R)2 ⇒  R2 + R(2Ri − Uq2 /P0 ) + Ri2 = 0 ⇒ R1/2 = 450Ω ± (450Ω)2 − 2500Ω2 R1 = 897, 2Ω; R2 = 2, 786Ω Mit Q = ω0 L/R = 1/(ω0 CR) folgt: L1 = 7, 1H; L2 = 22, 17mH; C1 = 3, 547nF; C2 = 1, 143μF.

 f0 (1 + 1 + 4Q2 ) = 1010, 05Hz 2Q  f0 (−1 + 1 + 4Q2 ) = 990, 05Hz = 2Q

b) fgo =

fgu

c) Phasenverschiebung ±45◦ der Gesamtschaltung ⇒ f = fgo (mitRi ) und f = fgu (mitRi ). G¨ ute der Gesamtschaltung: Q = ω0 L/(R + Ri ) Ri ) = 47, 36; Q2 = ωL2 /(R2 + Ri ) = 2, 64 Q1 = ωL1 /(R1 + f 0  (1 + 1 + 4Q1 2 ) = 1010, 61Hz = fgo1 2Q1   f0  (−1 + 1 + 4Q1 2 ) = 989, 50Hz fgu1 = 2Q1   f0  (1 + 1 + 4Q2 2 ) = 1207, 17Hz fgo2 = 2Q2   f0  1 + 4Q2 2 ) = 828, 38Hz (−1 + = fgu2 2Q2 

d) Maximale Spannungs¨ uberh¨ohung in etwa bei Resonanz (vgl. Abbildung 2.36 R auf Seite 150) ⇒ UC = Q · Uq Ri + R √ 897, 2Ω ˆC1 = UC1 2 = 670V = 473, 6V ⇒ U UC1 = 50 · 10V 50Ω + 897, 2Ω √ 2, 8Ω ˆC2 = UC2 2 = 37, 3V = 26, 5V ⇒ U UC2 = 50 · 10V 50Ω + 2, 8Ω

2.10 L¨osungen

237

Aufgabe 2.28 Y minimal bei √ Resonanz: ⇒ Parallelschwingkreis! √ f0max = 1/(2π√ LCmin ); f0min = 1/(2π LCmax ) ⇒ Cmax Cmax f0max =9 ⇒ =3= √ Cmin f0min Cmin

a) Verkleinerung des Kapazit¨ ats-Variationsbereiches auf 9 durch: 600pF + C1 = 9 ⇒ C1 = 7, 5pF 60pF + C1 (600pF · C2 )/(600pF + C2 ) = 9 ⇒ C2 = 4, 8nF – Reihenschaltung von C2 : (60pF · C2 )/(60pF + C2 )

– Parallelschalten von C1 :

b)

1 = 4, 169mH (2πfmax )2 (60pF + C1 ) 1 = 4, 749mH – Mit C2 : L2 = (2πfmax )2 (60pF · C2 )/(60pF + C2 )

– Mit C1 : L1 =

Aufgabe 2.29 a) R = P/I 2 = 200Ω  L/C 1 = 1/(RC) ⇒ C = 50nF · ω = ω0 · d = √ R LC R R ⇒ ⇒ Re{Z p } = Zp = 1 + Q2 v 2 1 + jQv R R ⇒Q=1 = P (v = 0)/5 = I 2 · P (v = 2) = I 2 · 5 1 + 4Q2 d = 1/Q= 1 Q = R/√ L/C = 1 ⇒ L = 2mH ω0 = 1/ LC = 105 s−1

1 + [ωC − 1/(ωL)]2 ωL ˆ ˆ ˆ ˆ 0 → ∞) = 0 ˆ IL /I(ω = 0) = 1; IL /I(ω0 ) = R/(ω0 L); IˆL /I(ω

b) IˆL /Iˆ = |Z p |/(ωL) =



Aufgabe 2.30 L¨osung siehe Abbildung 2.115

1/R2

238

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Schaltung

Z-Ebene

Y-Ebene

Schaltung

Y-Ebene

Z-Ebene jωL

R

jωL

G

-j/ωL

R

G

-j/ωL

L

L

G

1/R

1/G

R

L

L

jωC R

G

jωC

G

-j/ωC

-j/ωC

R

C

C R

1/G G

1/R C

C

j(ωL-1/ωC)

j(ωC-1/ωL)

R

L dominant

G

C dominant

R

G

-j/(ωL-1/ωC)

L R

G

1/R

-j/ωC

jωL R

Abb. 2.115: Ortskurven

1/G

L

L

C

C

G

1/R

C

L

jωC

-j/ωL

1/G

C

2.10 L¨osungen

239

Aufgabe 2.31 L¨ osung siehe Abbildung 2.116 Ortskurve in der Z-Ebene nur im IV Quadranten ⇒ In der Schaltung sind nur Widerst¨ ande und Kondensatoren als Bauteile vorhanden. Reihenschaltung eines 50Ω-Widerstandes verschiebt Halbkreis nach rechts. C = 1/(2πfg 150Ω) = 53nF Als zweite M¨ oglichkeit gibt es noch die duale Struktur (nicht duale Schaltung). Bei der dualen Struktur wird aus einer Parallelschaltung eine Reihenschaltung und umgekehrt. ω = 0 ⇒ 200Ω liegen parallel; ω → ∞ ⇒ 200Ω R = 50Ω ⇒ R = 66, 7Ω Z (f = 20kHz) = (125 − j75)Ω ⇒ Y (f = 20kHz) = (5, 88 + j3, 53)mS Y Reihe (f = 20kHz) = (0, 88 + j3, 53)mS ⇒ Z Reihe (f = 20kHz) = (66, 7 − j267)Ω ⇒ C = 1/(ω · 267Ω) = 30nF

Vollkreis in der Z-Ebene ⇒ Parallelschwingkreis mit vorgeschaltetem 1kΩ Widerstand ⇒ Rp = 99kΩ. fgo = f02 /fgu = 1, 0526MHz; f = fgo − fgu = f0 /Q ⇒ Q = 9, 74 Lp = Rp /(ω0 · Q) = 1, 62mH; Cp = Q/(ω0 · Rp ) = 15, 66pF Die duale Struktur (Reihenschwingkreis und Parallelwiderstand) hat die gleiche Kurvenform, aber eine andere Frequenzabh¨ angigkeit.

50Ω

150 Ω

duale Struktur

200 Ω

66,7 Ω

53nF

30nF

Aufgabe a)

99k Ω 1kΩ

duale Struktur 15,66pF

Gleiche Kurvenform, aber andere Frequenzabhängigkeit

1,62mH Aufgabe b) Abb. 2.116: Schaltungen

Aufgabe 2.32 sin ϕmax = r/(1kΩ + r) = 78, 6◦ (mit r = 99kΩ/2) L¨ osung vgl. Abbildung 2.117

240

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

i.A.

Z

ϕ max

r

R 2 r.A.

R1

Abb. 2.117: Berechnung des maximalen Winkels

Aufgabe 2.33 L¨osung siehe Abbildung 2.118 Schaltung

Z-Ebene

duale Schaltung

Y-Ebene

f

Y-Ebene

f0 G

f0 1/R

f=0

f

f

f

f0 R

Z-Ebene

a)

f= 0

f0 R

b) f R

f0

f0

Duale Schaltung zu c): Z(f)dual d) = Y(f) c) Y(f)dual d) = Z(f) c)

1/R

c)

d)

Abb. 2.118: Schaltungen und Ortskurven

Aufgabe 2.34 L¨osung siehe Abbildung 2.119 Rechengang zu Schaltung 1): 10kΩ 1kΩ Ua = 176, 8kHz ⇒ fg = = 2 2πC · 9(kΩ)2 10kΩ + jωC · 9(kΩ) Ue

¨ Eine gute N¨aherungsl¨osung zu Schaltung 2) erh¨alt man aus folgender Uberlegung: 3 Grenzfrequenz erster Tiefpass: fg1 = 1/(2π · 1kΩ · 159nF) = 10 Hz; fg2 = 106 Hz Der zweite Tiefpass stellt f¨ ur den Ausgang des ersten Tiefpasses eine vernachl¨assigbar kleine Last dar. ⇒ Beide Tiefp¨asse k¨onnen in guter N¨aherung getrennt voneinander betrachtet werden!

2.10 L¨osungen

241

Ue

1M Ω

1kΩ

9kΩ

1kΩ U a

1nF

Ue

1)

2)

20dB/Dek.

-20

e

-20

0

in dB

fg = 177kHz

-40

a

U /U

a

U /U

e

in dB

0

Ua

159fF

159nF

-60

-60 -80 10 3

-40

10 4

10 5

10 6

-80 100

10 7

40dB/ Dek. 10 3

10 4

10 5

10 6

10 7

10 6

10 7

Frequenz / Hz

Frequenz / Hz

0°

Phase

Phase

0°

-45° -90°

-45°

-135° -90° 10 3

10 4

10 5

10 6

10 7

-180° 100

Frequenz / Hz

1) Abb. 2.119: Bode-Diagramme

Aufgabe 2.35 $3 a) Symmetrischer Generator: ⇒ i=1 U qi = 0 Symmetrische Last: ⇒ U 0 = 0 ⇒ U i = U qi I 1 = U q1 /Z 1 = (3, 68 − j2, 76)A I 2 = U q2 /Z 2 = (−4, 23 − j1, 807)A I 3 = U q3 /Z 3 = (0, 55 + j4, 567)A I1 = I2 = I3 = I = 4, 6A

10 3

10 4

10 5

Frequenz / Hz

2)

242

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

b) P = 3 · I 2 R = 3 · (4, 6A)2 · 40Ω = 2, 54kW Q = 3 · I 2 X = 3 · (4, 6A)2 · 30Ω = 1, 904kvar c) Z 1 → ∞ ⇒ Y 1 = 0 Y2 =Y3 =Y Y 0 = 0 (Dreiphasensystem!)

U q2 + U q3 U q1 Y 1 + U q2 Y 2 + U q3 Y 3 = −115V = 2 Y0+Y1+Y2+Y3 c2) I 2 = U 2 /Z = (U q2 − U 0 )/Z = √ [−115 − j 3 · 115 − (−115)]V/(40 + j30)Ω = (−2, 390 − j3, 187)A I 3 = U 3 /Z = (U q3 − U 0 )/Z = √ [−115 + j 3 · 115 − (−115)]V/(40 + j30)Ω = (2, 390 + j3, 187)A c3) P = 2 · (I2 )2 R = 1, 27kW (da I2 = I3 ) Q = 2 · (I2 )2 X = 952var

c1) U 0 =

Aufgabe 2.36 a) Der Schalter S im Nullleiter ist geschlossen:

U q1 /R1 + U q2 /R2 + U q3 /R3 = 1/R0 + 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 230/20 + 230(−0, 5 − j0, 866)/10 + 230(−0, 5 + j0, 866)/10 V = −15, 33V 1/2 + 1/20 + 1/10 + 1/10 a2) U 1 = U q1 − U 0 = 245, 33V U 2 = U q2 − U 0 = (−99, 67 − j199)V U 3 = U q3 − U 0 = (−99, 67 + j199)V a3) I 1 = U 1 /R1 = 12, 27A I 2 = (−9, 97 − j19, 9)A I 3 = (−9, 97 + j19, 9)A $3 I 0 = U 0 /R0 = −7, 67A (= i=1 I i ) a4) S = U q1 I ∗1 + U q2 I ∗2 + U q3 I ∗3 = [2, 82 + (5, 11 − j0, 3) + (5, 11 + j0, 3)]kVA = 13, 05kW Hinweis: Es gilt nat¨ urlich: S = U q1 I ∗1 + U q2 I ∗2 + U q3 I ∗3 = U 1 I ∗1 + U 2 I ∗2 + U 3 I ∗3 + U 0 I ∗0

a1) U 0 =

b) Der Schalter S im Nullleiter ist offen: ⇒ I 0 = 0; Y 0 = 0; R0 → ∞ U q1 /R1 + U q2 /R2 + U q3 /R3 = 1/R0 + 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 230/20 + 230(−0, 5 − j0, 866)/10 + 230(−0, 5 + j0, 866)/10 V = −46V 0 + 1/20 + 1/10 + 1/10 b2) U 1 = U q1 − U 0 = 276V U 2 = U q2 − U 0 = (−69 − j199)V U 3 = U q3 − U 0 = (−69 + j199)V b1) U 0 =

2.10 L¨osungen

b3) I 1 I 2 I 3 I 0

243

= U 1 /R1 = 13, 8A = (−6, 9 − j19, 9)A = (−6, 9 + j19, 9)A = 0A ∗

∗ ∗ b4) S = U q1 I  1 + U q2 I  2 + U q3 I  3 = 12, 7kW

Aufgabe 2.37

√ √ a) M = k L1 L2 ⇒ k = ωM/ ωL1 · ωL2 = 0, 894

b) Leerlauf: Z a → ∞; I 2 = 0 1. Trafogleichung: U 1 = (R1 + jωL1 )I 1 + jωM I 2 ⇒ mit I 2 = 0 Z e = U 1 /I 1 = R1 + jωL1 = (5 + j25)Ω; I 1 = U 1 /Z e = (1 − j5)A Aus 2. Trafogleichung: U 2 = jωM I 1 + jωL2 I 2 ⇒ mit I 2 = 0 U 2 = jωM I 1 = (200 + j40)V S = U 1 · I ∗1 = (130 + j650)W; P = 130W; Q = 650W

ω2 M 2 U1 = (25 + j25)Ω = (R1 + jωL1 ) + Z a + jωL2 I1 Man beachte: Z 2M = (jωM )2 = −ω 2 M 2 !

c) Es gilt: Z e =

d) Mit Z a = Ra − j/(ωCa ) folgt nun: ω2 M 2 ω2 M 2 = (R1 + jωL1 ) + Z e = (R1 + jωL1 ) + Ra + jv Ra − j/(ωCa ) + jωL2 mit v = ωL2 − 1/(ωCa ) ω 2 M 2 Ra − jω 2 M 2 v Z e = (R1 + jωL1 ) + Ra2 + v 2 2 2 ω M v =0⇒ Im{Z e } = ωL1 − 2 Ra + v 2 2 2 2 v − (ωM /L1 )v + Ra = 0

ω2 M 4 ωM 2 − Ra2 ± 4L21 2L1 √ v1,2 = (32 ± 322 − 202 )Ω = (32 ± 25)Ω v1 = 57Ω; v2 = 7Ω 1/(ωCa1 ) = ωL2 − v1 = 23Ω; 1/(ωCa2 ) = ωL2 − v2 = 73Ω

v1,2 =

244

2 Sinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 2.38 a) U 1 = U 2 = U Trafogleichungen: U = (R1 + jωL1 )I 1 + jωM I 2 U = jωM I 1 + (R2 + jωL2 )I 2 osen und in 1. Trafogleichung einsetzen liefert: 2. Trafogleichung nach I 2 aufl¨ R2 + j(ωL2 − ωM ) = (6 − j6)A I1 = U (R1 + jωL1 )(R2 + jωL2 ) + ω 2 M 2 Aus 1. Trafogleichung: U − (R1 + jωL1 )I 1 = (−1, 5 − j1, 5)A I2 = jωM

b) Y e = I e /U 1 = (I 1 + I 2 )/U 1 = (75 − j125)mS

c) P1 = |I 1 |2 · R1 = 216W P2 = |I 2 |2 · R2 = 54W

d) S = U 1 · I ∗e = U 1 · (I 1 + I 2 )∗ = (270 + j450)W Bemerkung: Die Wirkleistung P = 270W wird in den beiden Widerst¨anden R1 und R2 umgesetzt. Aber: Qges = Q(L1 ) + Q(L2 ), da auch in M Blindleistung vorhanden ist!

e) Jetzt gilt: U 1 = −U 2 = U ⇒ R2 + j(ωL2 + ωM ) = (14 − j6)A I1 = U (R1 + jωL1 )(R2 + jωL2 ) + ω 2 M 2 U − (R1 + jωL1 )I 1 = (−6, 5 + j1, 5)A I2 = jωM Y e = (341, 7 − j125)mS P1 = 696W; P2 = 534W S = (1230 + j450)W

3

Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

3.1

Einfu¨hrung

Aufgabenstellung Die Kapitel 1 und 2 beschreiben die Grundlagen zur • Berechnung von Gleichstromschaltungen sowie • Analyse von Wechselstromschaltungen im eingeschwungenem Zustand bei sinusf¨ormiger Anregung. Zur Komplettierung deterministischer Signale werden in Kapitel 3 zeitvariante, nichtsinusf¨ormige Signale betrachtet und L¨ osungsans¨atze zur Analyse linearer Schaltungen vorgestellt. Man unterscheidet, wie aus Abbildung 2.1 auf Seite 105 ersichtlich, zwischen periodischen, nichtsinusf¨ ormigen Gr¨ oßen und nicht periodischen Gr¨oßen. u(t)

u(t)

T

t

T

t

a)

u(t)

u(t)

t

t

b) Abb. 3.1: a) Periodische, nichtsinusf¨ ormige und b) nicht periodische Wechselgr¨ oßen

246

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Abbildung 3.1a) zeigt zwei periodische, nichtsinusf¨ormige Spannungsverl¨aufe (sinusf¨ ormige Welchselspannung mit Phasenanschnittsteuerung und S¨agezahnspannung) und 3.1b) zwei nicht periodische Spannungssignale (Einzelimpuls und Einschalten einer Gleichspannung). L¨ osungsansatz Schaltungen, die mit sinusf¨ ormigen Wechselquellen ein und derselben Frequenz betrieben werden, lassen sich mit Hilfe der komplexen Rechnung relativ einfach analysieren. Die wesentlichen Vorteile der komplexen Rechnung sind: • Bei der Multiplikation zweier komplexer Gr¨oßen ergibt sich der Nullphasenwinkel aus der Summe der jeweiligen Winkel der Einzelgr¨oßen, also z.B.: ˆ = Iˆ · Z = Iˆ · ejϕi · Z · ejϕz = Iˆ · Z · ej(ϕi +ϕz ) . U

• Aus linearen Differentialgleichungen werden algebraische, lineare Gleichungen, wie z.B.: di (t) = jωL · iL (t). uL (t) = L · L dt

Allgemein gelten folgende Gesetze:

Zeitverlauf sinusf¨ormig

Zeitverlauf beliebig Bauelementegleichungen

U R = R · IR

U L = jωL · I L

I C = jωC · U C m 

Kirchhoff’sche Gleichungen Un = 0

n=1 k 

n=1

In = 0

uR (t) = R · iR (t) diL (t) uL (t) = L · dt duC (t) iC (t) = C · dt m  n=1 k 

un (t) = 0

in (t) = 0

n=1

Wie die Aufstellung zeigt, kann jede Schaltung, unabh¨angig vom Zeitverlauf der Anregung, grunds¨atzlich durch Differentialgleichungen beschrieben werden. Dies ist jedoch in der Regel sehr rechenaufwendig. Daher m¨ochte man die Vorteile der komplexen Rechnung, n¨amlich aus Differentialgleichungen algebraische Gleichungen zu machen, auch f¨ ur Schaltungen mit beliebigem Zeitverlauf nutzen. Voraussetzung hierf¨ ur ist die Linearit¨at von Schaltungen. Linearit¨at von Schaltungen Die Grundbauelemente Ohm’scher Widerstand, Kondensator und Spule sind linear, wenn ihre Werte f¨ ur R, C und L strom- und spannungsunabh¨angig sind. In diesem Fall k¨onnen Str¨ome und Spannungen unterschiedlicher Frequenz gleichzeitig und unabh¨angig

3.1 Einf¨ uhrung

247

¨ voneinander in Schaltungen gef¨ uhrt werden. Dieses Gesetz nennt man lineares Uberlagerungsgesetz. ¨ Folge des Uberlagerungssatzes Beliebige Zeitvorg¨ ange k¨ onnen mit der komplexen Rechnung beschrieben werden, da sich nach Fourier (1768–1830) • periodische Vorg¨ ange als unendliche Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen der Grundfrequenz und ganzzahlig Vielfache davon darstellen lassen und • nicht periodische Vorg¨ ange als Integral u ¨ber alle unendlich dicht liegenden Frequenzanteile von Sinus- und Cosinusfunktionen beschreibbar sind. Beispiel 3.1 Der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC (t) eines einfachen RC-Tiefpasses (Abbildung 3.2) ist zu berechnen, wenn am Eingang die Spannungen a) u(t) = 5V, b) u(t) = 5V · sin(ωt) mit ω = 103 s−1 bzw. c) u(t) = 5V · [sin(ωt) +

1 1 cos(3ωt) + sin(5ωt + 10◦ )] mit ω = 103 s−1 5 3

anliegen.

R= 100k Ω C= 10nF

u(t)

u C (t)

Abb. 3.2: Einfacher RC-Tiefpass

L¨ osung: a) ua (t) = 5V Der Kondensator wird u ¨ber den Widerstand R auf die angelegte Gleichspannung 5V aufgeladen. b) Sinusf¨ ormiger Vorgang ⇒ komplexe Rechnung: ˆ ◦ 1 1 1 ˆ = 5V · ej0◦ = 5V; U C = 1/(jωC) = = √ · e−j45 = U ˆ 1 + j 1 + jωCR 1/(jωC) + R 2 U √ √ ˆ = (5/ 2)V · e−j45◦ bzw. uC (t) = (5/ 2)V · sin(ωt − 45◦ ) ⇒U C

248

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

c) Alle drei sinusf¨ ormigen Spannungen unterschiedlicher Frequenz werden getrennt betrachtet und u ¨berlagert: 1) u1 (t) = 5V · sin(ωt): ⇒ Rechnung analog zu Teilaufgabe b) ⇒ √ uC1 (t) = (5/ 2)V · sin(ωt − 45◦ ) 1 2) u2 (t) = 5V · · cos(3ωt): 3 ˆ = 5 V · ej0◦ = 5 V (bez¨ uglich einer Cosinusfunktion!) U 2 3 3 ˆ C2 ◦ 1 1 1 U = √ · e−j71,6 = = ˆ 1 + 3j 1 + jωCR 10 U2 Achtung! Hier gilt ω = 3 · 103 s−1 . ⇒ ˆ = √5 V · e−j71,6◦ bzw. uC2 (t) = √5 V · cos(3ωt − 71, 6◦ ) U C2 3 10 3 10 3) u3 (t) = 1V · sin(5ωt + 10◦ ): ˆ = 1V · ej10◦ U 3 ˆ ◦ 1 1 1 U C3 = √ · e−j78,7 = = ˆ 1 + 5j 1 + jωCR 26 U3 Achtung! Hier gilt ω = 5 · 103 s−1 . ⇒ ˆ = √1 V · ej(10◦ −78,7◦ ) = √1 V · e−j68,7◦ bzw. U C3 26 26 1 uC3 (t) = √ V · sin(5ωt − 68, 7◦ ) 26

¨ Uberlagerung: uC (t) = uC1 (t) + uC2 (t) + uC3 (t)

3.2

Nichtsinusfo¨rmige, periodische Vorga¨nge

Dieser Abschnitt beschreibt die Vorgehensweise bei der Berechnung von Schaltungen bei periodischer, nichtsinusf¨ormiger Anregung durch Strom- und/oder Spannungsquellen mit Hilfe von Fourier-Reihen. Wichtige Kenngr¨oßen, wie die Welligkeit und der Klirrfaktor, werden angesprochen und der Einfluss nichtlinearer Bauelemente auf die Schaltungseigenschaften erkl¨art.

3.2.1

Einleitung

Jede periodische Funktion der Form f (t) = f (t ± k · T ) mit k = 0, 1, 2, 3, ...∞ und der Periodendauer T kann exakt durch eine unendliche Reihe trigonometrischer Funktionen der Form an · cos (nω1 t)

und

bn · sin (nω1 t)

(n = 0, 1, 2, 3, ...∞)

beschrieben werden. Die Gr¨oße ω1 = 2π/T heißt Grundkreisfrequenz.

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

249

Periodendauer, Grundschwingung Setzt sich eine periodische, nichtsinusf¨ ormige Funktion aus einer Summe mehrerer periodischer Signale zusammen, muss zun¨ achst die Periodendauer T ermittelt werden. Beispiel 1: Gegeben ist ein aus zwei sinusf¨ ormigen Funktionen zusammengesetztes Signal f (t) = sin (2πf t) + 0, 5 sin (2π(3f )t) . In diesem Beispiel ist sofort ersichtlich, dass sin (2πf t) die Grundschwingung mit der Grundfrequenz f und 0, 5 sin (2π(3f )t) eine Oberschwingung mit der dreifachen Grundfrequenz der Funktion f (t) darstellt. Beispiel 2: Gegeben ist die Funktion f (t) = sin (2π · 1200Hz · t) + sin (2π · 2700Hz · t + 180◦ ) . Gesucht ist die Periodendauer T der Funktion f (t). L¨ osung: Bei der Ermittlung der Periodendauer T einer Funktion f (t), die aus m periodischen Signalen f1 (t), f2 (t) ... fm (t) zusammengesetzt ist, also f (t ± k · T ) = f1 (t ± k · T1 ) + f2 (t ± k · T2 ) + ... + fm (t ± k · Tm ) mit k = 0, 1, 2, 3, ...∞,

(3.1)

ist zu ber¨ ucksichtigen, dass in T eine ganzzahlige Anzahl aller Teilschwingungen auftreten muss. Allgemein gilt demnach T = n1 · T1 = ... = nm · Tm

mit n1 ...nm ganzzahlig und teilerfremd (3.2)

oder f = f1 /n1 = f2 /n2 = ... = fm /nm .

(3.3)

F¨ ur obiges Beispiel ergibt sich somit eine Grundfrequenz von f = 300Hz (n1 = 4, n2 = 9) und eine Periodendauer von T = 1/f = 1/(300Hz) = 3, 33ms.

250

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Beispiel 3.2 Zu berechnen ist die Periodendauer T der Funktion f (t) = sin (120s−1 · t) + cos (200s−1 · t + π/2) − sin (150s−1 · t) . L¨ osung: Man f¨ uhrt eine Primzahlzerlegung der Kreisfrequenzen aller Teilschwingungen durch: 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 150 = 2 · 3 · 5 · 5 Die Primzahlen 2 und 5 tauchen in allen drei Zerlegungen genau einmal auf. ⇒ 150s−1 200s−1 120s−1 = = ω = 10s−1 = 3·5 2·2·5 2·2·3 2π = 0, 628s T = ω

Voraussetzungen und Besonderheiten von Fourier-Reihen Voraussetzungen Damit eine periodische, nichtsinusf¨ ormige Funktion f (t) durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden kann, m¨ ussen folgende Voraussetzungen erf¨ ullt sein: • f (t) ist endlich. • Innerhalb einer Periode T besitzt f (t) nur endlich viele Unstetigkeiten. • Innerhalb einer Periode T besitzt f (t) nur endlich viele Minima und Maxima. In der Praxis erf¨ ullen alle Spannungs- und Stromsignale diese Bedingungen, sodass eine Fourier-Zerlegung in der Technik generell m¨ oglich ist. Besonderheiten Wie erw¨ ahnt kann jede periodische, nichtsinusf¨ ormige Funktion f (t) durch eine unendliche Reihe von trigonometrischen Funktionen exakt beschrieben werden. Nimmt man nur eine Partialsumme, also nur eine endliche Reihe, so tritt, wie in Abbildung 3.3 ge¨ zeigt, an Unstetigkeitsstellen (Spr¨ ungen) ein Uberund Unterschwingen um rund 18% gegen¨ uber dem Funktionswert an diesen Stellen auf. Dieses Ph¨ anomen wird nach seinem Entdecker Gibb Gibb’sches Ph¨ anomen genannt. Kann eine Zeitfunktion f (t) in mehrere Teilfunktionen f (t) = f1 (t) ± f2 (t) ± ... zerlegt werden, ergibt sich die Fourier-Reihe von f (t) aus der Summe der FourierReihen der Teilfunktionen. Dies macht man sich oft bei der Berechnung von FourierKoeffizienten zu Nutze.

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

1,18 1,0

251

f(t)

t -1,0 -1,18 Abb. 3.3: Gibb’sches Ph¨ anomen

3.2.2

Reelle Fourier-Reihen

Gegeben sei eine periodische, nichtsinusf¨ormige Funktion f (t) = f (t ± kT )

k = 0, 1, 2, ...∞

(3.4)

mit der Periodendauer T . Oft ist es vorteilhaft an Stelle der Zeit t die dimensionslose Variable x = ω1 t mit der Grundkreisfrequenz ω1 = 2π/T einzuf¨ uhren. Die Funktion f (t) in Gleichung (3.4) lautet dann f (x) = f (x ± k2π)

k = 0, 1, 2, ...∞ .

Beide Darstellungsformen sind in Abbildung 3.4 skizziert.

f(t) f(x) T 2π

t x

Abb. 3.4: Darstellungsformen periodischer Funktionen

(3.5)

252

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Reelle Fourier-Reihe (Cosinus- und Sinusdarstellung) Als Folge der Periodizit¨ at kann man nach Fourier die Funktion f (x) als unendliche Reihe von Cosinus- und Sinusfunktionen

f (x) =

∞ 

n = 0, 1, 2, ..., ∞

[an cos(nx) + bn sin(nx)]

(3.6)

n=0

beschreiben. Die Faktoren an und bn heißen Fourier-Koeffizienten. Um die Faktoren an zu finden, multipliziert man Gleichung (3.6) mit cos(mx) (m = 1, 2, ...∞) und integriert u ¨ber eine Periode 2π.  

x0 +2π x0



x0 +2π

x0 ∞ 

f (x) · cos(mx) · dx = 

[an cos(nx) + bn sin(nx)]

· cos(mx) · dx

(3.7)

n=0

Allgemein gilt die Orthogonalit¨at trigonometrischer Funktionen, d.h. 

x0 +2π

x0  x0 +2π x0  x0 +2π x0  x0 +2π

sin(nx) · cos(mx)dx = 0

f¨ ur alle n, m ,

cos(nx) · cos(mx)dx = 0

f¨ ur n = m ,

cos(nx) · cos(mx)dx = π

f¨ ur n = m = 0 ,

cos(nx) · cos(mx)dx = 2π

f¨ ur n = m = 0 .

x0

Die rechte Seite der Gleichung 3.7 ist also nur dann ungleich Null, wenn n = m gilt und man erh¨ alt:

 x0 +2π 1 f (x) · dx n=0 2π x0  x0 +2π 1 f (x) · cos(nx) · dx n = 1, 2, ...∞ an = π x0  x0 +2π 1 f (x) · sin(nx) · dx n = 1, 2, ...∞ bn = π x0 a0 =

(3.8)

Bemerkung: Die Fourier-Koeffizienten bn ergeben sich, in Anlehnung zur Vorgehensweise bei der Herleitung von an , durch Multiplikation der Gleichung (3.6) mit sin(mx) (m = 1, 2, ...∞) und Integration u ¨ber eine Periode 2π.

