Simulation und Analyse dynamischer Systeme in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften [Reprint 2019 ed.] 9783110848823, 9783110072662


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German Pages 618 [620] Year 1981

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Table of contents :
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1. Kennzeichnung dynamischer Systeme und Modelle
2. Formen und Erschließungsmethoden dynamischer MZÄ-Modelle
3. System Dynamics - ein Modellierungskonzept dynamischer Systeme
4. Rechnergestützte Systeme zur Entwicklung und Analyse dynamischer MZÄ-Modelle
Anhang
Literaturverzeichnis
Register
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Simulation und Analyse dynamischer Systeme in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften [Reprint 2019 ed.]
 9783110848823, 9783110072662

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Zwicker Simulation und Analyse dynamischer Systeme

Eckart Zwicker

Simulation und Analyse dynamischer Systeme in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

w DE

G Walter de Gruyter • Berlin • New York 1981

Dr. rer. Eckart Zwicker ist Professor für Entscheidungstheorie an der Technischen Universität Berlin Das Buch enthält 147 Abbildungen und 16 Tabellen

CIP-Kurztitelaufnähme

der Deutschen

Bibliothek

Zwicker, Eckart: Simulation und Analyse dynamischer Systeme in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften/Eckart Zwicker. Berlin; New York: de Gruyter, 1981. ISBN 3-11-007266-1

© Copyright 1981 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung, J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer, Karl J. Trübner, Veit & Comp., Berlin 30. Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Druck: Karl Gerike, Berlin; Bindearbeiten: Lüderitz & Bauer, Buchgewerbe GmbH, Berlin Printed in Germany

In der nationa1 Ökonomisehen Hexenküche wird jetzt manch kräftig dynamisch Tränklein gebräut, und wer davon genossen hat, sieht zwar leider nicht wie Faust Helena in jedem Weib, wohl aber ein Gewimmel

'dynamischer'

Probleme und die 'Zeit' in jedem ökonomischen Vorgang.

Oskar Morgenstern

Inhaltsverzeichnis Einleitung

14

1. Kennzeichnung dynamischer Systeme und Modelle

18

1.1. Systeme und Modelle

18

1.2. Dynamische Modelle als Repräsentanten dynamischer Systeme ... 21 1.2.1. Metrisch dynamische Modelle 1.2.2. Metrisch dynamische zeitdiskrete Modelle

24 äquidistante

(MZS)

28

1.2.3- Strukturmerkmale dynamischer MZÄ-Modelle

31

1.3. Strukturgleichungstypen dynamischer MZÄ-Modelle

38

1.3-1. Hypothesengleichungen A. Technologische und institutionelle Hypothesen sowie V e r haltenshypothesen B. Parametrisch-singu1äre, parametrisch-generelle, tive und nichtkomparative Hypothesen C. Kontrollierte und unkontrollierte, primäre und Hypothesen

38 38

kompara39 sekundäre 44

1.3.2. Definitionsgleichungen

47

1.4. Schaubildliche Modellierung dynamischer Systeme

54

1.4.1. Kausaldiagramme

56

1.4.2. Pfeil-, Block- und Signalflußdiagramme

61

1.4.3. System-Dynamics-Diagramme

67

1.5-

Implikationen dynamischer MZH-Modelle

69

1.5-1. Zeitverlauf der endogenen Variablen

72

A. Deterministische Modelle

12

B. Stochastische Modelle

74

1.5.2. Stabilitätsverhalten

75

1.5-3- Retrodiktion endogener Variablen

83

1.5-4. Sensitivität eines Modells

87

1.5-5. Stochastische

96

Implikationen

1.6. Methoden der Erschließung von Model 1implikationen

99

1.6.1. Deduktive Erschließung von Model 1imp1ikationen 1.6.2. Pseudoinduktive Erschließung von Model 1implikationen

99 .... 99

1.6.3. Simulation, Simulationsexperiment und Modellexperiment als Erschließungsmethoden von Mode 11implikationen

101

8 A. B e g r i f f l i c h e Deutung der Terme 1 S i m u 1 a t i o n 1 , 1 S i m u 1 a t i o n s e x p e r i m e n t M o d e l 1 e x p e r i m e n t ' und i h r e B e u r t e i lung a l s E r s c h l i e ß u n g s m e t h o d e

102

B. V e r w e n d b a r k e i t r e a l e x p e r i m e n t e l 1 e r V e r f a h r e n a l s s c h l i e ß u n g s m e t h o d e v o n Model 1 impl i k a t i o n e n

10*4

a) Methoden d e r P l a n u n g und A u s w e r t u n g von rimenten

Er-

Realexpe104

b) U b e r t r a g b a r k e i t r e a 1 e x p e r i m e n t e 1 1 er P l a n u n g s - und Auswertungsmethoden auf Modellexperimente 1.7-

Gewinnung und U b e r p r ü f u n g d y n a m i s c h e r M o d e l l e

1 . 7 - 1 • Gewinnung d y n a m i s c h e r

110

Hypothesen

B. Gewinnung d e t e r m i n i s t i s c h e r 1.7.2.

110

Hypothesen

A. Gewinnung s t o c h a s t i s c h e r

111

Hypothesen

122

Uberprüfung dynamischer Hypothesen

124

A. V o r a u s s e t z u n g e n der e m p i r i s c h e n H y p o t h e s e n ü b e r p r ü f u n g a)

F o r d e r u n g nach l o g i s c h e r

Forderung

B. U b e r p r ü f u n g

a)

Konsistenz

133

deterministischer 133

b) E i n z e l f r a g e n der U b e r p r ü f u n g d e t e r m i n i s t i s c h e r pothesen

Hy139

ba) H y p o t h e s e n ü b e r p r ü f u n g anhand von R e t r o d i k t i o n e n

139

bb) H y p o t h e s e n ü b e r p r ü f u n g n e r e l l e n Hypothesen

durch K o n f r o n t a t i o n mit

143

bc)

durch s u b j e k t i v e

Hypothesenüberprüfung zenbewertung

bd) H y p o t h e s e n ü b e r p r ü f u n g blen a)

Zwischenhypothesen b a r e n Model 1 en

ß) Z w i s c h e n h y p o t h e s e n

ge-

Konsequen146

bei

Nichtbeobachtungsvaria151

in i n t e r s u b j e k t i v

nachprüf151

in E n t s c h e i d e r m o d e l l e n

Formen und E r s c h l i e ß u n g s m e t h o d e n

2.1.

dynamischer MZÄ-Modelle

L i n e a r e und n i c h t l i n e a r e M o d e l l f o r m e n

2.1.1. A.

127

129

Hypothesen

G r u n d p r i n z i p i e n der U b e r p r ü f u n g Hypothesen

...

128

Hypothesen

C. U b e r p r ü f u n g d e t e r m i n i s t i s c h e r

126 126

des V a r i a b l e n v e r l a u f e s

nach d e f i n i t o r i s c h e r stochastischer

....

Konsistenz

b) F o r d e r u n g nach E i n d e u t i g k e i t c)

2.

106

164 164

L i n e a r e M o d e l l formen

Lineare Modellformen mit z e i t v a r i a b l e n

157

165 Koeffizienten

166

9

B. Lineare Modellformen mit zeitkonstanten Koeffizienten

168

a) Zeitpfadermittlung durch Funktionslösungen

169

aa) Funktionslösung von Endgleichungen ersten Grades

173

a) Funktions1ösung homogener Endgleichungen sten Grades ß) Funktionslösung sten Grades

er173

inhomogener Endgleichungen er175

ab) Funktionslösung von Endgleichungen zweiten Grades a) Funktions1ösung homogener Endgleichungen ten Grades

179

aa) Funktions1ösung homogener Endgleichungen ten Grades mit ungleichen Wurzeln

zwei-

aß) Funktionslösung homogener Endgleichungen ten Grades mit gleichen Wurzeln

zwei-

179 182

ay) Numerische Beispiele von Funktions1ösungen mogener Endgleichungen zweiten Grades aS)

179

zwei-

ho183

Trigonometrische Form der Funktionslösung homogener Endgleichungen zweiten Grades mit konjugiert komplexen Wurzeln

ß) Funktions1ösung ten Grades

inhomogener Endgleichungen

187

zwei19^

ac) Funktionslösung von Endgleichungen n-ten Grades

198

b) Empirische Kennzeichen linearer Systeme

199

ba) Ubergangsverhalten

202

linearer Systeme

а) Allgemeine Kennzeichnung des Ubergangsverhaltens

... 202

ß) Stabilität als Spezialfall des Ubergangsverhaltens..

208

y) Multiplikatoren als Maßzahlen des haltens

210

Ubergangsver-

б) Koeffizientenkriterien des Ubergangsverha1tens bb) Verhaltensdiagramme

linearer Systeme

c) Höhere Analysemethoden

216

linearer Systeme

ca) Verwendung von Operatoren

221

in linearen Systemen

cb) Endg1eichungsbestimmung anhand graphischer darstellungen

22^ 225

Signa1f1ußdia-

grammen cc) Analyse linearer Systeme anhand von Matrizen a) Grundbegriffe der Matrizenrechnung

221

System-

a) Endgleichungsbestimmung anhand von Blockdiagrammen.. ß) Endgleichungsbestimmung anhand von

21^

232 237 237

10

2.1.2.

ß) E n d g l e i c h u n g s b e s t i m m u n g

anhand von P o l y n o m m a t r i z e n . . 244

y)

linearer

Zustandsraumdarstellung

Systeme und

ihre

Analysemethoden

249

N i c h t l i n e a r e Modellformen

257

A. B e g r i f f l i c h e

K l ä r u n g und e m p i r i s c h e

Interpretation

258

B. A n a l y s e n i c h t 1 i n e a r e r M o d e l l e

264

2.2.

O f f e n e und g e s c h l o s s e n e M o d e l l f o r m e n

2.3-

Z y k l i s c h e und k a s k a d i e r e n d e M o d e l l f o r m e n

2.3-1.

Begriffliche

27k

K l ä r u n g und e m p i r i s c h e

279 Interpretation

A. Z y k l i s c h e und k a s k a d i e r e n d e H y p o t h e s e n B. S e q u e n t i e l l e 2.3.2.

280

Hypothesen

Beziehungen zwischen

287 linear

z y k l i s c h e n und

infinit

s e q u e n t i e l l e n Hypothesen A. U b e r f ü h r u n g z y k l i s c h e r

295

in s e q u e n t i e l l e

Hypothesen

295

a) G e w i c h t s f u n k t i o n und E i n h e i t s i m p u l s a n t w o r t b) E r m i t t l u n g der G e w i c h t u n g s m a t r i x s e q u e n t i e l l e r Matrizenmodelle B. U b e r f ü h r u n g i n f i n i t s e q u e n t i e l l e r i n z y k l i s c h e Hypothesen 2.4.

R e k u r s i v e und i n t e r d e p e n d e n t e M o d e l l f o r m e n

2.4.1.

Begriffliche

K l ä r u n g und e m p i r i s c h e

2.4.2.

A n a l y s e der V e r k n ü p f u n g s s t r u k t u r terdependenter Modelle

A. S t r u k t u r m a t r i z e n

rekursiver

B. S t r u k t u r m a t r i z e n

interdependenter

rekursiver

und

2.5-

in n i c h t l i n e a r e n

2.5-3.

re332 340

interdependenten 340 ¡nterdepen343

u n z e r l e g b a r e und a n n ä h e r n d z e r l e g b a r e

Begriffliche

329

in interdependenten Modellen

b) Z e i t p f a d b e s t i m m u n g denten Modellen

2.5.2. Verknüpfungsdelle

316

325

Modelle

in

2.5.1.

308

324

a) Z e i t p f a d b e s t i m m u n g Model l e n

Zerlegbare, del 1 formen

302

in-

Modelle

linearen

295

316

Interpretation

C. E r m i t t l u n g s t a n d a r d i s i e r t e r S t r u k t u r m a t r i z e n von k u r s i v e n und i n t e r d e p e n d e n t e n M o d e l l e n D. Z e i t p f a d b e s t i m m u n g

280

Mo348

K l ä r u n g und e m p i r i s c h e

Interpretation

und K o m p l e x i t ä t s m a ß e d y n a m i s c h e r

Subsystemabspaltung

348

Mo357

in dynamischen Modellen

369

11

2.6. Deterministische und stochastisehe Modellformen

375

2.6.1. Deterministische Modellformen

376

2.6.2. Stochastische Modellformen

377

A. Begriffliche Klärung und empirische

Interpretation

377

B. Deduktive Analyse stochastischer Modelle

378

a) Analyse eines stochastisehen Modells der Lagerund Bestel1 poli ti k

383

b) Analyse eines stochastisehen MA-Modells

386

C. Pseudoinduktive Analyse stochastischer Modelle a) Grundlagen der Parameterschätzung Model 1imp1ikationen

390

stochastischer 390

b) Varianzreduzierende Verfahren im Rahmen der Parameterschätzung stochastischer Model 1implikationen

395

D. Subjektive Entscheidermodelle und stochastische Analyse.... 396 3. System Dynamics - ein Model 1iprungskonzept dynamischer steme

Sy-

3.1. Aufbau und Wirkungsweise der Modellelemente

399 ^00

3.1.1. Level variablen

400

3.1.2. Flußraten und Hilfsvariablen

i+02

3.1.3. Graphische Darstellung von System-Dynamics-Modellen

408

3.I.A. Exponentielle Bestands- und

Informationsverzögerungen

... 412

A. Exponentielle Bestandsverzögerungen

412

B. Exponentielle

415

Informationsverzögerungen

3-1.5- Tabellenfunktionen und sonstige Makrofunktionen 3.2. Feebackheuristik und Geschlossenheitsprinzip als te der System-Dynamics-Konzeption

4l8

Elemen425

3.2.1. Feedbackheuristik des System-Dynamics-Konzeptes

426

3.2.2. Geschlossenheitsprinzip und System Dynamics

430

A. Singulär offene System-Dynamics-Ansätze a) Kennzeichnung singulär offener Ansätze

430

System-Dynamics430

b) Zur Bestimmung von gleichgewichtigen Levelanfangswerten in singulär offenen System-Dynamics-Ansätzen

433

ba) Makrofunktionen

434

in gleichgewichtigen Modellen

bb) Gleichgewichtsbestimmung von Modellen durch Simulation B. Geschlossene System-Dynamics-Ansätze

436 44o

12

3 - 3 . A n a l y s e m e t h o d e n von S y s t e m - D y n a m ! c s - M o d e l l e n 3-3-1 . Sensitivitätsanalyse

von System-Dynamics-Modellen

A. S e n s ! t i v i t ä t s m a ß e und i h r e Anwendung Dynami c s - M o d e l len

in

445

einer

C. P a r a m e t e r s t o c h a s t i s i e r u n g

und S e n s i t i v i t ä t

Parametrisierung 458

0. S e n s i t i v i t ä t s u n t e r s u c h u n g e n m o d e l l s von Meadows Retrodiktionsanalyse

am B e i s p i e l

des

3-4.1. A.

als Alternative

des

Weltmo479

zum S y s t e m - D y n a m i c s 480

Die I n f i n i t e s i m a 1 p r ä m i s s e des System-Dynamics-Konzeptes und i h r e A b l ö s u n g d u r c h d i e D i s k r e t z e i t p r ä m i s s e

B. E x p o n e n t i e l 1 e V e r w e i 1 z e i t h y p o t h e s e n n i t e s i m a l - und D i s k r e t z e i t p r ä m i s s e

481

alternative 481

im F a l l e der

Infi489

Zur D e f i n i t i o n der d u r c h s c h n i t t l i c h e n V e r z ö g e r u n g e x p o n e n t i e l 1 e r V e r z ö g e r u n g e n d r i t t e r Ordnung

490

b) D i e Bestimmung d e r P a r a m e t e r e x p o n e n t i e l l e r V e r w e i 1 z e i t h y p o t h e s e n bei A k z e p t i e r u n g der I n f i n i t e s i m a l und D i s k r e t z e i t p r ä m i s s e

496

ba) P a r a m e t e r b e s t i m m u n g e n im F a l l e der der I n f i n i t e s i m a 1 p r ä m i s s e

496

bb) Parameterbestimmung Diskretzeitprämisse 3-4.2.

Akzeptierung

im F a l l e der A k z e p t i e r u n g

Die Verwerfung der g e n e r e l l e n m i s s e und i h r e K o n s e q u e n z e n

500 506

Die Verwerfung des G e s c h l o s s e n h e i t s p r i n z i p s re Konsequenzen

3-4.4.

Die Verwerfung der s t a t i s t i s c h e n i h r e Konsequenzen

3-4.5.

der

Informationslevelprä-

3.4.3.

und

ih-

Sonderstellung

und

515 516

Zum S t a t u s der F O L R - M o d e l 1 i e r u n g

4 . R e c h n e r g e s t ü t z t e Systeme z u r E n t w i c k l u n g und A n a l y s e mischer MZÄ-Modelle 4.1.

469

S y s t e m - D y n a m i c s - M o d e l 1 s . . 469

I n f i n i t e s i m a l - und D i s k r e t z e i t p r ä m i s s e a l s Elemente e i n e s M o d e l l i e r u n g s a n s a t z e s

a)

Welt-

von System-Dynamics-Modellen

B. D u r c h f ü h r u n g e i n e r R e t r o d i k t i o n am B e i s p i e l d e l l s von F o r r e s t e r Die FOLR-Model1ierung Konzept

460 463

A. G r u n d l a g e n der R e t r o d i k t i o n e i n e s

3.4.

444

System-

B. S e n s i t i v i t ä t s a n a 1 y s e n bei von T a b e l l e n f u n k t i o n e n

3.3.2.

442

Simulationssysteme

für MZÄ-Modelle

519 dyna522 522

13

4.1.1.

S i m u l a t i o n mit DYNAMO

522

A. K e n n z e i c h e n der DYNAMO-Sprache B. F o r m u l i e r u n g a l l g e m e i n e r

522

dynamischer MZÄ-Modelle mit

DYNAMO

532

a)

Rekursive Modelle

532

b) S i m u l t a n e M o d e l l e

535

4.1.2.

S i m u l a t i o n m i t CSMP

538

A. K e n n z e i c h e n von CSMP

538

B. F o r m u l i e r u n g von S y s t e m - D y n a m i c s - A n s ä t z e n m i t CSMP

541

C. F o r m u l i e r u n g a l l g e m e i n e r d y n a m i s c h e r M Z Ä - M o d e l l e m i t CSMP

544

D. V e r g l e i c h z w i s c h e n DYNAMO und CSMP 4.1.3.

546

S i m u l a t i o n m i t FORTRAN

548

A. S i m u l a t i o n von S y s t e m - D y n a m i c s - M o d e l 1 en m i t FORTRAN a)

Probleme n a m i c s - M o dder e11 A enn f a n g s w e r t b e s t i m m u n g

in

System-Dy-

b) A u f b a u des FORTRAN-Programms c)

4.2.

Differenzengleichungen

548 553

S i m u l a t i o n e i n e s im S y s t e m - D y n a m i c s - K o n z e p t benen P r o d u k t i o n s - und L a g e r h a 1 t u n g s s y s t e m s FORTRAN

B. S i m u l a t i o n k l a s s i s c h e r FORTRAN

548

beschriemit 561 mit 565

S c h ä t z - und A n a l y s e s y s t e m e f ü r d y n a m i s c h e M Z Ä - M o d e l l e

567

4 . 2 . 1 . SIMPLAN

567

4.2.2.

EPL

567

4.2.3.

COMOS

568

4.2.4.

TROLL

569 58O

Anhang 1. U n t e r s u c h u n g d e r S e n s i t i v i t ä t m i t R ü c k s e t z u n g anhand F e r t i g u n g s m o d e l l s (DYNAMO)

eines

2. R e t r o d i k t i o n s v o r s p a n n

(DYNAMO) . . 582

3.

für ein System-Dynamics-Model1

580

D r e i d i m e n s i o n a l e r Sucha1 g o r i t h m u s z u r P a r a m e t e r b e s t i m m u n g e x p o n e n t i e l 1 er V e r w e i 1 z e i t h y p o t h e s e n (FORTRAN)

4 . M a k r o f u n k t ion DELATO (DYNAMO) 5. FORTRAN-Unterprogramme f ü r e i n e F O R T R A N - V e r s i o n z u r s t e l l u n g v o n S y s t e m - D y n a m i c s - M o d e l 1 en

584 587

Dar588

Literaturverzeichnis

592

Regi s t e r

608

Einleitung

Komplexe dynamische Simulationsmodelle haben sich in den letzten Jahren zu einem wichtigen Beschreibungs- und Ana 1yseinstrument der wirtschafts- und sozia1wissenschaft1ichen

Forschung entwickelt.

Diese

Entwicklung wurde in der Vergangenheit vor allem durch das zunehmende Angebot an computergestützten Systemen zur Modellierung,

Schät-

zung und Analyse dynamischer Modelle ermöglicht. Die Tatsache, daß immer mehr Wissenschaftler auf ein ständig

anwach-

sendes und leicht zu handhabendes Model 1ierungs- und Analysepotential zurückzugreifen vermögen, birgt große Möglichkeiten, aber auch Gefahren. Eine dieser Gefahren dürfte in der Versuchung delling without theory

1

liegen, ein

zu praktizieren, d.h. die ohne

'mo-

tiefergehende

theoretische Kenntnisse rezeptartige Anwendung bestimmter

Modellie-

rungskonzepte . Diese Arbeit verfolgt das Ziel, sowohl die technischen Probleme der Systemsimulation detailliert und an Beispielen aufzuzeigen, als auch die theoretischen Grundlagen der Struktur,

Interpretation und Analy-

se dynamischer Modelle in systematischer Weise darzustellen. Sie gliedert sich in vier Kapitel, von denen die ersten beiden der theoretischen Grundlegung dienen, während sich die restlichen zwei Kapitel den konkreten Methoden und Techniken der dynamischen

System-

simulation zuwenden. Das erste Kapitel, welches formal weniger scharf gefaßt

ist, soll

möglichst anschaulich und von technischen Einzelheiten befreit,

in

die Grundlagen und Probleme der Analyse dynamischer Systeme einführen . Ausgegangen wird von der Präzisierung eines bestimmten Typs dynamischer Modelle, den metrischen, zeitdiskreten, äquidistanten Modellen. Auf der Basis dieses Model 1typs werden die begrifflichen

Elemen-

te zur Kennzeichnung dynamischer Modelle eingeführt. Es folgt eine Erörterung der wichtigsten

Implikationen dynamischer Mode 11ansätze

1 5

s o w i e e i n e e r s t e S k i z z i e r u n g der v e r s c h i e d e n e n kung d i e s e r

Implikationen.

'Logiken'

A b s c h l i e ß e n d werden e i n i g e

V e r f a h r e n z u r Gewinnung und e m p i r i s c h e n U b e r p r ü f u n g von thesen Während

im e r s t e n K a p i t e l

Modellhypo-

e i n e G r u n d l e g u n g und U b e r s i c h t des

bengebietes der A n a l y s e dynamischer

wird die s p e z i e l l e empirische

soll

offen-geschlossen disku-

I m p l i k a t i o n e n b e s c h r i e b e n und

m a t h e m a t i s c h e n Methoden i h r e r O f f e n l e g u n g Kapitel

oder

knüpft

bestimmter

Interpretation dieser Modelle

e s werden t y p e n s p e z i f i s c h e

Aufga-

Systeme v e r m i t t e l t w i r d ,

an s p e z i e l l e M o d e l l f o r m e n a n . Anhand

p o l a r e r Model 1 b e g r i f f e w i e l i n e a r - n i c h t l i n e a r

Dieses

Aufdek-

dargestellt.

das zweite K a p i t e l

tiert;

zur

grundlegende

die

dargestellt.

eine theoretische Basis

schaffen, die

im Rahmen

d e r S i m u l a t i o n d y n a m i s c h e r M o d e l l e zu e i n e r e r h ö h t e n m e t h o d i s c h e n cherheit führt

sowie e i n H i n t e r g r u n d w i s s e n

s c h a f f t , w e l c h e s zu e i n e r

a u s g e w o g e n e n und u m f a s s e n d e n B e u r t e i l u n g der M ö g l i c h k e i t e n e i n e r kret anstehenden Modellentwicklung

das e r s t e Kapitel tel

sei

2 überspringen.

schüben, sind die

(vielleicht als

ständlich. namischer lung e i n e s

vorläufigen)

theoretische

Basis

Kapitel

durchzuar-

Auffassung ausreichend,

Denn, a b g e s e h e n v o n e i n i g e n

auch ohne d i e K e n n t n i s v o n K a p i t e l

S y s t e m m o d e l l e v e r t r a u t machen w o l l e n , w e i l bestimmten M o d e l l s b e a b s i c h t i g e n ,

sie die

2 auszulassen.

Bedürfnis

nach e i n e r

Bedürfnisses

l i e g t es n a h e , K a p i t e l

stimmter M o d e l I t y p e n n a c h t r ä g l i c h

konzept

Kapitel

nach

Modells her

motiUber-

Befriedigung

2 zumindest b e z ü g l i c h

be-

durchzuarbeiten.

w i r d das heute sehr g e b r ä u c h l i c h e

'System Dynamics'

sogar

stärkeren methodisch-theoretischen Zur

dy-

Entwick-

Spätestens

s i c h z u m e i s t e i n e c h t e s , a u s der A u f g a b e n s t e l l u n g

Im d r i t t e n

Fra-

2 ver-

i s t es v i e l l e i c h t

p r ü f u n g und F u n d i e r u n g d e s e i g n e n V o r g e h e n s e i n . dieses

KapiEin-

technischen

dem e r s t e n E n t w u r f und der n a c h f o l g e n d e n S i m u l a t i o n e i n e s

viertes

kann

Für L e s e r , d i e s i c h m i t den Methoden z u r U n t e r s u c h u n g

eine s i n n v o l l e S t r a t e g i e , das K a p i t e l

stellt

anhängt,

theoretischen

in den F o l g e k a p i t e l n d i s k u t i e r t e n

gen der M o d e l l s i m u l a t i o n

kon-

führt.

Wer n i c h t d i e Z e i t o d e r a u c h Geduld h a t , d i e s e s b e i t e n , o d e r wer der

Si-

beschrieben,

Modellierungs-

anhand von B e i s p i e l e n

darge-

16

gestellt und kritisch diskutiert.

Der Erörterung dieses

schließt sich die Beschreibung zweier Verfahren zur

Konzeptes

Sensitivitätsana-

lyse und Retrodiktion von System-Dynamics-Modellen an. Anknüpfend an die kritisch diskutierten Prinzipien des System Dynamics wird eine als FOLR-Model1ierung bezeichnete Alternative zu dieser tion vorgeschlagen und ausführlich

Konzep-

begründet.

Das vierte Kapitel wendet sich den computergestützten Techniken der Behandlung dynamischer Modelle zu. Die Simulationssprachen

DYNAMO

und CSMP werden anhand von Beispielen beschrieben und miteinander verglichen. Die Anwendung von FORTRAN zur Simulation von System-Dynamics-Model1en und klassischen Differenzengleichungsmodellen eingehend erörtert. Das Kapitel

schließt ab mit der

wird

Darstellung

der heute maßgebenden Schätz- und Simu1ationssysteme SIMPLAN, EPL, COMOS und TROLL. Was hat der Leser davon, wenn er dieses Buch teilweise oder vielleicht sogar vollständig durchgearbeitet hat? - Es bleibt zu hoffen, daß er das Terrain klarer überschaut, daß er in die Lage versetzt worden ist, seine eigene Tätigkeit beim Arbeiten mit dynamischen Modellen methodisch besser einzuordnen, daß er sich mit den Methoden zur Analyse dynamischer Systeme vertraut gemacht hat, aber auch

ihre

Grenzen einzuschätzen vermag. Diese erhöhte methodische Sicherheit beim Arbeiten mit

dynamischen

Modellen sollte einhergehen mit der Vermittlung profunder

Kenntnisse

in der Technik der Simulation dynamischer Modelle. Erst, wenn ein Model 1entwickler ein Kenntnis- und Anwendungsniveau erreicht hat, welches die Simulation und Analyse eines Modells zu einer

routine-

mäßigen Tätigkeit werden läßt, dann kann er sich voll der wesentlichen Aufgabe jeder Modellentwicklung widmen: der

Hypothesengewin-

nung . Man kann die triviale Wahrheit nicht oft genug wiederholen:

jedes

dynamische Modell steht und fällt mit der Gültigkeit seiner

zeitin-

varianten Hypothesen. Uber die Methoden zur Aufstellung solcher Hypothesen wird

in dieser Arbeit nicht viel gesagt und kann auch nicht

17

viel liche

g e s a g t werden.

Der Grund

Induktionslogik,

sengewinnung g i b t ,

d.h.

ist

f o l g e n d e r : weil

k e i n z w i n g e n d e s V e r f a h r e n der

ist die Auffindung

pothesen d i e entscheidende

es k e i n e

kreative

testbarer,

verbindHypothe-

zeitinvarianter

In den n ä c h s t e n J a h r e n w i r d d i e

i n t e g r i e r t e computergestützte

dung sowohl d e d u k t i o n s l o g i s c h e r

Verfahren a l s

scher Parameterschätztechniken breitet

auch

s e i n , daß das Problem der H y p o t h e s e n g e w i n n u n g

immer

hervortreten

im A u f f i n d e n e m p i r i s c h entscheidet

Relevanz dynamischer

i n den W i r t s c h a f t s -

wi s s e n s c h a f t e n .

ver-

stärker

wird.

gehaltvoller

und b e w ä h r t e r V e r h a l t e n s h y p o t h e s e n Systemmodelle

Anwen-

induktionslogi-

so v e r e i n f a c h t werden und w e i t

a l s das K e r n p r o b l e m j e d e r Model 1 e n t w i c k 1 u n g M i t dem E r f o l g o d e r M i ß e r f o l g

Hy-

L e i s t u n g e i n e s Model 1 e n t w i c k l e r s .

sich die

praktische und

Sozial-

1. Kennzeichnung dynamischer Systeme und Modelle

Unser e r s t e s

Ziel

i s t es, eine V o r s t e l l u n g

A n a l y s e dynamischer

S y s t e m e zu v e r m i t t e l n .

vom P r o b l e m k o m p l e x Wir beginnen m i t

einer

einer

K l ä r u n g d e r B e z i e h u n g e n z w i s c h e n e i n e m S y s t e m und dem M o d e l l , ches d i e s e s System b e s c h r e i b e n s o l l . eine K l a s s i f i z i e r u n g und b e s c h l i e ß e n ,

Daran a n s c h l i e ß e n d

für die

ein nach-

begrifflichen

B a s i s werden d i e Z i e l e und Methoden d e r A n a l y s e d y n a m i s c h e r an e i n f a c h e n B e i s p i e l e n

Systeme

demonstriert.

A b s c h l i e ß e n d w i r d d a s Problem der e m p i r i s c h e n Adäquanz Systemmodelle behandelt.

dynamischer

S e i n e f u n d a m e n t a l e Bedeutung w i r d

wenn man s i c h k l a r m a c h t , daß j e d e noch so d i f f i z i l e dells

wir

der B e s c h r e i b u n g s f o r m e n d y n a m i s c h e r S y s t e m e

e i n e bestimmte S y s t e m b e s c h r e i b u n g s f o r m

f o l g e n d e n B e t r a c h t u n g e n zu Grunde zu l e g e n . A u f d i e s e r

dell

wel-

führen

deutlich,

Analyse eines

immer dann zu einem s i n n l o s e n U n t e r f a n g e n w i r d , wenn e i n das zu b e s c h r e i b e n d e S y s t e m n i c h t h i n r e i c h e n d a d ä q u a t

Mo-

Mo-

wider-

s p i egel t .

1.1. Systeme und Modelle

Es s o l l tes

n i c h t unsere Aufgabe s e i n , e i n e p r ä z i s e D e f i n i t i o n

'System'

zu l i e f e r n .

In e i n e r g e r i n g f ü g i g e n

Einengung

des W o r jedoch

w o l l e n w i r nur dann von einem S y s t e m s p r e c h e n , wenn d a r u n t e r durch Beobachtungen a u f w e i s b a r e r unter diese D e f i n i t i o n

ein

Zusammenhang v e r s t a n d e n w i r d .

Die

f a l l e n d e Objektmenge h ä n g t e n t s c h e i d e n d

von

der A u s l e g u n g des B e g r i f f e s

der B e o b a c h t b a r k e i t

t i v e n F a s s u n g des B e o b a c h t u n g s b e g r i f f e s

ab.

In e i n e r

restrik-

umfaßt e i n S y s t e m nur m a -

19

terielle

Phänomene w i e e i n e Uhr o d e r e i n e Dampfmaschine.

man den B e g r i f f s u m f a n g , ziehungen a l s

indem auch n u r

indirekt konstatierbare

B e o b a c h t u n g e n a n g e s e h e n w e r d e n , s o können auch

kalische Kraftfelder,

betriebliche Organisationen,

schen g e s e l l s c h a f t l i c h e n des a l s

Erweitert

Gruppen o d e r d a s

System bezeichnet

Be-

physi-

Beziehungen

'Rechtssystem1

zwi-

eines

Lan-

werden.

V o r e r s t w o l l e n w i r e s bei d i e s e r e r s t e n A u f h e l l u n g des

Systembegriffs

b e l a s s e n und uns ohne w e i t e r e P r ä z i s i e r u n g der F r a g e zuwenden: Wie g e l a n g t man zu n i c h t u n m i t t e l b a r e i n s i c h t i g e n g e n s c h a f t e n und W i r k u n g s w e i s e n b e s t i m m t e r Die Antwort

I n f o r m a t i o n e n über

l a u t e t : Man e n t w i c k l e e i n M o d e l l

des b e t r e f f e n d e n

und v e r s u c h e , anhand d i e s e s M o d e l l s d i e noch n i c h t b e k a n n t e n s c h a f t e n des S y s t e m s Modell

ist

hier

Ei-

Systeme? Systems Eigen-

herauszufinden.

im ganz a l l g e m e i n e n S i n n e e i n e r A b b i l d u n g

D i e s e A b b i l d u n g kann r e i n v e r b a l s p r a c h l i c h e r

Art sein.

gemeint.

Man

spricht

dann von V e r b a l m o d e l 1en. M o d e l l e können auch v e r e i n f a c h t e und v e r k l e i n e r t e nes Zusammenhangs zum A u s d r u c k b r i n g e n w i e etwa k a r t e oder e i n e s

Planetariums.

gen w i r d d i e B e z e i c h n u n g

Für d e r a r t i g e m a t e r i e l l e

i k o n i sehe M o d e l l e

Uns i n t e r e s s i e r e n j e d o c h a l l e i n dell

werden d i e

hand e m p i r i s c h

Nachbildungen

im F a l l e e i n e r

eiLand-

Nachbildun-

verwendet.

Symbolmodelle.

Durch e i n

Symbolmo-

I n f o r m a t i o n e n über d a s zu b e s c h r e i b e n d e System a n interpretierter

Symbole r e p r ä s e n t i e r t .

Bilden

diese

Symbole und i h r e V e r k n ü p f u n g s w e i s e n z u g l e i c h d i e Symbole und O p e r a tionsbegriffe soll

e i n e r bestimmten m a t h e m a t i s c h e n K a 1 k ü l s p r ä c h e ,

v o n einem mathemati sehen M o d e l l

So i s t d i e l i n e a r e

gesprochen

dann

werden.

Funktion

K = 100 + 10X beispielsweise

e i n mathematisches

daß s i e den V e r l a u f gigkeit

M o d e l l , wenn man d a v o n

der K o s t e n e i n e s

bestimmten B e t r i e b e s

von der p r o d u z i e r t e n Menge b e s c h r e i b t , wobei

r i s c h e Deutung der Symbole

gilt:

K: G e s a m t k o s t e n des B e t r i e b e s

(DM)

ausgeht, in A b h ä n -

folgende

empi-

20

X: P r o d u k t i o n s m e n g e des B e t r i e b e s 10: S t ü c k k o s t e n

100: M e n g e n u n a b h ä n g i g e K o s t e n Um e i n m a t h e m a t i s c h e s M o d e l l lineare

(DM)

h a n d e l t es s i c h , weil

Funktion ein algebraischer

bar e r k e n n b a r e s

Strukturmerkmal

schriebenen Modells

(Stück)

(DM/Stück)

bildet

ten D u r c h s c h n i t t s k o s t e n

Ausdruck

und d a h e r e i n e

die

verwendete

Ein nicht

unmittel-

I m p l i k a t i o n des

b e i s p i e l s w e i s e der V e r l a u f der

in A b h ä n g i g k e i t

w e l c h e r anhand des M o d e l l s

ist.

be-

sogenann-

von der P r o d u k t i o n s m e n g e

bestimmt werden k a n n . Er w i r d d u r c h

X,

die

Funktion K/X = 10 + 100/X beschrieben.

Damit

sen: Entwicklung

i s t der Grundgedanke j e d e r S y s t e m a n a l y s e

eines

Systemmodells

nen, w e l c h e dem S y s t e m u n t e r s u c h e r

und Gewinnung v o n

bisher

umris-

Informatio-

n i c h t bekannt waren,

g e e i g n e t e Methoden a b e r a u s dem S y s t e m m o d e l l

durch

e r s c h l o s s e n werden

kön-

nen . Da w i r b e a b s i c h t i g e n , v e r s c h i e d e n e A r t e n d y n a m i s c h e r im H i n b l i c k a u f bracht,

i h r e B e s o n d e r h e i t e n zu d i s k u t i e r e n ,

Differenzierungen

w e i s e werden

vorgenommen werden k ö n n e n .

I n d i v i d u e n m e n g e n anhand b e s t i m m t e r

ange-

ergibt

s i c h aus der F e s t l e g u n g ,

daß a l l e

be-

Üblicher-

beobachtbarer

male i n T e i l m e n g e n und damit A r t e n d i f f e r e n z i e r t . del'

i s t es

k u r z der F r a g e n a c h z u g e h e n , a u f w e l c h e W e i s e ü b e r h a u p t

griffliche

enmenge

Systemmodelle

Merk-

Die Teilmenge

Elemente der

'Pu-

Individu-

' H u n d ' , welche e i n e Reihe bestimmter Beobachtungsmerkmale a u f -

weisen, a l s

Pudel

zu b e z e i c h n e n s i n d .

Im S i n n e d i e s e s

t i o n s v e r f a h r e n s muß e i n S y s t e m , w e l c h e s man a l s n e t , e i n Beobachtungsmerkmal

besitzen,

bei

Klassifika-

dynamisch

bezeich-

d e s s e n V o r h a n d e n s e i n man

l a u t V e r e i n b a r u n g v o n einem d y n a m i s c h e n S y s t e m s p r e c h e n s o l l . man j e d o c h v o r h a n d e n e Systeme a l l e i n T e i l k l a s s e n wie o f f e n e , geschlossene, klassifizieren,

Will

nach B e o b a c h t u n g s m e r k m a l e n komplexe o d e r

so d ü r f t e schon e i n e E i n i g u n g

kommenden B e o b a c h t u n g s m e r k m a l e s c h w i e r i g

sein.

ultrastabile

über d i e

in

Frage

in

21

Wegen d i e s e r fizierung

S c h w i e r i g k e i t e n werden w'rr e i n e a n d e r e A r t der

von Systemen verwenden, d i e a l s model1 a b h ä n g i g e

k l a s s i f i z i e r u n g b e z e i c h n e t werden k a n n . Will

I h r Grundgedanke

man e i n b e s t i m m t e s S y s t e m k l a s s i f i z i e r e n ,

Klassifikation

Klassi-

Systemlautet:

so e r f o l g t

diese

anhand der Merkmale e i n e r Model 1 k l a s s e , d u r c h

das System in adäquater Weise b e s c h r i e b e n w i r d . man einem bestimmten S y s t e m

die

Dies bedeutet,

i n s o f e r n eine bestimmte E i g e n s c h a f t

s c h r e i b e n k a n n , a l s es s i c h d u r c h e i n e n bestimmten M o d e l l t y p den

daß zu-

abbil-

läßt.

In d i e s e m S i n n e s o l l

dann von einem d y n a m i s c h e n S y s t e m

gesprochen

w e r d e n , wenn d i e zu Grunde l i e g e n d e n Phänomene von einem d y n a m i s c h e n Modell

i n a d ä q u a t e r W e i s e r e p r ä s e n t i e r t werden können.

dieser

Sprachregelung

durch e i n

bildet ein empirischer

l i n e a r e s dynamisches Modell

dynamisches

Zusammenhang, der

abbilden

läßt,

ein

identifiziert.

ihm a d ä q u a t e n

Wenn im f o l g e n d e n v o n der A n a l y s e

delle Es s e i

Beziehungszusammenhänge,

in adäquater

Analyse

die mit H i l f e dynamischer

Form r e p r ä s e n t i e r t werden

schon v o r g e g r i f f e n ,

Mo-

dynamischer

S y s t e m e g e s p r o c h e n w i r d , dann h a n d e l t es s i c h a l s o um d i e empirischer

sich

lineares

System.

E i n System w i r d damit g l e i c h s a m mit H i l f e e i n e s dells

Entsprechend

Mo-

können.

daß im f o l g e n d e n v o n dem B e g r i f f

eines

d y n a m i s c h e n M o d e l l s a u s g e g a n g e n w i r d , der dazu f ü h r t , daß d y n a m i s c h e M o d e l l e e i n e T e i l k l a s s e der S y m b o l m o d e l l e b i l d e n . F o l g e , daß s i c h d i e A n a l y s e d y n a m i s c h e r Rahmen d e r A n a l y s e d y n a m i s c h e r

D i e s hat

Systeme a u s s c h l i e ß l i c h

zur im

( S y m b o l - ) M o d e l 1e v o l l z i e h t .

1.2. Dynamische Modelle als Repräsentanten dynamischer Systeme Was u n t e r einem d y n a m i s c h e n M o d e l l F r a g e der D e f i n i t i o n . ten B e g r i f f

v e r s t a n d e n werden s o l l ,

Im f o l g e n d e n w o l l e n w i r den von uns

ist

eines dynamischen Modells durch eine s u k z e s s i v e

rung v o n d r e i

Kennzeichen

festlegen.

eine

verwendeEinfüh-

22

Erstes

Kennzeichen:

sein; d.h. sprache

in Abbildung

eines

s y m b o l i s i e r t e n Zusammenhanges z e i g t

12.1 d a r g e s t e l l t e S y m p a t h i e - A n t i p a t h i e - S c h e m a D i e e i n z e l n e n P e r s o n e n werden d u r c h d i e

repräsentiert;

die Pfeilspitze

d e r j e n i g e n P e r s o n , v o n der der P f e i l dem K r e i s ,

wird.

12.1

Dieses Modell

ist

Kennzeichen:

lisierten

ein S eingetragen,

unsympathisch

zwar v o l 1 S y m b o l i s i e r t ,

erfüllt

zu f o r d e r n d e

in

so

Das

Sym-

beurteilt

Bei-

jedoch

nicht

Merkmal.

Die mit H i l f e eines dynamischen M o d e l l s

symboge-

sein.

B e z e i c h n e t man etwa den Umsatz e i n e s Periode t = l , 2 , 3 . . .

bestimmten Unternehmens

m i t U ( t ) , und l ä ß t s i c h d i e

Perioden beobachtete Umsatzentwicklung darstellen,

U(t)

Ist

E r e i g n i s s e o d e r Z u s t ä n d e müssen d u r c h e i n e n Z e i t i n d e x

kennzeichnet

nähernd

beurteilt wird.

Sympathie-Antipathie-Schema zwischen Personen a l s spiel eines einfachen symbolisierten Modells

d a s f o l g e n d e von einem d y n a m i s c h e n M o d e l l Zweites

zwischen

Buchstaben

s y m p a t h i s c h empfunden.

U d a g e g e n b e d e u t e t , daß d i e P e r s o n a l s

Abb.

das

z e i g t d i e P e r s o n a n , d i e von ausgeht,

der den P f e i l s c h a f t u n t e r b r i c h t ,

w i r d d i e zu b e u r t e i l e n d e P e r s o n a l s bol

Symbol-

werden.

Beispiel

Personen.

A,B,C

muß v o l 1 S y m b o l i s i e r t

d i e a b z u b i l d e n d e n Zusammenhänge müssen d u r c h e i n e

repräsentiert

Ein einfaches

drei

E i n dynamisches Modell

= 10000 + 6 0 0 t

i n den

i n der

vergangenen

durch folgende Beziehung

an-

23

dann s i n d f ü r d i e s e s M o d e l l und 2 e r f ü l l t . zeitlicher

der U m s a t z e n t w i c k l u n g

die Kennzeichen 1

M o d e l l e , d i e d i e F o r d e r u n g nach S y m b o l i s i e r u n g

Indizierung

erfüllen,

b e z e i c h n e t man a l s

und

historisehe

oder

k i net i s e h e M o d e l l e . Nicht vorhanden

i s t jedoch

mal d y n a m i s c h e r

Modelle:

Drittes

Kennzeichen:

in d e r a r t i g e n M o d e l l e n das d r i t t e

Merk-

D y n a m i s c h e M o d e l l e müssen z u m i n d e s t e i n e

zeit-

i n v a r i a n t e Verknüpfung zweier z e i t l i c h gegeneinander v e r z ö g e r t e r eignisse

Er-

aufweisen.

Eine z e i t i n v a r i a n t e verzögerte Verknüpfung zweier E r e i g n i s s e t e t , daß e i n e B e z i e h u n g der f o l g e n d e n A r t

bedeu-

in das Modell mit

aufge-

nommen wi r d : Wenn e i n E r e i g n i s A zum Z e i t p u n k t

t r e a l i s i e r t wird,

immer e i n E r e i g n i s B zum Z e i t p u n k t Symbolisch A(t)

t+At

dann w i r d

realisiert.

formuliert: ->-

B ( t +A t)

(12.1)

D i e v e r z ö g e r t e B e z i e h u n g z w i s c h e n den E r e i g n i s s e n A und B w i r d gen a l s z e i t i n v a r i a n t

bezeichnet, weil

t=...,-2,-1,0,1,2,...

gelten s o l l .

sie für beliebige

Verzögerung

in welcher eine

in denen u n t e r V o r g a b e e i n e s z e i t l i c h e n

Existenz einer stets gleichbleibenden zeitlichen einem ' W e n n e r e i g n i s 1

A und einem

werden a l s d y n a m i s c h e H y p o t h e s e n

zeitliche

'Dannereignis1

Derartige

dargestellte

Verknüp-

Bezugssystems Differenz

die

zwischen

B gefordert

wird,

bezeichnet.

D y n a m i s c h e H y p o t h e s e n kann man im H i n b l i c k a u f d i e einen Pfeil

(12.1)

z w i s c h e n dem A u f t r e t e n der d u r c h d i e Wenn- und Dann-Kom-

ponente beschriebenen E r e i g n i s s e behauptet w i r d . fungen,

Perioden

Der Symbol Zusammenhang

l ä ß t s i c h a l s Wenn-Dann-Aussage deuten,

deswe-

in

(12.1)

durch

F o l g e b e z i e h u n g wiederum i n determi ni s t i s c h e

und s t o c h a s t i sehe H y p o t h e s e n u n t e r g l i e d e r n . n i s t i s c h e n H y p o t h e s e b e d e u t e t der P f e i l :

Im F a l l e e i n e r

determi-

' f o l g t mit S i c h e r h e i t ' ,

rend bei V o r l i e g e n e i n e r s t o c h a s t i s c h e n H y p o t h e s e d a s E i n t r e t e n Folgeereignisses t e t wi r d .

nur m i t e i n e r bestimmten W a h r s c h e i n l i c h k e i t

wähdes

behaup-

21»

Beispielsweise der

Periode

Periode

soll

t mit

t+1 m i t

das

Die

Ka(t)

0 , 5

Modellen

der

Ware A d u r c h Kauf

bezeichnet die

Ware

den

derselben

werden.

Ist

Modell

Konsumenten

Ware d u r c h weiterhin

zurückgreift

stochastisehe

zwischen

ist

noch a u s f ü h r l i c h Unterscheidung

der

0,5,

so

M

M in

in der

die

Wahr-

läßt

sich

formulieren:

» Ka(t+1)

Unterscheidung

mischen

und

daß M auf

dynamische,

Ka(t)

Kauf

Ka(t+1)

scheinlichkeit, damit

der

von

deterministisch-

fundamentaler

beschäftigen.

und

stochastisch-dyna-

Bedeutung

Vorerst

soll

es

und w i r d

uns

später groben

nur

bei

dieser

Teilklasse

der

dynamischen

bleiben.

1.2.1. Metrisch dynamische Modelle Metrisch

dynamische

Modelle.

Von

den, sen Dies

an einem einer

U

ein

wäre

sationen andere U

1 30

Eine zur 1

in

mit

als

Modell

quantitative)

U^q

Größen

demonstriert:

Höhe v o n

gesprochen

DM m i t

wer-

bezeichneten

repräsentiert

Bezeichnet

1 0 000

qqq^)

soll

Ereignisse

man d i e

W^ Q 0 0 0 ^ s o

^100

t _

Grös-

werden. Werbe-

^'

^

a n n

0

'

c en

'

m a n

aufstellen:^

ein

Umsatz

(oder

eine

dynamischen

allgemein

Beispiel

ooo(t-i:)

100

nur

Firma

entsprechend

Behauptung

Dies

bisher

durch metrische sei

bilden

einem m e t r i s c h

wenn d i e

ausgaben satz

Modelle

W

0 0 0 ^

ooo^"1)

10

einfacher

U^q

von

A

ooo(t)

130

dynamisch metrischer s

c

' her unc

U^QQ

Kombinationen

U

der

'

nicht

nur

^10

0 0 0 ^

Realisation

von

f ü r

t

=

Modellansatz.

allein

als

Folge

auftreten, U(t-1)

und

1

'--Nun

der

sondern W(t-l)

wird

Realiauch

führen

zu

0 0 0 ^ erschöpfende Folge

haben,

Aufzählung hat

die

aller

Kombinationen,

die

U^g

o o o ^

Form:

Das a u s s a g e n l o g i s c h e Symbol A e n t s p r i c h t der s p r a c h l i c h e n F o r m u l i e rung ' u n d ' , e n t s p r i c h t ' w e n n . . . d a n n ' , = i s t z u l e s e n ' d a n n und n u r d a n n ' , und > — < e n t s p r i c h t ' o d e r ' im a u s s c h l i e ß e n d e n S i n n e .

25

U

130 o o o ( t )

s

[u

ooo^"1)

ioo

A

w

io

o o o ^ ^ l - - - ^ (12.2)

Die

leeren eckigen

von U

(t-1)

Klammern deirten d i e a l t e r n a t i v e n

und W . . . ( t - 1 )

an, d i e U ^ g

I n manchen F ä l l e n e r w e i s e n s i c h Umsatz U ( t )

als

Formelausdruck

b i n a t i o n e n U_ _ _ ( t - 1 ) Ein solcher U

wobei

130

000(t)

=

haben.

Die Größen f , r

und S s t e l l e n

den r e l a t i v e n

S bildet

der F o r m e l a u s d r u c k

für einen beliebigen

die

(12.3)

die

den

(12.3)

und W . . . ( t - 1 )

die

interpretiert

Umsatz U . . . ( t )

Gleichung

-1]U(t-1)

?

charakteri-

bei A b w e s e n h e i t j e g l i c h e r

nicht

Kom-

Form:

f- - n u ( t - l )

des Werbeaufwandes

der Werbeausgaben

haben.

angeben.

bestimmte Konstanten d a r :

Umsatzverlust

ein Sättigungsniveau

fizienzfaktor

(12.2)

U_ _ _ (t-1) + f

zu b e f r i e d i g e n

siert

in

+

-

Folge

adäquat,

ihn bewirkenden a l t e r n a t i v e n

"

die möglichen Alternativen 130 000 = r W ( t - l )

Soll

der

hat b e i s p i e l s w e i s e

r W ( t _ 1 )

zur

nun H y p o t h e s e n a l s

und W . . . ( t - 1 )

Formelausdruck

(t)

Kombinationen

nur f ü r

und

Werbung,

r kann a l s

Ef-

werden. U^Q

g e l t e n , dann

gOO^'

s o n c

lautet das

'ern

dynami-

s c h e Model 1 : U(t) Dieser

= rW(t-l)

Ansatz

Er b i l d e t schaft,

ist

*'

1 )

+ f

-1]U(t-1)

v o n V I D A L E und WOLFE a u f g e s t e l l t dynamisches Modell

mit der

rechten S e i t e stehenden V a r i a b l e n

Metrisch

dynamische

Die folgenden

dynamische Modelle d i e s e r

F u n k t i o n s m o d e l 1e b e z e i c h n e t Betrachtungen

beschränkt werden.

sind.

r W (

worden

[2151-

besonderen

daß d i e a b h ä n g i g e V a r i a b l e U d u r c h e i n e f o r m e l m ä ß i g e

stimmt w i r d .

delle,

[

ein metrisches

fung der auf der

als

-

sollen

Damit e n t f ä l l t

in denen n i c h t m e t r i s c h Als

Beispiel

dieser

fast

Art

Eigen-

Verknüp-

und K o n s t a n t e n sollen

be-

fortan

werden.

auf dynamische die Untersuchung

Funktionsmodelle dynamischer

faßbare Zustände miteinander ausschließlich

Mo-

verknüpft

(nichtmetrischen)

sto-

26

chastischen Modelle sei die einfachste Form eines

Markenwechslermo-

dells angeführt. Wir unterscheiden zwei Marken A und B und

unterstel-

len, daß ein Käufer, der in Periode t die Marke A gekauft hat, in Periode t+1 mit einer Wahrscheinlichkeit von P ^ = 0 , 6 die Marke A und mit einer Wahrscheinlichkeit von P. D =0, i t die Marke B kauft. AD

Ein Käufer, der in Periode t die Marke B gekauft hat, soll sich in der nächsten Periode mit einer Wahrscheinlichkeit von

für

die Marke A und mit einer Wahrscheinlichkeit von Pgg=0,7 für die Marke B entscheiden. Schematisch lassen sich die beschriebenen Beziehungen durch die folgende Skizze darstellen.

Abb. 12.2

Beispiel eines nichtmetrisch dynamischen

Modells

Im Gegensatz zu einem metrischen Modell, in welchem die zu beschreibenden Größen

(in einem bestimmten Definitionsbereich) durch

reelle

Zahlen ausgedrückt werden, ist die zu beschreibende Größe in diesem Modell nur durch zwei alternativ mögliche und nur qualitativ schreibbare Zustände faßbar: den Zuständen und

be-

'Käufer erwirbt Marke A'

'Käufer erwirbt Marke B'.

Solche nichtmetrisch dynamischen Modelle werden in der folgenden Untersuchung nicht

berücksichtigt.

Eine tatsächlich starke Einschränkung des Anwendungsbereiches

der

Analyse dynamischer Systeme wird mit der Beschränkung auf m e t r i s c h dynamische Modelle jedoch nicht bewirkt. Denn schätzungsweise 95 Prozent aller heute bekannten dynamischen Modelle dürften den m e trischen Modellen zugeordnet werden können.

27

Die E i g e n s c h a f t e n d i e s e r m e t r i s c h dynamischen Modelle s o l l e n stärker

h e r a u s g e a r b e i t e t w e r d e n . Da a l l e m e t r i s c h e n Größen i n

mischen Modellen durch einen Z e i t i n d e x gekennzeichnet h i n s i c h t l i c h der Z e i t s t r u k t u r pen u n t e r s c h e i d e n : mischen

nunmehr

sind,

dyna-

kann man

g r u n d s ä t z l i c h z w i s c h e n zwei Model 1 t y -

den z e i t k o n t i nui e r l i chen und z e i t d i s k r e t e n

dyna-

Modellen.

In z e i t k o n t i n u i e r l i c h e n

d y n a m i s c h e n M o d e l l e n w i r d v o n einem

kontinu-

i e r l i c h e n Z e i t m a ß s t a b a u s g e g a n g e n . A l s F o l g e davon kann i n einem zeitkontinuierlichen

Modell

zu jedem b e l i e b i g e n Z e i t p u n k t a u f

Z e i t a c h s e e i n Z a h l e n w e r t f ü r d i e zu bestimmenden m e t r i s c h e n e r m i t t e l t werden. A l s t Y(t)

=

Beispiel

sei

die

der

Größen

Integralgleichung

/F(T)Y(T)DR

t-s angeführt.

D i e Größe Y w i r d zu jedem b e l i e b i g e n Z e i t p u n k t

d u r c h d i e m i t F ( T ) g e w i c h t e t e n und a u f s u m m i e r t e n

t bestimmt

Vergangenheitsaus-

p r ä g u n g e n von Y. Die v e r b r e i t e t s t e Modellform bilden die

im F a l l e z e i t k o n t i n u i e r l i c h e r

Modelle

Differentialgleichungen.

Als einfaches

Beispiel

sei

e i n e H y p o t h e s e a u s der

s u n g s t h e o r i e von MARCH und SIMON a n g e f ü h r t .

Anspruchsanpas-

[128,S.^8]

D e f i n i e r t man mi t A(t):

Anspruchsniveau

B(t):

Erwartete Belohnung e i n e r Person

so bedeutet d i e

im Z e i t p u n k t

t

im Z e i t p u n k t

t

Hypothese

dA/dt = a [ B ( t ) - A ( t ) + a ] daß d i e

einer Person

infinitesimal

(a>0,

a>0)

k l e i n e S n d e r u n g s r a t e von A , d i e

Dann-Komponen-

t e der H y p o t h e s e , d u r c h d i e a u f der r e c h t e n S e i t e der G l e i c h u n g

ste-

hende Wenn-Komponente v e r z ö g e r t bestimmt w i r d . Dynamische M o d e l l e lich uns

i n Form von D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n

i n den W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t e n

zu f i n d e n .

sind

Dennoch w o l l e n w i r

im f o l g e n d e n n i c h t mi t d i e s e m M o d e l l t y p b e s c h ä f t i g e n ,

l e i n m i t den z e i t d i s k r e t e n d y n a m i s c h e n M o d e l l e n .

gelegent-

Diese

sondern

al-

Entscheidung

mag b e f r e m d l i c h e r s c h e i n e n , wenn man b e d e n k t , daß s i c h d i e s e s

Buch

28

generell mit der Analyse dynamischer Systeme befassen soll. Um diese Bedenken gleich auszuräumen, sei

im Vorgriff schon darauf

hingewiesen,

daß jedes reale sozioökonomisehe System, welches durch ein zeitkontinuierliches Modell dynamisches Modell

beschrieben wird, auch durch ein zeitdiskretes

repräsentiert werden kann.

1.2.2. Metrisch dynamische zeitdiskrete äquidistante Modelle (MZÄ) Bei der Anwendung zeitdiskreter Modelle wird unterstellt, daß die Werte der betrachteten Größen nur zu bestimmten Zeitpunkten

bestimmt

werden und auch nur diese Werte einen verzögernden Einfluß ausüben. Unterstellt man darüber hinaus, daß diese Zeitpunkte in gleichbleibenden (äquidistanten) Zeitabständen auf der Zeitachse gewählt

sind,

so läßt sich die Struktur eines derartigen Modells anhand von Abbildung 12.3 demonstrieren.

2

Abb. 12.3

Pfei1diagramm eines metrisch dynamischen und äquidistanten Modells

zeitdiskreten

Die Werte der metrischen Größen Y^, Y^ und E sind nur in den Zeitpunkten t, t-1, t-2,... definiert und beeinflussen mit diesen Werten in verzögerter Weise die Ausprägungen von Y Die dynamischen Beziehungen

und

in Abbildung 12.3 lassen sich durch die

29

Gleichungen Y1 (t) =

F[E(t-2),Y 1 (t-1),Y 2 (t-2)]

Y 2 (t) =

F[Y 2 (t-1),Y,(t)]

beschreiben. Derartige Gleichungen bezeichnet man als D i fferenzengleichungen. Nach der ersten Kennzeichnung zeitdiskreter

äquidistan-

ter Modelle soll wieder die Frage aufgegriffen werden, ob es zulässig ist, sich ausschließlich auf diesen Modelltyp zu beschränken und damit zeitkontinuierlich dynamische Modelle außer acht zu lassen. Diese Fragestellung

läuft auf die weitere Frage hinaus, welche der

beiden Model 1 formen, zeitkontinuierliche oder zeitdiskrete, zur Abbildung empirischer Beziehungen besser geeignet

ist.