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

253

a0 stellt den Mittelwert (Gleichstrom- bzw. Gleichspannungsanteil) der Funktion f (x) dar und die Koeffizienten an bzw. bn die Amplituden der Cosinus- und Sinusschwingungen. Mit x = ω1 t erh¨ alt man eine a ¨quivalente Darstellung der Fourier-Reihe und der zugeh¨ origen Koeffizienten.

f (t) =

∞ 

(3.9)

[an cos(nω1 t) + bn sin(nω1 t)]

n=0

 1 t0 +T f (t) · dt n=0 T t0  t0 +T 2 f (t) · cos(nω1 t) · dt an = T t0  t0 +T 2 f (t) · sin(nω1 t) · dt bn = T t0 a0 =

n = 1, 2, ...∞

(3.10)

n = 1, 2, ...∞

Abbildung 3.5 zeigt ein Beispiel f¨ ur die Ann¨ aherung einer periodischen Rechteckfunktion durch eine Partialsumme der zugeh¨ origen Fourier-Reihe.

f(x)

1

2π

x

Abb. 3.5: Ann¨ a„herung einer Rechteckfunktion origen « durch die Partialsumme der zugeh¨ 1 1 4 sin x + sin(3x) + sin(5x) Fourier-Reihe 5 3 π

Mittleres Fehlerquadrat Es l¨asst sich zeigen, dass das mittlere Fehlerquadrat 1 2π



2π

 f (x) −

0

∞  n=0

2 [an cos(nx) + bn sin(nx)]

· dx

254

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

minimal wird, wenn man die Koeffizienten an und bn nach Gleichungssatz (3.8) berechnet. Somit beschreiben die Fourier-Koeffizienten nicht nur die Funktion f (x) exakt, sie bilden auch noch das Minimum des mittleren Fehlerquadrates. Beispiel 3.3 Berechnen Sie die Fourier-Reihen folgender periodischer Funktionen:  1V f¨ ur 0 ≤ x < π u1 (x) = −1V f¨ ur π ≤ x < 2π  u2 (t) =

1V f¨ ur 0 ≤ t < T /2 0V f¨ ur T /2 ≤ t < T

L¨ osung:    2π π 1 1V · dt + (−1V) · dt = 0V a0 = 2π 0 π

 π   2π 1 1V · cos(nx) · dt + (−1V) · cos(nx) · dt ⇒ an = π 0 π 1V [sin(nπ) − sin(0) − sin(n2π) + sin(nπ)] = 0V an = nπ

 π   2π 1 1V · sin(nx) · dt + (−1V) · sin(nx) · dt ⇒ bn = π 0 π * 4 1V V f¨ ur n = 1, 3, 5, 7, ... [− cos(nπ) + cos(0) + cos(n2π) − cos(nπ)] = bn = nπ nπ 0 f¨ ur n = 2, 4, 6, 8, ... ⇒ 

1 1 4 sin(x) + sin(3x) + sin(5x) + ... u1 (x)/V = 5 3 π

Mit der Substitution

x = ω1 t gilt u2 (t) = 0, 5 · u1 (t) + 0, 5V.⇒ 1 1 2 1 sin(ω1 t) + sin(3ω1 t) + sin(5ω1 t) + ... u2 (t)/V = + 5 3 2 π

Reelle Fourier-Reihe (Betrags- und Nullphasenwinkel-Darstellung bez¨ uglich Sinusfunktionen) Generell kann eine periodische Funktion f (x) auch durch folgende, v¨ ollig gleichwertige Fourier-Reihe dargestellt werden.

f (x) =

∞ 

Bn sin(nx + ϕn )

(3.11)

n=0

Die Wahl der Darstellungsart von Fourier-Reihen h¨ angt von der Aufgabenstellung und der Anwendung ab.

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

255

Mit sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α gewinnt man die urspr¨ ungliche Form zur¨ uck. Es gilt Bn sin ϕn = an , Bn cos ϕn = bn

(3.12)

und aus Gleichungssatz (3.12) folgt

 Bn = ⎧ a2n + b2n a ⎨ arctan n falls bn > 0 bn ϕn = a ⎩ arctan n ± π falls bn < 0 bn

.

(3.13)

Mit x = ω1 t ergibt sich die Darstellung der Fourier-Reihe f¨ ur Zeitfunktionen:

f (t) =

∞ 

Bn sin(nω1 t + ϕn )

(3.14)

n=0

Die Fourier-Koeffizienten haben spezielle Namen: • a0 = B0 heißt Gleichanteil, • a1 , b1 (bzw. B1 , ϕ1 ) nennt man Grundfrequenzanteil und • an , bn (bzw. Bn , ϕn ) mit n = 2, 3, ...∞ sind die Oberschwingungsanteile. Allgemein geben die Koeffizienten a0 , an , bn (bzw. B0 , Bn , ϕn ) mit n = 1, 2, ...∞ die Spektralanteile einer periodischen Funktion an. Abbildung 3.6a) zeigt die Amplituden an und bn , Abbildung 3.6b) die Gesamtamplituden Bn und die Nullphasenwinkel ϕn einer periodischen Funktion u ¨ber der Frequenzachse. Es l¨asst sich zeigen, dass die Gesamtamplituden Bn folgende Tendenz besitzen: • Bn ∼

1 , wenn f (t) Spr¨ unge (Unstetigkeiten) aufweist; n

• Bn ∼

1 , wenn f (t) nur Knicke hat. n2

Es gilt die Regel, dass der Oberschwingungsgehalt klein ist, d.h. Bn ∼ 1/nk mit k ≥ 3, wenn f (t) glatt (differenzierbar) ist.

256

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

an

a0

bn

a1

a3 2f1

f1

a2

b1 b2

b3

4f1 3f 1

a4

f1

f

2f1

3f1

b4 4f1

f

a) B1

Bn

ϕn B0

B2 f1

2f1

B3

45°

B4 3f 1

4f1

ϕ1

ϕ3 2f1

f1

f

-45°

4f1 3f1

ϕ2

ϕ4

f

b) Abb. 3.6: Spektralanteile einer periodischen Funktion: a) Amplituden der Cosinus- und Sinusschwingungen an und bn ; b) Gesamtamplitude Bn und Phase ϕn

Beispiel 3.4 Berechnen Sie die Fourier-Reihe der Funktion  1V f¨ ur 0 < t < T /2 u(t) = 0V f¨ ur T /2 < t < T in der Betrags- und Nullphasenwinkel-Darstellung. L¨osung: Aus vorigem Beispiel ergibt sich unmittelbar: 

1 1 2 1 sin(ω1 t) + sin(3ω1 t) + sin(5ω1 t) + ... . u(t)/V = + 5 3 2 π

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

257

Symmetrieeigenschaften Gerade Funktionen Gerade Funktionen zeichnen sich durch die Eigenschaft f (x) = f (−x)

oder

f (t) = f (−t)

(gerade Funktion)

(3.15)

aus. Der Graph in Abbildung 3.7 verl¨ auft achsensymmetrisch zur y-Achse.

f(t)

T/2

-T/2

t

Abb. 3.7: Beispiel einer geraden Funktion

Bei solchen Funktionen k¨onnen keine ungeraden Sinus-Anteile enthalten sein und es gilt a0 =

1 π



π

f (x) · dx

bzw.

0

a0 =

 2 π f (x) · cos(nx) · dx an = π 0 bn = 0 .

2 T



T /2

f (t) · dt , 0

4 an = T

bzw.



T /2

f (t) · cos(nω1 t) · dt , 0

(3.16)

Ungerade Funktionen Bei ungeraden Funktionen gilt f (x) = −f (−x)

oder

f (t) = −f (−t)

(ungerade Funktion) .

(3.17)

Der Graph verl¨auft punktsymmetrisch zum Ursprung (vgl. Beispiel Abbildung 3.8). Es k¨ onnen keine geraden Cosinus-Anteile enthalten sein, woraus

 2 π f (x) · sin(nx) · dx π 0 a0 = an = 0

bn =

folgt.

bzw.

bn =

4 T



T /2

f (t) · sin(nω1 t) · dt , 0

(3.18)

258

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

f(t)

t

Abb. 3.8: Beispiel einer ungeraden Funktion

Halbwellensymmetrie Halbwellensymmetrie liegt vor, falls f (x) = −f (x + π)

oder

f (t) = −f (t + T /2) .

(3.19)

Die Teilverl¨aufe der Halbperioden unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen (vgl. Abbildung 3.9).

f(t)

-T

T

t

Abb. 3.9: Beispiel einer halbwellensymmetrischen Funktion

Es k¨ onnen keine Oberschwingungen gerader Ordnung enthalten sein und man erh¨alt:   4 T /2 2 π f (t) · cos(nω1 t) · dt f (x) · cos(nx) · dx bzw. an = an = T 0 π 0   4 T /2 2 π f (t) · sin(nω1 t) · dt f (x) · sin(nx) · dx bzw. bn = bn = T 0 π 0 a0 = 0 ur n = 2, 4, 6, 8, ... (3.20) an = bn = 0 f¨

Setzt sich eine Funktion aus mehreren geraden und/oder ungeraden Funktionen zusammen, gelten die Regeln: • Das Produkt zweier gerader Funktionen ergibt eine gerade Funktion. • Das Produkt zweier ungerader Funktionen ergibt eine gerade Funktion. • Das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktionen ergibt eine ungerade Funktion.

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

259

Beispiel 3.5 Ermitteln Sie ob und wenn ja welche Symmetrieeigenschaft bei den Funktionen vorliegt und welche Fourier-Koeffizienten ungleich null sind. f1 (x) =

x π

f¨ ur −π ≤ x < π

f2 (x) = x · sin x f¨ ur −π ≤ x < π ⎧ t ⎪ f¨ ur −T /4 ≤ t < T /4 ⎨ T /4 f3 (t) = t ⎪ ⎩− + 2 f¨ ur T /4 ≤ t < 3T /4 T /4

f4 (x) = | sin(x)| L¨ osung: f1 (x): ungerade; a0 = 0; an = 0; bn = 0 f2 (x): gerade; a0 = 0; an = 0; bn = 0 f3 (x): ungerade und halbwellensymmetrisch; a0 = 0; an = 0; bn = 0 f¨ ur n = 2, 4, 6, ...; bn = 0 f¨ ur n = 1, 3, 5, ... f4 (x): gerade; a0 = 0; an = 0; bn = 0

3.2.3

Komplexe Fourier-Reihe

Dieser Abschnitt zeigt, dass sich reelle, periodische Funktionen nicht nur durch reelle Fourier-Reihen, sondern auch durch komplexe Fourier-Reihen darstellen lassen. Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten Aus der Euler’schen Gleichung ejα = cos α + j sin α e−jα = cos α − j sin α

bzw.

erh¨alt man durch Addition und Subtraktion die Darstellung ejα + e−jα 2 ejα − e−jα sin α = 2j

cos α =

bzw.

der Cosinus- und Sinusfunktion mittels Exponentialfunktionen. Nach Substitution von α = nx und Einsetzen der Cosinus- und Sinus-Ausdr¨ ucke in die reelle Fourier-Reihe

260

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

(3.6) ergibt sich

 ejnx − e−jnx ejnx + e−jnx + bn 2j 2 n=0 

∞  an − jbn jnx an + jbn −jnx e . e + = 2 2 n=0

f (x) =

∞



an

Mit der Definition der komplexen Fourier-Koeffizienten c 0 = a0 , an − jbn und cn = 2 an + jbn = c∗n c−n = 2

(3.21)

erh¨ alt man f (x) = c0 +

∞  "

cn ejnx + c−n e−jnx

#

.

n=1

In der Betrags- und Phasenwinkeldarstellung lauten die komplexen Fourier-Koeffizienten cn = |cn |ejΦn = cn ejΦn .

(3.22)

Zusammengefasst berechnet sich die komplexe Fourier-Reihe aus

f (x) =

f (t) =

∞  n=−∞ ∞ 

cn · ejnx

bzw.

(3.23) cn · ejnω1 t

n=−∞

und die komplexen Fourier-Koeffizienten aus

 x0 +2π 1 f (x) · e−jnx dx 2π x0  1 t0 +T f (t) · e−jnω1 t dt cn = T t0

cn =

n = −∞...∞ ∈ Z

bzw.

.

(3.24)

n = −∞...∞ ∈ Z

Symmetrieeigenschaften Aus Gleichungssatz (3.21) und den Ergebnissen aus Abschnitt 3.2.2 ergeben sich die Eigenschaften der komplexen Fourier-Koeffizienten bei Symmetrie.

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

261

Gerade Funktion Bei geraden Funktionen gilt cn =

an 2

mit an aus (3.16) .

(3.25)

Alle cn sind rein reell.

Ungerade Funktion Liegt eine ungerade Symmetrie vor, erh¨alt man cn = −j

bn 2

mit bn aus (3.18) .

(3.26)

Alle cn sind rein komplex.

Funktion mit Halbwellensymmetrie Ist die Funktion halbwellensymmetrisch, entfallen die geradzahligen Anteile, d.h. cn =

an − jbn 2

(n = 1, 3, 5, ...∞)

mit an und bn aus (3.20) .

(3.27)

Die komplexen Fourier-Koeffizienten k¨onnen auch direkt aus cn =

1 − (−1)n T



T /2

f (t) · e−jnω1 t dt

n = −∞... + ∞ ∈ Z

(3.28)

0

berechnet werden.

3.2.4

Umrechnung von Fourier-Koeffizienten

¨ Zur besseren Ubersicht sind in Tabelle 3.1 alle notwendigen Gleichungen zur Umrechnung von Fourier-Koeffizienten zusammengefasst.

3.2.5

Kenngr¨oßen periodischer, nichtsinusf¨ormiger Signale

In diesem Abschnitt werden die von sinusf¨ ormigen Gr¨ oßen bekannten Begriffe wie Effektivwert, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung usw. auf nichtsinusf¨ ormige, periodische Signale u uhrt. ¨bertragen und weitere Begriffe eingef¨

262

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Gegeben → Gesucht ↓ a0 = an = bn = B0 = Bn = ϕn = c0 =

B0 , Bn , ϕn

a0 , an , bn

B0 --Bn sin ϕn --Bn cos ϕn ----a  0 --a2n + b2n --arctan(an /bn ) ∗) B0 a0 Bn (sin ϕn − j cos ϕn ) bn an ∗ −j cn = c−n = 2 2 2  a2n + b2n Bn ∗ |cn | = |c−n | = 2 2 ϕn − 90◦ Φn = −Φ−n = arctan(−bn /an ) ∗ ∗) ∗) Achtung: Falls bn < 0, muss ϕn um ±180◦ korrigiert werden! ∗∗) Achtung: Falls an < 0, muss Φn um ±180◦ korrigiert werden!

c0 , cn = c∗−n

c0 2Re{cn } −2Im{cn } c0 2 |cn | Φn + 90◦ ---

---

---

---

Tabelle 3.1: Umrechnung von Fourier-Koeffizienten

Arithmetischer Mittelwert, Effektivwert Arithmetischer Mittelwert Der arithmetische Mittelwert (hier einer Spannung) ist definiert als

u(t) = U =

1 T



t0 +T

u(t) · dt = a0 = B0 = c0 .

t0

Er entspricht den Fourier-Koeffizienten a0 = B0 = c0 . Der arithmetische Mittelwert wird auch Gleichanteil oder DC-Komponente genannt.

Effektivwert Der Effektivwert erzeugt u ¨ber eine Periode die gleiche Erw¨armung an einem Ohm’schen Verbraucher wie Gleichstrom. Allgemein kann der Effektivwert, z.B. einer Spannung, aus der Zeitfunktion u(t) mit der Gleichung  Uef f = U =

1 T



t0 +T

u2 (t) · dt

(3.29)

t0

ermittelt werden. Um den Effektivwert U (hier einer Spannung) als Funktion der Fourier-Koeffizienten von u(t) bestimmen zu k¨ onnen, wird u(t) durch die Fourier-Reihe (3.14) ersetzt.

Uef f

& ∞ 2 '  ' 1 t0 +T  ( Bn sin (nω1 t + ϕn ) dt =U = T t0 n=0

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

263

Mit 1 T

1 T



t0 +T

t0  t0 +T

sin(nω1 t + ϕn ) · sin(mω1 t + ϕm )dt = 0

sin(nω1 t + ϕn ) · sin(mω1 t + ϕm )dt =

t0

1 2

f¨ ur n = m ,

f¨ ur n = m ≥ 1

und ϕ0 = π/2 folgt

Uef f

& ' ∞ ' 1 2 B . = U = (B02 + 2 n=1 n

(3.30)

Die Fourier-Koeffizienten Bn (n = 1, 2, ...∞) entsprechen den Amplituden (Scheitelwerten) der Grund- und Oberschwingungen. Mit B0 = U und √ ˆ n = 2 · Un Bn = U

erh¨alt man f¨ ur den Effektivwert einer Spannung aus (3.30)

Uef f

& ' ∞ ' 2  Un2 . = U = (U +

(3.31)

n=1

Gleichung (3.31) besagt, dass zum Effektivwert neben dem Gleichanteil und der Grundschwingung auch alle Oberschwingungen beitragen! Beispiel 3.6 Gesucht sind der arithmetische Mittelwert und der Effektivwert der Gr¨ oßen u(t) = 5V sin (2πf t) + 2V und i(t) = (1 + t/T )A f¨ ur 0 ≤ t < T . L¨ osung:

u(t) = &U = B0 = 2V  ' 2

∞ ' 2  5 V = 4, 062V Un2 = 22 + √ U = (U + 2 n=1

 1 T (1 + t/T )A · dt = 1, 5A i(t) = I = T 0    1 T (1 + t/T )2 · dt A = 7/3A = 1, 528A I= T 0

264

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Welligkeit Die Welligkeit

w=

U∼ef f

u(t)



$∞

2 n=1 Un

=

u(t)

=

U2 − U

2

U

(3.32)

ist das Verh¨ altnis des reinen Wechselanteils U∼ef f zum Gleichanteil U eines Signals. Sie stellt eine wichtige Charakteristik f¨ ur Netzteile dar; je kleiner der Wert w, desto besser.

Klirrfaktoren, Klirrd¨ ampfung Klirrfaktoren Die Abweichungen einer periodischen Funktion von der Sinusform kann durch den Klirrfaktor $ k=

∞ $n=2 ∞ n=1

& ' 'U2 − U2 − U2 Un2 ( 1 = 2 Un2 U2 − U

(3.33)

angegeben werden. Darunter versteht man das Verh¨ altnis von Effektivwert aller Oberschwingungen zu Effektivwert aller Schwingungen. Bei (reinen) Sinus- und Cosinusfunktionen ist k = 0. Oft verwendet man speziell in der Nachrichtentechnik den Klirrfaktor Ui k i =  $∞ n=1

Un2

,

(3.34)

der sich auf die (i-1)-te Oberschwingung bezieht. k1 heißt Grundschwingungsfaktor und gibt das Verh¨altnis von Effektivwert der Grundschwingungen zum Effektivwert aller Schwingungen an. Bemerkung: Es ist zu beachten, dass bei allen Varianten von Klirrfaktoren der Gleichanteil U weggelassen wird!

Klirrd¨ ampfung Die Klirrd¨ ampfung

 1 = −20dB · lg k ak = 20dB · lg k

entspricht dem Klirrfaktor k in Dezibel (dB).

(3.35)

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

265

Beispiel 3.7 Berechnen Sie den Klirrfaktor k des Signals  1V f¨ ur 0 ≤ t < T /2 u(t) = . −1V f¨ ur T /2 ≤ t < T L¨osung: & 2

' & ' 4 2 2 ' ' √ V2 (1V) − (0V) − 2 'U2 − U − U2 ( 2π 1 = 0, 435 = k=( 2 (1V)2 − (0V)2 U2 − U √ ˆ1 / 2 = √4 V Es gilt: U = 1V; U = 0V; U1 = U 2π

Anwendungsbeispiel 3.8:

Klirrfaktor

Die Linearit¨at eines Zweitors, z.B. eines Verst¨ arkers, kann durch Messung des Klirrfaktors ermittelt werden. Dazu betreibt man die Schaltung eingangsseitig mit einer ideal sinusf¨ormigen Quelle (k = 0). Am Ausgang der Schaltung werden zwei Gr¨ oßen gemessen, der Effektivwert des Wechselanteils und nach Hochpassfilterung der Effektivwert aller Oberschwingungen. Die gemessenen Werte werden zueinander ins Verh¨ altnis gesetzt und so der Klirrfaktor ermittelt. Je linearer das untersuchte Zweitor ist, umso geringer ist der gemessene Klirrfaktor. Generell steigt der Klirrfaktor mit der Erh¨ohung der Aussteuerung an. Leistung Wirkleistung Die aus Kapitel 2 bekannte Definition der Wirkleistung 1 P = T



T

u(t) · i(t) · dt

(3.36)

0

ist unabh¨angig vom Verlauf der periodischen Spannungs- und Stromverl¨ aufe g¨ ultig. Ersetzt man u(t) und i(t) durch die zugeh¨ origen Fourier-Reihen, folgt 1 P = T



∞ T  0

[an cos(nω1 t) + bn sin(nω1 t)] ·

n=0





∞  m=0

 

u(t)

[am cos(mω1 t) + bm sin(mω1 t)] dt.



 i(t)

Wegen der Orthogonalit¨at trigonometrischer Funktionen folgt f¨ ur die Wirkleistung P = a0 · a0 +

∞ 1 (an · an + bn · bn ) . 2 n=1

(3.37)

266

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Das Resultat gewinnt an Anschaulichkeit, wenn man die Fourier-Reihen in der Betragsund Nullphasenwinkel-Darstellung verwendet. Die Fourier-Koeffizienten in Gleichung (3.37) werden durch die Ausdr¨ ucke a0 = B 0 = U ,

√ ˆn · sin ϕun = 2 · Un · sin ϕun , an = Bn · sin ϕn = U √ ˆn · cos ϕun = 2 · Un · cos ϕun , bn = Bn · cos ϕn = U

a0 = B0 = I ,

√ an = Bn · sin ϕn = Iˆn · sin ϕin = 2 · In · sin ϕin , √ bn = Bn · cos ϕn = Iˆn · cos ϕin = 2 · In · cos ϕin

ersetzt und man erh¨alt f¨ ur die Wirkleistung periodischer Signale P = U ·I +

= U ·I +

∞  n=1 ∞ 

Un · In (sin ϕun sin ϕin + cos ϕun cos ϕin )

Un · In cos (ϕun − ϕin )

n=1

und letztlich P =U ·I +

∞ 

Un In cos ϕuin .

(3.38)

n=1

Gleichung (3.38) besagt, dass zur Wirkleistung nur Produkte von Strom und Spannung der gleichen Frequenz beitragen.

Bemerkung: Sind die zeitlichen Gr¨ oßen u(t) und i(t) durch analytische Ausdr¨ ucke gegeben, ist es in der Regel einfacher das Integral in Gleichung (3.36) direkt zu l¨ osen, ohne erst die Fourier-Koeffizienten zu bestimmen. Scheinleistung Die Gleichung S = Uef f · Ief f = U · I

(3.39)

gilt unabh¨angig von der Kurvenform von Strom und Spannung. Mit Gleichung (3.31) folgt &   ' ∞ ∞   ' 2 2 ( 2 2 I + In . U + Un S= n=1

n=1

(3.40)

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

267

Blindleistung Analog zur Definition bei periodischen, sinusf¨ormigen Vorg¨angen ist die so genannte Feld-Blindleistung Q=

∞ 

Un In sin ϕuin

(3.41)

n=1

definiert. Q ist die Summe der Blindleistungen der Grund- und Oberschwingungen gleicher Frequenz.

Es l¨asst sich zeigen, dass S 2 = P 2 + Q2 ist. Addiert man zur Feld-Blindleistung noch die Anteile Un Im mit n = m, die nicht verschwinden, die so genannte VerzerrungsBlindleistung D, gilt S 2 = P 2 + Q2 + D 2 .

(3.42)

Den Ausdruck f¨ ur D2 findet man mittels Gleichung (3.42) D2 = S 2 − P 2 − Q2 = ... . Das Ergebnis lautet: D2 =

∞ ∞  

2 2 2 Un2 Im + Um In − 2Un Um In Im cos (ϕuin − ϕuim )

n > m (3.43)

n=1 m=0

Die Verzerrungs-Blindleistung wird also von Spannungen und Str¨omen unterschiedlicher Frequenz gebildet. Die Verzerrungs-Blindleistung verschwindet, wenn gilt

ϕuin = ϕuim und Un Im = Um In . Das bedeutet • alle Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom in allen Teilschwingungen sind gleich und • mit Un Im = Um In folgt Un /In = Um /Im = Z(k · ω1 ) = konstant

(k ∈ N) .

Die letzte Bedingung, der komplexe Widerstand Z ist f¨ ur alle Frequenzen k·ω1 konstant, ist nur durch einen frequenzunabh¨angigen Widerstand erf¨ ullbar. Bei rein Ohm’schen Widerst¨ anden ist aber auch die Feld-Blindleistung Q = 0. Fazit: Feld-Blindleistung und Verzerrungs-Blindleistung treten bei nichtsinusf¨ormigen Wechselgr¨ oßen an linearen Bauelementen immer gemeinsam auf.

268

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Beispiel 3.9 Zu berechnen ist die Wirk- und Scheinleistung an einem Ohm’schen Widerstand R = 1kΩ, an dem die periodische Spannung  √ ur 0 ≤ t < T /2 230 2V sin(2π · 50Hz · t) f¨ u(t) = 0V f¨ ur T /2 ≤ t < T

anliegt. L¨osung:  T  1 1 T u(t)2 dt ⇒ u(t) · i(t)dt = P = T ·R 0 T 0 T /2   T /2 √ 1 1 105, 8W 1 sin(2ω1 t) = t− · ( 2 · 230)2 V2 sin2 (ω1 t)dt = P = 4ω1 2 T T ·R 0 0 105, 8W T · = 26, 45W 4 T S = P = 26, 45VA, da Q = 0 und D = 0 (rein Ohm’scher Widerstand!).

Beispiel 3.10 An einem nichtlinearen, elektronischen Bauelement liegt die periodische Spannung  1V f¨ ur 0 ≤ t < T /2 u(t) = . 0V f¨ ur T /2 ≤ t < T Dabei fließt der Strom i(t) = 1mA · sin(ω1 t + 20◦ ) durch das Bauelement. Zu berechnen sind S, P , Q und D. L¨ osung: Die Fourier-Reihe der Spannung u(t) lautet: 2 2 2 1 · sin(5ω1 t) + ... · sin(3ω1 t) + u(t)/V = + · sin(ω1 t) + 5π 3π π 2   T /2 1 1 · 12 V2 dt = √ V U= T 2 0

1 1 S = U · I = √ V · √ mA = 0, 5mVA 2 2

P = U ·I +

∞ 

10−3 2 Un In cos ϕuin = U1 I1 cos(0◦ − 20◦ ) = √ · √ · cos(−20◦ )W = 2 2π n=1

0, 299mW Q= D=

∞  n=1 

Un In sin ϕuin = U1 I1 sin(−20◦ ) = −0, 109mvar

S 2 − P 2 − Q2 = 0, 386mvar

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

3.2.6

269

Analyse linearer Schaltungen bei periodischer, nichtsinusf¨ormiger Anregung

Im Prinzip kann man mit Hilfe von Fourier-Reihen das Verhalten von Schaltungen berechnen. Gegeben: • Eingangssignal(e) fe (t) = fe (t ± kT ) und • die Schaltung. Gesucht: • Ausgangssignal(e) fa (t) = fa (t ± kT ) . L¨ osung: Die Vorgehensweise zur Berechnung von Netzwerken bei periodischer, nichtsinusf¨ormiger Anregung ist im Folgenden schematisch dargestellt.

Frequenzbereich

Zeitbereich

← Fourier-Reihe → fe (t)

fe (t) =

∞ 

cen ejnω1 t

n=−∞

Schaltung System von Differentialgln. aus Maschen- und Knotenpunktgleichungen

L¨ osung: fa (t)

Schaltung System von linearen Gln. aus Maschen- und Knotenpunktgleichungen ¨ (nω1 ) · c can = U en

L¨ osung: fa (t) =

∞ 

can ejnω1 t

n=−∞

In einem ersten Schritt wird die komplexe Fourier-Reihe der Eingangsgr¨oße (Quel¨ lenspannung oder -strom) berechnet. Anschließend ermittelt man die Ubertragungs¨ (ω), also das komplexe Verh¨ altnis der Ausgangsgr¨ oße zur Eingangsgr¨ oße in funktion U Abh¨ angigkeit der Kreisfrequenz ω. Die komplexen Fourier-Koeffizienten can des gesuch¨ (nω1 )·c . Als L¨ osung erh¨ alt ten Ausgangssignals fa (t) ergeben sich aus dem Produkt U en man fa (t) in der Fourier-Reihen-Darstellung.

270

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Beispiel 3.11 Mit Hilfe der Fourier-Reihe soll die Ausgangsspannung ua (t) eines Tiefpasses bei rechteckf¨ ormiger Anregung (Abbildung 3.10) berechnet werden.

u e(t)

R

U T/2

T

t

-U

u e (t) c en

C

u a (t)

c an

Abb. 3.10: Tiefpass bei rechteckf¨ ormiger Anregung

L¨ osung: Zun¨ achst wird die Eingangsspannung ue (t) als komplexe, unendliche Fourier-Reihe ausgedr¨ uckt. ue (t) =

∞

 n=−∞

2 −jU nπ

 · ejnω1 t

(n = ±1, ±3, ±5, ...)

¨ Die Ubertragungsfunktion eines einfachen RC-Tiefpasses lautet:

1 ¨ (ω) = U a (ω) = . U 1 + jωRC U e (ω)

Die komplexen Fourier-Koeffizienten der Ausgangsspannung ua (t) ergeben sich aus

1 ¨ (nω1 ) = −jU 2 · can = cen · U nπ 1 + jnω1 RC

(n = ±1, ±3, ±5, ...)

und damit folgt die L¨ osung in der Fourier-Darstellung ua (t) =

∞  n=−∞

−jU

1 2 · ejnω1 t · nπ 1 + jnω1 RC

(n = ±1, ±3, ±5, ...) ,

die sich in einfachen F¨allen in eine geschlossene Form umwandeln l¨ asst.

3.2 Nichtsinusf¨ ormige, periodische Vorg¨ ange

3.2.7

271

Einfluss nichtlinearer Bauelemente

Sinusf¨ ormiges Signal an nichtlinearen Bauelementen Beispiel: Quadratische Kennlinie Bei einem Langkanal-MOS-Transistor h¨ angt der Strom zwischen den Drain-SourceAnschl¨ ussen IDS = c · (UGS − UT H )2 in S¨ attigung in erster N¨aherung quadratisch von der Gate-Source-Spannung ab. Der Einfachheit halber wird von der vereinfachten Gleichung i(t) = c · u2 (t) (c = konstant) ausgegangen. Legt man die Spannung ˆ cos (ωt) u(t) = U0 + U an, so folgt f¨ ur den Strom 2  ˆ cos (ωt) i(t) = c · U0 + U 

2 21 ˆ ˆ = c · U0 + 2U0 U cos (ωt) + U [1 + cos(2ωt)] 2 = I0 + Iˆ1 cos(ωt) + Iˆ2 cos(2ωt) .

Neben der urspr¨ unglichen Kreisfrequenz ω tritt auch die doppelte Kreisfrequenz 2ω im Strom i(t) auf! Beispiel: Exponentielle Kennlinie Aus der Taylor-Entwicklung einer Exponentialfunktion ex = 1 +

x3 x2 x + ... + + 3! 2! 1!

und dem trigonometrischen Zusammenhang cosn x = cos nx + ... erkennt man sofort, dass an einer exponentiellen Kennlinie prinzipiell alle Harmonischen erzeugt werden. Technisches Beispiel f¨ ur eine exponentielle Strom-Spannungsbeziehung ist eine Halbleiterdiode in Durchlassrichtung   i(t) = IS · eu(t)/UT − 1 .

272

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Modulation Die Eigenschaft nichtlinearer Bauelemente, zus¨atzliche harmonische Schwingungen zu erzeugen, wird bei der Modulation“ technisch gezielt ausgenutzt. Als Beispiel wird ” abermals die quadratische Kennlinie i(u) = c · u2 betrachtet und die Spannung ˆ1 cos(ω1 t) + U ˆ2 cos(ω2 t) , u = u(t) = U die sich aus zwei sinusf¨ ormigen Spannungen unterschiedlicher Frequenz zusammensetzt, an das nichtlineare Bauelement angelegt. Unter Zuhilfenahme der trigonometrischen Beziehungen cos2 α = ur i(t): cos α · cos β = 12 [cos(α − β) + cos(α + β)] ergibt sich f¨

i(t) =

1 2

[1 + cos(2α)] und

1 ˆ22 · cos(2ω2 t) ˆ12 · cos(2ω1 t) + 1 · c · U ˆ12 + U ˆ22 ) + 1 · c · U · c · (U 2 2 2 ˆ2 · cos[(ω1 − ω2 )t] + c · U ˆ1 · U ˆ2 · cos[(ω1 + ω2 )t] ˆ1 · U +c · U

Das Auftreten der Summen- und Differenzfrequenzen (ω1 + ω2 ) und (ω1 − ω2 ) ist Voraussetzung f¨ ur viele wichtige technische Anwendungen, wie z.B. der drahtlosen Kommunikationstechnik. Abbildung 3.11 zeigt das Frequenzspektrum der Operation ⎤2 ⎡

⎦ i(t)/A = ⎣1 · cos (2π · 1kHz    ·t) .    ·t) + 2 · cos (2π · 5kHz f2

f1

I( f )/A

2,5 2,0

0,5 0

f1

0

1

2f 1

2

f 2 -f 1 f 2 f2 +f1

4

5

6

2f 2

f

10

f /kHz

Abb. 3.11: Frequenzmodulation an einer quadratischen Kennlinie mit f1 = 1kHz, f2 = 5kHz

3.3 Nichtperiodische Vorg¨ ange

Anwendungsbeispiel 3.12:

273

Frequenzmischer

Summen- und Differenzfrequenzen erh¨ alt man nicht nur an nichtlinearen Kennlinien, sondern auch durch Multiplikation zweier periodischer Gr¨oßen unterschiedlicher Frequenz. Dies wird z.B. bei Frequenzmischer-Schaltungen in Mobiltelefonen genutzt, um die zu sendenden Daten (Basisband) in das Hochfrequenzband (D1, D2-Netz oder E-Netz) zu modulieren. Zu berechnen ist das Frequenzspektrum der Operation sin (ω1 t) · f (t) mit  1 f¨ ur 0 < t < T2 /2 f (t) = . 0 f¨ ur T2 /2 < t < T2 Das Signal sin (ω1 t) stellt das niederfrequente Datensignal dar, die Multiplikation mit f (t) wird durch einen (m¨ oglichst idealen) Schalter realisiert. Dieser schaltet das Datensignal mit der Tr¨ agerfrequenz f2 = 1/T2 ein und aus. L¨ osung: Die Fourier-Reihe der (Schalt-)Funktion f (t) lautet: 2 2 2 1 · sin(5ω2 t) + ... ⇒ · sin(3ω2 t) + f (t) = + · sin(ω2 t) + 5π 3π 2 π 2 2 1 · sin(3ω2 t) · sin (ω1 t) + ... = f (t) · sin (ω1 t) = · sin (ω1 t) + · sin(ω2 t) · sin (ω1 t) + 3π π 2 2 1 1 ohere Frequenzanteile · sin (ω1 t) + · · [cos(ω2 − ω1 )t − cos(ω2 + ω1 )t] + ...h¨ π 2 2 Die h¨ oheren Frequenzanteile (3ω2 ±ω1 , 5ω2 ±ω1 usw.) sowie der Niederfrequenzanteil 1 sin (ω arkt und an die 1 t) werden herausgefiltert. Der verbleibende Rest wird verst¨ 2 Antenne weitergeleitet.

3.3

Nichtperiodische Vorga¨nge

Dieser Abschnitt kl¨art, wie mit Hilfe der Fourier-Transformation nichtperiodische Vorg¨ange behandelt werden k¨onnen. Beispiel hierf¨ ur ist das einmalige Einschalten einer rechteckf¨ormigen Spannung gem¨aß Abbildung 3.12a).

f(t)

f p (t)

t

0

a)

-T

0

T

t

b)

Abb. 3.12: Beschreibung von nichtperiodischen Vorg¨ angen durch die Grenzbetrachtung T → ∞

274

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Um die Fourier-Reihen-Analyse auch bei nichtperiodischen Funktionen anwenden zu k¨ onnen, beschreibt man die nichtperiodische Funktion als Grenzprozess, bei dem diese aus der periodischen Funktion fp (t) durch den Grenz¨ ubergang T → ∞ hervorgeht (vgl. Abbildung 3.12b). Durch den Grenz¨ ubergang T → ∞ strebt die Grundkreisfrequenz gegen Null (ω1 → 0).

3.3.1

Fourier-Integral, Fourier-Transformation

Die periodische Hilfsfunktion fp (t) wird als komplexe Fourier-Reihe ∞ 

fp (t) =

cn · ejnω1 t

n=−∞

mit den komplexen Fourier-Koeffizienten

1 cn = T



T /2 −T /2

fp (t) · e−jnω1 t dt

ur cn : ausgedr¨ uckt. Mit ω1 = 2π/T ergibt sich f¨

cn =

ω1 2π



T /2 −T /2

fp (t) · e−jnω1 t dt =

ω1 · F (T, nω1 ) = f1 · F (T, nω1 ) 2π

Die Funktion

 F (T, nω1 ) =

T /2 −T /2

fp (t) · e−jnω1 t dt

(3.44)

hat die Dimension einer spektralen Dichte 1/Hz bzw. s. Die Einheit der spektralen Dichte eines nichtperiodischen Spannungssignals ist somit Vs und die eines Stromsignals As. ¨ Uber die spektrale Dichtefunktion F (T, nω1 ) gelangt man zur periodischen Hilfsfunktion

fp (t) =

∞  ω1 · F (T, nω1 ) · ejnω1 t . 2π n=−∞

Der Grenz¨ ubergang T → ∞ kann nun durchgef¨ uhrt werden. Mit lim ω1 = 2π/T = dω ,

T →∞

lim nω1 = ω ,

T →∞

lim fp (t) = f (t)

T →∞

(f (t) ist die nichtperiodische Funktion)

(3.45)

3.3 Nichtperiodische Vorg¨ ange

275

geht Gleichung (3.44) u ¨ber in die komplexe Spektralfunktion

 F (ω) =

∞

t=−∞ ∞

F (f ) =

f (t) · e−jωt dt

bzw.

(3.46)

f (t) · e−j2πf t dt

t=−∞

und aus Gleichung (3.45) ergibt sich die Zeitfunktion

f (t) =

1 2π 



∞

∞

F (ω) · ejωt dω

bzw.

ω=−∞

f (t) =

.

(3.47)

F (f ) · ej2πf t df

f =−∞

Die durch Gleichung (3.46) definierte Operation bezeichnet man als Fourier-Transformation und die durch Gleichung (3.47) beschriebene Operation als R¨ ucktransformation bzw. inverse Fourier-Transformation. F¨ ur die beiden Operationen sind die Kurzzeichen F und F −1 u ¨blich: F{f (t)} = F (ω) bzw.

F −1 {F (ω)} = f (t)

(3.48)

Beispiel 3.13 Zu berechnen sind die komplexen Spektralfunktionen U 1 (ω) und U 2 (ω) der Spannungen

 u1 (t) =  u2 (t) = L¨ osung:



U 1 (ω) =

τ /2 −τ /2

U f¨ ur −τ /2 ≤ t ≤ τ /2 0 sonst

0 f¨ ur −∞ < t < 0 . ur 0 ≤ t < ∞ (a > 0) U e−at f¨

U · e−jωt · dt =

U · τ · si(ω · τ /2) sin(x) Es gilt: si(x) = x  ∞ U e−(a+jω)t · dt = − U 2 (ω) = 0

und

 2U U  −jω·τ /2 · sin(ω · τ /2) = e − ejω·τ /2 = ω −jω

∞

U U e−(a+jω)t

= a + jω a + jω t=0

276

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Existenz der komplexen Spektralfunktion Um eine Funktion f (t) in den Frequenzbereich transformieren zu k¨onnen, muss die komplexe Spektralfunktion, also das uneigentliche Integral



T /2

F (ω) = lim

T →∞

−T /2

f (t) · e−jωt dt

existieren. Es muss also gelten |F (ω)| < ∞

f¨ ur

−∞ 0 ergibt sich  f (at) ◦—•

∞ −∞

f (at) · e−jωt dt .

Mit der Substitution at = τ bzw. t = τ /a und dt = dτ /a erh¨alt man f (at)

◦—•

1 a



∞ −∞

f (τ ) · e−j·(ω/a)·τ dτ

oder

◦—•

f (at)

1 ω  . F a a

(3.53)

Eine zeitliche Dehnung der Funktion f (t) durch Werte 0 < a < 1 f¨ uhrt im Frequenzbereich zu einer Amplitudenerh¨ohung um 1/a und zu einer Frequenzstauchung (ω → ω/a). Differentiation im Zeitbereich Zur Herleitung des Differentiationssatzes geht man von der Gleichung f¨ ur die Transformation in den Spektralbereich

 F (ω) =

∞

f (t) · e−jωt   dt  −∞  v

u

(u =

df (t) , dt

v=

−1 −jωt e ) jω

aus und integriert partiell

+∞  ∞

df (t) −jωt 1 1 −jωt ·e dt . + F (ω) = − f (t)e

jω jω −∞ dt −∞    =0

Der erste Term der rechten Seite verschwindet wegen der Voraussetzung der Existenz der uneigentlichen Integrale und es ergibt sich

df (t) dt

◦—•

jωF (ω) .

Integration im Zeitbereich Eine Funktion g(t) sei durch das Integral 

t

f (τ )dτ

g(t) = −∞

(3.54)

280

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

definiert. Dann gilt dg(t) = f (t) dt

oder in transformierter Form jωG(ω) = F (ω)

bzw.

G(ω) =

1 F (ω) jω

und es folgt



t

1 F (ω) . jω

◦—•

f (τ )dτ −∞

(3.55)

ur ω → 0 existiert! Gleichung (3.55) gilt nur, wenn F (ω)/(jω) f¨ Faltungssatz Ist die Fourier-Transformierte als Produkt zweier Spektralfunktionen F 1 (ω) · F 2 (ω) darstellbar, so kann man mit Hilfe des Faltungssatzes

 f1 (t) ∗ f2 (t) =

∞

−∞ ∞

= −∞

f1 (t − τ ) · f2 (τ )dτ

(3.56) f1 (τ ) · f2 (t − τ )dτ

◦—•

F 1 (ω) · F 2 (ω)

orige Zeitfunktion direkt durch eine spezielle Integration aus die zu F 1 (ω) · F 2 (ω) zugeh¨ f1 (t) und f2 (t) bestimmen. Beweis: Mit f1 (t) ∗ f2 (t) = F −1 {F 1 (ω) · F 2 (ω)}

 ∞   ∞ 1 f2 (τ )e−jωτ dτ ejωt dω F 1 (ω) · = 2π −∞ −∞    F 2 (ω)

und Vertauschen beider Integrale folgt  f1 (t) ∗ f2 (t) =

∞ −∞

f2 (τ ) ·

1 2π 



∞ −∞

F 1 (ω)ejω(t−τ ) dω ·dτ .   f1 (t−τ )

3.3 Nichtperiodische Vorg¨ ange

281

Anwendungsbeispiel 3.15 Stellt die Funktion F 1 (ω) beispielsweise die Fourier-Transformierte einer Eingangsubertragung AU (ω) eines Zweitors dar, spannung U e (ω) und F 2 (ω) die Spannungs¨ dann ergibt das Faltungsprodukt ue (t)∗aU (t) die Ausgangsspannung ua (t). Die Zeitalt man experimentell oder bei gegefunktion der Spannungs¨ ubertragung aU (t) erh¨ bener Schaltung rechnerisch aus der Impulsantwort des Systems, da mit ue (t) = δ(t) gilt:

ua (t) = aU (t) ∗ δ(t) = F −1 {AU (ω) · F{δ(t)}} = F −1 {AU (ω) · 1} = aU (t)

Parseval’sches Theorem Eine wichtige Eigenschaft der Fourier-Transformation dr¨ uckt das Parseval’sche Theorem aus. Es besagt, dass das Integral u ¨ber das Produkt zweier Zeitfunktionen auch durch das Produkt ihrer Spektren ausgedr¨ uckt werden kann. Das Theorem lautet:



∞ −∞

f1 (t) · f2∗ (t)dt =

1 2π



∞ −∞

F 1 (ω) · F ∗2 (ω)dω

(3.57)

Speziell f¨ ur f1 (t) = f2 (t) = f (t) folgt die einpr¨ agsame Beziehung



∞

1 |f (t)| dt = 2π −∞ 2



∞ −∞

 |F (ω)| dω = 2

∞ −∞

|F (f )|2 df .

(3.58)

Auf den Beweis der Parseval’schen Beziehung sei an dieser Stelle verzichtet. Anwendungsbeispiel 3.16:

Berechnung der Energie im Frequenzbereich

Zu berechnen ist die in einem Widerstand R = 1kΩ umgesetzte Energie WR im Frequenzbereich 0 ≤ f ≤ 1kHz, wenn am Widerstand die Diracimpulsspannung u(t) = 1V · δ(t) anliegt. L¨osung: Die Fourier-Transformierte der Spannung u(t) lautet U (f ) = 1V/Hz (vgl. Korrespondenztabelle auf Seite 284). ⇒  1 1kHz |U (f )|2 df = 2J WR = R −1kHz

3.3.4

Wichtige Funktionen, Korrespondenztabelle

Die Funktion f(t)=1 Gesucht wird die Spektralfunktion von f (t) = 1 .

282

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Die Funktion f (t) = 1 verletzt die Existenzbedingung aus Gleichung (3.49). Daher berechnet man zun¨ achst die Fourier-Transformierte der in Abbildung 3.14 skizzierten Funktion fa (t) = 1 · e−a|t|

mit a > 0

(3.59)

und bildet dann den Grenzwert a → 0.

F a (ω)

fa (t) = e -a|t|

a

a

1 a

0

0

0 t

ω

Abb. 3.14: Hilfsfunktion fa (t) mit entsprechender Fourier-Transformierten

 F a (ω) =

=

∞

e −∞

−a|t|

−jωt

·e





0

dt =

e

(a−jω)t

−∞

∞

dt +

e(−a−jω)t dt

0

2a 1 1 = 2 + a + ω2 a − jω a + jω

(3.60)

Es gilt 2a = a2 + ω 2



0 f¨ ur a → 0 und ω = 0 ∞ f¨ ur a → 0 und ω = 0

und 

∞

−∞

2a dω = 2π a2 + ω 2

(f¨ ur alle a ≥ 0) .

Aus den letzten beiden Gleichungen folgt 2a = 2πδ(ω) = a→0 a2 + ω 2 lim



0 f¨ ur ω = 0 . ∞ f¨ ur ω = 0

Die Funktion δ nennt man Diracfunktion. Sie hat die Eigenschaften  δ(x) =

0 f¨ ur x = 0 ∞ f¨ ur x = 0

(3.61)

3.3 Nichtperiodische Vorg¨ ange

283

und 

∞

δ(x)dx = 1 .

(3.62)

−∞

Die Transformierte der Funktion f (t) = 1 ist also 1 ◦—•

2πδ(ω) .

(3.63)

Die Sprungfunktion (Einschaltfunktion) Die Sprungfunktion ist definiert als ⎧ ⎪ ⎨0 = 1 + 2 ε(t) = 1 ⎪ ⎩1 = + 2

1 sign(t) f¨ ur t < 0 2 . 1 sign(t) f¨ ur t > 0 2

(3.64)

ε(t) kann aus den beiden Funktionen f1 (t) = 1/2 und f2 (t) = 1/2 · sign(t) zusammengesetzt werden, wobei f¨ ur sign(t) gilt:  sign(t) =

−1 f¨ ur t < 0 +1 f¨ ur t > 0

(3.65)

Die Fourier-Transformierte der sign-Funktion l¨ asst sich durch die Grenzwertbildung von a → 0 der Funktion fa (t) = e−a|t| · sign(t) herleiten. Sie lautet sign(t)

◦—•

2 . jω

(3.66)

Damit ergibt sich die Spektralfunktion der Einschaltfunktion ε(t) =

1 1 + sign(t) 2 2

◦—•

πδ(ω) +

1 . jω

(3.67)

Wichtige Korrespondenzen der Fourier-Transformation In Tabelle 3.2 sind einige wichtige Fourier-Transformierte aufgelistet. Bemerkung: Weitere Fourier-Transformierte findet man in guten Mathematik-Formelsammlungen (z.B. [5]).

284

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Bezeichnung

f (t)

F (ω) bzw. F (f )

Diracimpuls

δ(t)

1

Konstante 1

1

2πδ(ω)

sign(t)

2 jω

Vorzeichen-Funktion

 Rechteckimpuls

rect(t) =

Sprungfunktion

ε(t) =



si-Impuls

1 f¨ ur |t| < 1/2 0 sonst

1 f¨ ur t > 0 0 f¨ ur t < 0

si(πt) =

sin(πt) πt

e−πt

Gauß’scher Impuls

2

ε(t) · e−at

Einseitiger Exp.-Impuls

si(ω/2)

πδ(ω) +

rect

1 jω

ω = rect(f ) 2π

e−ω

2

/(4π)

1 a + jω

= e−πf

2

(a > 0)

ejω0 t

2πδ(ω − ω0 )

Cosinusfunktion

cos(ω0 t)

πδ(ω + ω0 ) + πδ(ω − ω0 )

Sinusfunktion

sin(ω0 t)

jπδ(ω + ω0 ) − jπδ(ω − ω0 )

Komplexe Exp.-Funktion

Dirac-Impulsfolge

∞ 

δ(t − nT )

n=−∞

∞ 1  δ(f − n/T ) T n=−∞

Tabelle 3.2: Wichtige Fourier-Transformierte

Beispiel 3.17 Zu berechnen ist das Einschaltverhalten eines RC-Tiefpasses (Einschalten einer Gleichspannung Ue zum Zeitpunkt t = 0) unter der Anfangsbedingung, dass der Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 auf Ue /2 aufgeladen ist. L¨osung: 1 ¨ (ω) = A (ω) = U a = U U 1 + jωRC Ue

Bei der Aufstellung der transformierten Eingangsspannung ist die Anfangsbedingung uC (t = 0) = Ue /2 zu ber¨ ucksichtigen. Dies geschieht am einfachsten dadurch, dass

3.4 Laplace-Transformation

285

man f¨ ur ue (t) setzt: ue (t) = Ue /2 f¨ ur t < 0 und ue (t) ur t >  0, also ue (t) = Ue /2 + Ue /2 · ε(t) ⇒

= Ue f¨ 1 1 = Ue /2 · 3πδ(ω) + U e (ω) = Ue /2 · 2πδ(ω) + Ue /2 πδ(ω) + jω jω 

1 3πδ(ω) + U a (ω) = U e (ω) · AU (ω) = Ue /2 jω · (1 + jωRC) 1 + jωRC Partialbruchzerlegung: 

−RC 1 3πδ(ω) + + U a (ω) = Ue /2 1 + jωRC ⎞ jω ⎛1 + jωRC

1 1 ⎟ ⎜ 3πδ(ω) − + = Ue /2 ⎝ ⎠ 1 jω 1 + jωRC + jω RC Mit Hilfe von Korrespondenztabellen erh¨alt man: 

1 2 3 sign(t) −t/(RC) − ε(t) · e = Ue /2 1 + ε(t) · (1 − e−t/(RC) ) + ua (t) = Ue /2 2 2

Bemerkung: Prinzipiell k¨onnte man f¨ ur t < 0 auch eine andere Zeitfunktion ue (t) w¨ ahlen, solange die Anfangsbedingung uC (t = 0) = Ue /2 erf¨ ullt ist. Dann ergibt sich nat¨ urlich auch ein anderer Ausdruck ua (t) f¨ ur t < 0. Bei der Laplace-Transformation dagegen wird die Anfangsbedingung direkt in die Rechnung f¨ ur t ≥ 0 mit einbezogen. Eine L¨osung f¨ ur t < 0 entf¨allt.

3.4

Laplace-Transformation

Die Fourier-Transformierte einer Funktion f (t) existiert, wenn die Existenzbedingung 

∞ −∞

|f (t)|dt < ∞

erf¨ ullt ist. Viele Funktionen, wie z.B. f (t) = t oder f (t) = 1, verletzen obige Voraussetzung. Als mathematischer Kunstgriff wurden in Abschnitt 3.3 solche Funktionen mit e−a|t| multipliziert und die Fourier-Transformierten der erweiterten Funktionen, die f¨ ur a > 0 existieren, berechnet. Bei der Laplace-Transformation wird der Faktor e−σt (hier σ statt a mit σ ∈ R) generell als multiplikative Gr¨oße eingef¨ uhrt. Des Weiteren setzt man bei der einseitigen LaplaceTransformation f (t) = 0

f¨ ur

t 0

ur t < 0 bleiben unber¨ ucksichtigt!) U 2 (p) = U 1 (p) (Die Werte von u2 (t) f¨  ∞ 3 4∞ 3A 3A · e(−1000/s−p)·t = 3A · e−1000·t/s e−pt dt = I (p) = 1000/s +p −1000/s − p 0 0 falls Re{p} = σ > −1000/s

3.4.2

Eigenschaften der Laplace-Transformation

Linearit¨ at Aus der Definitionsgleichung f¨ ur die Laplace-Transformation (3.70) ist unmittelbar ersichtlich:

L{k1 f1 (t) + k2 f2 (t)} = k1 F 1 (p) + k2 F 2 (p)

(3.73)

Beispiel 3.19 Die Spannung u(t) = 5V + 1V · sin(ωt) setzt sich aus einem DC-Anteil (5V) und einer Sinusschwingung zusammen. Gesucht ist die Laplace-Transformierte von u(t). L¨ osung: Es gelten die Korrespondenzen 1

◦—•

Mit dem Linearit¨atssatz ergibt sich ω 5V . + 1V 2 U (p) = p + ω2 p

1 und sin(ωt) p

◦—•

p2

ω . + ω2

288

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Verschiebung im Zeitbereich W¨ ahlt man an Stelle des Zeitmaßstabes t den um t0 > 0 verschobenen Zeitmaßstab t − t0 = τ , ergibt sich 

∞

L{f (t − t0 )} =

f (t − t0 ) · e−pt dt = e−pt0

0



∞ −t0

f (τ ) · e−pτ dτ .

Da bei der Laplace-Transformation f (t) = 0 f¨ ur t < 0 vorausgesetzt wird, gilt f¨ ur −t0 ≤ τ < 0 f (t − t0 ) = f (τ ) = 0 und die untere Integrationsgrenze kann von −t0 nach 0 verschoben werden.

L{f (t − t0 )} = e

−pt0



∞

f (τ ) · e−pτ dτ = e−pt0 L{f (t)}

(3.74)

0

Beispiel 3.20 Zu berechnen ist die Laplace-Transformierte der zeitverschobenen Einschaltfunktion ε(t − t0 ). L¨ osung: ◦—•

Aus der Korrespondenz ε(t)

ε(t − t0 )

◦—•

e−pt0 . p

1 und dem Verschiebungssatz folgt p

D¨ ampfungssatz Ersetzt man in der Transformierten F (p) die Gr¨ oße p durch p + a, ergibt sich aus Gleichung (3.70)



∞

F (p + a) =

f (t) · e−(p+a)t dt = L{f (t) · e−at } .

(3.75)

0

Beispiel 3.21 Gesucht ist die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion e−at . L¨osung: Aus dem Zusammenhang ε(t)

L{e−at } = L{e−at · ε(t)} =

◦—•

1 . p+a

1 und dem D¨ ampfungssatz folgt unmittelbar p

3.4 Laplace-Transformation

289

¨ Ahnlichkeitssatz F¨ ur die im zeitlichen Maßstab ge¨ anderte Funktion f (a · t) mit a > 0 ergibt sich 

∞

L{f (at)} =

f (at) · e−pt dt .

0

Mit der Substitution at = τ bzw. t = τ /a und dt = dτ /a erh¨alt man

1 L{f (at)} = a



∞

f (τ ) · e−p·τ /a dτ =

0

1 p . F a a

(3.76)

Interpretation: W¨ahlt man z.B. a = 0, 5 bedeutet dies eine zeitliche Streckung des Signals um den Faktor zwei. Das zugeh¨orige Spektrum hingegen wird im gleichen Verh¨ altnis gestaucht. Daraus resultiert die fundamentale Beziehung: Zeit-Bandbreite-Produkt = konstant. Differentiation im Zeitbereich Ist f (t) differenzierbar, ergibt sich durch partielle Integration

L

df (t) dt





∞

= 0

4∞  ∞ 3 df (t) −pt f (t) · (−p) · e−pt dt e dt = f (t) e−pt  0 − 0      dt    v

u

v

u

v

u

= pL{f (t)} − f (0) . Wendet man diese Regel wiederholt an, resultiert die wichtige Beziehung

L

dn f (t) dtn

 ˙ − .. − f (n−1) (0) . (3.77) = pn L{f (t)} − pn−1 f (0) − pn−2 f (0)

˙ ist die erste Ableitung nach der Zeit an der Stelle t = 0 gemeint, mit f (n−1) (0) Mit f (0) die (n − 1)-te Ableitung. Weist die Funktion f (t) bei t = 0 eine Sprungstelle auf, muss man sich f¨ ur den rechtsseitigen oder linksseitigen Grenzwert entscheiden. Bei Schaltvorg¨angen wird f¨ ur die Berechnung des zeitlichen Verlaufs einer gesuchten Gr¨oße generell der rechtsseitige Grenzwert f (0+) ben¨otigt. Anwendungsbeispiel 3.22 Der Differentiationssatz findet Anwendung bei der Analyse von Schaltungen mittels di(t) in ihre Laplace-Transformation. So kann z.B. die Elementgleichung uL (t) = L · dt Laplace-Tranformierte

U L (p) = L[p · I L (p) − iL (t = 0)]

gebracht und mit ihr gerechnet werden (mehr dazu sp¨ ater).

290

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Integration im Zeitbereich Es gilt



%

t

L

f (τ )dτ

=

0



1 L{f (t)} . p

(3.78)

t

f (τ )dτ wird partiell integriert:

Beweis: 0

 L

%

t

f (τ )dτ



∞



t

=

0

0

 =



0

f (τ )dτ e−pt  dt   v u

∞  ∞  1 −pt 1 −pt t f (t) dt e − f (τ )dτ e  −p −p 0 0 t=0          u v

v

u

Der erste Summand der rechten Seite der Gleichung verschwindet, da sich beim Einsetzen der oberen Grenze (t → ∞) f¨ ur einen gen¨ ugend großen Realteil von p der Wert null ergibt und auch die untere Grenze keinen Beitrag liefert. Damit ist der Integrationssatz (3.78) bewiesen. Faltungssatz Analog zur Fourier-Transformation kann auch bei der Laplace-Transformation die R¨ ucktransformierte des Produkts zweier Bildfunktionen aus dem Faltungsintegral

L−1 {F 1 (p) · F 2 (p)} = f1 (t) ∗ f2 (t) =



t

0 t

f1 (t − τ ) · f2 (τ )dτ

(3.79) f1 (τ ) · f2 (t − τ )dτ

= 0

berechnet werden. Zu beachten sind die ge¨anderten Integrationsgrenzen. Beweis: Mit f1 (t) ∗ f2 (t) = L−1 {F 1 (p) · F 2 (p)}

 ∞   σ+∞ 1 −pτ f2 (τ )e dτ ept dp F (p) · = 2πj σ−∞ 1 0    F 2 (p)

und Vertauschen beider Integrale folgt  σ+∞  ∞ 1 F (p)ep(t−τ ) dp dτ . f2 (τ ) · f1 (t) ∗ f2 (t) = 2πj σ−∞ 1 0    f1 (t−τ )

3.4 Laplace-Transformation

291

Grenzwerts¨ atze Aus dem Gesetz der Differentiation im Zeitbereich

L

df (t) dt





∞

= 0

df (t) −pt e dt = p · F (p) − f (0) dt

lassen sich der Anfangswertsatz

f (t = 0+) = lim p · F (p)

(3.80)

p→∞

und der Endwertsatz

f (t → ∞) = lim p · F (p)

(3.81)

p→0

 herleiten. Dazu wertet man das Integral

und p → 0 aus.

0

∞

df (t) −pt e dt f¨ ur die Grenzwerte p → ∞ dt

Voraussetzung f¨ ur den Anfangswertsatz ist, dass df (t)/dt transformierbar ist. ur alle Re{p} ≥ 0 eine analytische Als Bedingung f¨ ur den Endwertsatz gilt, dass F (p) f¨ Funktion ist.

3.4.3

Korrespondenztabelle

Tabelle 3.3 beinhaltet die wichtigsten Laplace-Transformierten. Bemerkung: Sehr ausf¨ uhrliche Tabellen dieser Art findet man in guten MathematikFormelsammlungen (z.B. [5]).

Beispiel 3.23 Gesucht ist der zeitliche Verlauf der Spannung u(t), wenn die Laplace-Transformierte 1 Vs hat. die Form U (p) = p · (10 + p)

L¨osung: Aus der Partialbruchzerlegung −0, 1 0, 1 1 + = 10 + p p p · (10 + p) und den Korrespondenzen f¨ ur 1/p und 1/(a + p) folgt: u(t) = 0, 1ε(t) − 0, 1e−10·t

292

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Voraussetzung f¨ ur Konvergenz der Laplace-Transformierten

f (t)

F (p)

δ(t)

1

---

ε(t)

1 p

Re{p} > 0

e−at

1 a+p

Re{p + a} > 0

1 − e−at

a p(a + p)

Re{p + a} > 0

1 tn−1 e−at (n − 1)!

1 (a + p)n

Re{p + a} > 0

tn

(n ≥ 0 ∈ N)

n!

pn+1

Re{p} > 0

cos(ωt)

p p2 + ω 2

Re{p} > 0

sin(ωt)

ω p2 + ω 2

Re{p} > 0

e−at cos(ωt)

p+a (p + a)2 + ω 2

Re{p + a} > 0

e−at sin(ωt)

ω (p + a)2 + ω 2

Re{p + a} > 0

Tabelle 3.3: Wichtige Laplace-Transformierte

3.4.4

Anwendung der Laplace-Transformation bei der Schaltungsanalyse

Die Laplace-Transformation eignet sich besonders gut f¨ ur die Berechnung von Einschaltvorg¨ angen. Voraussetzung ist Linearit¨at und Zeitinvarianz einer Schaltung (mehr zu diesen Begriffen unter Kapitel 4). Die Aufgabenstellung und die Vorgehensweise sind analog zu der Fourier-Transformation. Gegeben: • Eingangssignal(e) ue (t), ie (t) und • die Schaltung.

3.4 Laplace-Transformation

293

Gesucht: • Ausgangssignal(e) ua (t), ia (t). L¨ osung durch Laplace-Transformation der Differentialgleichung (DGL) Der L¨ osungsweg gliedert sich in folgende vier Abschnitte:

Kirchhoff-Gleichungen aufstellen:

m 

um (t) = 0;

k 

ik (t) = 0

n=1

n=1

Elemente: uR (t) = R · iR (t); uL (t) = L ·

duC (t) diL (t) ; iC (t) = C · dt dt

↓

Zwischengr¨oßen (Spannungen und Str¨ome) eliminieren ⇒ DGL n-ter Ordnung

↓

Laplace-Transformation der DGL ⇒ algebraische Gleichung Ber¨ ucksichtigung von Anfangsbedingungen im Bildbereich

↓

Algebraische Gleichung nach gesuchter Gr¨ oße aufl¨ osen und R¨ ucktransformation in den Zeitbereich

Bei der Transformation der DGL in den Bildbereich wird von der Rechenregel zur Differentiation im Zeitbereich“ Gebrauch gemacht. ” Die Transformation der in der DGL enthaltenen Eingangsgr¨ oßen (ue (t), ie (t)) in den Bildbereich geschieht entweder direkt, durch L¨ osen des Laplace-Integrals (3.70) oder mit Hilfe von Korrespondenz-Tabellen. L¨ osung im Bildbereich ohne Aufstellen der DGL Ein Aufstellen der DGL ist nicht erforderlich, wenn alle Elemente einer Schaltung sowie alle Quellen direkt in den Bildbereich transformiert werden. Es verbleiben dann nur noch drei Schritte zur L¨osung:

294

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Kirchhoff-Gleichungen und Elementgleichungen im Bildbereich aufstellen: k m   I k (p) = 0 U m (p) = 0; n=1

n=1

Elementgleichungen im Bildbereich vgl. Tabelle 3.4 auf Seite 294

↓

Zwischengr¨oßen (Spannungen und Str¨ome) eliminieren und Ber¨ ucksichtigung von Anfangsbedingungen im Bildbereich

↓

Algebraische Gleichung nach gesuchter Gr¨oße aufl¨osen und R¨ ucktransformation in den Zeitbereich

Die Elementgleichungen im Bildbereich ergeben sich aus dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation. F¨ ur einen Kondensator erh¨ alt man beispielsweise

iC (t) = C

duc (t) dt

◦—•

I C (p) = C · [p · U C (p) − uC (t = 0)] .

Tabelle 3.4 beinhaltet die Strom-Spannungsbeziehung aller Basisbauelemente im Zeitund Bildbereich.

Zeitbereich

uR (t) = R · iR (t)

Bildbereich

U R (p) = R · I R (p)

uL (t) = L ·

diL (t) dt

U L (p) = pL · I L (p) − L · iL (t = 0)

iC (t) = C ·

duC (t) dt

I C (p) = pC · U C (p) − C · uC (t = 0)

uq (t), iq (t)

U q (p), I q (p)

Tabelle 3.4: Elementgleichungen im Zeit- und Bildbereich

Hinweis: Bei der Analyse von Netzwerken im Bildbereich gelten neben den Kirch¨ hoff’schen Gesetzen, das Uberlagerungsprinzip sowie die S¨atze von Zweipol- und Zweitorersatzschaltungen.