Eine Antwort kann sich letztlich nur aus der Erfahrung ergeben. Allerdings zeigt die Beobachtung empirischer Größen im Zeitverlauf, daß sich diese selten kontinuierlich ändern. Fast alle Änderungen physikalischer, physiologischer und auch sozialer Größen vollziehen sich unstetig, so daß man im empirischen Bereich geradezu von einem 'Primat der Unstetigkeit 1

sprechen kann. Es ist kein

physikalisches

oder ein einer anderen Wissenschaft zugehöriges Experiment bekannt, das die Annahme einer stetigen Änderung empirischer Phänomene bestätigt. Auch

in dem klassischen Anwendungsbereich stetiger Modelle, der

Elektrotechnik, stellen die stetigen Modelle eine Abstraktion dar. Der elektrische Stromfluß beispielsweise

ist nicht stetig, sondern wird

in gewissen einzelnen Portionen, den E1ektronen1adungen,

befördert.

Im wirtschaftlichen Bereich sind fast nur unstetige Veränderungen ökonomischer Größen zu beobachten: So werden Lagerbestände nur täglich oder wöchentlich ergänzt, Budgetgrößen erfahren nur in gewissen Zeitabständen eine Revision, und zwischen den Preisänderungen vieler Artikel

liegen gewöhnlich größere

Zeitabstände.

Bei der Verwendung von Differenzengleichungen wird zwar angenommen, daß die betrachteten ökonomischen Größen sich unstetig ändern, aber jeweils nur am Anfang oder Ende einer bestimmten stets gleichbleibenden (äquidistanten)

Periode.

Innerhalb dieser Periode dagegen w e r -

die Größen als unverändert angesehen. Der Wert am Periodenanfang oder

30

-ende

repräsentiert

ner V a r i a b l e n Y ( t )

damit d i e g a n z e P e r i o d e .

im Z e i t p u n k t

t durch die

Die B e e i n f l u s s u n g

ei-

Vergangenheitsausprä-

gungen i h r e r e i g e n e n Größe s o w i e a n d e r e r V a r i a b l e n kann d a m i t s o t e r p r e t i e r t werden,

' a l s ob

1

in-

s i e nur v o n den A u s p r ä g u n g e n am A n f a n g

o d e r Ende der b e t r e f f e n d e n P e r i o d e n b e e i n f l u ß t werden w ü r d e . D i e E r f a h r u n g e n bei der E n t w i c k l u n g ö k o n o m i s c h e r M o d e l l e daß D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s m o d e l l e t i n u i e r l i c h e Modelle

haben

im a l l g e m e i n e n b e s s e r a l s

gezeigt,

zeitkon-

i n der Lage s i n d , ö k o n o m i s c h e Phänomene zu b e -

2 schreiben.

Dies

l i e g t d a r a n , daß v i e l e ö k o n o m i s c h e

Entscheidungen

und d i e d u r c h s i e a u s g e l ö s t e n V e r ä n d e r u n g e n der V a r i a b l e n

in annä-

hernd p e r i o d i s c h e n A b s t ä n d e n g e t r o f f e n w e r d e n , was der S t r u k t u r Differenzengleichungen

stärker

B e t r a c h t e t man d i e d e r z e i t i g delle, führt sie

die

entspricht.

v o r h a n d e n e n d y n a m i s c h e n ö k o n o m i s c h e n Mo-

i n Form von D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n

ihre Analyse fast

Betrachten wir beispielsweise dA/dt = a [ B ( t ) " A ( t ) + a ] schwer,

soll.

sen V e r ä n d e r u n g A(t+1) Neben der

d.h.

Einleuchtender

in

angeführte

infinitesimal

d ü r f t e d i e Annahme e i n e r

= a [ B ( t ) - A ( t ) + a]

mit

Zeitabständen periodenwei-

ist anschaulicher,

hänge kommt wie bei

Beziehungen

Vorteile:

in Form von

Differenzen-

und d i e k a u s a l e S t r u k t u r d e r

in K a l k ü l e n mit s t e t i g e n

in

2 Vergl.

hierzu

[14,S.221],

[208,S.2]

Zusammen-

ihnen

deut-

Zeitargumenten.

D i e Anwendung von s o g e n a n n t e n P a r a m e t e r s c h ä t z t e c h n i ken

^

diskre-

Differenzengleichun-

der Verwendung von P f e i 1 Schemata

zum A u s d r u c k a l s

führt:

t=0,l,2...

eine Reihe m e t h o d i s c h - o p e r a t i o n a l e r

(1) D i e F o r m u l i e r u n g d y n a m i s c h e r

(2)

kleinen

Anspruchs-

i n v i e l e n F ä l l e n g r ö ß e r e n e m p i r i s c h e n Adäquanz der

gleichungen

ist,

s e i n , was zu der f o l g e n d e n D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g

- A(t)

gen z u s ä t z l i c h

so

Hypothese

daß d i e Ä n d e r u n g des

ten B e s c h r e i b u n g s f o r m b i e t e t d i e Verwendung v o n

licher

sind,

umzuwandeln.

die bereits

sich vorzustellen,

niveaus A k o n t i n u i e r l i c h , verlaufen

formuliert

immer zu dem U r t e i l , daß es s i n n v o l l e r

in e i n e D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s f o r m

Es f ä l l t

der

ist,

wie

31

w i r sehen werden, nur bei einem D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s a n s a t z

durch-

führbar. (3) Komplexe n i c h t l i n e a r e D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s s y s t e m e mit e l e k t r o n i s c h e n D i g i t a l r e c h n e r n lieren.

lassen

sich

in nahezu b e l i e b i g e m Umfang simu-

Der S i m u l a t i o n entsprechender dynamischer K a l k ü l e mit kon-

t i n u i e r l i c h e n Zeitargumenten sind wegen des t e c h n i s c h e n

Leistungs-

vermögens der h i e r z u e r f o r d e r l i c h e n Analogrechner Grenzen g e s e t z t . Dies g i l t

in v e r s t ä r k t e m Maße f ü r s t o c h a s t i s c h dynamische M o d e l l e .

Die S i m u l a t i o n von Z u f a l l s z a h l e n f o l g e n

i n dynamischen Modellen kann

mit D i g i t a l r e c h n e r n unter Benutzung von Z u f a l l s z a h l e n g e n e r a t o r e n b e l i e b i g e m Umfang und mit großer F l e x i b i l i t ä t

Di« S i m u l a t i o n s t o c h a s t i s c h e r dynamischer Model 1e mit s t e t i g e n argumenten i s t aber nur in S o n d e r f ä l l e n t e c h n i s c h Aus d i e s e n Gründen s o l l e n

in

d u r c h g e f ü h r t werden. Zeit-

realisierbar.

in den w e i t e r e n Untersuchungen nur m e t r i -

sche, z e i t d i s k r e t e und ä q u i d i s t a n t e dynamische Modelle e r ö r t e r t werden, d i e w i r abkürzend a l s dynamische MZÄ-Modelle bezeichnen w o l l e n .

1.2.3. Strukturmerkmale dynamischer MZÄ-Modelle Die Dimension e i n e s dynamischen Modells bestimmt s i c h nach der Anzahl der Gleichungen. U(t)

E i n e i n d i m e n s i o n a l e s Modell

= 212 + 0,628U(t-1)

i s t zum B e i s p i e l

durch

+ 0,537W(t)

gegeben.^ Es bedeuten dabei U(t): U(t-1) : W(t):

Umsatz e i n e s Unternehmens

in P e r i o d e

Umsatz e i n e s Unternehmens

t

in P e r i o d e t-1

Werbeausgaben des Unternehmens

in P e r i o d e

t

In v i e l e n F ä l l e n können dynamische Modelle nur durch mehrere G l e i chungen in adäquater Weise beschrieben werden. So besteht das von SAMUELSON e n t w i c k e l t e Model1 aus d r e i 3

Gleichungen.

S i e h e zu diesem Modell

[173].

[159.S.91]

Mu1tiplikator-Akzelerator-

Dieses d r e i d i m e n s i o n a l e Modell

32

b e s c h r e i b t d i e B e z i e h u n g e n z w i s c h e n dem V o l k s e i n k o m m e n , dem Konsum und den

Investitionen

wird als

in einer V o l k s w i r t s c h a f t .

Konsumfunktion

C(t)

Die e r s t e

Hypothese

bezeichnet.

= aY(t-l)

S i e b e s a g t , daß der Konsum C i n der P e r i o d e t dem V o l k s e i n k o m m e n Y der V o r p e r i o d e p r o p o r t i o n a l als

Konsumquote

ist.

Der P r o p o r t i o n a l i t ä t s f a k t o r

bezeichnet.

Nach der z w e i t e n H y p o t h e s e , der s o g e n a n n t e n K(t)

Investi tionsfunktion,

= ß[C ( t ) - C ( t - 1 ) ]

werden d i e d u r c h den Konsum i n d u z i e r t e n Unternehmern p r o p o r t i o n a l C(t)-C(t-1) rator

a wird

bestimmt.

Investitionen

l.(t)

d e r Ä n d e r u n g s r a t e des Konsums,

Der P r o p o r t i o n a l i t ä t s f a k t o r

von den

d.h.

B wird a l s

Akzele-

bezeichnet.

Die d r i t t e

G l e i c h u n g des S y s t e m s w i r d d u r c h e i n e

chung des V o l k s e i n k o m m e n s g e b i l d e t , d i e s i c h Y(t) bestimmt.

= C(t)

+ Kit)

D i e Größe

+

aus

lg(t)

lg(t)

repräsentiert

n i c h t d u r c h Konsumänderungen b e w i r k t e n , Das M u l t i p l i k a t o r - A k z e l e r a t o r - M o d e l 1 hend a l s S t a n d a r d b e i s p i e l

Definitionsglei-

hierbei

d i e autonomen,

I n v e s t i t i o n e n der

wird

d.h.

Unternehmer.

in d i e s e r Arbeit

durchge-

z u r D e m o n s t r a t i o n der v i e l f ä l t i g e n

Aspek-

t e e i n e r d y n a m i s c h e n Model 1bi1dung und - a n a l y s e v e r w e n d e t . A u s

Ab-

kürzungsgründen s o l l

ge-

f o r t a n von einem MA-Model1 o d e r M A - S y s t e m

s p r o c h e n werden. Nach der b e i s p i e l h a f t e n

Darstellung

MZÄ-Modells s o l l

ein Begriffsapparat

mente e i n g e f ü h r t

werden.

B e t r a c h t e n w i r zum B e i s p i e l dells,

e i n e s e i n - und

den F a l l

dreidimensionalen

z u r B e z e i c h n u n g der

Modellele-

eines zweidimensionalen

MZÄ-Mo-

d.h.

Y,(t)

=

F[Y1(t-l),Y1(t-2),Y2(t),Y2(t-2),E1(t),E1(t-1),E1(t-2),E2(t)]

Y2(t)

= F[Y1 ( t - 1 ) , Y 2 ( t - 2 ) ,E1 ( t ) ]

s o l a s s e n s i c h v e r s c h i e d e n e Typen von V a r i a b l e n

unterscheiden.

33

S ä m t l i c h e V a r i a b l e n g e h ö r e n entweder den endogenen o d e r e x o g e n e n V a r i a b l e n an. E i n e V a r i a b l e

i s t e n d o g e n , wenn i h r e n u m e r i s c h e n Werte

d u r c h d i e G l e i c h u n g e n des M o d e l l s Fall

bestimmt werden können.

s i n d a l s o d i e V a r i a b l e n Y^ und Y^ e n d o g e n . Exogene

müssen i n einem d y n a m i s c h e n Modell

'von außen'

I n unserem

Variablen

numerisch

vorgegeben

w e r d e n . Zu den exogenen V a r i a b l e n z ä h l e n d i e V a r i a b l e n E^ und E ^ . D i e e i n e endogene V a r i a b l e

im Z e i t p u n k t

und exogenen V a r i a b l e n a u s p r ä g u n g e n

t beeinflussenden

der V o r p e r i o d e n werden a l s

z ö g e r t e endogene und v e r z ö g e r t e exogene V a r i a b l e n Die V a r i a b l e n Y ^ ( t - l ) ,

Y^(t-2)

und Y 2 ( t - 2 )

der v e r z ö g e r t e n e n d o g e n e n , E ^ ( t - I )

und E ^ ( t - 2 )

unverzögerte Variablen bezeichnet. t),

Ej(t)

und E 2 ( t ) .

zu den

zahlenmäßig unverändert. Eine zeitveränderliche

verzögerten

lassen sich

exogene V a r i a b l e n u n t e r s c h e i d e n .

s t a n t e exogene V a r i a b l e b l e i b t während des

in Eine

nur m i t dem Symbol

E(t)

bezeichnet,

= 0 , 5 h a n d e l t es s i c h b e i s p i e l s w e i s e

zeitkonstanzeitkon-

Parameter

bezeichnet.

exogene

im a n g e f ü h r -

so r e i c h t d i e s e

vorzunehmen.

im F a l l e E ( t )

Variable.

den z u r Gruppe der v o r h e r b e s t i m m t e n V a r i a b l e n zusammengefaßt. s i c h , wie wir

werDiese

i n K ü r z e e r k e n n e n w e r d e n , a u s dem

Umstand, daß d i e n u m e r i s c h e n Werte d i e s e r V a r i a b l e n v o r g e g e b e n herbestimmt)

s e i n m ü s s e n , um d i e z a h l e n m ä ß i g e A u s p r ä g u n g d e r

v e r z ö g e r t endogenen V a r i a b l e n bestimmen zu k ö n n e n . Beispiel

s t e h e n d e n V a r i a b l e n zu den v o r h e r b e s t i m m t e n

dell

12.h

i s t das a l s

Beispiel

nach dem e r ö r t e r t e n B e g r i f f s s y s t e m

(vor-

unver-

Im a n g e f ü h r t e n

z ä h l e n a l l e a u f der r e c h t e n S e i t e der b e i d e n

In A b b i l d u n g

exo-

= 0 , 5 t um

D i e e x o g e n e n V a r i a b l e n s o w i e d i e v e r z ö g e r t endogenen V a r i a b l e n

Bezeichnung e r g i b t

In-

Im F a l l e

um e i n e z e i t k o n s t a n t e

gene V a r i a b l e o d e r k ü r z e r e i n e n P a r a m e t e r , eine zeitveränderliche

Y^(t),

exogene V a r i a b l e nimmt m i t v a r i i e r e n d e m t u n -

f o r m a t i o n n i c h t a u s , um e i n e K l a s s i f i z i e r u n g E(t)

als

Betrachtungszeitraumes

S i e w i r d auch k u r z a l s

t e r s c h i e d l i c h e Werte a n . S i n d d i e exogenen V a r i a b l e n w i e ten B e i s p i e l

Gruppe

t d a g e g e n werden

In d i e s e K a t e g o r i e f a l l e n

Exogene V a r i a b l e n

ver-

bezeichnet.

gehören somit zur

e x o g e n e n V a r i a b l e n . V a r i a b l e n m i t dem Z e i t i n d e x

t e und z e i t v a r i a b l e

endogenen

Gleichungen

Variablen.

herangezogene dynamische klassifiziert.

Mo-

34

]

Y,(t)

unverzögerte endogene V a r i a b l e " — verzögerte

«

Y2(t) Y , ( t - 1 ) ^endogene Y,,(t-2) V a r i a b l e

*

t

endogene

Y2(t-2)

Variable

v o r h e r b e s t limite

E,(t)

unverzSgerte

Variable

»

exogene

E2(t)

exogene V a r i a b l e verzögerte

^Variable

E,(t-1) E,(t-2).

Abbildung

exogene V a r i a b l e

h

12.4

Beispiel

der V a r i a b l e n k l a s s i f i z i e r u n g

eines

dynami-

s c h e n Model 1 s

Der Grad e i n e r zögerung, So

ist

Gleichung

für

Y2(t)

welches eine

wegen Y 2 ( t - 2 )

des b e g r i f f l i c h e n

der s t i l l s c h w e i g e n d e n sichere

Betrachten wir

t

Zeitver-

aufweist.

Differenzenglei-

das erwähnte e i n d i m e n s i o n a l e +

Konkretisierung für U(t)

Den d e t e r m i n i s t i s c h e n

Modellen stehen die

Model 1e g e g e n ü b e r .

liegt

griffsapparats

für

Glücklicherweise

daher d i e

nicht

zur

von U ( t - 1 )

ermittelt

und den

eines

Verwendung

besonderen

Be-

zwingt.

d . h . man k a n n d i e auch zur

und W ( t )

werden.

F r a g e nahe, ob d i e

kommt man j e d o c h m i t den b i s h e r

angeführten Variablenbegriffe

Modell

sogenannten s t o c h a s t i sehen

Einführung

s t o c h a s t i sehe Modelle

Instrumenten aus,

verwenden.

Modells,

0,537W(t)

für jede Periode ein Zahlenwert

Es

bisher

z w i s c h e n den v o r h e r b e s t i m m t e n

so kann durch d i e z a h l e n m ä ß i g e

stochasti scher Modelle

erfolgte

d e t e r m i ni s t i s e h e n

behauptet.

beispielsweise

= 212 + 0 , 6 2 8 U ( t - 1 )

grifflichen

eine

Instrumentariums

Annahme e i n e s

Beziehung

e n d o g e n e n Model 1 v a r i a b l e n

Modelle

der g r ö ß t e n

Grades.

Die Einführung

U(t)

entspricht

d i e eine der v e r z ö g e r t e n V a r i a b l e n gegenüber

die

chung z w e i t e n

unter

Differenzengleichung

entwickelten in Abbildung

Kennzeichnung

be12.4

stochasti scher

35

Um d i e s e n etwas ü b e r r a s c h e n d e n Zusammenhang zu v e r d e u t l i c h e n , wir

in e i n e r e r s t e n , v o r l ä u f i g e n

rakter eines

den g r u n d s ä t z l i c h e n

stochastisehen MZÄ-Modells s c h i l d e r n .

das dynamische Y(t)

Darstellung

wollen

Betrachten

Cha-

wir

Modell

= 0,5Y(t-1)

+ e(t)

s o l i e g t e s n a h e , h i e r von einem d e t e r m i n i s t i s c h e n M o d e l l

mit

einer

endogenen V a r i a b l e n Y und e i n e r exogenen V a r i a b l e n e zu s p r e c h e n . mehr w i r d uns a b e r m i t g e t e i l t , numerischen Ausprägung

daß d i e V a r i a b l e e i n

n i c h t bekannt s e i n s o l l .

daß e e i n e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g gedrückt:

von e i s t

ihrer

Bekannt

konkreten

ist

allein,

a n g e h ö r t . Oder a n d e r s

nur d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g

aus der e in jeder P e r i o d e gewissermaßen a l s

Stichprobe

Nun

aus-

bekannt,

entnommen

wi r d . I s t v o n e a b e r nur d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g

bekannt,

kann von der endogenen V a r i a b l e n Y ( t )

Fall

die Wahrscheinlichkeitsverteilung

im g ü n s t i g s t e n

e r m i t t e l t werden.

Dies

so

auch ist

nur

das

Kennzeichen eines s t o c h a s t i s c h dynamischen MZÄ-Modells, welches die Verallgemeinerung ist

erlaubt:

I n einem s t o c h a s t i s c h e n

z u m i n d e s t e i n e exogene V a r i a b l e n u r

keitsverteilung

i n Form i h r e r

MZK-Model1 Wahrscheinlich-

b e k a n n t , was z u r F o l g e h a t , daß d i e endogenen

len des M o d e l l s e b e n f a l l s

nur d u r c h i h r e

uns

Variab-

Wahrscheinlichkeitsvertei-

l u n g e n b e s c h r i e b e n werden können. Dem L e s e r w i r d n i c h t e n t g a n g e n s e i n , daß bei

diesem

stochastischen

M o d e l l m i t den B e g r i f f e n e i n e r exogenen und endogenen V a r i a b l e n a r b e i t e t wurde.

Der Grund l i e g t d a r i n , daß es e i n

Präzisionsniveau

der F o r m u l i e r u n g v o n M Z K - M o d e l l e n g i b t , a u f d a s d i e s e B e g r i f f e h ä n g i g v o n der U n t e r s c h e i d u n g nistisch'

anwendbar s i n d .

zwischen

'stochastisch'

Der g e s c h i l d e r t e

chen B e i s p i e l e s

zeigt

sich,

daß d i e K l a s s i f i z i e r u n g

terministisches

Modell

unab-

'determikann d a -

Im F a l l e u n s e r e s

z ö g e r t e und exogen u n v e r z ö g e r t e V a r i a b l e n anwendbar k a n n t s e i n muß, ob e s s i c h

und

Begriffsapparat

her f ü r b e i d e M o d e l l formen verwendet werden.

einfa-

i n endogen

ver-

i s t , ohne daß b e -

l e t z t l i c h um e i n s t o c h a s t i s c h e s o d e r

handelt.

ge-

de-

36

M i t d i e s e n Bemerkungen e r h a l t e n w i r nur e i n e e r s t e , v o r l ä u f i g e stellung

über d i e S t r u k t u r

s i n d aber

e i n e s s t o c h a s t i s c h dynamischen

Vor-

MZÄ-Modells,

i n der L a g e , den e n t w i c k e l t e n B e g r i f f s a p p a r a t a u c h a u f

se Modelle

anzuwenden.

A l s Ausgangspunkt

e i n e r M o d e l l a n a l y s e s i n d o f t bestimmte

formen d y n a m i s c h e r M o d e l l e e r f o r d e r l i c h .

Darstellungs-

Von Bedeutung s i n d h i e r

b e s o n d e r e d i e r e d u z i e r t e G l e i c h u n g und d i e Endg1 e i c h u n g e i n e r genen V a r i a b l e n , Wird

auf d i e w i r

im f o l g e n d e n

i n einem d y n a m i s c h e n M o d e l l

le e n t h ä l t ,

eingehen.

e i n e endogene V a r i a b l e d u r c h

s o s p r i c h t man v o n d e r

ins-

endo-

eine

G l e i c h u n g b e s c h r i e b e n , d e r e n r e c h t e S e i t e nur v o r h e r b e s t i m m t e

genen

die-

reduzierten Gleichung

Variab-

dieser

endo-

Variablen.

Im F a l l e des

MA-Modells

Y(t)

= C(t)

C(t)

=

I. stellt

+ l.(t)

+

(12.4)

la(t)

aY(t-l)

(12.5)

( t ) = ß[C ( t ) - C ( t - 1 ) ] d i e Beziehung

(12.5)

(12.6) bereits die

r e d u z i e r t e G l e i c h u n g des

Kon-

sums C d a r . Für das V o l k s e i n k o m m e n Y i s t d e s s e n r e d u z i e r t e G l e i c h u n g e r s t

durch

e i n e a l g e b r a i s c h e Umformung zu g e w i n n e n . Wie man l e i c h t e r k e n n t gibt

sich die Y(t)

reduzierte

= aY(t-l)

+ ß[aY(t-1) - C ( t - 1 ) ] +

durch E i n s e t z u n g von (12.5) (12.6)

in

er-

Gleichung

in

(12.6)

lg(t)

sowie

(12.5)

(12.7) in (12.4)

( 1 2 . 4 ) . Werden s ä m t l i c h e endogenen V a r i a b l e n e i n e s

und Modells

d u r c h r e d u z i e r t e G l e i c h u n g e n b e s c h r i e b e n , dann s p r i c h t man d a v o n , daß das M o d e l l

in seiner

r e d u z i e r t e n Form d a r g e s t e l l t

G e l i n g t es d u r c h w e i t e r e Umformungen, d i e

sei.

in der r e d u z i e r t e n

Glei-

chung e i n e r bestimmten endogenen V a r i a b l e n e n t h a l t e n e n ü b r i g e n

ver-

z ö g e r t e n endogenen V a r i a b l e n zu e l i m i n i e r e n ,

einer

G l e i c h u n g s f o r m , bei

s o g e l a n g t man zu

der d i e b e t r a c h t e t e endogene V a r i a b l e a l l e i n

von

i h r e n e i g e n e n v e r z ö g e r t e n A u s p r ä g u n g e n s o w i e den v e r z ö g e r t e n und u n v e r z ö g e r t e n exogenen V a r i a b l e n a b h ä n g i g

ist.

Eine derartige

Glei-

37 chungsform w i r d mit TINBERGEN a l s d i e E n d g l e i c h u n g

der

betreffenden

endogenen V a r i a b l e n b e z e i c h n e t . Andere A u t o r e n gebrauchen s t a t t sen den A u s d r u c k : s e p a r i e r t e Form oder s e p a r i e r t [206,S.137],

[130,S.20],

r e d u z i e r t e Form e r g i b t s i c h

des M u l t i p l i k a t o r - A k z e l e r a t o r - M o d e l 1 s

in dem

in f o l g e n d e r

Weise:

Die Verzögerung des Z e i t a r g u m e n t e s um e i n e P e r i o d e in (12.5) C(t-1) Mit

(12.8) Y(t)

liefert

= aY(t-2)

(12.8)

und (12.7)

f o l g t d i e E n d g l e i c h u n g von Y

= (ataB)Y(t-l)

Für d i e V a r i a b l e

des-

Form.

[51.S.17].

D i e E n d g l e i c h u n g oder s e p a r i e r t Beispiel

reduzierte

- aßY(t-2)

I. e r g i b t

+ lg(t)

(12.9)

s i c h die Endgleichung

bei

entsprechendem

- aßl. (t-2)

- aßlg (t-1)

Vorgehen m i t I. ( t ) = (a+aß) I. ( t - 1 )

+ aßlg (t)

Man kann zwischen der E r k l ä r u n g s - und S t a n d a r d f o r m e i n e r unterscheiden. Y (t) wird

Die

= o>1 Y ( t - 1 )

+ w2Y(t-2) + . . . + ü)nY(t-n)

im Rahmen der A u f s t e l l u n g

chungen verwendet. nung d i e Y(t)

Endgleichung

Erklärungsform

Mit u = - a v

und

s + n S Q g ^E (t~n)

I n t e r p r e t a t i o n von

(v=1,2

Hypothesenglei-

n) e r h ä l t man durch Umord-

Standardform + a.Y(t-l) i

+...+ a Y(t-n) n

= 2 qE(t-n) ^=0 \

(12.11)

S i e b i l d e t den A u s g a n g s p u n k t zur a n a l y t i s c h e n Untersuchung ter

(12.10)

i n t e r e s s i e r e n d e r Mode 1 1 i m p l i k a t i o n e n .

treten selten

Primäre

i n Form von E n d g l e i c h u n g e n a u f .

bestimm-

Hypothesenansätze

Daher i s t es o f t

not-

wendig, e r s t d i e E n d g l e i c h u n g e n e i n e s M o d e l l s zu e r m i t t e l n . M i t H i l f e e i n e r E n d g l e i c h u n g g e l i n g t e s , e i n e endogene V a r i a b l e wissermaßen vom ü b r i g e n System nen über den Z e i t v e r l a u f

'abzukoppeln1, weil

d i e s e r endogenen V a r i a b l e n

alle

in der

Endglei-

chung e n t h a l t e n s i n d , g l e i c h g ü l t i g , wie s t a r k d i e s e endogene ble 4

in dem System

'vermascht'

ist.

k

ge-

Informatio-

Varia-

P r ä z i s e K r i t e r i e n zur B e u r t e i l u n g der Vermaschung der endogenen V a r i a b l e n in einem Modell werden in A b s c h n i t t 2 . 5 e n t w i c k e l t .

38

1.3. Strukturgleichungstypen dynamischer MZÄ-Modelle

1.3.1. Hypothesengleichungen Hypothesengleichungen i n der W i r k l i c h k e i t

r e p r ä s e n t i e r e n Wenn-Dann-Behauptungen

auftretenden Beziehungen.

den u n t e r v e r s c h i e d e n e n B l i c k r i c h t u n g e n

Sie sollen

klassifiziert

über

die

im f o l g e n -

und

beurteilt

werden. In den e r s t e n b e i d e n A b s c h n i t t e n werden H y p o t h e s e n g l e i c h u n g e n ihrem B e d e u t u n g s g e h a l t und ihrem e m p i r i s c h e n G e h a l t

Im a n s c h l i e ß e n d e n A b s c h n i t t werden s i e nach K r i t e r i e n d i e s i c h a u s den B e z i e h u n g e n z w i s c h e n einem M o d e l l der

nach

unterschieden. gegliedert,

und s e i n e m Anwen-

ergeben.

A. Technologische und institutionelle Hypothesen sowie Verhaltenshypothesen Nach ihrem B e d e u t u n g s g e h a l t logische Gleichungen,

können H y p o t h e s e n g l e i c h u n g e n

institutionelle

G l e i c h u n g e n und

g l e i c h u n g e n e i n g e t e i l t werden. T e c h n o l o g i s c h e

in

techno-

Verhaltens-

Gleichungen

beschrei-

ben r e i n t e c h n i s c h b e d i n g t e B e z i e h u n g e n w i e etwa den Zusammenhang z w i s c h e n dem M a t e r i a l e i n s a t z gates.

Institutionelle

und dem P r o d u k t i o n s a u s s t o ß

stimmter S o l l v o r s c h r i f t e n ,

welche b e i s p i e l s w e i s e

e r l a s s e n werden. D i e s o g e n a n n t e ST(t)

=

eines

Gleichungen beschreiben die Einhaltung

Aggrebe-

vom G e s e t z g e b e r

Steuergleichung

0,56STG(t)

d i e f ü r e i n e n zu v e r s t e u e r n d e n Gewinn STG von über

130 000 DM d i e

Hö-

he der zu z a h l e n d e n S t e u e r n b e s t i m m t , g e h ö r t zu d i e s e m T y p . Institutionelle

und t e c h n o l o g i s c h e G l e i c h u n g e n l a s s e n s i c h n i c h t

d e u t i g von den V e r h a l t e n s g l e i c h u n g e n n e l l e Gleichungen s p i e g e l n das

unterscheiden.

institutionell

v o n P e r s o n e n w i d e r , und a u c h t e c h n i s c h e seltensten

Fällen

losgelöst

Denn

erzwungene

institutioVerhalten

R e l a t i o n e n s i n d nur

vom V e r h a l t e n b e s t i m m t e r

ein-

i n den

Personen.

39

D i e Bestimmung von H y p o t h e s e n , d i e d a s z e i t i n v a r i a n t e V e r h a l t e n stimmter Personen behaupten, d.h. chungen,

1,(0

Betrachten wir die beschriebene

be-

Verhaltensglei-

i s t d i e s c h w i e r i g s t e und damit d i e z e n t r a l e A u f g a b e

Modellbildung.

Mit

d i e Bestimmung v o n

jeder

Investitionsfunktion

= ß[C(t)-C(t-1) ]

i h r w i r d b e h a u p t e t , daß d a s

Investitionsverhalten

mer i n j e d e r b e l i e b i g e n P e r i o d e t d i e s e r melden s i c h s i c h e r

Zweifel

menschlichen Verhaltens

überhaupt möglich

Hier des

ist, derartige präzise

zu f i n d e n .

D i e s e r Einwand

S e i n e g e n e r e l l e G ü l t i g k e i t würde a l l e r d i n g s

daß man i n den W i r t s c h a f t s mischen Modellen a r b e i t e n

Unterneh-

a n , ob es bei der M a n n i g f a l t i g k e i t

unveränderliche Verhaltensgleichungen berechtigt.

der

Gleichung gehorcht.

und S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n

und ist

bedeuten,

n i c h t mit

dyna-

dürfte.

B. Parametrisch-singuläre, parametrisch-generelle, komparative und nichtkomparative Hypothesen Hypothesengleichungen

können nach ihrem e m p i r i s c h e n G e h a l t

unter-

s c h i e d e n werden, d.h.

im H i n b l i c k a u f d i e B e s t i m m t h e i t der

Verknüp-

fung zwischen

i h r e n Wenn- und Dann-Komponenten. Wir w o l l e n

den am B e i s p i e l

der Konsumfunktion e i n e s MA-Systems e i n e

t i o n von H y p o t h e s e n e n t w i c k e l n ,

C(t)

Klassifika-

d e r e n O r d n u n g s k r i t e r i u m der

sche Gehalt e i n e r Hypothese s e i n s o l l . f u n k t i o n e i n e s bestimmten

im f o l g e n -

Betrachten wir die

empiri-

Konsum-

MA-Systems

= 0,2Y(t-1)

(13.1)

Eine d e r a r t i g e Hypothese, s c h e n Wert b e s i t z t , z e i c h n e t werden.

soll

i n w e l c h e r j e d e r Parameter e i n e n als

parametrisch-singuläre

numeri-

Hypothese

Nehmen w i r a n , einem Model 1 e n t w i c k l e r

sei

be-

(vorerst)

n u r b e k a n n t , daß i n dem zu m o d e l l i e r e n d e n M A - S y s t e m der Konsum C ( t ) i n einem f e s t e n V e r h ä l t n i s

a vom V o l k s e i n k o m m e n der V o r p e r i o d e

a b h ä n g t , dann kann er d i e s e K e n n t n i s d u r c h d i e C(t)

= aY(t-l)

zum A u s d r u c k b r i n g e n .

Y(t-1)

Hypothese (13.2)

Eine Hypothese, d i e wie

(13-2)

e r s t durch

ei-

40 ne n u m e r i s c h e singuläre

Konkretisierung

überführt wird, soll

bezeichnet

ihrer als

Parameter

in e i n e

parametrisch-

parametri s c h - g e n e r e l l e

S t e l l t man s i c h d i e F r a g e , w e l c h e der b e i d e n H y p o t h e s e n (13-2) cher

einen höheren e m p i r i s c h e n Gehalt b e s i t z t ,

intuitiv

bestimmter

Hypothese

werden.

f ü r Hypothese

(13.1)

(13.1)

dann w i r d s i c h man-

entscheiden, weil

sie

offenbar

i s t und d a h e r mehr über d i e R e a l i t ä t a u s s a g t .

deutet d i e s :

Hypothese

sumfunktionen a l s

oder

Genauer

( 1 3 - 1 ) v e r b i e t e t mehr e m p i r i s c h m ö g l i c h e

(13.2).

Dieser

Unterschied erweist

sich als

das

maßgebende K r i t e r i u m z u r K e n n z e i c h n u n g des e m p i r i s c h e n G e h a l t s H y p o t h e s e n , denn es s o l l

die Festlegung

gelten:

j e mehr

ist

ihr empirischer

Gehalt.

Diese Festlegung

e i n e H y p o t h e s e H2, d i e d u r c h S p e z i a l i s i e r u n g

A u f d i e H y p o t h e s e n z u r E r k l ä r u n g des Konsums

heißt dies:

Hypothese

( 1 3 . 1 ) wurde a u s

rung ot = 0 , 2 a b g e l e i t e t Gehalt a l s Es f r a g t

und b e s i t z t

(13.2)

durch die

Spezialisie-

damit e i n e n h ö h e r e n

ist.

empirischen

stochasti-

Zur Beantwortung d i e s e r

zu w i s s e n , daß nahezu a l l e z u r M o d e l l i e r u n g

l e n v e r w e n d e t e n s t o c h a s t i s e h e n H y p o t h e s e n zu den s e n zu r e c h n e n s i n d .

Frage

formuliert

Störgrößenhypothe-

im k l a r e n , daß d i e a u f der

Er

ist

kommen, zusammengefaßt

in e i n e r a d d i t i v

s i c h jedoch

durch eine

l u n g m i t dem E r w a r t u n g s w e r t N u l l

und e i n e r

dieser 'stören',

darü-

stehenden

bestimmen;

vielmehr

eingehenden V a r i a b l e n

Zur Kennzeichnung

d i e den u r s p r ü n g l i c h e n d e t e r m i n i s t i s c h e n A n s a t z Model 1 e n t w i e k l e r a n , s i e s e i e n

beispiels-

rechten S e i t e der Gleichung

V a r i a b l e n n i c h t a u s s c h l i e ß l i c h den Wert von C ( t )

weitere E i n f l ü s s e zur Wirkung.

läßt

machen: E i n Model 1 -

eine d e t e r m i n i s t i s c h e Hypothese wie

w e i s e d i e oben a n g e f ü h r t e K o n s u m h y p o t h e s e .

ist

von M Z Ä - M o d e l -

D i e Verwendung v o n S t ö r g r ö ß e n h y p o t h e s e n

s i c h durch d i e folgenden Überlegungen p l a u s i b e l

ber

H y p o t h e s e H^ angewendet,

s i c h , ob e i n e d e r a r t i g e K e n n z e i c h n u n g auch a u f

entwickler

daß

(13.2).

sche Hypothesen übertragbar es w i c h t i g

werden,

besagt,

a u s e i n e r H y p o t h e s e H^

a b g e l e i t e t wurde, einen höheren e m p i r i s c h e n Gehalt a l s besitzt.

von

empirisch

mögliche K o n s t e l l a t i o n e n durch eine Hypothese a u s g e s c h l o s s e n umso höher

beKon-

e(t),

Einflüsse, nimmt der

Wahrscheinlichkeitsverteiim Z e i t v e r l a u f

konstanten

Standardabweichung deterministischen

beschreibbar.

Konsumhypothese w i r d d a h e r d u r c h d i e

C ( t ) = 0 , 2Y ( t - 1 ) beschrieben.

Das s t o c h a s t i s e h e G e g e n s t ü c k

t e (t)

e £ V(y=0,

Beziehung

a=konst)

(13.3)

M i t e £ V(vt=0, a = k o n s t ) w i r d zum A u s d r u c k g e b r a c h t ,

e e i n Element e i n e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g w e r t y = 0 und der S t a n d a r d a b w e i c h u n g sche V a r i a b l e n , d i e

daß

m i t dem E r w a r t u n g s -

a= konstant

ist.

Stochasti-

i n dem b e s c h r i e b e n e n S i n n e z u r B i l d u n g der

t h e s e n g l e i c h u n g e n d i e n e n , werden a l s riablen

der

S t ö r g r ö ß e n o d e r auch

Hypo-

Schockva-

bezeichnet.

Im f o l g e n d e n werden w i r uns im Rahmen s t o c h a s t i s c h e r M o d e l l e s c h l i e ß l i c h mit S t ö r g r ö ß e n h y p o t h e s e n In e i n e r zum F a l l

deterministischer

dung h a n d e l t es s i c h bei c h a s t i s c h e Hypothese. pothesen

(13.3)

aus-

beschäftigen. Modelle analogen

Begriffsanwen-

um e i n e p a r a m e t r i s c h - s i n g u l ä r e

sto-

Es l i e g t d i e Frage nahe, ob man d i e beiden Hy-

(13-1) und (13-3)

bezüglich

ihres empirischen Gehaltes

mit-

e i n a n d e r v e r g l e i c h e n kann. Es i s t e i n f a c h zu erkennen, daß Hypothese (13.3)

R e a l i s a t i o n e n von e mit bestimmten W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n

laubt',

d i e von Hypothese

boten werden.

In d i e s e r

(13-1),

in welcher e=0 zu deuten i s t ,

Interpretationsweise

b e s i t z t eine

'erlaubt'

als

ihr d e t e r m i n i s t i s c h e s

sie

Gegenstück.

A u f der G r u n d l a g e des e n t w i c k e l t e n K l a s s i f i z i e r u n g s k r i t e r i u m s Hypothesen s o l l e n

im f o l g e n d e n w e i t e r e H y p o t h e s e n a r t e n

ver-

Störgrös-

senhypothese s t e t s e i n e n g e r i n g e r e n e m p i r i s c h e n G e h a l t , weil mehr R e a l i s a t i o n e n

'er-

von

unterschieden

werden. F o r m u l i e r t jemand z u r E r k l ä r u n g

des Konsums

in einem M A - S y s t e m

die

Behauptung 'Je größer Y ( t - 1 ) ,

d e s t o höher

dann kann man d i e s e Behauptung a l s deren F o r m a l i s i e r u n g C(t) erfolgt. C(t)

C(t)' komparative Hypothese

bezeichnen,

durch

= F[Y(t-1) ]

dC(t)/dY(t-1)>0

A b k ü r z e n d kann d i e s e B e z i e h u n g auch = F+[Y(t-1) ]

durch (13.4)

hl

b e s c h r i e b e n werden.

Noch w e n i g e r g e h a l t v o l l

i s t die

Hypothese

C = F+[Y]

(13.5)

w e l c h e nur b e h a u p t e t , daß m i t wachsendem Y auch C w ä c h s t , ohne daß die zeitlichen

Beziehungen genauer gekennzeichnet

werden.

Neben den k o m p a r a t i v e n s i n d auch n i c h t k o m p a r a t i v e H y p o t h e s e n Eine solche läge b e i s p i e l s w e i s e wenn bei Ü b e r s c h r e i t u n g

eines

denkbar.

im F a l l e e i n e r K o n s u m f u n k t i o n

b e s t i m m t e n Schwel 1 e n w e r t S s des

vor, Volks-

einkommens Y s der Konsum C n i c h t mehr zunimmt, was d u r c h r , , C ( t ) =

roY(t-l) Y s

b e s c h r i e b e n werden kann o d e r des e m p i r i s c h e n G e h a l t e s ) C(t)

in a b g e k ü r z t e r

„ ° Form ( u n t e r

t e s käme m i t der

-

6 )

Verringerung

durch

= F±[Y(t-1)]

symbolisiert wird.

3

(13.7)

Eine weitere Verringerung

des e m p i r i s c h e n

Gehal-

Formulierung

C = F±[Y]

(13.8)

zum A u s d r u c k . E i n e H y p o t h e s e kann auch d u r c h m e h r e r e J e - D e s t o - A u s s a g e n net w e r d e n .

Beispielsweise

führen d i e beiden

'Je größer Y ( t - 1 ) ,

desto größer

'Je größer

desto k l e i n e r C(t) '

gekennzeich-

Behauptungen

C(t)'

und l(t-1),

zu der Forma 1 i s i e r u n g C(t)

= F[Y(t-l),

l(t-1)]

o d e r zu der a b k ü r z e n d e n C(t)

= F[Y+(t-1),

Die V a r i a b l e

I soll

3 C ( t ) / 3 Y ( t - 1 ) >0 und

3C(t)/3I(t-1)

O — -I O -I

UJ o

«I z O (/>

3 < X o

i

>-

i >-

1 i-

i¿

o Z o

O . —1 l/l U i

— o Ui o

c c o D 4— E c D •— (/I C 1/1 O 4-» 10 dagegen a b e r zu e i n e r in d i e s e m F a l l

h ä t t e , e i n e n über Y^ und Y^ l a u f e n d e n F e e d b a c k k r e i s n e g a t i v e i n z u o r d n e n , so w i r d

zwischen

zu

10 f ü h r t e i n e E r h ö h u n g v o n

E r h ö h u n g von Y ^ ,

V e r m i n d e r u n g . Wenn e i n M o d e l l e n t w i c k l e r

ihm d i e s

die

als

Absicht

positiv

nicht möglich sein,

Y^ größer

10 s i n d . ' * E i n e F e e d b a c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g w i r d

i n s b e s o n d e r e bei g r ö ß e r e n M o d e l l e n d a r a u f b e s c h r ä n k e n ,

te, a l s w i c h t i g angesehene Rückkopplungen Schleifen)

oder

falls

im V e r l a u f d e s b e t r a c h t e t e n P r o z e s s e s Werte annehmen k a n n , d i e und k l e i n e r a l s daher

Yj

Hypothese

Y, = F [ Y 2 , Y j ]

! ^

Va-

(durch Numerierung

h e r a u s z u h e b e n , und u n t e r Umständen auch a l s

n e g a t i v e R ü c k k o p p l u n g e n zu

sich

bestimmder

positive

und

identifizieren.

1.4.2. Pfeil-, Block- und Signalflußdiagramme I n den W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t e n w i r d o f t e i n v o n TINBERGEN führtes

einge-

P f e i l d i a g r a m m z u r D a r s t e l l u n g d y n a m i s c h e r Systeme, a u c h

bergensches

Pfeildiagramm genannt,

verwendet.

D e r a r t i g e P f e i l d i a g r a m m e können a l s e i n e rung e i n e s

informationelle

Kausaldiagrammes gedeutet werden, d i e dadurch

Verfeinezustande

kommt, daß d i e z e i t l i c h e n A b h ä n g i g k e i t e n d e r V a r i a b l e n e i n f l ü s s e r ü c k s i c h t i g t werden. A b b i l d u n g 4 Zu einem B e i s p i e l

siehe

Seite

Tin-

14.7 z e i g t das Pfeildiagramm 427f.

be-

eines

62

MA-Systerns.

t

t-1

Y(t) = C(t) + I j ( t ) + I ^ t )

C(t) = o ( Y ( t - l )

C H

|

Abb.

1^.7

Tinbergensches

Ein weiteres Hier gibt

Ij(t) =D[C(t)-C(t-l)]

|

PfeiIdiagramm eines

Darstellungsmittel

es v e r s c h i e d e n e

ist die

s e n - oder D e f i n i t i o n s g l e i c h u n g B l o c k kann a l s

MA-Systems

B1ockdiagrammdarstellung.

Darstellungskonventionen.

Die e i n f a c h s t e Blockdiagrammdarstellung

Dieser

I ^ t ) = 5000

besteht d a r i n , jede

d u r c h e i n e n B l o c k zu

Hypothe-

repräsentieren.

eine A r t M a s c h i n e r i e verstanden werden,

welche

d i e B e z i e h u n g z w i s c h e n d e r A u s g a n g s g r ö ß e und den E i n g a n g s g r ö ß e n stimmt.

Die A u s g a n g s g r ö ß e ,

deren W i r k u n g s r i c h t u n g

gekennzeichnet wird, e n t s p r i c h t

durch einen

der endogenen V a r i a b l e n d e r

genden G l e i c h u n g , während d i e E i n g a n g s g r ö ß e n d u r c h d i e exogenen V a r i a b l e n

repräsentiert

Pfeil

vorlie-

unverzögerten

werden.

E i n MA-System w i r d entsprechend d i e s e r 14.8 wiedergegeben.

be-

Festlegung

durch

Abbildung

B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g e n d i e s e r A r t z ä h l e n zu

den p a r a m e t r i s c h - s i n g u l ä r e n

Schaubildmodellen.

63

Abb.

14.8

Blockdiagrammdarstellung

Diese Darstellungsweise

eines

MA-Systems

kann w e i t e r d i f f e r e n z i e r t w e r d e n ,

A d d i t i o n o d e r S u b t r a k t i o n von E i n g a n g s g r ö ß e n d u r c h e i n

indem d i e

spezielles

Symbol, einen sogenannten A d d i t i o n s p u n k t oder S u b t r a k t i o n s p u n k t , schrieben wird.

E i n e e n t s p r e c h e n d e V e r ä n d e r u n g des

Blockdiagrammes

z e i g t Abbildung

Abb.

Die

14.9

ursprünglichen

14.9.

B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g e i n e s MA-Systems unter dung e i n e s S u m m a t i o n s p u n k t e s

Interaktion

i n den B l ö c k e n wurde i n A b b i l d u n g

t r a g u n g d e r H y p o t h e s e n - und D e f i n i t i o n s g l e i c h u n g e n Rahmen der R e g e l u n g s t h e o r i e

be-

i s t es ü b l i c h ,

Verwen-

14.9 durch d i e beschrieben.

die Beziehung

EinIm

z w i s c h e n den

64 E i n - und A u s g ä n g e n d e r B l ö c k e

in anderer Weise

darzustellen:

I n d i e e i n z e l n e n B l ö c k e w i r d e i n e s c h e m a t i s c h e Z e i c h n u n g der sprungantworten des b e t r e f f e n d e n B l o c k e s e i n g e t r a g e n . s p r u n g a n t w o r t b e s c h r e i b t den Z e i t v e r l a u f

(t=0,1,2,...)

Einheits-

der A u s g a n g s v a r i a b l e n ,

s i c h e r g i b t , wenn man dem B l o c k vom Z e i t p u n k t s e von E ( t ) = l

Eine

Einheits-

0 an e i n e

der

Eingangsgrös-

aufprägt.

Im F a l l e des b e t r a c h t e t e n M A - S y s t e m s e r g i b t s i c h d a s f o l g e n d e

Block-

d i a g ramm.

Abb.

14.10

B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g e i n e s MA-Systems mit D a r s t e l l u n g der E i n h e i t s s p r u n g a n t w o r t e n

H a n d e l t e s s i c h um d i e A n a l y s e

linearer

ke z u m e i s t e i n A u s d r u c k e i n g e t r a g e n , Ubergangsfunktion

Systeme, so wird

der a l s

die Operatorenform

Es g e n ü g t uns zu w i s s e n ,

r e n f o r m der U b e r g a n g s f u n k t i o n G(K) e i n e s s c h e n dem E i n g a n g E ( t )

Blökder

und dem.Ausgang

daß m i t der

Blockes die Beziehung

Y(t)

beschrieben

zwi-

durch

wird.

Für d a s v o r l i e g e n d e M A - S y s t e m e r g i b t Blockdiagramm:

sich

hier

Operato-

= G(K)E(t)

vollständig

gende

in d i e

b e z e i c h n e t w i r d . Wir w o l l e n a u f d i e s e n A u s d r u c k

nicht weiter eingehen.

Y(t)

graphischer

in diesem F a l l e das

fol-

65

Abb.

14.11

B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g e i n e s MA-Systems unter dung von U b e r g a n g s f u n k t i o n e n in O p e r a t o r e n f o r m

S e l b s t wenn man s i c h m i t der nur a n g e d e u t e t e n A u f g a b e der darstellung

der U b e r g a n g s f u n k t i o n z u f r i e d e n g i b t ,

Frage nahe, welche z u s ä t z l i c h e darstellung

Operatoren-

l i e g t dennoch

Information eine derartige

im G e g e n s a t z zu den A b b i l d u n g e n

Verwen-

14.8 oder

die

Diagramm-

14.9

bieten

so 11 . Diese berechtigte

F r a g e f ü h r t Uns zu einem w e i t e r e n Z i e l

der

Ent-

w i c k l u n g von D i a g r a m m o d e l l e n . Manche D a r s t e l l u n g e n d i e n e n w i e liegenden Fall

n i c h t mehr p r i m ä r der V e r g e g e n w ä r t i g u n g

der

sammenhänge, s o n d e r n v o r a l l e m der s i c h d a r a n a n s c h l i e ß e n d e n kationenaufdeckung.

schließlich

v e r s u c h t man im F a l l e

ten S i g n a l f l u ß d i a g r a m m e n gebaut a l s

linearer

zu e r r e i c h e n .

Systeme auch mit

ausEnd-

sogenann-

D i e s e s i n d noch e i n f a c h e r

S i e b e s t e h e n a u s nur zwei

Verknüpfungspunkten.

in

ermitteln.

B l o c k d i a g r a m m e und e i g n e n s i c h d a h e r z u r D a r s t e l l u n g

s e r e r Systeme. und den

Darstellung

d a r i n , d u r c h s u k z e s s i v e V e r ä n d e r u n g der Diagramme d i e

e i n e r bestimmten S y s t e m v a r i a b l e n zu

Dieses Ziel

Impli-

Werden i n B l o c k d i a g r a m m e n U b e r g a n g s f u n k t i o n e n

O p e r a t o r e n f o r m v e r w e n d e t , s o l i e g t der Zweck d i e s e r

gleichung

im v o i —

Systemzu-

aufgrös-

E l e m e n t e n : den V e r b i n d u n g e n

66

D i e V e r k n ü p f u n g s p u n k t e s y m b o l i s i e r e n d i e endogenen Zwischen diesen V a r i a b l e n bestehen

Systemvariablen.

i n einem d y n a m i s c h e n S y s t e m

k a n n t l i c h v e r z ö g e r t e und u n v e r z ö g e r t e B e z i e h u n g e n , w e l c h e

be-

i n einem

S i g n a 1 f 1 u ß d i a g r a m m a n g e z e i g t w e r d e n . Uber den P f e i l e n w i r d

i n einem

Signalf1ußdiagramm die entsprechende Operatorenübergangsfunktion getragen.

ditionspunkten Abbildung

in einem

14.12 z e i g t

14.12

Blockdiagramm.

noch einmal

und s e i n e n t s p r e c h e n d e s

Abb.

ein-

D i e V e r k n ü p f u n g s p u n k t e e n t s p r e c h e n z u g l e i c h a u c h den A d -

das Blockdiagramm e i n e s

Signalflußdiagramm.

B l o c k - und S i g n a l f l u ß d i a g r a m m e i n e s

MA-Model1s

MA-Modells

67

Man e r k e n n t ,

daß d i e B l ö c k e

S t r e c k e n e r s e t z t werden. lung

in Abbildung

stellungen,

in der B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g

Ein V e r g l e i c h mit der

14.2 z e i g t

die formale Ä h n l i c h k e i t

j e d o c h m i t dem U n t e r s c h i e d ,

daß d a s

der beiden

Repräsentation

des

parametrisch-singu1ären

A u f d i e w e i t e r e Anwendung v o n B l o c k lyse dynamischer

Systeme wird e r s t

Uns g e n ü g t an d i e s e r

Stelle

eine

vollstän-

MA-Modells

bildet.

und S i g n a l f l u ß d i a g r a m m e n

an s p ä t e r e r

ein vorläufiger

Dar-

Signa1f1ußdiagramm

durch d i e z u s ä t z l i c h e Angabe der U b e r g a n g s f u n k t i o n e n dige

durch

Kausaldiagrammdarstel-

Stelle

zur Ana-

eingegangen.

Uberblick.

1.4.3. System-Dynamics-Diagramme Als

letztes

soll

vorgestellt liche

eine weitere Darstellungsform

w e r d e n , d i e man j e d o c h n i c h t e i n f a c h a l s

Darstellung

Es h a n d e l t

sich

eines

Differenzengleichungsmodells

um e i n e

Diagrammdarstellung

auf der M o d e l l i e r u n g s k o n z e p t i o n Es

soll

Jedes

nur e i n e r s t e r

System

miteinander Leveln,

läßt

sich

Bevölkerungsanzahl, bestimmten

hen d i e s e r

Level

und A b f l ü s s e

Bestand an

eines

Systeme,

sind

Investitionen

den

sogenannten

beispielsweise

oder die Anzahl

Personen.

Die

der

Bestandshödurch die

Raten b e z e i c h n e t werden.

Levels mit einer

die

Z u - und e i n e r

Die

Zugra-

Abflußrate

14.13.

i n den L e v e l

durch P f e i l e

ten der Level

die

beruht.''

einem W a s s e r b e h ä l t e r )

welche a l s

kann.

K o n z e p t i o n d u r c h e i n e Menge v o n

befallenen

(wie bei

schaubild-

deuten

werden:

Bestandsgrößen

Krankheit

Systeme

w e r d e n d u r c h R e c h t e c k e und R a t e n d u r c h V e n t i 1 S y m b o l e

während d i e Flüsse

der

1

stehenden Bestandsgrößen,

Solche

beeinflußt,

zeigt Abbildung Level

nach d i e s e r

werden

phische Darstellung

gegeben

die

dynamischer

'System Dynamics

Uberblick

in Beziehung

beschreiben.

von e i n e r

dynamischer

hinein-

gekennzeichnet werden.

werden v e r z ö g e r t

5 Zur a u s f u h r ! i c h e n

und a u s dem L e v e l

Erörterung

von anderen dieser

dargestellt,

herausströmenden

Die Zufluß-

und

Abflußra-

Leveln beeinflußt.

Konzeption siehe Seite

Diese 399ff.

68

ZUFLUSSRATE

LEVEL

ABFLUSSRATE

Abb. 14.13

Schaubildliche Darstellung einer Level-Raten-Beziehung im Rahmen des S y s t e m - D y n a m i c s - K o n z e p t e s

Abb. 14.14

B e i s p i e l h a f t e D a r s t e l l u n g e i n e s Diagramms System-Dynami c s - K o n z e p t e s

im Rahmen des

69

Beeinflussung beschrieben.

und i h r e R i c h t u n g e n werden d u r c h u n t e r b r o c h e n e

Pfeile

Ein System-Dynamics-Diagramm w i r d damit, wie in

Abbil-

dung 1 4 . 1 4 b e i s p i e l h a f t seitig

beeinflussender

M i t H i l f e der

angeführt, Level

in d i e s e r

(Vgl.

z.B.

zum A u s d r u c k

kommenden

können komplexe Zusammenhänge d u r c h

t i v einfache Tei1beziehungen stem-Dynamics-Diagramme

sukzessiv

a u f g e b a u t werden.

Es s i n d

b e k a n n t , welche H u n d e r t e von Symbolen

D i e E n t w i c k l u n g von S y s t e m - D y n a m i c s - D i a g r a m m e n v o l l z i e h t

w i r d e i n Feedbackdiagramm e n t w i c k e l t ,

Sy-

ent-

Strukturinformationen

den d a s

s i n g u l ä r e dynamische Modell

sich

gewonnen

aber noch n i c h t

l e t z t l i c h zu e n t w i c k e l n d e Die

Schritt

Hinzunahme

e i n System-Dynamics-Diagramm

besitzt.

oft

in einem e r s t e n

a u s welchem d u r c h

w i r d . Auch e i n S y s t e m - D y n a m i c s - D i a g r a m m e n t h ä l t Informationsgehalt,

rela-

[134])

a u f der G r u n d l a g e von Feedbackdiagrammen, d . h .

weiterer

gegen-

gekennzeichnet.

Diagrammdarstellung

Level-Raten-Interpretation

halten.

durch e i n Geflecht einander

und Raten

den

parametrisch-

Darstellungskonventionen

von S y s t e m - D y n a m i c s - D i a g r a m m e n werden s p ä t e r e i n g e h e n d

erörtert.

1.5. Implikationen dynamischer MZÄ-Modelle Das A r b e i t e n m i t d y n a m i s c h e n M o d e l l e n e r s c h ö p f t s i c h n i c h t

in der

w i c k l u n g e i n e s M o d e l l a n s a t z e s . Wie e r w ä h n t , s o l l e n v i e l m e h r der e n t w i c k e l t e n M o d e l l e bestimmte ne S y s t e m gewonnen w e r d e n , d i e zwar ten, aber n i c h t d i r e k t d e l l e n wurden b e r e i t s

erkennbar als

e i n e s dynamischen Modells sich

I n f o r m a t i o n e n über d a s im M o d e l l a n s a t z

sind.

anhand

beschriebe-

implizit

enthal-

D i e s e S t r u k t u r m e r k m a l e von Mo-

Implikationen bezeichnet.

Implikationen

s i n d s o m i t bestimmte S t r u k t u r m e r k m a l e ,

l o g i s c h zwingend a u s dem M o d e l l a n s a t z

ergeben, deren

zu e r s e h e n

ist.

Es

tionen e i n e s M o d e l l s mit H i l f e

i s t vielmehr notwendig, die

die

Vorhanden-

s e i n o d e r d e r e n k o n k r e t e S t r u k t u r aus d i e s e m M o d e l l a n s a t z a b e r unmittelbar

Ent-

nicht

Implika-

bestimmter E r s c h l i e ß u n g s v e r f a h r e n

of-

70

fenzulegen.

D i e A u f d e c k u n g von

I m p l i k a t i o n e n kann v e r s c h i e d e n e n

len

dienen:

(1)

Der Gewinnung v o n E i n s i c h t e n über S t r u k t u r Systems.

Eine Fragestellung

für ein konkretes Modell

(2)

zum B e i s p i e l

hen w e r d e n , wenn d i e nur a l s J a h r e 1990 n e g a t i v

Beeinflussung

d i e von einem E n t s c h e i d e r f a h r e n , damit d i e

vom Z i e l

soll

des S y s t e m s .

angese-

Eine solche

er-

wird?

vom Z i e l

der E i n s i c h t e n e r w e i t e r u n g ,

der G ü l t i g k e i t s p r ü f u n g

l y s e dynamischer Systeme.

und im d r i t t e n

Sie

ist

im z w e i t e n

Fall

vom Z i e l

g e s p r o c h e n werden. in den B e r e i c h der

e i n e der Model 1 e n t w i c k l u n g

i n w e l c h e r d u r c h A u f d e c k u n g von

e m p i r i s c h e G ü l t i g k e i t d e s Model 1 a n s a t z e s

Implikationen

Ana-

folgen-

sowohl

die

ü b e r p r ü f t w i r d a l s auch neue

E i n s i c h t e n über d a s b e s c h r i e b e n e S y s t e m gewonnen werden Auf d i e s e W e i s e neu gewonnene E i n s i c h t e n über den

sollen.

Gültigkeitsanspruch

können dazu f ü h r e n , daß der u r s p r ü n g l i c h e M o d e l l a n s a t z

modifiziert

w i r d , m i t der F o l g e , daß d i e P h a s e n der M o d e l l e n t w i c k l u n g , und

Mit dieser

müssen

F l u k t u a t i o n der endogenen V a -

Die V e r f o l g u n g der e r s t e n beiden Z i e l e f ä l l t

se e i n a n d e r

Ziel-

b e e i n f l u ß b a r e n exogenen V a r i a b l e n

der z i e l g e r i c h t e t e n S y s t e m b e e i n f l u s s u n g

de P h a s e ,

sich

d e f i n i e r t e V a r i a b l e Y im

d i e F r a g e : Welche A u s p r ä g u n g

(unerwünschte)

r i a b l e n Y gedämpft Im e r s t e n F a l l

Hier bieten

wird?

Der z i e l g e r i c h t e t e n

s e t z u n g umfaßt zum B e i s p i e l

Fall

annehmen?

a l s empirisch akzeptabel

positiv

des

könnte

l a u t e n : Welchen Wert w i r d

Der e m p i r i s c h e n U b e r p r ü f u n g des Model 1 a n s a t z e s . F r a g e n an w i e : Kann d a s M o d e l l

(3)

und E n t w i c k l u n g

im Rahmen d i e s e r Z i e l s e t z u n g

d i e endogene V a r i a b l e Y im J a h r e 1990

Zie-

-analy-

ablösen. Bemerkung

Buches etwas s t ä r k e r

l ä ß t s i c h nunmehr auch d i e Z i e l r i c h t u n g herausarbeiten:

mit der z i e l g e r i c h t e t e n s t e h t das Z i e l

Beeinflussung

Es b e s c h ä f t i g t

dynamischer Systeme.

der E i n s i c h t e n e r w e i t e r u n g

l u n g der F o r d e r u n g

im V o r d e r g r u n d .

nach E i n s i c h t e n e r w e i t e r u n g

dieses

s i c h primär

nicht

Vielmehr

Die

Erfül-

d i e n t z u g l e i c h dem Z i e l

71

der

Gültigkeitsprüfung.

Im f o l g e n d e n w i r d

i n v e r s c h i e d e n e n Zusammenhängen d a r g e s t e l l t , i n

w e l c h e r W e i s e d i e d u r c h e i n e Model 1 e r s c h l i e ß u n g ten zur G ü l t i g k e i t s p r ü f u n g

verwendet werden können.

s c h n i t t w o l l e n w i r uns e i n B i l d sehenden deckung

neuer E i n s i c h t e n

tails

weitgehend

befreite

trachtungen

tionen eingehen,

inhaltliche soll

Implikationen

Generelle tentiell

Betrachten wir die

eingeführt

Y(t)

führen.

der

Behandlung

der

typenspezifische

Be-

repräsentieren

Endgleichung

Implika-

eine Behauptung,

Individuen eines

die einen p o -

betrifft.

parametrisch-generellen

Investitionen,

MA-

d.h.

- gßY(t-2)

Implikation

i s t die formelmäßige

von Y f ü r t = 0 , 1 , 2 , . . .

f ü rY wird

verschiedener

z w i s c h e n g e n e r e i l e n und s i n -

in Abhängigkeit

P a r a m e t e r n a und ß s o w i e den A n f a n g s w e r t e n pfadformel

Auf-

werden.

B e r e i c h von

= (g+aß)Y(t-1)

Eine generelle verlaufs

bei

Interpretation

f ü r Y beim F e h l e n a u t o n o m e r

Y(t)

wird

und um w e i t e r e

die Unterscheidung

Implikationen unendlichen

Modells

die zur

erweitert.

Bevor w i r auf d i e

gulären

anzu-

anzusehende, von t e c h n i s c h e n De-

Darstellung

e i n z e l n e n Model 1 t y p e n v e r t i e f t

System

Ab-

relevant

Implikationen also,

über e i n v o r l i e g e n d e s

Orientierung

Einsich-

I n diesem

über d i e g e m e i n h i n a l s

I m p l i k a t i o n e n m a c h e n , den

D i e s e nur a l s e r s t e

gewonnenen

Y(0)

Beschreibung von den

des

Zeit-

(generellen)

und Y ( l ) .

Diese

Zeit-

durch

= *2Y(0)-YQ)

x

t

Y(1)-XIY(0)

+

t=0,l,2,...

mit »2

=

g + g ß . / a 2 + 2 g 2 ß + a 2 ß2 — * V r

beschrieben.^

Es handelt

sich

den Z e i t p f a d v o n Y f ü r a l l e möglichkeiten

der

um e i n e g e n e r e l l e

prinzipiell

Implikation,

weil s i e

unendlichen Konkretisierungs2 P a r a m e t e r g und ß b e s c h r e i b t . Singuläre Implikatio-

1 Zur E r m i t t l u n g s i e h e S e i t e 179ff. 2 M i t Ausnahme des F a l l e s g ß = (g2+2g2ß+g2ß2)A

72

nen d a g e g e n

liefern

kretisierten Werte e i n e r

Modell

in e i n e

Werte

folgen.

Zahlenfolge,

blen beschreibt. mit

nur A u s s a g e n ,

welche aus einem numerisch v o l l

S i e s i n d daher

Die oben b e s c h r i e b e n e

singulare

einer

generelle

ü b e r , wenn man f ü r

in d i e Gleichungen

n u m e r i s c h e Werte w i e

w e l c h e den Z e i t v e r l a u f

endogenen

Implikation

a,ß,Y(0)

und Y ( l )

kondie Varia-

geht

da-

numerische

einsetzt.

1.5.1. Zeitverlauf der endogenen Variablen A. Deterministische Modelle Sind

in dynamisch d e t e r m i n i s t i s c h e n

d i e A n f a n g s w e r t e und d e r V e r l a u f ist

der

numerische V e r l a u f

des M o d e l l s

Sind

d i e exogenen V a r i a b l e n

in

ihren Verläufen a l s

in diesem F a l l

Differenzengleichungsmodells. 0 = 0 , 9 und ß = 0,*» f o l g e n d e =

l;(t) Y(t)

bekannt, eine

so

Implika-

Angenommen, Form

geschlossene

in bestimmten

als

Formelausdrücke

von d e r

end-

Fällen

auch

ermit-

Funktionslösung

e i n MA-Modell

weist

des

mit

auf:

0,9Y(t-l) =

0,4[C(t)-C(t-1)]

= C(t)

Wenn w e i t e r h i n 1 ( t ) = 2 500

+ l,(t)

+

la(t)

die Anfangswerte

vorgegeben

der z e i t l i c h e Y(t)

s o können

der endogenen V a r i a b l e n

w e r d e n . ^ Man s p r i c h t

C(t)

als

anzusehen.

Formel a u s d r ü c k e v o r g e g e b e n ,

die Zeitverläufe telt

der exogenen V a r i a b l e n

der endogenen V a r i a b l e n

tion

liche

Differenzengleichungsmodellen

Verlauf

sind,

Y(0)=10 000,

dann

läßt

von Y d u r c h d i e

= k3k3,18»(0,438)1

-

sich

Y ( 1 ) = 1 1 000 (wie s p ä t e r

sowie dargelegt

wird)

Funktionslösung

19 3 ^ 3 , 1 8 * ( 0 , 8 2 2 ) t

+ 25 000

t=0,1,2...

b e s c h r e i ben. Wenn e i n auf

seine

Differenzengleichungsmodell Endgleichungen

Zeitverlauf 3 Vgl.

Seite

der endogenen V a r i a b l e n 179f.

auf

umgeformt w i r d ,

seine dann

reduzierte ist

Form o d e r

es m ö g l i c h ,

durch s u k z e s s i v e

den

Berechnung

aus

73

den vorherbestimmten Variablen zu ermittein. Eine derartige mung des Zeitverlaufs der endogenen Variablen soll als

Bestim-

periodisehe

Reg ress ionslösung bezeichnet werden, da der Wert der endogenen Variablen jeder Periode durch einen sukzessiven Rückgriff auf die vorher bestimmten Variablen ermittelt wird. Die allgemeine Form der reduzierten Gleichung eines MA-Modells wurde auf Seite 36 für Y bestimmt und besitzt die Form: Y(t) = aY(t-1) + ß[aY(t-1)-C(t-1)] + l g (t) Unter Einsetzung der angegebenen numerischen Werte für a und ß ergibt sich die reduzierte Gleichung des vorliegenden Modells

durch:

Y(t) = 1,26Y(t-1) - 0 ,4C(t-1) + l a (t) Zusammen mit der

Konsumfunktion

C(t) = 0,9Y(t-l) kann der Zeitverlauf von Y und C durch sukzessive Berechnung

ermit-

telt werden. Wie man aus Tabelle 15-1 erkennt, führt die (ohne Herleitung angeführte Funktions1ösung von Y) zu demselben Das Beispiel

Zeitverlauf.

zeigt ebenfalls, daß die Bestimmung des Zeitpfades der

endogenen Variablen die Angabe bestimmter Anfangswerte

(in unserem

Fall Y(0) und Y(l)) voraussetzt. Funkt ionslösung von Y(t)

Regress ions 1ösunq von Y(t) von C(t)

-19343,18- 4343,18t

25000

•(0,822)t

0 1 2 3 4 5

25000 25000 25000 25000 25000 25000

-19343 -15902 -13073 -10747 - 8835 - 7264

Tab. 15-1

1 ,26-

•( 0,438 f Y(t) 4343 1902 833 365 160 71

1 0000 11000 12760 14618 16325 17807

-0,4-

• Y(t-1) •C(t-1 )

0,92500

-

-

-

-

-

-

13860 16078 18418 20569

-3600 -3960 -4593 -5262

'Y(t-1)

2500 2500 2500 2500

-

9000 9900 11484 13156 14692

Periodische Regressions- und Funktions1ösung der endogenen Variablen Y im Falle eines MA-Modells auf Grundlage der reduzierten Gleichung von Y

Ist es im Gegensatz zu dem angeführten Beispiel

nicht möglich, aus

einem dynamischen MZS-Model 1 die Endgleichungen oder nur die

reduzier-

7k

ten Gleichungen a b z u l e i t e n , analytisch nicht

lösbares

so w i r d das v o r l i e g e n d e Modell

simultanes

Gleichungssystem

durch

ein

beschrieben.

Um dennoch f ü r j e d e P e r i o d e d i e n u m e r i s c h e n Werte der u n v e r z ö g e r t dogenen V a r i a b l e n zu e r m i t t e l n , muß man v e r s u c h e n , das

vorliegende

G l e i c h u n g s s y s t e m d u r c h n u m e r i s c h e N ä h e r u n g s m e t h o d e n zu l ö s e n . derartige als

Bestimmung des Z e i t v e r l a u f s

periodische Simultanlösung

de e i n s i m u l t a n e s

Y2(t) Y3 (t) so

= Y1(t)Y2(t)

+

2

= 0,5 [ Y 3 ( t ) ] Y 1 ( t )

Yp

Gleichungssystem

+ 2Yj(t-1)

3

d.h.

+ Y2(t)

+ Y3(t) Y3 (t)

- Y1 ( t - 1 )

f ü r Y ^ , Y 2 und Y^ d i e

Y 2 und Y^ a l s

reduzierte

Form zu

Funktion der vorherbestimmten

blen auszudrücken.

Die E r m i t t l u n g von Y p

de t

in Form e i n e r

i s t daher nur

Perio-

ist.

0,5Yj(t-1)

='[Y1(t)] Y2(t)

i s t es n i c h t m ö g l i c h ,

mitteln,

soll

b e z e i c h n e t w e r d e n , da f ü r j e d e

B e t r a c h t e n w i r b e i s p i e l s w e i s e das Y1(t)

Eine

der endogenen V a r i a b l e n

G l e i c h u n g s s y s t e m zu l ö s e n

en-

Y 2 und Y^ i n j e d e r

periodischen

Simu1 t a n l ö s u n g

er-

VariaPeriomöglich.

B. Stochastische Modelle S t o c h a s t i s e h e M o d e l l e wurden b i s h e r

nur k u r z c h a r a k t e r i s i e r t .

wurde j e d o c h , daß d i e endogenen V a r i a b l e n a u f g r u n d d e r d u r c h s t o c h a s t i s c h e exogene V a r i a b l e n lichkeitsverteilungen eines

stochastisehen Modells

verlauf lauf

nur

'Verseuchung'

i n Form i h r e r

b e s c h r i e b e n werden k ö n n e n . A l s

Wahrschein-

Implikationen

kann d a h e r n i c h t der n u m e r i s c h e

e i n e r endogenen V a r i a b l e n ,

Deutlich

Werte-

s o n d e r n a l l e i n der z e i t l i c h e

ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Vei—

bestimmt w e r d e n .

G r e i f e n w i r z u r V e r d e u t l i c h u n g w i e d e r a u f u n s e r MA-Model1 z u r ü c k . g ä n z e n d w i r d angenommen, daß d i e

Investitionsfunktion

eine stochastische Variable e beeinflußt wird, I.(t) wobei

zusätzlich

Erdurch

d.h.

= ß[C ( t ) - C ( t - 1 ) ] + e ( t )

über e n i c h t mehr b e k a n n t

ist,

als

e i n e r N o r m a l v e r t e i 1 u n g m i t dem M i t t e l w e r t weichung a s e i n

daß es d i e S t i c h p r o b e Null

und der

soll.

k Zur Besprechung d i e s e r Verfahren s i e h e S e i t e

3^3f.

aus

Standardab-

75 Das Model 1 Y(t)

=

C(t)

C(t)

=

ciY(t-l)

I ,(t)

+ l.(t)

+

= ß[C(t)-C(t-1) ] + e (t)

wird durch e

1

stochastisch

beschreibbar. des E r w a r t u n g s w e r t e s

lichkeitsverteilungen durch

Formelausdrücke

Wählen w i r

beispielsweise

Normalverteilung tungswert

Null

tungswertes Ye(t)

angehören

ß=~

r\ / v

/ Abb.

15-3-

>.o /

l

r i

Y

\

c/ö' /

/

v

B e i s p i e l der S t ö r u n g e i n e s d y n a m i s c h e n S y s t e m s mit l u t i o n s s t a b i l i t ä t [ E i n h e i t T: T a u s e n d ]

Evo-

81

de e i n m a l i g e S t ö r u n g

i n Höhe v o n S (5) = i t 0 0 0 .

bewirkte Z e i t v e r l a u f

nähert

Gleichgewichtspfad tionsstabilität

(G).

vor.

Der d u r c h d i e

Störung

s i c h m i t gedämpften S c h w i n g u n g e n dem

Im v o r l i e g e n d e n

Soviel

Fall

l i e g t damit e i n e

Evolu-

z u r K e n n z e i c h n u n g der w i c h t i g s t e n

Sta-

b i i i tätsarten. Im F a l l e

technischer

S y s t e m e i s t es d u r c h a u s m ö g l i c h , d i e

e i n e s S y s t e m s zu b e o b a c h t e n . Man u n t e r d r ü c k t a u f Störungen,

l ä ß t damit das S y s t e m

Stabilität

k ü n s t l i c h e m Wege d i e

in s e i n e n G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d

gehen und übt dann e i n e t y p i s c h e S t ö r u n g a u f d a s S y s t e m a u s . stemantwort, d.h. dann, e i n U r t e i l Situation

der V e r l a u f

der endogenen V a r i a b l e n ,

über d a s S t a b i 1 i t ä t s v e r h a 1 t e n

läßt sich bezüglich sozialer

b r i n g e n , da man S t ö r u n g e n

Die

Sy-

gestattet

abzugeben.

Eine

Systeme j e d o c h n i c h t

w i e etwa u n v o r h e r g e s e h e n e

über-

es

solche

zustande-

Investitionen

o d e r B e s t e l l u n g e n n i c h t v e r b i e t e n kann und w i l l . Ein s o z i a l e s welche

System i s t s t ä n d i g

irgendwelchen

'Störungen'

ausgesetzt,

i n i h r e r A u f e i n a n d e r f o l g e b e w i r k e n , daß d i e r e a l i s i e r t e n

r i a b l e n permanent um den G l e i c h g e w i c h t s p f a d

'herumtanzen'.

s i c h d e s h a l b n i c h t b e o b a c h t e n , ob das S y s t e m s t a b i l

Es

Va-

läßt

i s t , d . h . ob

die

endogene V a r i a b l e nach der A u s ü b u n g e i n e r b e g r e n z t e n S t ö r u n g dem Gleichgewichtspfad

zustrebt.

Um d i e s

sei

zu z e i g e n ,

das

in Abbildung

1 5 - 3 nur v o n einem I m p u l s

s t ö r t e System e i n e r Kette von Störungsimpul sen a u s g e s e t z t , d i e bildung

15- 1 » d u r c h den B u c h s t a b e n S g e k e n n z e i c h n e t

Es d ü r f t e anhand von A b b i l d u n g

in Ab-

ist.

1 5 - ^ kaum m ö g l i c h s e i n , e i n

über d a s V o r h a n d s e i n e i n e r S y s t e m e i g e n s c h a f t

ge-

Urteil

'Evolutionsstabilität'

abzugeben. E i n g a n g b a r e r Weg, E i g e n s c h a f t e n w i e S t a b i l i t ä t o d e r auch a n d e r e w e sentliche

I m p l i k a t i o n e n d y n a m i s c h e r M o d e l l e zu e r m i t t e l n ,

besteht

in

folgendem Vorgehen: Man e n t w i c k l e e i n a d ä q u a t e s M o d e l l S y s t e m s , und lität

in d i e s e s M o d e l l

n i c h t beobachtbar

des zu u n t e r s u c h e n d e n

f ü h r e man Annahmen e i n ,

die

dynamischen in der

s i n d , deren Konsequenzen jedoch zur

Gewinnung

b i s h e r u n b e k a n n t e r E i g e n s c h a f t e n des t a t s ä c h l i c h v o r l i e g e n d e n führen.

Rea-

Systems

82

Abb.

1 5•

Dynamisches System mit E v o l u t i o n s s t a b i l i t ä t e i n e r Kette von S t ö r i m p u l s e n (S) a u s g e s e t z t [ E i nhei t T: T a u s e n d ]

Beispielsweise lität

soll

untersucht Y(t)

= C (t)

C(t) =

die folgende V e r s i o n eines MA-Modells auf

Stabi-

werden: + l.(t)

+

la(t)

0,8Y(t-1)

l.(t) = 1 [ C ( t ) - C ( t - 1 ) ] I ( t ) = 2000 3 Als

(Y) , w e l c h e s ist

+

£

(t) Y(0)=13 600,

Störgröße wird e angesehen, welches e i n e r

Y(1)=19

800

Normalvertei1ung

mit

83

einem M i t t e l w e r t

Null

und e i n e r

konstanten Standardabweichung

ange-

hören sol 1 . Die p e r i o d i s c h e R e g r e s s i o n s l ö s u n g

d i e s e r Model 1 v e r s i o n würde

s c h l ü s s i g e A u s k u n f t über d i e S t a b i l i t ä t man Y ( 0 ) = Y ( 1 ) = 1 0

000, d.h.

des M o d e l l s

die Anfangswerte eines

keine

liefern.

Wählt

Systemgleichgewich-

t e s und e r s e t z t d i e S t ö r g r ö ß e e d u r c h e i n e e i n m a l i g e S t ö r u n g r i o d e 5 , s o e r h ä l t man den i n A b b i l d u n g der e i n e i n d e u t i g e s stems

Urteil

15.2 d a r g e s t e l l t e n

über d i e S t a b i l i t ä t

des v o r l i e g e n d e n

Sy-

erlaubt.

Im Rahmen der E v o l u t i o n s -

und N i v e a u s t a b i l i t ä t

kann man w e i t e r h i n

z w i s c h e n e i n e r monotonen und o s z i 1 l a t o r i s e h e n S t a b i l i t ä t den.

in Pe-

Zeitpfad,

Im F a l l e e i n e r o s z i 1 1 a t o r i sehen S t a b i l i t ä t

nähert

unterschei-

s i c h das

t e S y s t e m i n gedämpften S c h w i n g u n g e n dem G l e i c h g e w i c h t s p f a d . dung 1 5 . 3

liefert

Stabilität

hierfür

ein Beispiel.

Abbil-

L i e g t dagegen e i n e monotone

v o r , so s t r e b t die g e s t ö r t e V a r i a b l e schwingungsfrei

Gleichgewichtspfad

gestör-

dem

zu.

1.5.3. Retrodiktion endogener Variablen Wie w i r w i s s e n ,

ist

es e i n w i c h t i g e s

l y s e , den z e i t l i c h e n V e r l a u f schen M o d e l l s stellt

Ziel

der d y n a m i s c h e n

der endogenen V a r i a b l e n e i n e s

zu e r m i t t e l n . Wenn der Z e i t v e r l a u f

der e r m i t t e l t e V a r i a b l e n v e r l a u f

s i n d von g r o ß e r p r a k t i s c h e r ein elementares

Bedürfnis

Die ersten E r f o l g e

Modellana-

Bedeutung,

der Menschen

dynami-

in die Zukunft

eine Prognose dar. da d i e A u f h e l l u n g

der

Zukunft

befriedigt.

i n der G e s c h i c h t e der n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n

n o s t i k s t e l l t e n d i e V o r a u s s a g e von Mond- und S o n n e n f i n s t e r n i s s e n Aber g e r a d e ge ü b l i c h ,

im F a l l e a s t r o n o m i s c h e r U n t e r s u c h u n g e n

1975 d i e

bei

rückprognostizieren.

Ein

Ein s o l c h e s zwingendes

folgenden auf f r ü h e r

dar. lan-

im J a h r e

Sonnenfinsternisse

S c h l u ß v e r f a h r e n von

stattgefundene

Prog-

Astronom

K e n n t n i s der P I a n e t e n k o n s t e l l a t i o n e n

i n den l e t z t e n 200 J a h r e n s t a t t g e f u n d e n e n

l i c h später

i s t es schon

auch e i n e A r t R ü c k w ä r t s p r o g n o s e vorzunehmen.

kann b e i s p i e l s w e i s e

führt,

Prognosen

Ereignisse

zeit-

n e n n t man

84

in der w i s s e n s c h a f t s t h e o r e t i s e h e n Es l i e g t

Fachsprache eine

Retrodiktion.

nun d i e F r a g e nahe, ob man m i t einem d y n a m i s c h e n M o d e l l

auch e i n e R e t r o d i k t i o n vornehmen k a n n .

Dabei

nicht

s e h e n w i r v o r e r s t von der

F r a g e a b , welchem Zweck e i n e s o l c h e s V o r g e h e n d i e n e n

könnte.

B e t r a c h t e n w i r das e i n f a c h e dynamische Modell Y(t)

= 0,5Y(t-1)

mit Y(0)=100,

dann l ä ß t s i c h d i e s e r A n s a t z umformen Y(t-1)

=

für

t=0,1,2,...

in:

2Y(t)

L a s s e n w i r den Z e i t i n d e x

n e g a t i v werden, so e r g i b t

sten drei

P e r i o d e n der z e i t l i c h e

retrodizierten

t

s i c h für die

Verlauf:

Y

0 - 1 - 2 - 3

100 200 400 800

In d i e s e m e i n f a c h e n F a l l doch g e n e r e l l

ist eine Retrodiktion möglich.

für dynamische Modelle? Die Sentenz

Gilt

men zum s e l b e n E r g e b n i s

dies

es f ü h r e n

Wege nach Rom1 d o k u m e n t i e r t d i e E r f a h r u n g , daß v e r s c h i e d e n e

bildung

er-

Maßnah-

f ü h r e n können. A u f d i e K a t e g o r i e n d e r

ü b e r t r a g e n b e d e u t e t d i e s , daß i n e i n e r z e i t i n v a r i a n t e n

t h e s e v e r s c h i e d e n e K o m b i n a t i o n e n v o r h e r b e s t i m m t e r V a r i a b l e n zu s e l b e n A u s p r ä g u n g der endogenen V a r i a b l e n f ü h r e n

i s t es u n e n t s c h e i d b a r , w e l c h e d i e s e r

K o m b i n a t i o n e n nun

zu dem b e k a n n t e n E r g e b n i s g e f ü h r t h a t .

Um d i e s e s

zuhellen, betrachten wir die Endgleichung - aßY(t-2)

und s t e l l e n uns d i e F r a g e ,

der-

Modells

dersel-

ben A u s p r ä g u n g e i n e r v o r g e g e b e n e n endogenen V a r i a b l e n f ü h r e n ,

= (a+aß)Y(t-1)

Hypo-

Denn z e i g t e s s i c h , daß m e h r e r e

K o m b i n a t i o n e n der s o g e n a n n t e n v o r h e r b e s t i m m t e n V a r i a b l e n zu

Y(t)

Modell-

können.

Es s c h e i n t d a h e r f r a g l i c h , ob man anhand e i n e s d y n a m i s c h e n e i n e R e t r o d i k t i o n d u r c h f ü h r e n kann.

je-

viele

+

dann

tatsächlich

Problem s t ä r k e r

eines MA-Modells

für Y,

aufd.h.

lg(t)

i n w e l c h e r W e i s e w i r anhand d i e s e r

Bezie-

hung e i n e R e t r o d i k t i o n der V a r i a b l e n Y vornehmen k ö n n e n . Nehmen w i r

85

an, der Wert von Y(2) sei bekannt. Wenn die Endgleichung

(12.9) das

vorliegende System adäquat beschreibt, dann gilt die Beziehung: Y(2) = (ct+aß)Y(1) - aßY(O) + lfl(2) Wollen wir nunmehr den Wert für Y(1) bestimmen, d.h. eine Retrodiktion von Y(2) auf Y(l) vornehmen, dann ist dies nicht möglich, denn es gibt eine ganze Reihe von Kombinationen der Zahlenwerte Y(0), Y(l) und l g ( 2 ) , die den vorgegebenen Wert Y{2)

liefert.

Geht man jedoch davon aus, daß die numerischen Werte der exogenen Variablen für die vorgesehene Retrodiktionsperiode bekannt sein sollen und unterstellt zusätzlich, daß auch Y(1) bekannt ist, dann läßt sich Y(0) eineindeutig ermitteln. Hat man aber Y(0) ermittelt, so sich durch sukzessive Anwendung des beschriebenen Vorgehens

lassen Y(-1),

Y(-2) usw. berechnen. Das beschriebene Vorgehen läßt sich verallgemeinern: Hat m a n die Endgleichung n-ten Grades einer bestimmten endogenen Modell variablen Y entwickelt und sind sowohl n-1 Anfangswerte für Y sowie die exogenen Variablenverläufe

im Retrodiktionszeiträum bekannt, so ist eine Re-

trodiktion möglich. Für bestimmte nichtlineare Zusammenhänge ergeben g sich gewisse Einschränkungen, die später zu diskutieren sind.

Zu-

mindest führen diese Anmerkungen aber zu der Einsicht, daß eine Retrodiktion auch bei dynamischen Modellen prinzipiell

durchführbar

Im Falle des angeführten Beispiels kann eine Retrodiktion

ist.

in folgen-

der Weise durchgeführt werden: Aus der Endgleichung

(12.9) folgt der

Retrodiktionsansatz

Y(t) = ((1+ß)/ß)Y(t+1) - (1 /aß)Y(t+2) +

l a (t)/(aß)

und mit a=0,9; ß=0,4; I a =2500; Y(1)=11 000 und Y(0)=10 000 Y(t) = 3,5Y(t + 1) Mit diesem Ansatz

(1/0,36) Y(t+2) + 2500/0,36

ist man in der Lage, die numerischen Werte von

Y(t) für t=-1,-2,-3,... zu berechnen. Tatelle 15-2 zeigt die Ergebnisse dieser Rückrechnung. Y wächst offenbar mit abnehmendem t unbegrenzt. Dies ist eine zeptierbar erscheinen 8 Siehe Seite 472f.

Implikation, die den Modellansatz kaum ak-

läßt.

86

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

3,5*Y(t+1)

1 1388.89 19027.80 41905.88 100760.00

35000.00 39861.13 66597.25 146670.56 352660.00 851197.38 2023885.00 4743462.00 11004518.00 25363824.00

-9 -10

243199-25 578252.94 1355275.00 3144148.00 7246810.00 16637024.00

Tab.

15.2

Das

Retrodiktion

Rechenverfahren

nen V a r i a b l e n muß.

Oft

ist

I

in

MA-Modells

= =

+

Ij(l970) len

I

eine

Modelle,

überführt

exoge-

vorgegeben

Endgleichung

da d i e s e werden

Dies nur

gilt in

sein zu

re

ins-

Ausnah-

können.

betrachten wir

die

Gleichun-

l,(t)

+

lg(t)

--

eines

kann zu

einer

S p r i c h t man d a h e r von einem s e n s i t i v e n M o d e l l , s o i s t

dest e i n Parameter f i n d e n

je

seiner

Es w i r d o f t v o n der S e n s i t i v i t ä t

M o d e l l s oder Systems gesprochen. Mißverständnissen

bezüglich eines Parameters,

Parameters

der S e n s i t i v i t ä t

ist

r e l a t i v v a g e , doch

sie

es

ec

Abb.

15.5

c\j

« to

s **

S e n s i t i v i t ä t e i n e s M A - M o d e l l s g e g e n ü b e r dem P a r a m e t e r [ E i n h e i t T: Tausend]

« in a

89

reicht

für eine erste Orientierung

aus.

Anhand e i n e s M A - M o d e l l s v e r d e u t l i c h e n w i r uns den V o r g a n g e i n e r s i t i v i tätsuntersuchung. Y(0)=12 000, Y(1)=10 Y (t) = C(t) l.(t)

Wir w ä h l e n f ü r e i n MA-Modell

0 0 0 , l g ( t ) = 2 500 und e r h a l t e n

+ l.(t)

+

a=0,8,

Sen-

&=1 ,

den A n s a t z

la(t)

= 1[C ( t ) - C ( t - 1 ) ]

C ( t ) = 0 ,8Y ( t - 1 ) Abbildung

1 5 - 5 z e i g t den V a r i a b l e n v e r l a u f

E r h ö h u n g v o n a um zehn P r o z e n t , In A b b i l d u n g

15.6

d.h.

von Y f ü r a = 0 , 8 und

einer

a=0,88.

i s t a u n v e r ä n d e r t , der Parameterwert von ß dagegen

o c .

/

\\/l / Abb.

15.6

/

O-O. ' '

\

Hv O

S e n s i t i v i t ä t e i n e s M A - M o d e l l s g e g e n ü b e r dem P a r a m e t e r [ E i n h e i t T: T a u s e n d ]

ß

90

um zehn Prozent erhöht, d.h. ot=0,8 und

ß=1,1.

Man erkennt, daß das System auf die relative Änderung von a viel

hef-

tiger reagiert als auf die gleiche relative Änderung von ß. Noch eindrucksvoller erweist sich die Sensitivität des Modells

in der

Grundversion a=0,99 und ß=l. Aus Abbildung 15-7 erkennt man die unterschiedlichen Verl aufsformen von Y bei nur geringer Änderung von a.

w

O O CS *C* ^O

o = 0,99 i i I

X 'V

J

r j: y-/ .K«

r

/

/ -r-

V

\ X / \

I

Jti-CS'OtXi^

/

V

a = 1,01

0,97

so/*'

CS) CWMS'

Abb. 15-7

Sensitivität eines MA-Modells gegenüber a in der Ausgangsversion a=0,99 und ß=1 [Einheiten T: Tausend, M: Millionen]

Halten wir fest: die Sensitivität

läßt sich nur definieren

bezüglich

des vorgegebenen Zeitverlaufs einer bestimmten endogenen Variablen.

91

I n der p r a k t i s c h e n Anwendung v e r z i c h t e t man z u m e i s t a u f e i n t e s S e n s i t i v i t ä t s m a ß und b e s c h r ä n k t

bestimm-

s i c h , w i e w i r es auch g e t a n

ben, a u f e i n e n v i s u e l l e n V e r g l e i c h des

ha-

Variablenverlaufes.

E i n e w i c h t i g e A u f g a b e b e s t e h t d a r i n , d i e Parameter zu f i n d e n , a u f e i n dynamisches Modell das e i n f a c h e Y(t)

am e m p f i n d l i c h s t e n

m i t a = 0 , 9 8 und dem A n f a n g s w e r t

dann kann der monoton g e g e n N u l l

werden.

Man e r k e n n t

leicht,

reagiert.

Y(0)

strebende Z e i t v e r l a u f

daß das M o d e l l

von Y d u r c h

a u f Ä n d e r u n g e n von a extrem emp-

Denn e i n e Ä n d e r u n g um d r e i

einem e x p l o d i e r e n d e n Y(t)

die

wir

0,98tY(0)

=

beschrieben

findlich

Betrachten

Modell

= aY(t-l)

Y(t)

reagiert.

P r o z e n t würde s c h o n zu

Verlauf

1,0094tY(0)

=

führen. I n M o d e l l e n m i t v i e l e n P a r a m e t e r n w i r d d i e S u c h e nach den d i e e i n e hohe S e n s i t i v i t ä t gilt

hierbei

i n s b e s o n d e r e d i e Parameter zu f i n d e n ,

i n dem b e s c h r i e b e n e n B e i s p i e l Model 1 v e r h a l t e n s a u c h bei ge a u f .

führen.

zu e i n e r

sprunghaften Veränderung

dem uns b e r e i t s v e r t r a u t e n M A - M o d e l l

in beachtlichem

darauf

des

treten Umfan-

15-8 voneinander abgegrenzte Flächen,

bestimmte K o m b i n a t i o n e n der Parameter a und ß u m s c h l i e ß e n . sei

h i n g e w i e s e n , daß d i e s e

dung 1 5 - 7

Die q u a l i t a t i v

Ohne n ä -

u n t e r s c h i e d l i c h e n V e r l ä u f e von Y i n

l i e g e n , w i e man l e i c h t

anderen F l ä c h e n b e r e i c h . des S y s t e m v e r h a l t e n s

von den P a r a m e t e r n a und ß s o l l 1

auf s e i n e Zweckmäßigkeit

h i n zu

11 S i e h e

nachprüfen kann, j e w e i l s

D i e i n dem Diagramm e r k e n n b a r e

den b i s h e r u n t e r s t e l l t e n

einparametrisehen

im E i n z e l n e n S e i t e

1

untersuchen.

2l6f.

die

Parameterflächen

q u a l i t a t i v e V e r h a l t e n s p r ü n g e der endogenen V a r i a b l e n v o n e i n a n d e r grenzen.^

Es

deren Änderung wie

Solche q u a l i t a t i v e n Verhaltensprünge

So z e i g t A b b i l d u n g

here E r k l ä r u n g

Parametern,

b e w i r k e n , zu einem s c h w i e r i g e n P r o b l e m .

ab-

Abbil-

i n einem

Abhängigkeit

dazu

dienen,

Sensitivitätsbegriff

92

Abb.

15-8

Verhaltensdiagramm eines MA-Modells den P a r a m e t e r n a und ß

in Abhängigkeit

Angenommen, d i e P a r a m e t e r w e r t e a = 0 , 9 und ß=1 s e i e n f ü r e i n S y s t e m g e f u n d e n . Wählen w i r d i e M o d e l I v e r s i o n s i c h , daß bei

bestimmtes

( t ) = 1 0 0 , dann

e i n e r E r h ö h u n g o d e r V e r m i n d e r u n g v o n a um z e h n

k e i n e V e r ä n d e r u n g des S t a b i l i t ä t s v e r h a l t e n s z e i t i g e V e r m i n d e r u n g v o n ß um zehn P r o z e n t 1 5 . 9 zu e r k e n n e n

ist,

nicht

zehn P r o z e n t z e i g t e b e n f a l l s

zur

auftritt.

zeigt Prozent

Auch e i n e

f ü h r t , wie aus

Instabilität.

gleich-

Abbildung

E i n e E r h ö h u n g v o n ß um

k e i n e Ä n d e r u n g , wenn man n i c h t

z e i t i g a um mehr a l s e i n P r o z e n t e r h ö h t . dell

I

von

In d i e s e m F a l l

g1eich-

wird das

Mo-

i nstabi1.

Wenn man davon a u s g e h t , daß e s d a s Z i e l

einer

i s t , d i e S t ä r k e der V a r i a b l e n v e r l a u f s r e a k t i o n m e t e r ä n d e r u n g e n zu b e u r t e i l e n , wendete S e n s i t i v i t ä t s b e g r i f f

dann z e i g t

dieser

Sensitivitätsana1yse auf g e r i n g f ü g i g e

sich,

daß der b i s h e r

Forderung n i c h t v o l l

g e n ü g e n kann;

denn e r b a s i e r t a u f d e r E r f a s s u n g der Model 1 r e a k t i o n b e z ü g l i c h Parameters.

Das eben g e s c h i l d e r t e

Beispiel

Paraver-

eines

z e i g t e a b e r , daß d a s M o d e l l

93

Y[HI(j

FALL « = 0 . 9 9

Y[md¡

(3=0.9

FALL « = 0 . 9 9

YODO]

(3=1

FALL « = 0 . 9 9

(3=1.1

2 90

TIPIE TIME

«-"-TIME 50

X

0.99

X

30

"20

^ ^

90

250 Y[TSD| FALL « = 0 . 9

X

13=1

0.9 100

X

0.81

X

X •TIME

Y[TSD]

°'9

1

1

'1

Y[TSD] FALL « = 0 . 8 1

0=1

Y [TSD] FALL « = 0 , 8 1

0 = 1 . 1 70

80 50

50 FALL - Q Q ist

'annähernd'

beobachtbar

a l s o bewährt s i c h P a u s , wobei P den M o d e l l a n s a t z und Q d i e zierter gilt

das

Z e i t v e r l ä u f e von V a r i a b l e n d a r s t e l l t . Schlußschema

P ->- Q Q ist nicht

'annähernd'

a l s o wird P e r s c h ü t t e r t 13 V g l .

Implikation

Seite 83f.

beobachtbar

in Form

retrodi-

Im g e g e n t e i l i g e n

Fall

140

Zeigt sich,

daß bestimmte V e r l ä u f e der endogenen V a r i a b l e n

im R e t r o -

d i k t i o n s z e i t r a u m n i c h t mit den B e o b a c h t u n g s w e r t e n ü b e r e i n s t i m m e n ,

so

l i e g t d i e F r a g e n a h e , ob e s m ö g l i c h

der

Parameter

i s t , a u f g r u n d von V a r i a t i o n e n

in den H y p o t h e s e n e i n e b e s s e r e A n n ä h e r u n g z w i s c h e n den b e -

r e c h n e t e n und b e o b a c h t e t e n Größen zu e r r e i c h e n . weist

s i c h damit a u c h a l s

Die R e t r o d i k t i o n

e i n V e r f a h r e n z u r Gewinnung

er-

realitätsnäherer

Hypothesen. Als

Beispiel

geführt.

sei

e i n e R e t r o d i k t i o n des W e l t m o d e l l s

von FORRESTER

D i e endogenen V a r i a b l e n d i e s e s M o d e l l s wurden v o n

u r s p r ü n g l i c h vom J a h r e 1900 in d i e Z u k u n f t b e r e c h n e t . w i c h t i g s t e n endogenen V a r i a b l e n , spricht

bis

e i n e P r o g n o s e d u r c h , dann z e i g t d a s H i s t o g r a m m des P r o g n o s e v e r l a u f e s ,

Retrodiziert

in A b b i l d u n g

daß z w i s c h e n

17.11

man nunmehr Zeitpunkt

dargestellte star-

s t a t t g e f u n d e n ha-

des M o d e l l s w i r d d u r c h d i e s e

Denn b e a n s p r u c h t

der

ent-

1880 und 1900 e i n

um mehr a l s 2 , 6 M i l l i a r d e n

ben muß. Der G ü l t i g k e i t s a n s p r u c h lung e r s c h ü t t e r t .

Der V e r l a u f

zum J a h r e 1880 und f ü h r t von d i e s e m

ker B e v ö l k e r u n g s r ü c k g a n g

FORRESTER

n ä m l i c h der W e l t b e v ö l k e r u n g ,

a n n ä h e r n d dem b e o b a c h t e t e n V e r l a u f .

jedoch das Modell

an-

Feststel-

FORRESTER, daß d i e von ihm v e r w e n -

deten z e i t i n v a r i a n t e n

H y p o t h e s e n f ü r den Z e i t r a u m 1970 b i s 2100

Gül-

tigkeit

so muß er s i c h e n t g e g e n h a l t e n

sie

haben s o l l e n ,

dann auch f ü r den Z e i t r a u m 1880 b i s dieser Voraussetzung

1900 g ü l t i g

daß

s t e l l e n d i e E r g e b n i s s e der R e t r o d i k t i o n

eine zwingende Folge d a r . A n g e s i c h t s

dieses

Ergebnisses

he, der F r a g e n a c h z u g e h e n , ob d i e u n b e f r i e d i g e n d e laufes

lassen,

sein sollten.

der B e v ö l k e r u n g s e n t w i c k l u n g

Modells zurückzuführen

Unter jedoch

liegt

Erklärung

es

des

Ver-

a u f e i n e bestimmte H y p o t h e s e des

ist.

Man e r k e n n t anhand von A b b i l d u n g

1 7 - 1 1 , daß zum e i n e n d i e

während des R e t r o d i k t i o n s z e i t r a u m e s

a l s a u c h der

im J a h r e 1880 n i c h t d e r R e a l i t ä t e n t s p r e c h e n . M o d e l l s wäre es d a h e r a n g e b r a c h t

Todesraten

Bevölkerungsbestand

Zur V e r b e s s e r u n g

zu u n t e r s u c h e n , ob d i e d i e

des

Todesra-

t e e r k l ä r e n d e H y p o t h e s e d u r c h e i n e e n t s p r e c h e n d e V e r ä n d e r u n g der t r e t e n d e n P a r a m e t e r b e s s e r m i t dem t a t s ä c h l i c h e n V e r l a u f fälle

na-

i n U b e r e i n s t i m m u n g g e b r a c h t werden k a n n , und a l s

14 Z u r T e c h n i k d i e s e s V e r f a h r e n s

siehe Seite

469f.

der

Folge

auf-

Todesdavon

U1

a u c h d i e E n t w i c k l u n g des B e v ö l k e r u n g s b e s t a n d e s r e a l i s t i s c h e r e n Wert annehmen w i r d .

vom J a h r e 1880

Eine nähere A n a l y s e z e i g t ,

d i e ü b e r h ö h t e n T o d e s r a t e n v o r w i e g e n d d u r c h e i n e zu s t a r k e k e i t z w i s c h e n dem ' m a t e r i e l l e n

Lebensstandard1

standard-Todesratenmultiplikator1

Abb.

17.11

Abbildung

(MSL) und dem

(DRMM) b e d i n g t

daß

Abhängig'Lebens-

ist.^

Z e i t d i a g r a m m der B e v ö l k e r u n g (B) s o w i e der G e b u r t e n z a h l (G) und der T o d e s f ä l l e (T) im W e l t m o d e l l von FORRESTER z w i s c h e n 1880 und 2100 bei e i n e r R e t r o d i k t i o n a u f d a s J a h r 1880 [ E i nhei t M: Mi 1 1 i o n e n ]

1 7 - 1 2 z e i g t den V e r l a u f

der W e l t b e v ö l k e r u n g

im F a l l e

u r s p r ü n g l i c h e n Ansatzes unter Veränderung der A b h ä n g i g k e i t e n 15 V g l .

einen

z u r B e s c h r e i b u n g des M o d e l l s

[32,S.l8lf]

des

zwischen

142

m a t e r i e l l e m L e b e n s s t a n d a r d und T o d e s r a t e n m u l t i p l i k a t o r . daß d i e b i s h e r e r m i t t e l t e B e v ö l k e r u n g s k a t a s t r o p h e 16 zeitraum a u s b l e i b t .

im

Es z e i g t

sich,

Retrodiktions-

müHh o o £

£

® ®

CO

jMf

0

m i t der a n t i z y k l i s e h e n

Politik

W ( t ) = b[w"-U(t-l)] oder der z y k l u s n e u t r a 1 en W (t)

b>0 , W>0 Politik

= A

A>0

v e r g l e i chen. Als

Implikation

von

Interesse.

ist

daher v o r a l l e m der Z e i t v e r l a u f

Damit s t e l l t

Funktionslösung entw i cke1n. 1 S i e h e Sei te 25

des Umsatzes U

s i c h d i e F r a g e , ob es m ö g l i c h

l i n e a r e r Modelle mit z e i t v a r i a b l e n

ist,

eine

Koeffizienten

zu

167

Generell

läßt s i c h sagen:

Für D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n

mit v a r i a b l e n K o e f f i z i e n t e n g i b t stimmung e i n e r

Funktionslösung.

Grades e x i s t i e r t

ersten

Grades

es e i n e n a l l g e m e i n e n A n s a t z Für D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n

k e i n e g e n e r e l l e Methode z u r E r m i t t l u n g v o n

zur

höheren Funktions-

losungen.

$5 = 10000

J-y -I -1-T-2J-Z - I S2 = 5000 i S 1 = 3000 I JLJ-O «O'O C ^-O-ti-CI

Abb. 2 1 . 1

2 Vgl.

-r-i-r-?.-?:-? i-r-j-t-s.

'-O.cVC-O-O'O-OO'CiJ-O

Z e i t v e r l a u f des Umsatzes bei v e r s c h i e d e n e n S ä t t i g u n g s n i v e a u s S. b i s S im F a l l e e i n e r p r o z y k l i s c h e n Werbepol i t i k W ( t ) = 0 , 1 * U ( t - 1 )

[83,S.59]

Be-

168

Wir w o l l e n uns m i t d i e s e r g e n e r e l l e n Methode n i c h t b e f a s s e n , da wegen i h r e r

Beschränkung

auf G l e i c h u n g e n e r s t e n Grades f ü r

s c h e Anwendungen nahezu b e d e u t u n g s l o s

sie

prakti-

ist.

Bei d e r a r t i g e n M o d e l l f o r m e n s o l l t e man daher von v o r n h e r e i n den Z e i t p f a d m i t H i l f e von R e g r e s s i o n s l ö s u n g e n

versuchen,

zu e r m i t t e l n .

Gehen

w i r v o n den von V I D A L E und WOLFE e r m i t t e l t e n Werten f ü r d i e

Parame-

t e r v o n r = 0 , 5 , S = 5 0 0 0 und f = 0 , 1

a u s und u n t e r s t e i l e n e i n e n

Anfangs-

wert von U ( 0 ) = 5 0 0 , s o e r m i t t e l t

sich die Regressionslösung

nach

uu)

= [ ^ i i ^ H + 0 , 1 - 1 ]U(t-1)

Die S e n s i t i v i t ä t

des Z e i t v e r l a u f e s

veaus S z e i g t Abbildung

+

0,5W(t-1)

v o n U b e z ü g l i c h des

Sättigungsni-

21.1.^

Man e r k e n n t , daß d i e U m s a t z e n t w i c k l u n g z ü g l i c h des S ä t t i g u n g s n i v e a u s

aufweist.

eine starke S e n s i t i v i t ä t Nach d i e s e m B e i s p i e l

w i r uns nunmehr den l i n e a r e n M o d e l l e n m i t z e i t k o n s t a n t e n

be-

wollen

Koeffizien-

t e n zuwenden.

B. Lineare Modellformen mit zeitkonstanten Koeffizienten D i e s e r Model 1 typ muß a u s zwei Gründen s e h r a u s f ü h r l i c h b e h a n d e l t w e r den. Zum e i n e n g e h ö r e n v i e l e der h e u t e v e r w e n d e t e n M o d e l l e Typ a n . A u c h u n s e r S t a n d a r d b e i s p i e l leicht

erkennt,

in d i e s e M o d e l l k a t e g o r i e .

Zum z w e i t e n s t e h t , w i e

wähnt, für d i e s e n M o d e l l t y p eine g e s c h l o s s e n e Theorie der tionenaufdeckung

zur Verfügung.

weil

jedes n i c h t l i n e a r e Modell

prinzipiell

Dies

diesem

e i n e s M A - M o d e l l s f ä l l t , w i e man

i s t von g e n e r e l l e r durch e i n

er-

Implika-

Bedeutung,

lineares

Modell

a p p r o x i m i e r t werden k a n n , s o daß E i n s i c h t e n über den C h a r a k t e r

linea-

rer M o d e l l e auch f ü r d i e B e u r t e i l u n g

Inter-

esse Es

nichtlinearer

M o d e l l e von

sind.

ist

h e u t e Mode g e w o r d e n , u n t e r Verwendung e i n f a c h zu l e r n e n d e r

mulationssprachen r e n , ohne d a b e i

komplexe n i c h t l i n e a r e

d y n a m i s c h e M o d e l l e zu

simulie-

über K e n n t n i s s e d e s s t r u k t u r e l l e n A u f b a u s und der

lysemethoden d e r a r t i g e r 3 Zur S i m u l a t i o n s t e c h n i k

M o d e l l e zu v e r f ü g e n . siehe Seite

522ff.

Nach A n s i c h t

des

Si-

Ana-

Verfas-

169

sers

ist

unter

d i e s e n Umständen e i n e r n s t h a f t e s

schen S i m u l a t i o n s m o d e l l e n

kaum m ö g l i c h .

t e vorwiegend p r a k t i z i e r t e n

ihre Kenntnis

lungsprinzipien

wie Gleichgewichtszustand

Multiplikator

ihre Explizierung

d i e zu e i n e r

klaren

heu-

und

Beurtei-

Beurteilung

von

Kalküls die

ihres Stellenwertes

So

eines

oder V e r h a l t e n s w e i s e n

im Rahmen e i n e s

im

zur Anwendung kommt,

dennoch f r u c h t b a r e L e i t l i n i e n

t e n K o n z e p t e und B e g r i f f e ,

e r s t durch

unmittelbar

f ü r das A r b e i t e n mit dynamischen M o d e l l e n .

Stabilitätstypen,

dynami-

S i m u l a t i o n e n dynamischer Modelle d i e

w e i t e r e n zu e r ö r t e r n d e T h e o r i e n i c h t so l i e f e r t

Arbeiten mit

Auch wenn im Rahmen d e r

von

erhal-

Systems, Systemen,

Präzision, Bedeutung

i st. Da d i e Bestimmung des Z e i t v e r l a u f e s Ausgangsbasis

für

implikationen

darstellt,

der E r m i t t l u n g tigen.

einer

d i e Aufdeckung f a s t

der

Anhand e i n e r

sämtlicher

w o l l e n w i r uns

Funktionslösung

einer

ser B a s i s

einer

l i n e a r e n Endgleichung

barer

Endgleichung erfolgt

typenspezifischer

hergeleitet

und a u f

und M a t r i z e n r e c h n u n g

linearer

Modelle.

S y s t e m e u n t e r Verwendung d e r

i n einem umfassenden Rahmen

mit

beschäf-

z w e i t e n G r a d e s werden

Grades v e r a l l g e m e i n e r t .

Implikationen

linearer

Model I -

endogenen V a r i a b l e n

e i n e E r ö r t e r u n g mathematisch e i n d e u t i g

wird die Theorie

a)

beliebigen

relevanter

die

im f o l g e n d e n a u s f ü h r l i c h

v e r s c h i e d e n e n Typen von F u n k t i o n s 1 ö s u n g e n Fall

endogenen V a r i a b l e n

die

den

Auf

die-

beschreibAbschließend

Operatoren-

behandelt.

Zeitpfadermittlung durch Funktionslösungen

D i e Bestimmung d e r folgt

Funktions1ösung e i n e r

w i e e r w ä h n t anhand

nenten der

exogenen V a r i a b l e n

E(t) = I

n=0

und d i e

Endgleichung. in

(12.10)

mit

Fassen w i r E(t)

= c^YCt-l) Standardform

Y erKompod.h. ( 2 1

n

die

die

zusammen,

gnE(t-n)

dann e r h a l t e n w i r Y (t)

ihrer

endogenen V a r i a b l e n



Erklärungsform + u 2 Y ( t - 2 ) + . . . + ü)nY(t-n)

+ E(t)

(21.2)

170

Y (t)

+ a ^ U - O

+ a2Y(t-2) + ...+ anY(t-n)

w e l c h e uns

im f o l g e n d e n a l s A u s g a n g s b a s i s

net

und

(21.2)

ccn =# 0 s i n d .

(21.3)

(12.9)

(21.3)

dienen s o l l e n .

Man

bezeich-

E n d g l e i c h u n g e n n - t e n G r a d e s , wenn a n bzw.

Entsprechend dieser

V a r i a b l e n Y in ist

als

= E(t)

Festlegung

eine Endgleichung

es o f t n o t w e n d i g , e r s t 4

i s t die Endgleichung

der

2 - t e n G r a d e s . Wie e r w ä h n t ,

die Endgleichung

e i n e r V a r i a b l e n zu

er-

mitte1n. Es b i e t e n s i c h v e r s c h i e d e n e V e r f a h r e n a n . Das s o g e n a n n t e Ei n s e t z u n g s v e r f a h r e n wurde b e r e i t s

z u r B e r e c h n u n g der E n d g l e i c h u n g von Y,

angewendet."' S e i n e A n w e n d b a r k e i t d ü r f t e a b e r wohl l e m i t n i c h t mehr a l s v i e r

bis

fünf V a r i a b l e n

zumeist auf

beschränkt

(12.9), Model-

bleiben,

da der Rechenaufwand m i t wachsender V a r i a b 1en2ahl

stark

B e t r a c h t e n w i r b e i s p i e l s w e i s e das a n f a n g s

kurz erwähnte,

recht einfache Modell

bereits

der A n s p r u c h s n i v e a u a n p a s s u n g

w e l c h e s z u v o r k u r z b e s c h r i e b e n werden s o l l Das M o d e l l einzelner

beschreibt

d i e Beziehung

O r g a n i s a t i o n s t e i 1 nehmer

Zufriedenheitsniveau erwartete Belohnung

werden d u r c h f o l g e n d e S ä t z e (1) Je n i e d r i g e r

ternativen

(Z)

einer

ihre Suchintensität

( S ) , um s o höher

hei t s n i veau

Hypothesen

Verhaltensein-

(S)

nach neuen

ist

die

Al-

erwartete

( B ) , um so h ö h e r d a s

Zufrieden-

(Z).

spruchsniveau

( B ) , um so höher w i r d d a s

An-

(A) .

Je höher d a s A n s p r u c h s n i v e a u

(A),

um s o höher d a s

Zufriedenheits-

(Z) .

4 Zur exakten mathematischen Kennzeichnung l i n e a r e r Systeme, von nen e i n e E n d g l e i c h u n g s f o r m b e r e c h e n b a r i s t , s i e h e S e i t e 5 Vgl.

und

(B).

(b) Je höher d i e e r w a r t e t e B e l o h n u n g

niveau

(S)

sein.

(3) Je höher d i e e r w a r t e t e B e l o h n u n g

(5)

Variablen:

gekennzeichnet:

(2) Je höher d i e S u c h i n t e n s i t ä t Belohnung

Verhalten

(A), Suchintensitat

konstituierenden

das Z u f r i e d e n h e i t s n i v e a u

h e i t , um s o s t ä r k e r w i r d

[128,5.48],

relevanten psychischen

D i e das M o d e l l

noch

von SIMON und MARCH,

z w i s c h e n den f ü r d a s

(Z), Anspruchsniveau (B).

ansteigt.

S e i t e 37

f.

de-

171

Dieses verbal l o g i s e h e Aussagensystem wird durch folgende

Gleichungen

formali s i e r t : ^ Satz

1:

S(t)

Z stellt

= ß[Z-Z(t)]

mitY>0,

ß>0

( 2 1 . b)

d a s S ä t t i g u n g s n i v e a u der Z u f r i e d e n h e i t

reichen die Suchintensitat Satz 2:

B(t+1)

- B(t)

zum E r l i e g e n

dar,

bei d e s s e n

Er-

kommt.

= y[S(t)-b-cB(t)]

m i t y>0 , b > 0 , c>0

(21.5)

A u s der B e z i e h u n g e r k e n n t man, daß e i n e bestimmte S u c h i n t e n s i t ä t Höhe v o n [ b + c B ( t ) ] s t a n t zu

Z(t)

A(t+1)

= B(t)

- A(t)

In d i e s e r G l e i c h u n g

i n Höhe v o n [ A ( t ) - a ]

- A(t)

kon-

a > 0 , a>0

des A n s p r u c h s n i v e a u s erforderlich

(21.7)

= [1 - c y ] B ( t - 1 )

A(t)

= [1-a]A(t-1)

daß

Belohnung

ist. der

Einsetzungsprozeß.

werden z u e r s t a u f d i e

B(t)

eine erwartete

ist die Ermittlung

durchaus kein t r i v i a l e r

und ( 2 1 . 7 )

(21.6)

= a[B(t)-A(t)+a]

Wie man s i c h ü b e r z e u g e n k a n n ,

(21.5)

um d i e e r w a r t e t e B e l o h n u n g

kommt d i e z u s ä t z l i c h e H y p o t h e s e zum A u s d r u c k ,

zur A u f r e c h t e r h a l t u n g

von A ( t )

ist,

halten.

S a t z 3 und 5: S a t z b:

erforderlich

in

+ yS(t-l) + aB(t-l)

-

Endgleichung Die

Gleichungen

Erklärungsform

Yb

(21.8)

+ aa

(21-9)

überführt. (21.6)

in

S(t)

(21.4)

ergibt:

= ez - ß B ( t )

+ ßA(t)

(21 .10)

V e r s c h i e b t man d a s Z e i t a r g u m e n t

in

(21.10)

den S ( t - 1 )

in

(21.8)

erklärenden Ausdruck

die Gleichungen B(t)

(21.9)

und

= [1 - c y ] B ( t - 1 )

Formt man ( 2 1 . 9 ) B(t-1)

(21.11)

= - A(t) a

so

setzt

i s t das S y s t e m a u f

reduziert.

+ yßZ - y ß B ( t - D

um, s o e r g i b t

um e i n e P e r i o d e und ein,

+ yßA(t-l)

- yb

(21.11)

sich

+ —[a-1]A(t-1) a

- a

(21.12)

6 Das Model 1 wurde von SIMON und MARCH i n s t e t i g e r Form e n t w i c k e l t und i s t im f o l g e n d e n in D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s f o r m umgewandelt.

172

Wenn der Z e i t i n d e x v o n B ( t ) so e r g i b t B(t)

s i c h aus = — ACt+1) a

S e t z t man ( 2 1 . 1 2 ) 1 A(t+1)

e i n e P e r i o d e nach v o r n e g e s c h o b e n

wird,

(21.12) + —[a-1 ]A(t) a

und ( 2 1 . 1 3 )

+ i[a-1]A(t)

in

- a

(21.13)

(21.11)

e i n , so

folgt

- a = [1-cy][i A(t)+^[a-1 ]A(t-1)-a] + -

A(t)+l[a-1]A(t-D-a]

+ yßA(t-l)

yßl - yb

oder A(t+1)

+ [a-1 ]A(t)

- aa = [ 1 - c y ] [ A ( t ) + [ a - 1 ] A ( t - 1 ) - a a ]

+ yßoZ

" y ß [ A ( t ) + [ a - l ] A ( t - 1 ) - a a ] + yßaA(t-1)

-

-

ayb

oder A( t + 1 ) + [ a - 1 ] A ( t )

= A(t)

+ [a-1 ] A ( t - 1 )

- cyA(t)

+ a a c y + aßyZ - y ß A ( t ) + aayß + y ß a A ( t - l ) f a ß t man d i e G l i e d e r

- cy[a-1]A(t-1) +

- y ß[a-1 ]A( t - 1 ) +

- ayb

nach V e r z ö g e r u n g e n v o n A ( t )

zusammen,

ergibt

s i ch A ( t + 1) = [ 2 - a - c y - y ß ] A ( t ) + aayß -

+ [a-1 - c y a tcy+yß] A ( t - 1 )

ayb

E i n e V e r s c h i e b u n g des Z e i t a r g u m e n t e s k l ä r u n g s f o r m der A(t)

t a a c y + aßyZ" +

um e i n e P e r i o d e

l i e f e r t die

Er-

Endgleichung

= [2-a-cy-yß]A( t-1)

+ [a-1-cya+cy+yß]A(t-2)

+ a a c y + aßyZ" +

+ a a y ß - ayb Das b e s c h r i e b e n e E i n s e t z u n g s v e r f a h r e n

ist

im a l l g e m e i n e n nur f ü r

die

E r m i t t l u n g von E n d g l e i c h u n g e n e r s t e n und z w e i t e n Grades zu e m p f e h l e n . In a n d e r e n F ä l l e n

i s t e s zu u m s t ä n d l i c h und s o l l t e d u r c h

welche mit Operatoren a r b e i t e n , den j e d o c h e r s t

später

e r s e t z t werden.

besprochen, weil

s e t z u n g e n zu ihrem V e r s t ä n d n i s

Verfahren,

Diese Verfahren wer-

w e i t e r e mathematische

erforderlich

sind.