3.4 Laplace-Transformation

295

Ersatzschaltungen im Bildbereich Wird die Bildfunktion einer Spule in I L (p) =

U L (p) iL (t = 0) + p pL

(3.82)

umgeformt, kann das in Abbildung 3.15a) skizzierte Ersatzschaltbild gewonnen werden. Der Gesamtstrom einer Spule im Bildbereich I L (p) setzt sich demnach aus zwei Teilen zusammen, aus dem Quotienten von Spannung und Blindwiderstand U L (p)/(pL) und aus einem Anteil iL (t = 0)/p, der aus der Anfangsbedingung, Strom durch die Spule zum Zeitpunkt t = 0, herr¨ uhrt.

Eine analoge Vorgehensweise f¨ uhrt zur Ersatzschaltung im Bildbereich eines Kondensators. Es gilt U C (p) =

I C (p) uC (t = 0) . + p pC

(3.83)

Gleichung (3.83) besagt, dass die Spannung eines Kondensators nicht nur vom Stromfluss sondern auch von der Anfangsspannung uC (t = 0) abh¨angt.

iL(t=0) p I L (p)

u C (t=0) p

U L(p)

I C (p) pC

I C (p)

U C (p)

U L(p) pL

a)

b)

Abb. 3.15: Ersatzschaltbilder im Bildbereich: a) Spule; b) Kondensator

Anfangsbedingungen Befinden sich in einer Schaltung energiespeichernde Elemente, m¨ ussen entsprechende Anfangsbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Generell werden die rechtsseitigen Grenzwerte f (t = 0+), df (t = 0+)/dt usw. ben¨otigt. Diese erh¨alt man aus der Stetigkeitsbedingung der Spannung an Kondensatoren und des Stromes durch Spulen.

296

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

R¨ ucktransformation in den Zeitbereich Ist f¨ ur eine Aufgabenstellung die L¨ osung im Bildbereich ermittelt, muss in vielen F¨allen in den Zeitbereich zur¨ ucktransformiert werden. Die leistungsf¨ ahigste und allgemeinste Methode der R¨ ucktransformation ist die Berechnung des komplexen Umkehrintegrals (3.71). Da hierf¨ ur einige Kenntnisse der Funktionentheorie erforderlich sind, verwendet man in der Praxis h¨aufig Tabellen, die sich sowohl von links nach rechts (Transformation in den Bildbereich L{f (t)}), als auch von rechts nach links (R¨ ucktransformation L−1 {F (p)}) lesen lassen. Beim Umgang mit Korrespondenz-Tabellen muss die Bildfunktion, die in vielen F¨allen in der Summenform (oder Polynomform) F (p) =

am pm + am−1 pm−1 + ... + a1 p + a0 bn pn + bn−1 pn−1 + ... + b1 p + b0

(3.84)

vorliegt, zun¨achst in die Produktform F (p) =

(p − p01 ) · (p − p02 ) · ... · (p − p0m ) Z (p) =C· (p − pp1 ) · (p − pp2 ) · ... · (p − ppn ) N (p)

(3.85)

mit m Nullstellen, n Polstellen und einer Konstanten C = am /bn und schließlich in die Partialbruchform F (p) =

Cn C2 C1 + ... + + p − ppn p − pp2 p − pp1

(3.86)

umgewandelt werden. Pol- und Nullstellen k¨ onnen einfach, wie in den Gleichungen (3.85) und (3.86) angedeutet, oder auch mehrfach auftreten. Bei echt gebrochen rationalen Funktionen (n > m) liegen n − m Nullstellen im Unendlichen. Diese entstehen durch den Gradunterschied von Nenner- und Z¨ ahlerpolynom. Die Gleichspannungs- bzw. Gleichstromverst¨ arkung entnimmt man am einfachsten aus der Summenform. Mit p = 0 folgt aus ihr F (p = 0) = a0 /b0 .

Pol- und Nullstellendiagramm Aus der Produktform der Gleichung (3.85) ergeben sich die Pol- und Nullstellen einer Bildfunktion. Das Pol- und Nullstellendiagramm (oder auch der Pol- und Nullstellenplan) veranschaulicht bildlich die Lage der Pol- und Nullstellen in der komplexen Frequenzebene p = σ + jω (vgl. Abbildungen 3.16–3.19). Die Lage der Pole gibt Aufschluss u ¨ber den zeitlichen Verlauf der Funktion. Allgemein gilt: • Pole in der linken Halbebene ergeben exponentiell abklingende Funktionen, Pole in der rechten Halbebene exponentiell ansteigende Funktionen. • Befindet sich ein Pol im Ursprung, resultiert ein Gleichanteil. • Konjugiert komplexe Pole f¨ uhren zu Schwingungen.

3.4 Laplace-Transformation jω

297

1

σ

-a p

t

1/a p

Abb. 3.16: Bildfunktion:

jω

1/a p

1/a p σ

0

-a p

1 ; Impulsantwort: e−ap t p + ap

t

Abb. 3.17: Bildfunktion:

jω

1 1 · (1 − e−ap t ) ; Impulsantwort: ap p · (p + ap )

1/ωp

jωp σ

T

-jωp

t

T= 2π/ωp Abb. 3.18:

1 (p − jωp ) · (p + jωp )

jω

-a p

1 sin(ωp t) ωp

•—◦

1/ωp

ωp σ

T

τ

T=2π/ωp

Abb. 3.19:

1 (p + ap − jωp ) · (p + ap + jωp )

t

τ=1/a p

•—◦

e−ap t sin(ωp t) ωp

298

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Beispiel 3.24 Zu berechnen ist die Kondensatorspannung eines RC-Tiefpasses uC (t) (Abbildung 3.20) mit Hilfe der Laplace-Transformation, einmal durch Aufstellen der zugeh¨origen DGL und zum anderen durch direktes Aufstellen der Bildfunktion. Am Eingang wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung ue (t) = U · ε(t) zugeschaltet. Der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC (t) ist anhand der Lage der Polstellen zu beurteilen.

R

u e (t) U

u e (t) U e (p)

C

u C (t) U C (p)

t Abb. 3.20: Tiefpass bei sprungf¨ ormiger Anregung

L¨osung: 1) DGL aufstellen: ue (t) = uR (t) + uC (t) (1); uR (t) = R · i(t) (2); i(t) = C ·

duC (t) (3) dt

Gleichung (3) in (2) und (2)’ in (1) einsetzen liefert: duC (t) + uC (t) (4) ue (t) = R · C · dt Gleichung (4) transformieren: U U = R · C · [pU C (p) − uC (t = 0)] + U C (p) ⇒ U C (p) =    p(1 + pRC) p =0

R¨ ucktransformation mit Hilfe von Korrespondenztabellen ergibt: uC (t) = U · (1 − e−t/(RC) ) 2) Direktes Aufstellen der Bildfunktion: U e (p) = U/p = U R (p) + U C (p) (5); U R (p) = R · I (p) (6); I (p) = pC · U C (p) − C · uC (t = 0) (7) Gleichung (7) in (6) und (6)’ in (5) einsetzen liefert: U/p = R · pC · U C (p) − R · C · uC (t = 0) + U C (p) (8) Weiterer Rechengang wie oben.

Die Pole liegen bei pp1 = 0 und pp2 = −1/(RC). Es ergibt sich ein Gleichanteil und ein exponentiell abklingender Verlauf.

3.4.5

Schaltungsanalyse mittels Faltung

Bei der Schaltungsanalyse mittels Laplace-Transformation wird, wie nachfolgende Graphik zeigt, in drei Schritten vorgegangen:

3.4 Laplace-Transformation

299

• Die Eingangsgr¨ oße fe (t) wird transformiert.

¨ • Die Bildfunktion des Ausgangssignals F a (p) wird aus dem Produkt von Uber¨ oße F e (p) betragungsfunktion U (p) und Laplace-Transformierter der Eingangsgr¨ rechnet.

ucktransformation • Der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals fa (t) wird durch R¨ ermittelt.

→

fe (t)

→

fa (t) = u ¨(t) ∗ fe (t)

Transformation ⇓

⇑ R¨ ucktransformation

⇒

F e (p)

fa (t)

¨ (p) · F e (p) F a (p) = U

⇒

F a (p)

Ist die Impulsantwort h(t) einer linearen, zeitinvarianten Schaltung (bzw. eines Systems) bekannt, kann die L¨ osung mit Hilfe des Faltungssatzes auch direkt ermittelt werden. Unter der Impulsantwort eines Systems h(t) versteht man das Ausgangssignal fa (t) bei eingangsseitiger Anregung mittels Diracstoß fe (t) = δ(t). Durch die besondere Eigenschaft der Laplace-Transformierten der Diracfunktion, δ(t) ◦—• 1, entspricht die ¨ Impulsantwort h(t) der Zeitfunktion der Ubertragungsfunktion u ¨(t). h(t) = fa (t)|fe (t)=δ(t)

◦—•

¨ (p) · L{δ(t)} U   

•—◦

u ¨(t)

1

ur t < 0 gefordert. Nur unter dieser Bei der Laplace-Transformation wird fe (t) = 0 f¨ Voraussetzung kann der Faltungssatz der Laplacetransformation (3.79) 



t

fe (t) ∗ u ¨(t) = u ¨(t) ∗ fe (t) =

t

fe (τ ) · u ¨(t − τ )dτ = τ =0

fe (t − τ ) · u ¨(τ )dτ τ =0

angewendet werden. Ist obige Voraussetzung nicht erf¨ ullt, muss mit dem Faltungssatz der Fourier-Transformation (3.56) gerechnet werden. Beispiel RC-Tiefpass An einem RC-Tiefpass (Abbildung 3.21) wird einmalig die Rechteckimpulsspannung  ue (t) =

U f¨ ur 0 < t < T0 0 sonst

angelegt. Die Kondensatorspannung ua (t) soll mit Hilfe der Faltung berechnet werden.

300

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

R

u e (t)

C

u a (t)

ü(t) Abb. 3.21: Einfacher RC-Tiefpass

Zun¨achst muss die Impulsantwort des RC-Tiefpasses ermittelt werden. Das geschieht ¨ hier am einfachsten durch R¨ ucktransformation der bekannten Ubertragungsfunktion 1/(1 + pRC) des Tiefpasses. %  1 1 −1 · e−t/(RC) = u ¨(t) = h(t) = L RC 1 + pRC

Bei sehr komplexen Schaltungen oder unbekanntem Schaltungsaufbau ist eine Ermittlung der Impulsantwort auch experimentell m¨oglich. Vorgehensweise bei der graphischen Auswertung des Faltungsintegrals ¨(t) durch die Integrationsvariable τ ersetzt. • Die Zeitvariable t wird bei ue (t) und u ¨(τ ) wird um die Ordinate gefaltet. • Eine der beiden Funktionen ue (τ ) oder u Im Fall von ue (τ ) erh¨alt man die gespiegelte Funktion ue (−τ ). • Verschiebung der gefalteten Funktion ue (−τ ) um t (t = t0 , t1 , t2 , ... vgl. Abbildung 3.22) nach rechts ⇒ ue (t − τ ). • Multiplikation von u ¨(τ ) mit ue (t − τ ). • Integration des Produkts u ¨(τ ) · ue (t − τ ) u ¨ber die Integrationsvariable τ von 0 bis zur Integrationsgrenze t (in Abbildung 3.22 sind 3 F¨alle skizziert t = t0 , t = t1 und t = t2 ). Die Integration liefert ua (t), was dem schraffierten Fl¨acheninhalt entspricht. Rechnerische Auswertung Die Berechnung des Faltungsintegrals liefert das Ergebnis ⎧ t U ⎪ ⎪ · e−τ /(RC) dτ = U (1 − e−t/(RC) ) f¨ ur t < T0 ⎨ RC τ =0 . ua (t) =  t U ⎪ ⎪ ur t > T0 · e−τ /(RC) dτ = U e−t/(RC) (eT0 /(RC) − 1) f¨ ⎩ τ =t−T0 RC

3.5 Differentialgleichungen

301 ü(τ)

u e (τ)

a)

1/RC

U

τ

τ

u e(-τ +t 1 )

u e(-τ)

U

b)

u e (-τ +t 2 )

U

U

t1

τ

ü(τ) .u e (-τ +t0 )

U/RC

t2

τ

τ

ü(τ) .u e(-τ +t 2 )

ü(τ) .u e(-τ +t 1 )

c) t0

t1

τ

t2

τ

τ

u a (t)

d)

t0 t 1

t2

t

Abb. 3.22: Graphische Darstellung der Faltung

3.5

Differentialgleichungen

Dieses Unterkapitel beschreibt die Berechnung des zeitlichen Verlaufes von einem station¨ aren Anfangzustand in einen station¨ aren Endzustand (also das dynamische Verhalten) einer Schaltung durch L¨ osen der zugeh¨origen DGL. Bei dieser klassischen Berechnungsmethode beschr¨ ankt sich der Autor auf die L¨ osung von gew¨ ohnlichen, linearen Differentialgleichungen der Ordnung eins und zwei, da f¨ ur diese der Rechenaufwand noch manuell bew¨ altigt werden kann. Die Ordnung einer DGL ist durch die h¨ ochste vorkommende Ableitung bestimmt.

302

3.5.1

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Gew¨ohnliche lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Schaltungsbeispiel Die Differentialgleichung einer Schaltung hat die Ordnung eins, wenn nur ein Speicherelement (L oder C) enthalten ist. Als Beispiel dient der in Abbildung 3.23 skizzierte einfache RC-Tiefpass.

u R(t)

i(t)

R

u q (t)

C

u C (t)

Abb. 3.23: Einfacher RC-Tiefpass

Aus der Maschengleichung uq (t) = uR (t) + uC (t) = R · i(t) + uC (t) und der Bauelementgleichung i(t) = C ·

duC (t) = C · u˙C (t) dt

folgt die Normalform der DGL u˙C (t) +

1 1 · uq (t) . · uC (t) = RC RC

(3.87)

Die Gr¨oße RC bezeichnet man als Zeitkonstante eines RC-Tiefpasses erster Ordnung. Die DGL hat konstante Koeffizienten, da R und C nicht von der Zeit t abh¨ angen. L¨ osung von Differentialgleichungen 1. Ordnung Die allgemeine Darstellung von DGLen 1. Ordnung lautet

y(t) ˙ + q(t) · y(t) = r(t)

bzw.

y  (x) + q(x) · y(x) = r(x) .

(3.88)

Die rechte Seite der DGL, r(t), wird St¨ orfunktion genannt, weil sie den Einfluss der ¨außeren Quellen, die das Netzwerk erregen, beschreibt. Die L¨osung der DGL

y(t) = yh (t) + ys (t)

besteht aus zwei Anteilen,

(3.89)

3.5 Differentialgleichungen

303

• der L¨ osung yh (t) der zugeh¨ origen homogenen DGL y˙h (t) + q(t) · yh (t) = 0 • und der speziellen L¨ osung ys (t) der inhomogenen DGL y˙s (t) + q(t) · ys (t) = r(t) . L¨ osung yh (t) der homogenen DGL Die homogene DGL dyh (t) + q(t) · yh (t) = 0 dt

(3.90)

wird umgeformt in 1 dyh (t) = −q(t)dt yh (t)

und beidseitig integriert 

t

C˜ 

−q(τ )dτ +

ln yh (t) = ...

Integrationskonstante

und es folgt





t

yh (t) = C · exp

−q(τ )dτ

= C · Q(t)

(3.91)

...

mit der abk¨ urzenden Schreibweise





t

−q(τ )dτ

Q(t) = exp

.

(3.92)

... ˜

Die Integrationskonstante C = eC ist zun¨achst noch unbestimmt. Sie und die untere Integrationsgrenze werden sp¨ater aus einer Anfangsbedingung festgelegt. Auffinden der speziellen L¨osung ys (t) Die Kenntnis von der L¨osung der homogenen DGL yh (t) erleichtert das Auffinden der speziellen L¨ osung ys (t). H¨ aufig f¨ uhrt die Methode der Variation der Konstanten“ zum Ziel, bei der die In” tegrationskonstanten C durch eine zeitabh¨ angige Funktion C(t) ersetzt wird. Daraus folgt





t

ys (t) = C(t) · exp

−q(τ )dτ ...

= C(t) · Q(t)

(3.93)

304

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

bzw. ˙ ˙ y˙s (t) = C(t) · Q(t) + C(t) · Q(t) . Setzt man nun den Ansatz f¨ ur die spezielle L¨osung in die inhomogene DGL 1. Ordnung (3.88) ein, ergibt sich y˙s (t) + q(t) · ys (t) = r(t) ˙ ˙ C(t) · Q(t) + C(t) · Q(t) + q(t) · C(t) · Q(t) = r(t)    =0

(homogene DGL)

˙ C(t) · Q(t) = r(t) . Damit ist C(t) bestimmt: 

t

C(t) = ...

r(τ ) dτ Q(τ )

(3.94)

Die allgemeine L¨osung der DGL 1. Ordnung lautet zusammengefasst y(t) = C · Q(t) + C(t) · Q(t) .      

(3.95)

ys (t)

yh (t)

Die einzige Unbekannte ist die Integrationskonstante C, die aus einer Anfangsbedingung ermittelt wird. Dabei ist es zweckm¨ aßig f¨ ur die beliebige untere Integrationsgrenze ... dt alt man den Zeitpunkt tA bei der Anfangsbedingung y(t = tA ) = yA zu setzen. Dann erh¨ aus Gleichung (3.95):

 y(t = tA ) = C · exp 



tA tA



tA

−q(τ )dτ + t   A 

r(τ ) dτ · exp Q(τ )   



tA

−q(τ )dτ   1

0

1



tA

yA = C

(3.96)

L¨ osung der DGL 1. Ordnung Die endg¨ ultige L¨osung der DGL 1. Ordnung lautet





t

−q(τ )dτ

y(t) = exp

⎛ · ⎝yA +

tA



⎞ t

tA

exp



r(τ )

τ tA

−q(η)dη

 dτ ⎠ .

(3.97)

Bei einer DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist q(t) konstant, also q(t) = q. Damit vereinfacht sich Gleichung (3.97) zu

 y(t) = e−q(t−tA ) · yA +

t tA

r(τ ) · eq(τ −tA ) dτ



3.5 Differentialgleichungen

305

und man erh¨ alt

y(t) = yA · e−q(t−tA ) +



t

r(τ ) · eq(τ −t) dτ

L¨os. bei konst. Koeff. . (3.98)

tA

Beispiel 3.25 Zu berechnen ist die Kondensatorspannung uC (t) der Schaltung in Abbildung 3.23 (R = 1kΩ, C = 1μF) durch L¨osen der Differentialgleichung 1. Ordnung f¨ ur die Quellspannungen a) uq (t) = 2V · ε(t) und  2V · cos(103 s−1 · t) f¨ ur t < 0 b) uq (t) = . 0V f¨ ur t ≥ 0 L¨ osung:

1 1 · 2V. · uC (t) = RC RC F¨ ur die Anfangsbedingung gilt: yA = uC (t = 0) = 0V.

a) Die DGL lautet f¨ ur t > 0: u˙C (t) +

1 · 2V: L¨ osung der DGL f¨ ur t > 0 mittels Gl. (3.98) und r(τ ) = RC  t

1 1 1

t = 2V · (1 − e−t/(RC) ) · 2V · e RC ·(τ −t) dτ = 2V · e RC ·(τ −t) uC (t) = τ =0 0 RC uC (t) = 2V · (1 − e−t/ms )

1 · uC (t) = 0. b) F¨ ur t > 0 gilt die homogene DGL u˙C (t) + RC Die Anfangbedingung wird mittels komplexer Rechnung ermittelt: ◦ 1 1 1 UC = √ · e−j45 ⇒ = = 1+j 1 + jωRC Uq 2 2 ur t < 0 ⇒ yA = uC (t = 0) = 1V uC (t) = √ V · cos(103 s−1 · t − 45◦ ) f¨ 2 L¨ osung der DGL f¨ ur t > 0 mittels Gl. (3.98) und r(τ ) = 0: uC (t) = 1V · e−t/(RC) = 1V · e−t/ms

3.5.2

Gew¨ohnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung

Schaltungsbeispiel Die Differentialgleichung einer Schaltung hat die Ordnung zwei, wenn zwei unabh¨angige Speicherelemente enthalten sind. Ein Beispiel hierf¨ ur ist der Serienschwingkreis in Abbildung 3.24.

306

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

i(t) u q (t)

u R(t)

u L (t)

R

L

C

u C (t)

Abb. 3.24: Serienschwingkreis

Aus der Maschengleichung ˙ + uC (t) uq (t) = uR (t) + uL (t) + uC (t) = R · i(t) + L · i(t) und der Bauelementgleichung i(t) = C · u˙C (t)

bzw.

˙ = C · u¨C (t) i(t)

folgt uq (t) = R · C · u˙C (t) + L · C · u¨C (t) + uC (t) . Nach Umstellen ergibt sich die Normalform der DGL 2. Ordnung u¨C (t) +

1 1 R · uq (t) . · uC (t) = · u˙C (t) + LC LC L

(3.99)

Die DGL (3.99) hat konstante Koeffizienten da R, L und C nicht von der Zeit t abh¨angen. L¨ osung von Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die allgemeine Darstellung von gew¨ ohnlichen linearen DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten lautet

y¨(t) + p · y(t) ˙ + q · y(t) = r(t) bzw. . y  (x) + p · y  (x) + q · y(x) = r(x)

(3.100)

Wie bei der DGL 1. Ordnung beschreibt die rechte Seite der DGL 2. Ordnung, r(t), den Einfluss ¨außerer Quellen. Die L¨ osung einer DGL 2. Ordnung erfolgt wie bei DGLen 1. Ordnung in zwei Schritten, durch

3.5 Differentialgleichungen

307

• L¨ osen der zugeh¨ origen homogenen DGL y¨h (t) + p · y˙h (t) + q · yh (t) = 0 • und Auffinden der speziellen L¨ osung y¨s (t) + p · y˙s (t) + q · ys (t) = r(t) . Die gesuchte vollst¨ andige L¨ osung ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung der Anfangswerte aus der Summe von yh (t) und ys (t)

y(t) = yh (t) + ys (t) .

(3.101)

L¨ osung yh (t) der homogenen DGL Die L¨ osung einer linearen, homogenen DGL mit konstanten Koeffizienten der Ordnung zwei und h¨ oher kann im Gegensatz zur DGL erster Ordnung nicht direkt durch Umformen berechnet werden. Man ist gezwungen verschiedene L¨osungsans¨atze auszuprobieren. Der Ansatz yh (t) = C · eλt

(3.102)

hat sich als brauchbar erwiesen. Er wird in die homogene DGL y¨h (t) + p · y˙h (t) + q · yh (t) = 0 eingesetzt und man erh¨alt die charakteristische Gleichung λ2 + pλ + q = 0 ,

(3.103)

die alle Informationen u ¨ber das dynamische Verhalten der Schaltung enth¨alt. Die L¨osung dieser Gleichung liefert die beiden Eigenwerte λ1,2

p =− ± 2



p2 −q . 4

(3.104)

Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante D=

p2 −q 4

genannt. Man unterscheidet drei F¨alle:

(3.105)

308

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

• D > 0 (aperiodischer Fall): Die Eigenwerte λ1,2 sind reell√und beide < 0. √ Die Werte sind λ1 = −p/2 + D und λ2 = −p/2 − D. ⇒

yh (t) = C1 · eλ1 t + C2 · eλ2 t

(3.106)

• D = 0 (aperiodischer Grenzfall): Die Eigenwerte sind reell und es gilt λ1 = λ2 = −p/2 = λ. ⇒ yh (t) = C1 · eλt + C2 · t · eλt

(ohne Beweis)

(3.107)

• D < 0 (periodischer Fall): Die Eigenwerte√λ1,2 bilden ein konjugiert komplexes√Paar λ1 = −p/2 + j −D = −α + jω und λ2 = −p/2 − j −D = −α − jω. ⇒

yh (t) = C˜1 · eλ1 t + C˜2 · eλ2 t = e−αt · [C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt)] (3.108) Auffinden der speziellen L¨ osung ys (t) Um die spezielle L¨ osung einer inhomogenen DGL 2.Ordnung zu finden, verwendet man wieder die Methode Variation der Konstanten“. Analog zum Vorgehen bei DGLen 1. ” Ordnung gehen die Konstanten C1 und C2 u ¨ber in C1 (t) und C2 (t). Die Konstanten C1 und C2 der homogenen L¨ osung werden aus zwei Anfangsbedingungen ermittelt. An dieser Stelle wird auf weitere Ausf¨ uhrungen, verbunden mit langen Zwischenrechnungen, verzichtet und nur die endg¨ ultige L¨ osung pr¨ asentiert. L¨ osung der DGL 2. Ordnung Die endg¨ ultige L¨ osung der DGL 2. Ordnung lautet f¨ ur den Spezialfall tA = 0 und den Anfangsbedingungen y(t = 0) = yA sowie y(t ˙ = 0) = y˙A : • D = 0:



 t r(τ ) 1 dτ y˙A − λ2 yA + y(t) = e λ1 τ λ1 − λ2

0 e  t r(τ ) 1 dτ y˙A − λ1 yA + +eλ2 t λ2 τ λ2 − λ1 0 e λ1 t

(3.109)

• D = 0:

 y(t) = eλt yA + (y˙A − λyA )t + t

t 0

r(τ ) dτ − eλτ



t

τ 0

r(τ ) dτ eλτ



(3.110)

3.6 Transienten-Analyse (TRAN-Analyse)

3.6

309

Transienten-Analyse (TRAN-Analyse)

Zur rechnergest¨ utzten Untersuchung der Zeitabh¨angigkeit elektrischer Vorg¨ange eignet sich die Transienten-Analyse. Im Gegensatz zur DC- und AC-Analyse unterliegt die TRAN-Analyse keiner Einschr¨ ankung bez¨ uglich der Zeitfunktion von Spannungsund Stromquellen. Die Simulation periodischer Vorg¨ange ist ebenso m¨oglich wie nichtperiodischer Ereignisse. Das Ergebnis der TRAN-Analyse ist der zeitliche Verlauf der Knotenspannungen u10 (t), u20 (t), ..., u(k−1)0 (t) der k − 1 unabh¨angigen Knoten eines Netzwerkes, woraus sich alle anderen Gr¨ oßen, wie Zweigspannungen und Zweigstr¨ome, ergeben.

3.6.1

Funktionsweise

Bei der TRAN-Analyse wird das dynamische Verhalten einer Schaltung numerisch berechnet. Zun¨ achst werden mittels einer DC-Analyse alle Knotenspannungen zum Zeitpunkt t = 0 bestimmt, die sich aus den Anfangswerten der Quellenspannungen und Quellenstr¨ome ergeben. In manchen F¨ allen m¨ochte man bestimmte Anfangsbedingungen manuell vorgeben, wie z.B. den Anfangsspannungszustand eines Kondensators uC (t = 0). Dies ist bei allen Schaltungssimulatoren durch eine entsprechende Angabe der initial conditions“ (engl.: Anfangsbedingungen) bei Energiespeicherelementen ” m¨ oglich. Sind alle Knotenspannungen zum Zeitpunkt t = t0 = 0 berechnet oder manuell vorgegeben, startet der transiente Berechnungsalgorithmus. Zun¨achst wird in der Zeit um Δt vorangeschritten und die eingepr¨ agten Spannungen und Str¨ome der Quellen zum neuen Zeitpunkt t1 = t0 +Δt bestimmt. Aus diesen aktuellen Daten und den Vorg¨angerwerten der Knotenspannungen (im ersten Schritt den Werten zum Zeitpunkt t = t0 = 0 aus der DC-Analyse) werden alle Knotenspannungen neu berechnet. Dieser Vorgang wiederholt sich so lange, bis der angegebene Endzeitpunkt erreicht ist. Um eine TRAN-Analyse durchf¨ uhren zu k¨ onnen, sind also folgende Punkte abzuarbeiten: • Eingabe des Schaltplans und des Bezugsknotens. • Definion der Quellen: F¨ ur eine TRAN-Analyse kommen generell beliebige Quellen in Frage. H¨ aufige Verwendung finden neben Gleich- und Wechselspannungsquellen (bzw. Stromquellen) so genannte PWL-Quellen (engl.: piece wise linear), bei denen beliebige Geradenz¨ uge definiert werden k¨onnen. Man unterscheidet zwischen der Spannungsquelle VPWL“ und der Stromquelle IPWL“. Daneben gibt es noch ” ” eine Reihe anderer Quellen (z.B. VPULSE“ und IPULSE“). ” ” • Festlegen eines Zeitschrittes Δt (time step) sowie Eingaben des Endzeitpunktes (final time).

Alle modernen Schaltungssimulatoren haben eine automatische Zeitschrittsteuerung. ¨ Andern sich die Str¨ome und Spannungen in bestimmten Bereichen stark, verringern sich die Zeitabst¨ande Δt, um eine ausreichende Simulationsgenauigkeit zu erzielen; bei

310

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

¨ geringen Anderungen werden gr¨ oßere Abst¨ande gew¨ahlt, um Rechenzeit zu sparen. Die Eingriffsm¨ oglichkeiten in diesen Automatismus unterscheiden sich von Simulatorhersteller zu Simulatorhersteller. Meist kann man einen gr¨oßtm¨oglichen Zeitabstand f¨ ur Δt vorgeben und so eine bestimmte Genauigkeit erzwingen.

3.6.2

Berechnungsalgorithmus

Im Folgenden wird ein einfacher, verst¨ andlicher Berechnungsalgorithmus f¨ ur eine Transienten-Analyse vorgestellt. Er basiert auf der KPA aus Kapitel 1 und wird an Hand eines einfachen Beispiels, der Aufladung eines Kondensators u ¨ber einen Widerstand (Abbildung 3.26), vorgef¨ uhrt. Es sei darauf hingewiesen, dass in kommerziellen Schaltungssimulatoren komplexere, numerische Verfahren verwendet werden, die auf Simulationszeit, Stabilit¨ at und Genauigkeit optimiert sind. Das Prinzip jedoch ist das gleiche. Durch die Quantisierung der Zeit werden aus Differentialgleichungen Differenzengleichungen. Aus der allgemeing¨ ultigen Strom-Spannungsbeziehung einer Spule uL (t) = L

diL (t) dt

wird die Differenzengleichung uL (t) = L

iL (t) − iL (t − Δt) Δt

und durch Umformung in iL (t) =

Δt · uL (t) + iL (t − Δt) L

(3.111)

das in Abbildung 3.25 dargestellt Ersatzschaltbild. Der Strom einer Spule iL (t) zum Zeitpunkt t setzt sich demnach aus dem Vorg¨angerwert iL (t − Δt) und einem Anteil Δt · uL (t) zusammen. Gleichung (3.111) kann in die Struktur einer KPA eingebaut L werden.

Auf a ¨hnliche Weise findet man die Ersatzschaltung des Kondensators. Es gilt iC (t) = C

uC (t) − uC (t − Δt) Δt

bzw. iC (t) =

C C · uC (t − Δt) . · uC (t) − Δt Δt

(3.112)

Das Gleichungssystem einer TRAN-Analyse soll nun exemplarisch f¨ ur das in Abbildung 3.26 skizzierte Beispiel aufgestellt werden.

3.6 Transienten-Analyse (TRAN-Analyse) C u (t-Δt) Δt C

iL (t-Δt)

i L(t)

311

iC (t)

u L (t)

Y Ln =

Δt L

u C (t)

Y Cn =

a)

C Δt

b)

Abb. 3.25: Ersatzschaltbilder von Spule und Kondensator bei der TRAN-Analyse

Ohne Ber¨ ucksichtigung der Spannungsquelle uq (t) ergibt sich     G −G u10 (t) 0 · = . −G G + C/Δt u20 (t) (C/Δt) · u20 (t − Δt) Beim Einbau der Quellenspannung uq (t) in das Gleichungssystem wird Zeile 1 auf Zeile 0“ addiert und die Spannungsgleichung u10 (t) − 0 = uq (t) in Zeile 1 ber¨ ucksichtigt. Es ” folgt das rekursive Gleichungssystem     1 0 u (t) uq (t) · 10 = , u20 (t) (C/Δt) · u20 (t − Δt) −G G + C/Δt utzstellen nicht nur dessen Knotenspannungen u10 (t) und u20 (t) an den Berechnungsst¨ von den Bauelementewerten, sondern auch vom jeweiligen Zeitschritt Δt und vom utzstelle Vorg¨angerwert u20 (t − Δt) abh¨angen. Da das Gleichungssystem bei jeder St¨ neu gel¨ost werden muss, h¨angt die Simulationsdauer stark vom Endzeitpunkt und den Schrittweiten ab. Abbildung 3.26 zeigt das Ergebnis zweier TRAN-Analysen bei unterschiedlicher Wahl der Zeitschritte Δt im Vergleich zur exakten, analytischen L¨osung uC (t) = 1V · (1 − e−t/(RC) ) = 1V · (1 − e−t/s ) bei den Werten R = 1Ω, C = 1F und uq (t) = 1V · ε(t). Deutlich ist zu erkennen, dass eine kleinere Schrittweite zu genaueren Ergebnissen f¨ uhrt. Dies gilt besonders dann, wenn sich Spannungen und Str¨ome stark a¨ndern. Allerdings wird dieser Genauigkeitsgewinn mit einem erh¨ohten Rechenaufwand erkauft. In der Praxis ist man daher bem¨ uht einen m¨oglichst guten Kompromiss zu finden. Aus diesem Grund werden variable Zeitschritte Δt verwendet.

312

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

u/V

1

R

u q (t)

0

1

2 C

u q (t)

u C (t)

0,5

u C (t)

0 0

0,5

1

1,5

2

t/s

Abb. 3.26: Berechnung der Kondensatorspannung uC (t) mit R = 1Ω, C = 1F und osung uC (t) = 1V · (1 − e−t/s ); ( ) numeriuq (t) = 1V · ε(t): (—) exakte, analytische L¨ sche Berechnung mit ¨ aquidistanten Zeitschritten Δt = 0, 1s; ( ◦ ) numerische Berechnung mit aquidistanten Zeitschritten Δt = 0, 5s ¨

¨ 3.7 Ubungsaufgaben

313

¨ Ubungsaufgaben

3.7

Aufgabe 3.1 Welche Periodendauer T besitzen die folgenden Zeitfunktionen? a) ua (t) = 5V · sin(2π · 81s−1 · t) + 7V · cos(2π · 108s−1 · t) b) ub (t) = 1V · sin(100, 53s−1 · t) − 6V · cos(106, 81s−1 · t + 117, 8◦ ) c)

ic (t) = 3mA · cos(2π · 150s−1 · t + 30◦ ) + 7mA · sin(2π · 250s−1 · t − 90◦ )+ 9mA · cos(2199, 11s−1 · t + 88◦ ) − 5mA · sin(2827, 43s−1 · t − 63, 8◦ )

d)

ud (t) = 10V · sin(2π · 18s−1 · t) + 20V · cos(2π · 24s−1 · t − 183◦ )+ 5V · sin(2π · 60s−1 · t + 90◦ )

Aufgabe 3.2 Zerlegen Sie folgende Funktionen in deren gerade und ungerade Anteile: a) f1 (x) = 2 + x −

x3 x2 + x4 + 2 4

b) f2 (x) = 1 − cos(2x) c) f3 (x) = sin(x) · cos(x) d) f4 (x) = (x +



x2 − 1)2 + (x −



x2 − 1)2

e)–h) Siehe Abbildung 3.27

Aufgabe 3.3 Berechnen Sie die reellen Fourier-Koeffizienten a0 , an , bn sowie B0 und Bn der 2πperiodischen Spannungen. ur x1 ≤ x ≤ x2 ; a) ua (x) = 1V f¨ es gilt: 0 < x1 < x2 < 2π.

ua (x) = 0V

sonst;

b) ub (x) = 1V f¨ ur x1 = 0 ≤ x ≤ x2 = e · 2π; ub (x) = 0V Bemerkung: 0 < e < 1 beschreibt die Einschaltdauer. c) uc (x) = 1V f¨ ur

x1 = −e · π ≤ x ≤ x2 = +e · π;

sonst;

uc (x) = 0V

sonst.

314

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

f) f 6 (t)

e) f 5 (t)

t

T

0

0

T

t

h) f 8 (t)

g) f7 (t)

0

t

t

T

0

T

Abb. 3.27: Zeitliche Verl¨ aufe periodischer Funktionen

i(t) 5A -1/3

-1/6

2/3 1/6

1/3

1/2

5/6 1

t/T

-5A

Abb. 3.28: Zeitlicher Stromverlauf

Aufgabe 3.4 Zu berechnen ist die Fourier-Reihe des trapezf¨ormigen Stromverlaufes i(t) in Abbildung 3.28. a) Berechnen Sie die Koeffizienten a0 , an , bn der reellen Fourier-Reihe. b) Ermitteln Sie daraus die Koeffizienten Bn und ϕn . c) Berechnen Sie mit den Ergebnissen aus a) die komplexen Fourier-Koeffizienten c0 und cn .

d) Berechnen Sie nun die komplexen Fourier-Koeffizienten in Betrags- und Phasenwinkeldarstellung |cn | bzw. Φn .

¨ 3.7 Ubungsaufgaben

315

Aufgabe 3.5 Zu berechnen sind die Koeffizienten der komplexen Fourier-Reihe einer exponentiell ˆ · e−αt nach Abbildung 3.29 mit α = 2/T . verlaufenden Spannung u(t) = U

u(t) U

T

t

Abb. 3.29: Zeitlicher periodischer Spannungsverlauf

a) Berechnen Sie die Koeffizienten cn und den Gleichspannungsanteil c0 .

b) Berechnen Sie die Amplitude B1 und die Phasenverschiebung ϕ1 der Grundschwingung. Aufgabe 3.6 Gegeben sind zwei periodische, dreieckf¨ormige Spannungsverl¨aufe u1 (x) und u2 (x) gem¨ aß Abbildung 3.30, eine S¨agezahnspannung u1 (x) =

ˆ U ·x π

f¨ ur

− π < x < +π

und ein Dreieck-Spannungsverlauf ⎧ ˆ ⎪ ⎨ 2U · x f¨ ur π u2 (x) = ˆ ⎪ ⎩ 2U (π − x) f¨ ur π

− π/2 < x < π/2

.

π/2 < x < 3π/2

a) Welche Symmetrieeigenschaften besitzen die beiden Spannungsverl¨ aufe? b) Wie groß sind die Effektivwerte und welche Leistung wird umgesetzt, wenn die Spannungen jeweils an einem Ohm’schen Widerstand R abfallen? c) Welche Ausdr¨ ucke ergeben sich f¨ ur die Amplituden der Grund- und Oberschwingungen? d) Mit welcher Potenz von n nehmen die Amplituden der Oberschwingungen ab? Skizzieren Sie das Linienspektrum. e) Welche Zahlenwerte ergeben sich f¨ ur die Klirrfaktoren k1 und k?

316

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

u 1 (x)

u 2 (x)

U

U

π

2π

x

-U

π/2 π

2π

x

-U

Abb. 3.30: Spannungsverl¨ aufe

Aufgabe 3.7 ˆ · [1 + 4 · sin(ω1 t) − 3 · cos(ω1 t) + 5 · cos(3ω1 t)]. Gegeben ist die Spannung u(t) = U ˆ. Berechnen Sie den Effektivwert U der Spannung u(t) als Funktion von U Aufgabe 3.8 An einem RC-Tiefpass (Abbildung 3.31) liegt die Eingangsspannung ue (t) = 3V + 4V · sin(ω1 t) + 5V · cos(3ω1 t) mit der Grundfrequenz f1 = 500Hz. Die Elemente der Schaltung haben die Werte R = 100Ω und C = 3, 3μF.

R

u e (t)

C

u a (t)

Abb. 3.31: Einfacher RC-Tiefpass

a) Berechnen Sie die Ausgangsspannung ua (t). b) Berechnen Sie den Effektivwert der Ausgangsspannung Ua . c) Welche Leistung P wird in R umgesetzt? Aufgabe 3.9 Ein unbekannter Verbraucher wird an der dreieckf¨ormigen Spannung u(t) (vgl. Abbildung 3.32) betrieben. Dabei fließt der sinusf¨ormige Strom i(t) = 100μA · sin(2π · 25kHz · t).

¨ 3.7 Ubungsaufgaben

317

u(t)

10V

10

20

40

t/μs

-10V Abb. 3.32: Spannungsverlauf u(t)

a) Geben Sie die reellen Fourier-Reihen von u(t) und i(t) an. b) Berechnen Sie die Effektivwerte U und I. c) Welche Scheinleistung S wird umgesetzt? d) Berechnen Sie die Wirkleistung P . e) Berechnen Sie die Blindleistungen Q und D. Aufgabe 3.10 Gegeben ist das Betragsspektrum |U (f )| einer nichtsinusf¨ormigen, periodischen Spannung.

n = f /f1 ˆn (f )|/1V) 20dB · lg(|U

0 10 dB

1 20 dB

2 15 dB

3 10 dB

4 5 dB

5 0 dB

a) Berechnen Sie den Effektivwert U = Uef f . b) Berechnen Sie den Effektivwert U∼ef f des (reinen) Wechselanteils. c) Welchen Klirrfaktor k besitzt das nichtsinusf¨ ormige Signal? Aufgabe 3.11 Gegeben ist ein nichtlineares Bauelement mit der Kennliniengleichung 3 i(u) = k · (U − US )3 mit k = 10mA/V und US = 0, 7V. a) Berechnen Sie die Taylorreihe der Kennliniengleichung, die f¨ ur die Aussteuerung mit u(t) um den Arbeitspunkt U = U0 = 3, 7V zutreffend ist. b) Berechnen Sie die Zeitfunktion von i(t), wenn im Arbeitspunkt die Spannung u(t) = 0, 5V · sin(ω1 t) angelegt wird (es gilt U = U0 + u(t)). c) Berechnen Sie den Klirrfaktor k des Stroms i(t).

318

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 3.12 An einem NMOS-Transistor mit √ der Kennlinie iDS (uGS ) liegt die sinusf¨ormige GateSource-Spannung uGS (t) = 2 2V · sin(ω1 t) (Abbildung 3.33).

Der Drain-Source-Strom iDS in S¨ attigung (uDS > uGS − UT H ) ist durch die Gleichung * 0 : uGS < 0 A iDS (uGS ) = 0, 1 2 · u2GS : uGS ≥ 0 V

gegeben (UT H = 0V).

i(t) u GS (t)

G

D

U DS

S

Abb. 3.33: MOS-Transistor Schaltung

a) Ermitteln und skizzieren Sie den Verlauf des Stroms iDS (t) = −i(t). b) Berechnen Sie den Gleichstrommittelwert I und den Effektivwert I.

c) Welche Wirkleistung P wird im Transistor umgesetzt, wenn am Ausgang die Spannung uDS (t) = UDS = 5V anliegt? Aufgabe 3.13 Zu untersuchen sind die in Abbildung 3.34 dargestellten, nichtperiodischen Impulse ˆ /2 · [1 + cos(π · t/τ )] f¨ mit den Zeitfunktionen u1 (t), u2 (t) und u3 (t) = U ur |t| ≤ τ .

U

−τ

u 3 (t)

u 2 (t)

u 1 (t)

τ/2 τ

U

t

−τ

U

τ

t

−τ

τ

t

Abb. 3.34: Impulsfunktionen

ˆ = 1V an einem a) Welche Arbeit verrichtet jeweils uk (t) (k = 1, 2, 3) mit U Ohm’schen Widerstand R? b) Berechnen Sie die Fourier-Transformierten U k (ω) der drei Impulse.

c) Mit welcher Potenz von ω nehmen die Einh¨ ullenden von U k (ω) ab?

¨ 3.7 Ubungsaufgaben

319

Aufgabe 3.14 Gegeben ist die Zeitfunktion u(t) einer Impulsgruppe (Abbildung 3.35).

u(t)

100V 50V 1

5

t/μs

Abb. 3.35: Gegebene Zeitfunktion

a) Zerlegen Sie u(t) in Rechteckimpulse und geben Sie die Spektraldichte U (ω) unter Verwendung der Ergebnisse aus der vorherigen Aufgabe an.

b) Bei welcher Frequenz f0 tritt die erste Nullstelle in der Spektraldichte U (ω) auf?

Aufgabe 3.15 Gegeben ist die Schaltung in Abbildung 3.36, die aus drei gleichen Widerst¨ anden R und einem Kondensator der Kapazit¨ at C besteht.

i e(t) R2

R1

R3

C

u C (t)

Abb. 3.36: Gegebene Schaltung

Am Eingang wird mit einem eingepr¨ agten Strom ie (t) gespeist, dessen zeitlicher Verlauf gegeben ist durch  0 f¨ ur t < 0 ie (t) = . I f¨ ur t > 0 ome Gesucht sind die zeitlichen Verl¨ aufe der Kondensatorspannung uC (t) und der Str¨ in den Schaltelementen.

320

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

a) Geben Sie die zu ie (t) geh¨ orende Spektralfunktion I e (ω) an.

¨ b) Wie lautet die Ubertragungsfunktion AZ (ω) = U C (ω)/I e (ω) der Schaltung?

c) Welcher Ausdruck ergibt sich f¨ ur das Spektrum U C (ω) der Kondensatorspannung?

d) Bestimmen Sie den Ausdruck f¨ ur den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung uC (t). e) Skizzieren Sie uC (t). f) Ermitteln Sie unter Verwendung des bekannten Ausdrucks f¨ ur uC (t) und der entsprechenden zeitabh¨ angigen Gleichungen die Ausdr¨ ucke f¨ ur die zeitlichen Verl¨ aufe der Str¨ ome iR3 (t), iC (t) und iR1 (t). Aufgabe 3.16 a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte des in Abbildung 3.37 skizzierten Spannungssignals. b) Das skizzierte Spannungssignal liegt an einem 600Ω Widerstand. Wie groß ist die im Widerstand umgewandelte elektrische Energie zwischen 0kHz und 1kHz?

u(t)/V

1

0

1

t/ms

Abb. 3.37: Zeitlicher Spannungsverlauf

Aufgabe 3.17 Die skizzierte Schaltung 3.38 l¨auft ausgangsseitig leer. Am Eingang wird sie gespeist mit einer eingepr¨agten Spannung, deren zeitlicher Verlauf gegeben ist durch: ⎧ f¨ ur t < 0 ⎨0 f¨ ur 0 < t < T . ue (t) = U ⎩ U · e−β(t−T ) f¨ ur t > T Ermitteln Sie die Ausdr¨ ucke f¨ ur

¨ 3.7 Ubungsaufgaben

321

u e (t) R

u e (t)

u a (t)

L

U

T

t

Abb. 3.38: Gegebene Schaltungen

a) die Laplace-Transformierte der Ausgangsspannung U a (p),

ur t < T , b) die Ausgangsspannung ua (t) f¨ c) den Spulenstrom zur Zeit t = T und d) die Ausgangsspannung ua (t) f¨ ur t > T (Hinweis: Verwendung der Substitution τ = t − T ). Aufgabe 3.18 Gegeben ist:  u(t) =

0 : U0 · (1 − e−αt ) :

t 0 soll u(t) ermittelt werden, wenn als Erregung gegeben ist:  0 f¨ ur t < 0 i(t) = . I f¨ ur t > 0

3.8 L¨osungen

3.8

331

L¨osungen

Aufgabe 3.1 a) f1 = 81Hz = 3 · 27Hz; f2 = 108Hz = 4 · 27Hz; f1 /f2 = 3/4 teilerfremd; T = 3/(81Hz) = 4/(108Hz) = 1/(27Hz) = 37, 037ms

106, 81 100, 53 Hz = 17Hz; f1 /f2 = 16/17; Hz = 16Hz; f2 = 2π 2π T = 16/(16Hz) = 17/(17Hz) = 1s

b) f1 =

c) f1 = 150Hz = 3 · 50Hz; f2 = 250Hz = 5 · 50Hz; 2827, 43 2199, 11 Hz = 450Hz = 9 · 50Hz; Hz = 350Hz = 7 · 50Hz; f4 = f3 = 2π 2π T = 1/(50Hz) = 20ms

d) f1 = 18Hz = 3 · 6Hz; f2 = 24Hz = 4 · 6Hz; f3 = 60Hz = 10 · 6Hz; T = 1/(6Hz) = 166, 67ms Aufgabe 3.2 Gerader Anteil: fg (x) = 0, 5 · [f (x) + f (−x)] Ungerader Anteil: fu (x) = 0, 5 · [f (x) − f (−x)]

x3 x2 + x4 ; f1u (x) = x + 2 4 (gerade und ungerade Potenzen trennen!)

a) f1g (x) = 2 −

b) f2g (x) = 1 − cos(2x); f2u (x) = 0 c) f3g (x) = 0; f3u (x) = sin(x) · cos(x) (ungerade · gerade = ungerade) d) f4g (x) = 4x2 − 2; f4u (x) = 0 e) -h) Siehe Abbildung 3.52

Aufgabe 3.3

sin(n · x2 ) − sin(n · x1 ) x 2 − x1 V; V; an = n·π 2π  n(x2 − x1 ) 2 cos(n · x1 ) − cos(n · x2 ) V ·sin V; B0 = a0 ; Bn = a2n + b2n = bn = 2 nπ n·π L¨ osung durch Quadrieren und Umformen gem¨ aß: sin2 α + cos2 α = 1; sin α · sin β = 12 [cos(α − β) − cos(α + β)]; cos α · cos β = 12 [cos(α − β) + cos(α + β)]; sin2 α = 12 [1 − cos(2α)]

a) a0 =

332

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

e) f 5 (t)

f) f 6 (t)

T

0

T

0

t

t

h) f 8 (t)

g) f7 (t)

0 T

0

T t

t

Abb. 3.52: L¨ osung zu Aufgabe 2: (—) gerader Anteil; (- -) ungerader Anteil

b) x1 = 0; x2 = e · 2 · π 1 − cos(n · e · 2 · π) sin(n · e · 2 · π) x 2 − x1 V; V; bn = V = eV; an = a0 = n·π n·π 2π  sin(n · e · π) V = 2 · e · si(n · e · π)V B0 = a0 = eV; Bn = a2n + b2n = 2 · n·π sin(x) . Es gilt: si(x) = x

c) x1 = −e · π; x2 = +e · π sin(n · e · π) x2 − x1 V = 2 · e · si(n · e · π)V; = eV; an = 2 · a0 = n·π 2π bn = 0 (gerade Funktion!);  B0 = a0 = eV; Bn = a2n + b2n = an = 2 · e · si(n · e · π)V

Aufgabe 3.4 a) Die Funktion

⎧ ⎨ 5A ·t i(t) = T /6 ⎩ 5A

:

0 ≤ t < T /6

:

T /6 ≤ t < T /4

ist punktsymmetrisch (ungerade) und halbwellensymmetrisch. Deshalb entfallen alle geraden Anteile (a0 = an = 0) und alle geraden Vielfachen der Grundfrequenz (bn = 0 f¨ ur n = 2, 4, 6, ...). Aufgrund der speziellen Eigenschaften

3.8 L¨osungen

333

ugt es die Integration der Funktion (ungerade und Halbwellensymmetrie) gen¨ nur u uhren. Nat¨ urlich erh¨alt man das gleiche ¨ber eine Viertelperiode durchzuf¨ Ergebnis auch, wenn man von 0 bis T /2 oder u ¨ber die ganze Periode 0 ≤ t ≤ T integriert. Der Rechenaufwand ist jedoch h¨oher.  2 T /4 i(t) · sin(nω1 t)dt bn = 4 · T 0   T /6 8 T /4 5A 8 5A · sin(nω1 t)dt · t · sin(nω1 t)dt + bn = T T /6 T /6 T 0 cos(ax) sin(ax) x · cos(ax) ⇒) und sin(ax)dx = − − (mit x · sin(ax)dx = 2 a T /4 a  aT /6  cos(nω1 t) 40 sin(nω1 t) t · cos(nω1 t) 240 + A − − bn = 2 A nω1 T nω1 n2 ω12 T T /6 0 nπ 240 bn = 2 A · sin 3 (2πn) √ ⎧ 30 · 3 ⎪ ⎪ : n = 1, 7, 13, ... ⎪ ⎨ π 2 n2√A bn = −30 · 3 ⎪ A : n = 5, 11, 17, ... ⎪ ⎪ ⎩ π 2 n2 0A : sonst

Die Fourier-Reihe f¨ ur den Strom lautet somit: √ 1 1 30 · 3 A · [sin(ω1 t) − 2 sin(5ω1 t) + 2 sin(7ω1 t) − +...] . i(t) = 7 5 π2 √  30 · 3 2 2 ur n = 1, 5, 7, 11, 13, 17, ... b) Bn = an + bn = 2 2 A f¨ π n  ◦ : 1, 7, 13, ... 0 ϕn = 180◦ : 5, 11, 17, ... √ ⎧ 3 15 ⎪ ⎪ −j A : 1, 7, 13, ... ⎪ ⎨ π 2√ n2 bn an = −j c) cn = 15 3 ⎪ +j 2 2 A : 5, 11, 17, ... ⎪ ⎪ π 2 n2 ⎩ 0A : sonst √ 15 3 ur n = 1, 5, 7, 11, 13, 17, ... |cn | = 2 2 A f¨ d) c0 = 0; π n  −90◦ : 1, 7, 13, ... Φn = ϕn − 90◦ = +90◦ : 5, 11, 17, ...

334

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

Aufgabe 3.5

  ˆ  T U 1 T ˆ −αt −jnω1 t 1 T −jnω1 t e−(α+jnω1 )t dt = dt = U ·e ·e f (t)·e dt = a) cn = T 0 T 0 T 0

t=T ˆ ˆ e−(α+jnω1 )t

U U · (e−(α+jnω1 )T − 1) = ·

−(α + jnω1 )T T −(α + jnω1 ) t=0 Mit ω1 T = 2π wird daraus ˆ · (1 − e−αT ) ˆ U U · (e−αT · e−jn2π − 1) = cn = αT + jn2π −αT − jn2π 2 und mit α = T ˆ · (1 − e−2 ) ˆ · (1 − e−2 ) U U . bzw. c0 = cn = 2 2 + jn2π

ˆ · (1 − e−2 )(1 − jπ) ˆ · (1 − e−2 ) U U ˆ = (0, 0398 − j0, 1250) · U = 2(1 + π 2 ) 2(1 + jπ) ˆ B1 = 2 · |c1 | = 0, 262265 · U Im{c 1} + 90◦ = −72, 343◦ + 90◦ = 17, 657◦ ϕn = φn + 90◦ = arctan Re{c1 }

b) c1 =

Aufgabe 3.6 a1) u1 (x) = −u1 (−x) ⇒ ungerade Funktion Keine Halbwellensymmetrie!

⇒ an = 0 f¨ ur n = 0, 1, 2, 3...

ur n = 0, 1, 2, 3... a2) u2 (x) = −u2 (−x) ⇒ ungerade Funktion ⇒ an = 0 f¨ u2 (x) = −u2 (x + π) ⇒ Halbwellensymmetrie ⇒ bn = 0 f¨ ur n = 2, 4, 6...  2π 1 2 2 u2 (x)dx ⇒ = U = b1) Allgemein gilt: Uef f 2π 0 ˆ ˆ2 ˆ 2  x3 π ˆ2  π U U U 1 U 2 2 ⇒U= √ = x dx = · 2 U = 3 3 3 −π 2π 2π π −π 3 ˆ2 U P = U 2 /R = 3R

b2) Wegen der Symmetrie gen¨ ugt Viertelperiode!  π/2  ˆ 2 ˆ ˆ2 ˆ 2  x3 π/2 U U 8U 2U 4 2 2 ⇒U= √ = x dx = 3 · U = 3 3 0 π π 2π 0 3 ˆ2 U P = U 2 /R = 3R  π ˆ ˆ π cos(nπ)  ˆ  sin(nx) x cos(nx) π 2U 2U U 2 − = − x sin(nx)dx = 2 c1) bn = n π2 n n2 π π 0 π 0

3.8 L¨osungen

 ˆ 2U π(−1)n (−1)n+1 (n = 1, 2, 3...) = nπ n ˆ ˆ ˆn = |bn | = 2U ˆ1 = |b1 | = 2U ; U U nπ π  π/2 ˆ ˆ  sin(nx) x cos(nx) π/2 8U 2U 4 − x sin(nx)dx = 2 bn = n n2 π π π 0 0 mit n = 1, 3, 5...! ˆ ˆ 8U 8U bn = 2 2 sin(nπ/2) = 2 2 (−1)(n−1)/2 mit n = 1, 3, 5... n π π n ˆ ˆ 8U 8U ˆ ˆ U1 = 2 ; Un = 2 2 n π π ˆn | ∼ 1 (u1 (x) hat Spr¨ unge). L¨ osung (ohne Skizze): |U n ˆn | ∼ 1 (u2 (x) hat nur Knicke). L¨osung (ohne Skizze): |U n2 ˆ 2 /(2π 2 ) 4U ≈ 0, 61 ⇒ k1 ≈ 0, 78 k12 = ˆ 2 /3 U ˆ 2 /3 − 4U ˆ 2 /2π 2 1/3 − 2/π 2 U ≈ 0, 39 ⇒ k ≈ 0, 63 = k2 = ˆ 2 /3 1/3 U

bn =

c2)

d1)

d2)

e1)

335

ˆ 2U π2



−

ˆ 2 /2π 4 32/π 4 64U ≈ 0, 9855 ⇒ k1 ≈ 0, 993 = ˆ 2 /3 1/3 U ˆ 2 /3 − 64U ˆ 2 /2π 4 1/3 − 32/π 4 U ≈ 0, 014 ⇒ k ≈ 0, 12 = k2 = ˆ 2 /3 1/3 U

e2) k12 =

Aufgabe 3.7   2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 12 + 4 √+ 3 + √5 = 5, 099 · U U = U + U1 + U3 = U ( 2)2 ( 2)2

Aufgabe 3.8 a) Das komplexe Spannungsverh¨altnis des RC-Tiefpasses lautet: 1 1 1 1 U = 3030, 3 . mit ωg = = AU = a = s RC 1 + jω/ωg 1 + jωRC Ue

Aus dem Superpositionsprinzip ergibt sich mit ω1 = 2πf1 = 3141, 6s−1 :



1

· sin[ω1 t − arctan(ω1 /ωg )]+ ua (t) = 3V + 4V ·

1 + jω1 /ωg

1

· cos[3ω1 t − arctan(3ω1 /ωg )] 5V ·

1 + j3ω1 /ωg ua (t) = 3V + 2, 777V sin(ω1 t − 46, 03◦ ) + 1, 530V cos(3ω1 t − 72, 18◦ ) .

336

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

 b) Ua =

(3V)2

+

2, 777V √ 2

2

+

1, 530V √ 2

2 = 3, 745V.

c) Es fließen nur die Wechselstr¨ ome I1 und I3 mit den Kreisfrequenzen ω1 bzw. 3ω1 : ◦ 4V 4V = 28, 79mA · ej43,97 ⇒ = Iˆ1 = 1 100Ω − j96, 4575Ω R+ jω1 C I1ef f = I1 = 20, 36mA ◦ 5V 5V = 47, 60mA · ej17,82 ⇒ = Iˆ3 = 1 100Ω − j32, 1525Ω R+ j3ω1 C I3ef f = I3 = 33, 66mA

P = (I12 + I32 ) · R = [(20, 36mA)2 + (33, 66mA)2 ] · 100Ω = 154, 75mW Aufgabe 3.9 a) Aus einer Mathematik-Formelsammlung oder dem Ergebnis der Aufgabe 3.6 entnimmt man: 

80V sin(ω1 t) sin(3ω1 t) sin(5ω1 t) ± ... . + − u(t) = 2 52 32 12 π 1 i(t) = 100μA · sin(ω1 t) mit ω1 = 1, 57 · 105 s

b) Berechnung von U im Zeitbereich:   2  10μs

 10V 4 4 t=T /4 t dt u(t)2 dt = U= 10μs 40μs t=0 T t=0  2 3 t=10μs

10V t 10V 1 = √ = 5, 7735V ·

U= 3 10μs 10μs 3 t=0

100μA = 70, 711μA I= √ 2

10V 100μA = 0, 4082mVA c) S = U · I = √ · √ 2 3

d) Da sowohl u(t) als auch i(t) ungerade Zeitfunktionen sind, sind ihre Mittelwerte gleich null. Zur Wirkleistung tr¨agt nur die Grundschwingung bei, da der Strom rein sinusf¨ormig verl¨auft. Zwischen Strom- und Spannungsgrundschwingung besteht keine Phasenverschiebung (ϕu = ϕi ). 80V 100μA · cos(0◦ ) = 0, 4053mW P = U1 · I1 · cos(ϕu − ϕi ) = √ · √ 2 π2 2 Die Wirkleistung kann auch direkt berechnet werden u ¨ber:  1 T u(t)i(t)dt. P = T 0

3.8 L¨osungen

337

e) Q = U1 · I1 · sin(ϕu − ϕi ) = 0var; D =



S 2 − P 2 − Q2 = 0, 0487mW

Aufgabe 3.10 Die in der Aufgabenstellung gegebenen normierten Spannungspegel ergeben folgende Amplituden und Effektivwerte der Schwingungsanteile:

n 0 1 2 3 4 5

ˆ /V U 3,1623 10,0000 5,6234 3,1623 1,7783 1,0000

a) Uef f

Un2 /V2 10,0000 50,0000 15,8114 5,0000 1,5811 0,5000

Un /V 3,1623 7,0711 3,9764 2,2361 1,2574 0,7071

& ' 5 '  Un2 = 82, 8925V = 9, 1045V =U =( n=0

b) U∼ef f

& ' 5 '  Un2 = 72, 8925V = 8, 5377V =( n=1

$ c) k =

5 $n=2 5 n=1

Un2

Un2

 =

22, 8925V2 /72, 8925V2 = 0, 56

Aufgabe 3.11

d3 i d2 i di = 6k = 6k(U − U ); = 3k(U − Us )2 ; s dU 3 dU 2 dU Im Arbeitspunkt, d.h. f¨ ur U = U0 , gilt U − Us = (3, 7 − 0, 7)V = 3V. Damit ergeben sich der Funktionswert und die Ableitungen im Arbeitspunkt zu mA i(U0 ) = 10 3 · (3V)3 = 270mA , V

mA mA di

, = 3 · 10 3 · 9V2 = 270

V dU U0 V

mA mA d2 i

= 6 · 10 3 · 3V = 180 2 ,

2 dU U0 V V

mA mA d3 i

= 6 · 10 3 = 60 3 . dU 3 U0 V V Die Taylor-Entwicklung des Stroms f¨ ur U = U0 + u(t) lautet: u3 (t) d3 i

d2 i

u2 (t) u(t) di

· + · + · i(U0 + u(t)) = i(U0 ) + 3! dU 3 U0 2! dU 2 U0 dU U0 1! 2 u3 (t) u (t) u(t) + 10mA · + 90mA · i(U0 + u(t)) = 270mA + 270mA · V V3 V2

a) i(U ) = k(U − Us )3 ;

338

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange

b) Die Potenzen der Wechselspannungen lauten u(t) = 0, 5V · sin(ω1 t), u2 (t) = 0, 125V2 · [1 − cos(2ω1 t)] und u3 (t) = 0, 03125V3 · [3 sin(ω1 t) − sin(3ω1 t)]. Fasst man gleichfrequente Anteile zusammen, erh¨alt man als Zeitfunktion des Stroms i(t) = [281, 25 + 135, 94 · sin(ω1 t) − 11, 25 · cos(2ω1 t) − 0, 3125 · sin(3ω1 t)]mA.  c) k =

I22 + I32 = I12 + I22 + I32



(11, 25mA)2 /2 + (0, 3125mA)2 /2 (135, 94mA)2 /2 + (11, 25mA)2 /2 + (0, 3125mA)2 /2

k = 0, 0825 = 8, 25%

Aufgabe 3.12  a) iDS (t) =

0, 8A · sin2 (ω1 t) 0A

: :

0 ≤ t < T /2 T /2 ≤ t < T

iDS (t)/A

0,8

0

T/2

T

t

Abb. 3.53: L¨ osung zu Aufgabe 3.12

b) Mittelwert u achenbetrachtung Abbildung 3.53: ¨ber Fl¨ I DS = −I = 0, 2A   0, 64A2 T /2 4 1 T /2 2 sin (ω1 t)dt = 0, 12A2 ⇒ [0, 8A · sin2 (ω1 t)]2 dt = = IDS T T 0 0 IDS = I = 0, 3464A

  1 T /2 1 T 5V · 0, 8A · sin2 (ω1 t)dt u(t) · i(t)dt = T 0  T 0

T /2 

T /2 

1 4W 1

4W T /2 2 = 1W sin(2ω1 t)

t − sin (ω1 t)dt = P = 4ω1 2 0 T T 0 0 Einfachere L¨ osungsm¨ oglichkeit: P = UDS · I DS = 5V · 0, 2A = 1W

c) P =

3.8 L¨osungen

339

Aufgabe 3.13 ⎧ t ˆ ⎪ ⎪ ⎨ U · (1 + τ ) : −τ ≤ t < 0 u2 (t) = U ˆ · (1 − t ) : 0 ≤ t ≤ τ ⎪ ⎪ τ ⎩ 0 : sonst ⎧ 

ˆ π·t ⎨U ) : −τ ≤ t ≤ τ · 1 + cos( u3 (t) = τ ⎩ 2 0 : sonst

a) W1 =

W2 =

=

W3 =

=



ˆ2 · τ U R −τ /2  2  τ   τ

ˆ 2  τ 1 2 τ 2·U t 2 2 ˆ t dt tdt + 2 · dt − U · (1 − ) dt = τ 0 τ 0 R τ R 0 0 ˆ2 · τ 2 U · 3 R 2  τ ˆ2  τ

π·t 2·U 2 2 ) dt 1 + cos( u (t)dt = τ 4R 0 R 0     τ τ τ 2 ˆ2 · τ 3 ˆ U π·t π·t U · )dt = )dt + cos2 ( · dt + 2 · cos( 4 R τ τ 2R 0 0 0

1 R

+τ /2

u2 (t)dt =



−jωτ /2 − e+jωτ /2 ˆ·e ⇒ e−jωt dt = U −jω −τ /2 ˆ ˆ e+jωτ /2 − e−jωτ /2 2U 2U ˆ · τ · si(ωτ /2) · sin(ωτ /2) = U = · U 1 (ω) = ω j2 ω Zu jeder reellen, geraden Zeitfunktion u(t) geh¨ ort eine reelle, gerade SpektraldichteFunktion U (ω). +τ /2

ˆ· b) U 1 (ω) = U



 t=+τ u(t) · e−jωt dt + u(t) · e−jωt dt t=−τ t=0 

 t=0  t=+τ t t −jωt −jωt ˆ dt dt + (1 − ) · e = U· (1 + ) · e τ τ 

t=−τ  t=+τ  t=0 t=0 t=+τ 1 1 −jωt −jωt −jωt ˆ t·e dt t·e dt − = U· ·e dt + τ t=0 τ t=−τ t=−τ ax e ur die beiden letzten Integrale erh¨alt man Mit x · eax dx = 2 · (a · x − 1) f¨ a nach dem Auswerten und anschließenden Umformungen als Ergebnis f¨ ur die Spektraldichte die reelle, gerade Funktion ˆ 2·U U 2 (ω) = 2 · (1 − cos ωτ ) . ω τ U 2 (ω) =

t=0

340

3 Nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange



t=τ

u(t) · e−jωt dt =

U 3 (ω) = t=−τ

  t=τ ˆ  t=τ π·t U ) · e−jωt dt e−jωt dt + cos( · τ 2 t=−τ t=−τ

= Int1 + Int2 ˆ e−jωτ − e+jωτ U ˆ · τ · si(ωτ ) =U · Int1 = −jω 2 F¨ ur das zweite Integral wird verwendet ax eax · [a · cos(bx) + b · sin(bx)]: e cos(bx)dx = 2 a + b2 τ  −jωt ˆ e · [−jω · cos(π · t/τ ) + (π/τ ) · sin(π · t/τ )] U = · Int2 = (π/τ )2 − ω 2 2 −τ ˆ · τ · ω2 U · si(ωτ ) − (π/τ )2 − ω 2 Nach Addition der Integralergebnisse und einigen Umformungen erh¨alt man als Spektraldichte die reelle, gerade Funktion ˆ · τ · si(ω · τ ) U . U 3 (ω) = 1 − (ωτ /π)2

c) |U 1 | ∼ 1/ω; |U 2 | ∼ 1/ω 2 ; |U 3 | ∼ 1/ω 3

Aufgabe 3.14

u 1 (t)

u(t)

100V

u 5 (t)

50V

-50V

1

5 u 3 (t)

t/μs

Abb. 3.54: L¨ osung zu Aufgabe 3.14

a) u(t) = u1 (t) + u3 (t) + u5 (t) U (ω) = U 1 (ω) + U 3 (ω) + U 5 (ω) U 1 (ω) = 100V · 2μs · si(ω · 1μs) = 200μVs · si(ω · 1μs) U 3 (ω) = −50V · 6μs · si(ω · 3μs) = −300μVs · si(ω · 3μs) U 5 (ω) = 50V · 10μs · si(ω · 5μs) = 500μVs · si(ω · 5μs)

b) Die ersten Nullstellen der Teil-Spektraldichten treten auf bei den Frequenzen: U 1 (ω) : 2 · π · f01 · 1μs = π ⇒ f01 = 500kHz ; U 3 (ω) : 2 · π · f03 · 3μs = π ⇒ f03 = 166, 67kHz ; U 5 (ω) : 2 · π · f05 · 5μs = π ⇒ f05 = 100kHz . Die erste gemeinsame Nullstelle aller Teilfunktionen tritt auf bei f0 = 500kHz.