Da w i r uns

Vorausim f o 1 -

173

genden a u s s c h l i e ß l i c h mit der F u n k t i o n s 1 ö s u n g von E n d g l e i c h u n g e n s t e n und z w e i t e n Grades b e f a s s e n , fürs erste

e i n e r endogenen V a r i a b l e n

E i n e homogene E n d g l e i c h u n g

( 2 1 . 3 ) den Wert E ( t ) = 0

l i e g t v o r , wenn E ( t )

(t=0,1,...)

s p r i c h t man von e i n e r A(t)

= 0,5A(t-1)

aa)

= 0,5A(t-1)

ständig Null

inhomogenen E n d g l e i c h u n g .

es

+ 0,3A(t-2)

inhomogene E n d g l e i c h u n g

(21.2)

dagegen

ist,

dann

Der A u s d r u c k

+ 0,3A(t-2)

(21,14)

i s t damit e i n e homogene E n d g l e i c h u n g , A(t)

in

annimmt. Wird E ( t )

d u r c h e i n e n Z e i t p f a d b e s c h r i e b e n , der n i c h t

eine

ist

z w i s c h e n homogenen und i nhomogenen E n d g l e i c h u n g e n zu u n t e r -

scheiden. oder

Einsetzungsverfahren

aus.

Zur E r m i t t l u n g der F u n k t i o n s l ö s u n g wichtig,

r e i c h t das

er-

während

+ 10*

(21.15)

darstellt.

Funktionslösung von Endgleichungen ersten Grades

a) F u n k t i o n s l ö s u n g

homogener Endq1 e i c h u n g e n e r s t e n

Grades

E i n e homogene E n d g l e i c h u n g e r s t e n Grades nimmt mit n=1 , ai^=a und E(t)=0

(t=0,1,...)

in ( 2 1 . 2 . )

d i e Form

Y(t) = aY(t-1) an. U n t e r s t e l l e n w i r , es sei

(21.16) beispielsweise die

Gleichung

Y (t) = 0 , 3 Y ( t - D

(21 .17)

m i t dem A n f a n g s w e r t Y ( 0 ) = 1 0 0 gegeben. D i e R e g r e s s i o n s l ö s u n g von l ä ß t s i c h r e c h t e i n f a c h e r m i t t e l n . Wir w o l l e n aber Y ( t ) t i o n eines geschlossenen Formelausdruckes Y(t)

F(t),

Y(10)

= F(t)

in d i e r e c h t e S e i t e von ( 2 1 . 1 8 )

a l s e i n e Funk-

d.h. (21.18)

b e s c h r e i b e n , m i t der F o l g e , daß man durch E i n s e t z u n g von w e i s e t=10

(21.17)

beispiels-

e i n e n numerischen Wert

erhält.

Zu diesem Zweck b e t r a c h t e n w i r das f o l g e n d e Schema

für

Y(1)

= 0,3Y(0)

=

0,31Y(0)

Y(2)

= 0,3Y(1)

=

0,32Y(0)

Y(3)

= 0,3Y(2)

=

0,33Y(0)

Y (t)

= 0,3Y(t-1)

=

0,3tY(0)

i n welchem d i e V a r i a b l e n w e r t e zu den v e r s c h i e d e n e n Z e i t p u n k t e n sukzessive Einsetzung

der j e w e i l s

chungen a u f Y ( 0 )

zurückgeführt

Das Schema f ü h r t

zu der

Für Y ( 0 ) ten d i e

durch

Glei-

werden.

Funktionslösung

= YiOjOJ1

Y(t)

über j e d e r Z e i l e s t e h e n d e n

t=0,1 ,2... .

(21 . 1 9 )

können w i r den u n t e r s t e l l t e n Wert 100 e i n s e t z e n und

erhal-

Funktions1ösung

Y(t)

= 100*0,3l

Man e r k e n n t ,

daß f ü r

(21.20) 100 j e d e r b e l i e b i g e A n f a n g s w e r t Y ( 0 )

hätte

ge-

w ä h l t werden k ö n n e n , ohne d i e G ü l t i g k e i t der L ö s u n g zu v e r l e t z e n .

Er-

s e t z t man i n dem e n t w i c k e l t e n Schema den Wert 0 , 3 d u r c h d i e e i n e n

be-

l i e b i g e n Wert r e p r ä s e n t i e r e n d e Zahl

a , so z e i g t s i c h ,

tung auch f ü r d i e V e r a l l g e m e i n e r u n g g i l t

daß d i e

Herlei-

und zu der a l l g e m e i n e n

Lö-

sung von- (21 . 1 6 ) Y(t)

= YiOja1

(21 . 2 1 )

führt. Die vorangegangene Betrachtung

l e g t es n a h e , z w i s c h e n zwei A r t e n

Funktionslösungen einer Endgleichung 1en und den s p e z i e l 1 e n Die s p e z i e l l e kreten Verlauf

zu u n t e r s c h e i d e n :

Lösungen.

Lösung e i n e r

Endgleichung

b e s c h r e i b t den n u m e r i s c h kon-

e i n e r endogenen V a r i a b l e n Y ( t ) .

Das

ist

stets

nur dann

m ö g l i c h , wennn d i e Parameter und A n f a n g s w e r t e der E n d g l e i c h u n g numerisch k o n k r e t i s i e r t

von

den g e n e r e i -

sind.

(21.20)

ist

eine s p e z i e l l e

e r k e n n e n , daß in d i e s e m F a l l

sowohl

effizienten

e i n e n n u m e r i s c h e n Wert

der E n d g l e i c h u n g

die Anfangswerte a l s

für Y

Lösung.

Wir

auch d i e Ko-

besitzen.

175

G e n e r e l l e L ö s u n g e n kann man nach a n f a n g s w e r t g e n e r e l 1 e n g e n e r e l 1 e n Lösungen

In anfangswertgenerel1en

L ö s u n g e n werden d i e A n f a n g s w e r t e n i c h t

Zahlen, sondern durch Buchstaben d e f i n i e r t .

hierfür ein

Gleichung

L ö s u n g e n z e i c h n e n s i c h d a d u r c h a u s , daß a u c h

neben den A n f a n g s w e r t e n

i n der Lösung a u f t r e t e n d e n w e i t e r e n

t e r d u r c h B u c h s t a b e n r e p r ä s e n t i e r t werden. E i n e Lösung umfaßt d a h e r d i e G e s a m t h e i t a l l e r Mit diesen Unterscheidungen z e i g t

s i c h s c h o n der V o r t e i l

Mit einer

kann man nur den Z e i t v e r l a u f

der d u r c h ei ne s p e z i e l l e parametergenerellen

Funktionslösung

Lösung w i e

nen B l i c k d i e E i g e n s c h a f t

(21.21)

Parame-

Einzel1ösungen.

Regressionslösung.

Regressionslösung

einer

Funk-

ermitteln,

beschrieben wird. Mit

einer

kann man g e w i s s e r m a ß e n auf

des S y s t e m s b e u r t e i l e n .

|a| bestimmt s i c h d i e F u n k t i o n s l ö s u n g Y(t)

nach ( 2 1 . 2 1 ) Y(t)

Hit

= Ca1

(21 .27) Y (t)

Gleichung

von

mit (21.27)

i n (21 .26)

folgt:

= Ca1 + Y (t) (21.28)

(21.28)

liefert

der F u n k t i o n s l ö s u n g

einer

eine generelle

I n f o r m a t i o n über d i e Form

inhomogenen E n d g l e i c h u n g e r s t e n

Grades,

nämli ch: Satz 21.1: Die parametergenerelle

Funktionslösung

e r s t e n Grades bestimmt s i c h aus der Summe der Funktionslösung

ihrer

homogenen'Form C a

t

einer

Endgleichung

parametergenerellen

und e i n e r s p e z i e l l e n

Lösung

Y(t). E i n o f f e n e s Problem b l e i b t zu f i n d e n .

Es s e i

lediglich,

b i g e inhomogene D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s i e befriedigende spezielle zielle sig,

eine s p e z i e l l e

Funktionslösung

schon vorweggenommen, daß ' d i e K u n s t ' ,

belie-

zu l ö s e n , d a r i n b e s t e h t ,

eine

Lösung zu bestimmen. Da d e r a r t i g e

spe-

Lösungen b e r e i t s von anderen g e f u n d e n wurden,

h i e r d i e A u f f i n d u n g d i e s e r Lösungen

i s t es

überflüs-

im e i n z e l n e n zu e r ö r t e r n .

Wir w o l l e n uns l e d i g l i c h e x e m p l a r i s c h mit dem S p e z i a l f a l l mogenen E n d g l e i c h u n g

eine

einer

inho-

177

Y(t) befassen.

= aY(t-l)

+ E

Die s p e z i e l l e

E=konstant Lösung g e w i n n t man, wenn man von der

gedank-

lichen Vorstellung

a u s g e h t , d a s System b e f ä n d e s i c h a u f einem

veaugleichgewicht,

d.h.

Y(t)

= aV(t)

womi t s i c h Y ( t ) Y(t) ermittelt.

es s e i

Y(t)=Y(t-1)=Y(t)

Ni-

und damit

+ E

nach

= rrL. 1 -a Setzen wir die s p e z i e l l e

Lösung

in Gleichung

(21.28)

ein,

so e r h a 1 t e n wi r Y(t)

= Ca1 + ^

(21.29)

Es h a n d e l t s i c h um e i n e p a r a m e t e r g e n e r e l l e f l u ß e i n e s bestimmten A n f a n g s w e r t e s plizit

Y(0)

Lösung,

in

(21.29)

zum A u s d r u c k kommt. Da der A n f a n g s w e r t

i n der d e r

Y ( 0 ) der Lösung

j e d o c h d u r c h d i e Wahl von C bestimmt w i r d , g e s c h i e h t d i e von Y ( 0 ) a u f Y(0) gelten.

folgende Weise:

Ein-

jedoch n i c h t

ex-

(21.29)

Explikation

In der 0 - t e n P e r i o d e muß d i e

Beziehung

= Ca0 + E / ( 1 - a )

Die Auflösung d i e s e r Gleichung

C = Y(0)

liefert

- [E/(1-a)]

Die E i n s e t z u n g von (21.30)

(21.30) in

(21.29)

liefert die

parametergenerelle

Lösung Y(t) Lediglich Fall

= [YiOi-E/d-aJja1 im F a l l e a=l

+

E/(l-a)

v e r s a g t das g e s c h i l d e r t e V e r f a h r e n .

bestimmt s i c h d i e s p e z i e l l e Y(t)

Lösung

aus:

= Et

D i e Z u r ü c k f ü h r u n g des P a r a m e t e r s C i n G l e i c h u n g f i z i e n t e n und A n f a n g s w e r t e Y(0) d.h.

In d i e s e m

= Ca° + E»0

ergibt

(21.28)

auf d i e

Koef-

178

C =

Y(0)

und d a m i t Y(t)

die

Lösung

= Y (0) +

E*t

Zusammenfassend g i l t : Endgleichung

Satz

21.2:

Y(t)=aY(t-1)+E, f[Y(0)-E/(l-a)]at

Y(t)

Die

Funktions1ösung

bestimmt

sich

+ E/(1-a)

Beispiel Y (t)

angeführt. Y(t)

sei

die

inhomogene

Y (t)

für

a*1

für

a=1

= 0 , 5Y ( t - 1 )

Gleichung

+ 100

Entsprechend

Satz

mit 21.2

Y(0)=50

ergibt

sich

die

Funktions1ösung:

= - 1 5 0 * 0 , 5 1 + 200 Funkti ons lösung

Regressionlösung t

inhomogenen

= 1^Y(0) -i- E t

Als

der

nach

0,5Y(t-1)

100

Y(t-1)

0

50

1

125

25

100

50

-

-

-150*0,5*

Y (t) 50

-

-150

0.5*

200

1

200 200

125

-75

0,5

2

162,5

62,5

100

125

162,5

"32,5

0,25

200

3

181,25

81,25

100

162,5

181,25

-18,75

0,125

200

b

190,625

90,625

100

181,25

190,625

-9,375

0,0675

200

Tab.

21.1

R e g r e s s i o n s - und F u n k t i o n s l ö s u n g r e n z e n g l e i c h u n g e r s t e n Grades

Die Ubereinstimmung

der

gressionslösung

zur v i e r t e n

bis

Funktionslösung Periode

mit

einer

der

zeigt

inhomogenen

Diffe-

entsprechenden

die Tabelle

21.1.

Re-

179

ab)

Funktionslösung von Endgleichungen zweiten G r a d e s

a) FunktionsISsung homogener Endgleichungen zweiten Grades aa) Funktions1ösung homogener Endgleichungen zweiten Grades mit ungleichen Wurzeln Wählen wir

in (21.3) E(t)=0

(t=0,1,...) und n=2, so erhalten wir die

homogene Endgleichung zweiten Grades Y(t) + a j Y(t-1) + a 2 Y ( t - 2 ) = 0

(21.31)

Von dieser Gleichungsform soll die parametergenerelle

Funktionslö-

sung gefunden werden. Die Aufgabe besteht also darin, einen Ausdruck zu finden, der die Endgleichung

(21.31)

identisch Null

macht.

Dieser Ausdruck kann, w i e es sich gezeigt hat, nach folgendem Verfahren gefunden werden: Definieren wir a^=a sowie a2=b, dann folgt Y (t) + aY(t-l) + bY(t-2) = 0

(21.32)

In einer ersten Einschränkung unterstellen wir, daß der

Formelaus-

druck Y(t) = X*

(21.33)

eine Funktions1ösung von (21.32) sei. Die Einsetzung von (21.33) (21.32)

X1 + a X t _ 1

+ bXt_2 = 0

(21 .3*0

Es zeigt sich, daß nicht jedes beliebige X die Gleichung friedigt, sondern nur die Werte, die auch Gleichung

(21.31)

(21.3^0

t-2

und erhalten die sogenannte charakteristische

X 2 + aX + b = 0

be-

befrie-

digen. Um diese X-Werte zu ermitteln, dividieren wir Gleichung durch X

in

ergibt

(21.3*0

Gleichung (21 .35)

Es lassen sich für X zwei Werte, X^ und X^, finden, die die charakteristische Gleichung

X, > 2 = - f ± s/f-b ermitteln.

(21.35) befriedigen und sich nach

(21.36)

X^ und X^ werden auch als die Wurzel n der cha rakter i s t i -

180

sehen G l e i c h u n g b e z e i c h n e t . Wurzeln)

zwei

Man e r h ä l t damit

(im F a l l e

ungleicher

Funktionslösungen:

Y(t)

= X*

(21.37)

Y(t)

= \\

(21 .38)

und

D e m o n s t r i e r e n w i r d a s A u f f i n d e n der zwei Beispiel:

F u n k t i o n s l ö s u n g e n an einem

M i t a = 1 , 5 und b = - 1 e r h a l t e n w i r d i e homogene

Y(t)

+ 1,5Y(t-1)

Anhand v o n ( 2 1 . 3 6 )

- Y(t-2)

Endgleichung

= 0

(21.39)

bestimmen s i c h d i e W u r z e l n X-|=0,5 und A 2 = " 2 .

zen w i r d i e L ö s u n g Y ( t ) = 0 , 5

t

in Gleichung

(21.39)

ein,

Set-

so z e i g t

sich

mi t 0,5l

+ 1,5*0,5t_1

(0,52

t 1,5»0,5-1)0,5t_2

(0)0,5

t_2

daß Y ( t ) = 0 , 5 t gilt

e i n e L ö s u n g von G l e i c h u n g

(21.39)

darstellt.

E r m i t t e l t man e i n e Reg r e s s i o n s l ö s u n g von so e r k e n n t man, daß der Z e i t v e r l a u f

und Y ( l )

eindeutig

bestimmt

w e r t e n der L ö s u n g e n Y ( t ) = 0 , 5 t i s t Y ( 0 ) = 1 , Y ( 1) = 0 , 5 » Nunmehr w i r d d e u t l i c h , tionslösungen werte

= 0

= 0

für

(21.39), Y(0)

- 0,5t_2 = 0

ist.

durch d i e Festlegung

Es l i e g t

und Y ( t ) = - 2 t

Dasselbe

Gleichung

nahe,

von

nach den A n f a n g s -

zu f r a g e n .

Für d i e

erste

für die zweite Y(0)=1 , Y ( l ) = - 2 . daß d i e zwei

repräsentieren,

d.h.

Funktionslösungen

spezielle

nur b e z ü g l i c h b e s t i m m t e r

Funk-

Anfangs-

gelten.

Da w i r j e d o c h e i n e a n f a n g s w e r t g e n e r e l l e (21.32)

gewinnen w o l l e n ,

finden,

in der d i e beiden Anfangswerte

Es g i l t :

Satz 21.3:

in a l l g e m e i n e r

ixf

S i n d X^ und X ; zwei

Y(t)+aY(t-1)+bY(t-2)=0,

spezielle

Form, d . h .

zu durch

Funktionslösungen

so i s t d i e

+ C2X£

ihre anfangswertgenerelle

Gleichung

werden.

tion c

von

i s t es notwendig, e i n e F u n k t i o n s l ö s u n g

Buchstabensymbole ausgedrückt

der E n d g l e i c h u n g

Funktionslösung

Funktionslösung.

Linearkombina-

181

Da d i e

Gleichungen

X^ + aX^

+ bX^

= 0

und ,t , t-1 . t-2 . X2 + aX2 + bX2 = 0 die Endgleichung alier

befriedigen, g i l t

d i e s auch f ü r d i e

Multiplikation

G l i e d e r d e r G l e i c h u n g e n m i t b e l i e b i g e n K o n s t a n t e n C^ und C^, t at^xj"1

C ^

C2X2 +

'

+ bC^" +

bC

2

2X2~2

= 0 =

0

Die A d d i t i o n beider Gleichungen (C^'+C^j)

d.h.

liefert

+ a(C1X^"l +C2X2"1)

den A u s d r u c k

+ b(C1 X ^ " 2 + C 2 X 2 ~ 2 )

= 0

(21.40)

D e f i n i e r t man Y(t)

= C^'

+ C2X2

(21.41)

s o e r k e n n t man, daß d i e E i n s e t z u n g d i e s e s A u s d r u c k s Endgleichung

(21.32)

führt, d.h.

Gleichung

eine Funktionslösung

von ( 2 1 . 3 2 )

dar.

auch d i e a n f a n g s w e r t g e n e r e l l e s t e l l e n w i r , daß d i e s der F a l l

(21.41)

in

(21.40)

stellt

zur

ebenfalls

Es f r a g t s i c h j e d o c h , o b

Funktionslösung s e i , so e r f o l g t

repräsentiert. die numerische

tisierung

von C^ und C^ anhand der A n f a n g s w e r t e Y ( 0 )

g r u n d der

Beziehung

und Y ( 1 )

= C^X? + C X° , f Y(1) = C,xj + C 2 X 2

(21.41)

UnterKonkreauf-

Y(0)

(21.42)

Man e r k e n n t , daß d i e g e e i g n e t e Wahl v o n C^ und C 2 a l l e m ö g l i c h e n fangswertkombinationen Y ( 0 ) , Y(1)

zum A u s d r u c k b r i n g t ,

(21.41)

also tatsächlich die anfangswertgenerel1e

bildet.

Sind die Anfangswerte Y(0)

s o g e l a n g t man d u r c h d i e A u f l ö s u n g Konkretisierung c

*

und Y ( 1 )

An-

Gleichung

Funktions1ösung

im E i n z e l f a l l

des G l e i c h u n g s s y s t e m s

vorgegeben, (21.42)

zur

von C^ und C 2

M i o h l L O A «~A -

{ 2 U k 3 )

182

X^lOhYOl 1 2 Die parametergenerelle

Funktionslösung

einer

homogenen

Endgleichung

z w e i t e n Grades m i t u n g l e i c h e n W u r z e l n bestimmt s i c h demnach d u r c h y ( t )

„X

?

Y(0)-Y(1)

a2



x

t

+

^1V(0)-Y(1)

^

t

( 2 U k 5 )

X i "* 2

B i s h e r wurde (ohne B e g r ü n d u n g )

einschränkend

angenommen, daß d a s

s c h r i e b e n e V e r f a h r e n von u n g l e i c h e n Wurzeln a u s g e h t . d i e F r a g e nahe, ob d i e s e E i n s c h r ä n k u n g jedoch nicht möglich. Vielmehr mehr auch a l s

Es l i e g t

nicht aufhebbar

ist.

damit

Dies

erweist sich diese Einschränkung

z w i n g e n d n o t w e n d i g , um d a s G l e i c h u n g s s y s t e m

l ö s b a r zu machen. Denn s t e t s

nur

im F a l l e

'

s t

be-

ist nun-

(21.42)

(21.42)

nicht

auf 1ösbar.

aß)

Funktionslösung gleichen

homogener E n d g l e i c h u n g e n z w e i t e n Grades

Wurzeln

In d i e s e m F a l l

ist als

parametergenerelle

Funktionslösung

r e r A n s a t z zu w ä h l e n . Ü b e r l e g u n g e n haben g e z e i g t , daß der Y(t)

=

mit

ein

ande-

Ansatz

[C1+tC2]Xt

die parametergenerelle

Funktionslösung

liefert.

Die P r ä z i s i e r u n g

K o e f f i z i e n t e n C^ und C^ anhand d e r A n f a n g s w e r t e e r g i b t Y(0)

= [C 1 + 0 * C 2 ] A °

Y(1)

=

der

somit

[C1+1*C2]X1

Die Auflösung

nach C^ und C 2

liefert

C, = Y ( 0 ) C2 = Y(1)/X

- Y(0)

Die parametergenerelle

Funktionslösung

e i n e r homogenen

z w e i t e n Grades m i t g l e i c h e n W u r z e l n e r g i b t Y(t)

= [Y(0) + t ( ( Y ( l ) / X ) - Y ( 0 ) ) ] X t

s i c h damit

Endgleichung aus (21.46)

183

ay)

N u m e r i s c h e B e i s p i e l e von F u n k t i o n s l ö s u n g e n homogener chungen z w e i t e n

Im f o l g e n d e n s o l l e n einer

drei

Beispiele

zur

homogenen D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g

den. S i e s i n d

Endglei-

Grades

Ermittlung

der

Funktionslösung

z w e i t e n Grades b e s c h r i e b e n

so g e w ä h l t , daß f o l g e n d e F ä l l e z u r Anwendung

wer-

kommen:

2 d . h . a /k>b 2 2: W u r z e l n s i n d k o n j u g i e r t k o m p l e x , d . h . a /k/—T= i , s o X 1 = 2 + 3i

Wurzeln

Endgleichung

Y(t) - 4Y(t-1) + 13Y(t-2) = 0

oder

ei-

Regressionslösung.

A l s Ausgangspunkt wählen w i r d i e

Man s p r i c h t

im F a l l e

(21.49)

i s t es n o t w e n d i g , e i n e P o t e n z i e r u n g

von i

durchzuführen. Mit

i 1 = V^T wird

gen

läßt s i c h die Funktions1ösung

i^=-l,

i3=-i,

i =1,

i ^ = i . Anhand d i e s e r

in T a b e l l e 2 1 . 4

Beziehun-

ermitteln.

186

t

(2+3i) t

0

1

1

25

1

2+3 i

2

-5+12Î

-1 25+300Î

3

-46+9Î

-1 150+225 i

Tab. 21.4

Y(t) = 25(2+3 0 + 25(2-3 i ) +50

25

2-3 i

50-751

100

-125-300 i

-25O

-46-9!

-1150-225Î

-23OO

-119-120 i -2975+3000 i

-2975-3000i

122+597 i

3050-1^925 i

122-5971

25(2-3 i) t

-5-12t

50+75 i

4 -119-1201 5

(2-3i) t

25(2+3 i )11

-5950 6100

3050+14925 i

Funkt ionslösung einer homogenen, linearen Differenzenglei chung zweiten Grades mit konjugiert komplexen W u r z e l n

Die entsprechende Regress ionslösung zeigt Tabelle 21.5

-13YU-2)

Y(t) = 4Y(t-1)-13Y(t-2)

t

4Y(t-1)

0

-

-

50

1

-

-

100

2

400

-650

-250

3

-1000

-1300

-2300

4

-9200

+3250

-5950

5

-23800

+29900

+6100

Tabelle 21.5

Regressionslösung einer homogenen, linearen Differenzengleichung zweiten Grades mit konjugiert komplexen Wu rzeln

Man erkennt, daß die Funktions- und Regressionslösungen

miteinan-

der übereinstimmen. Angesichts der beiden Lösungen liegt die Frage nahe, welche Vorteile

in diesem Fall eine Funktionslösung

gegenüber

ihrer entsprechenden Regressions1ösung aufweist. Denn die Funktionslösung

(21.49) ermöglicht wegen des Auftretens von i keine

überschau-

bare Beurteilung des Zeitverlaufes von Y(t). Im Falle von Endgleichungen,

in deren Wurzeln der Ausdruck

wird diese Uberschaubarkeit wiederhergestellt, wenn man die lösung

i auftritt, Funktions-

in ihre sogenannte trigonometrische Form überführt. Es

läßt

187

sich vorausgreifend seres

Beispiels, Y(t)

=

z e i g e n , daß d i e F u n k t i o n s l ö s u n g

25(2-3i)t

Funktion

3,60555t[50cos56°l8't]

b e s c h r i e b e n werden k a n n . re B e u r t e i l u n g

Diese Darstellungsform erlaubt eine

des S y s t e m v e r h a l t e n s .

Daher w o l l e n w i r uns

s t e n A b s c h n i t t m i t dem Problem der Bestimmung d e r Formen v o n F u n k t i o n s 1 ö s u n g e n

a6)

un-

d.h.

= 25(2+31)1 +

auch d u r c h d i e Y(t)

beispielsweise

Trigonometrische

besse-

im n ä c h -

trigonometrischen

befassen.

Form der F u n k t i o n s 1 ö s u n g

gen z w e i t e n Grades mit k o n j u g i e r t S t e l l t man bei der A n a l y s e e i n e r 2

homogener

Endgleichun-

komplexen W u r z e l n

Endgleichung

z w e i t e n Grades

fest,

daß b>a / b , dann e r h ä l t man a l s W u r z e l n der c h a r a k t e r i s t i s c h e n

Glei-

chung A u s d r ü c k e w i e zum B e i s p i e l X1 = 2 + 3 T X2 = 2 -

3i

D e r a r t i g e A u s d r ü c k e b e z e i c h n e t man a l s l e n s e t z e n s i c h a u s zwei einer

r e e l l e n Zahl

plizierten

reellen Zahl.

unterscheiden.

ristischen

Gleichung,

einer mit

Zwei komplexe Z a h l e n werden a l s im V o r z e i c h e n

I s t e i n e komplexe Zahl so i s t

a u c h e i n e Wurzel d i e s e r

Komplexe Z a h -

Komponenten zusammen: einem R e a l t e i l ,

und einem i m a g i n ä r e n T e i l , d . h .

komplex b e z e i c h n e t , wenn s i e s i c h nur les

komplexe Z a h l e n .

ihr konjugiert

charakteristischen

d.h. multi-

konjug i e r t

ihres

d i e Wurzel

i

einer

Imaginärteicharakte-

komplexes G e g e n s t ü c k Gleichung.

Komplexe

l a s s e n s i c h g e o m e t r i s c h a u f der s o g e n a n n t e n Gaußschen Z a h l e n e b e n e stellen.

D i e s e Gaußsche Z a h l e n e b e n e w i r d d u r c h e i n r e c h t w i n k l i g e s

ordinatensystem beschrieben, dessen Abszissenwerte die R e a l t e i l e ner komplexen Zahl der

stets

Zahlen darKoei-

b e s c h r e i b e n , während d i e O r d i n a t e n w e r t e d i e A c h s e

imaginären Zahlen bilden.

ten R e a l - und

Imaginärteil

der Gaußschen

Zahlenebene.

J e d e r komplexen Zahl m i t einem

e n t s p r i c h t d a h e r e i n bestimmter

bestimm-

Punkt

in

188

IMAGINÄRTEIL

)(

a+ß i

REALTEIL

x

Abb. 21.2

a-ß»

Darstellung eines Paars konjugiert der Gaußschen Zahlenebene

komplexer Wurzeln

Bezeichnen w i r e i n e k o n j u g i e r t komplexe Wurzel mit

^=a ± ßi , so

in

ist

der geometrische Ort b e i d e r Wurzeln aus Abbildung 21.2 zu erkennen. Komplexe Zahlen können in der Gaußschen Zahlenebene auch durch andere Maßsysteme a l s das b i s h e r beschriebene k a r t e s i s c h e

Koordinatensy-

stem gekennzeichnet werden. A l s e i n w e i t e r e s System zur

Kennzeich-

nung der Lage komplexer Zahlen b i e t e t s i c h das P o l a r k o o r d i natensystem an. E i n e komplexe Zahl kann in einem P o l a r k o o r d i n a t e n s y s t e m schöpfend durch d i e Länge e i n e s vom Nullpunkt ausgehenden les und dem Winkel f se d a r g e s t e l l t

d i e s e s F a h r s t r a h l e s mit der p o s i t i v e n

FahrstrahHalbach-

werden.

Abbildung 21.3 z e i g t e i n e d e r a r t i g e P o l a r k o o r d i n a t e n d a r s t e l l u n g komplexen Z a h l . nannt.

er-

Der Winkel

einer

des F a h r s t r a h l e s w i r d auch Abweichung ge-

189

a+ßi

Abb. 2 1 . 3

Kennzeichnung e i n e r natensystem

komplexen Zahl

i n einem

Polarkoordi-

D i e Größe r b e z e i c h n e t man a l s den Modul o d e r A b s o l u t b e t r a g

der

plexen Zahl.

aus:

Er b e r e c h n e t s i c h nach dem S a t z des P y t h a g o r a s

r = Vcx 2 +ß 2 '

kom-

(21 .50)

Weiterhin bestehen die

Beziehungen

sinv

= —

(21.51)

cosf

= —

(21.52)

und

Die konjugiert

komplexen W u r z e l n

X1 = a + ßi und X2 = a " werden m i t

ßi

(21.51)

und

X^ = r (cosip + i s i nv>) X2 =

r(cosip-isin^)

(21.52)

190

Nach dem S a t z von M o i v r e g i l t

für

die

P o t e n z e n von A1

und

X] = (a+ßi) 1 " = r ' i c o s ^ t + i s i n v J t ) für

t=1,2,3,...

(21.53)

A 2 = (ct-ßl)*" = r t ( c o s ^ t - i s ! n i / > t ) Setzen w i r lösung

d i e Ausdrücke

(21. M )

ein,

für

dann

A|" und A^ i n d i e a l l g e m e i n e

folgt

Y(t)

= C1 ( a + ß i ) 1

Y(t)

= r*"[C^ (coscp t + i s i nv>t)+C2 (COSY> t - i s i nt} man

A = Y (0)

und

B

aY(0)+2Y(1) 2V|f

und b e r ü c k s i c h t i g t a =

und

man,

-k|

daß

2 ß = vif -b|'

(21.57)

191

gilt, dann

folgt

Y (t) = r (Acos^ t+Bcosip t) Der Winkel f> b e r e c h n e t sich w e g e n

(21.52)

mit

bestimmt werden. Man e r k e n n t , daß es s i c h um p e r i o d i s c h e von 3 6 0 ° Grad h a n d e l t , In G l e i c h u n g Ausdruck f t

(21.5^0

weise 60°, so beschreibt bei

e i n b e s t i m m t e s Winkelmaß.

cos60t mit t = 0 , 1 , 2 , . . .

den'Abszissenwerten

Abb. 2 1 . 4

Ist

auf.

Der

beispiels-

Ordinatenwerte 120° usw..

Gra-

in g l e i c h b l e i b e n d e n

s z i s s e n a b s t ä n d e n e i n O r d i n a t e n w e r t entnommen. d i e s e Ordinatenwerte durch Punkte

die

0°, 60°,

p h i s c h g e s e h e n w i r d a u s der C o s i n u s f u n k t i o n

Periode

bewegen.

t r e t e n d i e A u s d r ü c k e c o s ^ t und s i w t

charakterisiert

der S i n u s f u n k t i o n

Funktionen mit einer

d i e s i c h z w i s c h e n 1 und - 1

In A b b i l d u n g 2 1 . 4

Absind

gekennzeichnet.

Ordinatenwerte einer Cosinusfunktion für t=0,1,2,...

i n den P u n k t e n ^ = 6 0 1

Analoges

gilt

für die Sinusfunktion.

D i e A u s d r ü c k e cos

x 2 -x 1

»r-f-'T/lf-"!

Y ( t ) =r l [Acosv> t+Bs i nf t j =arccos

Q aY(0)+2Y (1) B • --

•Ja 2 'i~

r=

C, = Y ( 0 ) N

W

A

=

~ f

C, I

Tab.

Bedingung

I.

A

21.7

Parametergenerelle

gleichung

Wurzeln der Endgleichung

Y ( 1 )

X

der

Konstante C^ und C^

1 7

X2-X1

End-

Parametergenerelle Funktionslösung

V - f - ' V l

^

Y(t)=rt[Acos^t+Bsirwt]

V(t

)-1«+b

g_,a ( T ( t ) -Y( 0 ) ) - 2Y ( 1 ) +2Y( t )

C,=Y(0)-Y(t) -

Tab.

I

(a+2)

21.8

Y(t)=C,X[+C2X2+Y(t)

C2=Y(0)-CrY(t) A=Y(0)-Y(t)

A 2

homogenen

Y(t)+aY(t-1-)+bY(t-2)=0

(Y(0)-Y(t))X2-Y(1)+Y(t)

2 v - f - V ?

B -

a 2 -itb ' —¡r~

Y(t)=[C1+tCz]xt

Funktionslösungen

z w e i t e n Grades

Spezielle Lösung

-Y(0)

+

C2=

Y(D-Y(t)

.

Y ( 0 ) + ? ( t )

^arccosf-^)

Y(t) = ( C 1 + C , ) X T + — ^ 1 2 (a+2)2

P a r a m e t e r g e n e r e l l e F u n k t i o n s l ö s u n g e n d e r inhomogenen g l e i c h u n g z w e i t e n Grades Y ( t ) + a Y ( t - 1 )+bY(t-2)=E

End-

198

ac)

Funktionslösung von Endgleichungen n-ten Grades

Das f ü r Endgleichungen e r s t e n und zweiten Grades besprochene Lösungsverfahren g i l t

im P r i n z i p auch f ü r Endgleichungen b e l i e b i g e n

Grades:

Aus der homogenen Endgleichung n-ten Grades Y(t)

+ a . Y ( t - l ) + . . . + a Y(t-n) = 0 l n

gewinnt man durch S u b s t i t u t i o n von Y ( t - i ) = xn ' d i e

charakteristische

Gl ei chung X

n

, n-1 , . + a, X +...+ a , 1 t a = 0 1 n-1 n

Nach dem Gaußschen Hauptsatz der Algebra b e s i t z t e i n d e r a r t i g e s Polynom n-ten Grades genau n Wurzeln X ^ ^ , . . » *

. Der auszuwählende Lö-

sungsansatz hängt von der A r t der Wurzeln ab. Für d i e Teilmenge der r e e l l e n und verschiedenen Wurzeln i s t der Lösungsansatz C,x5 + C-X* + . . . + C . X 1 , + C X* 11 2 2 n-1 n-1 n n aufzunehmen. Im F a l l e e i n e r s - f a c h a u f t r e t e n d e n g l e i c h e n Wurzel

i s t der Ausdruck

(c1+c2t+c3t2+..,+csts_1)xt in d i e Lösung mit einzufügen. F a l l s e i n Paar k o n j u g i e r t komplexer Wurzeln s-mal v o r l i e g t ,

ist

der

Ausdruck r t [ ( A 1 +A2t +A 3 t 2 +. . . + A s t S _ 1 ) c o s v t + (B 1 +B 2 t+B 3 t 2 +. . . + B s t S " 1 ) s i n t ] in den Lösungsansatz einzufügen.

In e i n e r Endgleichung n-ten Grades

t r e t e n demnach n Konstante a u f , d i e unter Vorgabe der Anfangswerte Y(0),Y(1),...,Y(n-1)

bestimmt werden können.

Im F a l l e der inhomogenen Endgleichung Y(t)

+ a^ Y ( t - 1 ) + . . . + a n Y ( t - n ) = E ( t )

s e t z t s i c h d i e Funktionslösung s t e t s aus e i n e r s p e z i e l l e n Lösung Y ( t ) und der entsprechenden Funktions1ösung der homogenen Endgleichung Y(t)

zusammen.

Besteht der d i e exogene V a r i a b l e beschreibende Formelausdruck aus e i ner l i n e a r e n Kombination der Terme a , s i n c t ,

cosct,

t ^ , dann

ist

199

zur A u f f i n d u n g d e r ten

speziellen

Koeffizienten1

Endgleichungen, n i c h t mehr

Lösung e i n a l s

b e z e i c h n e t e s V e r f a h r e n anwendbar.

d e r e n Grad höher a l s

drei

i n Form p a r a m e t e r g e n e r e l l e r

Nach einem Theorem von GALOI Polynomen v i e r t e n ten auszudrücken. Die Wurzeln der

'Methode der

ist

ist,

[83,S.32f]

lassen sich

Funktionslösungen

es n i c h t m ö g l i c h ,

G r a d e s und höher a l s

unbestimm-

Funktionen

allerdings

darstellen.

d i e Wurzeln ihrer

von

Koeffizien-

[162,S.92f]

charakteristischen

Gleichung sind

in diesen

nur d u r c h Näherungen zu bestimmen.

Es s t e h e n dazu

leistungsfähige

EDV-Programme zur V e r f ü g u n g . Wurzeln e i n e r führt.

D i e wohl a u f w e n d i g s t e Bestimmung d e r

charakteristischen

Im Rahmen d e r

e i n e s dynamischen M o d e l l s

der

u n t e r s u c h t e er e i n e c h a r a k t e r i s t i s c h e

chung 5 6 s t e n Grades und b e s t i m m t e

b)

G l e i c h u n g wurde von HOWERY d u r c h g e -

Linearisierung

amerikanischen W i r t s c h a f t

Fällen

i h r e 56 W u r z e l n .

Glei-

[92.S.65A]

Empirische Kennzeichen linearer Systeme

M i t den V e r f a h r e n

zur E r m i t t l u n g von F u n k t i o n s l ö s u n g e n

ne G r u n d l a g e g e s c h a f f e n , linearer

S y s t e m e zu

eines

Systeme o f t

schwarzen Kastens

Implikationen

e i n e s dynamischen S y s t e m s

daß man u n t e r

Festlegung

l ä u f e d e r exogenen V a r i a b l e n ) endogenen V a r i a b l e n )

Verwen-

Als

Eingangs-

können d i e

exogenen und endogenen V a r i a b l e n a n g e s e h e n w e r d e n .

ermitteln,

unter

s c h w a r z e n K a s t e n s vorgenommen.

und A u s g a n g s g r ö ß e n d i e s e s

relevante

ei-

Implikationen

erörtern.

Wie e r w ä h n t , w i r d das Studium dynamischer dung des P r i n z i p s

haben w i r

um b e s t i m m t e t y p e n s p e z i f i s c h e

bestimmter

d i e Ausgänge

unverzögerten

Viele

Eingänge

(d.h.

empirisch

lassen sich (d.h.

die Verläufe

dadurch Verder

betrachtet. Yjit)

Abb.

21.5

Dynamisches Kastens

System

i n der D e u t u n g s w e i s e e i n e s

schwarzen

200

In der R e g e l u n g s t e c h n i k werden d e r a r t i g e E i n - und chungen am S y s t e m s e l b s t d u r c h g e f ü h r t . wirtschafts-

und s o z i a 1 w i s s e n s c h a f t 1 i c h e n

Gründen n i c h t m ö g l i c h .

ist dies

Systemen aus

Man kann j e d o c h e i n e

t u n g am Model 1 d u r c h f ü h r e n , d . h .

Ausgangsuntersu-

Wie e r w ä h n t ,

e i n Modell

i n den

praktischen

Schwarze-Kasten-Betrache i n e s Systems w i r d

hin-

s i c h t l i c h der B e z i e h u n g e n z w i s c h e n s e i n e n E i n - und A u s g a n g s g r ö ß e n

un-

tersucht . Die a r t s p e z i f i s c h e n

K e n n z e i c h e n des T r a n s f o r m a t i o n s m e c h a n i s m u s

s c h e n E i n - und A u s g ä n g e n

l i n e a r e r dynamischer

Form z w e i e r P o s t u l a t e f a s s e n , Uberlagerung

die als

Systeme l a s s e n s i c h

das P o s t u l a t der

b e s a g t , daß der d u r c h

bestimmte E i n g a n g s g r ö ß e b e w i r k t e Z e i t v e r l a u f

de A u s g a n g s g r ö ß e n v e r l a u f

bezüglich einer

der endogenen V a r i a b l e n Y ( t )

gen Komponenten z e r l e g t = AYv(t)[E,]

Der

gangs)-Variable

+ AYv(t)[E2] +...+

Zur Verdeutlichung

des P r i n z i p s

Endgleichung

MA-Systems

Y(t)

= (ataß)Y(t-l)

in

fol-

werden A Y ^ t ) ^ ]

d i e Komponente, d i e d u r c h d i e exogene 7 E j b e w i r k t wurde.

eines

iso-

Eingangsgrös-

kann d a h e r

i s t AY ( t ) [ E . ] v

un-

resultieren-

bestimmt s i c h dabei a u s der A d d i t i o n der

ermittelten Ausgangsgrößenverläufe

s e . Der Z e i t v e r l a u f

eine

einer Ausgangsgröße

a b h ä n g i g v o n a n d e r e n E i n g ä n g e n bestimmt werden k a n n .

Hierbei

be-

können.

Das P o s t u l a t der u n g e s t ö r t e n U b e r l a g e r u n g

Yv(t)

in

ungestörten

und d a s P o s t u l a t d e r Adäquanz von U r s a c h e und W i r k u n g

z e i c h n e t werden

liert

zwi-

(Ein-

der u n g e s t ö r t e n Uberlagerung w i r d

- aßY(t-2)

+

die

lg(t)

herangezogen. Eine Endgleichung wird

im Rahmen der S c h w a r z e - K a s t e n - B e t r a c h t u n g

U b e r g a n g s f u n k t i o n des schwarzen Kastens

bezeichnet.

Abbildung

als

21.6

z e i g t d i e Deutung d e s Zusammenhanges z w i s c h e n den V a r i a b l e n Y und I eines MA-Modells

in Form e i n e s s c h w a r z e n

Kastens:

7 Es w i r d u n t e r s t e l l t , daß s i c h d a s S y s t e m im G l e i c h g e w i c h t b e f i n d e t . A n d e r n f a l l s müßte i n d i e G l e i c h u n g e i n w e i t e r e s G l i e d e i n g e f ü h r t w e r d e n , w e l c h e s den E i n f l u ß der A n f a n g s w e r t e zum A u s d r u c k b r i n g t .

201

YCO

Abb. 21.6

I n t e r p r e t a t i o n e i n e s MA-Systems a l s e i n schwarzer

Als Eingangsgrößenverlauf Das System s o l l

sei d i e Sprungfunktion

s i c h , w i e erwähnt,

Kasten

I a ( t ) = 1 0 0 gewählt.

im G l e i c h g e w i c h t b e f i n d e n .

wählen aus E i n f a c h h e i t s g r ü n d e n Y(0)=0 und Y(1)=0. der u n g e s t ö r t e n Uberlagerung kann Y ( t )

Wir

Nach dem P o s t u l a t

b e i s p i e l s w e i s e dadurch e r m i t -

t e l t werden, daß man d i e Z e i t v e r l ä u f e der Sprunganworten von einem Eingangsverlauf

E ^ ( t ) = 2 5 und E 2 ( t ) = 7 5 e r m i t t e l t

und aufsummiert.

Es

w i r d damit behauptet, daß d i e Summe der beiden endogenen V a r i a b l e n Y^t)

und Y 2 ( t ) Yj ( t )

= (ataß)Y1 (t-1)

- aßY^t-2)

+ 75

Y2(t)

= (a+aß)Y2(t-1)

- aßY2(t-2)

+ 25

Y,(t)

+ Y2(t)

dem Z e i t p f a d der Y(t)

= (a+oß)[Y1(t-1)+Y2(t-l)] Differenzengleichung

=. ( a + o ß ) Y ( t - 1 )

entspricht.

- aßLY, ( t - 2 ) + Y 2 ( t - 2 ) ] + 100

Dieser F a l l

von Yj ( t ) + Y 2 ( t ) = Y ( t )

- aßY(t-2)

+ 100

l i e g t genau v o r , denn durch d i e

Einsetzung

gelangen w i r zu der gewünschten G l e i c h u n g .

Das

P r i n z i p der u n g e s t ö r t e n Uberlagerung e r m ö g l i c h t e i n e w e s e n t l i c h e Vereinfachung der A n a l y s e l i n e a r e r nen V a r i a b l e n

isoliert

Systeme, da d i e E i n f l ü s s e der exoge-

voneinander b e t r a c h t e t werden können.

Durch das P o s t u l a t der Adäquanz von Ursache und Wirkung w i r d e i n weit e r e s Kennzeichen der Beziehungen zwischen E i n - und Ausgängen e i n e s l i n e a r e n Modells

beschrieben.

Vergegenwärtigen w i r uns den b e l i e b i g e n V e r l a u f E(t).

Dieser Eingangsgrößenverlauf

einer

b e w i r k t wegen des P o s t u l a t s

u n g e s t ö r t e n Uberlagerung e i n e n bestimmten i s o l i e r t Ausgangsgrößenverlauf

Ye(t).

Eingangsgröße der

zu betrachtenden

Das P o s t u l a t der Adäquanz von Ursache

und Wirkung b e s a g t , daß e i n e k - f a c h e Erhöhung (Verminderung)

des Ein-

202

gangsgrößenverlaufes

kE(t)

s t e t s e i n e k - f a c h e Erhöhung

des A u s g a n g s g r ö ß e n v e r l a u f e s , Die G ü l t i g k e i t

beider

res dynamisches unabhängige

kYe(t),

zur

besitzt,

hat.

Eingänge

M i t diesem d u r c h d i e b e i d e n P o s t ú l a t e b e r e i t s

schen Systems w o l l e n w i r

uns

linea-

d i e E i n g a n g s g r ö ß e n und Ausgangsgrös-

gekennzeichneten Transformationsmechanismus

ba)

Folge

zum A u s d r u c k , daß e i n

System e i n e ganz b e s t i m m t e von d e r Höhe d e r

'Maschinerie'

sen u m w a n d e l t .

d.h.

Postúlate bringt

(Verminderung)

eines

linearen

im f o l g e n d e n a u s f ü h r l i c h e r

näher

dynami-

beschäftigen.

Übergangsverhalten linearer Systeme

a) A l l g e m e i n e Kennzeichnung des Kennzeichnend f ü r

ein

lineares

Ubergangsverhaltens dynamisches System i s t ,

sein Transformationsmechanismus, ne b e s t i m m t e E i n g a n g s g r ö ß e Die b i s h e r

erörterten

d.h.

sche K e n n z e i c h e n a l l e r

linearer

liefern

eine

l i n e a r e n dynamischen M o d e l l e .

sich

wird eine s t a n d a r d i s i e r t e f u n k t i o n bezeichnet

i n diesem s p e z i e l l e n

Fall.

Zur

Einzelkenn-

befindet,

d i e auch a l s

Test-

wird. und d e r

verwendet.

Ein E i n h e i t s i m p u l s t=0 Eins b e t r ä g t

kennzeichnet

und f ü r

E * K( t ) = j 1 f Ü r ' '0 f ü r

eine Eingangsgröße,

f ü r

10 f ü r

die

a l l e sonstigen Zeitpunkte Null

im Z e i t p u n k t ist,

d.h.

t=0

t=...-2,-1,1 ,2,...

Ein E i n h e i t s p r u n g w i r d gekennzeichnet F»»ii-1 = v w

auf

des

Testantworten.

i n einem N i v e a u g l e i c h g e w i c h t Eingangsgröße a u f g e p r ä g t ,

typi-

Im H i n b l i c k

s i c h j e d o c h d i e Frage nach der A r t

A l s T e s t f u n k t i o n e n werden am h ä u f i g s t e n d e r E i n h e i t s i m p u 1 s E i nhei t s s p r u n g

ei-

wird.

I n f o r m a t i o n über

Systeme v e r w e n d e t man s o g e n a n n t e

Einem System, w e l c h e s

gesagt,

i n e i n e Ausgangsgröße umgewandelt

System s t e l l t

Transformationsmechanismus zeichnung

wie

und W e i s e , m i t d e r

P r i n z i p i e n d e r u n g e s t ö r t e n U b e r l a g e r u n g und d e r

Adäquanz von Ursache und W i r k u n g

ein einzelnes

die Art

durch:

t = 0

' 1 > 2 >- • • t=-1,-2,-3,.--

Der von einem E i n h e i t s i m p u 1 s

(bei

einem N i v e a u g l e i c h g e w i c h t

von N u l l )

203

hervorgerufene wort

Y*(t)

antwort

Verlauf

bezeichnet.

Y**(t)

Die graphische Abbi1dung

der

Entsprechend

Lineare Da

Darstellung

beiden T e s t f u n k t i o n s v e r l ä u f e

zeigen

2 1 . 7 und

sind,

,

,

gen dynamisch tative

unendlich notwendig, linearer

Verhalten

trachten wir

die

1

als

1 -

3

Einheitssprung

es

, -

2

Systeme zeigen

ist

der

21.8.

Einheitsimpuls

im P r i n z i p

Einheitssprungwurde.

21.8

die

gekennzeichnet

0

Abb.

sich

kurz

E i nhe i t s i m p u l s a n t -

Seite

-

21.7

leitet

als

her, welche auf

0

Abb.

Ausgangsgröße wird

0

. 1

. 2

Testgröße

r 3

eines

dynamischen

1 2 als

sehr

— -

1

0

1

Testgröße

2

3

eines

1 dynamischen

verschiedene A r t e n von

viele

Testantworten

S y s t e m e zu u n t e r s c h e i d e n , Um s o l c h e T e i l m e n g e n

Funktionslösung

der

Systems

Testantworten.

linearer

in einem e r s t e n U b e r b l i c k

aufweisen.

Systems

Systeme

bestimmte

möglich Teilmen-

die

dasselbe

zu

isolieren,

Impulsantwort

einer

qualibe-

Endgleichung

204

zweiten Grades.

Die e n t w i c k e l t e K l a s s i f i z i e r u n g

a n s c h l i e ß e n d auf e i n e Endgleichung Eine Einheitsimpulsantwort

b e l i e b i g e n G r a d e s zu

kann bei

daran

übertragen.

e n t s p r e c h e n d e r Wahl der

w e r t e d u r c h e i n e homogene E n d g l e i c h u n g der

versuchen wir

b e s c h r i e b e n werden.

AnfangsIm F a l l e

Endgleichung Y(t)

= -aY(t-l)

- bY(t-2) + E*(t)

Y(-1)=Y(-2)=0

e r g e b e n s i c h d i e Werte Y ( 0 ) = 1 und Y ( l ) = - a . Y(1)=Z(1), Z(t)

s o b e s c h r e i b t d i e homogene = -aZ(t-l)

-

(21.74)

S e t z t man Y ( 0 ) = Z ( 0 )

und

Endgleichung

bZ(t-2)

m i t Z ( 0 ) = 1 und Z ( 1 ) = - a d i e E i n h e i t s i m p u l s a n t w o r t ,

welche durch

(21.74)

bewi r k t wi r d . Bei Wahl d i e s e r A n f a n g s w e r t e e r h ä l t man e n t s p r e c h e n d T a b e l l e 2 1 . 7 Funktionslösung a)

im F a l l e

der

reeller

und u n g l e i c h e r

Z(t)

b)

Z(t)

Wurzeln

+

im F a l l e r e e l l e r

die

Einheitsimpulsantwort

(21 75)

-

und g l e i c h e r

Wurzeln

= (1+t) A1

(21.76)

und c)

im F a l l e k o n j u g i e r t Z(t)

komplexer

= r^cosvt-

Wurzeln

sirvt]

(21.77)

VT Als

Beispiel

soll

die Einheitsimpulsantwort

Rahmen des M A - M o d e l l s e r m i t t e l t werden. gemäß

des V o l k s e i n k o m m e n s

Die E n d g l e i c h u n g von Y

Y im lautet

(12.9) Y(t)

= (a+aß)Y(t-1)

- aßY(t-2)

Die Wurzeln der c h a r a k t e r i s t i s c h e n chend ( 2 1 . 3 6 )

X

1 ,2

mit

2

"

v

5"

+

lg(t)

Gleichung

berechnen s i c h

entspre-

205

Fall 1

\O \

Z ( t ) = 1.36(0. 75) ' - 0 . 3 6 ( 0 . 2 ) ' Z(t)=0.95 Z(t-1)-0.15 Z(t-2)+E»(t)

H-

10

15

t

Fall 2

o

A10 A A 15 / VV Y t

Z(t)=-2(-0.6)t+3(-0.9)t Z(t)=-1.5 Z(t-l)-0.54 Z(t-2) + E*(t)

-2

Fai 1 3

Z 1,21

A

e

\

Z ( t ) = ( 0 . 7 8 7 4 ) [co s ( 0 . 7 0 4 4 • t ) + l . 1767s i n ( 0 . 7 0 4 4 - 0 ] Z(t)=1.2 Z(t-l)-0.6201 Z(t-2)+E*(t)

0

15

t

-0, 4 Fai 1 It

zi 2,3-

/ /

Z(t)=(l+t)(0.86)t Z(t)=1.72 ZCt-l)-0.7396

10 Abb. 2 1 . 9

15

Z(t-2)+E*C

t

Typische Einheitsimpu1santworten Systemverha1 tens

im F a l l e e i n e s

gedämpften

206

M i t a = 0 , 7 2 und reell

ß=0,25 werden X ^ O . 3

und u n g l e i c h .

Gemäß ( 2 1 . 7 5 )

und X 2 = 0 , 6 ,

ergibt

d.h.

sich die

die Wurzeln

sind

Funktionslösung

der

E i nhei ts i m p u l s a n t w o r t Z(t)

= 2(0,6)*"

(0,3)t

-

Die Einheitsimpu1santwort s c h l ü s s e auf das Sind

einer

Systemvariablen

dynamische Systemverhalten

i n den E i n h e i t s i m p u l s a n t w o r t e n

werte der Wurzeln

und

stabiles

Verhalten

von G l e i c h u n g

(21.77).

Z(t)

den F ä l l e n ner E i n s ,

(21.75) d.h.

tes V e r h a l t e n . in Abbildung

und

0 0

5)

a

+ V i

2



a3

'k > 0

i ; 2a4a2+ a3ai " a k - a , t 3a . da , ac , + 1 > 0 '3 • 4 3

a2

"

a4a1

"

ak

JURYs K r i t e r i e n s i n d f ü r Endgleichungen b e l i e b i g e n Grades W i r beschränken uns j e d o c h auf den F a l l von Endgleichungen

-

ai,a2

"

formuliert. zweiten

b i s v i e r t e n Grades, da im F a l l e von Endgleichungen höheren Grades

die

Zahl der Ungleichungen s t a r k zunimmt und d i e Ausdrücke so u n ü b e r s i c h t l i c h werden, daß s i c h e i n e p r a k t i s c h e Anwendung n i c h t mehr e m p f i e h l t . Notwendige S t a b i l i t ä t s b e d i n g u n g e n bilität

erforderlich,

s i n d f ü r das Vorhandensein von S t a -

g a r a n t i e r e n jedoch k e i n e S t a b i l i t ä t .

d i e d i e Notwendigkeitsbedingungen n i c h t e r f ü l l e n , den F a l l

instabil.

Systeme,

s i n d aber auf

je-

Die Bedingungen 1) und 2) des J u r y - K r i t e r i u m s

ren v e r a l l g e m e i n e r t

zu den folgenden notwendigen

füh-

Stabilitätsbedingun-

gen e i n e r Endgleichung n-ten Grades: a)

1 + a 1 + a 2 +. .+ a n > 0

b)

1 + .^(-O'a.

> 0

Besonders a ) g i b t e i n e n e r s t e n Eindruck über das Model 1 v e r h a l t e n . W e i t e r e notwendige Bedingungen f ü r d i e S t a b i l i t ä t e i n e r lauten:

Endgleichung

[1,S.215"219]

n = 3

< 1, '1 < 2 |a 3 1 < 1, -1 < a 2 < 3,

n =4

l a /,l

n = 2

< 1»

la3

< i», -2 < a 2 < 6 ,

Eine hinreichende Stabilitätsbedingung 1 > l a 1 | + |a 2 + . . . +

|a 1 | < 3

liefert:

< 4

216 In den W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t e n werden manchmal Modelle in der Erklärungsform e i n e r homogenen Endgleichung, Y(t)

d.h.

= to1 Y ( t - 1 ) + w 2 Y(t-2) + . . . + w n Y ( t - n )

verwendet, wobei u ^ i o ^ , . . .

p o s i t i v e Werte s e i n s o l l e n .

chende S t a b i l i t ä t s b e d i n g u n g f ü r diesen Typ i s t : 1 > OJ^ > u

>...>

Eine h i n r e i -

[197,S.104ff.]

> un > 0

d.h. das System i s t s t a b i l , wenn d i e K o e f f i z i e n t e n mit zunehmender Verzögerung der endogenen V a r i a b l e n abnehmen. bb)

Verhaltensdiagramme linearer Systeme

Die Wurzeln e i n e r Endgleichung bestimmen s i c h aus ihren ten.

Koeffizien-

Im F a l l e von Endgleichungen zweiten Grades mit den K o e f f i z i e n -

ten a^ und a^ l i e g t es nahe, e i n Verhaltensdiagramm d i e s e s chungstyps a u f z u s t e l l e n .

Endglei-

In einem d e r a r t i g e n Verhaltensdiagramm wer-

den d i e Koeffizientenausprägungen a l s Ordinaten- bzw. Abszissenwerte definiert.

Indem d i e B e r e i c h e u n t e r s c h i e d l i c h e n Systemverhaltens durch

Ungleichungen mit a^ und a^ beschrieben werden können, e r h ä l t man im a^/a2

Koordinatensystem bestimmte Flächenbereiche

unterschiedlichen

Verha1tens. Abbildung 21.13 z e i g t das Verhaltensdiagramm der Endgleichung Y(t)

+ a^Y(t-1)

t a2Y(t-2) = E(t)

Die Gleichungen a^-a^+l, a2=-a^-1 und a 1

folgen aus JURYs K o e f f i -

z i e n t e n k r i t e r i e n auf S e i t e 214. Die s c h r a f f i e r t e n Flächen beschreiben den B e r e i c h s t a b i l e n V e r h a l t e n s .

Es i s t jedoch e i n e w e s e n t l i c h

d i f f e r e n z i e r t e r e K l a s s i f i z i e r u n g des Systemverhaltens möglich. Man kann 14 Flächenbereiche unterscheiden, haltensweisen a u f t r e t e n .

Als Beispiel

in denen u n t e r s c h i e d l i c h e Verseien d i e e r s t e n fünf

Bereiche

angeführt: I

Oszillatorisches stabiles Verhalten p l e x , Modul k l e i n e r a l s E i n s )

(Wurzeln k o n j u g i e r t kom-

II

Oszi11atorisches i n s t a b i l e s V e r h a l t e n komplex, Modul größer a l s E i n s )

III

Monoton s t a b i l e s V e r h a l t e n ner a l s E i n s )

(Wurzeln k o n j u g i e r t

(beide Wurzeln p o s i t i v und k l e i -

217 IV V

Monoton i n s t a b i l e s V e r h a l t e n ( b e i d e W u r z e l n p o s i t i v , größer, eine k l e i n e r a l s Eins) Monoton ser a l s

instabiles Verhalten Eins)

eine

(beide Wurzeln p o s i t i v

und

grös-

linearen

zweiten

usw.