3.8 L¨osungen

341

Aufgabe 3.15 a) I e (ω) = I ·

1 + I · π · δ(ω) jω

b) AZ (ω) = U C (ω)/I e (ω) Es gilt: R1 = R2 = R3 = R Maschengl. 1: I R1 R = I R2 R + I R3 R ⇒ I R1 = I R2 + I R3 Maschengl. 2: I R3 R = U C ⇒ I R3 = U C /R Knotenpunktgl. 1: I e = I R1 + I R2 Knotenpunktgl. 2: I R2 = I R3 + I C = I R3 + jωCU C

Vorgehensweise: Maschengl. 2 einsetzen ⇒ Maschengl. 1: I R1 = I R2 + U C /R Knotenpunktgl. 1: I e = I R1 + I R2 Knotenpunktgl. 2: I R2 = U C /R + jωCU C

Weiteres Vorgehen: Maschengl. 1 in Knotenpunktgl. 1 ⇒ I e = 2I R2 + U C /R

Jetzt: Knotenpunktgl. 2 in letzte Gleichung einsetzen ⇒ I e = 2U C (1/R + jωC) + U C /R = U C (3/R + 2jωC) 3 1 1 1 mit γ = · = AZ (ω) = 2RC j2C ω − jγ 3/R + 2jωC

c) U C (ω) = AZ (ω) 

· I e (ω) πδ(ω) 1 I + U C (ω) = j2C jω(ω − jγ) ω − jγ

d) Partialbruchzerlegung:  



πδ(ω) 1 1 1 I + + U C (ω) = jγ(ω − jγ)  ω − jγ j2C j −jγω πδ(ω) 1 1 I + − = γ(ω − jγ) ω − jγ j2C γω

R¨ ucktransformation durch Korrespondenztabellen: 

1 1 1j I sign(t) − jε(t)e−γt + uC (t) = γ j2C γ 2  −jγ2 1 1 I −γt sign(t) − ε(t)e + = 2 2γC 2  0 : t 32kHz abgetastet werden. In der Praxis ist es nicht ratsam, die Abtastfrequenz allzu nahe an die Grenze von 32kHz zu setzen. Auch wenn man sicher ist, dass keine T¨one u ¨ber 16kHz auftreten, bedeutet dies in der Realit¨at noch lange nicht, dass das Spektum am Eingang des Abtasters auf 16kHz begrenzt ist. M¨ogliche Ursachen sind breitbandige St¨orquellen, wie z.B. Verst¨arkerrauschen oder elektromagnetische Einkopplungen aus der Luft. Daher ist es immer ratsam das Signal vor der Diskretisierung (Abtastung) zu filtern. Der hierf¨ ur notwendige Tiefpass soll das Signal bis mindestens fmax ungehindert passieren lassen und ab einer

368

4 Diskrete Signale und Systeme

Frequenz von f = fS /2 vollst¨ andig sperren. Um das hierf¨ ur notwendige Filter mit vertretbarem Aufwand realisieren zu k¨ onnen, muss ein ausreichender Abstand zwischen fmax und fS /2 bestehen. Oftmals wird in der Praxis eine deutlich h¨ohere Abtastfre¨ quenz als die nach dem Abtasttheorem notwendige verwendet. Durch diese Uberabtastung (oversampling) steigt nat¨ urlich der Aufwand f¨ ur die AD- und DA-Wandler. Wahl des Zeitausschnittes bei der DFT (FFT) Frequenzaufl¨ osung Will man ein zeitkontinuierliches, bandbegrenztes Signal mittels DFT (oder FFT) spektral analysieren, ist die Abtastfrequenz fS und die Anzahl der Abtastwerte N festzulegen. Dies definiert den Aufzeichnungszeitraum bzw. die Messzeit TM ess =

N , fS

(4.15)

also den Zeitabschnitt, in dem das Signal abgetastet wird. Mit der Messzeit TM ess ist die spektrale Au߬ osung fM ess =

1 TM ess

(4.16)

festgelegt. Will man also eine Frequenzau߬osung mit der DFT (FFT) von 1Hz erzielen, muss das Signal eine Sekunde lang aufgezeichnet werden. Fenstertechnik Bisher wurde bei der Herleitung der DFT davon ausgegangen, dass die Messzeit der Periodendauer oder einem ganzzahligen Vielfachen der Periodendauer des Signals entspricht. T = TM ess

oder auch

n · T = TM ess

mit

n = 2, 3, 4, ...

(4.17)

In der Praxis ist Gleichung (4.17) oft nicht erf¨ ullbar, beispielsweise dann, wenn ein Signal sich aus mehreren Teilsignalen unterschiedlicher Frequenz zusammensetzt. Abbildung 4.9 veranschaulicht die resultierende Auswirkung. Der Algorithmus der DFT (FFT) setzt eine periodische Fortsetzung des Signals nach unge, f¨ uhrt dies zu einem der Aufzeichnungszeit TM ess voraus. Entstehen dabei Spr¨ ver¨ anderten Zeitsignal (hier: 10,5 Sinus-Schwingungen gefolgt von einem Sprung) und zwangsl¨ aufig zu einem ver¨anderten, stark verbreiterten Spektrum. Um dies zu vermeiden oder zumindest eine Abschw¨achung der spektralen Verbreiterung zu erzielen, werden die Abtastwerte im Zeitbereich mit einer Fensterfunktion w(ν) multipliziert (vgl. Abbildung 4.10). f (ν)

wird ersetzt durch

f (ν) · w(ν)

Dadurch treten keine Spr¨ unge mehr im Zeitbereich auf, die bekanntlich zu einem hohen Oberschwingungsgehalt f¨ uhren. G¨angige Fensterfunktionen sind:

4.2 Diskrete periodische Vorg¨ ange

369

u(t)/V

Amplitudenspektrum/V

1

1 0,01

t/s

1

f/kHz

Amplitudenspektrum/V

u(t)/V

1

1 0,01

t/s 1

f/kHz

Abb. 4.9: Abgetastete Sinusfunktionen und zugeh¨ orige Spektren: oben: Abtastdauer (Aufzeichnungszeit) ist ein ganzzahliges Vielfaches der Periodendauer des Signals; unten: Abtastdauer ist kein ganzzahliges Vielfaches der Periodendauer des Signals (es werden 10,5 Perioden aufgezeichnet ⇒ keine periodische Fortsetzung des Signals m¨ oglich!)

2 1 • Hann w(ν) = 0, 5 · 1 − cos( 2πν N ) , • Hamming w(ν) = 0, 54 − 0, 46 · cos( 2πν N ),

• Blackman, • Dolph-Tschebyscheff. Die Ersatzwerte f (ν) · w(ν) repr¨asentieren zwar nicht mehr exakt die urspr¨ unglich abgetastete Zeitfunktion, das zugeh¨orige Spektrum n¨ahert jedoch in der Regel das Originalspektrum (Abbildung 4.9 oben) wesentlich besser an. Praktische Realisierung der Abtastung Bei der praktischen Realisierung der Abtastung tritt das Problem auf, dass man mit einem realen System keine Diracimpulse erzeugen kann. Die Impulse haben also, wie in Abbildung 4.3 dargestellt, eine endliche Amplitude und endliche Dauer. Auf den Grenz¨ ubergang  → 0 muss verzichtet werden. Im Extremfall  = 1 f¨ uhrt dies zu einer Treppenfunktion (vgl. Abbildung 4.2a)). Das Spektrum der Treppenfunktion erh¨alt man durch Fourier-Transformation. c˜n (Treppenfkt.) = si(πf /fS ) · c˜n

(4.18)

370

4 Diskrete Signale und Systeme Amplitudenspektrum/V

u(t)/V

1

1 0,01

t/s f/kHz

1

u(t) .w(t)/V

Amplitudenspektrum/V

1

1 0,01

t/s f/kHz

1

Abb. 4.10: Abgetastete Sinusfunktionen und zugeh¨ orige Spektren: oben: Abtastdauer ist kein ganzzahliges Vielfaches der Periodendauer des Signals; unten: Abgetastetes Signal mit HannFenster gewichtet und daraus resultierendes, verbessertes Spektrum

Es entspricht dem Spektrum der Diracimpulse, jedoch mit einer u ¨berlagerten Gewichtsfunktion si(πf /fS ), die dazu f¨ uhrt, dass h¨ohere Frequenzen abgeschw¨acht werden (vgl. Abbildung 4.11).

|c n |

-fS

-f max

1

0

si - Gewichtsfunktion

fmax

fS

f

Abb. 4.11: Spektrum eines mittels Diracimpulsen beschriebenen Signals und Gewichtsfunktion uhrt zum Spektum der Treppenfunktion. si(πf /fS ); die Multiplikation beider Funktionen f¨

Wie aus Abbildung 4.11 zu erkennen ist, werden die h¨ oheren Frequenzen (f → fmax ) umso geringer abgeschw¨acht, je gr¨oßer das Verh¨ altnis von fS /fmax gew¨ ahlt wird.

4.3 Differenzengleichung

371

4.3

Differenzengleichung

4.3.1

¨ Ubergang von der Differentialgleichung zur Differenzengleichung

Allgemein k¨ onnen zeitkontinuierliche, elektrische Gr¨oßen linearer Netzwerke mit Hilfe der zugeh¨ origen Differentialgleichung (DGL) m-ter Ordnung der Form 1 · fa(m) (t) + bm−1 · fa(m−1) (t) + ... + b1 · f˙a (t) + b0 · fa (t) = am · f (m) (t) + am−1 · f (m−1) (t) + ... + a1 · f˙e (t) + a0 · fe (t) e

e

(4.19)

beschrieben werden. Bei diskreten Systemen werden die Signale nur zu bestimmten Zeitpunkten abgetastet. Solche Systeme sind durch die entsprechende Differenzengleichung beschreibbar. Die Differenzengleichung geht aus der Differentialgleichung des ¨aquivalenten, zeitkontinuierlichen Systems hervor, indem die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Als Beispiel dient ein einfacher RC-Tiefpass, der durch die DGL erster Ordnung

1 1 dua (t) ue (t) ua (t) = + RC RC dt

charakterisiert ist. Die entsprechende Differenzengleichung

1 1 ua ((ν + 1)TS ) − ua (νTS ) ue (νTS ) ua (νTS ) = + RC RC TS

ergibt sich, wenn man an Stelle des Zeitpunktes t und des Zeitdifferentials dt den Abtastzeitpunkt ν · TS und die Zeitdifferenz zwischen zwei Abtastungen TS setzt. Ordnet man die letzte Gleichung nach ua ((ν + 1)TS ) und ua (νTS ) und schreibt statt ua (νTS ) kurz ua (ν), ergibt sich die Differenzengleichung



TS TS ue (ν) bzw. die ¨ aquivalente Form − 1 ua (ν) = ua (ν + 1) + RC RC 

TS TS ue (ν − 1) − 1 ua (ν − 1) = ua (ν) + RC RC

erster Ordnung. Aus DGLen m-ter Ordnung werden durch Diskretisierung Differenzengleichungen m-ter Ordnung 1 · fa (ν) + bm−1 · fa (ν − 1) + ... + b0 · fa (ν − m) = am · fe (ν) + am−1 · fe (ν − 1) + ... + a0 · fe (ν − m).

(4.20)

372

4 Diskrete Signale und Systeme

Man beachte, dass die Koeffizienten der DGL von denen der Differenzengleichung verschieden sind. a1 , a2 , ..., b1 , b2, ...der DGL = a1 , a2 , ..., b1 , b2, ...der Differenzengleichung Eine Differenzengleichung m-ter Ordnung l¨asst sich auf verschiedene Arten l¨osen: • Mathematische L¨ osung von Gleichung (4.20) durch Bestimmung der entsprechenden homogenen L¨ osung und Suchen der partikul¨aren L¨osung (vgl. Verfahren bei DGLen); • rekursive Bestimmung des Wertes fa (ν) aus den vorangegangenen Werten fa (ν − 1), fa (ν − 2), ... und den Eingangswerten fe (ν), fe (ν − 1), fe (ν − 2), ... ; • L¨ osung durch z-Transformation.

4.3.2

Schaltungstechnische Realisierung

Schaltungstechnisch l¨ asst sich jede Differenzengleichung m-ter Ordnung (4.20) durch • Multiplizierer (Realisierung von z.B. b0 · fa (ν − m)), • Addierer (b1 · fa (ν + 1 − m) + b0 · fa (ν − m)) und • Zeitverz¨ ogerungselemente (z.B. fa (ν − 1)) realisieren. Eine fest verdrahtete Struktur zeigt Abbildung 4.12. Beispiel 4.4 Zu bestimmen ist die Ausgangsfolge des diskreten Systems in Abbildung 4.12 durch Rekursion bei einer Einheitsimpulsfolge fe (ν) = {1; 0; 0; 0; ...}. L¨ osung: fa (ν) = am · fe (ν) + am−1 · fe (ν − 1) + ... + a1 · fe (ν + 1 − m) + a0 · fe (ν − m)− ⇒ bm−1 · fa (ν − 1) − ... − b1 · fa (ν + 1 − m) − b0 · fa (ν − m) fa (0) = am fa (1) = am−1 − bm−1 · am fa (2) = am−2 − bm−1 · (am−1 − bm−1 · am ) − bm−2 · am usw.

4.4

z -Transformation

Schwerpunkt dieses Abschnittes bildet die z-Transformation, mit deren Hilfe man Systeme berechnen kann, die mit diskreten, nichtperiodischen Signalen angeregt werden. Die z-Transformation hat bei der Untersuchung diskreter Systeme eine ¨ahnliche Bedeutung wie die Laplace-Transformation bei zeitkontinuierlichen Systemen.

4.4 z -Transformation

373

f e(ν) a0 TS

+

TS

+

-b 0

Legende:

a m-1

a1

...

+

a0

f1 (ν) +

f2 (ν)

f(ν)

a 0 .f(ν)

f1 (ν) + f2 (ν)

TS

+

fa (ν)

-b m- 1

-b 1

f(ν)

TS

am

f(ν-1)

Multiplizierer

Addierer

Verzögerungsglied

Abb. 4.12: Zeitdiskretes System

4.4.1

¨ Ubergang von der Laplace- zur z -Transformation

Die Laplace-Transformation



∞

F (p) =

f (t)e−pt dt

0

f¨ uhrt zeitkontinuierliche Signale in ihre Bilddarstellung u ¨ber. Setzt man die Dirac-Darstellung eines abgetasteten Signals

f↑ (t) =

ν=∞  ν=0

f (ν · TS ) · TS · δ(t − νTS )

374

4 Diskrete Signale und Systeme

in die Laplace-Transformation ein, folgt



∞

f↑ (t)e−pt dt

F (p) = 0

ν=∞ 

= TS

f (ν · TS )e−pν·TS

ν=0

ν=∞  F (p) = f (ν · TS )e−pν·TS . TS ν=0

Wird anstelle von f (ν · TS ) kurz f (ν) geschrieben, und substituiert man z = ep·TS , ergibt sich die Darstellung der z-Transformation

F (z) =

∞ 

f (ν)z −ν

f (ν) ≡ 0 f¨ ur

ν lim ν→∞ f (ν)

(4.24)

erf¨ ullt ist. Das Konvergenzgebiet ist also das Gebiet außerhalb des Kreises mit dem Radius R um den Koordinatenursprung, also das in Abbildung 4.14 schraffierte Gebiet.

Im {z}

z Konvergenzgebiet

R

Re{z}

Abb. 4.14: Konvergenzgebiet (schraffiert) der z-Transformation

4.4.4

Eigenschaften der z -Transformation

Linearit¨ at Aus der Definitionsgleichung (4.21) f¨ ur die z-Transformation ist unmittelbar ersichtlich

Z{k1 f1 (ν) + k2 f2 (ν)} = k1 F 1 (z) + k2 F 2 (z) .

(4.25)

376

4 Diskrete Signale und Systeme

Verschiebungss¨ atze Wird eine Folge f (ν) um k Abtastwerte nach rechts verschoben, ergibt sich Z{f (ν − k)} =

∞ 

f (ν − k)z −ν = z −k

ν=0

= z −k

∞ 

f (ν − k)z −(ν−k)

ν=0 ∞ 

f (μ)z −μ .

μ=−k

Mit f (μ) = 0 f¨ ur μ < 0 ergibt sich der Verschiebungssatz

Z{f (ν − k)} = z −k Z{f (ν)}

k = 0, 1, 2, ... .

(4.26)

Ein wichtiger Sonderfall ist k = 1.

Z{f (ν − 1)} = z −1 Z{f (ν)}

(4.27)

Durch Multiplikation mit z −1 kommt man demnach vom Abtastwert f (ν) zum Abtastwert f (ν − 1). Das entspricht einer zeitlichen Verz¨ ogerung um TS im Zeitbereich (vgl. Abbildung 4.12). Als N¨ achstes wird die Verschiebung um k nach links untersucht. Z{f (ν + k)} =

∞ 

f (ν + k)z −ν = z k

ν=0

= zk

∞ 

∞ 

f (ν + k)z −(ν+k)

ν=0

f (μ)z −μ

μ=k

Erg¨ anzt man auf beiden Seiten der Gleichung die Summanden f¨ ur μ = 0 bis (k − 1), folgt

Z{f (ν + k)} = z k Z{f (ν)} − z k ·

k−1 

f (μ)z −μ

k = 0, 1, 2, ... .

(4.28)

μ=0

Muliplikationssatz Aus der Ableitung der z-Transformation nach z folgt direkt der Muliplikationssatz

Z{νf (ν)} = −z

dZ{f (ν)} . dz

(4.29)

4.4 z -Transformation

377

Modulationssatz Der Modulationssatz

Z{aν f (ν)} = F (z/a)

(4.30)

leitet sich aus Z{aν f (ν)} =

∞ 

aν f (ν)z −ν =

ν=0

∞ 

f (ν)

ν=0

 z −ν

a

= F (z/a)

ab. Zeitdiskrete Faltung Wie bei der Laplace-Transformation kann eine gesuchte Ausgangsfolge eines Systems im Bildbereich der z-Transformation ermittelt und dann r¨ ucktransformiert werden oder bei bekannter System-Impulsantwort h(ν) mittels Faltung berechnet werden. Die zeitdiskrete Faltung eignet sich besonders gut f¨ ur eine rechnergest¨ utzte Auswertung, da lediglich Zahlen multipliziert und addiert werden m¨ ussen. F 1 (z) und F 2 (z) seien die Bildfunktionen zweier Folgen f1 (ν) und f2 (ν). Zur Herleitung des Faltungssatzes wird in dem Produkt F 1 (z) · F 2 (z) der erste Faktor ∞  f1 (k)z −k durch die Definitionsgleichung der z-Transformation ersetzt (mit F 1 (z) = k=0

der Variablen k statt ν): F 1 (z) · F 2 (z) =

∞  k=0

f1 (k) z −k · F 2 (z)    =Z{f2 (ν−k)}

Mit Hilfe des Verschiebungssatzes (4.26) wird aus der rechten Seite der Gleichung eine Doppelsumme F 1 (z) · F 2 (z) =

∞ 

f1 (k)

∞ 

f2 (ν − k)z −ν

ν=0

k=0

und nach Vertauschen der Summen 5∞ 6 ∞   f1 (k)f2 (ν − k) z −ν F 1 (z) · F 2 (z) = ν=0

k=0

sowie der Forderung f2 (ν − k) = 0 f¨ ur k > ν erh¨alt man schließlich den Faltungssatz ν  k=0

f1 (k) · f2 (ν − k) = Z −1 {F 1 (z) · F 2 (z)} .

(4.31)

378

4 Diskrete Signale und Systeme

Beispiel 4.5 ¨ Am Eingang eines einfachen digitalen Tiefpasses mit der Ubertragungsfunktion A(z) =

F a (z) = 0, 5 + 0, 5z −1 F e (z)

(vgl. Abbildung 4.23 auf Seite 389) liegt die Zahlenfolge fe (ν) = 1 · sin(ν · π/2). Zu ermitteln ist die Ausgangsfolge fa (ν) mittels diskreter Faltung. L¨ osung: Die Impulsantwort h(ν) des Tiefpasses lautet h(ν) = a(ν) = {0, 5; 0, 5; 0; 0; 0; 0; ...}. Die Vorgehensweise bei der diskreten Faltung ist analog zu der bei der Laplace’schen Faltung: • Die Variable ν wird durch k ersetzt. • Die einfachere Folge (hier h(ν)) wird an der Ordinate gespiegelt (gefaltet) und um ν nach rechts u ¨ber die Eingangsfolge geschoben. • Beide Zahlenfolgen werden multipliziert und die Ergebnisse addiert. • Man erh¨ alt den aktuellen Ausgangswert fa (ν). Abbildung 4.15 stellt den Ablauf graphisch dar. Es ergibt sich die Ausgangsfolge fa (ν) = {0; 0, 5; 0, 5; −0, 5; −0, 5; 0, 5; 0, 5; −0, 5; −0, 5; ...}, die nach √ Signalr¨ uckgewinnung mittels Tiefpassfilterung einer um −45◦ verschobenen ampften Sinusschwingung entspricht. und um 2 ged¨

: fe (k) : h(-k+ ν)

N= 4

1 ν=0

0

1 1/ 2 0,5

ν=4

1

2

3

-1 Abb. 4.15: Zeitdiskrete Faltung

fa (ν)

4

5 k

0

-1

1

2

3

4

5 ν

4.4 z -Transformation

379

Anfangs- und Endwertsatz Schreibt man die Folge der z-Transformation aus F (z) = f (0) + f (1) · z −1 + f (2) · z −2 + ...,

erkennt man sofort, dass f¨ ur z → ∞

(4.32)

f (0) = lim F (z) z→∞

gilt. Die Herleitung des Endwertsatzes ist etwas langwierig. Daher wird hier nur das Ergebnis bekannt gegeben.

f (∞) = lim (z − 1)F (z)

(4.33)

z→1+0

4.4.5

Korrespondenztabelle

In Tabelle 4.1 sind einige wichtige, h¨ aufig vorkommende z-Transformierte angegeben.

Konvergenzbereich

f (ν)

F (z)

δ(ν)

1

ε(ν)

z z−1

|z| > 1

aν

z z−a

|z| > |a|

aν−1 und f (0) = 0

1 z−a

|z| > |a|

z (z − 1)2

|z| > 1

z · [z − cos(ωTS )] z 2 − 2z cos(ωTS ) + 1

|z| > 1

z sin(ωTS ) − 2z cos(ωTS ) + 1

|z| > 1

ν

cos(ωTS ν)

sin(ωTS ν)

z2

Tabelle 4.1: Einige wichtige z-Transformierte

ganze z-Ebene

380

4 Diskrete Signale und Systeme

Beispiel 4.6 Berechnen Sie die z-Transformierte der Einschaltfolge ε(ν). Berechnen Sie die z-Transformierte von f (ν) = aν−1 . L¨ osung: Z{ε(ν)} =

∞ 

1·z

−ν

ν=0

=

∞  "

z

# −1 ν

ν=0

#(∞+1) " 1 − z −1 z = = −1 z−1 1−z    geometrische Reihe

Z{aν−1 } =

1 z ·z −1 = z − a z−a    Z{aν }

4.4.6

Ru ¨cktransformation

Viele Bildfunktionen haben die Form eines Quotienten aus Z¨ ahler- und Nennerpolynom. Wie bei den Bildfunktionen der Laplace-Transformation unterscheidet man zwischen Summen-, Produkt- und Partialbruchform. Aus der Summenform F (z) =

am z m + am−1 z m−1 + ... + a1 z + a0 1 · z n + bn−1 z n−1 + ... + b1 z + b0

(4.34)

mit n ≥ m l¨ asst sich die zugeh¨ orige Differenzengleichung und daraus der Signallaufplan unmittelbar angeben, wenn Z¨ ahler und Nenner durch die h¨ ochste Potenz von z, z n , dividiert werden. Die Summenform kann nach einer Berechnung der Nullstellen von Z¨ ahler und Nenner in die Produktform F (z) = C ·

(z − z01 ) · (z − z02 ) · ... · (z − z0m ) (z − zp1 ) · (z − zp2 ) · ... · (z − zpn )

(4.35)

mit C = am umgewandelt werden. Diese Form ist besonders gut geeignet f¨ ur die Konstruktion eines Pol- und Nullstellenplans in der z-Ebene. Ist der Grad m des Z¨ahlers kleiner als der Grad n des Nenners und sind die Nullstellen des Nenners einfach, so l¨asst sich die Bildfunktion mittels Partialbruchzerlegung in die Form F (z) =

Cn C2 C1 + ... + + z − zpn z − zp2 z − zp1

(4.36)

bringen. Wie bei der Laplace-Transformation eignet sich auch bei der z-Transformation die Partialbruchform am besten f¨ ur die R¨ ucktransformation mit Hilfe von Korrespondenztabellen. Bemerkung: Neben der eben erw¨ ahnten Partialbruchzerlegung und R¨ ucktransformation mit Hilfe von Tabellen gibt es noch weitere Methoden der R¨ ucktransformation, wie

4.4 z -Transformation

381

• die Division von Polynomen und • die Residuenberechnung. Beispiel 4.7 Zu berechnen ist die Originalfolge folgender z-Transformierter durch Partialbruchzerlegung und Verwendung von Korrespondenztabellen: 3z 2 − 3z 3z − 7 . und F 2 (z) = 2 F 1 (z) = 2 z − 2, 5z + 1 z − 5z + 6

L¨ osung: F 1 (z) =

z2

2 1 3z − 7 3z − 7 ⇒ + = = z−2 z−3 (z − 2)(z − 3) − 5z + 6

f1 (ν) = 2ν−1 · ε(ν) + 2 · 3ν−1 · ε(ν) Bemerkung: ε(ν) wird oft weggelassen!

3z − 3 3z 2 − 3z =z· =z· F 2 (z) = 2 (z − 2)(z − 0, 5) z − 2, 5z + 1 z z ⇒ + = 2· z − 2 z − 0, 5



1 2 + z − 2 z − 0, 5



f2 (ν) = 2 · 2ν + 0, 5ν

4.4.7

Pol- und Nullstellenplan

Tr¨ agt man alle Pole und Nullstellen einer Bildfunktion F (z) in die komplexe z-Ebene ein, ergibt sich der f¨ ur die Beurteilung der Systemeigenschaften wichtige Pol- und Nullstellenplan. Bild 4.16 veranschaulicht die geometrische Abbildungvorschrift der p-Ebene auf die z-Ebene. Danach bildet die Beziehung z = ep·TS

• die imagin¨ are Achse p = jω der p-Ebene auf den Einheitskreis z = ejω·TS der z-Ebene ab, • die linke Halbebene der p-Ebene auf das Innere des Einheitskreises der z-Ebene ab und ¨ • die rechte Halbebene der p-Ebene auf das Außere des Einheitskreises der z-Ebene ab. Aus obiger Abbildungsvorschrift lassen sich ¨ ahnlich wie bei der Laplace-Transformation folgende Aussagen bez¨ uglich der Eigenschaften von digitalen Systemen machen: • Das System ist stabil, wenn alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises der zEbene zu liegen kommen. • Befinden sich ein oder mehrere Pole außerhalb des Einheitskreises, ist das System instabil, d.h. die Zahlenwerte der Ausgangsfolge steigen unaufh¨orlich an, bis sie ihren maximalen bin¨ aren Wert erreicht haben.