Abb. 2 1 . 1 3

Verhaltensdiagramm einer Grades

Manche F l ä c h e n b e r e i c h e w i e

IV und V f a l l e n

Endgleichung

in d i e s e l b e

Klassifizie-

rungskategorie. D i e E r m i t t l u n g der v e r s c h i e d e n e n V e r h a l t e n s b e r e i c h e

hat s i c h an d e r

218

Wurzelgleichung (21.83)

1,2 zu

orientieren.

Der F a l l jugiert

g l e i c h e r Wurzeln wird durch a|=4a2 beschrieben.

Im F a l l e

k o m p l e x e r W u r z e l n muß d i e U n g l e i c h u n g a | < 4 a 2 e r f ü l l t

Diese Bedingung g i l t Es e m p f i e h l t

sich,

damit f ü r d i e F l ä c h e n

( 2 1 . 8 3 ) A u s d r ü c k e zu f i n d e n , von A^ und X 2 d a r s t e l l e n . +

*2 "

I und

zur weiteren K l a s s i f i z i e r u n g

(21.83)

sein.

II. anhand von

in denen a^ und a^ d i r e k t e

Aus G l e i c h u n g

kon-

Gleichung

Funktionen

folgt

"a1

oder a1 =

(21.84)

-(X1+X2)

Mit -a, X

1

X

2

'

-a,

"

ß\

folgt X1X2 = a2

(21.85)

Anhand von ( 2 1 . 8 4 )

und ( 2 1 . 8 5 )

Bereichsabgrenzungen der W u r z e l n a u s g e h t . bil itätsdiagrammes, ten a u f w e i s t ,

finden,

kann man a u f r e l a t i v e i n f a c h e A r t

indem man v o n t y p i s c h e n

B e i s p i e l s w e i s e w o l l e n w i r den B e r e i c h des f ü r den d a s S y s t e m e i n monoton s t a b i l e s

men. F ü r den F a l l

monotoner S t a b i l i t ä t

t i v und k l e i n e r a l s auch i h r P r o d u k t

gilt,

in F r a g e

Eins

sind.

Daher muß im F a l l e p o s i t i v e r

sein.

Gleichung

(21.85)

erfordert

kom-

posi-

Wurzeln deshalb:

> 0

zeln positiv

und

III

s e i n s o l l e n , muß gemäß ( 2 1 . 8 4 )

daß a l l e i n d i e d u r c h F l ä c h e

III

in F r a g e . 0 sein.

gekennzeichneten

w e r t e von a^ und a 2 e i n monoton s t a b i l e s V e r h a l t e n Abbildung 21.14 z e i g t e i n i g e ausgewählte ner

IX

daß b e i d e W u r z e l n

X^X2>0

Damit kommen nur noch d i e F l ä c h e n V I

also,

Sta-

Verhal-

ermitteln.

Wir wi s s e n b e r e i t s , daß n u r d i e F l ä c h e n 11 I, VI, X I I und

a2

die

Wertebereichen

Verhaltensbereiche.

Da b e i d e WurEs z e i g t

sich

Koordinaten-

aufweisen.

Impulsantworten

verschiede-

219

FALL B

FALL A 10



+-»• t

2 ••

FALL C

FALL D 15

FALL E

FALL F 10

5

Abb. 2 1 . 1 4

10

15

10

15

E i n h e i t s i m p u l s a n t w o r t und Lage der W u r z e l n der c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g für a u s g e w ä h l t e B e i s p i e l e e i n e r Endgleichung z w e i t e n G r a d e s

220

0,5--

Abb. 21.15

Verhaltensdiagramm eines MA-Systems mit ausgewählten Ein he i tssprungantworten

Die Entwicklung von Verhaltensdiagrammen

ist besonders dann ange-

221

b r a c h t , wenn das b e t r a c h t e t e Modell genau zwei s t r u k t u r e l l e ter enthält.

In diesem F a l l

diagramm zu e n t w i c k e l n , terpretierbaren)

i s t es sehr i n s t r u k t i v ,

Parame-

ein Verhaltens-

dessen Koordinaten durch d i e ( e m p i r i s c h

strukturellen

Parameter g e b i l d e t werden.

in-

Denn man

e r k e n n t , w i e d i e Veränderungen d i e s e r Parameter zu u n t e r s c h i e d l i c h e n Verhaltensweisen führen.

Im B e i s p i e l

e i n e s MA-Systems kann anhand der

Endgleichung Y(t)

= (ct+aß)Y(t-1)

- aßY(t-2)

+ lg(t)

das in Abbildung 15-8 auf S e i t e 92 b e r e i t s a n g e f ü h r t e gramm f ü r d i e Parameter a und ß e n t w i c k e l t

Verhaltensdia-

werden.

Abbildung 21.15 z e i g t das Verhaltensdiagramm e i n e s MA-Systems e i n s c h l i e ß l i c h der Jeder

Impulsantworten ausgewählter

Impulsantwort

Parameterkombinationen.

i s t das Koordinatensystem e i n e r Gaußschen Zahlen-

ebene mit einem E i n h e i t s k r e i s zugeordnet.

Es b e s c h r e i b t d i e Lage der

Wurzeln der c h a r a k t e r i s t i s c h e n Gleichung im F a l l e der

betreffenden

Parameterkombination. Die E n t w i c k l u n g d e r a r t i g e r Verhaltensdiagramme z e i g t d i e

Sensitivi-

t ä t des Modells b e z ü g l i c h der Parameter a und ß und l i e f e r t w i c h t i g e Hinweise f ü r s e i n e

c)

damit

Gültigkeit.

Höhere Analysemethoden linearer Systeme

ca) Verwendung von Operatoren in linearen Systemen

Zur Untersuchung von D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g s s y s t e m e n vorteilhaft,

Ein Verschiebungsoperator

in e i n e r anderen S c h r e i b w e i s e aus-

gedrückt werden. Mit dem Ausdruck K

71

kann d i e v e r z ö g e r t e

Variable

durch

K_nX(t) ersetzt

sehr

kann a l s e i n Symbol angesehen werden, mit

dessen H i l f e v e r z ö g e r t e V a r i a b l e X(t-n)

i s t es o f t

mit sogenannten V e r s c h i e b u n g s o p e r a t o r e n zu a r b e i t e n .

= X(t-n)

werden.

(21.86)

222

Die

Differenzengleichung Y(t)

+ 0,5Y(t-1)

+ 0,3Y(t-2)

= E(t)

+

1,1E(t-1)

würde u n t e r Verwendung d i e s e r O p e r a t o r e n s c h r e i b w e i s e Y(t)

+ 0,5K_1Y(t)

+ 0,3K_2Y(t)

= E(t)

die

Gestalt

1,1K~1E(t)

+

annehmen. Der A u s d r u c k K w i r d a l s V e r s c h i e b u n g s o p e r a t o r

bezeichnet.

Die Einführung e i n e r d e r a r t i g e n

S c h r e i b w e i s e der v e r z ö g e r t e n

len

s i c h zeigen

ist

deswegen s i n n v o l l ,

bungsoperator K

weil

verschiedenen

R e g e l n der A l g e b r a g e h o r c h t .

d a h e r O p e r a t i o n e n w i e mit e i n e r Zahl

Die G ü l t i g k e i t Beispielen (1)

die

der w i c h t i g s t e n

Y(t-3)

+ K~2Y(t)

Regeln sei

d . h . der F a l l

= K"2Y(t)

anhand von

a+b=b+a w i r d

erfüllt.

+ K~3Y(t)

auch d i e entsprechende

+ Y(t-2)

= Y(t-2)

Differenzengleichung

+ Y(t-3)

ist.

Ebenso g i l t

d.h.

durchführen.

algebraischen

das Kommutativgesetz,

z u l ä s s i g , weil

(2)

Man kann m i t

Beziehung

K~3Y(t)

gültig

Variab-

Verschie-

aufgezeigt:

Es g i l t

So i s t

l ä ß t , daß d e r

im F a l l e e i n e r M u l t i p l i k a t i o n

das

Kommutativgesetz,

a-b=b-a

D i e s e r k e n n t man an dem B e i s p i e l [K~3(K~2)]Y(t) Der A u s d r u c k K

_2

[K

_2

(3)

[K~3(K~2)]Y(t)

Y(t)=Y(t-2)

ergibt

= [K~2(K~3)]Y(t)

und damit K

_3

=

K~5Y(t)

entspricht

Y(t-5).

Y(t-2)=Y(t-5).

3

s i c h mit K ~ Y ( t ) = Y ( t - 3 )

die Gestalt

Denn es

ist

Für den A u s d r u c k 2

[K~ (Y(t-3))]

[K~2(K~3)]Y(t)

und damit

(Y(t-3))]=Y(t-5) Ferner

ist

sowohl

das A s s o z i a t i v g e s e t z

f ü r d i e A d d i t i o n e n a l s auch anwendbar,

a + (b-t-c) = ( a + b ) a(bc)

=

(ab)c

+ c

d.h.

Multiplikationen

223

Als

Beispiel

sei

die

Beziehung

K_1 [K_1 + l ] Y ( t ) angeführt.

=[K"2+K"1 ]Y(t)

Wie man d u r c h s c h r i t t w e i s e

Rückumwand 1ung d e r G l i e d e r

beiden S e i t e n der G l e i c h u n g e r k e n n t ,

ist

die Beziehung

A u f d i e Verwendung von O p e r a t o r e n werden w i r stoßen.

Als erster

Anwendungsbereich

lung der Endgleichung Endgleichung

linearer

sei

p a s s u n g wurde a u f S e i t e

auf die v e r e i n f a c h t e

Systeme v e r w i e s e n .

171 b e s c h r i e b e n .

M i t der

Einführung

man a u s

(21.6)

das V e r f a h r e n

=

ß[Z-Z(t)1

B(t)

=

Y[K"1S(t)-b]/[1-K"1tYcK"1]

Z(t)

= B(t)

A(t)

= a[K~^B(t)+a]/[l

-

K ^X(t)=X(t~n)

berechnen.

_1 = [2-a-cy-yßjK A(t)

A(t)

+ [a-1 -cya+cy+yß]K

_o

A(t)

+ a a c y + ctßyZ +

führt

schließlich

zu d e r

uns

Operator

+ [a-1-cya+cy+yg]A(t-2)

+ aacy + aßyZ

+

ayb

Den d u r c h e i n e T r a n s f o r m a t i o n

d e r Form ( 2 1 . 8 6 )

n e n n t man e i n e n

besitzt.

d.h.

Operatoren mit

lungsformen

sind

ineinander

t 0,5Y(t-l)

in d i e Gleichungen

Rückwärtsoperator,

Oft w i r d j e d o c h auch mit

gearbeitet,

Y(t)

Frei-

Endgleichung

+ aayß -

ve H o c h z a h l e n

linearen

E i n s e t z e n und

Gleichung:

X(t-n)=K ^Xit)

= [2-a-cy-yß]A(t-l)

gebrachten

i n einem

Durch s u k z e s s i v e s

ayb

Die Rücktransformation bekannten

erhält

J

g e l a n g t man zu d e r

+ aayß -

bereits

Verschie-

wesentlich.

A(t)

Gleichungssystem A(t)

A(t)

Anspruchsniveauan-

D i e Verwendung von

Man k a n n m i t den s i c h e r g e b e n d e n G l e i c h u n g e n w i e

von A ( t )

der

(21.9)

S(t)

stellen

Ermitt-

Die Ermittlung

der

des V e r s c h i e b u n g s o p e r a t o r s

bis

gültig.

s p ä t e r n o c h mehrmals

im F a l l e des d y n a m i s c h e n M o d e l l s

bungsoperatoren vereinfacht

auf

positiven

überführbar.

+ 0,3Y(t-2)

= E(t)

negati-

Vorwärtsoperatoren

Hochzahlen. Die

da e r

ein-

Beide

Darstel-

Differenzengleichung

+ 1 ,1E(t-1)

224

führte bei Anwendung eines Rückwärtsoperators zu der Form Y(t) + 0 , 5 K _ 1 Y ( t ) + 0 , 3 K _ 2 Y ( t ) = E(t) + 1 , 1 K _ 1 E ( t ) Bezeichnet man mit n den höchsten Verzögerungsgrad einer

(21.87) Endgleichung,

dann ist in diesem Fall n=2. Die Multiplikation von Gleichung 2 mit K

führt zur Darstellung der ursprünglichen

(21.87)

Differenzengleichung

in Form von Vorwärtsoperatoren, d.h. • K 2 Y ( t ) + 0,5 KY (t) + 0,3 Y(t) = K 2 E ( t ) + 1,lKE(t)

(21.88)

Verallgemeinernd kann man feststellen, daß in diesem Fall von der Transformation X(t-n) = K n " n X ( t ) ausgegangen wird. Diese Darstellungsweise hat den Vorteil, daß das sich ergebende Operatorenpolynom dieselbe Form wie die charakteristische Gleichung der zugrunde

liegenden Differenzengleichung

besitzt.

Sie ist immer dann empfehlenswert, wenn schon die Endgleichung Systems vorliegt, weil

eines

n dann als numerischer Wert zur Verfügung

steht. Bevor wir uns dem generellen Fall der Ermittlung von unter Verwendung von Operatoren

Endgleichungen

im Rahmen der Matrizenrechnung

zuwen-

den, wollen wir kurz auf bestimmte Verfahren eingehen, die es gestatten, Endgleichungen anhand der sukzessiven Umgestaltung von graphischen Systemdarstellungen zu ermitteln.

cb) Endgleichungsbestimmung anhand graphischer Systemdarstellungen Der Leser wird sich erinnern, daß wir bei der Behandlung der graphischen Darstellung von Systemen die Beschreibung dynamischer

Systeme

anhand von Block- und Signalflußdiagrammen erwähnten. Es w u r d e an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß Signalfluß- und Blockdiagramme,

in

denen Operatorendarstellungen der Ubergangsfunktion verwendet werden, allein dem Zweck dienen, die Endgleichung des betrachteten auf einfache Weise zu ermitteln.'^ Methoden sollen 11 Vgl. Seite 65

Die hier zur Anwendung

im folgenden behandelt werden.

Systems kommenden

225

a)

Endgleichungsbestimmung

anhand von

A b b i l d u n g 2 1 . 1 6 z e i g t noch einmal

die Darstellung

im Rahmen der b e i d e n Diagrammtypen. funktion ergibt K

_rl

Blockdiagrammen eines

MA-Systems

D i e O p e r a t o r e n f o r m der

s i c h d u r c h d i e E i n f ü h r u n g des

Ubergangs-

Rückwärtsoperators

x(t)=X(t-ri).

Abb. 2 1 . 1 6

B l o c k - und S i g n a 1 f 1 u ß d i a g r a m m e i n e s MA-Systems u n t e r wendung e i n e s R ü c k w ä r t s o p e r a t o r s

Im F a l l e der H y p o t h e s e der I. (t) = wi rd m i t l.(t)

induzierten

2[C(t)-C(t-1)]

(21.86) =

2[C(t)-K~1C(t)]

Investition

Ver-

226

oder l.(t)

=

[2-2K"1]C(t)

Der A u s d r u c k 2 - 2 K

w e l c h e r d i e b e i d e n u n v e r z ö g e r t e n V a r i a b l e n C und

I miteinander verknüpft, wird a l s nach

I bezeichnet.

Es

Operatorenübergangsfunktion

ist üblich,

sie

in den e n t s p r e c h e n d e n

von C

Block

des Diagrammes e i n z u t r a g e n o d e r über der e n t s p r e c h e n d e n S t r e c k e S i g n a l f 1ußdiagrammes

des

anzuführen.

B e z e i c h n e t man d i e e r m i t t e l t e O p e r a t o r e n ü b e r g a n g s f u n k t i o n

mit

G(K),

d.h. G(K) = 2 - 2 K _ 1 dann l ä ß t

sich die

I. (t)

Investitionshypothese

durch

= GCK)C(t)

beschreiben. Eine Beziehung zwischen e i n e r d i e S t a n d a r d f o r m der Y(t)

+ a1Y(t-1)

Endgleichung

Form

G(K)

,

-1 g +g K ' + g 0

1

1+a,K 1

+a,K 2

+ g1E(t-1)

+...+

gsE(t-s)

Verwen-

eine Operatorenübergangsfunktion

-2 K +...+g

2

= gQE (t)

b e s i t z t daher unter e n t s p r e c h e n d e r

Rückwärtsoperators

durch

(12.10)

+...+ anY(t-n)

b e s c h r i e b e n werden k a n n , dung e i n e s

E i n - und A u s g a n g s g r ö ß e , w e l c h e

+...+a

n

K

der

-s

K

Im f o l g e n d e n s o l l e n V e r f a h r e n b e s c h r i e b e n w e r d e n , m i t denen u n t e r grundelegung

der O p e r a t o r e n ü b e r g a n g s f u n k t i o n

gen d i e t o t a l e U b e r g a n g s f u n k t i o n Diese Ermittlung v o l l z i e h t b e s t i m m t e r B l o c k - und

von

Zu-

Verhaltensgleichun-

e i n e s M o d e l l s e r m i t t e l t werden

s i c h anhand der s u k z e s s i v e n

kann.

Umgestaltung

Signa1f1ußdiagramme.

D i e zu b e s c h r e i b e n d e n V e r f a h r e n s i n d p r i m ä r

im Rahmen d e r

t h e o r i e f ü r s t e t i g e Systeme e n t w i c k e l t w o r d e n , log auch f ü r z e i t d i s k r e t e

Systeme verwenden.

Regelungs-

lassen s i c h jedoch

I h r e Anwendung

d a r i n , daß bestimmte B l ö c k e e i n e s B l o c k d i a g r a m m e s

unter

der neuen U b e r g a n g s f u n k t i o n d u r c h e i n f a c h e V o r s c h r i f t e n z i g e n B l o c k zusammengefaßt werden. Man kann d r e i

ana-

besteht

Berechnung zu einem

G r u n d t y p e n der

einZu-

227

sammenfassung von B l o c k d i a g r a m m g l i e d e r n Erstens:

unterscheiden.

d i e Zusammenfassung von P a r a 1 1 e l g 1 i e d e r n .

Hier g i l t

die

Vor-

schr i f t

G

Y.CO

1

CK)

Y C O

G

Abb.

YCt)

ECO

ECO

21.17

2

J

C O

G

=

1

CK)+G2CK)

Y_C O

E r m i t t l u n g der U b e r g a n g s f u n k t i o n e i n e s l i n e a r e n s c h e n S y s t e m s im F a l l e p a r a l l e l e r G l i e d e r

Die G ü l t i g k e i t

dieser

Zusammenfassung w o l l e n w i r

dynami-

u n s anhand d e s

Glei-

c h u n g s s y s tems Y,(t)

= 0,5Y1 (t-1 ) + E (t)

Y2(t)

= 0,2Y2(t-1)

Y(t)

= Y1 ( t )

+

+

+ 1,1 E ( t - 1 )

0,3E(t) (21.89)

Y2(t)

k l a r machen, w e l c h e s

bei

Einführung

eines

Rückwärtsoperators

durch

YJ ( t ) [1 - 0 , 5 K _ 1 ] = [1+1 , 1 K ~ 1 ] E ( t )

(21.90)

Y2(t)[1-0,2K"1]

(21.91)

=

0,3E(t)

b e s c h r i eben wi r d . Die A u f l ö s u n g

der Gleichungen

ihre Einsetzung Y(t)

=

in Gleichung

1 + 1

' 1 K _ 1 E(t) -1 1-0,5K

oder Y (t)

1+1 ,1 K

-1

.1-0,5K_1

(21.90) (21.89) 0,3

+

1-0,2K 0,3

- 1

und

(21.91)

n a c h Yj

und Y 2

und

liefert: E(T)

E(t)

1-0.2K"1.

Der e r s t e und z w e i t e A u s d r u c k

i n den Klammern s i n d

j e d o c h m i t d e r Ope-

228

ratorenübergangsfunktion 6,(10

1+1

=

G^(K) und G2(K) und

identisch.

G2(K) =

1-0,5K

1-0,2K

Die A d d i t i o n von' G, (K) und G2(K)

Denn e s

sind

-1

l i e f e r t die totale

Ubergangsfunk-

t i on ,3+0,75K"1-0,22K~2

G(K) =

i-o,7k"'+o,ik"2

und mit der R ü c k t r a n s f o r m a t i o n des O p e r a t o r s

ihre entsprechende

End-

gleichung Y(t)

- 0,7Y(t-1)

Die z w e i t e V o r s c h r i f t render G l i e d e r .

E C O

G ^ CK)

Abb. 2 1 . 1 8

+ 0,1Y(t-2)

= 1,3E(t) + 0,75E(t-l)

-

b e z i e h t s i c h auf d i e Zusammenfassung

Es g i l t

das

YxCt)_

0,22E(t-2) kaskadie-

Reduktionsschema:

G2CK)

YCO

ECO

G1CK)-G2CK)

E r m i t t l u n g der U b e r g a n g s f u n k t i o n e i n e s l i n e a r e n schen Systems im F a l l e k a s k a d i e r e n d e r G l i e d e r

Die R i c h t i g k e i t d i e s e r

R e d u k t i o n kann l e i c h t aus der

YCO

dynami-

Verallgemeine-

rung des f o l g e n d e n B e i s p i e l e s e r k a n n t werden. Zwei k a s k a d i e r e n d e

Sy-

steme können d u r c h Y(t) Y,(t)

= 0,3Y(t-1)

+ Y,(t)

= 1,1Y1(t-1)

+

(21.92)

1,3E(t-l)

(21.93)

b e s c h r i e b e n werden. G , ( K ) und G2(K) ergeben s i c h mit -1

G, (K) =

-1

1 - 1 ,1 K g2(k)

=

(21.94)

1 1 - 0 , 3 K„-1

Die O p e r a t o r e n t r a n s f o r m a t i o n von ( 2 1 . 9 2 ) und ( 2 1 . 9 3 )

liefert

229

Y U ) t 1 - 0 , 3 K _ 1 ] = Y1 ( t ) Y1 ( t ) [ 1 - 1 , 1 K " 1 ]

=

1,3K"1E(t)

oder Y(t)

1 r Y1 ( t ) 1-0,3K

Y (t)

Mit

1 , 3 K

=

(21.96)

E(t)

1-1 ,1K in

Y(t)

(21.95) 1

(21.95)

'

f

1-0,3K

(21.96)

folgt: 1 , 3 K

\

1 - 1 ,1K

E(t)

(21.97)

1

Anhand der D e f i n i t i o n v o n G^(K) und G2(K) e r k e n n t man, daß ( 2 1 . 9 7 ) Y(t) identisch Y(t)

= G1 ( K ) G 2 ( K ) E ( t ) ist.

Aus G l e i c h u n g

=

und damit d i e

Die d r i t t e

+0.33K

Abb. 2 1 . 1 9

folgt

L

Endgleichung

- 1,4Y(t-l)

+ 0,33Y(t-2)

Reduktionsvorschrift

von K r e i s s c h a l t u n g e n . Abbildung

(21.97) E(t)

1 - 1 ,i»K

Y(t)

mit

=

1,3E(t)

bezieht

s i c h auf d i e

Zusammenfassung

S i e b e h a u p t e t d i e Ä q u i v a l e n z der Schemata

in

21.19.

E r m i t t l u n g der U b e r g a n g s f u n k t i o n e i n e s l i n e a r e n s c h e n S y s t e m s im F a l l e e i n e r K r e i s s c h a l t u n g

dynami-

230

Die Z u l ä s s i g k e i t d i e s e s

Reduktionsverfahrens

v o r a n g e g a n g e n e n zwei V e r f a h r e n

im Gegensatz zu den

in a l l g e m e i n e r Weise n a c h g e w i e s e n w e r -

den. Die in A b b i l d u n g 2 1 . 1 9 d a r g e s t e l l t e die

soll

Kreisschaltung wird

durch

Gleichungen Y(t) = G1(K)Y1(t)

(21.98)

Y2(t)

G2(K)Y(t)

(21.99)

Y1 ( t )

E(t)

(21.100)

+ Y2(t)

beschrieben. Mit Gleichung E(t)

Y, ( t ) Gleichung

(21.101)

Y ( t)

(21.99)

in ( 2 1 . 1 0 0 )

folgt (21.101 )

+ G2(K)Y(t) in

(21.98)

liefert

dann

G ^ K ) [E(t) + G 2 ( K ) Y ( t ) ]

oder Y ( t ) [1-G 1 ( K ) G 2 ( K ) ] = G, ( K ) E ( t ) und dami t

G^K)

Y(t) d.h. die

1-G 1 ( K ) G 2 ( K )

E(t)

in A b b i l d u n g 2 1 . 1 9 a u f g e z e i g t e

Ubergangsfunktion.

Durch d i e s u k z e s s i v e Anwendung d i e s e r d r e i

Reduktionsvorschriften

kann d i e t o t a l e U b e r g a n g s f u n k t i o n und damit z u g l e i c h auch d i e chung e i n e s Systems auf ü b e r s i c h t l i c h e A r t e r m i t t e l t Als -Beispiel

s e i das Blockdiagramm e i n e s MA-Systems

YCt)

Abb. 2 1 . 2 0

Endglei-

werden. angeführt.

I,Ct)

Blockdiagramm e i n e s

MA-Systems

231

C(t)=H1 (K)Y(t)

beschreibt die

Investitionsfunktion. zwischen

I

die

I . ( t ) = H 2 (K) C ( t )

die

Ubergangsfunktion

und Y.

A u f g r u n d der V o r s c h r i f t dern

K o n s u m f u n k t i o n und

E r m i t t e l t werden s o l l

über d i e Zusammenfassung von

Parallelglie-

folgt: I

a

C O

n YCO

c c o h^(K)

Abb. 2 1 . 2 1

2

Ck)

R e d u z i e r t e s Blockdiagramm e i n e s MA-Systems durch f a s s u n g von P a r a l l e l g l i e d e r n

Unter B e a c h t u n g der R e d u k t i o n s v o r s c h r i f t f o l g t die weitere

Abb. 2 1 . 2 2

i+h

für kaskadierende

Zusammen-

Glieder

Reduktion:

R e d u z i e r t e s Blockdiagramm e i n e s MA-Systems durch menfassung kaskadierender Glieder

Zusam-

232

S c h l i e ß l i c h wird die K r e i s r e d u k t i o n s v o r s c h r i f t talen Ubergangsfunktion

angewandt, d i e zur

to-

führt

YCO

Abb. 2 1 . 2 3

R e d u z i e r t e s B l o c k d i a g r a m m e i n e s M A - S y s t e m s d u r c h Zusammenf a s s u n g v o n p a r a l l e l e n , k a s k a d i e r e n d e n und K r e i s g l i e d e r n

Da im F a l l e e i n e s M A - S y s t e m s d i e O p e r a t o r e n

durch

H 1 (K) = a K _ 1 und H2(K)

= ß -

ßK_1

k o n k r e t i s i e r t werden, e r g i b t ke f ü r H . ( K )

und H . ( K )

s i c h m i t der E i n s e t z u n g

dieser

in d i e t o t a l e U b e r g a n g s f u n k t i o n d i e

AusdrükFassung:

1-(a+aß)K"1+aßK"2 und damit d i e uns s c h o n b e k a n n t e Y(t)

-

(a+aß)Y(t-1)

+ aßY(t-2)

ß) E n d g l e i c h u n g s b e s t i m m u n g Am B e i s p i e l

Endgleichung: =

anhand von

lg(t)

Signa1f1ußdiagrammen

e i n e s M A - S y s t e m s wurde d e u t l i c h ,

U b e r g a n g s f u n k t i o n anhand der

daß d i e Bestimmung

R e d u k t i o n von B l o c k d i a g r a m m e n

sam s e i n k a n n . E i n e a n d e r e M e t h o d e , d i e d a h e r bei z u r Anwendung kommt, i s t

größeren

sehr

der Systemzusammenhänge, a u f d e r e n G r u n d l a g e e i n

v e r e s V o r g e h e n bei d e r s c h r i t t w e i s e n

Lösung der

müh-

Systemen

die Reduktion von S i g n a l f l u ß d i a g r a m m e n .

na 1 f 1 ußd i agramme l i e f e r n w i e d i e B l o c k d i a g r a m m e e i n e b i l d h a f t e stellung

der

SigDar-

effekti-

Operatorengleichungen

233

b e w i r k t werden

soll.

Der g r u n d s ä t z l i c h e A u f b a u von S i g n a 1 f l u ß d i a g r a m m e n wurde b e r e i t s

be-

schrieben.

I h r U n t e r s c h i e d zu einem B l o c k d i a g r a m m b e s t e h t d a r i n ,

daß

die Blöcke

i n einem S i g n a 1 f 1 u ß d i a g r a m m d u r c h g e r i c h t e t e

er-

s e t z t und d i e E i n g a n g s - und A u s g a n g s g r ö ß e n

Strecken

in K n o t e n p u n k t e

überführt

w e r d e n . D i e s e K n o t e n p u n k t e werden z u g l e i c h a l s S u m m a t i o n s p u n k t e f i n i e r t m i t der F o l g e , daß s i c h der Wert e i n e r

a u s der Summe der a u f e i n e n K n o t e n p u n k t f ü h r e n d e n V a r i a b l e n Den Zusammenhang z w i s c h e n der S i g n a l f l u ß einer Ubergangsfunktion

Abb. 2 1 . 2 4

zeigt Abbildung

bestimmt.

Blockdiagrammdarstellung

21.2h

U b e r g a n g s f u n k t i o n e i n e s l i n e a r e n dynamischen Systems e i n e r S i g n a l f l u ß - und B 1 o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g

A n a l o g zu den B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g e n tionsvorschriften

(1)

und

de-

Knotenpunktvariablen

l a s s e n s i c h bestimmte

in

Reduk-

angeben.

Additionsvorschrift

Parallele

S t r e c k e n können zu e i n e r

ren U b e r g a n g s f u n k t i o n Para1le1 s t recken

S t r e c k e zusammengefaßt w e r d e n ,

s i c h aus der Summe der U b e r g a n g s f u n k t i o n e n

ergibt.

deder

234 GXCK)

G1CK)+G2CK) 1

Abb. 21.25

(2)

Reduktion von parallelen Gliedern linear dynamischer steme in einer Signa1f1ußdiagrammdarste11ung

Sy-

Multiplikationsvorschrift

Eine Kette von Knotenpunkten kann durch eine Strecke ersetzt werden, deren Ubergangsfunktion sich aus dem Produkt der zwischen den Knotenpunkten der Ketten

ist dem

0

Ubergangsfunktion

bestimmt.

Signa1f1ußdiagramm

g1CK)G2CK)G3CK)

äqu i va1ent. Abb. 21.26

(3)

Reduktion von kaskadierenden Gliedern linear dynamischer Systeme in einer Signa1f1ußdiagrammdarste11ung

Schleifenreduktion

Für die Reduktion einer Schleife gilt die Vorschrift

235

GCK)

Abb. 2 1 . 2 7

R e d u k t i o n von K r e i s g l i e d e r n l i n e a r d y n a m i s c h e r Systeme einer Signalflußdiagrammdarstel1ung

Die G ü l t i g k e i t d i e s e r

B e z i e h u n g e r k e n n t man anhand des

in

Gleichungssy-

stems Y2(t)

= Y1 ( t )

Y3(t)

= Y2(t)

+ G(K)Y2(t)

121 . 1 0 3 )

D i e A u f l ö s u n g von G l e i c h u n g Y2(t)(1-G(K))

(21 . 1 0 2 )

(21.102)

nach Y,,(t)

liefert

= Y1 ( t )

und Y2(t)

= Y1 ( t ) / ( 1 - G ( K ) )

Mit Gleichung

Y

3

( t )

(21.103)

= d r m

Y

i

folgt

( t )

d.h. die Ubergangsfunktion zwischen Y^(t)

und

Y^(t).

D i e R e d u k t i o n von S y s t e m g l i e d e r n und damit d i e Gewinnung d e r gangsfunktion eines

Systems

diagramm b e s c h r i e b e n e s Ein solches

soll

anhand e i n e s d u r c h e i n

MA-Systems d e m o n s t r i e r t

Uber-

Signalfluß-

werden.

S i g n a 1 f 1 u ß d i a g r a m m w i r d u n t e r Verwendung der b e r e i t s

Rahmen der B l o c k d i a g r a m m d a r s t e l l u n g durch die folgende Abbildung

im

a n g e f ü h r t e n O p e r a t o r e n H^ und H^

dargestellt:

236

1

Aufgrund der Multiplikationsvorschrift

folgt 1

Die obere und untere Schleife von Y(t) über C(t) kann nach der Additionsvorschrift zusammengefaßt werden. Es ergibt sich damit

Nach der Multiplikationsvorschrift

kann die Kette

Y(t)-C(t)-Y(t)

reduziert werden durch

Die Schleifenreduktion führt zu dem nachfolgenden zweigliedrigen na 1 f 1 ußd i agramm

Sig-

237

1-H1CK)[1+H2CK)]

und damit zu der totalen Ubergangsfunktion eines MA-Systems, die bereits mit Hilfe der Blockdiagrammreduktion ermittelt wurde.

cc) Analyse linearer Systeme anhand von Matrizen Eine umfassende Analyse linearer dynamischer Systeme ist nur mit Hilfe der Matrizenrechnung möglich.

In diesem Abschnitt werden

sowohl

die Grundlagen der Matrizenrechnung erörtert als auch die daran anknüpfenden Verfahren der Analyse linearer

Systeme.

a) Grundbegriffe der Matrizenrechnung Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen oder Elementen und wird mit runden oder eckigen 3

11

ä

21

Klammern

a.. ... a. 12 Im 22

2m

M =

nl

a . ... a n2 nm

versehen. Die horizontalen Reihen werden Zeilen, die vertikalen hen Spalten genannt. Die Elemente werden hinsichtlich durch

Indizes gekennzeichnet. Der erste

ihrer

Stellung

Index benennt die Zeile, in

der sich das betreffende Element befindet, während der zweite die Spalte charakterisiert. Das Element a.. steht daher 'J Zeile und j-ten Spalte.

in der

Index i-ten

In abgekürzter Schreibweise kann man eine Ma-

trix auch durch i = 1 ,2,. . . , n M =[a. .] 'J

Rei-

j = 1,2

m

238

ausd rücken. Wir betrachten

im folgenden einige wichtige Typen von Matrizen:

Die Matrix

M =

0

0

4

0

0

3

wird als Diagonalmatrix bezeichnet, da alle nicht auf der Hauptdiagonalen

(i=j) liegenden Elemente Null werden. Sie ist zugleich eine

quadratische Matrix, weil die Anzahl der Zeilen und Spalten

überein-

st immt. Quadratische Diagonalmatrizen werden oft durch folgende

Schreibweise

dargestel11: a

0

11 0

Einen Sonderfall

unter den Diagonalmatrizen bildet die

trix, welche mit dem Buchstaben folgende Matrix 1

0

0

1

0

0

Verallgemeinernd

Einheitsma-

I bezeichnet wird. Als Beispiel

sei

angeführt:

ist eine Einheitsmatrix eine Diagonalmatrix,

Hauptdiagonale nur mit Einsen besetzt

deren

ist.

Eine einspaltige Matrix wird als Spa1tenvektor bezeichnet, während ei ne ei nzei1 ige Matr ix Zeilenvektor genannt wi rd. So ist beispielsweise die 2x1 Matrix

ein Spa1tenvektor, während

die 1x2 Matrix [3,^] als Zeilenvektor bezeichnet wird. Folgende Definitionen und Rechenoperationen sind für die nachfolgenden Betrachtungen von Belang: a) Gleichheit zweier Matrizen Zwei

n x m Matrizen A = [ a . j ] und B=[b.j] sind gleich, wenn für alle

i , j gilt: a. .=b,1 . U J

¡=1,2,...,n

j=1,2,...,m

239

b) Summe z w e i e r

Matrizen

D i e Summe z w e i e r n xm M a t r i z e n A und B b i l d e t e i n e n x m d i e s i c h a u s d e r A d d i t i o n der e n t s p r e c h e n d e n

Matrix

Elemente e r g i b t ,

C, d.h.

C = A + B = [ c . .] U bestimmt s i c h m i t c. . = a . . + b . . ij ij ij

¡ =1,2,....n;

Jj

= 1.2,....m '

Bei s p i e l : \

o"

J

2

+

"l

6'

in e i n e r

gen Zahl

"5 6 '

2 0

c) M u l t i p l i k a t i o n Werden



3 2 e i n e r M a t r i x mit e i n e r

beliebigen Matrix A a l l e

c multipliziert,

bezeichnet.

Konstanten Elemente m i t e i n e r

beliebi-

so w i r d d i e s i c h e r g e b e n d e M a t r i x m i t cA

Für d a s Rechnen m i t M a t r i z e n g e l t e n a n a l o g zum Rechnen

mit Zahlen d i e folgenden

Sätze:

A + B = B + A (c1+c2)A = ciA + c2A c1(A+B)

= c1A + c1B

d) M u l t i p l i k a t i o n

von

Matrizen

Bevor w i r uns der M u l t i p l i k a t i o n von M a t r i z e n zuwenden, s e i tiplikation Zeilenvektor

eines

Z e i l e n - m i t einem S p a l t e n v e k t o r

erklärt.

und W e i n S p a l t e n v e k t o r mit n Komponenten,

die

Mul-

U sei

ein

d.h.

Y w

U = [u1,u2,...,un]

1

W =

w n Das P r o d u k t UW d e s Z e i l e n v e k t o r s lxl

M a t r i x , d i e damit a u s e i n e r

U m i t dem S p a l t e n v e k t o r W i s t Zahl

b e s t e h t , d e r e n Wert s i c h

n UW = . ^ w . u . = w u + w u + . . . + w u j =1 j j 1 1 2 2 n n ermi t t e l t .

eine nach

(21.104)

240

Als

Beispiel

sei

l?l[3,-2]

d a s P r o d u k t v o n zwei

Vektoren

= 2 - 3 + 1(-2) = 4

angeführt. Nehmen w i r a n , es s e i mxk-Matrix

B zu

durch

[a. .] 1 UJ

b e s c h r i e b e n werden.

i=l

A.

ist

[ a

il'ai2

a

>n

hierbei

Z e i l e der M a t r i x b e s c h r e i b t ,

r-

ein Zeilenvektor,

B .

- [b.j]

b

i-te

im]

läßt s i c h die Matrix B durch

beschreiben,

der d i e

d.h.

In ä h n l i c h e r W e i s e

B. = J

der

1

A =

A.

der n x m M a t r i x A m i t

bestimmen.

D i e M a t r i x A kann "A

das Matrizenprodukt

Sji.t.'.'.'.M

wobei

2j

b . mj den S p a l t e n v e k t o r Vektorprodukt s i c h analog A.B. i J

der j - t e n S p a l t e der M a t r i x B r e p r ä s e n t i e r t .

des Z e i i e n v e k t o r s

(21.104)

A. m i t dem S p a l t e n v e k t o r

Bj

Das

ergibt

aus

2 a . ,b. . = a . , b . . + a . _ b _ . + . . . + il 1 j 11 1j 12 2 j

a. b . im mj

Das M a t r i z e n p r o d u k t AB w i r d nunmehr f o l g e n d e r m a ß e n

(21 . 1 0 5 )

definiert:

2^1

A

a,b2

1B1

A2B1

AB

A B, n 1

A

A2B2

1Bk A2Bk

...

(21.106)

A

A B. n k

nB2

D i e M a t r i z e n A und B s i n d , w i e man a u s d i e s e r dann m i t e i n a n d e r m u l t i p l i z i e r b a r , Zahl Als

der

Z e i l e n von B

Beispiel

-3"

2

trix

2

nur

r

.-1

(21.104)

3

ergeben s i c h d i e

1-2 + ( - 3 ) ( ' l )

Elemente A.B^ der

Produktma-

= 5

1B1 a2b,

2-2 + 4 ( - l )

a2b2

2-1 + 4 - 3

a,b2

1-1 + (-3)3 = -S

= 0

=

damit AB =

e)

erkennt,

S p a l t e n von A der

aus A

und

der

wir

B =

4

Entsprechend

Festlegung

Zahl

entspricht.

betrachten

"l

A =

wenn d i e

Inverse

5

-8

0

14

Matrix

In d e r Z a h l e n a l g e b r a ne Z a h l

b ist

der

hat jede Zahl

(außer N u l l )

K e h r w e r t v o n a , wenn ab=1

ist.

einen

Kehrwert.

In der

Matrixalge-

b r a k a n n e i n e dem K e h r w e r t a n a l o g e M a t r i x

definiert

Ist A eine beliebige

s i c h eine Matrix B

nxn-Matrix

und l ä ß t

Ei-

werden: finden,

daß AB = I wobei

I die

Einheitsmatrix

ist,

so wird B a l s

inverse Matrix

von A

bezei chnet. Die

inverse Matrix

A

-1

bildet

mit der a d j u n g i e r t e n M a t r i x A

und

der

Zk2

Determinante A~ 1

|A| von A die folgende Beziehung

=

(21.107)

Die Determinante

|A| ist eine nach bestimmten Vorschriften aus den

Elementen a.j zu ermittelnde Zahl. Die adjungierte Matrix kann auf folgende Weise ermittelt werden: Streicht man in einer n x n - M a t r i x die i-te Zeile und j-te Spalte, so erhält man eine (n-1)x(n-1)-Matrix, deren Determinante man als Unterdeterminante A. . der Determinante |J

IAI bezeichnen kann. Setzt man vor '

1

diese Unterdeterminante das Vorzeichen

(-1)

J, so erhält man bei ent-

sprechender Anordnung der Elemente die Matrix A =

[Hj'^A.j]

Durch Vertauschen der Zeilen und Spalten dieser Matrix erhält man

ih-

re sogenannte transponierte Matrix, welche die adjungierte Matrix A* von A darstellt, d.h. A* = A T =

[(-L)I+JA..]

oder A* = [A*.] U Die Determinante

mit

A*. = (-1)' +J A.. 'J J'

(21.108)

|A| kann nach dem Entwicklungssatz für

Determinan-

ten durch |ä| 1 1

= a.,A*. + a . 0 A * . +...+ a. A*. 11 1 j 12 2j i n nj

entwickelt werden.

(i=j)J

(21.109)

|A| ergibt sich somit aus der Summe des Produktes

der jeweils miteinander korrespondierenden Werte der Elemente einer Zeile von A und einer Spalte von A*. Das Gesagte sei an einem Beispiel verdeutlicht. Die Matrix

A =

1

3

3

-2

0

2

3

2

führt zu den

-1

Unterdeterminanten

2k3

A,, 11

-2

_

A„ 21

A,, 31

-

3

0

3

0

A, „ = 12

2

2

= "9

A „ = 22

2

= -2

A,. = 32

2

3 -1

_

3

2

3 -1 -2

= -6

1 -1 2

=

k

A„ „ = 13

2

3

1 A„„ = 23 2

3

1

3

1 -1

0

3

0

= -3

3 -2

A„, = 33

13

3 = -11

3 -2

Man erhält die Matrix -k

-6

13

-9

3

-2

-3 -11

deren Spiegelung zu der adjungierten Matrix

A* =

-k

-9

-2

-6

4

-3

13

3-11

führt. Die Determinante

liefert nach der ersten Zeile entwickelt:

|A| = 1(-4) + 3(-6) - 1-13 = -35 Im Falle der Entwicklung nach der zweiten Zeile ergibt sich ebenfalls: |A| = 3(-9) - 2.J» + 0-3 = -35 Die inverse Matrix berechnet sich daher unter Beachtung von

35

9 35

2 35

6 35

"35

3 35

13 35

3 35

11 35



A-U

(21.107)

Auf die Techniken der Berechnung von Determinanten und inversen Matrizen bei großen Matrizen soll hier nicht eingegangen werden, zumal sie von interessierten Anwendern ohne Schwierigkeiten mit

Standard-

EDV-Programnien ermittelt werden können. Für die sich anschließenden Betrachtungen

ist es wichtig festzuhalten, daß die Berechnung der De-

2kb

terminanten a d j u n g i e r t e r Additionen,

und i n v e r s e r M a t r i z e n a u s s c h l i e ß l i c h

Subtraktionen,

Diese F e s t s t e l l u n g

Multiplikationen

und D i v i s i o n e n

i s t v o n B e d e u t u n g , wenn w i r uns mit

trizen beschäftigen.

In e i n e r

Da beim Rechnen m i t O p e r a t o r e n A d d i t i o n e n , sind,

ß)Endgleichungsbestimmung

anhand von

D i e E r m i t t l u n g der E n d g l e i c h u n g e n

Polynommatrizen

linearer

Systeme wurde b i s h e r

um V e r f a h r e n ,

in denen d i e g e n e r e l l e S y s t e m a t i k e i n e r klar

zum A u s d r u c k

genden b e s c h r i e b e n Die

Es h a n d e l t

sich

mehr-

jedoch

Endgleichungsbe-

kommt.

Ansatz zur Endgleichungsbestimmung

soll

im f o l -

werden.

Differenzengleichung Y,(t)

+ 2Y1(t-l)

- 3Y,(t-3)

= E1 (t)

kann bei Verwendung d e s R ü c k w ä r t s o p e r a t o r s (1+2K"1-3K"3)Y1 (t) überführt

n

Y(t)

i n die Form (21 . 1 1 0 )

werden.

G(K)Y1(t)

=

so wird

(21.110)

zu

E^t)

D i e s e l b e abkürzende S c h r e i b w e i s e systemen

Y(t-ri)=K

= E^t)

D e f i n i e r t man G ( K ) = 1 + 2 K _ 1 - 3 K _ 3 ,

i s t auch bei

Differenzengleichungs-

möglich.

Das Model 1 2Y1(t)

+ 0,^(1-2)

0,5Y1 (t) kann

ei-

ermitteln.

und an B e i s p i e l e n d e m o n s t r i e r t .

Ein solcher g e n e r e l l e r

einer

nicht unsinnig,

mals e r ö r t e r t

stimmung n i c h t

Multi-

s o i s t e s auch f ü r den S o n d e r f a l l

i n v e r s e M a t r i x zu

ei-

dargestellt.

S u b t r a k t i o n e n und

aus Operatorpolynomen bestehenden Polynommatrix ne D e t e r m i n a n t e o d e r

beruht.

Polynomma-

P o l y n o m m a t r i x werden d i e E l e m e n t e

ner M a t r i x n i c h t d u r c h Z a h l e n , s o n d e r n d u r c h Polynome

plikationen zugelassen

auf

in d i e

t 3Y2(t)

+ 0,25Y2(t-1)

+ 0,1Y1 (t-1 ) + 2 Y 2 ( t )

Form

- 0,1Y2(t-l)

= E, ( t ) =

E2(t)

2k5

P

(K)Y1 (t)

+

P12(K)Y2(t)

E,(t)

P21 (K)Y1 (t)

+

P22(K)Y2(t)

E2(t)

n

mi t P

- 2

u

(K) = 2 + 0 , 4 K '

P21(K) überführt

p12(K)

P22(K)

0 , 5 + 0 ,1K

werden.

Ein beliebiges

Differenzengleichungssystem

den a l l g e m e i n e n

Form b e s c h r i e b e n

kann d a h e r

+ P12(K)Y2(t) +...+

P2](K)Y1(t)

+ P22(K)Y2(t) + . . . + P2m(K)Ym(t)

P i (K)Y (t) ml 1

+ P ,(K)Y,(t) + ...+ P (K)Y (t) m2 2 mm m

Form e i n e s

einer

Matrizenschreibweise

P12(K)

P

1m(K)

p21(kj

P22(K)

P

2m

Y^t)

= E1 ( t ) =

E2(t)

E

(t)

l e g t den U b e r g a n g

man:

E (t) (t)

E

m

(t)

s i c h das Gleichungssystem

P(K)Y(t)

(21.111)

durch

= E (t)

Die M a t r i x

(21 . 1 1 2 )

P ist

eine Polynommatrix,

ihre

sondern

trizentheorie

g e l t e n j e d o c h , wie erwähnt, unverändert.

(21.112)

Polynome b i l d e n .

da

keine Zahlen,

i s t daher

immer dann

f ü h r b a r , wenn d i e P o l y n o m m a t r i x Entsprechend

zu

E2(t)

= Y

system

(21.111)

E^t)

Y2(t)

ausdrücken.

folgen-

P (K) mm

n,2< K >

und

läßt

Definiert

Pn(K) P(K) =

Y (t)

P1m(K)Ym(t)

Differenzengleichungssystems nahe.

in der

werden:

Pl1(K)Y1(t)

Diese

dann

3 + 0 ,25 K -1 = 2 - 0,1 K

(21.107)

besitzt

in s e i n e

P eine

Elemente

D i e O p e r a t i o n s r e g e 1n d e r

Gleichungs-

Endgleichungsform

inverse Matrix

eine Matrix

Das

Ma-

über-

P ^

besitzt.

immer d a n n e i n e

Inverse,

2lt6

wenn i h r e D e t e r m i n a n t e u n g l e i c h N u l l lung e i n e s E n d g l e i c h u n g s s y s t e m s

ist.

lautet

D i e Bedingung z u r

Ermitt-

daher

|P(K)| * 0 In diesem F a l l w i r d aus P_1(K)P(K)Y(t)

(21.112)

d u r c h M u l t i p l i k a t i o n mit P

1

(K)

= P_1(K)E(t)

und dami t Y(t) Mit

= P_1(K)E(t)

(21.107) wird

Y ( t )

(21.113)

(21.113)

_ P*(K)E(t) " |P(K)|

und damit e r g i b t | P(K) | Y ( t )

sich die = P*(K)E(t)

Das E r m i t t l u n g s v e r f a h r e n s e i das

Endgleichung (21.111»)

sei

an einem B e i s p i e l

Differenzengleichungssystem:

1 ,5Y 1 ( t ) + 0,'»Y 1 ( t - 1 ) 3Y1(t)

+ 0,2V,(t-1)

Die Operatorenpolynome

+ Y2(t)

+ 0,3Y2(t-D

Pn(K)

PU(K)

P21(K)

P22(K)

I h r e Determinante w i r d

P12(K) = 1 P 2 2 ( K ) = 1,1 + 0 ,3 K~ 1 nach

durch

|P(K)| = (1 , 5 + 0 , l » K " 1 ) ( 1 , 1 + 0 , 3 K _ 1 )

-

oder | P ( K ) | = - 1 ,35 + 0 . 6 9 K " 1 beschr¡eben.

= E2(t)

sind:

Die Polynommatrix P bestimmt s i c h =

= E1 (t)

+ 1,1Y2(t)

P , , (K) = 1 ,5 + 0 , 4 K " 1 P 2 1 (K) = 3 + 0 , 2 K _ 1

P(K)

demonstriert.

+ 0,12K~2

(3+0.2K"1)

Gegeben

247

Die A d j u n k t e P * ( K )

P * (K)

bestimmt s i c h a u f g r u n d

1,1 + 0 , 3 K

,-1 -3 - 0 . 2 K

-1

1 , 5 + 0,4K~

Die Endgleichungsform e r h a l t e n wir mit

(21.114)

,1 t O , 3 K

Y,(t) (-1,35+0,69K"1+0,12K"2)

(21.108)

Y2(t)

•1

-1

E,(t)

- 3 - 0.2K

-1

1 ,5 + 0 , 4 K

-1

E2(t)

Durch R ü c k t r a n s f o r m a t i o n des O p e r a t o r s e r h ä l t man in der ü b l i c h e n ferenzengleichungsdarstellung

die Endgleichung für Y^(t) :

- 1 ,35Y 1 ( t ) + 0,69YJ ( t - 1 )

+ 0,12Y1 (t-2) = I J E ^ t ) -

und f ü r

+ 0,3E1 ( t - 1 )

+ 0,69Y2(t-1)

+ 0,12Y2(t-2)

0,2E2(t-1)

3E2(t)

= - E^t) +

+ 1,5E2(t)

Standardform einer

Die T a t s a c h e , daß e n t s p r e c h e n d G l e i c h u n g

(21.114)

|P(K)| m u l t i p l i z i e r t

s t e t s m i t demselben O p e r a t o r p o l y n o m

der

Spaltenvektor

f ü h r t zu dem S c h l u ß , daß d i e E n d g l e i c h u n g e n der endogenen Differenzengleichungssystems | P(K)|Yv (t) = 0

stets dieselbe

Funktionslö-

Differenzengleichungssystems

d i e s e l b e n W u r z e l n a u f w e i s e n und daher e i n e i n h e i t l i c h e s

m i s c h e s V e r h a l t e n z u s t a n d e kommt. D i e s Es s o l l

falsch

der

geschilderte

ist.

E i n e endogene V a r i a b l e

besitzt

n i c h t nur e i n e , s o n d e r n

+

im P r i n z i p

Betrachten wir die Endgleichung

MA-Modells - 0,3Y(t-l)

dyna-

i s t jedoch n i c h t g e n e r e l l

nur k u r z g e z e i g t werden, warum d i e oben

endlich v i e l e Endgleichungen.

Y(t)

Form

v = 1 , 2 , . . . ,m

s u n g e n d e r endogenen V a r i a b l e n e i n e s

Fall.

wird,

Variablen

reduzierte

D a r a u s k ö n n t e man den S c h l u ß z i e h e n , daß d i e

Schlußfolgerung

üblichen

Endgleichung.

Y(t)

besitzen.

+

0,4E2(t-1)

Die D i v i s i o n der b e i d e n G l e i c h u n g e n d u r c h - 1 , 3 5 f ü h r t zu der

stets

-

Y2(t)

-1,35Y2(t)

eines

Dif-

0,2Y(t-2)

' a ^

un-

unseres

248

deren c h a r a k t e r i s t i s c h e Gleichung d i e Wurzeln A 1 = 0,15 + 0,4213i besitzt,

und

X 2 = 0,15 - 0,4213 i

und s c h r e i b e n w i r d i e s e Gleichung

Y(t)(1-0,3K_1+0,2K_2)

= I

in Operatorenform,

(t)

dann i s t es m ö g l i c h , d i e s e Gleichung mit einem b e l i e b i g e n polynom zu m u l t i p l i z i e r e n , zu e r h a l t e n . weise mit

um damit e i n e w e i t e r e

beispiels-

wir:

Y ( t ) (-2+1 , 6 K " 1 - 0 , 7 K " 2 + 0 , 2 K _ 3 )

oder d i e

Operatoren-

Endgleichungsform

M u l t i p l i z i e r e n w i r unsere Ausgangsgleichung

(K ' - 2 ) , so e r h a l t e n

d.h.

=

(K_1-2)L

a

(t)

Endgleichung

-2Y(t)

+ 1,6Y(t-1)

- 0,7Y(t-2)

+ 0,2Y(t-3)

= I (t-1) a

- 21 ( t ) a

mi t den Wurzeln = 0,15 + 0,4213 i

X 2 = 0,15 " 0,4213 i

O r i e n t i e r t man s i c h an d i e s e r

Endgleichung,

und

X^ = 2

so würde das System durch

d r e i Wurzeln bestimmt und e i n e n gegenüber der u r s p r ü n g l i c h e n

Glei-

chung v ö l l i g anderen V e r l a u f

a u f w e i s e n : Das System würde wegen der

Wurzel

in der Funktionslösung den Ausdruck C j 2 t

explodieren,

b i l d e n würde.

die

Es z e i g t s i c h , daß man durch M u l t i p l i k a t i o n des Aus-

gangspolynoms mit einem Ausdruck

(K ^-a) b e l i e b i g v i e l e

gen mit den u n t e r s c h i e d l i c h s t e n Wurzeln e r h ä l t .

Endgleichun-

Es l i e g t d i e

Frage

nahe, welche der Wurzeln u n t e r d i e s e n Umständen das dynamische Verh a l t e n des Systems Um das zu k l ä r e n ,

bestimmen. b e t r a c h t e n w i r e i n e Endgleichung

in Operatoren-

s c h r e i b w e i se: Y(t)(1+a1K"1t+...+anK"n)

= (gQ+g 1 K~1 +. . . +g s K~ s ) E ( t )

U n t e r s t e l l e n w i r n>m und m u l t i p l i z i e r e n mit K n , so e r h a l t e n Y(t)(Kn+a1Kn~1 Es g i l t Sind

+ ...+an)

= (g^+g,

der Produktensatz f ü r

Kn~1

+. . .

+gsKn"S)

E (t)

wir: (21.114)

Polynome:

d i e Wurzeln des Polynoms b n K n +b.K n ' +

K" , so

2k3

läßt

sich

dieses

Polynom

durch = bQKn + b 1 K n " 1 t . . . + bnK°

(K-X1)(K-X2)...(K-Xn)

(21.115)

darstellen. V e r w e n d e t man d i e s e chung

(21.114),

Produktendarstellung

so e r h ä l t

X und

6 als

=

S t i m m e n zwei

men m i t e i n a n d e r

überein,

so kann d i e

w e r d e n , wenn

diese

beeinflussen. die

beiden

Entscheidend

Endgleichung,

den s i n d .

Von d i e s e r Im F a l l e

Garantie gegeben, |P(K)|Yjt)

= 0

der

daher

>ichen Verzögerungen,

gleichen. lässig,

Erst

Glei-

(K-X^)

ihrer

wurde

Polynogeteilt

daß

Systemsverhalten ist

alle n i cht

daher

Operatorpolynome

bisher

(21.116)

nur

verschie-

stillschweigend

(21.114)

ist

jedoch

aus-

keine

Gleichung

von

v=1,2,...,m

Endgleichung

mit

durch

Man e r k e n n t ,

daß d i e W u r z e l n der c h a r a k t e r i s t i s c h e n

Enthält

torpolynoms

ist.

Endgleichungsform

und den O p e r a t o r p o l y n o m e n eine

in

den b e i d e n

eine Verhaltensanalyse

für

Voraussetzung

der

aus

Gleichung

Polynome das

in der d i e Wurzeln

gegangen.

Wurzeln

gemeinsame Wurzel

der

Polynome

[(K-61)(K-i,)...(K-6n)]E(t) I l n

Wurzeln.

gemeinsamen Wurzeln

die

man

Y ( t ) [ ( K - X . ) ( K - X , ) . . . ( K - X )] I L n mit

für

so sind

den W u r z e l n wenn s i c h

exogenen V a r i a b l e n

das

verschieden

exogene V a r i a b l e

die Wurzeln

der

diese

anhand der Wurzeln

eine

verschieden

Gleichung

erweisen,

dynamische Verhalten

des

sind.

unterschied-

des entsprechenden

charakteristischen als

mit

ist

Operazu

ver-

es

zu-

Systems

zu

beurteilen.

y)

Zustandsraumdarste11ung

Unsere

bisherigen

Betrachtungen

gleichungsanalyse. diesem

Fall

Das

bezüglich

Endgleichungen

Systeme

basierten

Diese

und

auf

dynamische Verhalten bestimmter

beurteilt.

dann a n g e b r a c h t ,

linearer

endogener

ihre

Analysemethoden

dem K o n z e p t

eines

der

Systems wird

Variablen

Untersuchungsmethode

anhand ist

interessiert

ist

und d a m i t

in

ihrer

besonders

wenn man n u r a n dem d y n a m i s c h e n V e r h a l t e n

bestimmten endogenen V a r i a b l e n

End-

einer eine

ganz 'ver-

250

dichtete Aussage 1

über die Beziehungen zwischen dieser endogenen V a -

riablen und den exogenen Größen gewinnen will. Im folgenden wollen wir uns mit einer anderen Methode der Analyse dynamischer Systeme beschäftigen, die auf der eines

linearen Systems

Zustandsraumdarstellung

beruht.

Jedes lineare dynamische System läßt sich durch ein äquivalentes

Dif-

ferenzengleichungssystem ersten Grades beschreiben. Die um eine Periode verzögerten endogenen Variablen einer solchen Darstellung

kön-

nen als ein Zustandsvektor Z(t-l) angesehen werden, der zusammen mit den exogenen Variablen den Zustandsvektor Z(t) bestimmt. dieser

Interpretationsmöglichkeit

Zustandsraumdarstel1ung

Angesichts

spricht man in diesem Fall von der

linearer Systeme.

Diese Darstellungsform erlaubt eine übersichtliche Beurteilung der Abhängigkeiten der endogenen Variablen eines Systems. Die Zustandsraumdarstel 1 ung eines dynamischen Systems

in Matrixform erhöht aber

nicht nur die Übersichtlichkeit, sondern gestattet auch eine einfache numerische Analyse

im Falle der Anwendung von EDV-Anlagen. Wie

erwähnt, geht das heute viel verwendete Model 1ierungskonzept Dynamics von der Grundkonzeption aus, daß die Welt durch zu beschreiben

System

Beziehungen

ist, die zum Ausdruck bringen, in welcher Weise ein

System von bestimmten Systemzuständen

in Periode t-1

in die Zustände

in Periode t übergeht. Demzufolge bilden System-Dynamics-Modelle ihrem Primäransatz stets ein System von Differenzengleichungen

in

er-

sten Grades. Diese Konzeption soll zwar hier nicht besprochen w e r d e n , doch mag dieser Hinweis genügen, um deutlich zu machen, daß die bei einer Zustandsraumdarstellung eines primären Mode 11ansatzes renden zusätzlichen

einzufüh-

'künstlichen' endogenen Variablen durchaus

empirisch sinnvollen

Interpretation zugänglich sein können. Zur Ein-

schätzung dieser Darstellungsform dürfte es auch von daß die zur Analyse von Volkswirtschaften verwendeten fnput-Output-Modelle

einer

im Primäransatz bereits einer

Interesse sein, dynamischen

Zustandsraumdar-

stel lung entsprechen. Nach einer Beschreibung der Zustandsraumdarstellung wenden wir uns

251

den Methoden

zu,

raumdarstellung bestimmte

mit

denen

primäre

überführt

werden

Analysemethoden

Model 1 a n s ä t z e

können.

Daran

im Rahmen d e r

in eine

Zustands-

anschließend

werden

Zustandsraumdarstellung

er-

örtert . Als

erstes

wollen

wir

versuchen,

ein

allgemeines

Zustandsraumdarstel1ung

zu

Als

Gleichungssystem

Grundlage Y(t)

.

dient

C(t)

Setzt

l.(t)

in

=

+

lg(t)

(21.117) (21 . 1 1 8 )

oY(t-1)

man G l e i c h u n g

einer

formulieren.

ß[C(t)-C(t-1)]

I,(t) C(t)

+

das

MA-Model1

(21.119) (21.119)

in

(21.118)

und

(21.117)

ein,

so

erhält

man Y(t)

= aY(t-1)

I. (t) C(t) Mit

= =

C(t) und

in

(t)

+

(21 . 1 2 0 )

I ,(t)

(21.121)

aY(t-l)

=

l.(t)

I

ß[aY(t-l)-C(t-1)]

Gleichung Y(t)

+

(21.121)

in

(a+aß)Y(t-1) = aßY(t-l)

-

(21.120) -

ßC(t-l)

folgt: +

lg(t)

ßC(t-l)

= aY ( t - 1 )

Matrizenform

' Y (t)

a+ßa =

|,U) C(t) In d i e s e m

Fall

nen V a r i a b l e n , ansatz.

Als

0

-ß'



0



a

0

0

erübrigt d.h.

alle

weiteres + 3Y1 ( t - 1 )

-

Y2(t)

-

+

in eine

l.(t-l)

+

0

C(t-1) die

Einfügung

soll

6Y1(t-2) 3Y1(t-1)

Zustandsraumdarste11ung

-

das

(21.122)

0 einer

endogenen V a r i a b l e n

Beispiel

Y^t)

2Y2(t-1)

sich

1

' Y(t-1)

künstlichen

entstammen

dem

endogePrimär-

Gleichungssystem

2Y](t-3)

E,(t)

(21.124)

E2(t) überführt

(21.123)

werden.

252

Def i n i eren wi r Z1 ( t ) = Z2(t)

Y^t)

= Y2(t)

z3(t)

= z1(t-1)

Z^t)

= Z3(t-1)

und s e t z e n d i e s e D e f i n i t i o n e n e i n , dann e r h a l t e n

in G l e i c h u n g e n

+ 3Z,(t-1)

- 6Z3(t-1)

- 2Z4(t-1)

Z2(t)

- 2Z2(t-1)

+ 3Z1(t-1)

= E2(t)

In M a t r i z e n d a r s t e l l u n g

ergibt

= Ej(t)

sich:

-3

0

6

2

z1 ( t - 1 )

z2(t)

-3

2

0

0

z2(t-i)

z3(t)

1

0

0

0

z3(t-i)

z4(t)

0

0

1

0

'E,(t)'

+

E2(t) 0 0

Da uns im P r i n z i p nur d i e B e o b a c h t u n g s g r ö ß e n Y^ und Y 2 d e f i n i e r e n wir die

(21.124)

wir:

Z1(t)

2, i t ) "

( 2 1 . 1 2 3 ) und

interessieren,

Matrizengleichung Z, ( t ) "

Y, ( t j

"l

Y2(t)

0

0

0

1 0

0

z2(t)

0

z3(t) y o

Das a n g e f ü h r t e B e i s p i e l pretation

l ä ß t anhand A b b i l d u n g 2 1 . 2 8 f o l g e n d e

Inter-

zu:

YjCt) ^

Abb. 2 1 . 2 8

Zustandsraumdarstellung

e i n e s dynamischen

Y2C t )

Systems

253

Man kann davon s p r e c h e n , daß e i n S y s t e m m i t den E i n g ä n g e n E^ und E^ über d i e

i n t e r n e n S y s t e m z u s t ä n d e Z^ b i s Z^ d i e A u s g a n g s v a r i a b l e n Y^

und ^^ b e s t i m m t . D e f i n i e r t man E,(t)

Z,(t) Z(t)

=

Z2(t)

E (t)

E2(t)

=

0

z3U)

0 -3 Y,(t)

-3 1

Y(t) 0

Y2(t)

0

0 und B

=

0

0

0

0

s o kann d a s a n g e f ü h r t e Z(t)

= MZU-1)

Y(t)

=

als

vektor

durch d i e

+ E (t) (21.125) Die M a t r i x M wird a l s

Zustandsvektor, und B a l s

E(t)

und Y ( t )

Beobachtungsmatrix.

chungssystem a l s die allgemeine

uns

i n t e n s i v e r m i t der S t r u k t u r

Zustandsmatrix

als

bezeichnet,

Ei n g a n g s - bzw.

Verallgemeinernd

Ausgangs-

kann d a s

Glei-

Form der Z u s t a n d s r a u m b e s c h r e i b u n g

nes d y n a m i s c h e n S y s t e m s a n g e s e h e n werden.

welche a l l e

Matrizengleichungen

BZ(t)

b e s c h r i e b e n werden. Z(t)

Beispiel

Im f o l g e n d e n w o l l e n

ei-

wir

der Z u s t a n d s m a t r i x M b e s c h ä f t i g e n ,

I n f o r m a t i o n e n über das d y n a m i s c h e V e r h a l t e n des

enthält.

D i e s e r k e n n e n w i r bei dem V e r s u c h , anhand von

(21.125)

d i e E n t w i c k l u n g des Z e i t v e r l a u f e s

Z(t)

Systems

Gleichung

zu bestimmen.

Z (1 ) = MZ (0) + E ( 1 ) Z(2)

= MZ(1)

+ E (2) = M 2 Z ( 0 )

+ ME (1) + E ( 2 )

3

Z(3)

= MZ(2) + E ( 3 ) = M Z (0) + M 2 E ( 1 )

Z(t)

= MZ(t-l)

+ E(t)

= MtZ(0)

+ ME(2) + E(3)

+ Mt-1E(1)

+ Mt_2E(2) +...+

M°E(t)

25*» Es wird klar, daß die Stabilität oder

Instabilität des Systems

be-

t

stimmt wird von der zeitlichen Entwicklung der Potenzmatrix M .

Um

die Struktur dieser Potenzmatrix besser beurteilen zu können, sind einige neue Begriffe und Sätze der Hatrizentheorie

einzuführen.

Als charakteristische Gleichung einer Matrix M bezeichnet man den Ausdruck |M-Al| = 0

(21 .126)

Handelt es sich um eine (nxn)-Matrix, so ist die Gleichung ein Polynom n-ten Grades. Angenommen, M sei 0

1

0

0

0

1

-3

1

3

M =

(21.126)

durch

konkretisiert, dann wird

M-Xl

" 0

1

0"

0

0

1

-3

1

3_

-

X

0

0"

0

X

0

0

0

X

-x =

1

0 -X -3

0 ' 1

1 3-x

welches zu der folgenden Determinante führt |M-x11 = x 3 - 3 X 2 - x + 3 12 Es gilt der Satz: c

Sind die Wurzeln

'er

c

' l a r a l < ter i st i sehen Gleichung

einer

Matrix M verschieden, so läßt sich eine Matrix S finden, die die Bez i ehung '1,

0 S" 1 = M

(21.127)

'X erfüllt. Bezeichnen wir die Diagonalmatrix

A =

12 Zum Beweis siehe [227 ,S.167]

in (21.127) mit A, d.h.

255

dann kann d i e P o t e n z m a t r i x v o n M i n f o l g e n d e r W e i s e e r m i t t e l t

werden

--1 SAS

M M2 =

(SAS~1)(SAS"

1

s a V

M3 = ( S A S " 1 ) ( S A 2 S _ 1 ) =

SA3S"1

M1 = ( S A S " 1 ) ( S A t _ 1 S _ 1 )

=

(21.128)

SAV

1

Für d i e B e r e c h n u n g der P o t e n z m a t r i x g i l t , k a n n , der

wie man l e i c h t

nachprüfen

Satz:

Die Potenzmatrix A t einer

Diagonalmatrix

0

s

n ist die

Diagonalmatrix ,t

Al

0

=

•X1 n Unsere u r s p r ü n g l i c h e Potenzmatrix M t 00 * 1 2. M1 = S 0 *X beschreiben.

Zur v o l l s t ä n d i g e n

l ä ß t s i c h daher

(21 . 1 2 9 )

Beurteilung dieser

notwendig, d i e G e s t a l t der M a t r i x

durch

S n ä h e r zu

Beziehung

tenvektoren S=[Sj,$2,•••SnJ

zergliedern, die als

in n

Spal-

Eigenvektoren

be-

werden.

Sind X . X ^ j - ' - t ^ p

die

(verschiedenen)

Wurzeln der

charakteristischen

G l e i c h u n g der M a t r i x M, s o bestimmen s i c h d i e E i g e n v e k t o r e n 13 der M o d a l m a t r i x von M nach der B e z i e h u n g MS.

es

spezifizieren.

S i e w i r d a l s M o d a l m a t r i x von M b e z e i c h n e t und l ä ß t s i c h

zeichnet

ist

X.S.

13 Zum Beweis s i e h e

¡ = 1 ,2 [227,S.170]

n

S.,S_,..

(21.130)

256

Der S a t z s e i am B e i s p i e l 0

1

0

0

0

1

-3

1

3

M =

deren c h a r a k t e r i s t i s c h e X3 ermittelt

3 A 2 -1 X haben.

der f o l g e n d e n M a t r i x

Gleichung wir

+ 3

bereits

Die W u r z e l n d i e s e r

Gleichung sind X,=1,

spezifiziert

0

1

o"

0

0

1

-3

1

3

"-1

1

o"

0 -1

1

oder

2

1

S S

12

S

11

S

12

.S13.

= 0

12

.S13. homogenen G I e i c h u n g s s y s t e m s

s12 = 1

1

11 =

= 1

V

Die Lösung d i e s e s S

11

.S13.

S

liefert

S, 13

D i e a n a l o g e B e r e c h n u n g m i t X 2 und X^ l i e f e r t d i e

Ihre

1

1

1

-1

1

1

3/4

1/2

-1A

3/8 - 1 / 2

1/8

-1/8

Matrix

1

I n v e r s e bestimmt s i c h

.-1

0

mit

durch

1/8

Damit kann gemäß ( 2 1 . 1 2 8 )

' ^

f ü r den E i g e n v e k t o r

XlS,

und s t ä r k e r

-3

auf S e i t e 25^

= 0

E n t s p r e c h e n d dem oben a n g e f ü h r t e n S a t z g i l t MS, =

demonstriert,

d i e P o t e n z m a t r i x M*" d u r c h

S

257

1

-2

2

1

1

1

2

1

1

-1

3/8

2

1

2

1

1

•1/8

ausgedrückt

S nur

wird

deutlich,

lich

durch die Wurzeln

Xj,X»•••.* teln.

X, b i s 1

nur d a r a u f ,

und m i t

Hilfe

mit trix

der

n

Ermittlung

numerischen

die

von

eines

eines

die

nicht

eines

1/8

von t

Systems

Zustandsmatrix

Gleichung

der Wurzeln einer

Mathematik

abhängen, ausschließ-

Gleichung

Modells

man s i c h

M eines

von

Matrix

darstellt,

d i e auch zur

EDV-Programmes

dynamischen

beschränkt

EDV-Standardprogrammen

verwendet werden können.

Hilfe

1/8

0

charakteristischen

Systeme

charakteristischen

Programmen zur V e r f ü g u n g , Matrizen

X

Analyse dynamischer

der

n

Da d i e

blem der

-1/2

in

wird.

Systemen o f t

zu e n t w i c k e l n

Elemente e n t h ä l t ,

daß das d y n a m i s c h e V e r h a l t e n

bestimmt

Im R a h m e n d e r großen

1/2 -1 /it

werden.

Da d i e M o d a l m a t r i x

(21 . 1 2 6 )

3A

|M-Al| ein

Bestimmung

Systems Wurzeln

zu

ermit-

klassisches

stehen eine

So b e r e c h n e t e

die

bei

Reihe von

der Wurzeln

ProEDV-

großer

beispielsweise

HOWERY

die Wurzeln einer

(56x56)-Zustandsma-

der

[92,S.65it].

US-Wirtschaft

2.1.2. Nichtlineare Modellformen Nach d e r

Beschreibung

schaften

verwendeter

Uberblick

über d i e

tionenaufdeckung

von

linearen

einschlägigen

Modellen

Modelle

und

Verfahren

eine

Modelle ersten

diskutiert.

Kenngröße

ein

der deduktiven Anhand der

zur

kurzer

ImplikaPhasen-

Grades werden

abweichenden Verhaltensweisen wird

Sozialwissen-

Hypothesen w i r d

Modelle gegeben.

nichtlinearer

Schließlich

nichtlinearer

i n den W i r t s c h a f t s -

nichtlinearer

diagrammdarstellung

monstriert.

einiger

Typen n i c h t l i n e a r e r

die

exemplarisch

Charakterisierung

de-

258

A. Begriffliche Klärung und empirische Interpretation Der Formenreichtum nicht 1inearer dynamischer Modelle ist so groß, daß sich die formale Struktur eines nicht 1inearen dynamischen Modells allein als negative Abgrenzung eines linearen dynamischen Modells definieren läßt. Ein großer Teil der bisher entwickelten dynamisch-ökonomischen Modelle ist linear. Geht man von der intuitiv einleuchtenden Feststellung aus, daß die 'reale Welt 1

nichtlinear

sei, so liegt es nahe, die empirische Relevanz linearer Modelle anzuzwei feln. Die Gründe, welche dazu führten, daß nicht ausschließlich

nichtlinea-

re dynamische Modelle Anwendung finden, liegen zum einen in dem Mangel an geeigneten analytischen Deduktionsmethoden zur Erschließung der Model 1implikationen nicht 1inearer Zusammenhänge. Zum anderen sind die zur Entwicklung ökonometrischer Modelle notwendigen Parameterschätztechniken für nichtlineare Modelle weniger weit entwickelt. In der reinen ökonomischen Theorie sind nichtlineare Modelle zum Beispiel von HICKS, GOODWIN, KALDOR, KRELLE und THALBERG entwickelt worden. [82], [70], [106], [118], [200]. Auch fast alle größeren ökonometrischen Modelle enthalten Nichtlinearitäten, sind jedoch in ihrem Grundcharakter linear. So verwendet TINBERGEN sogenannte Schwellenvariable als nichtlineare Model 1g1ieder. Die Modelle von KLEIN, KLEIN-GOLDBERGER und CHRIST sind bis auf die Verwendung

sogenannter

'Compound variables' linear. [205], [206], [111], [110], [31]. Auf beide Arten von Nicht 1inearitäten wird im folgenden eingegangen. Für die Beschreibung mikroökonomischer Zusammenhänge ist die Verwendung nichtlinearer Modelle von besonderer Bedeutung. Wie TINBERGEN bemerkt, ist die Annäherung nicht 1inearer Verläufe durch lineare Funktionen bei Gleichungen mit aggregierten Größen eher möglich als bei Gleichungen mit disaggregierten Größen. Denn die nicht 1inearen Verläufe ökonomischer Beziehungen geringer Aggregation kompensieren sich in der Regel durch den Aggregationsprozeß.

[207]. Da mikroöko-

nomische Beziehungen ex definitione eine geringe Aggregation aufwei-

259

s e n , und e i n d e r a r t i g e r gen kommt, e r f o r d e r t lineare Modelle.

Linearisierungseffekt

ihre w i r k l i c h k e i t s n a h e

Verwendung n i c h t 1 i n e a r e r im F a l l e

fall

Beschreibung

auch

D i e E n t w i c k l u n g von r e a l i t ä t s k o n f o r m e n

oder Firmenmodellen v e r l a n g t daher o f t

Wie

d a h e r n i c h t zum T r a -

in b e s o n d e r s

nicht-

Branchen-

s t a r k e m Maße d i e

Hypothesen.

l i n e a r e r Modelle bestehen n i c h t l i n e a r e Modelle

a u s einem System von G l e i c h u n g e n ,

Zusammenhänge b e s c h r e i b e n .

im Normal-

empirischen

kann man e i n e bestimmte

rele-

v a n t e endogene V a r i a b l e des M o d e l l s a u s w ä h l e n und v e r s u c h e n ,

durch

algebraische

Umformungen

Auch h i e r

die die einzelnen

ihre n i c h t l i n e a r e

Endgleichung

D i e s e s V e r f a h r e n w i r d j e d o c h nur dann s i n n v o l l sche Techniken zur Verfügung stehen, Endgleichung teilen.

s e i n , wenn

um e i n e d e r a r t i g e

zu l ö s e n o d e r auch nur

In der Regel

ihr

abzuleiten.

Stabilitätsverhalten

i s t es a b e r s e l t e n m ö g l i c h , a u s einem

nearen Gleichungssystem überhaupt die Endgleichung e i n e r endogenen V a r i a b l e n

analyti-

nichtlineare zu

beur-

nichtli-

bestimmten

abzuleiten.

Im f o l g e n d e n s o l l e n e i n i g e w i c h t i g e Typen p r i m ä r e r n i c h t 1 i n e a r e r p o t h e s e n und D e f i n i t i o n s g l e i c h u n g e n (1)

Strukturgleichungen,

erörtert

werden.

welche C o m p o u n d - V a r i a b 1en e r k l ä r e n

A l s C o m p o u n d - V a r i a b l e b e z e i c h n e t man e i n e endogene V a r i a b l e , a u s der M u l t i p l i k a t i o n gibt.

Hy-

oder D i v i s i o n zweier e r k l ä r e n d e r

D i e b e i d e n e r k l ä r e n d e n V a r i a b l e n müssen dabei

die

sich

Variablen

endogene

er-

Varia-

14 blen des M o d e l l s

sein.

Variablen erklären, spielsweise

dells,

Gleichungen, welche

s i n d zumeist D e f i n i t i o n s g l e i c h u n g e n .

der Umsatz

ge d e f i n i e r t ,

Strukturelle

in einem M o d e l l

als

CompoundWird

bei-

P r o d u k t a u s P r e i s mal Men-

und s i n d P r e i s und Menge endogene V a r i a b l e n d i e s e s

so s t e l l t

der Umsatz e i n e C o m p o u n d - V a r i a b l e

dar.

C o m p o u n d - V a r i a b l e können a b e r auch d u r c h H y p o t h e s e n g l e i c h u n g e n k l ä r t werden. So w i r d b e i s p i e l s w e i s e

Mo-

in FORRESTERs W e l t m o d e l l

T o d e s r a t e der W e l t b e v ö l k e r u n g a u s dem P r o d u k t von v i e r

erdie

Multiplika-

t o r e n b e s t i m m t , d i e den E i n f l u ß des L e b e n s s t a n d a r d s , der U m w e l t v e r Wäre z . B . e i n e der e r k l ä r e n d e n V a r i a b l e n e i n e exogene V a r i a b l e , s o könnte e i n l i n e a r e s Modell mit z e i t v a r i a b l e n K o e f f i z i e n t e n v o r l i e gen.

260

schmutzung, der NahrungsmittelVersorgung beschreiben.

und der Uberbevölkerung

[Vgl. Seite ^80]

Die durch Compound-Variable gekennzeichnete multiplikative V e r s t ä r kung oder Abschwächung von erklärenden Variablen

ist als W i r k u n g s -

prinzip nicht sehr plausibel, wenn sie menschliches Verhalten zum Ausdruck bringen soll. (2) Monokausale Hypothesengleichungen mit abnehmendem Hypothesen dieser Art werden

Grenzzuwachs

im ökonomischen Bereich zumeist zur Be-

schreibung von Beziehungen benutzt, die bestimmte

Konkretisierungen

des Ertragsgesetzes ausdrücken. Dies bedeutet, daß es sich um Funktionsverläufe handelt,

in denen der positive Grenzzuwachs der endo-

genen Variablen mit zunehmender erklärender Variablen

abnimmt.

UMSATZ

HERBEAUSGABEN

Abb. 21.29

Als Beispiel

Zusammenhang zwischen Werbeausgaben und Umsatz tragsfunktion)

(Werbeer-

sei auf den Zusammenhang zwischen den wirksamen W e r b e -

ausgaben und den durch sie induzierten Umsätzen hingewiesen, der durch eine 'Werbeertragsfunktion 1

wie in Abbildung 21.29

dargestellt

wi rd. Diese in der amerikanischen Literatur auch als

'sales response func-

tion' bezeichnete Funktion wird oft durch eine der folgenden

Funktio-

261

nen dargestellt.

[1 1»», S-22*»]

U = aVi? U = a + bW + c W 2 + d W 3 mit U=Umsatz und W=Werbeausgaben In vielen Fällen ist es jedoch nicht möglich, bestimmte

nichtlinea-

re Funktionen anhand derartiger elementarer Formelausdrücke zu beschreiben. Man behilft sich dann damit, die vorgegebenen nearen Verläufe durch sogenannte Tabellenfunktionen

nichtli-

darzustellen.

Tabellenfunktionen bewirken eine stückweise Linearisierung nichtlinearen Verlaufes mit Hilfe von

eines

Polygonzügen.

Abbildung 21.30 zeigt eine durch einen Polygonzug ersetzte

nichtli-

neare Konsumfunktion eines MA-Modells.

20

Abb. 21.30

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

Beispiel einer nichtlinearen Konsumfunktion, w e l c h e zur modellmäßigen Erfassung durch einen Polygonzug annähernd wiedergegeben wird

YCt-1 [Tsd.]

262

Die Formulierung von Tabellenfunktionen erfolgt fast ausschließlich direkt

in einer ein dynamisches System beschreibenden

Computersimu-

lationssprache. ^ Daher werden Modelle mit Tabellenfunktionen nicht analytisch untersucht, sondern nur anhand von

auch

Simulationsexpe-

rimenten.

(3) Hypothesengleichungen mit oberen und unteren Grenzen In monokausalen Hypothesen wird oft der ansonsten positiv

ansteigen-

de Funktionsverlauf nach unten, oben oder beiderseits durch

sogenann-

te Schwellen oder Plafonds begrenzt. Derartige Schwellen wurden reits von TINBERGEN

in seinen Modellen verwendet.

Das nichtlineare Konjunkturmodell

be-

[205,S.120]

von GOODWIN gewinnt seine Nicht-

linearität aus der Tatsache, daß die Höhe der oben durch die Kapazitätsgrenze der

Investitionen nach

Investitionsgüterindustrie,

unten durch die normalen Abschreibungsbeträge begrenzt

ist.

nach

[70,S.^]

In dem Modell von HICKS entsteht die Nicht 1 inearitat ebenfalls

durch

eine obere Begrenzung sowie stückweise aneinander anschließende Geraden mit unterschiedlich positivem Anstieg.

(Vgl. [101 ,S.200])

Auch in einzelbetrieblichen Modellen kann die Kapazitätsgrenze

Abb. 21.31

die

Zusammenhang zwischen zu befriedigender und effektiv vorhandener Nachfrage

15 Vgl. Sei te ^19f.

263

obere Begrenzung einer linearen Funktion mit positivem Anstieg den.

In Abbildung 21.31 beispielsweise

ist ein solcher

bil-

Zusammenhang

zwischen der von einem Betrieb zu befriedigenden Nachfrage N^, der effektiv vorhandenen Marktnachfrage N g und der P

m a x dieses Betriebes

Produktionskapazität

in einer Periode dargestellt.

Ist in einer multikausalen Hypothesengleichung der

Funktionsverlauf

für bestimmte Argumentenbereiche durch unterschiedliche

Formelaus-

drücke definiert, dann ist es zweckmäßig, solche funktionalen Verknüpfungen konditional

auszudrücken:

Beispielsweise kann der Zusammenhang zwischen der von einem Betrieb zu befriedigenden Nachfrage N^, dem Lagerbestand L und der effektiv gegebenen Marktnachfrage

durch die in Abbildung 21.32 dargestell-

te Funktion beschrieben werden.

Ne

Abb. 21.32

Funktionale Beziehung zwischen dem Lagerbestand L, der effektiven Marktnachfrage N und der durch den Betrieb zu befriedigenden Nachfrage N,

In einer konditionalen Darstellungsweise wird dieser folgendermaßen

gekennzeichnet:

Zusammenhang

264

Abb. 2 1 . 3 3

K o n d i t i o n a 1 s t r u k t u r e i n e r E n t s c h e i d u n g über d i e der zu b e f r i e d i g e n d e n N a c h f r a g e N^

Die Formulierung n i c h t 1inearer

Beziehungen

t i o n s m o d e l l e n w i r d zu einem g r o ß e n T e i l nalstrukturen

Simula-

i n Form d e r a r t i g e r

Konditio-

vorgenommen.

Der f u n k t i o n a l e

und n i c h t l i n e a r e

Charakter dieser

t u r e n w i r d bei e i n e r e r s t e n B e t r a c h t u n g sollte

in dynamischen

Höhe

nicht

Konditiona1 struk-

immer d e u t l i c h .

s i c h d a h e r bewußt s e i n , daß b e i der U n t e r s u c h u n g d e r

nearen E i g e n s c h a f t e n

bestimmter

nichtli-

Simulationsmodelle derartige

t i o n a l s t r u k t u ren e i n e n s t a r k e n A n t e i l del 1 zusammenhänge

Man

Kondi-

an der N i c h t l i n e a r i t a t

der Mo-

besitzen.

B. Analyse nichtlinearer Modelle Nach E r ö r t e r u n g d e r bedeutsamen A r t e n ökonomischen Ansätzen s t e l l t

nichtlinearer

s t e h e n d e n a n a l y t i s c h e n Methoden z u r E r s c h l i e ß u n g implikationen.

Für d i e a n a l y t i s c h e

ferenzengleichungssysteme

Beziehungen

s i c h d i e F r a g e n a c h den z u r

Untersuchung

bestimmter

des umformen l a s s e n . Ist

Dies

Modell-

nicht 1inearer

i s t es v o n B e d e u t u n g , daß s i c h d i e s e

zu einem ä q u i v a l e n t e n S y s t e m von D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n läßt

sich einfach

in

Verfügung

ersten

Difstets Gra-

zeigen:

i n einem b e l i e b i g e n n i c h t l i n e a r e n A n s a t z e i n e endogene

Variable

265

Y ( t ) , Y ( t - 1 ) , Y ( t - 2 ) , . .. , Y ( t - n ) tionen eingeführt

enthalten,

so können f o l g e n d e

Z,(t)

=

Y(t)

Z2(t)

= Y(t-1)

= Zt ( t - 1 )

Z3(t)

= Y (t-2)

=

Zp(t)

= Y(t-n+1)

Z2(t-1)

= Zn-1 (t-1)

Unter E i n b e z i e h u n g d i e s e r

Definitionen wird

Substitution Y(t-i)=Z.(t-1)

für

im p r i m ä r e n A n s a t z

i = 1 , . . . , n vorgenommen. Werden

endogen v e r z ö g e r t e n V a r i a b l e n des p r i m ä r e n A n s a t z e s se behandelt,

ersten

Im G e g e n s a t z zum l i n e a r e n nichtlinearer

S y s t e m von

Fall

g i b t es keine e i n h e i t l i c h e

Differenzengleichungen.

Theorie

Analytische Verfahren sind

K e n n z e i c h e n des d y n a m i s c h e n

(Vgl.

[105,S.175],

[191],

in w e n i g e n

ken n i c h t 1 i n e a r e r

[209])

bestimmte d y n a m i s c h e

S y s t e m e zu

E i n e über den E i n z e l f a l l

Fällen

s i c h d i e F r a g e , ob z u m i n d e s t g e w i s s e

s c h e Methoden z u r V e r f ü g u n g s t e h e n , d i e es e r l a u b e n , ohne der F u n k t i o n s l ö s u n g e n

bestimm-

Systemverhaltens.

F u n k t i o n s l ö s u n g e n n i c h t 1 i n e a r e r A n s ä t z e s i n d nur

Folge dessen s t e l l t

analyti-

Kenntnis

Verhaltenscharakteristi-

ermitteln.

hinausgehende mathematische Theorie

stellt

d i e s o g e n a n n t e d i r e k t e Methode v o n Ljapunow d a r , m i t d e r e n H i l f e d y n a m i s c h e V e r h a l t e n n i c h t 1 i n e a r e r A n s ä t z e b e u r t e i l t werden

Stabilität

von D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n

entwickelt

das

kann.

D i e s e Methode wurde u r s p r ü n g l i c h von LJAPUNOW z u r B e u r t e i l u n g

a u f d1 i6e S t a b i l i t ä t s a n a l y s e ^

zu-

Differenzengleichungen

b e k a n n t und d i e n e n z u r E r m i t t l u n g der F u n k t i o n s l ö s u n g o d e r

Als

Wei-

Grades.

m e i s t n u r f ü r s p e z i e l l e Typen n i c h t l i n e a r e r

möglich.

die alle

in g l e i c h e r

s o e r h ä l t man l e t z t l i c h e i n n i c h t l i n e a r e s

Differenzengleichungen

ter

Defini-

werden

der

und i s t v o n HAHN

von D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n

ü b e r t r a g e n wor-

den. D i e L j a p u n o w s c h e Methode

läßt s i c h folgendermaßen

In dem S y s t e m Y ( t ) = F [ Y ( t - 1 ) ]

bilden Y(t)

und Y ( t - 1 )

charakterisieren: die

Spaltenvek-

16 Zu e i n e r a u s f ü h r l i c h e n E r ö r t e r u n g d e r S t a b i l i t ä t s t h e o r i e LJAPUNOW s i e h e 1 1 7 0 ] , z u r A r b e i t von HAHN s i e h e [ 7 7 ] .

von

266

toren der endogenen Model 1variablen. Besitzt das System eine Lösung F[Y]-Y=0, so kann dieser Gleichgewichtspunkt die Koordinatentransformation

im Falle von Y+0 durch

X=Y-Y in den Ursprung gelegt w e r d e n ,

so daß sich die triviale Lösung F[X]=0 mit X=0 ergibt. Bei Betrachtung eines bestimmten Anfangswertes X g + 0 kann, wie erwähnt, immer dann von einer asymptotischen Stabilität gesprochen werden, wenn X(t) mit wachsendem t gegen Null konvergiert. Dieser Fall unter folgenden Voraussetzungen

liegt

vor:^

(1) Es sei V[X(t)] eine posi tive defi ni te Funktion, d.h. V[X(t)] > 0 mit Ausnahme von X=0, wo sie Null

ist.

(2) Die Funktion der ersten Differenz von V[X(t)] AV[X (t) ] = V L X ( t + D ] - V[X(t)] sei negativ und im Ursprung

Null.

Erfüllt eine Funktion die Bedingungen diskrete Ljapunow-Funktion Als Beispiel

sei die

(1) und (2), so wird sie als

bezeichnet.

Differenzengleichung

X(t) + X 2 (t-1) + X 2 ( t - 2 ) = 0 angeführt.

(Vgl. [21 h ,S. 231»]) Es wird die

(21-131) Ljapunow-Funktion

V[X(t)] = 2X 2 (t-l) + X 2 ( t - 2 )

(21.132)

eingeführt. Damit wird AV[X(t)] = 2X 2 (t) + X 2 (t-1) - 2X 2 (t-l) Aus

(21.131)

- X 2 (t-2)

(21.133)

folgt

2X 2 (t) = 2 x \ t - l ) + i+X2 (t-1 )X 2 (t-2) + 2x't (t-2) Mit (21.133)

folgt

AV[X(t)] = [ X 2 ( t - l ) + X 2 ( t - 2 ) ] [ 2 X 2 ( t - D + 2 X 2 ( t - 2 ) - l J Es zeigt sich, daß Gleichung dingung

(2) gilt gemäß

(21.132) die Bedingung

(21.13*0

2X 2 (t-1) + 2X 2 (t-2) - 1 < 0 17 Zum Beweis [61 ,S.160]

(21.134)

(1) erfüllt.

Be-

im Falle: (21.135)

267

I s t a l s o Bedingung zengleichung

(21.135)

erfüllt,

so

i s t das durch d i e

beschriebene System a s y m p t o t i s c h

Eine S c h w i e r i g k e i t

bei

Differen-

stabil.

der Anwendung d i e s e r Methode r e s u l t i e r t

aus

der T a t s a c h e , daß es k e i n a l l g e m e i n e s V e r f a h r e n z u r E r m i t t l u n g geeigneten Weiterhin

Ljapunow-Funktion

einer

gibt.

i s t zu bemerken, daß d i e a u f d i e s e W e i s e e r m i t t e l t e n

m e t e r b e r e i c h e nur h i n r e i c h e n d , gen v o n S t a b i l i t ä t

sind.

aber n i c h t

notwendig f ü r das

Durch d i e Wahl e i n e r a n d e r e n

Ljapunow-Funk-

tion

i s t es durchaus m ö g l i c h , andere S t a b i 1 i t ä t s b e d i n g u n g e n

ten.

Die größte p r a k t i s c h e

punow-Methode e r g i b t

zu

von a l l e n z e i t l i c h e n

w i e zum B e i s p i e l

Der Z e i t v e r l a u f

(21.135),

w e r t e und der V e r l a u f

erfüllt

der endogenen V a r i a b l e n X ( t ) sind

in der Regel

Lja-

ermittel-

d i e Bedingung

R e a l i s a t i o n e n der endogenen V a r i a b l e n

doch g a r n i c h t b e k a n n t . V i e l m e h r

erhal-

bei der Anwendung der

s i c h a b e r a u s der F o r d e r u n g , daß d i e

ten S t a b i l i t ä t s b e d i n g u n g e n ,

werden m ü s s e n .

Schwierigkeit

Para-

Vorlie-

nur d i e

ist

je-

Anfangs-

bestimmter exogener V a r i a b l e n vorgegeben.

VI-

DAL h a t , a u f b a u e n d a u f d i e A r b e i t e n von CETAEV und AJZERMAN, zwei Methoden a n g e g e b e n , m i t denen u n t e r Verwendung von L j a p u n o w s c h e n

Funk-

t i o n e n h i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g e n b e z ü g l i c h der A n f a n g s w e r t e

eine

asymptotische S t a b i l i t ä t jedoch nur Als

e r m i t t e l t werden können.

in wenigen F ä l l e n m ö g l i c h .

Ergebnis

ist

festzuhalten,

relativ

daß nach dem g e g e n w ä r t i g e n

beschränkt

Systeme s i n d

t h e o r i e zur B e u r t e i l u n g systemen e n t w i c k e l t Hierbei

Wirtschafts-

worden. Differenzengleichungssystem

1142],

(21.136)

i n dem Y den V e k t o r des s e k t o r a l e n

mengenmäßigen A u s s t o ß e s [195],

des p r o p o r t i o n a l e n Wachstums von

Verhal-

Wachstums-

= H[Y ( t - 1 ) ]

ausgegangen,

Stabi-

des d y n a m i s c h e n

im Rahmen der ö k o n o m i s c h e n

w i r d von einem n i c h t 1 i n e a r e n

Y(t)

Erkennt-

V e r f a h r e n der

ist.

Weitere a n a l y t i s c h e Verfahren zur B e u r t e i l u n g tens n i c h t 1inearer

ist

[214,S.229]

n i s s t a n d d i e p r a k t i s c h e Anwendung a n a l y t i s c h e r litätsanalyse

für

E i n e Anwendung

einer Wirtschaft

[140]). H i n s i c h t l i c h

Einkommens o d e r

repräsentiert.

(Vgl.

der f u n k t i o n a l e n V e r k n ü p f u n g

des

[184], H[]

268

werden bestimmte restriktive Annahmen wie Monotonität und Homogenität unterstellt.

Im Rahmen dieser Restriktionen werden die

gen eines proportionalen Wachstums NIKAIDO hat den Ansatz

Bedingun-

aufgezeigt.

(21.136) unter den gleichen Restriktionen für

H auf die Form Y(t) = H[Y(t-1) ] + A(t-l) erweitert. Hierbei

repräsentiert Y wiederum den Vektor der

len Einkommen, während A den Vektor der exogen bedingten Ausgaben bildet. Dieser nichtlineare Prozeß der

sektoralen

Einkommensentwick-

lung wird von NIKAIDO hinsichtlich der Bedingungen eines len Wachstums

sektora-

proportiona-

untersucht.

Die Beschreibung einiger analytischer Verfahren zur Behandlung

nicht-

linearer dynamischer Modelle soll nicht den Eindruck erwecken, daß diese Verfahren für die Analyse der heute zur Verfügung

stehenden

Modelle von sehr großer Bedeutung sind. Sämtliche derzeitigen

rele-

vanten nichtlinearen Modelle sind praktisch nur mit Hilfe von Computersimulationen untersuchbar. Die Beschränktheit der

diskutierten

Verfahren macht die Relevanz von Computersimulationen

deutlich.

Neben den analytischen stehen auch bestimmte geometrische Verfahren zur Beurteilung nicht 1inearer Systeme zur Verfügung. Auch diese V e r fahren, die sich nur auf eine nichtlineare Endgleichung ersten oder höchstens zweiten Grades beziehen, sind aus der Anwendungssicht

als

irrelevant zu bezeichnen, da realistische Modelle ja stets

komplexer

sind. Das Studium dieser Verfahren

Einsich-

ten in das

liefert jedoch typische

(von linearen Systemen abweichende) Verhalten

nichtlinea-

rer Systeme, welche auch für die Beurteilung der Simulation nichtlinearer Systeme von Bedeutung

komplexer

sind.

Wir wenden uns daher der Analyse einer beliebigen nicht 1inearen

End-

gleichung ersten Grades, d.h. einer Gleichung der Form Y(t) = F[Y(t-1) ] zu. Der Zeitverlauf von Y(t) kann hierbei durch eine einfache gra-

269

phische Darstellung ermi t t e l t

reo

i n der Form e i n e s

sogenannten

Phasendiagramms

werden.

1 YCt)=F[YCt"l)]

YCt-1) Abb. 2 1 . P h a s e n d i a g r a m m e r s t e n Grades

e i n e r n i c h t 1 i n e a r e n Di f f e r e n z e n g 1 e i c h u n g

In dem K o o r d i n a t e n s y s t e m der A b b i l d u n g 2 1 . 3 ^ s i n d d i e Y(t)=F[Y(t-1)] 2 1 . e i n

und Y ( t ) = Y ( t - 1 )

bestimmtes Y(0) vorgegeben,

d i e Größe Y ( 1 ) a l s Den Wert von Y ( 2 ) Y(1)

I s t w i e in

so e r g i b t

der O r d i n a t e n w e r t des P u n k t e s

Abbildung

s i c h wegen

Y(1)=F[Y(0)]

A.

e r h ä l t man, wenn der g e f u n d e n e O r d i n a t e n w e r t

auf die A b s z i s s e

Schritt

eingetragen.

Funktionen

Y ( 2 ) a u s dem S c h n i t t p u n k t

Funktion F ermittelt wird

der S e n k r e c h t e n über Y ( 1 ) m i t

(Punkt B).

indem man von dem O r d i n a t e n w e r t Y ( 1 )

n i e z i e h t und vom S c h n i t t p u n k t d i e s e r

der

Die Übertragung der S t r e c k e

v o n d e r O r d i n a t e a u f d i e A b s z i s s e kann d a d u r c h s e h r e i n f a c h men w e r d e n ,

von

ü b e r t r a g e n w i r d und dann a n a l o g zum e r s t e n

eine waagerechte

L i n i e mit der Funktion

Y(l)

vorgenomLi-

Y(t)=Y(t-l),

270

d.h. der 45°-Linie nach unten

lotet. Der Schnittpunkt des Lotes mit

der Abszisse ergibt Y(1). Durch Fortsetzung dieses Verfahrens gelangt man zu Y(3)» Y C O Man erkennt aus Abbildung 21.34, daß das System Gleichgewicht

usw.

in diesem Fall

einem

im Punkt G zustrebt.

Die hier beschriebene Darstellungsform nichtlinearer chungen ersten Grades

läßt erkennen, daß

sowohl vom Anstieg der Funktion

ihr dynamisches

F als auch

beeinflußt wird. Das dynamische Verhalten Maximen kennzeichnen:

Differenzenglei Verhalten

ihrer Lage zur

45°~Linie

läßt sich durch

folgende

[14,S.265]

(1) Wenn sich die Funktion F[Y(t-l)] über der 45°"Linie befindet, dann ist Y(t) stets größer als Y(t-1), d.h. Y weist einen wachsenden Verlauf auf. Demgegenüber zeigt Y einen abnehmenden Verlauf, wenn sich F unter der 45 -Linie befindet. (2) Wenn der Anstieg von F[Y(t-1)] positiv und kleiner als Eins dann weist das System ein monoton gedämpftes Verhalten auf.

ist,

(3) Ist der Anstieg von F[Y(t-1)] positiv und größer als Eins, so be sitzt das System ein monoton ungedämpftes Verhalten. (4) Weist FLY(t-1)] einen negativen Anstieg auf, dann zeigt das System ein oszillierendes Verhalten, das sich für F 1 [Y(t-1)]F'[Y(t-1)]>-1, als gedämpft os zillierend erwei st. Eine Funktion F[Y(t-l)] kann jedoch

im Rahmen

ihres

Definitionsberei

ches sowohl unterschiedliche Anstiege als auch Positionen zur 45°-Li nie aufweisen, so daß

in bestimmten

Intervallen des

reiches unterschiedliche Verhaltensweisen gemäß

Definitionsbe-

(1) bis

(4) auftre-

ten können. Abbildung 21.35 zeigt eine Funktion, für die dieses zutrifft. Das Verhalten eines konkreten

Systems wird

ge des Anfangswertes Y(0) entscheidend wert

in dem

wichtspunkt

in diesem Fall von der La

beeinflußt.

Liegt der Anfangs

Intervall A ' C ' , so wird das System gegen den B

1

konvergieren.

Liegt er dagegen

im

Gleichge-

Intervall

C ' E 1 , so

strebt das System gegen den Punkt D'. Falls der Anfangswert nicht diese beiden halten

auf.

Intervalle fällt, weist das System ein instabiles

in

Ver-

271

ersten

Das B e i s p i e l örtert

-

Grades

zeigt ebenfalls

im Rahmen n i c h t 1 i n e a r e r

k a i e r und g l o b a l e r

Stabilität

bildung 21.35 beschriebene sitzt

in a n s c h a u l i c h e r

das

in A b b i l d u n g

Form, daß es - w i e

Systeme n o t w e n d i g 18

zu u n t e r s c h e i d e n .

System nur

ist,

zwischen

Während d a s

lokale S t a b i l i t ä t

erlo-

in Ab-

aufweist,

21.3*» a n g e f ü h r t e S y s t e m e i n e g l o b a l e

be-

Stabili-

tät. Untersuchungen n i c h t 1 i n e a r e r MZÄ-Modelle mit H i l f e von men l i e g e n b i s h e r

kaum v o r .

und SOLOW [ 3 9 , S . 3 3 3 ]

Neben einem A n s a t z von DORFMAN,

anhand e i n e r q u a d r a t i s c h e n

Ordnung u n t e r Verwendung von

Auch z u r g e o m e t r i s c h e n A n a l y s e n i c h t 1 i n e a r e r 18 V g 1 .

Tm e i n z e l n e n

SAMUELSON

u n t e r s u c h t e v o r a l l e m DAY d i e B e d i n g u n g e n

Wachstums v o n E i n z e l b e t r i e b e n zengleichung erster

Phasendiagram-

Seite

77

des

Differen-

Phasendiagrammen.[351

Differenzengleichungen

272

zweiten Grades stehen bestimmte Diagrammtechniken zur Verfügung. [214,S.112f. ] Im Gegensatz zu dem beschriebenen Verfahren sind diese Techniken jedoch relativ aufwendig und unübersichtlich, so daß es empfehlenswert erscheint, auch schon derartige Ansätze relativ geringer

Komplexität

mit Hilfe von Simulationsverfahren zu untersuchen. Im Rahmen der Erörterung model1spezifischer

1

linearer Modelle wurde eine Reihe

'linear-

Kennzeichen wie der Totalmultiplikator, die Ein-

heitsimpu1santwort oder die Sprungantwort eines

linearen Systems

be-

handelt: Es liegt nahe, nach der Übertragung dieser Begriffe auf

nichtlineare

Systeme zu fragen. Grundsätzlich gilt, daß eine solche Übertragung auf ein nicht 1ineares System nicht ohne weiteres möglich ist. Denn ein derartiges System

(als negative Abgrenzung eines linearen Sy-

stems)

läßt sich gerade nicht durch solche systemspezifischen

größen

charakterisieren.

So besitzt ein nichtlineares System keine systemspezifische impu1santwort, die ja im linearen Fall den gesamten

Kenn-

Einheits-

Transformations-

mechanismus des Systems zum Ausdruck bringt. Bei nichtlinearen men hängen die Verläufe der

Impulsantworten aber von den

Syste-

Impulshöhen

ab. Wählt man in einem linearen oder nichtlinearen Modell die Anfangswerte derart, daß sich das System im Gleichgewicht GW befindet, und bezeichnet man die ses der Höhe

IH als

Impulsantwort eines Systems bezüglich eines

Impul-

IA(t), so kann man die Kenngröße

SEI(t) = IA(t)-GW

(21.137)

formulieren. SEI soll als standardisierte Einheitsimpu1santwort

be-

zeichnet werden. In einem linearen System verändert sich SEI(t) nicht bei der

Impulshöhe

Variation

IH.

Im Gegensatz dazu ändert sich bei nichtlinearen Systemen der Verlauf von SEI(t)

in Abhängigkeit von der

Impulshöhe. Dieser Umstand

dazu verwendet werden, die Stärke der Nichtlinearitat eines

kann

Systems

273 zu

beurteilen.

MA-Systems und

Eine derartige

demonstriert

, V

I (t) +

die Unternehmer

ihre

für für

induzierten

kann man

analog

zum

einem

Investitionen

Rückgang

'Schwellenhypothese .

beschrieben

linearen

Fall

die

mit

wird.

Bestimmung

des

Es

handelt

in

wird

Abbildung

Bezeichnet

man

I.(t)=F2[C(t)-C(t-1)],

Endgleichung

Y ( t ) = F.| L Y (t-1) ] + F 2 [ F l [ Y ( t - 1 ) ] - F 1 [ Y ( t - 2 ) ] ] Eine analytische

Nachfrage

Weiterhin

F^[Y(t-1)] durch die

verallgemeinernd

der

einstellen. 1

Konsumfunktion

Investitionshypothese

aufstellen.

Konsum-

C(t)-C(t-1)*0 C(t)-C(t-1)n e r h a l t e n w i r s t e t s e i n Q u o t i e n t e n p o l y n o m

ht(x)/f(x),

und e i n Restpolynom

t

xVf(x)

MX)

= gt(A)+ - f g j

Wählen w i r b e i s p i e l s w e i s e

(23.35)

2 t=3 und f ( X ) = 1 + 2X+3X , so e r g i b t d i e i x

X3: (1+2X+3X2)

g^(A)

d.h.

= |x - | + 3 9

-(x3+fx2+ix)

+

Divi-

i

(1+2X+3X )

- 4 2 - I x 3 3

H 1 2 womit g ^ ( x ) = y X - ^ Es

1 2 und h ^ ( x ) = - g X + - g

ist.

l ä ß t s i c h z e i g e n , daß man bei einem b e l i e b i g e n

X'(i=n+1,n+2,...)

und einem Polynom der Form

s t e t s zu einem Z ä h l e r h ^ i x )

stellung

Denn i n dem Q u o t i e n t e n h

höchstens

(x)/f(x)

n i c h t mehr durch f ( X ) g e t e i l t werden können. D i e s e

Fest-

i s t w i c h t i g f ü r das w e i t e r e V o r g e h e n .

Die M u l t i p l i k a t i o n von G l e i c h u n g

xl

f(x)=ag+a^X+a^X^t...+an^n

des Restpolynoms g e l a n g t , der

e i n Polynom n - l t e n Grades b i l d e t . darf ht(X)

Polynom

=

gt(x)f(x)

+

( 2 3 - 3 5 ) mit f(x)

liefert

ht(x)

(23.36)

S c h r ä n k t man den D e f i n i t i o n s b e r e i c h von f(x) auf d i e Wurzeln X.| ,X2>-• • , X n von f(x) e i n , dann

gt(x)f(x) = 0

gilt

306

und aus G l e i c h u n g X

(23-36)

folgt

= htU)

(23.37)

Der Z ä h l e r des Restpolynoms kann, w i e erwähnt, nur e i n Polynom ten Grades s e i n , htU) Mit

(n-1)-

d.h.

= bQ(t) + b ^ O x

1

+ b2(t)X2 +...+

bn_1(t)Xn"1

( 2 3 - 3 7 ) w i r d damit X t = bQ(t) + b1(t)X1

und wegen des

bn_1(t)X

n-1

(23.38)

Cay1ey-Hami1ton-Theorems

M1 = b n ( t ) l U Die Beziehung

t b2(t)X2 +...+

.n-1 + b,(t)M2 +...+ b .(t)Mn l n-1

+-b,(t)M] I

(23-39)

( 2 3 - 3 9 ) d i e n t uns z u r Berechnung von M 1 . Es z e i g t

daß jede P o t e n z m a t r i x M

1

n a t i o n der E i n h e i t s m a t r i x

für a l l e t = n , n + 1 , . . . durch eine

sich,

Linearkombi-

und der e r s t e n n - 1 M a t r i x p o t e n z e n

beschrie-

ben werden kann. Da s ä m t l i c h e W u r z e l n der c h a r a k t e r i s t i s c h e n die Gleichung b^ ( t )

(23-38) e r f ü l l e n ,

xf = b Q ( t ) + b , ( t ) x j +...+

X* = b n ( t ) n U

b^ttjx^"

bg(t),

Gleichungssystems 1

b„_,(t)xn-1 n-1 2

+ b,(t)xj + . . . +

(23.40)

n-1 + b.(t)x'' + . . . + b n (t)X i n n-1 n

gewinnen, welche in G l e i c h u n g Das ganze V e r f a h r e n s o l l

( 2 3 - 3 9 ) e i n g e s e t z t M 1 bestimmen.

am B e i s p i e l

den. D i e Z u s t a n d s r a u m d a r s t e l l u n g Gleichung

X^.X^j.-.X

kann man d i e K o e f f i z i e n t e n

b n _ i ( t ) d u r c h d i e A u f l ö s u n g des

b0(t)

Gleichung

des M A - M o d e l l s d e m o n s t r i e r t

des M A - M o d e l l s bestimmte s i c h

( 2 1 . 1 2 2 ) a u f S e i t e 251. a+aß

Y(t) .,(0 C(t)

=

0 -ß"



0 -ß

(¡(t-l)

a

0

C(t-1)

0

1

Y(t-1) '

+

0

'

(t)

0

Wählen w i r a = 0 , 7 2 und ß = 0 , 2 5 , s o w i r d d i e Z u s t a n d s m a t r i x d u r c h

wer-

nach

307

bestimmt.

0,9

0

-0,25

0,18

0

-0,25

0,72

0

0

D i e G e w i c h t u n g s m a t r i x M 1 w i r d nach G l e i c h u n g

Mt = b Q ( t ) l ermittelt.

D i e W u r z e l n der c h a r a k t e r i s t i s c h e n

z i e n t e n b j j ( t ) , b^ ( t ) und b ^ i t )

G l e i c h u n g von M b e r e c h -

Die mit t v a r i i e r e n d e n

Koeffi-

bestimmen s i c h nach ( 2 3 . 4 0 ) d u r c h

die

Gleichungssystems

xf = ( 0 , 3 ) 1 = b „ ( t )

+ 0,3b^ ( t )

+

0,09b2(t)

X* = ( O . ö ) 1 = b 0 ( t )

+ 0,6b1 (t) +

0,36b2(t)

X^ = 0

= b0(t)

Die Auflösung d i e s e s

Nach

durch

+ b,(t)M + b2(t)M2

nen s i c h m i t A j = 0 , 3 , A 2 = 0 , 6 und X^=0.

Lösung des

(23-39)

Gleichungssystems

b„(t)

= 0

b,(t)

=

b2(t)

= ((0,6) t-2(0,3)

(23.39)

m* =

(-(o,6)^4(0,s^/o,6 t

)/0,18

folgt

( - ( o ^ V t ^ ^ )

+

liefert

1

) ^ ^

0,9 0,18

o 0

-0,25 -0,25

0,72

0

0

0,63 -0,018 0,648

((0,6)t-2(0,3)t)/0,l8

0 0 0

-0,0225 -0,045 -0,18

E i n e Zusammenfassung der M a t r i z e n e r g i b t d i e e n d g ü l t i g e

Form der

Ge-

wichtungsmatrix 2(0,6)t-(0,3)t M1 = - | ( 0 , 6 ) ^ ( 0 , 3 ) *

0 0 0

-

5 In £. ^t j. 5( |(0,6) +|(0>3)t ¿(0,6)t-J(0,3)t -(0,6)t+2(0,3)t

Das a l l g e m e i n e G l i e d der u n e n d l i c h e n wird

durch

Reihe

(23.34), d.h.

MnE(t-ri),

308

2(0,6)n-(0,3)n

0

-£(0,6)n+f(0,3)n

-|(0,6)n+Z.(o,3)n

0

¿(0,6)n-|-(0,3)ri

Jl(0,6)n+-!l(0f3)n

0

dargestellt.

Die Ausdrücke

f u n k t i o n e n von Y , funktion

0

la(t-n)

- (0,6)n+2 (0,3)n

in d e r e r s t e n S p a l t e b i l d e n d i e

I . und C b e z ü g l i c h des E i n g a n g s

(oder E i n h e i t s i m p u 1 s a n t w o r t )

te f ü r a und ß b e r e i t s

Die

GewichtsGewichts-

v o n Y wurde f ü r d i e s e l b e n W e r -

a u f S e i t e 206 b e r e c h n e t und s t i m m t , w i e man

s i c h überzeugen kann, mit der h i e r e r m i t t e l t e n

überein.

B. Überführung infinit sequentieller in zyklische Hypothesen Jede E n d g l e i c h u n g der Y(t)

+ a^t-1)

Form +...+ anY(t-n)

l ä ß t s i c h , wie w i r gesehen haben, wandeln, d.h. Y(t)

auf d i e

in

=

E(t)

(23.41)

ihr sequentielles

Äquivalent

Form

= M[w(JE(t)+w1 E ( t - 1 ) + . . . ]

Würde man z u r M o d e l l i e r u n g

eines

(23.42)

Zusammenhanges e i n e

t i e l l e Hypothese verwenden, d i e s i c h p o t h e s e umwandeln

um-

infinit

sequen-

in e i n e s e k u n d ä r e z y k l i s c h e

l i e ß e , dann h ä t t e d i e s den V o r t e i l ,

mung der E n d g l e i c h u n g e n e i n f a c h e r würde.

daß d i e

Im F a l l e e i n e r

fast

Hy-

Bestimimmer

d u r c h z u f ü h r e n d e n S i m u l a t i o n , würde e i n e z y k l i s c h e H y p o t h e s e zudem den P r o g r a m m i e r - und S p e i c h e r a u f w a n d v e r m i n d e r n , w e i l

im G e g e n s a t z zu

ner s e q u e n t i e l l e n H y p o t h e s e w e n i g e r v e r z ö g e r n d e V a r i a b l e n zu

ei-

spei-

c h e r n wären. Primäre s e q u e n t i e l l e

Hypothesen gehören f a s t

m i l i e der v e r t e i l t e n V e r z ö g e r u n g s h y p o t h e s e n .

ausschließlich

zur

Will

in

man d i e s e

s c h e H y p o t h e s e n umwandeln, s o müssen d i e p r i m ä r e n H y p o t h e s e n finite

Gewichtsfunktionen

mulierten

b e s i t z e n , d i e zum e i n e n d i e

R e s t r i k t i o n e n e r f ü l l e n und zum a n d e r e n a u c h

tionen einer

z y k l i s c h e n Hypothese

sind.

in

Fazykli-

in-

(23.11)

for-

Gewichtsfunk-

309

Im f o l g e n d e n s o l l ,

a u s g e h e n d von der a l l g e m e i n e n

Form e i n e r

zykli-

schen Hypothese, eine K l a s s e von G e w i c h t s f u n k t i o n e n a b g e l e i t e t die die Restriktionen erfüllen

d i e n e n können. einer

(23.11)

und d a m i t a l s

einer verteilten

Gewichtungsfolge eines

Verzögerungshypothese sequentiellen

Die Folge der V e r z ö g e r u n g s m u l t i p l i k a t o r e n

v e r t e i l t e n Verzögerungshypothese

werden,

hat m i t

(23.11)

Ansatzes

Mwg.Mw^,...

folgenden

For-

d e r u n g e n zu g e n ü g e n : (1)

Jedes G l i e d der G e w i c h t u n g s f o l g e W Q , W J , . . .

(2)

Die Gewichtungsfolge

(3)

Der T o t a l m u l t i p l i k a t o r

Die Gewichtsfunktion einer

soll H soll

positiv

ihrer

l i e g e n . W i r w o l l e n uns bei

Funktions1ösung

unserer

Null

die

ten G e w i c h t s f u n k t i o n von v o r n h e r e i n a u f d i e s e T e i l m e n g e

sein.

erste

zwischen

Suche nach e i n e r

d i e s i c h wiederum i n d i e Untermenge g l e i c h e r zerlegen

sein.

e i n e Summe von 1 e r g e b e n . w ä h l b a r und g r ö ß e r

z y k l i s c h e n Hypothese e r f ü l l t

F o r d e r u n g , wenn s ä m t l i c h e W u r z e l n und E i n s

frei

soll

Null

geeigne-

beschränken,

und u n g l e i c h e r

Wurzeln

läßt.

In e i n e r w e i t e r e n E i n s c h r ä n k u n g

sollen ausschließlich

Mi n i ma 1 hypothe--

sen o d e r E n d g l e i c h u n g e n m i t g l e i c h e n W u r z e l n b e t r a c h t e t Im e r s t e n S c h r i t t w o l l e n w i r a u s der g e n e r e l l e n

werden.

Formulierung

einer

Endg1e i chung Y(t)

+ a^Y(t-1)

+...+ anY(t-n)

durch S p e z i a l i s i e r u n g einem M u l t i p l i k a t o r wird

= gE(t)

eine Endgleichung mit

von E i n s e n t w i c k e l n .

(23.43) i d e n t i s c h e n Wurzeln

Anhand d i e s e r

in einem z w e i t e n S c h r i t t d a s e n t s p r e c h e n d e

lent a b g e l e i t e t .

Endgleichung

sequentielle

A u f d i e s e W e i s e gewinnen w i r e i n e

der p r i m ä r e n s e q u e n t i e l l e n H y p o t h e s e und i h r e s

und

Äquiva-

Zusammenstellung

sekundären

zyklischen

Äqu i v a 1 e n t s . Unter Verwendung des O p e r a t o r s

Kn"nY(t)=Y(t-n)

e r h a l ten wi r d i e

Ope-

ratorengleichung Y(t)[Kn+a1Kn~1+...+ anK°] = g E ( t ) Das

in eckigen

Klammern s t e h e n d e Polynom kann g

ü b e r f ü h r t werden, 9 Siehe Seite

249

d.h.

(23.44) in s e i n e

Produktenform

310

Kn + a.K" l

1

+ . . . + a K° = ( K - X , ) ( K - X , ) . . . ( K - X ) n i z n

Da d i e W u r z e l n X ^ ^ n

i/ K

Xn g l e i c h sein s o l l e n ,

+ . . .+ a n K1/0 =

+ a1K

Der A u s d r u c k

(K-X)n

führen, d.h.