382

4 Diskrete Signale und Systeme

Im {p}=jω

p

Im {z}

z

Einheitskreis = jω-Achse

Re {p}=σ

1

Re{z}

Abb. 4.16: Beziehung zwischen Laplace- und z-Transformation

4.4.8

Bilineare Transformation

Oftmals besteht die Aufgabenstellung darin, ein zeitkontinuierliches System in ein zeitdiskretes System u uhren. ¨berzuf¨ In Abschnitt 4.3.1 wurde anhand eines einfachen RC-Tiefpasses eine L¨ osungsm¨ oglichkeit vorgestellt. Dabei wurde die DGL des zeitkontinuierlichen Systems in die entsprechende Differenzengleichung u uhrt. Nachteilig bei dieser Methode ist, dass ¨bergef¨ man immer u ¨ber die DLG des kontinuierlichen Systems gehen und daraus die entsprechende Differenzengleichung ableiten muss, bevor man die z-Transformierte und den Signallaufplan erh¨ alt. Ein weiterer Nachteil des in Abschnitt 4.3.1 erl¨ auterten Verfahrens ist, dass der exakte Wert der Ableitung df (t)/dt einer Funktion an der Stelle f ((ν + 1)TS ) − f (νTS ) oder t = ν · TS nur relativ grob durch Differenzenquotienten wie TS f (νTS ) − f ((ν − 1)TS ) bestimmt ist. TS

¨ Mit Hilfe der bilinearen Transformation lassen sich nicht nur zeitkontinuierliche (Uber¨ tragungs-) Funktionen F (p) direkt in die entsprechenden zeitdiskreten (Ubertragungs-) uhren, auch der eben erw¨ahnte Diskretisierungsfehler ist geringer. Funktionen F (z) u ¨berf¨ Die bilineare Transformation (auch Tustin-Gleichung genannt) lautet:

p =⇒

2 z−1 2 1 − z −1 · = · TS z + 1 TS 1 + z −1

(4.37)

Danach gelangt man von einer zeitkontinuierlichen Funktion F (p) vom Grad n zur zeitdiskreten Funktion F (z) (ebenfalls) vom Grad n, indem man an jeder Stelle die komplexe Frequenzvariable p durch den Term auf der rechten Seite der Gleichung (4.37) ersetzt.

Herleitung der bilinearen Transformation Zur Herleitung der bilinearen Transformation betrachtet man das Trapezregelverfahren der numerischen (diskreten) Integration, das in Abbildung 4.17 skizziert ist.

4.4 z -Transformation

383

f(t) f(νT S ) f((ν-1) T S )

A(ν)

ΔA

A(ν-1)

ν-1

t/T S

ν

Abb. 4.17: Numerische Integration: Fl¨ achenzuwachs nach der Trapezregel grau unterlegt; Fl¨ achenzuwachs nach der Obersummenbildung punktiert gezeichnet (entspricht der Methode aus Abschnitt 4.3.1)

Die Fl¨ache unter der Funktion f (t) erh¨ oht sich von t = (ν − 1) · TS bis t = ν · TS nach der Trapezregel um ΔA = A(ν) − A(ν − 1) =

f (ν) + f (ν − 1) · TS . 2

(4.38)

Wird die letzte Gleichung z-transformiert, erh¨alt man TS 2 T S Z{A(ν)} · (1 − z −1 ) = 2 TS Z{A(ν)} = 2 Z{f (ν)}

Z{A(ν)} − Z{A(ν − 1)} =

  · Z{f (ν)} + Z{f (ν − 1)}

· Z{f (ν)} · (1 + z −1 )

·

1 + z −1 . 1 − z −1

(4.39)

Vergleicht man das Ergebnis aus Gleichung (4.39) mit dem Integrationssatz der LaplaceTransformation  t 1 1 F (p) = L{f (t)} ⇒ f (τ )dτ ◦—• p p 0  t % 1 L{f (t)} L f (τ )dτ = L {A(t)} = p 0 1 L{A(t)} , (4.40) = p L{f (t)}

ergibt sich der Zusammenhang

TS 1 + z −1 1 · =⇒ 2 1 − z −1 p

bzw.

p =⇒

2 1 − z −1 , · TS 1 + z −1

der der bilinearen Transformation (4.37) entspricht.

384

4 Diskrete Signale und Systeme

Frequenzverzerrung der bilinearen Transformation Zwischen den Frequenzvariablen p des kontinuierlichen Systems und der Variablen z des diskreten Systems besteht grunds¨ atzlich ein nichtlinearer Zusammenhang. Wenn ein kontinuierliches System durch die bilineare Transformation in das entsprechende diskrete System u uhrt wird, gilt: ¨bergef¨ p =⇒

2 z−1 · TS z + 1 ˜

j2πf =⇒ 2 · fS ·

ej2πf /fS − 1

ej2πf˜/fS + 1 ˜

j2πf =⇒ 2 · fS ·

˜

ejπf /fS − e−jπf /fS

ejπf˜/fS + e−jπf˜/fS 2j · sin(π f˜/fS ) j2πf =⇒ 2 · fS · 2 · cos(π f˜/fS ) fS · tan(π f˜/fS ) f =⇒ π

(4.41)

Zur Unterscheidung der Frequenzen des kontinuierlichen und des diskreten Systems wird im Gleichungssatz (4.41) die Frequenz des diskreten Systems mit einer Tilde (∼) versehen. Aus der letzten Gleichung von (4.41) erh¨ alt man die Frequenzverzerrungsgleichungen

f=

fS · tan(π f˜/fS ) π

bzw.

fS · arctan(πf /fS ) . f˜ = π

(4.42)

Achtung! Bei einer zahlenm¨ aßigen Auswertung der Gleichung (4.42) m¨ ussen alle Frequenzumrechnungen im Bogenmaß ausgef¨ uhrt werden. Die Auswirkung der nichtlinearen Frequenzzuordnung als Folge der bilinearen Transformation ist in Abbildung 4.18 dargestellt. Aus Abbildung 4.18 entnimmt man beispielsweise, dass eine bestimmte Eigenschaft (wie Grenzfrequenz, D¨ ampfung, ...), die im kontinuierlichen System bei f = 0, 25·fS auftritt, im diskreten System bei f˜ = 0, 212 · fS liegt. Beispiel 4.8 Leiten Sie den Zusammenhang der Frequenzvariablen p und z nach dem numerischen Integrationsverfahren der Obersummenbildung her. L¨ osung: Der Fl¨ achenzuwachs mittels Obersumme liefert (vgl. Abbildung 4.17): ΔA = A(ν) − A(ν − 1) = f (ν) · TS ⇒ Z{A(ν)} · (1 − z −1 ) = TS · Z{f (ν)} ⇒

4.5 Diskrete Systeme

385

f / fS 0,5

f / fS 0,5

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0

0

0,5

1 f / fS

1,5

2

0

0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f / fS

Abb. 4.18: Frequenzverzerrungskennlinie der bilinearen Transformation

1 Z{A(ν)} ⇒ = TS · 1 − z −1 Z{f (ν)} 1 1 1 · (1 − z −1 ) bzw. p =⇒ =⇒ TS · −1 TS 1−z p

Beispiel 4.9 Ein kontinuierliches Tiefpassfilter 1. Ordnung mit der Grenzfrequenz fg = 1kHz wird mittels bilinearer Transformation in ein digitales Tiefpassfilter u uhrt. Die ¨bergef¨ agt 5kHz. Wie groß ist die Grenzfrequenz f˜g des diskreten Abtastfrequenz fS betr¨ Filters? L¨osung: fS · arctan(πfg /fS ) = 0, 8928kHz f˜g = π

4.5

Diskrete Systeme

Die analoge Signalverarbeitung wird im Zuge der Hochintegration mehr und mehr von der digitalen Signalverarbeitung verdr¨angt. Dem Nachteil des h¨ oheren Schaltungsaufwandes bei digitaler Realisierung liegen viele Vorteile, wie eine h¨ ohere Genauigkeit und Reproduzierbarkeit sowie geringere St¨orempfindlichkeit, gegen¨ uber. Dieser Abschnitt gibt eine kurze Einf¨ uhrung zu digitalen Systemen, wobei der Schwerpunkt bei digitalen Filtern liegt. Anwendungsbeispiel 4.10:

Digitale Signalverarbeitung

Die Integration eines digitalen Filters in eine analoge Umgebung ist in Abbildung 4.19 schematisch dargestellt.

386

4 Diskrete Signale und Systeme dig tales Filter

Eingang

TP 0,0

Tastung

A

D

DSP

D

A

TP

si-

Ausgang

Entz.

|U (f)|

0,5

1,0

1,5 f/f S

Abb. 4.19: Realisierung eines digitalen Bandpasses in einer analogen Umgebung

Das analoge Eingangsspannungssignal wird zur Vermeidung von Aliasing-Fehlern mittels Tiefpass zun¨achst auf die halbe Abtastfrequenz bandbegrenzt. Anschließend entnimmt das Abtast-Halte-Glied (engl.: sample and hold) den Augenblickswert des (bandbegrenzten) Eingangssignals zu den jeweiligen Abtastzeitpunkten t = ν · TS mit ν = 0, 1, 2, ... und h¨alt ihn f¨ ur ein Abtastintervall TS konstant. Der AnalogDigital-Wandler setzt die zeitdiskreten Werte in digitale Signale, meist Dualzahlen, um. Ein Digitaler-Signal-Prozessor (DSP), im vorliegenden, abgebildeten Beispiel ein digitales Bandpassfilter, erzeugt die gefilterte duale Zahlenfolge. Um sie wieder in ein analoges Signal u uhren, wandelt der Digital-Analog¨berzuf¨ Wandler das bin¨are Wort in eine treppenf¨ormige Spannung. Durch die Wandlung in ein treppenf¨ormiges Signal wird das Spektrum mit der Gewichtsfunktion si(πf /fS ) verzerrt (vgl. Seite 369). Der Entzerrer am Ende des Blockschaltbildes wirkt dem entgegen, nachdem die Spannung zuvor mittels Tiefpass in eine zeitkontinuierliche Spannung umgewandelt worden ist.

Anwendungsbeispiel 4.11:

Digitale Speicherung analoger Signale

In vielen technischen Anwendungen findet lediglich eine Umwandlung analoger Signale in digitale Daten und umgekehrt statt. Oftmals werden die bin¨aren Signale, wie in Abbildung 4.20 angedeutet, auf Datentr¨agern zwischengespeichert. Beispiel hierf¨ ur ist die Speicherung von Audiosignalen (z.B. Musik) auf CD (16bit, fS = 44, 1kHz). Analog zur Vorgehensweise digitaler Filter wird das Analogsignal vor der Abtastung, AD-Wandlung und Speicherung mit Hilfe eines Tiefpasses gefiltert, um Aliasing-Frequenzen im Basisband zu vermeiden. Diese Maßnahme ist speziell bei Audiosignalen f¨ ur einen ungetr¨ ubten H¨orgenuss unerl¨asslich, da mit Frequenzanteilen f ≥ fS /2 vor der Abtastung aufgrund elektromagnetischer Einkopplungen, Verst¨arkerrauschen usw. zu rechnen ist.

4.5 Diskrete Systeme

387 Signalaufbereitung, Filterung und si-Entzerrung

Signalaufzeichnung, Digitalisierung und Abspeicherung

Analoges Signal

0,0

Daten Speicher

A

Tastung

TP

D

D

TP

A

si-

Analoges Signal

Entz.

Daten Speicher

|U(f)|

0,5

si-Verzerr.

1,0

1,5 f/fS

Abb. 4.20: Digitale Aufzeichnung analoger Signale mit Zwischenspeicherung; R¨ uckgewinnung des Analogsignals aus den digitalen Daten

Der durch die Digitalisierung verursachte Quantisierungsfehler (bei 16bit maximal arstellen pro Abtastwert 7, 6 · 10−4 % von Endwert) ist umso geringer, je mehr Bin¨ spendiert werden, und in der Praxis vernachl¨ assigbar.

4.5.1

Grundstrukturen digitaler Filter

Die gebr¨ auchlichste Struktur digitaler Filter zeigt Abbildung 4.21. f e(ν) bzw. F e(z) a0 +

z

-b 0

a m- 1

a1 -1

z

+

-b 1

-1

...

+

z

am -1

-b m- 1

+

fa (ν) bzw. F a (z)

Abb. 4.21: Digitales Filter mit verteilten Summierern

Sie ist identisch mit der Struktur aus Abschnitt 4.3, Abbildung 4.12, wobei z −1 einer uber anderen den Zeitverz¨ogerung um TS entspricht. Die abgebildete Struktur hat gegen¨ Vorteil, dass hier jede Multiplizierer-Akkumulator-Stufe (MAC) von der n¨ achsten durch ur diese Operationen eine ganze ein Verz¨ogerungselement (z −1 ) getrennt ist. So steht f¨ Taktdauer zur Verf¨ ugung.

388

4 Diskrete Signale und Systeme

FIR-Filter uckFIR-Filter (engl.: finite impulse response) sind nichtrekursive Filter, bei denen die R¨ kopplung entf¨allt. Alle Koeffizienten bk sind Null

ur bk = 0 f¨

k = 0, 1, 2, ...(m − 1)

und es entsteht die Struktur in Abbildung 4.22.

f e(ν) a0

+

a m-1

a1

z-1

+

z-1

...

+

z-1

am +

f a (ν)

Abb. 4.22: Struktur eines FIR Filters mit verteilten Summierern

Die Bezeichnung FIR bedeutet, dass die Impulsantwort eine endliche Zeit (m + 1) · TS besitzt. Durch den Wegfall der R¨ uckkopplung vereinfacht sich auch die zugeh¨ orige Differenzengleichung fa (ν) = am · fe (ν) + ... + a1 · fe (ν + 1 − m) + a0 · fe (ν − m)

(4.43)

¨ bzw. die Ubertragungsfunktion F a (z) = am + am−1 · z −1 + ... + a1 · z −m+1 + a0 · z −m . F e (z)

(4.44)

Aus Gleichung (4.44) folgt, dass die Gleichspannungsverst¨arkung (ω = 0 ⇒ z = 1) von FIR-Filtern gleich der Summe aller Filterkoeffizienten ist. Beispiel (Tiefpass 1. Ordnung) Das FIR-Filter in Abbildung 4.23 stellt einen digitalen Tiefpass 1. Ordnung dar. ¨ Die Ubertragungsfunktion lautet: F a (z) = A(z) = a1 + a0 · z −1 = 0, 5 + 0, 5 · z −1 F e (z)

Mit z = ep·TS und p = jω wird daraus A(jω) = 0, 5 + 0, 5 · e−jω·TS = 0, 5 + 0, 5 · e−j2πf /fS = 0, 5 · [1 + cos(2πf /fS ) − j sin(2πf /fS )]

4.5 Diskrete Systeme

389

|A(z)|

f e(ν)

a 0 +a 1 =1

+

z-1

1/ 2

a 1 =+0,5

a 0 =+0,5

f a (ν)

+

0

0,25

0,5

f/fS

Abb. 4.23: Digitales Tiefpassfilter 1. Ordnung

¨ und f¨ ur den Betrag der Ubertragungsfunktion erh¨alt man nach kurzer Zwischenrechnung |A(jω)| = | cos(πf /fS )| .

¨ Der Betrag der Ubertragungsfunktion |A(jω)| = | cos(πf /fS )| ist in Abbildung 4.23 skizziert, woraus das Tiefpassverhalten deutlich wird. Zur Ermittlung der Grenzkreisfrequenz ωg setzt man

√ |A(jω)| = | cos(πfg /fS )| = 1/ 2

und erh¨ alt daraus ωg = ωS /4. Filtertabellen Es gibt verschiedene Methoden und Algorithmen, um die Filterkoeffizienten aufzufinden. Um den Rahmen dieses Buches nicht zu sprengen, wird auf diese nicht weiter eingegangen. F¨ ur die meisten Aufgabenstellungen existieren Filtertabellen, auf die man in der Praxis zur¨ uckgreifen kann. Tabelle 4.2 stellt einen Auszug aus einer solchen Filtertabelle dar.

Grenzfrequenz fg = 0, 25 · fS 1. Ordnung a0 = a1 = +0, 50000 5. Ordnung a0 = a5 = −0, 00979 7. Ordnung a0 = a7 = +0, 00343 a3 = a4 = +0, 49657

Tiefpass

a1 = a4 = +0, 00979

a2 = a3 = +0, 50000

a1 = a6 = −0, 03171

a2 = a5 = +0, 03171

Tabelle 4.2: Auszug aus einer Filtertabelle [6]

390

4 Diskrete Signale und Systeme

IIR-Filter In Gegensatz zu FIR-Filtern sind IIR-Filter rekursive Filter mit R¨ uckkopplung. Man bezeichnet sie auch als infinite impulse response Filter, da ihre Impulsantwort (theoretisch) unendlich viele Abtastwerte besitzt. Ihre Struktur entspricht der in Abbildung ¨ 4.21, die Ubertragungsfunktion lautet

am + am−1 · z −1 + ... + a1 · z −m+1 + a0 · z −m F a (z) . = 1 + bm−1 · z −1 + ... + b1 · z −m+1 + b0 · z −m F e (z)

(4.45)

Beim Design von IIR-Filtern bedient man sich h¨ aufig der bilinearen Transformation. Aus der Spezifikation des zu entwickelnden digitalen Filters wird aus einem Filterkata¨ log f¨ ur analoge Filter eine passende Ubertragungsfunktion in der Laplace-Darstellung ¨ herausgesucht. Anschließend wird die Ubertragungsfunktion des analogen Filters mit Hilfe der bilinearen Transformation in die Z-Transformierte umgesetzt. Am Ende muss der so gewonnene digitale Filter noch auf seine Eigenschaften hin untersucht werden, da aufgrund der Frequenzverzerrung der bilinearen Transformation eine Spezifikationsverletzung nicht auszuschließen ist. Beispiel 4.12 Die Spannungs¨ ubertragungsfunktion eines einfachen RC-Tiefpasses lautet: 1 mit der Polstelle p = −1/(RC). AU (p) = 1 + pRC

Der analoge Tiefpass soll mittels bilinearer Transformation in ein digitales Filter umgewandelt werden. L¨osung: AU (z) =

4.5.2

1 + z −1 1  



= 2RC 2RC 2 1 − z −1 z −1 + 1 − 1 + 1 + RC · TS TS TS 1 + z −1

Bezeichnungen bei Filtern

Zur Spezifizierung von Filtern sind folgende Begriffe u ¨blich (vgl. Abbildung 4.24): • Durchlassgrenzfrequenz fg oder fpass , • Sperrgrenzfrequenz fstop , • Taktfrequenz oder Abtastfrequenz (sampling frequency) fS , • Sperrd¨ ampfung astop , • Durchlassd¨ ampfung eines Bandpasses apass , • Rippel im Durchlassbereich Rp = 20lg

1 + δ1 . 1 − δ1

4.5 Diskrete Systeme

391

20 lg(| A(z)|)

20 lg(| A(z)|)

0 dB -3 dB

0 dB a pass -3 dB

a stop

Rp

a stop fg

f stop

f

fgo fstopo

fstopu fgu

a)

f

b)

Abb. 4.24: Grundbegriffe von Filtern: a) Tiefpass; b) Bandpass

4.5.3

Vergleich von FIR- und IIR-Filtern

Je nach Anwendung verwendet man FIR- oder IIR-Filter, wobei die beiden Filtertypen unterschiedliche Eigenschaften besitzen (vgl. Tabelle 4.3).

Eigenschaft Stabilit¨ at Phase Gruppenlaufzeit Erforderliche Ordnung Rechenaufwand Realisierbarkeit Filterfunktion

FIR-Filter unbedingt linear (bei entspr. Dimensionierung) konstant (bei entspr. Dimensionierung) hoch groß immer TP, HP, BP, BS, Multibandfilter Hilbert-Transformator, Differentiator

Tabelle 4.3: Vergleich von FIR- und IIR-Filtern

IIR-Filter bedingt nichtlinear nicht konstant niedrig klein nicht immer TP, HP, BP, BS Allpass, Integrator

392

4 Diskrete Signale und Systeme

¨ Ubungsaufgaben

4.6

Aufgabe 4.1 Geben Sie f¨ ur die abgebildeten Spannungssignale (Abbildung 4.25) die mathematische Form an, unter Verwendung der Sprungfunktion ε(t) und der zeitverschobenen Sprungfunktion ε(t − t0 ). Differenzieren Sie die Spannungssignale nach der Zeit und skizzieren Sie das differenzierte Signal.

a) u(t)/V

b) u(t)/V

10

10

5 0

3

9

t/ms

0

3

9

t/ms

Abb. 4.25: Zeitliche Spannungssignalverl¨ aufe

Aufgabe 4.2 ˆ · cos(2πf t) wird mit der Frequenz Das kontinuierliche Spannungssignal u(t) = U fS = 80kHz abgetastet. Zur Signalr¨ uckgewinnung wird ein idealer Tiefpass mit einer Grenzfrequenz fg = 40kHz verwendet. Ermitteln Sie die Frequenzen fa am Filterausgang f¨ ur die Signalfrequenzen f = 10kHz, 20kHz, 30kHz, 50kHz, 70kHz, 110kHz.

Aufgabe 4.3 Gegeben ist das periodische Spannungssignal u(t) = 5V · sin(2πf t) mit f = 10kHz. Das Signal wird mit der Abtastfrequenz fS = 30kHz abgetastet. a) Skizzieren Sie die Form der abgetasteten Spannung u↑ (t) als Funktion der Zeit t. b) Berechnen Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten ˜cn und skizzieren Sie das Betragsspektrum.

c) Wie kann das urspr¨ ungliche, kontinuierliche Signal u(t) r¨ uckgewonnen werden?

¨ 4.6 Ubungsaufgaben

393

Aufgabe 4.4 ˜ (f ) des abgebildeten, nichtperiodischen, Berechnen Sie die Fourier-Transformierte U diskreten Signals u(ν) (Abbildung 4.26).

˜ (f ) im Bereich Skizzieren Sie f¨ ur TS = 1/fS = 1μs den Betragsverlauf von U −1MHz ≤ f ≤ 4MHz.

u(ν) / V 2

-1 0 1

5

ν

-1 Abb. 4.26: Abtastwerte eines nichtperiodischen Signals u(t)

Aufgabe 4.5 Die Spannung u(t) ist bandbegrenzt und ist durch das abgebildete Spektrum U (f ) (Abbildung 4.27) charakterisiert.

|U( f )|

-50

0

50

f / kHz

Abb. 4.27: Spektrum eines bandbegrenzten Signals

a) Ist die Spannung u(t) periodisch? ˜ (f )| nach einer Abtastung mit fS1 = 150kHz b) Skizzieren Sie das Spektrum |U 1 im Bereich −200kHz ≤ f ≤ 200kHz.

c) Ist das Abtasttheorem erf¨ ullt? Wenn ja, skizzieren Sie den Frequenzgang eines Tiefpassfilters mit minimalem Schaltungsaufwand, das eine exakte Signalr¨ uckgewinnung erm¨oglicht.

394

4 Diskrete Signale und Systeme

d) Die Abtastfrequenz wird nun auf fS2 = 75kHz verringert. Skizzieren Sie nun ˜ (f )| im Bereich −200kHz ≤ f ≤ 200kHz. das Spektrum |U 2

¨ e) Ist das Abtasttheorem erf¨ ullt? Markieren Sie spektrale Uberlappungen, falls diese auftreten. Aufgabe 4.6 Abbildung 4.28 zeigt die Spannung u(t) = 1, 4V · cos(2π · 12kHz · t + 60◦ ) + 0, 7V · cos(2π · 20kHz · t − 30◦ ).

2

u(t) / V

1 0 -1 -2 -0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

t / ms

Abb. 4.28: Signal u(t)

a) Nach welcher Zeit T wiederholt sich die Zeitfunktion u(t)? b) Skizzieren Sie das Betragsspektrum der komplexen Fourier-Reihe. c) u(t) wird nun mit der Frequenz fS = 50kHz abgetastet. Zeichnen Sie nun in Abbildung 4.28 die Abtastwerte der Funktion u(ν) ein. d) Skizzieren Sie das Betragsspektrum des abgetasteten Signals. e) Die Folge u(ν) wird mit einem Hann-Fenster der Breite N = 10 bewertet. Tragen Sie die Fensterfunktion w(t) (Hann-Fenster) und das gewichtete Signal u(ν) · w(ν) in Abbildung 4.28 ein.

¨ 4.6 Ubungsaufgaben

395

Aufgabe 4.7 Gegeben ist die Differenzengleichung a(ν) =

1 [e(ν) + e(ν − 1) + e(ν − 2)]. 3

A(z) ¨ = F (z)? a) Wie lautet die zugeh¨ orige Ubertragungsfunktion E (z)

ur physikalische Kreisfrequenzen ω aus. b) Werten Sie F (z) f¨ Aufgabe 4.8 Ermitteln Sie aus den Partialbruchzerlegungen der Funktionen F (z) die Folgen f (ν) mit ν = 0, 1, 2, 3, ... durch R¨ ucktransformation.

a) F (z) =

4 3z 5 2z + + + z − 1 z − 1 z − 0, 5 (z − 1)2

b) F (z) =

1, 4142z −1 0, 5 − 0, 5657z −1 + 0, 32z −2

Aufgabe 4.9 Ermitteln Sie aus den Folgen f (ν) (ν ≥ 0) die Bildungsgesetze und berechnen Sie die zugeh¨ origen Bildfunktionen F (z).

a) f (ν) = {5; 4; 3; 2; 1; 0; −1; −2; ...} b) f (ν) = {5; 1; 5; 1; 5; 1; 5; 1; ...} c) f (ν) = {10; 9; 8, 1; 7, 29; 6, 561; ...} Aufgabe 4.10 Gegeben ist eine einfache RC-Tiefpass Schaltung (Abbildung 4.29).

u e (t) u e (ν)

R C

u a (t) u a (ν)

Abb. 4.29: RC-Tiefpass 1. Ordnung

¨ a) Stellen Sie die Ubertragungsfunktion U a (p)/U e (p) auf.

b) Leiten Sie aus den Ergebnissen von a) die Differentialgleichung f¨ ur die Ausgangsspannung her.

396

4 Diskrete Signale und Systeme

c) Stellen Sie nun die Differenzengleichung f¨ ur die Kondensatorspannung ua (ν) auf (Vorgehen wie unter Abschnitt 4.3). ¨ d) Geben Sie die z-Transformierte der Ubertragungsfunktion U a (z)/U e (z) an.

e) Skizzieren Sie die Struktur der Differenzengleichung in einem Flussdiagramm. f) Geben Sie die Folge ua (ν) f¨ ur 1/(RCfS ) = 0, 25 (bis ν = 10) an und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem zeitkontinuierlichen Verlauf ua (t) indem Sie Ihre Ergebnisse skizzieren. Am Eingang liegt ein Einheitssprung an. ¨ ur technische g) Werten Sie den Betrag der Ubertragungsfunktion |U a (z)/U e (z)| f¨ Frequenzen f aus (1/(RCfS ) = 0, 25), vergleichen Sie das Ergebnis mit dem ¨ ur p = j2πf und skizzieren Betrag der Ubertragungsfunktion |U a (p)/U e (p)| f¨ Sie Ihre Ergebnisse.

h) Berechnen Sie die Punkte d)–g) nochmal mit Hilfe der bilinearen Transformation f¨ ur 1/(RCfS ) = 0, 25.

Aufgabe 4.11 Gegeben ist die skizzierte Struktur eines zeitdiskreten Systems (Abbildung 4.30). ur ν = 0, 1, 2, ... an. Die AnfangsEingangsseitig liegt die Folge fe (ν) = {1; 1; 1; ...} f¨ werte sind fa (−2) = fa (−1) = 0.

f e(ν)

+

z -1 3

z -1

+

+

f a (ν)

2

Abb. 4.30: Signallaufplan

a) Stellen Sie die Differenzengleichung f¨ ur das System auf. b) Berechnen Sie die Werte fa (ν) f¨ ur ν = 0, 1, ..., 5. ¨ c) Welche Anderungen f¨ ur a) und b) ergeben sich f¨ ur die Anfangsbedingungen fa (−2) = 3 und fa (−1) = 2?

¨ 4.6 Ubungsaufgaben

397

Aufgabe 4.12 ¨ Gegeben ist die Ubertragungsfunktion eines digitalen Systems: AU (z) =

0, 2452 − 0, 2452 · z −2 1 − 1, 2841 · z −1 + 0, 5095 · z −2

Die Abtastfrequenz ist fS = 1kHz. a) Beschreiben Sie das System (FIR- oder IIR-Filter, TP, HP, BP, BS). b) Ermitteln Sie die Pol- und Nullstellen und zeichnen Sie einen Pol- und Nullstellenplan. Ist das System stabil? ¨ c) Wie lautet die Produktform der Ubertragungsfunktion? d) Wie lautet die zugeh¨orige Differenzengleichung? e) Zeichnen Sie das Signalflussdiagramm. Aufgabe 4.13 Gegeben ist die Differenzengleichung eines zeitdiskreten Systems fa (ν) − 0, 5 · fa (ν − 1) + 0, 25 · fa (ν − 2) = fe (ν) . ¨ a) Wie lautet die Ubertragungsfunktion? b) Ermitteln Sie die Pol- und Nullstellen und zeichnen Sie einen Pol- und Nullstellenplan. c) Ist das System stabil? d) Ist das System kausal? e) Zeichnen Sie das Signalflussdiagramm. Aufgabe 4.14 ¨ Am Eingang eines LTI-Netzwerks mit der Ubertragungsfunktion −1 −2 ¨ (z) = 2 − 0, 5 · z − 0, 5 · z U 1 + 0, 5 · z −1 − 0, 5 · z −2

liegt eine abgetastete Sprungfunktion der H¨ ohe 3 an. a) Berechnen Sie die Bildfunktion des Ausgangssignals F a (z).

ur b) F¨ uhren Sie eine PBZ von F a (z) durch und berechnen Sie die Folge fa (ν) f¨ ν = 0, 1, ..., 5 durch R¨ ucktransformation von F a (z) mit Tabellen.

ur ν = 0, 1, ..., 5. c) Berechnen Sie per Polynomdivision aus F a (z) die Folge fa (ν) f¨ d) Berechnen Sie fa (ν) f¨ ur ν = 0, 1, ..., 5 durch Rekursion aus der Differenzengleichung.

398

4 Diskrete Signale und Systeme

Aufgabe 4.15 Designen Sie einen digitalen Sinusgenerator mit der Signalfrequenz f = 1kHz. Die Taktfrequenz ist fS = 8kHz. Zeichnen Sie die Schaltung in Form eines Signallaufplans und zeichnen Sie die Signalwerte f¨ ur ν = 0, 1, 2, ..., 16. Wie l¨ asst sich die zeitliche Aufl¨ osung erh¨ohen? Aufgabe 4.16 ¨ Ein analoger Butterworth-Tiefpass 2. Ordnung mit der Ubertragungsfunktion

A(p) =

1+

√

1 2 · p/ωg + (p/ωg )2

und der Grenzfrequenz fg = 20kHz soll als digitales Filter mit der Taktfrequenz fS = 100kHz realisiert werden. ¨ a) Ermitteln Sie die Ubertragungsfunktion A(z) durch Anwendung der bilinearen Transformation auf A(p).

b) Welche Grenzfrequenz f˜g ergibt sich f¨ ur den digitalen Tiefpass nach a)? c) Die Grenzfrequenz des digitalen Filters soll f˜g = 20kHz betragen. Wie lauten die Filterkoeffizienten f¨ ur diesen Fall?

4.7 L¨osungen

4.7

399

L¨osungen

Aufgabe 4.1 Skizze zu den abgeleiteten Funktionen siehe Abbildung 4.31! Hinweis: Die Ableitung der Einheitssprungfunktion ε(t) ergibt die Dirac-Funktion δ(t). Man bezeichnet diese mathematische Operation wegen ihrer Ausnahmestellung als verallgemeinerte Ableitung und schreibt statt dε(t)/dt oft Dε(t) = δ(t).

 10 10 · (t/ms − 9) · ε(t − 9ms) V · (t/ms − 3) · ε(t − 3ms) + a) u(t) = 10ε(t) − 6 

6 10 10 ˙ · ε(t − 9ms) V/ms u(t) = 10δ(t)V + − · ε(t − 3ms) + 6 6

b) u(t) = [10ε(t) − 5ε(t − 3ms) − 5ε(t − 9ms)]V ˙ = [10δ(t) − 5δ(t − 3ms) − 5δ(t − 9ms)] V u(t) Bemerkung: δ(t) hat die Einheit 1/s!

b) du(t)/dt in V/ms

a) du(t)/dt in V/ms

10

10 3

3

9

-10/6

t/ms

-5

9 t/ms

Abb. 4.31: L¨ osung zu Aufgabe 4.1

Aufgabe 4.2 Durch Abtastung entstehen die Frequenzen fd = ±fk ± m · fS mit m = 0, ±1, ±2, .... Mit fd sind die Frequenzen des beidseitigen Spektrums nach der Abtastung gemeint, w¨ahrend fk die Frequenzen des zeitkontinuierlichen Signals bezeichnen. Bei den Frequenzen f = fk = 10kHz, 20kHz und 30kHz ist das Abtasttheorem erf¨ ullt. ⇒ fa = f = 10kHz, 20kHz und 30kHz. Bei den Frequenzen f = fk = 50kHz, 70kHz und 110kHz ist das Abtasttheorem nicht erf¨ ullt. ⇒ fa = 30kHz, 10kHz und 30kHz.