[127,S.551].

(K-X)n = Kn -

läßt s i c h

pXK""

1

( K - ,X )i

tu

folgt

n

in s e i n e s o g e n a n n t e B i n o m i a 1 form ü b e r -

+ (pX2Kn-2-...+ (-l)nxnK°

E r s e t z e n w i r d a s Polynom in G l e i c h u n g

(23-44)

durch diesen

Ausdruck,

so e r h a 1 t e n wi r Y(t)[Kn-(1n)XKn~1 + (£)x2Kn"2-...

+

(-l)nXnK°] = gE(t)

Die Rücktransformation Y ( t - n ) = K n " n Y ( t ) ner

führt

(23.45)

zur g e n e r e l l e n

Form e i -

inhomogenen E n d g l e i c h u n g n - t e n G r a d e s m i t g l e i c h e n W u r z e l n X. Y(t)

-

+ (^)x2Y(t-2)

(")XY(t-1)

-...+

(-1)nxnY(t-n)

=gE(t) (23.46)

Der T o t a l m u l t i p l i k a t o r (21.82)

der E n d g l e i c h u n g

(23-44)

bestimmt s i c h

nach

mit

M = , a l+a,+a0+...+a l L n Der V e r g l e i c h der a l l g e m e i n e n E n d g l e i c h u n g s f o r m zialfall

( 2 3 . 4 3 ) m i t dem S p e -

g l e i c h e r Wurzeln X e r g i b t :

1 + a. + a , + . . . + a = 1 1 L n

(?)X + ( " ) x 2 i L

Man e r k e n n t , daß d i e E n d g l e i c h u n g einen T o t a l m u l t i p l i k a t o r g =

(23.44)

-...+

( " O V

in diesem F a l l

=

(1-X)n

immer dann

von 1 b e s i t z t , wenn der f r e i e P a r a m e t e r g

(1-X)n

gewäh11 wi r d . Mit dieser

F e s t l e g u n g w i r d d i e zwe i te an d i e G e w i c h t u n g s f o l g e

v e r t e i l t e n V e r z ö g e r u n g zu s t e l l e n d e s p r e c h e n d der dr i t t e n F o r d e r u n g

Forderung e r f ü l l t .

in einer

F a m i l i e der

Gewichtungsfol-

gen von v e r t e i l t e n V e r z ö g e r u n g e n der T o t a l m u l t i p l i k a t o r bar s e i n s o l l ,

muß g e n d g ü l t i g

mit

einer

Da j e d o c h e n t

H frei

wähl-

311

9 = M(i-x)n gewählt Mit

(23. 47)

werden.

(23.1(7)

in

(23.46)

l i s c h e n Hypothesen, Forderungen Y(t)

e r h ä l t man m i t

(23.48)

deren Gewichtsfunktionen

e i n e F a m i l i e von den

in

(23.11)

zyk-

erhobenen

genügen.

-

+ (^J X 2 Y ( t - 2 )

(")XY(t-l)

(-l)nxnY(t-n)

-...+

=M(l-X)nE(t) (23.48)

In e i n e m z w e i t e n S c h r i t t w o l l e n w i r l e n t der z y k l i s c h e n

Hypothese

nunmehr d a s s e q u e n t i e l l e

(23.48)

K~nY(t)=Y(t-n),

V e r w e n d e n w i r den O p e r a t o r

Y(t)[1-(")XK"1 + (2)X2K"2-... + ( - l )

Äquiva-

entwickeln.

n

xV

so f o l g t n

]

=

aus

(23.48)

M(l-X)nE(t)

oder S (n)(-AK"1)nY(t) n=0 n

=

M

(l-X)nE(t)

A u f g r u n d des B i n o m i a l l e h r s a t z e s 2 ( " M - X K ' V n=0 n (23.50)

in

(23.49)

(1 - X K " 1 ) n Y ( t ) Y(t)

O-XK'1)"

=

(23.50)

ergibt M(l-X)nE(t)

=

(23.51) =

n

(1-XK

(l-XK"1)"n

Y(t)

gilt

= M(1-X)n(l-XK"1)"nE(t)

Der A u s d r u c k

Aus

und

= 2

n=0

(

kann a l s

n + r i

(23.52)

1

(23.51) unendliche

Reihe d a r g e s t e l l t

"1)(XK"V

folgt

Y(t~n) = K_r|Y(t)

valent = (1-X)n E ( n=0

werden (23.52)

(1-X)n Z t " ^ " 1 ) (XK_1)nME(t) n n=o

Die Rücktransformation

Y(t)

(23.49)

n r T r 1

n

)xnME(t-Ti)

liefert

(23.53) das s e q u e n t i e l l e

Äqui-

312

Die G e w i c h t s f u n k t i o n ergibt sich mit w

n

= (1-X )

n

In T a b e l l e 23.1

(

n + r r

ri

V

(23.54)

sind die G e w i c h t s f u n k t i o n e n der

Differenzengleichun-

gen e r s t e n , z w e i t e n , dritten und n - t e n Grades einander

gegenüberge-

stel1t.

Gew ichtsfunktion Zyklisches Ä q u i v a l e n t

Grad

w

1

n

= a - m

n

Y(t)-XY(t-1) = (1-X)E*(t) wn=(i-x)2(l+n)xri

2

Y(t)-2XY(t-1 ) + X 2 Y ( t - 2 ) = (1-X) 2 E*(t) W T l =(1-X)3[(lt n )(2+n)/2]X T l

3

Y(t)-3AY(t-l)t3X 2 Y(t-2)-x3Y(t-3) = (1-X)3E-:t(t) v v r V M l - X j V

n

1

Y ( t ) - ( ^ X Y ( t - 1 ) + (5)X 2 Y(t-2)-...-t(-1) n X n Y(t-n) = ( l - X ) n E * ( t )

Tab. 23.1

G e w i c h t s f u n k t i o n s e q u e n t i e l l e r A n s ä t z e und schen Ä q u i v a l e n t e

ihre z y k l i -

Die auf diese W e i s e e r m i t t e l t e n G e w i c h t s f u n k t i o n e n e n t s p r e c h e n Pasca1vertei1ung.

Dies

ist eine

einer

in der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s t h e o r i e

w e n d e t e V e r t e i l u n g für n i c h t n e g a t i v e g a n z z a h l i g e

ver-

Zufallsvariablen.

Der E r w a r t u n g s w e r t einer P a s c a 1 v e r t e i 1 u n g n - t e n Grades b e r e c h n e t

sich

nach^" wn

= nx/(1-x)

(23-55)

Dieses M a ß kann z u g l e i c h als e i n e Kenngröße für den Verlauf der Gewi chtsf unkt i on dienen. Abbildung

23.4 zeigt den Verlauf der

Gewichts-

funktion e r s t e n bis d r i t t e n Grades mit einem M i t t e l w e r t von w=l0 W i e wir später sehen, w e r d e n die b e s c h r i e b e n e n dritten Grades von FORRESTER 10 Vgl.

[50,S.202]

Gewichtsfunktionen

in s e i n e m d y n a m i s c h e n Model 1 i e r u n g s k o n -

313

Abb. 23.4

Gewichtsfunktionen linearer Differenzengleichungen ersten bis dritten Grades bei gleichen Wurzeln und w=10

zept System Dynamics

in großem Umfang verwendet.

Die bisherigen Erörterungen

lieferten uns eine durch

(23 -

) gekenn-

zeichnete Familie von Gewichtsfunktionen, die den an verteilte Verzögerungshypothesen gestellten Forderungen die zyklische Hypothese

( 2 3 . 1 1 ) genügen und durch

(23.48) zum Ausdruck kommen. Wir wollen uns

im folgenden wieder der Frage zuwenden, ob und auf welche Weise eine Familie der Gewichtsfunktionen zyklischer Verzögerungshypothesen Modellierung primärer verteilter Verzögerungshypothesen

zur

verwendet

werden kann. Als Ausgangspunkt dieser Erörterung dient uns die durch (23.54) gekennzeichnete Familie der Gewichtsfunktionen.

Für die ei-

gentliche Fragegestellung gehen wir von einer Klasse von Gewichtsfunktionen aus, die wir durch zwei Einschränkungen auf eine Teilklasse von

(23-48) und eine Erweiterung dieser Teilklasse über

(23.48)

hinaus erreichen. Die erste Einschränkung beruht darauf, daß wir nur die durch die Spezifizierung von n=3 sich in (23.48) ergebende Teilklasse von funktionen untersuchen wollen. Es handelt sich um

Gewichts-

Gewichtsfunktionen

314

mit einem eingipfeligen sche Zusammenhänge

Verlauf, deren Verlaufsform

plausibel

erscheint.

Abbildung

für v i e l e

plar dieser Teilklasse mit einer durchschnittlichen 10

empiri-

23.4 zeigt ein Verzögerung

Exemvon

Perioden.

Die zweite

Einschränkung

bezieht

sich auf die empirische

tion der v e r t e i l t e n V e r z ö g e r u n g s h y p o t h e s e n : lierung von V e r w e i l z e i t h y p o t h e s e n folgt aus der Absicht,

primärer

thesen eine wichtige Stellung d u r c h d i e Wahl

Die Auswirkung

einer Totzeit

Ersetzt man

v o n M=1

ergibt

(23.48)

sich

die z y k l i s c h e

Die

durch

E(t) d u r c h

E(t-T),

unterschiedlichen

Gewichtsfunktionen

anhand

Einheitsimpuls,

der

bezeichnet.

Die

so w i r d

in A b b i l d u n g

besitzen eine Totzeit von um eine Totzeit

de-

Einheitsim-

0

23.4

Perioden.

von T Perioden

so h i e ß e d i e s , d a ß d i e V e r l ä u f e u m T P e r i o d e n

Unter diesen

Ein-

aus.

Impulsantwort eines Systems

in e i n S y s t e m e i n e n

a u f t r i t t , als T o t z e i t

verschoben werden

nach

mo-

rechts

müßten.

Einschränkungen

und

Erweiterungen

erhalten wir aus

(23.48)

Verweilzeithypothese

A(t) = 3 A A ( t - 1 ) Aus mnemotechnischen E durch Z ersetzt,

- 3A2A(t-2)

+ A3A(t-3)

Gründen wurden

dabei

+

(1-A)3Z(t-T)

Die G e w i c h t s f u n k t i o n

(23-56)

die Variablen Y durch A

so d a ß Z als Z u g a n g u n d A a l s A b g a n g

standsgröße anzusehen

W

drückt sich diese

bis d e r e r s t e p o s i t i v e W e r t d e r

Würde man diese Gewichtsfunktionen difizieren,

in

entwickeln,

läßt sich am a n s c h a u l i c h s t e n

entsprechenden

Schickt man

dargestellten

Formal

über

führt.

d i e Z e i t T, d i e v e r g e h t pulsantwort

einnimmt.

ModelEinengung

Verwei1zeithypo-

F o l g e , d a ß d i e V a r i a t i o n v o n T zu

einer Gewichtsfunktion monstrieren.

sequentieller

an G e w i c h t s f u n k t i o n e n

die Einfügung von Totze i ten.

Gewichtsfunktionen

Diese

Betrachtungen

eines Totalmultiplikators

des Repertoires

so hat d i e s z u r

nur d i e

S y s t e m e e i n M o d e 1 1 k o n z e p t zu

in w e l c h e m d i e M o d e l l i e r u n g

Erweiterung

soll

untersucht werden.

im R a h m e n d e r n a c h f o l g e n d e n

die Simulation dynamischer

schränkung

es

Interpreta-

einer

und

Be-

sind. von

(23-56)

3 / 0 - . Tj„ T n = {(1-X)3(n-^2)Xn"T

ergibt

sich m i t

(23-54)

für n=0,1 T-1 für ri=T,T+1 ,. . .

aus

(23

"57)

315

Zur besseren Beurteilung von Hypothesen

ist es erstrebenswert,

ihre Parameter eine sinnvolle empirische

Interpretation

Aus diesem Grunde soll der Parameter X in (23-57) durch zwei ter definiert werden, die sich als die durchschnittliche eines Elementes

im Bestand

(D) und als die Totzeit

funktion oder Systemantwort deuten

daß

erlauben. Parame-

Verzögerung

(T) der Gewichts-

lassen.

Besitzt eine Verwei1zeithypothese die in (23.5*0 dargestellte Gewi chtsf unkt i on w^, dann kann die durchschnittliche Verzögerung

ei-

nes den Bestand durchlaufenden Elementes mit 00

D* = 2 w -n n=0 1 beschrieben werden.

(23.58) Im Falle der Erweiterung des Ansatzes

(23.^8)

durch die Einführung einer Totzeit T kann die durchschnittliche Verzögerung D mi t 00 D = 2_wn(n+T) n=0 berechnet werden. Hieraus folgt

und mit

(23.11) sowie

(23-58) ergibt sich

D = D* + T

(23.59)

Da das in (23.55) angegebene arithmetische Mittel der

Gewichtsfunk-

tion mit der hier erörterten durchschnittlichen Verzögerung D*

iden-

tisch ist, gi1t für n=3 D* = 3 X / 0 - X ) Aus

(23.59) und (23.60) X

(23.60) folgt (23

=

- 61)

Da X positiv und kleiner als 1 sein muß, gilt D - T > 0 Mit

(23.61)

ist die geforderte Reduzierung von X auf die durchschnitt-

liche Verzögerung und die Totzeit vorgenommen.

316

Unter B e r ü c k s i c h t i g u n g w3 = { ? ,

von

(23.6l) wird

(23-57)

D - T , 2 , n - T + 2 w D-T N n~T D^T+J n-T D^f+J

n

f ü r n = 0 , 1 , 2 , . . . ,T-1 für n-T,T+1,...

2.4. Rekursive und interdependente Modellformen Nach e i n e r e r s t e n empirischen

intuitiven

K l ä r u n g der f o r m a l e n S t r u k t u r

Deutungsmöglichkeit

d e l l e n werden w i r

und der

von r e k u r s i v e n und i n t e r d e p e n d e n t e n Mo

im z w e i t e n A b s c h n i t t Methoden d i s k u t i e r e n ,

nen man i n t e r d e p e n d e n t e und r e k u r s i v e d y n a m i s c h e M o d e l l e Größe v o n e i n a n d e r

u n t e r s c h e i d e n und i n ü b e r s i c h t l i c h e r

mit

beliebiger

Weise

gliedern

k a n n . A b s c h l i e ß e n d wenden w i r uns den b e s o n d e r e n Problemen d e r pfadermittlung

im Rahmen i n t e r d e p e n d e n t e r

Modelle

de-

Zeit-

zu.

2.4.1. Begriffliche Klärung und empirische Interpretation Der g r u n d s ä t z l i c h e

U n t e r s c h i e d z w i s c h e n einem r e k u r s i v e n und einem

¡nterdependenten Modell 24.1 d e m o n s t r i e r t

kann anhand des P f e i l s c h e m a s

in

Abbildung

werden.

In einem ¡ n t e r d e p e n d e n t e n M o d e l l

l a s s e n s i c h z u m i n d e s t zwei

g e r t e endogene V a r i a b l e n

die eine wechselseitige

finden,

sung a u f e i n a n d e r a u s ü b e n .

In A b b i l d u n g

24.1 b e e i n f l u ß t

d i e V a r i a b l e Y^ und w i r d von d i e s e r wiederum d i r e k t derartige wechselseitige viele

'Stationen1,

Entscheidend vorhanden

Beeinflussung

Y^

unverzö-

Beeinflusüber

beeinflußt.

kann d u r c h a u s über

d . h . a n d e r e endogene u n v e r z ö g e r t e V a r i a b l e n

ist allein,

daß e i n e g e s c h l o s s e n e

Eine

beliebig laufen.

Beeinflussungskette

ist.

Anschaulich

formuliert

gekennzeichnetes

h e i ß t d i e s , daß e i n d u r c h e i n

wenn man f ü r m i n d e s t e n s

zwei u n v e r z ö g e r t e endogene V a r i a b l e n

durch d i e s e beiden V a r i a b l e n führenden g e s c h l o s s e n e n pfad f i n d e t .

Pfeildiagramm

d y n a m i s c h e s S y s t e m immer dann i n t e r d e p e n d e n t

Im G e g e n s a t z dazu z e i c h n e n s i c h

d e l l e durch die Abwesenheit eines

ist, einen

Beeinflussungs-

r e k u r s i v e dynamische

solchen Beeinflussungspfades

Mo-

aus.

317

Als Folge davon kann man die Pfeildiagrammdarstellung eines

rekursi-

ven Systems durch Austauschen der Zeilen immer so umgestalten, daß alle Beeinflussungspfeile zwischen den endogenen unverzögerten Variablen in eine Richtung zeigen. Tauscht man beispielsweise

in Abbildung 24.1 die Anordnung der Va-

riablen Yj und Y^ miteinander aus, so wird eine solche

'Standardi-

sierung' bewirkt.

INTERDEPENDENTES

REKURSIVES

MODELL

MODELL

Abb. 24.1

Pfeildiagramm eines interdependenten und rekursiven dynami sehen Model 1s

Bisher haben wir nur die formalen Unterschiede zwischen

rekursiven

und dynamischen Modellen erörtert. Es liegt jedoch nahe, daß auch die empirische Deutbarkeit der in den beiden Model 1 typen auftretenden Hypothesen von unterschiedlicher Art sein wird. Um dieser Frage nachzugehen, betrachten wir zwei modifizierte Versionen eines MA-Modells, welche durch Y(t) = C(t) + l a (t) + 1. (t)

(24.1)

I. (t)= ß [C (t) -C (t-2) ]

(24.2)

C(t) = aY(t-l)

(24.3)

318

und Y(n)

= C(n) + l a ( n )

(24.4)

+ I . (n)

lj (n) = B[C ( n ) - C ( r r 1) ]

(24.5)

C(n) = oY(n)

(24.6)

beschrieben

werden.

Wie man l e i c h t n a c h p r ü f e n k a n n , s t e l l t

die erste Version ein

interdependentes

sives,

d i e z w e i t e dagegen e i n

dieser

B e i s p i e l e w o l l e n w i r der F r a g e n a c h g e h e n , ob es bestimmte

t e r d e p e n d e n t e Model 1 h y p o t h e s e n ren C h a r a k t e r

1

besitzen als die

gibt,

Modell

dar.

rekur-

Anhand

die einen g r u n d s ä t z l i c h

ihnen g e g e n ü b e r z u s t e l l e n d e n

' i n-

ande-

'rekursi-

ven Model 1 h y p o t h e s e n 1 . Hypothesen sind Wenn-Dann-Aussagen.

Dem i n t u i t i v e n V e r s t ä n d n i s

der-

a r t i g e r W e n n - D a n n - A u s s a g e n kommt e s s e h r e n t g e g e n , daß s i e e i n e sale

Interpretation zulassen,

d.h.

die

'Wenn-Komponente'

e i n e r W i r k u n g g e d e u t e t werden k a n n , d i e

i n Form d e r

als

Ursache

'Dann-Komponente'

zum A u s d r u c k kommt. R e k u r s i v e M o d e l l e w e r f e n bei der Anwendung ser

Interpretation

k e i n e Probleme a u f : d i e endogenen

Variablen einer Hypothesengleichung

können s t e t s

a u f der

r e c h t e n S e i t e der G l e i c h u n g s t e h e n d e n

werden.

Die M ö g l i c h k e i t ,

verzögerten Variablen

als

o r d n e n , f ü h r t d a z u , daß e s bei

Model 1en der

die Variable A(t)

als

anzu-

i s t j e d o c h bei

ist,

eigene Ursache

ih-

interdependenten

Beziehungen e r l a u b t die Behauptung,

d i e U r s a c h e von C ( t )

d i e U r s a c h e von B ( t )

Betrachten wir unter dieser b i l d u n g 2 4 . 1 , so

s a c h e v o n Y^ ( t )

und B ( t )

Deutung d a s

i s t d i e Wirkung Y ^ ( t )

d i e U r s a c h e von Y 2 ( t ) ,

ten e i n e r

d i e endogenen u n -

Fa11. kausaler

Die V e r s i o n

gedeutet

rekursiven Modellen nie möglich

Gerade d i e s

Die T r a n s i t i v i t a t

f a l l s A(t)

der

in Form e i n e r o f f e n e n B e e i n f l u s s u n g s k e t t e

e i n e bestimmte endogene u n v e r z ö g e r t e V a r i a b l e a l s r e r W i r k u n g zu d e u t e n .

die-

unverzögerten 'Wirkung'

'Ursachen'

in einem r e k u r s i v e n M o d e l l

kau-

Y2(t)

b e z e i c h n e t werden

daß

kann,

d i e U r s a c h e von C ( t )

ist.

interdependente Modell

in Ab-

i h r e eigene Ursache, weil

d i e Ursache von Y ^ ( t )

und Y ^ ( t )

die

Y^(t) Ur-

ist.

(24.4)

kausalen

bis

( 2 4 . 6 ) des M A - M o d e l l s

Interpretation

zeigt die

im F a l l e der

Schwierigkei-

Konsumfunktion.

319

S e t z t man d i e G l e i c h u n g f ü r Y(ri) gibt

so

er-

s i ch: c(n)

d.h.

in d i e Konsumfunktion e i n ,

= oC(n) + a l a ( n )

+ a l . (n)

d i e Dann-Komponente C ( n ) a u f d e r

zugleich Bestandteil Die S c h w i e r i g k e i t e n

der

ist

Wenn-Komponente.

einer Kausa1interpretation

warum Model 1 e n t w i c k l e r Diese Frage

l i n k e n S e i t e der G l e i c h u n g

überhaupt auf d e r a r t i g e

f ü h r e n zu der

Frage,

H y p o t h e s e n kommen.

i s t um s o b e r e c h t i g t e r , wenn s i c h z e i g t , daß auch die m i t

i n t e r d e p e n d e n t e n M o d e l l e n v e r b u n d e n e n S c h ä t z - und

Analyseverfahren

aufwendiger a l s

Gerade d i e s

im F a l l e

rekursiver Modelle sind.

doch der F a l l . Wenn dennoch

ist

i n t e r d e p e n d e n t e M o d e l l e verwendet

je-

werden,

dann l i e g t der Grund d a r i n , daß manche e m p i r i s c h e n Zusammenhänge wegen D a t e n m a n g e l s a l l e n f a l l s den

mit d e r a r t i g e n Modellformen e r f a ß t

wer-

können.

Zur V e r d e u t l i c h u n g

betrachten w i r das folgende

r e k u r s i v e , aus

zwei

H y p o t h e s e n b e s t e h e n d e Model 1 A(n)

= aB(n-D

+ bA(n-it) +

B(n)

= dA(n-l)

+ eA(n-2)

cA(n-i)

+ S

wobei d e r Z e i t i n d e x n H a l b j a h r e s p e r i o d e n riable A besitzt

die

A(n) = c A ( n - l ) E i n angenommener

+ adA(n-2)

'historischer

den w i r d d u r c h den Z e i t v e r l a u f dargestellt.

+ aeA(n-3) Verlauf

1

Die Va-

Zeitreihe

+ bA(n-4)

von A f ü r 50

+ aS

(24.7)

Haibjahresperjo-

m i t dem Symbol + in A b b i l d u n g

Die Kleinstquadratschätzung

( 2 4 . 7 ) anhand d i e s e r

beschreiben s o l l .

Endgleichung

der P a r a m e t e r

f ü h r t zu der

in

24.2

Gleichung

parametrisch-singu1ären

Hypothese A(n) = 2,837A(n-1)

- 2,831A(n-2)

+ 1,107A(n-3)

- 0,11 6 A ( n - 4 )

+61,226 deren s i m u l i e r t e r

Zeitverlauf

d u r c h d a s Symbol *

beschrieben

wird.

Gehen w i r nunmehr davon a u s , daß d i e B e o b a c h t u n g s w e r t e f ü r A ( n ) B(n)

Flußgrößen d a r s t e l l e n ,

Verfügung stehen, so wie s i e s i c h

+

(24.8)

d i e nur a l s

kumulierte Jahreswerte

i s t es n i c h t m ö g l i c h , e i n e

in G l e i c h u n g

(24.8) dokumentiert,

und zur

Parameterschätzung, vorzunehmen.

320

/

X

J f

Abb. 2 4 . 2

Es f r a g t

H i s t o g r a m m der b e o b a c h t e t e n Z e i t r e i h e der V a r i a b l e n A s o w i e der Z e i t r e i h e f ü r A , w e l c h e von der G l e i c h u n g ( 2 4 . 8 ) e r z e u g t w i r d ( * ) [ E i n h e i t T: T a u s e n d ]

s i c h a b e r , ob e s m ö g l i c h

schreibenden

ist,

e i n e n M o d e l l a n s a t z des zu b e -

S y s t e m s zu e n t w i c k e l n , m i t dem man e i n e Z e i t r e i h e

Jahreswerte gewinnt, deren V e r l a u f g e s t r e b t e n aber n i c h t

(+)

g e g e n ü b e r dem Z e i t v e r l a u f

real i s i e r b a r e n Ansatzes

(24.8)

nur

der

des

an-

geringfügig

abwei c h t . In A b b i l d u n g 2 4 . 3

ist

s i v e n Zusammenhangs

auf der

l i n k e n S e i t e e i n Pfeilschema des

rekur-

angeführt.

Denken w i r uns d i e s e s

Pfeilschema

nunmehr s o zusammengeschoben,

s i c h d i e Q u a d r a t e der P e r i o d e n r p l ,

n ~ 3 » 1 " 5 usw. m i t denen d e r

de ri bzw. n - 2 , r p 4 usw. d e c k e n , dann e r h ä l t man a u f g r u n d d i e s e r

daß Periozeit-

321

lichen Aggregation das auf der rechten Seite dargestellte welches ein interdependentes Jahresmodell

zeigt.

t-2

• • • Abb. 24.3

Schema,

D D



t-1

t



Beispiel der Gewinnung eines interdependenten Modells durch zeitliche Aggregation eines rekursiven Modells

Dieses interdependente Jahresmodell wird durch A(t) = aB(t) + ßA(t-2)

(24.9)

B(t) = yA(t) + 6A(t-1) + S beschrieben. Es liegt nahe, anhand der bekannten

Jahresbeobachtungs-

werte die Parameter dieser

'Hilfskonstruktion aus Datenmangel' zu

schätzen. Legt man die aus

(24.9) ermittelte Endgleichung von A(t)

A(t)

a6 A(t-1) + 1-ay ' '

A(t-2) + 1-ay " V1 " w ' 1-ay

zugrunde, so führt eine Kl einstquadratschätzung der Parameter anhand der Jahresbeobachtungswerte zu der Gleichung A(t) = 1 ,84507A(t-l) - 0,86857A(t-2) + 1259,56551

(24.10)

Diese Jahresbeobachtungswerte ergeben sich jeweils aus der Addition von zwei Halbjahresbeobachtungswerten der Variablen, deren Verlauf in Abbildung 24.2 beschrieben wurde. Abbildung 24.4 zeigt den Zeitverlauf der Jahreswerte A im Falle des rekursiven Ansatzes

(24.8) sowie des

interdependenten Ansatzes

(24.10)

im Vergleich mit den Beobachtungswerten von A, die der Schätzung der

322

Parameter

Abb. 2k.k

beider Modelle zugrunde

lagen.

Z e i t l i c h e r V e r l a u f der V a r i a b l e n A im F a l l e des r e k u r s i v e n H a l b j a h r e s m o d e l l s ( * ) , des i n t e r d e p e n d e n t e n J a h r e s m o d e l l s ($) s o w i e der J a h r e s b e o b a c h t u n g s w e r t e von A ( + ) [ E i n h e i t T: T a u s e n d ]

Man e r k e n n t , daß d a s r e k u r s i v e M o d e l l U b e r e i n s t i m m u n g m i t dem V e r l a u f interdependente

zu e i n e r w e s e n t l i c h

stärkeren

der Beobachtungswerte f ü h r t

als

das

Modell.

1 D i e J a h r e s w e r t e des r e k u r s i v e n M o d e l l s e r g e b e n s i c h aus d e r von j e w e i l s zwei H a l b j a h r e s w e r t e n des r e k u r s i v e n A n s a t z e s .

Addition

323

Da es unter den geschilderten Umständen nur möglich pendentes Modell

ist, ein

interde-

zu entwickeln, fragt es sich aber, ob die Abweichun-

gen zwischen den durch das interdependente Modell erzeugten Verläufen und den Beobachtungswerten zu tolerieren sind. Diese Frage hängt von den Kriterien ab, mit denen die Akzeptierbarkeit statistisch geschätzter Modelle beurteilt wird. Die Schilderung der Überlegungen, die zu einem

interdependenten

Mo-

dell führen können, läßt die Anwendungsberechtigung derartiger Modelle erkennen: Sie stellen Hilfskonstruktionen aus Datenmangel deren Berechtigung aus

ihrer praktischen Bewährung

dar,

folgt.

Das geschilderte Verfahren macht jedoch deutlich, daß

¡nterdependen-

te Modelle nur im Rahmen von Überlegungen entwickelt werden die auf eine statistische Schätzung der Parameter des

1

können,

Ersatzmodel 1s'

hinauslaufen. Aus diesem Grunde treten in Modellierungskonzeptionen, die auf statistische Schätzungen verzichten und auf der Basis subjektiv geschätzter Parameter entwickelt werden, keine ten Gleichungssysteme auf: Als Folge davon gibt es

¡nterdependen-

Simulationssyste-

me, wie DYNAMO oder CSMP, die von vornherein nur für rekursive dynamische Modelle angelegt sind. Die Schätzung der Parameter

interdependenter Modelle mit Hilfe der

Methode der Kleinstquadrate führt zu einer verzerrten Schätzung, weil die erwähnte vierte Voraussetzung einer effizienten 2 Schätzung nicht erfüllt

ist.

Kleinstquadrat-

Es handelte sich um die Forderung, daß

zwischen einer Schockvariablen und den erklärenden Variablen strukturellen Gleichung keine Abhängigkeiten existieren Zur

I11ustration,daß solche Abhängigkeiten aber in

Modellen existieren, greifen wir auf das erörterte

einer

dürfen.

interdependenten ¡nterdependente

MA-Model1 Y(t) = C(t) + l.(t) + l a (t)

(21«.11)

l.(t) = ß[C(t)-C(t-1)] + e (t)

(21«. 12)

C(t) = aY(t) + u (t)

(24.13)

zurück und wollen den Parameter 3 in der Gleichung

(2V. 12) schätzen.

Eine verzerrungsfreie Schätzung setzt voraus, daß die vorherbestimm2 V g l . Sei te 115

324

ten V a r i a b l e n gen: Mit

(24.12)

Y(t) (24.14)

C(t)

in

C(t)

= C(t)

und C ( t - 1 )

in

(24.11)

n i c h t v o n der S c h o c k v a r i a b l e n

erhalten

wir

+ ß[C(t)-C(t-1) ] + la(t)

(24.13)

+

E

(t)

= (a+aß) C ( t )

- aßC(t-l)

w i r d , und e i n e U n a b h ä n g i g k e i t ner e f f i z i e n t e n

(24.14)

liefert + ala(t)

+ ae(t)

Wir e r k e n n e n , daß d i e v o r h e r b e s t i m m t e V a r i a b l e

Um im F a l l

+ y(t)

C ( t ) von e

beeinflußt

im S i n n e d e r v i e r t e n V o r a u s s e t z u n g

Kleinstquadratschätzung

interdependenter

nicht

Limited

im F a l l

i s t a u c h in der t e c h n i s c h e n Die Entwicklung men i h r e r

Information Maximumlikelihood

I h r e Anwendung e r f o r d e r t e i n e n h ö h e r e n

stischen Wissensstand a l s

¡nterdependenter Modelle

statistischen

Fachwissenschaftlern

a u s dem B e r e i c h d e r

ist

s o eng m i t den

Beispiel

sobald

S c h ä t z - und S i m u l a t i o n s s y s t e m e

derartiger

haupt-

geschulten

Schätzverfahren

in

größerem

zur

Verfü-

für

interde-

p e n d e n t e M o d e l l e a u f e i n f a c h e W e i s e zu handhaben e r l a u b e n .

s p ä t e r das TROLL-System

Proble-

Wirtschaftswissenschaften

Diese S i t u a t i o n wird s i c h ändern,

Umfang c o n r p u t e r g e s t ü t z t e

und

aufwendiger.

S c h ä t z u n g v e r b u n d e n , daß s i e h e u t e v o n

gung s t e h e n , w e l c h e d i e k o m p l i z i e r t e r e n

schrittliches

KleinstEstimation,

theoretisch-stati-

b e r u f l i c h e n Ökonometrikern und, s e l t e n e r , ökonometrisch

betrieben wird.

ge-

von K l e i n s t q u a d r a t s c h ä t z u n g e n

Durchführung

ei-

vorliegt.

M o d e l l e zu b e s s e r e n S c h ä t z u n g e n zu

l a n g e n , werden v e r s c h i e d e n e S c h ä t z m e t h o d e n w i e z w e i s t u f i g e quadratschätzungen, verwendet.

abhän-

E

Als

fort-

S c h ä t z - und S i m u l a t i o n s s y s t e m e

wird

erörtert.^

2.4.2. Analyse der Verknüpfungsstruktur rekursiver und ¡nterdependenter Modelle Die e r s t e

formale C h a r a k t e r i s i e r u n g

rekursiver

und

¡nterdependenter

M o d e l l e anhand e i n e s P f e i l s c h e m a s e r l a u b t e s n i c h t ohne w e i t e r e s , vorliegendes

größeres Modell

ordnen . 3 Vgl.

Sei te

569 f f

als

r e k u r s i v oder

interdependent

ein

einzu-

325

E v i d e n t w i r d d i e s e Behauptung Modelle mit d r e i Entscheidung

im F a l l

der h e u t e s c h o n

vorliegenden

b i s v i e r h u n d e r t endogenen V a r i a b l e n .

H i e r kann

eine

über den v o r l i e g e n d e n M o d e l l t y p nur anhand f o r m a l e r

prüfungsverfahren fungsstruktur

d u r c h g e f ü h r t werden.

Zur B e u r t e i l u n g der

von M o d e l l e n b e d i e n t man s i c h s o g e n a n n t e r

Uber-

Verknüp-

Strukturma-

trizen.

A. Strukturmatrizen rekursiver Modelle Da d i e V e r k n ü p f u n g z w i s c h e n den endogenen u n v e r z ö g e r t e n V a r i a b l e n beurteilen

ist,

können einem M o d e l l

a u s Gründen e i n e r

besseren

sicht alle

I n f o r m a t i o n e n entzogen werden, d i e s i c h n i c h t auf d i e

h ä n g i g k e i t z w i s c h e n den endogenen u n v e r z ö g e r t e n V a r i a b l e n D i e G l e i c h u n g e n des Y(t)

= C(t)

zu

UberAb-

beziehen.

MA-Modells

+ la(t)

+

l.(t)

C(t)=

so erhält man, wie aus Abbildung 24.8 zu erkennen ist, für Y 1 den 0 1 Wert Y^. Dieser in (24.27) eingesetzt ergibt Y 2 usw.; man erkennt, daß der Prozeß gegen G strebt. Grundsätzlich wäre es aber auch möglich gewesen, das

Gleichungssystem

nach jeweils einer anderen Variablen aufzulösen, d.h. Y 2 (t) = H ^ Y j (t)] Y,(t) = H 2 [ Y 2 ( t ) ] Verfolgen wir den

Iterationsprozeß anhand von Abbildung 24.9, dann

erkennen wir, daß auch bei der Wahl desselben Anfangswertes Y 2 Konvergenz zustande

keine

kommt.

Die vorangegangenen Ausführungen bezogen sich nur auf ein simultanes Gleichungssystem mit zwei Variablen. Sie lassen sich jedoch auf ein System mit n Variablen

erweitern.

Für den Fall ohne sukzessive Einsetzung während eines

Iterations-

schrittes erhalten wir das Schema Y j (t) = F . t Y ; - 1 ^ " 1

Y^1,...^"1]

J-1,2

n

(24.28)

Die Konvergenz kann auch dadurch erreicht werden, daß statt der Vav-1 riablen Y. der Ausdruck i

3^7

„v-1 wY. +

,, \uv"2 (1-w)Y.

gewählt w i r d ,

in welchem w i n der Regel

zwischen Null

und E i n s

liegt,

i n manchen F ä l l e n a b e r a u c h , um e i n e K o n v e r g e n z h e r b e i z u f ü h r e n , ser a l s

E i n s g e w ä h l t werden muß. Wie e r w ä h n t ,

kann d i e K o n v e r g e n z be-

s c h l e u n i g t w e r d e n , wenn man bei der B e r e c h n u n g von Y . rationsschritt

die Variablenwerte Y^"1

V a r i a b l e n w e r t e Y^ b i s

(i=j)

grös-

b i s yY~]

in

im v - t e n

(2^.27)

e r s e t z t , welche b e r e i t s

Ite-

durch

die

berechnet

wurden. Nach e i n e r e n t s p r e c h e n d e n Zahl k o n v e r g i e r e n d e n P r o z e ß zu

Abb. 2*4.9

von A n s ä t z e n g e l i n g t

es o f t ,

einen

erhalten.

G r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g e i n e s n i c h t k o n v e r g i e r e n d e n GaußS e i d e l - V e r f a h r e n s z u r Lösung e i n e s n i c h t 1 i n e a r e n S y s t e m s von zwei G l e i c h u n g e n

348

2.5. Zerlegbare, unzerlegbare und annähernd zerlegbare Modellformen Bisher haben wir uns vorwiegend mit dem Verhalten einzelner

endoge-

ner Modellvariablen befaßt. Für die Beurteilung eines Modells jedoch auch von

ist es

Interesse, die Verknüpfung zwischen seinen endogenen

Variablen zu studieren. So kann man der Frage nachgehen, ob sich in einem dynamischen Modell eine Gruppe von Variablen finden läßt, die das restliche System beeinflußt, ohne wiederum von diesem Restsystem beeinflußt zu werden. Im Gegensatz zu diesem Fall

ist es auch instruktiv zu wissen, ob et-

wa alle endogenen Variablen direkt oder knüpft sind.

indirekt miteinander

Im folgenden werden bestimmte Modelltypen

denen sich die oben beschriebenen Verknüpfungsweisen

ver-

entwickelt,

eineindeutig

zuordnen lassen. Daran anschließend wird der Versuch unternommen, ein Maß für die Verknüpfungsintensitat oder auch Komplexität eines Modells zu entwickeln. Schließlich wird die Frage diskutiert, ob und bis zu welchem Grade es zulässig system verbundenes Subsystem

ist, ein nur

'lose' mit dem Haupt-

isoliert zu untersuchen.

2.5.1. Begriffliche Klärung und empirische Interpretation Für die Verknüpfung einer endogenen Variablen Y^(t) mit einer anderen endogenen Variablen Y2(t)

ist es unmaßgeblich, ob Y^(t) verzögert oder

unverzögert auf Y^(t) einwirkt. Die Unterscheidung zwischen

verzöger-

ten und unverzögerten endogenen Variablen

Darstel-

lung der Verknüpfungsstruktur

ist daher für die

eines Systems

bedeutungslos.

Zur Analyse der Model lverknüpfung wird ei-n parametrisch-generelles Model l wie Y(t) = C(t) + I. (t) + I (t) I 3 C(t) = aY(t-l) Ij (t) = ß[C(t)-C(t-1)]

349

auf s e i n e n i c h t p a r a m e t r i s e h e nen V a r i a b l e n

reduziert.

Form u n t e r V e r n a c h l ä s s i g u n g

In unserem B e i s p i e l

der

exoge-

e r h ä l t man

Y = F[C, I . ] C = F[Y] I, =

(25.1)

F[C]

D i e exogenen V a r i a b l e n b l e i b e n bei d i e s e r tigt,

Darstellung

unberücksich-

und auch d i e s p e z i e l l e A r t der V e r k n ü p f u n g z w i s c h e n den e n d o -

genen V a r i a b l e n riablen

ist

n i c h t mehr von

in den G l e i c h u n g e n

Interesse.

repräsentieren

Die unabhängigen

j e w e i l s den E i n f l u ß

entsprechenden v e r z ö g e r t e n oder auch u n v e r z ö g e r t e n In A n a l o g i e z u r E r m i t t l u n g der S t r u k t u r m a t r i x gerten Variablen

riablen entwickeln, die a l s Verknüpfungsmatrix

der

Variablen.

d e r endogenen

können w i r e i n e S t r u k . t u r m a t r i x

Va-

unverzö-

der endogenen V a bezeichnet

werden

s o 11. Um d i e V e r k n ü p f u n g s w e i s e n e i n e s d y n a m i s c h e n M o d e l l s l e n zu k ö n n e n ,

i s t es e r s t r e b e n w e r t ,

beurtei-

seine Verknüpfungsmatrix

e n t s p r e c h e n d e n Z e i l e n - und S p a l t e n a u s t a u s c h stimmte s t a n d a r d i s i e r t e

besser

Grundformen zu

(Permutationen)

durch

auf

be-

überführen.

Gelingt es, die Verknüpfungsmatrix eines Modells z e r l e g b a r e M a t r i x zu ü b e r f ü h r e n , dann z e i g t

in eine

sich,

te M o d e l l a n s a t z a u s z u m i n d e s t zwei v o n e i n a n d e r

daß der

vollkommen aufgestell-

unabhängigen

Modellen

besteht. E i n e vollkommen z e r l e g b a r e M a t r i x

ist eine quadratische Matrix

der

s i c h d a d u r c h a u s , daß außer den U n t e r m a t r i z e n a u f

der

Form "M1

Sie zeichnet

0

"

H a u p t d i a g o n a l e n a l l e ü b r i g e n Elemente N u l l m a t r i z e n Als

Beispiel

sei

das dynamische

Modell

sind.

350

Y,(t)

0,5Y1 (t-1)

Y2(t)

Y^(t)

-

Y3(t)

= 0,1 Y, ( t )

YA(t)

Y^t-1)

angeführt, Y

1

Y

2

Y

3

Y

4

auf d i e Y

dessen 1

+ Y3 (t)

0,2Y2(t-l)

t

Y2(t)

Verknüpfungsmatrix

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

_0

1

0

1

0

Grundform

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

ü b e r f ü h r t werden k a n n . Man e r k e n n t , daß Y^ und Y^ a u f der e i n e n und Y^ und Y^ a u f der a n d e r e n S e i t e zwei v o n e i n a n d e r v ö l l i g Modelle bilden. te r e l a t i v Wichtiger

Dieser

selten

Fall

unabhängige

e i n e s vollkommen z e r l e g b a r e n M o d e l l s

s i n d dagegen d i e h i e r a r c h i s c h z e r l e g b a r e n M o d e l l e .

c h e r Typ l i e g t

immer dann v o r , wenn es g e l i n g t ,

t r i x eines Modells überführen,

d.h.

dürf-

auftreten.

die

Ein

in e i n e u n z e r l e g b a r e b l o c k t r i a n g u 1 a r e M a t r i x

e i n e M a t r i x der

sol-

Verknüpfungsmazu

Form^

3' ° °

Dabei w i r d u n t e r s t e l l t , neten M a t r i z e n 1 Vgl.

daß z u m i n d e s t e i n e der d u r c h *

in jeder Spalte keine Nullmatrix

Sei te 327

ist.

gekennzeich-

351

Anhand e i n e r s o l c h e n M a t r i x können w i r uns v e r d e u t l ichen, warum man von einem h i e r a r c h i s c h z e r l e g b a r e n Modell m i t dem V e k t o r

s p r e c h e n kann. B e z e i c h n e n w i r

[Y^ ] d i e der M a t r i x M^ z u g e o r d n e t e n V a r i a b l e n und d e -

f i n i e r e n entsprechend die Vektoren

[Y^1 b i s

[Yr],

gende h i e r a r c h i s c h e G l i e d e r u n g e r k e n n e n : [ Y^] e i n e der endogenen V a r i a b l e n dieser Variablen

in

s o können w i r

beeinflußt

fol-

zumindest

[Y^ ] b i s t Y i, w i r d aber von

keiner

beeinflußt.

[ Y j ] und [ Y 2 ] b e e i n f l u s s e n zwar zumindest e i n e der V a r i a b l e n aus [ Y^] bis

[ Y r ] , werden aber von d i e s e n n i c h t b e e i n f l u ß t .

e r k e n n t man, daß d i e V a r i a b l e n g r u p p e n nen E i n f l u ß a u f d i e Gruppen

[Y^]

Verallgemeinernd

[ Y . 1 nur e i n s e i t i g

[Y. ^ ] , . . . , [ Y r ] ausüben.

Man e r h ä l t daher e i n h i e r a r c h i s c h e s B e e i n f l u s s u n g s v e r h ä l t n i s riablengruppen,

an d e s s e n B a s i s d i e V a r i a b l e n g r u p p e

i s t , während d i e Gruppe

der V a -

[Y^ ] anzuordnen

[Y ] d i e S p i t z e der H i e r a r c h i e

einnimmt.

Die K e n n t n i s der h i e r a r c h i s c h e n S t r u k t u r

e i n e s dynamischen M o d e l l s

z e i g t d i e M ö g l i c h k e i t e n der

bestimmter

'Weitergabe'

w e i s e n u n t e r den V a r i a b l e n g r u p p e n . len man im Rahmen der Gruppe d.h.

isoliert

1 und

Systemverhaltens-

Auch w i r d d e u t l i c h , welche V a r i a b -

[Y^ ] von dem Gesamtmodell

'abkoppeln',

u n t e r s u c h e n kann. Z u g l e i c h z e i g t s i c h , welche der

sammengefaßten h i e r a r c h i s c h a u f s t e i g e n d e n Gruppen LY1 ],

[Y ] usw.

ei-

[Y^ ] und

zu-

[Y 2 ] oder

l o s g e l ö s t von den ü b r i g e n M o d e l l t e i l e n

un-

t e r s u c h t werden kann. Im f o l g e n d e n s o l l

d i e Grundform der V e r k n ü p f u n g s m a t r i x e i n e s

einfa-

chen l i n e a r e n M o d e l l s bestimmt werden. Wir gehen aus von dem A n s a t z Y,(t)

= 0 5 Y3 ( t - 1 )

Y2(t)

= 1 5Y5(t)

Y3(t)

= 0 25Y5(t-1)

y o

= 0 05Y

Yg(t)

= 0 1 Y1 ( t - 1 )

+

E^t)

+ 3,0 Y A ( t )

(t-1)

+ E2(t) t

(25.2)

Y2(t-1)

+ Y

(t-1)

Die V e r k n ü p f u n g e n z w i s c h e n den ( v e r z ö g e r t e n und u n v e r z ö g e r t e n )

endo-

genen S y s t e m v a r i a b l e n können auf das f o l g e n d e G l e i c h u n g s s y s t e m

redu-

ziert

werden.

352

Y 1 = Y2 =

" V F[Y5>Y4]

Y

F[Y

3 = Y, = '4 "

Y

5 =

5] F L[ Y , , Y , ]J ' '3''2 F [

V

Die Boolsche Relationenmatrix

Y

M

=

1

ergibt:

Y

2

Y

3

\

Y

5

Y

2

Y

3

Y4

y

5

Y,

Q u a d r a t m a t r i x von M, d . h .

Y

M

2

=

Y

1

Y

2

Y3

1

1 1

1

1

1

% Y

5

1

1

1

z e i g t , daß d i e V a r i a b l e n Y 2 und Y^ e i n e maximale S c h l e i f e weil

s i e k e i n e a n d e r e V a r i a b l e des S y s t e m s b e e i n f l u s s e n .

bilden, Durch

chen der S p a l t e n und Z e i l e n von Y , und Y. e r h ä l t man d i e M a t r i x

StreiM*

353

Y

1

Y

3

Y

5

D u r c h S t r e i c h e n der S p a l t e n und Z e i l e n von

Yj, i n der

ursprüng-

l i c h e n M a t r i x M e r h ä l t man M* 1

Y,

5

1

Die M a t r i x

M3=M*-M* Y

1

z e i g t , daß d i e V a r i a b l e n Y 1 , Y^ und Y,. e i n e maximale S c h l e i f e D i e e n t s p r e c h e n d e Unordnung der B o o l s c h e n

Relationenmatrix

bilden.

ergibt:

354

und damit erhält man die Verknüpfungsmatrix

Y

1

Y

5

Y

3

1

1 1

1

1

\ Y

1 1

2

(25.3)

1 1

1

1

1

Der vorliegende Ansatz erweist sich als ein zweistufig

hierarchisch

zerlegbares Modell. Man erkennt, daß die Gruppe der Variablen Y^ , Yj. und Y^ die Variablengruppe Y^ und Y^ beeinflußt, ein Einfluß jedoch nicht gegeben nur die

ist.

rückwirkender

Interessieren den Modellentwickler

Implikationen der Variablen Y^, Y^ und Y^, dann kann er das

Gleichungssystem, welches diese Variablen erklärt, isoliert

untersu-

chen. Gelingt es nicht, die Verknüpfungsmatrix eines dynamischen Modells in eine blocktriangulare Form zu überführen, dann handelt es sich um ein unzerlegbares Als Beispiel

Modell.

kann das MA-Model1

endogenen Verknüpfung

(25.1) zu der Boolsehen Matrix

C M

führt.

dienen, dessen Gleichungssystem der

=

I . i

355

D i e B o o l s c h e Q u a d r a t m a t r i x von M e r g i b t C 1

I . Y 1

M2 =

1 1

Es z e i g t s i c h ,

1

daß d a s S y s t e m k e i n e maximale S c h l e i f e

nur über zwei V a r i a b l e n

f ü h r t , denn es

läßt s i c h keine S p a l t e

d i e nur a u f d e r H a u p t d i a g o n a l e n e i n e 1 b e s i t z t . zenmultiplikation

besitzt,

Eine weitere

die finden,

Matri-

liefert I. 1 =

I .

1

1

1

1

1

1

Da d i e gesamte H a u p t d i a g o n a l e m i t E i n s e n b e s e t z t a l l e drei

endogenen V a r i a b l e n

kette, d.h. einer S c h l e i f e . fungsstruktur

ergibt

Systems

ist,

in einer g e s c h l o s s e n e n

Eine graphische

befinden

sich

Beeinflussungs-

D a r s t e l l u n g der

Verknüp-

356

Es kann gezeigt werden, daß es in einem unzerlegbaren Modell

stets

eine geschlossene Beeinflussungskette gibt, die über alle endogenen 2 Variablen führt.

Eine derartige geschlossene

ßeeinflussungskette

soll als Totalschleife bezeichnet werden. Erweist sich ein Modell als unzerlegbar, so wird deutlich, daß man keine Submodelle isoliert untersuchen kann. Auch spricht

in diesem Falle vieles für die Vermu-

tung, daß sich spezielle Systemverhaltensweisen eines Teilbereiches wie ein fluktuierendes Verhalten über die vorhandene

Tota1schleife

auf das gesamte System ausbreiten werden. Die vorangegangenen Erörterungen erlauben nunmehr, das bereits im Abschnitt 2.3-1 • angekündigte Klassifizierungskriterium von Modellen zu entwickeln.'' In einem rekursiven Modell wendete Begriff einer Schleife

identisch mit einem

Wenn interdependente Modelle nur Schleifen zwischen unverzögerten Variablen aufweisen,

zyklischen

ist der hier verFeedbackkreis. ihren endogenen

ist es dagegen wohl kaum m ö g l i c h ,

von einem Feedbackkreis zu sprechen, weil gemeinhin von der Auffassung ausgegangen wird, daß ein Feedbackkreis verzögerte gen

Rückwirkun-

beschreibt.

Die Frage, ob ein vorliegendes Modell zyklisch ist, läßt sich wie folgt beantworten. Enthalten die primären Hypothesengleichungen toregressive Variablen, dann liegt stets ein zyklisches Modell

auvor.

Sind solche autoregressiven Beziehungen nicht vorhanden, so ist ein Modell nur dann zyklisch, w e n n es zumindest eine Schleife enthält, die im Falle eines

interdependenten Modells eine verzögernde

Bezie-

hung enthalten muß. Besitzt das Modell eine Totalschleife, so besitzt das Modell einen Feedbackkreis, der alle endogenen Variablen umfaßt.

2 Siehe Seite 361 3 Siehe Seite 286

357

2.5.2. Verknüpfungs- und Komplexitätsmaße dynamischer Modelle Bisher haben wir ein System durch Eigenschaften gekennzeichnet, die anhand des entsprechenden Systemmodells aufzeigbar sind.

In diesem

Sinne wurde von einem nichtlinearen oder einem offenen System gesprochen. Diesem Sprachgebrauch entsprechend müßte ein komplexes System durch ein komplexes Modell darstellbar sein. Beim Begriff der Komplexität ist jedoch eine solche Begriffsübertragung nicht möglich. Oder anders ausgedrückt: es ist nicht generell möglich zu sagen, daß ein hoch (bzw. wenig) komplexes Modell auch ein hoch (bzw. wenig) komplexes System

repräsentiere.

Als Maß für die Komplexität eines Modells könnte man eine bestimmte Gewichtung aus den Größen Variablenzahl' und

'Stärke der Nicht 1inearität',

'notwendige

'Verknüpfungsintensität der endogenen Variablen'

ansehen. Die Größe oder Stärke der Nicht 1inearität eines Modells ¿4 präzise zu fassen.

Im folgenden soll der Begriff der Model 1komp1 exi-

tät allein anhand der Bestimmungsgrößen und

'Verknüpfungsintensität'

Unter der

ist schwer

'notwendige Variablenzahl'

präzisiert werden.

'notwendigen Variablenzahl' soll die Zahl der Variablen

verstanden werden, die zur adäquaten Erfassung eines Systems erforderlich

ist. Von den notwendigen Variablen sind die

interessieren-

den Variablen zu unterscheiden, d.h. die Variablen, welche der Mode 1 1 entwi ckl er für explikative, prognostische oder normative Zwecke benötigt. Die Zahl der notwendigen Variablen ist daher größer oder gleich der Zahl der

interessierenden

Variablen.

Die Bestimmung der Zahl der notwendigen Variablen

ist nicht unproble-

matisch. Betrachten wir beispielsweise ein MA-Model1, d.h. einen Ansatz der Form Y(t) = C(t) + lj(t) + l a (t) C(t) = aY(t-l) I. (t) = k Vgl. Seite

ß[C(t)-C(t-1)] 272

358

und u n t e r s t e l l e n , riable Y(t).

den M o d e l l e n t w i c k l e r

notwendigen V a r i a b l e n sei geschlossen pothese

ist,

(12.9) >

Y(t)

drei.

Vader

direkt die

aus-

Endgleichungshy-

-h- aßY(t-2)

+

lg(t)

und d i e s e H y p o t h e s e a u s r e i c h t ,

riable Y(t)

kommen, d i e Zahl

Da e s j e d o c h n i c h t g r u n d s ä t z l i c h

daß e i n M o d e l l e n t w i c k l e r d

= (a+aß)Y(t-1)

formuliert

interessiere allein die

Dann kann man zu der A u f f a s s u n g

zu b e s c h r e i b e n ,

i s t d i e Zahl

um d i e

interessierende

der n o t w e n d i g e n

Va-

Variablen

i n d i esem Fa11 1 . Im F a l l e n i c h t 1 i n e a r e r ges U r t e i l

d i e Zahl der dieser

Systeme

i s t jedoch n i c h t

interessierenden Variablen

S a c h l a g e kann

reduzieren

l e t z t l i c h n u r d i e Zahl der

len e i n e s M o d e l l s a l s e i n e k l a r d e f i n i e r t e plexität

immer e i n

h e r a n g e z o g e n werden.

läßt.

D i e s h a t z u r F o l g e , daß e i n

konsistent

s i c h aber

den.

i s t n i c h t v o n der Hand zu w e i s e n , daß v i e l e 'komplexer'

F ü l l e v o n Z w i s c h e n v a r i a b l e n e i n f ü h r e n , m i t der

leicht

ist

eine Maßeinheit

A l s Maß der K o m p l e x i t ä t e i n e s M o d e l l s der S c h l e i f e n

unterschei-

sozioökonomisehe

F o l g e , daß d i e

für die

soll

in A b b i l d u n g 2 5 - 1 d a r g e s t e l l t

MA-Modell

d i e b e i d e n S c h l e i f e n C , I . , Y , C und C , Y , C . t r ä g t daher

M=2-3=6.

Der B e g r i f f

d e r Model 1komp1 e x i t ä t

eine

Anzahl

der endogenen V a Intensität

der

Ver-

entwickeln.

d a s P r o d u k t a u s der A n -

s e i n e r V e r k n ü p f u n g s m a t r i x mit der Z a h l

handenen endogenen Model 1 v a r i a b 1en d i e n e n ,

Das

bestimmtes

annimmt.

k n ü p f u n g z w i s c h e n den endogenen V a r i a b l e n zu

zahl

Kom-

ihre Entwickler

bestimmbaren t a t s ä c h l i c h e n A n z a h l

riablen eines Modells

Variab-

miteinander

i n der V a r i a b l e n z a h l

gemacht w e r d e n , daß

der G l e i c h u n g e n enornje D i m e n s i o n e n Neben d e r

Angesichts

tatsächlichen

logisch

Modelle dadurch

sind,

auf

Bestimmungsgröße der

S y s t e m d u r c h M o d e l l e b e s c h r i e b e n werden k a n n , d i e zwar

Es

eindeuti-

m ö g l i c h , ob s i c h d i e Zahl d e r n o t w e n d i g e n V a r i a b l e n

der

vor-

d.h.

besitzt

beispielsweise

Seine Modellkomplexität

i s t a l l e i n m o d e l l - und n i c h t

be-

system-

359

spezifisch aufzufassen.

G e l i n g t es b e i s p i e l s w e i s e ,

d e l 1 d i e E n d g l e i c h u n g e n von Y , C und d i e s e s Modell

e i n e K o m p l e x i t ä t von

Der W i s s e n s c h a f t s t h e o r e t i k e r

d i e Redundanz e i n e s

1

besitzt

HEMPEL v e r w e n d e t , w i e e r w ä h n t ,

Minima1gesetz1.

einer

im Zusam-

wissenschaftlichen

U n t e r der Z i e l s e t z u n g ,

S y s t e m s von A u s s a g e n z u r B e s c h r e i b u n g der

tät so n i e d r i g wie m ö g l i c h s e i n s o l l , s o l c h e M i n i m a l g e s e t z e zu e r m i t t e l n . Variablen

dann

Null.

menhang m i t der E x p l i k a t i o n des B e g r i f f e s E r k l ä r u n g den T e r m i n u s

v o n einem MA-Mo-

I. a u f z u s t e l l e n ,

kann a l s e i n d e r a r t i g e s

i s t es s t e t s

Die Endgleichung e i n e r

endogenen werden.^

e i n e s M o d e l l s , der

d i e D a r s t e l l u n g d e r E n d g l e i c h u n g e n zum A u s d r u c k g e b r a c h t w i r d , a l s o z u r Mode 1 1 k o m p l e x i t a t del 1 k o m p l e x i t a t redundanz'

des

erweist

Null.

Der h i e r e n t w i c k e l t e B e g r i f f

s i c h d a h e r a l s e i n Maß f ü r d i e

noch einmal

denen V e r s i o n e n des M A - M o d e l l s , s o b e s i t z t = (a+aß)Y(t-1) - aßY(t-2)

l.(t)= I

C(t)

(a+aß)l. ( t - 1 ) - aß I • ( t - 2 ) 1

I

= (a+aß) C ( t - 1 ) - a ß C ( t - 2 )

e i n e Mode 1 1 k o m p l e x i t ä t

+

die

a

+ al

- aß I

(t-1)

von

= C (t)

+ l.(t)

+

lg(t)

I. ( t ) = ß [ C ( t ) - C ( t - 1 ) ] C(t) besitzt

=

aY(t-l)

eine Komplexität

von

M = 2 • 3 = 6 während d i e Z u s t a n d s r a u m d a r s t e 1 1 u n g

5 Vgl.

Seite

46

'Formu1ierungs-

die

verschie-

lg(t) + aß I ( t - 1 )

Ansatz Y(t)

führt der Mo-

Endgleichungsversion

M = 0 •3 = 0 Der

durch

Modells.

Betrachten w i r unter diesem Gesichtspunkt

Y(t)

Reali-

erstrebenswert,

Minimalgesetz aufgefaßt

Der h ö c h s t e Grad der R e d u n d a n z v e r m i n d e r u n g

daß

des

MA-Modells

d

(t-2)

360

Y

(t)

Kit)

0

- ß

Y(t-1 )'

a ß

0

- ß

Ij(t-I)

+ 0

a

0

C(t-1)

0

a t ß a

=

C(t)

0

"1"

E(t)

das Komplexitätsmaß von M = 1 • 3 = 3 aufwei s t . Die Berechnung der Anzahl der e x i s t i e r e n d e n S c h l e i f e n e i n e s soll

Modells

anhand e i n e s B e i s p i e l e s d e m o n s t r i e r t werden.

B e t r a c h t e n w i r d i e durch d i e folgenden Funktionen zum Ausdruck kommenden Verknüpfung der endogenen V a r i a b l e n e i n e s dynamischen Modells Y1

= F [ V V V2 = F [ Y 3 ] y3

=

H V V

dann l a s s e n s i c h d i e h i e r zu Tage t r e t e n d e n Verknüpfungen auch durch das Schema Gl ei chungsnr.

2

3

1

•12 o

•13

2 3

•31

zum Ausdruck b r i n g e n ,

•23

•32

indem in j e d e r Z e i l e d i e abhängigen V a r i a b l e n

durch e i n e n l e e r e n , d i e unabhängigen V a r i a b l e n durch e i n e n geschwärzten K r e i s gekennzeichnet In unserem B e i s p i e l

sind.

existiert

eine Zweierschleife, weil

Y^ d i e

Glei-

chung f ü r Y^ b e e i n f l u ß t und Y^ wiederum d i e Gleichung von Y^. Man erh ä l t , w i e i n dem nachfolgenden Schema g r a p h i s c h d e m o n s t r i e r t , geschlossene

Kette

Gl ei chungsnr. 1

1

2 3

'3 '12

'13

p-T23 *31

eine

361

B e z e i c h n e n w i r nunmehr d i e K o e f f i z i e n t e n e i n e r

beliebigen

Verknüp-

f u n g s m a t r i x m i t a . j , s o w i r d anhand d e r g r a p h i s c h e n A u f w e i s u n g Z w e i e r s c h l e i f e d i e a l l g e m e i n e Behauptung e v i d e n t : so v i e l e

Z w e i e r s c h l e i f e n w i e s i c h E i n s werdende

Ein Modell

einer

besitzt

Koeffizientenpro-

dukte a

*a„ Ctp

= 1

mit a , ß £ { 1 , 2 , . . . , n }

und a+ß

pCt

seiner Verknüpfungsmatrix Für d a s A u f f i n d e n e i n e r

finden

lassen.

Dreierschleife g i l t

Eine D r e i e r s c h l e i f e wird

eine analoge

in unserem B e i s p i e l

Betrachtung.

d u r c h das f o l g e n d e n

Sche-

ma Gl e i c h u n g s n r .

Y^

1

Y^

o-.

• ?12

2

3

51

• 13 {23

*32

b e s c h r i e b e n und d u r c h d i e K o e f f i z i e n t e n f o l g e risiert.

A n a l o g zum F a l l

ein Modell

besitzt

einer

so v i e l e

a^»

Dreierschleife

a

a

23>

ji

können w i r

D r e i e r s c h l e i f e n wie s i c h

charaktefeststellen:

E i n s werdende

Koeffizientenprodukte a

aß *

a

ßy * aya

=

1

m i t

seiner Verknüpfungsmatrix Aus den B e i s p i e l e n e i n e r Verallgemeinerung S c h l e i f e n g i b t wie

a

'

finden

{ 1

'

2

*''' 'n}

a + ß + Y

lassen.

Z w e i e r - und D r e i e r s c h l e i f e

f i n d e n , daß e s s o v i e l e

läßt s i c h

über s V a r i a b l e n

in welchen

und i v + 1 = j v

i,, i„,..., i und j , , Ji ~ , . . . , iJ 1 2 s 1 2 s

Eine n x n Verknüpfungsmatrix

wenn s i c h f ü r den F a l l l ä ß t , welches d i e 6 Zum B e w e i s

führende

mit (25.4)

Permutationen

der Elemente der Menge T b i l d e n , w e l c h e e i n e T e i l m e n g e von ist.

die

Koeffizientenprodukte

a . . * a. . * . . . * a . . * . . . a . . = 1 V i '2J2 U 'sJs existieren,

und

in

i s t dann und nur dann

{1,2,...,n}

unzerlegbar,

s=n zumindest e i n K o e f f i z i e n t e n p r o d u k t

(25.4) geforderten

[152,S.109]

Bedingungen

erfüllt.^

finden

362

Da in diesem Fall sämtliche endogenen Variablen von zumindest einer geschlossenen Beeinflussungskette berührt werden, enthält das Modell auf jeden Fall eine Tota1schleife. Damit wird aber deutlich, daß ein Modell

stets nur dann eine Total-

schleife besitzt, wenn seine Verknüpfungsmatrix unzerlegbar Besitzt ein Modell

ist.

keine Tota1sch1eife, d.h. kann es in eine block-

triangulare Verknüpfungsmatrix mit unzerlegbaren Diagona1blocken

um-

gewandelt werden, dann umfaßt jeder Diagona1b1ock zumindest eine Schleife von der Dimension dieser unzerlegbaren Untermatrix, und auch alle weiteren Schleifen niedrigen Grades hängen allein von der Konstellation der Koeffizienten Dies soll am Beispiel Modells

in diesen Untermatrizen ab.

der Verknüpfungsmatrix

(25-3) des dynamischen

(25.2) demonstriert werden. Ersetzt man die Einsen dieser Ma-

trix durch die Elemente a.., so erhält man die Matrix •1 *

a

ll

a

21

a

22

a

32

a

a

13

a

33

a

*3

52

a

a

kk

a

54

a

h5 55

Nach dem Gesagten sind nur die Koeffizienten

in den beiden

Diagonal-

blöcken für die Schleifenbestimmung von Bedeutung. Es zeigt sich: Im oberen Diagonal block gibt es nur eine a

21

a

13

a

32

und im unteren die a

45

Zweierschleife

Dreierschleife

363

Die Model 1 komplexitat beläuft sich daher auf M=2'5=10. Zur Bestimmung der Schleifen

in einer Verknüpfungsmatrix stehen be-

stimmte Algorithmen zur Verfügung. Im Rahmen des Simulationssystems

[^9]

IFICUS, welches zur Simulation So-

zi oökonomischer dynamischer Modelle entwickelt wurde und große Ähnlichkeiten mit dem Programmiersystem DYNAMO besitzt, ist ein Dienstprogramm Kl SS zur Erkennung von Kreisstrukturen entwickelt worden. K1SS (Kreise im Simu1ationssystem)

erkennt und dokumentiert alle v e r -

zögerten Kreisbeziehungen zwischen den endogenen Variablen eines Mo7 8 dells. KISS liefert folgende Informationen: (1) Eine Statistik über die Anzahl der

Kreise.

ERKANNT WURDEN 259 KREISE (2) Eine Aufstellung der

in einem Kreislauf berührten endogenen V a -

riablen:

1) 2)

4)

AR TLR AR TLR PER DAR DAR PMABA

KV TLA KV TLA PR

EVTL

QTVL

VTL

EVTL AK PMABA

QTVL QLB PINQÜ

VTL LB DUMS

PINQU REINP

Die unter 3) angegebene Variable kennzeichnet einen Fall, in dem eine endogene Variable allein von ihrer eigenen Verzögerung wird.

beeinflußt

Im Sinne der von uns durchgeführten Definition darf man

sem Fall nicht von einer Schleife

in die-

reden.

(3) Eine Statistik über die Häufigkeit, mit der eine endogene V a r i a b le sowie bestimmte Kettenglieder mit dieser endogenen Variablen in einem Kreis enthalten

sind.

7 Das System ist wie DYNAMO nur auf rekursive dynamische Modelle a u s gelegt. Unverzögerte Kreisbeziehungen, d.h. simultane Gleichungen wären daher Modellierungsfehler. 8 Beispiel entnommen [194,S.287]

36if

Ali IST IN 140 KREIS (EN) ENTEALTEN AR KV IN 140 KREIS(EN) ASL IST IN 48 KREIS(EN) ENTEALTEN ASL TR IN 48 KREIS(EN) KT IST IN 140 KREIS(EN) ENTEALTEN KT ETWL IN 79 KREIS(EN) KT EVMA IN 61 KREIS(EN) AR KT EVTL QTLW VTL TLR TLA Die Stärke der Verknüpfung eines Modells kann auch durch eine weitere Maßzahl

beschrieben werden, die in Analogie zu dem im Rahmen der

Input-Output-Analyse verwendeten Begriff eines

Zirku1aritätsgrades

dargestellt und als Rückführungsgrad bezeichnet werden soll. Zur Entwicklung dieses Begriffes gehen wir davon aus, daß es gelungen ist, die blocktriangulare Strukturmatrix eines dynamischen Modells zu entwickeln. Als Beispiel

nehmen wir die auf Seite 333

dargestellte

Matrix. Denken wir uns in dieser Matrix alle Einsen über der Hauptdiagonalen gleich Null gesetzt, dann erhält man die folgende Matrix.

X

1

x2

x3

X

1

1'

4

X

5

X

6

X

7

X

8

X

9

X

1 X 2 x3

\ X

5

X

6

X

7

X

8

X

9

1 1 1 1

1

Diese Matrix beschreibt ein System, ablen

in dem sich die endogenen Vari-

in rekursiver Weise beeinflussen.^ Das Pfei1diagramm a zeigt

9 Vgl. zum rekursiven Aufbau eines Systems von Variablen Seite 3l6ff

365

den s i c h e r g e b e n d e n Zusammenhang.

Im G e g e n s a t z zum P f e i 1 d i a g r a m m b

des u r s p r ü n g l i c h e n M o d e l l s e n t h ä l t e s k e i n e n F e e d b a c k k r e i s , w e i l nach oben f ü h r e n d e n P f e i l e , geschnitten Es

liegt

Anzahl

im f o l g e n d e n R ü c k f ü h r u n g e n g e n a n n t ,

die ab-

sind.

nahe davon a u s z u g e h e n ,

daß in einem M o d e l l

mit

der R ü c k f ü h r u n g e n auch d i e Model 1komp1 e x i t a t

wachsender

zunimmt,

weil

1

Abb. 2 5 . 2

damit

Pfeildiagramme eines mu1tivariablen

(tendenziell)

wächst.

auch d i e Zahl

der v o r h a n d e n e n

D i e Zahl der R ü c k f ü h r u n g e n

Zur V e r d e u t l i c h u n g bildung 25.2.

Modells

ist

Feedbackkreise

jedoch kein p r ä z i s e r

betrachten w i r die Pfei1diagramme

Beide beschreiben d a s s e l b e Modell

A n o r d n u n g e n der endogenen V a r i a b l e n . nach oben f ü h r e n d e n R i c h t u n g s p f e i l e

a l s Anzahl im F a l l

das M o d e l l

gen n u r zwei R ü c k f ü h r u n g e n .

b und c in A b unterschiedlichen

L e g t man nunmehr f e s t ,

zusehen s i n d ,

so b e s i t z t

bei

I h r e Anzahl

Begriff.

daß

der R ü c k f ü h r u n g e n

b fünf,

Rückführungsbegriff

eines Modells

einführen,

bezeichnet w i r d . Er

an-

im F a l l e c d a g e -

h ä n g t d a h e r von der A n o r d n u n g

der V a r i a b l e n a b . Wegen d i e s e r M e h r d e u t i g k e i t e n w o l l e n w i r e i n e n ziseren

die

der a l s

resultiert

die

prä-

Minima1rückführunQ

aus f o l g e n d e r

Überlegung:

366

in dem P f e i 1 d i a g r a m m e i n e s M o d e l l s w i r d e i n e R i c h t u n g a l s Richtung

1

festgelegt.

'rekursive

A u f der G r u n d l a g e d i e s e r F e s t l e g u n g w i r d

F o r d e r u n g e r h o b e n , d i e A n o r d n u n g der V a r i a b l e n zu f i n d e n , die Anzahl

der

miert wird. sollen als

in d i e n i c h t r e k u r s i v e

Die unter d i e s e r

bei

Richtung weisenden P f e i l e

Bedingung aufweisbaren

U n t e r d i e s e n Umständen b i l d e t a u c h j e d e R ü c k f ü h r u n g Feedbäckkreises,

führungen s t e t s

auch d i e Z a h l

s o daß bei e i n e r

mini-

Rückführungen

die Minimalrückführunqen eines Modells bezeichnet

mindest eines

die der

werden.

das E l e m e n t

Reduzierung

der w i r k e n d e n F e e d b a c k k r e i s e

V e r s u c h t man d a s b e s c h r i e b e n e E x t r e m i e r u n g s v e r f a h r e n

auf

zu-

der

Rück-

abnimmt.

formaler

Ebene anhand der V e r k n ü p f u n g s m a t r i x e i n e s M o d e l l s v o r z u n e h m e n , lautet die entsprechende V o r s c h r i f t : tenaustausch

(Permutationen)

der E i g e n s c h a f t ,

Finde durch Z e i l e n -

die Verknüpfungsmatrix

und

so

Spal-

des M o d e l l s

daß d i e Summe der E l e m e n t e über der

mit

Hauptdiagonalen

m i n i m i e r t wi r d . Das V e r f a h r e n z u r E r m i t t l u n g STÄDTER a l s T r i a n g u l a t i o n irreführend,

da man g e w ö h n l i c h e r w e i s e

Gewinnung e i n e r speziell

e i n e r d e r a r t i g e n M a t r i x w i r d v o n HELM-

bezeichnet

Dreiecksmatrix

[80].

D i e s e Namensgebung

in der M a t h e m a t i k d a r u n t e r

versteht.

Im f o l g e n d e n s o l l

im H i n b l i c k a u f d i e h i e r z u r D i s k u s s i o n

der E r m i t t l u n g e i n e r

Verknüpfungsmatrizen

rückführungsminimalen

[1131

rückführungsmini-

D e f i n i e r t man u n t e r

Verknüpfungsmatrix

Rückfüh-

r u n g s g r a d , dann s i n k e n m i t wachsendem R ü c k f ü h r u n g s g r a d d i e

Chancen,

'Kappen'

r ü c k f ü h r e n d e n z u r Gesamtzahl

das

der P f e i l e a l s

durch

der

Realisierung

zur Verfügung.

aus e i n e r

malen V e r k n ü p f u n g s m a t r i x g e z o g e n werden können.

Verhältnis

von

r ü c k f ü h r u n g s m i n i ma1en V e r k n ü p f u n g s m a t r i x g e -

Man kann s i c h f r a g e n , w e l c h e E i n s i c h t e n

Zugrundelegung einer

die

daher

stehende Frage

s p r o c h e n werden. Es s t e h e n v e r s c h i e d e n e A l g o r i t h m e n z u r rückführungsminimaler

ist

der R ü c k f ü h r u n g e n e i n

a b e r dennoch e m p i r i s c h a k z e p t a b l e s rungsminimale Verknüpfungsmatrix

in der K o m p l e x i t ä t

Modell

zu e r h a l t e n .

Die

rückfüh-

g i b t zudem d a r ü b e r A u s k u n f t ,

Beziehungen für eine d e r a r t i g e Komplexitätsreduzierung F r a g e kommen.

reduziertes,

welche

überhaupt

in

367

Präzise ergibt

s i c h bei V o r l i e g e n e i n e r

rückführungsminimalen

Ver-

k n ü p f u n g s m a t r i x der R ü c k f ü h r u n g s g r a d f a u s ^ " n

n

2.xij/. f = I. >J .VÜ J I , J=1 1 J

x . . beschreiben hierbei trix.

Es s t e l l t

d i e Elemente der r ü c k f ü h r u n g s m i n i m a 1 e n

s i c h d i e Frage nach dem R ü c k f ü h r u n g s g r a d des

d i e P f e i 1 d i a g r a m m e b und c in A b b i l d u n g 2 5 . 2 b e s c h r i e b e n e n

durch

Modells.

Die E r m i t t l u n g der r ü c k f ü h r u n g s m i n i m a l e n V e r k n ü p f u n g s m a t r i x

soll

ohne A n f ü h r u n g e i n e s s t r e n g formalen V e r f a h r e n s anhand d i e s e s d e l l s demonstriert

Ma-

Mo-

werden.

W i r e r i n n e r n u n s , daß b e r e i t s e i n V e r f a h r e n b e s c h r i e b e n wurde,

auf-

g r u n d d e s s e n d i e a u f S e i t e 333 b e s c h r i e b e n e V e r k n ü p f u n g s m a t r i x

des

Modells

in i h r e b l o c k t r i a n g u l a r e

Form ü b e r f ü h r t wurde. Zur

lung der r ü c k f ü h r u n g s m i n i m a l e n M a t r i x g e n ü g t e s ,

isoliert

der e i n z e l n e n D i a g o n a l b l ö c k e , d i e Zahl der über der

Ermittim Rahmen

Hauptdiagonalen

l i e g e n d e n n i c h t N u l l werdenden Elemente zu m i n i m i e r e n . Zu diesem Zweck b e t r a c h t e n w i r d i e auf S e i t e 338 a n g e f ü h r t e V e r k n ü p f u n g s m a t r i x des In unserem B e i s p i e l setzt.

blocktriangulare

Modells.

s i n d nur zwei B l ö c k e mit E i n s e r - E l e m e n t e n

be-

E i n A u s t a u s c h der S p a l t e n und Z e i l e n von X^ und X^ im e r s t e n

Block z e i g t ,

daß s i c h d i e Zahl der E i n s e r - E l e m e n t e über der

diagonalen nicht verändert.

Im F a l l e des z w e i t e n B l o c k s s i n d

P e r m u t a t i o n e n m ö g l i c h , u n t e r denen d i e Anordnung X p rückführungsminimal

Hauptkl=2k

X^, X g , X^

ist.

Das P f e i l d i a g r a m m c in A b b i l d u n g 2 5 . 2 r e p r ä s e n t i e r t einer Minima1rückführung.

daher den F a l l

Man e r k e n n t , daß s i c h u n t e r

insgesamt

zwölf

10 Der B e g r i f f des R ü c k f ü h r u n g s g r a d e s i s t n i c h t i d e n t i s c h m i t dem von HELMSTÄDTER e i n g e f ü h r t e n B e g r i f f des Z i r k u 1 a r i t ä t s g r a d e s , w e i l im Rahmen der s t a t i s c h e n I n p u t - O u t p u t r e c h n u n g d i e x . . W e r t g r ö ß e n r e p r ä s e n t i e r e n , s o daß der Z i r k u l a r i t ä t s g r a d z u g l e i c h den q u a n t i t a t i v e n E i n f l u ß der V a r i a b l e n e i n f l ü s s e b e r ü c k s i c h t i g t . Im v o r l i e g e n d e n F a l l werden d i e E i n f l ü s s e g l e i c h g e w i c h t i g b e h a n d e l t , w e i l bei n i c h t 1 i n e a r e n dynamischen B e z i e h u n g e n e i n e E r f a s s u n g des B e e i n f l u s s u n g s a u s m a ß e s durch e i n e Maßzahl kaum m ö g l i c h s e i n d ü r f t e .

368

Einflußpfeilen

zwei

rückführende P f e i l e befinden,

r u n g s g r a d des S y s t e m s b e t r ä g t

d . h . der

0,166.

Zusammenfassend z e i g t A b b i l d u n g

25-3 die u r s p r ü n g l i c h e

m a t r i x des b e t r a c h t e t e n M o d e l l s

sowie die aus

führungsminimale

X

I X

1

X

3

X

1

X

5

x

6

X

7

X

8

X

?

Verknüpfungs-

ihr abgeleitete

rück-

Matrix.

X

1

2

S

X2

Rückfüh-

X

X

3

X

5

6

X

1

X

7

X

8

9

1

1

N X

1

1

1 1 1

1

1

a

X

3

X

i,

X

X

5

x

2

.

x

6

X

9

X

x

7

8

V X

4

*5 X

1

X

6

X X

N

1

1

2

X

X

1

8

1

X 1

1

? 7

X

1

1 1

1

\

1 X

b Abb. 2 5 . 3

V e r k n ü p f u n g s m a t r i x e i n e s p r i m ä r e n Model 1 a n s a t z e s ( a ) s o wie die rückführungsminimale V e r k n ü p f u n g s m a t r i x d e s s e l b e n M o d e l l s (b)

369

2.5.3. Subsystemabspaltung in dynamischen Modellen Ein dynamisches Modell beschreibt stets nur einen Teilbereich der Realität, d.h. ein bestimmtes Subsystem. Dieses Subsystem ist, wie die Erfahrung zeigt, fast nie von dem restlichen System völlig liert, sondern wird von ihm beeinflußt. Beeinflussungen des

iso-

Restsy-

stems kommen in offenen Modellen durch die Wahl bestimmter Verläufe der exogenen Variablen zum Ausdruck, während sie in geschlossenen Modellen einfach vernachlässigt werden.

In diesem Falle tut man so,

als ob es keine Außeneinflüsse gäbe. Dieses Vorgehen kann, w i e eine Untersuchung von SIMON und ANDO zeigt, im Falle linearer geschlossener Systeme unter bestimmten

Umständen

gerechtfertigt sein. [1791 Die Frage nach der Zulässigkeit einer solchen Subsystemanalyse soll am Beispiel eines aus vier Variablen bestehenden

Differenzengleichungs-

systems Y(t) = A • Y(t-1)

(25.5)

erörtert werden, welches durch Y (t) Y(t) =

V < > Y (t) Y. (t)

0,20 0 50 j 0,05 0,00 0,30 0

! 0,10 0,1 1

Y,(0) und Y(0) =

Y2(O)

0,01» 0 10 j 0,it0 0,45

y3(o)

i

Y^O)

0,13

0 08

0,50 0,30

4

beschrieben wi rd. Betrachtet man die Koeffizienten von A in den

Nebendiagona1b1öcken,

so kann man feststellen, daß sie im Vergleich zu den

Koeffizienten

in den Hauptdiagona1 blocken relativ kleine numerische Werte

besitzen

mit der Folge, daß offenbar zwischen den Variablengruppen Y^ und Y^ sowie Y^ und Y^ nur geringfügige Einwirkungen zum Tragen kommen. Es liegt die Frage nahe, ob die Subsysteme Y^ und Y^ sowie Y^ und Y^ nicht

isoliert voneinander untersucht werden können.

Isoliert heißt

in diesem Fall, daß man die in den Nebendiagonal blocken von A befindlichen Koeffizienten Null setzt, was durch die Beziehung

370

Y(t) = A*Y(t-1)

mit

A*

zum Ausdruck

(25.6)

0,2

0,5 ! 0

0

0,3

0,4!

0

0

0

! 0,4

0,45

0

0

! 0,5

0,3

0

kommt.

Die Beziehungen zwischen A * und A können durch A = A * + eC

(25.7)

beschrieben werden, wobei weil

sie die Verbindung

C als Verbindungsmatrix

bezeichnet w i r d ,

zwischen den beiden Subsystemen

beschreibt.

Die Konstante e, die hier für eine später erfolgende Überlegung geführt w i r d , soll den Wert

1 besitzen.

Sind die numerischen Werte der Elemente der Verbindungsmatrix im vorliegenden

Fall) relativ niedrig

Werten der Elemente

im Vergleich zu den

in den Hauptdiagonalblöcken

die Matrix A als eine annähernd

zerlegbares

Modell.

Ersetzt man

in (25-5) die annähernd



AL

=

A* 1

0

0

A*

von A, so kann man

Y2(t)

als ein annähernd

zerlegbare Matrix A durch die

definiert

so können beide Subsysteme A * und A * zwar anhand der

(wie

numerischen

zerlegbare Matrix bezeichnen und ana-

log dazu das eine solche Matrix enthaltende Modell

zerlegbare Matrix A* und

ein-

isoliert untersucht w e r d e n , und

Beziehungen

Y2(t-1)

und

(25.8)

371

Im f o l g e n d e n w o l l e n w i r der Frage n a c h g e h e n , rechtigt

ist, eine d e r a r t i g e

in w e l c h e m Umfang es be-

isolierte S u b s y s t e m a n a l y s e

ren. W i r b e t r a c h t e n d a z u nur das Beispiel

durchzufüh-

für A*.

D e f i n i e r t m a n die Nebendiagona1 blocke der Matrix A in a l l g e m e i n e r Form, d.h.

durch 0,2

0,5

0,3

0,4

a

31

a

32

a

4l

a

42

d

13 a

A =

l4

_ a 24_

23

0,45 0,5

0,3

so läßt s i c h aus dem A n s a t z

(25-5) auf a n a l y t i s c h e m W e g e d i e

Bezie-

hung Y^(t-1)

~Yj(t) Y^t)

-A-»

386

Im F a l l e

stochastischer

Modelle erweitert

Untersuchungsmöglichkeit,

indem man d i e

zen b e s t i m m t e r

endogener V a r i a b l e n

sche Parameter

untersuchen

s i c h damit der

Bereich

Empfindlichkeit

im H i n b l i c k

auf

der

der

Varian-

bestimmte

kriti-

kann.

b) Analyse eines stochastischen MA-Modells Zur A n a l y s e e i n e s der

uns

bereits

Y(t)

linearen

bekannten

= bY(t-l)

-

stochastischen stochastischen

cY(t-2)

+ lg(t)

MA-Modells

gehen w i r

von

Endgleichung

+ e(t)

(26.12)

mi t b = a + a ß

(26

_13)

und c = aß aus.

Diese besitzt g(x)

womit

= b^xj

sich g2(x)

bestimmt.

g2(x)

die

Gewichtsfunktion

b2\J2

+

(26.1A.)

durch

= b2X2x

+ b2X2t

2b1b2(X]A2)T

+

D i e Summen d i e s e r

drei

Komponenten bestimmen s i c h

|X.|,X 2 |30

ist die Beziehung a u c h auf

V e r t e i l u n g e n von Y a n w e n d b a r .

Die t - V e r t e i l u n g n ä h e r t sich

sem Fall einer N o r m a l v e r t e i l u n g

so, daß zur Bestimmung des

les in (26.26) d i e a n g e f ü h r t e n W e r t e v o n c

m \/ :

:

• " " / "

'

s 1 1 1 1 1

1 i 1 1 1

Abb. 26-3

/\

\

in d i e Interval-

verwendet werden

können.

A

^

> 7 "

>ff.

i

r\ 7 ^

beliebige

1 1 1 1

; 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 » 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1

Z e i t l i c h e r V e r l a u f des E r w a r t u n g s w e r t e s von Y(t)[Symbol 'Y'] und seiner S c h ä t z w e r t e Y. _(t) [Symbol '1'] und Y.-(t) [Symbol ' V ] . [Einheit T: T a u s e n d ]

394 Abbildung 26.3 z e i g t f ü r das auf den S e i t e n 7h und 97 b e s c h r i e b e n e s t o c h a s t i s c h e MA-Modell den a n a l y t i s c h berechneten V e r l a u f des E r w a r tungswertes Y ( t ) sowie d i e V e r l ä u f e der S c h ä t z w e r t e f ü r Y ( t ) von zehn und v i e r z i g Schätzungen Y ^ ( t )

anhand

und Y ^ g ( t ) .

E i n e a n a l o g e D a r s t e l l u n g l i e f e r t A b b i l d u n g 26. (M «-•

J.

/VV

/•••X}. V n

H*

J^N

/

V

Vi. I

Abb. 3 1 H i s t o g r a m m

des e r w e i t e r t e n E i n i e v e l m o d e l 1s

Das H i s t o g r a m m d i e s e r

Modifizierung

PLOT

bei Wahl der

Plot-Anweisung

LEV*L< D>C zu- oder -abflusses wurde bereits

hingewiesen.

Das nachfolgende Bild zeigt das vollständige

System-Dynamics-Oiagramm

des erörterten Modells.

_o

Abb. 31-5

SLEV=450

System-Dynamics-Diagramm des erweiterten Ei nl evel tnodel 1 s

Für bestimmte Arten von Level- und Hilfsvariablen werden

im Rahmen

der beschriebenen Diagrammtechnik die Symboldarstellungen noch stär-

411

ker k o n k r e t i s i e r t . jedes

Doch r e i c h t d i e v o r l i e g e n d e B e s c h r e i b u n g a u s , um

b e l i e b i g e System-Dynamics-Model1

d u r c h e i n Diagramm zu

reprä-

sentieren . System-Dynamics-Diagramme wie d i e auf

besitzen nicht denselben

ihrer Grundlage entwickelten Modelle.

daher a l s d i e weniger s c h a r f e V o r s t u f e e i n e s

Informationsgehalt Sie erweisen

sich

Modellierungsansatzes,

d i e d u r c h w e i t e r e V e r s c h ä r f u n g der Model 1 h y p o t h e s e n zu dem e i g e n t l i chen p a r a m e t r i s c h - s i n g u 1 ä r e n gende U b e r s i c h t z e i g t d i e ten G l e i c h u n g s t y p e n und E1ement

Gleichungssymbol

System-Dynamics-Model1

führt.

i n einem S y s t e m - D y n a m i c s - M o d e l 1

Die

fol-

verwende-

Diagrammsymbole: DiagrammSymbol

Gl ei c h u n g s t y p

Level

L

L.K=L.J+DT*(ZUF.JK-ABF.JK)

Rate

R

R . K L = F [ L 1 .K

H i l.f s v a r i ab 1 e

A

A. K = F [ L 1 . K

Anf.angswert

N

N = n u m e r i s c h e r Wert

Pa rameter

C

C = numerischer

S y m b o l b e z e i chnung

LN.K.A1 . K , .

. ,AM.K]

1 IX

L N . K . A 1 . K , . . ,AM. K]

o

kein

Symbol

Wert

Diagrammsymbol

Verwendung

Senke

Ende e i n e s

Quel l e

Beginn e i n s

unterbrochene Pfei 1 U n i e

P f e i l s p i t z e kennzeichnet B e e i n f l u s s u n g s r i c h t u n g e i n e r V a r i a b l e n durch L e v e l , H i l f s v a r i a b l e o d e r Parameter

Da s i m u l t a n e G l e i c h u n g e n u n t e r den H i l f s v a r i a b l e n s i n d , und d i e e r k l ä r e n d e n V a r i a b l e n der um e i n e P e r i o d e v e r z ö g e r t rekurs iv.

sind,

L e v e l - und

Levelabflusses

Levelzuflusses

nicht

zugelassen

Ratengleichungen

i s t ein System-Dynamics-ModeI1

stets

2

3.1.4. Exponentielle Bestands- und Informationsverzögerungen A. Exponentielle Bestandsverzögerungen Jeder Level kann als ein schwarzer Kasten gedeutet werden, aus dem die Zuflüsse verzögert abfließen. Die Art der Verzögerung, die die Elemente in dem Level erfahren, hängt von der

Abflußratenhypothese

ab. Da die in diese Hypothesengleichung eingehenden Variablen w i e derum durch andere Hypothesen erklärt werden, ergibt sich in der Regel ein System von Hypothesen, welches Abflußvariablen beteiligt

indirekt an der Erklärung der

ist. W i e bereits anläßlich der Beschreibung

der Verweilzeithypothesen erwähnt wurde, ist es unter Umständen möglich, aus dem vorliegenden Hypothesensystem eine sekundäre Verweilzeithypothese abzuleiten. Denn würde es gelingen, Dynamics-Modell

in einem

System-

die Verknüpfung zwischen den Zu- und Abflüssen eines

Levels zu modellieren, dann wäre diese Beziehung stets als V e r w e i l zeithypothese

aufzufassen.

Primäre Verweilzeithypothesen können immer dann verwendet w e r d e n , wenn dem Modellentwickler die Impulsantwort zwischen einem und - a b f l u ß bekannt

Levelzu-

ist. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn die

Einkaufsabteilung eines Unternehmens die Art der Verzögerung

zwi-

schen ausgehenden Bestellungen und eingehenden Lieferungen und damit die Impulsantwort zwischen den Bestellungen ZUF (als Eingang)

und

den auf diese Bestellungen verzögert eingehenden Lieferungen ABF (als Ausgang) kennt. Eine schematische Darstellung dieses hanges zeigt Abbildung

Zusammen-

31-6.

EINGIPFELIGER ZUF

ABF

BESTAND AN

100

Abb. 31-6

18

BESTELLUNGEN

0

PERIODE

ZÜF

VERLAUF

12 6 ABF

0

PERIODE

Schematische Darstellung der verzögerten Beziehung zwischen ausgehenden Bestellungen (ZUF) und eingehenden Lieferungen (ABF)

M 3

Zwei Ausprägungen einer derartigen zeigt Abbildung

Abb. 31-7

Impulsantwort der

Liefereingänge

31.7.

Charakteristiken des verzögerten Eingangs bestellter Waren bei einer einmaligen Bestellung von 100 Einheiten in Periode 0

FORRESTER verwendet zur Modellierung von Leveln, deren ten bekannt sind, bestimmte Teilklassen von

Impulsantwor-

Verwei1zeithypothesen,

die sogenannten exponentiel1 en Verwei1zei thypothesen. Die von ihm im Rahmen dieser Teilklasse fast ausschließlich angewendeten exponentiel len Verwei1zeithypothesen dritter Ordnung zeichnen sich durch einen eingipfeligen Verlauf

ihrer

Impulsantworten aus.

Ist ein Modellent-

wickler zu der Auffassung gelangt, daß die Impulsantwort eines vorliegenden Levels dieser Klasse entstammt, dann reicht es zur voll-

ständigen Modellierung pothese aus,

zu s p e z i f i z i e r e n . ter,

parametrisch-singulären

Die d u r c h s c h n i t t l i c h e

der d i e d u r c h s c h n i t t l i c h e

tretenden

Elementes

dargestellten sen d r i t t e r

Impulsantworten

Ordnung.

F beschriebene

fünfzehn

Perioden

Die Modellierung durch

sind

eines

Beide

Verzögerung

Kurvenverlauf

ein

Parame-

i n den L e v e l

ein-

31-7

Verwei1zeithypothe-

Impulsantwort

von zwanzig

eine

numerisch

in Abbildung

exponentiel1e

Die mit Z gekennzeichnete

ist

Perioden,

besitzt

während

Durchschnittsverzögerung

von

derartiger

in

DYNAMO

ABF.KL=DELAY3(ZUF.JK.DVZ)

ABF und ZUF k e n n z e i c h n e n

hierbei

m i t DVZ d i e d u r c h s c h n i t t l i c h e kommt zum A u s d r u c k ,

die

(31.4)

Z u - und A b f l u ß v a r i a b l e n ,

Verzögerung

angegeben w i r d .

Mit

während DELAY3

daß e i n e e x p o n e n t i e l 1 e V e r w e i 1 z e i t h y p o t h e s e

Ordnung v o r l i e g t .

f o l g e n d e m Symbol

der

aufweist.

V e r w e i 1 z e i t h y p o t h e s e n kann 2 folgende M a k r o f u n k t i o n b e s c h r i e b e n werden: R

ter

bringt.

Verwei1zeithy-

Verzögerung

Verzögerung

Verweildauer

zum A u s d r u c k

eine durchschnittliche mit

einer

die sogenannte d u r c h s c h n i t t l i c h e

Sie wird

drit-

in einem S y s t e m - D y n a m i c s - D i a g r a m m

mit

beschrieben:

BEV °3 'D^'

besagt,

dritter

daß es

Ordnung

ABF

s i c h um e i n e e x p o n e n t i e l l e

(Delay3)

den Namen d e r A b f l u ß r a t e

handelt.

Verzögerung

teren Symbolhälfte

eingetragen.

Bestand des V e r z ö g e r u n g s 1 e v e l s

gen.

kennzeichnet

Der P a r a m e t e r n a m e

im r e c h t e n Segment d e r

I s t man d a r a n

interessiert,

auch

zu k e n n e n , s o w i r d d i e d i e s e n

L e v e l v a r i a b 1e ( B E V )

beeinflußt

Segment

(ABF).

(DVZ) w i r d

Da d i e A b f l u ß r a t e ABF e i n e s

veln direkt

Verwei1zeithypothese

Das m i t t l e r e

der Verzögerung

durchschnittlichen

kennzeichnende

DVZ

wird, wird

in die obere Symbolhälfte

DELAY3"Levels sie

1 S i e h e a u c h S e i t e 288 2 Zum B e g r i f f e i n e r M a k r o f u n k t i o n s i e h e

Seite

^¿t

durch

den

Bestand eingetra-

n i c h t von anderen

im Diagramm n i c h t

der un-

ein

Le-

M5

b e s o n d e r e s V e n t i 1 Symbol g e k e n n z e i c h n e t . der A b f l u ß r a t e

im L e v e l s y m b o l

D i e Angabe der

Bezeichnung

e r s e t z t daher gewissermaßen das

Ven-

t i1symbol. D i e Bestimmung und Anwendung d e r a r t i g e r hypothesen

e x p o n e n t i e l 1 er

im Rahmen d e s S y s t e m - D y n a m i c s - K o n z e p t e s

b l e m a t i s c h und w i r d s p ä t e r e i n g e h e n d e r

Verweilzeit-

ist

nicht

unpro-

diskutiert.-'

B. Exponentielle Informationsverzögerungen Bei d e r B e s c h r e i b u n g von S y s t e m - D y n a m i c s - D i a g r a m m e n wurde d a r a u f g e w i e s e n , daß d i e B e e i n f l u s s u n g durch unterbrochene

einer

Raten- oder

hin-

Hilfsvariablen

Pfeil l i n i e n gekennzeichnet wird.

Diese

Pfeilli-

nien bezeichnet

FORRESTER a l s

zeichnungsweise

l i e g t d i e Deutung z u g r u n d e , daß d i e R a t e n , w e l c h e das

Verhalten

informationelle Verknüpfung.

bestimmter E i n h e i t e n wie Personen oder t e c h n i s c h e

te b e s c h r e i b e n , durch

'Informationen'

i n Form d e r L e v e l - ,

b l e n - und P a r a m e t e r w e r t e b e e i n f l u ß t werden. Während d i e nen P f e i l l i n i e n damit s u b s t a n t i e l l e

zur Ausdruck g e b r a c h t .

Hilfsvaria-

durchgezoge-

von der b e s c h r i e b e n e n V e r h a l t e n s e i n h e i t

Diese

(bewußt o d e r unbewußt) v e r z ö g e r t .

Exponentielle Glättungsverzögerungen Inhalt die zeitliche der m i t H i l f e des a l s verfahrens

ermittelt

exponentielle

3 Vgl.

Seite

zur

Raten-

vielmehr Verzögerun-

GlättungsVerzögerungen.

Prognosewertes

dessen

beschreibt,

Glättung bezeichneten

Prognose-

wird. ' Prognoseleveltyps1

lautet:

PLE.K=PLE.J+DT*(ZUï.JK-PLE.J)/APF

489ff.

d.h.

müssen

definieren einen Level,

Entwicklung eines

Die Level gl eichung d i e s e s L

( o d e r werden)

Der B e s c h r e i b u n g d i e s e r

gen d i e n e n d i e s o g e n a n n t e n e x p o n e n t i e l 1 en

Infor-

Informationen,

nicht unmittelbar

S i e können

durch

L i n i e n gewissermaßen

K e n n t n i s s e über d i e L e v e l - und H i 1 f s v a r i a b l e n a u s p r ä g u n g e n ,

h e r a n g e z o g e n werden.

Aggrega-

F l ü s s e b e s c h r e i b e n , werden

d i e zu den R a t e n f ü h r e n d e n u n t e r b r o c h e n e n mationsverbindungen

festlegung

D i e s e r Be-

(31.5)

APF w i r d a l s

Anpassungsfaktor

chen G l ä t t u n g s f a k t o r s liche

bezeichnet.

a=1/APF

läßt

U n t e r Verwendung d e s

s i c h Gleichung

Darstellungsform einer exponentiel1en PLE(t)

= PLE(t-l)

+

(31-5)

übli-

in d i e

üb-

Glättung

a[ZUF(t-1)-PLE(t-1)]

überführen. I n d e r DYNAMO-Sprache w i r d e i n e e x p o n e n t i e l l e durch e i n e M a k r o i n s t r u k t i o n A

Glättung

der

Form

(31-5)

(SMOOTH-Funktion)

PLE.K=SMOOTH(ZUF.JK,APF)

(31.6)

ausgedrückt. Als

Prognoselevel

menge

(PLE)

in A b h ä n g i g k e i t

zur Anwendung

welche a l s

in b e s t i m m t e

ein spezielles

'S'

level

wird

Ratengleichungen

soll.

pothese d r i t t e r

Ordnung und e i n e r

Fertigung

eines

in der

Fertigung

eine Verzögerung

Betriebes

Verweilzeithypothese

schnittlichen

während

eingetragen

gerichtete erfahren, dritter

FLB.

im

ent-

rechten

Verwei1zeithysollen

demonstriert

Bestellungen die

Segment

wird.

Glättungsverzögerung

abgehenden a u s g e f ü h r t e n

z u g l e i c h den F e r t i g 1 a g e r b e s t a n d

wird

Glättungs-

im m i t t l e r e n

sich

BMR

im

Ordnung m i t e i n e r

Bestellungen

sollen ex-

durch-

läßt. FZU

fol-

werden.

durch eine

V e r z ö g e r u n g v o n DVZ=10 Wochen b e s c h r e i b e n

Fertigung

indi-

Für P r o g n o s e 1 e v e l

Fertigungsmodells

An d i e

aus der

( d i r e k t oder

Formen e i n e r e x p o n e n t i e l l e n

einfachen

(ZUF)

Schätzwer-

verwendet:

Variablen,

Segment der Name des A n p a s s u n g s f a k t o r s

genden anhand e i n e s

Verkaufsmengen

d a ß e s s i c h um e i n e n

Die E i n t r a g u n g

h ä l t den Namen d e r p r o g n o s t i z i e r t e n

Die beiden beschriebenen

Verkaufs-

APF

zum A u s d r u c k g e b r a c h t , handeln

eingehen.

der f o l g e n d e n A r t

PLE

einer

Prognose 1eveln

erklärende Variablen

Levelsymbol

(Smooth)

ponentielle

Schätzung

von den r e a l i s i e r t e n

S

Mit

die

kommen. A l l g e m e i n werden m i t

te b e s c h r i e b e n , rekt)

kann b e i s p i e l s w e i s e

Die

erhöhen

Der den F e r t i g 1 a g e r b e s t a n d

ver-

mindernde Fertiglagerabgang

FLA soll stets das 0,3fache des

lagerbestandes betragen. Die an die Fertigung gerichteten

Fertig-

Bestellun-

gen BMR werden von dem entsprechenden Disponenten als die RF-fache Differenz zwischen dem tatsächlichen Fertig1agerbestand FLB und einem Sol1agerbestand SLB zuzüglich des prognostizierten

Fertiglager-

abgangs festgelegt. Der Sollagerbestand des Fertiglagers wird so festgelegt, daß er stets das MF-fache des mit Hilfe einer exponentiellen Glättung prognostizierten Fertig1agerabganges PFLA plus 500 beträgt.

Abb. 31.8

System-Dynamics-Diagramm eines Fertigungs- und tungssystems

Lagerhal-

8 Das DYNAMO-Programm des b e s c h r i e b e n e n M o d e l l s * FERTIGUNGS-UND *

ergibt

LAGERHALTUNGSSTSTEM

R BMR.K]>PFLA.K+RF*(SLB.K-FLB.K) R FZU.KL=DELAY3(BMR.JK,DVZ) L FLB.I=FLB.J+DT*(FZU.JK-FLA.JK) N FLB=450 A PFLA.K=SMOOTH(FLA.JK,AP*) A SLB.K=MF*PFLA.1+500 R FLA.KL=0.3*FLB.K C RF=0.3,DVZ=10,APF=2,MF=0.25 SPEC DT=1,LtHGTH=20,PRTPER=1,PLTPER=1 PLOT FLB=F/FZU=Z/FLA=A/SLB=S PRINT FLB,FZÜ,FLA,SLB RUN

In dem v o r l i e g e n d e n M o d e l l numerisch s p e z i f i z i e r t ,

s i n d manche P a r a m e t e r d i r e k t

w i e zum B e i s p i e l

während a n d e r e w i e DVZ e r s t

strukturellen

in der G l e i c h u n g f ü r

im Rahmen e i n e r

nen n u m e r i s c h e n Wert e r h a l t e n .

E i n e B e l e g u n g der P a r a m e t e r die erst

d e f i n i e r t werden, e m p f i e h l t

wenn d i e b e t r a c h t e t e n

Parameter

r i i e r t werden s o l l e n .

Denn DYNAMO g e s t a t t e t

FLA,

Kons t a n t e n g 1 e i c h u n g

G l e i c h u n g e n d u r c h Symbol a u s d r ü c k e ,

von K o n s t a n t e n g l e i c h u n g e n

im M o d e l l

sich

ei-

in den im Rahmen immer,

in s u k z e s s i v e n S i m u 1 a t i o n s 1 ä u f e n im Rahmen

Reruns, d.h. wiederholten

Simulationen desselben Modells mit

ten P a r a m e t e r n , e i n e s e h r

flexible Variation

Rahmen von K o n s t a n t e n g 1 e i c h u n g e n d e f i n i e r t

va

sogenannter geände

der P a r a m e t e r , d i e

im

werden.

3.1.5. Tabellenfunktionen und sonstige Makrofunktionen R a t e n - und H i l f s g l e i c h u n g e n empirischen Hypothesen

eines

System-Dynamics-Modells

in Form der V e r k n ü p f u n g b e s t i m m t e r

Größen zum A u s d r u c k b r i n g e n .

D i e s e V e r k n ü p f u n g e n können

Fällen mit H i l f e elementarer a l g e b r a i s c h e r werden; w i e 2

Y=0,01 x + l .

Funktionen

in A b b i l d u n g 3 1 - 9 b e i s p i e l s w e i s e

durch die

in

sollen

di

metrische einigen

beschrieben Funktion

419

Abb. 3 1 . 9

Funktionsverläufe

In d e r s e l b e n A b b i l d u n g

in d y n a m i s c h e n

Modellen

i s t j e d o c h auch e i n e F u n k t i o n F ( x )

gen, d i e n i c h t durch eine elementare Funktion beschrieben kann.

Zur M o d e l l i e r u n g d e r a r t i g e r

Funktionsverläufe

i n der

eingetrawerden DYNAMO-

S p r a c h e kann man s o g e n a n n t e T a b e l 1 e n f u n k t i o n e n

verwenden.

D i e zu b e s c h r e i b e n d e

Abszissenabständen

durch senkrechte

Funktion wird

in g l e i c h e n

L i n i e n g e s c h n i t t e n und d i e O r d i n a t e n w e r t e

S c h n i t t p u n k t e werden a l s

Stützpunkte einer

stückweise

Funktion verwendet, welche die u r s p r ü n g l i c h e

Funktion

dieser

1inearisierten näherungsweise

beschrei bt. E n t s c h e i d e t man s i c h bis

im B e i s p i e l

der Funktion F(x)

9 laufende A b s z i s s e n s t ü c k e l u n g

gonzug, dessen Ordinatenstützwerte Dieser

Funktionszusammenhang w i r d

A T

f ü r e i n e von 0

von 1, dann e r g i b t

sich ein

in Abbildung 31-10 angeführt durch

Y.K=TABLE(TAB,X.K,0,9,1) TAB=2.3/2.7/3.1/3.15/3.1/3.0/2.6/2.3/1.5/1.2

beschrieben.

Das e r s t e Argument der M a k r o f u n k t i o n nennt den N a -

Polysind.

420 men der Tabelle

(hier TAB genannt),

in dem die Ordinatenwerte ab-

gespeichert sind. Das zweite Argument kennzeichnet den Namen der unabhängigen Variablen

(in diesem Fall X.K) der Funktion. Die letzten

drei Argumente spezifizieren den größten und kleinsten wert des Abszissenbereiches wählten

Definitions-

(0 und 9) sowie die Schrittweite des ge-

Abszissenabschnitts.

Abb. 31.10

Beispiel einer Tabellenfunktion zept

Derartige Tabellenfunktionen werden

im System-Dynamics-Kon-

in System-Dynamics-Model1en

in

großem Umfang verwendet und tragen entscheidend zur Nicht 1inearität dieser Modelle bei. FORRESTER verwendet in seinem Weltmodell

allein

21 Tabel 1 enf unkt i'onen. Das von uns entwickelte Modell eines Fertigungs- und

Lagerhaltungs-

systems soll um eine derartige Tabe11enfunktion erweitert werden und damit alle wesentlichen Elemente enthalten, die in System-Dynami cs-Model 1 en auftreten. Wir unterstellen, daß der Fertiglagerabgang A

FLA durch

FLA.K=FAK.K*FLB.K

beschrieben wird, wobei

FAK entsprechend der

schriebenen Funktion von FLB abhängt.

in Abbildung 31-11

be-

421

FAK

Abb. 3 1 . 1 1

Dieser

T a b e l l e n f u n k t i o n s v e r l a u f am B e i s p i e l und L a g e r h a l t u n g s m o d e l l s

Zusammenhang w i r d

eines

Fertigungs-

durch

A

FAK.K=TABLE(TAFA,FL?.K,0,1000,100)

T

TAFA=Z.02/0.05/0.07/0.11/0.18/0.25/0.29/0.32/0.32/0.32/0.32

b e s c h r i e b e n . Man e r h ä l t d a s DYNAMO-Programm »* F E R T I G U N G S - U N D L A G E R H A L T U N G S S T S T E M BESTELLMENGENRATE BMR.KL-PFLA.K+RF*(SLB.I-FLB.1) FERTIGLAGERZUGANG FZU.KL»DELAT3(BMR .JK,DVZ) FERTIGLAGERBESTAND FLB.K«FLB.J+DT*(FZU.JK-FLA. JK) P R O G N O S T I Z I E R T E R LAGERABGANG PFLA.K«SMOO T H ( F L A . J I , A P ? ) SOLLAGERBESTAND SlB.K-MF*PFLA.K+500 FLB=450 FERTIGLAGERABGANG FLA.KL*FAK.K*FLB.K FAK.K=TABLE(TAFA,FLB.K,0,1000,100) LAGERABGANGSKOEFFIZIENT TAFA=0.02/0.05/0.07/0.11/0.18/0.25/0. 29/0.32/0.32/0.32/0.32 FUNKTIONSVERTE BESTELLFAKTOR C RF-0.3 D U R C H S C H N I T T L . VERZOEGERUNG C DTZ-10 C APF-2 ANPASSUNGSFAKTOR C MF-0.25 SOLLBESTANDSFAKTOR S P E C D T » 1 ,LENGTH=»50 , P R T P E R - 1 . P L T P E R - l PRINT FLB,FZU,FLA,BMR PLOT S L B » S ( 3 0 0 , 5 5 0 ) / F L B » L ( 3 0 0 , 5 5 0 ) / F Z U ' Z ( 1 0 0 , 1 5 0 ) / F L A - A ( 1 0 0 , 1 5 0 ) RUN

R R L A A N R A T

kzz und d a s

System-Dynamics-Diagramm

Abb. 3 1 - 1 2

S y s t e m - D y n a m i c s - D i a g r a m m e i n e s F e r t i g u n g s - und tungssystems

Das a u f g r u n d des Programmes e r s t e l l t e 31.13-

Lagerhal-

Histogramm z e i g t

Abbildung

Man e r k e n n t , daß d a s S y s t e m einem G l e i c h g e w i c h t

zustrebt.

423

Abb. 31.13

Histogramm eines Fertigungs- und

Lagerhaltungssystems

Neben den Mak'rofunktionen wie DELAY3, SMOOTH oder TABLE stehen eine Reihe von anderen Funktionen zur Verfügung, mit w e l c h e n

beispielswei-

se bestimmte Zufa11szah1ensequenzen oder Verläufe der exogenen Variablen erzeugt werden können.

Erwähnt werden sollen an dieser

Stelle nur noch die CLIP- und SWITCH-Funktionen, welche öfter verwendet werden. Beide Funktionen beschreiben rationen, da in Abhängigkeit von dem Ergebnis eines zesses unterschiedliche Alternativen zur Anwendung Die SWITCH-Funktion besitzt die Form: SWITCH(A,B,V) 4 Siehe

[I63]

später

logische O p e Vergleichspro-

kommen.

4 2k

und bringt die Beziehung SWITCH(A,B,V) = (J —

XfO

zum Ausdruck. Durch die

CLIP-Funktion

CLIP(A,B,V1,V2) wird die Beziehung CL.P(A,B.V1.V2).{;--

¡¡¡*£

beschr ieben. CLIP- und SWITCH-Funktionen dienen oft zur Formulierung von

Entschei-

dungsregeln. Eine Lagerabgangsforderung

LAF kann beispielsweise nur dann voll

be-

friedigt werden, wenn der tatsächliche Lagerbestand LAB mindestens so groß ist wie die abgerufene Menge. Der tatsächliche LAT ergibt sich daher nach der T

Lagerabgang

Beziehung:

.LAF wenn LABÌLAF L M wenn LAB0

erge-

benden L e v e l m i t A L , dann bestimmt s i c h d i e a b s o l u t e S e n s i t i v i t ä t analog

SA

(33-1)

SA.K=(AL.K-L.K)/(P*AR) und im F a l l e der SR.K =

AL

relativen Sensitivität

durch

-,K-,,L-V P L.K P*AR

oder SR. K= (AL. K - L . K) / ( L. K*AR) D i e Anwendung d i e s e s V e r f a h r e n s geführten tivität

Fertigungsmodells

des F e r t i g 1 a g e r b e s t a n d e s

m i t t e l t werden. geführt .

5 Vgl.

S e i t e ^21

Das h i e r f ü r

soll

anhand des b e r e i t s m e h r f a c h

d e m o n s t r i e r t w e r d e n . ^ Es s o l l

an-

die

Sensi-

FLB b e z ü g l i c h des P a r a m e t e r s

RF e r -

n o t w e n d i g e Programm i s t

im f o l g e n d e n

an-

* * *

UNTERSUCBUNG

DER SENSITIVITAET

IM

FEFTIGUNGSMODELL

GRUNDMODELL

*

R BMB.KL=PFLA.K+RF*(SLB.I-FLB. K) R FZU.IL«DELAY3(BMR.Ji,DVZ) L FLB.K*FLB.J+DT*(FZU.JK-FLA.JK) A PFLA.K=SMOOTH(FLA.JK,APF) A SLB.K=MF*PFLA.K+500 R FLA.IL=FAK.X*FLB.K A FAK.K=TABHL(TAFA,FLB.K,0,1000,100) *N F L B - 4 5 0 * R R L A A R A N *

AENDERUNGSMODELL ABMR.KL=APFLA.K+ABF.i*(ASLB.K-AFLB.K) AFZU.KL*DELAT3(ABMR.JE,DVZ) AFLB.K=AFLB.J+DT*(AFZU.JK-AFLA.JK) APFLA.K«SMOOTH(»FL».JK,APF) ASLB.K~MF*APFLA.K+500 AFLA.KL«AFAK.K*AFLB.I AFAC.K-TABHL(TAFA,AFLB.K,0,1000,100) AFLB~450

* GEMEINSAME PARAMETER C DVZ-10/APF-2/MF-.25 T TAFA-0.02/0.05/0.07/0.11/0.18/0.25/0.29/0.32/0.32/0.32/0.32 *

* PARAMETERAENDERUNGEN C RF-0.3 A ARF.K=RF»(1+AR) C AR-0.1 *

AENDERUNGSRATE

* SENSITIVITAETSMASSE A SR.K«(AFLB.K-FLB.I)/(FLB.K*AR) A SA.K«(AFLB.K-FLB.1)/(EF*AB ) *

SPEC PLOT RUN

DES

PARAMETERS

RELATIVE ABSOLUTE

SENSITIVITAET SENSITIVITAET

DT-1,LENGTH-50,PLTPER-1,PRTPER-1 SR-R/SA-A

Abbildung 33.1

zeigt die absolute und relative Sensitivität des Pa-

rameters RF bezüglich des Levels FLB bei einer Änderungsrate des Parameters von AR=0.1 . Man erkennt, daß die Sensitivität

in der zwan-

zigsten Periode den höchsten Wert annimmt. Die relative Änderung des Parameters RF um zehn Prozent führt in Periode 20 zu einer relativen Änderung von FLB um neun Prozent. Eine Parameterschwankung von RF dürfte sich daher besonders

in dem

hochsensitiven Zeitbereich der zwanzigsten Periode auswirken.

450

i i i «-OS-«..

/ ! N

0. \ ^ "n cjN«-««'« DVZ = 20 • \ \ • V ~ * "^-sr* n \ •o» I DVZ = .. ^ ^cxn \\ l ro„ I/ kOnfl W »O JO-tOnn, \ \ i \ V. » if)-4omvin-m-m. \ i 10. TN*-*« m-m-tn,. V w. io. «r CM. to to. i i \ lO-tO. | CO-CSL i io-ro«i»x

T

K

V

Abb. 3^.5

Auch

Einheitsimpu1santworten exponentieller Verwei1zeithypothesen dritter Ordnung mit variierenden durchschnittlichen Verzögerungen DVZ

im Hinblick auf dieses erweiterte Repertoire

exponentieller

Verwei1zeithypothesen dritter Ordnung mit Totzeit stellt sich die Frage, ob eine in der Realität beobachtbare Verzögerung durch eine parametrisch-singuläre Verwei1zeithypothese dieser in adäquater Weise beschrieben werden kann.

Hypothesenklasse

503

Die Bestimmung einer parametrisch-singulären

Verweilzeithypothese

mit Hilfe einer von FORRESTER geforderten subjektiven Schätzung dürfte kaum zu einem befriedigenden Ergebnis führen, wenn man den Erfolg einer Ex-post-Prognose als Beurteilungskriterium mit

heranzieht.

Es soll daher ein Verfahren beschrieben werden, mit welchem die Parameter der durch (23-56) gekennzeichneten Klasse von Verweilzeithypothesen

im Lichte der Beobachtungswerte der Zu- und Abgänge sowie

des Levelanfangsbestandes geschätzt werden. Es wird von der

Z =

Zielfunktion

2 [A(t)-AB(t)] 2 ->- Min t=0

(34.33)

ausgegangen. Sie besagt, daß während eines

Betrachtungszeitraumes

von N Perioden die quadratische Abweichung zwischen den beobachteten Abgängen AB und den vom Modell errechneten Abgängen A zu minimieren ist. Die Aktionsvariablen der Minimierung, welche den Verlauf von A beeinflussen, sind nicht nur DVZ und T. Die Tatsache, daß der Levelanfangswert L(0) ebenfalls als Beobachtungswert LB(0) zur Verfügung steht, führt zu zwei weiteren Aktionsvariablen. Um dies zu zeigen, wandeln wir

(23.56) unter Verwendung von

(23.61)

in die folgende Kaskadenform um. L.(t) = L.(t-1) + Z. (t) - A.(t)

i=l,2,3

A. (t) = 3L.(t-1)/(DVZ-T+3)

(3*.3*)

Z,(t) = E(t-T) A(t) = A (t) Dieser Ansatz mit den

(welcher wegen des unverzögerten Zuflusses Z. (t) nicht

'kaskadierenden' Levelgleichungen einer

DELAY3"Verzögerung

identisch ist) läßt eine Bestands interpretation der Anfangswerte L(0) zu. Für die exponenti el 1e Verwei1zeithypothese

(23.56) gilt die Bedin-

gung 00

J ; A(t)-L(0)

(34.35)

50 4

Definiert man L.(0) = aj L(0)

(34.36)

2 a.=1

0-aj-1

dann ist Bedingung

(34.37)

(34.35) erfüllt; denn die als Bestandsgrößen zu in-

terpretierenden L. entleeren sich geometrisch abnehmend und fließen dem nachfolgenden Bestand zu bis sie über A(t) das System verlassen. Ebenfalls erfüllt ist auch die Bedingung A(t) i 0

für t=0,1 ,2,3 ,...

Da nämlich alle L.(0) und

(34.38)

(t) positiv sind, können auch alle A. (t)

wegen DVZ>T nur positive Werte annehmen. Die Parameter a., welche durch (34.37) zugelassen sind, bewirken unter Einhaltung von A(t).

(34.35) und (34.38) unterschiedliche Verläufe von

Ihre Ausprägungen beschreiben daher verschiedene

'Entstehungs-

geschichten' der Levelfüllung über E(t-T). Da wegen

(34.37)

a3 = 1 -a, - a 2 bringen die Parameter a^, a 2

' m Rahmen der Bedingung

0 - a j,a 2 < 1 0