400

4 Diskrete Signale und Systeme

Aufgabe 4.3 a) L¨ osung siehe Abbildung 4.32. u (t)

Fläche=4,33V .T S

a)

t / ms

0,2

0,1

|c n | / V

zu b)

2,5

-30 -f S

-20

-10

0

10

20

30 fS

40

50

60 2fS

70

80

f / kHz

Abb. 4.32: Abgetastete Spannung mit zugeh¨ origem Frequenzspektrum

1 u(ν) · e−jnν2π/3 ⇒ 3 ν=0 2

b) c˜n =

1 1 u(ν) · 1 = · [0 + 5 · sin(2π/3) + 5 · sin(4π/3)]V = 0V 3 3 ν=0 2

c˜0 =

1 u(ν) · e−jν2π/3 3 ν=0 1 = · [0 + 5 · sin(2π/3) · e−j·1·2π/3 + 5 · sin(2π · 2/3) · e−j·2·2π/3 ]V = −j · 2, 5V 3 2 1 u(ν) · e−j·2·ν2π/3 c˜2 = 3 ν=0 1 = · [0 + 5 · sin(2π/3) · e−j·2·1·2π/3 + 5 · sin(2π · 2/3) · e−j·2·2·2π/3 ]V = j · 2, 5V 3 Einfachere L¨ osung: c˜2 = c˜−1 = c˜∗1 = j · 2, 5V c˜n = c˜n±k·3 (k ∈ N) und c˜−n = c˜∗n Frequenzspektrum siehe Abbildung 4.32. 2

c˜1 =

c) R¨ uckgewinnung des kontinuierlichen Signals u(t) aus dem abgetasteten Signal u(ν) durch Tiefpassfilterung mit einer Grenzfrequenz von 10kHz < fg < 20kHz.

4.7 L¨osungen

401

Aufgabe 4.4  ∞ ˜ u↑ (ν) · e−jωt dt ⇒ U (f ) = −∞

˜ (f ) = TS · (2V · e−jωTS − 1V · e−j2ωTS + 2V · e−j3ωTS − 1V · e−j4ωTS + 2V · e−j5ωTS ) U ˜ U (f ) = TS · e−j3ωTS · (2V · ej2ωTS − 1V · ejωTS + 2V − 1V · e−jωTS + 2V · e−j2ωTS ) ˜ (f ) = 2V · TS · e−j3ωTS · [1 − cos(ωTS ) + 2 cos(2ωTS )] U ˜ (f )| = 2V · TS · |1 − cos(ωTS ) + 2 cos(2ωTS )| |U Betragsspektrum siehe Abbildung 4.33.

|U( f )| / (V .μs) 10 8 6 4 2 0 -0,5

0

0,5

1

1,5

2

f / MHz Abb. 4.33: Kontinuierliches, periodisches Frequenzdichtespektrum bei diskreten, nichtperiodischen Signalen

Aufgabe 4.5 a) Die Spannung u(t) ist nicht periodisch, da das Frequenzspektrum kontinuierlich ist! b) L¨osung siehe Abbildung 4.34. c) Das Abtasttheorem ist erf¨ ullt, da fS = 150kHz > 2 · fmax = 100kHz. Frequenzgang des Tiefpasses siehe Abbildung 4.34. d) L¨osung siehe Abbildung 4.34. e) Das Abtasttheorem ist nicht erf¨ ullt, da fS = 75kHz < 2 · fmax = 100kHz. ¨ Uberlappungen sind deutlich zu sehen!

402

4 Diskrete Signale und Systeme

|U 1 ( f )|

-150

-100

-50

50

|A U(TP) ( f )|

1

100

150

f / kHz

Durchlassbereich Sperrbereich

-150

-100

-50

50

100

150

f / kHz

50

100

150

f / kHz

|U 2 ( f )|

-150

-100

-50

Abb. 4.34: L¨ osung zu Aufgabe 4.5 b)–d)

Aufgabe 4.6 a) f = f1 /n1 = f2 /n2 mit n1 , n2 ganzzahlig und teilerfremd! f = 12kHz/3 = 20kHz/5 = 4kHz ⇒ T = 250μs ˆ1 = 1, 4V ⇒ |c | = 0, 7V b) U 1 ˆ2 = 0, 7V ⇒ |c | = 0, 35V U 2 L¨ osung vgl. Abbildung 4.35 (durchgezogene Linien).

c) L¨ osung vgl. Abbildung 4.35. d) L¨ osung vgl. Abbildung 4.35 (durchgezogene und gestrichelte Linien).

e) L¨osung vgl. Abbildung 4.35.

4.7 L¨osungen

403

|c n | bzw. |c n | / V

zu b) und d)

0,7

0,35

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50 fS

60

70

80

f / kHz

zu c) und e) 2

u(t) / V

1

w(t)

u(ν)

0 -1

w(ν) .u(ν)

-2 -0,05

0

0,05

0,1

0,15

t / ms Abb. 4.35: L¨ osung zu Aufgabe 4.6

Aufgabe 4.7 a) F (z) =

1 + z −1 + z −2 3

b) z −1 wird ersetzt durch e−pTS bzw. e−jωTS : # 1 " F (ω) = · 1 + e−jωTS + e−j2ωTS ⇒ 3 1 F (ω) = · [1 + cos(ωTS ) − j sin(ωTS ) + cos(2ωTS ) − j sin(2ωTS )] 3 Nach weiterer Umformung ergibt sich: 1 F (ω) = · [1 + cos(ωTS )] · [cos(ωTS ) − j sin(ωTS )] 3

0,2

404

4 Diskrete Signale und Systeme

Aufgabe 4.8 a) f (ν) = 2 · ε(ν) + 5 · ε(ν − 1) + 3 · 0, 5ν + 4 · (ν − 1)

2 · 1, 4142z z 2 − 2 · 0, 5657z 1 + 2 · 0, 32 Aus einer Mathematik-Formelsammlung entnimmt man: zeα sin β ⇒ Z{eαν · sin(βν)} = 2 z − 2zeα cos β + e2α 0, 64 = e2α ⇒ α = −0, 22314 1, 1314 = 2eα cos β ⇒ β = 45◦ 2, 8284 = k · eα sin β mit k = konstant ⇒ k = 5, 0 Es ergibt sich die Folge: f (ν) = 5 · e−0,22314·ν · sin(ν · 45◦ ) = 5 · 0, 8ν · sin(ν · 45◦ )

b) F (z) =

Aufgabe 4.9 a) f (ν) = 5 · ε(ν) − ν ⇒ F (z) =

z 5z − z − 1 (z − 1)2

b) f (ν) = 3 · ε(ν) + 2 · (−1)ν ⇒ F (z) =

c) f (ν) = 10 · (0, 9)ν ⇒ F (z) =

2z 3z + z−1 z+1

10z z − 0, 9

Aufgabe 4.10 a)

1 U a (p) = 1 + pCR U e (p)

b)

1 1 dua (t) ue (t) ua (t) = + RC RC dt

c)

d)

1 1 ua (ν) − ua (ν − 1) ue (ν − 1) ⇒ ua (ν − 1) = + RC T S  RC TS TS ue (ν − 1) − 1 ua (ν − 1) = ua (ν) + RC RC

TS /(RC) · z −1 U a (z) = 1 + [TS /(RC) − 1]z −1 U e (z)

e) L¨osung siehe Abbildung 4.36. f) ua (ν) = 0; 0, 25; 0, 4375; 0, 578125; 0, 6836; ... Skizze von ua (ν) und ua (t) siehe Abbildung 4.37. ua (t) = 1 − e−t/(RC) (= 1 − e−ν·0,25 )

4.7 L¨osungen

405 u e (ν)

u e(ν)

u a (ν)

z-1

+

1/9

1/9

T S /RC = 0,25

(1 - T S /RC ) = 0,75

u a (ν)

z-1

+

+

7/9

(2)

(1)

Abb. 4.36: (1) L¨ osung zu Aufgabe 4.10e); (2) L¨ osung zu Aufgabe 4.10h)

(p)| bzw. | A (z)|

u (t) bzw. u (ν ) / V a

1

a

U

0,8 0,6 0,4

|A

U

0,2 0 0 1

2

3 4

5 6 7 8

Abtastnummer zu f) und h)

ν

9 10

1

fg

0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

f / fS

zu g) und h)

Abb. 4.37: L¨ osung zu Aufgabe 4.10; (—) kontinuierliches System; ( ) diskretes System; () diskretes System (bilineare Transformation)

g)

h)

0, 25 0, 25 U a (z) = = AU (z) = cos(2πf /fS ) + j sin(2πf /fS ) − 0, 75 z − 0, 75 U e (z) 0, 25 |AU (z)| =  [cos(2πf /fS ) − 0, 75]2 + sin2 (2πf /fS )

U a (p) 1

U (p) = |AU (p)| = 1 + (2πf CR)2 mit p = j2πf e Skizze siehe Abbildung 4.37.

1/9 + 1/9 · z −1 1 1 = = z−1 2 z−1 1 − 7/9 · z −1 1+8 · RC 1+ z+1 TS z + 1 Flussdiagramm siehe Abbildung 4.36. ua (ν) = 0, 1111; 0, 3086; 0, 4623; 0, 5828; 0, 6747; ... U a (z) = U e (z)

406

4 Diskrete Signale und Systeme

Skizze von ua (ν) siehe Abbildung 4.37. 1/9[cos(2πf /fS ) + j sin(2πf /fS )] + 1/9 1/9 · z + 1/9 U a (z) = = z − 7/9 U e (z)  cos(2πf /fS ) + j sin(2πf /fS ) − 7/9

1/9 [cos(2πf /fS ) + 1]2 + sin2 (2πf /fS )

U a (z)

= |AU (z)| = 

U (z) e [cos(2πf /fS ) − 7/9]2 + sin2 (2πf /fS )

Aufgabe 4.11 a) fa (ν) = fe (ν) + 2 · fa (ν − 1) + 3 · fa (ν − 2) b) fa (ν) = {1; 3; 10; 30; 91; 273} mit ν = 0, 1, ..., 5 c) fa (ν) = {14; 35; 113; 332; 1004; 3005} mit ν = 0, 1, ..., 5 Aufgabe 4.12 a) IIR-Filter ur f = fS /2 ur f = 0 und |AU (z)| = 0 f¨ Bandpasscharakter wegen |AU (z)| = 0 f¨

b) Nullstellen: z01 = 1; z02 = −1 Polstellen: zp1 = 0, 642 + 0, 311j; zp2 = 0, 642 − 0, 311j Pol- und Nullstellenplan siehe Abbildung 4.38. System ist stabil, da alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen (|zp1 | = |zp2 | < 1). c) AU (z) = 0, 2452 ·

(z − 1) · (z + 1) (z − 0, 642 − 0, 311j) · (z − 0, 642 + 0, 311j)

d) ua (ν) = 1, 2841·ua (ν −1)−0, 5095·ua (ν −2)+0, 2452·ue (ν)−0, 2452·ue (ν −2) e) Signalflussdiagramm siehe Abbildung 4.38. u e(ν)

Im {z} 1

-0,2452

-1

1

+0,2452

+

Re {z}

z -1

+

-0,5095

+1,2841

-1

zu b) Abb. 4.38: L¨ osung zu Aufgabe 4.12

z -1

zu e)

+

u a(ν)

4.7 L¨osungen

407

Aufgabe 4.13

z2 1 ¨ (z) = F a (z) = = a) U z 2 − 0, 5z + 0, 25 1 − 0, 5z −1 + 0, 25z −2 F e (z)

0 b) Nullstellen: z01 = 0; z02 = √ √ Polstellen: zp1 = 0, 25(1 + 3j); zp2 = 0, 25(1 − 3j) Pol- und Nullstellenplan siehe Abbildung 4.39.

c) Das System ist stabil, da alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen. d) Das System ist kausal. Dies ergibt sich aus der Differenzengleichung! Es kommen keine Faktoren fe (ν + k) mit k = +1, +2, +3, ... vor. e) Signalflussdiagramm siehe Abbildung 4.39.

Im {z}

f e(ν)

0,25

-0,25

doppelte Nullstelle

0,25

z

Re {z}

-1

+

-0,25

zu b)

z

-1

+

f a (ν)

+0,5

zu e)

Abb. 4.39: L¨ osung zu Aufgabe 4.13

Aufgabe 4.14

3z z−1 3z F a (z) = z−1

a) F e (z) =

¨ (z) ⇒ und F a (z) = F e (z) · U

2 − 0, 5 · z −1 − 0, 5 · z −2 bzw. 1 + 0, 5 · z −1 − 0, 5 · z −2 6 − 1, 5 · z −1 − 1, 5 · z −2 (Summenform f¨ ur PolynomdiviF a (z) = 1 − 0, 5 · z −1 − 1 · z −2 + 0, 5 · z −3 sion) 2 · z 2 − 0, 5 · z − 0, 5 3z (Nenner in Produktform f¨ ur PBZ). · F a (z) = z − 1 (z + 1) · (z − 0, 5) ·

408

4 Diskrete Signale und Systeme

b) PBZ liefert: 1 2 3 6 · z 2 − 1, 5 · z − 1, 5 F a (z) ⇒ + + = = (z − 1) (z + 1) (z − 0, 5) (z − 1) · (z + 1) · (z − 0, 5) z z 2z 3z ⇒ + + F a (z) = (z − 1) (z + 1) (z − 0, 5) fa (ν) = 3 · ε(ν) + 2 · (−1)ν + 0, 5ν ⇒ fa (0) = 6; fa (1) = 1, 5; fa (2) = 5, 25; fa (3) = 1, 125; fa (4) = 5, 0625; fa (5) = 1, 0313.

c) (6 − 1, 5 · z −1 − 1, 5 · z −2 ) : (1 − 0, 5 · z −1 − 1 · z −2 + 0, 5 · z −3 ) = 6 + 1, 5 · z −1 + 5, 25 · z −2 + 1, 125 · z −3 + 5, 0625 · z −4 + 1, 0313 · z −5 + ... ⇒ fa (ν) wie oben! d) Die Differenzengleichung lautet: 1·fa (ν)+0, 5·fa (ν −1)−0, 5·fa (ν −2) = 2·fe (ν)−0, 5·fe (ν −1)−0, 5·fa (ν −2) ⇒ fa (ν) = −0, 5·fa (ν −1)+0, 5·fa (ν −2)+2·fe (ν)−0, 5·fe (ν −1)−0, 5·fa (ν −2) Mit der Eingangsfolge fe (ν) = {3; 3; 3; ...} folgt fa (ν) wie oben! Aufgabe 4.15 z sin(ωTS ) und den gegebenen − 2z cos(ωTS ) + 1 Werten TS = 1/fS = 0, 125ms und ω = 2π · 103 s−1 folgt:√ z −1 · 2/2 z −1 sin(π/4) √ . = Z{sin(π/4 · ν)} = −1 −2 1 − 2z cos(π/4) + z 1 − 2 · z −1 + z −2 Signallaufplan siehe Abbildung 4.40.

Aus der Korrespondenz Z{sin(ωTS ν)} =

z2

¨ Aus der Ubertragungsfunktion ergibt sich die Ausgangsfolge nach Einheitsimpuls = {1; 0; 0; 0; ...}) am Eingang: (ue (ν) = δ(ν) √ √ · ue (ν − 1)√+ 2 · ua (ν√− 1) − ua (ν − 2) = = 1/ 2 √ ua (ν) √ {0; 1/ 2; 1; 1/ 2; 0; −1/ 2; −1; −1/ 2; 0...}. Skizzierte Folge ua (ν) siehe Abbildung 4.40.

Erh¨ohung der zeitlichen Aufl¨osung durch Erh¨ohung der Taktfrequenz fS . Achtung! Es ¨andern sich die Verst¨arkungskoeffizienten (also der Signallaufplan)!

4.7 L¨osungen

409

u e(ν) 2/2

z -1

u a (ν)

z -1

+ 2

-1

u a (ν)

5

1

10

15

ν

Abb. 4.40: Digitaler Sinusgenerator

Aufgabe 4.16 a) Die Frequenzvariable p wird durch den Ausdruck 2fS

1

1 − z −1 ersetzt: 1 + z −1

2 2fS (1 − z −1 ) 1+ 2πfg (1 + z −1 ) 1 + 2z −1 + z −2   

=  √ √  fS2 2fS fS2 fS2 2fS −1 + 2 2 z −2 + 2 2 + 2−2 2 2 z + 1− 1+ π fg πfg π fg π fg πfg −1 −2 1 + 2z + z = 5, 78382 − 3, 06606z −1 + 1, 28224z −2

A(z) =

√

−1

2fS (1 − z ) + 2· 2πfg (1 + z −1 )



fS · arctan(πfg /fS ) = 17, 8566kHz b) f˜g = π

fS · tan(π f˜g /fS ) = 23, 12657kHz c) Es soll gelten: f˜g = 20kHz. ⇒ fg = π Mit dem neuen Wert fg = 23, 12657kHz werden die Filterkoeffizienten der ¨ Ubertragungsfunktion neu berechnet. Es ergibt sich: 1 + 2z −1 + z −2 A(z) = 4, 84092 − 1, 78885z −1 + 0, 94793z −2

Literaturverzeichnis [1] Kuchling: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch, 1986 [2] H. St¨ocker: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch, 4. Auflage 2000. [3] W.-E. B¨ uttner: Grundlagen der Elektrotechnik 1, Oldenbourg Verlag, M¨ unchen, 2004. [4] R. Heinemann: PSPICE, Carl Hanser Verlag, M¨ unchen, 1999. [5] Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, 1999. [6] U. Tietze, Ch. Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik, Springer-Verlag, Heidelberg, 9. Auflage 1990. [7] Clausert, Wiesemann: Grundgebiete der Elektrotechnik 1, Oldenbourg Verlag, M¨ unchen, 6. Auflage 1993. [8] Clausert, Wiesemann: Grundgebiete der Elektrotechnik 2, Oldenbourg Verlag, M¨ unchen, 6. Auflage 1993. [9] Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik, lin/M¨ unchen, 9. Auflage 1992.

Verlag

Technik

GmbH,

Ber-

[10] H. Weber: Laplace-Transformation, Teubner Verlag, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 7. Auflage 2003. [11] B. Girold, R. Rabenstein, A. Stenger: Einf¨ uhrung in die Systemtheorie, Teubner Verlag, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2. Auflage 2003. [12] O. F¨ollinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation, H¨ uthig GmbH, Heidelberg, 7. Auflage 2000. [13] R. Unbehauen: Systemtheorie, Oldenbourg Verlag, M¨ unchen, 7. Auflage 1997. [14] Seyed Ali Azizi: Entwurf und Realisierung digitaler Filter, Oldenbourg Verlag, M¨ unchen, 1981.

Index ¨ Aquipotentialfl¨ ache, 7 ¨ Uberlagerungssatz, 58, 247 ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis (Trafo), 193 ¨ Ubertragungsfunktion, 136 3-Phasensysteme, 181 Abbruchbedingung (DC-Analyse), 75 Abtastfrequenz, 357 Abtasttheorem, 363, 375 Abtastung, 358 AC-Analyse, 207 Admittanz, 129 Akkumulator, 35 Aliasing, 363 Ampere, 1 Amplitude, 110 Anfangsbedingungen, 295 Anpassung, 54, 141 aperiodischer Fall, 308 aperiodischer Grenzfall, 308 Arbeitspunkt, 32 arithmetischer Mittelwert, 106, 262 asymptotische N¨ aherung, 163, 167 Ausgangsleitwert (Zweitore), 136 Ausgangswiderstand (Zweitore), 136 Bandbegrenzung, 367 Bandbreite, 151 Baum, 57 belasteter Transformator, 190 Betrags- und Phasengang, 167 Bezugsknoten, 63 Bezugspotential, 73 bifilare Wicklung, 199 Bildbereich, 293 bilineare Transformation, 382 Biot-Savart’sches Gesetz, 26 Blindleistung, 119, 267 Blindleistungskompensation, 145 Blindleitwert, 129

Blindwiderstand, 128 Bode-Diagramm, 165 Brennstoffzelle, 36 CD-Spieler, 386 charakteristische Gleichung, 307 Coulomb’sches Gesetz, 3 crest factor, 108 Curietemperatur, 27 D¨ampfung, 151 DC-Analyse, 72 Dehnungsmessstreifen, 16 Dezibel-Skala, 165 DFT, 361 diamagnetische Stoffe, 27 Dichtefunktion, 274 dielektrische Verschiebung, 21 Dielektrizit¨atskonstante (relative), 4 Dielektrizit¨atskonstante (Vakuum), 4 Differentialgleichung 1. Ordnung, 302 Differentialgleichung 2. Ordnung, 305 Differentialgleichungen, 301 differentieller Widerstand, 32 Differenzengleichung, 371 digitale Filter, 387 digitale Signalverarbeitung, 385 Diracfunktion, 282 Diracimpuls, 358 diskrete Fourier-Transformation, 361 diskrete periodische Vorg¨ange, 360 diskrete Signale, 357 diskrete Systeme, 357, 385 Drehstrom, 178 Dreieckschaltung, 180 Driftgeschwindigkeit, 9 Durchflutungsgesetz, 25 Eckfrequenz, 164 Effektivwert, 107, 124, 262

414

Eigenwerte, 307 Eingangsleitwert (Zweitore), 136 Eingangswiderstand (Zweitore), 136 Einheitszeiger, 123 Einschaltvorg¨ ange, 292 elektrische Energie, 20 elektrische Feldlinie, 4 elektrische Feldst¨ arke, 4 elektrische Ladung, 3 elektrische Quellen, 35 elektrochemische Spannungsreihe, 35 Elementarladung, 3 Energie, 12 Ersatzquellenverfahren, 60 Ersatzschaltungen im Bildbereich, 295 Euler’sche Formel, 122 Existenzbedingung (Fourier-Transformation), 276 Existenzbedingung (Laplace-Integral), 287 Faltung (Laplace), 298 Faltung (zeitdiskret), 377 Faltungssatz (Fourier), 280 Fast Fourier-Transformation, 365 Fehlanpassung (komplex), 142 Fehlanpassungskurven, 143 Feld-Blindleistung, 267 Fenstertechnik, 368 ferromagnetische Stoffe, 27 FFT, 365 Filter (digitale), 387 FIR-Filter, 388 Fourier-Integral, 274 Fourier-Koeffizienten, 252, 255 Fourier-Koeffizienten (komplex), 259 Fourier-Koeffizienten (Umrechnungstabelle), 261 Fourier-Reihen, 251 Fourier-Transformation, 274 Fourier-Transformation (Eigenschaften), 278 Frequenz, 110 Frequenzaufl¨ osung bei der DFT, 368 Frequenzmischer, 273 Frequenzverzerrung, 384 G¨ ute, 151

Index

Gauß’sche Zahlenebene, 121 Gegeninduktionskoeffizient, 30 gegensinnige Kopplung, 51 gerade Funktion, 257 gesteuerte Quellen, 67 Gleichrichtwert, 106 gleichsinnige Kopplung, 51 Gleichstromanalyse, 74 Gleichstromlehre, 1 Graphentheorie, 56 Grenzfrequenz, 167 Grenzkreisfrequenz, 152 Grenzwerts¨atze, 291, 379 Großsignalverhalten, 34 Grundkreisfrequenz, 251 Grundschwingung, 249 Halbwellensymmetrie, 258 Hamming-Funktion, 369 Hann-Funktion, 369 Heißleiter, 17 ¨ Helmholtz’scher Uberlagerungssatz, 58 HF-Tapete, 162 homogene L¨osung, 303, 307 Hybridmatrix, 135 Hysterese, 27 IIR-Filter, 390 Impedanz, 128 Impulsantwort, 299 Induktionsgesetz, 23 Induktivit¨at, 22 inhomogene L¨osung, 303, 308 inverse Fourier-Transformation, 275 Isolationswiderstand, 205 Kaltleiter, 17 Kapazit¨at, 19 Kausalit¨at von Systemen, 360 Kettenmatrix, 136 Kirchhoff’sche Gleichungen, 41 Kirchhoff’sche Gleichungen (Anwendung), 55 Kleinsignalmodelle, 198 Kleinsignalverhalten, 32 Klirrd¨ampfung, 264 Klirrfaktor, 264

Index

Knotenpotentialanalyse, 62 Knotenpotentialanalyse (komplex), 131 Knotenpunktsatz, 41, 126 Knotenspannungsvektor, 64 Kompensationsblindleitwert, 146 komplexe Amplitude, 124 komplexe Fourier-Reihe, 259 komplexe Knotenpunktgleichung, 126 komplexe Leistung, 140 komplexe Maschengleichung, 125 komplexe Rechnung, 120 komplexe Wechselstromgr¨ oßen, 124 komplexer Effektivwert, 124 komplexer Widerstand, 126, 128 komplexer Widerstand (Kondensator), 128 komplexer Widerstand (Spule), 127 komplexer Zeiger, 121 komplexer Zeitzeiger, 125 Kondensator, 19, 205 Konduktanz, 129 Konvergenz der z-Transformation, 375 Konvergenzprobleme (DC-Analyse), 75 Kopplungsfaktor, 30 Korrespondenztabelle (Fourier-Transf.), 283 Korrespondenztabelle (Laplace-Transf.), 291 Korrespondenztabelle (z-Transf.), 379 Kreisdiagramm, 172 Kreisfrequenz, 110 Kurvenformfaktor, 108 Ladungserhaltung, 3 Ladungstr¨ agerbeweglichkeit, 9 Laplace’sches Umkehrintegral, 286 Laplace-Integral, 286 Laplace-Transformation, 285 Laplace-Transformation (Eigenschaften), 287 Leistung, 12, 117 Leistung (3-Phasensystem), 186 Leistung (komplex), 140 Leistung (nichtsinusf¨ ormige Vorg¨ ange), 265 Leistungsanpassung, 54, 141 Leistungsfaktor, 120

415

Leistungsverbrauch, 19 Leistungszeiger, 140 Leitwert, 14 Leitwert (komplex), 129 Leitwertmatrix, 64, 135 lineares rekursives Gleichungssystem, 72 Linearit¨at von Systemen, 360 logarithmische Darstellung, 162 lokales Ohm’sches Gesetz, 12 Lorenzkraft, 35 LTI-Systeme, 360 Luftspulen, 201 magnetische Energie, 24 magnetische Flussdichte, 26 magnetische Kopplung, 51 magnetischer (Kraft-) Fluss, 27 magnetischer Kreis, 28 magnetisches Feld, 24 Magnetisierungsstrom, 192 Maschensatz, 43, 125 Maxwell’sche Gleichung, 21 Mehrphasensysteme, 178 Messbereichserweiterung, 46 mittleres Fehlerquadrat (Fourier-Reihen), 253 modifiziertes Gleichungssystem, 65 Modulation, 272 Momentanleistung, 117 nichtlineare Bauelemente, 31, 271 nichtlineares Gleichungssystem, 71 nichtperiodische Vorg¨ange, 273 nichtrekursive Filter, 388 nichtsinusf¨ormige Vorg¨ange, 245 nichtsinusf¨ormige, periodische Vorg¨ange, 248 Normierung, 172 NTC-Widerst¨ande, 17 Nullphasenwinkel, 110 Ohm’sches Gesetz, 14 Ortskurven, 157 oversampling, 368 Parallelschaltung von Induktivit¨aten, 50 Parallelschaltung von Kondensatoren, 48

416

Parallelschaltung von Widerst¨ anden, 45 Parallelschwingkreis, 153 paramagnetische Stoffe, 27 Parseval’sches Theorem, 281 Periodendauer, 110, 249 periodischer Fall, 308 Permeabilit¨ at, 26 Phase, 110 Pol- und Nullstellenplan, 296, 381 Polarisationswiderstand, 205 Potential, 4 PTC-Widerst¨ ande, 17 Quellen, 35 R¨ ucktransformation (Laplace), 296 R¨ ucktransformation (z-Transf.), 380 R¨ uckwirkung, 136 Reaktanz, 128 Rechenregeln komplexer Zahlen, 123 rechnergest¨ utzte Netzwerkanalyse, 72, 207, 309 reelle Fourier-Reihe, 251, 254 reelle Rechnung, 116 Reihenschaltung von Induktivit¨ aten, 50 Reihenschaltung von Kondensatoren, 48 Reihenschaltung von Widerst¨ anden, 45 Reihenschwingkreis, 147 rekursive Filter, 390 relative Dielektrizit¨ atskonstante, 4 Resistanz, 128 Resonanz, 146 Resonanz¨ uberh¨ ohung, 150 Resonanzbedingung, 147 Resonanzblindleitwert, 154 Resonanzblindwiderstand, 148 Schaltungsanalyse (Faltung), 298 Schaltungsanalyse (Fourier-Transf.), 276 Schaltungsanalyse (Laplace-Transf.), 292 Schaltungsanalyse mit Fourier-Reihen, 269 Schaltungssimulator, 72 Scheinleistung, 119, 266 Scheinleitwert, 129 Scheinwiderstand, 117, 128 Scheitelfaktor, 108

Index

Scheitelwert, 110 Schmidt-Buschbeck-Diagramm, 172 Schwingkreis, 146 Seebeck-Koeffizienten, 36 Selbstinduktionskoeffizient, 22 Serienschaltung von Induktivit¨aten, 50 Serienschaltung von Kondensatoren, 48 Serienschaltung von Widerst¨anden, 45 Serienschwingkreis, 147 SI-Einheit, 1 si-Verzerrung, 369 sinusf¨ormige Vorg¨ange, 105 sinusf¨ormige Wechselgr¨oßen, 109 SMD-Bauelemente, 199 Spannung, 4 Spannungsteiler, 45 spektrale Dichtefunktion, 274 spezifische Leitf¨ahigkeit, 11 spezifischer Widerstand, 11 Sprungfunktion, 283 Spule, 22, 201 Spule mit Eisenkern, 204 Stabilit¨at von Systemen, 360 statischer Widerstand, 32 Sternschaltung, 179 Strangspannung, 179 Streufaktor, 31 Stromdichte, 8 Stromquelle, 37 Stromquellenvektor, 64, 131 Stromst¨arke, 8 Stromteiler, 46 Superpositionsprinzip, 58 Suszeptanz, 129 Symmetrieeigenschaften (Fourier-Reihen), 257 Symmetrieeigenschaften (komplexe FourierReihe), 260 Systeme (Klassifizierung), 360 Tastkopfteiler, 137 technische Grundbauelemente, 198 technische Kondensatoren, 205 technische Spulen, 201 technische Widerst¨ande, 198 technischer Schwingkreis, 155

Index

Temperaturabh¨ angigkeit von Widerst¨ anden, 17 Temperaturkoeffizient, 12 Transfiguration, 185 Transformationsschaltungen, 174 Transformator, 188 Transformator (ESB f¨ ur KPA), 196 Transformator (ideal), 193 Transformator (idealisiert), 191 Transformator-Ersatzschaltbilder, 194 Transformatorgleichungen, 31 Transformatorgleichungen (komplex), 189 Transienten–Analyse, 309 ungerade Funktion, 257 Variation der Konstante, 303 verkettete Spannung, 179 verkoppelte Induktivit¨ aten, 29 verlustbehafteter Transformator, 189 verlustlose Spulen, 203 Verstimmung, 151 Verzerrungs-Blindleistung, 267 Wechselgr¨ oßen, 105 Wechselstromanalyse, 207 Wechselstromeigenschaften von Bauelementen, 198 Wechselstromschaltungen, 130 Welligkeit, 264 Widerstand, 14, 198 Widerstand (komplex), 128 Widerstandsmatrix, 135 Wirkleistung, 119, 265 Wirkleistungsoptimierung, 144 Wirkleitwert, 129 Wirkungsgrad, 52 Wirkwiderstand, 128 Y-Matrix, 135 Z-Matrix, 135 z-Transformation, 372 z-Transformation (Eigenschaften), 375 Z¨ ahlpfeilsystem, 39 Zeichnen von Schaltpl¨ anen, 73 Zeigerdiagramm, 110 zeitdiskrete Faltung, 377

417

Zeitinvarianz von Systemen, 360 Zweig, 56 Zweipole, 59 Zweipole (komplex), 133 Zweipolersatzschaltung, 59, 133 Zweitore (komplex), 134 Zweitore (Zusammenschaltung), 138